Mate.info.ro.4016 Axioma Supliment Matematic Numarul 60 [616771]

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
11
PROBLEME PROPUSE PENTRU LICEU 1)
Clasa a IX-a
1. Fie progresia aritmetic ă ()1≥nna cu 09 , 20 2009 =a si 36 , 50 1000 =a . S ă se determine
num ărul termenilor progresiei, care sunt numere natural e.
Emil Vasile, Plo ie ști
2. Fie RIRIf ⊂→,: , interval maxim. S ă se determine func ția f știind c ă
.), () ( Ixx fx fxx ∈∀=−−
Mihai Dicu, Craiova
3. Să se rezolve ecua țiile:
a. x!+y!=z! b. x!+y!+z!=t!
Petre N ăchil ă, Ploie ști
4. Fie x,y,z є R . Ar ăta ți c ă max [E(x,y,z)]=

∈∈
) 1 , 0 [ , , , 0] 1 , 0 [ , , , 1
z y x pentru z y x pentru , unde
E(iE(x,y,z) =x+y+z -xy-xz-yz iar max [E(x,y,z)] reprezinta maximul p ărții întregi a lui E(x,y,z).
Vasile Coman, V ălenii de Munte
5. Să se rezolve în numere naturale, ecua ția:
2222tzyx =++
Cătălin N ăchil ă, Ploie ști
6. a) Studia ți injectivitatea func ției
:∗→0,∞
,
=

√31 +1+√15 +4 
;
b) Sa se rezolve în N , ecua ția : 4√31 + 1+√15 + 4 = + 5
Ionel Tudor, C ălug ăreni, Giurgiu
7. Fie triunghiul ABC și punctele BC FDE∈, , astfel încât AD [, AE [ si AF [ sunt
bisectoarele unghiurilor BAC ,BAD respectiv DAC . S ă se arate c ă
AC AB AF AE +=+
dac ă și numai dac ă AC AB =
Claudiu Militaru, Ploie ști
8. Să se rezolve în mul țimea numerelor întregi nenule ecua ția :
5 17 12 2 3 17 12 2 4 45 2 2 x y z + + − + = − .
Felicia Ozunu, Vulcan, Hunedoara
9. Într-un hexagon regulat ABCDEF , punctele M,N,P sun t respectiv mijloacele
diagonalelor [BF],[BD],[DF].
Să se determine  ∈  , astfel încât : 2  + !   = "#  +  ∙ #%  + %&  .
Stelian Piscan, Giurgiu
10. În planul triunghiului ABC se consider ă punctele M, N, P astfel încât MB AM 2=,
NC BN 2=, PA CP 2=. Fie 321,,GGG centrele de greutate ale triunghiurilor
AMP, BNM, CPN. S ă se demonstreze c ă triunghiurile ABC și 3 2 1GG G au acela și
centru de greutate.
***
1) Se primesc solu ții pân ă la 20 noiembrie 2016

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
12
Clasa a X-a
1. Fie func ția
11log ) ( , ] 1 , 1 [ :22
3+−++= →−
xxxxx f R f.
a)Să se demonstreze c ă dac ă A=Im f, atunci A=[-1,1].
b)Să se demonstreze c ă AA f→: este inversabil ă si s ă se determine 1−f.
c)Să se demonstreze c ă dac ă ∑
=

=n
knkf S
11
21 , atunci () ()*, 1 log 1log 3 3 Nnn Snn ∈∀+<<− .
Mihai Dicu, Craiova
2. Să se determine num ărul complex z, știind c ă :
3211
=+







z
z și 



− 



−=+21
21
312z z.
Emil Vasile, Ploie ști
3. Fie ()1 , 0, , ,∈d c b a . În ce condi ții avem :
( )? 4 log log log log 3 ≤ + + + abc abd acd bcd d c b a
Cătălin N ăchil ă, Ploie ști
4. Să se arate c ă dac ă
4'+16 )+64 =8∙2'+4)
+2'∙4) ,+,,∈ , atunci +=2,.
Stelian Piscan, Giurgiu
5. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia :
|
. /
/0| + |/0

