Matematica Ca Stiinta

“Matematica este stiinta care are doua vocatii distincte.Una dintre ele este de a proportiona metode pentru alte stiinte,este o aspiratie ce ne transpune in realitate in orice timp de forma cea mai organizata de a trai.Cea de-a doua vocatie consta in adunarea celor mai multe idei generale si dorinta de a reduce metodele particulare spre o teorie in comun.Matematica este exigenta interna care cauta intotdeauna: “DE CE? ,simplificarea si armonia.”

George Boole (1815-1864)

INTRODUCERE

Matematica zilelor noastre devine,tot mai mult,modelul spre care privesc cu incredere si interes celelalte stiinte.

Ea este puternic ancorata in realitatea contemporana si cu implicatii in toate domeniile.

Matematica,iubita de cei ce o inteleg,prin armonia si echilibrul sau,provoaca o delectare de esenta superioara ,atunci cand inteligenta a reusit sa o patrunda sau sa dea o solutie eleganta unei probleme dificile.

Matematica iti inspira in suflet tendinta catre perfectiune,iti inspira mereu avant,provoaca dragoste si entuziasm.Ea da celui care o urmareste,prin precizia formulelor si expresilor,disciplina intelectuala,discretie,modestie, masura in toate,sensibilitate artistica la toate frumusetiile lumii.

Lucrarea mea se numeste: Aplicatii ale Ecuatiilor diferentiale.

De ce ecuatii diferentiale? Aceasta este intrebarea la care voi da raspunsul in urmatoarele randuri.

Cand avem de a face cu fenomene care se intampla in jurul nostru,de cele mai multe ori se intalnesc ecuatii diferentiale.Pentru o lege de miscare,pentru functionarea motorului unui automobile,pentru aprinderea unui bat de chibrit,pentru un pendul ce oscileaza,pentru toate acestea se formuleaza ecuatii ce contin derivate.

De vreme ce au fost formulate,intervine necesitatea rezolvarii acestor ecuatii.

Termenul de ecuatie sugereaza adesea idea de solutie.Chiar daca exista multe metode de rezolvare a ecuatiilor diferentiale,exista numeroase ecuatii care pot fi rezolvate complet.

Este necesara o clasificare a ecuatiilor diferentiale pentru a vedea in functie de tip,ce metoda poate fi utilizata pentru rezolvarea ei.Pentru ratiuni practice sunt utilizate cele mai curente notatii ale derivatelor ' sau si y'' sau dupa cum se stie la Analiza matematica,ca diferentiala d a funtiei y este produsul dintre derivata functiei si diferentiala argumentului d ,adica d=' · d

Multe probleme de fizica,chimie,inginerie ,cer in formularea lor matematica determinarea unei functii care,impreuna cu derivatele sale satisface o relatie data.Astfel de relatii se numesc ecuatii diferentiale.Pentru studierea ecuatiilor diferentiale ,este necesara o clasificare a acestora.

Clasificarea este legata de numarul variabilelor independente de care depinde functia necunoscuta.Daca functia necunoscuta depinde de o singura variabila independenta putem spune ca avem de-a face cu o ecuatie diferentiala ordinara.In cazul in care functia necunoscuta depinde de mai multe variabile independente si in relatia respectiva apar si derivatele partiale.In mod curent,in locul denumirii de ecuatie diferentiala ordinara se foloseste cea de ecuatie diferentiala.

Denumirea de ecuatie diferentiala a fost folosita prima data de G.W. Leibniz (1646-1716) in anul 1676.Dezvoltarea ecuatiilor diferentiale a fost in stransa legatura cu dezvoltarea integralei.Au fost identificate clase de ecuatii diferentiale,rezolvabile prin integrari.Printre matematicienii care au adus contributii remarcabile la dezvoltarea ecuatiilor diferentiale se numara si Isaac Newton (1642-1727) precum si membrii celebrei familii de matematicieni Bernoulli intre care remarcam pe Jakob Bernoulli(1654-1705),Johann Bernoulli(1667-1748) si Daniel Bernoulli (1700-1782).Secolul al 19-lea este caracterizat de cercetari in problema existentei,unicitatii si compararii solutiilor unei ecuatii diferentiale.

