Matematica contribuie esen țial la educarea memoriei , atenției , voinței , imaginației , [613436]

Introducere

Matematica contribuie esen țial la educarea memoriei , atenției , voinței , imaginației ,
la amplificarea setei de cunoa ștere și are un rol important în educația estetică a celor ce o
studiază . Algebra este una dintre ramurile cele ma i importante ale matematicii ,
cunoscând în timp o dezvoltare foarte accentuate . Problematica de care se ocupă a
devenit mai vastă și mai variată .
Polinoamele constituie un domeniu foarte important și bine studiat al algebrei
tradi ționale.Numeroase probleme de matematică dintre cele mai diverse , sunt enun țate și
rezolvate cu ajutorul polinoamelor .
Între teoremele aritmeticii numerelor întregi și unele teoreme ale ale aritmeticii
polinoamelor există o mare asemămare . Predarea lor prin analo gie duce la o în țelegere
mai profundă a no țiunilor .
Aritmetica are rol formativ foarte important , dar a fost dinuată prin reforma actuală .
După programele actuale se mai predau doar câteva no țiuni de aritmetica numerelor
naturale , întregi , ra țio nale și reale . Până în clasa a XII – a (când ar trebui făcută analogia
între aritmetica numerelor întregi și aritmetica polinoamelor ) , aceste noțiuni nu sunt
diversificate sau amplificate . În clasele de gimnaziu trebuie predate cuno ștințe ce
înlesnesc f ormarea unei structuri cognitive opera ționale și a unei baze acceptabile de
modelare intuitivă . Datorită dificultă ților interioare ale aritmeticii asimilarea ei nu se
poate face într – o formă succesibilă elevilor de liceu apoi se vor da exemple și de alte
mul țimii de numere pentru care se pot da teoreme de împ ă r țire cu rest care să ne permită
să construim și pentru ele o anumită aritmetică . În cadrul acestei lucrări se va arăta ca
aritmetica numerelor întregi , aritmetica polinoamelor cât și alte aritmetic i se pot trata în
cadrul învă țământului preuniversitar într – un mod unitar . Aceasta va genera performan țe
superioare . Un plus de rigoare în școală determină un plus în facultate .
Prezenta lucare se adresează elevilor din clasa a XII – a care stud iază matematica și
profesorilor de matematică și reprezintă un mijloc de fixare a cunoștințelor despre
polinoame și a consideraților metodice privind predarea inelelor de polinoame .

Lucrarea este strucurată pe trei capitole . Primul capitol cuprin de no țiuni teoretice
referitoare la inele de polinoame : construc ția inelului de polinoame într – o nedeterminată
(iar apoi într – un număr finit de nedeterminate) cu coeficien ți într – un inel comutativ ,
proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame , rădacini ale polinoamelor,
teorema lui Bézout, derivata formală a unui polinom și rădacini multiple , relațiile lui
Viète , aritmetica inelului de polinoame peste un corp comutativ (mai precis faptul că
acesta este inel euclidian, ca o consecin ță a teor emei de împăr țire cu rest a polinoamelor;
aici intra și algoritmul lui Euclid de determinare a c.m.m.d.c. a doua polinoame);
descompunerea unui polinom (în mod unic) ca produs de polinoame ireductibile ,
polinoame simetrice, teorema fundamentală a polinoa melor simetrice și aplicații ,
teorema fundamentala a algebrei (ca aplica ție a polinoamelor simetrice).
În capitolul al II – lea se prezintă ,, Căi de eficientizare a predării – învă țării
polinoamelor la elevii din învă țământul preuniversitar ’’ sunt trecute în revistă principiile
didacticii ,, adaptate ’’ la matatematică , apoi metodele. Se eviden țiază aplicații metodice
, parcurgându – se cu ajutorul exemplelor , al problemelor , no țiunile studiate anterior .
Tipurile de exerci ții și metodele de rezolv are propuse în această lucare vor aduce cu
siguran ță o îmbunătățire a rezulatelor obținute de elevi . Problemele sunt deosebitde utile
din punct de vedere metologic , calitativ . Ele au grade de dificulate variată și deschid noi
orizonturi în vederea însu ș irii matematicii , în particular a inelor de polinoame , în
învă țământul preuniversitar . Se evidențiază etapele în care au fost parcurse în cercetarea
realizată
Lucrarea urmăre ște ca elevii să capete o deschidere cât mai largă spre studiul
sistemat ic al polinoamelor și ecuațiilor algebrice ,iar prin acesta sa le înslenească trecerea
către studiul unei problematici de nivel înalt .
Capitolul al III – lea con ține diverse probleme rezolvate prin care se fixează notiunile
teoretice prezentate în pr imele doua capitole .
Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacită ților de abstractizare
a elevilor . Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice .

Capitolul I

I.1. Cons trucția inelului de polino ame într – o nedeterminată
Fie A un inel comutati și unitar.
Se consideră șirurile f = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) , A a i  pentru care
    m i a i a m i       0 . . .
Fie A[X] mulțimea șirurilor de acest tip. Pe A[X] se definesc două operații – adunare a
și înmulțirea – în raport cu care A[X] devine inel comutativ și unitar.
Fie f, g  A[X] ,  
  
  
 
,… , , ,… , ,
2 1 0 2 1 0
b b b g a a a f adunarea se definește astfel:
f + g = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ,…) .
Evident, f + g are un număr finit de terme ni nenuli ] [ X A g f    .
Într – adevăr, cum       . 0 ., 0 . . , ] [ , n j b m i a i a n m X A g f j i           
în acest caz, pentru     n m k , max   , a k =0, b k =0 , deci a k + b k = 0 . Atunci f + g este un
element din A[X] și deci este bine definită.
A[X] împreună cu adunarea f ormează grup abelian, deci adunarea are proprietățile:
– este asociativă
     
 
 
  
    
         
,… , , ,… , , ,… , , ] [ , ,
2 1 0 2 1 0 2 1 0
c c c h b b b g a a a f X A h g f h g f h g f

(f + g) + h = ((a 0 +b 0 , a 1 +b 1 , …)) + (c 0 , c 1 , c 2 ,…) = ((a 0 +b 0 )+c 0 ,
(a 1 +b 1 )+c 1 , (a 2 +b 2 )+c 2 , …) = (a 0 +(b 0 +c 0 ), a 1 +(b 1 +c 1 ), a 2 +(b 2 +c 2 ),…) = f
+ (g + h)
– este co mutativă (f + g) = (a 0 +b 0 , a 1 +b 1 , …)=( b 0 +a 0 , b 1 +a 1 , …)=(g+f)
– are element neutru
      ] [ , 0 0 . . ] [ ,… 0 , 0 , 0 0 ] [ ] [ ] [ X A f f f f i a X A X A X A X A         
f = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) => f + 0 A[X] = (a 0 +0, a 1 +0, a 2 +0,…) = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) = f
din comutativitate => 0 A[X] + f = f

– opusul unui element
        ] [ 0 . . ] [ ] [ X A f f f f i a X A f X A f           
 
  
  
     
,… , , ,… , ,
2 1 0 2 1 0
a a a f a a a f f + ( – f) = (a 0 , a 1 , a 2 , …) + ( – a 0 , – a 1 , – a 2 , …) = =(a 0 +( – a 0 ) ,
a 1 +( – a 1 ), a 2 +( – a 2 ),…) = (0, 0, 0, …) = 0 A[X]
Dar adunarea este comutativă => ( – f) + f = 0 A[X]
Înmulțirea în A[X] se definește astfel:
f · g = (a 0 · b 0 , a 0 · b 1 + a 1 · b 0 , a 0 · b 2 + a 1 · b 1 + a 2 · b 0 , …) = (c 0 , c 1 , c 2 , …) unde
,…} 3 , 2 , 1 , 0 { , 
   
k j i j i k k b a c
Înmulțirea definită astfel este:
– asociativă
f ·(g ·h) = (f · g) · h   ] [ , , X A h g f    
 
      
  
,… , , ,… , , ,… , ,
2 1 0 2 1 0 2 1 0
c c c h b b b g a a a f
și notăm
f · g = (d 0 , d 1 , d 2 ,…) =>   0    
  r b a d
r j i j i n
      
         
 
 
     
n k r n k j i k j i k
n j i j i n c b a c b a l l l l h g f ,… , , 2 1 0
notăm g · h = (d 0 ’, d 1 ’, d 2 ’,…) =>   0 '    
  s c b d
s k j k j k
      
         
 
 
     
n s i n k j i k j i
s k j k j i n c b a c b a l l l l h g f ' '
2 '
1 '
0 ,… , ,
deci (f · g) · h=f · (g · h) .
– comutativă   ] [ , X A g f f g g f    
 
      ,… , , ,… , , ,… , , ,… , ,
2 1 0 2 1 0
2 1 0 2 1 0 d d d f g si c c c g f b b b g a a a f    
  
  unde:
 
     
k j i i j
k j i k j i k a b d si b a c . dar A este inel comutativ => f · g=g · f .
– are element neutru
      ]. [ 1 1 . . ] [ … , 0 , 0 , 1 1 ] [ ] [ ] [ X A f f f f i a X A X A X A X A        

(1, 0, 0, …) este element neutru față de înmulțire
f = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) => f · 1 A[X] = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) · (1, 0, 0,…) = (a 0 · 1, a 0 · 0 + a 1 · 1,
a 0 · 0 + a 1 · 0 + a 2 · 1, …) = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) = f
– înmulțirea este distributivă față de adunare:
f · (g + h) = f · g + f · h
(f + g) · h = f · h + g · h   ] [ , , X A h g f  
Notăm: f = (a 0 , a 1 , a 2 ,…) , g = (b 0 , b 1 , b 2 ,…) și h = (c 0 , c 1 , c 2 ,…)
f · (g + h) = (a 0 , a 1 , a 2 ,…)(b 0 +c 0 , b 1 +c 1 , b 2 +c 2 ,…) =
=(a 0 (b 0 +c 0 ), a 0 (b 1 +c 1 )+a 1 (b 0 +c 0 ), a 0 (b 2 +c 2 )+a 1 (b 1 +c 1 )+a 2 (b 0 +c 0 ),…) =
=(a 0 b 0 , a 0 b 1 +a 1 b 0 ,…) + (a 0 c 0 , a 0 c 1 +a 1 c 0 ,…) = f · g + f · h
Propoziția 1.1.1. Dacă A este un in el unitar comutativ, atunci mulțimea A[X] (a
șirurilor de elemente din A , care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreună cu
operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus, este un inel comutativ și unitar.
Concluzie Tripletul ( [ ], ) A x  este inel comutativ și unitar. Elementele acestui inel se
numesc polinoame peste inelul A sau polinoame cu coeficienți în A .
Dacă f = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,…) este un polinom nenul și dacă n este cel mai mare număr
natural cu proprietatea a n ≠ 0 atunci n se numește gradul polinomului și se notează cu
grad(f) . Pentru polinomul al cărui grad este  nu se definește gradul.
Dacă grad(f) = n , atunci a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n se numesc coeficienții polinomului f .
Fie aplicația u:A – > A[X] , definită prin u(a) = (a, 0, 0, …)
(a, 0, 0, …) = (b, 0, 0, …) => a = b , rezultă că u este injectivă.
Mai mult, u este un morfism de inele:
    A a a a u a u a a u si a u a u a a u        ' , ) ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ( '
Deoarece, după definiție este evident că:
(a, 0, 0, …) + (a’, 0, 0, …) = (a + a’, 0, 0, …) și
(a, 0, 0,…) · (a’, 0, 0, …) = (a · a’, 0, 0,…) .
Deci u este morfism injectiv. Astfel, putem identifica elementul a din A cu imaginea
sa prin u , adică cu polinomul (a’, 0, 0,…) din A[X] și A se poate considera un subinel al
lui A[X].
Notăm: X = (0, 1, 0, …) care se numește nedeterminata X
X 2 =(0, 0, 1, …) și, în general, pentru orice i natural nenul

