Lucrarea se adreseaz a student ilor din anul I de la facult at ile de matem- atic a  si informatic a din universit at i. ^In cuprinsul ei… [624485]

1
TIBERIU DUMITRESCU
ALGEBRA 1
Bucure sti, 2006

2
Profesorului meu
NICOLAE RADU

3
PREFAT  A
Lucrarea se adreseaz a student ilor din anul I de la facult at ile de matem-
atic a  si informatic a din universit at i. ^In cuprinsul ei sunt prezentate rezultate
de baz a referitoare la mult imi, funct ii, relat ii de echivalent  a, operat ii alge-
brice, monoizi, grupuri, inele, corpuri, inele de polinoame ^ n una sau mai
multe nedeterminate, r ad acini ale polinoamelor, aritmetica lui Z siK[X],
polinoame simetrice, determinant i, spat ii vectoriale, sisteme de ecuat ii liniare,
 si teoria formei canonice Jordan. Materialul este prezentat ca un  sir aproape
ne^ ntrerupt de teoreme. Numerotarea teoremelor e f acut a ^ n continuare f ar a a
t ine seama de trecerea dintr-un capitol ^ n urm atorul. Denit iile  si rezultatele
sunt frecvent ^ nsot ite de exemple, aplicat ii sau comentarii. Fiecare capitol se
termin a cu o list a de exercit ii de dicultate variabil a. Solut iile complete ale
acestor exercit ii se g asesc la sf^ ar situl lucr arii. Tot la sf^ ar sit se a
 a un index
care faciliteaz a g asirea ^ n text a not iunilor sau teoremelor importante.
Autorul

4

Cuprins
1 Mult imi  si funct ii 9
1.1 Mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Familii de mult imi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Relat ii de echivalent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Exercit ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Operat ii algebrice, monoizi. 27
2.1 Operat ii algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Monoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Grupuri 37
3.1 Exemple de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Morsme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Subgrupul generat de o mult ime . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Congruent e modulo un subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Ordinul unui element ^ ntr-un grup . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Subgrupuri normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Grupul factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10 Grupul permut arilor Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11 Ecuat ia claselor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.12 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Inele 61
4.1 Inel, subinel, ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5

6 CUPRINS
4.2 Morsme de inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Inel factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Inelul de polinoame A[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 R ad acini ale polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Inelul de polinoame A[X1;:::;Xn] . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Aritmetica lui Z  si K[X] 87
5.1 Teorema ^ mp art irii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Numere prime, polinoame ireductibile . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Complemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Polinoame simetrice 101
6.1 Inelul polinoamelor simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Teorema fundamental a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 Determinant i 109
7.1 Propriet at ile determinant ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Dezvolt ari ale determinant ilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Spat ii vectoriale  si sisteme liniare 123
8.1 Spat ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Sisteme de ecuat ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3 Rangul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9 Forma canonic a Jordan 143
9.1 Matricea unui endomorsm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Forma diagonal-canonic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3 Forma Jordan a unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.4 Polinomul minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.5 Cazul K=C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.6 Aplicat ii ale formei canonice Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 165

CUPRINS 7
9.7 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10 Solut iile exercit iilor 175

8 CUPRINS

Capitolul 1
Mult imi  si funct ii
Acest capitol are caracter introductiv. Se trec ^ n revist a conceptele de
mult ime, apartenent  a, incluziune, operat ii cu mult imi, mult imea p art ilor,
produs cartezian, funct ie, compunere, injectivitate, surjectivitate, echipoten-
t  a, num arabilitate, familie de mult imi, relat ie de echivalent  a, mult ime factor.
1.1 Mult imi
Prin mult ime ^ nt elegem o colect ie de obiecte numite elementele mult imii .
Dac axeste un element al mult imii A, atunci spunem c a xapart ine luiA si
scriemx2A; ^ n caz contrar, spunem c a xnu apart ine luiA si scriemx62A.
De exemplu, 12f1;2;3g si 462f1;2;3g, undef1;2;3geste mult imea av^ and
elementele 1, 2  si 3.
Spunem c a dou a mult imi A;B sunt egale dac a au acelea si elemente, adic a
A=B,(x2A,x2B):Cel mai simplu mod de a descrie o mult ime este
specic^ and elementele sale. De exemplu, f1;2geste mult imea cu elementele 1
 si 2. Ordinea elementelor  si repetit iile sunt irelevante. De exemplu, f1;2g=
f2;1g=f1;1;1;2g. O mult ime se poate descrie  si prin precizarea unei
propriet at i caracteristice a elementelor sale. De exemplu, f1;2g=fx2
Rjx23x+ 2 = 0g.
FieA,Bdou a mult imi. Spunem c a Aeste o submult ime a luiBsau c aA
este inclus a ^ nB, dac a orice element al lui Aeste  si element al lui B. Not am
aceasta prin ABsauBA. Dac a, ^ n plus, A6=B, spunem c a Aeste o
submult ime proprie a luiBsau c aAeste strict inclus a ^ nB si not amAB
sauBA. Rezult a c a A=B,AB siBA:
9

10 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
Se vede imediat c a egalitatea  si incluziunea de mult imi sunt tranzitive,
adic a, dac a A;B;C sunt mult imi, atunci
(a)AB siBCimplic aAC,
(b)A=B siB=Cimplic aA=C.
Avem urm atoarele exemple importante de mult imi. Mult imea numerelor
naturale N=f0;1;2;:::g, mult imea numerelor^ ntregi Z=f:::;2;1;0;1;2;
:::g, mult imea numerelor rat ionale Q, mult imea numerelor reale R si mult imea
numerelor complexe C. Au loc incluziunile
NZQRC:
Nse poate introduce prin axiomele lui Peano, iar Z,Q,R siCse pot
obt ine prin anumite construct ii pornind de la N(vezi exercit iile 24, 25  si
26). Mult imea vid a ,;, este mult imea care nu are nici un element. Putem
scrie
;=fxjx6=xg:
Mult imea vid a este submult ime a oric arei mult imi. Fie Ao mult ime. Not am
cuP(A)  si numim mult imea p art ilor luiAmult imea ale c arei elemente sunt
submult imile lui A, adic a
P(A) =fBjBAg:
De exemplu,P(;) =f;g siP(f1g) =f;;f1gg. FieA;B dou a mult imi. Se
denesc urm atoarele operat ii:
A[B=fxjx2Asaux2Bg(reuniunea lui AcuB)
A\B=fxjx2A six2Bg(intersect ia lui AcuB)
AnB=fx2Ajx62Bg(diferent a dintre A siB):
De exemplu,f1;2g[f1;3g=f1;2;3g,f1;2g\f1;3g=f1g sif1;2gnf1;3g=
f2g. Dou a mult imi cu intersect ia vid a se zic disjuncte . De exemplu,f1;2g
 sif3;4gsunt disjuncte. Cum se arat a ^ n teorema urm atoare, operat iile de
reuniune  si intersect ie sunt comutative, asociative  si ecare dintre ele este
distributiv a fat  a de cealalt a.

1.1. MULT  IMI 11
Teorema 1 FieA;B;C trei mult imi. Atunci
(a)A\BAA[B,
(b)A[B=B[A siA\B=B\A,
(c) (A[B)[C=A[(B[C) si(A\B)\C=A\(B\C),
(d)A\(B[C) = (A\B)[(A\C),  si
(e)A[(B\C) = (A[B)\(A[C).
Demonstrat ie. L as am demonstrat ia cititorului. Pentru exemplicare,
prob am (e). Avem  sirul de echivalent e: x2A[(B\C),x2Asau
x2B\C,x2Asau (x2B six2C),(x2Asaux2B)  si (x2A
saux2C),x2(A[B)\(A[C):
Dac aAeste o submult ime a mult imii X, atunci complementara luiA^ n
XesteCX(A) =XnA. De exemplu,CX(X) =; siCX(;) =X. Cele dou a
egalit at i urm atoare poart a numele de formulele lui De Morgan .
Teorema 2 FieXo mult ime  si A;BX. Atunci
A[B=A\B siA\B=A[B
undeY=CX(Y).
Demonstrat ie. Avem:x2A[B,x2X six62A[B,x2X si
x62A six62B,x2A six2B,x2A\B. Cea de-a doua egalitate se
probeaz a analog. 
FieA;B dou a mult imi  si a2A,b2B.Perechea ordonat a (a;b) se
dene ste prin
(a;b) :=ffag;fa;bgg:
Se vede u sor c a dou a perechi ( a;b)  si (a0;b0) sunt egale dac a  si numai dac a
a=a0 sib=b0.Produsul cartezian ABal mult imilor A siBeste mult imea
acestor perechi ordonate, adic a
AB=f(a;b)ja2A;b2Bg:
De exemplu,f1;2gf 3;4g=f(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)g. Rezult a c a
AB=;,A=;sauB=;:

12 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
1.2 Funct ii
FieA siBdou a mult imi. O funct ie (sau aplicat ie )fde laAlaB(notat ie
f:A!B) este o submult ime a produsului cartezian ABcu proprietatea
pentru orice x2Aexist a  si este unic bx2Bcu (x;bx)2f:
Decifasociaz a ec arui element x2Aun unic element bx2Bpe care-l
vom nota cu f(x). A sadar, pentru a deni o funct ie f:A!Btrebuie
s a preciz am mult imea Anumit a domeniul de denit ie al luif, mult imea
Bnumit a codomeniul saudomeniul valorilor luif si asocierea a7!f(a).
Mult imeaf(a;f(a))ja2Ag=fse mai nume ste  si gracul lui f. Mult imea
tuturor funct iilor g:A!Bse noteaz a cu BA.
De exemplu, f:f1;2g!f 1;2;3g,f(n) =n+ 1 este o funct ie cu gra-
culf(1;2);(2;3)g. Pe de alt a parte, g:f0;1;2g ! R,g(x) =yunde
y2R six2+y2= 1, nu este funct ie, deoarece g(0) =1, decig(0)
nu este unic determinat, iar g(2) nu exist a. Cu alte cuvinte, submult imea
f(0;1);(0;1);(1;0)ga luif0;1;2gRnu satisface condit ia din denit ia
funct iei.
Prin denit ie, dou a funct ii f:A!B sig:C!Dsunt egale dac a
A=C,B=D sif(x) =g(x) pentru orice x2A. Fie dou a funct ii f:A!B
 sig:B!C.Compunerea gfdintreg sifeste funct ia gf:A!Cdenit a
prin
(gf)(x) =g(f(x)) pentrux2A:
De exemplu, dac a f;g:R!R,f(x) = sin(x),g(x) =x2, atunci (gf)(x) =
sin2(x) iar (fg)(x) = sin(x2), decifg6=gf.^In cazul ^ n care o funct ie 
este denit a pe o mult ime nit a A=fa1;:::;ang,se poate reprezenta sub
forma=
a1a2::: an
(a1)(a2):::  (an)!
. De exemplu, funct ia f:f1;2g!
f1;2;3g,f(n) =n+ 1 se poate reprezenta
1 2
2 3!
.
Teorema 3 Fie funct iile f:A!B,g:B!C sih:C!D. Atunci
h(gf) = (hg)f(i.e., compunerea funct iilor este asociativ a).
Demonstrat ie. Dac ax2A, atunci (h(gf))(x) =h((gf)(x)) =h(g(f(x)))
= (hg)(f(x)) = ((hg)f)(x).

1.2. FUNCT  II 13
O funct ief:A!Bse nume ste funct ie injectiv a sau mai simplu inject ie ,
dac a pentru orice x;y2Acux6=yrezult af(x)6=f(y) (echivalent dac a
pentru orice x;y2Acuf(x) =f(y) rezult ax=y). O funct ie f:A!Bse
nume ste funct ie surjectiv a sau mai simplu surject ie , dac a pentru orice y2B
exist ax2Aastfel ^ nc^ at f(x) =y. O funct ie se nume ste funct ie bijectiv a sau
mai simplu biject ie , dac a este simultan injectiv a  si surjectiv a.
De exemplu, e funct iile f;g;h;k :Z!Zdate prin:f(m) = 2m,g(m) =
[m=2],h(m) =m+ 1  sik(m) =m2. Atuncifeste injectiv a  si nesurjectiv a,
geste surjectiv a  si neinjectiv a, heste bijectiv a, iar keste neinjectiv a  si
nesurjectiv a.
Dac aAeste o submult ime a lui B, atunci inject ia i:A!B, dat a prin
i(x) =x, se nume ste funct ia (aplicat ia) de incluziune a lui A^ nB. Biject ia
IA:A!A, dat a prin IA(x) =x, se nume ste funct ia (aplicat ia) identic a
a mult imii A. Se veric a imediat c a pentru orice funct ie f:A!Bavem
IBf=f sifIA=f.
Dac aA,Bsunt dou a mult imi, atunci surject iile pA:AB!A si
pB:AB!B, date prinpA(x;y) =x sipB(x;y) =y, se numesc proiect iile
canonice ale produsului cartezian ABpe prima respectiv a doua compo-
nent a. O biject ie s:A!Ase mai nume ste permutare a mult imii A. De
exemplu,=
a b c d
b c a d!
este o permutare a mult imii fa;b;c;dg
Teorema 4 Fie funct iile f;f0:A!B sig;g0:B!C. Atunci au loc
urm atoarele implicat ii
(a)f;ginject ii)gfinject ie,
(b)f;gsurject ii)gfsurject ie,
(c)f;gbiject ii)gfbiject ie,
(d)gfinject ie)finject ie,
(e)gfsurject ie)gsurject ie,
(f)gfbiject ie)finject ie  sigsurject ie,
(g)gf=gf0 siginject ie)f=f0,
(h)gf=g0f sifsurject ie)g=g0.
Demonstrat ie. (a). Fiex;y2Aastfel ^ nc^ at ( gf)(x) = (gf)(y), adic a
g(f(x)) =g(f(y)). Cumg;fsunt inject ii, obt inem f(x) =f(y)  si apoi
x=y. (b). Fiez2C. Cumg;fsunt surject ii, exist a y2Bcug(y) =z si
apoi exist a x2Acuf(x) =y. Obt inem ( gf)(x) =g(y) =z.
(c) rezult a din ( a)  si (b).

14 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
(d). Fiex;y2Acuf(x) =f(y). Aplic^ and pe gobt inem (gf)(x) =
(gf)(y)  si cumgfeste inject ie, rezult a x=y.
(e). Fiez2C. Cumgfeste surject ie, exist a x2Acu (gf)(x) =z. Deci
y=f(x)2B sig(y) =z. (f) rezult a din ( d)  si (e).
(g). Fiex2A. Cumgf=gf0, rezult ag(f(x)) =g(f0(x)), decif(x) =
f0(x) deoarecegeste injectiv a.
(h) Fiey2B. Cumfeste surject ie, exist a x2Acuf(x) =y. Deoarece
gf=g0f, rezult ag(y) = (gf)(x) = (g0f)(x) =g0(y).
Fie funct iile f;g:N!Ndate prinf(n) =n+1  sig(n) = max(n1;0).
Atuncigf=INdarfnu este surjectiv a iar gnu este injectiv a.
Teorema 5 Fief:A!Bo funct ie. Atunci feste bijectiv a dac a  si numai
dac a exist a o funct ie g:B!Aastfel ^ nc^ at gf=IA sifg=IB. Dac a
exist a, funct ia geste unic a; gse nume ste inversa luif si se noteaz a cu f1.
Demonstrat ie. Implicat ia(rezult a din punctul ( f) al Teoremei 4.).
Fiey2B. Cumfeste surjectiv a, exist a y02Aastfel ^ nc^ at f(y0) =y.
Deoarecefeste injectiv a, y0este unic determinat de y(deoarecef(y0) =y=
f(y00) implic ay0=y00). Denim funct ia g:B!Apring(y) =y0. Pentru
oricey2B, rezult a (fg)(y) =f(y0) =y; decifg=IB. De asemenea, dac a
x2A, atuncig(f(x)) =f(x)0=x; decigf=IA. Unicitatea lui grezult a
din punctele ( g)  si (h) ale teoremei 4.
De exemplu, inversa funct iei f:N!Ndat a prinf(m) =m+ 1
estef1:N!Ndat a prinf1(m) =m1. De asemenea, inversa
funct ieih:R!R,h(x) =x3+ 5x,x2R, este funct ia h1(y) =
3r
y=2 +q
y2=4 + 125=27 +3r
y=2q
y2=4 + 125=27,y2R.
Fief:A!Bo funct ie. Dac a XA, atunci submult imea lui B,
f(X) =ff(x)jx2Xgse nume ste imaginea (direct a) a luiXprinf.f(A) se
noteaz a cu Im( f)  si se nume ste imaginea luif. E clar c afeste surjectiv a dac a
 si numai dac a Im( f) =B. De asemenea, dac a YB, atunci submult imea
luiA,f1(Y) =fx2Ajf(x)2Ygse nume ste pre-imaginea sauimaginea
invers a a luiYprinf.
De exemplu, pentru funct ia h:N!Z, dat a prin h(n) = (1)n, avem
Im(h) =f1;1g,h(f1;3g) =f1g,h1(f2g) =; sih1(f1g) = mult imea
numerelor naturale pare.

1.2. FUNCT  II 15
Teorema 6 Fief:A!Bo funct ie,X;WA siY;ZB. Atunci
(a)XW)f(X)f(W),
(b)YZ)f1(Y)f1(Z),
(c)f(X[W) =f(X)[f(W),
(d)f(X\W)f(X)\f(W) (cu egalitate dac a feste injectiv a) ,
(e)f1(Y[Z) =f1(Y)[f1(Z),
(f)f1(Y\Z) =f1(Y)\f1(Z),
(g)f1(f(X))X(cu egalitate dac a feste injectiv a) ,
(h)f(f1(Y))Y(cu egalitate dac a feste surjectiv a).
Demonstrat ie. (a)  si (b) sunt clare. ( c). Incluziunearezult a din ( a).
Fiey2f(X[W). Atunci exist a x2X[Wastfel ^ nc^ at f(x) =y. Rezult a
x2Xsaux2W, deciy2f(X) sauy2f(W).
(d). Prima parte e clar a. Presupunem finjectiv a  si e y2f(X)\f(W).
Exist ax2X siw2Wastfel ^ nc^ at f(x) =f(w) =y. Din injectivitatea lui
frezult ax=w, deciy2f(X\W).
(e). Avem  sirul de echivalent e: x2f1(Y[Z),f(x)2Y[Z,
f(x)2Ysauf(x)2Z,x2f1(Y)[f1(Z).
(f):se probeaz a asem an ator cu ( e).
(g):Dac ax2X, atuncif(x)2f(X), decix2f1(f(X)). Reciproc, e
w2f1(f(X)). Atunci f(w)2f(X), adic a exist a x2Xcuf(x) =f(w),
deciw=x2Xdac afeste injectiv a.
(h):Relat iaf(f1(Y))Yeste evident a. Presupunem c a feste surjec-
tiv a  si ey2Y. Atunci exist a x2Acuf(x) =y. Rezult a c a x2f1(Y),
deciy2f(f1(Y)).
Teorema 7 FieAo mult ime. Armat iile urm atoare sunt echivalente:
(a)Aeste nit a,
(b)orice inject ie f:A!Aeste biject ie,
(c)orice surject ie f:A!Aeste biject ie.
Demonstrat ie. (a))(b)  si (a))(c). FieA=fa1;:::;ang. Dac a
feste injectiv a, atunci f(a1);:::;f (an) sunt elemente distincte din A, deci
ff(a1);:::;f (an)g=A, adic afeste surjectiv a.
Dac afeste surjectiv a, atunci ff(a1);:::;f (an)g=Adecif(a1);:::;f (an)
sunt distincte, adic a feste injectiv a.
(b))(a)  si (c))(a). Presupunem c a Aeste innit a. Vom construi
funct iilef;g:A!A,finjectiv a nesurjectiv a, gsurjectiv a neinjectiv a. Fiind

16 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
innit a,Aposed a o submult ime innit a B=fa1;a2;:::;an;:::g. Denim
funct iilef;g:A!Aprin
f(x) =(
x dac ax2AnB
an+1dac ax=ang(x) =(
x dac ax2AnB[fa1g
an1dac ax=an;n2:
Deoarecea162Im(f),g(a1) =g(a2)  sigf=IA, rezult a c a feste injectiv a
dar nesurjectiv a iar geste surjectiv a dar neinjectiv a. 
Proprietatea anterioar a ne permite s a denim mult imile nite ca ind
mult imileAcu proprietatea c a orice inject ie (surject ie) f:A!Aeste
biject ie.
Teorema 8 FieA,Bmult imi nite cu mrespectivnelemente. Atunci
(a)num arul submult imilor lui Beste2n
(b)num arul funct iilor de la AlaBestenm
(c)num arul permut arilor lui Besten!
(d)dac amn, num arul inject iilor de la AlaBesten!=(nm)!
(e)dac amn, num arul surject iilor de la AlaBeste
nmC1
n(n1)m+C2
n(n2)m+


+ (1)n1Cn1
n:
Demonstrat ie. (a). Fie 0kn. Submult imile lui Bav^ andkelemente
sunt ^ n num ar de Ck
n. DeciBareC0
n+C1
n+


+Cn
n= (1 + 1)n= 2n
submult imi. Pentru celelate armat ii, vezi exercit iul 12. 
Spunem c a dou a mult imi A,Bsunt echipotente sau c a au acela si cardinal
 si not amA'BsaujAj=jBj, dac a exist a o biject ie f:A!B. E clar c a
dou a mult imi nite sunt echipotente dac a  si numai dac a au acela si num ar de
elemente. Din acest motiv, pentru o mult ime nit a cu nelemente vom scrie
jAj=n.
Pentru cazul mult imilor arbitrare, se poate proba u sor c a relat ia de echi-
potent  a posed a propriet at ile re
exivitate( A'A), simetrie ( A'B)B'
A)  si tranzitivitate ( A'B siB'C)A'C):O mult ime echipotent a
cuNse nume ste mult ime num arabil a. E clar c aAeste mult ime num arabil a
dac a  si numai dac a elementele lui Ase pot a seza ^ ntr-un  sir innit. Cum Z=
f0;1;2;:::g,Zeste num arabil a. NNeste de asemeanea num arabil a,
deoarece avem biject ia
f:NN!N; f(a;b) = 2a(2b+ 1)1:

1.3. FAMILII DE MULT  IMI. 17
^Intr-adev ar, orice num ar natural nenul se scrie^ n mod unic ca produsul dintre
o putere a lui 2  si un num ar impar.
Teorema 9 (Cantor). Mult imea numerelor reale este nenum arabil a.
Demonstrat ie. Presupunem c a Reste num arabil a. Atunci intervalul
(0;1) este num arabil. Fie fa1;:::;an;:::go ^ n siruire a numerelor din (0 ;1)  si
e
an=0;an1an2


ank



reprezentarea zecimal a a lui an. Pentru ecare n, ebnno cifr a zecimal a
diferit a de 0, 9  si ann. Atunci num arul cu reprezentarea zecimal a
0;bn1bn2


bnn



apart ine lui (0 ;1) dar nu se g ase ste ^ n  sirul fa1;:::;an;:::g, contradict ie.
FieA,Bdou a mult imi. Spunem c a Aare cardinal mai mic dec^ at B si
not amjAjjBj, dac a exist a o inject ie f:A!B. Dac a ^ n plus, A;B
nu sunt echipotente, not am jAj<jBj. Au loc urm atoarele dou a rezultate
remarcabile.
Teorema 10 (Cantor). Pentru orice mult ime A,jAj<jP(A)j.
Demonstrat ie. Inject iai:A!P (A); i(x) =fxg, ne arat a c ajAj
jP(A)j. Presupunem c a avem o biject ie f:A! P (A). Se consider a
mult imeaB=fa2Aja62f(a)g. Cumfeste surjectiv a, exist a b2A
cuf(b) =B. Dac ab2B, atuncib62f(b) =B, contradict ie; iar dac a b62B,
atuncib2f(b) =B, din nou contradict ie. 
Teorema 11 (Cantor-Schr oder-Bernstein). FieA,Bdou a mult imi. Dac a
jAjjBj sijBjjAj, atuncijAj=jBj.
Demonstrat ie. Vezi exercit iul 9. 
1.3 Familii de mult imi.
FieMo mult ime nevid a. Un  sir ( xn)n1de elemente ale lui M^ nseamn a, de
fapt, o funct ie f:N!M,f(n) =xn. Mai general, dac a Ieste o mult ime, o

18 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
familie de elemente (xi)i2IdinMindexat a dup a mult imea I^ nseamn a funct ia
f:I!M,f(i) =xi.Ise nume ste mult imea indicilor iarxielementul de
indiceial familiei. Familia se zice nevid a dac aIeste nevid a. De exemplu, o
matrice de tip mnde numere reale este o familie indexat a dup a mult imea
f1;:::;mgf 1;:::;ng.
Fie (Ai)i2Io familie nevid a de mult imi (adic a, ecare Aieste mult ime).
Operat iile de reuniune/intersect ie se pot deni pentru familii astfel
[
i2IAi=fxjexist aix2Icux2Aixg
\
i2IAi=fxjx2Aipentru orice i2Ig:
De exemplu,[n
i=1Ai=A1[


[An,[0<x< 1(0;x] = (0;1)  si\1
i=1(0;1=n) =
;. Propriet at ile reuniunii/intersect iei din cazul a dou a mult imi se extind
u sor la cazul familiilor. De exemplu, o versiune generalizat a a asociativit at ii
reuniunii este urm atoarea. Fie (( Aik)ik2Ik)k2Ko familie de familii mult imi.
Atunci[
k2K([
ik2IkAik) =[
j2IAjundeI=[
k2KIk:
O versiune generalizat a a distributivit at ii intersect iei fat  a de reuniune este
urm atoarea. Fie ( Ai)i2I si (Bj)j2Jfamilii de mult imi. Atunci
([
i2IAi)\([
j2JBj) =[
(i;j)2IJ(Ai\Bj):
^Intr-adev ar, x2(S
i2IAi)\(S
j2JBj),exist a2I si2Jcux2A\B
,x2S
(i;j)2IJ(Ai\Bj):
Formulele lui De Morgan se exprim a astfel. Fie Xo mult ime  si e ( Ai)i2I
o familiei de submult imi ale lui X. Atunci
[
i2IAi=\
i2IAi
\
i2IAi=[
i2IAi
undeY=CX(Y).^Intr-adev ar, x2S
i2IAi,x2X six62S
i2IAi,x2X
 six62Aipentru orice i2I,x2T
i2IAi:

1.4. RELAT  II DE ECHIVALENT  A 19
Prin denit ie, produsul cartezianQ
i2IAial unei familii nevide de mult imi
(Ai)i2Ieste
Y
i2IAi:=f(xi)i2Ijxi2Aipentru orice i2Ig:
Dac aA;Isunt mult imi nevide, atunci AIeste produsul cartezian al fami-
liei (Ai)i2IcuAi=Apentru orice i2I. DeciAIeste mult imea familiilor de
elemente din Aindexate dup a I, altfel spus, mult imea funct iilor f:I!A.
Dac aI=f1;:::;ng,AIse noteaz a simplu cu An.^In teoria axiomatic a a
mult imilor, se admite urm atoarea axiom a:
(Axioma alegerii.) Produsul cartezian al unei familii nevide de mult imi nev-
ide(Ai)i2Ieste nevid, adic a exist a o funct ie
f:I![
i2IAicuf(i)2Aipentru orice i2I:
1.4 Relat ii de echivalent  a
FieAo mult ime nevid a. O relat ie "" pe mult imea Aeste o submult ime a
produsului cartezian AA. Dac a (a;b)2, vom spune c a aeste ^ n relat ia
cub si vom folosi notat ia (mai comod a) ab. De exemplu, =f(1;2)g
este o relat ie pe mult imea f1;2g si 12. E clar c a pe o mult ime cu nelemente
sunt 2n2relat ii.
O relat iepe mult imea Ase nume ste relat ie de echivalent  a dac aeste
simultan:
re
exiv a:aapentru orice a2A,
simetric a:abimplic aba,  si
tranzitiv a: ab sibcimplic aac.
Exemple de relat ii de echivalent  a: relat ia de egalitate pe o mult ime
nevid a, relat ia de paralelism pe mult imea dreptelor din plan, relat iile de
asem anare/congruent  a pe mult imea triunghiurilor din plan. Relat ia de ine-
galitatepeNnu este relat ie de echivalent  a, neind simetric a. Dac a
f:A!Beste o funct ie, atunci relat ia fpeAdenit a prin
xfy:,f(x) =f(y)

20 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
este o relat ie de echivalent  a ind re
exiv a: f(a) =f(a) pentru orice a2A,
simetric a:f(a) =f(b) implic af(b) =f(a),  si tranzitiv a: f(a) =f(b)  si
f(b) =f(c) implic af(a) =f(c).
Numimfrelat ia de echivalent  a asociat a lui f.De exemplu, pentru
funct ia:R!C; (x) = cos(2x) +isin(2x), relat iaxy^ nseamn a
xy2Z. Fieo relat ie de echivalent  a pe mult imea A. Dac aa2A,
mult imea
[a] :=fb2Ajbag
se nume ste clasa de echivalent  a a elementului a. Mult imea claselor de echi-
valent  a se nume ste mult imea factor a lui Amodulo si se noteaz a cu A=.
DeciA==f[a]ja2Ag:Surject ia
p:A!A=; p(a) = [a]
se nume ste surject ia canonic a . Se vede c ap=. Pentru relat ia de egalitate
pe o mult ime nevid a B, clasele de echivalent  a sunt submult imile lui Bcu
c^ ate un singur element. O partit ie a unei mult imi nevide Aeste o familie
de submult imi nevide disjuncte dou a c^ ate dou a ale lui Aa c arei reuniune
esteA. De exemplu, (f2n;2n+ 1g)n2Zeste o partit ie a lui Z^ n timp ce
(fn;n+ 1g)n2Z si (f3n;3n+ 1g)n2Znu sunt partit ii.
Teorema 12 Fieo relat ie de echivalent  a pe mult imea A. Atunci
(a)a2[a]pentru orice a2A.
(b)Dou a clase de echivalent  a [a] si[b]sunt(
egale dac a ab
disjuncte dac a a6b:
^In particular, [a] = [b]dac a  si numai dac a ab.
(c)Mult imea claselor de echivalent  a este o partit ie a lui A.
Demonstrat ie. (a) rezult a din re
exivitate lui . (b). Presupunem c a
exist ax2[a]\[b]  si ey2[a]. Cumeste simetric a, rezult a c a ya,
ax sixb. Din tranzitivitatea obt inem yb, deciy2[b]. Deci [a][b]
 si din simetrie obt inem [ a] = [b]. Am demonstrat astfel  si pe ( c).
FieAo mult ime nevid a. Unei partit ii A= (Ai)i2Ia luiA, ^ i putem
asocia relat ia pe Adenit a prin xAy,x;yse g asesc ^ n acela si Ai. Se
arat a u sor c aAeste o relat ie de echivalent  a ale c arei clase de echivalent  a
sunt chiar submult imile Ai. Reciproc, dac a este o relat ie de echivalent  a pe
mult imeaA, atunci din teorema precedent a rezult a c a A= este o partit ie a
luiA siA==. Am stabilit astfel urm atorul rezultat.

