Matematica In Curriculumul National

CUPRINS

ARGUMENTE PRIVIND IMPORTANȚA, ACTUALITATEA ȘI MOTIVAREA ALEGERII TEMEI

CAPITOLUL I

MATEMATICA ÎN CURRICULUMUL NAȚIONAL

1.1 Scopul studierii matematicii în învățământul primar

1.2 Rezolvarea de probleme în conținutul programei de matematică a învățământului primar

CAPITOLUL II

NOȚIUNI GENERALE DESPRE PROBLEMĂ

2.1 Noțiunea de problemă și de rezolvare a problemelor

2.2 Clasificarea problemelor de matematică în ciclul primar

2.3 Etapele rezolvării problemelor de aritmetică

2.4 Strategii de rezolvare a problemelor

CAPITOLUL III

METODE ȘI TEHNICI PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

3.1 METODE ARITMETICE

3.1.1 Metoda analitică

3.1.2 Metoda sintetică

3.2 METODE SPECIALE

3.2.1 Metoda grafică

3.2.2 Metoda comparației

3.2.3 Metoda ipotezelor

3.2.4 Metoda mersului invers

CAPITOLUL IV

REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE

4.1 PROBLEME DE AFLARE A DOUĂ NUMERE CUNOSCÂND SUMA ȘI DIFERENȚA, SUMA ȘI RAPORTUL, DIFERENȚA ȘI RAPORTUL

4.1.1 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența

4.1.2 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și raportul

4.1.3 Probleme de aflare a două numere cunoscând diferența și raportul

4.2 PROBLEME DE MIȘCARE

4.2.1 Probleme care duc direct la aflarea spațiului, vitezei și timpului

4.2.2 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în sensuri opuse

4.2.3 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens

CAPITOLUL V

ELEMENTE DE CERCETARE PEDAGOGICĂ

5.1 CERCETAREA PEDAGOGICĂ

5.1.1 Definiție și clasificări

5.1.2 Etapele cercetării educaționale

5.1.3 Metodele de cercetare

5.2 CERCETAREA PEDAGOGICĂ PRIVIND REZOLVAREA ȘI CREAREA PROBLEMELOR

5.2.1 Rolul activităților de rezolvare și creare a problemelor în formarea raționamentului matematic

5.2.2 Formularea problemei de cercetat, formularea ipotezei, a obiectivelor, precizarea metodologiei

5.2.3 Cercetarea propriu-zisă

CONCLUZII

ANEXE

BIBLIOGRAFIE

ARGUMENTE PRIVIND IMPORTANȚA, ACTUALITATEA ȘI MOTIVAREA ALEGERII TEMEI

Predarea și învățarea matematicii în învățământul primar este una dintre cele mai importante verigi în formarea gândirii elevilor. Transformările care au loc în practica și cunoașterea contemporană și în ceea ce privește accelerarea dezvoltării capacității elevilor, ridică probleme dificile în adecvarea educării și formării la aceste schimbări. Știința matematicii se află în continuă reconstrucție și reînnoire.

Matematica cerută de actualitate impune un învățământ în care materia să fie predată printr-o concepție nouă. Problema nu este de a transmite o știință gata făcută, ci de a face pe elev să dobândească un mod de gândire. De o extraordinară prospețime și actualitate se dovedesc a fi cuvintele despre matematică a lui Gheorghe Asachi: "deosebit de întrebuințarea ei cea de obște, cuprinde precum toate celelalte științe exacte, folosul de a deprinde cugetarea și pătrunderea la înțelegere și de a da plăcere pentru deslușirea ideilor ".

Aritmetica este unul dintre obiectivele fundamentale ale predării matematicii la nivel elementar, dar se constată tendința de eliminare a caracterului rigid, anost, pe care o avea în trecut. Se lasă elevului mai multă libertate de a alege strategii și tehnici de calcul.

Învățătorul dirijează elevul în a analiza, selecta, relaționa situațiile concrete, în a sintetiza pentru a obține soluția cerută, stimulează spiritul de independență. Un ansamblu de lecții prestabilite conturează ritmul, măsura în activitatea de conlucrare elev-învățător, respectiv învățător-elev, asigurată de ciclul informației. Echilibrul este dat de urmărirea unor obiective clar formulate, rezultate firești ale obiectivelor generale ale predării matematicii în ciclul primar, însușirea instrumentelor muncii intelectuale, dezvoltarea gândirii elevilor, formarea și dezvoltarea capacităților de cunoaștere și creație matematică, formarea unui comportament flexibil (ușor adaptabil, capabil de continue restructurări).

Importanța temei abordate vine din faptul că rezolvarea de probleme are bogate valențe formative, mobilizând procesele psihice de cunoaștere, volitive și motivațional-afective, precum și cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a cooperării, a disciplinei conștiente, dar și a spiritului stimulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții.

Rezolvarea problemelor este una dintre modalitățile cele mai productive pentru a realiza noua misiune a școlii în general, și a ciclului primar în special. Dar punerea în practică a unor astfel de idei este destul de dificilă. În primul rând, deoarece conținuturile prin care se exprimă problemele s-au schimbat. Apoi intervine și faptul că noua viziune despre educație și formare subliniază necesitatea participării active a elevilor în formarea și construirea propriile repere care să îi ajute la realizarea învățării continue.

Alegerea prezentei teme s-a bazat pe constatările făcute în timp în privința dificultăților întâmpinate de elevi în procesul de rezolvare și compunere de probleme, cum ar fi: analiza insuficientă a enunțului problemei; necorelarea datelor cu întrebarea problemei; neacordarea atenției suficiente întocmirii planului de rezolvare; neverificarea rezultatului obținut prin rezolvarea problemei; imposibilitatea găsirii căii de rezolvare a unei probleme, fără sprijinul învățătorului; concentrarea asupra efectuării calculelor în detrimentul raționamentului problemei, aplicarea mecanică a algoritmilor de calcul, care poate conduce la rezolvare incorectă.

De asemenea, dezvoltarea raționamentului matematic la școlarii mici se realizează prin activitatea de rezolvare de probleme, raționament necesar ca proces al gândirii, util în înțelegerea cu ușurință a noțiunilor abordate în obiecte de studiu interdisciplinare și necesare în rezolvarea problemelor practice cotidiene.

CAPTOLUL I

MATEMATICA ÎN CURRICULUMUL NAȚIONAL

1.1 Scopul studierii matematicii în învățământul primar

Studiul matematicii în ciclul primar își propune "să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni introductive de geometrie, măsurare și măsuri" (Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2003, p. 2). Aceste competențe vor asigura elevului:

 cunoașterea și utilizarea corectă în situații diverse în cotidian a terminologiei și a noțiunilor matematice;

 alcătuirea și rezolvarea exercițiilor și problemelor;

 utilizarea de concepte, reguli și metode matematice în tratarea unor probleme practice sau situații cotidiene, sesizarea atuurilor pe care le propune matematica în abordarea, ierarhizarea și soluționarea unor astfel de probleme sau situații;

 formarea obișnuinței de a concepe și utiliza simboluri diverse pentru surmontarea unor greutăți sau ca punct de plecare pentru sesizarea, reprezentarea, clasificarea sau motivarea unor considerații, algoritmi, modalități de soluționare etc.;

 studierea tematicii operațiilor cu numere, consolidarea deprinderilor de calcul aritmetic, aprofundarea înțelegerii conceptului de număr, urmând etapele operării cu numere pornind de la reprezentări (concrete, grafice); calcului mintal; calcului în scris utilizând forme echivalente ale numerelor, descompuneri variate, proprietățile operațiilor, legăturile dintre operații, ordinea operațiilor, algoritmi uzuali; tehnicilor de calcul rapid; estimării și aproximării ordinelor de mărime sau a rezultatelor unor calcule, urmate de verificări, abordării subiectelor matematice, demonstrării cu considerente intuitive a propriilor demersuri și a soluțiilor acestora, realizării de generalizări și particularizări elementare ale unor soluții sau procedee.

Studiul matematicii în învățământul primar are ca obiectiv "să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o cultură generală optimă" (Săvulescu, D., 2006, p. 8).

În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate competențele de cercetare-investigare, interesul și motivația pentru studiul și utilizarea matematicii în diverse contexte.

"Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități, cunoștințe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strâns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale" (Lupu, C., 2006, p. 26).

Predarea matematicii la ciclul primar vizează planurile instructiv, educativ și practic, cu scopul final de dezvoltare intelectuală a elevilor, învățarea instrumentelor de calcul și de soluționare a problemelor. Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Orice nouă achiziție matematică are la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu inferior la altul superior făcându-se printr-o reconstrucție a sistemului conceptual și operativ.

Matematica modernă ia în considerare ansamblul structural al științelor matematice, principiile fundamentale, relațiile dintre entitățile matematice. În noile programe școlare de matematică au fost introduse concepte generale cu un caracter unificator ca structură, mulțime, relații, interpretate în sprijinul logicii disciplinei matematice .

Cercetări experimentale axate pe domeniul predării – învățării matematice au ajuns, între altele, la concluzia că didactica învățământului matematic trebuie să se bazeze pe organizarea progresivă a acestor structuri operatorii. Această exersare treptată, în funcție de vârsta elevului, a structurilor logice, se va face astfel încât în aceste operații să se reflecte punctele de vedere actuale cu privire la formarea noțiunilor de număr, de operații cu numere, fără a utiliza și limbajul prea greoi la clasele mici. Astfel, se evită supraîncarcarea elevilor cu termeni dificili, dacă se respectă corectitudinea structurii raționamentului, care va conduce mai târziu la posibilitatea dezvoltării științifice a ideilor matematice.

Metodologia învățământului matematic are ca obiect studierea legităților informative și formative ale acestei activități. Ea are o triplă valență: teoretică (de fundamentare prin cercetare și explicare logico-științifică și didactică a procesului învățării matematice), practic- aplicativă (de fundamentare a bazelor elaborării normelor privind organizarea și conducerea științifică a activității de învățare a matematicii), de dezvoltare, de creare și ameliorare continuă a demersurilor metodice specifice acestei activități, în vederea obținerii unei eficiențe tot mai înalte.

Pe baza cunoașterii celor doi factori principali, matematica și copilul, metodica predării-învățării matematicii analizează obiectivele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite, formele de organizare și activizare, modalitățile de evaluare a randamentului și progresului școlar .

Învățătorul va aplica acestea ca un investigator care studiază atent fenomenele, aplicând cu competență valorile științei prezente în disciplina școlară, perfecționându-și continuu propria sa activitate, contribuind la ridicarea calității învățământului, la modernizarea lui, la pregătirea temeinică a generațiilor viitoare.

Alături de limba română, matematica este una dintre disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar. În planul de învățământ al ciclului primar, studiului matematicii îi sunt afectate un număr de ore semnificativ pe întregul ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta tocmai datorită importanței ce i se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, disciplină ce servește studiului celorlalte discipline școlare. Acțiunile de predare-învățare în cadrul matematicii, la cla greoi la clasele mici. Astfel, se evită supraîncarcarea elevilor cu termeni dificili, dacă se respectă corectitudinea structurii raționamentului, care va conduce mai târziu la posibilitatea dezvoltării științifice a ideilor matematice.

Metodologia învățământului matematic are ca obiect studierea legităților informative și formative ale acestei activități. Ea are o triplă valență: teoretică (de fundamentare prin cercetare și explicare logico-științifică și didactică a procesului învățării matematice), practic- aplicativă (de fundamentare a bazelor elaborării normelor privind organizarea și conducerea științifică a activității de învățare a matematicii), de dezvoltare, de creare și ameliorare continuă a demersurilor metodice specifice acestei activități, în vederea obținerii unei eficiențe tot mai înalte.

Pe baza cunoașterii celor doi factori principali, matematica și copilul, metodica predării-învățării matematicii analizează obiectivele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite, formele de organizare și activizare, modalitățile de evaluare a randamentului și progresului școlar .

Învățătorul va aplica acestea ca un investigator care studiază atent fenomenele, aplicând cu competență valorile științei prezente în disciplina școlară, perfecționându-și continuu propria sa activitate, contribuind la ridicarea calității învățământului, la modernizarea lui, la pregătirea temeinică a generațiilor viitoare.

Alături de limba română, matematica este una dintre disciplinele de bază care se studiază în ciclul primar. În planul de învățământ al ciclului primar, studiului matematicii îi sunt afectate un număr de ore semnificativ pe întregul ciclu, pentru fiecare clasă fiind prevăzute 3-4 ore pe săptămână. Aceasta tocmai datorită importanței ce i se acordă studiului matematicii, înțeleasă ca disciplină fundamentală, disciplină ce servește studiului celorlalte discipline școlare. Acțiunile de predare-învățare în cadrul matematicii, la clasele pregătitoare și I-IV, au determinări concrete; copilul gândește mai mult operând cu mulțimile concrete.

Învățătorul, prin varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare-învățare, trebuie să acționeze pentru a-și valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un creator în materie de metode, procedee, strategii didactice. Studiul matematicii în manieră modernă, urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Există o strânsă legătură între conținutul și forma noțiunilor, care trebuie respectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice fenomen trebuie să aibă acoperire în ce privește înțelegerea conținutului noțional.

Eficiența formativă a învățământului matematic la clasele mici poate fi sporită atât prin calitatea sistemului cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor, aptitudinilor, cât și prin modul de a organiza și îndruma asimilarea acestora.

În ceea ce privește calitatea cunoștințelor se poate afirma că matematica școlară modernă, prin caracterul riguros științific al sistemului ei noțional și operativ pe care-l cuprinde, este investită cu bogate valențe formative. Important este ca învățătorul să respecte rigoarea „relativă” a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul posibilităților lor de înțelegere.

Utilizarea, și mai apoi transferul noțiunilor matematice, se realizează, nu prin simpla transmitere a acestora de la învățător către elevi, ci prin îndelungate, dar dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi. De aici caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii. Pentru ideea caracterului activ al învățământului pledează și poziția centrală a elevului, anume statutul lui de subiect activ care realizează actul învățării matematice prin efort propriu și care odată cu însușirea noțiunilor respective învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter mai general. Să adăugăm la aceasta și specificul activității matematice, anume faptul că matematica necesită o încordare, o tensiune, o mobilizare a tuturor componentelor psihicului uman, cu precădere a gândirii, a inteligenței. Enunțurile matematice nu se memorează pur și simplu, ci se receptează, se înțeleg, se integrează și se îmbogățesc numai în măsura în care elevul operează cu ele. Efortul intelectual ce se desfășoară în activitatea matematică este în continuu antrenament, care are efecte în dezvoltarea intelectuală reală a elevilor, în primul rând, dar și în dezvoltarea generală a acestora.

„În învățarea matematicii, efortul intelectual se situează pe primul plan. Acesta constă în observarea obiectelor și fenomenelor nu sub aspectul particularităților fizice ale acestora, ci sub aspectele lor logice (mulțimi, apartenență, relații); operarea cu mulțimile concrete de obiecte, cu accent pe logica pe care o relevă aceste operații, conține operații de analiză, sinteză, comparații, clasificări, abstractizări și generalizări, semnificative procese de transfer pe orizontală și pe verticală (intra și interdisciplinaritatea), raționament inductiv și analogic cu precădere la primele clase, dar și deductiv la clasele a III-a și a IV –a.” (Neacșu, I., 1988, p. 30).

La ciclul primar, învățarea matematicii trebuie să se realizeze pe baza operațiilor concrete cu mulțimi de obiecte, pe suport concret și cu operații logice, elevii fiind puși în situația de a analiza nu o simplă manipulare cu obiecte, la comenzile învățătorului, ci cu un efort mintal vizând operații de clasificare, scriere, ordonare.

În clasele primare se dobândesc tehnicile de muncă intelectuală, matematica fiind disciplina care operează cu cel mai mare număr de algoritmi (numărare, calcul), pe care elevii îi învață sub forma unor noțiuni, definiții, reguli și pe care îi aplică apoi în mod creativ în rezolvarea unor situații din ce în ce mai complexe. În însușirea matematicii, gândirea și memoria se întrepătrund, se ajută și se completează reciproc. Orice achiziție nouă se bazează pe achizițiile precedente. Are loc o sistematizare, o completare a fondului de cunoștințe deja asimilate cu cele nou însușite. La această vârstă, elevii învață unele tehnici elementare ale activității intelectuale, interesul pentru studiu fiind într-o fază de început. Interesul pentru matematică se cultivă prin conținutul învățământului matematic, prin dezvăluirea secretelor științei matematice. Copiii, în fața unor dificultăți noi, fiind orientați și ajutați să le depășească, trăiesc bucuria succesului, dobândesc încredere în forțele proprii, începe să-i intereseze activitatea matematică .

„Predarea matematicii ar urma să se realizeze și în funcție de rolul și importanța ei în dezvoltarea societății și științei, de ponderea pe care o are, dar mai ales o va avea matematica în viața socială. De aceea, asigurarea succesului în învățarea matematicii de către toți elevii nu este un deziderat, ci un imperativ.” (Ștefănescu, V., 1980, p. 11).

1.2 Rezolvarea de probleme în conținutul programei de matematică a învățământului primar

Programa de matematică prevede pentru fiecare clasă a ciclului primar obiective cadru/competențe generale, obiective de referință/competențe specifice, exemple de activități de învățare și conținuturi referitoare la rezolvarea problemelor de aritmetică.

Predarea și rezolvarea problemelor la clasa pregătitoare și clasele I-IV reprezintă sarcina cea mai complicată a însușirii matematicii, atât prin caracterul ei specific, cât și prin rolul pe care îl exercită asupra gândirii elevilor în scopul formării și perfecționării atât a algoritmilor de recunoaștere cât și a algoritmilor de calcul, dezvoltarea capacității elevilor de a gândi logic.

Rezolvarea problemelor este o activitate extrem de complexă, ce presupune procese de analiză și sinteză superioare, activitate care îmbină cunoștințele asimilate cu structura logică a fiecărei probleme și aplicarea algoritmilor necesari rezolvării ei.

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face treptat, antrenându-i în rezolvarea de sarcini ce solicită eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Primele probleme simple sunt cele cu care copilul se confruntă zilnic în școală, la cumpărături, în familie, în timpul jocului. De aceea, primele probleme de matematică sunt prezentate sub formă de joc și sunt probleme pentru a căror rezolvare se utilizează material didactic ilustrativ.

Trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse este progresivă. Astfel, în clasa pregătitoare, se propun spre rezolvare probleme simple de adunare sau scădere cu 1-5 unități în concentrul 0-31, cu suport intuitiv; în clasa I, probleme care se rezolvă printr-una sau două operații de adunare și/sau scădere în concentrul 0-100; la clasa a II-a, probleme care se rezolvă prin una sau prin cel puțin două operații; în clasa a III-a, probleme care se rezolvă prin cel mult două operații (de același ordin, de ordine diferite); probleme de organizare a datelor în tabele; probleme care se rezolvă prin mai mult de două operații; la clasa a IV-a, probleme care se rezolvă prin mai mult de trei operații de ordine diferite; probleme care se rezolvă prin metoda figurativă; probleme care se rezolvă prin încercări; probleme de estimare, de logică și probabilități, precum și de organizare a datelor în tabele.

Valoarea formativă a rezolvării problemelor crește pentru că implicarea și antrenarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este preeminentă altor demersuri, aceștia fiind puși în ipostaza de a descoperi ei înșiși modurile de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite etc.

Prin rezolvarea de probleme, se formează elevilor priceperi și deprinderi de a analiza situația dată în problemă, de a sesiza și de a desluși calea prin care se obține răspunsul la întrebarea problemei, conducând la dezvoltarea raționamentului matematic.

Rezolvarea și compunerea problemelor oferă cadrul propice în domeniul activităților matematice pentru instruirea și educarea creativității și a ingeniozității elevilor.

CAPITOLUL II

NOȚIUNI GENERALE DESPRE PROBLEMĂ

2.1 Noțiunea de problemă și de rezolvare a problemelor

Rezolvarea de probleme înseamnă "asumarea sarcinii de depășire și de eliminare a dificultății teoretice sau practice prin demersuri cognitiv-operaționale și strategii rezolutive specifice cerințelor acesteia" (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85); ea trebuie să decurgă ca o necesitate firească, solicitată de situații concrete din viață.

"Procesul rezolutiv presupune acoperirea lacunei cognitive din gândirea și experiența subiectului, înțelegerea conflictului din datele și cerințele problemei, efectuarea operațiilor de transformare a necunoscutului în cunoscut." (Dumitriu, Gh., 2004, p. 85) .

Cuvântul problemă a intrat în vocabularul românesc din limba franceză, din latinescul proballein, având semnificația de provocare, obstacol.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

În matematică, prin problemă se înțelege "o situație a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul" (Lupu, C., 2006, p. 284).

"Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute" (Neacșu, I., 1988, p. 196).

Toate definițiile pentru noțiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi apare în față ca „o barieră, un obstacol", pentru că "unde nu există o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo finalitatea gândirii lipsește" (Neagu, M., Mocanu, M., 2007, p. 125).

G. Polya afirma că "a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul distinctiv al speciei umane" (Lupu, C., 2006, p. 288).

Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice, prin aplicarea aceleiași metode de rezolvare, cât și prin rezolvări euristice, căci problema impune în rezolvarea ei o metodă de descoperire. Astfel, elevul trebuie să construiască un șir de judecăți, care să conducă la soluția problemei, utilizând datele și condițiile problemei și raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută.

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip, are ca efect formarea la elevi a unor deprinderi, priceperi și atitudini pozitive, creându-se astefel premisele de a rezolva independent și de a compune ei înșiși probleme.

2.2 Clasificarea problemelor de matematică în ciclul primar

După gradul de structurare, problemele se clasifică în probleme bine definite, ce pot fi rezolvate prin utilizarea strategiilor algoritmice și probleme slab definite, ce implică strategii euristice de rezolvare.

Problemele de matematică în ciclul primar, s-ar putea grupa după diferite criterii, astfel:

După algoritmul de lucru:

probleme standard;

probleme nonstandard, cu valențe formative, recreative, rebusistice și de perspicacitate.

După sfera de specialitate și finalitate:

probleme teoretice;

probleme practice, cu aplicații ale noțiunilor învățate.

După conținutul lor:

probleme geometrice;

probleme de mișcare;

probleme de aflarea a densității unui amestec și aliaj;

probleme cu procente și dobânzi.

După numărul operațiilor folosite în rezolvarea lor:

probleme simple (care cuprind o singură operație):

bazate pe adunare: aflarea sumei a doi termeni, aflarea unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat, probleme de genul "cu atât mai mult";

bazate pe scădere: aflarea restului, aflarea unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat, probleme de genul "cu atât mai puțin";

bazate pe înmulțire: repetarea de un număr de ori a unui număr dat, aflarea produsului, aflarea unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat,

bazate pe împărțire: împărțirea unui număr dat în părți egale, împărțirea prin cuprindere a unui număr în altul, aflarea unui număr care să fie un număr de un număr de ori mai mic decât un număr dat, aflarea unei părți dintr-un întreg, aflarea raportului dintre două numere.

probleme compuse (care cuprind mai multe operații)

Aceste probleme includ într-o dependență logică, mai multe probleme simple, în șirul de raționamente și operații de rezolvare.

După generalitatea metodei folosite:

probleme rezolvate prin metode generale:

a. analitice;

b.sintetice;

c.analitico-sintetice.

probleme rezolvate prin metode particulare:

a. teoretice;

b. practice (algebrice și aritmetice).

Problemele de aritmetică folosesc ca metodă de rezolvare:

metoda grafică;

metoda comparației;

metoda falsei ipoteze;

metoda mersului invers;

metoda înlocuirii;

metoda reducerii la unitate;

metoda rapoartelor și proporțiilor;

metoda reducerii la unitate;

metoda regulilor amestecurilor.

Cu toate variantele lor, fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie, ele nu sunt independente, izolate. Prin rezolvarea unor probleme ce se încadrează într-o anumită categorie, având același mod de organizare a judecății, a raționamentului, în mintea elevilor se conturează schema de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme, este ușurată dacă acea problemă se poate încadra într-un tip determinat de problemă, deja cunoscută. Această încadrare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective și raționamentul rezolvării ei.

2.3 Etapele rezolvării problemelor de matematică

Rezolvarea problemei presupune transformarea necunoscutei în cunoscută, acoperirea lacunei cognitive, depășirea obstacolului.

Procesul rezolutiv se desfășoară în mai multe etape și faze, diverși autori oferind descrieri variate, conform tipologiei de probleme studiate.

Paradigma rezolvării de probleme

Rezolvarea problemelor de matematică în ciclul primar, reprezintă rezolvarea unor situații problematice reale, întâlnite în viață. Școlarii percep o problemă ca pe o situație în care trebuie să intervină cu raționamentul matematic. În orice problemă de matematică trebuie să existe o necunoscută, un lucru cunoscut și o condiție care arată cum este legată necunoscuta de date.

Pentru formarea noțiunii de problemă se parcurg următoarele etape:

1. Probleme simple, cu rezolvări orale

Ex. Într-un coș sunt două mere roșii și unul galben. Câte mere sunt în coș?

2. Probleme după date desenate, schițate

3. Probleme din care lipsesc date, iar elevii le completează pentru a putea fi rezolvate

Ex. Pe un lac erau …….. bărcuțe din hârtie. Dintre acestea, 3 erau verzi, 2 erau albastre, iar restul portocalii. Câte bărcuțe portocalii erau?

4. Completarea problemelor cu întrebarea, apoi rezolvarea acestora

Ex. Miruna a cules 3 lalele, iar zambile cu 4 mai multe.

Puneți întrebarea și rezolvați problema.

5. Compuneri de probleme, folosind elemente orientative

Ex. ……. 5 kg cartofi, ……. 2 kg ceapă

Câte kg de legume a cumpărat?

În rezolvarea problemelor este necesar să se înțeleagă conținutul problemei și să delimităm de la început ceea ce știm, pe baza textului problemei, dar și direcția în care trebuie să se desfășoare gândirea, pentru a se ajunge la răspunsul problemei.

Ținând cont de particularitățile de vârstă ale elevilor, în rezolvarea problemelor se parcurg următoarele etape (Lupu, C., 2006, p. 297 – 299):

a) Expunerea enunțului problemei se realizează prin citire sau enunțare orală de către învățător sau de elevi. Se va avea în vedere citirea și enunțarea expresivă a textului, scoțându-se în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei.

Elevii trebuie îndrumați să nu trateze textul problemei ca pe un text literar. Se va pune accent pe citirea și repetarea problemei, se va insista pe elementele esențiale ale acesteia. Datele problemei se pot scrie pe verticală sau pe orizontală, aranjarea datelor pe verticală fiind bine înțeleasă de micii școlari.

G. Polya recomandă ca rezolvarea unei probleme să pornească întotdeauna de la enunțul acestuia, afirmând: "Mergi înainte când acest enunț îți este atât de clar și de bine imprimat în minte încât poți să nu te mai uiți la problemă pentru o clipă, fără teamă că ai să pierzi din vedere ansamblul".

b) Însușirea conținutului problemei este etapa căreia trebuie să i se acorde importanța cuvenită, pentru că de aceasta depinde înțelegerea corectă, asigurarea participării active și conștiente a elevilor la rezolvare. Informațiile transmise de textul problemei trebuie recepționate de elevi cât mai bine. Prin discuții cu aceștia trebuie reținute elementele matematice importante: datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Se citește de mai multe ori enunțul problemei, insistându-se asupra fondului, nu a formei, dând libertate elevului să se exprime liber, aceasta convingându-ne că a înțeles problema. Este binevenită ilustrarea problemei cu ajutorului materialului didactic la clasele mici, iar la clasele mai mari cu scheme grafice sau alte semne convenționale.

c) Analiza problemei este etapa cea mai importantă în rezolvarea problemei. Acestei etape trebuie să i se acorde timp suficient, să nu se efectueze în grabă, superficial, ci cu multă răbdare, cu efort de gândire pentru descoperirea căii de rezolvare a problemei. Examinarea problemei înseamnă un șir de raționamente orientate către întrebarea problemei prin care se găsesc relații între perechi de valori numerice și se împarte problema dată în probleme simple. Succesiunea problemelor simple ce alcătuiesc problema compusă se face astfel încât întrebarea ultimei probleme să coincidă cu întrebarea problemei date. Acest lucru se face prin două metode: metoda analitică și metoda sintetică.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l îndrume pe elev la transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relații matematice. Astfel, prin înlocuirea elementelor concrete, folosind expresiile matematice potrivite, care să schematizeze problema, se face pasul spre generalizare.

d) Întocmirea planului de rezolvare este etapa care urmează examinării problemei. Acest plan este, de fapt, o ordonare sintetică a întrebărilor problemelor simple, reieșite din problema compusă, în timpul examinării. Planul de rezolvare nu este un scop în sine, ci un mijloc prin care ajutăm elevii să înțeleagă cum se desfășoară procesul de examinare și cum se formulează concluziile acestei examinări. Pentru alcătuirea planului se folosesc în exprimare numai mărimi sau cantități fără numere (sau cu cât mai puține numere) și fără calcule, întrucât acum se stabilesc numai raporturile cantitative dintre mărimi sau relații de calcul. Planul de rezolvare se poate formula fie prin propoziții interogative (mai ales la clasele mici), fie prin propoziții afirmative.

e) Rezolvarea propriu-zisă a problemei constă în stabilirea operației corespunzătoare fiecărui punct din plan și efectuarea calculelor ce conduc la obținerea rezultatului final.

f) Activități suplimentare după rezolvarea problemei:

– verificarea rezultatului obținut prin rezolvarea problemei – prilej de convingere privind justețea rezolvării;

– scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei – cu rol în fixarea algoritmului de rezolvare, dar și în antrenarea sistematică a intelectului elevilor;

– căutarea și aplicarea unui alt mod de rezolvare – ceea ce contribuie la dezvoltarea gândirii creatoare;

– formularea de alte probleme ce se rezolvă după același exercițiu etc.

Rezolvarea de probleme se face încă de la grădiniță, prin probleme orale. Prin parcurgerea celorlalte etape, în clasele primare, se ajunge la încadrarea problemelor în tipuri de probleme și în metode specifice de rezolvare a acestora, la rezolvarea de probleme complexe.

2.4 Strategii de rezolvare a problemelor

Considerând strategia ca o orientare generală a activității rezolutive, B. Zörgő enumeră trei categorii de strategii necesare oricărei rezolvări, și anume: anticipativ-exploratorii, anticipativ-rezolutive și executive.

Este important să fie găsită strategia optimă încă de la punerea problemei. În orice problemă există restricții, dar și atribute deschise, ce trebuie folosite. E necesar să se găsească modalitatea potrivită dintr-o relație care este mascată, în contextul situației problematice.

O strategie de succes devine un principiu ce se poate generaliza.

În cazul problemelor foarte complexe și foarte slab structurate în care atât starea inițială cât și cea finală sunt nespecificate și real problema este redusă la o cerință suspendată între două categorii de necunoscute, nu se mai poate opera cu o singură strategie, ci problema se fragmentează în mai multe subprobleme, iar modelele de soluții reprezintă variantele ce sunt furnizate de gândire divergentă, integrându-se treptat spre convergență.

În cazul rezolvării problemelor simple, elevul găsește relația dintre datele cunoscute ale problemei în textul acesteia, indicată nu în mod mateamtic, ci în mod practic. Sarcina lui este tradusă într-un limbaj matematic al operațiilor și să efectueze calculul. El trebuie să descopere operația aritmetică prin care se rezolvă problema, raportând relația dintre datele cunoscute ale problemei la întrebare, la data cunoscută ce se cere a fi aflată.

În cazul problemelor compuse, sarcinile gândirii sunt mai complexe. Aici, data necunoscută nu se poate afla din primul moment pe baza datelor cunoscute, care sunt mai numeroase. Este vorba despre un proces permanent de analiză și sinteză prin care elevul reconstituie, desprinde și construiește problemele simple, care alcătuiesc problema compusă respectivă.

În cadrul rezolvării problemelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei pe baza activității orientate a elevului, reorganizări și formulări care îl apropie de soluție. Este vorba de o îmbinare a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu alte aspecte (analiza) în funcție de combinațiile în care sunt folosite (sinteza).

În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală, independența. Astfel, sunt necesare unele deprinderi cu caracter general ca: orientarea activităților mentale asupra datelor problemei, punerea în legătură a datelor, posibilitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, alegerea acelor date care ar putea conduce la rezolvarea problemei etc. Sunt necesare de asemenea unele deprinderi care se referă la detaliile acțiunilor. De exemplu, alegerea operațiilor matematice, care se automatizează, se fixează și devine deprindere. Aceste deprinderi se formează prin exerciții tocmai în procesul rezolvării problemei.

Prin rezolvarea mai multor probleme asemănătoare, care solicită același raționament, se stabilește și se fixează o schemă mintală, pe care la simpla recunoaștere a problemei, elevii o pot aplica fără a mai parcurge din nou întregul raționament, tot drumul de judecată a problemei.

Aceasta se întâmplă la problemele tipice. Metoda de rezolvare se învață și se aplică la fel ca orice regulă. Se întâmplă și la problemele netipice, dar care au aceeași structură logică și ca atare se rezolvă la fel.

Însușirea unei asemenea scheme a structurii logice a problemei, duce la sistematizare, la raționamente prescurtate, la scheme automatizate de acțiune. Aceste scheme mintale îi ajută pe elevi la sesizarea mai rapidă a căii de rezolvare a problemei, împiedică și chiar derutează pe elevi în rezolvarea problemelor. Ei sunt tentați să le aplice în mod mecanic, în cazul în care sunt aparent asemănătoare. În consecință, este necesară creșterea mobilității mintale a elevilor în utilizarea diferitelor date ale problemei, prin exerciții adecvate.

CAPITOLUL III

METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

3.1 Metode aritmetice

În aritmetică nu se utilizează ecuații algebrice. Deși se folosesc datele numerice ale problemelor, raționamentul se face asupra mărimilor. Rezolvarea aritmetică a problemelor nu se realizează printr-o metodă unitară, ci raționând în mod adecvat fiecare caz.

Metodele aritmetice se folosesc în învățământ în scopul dezvoltării gândirii, pentru a-i obișnui pe elevi să raționeze direct asupra realității.

Problemele din sfera matematicii se pot rezolva folosind una din cele două metode generale:

metoda analitică;

metoda sintetică;

Cele două metode se găsesc într-o strânsă conexiune determinată de cele două procedee, analitic și sintetic, care se condiționează reciproc. De aceea utilizarea lor nu poate fi separată total, în general identificându-se o tentă dominantă a uneia dintre ele.

3.1.1 Metoda analitică

Rezolvarea oricărei probleme prin metoda analitică presupune privirea în ansamblu a problemei și pornește de la întrebarea finală. Aceasta este descompusă în probleme simple, organizate într-o succesiune logică, a căror rezolvare să conducă în mod deductiv de la valoarea necunoscută către valorile cunoscute, permițând, în mod final, formularea răspunsului cerut de problemă. Uneori datele problemei sunt în concordanță cu ordinea de alcătuire a problemelor simple, alteori însă ele trebuie culese și grupate convenabil.

Iată o problemă rezolvată mai întâi prin metoda analitică și apoi prin cea sintetică:

Într-o fermă lucrează două echipe de muncitori, prima fiind formată din 16 muncitori care culeg zilnic câte 57 kg de caise fiecare și a doua echipă formată din 22 muncitori care culeg zilnic câte 60 kg de caise fiecare.

Știind că prețul unui kg de caise este de 5 lei, să se afle valoarea totală realizată de cele două echipe într-o zi.

Examinarea problemei:

Pornind de la întrebarea finală, pentru aflarea valorii totale trebuie să cunoaștem cantitatea totală de caise culeasă de cele două echipe. Această cantitate se poate calcula dacă se cunoaște totalul de caise cules de fiecare echipă.

Rezultă astfel următoarea schemă:

După schema realizată vom enunța probleme simple, având următorul plan de rezolvare:

1.Care este cantitatea de caise culeasă de prima echipă?

