Matematica Frumosului.v2 [612095]

MATEMATICA FRUMOSULUI.
Leg ătura dintre șirul lui Fibonacci, num ărul de aur și propor ția divin ă.

Autor: Ioana Condur ățeanu

Motto: “ Frumuse țea este în ochii privitorului ”1
1. Introducere
“Cu mâine zilele- ți adaogi,
Cu ieri via ța ta o scazi
Și ai cu toate astea-n fa ță
De-a pururi ziua cea de azi .”
Așa începe poezia “ Cu mâne zilele- ți adaugi ”2 publicat ă în 1884 în volumul
“Poesii ”3 având-ul ca autor pe marele nostru poet na țional, Mihai Eminescu.
Dac ă not ăm cu x n ziua de azi, x n-1 ziua de ieri și, evident, x n+1 ziua cea de mâine,
strofa citat ă mai sus se scrie:
x n = x n+1 – x n-1
sau
xn-1 + x n = x n+1
Dac ă x 0 =0 și x 1=1, pentru n mai mare sau egal cu 2, formula de mai sus descrie
faimosul șir 4 al lui Fibonacci 5…
Să fi fost oare Mihai Eminescu ini țiat în tainele matematicilor de nivel înalt sau
era pur și simplu una din profundele sale intui ții relative la structura universului
și relativitatea spa țiu-timpului precum cea din Luceaf ărul prin care intuia
vastele întinderi ale spa țiului și valoarea limitat ă a vitezei luminii? 6
Universul abund ă în mistere care constituie o provocare pentru actu ala noastr ă
baz ă de cunoa ștere. Un asemenea mister care se ascunde la vedere și pe care
vechii greci, arti știi Rena șterii, un astronom din secolul 17 și arhitec ții din

1 https://www.phrases.org.uk/meanings/beauty-is-in-th e-eye-of-the-beholder.html (accesat 21.05.2018)
2 https://www.versuri.ro/versuri/mihai-eminescu-cu-ma ine-zilele-ti-adaogi-_bly1.html (accesat 19.05.2018)
3 https://ro.wikipedia.org/wiki/Poesii (accesat 19.05.2018)
4 https://ro.wikipedia.org/wiki/Numerele_Fibonacci (accesat 19.05.2018)
5 https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci (accesat 19.05.2018)
6 http://www.europeea.ro/atelierliterar/index.php?afi seaza_articol_nelogat=24366 (accesat 19.05.2018)

secolul 21 îl au în comun: cu to ții au folosit Propor ția de Aur , cunoscut ă și sub
numele de Propor ția Divin ă7.
Mai precis, este vorba despre num ărul ira țional 1,61803399… 8 reprezentat prin
litera greceasc ă Phi ( φ)9 și considerat a fi unic prin propriet ățile sale
matematice, prin prevalen ța sa în întreaga natur ă și prin poten țialul s ău de a reda
o compozi ție estetic ă perfect ă. φ este limita când n tinde c ătre infinit a
raportului între dou ă elemente consecutive ale șirului lui Fibonacci x n+1 /x n și are
valoarea (1 + 5 ½ )/2 .
Astrofizicianul Mario Livio declara: „ Unele dintre geniile matematicii din toate
epocile, de la Pitagora pân ă la Euclid în Grecia antic ă, apoi, trecând la
matematicianul italian medieval Leonardo din Pisa și la astronomul
renascentist Johannes Kepler, pân ă la personalit ăți știin țifice actuale, cum ar fi
fizicianul Roger Penrose de la Oxford, și-au petrecut nenum ărate ceasuri pe
tema acestei simple propor ții și a propriet ăților sale. Îns ă fascina ția dat ă de
Propor ția de Aur nu se limiteaz ă doar la matematicieni.
Biologi, arti ști, muzicieni, istorici, arhitec ți, psihologi, chiar și mistici au
reflectat și dezb ătut fundamentele aplic ării acestui num ăr. De fapt, este probabil
just s ă afirm c ă Propor ția de Aur a inspirat gânditorii tuturor disciplinel or a șa
cum nu a mai f ăcut-o niciun alt num ăr din istoria matematicii ”10 .
În matematic ă și în arte, dou ă valori [a și b, unde a>b] se afl ă în cadrul
propor ției de aur dac ă raportul lor [a/b] este identic cu raportul dintre suma lor
și valoarea cea mai mare dintre cele dou ă [(a+b)/a].

Fig. 1 . Sec țiunea de aur a segmentului a+b din desen este realizat ă atunci când raportul
dintre a+b și a este egal cu raportul dintre a și b. În aceast ă ilustra ție a este numit " extrem ă
ra ție ", iar b este numit " medie ". 11
În ceea ce prive ște istoricul termenului de Sec țiune de Aur , "Atâta cât pot eu
afirma trecând în revist ă mare parte din efortul de reconstituire a faptelor ,

7 https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio (accesat 19.05.2018)
8 https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur #Valoarea_numeric%C4%83 (accesat 19.05.2018)
9 ca un omagiu adus marelui sculptor grec Phidias, c are a utilizat în sculpturile sale și în construirea
Partenonului dimensiuni aflate în Propor ția de Aur .
10 Livio 2003, p.6, trad. Engl.
11 https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur #/media/File:Numarul_de_aur.jpg (accesat
19.05.2018)

acest termen a fost folosit pentru prima dat ă de Martin Ohm (fratele faimosului
fizician Georg Simon Ohm, cel care a dat numele leg ii Ohm din
electromagnetism), în a doua edi ție din 1835 a c ărții sale «Die reine
Elementar-Mathematik» (Matematica pur ă elementar ă). Ohm scrie la subsol:
«Aceast ă împ ărțire a unui segment de dreapt ă în asemenea mod este numit în
mod curent "sec țiune de aur".» Aceasta arat ă c ă nu el ar fi inventat termenul,
ci c ă folosea o denumire general acceptat ă. Faptul c ă el n-a folosit-o și în
prima edi ție a c ărții sale în 1826 sugereaz ă cel pu țin c ă denumirea de Sec țiune
de Aur (în german ă «Goldener Schnitt») și-a dobândit popularitatea abia prin
anul 1830. Eventual denumirea fusese folosit ă și mai înainte în cercuri
nematematice. Indubitabil este îns ă c ă, în urma c ărții lui Ohm, numele
«Sec țiune de Aur» a început s ă apar ă în mod frecvent în literatura matematic ă
german ă și de istoria artei…" .12 continua Livio în lucrarea sa 13 .

Când Media de Aur este conceptualizat ă în dou ă dimensiuni, ea este
reprezentat ă, în mod tipic, ca o spiral ă regulat ă, definit ă printr-o serie de p ătrate
și arce de cerc, fiecare formând „ dreptunghiuri de aur ”.

Fig. 2 . Dreptunghiurile de aur .14
2. Leonardo Fibonacci
Matematicianul Leonardo Pisano 15 Bogollo , cunoscut și ca Leonardo
Fibonacci 16 (1170 – 1250), a descoperit aceast ă succesiune de numere în secolul
al XIII lea, dar ea fusese deja cunoscut ă și aplicat ă pân ă la el de a lungul istoriei
omenirii. Fibonacci este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni
europeni ai Evului Mediu care a popularizat în Euro pa utilizarea numeralelor

12 https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur (accesat 19.05.2018)
13 Livio 2003, p. 6
14 https://launchcg.com/happy-fibonacci-day-11-23/ (accesat 19.05.2018)
15 Din Pisa (n.a.)
16 Fibonacci era o porecl ă, cu în țelesul de fiul lui Bonacci

indo-arabe (precum cifrele de ast ăzi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9) în locul celor
latine (I, II, III, IV , V , etc) .

Fig. 3. Portret Fibonacci. 17

Tat ăl s ău, Guglielmo dei Bonacci, a fost ofi țer vamal în ora șul Bougie (Bugia),
din Africa de Nord, a șa încât Fibonacci a crescut în mijlocul civiliza ției nord-
africane, primind o educa ție specific ă acestei zone, f ăcând, îns ă, multe c ălătorii
pe coastele Mediteranei.