. /|+ √81 x −4 = 2
Vasile Coman Valenii de Munte
6. Se consider ă numerele 4,5,6,7>1 astfel încât 4+5+6+7=8. Să se arate c ă
9:; <=>
?@>+9:; A=B
>@B+9:; C=D
B@D+9:; E=?
D@?≥1.
Valentina Soare, Ploie ști
7. Să se arate c ă dac ă ()1 , 0, ,∈c b a sau ()∞∈, 1, ,c b a, atunci
1log 21
log 21
log 21≤+++++ a c bc b a
Octavian Purcaru, Ploie ști
8. Dac ăRx∈ are proprietatea c ă 733=+−x x.
Calcula ți :a) x x−+99 ; b) x x −+729 729 .
***
9.
Să se rezolve în mul țimea numerelor reale inecua ția √−+−4≤4+√++12 .
Șcheau Romelia
10 Să se determine num ărul solu țiilor în mul țimea numerelor naturale ale ecua ției :
2'H+2'=+⋯+2'J=1228 .
Valentina Soare, Ploie ști
11. S se determine 2 1 2 1, , ,b baa astfel încât :
Rxx bxbxaxa ∈∀ + = + , 2cos cos 2sin sin 2 1 2 1
Cezar Apostolescu, Ploie ști

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
13
Clasa a XI-a
1. Să se rezolve în ∗ , ecua țiile :
a) KL M
 KL M
 KL NM
=√
O ;
b) KL M
 KL M
 KL NM
=√
O .
Ionel Tudor, C ălug ăreni , Giurgiu

2. Fie *Nn∈ si ()∞∈, 0 ,…, ,2 1 naaa astfel încât ()1 , 1 , … 2
21 −∈∀≤−++ xxnaaax
nxx.
Să se determine naa a… 2 1.
Mihai Dicu, Craiova
3. Fie func ția []()∞→, 01 , 0 :f și pentru orice 2,≥∈nNn , definim
( ) ( )n
nnnffnfnffnfa1
21
11… 1201

−−⋅ ⋅

−

⋅−

=. S ă se determine
nna
∞ →lim în
urm ătoarele cazuri separate:
a. f este cresc ătoare, dar nu este strict cresc ătoare
b. f este func ție continu ă.
Emil Vasile, Ploie ști
4. Fie Rb a∈, și fie șirul ()1≥nna cu proprietatea c ă ()() * , 01 Nnba aan n ∈∀=−−+.
Să se demonstreze c ă șirul
1 2 22 2
≥


⋅
++++
n na
bnb nana n este convergent.
Petre N ăchil ă, Ploie ști
5. Fie șirurile ()0≥nnx si ()0≥nny definite prin 000yx<< și
0, ,2233
122
1 ≥∀
++=++=+ + n
yxyxyyxyxx
nnnn
n
nnnn
n. S ă se precizeze dac ă:
a. șirurile sunt convergente;
b. șirurile au aceea și limit ă.
Cătălin Năchil ă, Ploie ști
6. Fie șirul ()0≥nna definit prin 0, 324422, 01 12
0 ≥∀+−≤−≤−>+ + n aa aaaan n n n n.
Să se demonstreze c ă șirul este convergent și s ă se determine limita sa.
Petre N ăchil ă, C ătălin Năchil ă, Ploie ști
7. Determina ți ) (2CMX∈ care verific ă 


=+01002008 2009 XX
Claudiu Militaru, Ploie ști
8.

9.

Demonstra ți inegalit ățile: >0?
PQ =><6ST4 −6ST5 <>0?
PQ =? , unde 0<4<5<M
.

Stelian Piscan , Giurgiu
Se consider ă matricele " = U1 3
0 1V KL W = U4 5
6 7V , ",# ∈ ℳ ℝ

Ar ăta ți c ă dac ă A⋅X=X ⋅A atunci c=0 și d=a
Rezolva ți în ℳℝ
ecua ția WN=" [7\ WN=W⋅W⋅W
***

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
14
Clasa a XII-a
1. Fie ()⋅,G grup finit de ordin impar cu proprietatea: Gxx x∈ ∀3 2 1, , exist ă
{}eS−∈3σ astfel încât ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 3 2 1 σσσxxxx x x= . S ă se demonstreze c ă grupul este
comutativ.
Emil Vasile, Ploie ști
2. Fie :]0;1_→R o functie de 2 ori derivata cu ′′x
>0 oricare ar fi x ϵ [0,1]
Demonstrati ca
9bfx
dx

H
 ≤ 4bfx
dx

.+ 
ef1
.
Vasile Coman – Valenii de Munte
3.