57 kg x 16 = 912 kg

2. Care este cantitatea de caise culeasă de a doua echipă?

60 kg x 22 = 1 320 kg

3. Care este cantitatea de caise culeasă de cele două echipe?

912 kg + 1 320 kg =2 232 kg

4. Care este valoarea realizată de cele două echipe într-o zi?

2 232 kg x 5 lei = 11 160 lei

Răspunsul problemei: 11 160 lei

3.1.2 Metoda sintetică

În rezolvarea problemei folosind metoda sintetică vom elabora un raționament care grupează datele în funcție de relațiile dintre ele și formularea unor probleme simple și așezarea lor într-o succesiune logică, în așa fel încât întrebarea ultimei probleme simple să coincidă cu întrebarea problemei inițiale.

Schematic, rezolvarea se face astfel:

Rezolvarea problemei se concretizează într-un plan identic cu cel întocmit folosind prima metodă. Ordinea efectuării operațiilor este aceeași, doar analiza problemei a fost făcută într-un alt mod, implicând două operații aflate într-o strânsă conexiune și interdependență.

Aceste două metode se pot folosi simultan sau una cu preponderență mai mare.

Ambele metode constau în descompunerea problemei date în probleme simple, care, prin rezolvarea lor succesivă, duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre cele două metode de rezolvare constă în punctul de plecare al raționamentului.

Se utilizează și denumirea de metodă analitico-sintetică, atunci când în unele probleme compuse nu este evidentă delimitarea problemelor simple, nu este indicată succesiunea lor și atunci în primă fază, apare o descompunere a problemei în probleme simple a căror rezolvare se efectuează prin metoda sintetică.

În urma activității de rezolvare a problemelor la clasă, s-a constatat că metoda sintetică este mai accesibilă elevilor, dar ea nu solicită atât de mult gândirea, pe când metoda analitică este mai dificilă, deoarece presupune un proces de gândire continuu și de profunzime. Se poate remarca totuși că cele două metode nu sunt izolate complet și nici nu putem folosi în exclusivitate numai una dintre ele.

Odată cu analiza și sinteza problemei, se întocmește schema logică și planul de rezolvare. Acest moment caracterizează judecata problemei și constă în formularea și scrierea succesivă a problemelor simple interogativ sau enunțiativ, sub formă de propoziții.

3.2 Metode speciale

Metodele aritmetice speciale sunt mai diversificate și variază de la o categorie de probleme la alta, adaptându-se specificului acestora.

3.2.1 Metoda grafică (figurativă)

Această metodă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și mărimile date în problemă.

Ea ajută la formarea schemei problemei, la ținerea în atenție a tuturor condițiilor problemei și la concentrarea asupra lor.

În rezolvarea unei probleme, utilizând această metodă, ne folosim de raționament, de înțelesul concret al operațiilor. Apare însă întrebarea, în ce fel trebuie făcută problema?

Figura schematică a problemei trebuie să însemne schematizarea enunțului, cu scopul de a păstra în prim plan, relațiile matematice.

Avantajele metodei figurative o situează pe primul plan în ceea ce privește utilizarea ei prin: caracterul general, aplicându-se la orice categorii de probleme la care se pretează; caracterul intuitiv, relațiile dintre datele problemei făcându-se pe baza imaginilor vizuale; modalități variate de stabilire a relațiilor cantitative dintre valorile mărimilor.

În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora: desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente; figuri geometrice, elemente grafice simple; litere și combinații de litere etc.

Exemple:

1. Figurarea prin desen

Enunțul problemei:

Raluca are 5 bile. Tatăl ei i-a mai dat 4 bile, iar mama ei încă 3 bile. Câte bile are Raluca?

Rezolvare:

Fiind genul de problemă care se rezolvă la clasa I, pentru a reprezenta mărimile (în cazul problemei considerate, bilele), vom folosi desenul.

Elevii vor afla, mai întâi, prin numărare, câte bile a primit în total Raluca de la tatăl și mama ei: 4 + 3 = 7 bile.

Apoi vor afla câte bile are Raluca în total: 5 + 7 = 12 bile

Răspunsul problemei: 12 bile.

2. Figurarea prin segmente de dreaptă

Enunțul problemei:

Suma a trei numere este 630. Primul număr este de două ori mai mare decât al doilea și de trei decât al treilea. Să se afle cele trei numere.

Rezolvare:

Cele trei numere se vor reprezenta cu ajutorul segmentelor. Dacă reprezentăm al doilea număr printr-un segment, atunci primul număr e reprezentat printr-un segment de două ori mai mare, iar al treilea număr printr-un segment de trei ori mai mare decât primul.

I număr I_____I_____I

al II lea număr I_____I } 630

al III lea număr I_____I_____I_____I_____I_____I_____I

Deci, în total cele trei numere sunt reprezentate de trei segmente, care însumează nouă părți, o parte reprezentând chiar al doilea număr, două părți primul număr și șase părți al treilea număr.

630 : 9 = 70 (o parte, al doilea număr)

70 x 2 = 140 (primul număr)

70 x 6 = 420 (al treilea număr)

Verificare: 140 + 70 + 420 = 630

Răspunsul problemei: 140, 70, 420

3. Figurarea schematică

Enunțul problemei:

Într-o curte sunt gâște și capre. Știind că în total sunt 11 capete și 34 de picioare, să se afle câte gâște și câte capre sunt.

Rezolvare:

Cum în curte sunt 11 capete, înseamnă că sunt de fapt 11 animale, unele cu două picioare (gâștele), altele cu 4 picioare (caprele).

Vom desena cele 11 animale prin 11 ovale:

Trebuie în continuare să distribuim cele 34 de picioare. Fiecare animal are cel puțin câte două picioare. Din acest motiv, vom desena câte două picioare fiecărui animal.

Am distribuit astfel 2 x 11 = 22 picioare din totalul de 34. Au mai rămas în plus 34 – 22 = 12 picioare.

Plusul de 12 picioare se datorează faptului că unele animale (caprele) au patru picioare. Distribuim pe desen picioarele rămase, două câte două.

După ce am distribuit restul de picioare, numărăm câte animale cu 2 și câte cu 4 picioare avem. Obținem: 6 animale cu patru picioare (capre); 5 animale cu două picioare (gâște).

Răspunsul problemei: 5 gâște, 6 capre

3.2.2 Metoda comparației

Problemele care se rezolvă folosind această metodă se caracterizează prin faptul că se dau două mărimi, care sunt comparate în același mod cât și legătura care există între ele. De aceea, această metodă se mai numește aducerea la același termen de comparație.

Cele două mărimi care trebuie comparate, sunt caracterizate prin câte două valori fiecare. Metoda constă în a face ca una din cele două mărimi să aibă aceeași valoare și în acest fel problema devine mai simplă, cu o singură necunoscută.

Așezarea datelor într-o astfel de problemă se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleiași mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile de același fel unele sub altele.

Exemple:

Problemă de eliminare a unei mărimi prin reducere și aducere la același termen de comparație:

Știind că 10 metri de postav și 3 metri de stofă, costă 280 lei, iar 5 metri de postav și 5 metri de stofă, costă 210 lei, să se afle cât costă 1 metru de postav și cât costă 1 metru de stofă?

Rezolvare:

Se observă că valorile niciuneia dintre mărimi (postav sau stofă) nu sunt egale, astfel apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. Stabilim mai întâi valorile cărei mărimi le egalăm și căutăm cu ce numere înmulțim sau împărțim relațiile pentru ca mărimea aleasă să aibă aceleași valori.

Dacă mărim cantitățile de postav și stofă de două ori, luate a doua oară, datele problemei vor arăta astfel:

10 m postav ………………………….. 3 m stofă ………………………… 280 lei

10 m postav ………………………….. 10 m stofă ……………………….. 420 lei

7 m stofă ………………………… 140 lei

1 m stofă va costa: 140 lei : 7 m = 20 lei

Cunoscând costul unui metru de stofă, se află costul unui metru de postav utilizând una din primele două relații:

5 m postav ………………………… 210 lei – 20 lei x 5 m stofă = 210 lei – 100 lei = 110 lei

1 m postav va costa: 110 lei : 5 m = 22 lei

Răspunsul problemei: 22 lei, 20 lei

Problemă de eliminare a unei necunoscute prin înlocuirea ei (pe baza relațiilor din problemă), în funcție de cealaltă mărime necunoscută:

Un kilogram de jeleuri și 14 cutii de bomboane costă 95 lei. Un kilogram de jeleuri este de 2 ori mai scump decât o cutie de bomboane .

Cât costă un kilogram de jeleuri și o cutie de bomboane?

Rezolvare:

În enunțul problemei se spune că 1 kg de jeleuri valorează de 5 ori mai mult decât o cutie de bomboane. Deci, în loc de 1 kg de jeleuri se pot cumpăra 5 cutii de bomboane. În total s-ar cumpăra 14 + 5 = 19 cutii de bomboane, cu 95 lei.

O cutie de bomboane costă:

95 lei : 19 = 5 lei

Un kilogram de jeleuri costă:

5 lei x 5 = 25 lei

Răspunsul problemei: 25 lei, 5 lei

3.2.3 Metoda ipotezelor

Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel, avem:

probleme de prima categorie pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;

probleme de a doua categorie pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive.

Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare, cu scopul de a vedea nepotrivirile cu enunțul și ce modificări trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.

Exemple

Problemă de prima categorie:

20 caiete de 48 file și respectiv 100 de file, au împreună 1428 file. Câte caiete sunt de fiecare fel?

Pentru rezolvare, încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele au 48 de file, obținând astfel:

20 caiete x 48 file = 960 file

Diferența de 468 file, apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 100 de file, adică cu 52 de file mai mult.

Atunci numărul caietelor care au 100 de file, se obține astfel:

468 : 52 = 9 caiete

Deci, numărul caietelor de 48 de file va fi:

20 – 9 = 11 caiete

Răspunsul problemei: 11 caiete cu 48 de file, 9 caiete cu 100 de file

Problemă de a doua categorie:

Dacă pe fiecare bancă se așază câte 5 persoane, atunci 10 persoane nu au loc. Dar dacă se așază câte 6 persoane pe fiecare bancă, rămân 5 bănci libere. Câte bănci și persoane sunt?

Rezolvare:

Ipoteza 1: 30 bănci

5 persoane pe fiecare bancă …………………………………………… 150 persoane

fără loc ………………………………………………………………………… 10 persoane

Total: 160 persoane

Sau: 6 persoane pe fiecare bancă, în 25 bănci ………………….. 150 persoane

Între cele două situații, se constată o difernță de 160 persoane – 150 persoane = 10 persoane, ceea ce denotă că presupunerea făcută nu corespunde problemei.

Ipoteza a II-a: 32 bănci

5 persoane pe fiecare bancă …………………………………………… 160 persoane

fără loc ………………………………………………………………………… 10 persoane

Total: 170 persoane

Sau: 6 persoane pe fiecare bancă, în 27 bănci ………………….. 162 persoane

Acum diferența este de 170 – 162 = 8 persoane, adică față de prima ipoteză, diferența s-a micșorat cu 2 persoane, micșorare ce corespunde la creștere a numărului de bănci cu două. Întrucât diferența trebuie să fie egală cu 0, este necesar să se mărească numărul de bănci cu atâtea unități câte are numărul care reprezintă diferența în prima ipoteză, adică cu 10. Prin urmare, numărul băncilor va fi 30 + 10 = 40 bănci. Atunci:

5 persoane pe fiecare bancă, în 40 bănci ………………………….. 200 persoane

fără loc ………………………………………………………………………… 10 persoane

Total: 210 persoane

Sau: 6 persoane pe fiecare bancă, în 35 bănci ………………….. 210 persoane

Răspunsul problemei: 40 bănci, 210 persoane

3.2.4 Metoda mersului invers (metoda retrogradă)

Prin această metodă, se rezolvă unele probleme în care datele depind unele de altele succesiv. Ea constă în faptul că enunțul unei probleme trebuie urmărit de la sfârșit la început.

Comparând operațiile efectuate în problemă cu operațiile care trebuie făcute pentru rezolvarea acesteia, se constată că în fiecare etapă a rezolvării, se face operația inversă celei din problemă.

Proba se face făcând asupra soluției găsite operațiile indicate în enunțul problemei.

Exemplu

Enunțul problemei:

Laurențiu are o anumită sumă de bani. În prima zi a cheltuit jumătate din ea, a doua zi o treime din rest, a treia zi jumătate din noul rest, iar a patra zi o treime din suma rămasă. După aceste cheltuieli, îi mai rămân 48 de lei. Ce sumă a avut la început?

Rezolvare:

Suma totală se figurează printr-un segment:

Din acest segment, se extrage suma cheltuită în prima zi, adică jumătate, împărțindu-l în două părți egale și eliminând o parte.

I zi

Figurăm și primul rest R1:

Dacă R1 este împărțit în 3 părți egale, și luăm o parte, se reprezintă suma cheltuită a doua zi.

a II-a zi

Noul rest va fi R2:

Acest rest va fi împărțit în două părți egale și se reprezintă suma cheltuită a doua zi:

a III-a zi

Noul rest va fi R3:

R3 va fi împărțit în 3 părți egale, pentru a reprezenta suma cheltuită în a patra zi:

a IV-a zi

Noul rest R4 va fi , care reprezintă 48 de lei.

Pe graficul astfel realizat, se aplică raționamentul. Se observă că 48 de lei, reprezintă de două ori mai mult decât suma cheltuită în a IV-a zi. Deci, în a IV-a zi, s-au cheltuit 48 : 2 = 24 lei.

Acesta este primul pas. Cunoscând cât a cheltuit a IV-a zi, putem afla R3:

24 x 3 = 72 lei

R3 reprezintă aceeași sumă cu cea cheltuită în a IV-a zi, deci a III-a zi, Laurențiu a cheltuit 72 de lei; R2 reprezintă suma dublă față de cea cheltuită a III-a zi, deci:

72 x 2 = 144 lei

A II-a zi s-a cheltuit jumătate din R2:

144 : 2 = 72 lei

R1 reprezintă o sumă de trei ori mai mare decât cea cheltuită a II-a zi, deci:

72 x 3 = 216 lei

În prima zi, Laurențiu a cheltuit 216 lei.

Suma totală este de două ori mai mare decât cea cheltuită în prima zi:

216 x 2 = 432 lei

Răspunsul problemei: 432 lei

CAPITOLUL IV

REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE

Prin problemă-tipică se înțelege construcția matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Rezolvarea problemelor tipice contribuie la dezvoltarea gândirii elevilor și-i înarmează cu cunoașterea unor metode speciale de rezolvare a problemelor.

4.1 PROBLEME DE AFLARE A DOUĂ NUMERE CUNOSCÂND SUMA ȘI DIFERENȚA, SUMA ȘI RAPORTUL, DIFERENȚA ȘI RAPORTUL

În mod intuitiv, rezolvarea acestui tip de probleme, se poate face cu ajutorul metodei figurative.

Datele problemei, relațiile dintre acestea se reprezintă, în mod obișnuit, prin segmente de dreaptă – dimensiunile, raportul de mărime fiind dependent de relațiile dintre datele problemei. Se pot identifica în acest caz următoarele tipuri de probleme:

4.1.1 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența

Cele două numere se reprezintă prin segmente, punând în evidență faptul că unul dintre ele este mai mare decât celălalt cu diferența dintre ele.

Exemplu

Enunțul problemei:

La o cantină școlară s-au adus 64 lăzi cu fructe și legume. Știind că numărul lăzilor cu legume este cu 14 mai mare decât cel al fructelor, să se afle câte lăzi de fiecare fel au fost aduse.

Rezolvare:

Considerăm a = nr. lăzilor cu legume

b = nr. lăzilor cu fructe

a > b

atunci a + b = 64, a – b = 14

Egalarea celor două numere se poate face prin scădere (este mai utilizată):

b } 64

a 14

64 – 14 = 50 (2 x b sau 2b)

50 : 2 = 25 (b) – nr. lăzilor cu fructe

25 + 14 = 39 (a) – nr. lăzilor cu legume

Verificare: 39 + 25 = 64 lăzi

Răspunsul problemei: 39 lăzi cu legume, 25 lăzi cu fructe

4.1.2 Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și raportul

Caracteristica esențială a acestor probleme constă în faptul că se precizează sau se deduce de câte ori este mai mare un număr decât un altul.

Folosirea metodei grafice în rezolvarea unor astfel de probleme, se dovedește foarte eficientă.

Exemplu

Enunțul problemei:

Doi frați au împreună 64 de nuci. Aflați câte nuci are fiecare, dacă unul are de 7 ori mai multe nuci decât celălalt.

Rezolvare:

Considerăm a = fratele care are cele mai multe nuci

b = fratele care are de 7 ori mai puține nuci

a > b

atunci a + b = 64, a : 7 = b

b

a } 64

Conform figurii, 64 (suma) reprezintă de 7 ori numărul mic (b).

64 : 8 = 8 (b)

8 x 7 = 56 (a)

Verificare: 56 + 8 = 64

Răspunsul problemei: 56 nuci, 8 nuci

4.1.3 Probleme de aflare a două numere cunoscând diferența și raportul

În aceste probleme, se precizează de câte ori este mai mare un număr a decât un număr b (sau de câte ori este mai mic b decât a), precum și diferența dintre ele.

Exemplu

Enunțul problemei:

Tatăl lui Ștefan are de 3 ori mai mulți ani decât fiul său. adică cu 24 de ani mai mult decât acesta. Care este vârsta fiecăruia?

Rezolvare:

fiul

tatăl

Observăm că diferența dintre cele două segmente este reprezentată de 2 segmente de dreaptă, aferente diferenței de 24 ani, deci 24 : 2 = 12 (valoarea unui segment, adică vârsta fiului este de 12 ani).

Vârsta tatălui este de trei ori mai mare decât a fiului, deci:

12 x 3 = 36 ani

sau

12 + 24 = 36 ani

Răspunsul problemei: 12 ani, 36 ani

4.2 PROBLEME DE MIȘCARE

Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una din mărimile: spațiu (distanța), viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil, exprimat în unități de lungime.

Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp (m/s, km/h).

Timpul (t) reprezintă numărul de unități de timp în care se parcurge spațiul.

În acest gen de probleme, apare mișcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale, mobilul parcurge distanțe egale, legate prin expresia: s = v x t, iar din această formulă, se deduce un factor: v = s : t și t = s : v.

