Master: Modelare Matematică în Finanțe și Analiză [629535]

Constanța
2016 Ministerul Educației Naționale ܈i Cercetării ܇tiințifice
Universitatea OVIDIUS Constanța
Facultatea de Matematică și Informatică
Master: Modelare Matematică în Finanțe și Analiză
Economică

Modele de selecție și de gestiune ale unui
portofoliu investițional
Lucrare de Disertație

Coordonator științific:
Conf. D r. Cosma Luminița -Elena
Absolvent: [anonimizat], diversitatea și performanța activității economice îi
determină pe investitori să își gestioneze mult mai atent portofoliile. Investițiile financiare
dintr- un portofoliu se bazează pe metode și strategii complexe, concepute pentru a îndeplini
obiectivele investitorilor.
Investitorii se deosebesc prin obiective, atitudine față de risc, stil investițional, gestiunea
portofoliilor fiind metoda prin care se integrează tehnicile de investiție, metodele și modelele
de selecție a instrumentelor financiare cu scopul de a maximiza interesele financiare.
Modelul dezvoltat de Harry Markowitz reprezintă baza teoriei portofoliilor, model bazat
pe relația rentabilitate -risc. În cadrul acestuia, selecția portofoliului implică două etape ܈i o
serie de ipoteze referitoare atât la comportamentul investitorilor, cât ܈i la comportamentul
titlurilor financiare.

ABSTRACT

In the current economy context, the diversity and the performance of the economic
activity lead investors to manage their portofolios more carefully. Financial investments are
based on complex methods and strategies designed to achieve the objectives of investors.
Investors are different by objectives, attitude to risk, investment style and protofolio
management represents the method that integrates investment techniques, methods and models
for selection of financial instruments in order to maximize their interests.
The model developed by Harry Markowitz is fundamental in portofolio theory, being
based on the risk-return relationship. With it, portofolio selection involves two stages and a
number of assumptions regarding the investor behavior and financial securities behavior.

CUPRINS

Lista figurilor ………………………………………………………………………………………………………………. 1
Lista tabelelor ……………………………………………………………………………………………………………… 2
INTRODUCERE …………………………………………………………………………………………………………. 3
CAPITOLUL I
Introducere în teoria portofoliilor moderne …………………………………………………………………….. 5
1.1. Rentabilitatea ……………………………………………………………………………………………………. 5
1.2. Riscul …………………………………………………………………………………………………………….. 11
1.3. Tipuri de portofolii ………………………………………………………………………………………….. 15
1.4. Strategii de gestiune …………………………………………………………………………………………. 16
CAPITOLUL II
ModeleădeăselecĠieășiădeăgestiuneăaleăunuiăportofoliuăinvestiĠional ……………………………………. 20
2.1. Rolul portofoliului în reducerea riscului. Efectul de diversificare. ………………………….. 20
2.2. Modelul Markowitz …………………………………………………………………………………………. 24
2.2.1. Frontieraăeficientăăfărăăactivulăfărăărisc ……………………………………………………………. 26
2.2.2. Frontieraăeficientăăcuăactivulăfărăărisc ………………………………………………………………. 28
2.3. ModelulădeăpiaĠă ……………………………………………………………………………………………… 30
2.4. Modelul de Echilibru al Activelor Financiare ……………………………………………………… 32
CAPITOLUL III
Studiu de caz ……………………………………………………………………………………………………………… 36
CONCLUZII ……………………………………………………………………………………………………………… 43
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………………………………………….. 44

1

Lista figurilor

Figura 2.1 – FrontieraăeficientăăasociatăăModeluluiăM arkowitz………………………………………..27
Figura 2.2 – Frontiera eficientăăînăcazulăactivuluiăfărăărisc…………… ………………………………….29
Figura 3.1 – ParametriiăintrodușiăînăSolver. ……………………………………………………………………41
Figura 3.2 – Frontieraăeficientă …………………………………………………………………………………….43

2

Lista tabelelor

Tabelul 2.1 – Riscul asociat portofoliilor cuădiferiĠiăcoeficienĠiădeăcorelaĠie …………………….24
Tabelul 3.1 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăALBALACTăS.A ……………………………………………….37
Tabelul 3.2 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăANTIBIOTICEăS.A ……………………………………………37
Tabelul 3.3 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăSIFăBANATăCRIȘANAăS.A ……………………………….38
Tabelul 3.4 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăBOROMIRăPRODăS.A.BUZĂUă(SPICUL) …………..38
Tabelul 3.5 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăBANCAăTRANSILVANIAăS.A …………………………..38
Tabelul 3.6 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăARGUSăS.A.CONSTANğA ………………………………..39
Tabelul 3.7 – TabelulădeăcovarianĠă ……………………………………………………………………………39
Tabelul 3.8 – Rentabilitateaămedieășiă riscul asociat activelor …………………………………………40
Tabelul 3.9 – TabelulădeăcovarianĠăăcuăponderiăaleatoare ………………………………………………40
Tabelul 3.10 – Rezultatele analizei portofoliului ……………………………………………………………41
Tabelul 3.11 – TabelulădeăcovarianĠăăasociatăp ortofoliului cu cel mai mic risc …………………..42
Tabelul 3.12 – Ponderileăportofoliilorăpentruărezultateleăașteptateădeăcătreăinvestitor ………….42

3
INTRODUCERE

PieĠeleăfinanciareăutilizeazăăcapitalulăcaăobiectăalătranzacĠiilor,ăînăbazaăcereriiășiă
ofertei.ă Pentruă realizareaă acestoră tranzacĠii,ă esteă necesarăă cunoaștereaă moduluiă înă careă
funcĠioneazăăpiaĠa,ăprecumășiăcomportamentulă investitorilor.
Temaă lucrăriiă esteă “Modeleă deă selecĠieă șiă de gestiune ale unui portofoliu
investiĠional”.ăPrinăportofoliuăinvestiĠionalăseăînĠelegeă un ansamblu de instrumente financiare
deĠinuteădeăcătreăunăinvestitor.ăDeciziaădeăinvestireăîntr -un instrument financiar depinde de
strategiaăadoptată,ădeăselecĠiaăinstrumentelorăfinanciareășiădeăoăcombinaĠieăoptimăăcareăsăă
satisfacăăașteptărileăinvestitorului.
Lucrareaă reprezintăă oă sintezăă aă noĠiuniloră fundamentaleă dină teoriaă portofoliilor,ă
precumășiăunăstudiuă de caz pentru exemplificarea acestei teorii.
Capitolul I, „Introducereăînăteoriaăportofoliilor” , prezintăăelementeleădeăbazăăceă
caracterizeazăăunăportofoliuăinvestiĠional:ărentabilitateaășiăriscul.ăPortofoliileăinvestiĠionaleăseă
caracterizeazăăprinădouăăelementeădeăbază:ărentabilitateășiărisc.ăAcesteaărezultăăînăurmaă
analizei intrumentelor financiare din structura portofoliului. Rentabilitatea portofoliului
depindeădeărentabilităĠileăsperateăaleăactivelorădinăcareăesteăalcătuitășiădeăponderileăacestoraăînă
portofoliu. Riscul unui portofoliu depinde de riscurile individuale ale tilurilor ce îl compun, de
relaĠiileăexistenteăîntreăele,ăprecumășiădeănumărulăacestora.ă
Capitolul II, “Portofoliiăoptimeășiăconstruireaăfrontiereiăeficiente” , descrie diversificarea
caăprincipalulămodădeăreducereăaărisculuiăuneiăinvestiĠii,ăprecumășiăceleămaiăcunoscuteămodeleă
utilizateăpentruăoptimizareaăportofoliilor:ămodelulăMarkowitz,ămodelulădeăpiaĠăășiămodelulădeă
echilibru al activelor financiare.
Diversificareaăreprezintăămetodaăprinăcareăunăinvestitorăreduceărisculăprinăinvestireaă
capitaluluiăînămaiămulteătitluri.ăSuccesulăuneiăbuneădiversificăriădepindeădeănumărulădeătitluriă
incluseăînăportofoliuă܈iădeăcaracteristicileăace stora.
PortofoliileăeficienteăsuntăaceleăportofoliiăcareăpentruăunăriscăasumatăseăobĠineăceaămaiă
mareăsperanĠăădeărentabilitate,ăsauăpentruăoărentabilitateăașteptatăăseăobĠineăcelămaiămicărisc.ă
Portofoliulăoptimănuăare,ăînsă,ăaceeașiăsemnificaĠieăpentruătoĠiăinvestitorii.ăÎnăfuncĠieădeătipulă

4
investitorului,ăfiecareăvaăalegeăoăanumităăcombinaĠieădeăactiveăfinanciareăcareăsăăofereăsoluĠiiă
pentruăstrategiaăadoptată.
CapitolulăIIIăprezintăăstudiulădeăcazăefectuatăpentruășaseăsocietăĠiădinăRomâniaăcotateă
la BursaădeăValoriăBucurești.ăScopulăstudiuluiădeăcazăesteăaplicareaămodeluluiăMarkowitzășiă
determinareaăcombinaĠieiăoptimeădeăactiveăceăsatisfacăobiectiveleăinvestitorului.
Studiulădeăcazăoferăăunăexempluădeăoptimizareăalăunuiăportofoliuăalcătuitădinășaseă
active financiare, utilizând Modelul Markowitz. Un rezultat al acestui model este reducerea
riscului portofoliului prin eliminarea riscurilor individuale ale titlurilor din portofoliu.
Investitoriiăcuăaversiuneăfațăădeăriscăalegăîntotdeaunaăportofoliileăcuărisc mic, iar cei cu
aversiuneămaiămicăălaăriscăvorăalocaăoăparteămaiămareădinăcapitalăpentruătitluriăcuărentabilitateă
mare.
AnalizaădatelorădinăstudiulădeăcazăaăfostărealizatăăcuăajutorulăprogramuluiăMicrosoftă
Excel,ăîmpreunăăcuăfuncțiileăSolveră܈iăDataăAnaly sis.
Solveră esteă ună instrumentă deă analizăă pentruă optimizareaă deciziei,ă careă folose܈teă
variabileă܈iărestricțiiăcuăscopulădeăaăgăsiăsoluțiaăoptimă. În economie, cele mai frecvente
probleme sunt cele de optimizare. Acestea constau într- oăfuncțieăobiectivăceătrebuieăsăăatingăă
unăpragăoptimă(minimăsauămaxim)ă܈iăoăserieădeărestricții,ătoateăacesteaăfiindăcuanificateă
numeric.ă Peă bazaă dateloră existenteă ܈iă aă restricțiilor,ă variabileleă seă modificăă ܈iă astfelă seă
determinăăoăsoluțieăoptimă.
Înăultimaăparteăaălucrării,ăC oncluzii, sunt prezentate ideile principale, concluziile
studiuluiădeăcazășiăsoluĠiileăpropuseăpentruăîmbunătăĠireaălucrării.ă