În c ălătoriile sale a întâlnit numero și comercian ți de la care a înv ățat sistemul
lor aritmetic, familiarizându-se astfel cu sistemul numeric considerat azi indo-
arab, dar inventat de vedici.

Fibonacci și-a terminat c ălătoriile în jurul anului 1200 dup ă care s-a întors la
Pisa, unde a început s ă scrie un num ăr semnificativ de texte ce au jucat un rol
important în reactualizarea cuno știn țelor matematice ale antichit ății și la care a
ad ăugat propriile sale contribu ții.

Tr ăind în epoca premerg ătoare tiparului, el și-a scris de mân ă toate lucr ările.
Dintre acestea, exist ă ast ăzi copii ale urm ătoarelor: Liber abaci 18 (1202),
Practica geometriae 19 (1220), Flos (1225), și Liber quadratorum (1225).

17 https://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequen ce.html (accesat 19.05.2018)
18 https://en.wikipedia.org/wiki/Liber_Abaci (accesat 19.05.2018)
19 http://www.dm.uniba.it/~pastore/fibonacci/practica. doc (accesat 19.05.2018)

Din p ăcate multe altele s-au pierdut, spre exemplu lucrar ea Di minor guisa 20 ,
care f ăcea referire la numerele ira ționale. Totu și ceea ce l-a f ăcut faimos pe
Fibonacci, nu au fost teoremele abstracte, ci aplic a țiile practice și solu țiile g ăsite
de el la diverse probleme matematice.

“Liber abaci ”, publicat ă în 1202, este un tratat de aritmetic ă și algebr ă care
exprim ă cuno știn țele acumulate de autor în timpul c ălătoriilor sale. Cartea, dup ă
care s-au făcut numeroase copii, a reliefat valoarea și utilitatea sistemului
numeric zecimal hindus (care utilizeaz ă cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0),
contribuind și el la introducerea acestuia în Europa.

Cifrele Brahmi au fost ini țial 9:

Fig. 4. Numeralele Bramhi.21

Sistemul numeral hindus-arab, sau sistemul numeric hindus este un sistem
numeric în baza zece, având în zilele noastre cea m ai frecvent ă reprezentare
simbolic ă a numerelor din lume. A fost inventat între secole le I-IV d.Hr de
matematicieni hindu și. Sistemul a fost adoptat, prin matematicienii per sani (Al-
Khwarizmi 22 în 825 prin cartea ” Cu privire la calculul cu cifre hinduse ”) și
matematicienii arabi ( Al-Kindi 23 în 830 în volumul ” Cu privire la utilizarea
cifrelor hinduse ”24 – Ketab fi Isti'mal al-'Adad al-Hindi ), în secolul al IX-lea.
Mai târziu a fost r ăspândit în lumea occidental ă a Evului Mediu.
Sistemul se bazeaz ă pe zece (ini țial nou ă) hieroglife diferite Aceste seturi de
simboluri pot fi împ ărțite în trei familii principale: numerele hinduse ut ilizate în
subcontinentul indian, în cifrele oriental-arabe ut ilizate în Egipt și Orientul
Mijlociu, precum și cifrele utilizate în vestul arab Maghreb și în Europa.

Dar revenind la Fibonacci, lucrarea Liber abaci descrie de asemenea regulile
dup ă care se efectueaz ă opera țiile aritmetice elementare (adunarea, sc ăderea,

20 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies /Fibonacci.html (accesat 19.05.2018)
21 https://damitr.org/2008/04/29/zero/ (accesat 19.05.2018)
22 https://en.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al- Khwarizmi (accesat 19.05.2018)
23 https://en.wikipedia.org/wiki/Al-Kindi (accesat 19.05.2018)
24 https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_Hindu% E2%80%93Arabic_numeral_system (accesat
19.05.2018)

înmul țirea și împ ărțirea), oferind și solu ții pentru ilustrarea metodelor de calcul.
În acela și timp el studiaz ă și modul de rezolvare a ecua țiilor liniare. Partea a
doua a c ărții este o colec ție de probleme cu care se confruntau comercian ții
arabi, probleme legate de pre țul m ărfurilor, calcularea profitului, conversia
valutelor, probleme referitoare la progresiile arit metice și geometrice, precum și
multe alte probleme originare din China.

Una din problemele din partea a treia a tratatului Liber abaci , cunoscut ă ca
problema iepurilor 25 , a condus la introducerea numerelor și a secven ței
Fibonacci, pentru care acesta este de fapt foarte c unoscut ast ăzi.

Problema Iepurilor
Să presupunem c ă avem o pereche de iepuri: un mascul și o femel ă. Câ ți
iepuri vom avea la sfâr șitul anului luând în considera ție o serie de
presupuneri ideale și anume: 1. niciun iepure nu moare între timp din
cauze naturale și nici nu este mâncat de pr ădători. 2. fiecare femel ă se
reproduce în fiecare lun ă, începând cu a doua lun ă de existen ță 3. de
fiecare dat ă când se reproduce, o femel ă d ă na ștere unei perechi mascul-
femel ă de iepuri.

Fig. 5. Problema iepurilor.26

În 1220 Fibonacci public ă Practica geometriae , un compendiu de geometrie și
trigonometrie, iar în 1225 lucrarea Flos , în care Fibonacci ajunge la solu ția
uneia din ecua țiile celebre la acea vreme 10x + 2x 2 + x 3= 20 27 , ecua ție pe care
Johannes din Palermo încerca de ceva vreme s ă o rezolve și pe care Fibonacci a
rezolvat-o folosind metoda aproxim ării.

25 https://www.coursera.org/learn/enumerative-combinat orics/lecture/DUAij/fibonaccis-rabbit-problem (accesat
19.05.2018)
26 http://www.mathscareers.org.uk/article/the-mathemat ics-of-rabbit-island/ (accesat 19.05.2018)
27 https://www.britannica.com/biography/Leonardo-Pisan o (accesat 19.05.2018)

Liber quadratorum 28 , scris ă în 1225, este de departe cea mai impresionant ă
oper ă a lui Fibonacci. Cartea introduce o teorie a numer elor, o analiz ă a
pătratelor perfecte, iar printre altele examineaz ă diverse metode de a afla
numerele pitagorice și face referiri și la radicalii de ordinul trei. Liber
quadratorum îl consacr ă pe Fibonacci drept mai mare matematician pân ă la
Pierre de Fermat (1601 – 1665).

3. Șirul lui Fibonacci
Șirul acestor numere, numit și seria Fibonacci, se ob ține foarte u șor: începe cu 0
și 1. Elementul “n” se ob ține însumând elementul “n-2” cu elementul “n-1”.
Șirul, nem ărginit, este 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et c.
1 + 1 = 2
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5+ 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
34 + 55 = 89
……
Asadar, f iecare element din șir corespunde sumei celor dou ă precedente. Ei
bine, ce este atât de special în leg ătur ă cu aceste secven țe de numere? Afl ăm cu
3 secole mai târziu, când Luca Paccioli 29 public ă, în 1509, lucrarea Divina
Propor țione 30 , în care vorbea despre propor ția divin ă a corpului uman, în
arhitectur ă și matematic ă. Aceast ă carte este considerat ă ca fiind primul tratat
despre num ărul de aur.
Conform lui Paccioli, num ărul de aur are nu numai propriet ăți matematice,
estetice, dar și mistice .
Acest poten țial simbolic ia na ștere datorit ă modului în care forma spiral ă a
mediei se aseam ănă cu tiparele de cre ștere observate în natur ă, iar propor țiile
sale aduc aminte de cele reg ăsite în corpurile umane. Astfel, aceste simple
spirale și dreptunghiuri, care au servit la sugerarea prezen ței unei ordini

28 https://en.wikipedia.org/wiki/The_Book_of_Squares (accesat 19.05.2018)
29 https://en.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli (accesat 19.05.2018)
30 https://en.wikipedia.org/wiki/De_divina_proportione (accesat 19.05.2018)

universale aflate la baza lumii, au fost, din acest motiv, numite „ de aur ” sau
„divine ”.