În principiu, la nivelul claselor primare se întâlnesc două tipuri de probleme:

–  mobile care merg în același sens (probleme de urmărire);

–  mobile care merg în sens contrar (probleme de întâlnire).

4.2.1 Probleme care duc direct la aflarea spațiului, vitezei și timpului

Enunțul problemei:

Două vapoare au plecat în același timp dintr-un port A spre un port B. Viteza primului este de 25 km/h, iar a celui de al doilea este de 20 km/h. Primul a ajuns la destinație cu 4 h înaintea celui de al doilea. Să se afle distanța dintre cele două porturi.

Rezolvare:

Diferența de timp de 4 h este dată de faptul că al doilea vapor are o viteză mai mică decât primul și anume:

25 km/h – 20 km/h = 5 km/h

În fiecare oră, vaporul al doilea parcurge cu 5 km mai puțin decât primul. Când primul vapor va ajunge în portul B, celui de-al doilea i-a mai rămas o distanță pe care a parcurs-o în 4 h, distanța fiind de:

4 h x 20 km = 80 km

Această rămânere în urmă s-a realizat în timp de:

80 km : 5 km/h = 16 h (timpul cât a mers primul vapor)

Al doilea vapor a mers:

16 h + 4 h = 20 h

Deci, distanța este:

16 h x 25 km/h = 400 km

Răspunsul problemei: 400 km

4.2.2 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în sensuri opuse

Enunțul problemei:

Doi călători pornesc unul spre altul din două localități, unul cu 4 km/h, celălalt cu 5 km/h. După cât timp se vor întâlni, știind că distanța dintre localități este de 18 km?

Rezolvare:

Vom calcula mai întâi cu cât se micșoreză distanța într-o oră. Având în vedere că cei doi merg unul spre celălalt, înseamnă că distanța dintre ei se va micșora cu 4 km + 5 km = 9km, în interval de o oră.

Dar distanța este de 18 km, deci de 2 ori mai mare decât cei 9 km. Rezultă că cei doi se vor întâlni în 18 km : 9 km = 2 ore de la pornire.

Răspunsul problemei: 2 ore

4.2.3 Probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens

Enunțul problemei:

Un câine fuge după un iepure care este la 140 m de el. Iepurele fuge cu 370 m/minut, iar câinele cu 405 m/minut. După cât timp este iepurele prins de câine?

Rezolvare:

La început, distanța dintre câine și iepure este de 140 m. Cum viteza câinelui este de 405 m/minut, iar a iepurelui de 370 m/minut, înseamnă că într-un minut câinele se apropie de iepure cu 405 m – 370 m = 35 m.

Dacă într-un minut câinele recuperează 35 m din distanță, în cât timp va recupera cei 140 m?

140 m : 35 m = 4 minute.

Răspunsul problemei: 4 minute

CAPITOLUL V

ELEMENTE DE CERCETARE PEDAGOGICĂ

5.1. CERCETAREA PEDAGOGICĂ

5.1.1 Definiție și clasificări

Cercetarea pedagogică este acel demers strategic desfășurat cu scopul surprinderii unor relații între componentele acțiunii educaționale și a elaborării, pe această bază, a unor soluții ale problemelor pe care le ridică logica internă a desfășurării lui. Cercetarea pedagogică este un tip aparte de cercetare științifică, urmărind înțelegerea, interpretarea, analiza, descrierea, dezvoltarea educației și a problemelor sale.

Importanța cercetării pedagogice rezultă din necesitatea reînnoirii continue a sistemului și procesului de învățământ, în vederea eficientizării acțiunii educative. Reformele educaționale se bazează pe studii de caz și pe cercetări prealabile înainte de implementarea unor soluții practice. Cercetările pedagogice pot fi întreprinse atât de specialiști în domeniu, cât și de cadrele didactice care doresc să testeze anumite variabile, să probeze validitatea unor ipoteze ameliorative.

Identificăm mai multe tipuri de cercetări, după criterii diverse (E. Joița, 2003):

– după criteriul esenței, cercetările pot fi: teoretico-fundamentale, practic-aplicative, combinate;

– după criteriul finalității: cercetări constatativ-ameliorative, de dezvoltare, orientare;

– după criteriul funcției: descriptiv-analitice, explicative, operaționale, proiective;

– după criteriul domeniului: cercetări specifice pentru fiecare disciplină pedagogică;

– după criteriul metodologiei: cercetări neexperimentale (observaționale), experimentale, speculative, comparate, istorice;

– după criteriul abordării: mono-, intra-, pluri-, inter-, transdisciplinare;

– după criteriul organizării: cercetări spontane, sistematice, colective;

– după criteriul agenților angrenați: cercetări individuale, în grup sau colective;

– după criteriul complexității: specifice (independente), combinate;

– după criteriul direcției abordării: cercetări longitudinale (istorice) și transversale (sincronice).

În contextul învățământului preuniversitar, importanța cercetării ameliorative este evidentă, deoarece acest tip de cercetare conduce la eficientizarea procesului instructiv-educativ, în urma validării experimentale a unei ipoteze.

5.1.2 Etapele cercetării educaționale

De la identificarea unei probleme, dificultăți, până la rezolvarea acesteia, profesorul-cercetător trebuie să parcurgă mai multe etape. Acestea depind și de tipul de cercetare, dar cele mai multe studii în domeniu propun următoarea succesiune a acestora:

1. Pregătirea cercetării

a) alegerea problemei de cercetat: problema de cercetat trebuie să fie actuală, semnificativă din punct de vedere științific, să fie bine motivată, precis formulată, să întrevadă soluții de ameliorare, să fie de interes general, să aibă aplicabilitate etc;

b) documentarea: studiul bibliografiei tematice, pe categorii de surse, resurse bibliografice străine, actuale în problemă, prezentarea critică a aspectelor bibliografice;

c) stabilirea ipotezei de lucru, a scopului și obiectivelor: stabilirea ipotezei de lucru, derivarea ipotezelor particulare din ipoteza specifică, stabilirea clară a scopului și obiectivelor cercetării, pe etape de lucru etc;

d) stabilirea metodologiei: identificarea metodelor principale care vor fi utilizate în cercetare, pe etape de lucru, stabilirea locului, timpului, eșantioanelor experimentale și de control, stabilirea pașilor cercetării etc;

e) întocmirea planului de cercetare: întocmirea proiectului de cercetare care va pregăti pașii, etapele de urmat.

2. Desfășurarea cercetării

Aplicarea intervențiilor preconizate presupune implementarea a ceea ce s-a propus, urmărirea scopului, obiectivelor, stabilirea pașilor cercetării.

3. Finalizarea cercetării, valorificarea rezultatelor

Prelucrarea și interpretarea cantitativă și calitativă a datelor se face prin posttest și retest, când se compară cantitativ (statistic) și calitativ (psihopedagogic), datele dintre eșantioane și se extrag concluziile.

Valorificarea cercetării și a rezultatelor se face prin: diseminări, publicări, generalizări, extinderi.

5.1.3 Metodele de cercetare

Sistemul metodelor de colectare a datelor cercetării cuprinde ansamblu de metode și procedee valorificabile în direcția culegerii de informații referitoare la problema cercetată și care pot contribui la soluționarea acesteia.

Metoda autoobservației (a observării de sine) presupune o „observație experiențială”, înțeleasă ca o observare și investigare a propriilor experiențe atât pe plan afectiv (gânduri, motivații, comportamente, stări interioare) cât și profesional (studiul unor documente școlare personale: proiecte, fișe, rapoarte).

Metoda observației constă în urmărirea sistematică și intenționată a unui fenomen aflat în condiții naturale de existență și/sau desfășurare, cu scopul de a înțelege, explica și ameliora fenomenul educațional respectiv. Metoda observației permite identificarea problemelor ce trebuie rezolvate, a ipotezelor și proiectarea unor soluții. Observația intră în combinație metodologică cu toate componentele sistemului metodelor de colectare a datelor cercetării, în derularea ei urmărindu-se respectarea unor cerințe care se referă la:

subordonarea unor scopuri și obiective delimitate anterior;

asigurarea condițiilor de desfășurare naturală a fenomenului observat;

înregistrarea / descrierea obiectivă și detaliată a datelor;

consemnarea promptă a datelor (scheme, fișe de observare, tabele, protocoale de observație);

urmărirea fenomenului în ipostaze diferite, pentru validarea datelor;

finalizarea observației prin explicarea datelor, formularea de concluzii și propuneri.

În practica didactică se operează majoritar cu următoarele instrumente: protocolul de observație și fișa de observare.

Experimentul psihopedagogic reprezintă o observație provocată cu un anumit scop, acela de a controla o ipoteză. Experimentul psihopedagogic presupune modificarea condițiilor (variabila independentă) de desfășurare a fenomenelor, în mod controlat, în vederea studierii rezultatelor (variabila dependentă) și verificarea ipotezei cercetării. În cercetarea experimentală diferențierea principală se face plecând de la raporturile de cauzalitate care pot exista între fenomenele studiate. Astfel:

– prin variabile independente se înțeleg fenomenele care reprezintă cauze, factori sau condiții;

– prin variabile dependente – se înțeleg efectele, rezultatele (apariția, modificarea sau încetarea existenței) produse de acțiunea variabilelor independente.

În cercetările psihopedagogice se studiază aproape întotdeauna efectul unei singure variabile independente. Aceasta înseamnă ca este nevoie de mai multe grupe de subiecți (cel puțin două) și care – ca urmare a situației experimentale create – ar trebui ca la începutul cercetării experimentale să fie echivalente, egale în privința factorilor care influențează rezultatele.

Experimentul psihopedagogic cu eșantioane paralele se desfășoară pe etape care descriu design-ul experimental intersubiecți (Bocoș, 2007): etapa preexperimentală – constatativă (pretestul), etapa experimentală – introducerea variabilei independente, etapa postexperimentală – de control (posttestul) și etapa de verificare la distanță (retestul).

Metoda anchetei este o cercetare de tip interactiv, constând în schimbul direct de informații între cercetător și subiecți, culegându-se astfel date referitoare la anumite fenomene, având ca instrument specific chestionarul – grupaj de întrebări deschise – solicită construirea răspunsurilor, sau închise – permit alegerea unei singure variante de răspuns, sau mixte, care vizează problema cercetată. Un alt instrument, interviul, constă în formularea unei situații interactive între cercetător și subiect, prin care se obțin informații pe bază de dialog. Eficiența acestuia depinde în mare măsură de modul în care este construit, sinceritatea răspunsurilor și mediul de desfășurare. Pot fi individuale sau de grup, structurate sau nestructurate (discuție liberă).

Metoda analizei produselor activității subiecților – datele culese cu ajutorul acestei metode sunt supuse unei analize în concordanță cu scopul și obiectivele cercetării. Se delimitează în acest context cercetarea proces (acțiuni care preced elaborarea produsului) cercetarea produs (intelectual sau material): proiecte, referate, compuneri, modele materiale, soft-uri, produse media, etc.

Metoda cercetării documentelor curriculare și școlare constă în analiza datelor oferite de sursele de documentare oficiale, documente școlare și de arhivă, în contextul scopului și obiectivelor cercetării.

Metoda testelor are aplicabilitate atât în cercetarea pedagogică cât și în evaluarea didactică. Instrumentul de cercetare este reprezentat de test (ansamblu de itemi care vizează stabilirea gradului de cunoaștere, competențe, comportamente), care poate fi individual sau colectiv, psihologic, pedagogic, docimologic sau sociometric.

Metoda studiului de caz constă în angajarea activă și interactivă a subiecților, în vederea analizării unui caz, situații particulare. Presupune stabilirea clară a temei, identificarea cazurilor și documentarea implicită, identificarea modalităților de analizare și interpretare sau soluționare, formularea unor concluzii. Studiul de caz permite confruntarea directă cu o situație reală, autentică.

Metode sociometrice reprezintă un ansamblu de instrumente pentru studierea colectivelor de subiecți și cunoașterea relațiilor interpersonale.

Testul sociometric constă într-un ansamblu de întrebări prin care se dorește exprimarea preferințelor socio-afective ale subiecților, elaborate în funcție de obiectivele urmărite în cercetare. Culegerea răspunsurilor subiecților este urmată de întabelarea acestora, sub forma unui tabel cu două intrări, care poartă denumirea de matrice sociometrică.

5.2. CERCETARE PEDAGOGICĂ PRIVIND REZOLVAREA ȘI CREAREA PROBLEMELOR

5.2.1 Rolul activităților de rezolvare și creare a problemelor în formarea raționamentului matematic

Matematica dispune de un potențial educativ formativ deosebit. Valorificat cu pricepere, acesta acționează asupra dezvoltării tuturor componentelor personalității: intelectuale, morale, estetice, caracteriale, asupra intereselor și motivațiilor acțiunii de învățare fiind în același timp o importantă cale de orientare profesională a tinerii generații. Cu prioritate trebuie avută în vedere contribuția acestei discipline la dezvoltarea capacităților creatoare.

Activitatea gândirii se manifestă cel mai pregnant în rezolvarea de probleme, activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, toate acestea pe suportul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli) precum și deprinderi de rezolvare a acestora.

Rezolvarea de probleme este o activitate continuă la ciclul primar și nu numai. Ea începe încă din primele ore de matematică, ore în care copilul compară numărul de obiecte din două mulțimi sau numără rezultatul unei acțiuni și se finalizează în clasa a IV-a prin rezolvarea de probleme utilizând diverse metode, cu probleme care necesită mai mult de trei operații, ca și cu probleme de organizare a datelor, cu probleme ce se rezolvă prin estimări, prin încercări.

Prima și cea mai importantă îndatorire a învățătorului în predarea matematicii este de a acorda atenția cuvenită metodologiei de rezolvare a problemelor, mai exact să asigure experiență de gândire, conducând astfel la dezvoltarea raționamentului matematic.

Conversația ajută la formarea raționamentului matematic la elevi. În cadrul conversației este foarte important ca întrebările să fie formulate clar, precis, să nu fie vagi, să vizeze un singur răspuns și să nu conțină răspunsul. În cadrul acestuia, profesorul are rolul unui partener care adresează întrebări acestora, dar și răspunde la întrebările formulate de elevi.

Dacă până nu demult, în cadrul acestei activități, conținutul era orientat cu precădere spre transmiterea cunoștințelor, profesorul și materialul demonstrat de acesta constituind principalele surse de informație pentru elevi, în centrul acestei forme de muncă prinde din ce în ce mai mult contur funcția profesorului ca organizator și îndrumător al activității de învățare pe care o desfășoară elevul.

A ști să rezolvi o problemă reprezintă o îndemânare practică, o deprindere. La clasele primare, formarea deprinderilor de a rezolva și compune probleme este un proces complex. Pentru a forma elevilor capacitatea de a rezolva și compune probleme, trebuie subliniat că esențialul în rezolvarea oricărei probleme constă în dezvoltarea implicațiilor ascunse ale unor date cunoscute.

Problemele de matematică au ca scop aplicarea și consolidarea regulilor și procedeelor de calcul învățate. La clasele din ciclul achizițiilor fundamentale, cele mai multe probleme sunt astfel alcătuite, încât raționamentul este dat de enunțul problemei. La clasele din ciclul de dezvoltare sunt abordate probleme care se pot grupa pe tipuri de probleme, dar mai ales probleme diverse, inclusiv problemele de perspicacitate.

5.2.2 Formularea problemei de cercetat, formularea ipotezei, a obiectivelor, precizarea metodologiei

Prezenta temă de cercetare a pornit de la ideea că, punându-i frecvent pe elevi în situația de a problematiza matematic aspecte reale din viață, antrenându-le gândirea printr-un efort gradat și susținut, pe parcursul școlarității mici se va forma și, ulterior, dezvolta raționamentul matematic.

Activitatea de rezolvare a problemelor, reprezintă oportunitatea de care învățătorul trebuie să profite prin dezvoltarea capacității creatoare a elevilor și evoluția raționamentului matematic al acestora. Am încercat să creez situații care să stimuleze facultățile creatoare ale gândirii, situații inspirate din mediul de viață al școlarilor, de propriile lor interese și reprezentări.

O altă modalitate utilă în evoluția raționamentului matematic este calculul mintal, care conduce gândirea spre eliminarea tehnicilor formale de calcul și a anumitor procedee stereotipe.

Elevii din ciclul primar sunt dornici de noi informații, percepția lor asupra realității este simplă, pentru ei totul trebuie să fie concret și clar. Acum se manifestă spiritul critic, gândirea independentă, care capătă suplețe și rapiditate. Această suplețe se concretizează prin posibilitatea trecerii din ce în ce mai ușor prin diverse modalități de rezolvare, de descoperire de noi variante.

În concluzie, tot ce este nou este în percepția școlarilor o problemă ce apare ca un obstacol cognitiv în legăturile dintre subiect și lumea proprie, iar asumarea sarcinii de depășire a obstacolului, cu toate demersurile întreprinse cu acest prilej, conturează terenul rezolvării de probleme.

Având în vedere particularitățile de vârstă ale elevilor, de ritmul evoluției gândirii la această categorie de vârstă, le-am urmărit evoluția raționamentului matematic, mergând pe axa de la simplu la complex, de la ușor la greu, cu ajutorul jocurilor matematice și a rezolvării de probleme.

În realizarea cercetării, am pornit de la ipoteza că raționamentul matematic al școlarilor mici poate fi stimulat prin utilizarea unor procedee diverse în rezolvarea și compunerea problemelor. Astfel, dacă activitatea de rezolvare a problemelor se face într-un mod accesibil pentru elevii de vârstă școlară mică, antrenându-le gândirea printr-un efort gradat și susținut, se pot crea posibilități pentru dezvoltarea raționamentului matematic, precum și pentru eficientizarea rolului formativ al lecțiilor de matematică. De asemenea, dacă în cadrul lecțiilor, în care instruirea este diferențiată, se folosesc ca metode de lucru problematizarea și învățarea prin descoperire, atunci participarea elevilor la lecție și la activitățile de rezolvare de probleme, va fi mai activă.

Cercetarea pe care mi-am propus să o realizez cu privire la factorii care optimizează formarea și dezvoltarea raționamentului matematic la școlarul mic prin activitățile de rezolvare a problemelor, vizează următoarele obiective:

Evidențierea factorilor interni si externi ce favorizează formarea raționamentului matematic;

Evaluarea influenței unor factori referitori la următoarele variabile:

antrenarea gândirii copiilor printr-un efort gradat si susținut;

folosirea învățării prin problematizare și descoperire;

diferențierea instruirii.