5
CAPITOLUL I
Introducere în teoria portofoliilor moderne

1.1. Rentabilitatea
1.1.1. Rentabilitatea activelor financiare
“Înătermeni financiari,ărentabilitateaăesteădefinităăuneoriăsubăformaăcâ܈tiguluiăobținută
caăurmareăaădețineriiăunuiăinstrumentăfinanciarăpeăoăperioadăădeătimp.ăAstfel,ărentabilitateaă
unuiăinstrumentăfinanciarăesteădatăădeăvenitulăobținutădeăinvestitorăcaărecompensăăa investițieiă
(dividendăînăcazulăacțiunilorăsauădobândăăînăcazulăobligațiunilor) ܈iăcâ܈tigurileădinăcre܈tereaă
cursuluiăinstrumentelorăfinanciareăpeăpiață,ăadicăădiferențaădintreăprețulăcurentă܈iăprețulăînă
momentulăcumpărării.” 1
Rentabilitateaăabsolutăăseăcalculeazăădupăărelația:

unde: – rentabilitateaăunuiăactivăfinanciarăpentruăoăperioadăădeătimpăt;
– cotațiileăactivuluiăfinanciarăînregistrateălaămomentulăt -1ă܈iăt;
– venitul provenit în urma posesiei activului financiar în intervalul de timp t- 1ă܈iăt.
Înăaceastăărelație,ăcâ܈tigulă nu este reinvestit înainte de momentul t, ceea ce este admis în
cazulăînăcareăperioadaădeătimpăesteăscurtă.ăCaămăsurăărelativăăseăutilizeazăărataădeăre ntabilitate,ă
definităăprinărelația :
ሺ ሻ

unde: – rentabilitateaăaritmeticăăaăactivuluiăfinanciar,ăpentruăoăperioadăădeătimpăt.
Subăformăălogaritmică,ărataădeărentabilitateăseăcalculeazăădupăărelația:
(
)
Celeădouăărelațiiădeăcalculăducălaăsoluțiiădistincte,ădeoareceăseăaplicăăînăcondițiiă
diferite:ărentabilitateaălogaritmicăăseăaplicăăînăcazuileăînăcareărentabilitățileăactivelorăfinanciareă
urmeazăăoălegeănormalăăsauălog -normalăăcareăscadăvariațiileăextremeăpozitive.ăDacăăvariațiileă

1 Flavia Barna,ăGestiuneaăportofoliilorădeătitluriăfinanciare,ăSuportădeăCurs,ăUniv.ăd eăVest,ăTimi܈oara,ă2011 ,
pagina 16

6
deăcursăsuntămari,ărentabilitateaălogaritmicăăesteămaiămicăădecâtărentabilitateaăaritmetică (ln x
< x-1, pentru x>1).
Într-unăintervalădeătimpăT,ărentabilitățileăseăcumuleazăădupăărelațiile:
– rentbilitățiăari tmetice:
∏ሺ
ሻ
– rentabilitățiălogaritmice:ă
∑

Seăobservăăcăărentabilitățileălogaritmiceăsuntăaditive.ăDacăăîntr -un interval de timp
cuprinsăîntreă0ă܈iăTăunăactivăiaăvalorileă{ }, atunci rentabilitatea to talăăeste:
(
) (
) (
) (
)
Rentabilitateaălogaritmicăădepindeănumaiădeăprimulă܈iădeăultimulăcurs,ăspreădeosebireă
deărentabilitateaăaritmetică,ăundeăaditivitateaănuăseăverifică.
Exemplu:
Seăconsiderăăunăactivăfinanciarăcareăiaăpeărândăvalorileă100,ă150,ă100ăcuărentabilitateaă
totalăăegalăăcuă0.ăAceastăărentabilitateătotalăăseăpoateăîmpărțiăînădouăărentabilitățiăaritmeticeă
egaleăcuă0.5ă܈iă -0.(3).ăăMediaăaritmeticăăaăacestorădouăărentabilitățiăesteădiferităădeăzero,ăspreă
deosebireădeărentabilitateaălogaritmicăăcareăesteăegalăăcuă0.405ă܈iă -0.405.ăMediaărentabilitățiiă
logaritmiceăesteăevidentăegalăăcuăzero.
Rataămedieădeărentabilitateăseădeterminăăprinărelațiile:
– pentru rentabilitățiăaritmetice:
̅ [∏ሺ ሻ
]

– pentruărentabilitățiălogaritmice :
̅
∑

7
1.1.2. Rentabilitatea portofoliilor
Dacăăînăintervalulădeătimpăt -1ă܈iătăactiveleăfinanciareăcareăalcătuiescăportofoliulărămână
constante, atunci rentabilitatea portofoliului va fi:

unde: – valoarea portofoliului la începutul perioadei;
– valoareaăportofoliuluiălaăsfâr܈itulăperioadei ;
– fluxulăvenituluiădinăactiveăpeăperioadaăevaluată.

Rentabilitateaă unuiă portofoliuă alcătuită dină Nă titluriă esteă oă medieă ponderatăă aă
rentabilitațiloră titluriloră careă îlă alcătuiesc.ă Ponderileă reprezintăă proporțiileă dină capitală
investite în titlul i. La momentul t, rentabilitatea portofoliului este:
∑

cuăcondiția , ∑

Deciziaăalegeriiăformuleiădeăcalculădepindeădeădateleăexistente.ăPrimaăformulăăseă
foloseșteăcândăseăștiuăvalorileăsuccesiveăaleăportofoliului,ăiarăaădouaărelaĠieăcândăseăcunoscă
rentabilităĠileăactivelorășiăponderileăacestorărentabilităĠi.
ÎnăcazulăpieĠeiăbursiere,ăcândăindiceleăbursierăesteăponderatăprinăcapitalizareăbursieră,ă
rentabilitateaăseăcalculeazăădupăăformula :

unde reprezintăăindiceleădeărentabilitateăînămomentulăt .
“FolosireaăindicilorădeăpreĠăsubevalueazăăperformaĠaărealăăaăpieĠei.ăUnăindiceădeă
rentabilitateăaproximeazăăperformanĠaăpieĠei,ăcândădividendeleăseăincludăglobalăînăindiceă
(gestiuneăpasivă)ăsauăînătitlurileăcareăleăgenereazăă(gestiuneăactivă).”2
ÎnăfuncĠie deăretragereaăsauăadăugareaădeăfonduriănoiăînăportofoliu,ăseăutilizeazăătreiă
metodeăpentruăcalcululărentabilităĠii :

2 AlexandruăTodea,ăGestiuneaăportofoliului,ăSuportădeăCurs,ăUniv.ăBabe܈- Bolyai, Cluj Napoca, 2010, pagina 5

8
a) Rataădeărentabilitateăponderatăăprinăcapitaluri
EsteădeterminatăădeăraportulădintreăvariaĠiaăvaloriiăportofoliuluiășiămediaăcapitaluriloră
investiteăînăaceeașiăperioadăădeătimp.ăÎnăipotezaăcăăînăperioadaădeăevaluareăauăfostănăfluxuriădeă
capital,ăseăutilizeazăăformula:
∑

∑

unde – valoarea portofoliului la începutul perioadei;
– valoareaăportofoliuluiălaăsfârșitulăperioadei ;
– cash-flow-ul din data , cu dacăăs -auăadăugatăfonduriășiă dacăăs -au
retras fonduri;
T – perioadaătotalăădeătimpăaăevaluăriiărentabilităĠii.
Aceastăămetodăăareăavantajulăuneiă formule clare de calcul, dar în cazul mai multor fluxuri,
erorile pot fi mari.
b) Rataădeărentabilitateăinternă
Esteădeterminatăădeăcalcululăactuarial,ăcaăsoluĠieăaăecuaĠiei:
∑
ሺ ሻ
ሺ ሻ

unde – rata de rentabilitate i nternă .
Aceastăăratăădepindeădeăprimeleășiăultimeleăvaloriăaleăportofoliului,ădeămărimeaă
fluxurilorășiănuăseăiauăînăconsiderareăvalorileăintermediareăaleăportofoliului.
c) Rataădeărentabilitateăponderatăăînătimp
“Aceastăămetodăăpresupuneădescompunereaăperioadeiădeăevaluareăînăsubperioadeă
elementare în care compoz iĠiaăportofoliuluiă este fixă.ăRentabilitateaăpeăîntreagaăperioadăăTăseă
vaăcalculaăcaăoămedieăgeometricăăaărentabilităĠilorăcalculateăpeăsubperioade.ăSeăvaăobĠineăoă
medieă ponderatăă cuă lungimeaă subperioadelor.ă Rataă deă rentabilitateă ponderatăă înă timpă
presupuneăcăăfluxurileăgenerateădeăactiveleădinăportofoliuăsuntăreinvestiteăînăportofoliu.”3
Pentruăoăsubperioadă,ărentabilitateaăareăformula:
ሺ ሻ

3 Alexandru Todea, Gestiunea portofo liului,ăSuportădeăCurs,ăUniv.ăBabe܈- Bolyai, Cluj Napoca, 2010, pagina 6

9
unde ( ሻ – data când a avut loc fluxul de capital;
– valoarea portofoliului înainte de fluxul de capital.
Pentruăîntreagaăperioadă,ărentabilitateaăareăformula:
[∏ሺ
]

Dacăăseăpresupune căăfluxurileădeăcapitalăauălocălaăsfârșitulălunii,ăseăvaăputeaăcalculaă
aceastăăratăădeărentabilitateăînătimpăcontinuuăcuăajutorulăformulei :

[ (
) ∑ ቆ
ቇ
]
1.1.3. Rentabilitateaărelativă
Ratele de rentabilitate definite anterior aratăă performanĠeleă absoluteă aleă
plasamentelor.
Rentabilitateaă relativăă determinăă rentabilitateaă raportatăă laă oă referinĠă.ă Aceastăă
referinĠăăpoateăfi:ăbenchmarkăsauăpeerăgroupă(grupădeăportofoliiăcareăseăaseamănă).
Benchmark- urileăcaăreferinĠăăseăfolosescălaăalcătuireaăunuiăportofoliuăceătrebuieă
gestionat,ădarășiălaăevaluareaăgestiunii.ăÎnăfuncĠieădeăactiveleăcareăcompunăportofoliulășiădeă
strategiaădeăgestiuneăadoptatăădeăinvestitor,ăoăreferinĠăăbunăăseăcarcaterizeazăăprin :
– viabilitateășiă durabilitate;
– costuri mici;
– publicăriăregulate.

Unăbenchmarkăpoateăfiăunăindiceăbursierăsauăpoateăfiăconstruităînăașaăfelăîncâtăsaăfieă
apropiat de portofoliu.
 Benchmark-ul indice bursier
PiaĠaăbursierăăconĠineămaiămulteătipuriădeăindiciăbursieri.ăAlegerea titlurilor care vor
alcătuiăportofoliulădepindeădeă scopul indicelui:
– dacăăobiectivulăesteă să arateăevoluĠiaărapidăăaăpieĠei,ăelăseăcalculeazăăîncepândăcuăună
numărămicădeătitluri;

10
– dacăăobiectivulăesteăanaliza,ăvorătrebuiăcalculateăstatisticiăcuătendinĠeăpe termen mediu
șiălung,ădeoareceănumărulădeătitluriăesteămaiămare.
Existăădouăătipuriădeăindici:ăindiciădeăpiaĠăășiăindiciădiversificaĠi.
IndiciiădiversificaĠiăseăcalculeazăăpeăbazaăunuiănumărădeătitluriăcareăeliminăăaproapeă
completăriscul.ăAceștiăindiciăau rolulădeăaăarătaăevoluĠiaăîntregiiăburseășiăstructuraăacesteia.ă
IndiciiădeăpiaĠăăredauănumaiărisculăglobalăalăbursei.
ÎnăfuncĠieădeăstrategiaăinvestitorului,ăoăgestiuneăactivăăvaăfolosiăunăindiceădeăpiaĠă,ăiară
oăgestiuneăpasivăăvaăfolosiăunăindiceă diversificat, dar constant. Nefiindăposibilăăaceastăă
combinaĠie,ăs -aăcreatăunănouătipădeăindiceăcaăsoluĠie,ăcelădeătalieămedie.