X i =(0, 0, …0, 1, 0, …)
Fie f un polinom de grad n ai cărui coeficienți sunt a 0 , a 1 , a 2 , …, a n , adică f = (a 0 , a 1 ,
… , a n , 0…) . Folosind adunarea și înmulțirea pe A[X] se obține:
f = (a 0 , a 1 , a 2 , ……, a n , 0, 0, …) = (a 0 , 0,…) + (0, a 1 , 0,…) + (0, 0, a 2 ,…) + …+ (0, 0, …,
a n , 0,…) = (a 0 , 0, 0, …) + (a 1 , 0, 0, …) · (0, 1, 0, …) + (a 2 , 0, 0, …) · (0, 0, 1, 0, …) + …
+ (a n , 0, 0, …) · (0, 0, …, 0, 1, 0, …)
După notațiile făcute f se mai poate scrie: f = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a n X n
Inelul A[X] se numește inelul polinoamelor în nedeterminata X , cu coeficienți în
inelul A și se notează A[X] .
grad(f + g) ≤ max(grad(f) , grad(g)) și grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g) , pentru orice
polinoame f și g din A[X] .
Dacă A este un domeniu de integritate, se poate înlocui a doua inegalitate printr – o
egalitate.
Un element x A  se nume ște divizor al lui zero dacă exis tă \{0} y A  astfel încât
0. xy  Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se nume ște inel integru domeniu de
integritate.
Propoziția 1.1.2. Dacă A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame
A[X] este domeniu de integritate.
Demonstrație Fie f și g două polinoame din A[X] :
f = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a m X m , a m ≠ 0
g = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + … + b n X n , b n ≠ 0
atunci f · g = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) ·X + … + (a m – 1 b n + a m b n – 1 ) ·X m+n – 1 + a m b n X m+n
A fiind domeniu d e integritate rezultă că a m b n ≠ 0 și, deci, f · g ≠ 0 A[X] .
În particular, pentru un corp K inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în K
este inel integru.
Un element x A  este inversabil (sau element unitate ) dacă există y A  astfel
încât 1 xy  . Elementul y este determinat în mod unic de x și este notat 1 x  . Mul țimea
elementelor inversabile ale lui A formează un grup abelian (multiplicativ), notat cu A  .
Un corp este un inel în care 1 0  și orice element nenul este inversabil.
Propoziția 1.1.3. Fie A un domeniu de int egritate și A[X] inelul polinoamelor într – o
nedeterminată cu coeficienți în A . Atunci elementele inversabile ale lui A[X] coincid cu
elementele inversabile ale inelului A .

Demonstrație Fie A a  inversabil în A , adică există A b  astfel încât
a · b = 1 . Această relație are loc și în A[X] deci a este inversabil în A[X] .
Invers, fie f un polinom din A[X] inversabil. Atunci există un polinom g astfel încât f ·
g = 1 și deci grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0 de unde gr ad(g) = grad(f) = 0 , adică
A g f  , . Deci, A f  și f inversabil în A .
În particular, pentru un corp comutativ K , polinoamele inversabile sunt polinoame de
grad 0 și numai acestea.
I.2. Proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame
Teorema 1.2.1. Fie A un inel comutativ unitar, A[X] inelul de polinoame de o
nedeterminata cu coeficienti in A, iar  : A  B un morfism unitar de inele. Atunci
pentru (  )   B, (  ! ) u : A[X]  B astfel incat u   =  si u(X) = unde B este un
inel comutativ , adica diagrama:

A A[X]
 u
B
este c omutativa.
Demonstratie : Fie f  A[X] , f = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a m X m , a m ≠ 0
Definim u : A[X]  B , u (f) = 0 1 2
0 1 2 f=a … m
m a a a         .
Defini ția este corectă deoarece scrierea lui f este unică. Vom verifica faptul ca u este
morfism unitar de ine le, adică:
(  ) f , g  A[X] , g = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + … + b n X n , b n ≠ 0
u (f + g) = uf+ug = u (f) + u(g) si
u (f g) = (uf)g =(ug)f =f(ug )=u(g) u(f) = u (f) u (g).
Este evident din defini ție ca u  =  și că u (1) = 1.

Pentru a demonstra unicitatea, fie u  : A[X]  B astfel incat u   =  . Atunci pentru
orice f  A[X],
u  (f) = u (f).
Plecând de la inelul A[X] se poate construi acum inelul polinoam elor în doua
nedeterminate. Un element F  A[X][Y] va fi un polinom în variabila Y cu coeficienti in
A[X] si se va scrie:
F = 0 1 2
0 1 2 F … n
n Y FY F Y F Y     , unde F 0 , F 1 , … , F n  A[X].
Identificăm pe A[X] ca subinel al inelului comutat iv A[X][Y] în sensul că polinoamele
de gradul 0 în Y sunt polinoame din A[X], iar în general dacă m = max grad ( ), Vom
demonstra acum teorema care ne asigură unicitatea scrierii unui polinom F  A[X][Y].
Teorema 1.2.2. Dacă F  A[X][Y], unde A[X][Y] est e un inel comutativ ,
F = 0 1 2
0 1 2 F … n
n X F X F X F X     unde F 0 , F 1 , … , F n  A[Y]. este identic nul, atunci
a ij = 0 (  ) i , j.
Demonstra ție : Într – adevăr, F = 0 1 2
0 1 2 F … n
n X F X F X F X     = 0 în A[X][Y] este
echivalent cu (  ) j = 0 , 1 , … , m , = 0 în inelul A[X], ceea ce este echivalent cu
a ij = 0 (  ) i , j
Considerăm acum inelul comutativ A[Y][X] care se construie ște similar cu A[X][Y]
pornind de la inelul A[Y] și adjuncționând pe X.
Teorema 1.2.3. Daca A este inel c omutativ unitar, A[X][Y]  A[Y][X].
Demonstra ție : Dacă B și C sunt inele unitare și f : B  C este un morfism unitar
de inele, atunci (  ) : B[X]  C[X] care extinde f și face comutativa diagrama:
B C
i j

B[X] C[X]
Afirma ția rezultă aplicând proprietatea de universalitate demonstrata la teorema 1. 2.1.
pentru morfismul j f : B  C[X] și elementului  = X  C[X]. Apoi considerând B = A
, C = A[Y] și f : A  A[Y] incluziunea canonică , rezulta ca (  ) : A[X]  A[Y][X] cu
proprietatea de universalitate a inelului de polinoame pentru urmatoărea diagr ama

A[X] A[X][Y]
g

A[Y][X]
În care este morfismul definit anterior,  este incluziunea canonică si  = Y  A[Y][X].
Pentru morfismul g găsit anterior se arată u șor că este izomorfism. Pentru inelul A[X,Y]
se poate demonstra urmatoarea proprietate de universalitate.
Inel cât . Fie A un inel și  un ideal. Mul țimea cât A  este înzestrată în mod canonic
cu o structură de inel, care se nume ște inelul cât A  . Morfismul de inele
: , : A A x x x a       este surjectiv și îl numim protec ție canonică .
Teorema 1.2.4.( de izomorfism) Fie : f A B  un morfism de inele, I=ker f,  un
ideal al lui A inclus în I și : A A    protec ția canonică. Atunci:
1) Există un unic morfism : f A B   astfel încât f f    .
2) Morfismu l f este injectiv dacă și numai dacă I  
3) Morfismul f este surjectiv dacă și numai dacă f este surjectiv.
În particular Im ker f A f  .
Fie A ș i B două inele. Notăm 1 [ ,…, ] n A X X B  este determinat de restric ția sa la A și de
imaginile nedeterminatelor , i X { 1,…, }. i n 
Fie A un inel. Numim A – algebră un inel B înzestrat cu un morfism (care, în acest volum, este în
cele m ai multe situa ții injectiv) : f A B  . A – algebră B se nume ște de tip finit dacă este
generată de un număr finit de elemente 1 ,…, n x x , în sensul următor: orice element al lui B se
poate ob ține ca un polinom în i x cu coeficien ți în A. Altfel spus, inelul B este izomorfism cu un
cât al inelului de polinoame 1 [ ,…, ]. n A X X

I .3 . Funcția polinomială asociată polinomului. Rădăcin a unui polinom
Definiția 1 . 3.1. Fie A un inel comutativ cu element unitate, 
  
N i i
i X a f X A f . ], [
Se numește funcție polinomială asociată polinomului f aplicația : f A A   definită astfel:
  ( ) i
i
i N f x a x x A
      .
Proprietăți al e funcțiilor polinomiale:
Propoziția 1.3.1. Dacă f și g sunt două polinoame din A[X] și f ~ , respectiv g ~ funcțiile
asociate lor, atunci g f g f ~ ~ ~
   și g f g f ~ ~ ~
  , adică funcț iile atașate polinoamelor

sumă, respectiv produs, sunt egale cu suma funcțiilor, respectiv produsul funcțiilor
atașate celor două polinoame.
Demonstrație Fie 
 
N i i
i X a f și 
 
N i i
i X b g . Atunci   
   
N i i
i i X b a g f și
 
    
 
 
   
N i i
i k j k j X b a g f .
Din definiția 1 și din faptul că     x g x f ~ , ~ sunt elemente ale unui inel comutativ rezultă:
        
       
N i N i N i i
i i i
i i
i x b a x b x a x g x f , deci         x g x f x g f ~ ~ ~    , adică
g f g f ~ ~ ~    .
Avem        
      
 
 
   
  