Fig. 6. Coperta lucr ării De Divina Proportione a lui Luca Pacioli, edi ția princeps.
În esen ță , acest raport se afl ă pretutindeni în jurul nostru și în interiorul
nostru . Din acest motiv, psihologul german Adolf Zeising 31 (1810-1876) l-a
numit „ o lege universal ă” care con ține principiul de baz ă al tuturor eforturilor
către frumuse țe și completitudine atât în natur ă, cât și în art ă, care este totodat ă
prezent ă, ca ideal spiritual suprem, în toate structurile, formele și propor țiile, fie
ele cosmice sau individuale, organice sau anorganic e, acustice sau optice.
Aceasta, totu și, î și g ăse ște întruchiparea deplin ă în forma uman ă.
Dac ă facem o incursiune în istoria numerelor și a propor țiilor, în lumea artei și
în natur ă, elementul comun ce une ște știin ța, matematica, arta, natura, domenii
care aparent nu pot fi rela ționate, este ” Num ărul / Propor ția de Aur ”.

Propor ția de Aur a fascinat intelectualii occidentali din diverse d omenii timp de
cel pu țin 2.400 de ani. Se consider ă c ă cele mai vechi monumente care sunt
cunoscute și care au fost cl ădite potrivit acestui num ăr atr ăgător sunt statuile din
cadrul Partenonului grecesc, datând din perioada 49 0-430 î.Hr. Totu și, exist ă
mul ți oameni care au argumentat faptul c ă num ărul dateaz ă cu mult mai înainte
și c ă egiptenii erau bine informa ți în privin ța propriet ăților acestui num ăr unic.

31 https://en.wikipedia.org/wiki/Adolf_Zeising (accesat 20.05.2018)

Egiptenii au considerat c ă propor ția de aur ca fiind sacr ă și, prin urmare,
aceasta a fost foarte important ă în religia lor. Egiptenii foloseau propor ția de
aur când î și construiau templele și mormintele. În plus, ei au g ăsit c ă propor ția
de aur era pl ăcut ă privirii și au folosit-o ca atare în sistemul de scriere și în
aranjamentele templelor pe care le-au ridicat.

Fig. 7. Un triunghi Kepler.32
Piramida lui Kheops respect ă și ea regula de aur . Dac ă împ ărțim în ălțimea sa la
jum ătatea bazei sale, ob ținem 1,618… În termeni matematici, triunghiul for mat
se nume ște triunghi Kepler . Acesta este o particularitate a triunghiului
dreptunghic, pentru care este caracteristic ă prezen ța unui unghi drept, iar laturile
acestuia constituie o progresie geometric ă și în acela și timp raportul lungimilor
laturilor este egal cu cu sec țiunea de aur .
Conform teoremei lui Pitagora, într-un triunghi Kep ler avem egalitatea:
1 + φ = φ2
Prima defini ție consemnat ă a raportului de aur dateaz ă din perioada în care
matematicianul grec Euclid (cca. 325- cca. 265 î. H r.) a descris ceea ce el a
numit „ raport mediu și extrem ”. Totu și, propriet ățile unice ale raportului au
ajuns s ă fie popularizate în secolul 15, când estetica a de venit o component ă
vital ă a artei renascentiste, iar geometria a servit, în acela și timp, unor scopuri
practice și simbolice.
Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fa pt, sistemul de num ărare
al naturii, un mod de m ăsurare al Dinivit ății. Aceste numere apar peste tot în
natur ă, pornind de la aranjamentul frunzelor, de la șabloanele petalelor unei flori
și ajungând la falangele mâinii umane, de la zile de na ștere și pân ă la zidurile
Piramidelor.

32 https://brilliant.org/discussions/thread/the-golden -ratio-kepler-triangle/ (accesat 20.05.2018)

Fig. 8. Triunghiul de aur al lui Pitagora.33
Se spune c ă exist ă o leg ătur ă între cre șterea natural ă a plantelor și num ărul de
aur: propor ția tainic ă a acestui num ăr, reprezentat ă fie în triunghiul de aur 34
(isoscel) al lui Pitagora, în elipsa de aur 35 din tradi ția hindus ă sau în spirala de
aur care p ăstreaz ă și ea propor ția de 1,618.

33 https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_triangle_(math ematics) (accesat 19.05.2018). Raportul între laturile a și
b este egal cu φ.
34 https://www.youtube.com/watch?v=XSbvRiYwWb8 (accesat 19.05.2018)
35 O elips ă de aur este o elipsa încadrat ă într-un dreptunghi cu sec țiunea de aur, în care are a șadar propor ția între
axa major ă și cea minor ă în valoare de 1/ φ.

Fig. 9. Spirala de aur format ă pe triunghiuri de aur imbricate.36
Spirala de aur este ubicu ă în natur ă. O g ăsim în vârtejurile generate de apa care
curge, în tornadele generate de mi șcarea curen ților de aer, de la dispunerea
bra țelor galaxiilor pân ă la cochilia melcilor, la dispunerea petalelor de t randafir
sau a frunzelor și semin țelor din regnul vegetal și probabil de aici i s-a tras și
numele de „ formula fericirii ”.

Fig. 10. Spirale de aur la dispunerea inflorescen ței florii de mu șețel.37
Secven ța Fibonacci apare în structurile biologice, cum ar fi num ărul ramurilor
copacilor, a șezarea frunzelor în jurul tulpinii plantelor, compu nerea unui con de
brad, desf ăș urarea ramurilor unei ferigi, aspectul unui ananas, etc. Nu numai
dispunerea, dar și num ărul spiralelor num ărate într-un sens, în sensul opus și
chiar num ărul petalelor florilor 38 respect ă progresia Fibonacci… Floarea de
turnesol are 21 de spirale care se formeaz ă în direc ția acelor de ceasornic și 34
în sens invers. Aceea și situa ție pentru acele de pin. Floarea soarelui are 55 de
spirale într-o direc ție și 89 în cealalt ă (55 și 89 sunt numere consecutive din
șirul Fibonacci), lucru valabil pentru inflorescen țele din stratul exterior, care
sunt cele mai vizibile.
În mod similar, semin țele dintr-un con sunt aranjate într-un tipar în spi ral ă.
Fiecare con const ă într-o pereche de spirale, fiecare r ăsucindu-se spre în sus și
în direc ții opuse. Num ărul de pa și se va potrivi aproape întotdeauna unei perechi
de numere Fibonacci consecutive. De exemplu, la un con 3-5 este unul pe care
spiralele se vor reîntâlni în spate dup ă trei pa și pe spirala stâng ă și 5 pa și pe cea
dreapt ă.

36 http://article.sapub.org/10.5923.j.arts.20110101.01 .html (accesat 19.05.2018)
37 http://staceythinx.tumblr.com/post/24069324443/the- fibonacci-sequence-as-seen-in (accesat 19.05.2018)
38 https://www.youtube.com/watch?v=lXyCRP871VI min. 3:35 (accesat 19.05.2018)

Fig. 11. Spirale Fibonacci în natur ă. Exemplu un conul de pin 8-13. 8 spirale în sensul
acelor de ceasornic, 13 spirale în sens trigonometr ic. 39

Fig. 12. Mai multe exemple de serii Fibonacci în na tur ă.40

39 https://www.quora.com/What-is-so-special-about-the- golden-ratio (accesat 20.05.2018)
40 https://www.youtube.com/watch?v=iEnR8zupK0A (accesat 19.05.2018)

Propor ția de aur este exprimat ă prin modul de dispunere a ramurilor de-a
lungul tulpinilor plantelor și a nervurilor din frunze. Phi poate fi observat în
scheletele animalelor și oamenilor, precum și în ramificarea venelor și nervilor
acestora. Num ărul poate fi v ăzut chiar și în propor țiile compu șilor chimici și în
geometria cristalelor.
În ultimul timp s-a încercat o extindere a seriei Numerelor de Aur în spa țiul cu
trei și chiar mai multe dimensiuni. Astfel, din punct de vedere tridimensional se
poate vorbi de Volumul de Aur , care define ște un paralelipiped în care raportul
dintre lungime și în ălțime este egal cu raportul dintre în ălțime și l ățime, acest
raport, numindu-se Num ărul de Aur 3D . De fapt în acest paralelipiped, armonia
const ă în faptul că în ălțimea este medie geometric ă între lungime și l ățime ,
ceea ce confera structurii o unitate special ă.

