Masura In Spatiul Euclidian
CUPRINS
MĂSURA ÎN SPAȚIUL EUCLIDIAN
Introducere
CAP.I. MĂSURA ÎN SPAȚIUL EUCLIDIAN
§1. Măsura pe dreaptă
§2. Măsura în plan
§3. Măsura în spațiu
CAP.II. APLICAȚII PRACTICE
§1. Probleme propuse
§2. Probleme rezolvate
§3. Probleme de drum minim
CAP.III. CONSIDERAȚII METODICE
§1. Locul și rolul temei în programele școlare
§2. Metode active centrate pe elev
§3. Aspecte metodice privind predarea lungimilor, ariilor si volumelor
BIBLIOGRAFIE
Introducere
Etimologic termenul geometrie contine ideea de masurare a marimilor asociate unor
figuri geometrice. Cu timpul acest termen s-a extins pe mai multe directii încât chiar
geometria numita elementara a devenit mai degraba o stiinta a formelor si pozitiilor figurilor
geometrice decât studiul marimilor asociate lor. Totusi, geometria elementara nu poate fi pe
deplin înteleasa fara studierea marimilor asociate uzual figurilor geometrice. Mai mult, aceste
marimi stabilesc interactiuni fundamentale între geometrie si fizica oferind suport intuitiv
propozitiilor acceptate ca axiome în geometrie.
Problematica masurii ocupa un loc major in programele analitice aflate in vigoare astfel incat putem vorbi despre importanța ei în didactica geometriei la toate nivelurile. Nu in ultimul rand problemele de masura sunt propuse la tot felul de concursuri, examene, evaluari (se poate remarca acest fapt consultand problemele propuse in partea a doua a lucrarii), fiind nelipsite in ultimii ani de la Evaluarea Nationala.
Aceasta lucrare este compusă din trei capitole divizate în paragrafe.
În primul capitol este expus succint sistemul axiomatic al lui Birkoff. Capitolul I trateaza apoi măsura în spațiul euclidian pe trei direcții diferite ( pe dreaptă, în plan respectiv spațiu ).
Capitolul II contine o serie de probleme (propuse si rezolvate, de drum minim) specifice masurii.
Capitolul III este dedicat modului de transmitere a cunostintelor legate de lungimi, arii si volume la elevii din ciclul primar si cei de gimnaziu, precum si o prezentare a catorva metode activ-participative insotite de un proiect didactic in care acestea se aplica.
Bibliografia conține mai multe referințe citate pe parcursul lucrării, din sursele pe care le-am consultat în timpul elaborării acestei lucrari.
CAPITOLUL I: MĂSURA ÎN SPAȚIUL EUCLIDIAN
MĂSURA PE DREAPTĂ
Spațiul euclidian este un model matematic al spațiului fizic, el reflectînd proprietățile privind forma corpurilor din spațiul fizic și poziția lor reciprocă.
Prin Geometrie Euclidiană se înțelege într-un sens general și clasic acea geometrie ce are la baza, în mod esențial, cele 13 carti ale operei ’’Elemente” a matematicianului grec Euclid (365-300 î.H.).Aceste cunostinte foarte serioase de geometrie si în general de matematica si-au pastrat valabilitatea peste doua milenii pentru ca s-au bazat pe o gandire logica si demonstrași riguroase. O forma de prezentare noua si chiar unele modificari de substanta au fost totusi necesare.
Modul de predare al geometriei plane la gimnaziu si liceu se bazeaza pe sistemul axiomatic al lui Birkhoff, iar acesta este un exemplu de tratare metrica a geometriei plane in care distanța este o noțiune fundamentală. În sistemul Birkhoff spațiul euclidian se consideră o mulțime formată din puncte. Punctele se notează cu litere mari indexate sau accentuate. În acest stadiu există submulțimi numite drepte notate cu litere latine mici, plane notate cu litere grecești mici. Intre elemente și submulțimi se folosește relația de apartenență “”, iar între submulțimi se folosește relația de incluziune ‘’.
Axiomele de incidență
Primul grup de axiome se enunță astfel:
I.1 Planul este mulțimea punctelor, pe care o notăm cu P.
I.2 Orice dreaptă este o submulțime a lui P.
I.3 Orice dreaptă conține cel puțin două puncte. În plan există trei puncte care nu aparțin
aceleași drepte.
I.4 Pentru două puncte distincte există o dreaptă și numai una care le conține.
Dacă A este un punct și d o dreaptă, relația A d se citește astfel: punctul A aparține dreptei d sau A este situat pe d sau d conține pe A sau d trece prin A sau punctul A și dreapta d sînt incidente. Punctele A, B, C se zic coliniare, dacă există o dreaptă d astfel ca A d, B d, C d.
Fie A și B doua puncte diferite. Potrivit axiomei I.4 există o singură dreaptă d astfel incit A d și B d . Această dreaptă d va fi notată cu AB.
Oricare ar fi punctele A, B P există un număr real unic, notat cu AB sau d(A, B), care se numește distanța între A și B.
Pentru două puncte oarecare A și B, distanța AB este un număr real unic.
R. Axioma riglei. Fie d o dreaptă oarecare și A, B d doua puncte distincte. Fiecărui punct M d îi putem face să-i corespundă un număr real unic xM astfel încît să fie satisfăcute următoarele condiții:
Pentru fiecare număr real a există un singur punct P d cu xp = a.
xA = 0, xB > 0.
Oricare ar fi punctele P, Q d, avem
PO = | xQ – | (*)
Prin această axiomă se mai precizează că funcția , definită prin f(M) = xM este determinată în mod unic de condițiile 1), 2) și 3).
Definitie Funcția se numește sistem de coordonate pentru dreapta d (sau pe dreapta d), punctul A originea lui, iar numărul xM abscisa sau coordonata punctului M (în sistemul de coordonate considerat).
Remarca 1 Conditia 1) arata ca functia este bijectiva
Remarca 2. Condiția 2) arată că oricum s-ar da două puncte M și N pe o dreaptă d, există un sistem de coordonate pentru care abscisa lui M este 0, iar abscisa lui N este pozitivă
Remarca 3. Conditia 3) arata ca exista o legatura intre distante si abscise in sensul ca daca cunoastem abscisele a doua puncte putem calcula distanta dintre ele cu ajutorul formulei (*).
Teoremă: Oricare ar fi punctele P, Q, R coliniare, au loc următoarele proprietăți:
Demonstratie
Fie d o dreaptă ce conține punctele date P și Q. Conform axiomei riglei există un sistem de coordonate pe d și avem
PQ = | xq – xp | ≥ 0;
PQ =| xQ – xP | = | xp — xQ | = QP;
PQ =0 | Xq – xP | = 0 Xp = Xq P = Q,(deoarece funcția , f(M) = xM este injectivă). In cazul R d putem scrie
PR = | xR – xP | = | (xR — xQ ) +( xQ — xP )| ≤ | xR — xQ | +| xQ — xP | = QR + PQ
Existenta unei bijectii intre mulțimea punctelor oricărei drepte si mulțimea numerelor reale, va ajuta la introducerea unei alte relații, acum derivate, aceea de “a fi intre” pe mulțimea punctelor.
Definitie Se spune că punctul M separă punctele A și B sau că M este între A și B , scriind A – M – B sau B – M – A , dacă A, B, M sunt coliniare și AM + MB = AB.
Teorema 1) Daca A — B — C, atunci C — B — A.
2) Dintre oricare trei puncte distincte de pe o dreapta, unul si numai unul este situat intre celelalte doua.
3) Oricare puncte distincte de pe o dreapta pot fi notate intr-o ordine A,B,C,D astfel ca A — B — C — D.
4) Daca A, B sunt doua puncte distincte oarecare, atunci exista un punct C astfel ca A — B — C si exista un punct D astfel ca A — D — B.
5) Daca A — B — C, atunci A, B, C sunt coliniare si diferite.
Definitie Prin segmentul deschis (AB) înțelegem mulțimea punctelor între A și B, iar segmentul închis [AB] este mulțimea (A,B) U {A, B}.
Așadar
[AB] = {M AB/AM + MB = AB},
(AB)=[AB}- {A, B}.
In cazul in care A=B (AA) = , [AA] = {A}.
Definitie Prin lungimea segmentului [AB] se înțelege distanța AB.
Definitie Două segmente [AB] și [CD] se numesc congruente și se scrie [AB] [CD] , dacă [AB] și [CD] au aceeași lungime i.e. AB = CD.
Definitie Mijlocul segmentului [AB] este unicul punct M(AB) , pentru care [AM] [MB].
Segmentele pot fi caracterizate cu ajutorul absciselor:
Teorema . Oricare ar fi sistemul de coordonate pe dreapta AB, daca xA<xB, avem:
[AB]={M /≤ ≤ } (*)
(AB)= {M / }(**)
Sau daca xA xB
[AB]={M /≤ ≤ }(***)
(AB)= {M / }(****)
Demonstrație. Fie xA<xB.
Fie P [AB]. Avem AP +PB = AB, prin urmare
| xP – xA | + | xB – xP | = | xB – xA |
(căci xB xA ). Considerăm următoarele cazuri:
xP < xA Atunci din xA < xB deducem xP < xB și egalitatea (1) devine
xA — xP + xB — xP = xB — xA.
Reducînd termenii asemenea, obținem 2xA = 2xP, deci xA = xP, In contradicție cu xP > xA. Așadar, acest caz nu este posibil.
xP > xB acum relația (1) se scrie
xP — xA + xP — xB = xB — xA
sau xP = xB. Nici acest caz nu este posibil.
Rezultă că xA ≤ xp ≤ xB, deci P {M AB | xA ≤ xM ≤xB}.
Fie M AB cu xA ≤ xM ≤ xB rezultă xM — xA ≥ 0 și xB — xM ≥ 0, deci
AM + MB = | xM – xA | + | xB — xM | = xM — xA + xB — xM =
= xB – xA = | xB – xA | = AB.
Prin urmare M [AB].
Cum (AB)=[AB}- {A, B} , formula (**) rezulta din (*) iar formulele (***) si (****) rezulta din (*) si (**) tinand cont ca [AB]=[BA] si (AB)=(BA)
Corolar. Punctul M AB este intre A si B daca si numai daca
sau
Teorema . Dacă B este între A și C, atunci A nu este între B și C și nici C intre A și B.
Congruenta segmentelor apare ca o relație derivata (pe mulțimea segmentelor), introdusa prin intermediul distantei. Legat de proprietățile relației de congruenta a segmentelor,avem urmatoarele:
Teorema Congruenta segmentelor este o relație de echivalenta;
Teorema de construcție a unui segment: Fie segmentul (AB) si semidreapta (CD. Exista un unic punct E (CD astfel incat (AB) = (CE). (In manualul de clasa a Vl-a aceasta teorema este data ca o problema de construcție a unui segment congruent cu un segment dat).
Demonstratie Alegem sistemul de coordonate pentru dreapta CD astfel ca xC = 0 și xD > 0. Punctul E trebuie să satisfacă două condiții:
E (CD, ceea ce înseamnă xp > 0, și
CE = AB, adică | xE — 0 | = AB. Așadar xE — AB și astfel punctul E este determinat în mod unic.
Teorema de adunare a segmentelor: daca A — B — C, A' — B' — C' a.i. (AB) (A'B') si (BC) (B'C'), atunci (AC) (A'C').
Teorema de scădere a segmentelor: daca A — B — C, A' — B' — C' a.i. (AB) (A'B') si (AC) (A'C'), atunci (BC) (B'C').
Definiție Spunem că segmentul (AB) este mai mare decît segmentul (CD) și scriem (AB) > (CD), dacă AB > CD. în acest caz se mai spune că (CD) este mai mic decît (AB) ((CD) < (AB)).
Teorema Orice segment are un mijloc unic.
Demonstrație. Fie xA = a, xB = b și a <b. Punctul M AB este mijlocul lui (AB) dacă și numai dacă AM = MB, ceea ce este echivalent cu
|xM — a | = | b — xM |
Deosebim cazurile: 1) xM < a, 2) xM > b, 3) a ≤ xM ≤ b. Cazul xM < a ne conduce la a – xM = b – xM și a = b, în contradicție cu a <b
La fel, nici cazul xM > b nu este posibil. Prin urmare numai cazul 3) este posibil. Dar atunci xM — a = b — xM, de unde xM=
Așadar abscisa xM este determinată în mod unic, și împreună cu ea și punctul M, mijlocul lui (AB). Cum a<
rezultă M (AB).
Definitie Fiind date punctele distincte A și B,semidreapta inchisa [ABșisemidrcapta deschisă (AB se definesc astfel :
[AB = {M | M [AB] sau B (AM)},
(AB = [AB – {A}
Dreapta AB este dreapta suport a semidreptelor [AB și (AB, iar punctul A originea lor.
Dacă B (AC), semidreptele [BA și [BC se zic opuse, la fel (BA și (BC.
Semidreptele pot fi precizate cu ajutorul absciselor:
Teorema Oricare ar fi sistemul de coordonate pe dreapta AB, dacă xA < xb
[AB={MAB|xM≥xA}
(AB={MAB|xM>xA},
iar dacă xA > xB
[AB={MAB|xM≤xA}
(AB={MAB|xMxA},
Demonstrație. Presupunind xA < xB, obținem
M [AB] xA ≤ xM ≤ xB,
B (AM) xA < xb <xM
Așadar M [AB xA≤xM≤xB sau xB < xM, ceea ce se scrie mai simplu: M [AB xA < xM, deci are loc prima egalitate. Celelalte egalitati
Dreapta AB este dreapta suport a semidreptelor [AB și (AB, iar punctul A originea lor.
Dacă B (AC), semidreptele [BA și [BC se zic opuse, la fel (BA și (BC.
Semidreptele pot fi precizate cu ajutorul absciselor:
Teorema Oricare ar fi sistemul de coordonate pe dreapta AB, dacă xA < xb
[AB={MAB|xM≥xA}
(AB={MAB|xM>xA},
iar dacă xA > xB
[AB={MAB|xM≤xA}
(AB={MAB|xMxA},
Demonstrație. Presupunind xA < xB, obținem
M [AB] xA ≤ xM ≤ xB,
B (AM) xA < xb <xM
Așadar M [AB xA≤xM≤xB sau xB < xM, ceea ce se scrie mai simplu: M [AB xA < xM, deci are loc prima egalitate. Celelalte egalitati rezultă în mod analog.
Axiomele unghiului
Definitie Un unghi în P este reuniunea a două semidrepte închise (laturile sale) având aceeași origine (vârful său).
Dacă h = [AB , k = [AC , atunci unghiul determinat de h și k este , care se mai notează prin : BAC , CAB, , sau .este un unghi nul, dacă h = k ; este un unghi alungit dacă h , k sunt semidrepte opuse ; în celelalte cazuri este un unghi propriu.
U.1. dacă și numai dacă este un unghi nul; dacă și numai dacă este un unghi alungit.
U.2. (Axioma de construcție a unghiurilor) Fie (OA o semidreaptă și S un semiplan limitat de dreapta OA. Pentru orice număr există o semidreaptă unică (OB inclusă în S , astfel ca .
U.3. ( Axioma adunării unghiurilor) Dacă și sunt unghiuri adiacente cu (OB sau unghiuri adiacente suplementare, atunci
.
Axioma de separare a planului
Definitie Fie d o dreaptă și A, B doua puncte ale planului P, nesituate pe d. Dacă segmentul [AB] are un punct comun cu d, spunem că dreapta d separă punctele A și B sau că A și B sint de o parte și de alta a dreptei d. În caz contrar se spune că A și B sunt de aceeași parte a lui d.
Axioma Fie d o dreaptă ce separă punctele A și B. Dacă d nu separă punctele B și C, atunci d separă A și C.
Definitie Fie A un punct nesituat pe dreapta d . Considerăm toate punetele M de aceeași parte a lui d, ca și A. Mulțimea formată din aceste puncte și punctul A se notează cu (dA și se numește semiplan (deschis). Spunem că dreapta d este frontiera lui și că semiplanul (dA este limitat de dreapta d.
Avem (dA = {M P | [AM]∩d = .
Axioma de congruență
Defintie Dacă punctele A, B, C nu sînt coliniare, mulțimea ABC =[AB] U [BC] U [CA]se numeste triunghi
Punctele A, B, C sînt varfurile, segmentele [AB], [BC], [CA] sînt laturile, iar
unghiurile BAC, CBA, ACB sînt unghiurile triunghiului.
Definiție. Două triunghiuri ABC și A’B’C’ se numesc congruente și se notează ΔABC ≡ ΔA’B’C’, dacă există o corespondență între vârfuri,
A A' , B B' , C C',
astfel încât
, , .