Pentru polinomul =Wf−2Wg+2WN−2W−1∈h]W_ :
a)Să se descompuna în factori ireductibili în Z[X];
b) Să se rezolve în R , ecua ția +
= 0
Ionel Tudor,C ălug ăreni,Giurgiu

4. Fie func țiile [] *,1 , 1: Nn R fn ∈→− , definite prin ()
( )∫∫
−−
=1
0202
11
) (
dt tdt t
xfnx n
n.
a. Să se demonstreze c ă func țiile nf sunt func ții polinomiale și s ă se
determine paritatea lor.
b. Să se determine *,) () (lim Nmxfx f
n mn
n∈
+∞ → fixat, în cazurile ()1 , 0∈x, respectiv
()0 , 1− ∈x.
Cătălin N ăchil ă, Petre N ăchil ă, Ploie ști
5. Fie ∫ ++= =≥2
01) 1() ( , sin , 0π
a aa
a I Iaa fxdx Ia . S ă se demonstreze c ă:
a. f este o func ție periodic ă și ( ).20π=f
b. Dac ă 1 0 +≤≤≤ nan , atunci .12) (2
21
++< <++
nna fnn
π
c. ()1)(≥+nna f este sir convergent.
Cătălin N ăchil ă, Petre N ăchil ă, Ploie ști
6. Fie ()⋅ +, ,A inel. S ă se demonstreze c ă:
a. {}A Axx ⇒−∈∀= 0 , 12 este izomorf cu ()⋅ +, ,2Z sau cu ()⋅ +, ,3Z;
b. {}A Axx ⇒−∈∀= 0 , 14 este izomorf cu ()⋅+, ,2Z sau cu ()⋅ +, ,3Z, sau
cu ()⋅+, ,5Z.
***
7.

8. Ar ăta ți c ă : bD'
B:P i'Mj⁄
.= bD'
PQ i'M⁄
Mj⁄=j
N .
Ionel Tudor , C ălug ăreni,Giurgiu
Calculati: b'=√'
l'm@'√'@f7+
Petre Paunescu, Rosiorii de Vede

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
15
PROBLEME PROPUSE PENTRU GIMNAZIU 2)
CLASA a V-a
1. În rela ția 1*2*3*4*…*2014=2016 putem înlocui o parte dint re stelu țe cu semnul + ,
iar cele r ămase cu semnul − astfel încât s ă ob ținem o propozi ție adev ărat ă?
Justifica ți r ăspunsul! Gheorghe Cr ăciun, Ploie ști
2. Să se determine num ărul natural de forma , știind c ă dac ă se scrie la dreapta sa
cifra 6, se ob ține un num ăr de 3 ori mai mic ca num ărul ce s-ar ob ține din num ărul
ini țial cu cifra 8 la stânga sa.
Eugen Ni ță , Ploie ști
3. Un elev cite ște o carte în cinci zile,astfel:în prima zi cite ște 1/3 din num ărul total de
pagini ; a doua zi 1/4 din num ărul paginilor r ămase și înc ă 5 ;a treia zi 3/8 din noul
rest și înc ă 9, în a patra zi 1/2 din noul rest și înc ă 3,iar în ultima zi , ultimele 20
pagini. S ă se determine:
a)câte pagini are cartea?
b) c ăte cifre s-au folosit la paginarea c ărții?
Eugen Ni ță , Ploie ști
4. Într-o cutie sunt bile ro șii, galbene și albastre. Știind c ă 40 bile nu sunt albastre, 64
nu sunt ro șii și 58 nu sunt galbene, afla ți câte bile de fiecare culoare sunt în cutie.
Sergiu Cristea, Ploie ști
5. Un câine a v ăzut un iepure la 150m în fa ța lui. Dac ă un iepure face 500m într-un
minut, iar un câine 1300 în 2 minute, dup ă cât timp va prinde câinele iepurele (în
minute)? ***
6.
Diferen ța a dou ă numere naturale este 7. Dac ă adun ăm dublul num ărului mai mic cu
tripul num ărului mai mare ob ținem 71. S ă se determine cele dou ă numere.
Veronica Iancu, Ploie ști
7. Privind la indicatorul kilometrajului automobilului pe care-l conducea, un șofer v ăzu
că acesta ar ăta cifra 15 951. Curios num ăr – își spuse șoferul. Și de la stânga la
dreapta, și de la dreapta la stânga, oricum ai citi, num ărul este tot acela și. Cine știe
cât ă vreme va mai trece pân ă voi întâlni pe indicator un astfel de num ăr. Și totu și,
dup ă numai dou ă ore, șoferul a avut din nou prilejul s ă citeasc ă pe indicator un
num ăr asem ănător. Cu câ ți kilometri mergea pe or ă automobilul?
***
8. Într-o clas ă, num ărul b ăie ților este de 3 ori mai mic decât cel al fetelor. Da c ă ar veni
2 b ăie ți și ar pleca 2 fete, num ărul fetelor ar fi de 2 ori mai mare decât cel al
băie ților. Câ ți elevi sunt în clas ă ?
Viorica Dina, Moreni
9. Peste doi ani Maria, Ionu ț și Victor vor avea împreun ă 34 de ani. Câ ți ani are acum
fiecare, dac ă vârsta lui Ionu ț este de dou ă ori mai mare decât Mariei și de dou ă ori
mai mic ă decât a lui Victor?
Sergiu Cristea, Ploie ști
10. Tat ăl, mama și fiul au împreun ă 68 de ani. Peste patru ani, mama va avea vârsta
actual ă a tat ălui, iar vârsta tat ălui va fi triplul vârstei fiului. Ce vârst ă are fiecare în
prezent?
Veronica Iancu, Ploie ști
2)Se primesc solu ții pân ă la 20 noiembrie 2016