 Benchmark-ul construit
Benchmark- ulăconstruitădeăcătreăinstituĠiiăfinanciareăspecializateăesteăunăindiceăcareă
permiteămăsurarea performanĠelorăunorăportofoliiăomogene,ăindiciăcumăarăfi:ăindiciăaiăvaloriloră
deăcreștere,ădeămicăăsauămareăcapitalizare,ădeăvenit.ăAuăfostădezvoltateăcaășiăbenchmarkă
construităportofoliiănormaleăcareăauăstructurăăaproapeăidenticăăcuăceaăaăportofoliuluiăg estionat.
Unăportofoliuănormalăesteăalcătuitădinătitluriăsusceptibileăaleăportofoliuluiăgestionat,ăcuăaceleașiă
ponderi. Unăastfelădeăbenchmarkăareăunăcostădeăgestiuneămare,ădarămăsoarăăcelămaiăbineă
performanĠaăportofoliilor.
Odatăăceăseăfixeazăăunăbenchmark,ăevaluareaăperformanĠeiăunuiăportofoliuădevineă
simplă.ăRentabilitateaărelativăădevineăoărentabilitateăactivăădatoratăădeciziilorăgestionaruluiășiă
are formula:

unde șiă suntărentabilitateaăportofoliuluiășiărentabilitateaăbenchmark -ului, în perioada
t.ă Caă șiă rentabilităĠileă absolute,ă numaiă rentabilităĠileă logaritmiceă sunt aditive, de aceea
rentabilitateaărelativeăevalueazăăgestiuneaăînăraportăcuăbenchmark -ul folosit, dar nu poate
folosi fonduri cu benchmark-uri diferite.

11
 Peer group-ul
Peer group- ulă reprezintăă ună grupă deă gestionariă caracterizaĠiă prină stilă identică deă
investiĠieăsauăinvestiĠiiăînăacelașiătipădeăactive.ăStilurileădeăinvestiĠieăaleăunuiăpeerăgroupăpotăfi
înăfuncĠieăde : randament,ăcapitalizareaăbursieră,ăvaloriădeăcreștere,ăetc.ăăÎnăcadrulăunăpeeră
group,ăpeăbazaărezultatelor,ăseăconstruieșteăunăclasamentăalăgestionarilor.
Construireaăunuiăpeerăgroupăseăfaceăpeăbazaăasocieriiăgestionarilorăpeăgrupe,ămetodăă
numităăclustering.ăAceastăămetodăăconstăăînămaximizareaăspaĠiuluiădintreăgrupe.
Spre deosebire de benchmark- ul,ăundeăportofoliulăgestionatăseăcomparăăcuăunulă
construit, în care nu sunt costuri, în peer group- uriătoĠiăgestionariiăau,ăînăgeneral,ăaceleașiă
costuri.ăDezavantajulăîlăreprezintăăcontinuitateaăfondurilorădinăcareăesteăalcătuităpeerăgroup -ul.
1.2. Riscul
Rata de rentabilitate nu este de ajuns pentru a evalua dacăă oă investiĠie este
avantajoasăăsauănu,ădeăaceeaăseăcalculeazăădeviaĠiileăacestorărateădeărentabilitate,ăpentruăa ăseă
Ġineăcontășiădeărisc.ăRisculăesteădispersiaăratelorădeărentabilitateăînăjurulăuneiăvaloriăscontate.ă
RisculășiărentabilitateaăsuntădouăăcaracteristiciădirectăproporĠionale,ăcuăcâtăcreșteăcâștigul,ăcuă
atâtășiă riscul crește.
a) RisculăuneiăinvestiĠiiăînăactiveăfinanciare
VarianĠa
RisculăunuiăactivăfinanciarăesteădatădeădispersiaărentabilităĠilorădeălaămedie.ăStatistic,ă
seămăsoarăăcuăajutorulăvarianĠeiă( ሺ ሻ)ășiăaăabateriiămediiăpătraticeă( ሺ ሻ). Pentru T
perioade de timp, riscul unui activ financiar este:
ሺ ̅ ሻ
∑( ̅ )

unde – rentabilitatea activului i pentru subperioada de timp t;
̅ – mediaăempiricăăaăactivuluiăi.
Dezavantajulă varianĠeiă esteă căă eaă considerăă risculă deă scădereă egală cuă risculă deă
creștere,ăiarăunăinvestitorăeliminăădoarărisculădeăscădere.ăÎnăacestăcazăseărecomandăăfolosireaă
semi-varianĠeiăpentruădeterminareaăriscului.

12
Semi-varianĠa
În determinarea semi- varianĠeiăseăiauăînăcalculădoarărentabilităĠileămaiămiciădecâtă
media,ăcuăscopulădeăaăavantajaăinvestitoriiăcuăaversiuneăfaĠăădeărisculănegativ.ăSeădeterminăă
prinărelaĠia:

∑ ሺ ̅ ሻ

CândădistribuĠiaărentabilităĠiiăesteăsimetricăă(urmeazăăoălegeănormală),ăsemi -varianĠaă
esteăegalăăcuăjumătateădinăvarianĠă.ă Dezavantajul semi- varianĠeiăconstăăînăestimareaăacesteiaă
dinăcauzaăinstabilităĠiiădistribuĠiilorăasimetrice.

MomenteleăparĠialeăinferioare
MomenteleăparĠialeăinferioareădeterminăărisculădeăscădereăaărentabilităĠiiăunuiăactivă
sub cea fixată deăinvestitor.ăMomentulăparĠialădeăordinănăpentruăunăactivăfinanciarăiăseă
calculeazăăcuăformula:
ሺ ሻ
∑ ቀ ( )ቁ

unde u – rentabilitateaăfixatăădeăinvestit or.
Pentruănț2,ăcuărentabilitateaăfixatăăegalăăcuărentabilitateaămedie,ămomenteleăpa rĠialeă
inferioare devin semi- varianĠă.ăPrinăcondiĠionareaăluiăn,ăinvestitoriiăseăcaracterizeazăăastfel:
– nȚ1,ăinvestitorăcăruiaăîiăplaceăriscul;
– n=1, investitor pe care nu î lăinteresezăăriscul;
– n>1,ăinvestitorăcuăaversiuneăfaĠăădeărisc.
Alteămăsuriăaleăriscului
Statistic,ărisculăseămaiămăsoaraăprin:
– amplitudineaăreprezintăăintervalulădeăvariaĠieășiăseăcalculeazăăcaădiferenĠaădintreăceaă
maiămareășiăceaămaiămicăărentabilitate:

( )
( )

13
– abatereaămedieăliniarăădeterminăămediaăabaterilorăînămodulăaărentabilităĠilorădeălaă
speranĠaăsa:

∑| ሺ ሻ|

– probabilitateaădeăaăobĠineărentabilitateănegativă,ăcareăseăcalculeazăăprinăprop orĠiaă
rentabilităĠilorănegativeădintr -oăperioadăădată.

b) DistribuĠiileăratelorădeărentabilitate
DistribuĠiaăratelorădeărentabilitateăurmeazăăoălegeănormalăăatunciăcândăseăcombinăă
concepteleă deă rentabilitateă șiă riscă cuă conceptuală medie -varianĠă.ă Legeaă normalăă verificăă
următoareleăproprietăĠi:
– depindeădoarădeămedieășiăvarianĠă;
– esteăsimetrică;
– 95% din valori sunt cuprinse în intervalul [ ]
Mandelbrotă(1963)ăăaădemonstratăcăădistribuĠiileăempiriceăaleărentabilităĠilorăauăoă
structurăămaiăascuĠităădecâtărentabilităĠileăcareăurmeazăăoălegeănormal,ăprezentândășiăoăserieădeă
cozi,ăefectăalăvariaĠiilorăextreme.
DisribuĠiileăunorărentabilităĠiăsaptămânaleăsauălunareăsuntămaiăapropiateădeălegeaă
normalăădecâtădistribuĠiileărentabilităĠilorăzilnice.

c) RelaĠiaădintreăperformanĠaăunuiăportofoliuășiăperformanĠaătitlurilorădinăcareăesteă
format
Rateleă deă rentabilitateă nuă variazăă înă modă independentă faĠăă deă piaĠă.ă Prină
demonstraĠiileăluiăKingă(1966)ăs -aăestimatăcăăaproximativă50șădinăoscilaĠiileăcursuluiăuneiă
firme sunt ex plicateădeăoscilaĠiileăgeneraleăaleăpieĠei,ă10șădeăsectorulădeăactivitateădinăcareă
faceăparteăfirmaășiă40șădeăparticularităĠileăfirmei.ăCo relaĠiaăcursuluiăacĠiunilorăseămăsoarăăprină
covarianĠă :

14
̂
∑ቀ ̅̂ ቁቀ ̅̂ ቁ

unde șiă – rateleădeărentabilitateăaădouăăactiveăiășiăj ;
̅̂ șiă ̅̂ – mediile empirice estimate.
Douăă acĠiuniă cuă oă covarianĠăă pozitivăă indicăă oă fluctuaĠieă înă acelașiă sens,ă iară oă
covarianĠăănegativăăindicăăoăfluctuaĠieăînăsensăopus.ăPentruăcomparareaăaădouăăacĠiuniăseă
utilizeazăăcoeficientulădeăcorelaĠie :
̂ ̂
̂ ̂
unde ̂ – estimaĠiaăcovarianĠeiădintreăacĠiunileăiășiăj;
̂ șiă ̂ – estimaĠiileăabaterilorămediiăpătratice.
CoeficientulădeăcorelaĠieăpoateăluaăvaloriăîntreă -1ășiă1, valorile apropiate de -1 având o
corelaĠieăputernicănegative,ăiarăceleăapropiateădeă1ăavândăoăcorelaĠieăpozitivă.ăÎnăpunctulă0ă
titlurileăsuntăindependenteăunulăfaĠăădeăcelălalt,ăadicăăsuntănecorelate.
Seăconsiderăăoăsumăădeăvariabileăaleatoareăcaăfiindă rentabilitatea unui portofoliu:
( ) ሺ ሻ ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ

( )

∑ ∑

ÎnăcondiĠiileăînăcareăițj,ă = , atunci expresia de mai sus devine:
( ) ∑ ∑

Seă observăă căă varianĠaă portofoliuluiă esteă directă proporĠionalăă cuă coeficienĠiiă deă
corelaĠieăaleătitlurilorădinăportofoliu.

