Matematică și Informatică Aplicate în Inginerie [606010]

1
UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE APLICATE
Matematică și Informatică Aplicate în Inginerie

Proiect de Licență

Coordonator științific:

Lect.dr. Tiberiu VASILACHE

Absolvent: [anonimizat]

2017

2

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE APLICATE
Matematică și Informatică Aplicate în Inginerie

Aprobat
Decan:
Prof. dr. Emi l Petrescu

Sisteme optimale și metode rezolvare a
ecuației Riccati

Coordonator științific: Absolvent: [anonimizat].dr. Tiberiu VASILACHE Ramona -Maria DUMITRESCU

București
2017

3
CUPRINS

1. Introducere
2. Control optimal
2.1 Noțiuni de calcul variațional
2.2 Condiții necesare de optimalitate
3. Optimizarea cu criteriu pătratic a sistemelor liniare
3.1 Problema de optimizare liniar pătratică
3.2 Soluția problemei liniar pătratice cu timp final finit (EDMR)
3.3 Problema reglării optimale a mărimii de ie șire
3.4 Regulatorul liniar pătratic
4. Ecuația mariceală Riccati cu metode de rezolvare
4.1 Ecuația matriceală algebrică Riccati (EMAR)
4.2 Metode de rezolvare a ecuației matriceale algebrice Riccati
4.2.1 Metoda Potter
4.2.2 Metoda Schur
4.2.3 Metoda matricei de semn
4.2.4 Metode specifce programului MATLAB *
5. Aplicații
5.1 Aplicații teoretice ale controlului optimal
5.2. Compararea metodelor de rezolvare a ecuației Riccati
5.3 Aplicație privind suspensia la mașini
6. Concluzii
7. Anexe
8. Bibliografie

4
1. Introducere

Controlul optimal devine cunoscut după al doilea război mondial odată cu apariția războiului
rece, când matematicienii au fost implicați în noua confruntare dintre SUA și URSS. O
provocare matematică a celor vremuri cu care s -au confruntat a fost: Care este traiectoria
optimală a unui avion ce urmează a fi direcționat dintr -o poziție de croazieră dată, într -o poziție
favorabilă necesară răspunderii unui posibil atac?
Răspunsul la acestă problemă a fost ușor de sesizat. Matematicienii au recunoscut imedia t
asemănarea cu întrebarea lui John Bernoulli din 1969: Care este curba celei mai rapide coborâri
între două puncte date într -un plan vertical?, care și -a imaginat în acest fel problema
brachistochronei (în grecește, brachistos=cel mai scurt, chrones=timp) .
În ultimele decade domeniile teoriei controlului și optimizării au fost la interfața dintre
creativitatea matematică, inginerie si informatică. Scopul teoriei controlului este să ajute la
îınțelegerea principiilor fundamentale ale controlului și să le ca racterizeze matematic într -un
mod ce poate fi folosit pentru obținerea exactă a unor controale ce ne ajută să îndeplinim un scop
precizat. De fapt, scopul optimizării performanțelor ne duce către controlul optimal ce ilustrează
afinitatea dintre teoria con trolului, calculul variațional și optimizare.
Optimizarea poate fi definită ca știința determinării «celei mai bune» soluții la anumite probleme
definite matematic, care sunt adesea modele ale realității fizice.
A face « cel mai bine posibil » este sensul oricărei atitudini naturale în viața de zi cu zi.
Pentru un inginer « a face cel mai bine posibil » ar trebui să fie un obiectiv permanent atunci
când are de conceput o clădire, de dimensionat o instalație etc.
Metodele de optimizare au o largă aplicabili tate în aproape orice activitate în care sunt prelucrate
informațiile numerice: știință, inginerie, matematică, economie etc. O selecție a domeniilor în
care apar probleme de optimizare ar cuprinde: proiectarea reactoarelor chimice, a aparatelor
aerospația le, a clădirilor, a podurilor, în diferite ramuri ale analizei numerice, principii în sisteme
de ecuații diferențiale și cu derivate parțiale etc.
Lucrarea de față își propune să prezinte controlul optimal aflat în strânsă legatură cu teoria
sistemelor și modul în care ecuația matriceală Riccati poate ajuta în găsirea unei comenzi
optimale ce minimizează o funcțională asociată unei reprezentari în spațiul stărilor a unui sistem
fizic. Conținutul lucrării se axează în principal pe rezolvarea problemei liniar pătratice și
aparițiile acesteia în diverse domenii, mai multă atenție a fost acordată ecuației matriceale
algebrice Riccati.
În acest sens al 2 -lea capitol abordează aspectele teoretice cu privire la conceptul general de
control optimal. De asemenea, sun t ilustarte și noțiunile de calcul variațional care au o temelie
esențială asupra controlului optimal și condițiile necesare de optimalitate.
În capitolul al 3 -lea este realizată o prezentare generală a o ptimizării cu criteriu pătratic a
sistemelor liniare , făcându -se referie la problema de optimizare pătratică, la soluția problemei
liniar pătratice cu timp final finit, p roblema reglării optimale a mărimii de ie șire si a r egulatorului
liniar pătratic.
Capitolul al 4 -lea intitulat “ Ecuația matriceală Ri ccati cu metode de rezolvare ” se centreaz ă pe
ecuația matriceală algebrică Riccati și prezintă principalele metode de rezolvare ale acesteia.
Metodele de rezolvare folosite pe parcursul acestei lucrări sunt: rezolvarea analitică, metoda
Potter, metoda Schu r și m etoda maticei de semn.

5
Capitolul al 5 -lea conține prezentarea în întregime a aplicațiilor. Sunt prezentate exemple
ce pot fi rezolvate atât analitic, cât și folosind programul MATLAB.

6
2. Control Optimal

2.1 Noțiuni de calcul variațional

Se dă sistemul Σ descris de ecuația de stare:
),(xtfx
,
mR x tx 0 0)( (2.1)
Aici,





)()(
)(1
txtx
tx
n este vectorul de stare și
f o funcție vectorială de clasă .
Căutăm construirea unui sistem Hamilton canonic, pentru găsirea extremalelor
funcționalei
  2
1),,,,,,( ],,[][1 1 1t
tn n n dtx xx xtL x xIxI  
(2.2)
în mulțimea
},1, )(, )(|]),([ )),(( ),,({2 1 210
212
1 n ib txa txttC ttC x xx Mi i i i n      
,
unde
abi nii,, ,1 sunt numere reale date. Integrând prin părți termenii ținând seama de
proprietățile funcțiilor și aplicând lema fundamentală, deducem sistemul de ecuații diferențiale
ordinare de ordinul al doilea
















0. ………. ………. ……….00
2 21 1
i i xL
dtd
xLxL
dtd
xLxL
dtd
xL
,
n i,1 . (2.3)

7
care este un sistem de n ecuații diferențiale de ordinul al doilea cu n funcții necunoscut
x xn 1,,
și care mai poate fi scris și sub forma




