Martingale Noțiuni Introductive Procese cu Variatie Patratica

CAPITOLUL I

MARTINGALE NOȚIUNI INTRODUCTIVE

În cele ce urmează I va nota o submulțime fixată a mulțimii numerelor întregi. – și + nu sunt considerate numere întregi.

Fie (, F, P) un spațiu de probabilitate. O colecție indexată {Fn; n I } de T – algebre Fn din mulțimea se numește filtrare în (, F, P) dacă Fm Fn F pentru orice m,n I cu mn.

O colecție { Xn; n I } de d – vectori pe (, F, P) se spune că este adaptată la filtrarea {Fn; n I } dacă Xn este Fn / B ( d) – măsurabil pentru fiecare n I. În aceste condiții colecția {Xn; Fn; n I } se numește secvență adaptată cu valori în d sau proces adaptat.

Majoritatea filtrărilor și proceselor adaptate vor fi indexate de mulțimea numerelor natural, adică I = {0,1,2,… } și, în acest caz, se vor folosi notațiile

{Fn; n = 0, 1, 2, … } și {(Xn, Fn); n = 0, 1, 2,… }

Cu toate că + nu face parte din mulțimea de indexare se poate defini

T – algebra

= T {Fn; n = 0, 1, 2, … },

obținând astfel o filtrare extinsă { Fn; n = 0, 1, 2, …, + }.

O funcție T : { 0, 1, 2, …, + } se numește timp aleator cu parametru discret, dacă { Tn } F, n= 0, 1, 2, … . Prin definiție pentru valorile lui T este admisă și valoarea + și condiția {T }= .

Fie {Fn; n = 0, 1, 2, … } o filtrare în spațiul de probabilitate (, F, P). Atunci un timp aleator T : { 0, 1, 2, …, + } se numește {Fn} – timp de oprire cu parametru discret, dacă {T n} Fn, n= 0, 1, 2, … .

Definiție 1.1.

O supermartingală este un șir real adaptat {(Xn, Fn); n I} pe un spațiu de probabilitate ( , F, P) astfel încât:

E, n I și

E Xm, a.s., m,n I cu m n.

Un șir real adaptat {(Xn,Fn); n I} se numește submartingală, dacă șirul

{(-Xn,Fn); n I} este o supermartingală ,adică, atunci când (a) este îndeplinit și condiția (b) este înlocuită cu (c) E[Xn] Xm, a.s., m,n I cu m n și este numit martingală dacă este în același timp o supermartingală și o submartingală.

Șirul real adaptat {(Xn,Fn); n I} este deci o martingală când are loc (a) și E[Xn]=Xm, a.s., m,n I cu m n.

Observație 1.2.

Dacă {(Xn,Fn); n = 0, 1, 2, …, } este o – martingală și pe [1,00] o constantă astfel încât Ep , pentru fiecare n = 0, 1, 2, … ., atunci ea se numește Lp [sub/super] – martingală și, dacă Ep atunci se numește [sup/super] – martingală Lp – mărginită.

Definiție 1.3.

Un proces real adaptat și continuu la dreapta {(Xt,Ft); t [0,]} pe spațiul de probabilitate (, F, P) este o martingală locală dacă există un nr

{(Tn, n = 1, 2,… } de {(Ft} – timpi de oprire astfel încât:

0 Tn (w) Tn+1(w) , w , n= 1, 2, …

P[] = 1

{(), t [0,]} este o martingală pentru fiecare n=1, 2, …

Șirul de timpi de oprire {Tn, n=1, 2, …} din definiția anterioară se numește șir de localizare pentru procesul {(Xt,Ft); t [0,]}.

Fără o restrângere generalitatea, se poate considera întotdeauna că o martingală locală are un șir de localizare {Sn, n= 1, 2, …} astfel încât Sn (w) n, w și procesul {(), t [0,]} este o martingală uniform integrabilă.

O variabilă aleatoare X se numește variabilă aleatoare normală cu medie a și variantă b2 dacă

P(c X d) = dy,

și se va prescurta aceasta spunând că X este (a,b2). Proprietatea este echivalentă cu

P(XA) = dy,

pentru orice mulțime Borel A de pe axa reală.

O primă problemă care se pune în legătură cu o astfel de variabilă aleatoare este existența ei.

Pentru aceasta fie

(A) = dx,

pentru A mulțime Borel din R; atunci este o măsură pe – algebra (R) a mulțimilor Borel din R și 0 (A) 1, pentru orice A (R). Aceasta deoarece (R) = 1.

Problema existenței variabilei aleatoare X se rezolvă acum de următoarea propoziție:

Propoziție 1.4.

Fie o măsură Borel în R cu (R) = l. Atunci există o variabilă aleatoare X astfel încât x = .

Demonstrație. Fie = [0,1], P măsura Lebesgue pe [0,1]. Pentru fiecare [0,1], fie

X() = inf{t: ((-, t])}.

Atunci x((-,a]) = P(X (-,a]) = ((-,a]),

pentru orice a R. Într-adevăr, pentru un [0,l], X() a este echivalent cu ((-,a]).

Deoarece {(-,a] R} = (R), rezultă că x = pe (R).

Propoziție 1.5.

Dacă X este o variabilă aleatoare și

x(A) = dx

atunci EX = 0 și VarX = 1.

Demonstrație.

EX = dx = 0

iar

E (X -EX)2 = E[X2] = =

=+ dx =1

adică VarX = 1.

Fie acum Z = bX + a, unde X este (0,1). Atunci EZ = a și VarZ = E[(Z-EZ)2] = E[(bX + a – a)2] = b2 EX2 = b2. Este acum ușor de observat că Z este (a,b2). Într-adevăr

P(c

pentru ultima egalitate, în urma schimbării de variabilă x = . Prin urmare

variabila aleatoare Z este (a,b2).

Observație 1.6.

Dacă X este (0,1), atunci

EeiuX =.

Definiție 1.7.

Un proces stohastic W(t,):[0,) R se numește mișcare Browniană, dacă are următoarele proprietăți:

(1) W(0) = 0, adică W0() = 0,

pentru orice , sau P({:W(0,) = 0}) = 1;

(2) Drumurile eșantionare , t W(t,) sunt continue, a.s. pentru ;

(3) Dacă 0 = t0 t1 … tn , atunci creșterile

W(t) – W(t0), … , W(tn) – W(tn-1)

sunt independente.

(4) W(t) -W(s) este (0,t – s), pentru orice t,s [0,) cu s < t, adică

P({a W(t) – W(s) b}) =

Observație 1.8.