Axioma LUL . Fie două triunghiuri ΔABC și ΔA'B'C'. Dacă [AB] ≡ [A'B'], [AC] ≡ [A'C'] și ≡' , atunci ΔABC ≡ ΔA'B'C’.
P. Axioma paralelelor
Axiomele de mai sus alcătuiesc geometria absolută. Pentru a trece de la geometria absolută la geometria euclidiană este necesară o singură axiomă numită axioma paralelelor a lui Euclid, formulată cu ajutorul relației derivate numită “relație de paralelism ”.
Axioma Fie punctul A exterior dreptei d. Atunci există o unica paralelă prin A la d.
MĂSURA ÎN PLAN
Distanțe in plan
Distanța dintre doua puncte
Definiție. Distanța dintre două puncte A și B este lungimea segmentului AB. Se notează d(A, B) sau AB.
Proprietăți.
1. d(A, B) = 0 A = B.
2. Pentru orice puncte A, B avem d(A, B) = d(B,A).
3. Pentru orice triplet (A,B,C) de puncte d(A,C)<d(A,B)+d(B, C).
4. Pentru orice pereche de puncte A, B avem d(A, B)>0.
Remarca 1. Inegalitatea 3 devine egalitate dacă și numai dacă punctele A, B, C
sunt coliniare și B se află între A și C: d(A, C) = d(A, B)+d(B, C) B[A, C].
Remarca 2. Distanța dintre două puncte este conservată prin compas (deschiderea este menținută fixă). De cele mai multe ori reprezentăm distanțe egale cu ajutorul compasului.
Remarca 3. Proprietatea 4 este o consecință a proprietății 3 în cazul particular B=C.
Remarca 4. Pentru oricare patru puncte A, B, C, D avem:
AB=CD d(A, B)=d(C, D).
In cazul unui sistem de coordonate carteziene ortogonale are loc
Remarca 5. Pentru că distanțele sunt reprezentate de segmente, în calculul cu distante sunt valabile toate relatiile metrice si toate criteriile de congruenta.
In cazul unui sistem de coordonate carteziene ortogonale ,fiind date doua puncte P(xP,yP) si Q(xQ,yQ) avem
d(P,Q)= (formula distantei)
Distanta de la un punct la o dreapta
Teorema. Fiind dată dreapta d și punctul M, M d, există o singură dreaptă d', astfel îneît M d' și d‘ d.
Definiție. Se numește distanța de la un punct la o dreaptă căreia nu-i aparține, cea mai mică distanță dintre acel punct și punctele dreptei.
d(A, d) := inf {d(A,M) | M d}.
Dacă M0 d este astfel încât AM0 d , atunci d(A, d) = AM0 .
Daca M d atunci d(M,d)=0.
Distanta dintre doua drepte
Definitie Distanta dintre doua drepte paralele d si g este d(d,g)=d(A,g) unde A este un punct oarecare al dreptei d.
Daca d || g si d(d,g)=0 atunci dreptele d si g sunt confundate
Linii importante in triunghi
Mediana
Definitie Dreapta determinată de vîrful unui triunghi și mijlocul laturii opuse se numește mediană.
Teorema . Medianele unui triunghi sînt concurente. Punctul de intersecție, numit centru de greutate si notat cu litera G, determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment a cărui lungime este 1/2 din lungimea segmentului pe eare-i determină cu vîrful opus laturii.
Teorema Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri cu aceeași arie.
Teorema. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este 1/2
din ipotenuză.
Teorema Intr-un triunghi ΔABC de laturi a,b,c lungimea medianei este egala cu
ma= ,unde a este latura pe care cade mediana.
Demonstratie
Scriem relația lui Stewart în cazul când M este mijlocul A' al segmentului [BC], Obținem:
A'A2 ･ BC = AB2 ∙ A'C + AC2 ･ A'B – BC ∙ BA'･CA' ･a=c2･ +b2･ -a ma=
Aria unui triunghi poate fi calculata cu ajutorul medianelor ,folosind formula:
S= unde sm=
Bisectoarea
Definitie Se numeste bisectoarea unui unghi propriu semidreapta inchisa care
are originea in varful unghiului
este interioara unghiului
formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri adiacente congruente
Teorema Bisectoarea unui unghi propriu este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal depărtate de laturile unghiului, reunit cu vîrful unghiului.
Teorema . Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.
Punctul de intersecție al bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi. Cercul înscris într-un triunghi este cercul care are centrul in interiorul triunghiului și este tangent laturilor triunghiului.
Teorema bisectoarei Într-un triunghi bisectoarea oricărui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente proporționale cu laturile unghiului.
Teorema Fie ABC un triunghi și [AD bisectoarea interioară a unghiului BAC ,cu D (BC) . Atunci
AD=, unde p=
Demonstratie
Din Teorema bisectoarei avem ca , care se mai scrie , de unde obtinem , de unde DC=. Atunci BD=BC-DC=a-=. Din relatia lui Stewart in cazul in care M este in D obtinem DA2BC=AB2DC+AC2BD-BC･BD･DC
Inlocuind pe BC cu a,AC cu b,AB cu c , DC cu iar BD cu obtinem
AD2=c2 + b2 –a care se mai scrie AD2=∙2p(2p-2a)
Deci AD2= adica AD=
Inaltimea Definitie Perpendiculara prin vîrful unui triunghi pe dreapta determinată de latura opusă se numește înălțime.
Teorema . Inălțimile unui triunghi sînt concurente.
Teorema inaltimii Înălțimea corespunzatoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Teorema Daca este un triunghi oarecare de laturi a,b,c atunci inaltimea corespunzatoare laturii a este ha=, unde p=
Demonstratie
Fie AA’BC ( A’ BC). Dintre cele doua unghiuri B si C cel putin unul este ascutit.
Presupunem ca acesta este B. Cu teorema lui Pitagora generalizata obtinem
AB2=BC2+AC2-2∙BC∙A’C de unde 2∙BC∙A’C= BC2+AC2-AB2 A’C=
Din ΔAA’C cu teorema lui Pitagora obtinem
AA’2=AC2-A’C2=b2-=
Cum 2p-2a=b+c-a, 2p-2b=a-b+c, 2p-2c=a+b-c rezulta AA’2 , de unde
AA’2 =
Observatie In unele probleme de geometrie prin cuvintele „mediană“ sau „bisectoare“ se va înțelege segmentul determinat de varful triunghiului cu mijlocul laturii opusei respectiv segmentul determinat de vîrful triunghiului și intersecția bisectoarei cu latura opusă unghiului. Termenul „înălțime“ va desemna segmentul determinat de vîrful triunghiului și piciorul perpendicularei din vîrf pe dreapta determinată de latura opusă. Se pot folosi de asemenea termenii de „mediană“ „bisectoare“, „înălțime“ și pentru lungimile acestor segmente fără a exista pericol de confuzie deoarece rezultă din text sensul care li se atribuie.
Ariile suprafetelor plane
Un poligon cu n laturi A1A2…An (unde n 3) este o linie poligonală închisă , cu proprietate că oricare două laturi adiacente au suporturi distincte și oricare două laturi neadiacente sunt disjuncte. Ak sunt vârfurile, iar [AkAk+1] sunt laturile sale ().
O figură F P se numește figură convexă dacă
A, B P [AB] F
Prin definiție, și F ={A}, A P , sunt figuri convexe.
Un poligon A1A2…An se numește poligon convex dacă oricare ar fi k{1,2,…,n}, toate vârfurile diferite de Ak și Ak+1 sunt de aceeași parte a dreptei AkAk+1 (An+1 = A1). În caz contrar, A1A2…An se numește poligon concav.
Se numește interiorul poligonului convex A1A2…An figura
(A1A2…An) := ( … (.
Se numește suprafața poligonală convexă cu frontiera A1A2…An figura
[A1A2…An] := A1A2…An (A1A2…An) .
Definiție. Se numește suprafață poligonală o mulțime de puncte din plan, care este reuniunea unui număr finit de suprafețe poligonale convexe, acestea avînd două cîte două interioarele disjuncte
Dacă S este o suprafață poligonală și [L1], [L2],.. [Lk] sînt suprafețele poligonale convexe respective, adică
S = [L1] U [L2]U … U [Lk] și Int Li ∩ Int Lj = pentru i # j,
atunci vom spune că mulțimea {[L1], [L2],….[Lk]} constituie o descompunere a suprafeței poligonale S
Teoremă. Orice suprafață poligonală convexă cu n laturi (n > 4) admite cel puțin o triangulare în n-2 suprafețe triunghiulare.
Demonstratie Aratam întîi că o suprafață poligonală convexă cu n laturi se descompune într-o suprafață triunghiulară și o suprafață poligonală convexă cu n -1 laturi. Se consideră poligonul convex L = P1P2… Pn și dreapta P1P3 . O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui L are cel mult două puncte comune cu L, prin urmare dreapta P1P3 intersectează poligonul L numai în P1 și P3. Rezultă că punctele P4, P5,…,Pn sînt de aceeași parte a lui P1P3, ceea ce înseamnă că P1P3P4… Pn este un poligon convex.. Deoarece P3 se află în interiorul unghiului P2P1Pn rezultă că P2 și Pn se află de o parte și de alta a dreptei P1P3. Deci punctele P2 și P4, P5,…, Pn se află în semiplane opuse față de P1P3, adică interiorul triunghiului P1P2P3 și interiorul poligonului P1P3P4… Pn se află în semiplane opuse, avand astfel intersecția vidă. Pe de altă parte este evident că [L] = [P1P2P3] [P1P3P4… Pn]
Aplicînd succesiv acest rezultat suprafețelor poligonale [P1P3P4…Pn], [P1P4P5…Pn] etc., care au fiecare cîte o latură mai puțin decît precedenta, se obține teorema.
Consecință. Orice suprafață poligonală poate fi descompusă în triunghiuri
Definiție. Mulțimile M și M' se numesc congruente și se notează M M' dacă există o funcție bijectivă f : M M' astfel ca pentru oricare două puncte P, Q M, PQ=f(P)f(Q). Funcția f cu această proprietate se numește izometrie.
Proprietate. Dacă două suprafețe poligonale sînt congruente și una din ele este descompusă în suprafețele triunghiulare [T1], [T2], …, [Tn], atunci și cealaltă admite o descompunere în același număr de suprafețe triunghiulare [T’1], [T’2], …, [T’n] astfel ca [Ti] = [T’i], i = 1, 2, …, n.
Proprietate. Dacă ΔABC ~ ΔA'B'C', atunci există un număr k >0 și o funcție bijectivă f : ABC A'B'C', astfel încît oricare ar fi două puncte P, Q ABC, PQ = k ･ f(P)f{Q) și reciproc.
Definitie Mulțimile M și M' se numesc asemenea și se notează M M' dacă există un număr k > 0 și o funcție bijectivă f : M M' astfel ca pentru oricare două puncte P, Q M, PQ = k-f(P)f(Q). Funcția f cu această proprietate se numește asemănare, iar numărul k se numește raport de asemănare.
Proprietate Dacă două suprafețe poligonale sînt asemenea, k fiind raportul de asemănare și una din ele se descompune în suprafețele triunghiulare [T1], [T2], …, [Tn], atunci și cealaltă admite o descompunere în același număr de suprafețe triunghiulare [T’1], [T’2], …, [T’n] astfel ca [Ti] [T’i], i — 1, 2,…, n, raportul de asemănare fiind tot k.
Pentru multimea S a suprafetelor poligonale definim aria prin urmatoarea:
Teorema. (Teorema de existență a funcției arie.) Există o funcție : S R+ care are următoarele proprietăți:
dacă triunghiurile T1 și T2 sînt congruente atunci T1] = [T2],
dacă S1 și S2 sînt suprafețe poligonale cu interioarele disjuncte atunci
(S1 U S2) = (S1) +(S2),
dacă U este o unitate de suprafață atunci (U) = 1.
Definitie Funcția cu proprietățile (1) — (3) se numește funcție arie, iar numărul (S), aria suprafeței poligonale S.
Deoarece două suprafețe poligonale congruente se descompun în suprafețe triunghiulare congruente două cîte două, din proprietățile (1) și (2) rezultă că două suprafețe poligonale congruente au arii egale.
In continuare vom arăta cum se calculează valorile funcției pentru unele suprafețe poligonale. Pentru simplificarea exprimării vom spune: „aria triunghiului, pătratului etc.“, în loc de „aria suprafeței triunghiulare, pătrate etc.“ iar pentru simplificarea notației, dacă [L] este o suprafață poligonală în loc de „])" se va scrie „[L]“, de exemplu [ABC] reprezintă aria suprafeței triunghiulare [ABC].
Teorema. Dacă ABCD este pătrat și AB=l, atunci [ABCD] = l2.
Teorema. Dacă ABCD este dreptunghi și AB = a, BC = b, atunci [ABCD] =a • b.
Consecință. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A atunci [ABC] = AB ･ AC.
Teorema. Aria unui triunghi este jumatate din produsul lungimii unei laturi cu înălțimea corespunzătoare.
Dacă o suprafață poligonală S se descompune în suprafețele poligonale S1, S2,…,Sn, atunci (S) = (S1 )+ (S2 )+ … + (Sn)
Consecințe.
1. Dacă ABCD este un paralelogram și d(AB, CD) = h atunci [ABCD] = AB ･ h
2. Dacă ABCD este trapez, AB || CD și d(AB, CD) = h, atunci
[ABCD] =･ h
3. Dacă P1P2 … Pn este un poligon convex regulat, O fiind centrul său și P1P2 = l, d(0, P1P2) = a, atunci:
[P1P2.. Pn] = ･n･a･l
4. Dacă ΔABC ΔA'B’C, k fiind raportul de asemănare, atunci = k2
5. Raportul ariilor a două suprafețe poligonale asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.
In continuare vom asocia cate o arie și unor mulțimi care nu sunt suprafețe poligonale.
Defnitie O mulțime M se numește suprafață măsurabilă dacă există un număr unic (M) mai mare sau egal cu aria oricărei suprafețe poligonale incluse în M și mai mic sau egal cu aria oricărei suprafețe poligonale care include pe M . Numărul (M) se numește aria lui M.Se va nota cu S* mulțimea suprafețelor măsurabile.
Teorema Un disc [C(O, r)] este o suprafață măsurabilă, a cărei arie se calculează astfel:
[C(O, r)]=r2
Definitie Se numește sector de cerc determinat de arcul al cercului C(O, r) reuniunea segmentelor [OM], unde M .
Teorema Sectorul de cerc determinat de arcul al cercului C(0, r) este o suprafață măsurabilă și aria lui este egală cu
r = m()
MĂSURA ÎN SPAȚIU
Distanțe in spațiu
Distanta de la un punct la un plan
Fiind dat un punct A , un plan α si o perpendiculara din A pe plan AD (Dα) avem urmatoarea:
Definitie Distanta de la punctul A la planul α este d(A,D), adica distanta de la punctul A la proiectia lui ortogonala pe planul α.
Teorema Oricare ar fi planul α si punctul A, exista o sinfura dreapta care trece prin A si este perpendiculara pe planul α.
Proprietate Pentru orice punct M α cea mai mica distanta d(A,M) este distanta de la A la proiectia lui ortogonala pe planul α
AM2=AD2+MD2 ⇒ d(A,M)≥d(A,D)
In calculul distantelor dintre un punct si o dreapta sau un punct si un plan, in spatiu, se folosesc
Teorema (celor trei perpendiculare) Fie PA o dreaptă perpendiculară pe un plan α (A α), d o dreaptă conținută în planul α și AB d, B d. Atunci PBd.
Teorema reciproca 1. Dacă PA α, A a, d α, PB d, B d, atunci AB d .
Teorema reciproca 2. Dacă A α, d α , AB d, B d, PB d, PA AB, atunci PA α .
Distanta dintre doua drepte
In spatiul euclidian, doua drepte pot avea urmatoarele pozitii relative:
-paralele , si atunci ele sunt disjuncte sau confundate
-neparalele, si atunci sunt disjuncte sau secante
Definitie Distanta dintre doua drepte paralele d si g este d(d,g)=d(A,g) unde A este un punct oarecare al dreptei d.
Definitie Distanta dintre doua drepte oarecare in spatiu d si g este lungimea segmentului din dreapta perpendiculara atat pe dreapta d cat si pe dreapta g, cuprins intre d si g.
Remarca 1. Exista o dreapta si numai una, perpendiculara pe doua drepte necoplanare si care se sprijina pe ele. Ea este dreapta de intersectie a planului ce continedreapta d si este perpendicular pe g cu planul ce contine dreapta g si este perpendicular pe d.