2
12
12
0 1L
xxxL
xxxL
xtL
xi n
i jj
jn
i jj
jn
i i 
   , ,
. (2.4)
Ecuațiile sistemului (2.3) se numesc ecuații Euler –Lagrange, iar orice soluții ale
acestui sistem se numesc extremale ale funcționalei (2.2) .
Acest sistem poate fi rezolvat în raport cu
 x xn 1, dacă Hessianul este nenul, adică
0 det
,12






 njij ixxL

. (2.5)
Luând ca variabile canonice (hamiltoniene)
pL
xi
i
 și
xi ni, ,1 , iar
 x xn 1,, ca
variabile, putem scrie sistemul
),,,,,,(1 1 n n
ii x xx xtxLp  
(2.6)
Întrucât (2.5) este îndeplinită, teorema funcțiilor implicite afirmă că soluția (locală) a
sistemului (2.6) exis tă și are forma
x ftx xp p j j n n (,,,,,,) 1 1 
(2.7)
Cu alte cuvinte, Hamiltonianul funcționalei (2.2) este funcția
Htx xp p xL
xLn n j
j jn
(,,,,,,)1 1
1 


, (2.8)
Adică
H xp Ljj
jn


1
(2.9)

8
unde
xj sunt date de (2.6).
Reconsiderând Lagrangianul ca fiind
L xp Htx xp pjj
jn
n n 

11 1 (,,,,,,)  
(2.10)
rescriem sistemul Euler –Lagrange corespunzător:





0 ) (0 ) (
i ii i
pL
pL
dtdxL
xL
dtd


 
d
dtpH
x
d
dtxH
pi
i
i
i()
()



0
0 0 .
Astfel, se obține sistemul Hamilton canonic




iiii
pHppHx

,
care înlocui ește sistemul Euler –Lagrange (2.3) și care este un sistem de 2 n ecuații diferențiale de
ordinul I cu 2 n funcții necunoscute
xp i nii,, ,1 .
Acesta mai poate fi scris și în forma







pxHJpx
dtd , unde





n nn n
O II OJ .
Exemplul 2.1.
Considerăm funcționala:
 
02
22
1 2 1 2 1 ]))(( ))((2)()(2[(],[ dttx tx txtx xxI
,
pentru care dorim să obținem sistemul Euler -Lagrange și sistemul Hamilton canonic.

9
Sistemul Euler -Lagrange devine:













00
2 21 1
xL
dtd
xLxL
dtd
xL







0 2 20 2 4 2
0 2 20 2 4 2
2 11 1 2
2 11 1 2
x xx x x
xdtdxxdtdx x

Introducem momentul generalizat
),(2 1pp p
1 2 1 2 1 1 2),,,,( x xxxxtp 

2 2 1 2 1 2 2),,,,( x xxxxtp 

și Lagran gianul care trebuie să fie regulat, adică
0 det
,12






 njij ixxL


De aici rezultă că:
042 002det
L este regulat
Atunci
2 21 1
2
221
11
2121
22
p xp x
xxLpxxLp







,
deci Hamiltonianul corespunzător este:

10

 )41
412 2(21
212
12
12
1 212
22
1 22 11 p p x xx p p L pxpx H
2
22
12
1 2141
412 2 p p x xx 
Obținem sistemul Hamilton canonic:




1
221 2
112
221
11
24 22121
xxHpx xxHpppHxppHx


În continuare căutăm soluția generală pentru
1x și pentru
2x . Pornim de la siste mul Euler –
Lagrange obținut deja


0 2 20 2 4 2
2 11 1 2
x xx x x

Împărțim prin 2 și rescriem sistemul:


00 2
2 11 1 2
xxxx x

Din a doua ecuație rezultă următoarele:
ivx x x x xx2 1 2 1 2 1 0  și astfel
prima ecuație devine:
0 22 2 2 ivxx x .
Pornind de la acestă ecuație încercăm să obținem un sistem fundamental de soluții.
0 22 2 2 ivxx x

4
2 r xiv

2
2r x

12r x

01 22 4 r r

11

Notăm
t r2 .

Avem solu țiile:

Pentru
0 și
1 obținem sistemul fundamental de soluții :

Scriem soluțiile generale ale funcționalei:
ttCttCt Ct Ctx cos sin cos sin )(4 3 2 1 2 
,
R CCCC 4 3 2 1 ,,,
ttCt CttCt Ct Ct Ctx sin cos cos sin sin cos )(4 4 3 3 2 1 2 
,

,
ttCttCt C Ct C C tx cos sin cos)2 ( sin)2 ()(4 3 3 2 4 1 1   
,

În programul MATLAB pentru a rezolva acest exemplu trebuie să avem în vedere Lagrangianul
problemei și dimensiunea acestuia astfel , folosi m comenzi le specifice pachetului Control System
Toolbox , a programului . În cazul nostru avem Lagrangianul este de dimensiune 2×2 .

2 , 1 010 )1 (0 )1( 012
2,12 22 22 2

ami r r rrt t t

t tet ei rt tet eir
tttt


coscossinsin
21
R CCCC 4 3 2 1 ,,,
R CCCC 4 3 2 1 ,,,
t tCttCt C C t C Ct Ct Ct CttCt Ct Ct Ct C tx
cos sin cos)2 ( sin)2 (cos sin sin sin cos cos cos sin )(
4 3 3 2 4 14 4 4 3 3 3 2 1 2
  
. ,,,4 3 2 1 R CCCC 

t ttrtttr
coscossinsin
21

12
2.2 Formularea problemei fundamentale în teoria controlului optimal

Considerăm dat un proces evolutiv, a cărui stare este descrisă printr -un număr de
parametri de stare
ix , ansamblul lor constituind un punct figurativ
x (sau variabilă de stare), al
unei varietăți
X , spațiul stărilor (în particular domeniu din
nR ), ca și printr -un număr de
parametrii de comandă
au , ansamblul lor constituind un punct figurativ numit variabilă de
control sau de comandă și aparținând unei varietăți
U (domeniu din
mR ). O dat ă cu varietățile
X
și
U vom considera și varietățile lor tangente și cotangente.
Considerăm sistemul:
 (,,), () xftxu xt x  1 1
(2.11)
pentru
tItt[,]12 și funcția
nUXIf R :  continuă și cu derivate continue pe porțiuni
))(,),(),(,),(),(,( :1 2 1 tu tutx txtxtf tfl n i i   
,
n i ,,2,1 .
Ea se identifică cu evoluția unui sistem dinamic, descrisă prin ecuația:
)(),(,)(tutxtfdttdx
,
10, t tt (2.12)
numită sistem de control.
Numind în general o funcție
UIu: funcție de control sau de comandă , care
introdusă în sistemul (2.12) îl transformă pe acesta într -un sistem dinamic obișnuit pentru care o
soluție a
XIx: este o funcție de stare. Vom spune că sistemul (2.12) guvernează un proces de
evoluție.
Sistemul (2.12) se numește sistem controlat , iar perechea de funcții
)( : txtx ,
)( : tutu
(definte pe
I ) care verifică sistemul (2.11), poartă respectiv numele de traiectorie
admisibilă și de control admisibil . Vom spune că sistemul (2.11) guvernează procesul evolutiv,
t
reprezintă timpul și
dtdxx este viteza de variație a parametrului de stare
x .
Dacă funcția
f nu depinde explicit de timp, atunci procesul evolutiv descris de sistemul
(2.11) se numește staționar sau autonom , în caz contrar, este nestaționar sau neautonom .
Notăm cu
T spațiul traiectorilor admisibile, U spațiul comenzilor admisibile și X spațiul
stărilor.
Alegem funcționala de cost dată de ecuația :