  
  
   
N i i
i k j k j
N i i
i
N i i
i x b a x b x a x g x f de unde       x fg x g x f ~ ~ ~  
adică g f g f   ~ ~ ~
Propoziția 1.3.2. Dacă notăm cu   ] [ | X A f f B f   atunci aplicația φ :A[X] → B f
definită prin φ (f)= f ~ este un morfism , unde f este privit în B[X] .
Demons trație
) ( ) ( ~ ~ ~ ) ( g f g f g f g f           și ) ( ) ( ~ ~ ~ ) ( g f g f g f g f       
Conform teoremei de morfisme de la inel rezultă că φ (A[X]) este un inel. Datorită
morfismului rezultă că orice proprietate referitoare la polinoame rămâne valabilă și
pentru funcțiile asociate lor.
Observație În general, morfismul nu este injectiv, fapt pentru care nu se poate identifica
polinomul cu funcția asociată lui.
Exemplu: Fie B = A = Z 3 și 3 , Z g f  ,
1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 2 ˆ
2 2 3
      
X X g X X X f
Evident, f ≠ g, dar φ(f) = φ(g) deoarece   Z x x g x f    ) ( ~ ) ( ~ .
) 2 ˆ ( 1 ˆ ) 2 ˆ ( ) 1 ˆ ( 2 ˆ ) 1 ˆ ( ) 0 ˆ ( 1 ˆ ) 0 ˆ (
g f g f g f
     

Definiția 1.3.2 . 1 Elementul a B  se numește rădăcină a polinomului [ ] f A X  dacă
  0 f a  
Definiția 1.3.2 .2 Fie , [ ] f g X   . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă
există un polinom [ ] q X   astfel încât f g q   . Notăm f g  sau g f .

Teorema lui Bézout

Fie R domeniu de integritate și un f un polinom din [ ] X  . Atunci x   este o
rădăcină a polinomului dacă și numai dacă – X x divide f .
Demonstra ț ie : Fie [ ] f X   , 0 1 … n
n f a a X a X     , 0 n a  , astfel încât
( ) 0 f x  . Atunci
0 1 0 1 1 ( ) ( ) (0) … ( … ) ( ) … ( ) n n n n
n n n f X f X f a a X a X a a x a x a X x a X x               
Deoarece X x  divide k k X x  pentru orice 1 k n   rezultă că – X x divide f .
Reciproc dacă – X x divide f , atunci ( ) f X x h   cu [ ] h X   . Deci
( ) ( ) ( ) 0 f x x x h x    , adică x este o rădăcină a lui f
Propoziția 1.3.3 . Fie K un corp comutativ și [ ]. f K X  Condiția necesară și suficientă
ca K a  să fie o rădăcină a polinomului f este ca f să fie divizibil prin polinomul
g = X – a (Conform teoremei lui Bezout – Fi e  domeniu de integritate și un f un polinom
din [ ] X  . Atunci a   este o rădăcină a polinomului dacă și numai dacă
– X a divide f ).
Demonstrație Presupunem   ] [ ,
0 0 0 ) ( ~
] [ ] [ X K r q
g f a f
X K X K   

 
 
  
unic determinate astfel încât
r q a x f    ~ ) ( ~ unde:
r = 0 sau grad(r) = 0 => r a q a x a f
a f dar r x q a x f    
    
    ) ( ~ ) ( ) ( ~
0 ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~

Dar f a X q a X f r a f | ) ( ) ( 0 0 ) ( ~         deci g | f .
Reciproc g|f   ] [ X K q    astfel încât f = (X – a)q =>
     0 ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) ( ~ a f x q a x x f a rădăcină.
Observație Propoziția 1.3.3. rămâne valabilă și în cazul când în loc de K considerăm un
domeniu de integritate, deoarece coeficientul dominant al polinomului g este inversabil.

Consecința 1.3.1. Fie K un corp comutativ și . 0 , ] [ ] [ X K f X K f  
Dacă j i i a a K a   , pentru i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n sunt „n” rădăcini distincte ale polinomului
f atunci există ] [ X K q  astfel încât: f = (X – a 1 )(X+a 2 ) … (X+a n )q .
1.4 Rădacinile polinoamelor cu coeficien ți în , , ,    

Rădăcinile polinomului cu coeficien ți întregi

Fie [ ] f X   ,
Propozi ție1.4.1 : Dacă 1
1 1 0 … n n
n n f a X a X a X a 
      ,
0 , 0, , 1, 2,3,…, i i a a a i n     , are rădăcini întregi atunci acestea sunt divizori ai lui 0 a
Observa ție : Această proprietate ne ajută să rezolvăm ecua țiile cu coeficienți numere
întregi deoarece numărul divizorilor lui 0 a este finit și prin schema lui Horner putem găsi
aceste rădăcini .

Rădacinile polinomu lui cu coeficienti ra ționali

Fie [ ] f Q X 
Propozi ție1.4.2 : Dacă 1
1 1 0 … n n
n n f a X a X a X a 
      ,
0 , 0, , 1, 2,3,…, i i a a a i n     ,are rădăcini ra ționale de forma p
q , unde p și q sunt prime
între ele ( frac ție ir eductibilă) atunci 0 p a și n q a .
Demonstra ție:1) Din 0 0 1 ( ) 0 ( ) … ( ) 0 n
n p p f x a a a q q       sau încă
1 1
0 1 ( … ) n n n
n a q p a q a q      . De aici se deduce 0 n p a q și cum ( , ) 1 p q  0 p a  . Tot
din scrierea de mai sus 1 2
0 1 ( …) q n n
n a p q a q a q      și deci n
n q a q , dar ( , ) 1 p q  și
deci 0 q a . Din 1)  0 x p  este o rădăcin ă întragă a lui f , atunci p este divizor al
termenului liber (adică 0 p a ) când 1 q  (demonstra ția propoziției 1.4.1).
Propozi ția afir mă că pentru un polinom f cu coeficien ți întregi, rădăcinile raționale
posib ile se află printre frac țiile p
q , unde p este divizor (în  ) al termenului liber 0 a , iar q
este divizor(în  ) al coeficientului dominant n a , al polinomului.
Observa ție : Pentru a găsi rădăcinile ra ționale ale lui f scriem mul țimile divizorilor lui
0 a și n a ,
0 a D și respectiv
n a D . Scriem toate frac țiile care au ca numărător elemente din
0 a D și ca numitor elemente din
0 a D si apoi aplicăm schema lui Horner pentru a afla
rădăcinile ra ționale ale lui f .

Propozi ție 1.4.3 : Dacă 1
1 1 0 … n n
n n f a X a X a X a 
      ,
0 , 0, , 1, 2,3,…, i i a a a i n     , și ( , , ) x a b a b b       este o rădăcină ira țională a
lui f atunci și ( , , ) x a b a b b       ca rădăcină .
Demonstra ție. Propozi ția afirmă că polinomul [ ] f X   are rădăcina 0 x a b   (număr
pătratic), atunci f are rădăcină și pe 0 x a b   (conjugatul pătratic al lui 0 x ), și mai
mult cele două rădăcini au acela și ordin de multiplicitate. Dacă 0 x este rdăcină simplă a
lui f, atunci 0 f X x   . Cum și 0 x este rădăcină simplă a lui f 0 f X x    . Deci f se
divi de prin produsul
2 2 2 2
0 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 X x X x X a b X a b X a b X aX a b              

Rădăcinile polinomului cu coeficien ți reali

Fie [ ] f R X 
Propozi ție1.4.4 : Dacă 1
1 1 0 … n n
n n f a X a X a X a 
      ,
0 , 0, , 1, 2,3,…, i i a a a i n     , și el admite o rădăcină complexă 1 z a bi   unde
, ,( 0) a b b    atunci el admite rădăcină și pe 2 z a bi  
Propozi ția afirmă că polinomul [ ] f X   are rădăcina 0 z a bi   , atunci f are rădăcină și
pe 0 z a bi   (conjugatul lui 0 z ), și mai mult cele două rădăcini au același ordin de
multiplicitate. Dacă 0 z este rdăcină simplă a lui f, atunci 0 f X z   . Cum și 0 z este
r ădăcină simplă a lui f 0 f X z    . Deci f se divide prin produsul
2 2 2 2 2
0 0 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 X z X z X a bi X a bi X a bi X aX a b             

1.5. Proprietă ți ale rădăcinilor unui polinom . Derivata unui polinom

În acest paragraf R va fi un domenie de integritate . Atunci. [ ] R X va fi deasemenea
un domeniu de integritate.
Fie f , g ,două polinoame din [ ] R X . Spunem ca f divide g și scriem f g dacă
există [ ] h R X  astfel încât g fh  . În caz contrar , spunem că f nu divide g și scriem
f g .
Observăm că pentru orice polinom nul , iar polinomul nul d ivide numai pe el însu și .

1.5.1 . Derivata unui polinom și rădăcini multiple

Defini ție : Spunem c ă elementul x din domeniul de integritate  este rădăcină de ordin
de multiplă de ordin i sau rădăcină de ordin de multiplicitate i a polinomului f din
[ ] R X , dacă ( ) i X x f  ,iar 1 ( ) i X x   f .
Este clar, după teorema lui Bézout , că x din R este rădăcină multiplă de ordin i a
polinomului f din [ ] R X ,astfel încât :

( ) i f X x g   cu ( ) 0 g x 
1.5.1.1 Derivata formală a unui polinom. Rădăcin i multiple

Fie K un corp comutativ.
Familia de vectori 2 (1, , ,…) X X cu o bază o K – spa țiului vectorial K[X]. Din
proprietatea de universalitate a spa ț iilor vectoriale rezultă că există o unică func ție liniară
: [ ] [ ] D K X K X  astfel încât 1 ( ) k k D X kX   pentru orice . k   În general, dacă
1 n
k
k
k f a X
   , atunci (1) 1
1 ( ) ' n
k
k
k D f f f ka X 
     . Polinomul ( ) ' D f f  se nume ște
derivată formală a polinomului f.
Lema
1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) D f g D f D g D af aD f     ;
2) 1 1 1 1
1 ( ) ( ) ( ); ( ,…, ) … ( ) … ; n
n i i i n
i D fg D f g fD g D f f f f D f f f  
    
3) ( ) ( ( ) ) ( ) D g f D g f D f    .
Demonstra ție. 1) Dacă
1 1 1
0 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )
k k k k k
k k k k k
k k k k f D a b X k a b X a ka X b X D f D g   
               
1 1
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). k k k k
k k k k
k k k k D af D a a X D aa X kaa X a ka X aD f  
            
2) Dacă i f X  și , j g X  atunci i j fg X   și
1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . i j i j i i j D fg i j X X jX iX i j X fD g D f g              
Dacă
0 n
i
i
i f a X
   și
0 m
j
j
j g b X
   atunci
0 n m
i j
i j
k i j k fg a b X X 
    
0 0
0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ( ) ( ) n m n m
i j i j i j
i j i j i j
k i j k k i j k
n m n m
i j i j
i j i j
k i j k k i j k D fg a b D X X a b X D X a b D X X
a b X D X a b D X X fD g D f g  
     
 
         
      
 
Pentru a demonstra afirma ția generală fol osim induc ția matematică după n. Dacă n=1,
atunci 1 1 ( ) ( ). D f D f  Presupunem că afirma ția este adevărată pentru n și arătăm pentru
n+1.
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ( … ) ( … ) … ( )
( … ( )… ) … ( ) … ( )… n n n n n n
n n
n n n n n n
i i D f f f D f f f f f D f
f D f f f f f D f f D f f f   

  
    
    
3) Dacă k g X  , atunci k g f f   1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) k k D g f D f kf D f D g f D f       
În general dacă
0 n
k
k
k g b X
   , atunci
1
1 1 ( ) ( ) ( ) (( ( )) ) ( ) n n
k k
k k
k k D g f b D f b kf D f D g f D f 
         .