A.Cauchy(1789-1857),R.Lipschits(1832-1903) si G.Peana(1858-1932) au elaborat metoda liniilor poligonale (utilizata anterior si de Euler) ca metoda eficienta de demonstrare a existentei locale a solutiei unei ecuatii diferentiale cu conditii initiale.Primele cercetari asupra ecuatiilor diferentiale au vizat existenta solutiilor (eventual determinarea explicita a acestora atunci cand acest lucru este posibil) sau aproximarea acestora.

In ultimul timp un impact deosebit in studiul ecuatiilor diferentiale si cu derivate partiale il are tehnica de calcul din ce in ce mai performanta care ofera rezultate de aproximare a solutiilor,foarte bune din punct de vedere practic.In acest fel cercetarile teoretice de existenta,sunt completate de rezultate numerice foarte utile.

Ecuatii diferentiale

Se numeste ecuatie diferentiala o relatie intre o variabila independenta ,functia cautata =() si derivatele sale ','',…, de forma :

F (,'',…,) =0

Daca functia cautata =() este o functie de o singura variabila ,ecuatia diferentiala se numeste ordinara.

Se numeste ordinal ecuatiei diferentiale,cel mai mare dintre ordinele derivatei,care figureaza in ecuatie.

Cea mai folosita clasificare este cea data de numarul de variabile independente de care depinde functia necunoscuta.In cazul in care functia necunoscuta depinde de mai multe variabile independente,iar in ecuatie apar efectiv derivatele functiei in raport cu aceste variabile,ecuatia se numeste cu derivate partiale.Daca functia necunoscuta depinde de o singura variabila,ecuatia se numeste ordinara.Cel mai cunoscut model de ecuatie diferentiala ordinara este cel dat de legea lui Newton:

''() = F(,(),'())

care exprima legea de miscare a unui punct material de masa m ,asupra caruia actioneaza o forta F.In relatia de mai sus () , '() si ''() reprezinta pozitia,viteza si respectiv acceleratia punctului material la momentul .

Daca F este forta de gravitatie,atunci relatia: ''()=F(t,(),'()) se scrie sub forma:

''= -g

care prin integrare rezulta urmatoarea formula :

+t+,

si fiind constante oarecare.

Problema determinarii legii de miscare a unui punct material sub actiunea unei forte(care depinde de pozitia si viteza punctului material) revine la aflarea unei functii care verifica o ecuatie diferentiala de ordinal al doilea de forma:

''(t)= f (t,(t),'(t))

Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul n este:

F(t,(t),'(t),…, t)=0

In anumite situatii aceasta ecuatie se poate scrie sub forma :

= f (t,,',…,)

numita si forma normala.

Multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale se numeste solutie generala.

Pentru a individualiza una dintre solutii ,sunt necesare informatii suplimentare despre aceasta.Aceasta problema legata de conditiile care asigura existenta si unicitatea solutiei unei ecuatii diferentiala ordinare a fost studiata pentru prima data de matematicianul francez Augustin Cauchy (1789-1857) la inceputul secolului al XIX-lea.Odata stabilit un rezultat de existenta si unicitate pentru o ecuatie diferentiala ramane problema determinarii efective a solutiei.S-a demonstrat ca de cele mai multe ori acest lucru este imposibil,clasa ecuatiilor diferentiale rezolvabile prin integrari fiind foarte restransa.Tehnica de calcul foarte performanta permite aproximarea solutiei unei ecuatii diferentiale cu o acuratete suficient de buna,diminuand astfel interesul pentru gasirea solutiei exacte.

Solutiile ecuatiilor diferentiale:

Am intalnit notiunea de solutie relativ la ecuatii algebrice,trigonometrice,

matriciale,vectoriale.Prin analogie,ar trebui ca solutia pentru o ecuatie diferentiala sa fie o functie (avand un numar de derivate) pentru care ecuatia sa fie verificata.Situatia nu este intotdeauna simpla ,cum se poate vedea in cazul ecuatiei de ordinul intai:

f’()+0,03 f()= 0 , ϵ IR

Se vede imediat ca f()= verifica ecuatia,dar si functia ϕ()=, ϵ IR verifica aceeasi ecuatie.Cum c este variabila din IR,functia ϕ descrie o vasta familie de solutii.O astfel de ecuatie ϕ = ϕ (, ) se numeste solutie generala a ecuatiei diferentiale.