13

Ju LtxtutdtMtxttxt
tt
() (,(),()) (,(),,())   
12
1 12 2 (2.13)
unde primul termen dat de integrală este criteriul de tip Lagrange, iar cel de -al doilea termen
este criteriul de tip Mayer. O astfel de funcțională de cost, conținând ambele criterii este numită
criteriu de tip Bolza (L este Lagrangianul, iar M este Mayerianul).
Vom presupune că,
R UXIL: este o funcție de clasă C1 pozitivă, iar
R R R 2 1 : X X M
o funcție convexă de clas ă C1, unde
X XX X 1 2 , .
În contextul următor, problema controlului optimal este determinarea unei comenzi
~()u
U care să realizeze minimul funcționalei de cost J(u), astfel încât
Ju Ju () () ~ ,
)(u
U , unde,
Ju Ltxtutdt Mtxttxt
tt
(~) (,~(),~()) (,~(),,~())   
12
1 12 2

și
)(~tx este soluția sistemului (2.11) ce corespunde comenzii optimale
)(~tu .
Având o traiectoria optimală
(~(),~()) xu și o variație mică a sa
((),()) xu T de forma:



)( )(~)()( )(~)(
tk tututh txtx
 (2.14)
cu   R și h(t), k(t) funcții vectoriale arbitrare fixate de dimensiuni respectiv n și m. Costul
corespunzător poate fi privit ca funcție de :

Astfel,
(~(),~()) xu este o traiectorie optimală,
Ju F (~) () 0 , deci  = 0 este un punct de
minim pentru F(). Prin urmare, conform teoremei lui Fermat rezultă că,
 F()0 0 . (2.15)
Derivăm funcția
()F :
F Ju Ju k Ltxt htut ktdt
Mtxt httxt httt
() () (~) (,~() (),~() ())
(,~() (),,~() ()).   
    
  
12
1 1 1 2 2 2

14

)( )( )( )( )(2 2 1 12
1th
xMth
xMdttkuLthxLFT T t
tT T

















, (2.16)
unde derivatele parțiale sunt calculate pentru
(~() (),~() ()) xt htut kt     .
Conform relației (2.15) rezultă că, traiectoria optimală verifică ecuația :
0)( )( )( )(2 2 1 12
1












th
xMth
xMdttkuLthxLT T t
tT T




(2.17)
Formăm Hamiltonianul problemei de control optimal (2.11), (2.13) prin
R RRRR n m nH:
:
),,()( ),,( )()( ),,( ),,,( uxtftp uxtLtxtp uxtL puxtHT T    
,
unde
] [1 nTp p p este vectorul multiplicatorilor Lagrange; se numește și vectorul adjunct al
lui x.
Atunci
Ltxu HtxupptftxuT(,,) (,,,)()(,,)   și ecuația (2.16) devine:








 






 FH
xhtH
uktdt ptf
xhtf
uktdt
M
xhtM
xhtT T
tt
T
tt
T T() () () () () ()
() ().0
12
12
1122








Dacă notăm
htdxktdu () ,() , avem


f
xhtf
uktdf dxht () () () 
.
Integrând prin părți cea de-a doua integrală din (2.16) obținem
pthtdt ptht pthtdtT
tt
T
tt T
tt
()() ()()()()
12
12
12
  

deci, pentru
(~,~)xu avem

15

0)( )( )( )( )( )( )0(2 221 112
1














th tp
xMth tp
xMdttkuHthpxHFT T t
tT T




pentru orice h(t), k(t) (suficient de mici).
Având la bază rezultatele obținute mai sus, enunțăm teorema de optimalitate:
Teorema 2.2.1 Dacă
(~(),~()) xu este o traiectorie optimală a sistemului (2.11) cu
funcționala de cost (2.13), atunci există multiplicatorii Lagrange
p pn 1 , astfel încât
(~(),~()) xu
verifică următoarele co ndiții necesare:
i. sistemul canonic:
),~,~,(~puxtpHx
(2.18)
),~,~,( puxtxHp
(2.19)
ii. ecuația de control optimal:

H
utxup (,~,~,)0 ; (2.20)
iii. condițiile de transversalitate:
0)()( )()(2 2 2 1 1 1



 th tp
xMth tp
xMT T

 . (2.21)

16
3. Optimizarea cu criteriu pătratic a sistemelor liniare

3.1 Problema de optimizare liniar pătratică
Considerăm sistemul liniar (variabil în timp)  :
() ()()()() xtAtxtBtut  
(2.22)
cu condiția ințială fixată
xt x ()1 1 și funcționala de cost pătratică
  )()(21)()()( )()()(21)(2 22
1tMxtx dttutRtutxtQtx uJTt
tT T  
, (2.23)
unde
o
ACInn(, ) R ,
BCInm(, ) R matrice continue pe
Itt[,] 12 .
o
nnMR este o matrice reală, nenegativ definită (
0 , = M M MT );
o
QCInn(, ) R ,
RCImm(, ) R și pentru orice
],[21ttt ,
0 )(tQ (matrice reală,
simetrică, semipozitiv definită



n TT
Rx QxxtQ tQ
,0)( )( , iar
0 )(tR (matrice reală,
simetrică, pozitiv definită



0 ,0)( )(
u RxutR tR
TT .
Dorim determinarea unei comenzii optimale
)(u în circuit închis pe intervalul
],[21tt care să
minimizeze funcționala de cost (2.19).

Ținem cont și de urmatoarele observații, referitoare la matricele funcționalei de cost și
anume:
– Q,R și M sunt dependente de
t , atunci când se dorește o ponderare în timp a
influențelor componentelor respective în diverse perioade ale intervalului de
optimizare
],[21tt ;
– R nu poate fi nulă, căci indicele de calitate nu ar mai depinde de comandă
– una din matricele M sau Q poate fi nulă, dar nu ambele, căci problema de optimizare ar
admite în acest caz soluția trivială
0)(tu .
Aplicăm teorema de optimalitate prin etapele următoare:
Etapa 1. Scriem Hamiltonianul:
Htxup xQx uRu pAx BuT T T(,,,) [ ] ( )  1
2
(2.24)

17
Etapa 2. Scriem sistemul canonic (2.18), (2.19):
Bu AxpHx 
(2.25)
pA Qx pA tQx xtQxHpTTQQ
T T T  
) ))( (21)(21(
(2.26)

Etapa 3. Determinăm ecuația comenzii optimale
)(~tu din (2.20):
0 )( 0  pButRuHT

(2.27)
înmulțind la stânga cu
R1 (există, deoarece R >0), rezultă comanda optimală:
pBR tuT1)(~ 
(2.28)
Prin intermediul matricei Hessiane verificăm dacă
)(~tu realizează minimizarea:


2
20H
uRt() ,
cu alte cuvinte,
)(~tu realizează minimul problemei și, conform (2.28) este unică.
Etapa 4. Înlocuim (2.28)
)(~tu în ecuația (2.25),(2.26) și obținem tripletul
))(~),(~),(~( tptutx , care
verifică sistemul de ecuații diferențiale:
ptBtRtBxtAxT)()()( )(1
(2.29)
ptAxtQ pT)( )(
(2.30)
sau

x
pHx
p



 , unde m atricea hamiltoniană
H are forma





 
)( )()()( )(1
tA tQtBt BR tAHTT . (2.31)