15
1.3. Tipuri de portofolii
Portofoliileăinvestiționaleăseăpotăclasificaădup ăămai multe puncte de vedere, în func Ġieă
deăobiectivulăurmăritădeă investitor.
1.2.1. După tipul instrumentelor financiare din care sunt formate:
 portofoliiădeăacțiuni;
 portofoliiădeăobligațiuni;
 portofolii alc ătuiteădinăinstrumenteăspecificeăpiețelorămonetareă܈iăvalutare;
 portofolii echilibrate.
1.2.2. După relația risc-câștig :
 portofoliiănonriscante,ăcândăseăurmăre܈teămicșorareaăriscului,ădară܈iăaăprofitului ;
 portofoliiăsecurizate,ăcândăseăurmăre܈te reducerea riscurilor;
 portofoliiăprudente,ăcândăseăurmăre܈te oălegătură optimă întreărentabilitateă܈iă
risc,ăcuăcondițiiăconvenabileăpentruăinvestitor;
 portofoliiărentabile,ăcândăseăurmăre܈te maximizareaărentabilității,ăfărăăaăseățineă
cont de gradul de risc:
 portofolii speculative, când se doresc câștiguri rapide, cu asumarea unui risc
ridicat;
 portofolii de cre ܈tere,ăcândăseădore܈teă alocarea capitalului în instrumente cu
posibilităĠiă mari de câstig, dar si cu un grad mare de risc;
 portofolii clasice ,ăcândăseăurmăre܈teăobținereaăunorăcâștiguri peste medie, cu
asumarea un anumit grad de risc.
1.2.3. Înăfuncțieădeăregimulăfiscal:
 portofoliiăexonerate,ăalcătuiteănumaiădinăinstrumenteăfinanciareă scutite de la
plataătaxeloră܈iăimpozitelor ;
 portofolii impozabile, alcătuiteădinăinstrumenteăfinanciareăcareăproducăcâștiguri
impozabile.
1.2.4. Înăfuncțieădeăasemănareaădintreăinstrumentele careăalcătuiescăunăportofoliu:
 portofolii echilibrate ,ăalcătuiteădinăinstrumenteăfinanciareă(acțiuni,ăobligaț iuni,
devize, etc.)
 portofolii specializate , alcătuiteădinăinstrumenteăfinanciareădeăacela܈iătip .

16

Decizia unui investitor de a investi capitalulăînăinstrumenteăfinanciareăseăbazeazăăpeă
strategiaă investiționalăă adoptată,ă peă selecțiaă instrumenteloră financiareă ܈iă peă găsireaă uneiă
combinațiiăoptimeăînăfuncțieădeăaversiuneaăfațăădeăriscăaăinvestitoruluiă܈iărentabilitateaăsperată
de acesta.

1.4. Strategii de gestiune
Construireaăportofoliilorădeătitluriăfinanciareăseărealizeazăădupăăprincipiiăgrupateăînă
douăăcategorii : bottom-up șiătop -down. Prim aăcategorieăseăbazeazăăpeăselecĠiaăindividualăăaă
titlurilorădinăportofolii,ăiarăaădouaăpeăselecĠiaăclaselorădeătitluriăînăcareăseăvorăfaceăinvestiĠii.ă
Gestiunea portofoliilor presupune trei etape:
1) Repartizareaăstrategicăăaătitlurilor
Înăaceastăăetapăăseăstabilescăobiectiveleăinvestitoruluiășiăpeăbazaăacestoraăseăfaceă
repartiĠiaăportofoliuluiăîntreăclaseădeătitluri,ăpeătermenălung.ăDeăasemenea,ăseăstabileșteășiă
benchmark- ulădeăreferinĠăăpentruăcomparare.ăAceastăăetapăăesteăcunoscutăăsubănumeleădeă
Policy Asset Allocation.
DeterminareaărentabilităĠiiăesteădiferităădeălaăoăclasăădeătitluriălaăalta,ăclaseleăcuă
speranĠaădeăcâștigămareăsuntășiăceleămaiăriscante.ăÎnărepartizareaăstrategică,ăevaluareaăacĠiuniloră
seăpoateăfaceăprinădiferiteămetode.ăOămetodăăesteăDividendăDiscountăModel,ăprinăcareăseă
determinăărentabilitateaăpieĠelorădeăacĠiuniăprinăcalculareaăindividualăăaărentabilităĠiiăfiecăreiă
acĠiuni.ăOăaltăămetodăăconstăăînăevaluareaărentabilităĠilorăcronologiceăaăacĠiunilor.ăOăaătreiaă
metodăăconstăăînăscenarii,ărealizateă conform estimări lor viitoare ale economiei șiăinfluenĠeloră
asupra categoriilor de titluri.
ÎmpreunăăcuăacesteărentabilităĠiăestimateăaleăcategoriilorădeătiluri,ăesteănevoieășiădeă
coeficienĠiiădeăcorelaĠieăestimaĠi.ăAceștiăcoeficienĠiășiăproporĠiileăoptimaleă seădeterminăăcuă
ajutorul modelului de optimizare propus de Markowitz.
Dezavantajulă acesteiă metodeă constăă înă fluctuaĠiaă rentabilităĠiloră medii.ă Studiileă
efectuate de BlackășiăLittermană(1990)ăauăgăsitădouăăetapeăpentruăeliminareaăacestădezavantaj :

17
– portofoliileă deă piaĠăă seă considerăă optime,ă cuă proporĠiiă deă piaĠăă șiă extragereaă
rentabilităĠilorămedii;
– acesteăvaloriăseăcorecteazăăcuăestimareaăpieĠei.

2) Repartizareaătactică
Repartizareaătacticăăconstăăînăadapatareaăcontinuăăaăportofoliuluiăcuăscopulădeăaă
obĠineărezultateăpeătermenăscurt.ăSeăfoloseșteăportofoliulăstabilităprinărepartizareaăstrategicăășiă
seămodificăăstructuraăacestuia.ăOămetodăăcunoscutăăesteăceaădeă“marketătiming”.
3) SelecĠiaătitlurilor
PentruăfiecareăcategorieădeătitluriăfinanciareăseărealizeazăăselecĠiaăoptimală,ăprină
aplicareaămetodelorădeăevaluareășiăoptimizare.ăAceastăămetodăădureazăăcelămaiămultătimpășiă
esteărealizatăădeăgestionariăspecializaĠi.

Pentru gestiuneaăportofoliilorăseăutilizeazăăteoriileămoderneăaleăportofoliilor,ădarășiă
studiileădeăbazăăaleăanalizeiăfinanciare.ăÎnăcazulăfondurilor,ăgestiuneaăcantitativăăreprezintăă
tehnicaăceaămaiăimportantă.ăGestiuneaăfondurilorăseăîmparteăînădouăăcategorii:ă gestiunea
pasivăășiăgestiuneaăactivă.

a) Tehniciăpasiveădeăgestiune.ăGestiuneaăindicială .
StudiileăasupraăModeluluiădeăEchilibruăalăActivelorăFinanciareăauăarătatăcăărisculă
asociatăunuiăportofoliuăesteăexplicatăcuăajutorulărisculuiădeăpiață.ăDiversificareaăp ermite
diminuarea,ă sauă chiară eliminareaă acestuiă risc.ă Deă asemenea,ă ܈iă rentabilitateaă speratăă aă
portofoliuluiăvaăfiăexplicatăătotăprinărentabilitateaăpieței.ăGestiuneaăpasivăăreprezintăăurmărireaă
pieței,ăfărăăaăluaăînăcalculăestimărileăevoluțieiăsale,ăducân d la introducerea fondurilor indexate
(indiciale).ăAcesteăfonduriădeterminăăcheltuieliămici,ănuănecesităăanalizaăindividualăăaătiluriloră
܈iăniciăvânzăriăsauăcumpărăriăfrecvente.
Gestiuneaăpasivăăseămaiănume܈teă܈iăgestiuneăindicialăădeoareceăconstăăînăcopie rea
exactăăaăunuiăanumităindice.ăUnăportofoliuăgestionatăpasivăseăpoateăconstruiăprinădiferiteă
metode:

18
– copiereăintegralăă(“ full duplication ”): în portofoliu se vor afla toate titlurile indicelui,
proporționalăcuăcapitalizareaăbursieră;
– e܈antionareăpeăstraturiă(“stratifiedăsampling”):ăînăportofoliuăseăvorăaflaădoarătitlurileă
importanteăaleăindicelui.ăAceastăămetodăăesteăfolosităădeăcătreăceiăcareănuădeținăfonduriă
suficienteăpentruăoăcopiereăintegrală;
– copiereăparțială:ăînăportofoliuăseăaflăătitluriăaleăindicelui,ăcuăponderiăcareădeterminăăoă
corelațieăcâtămaiămareăîntreăelăsiă܈iăindiceleăcopiat.
Indiferentădeămetodaăaleasăădeăinvestitor,ăvorăexistaădiferențeădeărentabilitateăîntreă
portfoliulăacestuiaă܈iăindice.ăAcesteădiferențeăseănumescă“trackingăerrors”ă܈iăseămăsoarăăcuă
abaterea medie pătraticăăaăreziduurilorăregresiei:
̃ ̃

unde ̃ – rentabilitatea unui portofoliu pasiv la momentul t;
̃ – rentabilitatea indicelui cu dividente la momentul t.
Alteăposibilitățiădeăgenerareăaăerorilor:
– schimbareaăcompozițieiăindicilorăbursieri,ăcaăurmareăaăunorăachiziții,ăcre܈teri/scăderiădeă
capital;
– cheltuieliădeătranzacționare,ăcaăurmareăaăreinvestiriiădividendelor;
– întârzierea introducerii dividendelor în indice.

b) Tehnici active de gestiune
Gestiuneaăactivăăreprezintăămetodaăprinăcareătitlurileăsuntăincluseăînăportofoliuăpeă
bazaăselecției.ăInvestitorulăvaăselectaătitlurileăpeăbazaăcalitățiloră܈iănuădupăăproveniențaăloră
dintr-unăsectorădeăactivitateăsauăindice.ăÎnăgestiuneaăactivăăscopulăesteădeăaăobțineăperfor manțeă
mai mari decât benchmark- ulăreferință.
Acestătipădeăgestiuneăaăportofoliilorăseăbazeazăăpeăoălipsăădeăeficiențăăaăpiețelor,ă
deoareceăpeăperioadeăfoarteămici,ăcursurileăactivelorănuăsuntăechilibrateă܈iăastfelăseăpoateă
obțineăprofit.ăÎnăcazulătitlurilorăindividuale,ăgestiuneaăactivăăpoartăănumeleădeă“stockăpicking”,ă

19
înăcazulăclaselorădeăactiveăseănume܈teă“activeăassetăallocation”,ăiarăpentruăestimareaăevoluțieiă
piețeiăseănume܈teă“marketătiming”.
Spreădeosebireădeăgestiuneaăpasivă,ăportofoliileăgestionateăactivăsuntăalcătuiteădinămaiă
puțineătitluriă܈iăcosturiămaiăridicate,ădeoareceăpresupuneăanalizaăfiecăruiătitluăînăparte.

