Matematica contribuie esențial la educarea memoriei , atenției , voinței , imaginației , la amplificarea setei de cunoaștere și are un rol important… [311009]

[anonimizat] , voinței , imaginației , la amplificarea setei de cunoaștere și are un rol important în educația estetică a celor ce o studiază . [anonimizat] o dezvoltare foarte accentuate . Problematica de care se ocupă a devenit mai vastă și mai variată .

Polinoamele constituie un domeniu foarte important și bine studiat al algebrei tradiționale.[anonimizat] .

Între teoremele aritmeticii numerelor întregi și unele teoreme ale ale aritmeticii polinoamelor există o mare asemămare . Predarea lor prin analogie duce la o înțelegere mai profundă a noțiunilor .

[anonimizat] a fost dinuată prin reforma actuală . [anonimizat] , raționale și reale . Până în clasa a XII- a (când ar trebui făcută analogia între aritmetica numerelor întregi și aritmetica polinoamelor ) , aceste noțiuni nu sunt diversificate sau amplificate . În clasele de gimnaziu trebuie predate cunoștințe ce înlesnesc formarea unei structuri cognitive operaționale și a unei baze acceptabile de modelare intuitivă . Datorită dificultăților interioare ale aritmeticii asimilarea ei nu se poate face într-o formă succesibilă elevilor de liceu apoi se vor da exemple și de alte mulțimii de numere pentru care se pot da teoreme de împărțire cu rest care să ne permită să construim și pentru ele o anumită aritmetică . [anonimizat]-un mod unitar . Aceasta va genera performanțe superioare . Un plus de rigoare în școală determină un plus în facultate .

Prezenta lucare se adresează elevilor din clasa a XII- a care studiază matematica și profesorilor de matematică și reprezintă un mijloc de fixare a cunoștințelor despre polinoame și a consideraților metodice privind predarea inelelor de polinoame .

Lucrarea este strucurată pe trei capitole . Primul capitol cuprinde noțiuni teoretice referitoare la inele de polinoame : construcția inelului de polinoame într-o nedeterminată ([anonimizat]) [anonimizat] , proprietatea de universalitate a [anonimizat], teorema lui Bézout, derivata formală a [anonimizat]ète , aritmetica inelului de polinoame peste un corp comutativ ([anonimizat] o consecință a teoremei de împărțire cu rest a polinoamelor; aici intra și algoritmul lui Euclid de determinare a c.m.m.d.c. a doua polinoame); descompunerea unui polinom (în mod unic) [anonimizat], teorema fundamentală a [anonimizat] a algebrei (ca aplicație a polinoamelor simetrice). [anonimizat] ,, Căi de eficientizare a predării- învățării polinoamelor la elevii din învățământul preuniversitar ’’ sunt trecute în revistă principiile didacticii ,, adaptate ’’ [anonimizat]. [anonimizat]-[anonimizat]lemelor , noțiunile studiate anterior . Tipurile de exerciții și metodele de rezolvare propuse în această lucare vor aduce cu siguranță o îmbunătățire a rezulatelor obținute de elevi . Problemele sunt deosebitde utile din punct de vedere metologic , calitativ . Ele au grade de dificulate variată și deschid noi orizonturi în vederea însușirii matematicii , în particular a inelor de polinoame , în învățământul preuniversitar . Se evidențiază etapele în care au fost parcurse în cercetarea realizată

Lucrarea urmărește ca elevii să capete o deschidere cât mai largă spre studiul sistematic al polinoamelor și ecuațiilor algebrice ,iar prin acesta sa le înslenească trecerea către studiul unei problematici de nivel înalt .

Capitolul al III- lea conține diverse probleme rezolvate prin care se fixează notiunile teoretice prezentate în primele doua capitole .

Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de abstractizare a elevilor . Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice .

Capitolul I

I.1. Construcția inelului de polinoame într-o nedeterminată

Fie A un inel comutati și unitar.

Se consideră șirurile f = (a0, a1, a2,…), pentru care .

Fie A[X] mulțimea șirurilor de acest tip. Pe A[X] se definesc două operații – adunarea și înmulțirea – în raport cu care A[X] devine inel comutativ și unitar.

Fie f, g A[X], adunarea se definește astfel:

f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2,…).

Evident, f + g are un număr finit de termeni nenuli .

Într-adevăr, cum

în acest caz, pentru , ak=0, bk=0, deci ak + bk = 0. Atunci f + g este un element din A[X] și deci este bine definită.

A[X] împreună cu adunarea formează grup abelian, deci adunarea are proprietățile:

este asociativă

(f + g) + h = ((a0+b0, a1+b1, …)) + (c0, c1, c2,…) = ((a0+b0)+c0, (a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2, …) = (a0+(b0+c0), a1+(b1+c1), a2+(b2+c2),…) = f + (g + h)

este comutativă (f + g) = (a0+b0, a1+b1, …)=( b0+a0, b1+a1, …)=(g+f)

are element neutru

f = (a0, a1, a2,…) => f + 0A[X] = (a0+0, a1+0, a2+0,…) = (a0, a1, a2,…) = f

din comutativitate => 0A[X] + f = f

opusul unui element

f + (-f) = (a0, a1, a2, …) + (-a0, -a1, -a2, …) = =(a0+(-a0), a1+(-a1), a2+(-a2),…) = (0, 0, 0, …) = 0A[X]

Dar adunarea este comutativă => (-f) + f = 0A[X]

Înmulțirea în A[X] se definește astfel:

f · g = (a0 · b0, a0 · b1 + a1 · b0, a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0, …) = (c0, c1, c2, …) unde

Înmulțirea definită astfel este:

asociativă

f ·(g ·h) = (f · g) · h și notăm

f · g = (d0, d1, d2,…) =>

notăm g · h = (d0’, d1’, d2’,…) =>

deci (f · g) · h=f · (g · h).

comutativă

unde:

dar A este inel comutativ => f · g=g · f.

are element neutru

(1, 0, 0, …) este element neutru față de înmulțire

f = (a0, a1, a2,…) => f · 1A[X] = (a0, a1, a2,…) · (1, 0, 0,…) = (a0 · 1, a0 · 0 + a1 · 1, a0 · 0 + a1 · 0 + a2 · 1, …) = (a0, a1, a2,…) = f

înmulțirea este distributivă față de adunare:

f · (g + h) = f · g + f · h

(f + g) · h = f · h + g · h

Notăm: f = (a0, a1, a2,…) , g = (b0, b1, b2,…) și h = (c0, c1, c2,…)

f · (g + h) = (a0, a1, a2,…)(b0+c0, b1+c1, b2+c2,…) =

=(a0(b0+c0), a0(b1+c1)+a1(b0+c0), a0(b2+c2)+a1(b1+c1)+a2(b0+c0),…) =

=(a0b0, a0b1+a1b0,…) + (a0c0, a0c1+a1c0,…) = f · g + f · h

Propoziția 1.1.1. Dacă A este un inel unitar comutativ, atunci mulțimea A[X] (a șirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreună cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus, este un inel comutativ și unitar.

Consecință Tripletul este inel comutativ și unitar. Elementele acestui inel se numesc polinoame peste inelul A sau polinoame cu coeficienți în A.

Dacă f = (a0, a1, a2, a3,…) este un polinom nenul și dacă n este cel mai mare număr natural cu proprietatea an ≠ 0 atunci n se numește gradul polinomului și se notează cu grad(f). Prin convenție, gradul polinomul nul este .

Dacă grad(f) = n, atunci a0, a1, a2,…, an se numesc coeficienții polinomului f.

Fie aplicația u:A -> A[X], definită prin u(a) = (a, 0, 0, …)

(a, 0, 0, …) = (b, 0, 0, …) => a = b, rezultă că u este injectivă.

Mai mult, u este un morfism de inele:

Deoarece, după definiție este evident că:

(a, 0, 0, …) + (a’, 0, 0, …) = (a + a’, 0, 0, …) și

(a, 0, 0,…) · (a’, 0, 0, …) = (a · a’, 0, 0,…).

Deci u este morfism injectiv. Astfel, putem identifica elementul a din A cu imaginea sa prin u, adică cu polinomul (a’, 0, 0,…) din A[X] și A se poate considera un subinel al lui A[X].

Notăm: X = (0, 1, 0, …) care se numește nedeterminata X

X2 =(0, 0, 1, …) și, în general, pentru orice i natural nenul

Xi=(0, 0, …0, 1, 0, …) ,unde 1 se găsește pe poziția i+1.

Fie f un polinom de grad n ai cărui coeficienți sunt a0, a1, a2, …, an, adică f = (a0, a1, …, an, 0…). Folosind adunarea și înmulțirea pe A[X] se obține:

f = (a0, a1, a2, ……, an, 0, 0, …) = (a0, 0,…) + (0, a1, 0,…) + (0, 0, a2,…) + …+ (0, 0, …, an, 0,…) = (a0, 0, 0, …) + (a1, 0, 0, …) · (0, 1, 0, …) + (a2, 0, 0, …) · (0, 0, 1, 0, …) + … + (an, 0, 0, …) · (0, 0, …, 0, 1, 0, …)

După notațiile făcute f se mai poate scrie: f = a0 + a1X1 + a2X2 + … + anXn

Inelul A[X] se numește inelul polinoamelor în nedeterminata X, cu coeficienți în inelul A și se notează A[X].

grad(f + g) ≤ max(grad(f) , grad(g)) și grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g), pentru orice polinoame f și g din A[X].

Dacă A este un domeniu de integritate, se poate înlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Un element se numește divizor al lui zero dacă există astfel încât Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se numește inel integru domeniu de integritate.

Propoziția 1.1.2. Dacă A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[X] este domeniu de integritate.

Demonstrație Fie f și g două polinoame din A[X]:

f = a0 + a1X1 + a2X2 + … + amXm , am ≠ 0

g = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bnXn , bn ≠ 0

atunci f · g = a0b0 + (a0b1 + a1b0) ·X + … + (am-1bn + ambn-1) ·Xm+n-1 + ambnXm+n

A fiind domeniu de integritate rezultă că ambn ≠ 0 și, deci, f · g ≠ 0A[X].

În particular, pentru un corp K inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în K este inel integru.

Un element este inversabil (sau element unitate ) dacă există astfel încât . Elementul y este determinat în mod unic de și este notat . Mulțimea elementelor inversabile ale lui A formează un grup abelian (multiplicativ), notat cu . Un corp este un inel în care și orice element nenul este inversabil.

Propoziția 1.1.3. Fie A un domeniu de integritate și A[X] inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienți în A. Atunci elementele inversabile ale lui A[X] coincid cu elementele inversabile ale inelului A.

Demonstrație Fie inversabil în A, adică există astfel încât

a · b = 1. Această relație are loc și în A[X] deci a este inversabil în A[X].

Invers, fie f un polinom din A[X] inversabil. Atunci există un polinom g astfel încât f · g = 1 și deci grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0 de unde grad(g) = grad(f) = 0, adică . Deci, și f inversabil în A.

În particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile sunt polinoame de grad 0 și numai acestea.

I.2. Proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame

Teorema 1.2.1.  Fie A un inel comutativ unitar, A[X] inelul de polinoame de o nedeterminata cu coeficienti in A, iar  : A  B un morfism unitar de inele. Atunci pentru ()   B, ( !) u : A[X]  B astfel incat  u   =  si u(X) = unde B este un inel comutativ , adica diagrama:

A   A[X]

u

B

este comutativa.

Demonstratie:  Fie f  A[X] ,  f = a0 + a1X1 + a2X2 + … + amXm , am ≠ 0

Definim  u : A[X]  B ,   u (f) =  .

Faptul ca u este morfism unitar de inele, rezultă din următoarele relții, care se verifică imediat:

() f , g  A[X] ,  g = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bnXn , bn ≠ 0

u (f + g) = uf+ug  = u (f) + u(g)

u(fg)= u (f) u (g)= u(g) u(f).

u (f g) = (uf)g =(ug)f =f(ug)

Este evident din definiție ca u  =  și că  u (1) = 1.

Pentru a demonstra unicitatea, fie u : A[X]  B  astfel incat     u  = . Atunci pentru orice f  A[X],

u (f)  = u (f).

Plecând de la inelul A[X] se poate construi acum inelul polinoamelor în doua nedeterminate. Un element F  A[X][Y] va fi un polinom în variabila Y cu coeficienti in A[X] si se va scrie:

F = ,  unde F0 , F1 , … , Fn  A[X].

Identificăm pe A[X] ca subinel al inelului comutativ A[X][Y] în sensul că polinoamele de gradul 0 în Y sunt polinoame din A[X], iar în general dacă m = max grad ( ), Vom demonstra acum teorema care ne asigură unicitatea scrierii unui polinom F  A[X][Y].

Teorema 1.2.2.  Dacă F  A[X][Y], unde A[X][Y] este un inel comutativ , F =  unde F0 , F1 , … , Fn  A[Y]. este identic nul, atunci aij = 0  () i , j.

Demonstrație: Într-adevăr, F =  = 0 în A[X][Y] este echivalent cu () j = 0 , 1 , … , m , = 0 în inelul A[X], ceea ce este echivalent cu  aij = 0  () i , j

Considerăm acum inelul comutativ A[Y][X] care se construiește similar cu A[X][Y] pornind de la inelul A[Y] și adjuncționând pe X.

Teorema 1.2.3.   Următorul rezultat se demonstrează ușor folosind propietatea de universalitate a inelor de polinoame. Daca A este inel comutativ unitar, A[X][Y] A[Y][X].

Inel cât. Fie A un inel și un ideal. Mulțimea cât este înzestrată în mod canonic cu o structură de inel, care se numește inelul cât . Morfismul de inele este surjectiv și îl numim protecție canonică.

Teorema 1.2.4.( de izomorfism) Fie un morfism de inele, I=ker f,un ideal al lui A inclus în I și protecția canonică. Atunci:

1) Există un unic morfism astfel încât .

2) Morfismul este injectiv dacă și numai dacă

3) Morfismul este surjectiv dacă și numai dacă f este surjectiv.

În particular .