Remarca 2. Distanta dintre doua drepte necoplanare d si g este aceeasi cu distanta de la dreapta d la un plan (d’,g), unde d’|| d si d’∩g={M}.
Remarca 3. Daca d(d,g)=0, atunci dreptele d i g sunt secante
Distanta de la o dreapta la un plan
Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan sunt:
-secante si atunci au un punct comun unic;
-paralele si atunci dreapta este sau inclusa in plan sau disjuncta.
Evident ca problema distantei se pune in cazul in care dreapta este paralela cu planul si avem urmatoarea:
Definitie Distanta de la dreapta g la planul α d(g, α),g||α este aceeasi cu distanta d(A,α) a oricarui punct Ag
Observatie cand g||α si d(g, α)=0, atunci gα.
Distanta dintre doua plane paralele
In spatiu doua plane pot fi:
-secante dupa o dreapta
-paralele si atunci sunt disjuncte sau confundate.
Definitie. Distanta dintre doua plane paralele este aceeasi cu distanta oricarui punct apartinand unui plan la celalalt plan.
Observatie. Cand α||β si d(α,β)=0 atunci planele α si β sunt confundate
Ariile si volumele poliedrelor
Definitie Fie S o suprafață poligonală cu frontiera poligon, inclusă într-un plan α, d o dreaptă care nu este paralelă cu planul α și nici conținută în acesta și α ' un plan paralel cu planul α. Pentru fiecare punct M S se consideră dreapta care trece prin M, paralelă cu dreapta d și care intersectează planul α ' într-un punct M'. Mulțimea formată din reuniunea tuturor seg-mentelor [MM'] se numește prismă.
Proprietate. Locul geometric al punctelor M'' din definiția precedentă este o suprafață poligonală S' și S S'.
Suprafețele poligonale S, S', [], (i=1,2…, n -1),
[An] se numesc fețele prismei, segmentele [], [AiAi+1], (i == 1, 2,…, n – 1), [A1,An],[],[Ai (i = 1, 2,…, n), se numesc muchiile prismei, iar punctele Ai, (i = 1, 2, …, n) se numesc vîrfurile prismei. Dintre acestea, S și S' se mai numesc și bazele prismei iar celelalte fețe se numesc fețe laterale, muchiile [ Ai], (i = 1, 2 ,…, n) se numesc muchii laterale. Distanța dintre planele bazelor unei prisme se numește înălțimea prismei și se va nota cu I. Prin înălțimea unei prisme se va mai înțelege și segmentul determinat de bazele prismei pe perpendiculara comună. O diagonală a unei prisme este un segment determinat de două vîrfuri ale prismei care nu aparțin aceleiași fețe laterale.
Poligoanele care determină fețele laterale ale unei prisme sînt paralelograme. Reuniunea fețelor unei prisme formează suprafața sau frontiera prismei. Mulțimea punctelor unei prisme care nu aparțin suprafeței sale formează interiorul prismei.
Aria prismei Suma ariilor fețelor unei prisme se numește aria totală a prismei, iar suma ariilor fețelor laterale se numește aria laterală a prismei; ele se vor nota respectiv cu (P) și (P). Dacă B = (S), evident
Prisma cu muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor se numește prismă dreaptă. Prisma cu poligoanele bazei paralelograme se numește para-lelipiped. Paralelipipedul drept cu baza dreptunghi se numește paralelipiped dreptunghic. Dacă toate fețele unei prisme sînt suprafețe pătrate, prisma se numește cub. Prisma dreaptă cu baza poligon regulat se numește prismă regulată.
Tetraedrul
Definitie Dacă A, B, C, D sînt patru puncte necoplanare, reuniunea segmentelor [AM], unde M [BCD] se numește tetraedru și se notează cu [ABCD] . Punctele A, B, C, D se numesc virfurile, segmentele [AB], [AC], [AD], [BC], [BD], [CD] se numesc muchiile, iar suprafețele triunghiulare [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] fețele tetraedrului [ABCD]. Reuniunea fețelor este numită suprafață tetraedrală, iar punctele lui [ABCD] care nu aparțin nici unei fețe formează interiorul tetraedrului, care se notează cu Int [ABCD].
Piramida
Definitie Fie S = [A1A2…An] o suprafață poligonală cu frontiera poligon aparținlnd unui plan α și un punct Vα. Se numește piramidă de vîrf V și bază S reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde A S.
Notam piramida de vîrf V și bază S prin P =[V A1A2 … An]. După numărul laturilor poligonului de bază, piramidele se vor numi: triunghiulare,patrulatere etc. Suprafețele triunghiulare [VA1A2], [VA2A3], …, [VAnA1] și suprafața poligonală S se numesc fețele piramidei. Reuniunea fețelor unei piramide formează suprafața sau frontiera piramidei. Mulțimea punctelor piramidei care nu aparțin frontierei sale formează interiorul piramidei. Fețele [VA1A2], [VA2A3], …, [VAnA1] se mai numesc și fețe laterale. Segmentele [VA1], [VA2],…, [VAn], [A1A2], [A2A3], …,[AnA1] se numesc muchii, iar dintre acestea, [VA1] [VA2],…, [VAn] sînt muchii laterale. Punctele V, A1, A2, …, An se numesc varfuri, iar A1, A2, …, An se mai numesc și varfurile bazei. Distanța de la vîrful unei piramide la baza acesteia se numește înălțimea piramidei. Prin „înălțime" se va mai înțelege și segmentul determinat de varf și bază pe dreapta perpendiculară pe planul bazei, dusă prin V, iar în acest caz, intersecția acestei drepte cu planul bazei se numește piciorul înălțimii.
Aria unei piramide este suma ariilor fețelor piramidei, iar aria laterală a unei piramide este suma ariilor fețelor laterale ale acesteia. Deci
,B=
Piramida de vîrf V și bază S =[A1A2… An] se numește piramidă regulată dacă A1A2 . . . An este poligon regulat și piciorul înălțimii piramidei coincide cu centrul poligonului A1A2 . . . An. Inălțimea unei fețe laterale a unei piramide regulate se numește apotema piramidei.
Tetraedrul cu toate muchiile congruente se numește tetraedru regulat.
Dacă P este o piramidă regulată,aria laterala este
Trunchiul de piramida Prin secționarea unei piramide P de vîrf V și bază S cu un plan , paralel cu baza, se obțin două mulțimi situate în semispații opuse față de acest plan. Una din aceste mulțimi este tot o piramidă, iar cealaltă se va numi trunchi de piramidă .
Suprafețele poligonale asemenea S și S’ = P ∩ se numesc bazele trunchiului de piramidă și mai exact baza mare respectiv baza mică. Analog cu noțiunile corespunzătoare de la prismă și piramidă se definesc fețele trunchiului de piramidă, fețele laterale, muchiile, muchiile laterale, vîrfurile, frontiera și interiorul, aria laterală și aria totală. Inălțimea unui trunchi de piramidă este distanța dintre planele bazelor sau segmentul determinat de baze pe perpendiculara comună acestora. Se va utiliza notația T = [A1A2…An] pentru trunchiul de piramidă de baze S = [A1 A2 … An] și S' = [], punctele Ai, aparținînd aceleiași muchii laterale.
unde B = (S) și b =(S').
Prin trunchi de piramidă triunghiulară, patrulateră etc., sau trunchi de piramidă regulată se înțelege un trunchi de piramidă obținut dintr-o piramidă corespunzătoare.
Inălțimea unei fețe laterale a unui trunchi de piramidă regulată se numește apotema trunchiului de piramidă. în cazul unui trunchi de piramidă regulată,
Definitie Se numește mulțime poliedrală, o mulțime de puncte din spațiu care este reuniunea unui număr finit de prisme, piramide și trunchiuri de piramidă, acestea avînd două cîte două interioarele disjuncte.
Teorema. Orice mulțime poliedrală se poate descompune în tetraedre.
Proprietatea 1. Orice prismă se descompune in prisme, triunghiulare.
Proprietatea 2. Orice prismă triunghiulară se descompune in trei tetraedre.
Proprietatea 3. Orice piramidă se descompune in piramide triunghiulare.
Proprietatea 4. Orice trunchi de piramidă se descompune in trunchiuri de piramidă triunghiulară.
Proprietatea 6. Orice trunchi de piramidă triunghiulara se descompune in trei tetraedre.
Definitie O mulțime poliedrală P se numește poliedru dacă are următoarele proprietăți:
pentru oricare două puncte interioare ale lui P există o linie poligonală cu extremitățile în cele două puncte, formată numai din puncte interioare;
pentru oricare două puncte care nu aparțin lui P există o linie poligonală cu extremitățile în cele două puncte, formată numai din puncte care nu aparțin lui P.
Definitie Un poliedru convex P se numește poliedru regulat dacă fiecare varf al lui P aparține aceluiași număr de muchii, toate fețele sunt suprafețe poligonale regulate congruente și toate unghiurile diedre, determinate de fețe cu muchie comună, sunt congruente.
Teorema. Există numai cinei tipuri de poliedre regulate și anume: tetraedrul, hexaedrul (cubul), octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul regulat.
Teorema (de existenta a functiei volum) Exista o functie v : P ⇢ R+, care verifica urmatoarele proprietati:
daca tetraedrele T1 si T2 sunt congruente atunci v(T1)=v(T2)
daca P1 si P2 sunt multimi poliedrale cu interioarele disjuncte, atunci v(P1 P2)= v(P1)=v(P2)
dacă U este o unitate de volum, atunci v(U) = 1.
Teorema. (Principiul lui C a v a 1 i e r i.) Fie P1 și P2 două mulțimi poliedrale și α0 un plan. Dacă pentru orice plan α || α0, mulțimile α P1 și α P2 au arii egale atunci v(P1) = v(P2)
Teorema. Dacă P este un cub cu latura a atunci v(P)= a3.
Teorema. Fie P o prismă cu aria bazei B și de înălțime I, atunci
Teorema. Două piramide triunghiulare cu bazele decarii egale și înălțimile egale au volume egale.
T e o r e m a . Volumul unei piramide triunghiulare P = [VABC] de înălțime I, bază [ABC] și B =[ABC] este
Consecință. Volumul piramidei P = [VA1A2…An] este vol piramidei =
unde B=[VA1A2…An] iar I=inaltimea piramidei
Teorema. Volumul trunchiului de piramida T=[…] este
vol tr. piramida = I(B+b+)
unde I=inaltimea trunchiului de piramida,B=[ si b=[
Ariile si volumele corpurilor rotunde
Definitie. O mulțime M de puncte din spațiu se numește mulțime măsurabilă dacă există un număr real unic v(M) cu proprietățile: v(M) este egal sau mai mare decat volumul oricărei mulțimi poliedrale inclusă în M și este egal sau mai mic decat volumul oricărei mulțimi poliedrale care include pe M. în acest caz numărul v(M) se numește volumul mulțimii M.
Mulțimile poliedrale sînt măsurabile.
Teorema (de existenta a functiei volum) Exista o functie v : M ⇢ R+, care verifica urmatoarele proprietati:
daca tetraedrele T1 si T2 sunt congruente atunci v(T1)=v(T2)
daca P1 si P2 sunt multimi poliedrale cu interioarele disjuncte, atunci v(P1 P2)= v(P1)=v(P2)
dacă U este o unitate de volum, atunci v(U) = 1
Teorema. (Principiul lui C a v a l i e r i.) Fie M1 și M2 două mulțimi masurabile și α0 un plan. Dacă pentru orice plan α || α0, mulțimile α P1 și α P2 au arii egale atunci v(M1) = v(M2).
Numărul v(M) se numește volumul mulțimii M.
Definitie Fie două plane paralele α și α’ , un disc D = [C(0, R, α)] în planul α și o dreaptă d care intersectează planul a într-un singur punct.Reuniunea C a tuturor segmentelor [PP’], astfel incit PP’ ||d,P D și P' α’, se numește cilindru circular de baze D și D'=C . Distanța dintre planele și α’ se numește înălțimea cilindrului.
Aria laterală a cilindrului de rotație se calculează cu formula:
= 2πRG
unde R este raza, iar G generatoarea cilindrului.
Aria totală a cilindrului de rotație C, notată cu t(C), este suma dintre aria sa laterală și ariile celor două baze. Deci
t(C)=2R(R+G)
Volumul unui cilindru circular este dat de formula
v(C)=πR2∙I
unde R este raza ,iar I este inaltimea cilindrului.
Definitie Fie discul D = [C(O, R, α)] într-un plan α și fie V un punct care nu aparține lui α. Se numește con circular cu baza D și vîrf V reuniunea tuturor segmentelor [VP], unde P D . Segmentul [VA], unde A = prαV se numește înălțimea conului.
Reuniunea tuturor segmentelor [VP] pentru care P C(O, R, α) formează suprafața laterală a conului. Orice segment [VP] cu P C(O, R, α) se numește generatoare a conului.
Spunem că un con circular este drept dacă proiecția lui pe planul discului este centrul discului O.
Aria laterală a conului circular drept se calculează cu formula:
= πRG
unde R este raza, iar G generatoarea conului.
Aria totală a conului circular drept este suma dintre aria sa laterală și aria bazei. Deci
Volumul unui con circular este dat de formula:
v(C)=
Definitie Fie C un con circular avînd vîrful V și baza discul [C(O, R, α)] si un plan α ' paralel cu planul bazei α de aceeași parte α lui a ca și V, care determină în conul C o secțiune transversală și un nou con C’ avînd vîrful V și baza discul [C(O’,r, α')]. Corpul obținut prin înlăturarea din conul C a conului C’, fără bază, se numește trunchi de con. Deci mulțimea T = (C – C’) U [C(O’, r, α')] este trunchi de con. Discurile [C(O, R, α)] si [C(O’,r, α')] se numesc bazele trunchiului de con.
Dacă planul α' taie generatoarea [VM] a conului C în punctul M ' segmentul [MM'] se numește generatoare a trunchiului de con T. Segmentele [AA'], [BB'] sînt generatoare ale lui T. Partea din suprafața laterală a conului C cuprinsă între planele α și α' este suprafața laterală a trunchiului de con.
Un trunchi de con circular este drept dacă el rezultă dintr-un con circular drept.
Aria laterală a trunchiului de con circular drept se calculează cu formula:
=πg∙(R+r)
unde r, g sint respectiv razele bazelor trunchiului de con și generatoarea sa.
Aria totală a trunchiului de con circular drept este suma dintre aria sa laterală și ariile celor două baze. Deci =πg∙(R+r)+ πR2+πr2
Volumul unui trunchi de con circular este dat de formula
v(T)=(R2+r2+R∙r)
unde R, r și h sint respectiv razele bazelor și înălțimea trunchiului de con.
Definitie Se numește sferă de centru O și rază r (r > 0) si se noteaza S(O,r) mulțimea punctelor din spațiu pentru care OM=r.
Interiorul sferei este multimea Int S(O, r) = {M | OM < r}.
Multimea S(O,r) Int S(O, r) se numeste corp sferic sau bila.
Definitie Fie sfera S(O, r) și un plan α, situat la distanța k de la centrul O (k < r). Atunci α S(O, r) este un cerc de centru M = prαO și rază r1.Daca notăm prin S' și S" semispațiile închise limitate de planul α atunci intersectiile S(O, r) S' si S(O, r) S" se numesc calote sferice. Cercul C(M, r1, α) este baza calotelor iar daca notam cu [P1P2] diametrul sferei perpendicular pe α atunci distantele MP1=r-k,MP2=r+k sunt inaltimile calotelor. Daca O α ,cele doua calote se numesc semisfere.
Definitie Fie α,β doua plane paralele care intersecteaza sfera S(O, r) dupa cercurile C(M1,r1,α) si C(M2,r2,β). Multimea S(O, r) [αM2 [βM1 se numeste zona sferica de baze C(M1,r1,α) si C(M2,r2,β) si inaltime h=M1M2.
Aria zonei sferice se calculează cu formula
aria zonei =2πrh
unde r este raza sferei, iar h înălțimea zonei sferice.
Aria calotei sferice se calculează cu formula
aria calotei =2πrh
unde r este raza sferei, iar h înălțimea calotei sferice.
Aria sferei se calculează cu formula
aria sferei =4πr2
unde r este raza sferei.
Volumul corpului sferic .Daca raza corpului sferic este r, atunci vol corp sferic =
Daca Σ este o suprafata sferica inclusa in sfera S(O, r), care are arie,si S reuniunea segmentelor [OP] cu P Σ atunci v(S)=.
In cazul in care Σ este calota sferica ,S se numeste sector sferic iar volumul acestuia este
vol sector sferic = .