Conform programei școlare pentru ciclul primar, una din competențele vizate să se formeze până la finalul clasei a IV-a, prin atingerea unui nivel de performanță elementar este: utilizarea conceptelor, a metodelor specifice diferitelor domenii ale cunoașterii și a instrumentelor tehnologice, în vederea rezolvării de probleme în contexte școlare, extrașcolare și profesionale, prin:

utilizarea capacităților formate în scopul rezolvării de probleme simple, în contexte date;

folosirea unor raționamente simple în vederea luării de decizii în contexte familiare;

folosirea metodelor de investigare însușite, pentru explorarea unor procese naturale și sociale simple.

Între exemplele de activități de învățare prin intermediul căror se pot atinge aceste obiective, se numără și rezolvarea de probleme, utilizând tehnici variate și recunoașterea situațiilor care presupun efectuarea operațiilor matematice de calcul.

5.2.3 Cercetarea propriu-zisă

Studiul s-a desfășurat pe parcursul unității de învățare Operații cu numere în concentrul 0 – 100. Durata experimentul a fost de 25 de ore, pe parcursul a 5 săptămâni.

Primul pas al cercetării este determinarea nivelului de plecare în realizarea experimentului. Pentru aceasta, am utilizat mai multe metode:

– probe de cunoștințe și deprinderi;

– analiza produselor activității;

– observarea sistematică a comportamentului elevilor în cadrul lecțiilor.

Pe baza obiectivelor și a ipotezelor am aplicat următoarele probe de evaluare:

Proba – Etapa inițială

Competența specifică: Rezolvarea de proleme simple în care intervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0 – 100, cu sprijin de obiecte, imagini sau reprezentări schematice

Obiective operaționale:

La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili să:

O1. să efectueze corect adunări, scăderi în concentrul 0 – 100;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoașterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve probleme după imagini date;

O4. să compună probleme ce se rezolvă printr-o operație.

Itemi:

I1. Rezolvă exercițiul, aplicând regula învățată:

20 + 11 – 7 =

I2. Află suma numerelor 57 și 18, apoi diferența lor.

I3. Rezolvă problema, completând cu numerele și semnele matematice corespunzătoare:

I4. Compune o problemă care să se rezolve printr-o operație de adunare.

Descriptorii de performanță

Rezultate obținute în etapa inițială

ETAPA EXPERIMENTALĂ

Procedee de dezvoltare a raționamentului matematic prin rezolvarea și compunerea de probleme

Proba 1 – Etapa experimentală

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare/investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operații de adunare și scădere fără trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării și scăderii

Itemi:

I1. Rezolvă exercițiul, respectând ordinea efectuării operațiilor:

47 + 21 – 53 =

I2. Cu cât este mai mare suma numerelor 25 și 23 decât diferența lor.

I3. În ograda bunicii sunt 12 oi, cu 7 mai multe capre, iar restul până la 59 de animale, sunt gâini. Câte găini sunt în ogradă?

I4. Compune o problemă după expresia:

a + b = c

Proba 2 – Etapa experimentală

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare/investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operații de adunare și scădere fără trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării și scăderii

Itemi:

I1. Află numărul cu 14 mai mare decât rezultatul exercițiului:

63 – 12 + 24 =

I2. Cu cât este mai mare suma numerelor 56 și 22 decât diferența numerelor 47 și 17?

I3. Într-o livadă s-au plantat în prima zi 32 meri și 42 peri. A doua zi s-au plantat 25 meri și 11 peri. Câți pomi s-au plantat în total?

I4. Compune o problemă după schema:

12 + 3

10 +

REZULTATE OBȚINUTE

ETAPA EXPERIMENTALĂ

CENTRALIZATOR REZULTATE

Prelucrarea datelor

Cu ajutorul tabelelor centralizatoare s-a făcut prelucrarea brută a datelor. Astfel, acestea au fost grupate în tabele ce reunesc rezultatele probelor din etapa inițială și cea finală, cu scopul de a le compara. De asemenea, la sfârșitul fiecărui test sunt ilustrate grafice cu ponderea calificativelor obținute, iar la sfârșitul capitolului sunt prezentate tabelele ce conțin rezultatele înregistrate la probele de cunoștințe.

EVALUAREA DATELOR FINALE

Evaluarea rezultatelor finale ale cercetării, s-a făcut aplicând proba de evaluare finală, asemănătoare cu cea inițială, în vederea efectuării de comparații și evidențierea tendințelor de evoluție între cele două etape.

Sunt consemnate proba de evaluare, tabelele analitice, precum și centralizatoarele rezulatelor finale.

Proba – Etapa finală

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorarea / investigarea și rezolvarea de probleme

Subcapacitatea: Adunarea și scăderea în concentrul 0 – 100

Obiective operaționale:

La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

O1. Să efectueze corect adunări și scăderi în concentrul 0 – 100;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoașterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve probleme cu două operații;

O4. să compună probleme care se rezolvă prin două operații.

Itemi:

I1. Rezultatul exercițiului următor reprezintă un număr cu 7 mai mic decât numărul căutat. Află numărul.

56 – 36 + 15 =

I2. Află suma dintre răsturnatul numărului 12 și cel mai mic număr par de două cifre.

I3. Un colier conține 37 de rubine, iar smaralde cu 28 mai multe. Câte pietre prețioase conține acel colier?

I4. Compune o problemă care să se rezolve prin două operații: o scădere și o adunare.

Descriptorii de performanță

Rezultate obținute în etapa finală

Rezultate obținute în etapa inițială și în etapa finală

CENTRALIZATORUL REZULTATELOR

OBȚINUTE ÎN ETAPA INIȚIALĂ ȘI FINALĂ

INTERPRETAREA DATELOR

Această cercetare a pornit de la ipoteza că, dacă elevii vor fi implicați în activități de rezolvare și compunere de probleme, atunci se va constata un progres semnificativ al nivelului de dezvoltare a raționamentului matematic la elevii de vârstă de școlară mică, și, implicit, al nivelului de cunoștințe matematice.

În lecțiile desfășurate pe parcursul cercetării, s-au desfășurat, în primul rând, activități de rezolvare și compunere de probleme, care să stimuleze gândirea independentă, însușirea de noi cunoștințe, deprinderi, procedee de rezolvare, reprezentări.

Din datele centralizate în urma aplicării probelor de evaluare a cunoștințelor, au rezultat următoarele concluzii:

– Activitatea de rezolvare și compunere de probleme, contribuie la dezvoltarea raționamentului matematic, dar și a creativității, fapt dovedit de rezultatele obținute de elevi în etapa finală la itemii 3 și 4;

– Analizând per ansamblu rezultatele elevilor, se poate distinge eficiența procedeelor utilizate în rezolvarea și compunerea problemelor. Dacă în etapa inițială, 5 elevi (36%) au obținut calificativul Foarte bine, 6 elevi (43%) au obținut calificativul Bine, iar 3 elevi (21%) au obținut calificativul Suficient, în etapa finală, rezultatele s-au îmbunătățit. Astfel, 10 elevi (72%) au obținut calificativul Foarte bine, iar 4 elevi (28%) au obținut calificativul Bine.

Analizând din punct de vedere calitativ munca desfășurată de elevi, s-au observat schimbări în atitudinea lor față de învățare. Astfel, aceștia au devenit mai activi, mai motivați, mai perseverenți și mai independenți în gândire. Chiar dacă le lipsește experiența și sunt tentați să recurgă exclusiv la calcule numerice, fără nicio motivare pe bază de raționament, nereușind uneori să justifice logica operației la care a recurs, prin diversitatea problemelor propuse spre rezolvare, s-a constatat că, treptat, elevii sesizează din ce în mai repede ideea conducătoare în progresul rezolvării problemei. Găsirea acestei idei constituie un moment de încheiere a fazei de tensiune a căutării, de destindere, care dă satisfacție descoperirii.

Aceste analize conduc la concluzia că este de datoria învățătorului de a organiza activități de învățare atractive, variate, care să solicite și să implice elevii cu scopul dezvoltării capacităților intelectuale ale acestora.

CONCLUZII

Experiența acumulată în decursul anilor și materialul informativ consultat în scopul elaborării prezentei lucrări, mi-au oferit posibilitatea definirii câtorva idei importante, privind rolul formării și dezvoltării raționamentului matematic, prin activități de rezolvare și compunere de probleme.

Practica școlară a confirmat de-a lungul timpului că elevului trebuie să i se ofere posibiltatea participării active, să fie pus în situația de a depune efort propriu pentru dobândirea de competențe, abilități, cunoștințe, manifestarea inițiativeiși independenței, de a-și dezvolta imaginația și capacitățile creatoare.

Elevul trebuie să participe conștient, prin muncă independentă la descoperirea adevărurilor matematice, necesare din punct de vedere teoretic pentru a rezolva exerciții și probleme. Acțiunile mentale automatizate ale elevului, implicate în rezolvarea exercițiilor și problemelor, trebuie să aibă suficientă mobilitate pentru a se restructura în raport cu cerințele unor situații noi.

Îmbogățirea și sistematizarea cunoștințelor este o condiție a dezvoltării flexibiltății gândirii, dar cunoștințele nu duc obligatoriu la transferul lor la situații diferite prin extinderea generalizării, ci numai practica rațională favorizează acest proces. Analiza atentă a datelor problemei, în funcție de întrebarea pusă, duce la evitarea situațiilor în care elevul pierde din vedere întrebarea și înceracă rezolvarea numai pe baza datelor din enunț.

Învățarea matematicii presupune un efort continuu susținut și bine gradat al gândirii elevilor. Elevul trebuie stimulat și ajutat să ducă această luptă cu necunoscutul. Grija pentru sistematizarea și gradarea materilului pe care îl folosim ca mijloc de stimulare a elevilor, este deosebit de importantă, mai ales în clasele mici.

În matematică, mai mult ca la orice altă disciplină, se formează nivele de gândire, ritmuri de lucruri foarte variate, uneori chiar specifice fiecărui individ. De aceea, deși lucrăm cu clase de elevi, noi lucrăm, de fapt, cu fiecare elev în parte, cu propriul său ritm de învățare. Prin antrenarea gândirii elevilor la un efort gradat, prin însușirea matematicii prin efort propriu putem spori eficiența formativă a învățământului matematic, contribuind cu precădere la dezvoltarea mobilității gândirii și la sporirea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

Practica școlară a arătat că elevii care întâmpină dificultăți în rezolvarea exercițiilor și problemelor la examinarea orală, stimulați cu întrebări ajutătoare, reușesc să ajungă în cele din urmă la soluția finală. Aceiași elevi, trecuți în bancă să rezolve aceleași probleme, se blochează pe parcurs. Fenomenul se explică prin faptul că, unii învățători, la examinarea orală, nu cer elevilor să expună mai întâi tehnica de rezolvare a problemei și după aceea să treacă la calcul. Fiind mai frecvente examinările orale, elevii se obișnuiesc să fie stimulați de întrebările ajutătoare puse de învățător, fiind lipsiți de posibilitatea formării deprinderii de a gândi și de a lucra independent.

Schimbarea modului de examinare orală la tablă, cerând elevilor să expună verbal mai întâi metoda de rezolvare și după aceea să treacă la calcul, evită fenomenul de blocaj.

Blocajul elevului poate să apară și atunci când învățătorul îl ajută prea mult pe elev prin întrebări care nu-i lasă posibilitatea să gândească independent. El răspunde la întrebările învățătorului fără să înțeleagă esența problemei, ajungând la un moment dat să nu mai poată răspunde nici la acestea.

Astfel, o învățare eficientă a rezolvării problemelor și a matematicii în general, se realizează printr-o programare rațională a conținutului materiei, prin elaborarea obiectivelor și performanțelor fiecărei lecții din sistemul acestora, prin urmărirea realizării obiectivelor și păstrarea unei evidențe clare a nivelului realizării performanțelor de către fiecare elev. De asemenea, trebuie să li se acorde elevilor mai multă independență în activitatea de învățare, implicându-i în operarea cu noțiunile asimilate, integrarea cunoștințelor în sisteme noi, transferul lor și altele, care sporesc eficiența formativă a învățării matematice.

Un prim neajuns al activității de învățare a matematicii în ciclul primar este reprezentat de ponderea scăzută a rezolvărilor de probleme în cadrul lecției de matematică. Timpul lecției nu se distribuie totdeauna judicios între cele două sarcini matematice fundamentale: însușirea tehnicilor de calcul și formarea capacităților logico – matematice de rezolvare a problemelor. Se efectuează multe exerciții, dar se rezolvă relativ puține probleme în lecțiile de matematică.

Alt neajuns rezidă în suprasolicitarea valențelor formative ale activității frontale în învățarea matematicii, în detrimentul modalităților individualizate, tocmai aceasta din urmă de reală eficiență.

Consider că, o altă cauză a imposibilității rezolvării problemelor este nerespectarea enunțului lingvistic al problemei. În fond, enunțul problemei nu este decât un text științific. Dacă elevul știe să citească el va putea să sesizeze cu ușurință structura unitară a problemei și să o rezolve.

După cum se știe, conținutul problemei funcționează ca un sistem. Pentru a realiza drumul spre rezultat, elevul trebuie să sesizeze integral sistemul.

Ajungând la sfârșitul enunțului, elevul uită uneori, unul sau mai multe din elementele structurii. Preocupat să dețină datele numerice, de multe ori nu sesizează relațiile. Sunt necesare pentru realizarea sintezei enunțului o bună memorie și o bună imaginație creatoare. A sesiza structura sistemului, conținutului, înseamnă a reține, a organiza, a relaționa. Dar nu numai atât, căci după fiecare pas în rezolvare, sistemul se restructurează, ceea ce presupune și o mobilitate corespunzătoare a proceselor psihice implicate.

În procesul de învățământ, învățătorul trebuie să fie preocupat de formarea unor capacități cognitive, ca randament al procesului creativ real de mai târziu. Învățătorul este primul chemat să contribuie în cadrul școlii la formarea și dezvoltarea capacităților de gândire, a creativității la elevi, prin corelarea solicitărilor cu factorii motivaționali, aptitudinali și caracteriali implicați. El trebuie să urmărească înlăturarea principalelor obstacole ce pot să apară în cadrul acestui proces: timiditatea, teama de greșeală, descurajarea, lipsa perseverenței.

ANEXE

CLASA: I

OBIECTUL: Matematică și explorarea mediului

SUBIECTUL: Adunări și scăderi cu numere naturale formate din zeci și unități

TIPUL LECȚIEI: Formare și consolidare de priceperi și deprinderi

SCOPUL:

sistematizarea cunoștințelor și exersarea deprinderilor dobândite de elevi cu privire la algoritmul adunării și scăderii a două numere naturale formate din zeci și unități;

reactualizarea termenilor specifici limbajului matematic;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă.

COMPETENȚE SPECIFICE:

1.4 – Efectuarea de adunări și scăderi, mental și în scris, în concentrul 0-100, recurgând frecvent la numărare;

1.5 – Efectuarea de adunări repetate/scăderi repetate prin numărare și reprezentări obiectuale în concentrul 0-100;

1.6 – Utilizarea unor denumiri și simboluri matematice, în rezolvarea și/sau compunerea de probleme

5.2 – Rezolvarea de probleme simple în care intervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0-100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Pe parcursul lecției, elevii vor fi capabili să:

O1 – să rezolve corect adunări și scăderi cu două numere naturale formate din zeci și unități, având la dispoziție exerciții date; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect I1 de pe fișa de evaluare și cel puțin 5 exerciții din 8 de la calculul oral;

O2 – să opereze corect tabla adunării și a scăderii în rezolvarea exercițiilor cu termen necunoscut, folosind simbolurile matematice specifice; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect 3 exerciții din 4, cuprinse la I2;

O3 – să completeze cu al doilea termen o operație de adunare sau scădere dată; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect 3 exerciții din 4, de pe fișă (punctul b) și exercițiile de la I2;

O4 – să compună o problemă după o ilustrație dată și un exercițiu dat; obiectivul se consideră realizat dacă elevii compun corect problema după ilustația dată și, individual, după exercțiul prezentat;

O5 – să rezolve corect o problemă dată; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect problemele de la I4.

METODE ȘI PROCEDEE:

Conversația euristică, explicația, problematizarea, jocul didactic, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

Planșe, seturi de cartonașe cu cifre de la 0 la 9, fișe de muncă independentă.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric

Pregătirea elevilor pentru lecție.

2. Verificarea și reactualizarea cunoștințelor

O1 Verificarea temei scrise.

În timp ce învățătorul verifică tema, elevii vor juca un joc matematic (pe fișe).

Joc didactic: Găsește răspunsul corect!

Elevii vor indica prin săgeți răspunsul corect al operațiilor date:

20 + 6 = 58 – 8 = 75 – 70 = 6 + 40 =

83 – 80 = 40 + 7 = 93 – 3 =

3 50 26 46 5 90 47

Verificarea fișelor.

Evaluare

I1 – Rezolvă adunările și scăderile date; realizează corespondența cu rezultatul dat.

3. Captarea atenției

Se citește elevilor următoarea ghicitoare:

În grădinița cu flori

Au înflorit douăzeci de bujori

Mai stau gata-mbobocite

Cinci lalele rumenite.

Câte flori eu voi avea

În buchet când ți-l voi da?

– Se dă răspunsul; se precizează operația matematică.

4. Anunțarea titlului lecției și a obiectivelor

Astăzi vom efectua exerciții și probleme, folosind numere formate din zeci și unități.

Titlul va fi scris pe tablă și în caiete.

5. Dirijarea învățării

O1 1) Joc didactic: Calculatorul

Elevii își vor ordona pe bănci cartonașele de la 0 la 9, necesare pentru calculul oral. Fiecare elev va calcula mintal exercițiul dat și va prezenta cartonașul cu rezultatul corect.

Se vor justifica răspunsurile.

65 – 5 =

70 – ? = 2

80 – 30 + 20 – 40 =

b) Mă gândesc la un număr. Îl adun cu 4 și obțin 84. La ce număr m-am gândit?

c) Aflați suma numerelor 20, 30 și 40.

d) Aflați diferența numerelor 56 și 6.

e) Care este numărul mai mare cu 30 decât 60?

f) Care este numărul cu 7 mai mic decât 47?