Derivata de ordin superior se define ște prin inducție:
(0) (1) ( 1) 1 ( ) , ( ), ( ) ( ) k k k f f f D f f D f f      
Lema (formula lui Taylor) Dacă [ ],deg( ) ; f K X f n a K    , atun ci există
elementele 0 ,…, n b b K  astfel încât
0 ( ) n
k
k
k f b X a
    . Dacă charK=0, atunci coeficien ții
k b sunt unici determina ții: ( ) ( ) ; . ! k
k f a b k k    
Demonstra ț ie: Folosind induc ția matematică după deg f . Dacă deg f ˂1, atunci
0 . f a K   Dacă deg f =1, atunci 0 1 1 1 0 ( ) . f a a X a X a a a a       Presupunem că n>1
și în caz este adevărată pentru polinoamele de grad mai mic ca n.
Fie 1 ( ) ( ), f X a f f a    unde deg 1 f =n-1 . Din ipoteza induc ției  1
1
0 ( ) n
k
k
k f b X a 
   
deci 1
1
0 ( ) ( ) n
k
k
k f f a b X a 

     . Dacă char k=0 și 1
0 ( ) n
k
k
k f b X a 
    , atunci
(0)
0 ( ( )) ( ) (0!) f a f a b   și prin derivare obținem ( ) ( ) ! , 0,…, k
k f a k b k n   .
Observa ție 1) Dacă , p K   unde p este un număr prim, atunci char = p . De aceea,
pentru orice k p  avem ! 0. k k b 
2) Dacă caracteristica corpului K este 0 și [ ] f K X  , atunci ' 0 f  dacă și numai dacă
f K  .
3 ) Fie 0 p  caracteristica corpului K și fie [ ] f K X  , ' 0 f  dacă și numai dacă f
are forma 2
0 1 2 … ; [ ]. p p np p
n f a a X a X a X f K X      
Teorema. Fie [ ] f K X  , , a K k     și char K= 0.
1) Dacă a este radăcină de multiplicitate k a lui f, atunci a este rădăcină de
multiplicitate(k – 1) a derivatei D(f) și avem (0) (1) ( 1) ( ) ( ) … ( ) 0 k f a f a f a      și
( ) ( ) 0 k f a 
2) Reciproc dacă (0) (1) ( 1) ( ) ( ) … ( ) 0 k f a f a f a      și ( ) ( ) 0 k f a  atunci a este
rădăcină de multiplicitate k a lui f.
Demonstra ție. 1) Presupunem că ( ) ; 0 k f X a g g    derivăm pe f.
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) k k k D f k X a g X a D g X a kg X a D g            1 ( ) ( ) k X a D f  
și 1 1 ( ) ( ) 0; ( ) ( ). g a kg a g kg X a D g      Astfel am arătat că dacă a este rădăcină de
multiplicitate k a lui f, atunci a este rădăcină de multiplicitate (k – 1) a derivatei D(f). Prin
induc ție se arată că a este rădăcină d e multiplicitate (k – i) a lui ( ) i f , 1,…, i k  deci a este
rădăcină de multiplicitate a lui ( 1) k f  și este rădăcină de multiplicitate a lui ( ) k f , adică
( ) ( ) 0 k f a  .

2)Aplicând formula lui Taylor rezultă că:
( ) ( ) ( )
0
( 1) ( ( )) ( ( )) ( ) (( ( ))
( !) ( !)( ) ( !)( )
( ) ( )) ) …) ( 1)! n n j i k k
j i
j i k
k f a f a X a f a f k j X a i X a
X a f a
k  
       
    

Notăm ( ) ( 1) ( ( )) ( ) ( )) …; ( ) , ( ) 0 ( !) ( 1)! k k
k f a X a f a g X a f g a k k          deoarece
( ) 0 k f  .

Propozi ția 1.5.1.1 . Fie  un domeniu de i ntegritate și f un polinom nenul din [ ] X  .
Dacă elementele 1 2 , …., k x x x din  sânt rădăcini distincte ale lui f , de ordine de
multiplicitate 1 2 , …., k i i i , atunci f se scrie sub forma :
1 2
1 2 ( ) ( ) …( ) k i i i
k f X x X x X x g    
unde [ ] g x  
Demonstra ție : Procedăm prin induc ție după k . Pentru k =1 , pr opozi ția rezultă din
defini ție (Spunem c ă elementul x din domeniul de integritate  este rădăcină de ordin
de multiplă de ordin i sau rădăcină de ordin de multiplicitate i a polinomului f din
[ ] X  , dacă ( ) i X x f  ,iar 1 ( ) i X x   f ) . Presupunem că că propozi ția este adevărată
pentru k – 1 și arătăm că ea este adevărată pentru k
Există deci 1 [ ] f X   astfel încât
1 1 2
1 2 1 1 ( ) ( ) …( ) k i i i
k f X x X x X x g 
    
Atunci 1 1 2
1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) …( ) ( ) 0 k i i i
k k k k k k f x x x x x x x g x 
      și cum k i x x  pentru orice
1 1 1 ( ) 0 k i k g x     
Notând 1 1 2
1 2 1 ( ) ( ) …( ) k i i i
k h X x X x X x 
     avem 1 f hg  cu ( ) 0 i h x  și deoarece k x
rădăcină a lui f de ordin de multiplicitate k i este clar că k x este rădăcină a lui 1 g de
ac elasi ordin de multipicitate . Într – adăvăr , 1 2 ( ) k g X x g   și 1 ( ) k i
k f X x f   cu
1 ( ) 0 k f x  . atunci 1 2 ( ) ( ) k i
k k X x f X x g h    de unde 1
1 2 ( ) k i
k X x f g h    și deci
2 0 ( ) ( ) k k g x h x 
Cum ( ) 0 k h x  , atunci 2 ( ) 0 k g x  , adică 2 3 ( ) k g X x g   . Avem deci
2
1 3 ( ) k g X x g   și continuăm procedeul de atâtea ori cât este ordinul de multiplicitate al
rădăcini k x a lui f .
Ob ținem deci 1 1 2
1 1 2 1 ( ) ( ) …( ) ( ) k k i i i i
k k g X x X x X x X x g 
     
Observa ție : Când numărăm rădăcinile unui polinom și nu specificăm că sunt
distincte , considerăm fiecare rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de multiplicitate .

Din cele de mai înainte rezultă :
Corolarul 1.5.1.1 . Da că R este un domeniu de integritate și f un polinom din
[ ] X  cu grad (f ) =n 0  , atunci f are cel mult n rădăcini .
Observa ție : Dacă  nu este domeniu de integritate , afirma ția din corolarul
precedent nu este neapărat adevărată .
Fie inelul X     care nu este domeniu de integritate . De exemplu , (0, 1) (1,0)=(0,0)
și deci  are divizori ai lui zero . Să considerăm polinomul (0,1) f X  din [ ] R X al cărui
grad este 1 . Orice element (0,n) din  este rădăcină a lui f deoarece
(0, ) (1,0)(0, ) (0,0) f n n   și deci f are o infinitate de rădăcini.

1.6 Rela țiile lui Vi ète

Fie  un domeniu de integritate și
0 1 … , 0 n n f a a X a X a     
un polinom nen ul din [ ] X  . Dacă 1 2 , ,…, n x x x sânt rădăcinile lui f în  , atunci
1 2
1 1 2
2 1 2 1 3 1 1
1 2 1 2 1 1 ( )( )…( )
( … ),
( … … ),
…………………………………. ………………………..
( 1) ( … … … n n
n n n
n n n n n
k
k n k k k n f a X x X x X x
a a x x x
a a x x x x x x x x
a a x x x x x x x x 
 
      
    
     
     1 2
0 1 2 … ),
…………………………………. …………………………………. …………..
( 1) ( …. ) k n k n
n
n n x x
a a x x x   
 
Demonstra ție: După propozi ția 1.5 .2.2 putem scrie 1 2 ( )( )…( ) n f X x X x X x g    
cu [ ]. g X   Indentificând coeficientul lui n X din ambii membri, avem n g a  .Deci
1
1 2 1 2
2
1 2 1 3 1 1
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( )( )…( ) ( … )
( … … )
… ( 1) ( … … … … ) … ( 1) … n n
n n n n n
n
n n n n
k n k n
n k k k n k n k n n n f a X x X x X x a X a x x x X
a x x x x x x x x X
a x x x x x x x x x x X a x x x 



               
      
        
de unde, prin indentificarea coeficien ților în cele două scrieri ale lui f se ob țin relațiile
cerute.
Rela țiile de mai sus se numesc relațiile dintre rădăcinile și coeficienții unui polinom
sau rela țiile lui Vi ète.

1.7 Aritmetica inelului de polinoame peste un corp comutativ
În această parte a lucrării se studiază comparativ diferite propr ietă ți aritmetice ale
inelelor [ ] K X , K corp comutativ. Se expun mai întâi rezultate referitoare la teorema
împăr țirii cu rest, cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun. Se dau
apoi rezultatele fundamentale referitoar e la descompunerea unui polinom în produs de
polinoame ireductibile. Prin corp în țelegem un corp comutativ.