CAPITOLUL II: APLICAȚII PRACTICE
Probleme propuse
Problema 1.
Se considera piramida patrulatera VA1A2A3A4 cu varful V. Fie M, N, P respectiv mijloacele segmentelor [VA1], [VA3], [A2A4]. Sa se arate ca planul (MNP) imparte piramida in doua parti de acelasi volum.
Baraj I alcatuire echipa OIM,1980
Problema 2.
Fie ABCD un romb de latura 1,cu m()=60○. Consideram punctul E astfel incat CE AB, CE=AB, astfel incat C si E sunt separate de dreapta AB. Fie punctul F pe dreapta AB astfel incat DF=DE. Sa se calculeze lungimea segmentului AF.
Propusa pentru olimpiada,2010
Problema 3.
In paralelogramul ABCD se considera un punct M pe dreapta CD, diferit de C si D. Dreptele AM si BC se intersecteaza in N. Sa se arate ca triunghiurile DMN si BCM au aceeasi arie.
Propusa pentru concursul rezolvitorilor G.M.,2008
Problema 4.
In triunghiul dreptunghic ABC (m()=90○ avem [AD bisectoarea unghiului , D. Daca AD=2 cm si AB=3cm, calculati distanta de la punctul A la dreapta BC.
Propusa pentru concursul rezolvitorilor G.M.,2007
Problema 5.
Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia AB=2a, iar M,N si P mijloacele muchiilor [AB], [BC] respectiv [DD’]. Sa se determine perimetrul si aria sectiunii formate de planul (MNP) in cubul dat.
Gazeta Matematica,11/2009
Problema 6.
Sectiunea axiala intr-un con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de lungime a. Calculati volumul conului si aria lui totala.
Gazeta Matematica,11/2001
Problema 7.
In cubul ABCDA’B’C’D’ de latura 2 cm, notam cu M si N mijloacele muchiilor [BC] reptectiv [A’D’]. Notam α=(MNC’) .Se cere sa se calculeze aria patrulaterului NAMC, distanta de la punctul N la dreapta AM si distanta de la puctul B’ la planul α.
Gazeta Matematica,4/2000,enunt partial
Problema 8.
Vârfurile A și D ale unui triunghi echilateral ABC aparțin cercului k de rază 1, iar vârful C este interior cercului k. Un punct D, diferit de B, aparține cercului k astfel încât AB = AD. Dreapt a DC retaie cercul k în punctul E. Să se calculeze lungimea segmentului CE.
Olimpiada balcanica pentru juniori,2008
Problema 9.
Pe planul triunghiului ABC dreptunghic în A ridicăm perpendicularele din punctele A și B, de aceeași parte a planului, pe care considerăm punctele M și N astfel încât BN < AM. Știind că AC = 2a, AB = a, AM = a și că planul MNC face cu planul ABC un unghi de 30°, să se afle:
a)aria triunghiului MNC;
b)distanța de la punctul B la planul MNC.
Olimpiada judeteana de matematica Bucuresti,2006
Problema 10.
Fie ABCD și ABEF pătrate situate în plane perpendiculare și O intersecția dreptelor AE și BF. Dacă AB= 4, calculați:
distanța de la punctul B 1a dreapta de intersecție a planelor (DOC) și (DAF);
distanța dintre dreptele AC și BF
Olimpiada judeteana de matematica Bucuresti,2005
Problema 11.
Fie cubul ABCDA'B'C’D’ de muchie AB = 6cm.
Calculați aria laterală, aria totală, volumul și diagonala cubului.
Calculați d[C ,(DBC’)]
Calculati volumul piramidei CC’DB.
Admitere Colegiul National “Kretzulescu” Bucuresti,1999
Problema 12.
Un trapez isoscel ABCD (AB || CD) este circumscris unui cerc. Știind că AB = 2a, CD = 2b, să se arate că AB + CD=AD+ BC și să se calculeze aria trapezului.
Admitere Facultatea de Matematica Bucuresti, 1991
Problema 13.
Dîndu-se un cub ABCDA'B'C'D' să se afle distanța de la o diagonală a cubului la o diagonală a unei fețe, cu care nu se intersectează.
Problema 14.
O piramidă patrulateră (VABCD) (cu baza pătratul ABCD și virtul V) regulată, are lungimea laturii bazei a și lungimile muchiilor din V,a. Prin mijlocul unei muchii din V se duce un plan perpendicular pe muchia opusă (muchie ce trece tot prin V) care determină o secțiune in piramidă. Să se calculeze perimetrul și aria patrulaterului de secțiune, precum și raportul volumelor celor două corpuri in care este divizată piramida.
Admitere A.S.E. Bucuresti,1986
Problema 15.
În triunghiul MNP isoscel de bază NP, punctul A este mijlocul laturii NP. Perimetrul triunghiului AMP este 24 m, iar perimetrul triunghiului MNP este 32 m. Determinati lungimea segmentului AM.
Model test initial M.E.C.T.S. ,2011
Problema 16.
Figura 2 reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare MNPQ și a aleilor din interiorul ei. Se știe că MN = 100 m, NP = 60 m, RS = TU = VX = ZY = 4 m, MV = XN = PR = SQ și QT = UM = YN = PZ .
Segmentele RS, TU, VX și ZY reprezintă porți de acces în grădină. Se împrejmuiește grădina cu gard, nu și în dreptul porților. Calculați lungimea gardului exterior care înconjoară grădina.
Calculați aria suprafeței ocupate de alei.
c) In interiorul fiecarei parcele formate(suprafete hasurate) se amenajeaza cate un strat de flori, in forma de cerc. Calculati aria maxima a unui astfel de strat.
Subiect Evaluare Nationala,iunie 2012
Problema 17.
În Figura 3 este reprezentat schematic un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu lungimea AB = 60cm, lățimea BC = 24cm și înălțimea AE = 40cm.
Calculați aria dreptunghiului ABCD
Arătați că volumul paralelipipedului este egal cu 57 600cm3.
Determinați câți litri de apă sunt în acvariu dacă nivelul apei este de 30cm.
Subiect Evaluare Nationala sesiunea speciala, 2013
Problema 18.
Figura 2 este schița unei ferme piscicole în formă de pătrat care are în interior un iaz reprezentat prin cercul de centru O , unde O este intersecția diagonalelor pătratului ABCD . Cercul are raza de 25 m, iar pătratul ABCD are latura de 100 m.
a) Calculați perimetrul pătratului ABCD
b) Arătați că aria suprafeței de teren hașurată în schiță este egală cu 625(16 – π) m2
c) De cinci ori pe zi se verifică starea iazului. Pentru aceasta, un angajat intră în fermă prin poarta de acces situată în punctul M, mijlocul segmentului CD, ajunge la iaz în punctul N, ocolește iazul și, după ce ajunge din nou în punctul N, se întoarce în punctul M. Știind că punctele M , N și O sunt coliniare, arătați că, într-o zi, angajatul parcurge mai mult de un kilometru. Se consideră cunoscut faptul că 3,14 < π < 3,15
Subiect Evaluare Nationala sesiunea speciala, 2013
Problema 19.
Sa se arate ca intr-un triunghi ABC cu ABAC, distanta de la B la AC este mai mica sau egala decat distanta de la C la AB.
Concurs titularizare,iulie 2010
Problema 20.
Fie ABCD un trapez si O punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD. Daca notam cu S1 si S2 ariile triunghiurilor AOB si COD, sa se arate ca aria trapezului este egala cu S1 +S2 +
(AB si CD sunt bazele trapezului).
Definitivat matematica Iasi,2010
Probleme rezolvate
Problema 1.
Pe o masă sunt așezate, ca în Figura , un vas ABCDEFGH, în formă de cub cu muchia de 12 cm și o cutie BMNCPQRS în formă de paralelipiped dreptunghic cu BP = 9 cm și BM = 16 cm. O furnică parcurge traseul D ⇢ H ⇢ G ⇢ S ⇢ Q ⇢ N.
Calculați lungimea traseului.
In vasul în formă de cub se toarnă un litru de apă. Arătați că înălțimea la care se ridică apa în vas este mai mică de 7 cm.
Evaluare Nationala,2013, model M.E.C.T.S.
Solutie
Cum GS = 3 cm, SQ = 20 cm, QN = 15 cm lungimea traseului este egala cu 62cm
Cum Vcub=Vapa=hapaSABCD rezulta hapa= m < 7 m
Problema 2.
Sa se calculeze lungimea bisectoarei unghiului al triunghiului ABC in functie de laturi.
Solutie
Vom nota AB=c, BC=a, AC=b
Paralela prin C la bisectoarea [AD intersecteaza dreapta AB in P. Din teorema fundamentala a asemanarii rezulta ca : deci
AD= . In triunghiul isoscel
PAC , PC= 2AP･cos()= 2AC･cos() deci AD= cos().
Problema 3.
Se considera trapezul isoscel ABCD ( AB || CD si AB>CD). Pe (DC) se ia un punct P. Daca Q=prABP , aratati ca SADP+SPQB= SAPQ+SPCB.
Solutie
SADP+SPQB= unde cu h am notat inaltimea trapezului.
Daca C’ este proiectia lui C pe AB atunci
DP+QB=DP+QC’+C’B=DC+C’B=b+=, deci
SADP+SPQB=(B+b)=SABCD = SAPQ+SPCB
Problema 4.
Aratati ca intr-un patrat ABCD in care AC∩BD={O}, BD∩AF={E} iar F este mijlocul laturii DC, SOEFC=SABCD.
Solutie
Deoarece [DO] si [AF] sunt mediane atunci punctul E este centru de greutate in triunghiul DAC deci si SAFC=SACD=SABCD
Dar ⇒ SAOE = ∙ SAFC= SABCD=･SABCD
In sfarsit SOEFC = SAFC – SAOE =()･SABCD=SABCD.
Problema 5.
Intr-un plan α se considera un unghi XOY cu m()=30○ si M un punct in interiorul sau. Fie D mijlocul segmentului OM si A,B proiectiile lui M pe (OX respectiv (OY. Pe planul α se ridica o perpendiculara VD. Calculati distanta de la punctul V la dreapta AB, stiind ca OM=VD=a.
RMT,VIII 145
Solutie
Deoarece [AD] si [BD] sunt mediane in triunghiurile dreptunghice AOM si BOM avem
=30○. Cum m()=60○ si [DA]rezulta ca triunghiul
DAB echilateral. Daca T este mijlocul lui AB atunci DT= , iar din ΔVDT dreptunghic ⇒
VT=.
Problema 6.
a) Intr-un triunghi MNP, lungimile laturilor sunt mai mici decat 2. Aratati ca lungimea inaltimii corespunzatoare laturii MN este mai mica decat .
b) Intr-un tetraedu ABCD, cel putin 5 muchii au lungimi mai mici decat 2. Aratati ca volumul tetraedrului este mai mic decat 1.
A 58-a Olimpiada nationala de matematica
Solutie
Fie PQ mediana corespunzatoare laturii MN. Avem
PQ2= < 4-
Cum inaltimea este cel mult egala cu mediana rezulta cerinta.
Fie CD=a <2 si fie AB muchia ce nu este in mod necesar mai mica decat 2. Fie M=prCDB . In ΔBCD laturile sunt mai mici decat 2 si deci BM < . Analog inaltimea din A in este mai mica decat , deci si inaltimea h din A in tetraedru este mai mica dacat . Atunci VABCD=∙h∙SBCD <∙a∙)=
Cum =(a-2)(a2+2a-12) si cum a < 2,a2+2a<4+4<12 rezulta < 24 si deci concluzia.
Problema 7.
In Figura 3 este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDA' B' C' D'. Dimensiunile stupului sunt AB = 4 dm, BC = 6 dm și AA' = 8 dm.
Calculați perimetrul dreptunghiului ABCD .
b) Determinați aria totală a paralelipipedului ABCDA' B C' D'.
c) Arătați că PQ = dm, unde {P} = AB'∩ A'B și {Q} = BC'∩ B’C .
Evaluare Nationala matematica,sesiunea iunie 2013
Solutie
Pabcd = 2 (AB + BC ) = 2 (4 + 6) =20dm
Cum Abazei=24dm2 iar Alaterala=PABCD∙AA’=160dm2 atunci Atotala=Alaterala+2Abazei=208dm2
PQ fiind linie mijlocie in ΔAB’C rezulta ca PQ===
Problema 8.
În Figura 3 este reprezentată schematic o piatră semiprețioasă în formă de piramidă triunghiulară regulată ABCD , cu baza triunghiul BCD. Se știe că m (<CAD) = 90° , iar CD = 4 cm .
Calculați perimetrul triunghiului BCD.
Arătați că aria suprafeței laterale a piramidei este egală cu 12 cm2.
Introducem piatra semiprețioasă într-un vas plin cu apă. Arătați că, la scufundarea completă a pietrei, din vas se varsă mai puțin de 4 mililitri de apă. Se consideră cunoscut faptul că 1,4< < 1,5.
Solutie
ΔBCD echilateral ⇒ PBCD=3･CD=12cm2
ΔACD dreptunghic isoscel ⇒ ap=mediana ⇒ ap= (unde ap este apotema piramidei)
Alaterala = = 12cm2
Inaltimea h a piramidei este egala cu cm iar ABCD=4 cm2
Vpiatra= = cm3= ml
Din vas se varsa mai putin de 4ml apa deoarece Vpiatra= <=4 ml
Problema 9.
În cubul ABCDA’B’C’D’, M este mijlocul muchiei [DD’], DD’= a. Se cere:
a) Distanta de la B la planul (ACB’).
b) Distanta de la M la planul (ACB’).
Olimpiada locala Maramures,2014
Solutie
Solutie
Dreapta de intersecție a planelor ABV și CBV este VB. Dacă AP VB, din ΔABP ΔCBP , deducem CP VB și atunci unghiul dintre planele ABV și CBV este unghiul dintre dreptele AP și CP. Presupunând că unghiul dintre AP și CP este APC, atunci AC = AP. Dar AP < AB și astfel AP2 + CP2 — AC2 < AB2 + CB2 — AC2 = 0, imposibil. unghiul dintre dreptele AP și CP este suplementul unghiului APC ; m( APC ) = 120°
Cum AP VB, CP VB ⇒ VB (APC), de unde OP VB, adică OP este distanța de la O la muchia VB.
Din ΔAOP avem AO = 6 sau AC = 12 , de unde AB = 12 .Din triunghiul BOP dreptunghic în P avem PB = 4 și, cu teorema catetei în triunghiul VOB obținem VB = 6 . Se ajunge apoi la VO = 6 și volumul cerut este VVABCD = 288(cm3).
Problema 11.
Fie trapezul ABCD cu AB||CD și AB = 2CD . Dacă M este mijlocul lui [AB], N este mijlocul lui [BC], AN ∩ DM = {P} și AN ∩ CM = {T} , determinați valoarea raportului dintre aria triunghiului MPT și a trapezului ABCD.
Concursul interjudetean “Radu Miron”,2011
Solutie
Pentru că M este mijlocul lui [AB] și AB = 2CD , patrulaterele AMCD și MBCD sunt paralelograme cu SAMD=SDMC=SMBC=SABCD
Pentru că MP || BN avem AMP ~ Δ ABN ⇒ ⇒ BN=2MP si DP=3x
Pentru ca MP || NC avem MTP ~ Δ CTN ⇒ ⇒ TC=2MT
SMPT=
Problema 12.
În trapezul dreptunghic ABCD, AB||CD, AB=12 cm, CD=6 cm,AD=8 cm se ia pe diagonala AC punctul E astfel încât . Din se duce o perpendiculară pe AC astfel încât ea intersectează pe CD în F. Se cere:
Perimetrul trapezului ABCD;
b) Să se arate că ΔCEF ~ ΔCDA și să se calculeze lungimea segmentului EF;
c ) Să se calculeze distanța de la E la AB.
Solutie
a) Prin punctul E se duce o perpendiculară pe bazele trapezului pe care le intersectează în M AB și N CD. Cum CD=6 și AB=12 rezultă că triunghiul CAB este isoscel (înălțimea din C cade chiar la mijlocul lui AB). Din T. lui Pitagora aplicată în Δ ADC ⇒ CB = AC=10.
Atunci Pabcd= AB+BC+CD+AD=6+8+12+10=36.
ΔCEFΔCDA deoarece sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiul C comun ⇒ (*)
Cum ⇒ CE= . Din (*)⇒ EF=.
Din NE|| AD ⇒ ⇒ NE=2
d(E,AB)=EM=MN-ME=6
Problema 13.