Mișcările Browniene sunt notate în multe locuri cu B(t,) (respectiv Bt sau B) . Litera W provine de la numele matematicianului Norbert Wiener care a pus prima dată în evidență existența unor astfel de procese. Deseori aceste procese sunt numite procese Wiener. Construcția efectivă a unor astfel de procese este destul de dificilă.

Observație 1.9.

Mișcările Browniene joacă un rol esențial în definiția integralei stohastice. De aceea sunt importante o serie de proprietăți care vor fi stabilite în următoarele propoziții.

Observație 1.10.

Pentru prima proprietate este necesară o observație preliminară privind condiția (3) din definiția mișcărilor Browniene:

Dacă W este o mișcare Browniană , t este completarea – algebrei (Ws: 0 s t).

Dacă se notează t = (X (t) – X (s): s [0,t]), atunci W are creșteri independente, adică are loc (3), dacă și numai dacă – algebrele t și t sunt independente.

De aici rezultă că pentru s t, variabilele aleatoare W (t) – W(s) sunt independente de – algebra s

Propoziție 1.11.

Wt este o martingală în raport cu t și Wt are drumurile continue.

Demonstrație. Continuitatea drumurilor face parte din definiția mișcărilor Browniene. Pe baza definiției -algebrei t, Wt este t – măsurabilă. Deoarece distribuția lui Wt este una normală cu media 0 și varianta t, rezultă că E <

(de fapt En < pentru orice n).

Mai trebuie stabilită proprietatea cheie de martingală E[Wt ] = Ws, dacă s < t.

E[Wt ] = E[Wt – Ws ] + E[Ws ] = E[Wt – Ws]+Ws = Ws.

S-a folosit aici faptul că Wt -Ws este independentă de s și E[Wt -Ws]=0, deoarece Wt și Ws au media 0.

Propoziția 1.12.

– t este o martingală cu drumuri continue în raport cu t.

Demonstrație. Wt2 – t este integrabilă și t – măsurabilă. Apoi

E[ -] = E[(Wt – WS)+WS]2

=E[(Wt -Ws)2 ]+ 2E[(Wt -Ws)Ws

=E[(Wt – Ws)2+2WsE[Wt – Ws]+ – t.

S-a folosit faptul că Ws este s – măsurabilă și (Wt – WS)2 este independentă de s, deoarece Wt – Ws are această calitate. Al doilea termen din ultima linie este egal cu WsE[Wt -Ws] = 0 . Deoarece Wt -Ws este normală cu media 0 și varianta t – s este egal cu t – s. Substituind în ultima linie, se obține

(t-s)+0+ – s,

ceea ce trebuia arătat.

Observație 1.13.

Cu toate că drumurile eșantionare ale unei mișcări Browniene sunt continue, se arată ele nu sunt derivabile în nici un t [0,).

Propoziție 1.14.

Fie R dat și W o mișcare Browniană. Atunci

M(t) = exp{- W(t)-t}

este o martingală.

Demonstrație. Fie 0 s < t. Atunci

E[M(t) = E[exp{-(W(t)-W(s) + W(s) – =

= E[M(s)exp{-(W(t) – W(s) – =

= M(s)E[exp{-(W(t) – W(s) – =

= M(s)exp{(-2 Var (W(t)-W(s)) – =

= M(s).

Restul proprietăților unei martingale se deduc ușor.

Lema 1.15.

Dacă f este diferențiabilă, atunci (t) = 0, pentru orice t 0.

Demonstrație. Într-adevăr

Și

care demonstrează afirmația din enunț.

Teorema 1.16.

Pentru orice t 0, (t) = t, a.s. în ().

Demonstrație. Fie = {to,ti,…,tn} o diviziune a intervalului [0,t]. Pentru simplificarea notațiilor se notează Dk=W(tk+1)- W(tk) și

.

Atunci

.

Trebuie arătat că

Oricare din termenii individuali

2-(tk+1 – tk)

are media egală cu 0. Astfel

E(

Dacă j k, termenii – (tj+l – tj) și – (tk+l – tk) sunt independenți și astfel

Var( – t) = [(-)]=

= [- 2(-2]

= 2 – 2(-)2+(2]

= 22

=

= 2

(În raționamentul de sus s-a ținut cont de faptul că, pentru o variabilă aleatoare normală cu media 0 și varianta b2 , are loc relația EX4 – 34)

Prin urmare

E(-t) = 0 și

Var(-t)2

Când 0, atunci Var(-t) = 0 și astfel

= 0. *

Observație 1.17.

Având în vedere și cele stabilitate în Lema 1.16., rezultă că drumurile eșantionare ale unei mișcări Browniene nu sunt diferențiabile în nici un interval [0,t], t > 0.

CAPITOLUL II

PROCESE CU VARIAȚIE PĂTRATICĂ

Definiția 2.1.

Să presupunem că {( x(t), Ft ), t [0,)} este o martingală locală continuă pe spațiul de probabilitate (, F, P).

Un proces cu valori reale {A(t), t [0,)} pe (, F, P) este un proces cu variație pătratică, corespunzator lui {( x(t), Ft ), t [0,)} dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

{(A(t), Ft ), t [0,)} este un process adaptat;

Aplicțiile t A(t,w) sunt continue și crescătoare pe [0,), pentru w ;

A(0) 0,

{(x2(t) – A(t), Ft ), t [0,)} este o martingală locală continuă.

Observație 2.2.

Vom folosi convențiile de notație:

A={ w : xt(w) = yt (w)), ( t [0,)}

Pentru fiecare t [0,), mulțimea {xt = yt} face parte din F.

Mulțimea A = .

Faptul că două d – procese stohastice {xt : t [0,)} și {yt : t [0,)} sunt nedistincte se va nota prin Xt= yt , ( t [0,), a.s.

Având formulată noțiunea de proces cu variație pătratică, acum trebuie să demonstrăm că un asemenea proces chiar există. În acest scop vom avea nevoie de următorul rezultat care aparține martingalelor cu parametru discret:

Lema 2.3.

Presupunem că {(Zn, Fn); n = 0,1,2,…} este o martingală cu parametru discret pe spațiul de probabilitate (, F, P) astfel încât

C, () w , () n = 0,1,2,…, pentru o constant C [0,)

Atunci

E6C4,

pentru orice N=1,2,3,… .

Demonstrație :

Să fixăm niște întregi arbitrari N și să punem

Un = (Zn+1 – Zn)2, () n = 0,1,2,….

Atunci

2 = =

= +2

Știm că C , () w , () n = =0,1,2,…,= 2 + +2 + 2 C2+C2+2C2 = 4C2.

Așadar , Un 4C2, pentru orice n

Deci, (3)

Mai mult, deoarece Um este FmN – măsurabilă, vom obține că:

(4) {} = E{} = =E{}

Acum, vom avea,

(5) = E[ =

=E [,

Pentru orice n m,

(6) E = E [ E = E= =E[, pentru orice n m.