18
Etapa 5. Scriem condițiile de transversalitate, cu stare inițiala fixată și stare finală liberă:

xt x ()1 1
)( )(2
22 tMxxMtp 
.
Astfel, sistemul (9.29), (9.30) poate fi rezolvat pentru a obține
))(~),(~( tptx .
Exemplul 3.3
Considerând indicele de performanță :
1
2)(212t
ttu J

cu sistemul dublu integrator
)( )()( )(
22 1
tutxtutx



găsiți controlul optimal și stările optimale, având condițiile:
0)2(1)2(2)0(1)0(
2121

xxxx

Soluție:
a) Formăm Hamiltonianul:
)()( )()( )(21
2 2 12tut txt tu H   

b)
t tu t tuuH)(~)(~0)(~)(~02 2   
c)
)(~
21)(~)(~)(~)(~)(~)(~
21))(~),(~),(~),(~(
2
2 2 12
2 2 12
2 2 1 2 1
t txtt txt t t t txtxH
   
  
d) Obținem ecuațiile:

19

)(~)(~0)(~)(~)(~)(~)(~
1 212 22 1
t ttt txtxtx



Rezolvăm ecuațiile de mai sus și obținem:
4 3 23 12 423
21 224 33
1
)(~)(~2)(~2 6)(~
CtC tCtCtCtCtxCtCtCtCtx



e) Obținem controlul optimal de forma
4 3 2)(~)(~CtCt tu 

Folosindu -ne de comenzi le programului MATLAB specifice pachetului Control System
Toolbox încercă m să găsim soluția problemei cu un grafic sugestiv care să ne indice controlul
optimal și stările.

20
3.2 Soluția problemei liniar pătratice cu timp final finit (EDMR)
Considerăm legea de comandă optimală
)()( )( txtFtu , cu
)(tF o m× n matrice continuă
pe
].,[21tt Astfel, căutăm o matrice P(t) unde vectorul adjunct p să fie de forma
ptPtxt () ()() ,
cu condiția finală
M tP)(2 .
Sistemul de ecuații diferențiale (2.29) și (2.30) devin:
 xPB BRAxT1
.
PxA Qx xPxPpT

Înlocuim
x și obținem:
 PAPPA QPBR BPxT T 10
, pentru orice
xX .
Rezultă că P trebuie să fie soluție a ecuației diferențiale matriceale Riccati (EDMR)
PAPPA QPBR BPT T 10
(2.32)
cu condiția finală
M tP)(2
, deoarece
)( )()( )(2 2 2 2 tMx txtP tp   . (2.33)
Considerând implementată legea de comandă optimală (Fig. 1), se constată imediat că
aceasta furnizează, corespunzător inițializării arbitrare
1x , o soluție în circuit deschis a problemei
liniar pătratice. Altfel spus, în timp ce determi narea unei soluții în circuit deschis a problemei
liniar pătratice trebuie făcută ori de câte ori se schimbă inițializarea
1x , cunoașterea unei soluții
în circuit închis, explicitată prin matricea F(t), permite autogenerarea, prin schem a din Fig. 1, a
unei soluții în circuit deschis, oricare ar fi inițializarea
1x .

(Fig.1)

1 1)( t tx
)()( )()( )( tutBtxtAtx  
)(tx
)(tu
)(tF

21
În consecință, am demonstrat că
1Tu R B Px
este comanda optimală, iar în acest caz matricea
P(t) este soluția ecuației Riccati (2.32) cu condiția finală (2.33).
Presupunem în continuare că P(t) este soluție a ecuației (2.32) cu condiția finală (2.33). și
arătăm că
1Tu R B Px
realizează minimul funcționalei. Astfel că încercăm demonstrația în
sens invers.
Remarcăm că (2.32) este o ecuație simetrică , deci soluția sa îndeplinește
PPT .
Calculăm:
 d
dtxtPtxt xPx xPxxPxT T T T()()()  
      uB xAPx x PA APQPBR BPxxPAx BuTT TT T T T T 1( )

 uBPx xPBu xQx xPBR BPxTT T T T T1
.
Integrăm pe
[,] tt12 și înmulțim cu ½ ecuațiile după care le egalăm și obținem:
 1
21
21
21
2
12 2 2 1 1 12
12d
dtxtPtxtdt
txtPtxt xtPtxt xtPtxtTt
T
tt T T()()() ()()()| ()()() ()()()    

   )()()(21)()(21)33.2(
1 1 1 2 2 txtPtx tMxtxT T
   1
21
12
xPBR BPQxuBPx xPBu dtT T TT T
tt
( )
,
Astfel, funcționala de cost se rescrie:
   Ju uRBPx RuRBPxdt xtPtxtTTT
tt
T() ()()()    1
21
21 1
1 1 1
12
.
Deoarece, R(t) >0 intergrandul este o formă pătratică strict pozitiv definită, rezultă că
J(u) este minim dacă
u RBPxT1 . Altfel, comanda optimală are f orma
PxBR uT1 ~  , iar
costul minim devine:
Ju Ju xtPtxtT(~)min () ()()()  1
21 1 1
. (2.34)

22
Cu cele enunțate mai sus, am demonstrat sinteza Kalman –Letov enunțată prin următorea
teoremă:
Teorema 3.2.1 Problema liniar pătratică (2.22), (2.23) are o unică soluție optimală de
tip feedback
~()ut
RtBtPtxtT() ()()()1 (2.35) , unde matricea reală și simetrică P(t) este
soluția ecuației diferențiale Riccati
PAPPA QPBR BPT T 10 , cu condiția finală
MtP)(
.
Pentru cazul în care timpul final
2t tinde spre infinit ecuația matriceală Riccati devine:
01 PB PBRQPA PAT T
.
În continuare căutam soluția EDMR considerând astfel
),(1tt și
(,)tt1 matricele
fundamentale ale sistemelor (2.29) și (2.30)

xAx BR Bp
p Qx ApT
T
1
,
pt Mxt () () 2 2 .
Atunci soluția ecuației diferențiale maticeale Riccati (2.32) este

),( ),( )(21
2 tt tt tP . (2.36)
Demonstrație:

 și  verifică egalitățile de mai jos:
M tt tttA tttQ ttI tt tttBtRtB tttA tt
TT
 
),(,),()( ),()( ),(),(,),()()()( ),()( ),(
22 2 2 222 21
2 2


Prin derivarea egalității
),()( ),(2 2 tttP tt  obținem
 ),()( ),( ),()(2 2 2 tttP tt tttP   
(înlocuim
),()( ),(2 2 tttP tt  )
  ),()()()()()( )()( )()( )(21tt tPtBtRtBtPtAtPtPtAtQT T   
,
iar înmulțind la dreapta cu
),( ),(2 21tt tt obținem (2.32). Deci unica soluție a ecuației
Riccati este (2.36).