În triunghiul dreptunghic ABC, cu m(A) = 900, AB=6 cm, CD=9cm unde AD este perpendiculară pe BC, se duce prin mijlocul M al lui AC o perpendiculară pe AC care intersectează pe BC în P, iar AD ∩PM= {N}. Se cere lungimea segmentelor BD, AC, AN, AD.
Solutie
Din Teorema inaltimii in Δ ABC rezulta AD2 = BD • DC = 9BD . Din Teorema lui Pitagora in ΔABD rezulta AB2 = AD2 + BD2 ⇒BD=3cm
AC2 = BC2 – AB2 ⇒ AC=6 cm
Cum ΔABC~ ΔMAN ⇒ ⇒AN=6,AD=3
Din [AM] [MC] si MP|| AB ⇒ P este mijlocul lui BC. Asadar BP=PC=6 iar DP=3
Cum ΔDBA~ ΔDPN ⇒ ⇒ DN=3
Problema 14.
Să se arate că suma distanțelor de la un punct oarecare din interiorul unui tetraedru regulat la fețele sale este egală cu înălțimea tetraedrului.
Solutie
Fie P un punct în interiorul tetraedrului ; => Vvabc = Vpvab+Vpabc+Vpvbc+Vpvac = =1/3 ･S (d1+d2+d3+d4), unde :
S – aria unei fețe ;
di – distanța de la P la una din fețe.
Cum Vvabc= => h= d1+d2+d3+d4
Problema 15.
Piramida triunghiulara regulata VABC cu varful V are latura bazei egala cu 6 cm, înalțimea egala cu cm. Planul perpendicular în punctul C pe dreapta AC intersecteaza dreapta AV în punctul P. Calculați distanța de la punctul P la planul (VBC).
Concursul National de Matematica „Alexandru Myller”,2010
Soluție.
Fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri dreptunghice isoscele,
de cateta 3 cm. In plus, AV(VBC)
Fie O centrul bazei piramidei. Planul perpendicular pe dreapta AC în punctul C intersecteaza dreapta AO în punctul Q. Deoarece QC AC, rezulta ca punctul O este mijlocul segmentului [AQ]. Cum VO||PQ, rezulta ca V este mijlocul segmentului [AP]
Distanța de la P la planul (VBC) este egala cu PV = VA = 3 cm.
Problema 16.
Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu muchia AB = a. Considerăm punctele E (AB) si F (BC) astfel încat AE + CF = EF. Calculati distanta de la D' la dreapta EF.
Olimpiada Nationala de Matematica,2014,enunt partial
Solutie
Notam cu P proiectia punctului D pe dreapta EF. Conform teoremei celor trei perpendiculare obtinem D'P EF, deci d (D', EF) = D'P .
Din congruenta ΔDHE ΔDFE, obtinem DP = AD = a
Teorema lui Pitagora ne conduce la D'P = a.
Problema 17.
Demonstrați ca suprafața unui patrat de latura 2 nu se poate acoperi cu trei discuri de raza 1.
Demonstrati ca folosind trei discuri de raza 1 se poate acoperi mai mult de 99,75% din suprafata unui patrat de latura 2.
Olimpiada Nationala de Matematica,2014
Solutie
a) Fie ABCD un patrat de latura 2 si S1, S2 si S3 trei discuri de raza 1.
Presupunem prin reducere la absurd ca S1, S2 si S3 acopera suprafata pătratului. Deoarece latura patratului este egala cu diametrul unui disc, este necesar ca doua varfuri alăturate ale pătratului, fie acestea A si B, sa fie acoperite de un acelasi disc S1, adica [AB] este diametrul lui S1
Fie M (AD). Cum MC > 2, atunci M si C sunt în discuri diferite. Putem presupune C S2 si (AD) C3. Analog D S3 si (BC)C2.
Atunci (BC] S2 si (AD] S3.
Fie acum P (BC), N (AD) astfel încât CP = DN = 1,8. Fie Q mijlocul lui [CD]. Atunci PQ > 2, deci Q S2. Analog QN > 2, deci Q S3. Cum, evident Q S1, obtinem o contradictie.
b) Fie M (AC) astfel încât AM = 2. Notam cu P si R proiectile lui M pe AB si AD. Fie T BC astfel încat ca PT = 2 si U DC astfel ca RU = 2. Considerăm discurile de diametre AM, PT si RU.Suprafata neacoperita de acestea este inclusă în interiorul patratului format cu punctele C, U, X si T unde X (MC).
Este suficient sa arătam ca Acuxt < 0, 25% ∙ Aabcd , ceea ce este echivalent cu CT < BC = 0,1 sau BT > 1,9.
Avem AP = , BP = 2 – , BT2 = 4 -= 4 – 2.
Relatia de demonstrat BT > 1,9 revine la 4 – 2 > 1, 92 4 >5, 61 > 1, 4025, ceea ce este adevărat.
Problema 18.
Pe diagonala a paralelogramului ABCD se ia punctul E astfel încât DE=2∙BE. Dacă
AE∩ BC={N} iar aria triunghiului este de calculați aria triunghiului.
Concursul centrelor de excelenta „Catalin Tigaeru”,2014,enunt modificat
Solutie
Din centru de greutate în ΔABC⇒
Deoarece mediana împarte un triunghi în două trunghiuri echivalente
.
Problema 19.
În piramida triunghiulară regulată cu muchia bazei notămcu mijlocul muchiei . Dacă ,aflați distanța de lala dreapta.
Gazeta matematică
Soluție:
Construim și notăm Observăm că este centrul de greutate al triunghiului și deci
În triunghiului avem
și deci Din ultima relație deduce că în triunghiul Dar , așadar triunghiul este echilateral. Deci Deci distanța de lala dreaptaeste lungimea înălțimii tetraedrului regulat de muchie a , adică
Problema 20.
Se consideră cubul [ABCDA'B'C'D‘] și punctele M mijlocul laturii [BC], P mijlocul laturii [AA'],O centrul feței [A'B'C'D‘].
Se cere forma și aria secțiunii determinate în cub de planul (MPO).
a) să determine forma poligonului de secțiunie,
b) aria și perimetrul acestei secțiunii.
Solutie
Fie planul de secțiune
și de asemenea
și ,
și iar
Analog raționând obținem:
și în plus ,
,
În consecință este poligonul de secțiune.
Analizand lungimile laturilor poligonul este pentagon neregulat.
Evident O'O ║PA și deci
In ∆ OME avem OM ║ AN
Analog în ∆ NN'G evident AP ║NN' și conform teoremei fundamentale
În ∆ O'FG din O'F ║QA'
De asemenea în ∆ RB'G din O'F ║ RB'
Analizand proiecția pentagonului de secțiune
S' – aria poligonului proiectie ,
, aria unui trapez dreptunghic
aria unui triunghi dreptunghic
Pentru determinarea lungimii segmentelor [AS] și [CT]
Construim OH MN ,
Din asemanarile precedente deducem , iar din ∆ MNB
Revenind la raportul precedent
Proiectia punctului O este evident O'
În triunghiul dreptunghic ∆ O'OH
, iar măsura unghiului diedru dintre planul de secțiune și planul (ABC)
este ρ , reveniând la relația
Aria secțiunii
Probleme de drum minim
Rezolvarea problemelor de minim sau maxim se face prin transformarea acestora in probleme mai simple care sa înlesnească găsirea soluției, sau care sa conducă la o proprietate sau teorema cunoscuta, cum ar fi:
Intr-un triunghi la unghiul mai mare se opune latura mai mare si invers, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.
Distanta cea mai scurta dintre doua puncte luate pe doua drepte paralele este lungimea perpendicularei dintre ele.
Dintre doua coarde ale unui cerc, cea mai lunga este mai apropiata de centrul cercului
Pentru rezolvarea problemelor de minim sau maxim, sunt utile si teoremele mai puțin cunoscute cum ar fi:
Produsul a doua variabile a căror suma este constanta este maxim când factorii sunt egali, sau daca ei nu pot fi egali, când diferența lor este minima.
Suma a doi termeni al căror produs este constant, este minima, când termenii sunt egali, sau daca ei nu pot deveni egali, atunci când diferența lor este minima
Daca suma pătratelor a doua cantitati variabile este constanta, produsul celor doua variabile este maxim când factorii sunt egali.
Daca produsul a doua cantitati variabile este constant, suma pătratelor factorilor este minima când factorii sunt egali.
Problema 1.
Se dau punctele fixe A si B situate de aceeași parte a planului α . Sa se determine punctul C α astfel incat distanta CA2 + CB2 sa fie minima.
RMT nr 4/2002
Solutie
Fie A' și B' proiecțiile punctelor A, respectiv B, pe α și C' proiecția lui C pe A'B'. Atunci
AC2 = AA’2 + A’C’2 = AA'2 + A’C’2 + CC’2,
CB2 = BB2 + B'C2 = B’B2 + B'C’2 + C’C2, deci
AB2 + CB2 =AA’2+BB’2+A'C’2+B'C’2 +CC’2 >AA’2+BB’2+A'C’2+B'C’2 =
= AC’2 + BC’2.
Deci întotdeauna pentru C' suma cerută este mai mică decât pentru C, deci căutarea minimului se reduce la dreapta A’B’
Dacă C [A'B'] atunci AC’2 + BC’2 = AA’2 + BB’2 + A'C’2 + (A'B'-A'C’)2. Minimul expresiei A'C’2 + (A’B'-A'C')2 = 2A'C2 – 2A'B' ∙A'C’+A’B'2 =2(A’C’ -)2 + se atinge pentru A’C’= deci C” este mijlocul [A’B’] .
Daca C [A’B’] atunci AC’2 + BC’2 > AA’2 + BB’2 + A'B’2 deci mai mare decat minimul obtinut in cazul precedent.
In concluzie C trebuie sa fie mijlocul lui [A’B’]
Problema 2.
În interiorul unui triunghi oarecare ABC se consideră un punct M care se proiectează pe dreptele BC, CA, AB respectiv în P, Q, R. Să se precizeze poziția punctului M pentru care suma ++ să fie minimă.
Solutie
Notand BC=a, AC=b, AB=c , avem a+b+c=2p (1)
Fie MP=x, MQ=y,MR=z.
Atunci ++=++
Din S= S ABC = S BMC + S CMA + S AMB = ++
Rezulta ax+by+cz=2S (2)
Folosind inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz obtinem
(ax+by+cz)(++ ) (a+b+c)2 rezulta ++ de unde rezulta(din (1) si (2) )
++
Tinand cont ca S=pr rezulta ++
Prin urmare min (++= cand = adica x=y=z=r
Deoarece daca inlocuim x=y=z in (2) obtinem =S deci px=S si prin urmare x= =r
In concluzie ,M este centrul cercului inscris triunghiului ABC.
Problema 3.
Aratati ca dintre toate triunghiurile cu bazele si inaltimile congruente, perimetrul minim îl are triunghiul isoscel.
Fie triunghiul ABC cu baza BC . perimetrul=AB+BC+AC. Cum BC este dat, se caută minimul AB+AC. Inaltimea triunghiului este constanta, A se misca pe o dreapta DD’||BC situata la o distanta egala cu inaltimea data fata de BC
Problema 4.
Pe o bobina cu forma paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ se infasoara un fir de cupru in felul urmator: fiecare muchie laterala a paralelipipedului se imparte in n parti egale.Firul pleaca din A, trece apoi prin primul punct de diviziune de pe BB′, apoi prin al doilea punct de diviziune de pe CC′ etc. pana ajunge in unul din punctele bazei A′B′C′D′. Stiind ca ABCD este un patrat de latura 4cm si AA′=10cm ,aflati numarul de parti egale in care trebuie impartita muchia laterala pentru ca firul de cupru sa aiba lungimea de minim 4m.
Solutie
Figura de mai sus arata un posibil ”traseu” al firului pe suprafata laterala a bobinei. Este clar ca lungimea firului este egala cu de n ori lungimea unei singure parti la o trecere pe oricare din fetele
laterale (ln). Cum lungimea unei astfel de parti, conform teoremei lui Pitagora, este
ln=
rezulta ca lungimea firului este egala cu l = n · ln =cm
Pentru ca lungimea firului sa fie cel putin 4 m avem succesiv ⇒
160000 ⇒ n2 ⇒n ⇒n
Faptul ca n este minim 100 mai spune c˘a grosimea firului de cupru nu poate depasi 1mm.
Problema 5.
Se consideră o piramidă patrulateră regulată cu vârful V și baza ABCD (VA=VB=VC=VD=a), iar unghiurile de la vârf ale fețelor sunt de 30o.
O furnică pornește din punctul A și merge pe toate fețele laterale, în linie dreaptă, până revine în punctul A. Se notează cu B’, C’, D’ punctele unde furnica traversează, respectiv, muchiile VB,VC și VD. Să se precizeze când drumul acesta este cel mai scurt și, în acest caz, să se calculeze lungimea lui.
Rezolvare:
Construim desfășurarea piramidei și este evident că AA’ este drumul cel mai scurt.
Lungimea drumului se calculează din ∆AVA’ care este isoscel cu AV=A’V=a și m(∢AVA’) = 4∙ m(∢AVB) = 4∙30o = 120o
m(∢VAA’) = m(∢VA’A) =30o
Construim VM⊥AA’
VM mediană AA’ = 2AM
Din ∆VAM dreptunghic în M și m(∢VAA’) =30o
Problema 6.
Fie cilindrul circular drept cu secțiunea axială ABB’A’. O furnică pornește din punctul A situat pe baza de jos și ocolește cilindrul ajungând în punctul A’. Să se calculeze drumul minim al furnicii, știind că lungimea cercului de la baza cilindrului este de 9 cm și AA’=12 cm.
Rezolvare:
Considerăm desfășurarea suprafeței laterale a cilindrului. Lungimea cercului de la bază este egală cu lungimea segmentului [AC], unde C coincide cu A dacă înfășurăm cilindrul. Deci AC=9 cm și CC’ = AA’ = 12 cm.
Drumul cel mai scurt este C’A. Din ∆ACC’ avem C’A2=AC2+C’C2=81+144=225 C’A=15 cm
Problema 7.
Se consideră un con circular drept. O furnică pornește dintr-un punct al bazei A și se întoarce înapoi în A după ce face un ocol pe suprafața conului. Să se calculeze drumul cel mai scurt dacă Rcon=5 cm și Gcon=15 cm.
Rezolvare :
Considerăm desfășurarea suprafeței laterale a conului. Din lungimea arcului AA’ =2πR și lungimea arcului AA’ =
Drumul minim al furnicii este AA’.
În ∆AVA’ cu m(∢AVA’) = 120o, ducem VM⊥A’A și avem în ∆VMA:
Problema 8.
În Figura este reprezentată schematic o cutie din carton, în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile bazei de 60 cm și de 40 cm, iar înălțimea de 50 cm (se neglijează grosimea cartonului).Pe fețele laterale ale cutiei ABCDA'B'C'D', între punctul A și punctul C', se aplică o bandă adezivă de lungime minimă. Calculați lungimea benzii aplicate.
Test pregatire Evaluare Nationala MEC,2014,enunt partial
Solutie
Cea mai mică distanță dintre punctele A și C' este lungimea diagonalei unui dreptunghi cu dimensiunile de 60 + 40 = 100 cm și 50 cm. Aplicand Pitagora in triunghiul ACC' rezulta ca lungimea minimă a benzii aplicate este egală cu 5 cm.
Problema 9.
În Figura este reprezentată schematic o piscină în formă de paralelipiped dreptunghic ABCDABCD' cu dimensiunile bazei de 50 m și 25 m. Adâncimea piscinei este de 2,5 m. Arătați că cea mai mică distanță dintre orice punct situat pe marginea superioară a piscinei și centrul bazei ABCD a piscinei este mai mica de 13 m.
Test pregatire EN MEC, 2014
Solutie
Punctele de pe marginea superioară a bazinului, situate la cea mai mică distanță față de centrul bazei ABCD a piscinei, sunt mijloacele laturilor A' B' și C' D'.
Distanta minima este egala cu ==13 m
Problema 10.
Un călător vrea să meargă de la un sat A la altul B, peste un camp. Printre sate este un drum pe care el avea să meargă o distanță dată. Care este calea cea mai scurta pe care o va urma?
Solutie
Practic trebuie sa aflam lungimea cea mai scurtă a unui drum care merge de la A la un punct M de pe dreapta d (reprezentata de drum), de aici o distanta data MN pe dreapta d, si din N la B.
Ducem AC paralel si congruent cu [MN] ,asadar AMNC este paralelogram avand doua laturi opuse egale si paralele si deci AM=CN.
