Matematica Frumosului.v2 [310896]

Licență

Matematica Frumosului.v2 [310896]

Byadmin ianuarie 1, 2024

MATEMATICA FRUMOSULUI.

[anonimizat].

Autor: Ioana Condurățeanu

Motto: “Frumusețea este în ochii privitorului”

1. Introducere

“[anonimizat],

Cu ieri viața ta o scazi

Și ai cu toate astea-n față

De-a pururi ziua cea de azi.”

Așa începe poezia “[anonimizat]” publicată în 1884 în volumul “Poesii” având-[anonimizat].

[anonimizat]-1 [anonimizat], xn+1 [anonimizat]:

xn = xn+1 – xn-1

sau

xn-1 + xn = xn+1

Dacă x0 =0 și x1=1, pentru n mai mare sau egal cu 2, formula de mai sus descrie faimosul șir al lui Fibonacci…

[anonimizat] a vitezei luminii?

Universul abundă în mistere care constituie o provocare pentru actuala noastră bază de cunoaștere. [anonimizat], un astronom din secolul 17 și arhitecții din secolul 21 îl au în comun: [anonimizat].

[anonimizat] 1,61803399… reprezentat prin litera grecească Phi (φ) și considerat a [anonimizat] a reda o compoziție estetică perfectă. φ este limita când n tinde către infinit a raportului între două elemente consecutive ale șirului lui Fibonacci xn+1/xn și are valoarea (1 + 5 ½ )/2 .

Astrofizicianul Mario Livio declara: „[anonimizat], apoi, [anonimizat], [anonimizat]-au petrecut nenumărate ceasuri pe tema acestei simple proporții și a proprietăților sale. Însă fascinația dată de Proporția de Aur nu se limitează doar la matematicieni.

Biologi, artiști, muzicieni, istorici, arhitecți, psihologi, chiar și mistici au reflectat și dezbătut fundamentele aplicării acestui număr. [anonimizat] a inspirat gânditorii tuturor disciplinelor așa cum nu a mai făcut-o niciun alt număr din istoria matematicii”.

[anonimizat] [a și b, unde a>b] se află în cadrul proporției de aur dacă raportul lor [a/b] este identic cu raportul dintre suma lor și valoarea cea mai mare dintre cele două [(a+b)/a].

Fig. 1. Secțiunea de aur a segmentului a+b din desen este realizată atunci când raportul dintre a+b și a este egal cu raportul dintre a și b. În această ilustrație a este numit "extremă rație", iar b este numit "medie".

În ceea ce privește istoricul termenului de Secțiune de Aur, "Atâta cât pot eu afirma trecând în revistă mare parte din efortul de reconstituire a faptelor, acest termen a fost folosit pentru prima dată de Martin Ohm ([anonimizat] a dat numele legii Ohm din electromagnetism), în a doua ediție din 1835 a cărții sale «[anonimizat]» (Matematica pură elementară). Ohm scrie la subsol: «Această împărțire a unui segment de dreaptă în asemenea mod este numit în mod curent "secțiune de aur".» Aceasta arată că nu el ar fi inventat termenul, ci că folosea o denumire general acceptată. Faptul că el n-a folosit-o și în prima ediție a cărții sale în 1826 sugerează cel puțin că denumirea de Secțiune de Aur (în germană «Goldener Schnitt») și-a dobândit popularitatea abia prin anul 1830. Eventual denumirea fusese folosită și mai înainte în cercuri nematematice. Indubitabil este însă că, în urma cărții lui Ohm, numele «Secțiune de Aur» a început să apară în mod frecvent în literatura matematică germană și de istoria artei…". continua Livio în lucrarea sa.

Când Media de Aur este conceptualizată în două dimensiuni, ea este reprezentată, în mod tipic, ca o spirală regulată, definită printr-o serie de pătrate și arce de cerc, fiecare formând „dreptunghiuri de aur”.

Fig. 2. Dreptunghiurile de aur.

2. Leonardo Fibonacci

Matematicianul Leonardo Pisano Bogollo, cunoscut și ca Leonardo Fibonacci (1170 – 1250), a descoperit această succesiune de numere în secolul al XIII lea, dar ea fusese deja cunoscută și aplicată până la el de a lungul istoriei omenirii. Fibonacci este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni europeni ai Evului Mediu care a popularizat în Europa utilizarea numeralelor indo-arabe (precum cifrele de astăzi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9) în locul celor latine (I, II, III, IV, V, etc).

Fig. 3. Portret Fibonacci.

Tatăl său, Guglielmo dei Bonacci, a fost ofițer vamal în orașul Bougie (Bugia), din Africa de Nord, așa încât Fibonacci a crescut în mijlocul civilizației nord-africane, primind o educație specifică acestei zone, făcând, însă, multe călătorii pe coastele Mediteranei.

În călătoriile sale a întâlnit numeroși comercianți de la care a învățat sistemul lor aritmetic, familiarizându-se astfel cu sistemul numeric considerat azi indo-arab, dar inventat de vedici.