Evaluare

I1 – Rezolvă exercițiile date.

O2 2) Rezolvarea unor exerciții la tablă și în caiete:

Pune semnul potrivit pentru a obține rezultatul dat:

60  4 = 64 91  1 = 90

4  70 = 74 85  80 = 5

Evaluare

I2 – Pune semnul + sau –, pentru a obține rezultatul dat.

O3 b) Completează termenul necunoscut:

56 – _ _ = 50 6 + _ _ = 56

66 – _ _ = 60 2 + _ _ = 82

93 – _ _ = 3 _ _ + 4 = 74

74 – _ _ = 4 _ _ + 6 = 26

Evaluare

I3 – Găsește termenul necunoscut.

O1, O3 3) Rezolvă, independent, exercițiile de pe fișă.

a) 60 + 3 = b) 60 + _ _ = 65

94 – 4 = _ _ + _ 3 = 83

7 + 20 = 75 – _ _ = 70

92 – 90 = 38 – _ _ = 8

Evaluare

I1 – Rezolvă exercițiile date.

I3 – Găsește termenul necunoscut.

6. Obținerea performanței

O2 – Joc didactic: Cine calculează rapid?

Motivare: Vecinul meu v-a trimis niște baloane colorate. Cu numerele scrise pe fiecare balon și folosind adunarea și scăderea, compuneți diferite exerciții, astfel încât să obțineți rezultatele date:

Evaluare

I2 – Pune semnul + sau –, pentru a obține rezultatul dat.

O4 – Va fi prezentată o planșă ilustrând datele unei probleme simple. Elevii vor avea de compus textul problemei, respectând datele de pe planșă.

După alcătuirea textului, se va repeta problema și se vor scrie datele pe tablă și în caiet.

Evaluare

I4 – Compune o problemă după ilustrația dată.

Primul iepure are 30 morcovi. Al doilea iepure are cu 6 mai mulți decât primul. Câți morcovi are al doilea iepure?

O5 Judecata problemei:

Ce cunoaștem din problemă?

Care este întrebarea problemei?

Ce știm despre al doilea iepure?

Cum aflăm câți morcovi are al doilea iepure?

Se scrie și se rezolvă problema:

30 + 6 = 36 (morcovi)

Evaluare

I5 – Rezolvă corect problema.

7. Asigurarea retenției și a transferului

O4 – Compune (independent) o problemă după exercițiul:

60 + 9 =

Se propun mai multe variante.

Evaluare

I4 – Compun oral problema, după exercițiul dat.

8. Încheierea activității

Aprecieri asupra lecției.

Tema pentru acasă.

CLASA: a III-a

OBIECTUL: Matematică

SUBIECTUL: Perimetrul unei linii frânte închise

TIPUL LECȚIEI: Comunicare-însușire de noi cunoștințe

SCOPUL:

însușirea unor cunoștințe legate de aflarea perimetrului unei figuri geometrice;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă;

dezvoltarea gândirii logice matematice.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1.3 – să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 1000;

1.4 – să efectueze înmulțiri în concentrul 0 – 1000, utilizând tabla înmulțirii sau proprietățile înmulțirii;

1.8 – să precizeze unitățile de măsură standard pentru lungime, precum și legăturile dintre multiplii și submultiplii metrului;

4.1 – să propună modalități diverse de abordare a unei probleme;

4.2 – să colaboreze cu colegii în cadrul activităților practice de rezolvare a problemelor.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Pe parcursul lecției, elevii vor fi capabili:

O1 – să calculeze perimetrul unei figuri geometrice date, pe baza desenului și a formulei cunoscute; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii calculează corect cel puțin 5 perimetre din 6;

O2 – să calculeze laturile unei figuri geometrice, atunci când se cunoaște perimetrul; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii calculează corect cel puțin 2 probleme din 3, de la I2

METODE ȘI PROCEDEE:

Conversația, explicația, demonstrația, exercițiul, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

Fișe de evaluare.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric:

Pregătirea elevilor pentru lecție și a materialului didactic folosit la oră.

2. Reactualizarea cunoștințelor anterioare:

Se prezintă elevilor o planșă pe care sunt desenate figuri geometrice diferite.

Cerințe:

a) Denumiți figurile geometrice prezentate.

b) Indicați numărul de laturi pentru fiecare.

c) Numiți proprietățile specifice pentru figurile de pe planșă.

3. Anunțarea titlului lecției noi

Elevii sunt anunțați că în această oră vor învăța să calculeze perimetrul unei linii frânte închise, deci perimetrul unei figuri geometrice.

Se scrie titlul pe tablă și pe caiete: PERIMETRUL.

4. Dirijarea activității

a) Se dă definiția perimetrului: suma laturilor segmentelor din care este formată o figură geometrică, deci suma laturilor unei figuri geometrice.

b) Se desenează pe tablă un dreptunghi și se dau lungimile laturilor:

A B

AB = CD = 4 cm P = AB + BC + CD + AD

BC = AD = 2 cm P = 12 cm

– Se atrage atenția elevilor să scrie formula de aflare a perimetrului (suma laturilor) și să nu uite să specifice unitatea de măsură folosită.

– Cu ajutorul elevilor, apelând la cunoștințele lor privind proprietatea dreptunghiului de a avea 2 câte 2 laturi egale, se scrie formula de aflare a perimetrului unui dreptunghi:

P = (2 x L) + (2 x l) sau P = 2 x (L + l).

O1 1. La tablă va lucra un elev, ceilalți rezolvând problema în caiete.

Se dă un pătrat cu latura de 4 cm. Aflați perimetrul pătratului.

Se desenează pătratul.

Se notează laturile.

Se scrie formula de aflare a perimetrului P = AB + BC + CD + AD, sau, ținând cont de proprietatea pătratului că are toate laturile egale, se mai poate scrie: P = 4×2.

– Se află perimetrul (două modalități):

P = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm P = 4 cm x 4

P = 16 cm P = 16 cm

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii aplicând formula.

2. Problemă: Dacă perimetrul unui pătrat este de 36 cm, cât este latura pătratului?

Se judecă oral (aplicând formula invers: o latură = P : 4)

– Se rezolvă independent.

– Se verifică.

Evaluare

I2 – Află latura pătratului, cunoscând perimetrul acestuia.

3. Muncă independentă – diferențiat

Se dă elevilor o fișă pe care sunt desenate figuri geometrice.

Numărul 1

AB = …..cm MN = …..cm AB = ….cm MN = 5 cm

BC = …..cm NP = 3 cm AD = ….cm PN = 4 cm

CD = …..cm MR = 2 cm MP = 2 cm

P = ? cm P = ? cm P = ? cm P = ? cm

Cerințe:

a) măsoară lungimea segmentelor care nu sunt date;

b) află perimetrul pentru fiecare figură în parte, aplicând formula cunoscută.

– Se verifică.

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii date, aplicând formula.

O1 4. Problemă

– Se rezolvă la tablă și în caietele elevilor:

Calculați perimetrul unui dreptunghi care are lungimea de 320 m si lățimea:

cu 180 m mai mică decât lungimea;

de 5 ori mai mică decât lungimea.

Judecata problemei

Se face desenul;

Se scrie formula de aflare a P;

Se află, pe rând, lățimea;

Se află perimetrul.

P = (L + l) x 2

l = 320 m – 180 m b) l = 320 m : 5

l = 140 m l = 64 m

P = (320 m + 140 m) x 2 P = (320 m + 64 m) x 2

P = 460 m x 2 P = 384 m x 2

P = 920 m P = 768 m

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii date, aplicând formula.

O2 5. Problemă

Se rezolvă la tablă și în caietele elevilor:

Perimetrul unui dreptunghi este de 840 m. Aflați lungimea dreptunghiului, știind că ea este:

cu 160 m mai mare decât lățimea;

de 2 ori mai mare ca lățimea.

Judecata problemei

Se face desenul;

Se scrie formula de aflare a P;

Se citește relația dată la punctul a): L = cu 160 m > l;

Se face graficul în conformitate cu datele problemei:

l

l

840 m

160 m

L

160 m

L

Se rezolvă graficul: 840 m – (160 m + 160 m) =

840 m – 320 m = 520 m (reprezintă de 4 ori lățimea)

520 m : 4 = 130 m (l)

160 m + 130 m = 290 m (L)

Se citește relația pentru punctul b): L = de 2 ori > l.

Se face graficul pentru această relație:

l

l

840 m

L

L

– Se rezolvă: 840 m reprezintă 6 lățimi

840 m : 6 = 140 m (l)

L = 140 m x 2

L = 280 m

Evaluare

I2 – Află lungimea dreptunghiului, cunoscând perimetrul acestuia.

5. Asigurarea retenției și a transferului

O1 6. Fișă de lucru

Află perimetrul rachetei care este formată din 4 figuri geometrice.

Fișa va fi dată diferențiat: elevii buni vor avea mai întâi de măsurat laturile figurilor geometrice ce compun racheta. Ceilalți le vor avea notate pe desen.

P1 =

P2 =

P3 =

P4 =

P rachetei =

Evaluare

I1 – Află perimetrul, aplicând formula.

6. Încheierea activității

Se fac aprecieri.

Se dă tema pentru acasă.

CLASA: a IV-a

OBIECTUL: Matematică

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda grafică

TIPUL LECȚIEI: consolidare

SCOPUL:

consolidarea deprinderilor de calcul, oral și în scris, cu numere naturale;

consolidarea tehnicilor de rezolvare a problemelor;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1.4 – să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu rest a numerelor naturale;

3.1 – să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

4.1 – să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice;

4.2 – să depășească blocaje în rezolvarea de probleme, să caute prin încercare – eroare, noi căi de rezolvare;

4.3 – să manifeste disponibilitate pentru a învăța de la alții și a-i ajuta pe ceilalți în rezolvarea problemelor.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

O1 – să calculeze oral exercițiile date cu cele patru operații matematice;

O2 – să rezolve probleme diverse, utilizând metoda grafică; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii execută corect desenul grafic pentru probleme;

O3 – să compună probleme după un grafic dat; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii sesizează diferența dintre textele celor două probleme și dacă dau cel puțin 4 variante pentru fiecare desen.

METODE ȘI PROCEDEE:

conversația, explicația, demonstrația, problematizarea, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

fișe de muncă independentă, manual, caiete

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric

Pregătirea elevilor pentru lecție.

2. Reactualizarea cunoștințelor anterioare

Verificarea temei.

3. Anunțarea temei și a obiectivelor operaționale

Elevii sunt anunțați că în această oră vor rezolva diverse probleme prin metoda grafică.

4. Dirijarea învățării

O1 1. Calculul oral

Află un număr cu 17 mai mare decât 18;

Află un număr cu 25 mai mic decât 100;

Află un număr de 5 ori mai mare decât suma numerelor 75 și 25;

Află câtul numerelor 77 și 7;

Dă exemplu de 3 numere consecutive;

Într-un autobuz sunt 32 de călători. La prima stație coboară un sfert din ei și urcă un număr dublu de persoane decât cele coborâte. Câți călători sunt acum în autobuz?

Evaluare

I1 – Calculează, respectând cerințele date.

O2 2. Calculul scris

a) Suma a trei numere consecutive este 639. Care sunt aceste numere?

Se repetă problema.

Se scriu datele problemei, după care elevii precizează ce înseamnă numere consecutive:

a = ?

a + 1 = b

a + 1 + 1 = c

a + b + c = 639

Se realizează desenul:

a

1

b 639

1 1

c

Judecata problemei:

Ce reprezintă numărul 639? (suma celor 3 numere)

Observă desenul. Ce putem face pentru a rămâne trei segmente egale?

639 – (1 + 1 + 1)

639 – 3 = 636

Ce reprezintă numărul 636? (trei segmente egale)

Ce putem afla? (cât are un segment)

Cum putem afla cât are un segment? (636 : 6)

Pe care dintre cele trei numere l-am aflat? (primul)

Rezolvarea problemei:

639 – 3 = 636 (trei segmente)

636 : 3 = 212 (primul număr)

212 + 1 = 213 (al doilea număr)

213 + 1 = 214 sau 212 + 1 + 1 = 214 (al treilea număr)

Se face verificarea problemei:

I + II + III = 639

212 + 213 + 214 = 639

Evaluare

I2 – Rezolvă problema cu ajutorul graficului.

O2 b) Muncă independentă: elevii vor avea de rezolvat din manual (autori: Petruța Găzdaru, Gheorghe Herescu, Eugenia Șincan, E.D.P., 1995) problema 35, pagina 170.

– Verificarea problemei

Evaluare

I2 – Rezolvă problema cu ajutorul graficului.

O2 c) Compunere de probleme (oral), după desenele date.

A I

7 197

II

B I

4 4 4 250

II

Se cer mai multe variante de probleme.

Se rezolvă la tablă cele două probleme.

A 197 – 7 = 190

190 : 2 = 95 (primul număr)

95 + 7 = 102 (al doilea număr)

Verificare: 95 + 102 = 197

B 250 – (4 x 3) = 238

238 : 2 = 119 (primul număr)

119 + 12 = 131 (al doilea număr)

Verificare: 119 + 131 = 250

Evaluare

I3 – Compun probleme după desenul dat.

O2 d) Rezolvarea unei probleme date.

Pe 3 rafturi sunt 598 cărți. Pe al doilea raft sunt 23 cărți mai multe decât pe primul, iar pe al treilea de 3 ori mai multe decât pe primul.

Câte cărți sunt pe fiecare raft?

Judecata problemei:

Se repetă problema

Se scriu datele problemei:

I + II + III = 598 cărți

II cu 23 > I

III de 3 ori > I

Câte cărți sunt pe fiecare raft?

Se realizează desenul, conform datelor problemei:

I

II 23 598

III

Interpretarea desenului și a datelor problemei:

Ce reprezintă numărul 589? Dar numărul 23?

Ce am putea face pentru a obține numai segmente egale? (598 – 23 = 575)

Câte segmente egale sunt? (5)

Ce putem afla și cum? (cât are un segment prin operația: 575 : 5 = 115)

Pune pe desen numărul obținut (115)

I

II 598

III

Ce reprezintă în problemă numărul 115? (numărul cărților aflate pe primul raft)

Cum aflăm numărul cărților de pe raftul al doilea? Dar al treilea?

115 + 23 = 138 (numărul cărților de pe raftul al doilea)

115 x 3 = 345 (numărul cărților de pe al treilea raft)

Verificarea problemei: 115 + 138 + 345 = 598

Evaluare

I2 – Rezolvă problema pe baza graficului.

O2 e) Muncă independentă.

FIȘA DE EVALUARE (diferențiat)

GRUPA A

(problemă cu grad mai mare de dificultate)

În 3 saci sunt 483 kg de zahăr. Al doilea sac are de 3 ori mai multe kg decât primul și cu 63 kg mai puține decât al treilea sac.

Câte kg sunt în fiecare sac?

GRUPA B

În 2 saci sunt 483 kg. Unul are cu 83 kg mai mult decât celălalt.

Câte kg are fiecare sac?

Fișele se vor strânge și corecta de către învățător.

5. Încheierea activității

– Se fac aprecieri asupra lecției.

– Se notează elevii.

– Tema pentru acasă.

Test de evaluare predictivă

Clasa I

Matematică și explorarea mediului

Observă desenul de mai jos și rezolvă următoarele cerințe:

Colorează cercurile mari cu verde, triunghiul mare cu portocaliu, pătratele mici cu galben, iar dreptunghiurile cu maro; Găsește cubul și taie-l cu o linie oblică; Desenează lângă casă un obiect care are formă de sferă;

Colorează florile din dreapta; Încercuiește păsările care se află deasupra casei; Desenează câte o floare în fața fiecărui copac;

Completează peisajul astfel încât să fie ilustrat anotimpul primăvara; Ilustrează fenomenul naturii specific atât primăverii, cât și toamnei; Desenează sub imagine cel puțin 5 fructe și legume specifice toamnei.

Colorează casetele corespunzătoare părților componente ale plantei, folosind codul: rădăcina – maro, frunzele – verde, tulpina – galben, floarea – roșu;

Ordonează numerele scrise pe petale în ordine crescătoare și descrescătoare;

_________________________________________________

_________________________________________________

Dintre perechile de flori, coloreaz-o pe cea care are cele mai multe frunze;

Rezolvă operațiile scrise pe frunzele plantei;

Dacă se ofilesc 2 frunze, câte mai rămân? Scrie răspunsul sub forma unei operații de scădere.

_________________________________________________

Încercuiește cu roșu animalele domestice și cu albastru, animalele sălbatice.

Câte animale sunt în total? Scrie răspunsul sub forma unei operații de adunare.