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
16
CLASA a VI-a
1. Suma a dou ă numere este egal ă cu144. Dac ă ștergem una dintre cifrele unuia dintre cele
dou ă numere,ob ținem cel ălalt num ăr. G ăsi ți toate perechile de numere care verific ă
condi țiile problemei.
Eugen Ni ță , Ploie ști
2. Ordona ți cresc ător numerele:
1997 3988 ,1985 3964 ,1991 3976 ,1979 3952 ,1973 3940 .
Gheorghe Cr ăciun, Ploie ști
3. Se consider ă num ărul =1234 …..20152016 .
a) Să se determine câte cifre are num ărul n.
b) Să se determine cifra de pe pozi ția 2016.
Valentina Soare, Ploie ști
4. Fie a,b,c numere naturale astfel încât 3a=4b+7c. Demons tra ți că 7 divide (a+b).
Nicoleta Dracinschi, Ploie ști

5. Un num ăr se împarte la 3 și d ă restul 2. Câtul se împarte din nou la 3, ob ținând restul 2.
Noul cât se împarte iar la 3 și g ăsim câtul 2 și restul 2. Care a fost num ărul ini țial?
Viorica Dina, Moreni
6. Fie A=12345…11….50…….9899. Aratati ca9|A si gasiti ultimele doua cifre ale catului
obtinut prin impartirea lui A la 9.
Petre Paunescu, Rosiorii de Vede
7. Să se determine cifrele a și b știind c ă ()()2016 31 =−⋅−bb aa .
Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău
8. Să se determine numerele prime a, b, c, d știind c ă 21a + 74b + 224c + 112d = 2016

Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău
9. Calcula ți 2016 A unde
) ( ,) ( ,) ( ,) ( ,) ( ,) ( ,
y x zx z yz y xx zz yy xA
++++=
Nicolae Iv ășchescu, Canada
10. Marinarii de pe un vapor au hran ă pentru 60 de zile. Ei g ăsesc pe o insul ă 30 de
naufragia ți și astfel hrana le va ajunge tuturor doar pentru 50 de zile. Câ ți marinari erau pe
vapor?
***
11. Să se rezolve în mul țimea numerelor naturale ecua ția : 3?+3>+3B=333
Valentina Soare, Ploie ști
12. Să se compare numerele 4=e@g
N@o și 5=
 @
j@g unde n este un num ăr natural mai mare
sau egal cu2.
Valentina Soare, Ploie ști
13. Fie 4,5,6 numere naturale, astfel încat 64−55+96=0. Să se arate c ă num ărul
4.
o 524+36
este divizibil cu 15.
Romelia Șcheau , Ploie ști
14. Dac ă n este un num ăr natural care nu este divizibil cu 5, s ă se demonstreze c ă n 4 + 2016
nu este p ătrat perfect.
Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
17
CLASA a VII-a
1. Să se demonstreze c ă frac ția
7360 4335
+⋅+⋅
nn
este ireductibil ă, pentru orice num ăr natural.
Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău
2. Demonstra ți c ă printre numerele naturale 1101, 11101, 111101, 111 1101,… exist ă o
infinitate care sunt divizibile cu 101 .
Nicoleta Dracinschi, Ploie ști
3. Să se determine num ăr natural n, astfel încât:
<pg
N+N

g +
.f
Ng +⋯+gN
g
jON <+1.
Neculai Solomon, Vaslui
4. Fie mul țimile A = q+ ∈ℕg
'@
st ℕu și B = q+s ℕ ∕j'@