Fie A și B două inele. Notăm este determinat de restricția sa la A și de imaginile nedeterminatelor

Fie A un inel. Numim A-algebră un inel B înzestrat cu un morfism (care, în acest volum, este în cele mai multe situații injectiv) . A-algebră B se numește de tip finit dacă este generată de un număr finit de elemente , în sensul următor: orice element al lui B se poate obține ca un polinom în cu coeficienți în A. Altfel spus, inelul B este izomorfism cu un cât al inelului de polinoame

I .3 . Funcția polinomială asociată polinomului. Rădăcina unui polinom

Definiția 1.3.1. Fie B un inel comutativ cu element unitate, A un subinel al lui B și

Se numește funcție polinomială asociată polinomului f aplicația definită astfel: .

Proprietăți ale funcțiilor polinomiale:

Propoziția 1.3.1. Dacă f și g sunt două polinoame din A[X] și , respectiv funcțiile asociate lor, atunci și , adică funcțiile atașate polinoamelor sumă, respectiv produs, sunt egale cu suma funcțiilor, respectiv produsul funcțiilor atașate celor două polinoame.

Demonstrație Fie și . Atunci și

.

Din definiția 1 și din faptul că sunt elemente ale unui inel comutativ rezultă: , deci , adică .

Avem de unde

adică

Observație Un polinom și funcția polinomială asociată sunt noțiuni distincte. Un polinom este o expresie formală, o funcție polinomială are un domeniu de definiție, un codemeniu și o lege de corespodență determinată de expresia polinomului.Două polinoame pot să aibă funcții polinomiale asociate egale, fără ca polinoamele să fie egale.

Exemplu: Fie B = A = Z3 și ,

Evident, f ≠ g, dar φ(f) = φ(g) deoarece .

Definiția 1.3.2.1 Elementul se numește rădăcină a polinomului dacă .

Definiția 1.3.2.2. Fie . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă există un polinom astfel încât . Notăm sau .

Consecința 1.3.1. Fie un corp comutativ, adică din .

Dacă pentru i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n sunt „n” rădăcini distincte ale polinomului f atunci există astfel încât: f = (X-a1)(X-a2) … (X-an)q.

1.4 Rădacinile polinoamelor cu coeficienți în

Rădăcinile polinomului cu coeficienți întregi

Fie ,

Propoziție1.4.1 : Dacă , , are rădăcini întregi atunci acestea sunt divizori ai lui

Observație : Această proprietate ne ajută să rezolvăm ecuațiile cu coeficienți numere întregi deoarece numărul divizorilor lui este finit și prin schema lui Horner putem găsi aceste rădăcini .

Rădacinile polinomului cu coeficienti raționali

Fie

Propoziție1.4.2 : Dacă , ,are rădăcini raționale de forma , unde p și q sunt numere prime între ele ,adica (p,q)=1 atunci și .

Observație :Pentru a găsi rădăcinile raționale ale lui scriem mulțimile divizorilor lui și , și respectiv . Scriem toate fracțiile care au ca numărător elemente din și ca numitor elemente din si apoi aplicăm schema lui Horner pentru a afla rădăcinile raționale ale lui .

Propoziție 1.4.3 : Dacă , , și este o rădăcină irațională a lui atunci și ca rădăcină .

Rădăcinile polinomului cu coeficienți reali

Fie

Propoziție1.4.4 : Dacă , , și el admite o rădăcină complexă unde atunci el admite rădăcină și pe

1.5. Proprietăți ale rădăcinilor unui polinom . Derivata unui polinom

În acest paragraf R va fi un domenie de integritate . Atunci R va fi deasemenea un domeniu de integritate.

Fie , ,două polinoame din R. Spunem ca f divide g și scriem dacă există astfel încât . În caz contrar , spunem că f nu divide g și scriem .

Observăm că pentru orice polinom nul , iar polinomul nul divide numai pe el însuși .

1.5.1 Teorema lui Bézout

Fie R domeniu de integritate și un f un polinom din . Atunci este o rădăcină a polinomului dacă și numai dacă .

Demonstrație : Fie , , , astfel încât . Atunci

Deoarece divide pentru orice rezultă că . Reciproc dacă , atunci cu . Deci , adică este o rădăcină a lui

1.5.2 Derivata formală a unui polinom și rădăcini multiple

Definiție : Spunem că elementul din domeniul de integritate este rădăcină de ordin de multiplă de ordin i sau rădăcină de ordin de multiplicitate i a polinomului din , dacă ,iar .

Este clar, după teorema lui Bézout , că din este rădăcină multiplă de ordin i a polinomului din ,astfel încât :

cu

Propoziție1.5.2.1 : Fie domeniu de integritate , iar și polinoame din . Dacă este rădăcină multiplă de ordin i a lui și respectiv rădăcină multiplă de ordin j a lui , atunci este rădăcină multiplă de ordin i+j a produsului .

Demonstrație : Avem cu și cu . Atunci și cu este domeniu de integritate . Deci este rădăcină de ordin de multiplicitate i+j a lui .

Demonstrație : Avem cu și cu . Atunci și cum este domeniu de integritate . Deci este rădăcină de ordin de multiplicitate a lui .

Propoziția 1.5.2.2 : Fie un domeniu de integritate și un polinom nenul din . Dacă elementele din sânt rădăcini distincte ale lui , de ordine de multiplicitate , atunci se scrie sub forma :

unde

Demonstrație : Procedăm prin inducție după . Pentru =1 , propoziția rezultă din definiție (Spunem că elementul din domeniul de integritate este rădăcină de ordin de multiplă de ordin i sau rădăcină de ordin de multiplicitate i a polinomului din , dacă ,iar ) . Presupunem că că propoziția este adevărată pentru -1 și arătăm că ea este adevărată pentru

Există deci astfel încât

Atunci și cum pentru orice

Notând avem cu și deoarece rădăcină a lui de ordin de multiplicitate este clar că este rădăcină a lui de acelasi ordin de multipicitate . Într-adăvăr , și cu . atunci de unde și deci

Cum , atunci , adică . Avem deci și continuăm procedeul de atâtea ori cât este ordinul de multiplicitate al rădăcini a lui .

Obținem deci

Observație : Când numărăm rădăcinile unui polinom și nu specificăm că sunt distincte , considerăm fiecare rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de multiplicitate .

Din cele de mai înainte rezultă :

Corolarul 1.5.2.2 : Dacă este un domeniu de integritate și un polinom din cu , atunci are cel mult n rădăcini .

Observație : Dacă nu este domeniu de integritate , afirmația din corolarul precedent nu este neapărat adevărată .

Fie inelul care nu este domeniu de integritate . De exemplu , (0,1) (1,0)=(0,0) și deci are divizori ai lui zero . Să considerăm polinomul din al cărui grad este 1 . Orice element (0,n) din este rădăcină a lui deoarece și deci are o infinitate de rădăcini.

1.6 Relațiile lui Viète

Fie un domeniu de integritate și

un polinom nenul din . Dacă sânt rădăcinile lui f în , atunci

Demonstrație: După propoziția 1.5.2.2 putem scrie

cu Indentificând coeficientul lui din ambii membri, avem .Deci

de unde, prin indentificarea coeficienților în cele două scrieri ale lui f se obțin relațiile cerute.

Relațiile de mai sus se numesc relațiile dintre rădăcinile și coeficienții unui polinom sau relațiile lui Viète.

1.7 Aritmetica inelului de polinoame peste un corp comutativ

În această parte a lucrării se studiază comparativ diferite proprietăți aritmetice ale inelelor , K corp comutativ. Se expun mai întâi rezultate referitoare la teorema împărțirii cu rest, cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun. Se dau apoi rezultatele fundamentale referitoare la descompunerea unui polinom în produs de polinoame ireductibile. Prin corp înțelegem un corp comutativ.

1.7.1 Teorema împărțirii cu rest

Fie K un corp.

Teorema1.7.1.1 (a) este domeniu de integritate.

(b) Pentru orice și

(c) Elementele inversabile ale inelului sunt polinoamele constante nenule , altfel spus ,

Teorema 1.7.1.2 Teorema împărțirii cu rest

Fie A un inel comutativ și fie astfel încât g este un polinom nenul cu coeficientul dominant inversabil (e.g, g unitar).Atunci există și sunt unice polinoamele q,r astfel încât :

Polinoamele f,g,q,r se numesc deîmpărțit,împărțitor,cât și respective rest, iar egalitatea se numește indentitatea împărțirii.

Demonstrație : Fie r=f-gq polinomul de grad cel mai mic între toate polinoamele de forma cu . Dacă , atunci fie monomul conducător a lui f-gq și monomul conducător al lui g. Atunci este un polinom de grad<grad(f-gq), contradicție.

Probăm unicitatea lui q și r. Fie astfel încât f=gq’+r’ și grad(r’)<grad(g). Scăzând cele două expresii ale lui f rezultă g(q-q’)=r’-r și grad(r’-r)<grad(g). Cum g are coeficientul dominant inversabil , rezultă ca r’-r=0,astfel grad(r’-r)=grad(g(q-q’)) grad(g). Așadar r’=r și din egalitatea g(q-q’)=0 rezultă qq’=q, din nou pentru că g are coeficientul dominant inversabil .

Teorema 1.7.1.3 Teorema împărțirii cu rest pentru și

Fie D= sau . Atunci pentru orice , există și sunt unice astfel încât cu

Numerele /polinoamele a,b,q,r se numesc deîmpărțit, împărțitor, cât și respective rest, iar egalitatea a=bq+r se numește indentititatea împărțirii.

Demonstrație: Cazul D=. Demonstrăm mai întâi existența lui q și r.

Fie r=a-bq cel mai mic număr întreg 0 de forma cu . Dacă , atunci , contradicție. Probăm unicitatea lui q și r. Fie astfel încât a=bq’+r’ și . Scăzând cele două expresii ale lui a rezultă b(q-q’)=r’-r, deci r’-r=0 deoarece . Așadar r’=r și din egalitatea b(q-q’)=0 rezultă q’=q deoarece . Cazul D=K[X] a fost demonstrat în teorema 1.7.1.2

Corolar Fie K un corp și un polinom de grad . Atunci elementele inelului factor se reprezintă unic sub forma cu . În particular, dacă K este finit cu q elemente, atunci are elemente.

Demonstrație : Fie . Dacă este împărțirea cu rest a lui q la f, atunci .În plus, dacă cu , atunci f divide , deci h=0, deoarece grad(f)=n.

Fie sau K[X] și fie . Spunem că b divide a și notăm dacă există cu a=bc. Se mai spune că b este un divizor (factor) al lui a sau ca a este multiplu de b. Dacă , atunci restul împărțirii lui a la b este zero.

Pentru orice , (deoarece 0= ), și (deoarece a= ). În K[X], pentru orice și deoarece .

Elementele a, b se zic asociate (în divizibilitate), dacă și . Divizibilitatea are următoarele proprietăți.

Teorema 1.7.1.3.1 : Fie sau K[X] și fie a,b,c . Atunci :

(a) dacă și numai dacă

(b) Dacă și atunci,

(c) Dacă și , atunci pentru orice

(d) Dacă atunci

(e) Elementele a, b sunt asociate dacă și numai dacă

Deci a,b sunt asociate dacă și numai dacă există astfel încât a=ub.

Demonstarție .

Avem șirul de echivalențe .

Cf. (a) , , deci

Fie . Cum și , rezultă că b,c , deci ,deoarece aD este ideal.

este evidentă.

Cazul e clar. Presupunem că D=K[X]. Dacă f=dg cu ,atunci ,deci și . Reciproc, să presupunem că și . Deci există cu g=fu și f=gv. Rezultă f=fuv.Dacă f=0, atunci g=fu=0 și putem scrie f=1g. Dacă, atunci uv=1, deci u,v

Teorema 1.7.1.3.2

Fie sau K[X]. Atunci orice ideal al lui D este principal.

Demonstrație.

Afirmația este clară în cazul idealului nul. Fie I un ideal nenul și fie \{0},g de modul minim în cazul respective g de grad minim în cazul D = K[X]. Arătăm că I=gD. Incluziunea e clară. Pentru a proba incluziunea , fie f. Conform teoremei de împărțire cu rest, există astfel încât f=gq+r cu în cazul ,respectiv grad(r) grad(g) în cazul D = K[X].Cum r=f-gq , r nu poate fi decat nul, altfel contrazicem alegerea lui g. f=gq .

Conform punctului (e) din teorema 1.7.1.3.1, generatorul g al idealului nenul I este determinat până la semn în cazul , respectiv până la o multiplicare cu o constantantă nenulă din K în cazul D = K[X].

Teorema 1.7.1.3.3

Fie sau K[X] și a,b . Atunci (a,b) și [a,b] există și auloc relațiile :

(a)

(b)

(c)elementele (a,b)[a,b]și ab sunt asociate.

Demonstrație

Conform teoremei 1.7.1.3.2, există astfel încât aD+bD=dD.Atunci dD=aD+bDeD,deci .

Conform teoremei 1.7.1.3.2,există astfel încât . Deoarece ,rezultă că și . Fie un multiplu comun al lui a și b. Rezultă că , deci .

Punem d=(a,b) și m=[a,b]. Dacă a=0 sau b=0, afirmația e clară. Presupunem că a,b sunt nenule , deci d,m sunt nenule. Elementul se divide cu a și b. Rezultă că ,deci dm divide ab. Evident ,deci . În plus este un divizor comun al lui a și b. Deci ,adică . Așadar ab și dm sunt asociate.

Teorema 1.7.1.3.4

Fie sau K[X] și fie a,b,c \{0}.

Dacă d=(a,b), atunci există a’,b’ astfel încât d=aa’+bb’.

a,b sunt reletaiv prime dacă și numai dacă există a’,b’astfel încât 1=aa’+bb’.

Dacăd=(a,b), atunci sunt relative prime.

(ac,bc) și (a,b)c sunt asociate.

Dacă a,b sunt prime cu c, atunci ab este prim cu c

Dacă și a este prim cu b, atunci .

Demonstrație.

Afirmația (a) rezultă din punctul (a) al Teoremei 1.7.1.3.3 , (b) rezultă din (a), iar (c) rezultă din (a) și (b).

Fie d=(a,b). Conform Teoremei 1.7.1.3.3 aD+bD=dD. Deci aici rezultă ușor că acD+bcD=cdD, deci cd=(ac,bc).