1.4. RELAT  II DE ECHIVALENT  A 21
Teorema 13 FieAo mult ime nevid a. Aplicat iile 7!A=  siA7!Asunt
biject ii inverse una celeilalte ^ ntre relat iile de echivalent  a pe A si partit iile lui
A.
De exemplu, pe o mult imea f1;2;3gsunt cinci relat ii de echivalent  a
deoarecef1;2;3gare cinci partit ii (vezi  si exercit iul 16). Fie funct ia :
R!C;(x) = cos(2x) +isin(2x). Clasele de echivalent  a ale relat iei 
sunt submult imile lui Rde formafx+kjk2Zgcu 0x<1.^In fond, se
vede u sor c a pentru o funct ie f:A!B, clasele de echivalent  a ale relat iei
fsunt submult imile f1(b) cub2Im(f).
Fieo relat ie de echivalent  a pe mult imea A. O submult ime Sa luiA
se nume ste sistem de reprezentant i pentrudac aScont ine exact c^ ate un
element din ecare clas a de echivalent  a. Deci, Seste sistem de reprezentant i
pentrudac a  si numai dac a Sveric a condit iile
(1) pentru orice a2Aexist asa2Scuasa,  si
(2) orice dou a elemente distincte ale lui Snu sunt ^ n relat ia .
[0;1) este un sistem de reprezentant i pentru relat ia denit a anterior.
Pe mult imea numerelor complexe (identicat a cu planul complex), relat ia
zw,jzj=jwjeste o relat ie de echivalent  a (este chiar relat ia asociat a
funct ieid:C!R,d(z) =jzj). Clasele de echivalent  a sunt cercurile de
cetru 0, iar [0 ;1) este un sistem de reprezentant i.
Fienun num ar natural xat. Spunem c a dou a numere ^ ntregi a;bsunt
congruente modulo n si scriemab(n) dac andivideab:Relat ia(n)
se numet e relat ia de congruent  a modulo npeZ. De exemplu, 75 (4)  si
1164 (6). De asemenea, ab(2),a sibau aceea si paritate. Se vede
imediat c a relat ia de congruent  a modulo 0 este chiar egalitatea  si c a orice
dou a numere sunt congruente modulo 1. A sadar, ne putem restr^ ange in cele
ce urmeaz a la cazul n2.
Teorema 14 Relat ia de congruent  a modulo npeZeste o relat ie de echiva-
lent  a cu clasele de echivalent  ab0,b1,…,dn1, unde
br=fnq+rjq2Zg:
Demonstrat ie. Fiea;b2Z.^Imp art ind pe ecare cu rest la n, obt inem
a=nq+r,b=ns+tcuq;s2Z sir;t2f0;1;:::;n1g. Atunciab(n)
,njab,njrt,r=t, deoarecejrtjn1. A sadar

22 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
ab(n),a sibdau acela si rest la ^ mp art irea cu n.
Cu aceast a caracterizare se arat a u sor c a relat ia de congruent  a modulo neste
o relat ie de echivalent  a  si c a are clasele de echivalent  ab0,b1,…,dn1.^Intr-
adev ar, pentru 0rn1,br=fnq+rjq2Zgsunt exact numerele ce dau
restulrla ^ mp art irea cu n. Altfel spus, mult imea resturilor f0;1;:::;n1g
este un sistem de reprezentant i. 
Numim clasele de echivalent  a ale relat iei de congruent  a modulo nclasele
de resturi modulo n, iar mult imea lor o not am cu Zn. Deci
Zn=fb0;b1;:::;dn1g:
brse mai scrie nZ+r, undenZeste mult imea multiplilor lui n.
De exemplu, Z2=fb0;b1gundeb0 (resp.b1) este mult imea numerelor ^ ntregi
pare (resp. impare).
Cu ajutorul relat ilor de echivalent  a se pot deni noi obiecte matematice.
De exemple, mult imea numerelor ^ ntregi Zse poate construi plec^ and de la
Nastfel. Pe NNconsider am relat ia de echivalent  a ( a;b)(c;d) dac a
a+d=b+c. Dac a not am clasa de echivalent  a a lui ( a;b) cuab, atunci
putem deni pe ZcaNN==fabja;b2Ng(vezi exercit iul 24).
D am  si un exemplu geometric. Fie dreptunghiul D= [0;9][0;1]. PeD
consider am relat iile de echivalent  a ,? sidenite prin
(0;y)(9;y) pentru orice y2[0;1];
(0;y)(9;y)  si (x;0)(x;1) pentru orice ( x;y)2[0;9][0;1],
(0;y)?(9;1y) pentru orice y2[0;1].
Atunci mult imea factor D=poate  g^ andit a ca un cilindru, deoarece am
"lipit" laturile verticale ale lui D,D=poate  g^ andit a ca un tor, deoarece
am "lipit"  si laturile orizontale ale lui D, iarD=?poate  g^ andit a ca o band a
M obius, deoarece am "lipit" laturile verticale ale lui Ddup a o r asucire.
1.5 Exercit ii.
1:FieMo mult ime, A;BM si e funct ia
f:P(M)!P (A)P(B) denit a prin f(X) = (X\A;X\B):
Ar atat i c afeste injectiv a,A[B=M si c afeste surjectiv a,A\B=;.

1.5. EXERCIT  II. 23
2:Fief:A!Bo funct ie. Consider am funct iile f:P(A)!P (B),
f:P(B)!P (A), denite prin f(X) =f(X)  sif(Y) =f1(Y). Ar atat i
c afeste injectiv a (resp. surjectiv a) ,feste surjectiv a (resp. finjectiv a).
3:Ar atat i c a funct ia f:Z2!R,f(x;y) = (xp
2)2+ (y1=3)2, este
injectiv a. Ca aplicat ie, ar atat i c a pentru orice num ar natural n, exist a un
cerc cu centrul ^ n punctul C= (p
2;1=3) care cont ine ^ n interior exact n
puncte cu coordonatele numere ^ ntregi.
4:G asit i imaginea funct iei f:Z2!Z,f(x;y) =x2y2.
5:Scriet i elementele mult imii P(P(P(;))).
6:Fie (An)n1un  sir mult imi nevide nite  si e fn:An+1!An,n1,
aplicat ii. Ar atat i c a exist a un  sir ( an)n1,an2An, astfel ^ nc^ at fn(an+1) =an
pentrun1.
7:FieAo mult ime. Ar atat i c a nu exist a o inject ie f:P(A)!A. (Indicat ie:
folosit i mult imea B=Anff(C)jf(C)2Cg si elementul b=f(B).)
8:Fief:B!Ao funct ie injectiv a, unde Aeste o submult ime a lui B.
Consider am mult imea C=ffn(x)jx2BnA; n0g, undef0(x) :=x
 sifn=ffn1pentrun1. Ar atat i c a funct ia g:B!Adenit a prin
g(x) =(
f(x) dac ax2C
x dac ax62Ceste bijectiv a. Aplicat ie: calculat i gpentru
f: [0;1]![0;1),f(x) =x=2.
9Folosit i exercit iul precedent pentru a ar ata c a dou a mult imi D,Esunt
echipotente dac a ^ ntre ele exist a inject ii u:D!E siv:E!D(teorema
Cantor-Schr oder-Bernstein).
10:FieA;B;C trei mult imi nevide. Ar atat i c a ( BC)A'BACA si
(CB)A'CAB.
11:(Principiul includerii  si excluderii.) Fie Xo mult ime nit a nevid a  si
A1;:::;Ansubmult imi ale lui X. Ar atat i c a:
jA1[A2[


[Anj=nX
i=1jAijX
i<jjAi\Ajj+


+ (1)n+1jA1\


\Anj:

24 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II
12:Fiea;bdou a numere naturale, A=f1;2;:::;ag siB=f1;2;:::;bg.
Probat i armat iile urm atoare.
(a) Num arul Nal funct iilor de la AlaBesteba.
(b) Dac aab, num arulNial inject iilor de la AlaBesteb!=(ba)!.^In
particular, num arul permut arilor unei mult imi cu nelemente este n!.
(c) Dac aab, num arulNsal surject iilor de la AlaBeste
baC1
b(b1)a+C2
b(b2)a+


(1)b1Cb1
b:
(d) Dac aab, num arulNral funct iilor strict cresc atoare de la AlaB
esteCa
b.
(e) Num arul Ncal funct iilor cresc atoare de la AlaBesteCa
a+b1.
(Indicat ie. La (c), se num ar a non-surject iile folosind ex. 11, iar ( e) se poate
reduce la (d).)
13:Fiek;n1. Ar atat i c a num arul monoamelor Xi1
1Xi2
2


Xinnde gradk
esteCn1
n+k1.
14:Ar atat i c a num arul permut arilor de grad nf ar a puncte xe este n!(1
1=1! + 1=2!1=3! +


+ (1)n=n!). (Indicat ie. Folosit i ex. 11).
15:Pentrun1, e'(n) num arul ^ ntregilor pozitivi n si primi cu n
(funct ia'se nume ste indicatorul lui Euler ). Ar atat i c a
'(n) =n(11=p1)(11=p2)


(11=ps)
undep1;p2;:::;pssunt factorii primi ai lui n.
16:Num arat i relat iile de echivalent  a pe o mult ime cu nelemente.
17:Ar atat i c a relat ia de congruent  a modulo neste relat ie de echivalent  a
folosind denit ia.
18:Care dintre urm atoarele relat ii pe Reste relat ie de echivalent  a: ( a)xy
dac axy2Z, (b)xydac ajxyj<2, (c)x
ydac ax+y2Z?
19:FieRmult imea relat iilor pe f1;2;3g. Consider am axiomele de: (1) re-

exivitate, (2) simetrie, (3) tranzitivitate, (4) antisimetrie. Calculat i imag-
inea funct iei urm atoare: g:R!f 0;:::;15g,g() =a1+ 2a2+ 4a3+ 8a4
undeai= 1 (resp.ai= 0) dac asatisface (resp. nu satisface) axioma ( i).

1.5. EXERCIT  II. 25
20:FieAo mult ime innit a  si Fmult imea funct iilor g:A!A. PeF
denim relat ia fg,mult imeaDfg=fa2Ajf(a)6=g(a)geste nit a.
Ar atat i c aeste o relat ie de echivalent  a.
21:Pe mult imea C(=planul complex f ar a 0) denim relat ia zw,z,
w si 0 sunt coliniare. Ar atat i c a este relat ie de echivalent  a, determinat i
clasele de echivalent  a  si un un sistem de reprezentant i.
22:Pe mult imea C(=planul complex) denim relat ia zw,zw2R.
Ar atat i c aeste relat ie de echivalent  a, determinat i clasele de echivalent  a  si
un un sistem de reprezentant i.
23:FieAo mult ime nevid a. Pe mult imea Ha funct iilor de la A^ nAdenim
relat iafg,exist a o biject ie u2Hastfel ^ nc^ at fu=ug. Ar atat i c a
este relat ie de echivalent  a.
24:(Construct ia lui Z.) Fierelat ia pe NNdenit a prin ( a;b)(c;d)
dac aa+d=b+c. Ar atat i c aeste o relat ie de echivalent  a  si c a NN=
se identic a ^ n mod natural cu Z.
25:(Construct ia lui Q.) Fierelat ia pe ZNdenit a prin ( a;b)(c;d)
dac aad=bc. Ar atat i c aeste o relat ie de echivalent  a  si c a ZN=se
identic a ^ n mod natural cu Q.
26:(Construct ia lui R.) FieCmult imea  sirurilor Cauchy de numere rat ionale
(un  sir (an)n1se nume ste  sir Cauchy dac a pentru orice num ar natural k1,
exist a un num ar natural N=N(k)1 astfel ^ nc^ atjanamj<1=kpentru
oricen;mN). PeCconsider am relat ia denit a prin ( an)n1(bn)n1
,limn!1(anbn) = 0. Ar atat i c a este o relat ie de echivalent  a  si c a C=
se identic a ^ n mod natural cu R.
27:Pentru ce numere naturale n2 este funct ia f:Zn!C,f(^k) =ik
bine-denit a ?

26 CAPITOLUL 1. MULT  IMI S I FUNCT  II

Capitolul 2
Operat ii algebrice, monoizi.
^In acest capitol se introduce not iunea de operat ie algebric a, not iune funda-
mental a pentru ^ nt elegerea tuturor capitolelor urm atoare. Sunt date apoi
c^ ateva propriet at i ale monoizilor.
2.1 Operat ii algebrice
FieAo mult imea nevid a. O operat ie algebric a binar a pe mult imea A
(prescurtat, operat ie pe A) este o funct ie:AA!A. Pentru comoditate,
vom scrieab^ n loc de(a;b). Deci, operat ia asociaz a ec arei perechi
(a;b)2AAelementulab2A. De exemplu, xy=x,x?y=x2+y2
sunt operat ii pe R.
Fieo operat ie pe mult imea A. Operat iase zice asociativ a dac a
a(bc) = (ab)cpentru orice a;b;c2A:
Operat iase zice comutativ a dac a
ab=bapentru orice a;b2A:
Un element e2Ase nume ste element neutru pentru operat iadac a
ae=ea=apentru orice a2A:
Dac a exist a, elementul neutru este unic. ^Intr-adev ar, dac a e;fsunt elemente
neutre, atunci e=ef=f.
27

28 CAPITOLUL 2. OPERAT  II ALGEBRICE, MONOIZI.
O submult ime nevid a Ha luiAse nume ste parte stabil a (^ n raport cu )
dac a
xy2Hpentru orice x;y2H:
^In acest caz,se restr^ ange la o operat ie pe Hnumit a operat ia indus a. De
exemplu, pe mult imea N, operat ia de adunare este asociativ a, comutativ a  si
are elementul neutru 0; ^ n plus, Nnf0;1;2;4geste parte stabil a. Operat ia de
sc adere pe Znu este nici asociativ a nici comutativ a  si nu are element neutru,
e.g. 1(11) = 16=1 = (11)1, 21 = 16=1 = 12; ^ n plus, 3 Z
este parte stabil a.
PerecheaM= (A;) se nume ste semigrup dac aAeste o mult ime nevid a
 sieste operat ie asociativ a pe A. Un monoid este un semigrup cu element
neutru.Ase nume ste mult imea subiacent a a semigrupului/monoidului M.
Semigrupul (monoidul) Mse zice comutativ dac aeste operat ie comutativ a.
De exemplu, ( Nnf1g;+) este un semigrup comutativ. Pe o mult ime
Ccu cel put in dou a elemente, operat ia ab=a,a;b2C, dene ste o
structur a de semigrup necomutativ care nu este monoid. Avem exemplele
de monoizi comutativi: ( N;+), (Z;+), (Q;+), (R;+), (N;
), (Z;
), (Q;
),
(R;
), (P(B);[)  si (P(B);\), undeBeste o mult ime arbitrar a.
FieBo mult ime nevid a. Pe mult imea BBa tuturor funct iilor f:B!
B, operat ia de compunere determin a o structur a de monoid. ^Intr-adev ar,
compunerea funct iilor este asociativ a (cf. teoremei 3)  si funct ia identic a IB
joac a rol de element neutru. Dac a Bare cel put in dou a elemente, monoidul
BBeste necomutativ, dup a cum putem vedea compun^ and dou a aplicat ii
constante diferite.
FieM= (A;) un monoid cu elementul neutru e. Un element a2Mse
nume ste element inversabil sau simetrizabil dac a exist a a02Mcu
aa0=a0a=e:
Dac a exist a, elementul a0este unic. ^Intr-adev ar, dac a ^ n plus b2A si
ab=ba=e, atunci
a0=a0e=a0(ab) = (a0a)b=eb=b:
Elementul a0se nume ste inversul sau simetricul luia. Not am cu U(M)
mult imea elementelor inversabile ale monoidului Mnumit a  si mult imea uni-
t at ilor luiM. Cumee=e,e2U(M).
Un monoid se nume ste grup dac aU(M) =M, adic a orice element al
s au este inversabil. De exemplu, monoizii ( N;+)  si ( Z;
) nu sunt grupuri,

2.1. OPERAT  II ALGEBRICE 29
deoareceU(N;+) =f0g siU(Z;
) =f1;1g. Pe de alt a parte, ( Z;+) este
grup; ^ l vom numi grupul Zsub^ nt eleg^ and c a operat ia grupal a este adunarea.
Deosebim urm atoarele tipuri de notat ii. Notat ie general a , caz ^ n care
operat ia este notat a cu un semn de tipul ,,?, etc., elementul neutru este
notat cue,I, etc., iar simetricul unui element aeste notat de exemplu cu a0
sau a.
Notat ie aditiv a , caz^ n care operat ia este notat a cu semnul +  si este numit a
adunare , elementul neutru este notat cu 0  si este numit elementul nul , iar
simetricul unui element aeste notat cua si este numit opusul luia.
Notat ie multiplicativ a , caz ^ n care operat ia este notat a cu semnul
 si este
numit a ^ nmult ire , elementul neutru este notat cu 1  si este numit elementul
unitate , iar simetricul unui element aeste notat cu a1 si este numit inversul
luia.^In cazul notat iei multiplicative, x
yse noteaz a mai simplu cu xy.
Pentru simplicarea scrierii, vom expune rezultatele teoretice referitoare
la semigrupuri, monoizi  si grupuri ^ n notat ie multiplicativ a. Concret, prin
expresia \e monoidul M" vom ^ nt elege c a pe mult imea nevid a Mse con-
sider a operat ia asociativ a ( a;b)7!abcu elementul neutru 1 (sau 1 M), iar
dac aa2U(M), atunci inversul s au este a1. Pentru o mai bun a ^ ntelegere,
cititorul e sf atuit s a transcrie rezultatele ^ n notat ie aditiv a sau general a.
FieMo mult ime^ mpreun a cu o operat ie neasociativ a notat a multiplicativ
 si ea;b;c;d2M. Pentru a preciza produsul abcputem pune parantezele
^ n dou a moduri ( ab)csaua(bc). De asemenea, ^ n produsul abcd putem pune
parantezele ^ n cinci moduri: ( ab)(cd),a(b(cd)),a((bc)d), ((ab)c)d, (a(bc))d
(vezi  si ex. 30). Dac a operat ia este asociativ a, toate cele cinci produse
anterioare dau acela si rezultat. De exemplu, (( ab)c)d= (ab)(cd) =a(b(cd)).
Are loc urm atorul rezultat numit teorema de asociativitate generalizat a.
Teorema 15 Dac aMeste un semigrup  si a1;:::;an2M, atunci valoarea
produsuluia1


annu depinde de modul ^ n care s-au pus parantezele.
Demonstrat ie. Prob am armat ia prin induct ie dup a n. Cazurile n= 1
 sin= 2 sunt evidente, iar cazul n= 3 rezult a din asociativitate. Fie n4
 si presupunem c a armat ia a fost probat a pentru produsele de lungime <n;
deci pentru b1;:::;bk2M sik < n , scriereab1


bkeste neambigu a. Fie b
valoarea produsului a1


ancalculat ^ ntr-un mod oarecare. Rezult a c a exist a
i, 1i < n , cub= (a1


ai)(ai+1


an). Dac ai < n1, din ipoteza de
induct ie rezult a
b= (a1


ai)((ai+1


an1)an) =

30 CAPITOLUL 2. OPERAT  II ALGEBRICE, MONOIZI.
= ((a1


ai)(ai+1


an1))an= (a1


an1)an:
Decibnu depinde de modul de calcul ales. Acela si rezultat se obt ine  si dac a
i=n1.
Teorema precedent a ne permite s a folosim ^ ntr-un semigrup (monoid)
scriereaa1a2


an.
Spunem c a dou a elemente a;bale unui semigrup sunt permutabile dac a
ab=ba.
Teorema 16 FieMun semigrup  si a1;a2;:::;an2Melemente permutabile
dou a c^ ate dou a. Atunci produsul a1a2


annu depinde de ordinea factorilor.
Demonstrat ie. Fiebun produs al elementelor a1;a2;:::;an^ ntr-o ordine
oarecare. Prin permut ari de elemente vecine, aducem a1pe primul loc, apoi
a2pe locul doi,  s.a.m.d. 
2.2 Monoizi
Teorema 17 Dac aMeste un monoid  si a1;a2;:::;ansunt elemente in-
versabile ale lui M, atunci produsul lor a1a2


aneste element inversabil
 si
(a1a2


an)1=a1
n


a1
2a1
1:
^In particular, U(M)este grup fat  a de operat ia indus a.
Demonstrat ie. Avem
(a1a2


an)(a1
n


a1
2a1
1) = (a1a2


an1)(ana1
n)(a1
n1


a1
2a1
1) =
= (a1a2


an1)(a1
n1


a1
2a1
1) =:::=a1a1
1= 1:
Analog se arat a c a ( a1
n


a1
2a1
1)(a1a2


an) = 1. Rezult a c a U(M) este
un monoid cu toate elementele inversabile, deci U(M) este grup.
Fien1. Pe mult imea Zn=fb0;b1;:::;dn1ga claselor de resturi modulo
ndenim o operat ie de adunare  si una de^ nmult ire. Fie bx;by2Zncux;y2Z.
Denimbx+by=dx+y sibxby=cxy.

2.2. MONOIZI 31
Cele dou a operat ii sunt bine-denite, adic a nu depind de reprezentant ii
claselor. ^Intr-adev ar, e x0;y02Zcubx=bx0 siby=by0. Atuncindividex0x
 siy0y. Decindividex0+y0xy six0y0xy= (x0x)y0+x(y0y).
Rezult a c a dx+y=dx0+y0 sicxy=dx0y0.
Se veric a u sor c a ( Zn;+)  si ( Zn;
) sunt monoizi comutativi cu elementele
neutreb0 respectivb1. Primul este chiar grup deoarece bx+ (dx) =b0 pentru
oricebx2Zn. Il vom numi grupul Znsub^ nt eleg^ and c a operat ia grupal a este
adunarea.
Consider am acum monoidul ( Zn;
). AtunciU(Zn) estefbxjx2Z;(x;n) =
1g.^Intr-adev ar, e x2Z. Atuncibx2U(Zn),9y2Zcubxby=b1,9
y;a2Zcuxy+an= 1,(x;n) = 1.
Reamintim (vezi ex. 15) c a indicatorul lui Euler '(n) al luineste num arul
^ ntregilor pozitivi n si primi cu n. Din teorema 17 obt inem
Teorema 18 U(Zn;
) =fbxjx2Z;(x;n) = 1geste un grup abelian cu
'(n)elemente.
De exemplu, U(Z12) =fb1;b5;b7;c11g.
FieMun monoid, a2M sin1. Denim puterile lui aprin:a0= 1M,
an=aa


a(nfactori). Dac a aeste inversabil, putem extinde denit ia
precedent a pun^ and an= (a1)n,n1.^In cazul notat iei aditive egalit at ile
precedente se scriu 0 a= 0M,na=a+a+


+a(ntermeni), 0a= 0M si
(n)a=n(a).
Teorema 19 (Reguli de calcul ^ ntr-un monoid). FieMun monoid  si a;b2
M.(a)aman=am+npentru orice m;n0(resp.m;n ^ ntregi, dac a aeste
inversabil).
(b) (am)n=amnpentru orice m;n0(resp.m;n ^ ntregi, dac a aeste
inversabil).
(c)Dac aab=ba, atunci (ab)n=anbnpentru orice m;n0(resp.m;n
^ ntregi, dac a a;bsunt inversabile).
Demonstrat ie. Pentrum;n0, armat iile sunt consecint e imediate ale
denit iei. Presupunem c a a;bsunt inversabile.
(a). Pentruk^ ntreg avem ak=ak+1a1=ak+2a2=


=ak+pap.
(b). Fiem0  sin0. Atunci ( am)n= ((am)1)n= ((a1)m)n=
(a1)mn=amn. Celelalte cazuri rezult a analog.

32 CAPITOLUL 2. OPERAT  II ALGEBRICE, MONOIZI.
(c). Fien0. Atunci (ab)n= ((ab)1)n= (a1b1)n= (a1)n(b1)n
=anbn.
FieA siBdoi monoizi. O funct ie f:A!Bse nume ste morsm de
monoizi dac a
(
f(xy) =f(x)f(y) pentru orice x;y2A;
f(1A) = 1B:
Dac aA siBsunt monoizi, avem morsmele x7!1B:A!Bnumit
morsmul trivial  siIA:A!A; IA(x) =x;numit morsmul identic. n7!
2n: (N;+)!(N;
),x7!jxj: (Z;
)!(N;
)  sin7!2n: (N;+)!(N;+)
sunt exemple concrete de morsme de monoizi.
Un morsm de monoizi bijectiv se nume ste izomorsm de monoizi . Mor-
smul identic este izomorsm. X7!BnX: (P(B);[)!(P(B);\),x7!
x: (Z[f1g;max )!(Z[f1g;min )  six7!2x: (R;+)!((0;1);
)
sunt exemple concrete de izomorsme de monoizi.
Teorema 20 (a)Compunerea a dou a morsme de monoizi este un morsm
de monoizi. (b)Inversul unui izomorsm de monoizi este tot un izomorsm.
Demonstrat ie. (a). Fief:A!B sig:B!Cmorsme de monoizi.
Pentru orice x;y2Aavem
(gf)(xy) =g(f(xy)) =g(f(x)f(y)) =g(f(x))g(f(y)) = (gf)(x)(gf)(y):
De asemenea, ( gf)(1A) =g(f(1A)) =g(1B) = 1C.
(b). Presupunem c a f:A!Beste un izomorsm de monoizi. Fie
x;y2B six0=f1(x),y0=f1(y). Atunci
f1(xy) =f1(f(x0)f(y0)) =f1(f(x0y0)) =x0y0=f1(x)f1(y):
De asemenea, din egalitatea f(1A) = 1Brezult af1(1B) = 1A.
Teorema 21 Fief:A!Bun morsm de monoizi  si a2A. Atunci
(a)f(an) =f(a)npentru orice n1,
(b)dac aa2U(A), atuncif(a)2U(B),f(a)1=f(a1) sif(an) =
f(a)npentru orice ^ ntreg n.

2.2. MONOIZI 33
Demonstrat ie. Armat ia ( a) rezult a din denit ia morsmului. ( b). Pre-
supunem c a a2U(A). Aplic^ and f sirului de egalit at i aa1=a1a= 1A
se obt inef(a)f(a1) =f(a1)f(a) =f(1A) = 1B, decif(a)2U(B)  si
f(a)1=f(a1). Fien0. Atunci f(an) =f((a1)n) =f(a1)n=
(f(a)1)n=f(a)n.
Spunem c a monoizii A siBsunt izomor ,  si scriemA'B, dac a ^ ntre ei
exist a un izomorsm. Doi monoizi izomor au acelea si propriet at i monoidale,
de aceea nu vom face distint ie ^ ntre ei. Din teorema 20, rezult a c a relat ia de
izomorsm ^ ntre monoizi este re
exiv a, simetric a  si tranzitiv a.
De exemplu, (f1;0g;
)'(f0;1g;+)'(f1;2g;max ). Pe de alt a parte,
(N;+)6'(N;
), deoarece dac a f: (N;+)!(N;
) este un izomorsm, ar
rezulta c a toate numerele naturale nenule sunt puteri ale lui f(1).
FieAo mult ime pe care o vom numi alfabet iar elementele sale litere . Vom
numi cuv^ ant un  sir nit a1a2


ande litere, incluz^ and aici  si cuv^ antul vid
(cuv^ antul cu zero litere) notat cu t. Prin denit ie, dou a cuvinte a1a2


an si
b1b2


bmsunt egale dac a m=n sia1=b1,…,an=bn, adic a dac a au acela si
num ar de litere  si literele corespunz atoare sunt egale. Fie W(A) mult imea
cuvintelor cu litere din A. AtunciW(A) este monoid ^ n raport cu operat ia
de concatenare
(a1a2


an)(b1b2


bm) =a1a2


anb1b2


bm:
numit monoidul liber generat de mult imea A. Elementul s au neutru este
cuv^ antul vid. De exemplu, dac a B=fbg, atunciW(B) =ft;b;bb;:::;bn;:::g.
Este clar c a W(B) este izomorf cu ( N;+) prin izomorsmul n7!bn:
N!W(B). Dac aD=fa;bg, atunci monoidul W(D) =ft;a;b;ab;ba;
abb;bab;aab;:::geste necomutativ, deoarece ab6=ba.
Mesajul teoremei urm atoare este c a morsmele de monoizi W(A)!M
se pot deni \pe litere". Demonstrat ia se face prin calcul.
Teorema 22 FieAo mult ime, Mun monoid  si f:A!Mo funct ie.
Atunci funct ia
F:W(A)!M; F (a1a2


an) =f(a1)f(a2)


f(an); a1;:::;an2A
este un morsm de monoizi. ^In particular, exist a un morsm surjectiv de
monoiziW(M)!M.

34 CAPITOLUL 2. OPERAT  II ALGEBRICE, MONOIZI.
2.3 Exercit ii
28:C^ ate operat ii se pot deni pe o mult ime cu nelemente  si c^ ate dintre
acestea sunt comutative, respectiv cu element neutru ?
29:FieSun semigrup nit. Ar atat i c a exist a n > m1 astfel ^ nc^ at
xn=xmpentru orice x2S.
30:Ar atat i c a num arul de moduri Tn^ n care se pot pune parantezele ^ ntr-un
produs neasociativ a1a2


anesteTn=Cn1
2n2=n(num arul lui Catalan).
31:Consider am urm atoarele operat ii algebrice pe N: (a)xy=x+ 1, (b)
xy=x, (c)xy=xy+ 1, (d)xy= 0, (e)xy=max(x;y). Precizat i
dac a ele sunt asociative, comutative, sau posed a element neutru.
32:FieAmult imea operat iilor algebrice pe N. Consider am axiomele de: (1)
asociativitate, (2) comutativitate, (3) existent a elementului neutru. Calculat i
imaginea funct iei urm atoare: f:A!f 0;:::;7g,f() =a1+ 2a2+ 4a3unde
ai= 1 (resp. ai= 0) dac a satisface (resp. nu satisface) axioma ( i).
(Indicat ie: folosit i ex. precedent).
33:Dat i exemple de operat ii algebrice care s a arate c a axiomele de asociativ-
itate, comutativitate  si de existent  a a elementului neutru sunt independente.
34:Ce propriet at i are operat ia xy=x+ [y] peR?
35:Fiea;b;c2Z,b6= 0. Pe Zdenim operat ia xy=axy+b(x+y) +c.
Ar atat i c a Ma;b;c= (Z;) este monoid,b=b2ac sibjc. Mai mult,
pentua6= 0, avem izomorsmele de monoizi Ma;b;c'Ma;1;0'KaundeKa
este monoidul multiplicativ fam+ 1jm2Zg.
36:Ar atat i c a oricare doi dintre monoizii comutativi ( N;+), (N;cmmmc ),
(N;max )  si (N[f1g;min ) sunt neizomor.
37:Descriet i endomorsmele monoiziilor ( N;+), (N;max )  si morsmele
dintre ei.
38:G asit i un morsm injectiv de monoizi f: (N;max )!(P(N);[).
39:Ar atat i c a monoizii multiplicativi M2(Z)  siM3(Z) nu sunt izomor.

2.3. EXERCIT  II 35
40:FieMun monoid  si 62M. Extindem operat ia din MpeM0=M[fg
prinx=x=pentru orice x2M0. Ar atat i c a M0este monoid cu
U(M) =U(M0). Dac a 1ab, ar atat i c a exist a un monoid cu belemente
dintre care asunt inversabile.
41:Numim atom al unui monoid Mun element neinversabil acare nu
se poate scrie ca produsul a dou a elemente neinversabile. G asit i atomii
monoidului ( Nn;+)  si ar atat i c a ( Nm;+)'(Nn;+),m=n.
42:Dat i exemplu de doi monoizi neizomor care au c^ ate doi atomi.
43:FieS,Tmult imi nite cu srespectivtelemente. Ar atat i c a monoizii
liberiW(S),W(T) sunt izomor dac a  si numai dac a s=t.
44:Ar atat i c a ^ n monoidul multiplicativ Mn=fnk+ 1jk2Ng,n2N,
n3, exist a trei atomi distinct i p;q;r cupq=r2. (Indicat ie: pentru
n6= 5;8, (2n1)2 si (n1)(2n1) sunt atomi).
45:Descriet i atomii monoizilor multiplicativi Mn=fnk+1jk2Ngpentru
n= 2;3  si ar atat i c a monoizii nu sunt izomor.

36 CAPITOLUL 2. OPERAT  II ALGEBRICE, MONOIZI.

Capitolul 3
Grupuri
^In acest capitol se introduc not iunile de baz a ale teoriei grupurilor: grup, mor-
sm de grupuri, subgrup, sistem de generatori, congruent e modulo un sub-
grup, grup factor, ordinul unui element ^ ntr-un grup, grup ciclic, grup de per-
mut ari. Se demonstreaz a teoreme importante precum teorema lui Lagrange,
teorema fundamental a de izomorsm, teorema de structur a a grupurilor ci-
clice, teorema de descompunere a unei permut ari ^ n produs de cicluri dis-
juncte, ecuat ia claselor de elemente conjugate  si teorema lui Cauchy.
3.1 Exemple de grupuri
Reamintim c a un grup este un monoid cu toate elementele inversabile. A sadar,
un grup este o mult ime inzestrat a cu o operat ie asociativ a care are element
neutru  si astfel ^ nc^ at orice element este inversabil. Un grup se zice grup
abelian saucomutativ dac a operat ia grupal a este comutativ a  si se zice nit
dac a mult imea subiacent a este nit a (num arul de elemente se nume ste or-
dinul grupului ).
Mult imile numerice Z,Q,R siCsunt grupuri abeliene ^ n raport cu
adunarea. De asemenea, Q,R siCsunt grupuri abeliene ^ n raport cu
^ nmult irea.
Pentrun2, mult imea Zn=fb0;b1;:::;dn1ga claselor de resturi modulo
neste grup fat  a de adunare iar U(Zn;
) =fbxjx2Z;(x;n) = 1geste grup
fat  a de ^ nmult ire (vezi teorema 18).
Conform teoremei 17, unit at ile unui monoid formeaz a grup ^ n raport
cu operat ia indus a. De exemplu, dac a Aeste o mult ime, mult imea AAa
37

38 CAPITOLUL 3. GRUPURI
funct iilor de la AlaAeste monoid fat  a de compunerea funct iilor. U(AA)
este grupul biject iilor A!A, numit grupul permut arilor mult imii A, grup
notat cuSA. Dac aA=f1;:::;ng,SAse noteaz a mai simplu Sn si se nume ste
grupul permut arilor de grad n.
Fien1  sia1;:::;aknumere distincte ^ ntre 1  si n. Prin permutarea
ciclic a (ciclul) (a1;:::;ak) se ^ nt elege permutarea din Sndenit a prin a17!
a27!