Se numeste solutie a unei ecuatii diferentiale de ordin n pe un interval (a,b) o functie =ϕ() definita pe acest interval cu derivatele sale, pana la ordinul n si pentru care substituind =ϕ() in ecuatia diferentiala,aceasta devine o identitate in raport cu din (a,b).

A determina toate functiile care sunt solutii ale unei ecuatii diferentiale inseamna a rezolva aceasta ecuatie diferentiala.

Se numeste solutie particulara a unei ecuatii diferentiale,o solutie obtinuta plecand de la solutia generala ϕ(, ) pentru o valoare oarecare determinata a constantei arbitrare .

A gasi o solutie particulara ,o functie =() care satisface o ecuatie diferentiala si in acelasi timp una sau mai multe conditii suplimentare se spune ca se rezolva o ecuatie diferentiala cu conditii initiale sau ca se rezolva o problema Cauchy.

Ecuatii diferentiale de ordinul intai

Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul intai este :

F(,, ') = 0

unde = () este functie derivabila definite pe (a,b).

Solutia ecuatiei F(,, ') este o functie y: (a,b) → IR ,derivabila care verifica ecuatia pentru orice ϵ (a,b).

Problema lui Cauchy in acest caz inseamna a determina o solutie =(),care verifica ecuatia si in plus satisface conditia initiala ()= pentru din (a,b).

Voi prezenta doua tipuri importante de ecuatii diferentiale de ordinul intai:

Ecuatii diferentiale cu variabile separabile

Ecuatii diferentiale liniare

Ecuatii diferentiale cu variabile separabile

O ecuatie diferentiala cu variabile separabile este de tipul '=f()g(),unde f,g sunt functii continue.

Pentru a rezolva aceasta ecuatie trebuie inmultiti sau impartiti ambii membrii ai ecuatiei printr-o expresie astfel incat sa se obtina un membru depinzand numai de ,iar celalalt membru sa depinda numai de ( se spune ca am separate variabilele in cei doi membrii) si apoi se integreaza ambii membrii.

Impartirea ambilor membrii ai ecuatiei printr-o expresie continand necunoscutele x si poate conduce la pierderea de solutii care anuleaza aceasta expresie.

Primul pas al rezolvarii ecuatiei este de a separa variabilele in ecuatia data,rescriind '= sub forma = f() d

Al doilea pas este integrarea fiecarui membru (Acest lucru fiind posibil teoretic daca de exemplu f,g sunt continue pe un interval (a,b) si daca g nu se anuleaza pe acest interval)

Se obtin atunci solutiile ecuatiei diferentiale sub forma:

In particular daca g()= ,atunci de aici deducem ( fixat din (a,b) ,iar ϵ (a,b) oarecare )

ln ||= sau ||= · sau (±=k)

y=,kϵ R

Aceasta exprimare a lui y da ceea ce se cheama solutia generala a ecuatiei diferentiale ’=f()

Ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai

Vom incerca sa rezolvam o ecuatie diferentiala :

'+s()=t()

unde s,t sunt functii continue,definite pe un interval (a,b).

Daca am rezolvat ecuatia diferentiala:

'+s()=0

atunci este mai usor de obtinut solutiile ecuatiei.

Vom utiliza metoda solutiei particulare pentru rezolvarea ecuatiei:

Rezolvarea ecuatiei '+s()=0 se poate face asa cum s-a vazut la ecuatiile diferentiale cu variabile separate.

Daca este o astfel de solutie pentru ecuatie,adica +s()=t(),iar este o solutie oarecare pentru '+s()=t() ,adica ' +s() =t(),atunci din cele doua formule prin scadere rezulta :

( -)'+s()(-)=0

Conform cu ecuatiile diferentiale cu variabile separabile gasim :

-=

sau

=+

Orice solutie a ecuatiei '+s()y=t() este egala cu suma dintre o solutie particulara a acestei ecuatii si solutia generala a ecuatiei '+s()=0

Exeumplu : Sa se integreze ecuatia

'=-2t+

Aceasta este o ecuatie liniara cu a(t) =-2t, b(t)=.Aplicand formula

(t)=() + ds ,gasim :

(t)=() + ds

unde t, ϵ IR ,sau

(t)= (t+C)

unde C= · –

Ecuatii liniare

= ,

unde si sunt doua functii definite si continue pe un interval ,se numesc ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai.Cand functia este idenctic nula,ecuatia se numeste liniara si omogena. Daca nu este identic nula ,ecuatia se numeste liniara neomogena. Integrarea ecuatiei liniare neomogene se face in doua etape:

Se integreaza mai intai ecuatia liniara si omogena a ecuatiei

=

si solutia ei generala serveste apoi la integrarea ecuatiei neomogene.Ecuatia

= ,este o ecuatie cu variabile separabile:

Integrand se deduce:

de unde rezulta imediat solutia generala:

Vom intrebuinta metoda variatiei constantei sau metoda lui Langrange.