Cum a,b sunt prime cu c, putem scrie 1= au+cv , 1=bu’+cv’ cu u,u’,v,v’ . Înmulțindaceste relații avem 1=ab(uu’)+c(bu’v+auv’+cvv’),deci ab este prim cu c, conform (b).

Din (d) rezultă că (ac,bc) și c sunt asociate. Cum deducem că .

Teorema 1.7.1.3.5

Fie sau K[X] și fie cu . Atunci () și [] există și au loc egalitățile :

(a) ,

(b) și

(c)

Demonstrație

Pentru (a) și (b) adaptează demonstrația Teoremei 1.7.1.3.3. Vom ilustra demonstrația lui (c ) pe cazul n=3. Fie a,b,c,d,e astfel încât d=(b,c) și e=(a,d). Arătăm că e=(a,b,c). Din relațiile și ,rezultă că e este un divizor comun al elementelor a,b,c. Acum fie f un divizor comun al elementelor a,b,c. Deducem că ,deci .

1.7.2. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid.

Fie C corpul numerelor complexe.

Definiție. Fie f, gC[X]. Spunem că polinomul dC[X] este un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f,g dacă:

1) d este un divizor comun pentru f,g, adică d | f și d | g ;

2) orice alt divizor comun pentru f și g il divide pe d, adică () d’C[X] d’ | f, d” | g d’|d.

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (c.m.m.d.c.) f, g va fi notat cu (f,g). Arătăm că oricare ar fi două polinoame f,gC[X], există (f,g), și-l vom construi efectiv prin așa-numitul algoritm al lui Euclid.

Teoremă. Dacă f,g,q,rC[X] astfel încât f = gq + r și dacă există (g,r), atunci există (f,g) și mai mult (f,g) = (g,r).

Demonstrație. Fie d + (g,r). Deci d | g, d | r și d | gq + r (combinație de g și r). Prin urmare d | f, adică d este un divizor pentru f și g. Dacă d’ este un alt divizor comun pentru f și g, atunci avem d’ | f – gq, adică d’ | r. Deci d’ este un divizor comun pentru g și r și cum d = (g,r) rezultă d’|d. în final d = (f,g).

Teoremă. Oricare două polinoame din C[X] au un c.m.m.d.c.

Demonstrație. Fie f,gC[X]. Dacă f = 0, atunci (0,g) = g, deoarece g | 0, g | g, iar dacă d’ | 0 și d’ | g, atunci d’ | g și deci (0,g) = g.

Analog se tratează cazul în care f ≠ 0, g=0 când (f,0) = f.

Presupunem acum că f ≠ 0 și g ≠ 0. Se împarte polinomul de grad mai mare la cel de grad mai mic. Presupunem că grad(f) grad(g) și considerăm următorul lanț de împărțiri cu rest:

, <

, < grad(g)

, <

…………………………………..

rn-3 = , grad(rn-1) < grad(rn-2)

.

Resturile obținute la împărțirile de mai sus au proprietatea grad(r1) > grad(r2) > …

Gradele sunt distincte două câte două și aparțin mulțimii {0,1,2,…,grad(r1)}. Deci în inegalitățile de mai sus – cu grade, întâlnim, de exemplu, restul rn-1 ≠ 0 și rn = 0.

Să arătăm că ultimul rest nenul rn-1 reprezintă cel mai mare divizor comun al polinoamelor f, g. Aplicăm lema în mod repetat (de jos în sus în lanțul de relații) și avem:

rn-1 = (rn-1,0) = (rn-2,rn-1) = (rn-3,rn-2) = … = (r1,r2) = (g,r1) = (f,g).

Deci, date fiind două polinoame f,gC[X], f,g ≠ 0 (cazul interesant) pentru a determina (f,g) se realizează lanțul de împărțiri cu rest de mai sus dacă grad(f) grad(g). Dacă grad(g)grad(f), atunci se inversează rolul lui f cu g.

Modul de a obține c.m.m.d.c. a două polinoame se numește algoritmul lui Euclid.

Observații. 1) Să remarcăm că c.m.m.d.c a două polinoame este unic până la o asociere în divizibilitate, în sensul că dacă d = (f,g), d’ = (f,g), atunci d ~ d’, adică există aC – {0}, astfel încât d = ad’. Într-adevăr din d = (f,g) și d’ | f, d’ | g -> d’ | d. Analog din d’ = (f,g) și d | f, d | g d | d’. Acum din d’ | d și d | d’ rezultă d ~ d’.

2) Dacă f, g sunt descompuse în factori ireductibili, atunci (f,g) se obține luând factorii comuni la puterea cea mai mică.

3) Dacă în lanțul de împărțiri, o egalitate se înmulțește cu aC – {0}, atunci, în final, c.m.m.d.c. nu se modifică, acesta fiind unic până la asocierea cu o constantă nenulă din C, adică (f,g) = (af, bg),() a,bC*.

Fie f, gC[X], d = (f,g). Atunci există u,vC[X] astfel încât d = uf + vg.

Demonstrație. Este imediată mergând de jos în sus cu exprimarea ultimului rest nenul rn-1.Această consecință a teoremei afirmă că c.m.m.d.c. pentru polinoamele f, g se exprimă ca o combinație de ele.

Definiție. Fie f,gC[X]. Spunem că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă (f,g) = 1. Ținând seama de relația precedentă, dacă două polinoame f,gC[X] sunt prime între ele, atunci exista u,v astfel încât 1 = uf + vg.

Pentru acest caz are loc și reciproca.

O propoziție utilă în rezolvarea unor probleme cu polinoame este următoarea:

Teoremă. Fie f,gC[X] astfel încât f | gh și (f,g) = 1. Atunci f | h.

Demonstrație. Din (f,g) = 1 se deduce existența polinoamelor u, vC[X] astfel încât 1 = uf + vg. Se înmulțește relația cu h și avem h = ufh + vgh. Cum f | gh, rezultă că există f1C[X] astfel încât gh = f f1, iar egalitatea ultimă devine h = ufh + vff1 sau h = f(uf + vf1).

De aici f | h.

Observație. Dacă f,g Z[X], atunci (f,g) Z[X]; dacă f,gQ[X], atunci înmulțirea lor cu numere naturale convenabile permite să le aducem în Z[X]; dacă f,gR[X], atunci (f,g)R[X], etc.

1.7.3. Descompunerea unui polinom (în mod unic) ca produs de polinoame ireductibile

Polinoame ireductibile

Definiție 1. Un polinom fC[X] se numește ireductibil peste C (sau incă ireductibil în C[X]) dacă are gradul cel putin unu și dacă nu are divizori proprii.

În caz contrar, el se numește reductibil peste C (sau încă reductibil în C[X]).

Așadar, un polinom fC[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel puțin) g, hC[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = gh.

Analog, un polinom fR[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel puțin) g,hR[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = gh.

De asemenea, un polinom fQ[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două polinoame (cel puțin) g,hQ[X] (Z[X]), de grad cel puțin unu pentru care f = gh.

O clasă importantă de polinoame ireductibile din C[X] este dată de următoarea propoziție:

Propoziție. Orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X]) este un polinom ireductibil.

Definiție 2. Fie un domeniu de integritate și . Spunem că :

a divide b și notăm , există astfel încât b=ac

a și b sunt asociate în divizibilitate și notăm dacă și

Definiție 3. Fie un domeniu de integritate și U()={. Un element se numește:

ireductibil dacă sau (în caz contrar spunem ca p este reductibil)

prim dacă , sau

Observație. Orice element prim din este element ireductibil. Reciproca acestei implicații este falsă. Cea mai cunoscută condiție suficientă pentru a avea ,,primireductibil’’ este ca oricare dou[ elemente din să admită un c.m.m.d.c. În particular, cele două conceptecoincid în inele eucldiene, principale sau factoriale.

Caracterizări. Fie un domeniu de integritate și . Atunci :

p= ireductibil (p) = element maximal în mulțimea idealelor principale proprii ale lui . În particular, dacă este un inel principal, atunci p=ireductibil (p) =ideal maximal al lui .

p=prim (p)=ideal prim al lui .

Observații. Dacă K este un corp comutativ, atunci inelul de polinoame K[X] este euclidian, deci :

Orice polinom nenul din K[X] poate fi scris ca un produs finit de polinoame ireductibile peste K.

Polinoamele ireductibile peste K determină ideale maximale în K[X]. Acest fapt este extrem de util în construcția corpurilor finite. Mai precis, dacă p,n cu

p= prim, atunci un corp finit cu elemente (unicul până la un izomorfism!) este ,unde este un polinom ireductibil de grad n.

Avem astfel o puternică motivație pentru studiul polinoamelor ireductibile și în particular, pentru identificarea unor criterii de ireductibilitate.

1.7.3.2 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

Creteriul 1.

Fie f . Atunci f este ireductibil dacă și numai dacă deg(f)=1

Fie .Atunci f este ireductibil dacă și numai dacă deg(f)=1 sau deg(f)=2 și f nu are rădăcini reale.

Criteriul 2. Fie K un corp comutativ și .

Dacă deg(f)=1, atunci f este ireductibil peste K

Dacă deg(f) , atunci f este ireductibil peste K f nu are rădăcini în K. Exmplu : este ireductibil peste

Observații.

Implicația ,, ’’ de mai sus are loc și pentru deg(f) 4 (Bèzout).

Implicația „ ’’ de mai sus nu are loc în absența ipotezei deg(f) . Spre exemplu polinomul nu are rădăcini în , dar este reductibil peste

Criteriul 3.

Fie un domeniu de integritate și cu . Notăm reciprocul lui f polinomul . Atunci f este ireductibil în este ireductibil în .

Exemple. 1. este ireductibil în .

2. este ireductibil în , unde p=prim și .

Observație. Fie un domeniu de integritate. Un polinom se numește primitiv dacă c.m.m.d.c . Dacă este inel și atunci legătura dintre ireductibilitatea lui f peste și ireductibilitatea lui f peste corpul de fracții K al lui este următoarea:

f este ireductibil în [X] f este primitiv și ireductibil în K[X].

Criteriul 4.(Eisenstein).

Fie un inel, K corpul de fracții al lui , cu și un element prim cu proprietatea:

; b), i= 0, 1, 2,…, n-1; c) . Atunci f este ireductibil în K[X]. Dacă, în plus, f este primitiv, atunci el este ireductibil în K[X].

Exemple . 1. în Z[X];

2. în , unde p=prim și ;

3. în Z[X], unde p=prim;

4. în Z[X], unde p=prim;

5. în Z[X,Y];

Criteriul 5 (Perron).

Fie polinomul , unde și . Dacă , atunci f este ireductibil în .

Exemple. Următoarele polinoame sunt ireductibile în :

1.

2. unde

3. și .

Criteriul 6. Fie două domenii de integritate, corpurile lor de fracții și un morfism de inele. Presupunem că este inel și notăm cu morfismul de inele definit prin și Dacă satisface: a) b) este ireductibil în atunci este ireductibil în

Caz particular. Fie p=prim, și redusul lui f modulo p. Dacă:

a)

b) este ireductibil în , atunci f este ireductibil în . Dacă, în plus, f este primitiv, atunci el este ireductibil în .

Exemple. Următoarele polinoame sunt ireductibile în :

1. ;

2. unde p=prim, și .

Criteriul 7 (Schönemann).

Fie polinomul ce are coeficientul dominant 1 și poate fi scris sub forma unde și p este prim,iar polinoamele g, h satisfac:

a) este ireductibil în b) Atunci f este ireductibil în .

Exemple. Următoarele polinoame sunt ireductibile în :

1. unde ;

2. unde și p=prim, .

Criteriul 8 (Cohn).

Dacă un număr prim p se exprimă în baza 10 sub forma , i=0,1,…,n, atunci polinomul este ireductibil în .

Exemplu. este ireductibil în (9973=prim).

Generalizare. Fie un număr natural și polinomul astfel încât i=0,1,…,n. Dacă f(b) este un număr prim, atunci polinomul f este ireductibil în .

Observație. O reciprocă a criteriului lui Cohn este următoarea: Dacă este un polinom primitiv ireductibil, atunci există o bază b astfel încât coeficienții lui f formează reprezentarea unui număr prim în baza b. Aceasta constituie o celebră problemă deschisă, cunoscută sub titulatura de Conjectura lui Buniakovsky.

Pólya și Szegö au dedus un criteriu de ireductibilitate pentru polinoame cu coeficienți întrgi din studiul marginilor rădăcinilor lor.

Criteriul 9.

Dacă f este un polimom cu coeficienți întregi și există astfel încât: a) ; b)f(m) este num[r prim; c) pentru orice rădăcină z a lui f, atunci polinomul f este ireductibil în .

Exemplul. este ireductibil în (m=2 satisface condițiile).

Tot lui Pólya îi datorăm și următorul criteriu:

Criteriul 10.

Dacă este un polinom de grad n astfel încât există distincte cu i=1,2,…,n,unde atunci f este ireductibil peste .

Inspirate de rezultatele de mai sus, au fost stabilite mai multe criterii de ireductibilitate pentru polinoame cu coeficienți întregi ce au coeficient suficient de mare sau iau o valoare primă. Amintim aici două din ele, probate de matematicienii români A.I. Bonciocat și N.C. Bonciocat în anul 2009.

Criteriul 11.

Dacă un număr prim se exprimă ca o sumă de numere întrgi cu și atunci polinomul este ireductibil peste .

Criteriul 12.

Dacă toți coeficienții unui polinom f sunt și există astfe încât f(m) este număr prim, atunci polinomul f este ireductibil peste .

În final menționam că pentru toate criteriile de mai sus cunoscute numeroase generalizări.

1.7.3. Polinoame simetrice

Fie un inel comutativ unitar, fixat. Fie și (grupul permutărilor de n obiecte). Există un unic morfism de -algebre astfel încât ( am folosit proprietatea de universaliate a -algebrei de polinoame ). Dacă , atunci :

Definiție. Fie un inel comutativ unitar și . Spunem că g este polinom simetric în dacă, , are loc relația

Dacă este integru, de corp de fracții K, considerăm (corpul de fracții al inelului integru , numit corpul fracțiilor raționale în nedeterminatele cu coeficienți în K ). Se definește noțiunea de fracție rațională simetrică, astfel: se prelungește la un unic morfism de corpuri (notat tot cu ) ; are loc, g,h, : . Fracția rațională se numește simetrică dacă are loc .