În acela și timp numerele Fibonacci apar în numeroase problem e de știin ță , ap ărând atunci
când procese de auto-organizare șisau consum minim de energie sunt implicate
în biologie (a șezarea frunzelor pe tulpin ă, cod genetic ADN), fizic ă (leg ăturile
hidrogenului, teoria haosului, superconductivitate) , astrofizic ă (pulsari, g ăuri
negre), chimie (cvasicristale, modele de proteine A B) și tehnologie (tribologie,
rezistori, calculatoare cuantice, etc.) 41 .Ele se reg ăsesc în analiza algoritmului lui
Euclid de determinare a celui mai mare divizor comu n a dou ă numere întregi 42 ,
în rezolvarea problemei lui Hilbert 43 , în teorema lui Zeckendorf 44 , etc. În
muzic ă, numerele Fibonacci se utilizeaz ă deseori pentru realizarea acordajelor.

4. Fibonacci și anatomia uman ă
Chipul uman este caracterizat din punct de vedere e stetic prin câteva dimensiuni
principale: distan ța dintre ochi, distan ța dintre gur ă și ochi, distan ța dintre nas și
ochi, dimensiunea gurii. În estetic ă se apreciaz ă c ă acesta este cu atât mai pl ăcut
ochiului cu cât aceste dimensiuni respect ă mai bine secven ța lui Fibonacci.

41 https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1801/1801.01369. pdf (accesat 23.05.2018)
42 https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathema tics/SeniorProject_IanCooper.pdf (accesat
23.05.2018)
43 https://people.cs.kuleuven.be/~dirk.nuyens/mcqmc201 4_proceedings_preprints/199.pdf (accesat 23.05.2018)
44 http://ro.uow.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?article=29 70&context=eispapers (accesat 23.05.2018)

Fig. 13. Frumuse țea chipului uman, indiferent de ras ă, religie, sex și alte variabile se
conformeaz ă Propor ției de Aur.45

Avem 2 mâini, cu 5 câte degete, fiecare având 3 fal ange separate prin dou ă
articula ții. Toate numere din șirul lui Fibonacci…. M ăsur ători f ăcute pe
radiografiile a 100 de voluntari având ca obiect lu ngimea oaselor degetelor, au
determinat c ă dimensiunile falangelor sunt de 2, 3 și respectiv 5 cm, iar în
continuare osul palmei are circa 8 cm (2, 3, 5, 8 f iind numere din secven ța
Fibonacci), iar raportul dintre osul cel mai lung și cel din mijloc, ca și raportul
dintre osul mijlociu și cel mai scurt din vârf reprezint ă Propor ția de Aur Phi.

Fig. 14. Lungimea medie a oaselor palmei respect ă secven ța Fibonacci, conform unui
studiu din 2003 pe 100 voluntari s ănăto și. 46

45 http://www.facialbeauty.org/divineproportion.html (accesat 20.05.2018)

Sec țiunea divin ă este omniprezent ă în propor țiile corpului uman. Astfel,
ombilicul împarte corpul în sec țiunea de aur, care se reg ăse ște, de asemenea, și
în rapoartele dintre: distan ța de la ombilic la genunchi și distan ța de la genunchi
la sol distan ța de la ombilic la sol și distan ța de la ombilic la genunchi în ălțimea
corpului și distan ța de la um ăr la degetul mijlociu (m ăsurat ă cu bra țul paralel cu
solul) distan ța de la linia umerilor la vârful capului și lungimea capului.

Fig. 15. Propor ția de Aur – etalonul de frumuse țe uman ă.47

De asemenea, segmentele bra țului și ale palmei sunt propor ționate în Sec țiunea
de Aur , care apare în rapoartele dintre: distan ța de la vârful degetului mijlociu la
um ăr și distan ța de la vârful degetului mijlociu la cot, distan ța de la vârful
degetului mijlociu la cot și distan ța de la încheietur ă la cot oasele metacarpiene.

46 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S 0363502302055065 (accesat 20.05.2018)
47 https://www.quora.com/What-are-some-examples-of-the -golden-ratio (accesat 20.05.2018)

Fig. 16. Propor ția de Aur la bra țul uman. 48
Num ărul de aur este considerat un adev ărat trademark a frumuse ții, valabil
pentru chipuri din toate timpurile, de la Nefertiti , din vechiul Egipt, la
actri țele și actorii populari ai zilelor noastre. Câteva exemp le în care se
reg ăse ște sec țiunea de aur sunt raporturile dintre: lungimea și l ățimea fe ței
distan ța dintre buze și linia unde sprâncenele se întâlnesc, și lungimea nasului
lungimea gurii și l ățimea nasului distan ța dintre pupile și distan ța dintre
sprâncene.

Fig. 17. Propor ția de Aur la chipul uman. 49

48 https://www.quora.com/What-are-some-examples-of-the -golden-ratio (accesat 20.05.2018)

Propor ții similare pot fi observate din lateral, de exempl u urechea (ce urmeaz ă
de-a lungul unei spirale logaritmice). Este demn de notat c ă fiecare corp al unei
persoane este diferit, dar c ă mediile prin sec țiunea statistic ă a unei popula ții tind
către „phi”. S-a mai spus și c ă, cu cât mai strâns ader ă propor țiile noastre la
„phi”, cu atât mai „atractive” sunt percepute acele trăsături.

Fig. 18. Forma urechii umane urm ăre ște tiparul Propor ției de Aur .50

Ca un exemplu, cele mai frumoase zâmbete sunt cele în care incisivii centrali
sunt cu 1,618 mai la ți decât incisivii laterali, care sunt cu 1,618 mai la ți decât
caninii și a șa mai departe. Este destul de posibil ca, dintr-o p erspectiv ă evolutiv-
psihic ă, s ă fim preg ăti ți s ă ne favoriz ăm formele fizice care ader ă la propor ția
de aur – un poten țial indicator al unei bune forme fizice și capacit ăți de
reproducere.

Fig. 19. Propor ția de Aur la denti ția maxilarului superior, etalon în industria de pro fil.51

49 https://www.quora.com/What-are-some-examples-of-the -golden-ratio (accesat 20.05.2018)
50 https://ro.pinterest.com/pin/808466570577396590/ (accesat 20.05.2018)

Uterul

Potrivit lui Jasper Veguts 52 , ginecolog la Spitalul Universitar Leuven din Belg ia,
care a m ăsurat dimensiunile uterului la 5000 de femei, docto rii pot spune dac ă
un uter arat ă normal și s ănătos, bazându-se pe dimensiunile relative ale acestu i
organ – dimensiuni ce aproximeaza propor ția de aur .

5. Fibonacci în microcosmosul subcelular

Proporția de Aur este omniprezent ă, începând chiar de la “c ărămizile vie ții”,
lan țurile de ADN 53 :
1. Fiecare ciclu al moleculei de ADN m ăsoar ă 34 angstromi lungime și 21
de angstromi l ățime.
2. 34 și 21 sunt numere Fibonacci, 34/21 este în raport cu Phi = 1.619.

Fig. 20. Propor ția de Aur în ADN. 54

Dac ă împ ărțim intervalul 0°C – 100°C – corespunz ător punctului de
solidificare, respectiv punctului de fierbere a ape i – în sec țiunea de aur, ob ținem
valoarea de aproximativ 38,1°C, aceasta fiind temperatura organ elor interne din
corp, cu alte cuvinte temperatura la care se afl ă apa în interiorul unui organism
uman viu.