In ecuatia ,inlocuim constanta cu o functie

Determinam functia astfel incat:

sa fie solutie a ecuatiei neomogene:

=

Punand conditia ca functia sa verifice ecuatia

= obtinem :

Sau

Ecuatia este cu variabile separabile si solutia ei generala este:

unde este constanta oarecare.Daca inlocuim pe astfel obtinut in ecuatia

,avem solutia generala a ecuatiei neomogene :

Aceasta formula mai poate fi scrisa sub forma urmatoare:

ds

Daca se pune problema aflarii solutiei care satisface conditia =,atunci avem evident , si deci :

Aceasta formula individualizeaza complet solutia cu ajutorul valorii ei in punctul

Exemplu: Sa se integreze ecuatia Integrand ecuatia omogena atasata ; avem:

=dx ;

In locul constantei consideram o functie si punem conditia ca funtia sa verifice ecuatia data:

si deci solutia generala a ecuatiei va fi:

Ecuatii diferentiale liniare de ordinul doi

Se numeste ecuatie diferentiala de ordinul doi o ecuatie de forma:

Ecuatiile diferentiale liniare de ordinul doi cu coeficienti constanti au forma :

unde a,b,c ϵ IR, a≠0,iar h este o functie continua de o forma cunoscuta.

Toate solutiile acestor ecuatii diferentiale sunt functii explicite de variabila ,aceste functii apartin unei familii ce depind de doi parametrii.

In unele cazuri se determina acesti parametrii in urma impunerii a doua conditii initiale ) (problema Cauchy) obtinand o solutie particulara.

Abordarea acestor ecuatii diferentiale se fac in doua cazuri:

1)cand membrul drept este functia zero ecuatia numindu-se omogena sau fara membrul drept.

2)cand exista membrul drept nenul,ecuatia numindu-se neomogena sau cu un membru drept.

Ecuatia diferentiala liniara omogena de ordinul doi

Forma acestei ecuatii este:

IR,a≠0

Pentru rezolvarea acestei ecuatii se cauta solutii de forma ,unde r este un numar ce urmeaza a se determina.

Avem , ,iar formula devine:

sau

Ecuatia se numeste ecuatia caracteristica,asociata ecuatiei diferentiale : .

Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale este intotdeauna familia combinatiilor liniare a doua solutii fundamentale.

Cu alte cuvinte solutia generala a ecuatiei este:

,

unde , sunt solutiile fundamentale,iar , ϵ IR.

TEOREMA! Daca ecuatia caracteristica ,a ecuatiei diferentiale ,are:

1)doua radacini reale , distincte ,atunci doua solutii fundamentale sunt ,,iar solutia generala a ecuatiei este:

IR

2)o radacina reala dubla r ,atunci are doua solutii fundamentale:

,

iar solutia generala a ecuatiei este:

IR

3)doua radacini complexe α+iβ si α-iβ atunci doua solutii fundamentale sunt :

,

Iar solutia generala a lui este:

IR

Ecuatia diferentiala liniara neomogena de ordinul doi

Forma ecuatiei diferentiale neomogene de ordinul doi cu coeficienti constanti este:

,

unde ϵ IR, ≠0,iar este o functie continua pe un interval.

Metode de rezolvare:

1)Daca functia are o forma convenabila,atunci se poate determina o solutie particulara a ecuatiei .

2)Daca se cunoaste o solutie particulara a ecuatiei ,atunci se pot determina toate solutiile ecuatiei.

Daca este o solutie particulara a lui ,atunci verifica egalitatea :

Daca este o solutie oarecare a ,atunci:

Scazand ultimele doua relatii,membru cu membru,rezulta:

ceea ce arata ca este solutie a ecuatiei diferentiale liniare omogene:

Daca sunt cele doua solutii fundamentale ale ecuatiei diferentiale omogene,atunci:

sau

TEOREMA! Solutia generala a ecuatiei liniare ,este su,a dintre solutia generala a ecuatiei omogene si o solutie particulara a ecuatiei .