Fibonacci și-a terminat călătoriile în jurul anului 1200 după care s-a întors la Pisa, unde a început să scrie un număr semnificativ de texte ce au jucat un rol important în reactualizarea cunoștințelor matematice ale antichității și la care a adăugat propriile sale contribuții.

Trăind în epoca premergătoare tiparului, el și-a scris de mână toate lucrările. Dintre acestea, există astăzi copii ale următoarelor: Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), și Liber quadratorum (1225).

Din păcate multe altele s-au pierdut, spre exemplu lucrarea Di minor guisa, care făcea referire la numerele iraționale. Totuși ceea ce l-a făcut faimos pe Fibonacci, nu au fost teoremele abstracte, ci aplicațiile practice și soluțiile găsite de el la diverse probleme matematice.

“Liber abaci”, publicată în 1202, este un tratat de aritmetică și algebră care exprimă cunoștințele acumulate de autor în timpul călătoriilor sale. Cartea, după care s-au făcut numeroase copii, a reliefat valoarea și utilitatea sistemului numeric zecimal hindus (care utilizează cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), contribuind și el la introducerea acestuia în Europa.

Cifrele Brahmi au fost inițial 9:

Fig. 4. Numeralele Bramhi.

Sistemul numeral hindus-arab, sau sistemul numeric hindus este un sistem numeric în baza zece, având în zilele noastre cea mai frecventă reprezentare simbolică a numerelor din lume. A fost inventat între secolele I-IV d.Hr de matematicieni hinduși. Sistemul a fost adoptat, prin matematicienii persani (Al-Khwarizmi în 825 prin cartea ”Cu privire la calculul cu cifre hinduse”) și matematicienii arabi ( Al-Kindi în 830 în volumul ”Cu privire la utilizarea cifrelor hinduse”- Ketab fi Isti'mal al-'Adad al-Hindi), în secolul al IX-lea. Mai târziu a fost răspândit în lumea occidentală a Evului Mediu.

Sistemul se bazează pe zece (inițial nouă) hieroglife diferite Aceste seturi de simboluri pot fi împărțite în trei familii principale: numerele hinduse utilizate în subcontinentul indian, în cifrele oriental-arabe utilizate în Egipt și Orientul Mijlociu, precum și cifrele utilizate în vestul arab Maghreb și în Europa.

Dar revenind la Fibonacci, lucrarea Liber abaci descrie de asemenea regulile după care se efectuează operațiile aritmetice elementare (adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea), oferind și soluții pentru ilustrarea metodelor de calcul. În același timp el studiază și modul de rezolvare a ecuațiilor liniare. Partea a doua a cărții este o colecție de probleme cu care se confruntau comercianții arabi, probleme legate de prețul mărfurilor, calcularea profitului, conversia valutelor, probleme referitoare la progresiile aritmetice și geometrice, precum și multe alte probleme originare din China.

Una din problemele din partea a treia a tratatului Liber abaci, cunoscută ca problema iepurilor, a condus la introducerea numerelor și a secvenței Fibonacci, pentru care acesta este de fapt foarte cunoscut astăzi.

Problema Iepurilor

Să presupunem că avem o pereche de iepuri: un mascul și o femelă. Câți iepuri vom avea la sfârșitul anului luând în considerație o serie de presupuneri ideale și anume: 1. niciun iepure nu moare între timp din cauze naturale și nici nu este mâncat de prădători. 2. fiecare femelă se reproduce în fiecare lună, începând cu a doua lună de existență 3. de fiecare dată când se reproduce, o femelă dă naștere unei perechi mascul-femelă de iepuri.

Fig. 5. Problema iepurilor.

În 1220 Fibonacci publică Practica geometriae, un compendiu de geometrie și trigonometrie, iar în 1225 lucrarea Flos, în care Fibonacci ajunge la soluția uneia din ecuațiile celebre la acea vreme 10x + 2×2 + x3= 20, ecuație pe care Johannes din Palermo încerca de ceva vreme să o rezolve și pe care Fibonacci a rezolvat-o folosind metoda aproximării.

Liber quadratorum, scrisă în 1225, este de departe cea mai impresionantă operă a lui Fibonacci. Cartea introduce o teorie a numerelor, o analiză a pătratelor perfecte, iar printre altele examinează diverse metode de a afla numerele pitagorice și face referiri și la radicalii de ordinul trei. Liber quadratorum îl consacră pe Fibonacci drept mai mare matematician până la Pierre de Fermat (1601 – 1665).

3. Șirul lui Fibonacci

Șirul acestor numere, numit și seria Fibonacci, se obține foarte ușor: începe cu 0 și 1. Elementul “n” se obține însumând elementul “n-2” cu elementul “n-1”.

Șirul, nemărginit, este 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc.

1 + 1 = 2

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5+ 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

34 + 55 = 89

……

Asadar, fiecare element din șir corespunde sumei celor două precedente. Ei bine, ce este atât de special în legătură cu aceste secvențe de numere? Aflăm cu 3 secole mai târziu, când Luca Paccioli publică, în 1509, lucrarea Divina Proporțione, în care vorbea despre proporția divină a corpului uman, în arhitectură și matematică. Această carte este considerată ca fiind primul tratat despre numărul de aur.