7!an7!a1 six7!xpentrux6=ai. Un ciclu de forma ( ij)
se nume ste transpozit ie . De exemplu, S3const a din permutarea identic a I,
transpozit iile (12), (13), (23)  si ciclurile (123), (132).
Dac aG;H sunt grupuri, produsul cartezian GHdevine grup fat  a
de operat ia de \^ nmult ire pe componente" ( a;b)(a0;b0) := (aa0;bb0) pentru
a;a02G sib;b02H. Acest grup se nume ste produsul direct al grupurilor G
 siH. Asociativitatea se veric a imediat, unitatea lui GHeste (1G;1H) iar
(a;b)1= (a1;b1). Produsul direct GGse noteaz a mai simplu cu G2.
De exemplu, grupul multiplicativ f1g2se nume ste grupul lui Klein .
Construct ia produsului direct de grupuri se poate generaliza u sor pentru
familii arbitrare de grupuri. De exemplu, ZNeste grupul aditiv al  sirurilor
de numere ^ ntregi.
Se nume ste izometrie a planului euclidian R2o funct ief:R2!R2
care p astreaz a distant ele, adic a satisface egalitatea d(f(P);f(Q)) =d(P;Q)
pentru orice P;Q2R2, unde
d((x1;x2);(y1;y2)) =q
(x1y1)2+ (x2y2)2:
Se poate ar ata c a orice izometrie este bijectiv a  si c a mult imea izometriilor
Izo(R2) este un grup fat  a de compunere (vezi [3, pag. 213]). Orice izometrie
este o translat ie, rotat ie, simetrie (fat  a de o dreapt a) sau compunerea dintre
o translat ie  si o simetrie; ^ n plus, orice izometrie se poate obt ine compun^ and
cel mult trei simetrii (vezi [3, pag. 216]).
Fie acum o submult ime Ya lui R2. Izometriile fcare invariaz a pe Y
^ n ansamblu, adic a f(Y) =Y, formeaz a un subgrup al lui Izo(R2) notat cu
Sim(Y)  si numit grupul de simetrie al lui Y.^Intr-adev ar, e f;g2Sim(Y).
Atuncif(Y) =Y sig(Y) =Y, decig1(Y) =Y si rezult a c a ( fg1)(Y) =Y.
FieRun dreptunghi care nu este p atrat. Atunci Sim(R) const a din
transformarea identic a, cele dou a simetrii fat  a de mediatoarele laturilor  si
rotat ia deradiani ^ n jurul punctului de intersect ia al diagonalelor.
FiePun p atrat. Sim(P) const a din transformarea identic a, rotat iile
de=2,, 3=2 radiani ^ n jurul centrului p atratului  si cele patru simetrii

3.2. MORFISME DE GRUPURI 39
fat  a de mediatoarele laturilor  si diagonale. Grupul este neabelian deoarece,
de exemplu, simetriile fat  a de diagonale nu comut a. El este numit grupul
diedral al p atratului  si este notat cu D4(vezi  si ex. 56).
Mai general, grupul diedral Dnse dene ste ca grupul de simetrie al unui
poligon regulat cu nlaturi.Dnconst a din rotat iile de 2 k=n radiani,k=
0;1;:::;n1, ^ n jurul centrului poligonului  si cele nsimetrii fat  a de axele de
simetrie ale poligonului.
3.2 Morsme de grupuri
FieG siHdou a grupuri. O funct ie f:G!Hse nume ste morsm de
grupuri dac a
f(xy) =f(x)f(y) pentru orice x;y2G:
Fiee=f(1G). Din 12
G= 1Grezult ae2=e=e1H si, prin amplicare
la st^ anga cu e1, rezult ae= 1H. Rezult a c a f(1G) = 1H, decifeste  si
morsm de monoizi. Un morsm de grupuri bijectiv se nume ste izomorsm
de grupuri . Un automorsm este un izomorsm de la un grup ^ n el ^ nsu si.
FieG;H grupuri  sia2G. Atunci aplicat ia x7!1H:G!Heste
un morm numit morsmul trivial iar aplicat ia identic a IA:A!Aeste
un automorsm numit (auto)morsmul identic. Mai general, aplicat ia x7!
axa1:G!G, este un automorsm numit automorsmul interior denit
dea.
Ca exemple concrete, f: (Z;+)!(Z;+),f(n) = 2neste morsm de
grupuri, iar g: (R;+)!((0;1);
),g(x) = 2xeste izomorsm.
Teorema 23 (a)Compunerea a dou a morsme de grupuri este un morsm
de grupuri. (b)Inversul unui izomorsm de grupuri este tot un izomorsm.
Demonstrat ie. Rezult a din armat iile corespunz atoare pentru morsmele
de monoizi (teorema 20). 
Spunem c a grupurile G siHsunt izomorfe sau c a au acela si tip ,  si scriem
G'H, dac a exist a un izomorsm de grupuri f:G!H. De exem-
plu, ( R;+)'((0;1);
). Dimpotriv a, ( R;+)6'(R;
), deoarece dac a
f: (R;
)!(R;+) este un morsm, atunci 0 = f((1)2) = 2f(1), deci
f(1) =f(1) = 0.

40 CAPITOLUL 3. GRUPURI
Se vede c a dac a f:G!Heste un izomorsm de grupuri, atunci orice
proprietate a grupal a a lui Gse poate transporta prin f^ nH. De aceea, nu
vom face distinct ie ^ ntre dou a grupuri izomorfe. De exemplu, ecare dintre
grupurile izomorfe ( f1gf 1g;
)  si (Z2Z2;+) va  numit grupul lui
Klein.
Din teorema anterioar a, rezult a c a relat ia de izomorsm ^ ntre grupuri este
re
exiv a, simetric a  si tranzitiv a.
O problem a important a ^ n teoria grupurilor nite este descrierea tuturor
tipurilor de grupuri cu un num ar dat nde elemente. Se poate vedea u sor
c a pentru 1n3 exist a c^ ate un singur tip de grup. Fie grupurile cu 4
elemente Z4 siK= (f1g2;
) (grupul lui Klein). Se poate vedea c a grupurile
nu sunt izomorfe deoarece pentru orice x2Kavemx2= (1;1), dar 2
^16=^0.
Mai mult, orice grup cu 4 elemente este izomorf cu Z4sau cuK(vezi ex.
49). Deci sunt dou a tipuri de grupuri cu 4 elemente. Vom ar ata c a dac a p
este num ar prim, atunci exist a doar un tip de grup cu pelemente  si anume
Zp(vezi corolarul 46).
3.3 Subgrupuri
FieGun grup. O submult ime nevid a Ha luiGse nume ste subgrup ,  si not am
HG, dac aHeste o parte stabil a a lui G^ nchis a la luarea inversului, adic a
pentru orice x;y2Hrezult axy2H six12H. Rezult a atunci c a H
este grup fat  a de operat ia indus a. ^Intr-adev ar, asociativitatea se transmite
imediat laH, 12Hdeoarece, dac a y2H, atunciy12H si 1 =yy1,  si
orice element din Heste inversabil. Printre subgrupurile lui Gse g asescf1g
numit subgrupul trivial  siGnumit subgrupul impropriu .
Teorema 24 FieGun grup. O submult ime nevid a Ha luiGeste subgrup
dac a  si numai dac a xy12Hpentru orice x;y2H
Demonstrat ie. Implicat ia direct a este imediat a: dac a x;y2H, atunci
y12H si decixy12H. Reciproc, s a presupunem c a xy12Hpentru
oricex;y2H. CumHeste nevid a, exist a z2H si rezult a c a 1 = zz12H.
Fie acumx;y2H. Deducem c a y1= 1
y12H, decixy=x(y1)12H.

3.3. SUBGRUPURI 41
Dac aGeste un grup, atunci Z(G) :=fa2Gjax=xapentru orice x2
Ggeste un subgrup al lui Gnumit centrul luiG.^Intr-adev ar, e a;b2Z(G)
 six2G. Atunciax=xa sibx=xb, deciabx=axb=xab sia1x=xa1,
a sadarab;a12H.
Dac an1,Un=fz2Cjzn= 1geste un subgrup al lui C.^Intr-adev ar,
dac ax;y2Un, atunci (xy1)n=xn(yn)1= 1, decixy12Un.
Pentru ecare n2N, not am cu nZmult imea multiplilor ^ ntregi ai lui n,
adic anZ=fnkjk2Zg.
Teorema 25 Subgrupurile lui (Z;+)sunt submult imile nZ,n2N.
Demonstrat ie. Faptul c anZeste un subgrup al lui ( Z;+) rezult a din
faptul c a diferent a a doi multipli de neste tot un multiplu de n. Reciproc, e
Hun subgrup al lui ( Z;+). Dac aH=f0g, atunciH= 0Z. Presupunem c a
H6=f0g. Deoarece m2Himplic am2H, rezult a c a ^ n Hexist a numere
naturale nenule  si e ncel mai mic dintre acestea. Ar at am c a H=nZ.
Incluziunea nZHrezult a din faptul c a n2H. Reciproc, e h2H si e
h=nq+r,q;r2Z, 0r < n ^ mp art irea lui cu rest a lui hlan. Cum
h;n2H, rezult a c a r=hnq2H, decir= 0, altfel se contrazice alegerea
luin. Decih=nq2nZ.
Teorema 26 FieGun grup. Dac a H;K sunt subgrupuri ale lui G, atunci
 siH\Keste subgrup. Mai general, intersect ia unei familii de subgrupuri
este tot un subgrup.
Demonstrat ie. Dac ax;y2H\K, atuncix;y2H six;y2K, deci
xy12H\K. Armat ia general a se probeaz a analog. 
Teorema 27 Fief:G!G0un morsm de grupuri.
(a)Dac aHeste un subgrup al lui G, atuncif(H)este un subgrup al lui
G0numit imaginea direct a a luiH.
(b)Dac aH0este un subgrup al lui G0, atuncif1(H0)este un subgrup al
luiGnumit pre-imaginea sauimaginea invers a a luiH0.
(c)ker(f) :=f1(1)este un subgrup al lui G0numit nucleul lui f sif
este injectiv,ker(f) =f1g.
Demonstrat ie. (a). Fiex;y2H. Atuncif(x)f(y)1=f(x)f(y1) =
f(xy1)2f(H). (b). Fiex;y2f1(H0). Atunci f(x);f(y)2H0 si
f(xy1) =f(x)f(y1) =f(x)f(y)12H0. Decixy12f1(H0). (c).

42 CAPITOLUL 3. GRUPURI
ker(f) este pre-imaginea subgrupului trivial al lui G0, deci este subgrup al
luiGcf. (b). E clar c a dac a feste injectiv atunci ker(f) =f1g. Re-
ciproc, presupunem c a ker(f) =f1g si ex;y2Gcuf(x) =f(y). Atunci
1 =f(x)f(y)1=f(x)f(y1) =f(xy1), adic axy12ker(f) =f1g, deci
x=y.
De exemplu, nucleul morsmului de grupuri f:Z2!Z,f(x;y) =xy
estef(x;x)jx2Zg.
3.4 Subgrupul generat de o mult ime
FieGun grup  siAo submult ime a lui G.Subgrupul lui Ggenerat deAeste
prin denit ie
<A> :=fa1
1a1
2


a1
nja1;:::;an2A;n0g
altfel zis, mult imea tuturor produselor de elemente din A si inverse ale aces-
tora. Facem convent ia ca un produs vid s a ^ nsemne 1. E clar c a A<A> .
Se observ a c a <;>=f1g si< G > =G. Dac aa2G, atunci< a > =
fakjk2Zg. Un subgrup de aceast a form a e numit subgrup ciclic . Teorema
25 arm a c a toate subgrupurile lui ( Z;+) sunt ciclice.
Teorema 28 FieGun grup  siAo submult ime a sa. Atunci <A> este un
subgrup al lui Gcont inut ^ n orice subgrup al lui Gcare cont ine pe A(adic a,
AHGimplic a<A>H).
Demonstrat ie. Din denit ia lui < A > rezult a c a < A > este parte
stabil a a lui G si c a 12< A > . Fiex2< A > . Atuncix=ae1
1


aenncu
a1;:::;an2A,e1;:::;en2f 1g sin0. Atuncix1=aenn


ae1
12<A> .
FieHun subgrup al lui Gce cont ine pe A. Dac ax1;:::;xn2A, atunci
x1
1x1
2


x1
n2H, din denit ia subgrupului. Deci <A>H.
Corolarul 29 FieGun grup  siAo submult ime a lui G. Atunci subgrupul
generat de Aeste intersect ia tuturor subgrupurilor lui Gcare cont in pe A,
adic a
<A> =\
AHGH:

3.4. SUBGRUPUL GENERAT DE O MULT  IME 43
Expresia lui < A > din corolarul precedent poarte  luat a drept denit ie a
lui<A> .
Corolarul 30 FieGun grup  sia1;:::;an2Gastfel ^ nc^ at aiaj=ajaipentru
oricei;j(e.g., dac a Geste abelian). Atunci
<a 1;:::;an>=fak1
1


akn
njk1;:::;kn2Zg:
De exemplu, dac a a;b2(Z;+), atunci<a;b> =aZ+bZ.
Corolarul 31 Fiea;b;d;m numere naturale. Atunci
(a)aZ+bZ=dZ,d=cmmdc (a;b).
(b)aZ\bZ=mZ,m=cmmmc (a;b).
Demonstrat ie. (a). Conform teoremei, exist a d2Nastfel^ nc^ at aZ+bZ=
dZ. Decia;b2dZ, adic adeste divizor comun al lui a sib. Fiefun divizor
comun al lui a sib. Atuncia;b2fZ, decidZ=aZ+bZfZ,  si rezult a c a
fdivided. Armat ia ( b) se probeaz a analog. 
Spunem c a grupul Geste generat de submult imea A, sau c aAeste un
sistem de generatori pentru G, dac aG=<A> . Un grup se zice ciclic dac a
este generat de o submult ime cu un singur element. De exemplu, Zeste ciclic.
Un grup ciclic este abelian. ^Intr-adev ar, dac a G=<a> , atunci elementele
luiGsunt de forma ak siakal=ak+l=alak.
Grupul permut arilor S3este generat de (12)  si (13), deoarece (23) =
(12)(13)(12), (123) = (13)(12)  si (132) = (12)(13). Cum S3nu este abelian,
el nu este ciclic. Grupul ( Z2;+) este generat de (1 ;0)  si (0;1) deoarece
(a;b) =a(1;0) +b(0;1). Pe de alt a parte, el nu este ciclic. ^Intr-adev ar,
dac aZ2=<(c;d)>, atunci exist a m;n ^ ntregi astfel ^ nc^ at (1 ;0) =m(c;d)
 si (0;1) =n(c;d). Rezult a c a c=d= 0, contradict ie.
Un grupGse zice nit generat dac a poate  generat de o submult ime
nit a a sa. Evident c a un grup nit este nit generat. Grupul ( Q;+) nu
este nit generat. ^Intr-adev ar, s a presupunem c a Q=<a 1=b1;:::;ak=bk>cu
ai;bi2Z,bi>0. Fien=max(b1;:::;bk). Cumai=bi2<1=n!>, rezult a c a
Q=<1=n!>. Dar 1=(n+ 1)!62<1=n!>, deoarece 1 =(n+ 1)! =a=n! cua
^ ntreg implic a a= 1=(n+ 1), contradict ie.

44 CAPITOLUL 3. GRUPURI
3.5 Congruent e modulo un subgrup
Conform teoremei 25, subgrupurile lui ( Z;+) sunt submult imile nZcun
num ar natural. Dac a a;b2Z, atunciab(n),njab,ab2nZ.
Aceast a observat ie permite extinderea not iunii de congruent  a la grupuri
arbitrare. Fie Gun grup  siHun subgrup al lui G. PeGdenim urm atoarele
relat ii:xsy(H),x1y2Hnumit a congruent a la st^ anga modulo H si
xdy(H),xy12Hnumit a congruent a la dreapta modulo H.
Teorema 32 FieGun grup  si Hun subgrup al lui G. Atunci cele dou a
congruent e modulo Hsunt relat ii de echivalent  a pe G. Clasele de echivalent  a
ale congruent ei la st^ anga sunt submult imile lui Gde formaxH=fxhjh2
Hgcux2G, numite clase la st^ anga modulo H. Clasele de echivalent  a ale
congruent ei la dreapta sunt submult imile lui Gde formaHx=fhxjh2Hg
cux2G, numite clase la dreapta modulo H.
Demonstrat ie. Demonstr am armat iile doar pentru congruent a la st^ anga
moduloH, cele pentru congruent a la dreapta prob^ andu-se analog. Fie x;y;z2
G. Avemxsx(H) deoarece x1x= 12H. Dac axsy(H), atunci
x1y2H, deciy1x= (x1y)12H, adic aysx(H). Presupunem
c axsy(H)  siysz(H). Rezult a c a x1y2H siy1z2H. Deci
x1z= (x1y)(y1z)2H, adic axsz(H). Am vericat a sadar c a s(H)
este re
exiv a, simetric a  si tranzitiv a. Clasa de echivalent  a a lui xconst a din
toate elementele ycuxsy(H). Darxsy(H),x1y2H,y2xH.
Vom nota cu ( G=H )s(resp. (G=H )d) mult imea claselor la st^ anga (resp.
la dreapta) modulo H. Cele dou a relat ii de congruent  a coincid dac a  si numai
dac a au acelea si clase de echivalent  a, adic a, dac a  si numai dac a xH=Hx
pentru orice x2G.^In acest caz se spune c a Heste un subgrup normal al lui
G. Este clar c a toate subgrupurile unui grup abelian sunt normale. C^ and H
este subgrup normal, mult imea ( G=H )s= (G=H )dse noteaz a mai simplu cu
G=H .
Teorema 33 FieGun grup  si Hun subgrup al lui s au. Atunci mult imile
(G=H )s si(G=H )dsunt echipotente. Cardinalul comun al celor dou a mult imi
se nume ste indicele lui H^ nG si se noteaz a cu [G:H].
Demonstrat ie. Fief:G!G,f(x) =x1. E clar c a ff=IG, deci
feste biject ie. Dac a h2H sia2G, rezult a c a f(ah) =h1a1. Deci

3.6. ORDINUL UNUI ELEMENT ^INTR-UN GRUP 45
f(aH) =Ha1pentru orice a2G. Cum (G=H )s si (G=H )dsunt partit ii ale
luiG, rezult a c a aplicat ia aH7!Ha1: (G=H )s!(G=H )deste bijectiv a.
^InS3consider am subgrupul H=fI;(12)g. Clasele la st^ anga modulo H
sunt 1
H=H, (13)H=f(13);(123)g si (23)H=f(23);(132)g^ n timp
ce clasele la dreapta modulo HsuntH
1 =H,H(13) =f(13);(132)g si
H(23) =f(23);(123)g. Deci [S3:H] = 3  si cele dou a congruent e modulo H
sunt diferite, adic a Hnu este subgrup normal al lui S3.
Fien1. Cum clasele de congruent  a modulo nsuntfb0;:::;dn1g,
deducem c a [ Z:nZ] =n.
Pe de alt a parte [ Q:Z] =1.^Intr-adev ar, dac a Q=Z=fx1+Z;:::;xn+
Zg, atunci Q=<x 1;:::;xn;1>, contradict ie.
Teorema 34 (Teorema lui Lagrange). FieGun grup nit  si Hun subgrup
al lui s au. Atunci
jGj=jHj[G:H]:
^In particular,jHjdividejGj.
Demonstrat ie. FieC1,…,Csclasele la st^ anga modulo H. Conform deni-
t iei,s= [G:H]. Fiea2G. Aplicat ia x7!ax:H!aHeste o biject ie cu
inversay7!a1y. DecijCij=jHjpentrui= 1;:::;s . CumC1,…,Cseste o
partit ie a lui G, rezult a
jGj=sX
i=1jCij=sX
i=1jHj=jHj[G:H]:
3.6 Ordinul unui element ^ ntr-un grup
FieGun grup  sixun element al lui G. Ordinul lui xse dene ste prin
ord(x) =(
1 dac axn6= 1 pentru orice n1
minfn2Njxn= 1gdac a exist a n1 cuxn= 1:
E clar c a 1 Gare ordinul 1. ^In grupul multiplicativ f1;ig, avem
ord(i) = 4 deoarece i6= 1,i2=1,i3=i sii4= 1. De asemenea,
orice element nenul al grupului ( Z;+) are ordinul innit.

46 CAPITOLUL 3. GRUPURI
Teorema 35 FieGun grup  si xun element al lui Gde ordin nit =n.
Dac ak2Z, atuncixk= 1 dac a  si numai dac a ndividek.
Demonstrat ie. Dac andividek, atuncik=nqcuq2Z, decixk=
(xn)q= 1, deoarece xn= 1. Reciproc, presupunem c a xk= 1. Fiek=nq+r,
q;r2Z, 0r<n ^ mp art irea cu rest a lui klan. Atunci 1 = xk=xnq+r=
(xn)qxr=xr, decir= 0, cf. denit iei ordinului. 
^In grupul ( C;
), elementele de ordin nit sunt r ad acinile unit at ii, adic a
r ad acinile ecuat iilor de forma zn= 1,n1. Pentru nxat, ele se pot
reprezenta sub form a trigonometric a
k=cos(2k=n ) +isin(2k=n ); 0kn1:
Se vede c aord(1) =n. Mai general, ord(k) =n=(k;n), unded= (k;n) este
cmmdc al lui k sin.^Intr-adev ar, s
k= 1,sk
1= 1,njsk,n=djsk=d
,n=djs, deoarece ( n=d;k=d ) = 1.
Teorema 36 FieGun grup  sixun element al lui G. Atunci ordinul lui x
este egal cu ordinul subgrupului generat de x.
Demonstrat ie. Presupunem c a ord(x) =1. Atunci pentru orice numere
^ ntregih < k , rezult axk6=xh, altfelxkh= 1. Deci subgrupul < x > =
fxkjk2Zgeste innit.
Presupunem acum c a ord(x) =n <1. Fiek2Z si ek=nq+r,
q;r2Z, 0r < n ^ mp art irea cu rest a lui klan. Atuncixk=xnq+r=
(xn)qxr=xr. Deci<x> =f1;x;:::;xn1g. Mai mult, aceste elemente sunt
distincte deoarece din xk6=xhcu 0h < kn1, rezult axkh= 1 cu
1khn1, contradict ie, deoarece ord(x) =n.
Corolarul 37 FieGun grup nit cu nelemente  si x2G. Atunciord(x)
dividen sixn= 1.
Demonstrat ie. ord(x) =j<x>jdivideG, cf. teoremei lui Lagrange. 
Reamintim c a indicatorul lui Euler este funct ia ':N!N,'(n) =
num arul ^ ntregilor 1 knprimi cun(vezi ex. 15). De exemplu, '(12) =
jf1;5;7;11gj= 4.'(n) este egal cu ordinul grupului multiplicativ U(Zn) =
fbb2Znj(b;n) = 1g. Aplic^ and corolarul precedent se obt ine

3.7. SUBGRUPURI NORMALE 47
Corolarul 38 (Teorema lui Euler). Fiea;n1numere naturale relativ
prime. Atunci
a'(n)1 (mod n ):
^In cazul c^ and neste num ar prim se obt ine
Corolarul 39 (Mica teorem a a lui Fermat). Fiepun num ar prim  si aun
num ar natural nedivizibil cu p. Atunci
ap11 (mod p ):
3.7 Subgrupuri normale
FieGun grup  siHun subgrup al lui G. Reamintim c a Hse nume ste subgrup
normal al lui Gdac axH=Hxpentru orice x2G.
Teorema 40 FieGun grup  siHun subgrup al lui s au. Atunci Heste un
subgrup normal al lui Gdac a  si numai dac a xhx12Hpentru orice x2G
 sih2H(adic a,xHx1Hpentru orice x2G).
Demonstrat ie.). Fiex2H. CumHeste normal, rezult a c a xH=Hx,
decixHx1H.(. Fiex2H. Din ipoteza, rezult a c a xHx1H, deci
xHHx. Ref ac^ and rat ionamentul pentru x1, se obt ine HxxH, deci
xH=Hx.
H=fI;(12)gnu este subgrup normal al lui S3deoarece (13)(12)(13)1=
(23).K=fI;(12)(34);(13)(24);(14)(23)geste subgrup normal al lui S4
deoarece12Kpentru orice 2S4, de exemplu (12)(34)1=
((1)(2))((3)(4))2K.
Alte exemple de subgrupuri normale sunt date de rezultatul urm ator.
Teorema 41 FieGun grup. (a)Dac af:G!G0este un morsm de
grupuri, atunci ker(f)este un subgrup normal al lui G.
(b)Orice subgrup al lui Z(G)este un subgrup normal al lui G.
(c)Orice subgrup de indice 2este normal.

48 CAPITOLUL 3. GRUPURI
Demonstrat ie. (a). Fiex2G siy2ker(f). Atunci f(xyx1) =
f(x)f(y)f(x)1=f(x)f(x)1= 1, decixyx12ker(f).
(b). FieHun subgrup al lui Z(G),x2H siy2ker(f). Atunci
xyx1=xx1y=y2H.
(c). FieHun subgrup de indice 2 al lui G. Cum [G:H] = 2, at^ at clasele
la st^ anga modulo Hc^ at  si cele la dreapta sunt H siGnH.
3.8 Grupul factor
FieGun grup  si Hun subgrup normal al lui G. Dac ax2G, not am
bx=xH=Hxclasa luixmoduloH. Not amG=H =fbxjx2Gg. PeG=H
introducem operat ia denit a prin bxby=cxypentru orice x;y2G.
Operat ia este bine-denit a, adic a nu depinde de reprezentant ii claselor.
^Intr-adev ar, e x0;y02Gcubx=bx0 siby=by0. Atuncih=x1×0 si
y1y0apart in lui H. Cumy0H=Hy0, exist ah02Hcuhy0=y0h0. Deci
(xy)1(x0y0) =y1x1x0y0=y1hy0=y1y0h02H. Rezult a c a cxy=dx0y0.
Teorema 42 FieGun grup  si Hun subgrup normal al lui G. Atunci ^ n
raport cu operat ia denit a anterior G=H este grup numit grupul factor G
moduloH.^In plus, surject ia canonic a :G!G=H este morsm de
grupuri.
Demonstrat ie. Faptul c aG=H este grup rezult a din egalit at ile Fie x;y;z2
G. Atunci (bxby)bz=cxybz=dxyz=bxcyz=bx(bybz), prob^ and astfel asociativi-
tatea. De asemenea, bxb1 =cx1 =bx=b1bx, decib1 este element neutru. Apoi,
bxdx1=dxx1=b1 =dx1bx, deci orice element al lui G=H este inversabil. ^In
ne,(x)(y) =bxby=cxy=(xy).
Fien1. Grupul factor Z=nZeste chiar grupul Zndenit dup a teorema
17.^InS3,A3=fI;(123);(132)geste un subgrup de indice 2, deci normal cf.
teoremei 41. Avem S3=A3=fbI;d(12)gcud(12)2=bI.
Teorema 43 (Teorema fundamental a de izomorsm.) Fieu:G!Hun
morsm de grupuri. Atunci grupul factor G=ker (u)este izomorf cu Im(u).
Mai precis, avem izomorsmul de grupuri
u:G=ker (u)!Im(u);u(^x) =u(x); x2G:

3.9. GRUPURI CICLICE 49
Demonstrat ie. Veric am mai ^ nt^ ai buna denire a lui  u. Fiex;y2Gcu
^x= ^y. Atunci exist a k2ker(u) astfel ^ nc^ at x=ky. Rezult a c a u(x) =
u(ky) =u(k)u(y) =u(y). Deci funct ia  ueste bine-denit a. Evident,  ueste
surjectiv a. Fie y;z2G. Atunci
u(bybz) = u(cyz) =u(yz) =u(y)u(z) = u(by)u(bz)
deci ueste morsm de grupuri. ^In ne, din bx2ker(u), rezult a 1 =  u(bx) =
u(x), decix2ker(u), adic abx=b1. Deci ueste morsm injectiv, cf. teoremei
27.
Morsmul de grupuri f: (R;+)!(C;
);f(x) = cos(2x) +isin(2x),
are imaginea U=fz2Cjjzj= 1g(cercul unitate)  si nucleul ker(f) =Z,
deciR=Zeste izomorf cu U, cf. teoremei fundamentale de izomorsm.
3.9 Grupuri ciclice
Teorema 44 (Teorema de structur a a grupurilor ciclice.) Orice grup ciclic
innit este izomorf cu Z si orice grup ciclic cu nelemente este izomorf cu
Zn.
Demonstrat ie. FieG=< a > un grup ciclic. Consider am morsmul
surjectiv de grupuri f:Z!G,f(k) =ak. Dac aGeste innit, rezult a c a f
este izomorsm. Presupunem acum c a Garenelemente. Din teoremele 35  si
36 rezult a c a ker(f) =nZ, deciGeste izomorf cu Z=nZ=Zn, cf. teoremei
fundamentale de izomorsm. 
Corolarul 45 Orice subgrup sau grup factor al unui grup ciclic este de
asemenea grup ciclic.
Demonstrat ie. E clar c a un grup factor al unui grup ciclic este ciclic
(dac aGeste generat de a, atunciG=H este generat de ba). Conform teoremei
anterioare, este sucient s a demonstr am armat ia referitoare la subgrupuri
pentru grupurile Z siZn.^In cazul Zse aplic a teorema 25. Consider am
cazul Zn. Fie:Z!Znmorsmul canonic. Fie Heste un subgrup al lui
Zn. Atunci1(H) este un subgrup al lui Zcare-l cont ine pe ker() =nZ,
deci1(H) =kZcukdivizor al lui n. Cumeste surject ie, avem H=
(1(H)) = subgrupul generat debk.

50 CAPITOLUL 3. GRUPURI
Corolarul 46 Fiepun num ar prim. Atunci orice grup nit de ordin peste
ciclic, deci izomorf cu Zp.
Demonstrat ie. FieGun grup de ordin p, ex2Gnf1g siH=< x > .
AtuncijHj>1  si se divide cu p, deciG=<x> . Se aplic a teorema 44. 
3.10 Grupul permut arilor Sn
FieAo mult ime nevid a. Reamintim c a SAeste grupul permut arilor mult imii
A, grup fat  a de compunerea permut arilor. Dac a A siBsunt dou a mult imi
echipotente, atunci grupurile SA siSBsunt izomorfe, cf. exercit iului 53.
^In particular, grupul permut arilor unei mult imi nite cu nelemente este
izomorf cu grupul permut arilor mult imii f1;2;:::;ng, grup pe care ^ l not am
cuSn si-l numim grupul permut arilor de grad n. Conform exercit iului 12 (b),
Snaren! elemente.
Fien1  sia1;:::;aknumere distincte ^ ntre 1  si n. Reamintim c a ciclul
(a1;:::;ak) este permutarea din Sndenit a prin a17!a27!


7!an7!a1 si
x7!xpentrux6=ai. Num arul kse nume ste lungimea ciclului . Ciclurile de
lungime 1 se numesc cicluri triviale iar cele de lungime 2 transpozit ii .
GrupulSneste abelian dac a  si numai dac a n2, deoarece S1 siS2sunt
grupuri abeliene, iar dac a n3, atunci (12)(13) = (132) 6= (123) = (13)(12).
Teorema 47 (Cayley.) Orice grup cu nelemente este izomorf cu un subgrup
al grupului permut arilor Sn.
Demonstrat ie. FieGun grup cu nelemente. Deoarece Sneste izomorf
cuSG, este sucient s a ar at am c a Geste izomorf cu un subgrup al grupului
permut arilor SG. Pentru ecare g2G, consider am aplicat ia tg:G!G,
tg(x) =gx. Dac ag;h;x2G, atunci (tgth)(x) =ghx=tgh(x).^In particular,
tgeste biject ie deoarece tgtg1=IG. Aplicat ia T:G!SG,T(g) =tg, este
un morsm injectiv de grupuri. ^Intr-adev ar, T(g)T(h) =tgth=tgh=T(gh)
 siker(T) =fgjtg=IGg=f1g:DeciGeste izomorf cu subgrupul Im(T) al
luiSG.
Morsmul injectiv Tse nume ste scufundarea Cayley a luiG^ nSG. Pen-
tru grupul lui Klein K=f1;a;b;cgscufundarea Cayley este T(1) =I,
T(a) =
1a b c
a1c b!
,T(b) =
1a b c
b c 1a!
,T(c) =
1a b c
c b a 1!
.