51 http://www.thewelbeckclinic.co.uk/treatments/perfec t-smile/smile-design-rules/ (accesat 20.05.2018)
52 https://www.theguardian.com/science/alexs-adventure s-in-numberland/2012/aug/14/golden-ratio-uterus
(accesat 20.05.2018)
53 ADN-ul este intim legat de Sec țiunea de Aur , dar materialul dep ăș ește scopul acestei lucr ări. Cei interesa ți pot
urm ări acest material pentru detalii suplimentare https://www.youtube.com/watch?v=4Rx35q-zJRk (accesat
20.05.2018)
54 https://www.quora.com/What-are-some-examples-of-the -golden-ratio (accesat 20.05.2018)

Fig. 21. Propor ția de Aur la temperatura medie a organismelor vii φ2. φ1 reprezint ă
temperatura dincolo de care via ța nu mai poate continua. 55

Sec țiunea de Aur se reg ăse ște în activitatea inimii, în raportul dintre presiu nea
sistolic ă și cea diastolic ă a sângelui, care este apropiat de 1,61. Ciclurile undelor
înregistrate electrocardiografic par s ă fie și ele în leg ătur ă cu Num ărul de Aur .
Electrocardiograma reprezint ă înregistrarea grafic ă a activit ății electrice a
inimii, diferen țele de poten țial generate de miocard ajungând la suprafa ța
corpului, unde pot fi m ăsurate cu ajutorul unor electrozi plasa ți la suprafa ța
pielii. În starea de repaus, membrana celulelor mio cardului este polarizat ă
electric pozitiv la exterior și negativ în interiorul celulelor. Prin depolarizar e se
în țelege inversarea înc ărc ării electrice a membranei (datorat ă unor schimburi
ionice), înso țit ă de apari ția a șa-numitelor poten țiale de ac țiune (mu șchiul se
contract ă).

Fig. 22. Propor ția de Aur în ritmul cardiac.56

“Revenirea din starea de depolarizare în starea pola rizat ă electric din repaus se
nume ște repolarizare. Fiecare ciclu cardiac produce trei unde electrice
distincte, numite P , QRS și T. Unda P corespunde activ ării atriale (propagarea
depolariz ării prin miocardul atrial), undele Q, R, S formeaz ă complexul de
activare ventricular ă (propagarea depolariz ării prin miocardul ventricular), iar
unda T reprezint ă repolarizarea ventriculelor. Repolarizarea atriilo r are loc
simultan cu QRS, dar este mascat ă de amplitudinea depolariz ării ventriculare.
Aspectul electrocardiogramei variaz ă considerabil, în func ție de o gam ă de

55 https://www.goldennumber.net/body-temperatures/ (accesat 20.05.2018)
56 Narasimha-Shenoi 2012, p. 19, fig. 4.5

factori. Unii cardiologi sus țin c ă pozi ționarea undei T în Sec țiunea de Aur a
ciclului cardiac denot ă o stare de s ănătate și armonie .”57

6. Fibonacci și anatomia animal ă
Corpurile animalelor prezint ă tendin țe similare, inclusiv delfinii (ochii,
aripioarele și coada se încadreaz ă, ca propor ții între ele, ca Sec țiuni de Aur),
stelele de mare, aricii de mare, furnicile și albinele.

Fig. 23. Propor ția de Aur se reg ăse ște inclusiv la regnul animal, precum în acest exemp lu
cu un delfin. 58

Fig. 24. Propor ția de Aur se reg ăse ște și la insecte. 59

57 Narasimha-Shenoi 2012, p. 18-19 trad. engl.
58 https://www.goldennumber.net/nature/ (accesat 20.05.2018)

Scoica numit ă Nautil cre ște în spiral ă. Acela și model de cre ștere este urmat de
cochiliile melcilor și nautilu șilor și se observ ă la cochlea urechii interne.
Spiralele respect ă regula de aur, respectiv, raportul dintre diametru l unei spirale
și cea urm ătoare este egal cu Phi, num ărul de aur . Aceasta poate fi v ăzut ă și la
coarnele anumitor specii de capr ă și la forma unor pânze de p ăianjen.

Fig. 25. Sec țiunea de Aur prezent ă în scoica melcilor Nautilus.60
Dac ă ne referim la dinamicile reproductive ale albinelor 61 , acestea urmeaz ă Șirul
lui Fibonacci în alte moduri interesante. Cel mai b un exemplu este cel al
împ ărțirii num ărului de femele dintr-o colonie la num ărul masculilor (femelele
întotdeauna dep ăș esc numeric masculii). R ăspunsul este uzual ceva foarte
apropiat de 1,618. În plus, arborele genealogic al albinelor urmeaz ă și el acela și
model familiar. Masculii au un p ărinte (o femel ă), în timp ce femelele au doi
părin ți (o femel ă și un mascul). Deci când se ajunge la arborele genea logic,
masculii au 2, 3, 5 și 8 bunici, str ăbunici, stră-str ăbunici, respectiv str ă-str ă-
str ă…….str ăbunici. Urmând acela și model, femelele au 2, 3, 5, 8, 13 și a șa mai
departe. Dup ă cum s-a notat, fiziologia albinei urmeaz ă și ea destul de strâns
Curba de Aur (spirala logaritmic ă).

7. Fibonacci și regnul vegetal
Dac ă se prive ște o plant ă de sus în jos se observ ă c ă frunzele sale sunt astfel
dispuse încât cele de deasupra nu le obtureaz ă pe cele de dedesubt. În acest fel
fiecare frunz ă prime ște suficient ă lumin ă solar ă și permite apei de ploaie s ă

59 https://io9.gizmodo.com/5985588/15-uncanny-examples -of-the-golden-ratio-in-nature (accesat 20.05.2018)
60 https://insteading.com/blog/fibonacci-sequence-in-n ature/ (accesat 20.05.2018)
61 http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/ Fibonacci/fibnat.html (accesat 20.05.2018)

alunece c ătre tulpin ă și s ă fie dirijat ă spre r ădăcin ă – o alt ă armonie a naturii
înconcordan ță cu secven ța lui Fibonacci.

Fig. 26. Dispunerea frunzelor pe o spiral ă logaritmic ă 3D. 62

Fig. 27. Sec țiunea de Aur prezent ă în dezvoltarea ferigilor.63

62 https://ro.pinterest.com/pin/423056958720752500/ (accesat 20.05.2018)
63 https://www.pinterest.com.au/pin/436497388867731002 / (accesat 20.05.2018)

Șirul lui Fibonacci mai poate fi v ăzut în modul în care se formeaz ă sau se
ramific ă ramurile copacilor. Un trunchi principal va cre ște până produce o
ramur ă, care genereaz ă dou ă puncte de cre ștere. Apoi, una dintre noile tulpini se
va ramifica în dou ă, în timp ce cealalt ă r ămâne latent ă. Acest model de
ramificare este repetat pentru fiecare dintre noile tulpini. Un bun exemplu este
coada-șoricelului ( Achillea ptarmica ). Sistemele r ădăcinilor și chiar și algele
prezint ă acest model.

Fig. 28. Șirul lui Fibonacci guverneaz ă cre șterea plantelor.64

Fig. 29. Num ărul de petale al florilor se reg ăse ște în șirul lui Fibonacci.

64 https://www.quora.com/What-are-some-interesting-fac ts-about-the-Fibonacci-series (accesat 20.05.2018)

De asemenea, num ărul de petale al multor flori face parte din secven ță : 1
(calele), 2 ( Comelina Communis ), 3 (crinii și iri șii), 5 (pintenul coco șului), 8
(nem țișorii), 13 (gălbenelele), 21 (ochiul boului), 34, 55 sau chiar 89
(margaretele).