Acum din relațiile (5) și (6)

(7) = = E [ –

– E[

Combinând relațiile (7) și (4), obținem

(8) E{} C2 E{}

Acum, luând media în relația (2) și folosind relațiile (3) și (8), obținem

(9) E{[]2} 6C2E{}

Deoarece Un=-2ZnZn+1+ și

E[ZnZn+1] = E[E[ZnZn+1]] = E[ZnE[Zn+1]]=E[],

Rezultă că

(10) E{}= E [].

Și acum, relația (1) va rezulta din relațiile (9) și (10).

q.e.d.

Folosind această temă, vom arăta mai întâi că există procese cu variație pătratică mai degrabă pentru o structură specială ca o martingală locală continuă, și anume, o martingală continuă și uniform mărginită, și vom arăta cum acest proces apare ca limita în L2 a unui șir, de procese simple.

Pentru a stabili existența unui proces cu variație pătratică vom avea de următoarea condiție:

Condiția 2.4.

{Ft , t [0,]} este o filtrare dată în sp. de probabilitate (, F, P), unde F0 include toate evenimentele P – nule din F.

Lema 2.5.

Presupunem că este îndeplinită condiția 2.4. și în plus, X MC ({Ft}, P), și , () w, () t [0,], pentru orice constant C [0,).

Punem :=k2-n, () k,n=0,1,2,… .

și definim

(11) An(t,w):= , w) – X(t, w)]2, () t [0,),

() w, () n=0,1,2,… .

Atunci șirul de variabile oarecare {An(t); n=0,1,2,… .} converge în

L2 (, F, P) la o limită A(t), pentru fiecare t [0,), și procesul

{A(t); t [0,)} are următoarele proprietăți:

{A(t), Ft); t [0,,… .} converge în

L2 (, F, P) la o limită A(t), pentru fiecare t [0,), și procesul

{A(t); t [0,)} are următoarele proprietăți:

{A(t), Ft); t [0,} este un process adaptat;

Aplicațiile t A(t,w) sunt continue și crescătoare pe [0,), pentru orice w;

A(0) 0 și E[A2(t)] , () t [0,);

{(x2(t) – A(t), Ft ); t [0,)} este o martingală continuă.

În particular, {A(t); t [0,)} este un process cu variție pătratică pentru {(x(t), Ft); t [0,)}.

Demonstrație :

Să notăm că, pentru fiecare t [0,), există doar un număr finit de termeni nenuli în suma din relația (11).

Din definiția 2.1. rezultă că un process cu variație pătratică pentru martingala {(x(t) – x(0), Ft ); t [0,)} este, de asemenea, un process cu variație pătratică pentru martingala {(x(t), Ft ), t [0,)}.

Pentru aceasta, vom presupune, fără a pierde generalitatea, că x(0) 0.

Acum să definim

(12) Mn(t):= (t, () t [0,), () n = 0,1,2,… .

Din relațiile (12) și (11) rezultă ușor că

(13) X2(t,w) = 2Mn(t,w) + An(t,w), () w , () t [0,), () n = =0,1,2,…

Mai mult, deoarece t x(t,w) este continuă pe [0,), din (11) vedem că aplicația t An(t,w) este continuă pe [0,) cu An(0)0, ()n = 1,2,…, și din (12) este ușor de verificat că {(Mn(t), Ft ); t[0,)} este o martingală continuă.

Acum fixăm întregii n,m astfel că n m 0, și fixăm un t [0,). În mod

clar, avem

[x(t+1) – x(t)] = =

deci :

(14) Mm(t) = =[x(=

pentru (15) Uj :=

(este permisă schimbarea ordinii de sumare la a doua egalitate din (14), deoarece, pentru ( t [0,), există doar un număr finit de termeni în dubla sumare).

Acum, pentru orice j fixat, există doar o singură valoare a lui k care contribuie la sumarea din partea dreaptă din (15), adică acel k pentru care

,

sau, echivalent, pentru care j [, (k+1)2n-m).

Vom nota această valoare a lui k cu K(j), și rezultă că

(16) K(j)2-n j2-n (K(j)+1)2-m.

Din (15) obținem că Uj = x(t, deci Uj este – măsurabilă, deoarece din (16) avem

.

Acum, din (14), (15) și (12) găsim că

(17) Mn(t)-Mm(t)=

Punem Vj := [x(

j := [x(.

Din faptul că Uj este – măsurabilă și din faptul că j este – măsurabilă, () j k, găsim că:

E[(Vjj)(Vkk)]=E[E[VjjVkk]]= E[VjjVkE[k]]=0,

unde am folosit faptul că {x(t), t[0,)} este o martingală. Așadar, toți termenii din suma (17) sunt ortogonali, și, deci,

(18) E{[Mn(t)- Mm(t)]2}= E{} E {Wm(t) },

unde (19) Wm(t,w):= [x(s,w)-x(u,w)]2.

În ultima inegalitate din (18) am folosit faptul că ca să vedem că 0 , ceea ce implică

Din (18) și inegalitatea Cauchz – Schawarz, obținem

(20) E{[Mn(t) – Mw(t)]2}{[]2}E1/2{[Wm(t)]2}

C2E1/2{[Wm(t)]2},

() t[0,), () n, m întregi cu nm.

Ca să obținem ultima inegalitate din (20) am folosit lema 2.3. împreună cu faptul că {(X(), ) ; j=0,1,2,… .} este o martingală cu parametru discret uniform mărginită de C. Acum, pentru w, aplicația sx(s,w) este continuă pe [0,), deci uniform continuă pe intervalele închise și mărginite [0,t], () t [0,). Rezultă că

(21) () w , () t [0,).

Acum, observăm că în relația (19), C2, () w, () t [0,).

Folosind Teorema convergenței dominante a lui Lebesgue și relația (21) vom obține că

(22) {[Wm(t)]2}=0, ( t[0,=.

Deoarece marginea superioară există în (20), pentru orice nm și t[0,), observăm, folosind (22), că

(23) {[Mn(t) – Mm(t)2}]=0

Deci {[Mn(t) , n=0,1,2,…} este un șir (secvență) Cauchy în spațiul metric complet L2(, F, P) și deci, converge în L2 la o limită M*(t) L2(, F, P).

Această convergență are loc pentru orice t [0,) și {[Mn(t) , Ft ),

t [0,)} este o L2 – martingală continuă, () n=0,1,2,… .

Deoarece F0 include toate evenimentele P – nule ale lui F, atunci

{[M*(t), Ft), t [0,)} este o L2 – martingală, și anume o L2 – martingală continuă, și vom nota asta cu {[M(t) , Ft ), t [0,)}.