3.10. GRUPUL PERMUT ARILORSN 51
Spunem c a dou a permut ari  sisunt disjuncte dac a pentru orice i2
f1;:::;ngrezult a(i) =isau(i) =i.^In particular, ciclurile ( a1;:::;ak),
(b1;:::;bl) sunt disjuncte,fa1;:::;akg\fb1;:::;blg=;.
Lema 48 Fie;2Snpermut ari disjuncte. Atunci
(1)=.
(2)Dac a=I, atunci==I.
(3)s;tsunt disjuncte pentru orice s;t1.
(4)Dac a ()p= 1, atuncip=p=I.
Demonstrat ie. (1), (2). Putem presupune c a ;6=I. Fiei2f1;:::;ng.
Dac a(i) =(i) =i, atunci ()(i) =i= ()(i). Presupunem c a j=
(i)6=i. Cumeste inject ie, rezult a c a (j)6=j. Deoarece ,sunt
permut ari disjuncte, (i) =i si(j) =j. Deci ()(i) =(i) =j=(j) =
()(i). Rezult a  si c a 6=I. Cazul(i)6=ise trateaz a analog. (3). Dac a
s(i)6=i, atunci(i)6=i, deci(i) =i sit(i) =i. (4) rezult a din punctele
anterioare.
Teorema 49 Orice permutare 2Snse scrie ca produs de cicluri disjuncte,
scrierea ind unic a p^ an a la ordinea ciclurilor.
Demonstrat ie. Fie2Sn. Pe mult imeaf1;:::;ngconsider am relat ia de
echivalent  a xydac a exist a k^ ntreg cuk(x) =y. Clasele de echivalent  a
fa11;:::;a 1k1g,fa21;:::;a 2k2g, …,fas1;:::;asksg, numite  si orbitele lui , for-
meaz a o partit ie a mult imii f1;:::;ng. Dac ax2f1;:::;ng sikeste cel mai mic
^ ntreg1 astfel^ nc^ at k(x) =x, atunci orbita lui xestefx;(x);:::;k1(x)g
(elemente distincte, altfel se contrazice minimalitatea lui k).
Rezult a c a, schimb^ and eventual notat ia^ n interiorul ec arei orbite, putem
presupune c a ai1=ki(aiki)  siaij=(aij1) pentru 2jki si 1is.
Rezult a c a = (a11;:::;a 1k1)


(as1;:::;asks).
Prob am acum unicitatea. Fie = (b11;:::;b 1p1)


(bt1;:::;btpt) o alt a
scriere a lui ca produs cicluri disjuncte. Rezult a c a fb11;:::;b 1p1g,…,fbt1;:::;
btptgsunt orbitele lui , decis=t. Conform lemei precedente ciclurile dis-
juncte comut a, deci putem presupune c a fa11;:::;a 1k1g=fb11;:::;b 1p1g,…,
fas1;:::;asksg=fbs1;:::;bspsg si c aa11=b11,…,as1=bs1. Rezult a atunci c a
(a11;:::;a 1k1) = (b11;:::;b 1p1),…, (as1;:::;asks) = (bs1;:::;bsps).
De exemplu,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 6 2 1 9 3 5 7 8!
= (14)(263)(5987) :

52 CAPITOLUL 3. GRUPURI
Teorema 50 Ordinul unei permut ari 2Sneste cel mai mic multiplu co-
mun al lungimii ciclurilor componente.
Demonstrat ie. Dac aeste un ciclu de lungime k,= (a1;:::;ak),
atuncik6=Ipentrup < k , deoarece k(a1) =ak+1,  sip=I, deci
ordinul lui estek. Fie acum = (a11;:::;a 1k1)


(as1;:::;asks) produs
de cicluri disjuncte. Fie p1. Cum ciclurile disjuncte comut a, avem
p= (a11;:::;a 1k1)p


(as1;:::;asks)p. Conform lemei 48, p=Idac a  si
numai dac a ( a11;:::;a 1k1)p=


= (as1;:::;asks)p=I, deoarece permut arile
(a11;:::;a 1k1)p,…,(as1;:::;asks)psunt disjuncte. Rezult a c a p=Idac a  si nu-
mai dac apse divide cu k1,…,ks. Deci ordinul lui este cel mai mic multiplu
comun al numerelor k1,…,ks.
De exemplu, ordinul permut arii (14)(263)(5987) este [2 ;3;4] = 12.
Teorema 51 Orice permutare 2Snse scrie ca produs de transpozit ii,
altfel spus, grupul Sneste generat de mult imea transpozit iilor.
Demonstrat ie. Conform teoremei 49, este sucient s a observ am c a ci-
clurile se scriu ca produs de transpozit ii, de exemplu, ( a1;a2;:::;ak) = (a1;a2)
(a2;a3)


(ak1;ak) = (a1;ak)(a1;ak1)


(a1;a3)(a1;a2):
Fie2Sn, unden2. Denim signatura lui prin
sgn() =Y
1i<jn(j)(i)
ji: (3.1)
O pereche ( i;j), 1i<jncu(i)>(j) se nume ste inversiune a lui .
FieInv() num arul inversiunilor lui .
Teorema 52 Dac a2Sn,n2, atuncisgn() = (1)Inv()2f 1g.
Demonstrat ie. Cumeste biject ie, avem
Y
1i<jn((j)(i)) = (1)Inv()Y
1i<jnj(j)(i)j= (1)Inv()Y
1i<jn(ji):
Deci
sgn() =Y
1i<jn(j)(i)
ji=Q
1i<jn((j)(i))
Q
1i<jn(ji)= (1)Inv():

3.11. ECUAT  IA CLASELOR 53

Permut arile cu signatura 1 se numesc permut ari pare iar cele cu signatura
1 se numesc permut ari impare . De exemplu, permutarea identic a este par a
deoarece nu are inversiuni, ^ n timp ce transpozit ia (12) este impar a deoarece
are o singur a inversiune  si anume (1 ;2).
FieAnmult imea permut arilor pare din Sn.
Teorema 53 Fien2. Aplicat ia sgn :Sn! f 1geste un morsm
surjectiv de grupuri. ^In particular, Aneste un subgrup normal al lui Sn,
numit subgrupul altern de grad n,  siSn=Aneste izomorf cuf1g, deci
jAnj=n!=2.
Demonstrat ie. Fie;2Sn. Avem
sgn() =Y
1i<jn()(j)()(i)
(j)(i)Y
1i<jn(j)(i)
ji=sgn()sgn()
deoarece
Y
1i<jn((j))((i))
(j)(i)=sgn():
Decieste un morsm surjectiv de grupuri, deoarece (12) =1. Aplic^ and
teorema fundamental a de izomorsm obt inem Sn=An' f 1g, decin! =
jSnj=jAnjjSn=Anj= 2jAnj.
A sadar, produsul a dou a permut ari de aceea si paritate este o permutare
par a iar produsul a dou a permut ari de parit at i diferite este o permutare
impar a.
Transpozit iile sunt permut ari impare, deoarece pentru 1 i < jn
putem scrie ( ij) = (1i)(2j)(12)(2j)(1i)  si aplic^ and sgn avemsgn(ij) =
(sgn(1i))2(sgn(2j))2sgn(12) =1:
Un ciclu de lungime k, (a1;a2;:::;ak) are signatura (1)k1, deoarece
(a1;a2;:::;ak) = (a1;a2)(a2;a3)


(ak1;ak).
3.11 Ecuat ia claselor
FieGun grup  si x;y2G. Spunem c a x;ysunt conjugate (notat iexy),
dac a exist a a2Gastfel ^ nc^ at x=aya1. Relat ia de conjugare este o relat ie

54 CAPITOLUL 3. GRUPURI
de echivalent  a. ^Intr-adev ar, e x;y;z;a;b2G. Atuncix= 1
x
11,
x=aya1implic ay=a1y(a1)1,  six=aya1 siy=bzb1implic a
x=abz(ab)1.
Clasele de echivalent  a se numesc clasele de conjugare ale luiG. Clasa de
conjugare a [ x] luixestefaxa1ja2Gg:O clas a de conjugare [ x] const a
dintr-un singur element (numindu-se ^ n acest caz trivial a ) dac a  si numai dac a
x=axa1pentru orice a2G, adic ax2Z(G).
FieGun grup nit  si x2G. E u sor de v azut c a C(x) :=fa2Gjax=
xageste un subgrup al lui Gnumit centralizatorul lui x. Dou a elemente
axa1 sibxb1ale lui [x] sunt egale,b1ax=xb1a,b1a2C(x),a;b
sunt congruente la st^ anga modulo C(x). Deci clasa de conjugare [ x] a luix
are exact [G:C(x)] elemente.
Cum clasele de conjugare constituie o partit ie a lui G, rezult a c a am
demonstrat
Teorema 54 (Ecuat ia claselor de elemente conjugate) . FieGun grup nit
 si ex1,…,xnun sistem de reprezentant i pentru clasele de conjugare netriv-
iale. Atunci
jGj=jZ(G)j+ [G:C(x1)] +


[G:C(xn)]:
Teorema 55 (Teorema lui Cauchy) . FieGun grup nit  si pun num ar
prim divizor al ordinului lui G. AtunciGcont ine un element de ordin p.
Demonstrat ie. Facem induct ie dup a jGj. Dac ajGj=p, atunci orice
elementx2Gnf1gare ordinul p, cf. teoremei 36. Analiz am mai ^ nt^ ai cazul
c^ andGeste abelian. Fie x2Gnf1g si eH=< x > . Dac a ordinul nal
luixse divide cu p, atuncixn=peste un element de ordin p. Presupunem c a
nnu se divide cu p, deci exist a a;b^ ntregi cuna+pb= 1. Din teoremei
lui Lagrange, ordinul grupului factor G=H se divide cu p sijG=Hj<jGj.
Conform induct iei, exist a un element ^ y2G=H de ordinulp. Fiez=yna.
Dac az= 1, atunci ^ yna=^1, decip= ordinul lui ^ ydividena, contradict ie;
deciz6= 1. Pe de alt a parte zp= (yp)na= 1 deoarece yp2H sijHj=n.
Trat am acum cazul general. Dac a pdividejZ(G)j, atunci problema se
reduce la cazul anterior, deoarece Z(G) este grup abelian. Presupunem c a
pnu dividejZ(G)j. Din ecuat ia claselor grupului G, rezult a c a exist a a2
GnZ(G) astfel ^ nc^ at pnu divide [ G:C(a)]. Din teoremei lui Lagrange
rezult a c apdividejC(a)j.^In plus,jC(a)j<jGj, deoarecea62Z(G). Se
aplic a induct ia.

3.12. EXERCIT  II 55
3.12 Exercit ii
46:Ar atat i c a un grup G^ n carex2= 1 pentru orice x2Geste abelian.
47:^Intocmit i tabla grupului lui Klein Z2Z2.
48:^Intocmit i tabla grupului permut arilor S3^ n funct ie de a= (123)  si
b= (12).
49:Ar atat i c a un grup cu 4 elemente este izomorf cu Z4sau cu grupul lui
Klein Z2Z2. (Indicat ie: folosit i teorema lui Lagrange).
50:FieGun grup  sia;b2Gelemente de ordin nit mresp.n. Presupunem
c aab=ba si c a (m;n) = 1. Ar atat i c a abare ordinul mn.
51:Ar atat i c a un grup cu 6 elemente este izomorf cu Z6sau cuS3. (Indicat ie:
folosit i teorema lui Cauchy).
52:Ar atat i c a un grup cu 8 elemente este izomorf cu Z8,Z2Z4,Z3
2,D4
(grupul diedral) sau Q(grupul cuaternionilor).
53:Ar atat i c a dac a A siBsunt dou a mult imi echipotente, atunci grupurile
de permut ari SA siSBsunt izomorfe.
54:Pe mult imea (1;1) consider am operat ia xy= (x+y)=(1 +xy).
Ar atat i c a ((1;1);) este un grup izomorf cu ((0 ;1);
).
55:FieGsemigrupul cu tabla de ^ nmult ire

1abcdefg
11abcdefg
aabc1efgd
bbc1afgde
cc1abgdef
ddgfe1cba
eedgfa1cb
ffedgba1c
ggfedcba1:

56 CAPITOLUL 3. GRUPURI
(a) Ar atat i c a Geste grup neabelian generat de fa;dg.
(b) Determinat i clasele de conjugare  si centrul lui G.
(c) Determinat i ordinul elementelor lui G.
(d) Determinat i subgrupurile (normale) ale lui G.
(e) Ar atat i c a G=<b> este izomorf cu grupul lui Klein.
56:Ar atat i c a grupul Gdin exercit iul anterior este izomorf cu grupul diedral
D4.
57:Ar atat i c a grupul diedral D3este izomorf cu S3.
58:Ar atat i c a grupul diedral D12nu este izomorf cu S4.
59:FieQgrupul de ordinul 8, Q=f1;i;j;kg, cu ^ nmult irea denit a
prinij=k,ji=k,jk=i,kj=i,ki=j,ik=j sii2=j2=k2=1.
Determinat i subgrupurile lui Q si ar atat i c a toate sunt subgrupuri normale.
Qeste numit grupul cuaternionilor .
60:Pe mult imea G=Zf 1gconsider am operat ia ( x;a)(y;b) = (x+
ay;ab ). Ar atat i c a ( G;
) este grup. G asit i dou a elemente de ordin nit
u;v2Gcuuvde ordin innit.
61:Ar atat i c a singurul morsm de grupuri ( Q;+)!(Z;+) este cel nul.
62:Ar atat i c a grupurile ( Z;+), (Q;+)  si ( Q;
) sunt dou a c^ ate dou a nei-
zomorfe.
63:Ar atat i c a orice subgrup nit generat al grupului ( Q;+) este ciclic.
64:G asit i dou a grupuri neizomorfe G siHastfel ^ nc^ at exist a morsme
injectiveG!H siH!G.
65:Ar atat i c a G=Zf 1geste grup fat  a de operat ia ( a;b)(a0;b0) =
(a+a0;bb0). EsteGgrup ciclic ?
66:Fie (pn)n sirul numerelor prime. Ar atat i c a pentru orice subgrup nenul
Hal grupului ( Q;+), exist aq2Q si un  sir (sn)ncu elemente din N[f1g
astfel ^ nc^ at qHeste subgrupul generat de mult imea f1=pknnjkn<sn; n1g.

3.12. EXERCIT  II 57
67:Fiepun num ar prim  si e Z[1=p] subgrupul lui ( Q;+) const^ and din toate
fract iile cu numitor putere de p. Consider am grupul factor Zp1:=Z[1=p]=Z.
Ar atat i c a subgrupurile nenule  si proprii ale lui Zp1sunt ciclice de forma
<d1=pn>.^In plus, Zp1=<d1=pn>'Zp1.
68:Ar atat i c au: (Z[i];
)!(Z5Z5;
),u(a+bi) = (da+ 2b;da2b), este
morsm de monoizi. Calculat i u((2i)n),n1.
69:Consider am grupul factor G= (C;
)=Q. (a) Calculat i ordinul ele-
mentelord1 +i sid2 +i.
(b) Ar atat i c a arctg (1=2)=62Q si c a subgrupul generat ded1 +i sid2 +i
nu este ciclic.
(c) Ar atat i c a Gnu este nit generat.
70:Ar atat i c a orice subgrup al lui ( Z2;+) este generat de dou a elemente.
71:Dat i un exemplu de grup Gastfel ^ nc^ at GG'G.
^In urm atoarele patru exercit ii, Z[[X]] (resp. Z[X]) desemneaz a grupul
aditiv al seriilor formale (resp. polinoamelor).
72:Descriet i morsmele de grupuri Z[X]!Z.
73:Fieu:Z[[X]]!Zun morsm de grupuri. Ar atat i c a exist a Ncu
u(Xn) = 0 pentru nN.
74:Fieu:Z[[X]]!Zun morsm de grupuri care se anuleaz a pe Z[X].
Ar atat i c au= 0.
75:Pentru ecare i0, ei:Z[[X]]!Zmorsmul de grupuri denit
prini(P
nanXn) =ai. Ar atat i c a orice morsm de grupuri u:Z[[X]]!Z
este o combinat ie liniar a cu coecient i ^ ntregi de morsmele i.
76:FieGgrupul factor ( Q;+)=Z. Ar atat i c a:
(a) dac aa;b2Nsunt prime ^ ntre ele, atunci ord(da=b) =b,
(b) orice subgrup nit generat este ciclic nit,
(c)Gnu este nit generat.
77:Determinat i morsmele ^ ntre grupurile aditive Zm siZn.

58 CAPITOLUL 3. GRUPURI
78:Ar atat i c a grupurile factor ( R;+)=Z si (R;+)= <p
2;p
3>nu sunt
izomorfe.
79:Ar atat i c a grupul factor ( Z2;+)=<(2;3)>este ciclic innit iar grupul
factor ( Z2;+)=<(2;2)>nu este ciclic.
80:FieGgrupul aditiv al  sirurilor de numere reale  si Hsubgrupul lui G
format din  sirurile cu un num ar nit de termeni nenuli. Ar atat i c a G=H nu
este izomorf cu G.
81:Ar atat i c a automorsmele unui grup formeaz a grup fat  a de compunere
 si c a grupul automorsmelor grupului lui Klein este izomorf cu S3.
82:FieGun grup  six2Gun element de ordin nit n. Ar atat i c a pentru
oriceknatural, ordinul lui xkesten=(n;k).
83:Scriet i subgrupurile lui Z12 si calculat i grupurile factor ale lui Z12.
84:Ar atat i c a subgrupurile nite ale lui ( C;
) sunt ciclice.
85:FieGsubgrupul grupului permut arilor lui Rgenerat de T siD, unde
T(x) =x+ 1  siD(x) = 2x. Ar atat i c a Gposed a un subgrup care nu este
nit generat.
86:Ar atat i c aS4=H'S3undeH=fI;(12)(34);(13)(24);(14)(23)g.
87:Calculat i signatura  si ordinul elementelor lui S5.
88:Determinat i morsmele de grupuri S3!f 1;
g.
89:Calculat i elementele subgrupului Dgenerat de (1234)  si (13) ^ n S4.
90:Calculat i elementele subgrupului Hgenerat de (1234)(5678)  si (1537)
(2846) ^ nS8 si ar atat i c a Heste izomorf cu grupul cuaternionilor (vezi ex.
59).
91:Ar atat i c a Sneste generat de ( a) transpozit iile (12), (13), …,(1 n), (b)
transpozit iile (12), (23), …,( n1n), (c) (12)  si (12 :::n).
92:Ar atat i c aAneste generat de ( a) ciclurile de lungime 3, ( b) (123), (234),
…,(n2n1n).

3.12. EXERCIT  II 59
93:Ar atat i c aS5este generat de orice transpozit ie  si un ciclu de lungime 5.
94:Ar atat i c aA4nu posed a subgrupuri de indice 2.
95:Ar atat i c a A5nu posed a subgrupuri normale diferite de fIg siA5(un
grup cu aceast a proprietate se nume ste grup simplu).
96:Fiek1;k2;:::;knnumere naturale cu 1 k1+ 2k2+


+nkn=n. Spunem
c a o permutare 2Snare tipul (k1;k2;:::;kn) dac a ^ n descompunerea lui
ca produs de cicluri disjuncte exist a kicicluri de lungime i, 1in.
Ar atat i c a dou a permut ari ;2Snsunt conjugate dac a  si numai dac a au
acela si tip. Num arat i permut arile de tip ( k1;k2;:::;kn).
97:G asit i un subgrup Hal luiS6izomorf cuS3astfel ^ nc^ at orice permutare
diferit a deIdinHnu are puncte xe.
98Fie semidiscul din planul complex A=fz2Cjjzij1;Re(z)0g
 si eB=A[iA[A[iA. Calculat i grupul de simetrie al lui B.
99:FieGgrupul rotat iilor spat iului euclidian care invariaz a un tetraedru
regulat. Descriet i elementele lui G si ar atat i c a Geste izomorf cu A4.
100:FieGgrupul rotat iilor spat iului euclidian care invariaz a un cub. Descriet i
elementele lui G si ar atat i c a Geste izomorf cu S4.
101:Ar atat i c a grupul Gal rotat iilor spat iului euclidian care invariaz a un
dodecaedru regulat are ordinul 60  si este izomorf cu A5.
102:FieGun grup. Ar atat i c a dac a G=Z(G) este ciclic, atunci Geste
abelian (adic ajG=Z(G)j= 1). Folosind acest rezultat, ar atat i c a orice grup
cup2elemente,pprim, este abelian.

60 CAPITOLUL 3. GRUPURI

Capitolul 4
Inele
^In acest capitol se introduc not iunile de baz a ale teoriei inelelor: inel, corp,
morsm de inele, subinel, ideal, sistem de generatori, caracteristica unui
inel, inel factor. Se prezint a construct ia inelelor de matrice, a inelelor de
polinoame  si construct ia corpului cuaternionilor. Se demonstreaz a teoreme
importante referitoare la aceste not iuni  si construct ii.
4.1 Inel, subinel, ideal
Unineleste un triplet ( A;+;
) format dintr-o mult ime nevid a A si dou a
operat ii pe A, prima notat a cu + numit a adunare , a doua notat a cu
numit a
^ nmult ire , astfel ^ nc^ at
(1) (A;+) este grup abelian
(2) (A;
) este monoid,  si
(3) ^ nmult irea este distributiv a fat  a de adunare, adic a a(b+c) =ab+ac
 si (b+c)a=ba+capentru orice a;b;c2A.
Elementul neutru al adun arii se noteaz a cu 0  si se nume ste elementul
nul. Opusul unui element a2A(fat  a de adunare) se noteaz a cu a. Ele-
mentul neutru al ^ nmult irii se noteaz a cu 1  si se nume ste elementul unitate .
Un element a2Ase zice inversabil dac a este inversabil fat  a de ^ nmult ire;
inversul s au se noteaz a cu a1. Mult imea elementelor inversabile (^ nc a zis a
a unit at ilor) lui Ase noteaz a cu U(A). Inelulf0gse nume ste inelul nul. Un
inel se nume ste inel comutativ dac a^ nmult irea este comutativ a. Un inel nenul
se nume ste corp dac a orice element nenul este inversabil. Grupul ( A;+) se
nume ste grupul aditiv subiacent al lui A. Spunem c a inelul Aare divizori ai
61

62 CAPITOLUL 4. INELE
lui zero dac a exist a x;y6= 0 cuxy= 0.
Z,Q,R,Csunt inele comutative fat  a de operat iile uzuale de adunare  si
^ nmult ire, ultimele trei ind chiar corpuri. E clar c a U(Z) =f1g:
Z[i] =fa+bija;b2Zgeste un inel comutativ numit inelul ^ ntregilor
lui Gauss .U(Z[i]) =f1;ig, deoarece dac a ( a+bi)(c+di) = 1, atunci
1 =j(a+bi)(c+di)j2= (a2+b2)(c2+d2), decia+bi2f 1;ig.
FieRun inel  sim;n1. O matrice cu mlinii  sincoloane (sau matrice
de tip (m;n)) cu elemente din Reste un tablou de forma
0
BBBB@a11a12


a1n
a21a22


a2n
…









am1am2


amn1
CCCCA
unde toate elementele aijsunt dinR. Vom nota matricea precedent a cu
(aij)1im;1jnsau mai simplu cu ( aij).a11,a12, …,amnse numesc elementele
matricei. Matricea poate  g^ andit a ca ind funct ia ( i;j)7!aij:f1;:::;mg
f1;:::;ng !R. Dac am=n, matricea se nume ste matrice p atratic a de
ordinuln. Vom nota cu Mm;n(R) (resp.Mn(R)) mult imea matricelor de
tip (m;n) (resp. p atratice de ordinul n) cu elemente din R. Dou a matrice
A= (aij)  siB= (bij) sunt egale dac a sunt de acela si tip ( m;n)  siaij=bij
pentru 1im, 1jn. A sadar,A=Bdac a  si numai dac a A siB
privite ca funct iif1;:::;mgf 1;:::;ng!Rsunt egale.
Pe mult imea Mm;n(R) denim o operat ie de adunare indus a de adunarea
dinR. Concret, dac a A= (aij)  siB= (bij) sunt dinMm;n(R), atunciA+B
este prin denit ie matricea ( aij+bij). Se vede imediat c a ( Mm;n(R);+) este
un grup abelian. ^Intr-adev ar, asociativitatea rezult a din egalit at ile [( aij) +
(bij)] + (cij) = (aij+bij+cij) = (aij) + [(bij) + (cij)], elementul neutru este
matricea cu toate elementele nule numit a matricea nul a  si notat a cu 0 mn, iar
opus a matricei A= (aij) este matriceaA= (aij).
^Intre anumite matrice se dene ste o operat ie de^ nmult ire. Fie m;n;p1.
FieA= (aij)2Mm;n(R)  siB= (bjk)2Mn;p(R).ProdusulABeste prin
denit ie matricea C= (cik)2Mm;p(R) cu elementele cik=Pn
j=1aijbjk.
A sadar, produsul ABeste denit doar dac a num arul coloanelor lui Aeste
egal cu num arul liniilor lui B, iar elementul cikeste suma produselor dintre
elementele liniei idinAcu elementele corespunz atoare de pe coloana kdin
B. Din acest motiv, regula de ^ nmult ire se mai nume ste  si \linii pe coloane".

4.1. INEL, SUBINEL, IDEAL 63
^Inmult irea matricelor este asociativ a, adic a dac a A= (aij)2Mm;n(R),
B= (bjk)2Mn;p(R)  siC= (ckl)2Mp;q(R), atunci (AB)C=A(BC).
^Intr-adev ar, e AB= (dik)  si (AB)C= (eil). Atuncidik=Pn
j=1aijbjk si
eil=Pp
k=1dikckl. Decieil=Pp
k=1(Pn
j=1aijbjk)ckl=Pp
k=1Pn
j=1aijbjkckl:Fie
A(BC) = (fil). Un calcul similar arat a c a fil=eil. Deci (AB)C=A(BC).
^Inmult irea matricelor este distributiv a la st^ anga fat  a de adunare, mai
precis, dac a A= (aij)2Mm;n(R),B= (bjk)2Mn;p(R)  siC= (cjk)2
Mn;p(R), atunciA(B+C) =AB+AC.^Intr-adev ar, e A(B+C) = (dik)
 siAB+AC= (eil). Folosind distributivitatea ^ nmult irii fat  a de adunare ^ n
inelulR, obt inemdik=Pn
j=1aij(bjk+cjk) =Pn
j=1aijbjk+Pn
j=1aijcjk=eik
pentru 1im, 1kp. Distributivitatea la dreapta se probeaz a
analog.
Fien1. Matricea p atratic a de ordinul n
In=0
BBBB@1 0





0
0 1





0
…












0 0


0 11
CCCCA
se nume ste matricea unitate de ordinuln. Dac aA= (aij)2Mm;n(R), atunci
AIn=A siImA=A.^Intr-adev ar, e AIn= (bik). CumIn= (ij), unde
ijeste simbolul lui Kronecker, rezult a c a bik=Pn
j=1aijjk=aik. Cealalt a
egalitate se probeaz a similar.
Teorema 56 FieRun inel nenul  si n1. Fat  a de operat iile de adunare  si
^ nmult ire ale matricelor, Mn(R)este un inel numit inelul matricelor p atratice
de ordinulncu elemente din R. Dac an2, inelulMn(R)este necomutativ
 si are divizori ai lui zero.
Demonstrat ie. Faptul c aMn(R) este un inel rezult a din propriet at ile
demonstrate anterior. Egalit at ile

1 0
0 0!
0 1
0 0!
=
0 1
0 0!
;
0 1
0 0!
1 0
0 0!
=
0 0
0 0!
arat a c a inelul M2(R) este necomutativ  si are divizori ai lui zero. Cazul n3
se probeaz a analog. 

64 CAPITOLUL 4. INELE
Unit at ile inelului Mn(R) se numesc matrice inversabile . Conform teore-
mei 17, ele formeaz a grup fat  a de ^ nmult irea matricelor. Acest grup este
notat cuGLn(R)  si este numit grupul general liniar de ordinnpesteR.
Date dou a inele B;C, produsul cartezian BC^ mpreun a cu operat iile
de adunare  si ^ nmult ire denite pe componente (adic a, ( b1;c1) + (b2;c2) =
(b1+b2;c1+c2), (b1;c1)(b2;c2) = (b1b2;c1c2)) este un inel numit produsul
direct al inelelorB siC. Construct ia produsului direct de inele se poate
generaliza u sor pentru familii arbitrare de inele. De exemplu, ZNeste inelul
 sirurilor de numere ^ ntregi.
Teorema 57 (Reguli de calcul ^ ntr-un inel.) FieAun inel.
(1)a0 = 0a= 0 pentru orice a2A.
(2)a(b) = (a)b=abpentru orice a;b2A.
(3)Dac an1 sia1;:::;ak2Aastfel ^ nc^ at aiaj=ajaipentru orice i;j,
atunci
(a1+


+ak)n=X
n1+


+nk=nn!
n1!n2!


nk!an1
1an2
2


ank
k:
Demonstrat ie. (1) Din 0 + 0 = 0 se obt ine a0 +a0 =a0, deci, adun^ and
a0, rezult aa0 = 0. (2)ab+a(b) =a(bb) =a0 = 0, deci a(b) =ab.
(3) T  inem seama de distributivitate  si de comutativitatea elementelor ai.
Evalu am produsul ( a1+


+ak)ndesf ac^ and cele nparanteze  si grup^ and
monoamele asemenea. Fie n1;:::;nk0 cun1+


+nk=n. Pentru
a obt ine monomul an1
1an2
2


ank
klu ama1dinn1paranteze,  si acest lucru
se poate face ^ n Cn1nmoduri, lu am a2dinn2paranteze, ^ n Cn2
nn1moduri,
 s.a.m.d. Deci monomul an1
1an2
2


ank
kapare detori, unde
t=Cn1
nCn2
nn1


Cnk
nn1n2


nk1=n!
n1!n2!


nk!:
Pentruk= 2 se obt ine formula binomului lui Newton. 
FieAun inel. Un element a2Ase nume ste divizor al lui zero dac a exist a
x2A,x6= 0, astfel ^ nc^ at ax= 0 sauxa= 0. ^In orice inel nenul, 0 este
divizor al lui zero. Un element inversabil nu este divizor al lui zero, deoarece
ab= 1  sixa= 0 implic a 0 = xab=x.

4.1. INEL, SUBINEL, IDEAL 65
Un inel ^ n care zero este singurul divizor al lui zero (adic a ^ n care ab= 0
implic aa= 0 saub= 0) se nume ste inel integru . Un inel nenul comutativ
integru se nume ste domeniu (de integritate) . Corpurile sunt inele integre. Z
 siZ[i] sunt domenii; ZZnu este integru deoarece (1 ;0)(0;1) = (0;0).
Teorema 58 ^Intr-un inel nit orice element este inversabil sau divizor al
lui zero.
Demonstrat ie. Fieaun non-divizor al lui zero al inelului nit A. Atunci
aplicat iaf:A!A,f(x) =axeste injectiv a, deci surjectiv a, deoarece A
este nit. Deci exist a b2Acuab= 1. Analog, exist a c2Acuca= 1.
Rezult ac=cab=b.
Dac an2, atunci Zneste inel comutativ fat  a de operat iile de adunare
 si ^ nmult ire denite dup a teorema 17. ^Intr-adev ar, dac a a;b;2Z, atunci
ba(bb+bc) =da(b+c) =dab+ac=babb+babc. Ii vom spune simplu inelul Zn.
Not am cuZ(Zn) mult imea divizorilor lui zero din Zn.
Corolarul 59 U(Zn) =fbxjx2Z;(x;n) = 1g,Z(Zn) =fbxjx2Z;(x;n)6=
1g siZneste corp,neste num ar prim.
Demonstrat ie. Primele dou a egalit at i rezult a din teoremele 18  si 58. ^In
consecint  a, Zneste corp,U(Zn;
) =Znnf^0g, numerele neprime cu nse
divid cun,neste num ar prim. 
FieAun inel. O submult ime nevid a Ba luiAse nume ste subinel al lui
Adac a
(i)Beste subgrup al grupului aditiv al lui A, adic axy2Bpentru
oricex;y2B,
(ii)Beste parte stabil a a lui A^ n raport cu ^ nmult irea, adic a xy2B
pentru orice x;y2B,  si
(iii) 12B.
Dac aBeste subinel al lui A, atunciBeste inel fat  a de operat iile de adunare
 si ^ nmult ire induse de pe A. De exemplu, mult imea Z(2)a fract iilor a=bcu
a;bnumere ^ ntregi  si bimpar este un subinel al lui Q.