__________________________________________________________

Clasa: I

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică și explorarea mediului

Competențe specifice:

Cs1 – compararea numerelor în concentrul 0-10;

Cs2 – ordonarea numerelor în concentrul 0-10;

Cs3 – efectuarea de adunări și scăderi în concentrul 0-10;

Cs4 – orientarea și mișcarea în spațiu în raport cu repere/direcții precizate;

Cs5 – identificarea unor forme geometrice plane (pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc) și a unor corpuri geometrice (cub și sferă);

Cs6 – rezolvarea de probleme în care intervin operații de adunare și scădere cu 1-2 unități în concentrul 0-10;

Cs7 – descrierea unor fenomene/procese/structuri repetitive simple din mediul apropiat, în scopul identificării unor regularități;

Itemi de evaluare:

Cs1: I 2c) Compararea a două perechi de numere;

Cs2: I 2b) Ordonarea numerelor date, crescător și descrescător;

Cs3: I 2d) Efectuarea operațiilor de adunare și scădere;

Cs6: I 2e) Rezolvarea unei probleme ce presupune operația de scădere (în concentrul 0-10)

Cs6: I 3 Rezolvarea unei probleme ce presupune operația de adunare;

Cs4: I 1b) Identificarea obiectelor din imagine/desenarea unor obiecte în funcție de poziția pe care o au față de un reper, folosind sintagme de tipul: deasupra, sub, la stânga, lângă etc;

Cs5: I 1a) Recunoașterea unor figuri și corpuri geometrice (pătrat, dreptunghi, cerc, triunghi, cub, sferă);

Cs7: I 1c) Completarea imaginii astfel încât să ilustreze anotimpul primăvara; ilustrează fenomenul naturii specific primăverii și toamnei; deseneaza 5 fructe și legume de toamnă;

Cs7: I 3 Identificarea animalelor sălbatice și domestice;

Cs7: I 2a) identifică părțile componente ale plantei (rădăcină, tulpină, , flori)

Descriptori de performanță

Test de evaluare sumativă

Clasa I

Matematică și explorarea mediului

1. Scrie numerele cuprinse între 29 și 39:

____________________________________________________________

2. Scrie răsturnatele numerelor: 38, 51 și 99: _____, _____, _____

3. Continuă șirul cu încă trei numere: 20, 30, 40, ____, ____, ____.

4. Calculează și verifică prin operație inversă:

13 + 61 = V: ________________

56 – 29 = V: ________________

47 + 38 = V: ________________

5. Desenează limbile fiecărui ceas, astfel încât să arate ora indicată:

7. Un croitor a tăiat 15 cm de stofă și cu 10 cm mai mult mătase. Câți cm de stofă și mătase a tăiat în total?

8. Alege din vitrina cu jucării ce poți cumpăra cu 24 lei. Încercuiește varianta corectă:

mașina și ursulețul

ursulețul și păpușa

trenul și ursulețul

9. Notează cu A (adevărat) sau F (fals), afirmațiile următoare:

Test de evaluare sumativă

Clasa a II-a

Matematică

1. Calculează:

451 – 268 + 301 – 17 =

701 – 246 + 93 – 101 =

(900 – 282) + (325 – 66) =

2. Află numărul necunoscut din egalitățile:

a – 278 + 189 = 843 278 + a – 489 = 248

a + 825 – 435 = 477 812 – 486 + a = 522

3. Suma a trei numere este 967. Dacă se cunoaște că două dintre ele sunt 351 și 263, care este al treilea? (Calculează în două moduri.)

4. Din egalitățile următoare află valoarea numerică a literelor a, b, c, d, e, știind că:

999 – 419 = a

a + b = 847

b – 167 = c

211 + c = d

d + e = 340

5. La un centru de informatică sunt 65 de informaticieni. Dintre aceștia 30 au vârsta sub 35 de ani, iar 35 au vârsta peste 30 de ani.

a) Câți au vârsta sub 30 de ani?

b) Câți au vârsta peste 35 de ani?

Test de evaluare predictivă

Clasa a III-a

Matematică

1. Calculați:

25 + 37 – 16 = 17 + 29 – 26 =

78 – 35 + 22 = 52 – 17 + 18 =

73 – 27 + 37 = 81 + 38 + 28 =

75 – 36 + 48 = 84 – 36 + 27 =

2. Află valoarea literei x din fiecare dintre relațiile:

x – 48 = 38 + 29

45 + 27 = x + 39

46 – x = 91 – 73

62 – 27 = x – 45

3. Calculează, apoi scrie semnul de relație corespunzător:

351 + 53  600 – 125

930 – 162  95 + 309

4. La diferența dintre numărul 952 și răsturnatul acestuia, adună cel mai mic număr de trei cifre diferite.

5. Află:

6. La un magazin s-au adus într-o zi 256 kg de fructe și cu 45 kg mai multe legume.

Câte kg de fructe și legume s-au adus, în total, la acel magazin?

7. Distanța între două localități este străbătută de bunicul în trei etape. În prima etapă parcurge 113 km, în a doua cu 103 km mai mult decât în prima, iar în a treia cât în primele două etape.

Între cele două localități sunt:

a) 685 km; b) 568 km; c) 856 km; d) 658 km.

Test de evaluare sumativă

Clasa a IV-a

Matematică

1. Calculați:

242 345 + 356 632 = 815 421 + 173 569 =

184 600 + 602 395 = 729 856 – 231 625 =

2. Calculați termenii necunoscuți:

a + 271 093 = 986 292

b – 124 567 = 368 795

904 506 – c = 241 273

3. Cu cât este mai mare suma numerelor 27 475 și 9 386 decât diferența lor?

4. În trei hambare sunt 438 474 kg de porumb. În primul sunt 135 376 kg, în al doilea cu 48 239 kg mai puțin decât în primul hambar.

Câte kg de porumb sunt în al treilea hambar?

5. Alcătuiți o problemă a cărei rezolvare să se scrie: 27 386 + (27 386 – 9 258) = ?

BIBLIOGRAFIE

Banciu Mihai Sebastian – Valențe formative ale activităților de rezolvare și creare a problemelor în direcția cultivării creativității la elevi, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, 2010

Bocoș Mușata – Metodologia cercetării pedagogice, Suport de curs pentru anul II, specializările "Pedagogie" și "Pedagogia învățământului primar și preșcolar", Universitatea Babeș-Bolyai, 2007

Bocoș, Mușat – Teoria și practica cercetării pedagogice, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca 2007

Cherata Victoria și colectiv – Culegere. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică, clasele I – VI, Editura Sibila, Craiova 1993

Dudău Mitică și colectiv – Aproape totul despre metoda figurativă. Matematică pentru ciclul primar, Editura Carminis, Pitești 2006

Dumitriu Gheorghe – Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București 2004

Herescu Gheorghe și colectiv – Matematica pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică R.A. – București 1996

Joița Elena și colectiv – Pedagogie – educație și curriculum, Editura Universitaria, Craiova 2003

Lupu Costică – Didactica matematicii, Editura Caba, București 2006

Mărcuț Ioana Gabriela – Metodica predării matematice în învățământul primar, Editura Alma Mater, Sibiu 2008

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasele I – a II-a, București 2003

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasa a III-a, București 2004

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasa a IV-a, București 2005

Ministerul Educației Naționale, Consiliul Național pentru Curriculum – Programa școlară pentru Matematică și explorarea mediului, clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a, București 2013

Mogonea Florentin Remus – Pedagogie pentru viitorii profesori, Editura Universitaria, Craiova 2010

Muntean Adelia Maria – Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere de probleme în direcția cultivării creativității elevilor, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, 2010

Neacșu Ion (coord.) – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București 1988

Neagu, M. și colectiv – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași 2007

Nică Maria Camelia – Metode, tehnici și procedee didactice, Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2014

Polya George – Cum rezolvăm o problemă, Editura Științifică, București 1965

Radovici Paul și colectiv – Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar, Editura Universității din

Săvulescu Dumitru (coord.) – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Gheorghe Alexandru, Craiova 2006

Ștefănescu Vasile și colectiv – Matematica în ciclul primar (contribuții metodice), Editura Didactică și Pedagogică, București 1980

Zörgő Benjamin (coord.) – Studii de psihologie școlară, Editura Didactică și Pedagogică, București 1979

WEBOGRAFIE

http://anamariamarinescu.files.wordpress.com

https://www.moodle.ro

http://probleme-rezolvate.blogspot.com

http://pshihopedagogie.blogspot.ro

http://www.rasfoiesc.com

http://www.referatele.com

http://www.scritub.com

http://stepbystepcraiova.wikispaces.com

http://www.tocilar.ro

http://www.ubv.ro

BIBLIOGRAFIE

Banciu Mihai Sebastian – Valențe formative ale activităților de rezolvare și creare a problemelor în direcția cultivării creativității la elevi, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, 2010

Bocoș Mușata – Metodologia cercetării pedagogice, Suport de curs pentru anul II, specializările "Pedagogie" și "Pedagogia învățământului primar și preșcolar", Universitatea Babeș-Bolyai, 2007

Bocoș, Mușat – Teoria și practica cercetării pedagogice, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca 2007

Cherata Victoria și colectiv – Culegere. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică, clasele I – VI, Editura Sibila, Craiova 1993

Dudău Mitică și colectiv – Aproape totul despre metoda figurativă. Matematică pentru ciclul primar, Editura Carminis, Pitești 2006

Dumitriu Gheorghe – Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor, Editura Didactică și Pedagogică, București 2004

Herescu Gheorghe și colectiv – Matematica pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică R.A. – București 1996

Joița Elena și colectiv – Pedagogie – educație și curriculum, Editura Universitaria, Craiova 2003

Lupu Costică – Didactica matematicii, Editura Caba, București 2006

Mărcuț Ioana Gabriela – Metodica predării matematice în învățământul primar, Editura Alma Mater, Sibiu 2008

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasele I – a II-a, București 2003

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasa a III-a, București 2004

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum – Matematică – programa școlară, clasa a IV-a, București 2005

Ministerul Educației Naționale, Consiliul Național pentru Curriculum – Programa școlară pentru Matematică și explorarea mediului, clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a, București 2013

Mogonea Florentin Remus – Pedagogie pentru viitorii profesori, Editura Universitaria, Craiova 2010

Muntean Adelia Maria – Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere de probleme în direcția cultivării creativității elevilor, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, 2010

Neacșu Ion (coord.) – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București 1988

Neagu, M. și colectiv – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, Iași 2007

Nică Maria Camelia – Metode, tehnici și procedee didactice, Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2014

Polya George – Cum rezolvăm o problemă, Editura Științifică, București 1965

Radovici Paul și colectiv – Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar, Editura Universității din

Săvulescu Dumitru (coord.) – Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Gheorghe Alexandru, Craiova 2006

Ștefănescu Vasile și colectiv – Matematica în ciclul primar (contribuții metodice), Editura Didactică și Pedagogică, București 1980

Zörgő Benjamin (coord.) – Studii de psihologie școlară, Editura Didactică și Pedagogică, București 1979

WEBOGRAFIE

http://anamariamarinescu.files.wordpress.com

https://www.moodle.ro

http://probleme-rezolvate.blogspot.com

http://pshihopedagogie.blogspot.ro

http://www.rasfoiesc.com

http://www.referatele.com

http://www.scritub.com

http://stepbystepcraiova.wikispaces.com

http://www.tocilar.ro

http://www.ubv.ro

ANEXE

CLASA: I

OBIECTUL: Matematică și explorarea mediului

SUBIECTUL: Adunări și scăderi cu numere naturale formate din zeci și unități

TIPUL LECȚIEI: Formare și consolidare de priceperi și deprinderi

SCOPUL:

sistematizarea cunoștințelor și exersarea deprinderilor dobândite de elevi cu privire la algoritmul adunării și scăderii a două numere naturale formate din zeci și unități;

reactualizarea termenilor specifici limbajului matematic;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă.

COMPETENȚE SPECIFICE:

1.4 – Efectuarea de adunări și scăderi, mental și în scris, în concentrul 0-100, recurgând frecvent la numărare;

1.5 – Efectuarea de adunări repetate/scăderi repetate prin numărare și reprezentări obiectuale în concentrul 0-100;

1.6 – Utilizarea unor denumiri și simboluri matematice, în rezolvarea și/sau compunerea de probleme

5.2 – Rezolvarea de probleme simple în care intervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0-100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Pe parcursul lecției, elevii vor fi capabili să:

O1 – să rezolve corect adunări și scăderi cu două numere naturale formate din zeci și unități, având la dispoziție exerciții date; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect I1 de pe fișa de evaluare și cel puțin 5 exerciții din 8 de la calculul oral;

O2 – să opereze corect tabla adunării și a scăderii în rezolvarea exercițiilor cu termen necunoscut, folosind simbolurile matematice specifice; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect 3 exerciții din 4, cuprinse la I2;

O3 – să completeze cu al doilea termen o operație de adunare sau scădere dată; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect 3 exerciții din 4, de pe fișă (punctul b) și exercițiile de la I2;

O4 – să compună o problemă după o ilustrație dată și un exercițiu dat; obiectivul se consideră realizat dacă elevii compun corect problema după ilustația dată și, individual, după exercțiul prezentat;

O5 – să rezolve corect o problemă dată; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii rezolvă corect problemele de la I4.

METODE ȘI PROCEDEE:

Conversația euristică, explicația, problematizarea, jocul didactic, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

Planșe, seturi de cartonașe cu cifre de la 0 la 9, fișe de muncă independentă.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric

Pregătirea elevilor pentru lecție.

2. Verificarea și reactualizarea cunoștințelor

O1 Verificarea temei scrise.

În timp ce învățătorul verifică tema, elevii vor juca un joc matematic (pe fișe).

Joc didactic: Găsește răspunsul corect!

Elevii vor indica prin săgeți răspunsul corect al operațiilor date:

20 + 6 = 58 – 8 = 75 – 70 = 6 + 40 =

83 – 80 = 40 + 7 = 93 – 3 =

3 50 26 46 5 90 47

Verificarea fișelor.

Evaluare

I1 – Rezolvă adunările și scăderile date; realizează corespondența cu rezultatul dat.

3. Captarea atenției

Se citește elevilor următoarea ghicitoare:

În grădinița cu flori

Au înflorit douăzeci de bujori

Mai stau gata-mbobocite

Cinci lalele rumenite.

Câte flori eu voi avea

În buchet când ți-l voi da?

– Se dă răspunsul; se precizează operația matematică.

4. Anunțarea titlului lecției și a obiectivelor

Astăzi vom efectua exerciții și probleme, folosind numere formate din zeci și unități.

Titlul va fi scris pe tablă și în caiete.

5. Dirijarea învățării

O1 1) Joc didactic: Calculatorul

Elevii își vor ordona pe bănci cartonașele de la 0 la 9, necesare pentru calculul oral. Fiecare elev va calcula mintal exercițiul dat și va prezenta cartonașul cu rezultatul corect.

Se vor justifica răspunsurile.

65 – 5 =

70 – ? = 2

80 – 30 + 20 – 40 =

b) Mă gândesc la un număr. Îl adun cu 4 și obțin 84. La ce număr m-am gândit?

c) Aflați suma numerelor 20, 30 și 40.

d) Aflați diferența numerelor 56 și 6.

e) Care este numărul mai mare cu 30 decât 60?

f) Care este numărul cu 7 mai mic decât 47?

Evaluare

I1 – Rezolvă exercițiile date.

O2 2) Rezolvarea unor exerciții la tablă și în caiete:

Pune semnul potrivit pentru a obține rezultatul dat:

60  4 = 64 91  1 = 90

4  70 = 74 85  80 = 5

Evaluare

I2 – Pune semnul + sau –, pentru a obține rezultatul dat.

O3 b) Completează termenul necunoscut:

56 – _ _ = 50 6 + _ _ = 56

66 – _ _ = 60 2 + _ _ = 82

93 – _ _ = 3 _ _ + 4 = 74

74 – _ _ = 4 _ _ + 6 = 26

Evaluare

I3 – Găsește termenul necunoscut.

O1, O3 3) Rezolvă, independent, exercițiile de pe fișă.

a) 60 + 3 = b) 60 + _ _ = 65

94 – 4 = _ _ + _ 3 = 83

7 + 20 = 75 – _ _ = 70

92 – 90 = 38 – _ _ = 8

Evaluare

I1 – Rezolvă exercițiile date.

I3 – Găsește termenul necunoscut.

6. Obținerea performanței

O2 – Joc didactic: Cine calculează rapid?

Motivare: Vecinul meu v-a trimis niște baloane colorate. Cu numerele scrise pe fiecare balon și folosind adunarea și scăderea, compuneți diferite exerciții, astfel încât să obțineți rezultatele date:

Evaluare

I2 – Pune semnul + sau –, pentru a obține rezultatul dat.

O4 – Va fi prezentată o planșă ilustrând datele unei probleme simple. Elevii vor avea de compus textul problemei, respectând datele de pe planșă.

După alcătuirea textului, se va repeta problema și se vor scrie datele pe tablă și în caiet.

Evaluare

I4 – Compune o problemă după ilustrația dată.

Primul iepure are 30 morcovi. Al doilea iepure are cu 6 mai mulți decât primul. Câți morcovi are al doilea iepure?

O5 Judecata problemei:

Ce cunoaștem din problemă?

Care este întrebarea problemei?

Ce știm despre al doilea iepure?

Cum aflăm câți morcovi are al doilea iepure?

Se scrie și se rezolvă problema:

30 + 6 = 36 (morcovi)

Evaluare

I5 – Rezolvă corect problema.

7. Asigurarea retenției și a transferului

O4 – Compune (independent) o problemă după exercițiul:

60 + 9 =

Se propun mai multe variante.

Evaluare

I4 – Compun oral problema, după exercițiul dat.

8. Încheierea activității

Aprecieri asupra lecției.

Tema pentru acasă.

CLASA: a III-a

OBIECTUL: Matematică

SUBIECTUL: Perimetrul unei linii frânte închise

TIPUL LECȚIEI: Comunicare-însușire de noi cunoștințe

SCOPUL:

însușirea unor cunoștințe legate de aflarea perimetrului unei figuri geometrice;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă;

dezvoltarea gândirii logice matematice.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1.3 – să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 1000;

1.4 – să efectueze înmulțiri în concentrul 0 – 1000, utilizând tabla înmulțirii sau proprietățile înmulțirii;

1.8 – să precizeze unitățile de măsură standard pentru lungime, precum și legăturile dintre multiplii și submultiplii metrului;

4.1 – să propună modalități diverse de abordare a unei probleme;

4.2 – să colaboreze cu colegii în cadrul activităților practice de rezolvare a problemelor.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

Pe parcursul lecției, elevii vor fi capabili:

O1 – să calculeze perimetrul unei figuri geometrice date, pe baza desenului și a formulei cunoscute; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii calculează corect cel puțin 5 perimetre din 6;

O2 – să calculeze laturile unei figuri geometrice, atunci când se cunoaște perimetrul; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii calculează corect cel puțin 2 probleme din 3, de la I2

METODE ȘI PROCEDEE:

Conversația, explicația, demonstrația, exercițiul, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

Fișe de evaluare.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric:

Pregătirea elevilor pentru lecție și a materialului didactic folosit la oră.

2. Reactualizarea cunoștințelor anterioare:

Se prezintă elevilor o planșă pe care sunt desenate figuri geometrice diferite.

Cerințe:

a) Denumiți figurile geometrice prezentate.

b) Indicați numărul de laturi pentru fiecare.

c) Numiți proprietățile specifice pentru figurile de pe planșă.

3. Anunțarea titlului lecției noi

Elevii sunt anunțați că în această oră vor învăța să calculeze perimetrul unei linii frânte închise, deci perimetrul unei figuri geometrice.