Fig. 30. 3 spirale logaritmice în interiorul unei v erze ro șii. 65
8. Fibonacci și materia f ără via ță
Galaxiile spirale

Ca fapt divers, galaxiile spirale par s ă sfideze legile fizicii newtoniene. Înc ă din
1925, astronomii au realizat c ă întrucât viteza unghiular ă de rota ție a discului
galactic variaz ă cu distan ța fa ță de centru, bra țele radiale ar trebui s ă devin ă
curbate, pe m ăsur ă ce galaxia se rote ște. Ulterior, dup ă câteva rota ții, bra țele
spirale ar trebui s ă se înf ăș oare în jurul unei galaxii. Dar ele nu o fac – de a ici
așa-numita problem ă a înf ăș ur ării 66 . Stelele din exterior, se pare, se misc ă cu o
viteza mai mare decat era de a șteptat – o tr ăsătur ă unic ă a cosmosului, care îi
permite s ă își re țin ă forma.

65 http://www.ba-bamail.com/content.aspx?emailid=15241 (accesat 20.05.2018)
66 http://casa.colorado.edu/~danforth/science/spiral/ (accesat 20.05.2018)

Fig. 31. Calea Lactee are dou ă bra țe spirale, fiecare dintre ele fiind o spiral ă logaritmic ă
de circa 12 grade. 67
Cicloanele și tornadele

Fig. 32. Ciclonul urmeaz ă o dezvoltare de tip spiral ă logaritmic ă.68

67 https://io9.gizmodo.com/5985588/15-uncanny-examples -of-the-golden-ratio-in-nature (accesat 20.05.2018)
68 https://io9.gizmodo.com/5985588/15-uncanny-examples -of-the-golden-ratio-in-nature (accesat 20.05.2018)

9. Propor ția de Aur în arhitectur ă

«Înc ă din antichitate arhitec ții au c ăutat s ă descopere sisteme de diviziune care
să asigure atât regularitatea ob ținut ă prin folosirea unui modul cât și furnizarea
unei serii gradate de diviziuni mai mici sau mai ma ri, legate între ele. Un pas în
aceast ă direc ție a fost realizat, când în loc s ă fie modulate dimensiunile
proiectului, sunt gândite ca frac țiuni ale întregului: dimensiunile importante, de
exemplu, pot fi ½, 1/3, ¼, 1/5 din lungimea cl ădirii. […] Arhitectul are astfel la
dispozi ție o scar ă gradat ă de diviziuni în care subdiviziunile mai mici sunt
legate de p ărțile mai mari, în acela și fel în care acestea sunt legate de întreaga
lungime a cl ădirii. Aceasta pare s ă fie solu ția sugerat ă de Vitruviu[…] »69
Autorul continu ă apoi « Sistemele armonice pun la îndemâna proiectantului
mijloacele de corelare sistematic ă a dimensiunilor mari și a celor mici unele cu
altele și cu întreaga cl ădire. Dar ele aduc o gam ă limitat ă de dimensiuni
optime »70

Fig. 33. Sistemul Modulor al lui Le Corbusier bazat pe Sec țiunea de Aur 71
Un sistem bazat pe sec țiunea de aur tocmai atr ăsese aten ția lui Le Corbusier ca
baz ă pentru al s ău Modulor . «Ideea ini țial ă era diferit ă. În loc de a pune la
îndemân ă mijlocul de divizare în frac țiuni a unei dimensiuni mari date, ele ne
ofer ă o gam ă de dimensiuni constant corelate între ele. » Evident, datorit ă
propriet ăților remarcabile ale num ărului φ. Le Corbusier, str ălucit analist,

69 Licklider 1973, p. 37
70 Op. cit., p. 39. Subl. noastr ă
71 http://www.neermanfernand.com/corbu.html (accesat 21.05.2018)

sus ținea chiar c ă «formele sec țiunii de aur sunt acelea pe care un bun arhitect
le caut ă con știent sau incon știent .»72
Arhitectura, trebuind a șadar s ă se adapteze principalului s ău beneficiar, omul, a
preluat de la acesta dimensiunile și propor țiile și prin acestea, implicit și
aspira țiile estetice și conceptele de frumos preprogramate la nivel biolo gic în
acesta. Concentrându-se spre g ăsirea unui sistem care s ă satisfac ă o nevoie
foarte contemporan ă, aceea de a avea un sistem unitar de forme , care s ă
permit ă în practic ă utilizarea produc ției de mas ă în folosul construc țiilor, Le
Corbusier rezolva și cealalt ă problem ă, cea estetic ă, «găsind ora șelor în special,
un antidot atât de necesar împotriva haosului vizua l. »73
Combinarea esteticului cu practicul nu era îns ă o inven ție a secolului XX.
Numero și arti ști și arhitec ți și-au propor ționat operele pentru a ajunge cu
aproxima ție la propor ția de aur , considerând c ă rezultatul va fi mai valoros din
punct de vedere estetic. Și aceasta pentru c ă «înc ă din timpul epocii de aur a
arhitecturii grece ști , corpul omenesc a fost considerat exemplul viu, pe rfect de
simetrie și euritmie, care trebuie s ă serveasc ă drept surs ă de inspira ție pentru
arhitect, ba chiar drept model în conceperea planur ilor . Vitruviu, a c ărui
lucrare nu con ține nici-o inova ție personal ă, ci prezint ă tradi ția deja veche de
cinci secole de arhitectur ă greceasc ă, insist ă îndelung asupra acestui aspect;
când va trata despre coloane, el va compara propor țiile coloanei dorice (modul
de 6/1 între în ălțime și diametrul mediu) cu cele ale corpului bărb ătesc ,
propor țiile coloanelor ionice (modul 8/1) vor evoca corpul gra țios al femeilor ,
cele ale coloanelor corintice (modul 10/1) corpurile zvelte ale fecioarelor .»74

Fig. 34. Plan Hagia Sofia din Istanbul cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur .75

72 Licklider 1973, p. 44. Subl. noastr ă
73 Op. Cit, p. 44
74 Ghyka 2016, p. 62. Subl. noastr ă
75 http://kaplanpicturemaker.com/tips__info/golden_rec tangle (accesat 23.05.2018)

Prin folosirea acestor rapoarte, un arhitect poate schi ța o clan ță de u șă care are o
rela ție complementar ă cu u șa, care, la rândul s ău, are o rela ție similar ă cu zidul
din jurul s ău ș.a.m.d. Îns ă, mai mult decât atât, propor ția de aur a fost folosit ă
pentru fa țadele marilor cl ădiri, de la Parthenon 76 la Marea Moschee din
Kairouan 77 și de la Notre Dame de Paris pân ă la repere moderne, cum ar fi
Opera din Sydney 78 și Galeria Na țional ă de la Londra 79 , sau turnul Eiffel din
Paris.

Fig. 35. Sec țiunea de Aur st ă la baza concep ției artistice și constructive a Parthenon-ului.

Fig. 36. Arcul lui Constantin cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur .80

76 https://www.goldennumber.net/parthenon-phi-golden-r atio/ (accesat 20.05.2018)
77 Boussora&Mazouz 2004
78 https://www.slideshare.net/MAAgcunningham/jmm-mini4 -sydney-opera-house-part-2 (accesat 21.05.2018)
79 http://theconversation.com/the-golden-mean-a-great- discovery-or-natural-phenomenon-20570 (accesat
21.05.2018)
80 http://kaplanpicturemaker.com/tips__info/golden_rec tangle (accesat 23.05.2018)

Fig. 37. Notre Dame de Paris. Propor ții de Aur în plan orizontal și vertical. 81

Fig. 38. Turnul Eiffel din Paris este dimensionat c onform Sec țiunii de Aur .82

81 https://poputi.biz/golden-ratio-architecture/golden -ratio-architecture-the-golden-section-a-universal- and-
successful-proportion-awesome-inspiration/ (accesat 23.05.2018)
82 https://i.pinimg.com/564x/15/bc/92/15bc924bdae227b5 d86ee813a76476b2.jpg (accesat 21.05.2018)

10. Propor ția de Aur în pictur ă

Leonardo da Vinci a fost primul care a sesizat c ă p ărțile care compun corpul
uman respect ă propor ția de aur .

Fig. 39. Omul Vitruvian al lui Leonardo da Vinci 83

Al ți mari pictori precum Michelangelo 84 , Botticelli, Dali, Mondrian, Georges
Seurat , utilizeaz ă în picturile lor num ărul de aur .