Exemple. În polinoamele următoare sunt simetrice: , , . Polinomul nu este simetric în ( dar este simetric în ).

Observații. a) Mulțimea polinoamelor simetrice este o subalgebră a lui : dacă g,h atunci . Analog se verifică celelalte condiții.

Arătați că, dacă K este corp, atunci fracțiile raționale simetrice din formează un subcorp .

Dacă apare ca monom în polinomul simetric , atunci, apare ca monom în g.

Definiție. Fie și Se numește polinom simetric fundamental ( sau elementar) de grad k în polinomul

.

este așadar suma tuturor produselor de k nedeterminate distincte alese din are așadar monoame. Prin convenție, se pune =0 pentru k>n și . Polinomul este omogen de grad k (toate monoamele sale au gradul k). Întrucât depinde de numărul de nedeterminatelor, uneori vom nota ( pentru a evita confuziile. De exemplu, pentru n=4;

Polinoamele simetrice fundamentale apar în relațiile dintre coeficienții și rădăcinile unui polinom.

Teoremă. a) Fie și . În [X] are loc relația:

b) Dacă este subinel al inelului integru S și are rădăcinile , atunci

Demonstrație. a) Inducție după n.

b) Există un unic morfism de -alegebre astfel încît și . Avem, din a)

Pe de altă parte, (în corpul de fracții K al lui S , au aceleași rădăcini și acelașii coeficient dominant). Se indentifică coeficienții.

Lemă 1. a) Fie (A,) și (B, ) două mulțimi bine ordonate. Atunci este o mulțime bine ordonată de ordinea lexicografică dată de:

dacă și numai dacă a˂a’ sau (a=a’ și b).

b) Într-o mulțime bine ordonată (A,) nu există șiruri infinite strict descrescătoare.

c) nmulțimea a termenilor din este bine ordonată de ordinea lexicografică (deci nu există un șir infinit strict descrescător de termeni).

Demonstrație. a) Reamintim că mulțimea ordonată (A,) se numește bine ordonată dacă orice submulțime nevidă a lui A are un prin element. Fie nevidă. Cum cu (a,b), iar A este bine ordonată, există primul său element (deci (a,b) , ). Fie Există primul element al lui . Atunci este primul element al lui S: (a,b), avem sau ˂ a (deci (˂ (a,b)) sau = a, caz în care , deci .

b)Fie un șir descrescător de elemente din A. Atunci mulțimea are un prim element, fie acesta . Pentru , avem deci cum (șirul este descrescător

c ) Inducție după n. Dacă n=1, este izomorfă ca mulțime ordonată cu , care este bine ordonată. Dacă n˃1, cu ordinea lexicografică este izomorfă cu cu ordinea definită ca la punctual a). Din ipoteza de inducție, este bine ordonată și din a) rezultă bine ordonată.

Teoremă- Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice

Fie un inel comutativ unitar și g un polinom simetric din . Atunci există un unic polinom astfel încât .

Cu alte cuvinte notând cu S subalgebra polinoamelor simetrice din ,unicul morfism de – algebra cu prorietatea că (pentru este un izomorfism.

Demonstrație. Notăm cu mulțimea termenilor din . Definim o relație de ordine pe T (ordinea lexicografică): ordonăm total ( de exemplu ) și definim ˂ r, , astfel încât t˂ r și ˂ . Se obține o relație de ordine strictă ( inflexivă și tranzitivă) pe T. De exemplu, avem 1˂ ˂ ˂˂.

Ca de obicei, notăm cu relația de ordine (nestrictă) asociată. Această relație de ordine este totală și compatibilă cu înmulțirea, adică , din rezultă . Relația astfel definită este chiar singura ordine pe T, compatibilă cu înmulțirea, care satisface >>…>.

Ordinea lexicografică induce o relație de preordine, notată tot ,, ’’, pe mulțimea a monoamelor din , prin Demonstrarea afirmațiilor precedente este un exercițiu de rutină. Dacă există un unic monom care este cel mai mare monom al lui p.( față de preordinea lexicografică, numit monom dominant al lui p. Îl notăm cu hm(m)). Are loc următoarea proprietate:

Dacă p ,astfel încât hm(p)=, hm(q)=, unde și atunci hm(pq)=hm(p)hm(q)=.

Într-adevăr, orice monom al lui pq este o sumă de monoame de forma unde este monom al lui p, este monom al lui q. Dar și , deci Astfel,

Fie deci g un polinom simetric și fie hm(g)=. Atunci (dacă k asfel îmcât atunci este monom în g, strict mai mare decât hm(g)). Căutăm un polinom p de forma astfel încât hm(p) să fie hm(g). Din proprietatea de mai sus , Acest monom este egal cuhm(g) dacă și numai dacă Rezultă , pentru ˂ n. Polinomul

este simetric ți are ˂ hm(g) . dacă =0 avem și am terminat. Dacă , aplicăm același procedeu pentru . Algoritmul se termină după un număr finit de pași deoarece nu poate exista un șir infinit strict descrescător de termeni, conform lemei 1. Aceasta încheie demonstrația părții de existență.

Arătăm unicitatea (cu alte cuvinte Presupunem că există un polinom nenul astfel încât Afirmăm că există un unic monom nenul al lui p astfel încât hm(

Dacă cu , atunci:

Deci monom al lui p astfel încât monom al lui p}. Cum monom al lui p} rezultă că

contradicție cu

Această teoremă (Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice) se extinde ușor și la fracții raționale simetrice:

Corolar. (Teorema fundamentală a fracțiilor raționale simetrice)

Fie un inel integru ți K corpul său de fracții. Dacă p,q astfel încât este o fracție rațională simetrică, atunci există polinomele astfel încât Cu alte cuvinte, subcorpul fracțiilor raționale simetrice din corpul este

Demonstrație. Dacă q este polinom simetric, atunci p este simetric (ca produs în sub corpul fracțiilor raționale simetrice dintre q și . Din Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice rezultă că Dacă q nu este simetric, fie . Atunci s este simetric și

.

și am revenit la primul caz.

Să exprimăm polinomul simetric în funcție de polinoamele simetrice . Indentitățile următoare permit un calcul recursive al lui ca polinomul de .

Propoziție. (Indentitățile lui Newton) În are loc relația:

Demostrație. Dacă m>n,atunci convenția pentru k >n trunchiază formula de mai sus (sunt numai n termeni).

Fie și un r –cuplu de numere naturale cu Notăm cu unicul polinom simetric din cu monomul dominant . De exemplu, s(m,0,…,0). Pentru a simplifica notația, punem (1 apare de i ori) și (1 apare de i ori); de asemenea, vom admite să scriem un șir de 0: s(m,0,…,0)=s(m), s(1,1,0,…,0)=s(1,1)=, s(,0,…,0)=s()=. Relațiile următoare se verifică ușor:

Mai general, pentru orice

Dacă și i=m-1, atunci .

Dacă m>n=i, atunci

Identitățile lui Newton rezultă folosind relațiile de mai sus în suma

CAPITOLUL II

CONSIDERATII METODICE PRIVIND

PREDAREA INELELOR DE POLINOAME

2.1 Aspecte organizatorice ale predării capitolului Inele de Polinoame

2. 1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoame

Deoarece elevii, deja în clasele mai mici sunt familiarizați cu noțiunea de monoame, conform programei actuale de matematică primele noțiuni legate de monoame sunt introduse în clasa a VII-a și a VIII –a , în capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere, predarea Inelelor de polinoame nu prezintă greutăți deosebite la clasa a XII-a, iar elevii își lărgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice, dobândesc la timp cunoștințele necesare altor discipline (fizică, chimie, informatică, etc). Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice.

Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele competențe specifice , realizarea lor reprezentând una din cerințele obligatorii.

1. Recunoașterea și diferențierea mulțimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor și a structurilor algebrice; (1)

2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia; (2.1)

3. Compararea proprietăților algebrice sau aritmetice ale operațiilor definite pe diverse mulțimi, în scopul identificării unor algoritmi; (2.2)

4. Exprimarea proprietăților mulțimilor înzestrate cu operații prin identificarea organizării structurale a acestora; (4.1)

5. Utilizarea similarității operațiilor definite pe mulțimi diferite în deducerea unor proprietăți algebrice; (5)

6. Utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale; (6)

7.Recunoașterea polinoamelor;

8. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice;

9. Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date;

10. Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor;

Constructia inelului de polinoame se realizează pornind de la o mulțime , mulțimea tuturor funcțiilor de la la A, adică = {f / f: → A}, unde A este un inel comutativ, unitar. Un element f ∈ , fiind o funcție, se reprezintă cu ajutorul valorilor sale sub forma f=.

Dacă atunci .

Pe mulțimea definim două legi de compoziție interne:

Adunarea: dacă atunci

Înmulțirea: .

Exemplu. Fie și .

Deci este o structură algebrică. Astfel se verifică:

Asociativitatea și comutativitatea adunării.

Fie . Atunci, pentru orice navem și deoarece adunarea în A este comutativă și asociativă. Rezultă că f+g=g+f și (f+g)+h=f+(g+h), adica adunarea în este comutativă și asociativă.

Elementul neutru și elemental simetrizabil (opusul) față de adunare.

Există în element neutru față de adunare, și anume funcția

Pentru orice opusul său este și f+(-f)=(-f)+f=0.

Exemplu. .

Comutativitatea și asociativitatea înmulțirii.

Înmulțirea în A fiind comutativă rezultă că , adică înmulțirea în este comutativă. Analog înmulțirea în este asociativă.

Distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Fie ,

Înmulțirea fiind distributivă față de adunare rezultă că . Rezultă și înmulțirea în fiind comutativă, avem , adică înmulțirea în este distributivă față de adunare.

Elementul neutru față de înmulțire.

Există element neutru față de înmulțire și anume: (1,0,0,…,0,…). În concluzie avem inel comutativ cu element unitate.

Forma algebrică a polinoamelor: Notăm X= (0, 1, 0,…, 0,…), atunci din definiția înmulțirii în , rezultă că: Prin definiție vom pune . Un element , se poate scrie atunci în mod unic sub forma:

în care elementele se numesc coeficienții lui f , iar monoamele se numesc termenii polinomului.

După introducerea formei algebrice a polinoamelor, profesorul trebuie sa atragă atenția elevilor în a nu considera litera X ca reprezentând un element variabil din K; a nu face confuzia între un polinom cu coeficienți în K și funcția polinomială , unde desemnează argumentul funcției f sau ecuația atașată funcției.

Pentru se obțin mulțimile de polinoame:

mulțimea plinoamelor de nedeterminată X cu coeficienți în :

mulțimea plinoamelor de nedeterminată X cu coeficienți în :

mulțimea plinoamelor de nedeterminată X cu coeficienți în : .

mulțimea plinoamelor de nedeterminată X cu coeficienți în :

mulțimea plinoamelor de nedeterminată X cu coeficienți în : .

Mulțimea polinoamelor de nedeterminata X cu coeficienți în trebuie taratată diferențiat și verificate toate proprietățile introduce și pe această mulțime.

Exemplu: Se știe că dacă două polinoame sunt egale atunci și funcțiile lor polinomiale sunt egale, adică Reciproca acestei implicații nu este în general adevărată. Contraexemplu în acest sens: . Evident dar deoarece au același codomeniu și același mod de corespondență

Pe aceași mulțime este utilă definirea polinomului redus modulo p al lui f cu observația că:(echivalent spus, funcția este morfism de inele). Alicând morfismul se pot determina câtul și restul împărțirii a două polinoame din .

Exemplu:

Determinăm câtul și restul împarțirii lui la . Efectuăm mai întâi împărțirea lui f la g în . Avem: și aplicând obținem Prin urmare, ;

Determinăm pentru care se divide cu Efectuăm mai întâi împărțirea lui f la g în . Avem: aplicând obținem Deci f se divide cu g, dacă restul împărțirii lui f la g în este zero, adică în , ceea ce este echivalent cu (mod m) și (mod m). Deci m=3 sau m=9.

Întodeauna pentru un polinom trebuie precizată mulțimea în care se determină rădăcinile.

(1). are gardul I și nu are rădăcini în .

(2). are gradul I și are rădăcina în .

(3). are gradul II și nu are rădăcinile în și avem în .

Relația de divizibilitate în inelele de polinoame.

Divizibilitatea polinoamelor ocupă un loc important în studiul proprietăților polinoamelor, stand la baza rezolvării numeroaselor probleme de matematică, dintre cele mai diverse.

Fie inelul de polinoame . În definirea operației de înmulțire în inelul de polinoame, produsul a două polinoame f,g din este tot un polinom din al cărui grad este egal cu suma gradelor celor două polinoame .

Aceasta ne sugerează a considera și problema reciprocă acesteia: dându-se un polinom h din există sau nu două polinoame în al căror produs să fie polinomul h.

Astfel dându-se polinoamele f,g din există polinomul g din , astfel ca produsul este egal cu polinomul h, atunci spunem că polinomul f este un divizor al polinomului h ( h este divizibil prin f) sau că polinomul h este un multiplu al polinomului f.

Exemplu.: 1. Fie , ,. Există polinomul astfel încât .

Divizorii de forma a și af, se numesc divizori improprii ai lui f. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii ai lui f.

Problema care ne interesează este de a vedea cum se scrie un polinom ca un produs de factori de un anumit tip. În caz contrar, el se numește reductibil peste K (sau încă ireductibil în ). Problema descompunerii unui polinom în factori ireductibili

( factorizarea polinoamelor ) este operația inversă înmulțirii polinoamelor. Reamintim faptul că atunci când factorizăm un număr natural, căutăm numere prime al căror produs să fie numărul dat, de exemplu, sau

Când factorizăm un polinom, căutăm polinoame al căror produs să fie polinomul dat. Este foarte important a specifica mulțimea din care fac parte polinoamele.