Drumul AMNB are aceeasi lungime cu drumul ACNB. Punctul C fiind fix ,problema se reduce la a gasi drumul cel mai scurt de la C la B care evident este dreapta CB. Aceasta dreapta taie dreapta d in N iar paralela dusa prin A la CN taie dreapta d in M.
Drumul cautat este AMNB.
Problema
Ce drum trebuie sa aleaga un calaret care vrea sa mearga pe o campie de Ia un loc la altul, trecand pe la un rau rectiliniu din apropiere, ca sa-si adape calul,astfel incat tot drumul sa se faca in timpul cel mai scurt ?
Solutie
Problema se rezuma la a afla care este drumul cel mai scurt dintre doua puncte date atingand o dreapta o singura data.
Fie A si B cele doua puncte date,dreapta d reprezentand raul si C punctul dreptei d care se afla si pe drumul cautat.
Vom distinge doua cazuri
Punctele A si B se afla de o parte si de alta a dreptei d (figura a)
In acest caz solutia este banala unind punctele A si B printr-o dreapta care intersecteaza dreapta d in punctul C
Punctele A si B se afla de aceeasi parte a dreptei d (figura b)
In acest caz ducem B’ simetricul punctului B fata de dreapta d.
Fie d∩BB’={P}. Se obtin triunghiurile dreptunghice BCP si B’CP. Acestea sunt congruente (cazul cateta-cateta) asadar B’C=BC deci rezulta ca drumul ACB este egal cu drumul ACB’.
Asadar in loc de a cauta minimul lui ACB putem cauta minimul lui ACB’. Am redus astfel problema la cazul precedent.
In concluzie avem solutia urmatoare : unim unul dintre punctele date cu simetricul celuilalt fata de dreapta d iar intersectia acestei drepte cu dreapta d este puctul C cautat.
Problema
Fie două puncte A și B în interiorul unui unghi format de semidreptele d1 și d2 care au capătul comun O. Se cere să se determine două puncte M și N astfel ca M să aparțină lui d1 și N să aparțină lui d2 iar suma AM + MN + NB să fie minimă.
Solutie
Ducem simetricul punctului A, notat cu A’, față de dreapta d1 și simetricul punctului B notat cu B’ față de dreapta d2. Orice puncte M și N am alege, avem că AM + MN + NB = A’M + MN + NB’. Pentru a minimiza suma A’M + MN + NB’ trebuie
ca M și N să fie intersecțiile segmentului A’B’ cu semidreptele d1 și d2.
Problema
Dându-se un triunghi ascuțitunghic ABC se cere să se determine un triunghi înscris în acesta de perimetru minim.
Solutie
Luăm un punct M pe baza BC a triunghiului ABC, un punct P pe latura AB și un punct N pe latura AC. Dacă avem M’ simetricul lui M față de AB și M’’ simetricul lui M față de AC,
atunci MN + NP + PM = M’’N + NP + PM’. Ca să minimizăm această sumă, punctele P și N trebuie să fie la intersecția segmentului M’M’’ cu laturile AB, respectiv AC. Perimetrul triunghiului MNP va fi egal cu lungimea
segmentului M’M’’. Observăm că m()=2m() și că triunghiul M’AM’’ e isoscel de latură egală cu AM. Pentru ca M’M’’ să aibă lungimea minimă trebuie ca AM să fie cât mai scurt. Acest segment este minim atunci când M este piciorul înalțimii din A. La fel putem să
deducem că N este piciorul înălțimii din B, iar P este piciorul înălțimii din C. Astfel, soluția de perimetru minim este triunghiul ortic.
Problema
In triunghiul ABC cu m(A) =60○ fie M mijlocul laturii BC si B’,C’ picioarele inaltimilor din B, respectiv C. Daca AC=b iar punctul B este variabil ,sa se determine minimul lungimii laturii triunghiului MB’C’.
Etapa judeteana Timis,1980
Solutie
Patrulaterul BCB’C’ este inscriptibil (m(B’)= m(C’)=90○).
Cum A este un unghi cu varful in exteriorul cercului circumscris patrulaterului BCB’C’ atunci el va avea masura m(A)= si deci masura arcului BC va fi m(BC)=180○-2 m(A)=60○ ⇒ m(B’MC’)=60○. Cum ΔB’MC’ este isoscel ([B’M] si [MC’] sunt raze) ⇒ Δ B’MC’ echilateral.
Cum [MB’] este mediana in ΔB’BC dreptunghic in B’ ⇒ MB’= si deci lungimea laturii MB’ este minima cand lungimea laturii BC este minima. Cum AC ramane fixa iar B este mobil pe dreapta AC’,BC este minima atunci cand se confunda cu perpendiculara CC’ iar minimul cerut este jumatatea lungimii acesteia ,adica .
CAPITOLUL III:CONSIDERAȚII METODICE
Locul si rolul temei in programa scolara
Elementele de masura apar in programele scolare actuale inca din clasa pregatitoare iar calculul ariilor unor poligoane si calculul volumelor unor poliedre si corpuri rotunde ocupa o parte importanta a curriculumului de gimnaziu.
Astfel inca din clasa pregatitoare sunt prevazute a se studia unitati nestandard pentru lungime in cadrul unitatii de invatare „Unitati de masura”. Competenta specifica urmarita in abordarea problemelor de masurare este „Utilizarea unor măsuri neconvenționale pentru determinarea și compararea lungimilor” care se va forma/dezvolta prin activitati de invatare de genul : alegerea potrivită a unor unități neconvenționale (palma, creionul etc.) pentru măsurarea lungimii, precizarea dimensiunii unui obiect cu ajutorul unor unități de măsură neconvenționale, exerciții-joc de comparare a unor lungimi, ordonarea unor obiecte după lungime, comparări succesive și exprimarea rezultatelor („mai lung”, „mai înalt”, „cel mai lung” etc.), estimarea unor lungimi pe baza unor unități neconvenționale date.
În programa de matematică pentru clasele I-IV sunt prevăzute a se studia mărimile fundamentale: lungimea, masa și timpul. Ca mărimi derivate se studiază capacitatea. Se introduc unitatile standard de masura,se studiază procedeele de măsurare, exprimarea rezultatelor prin multiplii și submultipli ai acestora,transformările acestora și operațiile ca rezultat al măsurării. In clasa a IV-a este prevazut a se studia si calcularea perimetrului unor figuri geometrice plane.
Incepand cu clasa a V-a se studiaza pe langa unitatile de masura pentru lungime si cele pentru suprafata si volum. Pe langa transformari,calcul de perimetre se introduc notiunile de arie a dreptunghiului si a patratului si de volum al cubului si al paralelipipedului dreptunghic. Competentele specifice urmarite a se forma prin parcurgerea lectiilor din unitatile de invatare „Unitati de masura” si „Determinarea perimetrelor, a ariilor si a volumelor” sunt
CG1-4. Identificarea unor unități de măsură în diferite contexte
CG6-4. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice și la unitățile de măsură studiate
CG3-4. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor(cub, paralelipiped dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de măsură corespunzătoare
CG4-4. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură
CG6-4. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice și la unitățile de măsură studiate.
In clasa a VI-a se studiaza unul dintre elementele geometrice fundamentale si anume lungimea segmentelor in cadrul unitatii de invatare „Dreapta”. Prin parcurgerea acesteia se urmareste formarea competentelor specifice:
CG3-5. Utilizarea proprietăților referitoare la drepte pentru calcularea unor lungimi de segmente
CG5-5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente
CG6-5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente.
La clasa a VII-a exista o intreaga unitate de masura dedicata masurii si anume „Arii”, dar intalnim elemente de masura si in cadrul unitatii de invatare „Poligoane regulate” in cadrul lectiilor „Lungimea cercului si aria discului” si „Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în următoarele poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat”,precum si in cadrul lectiei “Distanța dintre două puncte din plan” din cadrul unitati de invatare „Elemente de organizare a datelor”
Se urmareste formarea urmatoarelor competente specifice:
CG4-4. Caracterizarea și descrierea unor elemente geometrice într-un sistem de axe ortogonale
CG3-5. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme
CG5-5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente , de măsuri de unghiuri și arii
CG2-8. Calcularea unor lungimi de segmente și măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate în configurații geometrice care conțin un cerc
CG6-8. Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de poligoane regulate
Clasa a VIII-a este cea mai generoasa, din punct de vedere al continutului, cu elementele de masura. Astfel la Geometrie in semestrul I se studiaza distantele in spatiu (de la un punct la o dreapta,de la un punct la un plan,dintre doua drepte,dintre doua plane) iar aproape tot semestrul II este dedicat calculului de arii si volume in poliedre si corpuri rotunde. Competentele specifice urmarite prin parcurgerea acestor continuturi sunt:
CG5-3. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării descrierii configurațiilor spațiale și în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și de măsuri de unghiuri
CG6-3.Interpretarea reprezentărilor geometrice și a unor informații deduse din acestea, în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri
CG2-4. Calcularea ariilor și volumelor corpurilorgeometrice studiate
In clasa a IX-a problematica masurii se intalneste la specializarea reala in capitolul „Aplicatii ale trigonometriei si ale produsului scalar in geometria plana” in cadrul continuturilor
• Rezolvarea triunghiului dreptunghic
• Teorema sinusului si teorema cosinusului;calcularea razei cercului circumscris si a razei cercului inscris intr-un triunghi
• Rezolvarea triunghiului oarecare
• Calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi; calcul de arii
La filiera tehnologica si vocationala, continuturi legate de masura intalnim in capitolul „Aplicatii ale trigonometriei in geometrie”
În clasa a X-a, la toate specializările, se studiază un singur capitol de geometrie cu următorul conținut:
– Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanța dintre două puncte;
– Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real;
– Ecuații ale dreptei în plan, calcule de distanță și arii;
– Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte în plan.
Se urmărește formarea următoarelor competențe specifice prin parcurgerea acestui capitol:
1. Descrierea unor configurații geometrice analitice.
2. Descrierea analitică, vectorială sau sintetică a relației de concurențe și a relației de coliniaritate.
3. Analizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică.
4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicelor matematice ale unei configurații geometrice.
5. Modelarea unor configurații geomentrice analitic, sintetic sau vectorial.
În ciclul superior al liceului accentul este pus pe algebră și analiză matematică, iar problemele de masura se regăsesc în tratarea unor teme ca ”Aplicații ale determinanților: aria unui triunghi”, „Integrabilitatea funcțiilor continue: Aria unei suprafețe plane.
Volumul unui corp de rotație.”
Metode active centrate pe elev
Cercetări efectuate în ultimii 25 de ani arată că pasivitatea din clasă (înțeleasă ca rezultat al predării tradiționale, în care profesorul ține o prelegere, eventual face o demonstrație, iar elevii îl urmăresc) nu produce învățare decât în foarte mică măsură.
În speță, este insuficient pentru învățare dacă, în timpul orei, elevii ascultă (explicațiile profesorului) și, eventual, văd (o demonstrație făcută de profesor). Cauza acestui fenomen ține de însuși funcționarea creierului. Creierul nu este un simplu receptor de informație ci procesator de informație!
Când învățarea este „pasivă“, creierul nu „salvează“ ceea ce a fost prezentat!
Dacă elevilor nu li se oferă ocazia discuției, a investigației, a acțiunii și, eventual, a predării, învățarea nu are loc.
Învațarea presupune înțelegerea, iar aceasta înseamnă mai mult decât cunoașterea faptelor. Elevii construiesc cunoașterea și înțelegerea pe baza a ceea ce deja cunosc și/ sau cred. Elevii formulează noile cunoștințe prin modificarea și rafinarea conceptelor lor curente și prin adăugarea de noi concepte la ceea ce cunosc deja.
De fapt, elevii își modifică ideile când acestea sunt nesatisfăcătoare pentru explicare, descriere, operare la modul general. Dacă profesorul le predă, ca atare, un adevăr de nezdruncinat, mai mult ca sigur că preconcepțiile despre care am vorbit anterior nu se vor modifica. Dacă însă elevii au posibilitatea să descopere ei înșiși alternative plauzibile și evident folositoare, atunci încep să-și rafineze achizițiile anterioare și să adauge unele noi.
Promovarea învățării active presupune și încurajarea parteneriatelor în învățare. În fapt, adevărata învățare, aceea care permite transferul achizițiilor în contexte noi, este nu doar individual activă ci interactiva!
Problema este că, pentru a avea elevul mereu în centrul demersului didactic, profesorul trebuie să exercite activități prin care să îl determine să iși „ocupe” locul în centru.
Pentru a putea realiza lecții de învățare interactive este necesar ca mai întâi să se stabilească următoarele:
– conținutul și obiectivele lecțiilor
– nivelul de cunoștiințe al elevilor
– metodele folosite
– evaluarea activității
Învățarea centrată pe elev oferă elevilor o mai mare autonomie și un control sporit cu privire la disciplinele de studiu, la metodele de învățare și la ritmul de studiu.
Monotonia unor ore care se desfășoară “la fel” poate fi înlăturată prin folosirea unor metode active. Aceste metode pot fructifica potențialul unor elevi care au alt profil de învățare decât cel logico-matematic. În acest mod, elevii cu dificultăți de învățare pot fructifica propriile abilități, specifice alte domenii și își pot dovedi utilitatea.
Se poate spune că ceea ce este comun tuturor acestor metode, în esență euristice, bazate pe descoperire, este faptul că acestea transformă elevii din simpli receptori ai științei “gata făcute” sau simpli “consumatori de cunoștințe” în “producători” ai propriilor cunoștințe. Aceste metode au meritul că dezvoltă capacități cognitive superioare precum: gândirea divergentă și convergentă, imaginația constructivă, capacitatea de explorare, de emitere de ipoteze și verificare de ipoteze, capacitatea de descoperire, capacitatea rezolutivă, capacitatea de analiză critică și reflecție.
In cele ce urmeaza voi prezenta succint cateva din acestea.
Organizatorul grafic
Organizatorul presupune esențializarea unui material informativ care urmează să fie exprimat sau scris, prin schematizarea, sistematizarea și vizualizarea ideilor.
Organizatorul grafic poate fi structurat pe diferite domenii:
comparația
descrierea,
structurarea pe secvențe,
relația cauză-efect,
detectarea problemei si gasirea solutiei.
Jigsaw (Mozaicul):
Mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fi ecare membru al grupului unui alt grup. Ca toate celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:
– stimularea încrederii în sine a elevilor,
– dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului,
– dezvoltarea gândirii logice, critice și independente,
– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup,
– optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.
Mozaicul presupune următoarele etape:
1. Împărțirea clasei în grupuri eterogene de 4 elevi, fi ecare dintre aceștia primind câte o fi șă de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unei unități de cunoaștere.
2. Prezentarea succintă a subiectului tratat.
3. Explicarea sarcinii care constă în înțelegerea întregii unități de cunoaștere.
4. Regruparea elevilor, în funcție de numărul fi șei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d. În cazul în care se lucrează cu toată clasa, se vor forma două grupuri pentru fi ecare număr23.
5. Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit grupului din unitatea de cunoaștere desemnată pentru oră: elevii citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar. Strategiile de predare și materialele folosite rămân la latitudinea grupului de experți. Este foarte important ca fi ecare membru al grupului de experți să înțeleagă că el este responsabil de predarea secțiunii respective celorlalți membri ai grupului inițial.
6. Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membri din grupul expert pentru secțiunea respectivă. Dacă persistă dubiile, atunci problema trebuie cercetată în continuare.
7. Trecerea în revistă a unității de cunoaștere prin prezentare orală cu toată clasa/ cu toți
participanții
Turul galeriei:
Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
1. În grupuri de trei sau patru, elevii lucrează mai întâi la o problemă care se poate materializa într-un produs (o diagramă, de exemplu), pe cât posibil pretându-se la abordări variate.
2. Produsele sunt expuse pe pereții clasei, ca într-o galerie de artă.
3. La semnalul profesorului, grupurile se rotesc prin clasă, pentru a examina și a discuta fi ecare produs. Elevii își iau notițe și pot face comentarii pe hârtiile expuse.
4. După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte și citesc comentariile făcute pe produsul lor.
„Ciorchinele”
Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară care stimulează găsirea conexiunilor dintre idei și care presupune următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt sau o temă (care urmează a fi cercetată) în mijlocul tablei sau a foii de hârtie;
2. Se notează toate ideile, sintagmele sau cunoștințele care vă vin în minte în legătură cu tema
respectivă în jurul acestuia, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial;
3. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, se trag linii între toate ideile care par a fi conectate;
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.
Etapele pot fi precedate de brainstorming în grupuri mici sau în perechi. În acest fel, se îmbogățesc și se sintetizează cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului care le notează la tablă într-un ciorchine fără a le comenta sau judeca.