Fig. 40. Crearea lui Adam . Propor ția de Aur este prezent ă în raportul dintre Om și
Divinitate 85

83 https://www.goldennumber.net/leonardo-da-vinci-gold en-ratio-art/ (accesat 23.05.2018)
84 http://www.italianrenaissance.org/michelangelo-crea tion-of-adam/ (accesat 23.05.2018)

Fig. 41. Dimensiunile pânzei Na șterea lui V enus și aranjamentul elementelor cheie
respect ă propor ția de aur 86

Fig. 42. Studiul preparator al Atomic Leda demonstreaz ă folosirea ca element de baz ă a
pentagramei 87

85 http://kaplanpicturemaker.com/tips__info/golden_rec tangle (accesat 23.05.2018)
86 https://www.goldennumber.net/botticelli-birth-venus -golden-ratio-art/ (accesat 20.05.2018)

Fig. 43. Compozi ție în Ro șu, Albastru și Galben de Piet Mondrian 88 arat ă recuren ța
dreptunghiului de aur 89

Fig. 44. Sec țiunea, Spirala și Propor ția de Aur în compozi ția Bathers at Asnières de
Georges Seurat 90

87 http://mathematics-in-europe.eu/?p=966 (accesat 20.05.2018)
88 http://www.geocities.ws/jyce3/piet.htm (accesat 20.05.2018)
89 https://www.widewalls.ch/golden-ratio-examples-art- architecture-music/piet-mondrian-golden-ratio-
examples/ (accesat 23.05.2018)
90 https://www.widewalls.ch/golden-ratio-examples-art- architecture-music/georgeus-seurat-golden-ratio/
(accesat 20.05.2018)

Fig. 45. Sec țiunea de Aur în faimoasa Mona Lisa a lui Leonardo da Vinci 91
“Privind tabloul în întregime, distanta între degetu l drept și fruntea Mona Lisei
este de 1,618 ori distanta dintre degetul drept și clavicula acesteia. Partea
dreapt ă a obrazului este în „raport de aur” cu latura mic ă a „dreptunghiului de
aur” original.
„Propor ții de aur” din tablou: distan ța dintre baza gâtului și pupila ochiului
cu distan ța dintre baza gâtului și partea de sus a frun ții • distan ța dintre partea
dreapt ă a obrazului și partea dreapt ă a nasului cu l ățimea fe ței • distan ța dintre
bărbie și partea de jos a buzelor cu distan ța dintre b ărbie și baza nasului ”92

91 http://mathcentral.uregina.ca/beyond/articles/Art/D aVinci.html (accesat 23.05.2018)
92 http://ccdmures.ro/cmsmadesimple/uploads/file/rev8s p/igbr/igbr6.pdf p.1

11. Propor ția de Aur în sculptur ă. Brâncu și și Num ărul de Aur

Constantin Brâncu și93 , marele sculptor român (1876 – 1957) a fost fascin at de
propor ția de aur și majoritatea operelor sale au fost realizate dup ă îndelungate
studii matematice referitoare la aceast ă propor ție. Brâncu și era convins de
profunda leg ătura sau simbioz ă între religie și art ă în istoria umanit ății.

Fig. 46. Propor ția de Aur la Poarta S ărutului de Constantin Brâncu și. Simbolul principal
este Φ

12. Propor ția de aur în muzic ă
În muzic ă, sec țiunea de aur poate ap ărea în diverse ipostaze, reg ăsindu-se în
construc ția de instrumente, în organizarea structurilor sono re sau la nivelul
arhitectonic al pieselor muzicale.
Construc ția de Instrumente Muzicale
Unul din modurile de reprezentare al raportului de aur în domeniu muzicii este
construc ția de instrumente. Raportul de aur apare destul de des în construc ția
viorii unde arcul de la baza instrumentului este ce ntrat în segmentul

93 https://ro.wikipedia.org/wiki/Constantin_Br%C3%A2nc u%C8%99i (accesat 20.05.2018)

corespunz ător sec țiunii de aur de deasupra liniei centrale 94 . Respectarea
propor ției num ărului de aur a condus la performan țele superioare ale viorilor
create de Stradivarius 95 . În anul 1969, lutierul Johann Goldfu β a executat în mod
special o vioar ă conform acestui tipar pe baza dimensiunilor elabor ate de Matila
Ghika, ce corespund întocmai propor ției divine 96 .

Fig. 47. Propor ția de aur utilizat ă la dimensionarea unei viori 97

În construc ția pianului prezen ța raportului de aur se poate observa și mai
concret printr-o simpl ă observare a claviaturii. Orice octav ă (do-do, fa-fa, sol-
soletc.) de pe orice instrument cu claviatur ă con ține opt clape albe și cinci
negre, toate aceastea însumând 13 clape.

Fig. 48. Raportul de aur la claviatura unei octave. 98

94 Livio 2003, p. 84-85
95 https://www.goldennumber.net/acoustics/ (accesat 19.05.2018)
96 Velescu 2015, p. 43
97 http://blog.dubspot.com/fibonacci-sequence-in-music / (accesat 19.05.2018)

Mai mult, în octava do-do de pild ă, clapele negre sunt împ ărțite la rândul lor în
grupuri de dou ă și trei elemente. Putem lesne observa c ă aceast ă succesiune a
termenilor corespunde întocmai șirului lui Fibonacci (…2, 3, 5, 8, 13.). Unii
teoreticieni sus țin chiar c ă sunetele reprezentative ale tonalit ății (fundamentala,
ter ța și cvinta acordului de tonic ă) indic ă clapele 1, 3, 5 și uneori 8.
Se crede c ă lucrarea Muzic ă pentru instrumente de coarde, celest ă și percu ție a
lui Bèla Bártok a fost structurat ă utilizând numerele Fibonacci 99 .

13. Propor ția de Aur în Design
Seriile Fibonacci se reg ăsesc la baza unora dintre cele mai iconice branduri din
lume din ziua de ast ăzi:

Fig. 49. Sigla Apple este compus ă din cercuri aflate în raportul de aur 100

98 http://fibonaccifacts.blogspot.ro/2014/11/mozart-an d-golden-ratio.html (accesat 19.05.2018)
99 Velescu 2015, p. 45
100 https://www.widewalls.ch/golden-ratio-examples-art- architecture-music/graphic-design-and-golden-ratio-
examples/ (accesat 23.05.2018)

Fig. 50. Sigla Mercedes Benz are și ea la baz ă Propor ția de Aur

Fig. 51. Atrac ția este ascuns ă în suprafe țele care respect ă propor ția de aur 101

101 https://ro.pinterest.com/pin/360569513908592672/ (accesat 23.05.2018)

14. Concluzie

Șirul lui Fibonacci și propor țiile a șa-zise de aur care eman ă din el sunt expresia
unui principiu fundamental care guverneaz ă spa țiul și energia din Universul
cunoscut, având a face la nivel intim cu cheltuirea minim ă de energie pentru
umplerea maxim ă a spa țiului cu materie.

Reg ăsindu-se de la nivel cuantic pân ă la forma galaxiilor, acoperind toate
spectrele vie ții (vegetal, animal, uman) propor ția de aur este ubicu ă în jurul și
în ăuntrul nostru .

Oamenii, fiin țe dotate cu capacitatea de contemplare, au descoper it-o în
înf ățișarea celor mai atractivi semeni ai lor, i-au acorda t propriet ăți divine, și au
nemurit-o replicând-o în construc țiile pe care le-au ridicat.

Grecii au preluat aceste cuno știn țe de la Egipteni, Romanii de la Greci, iar
Rena șterea Italian ă de la monumentele l ăsate de Romani. Arti știi italieni
redescopereau astfel frumuse țea și propor țiile corpului uman ascunse de secole
de obscurantism religios studiind ruinele și statuile ascunse de un mileniu de
invazii și uitare.