Conform lui Paccioli, numărul de aur are nu numai proprietăți matematice, estetice, dar și mistice.

Acest potențial simbolic ia naștere datorită modului în care forma spirală a mediei se aseamănă cu tiparele de creștere observate în natură, iar proporțiile sale aduc aminte de cele regăsite în corpurile umane. Astfel, aceste simple spirale și dreptunghiuri, care au servit la sugerarea prezenței unei ordini universale aflate la baza lumii, au fost, din acest motiv, numite „de aur” sau „divine”.

Fig. 6. Coperta lucrării De Divina Proportione a lui Luca Pacioli, ediția princeps.

În esență, acest raport se află pretutindeni în jurul nostru și în interiorul nostru. Din acest motiv, psihologul german Adolf Zeising (1810-1876) l-a numit „o lege universală” care conține principiul de bază al tuturor eforturilor către frumusețe și completitudine atât în natură, cât și în artă, care este totodată prezentă, ca ideal spiritual suprem, în toate structurile, formele și proporțiile, fie ele cosmice sau individuale, organice sau anorganice, acustice sau optice. Aceasta, totuși, își găsește întruchiparea deplină în forma umană.

Dacă facem o incursiune în istoria numerelor și a proporțiilor, în lumea artei și în natură, elementul comun ce unește știința, matematica, arta, natura, domenii care aparent nu pot fi relaționate, este ”Numărul / Proporția de Aur”.

Proporția de Aur a fascinat intelectualii occidentali din diverse domenii timp de cel puțin 2.400 de ani. Se consideră că cele mai vechi monumente care sunt cunoscute și care au fost clădite potrivit acestui număr atrăgător sunt statuile din cadrul Partenonului grecesc, datând din perioada 490-430 î.Hr. Totuși, există mulți oameni care au argumentat faptul că numărul datează cu mult mai înainte și că egiptenii erau bine informați în privința proprietăților acestui număr unic.

Egiptenii au considerat că proporția de aur ca fiind sacră și, prin urmare, aceasta a fost foarte importantă în religia lor. Egiptenii foloseau proporția de aur când își construiau templele și mormintele. În plus, ei au găsit că proporția de aur era plăcută privirii și au folosit-o ca atare în sistemul de scriere și în aranjamentele templelor pe care le-au ridicat.

Fig. 7. Un triunghi Kepler.

Piramida lui Kheops respectă și ea regula de aur. Dacă împărțim înălțimea sa la jumătatea bazei sale, obținem 1,618… În termeni matematici, triunghiul format se numește triunghi Kepler. Acesta este o particularitate a triunghiului dreptunghic, pentru care este caracteristică prezența unui unghi drept, iar laturile acestuia constituie o progresie geometrică și în același timp raportul lungimilor laturilor este egal cu cu secțiunea de aur.

Conform teoremei lui Pitagora, într-un triunghi Kepler avem egalitatea:

1 + φ = φ2

Prima definiție consemnată a raportului de aur datează din perioada în care matematicianul grec Euclid (cca. 325- cca. 265 î. Hr.) a descris ceea ce el a numit „raport mediu și extrem”. Totuși, proprietățile unice ale raportului au ajuns să fie popularizate în secolul 15, când estetica a devenit o componentă vitală a artei renascentiste, iar geometria a servit, în același timp, unor scopuri practice și simbolice.

Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fapt, sistemul de numărare al naturii, un mod de măsurare al Dinivității. Aceste numere apar peste tot în natură, pornind de la aranjamentul frunzelor, de la șabloanele petalelor unei flori și ajungând la falangele mâinii umane, de la zile de naștere și până la zidurile Piramidelor.

Fig. 8. Triunghiul de aur al lui Pitagora.

Se spune că există o legătură între creșterea naturală a plantelor și numărul de aur: proporția tainică a acestui număr, reprezentată fie în triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora, în elipsa de aur din tradiția hindusă sau în spirala de aur care păstrează și ea proporția de 1,618.

Fig. 9. Spirala de aur formată pe triunghiuri de aur imbricate.

Spirala de aur este ubicuă în natură. O găsim în vârtejurile generate de apa care curge, în tornadele generate de mișcarea curenților de aer, de la dispunerea brațelor galaxiilor până la cochilia melcilor, la dispunerea petalelor de trandafir sau a frunzelor și semințelor din regnul vegetal și probabil de aici i s-a tras și numele de „formula fericirii”.

Fig. 10. Spirale de aur la dispunerea inflorescenței florii de mușețel.