În etapa fi nală a lecției, ciorchinele poate fi reorganizat utilizându-se anumite concepte
supraordonate găsite de elevi sau de profesor.
Bulgărele de zăpadă:
Este o metodă care se poate folosi atât pentru spargerea gheții, cât și pentru fixarea/consolidarea cunoștințelor. Aceasta presupune ca fiecare membru al grupului de lucru să scrie pe o bucată de hârtie răspunsul la o întrebare adresată de formator, apoi să mototolească hârtia asemenea unui bulgăre de zăpadă, iar la semnalul dat să îl rostogolească spre spațiul unde au acces toți membrii. Fiecare „culege” bulgărele cel mai apropiat și încearcă fie identificarea celui care l-a scris, fie rezolvarea unei sarcini de pe foaie, fie găsirea perechii după un anumit criteriu dat. Este o metodă care permite grupări/regrupări și rezolvări de sarcini foarte rapide, într-un timp scurt, dar într-o manieră dinamică și atractivă.
Eseul de cinci minute
Eseul este o modalitate eficientă de a încheia ora, pentru a-i ajuta pe elevi să-și adune ideile legate de tema lecției și pentru a-i da profesorului o idee mai clară despre ceea ce s-a întâmplat, în plan intelectual, în acea oră. Acest eseu le cere elevilor două lucruri: să scrie un lucru pe care l-au învățat din lecția respectivă și să formuleze o întrebare pe care o mai au în legătura cu aceasta.
Profesorul strânge eseurile de îndată ce elevii le-au terminat de scris și le folosește pentru a-și planifica lecția următoare la respectiva clasă.
Jurnalul cu dublă intrare
Este o metodă folosită pentru a-i îndemna pe elevi să coreleze noile informații cu experiența lor personală, cu cunoștințele anterioare si să reflecteze la semnificația pe care o are un text ( un conținut informațional ) pentru fiecare dintre ei.Prin aceasta se realizează o înțelegere mai profundă a conținutului textului, elevii reținând mai multe informați semnificative referitoare la subiectul sau problema pusă în discuție.
Pentru a face un asemenea jurnal, elevii trebuie să împartă o pagină în două, trăgând pe mijloc o linie verticală. În partea stângă a paginii li se va cere să noteze un pasaj sau o imagine din text care i-a impresionat în mod deosebit pentru că le-a amintit de o experiență personală, pentru că i-a surprins, pentru că nu sunt de acord cu autorul sau pentru că o consideră relevantă pentru stilul sau tehnica autorului. În partea dreaptă li, se va cere să comenteze acel pasaj: de ce l-au notat? La ce i-a făcut să se gândească? Ce întrebare au în legătură cu acel fragment? Ce i-a făcut să-l noteze? La ce i-a făcut să se gândească? De ce i-a intrigat? Pe măsură ce citesc, elevii se opresc din lectură și notează în jurnal.
După ce elevii au realizat lectura textului, jurnalul poate fi util în faza de reflecție, dacă profesorul revine la text, cerându-le elevilor să spună ce comentarii au făcut în legătură cu pasaje diverse.
Cubul
Metoda cubului presupune analiza unui concept, a unei noțiuni sau a unei teme prin proiectarea ei pe cele șase fațade ale unui cub, fiecare dintre ele presupunând o abordare distinctă a subiectului respective. Intenția acestei metode este de a evidenția, prin aceste șase fațade ale cubului, cât mai multe tipuri de operații mentale, corespunzătoare următoarelor categorii de cunoștințe implicate în demersul de învățare : cunoștințele empirice (fata 1),
cunoștințele intelectuale (fetele 2 si 3), cunoștințele raționale (fata 4),cunoștințele decizionale (fetele 5 si 6).
Concret, în cele șase fațade ale cubului elevii trebuie să răspundă la următoarele instrucțiuni:
1. Descriere – cum arată?
2. Aplică – semnificații, surse de inspirație
3. Analizează – structură
4. Compară – cu ce seamănă și prin ce se diferențiază?
5. Asociază – la ce te face să te gândești ?
6. Argumentează – pro sau contra
Etape necesare pentru aplicarea metodei
-realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie,compară,analizează, asociază, aplică, argumentează ;
-anunțarea subiectului pus în discuție;
-impărțirea clasei în grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului;
-redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe;
-afișarea formei finale pe tablă sau pe foi de flipchart în clasă.
Metoda Știu/ Vreau să știu/Am învățat
Prin metoda “Știu/vreau să știu/am învățat” se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anume temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.
Aplicatie Lectia Unitati de masura pentru lungime,clasa a V-a
Instruirea asistata de calculator este o formă de instruire individualizată, prin care informația este învățată fragmentat, fie prin citirea unor teste programate, fie utilizând un program de predare cu ajutorul computerului. Un răspuns corect la o întrebare sau la o problemă permite elevilor să avanseze, în timp ce un răspuns incorect presupune repetiție sau reînvățare.
Procesul de învățare-evaluare a geometriei euclidiene presupune eforturi susținute din partea profesorului, având în vedere necesitatea de a proiecta și pregăti, în funcție de potențialul colectivului de elevi, suportul teoretic și aplicațiile practice care asigură condițiile bunei înțelegeri a noțiunilor și conceptelor, realizarea figurilor corecte, timpul necesar modelării corpurilor și desfășurărilor acestora (cu ajutorul hârtiei, cartonului, plasticului, etc), dificultatea evidențierii elementelor componente ale construcțiilor, preocuparea pentru însușirea raționamentului geometric, cultivarea capacității native de vedere spațială, etc.
Softurile educaționale CABRI 3D și GeoGebra (multe din desenele cuprinse in lucrare sunt facute cu acest soft) sunt două exemple de instrumente didactice informatice care eficientizează considerabil instrurea matematică a elevilor de gimnaziu și liceu din numeroase țări.
Aplicațiile CABRI geometrie facilitează învățarea, fiind instrumente cu care aceste dificultăți sunt depășite prin numeroasele avantaje oferite: realizarea construcțiilor geometrice pe monitorul calculatorului, în condiții grafice de excepție, evidențierea elementelor componente și mobilitatea lor controlată, vizualizarea diverselor perspective spațiale prin animație, salvarea și imprimarea desenelor, etc.
Exemple de activități care pot fi realizate la clasă cu ajutorul programului CABRI:
Apotema piramidei regulate După cum se știe, apotema unei piramide regulate reprezintă înălțimea unei fețe laterale a piramidei.
Noțiunea de apotemă a piramidei este simplă, iar reprezentarea ei în desen este ușor de realizat. Unii elevi, însă, identifică mai greu triunghiurile care se formează în piramidă și care trebuie considerate pentru aflarea lungimii apotemei, sau pentru aflarea măsurii unghiului dintre o față laterală și planul bazei:
-triunghiul format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei
– triunghiul format de o muchie laterală, o muchie a bazei și apotema piramidei Cu ajutorul programului CABRI 3D, fiecare elev poate construi în timpul orei piramide regulate, poate măsura (cu obțiunea de măsurare din aplicație), pe desenele realizate, muchiile și înălțimile, și, cu formula lui Pitagora, poate calcula lungimile apotemelor. Rezultatele obținul vor fi validate prin măsurarea pe desene a lungimilor apotemelor.
In continuare o sa prezint un proiect didactic pentru o lectie de geometrie la clasa a VIII-a, în cadrul careia am folosit mai multe metode active din cele prezentate mai sus.
Clasa a-VIII-a
Unitatea de învățare: Corpuri rotunde
Tema lectiei: Recapitulare.Corpuri rotunde.
Tipul lectiei: de recapitulare si sistematizare a cunoștiințelor
COMPETENTE GENERALE :
1. Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite ;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse in enunturi matematice ;
3. Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete ;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora ;
5. Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema ;
6. Modelarea matematica a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunostintelor din diferite domenii.
COMPETENTE SPECIFICE:
1. Recunoașterea și descrierea unor proprietați ale unor figuri geometrice plane în configurații date în spațiu sau pe desfașurari ale acestora;
2. Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate
3. Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrica sa verifice anumite cerințe.
COMPETENTE DERIVATE:
A. Cognitive:
CC1: Sa realizeze reprezentarile spatiale ale corpurilor rotunde invatate;
CC2: Sa evidentieze elementele corpurilor rotunde;
CC3 : Sa aplice formulele de calcul pentru arii si volum;
CC4: Sa puna in evidenta sectiuni paralele cu baza si sectiuni axiale in corpurile rotunde;
B. Psiho-Motorii :
CP1 : Sa redacteze in mod logic rezolvarea unor exercitii ;
CP2 : Sa dovedeasca abilitate in rezolvarea exercitiilor;
C. Afective:
CA1: Sa fie atenti la lectie;
CA2: Sa-si dezvolte interesul pentru studiul matematicii prin aplicarea cunostintelor in probleme variate;
CA3: Sa participe activ si cu interes la lectie ;
Strategii operaționale / Metode și procedee: metoda cubului, eseul de cinci minute, bulgărele de zăpadă, turul galeriei, metoda ciorchinelui, Jigsaw, jurnalul cu dublă intrare, organizatorul grafic, conversația, explicatia, problematizarea
Mijloace de realizare
Manual, coli flipchart,instrumente geometrice, cartonașe, planșe, fișe de lucru, markere, cub din carton, coli.
Forme de organizare: pe grupe
Desfășurarea lecției:
Moment organizatoric și captarea atenției:
Se prezintă elevilor cubul care are scrise pe cele sase fete verbele: „descrie”, „compară”, „asociază”, „analizează”, „aplică” și „argumentează”.
Fiecarei grupe i se asociaza cate un verb pe care il noteaza liderul grupei.
Apoi se impart fișele de lucru fiecarei grupe in parte, dupa care se anunță obiectivele lecției și se explică modalitatea de lucru.
Descrierea activității elevilor (25 min.)
Grupa „Matematicienii” (Metoda organizatorul grafic).
Verbul „descrie”
Sarcini de lucru:
-Enumerati corpurile rotunde studiate
-Realizeazati căte un desen corespunzător fiecărui corp;
-Identificati în desenele realizate elementele definitorii pentru corpurile respective.
-Descrieti corpurile de rotație care se obțin prin rotirea unui triunghi dreptunghic cu catetele de 4 cm, respectiv 6 cm în jurul ipotenuzei și a unei catete.
Grupa „Studiosii” (Eseul de cinci minute)
Verbul ”compară”
Sarcini de lucru
Observați atent planșele cu poliedre si corpuri rotunde învățate.
-Realizați un scurt eseu-matematic în care să puneți în evidență asemănări și deosebiri între poliedrele învățate și corpurile rotunde.
-Redactați și comparați rezultatele obținute.
Fiind data o piramidă triunghiulară cu latura bazei de 3 cm si înălțimea de 2 cm, aflati volumul piramidei si volumul conului circular drept care are ca varf vărful piramidei și a cărui bază este înscrisă în triunghiul de la baza piramidei și apoi comparati rezultatele.
Grupa „Inteleptii” (Jurnalul cu dubla intrare)
Verbul „argumenteaza”
Sarcini de lucru : Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarele enunturi
Grupa „Campionii”. (Metoda ciorchinelui)
Verbul ’analizează”
Sarcini de lucru:
-Desenați un cilindru circular drept, un con circular drept și un trunchi de con circular drept și puneți în evidență secțiunile axiale, diagonale și cele cu un plan paralel cu baza.
-Realizați, pentru fiecare corp, câte un “ciorchine” de forma:
Grupa „Jucatorii”. (Mozaicul)
Verbul ”asociază”
Sarcini de lucru:
-Fiecare elev din grupă va asocia unui corp rotund formulele pentru arie și volum.
Apoi, aceștia vor “preda” celorlalți formulele studiate și toți ceilalți își vor însuși formulele pentru cele 4 corpuri.
Grupa „Artistii” (Bulgarele de zapada)
Verbul ”aplică”
Sarcini de lucru:
-Completați spațiile punctuate cu răspunsurile corecte:
O sferă care are aria de 6π cm2 are volumul de…….
Un con circular drept are raza de 4 cm si generatoarea de 5 cm are aria totala de…..
Aria laterală a unui cilindru circular drept este de 16π cm2 iar secțiunea axială este un pătrat. Volumul cilindrului este …..
Intr-o sferă cu raza de 6cm se înscrie un con cu inălțimea de 8cm.Atunci volumul conului este ….% din volumul sferei.
Elevii isi vor exprima ideile de rezolvare pentru fiecare problema până la gasirea corectă a ariei sau volumului.
Evaluare finală:
Dupa 25 de minute se va aplica metoda “turul galeriei”. Materialele realizate vor fi expuse în clasă .
Elevii fiecarei grupe își vor prezenta mai întâi sarcina de lucru și modul de realizare al ei, apoi, vor trece, pe rand, la fiecare plansa a colegilor din altă grupă și vor acorda acestora o notă.
După ce fiecare grupa a vizitat “galeria” și a notat realizarile colegilor din celelalte grupe, se vor discuta notele si gradul de obiectivitate al acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta erorile daca va fi cazul.
Profesorul va analiza modul de implicare al fiecăriu elev în echipa sa.
Aspecte metodice privind predarea unitatilor de masura pentru
lungime, arie si volum
Măsurarea unei mărimi oarecare înseamnă a compara această mărime cu o alta, luată ca unitate de măsură sau etalon.Activitatea de măsurare este efectuată relativ usor de către elevii mici, această activitate putând fi folosită pentru a motiva elevilor apariția numerelor și a primelor noțiuni matematice.
Din perspectivă metodică, predarea-învățarea unităților de măsură și a operațiilor de măsurare la ciclul primar va avea un pronuntat caracter intuitiv și se va baza pe o practică activă atat la clasă cat și în afara ei.
De altfel, in studiul temei „Măsurare și măsură”, in cadrul ciclurilor curriculare, putem distinge trei niveluri de complexitate:
nivelul intuitiv-experimental;
nivelul rațional neformalizat;
nivelul axiomatic formalizat.
Nivelul intuitiv-experimental corespunde cu aproximație claselor I-V, când elevii operează cu obiecte concrete și ajung să-și formeze un fond de reprezentări necesare urmatoarei etape, când se produce trecerea la raționamente geometrice.
Astfel, in această etapă, scolarii:
efectuează măsurători directe de lungimi pentru obiecte din mediul inconjurator;
exprimă măsurătorile în unitățile de măsură corespunzătoare;
efectuează transformările convenabile ale unităților de măsură;
calculează arii și perimetre pentru pătrat și dreptunghi;
calculează volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic;
observă intuitiv unele proprietăți ale lungimilor, ariilor și volumelor (de exemplu
proprietatea de aditivitate).
Ințelegera măsurării și utilizarea unităților de măsură nu implică introducerea imediată a unităților standard. Primele măsurători pe care școlarii le vor efectua în clasele mici vor fi cu etaloane neconvenționale (exemple: palma, pixul, degetul, cotul, pasul, etc.). Aceste etaloane vor fi utilizate în cadrul unor activități didactice în care se pune accentul pe caracterul activ-participativ al elevilor. Unitățile de măsură alese sunt dintre obiectele familiare ale elevului.
Realizarea de măsurători cu astfel de instrumente este deosebit de importantă pentru a forma în rândul elevilor noțiunea de cuprindere (se măsoară lungimea bancii cu un stilou).
Etaloanele neconvenționale sunt utilizate cu scopul de a-1 familiariza pe elev cu activitatea de măsurare, care implică mai multe etape: apreciere, măsurare, numărare și verificare. Necesitatea utilizarii unităților standard de masura va fi descoperită de către elevi în urma măsurării unui obiect cu etaloane neconvenționale si sesizarea discrepantelor dintre rezultatele unor masuratori diferite (exemplu: măsurarea lungimii clasei cu pasul de către mai mulți elevii și obținerea unor rezultate diferite). Este recomandabil ca o parte dintre instrumentele standard utilizate de elevi pentru diverse măsurători să fie construite de ei înșiși, sub îndrumarea invatatorului. Astfel, la clasele primare, elevii pot confecționa metrul liniar dintr-o bucata de lemn, pe care îl vor grada ( il împărt în decimetri, apoi decimetrul în centimetri iar acesta la randul lui în milimetri. Astfel scolarii se familiarizeaza cu metrul ca instrument de măsură si vor putea să realizeze estimări ale lungimii unor obiecte cu usurinta.