Ecuatii de tip Bernoulii

Ecuatia: , unde IR→IR sunt functii continue ,iar α ϵ IR \{0,1},se numeste ecuatie de tip Bernoulii.

Prin substituirea ,aceasta ecuatie se transforma in ecuatie liniara.

Dupa rezolvarea acestei ecuatii se revine la substitutie si se obtine solutia ecuatiei initiale.

Exemplu: Ecuatia diferentiala

este de tip Bernoulii cu , ,α=2.Prin substitutia obtinem ecuatia:

,

care are solutia generala , ϵ IR si deci solutia ecuatiei initiale este:

Ecuatii de tip Riccati

Ecuatia diferentiala ,unde IR→ IR sunt functii continue se numeste ecuatie de tip Riccati.

Daca ϕ este o solutie particulara a ecuatiei ,iar o solutie oarecare a sa,atunci ϕ satisface ecuatia Bernoulli. (α=2)

ϕ

Deci,functia poate fi obtinuta cu ajutorul ecuatiei liniare associate de unde va rezulta solutia generala a ecuatiei ,ϕ

EXEMPLU: Ecuatia este de tip Riccati cu a= 1, b=,c= si are solutia particulara ϕ= .

Substitutia transforma ecuatia initiala intr-o ecuatie de tip Bernoulli:

,

care la randul sau prin schimbarea de variabile z=,se transforma in ecuatie liniara.

, ,

Modele matematice descrise de ecuatii diferentiale

In aceasta parte va prezint cateva fenomene din domeniul stiintific ,economic si social, ale caror evolutii pot fi descries cu un grad inalt de acuratete,prin intermediul unor ecuatii sau sisteme de ecuatii diferentiale.In exemplul din fizica,care este foarte cunoscut pentru utilizarea lui in arheologie ca instrument de datare a obiectelor vechi,voi inlocui modelul mathematic discret,care este cel mai realist,printr-unul continuu diferential si aceasta din ratiuni pur matematice.Mai precis,din dorinta de a beneficia de conceptele si rezultatele analizei matematice,voi presupune ca orice funtie necunoscuta care descrie evolutia in timp a unei anumite entitati:numarul de indivizi dintr-o specie,numarul de molecule dintr-o substanta,este de clasa pe intervalul de definitie desi in realitate aceasta ia valori intr-o multime finite.Din punct de vedere mathematic aceasta revine la a inlocui functia discontinua .

UN MODEL DE SINTEZA AUTOCATALITICA:

Sa consideram un reactor continand o substanta X avand concentratia la momentul t si o alta A a carei concentratie a>0 este mentinuta constanta sis a presupunem ca in reactor au loc urmatoarele reactii chimice reversibile:

in care B este un produs residual a carui concentratie la momentul t este b(t).

Modelul mathematic ce descriu evolutia acestui sistem chimic este:

Daca cea de-a doua reactive nu are loc ,situatia descrisa din punct de vedere mathematic prin ==0 ,atunci sistemul de mai sus se reduce la :

Acesta este primul model de reactive autocatalitica izoterma produs de SCHOLOGL in 1971.

Modelul unui circuit RLC:

Sa consideram un circuit electric format dintr-o rezistenta R,o inductanta L si un condensator C.

Sa notam cu i(t) =( starea curentului din circuit la momentul t. Aici reprezinta curentii din portiunile de circuit care contin rezidenta R,inductanta L si respective condensatorul C.

Din legile lui Kirchhoff deducem:

Iar din legea lui OHM generalizata : g(= , pentru orice t 0.

Din legea lui Faraday,obtinem :

pentru orice t0,unde α > 0 si C>0 sunt inductanta bobinei L si respectiv capacitatea condensatorului C. Din aceste relatii observam ca si satisfac sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul intai.

, pentru t0.

Sa presupunem acum ,pentru simplitate,ca α=1 si C=1 si sa notam si .

Atunci sistemul anterior se rescrie sub forma:

, pentru t0

Presupunem ca g este de clasa C ,derivand prima ecuatie membru cu membru si utilizand-o pe cea de-a doua pentru al elimina pe y ,gasim :

Aceasta este ecuatia lui Lienard.In cazul in care pentru orice x ϵ IR ecuatia de mai sus are forma:

Oscilatorul armonic:

Sa consideram o particular materiala de masa m care se misca pe o dreapta sub actiunea unei forte elastic.Sa notam cu abscisa punctului la momentul t si cu forta exercitata asupra particulei aflata in punctul de abscisa .