20
CAPITOLUL II
Modele de selecție și de gestiune ale unui portofoliu investițional

2.1. Rolul portofoliului în reducerea riscului. Efectul de diversificare.
Diversificareaăreprezintăămetodaăprinăcareăunăinvestitorăreduceărisculăprinăinvestireaă
capitaluluiăînămaiămulteătitluri.ăSuccesulăuneiăbuneădiversificăriădepindeădeănumărulădeătitluriă
incluseăînăportofoliuă܈iăd e caracteristicile acestora.
Seăconsiderăădouăătitluriăcuăacelea܈iăsperanțeăaleărentabilitățiiăE.ăCândăcapitalulăesteă
investităînăproporțiileă ܈iăă înăacesteădouăătitluri,ărentabilitateaăscontatăăaăportofoliuluiăseă
determinăăcaămedieăponderatăăaărentabilitățilorăscontateăaleăcelorădouăătitluri:
( ) ሺ ሻ ሺ ሻ
Astfel,ăvarianțaăportofoliuăalcătuitădinădouăătitluriăseăscrieăsubăforma:

unde reprezintăăvarianțeleărentabilitățiloră܈iă covarianța.
Covarianțaăesteăunăelementăimportantăînăcadrulădiversificării,ădeoareceăatunciăcândă
douăătitluriănuădepindăîntreăele,ăcovarianțaăvaăfiănulă.ăAstfel,ăproporțiileărelativeă ܈iăă se vor
alegeău܈orăpentruăcaărisculăportofoliuluiăsăăfieămaiămicădecâtărisculăfiecăruiătitlu.ăDeăexemplu,ă
dacăăvarianțeleăaădouăătitluriăsuntăegale,ă ,ă܈iăcovarianțaăesteănulă,ăatunciărisculă
portofoliuluiăînăcareăseăinveste܈teăegalăînăceleădouăătitluriăeste:
ሺ ሻ ሺ ሻ

Portofoliul va avea o varianțăăegalăăcuăjumătateădinăvarianțaăfiecăruiătitlu.ăDeoareceă
rentabilitateaăscontatăănuăesteămic܈orată,ăeaăfiindăegalăăcuăE,ăacestătipădeăportofoliuăesteă
potrivităpentruăaceiăinvestitoriăcuăaversiuneăfațăădeărisc.
Următoareleăexempleăaratăăcumăcoeficiențiiădeăcorelațieădintreărentabilitățileătitluriloră
influențeazăărisculăportofoliului.

21
Exemplul 1:
Fieăunăportofoliu,ănotatăpf,ăînăcareăinvestitorulăalocăăînămodăegalăcapitalulăînădouăă
acțiuniăastfel:

Speranțaărentabilitățiiăportofoliuluiăformatădinăacesteădouăăacțiuniăvaăfiăegalaăcuă0.15,ă
indiferentădeăcoeficientulădeăcorelațieă .ăRisculăportofoliului,ăadicăăabatereaămedieăpătratică,ă
vaăfiăînăfuncțieădeăcoeficientulădeăcorelație.
Atunciăcândădouăă acțiuniăsuntăcorelateăîntreă eleă܈iăcoeficientulădeă corelațieăareă
valoareaă1,ăvarianțaăportofoliuluiăvaăfi:

ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻሺ ሻ

Abatereaămedieăpătraticăăvaăfi:
√ √
Înăacestăcaz,ădiversificareaănuăesteăutilă,ărisculăportofoliuluiăfiindăegalăcuăriscurileă
individualeăaleăcelorădouăătitluri.
Atunciăcândăcoeficientulădeăcorelațieăareăvaloareaă0.5,ăvarianțaă܈iăabatereaămedieă
pătraticăăsunt:
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻሺ ሻሺ ሻ

cuăabatereaămedieăpătraticăăegalăăcu:ă
√ √
Necorelareaăîntreăceleădouăătitluriăaăscăzutărisculăportofoliului.ăAceastăăscădereăesteă
cuăatâtămaiămareăcuăcâtăcoeficientulădeăcorelațieătindeă spre -1.ăAstfel,ădacăă , atunci
abatereaămedieăpătraticăăvaăfiă .

22
Cândăceleădouăătitluriăsuntăcorelateănegativ,ă , riscul portofoliului scade
mai mult, fiind egal cu . În cazul în care titlurile sunt perfect necorelate, cu
,ădiversificareaăexcludeărisculăadmisădeăcătreăinvestitor,ăacestaăfiindăă
Acestăexempluăaratăăcumădiversificareaănuăproduceăniciăunăefectăasupraărisculuiă
atunciăcândăcoeficientulădeăcorelațieăesteă+1,ădarăcândăesteăegalăăcuă -1 are influențeămaximeă
asupra riscului.
Exemplul 2:
Unăinvestitorăalcătuie܈teă11ăportofolii,ăînăcareăsperanțaă܈iăabatereaămedieăpătraticăăaă
douăăacțiuniăsunt:

Investițiileăînăceleă11ăportofoliiăsunt:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
Aceastăăalocareăaăacțiunilorădeterminăăoăcre܈tereăliniarăăaăsperanțeiăportofoliilor,ădeălaă
primul la ultimul:
I.
II. ,
III. , ;

23
IV. ,
V. , ;
VI. ,
VII. ,
VIII. ,
IX. ,
X. ,
XI. ,
Coeficientulădeăcorelațieădintreărentabilitățileăcelorădouăăacțiuni va determina riscul
portofoliilor:

I. 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05
II. 0.052 0.0488 0.0455 0.0419 0.038
III. 0.054 0.0485 0.0423 0.0351 0.026
IV. 0.056 0.049 0.0408 0.0305 0.014
V. 0.058 0.0502 0.041 0.0290 0.002
VI. 0.06 0.0522 0.043 0.0312 0.01
VII. 0.062 0.0548 0.0465 0.0363 0.022
VIII. 0.064 0.0579 0.0512 0.0434 0.034
IX. 0.066 0.0616 0.0569 0.0517 0.046
X. 0.068 0.0656 0.0631 0.0606 0.058
XI. 0.07 0.07 0.07 0.07 0.07
Tabelul 2.1 – RisculăasociatăportofoliilorăcuădiferiĠiăcoeficienĠiădeăcorelaĠie

Seă poateă observaă cumă risculă portofoliiloră scadeă odatăă cuă apropiereaă deă -1 a
coeficientuluiădeăcorelație.ăCazulăînăcareărisculăesteăzeroăseăobțineăatunciăcândăceleădouăă
acțiuniăsuntăperfectănecorelate.ăFolosindănotațiileăăă ܈iă varianțaăvaăfi:
ሺ ሻ ሺ ሻ
[ ሺ ሻ ]

24
Abatereaămedieăpătraticăăvaăfiăegalăăcu:
ሺ ሻ
Riscul este zero când
.

Speranțaăportofoliuluiăînăacestăcazăvaăfi egalăăcu:ă
ሺ ሻ .
Pentruă caă ună investitoră săă obținăă oă diversificareă eficientă,ă trebuieă săă adaugeă înă
portofoliulăsăuăinvestiționalătitluriăcuărentabilitățiăcâtămaiăpuținăcorelate.ăAtunciăcândăaceastăă
diversificare nu e liminăăînătotalitateărisculăunuiăportofoliu,ăinvestitorulăpoateădiminuaăacestăriscă
prinănumărulădeătitluriăincluseăînăportofoliu.
SeăconsiderăăunăportofoliuăalcătuitădinăNătitluriăcuăinvestițiiăegaleăînăfiecareătitlu.ă
Varianțaăunuiăastfelădeăportfoliuăeste egalăăcu:

ሺ ሻ
ሺ
ሻ
AceastăărelațieăcuăNăvarianțeă܈iăN(N -1)ăcovarianțeăseăpoateăscrieă܈iăsubăforma:
̅

ሺ ሻ ̅̅̅̅̅̅ ̅

̅̅̅̅̅̅̅
unde ̅ esteăvarianțaămedieă܈iă ̅̅̅̅̅̅ esteăcovarianțaămedie.ă
Atunci când ,ăvarianțaăportofoliuluiă tinde spre ̅̅̅̅̅̅.ăÎnăfuncțieădeănumărulă
de titluri din portofoliu, între 1- 5ătitluriăreducereaărisculuiăăseăobțineăfoarteărepede,ăîntreă6 -20
titluri destulădeărepedeă܈iăîncetăpesteă20ădeătitluri,ădeci,ăincludereaăunuiănumărămicădeătitluriăînă
portofoliuăreduceăsubstanțialăriscul.

2.2. Modelul Markowitz
Modelul Markowitz4 poartăănumeleăceluiăcareăaădescoperitălegăturaădintreărisculă܈iă
rentabilitateaăunuiăportofoliuăinvestițional.ăUnăarticolăalăluiăHenryăMarkowitzădinăanulă1952ă
reprezintăăsursaăteorieiăportofoliilor,ăpentruăcareăaăprimităpremiulăNobelăînă1990ăîmpreună cu
Sharpeă܈iăMiller.ăMarkowitzăaădezvoltatăoăteorieăaăalegeriiăportofoliilorăîntr -un viitor care

4 Harry Markowitz, The Journal of Finance, Vol.7, No.1, 1952, pg. 77-91

25
păreaăneclar,ăarătândădiferențaădintreărisculăunuiăactivăalăportofoliuluiăluatăindividuală܈iăărisculă
total al portofoliului, utilizând media pentru rentabilitatea s contatăă șiă varianĠaă pentruă
incertitudineaăobĠineriiăacesteiărentabilităĠi.
MarkowitzăconsiderăăînsăăcăărateleădeărentabilităĠiăvariazăăînăfuncĠieădeărisc.ăIpotezaă
căăinvestitorulădoreșteădoarămaximizareaărentabilităĠiiătrebuieăabandonatăădeoareceăeaăignoră
imperfecĠiunileăpieĠeiășiăfaptulăcăăexistăăunăprotofoliuădiversificabilăcareăesteăpreferatătuturoră
celorlalte protofolii nediversificate. Prin combinarea mai multor titluri în portofoliu se pot
obĠineărentabilităĠiăsuperioareăpentruărisculăasumat,ăiarărenunĠareaăaătehnicileădeăoptimizareă
presupuneăasumareaăunuiăriscăînăplus.ăModelulăurmeazăăoăserieădeăipotezeăreferitoareăatâtălaă
rentabilităĠileăportofoliilor,ăcâtășiălaăcomportamentulăinvestitorilor:
1) InvestiĠiileă suntă alocateă înă condiĠiiă deă incertitudine,ă c u un risc asumat.
Rentabilitateaăactivelor,ăpentruăunăintervalădeătimpăviitor,ăesteăoăvariabilăăaleatoareă
careăurmeazăăoălegeănormalăădeăprobabilitate.ăDistribuĠiaărentabilităĠilorăseădescrieă
prinămedieășiăvarianĠăăconstanteăînătimp;
2) RentabilităĠileăactivelorăsuntăcorelate,ăeleănefiindăindependenteăunaăfaĠăădeăcealaltă.ă
ElementeleădinămatriceaădeăcovariaĠieăsuntănenule;
3) InvestitoriiăauăunăgradăvariabilădeăaversiuneăfaĠăădeărisc,ădescrisăprinăabatereaămedieă
pătraticăăaărentabilităĠilor;
4) InvestiĠiileăseăcalculeazăăpeăoăperioadăădeătimpăegalăăpentruătoĠiăinvestitorii;
5) SeăconsiderăăcăăinvestitoriiăsuntăraĠionali.ăSeăutilizeazăăoăfuncĠieădeăutilitateăcareă
maximizeazăăsperanĠaădeăutilitateăaăprimelorădouăămomente.
ProporĠiileăoptimaleă seădeterminăăînădouăăfaz e:
– seădeterminăătoateăportofoliileădominanteă(eficiente)ăcareăconstituieăfrontieraăeficientăă
înăplanulăsperanĠăă– abatereămedieăpătratică;
– seăidentificăăportofoliulădeăpeăfrontieraăeficientăăcareămaximizeazăăfuncĠiaădeăutilitate.
Portofoliile care se pot c onstruiăseăreprezintăăprintr -unăpunctăînăspaĠiuă( ),
limitate la nord- vestădeăoăcurbăăcareălimiteazăădomeniulăportofoliilorăfezabile.