Pe parcursul claselor primare, studiul unităților de măsură se bazează pe principiul repartiției concentrice a conținuturilor începând cu măsurări folosind etaloane neconvenționale și terminând cu exerciții de transformare folosind multiplii și submultiplii unităților principale. Predarea concentrică a unităților de măsură pe parcursul școlarității asigură îmbogățirea conținuturilor predate la clasele primare cu unele noi, abordate de curriculum-ul pentru gimnaziu.
În clasa a V-a elevul se familiarizează cu instrumentele de măsură din trusa de geometrie, pe care învață să le utilizeze, atât pentru a efectua măsurători cât și pentru a construi figuri geometrice simple. Utilizarea corecta a intrumentelor de măsură pentru lungime contribuie atat la formarea deprinderii de a efectua măsurători corecte cat și la dezvoltarea abilităților de calcul cu fracții zecimale, care derivă din aceste măsurători.
Studiul geometriei debutează în gimnaziu, în clasa a V-a, cu un capitol dedicat măsurării și unităților de măsură. Dacă pentru celelalte unități de măsură studiate în clasa a V-a se poate face apel la cunoștințele deja însușite de elevi în clasele primare, în cazul unităților de măsură pentru arie și volum este recomandabil să se pornească de la exemple concrete. Iata cateva exemple de activitati de invatare specifice:
Gasirea figurii geometrice „mai mare” din cele desenate pe tabla. Concluzia care se poate trage de aici este că suprafața diferitele figuri geometrice este o proprietate măsurabilă și deci i se poate asocia o unitate de măsură.
Putem solicita elevilor, înainte de introducerea unităților de măsură pentru arie, să aducă fiecare câte o frunză iar apoi sa le cerem acestora sa raspunda la intrebarea: Putem afla „ cu cât” sau „de câte ori” este mai mare sau mai mică suprafața unei frunze față de altă frunză? Dacă raspunsul primit din partea acestora nu este cel scontat, sugerăm elevilor că putem desena, pe o foaie de matematică, conturul frunzei și apoi să încercăm să numărăm pătrățelele din interiorul acestui contur. Pornind de aici, sugerăm ideea că etalonul pentru calculul ariei este un pătrat.
Putem folosi diferite obiecte uzuale: caiete, cărți, bancă, tablă, catedră și puem formula intrebari de genul „De câte ori se cuprinde suprafața unui caiet în suprafața tablei sau a bancii?”
Pornind tot de la exemple concrete, introducem și noțiunea de volum, ca unitate de măsură a locului pe care un corp îl ocupă în spațiu.
În etapa de învățare intuitiv-experimentală specifică și clasei a V-a este recomandat să atingem câteva obiective care să faciliteze trecerea către etapa de raționalizare:
• Utilizarea terminologiei adecvate: suprafață, arie, volum;
• Efectuarea de măsurători și calcule ale ariilor unor suprafețe simple și volumelor unor corpuri;
• Efectuarea de transformări cu unități de măsură pentru arie și volum.
Aceste obiective se pot atinge prin proiectarea unor activitati practice în care elevii să efectueze măsurători, să calculeze și să compare ariile diferitelor figuri geometrice simple, prin folosirea unor scheme și organizatori grafici pentru a usura înțelegerea transformărilor unităților de măsură pentru arie și volum precum si prin introducerea în lecție a unor elemente de joc didactic sub forma unor concursuri de măsurători, proiecte în echipă, etc.
Ințelegerea de către elevi a relațiilor între unitățile de măsură standard este o dificultate didactic unanim recunoscuta de catre profesori. Astfel este necesara folosirea la clasă a unor reguli mnemotehnice sau figurative, privitoare la aceste transformări.
Aspecte metodice privind predarea
lungimilor, ariilor si volumelor
Predarea geometriei, care începe în clasa a VI-a, pleaca de la elemente geometrice fundamentale între care se află și lungimea. Acum se face tranzitie de la intuitiv la abstract, de la observare si masurare efectiva la reprezentari conventionale. Rigla gradată, ca instrument de măsurare, rămâne concretă dar, desenarea ei schematizat, convențional pe caiet sau tablă lângă anumite segmente creează premisele abstractizării acestui instrument precum și însăși a operației de măsurare. Noțiunea de lungime a unui segment ilustrează cel mai bine aceasta tranziție: pe de o parte, lungimea unui segment are legătură cu operația de măsurare concretă a acestuia iar pe de altă parte din noțiunea de lungime derivă alte două noțiuni esențiale în geometrie: distanța dintre două puncte și congruența segmentelor.
Elevilor li se propune să conceapă lungimea ca un număr asociat unui segment abstract, reprezentat prin desen, detașat de suprafața sau corpul pe care se află.
Dupa cum am precizat mai sus din noțiunea de lungime a segmentelor derivă două noțiuni importante: distanța între două puncte și congruența segmentelor. Distanța între punctele A și B se definește ca lungimea segmentului închis [AB] și se notează prin AB. Lungimea segmentului deschis (AB) se notează tot prin AB, lungime care se distinge de dreapta AB în context. Așadar, se acceptă că distanța de la A la B este în același timp și lungimea segmentului deschis (AB) dar folosirea segmentului închis [AB] este mai sugestivă pentru că implică punctele A și B. Două segmente (ambele închise sau deschise) se numesc congruente dacă au lungimi egale. Se atrage atenția că două segmente congruente pot fi neidentificabile ca figuri geometrice. Dacă sunt identice se spune că sunt egale.
O atenție specială trebuie dată construcției (aproximative cu rigla) pe o semidreaptă a
unui segment congruent cu un segment dat. Ea se folosește aici, în clasa a VI-a, pentru tratarea geometrică a operaților de adunare și scădere a segmentelor. În clasele următoare de gimnaziu mărimile segmentelor și operațiile algebrice sau geometrice cu segmente se folosesc frecvent.
Urmatorul nivel de complexitate este nivelul rațional neformalizat. Acesta corespunde claselor VI-VIII, când se consolidează noțiuni precum aria unor suprafețe și volumul corpurilor. Nivelul axiomatic-formalizat este mai puțin reprezentat în curriculumul pentru nivelul preuniversitar.
În etapa de învățare rațional neformalizată se trece, începând cu clasa a Vl-a, la:
– demostrarea unor formule si rezultate acceptate intuitiv
– exprimarea lungimiile, ariilor și volumelor prin numere reale strict pozitive unic determinate;
– calculul ariei unui patrulater prin descompunerea acestuia în suprafețe triunghiulare, folosind proprietatea de aditivitate.
– utilizarea formulelor algebrice pentru calculul volumelor unor corpuri geometrice (prisma regulata, cubul, paralelipipedul dreptunghic, piramida regulată, trunchiul de piramidă regulată, cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera).
O parte importantă a matematicii din gimnaziu este ocupată de calculul ariilor unor poligoane și de calcului volumelor unor poliedre. Pentru ambele situații, nu este importantă doar reținerea formulelor de calcul de către elevi. Studiile arată că, în lipsa unor metode de
deducere a acestora, formulele devin doar „un șir sintactic introdus în memorie”.
Măsurarea suprafețelor se aseamănă unui joc de puzzle: a măsura o suprafață presupune a afla de câte piese identice (unități de măsură) este nevoie pentru a acoperi suprafața respectivă. De aceea, pentru a-i face pe elevi să înțeleagă în ce constă măsurarea, activitățile de învățare recomandate într-o primă etapă vizează compunerea/ descompunerea de figuri geometrice complicate din/ în figuri mai simple. Astfel de activități se pot organiza sub forma unor jocuri didactice sub forma unor concursuri de măsurători, proiecte în echipă, etc.. Ele necesită însă o proiectare atentă, pentru ca elevii să nu ajungă la neglijarea realizării obiectivelor, în favoarea jocului.
Pentru calculul ariilor, se poate porni de la poligoane desenate pe foaia cu pătrățele. Această configurație are avantajul că „piesele” – unitățile de măsură – apar deja suprapuse peste aria ce trebuie calculată. Ulterior, poligoanele a căror arie este cerută vor fi desenate pe o foaie velină. Aria poate fi calculată prin trasarea unui caroiaj, adică prin acoperirea poligonului dat cu unități (pătrate de arie 1).
Deducerea formulelor de calcul se face „din aproape în aproape”. În această activitate, se pornește de la unitatea de măsură pentru arie (pătratul de latură 1) și se determină de câte ori se cuprinde acest pătrat într-o figură geometrică dată. Formulele de calcul trebuie să reprezinte generalizări ale unor situații particulare, analizate anterior.
În demonstrarea formulelor pentru ariile figurilor plane, la clasa a VII-a se pot identifica două metode care diferă în funcție de punctul de pornire:
– se începe cu definirea ariei unui triunghi;
– se începe cu definirea ariei unui pătrat (dreptunghi).
In cazul in care punctul de plecare este aria triunghiului, ordinea de desfasurare a activitatilor ar putea fi urmatoarea :
– Se demonstrează că produsul dintre lungimea unei laturi a unui triunghi și înălțimea corespunzătoare este același oricare ar fi latura și înălțimea corespunzătoare ei.
– Se definește aria triunghiului.
– Se observă că două triunghiuri congruente au arii egale.
– Se demonstrează că raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.
– Se demonstrează o variantă simplă a proprietății de aditivitate:
S ABC= S ABD + S ADC
A
B D C
– Se arată că pentru un patrulater, avem S ABC + S ADC= S ABD + S BDC .
D C
A B
– Se definește aria patrulaterului.
– Se deduc formulele de calcul pentru aria paralelogramului (dreptunghi, romb, pătrat) și a trapezului.
– Se propun probleme care să trateze situații particulare de aditivitate a ariei pentru a sugera forma generală a acestei proprietăți precum și ideea că prin „triangulizarea” unei suprafețe poligonale (convexe) putem obține aria ei ca suma ariilor triunghiurilor care o compun. Acest fapt va servi la deducerea formulei de calcul a ariei unui poligon regulat cu n > 4 laturi.
Abordand in modul acesta problema punem elevii într-o poziție din care pot percepe
proprietățile fundamentale ale funcției arie (neexplicitate totuși) și gelul în care ele intervin în definirea ariei și în deducerea formulelor de calcul.
In cazul in care punctul de plecare este aria dreptunghiului,ordinea de desfasurare a activitatilor este urmatoarea:
– Se definește aria dreptunghiului ca produsul dintre lungimea și lățimea sa.
– Se demonstrează formulele de calcul pentru aria unui triunghi dreptunghic (1/2 dintr-un dreptunghi), a unui triunghi oarecare prin descompunerea în sumă (diferență) de triunghiuri dreptunghice, apoi a paralelogramului și trapezului.
Pe lângă problemele de aplicare a formulelor de calcul și a celor în care se cer diverse relații cu arii, noțiunea de arie poate servi la demonstrarea unor teoreme sau rezolvarea unor probleme care prin enunț nu trimit in mod explicit la această noțiune. Putea vorbi astfel de metoda areolară ca metodă de rezolvare a unor probleme de geometrie. Se observă că mai multe dintre aceste probleme se referă la relații metrice. Astfel, există mai multe demonstrații prin arii ale teoremei lui Pitagora, a teoremei fundamentale a asemănării, etc . Prin considerații de arii se obțin formulele
R = , r =
într-un triunghi (notații standard). Pentru lungimea bisectoarei din vârful A
al unui triunghi se obține formula
la = cos .
În demonstrarea formulelor pentru volumele corpurilor geometrice, la clasa a VIII-a, se pot identifica două metode care diferă în funcție de punctul de pornire:
Se începe cu definirea volumul tetraedrului;
Se începe cu volumul cubului (paralelipipedului dreptunghic).
In cazul in care punctul de plecare este volumul tetraedrului, ordinea de desfasurare a activitatilor este urmatoarea :
Se demonstrează că produsul dintre aria unei fețe a unui tetraedru și înălțimea
corespunzătoare este același, oricare ar fi latura și înălțimea corespunzătoare.
Se definește volumul tetraedrului ca 1/3 din produsul dintre aria unei fețe a unui
tetraedru și înălțimea corespunzătoare.
Se face observația că două tetraedre congruente au același volum și că două tetraedre
cu ariile a două fețe respectiv egale și înălțimile corespunzătoare egale au același volum.
Se demonstrează că volumul unei prisme triunghiulare este dat de produsul între aria
bazei și înălțime prin descompunerea ei în trei tetraedre de același volum.
Se deduce formula volumului unei prisme oarecare prin descompunerea în prisme
triunghiulare. În particular, se dă formula uzuală pentru volumul unui paralelipiped
dreptunghic și apoi pentru cub, introducându-se astfel unitatea de volum.
Se stabilesc formule de calcul pentru volumul piramidei și trunchiului de piramidă.
Se evidențiază pe unele corpuri particulare că raportul volumelor a două corpuri
poliedrale asemenea este egal cu cubul raportului de asemănare.
In cazul in care punctul de plecare este volumul cubului, ordinea de desfasurare a activitatilor este urmatoarea :
Se arată că volumul unui cub de latură a este a3 prin descompunerea lui în cuburi de latură 1
Se demonstrează că volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul
dimensiunilor sale. Se poate proceda prin descompunerea în cuburi de latura 1.
Volumul prismei triunghiulare se găsește prin completare la un paralelipiped, iar
al prismei oarecare prin descompunere în prisme triunghiulare.
Formula pentru volumul tetraedrului se obtine ca în situatia de mai sus.
Se deduc formulele de calcul pentru volumului piramidei si trunchiului de piramida.
Formulele de calcul pentru volumele corpurilor uzuale, inclusiv a celor rotunde cilindru, con, sferă), se pot deduce pe baza principiului lui Cavalieri.
De multe ori, la clasa, profesorul face din memorarea și aplicarea formulelor pentru arii sau volume un scop în sine. Dincolo de atingerea unor obiective pe termen scurt, cum ar fi rezolvarea unor probleme sau promovarea unui examen, este mult mai importantă însă întreaga construcție logică. Este de preferat un elev care nu cunoaște de exemplu, formula pentru volumul cubului, dar care știe că a măsura volumul revine la umplerea cubului dat cu cuburi cu latura de 1, unui elev care „recită” formula, dar nu are nici cea mai mică idee de unde provine aceasta. De aceea, pentru temele ce vizează calcule de arii sau volume, importante sunt activitățile de învățare propuse elevilor, pentru deducerea și descoperirea formulelor de calcul, și nu formulele în sine.
Bibliografie
C. Chirilă și colectiv – ”Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii”, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012
Colectiv – „Oportunități pentru o carieră didactică de calitate printr-un program național de formare continuă a profesorilor de matematică din învățământul preuniversitar” -Suport de curs – online, www.matedidactica.ro
M. Singer, C. Voica – “Didactica geometriei”- Program de conversie profesională la nivel postuniversitar pentru cadrele didactice din învățământul preuniversitar,2011
D.Bell, D., Huges, E.R., Roger, J., “Arie, masă, volum”, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981
Ministerul Educației Naționale, Consiliul Național pentru Curriculum, Programe școlare pentru clasa pregatitoare,clasele a I-a – a IV-a, a V-a – a VIII-a, a IX-a – a XII-a
Miron R., Geometrie elementară, București, EDP, 1968.
Colectia “Gazeta matematica”
Colectia RMT
Internet : www.wikipedia.com ; www.didactic.ro
Manualele școlare pentru gimnaziu și licee, Editura Didactică și pedagogică, București, editii dupa 1988
Popescu O. Radu V., Metodica predării geometriei în gimnaziu, București, EDP, 1983.
Moise E., Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București, EDP,1980.
Bibliografie
C. Chirilă și colectiv – ”Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii”, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012
Colectiv – „Oportunități pentru o carieră didactică de calitate printr-un program național de formare continuă a profesorilor de matematică din învățământul preuniversitar” -Suport de curs – online, www.matedidactica.ro
M. Singer, C. Voica – “Didactica geometriei”- Program de conversie profesională la nivel postuniversitar pentru cadrele didactice din învățământul preuniversitar,2011
D.Bell, D., Huges, E.R., Roger, J., “Arie, masă, volum”, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981
Ministerul Educației Naționale, Consiliul Național pentru Curriculum, Programe școlare pentru clasa pregatitoare,clasele a I-a – a IV-a, a V-a – a VIII-a, a IX-a – a XII-a
Miron R., Geometrie elementară, București, EDP, 1968.
Colectia “Gazeta matematica”
Colectia RMT
Internet : www.wikipedia.com ; www.didactic.ro
Manualele școlare pentru gimnaziu și licee, Editura Didactică și pedagogică, București, editii dupa 1988
Popescu O. Radu V., Metodica predării geometriei în gimnaziu, București, EDP, 1983.
Moise E., Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București, EDP,1980.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Masura In Spatiul Euclidian (ID: 122158)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.