66 CAPITOLUL 4. INELE
FieAun inel. O submult ime nevid a Ia luiAse nume ste ideal st^ ang
(resp. ideal drept ) dac a
(i)xy2Ipentru orice x;y2I,  si
(ii)ax2I(resp.xa2I) pentru orice x2I sia2A.
Un ideal st^ ang  si drept se nume ste ideal bilateral .f0g siAsunt ideale bilat-
erale numite idealul trivial respectiv idealul impropriu .
Dac a un ideal st^ ang sau drept Icont ine un element inversabil x, atunci
I=A, deoarece, dac a a2A, atuncia=xx1a2I.
Teorema 60 Un inel nenul Aeste corp dac a  si numai dac a idealele sale
st^ angi (resp. drepte) sunt f0g siA.
Demonstrat ie. Dac aAeste corp, atunci orice ideal Inenul cont ine un
element inversabil, deci I=A. Reciproc, s a presupunem c a idealele st^ angi
ale luiAsuntf0g siA,  si ex6= 0. Rezult a c a Ax=A, deci exist a y2A
cuxy= 1. Repet^ and argumentul pentru y, exist az2Acuyz= 1. Rezult a
c ax=x(yz) = (xy)z=z. Decixeste inversabil. Varianta cu ideale drepte
se probeaz a analog. 
^In cazul unui inelul comutativ orice ideal st^ ang este ideal drept  si reciproc,
motiv pentru care ^ n acest caz vom spune simplu ideal.
Teorema 61 FieAun inel. Atunci o intersect ie de subinele (resp. ide-
ale st^ angi, drepte, bilaterale) este tot un subinel (resp. ideal st^ ang, drept,
bilateral).
Demonstrat ie. Facem demonstrat ia pentru o familie ( I)de ideale drepte,
celelalte cazuri ind similare. Fie x;y2\I sia2A. Atuncix;y2I
pentru orice . Cum ecare Ieste ideal drept, rezult a c a xy;xa2I
pentru orice . Decixy;xa2\I.
Teorema 62 Idealele lui ZsuntnZcun0.
Demonstrat ie. Idealele sunt subgrupuri ale grupului aditiv, deci au forma
nZcun0, cf. teoremei 25. Reciproc, ecare nZeste ideal, deoarece x2nZ
 sia2Zimplic aax2nZ.

4.2. MORFISME DE INELE 67
^In inelul matricelor M2(Z), matricele cu linia a doua nul a formeaz a un
ideal drept care nu e ideal st^ ang. ^Intr-adev ar, pentru orice a;b;c;d;e;f2
Z,
a b
0 0!
c d
e f!
=
ac+be ad +bf
0 0!
, dar
0 0
1 0!
1 0
0 0!
=

0 0
1 0!
.
Pentrun0 xat, matricele K2M2(Z) cu toate elementele multipli de
nformeaz a un ideal bilateral al lui M2(Z). Mai mult, toate idealele bilaterale
ale luiM2(Z) au aceast a form a, cf. ex. 108.
FieAun inel  siXo submult ime a lui A. Mult imea
AX:=fa1x1+


+anxnjai2A;xi2X;n0g
este un idealul st^ ang al lui Anumit idealul st^ ang generat de X.^Intr-adev ar,
e clar c a diferent a a dou a elemente din AXeste tot ^ n AX, iar dac ay=
a1x1+


+anxn2AX sib2A, atunciby=ba1x1+


+banxn2AX. Se
vede imediat c a XAX si c aAXIpentru orice ideal st^ ang Ial luiA
care cont ine X.
^In mod analog, se arat a c a XA :=fx1a1+


+xnanjai2A;xi2
X;n0geste un idealul drept al lui Anumit idealul drept generat de X si
c aAXA :=fa1x1b1+


+anxnbnjai;bi2A;xi2X;n0geste un idealul
bilateral al lui Anumit idealul bilateral generat de X.
Presupunem c a Aeste inel comutativ. Atunci AX =XA =AXA
se nume ste idealul generat de X.Vom nota idealul generat de o mult ime
fxigi2IAcu (xi;i2I) sauP
i2IAxisau ^ nc aP
i2IxiA.
Dac ax2A, atunciAx=faxja2Agse nume ste idealul principal generat
dex.Un ideal se zice nit generat dac a poate  generat de o mult ime nit a.
Toate idealele lui Zsunt principale, cf. teoremei 62. Idealul (2 ;X)Z[X]
nu este principal, cf. ex. 116. ^In inelul  sirurilor de numere ^ ntregi,  sirurile cu
un num ar nit de termeni nenuli formeaz a un ideal care nu este nit generat,
cf. ex. 118.
4.2 Morsme de inele
FieA siBdou a inele. O funct ie f:A!Bse nume ste morsm de inele
dac af(x+y) =f(x) +f(y),f(xy) =f(x)f(y) pentru orice x;y2A si

68 CAPITOLUL 4. INELE
f(1A) = 1B:Rezult a c a feste morsm de inele dac a  si numai dac a feste
morsm de grupuri ( A;+)!(B;+)  si morsm de monoizi ( A;
)!(B;
).
Unmorsm de corpuri este un morsm de inele ^ ntre dou a corpuri. Un
morsm de inele (corpuri) bijectiv se nume ste izomorsm de inele (corpuri)
 si dac a ^ n plus A=B, atunci se nume ste automorsm .
FieAun inel (corp). Aplicat ia identic a IA:A!Aeste un automorsm.
Exist a un singur morsm de inele f:Z!A si anume cel dat de k7!k
1A.
Aplicat ia de incluziune Q,!R si cea de conjugare C!Csunt morsme
de corpuri.
Nu exist a morsme de inele Q!Z, deoarece singurul morsm de grupuri
(Q;+)!(Z;+) este cel nul, cf. ex. 61.
Teorema 63 (a)Compunerea a dou a morsme de inele este un morsm de
inele. (b)Inversul unui izomorsm de inele este tot un izomorsm de inele.
(c)Fief:A!Bun morsm de inele. Dac a a2U(A), atuncif(a)2U(B)
 sif(a)1=f(a1).
Demonstrat ie. Se aplic a teoremele 20  si 21. 
Spunem c a inelele A siBsunt sunt izomorfe,  si scriem A'B, dac a exist a
exist a un izomorsm de inele f:A!B. Se vede c a orice proprietate ce t ine
de structura de inel a lui Ase poate transporta prin f^ nB. De aceea, nu
vom face distint ie ^ ntre dou a inele izomorfe. Din teorema anterioar a, rezult a
c a relat ia de izomorsm ^ ntre inele este re
exiv a, simetric a  si tranzitiv a.
Se poate ar ata (vezi ex. 112) c a inelele Z4,Z2Z2,Z2[X]=X2Z2[X]
 siZ2[X]=(X2+X+^1)Z2[X] sunt mutual neizomorfe  si c a orice inel cu 4
elemente este izomorf cu unul dintre acestea. Se spune c a sunt 4 tipuri de
inele cu 4 elemente.
Fief:A!Bun morsm injective de inele. Atunci fstabile ste un
izomorsm ^ ntre A siIm(f). Putem atunci s a g^ andim pe Aca subinel al lui
Bprin identicarea ec arui a2Acuf(a). De exemplu, putem identica
ecare num ar real acu num arul complex a+ 0i.
Teorema 64 Fief:A!Bun morsm de inele.
(a)Dac aCeste un subinel al lui A, atuncif(C)este un subinel al lui
B.^In particular, Im(f)este un subinel al lui B.
(b)Dac aJeste un subinel (resp. ideal st^ ang, drept, bilateral) al lui B,
atuncif1(J)este un subinel (resp. ideal st^ ang, drept, bilateral) al lui A
numit pre-imaginea sauimaginea invers a a luiJ.

4.2. MORFISME DE INELE 69
(c)ker(f) :=f1(0)este un ideal bilateral al lui Anumit nucleul luif si
feste injectiv,ker(f) =f0g.
(d)Dac aAeste corp  si Binel nenul, atunci feste injectiv.
Demonstrat ie. (a). Din teorema 27, f(C) este un subgrup al lui ( B;+).
Fiex;y2C. Atuncif(x)f(y) =f(xy)2f(C).^In plus, 1 = f(1)2f(C).
(b). Presupunem c a Jeste un ideal st^ ang al lui B. Din teorema 27,
f1(J) este un subgrup al lui ( A;+). Fiea2A six2f1(J). Atunci
f(x)2J sif(ax) =f(a)f(x)2J. Deciax2f1(J). Celelalte cazuri se
probeaz a analog.
(c).ker(f) este pre-imaginea idealului trivial al lui B, deci este ideal
bilateral al lui B, cf. (b). Se aplic a teorema 27.
(d).Anu are dec^ at idealele f0g siA, deoarece este corp. Cum f(1) =
16= 0, rezult a ker(f)6=A, deciker(f) =f0g, adic afeste morsm injectiv.

FieRun inel,m;n1,b2R siA= (aij)2Mm;n(R). Prin denit ie,
produsulbAdintreb si matricea Aeste matricea ( baij). Similar, produsul Ab
este matricea ( aijb). Inject iab7!bIn:R!Mn(R) este un morsm de inele,
deoarece (a+b)In=aIn+bIn si (ab)In= (aIn)(bIn), pentru orice a;b2R.
Ca urmare, Rse identic a cu subinelul frInjr2Rgal luiMn(R).
FieAun inel nenul. Caracteristica lui Aeste num arul natural denit
prin
car(A) =(
ord(1) dac a ord(1)<1
0 dac a ord(1) =1:
undeord(1) este ordinul lui 1 ^ n grupul aditiv al lui A.
A sadar,car(A) = 0 ^ nsemn a c a toate sumele de forma 1+1+


+1 sunt
nenule, iar car(A) =n > 0 ^ nsemn a c a neste cel mai mic num ar natural
nenul cun1A= 0. E clar c a un subinel are aceea si caracteristic a cu inelul.
Exemple:car(Z) = 0,car(Q) = 0,car(Zn) =n.
FieAun inel. Dac a car(A) = 0, atunci Acont ine o copie izomorf a a
inelului Z si anume subinelul P=fk1Ajk2Zg, iar dac acar(A) =n >0,
atunciAcont ine o copie a inelului Zn si anume subinelul P=fk1j0k
n1g.^In ambele cazuri Pse nume ste subinelul prim al lui A.
De exemplu, subinelul prim al inelului M2(Z) estef
a0
0a!
ja2Zg.

70 CAPITOLUL 4. INELE
Deoarece un subinel al unui inel integru este tot inel integru, rezult a
c a subinelul prim al unui inel integru este izomorf cu Zsau cu Zpcup
num ar prim. Cu alte cuvinte, caracteristica unui inel integru (^ n particular,
caracteristica unui corp) este zero sau un num ar prim. Se observ a c a un
corpKde caracteristic a zero cont in o copie izomorf a a corpului Q si anume
fa1=b1ja;b2Z;b6= 0g. Un corp nit are caracteristica num ar prim.
Teorema 65 (Morsmul lui Frobenius.) FieAun inel comutativ de ca-
racteristic a pnum ar prim. Atunci funct ia F:A!A,F(x) =xpeste un
morsm de inele.
Demonstrat ie. Fiex;y2A.F(xy) = (xy)p=xpyp=F(x)F(y).
Fie 1kp1. Atunci k!  si (pk)! nu se divid cu p, deci num arul
Ck
p=p!=k!(pk)! se divide cu p, deoarece num ar atorul p! se divide cu p.
Dac az2A siseste un multiplu de p, atuncisz= 0, deoarece car(A) =p.
A sadarF(x+y) = (x+y)p=xp+C1
pxp1y+


+Cp1
pxyp1+yp=xp+yp=
F(x) +F(y):
4.3 Inel factor
FieAun inel  siIun ideal bilateral al lui A. CumIeste subgrup (normal)
al grupului ( A;+), putem considera grupul factor A=I. Elementele lui A=I
sunt de forma bx=x+Icux2A. PeA=I denim ^ nmult irea bxby=cxy
pentrux;y2A. Aceast a ^ nmult ire e bine-denit a (adic a nu depinde de
reprezentant ii claselor). ^Intr-adev ar, dac a bx=bx0 siby=by0, atuncix0=x+i
 siy0=y+jcui;j2I. Decix0y0=xy+xj+iy+ij2xy+I. Se
probeaz a u sor c a fat  a de aceast a ^ nmult ire grupul A=I devine un inel numit
inelul factor AmoduloI.^In plus funct ia :A!A=I,(x) =bxeste un
morsm surjectiv de inele numit surject ia canonic a . De exemplu, Z=nZeste
chiar inelul Zn.
Teorema 66 (Teorema fundamental a de izomorsm pentru inele.) Fief:
A!Bun morsm de inele. Atunci aplicat ia
F:A=ker (f)!B; F (bx) =f(x); x2A
este un izomorsm de inele. Deci A=ker (f)'Im(f).

4.4. CORPURI 71
Demonstrat ie. Din teorema corespunz atoare de la grupuri (teorema 43)
se  stie c aFeste un izomorsm ^ ntre grupurile aditive ale inelelor A=ker (f)
 siIm(f). Dac aa;b2A, atunciF(cab) =f(ab) =f(a)f(b) =F(ba)F(bb).^In
plus,F(b1) =f(1) = 1B. DeciFeste izomorsm de inele. 
Se veric a u sor c a f:Z[i]!Z2,f(a+bi) =da+beste un morsm
surjectiv de inele cu nucleul (1 + i)Z[i]. Deci Z[i]=(1 +i)Z[i]'Z2.
FieAun inel comutativ  si I;Jideale ale lui A. Se veric a u sor c a I+J:=
fi+jji2I;j2Jgeste un ideal al lui Anumit suma idealelori siJ.
Teorema 67 (Lema chinez a a resturilor.) FieAun inel comutativ  si I;J
ideale ale lui Aastfel ^ nc^ at I+J=A. Atunci inelul factor A=(I\J)este
izomorf cu A=IA=J.
Demonstrat ie. Fiep:A!A=I  siq:A!A=J proiect iile canonice.
Se vede u sor c a aplicat ia f:A!A=IA=J,f(x) = (p(x);q(x)), este un
morsm de inele.
Avemker(f) =fx2Ajp(x) = 0  siq(x) = 0g=I\J.
CumI+J=A, exist ai2I sij2Jcui+j= 1. Rezult a c a
p(i) = 0,p(j) = 1,q(i) = 1  siq(j) = 0. Dac a x;y2A, atuncif(jx+
iy) = (p(jx);q(iy)) = (p(x);q(y)), decifeste surject ie. Se aplic a teorema
fundamental a de izomorsm. 
Corolarul 68 Fiem;n2numere ^ ntregi prime ^ ntre ele. Atunci inelele
Zmn siZmZnsunt izomorfe.
Demonstrat ie. Se aplic a teorema anterioar a  si corolarul 31 
4.4 Corpuri
Reamintim c a un corp este un inel cu 16= 0 ^ n care orice element nenul este
inversabil. Cum elementele inversabile sunt nondivizori ai lui zero, rezult a
c a un corp este inel integru.
Exemple de corpuri: Q,Q(i),Q(p
2),R,C. Justicarea faptului c a
Q(p
2) este corp se poate face ^ n felul urm ator. E clar c a Q(p
2) este subinel

72 CAPITOLUL 4. INELE
al lui R. Fie 06=a+bp
22Q(p
2). Atunci num arul rat ional c=a22b2=
(a+bp
2)(abp
2) este nenul. Atunci 1 =(a+bp
2) =a=c(b=c)p
22Q(p
2).
Z[i]=(3) este corp cu 9 elemente. ^Intr-adev ar, Z[i]=(3) =fda+bij0
a;b2g. Se observ a c a dac ada+bi6=b0 atuncida2+b2=d(a+bi)d(abi)6=
0. Se continu a ca ^ n exemplul referitor la Q(p
2).
Uncorp nit este un corp cu un num ar nit de elemente. O celebr a
teorem a a lui Wedderburn arm a c a orice corp nit este comutativ (vezi [5,
teorema X.2.5]).
Inelele: Z,Z[i],Q[X],R[X] sunt domenii dar nu sunt corpuri. ^In general,
un inel de polinoame sau de serii formale nu este niciodat a corp.
Unsubcorp al unui inel Leste un subinel care este corp ^ n raport cu
operat iile induse. De exemplu, Qeste subcorp al lui R si orice corp de
caracteristic a zero cont ine un subcorp izomorf cu Q.
Reamintim varianta matriceal a a contruct iei corpului Cal numerelor
complexe pornind de la R. Fie
C=f
a b
b a!
ja;b2Rg:
Teorema 69 C este un corp comutativ ^ n raport cu adunarea  si ^ nmult irea
matricelor.
Demonstrat ie. E clar c a matricea unitate se a
 a ^ n C.Ceste parte
stabil a a lui M2(R) ^ n raport cu adunarea  si ^ nmult irea:

a b
b a!
+
c d
d c!
=
a+c b +d
(b+d)a+c!
 si

a b
b a!
c d
d c!
=
acbd ad +bc
(ad+bc)acbd!
=
c d
d c!
a b
b a!
:
DeciCeste subinel comutativ al lui M2(R). Fie
a b
b a!
o matrice
nenul a din C. Decia2+b26= 0. Din egalitatea

a b
b a!
ab
b a!
=
a2+b20
0a2+b2!

4.4. CORPURI 73
rezult a c a
a b
b a!1
= (a2+b2)1
ab
b a!
:DeciCeste corp comuta-
tiv.
Morsmul injectiv de inele f:R!C,f(a) =
a0
0a!
ne permite s a
g^ andim pe Rca un subcorp al lui Cprin identicarea ec arui a2Rcuf(a).
Not am
0 1
1 0!
cui. Rezult a c a i2=
1 0
01!
=1.
Dac aa;b2R, atunci

a b
b a!
=
a0
0a!
+
b0
0b!
0 1
1 0!
=a+bi
 si scrierea este unic a. Rezult a c a ( a+bi)(c+di) = (acbd) + (ad+bc)i.
Obt inem urm atorea descriere a corpului numerelor complexe.
Teorema 70 Corpul numerelor complexe este C=fa+bija;b2Rg,
scrierea sub forma a+biind unic a, cu adunarea  si ^ nmult irea denite prin
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i si(a+bi)(c+di) = (acbd)+(ad+bc)i.
Vom descrie un exemplu de corp necomutativ corpul cuaternionilor con-
struit pentru prima dat a de Hamilton ^ n 1843. Fie
H=f
a b
ba!
ja;b2Cg:
Teorema 71 H este un corp necomutativ ^ n raport cu adunarea  si ^ nmult irea
matricelor.
Demonstrat ie. E clar c a matricea unitate se a
 a ^ n H. Se arat a prin
calcul c a Heste parte stabil a ^ n raport cu adunarea  si ^ nmult irea. Pentru
^ nmult ire avem

a b
ba!
c d
dc!
= acbd ad +bc
(ad+bc)acbd!
:
DeciHeste subinel al lui M2(C). Fie
a b
ba!
o matrice nenul a din H.
Decijaj2+jbj26= 0. Din egalit at ile

a b
ba!
ab
b a!
=
ab
b a!
a b
ba!
=
jaj2+jbj20
0jaj2+jbj2!

74 CAPITOLUL 4. INELE
rezult a c a
a b
ba!1
= (jaj2+jbj2)1
ab
b a!
:
DeciHeste corp necomutativ (necomutativitatea rezult a din calculele de
mai jos).
Numim elementele lui Hcuaternioni . Morsmul injectiv de corpuri f:
C!H,f(a) =
a0
0 a!
ne permite s a g^ andim pe Cca un subcorp al
luiHprin identicarea ec arui a2Ccuf(a).^In particular, num arul real
ase identic a cu
a0
0a!
iarise identic a cu
i0
0i!
. Consider am
 si cuaternionii j=
0 1
1 0!
 sik=
0i
i0!
. Prin calcul rezult a c a
ij=k,ji=k,jk=i,kj=i,ki=j siik=j(se reamarca
analogia cu produsul vectorial al versorilor unui sistem de axe rectangular
tridimensional). ^In plus,i2=j2=k2=1. Fiea;b2C sia=x+yi,
b=z+uicux;y;z;u reale. Atunci

a b
ba!
=
x+yi z +ui
z+ui xyi!
=x+yi+zj+uk
 si scrierea este unic a. Obt inem urm atoarea descriere a corpului cuaternionilor
similar a numerelor complexe.
Teorema 72 Corpul cuaternionilor este
H=fx+yi+zj+uk(scriere unic a)jx;y;z;u2Rg
^ mpreun a cu relat iile ij=k,ji=k,jk=i,kj=i,ki=j,ik=j si
i2=j2=k2=1.
Corolarul 73 Cuaternioniif1;i;j;kgformeaz a ^ n raport cu ^ nmult i-
rea un grup necomutativ numit grupul cuaternionilor.
Reamintim c a domeniu este un inel comutativ integru  si nenul. Orice
corp comutativ este domeniu, dar exist a domenii care nu sunt corpuri, de
exemplu ZsauQ[X].

4.5. INELUL DE POLINOAME A[X] 75
FieDun domeniu. Lui D^ i putem ata sa ^ n mod natural un corp care
^ l cont ine pe Dca subinel, numit corpul de fract ii al lui D. Construct ia
corpului de fract ii generalizeaz a construct ia numerelor rat ionale pornind de
la numerele ^ ntregi.
Numim fract ie o pereche de elemente a;b2Dcub6= 0 scris a sub forma
a=b. Denim egalitatea fract iilor prin a=b=c=d,ad=bc. Egalitatea
fract iilor este re
exiv a, simetric a  si tranzitiv a. ^Intr-adev ar, re
exivitatea  si
simetria sunt evidente. Dac a a=b=c=d sic=d=e=f, atunciad=bc si
cf=de, deciadf=bde, de undeaf=be, deoareceDeste domeniu  si d6= 0.
Decia=b=e=f. FieK=fa=bja;b2D;b6= 0g:PeKdenim adunarea  si
^ nmult irea prin
a
b+c
d=ad+bc
bd sia
bc
d=ac
bd:
Aceste operat ii sunt corect denite, adic a nu depind de reprezentarea
fract iilor. ^Intr-adev ar, s a presupunem c a a=b=a0=b0 sic=d=c0=d0. Deducem
c aab0=a0b sicd0=c0d, de unde rezult a c a ( ad+bc)b0d0= (a0d0+b0c0)bd si
acb0d0=a0c0bd. Se veric a u sor c a, fat  a de aceste operat ii, Keste corp.K
poart a numele de corpul de fract ii al lui D si se noteaz a cu Q(D).
Morsmul injectiv de corpuri f:D!K,f(a) =a=1 ne permite s a
g^ andim pe Dca subinel al lui Kprin identicarea lui acua=1.
De exemplu, corpul de fract ii al lui ZesteQ, iar corpul de fract ii al lui
Z[i] este Q(i).
4.5 Inelul de polinoame A[X]
FieAun inel comutativ. Not am cu A(N)mult imea  sirurilor ( an)n0cu
elemente din Aav^ and un num ar nit de termeni nenuli. Pe A(N)denim
dou a operat ii: adunarea
(an)n0+ (bn)n0= (an+bn)n0
 si ^ nmult irea
(an)n0(bn)n0= (cn)n0undecn=X
i+j=naibj:
Teorema 74 Fat  a de aceste dou a operat ii, A(N)este un inel comutativ.

76 CAPITOLUL 4. INELE
Demonstrat ie. A(N)este parte stabil a fat  a de adunare  si ^ nmult ire: dac a
an= 0,bn= 0 pentru nN, atuncian+bn= 0 pentru nN siP
i+j=naibj= 0 pentru n2N.
Se arat a u sor c a ( A(N);+) este grup abelian cu elementul neutru  sirul nul.
^Inmult irea este asociativ a deoarece
((an)n0(bn)n0)(cn)n0= ((X
i+j=naibj)n0)(cn)n0=
= (X
i+j+k=naibjck)n0= (an)n0((bn)n0(cn)n0):
S irul (1;0;0;:::) este elementul neutru al ^ nmult irii. E clar din denit ie c a
^ nmult irea este comutativ a. ^Inmult irea este distributiv a fat  a de adunare
((an)n0+ (bn)n0)(cn)n0= (an+bn)n0(cn)n0=
= (X
i+j=n(ai+bi)cj)n0= (X
i+j=naicj)n0+ (X
i+j=nbicj)n0=
= (an)n0(cn)n0+ (bn)n0(cn)n0:
Morsmul injectiv de inele ':A!A(N),'(a) = (a;0;0;:::) ne permite
s a g^ andim pe Aca un subinel al lui A(N)prin identicarea ec arui a2Acu
'(a).
Not am cuX sirul (0;1;0;:::)  si ^ l numim nedeterminat a . Se vede prin
calcul c aXn= (0;0;0;:::;0;1;0;:::), unde 1 este precedat de nzerouri. Avem
scrierea unic a
(a0;a1;:::;an;0;:::) =a0+a1X+


+anXn:
InelulA(N)se noteaz a cu A[X]  si se nume ste inelul polinoamelor ^ ntr-o nede-
terminat a cu coecient i ^ n A.
Fief=a0+a1X+


+anXn:TermeniiaiXise numesc monoame ,
iara0;a1;:::;ancoecient ii polinomului. Numim gradul luif(notat cu
grad(f)), cel mai mare num ar natural kcuak6= 0. Gradul polinomului nul
se ia1. Dac af=a0+a1X+


+anXnare graduln, atuncianse nume ste
coecientul dominant al luif. Un polinom cu coecientul dominant egal cu
1 se nume ste polinom unitar .
Teorema 75 FieAun inel comutativ  si f;g2A[X]nf0g. Atunci
(a)grad(f+g)max(grad(f);grad (g)).

4.5. INELUL DE POLINOAME A[X] 77
(b)grad(fg)grad(f)+grad(g)cu egalitate dac a  si numai dac a produsul
coecient ilor dominant i ai lui f sigeste nenul.
(c)Dac afare coecientul dominant non-divizor al lui zero (e.g. dac a A
este domeniu), atunci grad(fg) =grad(f) +grad(g) sifeste non-divizor al
lui zero.
Demonstrat ie. (a) este evident a. ( b). Fief=a0+a1X+


+anXn si
g=b0+b1X+


+bmXmcuan;bm6= 0. Decigrad(f) =n sigrad(g) =m.
Dac ak > m +natunciP
i+j=kaibj= 0 deoarece i+j=kimplic ai > n
sauj >m . Decigrad(fg)grad(f) +grad(g).grad(fg) =m+ndac a  si
numai dac a coecientul anbmal luiXm+neste nenul. ( c) rezult a din ( b).
Corolarul 76 FieAun domeniu. Atunci A[X]este domeniu  si U(A[X]) =
U(A).
Demonstrat ie. Prima armat ie rezult a din punctul ( c) al teoremei ante-
rioare. Fie f;g2A[X] cufg= 1. Din teorema precedent a, rezult a c a f;g
sunt polinoame constante (i.e. de grad zero). 
FieLun corp comutativ. Corpul de fract ii al inelului de polinoame L[X]
se nume ste corpul fract iilor rat ionale peste L si se noteaz a cu L(X). O fract ie
rat ional a este un c^ at de dou a polinoame P=Q cuQ6= 0.
Teorema 77 Fieu:A!Bun morsm de inele comutative  si x2B.
Atunci funct ia v:A[X]!B,
v(a0+a1X+


+anXn) =u(a0) +u(a1)x+


+u(an)xn
este un morm de inele.
Demonstrat ie. Fief=Pm
i=0aiXi sig=Pn
j=0bjXj,f;g2A[X]. Avem
v(fg) =v(m+nX
k=0X
i+j=kaibj)Xk=m+nX
k=0X
i+j=ku(ai)u(bj)xk=
= (mX
i=0u(ai)xi)(nX
j=0u(bj)xj) =v(f)v(g):
Vericarea egalit at ii v(f+g) =v(f) +v(g) se face analog.
FieAun subinel al inelului B sif=a0+a1X+


+anXn2A[X]. Dac a
x2B, atuncif(x) =a0+a1x+


+anxnse nume ste valoarea lui f^ nx.
Funct ia ~f:B!B,~f(y) =f(y) se nume ste funct ia polinomial a asociat a lui
f. De exemplu, dac a g=X2+X2Z2[X], atunci ~geste funct ia nul a.

78 CAPITOLUL 4. INELE
4.6 R ad acini ale polinoamelor
Teorema 78 (Teorema ^ mp art irii cu rest.) FieAun inel comutativ  si e
f;g2A[X]astfel ^ nc^ at geste polinom nenul cu coecientul dominant in-
versabil (e.g. gunitar). Atunci exist a  si sunt unice polinoamele q;r2A[X]
astfel ^ nc^ at
f=gq+rcugrad(r)<grad (g):
Polinoamele f;g;q;r se numesc de^ mp art it, ^ mp art itor, c^ at  si repectiv rest,
iar egalitatea f=gq+rse nume ste identitatea ^ mp art irii.
Demonstrat ie. Fier=fgqpolinomul de grad cel mai mic ^ ntre toate
polinoamele de forma fgwcuw2D[X]. Dac agrad(fgq)grad(g),
atunci eXnmonomul conduc ator al lui fgq siXmmonomul conduc ator
al luig. Atuncifgq1Xnmgeste un polinom de grad <grad (fgq),
contradict ie.
Prob am unicitatea lui q sir. Fieq0;r02D[X] astfel ^ nc^ at f=gq0+r0 si
grad(r0)<grad (g). Sc az^ and cele dou a expresii ale lui frezult ag(qq0) =
r0r sigrad(r0r)< grad (g). Aplic am teorema 75. Cum gare coe-
cientul dominant inversabil, rezult a c a r0r= 0, altfel grad(r0r) =
grad(g(qq0))grad(g). A sadar r0=r si din egalitatea g(qq0) = 0
rezult aq0=q, din nou pentru c a gare coecientul dominant inversabil. 
FieAun inel comutativ nenul, f2A[X]  si2A. Spunem c a este
r ad acin a a luifdac af()=0. De exemplu, X212R[X] are r ad acinile
1.
Corolarul 79 (teorema lui B ezout.) FieAun inel comutativ, f2A[X] si
2A. Atunci restul ^ mp art irii lui flaXestef().^In particular,
este r ad acin a a lui f,Xdividef.
Demonstrat ie. Exist aq2A[X]  sir2Acuf= (X)q+r. F ac^ and
X=obt inemr=f().
Corolarul 80 FieDun domeniu, 06=f2D[X],2Do r ad acin a a lui f
 sin1. Atunci (X)ndividef si(X)n+1nu dividef,fse scrie
f= (X)ngcug2D[X],g()6= 0.

4.6. R ADACINI ALE POLINOAMELOR 79
Demonstrat ie. Rezult a din teorema lui B ezout. 
Dac afsatisface condit iile echivalente din corolarul precedent, spunem
c aeste r ad acin a a lui fcuordinul de multiplicitate n. De exemplu, 2 este
r ad acin a de ordin 3 (tripl a) a polinomului X55X4+ 7X32X2+ 4X8.
Teorema 81 FieDun domeniu, 06=f2D[X],1;:::;s2Dr ad acini
distincte ale lui frespectiv de ordin n1;:::;ns. Atuncifse poate scrie sub
forma
f= (X1)n1


(Xs)nsg
undeg2D[X] si1;:::;snu sunt r ad acini ale lui g.
Demonstrat ie. Armat ia e clar a dac a s= 1. Presupunem c a s2.
Deoarece1este r ad acin a a lui fde ordinn1, putem scrie f= (X1)n1h
cuh2D[X]  sih(1)6= 0. Deducem c a 0 = f(2) = (21)n1h(2),
decih(2) = 0. Scriem h= (X2)kpcup2D[X]  sip(2)6= 0. Deci
f= (X1)n1(X2)kp si din corolarul precedent rezult a k=n2. A sadar,
f= (X1)n1(X2)n2p.^In continuare, se repet a argumentul precedent. 
Vom num ara r ad acinile unui polinom num ar^ and ecare r ad acin a de at^ atea
ori c^ at este ordinul ei de multiplicitate. De exemplu, polinomul ( X1)3(X
2) are 4 r ad acini  si anume 1 ;1;1;2. Din teorema precedent a rezult a
Corolarul 82 FieDun domeniu. Un polinom de grad n1dinD[X]are
cel multnr ad acini ^ n D.
Ipoteza c a inelul Deste integru este esent ial a, de exemplu, polinomul
(1;0)X2(ZZ)[X] are o innitate de r ad acini, (0 ;a),a2Z.
Teorema 83 (Relat iile lui Vi et e.) FieDun domeniu  si f=a0+a1X+



+anXn2D[X]un polinom de grad n1. Presupunem c a faren
r ad acini1;:::;n2D. Atunci
f=an(X1)


(Xn):
^In plus, ^ n corpul de fract ii al lui D, au loc a sa-numitele relat iile ale lui Vi et e

80 CAPITOLUL 4. INELE
8
>>><
>>>:1+2+


+n=an1=an
12+13+


+n1n=an2=an
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
12


n= (1)na0=an:
Demonstrat ie. Din teorema 81, f=b(X1)


(Xn) cubpolinom
constant nenul. Identic^ and coecient ii dominant i, rezult a b=an. Relat iile
lui Vi et e se obt in din identicarea celorlalt i coecient i. 
Corolarul 84 (Teorema lui Wilson.) Dac apeste un num ar prim, atunci
(p1)!1 (mod p ):
Demonstrat ie. Consider am corpul Zp. Grup s au multiplicativ Z
pare
p1 elemente, deci ap1=b1 pentru orice a2Z
p. Altfel spus, polinomul
Xp1b12Zp[X] are r ad acinileb1, …,dp1. Din ultima relat ie Vi et e rezult a
c ad(p1)! =b1, deci (p1)!1 (mod p ):
4.7 Inelul de polinoame A[X1;:::;Xn]
FieAun inel comutativ. Construct ia inelului de polinoame A[X] a fost
prezentat a anterior. Inelul de polinoame ^ n nnedeterminate (variabile) cu
coecient i ^ n Ase dene ste inductiv prin egalitatea
A[X1;:::;Xn] =A[X1;:::;Xn1][Xn] pentrun2:
De exemplu, A[X;Y ] =A[X][Y]. Deci elementele lui A[X;Y ] sunt polinoame
^ nYcu coecient i ^ n A[X]. Elementele lui A[X1;:::;Xn] se numesc polinoame
^ n nedeterminatele X1;:::;Xncu coecient i ^ n A.
Polinoamele de forma M=aXi1
1


Xinncua2Ase numesc monoame .
ase nume ste coecientul lui M, iar dac aa6= 0, num arul i1+


inse nume ste
gradul luiM. Monoamele nenule M=aXi1
1


Xinn siN=bXj1
1


Xjnnse
zicmonoame asemenea dac ai1=j1,…,in=jn. De exemplu, monoamele
unitare (i.e. cu coecientul 1) de gradul 3 ^ n nedeterminatele X;Y suntX3,
X2Y,XY2 siY3.