Secvența Fibonacci apare în structurile biologice, cum ar fi numărul ramurilor copacilor, așezarea frunzelor în jurul tulpinii plantelor, compunerea unui con de brad, desfășurarea ramurilor unei ferigi, aspectul unui ananas, etc. Nu numai dispunerea, dar și numărul spiralelor numărate într-un sens, în sensul opus și chiar numărul petalelor florilor respectă progresia Fibonacci… Floarea de turnesol are 21 de spirale care se formează în direcția acelor de ceasornic și 34 în sens invers. Aceeași situație pentru acele de pin. Floarea soarelui are 55 de spirale într-o direcție și 89 în cealaltă (55 și 89 sunt numere consecutive din șirul Fibonacci), lucru valabil pentru inflorescențele din stratul exterior, care sunt cele mai vizibile.

În mod similar, semințele dintr-un con sunt aranjate într-un tipar în spirală. Fiecare con constă într-o pereche de spirale, fiecare răsucindu-se spre în sus și în direcții opuse. Numărul de pași se va potrivi aproape întotdeauna unei perechi de numere Fibonacci consecutive. De exemplu, la un con 3-5 este unul pe care spiralele se vor reîntâlni în spate după trei pași pe spirala stângă și 5 pași pe cea dreaptă.

Fig. 11. Spirale Fibonacci în natură. Exemplu un conul de pin 8-13. 8 spirale în sensul acelor de ceasornic, 13 spirale în sens trigonometric.

Fig. 12. Mai multe exemple de serii Fibonacci în natură.

Proporția de aur este exprimată prin modul de dispunere a ramurilor de-a lungul tulpinilor plantelor și a nervurilor din frunze. Phi poate fi observat în scheletele animalelor și oamenilor, precum și în ramificarea venelor și nervilor acestora. Numărul poate fi văzut chiar și în proporțiile compușilor chimici și în geometria cristalelor.

În ultimul timp s-a încercat o extindere a seriei Numerelor de Aur în spațiul cu trei și chiar mai multe dimensiuni. Astfel, din punct de vedere tridimensional se poate vorbi de Volumul de Aur, care definește un paralelipiped în care raportul dintre lungime și înălțime este egal cu raportul dintre înălțime și lățime, acest raport, numindu-se Numărul de Aur 3D. De fapt în acest paralelipiped, armonia constă în faptul că înălțimea este medie geometrică între lungime și lățime, ceea ce confera structurii o unitate specială.

În același timp numerele Fibonacci apar în numeroase probleme de știință, apărând atunci când procese de auto-organizare șisau consum minim de energie sunt implicate în biologie (așezarea frunzelor pe tulpină, cod genetic ADN), fizică (legăturile hidrogenului, teoria haosului, superconductivitate), astrofizică (pulsari, găuri negre), chimie (cvasicristale, modele de proteine AB) și tehnologie (tribologie, rezistori, calculatoare cuantice, etc.).Ele se regăsesc în analiza algoritmului lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun a două numere întregi, în rezolvarea problemei lui Hilbert, în teorema lui Zeckendorf, etc. În muzică, numerele Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea acordajelor.

4. Fibonacci și anatomia umană

Chipul uman este caracterizat din punct de vedere estetic prin câteva dimensiuni principale: distanța dintre ochi, distanța dintre gură și ochi, distanța dintre nas și ochi, dimensiunea gurii. În estetică se apreciază că acesta este cu atât mai plăcut ochiului cu cât aceste dimensiuni respectă mai bine secvența lui Fibonacci.

Fig. 13. Frumusețea chipului uman, indiferent de rasă, religie, sex și alte variabile se conformează Proporției de Aur.

Avem 2 mâini, cu 5 câte degete, fiecare având 3 falange separate prin două articulații. Toate numere din șirul lui Fibonacci…. Măsurători făcute pe radiografiile a 100 de voluntari având ca obiect lungimea oaselor degetelor, au determinat că dimensiunile falangelor sunt de 2, 3 și respectiv 5 cm, iar în continuare osul palmei are circa 8 cm (2, 3, 5, 8 fiind numere din secvența Fibonacci), iar raportul dintre osul cel mai lung și cel din mijloc, ca și raportul dintre osul mijlociu și cel mai scurt din vârf reprezintă Proporția de Aur Phi.

Fig. 14. Lungimea medie a oaselor palmei respectă secvența Fibonacci, conform unui studiu din 2003 pe 100 voluntari sănătoși.

Secțiunea divină este omniprezentă în proporțiile corpului uman. Astfel, ombilicul împarte corpul în secțiunea de aur, care se regăsește, de asemenea, și în rapoartele dintre: distanța de la ombilic la genunchi și distanța de la genunchi la sol distanța de la ombilic la sol și distanța de la ombilic la genunchi înălțimea corpului și distanța de la umăr la degetul mijlociu (măsurată cu brațul paralel cu solul) distanța de la linia umerilor la vârful capului și lungimea capului.

Fig. 15. Proporția de Aur – etalonul de frumusețe umană.

De asemenea, segmentele brațului și ale palmei sunt proporționate în Secțiunea de Aur, care apare în rapoartele dintre: distanța de la vârful degetului mijlociu la umăr și distanța de la vârful degetului mijlociu la cot, distanța de la vârful degetului mijlociu la cot și distanța de la încheietură la cot oasele metacarpiene.