23
Partiționăm matricea fundamentală
Utt(,)2 corespunzătoare matricei hamiltoniene
H
(2.31) sub forma
UttU tt U tt
U tt U tt(,)(,) (,)
(,) (,)211 2 12 2
21 2 22 2


;
prin urmare, soluția problemei Cauchy







),(),()(
),(),(
22
22
tttttH
tttt

,




MI
tttt
),(),(
2 22 2
este




MIttUtttt),(),(),(
2
22 , deci
Mtt U ttU ttMttU ttU tt
),( ),( ),(),( ),( ),(
2 22 2 21 22 12 2 11 2
   .
Așadar soluția (2.36) a ecuației Riccati poate fi scrisă și ca

 MttUttUtP ),( ),( )(2 22 2 21 
 1
2 12 2 11 ),( ),( MttU ttU (2.37)
iar sinteza Kalman –Letov (2.35) capătă forma

)()( )(~txtK tu , unde
)()()( )(1tPtBtRtKT .
Obesrvație:
Dacă matricele A, B, Q și R sunt matrice constante, există matricea hamiltoniană
H constantă,
deci matricea fundamentală este
) (
22),(ttHe ttU
.
Din (2.37) reiese că
)(tP (și
)(tK ) sunt matrice variable.
Exemplu 3.2 :
Fie sistemul
uxx

cu
ux, și criteriul
1
02 2 2) ()1( dtux xJ
.
Soluție:

24
Ecuația Riccati este:
1 22 PP P
,
1)1( P .
Atunci matricea hamiltoniană este:


1 11 1H

și rezultă




    
  
4)2 2( )2 2(
42 242 2
4)2 2( )2 2(
2 2 2 22 2 2 2
t t t tt t t t
tH
e e e ee e e e
e
.
Aplicând (2.37) obținem soluția
)1(2 )1(2)1(2 )1(2)2 1( )2 1()(
 
 
t tt t
e ee etP

comanda optimală fiind
)()( )( txtP tu .

25
3.3 Problema reglării optimale a mărimii de ie șire
Considerăm problema determinării unei sinteze pentru sistemul complet observabil :
utBxtAx )( )(
,
1 1)( x tx (2.33)

)()(txtCy (2.34)
care să minimizeze funcționala pătratică de cost referitor la ieșirea
y .
Funcționala pătratică de cost asociată sistemului este:
 Ju ytQtytutRtutdt ytMytT
yT
tt
T
y () ()()() ()()() () ()    1
21
2
12
2 2
(2.35)
unde
Qty ()0 , R(t) > 0,
My0 .
Teorema 3.3.1 Comanda optimală (de tip feedback) a sistemului este
~() ()()()() ut R tBtPtxtT1
(2.36)
unde P(t) este soluția ecuației diferentiale Riccati
PAPPA CQCPBR BPT T
yT  10
(2.37)
cu condiția finală
Pt CMCT
y ()2
. (2.3 8)
Demonstrație:
Perechea ( C, A) este observabilă
 ieșirea y determină în mod unic starea x .
Înlocuind în (2.35) ieșirea
yCtx() vom obține funcționala (2.23) cu matricele
.CMC MCQCQ
yTyT


Aici, matricele sunt simetrice pozitiv definite pentru că
0yM și
0yQ .
Astfel că rezultatul este o cosecință a teoremei 3.2.1.
Observații:
– Desi problema este formulată în legătură cu mărimea de iesire y ,regulatorul optimal este
realizat cu reacție după stare, presupusă accesibilă si măsurabilă.
– Dacă stările nu sunt accesibile si măsurabile, pentru rezolvarea problemei trebuie introdus
un estimator.

26
3.4 Regulatorul liniar pătratic
Considerăm sistemul complet observabil :
() ()() ()(),() xtAtxtBtut xt x   1 1
(2.39)

)()( )( txtCty (2.40)
si z(t) ieșirea dorită.
Dorim să construim o comandă optimală cu feedback astfel încât aceasta să minimizeze
funcționala pătratică de cost J(u). În acest scop considerăm eroarea
etztyt ()()()  și
introducem funcționala dată de
 Ju etQtetutRtutdt etMeteT
eT
tt
T
e () ()()() ()()() () ()    1
21
2
12
2 2
.
Eroarea se poate exprima si în funcție de stare
)()( )( )( txtCtzte  și atunci funcționala se
rescrie corespunzător.
Considerăm Hamiltonianul acestei probleme:
Htxup zCx QzCx uRu pAx BuT
eT T(,,,) [( ) ( ) ] ( )  1
2
.
Condiția de optimalitate (2.20) implică
~u RBpT1 , deci si stemul canonic (2.18), (2.19)
devine
xH
pAx BR BpT 
1

 ( ) pH
xCQzCx Ap CQCx ApCQzT
eT T
eT T
e   

.
Deoarece ultima ecuație este neomogenă, conținând un termen în z căutăm o soluție de forma
ptPtxtrt () ()()()  
(2.41)
care să verifice condiția de transversalitate (2.21) cu stare inițială fixată
     ptxetMetxztCtxt MztCtxtT
e
ttT
ett() () () () ()() () ()()21
21
2
22

   




    Ct MCtxt Ct Mzt Ptxt rtT
eT
e () ()() () () ()()() 2 2 2 2 2 2 2 2
,
unde
xt()2 și
zt()2 sunt vectori arbitrari. De aici rezultă

27

Pt Ct MCtT
e () () ()2 2 2 ,
rt Ct MztT
e () () ()2 2 2  . (2.42)
În consecință, din (2.41) obținem
 ( ) pPxPxrPxPAx PBR BPx rrT 1

  CQCx APx rCQzT
eT T
e ( ) .
O soluție de forma (2.41) este dată de soluțiile ecuației diferențiale Riccati și ecuației diferențiale
liniare
PAPPA CQCPBR BPT T
eT 10
(2.43)
  r PBR B ArCQzT T T
e  1
(2.44)
cu condițiile finale (2.42).
Astfel, comanda optimală va fi
~()ut
  RtBtPtxtRtBtrtT T() ()()() () ()()1 1
, (2.45)
unde prima componentă este obținută prin reacția de stare și este independentă de z(t), iar a doua
componentă reprezintă o intrare r(t) impusă de valoarea dorită z(t).
O reprezentare a sistemului de mai sus este dat în urmatoarea figură:

)(tz
QCT

)(t MT
e
)(0tr
)(tr





)(1tx
)(tMe
)(tx
)(ty
TB BR1
C

28
4. Ecuația matriceală Riccati cu metode de
rezolvare

4.1 Ecuația marticeală algebrică Riccati (EMAR)

Considerăm ecuația marticeală algebrică Riccati (EMAR)
0 XRX XAXAQT
(4.1)
unde maticele
XRQA ,,, și
XQ, sunt matrice simerice (
TQQ ,
TRR ).
În investigarea existenței și unicității soluțiilor pentru ecuația Riccati, studiul este strâns legat de
subspațiile invariante ale matricei hamiltoniene
nn22 .
Definim matricea hamiltoniană
Lemă


TA QR AH (4.2)
și enunțăm următoarea în scopul de a verifica dacă valorile proprii ale lui H sunt distribuite
simetric în raport cu axa imaginară .

Lema 4.2.1 Rădăcinile polinomului
) det()(2HI p  sunt distribuite simetric în raport cu axa
imaginară
iR .
Demonstrație: Verificăm
TH JHJ1 , unde J este de forma:

O II OJ
nn . Atunci:
J J1
și
T
nnT
T
nnHO II O
R AAQJA QR A
O II OJHJ 







  1 1 . Astfel, Lema
4.2.1 este o c onsecință a identității verificate.
Dacă , atunci se admite o forma Jordan a matricei H:
1
21
00
 UJJUH
, (4.3)
unde,
)(1J și
)(2J și ținem seama că
 și
 sunt respectiv semiplanul stang si
semiplanul drept din planul complex.
Fiind



21
XX
OIUn și
2 1,JJ ,
1J , atunci avem



21
21
XX
XXH
(4.4)
și
)( .