4.7. INELUL DE POLINOAME A[X1;:::;XN] 81
Teorema 85 Orice polinom din f2A[X1;:::;Xn]se scrie ^ n mod unic ca
sum a de monoame (mutual neasemenea). Aceast a scriere se nume ste forma
canonic a lui f.
Demonstrat ie. Proced am prin induct ie dup a n, cazuln= 1 ind cunos-
cut. Deoarece pasul inductiv se face ^ n spiritul cazului n= 2, prefer am,
din motive de claritate, s a prezent am doar acest caz. Renot am X1=X
 siX2=Y. Fief2A[X;Y ]. Atuncif=Pn
j=0fjYjcufj=Pm
i=0aijXi,
aij2A, pentruj= 0;:::;n . Rezult a c a
f=nX
j=0(mX
i=0aijXi)Yj=mX
i=0nX
j=0aijXiYj
decifse scrie ca sum a de monoame. Pentru a proba unicitatea scrierii,
ef=Pm
i=0Pn
j=0bijXiYj,bij2A, o alt a reprezentare a lui fca sum a
de monoame. Din egalitatea de polinoame ^ n Y,Pn
j=0(Pm
i=0aijXi)Yj=Pn
j=0(Pm
i=0bijXi)Yjrezult a c aPm
i=0aijXi=Pm
i=0bijXipentruj= 0;:::;n ,
deciaij=bijpentru orice i sij.
Folosind corolarul 76, se arat a inductiv c a dac a Aeste domeniu (e.g.,
dac aAeste corp), atunci A[X1;:::;Xn] este domeniu pentru orice n.
Gradul unui polinom este maximul gradelor monoamelor sale. Gradul
polinomului nul se ia 1. Un polinom se nume ste polinom omogen dac a
toate monoamele sale au acela si grad. Prin componenta omogen a de grad
k,fk, a unui polinom f^ nt elegem suma monoamelor de grad kdinf. De
exemplu, polinomul f= 1 +XY+YZ+XZ+XYZ are gradul 3  si com-
ponentele omogene f0= 1,f1= 0,f2=XY+YZ+XZ sif3=XYZ .
Propriet at ile gradului din cazul polinoamelor ^ ntr-o nedeterminat a se extind
u sor la polinoamele ^ n mai multe nedeterminate.
Este clar c a produsul a dou a monoame de grad mrespectivneste mono-
mul nul sau un monom de grad m+ndup a cum produsul coecient ilor lor
este nul sau nenul. De asemenea, se vede u sor c a produsul a dou a polinoame
omogene de grad mrespectivneste polinomul nul sau un polinom omogen
de gradm+n.
Teorema 86 FieAun inel comutativ, n1 sif;g2A[X1;:::;Xn]. Atunci

82 CAPITOLUL 4. INELE
(a)grad(f+g)max(grad(f);grad (g)),
(b)grad(fg)grad(f) +grad(g)cu egalitate dac a Aeste domeniu.
Demonstrat ie. (a) este evident a. ( b). Putem presupune c a f sigsunt
nenule, altfel armat ia este banal a. Fie k=grad(f)  sil=grad(g). Scriem
pef sigca sum a de componente omogene: f=f0+f1+


fk sig=
g0+g1+


glcufk;glnenule. Atunci fg=Pk
i=1Pl
j=1figj, unde ecare
termen nenul figjeste un polinom omogen de grad i+jk+l. Deci
grad(fg)k+l. Dac a, ^ n plus, Aeste domeniu, atunci fkgleste un poli-
nom omogen de grad k+l sigrad(figj)< k+lpentru orice ( i;j)6= (k;l).
Decigrad(fg) =k+l.
FieABo extindere de inele  si b1;:::;bn2Belemente xate. Dac a
f2A[X1;:::;Xn], numim valoarea lui f^ nb1;:::;bnelementulf(b1;:::;bn)2
Bobt inut din fprin ^ nlocuirea ec arei nedeterminate Xicubi. Altfel zis,
dac af=Pai1:::inXi1
1


Xinn, atuncif(b1;:::;bn) =Pai1:::inbi1
1


binn. De
exemplu, dac a f=X3
1+


X3
n, atuncif(1;:::;n ) =n2(n+ 1)2=4.
Teorema 87 Cu notat iile anterioare, funct ia :A[X1;:::;Xn]!B,(f) =
f(b1;:::;bn), este un morsm de inele.
Demonstrat ie. Proced am prin induct ie dup a n, cazuln= 1 ind cunoscut
din teorem 77. Presupunem c a n2  si ef;g2A[X1;:::;Xn]. Scriem
f;gca polinoame ^ n Xncu coecient i ^ n A[X1;:::;Xn1],f=Pp
i=0fiXi
n si
g=Pp
j=0gjXj
n. Atuncif+g=Pp
i=0(fi+gi)Xi
n sifg=Pp
i;j=0(figj)Xi+j
n.
Folosind ipoteza de induct ie obt inem
(f+g)(b1;:::;bn) =pX
i=0(fi+gi)(b1;:::;bn1)bi
n=
=pX
i=0(fi(b1;:::;bn1) +gi(b1;:::;bn1))bi
n=
=pX
i=0fi(b1;:::;bn1)bi
n+pX
i=0gi(b1;:::;bn1)bi
n=f(b1;:::;bn) +g(b1;:::;bn):
De asemenea,
(fg)(b1;:::;bn) =pX
i;j=0(figj)(b1;:::;bn1)bi+j
n=

4.8. EXERCIT  II 83
=pX
i;j=0(fi(b1;:::;bn1)gi(b1;:::;bn1))bi+j
n=
= (pX
i=0fi(b1;:::;bn1)bi
n)(pX
j=0gj(b1;:::;bn1)bj
n) =f(b1;:::;bn)g(b1;:::;bn):
4.8 Exercit ii
103:FieKun corp. Ar atat i c a grupul aditiv ( K;+) nu este izomorf cu
grupul multiplicativ ( K;
).
104:FieAun inel  sia;b2A. Ar atat i c a dac a 1 abeste inversabil, atunci
1baeste inversabil.
105:Determinat i unit at ile inelului Z(2)=fa=bja;b2Z,bimparg.
106:FieSo mult ime de numere prime (eventual vid a)  si e ZSmult imea
fract iilora=bcua;bnumere ^ ntregi  si b6= 0 cu tot i factorii primi ^ n S. Ar atat i
c aZSeste un subinel al lui Q si c a orice subinel al lui Qeste de aceast a form a.
107:FieAo mult ime. Ar atat i c a inelele ZA
2 si (P(A);
;\) sunt izomorfe.
108:Ar atat i c a idealele bilaterale ale inelului M2(Z) suntM2(nZ),n0,
undeM2(nZ) este mult imea matricelor cu toate elementele multipli de n. In
plus,M2(Z)=M2(nZ)'M2(Zn). Generalizare.
109:FieA siBdou a inele comutative. Ar atat i c a idealele inelului produs
directABsunt de forma IJcuIideal al lui A siJideal al lui B. In
plus, (AB)=(IJ)'A=IB=J.
110:FieAinelul al c arui grup abelian este ZQ si are ^ nmult irea denit a
prin (a;x)(b;y) = (ab;ay +bx). Ar atat i c a idealele lui Asunt de forma
nZQ,n2N, sauf0gHcuHsubgrup al lui Q.
111:Calculat i tablele adun arii/^ nmult irii pentru urm atoarele inele factor:
Z2[X]=(X2+X+^1),Z2[X]=(X2+X),Z2[X]=(X2+^1)  siZ2[X]=(X2).

84 CAPITOLUL 4. INELE
112:Ar atat i c a inelele Z4,Z2Z2,Z2[X]=X2Z2[X]  siZ2[X]=(X2+X+
^1)Z2[X] sunt dou a c^ ate dou a neizomorfe  si c a orice inel cu 4 elemente este
izomorf cu unul dintre acestea.
113:Descriet i elementele inelului Z[i]=(3)  si explicitat i endomorsmul lui
Frobenius.
114:FieAun inel comutativ  si e f2A[X]. Ar atat i c a:
(a)feste nilpotent dac a  si numai dac a fare tot i coecient ii nilpotent i
(un element xal unui inel se zice nilpotent dac a exist a ncuxn= 0).
(b)feste inversabil dac a  si numai dac a fare termenul liber inversabil  si
ceilalt i coecient i nilpotent i.
(c)feste divizor al lui zero dac a  si numai dac a af= 0 pentru un anenul
dinA.
115:Listat i idealele inelului A=Z2[X]=(X2).
116:Ar atat i c a idealul Igenerat de 2  si X^ nZ[X] nu este principal.
117:FieAun domeniu. Ar atat i c a idealul generat de X siY^ nA[X;Y ] nu
este principal.
118:FieAinelul  sirurilor de numere reale. Ar atat i c a mult imea Ia  sirurilor
cu un num ar nit de termeni nenuli formeaz a un ideal al lui Acare nu este
nit generat.
119:FieZ+XQ[X] subinelul lui Q[X] format din polinoamele fcuf(0)2
Z. Ar atat i c a idealul XQ[X] nu este nit generat.
120:Ar atat i c a inelul factor Z[i]=(1 +i)Z[i] este izomorf cu Z2.
121:Ar atat i c a au loc izomorsmele de inele Z[i]=(2 +i)Z[i]'Z5 si
Z[i]=5Z[i]'Z5Z5:
122:Ar atat i c a inelul factor Z[X]=(X2X) este izomorf cu ZZ.
123:Ar atat i c a inelul factor Q[X]=(X21) este izomorf cu QQ, dar c a
Z[X]=(X21) nu este izomorf cu ZZ.

4.8. EXERCIT  II 85
124:Ar atat i c a inelul factor Z[X]=(X21) este izomorf cu A=f(x;y)2
Z2jxyparg.
125:FieKun corp comutativ, a1;:::;an2Kdistincte  si f= (X
a1)


(Xan). Ar atat i c a inelul factor K[X]=(f) este izomorf cu Kn.
126:Ar atat i c a inelul factor Z[X]=(2) este izomorf cu Z2[X].
127:Ar atat i c a inelul factor Q[X;Y ]=(Y2X3) este izomorf cu subinelul
Aal lui Q[T] format din polinoamele ce nu au monom de gradul 1.
128:Ar atat i c a inelul factor R[X;Y ]=(X2+Y2) este izomorf cu subinelul
Aal lui C[T] format din polinoamele fcuf(0) real.
129:Explicitat i corpul de fract ii al domeniului R[X;Y ]=(X2+Y2).
130:Ar atat i c a inelul factor R[X]=(X2+bX+c) este izomorf cu RR,
R[X]=(X2) sau Cdup a cum
= b24ceste>0, = 0, resp. <0.
131:Decidet i dac a inelele factor Z[X;Y ]=(X1;Y2),Q[X;Y ]=(X2+
1;Y22)  siR[X;Y ]=(X2+ 1;Y2+ 1) sunt domenii.
132:FieAun inel comutativ  si a2A. Ar atat i c a inelul factor A[X]=(Xa)
este izomorf cu A. Generalizare.
133:Ar atat i c a nu exist a un morsm surjectiv de inele :Z[X;Y ]!Q.
134:Determinat i mult imile A=fIm(f)jfmorsm de inele Z[X]!Qg si
B=fIm(f)jfmorsm de inele Z[X;Y ]!Qg.
135:Ar atat i c a inelele Z[X]  siZ[X;Y ] nu sunt izomorfe.
136:FieAun inel comutativ. Not am cu ANmult imea  sirurilor ( an)n0cu
elemente din A. PeANdenim dou a operat ii: adunarea ( an)n0+ (bn)n0=
(an+bn)n0 si ^ nmult irea ( an)n0(bn)n0= (cn)n0undecn=P
i+j=naibj:
Ar atat i c a fat  a de aceste dou a operat ii, ANeste un inel comutativ  si c a
orice element al s au se scrie unic sub formaP1
n=0anXncuan2A, unde
X= (0;1;0;:::). Acest inel se noteaz a cu A[[X]]  si se nume ste inelul seriilor
formale cu coecient i ^ n A.
137:FieAun inel comutativ. Ar atat i c a unit at ile inelului A[[X]] sunt seriile
formaleP1
n=0anXncua0inversabil ^ n A.
138:Determinat i morsmele de inele Z[[X]]!Z.

86 CAPITOLUL 4. INELE

Capitolul 5
Aritmetica lui Z  si K[X]
^In aceast capitol se studiaz a comparativ diferite propriet at i aritmetice ale
inelelor Z siK[X],Kcorp comutativ. Se expun mai ^ nt^ ai rezultate referi-
toare la teorema ^ mp art irii cu rest, cel mai mare divizor comun  si cel mai mic
multiplu comun. Se dau apoi rezultatele fundamentale referitoare la descom-
punerea unui num ar ^ ntreg/polinom ^ n produs de numere prime/polinoame
ireductibile.
^In acest capitol, prin corp ^ nt elegem un corp comutativ.
5.1 Teorema ^ mp art irii cu rest
FieKun corp. Reamintim urm atorul rezultat stabilit anterior.
Teorema 88 (a)K[X]este domeniu de integritate.
(b)Pentru orice f;g2K[X]nf0g,grad(f+g)max(grad(f);grad (g))
 sigrad(fg) =grad(f) +grad(g):
(c)Elementele inversabile ale inelului K[X]sunt polinoamele constante
nenule, altfel spus, U(K[X]) =K.
At^ at ^ n Zc^ at  si ^ nK[X] este valabil a teorema ^ mp art irii cu rest.
Teorema 89 (Teorema ^ mp art irii cu rest pentru Z siK[X].)FieD=Z
sauK[X]. Atunci pentru orice a;b2D,b6= 0, exist a  si sunt unice q;r2D
astfel ^ nc^ at
87

88 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
a=bq+rcu(
0r<jbj dac aD=Z
grad(r)<grad (b)dac aD=K[X]:
Numerele/polinoamele a;b;q;r se numesc de^ mp art it, ^ mp art itor, c^ at  si repec-
tiv rest, iar egalitatea a=bq+rse nume ste identitatea ^ mp art irii.
Demonstrat ie. CazulD=Z. Demonstr am mai ^ nt^ ai existent a lui q sir.
Fier=abqcel mai mic num ar ^ ntreg 0 de forma abxcux2Z. Dac a
abqjbj, atunci 0ab(q+ sgn(b))< abq, contradict ie. Prob am
unicitatea lui q sir. Fieq0;r02Zastfel ^ nc^ at a=bq0+r0 si 0r0<jbj.
Sc az^ and cele dou a expresii ale lui arezult ab(qq0) =r0r, decir0r= 0
deoarecejr0rj<jbj. A sadarr0=r si din egalitatea b(qq0) = 0 rezult a
q0=qdeoareceb6= 0. Cazul D=K[X] a fost demonstrat ^ n teorema 78. 
Exemple de ^ mp art iri cu rest: ^ n Z,15 = 2
(8) + 1, ^ n Q[X],X3+
X+ 1 = (X2+X+ 1)(X1) +X+ 2.
Din teorema 89 rezult a imediat
Corolarul 90 FieKun corp  sif2K[X]un polinom de grad n1. Atunci
elementele inelului factor K[X]=(f)se reprezint a unic sub forma a0+a1X+



+an1Xn1)+(f)cua0;a1;:::;an12K.^In particular, dac a Keste nit
cuqelemente, atunci K[X]=(f)areqnelemente.
Demonstrat ie. Fieg2K[X]. Dac ag=qf+a0+a1X+


+an1Xn1este
^ mp art irea cu rest a lui glaf, atuncig+(f) =a0+a1X+


+an1Xn1+(f).
^In plus, dac a a0+a1X+


+an1Xn1+(f) =b0+b1X+


+bn1Xn1+(f)
cuai;bi2K, atuncifdivideh= (a0b0) + (a1b1)X+


+ (an1
bn1)Xn1, decih= 0, deoarece grad(f) =n.
FieD=ZsauK[X]  si ea;b2D. Spunem c a bdividea si not ambja
dac a exist a c2Dcua=bc. Se mai spune c a beste un divizor (factor) al lui
asau c aaeste multiplu de b. Dac ab6= 0, atunci bja,restul ^ mp art irii
luialabeste zero.
Pentru orice a2D,aj0 (deoarece 0 = a:0),aja si 1ja(deoarece
a=a:1).^InK[X],cjfpentru orice c2K sif2K[X], deoarece
f=c(c1f).
Elementele a;b2Dse zic asociate (^ n divizibilitate) , dac aajb sibja.
Divizibilitatea are urm atoarele propriet at i.

5.1. TEOREMA ^IMP ART  IRII CU REST 89
Teorema 91 FieD=ZsauK[X] si ea;b;c2D. Atunci
(a)ajbdac a  si numai dac a aDbD.
(b)Dac aajb sibjc, atunciajc.
(c)Dac aajb siajc, atunciajbb0+cc0pentru orice b0;c02D.
(d)Dac aajb, atunci
(
jajjbj dac aD=Z
grad(a)grad(b)dac aD=K[X]:
(e)Elementele a;bsunt asociate dac a  si numai dac a
(
a=b dac aD=Z
a=dbcud2Kdac aD=K[X]:
Decia;bsunt asociate dac a  si numai dac a exist a u2U(D)astfel ^ nc^ at
a=ub.
Demonstrat ie.
(a). Avem  sirul de echivalent e ajb,b2aD,aDbD.
(b). Cf. (a),aDbDcD, deciajc.
(c). Fieb0;c02D. Cumajb siajc, rezult a c a b;c2aD, deci
bb0+cc02aD, deoareceaDeste ideal.
(d) este evident a.
(e). CazulD=Ze clar. Presupunem c a D=K[X]. Dac af=dgcu
d2K, atuncig=d1f, decifjg sigjf. Reciproc, s a presupunem c a
fjg sigjf. Deci exist a u;v2K[X] cug=fu sif=gv. Rezult af=fuv.
Dac af= 0, atunci g=fu= 0  si putem scrie f= 1g. Dac af6= 0, atunci
uv= 1, deciu;v2K.
Observat ia 92 FieKLo extindere de corpuri  si f;g2K[X]nf0g.
Atuncifjg^ nK[X],fjg^ nL[X]. Aceasta rezult a din faptul c a
identitatea ^ mp art irii lui glafeste aceea si ^ n K[X]  siL[X].
FieD=ZsauK[X]  si ea;b;d;m2D. Spunemdeste un cel mai mare
divizor comun (cmmdc) al perechii a;bdac adja,djb sidse divide cu orice
alt divizor comun al elementelor a;b.^In acest caz vom scrie d= (a;b). Dac a
(a;b) = 1, se zice c a a;bsunt relativ prime sau c aaeste prim cu b. Dual,
spunem c a meste un cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al perechii a;b

90 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
dac aajm,bjm simdivide orice alt multiplu comun al elementelor a;b.
^In acest caz vom scrie m= [a;b]. Evident, dac a ajb, atunci (a;b) =a si
[a;b] =b. Vom ar ata c a ^ n Z siK[X] orice pereche de elemente are cmmdc
 si cmmmc.
Fiea;b;d;d02Dastfel ^ nc^ at at^ at dc^ at  sid0joac a rol de cmmdc pentru
perecheaa;b. Din denit ie rezult a c a d sid0sunt asociate. Din teorema 91
pct. (e), rezult a c a ( a;b) este determinat p^ an a la semn ^ n cazul D=Z, resp.
p^ an a la o multiplicare cu o constant a nenul a din K^ n cazulD=K[X].
Convenim s a alegem pe ( a;b)0 ^ n primul caz, resp. un polinom unitar
sau zero ^ n cel de-al doilea caz. Aceste alegeri se numesc alegerile canon-
ice. Considerat ii similare se pot face pentru cmmmc. De exemplu, ^ n Z,
(18;24) = 6; ^ n Q[X], (2X1;3X2) = 1.
^InZ siK[X] orice pereche de elemente are cmmdc  si acesta se poate
calcula cu algoritmul lui Euclid.
Teorema 93 (Algoritmul lui Euclid.) FieDegal cu ZsauK[X]. Urm atorul
algoritm furnizeaz a cel mai mare divizor comun al unei perechi de elemente
a;b2D.
input:a;b2D
output:d= (a;b)
whileb6= 0 do
begin
se face ^ mp art irea cu rest: a=bq+rcuq;r2D(cf. Teoremei 89);
a:=b;b:=r;
end;
d:=a;
Demonstrat ie. E sucient s a observ am urm atoarele. Conform pct. ( c)
din teorema 91, perechile ( a=bq+r;b)  si (b;r) au aceea si divizori comuni,
deci acela si cel mai mare divizor comun. A sadar putem ^ nlocui perechea
(a;b) cu perechea ( b;r). La ecare parcurgere a buclei while modulul lui b
dac aD=Z(resp. gradul lui bdac aD=K[X]) scade cu cel put in o unitate.
Deci algoritmul se termin a dup a un num ar nit de pa si cu o pereche de forma
(a;0), care are cmmdc egal cu a.

5.1. TEOREMA ^IMP ART  IRII CU REST 91
S a consider am exemplul D=Z,a= 18  sib= 24. ^In timpul desf a sur arii
algoritmului lui Euclid, variabilele a,b,riau succesiv valorile: a= 18;24;18;
6,b= 24;18;6;0,r= 18;6;0. Deci (18;24) = 6.
Teorema 94 FieD=ZsauK[X]. Atunci orice ideal al lui Deste princi-
pal.
Demonstrat ie. Armat ia este clar a ^ n cazul idealului nul. Fie Iun ideal
nenul  si e g2Inf0g,gde modul minim ^ n cazul D=Zresp.gde grad
minim ^ n cazul D=K[X]. Ar at am c a I=gD. Incluziuneae clar a.
Pentru a proba incluziunea , ef2I. Conform teoremei de ^ mp art ire cu
rest, exist a q;r2Dastfel ^ nc^ at f=gq+rcu 0r <jgj^ n cazulD=Z,
respectivgrad(r)<grad (g) ^ n cazulD=K[X]. Cumr=fgq2I,rnu
poate  dec^ at nul, altfel contrazicem alegerea lui g. Decif=gq2gD.
Conform pct. ( e) din teorema 91, generatorul gal idealului nenul Ieste
determinat p^ an a la semn ^ n cazul D=Z, resp. p^ an a la o multiplicare cu o
constant a nenul a din K^ n cazulD=K[X].
Teorema 95 FieD=ZsauK[X] si ea;b2D. Atunci (a;b) si[a;b]
exist a  si au loc relat iile:
(a)aD+bD= (a;b)D,
(b)aD\bD= [a;b]D,  si
(c)elementele (a;b)[a;b] siabsunt asociate.
Demonstrat ie. (a) Cf. Teoremei 94, exist a d2Dastfel ^ nc^ at aD+bD=
dD. AtuncidD=aD+bDeD, deciejd.
(b). Cf. Teoremei 94, exist a m2Dastfel ^ nc^ at aD\bD=mD. Deoarece
m2aD\bD, rezult a c a ajm sibjm. Fien2Dun multiplu comun al lui
a sib. Rezult a c a n2aD\bD=mD, decimjn.
(c). Punemd= (a;b)  sim= [a;b]. Dac aa= 0 saub= 0, armat ia
e clar a. Presupunem c a a;bsunt nenule, deci d;m sunt nenule. Elementul
ab=d2Dse divide cu a sib. Rezult a c a mj(ab=d), decidmdivideab.
Evidentmjab, deciab=m2D.^In plusab=m este un divizor comun al lui a
 sib. Deci (ab=m )jd, adic aabjdm. A sadarab sidmsunt asociate.
Teorema urm atoare cuprinde c^ ateva propriet at i ale celui mai mare divizor
comun.

92 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
Teorema 96 FieD=ZsauK[X] si ea;b;c2Dnf0g.
(a)Dac ad= (a;b), atunci exist a a0;b02Dastfel ^ nc^ at d=aa0+bb0.
(b)a;bsunt relativ prime dac a  si numai dac a exist a a0;b02Dastfel ^ nc^ at
1 =aa0+bb0.
(c)Dac ad= (a;b), atuncia=d,b=dsunt relativ prime.
(d) (ac;bc ) si(a;b)csunt asociate.
(e)Dac aa;bsunt prime cu c, atunciabeste prim cu c.
(f)Dac aajbc siaeste prim cu b, atunciajc.
Demonstrat ie. Armat ia ( a) rezult a din pct. ( a) al Teoremei 95, ( b)
rezult a din ( a), iar (c) rezult a din ( a)  si (b).
(d). Fied= (a;b). Cf. Teoremei 95, aD+bD=dD. De aici rezult a u sor
c aacD+bcD=cdD, decicd= (ac;bc ).
(e). Cuma;bsunt prime cu c, putem scrie 1 = au+cv, 1 =bu0+cv0cu
u;u0;v;v02D.^Inmult ind aceste relat ii avem 1 = ab(uu0) +c(bu0v+auv0+
cvv0), deciabeste prim cu c, cf. (b).
(f). Din (d) rezult a c a ( ac;bc )  sicsunt asociate. Cum ajac siajbc,
deducem c a ajc.
FieD=ZsauK[X]. Denit ia cmmdc/cmmmc dat a ^ naintea Teoremei
93, se poate extinde cu u surint  a de la dou a elemente la un num ar nit de
elemente din D. Fiea1;:::;an;d2D,n2. Spunem deste un cmmdc al
elementelor a1;:::;andac adjaipentrui= 1;:::;n  sidse divide cu orice alt
divizor comun al elementelor a1;:::;an.^In acest caz vom scrie d= (a1;:::;an).
De asemenea, meste un cmmmc al elementelor a1;:::;andac aaijmpen-
trui= 1;:::;n  simdivide orice alt multiplu comun al elementelor a1;:::;an.
^In acest caz vom scrie m= [a1;:::;an].
Teorema 95 se poate extinde ^ n modul urm ator.
Teorema 97 FieD=ZsauK[X] si ea1;:::;an2Dcun2. Atunci
(a1;:::;an) si[a1;:::;an]exist a  si au loc egalit at ile:
(a)a1D+


+anD= (a1;:::;an)D,
(b)a1D\


\anD= [a1;:::;an]D,  si
(c) (a1;:::;an) = (a1;(a2;:::;an)).
Demonstrat ie. Pentru (a)  si (b) se adapteaz a demonstrat ia Teoremei 95.
Vom ilustra demonstrat ia lui ( c) pe cazuln= 3. Fiea;b;c;d;e2Dastfel
^ nc^ atd= (b;c)  sie= (a;d). Ar at am c a e= (a;b;c ). Din relat iile eja,ejd,

5.2. NUMERE PRIME, POLINOAME IREDUCTIBILE 93
djb sidjc, rezult a c a eeste un divizor comun al elementelor a;b;c . Acum
efun divizor comun al elementelor a;b;c . Deducem c a fjd sifja, deci
fje.
5.2 Numere prime, polinoame ireductibile
Un num ar^ ntreg p6= 0;1 se nume ste num ar prim dac apnu se poate scrie ca
produsul a dou a numere ^ ntregi diferite de 1, alfel zis, dac a pnu are dec^ at
divizorii1,p. Un num ar ^ ntreg diferit de 0, 1  si neprim se nume ste
num ar compus . De exemplu, 3, 7, 17 sunt numere prime ^ n timp ce 21,
15, 60 sunt compuse.
Conceptul omolog ^ n K[X] celui de num ar prim este cel de polinom ire-
ductibil. Un polinom neconstant (adic a de grad 1)f2K[X] se nume ste
polinom ireductibil dac afnu se poate scrie ca produs de dou a polinoame
neconstante, alfel zis, dac a fnu are dec^ at divizorii a siafcua2K. Un poli-
nom neconstant non-ireductibil se nume ste polinom reductibil . De exemplu,
^ nQ[X],Xeste ireductibil, X2este reductibil iar problema (i)reductibilit at ii
lui 3 nu se poate pune.
Teorema 98 ^InK[X],
(a)polinoamele de gradul 1sunt ireductibile,
(b)un polinom ireductibil de grad 2nu are r ad acini ^ n K,  si
(c)un polinom de grad 2sau3este ireductibil dac a  si numai dac a nu are
r ad acini ^ n K.
Demonstrat ie. (a) este evident a. ( b)  si (c) rezult a din urm atoarele ob-
servat ii. Un polinom are un factor aX+bde gradul 1 dac a  si numai dac a
are r ad acinab=a2K. Pe de alt a parte, un polinom de grad 2 sau 3 este
reductibil dac a  si numai dac a are un factor de gradul 1. 
De exemplu, X22 este polinom ireductibil ^ n Q[X] neav^ and r ad acini
^ nQ, dar reductibil ^ n R[X],X22 = (X+p
2)(Xp
2). Polinomul
(X2+1)(X2+2) este reductibil^ n Q[X] dar nu are r ad acini^ n Q. Polinoamele
de grad 2 sau 3 ireductibile din Z2[X] sunt cele f ar a r ad acini^ n Z2:X2+X+^1,
X3+X+^1  siX3+X2+^1.X4+X+^1 este ireductibil ^ n Z2[X] deoarece
nu are r ad acini  si nu este p atratul lui X2+X+^1.

94 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
FieD=Zresp.K[X],p2Dun num ar prim resp. polinom ireductibil
 sia2D. Din denit ii, rezult a c a pjasau (a;p) = 1.
Teorema 99 FieD=ZsauK[X] sip2Dun element nenul  si nein-
versabil. Atunci peste prim ^ n cazul D=Zresp. ireductibil ^ n cazul
D=K[X]dac a  si numai dac a satisface condit ia:
a;b2D sipjab)pjasaupjb:
Demonstrat ie. Presupunem c a peste prim ^ n cazul D=Zresp. ire-
ductibil ^ n cazul D=K[X].^In plus, presupunem c a pnu divide pe a. Cum
peste num ar prim resp. polinom ireductibil, rezult a c a ( p;a) = 1. Cf. teo-
remei 96,pjb. Reciproc, s a presupunem c a peste num ar compus. Deci
p=abcua;b2Z si 1<jaj;jbj<jpj. Atuncipjabdarp6ja sip6jb. De
asemenea, s a presupunem c a p2K[X] este polinom reductibil. Deci p=ab
cua;b2K[X]  si 0<grad (a);grad (b)<grad (p). Atuncipjabdarp6ja si
p6jb.
Teorema 100 (Euclid)
(a)Orice num ar ^ ntreg diferit de 0,1se poate scrie ca produs de numere
prime.
(b)Orice polinom neconstant f2K[X]se poate scrie ca produs de poli-
noame ireductibile.
Descompunerile de la (a) si(b)sunt unice (vezi Teorema 102).
Demonstrat ie. (a). Presupunem c a exist a ^ ntregi diferit i de 0, 1 care nu
se pot scrie ca produs de numere prime. Fie Ncel mai mic ^ ntreg pozitiv cu
aceast a proprietate. Cum Nnu este prim, putem scrie N=abcu 1<a;b<
N. Datorit a alegerii lui N, numerelea sibse pot scrie ca produs de numere
prime. Dar atunci  si N=abeste produs de prime, contradict ie.
(b). Adapt am demonstrat ia de la ( a). Presupunem c a exist a polinome
neconstante care nu se pot scrie ca produs de polinoame ireductibile. Fie
Hun astfel de polinom de grad minim. Cum Hnu este ireductibil, putem
scrieH=fgcuf;gpolinoame neconstante de grade strict mai mici dec^ at
gradul luif. Datorit a alegerii lui H, polinoamele f sigse pot scrie ca produs
de polinoame ireductibile. Dar atunci  si H=fgeste produs de polinoame
ireductibile, contradict ie. 