Așadar, un polinom este reductibil peste dacă există două polinoame ( cel puțin) de grad cel puțin unu pentru care . Analog un polinom este reductibil peste dacă există două polinoame ( cel puțin) de grad cel puțin unu pentru care . De asemenea, un polinom este reductibil peste dacă există două polinoame (cel puțin) de grad cel puțin unu pentru care . Este foarte importantă precizarea polinoamelor ireductibile în principalele inele de polinoame.

1. Un polinom este ireductibil, dacă și numai dacă

2. Un polinom este ireductibil, dacă și numai dacă sau .

Deci orice polinom de gardul întâi din ( sau sau ,) este un polinom ireductibil.

Pentru a arăta că un polinom este ireductibil într-o mulțime se folosește metoda reducerii la absurd. Arătăm că este ireductibil peste .

Presupunem că f ar fi reductibil peste , deci ar admite o scriere de forma . După calcule obținem sistemul , care nu are soluții în . Deci f este ireductibil peste .

Legătura între divizori și rădăcini este dată de teorema lui Bézout, ce stabilește legătura între divizorii de gradul unu ai polinomului și rădăcinile din K ale acestui polinom.

Fie , Un element este rădăcină a polinomului f în inelul dacă și numai dacă polinomul divide f în inelul . Înțelegerea acestor noțiuni pentru elevi poate fi anevoiasă dacă nu sunt clarificate toate situațiile prin exemple și contraexemple.

Dacă f are rădăcină în atunci f este reductibil în .

Exemplul. Fie . Rădăcinile polinomului f sunt: Deci f este reductibil peste .

Reciproca afirmației: Dacă f este reductibil în atunci f are rădăcini în , nu este adevărată.

Exemplul: 1. Polinomul este reductibil în și nu are rădăcini în .

2. Polinomul este reductibil în și nu are rădăcini în , fiidcă

Negația afirmației: Dacă f nu are rădăcini în atunci f este ireductibil în , nu este adevărată.

Exemplul: 1. Fie . P;inomul f nu are rădăcini în , dar se poate descompune în ,

Observație: Dacă un polinom de gard mai mare sau egal cu 4 nu are radacini in corpul K, nu rezultă în mod necesar că este ireductibil !

2. Fie polinomul care nu are nici o rădăcină în , dar este reductibil în . Se verifică prin calcul faptul că Pentru a demonstra că polinomul este reductibil, considerăm descompunerea lui f astfel: Dezvoltând în membrul drept relația și apoi indentificând coeficienții avem: , rezolvând acest sistem obținem: ceea ce arată că: , deci f este reductibil peste .

Observație: Această afirmație este adevărată în dacă n este număr prim. Din orice polinom f din de gard 2 sau 3, care nu admite rădăcini în corpul K, este ireductibil în .

Orice polinom ireductibil în , de grad mai mare sau egal cu 2, nu admite rădăcini în corpul K ( demonstrație prin reducere la absurd, folosind teorema lui Bézout).

Fie un inel integru. Orice polinom de grad (f)= are în cel mult n rădăcini.

Observație: Dacă nu este integru, afirmația nu mai este valabilă, adică un polinom de grad poate avea mai mult de n rădăcini în inelul coeficienților.

Exemplul. are gradul unu și are două rădăcini și în inelul , fiindcă . De asemenea, f are două descompuneri neasociate în inelul și anume

2.1.2. Proiectarea unității de învățare

O unitate de învățare reprezintă o structură didactică și flexibilă, care are următoarele caracterisici:

Determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin integrarea unor obiective de referință;

Este unitară din punct de vedere tematic;

Se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o perioadă de timp;

Se finalizează prin evaluare. Proiectarea unei unități de învățare se face într-un tabel ce conține următoarele rubrici:

Conținuturi unde apar inclusiv detalieri de conținut necesare în explicitarea anumitor parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaștere a elevilor;

Competențe specifice – se trec numerele competențelor specifice din programa școlară;

Activități de învățare – se trec activități care pot fi cele din programa scolară, sau altele, pe care profesorul le consideră adecvate pentru atingerea competențelor propuse;

Resurse – se trec specificări de timp, mijloace didactice, metode didactice;

Evaluare – se menționează instrumentele sau modalitățile de evaluare aplicate în clasă. Fiecare unitate de învățare se încheie cu evaluare sumativă.

Apariția noilor programe, centrate pe achizițiile elevilor, impune anumite schimbări în didactica fiecărei discipline. Diversificarea metodelor de învățare, a modurilor și formelor de organizare a lecției, a situațiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează noul curriculum. Asigurarea unor situații de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilități în învățare.

Metodele de învățare sunt scheme de acțiune identificate de teoriile învățării; ele sunt aplicate conținuturilor disciplinei studiate și reprezintă acțiuni interiorizate de elev.Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe, adică a acelor ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.

Învățarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe: în societatea contemporană, o învățare eficientă presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor în clasă, consecință a modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte mică măsură. De fapt, prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informații, în același ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei ore, ascultă explicațiile profesorului și văd o demonstrație sau un experiment. Este mult mai eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învățare: discuția, argumentarea, investigația, experimentul, devin metode indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată. Așadar, învățarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acționeze! Trecerea la o metodologie mai activă, centrată pe elev, implică elevul în procesul de învățare și îl învață aptitudinile învățării, precum și aptitudinile fundamentale ale muncii alături de alții și ale rezolvării de probleme. Metodele centrate pe elev implică individul în evaluarea eficacității procesului lor de învățare și în stabilirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare.

În cele ce urmează, exemplificăm câteva dintre posibilele situații de învățare activă care se pot organiza în orele de matematică în cadrul capitolului Inele de polinoame, exemplificarea detaliată fiind făcută în proiectarea activităților de învățare de la sfârșitul capitolului.

1.Brainstorming

Brainstormingul este una din cele mai răspândite metode în formarea elevilor în educație, în stimularea creativității, în domeniul afacerilor, al publicității, etc.

Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele „brain”= creier și „storm”= furtună, plus desinența „-ing” specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă „furtună în creier”- efervescență,o stare de intensă activitate imaginativă, un asalt de idei. Este „ metoda inteligenței în asalt.”

Un principiu al brainstormingului este :cantitatea generează calitatea.Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare. (Osborne, 1959). Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situații, de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.

De asemenea, utilizarea brainstormingului optimizează dezvoltarea relațiilor interpersonale – constatăm că persoanele din jur pot fi bune, valoroase, importante. Identificarea soluțiilor pentru o problemă dată este un alt obiectiv al brainstormingului.

ETAPELE METODEI:

1. Se alege tema și se anunță sarcina de lucru.

2. Se solicită exprimarea într-un mod cât mai rapid, în enunțuri scurte și concrete, fără cenzură, a tuturor ideilor – chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în minte legate de rezolvarea unei situații-problemă conturate.Se pot face asociații în legătură cu afirmațiile celorlalți, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup, dar atenție, fără referiri critice.Se suspendă orice gen de critică, nimeni nu are voie să facă observații negative.În acest caz funcționează principiul „cantitatea generează calitatea”.

3. Totul se înregistreză în scris, pe tablă, flipchart, video, reportofon, etc.

4. Se lasă o pauză de câteva minute pentru „așezarea” ideilor emise și recepționate.

5. Se reiau pe rând ideile emise, iar grupul găsește criterii de grupare a lor pe categorii-simboluri, cuvinte-cheie, imagini care reprezintă posibile criterii.

6. Grupul se împarte în subgrupuri, în funcție de idei listate, pentru dezbatere.Dezbaterea se poate desfășura însă și în grupul mare. În această etapă are loc analiza critică, evaluarea ,argumentarea și contraargumentarea ideilor emise anterior.Se selectează ideile originale sau cele mai aproape de soluții fezabile pentru problema pusă în discuție. Se discută liber, spontan, riscurile și contradicțiile care apar. . 7. Se afișează ideile rezultate de la fiecare subgrup, în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, imagini, desene, cântece,coleje, joc de rol, pentru a fi cunoscute de ceilalți.

Profesorul trebuie să fie un autentic catalizator al activității, care să încurajeze exprimarea ideilor, să nu permită intervenții inhibante și să stimuleze explozia de idei.

În desfășurarea lecțiilor în învățământul liceal se realizează de cele mai multe ori variante ale metodei, obiectivul fundamental fiind acela de a-i determina pe elevi să-și exprime liber opiniile, să formuleze idei proprii eliberate de prejudecăți, să exerseze atitudini deschise și creative în grup, să fie motivați pentru activitate, să învețe într-o manieră plăcută și atractivă, într-o ambianță plină de prospețime și emulație.

Avantajele utilizării metodei brainstorming sunt multiple. Dintre acestea:

obținerea rapidă și ușoară a ideilor noi și a soluțiilor rezolvatoare;

costurile reduse necesare folosirii metodei;

aplicabilitate largă, aproape în toate domeniile;

stimulează participarea activă și crează posibilitatea contagiunii ideilor;

dezvoltă creativitatea,spontaneitatea,încrederea în sine prin procesul evaluării amânate;

dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă.

Limitele brainstorming-ului:

nu suplinește cercetarea de durată, clasică; consum mare de timp;

depinde de calitățile moderatorului de a anima și dirija discuția pe făgașul dorit;

oferă doar soluții posibile nu și realizarea efectivă;

uneori poate fi prea obositor sau solicitant pentru unii participanți.

Brainstorming-ul se desfășoară în cadrul unui grup format din maxim 30 de persoane, de preferință eterogen din punct de vedere al pregătirii și al înclinațiilor, sub coordonarea unui moderator(în cazul nostru-profesorul), care îndeplinește rolul atăt de animator, cât și de mediator.Rolul profesorului este de a asculta cu atenție pe elevi fără a interveni în discuțiile acestora; eventual, el poate intra în joc prin respectarea regulilor acestuia.Se mai recomandă ca grupul ce utilizează brainstorming-ul să fie compus dintr-un număr par de elevi. Folosită cu discernământ,această metodă stimulează creativitatea și generează lecții creative. Cu puțin curaj, acestea pot fi proiectate în parteneriat cu elevii.

PROCESUL METODEI

Introduceți tema;

Definiți sarcina;

Precizați regulile acestei tehnici;

Invitați participanții să ofere sugestii:toate sunt notate;

Se întocmește lista completă;

După terminarea listei se ia fiecare idee pe rând și se discută;

Grupul decide dacă sugestia rămâne sau nu pe listă:participantul care a sugerat ideea argumentează;

Anunțați lista finală;

Concluzia/rezumarea celor discutate este formulată de către formator.

Vom exemplifica această metodă în rezolvarea unui exercițiu, în cadrul unei lecții de recapitulare și sistematizare din cadrul capitolului Inele de polinoame. Rădăcini complexe ale polinoamelor – aplicații. (vezi proiect didactic nr 1):

Știu-vreau să știu –am învățat

Acest model de predare, elaborat de Donna M. Ogle în 1986 pornește de la premisa că informația anterioară a elevului trebuie luată în considerare atunci când se predau noi informații.

Aplicarea modelului Știu/ Vreau să știu/ Am învățat presupune parcurgerea a trei pași: accesarea a ceea ce știm, determinarea a ceea ce dorim să învățăm și reactualizarea a aceea ce am învățat. Primii doi se pot realiza oral, pe bază de conversație, iar cel de-al treilea se realizează în scris, fie în timp ce se lecturează textul, fie imediat ce textul a fost parcurs integral.

Metoda constă în completarea unei fișe de lucru, prin activități de grup sau individual.

1. Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anumită temă și se formuleaza întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsului în lecție.

2. Se cere elevilor să formeze perechi și să facă o listă cu tot ce știu despre tema ce urmează a fi discutată în cadrul orei. Între timp li se dă și un tabel cadru cu trei coloane:

3. Li se cere câtorva perechi să spună celorlați ce au scris pe listele lor, iar în tabelul de pe tablă se vor nota lucrurile cu care toți sunt de acord.

4. După completarea primei coloane a tabelului li se va cere elevilor să formuleze întrebări despre lucrurile cu care nu sunt siguri. Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produsul curiozității elevilor. Ele vor fi trecute în coloana din mijloc.

5. În continuare li se va cere elevilor să rezolve un exercițiu pe tema lecției.

6. După rezolvarea exercițiului, se va reveni la întrebările pe care le-au formulat înainte de a rezolva exercițiul și pe care le-au trecut în coloana “Vreau să știu”. Se va verifica la care întrebări s-au găsit răspunsuri și se vor trece aceste răspunsuri în coloana “Am învățat”. În continuare elevii vor verifica ce alte informații au găsit în rezolvarea exercițiului și care nu au legatură cu nici una din întrebările puse la început și le vor trece și pe acestea în coloana “Am învățat”.

7. În final se vor trece în revistă cu elevii întrebările care au rămas fără răspuns și se va discuta posibilitatea găsirii unor surse care să furnizeze răspunsuri la aceste întrebari.

Avantajele acestei metode:

Se clarifică ceea ce se știe, ceea ce nu se știe și ceea ce mai rămâne de învățat;

Este o modalitate de învățare interactivă ;

Mobilizează întregul colectiv de elevi;

Interdisciplinaritatea.

Este o modalitate pragmatică de abordare a lecției.

Dezavantaje:

Poate fi uneori time-consuming (costisitoare din punct de vedere al timpului) ;

Nu se pretează la absolut toate lecțiile Modalitatea introducerii în lecție a metodei este următoarea: primele două coloane se folosesc ca warm-up, a treia coloană se folosește pentru fixarea cunoștințelor. Punctele neacoperite din coloana a doua se folosesc ca repere pentru fixarea obiectivelor lecțiilor următoare, sau pot constitui tema de casă. Metoda are un impact bun asupra elevilor deoarece:

Îi conștientizează asupra desfășurării lecției ;

Sporește responsabilitatea;

Stimulează dorința de cunoaștere;

Duce la dezvoltarea unui stil de muncă riguros, științific posibil de aplicat și în alte domenii.

Aplicarea metodei în cadrul lecției: Formarea ecuației de grad n

Obiectivul lectiei: – formarea ecuației de grad n când se cunosc rădăcinile.

Se dă ecuația: , cu rădăcinile Scrieți ecuația în y, ale cărei rădăcini sunt: .