Acum vom defini

(24) B(t,w) := X2(t,w) – 2M (t,w), () w, t [0,).

Rezultă că {[B(t) , Ft ), t [0,)} este un proces adaptat continuu, și {[x2(t) – B(t) , Ft ); t [0,)} este o martingală continuă.

Mai departe vom arăta că aplicațiile t B(t,w) sunt crescătoare pe [0,), () w, mai puțin câteva evenimente P – nule.

Fixăm arbitrar s,t în mulțimea: Dt:= {k2-n, K,n=0,1,2,… .}, cu s t.

Deoarece M(t)=M*(t) a.s. vedem că M(t) este limita în L2 a șirului

{Mn(t), n=0,1,2,… .}, și folosind (24) și (13) rezultă că B(t) este limita în L2 a șirului {An(t), n=0,1,2,… .}.

Folosind inegalitatea Markov, avem că {An(t), n=0,1,2,… .} converge în probabilitate la B(t), deci există un subșir {(t), k=0,1,2,… .} a lui

{An(t), n=0,1,2,… .} și un Nt F astfel încât P(Nt)=0 și

(25) , () w Nt.

Cum B(s) este limita în L2 a lui {An(s), s=0,1,2,… .}, este și limita în L2 a șirului {(s), k=0,1,2,… .}.

Folosind din nou inegalitatea Markov

Există un subșir {, r = 0,1,2,… .} al șirului {(s), k=0,1,2,… .} și un Ns F astfel încât P(Ns) = 0 și (s,w) = B (s,w), () w Ns.

Cum s,t Dt și există un întreg r0, care depinde de s,t, astfel încât () r r0, are loc s = k (r,s) 2nr și t = k(r,t)2nr, pentru k(r,s) și k(r,t) întregi nenegativi.

Din (11) vedem că (t,w) (s,w), () w , și întregii r 0, și deoarece (25) implică (t,w) = B (t,w), () w Nt, observăm că

B (t,w) B (s,w), () w Ns,t : = NsUNt.

Acum să punem

reuniunea de mulțimi fiind luată după toți raționalii s,t Dt cu s t.

În mod clar N F, P(N) = 0 și aplicațiile u B(u,w) : Dt sunt crescătoare pentru orice w N.

Cum B (, w) este continuă pe [0,) și Dt este densă în [0,), asta implică B(, w) crescătoare pe toate intervalele [0,) pentru fiecare w N. În final, pentru fiecare t [0,), definim

A(t,w) : = B(t,w), () w N, și A(t,w) : = 0, () w N.

Cum F0 include toate evenimentele P – nule ale lui F, vedem că {A (t), Ft); t [0,)} este un proces adaptat continuu astfel că

{(x2(t) – A(t) , Ft ); t [0,)} este o martingală și fiecare aplicație t A(t,w) este crescătoare pe [0,). Mai mult, este clar că A(t) este limita în L2 a șirului {(t), n=0,1,2,… .} pentru () t [0,), deci E E[A2(t)] .

Acum, se observă ușor din (12) din (0) 0, că A(0) 0.

În lema anterioară am construit un proces cu variație pătratică pentru o martingală continuă și mărginită uniform, ca fiind limita în L2 a sumelor din relația (11). Apare imediat următoarea întrebare: Este posibil să existe mai mult de un proces cu variație pătratică pentru această martingală?

Vom arăta că procesul cu variație pătratică este unic, în sensul că oricare ar fi 2 asemenea procese, ele sunt neapărat nedistincte.

Mai întâi, ne reamintim noțiunea de variație totală a unei funcții de variabilă reală. Din moment ce variația totală joacă, de asemenea, un rol important, vom defini această noțiune cu cele mai de bază proprietăți ale ei.

Definiția 2.6.

Aplicația A:[0,) se spune că este cu variație mărginită pe intervalul

[s,t] [0,) dacă există o constantă c [0,), în general depinzând de s sau de t, astfel încât

(26) C,

Pentru orice diviziune finită, s = t0 t1 … tn-1 tn = t, a lui [s,t].

Spunem că aplicația este cu variație nemărginită pe [s,t] când o asemenea constantă c nu există, adică atunci când supremum-ul membrului stâng din (26), luat pentru toate diviziunile finite ale lui [s,t], este +.

Aplicația A se spune că are variație locală mărginită atunci când are variație mărginită pe [o,t], () t [0,).

Definiție 2.7.

Dacă A:[0,) este o aplicație dată, vom nota faptul că ea are variație totală pe [s,t] [0,), cu

(27) V [A;s,t] : = sup

Supremumul fiind luat pe toate diviziunile finite s = t0 t1 … tn-1 tn = t, ale lui [s,t]

Aplicația t se numește funcția cu variație totală a lui A.

Din definițiile anterioare, observăm că aplicația A : [0,) are variție locală mărginită dacă și numai dacă funcția cu variație totală a lui A are valori finite, adică ia valori în [0,).

Exemplul 1.

Din definiția 2.7. observăm că funcția A : [0,) are valori constante dacă și numai dacă

V [A;o,t] = 0 , () t [0,)

Dacă presupunem că A : [0,) este sau necrescătoare sau crescătoare, atunci, în mod evident

V [A;s,t] = , () 0 s t ,

așadar A are variație local mărginită.

Să presupunem că A(0) : = 0 și A(t) : = tsim (), () t (0,). Atunci A are variație nemărginită pe orice interval [0,t], cu t (0,).

Într-adevăr, dacă fixăm un întreg pozitiv n și considerăm o diviziune a lui [0,t] de puncte t0 : = 0 și tk : = , () k=1,2, …, n, atunci este ușor de văzut că

,

deci V [A; 0,t] = +

Vom prezenta în continuare o propoziție care scoate în evidență proprietățile de bază ale variației totale, demonstrația folosind doar analiză simplă pe dreapta reală.

Propoziție 2.8.

Să presupunem că aplicațiile A,B : [0,) au variație local mărginită. Atunci :

A+B are variație local mărginită și

V [A+B;s,t] V [A; s,t] + V [B; s,t], () 0 s t ;

c A are variație local mărginită pentru orice

c și V [cA; s,t] = V [A; s,t], () 0 s t ;

V [A; s,u] = V [A, s,t] + V [A; t,u] ; () 0 s t ;

Aplicația t V [A; 0,t] este crescătoare pe [0,) și V [A; s,t] = 0 când

s = t.

Observație 2.9.

Dată fiind aplicația A [0,) cu variație local mărginită, folosind propoziția 8, (d), observăm că limita

V [A; 0,] : =

Există în [0,].