29
Lema 4.2.2 Dacă și (4.4) este bine definită pentru o matrice (nu
neapărat în formă Jordan), atunci:
1 2 2 1 XX XXT T
. (4.5)
Demonstrație: Având în vedere matricea
1 2 2 1 XX XXZT T calculăm
Z :
T TX X Z2 1


21
XXJ

T TX X2 1


21
XXJH

T TX X2 1


21
XXJHT

T T TX X2 1


21
XXJ

ZT
Prin urmare, matricea Z este o soluție a ecuației
OZ ZT
.C
Cu toate acestea, (4.5) rezultă din faptul că
OZ este singura soluție a ecu ației de mai sus.
Teoremă 4.2.1 Dacă și matricea
1X din (4.4) este inversabilă, atunci:
a) Matricea
1
1 2 XX X este o soluție a ecuației maticeale algebrice Riccati (4.1).
b)
TXX .
c)
 ) ( RXA .
Demonstrație:
1X este inversabilă și
1
1 2 XX X , atunci:
1
1 1

XXXI
XIHn n
.
Deci,
1
1 1 XX RXA

) (1
1 1 XXX XAQT
.
Prin urmare,
) ( RXAX XAQT
.

30
Astfel, se verifică a). Următoarea afirmație b) este evidentă prin lema 4.2.2, pe când c) rezultă
din formula
1
1 1 XX RXA și
)( .
Cu toate acestea teorema 4.2.1 stabilește condițiile ce garantează existența unei soluții X a
ecuației matriceale Riccati (4.1) astfel încât
 ) ( RXA . O teoremă reciprocă a acesteia
este:
Teoremă 4.2.2 Dacă
TXX este o soluție a ecuației EMAR astfel încât
 ) ( RXA ,
atunci matricea Hamilton nu are valori proprii pe axa imaginară ( ) și matricea
1X
din (4.4) este inversabilă.
Demonstrație: Dacă
X este o soluție a EMAR cu proprietățile aferente atunci:




Tn
A QR A
XIH
RXAXI
XAQRXA
XIn
Tn




.
În plus, după următoarea descompunere Jordan a matricei H obținem:
1
1 PPJ RXA
.
Observăm cu ușurință că
1PJXIPXIHn n


,
cu ajutorul căruia se identifică spațiul n-dimensional generat de coloanele matricei:



XPPPXIn
.
Acest a fiind spațiul generat de vectorii proprii ai matricei H corespunzători valorilor proprii din

.
Deci,( ) și prin urmare,
P X1 este o matrice inversabilă.
Teoremă 4.2.3 Ecuația Riccati are cel mult o solu ție
X astfel încât
TXX și
 ) ( RXA
.
Demonstrație: Considerăm X și Y soluții Hermitice ale ecuației Riccati, astfel încât
 ) ( RXA
și
 ) ( RYA . Atunci avem:
00

YRY YAYAQXRX XAXAQ
TT
0 ) () (  YRY XRXAYX YXAT
.
Cu toate astea, deoarece
TYY ecuația rezultată mai sus poate fi rescrisă astfel:

31

0) )( () () (   RXAYX YX RYAT.
unde,
YX este soluția unei ecuații de forma
0ZC BZ
.
Aici,
)(B și
)(C . Prin urmare, această ecuație are cel mult o soluție. Evident
nnOZ
, deci
0Z este unica soluție, de unde rezultă
YX . Astfel, ecuația Riccati nu are
decât o soluție.
În continuare, următoarea teoremă oferă condițiile în care constrângerile impuse matricei H din
teorema 4.2.1 sunt îndeplinite atunci când:
HBB B și
CCQH .
Teoremă 4.2.4 Considerăm matricele
A ,
B ,
C și presupunem că
nCI Arangn

, pentru
)(
 . (4.6)
și
 n BI A rangn 
, pentru
)(
 . (4.7)
Atunci există exact o singură soluție hermitică X pentru EMAR având forma:
0  CCX XBB XAXAT T T
(4.8)
astfel încât
 ) ( XBBAT . În plus, acesată sol uție X este pozitiv semidefinită în , iar
dacă A, B și C sunt matrice reale
X .
Demonstrație: Fie




T TT
A CCBB AH

și presupunem condițiile din teoremă îndeplinite:





T TT
A CCBB A


yx

yx
,
pentru o anumită alegere
yx, și
 . Atunci
yBBxI AT
n ) ( și
CxC yI AT
nT ) (
.
Prin urmare,
2
2, ,) ( yB yyBB yxI AT T
n   

și

32

2
2, ) (, ,) ( Cx CxCx yI Ax yxI AT
nT
n     
.
Astfel,
yxI A yxI A yxn n ,) ( ,) ( ,) (     

2
22
2Cx yBT

de unde reiese că, dacă
 , atunci:
0 0 yBT
și
0Cx .
Asta implică:
0
xCI An
și
0  BI AynT ,
când
 .. Însă, ținând seama de condițiile impuse de teoremă acest lucru este valabil doar
dacă
0x și
0y , deci .
În continuare arătăm dacă (4.6) și (4.7) îndeplinesc condițiile din teorema și verificăm dacă





T TT
A CCBB A


21
XX


21
XX
și
nXXrang 

21 ,
unde
,,2 1XX și
)( . Atunci
1X este inversabilă.
Presupunem că,
)(1X Keru . Atunci
uXuXBBT 1 2

și, deoarece
2 1 1 2 XX XXT T conform lemei 4.2.2 avem:
02 1 1 2 2 22
2     uXXuuXXuuXBBXu uXBT T T T T T T
.
Obținem,
02uXBT și
02 1   UXBB UXT
,
care înseamnă faptul că nucleul lui
1X este invariant față de
 și
0)(1X Ker , sau
v v ,
pentru un punct din și un vector nenul
)(1X Kerv .
În ultimul caz avem
01 1 2   vX vXvXBBT

33
și
vX vXvXAT
2 2 2 

echivalent cu
T
nT TBI AXv 02   , pentru
)(
 .
Deci,
02vX implică:


21
XX
1 1 0)( 0 0 X X Ker v v  
este inversabilă.

Prin urmare, luând în vedere teoremele enunțate anterior, există o soluție hermitică a ecuației
Riccati, astfel încât
 ) ( XBBAT . Dacă matricele A,B și C sunt reale, atunci
X este o
soluție hermitică a ecuației Riccati, astf el încât
 ) ( XBBAT .
XX ,
X . Ceea
ce rămâne de verificat este dacă X este o soluție pozitiv semidefinită în raport cu , iar pentru
acest lucru este mai convenabil să rescriem ecuația Riccati
0  CCX XBB XAXAT T T

astfel:
X XBBCC XBBAXXXBBAT T T T T  ) ( ) (

care este de forma
Q XAXAT1 1
,
unde
)(1A și
Q 0.
Teoremă 4.2.5 Fie
A ,
B ,
Q ,
R și presupunem că
Q 0,
R 0.
nQI Arangn