3. Cubul – metodă modernă de învățare prin cooperare

Este o modalitate de lucru care poate fi aplicată individual, în perechi sau în grupuri pentru o abordare a unei situații problematice, prin solicitarea gândirii elevului;

Profesorul le cere elevilor să scrie despre un anumit concept sau temă prin parcurgerea fețelor cubului. Este preferabil să se respecte ordinea prezentată pentru că aceasta îi conduce pe elevi în mod treptat spre o gândire complexă.

Etapele acestei metode corespund celor 6 fețe ale unui cub:

Descrie! – explică/definește o noțiune un concept;

Compară! – stabilește asemănări și deosebiri;

Asociază! – la ce te face să te gândești?

Aplică! – ce aplicabilitate practică poate avea?

Analizează! – analizează conceptual din diferite puncte de vedere;

Argumentează pro sau contra! – este bine/rău, util/nefolositor?

Fiecare instrucțiune/cerință de pe fațeta cubului presupune sarcini de lucru.

În echipele constituite pentru atingerea unui obiectiv, care nu au un caracter permanent, membrii au roluri diferite în funcție de înclinațiile lor personale și de nevoile echipei.

Profilul unui membru al echipei, rolul care i se potrivește cel mai bine, poate fi stabilit pe baza următoarelor caracteristici:

relaționarea cu ceilalți membri;

modul în care participă la luarea deciziilor;

căile prin care obține informațiile și utilizarea lor;

metoda preferată în organizarea activității.

Avantaje ale metodei:

Dezvoltarea capacităților de analiză, sinteză, aplicare, transfer, argumentare ale elevilor;

Formarea unei imagini globale asupra problemei abordate;

mai bună înțelegere a problemei abordate, având în vedere cele șase perspective luate în calcul;

Motivarea elevilor pentru participarea la activitate;

Activizarea elevilor;

Dezvoltarea capacităților comunicaționale.

Dezavantaje:

Având în vedere faptul că fiecare grupă are de abordat o altă perspectivă, este posibilă tratarea superficială a celorlalte perspective propuse;

Consum mare de timp;

Posibilitatea apariției dezordinii în timpul activității;

Neimplicarea tuturor elevilor în rezolvarea sarcinilor din cadrul fiecărui grup.

Descrierea metodei asupra lectiei: Operații cu polinoame (vezi proiect didactic nr 3)

Lecție de fixare și consolidare a cunoștințelor.

Se arată elevilor un cub din carton (care trebuie imaginat un polinom) având fețele colorate diferit, fiind inscripționate cu următoarele verbe active:

Fața 1: Albastru – verbul descrie

Fața 2: Roșu – verbul compară

Fața 3: Verde – verbul asociază

Fața 4: Negru – verbul analizează

Fața 5: Roz – verbul aplică

Fața 6: Portocaliu – verbul argumentează

Elevii sunt împărțiți în 6 grupe eterogene, nu neapărat egale numeric.

Fiecare grupă primește o coală colorată în nuanțele precizate mai sus. Echipele aleg un lider de grup care va arunca zarul pentru a vedea fața pe care este scris verbul definitoriu pentru acea grupă (descrie, compară, asociază, analizează, aplică și argumentează).

Se anunță tema de discutat și timpul de lucru alocat fiecărei grupe. Se anunță obiectivele lecției de fixare și consolidare. Se împart fișele cu sarcinile de lucru în grup. Timp de 20-25 de minute elevii lucrează în echipă la sarcina de lucru primită. Profesorul supraveghează activitatea elevilor și dă indicații acolo unde este nevoie. Soluționează eventual și situațiile în care nu toți elevii se implică în cadrul activității de grup sau atunci când un elev monopolizează toate activitățile.

Desfășurarea activității elevilor:

Elevii care primesc fișa cu verbul descrie vor avea de definit polinomul,de dat exemple de polinoame în forma algebrică cu coeficienți în de definit gradul unui polinom, să descrie operațiile cu polinoame, valoarea unui polinom.

Elevii care primesc fișa cu verbul compară vor stabili asemănări și deosebiri între noțiunile studiate: între polinomul f, funcția polinomială, ecuația asociată; analogii și comparații între între valoarea unui polinom într-un punct de forma sau (generalizare).

Elevii care vor avea fișa cu verbul asociază, vor asocia fiecărei noțiuni formulele de calcul sau proprietatea ce i se asociază (exemplu: pentru determinarea restului împărțirii unui polinom f la g folosim:…), apoi vor da câte un exemplu pentru fiecare.

Pentru grupa care va avea de analizat, sarcina de lucru va cere ca elevii să analizeze diferite proprietăți ale polinoamelor, să discute în funcție de parametrul m gradul polinomului, să determine parametrii a,b,c în funcție de conditiile impuse, să analizeze în câte moduri se poate rezolva problema propusă.

Elevii care vor primi fișa cu verbul aplică vor avea de rezolvat diferite aplicații cu polinoame.

Elevii ce vor primi fișa cu verbul argumentează vor avea de analizat și justificat în scris exercitii ”capcană”. (exemplu: de ce nu se poate aplica teorema împărțirii cu rest în pentru orice polinoame, argumentează afirmația polinomul f este divizibil prin a este rădăcină a polinomului f ). Li se poate cere să realizeze și scurte demonstrații sau să descrie greșeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

Evaluare:

După expirarea timpului de lucru (20-25 min) se va aplica metoda ,,turul galeriei”. Materialele realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup își vor prezenta mai întâi sarcina de lucru și modul de realizare a ei, apoi, la semnalul dat de profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă și vor acorda acestora o notă. După ce fiecare grup a vizitat ,,galeria” și a notat corespunzător producțiile colegilor, se vor discuta notele primite și obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta eventualele erori.

În finalul orei se va da fiecărei echipe un material informativ ca premiu.

Se realizează și un moment de reflecție asupra metodelor noi folosite și asupra modului de implicare a fiecărui elev în echipa sa.

2.2.3. Proiectarea unității de învățare: Inele de polinoame

Număr ore alocate: 12

2.3. Evaluarea unității Inele de Polinoame

Evaluarea alături de predare și învățare reprezintă o componenta esențială a procesului de învățământ deoarece furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia.

Conceptul de evaluare a evoluat de-a lungul timpului. La început se punea semnul egal între evaluare și măsurare, apoi pedagogia prin obiective considera că evaluarea presupune stabilirea congruențelor dintre rezultatele scolare ale elevilor și obiectivele operationale prestabilite. În prezent, evaluarea presupune formularea de judecăți de valoare despre procesul și produsul învățării de către elev.

Metodele de evaluare indică calea prin care profesorul evaluează performanțele elevilor, identifică punctele tari și slabe ale procesului didactic.

Evaluarea are un rol foarte important atât în viața noastra de zi cu zi, cât și în procesul  educațional, deoarece ne permite să ne identificam punctele slabe și apoi să le corectăm.

Alături de predare și învățare, evaluarea este o componenta esențială a procesului de învățământ deoarece furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia.

Paradigma docimologică fost marcată în timp de următoarele patru concepții:

1.      evaluarea „comparativă” a cărei funcție principală era de a compara elevii și de   a-i clasifica, raportându-i pe unii la alții, acordându-le diplomă sau alte distincții după nivelul lor de reușită;

2.       evaluarea „prin obiective” care are ca rol să furnizeze informații funcționale, permițând elevilor să se situeze în raport  cu atingerea obiectivelor comune pentru toți elevii – (standarde unitare) și oferind soluții de ameliorare;

3.      evaluarea „corectivă”, care are ca scop să ofere elevului informații suplimentare în funcție de dificultățile constatate pentru a-i facilita învățarea;

4.      evaluarea „conștientizată” sau „formatoare” care  favorizează participarea activă și autonomia elevului, furnizându-i repere explicite, în scopul de a lua în mâini propria transformare, fiind conștient de propriile dificultăți  și lacune.

Conceptul de evaluare a evoluat și el de-a lungul timpului. La început se punea semnul egal între evaluare și măsurare, apoi pedagogia prin obiective considera că evaluarea presupune stabilirea congruențelor dintre rezultatele scolare ale elevilor și obiectivele operationale prestabilite. În prezent, evaluarea presupune formularea de judecăți de valoare despre procesul și produsul învățării de către elev

Informațiile obținute în urma evaluării ajută la îmbunătățirea activității de predare-învățare.

Proiectarea unei probe de evaluare este o activitate complexă, ce presupune parcurgerea mai multor etape, obiectivate în anumite componente ale probei, fiecare având anumite funcții și semnificații în raport cu proba de evaluare privită ca întreg. Elaborarea probei de evaluare are caracter procesual, realizându-se în etape consacrate unor demersuri specifice.

Evaluarea reprezintă o activitate de mare complexitate, presupunând:

• activitate de măsurare care trebuie să fie foarte riguroasă și foarte precisă;

• activitate de apreciere care trebuie să acorde semnificațiile curente vis -a – vis de informațiile recoltate prin intermediul primei activități.

La modul general, măsurarea presupune o descriere cantitativă a comportamentelor formate la elevi în urma realizării instruirii.

2.3.1. Obiective de evaluare

Elaborarea obiectivelor de evaluare este o activitate complexă care solicită respectarea unor cerințe epistemologice, logice, psihologice și pedagogice, alături de parcurgerea

unor etape impuse de anumite exigențe metodologice. Asigurarea fidelității unei probe de evaluare presupune elaborarea unui barem de corectare și notare cu grad înalt de obiectivitate și aplicabilitate, menit să reducă la minim diferențele de notare dintre corectori. Realizarea acestuia se constituie într-o etapă laborioasă și dificilă, datorită complexității obiectivelor evaluării și a varietății probelor și itemilor de evaluare.

Testul propus, împreună cu baremul de corectare, se încadrează în ceea ce literatura de specialitate numește evaluare sumativă. Testul se aplică la sfârșitul unității de învățare “Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ”.

Prin acest test am urmărit:

1. Obținerea unei ierarhii a elevilor aflați la finalul unității de învățare;

2. Notarea a reliefat modul de înțelegere și capacitățile de calcul, dar și lacunele care mai trebuie completate și aspecte care trebuie aprofundate;

3. Compararea rezultatelor obținute de elevii buni și de cei mai puțin buni.

Ca urmare, obiectivele de evaluare stabilite se raportează la obiectivele educaționale ale disciplinei – Matematică, ale căror conținuturi fac obiectul evaluării la sfârșitul unei perioade de instruire, dar și la obiectivele educaționale specifice nivelului liceal.

Având în vedere că evaluarea sumativă presupune pe lângă obiective și momentul realizării acesteia și consecințele pe care le determină, ca profesor am luat în calcul și aceste aspecte.

Testul a fost dat elevilor în conformitate cu programa școlară, curricumul național, standardele de performanță. Am dorit ca testul să nu producă panică, stres elevilor, dar din răspunsurile date ulterior de elevi în chestionarul aplicat se poate deduce clar că unii elevi sunt stresați de notare. Testul nu a urmărit o defavorizarea a unuia sau altuia dintre elevi, ci, prin întrebările bazate mai ales pe itemi obiectivi și semiobiectivi, nu a fost lăsat loc de interpretare sau de nemulțumire față de notare, aceasta făcându-se cât mai obiectiv.

Obiectivele de evaluare urmărite prin acest test au fost:

1. Recunoașterea noțiunii de polinoame în diferite contexte

2. Să identifice și să utilizeze algoritmi în rezolvarea problemelor în care intervin polinoame

3. Să aplice corect formulele și rezultatele matematice ,

4. Să argumenteze complet soluția problemei

2.3.2. Instrumentul de evaluare

Liceul Tehnologic ,, Ion Barbu’’ Giurgiu

Test de evaluare clasa a XII-a

Polinoame.

Timp efectiv de lucru: 50 de minute.

Matricea de calcul a baremului

Fidelitatea unei probe de evaluare constă în elaborarea unui barem de corectare și notare cu grad înalt de obiectivitate și aplicabilitate, care să reducă la minim diferențele de notare dintre corectori.

2.3.3.Matricea de specificație

Matricea de specificații presupune stabilirea corespondențelor dintre obiective și conținuturiși este utilă în proiectarea testelor sumative care vizează conținuturi largi și obiective cu nivele de complexitate ridicate. Ele specifică unități mari de conținut și nivele taxonomice generale.

Barem de corectare și notare

Liceul Tehnologic ,, Ion Barbu’’ Giurgiu

Disciplina Matematică, Clasa a XII-a, an școlar 2017-2018

Subiectul I Se punctează doar rezultatul conform punctajului din barem.

Subiectele II, III, IV, V

Se vor puncta orice formulări și modalități de rezolvare corectă a cerințelor, în acord cu ideile precizate în barem.

SUBIECTULI______________________________________________(30 puncte)

1) 5 puncte

2) 5 puncte

3) 5 puncte

4) 5 puncte

5) 5 puncte

6) câtul și restul 5 puncte

SUBIECTULII_______________________________________________(10 puncte)

Scrierea condiției de divizibilitate

5 puncte

3 puncte

Determinarea parametrilor 2 puncte

SUBIECTULIII_______________________________________________(10 puncte)

Aflarea câtului și restului împărțirii lui f la g

și 10 puncte

SUBIECTULIV_______________________________________________(30 puncte)

Determinarea rădăcinilor ecuației 5 puncte

Aplicarea teoremei lui Bézout 5 puncte

5 puncte

5 puncte

5 puncte

5 puncte

SUBIECTUL V_______________________________________________(10 puncte)

Ecuația admite ca și rădăcină 2 puncte

Alcătuirea ecuației de gradul al II- lea cu rădăcinile , 3 puncte

Efectuarea împărțirii lui f la

3 puncte

Finalizare 2 puncte

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Raportarea baremului de corectare și notare la competențele specifice, respectiv la obiectivele de evaluare

Capitolul III

Aplicații inele de polinoame

3.1. Metode de rezolvare a problemelor cu polinoame

Probleme rezolvate

Ecuații cu coeficienți întregi, raționali, reali, complecși

Să se rezolve ecuațiile:

1)      x3-3×2-3x+1=0 știind că are rădăcina ;

Fiind o ecuație cu coeficienți raționali, se știe că dacă ecuația admite o rădăcină pătratică , atunci ea admite și rădăcina pătratică conjugată . Deci polinomul din membrul stâng al ecuației se divide prin .