1.7.1 Teorema împăr țirii cu rest
Fie K un corp.
Teorema1.7.1.1 (a) [ ] K X este domeniu de integritate.
(b) Pentru orice , [ ] \{0}, ( ) max( ( ), ( )) f g K X grad f g grad f grad g    și
( ) ( ) ( ). grad fg grad f grad g  
(c) Elementele inversabile ale inelului [ ] K X sunt polinoamele constante nenule ,
altfel spus , ( [ ]) U K X K  

Teorema 1.7.1.2 Teorema împăr țirii cu rest
Fie A un inel comutativ și fie , [ ] f g A X  astfel încât g este un polinom nenul cu
coeficientul dominant inversabil (e.g, g unitar).Atunci există și sunt unice polinoamele
q,r [ ] A X  astfel încât :
f=gq+r cu grad(r) <grad(g)
Polinoamele f,g,q,r se numesc deîmpăr țit,împărțitor,cât și respective rest, iar egalitatea
f=gq+r se nume ște indentitatea împăr țirii.
Demonstra ție : Fie r=f – gq polinomul de grad cel mai mic î ntre toate
poli noamele de forma f-gw cu w D[X]  . Dacă grad(f-gq) grad(g)  , atunci fie
n X  monomul conducător a lui f – gq și m X  monomul conducător al lui g. Atunci
1 n m f gq X g      este un polinom de grad<grad(f – gq), contradic ție.
Probăm unicitatea lui q și r. Fie q',r' D[X]  astfel încât f=gq’+r’ și
grad(r’)<grad(g). Scăzând cele două expresii ale lui f rezultă g(q – q’)=r’ – r și
grad(r’ – r)<grad(g). Cum g are coeficientul dominant inversabil , rezultă ca r’ – r=0,astfel
grad(r’ – r)=grad(g(q – q’))  grad(g). A șadar r’=r și din egalitatea g(q – q’)=0 rezultă qq’=q,
din nou pentru că g are coeficientul dominant inversabil .
Teorema 1.7.1.3 Teorema împăr țirii cu rest pentru  și [ ] K X
Fie D=  sau [ ] K X . Atunci pentru orice a, b D,b 0   , există și sunt unice
, q r D  astfel încât a bq r   cu 0
( ) ( ) [ ] r b dac ăD
grad r grad b dac ăD K X           
Numerele /polinoamele a,b,q,r se numesc deîmpăr țit, împărțitor, cât și respective rest, iar
egalitatea a=bq+r se nume ște indentititatea împărțirii.
Demonstra ție: Cazul D=  . Demonstrăm mai întâi existen ța lui q și r.
Fie r=a – bq cel mai mic număr întreg  0 de forma a bx  cu x   . Dacă a bq b   ,
atunci 0 ( sgn( )) a b q b a bq      , contradic ție. Probăm unicitatea lui q și r.

Fie q',r'   astfel încât a=bq’+r’ și 0 ' r b   . Scăzând cele două expresii ale lui a
rezultă b(q – q’)=r’ – r, deci r’ – r=0 deoarece ' r r b   . A șadar r’=r și din egalitatea
b(q – q’)=0 rezult ă q’=q deoarece 0 b  . Cazul D=K[X] a fost demonstrat în teorema
1.7.1.2
Corolar Fie K un corp și [ ] f K X  un polinom d e grad 1 n  . Atunci elementele
inelului factor [ ]
( ) K X
f se reprezintă unic sub forma 1
0 1 1 … ( ) n
n a a X a X f 
     cu
0 1 1 , ,…, n a a a K   . În particular, dacă K este finit cu q elemente, atunci [ ]
( ) K X
f are n q
elemente.
Demonstra ție : Fie [ ] g K X  . Dacă 1
0 1 1 … n
n g qf a a X a X 
      este
împăr țirea cu rest a lui q la f, atunci 1
0 1 1 ( ) … ( ) n
n g f a a X a X f 
       .În plus, dacă
1
0 1 1 … ( ) n
n a a X a X f 
     1
0 1 1 … ( ) n
n b b X b X f 
      cu , i i a b K  , atunci f divide
1
0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) … ( ) n
n n h a b a b X a b X 
         , deci h=0, deoarece grad(f)=n.
Defini ție 1. Fie R un domeniu de integritate și , a b R  . Spunem că :
(a) a divide b și notăm a b , există c   astfel încât b=ac
(b) a și b sunt asociate în divizibilitate și notăm a b  dacă a b și b a
Defini ție 2. Fie  un do meniu de integritate și U(  )={ } a R a inversabil   . Un
element * \ ( ) p R U R  se nume ște:
(a) ireductibil dac ă , 1 d d p d      sau d p  (în caz contrar spunem ca p este
reductibil)
(b) prim dacă , a b    , p a sau p b

Elementele a, b D  se zic asociate (în divizibilitate), dacă a b și b a .
Divizi bilitatea are următoarele proprietă ți.
Teorema 1.7.1.3.1 : Fie D   sau K[X] și fie a,b,c D  . Atunci :
(a) a b dac ă și numai dacă aD bD 
(b) Dacă a b și b c atunci, a c
(c) Dacă a b și a c , atunci ' ' a bb cc  pentru orice ', ' b c D 
(d) Dacă a b atunci
( ) ( ) ; [ ] a b dac ăD
grad r grad b dac ă D K X          

(e) Elementele a, b sunt asociate dacă și numai dacă
, ;
; , ',dac ă, D=K[X] a b dac ă D
a db cu d K   
    

Deci a,b sunt asociate dacă și numai dacă există ( ) u U D  astfel încât a=ub.
Demonstra ție .
(a) Avem șirul de echivalențe a b  b aD aD bD    .
(b) Cf. (a) , aD bD cD   , deci a c
(c) Fi e ', ' b c D  . Cum a b și a c , rezultă că b,c aD  , deci ' ' bb cc aD   ,deoarece
aD este ideal.
(d) este evidentă.
(e) Cazul D   e clar. Presupune m că D=K[X]. Dacă f=dg cu d K   ,atunci
1 g d f   ,deci f g și g f . Reciproc, să presupunem că f g și g f . Deci
există , [ ] u v K X  cu g=fu și f=gv. Rezultă f=fuv.Dacă f=0, atunci g=fu=0 și
putem scrie f=1g. Dacă 0 f  , atunci uv=1, deci u,v K  
Inele , ideale
Inelele vor fi întodeauna co mutative, cu unitate. Notăm cu (S) i dealul inelului A
generat de mul țimea ; S A 
1 ( ) / , , r
i i i i
i S f a f r f S a A
             
Un ideal al  al inelui A este de tip finit dacă admite un si stem finit de
generatori: 1 ,…, n x x   astfel ]nc \ t orice x   se scrie
1 n
i i
i x a x
   , i a A 
Idealul  se nume ș te principal dacă admite un sistem de generatori format dintr –
un singur element. Notăm    sa u A  idealul principal generat de elementul
A   . Inelul A se nume ște inel principal dacă orice ideal propriu al său este
principal.

Teorema 1.7.1.3.2
Fie D   sau K[X]. Atunci orice ideal al lui D este principal.
Demonstra ție.
Afirma ția este clară în cazul idealului nul. Fie I un ideal nenul și fie g I  \ {0},g de
modul minim în cazul D   respective g de grad minim în cazul D = K [X]. Arătăm că
I=gD. Incluziunea  e clară. Pentru a proba incluziunea  , fie f I  . Conform teoremei
de împăr țire cu rest, există , g r D  astfel încât f=gq+r cu 0 r g   în cazul
D   ,respectiv grad(r)  grad(g) în cazul D = K[X].Cum r=f – gq I  , r nu poate fi decat
nul, altfel contrazicem alegerea lui g. f=gq gD  .
Conform punctului (e) din teorema 1.7.1.3.1, generatorul g al idealului nenul I este
determinat până la semn în cazul D   , respectiv până la o multiplicare cu o
constantantă nenulă din K în cazul D = K[X].
Teorema 1.7 .1.3.3

Fie D   sau K[X] și a,b D  . Atunci (a,b) și [a,b] există și au loc rela țiile :
(a) ( , ) aD bD a b D  
(b) [ , ] aD bD a b D  
(c)elementele (a,b)[a,b] și ab sunt asociate.
Demon stra ție
(a) Conform teoremei 1.7.1.3.2, există d D  astfel încât aD+bD=dD.Atunci
dD=aD+bD  eD,deci e d .
(b) Conform teoremei 1.7.1.3.2, există m D  astfel încât aD bD mD   . Deoarece
m aD bD   ,rezultă că a m și b m . Fie n D  un multiplu comun al lui a și b.
Rezultă că n aD bD mD    , deci m n .
(c) Pun em d=(a,b) și m=[a,b]. Dacă a=0 sau b=0, afirmația e clară. Presupunem că
a,b sunt nenule , deci d,m sunt nenule. Elementul ab d D  se divide cu a și b.
Rezultă că ab m d ,deci dm divide ab. Evident m ab ,deci ab m D  . În plus ab m
este un divizor comun al lui a și b. Deci ab d m ,adică ab dm . A șadar ab și dm sunt
asociate.

Teorema 1.7.1.3.4
Fie D   sau K[X] și fie a,b,c D  \ {0}.
(a) Dacă d=(a,b), atunci există a’,b’ D  astfel încât d=aa’ +bb’.
(b) a,b sunt reletaiv prime dacă și numai dacă există a’,b’ D  astfel încât 1=aa’+bb’.
(c) Dacă d=(a,b), atunci , a d b d sunt relative prime.
(d) (ac,bc) și (a,b)c sunt asociate.
(e) Dacă a,b sunt prime cu c, atunci ab este prim cu c
(f) Dacă a bc și a este prim cu b, atunci a c .
Demonstra ție.
Af irma ția (a) rezultă din punctul (a) al Teoremei 1.7.1.3.3 , (b) rezultă din (a), iar (c)
rezultă din (a) și (b).
(d) Fie d=(a,b). Conform Teoremei 1.7.1.3.3 aD+bD=dD . Deci aici rezultă u șor că
acD+bcD=cdD , deci cd=(ac,bc).
(e) Cum a,b sunt prime cu c, putem scr ie 1= au+cv , 1=bu’+cv’ cu u,u’,v,v’ D  .
Înmul țindaceste relații avem 1=ab(uu’)+c(bu’v+auv’+cvv’), deci ab este prim cu
c , conform (b).
(f) Din (d) rezultă că (ac,bc) și c sunt asociate. Cum , a ac a bc deducem că a c .

Teorema 1.7.1.3.5
Fie D   sau K[X] și fie 1 2 , … n a a a D  cu 2 n  . Atunci ( 1 ,… n a a ) și [ 1 ,… n a a ] există și
au loc egalită țile :
(a) 1 1 … ( ,…, ) n n a D a D a a D    ,
(b) 1 1 … [ ,…, ], n n a D a D a a    și
(c) 1 1 2 ( ,…, ) ( ,( ,…, )) n n a a a a a 
Demonstra ție
Pentru (a) și (b) adaptează demonstra ția Teoremei 1.7.1.3.3. Vom ilustra demonstra ția
lui (c ) pe cazul n=3. Fie a,b,c,d,e D  astfel încât d=(b,c) și e=(a,d). Arătăm că e=(a,b,c).
Din rela țiile , , e a e d d b și d c ,rezultă că e este un divizor comun al elementelor a,b,c.
Acum fie f un divizor comun al elementelor a,b,c. Deducem că , f d f a ,deci f e .