26

Figura 2.1 – FrontieraăeficientăăasociatăăModeluluiăMarkowitz
PortofoliulăP’ănuăesteăfezabil,ădeoareceănuăexistăăaceaăcombinaĠieădeăactiveăcareăs ă
ofereăoăsperanĠăădeărentabilitateămareăpentruăunăriscăasumat.ăPortofoliulă vaăfiăalesădeăcătreă
investitoriiăcareăauărenunĠatălaătehnicileădeăoptimizare,ăoferindu -iăoăsperanĠăădeărentabilitateă
pentru riscul .ăUnăinvestitorăraĠionalăvaăînlocuiăportofoliulă cu ,ăcareăoferăăoăsperanĠăădeă
rentabilitateămaiămareăpentruăacelașiărisc.ăDacăăinvestitorulăareăaversiuneăfaĠăădeărisc,ăvaă
înlocui portofoliul cu ,ădeoareceăoferăăaceeașiăsperanĠăădeărentabilit ate pentru o valoare a
risculuiămaiămică.ăAstfel,ăportofoliulă este dominat de portofoliile șiă . Portofoliul se
aflăăpeăcurbăășiăesteădominatădeăportofoliulă pentruăcăăareăoăsperanĠăădeărentabilitateămaiă
mare pentru un grad de risc mai mic.
Înăgeneral,ătoateăpuncteleăcareăadmităoătangentăălaăcurbăăcuăpantăănegativăăsuntă
ineficiente,ăeleăfiindădominateădeăceleădeăpeăcurbăăcareăadmităoătangentăăcuăpantăăpozitivă.
2.2.1. Frontiera eficientă fără activul fără risc
ReprezentareaăpeăfrontieraăeficientăăaăcombinaĠieiădeăNăactiveăriscanteăseădefineșteăcaă
fiindăportofoliileăfezabileăcuăceaămaiămicăăvarianĠăăpentruăoăsperanĠăădeărentabilitateă .
CalcululăproporĠiiloră prinăminimizareaăvarianĠeiăseăfaceăprinăformula:
∑ ∑

27
cuărestricĠiile:
∑

∑

CuăajutorulăfuncĠieiăLagrange,ăpentruăfiecareă , se va minimiza expresia:
∑ ∑

(∑
) (∑
)
Calculul derivatelo răparĠialeăduceălaăunăsistemăcuăN+2ăecuaĠiiăliniareăcuăN+2ănecunoscute:

∑ ሺ ሻ ̅̅̅̅̅̅

∑ ሺ ሻ

∑

Acestăsistemăseăpoateăscrieăsubăformăămatriceală:ă

unde:

[

]

28

[

]

[

]

VectorulăX,ăpentruăoăsperanĠăă va fi:
AceastăămetodăăareădezavantajulăcăăacceptăășiăvaloriănegativeăpentruăproporĠiaă .
2.2.2. Frontiera eficientă cu activ ul fără risc
Activulăfărăăriscăoferăăoărentabilitateăsigurăăpentruăoăperioadaăînăcareăaăfostăselectată
portofoliulăoptimalășiăesteănotatăcuă .
Înăcazulăunuiăportofoliuăcuăactiveăriscante,ăfrontieraăeficientăăesteăreprezentatăădeă
partea superioarăăaăuneiăcurbe.ăInvestitoriiăalegădeăpeăaceastăăcurbăăportofoliiăeficienteăînă
funcĠieădeărentabilitateaăscontatăăsauădeăaversiuneaăfaĠăădeărisc.ăPortofoliileăcareăconĠinăactiveă
fărăăriscătransformăăfrontieraăeficientăădintr -oăcurbăăînădreaptă.

Figura 2.2 – Frontieraăeficientăăînăcazulăactivuluiăfărăărisc

29
SeăconsiderăăunăpunctăAăaflatăpeăfrontieraăeficientăăCășiăunăportofoliuăalcătuitădin:
– dinăcapitalulădisponibilăseăinvesteșteăoăproporĠieăxăînăportofoliulăriscantăA;
– restulăcapitalului,ăadicăă(1 -X),ăseăinvesteșteăîntr -oăratăăfărăăriscă .
Astfel,ăportofoliulăseăcaracterizeazăăprin:
ሺ ሻ ሺ ሻ
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
Portofoliileădeăpeăsegmentulădeădreaptăă dominăăportofoliileădeăpeăcurbaăBA,ăceleă
de pe segmentul leădominăăpeăceleădeăpeăcurbaăBM.ăPortofoliileădeăpeădreaptaă au o
speranĠăădeărentabilitateămaiămareădecâtăceleădeăpeăcurbaăC,ăcuăunăgradădeăriscăasumat.ăActivulă
fărăăriscăîmbunătăĠeșteălegăturaădintreărentabilitateășiărisc.
ÎnăpunctulăMăcapitalulăseăalocăăînăactiveăriscante,ăiarăînăpunctulă seăinvesteșteăînă
activulăfărăărisc.ăPentruăobĠinereaăunuiăportofoliuăpeădreaptaădeăeficienĠăă(laădreaptaăluiăM),ă
este nevoie de un împrumut la oăratăăfărăăriscășiăinvestireaăacestuiaăînăportofoliulăMădeăactiveă
riscante.
ÎnăcazulăexistenĠeiăactivuluiăfărăărisc,ăoptimizareaăportofoliuluiăseăfaceăînădoiăpași:
– seăoptimizeazăăportofoliulădeăactiveăriscante,ărezultândăoăconfigurareăaăportofoliuluiăMă
la felăpentruătoĠiăinvestitorii;
– seăformeazăăoăcombinaĠieăoptimăăîntreăactiveleăriscanteășiăactivulăfărăăriscăînăfuncĠieădeă
aversiuneaăfaĠăădeăriscăsauăatracĠiaăfaĠăădeăprofităaăinvestitorului.
AceastăăseparareăaăinvestiĠieiăesteăcunoscutăăsubănumeleădeăteoremaăseparaĠieiă
fondurilor.
Pentru a fixa pe dreapta unăportofoliuăeficientătrebuieăsăăseăcunoascăăecuaĠiaăacesteiă
drepte.ăAcesteăportofoliiădeăpeădreaptăăseăcaracterizeazăăprin:

ሺ ሻ ሺ ሻ
ሺ ሻ

30
PantaădrepteiădeăeficienĠăăareăformula:

ሺ ሻ
ሺ ሻ
EcuaĠiaădrepteiăcareătreceăprinăpuncteleă șiăMăeste:
ሺ ሻ
ሺ ሻ
Înăpractică,ăesteădificilădeăgăsităstructuraă ̅̅̅̅̅ a portofoliului M.

2.3. Modelul de piață
DinăexperienĠaăinvestitorilorăs -aăconstatăcă:
– variaĠiileătitlurilorădepindădeăvariaĠiileăpieĠeiăgenerale;
– titlurile se descriu a fi volatile, atunci când prezin tăăsensibilitateăfaĠăădeămișcărileă
pieĠei.
ModelulădeăpiaĠăăprezintăălegăturaădintreărentabilitateaăunuiătitluășiărentabilitateaă
pieĠei.ăFactoriiăcareăinfluenĠeazăăpiaĠaă(factoriăexterni,ămacroeconomici,ăpolitici,ăetc.)ămodificăă
șiăcursulăunuiătitlu,ăînăacestăcazăfiindăvorbaădespreărisculădeăpiaĠă.ăDarăcursulăunuiătitluăpoateă
variaășiădinăcauzaăfactorilorăsocietăĠii,ăfiindăvorbaădespreărisculăspecific.
IdeeaămodeluluiăesteăcăăfluctuaĠiaăcursuluiăunuiătitluăesteădeterminatăăatâtădeăpiaĠă,ăcâtă
șiădeăalĠiăfactoriăspecifici.ăFormulaăcaracteristică,ăreprezentatăăprintr -oădreaptă,ăconĠineăoăpantăă
șiăoăordonatăă .ăEcuaĠiaădrepteiăpentruăperechileădeăpuncteă( ) va fi:

unde – rentabilitateaăacĠiuniiăj,ălaămomentulădeătimpăt;
– rentabilitateaăpieĠei,ălaămomentulădeătimpăt;
– parametruăspecificăfiecăreiăacĠiuni,ăcareăaratăălegăturaădintreăvariaĠiileăacĠiuniiăjășiă
variaĠiileăpieĠei;ăseămaiănumeșteășiăcoeficientăd e volatilitate beta;
– variabilăăparticularăăacĠiuniiăjădescrieătotalitateaăfactorilorădeăinfluenĠă,ăcareănuă
aparĠinăpieĠei;

31
– parametruăcareăindicăăintersecĠiaădrepteiădeăregresieăcuăordonata;ăreprezintăă
rentabilitatea titlului j când rentab ilitateaăpieĠeiăesteă0.
CoeficientulădeăvolatilitateăbetaăesteăegalăcuăcovarianĠaădintreărentabilitateaătitluluiăjășiă
rentabilitateaăpieĠei :

Conform teoriei moderne a portofoliilor, reprezintăă elementulă deă măsurareă aă
risculuiăsistematic.ăCuăcâtăunătitlurileăunuiăportofoliuăconĠinăunăcoeficientăbetaămaiămare,ăcuă
atât portofoliul este mai riscant.
DiferenĠaădintreărisculăsistematicășiărisculăspecificăseăcalculeazăăpornindădeălaămodelul
deăpiaĠă,ăprinăaplicareaăvarianĠei:
( ) ( ) ( ) ( ) ሺ ሻ ( )
ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ
Risculăsistematicăesteăegalăcuăbeta/abatereaămedieăpătraticăăaăpieĠei:ă ሺ ሻ.
Risculăspecificăesteăegalăcuăabatereaămedieăpătraticăăaăreziduului:ă ( ) șiămăsoarăă
fluctuaĠiaăproprieăaătitlului.
Riscul portofoliu depinde de trei factori:
– riscul individual al titlului;
– covarianĠaădintreărandamenteleătitluri lor;
– numărulădeătitluri.
SeăconsiderăăunăportofoliuăalcătuitădinăNătitluriășiă proporĠiaăalocatăătitluluiăi,ăundeă
∑
.ă Randamentulă portofoliuluiă esteă egală cuă mediaă ponderatăă aă randamenteloră
titlurilor care îl compun: ∑
. DacăăînăloculărandamentuluiăjădinămodelulădeăpiaĠăă
seăadaugăărandamentulăportofoliului,ăatunci:
∑ (∑
) ∑

Seăobservăăcăă șiă din portofoliu sunt egale cu mediile ponderate ale lui șiă ale
fiecăreiăacĠiuni.