Vom numi V [A; 0,] variația totală a lui A pe [0,) și vom spune că A are variație mărginită pe [0,) dacă V [A; 0,] .

Din propoziția 2.8. (a.b), și exemplu 1, (b), rezultă că orice aplicație care este diferența a două funcții crescătoare cu valori reale pe [0,), este cu variație local mărginită. De fapt, această proprietate caracterizează aplicațiile cu variație local mărginită.

Dispunând de aceste preliminarii, acum putem să ne întoarcem la problema unicității procesului cu variație pătratică din Lema 2.5.. Instrumentul principal pentru stabilirea unicității este lema următoare:

Lema 2.10

Să presupunem că are loc Condiția 2.4., x Mc,0({Ft}, P) și ,

() w , () t [0,), pentru C o constantă din [0,).

Dacă (28) V [x(w); 0,t] , () w , () t [0,), atunci P[ w: x(t,w) = 0, () t [0,)] = 1.

Demonstrație

Să punem := k2-n, () n,k = 0,1,2,… . și să definim

An (t,w):= ]2, () t [0,), () w , () n = 0,1,2,… .

Fixăm un t [0,) arbitrar.

Din definiția lui An(t,w) și definiția variației totale, vedem că

(29) An(t,w) V [x(,w); o,t]

Cum x(, w) este uniform continuă pe intervalul închis și mărginit [0,t], vom avea

= 0, () w

Din (28) și (29) rezultă că

(30) () w .

Deci, dacă {A(t), t [0,)} este procesul construit în Lema 2.5., atunci A(t) este limita în L2 a șirului {An(t), n = 0,1,2,… .}, și observă din (30) ca A(t) = 0 a.s.

Din Lema 2.5. rezultă că {(x2(t), Ft ); t [0,)} este o martingală, și deci E[x2(t)] = E [x2(0)] = 0, () t ).

Așadar, dacă Nt:=, atunci P(Nt) = 0.

Să punem acum N : = .

Evident, P(N) = 0 și cum x(, w) este continuă pe [0,) pentru fiecare w și Qt este densă în [0,), rezultă că

Nc = {w : x(t,w) = 0, t [0,)}

Deoarece P(Nc) = 1, lema este demonstrată

q.e.d.

Pentru aplicații ulterioare trebuie să generalizăm lema precedentă astfel că ea să poată fi aplicată fără condiția uniformei mărginiri:

Lema 2.11.

Să presupunem că este îndeplinită condiția 2.4. și M .

Dacă aplicația t M(t,w) are variație locală mărginită pe [0,), pentru orice

w , atunci P [M(t) = 0, () t [0,)] = 1

Demonstrație :

Pentru fiecare n = 1,2,… și w , să punem

Tn(w) : = inf { u [0,) : n }

Știm că {Tn,, n= 1,2,…} este un șir de localizare de {Ft} – timpi de oprire, așa încât definind Mn (t,w) := M (tTn(w), w), observăm că

este o martingală continuă ,

() w , () t ), () n = 1,2,… .

Să fixăm arbitrar w și un întreg pozitiv n.

Cum aplicația t M (t,w) are variație local mărginită pe [0,), la fel o să aibă variație local mărginită și aplicația t M (t,w).

Așadar, putem aplica Lema 2.10. pentru martingala continuă și uniform mărginită {(Mn(t), Ft), t [0,)} pentru a conchide

P[w : Mn(t,w) = 0, () t )] = 1.

Cum asta are loc pentru toți n = 1,2,…, și

= +, () w ,

implică [w: Mn(t,w) = 0, () t [0,)] =

() t )],

Lema este demonstrată.

q.e.d.

Lema 2.5. arată că unei martingale continue și uniforme mărginită i se asociază un proces cu variație pătratică.

Folosind lema 2.11. vom arăta că acest proces cu variație pătratică este unic până la ,,egalitate’’.

Lema 2.12.

Presupunem că este îndeplinită condiția 2.4., și x Mc({Ft}, P) cu

C, () w , () t ), pentru C o constantă, C [0,).

Dacă {A(t); t [0,)} și {B(t); t [0,)} sunt oricare două procese cu variație pătratică pentru {(x(t),Ft); t [0,)}, atunci

P[w : A(t,w) = B(t,w) , () t )] = 1.

Demonstrație

Să punem M(t) : = A(t) – B(t), () t )

Știm că {(x2(t) – A(t), Ft); t [0,)} și

{(x2(t) – B(t), Ft); t [0,)}

sunt martingale continue, așadar procesul {(M(t), Ft); t [0,)} este de asemenea o martingală continuă.

Cum t A(t,w) și t B(t,w) sunt funcții crescătoare pe [0,), rezultă din Observația 2.9. (i), că t M(t,w) are variație local mărginită pe [0,) pentru orice w .

Deoarece {A(t); t [0,)} și {B(t); t [0,)} sunt nule în origine, și

{M(t); t [0,)} este nul în origine.

Acum lema 2.11. arată că P[M(t) = 0, () t [0,)]=1.

q.e.d

Lemele 2.5. și 2.2. spun că unei martingale mărginită uniform și continuă îi corespunde un proces cu variație pătratică, unic până la ,,egalitate’’.

Acum vrem să înlăturăm restricția mărginirii uniforme, și să demonstrăm în esență același rezultat pentru o martingală locală continuă:

Teorema 2.13.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4.

Lui x ({Ft}, P) îi corespunde un proces cu variație pătratică

{A(t); t [0,)} și dacă {B(t); t [0,)} este un altfel de proces cu variație pătratică, atunci {A(t); t [0,)} și {B(t); t [0,)} sunt nedistincte.

Dacă x ({Ft}, P) și {A(t); t [0,)} este un proces cu variație pătratică corespunzător, atunci E, () t [0,) și

{(x2(t) – A(t); t [0,)} este o martingală continuă.

Demonstrație:

Pentru fiecare w , n = 1,2,…, să definim

(31) Tn(w) : = inf {t [0,) : }.

Știm că {Tn, n= 1,2,…} este un șir de localizare de {Ft} – timpi de oprire, așa că {(x(tTn), Ft); t [0,)} este o martingală continuă cu

, () n = 1,2,…

Atunci, pentru orice n = 1,2,… , folosind lema 2.5. , există {An+1(t); t [0,)} un proces cu variație pătratică pentru martingala {(x(tTn+1), Ft); t [0,)}, și

{(x2(tTn+1) – An+1(t), Ft ); t [0,)} este o martingală continuă.

Așadar, {(x2(tTn+1Tn) – An+1(tTn), Ft), t [0,)} este o martingală continuă.

Deoarece x(tTn+1Tn) x(tTn), din lema 2.14. obținem că procesele {An(t),

t [0,)} și {An+1(tTn), t [0,)} sunt nedistincte.