Cum forta este elastic, ,pentru orice ϵ IR,unde k>0.

In conformitate cu cea de-a doua lege a lui Newton,miscarea particulei va decurge astfel incat ,unde este acceleratia particulei la momentul .Dar si notand cu ,din consideratiile anterioare,rezulta ca trebuie sa verifice ecuatia diferentiala de ordinul al doilea :

numita ecuatia oscilatorului armonic.

Solutia generala a acestei ecuatii este :

Pendulul matematic:

Sa consideram un pendul de lungime si sa notam cu spatial parcurs de extremitatea libera a pendulului la momentul

Avem ,unde reprezinta masura in radiani a unghiului facut de pendul la momentul cu axa vertical .Forta care actioneaza asupra pendulului este , unde este acceleratia gravitationala.Aceasta forta se descompune

dupa doua componente,una avand directia firului ,iar cea de-a doua avand directia tangentei la arcul de cerc descris de capatul pendulului.

Componenta pe directia firului este anulata de rezistenta acestuia,asa incat miscarea va avea loc numai sub actiunea componentei: .

Conform legii a doua a lui Newton, ,trebuie sa verifice ecuatia diferentiala de ordinul al doilea :

sau

ecuatie neliniara numita si ecuatia pendulului matematic ,cunoscut si sub numele de pendul gravitational.

Ecuatia van der Pol:

Sa consideram un circuit de tip RLC unde in locul rezistorului se pune un semiconductor.Diferenta dintre resistor si semiconductor este aceea ca rezistorul disipeaza energia la toate nivelele,pe cand semiconductorul pompeaza energia in circuit la nivele de jos si absoarbe energia in nivele inalte.Presupunem ca pe semiconductor are loc o cadere de tensiune data de :

,

unde este intensitatea curentului ,iar ,o constanta pozitiva.Caderile de tensiune pe inductor si condensator sunt date de: , respective .

Din legile lui Kirchhoff rezulta:

care implica:

de unde rezulta sistemul:

pentru simplificarea sistemului se fac substitutiile:

,

unde α,β, sunt alesi astfel incat:

si

Revenind la sistemul anterior avem:

si

sistemul devine :

,

unde = ,sistem care este echivalent cu ecuatia:

cunoscuta si sub numele de ecuatia van der Pol .

Problema Cauchy pentru ecuatii diferentiale

Teorema Cauchy-Picard ofera un rezultat de existent si unicitate si in acelasi timp o metoda de constructive aproximativa a solutiei unei ecuatii diferentiale.

Metoda lui Picard:

unde este o functie continua.Deoarece este continua se observa ca

este echivalenta cu:

Pentru a rezolva problema este totuna cu a rezolva ecuatia integral.Presupunem ca este o functie continua.Inlocuind cu ,membrul drept al ecuatiei : ,defineste o noua functie notata:

Repetand procedeul,obtinem functia:

In mod recurrent,obtinem sirul de functii , in care termenul de pe locul “n” este dat de formula :

Sirul se numeste sirul aproxiamtiilor succesive,iar metoda prin care se construieste sirul se numeste metoda aproximatiilor succesive a lui Picard.

Utilizand aceasta constructive,vom demonstra ca ,in anumite conditii impuse functiei ,problema ,are o solutie locala unica.

Teorema de existenta si unicitate a lui Cauchy-Picard:

Fie ,unde:

Daca: a) functia este continua pe ;

b)functia este lipschitziana in a doua variabila pe ,adica exista astfel incat:

, astfel incat

Atunci exista si este unica o solutie a problemei Cauchy , definite pe intervalul } ,unde:

Demonstratie!

Problema este echivalenta cu ecuatia integrala:

Deci este sufficient sa aratam ca aceasta din urma are o solutie unica pe intervalul .In acest scop construim sirul aproximatiilor succesive (cu ) pentru solutia ecuatiei:

In legatura cu acest sir vom demonstra urmatoarele:

a)sirul este bine definit

b)sirul este uniform convergent

c)limita sirului este solutia ecuatiei

Ne vom margini la intervalul deoarece pe intervalul simetric lucrurile se petrec in mod analog.