32
Presupunândă căă titlurieă individualeă auă risculă specifică egală ( ሺ ሻ ), atunci riscul
portofoliuluiăechiponderat,ăalcătuitădinăNătitluri,ăesteăegalăcu:
( ) ሺ ሻ ሺ ሻ

Atunci când ,ăvarianĠaă portofoliuluiăvaătindeăcătreă ሺ ሻ, cu riscul
specific egal cu 0.
Riscul specific poate fi eliminat prin diversificare, iar riscul sistematic poate fi fixat.
Titlurileăcareăalcătuiescăportfoliulăpotăfiăaleseăpentruăcaăacestaăsăăfieădiversificatășiăsăăaibăă
coeficientul beta dorit. În cazu lăportofoliilorăalcătuiteădintr -unănumărămareădeătitluri,ăvariaĠiileă
propriiăaleăportofoliuluiătindăspreă0,ărămânândădoarăvariaĠiileăcauzateădeăpiaĠă.

2.4. Modelul de Echilibru al Activelor Financiare
AcestămodelăconsăăînăevaluareaăpreĠurilorăactivelorăfinanciareăînăcondiĠiiădeăechilibru,ă
înăfuncĠieădeăcomportamentulăinvestitorilor.ăSpreădeosebireădeămodelulădeăpiaĠă,ăcareăesteă
empiric,ămodelulădeăechilibruăalăactivelorăfinanciareăseăbazeazăăpeăaxiomeășiăformule.
Seăconsiderăă – proporĠiaădinăcapitalăinvestită înăactivulăfărăăriscășiă
proporĠiaădinăcapitalăinvestităăînăactiveăcuărisc.ăAtunci,ăsperanĠaăportofoliuluiăPăvaăfi:
( ̃ ) ሺ ሻ ሺ ̃ ሻ
Riscul asociat va fi:
( ̃ ) ሺ ሻ ( ̃ )
undeăvarianĠaăactivuluiăfărăăriscășiăcovarianĠaădintreăactivulăfără riscășiăportofoliulădeăactiveăcuă
risc sunt 0.
Dacăăseăeliminăă vomăobĠine :
( ̃ ) ቆ ( ̃ )
ሺ ̃ ሻቇ ( ̃ )
Activulăfărăăriscămodificăăfrontieraăeficientă,ăaceastaădevenindăoădreaptă.ăRisculă
portofoliuluiăscadeăpentruăoăanumităărentabilitate,ăinvestitorulădorindășiăunăactivăfărăăriscăînă
portofoliu.

33
Investitorul va alege de pe noua frontiera punctul care corespunde
comportamentuluiăsău:
– poateăîmprumutaăfărăălimităălaăoăratăă șiăsăăinvesteascăăoăsumăămareăînăactiveăcuă
risc, în acest caz situându- seăpeădreaptă;
– poate investi doar fonduri proprii, în acest caz situându-se între .
AtunciăcândăexistăăunăactivăfărăăriscășiămaiămulĠiăinvestitori,ăfrontieraăeficientăăseă
numeșteădreptăădeăpiaĠă,ăcuăurmătoareaăecuaĠie:
( ̃ ) ቆ ( ̃ )
( ̃ )ቇ ( ̃ )
AceastăăecuaĠieăreprezintăărelaĠiaădintreărentabilitateaășiărisculăportofoliilorăeficiente.
Seăconsiderăăunăactivăriscantăiăoarecare.ăÎnăportofoliulăPăseăinvesteșteăproporĠiaăxăînă
activulăi,ăiarăînăportofoliulădeăpiaĠăăMăseăinvesteșteăproporĠiaă(1 -x). Acest portofoliu va avea
speranĠaărandamentuluiăegalăăcu:
( ̃ ) ( ̃ ) ሺ ሻ ( ̃ )
iar riscul egal cu:
( ̃ ) [ ( ̃ ) ሺ ሻ ( ̃ ) ሺ ሻ ሺ ̃ ̃ ሻ]

Dacăăiăseăatribuieăluiăxăvaloriăîntreă0ășiă1,ăseăcreeazăăoăcurbăă pe care se vor afla toate
portofoliileăPăcareăcombinăăactivulăriscanăiăcuăportofoliulădeăpiaĠăăM.ăPantaădrepteiătangenteălaă
curbăăcalculeazăădupăăformula:
( ̃ )
( ̃ ) ( ̃ )

( ̃ )

Aceste derivate, în raport cu x, vor deveni:
( ̃ )
( ̃ ) ( ̃ )
respectiv:
( ̃ )
( ̃ ) ( ̃ )ሺ ሻ ሺ ̃ ̃ ሻሺ ሻ
ሺ ̃ ሻ

34
SimplificândăacesteărelaĠii,ăpantaădrepteiăvaăfiăegalăăcu:
( ̃ )
( ̃ ) [ ( ̃ ) ( ̃ )] ( ̃ )
[ ( ̃ ) ( ̃ ) ሺ ̃ ̃ ሻ] ( ̃ ̃ ) ( ̃ )
PantaătangenteiălaăfrontieraăeficientăăînăpunctulăM,ăînăcondiĠiiădeăechilibruăeste:
( ̃ )
( ̃ )ሺ ሻ [ ( ̃ ) ( ̃ )] ( ̃ )
( ̃ ̃ ) ( ̃ )
AceastăăpantăătrebuieăsăăfieăegalăăcuăpantaădrepteiăpieĠeiădeăcapital:
( ̃ ) [ ( ̃ ) ]
( ̃ ) ( ̃ ̃ )
Coeficientulădeăvolatilitate,ăbeta,ăesteăestimatăcuăajutorulărelaĠiei:
ሺ ̃ ̃ ሻ
( ̃ )
ğinândăcontădeăaceste relaĠii,ăecuaĠiaăModeluluiădeăEchilibruăalăActivelorăF inanciare
este:
( ̃ ) [ ( ̃ ) ]
Rata de rentabilitate aăunuiăactivăriscantă,ăînăcondiĠiiădeăechilibru,ăesteărataăactivuluiă
fărăăriscăîmpreunăăcuăoăprimăădeărisc.ăPrimaădeăriscăesteăproporĠionalăăcuărisculădeăpiaĠăă
asumat.
ConcluziileăacestuiămodelădezvoltatăpentruăoăpiaĠăăeficientăăsunt:
– un investitor de tip raĠionalăvaăalegeămereuăunăportofoliuădeăpiaĠă,ăîmpreunăăcuăunăactivă
fărăărisc;
– relaĠiaădintreărisculădeăpiaĠăășiărentabilitateădefineșteăpreĠulăriscului,ăadicăădepindeă
numai de beta.
PreĠulălaăechilibruăseăcalculeazăăfolosindăsperanĠaărandamentuluiădatăă de model:
( ̃ ) ( ̃ ) ( ̃ )
( ̃ )

unde ( ̃ ) – speranĠaărentabilităĠiiăactivuluiăj,ăpeătermenăscurtăfiindăconstantă ;
( ̃ ) – dividenteleădinămomentulătăpânăăînămomentulăt+1;

35
( ̃ ) – preĠulădeăechilibruăînămomentulăt;
( ̃ ) – preĠulăanticipatăînămomentulăt,ăpentruămomentulăt+1.

Exemplu:
SeăconsiderăăsperanĠaărandamentuluiăunuiăactivădeă10ș.ăActivulăesteăcotatălaă1000ădeă
unităĠiămonetare,ăinvestitoriiăanticipândădividendeăînăvaloareădeă40ădeăunităĠiămonetareăpentruă
fiecare acĠiuneășiăunăcursădeă1060ădeăunităĠiămonetareălaăfinalulăperioadei.ăAplicândăformulaăseă
obĠineăpreĠulădeăechilibru:

Dupăă publicareaă rapoarteloră anuale,ă investitoriiă îșiă schimbăă anticipărileă astfel :
dividende înăvaloareă50ădeăunităĠiămonetareăpentruăfiecareăacĠiuneășiăunăcursălaăfinalulă
perioadeiădeă1080.ăRisculădeăpiaĠăărămâneăacelași,ădeciărandamentulărămâneătotă10ș.ăPreĠulădeă
echilibru devine:

36
CAPITOLUL III
Studiu de caz

Prin intermediul acestuiăstudiuădeăcazăseădoreșteăanalizaăaășaseătitluriăfinanciare,ăînă
scopul constituirii unui portofoliu.
Evaluarea acestui portofoliu se face sub criteriul rentabilitate-risc, iar ponderile cu
care intervin titlurile selectate în formarea potofoliului s eădeterminăăcuăajutorulămodeluluiă
Markowitzădeădiversificareăaăportofoliilor.ăAceastaăpoateăfiăconsideratăăoămetodă tot mai
eficientăădeăoptimizareăaărezultatelorăinvestiĠiilorăînăconformitateăcuăpreferinĠaăsauăaversiuneaă
faĠăădeăriscăaăinvestitorului,ăcareădoreșteăsăăcumpereănumaiăacĠiuniăeficiente,ăsăămaximizezeă
profitulășiăsăărenunĠeălaăceleăcareăaducăpierderi.ă Portofoliul esteăalcătuitădină6ăsocietățiădină
Româniaătranzacționateălaăbursă:
Informaț ii generale despre societate
Nume societate ALBALACT S.A.
Simbol societate ALBZ
Sector de activitate
PrimaăziădeătranzacĠ ionare 19.11.1996
Informații despre acț iunile emise

Capital social 65.270.886,70 RON
Valoareănominală 0,1000 RON
NumărădeăacĠ iuni 652.708.867
Tabelul 3.1 – InformaĠiiăaleăsocietăĠii ALBALACT S.A.
Informaț ii generale despre societate

Nume societate ANTIBIOTICE S.A.
Simbol societate ATB
Sector de activitate Farmacie
PrimaăziădeătranzacĠ ionare 16.04.1997
Informații despre acț iunile emise

Capital social 67.133.804,00 RON
Valoareănominală 0,1000 RON
Numă r de acĠiuni 671.338.040
Tabelul 3.2 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăANTIBIOTICEăS.A.

37
Informaț ii generale despre societate

Nume societate SIFăBANATăCRIȘANAăS.A.
Simbol societate SIF1
Sector de activitate Bănciă܈iăserviciiă financiare
Prima zi deătranzacĠ ionare 01.11.1999
Informa ții despre acț iunile emise

Capital social 54.884.926,80 RON
Valoareănominală 0,1000 RON
NumărădeăacĠ iuni 548.849.268
Tabelul 3.3 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăSIFăBANATăCRIȘANAăS.A.
Informaț ii generale despre societate

Nume societate BOROMIRăPRODăS.A.ăBUZĂUă(SPICUL)
Simbol societate SPCU
Sector de activitate Produse alimentare
PrimaăziădeătranzacĠ ionare 15.01.1997
Informa ții despre ac țiunile emise

Capital social 23.306.373,80 RON
Valoareănominală 0.1000 RON
NumărădeăacĠ iuni 233.063.738
Tabelul 3.4 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăBOROMIRăPRODăS.A.BUZĂUă(SPICUL)
Informa ții generale despre societate

Nume societate BANCA TRANSILVANIA S.A.
Simbol societate TLV
Sector de activitate Bănciă܈iăserviciiăfinanciare
PrimaăziădeătranzacĠ ionare 15.10.1997
Informații despre acț iunile emise

Capital social 3.026.037.641,00 RON
Valoareănominală 1.0000 RON
NumărădeăacĠ iuni 3.026.037.641
Tabelul 3.5 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăBANCAă TRANSILVANIA S.A.