Să punem

(32)

Observăm că P() = 1, () n = 1,2,…, deci P(*) = 1.

Acum vom uni toate procesele într-un singur proces cu variație pătratică pentru .

Cu acestea, definim:

(33) A*(t,w) : = An(t,w), () , () ,

și observăm din (32) că, atunci când *, A*(t,w) = An(t,w),

() , n = 1,2, … .

Echivalent, pentru fiecare *, avem :

(34) A* = An, () t [0,), () n = 1,2,… .

Folosind (33) și faptul că fiecare aplicație w A*(t,w) este Ft – măsurabilă, rezultă că este un proces adaptat, iar din faptul ca și (34) este evident că aplicațiile t A*(t,w) sunt continue și crescătoare pe [0,), () *.

Pentru a pune la punct chestiuni legate de complementara lui *, punem

A(t,w):=A*(t,w), ()*, () t [0,) și A(t,w):= 0, ()*,

() t[0,).

Atunci este un proces adaptat continuu (deoarece F0 include toate evenimentele P – nule di F, deci * F0 Ft, () t [0,)). Mai mult, aplicația t A(t,w) este crescătoare pe [0,), () w , și

{(x2(tTn) – A(tTn), Ft ), t [0,)} este o martigală continuă pentru orice

n = 1,2,… , ceea ce înseamnă că {(x2(t) – A(t), Ft ), t [0,)} este o martingală locală continuă cu șirul de localizare {Tn, n = 1,2,}. Rezultă că procesul {A(t), t [0,)} este un proces cu variație pătratică pentru {(x(t), Ft ), t [0,)}.

În ceea ce privește unicitatea, dacă {B(t), Ft ), t [0,)} este un alt proces cu variație pătratică, și M(t) : = A(t) – B(t), () t [0,), atunci

este în mod clar o martingală locală continuă, nulă în origine, astfel încât t M(t,w) are variație local mărginită pe [0,), () w .

Așadar lema 2.11. stabilește că P[M(t) = 0, () t )] = 1, adică ceea ce se cerea.

Să fixăm arbitrar t [0,).

Deoarece {(x2(tTn) – A(tTn), Ft ); t [0,)} este o martingală, are loc E[x2(tTn) – A(tTn)] = E[x2(0) – A(0)] 0 sau (35) E[A(tTn)] E[x2(tTn)] E[x2(t)] pentru orice n = 1,2,… .

Din x(tTn) = E [x(t)], folosind inegalitatea Jensen, obținem

(36) x2(tTn) E[ x2(t)], și luând media în fiecare membru din (36), obținem inegalitatea (35).

Acum, pentru fiecare w, șirul

Crește monoton la A(t,w), când n , și din teorema convergenței monotone găsim că E[A(t)] E[x2(t)] .

Rămâne de văzut că este o martingală.

Deoarece t A(t,w) este crescătoare pe [0,) pentru orice w , obținem că

(37) x2() + A(t), () n = 1,2,… .

Este clar acum că mulțimea de variabile aleatoare este uniform integrabilă și cu am văzut că E[A(t)], rezultă din (37) că

este uniform integrabilă.

Cum asta are loc pentru fiecare t [0,), obținem că este o martingală.

q.e.d.

Observație 2.14.

În teorema anterioară am arătat că unei martingale locală continuă îi corespunde întotdeauna un proces cu variație pătratică, și că oricare două procese cu variație pătratică ale acestui martingale locale sunt nedistincte.

Acestea fiind spuse, vom nota cu un proces cu variație pătratică arbitrare ales, dar fixat, pentru .

Observația 2.15.

Să presupunem că este un proces scalar standard Wiener pe (, F, P). Atunci rezultă că

(38) P = 1.

Observație 2.16

În general, când x (, P) și este un proces cu variație pătratică, nu știm dacă [x](t) este integrabilă, sau dacă

este martingală.

Când este martingală continuă uniform mărginită, convergența L2 în lema 2.5. conduce la faptul că [x](t) este integrabilă la pătrat, pentru orice t [0,).

Observația 2.17.

Să presupunem că x (, T este un – timp de oprire, și F0 include toate evenimentele este de asemenea o martingală locală continuă, așadar are un proces cu variație pătratică asociat . Lema următoare leagă acest proces de procesul cu variație pătratică de oprire al lui .

Lema 2.18.

Să presupunem că este verificată condiția 4, x ( și T este un – timp de oprire.

Atunci procesele și sunt nedistincte.

Demonstrație

Cum este o martingală locală continuă, știm că:

(39)

este o martingală locală continuă.

Mai mult, din definiția 1 și faptul că xT ( avem

(40) martingală local continuă.

Acum xT(t) = x (), așa că, punând

C(t):= [xT](t) – [x](), și

luând diferența dintre (39) și (40), observăm că este o martingală locală continuă.

Dar observația 2.9.,(ii), arată că aplicația t C(t,w) are variație local mărginită pe [0,), () w .

Deoarece C(0) 0, lema 2.11. spune că și sunt procese nedistincte

CAPITOLUL III

COVARIAȚIE PĂTRATICĂ

Noțiunea de proces cu variație pătratică pe care am formulat-o pentru o martingală locală continuă poate fi văzută ca un analog al familiarului concept de variație pentru variabilele oarecare la pătrat integrabile. În probleme de probabilitate de bază care implică mai mult de o variabilă oarecare, adesea trecem la covariația unei perechi de variabile oarecare la pătrat integrabile.

O situație similară se referă la acest context, unde, fiind date două martingale locale continue, avem nevoie de noțiunea de proces de variație copătratică pentru cele două martingale locale.

Formularea potrivită a acestui concept este prezentată în definiția următoare, care ar trebui să contrazică definiția 1.

Definiția 3.1

Să presupunem că și sunt martingale locale continue pe spațiul de probabilitate (, F, P).

Un proces cu valori reale pe (, F, P) se numește proces de variație copătratică corespunzător martingalelor locale când sunt îndeplinite urmatoarele condiții:

este un proces adaptat;

Aplicațiile t A(t,w) sunt continue, și cu variație local mărginită pe [0,), () w;

A(0)0;

este o martingală locală continuă.

Să notăm că acolo unde procesul cu variație pătratică al unei martingale locale ia valori nenegative și are traiectorii simple crescătoare, procesul cu variație copătratică al unei perechi de martingale locale va lua valori în și va avea traiectorii simple care vor avea variație local mărginită pe [0,).

Având definită noțiunea de proces cu variație copătratică trebuie să stabilim acum existența și să privim asupra problemei unicității, un lucru care este presupus în următoarea teoremă. Înainte de asta, să ne îndreptăm atenția către următoarea identitate trivială care este folosită, frecvent în studiul proceselor cu variație copătratică: () x,y are loc

(41) xy=[(x+y)2-(x-y)2].