Pentru a demonstra ca sirul este bine definit este sufficient sa aratam ca functiile continue , pentru au graficele in ,domeniul in care este definite functia ,deci ca pentru n=0,1,2,… este verificata inegalitatea:

pentru

Inegalitatea este evidenta pentru n=0,presupunand-o valabila pentru n-1,din formula , rezulta:

,

Conform principiului inductiei matematice,inegalitatea este valabila pentru orice natural.

Pentru a demonstra ca sirul este uniform convergent,consideram seria de functii:

pentru care suma primilor (n+1) termini este:

=

Folosing criterial lui Weierstrass,vom demonstra ca seria :

este absolut si uniform convergent pe ,cautand o serie majoranta pentru modulele termenilor sai.Din formula si ,

rezulta ca pentru n=1 avem:

Din , si

, rezulta:

Rationand inductiv,obtinem inegalitatea:

de unde rezulta ca pentru ,modulul termenului general al seriei este majorat de termenul general al seriei convergente cu termini pozitivi:

In consecinta,seria este absolut si uniform convergenta in . Fie limita uniforma a sirului ;daca se trece la limita in ambii membri ai relatiei si se utilizeaza proprietatile functiilor continue si ale integralelor de siruri de functii uniform convergente,rezulta ca pe intervalul avem :

deci functia astfel construita verifica ecuatia integrala:

in intervalul ,ceea ce demonstreaza afirmatia ca limita sirului este solutia ecuatiei .

Unicitatea. Presupunem prin reducere la absurd ca ecuatia

mai are o solutie ,deci:

Scazand din si folosind conditia Lipschitz , obtinem:

Dar ,din rezulta:

Iar din , tinand cont de

,obtinem prin recurenta:

,

de unde rezulta ca pentru , oricare ar fi deci

,ceea ce incheie demonstratia unicitatii si a teoremei.

Observatii!

1.Daca functia admite derivate partial marginita in ,atunci conditia Lipschitz este verificata in .

2.Unicitatea solutiei se poate demonstra usor plecand de la relatiile si si aplicand inegalitatea lui Gronwall modulului diferentei .

3.Se poate demonstra ca problema Canchy admite solutie chiar atunci cand satisface doar conditia functiei care este continua pe ,deci nu este lipschitziana in a doua variabila.

In acest caz nu mai este asigurata unicitatea dupa cum se poate observa din exemplul urmator:

Problema Cauchy : , are pentru o infinitate de solutii :

ϕ , fiind un numar arbitrar.

Evaluarea erorii in aproximarea solutiei prin metoda lui Picard rezulta din:

Problema Cauchy pentru ecuatii diferentiale:

Evaluarea este valabila pentru orice tϵ .Deoarece

pentru ,inegalitatea ne da o informatie asupra numarului de iteratii necesare pentru obtinerea solutiei pe intreg intervalul , cu o aproximatie dorita.

Exemplu numeric:

Se considera ecuatia de tip Riccati:

unde , si se cere sa se aproximeze solutia care verifica conditia Cauchy

Avem: ,,.Rezulta α =min. Apoi in

avem:

,

deci .

Inegalitatea devine :

, valabila pe intervalul ,

cu o eroare absoluta mai mica decat 0,2827.

Problema fizică. Pentru a traversa un râu, un înotător porneșste dintr-un punct situat pe un mal și vrea să ajungă în punctual de pe malul celălalt.

Viteza curentului de apă este a, iar viteza de deplasare a înotatorului este b. Care va fi traiectoria pe care o descrie înotătorul, știind că viteza relative este îndreptată necontenit spre Q?

Model matematic. Fie M poziția înotatorului la momentul t

Componentele vitezei absolute pe cele două axe Ox si Oy sunt

,

;

eliminând pe dt, obținem

,

care reprezintă ecuația diferențială a traiectoriei căutate.

Solutie. Ecuatia este omogenă. Facem substituția și ecuația devine

.

Problema înotatorului

Aceasta este o ecuație cu variabile separate. Prin integrare, se obține

unde c este o constantă de integrare, sau

Obținem

problema având soluție numai pentru Constanta c poate fi determinată impunând condiția ca traiectoria să treacă prin punctele P si Q.