Efectuând împărțirea găsim . Așadar a treia rădăcină a ecuației este dată de x+1=0, adică x3=-1.

Observație. Pentru rezolvarea acestei ecuații, mai simplu era dacă aplicam prima relație a lui Viẻte x1+x2+x3=3. Cum , , atunci x3=3-4=-1.

z3+(4-2i)z2+(2-7i)z-3-3i=0 dacă admite cel puțin o rădăcină reală.

Fie α rădăcina reală a ecuației. Deci pentru z=α se verifică ecuația și avem: α3+(4-2i)α2+(2-7i)α-3-3i=0 sau α3+4α2+2α-3+i(-2α2-7α-3)=0 care este un număr complex. Acesta este 0 dacă:

Ecuația 2α2+7α+3=0 are soluțiile α1=-3, . Dar numai α=-3 verifică ambele ecuații ale sistemului.

Prin urmare, singura rădăcină reală este α=-3. Cu schema lui Horner se obține ecuația de gardul al doilea rezultată după ce am pus condiția de rădăcină a ecuației pentru α=-3.

Aceasta este z2+(1-2i)z-1-i=0 cu Δ=1. Deci rădăcinile ecuației sunt z1=i, z2=-i+1. Ecuația dată are soluțiile: -3, i, -1+i.

x4-2(m-1)x2+( )x2+(3m2+11m+4)x-4m2-4m=0, știind că are o rădăcină independentă de m.

Se ordonează ecuația după puterile descrescătoare ale lui m și se obține: m2(x2+3x-4)+m(-2×3-5×2+11x-4)+x4+2×3-7×2+4x=0, (1).

Dacă x este rădăcină independentă de m însemnă că (1) are loc oricare m R, iar aceasta are loc dacă coeficienții trinomului de gradul al doilea în m sunt nuli, adică

Din prima ecuație x1=-4, x2=1. Aceste valori verifică și celelalte două ecuații. Deci ele reprezintă rădăcinile, independente de m ale ecuației date.

Cu schema lui Horner găsim și celelalte rădăcini ale ecuației de gradul patru în x.

Ecuația x2-(1+2m)x+m2+m=0 are soluțiile x3=m, x4=1+m.

Ecuația data are soluțiile: -4, 1, m, m+1.

Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuația x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 și să se rezolve ecuația dată.

Metoda 1. Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 și deci restul împărțirii celor două polinoame este polinomul nul.

Efectuând împărțirea avem egalitatea

X4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+x+1-n)-2mx+n+m-1

Restul fiind polinomul nul, adică –2mx+n+m-1=0 dă m=0 și n+m-1=0, adică m=0 și n=1.

Celelalte rădăcini ale ecuației sunt soluții (câtul egal cu zero) ale ecuației x2+x+1=0, adică .

Metoda 2 (schema lui Horner)

În schema lu Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă când avem:

Deci –m+n-1=0 și –m=0 dau m=0 și n=1, iar celelalte rădăcini ale ecuației date coincid cu ale câtului x2+x+1=0.

Metoda 3 (metoda identificării). Dacă x=1 este rădăcină dublă a ecuației atunci trebuie să avem egalitatea : x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2++).

De aici prin identificare rezultă sistemul:

Din prima și a treia ecuație rezultă =1, =1. Acum din celelalte ecuații se obține m=0, n=1. Acum ecuația se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

Celelalte două rădăcini sunt date de rădăcinile ecuației x2+x+1=0, adică .

Metoda 4 (metoda reducerilor succesive)

Dacă P=x2-2x+1, Q=x4-x3-mx2-x+n, atunci cel mai mare divizor comun dintre P și Q trebuie să fie P.

De asemenea și polinomul R=Q-x2P se va divide pri P. Avem: R=x3-(1+m)x2-x+n. De asemenea și polinomul S=R-xP=(1-m)x2-2x+n se va divide prin P. Cum S și P au același grad și S se divide prin P rezultă că ele au aceleași rădăcini.

Condiția ca două polinoame P1=a1x2+b1x+c1, P2=a2x2+b2x+c2 să aibă aceleași rădăcini este aceea de proporționalitate a coeficienților termenilor de același grad

(relații ce rezultă ușor din relațiile lui Viéte , ).

În cazul nostru . De aici m=0, n=1.

Metoda 5. (relațiile lui Viéte). Din enunț x1=x2=1. Având o relație între rădăcini vom asocia acesteia relațiile lui Viéte pentru o ecuație și avem

sau

Din relațiile a doua și a treia rezultă 1-m=1, adică m=0, iar din a doua și a patra n=1-m=1. Pentru a găsi rădăcinile x3, x4 se rezolva sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adică ecuația x2+x+1=0, când .

Relațiile lui Viéte

Probleme rezolvate

1)      Fie ecuația x3+2×2-3x+1=0, cu rădăcinile x1, x2, x3. să se calculeze:

a) x12+x22+x32 ;

b) ;

c) x1n+x2n+x3n, n>3

Relațiile lui Viéte pentru ecuație sunt:

; ; ;

a)      Suma de calculat devine succesiv

.

b)      Se împart relațiile prin x13, x23 și respectiv x33 ( se poate face împărțirea deoarece rădăcinile sunt diferite de zero):

Prin însumarea acestor egalități rezultă . De aici se găsește ușor .

c)      Dacă notam cu , atunci vom găsi o relație de recurență pentru aceste sume.

În (1) înmulțim prima relație cu x1n-3, a doua cu x2n-3 și , în fine, a treia cu x3n-3, după care se adună, membru cu membru relațiile obținute. Avem:

Sn+2Sn-1-3Sn-2+Sn-3=0, oricare n>3, egalitate ce exprimă relația de recurență pentru sumele Sn. Aceasta însemnă că dacă se cunosc Sn-3, Sn-2, Sn-1, atunci se poate exprima Sn din egalitatea de mai sus. De exemplu pentru n=4 avem:

S4+2S3-3S2+S1=0 sau S4=-2S3+3S2-S1=58+30+2=90.

Având sumele se poate calcula, etc.

2)      Se consideră ecuația x2-2x-1=0, cu rădăcinile x1, x2, x3.

Dacă P=x5-2×4+6x+1, atunci să se calculeze P(x1)+ P(x2)+ P(x3).

Dacă x1 este rădăcină a ecuației date, atunci x13-2×1-1=0 sau x13=2×1+1. ținând sema de x13=2×1+1, vom aduce la o formă mai simplă P(x1) când avem:

P(x1)=x12x13-2x1x13+6×1+1=x12(2×1+1)-2×1(2×1+1)+6x+1=2×13-3×12+4×1+1= =2(2×1+1)-3×12+4×1+1=-3×12+8×1+3.

Acum suma de calculat P(x1)+P(x2)+P(x3) pe care o notăm, pentru simplitate , se scrie , unde și deci .

Suma căutată este -3.

Formarea ecuațiilor de grad III și IV

Pentru a forma ecuația de gradul al treilea care să aibă rădăcinile x1, x2, x3 se calculează sumele simetrice fundamentale

Atunci ecuația căutată este: x3-S1x2+S2x-S3=0.

Pentru a forma ecuația de gradul al patrulea de rădăcini x1, x2, x3, x4 calculăm următoarele sume simetrice fundamentale

iar ecuația este x4-S1x3+S2x2-S3x+S4=0.

Rădăcini comune

Vom prezenta câteva tehnici de lucru pentru a determina un parametru astfel încât două ecuații, dintre care cel puțin una este de grad superior, să admită cel puțin o rădăcină comună.

Probleme rezolvate

Să se determine parametrul real a pentru care ecuațiile

x2+x+a=0

x3-ax-3=0 au o rădăcină comună.

Metoda 1 (metoda scăderilor repetate)

Fie P=x2+x+a, Q=x3-ax-3. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor P și Q ( care trebuie să fie de gradul întâi ) va fi un divizor și pentru polinoamele

R=xP-Q=x2+2ax+3

S=R-P=(2a-1)x+3-a

V=(2a-1)R-xS=(4a2-a-3)x+3(2a-1)

Cum cel mai mare divizor comun al polinoamelor P, Q este de gradul întâi, care divide pe S, V, de asemenea polinoame de gradul întâi, se impune condiția ca S,V să aibă aceeași rădăcină. Aceasta are loc dacă coeficienții sunt proporționali

sau 4a3-a2-12a+12=0 cu unica soluție reala a=-2.

Dacă a=-2 atunci ecuațiile devin

x2+x-2=0 cu soluțiile x1=-2, x2=1

x3+2x-3=0 cu soluțiile x1=1,

Deci rădăcina comună a ecuațiilor este x=1. Pentru a=-2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.

Observație. Ideea de rezolvare a fost aceea că dacă polinomul d divide polinoamele f, g, atunci pentru orice h, k polinoame, avem d divide hf+kg, iar prin astfel de operații să ajungem la faptul că polinomul d divide două polinoame de același grad cu d

(mai sus S și V ).

După aceasta se impune condiția ca aceste ultime polinoame să aibă aceleași rădăcini.

Metoda 2 ( metoda eliminării parametrului ). Fie rădăcina comună a celor două ecuații. Deci x= verifică ecuațiile

2++a=0

3-a-3=0, (1).

Ideea este de a găsi o ecuație pe care o verifică , ecuație care să nu conțină parametrul a, ceea ce revine la eliminarea lui a între cele două relații (1).

Cum a=-2- ( din prima relație ), a doua relație din (1) devine 23+2-3=0. Aceasta este ecuația pe care o verifică rădăcină comuna . Singura soluție reală a ecuației este =1 pentru care din două ecuații se obține a=-2.

Pentru a=-2 cele două ecuații sunt

x2+x-2=0, cu soluțiile x1=-2, x2=1 și respectiv

x3+2x-3=0, cu soluțiile x1=1, .

Dacă a=-2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.

Metoda 3 ( metoda identificării ). Fie rădăcina comună a celor două ecuații. Atunci au loc egalitățile:

x2+x+a=(x-)(x-)

x3-ax-3=(x-)(x2+x+)

sau

x2+x+a=x2-(+)x+x

x3-ax-3=x3+(-)x2+(-)x-

iar de aici prin identificarea polinoamelor se obține sistemul:

+=-1

=a

-=0

-=-a

=3

cu soluția ==1, =3, =-2, a=-2.

Prima ecuație mai are pe lângă soluția comună =1, și soluția x==-2, iar a doua ecuație are soluțiile =1, .

Deci a=-2, iar soluția comună este x=1.

Metoda 4 (relațiile lui Viéte ). Fie x1, x2 rădăcinile primei ecuații, iar x1, x3, x4 rădăcinile celei de-a doua ecuații. Scriem relațiile lui Viéte pentru cele două ecuații și avem:

x1+x2=-1

x1x2=a

x11+x3+x4=0

x1x3+x1x4+x3x4=-a

x1x3x4=3

Scriem a patra relație sub forma x1(x3+x4)+x3x4=-a (1) iar a treia și ultima sub formele x3+x4=-x1, .

Cu acestea (1) devine , (2).

Ținând seama de x1x2=a și x2=-1-x1, (2) se scrie sau 2×13+x12-3=0, ecuație ce are ca singură soluție reală x1=1. Din (2) rezultă a=-2 și apoi din x1x2=a se obține x2=-2.

A doua ecuație are rădăcina x1=1 și soluțiile ecuației x2+x+3=0, adică .

Pentru a=-2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.

3.2. Aplicații ale polinoame

16/102/Năstăsescu

Să se determine parametrul m astfel încât polinomul să se dividă prin X+2.

19/102/Năstăsescu

Să se arate că polinomul se divide cu .

23/102/Năstăsescu

Să se arate că divide polinomul

Analog demonstrăm că

27/103/Năstăsescu

Să se arate că polinomul se divide cu .

99/110/Manual

Să se rezolve ecuația reciprocă

1/230/Manual

Aplicând teorema lui Bezout, să se determine parametrii a și b astfel încât polinomul să se dividă cu . Să se determine apoi câtul împărțirii.

3/230/Manual

Să se determine parametrul m și apoi să se afle rădăcinile polinomului știind că are rădăcina x=2.

Utilizăm relațiile lui Viete:

13/230/Năstăsescu

Folosind teorema lui Bezout, să se arate că:

Polinomul se divide la .

Analog demonstrăm că

Deci

d)

Analog demonstrăm că

Deci

e)

Analog demonstrăm că

Deci .

f)

Analog demonstrăm că .

Deci .

23/102/Năstăsescu

Să se arate că divide polinomul .

Analog demonstrăm că .

Deci

25/103/Năstăsescu

Să se arate că polinomul se divide cu .

Deci

28/103/Năstăsescu
Să se arate că polinomul se divide cu .

Analog demonstrăm că .

Deci .

B1. Se dau polinoamele și . Să se calculeze restul împărțirii lui la .

Pentru a calcula restul împărțirii este suficient să calculăm g(2).

Deci r=-1.

B2. Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor ecuației .

1.

2.

B3. Să se rezolve ecuația .

Deci ecuația are o infinitate de soluții.

B4. Se dă polinomul cu rădăcinile . Să se calculeze .

Deci

B5. Se dă polinomul cu rădăcinile . Să se calculeze .

Deci .

B6. Să se calculeze valoarea lui m astfel încât rădăcinile ecuației să verifice ecuația .

B7. Să se calculeze suma , unde sunt rădăcinile ecuației .

Obs.

Particularizare

Deci S=-2.

B8. Să se determine m astfel încât ecuația să aibă număr maxim de soluții.

Obs.

Deci ecuația are 4 soluții.

81/107/Năstăsescu

Să se determine a,b,c astfel încât aceste numere să fie rădăcinile ecuației .

Conform relațiilor lui Viete avem :

3.3. Probleme pentru cercurile de elevii

Exercițiul 1. Fie polinomul

,, care este relația dintre și ?

Rezolvare: Dacă atunci

se mai poate scrie, echivalent, sub forma:

Împărțirea polinoamelor

Exercițiul 2.

Să se determine restul împărțirii unui polinom de grad > 2 la polinomul

Folosind rezultatul de la punctul a), să se determine restul împărțirii polinomului

prin

Rezolvare. a) Folosind indetitatea fundamentală de împărțire a două polinoame

,

unde este restul împărțirii, evident de grad fiind de gradul al doilea.