Teorema 3.2.

Presupunem că este verificată condiția 2.4.

Corespunzător unei perechi de martingale locale continue

și este un proces cu variație copătratică , care este dat de

(42) A(t):=, () t [0,) și dacă este un alt asemenea proces cu variație copătratică, atunci și sunt ,,nedistincte’’

Dacă și sunt L2 – martingale

continue și este un proces cu variație copătratică corespunzător, atunci E, () t [0,), și este o martingală continuă.

Observație 3.3.

În relația (42) procesele și sunt bineînțeles văzute ca alegeri arbitare ale proceselor cu variație pătratică pentru martingale locale continue și .

Definirea lui A(t) în (42) este motivată de fapt de exprimarea pentru covariația variabilelor oarecare la pătrat integrabile în termeni de varianță a sumelor și diferențelor lor. Ideea este că procesele cu variație pătratică copătratică pentru perechi de martingale locale ar trebui să fie în aceeași relație unul față de celălalt, la fel cum sunt varianța și covarianța pentru perechile de variabile oarecare.

Demonstrația teoremei 3.2.

Din (42) și din proprietățile proceselor cu variație pătratică

și , observăm că este un proces adaptat continuu și nul în origine. Cum aplicația t A(t,w) este în mod evident diferența a două aplicații crescătoare, rezultă din observația 2.9.,(ii), că aplicația t A(t,w) are variație local mărginită pe [0,), () . Apoi, folosind identitatea (41) împreună cu faptul că

și sunt martingale locale continue, observăm că este o martingală locală continuă.

Rezultă că îndeplinește toate condițiile definiției 2.1. și așadar, este un proces cu variație copătratică pentru martingalele și .

Mai departe, să presupunem că este un alt proces cu variație copătratică pentru cele două martingale date, și să definim C(t):=A(t) – B(t).

Observăm că este o martingală continuă, cu C(0)0, și folosind propoziția 2.8,(b), rezultă că aplicația t C(t,w) are variație local mărginită pe [0,), () w.

Lema 2.11. spune că și sunt procese nedistincte.

Dacă x,y (, P) atunci știm că E și E, () t [0,), în timp ce și

sunt martingale continue.

Din (42) rezultă totodată că E, și este o martingală.

q.e.d

Observație 3.4.

Dacă și sunt martingale locale continue pe un spațiu de probabilitate (, F, P), vom nota cu un proces cu variație copătratică orbitrar, dar fixat, pentru cele două martingale.

Observație 3.5.

Să presupunem că este un proces Wiener d – dimensional pe (, F, P).

Atunci și observăm din definiția 19, și din unicitatea din teorema 20 că

(43) P = 1, () j,k .

În lema 2.5. arătăm cum procesul cu variație pătratică al unei martingale continue uniform mărginită apare ca limita îm L2 a unui șir de sume definite de (11). Putem extinde acest rezultat la cazul martingalelor locale continue, dar acum trebuie să ne mulțumim cu convergența într-un sens mai slab:

Teorema 3.6.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și x .

Punem k2-n, () k,n=0,1,2,…, și definim

(44) An(t,w):= – x(]2, ,

() w , () n=0,1,2,…

Atunci șirul de variabile aleatoare converge în probabilitatea la [x](t), () t [0,)

Demonstrație

Pentru fiecare w și N = 1,2,…, să punem

(45) TN(w):= inf .

Fiecare TN este un – timp de oprire cu (w) = +, () w , care mai apoi implică

(46) P=0, .

Știm că este martingală, care este în mod clar uniform mărginită și continuă, și din (44) rezultă că

(47) An((w), w)= ]2, , () w .

Apoi, aplicând lema 2.5. pentru rezultă că

2=0

și cu lema 18, obținem

Să fixăm arbitrar și .

În mod clar,

(49) P+ + , () N=1,2,…,

Mai mult, deoarece , ( n=1,2,…, obținem

(50) P, ( n=1,2,… .

În același fel, , așa că

(51) P

Acum să fixăm arbitrar un .

Folosind (51), (50) și (46), putem găsi un întreg N() astfel încât

(52)

Și (53) .

Din (48) și inegalitate Markov, putem găsi un întreg n() astfel încât

(54) P, () nn.

Luând N=N() în (49), și folosind (54), (53) și (52) găsim că

P, () n n ()

q.e.d.

Mai departe vom formula analoaga teoremei 3.6. pentru procesele cu variație copătratică:

Teorema 3.7.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și X,Y (.

Punem :=k2-n, () k,n=0,1,2,… , și definim

(55) An(t,w):= =][Y()], () t [0,), () w, () n=0,1,2,… .

Atunci șirul de variabilitate aleatoare converge în probabilitate la [x,y](t), () t .

Demonstrație:

Aplicăm teorema 24 separat pentru martingalele locale continue

și , și folosim (41) și (42)

q.e.d

Lema următoare cuprinde câteva proprietîți folositoare ale proceselor cu variație copătratică:

Lema 3.8.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și x,y,z,. Atunci :

și sunt procese nedistincte

și sunt procese nedistincte

și sunt procese nedistincte, () ;

Există un eveniment P – nul, N F, astfel încât, dacă w N, atunci :

1/21/2, () s,t [0,) cu s t;

Dacă P[y(t)=y0,() t[0,)]=1, atunci P[[x,y](t)=0, () t[0,)]=1.

Observație 3.9.

Să ne reamintim că atunci când vorbim despre un proces cu variație pătratică sau copătratică, de fapt ne referim la un proces arbitrar dintr-o clasă de procese, unde oricare două sunt nedistincte.

Referindu-ne stric la asta, lema anterioară ar fi trebuit enunțată în următorii termeni:

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și x,y,z (

Fie , , , , , , și procese cu variație pătratică sau copătratică orbitar alese, pentru d, .

Atunci condițiile (a) și (d) din lema 2.8. sunt adevărate.

Această versiune a lemei 3.8. nu mai lasă, nimic de dorit din punct de vedere al acurateței. Este ceva obișnuit să se evite prologul despre procesele cu variație pătratică sau copătratică arbitrar alese și să se stabilească rezultate ca lema 3.8 exact în același mod în care am făcut-o noi, înțelegându-se că atunci când vorbim despre un proces cu variație pătratică sau copătratică ceea ce avem cu adevărat în minte este un asemenea proces arbitrar, dar fixat.

Demonstrația lemei 3.8.

Punctele (a), (b), (c) sunt consecințe imediate ale definițiilor noastre și ale unicității până la ,, egalitate’’.