5.2. NUMERE PRIME, POLINOAME IREDUCTIBILE 95
Din teorema precedent a rezult a c a a;b2Zsunt prime ^ ntre ele dac a  si
numai dac a nu au un divizor prim comun. O armat ie similar a are loc ^ n
K[X].
Teorema 101 (Euclid)
(a)Mult imea numerelor naturale prime este innit a.
(b)Mult imea polinoamelor unitare ireductibile din K[X]este innit a.
Demonstrat ie. (a). Neg am. Fie p1;:::;pnmult imea numerelor naturale
prime. Consider am num arul N=p1


pn+1. Atunci Nnu se divide cu nici
un num ar prim pi, contradict ie.
(b). Dac aKeste corp innit, putem folosi polinoamele ireductibile Xa
cua2K.^In cazulKcorp nit se reitereaz a rat ionamentul de la ( a).
Teorema 102 (a)Orice num ar ^ ntreg Ndiferit de 0,1se scrie ^ n mod
unic sub forma N=p1
1


pssundep1,…,pssunt numere prime pozitive
distincte  si 1,…,s1.
(b)Orice polinom neconstant F2K[X]se scrie ^ n mod unic sub forma
F=a1
1


ssundea2K,1,…,ssunt polinoame ireductibile unitare
distincte  si 1,…,s1.
Demonstrat ie.
(a) Existent a scrierii a fost demonstrat a ^ n teorema 100. Prob am unic-
itatea. E clar c a semnul0000este unic determinat ind semnul lui N. Fie
N=q1
1


qt
to alt a scriere a lui Ncuq1,…,qtnumere prime pozitive dis-
tincte  si1,…,s1. Facem induct ie dup a M=1+


sarmat ia ind
evident a pentru M= 1. Presupunem M > 1. CumpsjN siN=q1


qt,
din teorema 99 rezult a c a psdivide unul dintre prime numerele qi, s a zicem
peqt. Decips=qt. Simplic^ and psdin egalitatea p1
1


pss=q1
1


qt
t
obt inemp1
1


ps1
s=q1
1


qt1
t. Din ipoteza de induct ie rezult a c a s=t,
 si, dup a o eventual a renumerotare, pi=qi sii=ipentrui= 1;:::;s1,
 sis1 =s1. Decis=s.
(b) Se adapteaz a rat ionamentul precedent. 
Teorema urm atoare este numit a Teorema Fundamental a a Algebrei.
Teorema 103 (D'Alembert-Gauss) Orice polinom neconstant f2C[X]are
cel put in o r ad acin a ^ n C.

96 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
O demonstrat ie se poate g asi ^ n [5, teorema IX.3.4]. Din teorem a rezult a
c a polinoamele ireductibile din C[X] sunt polinoamele de gradul 1.
Corolarul 104 Polinoamele ireductibile din R[X]sunt polinoamele de gradul
1 si cele de gradul doi f ar a r ad acini reale.
Demonstrat ie. Fief2R[X] de grad3  si e2Co r ad acin a a lui f.
Dac a2Ratuncifeste reductibil. Dac a nu, rezult a c a fare  si r ad acina
. Atuncifse divide ^ n C[X]  siR[X] (observat ia 92) cu ( X)(X),
decifeste reductibil.
Deducem urm atorul corolar.
Corolarul 105 (a)Orice polinom neconstant f2C[X]se scrie ^ n mod unic
sub formaf=a(X1)m1


(Xs)mscua2C,1,…,s2Cdistincte,
 sim1,…,ms1.
(b)Orice polinom neconstant f2R[X]se scrie ^ n mod unic sub forma
f=a(X1)m1


(Xs)msn1
1


nt
tcua2R,1,…,s2Rdistincte,
1,…,t2R[X]sunt polinoame unitare de gradul doi distincte f ar a r ad acini
reale  sim1,…,ms,n1,…,nt1.
^InZ siK[X] cmmdc  si cmmmc se pot calcula cu ajutorul descompunerii
^ n produs de factori primi (ireductibili).
Lema 106 Fiea=p1
1


pssundep1,…,pssunt numere prime pozitive
distincte  si i1pentrui= 1;:::;s . Atunci divizorii ^ ntregi ai lui asunt de
numerele forma c=p
1
1


p
ssunde 0
iipentrui= 1;:::;s .
Demonstrat ie. Fiea=bco factorizare a lui acub;c2Z. Din Teo-
rema 102, factorii primi din descompunerea lui b sicsunt dintre p1,…,ps.
Deci putem scrie b=p1
1


pss sic=p
1
1


p
ss. Dina=bcobt inem
p1
1


pss=p1+
1
1


ps+
ss. Din Teorema 102 rezult a c a i=i+
ipentru
i= 1;:::;s .
Se poate demonstra o lem a analog a pentru K[X].
Teorema 107 Fiea=p1
1


pss sib=p1
1


pssundep1,…,pssunt
numere prime pozitive distincte iar i;i1, pentrui= 1;:::;s . Atunci
(a) (a;b) =pmin(1;1)
1


pmin(s;s)
s  si
(b) [a;b] =pmax(1;1)
1


pmax(s;s)
s .

5.3. COMPLEMENTE 97
Demonstrat ie. (a). Cf. lemei anterioare, divizorii comuni ai lui a sibau
formap
1
1


p
sscu
imin(i;i) pentrui= 1;:::;s . De aici rezult a ( a).
(b). Din teorema 95, [ a;b] =ab=(a;b). Folosind ( a), deducem [ a;b] =
pmax(1;1)
1


pmax(s;s)
s , deoarece, pentru orice ;2N,min(;)+max(;
) =+.
Proprietatea analog a pentru K[X] este
Teorema 108 Fief=a1
1


ss sig=b1
1


ssundea;b2K,
1,…,ssunt polinoame ireductibile unitare distincte din K[X] sii;i1
pentrui= 1;:::;s . Atunci
(a) (f;g) =min(1;1)
1


min(s;s)
s  si
(b) [f;g] =max(1;1)
1


max(s;s)
s .
Demonstrat ie. Se adapteaz a demonstrat ia precedent a. 
5.3 Complemente
Teorema 109 FieKun corp  si f2K[X]un polinom ireductibil. Atunci
inelul factor k[X]=(f)este corp.
Demonstrat ie. Un element nenul din K[X]=(f) se scrie sub forma bgcu
g2K[X] nedivizibil cu f. Cumfeste ireductibil, rezult a c a f;gsunt relativ
prime. Cf. teoremei 96, putem scrie ff1+gg1= 1 cuf1;g12K[X]. Deci
bgcg1=b1.
Morsmul (injectiv) de corpuri :K!K[X]=(f),(a) =ba, ne permite
s a identic am pe Kcu un subcorp al lui K[X]=(f) prin identicarea ec arui
a2Kcuba. Dac af=a0+a1X+


+anXn, atuncif(cX) =a0+a1cX+



+ancXn=ca0+ca1cX+


+cancXn=bf=b0. Deci estecXo r ad acin a a lui
f^ n corpulK[X]=(f).
Teorema 110 (Lema lui Kronecker). FieKun corp  sif2K[X]un poli-
nom de grad1. Atunci exist a un corp Lcare ^ l cont ine pe Kastfel ^ nc^ at
fare o r ad acin a ^ n L.

98 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
Demonstrat ie. ^Inlocuind pe fcu un factor ireductibil al s au, putem pre-
supune c afeste ireductibil. ^In acest caz teorema a fost deja demonstrat a ^ n
paragraful anterior teoremei. 
Q[X] posed a polinoame ireductibile de orice grad. De exemplu, polinomul
Xn2 este ireductibil, pentru orice n1, dup a cum rezult a din urm atorul
criteriu de ireductibilitate.
Teorema 111 (Criteriul lui Eisenstein). Fieh2Z[X]un polinom necon-
stant unitar. Presupunem c a exist a un num ar prim pastfel ^ nc^ at pdivide
tot i coecient ii lui h, cu except ia coecientului dominant, iar p2nu divide
termenul liber al lui h. Atunciheste ireductibil ^ n Q[X].
Demonstrat ie. Neg am. Deci exist a f;g2Q[X] polinoame unitare necon-
stante astfel ^ nc^ at fg=h. Ar at am c a f;g2Z[X]. Fiea;bnumere naturale
nenule minime cu proprietatea af;bg2Z[X]. Presupunem c a ab6= 1  si eq
un divizor prim al lui ab. Deoarece h2Z[X],qdivideabh^ nZ[X]. Fieaf,
bgpolinoamele obt inute din afresp.bgprin reducerea coecient ilor modulo
q. Rezult a c a ( af)(bg) =0 ^ nZq[X]. Cum Zq[X] este domeniu, unul din
factori, s a zicem af, este nul. Rezult a c a tot i coecient ii lui af, deci  si coe-
cientul dominant a, sunt divizibili cu q, deci (a=q)f2Z[X], ^ n contradict ie
cu alegerea lui a. Rezult a c a a=b= 1, decif;g2Z[X].
Fief,gpolinoamele obt inute din fresp.gprin reducerea coecient ilor
modulop. Rezult a c a fg=Xn^ nZp[X], undeneste gradul lui h. Deducem
c af=Xs si g=Xt, undes,tsunt gradele lui fresp.g. Deci termenii liberi
ai luif sigse divid cu p.^In consecint  a, termenul liber al lui hse divide cu
p2, contradict ie.
Fie polinomul f= (X51)=(X1) =X4+X3+X2+X+ 1. Aplic^ and
criteriul lui Eisenstein polinomului g=f(X+1) =X4+5X3+10X2+10X+5,
pentrup= 5, deducem c a geste ireductibil ^ n Q[X]. Decifeste ireductibil
^ nQ[X].
5.4 Exercit ii
139:Calculat i (24 ;54) ^ n Zcu ajutorul algoritmului lui Euclid.

5.4. EXERCIT  II 99
140:Fiea;b2N sid= (a;b). Ar atat i c a ( Xa1;Xb1) =Xd1 ^ n
K[X], undeKeste un corp.
141:Calculat if= (X23+X22+


+X+ 1;X53+X52+


+X+ 1) ^ n
Q[X].
142:Calculat i (X44X3+ 1;X33X2+ 1) ^ n R[X].
143:Calculat i (2m1;2n1) ^ nZ.
144:Fiea;b;c;d2Znf0gastfel ^ nc^ at ab=cd. Ar atat i c a exist a x;y;u;v2
Zastfel ^ nc^ at xy=c,uv=d,xu=a siyv=b.
145:FieAun domeniu  si 06=a;b2Aastfel ^ nc^ at Aa+Ab=Ad. Ar atat i
c ad= (a;b).
146:FieKun corp  si 06=f;g2K[X] astfel ^ nc^ at fjg2jf3jg4j:::.
Ar atat i c af;gsunt asociate.
147:Ar atat i c a numerele Fn= 22n+ 1 (numite numerele Fermat ) sunt
relativ prime dou a c^ ate dou a. Deducet i c a exist a o innitate de numere
prime. (Indicat ie. F0F1F2


Fn1=Fn2).
148:Ar atat i c aFn= 22n+1 este num ar prim pentru n= 0;1;2;3  si compus
pentrun= 5. (Indicat ie. Folosind egalit at ile 641 = 5
27+ 1 = 54+ 24,
rezult a c aF5se divide cu 641).
149:Calculat i (X21)Q[X]\(X31)Q[X]  si (X21)Q[X]+(X31)Q[X].
150:Calculat i (f;g)  si [f;g] ^ nQ[X] pentruf= (X1)(X21)(X3
1)(X41)  sig= (X+ 1)(X2+ 1)(X3+ 1)(X4+ 1).
151:Descompunet i polinomul Xn1, 1n6, ^ n produs de polinoame
ireductibile ^ n Q[X],R[X],C[X].
152:^In ce caz este polinomul X3m+X3n+1+X3p+22Q[X] divizibil cu
X4+X2+ 1 ? (Indicat ie. Descompunet i polinomul X4+X2+ 1.)
153:G asit i polinoamele ireductibile de grad 5 din Z2[X].

100 CAPITOLUL 5. ARITMETICA LUI ZS IK[X]
154:Descompunet i polinomul X15+^1 ^ n produs de polinoame ireductibile
^ nZ2[X].
155:Descompunet i polinomul X56X49X7+^1 ^ n produs de polinoame
ireductibile ^ n Z7[X]. (Indicat ie. Folosit i morsmul lui Frobenius.)
156:G asit i polinoamele ireductibile de grad 2 dinK[X], undeKeste
corpulf0;1;z;z + 1g, unde 1 + 1 = 0  si z2=z+ 1.
157:Sunt corpurile Z2[X]=(X3+X+^1),Z2[X]=(X3+X2+^1) izomorfe ?
158:FieKun corp  sif;g;h2K[X] polinoame. Ar atat i c a
[f;g;h ]2(f;g)(g;h)(f;h) = (f;g;h )2[f;g][g;h][f;h]:
159:Ar atat i c a pentru orice num ar prim p, polinomul f=XpX+^12
Zp[X] este ireductibil.
160:Fiekun num ar ^ ntreg6= 0;1 liber de p atrate  si nun num ar natural
nenul. Ar atat i c a polinomul Xnkeste ireductibil ^ n Q[X].
161:FieKun corp,f2K[X] un polinom neconstant  si a;b2K,a6= 0.
Ar atat i c afeste ireductibil,f(aX+b) este ireductibil.
162:Fienun num ar natural nenul. Ar atat i c a polinomul f=X2n+ 1 este
ireductibil ^ n Q[X]. (Indicat ie. Se consider a f(X+ 1).)
163:Fiepun num ar natural prim. Ar atat i c a polinomul f=Xp1+Xp2+
:::+X+ 1 este ireductibil ^ n Q[X]. (Indicat ie. Se consider a f(X+ 1).)

Capitolul 6
Polinoame simetrice
^In aceast capitol se prezint a teorema fundamental a a polinoamelor simetrice.
6.1 Inelul polinoamelor simetrice
FieAun inel comutativ  si n1. Un polinom f2A[X1;:::;Xn] se nume ste
polinom simetric dac afr am^ ane neschimbat dup a orice permutare a nede-
terminatelor X1;:::;Xn, adic a
f(X(1);:::;X(n)) =f(X1;:::;Xn) pentru orice 2Sn:
Polinoamele constante sunt evident simetrice. Deoarece orice permutare din
Sneste un produs de transpozit ii (teorema 51), rezult a c a un polinom este
simetric dac a  si numai dac a feste invariant la orice transpozit ie ( Xi;Xj) a
nedeterminatelor X1;:::;Xn. Polinoamele
s1=X1+


+Xn
s2=X1X2+X1X3+


+Xn1Xn
…
sn=X1


Xn
sunt simetrice deoarece skeste suma tuturor produselor de knedeterminate
distincte din mult imea X1,…,Xn. Ele se numesc polinoamele simetrice fun-
damentale . Polinomul f=X1+X2
2nu este simetric deoarece f(X2;X1) =
X2
1+X26=f. Dac a schimb am ^ ntre ele dou a nedeterminate ^ n polinomul
g= (X1X2)(X2X3)(X3X1), atuncig^  si schimb a semnul. Deci geste
simetric dac a  si numai dac a inelul Aeste de caracteristic a 2.
101

102 CAPITOLUL 6. POLINOAME SIMETRICE
Teorema 112 Mult imea polinoamelor simetrice formeaz a un subinel al in-
eluluiA[X1;:::;Xn].
Demonstrat ie. Fief,gpolinoame simetrice. Avem de ar atat c a f+g si
fgsunt de asemenea simetrice. Fie 2Sn. Atunci (fg)(X(1);:::;X(n)) =
f(X(1);:::;X(n))g(X(1);:::;X(n)) =fg. Decifgeste simetric  si la fel se
arat a c afgeste simetric.
^In consecint  a, g(s1;s2;:::;sn) este polinom simetric pentru orice g2
A[Y1;:::;Yn]. Vom ar ata c a orice polinom simetic se poate scrie astfel  si
c a scrierea este unic a. De exemplu, X2
1+X2
2+


+X2
n=s2
12s2. Sunt
necesare unele preg atiri.
Denim ordinea lexicograc a pe mult imea monoamelor din A[X1;:::;Xn].
FieM=aXi1
1


Xinn siN=bXj1
1


Xjnndou a monoame nenule. Spunem
c aMeste strict mai mare ca N^ n ordinea lexicograc a ,  si scriemM > N ,
dac a exist a k, 1k<n , astfel ^ nc^ at i1=j1,…,ik=jk siik+1>jk+1. Altfel
spus,M >N dac a prima component a nenul a a vectorului ( i1j1;:::;injn)
este>0. Vom scrie MNdac aM >N sauMeste asemenea cu N.
Se observ a analogia cu modul de ordonare a cuvintelor ^ ntr-un dict ionar:
e ca  si cum am compara cuvintele ( i1;:::;in)  si (j1;:::;jn).
De exemplu, Xk
1Xl
1,kl siX2
1>X 1X2>X 1X3>X2
2>X 2X3>
X2
3.
Teorema 113 FieM;N;P;Q patru monoame nenule. Atunci
(a)MNsauNM.
(b)Dac aMN siNP, atunciMP.
(c)Dac aMN siNM, atunciM siNsunt asemenea.
(d)Dac aMN,PQ siMP;NQ6= 0, atunciMPNQ.
La(b) si(d), dac a una din inegalit at ile din ipotez a este strict a, atunci  si
inegalitatea din concluzie este strict a.
Demonstrat ie. (a)  si (c) rezult a din denit ie. Fie M=aXi1
1


Xinn,
N=bXj1
1


Xjnn,P=cXk1
1


Xknn siQ=dXl1
1


Xlnn. (b). Putem
presupune c a M > N  siN > P altfel armat ia e clar a. Atunci vectorii
(i1j1;:::;injn)  si (j1k1;:::;jnkn) au prima component a nenul a >0.
Rezult a c a  si suma lor ( i1k1;:::;inkn) are prima component a nenul a >0,

6.1. INELUL POLINOAMELOR SIMETRICE 103
deciM > P . (d). Trat am cazul M > N  siP > Q , celelalte se probeaz a
analog. Atunci vectorii ( i1j1;:::;injn)  si (k1l1;:::;knln) au prima
component a nenul a >0, deci  si suma lor ( i1+j1k1l1;:::;in+jnknln)
are prima component a nenul a >0, adic aMN >PQ .
^In anumite privint e, ordinea lexicograc a se comport a similar relat iei de
ordine pe mult imea numerelor naturale.
Teorema 114 Orice  sir strict descresc ator de monoame din A[X1;:::;Xn]
este nit.
Demonstrat ie. Facem induct ie dup a n, pentrun= 1 proprietatea ind
clar a. Fie n2  si presupunem c a exist a un  sir innit strict descresc ator
de monoame M1> M 2> M 3>


. Izol^ and ^ n ecare monom Mjnede-
terminataX1, obt inem Xi1
1N1> Xi2
1N2> Xi3
1N3>


, undeNjsunt
monoame ^ n nedeterminatele X2;:::;Xn. Rezult a c a i1i2i3


,
deci exist a sastfel ^ nc^ at ik=ispentru orice ks. Rezult a  sirul innit
Ns>Ns+1>Ns+2>


, ^ n contradict ie cu ipoteza de induct ie. 
Fiefun polinom nenul. Numim termen principal al luif,  si-l not am T(f),
cel mai mare monom al lui f^ n ordinea lexicograc a. De exemplu, T(s1) =
X1. Pentru polinoame ^ ntr-o singur a nedeterminat a, termenul principal este
chiar monomul dominant.
Teorema 115 Dac aaXi1
1Xi2
2


Xinneste temenul principal al unui polinon
simetric, atunci i1i2


in.
Demonstrat ie. Fiefun polinom simetric  si N=bXj1
1Xj2
2


Xjnnun
monom nenul al s au. Fiind simetric, fcont ine odat a cu Ntoate monoamele
bXj(1)
1Xj(2)
2


Xj(n)
n,2Sn.^Intre acestea, cel mai mare ^ n ordinea lexi-
cograc a este cel pentru care j(1)j(2)


j(n).
^In particular, pentru polinoamele simetrice fundamentale avem T(sk) =
X1


Xk, 1kn.
Teorema 116 Fief;g2A[X1;:::;Xn]dou a polinoame nenule. Dac a
T(f)T(g)6= 0 (e.g., dac a Aeste domeniu), atunci T(fg) =T(f)T(g).

104 CAPITOLUL 6. POLINOAME SIMETRICE
Demonstrat ie. Scriemf=M0+M1+


+Mk sig=N0+N1+


+Nlunde
M0=T(f)  siN0=T(g),M1;:::;Mksunt monoame strict mai mici ca T(f)
 siN1;:::;Nlsunt monoame strict mai mici ca T(g). Rezult afg=P
i;jMiNj
sum a ^ n care M0N0=T(f)T(g) este strict mai mare dec^ at tot i ceilalt i ter-
meniMiNj, cf. teoremei 113. Deci T(fg) =T(f)T(g).
6.2 Teorema fundamental a
Teorema 117 (Teorem fundamental a a polinoamelor simetrice.) Orice poli-
nom simetric f2A[X1;:::;Xn]se scrie ^ n mod unic ca expresie polinomial a
cu coecient i ^ n Ade polinoamele simetrice fundamentale s1;:::;sn, adic a
exist a  si este unic un polinom g2A[Y1;:::;Yn]astfel ^ nc^ at f=g(s1;:::;sn).
Existent a lui grezult a din urm atorul algoritm (unicitatea lui gva  probat a
ulterior).
Algoritmul 118 (Exprimarea unui polinom simetric ^ n funct ie de polinoamele
simetrice fundamentale).
Input:f2A[X1;:::;Xn] polinom simetric.
Output:g2A[Y1;:::;Yn] astfel ^ nc^ at f=g(s1;:::;sn).
g:= 0;h:=f;
while(h6= 0 ) do
begin
aXi1
1Xi2
2


Xinn= termenul principal al lui h;
h:=hasi1i2
1si2i3
2


sin1in
n1sinn;
g:=g+aYi1i2
1Yi2i3
2


Yin1in
n1Yinn;
end.
Corectitudinea algoritmului rezult a din urm atoarele observat ii. Cf. teo-
remei 112,hr am^ ane simetric ^ n timpul desf a sur arii algoritmului. Rezult a c a
T(h) =aXi1
1Xi2
2


Xinnare proprietatea i1i2


in, cf. teoremei 115.
Deci, au sens expresiile asi1i2
1si2i3
2


sin1in
n1sinn siaYi1i2
1Yi2i3
2


Yin1in
n1
Yinn. Cf. teoremei 116, asi1i2
1si2i3
2


sin1in
n1sinnare termenul principal
aXi1i2
1(X1X2)i2i3


(X1


Xn1)in1in(X1


Xn)in=aXi1
1Xi2
2


Xin
n:

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL A 105
Deci la ecare parcurgere a buclei while ,T(h) scade strict. ^In consecint  a,
bucla while se parcurge doar de un num ar nit de ori, cf. teoremei 114. ^In
ne, se observ a c a dup a init ializ arile g:= 0,h:=f, avemf=h+g(s1;:::;sn),
egalitate ce se p astreaz a dup a ecare parcurgere a buclei while . La sf^ ar sit
vom aveah= 0, decif=g(s1;:::;sn).
De exemplu, pentru f=X2
1+


+X2
n, variabilele algoritmului iau val-
orile urm atoare: h=f;2s1;0,T(h) =X2
1;2X1X2 sig= 0;Y2
1;Y2
12Y2.
Adic af=s2
12s2.
Demonstrat ia unicit at ii lui g.Fieg;g02A[Y1;:::;Yn] distincte; deci
G:=gg06= 0. E sucient s a ar at am c a G(s1;:::;sn)6= 0. FieG=Pk
i=1Mi
scrierea canonic a a lui Gca sum a de monoame. Atunci G(s1;:::;sn) =Pk
i=1Mi(s1;:::;sn)6= 0, deoarece polinoamele Mi(s1;:::;sn) au termenii prin-
cipali monoame neasemenea dou a c^ ate dou a. ^Intr-adev ar, e
M=aYi1
1Yi2
2


Yin
n; N=bYj1
1Yj2
2


Yjn
n
dou a monoame nenule neasemenea astfel^ nc^ at M(s1;:::;sn)  siN(s1;:::;sn) au
termenii principali monoame asemenea. Cum M(s1;:::;sn) =asi1
1si2
2


sinn
are termenul principal
aXi1
1(X1X2)i2


(X1


Xn)in=aXi1+


+in
1Xi2+


+in
2


Xin+in1
n1Xin
n
iarN(s1;:::;sn) are termenul principal
bXj1+


+jn
1Xj2+


+jn
2


Xjn+jn1
n1Xjn
n
rezult a c a in=in,in1=jn1,…,i1=j1, deci monoamele M,Nsunt
asemenea, contradict ie.
Teorema 119 Componentele omogene ale unui polinom simetric sunt poli-
noame simetrice.
Demonstrat ie. Fief2A[X1;:::;Xn] un polinom simetric  si e f0;:::;fk
componentele sale omogene. Dac a 2Sn si not amfj(X(1);:::;X(n)) cuf
j,
obt inemf=f
0+f
1+


+f
n. Cumf
jeste polinom omogen de grad j si
f=f, deducem c a f
j=fjpentru orice j si orice permutare . Deci ecare
component a omogen a fjeste polinom simetric. 

106 CAPITOLUL 6. POLINOAME SIMETRICE
Rezult a c a algoritmul 118 poate  "rulat" separat pentru ecare compo-
nent a omogen a a unui polinom simetric. Presupunem c a ^ n algoritmul 118,
feste simetric  si omogen de grad k. Se observ a c a, ^ n timpul desf a sur arii
algoritmului, heste omogen de grad ksau nul. Mai mult, termenul princi-
pal al luiheste mai mic dec^ at termenul principal al lui f. Decifeste o
sum a de "monoame" de tipul asi1i2
1si2i3
2


sin1in
n1sinncui1+


+in=k,
i1i2


in siXi1
1


XinnT(f). Coecient ii apot  determinat i
d^ and valori particulare nedeterminatelor X1;:::;Xn.
De exemplu, e f= (X1+X2)(X1+X3)(X2+X3).feste simetric  si
omogen de grad 3  si T(f) =X2
1X2. Tripletele ( i1;i2;i3) ce veric a condit iile
precedente sunt (2 ;1;0)  si (1;1;1). Decif=s21
1s10
2s0
3+as11
1s11
2s1
3=
s1s2+as3. F ac^ andX1=X2=X3= 1, g asim 9 + a= 8, adic aa=1. Deci
f=s1s2s3.
Lema 120 Fief2A[X1;:::;Xn]un polinom omogen  si simetric de grad k
cu1k<n . Atuncif(X1;:::;Xk;0;:::;0)6= 0.
Demonstrat ie. FieM=aXi1
1Xi2
2


Xinntermenul principal al lui f.
Atuncii1i2


in, cf. teoremei 115. Cum i1+


+in=k si
k < n , rezult aik+1=


=in= 0. Deci Mr am^ ane nenul dup a anularea
nedeterminatelor Xk+1,…,Xn, adic af(X1;:::;Xk;0;:::;0)6= 0.
Teorema 121 (Formulele lui Newton). Fie polinoamele
pk=Xk
1+Xk
2+


+Xk
n; k1
 si es1,…,sn2A[X1;:::;Xn]polinoamele simetrice fundamentale. Atunci
pks1pk1+s2pk2


+ (1)nsnpkn= 0 pentrukn (6.1)
 si
pks1pk1+


+(1)k1sk1p1+(1)kksk= 0 pentru 1kn1:(6.2)
Demonstrat ie. Fiekn si eg2A[X1;:::;Xn;Y],g= (YX1)(Y
X2)


(YXn). Din relat iile lui Viete
g=Yns1Yn1+s2Yn2


+ (1)nsn:

6.3. EXERCIT  II 107
Cum ecare Xieste r ad acin a a lui g, deducem c a
Xn
is1Xn1
i+s2Xn2
i


+ (1)nsn= 0:
Prin ^ nmult ire cu Xnk
irezult a
Xk
i+s1Xk1
i+s2Xk2
i+


+ (1)nsnXnk
i= 0:
Adun^ and aceste relat ii pentru ide la 1 lanobt inem formula (6.1). Pentru
k=nobt inem ^ n A[X1;:::;Xk]
pks1pk1+s2pk2


+ (1)kksk= 0: (6.3)
Fie acum 1kn1  si presupunem c a polinomul
h=pks1pk1+


+ (1)k1sk1p1+ (1)kksk
este nenul. Atunci heste simetric  si omogen de grad k. Din formula (6.3)
rezult a c ah(X1;:::;Xk;0;:::;0) = 0, contradict ie, cf. lemei 120. 
Din formulele lui Newton rezult a p2=s2
12s2,p3=s3
13s1s2+ 3s3,
p4=s4
14s2
1s2+ 2s2
2+ 4s1s34s4.
6.3 Exercit ii
164:Fien1  sitk="k
1+


"k
n, unde"1,…,"nsunt r ad acinile complexe de
ordinulnale unit at ii. Ar atat i c a tk= 0 dac annu dividek sitk=ndac an
dividek.
165:Calculat i suma cuburilor r ad acinilor ecuat iei x4+x3+ 2×2+x+ 1 = 0.
166:Calculat i sumele pk=xk
1+


+xk
n, 1kn, undex1,…,xnsunt
r ad acinile ecuat iei xn+xn1=1! +xn2=2! +


+x=(n1)! + 1=n! = 0.
167:Aranjat i ^ n ordine lexicograc a monoamele de grad 6, Xi1
1Xi2
2Xi3
3cu
i1i2i3.
168:Spunem c a dou a mult imi ordonate A siBsunt izomorfe dac a exist a
o biject ie cresc atoare f:A!Bcu inversaf1cresc atoare. Este mult imea
monoamelor unitare ^ n nedeterminatele X;Y ordonat a lexicograc izomorf a
cu (N;) ?

108 CAPITOLUL 6. POLINOAME SIMETRICE
169:"Rulat i" algoritmul din teorema fundamental a a polinoamelor simet-
rice pentru f=X3+Y3+Z3.
170:Exprimat i polinomul f= (X1X2)2(X2X3)2(X1X3)2^ n funct ie
de polinoamele simetrice fundamentale folosind metoda coecient ilor nede-
terminat i.
171:Exprimat i polinoamele f1=PX2
1X2X3,f2=PX2
1X2
2,f3=PX3
1X2
 sif4=PX3
1X2
2^ n funct ie de polinoamele simetrice fundamentale.
172:Fiex1,x2,x3r ad acinile ecuat iei x3+px+q= 0. Calculat i discrimi-
nantul ecuat iei D= (x1x2)2(x2x3)2(x1x3)2.
173:Fiex1,x2,x3r ad acinile ecuat iei x3+px+q= 0  si e"= (1+ip
3)=2.
G asit i ecuat ia de gradul doi cu r ad acinile y1= (x1+"x2+"2×3)3 siy2=
(x1+"2×2+"x3)3. Rezolvat i ecuat ia x3+px+q= 0. Aplicat ie: x3+6x+2 = 0.
174:FieAR[X;Y ] subinelul polinoamelor simetrice. Ar atat i c a inelul
factorA=(X2+Y2) este izomorf cu R[X].