Frumuse țea nou descoperit ă nu avea numai valen țe estetice, ci și practic. Și a șa
cum știin ța secolelor care s-au scurs de atunci a dovedit-o, progresia lui
Fibonacci ducea la un principiu armonic universal . Omul se redescoperea
astfel pe sine, ca m ăsur ă a tuturor lucrurilor, parte a unui întreg și începea s ă î și
cultive, con știent, latura sa divin ă în efortul s ău creator.

Cercul evolu ției percep ției estetice devenea astfel complet dep ăș ind îns ă
constrângerea celor 2 dimensiuni. V ăzut din spa țiul 3D el este o spiral ă
logaritmic ă care tinde la infinit. Matematica frumosului este aceast ă spiral ă în
care fiecare parte a ei este un model la scar ă al întregului.

15. Plan de Lec ție

a. Introducere no țiunea de Șir Fibonacci
b. Exemplific ări Șiruri Fibonacci în natur ă, anatomie, art ă
c. Calculul iterativ al primelor 7 numere din Șirul Fibonacci
d. Desenarea unui Dreptunghi de Aur folosind Rigla, Echerul și Compasul.

16. Lista Figurilor

Fig. 1 . Sec țiunea de aur a segmentului a+b din desen este realizat ă atunci când raportul
dintre a+b și a este egal cu raportul dintre a și b. În aceast ă ilustra ție a este numit " extrem ă
ra ție ", iar b este numit " medie ".
Fig. 2 . Dreptunghiurile de aur .
Fig. 3. Portret Fibonacci.
Fig. 4. Numeralele Bramhi.
Fig. 5. Problema iepurilor.
Fig. 6. Coperta lucr ării De Divina Proportione a lui Luca Pacioli, edi ția princeps.
Fig. 7. Un triunghi Kepler.
Fig. 8. Triunghiul de aur al lui Pitagora.
Fig. 9. Spirala de aur format ă pe triunghiuri de aur imbricate.
Fig. 10. Spirale de aur la dispunerea inflorescen ței florii de mu șețel.
Fig. 11. Spirale Fibonacci în natur ă. Exemplu un conul de pin 8-13. 8 spirale în sensul
acelor de ceasornic, 13 spirale în sens trigonometr ic.
Fig. 12. Mai multe exemple de serii Fibonacci în na tur ă.
Fig. 13. Frumuse țea chipului uman, indiferent de ras ă, religie, sex și alte variabile se
conformeaz ă Propor ției de Aur.
Fig. 14. Lungimea medie a oaselor palmei respect ă secven ța Fibonacci, conform unui
studiu din 2003 pe 100 voluntari s ănăto și.
Fig. 15. Propor ția de Aur – etalonul de frumuse țe uman ă.
Fig. 16. Propor ția de Aur la bra țul uman.
Fig. 17. Propor ția de Aur la chipul uman.
Fig. 18. Forma urechii umane urm ăre ște tiparul Propor ției de Aur .
Fig. 19. Propor ția de Aur la denti ția maxilarului superior, etalon în industria de pro fil.
Fig. 20. Propor ția de Aur în ADN.
Fig. 21. Propor ția de Aur la temperatura medie a organismelor vii φ2. φ1 reprezint ă
temperatura dincolo de care via ța nu mai poate continua.
Fig. 22. Propor ția de Aur în ritmul cardiac.
Fig. 23. Propor ția de Aur se reg ăse ște inclusiv la regnul animal, precum în acest exemp lu
cu un delfin.
Fig. 24. Propor ția de Aur se reg ăse ște și la insecte.
Fig. 25. Sec țiunea de Aur prezent ă în scoica melcilor Nautilus.
Fig. 26. Dispunerea frunzelor pe o spiral ă logaritmic ă 3D.

Fig. 27. Secțiunea de Aur prezent ă în dezvoltarea ferigilor.
Fig. 28. Șirul lui Fibonacci guverneaz ă cre șterea plantelor.
Fig. 29. Num ărul de petale al florilor se reg ăse ște în șirul lui Fibonacci.
Fig. 30. 3 spirale logaritmice în interiorul unei v erze ro șii.
Fig. 31. Calea Lactee are dou ă bra țe spirale, fiecare dintre ele fiind o spiral ă logaritmic ă
de circa 12 grade.
Fig. 32. Ciclonul urmeaz ă o dezvoltare de tip spiral ă logaritmic ă.
Fig. 33. Sistemul Modulor al lui Le Corbusier bazat pe Sec țiunea de Aur
Fig. 34. Plan Hagia Sofia din Istanbul cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur .
Fig. 35. Sec țiunea de Aur st ă la baza concep ției artistice și constructive a Parthenon-ului.
Fig. 36. Arcul lui Constantin cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur .
Fig. 37. Notre Dame de Paris. Propor ții de Aur în plan orizontal și vertical.
Fig. 38. Turnul Eiffel din Paris este dimensionat c onform Sec țiunii de Aur .
Fig. 39. Omul Vitruvian al lui Leonardo da Vinci
Fig. 40. Crearea lui Adam . Propor ția de Aur este prezent ă în raportul dintre Om și
Divinitate
Fig. 41. Dimensiunile pânzei Na șterea lui V enus și aranjamentul elementelor cheie
respect ă propor ția de aur
Fig. 42. Studiul preparator al Atomic Leda demonstreaz ă folosirea ca element de baz ă a
pentagramei
Fig. 43. Compozi ție în Ro șu, Albastru și Galben de Piet Mondrian 102 arat ă recuren ța
dreptunghiului de aur
Fig. 44. Sec țiunea, Spirala și Propor ția de Aur în compozi ția Bathers at Asnières de
Georges Seurat
Fig. 45. Sec țiunea de Aur în faimoasa Mona Lisa a lui Leonardo da Vinci
Fig. 46. Propor ția de Aur la Poarta S ărutului de Constantin Brâncu și. Simbolul principal
este Φ
Fig. 47. Propor ția de aur utilizat ă la dimensionarea unei viori
Fig. 48. Raportul de aur la claviatura unei octave.
Fig. 49. Sigla Apple este compus ă din cercuri aflate în raportul de aur
Fig. 50. Sigla Mercedes Benz are și ea la baz ă Propor ția de Aur
Fig. 51. Atrac ția este ascuns ă în suprafe țele care respect ă propor ția de aur

102 http://www.geocities.ws/jyce3/piet.htm (accesat 20.05.2018)

17. BIBLIOGRAFIE

Boussora&Mazouz 2004
Boussora, Kenza , Mazouz, Said – “ The Use of the Golden Section in the
Great Mosque at Kairouan ”, NEXUS NETWORK JOURNAL – VOL. 6, NO.
1, 2004, p.6-16, https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s0000 4-004-
0002-y.pdf

Ghyka 2016
Ghyka, Matila – “ Num ărul de Aur. Rituri și Ritmuri Pitagoreice în
Dezvoltarea Civiliza ției Occidentale ”, Ed. Nemira, 2016, 560 p.

Licklider 1973
Licklider, Heath – “ Scara Arhitectural ă”, ed. Tehnic ă, Bucure ști, 1973, 236 p.

Livio 2003
Livio, Mario – “ The Golden Ratio The Story of PHI, the World's Most
Astonishing Number ”, Broadway Books, 2003, 294 p.,
https://www.researchgate.net/publication/305268297_ Mario_Livio-
The_Golden_Ratio_The_Story_of_PHI_the_World's_Most_ Astonishing_Numb
er-Broadway_Books_2003

Narasimha-Shenoi 2012
Narasimha-Shenoi, Prasanth G . – „ GOLDEN RATIO IN HUMAN
ANATOMY ”, 2012,
https://www.researchgate.net/publication/234054763_ GOLDEN_RATIO_IN_H
UMAN_ANATOMY

Velescu 2015
Velescu, Octavian Denis – ” REPREZENTARI ALE RAPORTULUI
SEC ȚIUNII DE AUR ÎN MUZIC Ă”, Buletinul AGIR nr. 1/2015 ● ianuarie-
martie, p. 42-44, http://www.agir.ro/buletine/2176.pdf