Fig. 16. Proporția de Aur la brațul uman.

Numărul de aur este considerat un adevărat trademark a frumuseții, valabil pentru chipuri din toate timpurile, de la Nefertiti, din vechiul Egipt, la actrițele și actorii populari ai zilelor noastre. Câteva exemple în care se regăsește secțiunea de aur sunt raporturile dintre: lungimea și lățimea feței distanța dintre buze și linia unde sprâncenele se întâlnesc, și lungimea nasului lungimea gurii și lățimea nasului distanța dintre pupile și distanța dintre sprâncene.

Fig. 17. Proporția de Aur la chipul uman.

Proporții similare pot fi observate din lateral, de exemplu urechea (ce urmează de-a lungul unei spirale logaritmice). Este demn de notat că fiecare corp al unei persoane este diferit, dar că mediile prin secțiunea statistică a unei populații tind către „phi”. S-a mai spus și că, cu cât mai strâns aderă proporțiile noastre la „phi”, cu atât mai „atractive” sunt percepute acele trăsături.

Fig. 18. Forma urechii umane urmărește tiparul Proporției de Aur.

Ca un exemplu, cele mai frumoase zâmbete sunt cele în care incisivii centrali sunt cu 1,618 mai lați decât incisivii laterali, care sunt cu 1,618 mai lați decât caninii și așa mai departe. Este destul de posibil ca, dintr-o perspectivă evolutiv-psihică, să fim pregătiți să ne favorizăm formele fizice care aderă la proporția de aur – un potențial indicator al unei bune forme fizice și capacități de reproducere.

Fig. 19. Proporția de Aur la dentiția maxilarului superior, etalon în industria de profil.

Uterul

Potrivit lui Jasper Veguts, ginecolog la Spitalul Universitar Leuven din Belgia, care a măsurat dimensiunile uterului la 5000 de femei, doctorii pot spune dacă un uter arată normal și sănătos, bazându-se pe dimensiunile relative ale acestui organ – dimensiuni ce aproximeaza proporția de aur.

5. Fibonacci în microcosmosul subcelular

Proporția de Aur este omniprezentă, începând chiar de la “cărămizile vieții”, lanțurile de ADN:

Fiecare ciclu al moleculei de ADN măsoară 34 angstromi lungime și 21 de angstromi lățime.

34 și 21 sunt numere Fibonacci, 34/21 este în raport cu Phi = 1.619.

Fig. 20. Proporția de Aur în ADN.

Dacă împărțim intervalul 0°C – 100°C – corespunzător punctului de solidificare, respectiv punctului de fierbere a apei – în secțiunea de aur, obținem valoarea de aproximativ 38,1°C, aceasta fiind temperatura organelor interne din corp, cu alte cuvinte temperatura la care se află apa în interiorul unui organism uman viu.

Fig. 21. Proporția de Aur la temperatura medie a organismelor vii φ2. φ1 reprezintă temperatura dincolo de care viața nu mai poate continua.

Secțiunea de Aur se regăsește în activitatea inimii, în raportul dintre presiunea sistolică și cea diastolică a sângelui, care este apropiat de 1,61. Ciclurile undelor înregistrate electrocardiografic par să fie și ele în legătură cu Numărul de Aur. Electrocardiograma reprezintă înregistrarea grafică a activității electrice a inimii, diferențele de potențial generate de miocard ajungând la suprafața corpului, unde pot fi măsurate cu ajutorul unor electrozi plasați la suprafața pielii. În starea de repaus, membrana celulelor miocardului este polarizată electric pozitiv la exterior și negativ în interiorul celulelor. Prin depolarizare se înțelege inversarea încărcării electrice a membranei (datorată unor schimburi ionice), însoțită de apariția așa-numitelor potențiale de acțiune (mușchiul se contractă).

Fig. 22. Proporția de Aur în ritmul cardiac.

“Revenirea din starea de depolarizare în starea polarizată electric din repaus se numește repolarizare. Fiecare ciclu cardiac produce trei unde electrice distincte, numite P, QRS și T. Unda P corespunde activării atriale (propagarea depolarizării prin miocardul atrial), undele Q, R, S formează complexul de activare ventriculară (propagarea depolarizării prin miocardul ventricular), iar unda T reprezintă repolarizarea ventriculelor. Repolarizarea atriilor are loc simultan cu QRS, dar este mascată de amplitudinea depolarizării ventriculare. Aspectul electrocardiogramei variază considerabil, în funcție de o gamă de factori. Unii cardiologi susțin că poziționarea undei T în Secțiunea de Aur a ciclului cardiac denotă o stare de sănătate și armonie.”

6. Fibonacci și anatomia animală

Corpurile animalelor prezintă tendințe similare, inclusiv delfinii (ochii, aripioarele și coada se încadrează, ca proporții între ele, ca Secțiuni de Aur), stelele de mare, aricii de mare, furnicile și albinele.

Fig. 23. Proporția de Aur se regăsește inclusiv la regnul animal, precum în acest exemplu cu un delfin.