Problema fizică. Să se determine familiile tensiunilor normale principale în problema semiplanului elastic acționat de o forță concentrată normală pe contur P

Model matematic, Traiectoriile tensiunilor normale principale in teoria plană a elasticitații sunt definite de ecuația diferențială de ordinul întâi și gradul al doilea

În care σx , σy și τxy sunt tensiunile normale, respectiv tangențială (presupuse cunoscute) într-un punct (x, y). Starea de tensiune este definită prin relațiile:

în care P/b = const este cunoscut.

Soluție. Ecuația diferențială poate fi descompusă în două ecuații diferențiale lineare de ordinul întâi. Produsul rădăcinilor fiind -1, traiectoriile celor două familii integrale sunt ortogonale. Rezolvând ecuația algebrică în raport cu dy/dx se obține:

Cu ajutorul relațiilor se calculează raportul:

Indroducând această expresie în ecuația diferențială a traiectoriilor devine

și se descompune în următoarele două ecuații

Ecuațiile de mai sus sunt cu variabile separabile. Prima ecuatie se mai scrie și:

și are soluția generală:

Se obține astfel care reprezintă o familie de semidrepte radiale (trecând prin punctul O de aplicare a fortei).

Ecuația (2) poate fi, de asemenea, scrisă sub forma unei ecuații cu variabile separate

cu soluția generală , care reprezintă o familie de semicercuri cu centrul în O (constanta de integrare a fost notată cu R2).

Traiectoriile tensiunilor normale principale în cazul semiplanului elastic acționat de o forță concentrată pe contur.

Dacă se caută să se determine traiectoriile care trec prin punctul de coordonate (problema Cauchy), rezultă imediat

Problema fizică. Să se determine familiile de traiectorii ale tensiunilor tangențiale extreme în problema semiplanului elastic acționat de o forță concentrată normală pe contur P.

Model matematic. Traiectoriile tensiunilor tangențiale extreme în problema plană a teoriei elasticității sunt definite de ecuația diferențială de ordinul întâi și gradul al doilea

în care și sunt tensiunille normale, respectiv tangentiale (presupuse cunoscute) intr-un punct (x,y). Starea de tensiune este definită prin relațiile:

în care b este grosimea constantă a plăcii, iar P/b = const .

Soluție. Ecuația diferențială poate fi descompusă în două ecuații diferențiale lineare de ordinul întâi. Produsul rădăcinilor fiind 1 − , traiectoriile celor două familii integrale sunt ortogonale. Rezolvând ecuația algebrică în raport cu dy / dx se obține:

Cu ajutorul celor 3 relatii de mai sus se calculeaza raportul

Introducând această expresie, ecuatia diferențiala a traiectoriilor devine:

și se descompune in următoarele două ecuații

Prima ecuatie este omogenă și poate fi scrisă sub forma

Prin substituția u = y/x, ecuația devine

aceasta este o ecuație cu variabile separate.

Prin integrare membru cu membru, rezultă

unde C este o constantă de integrare.

Soluția este obținută sub o formă mai simplă dacă se trece la coordonate polare;

avem succesiv (cu x = r cosϕ, y = r sin ϕ , y/x = tan ϕ)

și, în definitiv,

Curba reprezintă ecuația unei familii de spirale logaritmice care taie semidreptele sub unghiuri de

Ecuația poate fi scrisa sub forma ecuației omogene

Prin aceeiași substituție u = y/x ecuația de mai sus devine

care este o ecuație cu variabile separate. Integrând-o, rezultă

sau, in final,

care reprezintă tot o familie de spirale logaritmice, ortogonale spiralelor din prima

familie.

Să determinăm constantele C1 și C2 . Fie punctul A(x0,y0) prin care să treacă traiectoriile tensinunilor normale principale și traiectoriile tensiunilor tangențiale

extreme.

Ecuația traiectoriei σ1 se scrie

Ecuația traiectoriei σ2 este

Traiectoriile tangențiale extreme în cazul semiplanului elastic acționat de o forță concentrată pe contur.

Din condiția ca această spirală logaritmică să treacă prin punctul A rezultă

deci

Pentru a doua traiectorie putem scrie

Pentru reprezentarea grafică a traiectoriilor vom considera x0 = y0 = 1. Rezultă

Cele două curbe au fost reprezentate în desen, împreuna cu cele două traiectorii. Se observă că traiectoriile tensiunilor tangențiale extreme taie dreapta și semicercul sub unghiuri de π/4 . Din cele două traiectorii se rețin arcele corespunzătoare lui x > 0