Se scrie titlul pe tablă și pe caiete: PERIMETRUL.

4. Dirijarea activității

a) Se dă definiția perimetrului: suma laturilor segmentelor din care este formată o figură geometrică, deci suma laturilor unei figuri geometrice.

b) Se desenează pe tablă un dreptunghi și se dau lungimile laturilor:

A B

AB = CD = 4 cm P = AB + BC + CD + AD

BC = AD = 2 cm P = 12 cm

– Se atrage atenția elevilor să scrie formula de aflare a perimetrului (suma laturilor) și să nu uite să specifice unitatea de măsură folosită.

– Cu ajutorul elevilor, apelând la cunoștințele lor privind proprietatea dreptunghiului de a avea 2 câte 2 laturi egale, se scrie formula de aflare a perimetrului unui dreptunghi:

P = (2 x L) + (2 x l) sau P = 2 x (L + l).

O1 1. La tablă va lucra un elev, ceilalți rezolvând problema în caiete.

Se dă un pătrat cu latura de 4 cm. Aflați perimetrul pătratului.

Se desenează pătratul.

Se notează laturile.

Se scrie formula de aflare a perimetrului P = AB + BC + CD + AD, sau, ținând cont de proprietatea pătratului că are toate laturile egale, se mai poate scrie: P = 4×2.

– Se află perimetrul (două modalități):

P = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm P = 4 cm x 4

P = 16 cm P = 16 cm

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii aplicând formula.

2. Problemă: Dacă perimetrul unui pătrat este de 36 cm, cât este latura pătratului?

Se judecă oral (aplicând formula invers: o latură = P : 4)

– Se rezolvă independent.

– Se verifică.

Evaluare

I2 – Află latura pătratului, cunoscând perimetrul acestuia.

3. Muncă independentă – diferențiat

Se dă elevilor o fișă pe care sunt desenate figuri geometrice.

Numărul 1

AB = …..cm MN = …..cm AB = ….cm MN = 5 cm

BC = …..cm NP = 3 cm AD = ….cm PN = 4 cm

CD = …..cm MR = 2 cm MP = 2 cm

P = ? cm P = ? cm P = ? cm P = ? cm

Cerințe:

a) măsoară lungimea segmentelor care nu sunt date;

b) află perimetrul pentru fiecare figură în parte, aplicând formula cunoscută.

– Se verifică.

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii date, aplicând formula.

O1 4. Problemă

– Se rezolvă la tablă și în caietele elevilor:

Calculați perimetrul unui dreptunghi care are lungimea de 320 m si lățimea:

cu 180 m mai mică decât lungimea;

de 5 ori mai mică decât lungimea.

Judecata problemei

Se face desenul;

Se scrie formula de aflare a P;

Se află, pe rând, lățimea;

Se află perimetrul.

P = (L + l) x 2

l = 320 m – 180 m b) l = 320 m : 5

l = 140 m l = 64 m

P = (320 m + 140 m) x 2 P = (320 m + 64 m) x 2

P = 460 m x 2 P = 384 m x 2

P = 920 m P = 768 m

Evaluare

I1 – Află perimetrul figurii date, aplicând formula.

O2 5. Problemă

Se rezolvă la tablă și în caietele elevilor:

Perimetrul unui dreptunghi este de 840 m. Aflați lungimea dreptunghiului, știind că ea este:

cu 160 m mai mare decât lățimea;

de 2 ori mai mare ca lățimea.

Judecata problemei

Se face desenul;

Se scrie formula de aflare a P;

Se citește relația dată la punctul a): L = cu 160 m > l;

Se face graficul în conformitate cu datele problemei:

l

l

840 m

160 m

L

160 m

L

Se rezolvă graficul: 840 m – (160 m + 160 m) =

840 m – 320 m = 520 m (reprezintă de 4 ori lățimea)

520 m : 4 = 130 m (l)

160 m + 130 m = 290 m (L)

Se citește relația pentru punctul b): L = de 2 ori > l.

Se face graficul pentru această relație:

l

l

840 m

L

L

– Se rezolvă: 840 m reprezintă 6 lățimi

840 m : 6 = 140 m (l)

L = 140 m x 2

L = 280 m

Evaluare

I2 – Află lungimea dreptunghiului, cunoscând perimetrul acestuia.

5. Asigurarea retenției și a transferului

O1 6. Fișă de lucru

Află perimetrul rachetei care este formată din 4 figuri geometrice.

Fișa va fi dată diferențiat: elevii buni vor avea mai întâi de măsurat laturile figurilor geometrice ce compun racheta. Ceilalți le vor avea notate pe desen.

P1 =

P2 =

P3 =

P4 =

P rachetei =

Evaluare

I1 – Află perimetrul, aplicând formula.

6. Încheierea activității

Se fac aprecieri.

Se dă tema pentru acasă.

CLASA: a IV-a

OBIECTUL: Matematică

SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă prin metoda grafică

TIPUL LECȚIEI: consolidare

SCOPUL:

consolidarea deprinderilor de calcul, oral și în scris, cu numere naturale;

consolidarea tehnicilor de rezolvare a problemelor;

consolidarea deprinderilor de muncă independentă.

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

1.4 – să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu rest a numerelor naturale;

3.1 – să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

4.1 – să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice;

4.2 – să depășească blocaje în rezolvarea de probleme, să caute prin încercare – eroare, noi căi de rezolvare;

4.3 – să manifeste disponibilitate pentru a învăța de la alții și a-i ajuta pe ceilalți în rezolvarea problemelor.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

O1 – să calculeze oral exercițiile date cu cele patru operații matematice;

O2 – să rezolve probleme diverse, utilizând metoda grafică; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii execută corect desenul grafic pentru probleme;

O3 – să compună probleme după un grafic dat; obiectivul se consideră realizat dacă toți elevii sesizează diferența dintre textele celor două probleme și dacă dau cel puțin 4 variante pentru fiecare desen.

METODE ȘI PROCEDEE:

conversația, explicația, demonstrația, problematizarea, munca independentă.

MATERIALE DIDACTICE:

fișe de muncă independentă, manual, caiete

DESFĂȘURAREA LECȚIEI:

1. Moment organizatoric

Pregătirea elevilor pentru lecție.

2. Reactualizarea cunoștințelor anterioare

Verificarea temei.

3. Anunțarea temei și a obiectivelor operaționale

Elevii sunt anunțați că în această oră vor rezolva diverse probleme prin metoda grafică.

4. Dirijarea învățării

O1 1. Calculul oral

Află un număr cu 17 mai mare decât 18;

Află un număr cu 25 mai mic decât 100;

Află un număr de 5 ori mai mare decât suma numerelor 75 și 25;

Află câtul numerelor 77 și 7;

Dă exemplu de 3 numere consecutive;

Într-un autobuz sunt 32 de călători. La prima stație coboară un sfert din ei și urcă un număr dublu de persoane decât cele coborâte. Câți călători sunt acum în autobuz?

Evaluare

I1 – Calculează, respectând cerințele date.

O2 2. Calculul scris

a) Suma a trei numere consecutive este 639. Care sunt aceste numere?

Se repetă problema.

Se scriu datele problemei, după care elevii precizează ce înseamnă numere consecutive:

a = ?

a + 1 = b

a + 1 + 1 = c

a + b + c = 639

Se realizează desenul:

a

1

b 639

1 1

c

Judecata problemei:

Ce reprezintă numărul 639? (suma celor 3 numere)

Observă desenul. Ce putem face pentru a rămâne trei segmente egale?

639 – (1 + 1 + 1)

639 – 3 = 636

Ce reprezintă numărul 636? (trei segmente egale)

Ce putem afla? (cât are un segment)

Cum putem afla cât are un segment? (636 : 6)

Pe care dintre cele trei numere l-am aflat? (primul)

Rezolvarea problemei:

639 – 3 = 636 (trei segmente)

636 : 3 = 212 (primul număr)

212 + 1 = 213 (al doilea număr)

213 + 1 = 214 sau 212 + 1 + 1 = 214 (al treilea număr)

Se face verificarea problemei:

I + II + III = 639

212 + 213 + 214 = 639

Evaluare

I2 – Rezolvă problema cu ajutorul graficului.

O2 b) Muncă independentă: elevii vor avea de rezolvat din manual (autori: Petruța Găzdaru, Gheorghe Herescu, Eugenia Șincan, E.D.P., 1995) problema 35, pagina 170.

– Verificarea problemei

Evaluare

I2 – Rezolvă problema cu ajutorul graficului.

O2 c) Compunere de probleme (oral), după desenele date.

A I

7 197

II

B I

4 4 4 250

II

Se cer mai multe variante de probleme.

Se rezolvă la tablă cele două probleme.

A 197 – 7 = 190

190 : 2 = 95 (primul număr)

95 + 7 = 102 (al doilea număr)

Verificare: 95 + 102 = 197

B 250 – (4 x 3) = 238

238 : 2 = 119 (primul număr)

119 + 12 = 131 (al doilea număr)

Verificare: 119 + 131 = 250

Evaluare

I3 – Compun probleme după desenul dat.

O2 d) Rezolvarea unei probleme date.

Pe 3 rafturi sunt 598 cărți. Pe al doilea raft sunt 23 cărți mai multe decât pe primul, iar pe al treilea de 3 ori mai multe decât pe primul.

Câte cărți sunt pe fiecare raft?

Judecata problemei:

Se repetă problema

Se scriu datele problemei:

I + II + III = 598 cărți

II cu 23 > I

III de 3 ori > I

Câte cărți sunt pe fiecare raft?

Se realizează desenul, conform datelor problemei:

I

II 23 598

III

Interpretarea desenului și a datelor problemei:

Ce reprezintă numărul 589? Dar numărul 23?

Ce am putea face pentru a obține numai segmente egale? (598 – 23 = 575)

Câte segmente egale sunt? (5)

Ce putem afla și cum? (cât are un segment prin operația: 575 : 5 = 115)

Pune pe desen numărul obținut (115)

I

II 598

III

Ce reprezintă în problemă numărul 115? (numărul cărților aflate pe primul raft)

Cum aflăm numărul cărților de pe raftul al doilea? Dar al treilea?

115 + 23 = 138 (numărul cărților de pe raftul al doilea)

115 x 3 = 345 (numărul cărților de pe al treilea raft)

Verificarea problemei: 115 + 138 + 345 = 598

Evaluare

I2 – Rezolvă problema pe baza graficului.

O2 e) Muncă independentă.

FIȘA DE EVALUARE (diferențiat)

GRUPA A

(problemă cu grad mai mare de dificultate)

În 3 saci sunt 483 kg de zahăr. Al doilea sac are de 3 ori mai multe kg decât primul și cu 63 kg mai puține decât al treilea sac.

Câte kg sunt în fiecare sac?

GRUPA B

În 2 saci sunt 483 kg. Unul are cu 83 kg mai mult decât celălalt.

Câte kg are fiecare sac?

Fișele se vor strânge și corecta de către învățător.

5. Încheierea activității

– Se fac aprecieri asupra lecției.

– Se notează elevii.

– Tema pentru acasă.

Test de evaluare predictivă

Clasa I

Matematică și explorarea mediului

Observă desenul de mai jos și rezolvă următoarele cerințe:

Colorează cercurile mari cu verde, triunghiul mare cu portocaliu, pătratele mici cu galben, iar dreptunghiurile cu maro; Găsește cubul și taie-l cu o linie oblică; Desenează lângă casă un obiect care are formă de sferă;

Colorează florile din dreapta; Încercuiește păsările care se află deasupra casei; Desenează câte o floare în fața fiecărui copac;

Completează peisajul astfel încât să fie ilustrat anotimpul primăvara; Ilustrează fenomenul naturii specific atât primăverii, cât și toamnei; Desenează sub imagine cel puțin 5 fructe și legume specifice toamnei.

Colorează casetele corespunzătoare părților componente ale plantei, folosind codul: rădăcina – maro, frunzele – verde, tulpina – galben, floarea – roșu;

Ordonează numerele scrise pe petale în ordine crescătoare și descrescătoare;

_________________________________________________

_________________________________________________

Dintre perechile de flori, coloreaz-o pe cea care are cele mai multe frunze;

Rezolvă operațiile scrise pe frunzele plantei;

Dacă se ofilesc 2 frunze, câte mai rămân? Scrie răspunsul sub forma unei operații de scădere.

_________________________________________________

Încercuiește cu roșu animalele domestice și cu albastru, animalele sălbatice.

Câte animale sunt în total? Scrie răspunsul sub forma unei operații de adunare.

__________________________________________________________

Clasa: I

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică și explorarea mediului

Competențe specifice:

Cs1 – compararea numerelor în concentrul 0-10;

Cs2 – ordonarea numerelor în concentrul 0-10;

Cs3 – efectuarea de adunări și scăderi în concentrul 0-10;

Cs4 – orientarea și mișcarea în spațiu în raport cu repere/direcții precizate;

Cs5 – identificarea unor forme geometrice plane (pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc) și a unor corpuri geometrice (cub și sferă);

Cs6 – rezolvarea de probleme în care intervin operații de adunare și scădere cu 1-2 unități în concentrul 0-10;

Cs7 – descrierea unor fenomene/procese/structuri repetitive simple din mediul apropiat, în scopul identificării unor regularități;

Itemi de evaluare:

Cs1: I 2c) Compararea a două perechi de numere;

Cs2: I 2b) Ordonarea numerelor date, crescător și descrescător;

Cs3: I 2d) Efectuarea operațiilor de adunare și scădere;

Cs6: I 2e) Rezolvarea unei probleme ce presupune operația de scădere (în concentrul 0-10)

Cs6: I 3 Rezolvarea unei probleme ce presupune operația de adunare;

Cs4: I 1b) Identificarea obiectelor din imagine/desenarea unor obiecte în funcție de poziția pe care o au față de un reper, folosind sintagme de tipul: deasupra, sub, la stânga, lângă etc;

Cs5: I 1a) Recunoașterea unor figuri și corpuri geometrice (pătrat, dreptunghi, cerc, triunghi, cub, sferă);

Cs7: I 1c) Completarea imaginii astfel încât să ilustreze anotimpul primăvara; ilustrează fenomenul naturii specific primăverii și toamnei; deseneaza 5 fructe și legume de toamnă;

Cs7: I 3 Identificarea animalelor sălbatice și domestice;

Cs7: I 2a) identifică părțile componente ale plantei (rădăcină, tulpină, , flori)

Descriptori de performanță

Test de evaluare sumativă

Clasa I

Matematică și explorarea mediului

1. Scrie numerele cuprinse între 29 și 39:

____________________________________________________________

2. Scrie răsturnatele numerelor: 38, 51 și 99: _____, _____, _____

3. Continuă șirul cu încă trei numere: 20, 30, 40, ____, ____, ____.

4. Calculează și verifică prin operație inversă:

13 + 61 = V: ________________

56 – 29 = V: ________________

47 + 38 = V: ________________

5. Desenează limbile fiecărui ceas, astfel încât să arate ora indicată:

7. Un croitor a tăiat 15 cm de stofă și cu 10 cm mai mult mătase. Câți cm de stofă și mătase a tăiat în total?

8. Alege din vitrina cu jucării ce poți cumpăra cu 24 lei. Încercuiește varianta corectă:

mașina și ursulețul

ursulețul și păpușa

trenul și ursulețul

9. Notează cu A (adevărat) sau F (fals), afirmațiile următoare:

Test de evaluare sumativă

Clasa a II-a

Matematică

1. Calculează:

451 – 268 + 301 – 17 =

701 – 246 + 93 – 101 =

(900 – 282) + (325 – 66) =

2. Află numărul necunoscut din egalitățile:

a – 278 + 189 = 843 278 + a – 489 = 248

a + 825 – 435 = 477 812 – 486 + a = 522

3. Suma a trei numere este 967. Dacă se cunoaște că două dintre ele sunt 351 și 263, care este al treilea? (Calculează în două moduri.)

4. Din egalitățile următoare află valoarea numerică a literelor a, b, c, d, e, știind că:

999 – 419 = a

a + b = 847

b – 167 = c

211 + c = d

d + e = 340

5. La un centru de informatică sunt 65 de informaticieni. Dintre aceștia 30 au vârsta sub 35 de ani, iar 35 au vârsta peste 30 de ani.

a) Câți au vârsta sub 30 de ani?

b) Câți au vârsta peste 35 de ani?

Test de evaluare predictivă

Clasa a III-a

Matematică

1. Calculați:

25 + 37 – 16 = 17 + 29 – 26 =

78 – 35 + 22 = 52 – 17 + 18 =

73 – 27 + 37 = 81 + 38 + 28 =

75 – 36 + 48 = 84 – 36 + 27 =

2. Află valoarea literei x din fiecare dintre relațiile:

x – 48 = 38 + 29

45 + 27 = x + 39

46 – x = 91 – 73

62 – 27 = x – 45

3. Calculează, apoi scrie semnul de relație corespunzător:

351 + 53  600 – 125

930 – 162  95 + 309

4. La diferența dintre numărul 952 și răsturnatul acestuia, adună cel mai mic număr de trei cifre diferite.

5. Află:

6. La un magazin s-au adus într-o zi 256 kg de fructe și cu 45 kg mai multe legume.

Câte kg de fructe și legume s-au adus, în total, la acel magazin?

7. Distanța între două localități este străbătută de bunicul în trei etape. În prima etapă parcurge 113 km, în a doua cu 103 km mai mult decât în prima, iar în a treia cât în primele două etape.

Între cele două localități sunt:

a) 685 km; b) 568 km; c) 856 km; d) 658 km.

Test de evaluare sumativă

Clasa a IV-a

Matematică

1. Calculați:

242 345 + 356 632 = 815 421 + 173 569 =

184 600 + 602 395 = 729 856 – 231 625 =

2. Calculați termenii necunoscuți:

a + 271 093 = 986 292

b – 124 567 = 368 795

904 506 – c = 241 273

3. Cu cât este mai mare suma numerelor 27 475 și 9 386 decât diferența lor?

4. În trei hambare sunt 438 474 kg de porumb. În primul sunt 135 376 kg, în al doilea cu 48 239 kg mai puțin decât în primul hambar.

Câte kg de porumb sunt în al treilea hambar?

5. Alcătuiți o problemă a cărei rezolvare să se scrie: 27 386 + (27 386 – 9 258) = ?