Fig. 24. Proporția de Aur se regăsește și la insecte.

Scoica numită Nautil crește în spirală. Același model de creștere este urmat de cochiliile melcilor și nautilușilor și se observă la cochlea urechii interne. Spiralele respectă regula de aur, respectiv, raportul dintre diametrul unei spirale și cea următoare este egal cu Phi, numărul de aur. Aceasta poate fi văzută și la coarnele anumitor specii de capră și la forma unor pânze de păianjen.

Fig. 25. Secțiunea de Aur prezentă în scoica melcilor Nautilus.

Dacă ne referim la dinamicile reproductive ale albinelor, acestea urmează Șirul lui Fibonacci în alte moduri interesante. Cel mai bun exemplu este cel al împărțirii numărului de femele dintr-o colonie la numărul masculilor (femelele întotdeauna depășesc numeric masculii). Răspunsul este uzual ceva foarte apropiat de 1,618. În plus, arborele genealogic al albinelor urmează și el același model familiar. Masculii au un părinte (o femelă), în timp ce femelele au doi părinți (o femelă și un mascul). Deci când se ajunge la arborele genealogic, masculii au 2, 3, 5 și 8 bunici, străbunici, stră-străbunici, respectiv stră-stră-stră…….străbunici. Urmând același model, femelele au 2, 3, 5, 8, 13 și așa mai departe. După cum s-a notat, fiziologia albinei urmează și ea destul de strâns Curba de Aur (spirala logaritmică).

7. Fibonacci și regnul vegetal

Dacă se privește o plantă de sus în jos se observă că frunzele sale sunt astfel dispuse încât cele de deasupra nu le obturează pe cele de dedesubt. În acest fel fiecare frunză primește suficientă lumină solară și permite apei de ploaie să alunece către tulpină și să fie dirijată spre rădăcină – o altă armonie a naturii înconcordanță cu secvența lui Fibonacci.

Fig. 26. Dispunerea frunzelor pe o spirală logaritmică 3D.

Fig. 27. Secțiunea de Aur prezentă în dezvoltarea ferigilor.

Șirul lui Fibonacci mai poate fi văzut în modul în care se formează sau se ramifică ramurile copacilor. Un trunchi principal va crește până produce o ramură, care generează două puncte de creștere. Apoi, una dintre noile tulpini se va ramifica în două, în timp ce cealaltă rămâne latentă. Acest model de ramificare este repetat pentru fiecare dintre noile tulpini. Un bun exemplu este coada-șoricelului (Achillea ptarmica). Sistemele rădăcinilor și chiar și algele prezintă acest model.

Fig. 28. Șirul lui Fibonacci guvernează creșterea plantelor.

Fig. 29. Numărul de petale al florilor se regăsește în șirul lui Fibonacci.

De asemenea, numărul de petale al multor flori face parte din secvență: 1 (calele), 2 (Comelina Communis), 3 (crinii și irișii), 5 (pintenul cocoșului), 8 (nemțișorii), 13 (gălbenelele), 21 (ochiul boului), 34, 55 sau chiar 89 (margaretele).

Fig. 30. 3 spirale logaritmice în interiorul unei verze roșii.

8. Fibonacci și materia fără viață

Galaxiile spirale

Ca fapt divers, galaxiile spirale par să sfideze legile fizicii newtoniene. Încă din 1925, astronomii au realizat că întrucât viteza unghiulară de rotație a discului galactic variază cu distanța față de centru, brațele radiale ar trebui să devină curbate, pe măsură ce galaxia se rotește. Ulterior, după câteva rotații, brațele spirale ar trebui să se înfășoare în jurul unei galaxii. Dar ele nu o fac – de aici așa-numita problemă a înfășurării. Stelele din exterior, se pare, se miscă cu o viteza mai mare decat era de așteptat – o trăsătură unică a cosmosului, care îi permite să își rețină forma.

Fig. 31. Calea Lactee are două brațe spirale, fiecare dintre ele fiind o spirală logaritmică de circa 12 grade.

Cicloanele și tornadele

Fig. 32. Ciclonul urmează o dezvoltare de tip spirală logaritmică.

9. Proporția de Aur în arhitectură

«Încă din antichitate arhitecții au căutat să descopere sisteme de diviziune care să asigure atât regularitatea obținută prin folosirea unui modul cât și furnizarea unei serii gradate de diviziuni mai mici sau mai mari, legate între ele. Un pas în această direcție a fost realizat, când în loc să fie modulate dimensiunile proiectului, sunt gândite ca fracțiuni ale întregului: dimensiunile importante, de exemplu, pot fi ½, 1/3, ¼, 1/5 din lungimea clădirii. […] Arhitectul are astfel la dispoziție o scară gradată de diviziuni în care subdiviziunile mai mici sunt legate de părțile mai mari, în același fel în care acestea sunt legate de întreaga lungime a clădirii. Aceasta pare să fie soluția sugerată de Vitruviu[…] » Autorul continuă apoi « Sistemele armonice pun la îndemâna proiectantului mijloacele de corelare sistematică a dimensiunilor mari și a celor mici unele cu altele și cu întreaga clădire. Dar ele aduc o gamă limitată de dimensiuni optime »