1.7.2. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid.
Fie C corpul numerelor complexe.
Definiție. Fie f, g  C[X]. Spunem că polinomul d  C[X] este un cel mai mare divizor
comun al polinoa melor f,g dacă:
1) d este un divizor comun pentru f,g, adică d | f și d | g ;
2) orice alt divizor comun pentru f și g il divide pe d, adică (  ) d’  C[X] d’ | f, d” | g
 d’|d.
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (c.m.m.d.c.) f, g va fi notat c u (f,g). Arătăm
că oricare ar fi două polinoame f,g  C[X], există (f,g), și – l vom construi efectiv prin așa –
numitul algoritm al lui Euclid.

Teoremă. Dacă f,g,q,r  C[X] astfel încât f = gq + r și dacă există (g,r), atunci există (f,g)
și mai mult (f,g) = (g, r).
Demonstrație. Fie d + (g,r). Deci d | g, d | r și d | gq + r (combinație de g și r). Prin
urmare d | f, adică d este un divizor pentru f și g. Dacă d’ este un alt divizor comun
pentru f și g, atunci avem d’ | f – gq, adică d’ | r. Deci d’ este un d ivizor comun pentru g
și r și cum d = (g,r) rezultă d’|d. în final d = (f,g).
Teoremă. Oricare două polinoame din C[X] au un c.m.m.d.c.
Demonstrație. Fie f,g  C[X]. Dacă f = 0, atunci (0,g) = g, deoarece g | 0, g | g, iar dacă
d’ | 0 și d’ | g, atunci d’ | g și deci (0,g) = g.
Analog se tratează cazul în care f ≠ 0, g=0 când (f,0) = f.
Presupunem acum că f ≠ 0 și g ≠ 0. Se împarte polinomul de grad mai mare la cel de grad
mai mic. Presupunem că grad(f)  grad(g) și considerăm următorul lanț de împărțiri cu
rest:

1 2 3 3 3 2
3 2 1 1 1 n-2
2 1 ; ( )< grad(r )
…………………………………. ………
; ( )< grad(r )
0 n n n n n
n n n r r q r grad r
r r q r grad r
r r q     
   
 
 

Resturile obținute la împărțirile de mai sus au proprietatea grad( 1 r ) > grad( 2 r ) > …
Gradele sunt distincte două câte două și a parțin mulțimii {0,1,2,…,grad ( 1 r )}. Deci în
inegalitățile de mai sus – cu grade, întâlnim, de exemplu, restul 1 n r  ≠ 0 și n r = 0.
Să a rătăm că ultimul rest nenul 1 n r  reprezintă cel mai mare divizor comun al
polinoamelor f, g. Aplicăm lema în mod repetat (de jos în sus în lanțul de relații) și avem:
1 n r  = ( 1 n r  ,0) = ( 2 n r  , 1 n r  ) = ( 3 n r  , 2 n r  ) = … = ( 1 r , 2 r ) = (g, 1 r ) = (f,g).

Deci, date fiind două polinoame f,g  C[X], f,g ≠ 0 (cazul interesant) pentru a determina
(f,g) se realizează l anțul de împărțiri cu rest de mai sus dacă grad(f)  grad(g). Dacă
grad(g)  grad(f), atunci se inversează rolul lui f cu g.
Modul de a obține c.m.m.d.c. a două polinoame se numește algoritmul lui Euclid.
Observații . 1) Să remarcăm că c.m.m.d.c a două polinoa me este unic până la o asociere în
divizibilitate, în sensul că dacă d = (f,g), d’ = (f,g), atunci d ~ d’, adică există a  C – {0},
astfel încât d = ad’. Într – adevăr din d = (f,g) și d’ | f, d’ | g – > d’ | d. Analog din d’ = (f,g)
și d | f, d | g  d | d’. Acum din d’ | d și d | d’ rezultă d ~ d’.
2) Dacă f, g sunt descompuse în factori ireductibili, atunci (f,g) se obține luând factorii
comuni la puterea cea mai mică.
3) Dacă în lanțul de împărțiri, o egalitate se înmulțește cu a  C – {0}, atunci, în final,
c.m.m.d.c. nu se modifică, acesta fiind unic până la asocierea cu o constantă nenulă din
C, adică (f,g) = (af, bg),(  ) a,b  C*.
Fie f, g  C[X], d = (f,g). Atunci există u,v  C[X] astfel încât d = uf + vg.
Demonstrație . Este imediată mergând de jos în sus cu exprimarea ultimului rest nenul
r n – 1 .Această consecință a teoremei afirmă că c.m.m.d.c. pentru polinoamele f, g se
exprimă ca o combinație de ele.
Definiție. Fie f,g  C[X]. Spunem că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă (f,g) = 1.
Ținând seama d e relația precedentă, dacă două polinoame f,g  C[X] sunt prime între ele,
atunci exista u,v astfel încât 1 = uf + vg.
Pentru acest caz are loc și reciproca.
O propoziție utilă în rezolvarea unor probleme cu polinoame este următoarea:

Teoremă. Fie f,g  C[X] astfel încât f | gh și (f,g) = 1. Atunci f | h.
Demonstrație. Din (f,g) = 1 se deduce existența polinoamelor u, v  C[X] astfel încât 1 =
uf + vg. Se înmulțește relația cu h și avem h = ufh + vgh. Cum f | gh, rezultă că există
f 1  C[X] astfel încât gh = f f 1 , iar egalitatea ultimă devine h = ufh + vff 1 sau h = f(uf +
vf 1 ).
De aici f | h.
Observație. Dacă f,g  Z[X], atunci (f,g)  Z[X]; dacă f,g  Q[X], atunci înmulțirea lor cu
numere naturale convenabile permite să le aducem în Z[X]; dacă f,g  R[X], atunci
(f,g)  R[X], etc.

1.7.3. Descompunerea unui polinom (în mod unic) ca produs de polinoame
ireductibile
1.7.3.1 Polinoame ireductibile
Definiție . Un polinom f  C[X] se numește ireductibil peste C (sau incă ireductibil în
C[X]) dacă are gradul cel putin unu și dac ă nu are divizori proprii.
În caz contrar, el se numește reductibil peste C (sau încă reductibil în C[X]).
Așadar, un polinom f  C[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel
puțin) g, h  C[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = g h.
Analog, un polinom f  R[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel
puțin) g,h  R[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = gh.

De asemenea, un polinom f  Q[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două
polinoame (cel puțin) g,h  Q[X] (Z[X]), de grad cel puțin unu pentru care f = gh.
O clasă importantă de polinoame ireductibile din C[X] este dată de următoarea
propoziție:
Propoziție. Orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X]) este un polinom
ireductibil.
Obser va ție. Orice element prim din R este element ireductibil. Reciproca acestei
implica ții este falsă. Cea mai cunoscută condiție suficientă pentru a avea
,,prim  ireductibil’’ este ca oricare dou[ elemente din  să admită un c.m.m.d.c. În
particular, cele două conceptecoincid în inele eucldiene, principale sau factoriale.
Caracterizări. Fie  un domeniu de integritate și * \ ( ) p U R   . Atunci :
a) p= ire ductibil  (p) = element maximal în mul țimea idealelor principale proprii
ale lui  . În particular, dacă  este un inel principal, atunci p=ireductibil  (p)
=ideal maximal al lui  .
b) p=prim  (p)=ideal prim al lui  .
Observa ții. Dacă K este un corp comutativ, atunci inelul de polinoame K[X] este
euclidian, deci :
1. Orice polinom nenul din K[X] poate fi scris ca un produs finit de polinoame
ireductibile peste K.
2. Polinoamele ireductibile peste K determină ideale maximale în K[X]. Acest fapt
este extrem de util în construc ția corpurilor finite. Mai precis, dacă p,n *   c u
p= prim, atunci un corp finit cu n p elemente (unicul până la un izomorfism!) este
[ ]
( ) n p
p X F f   ,unde [ ] p f X   este un polinom ireductibil de grad n.
Avem astfel o puternică motiva ție pentru studiu l polinoamelor ireductibile și în
particular, pentru identificarea unor criterii de ireductibilitate.

1.7.3.2 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

Observa ție. Fie  un domeniu de integritate. Un polinom
0 1 … [ ] n
n f f f X f X X       se nume ște primitiv dacă c.m.m.d.c 0 1 ( , ,…, ) 1 n f f f  .
Dacă  este inel factorial și 1 n  atunci legătura dintre ireductibilitatea lui f peste  și
ireductibilitatea lui f peste corpul de frac ții K al lui  este următoarea:
f este ireductibil în  [X]  f este primitiv și ireductibil în K[X].

Criteriul – Eisenstein .
Fie  un inel factorial K corpul de frac ții al lui  , 0 1 … [ ] n
n f a a x a x X      
cu 1 n  și p   un element prim cu proprietă țile:
a) p n a ; b) i p a , i= 0,1,2,…,n – 1 ; c) 2 p 0 a . Atunci f este ireductibil în K[X].
Dacă, în plus, f este primitiv, atunci el este ireductibil în K[X].

Demonstra ție: Presupunem, prin absurd, că f este ireductibil, f g h   , unde
1 0 … m
m g b x b x b     și 1 0 … n
n h c x c x c     sunt din K[X]. Deoarece
0 0 0
0
2 a b c
p a
p 
0 a putem presupune că p nu îl divide pe 0 b și că p îl divide pe 0 c . Înrucât p
nu îl divide pe n c (pentru că acest fapt ar însemna că p îl divide pe n m n a b c  ),rezultă
că există un r astfel încât p nu divide pe r c .
Fie r >0 cea mai mică valoare astfel încât p nu divide b . Coficientul lui r x în f este
0 0 … r u v r r
u v r a b c b c b c
       , iar p divide to ții sumanzii lui r a , cu excep ția
primului sumand. Rezultă că p nu divide r a ,contradic ție.
Exemple. 1. 5 4 3 15 20 40 35 f X X X X      în Z[X];
2. n f X p   în [ ] X  , unde p=prim și n    ;
3. 1 2 … 1 p p f X X X        în Z[X], unde p=prim;
4. 1 n p f X p    în Z[X], unde p=prim;
5. 3 2 2 3 f X Y X Y X Y     în Z[X,Y];
6. 2 2 1 f X XY Y X      în K[X,Y], unde K este un corp comutativ de caracteristic ă
2  ;
7. 6 5 3 f X X Z YZ Z XYZ      în K[X,Y,Z], unde K este un corp comutativ;
8. 1 2 … p p p
n f X X X     în 1 2 [ , ,…, ] n K X X X , unde 3 p  este prim, \{0,1, 2} n   și K
este un corp comutativ de caracteristică diferită de p;
9. 28 n f X   în ( [ ])[ ] i X  , unde n    ;
10. 2012 2010 f X   în ( [ 2])[ ] i X  .