Avem (1) și din egalitatea de funcții polinomiale, rezultă prin particularizare următoarele ecuații în a,b

, Se rezolvă sistemul și se obține (2). Deci restul împărțirii este .

În cazul avem . Înlocuind aceste valori în (2) și ținând seama că ,

,

.

Observație. În mod asemător cu (1) putem determina restul împărțirii unui polinom la

Avem unde (4), și luând în (4) obținem un sistem de ecuații din care rezultă m,n,p (4) și restul fiind :

cu .

Exercițiul 3. Să se afle restul împărțirii lui la

Rezolvare. Polinomul g se scrie Conform teoremei împărțirii cu rest , unde

grad r ˂grad g. Din egalitatea de funcții polinomiale, rezultă prin particularizare următoarele ecuații în a și b

Obținem sistemul

Deci r =

Exercițiul 4. Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului , prin cu iar , fără a efectua împărțirea.

Rezolvare.

Folosind indentitatea fundamentală de împărțire cu rest a două polinoame putem scrie:

(1)

Dezvoltăm ăn membrul al doilea din (1) și indentificând cu membru întâi obținem:

Asociem primelor două ecuații din (2) ecuația și punând condiții ca sistemul astfel format – cu necunoscute să fie compatibil rezultă

. Pentru determinarea restului asociem ecuațiilor (2) și ecuația (4). Acum necunoscutele sunt și punând condiția de compatibilitate a sistemului format din (2) și (4) rezultă:

. astfel expresia câtului și restului fără a efectua împărțirea lui la , în Avem modul obișnuit.

Folosind rezultatele de la exercițiul (4), să se determine câtul și restul împărțirii lui

prin , fără a efectua împărțirea obișnuită.

Rezolvare. Avem

,

3.3.2.Divizibilitatea polinoamelor

Exercițiul 5.

a) Să se arate că polinomul se divide cu .

b) Fie . Să se determine a, b astfel încât se divide cu .

Rezolvare. a)

Se știe că două polinoame se divid dacă restul împărțirii celor două polinoame este zero. Rezolvând ecuația .

Din condiția de divizibilitate a celor două polinoame . Punând relația sub formă trigonometrică notăm cu , analog cu . Înmulțind relațiile sub formă trigonometrică obținem:

Ținând cont de faptul că dacă avem

Fie

Înmulțind relațiile sub formă trigonometrică obținem: . Făcând reducerea la primul cadran obținem:

Exercițiul 6. Folosind teorema lui Bezout, să se arate că polinomul se divide cu polinomul .

Rezolvare. Fie rădăcină a lui g ,

rădăcină a lui g

Exercițiul 7. Să se arate că polinomul

este divizibil prin

Rezolvare.

. Atunci

.

. Dacă

Exercițiul 8. Să se arate că polinomul se divide prin

Rezolvare. Metoda I. Fie rădăcină a ecuației deci

. Conform teoremei lui Bezout unde

sa aplicat faptul că conform relațiilor lui Vièté.

Metoda II Se dezvoltă mai întâi trinomul și apoi se grupează termenii polinomului .

, deci

Execițiul 9. Să se determine din polinomul astfel încât acesta să se dividă cu polinomul

Rezolvare. Fie rădăcină a ecuației .

Conform teoremei lui Bezout . Dar (rădăcină cubică complexă a unității). Folosind exprimarea complexă

Dezvoltând după formula lui Moivre .

Rezolvând cele două ecuații

Exercițiul 10. Fie Să se determine o relație între m și n , astfel încât f să aibă aibă rădăcină dublă.

Rezolvare. Fie o rădăcină dublă a lui f , atunci

, înlocuind în relația a doua obținem: . Deci este rădăcină dublă a lui f daca și numai dacă .

Exercițiul 11. Fie și .

Să se arate că .

Să se determine câtul împărțirii lui P(X) la Q(X).

Rezolvare. a) Pentru a demonstra că este suficient să arătăm că sunt îndeplinite simultan condițiile:

.

Pentru a calcula câtul împărțirii lui P(X) la Q(X) vom folosi identitatea

. Vom deriva relația din dreapta identități de două ori, acesta reprezentând câtul împărțirii lui P(X) la Q(X).

,

deci .

3.3.3.Rădăcinile unui polinom

Exercițiul 12. Polinomul P(X) de grad n ≥ 5, cu coeficienți întregi, are n radăcini întregi distincte unde = 0. Sa se găseasc toate rădăcinile întregi ale polinomului P(P(X)). (O. R. M. — 1997 )

Rezolvare. Numărul k este o rădăcină a polinomului P(P(X)), daca el este o soluție a uneia din ecuațiile P(x) =, unde i = 1, 2,…,n. Să arătăm că P(k), oricare ar fi k¸și i ≥ 2. Presupunem ca există k astfel încât P(k) = . Atunci k 0. Din enunț rezultă că polinomul P(X) are forma P(X) = aX(X − )(X − )···(X − ) cu a . Prin urmare, ak(k − )(k − )···(k − ) = . Relația k | implică = kt, t. Dar ak(1 − t)(k − )···(k − ) = t implică (1 − t) | t. Rezultă că t = 2, pentru care avem ak(k − )(k − )(k − )···(k −) = −2. Observam că numerele k, k − , k − ¸si k − sunt distincte. Dar numărul −2 nu poate fi scris ca produs de câteva numere întregi, dintre care cel puțin patru să fie distincte. Deci, presupunerea facută este falsă ¸ și P(k) , oricare ar fi k, și i ≥ 2. Deci, rădăcinile întregi ale polinomului P(P(X)) sunt soluțiile întregi ale ecuației P(x)=0, adică numerele (Problemă selectată de la Olimpiada de Matematică a Republicii Moldova)

3.3.4. Polinoame ireductibile. Criterii de ireductibilitate.

Exercițiul 13. Să se arate că polinomul este ireductibil peste unde diferite două câte două.

Rezolvare. Presupunem prin absurd că .

sau .

Deoarece grad( g+h)˂n, iar (g+h) se anulează în n puncte diferite g+h=0.

Deci , contradicție, deoarece coeficientul din f este 1.

Exercițiul 13. Să se arate că polinomul este ireductibil pentru , dacă , cu excepția

Rezolvare. Presupunem prin absurd că .

Deci g, h nu sunt constante și atunci k=g-h gradul(k)˂n, iar acesta se anulează în n valori distincte, . Această egalitate nu este posibilă decât pentru n număr par.

Din

. Punem .

În ultima egalitate notăm , adică numărul 2 se descompune în factori întregi dispuși în ordine crescătoare. Pentru , iar pentru . Deci sunt îndeplinite condițiile din enunț.

Exercițiul 14. Dacă p este un număr prim, polinomul nu se poate descompune în produs a două polinoame cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Polinomul , unde p este un număr prim, este ireductibil în . Se observă ușor că pentru nu se poate aplica criteriul lui Eisenstein. Fie automorfismul și aplicând propoziția 2.2.1. este ireductibil dacă și numai dacă este ireductibil.

Fie

cu coeficienții , . Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece ,. Deci g este ireductibil. Prin urmare, este ireductibil în , dar și în .

Exercițiul 15. Să se arate că polinomul nu se poate scrie ca produs a două polinoame cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Pentru a arăta că este ireductibil în este suficient să arătam că este ireductibil în ( dacă este ireductibil, nu se poate ca să se descompună în factori în , atunci și s-ar descompune în factori în ). Se observă că

Ipotezele din criteriul lui Eisenstein sunt verificate, deoarece , și . Deci g este ireductibil. Prin urmare este ireductibil în .

Exercițiul 16. Aflați toate numerele întregi n, pentru care polinomul poate fi exprimat ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienți întregi. (olimpiada Grecia 2003).

Rezolvare. Presupunem că , unde , neconstante,

grad˂ grad și sunt polinoame unitare.

Cazul 1. grad =1 , grad =4 .Deoarece este polinom unitar, rezultă că are o rădăcină . Atunci . Cum nu convine obținem , deci , adică . Înlocuind în relația lui n

3.3.5. Polinoame simetrice

Exercițiul 17. Fie . Să se exprime f în funcție de polinoamele simetrice fundamentale.

Rezolvare. Observăm că f este un polinom simetric în ,f este polinom omogen de gardul 6. Termenul principal este tp(f)= . Fie . Știm că este asemenea simetric , omogen de gard 6 și tp()˂tp(f). Deci tp()=a coeficient nedeterminant. Fie . Atunci este polinom simetric ,omogen de gard 6 și tp()˂tp(). Deci tp()= unde coefficient nedeterminat.

Fie . Atunci este un polinom simetric, omogen de gard 6 și tp()˂tp(). Deci tp()=. Fie . Atunci este polinom simetric ,omogen de gard 6 și tp()˂tp(). Deci tp()=.

Fie . Atunci este un polinom simetric, omogen de gard 6 tp()˂tp(), tp() nu se maipoate costrui , deci =0. Adunând expresiile membru cu membru obținem:

unde sunt coeficieți nedeterminați.

Construim următorul table cu datele obținute și dăm valori necunoscutelor , pentru a obține coeficienții a,b,c,d.

În urma acestui tabel găsim a=-2; b=-2;c=4;d=-1. Deci polinomul c[utat , f este:

.

BIBLIOGRAFIE

Albu A.C. : Introducere în fundamentele matematicii, Ed. Universitatea de Vest din Timișioara, Monografii matematice , nr.58 Timișioara, 1995

Albu A.C. : Istoria matematicii, Ed. Mirton, Timișioara 1997

Albu,T.; Ion I.D: Capitole de teoreia alegebrică a numerelor, Ed. Academiei R.S.R. București 1984.

Albu,T.; Ion I.D: Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. All București 1997

Algebră, manuale clasice și alternative clasa a XII a

Băetu I.: Algebră finită pentru Centrele de Excelență, Ed. Taida , Iași 2010

Bănea, Horea: Medodica predării matematicii, Ed. Paralela 45,1998

Barbilian D.: Algebră , E.D.P București 1985

Becheanu M., Dincă A., I.D. Ion, Niță C. , Purdea I. , Radu N. ,Ștefănescu M. ,

Vraciu C. : Algebră pentru perfecționarea profesorilor, E.D.P. București 1981

Becheanu M.,Niță C. , Ștefănescu M. ,… : Algebră, Ed. All București 1998

Bonciocat A.I., Bonciocat N.C. : The irreducitibility of polynomials that one large coeficient and take a prime value, Canad. Math Bull 52 (2009) ,511-520

Borisov A. , Filaseta M. , Lam T.Y., Trifonov O. : Classes of polynomiale having only one non- cyclotomic irreducibile factor, Acta Arith XC, 1999 ,121-153

Brillhart J. , Filaseta M. , Odlyzko A.: On an irreducibility theorem of A. Chon, Canad. J. Maht. 33 , 1981,1055-1059

Chiriac V. , Chiriac M. , :Probleme de algebră, Ed. Tehnică București 1977

Coșniță C. , Turtoiu F. : Probleme de algebră, Ed. Tehnică București 1989

Didactica matematicii : vol.5 Cluj –Napoca 1989

Dăncilă I. : Algebra examenelor, Ed. All Bucure;ti 1994

Dodescu Gh. : Metode numerice în algebră,Ed. Tehnică București 1979

Dragomir A., Dragomir P. : Structuri algebrice, Ed. Facla Timișioara 1981

Flügel W. :Solution to problem 226, Archiv. Math. Physik 15 (1909) ,271

Galbură Gh. : Algerbră, E.D.P. București 1972

Ion I.D. , Radu N. :Algebră,ediția a IV a E.D.P. București 1991

Ion I.D., Popescu D. , Niță C. , Radu N. :Probleme de algebră, E.D.P. București 1981

Ion I.D.,Niță C. , Năstăsescu C.: Complemente de algebră ,Ed. Șt. București 1984

Ivan Gh.:Capitole fundamentale de algebră. Inele. Module. Construcții universale de module, Universitatea de Vest din Timișioara

Mărcuș A.: Polinoame și ecuații algebrice, Universitatea Babeș-Bolyai din Cluj-Napoca 2015

Năstăsescu C. , Niță C.: Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Ed. Tehnică București 1979

Năstăsescu C. , Niță C, BrandiburnM. , Joița D. : Exerciții și probleme de algebră pentru clasele IX-XII, E.D.P. București 1983

Năstăsescu C. , Niță C. , Vraciu C. : Bazele algebrei, Ed. Academiei R.S.R București 1986

Năstăsescu C. , Niță C. , Vraciu C. : Aritmetică și algebră, E.D.P. București 1993

Nicolescu C.P.: Sinteze de matematică, Ed. Albatros București 1990

Panaitopol L. , Drăghicescu I.C. : Polinoame și ecuații algebrice, Ed. Albatros București 1980

Pólya G. : Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentherie, Jber. Deutsch. Math-Verein 28 , 1919 ,31-40

Pólya G. , Szegö G. : Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Springer Verlag,Berlin, 1964

Purdea I.:Tratat de algebră modernă, Ed. Academiei R.S.R București 1982

Rus I., Varna D.: Metodica predării matematicii, E.D.P. București 1983

Schur I. :Problem 226, Archiv. Math. Physik 13 ; 1908;367

Sepanski M. : Algebra , American Mathematical Society, Providence, Rhode, Island, 2010

Stănășilă O. : Analiză liniară și geometrie, Ed. All București 2000

Tărnăuceanu M.: Probleme de algebră, vol. II., Ed. Universității ,,Al. I. Cuza”, Iași, 2004.

Teodorescu N. , Constantinescu A.: Probleme din gazeta matematică ( Ediție selectivă și mtodologică), Ed. Tehnică București 1984

Tofan I. , Volf A.C. : Algebră: Inele. Module. Teorie Galois, Ed. Matrix Rom, București 2001

Westlund J.: On the irreducibility of certain polynomials, Amer. Math. Monthly 16; 1909; 6667.

Gazeta Matematică 1990-2016.

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/POLINOAME-STATISTIC-I-PROBABIL31311182.php

https://documents.tips/documents/consideratii-metodice-asupra-cap-inele-de-polinoame.html