Fig. 33. Sistemul Modulor al lui Le Corbusier bazat pe Secțiunea de Aur

Un sistem bazat pe secțiunea de aur tocmai atrăsese atenția lui Le Corbusier ca bază pentru al său Modulor. «Ideea inițială era diferită. În loc de a pune la îndemână mijlocul de divizare în fracțiuni a unei dimensiuni mari date, ele ne oferă o gamă de dimensiuni constant corelate între ele.» Evident, datorită proprietăților remarcabile ale numărului φ. Le Corbusier, strălucit analist, susținea chiar că «formele secțiunii de aur sunt acelea pe care un bun arhitect le caută conștient sau inconștient.»

Arhitectura, trebuind așadar să se adapteze principalului său beneficiar, omul, a preluat de la acesta dimensiunile și proporțiile și prin acestea, implicit și aspirațiile estetice și conceptele de frumos preprogramate la nivel biologic în acesta. Concentrându-se spre găsirea unui sistem care să satisfacă o nevoie foarte contemporană, aceea de a avea un sistem unitar de forme, care să permită în practică utilizarea producției de masă în folosul construcțiilor, Le Corbusier rezolva și cealaltă problemă, cea estetică, «găsind orașelor în special, un antidot atât de necesar împotriva haosului vizual.»

Combinarea esteticului cu practicul nu era însă o invenție a secolului XX. Numeroși artiști și arhitecți și-au proporționat operele pentru a ajunge cu aproximație la proporția de aur, considerând că rezultatul va fi mai valoros din punct de vedere estetic. Și aceasta pentru că «încă din timpul epocii de aur a arhitecturii grecești, corpul omenesc a fost considerat exemplul viu, perfect de simetrie și euritmie, care trebuie să servească drept sursă de inspirație pentru arhitect, ba chiar drept model în conceperea planurilor. Vitruviu, a cărui lucrare nu conține nici-o inovație personală, ci prezintă tradiția deja veche de cinci secole de arhitectură grecească, insistă îndelung asupra acestui aspect; când va trata despre coloane, el va compara proporțiile coloanei dorice (modul de 6/1 între înălțime și diametrul mediu) cu cele ale corpului bărbătesc, proporțiile coloanelor ionice (modul 8/1) vor evoca corpul grațios al femeilor, cele ale coloanelor corintice (modul 10/1) corpurile zvelte ale fecioarelor.»

Fig. 34. Plan Hagia Sofia din Istanbul cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur.

Prin folosirea acestor rapoarte, un arhitect poate schița o clanță de ușă care are o relație complementară cu ușa, care, la rândul său, are o relație similară cu zidul din jurul său ș.a.m.d. Însă, mai mult decât atât, proporția de aur a fost folosită pentru fațadele marilor clădiri, de la Parthenon la Marea Moschee din Kairouan și de la Notre Dame de Paris până la repere moderne, cum ar fi Opera din Sydney și Galeria Națională de la Londra, sau turnul Eiffel din Paris.

Fig. 35. Secțiunea de Aur stă la baza concepției artistice și constructive a Parthenon-ului.

Fig. 36. Arcul lui Constantin cu exemplificarea Dreptunghiurilor de Aur.

Fig. 37. Notre Dame de Paris. Proporții de Aur în plan orizontal și vertical.

Fig. 38. Turnul Eiffel din Paris este dimensionat conform Secțiunii de Aur.

10. Proporția de Aur în pictură

Leonardo da Vinci a fost primul care a sesizat că părțile care compun corpul uman respectă proporția de aur.

Fig. 39. Omul Vitruvian al lui Leonardo da Vinci

Alți mari pictori precum Michelangelo, Botticelli, Dali, Mondrian, Georges Seurat, utilizează în picturile lor numărul de aur.

Fig. 40. Crearea lui Adam. Proporția de Aur este prezentă în raportul dintre Om și Divinitate

Fig. 41. Dimensiunile pânzei Nașterea lui Venus și aranjamentul elementelor cheie respectă proporția de aur

Fig. 42. Studiul preparator al Atomic Leda demonstrează folosirea ca element de bază a pentagramei

Fig. 43. Compoziție în Roșu, Albastru și Galben de Piet Mondrian arată recurența dreptunghiului de aur

Fig. 44. Secțiunea, Spirala și Proporția de Aur în compoziția Bathers at Asnières de Georges Seurat

Fig. 45. Secțiunea de Aur în faimoasa Mona Lisa a lui Leonardo da Vinci

“Privind tabloul în întregime, distanta între degetul drept și fruntea Mona Lisei este de 1,618 ori distanta dintre degetul drept și clavicula acesteia. Partea dreaptă a obrazului este în „raport de aur” cu latura mică a „dreptunghiului de aur” original.