, pentru
)(
 (4.10)
și
 n BI A rangn  , pentru
)(
 . Atunci există exact o soluție hermitică pentru
ecuația Riccati
01  T TB XBR XAXAQ
, (4.11)
astfel încât
  ) (1XB BRAT . Prin urmare, această soluție X este pozitiv semidefinită
peste , și dacă A, B și C sunt matice reale, atunci
X .
Demonstrație: Dacă
Q 0, atunci există o matice
C astfel încât
QCCT și
r rangQ rangC 
. Astfel, la stabilirea
21
1
BR B putem observa că:

34






TT
A QB BR A1





T TT
A CCBB A1.
În plus, ajutându -ne de condiția


CI An
0u

0
uQI An

ne rezultă faptul că:
nCI Arangn

, pentru
)(
 ,
Din condiția
   BI A rangn




21
BRI A rangn
,
ajungem la concluzia că:
 n BI A rangn 1
, pentru
)(
 .
Pentru cele enunțate mai sus , luăm ca exemplu următorul cod MATLAB cu comenzi le specifice
pachetului Control System Toolbox și calcul ăm stabilizarea soluției ecuației matriceale algebrice
Riccati (EMAR) pentru anumite matrice A,B,R,Q date.

35
4.2 Metode de rezolvare a ecuației matriceale algebrice
Riccati

Fie ecuația algebrică matriceală Riccati cu forma generală:
01 QPB PBRPA PAT T

Ecuația matriceală Riccati degenerată este neliniară, motiv pentru care în majoritatea
cazurilor nu s e obțin soluții analitice.
Prezentăm în continuare câteva metode de rezolvare numerică:

4.2.1 Metoda Potter
Formăm matricea M:





TT
A QB BR AM1

Calculă m valorile proprii matricei M. Demonstr ăm că aceste val ori proprii au proprietate a de
simetrie:
– dacă λ este o valoare proprie, atunci
~,~, . Aici,
~ este conjugatul complex.
Astfel,
n valori proprii sunt situate în semiplanul stâng și în semiplanul drept. Dacă n otăm cu
n ,…,,2 1
valorile proprii din semiplanul stâng, avem :
0) Re(i
,
n i,…,1
Calculăm vectorii propii
nv vv ,…,,2 1 asociați valorilor proprii
n ,…,,2 1 .
Prin urmare,
ii i v Mv ,
n i,…,1 .

Partiținoneă m vectorii proprii
iv în doi vectori de dimensiune
n :


ii
insv
.

Formăm matricele S și N :
 ns ssS …2 1 ,
 nn nn N …2 1 .

36
Astfel, rezultă s oluția EMAR :
1NSP

Pentru a înțelege mai bine acest algoritm a m luat următorul exemplu :

0010A
,

10B ,

0004Q ,
1R .
Formăm matricea M :





01 00000400000010
M
.

Determinăm v alorile proprii din caracteristicile ecuației:

  
01 0 00 0 0 41 0 0 00 0 1 0

Ecuația caracteristică este
440 . Se obține valori le proprii:
i11
,
i12 ,
i13 ,
i14 .

Deci, valorile proprii din semiplanul stâng sunt:
i11 și
i12 .
Calculăm vectorii proprii asociați pentru:

i11
0 ) (1 1 vMI

37














0000
1 1 0 00 1 0 41 0 1 00 0 1 1
4321
xxxx
iiii
.
Un minor caracteristic nenul de ordin maxim este
0 1 01 0 10 0 1
ii

.
Avem
1x (necunoscută secundară ) , deci rezolvăm sistem ul :


0 )1( 40 )1(0 )1(
34 22
xix xix i


Obținem
))1(,14,)1(,(2
1    iii v 
,
iar pentru
1 găsim :
)2,22,1,1(1 ii i v 
.


i12
0 ) (1 1 vMI














0000
1 1 0 00 1 0 41 0 1 00 0 1 1
4321
xxxx
iiii

Un minor caracter istic nenul de ordin maxim este
0 1 01 0 10 0 1
ii

.

38
Avem
1x (necunoscută secundară) , deci rezolvăm sistemul :
2
24
3( 1 ) 0
( 1 ) 0
4 ( 1 ) 0ix
i x x
ix
   
   
   

Obținem :
))1(,14,)1(,(2
1    iii v 

iar pentru
1 găsim:
)2,22,1,1(1 ii i v 
.

Formăm matricele S si N:
1 1 2(1 ) 2( 1 );1 1 2 2iiSNi i i i                 

Calculăm
1 111
112iSi i  

Soluția ecuației Riccati este:
1 1 1 1 1 4 2
1 1 1 1 2 2i i iP NSi                   

Matricea de reglaj este
1 421 0 1 2 222TK R B P   

În raport cu metodele iterative, acestă metodă prezintă avantajul unui calcul direct, cu soluție
unică.

39

În continuare , folosim programul MATLAB cu comenzi le specifice ale pachetului Control
System Toolbox și încercăm rezolvarea acestuia :

4.2.2 Metoda Schur
În problema determinării valorilor pr oprii ale unei matrice esențială este așa numita
formă Schur care este de structură triunghiulară și, se poat e obține, pentru orice matrice numai cu
transformări unitare (ortogonale în cazul real) ; din această structură particulară, valorile proprii
sunt chiar elementele diagonale.
Teoremă 4.2.2 .1 (FS -Forma Schur ) Pentru orice matrice
A există o matrice unitară
Q~
astfel încât
AQQSH

este superior triunghiulară și se numește forma Schur a matricei A, iar elementele
diagonale ale matricei S sunt valorile proprii ale matricei A; coloanele matricei Q se
numesc vectorii Schur a matricei A.

40
Teoremă 4.2.2.2 (FSR -Forma Schur reală ) Pentru orice matrice
A există o matrice
ortogonală
Q astfel încât
p
iii
pppp
TS S A
SS SS S S
AQQS
12 221 12 11
)( )( )(,
…0 0… … … …… 0…





 
,
unde
iiS sau
iiS după cum sunt asociate valorilor proprii reale , respectiv
complex conjugate , iar valorile proprii ale matricei A sunt evident, elementele diagonale ale
matricei S.
Matricea superior triunghiulară pe blocuri S se numește forma Schur reală a matricei A,
iar coloanele matricei de transformare Q formează vectorii Schur ai matricei A asociați formei
Schur reale S. În multe aplicații însă, vectorii Schur pot înlocui cu succes vectorii proprii.
În MATLAB forma Schur reală precum și matricea de transformare se obț in cu funcția schur
H schur TU,
,
astfel încât
TUTUH și
))(( A sizeeyeUUT ; iar forma Schur complexă, se obține printr -un
apel suplimentar al funcției rsf2csf :
TUcsfrsf TU , 2 ,
.
Alte comenzi specifice sunt:
)(H schurT
returnează matricea T , reprezentând forma Schur H.
'',, , lhpHU ordschurTU
reordoneză factorizarea Schur dată de comanda anterioară,
astfel încât toate valorile proprii aflate în să fie incluse în factorizare.
Pentru o exemplificare mai bună a metodei Sch ur rezolăm exemp lul:
Exemplul 4.2.2 Aflați decompunerea Schur a matricei A

41

)3 )(1(3 42421 424) 3)( 7(3 122 7
22




3 122 7A.
Soluție:
Găsim valorile proprii:
I A det

Deci, valorile proprii sunt
3,1 .
Pentru fiecare λ vom găsi vectorii lui proprii

1 :


4 122 6IAI A
.
Atunci vom avea un sistem omogen de ecuații liniare pe care îl rezolvăm prin metoda Gauss și
obținem:
 031
2 1 x x

Din ecuația sistemului de mai sus găsim variabila
1x :
2 131x x

de unde rezultă că:





2231
xxX .