Criteriul – Perron .
Fie polinomul 1
0 1 1 … [ ] n n
n f f f X f X X X 
        , unde 2 n  și 0 0 f  . Dacă
1 0 1 2 1 … n n f f f f        , dacă 1 n-2 1 0 >1+ a … n a a a     atunci f este
ireductibil în [ ] X  .
Demonstra ție. Presupunem 1 2 f f f   unde 1 2 [ ] f f X    și au gradul cel puțin 1.
Rădăcinile lui 1 2 ; f f sunt rădăcinile lui f deci unu l dintre aceste polinoame are toate
rădăcinile în modul subunitare. Fie
1 2 , ,…,
m i i i x x x rădăcinile lui 1 f cu
j i x ˂1, _______
1, j m  și
1
1 1 1 0 0 … , m m
m f X c X c X c c  
        . Deoarece
1 2 0 … 1
m i i i x x x c      se ajunge la
contradic ție cu
j i x ˂1 și deci f este ireductibil în [ ] X 
Exemple. Următoarele polinoame sunt ireductibile în [ ] X  :
1. 10 9 4 2011 2008 1; f X X X    

2. 1 5 3 n n f X X     unde 2; n 
3. 1 ( 3) , n n f X a X X a unde       2 n  și a    .

Criteriul – Schönemann .
Fie polinomul [ ] f X   ce are coeficientul dominant 1 și poate fi scris sub forma
, n f g ph   unde n    și p este prim,iar polinoamele g, h [ ] X   sa tisfac:
a) g este ireductibil în [ ]; p X  b) g . h Atunci f este ireductibil în [ ] X  .
Demonstra ție. Fie f un polinom monic(unitar), grad(h) ˂n gr ad(g) și g este de asemenea
un polinom monic(unitar).Rezultă și că 0. n  Presupunem că f este reductibil în
[ ] X  1 2 , , [ ] f f X    , neconstante, astfel încât 1 2 f f f   . Atunci și 1 2 n f f f g    .
Cum g este ireductibil în [ ] p X  rezultă că există 1 2 1 2 , ; n n n n n     ,
1 2
1 2 ; n n f g f g   g fiind un polinom monic, rezultă că există 1 2 , [ ] h h X   ,
grad ( i h ) ˂ i n grad(g), _______
1, 2 i   astfel încât 1 2
1 1 2 2 ; n n f g p h f g p h       .
Atunci : 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 ( )( ) n n n n n g p h g p h g p h h h g h g p h h                .
Dacă 1 2 , (0, ) n n   , din rela ția anterioară rezultă că g h , fals. Atunci 1 0 n  sau 2 0 n  ,
adică grad( 1 f )=grad( f ) sau grad( 2 f )=grad( f ) deci f este ireducti bil în [ ] X 

Exemple. Următoarele polinoame sunt ireductibile în [ ] X  :
1. 2 2 1 ( 2) 5( 10 5), n n f X X X       unde n    ;
2. 2 ( 1) , n f X p    unde n    și p=prim, 3(mod 4) p  .

1.7.3.3. Clase remarcabile de polinoame ireductibile
Polinoame ciclotomice. Fie K un corp , K î nchiderea algebrică a lui K, n    și
( ) n P K multimea rădăcinilor primitive de grad n ale unită ții din K. Polinomul
( ) ( ) [ ]
n n
P K X K X
  
    
Proprietă ți.
1. [ ] n K X   . Mai precis, to ți coeficienț ii lui n  apar țin corpului prim al lui K. În
particular, dacă char(K)=0, atunci [ ] n X    , iar dacă char(K)=p>0,atunci [ ] n p X    .
2. deg( n  )= ( ) n 
3. 1 n
d
d n X    
4. ( ) ( 1) , n
d d
n
d n X      unde :     este func ția lui Möbius. Cazuri particulare:
a) 1 1; X    b) 2
4 1 X    ; c) 2
6 1 X X     ; d) 1 2 … 1 p p
p X X X         pentru
p=prim.

5. Dacă , K   atunci n  este ireductibil peste  (deci este polinomul minimal peste 
al oricărei rădăcini primitive de grad n a unită ții compl exe).
6. Dacă p K   , atunci n  este ireductibil peste p  dacă și numai dacă ( ) n  coincide
cu gausssianul lui p modulo n , adică cu ordinul elementului ˆ p în grupul multiplicativ
( ( ), ). n U  În plus în acest caz d  este ireductibil peste p  pentru to ți divizorii d ai lui n.

O problemă formulată de către I. Schur în 1908 visează ireductibilitatea polinoamelor
de tipul 1 2 ( )( )…( ) 1 n P X a X a X a       , unde 1 2 , ,…, n a a a   sunt distincte. Aceasta
a fost solu ționată un an mai târziu de către W. Flügel și J. Westlund, care au arătat
următorul rezultat:

Teoremă. Polinomul P  este ireductibil peste  , iar P  este ireductibil peste  dacă
și numai dacă există a   astfel încât
2 ( ) ( 1) P X a X     sau 2 2 ( ) ( 3 1) P X a X X     
În acest paragraf am prezentat un rezulat ce furnizează o modalitate simplă de
construc ție a unei clase infinite de polinoame ireductibile peste  , plecând de la un
polinom arbitrar.

Teoremă. F ie polinomul nenul [ ] f X   și k    fixat. Atunci există 1    astfel
încât polinomul f kp  este ireductibil, oricare ar fi p prim, p 1 N  . În plus, dacă f are o
rădăcină simplă în  , atunci există 2 N   astfel încât polinomul m f kp  este
ireductibil, oricare ar fi p prim și m    cu 2 m p N  .

O conjectură interesantă privitoare la o clasă de polinoame ireductibile peste  a fost
enun țată de către M. Filaseta în 1986.

Conjectura A. Fie 2 n  un număr natural și polinomul 2 1 … . n f X X X     
Atunci ' f este ireductibil peste  .
Ulterior, în 1991 acesta a fost generalizată de către T.Y. Lam.

Conjectura B. Fie n,k   satisfăcând 2 n  și 1 1 k n    , și polinomul
2 1 … . n f X X X      Atunci ( ) k f este ireductibil peste  .

Utilzând calculatorul, ambele au fost probate pentru valori suficient de mari ale lui n.

1.7 .4. Polinoame simetrice

Fie R un inel comutativ unitar, fixat. Fie n    și n S   (grupul permutărilor de n
obiecte). Există un unic morfism de R – algebre 1 1 : [ ,…, ] [ ,…, ] n n R X X R X X    astfel
încât ( ) ( ) , 1,…, i i X X i n       ( am folosit proprietatea de universaliate a  – algebrei
de polinoame 1 [ ,…, ] n X X  ). Dacă 1 [ ,…, ] n g R X X  , atunci :

(1) ( ) ( ) ( ,…, ). n g g X X     
Defini ție. Fie R un inel comutativ unitar și 1 [ ,…, ] n g R X X  . Spunem că g este
polinom simetric în 1 [ ,…, ] n R X X dacă,  n S   , are loc rela ția ( ) . g g   

Dacă  este integru, de corp de frac ții K, considerăm 1 ( ,…, ) n K X X (corpul de frac ții
al inelului integru 1 [ ,…, ] n R X X , numit corpul frac țiilor raționale în nedeterminatele
1 ,…, n X X cu coeficien ți în K ). Se definește noțiunea de fracție rațională simetrică, astfel :
  se prelunge ște la un unic morfism de corpuri (notat tot cu   )
1 1 : ( ,…, ) ( ,…, ) n n K X X K X X    ; are loc,  g,h 1 [ ,…, ] n R X X  , 0 h  :
( ) ( ) ( ) g g
h h 

     . Frac ția rațională g
h 1 ( ,…, ) n K X X  se nume ște simetrică dacă
 n S   are loc ( ) g g
h h    .
Exemple. În 1 2 3 [ , , ] R X X X polinoamele următoare sunt simetrice: 1 2 3 X X X   ,
1 2 3 X X X , 2 2 2 2 2 2
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 X X X X X X X X X X X X      . Polinomul 1 2 X X  nu este
simetric în 1 2 3 [ , , ] R X X X ( dar este simetric în 1 2 [ , ] R X X ).

Observa ții. a) Mul țimea polinoamelor simetrice este o subalgebră a lui 1 [ ,…, ] n R X X :
dacă g,h S  atunci ( ) ( ) ( ) , g h g h g h             n S   . Analog se verifică
celelalte condi ții.
Arăta ți că, dacă K este corp, atunci fracțiile raționale simetrice din 1 ( ,…, ) n K X X
formează un subcorp .
b) Dacă 1
1 … n i i
n aX X apare ca monom în polinomul simetric 1 [ ,…, ] n g R X X  ,
atunci,  , n S   1
(1) ( ) … n i i
n aX X   apare ca monom în g.
Defini ție. Fie n    ș i 0 . k n   Se nume ște polinom simetric fundamental ( sau
elementar ) de grad k în 1 2 3 [ , , ] R X X X polinomul
{ { 1,…, }, } k i I i s X I n I k       .
k s este a șadar suma tuturor produselor de k nedeterminate distinc te alese din
1 { ,…, }; n X X k s are a șadar k
n C monoame. Prin conven ție, se pune k s =0 pentru k>n și
0 1 s  . Polinomul k s este omog en de grad k (toate monoamele sale au gradul k).
Întrucât k s depinde de numărul de nedeterminatelor, uneori vom nota k s ( 1 ,…, ) n X X
pentru a evita confuziile. De exemplu, pentru n=4;
0 1 s 
1 1 2 3 4 s X X X X    
2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 s X X X X X X X X X X X X      
3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 s X X X X X X X X X X X X    
4 1 2 3 4 s X X X X 

Polinoamele simetrice fundamentale apar în rela țiile dintre coeficienții și rădăcinile unui
polinom.