'@
sℕu .
Afla ți A ⋂#
Bilciurescu Ion , Bolde ști-Sc ăeni
5. Să se arate c ă frac ția x=
@∙@N∙=@⋯@
.. ∙yy
g=zH{ 0j∙g=zH| 0j∙g=zHi 0⋯0j∙gHzz se simplific ă prin 5.
Valentina Soare, Ploie ști
6. Se știe c ă ?> }}}}
N. = e

g ; afla ți :
a) a și b
b) x din egalitatea a ˑx + 9 = b ˑx
. Bilciurescu Ion , Bolde ști-Sc ăeni
7. Fie numerele reale a,b,c – nu toate nule, astfel în cât a+b+c=1 și ab+bc+ca=abc. S ă se
calculeze valoarea expresiei : ~=?=zH| @>=zH| @B=zH|
?=zHm @>=zHm @B=zHm
dr. Dorin M ărghidanu, Corabia, Olt
8. Determina ți num ărul ba pentru care avem ba aa b=+.
Nicolae Iv ășchescu, Canada
9. Ar ăta ți c ă exist ă numerele naturale a și b astfel încât a 2-b2+2016 3.
Nicolae Iv ășchescu, Canada
10. Rezolva ți în mul țimea numerelor ra ționale ecua ția:
2 1 2 3 2 5 2 7 2 2011 2 2013 2 2015 …2016 2014 2012 2010 6 4 2 x x x x x x x − − − − − − − + + + + + + + =
2 2016 2 2014 2 2012 2 2010 2 6 2 4 2 2 … .1 3 5 7 2011 2013 2015 x x x x x x x − − − − − − − = + + + + + + +
Maria și Anton Negril ă, Ploie ști
11. a. Ar ăta ți că numerele naturale care au exact trei divizori sun t p ătrate perfecte.
b. Determina ți num ărul natural care are numai trei divizori , știind c ă suma
divizorilor s ăi este 1723.
Achim Gheorghe, Mizil

AXIOMA SUPLIMENT MATEMATIC NR. 60
18
Clasa a VIII-a
1. Rezolva ți ecua ția : x xx 222 =++− .
Nicolae Iv ășchescu, Canada
2. Laturile și diagonala unui dreptunghi sunt numere naturale. C um se arat ă c ă aria unui
astfel de dreptunghi este un num ăr multiplu de 12?
Nicoleta Dracinschi, Ploie ști
3.
Determina ți perechile de numere naturale nenule 4,5
astfel încât N?0
?> @∈ℕ.
Romelia Șcheau , Ploie ști
4. Să se arate c ă √@√N
√f+√N@√f
√+√f@√
√N>6.
Valentina Soare, Ploie ști
5. Ar ăta ți c ă exista numere naturale a și b astfel incât:
222017 2016 2015 2014 ba−=⋅⋅⋅
Nicolae Iv ășchescu, Canada
6. Dac ă a = 1 ⋅ 2⋅ 3⋅…⋅ 20 + 2015, s ă se demonstreze c ă a ∉ Q.
Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău
7. Să se determine numerele ra ționale a și b știind c ă
| 2b – 1007 | + 1009 ⋅ (2-1) = 2422+−aa – a – 1008 2
Eugeniu Bl ăju ț, Bac ău
8. Determina ți numerele naturale abcd pentru care avem c bacd ab ++=+
Nicolae Iv ășchescu, Canada
9. Scrie ți 2016 ca o diferen ță de dou ă p ătrate de numere naturale ! (G ăsi ți toate
posibilit ățile)
Ioana Cr ăciun, Ploie ști
10. Pătratul ABCD are aria de 32 6  . Afla ți :
a ) AB b ) AC c ) aria triunghiului PMN , unde P ϵ ( AB ) , M ϵ ( BC ) ,
N ϵ ( DC ) astfel încât AP = BM = CN = 2 √2
Bilciurescu Ion , Bolde ști-Sc ăeni
11. Afla ți x +

' , știind c ă x este num ăr negativ și x ̶

' = 2
Bilciurescu Ion , Bolde ști-Sc ăeni

12. În triunghiul ABC obtuzunghic cu m(Â) >90 0 se duce bisectoarea unghiului ACB
care intersecteaz ă pe AB în E și se duce bisectoarea unghiului ABC și care
intersecteaz ă pe AC în D. )(, ), (, BD PBD AP EC QEC AQ ∈⊥ ∈⊥ .Ar ăta ți c ă
PQ și BC sunt paralele și c ă
2BC AC AB PQ −+= .
Ioana Cr ăciun, Ploie ști