În ceea ce privește punctul (d), să fixăm arbitrar s,t 0, cu st, și fie .

Cum traiectoriile simple ale unui proces cu variație pătratică sunt crescătoare pentru orice w, avem

(56) 0 , .

Din (a) și (c) obținem

(57) [x+= [x++](t) a.s.

= [x](t) + 2](t)+2[y](t) a.s

Să notăm cu Nt evenimentele P – nule (ale lui Ft) de la care egalitățile din (57) nu au loc.

Combinând (56),(57) și analoaga lui (57) care are loc atunci când t este înlocuit cu s, pentru orice w Ns,t , unde Ns,t:=NsUNt, obținem

[x](t,w) – [x](s,w) –

-22() .

Determinatul asociat funcției pătrate a lui din inegalitatea enterioară trebuie așadar să fie nenegativ, de unde

2, () w Ns,t.

Acum punctul (d) urmează după definirea lui N:=UNs,t , reuniunea evenimentelor fiind luată după toți raționalii s,t cu st, și din faptul că procesele

, și

au traiectorii simple continue.

În ceea ce privește puntul (e), deoarece y(t) este F0 – măsurabilă, () , observăm că este o martingală locală continuă, deci unicitatea din teorema 20,(a), stabilește că [x,y](t)=0, () t [0,), a.s.

q.e.d

Lema 3.10

Presupunem că este verificată condiția 4 și x (

Dacă (58) P[[x](t)=0, () t [0,]=1

atunci.

(59) P[x(t) = x(0), () t [0,)]=1

Demonstrație

Pentru început, să presupunem că este o L2 – martingală continuă, și să fixăm arbitrar t [0,). Apoi observăm că

(60) E[(x(t)-x(0))2] = E[x2(t) – x2(0)] = E([x](t)) = 0,

unde a doua egalitate rezultă din faptul că este o martingală cu [x](0)0, și a treia egalitate rezultă din (58).

Acum, (60) împreună cu alegerea arbitrară a lui t și cu continuitatea traiectoriilor simple ale lui implică (59).

În cazul general când este o martingală locală continuă, fie un șir de localizare pentru

Vom avea

P[x(tSk) = x(0), () ] = 1, () k=1,2,…, și luând k obținem (59).

q.e.d

Propoziția 3.11.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4., și x,y (

Dacă x(0) = y(0) a.s și pentru orice U (

(61) P = 1, atunci și sunt procese nedistincte

Demonstrație

Punând U:= x-y, în (61), folosind lema 3.8.,(c), obținem [x-y](t)=0, , a.s.

Cu lema obținem ,,egalitatea’’ lui și

q.e.d.

Mai departe vom extinde lema 2.18. la variația copătratică a martingalelor locale continue.

Lema 3.12

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și x,y (

Dacă T este un – timp de oprire, atunci procesele , , , și sunt nedefinite

Demonstrație

Mai întâi, să presupunem că și sunt L2 – martingale continue.

Punem Z(t):=x(t)y(tT)- x(tT)y(tT) și fie S un – timp de oprire mărginit, arbitrar ales.

S(w) u, () w, u ) fiind o constantă.

Atunci (62) .

Folosind inegalitatea lui Jensen pentru medii condiționate obținem x2(S) E[x2(u)] a.s, și mai departe, E[x2(s)] E[x2(u)] . Așadar, E[x2() și E[y2() .

Din (62) și inegalitatea Cauchy-Schwarz obținem E. Mai mult, din legea de compunere a mediilor condiționate, în mod clar,

(63) E[x(S) y(S)] = E[E[x(S) y(S)]]

= E[E[x(S)] y(S)]

= E[x(S) y(S)].

Am folosit faptul că y(S) este – măsurabilă.

Așadar, observăm că E și E[Z(S)] = 0, pentru orice – timp de oprire S și S – mărginit.

Deoarece este în mod evident adaptat și continuu, el este în mod progresiv și măsurabil, deci (64) este o martingală continuă.

Din definiția procesului cu variație copătratică, observăm că

(65) este o martingală continuă și vom obține pentru martingala că (66) este o martingală continuă.

Din (64), (66) și apoi din (65), rezultă că este o martingală continuă.

Acum aplicațiile t [x,](t,w) -[x,y](tT(w),w) au variație local mărginită pe [0,), și deci lema 2.11. arată că și sunt procese nedistincte.

Pentru a arăta că procesele rămase sunt nedistincte implică doar o aplicație trivială a presupunerii anterioare și cu lema 3.8,(b), așadar lema 3.12. este verificată când și sunt L2 – martingale continue.

În general, când acestea sunt martingale locale continue, introducem un șir de localizare consum pentru și și aplicăm argumentul anterior martingalei mărginite obținută.

q.e.d.

Propoziția 3.13.

Să presupunem că este verificată condiția 2.4. și x (.

Atunci limita (67) [x](,w):=, există în [0,), () w , și definește o funție – măsurabilă.

Mai mult:

x ( dacă și numai dacă E și E

dacă x (, atunci E = E + E.

Demonstrație:

Cum aplicația t [x](t,w) este crescătoare pe [0,), () w , limita din (67) există, este – măsurabilă.

Pentru a demonstra (a), să presupunem că x (.

Atunci, bineînțeles, E(x2(0)), și există a.s. o variabilă aleatoare – măsurabilă care este unică, x() L2(, F, P), astfel încât x(t)=E[x() a.s., așadar

E(x2(t) E(x2()) , () t [0,).

Deoarece este martingală și [x](0) = 0, () t [0,), vom avea E(x2(t) – [x](t) = E(x2(0)), și mai departe E([x](t)) E(x2() – E(x2(0)) .

Trecând la limită când t și folosind teorema convergenței monotone, vom obține că E([x]() .

Pentru implicația inversă, să presupunem că x ( cu E(x2(0) și E([x](0)) .

Există un șir de localizare de – timpi de oprire astfel că este martingală uniform mărginită, () n = 1,2,… , și, deci rezultă că este martingală.

În consecință, cum [x](0) 0, () n = 1,2,… , vom avea

(68) E(x2() – [x]( = E(x2(0)), () t [0,).

Deoarece aplicația t [x](t) este crescătoare, observăm cu (68) că E(x2()) E(x2(0))+ E([x]()), teorema lui Foton stabilește că E(x2(t)) E(x2(0))+ E([x]()) , (), așadar x (.

Pentru a demonstra (b), să presupunem că x (.

Atunci, după cum am observat mai devreme, vom avea

E(x2(t)) = E(x2(0)) + E([x](t), ()

Acum E[, și cu teorema lui Lebesgue a convergenței dominante, obținem , în timp ce teorema, convergenței monotone ne dă

q.e.d

CUPRINS