Teoremă. a) Fie n    și 1 ( … ) k k n s s X X  . În 1 [ ,…, ] n R X X [X] are loc rela ția:
1 2
1 1 2 ( )…( ) … ( 1) n n n n
n n X X X X X s X s X s          
b) Dac ă  este subinel al inelului integru S și 0 1 … [ ] n
n g a a X a X R X      are
rădăcinile 1 ,…, n x x S  , atunci 1 ( ,…, ) ( 1) k
n k n n k a s x x a   
Demonstra ție. a) Induc ție după n.
b) Există un unic morfism de  – alegebre 1 : [ ,…, ] [ ] n R X X S X   astfel încît ( ) i i X x  
și ( ) X X   . Avem, din a)
1 2
1 1 1 2 ( ( )…( )) ( )…( ) ( … ( 1) ). n n n n
n n n n n n a X X X X a X x X x a X s X s X s              
Pe de altă parte, 1 ( )…( ) n n a X x X x g    (în corpul de frac ții K al lui S , au aceleași
rădăcini și acelașii coeficient dominant). Se indentifică coeficienții.

Lemă 1. a) Fie (A,  ) și (B,  ) două mul țimi bine ordonate. Atunci A B  este o mul țime
bine ordonată de ordinea lexicografică dată de:
( , ) ( ', ') a b a b  dacă și numai dacă a˂a’ sau (a=a’ și b ' b  ).
b) Într – o mul țime bine ordonată (A,  ) nu există șiruri infinite strict descrescătoare.
c)  n ,   mul țimea n T a termenilor din 1 [ ,…, ] n R X X este bine ordonată de ordinea
lexicografică (deci nu există un șir infinit strict descrescător de termeni).
Demonstra ție. a) Reamintim că mul țimea ordonată (A,  ) se nume ște bine ordonată
dacă orice submul țime nevidă a lui A are un prin element. Fie , S A B   nevidă. Cum
1 { S a A b B     cu (a,b) } S   , iar A este bine ordonată, există primul său element
1 S   (deci  (a ,b) S  , a   ). Fie 2 { ( , ) }. S b B b S     Există primul element 
al lui 2 S . Atunci ( , )   este primul element al lui S :  (a,b) S  , avem sau  ˂ a (deci
( ( , )   ˂ (a,b)) sau  = a, caz în care 2 b S  , deci b   .
b) Fie 1 ( ) n n a  un șir descrescător de elemente din A. Atunci mul țimea { 1 } n a n  are
un prim element, fie acesta k a . Pentru n k  , avem deci ; k n a a  cum n k a a  ( ș irul
este descrescător
c ) Induc ție după n. Dacă n=1, 1 { } n T X n    este izomorfă ca mul țime ordonată
cu ( , )   , care este bine ordonată. Dacă n ˃1, n T cu ordinea lexicografică este
izomorfă cu 1 1 n T T   cu ordinea definită ca la punctual a). Din ipoteza de induc ție,
1 n T  este bine ordonată și din a) rezultă 1 1 n T T   bine ordonată.

Teoremă – Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice

Fie  un inel comutativ unitar și g un polinom simetric din 1 [ ,…, ] n R X X . Atunci
există un unic polinom 1 [ ,…, ] n h R X X  astfel încât 1 ( ,…, ) n g h s s  .
Cu alte cuvinte notând cu S subalgebra poli noamelor simetrice din
1 [ ,…, ] n R X X ,unicul morfism de R – algebra 1 : [ ,…, ] n R X X S   cu prorietatea că
( ) i i X s   ( pentru 1 ) i n   este un izomorfism.
Demonstra ț ie. Notăm c u 1
1 1 { ,…, ( ,…, ) } n i i
n n T X X i i     mul țimea termenilor
din 1 [ ,…, ] n R X X . Definim o rela ție de ordine pe T ( ordinea lexicografică):
ordonăm total 1 { ,…, } n X X ( de exemplu 1 2 n >X >…>X X ) și definim
1
1 … n i i
n X X ˂ 1
1 … n k k
n X X   r, 1 r n   , astfel încât t i i k   t ˂ r și r i ˂ r k . Se
ob ține o relație de ordine strictă ( inflexivă și tranzitivă) pe T. De exemplu, avem
1 ˂ 7
3 X ˂ 2
2 3 X X ˂ 1 X ˂ 2
1 2 X X .
Ca de obicei, notăm cu  r ela ția de ordine (nestrictă) asociată. Această relație de
ordine este totală și compatibilă cu înmulțirea, adică  , , T     , din   
rezultă    . Rela ția astfel definit ă este chiar singura ordine pe T, compatibilă
cu înmul țirea, care satisface 1 X > 2 X >…> n X .
Ordinea lexicografică induce o rela ție de preordine, notată tot ,,  ’’ , pe mul ț imea
{ , , 0} a T a a       a monoamelor din 1 [ ,…, ] n X X  , prin . a b       
Demonstrarea afirma țiilor precedente este un exercițiu de rutină. Dacă
1 [ ,…, ], n p X X   există un unic monom care este cel mai ma re monom al lui p. (
fa ță de preordinea lexicografică, numit monom dominant al lui p. Îl notăm cu
hm(m)). Are loc următoarea proprietate :
Dacă p , 1 [ ,…, ], n a X X   astfel încât hm(p)= a  , hm(q)= b  , unde
, , , T a b      și 0 ab  atunci hm(pq)=hm(p)hm(q)= ab  .
Într – adevăr, orice monom al lui pq este o sumă de monoame de forma r s   
unde r  este monom al lui p, s  este monom al lui q. Dar    și    , deci
.      Astfel, ( ). ab hm pq  
Fie deci g un polinom simetric și fie hm(g)= 1
1 … n i i
n aX X . Atunci 1 2 … n i i i   
(dacă  k asfel îmcât 1 , k k i i   atunci 1 1
1 1 … … k k n i i i i
k k n aX X X X 
 este monom în g, strict
mai mare decât hm(g)). Căutăm un polinom p de forma 1
1 … n j j
n as s ast fel încât hm(p)
să fie hm(g). Din proprietatea de mai sus
, 1 1 2
1 1 1 2 1 ( … ) ( ) …( … ) . n n j j j j j
n n hm as s aX X X X X  Acest monom este egal cu hm(g) dacă
și numai dacă 1 1 2 2 … , … ,…, . n n n n j j i j j i j i        Rezultă n n j i  ,
1 k k k j i i    pentru 1 k  ˂ n. Polinomul
1
1 1 : … n j j
n g g as s  
este simetric ți are 1 ( ) hm g ˂ hm(g) . dacă 1 ( ) hm g =0 avem 1 0 g  și am terminat.
Dacă 1 ( ) 0 hm g  , aplicăm acela și procedeu pentru 1 g . Algoritmul se termină după

un număr finit de pa și deoarece nu poate exista un șir infinit strict descrescător de
termeni, conform lemei 1. Aceasta încheie demonstra ția părții de existență.
Arătăm unicitatea (cu alte cuvinte 0). Ker   Presupunem că există un polinom nenul
1 [ ,…, ] n p X X   astfel încât 1 ( ) ( ,…, ) 0. n p p s s    Afirmăm că există un unic monom
nenul  al lui p astfel încât hm( ( )) p  1 ( ( … )). n hm s s  
Dacă 1 1
1 1 … , … , n n i j i j
n n X X X X T      cu    , atunci:
1 1 … …
1 1 1 1 ( ( … )) … … ( ( … )). n n n n i i i j j j
n n n n hm s s X X X X hm s s        
Deci !  0   monom al lui p astfel încât 1 1 ( ( … )) max{ ( ( … )) n n hm s s hm s s     monom
al lui p }. Cum 1 1 ( … ) { ( … ) n n p s s s s    monom al lui p} rezultă că
1 1 ( ( … )) ( ( … )) 0, n n hm p s s hm s s   contradic ție cu 1 ( … ) 0 n p s s 
Această teoremă ( Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice) se extinde u șor
și la fracții raționale simetrice:

Corolar. (Teorema fun damentală a frac țiilor raționale simetrice)

Fie R un inel integru ți K corpul său de fracții. Dacă p,q 1 [ ,…, ], 0, n R X X q  
astfel încât p
q este o frac ție rațională simetrică, atunci există po linomele
1 , [ ,…, ] n f g X X   astfel încât 1
1 ( … ) . ( … ) n
n f s s p
q g s s  Cu alte cuvinte, subcorpul frac țiilor
ra ționale simetrice din corpul 1 ( ,…, ) n K X X este 1 ( ,…, ). n K s s

Demonstra ție. Dacă q este polinom simetric, atun ci p este simetric (ca produs în
sub corpul frac țiilor raționale simetrice dintre q și p
q . Din Teorema fundamentală a
polinoamelor simetrice rezultă că 1 , [ ,…, ]. n p q s s   Dacă q nu este simetric, fie
( )
n S s q 
 
   . Atunci s este simetric și
( )
id p q p
q s 
 
  
.
și am revenit la primul caz.
Să exprimăm polinomul simetric
1 1 … [ ,…, ]( )
n m m
m i i n t X X R X X m       în
func ție de polinoamele simetrice 1 ,…, n s s . Indentită țile următoare permit un calcul
recursive al lui m t ca polinomul de 1 ,…, n s s .

Propozi ție. (Indentită țile lui Newton) În 1 [ ,…, ] n R X X are loc rela ția:

2 1
1 1 2 2 1 1 … ( 1) ( 1) m m
m m m m m t s t s t s t ms  
         

Demostra ție. Dacă m>n, atunci conven ția 0 k s  pentru k >n trunchiază formula de
mai sus (sunt numai n termeni).
Fie r n  și 1 ( ,…, ) r a a un r – cuplu de numere naturale cu 1 2 … . r a a a    Notăm cu
1 ( ,…, ) r s a a unicul polinom simetric din 1 [ ,…, ] n R X X cu monomul dominant
1 2
1 2 … r a a a
r X X X . De exemplu,
s(m,0,…,0)
1 1 2 1 3 2 … , (1,1,0,…,0) …
n m m
i i m X X t s X X X X s         . Pentru a simplifica
nota ția, punem 1 (1,…,1) i  (1 apare de i ori) și ( ,1 ) ( ,1,…,1) i a a  (1 apare de i ori); de
asemenea, vom admite să scriem un șir de 0: s(m,0,…,0)=s(m), s(1,1,0,…,0)=s(1,1)= 2 s ,
s( 1 i ,0,…,0)=s( 1 i )= i s . Rela țiile următoare se veri fică u șor :
1 1 ( 1,1) m m s t t s m    
2 2 ( 1,1) ( 2,1,1) m s t s m s m     
3 3 ( 2,1,1) ( 3,1,1,1) m s t s m s m     
Mai general, pentru orice min{ 1, }, i m n   ( 1,1) ( ,1 ). i m i i s t s m i s m i      
Dacă m n  și i=m – 1, atunci 1 1 2 (2,1 ) m m m s t s ms     .
Dacă m >n=i, atunci 1 ( 1,1 ). n m n n s t s m n     
Identită țile lui Newton rezultă folosind relațiile de mai sus în suma 1
1 ( 1) i
i m i
i m s t 

  