38
Informatii generale despre societate

Nume societate ARGUSăS.A.ăCONSTANğA
Simbol societate UARG
Sector de activitate Produse alimentare
PrimaăziădeătranzacĠ ionare 15.11.2002
Informații despre acț iunile emise

Capital social 53.670.699,00 RON
Valoareănominală 1.5000 RON
Număr de acĠiuni 35.780.466
Tabelul 3.6 – InformaĠiiăaleăsocietăĠiiăARGUSăS.A.CONSTANğA
Pentruăacesteă6ăsocietățiăs -auăutilizatăcotațiileăzilniceălaăBursaădeăValoriăBucure܈tiă
pentruăprimeleă܈aseăluniăaleă anului 2016, respectiv 121 de valori. Cu ajutorul acestor date s- a
calculat rentabilitatea medie ܈iădeviațiaăstandardăpentruăacesteăsocietăți. Aceastăămetodăănuă
înlocuie܈teărolulăunuiăinvestitorăinformat,ădarăoferăăunăinstrumentăputernicăceăcompleteaz a un
portofoliu gestionat activ.
FolosindărentabilităĠileăzilniceăaleăfiecăruiăactivăs -aăconstruitătabelulădeăcovarianĠă,ăcuă
ajutorulăDataăAnalysisădinăMicrosoftăExcel.ăTabelulădeăcovarianĠăăpermiteădescriereaăgraduluiă
deăcorelaĠieăîntreăpreĠurileăactivelor.

Activul ALBZ ATB SIF1 SPCU TLV UARG
ALBZ 0.0004 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000
ATB 0.0000 0.0003 0.0001 -0.0001 0.0000 0.0001
SIF1 0.0001 0.0001 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000
SPCU 0.0001 -0.0001 0.0001 0.0017 0.0002 -0.0001
TLV 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0014 0.0000
UARG 0.0000 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0014
Tabelul 3.7 – TabelulădeăcovarianĠă

CovarianĠeleănegativeăindicăătendinĠaărentabilităĠilorăcelorădouăăactiveădeăaăevoluaăînă
sensăopusă(cândărentabilitateaăunuiăactivăcrește,ă rentabilitatea celuilalt scade).
ConstruireaăfrontiereiădeăeficienĠăăaăactivelorăconstăăînăparcurgereaăurmătorilorăpași:

39
– calculareaărentabilităĠiiămediiăpentruăfiecareăactiv;
– construireaăunuiătabelădeăcovarianĠăăponderat;
– găsireaăsetuluiădeăactiveădinăport ofoliu cu cel mai mic risc;
– folosirea Solver pentru minimizarea abaterii standard;
– desenareaăfrontiereiădeăeficienĠă.

Rentabilitateaămedieășiărisculăfiecăruiăactiv:
Activul Rentabilitatea medie Riscul
ALBZ -0.20% 0.03%
ATB 0.15% 0.03%
SIF1 0.15% 0.02%
SPCU -0.34% 0.17%
TLV 0.12% 0.14%
UARG 0.08% 0.14%
Tabelul 3.8 – Rentabilitateaămedieășiărisculăasociatăactivelor

TabelulădeăcovarianĠăăcuăponderiăaleatoareăeste :
0% 0% 100% 0% 0% 0%
Activul ALBZ ATB SIF1 SPCU TLV UARG
0% ALBZ 0.0004 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000
0% ATB 0.0000 0.0003 0.0001 -0.0001 0.0000 0.0001
100% SIF1 0.0001 0.0001 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000
0% SPCU 0.0001 -0.0001 0.0001 0.0017 0.0002 -0.0001
0% TLV 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0014 0.0000
0% UARG 0.0000 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0014
100% 0.000% 0.000% 0.018% 0.000% 0.000% 0.000%
Tabelul 3.9 – TabelulădeăcovarianĠăă cu ponderi aleatoare

40
Ponderileă adăugateă înă tabelă peă coloane,ă seă copiazăă șiă peă rânduriă cuă ajutorulă
formulelor.ă Seă alocăă aleatoră aceste ponderi, ele schimbându-se automat prin aplicarea
constrângerilorăînăSolver,ăcondiĠiaăfiindăcaăsumaălorăsăăfieă100ș.

Figura 3.1 – ParametriiăintrodușiăînăSolver

Pentru portofoliul format din cele 6 active, cu ponderile alocate aleator, s-au calculat:
rentabilitatea portofoliului (suma dupăă produsulă ponderiloră șiă covarianĠelor),ă risculă
portofoliuluiă(abatereaăstandardă)ășiăpantaădeăalocareăaăcapitaluluiă(raportulădintreărentabilitateaă
portofoliului si riscul acestuia).
Rezultatele analizei portofoliului
Rentabilitatea portofoliului 0.152%
Riscul portofoliului 1.20%
Panta 0.1267
Tabelul 3.10 – Rezultatele analizei portofoliului

41

Cuăajutorulăponderilor,ătabeluluiădeăcovarianĠăășiădateleăportofoliuluiăseăconstruieșteă
portofoliul cu cel mai mic risc.

21% 29% 34% 6% 4% 7%
Activul ALBZ ATB SIF1 SPCU TLV UARG
21% ALBZ 0.0004 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000
29% ATB 0.0000 0.0003 0.0001 -0.0001 0.0000 0.0001
34% SIF1 0.0001 0.0001 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000
6% SPCU 0.0001 -0.0001 0.0001 0.0017 0.0002 -0.0001
4% TLV 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0014 0.0000
7% UARG 0.0000 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0014
100% 0.0023% 0.0032% 0.0037% 0.0006% 0.0004% 0.0007%
Tabelul 3.11 – TabelulădeăcovarianĠăăasociatăportofoliuluiăcuăcelămaiămicărisc

Pasulăurmătorăesteădeăaăgăsiăportofoliulăoptimăcuăoărentabilitateădorităădeăinvestitor,ă
dară careă săă aibăă șiă celă maiă mică risc,ă celă calculată laă pasulă anterior.ă Dateă fiindă acesteă
constrângeri, s- auăgăsităurmătoarele:
Portfoliu
Rentabilitate medie 0.046% 0.100% 0.150% 0.151% 0.152%
Risc 1.05% 1.08% 1.18% 1.19% 1.20%
Panta 0.0437 0.0927 0.1275 0.1272 0.1267
ALBZ 21% 10% 0% 0% 0%
ATB 29% 30% 33% 33% 34%
SIF1 34% 47% 62% 63% 64%
SPCU 6% 2% 0% 0% 0%
TLV 4% 4% 2% 2% 1%
UARG 7% 7% 3% 2% 0%
Tabelul 3.12 – Ponderileăportofoliilorăpentruărezultateleăașteptateădeăcătreăinvestitor

42
CombinaĠiaădeăactiveăcăutatăădeăinvestitor,ăînăcareărisculăesteăminimășiărentabilitateaă
dorităăesteăatinsăăesteăaceeaăînăcareăpantaăareăvaloareaămaximă . În cazul nostru, portofoliul
optimăseăobĠineăprinăinvestireaăaă33șăînăATB,ă62șăîn SIF1,ă2șăînăTLVășiă3șăînăUARG. Se
observăăcăăactivulăSPCUăesteăexclusădinăportofoliu.

GraficulăfrontiereiădeăeficienĠă:

Figura 3.2 – Frontieraăeficientă

0.000%0.020%0.040%0.060%0.080%0.100%0.120%0.140%0.160%0.180%
1.02% 1.04% 1.06% 1.08% 1.10% 1.12% 1.14% 1.16% 1.18% 1.20% 1.22%Rentabilitate
Risc Frontiera eficient ă

43

CONCLUZII

Avândă înă vedereă incertitudineaă pieĠeloră financiare,ă esteă necesarăă cunoaștereaă
tehnicilorădeăselecĠieășiăgestiuneăaăinvestiĠiilor,ăcuăscopulădeăaămaximizaăprofitulăinvestitorilor.
PortofoliileăinvestiĠionaleăseăcaracterizeazăăprin douăăelementeădeăbază:ăren tabilitate
șiărisc.ăAcesteaărezultăăînăurmaăanalizeiăintrumentelorăfinanciareădinăstructuraăportofoliului.
RentabilitateaăportofoliuluiădepindeădeărentabilităĠileăsperateăaleăactivelorădinăcareă
esteăalcătuit șiădeăponderileăacestoraăînăportofoliu.
Riscul unui portofoliu depinde de riscurile individuale ale tilurilor ce îl compun, de
relaĠiileă existenteă întreă ele,ă precumă șiă deă numărulă acestora.ă Oricâtă deă diversificată ară fiă
portofoliul,ărisculăacestuiaănuăvaăputeaăfiăniciodatăăredusălaăzero.ă
Portofoliile efi cienteăsuntăaceleăportofoliiăcareăpentruăunăriscăasumatăseăobĠineăceaămai
mareăsperanĠăădeărentabilitate,ăsauăpentruăoărentabilitateăașteptatăăseăobĠineăcelămaiămicărisc.
Portofoliulăoptimănuăare,ăînsă,ăaceeașiăsemnificaĠieăpentruătoĠiăinvestitorii.ăÎnăfuncĠieădeătipulă
investitorului,ăfiecareăvaăalegeăoăanumităăcombinaĠieădeăactiveăfinanciareăcareăsăăofereăsoluĠiiă
pentruăstrategiăadoptată.
Studiulădeăcazăoferăăunăexempluădeăoptimizareăalăunuiăportofoliuăalcătuitădinășaseă
active financiare, utilizând Modelul Markowitz. DeșiăesteăunămodelăcareăoferăăsoluĠiiăpeă
termenămediu,ăseăobservăăcăăacestaăfuncĠioneazăășiăpentruămișcărileăbursiereăzilnice.

44

BIBLIOGRAFIE

[1] Alexandru Todea, Gestiunea portofoliului, SuportădeăCurs,ăUniv.ăBabe܈- Bolyai, Cluj
Napoca, 2010
[2] Dană܇tefănică, A Primer for the Mathematics of Financial Engineering, FE Press New
York, 2008
[3] Flavia Barna, Gestiunea portofoliilor de titluri financiare, Suport de Curs, Univ. de Vest,
Timi܈oara,ă2011
[4] Harry Markowitz, The Journal of Finance, Vol.7, No.1, 1952, pg. 77-91
[5] Noel Amenc and Veronique Le Sourd, Portofolio Theory and Performance Analysis, John
Wiley & Sons, 2003
[6] Paul Wilmott, Sam Howison, Jeff Dewynne, The Mathematics of thr Financial Derivatives,
Press Syndicate of the University of Cambridge, 1995
[7] Simon Benninga, Principles of Finance with Excel, Oxford University Press, 2006
[8] http://www.bvb.ro/
[9] http://www.tranzactiibursiere.ro/
[10] https://support.office.com/
[11] http://www.tutorialspoint.com/excel/