42
Luăm
32x și obținem



31X , normalizat la


31
101 .
3
:


6 122 43I AI A
.
Atunci vom avea un sistem omogen de ecuații liniare pe care îl rezolvăm prin metoda Gauss și
obținem:
 021
2 1 x x
.
Din ecuația sistemului de mai sus găsim variabila
1x :
2 121x x

de unde rezultă că:





2221
xxX .
Luăm
22x și obținem



21X , normalizat la


21
51 .

Alegem bază ortonormată
2 1,vu
=






12
51,21
51 .
Astfel:

43


122 1
51
2,1vu U,
iar matricea A în baza ortonormată
2 1,vu este
 







122 1
51
3 122 7
1221
511
,21AUU AUU AT
vu



128 31
51


122 1


5 070 15
51


1 014 3

Deoarece A este
22 putem alege
2 2v u și algoritmul se oprește . Astfel, găsim
descompunere schur
TUTUA , unde

1 014 3T și

122 1
51U .
Prin comenzi le specifice p achetului Control System Toolbox a programului MATLAB putem să
rezolvăm exemplul:

44

4.2.3 Metoda matricei de semn
Considerăm matricea
A cu forma canonică Jordan:
ND TATJ 1
,
unde M este o matrice de vectori proprii,
) ,…,,(2 1 nd dd diagD este o matrice diagonală, iar N
este nilpotentă.
Funcția sign(A) este definită de:
1)(XYX A sign
,
unde
) ,…,,(2 1 ny yy diagY este o matrice diagonală dată de:

 0) Re( ,10) Re( ,1
ii
id dacăd dacăy
.
Consideră m

45

1
22 2112 11)(







n nn
n nn
n nn
O II X
I OZ I
O II X
W WW WK sign.
Aici, Z satisface ecuația Lyapunov
F FXAZZFXAT2 ) ( ) (  și astfel determină m:


2111
WI WMn
și



2212
WIWN
n .
Deci,




2212
2111
WIWXWI W
nn
(4.12)
Prin urmare, soluția ecuației (4.12), adică
N MX este chiar soluția aproximativă a ecuaț iei
algebrice Riccati.
Calculul funcției sign(K) îl putem realiza fie prin aproxi marea acesteia utilizând relațiile:
,2,
1
10


k k
k kW WW WA W

iar cât timp matricea
kW este inversabilă șirul de matrice va tinde către valoarea exactă a funcției
sign(K) . Deci, calculând
NM Xk1 , șirul
kX va tinde către soluția exactă a EMAR.
Un alt mod de a calu cula funcția sign(K) este calculul direct folo sindu -ne de funcția Jordan dată
în programul MATLAB , însă această metodă are un dezavantaj. În cazul când matricea K are
valori întregi vom obține un rezultat corect pentru că valorile se pot rotunji, dar în schimb când
avem valori reale cu mai multe zecimale rezultatul nu va fi corect. Cu alte cuvinte aceasta
metodă nu poate fi folosită în cazuri reale.
function sign = sign(A)
n=length(A)
Y=zeros(n)
[T,J]=jordan(roun d(A))
D=diag(eig(A))
for i=1:n

46
if(real(D(i,i))<0)
Y(i,i)=-1;
else
Y(i,i)=1
end
end
Sign=T*Y*inv(T)

47
Aplicații

5.1 Aplicații teoretice ale controlului optimal

Exercițiul 5.1.1 (Stabilizarea pendulului invers)
Considerăm pendul invers descris prin figura de mai jos,

unde:
l = lungimea pendulului;
m = masa pendulului;
M = masa căruciorului;
θ = unghiul de deviație al pendulului față de poziția verticală;
u = comanda motorului asupra căruciorului.

și sistemul de ecuații:


lgu
nn
22

.

Definim variablele de stare
x1 ,
2x și obținem ecuația
uxx
xxB AX X
n





10
010
21
2
21


asociată funcționalei de cost

48





02
221
21dtu
cJ,
unde

0001Q și
21
cR .

Luăm ecuația marticeală algebrică Riccati (EMAR)
01 Q B PBRPA PAT T

cu maticea simetrică


3 22 1
p pp pP și găsim:









0000
0001
2 12
32
2
22
312
2
p pp p
p pp pn n
nn 

.
Rezolvând operațiile de mai sus găsim ecuțiile:
 
2 32
32
2322 2
3 12 4 2
2 22
22 2
2
210 20101 2
pcp pc pppc p pc
cp pc p
nn n n

 

Cu toate acestea,
3p este un termen diagonală, care trebuie să fie real și pozitiv.
Prin urmare,
2p trebuie să fie pozitiv. Așadar,
p ppc pppc p p
nn
2
3 322
1322 2
3 1 0



Găsim matricea K și comanda optimală u de forma:
 pc pc PBRKT
32
22 1

c
În programul MATLAB pentru rezolvarea acestei probleme este necesară declararea parametrilor
pendulului:
M=2.4
m=0.23
l=0.36
c=0.005
g=9.81

49
alpha_n=sqrt(9.81/l)
%declarăm marticele A,B,Q,R
A=[0 1; alpha_n^2 0]
B=[0;1]
C=[1 0; 1 0]
R=1/c^2
%calculăm soluția EMAR P, matricea K și matricea valorilor proprii S
[P,S,K] = care(A,B,Q'*Q,R)

Exercițiul 5.1. 2
Considerăm sistemul dubu integrator
)()( )(2 )()( )(
2 1 22 1
tutxtx txtxtx



cu condițiile ințiale ,
3 )0(2)0(
21

xx

și funcționala de cost asociată
  dttu tx txtx tx x x x x J     5
02 2
2 2 12
12
2 2 12
1 )( 25,0)(5)()(6)(221)5(2)5()5( )5(21
.
Soluție:
Avem matricele asociate sistemului:

1110A
,

10B ,

25.05.01)(ftF ,

5332Q ,
41rR ,
00t ,
5ft .
Luăm


22 1212 11
p pp pP o matrice simetrică a ecuației EMAR:
01 QPB PBRPA PAT T

Astfel, controlul optimal este dat de:
  *
2 22*
1 12 *
2*
1
22 1212 11 *4 104 )( xp xp
xx
p pp ptu 





,

50
unde,















533210410
1210
1210
22 1212 11
22 1212 11
22 1212 11
22 1212 11
22 1212 11
p pp p
p pp p
p pp p
p pp p
p pp p


satisface condiția finală

25.05.01)(ftF astfel încât , obținem sistemul de ecuații:


222
22 22 1212 22 12 22 12 1111 122
12
5 4 2 23 4 22 4 4
p s s sp ss s s sp s s

.
În programul MATLAB folosim comanda lqr specifică pachetului Control System Toolbox , unde