„Proporții de aur” din tablou: distanța dintre baza gâtului și pupila ochiului cu distanța dintre baza gâtului și partea de sus a frunții distanța dintre partea dreaptă a obrazului și partea dreaptă a nasului cu lățimea feței distanța dintre bărbie și partea de jos a buzelor cu distanța dintre bărbie și baza nasului”

11. Proporția de Aur în sculptură. Brâncuși și Numărul de Aur

Constantin Brâncuși, marele sculptor român (1876 – 1957) a fost fascinat de proporția de aur și majoritatea operelor sale au fost realizate după îndelungate studii matematice referitoare la această proporție. Brâncuși era convins de profunda legătura sau simbioză între religie și artă în istoria umanității.

Fig. 46. Proporția de Aur la Poarta Sărutului de Constantin Brâncuși. Simbolul principal este

12. Proporția de aur în muzică

În muzică, secțiunea de aur poate apărea în diverse ipostaze, regăsindu-se în construcția de instrumente, în organizarea structurilor sonore sau la nivelul arhitectonic al pieselor muzicale.

Construcția de Instrumente Muzicale

Unul din modurile de reprezentare al raportului de aur în domeniu muzicii este construcția de instrumente. Raportul de aur apare destul de des în construcția viorii unde arcul de la baza instrumentului este centrat în segmentul corespunzător secțiunii de aur de deasupra liniei centrale. Respectarea proporției numărului de aur a condus la performanțele superioare ale viorilor create de Stradivarius. În anul 1969, lutierul Johann Goldfuβ a executat în mod special o vioară conform acestui tipar pe baza dimensiunilor elaborate de Matila Ghika, ce corespund întocmai proporției divine.

Fig. 47. Proporția de aur utilizată la dimensionarea unei viori

În construcția pianului prezența raportului de aur se poate observa și mai concret printr-o simplă observare a claviaturii. Orice octavă (do-do, fa-fa, sol-soletc.) de pe orice instrument cu claviatură conține opt clape albe și cinci negre, toate aceastea însumând 13 clape.

Fig. 48. Raportul de aur la claviatura unei octave.

Mai mult, în octava do-do de pildă, clapele negre sunt împărțite la rândul lor în grupuri de două și trei elemente. Putem lesne observa că această succesiune a termenilor corespunde întocmai șirului lui Fibonacci (…2, 3, 5, 8, 13.). Unii teoreticieni susțin chiar că sunetele reprezentative ale tonalității (fundamentala, terța și cvinta acordului de tonică) indică clapele 1, 3, 5 și uneori 8.

Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, celestă și percuție a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând numerele Fibonacci.

13. Proporția de Aur în Design

Seriile Fibonacci se regăsesc la baza unora dintre cele mai iconice branduri din lume din ziua de astăzi:

Fig. 49. Sigla Apple este compusă din cercuri aflate în raportul de aur

Fig. 50. Sigla Mercedes Benz are și ea la bază Proporția de Aur

Fig. 51. Atracția este ascunsă în suprafețele care respectă proporția de aur

14. Concluzie

Șirul lui Fibonacci și proporțiile așa-zise de aur care emană din el sunt expresia unui principiu fundamental care guvernează spațiul și energia din Universul cunoscut, având a face la nivel intim cu cheltuirea minimă de energie pentru umplerea maximă a spațiului cu materie.

Regăsindu-se de la nivel cuantic până la forma galaxiilor, acoperind toate spectrele vieții (vegetal, animal, uman) proporția de aur este ubicuă în jurul și înăuntrul nostru.

Oamenii, ființe dotate cu capacitatea de contemplare, au descoperit-o în înfățișarea celor mai atractivi semeni ai lor, i-au acordat proprietăți divine, și au nemurit-o replicând-o în construcțiile pe care le-au ridicat.

Grecii au preluat aceste cunoștințe de la Egipteni, Romanii de la Greci, iar Renașterea Italiană de la monumentele lăsate de Romani. Artiștii italieni redescopereau astfel frumusețea și proporțiile corpului uman ascunse de secole de obscurantism religios studiind ruinele și statuile ascunse de un mileniu de invazii și uitare.

Frumusețea nou descoperită nu avea numai valențe estetice, ci și practic. Și așa cum știința secolelor care s-au scurs de atunci a dovedit-o, progresia lui Fibonacci ducea la un principiu armonic universal. Omul se redescoperea astfel pe sine, ca măsură a tuturor lucrurilor, parte a unui întreg și începea să își cultive, conștient, latura sa divină în efortul său creator.

Cercul evoluției percepției estetice devenea astfel complet depășind însă constrângerea celor 2 dimensiuni. Văzut din spațiul 3D el este o spirală logaritmică care tinde la infinit. Matematica frumosului este această spirală în care fiecare parte a ei este un model la scară al întregului.

15. Plan de Lecție

a. Introducere noțiunea de Șir Fibonacci

b. Exemplificări Șiruri Fibonacci în natură, anatomie, artă

c. Calculul iterativ al primelor 7 numere din Șirul Fibonacci

d. Desenarea unui Dreptunghi de Aur folosind Rigla, Echerul și Compasul.

16. Lista Figurilor