Capitolul 7
Determinant i
^In acest capitol se dene ste determinantul unei matrice p atratice cu elemente
dintr-un inel comutativ  si se trec ^ n revist a propriet at ile determinant ilor.
Se demonstreaz a rezultate importante precum regula lui Laplace, regula lui
Cramer sau formula Binet-Cauchy.
7.1 Propriet at ile determinant ilor
FieRun inel comutativ, n1  si eA= (aij)1i;jn2Mn(R) o matrice
p atratic a de ordinul ncu elemente din R. Prin denit ie, determinantul ma-
triceiAeste elementul lui R
jAj:=X
2Snsgn()a1(1)a2(2)


an(n): (7.1)
Expresia anterioar a se mai nume ste dezvoltarea luijAj. Pentrun= 1,
jAj=a11, iar pentru n= 2,jAj=a11a22a12a21. Cazuln= 3. Permut arile
de grad 3 sunt I, (123), (132) (permut ari pare)  si (12), (13), (23) (permut ari
impare), deci
jAj=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a12a21a33a13a22a31a11a23a32:
FieB= (bij)1i;jn2Mn(R) o matrice superior triunghiular a, adic a
bij= 0 pentru j < i . Atuncib1(1)b2(2)


bn(n)6= 0 implic a (i)i,
i= 1;:::;n , deci=I. DecijBj=b11b22


bnn. Un rezultat similar are loc
pentru matricele inferior triunghiulare, ^ n particular pentru cele diagonale.
Pentru simplicarea limbajului, prin linia (coloana) ia determinantului
jAj, vom ^ nt elege linia (coloana) ia matriceiA.
109

110 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
Teorema 122 (Propriet at i ale determinant ilor).
(a)O matrice are acela si determinant cu transpusa sa.
(b)Un determinant cu o linie nul a este nul.
(c)Dac a ^ nmult im o linie a unui determinant cu un element 2R,
determinantul se ^ nmult e ste cu .
(d)Dac a o linie a unui determinant jAjare forma (b1+c1;:::;bn+cn),
atuncijAj=jBj+jCj, undejBjresp.jCjsunt determinant ii obt inut i din
jAj^ nlocuind linia respectiv a cu (b1;:::;bn)resp. (c1;:::;cn).
(e)Un determinant cu dou a linii proport ionale (e.g., egale) este nul.
(f)Dac a ^ ntr-un determinant permut am dou a linii, atunci determinantul
^  si schimb a semnul.
(g)Un determinant nu se schimb a dac a la o linie adun am o alt a linie
^ nmult it a cu un element 2R.
(h)Propriet at ile (b)(f)au loc  si pentru coloane.
Demonstrat ie. FieA= (aij)1i;jn2Mn(R).
(a):InelulRind comutativ, putem ordona produsele a1(1)a2(2)


an(n)
dup a indicele de coloan a: a1(1)1a1(2)2


a1(n)n. T  in^ and seama c a o per-
mutare are aceea si signatur a cu inversa sa, avem
jAj=X
2Snsgn(1)a1(1)1a1(2)2


a1(n)n=
=X
2Snsgn()a(1)1a(2)2


a(n)n=jtAj:
(b)  si (c) rezut a din faptul c a ecare termen din (7.1) cont ine exact un
factor din linia i si anumeai(i).
(d):jAj=X
2Snsgn()a1(1)


ai1(i1)(b(i)+c(i))ai+1(i+1)


an(n)=
=X
2Snsgn()a1(1)


ai1(i1)b(i)ai+1(i+1)


an(n)+
+X
2Snsgn()a1(1)


ai1(i1)c(i)ai+1(i+1)


an(n)=jBj+jCj:
(e). Cf. lui (c), e sucient s a trat am cazul a dou a linii egale,  si e acestea,
pentru simplitate, primele dou a. Cum Sn=An[An(12) este o partit ie a lui
Sn, avem

7.1. PROPRIET AT  ILE DETERMINANT  ILOR 111
jAj=X
2Ana1(1)a2(2)


an(n)X
2Ana1(2)a2(1)


an(n)= 0
deoarece primele dou a linii sunt egale.
(f). Pentru simplitate, consider am cazul c^ and se permut a primele dou a
linii ale matricei A si eDmatricea astfel obt inut a. Remarc am c a funct ia
7!(12) :Sn!Sneste bijectiv a. Deci putem ^ nlocui ^ n formula (7.1), 
cu(12)  si obt inem
jAj=X
2Snsgn()a1(2)a2(1)


an(n)=jDj:
(g). FieBmatricea obt inut a din Aprin adunarea la linia ia elementelor
linieij^ nmult ite cu un element 2R. Aplic^ and proprietatea ( d) pentru
liniaia matriceiBobt inemjBj=jAj+
, unde
este un determinant cu
dou a linii proport ionale, deci
= 0, cf. ( e).
(h) rezult a din ( a).
Corolarul 123 Dac a una din liniile (resp. coloanele) unui determinant este
combinat ie liniar a de celelalte linii (resp. coloane), atunci determinantul este
nul. ^In particular, dac a Reste corp  sijAj6= 0, atunci liniile lui A(resp.
coloanele lui A) constituie o baz a a R-spat iului vectorial Rn.
Demonstrat ie. Prima armat ie rezult a din pct. ( b), (d)  si (h) ale teore-
mei. A doua rezult a din faptul c a nvectori din Rnformeaz a o R-baz a a lui
Rndac a  si numai dac a nici unul din ei nu este combinat ie liniar a de ceilalt i. 
Teorema 124 FieA= (aij)1i;jno matrice p atratic a de ordinul ncu ele-
mente din inelul comutativ R si':R!Sun morsm de inele. Aplic^ and
'ec arui element al lui Aobt inem matricea B= ('(aij))1i;jn. Atunci
'(jAj) =jBj.
Demonstrat ie.
'(jAj) ='(X
2Snsgn()a1(1)a2(2)


an(n)) =
=X
2Snsgn()'(a1(1))'(a2(2))


'(an(n)) =jBj:

112 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
Teorema 125 (Determinantul Vandermonde.) FieRun inel comutativ  si
a1;:::;an2R. Atunci
1 1


1
a1a2


an
a2
1a2
2


a2
n
: :


:
an1
1an1
2


an1
n=Y
1j<in(aiaj):
Demonstrat ie. Fiefdeterminantul din enunt  (determinantul Vander-
monde). E sucient s a d am demonstrat ia ^ n cazul inelului de polinoame
T=Z[X1;X2;:::;Xn] pentruai=Xi,i= 1;:::;n . Aceasta rezult a din teo-
rema anterioar a aplicat a morsmului de inele P(X1;:::;Xn)7!P(a1;:::;an) :
T!R. Privit ca polinom ^ n nedeterminata Xn,fare r ad acinile X1,…,Xn1,
deoarece un determinant cu dou a coloane egale este nul. Conform teoremei
81, putem scrie f= (XnX1)


(XnXn1)f1cuf12T. Cu acela si
rat ionament, vedem c a f1, privit ca polinom ^ n nedeterminata Xn1, are
r ad acinileX1,…,Xn2. Putem scrie f= (XnX1)


(XnXn1)(Xn1
X1)


(Xn1Xn2)f2cuf22T. Continu^ and astfel obt inem
f=bY
1j<in(XiXj):
Cum at^ atfc^ at  sih=Q
1j<in(XiXj) sunt polinoame omogene de grad
1 + 2 +


+n1 =n(n1)=2 =C2
n, rezult a c a b2Z. Deoarece monomul
X2X2
3


Xn1
napare ^ nf sihcu coecientul 1, rezult a c a b= 1.

7.2. DEZVOLT ARI ALE DETERMINANT  ILOR. 113
7.2 Dezvolt ari ale determinant ilor.
FieRun inel comutativ, n1  si eA= (aij)1i;jn2Mn(R) o matrice
p atratic a de ordinul ncu elemente din R. Fie 1mn. Un minor
de ordinul m(pe scurt,m-minor) al matricei A(al luijAj) este un sub-
determinant al lui jAja
at la intersect ia a mlinii  simcoloane ale luijAj.
Mai concret, m-minorul denit de liniile 1 k1< k 2<


< kmn si
coloanele 1l1<l2<


<lmneste
M=ak1l1


ak1lm
:


:
akml1


akmlm:
Prin denit ie, minorul complementar al lui Meste (nm)-minorulM
al luiAobt inut dinjAjprin t aierea liniilor 1 k1< k 2<


< kmn
 si coloanelor 1l1< l 2<


< lmn(convenim ca determinantul
vid s a ^ nsemne 1). Se vede c a Meste atunci minorul complementar al lui
M.Complementul algebric M0al luiMeste prin denit ie ( 1)sM, unde
s=k1+


+km+l1+


+lm. Fie (1)tMcomplementul algebric al lui
M. Cums+t=n(n+ 1) = num ar par, rezult a c a Mare complementul
algebric (1)sM. Complementul algebric al unui 1-minor jaijjse mai nume ste
complementul algebric al elementului aij.Acesta este Aij:= (1)i+jD, unde
Deste minorul obt inut din jAjprin t aierea liniei i si coloaneij.
Teorema 126 (Regula lui Laplace de dezvoltare a unui determinant).
^In matricea p atratic a A= (aij)1i;jncu elemente din inelul comutativ R,
x am liniile 1k1< k 2<


< kmn. Fie mult imeam-minorilor lui
Acu elemente din liniile xate k1,k2,…,km. Atunci
jAj=X
M2MM0
altfel zis,jAjeste egal cu suma tuturor produselor dintre M si complementul
s au algebric, c^ and Mparcurge mult imea m-minorilor lui Acu elemente din
liniile xate. Un rezultat similar are loc pentru coloanele lui A.
De exemplu, dezvolt^ and determinantul urm ator dup a primele dou a linii
obt inem
1 0 1 0
0 1 0 2
1 2 3 4
5 6 7 8= (1)61 0
0 13 4
7 8+ (1)81 0
0 22 3
6 7+

114 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
+(1)80 1
1 01 4
5 8+ (1)101 0
0 21 2
5 6=48 + 128 =8:
Vom demonstra teorema ulterior. ^In cazulm= 1 obt inem exprimarea
jAj=ak1Ak1+ak2Ak2+


+aknAkn
numit a dezvoltarea determinantului dup a linia k, undeAijeste complementul
algebric al elementului aij. Analog, obt inem exprimarea
jAj=a1kA1k+a2kA2k+


+ankAnk
numit a dezvoltarea determinantului dup a coloana k.
Matricea adjunct a a lui A, notat aA, este transpusa matricei obt inute
dinAprin ^ nlocuirea ec arui element aijcu complementul s au algebric
Aij. De exemplu, adjuncta lui
a b
c d!
este
db
c a!
;iar adjuncta
lui0
B@a b c
d e f
g h i1
CAeste0
B@eifh(bich)bfce
(difg)aicg(afcd)
dheg(ahbg)aebd1
CA:
Teorema 127 FieA= (aij)1i;jno matrice p atratic a cu elemente din in-
elul comutativ R si e 1k;lnxate. Atunci
ak1Al1+ak2Al2+


+aknAln=kljAj
 si
a1kA1l+a2kA2l+


+ankAnl=kljAj
undeAijeste complementul algebric al elementului aijiarkleste simbolul
lui Kronecker. ^In particular
AA=AA=jAjIn:
Demonstrat ie. Prob am prima relat ie. Cazul k=la fost explicitat mai
sus, deci putem presupunem k6=l.d=ak1Al1+ak2Al2+


+aknAln
reprezint a dezvoltarea dup a linia la determinantului obt inut din jAjprin
^ nlocuirea liniei lcu liniak, decid= 0 (determinant cu dou a linii egale). A
doua armat ie rezult a analog. Ultima armat ie rezult a din primele dou a  si
din denit ia matricei adjuncte. 

7.2. DEZVOLT ARI ALE DETERMINANT  ILOR. 115
Pentru demonstrat ia teoremei 126 avem nevoie de urm atoarea lem a. Fie
Munm-minor al lui A siM0complementul s au algebric. Fie M=M1+


+
Mm! siM0=N1+


+N(nm)!dezvolt arile celor doi minori (vezi egalitatea
7.1). DeciMM0=Pm!
i=1P(nm)!
j=1MiNj.
Lema 128 ^In contextul anterior, ecare produs MiNjeste un termen din
dezvoltarea luijAj.
Demonstrat ie. Pentru^ nceput, presupunem c a Mestem-minorul \st^ anga-
sus", adic a cel denit de primele mlinii  simcoloane ale lui A. AtunciM0este
chiar minorul complementar al lui M, deoarece 1 +


+m+ 1


+m= 2m
este num ar par. Fie ( 1)a1t1a2t2


amtmresp. (1)am+1tm+1am+2tm+2



amtnun termen din dezvoltarea lui Mresp.M0underesp.este num arul
de inversiuni ale permut arii
1


m
t1


tm!
resp.
m+ 1


n
tm+1


tn!
. E
sucient s a observ am c a permutarea
1


m m + 1


n
t1


tmtm+1


tn!
are
+inversiuni, deoarece t1;:::;tm2f1;:::;mg sitm+1;:::;tn2fm+1;:::;ng.
Presupunem acum c a Mestem-minorul denit de denit de liniile 1 
k1< k 2<


< kmn si coloanele 1l1< l 2<


< lmn. Prin
k11 permut ari de linii vecine, aducem elementele liniei k1pe prima linie,
apoi aducem, prin k22 permut ari de linii vecine, elementele liniei k2pe
a doua linie,  s.a.m.d. Continu am pe coloane. Proced^ and astfel aducem mi-
norulM^ n pozit ia st^ anga-sus Sprink1+


+km(1 +


+m) permut ari
de linii vecine  si l1+


+lm(1 +


+m) permut ari de coloane vecine.
F ac^ and astfel, ordinea liniilor  si coloanelor din M siM0se p astreaz a iarjAj
se ^ nmult e ste cu ( 1)wcuw=k1+


+km+l1+


+lm. Ne-am redus
astfel la cazul analizat anterior deoarece M0= (1)wM, undeMeste mi-
norul complementar al lui M.
Demonstrat ia teoremei 126. FieM;N doim-minori distinct i cu elemente
din liniilek1;:::;km. Atunci dezvolt arile lui MM0 siNN0nu au termeni
comuni, deoarece M,Nau cel put in o coloan a diferit a. Deci, cf. lemei, ^ n
suma din teorem a se g asesc Cm
nm!(nm)! =n! termeni din dezvoltarea lui
jAj, adic a tot i.

116 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
7.3 Aplicat ii
Teorema 129 FieA,Bdou a matrice p atratice de ordinul ncu elemente
din inelul comutativ R. AtuncijABj=jAjjBj.
Demonstrat ie. FieCmatricea p atratice de ordinul 2 n,C=
A 0
InB!
.
Dezvolt^ and cu regula lui Laplace pe primele nlinii, g asimjCj=jAjjBj. Pe
de alt a parte, calcul am jCj^ n modul urm ator. Prin amplic ari convenabile
ale primelor ncoloane  si adunarea lor la urm atoarele ncoloane, facem 0 ^ n
locul luiB. Fie 1kn. Pentru a anula coloana ka luiBadun am
la coloana n+ka luiCcoloanele 1,…, n^ nmult ite respectiv cu b1k,…,bnk.
^In urma acestei operat ii, primele nelemente de pe coloana ka luiCvor
(ai1b1k+


+ainbnk)1in. Se obt inejCj=A AB
In0. Dezvolt^ and din nou
cu regula lui Laplace pe primele nlinii, g asimjCj= (1)wjInjjABj, unde
w= 1+


+n+(n+1)+


+2n=n(2n+1). DecijCj= (1)2n2+2njABj=
jABj.
Reamintim c a o matrice A2Mn(R),Rinel comutativ, se nume ste ma-
trice inversabil a dac a exist a o matrice B2Mn(R) astfel ^ nc^ at AB=BA=
In.
Teorema 130 FieAo matrice p atratic a de ordinul ncu elemente din inelul
comutativR. AtunciAeste inversabil a dac a  si numai dac a jAjeste un
element inversabil ^ n R.^In acest caz, inversa lui AestejAj1A, undeA
este adjuncta lui A.
Demonstrat ie. Dac aAB=In, atunci 1 =jInj=jABj=jAjjBj, deci
jAj2U(R), cf. teoremei 129. Reciproc, s a presupunem c a jAj2U(R).
AtunciA(jAj1A) = (jAj1A)A=In, cf. teoremei 127. 
^In particular, dac a Reste corp,Aeste inversabil a dac a  si numai dac a
jAj6= 0:
Teorema 131 FieA,Bmatrice de tip (m;n)respectiv (n;m)cu elemente
din inelul comutativ R. Dac aAB=Im siBA=In, atuncim=n.

7.3. APLICAT  II 117
Demonstrat ie. Presupunem c a m > n . Condider am matricele p atratice
de ordinul m,C=
A0m(mn)
 siD=
B
0(mn)m!
. Se observ a c a
CD=Im, deci 0 =jCjjDj=jCDj= 1, contradict ie. 
Teorema 132 (Regula lui Cramer.) FieA= (aij)1i;jno matrice p atratic a
de ordinulncu elemente din inelul comutativ R sib1;:::;bn2R. Dac ajAj
este un element inversabil ^ n R, atunci sistemul de ecuat ii liniare
nX
j=1aijxj=bi; i = 1;:::;n
este compatibil determinat cu solut ia unic a (
1jAj1,…,
njAj1), unde
j
este determinantul obt inut din jAjprin ^ nlocuirea coloanei jcu vectorul ter-
menilor liberi0
BB@b1
…
bn1
CCA.
Demonstrat ie. Scris matriceal, sistemul este Ax=bundex=0
BB@x1
…
xn1
CCA
 sib=0
BB@b1
…
bn1
CCA. Deci el are solut ia unic a s=A1b=0
BB@s1
…
sn1
CCA. Fiec1,…,cn
coloanele lui A. Rezult a c a b=s1c1+


+sncn. Not^ and cujb c2


cnj
determinantul cu coloanele b,c2, …,cn, avem

1=jb c2


cnj=jbs2c2


sncnc2


cnj=s1jAj:
Decis1=
1jAj1 si la fel se arat a c a sj=
jjAj1,j= 2;:::;n .
Alt a demonstrat ie. Fie Aijcomplementul algebric al lui aij^ n matricea A.
^Inmult ind cu AegalitateaAx=bse obt inejAjx=Ab. Pentruk= 1;:::;n ,
deducem c ajAjxk=A1kb1+A2kb2+


+Ankbkcare este dezvoltarea dup a
coloanaka determinantului matricei obt inute din Aprin ^ nlocuirea coloanei
kcu vectorul b; decixk=
kjAj1.

118 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
Un sistem de ecuat ii liniare c aruia i se poate aplica regula lui Cramer se
nume ste sistem Cramer . De exemplu, sistemul de ecuat ii liniare
8
><
>:x+y+z= 1
ax +by+cz=d
ax2+b2y+c2z=d2
undea;b;c;d sunt numere reale, a;b;c distincte, este sistem Cramer  si are
solut ia
(cd)(cb)(bd)=;(ca)(cd)(da)=;(da)(db)(ba)=
unde= (ca)(cb)(ba), cf. teoremei 125.
Vom folosi urm atoarea notat ie. Fie Ao matrice de tip ( n;p),mn;p si
I f1;:::;ng,J f1;:::;pgmult imi cu melemente. Not am cu AJ
Im-
minorul lui Acu format cu liniile cu indici din I si coloanele cu indici din
J.
Teorema 133 (Formula Binet-Cauchy). FieA siBmatrice de tip (n;p) si
respectiv (p;q),  si emn;p;q . FieIf1;:::;ng siKf1;:::;qgdou a
submult imi cu melemente. Atunci
(AB)K
I=X
JAJ
IBK
J
suma f ac^ andu-se dup a toate submult imile Jf1;:::;pgcumelemente.
Demonstrat ie. FieC=AB,I=fi1;i2;:::;img siK=fk1;k2;:::;kmg
cui1< i 2<


< im sik1< k 2<


< km. PunemA= (aij),B=
(bjk)  siC= (cik). Fies1;:::;smo permutare a numerelor k1;:::;km, adic a
fs1;:::;smg=fk1;:::;kmg. Atunci signatura permut arii
k1k2::: km
s1s2::: sm!
este (1)Inv(s1;:::;sm)undeInv(s1;:::;sm) este num arul perechilor ( u;v), 1
u<vm, cusu>sv. Avem
CK
I=Ck1;:::;km
i1;:::;im=X
fs1;:::;smg=fk1;:::;kmg(1)Inv(s1;:::;sm)ci1s1


cimsm=
=X
fs1;:::;smg=fk1;:::;kmg(1)Inv(s1;:::;sm)(pX
t1=1ai1t1bt1s1)


(pX
tm=1aimtmbtmsm) =

7.4. EXERCIT  II 119
=pX
t1=1


pX
tm=1ai1t1


aimtmX
fs1;:::;smg=fk1;:::;kmg(1)Inv(s1;:::;sm)bt1s1


btmsm=
=pX
t1=1


pX
tm=1ai1t1


aimtmBk1;:::;km
t1;:::;tm
undeBk1;:::;km
t1;:::;tmdesemneaz a m-minorul lui Bcu liniilet1;:::;tm si coloanele
k1;:::;km^ n aceast a ordine. Acest minor este nul dac a numerele t1;:::;tmnu
sunt distincte. Deci putem scrie
CK
I=X
1j1<


<jmpX
ft1;:::;tmg=fj1;:::;jmgai1t1


aimtm(1)Inv(t1;:::;tm)Bk1;:::;km
j1;:::;jm=
=X
1j1<


<jmpBk1;:::;km
j1;:::;jmX
ft1;:::;tmg=fj1;:::;jmg(1)Inv(t1;:::;tm)ai1t1


aimtm=
=X
1j1<


<jmpBk1;:::;km
j1;:::;jmAj1;:::;jm
i1;:::;im=X
JAJ
IBK
J:
Cazulm= 1 al formulei Binet-Cauchy este chiar regula de ^ nmult ire a
dou a matrice, iar ^ n cazul m=n=p=qse obt inejABj=jAjjBj, deci o
nou a demonstrat ie a teoremei 129.
7.4 Exercit ii
175:Calculat i determinant ii
0 1 1
1 0 1
1 1 0;a b c
b c a
c a b;1 1 1
a b c
a2b2c2;1 1 1
a b c
a3b3c3;1 1 1
a2b2c2
a3b3c3:
176:Fiex1,x2,x3r ad acinile ecuat iei x3+px+q= 0. Calculat i discrimi-
nantul ecuat iei, adic a1 1 1
x1x2x3
x2
1×2
2×2
32
, ^ n funct ie de p siq.
177:Calculat i determinant ii
a b b b
b a b b
b b a b
b b b a;0x y z
x0z y
y z 0x
z y x 0;a b c d
b a d c
c d a b
d c b a:

120 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I
178:Calculat i determinantul1 1


1
a1a2


an
a2
1a2
2


a2
n
: :


:
ai1
1ai1
2


ai1
n
ai+1
1ai+1
2


ai+1
n
: :


:
an
1an
2


an
n:
179:Calculat i determinantul
=a1x x


x
x a 2x


x
x x a 3


x
: : :


:
x x x


an:
180:Calculat i determinantul urm ator prin dezvoltare Laplace pe liniile 1  si
2 5 3 0 0 0
2 5 3 0 0
0 2 5 3 0
0 0 2 5 3
0 0 0 2 5:
181:Calculat i determinantul Dn=5 3 0 0


0 0
2 5 3 0


0 0
0 2 5 3


0 0
: : : :


: :
0 0 0 0


2 5:
182:Fie polinomul f=a1+a2X+


+anXn1 si matricele
A=0
BBBBBB@a1a2a3


an1an
ana1a2


an2an1
an1ana1


an3an2
: : :


: :
a2a3a4


ana11
CCCCCCA siB=0
BBBBBB@1 1


1
"1"2


"n
"2
1"2
2


"2
n
: :


:
"n1
1"n1
2


"n1
n1
CCCCCCA
unde"1,…,"nsunt r ad acinile de ordinul nale unit at ii. Ar atat i c a jABj=
f("1)


f("n)jBj si calculat ijAj.

7.4. EXERCIT  II 121
183:Ar atat i c a grupurile abeliene Z2 siZ3nu sunt izomorfe.
184:G asit i un inel necomutativ R si dou a matrice Aresp.Bmatrice de tip
(1;2) resp. (2;1) cu elemente din Rastfel ^ nc^ at AB=I1 siBA=I2.
185:Num arat i matricele inversabile de ordin 3 cu elemente din Z2. Gener-
alizare.
186:Num arat i matricele inversabile de ordin 3 cu elemente din Z4.
187:Calculat i inversele matricelor

a b
c d!
,
cossin
sincos!
,
sincos
cossin!
,0
B@1 0a
0 1b
0 0 11
CA.
188:Calculat i inversa matricei U=0
BBBBBB@0 1 1


1 1
1 0 1


1 1
1 1 0


1 1
: : :


: :
1 1 1


1 01
CCCCCCA:
189:Calculat i inversa matricei B=0
BBBBBB@1 1


1
"1"2


"n
"2
1"2
2


"2
n
: :


:
"n1
1"n1
2


"n1
n1
CCCCCCA, unde"1,…,"n
sunt r ad acinile de ordinul nale unit at ii.

122 CAPITOLUL 7. DETERMINANT  I

Capitolul 8
Spat ii vectoriale  si sisteme
liniare
^In acest capitol se introduc not iunile de baz a referitoare la spat ii vectoriale.
Apoi, se prezint a metoda elimin arii a lui Gauss de rezolvare a sistemelor de
ecuat ii liniare  si se studiaz a not iunea de rang al unei matrice.
^In acest capitol, prin corp vom ^ nt elege corp comutativ.
8.1 Spat ii vectoriale
FieKun corp. Un spat iu vectorial peste corpul K(pe scurt, K-spat iu
vectorial ) este un grup abelian ( V;+) ^ mpreun a cu o operat ie extern a K
V!V, (a;x)7!ax, numit a ^ nmult ire cu scalari , care veric a urm atoarele
condit ii pentru orice a;b2K six;y2V
(1)a(x+y) =ax+ay,
(2) (a+b)x=ax+bx,
(3) (ab)x=a(bx),
(4) 1x=x.
Elementele lui Kse numesc scalari iar cele din Vvectori . Prin notat ia KV
vom ^ nt elege c a Veste unK-spat iu vectorial. Vom nota cu 0 Kscalarul nul
 si cu 0Vvectorul nul (c^ and nu este pericol de confuzie, vom suprima indicii
K siV).
Teorema 134 FieKVun spat iu vectorial, a2K six2V. Atunci
123

124 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
(a)ax= 0Vdac a  si numai dac a a= 0Ksaux= 0V.
(b) (a)x=a(x) =ax.
Demonstrat ie. (a) Avem 0 Kx= (0K+ 0K)x= 0Kx+ 0Kx, deci, sc az^ and
din ambii membri 0 Kx, rezult a 0 Kx= 0V. La fel se arat a c a a0V= 0V.
Reciproc, dac a ax= 0V sia6= 0K, atunciaeste inversabil ^ n K si rezult a
x= 1x= (a1a)x=a1(ax) =a10V= 0V.
(b) rezult a din egalit at ile 0 V= (aa)x=ax+ (a)x si 0V=a(xx) =
ax+a(x).
Exemple. 1. Dac a n1, atunciKnare o structur a de K-spat iu vec-
torial obt inut a denind adunarea vectorilor prin ( a1;:::;an) + (b1;:::;bn) =
(a1+b1;:::;an+bn)  si ^ nmult irea cu scalari prin (a1;:::;an) = (a1;:::;an),
pentru;a 1;:::;an;b1;:::;bn2K.Knse nume ste spat iul vectorial standard
de dimensiune n.
2. Dac a KV1,…,KVnsunt spat ii vectoriale, atunci produsul cartezian
V1


Vnare o structur a de spat iu vectorial obt inut a denind adunarea
vectorilor prin ( v1;:::;vn) + (w1;:::;wn) = (v1+w1;:::;vn+wn)  si ^ nmult irea
cu scalari prin (v1;:::;vn) = (v1;:::;vn), pentru2K sivi;wi2Vi,
i= 1;:::n.V1


Vnse nume ste produsul direct al spat iilor vectoriale
V1,…,Vn.
3. Dac aKeste subcorp al inelului L, atunci grupul aditiv al lui Lare
o structur a de K-spat iu vectorial ^ n care ^ nmult irea cu scalari este chiar
^ nmult irea din L(dac aa2K six2L,axeste produsul dintre a six^ nL).
De exemplu, R,C siQ(p
2) sunt Q-spat ii vectoriale. De asemenea, Mn(K),
K[X]  siK(X) suntK-spat ii vectoriale.
4. Fiepun num ar prim  si ( G;+) un grup abelian. Se vede u sor c a Gare
o structur a de Zp-spat iu vectorial dac a  si numai dac a px= 0 pentru orice
x2G.^In acest caz, ^ nmult irea cu scalari se dene ste prin ^ ax=ax, pentru
a2Z six2G. Denit ia este corect a. ^Intr-adev ar, e a;b2Zcu ^a=^b.
Atunciab=pccuc2Z, deciaxbx= (ab)x=pcx= 0, adic aax=bx.
FieV,Wdou aK-spat ii vectoriale. O funct ie f:V!Wse nume ste
morsm de spat ii vectoriale sauaplicat ie liniar a dac af(ax+by) =af(x) +
bf(y) pentru orice a;b2K six;y2V.feste ^ n particular morsm de
grupuri abeliene, deci f(0) = 0,f(x) =f(x) pentru orice x2V sifeste
inject ie dac a  si numai dac a ker(f) =f0g, undeker(f) =fx2Vjf(x) = 0g

8.1. SPAT  II VECTORIALE 125
este nucleul lui f. Un morsm f:V!Vse nume ste endomorsm al luiV.
FieV,Wdou aK-spat ii vectoriale. Morsmul x7!0 :V!Weste
numit morsmul trivial) , iarIV:V!V; IV(x) =xeste numit morsmul
identic . Dac aa2K, atunci endomorsmul x7!ax:V!Veste numit
omotetia denit a de a.
Un morsm de spat ii vectoriale bijectiv se nume ste izomorsm iar dou a
spat ii vectoriale se zic izomorfe dac a exist a un izomorsm ^ ntre ele.
Teorema 135 (a)Compunerea a dou a morsme de spat ii vectoriale este un
morsm de spat ii vectoriale.
(b)Inversul unui izomorsm de spat ii vectoriale este tot un izomorsm.
Demonstrat ie. (a). Fief:V!V0 sig:V0!V00morsme de K-
spat ii vectoriale  si e x;y2V,a;b2K. Rezult a c a ( gf)(ax+by) =
g(af(x) +bf(y)) =a(gf)(x) +b(gf)(y). Decigfeste morsm. ( b). Fie
f:V!V0un izomorsm  si e x;y2V0,a;b2K. Not amx0=f1(x)  si
y0=f1(y). Atuncif1(ax+by) =f1(af(x0)+bf(y0)) =f1(f(ax0+by0)) =
ax0+by0=af1(x) +bf1(y).
Spunem c a o submult ime nevid a Wa unui spat iu vectorial KVeste
subspat iu al lui V( si not amWV) dac aax+by2Wpentru orice
a;b2K six;y2W. Dac aWV, atunciWesteK-spat iu vectorial
fat  a de operat iile de adunare a vectorilor  si ^ nmult ire cu scalari induse din V.
Pentru orice spat iu vectorial KV,f0g siVsunt subspat ii numite subspat iul
trivial respectiv subspat iul impropriu . Subspat iul nul f0gse mai noteaz a
simplu cu 0.
Fiea;b2Rcua2+b26= 0. Atunci dreapta f(x;y)jax+by= 0geste un
subspat iu al lui RR2.
Teorema 136 Fief:V!Wo aplicat ie liniar a.
(a). Dac aV0V, atuncif(V0)W.
(b). Dac aW0W, atuncif1(W0)V.
^In particular, nucleul  si imaginea lui fsunt subspat ii.
Demonstrat ie. (a). Fiex;y2V0 sia;b2K. Atunciax+by2V0, deci
af(x) +bf(y) =f(ax+by)2V0. (b). Fiex;y2f1(W0)  sia;b2K. Atunci
f(x);f(y)2W0, decif(ax+by) =af(x) +bf(y)2W0, de unde rezult a c a
ax+by2f1(W0).

126 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
Dac aKVun spat iu vectorial  si ( Vi)i2Io familie de subspat ii ale lui V,
atunci intersect ia subspat iilor Vieste de asemenea un subspat iu al lui V,
deoarece dac a a;b2K six;y2\i2IVi, atunciax+byeste ^ n ecare Vi, deci
ax+by2\i2IVi.
Dac aKVun spat iu vectorial  si V1, …,Vnsubspat ii ale lui V, atunci
V1+


+Vn=fx1+


+xnjxi2Vi;i= 1;:::;ng
este de asemenea un subspat iu al lui V, numit suma subspat iilor V1, …,Vn.
^Intr-adev ar, dac a xi;yi2Vi;i= 1;:::;n ,  sia;b2K, atuncia(x1+


+xn) +
b(y1+


+yn) = (ax1+by1) +


+ (axn+byn)2V1+


+Vn, deoarece
axi+byi2Vipentru orice i. Mai general, suma unei familii Fde subspat ii
se dene ste ca reuniunea sumelor tuturor subfamiliilor nite ale lui F.
^InRR3, suma subspat iilor
V1=f(x;y;0)jx;y2Rg; V2=f(0;x;y)jx;y2Rg
esteR3iar intersect ia lor este f(0;x;0)jx2Rg.
Spunem c a spat iu vectorial KVeste suma direct a a subspat iilor V1 si
V2,  si not am V=V1V2dac aV=V1+V2 siV1\V2= 0. De ex-
emplu, RR3este suma direct a a subspat iilor V1=f(x;y;0)jx;y2Rg si
V2=f(0;0;z)jz2Rg.
FieKVun spat iu vectorial  si v1;:::;vn2V. Not am cu < v 1;:::;vn>
mult imea tuturor combinat iilor liniare ale elementelor v1;:::;vn, adic a a su-
melora1v1+


+anvncua1;:::;an2K.<v 1;:::;vn>este un subspat iu al
luiVnumit subspat iul generat de v1;:::;vn.
^Intr-adev ar, dac a c;d;a 1;:::;an;b1;:::;bn2K, atuncic(a1v1+


+anvn)+
b(a1v1+


+anvn) = (ca1+db1)v1+


+ (can+dbn)vn.
E clar c a dac a Weste un subspat iu al lui Vcare cont ine elementele
v1;:::;vn, atunci< v 1;:::;vn>W. Deci< v 1;:::;vn>este intersect ia
tuturor subspat iilor lui Vcare cont in elementele v1;:::;vn.
^In general, subspat iul generat de o submult ime nu neap arat nit a Ga lui
Vse dene ste ca mult imea tuturor combinat iilor liniare ale submult imilor
nite ale lui G,< G > :=fa1v1+


+anvnja1;:::;an2K; v 1;:::;vn2
G; n0g:
Spunem c a un spat iu vectorial KVeste nit generat dac a exist a o mult ime
de vectoriv1;:::;vnastfel ^ nc^ at V=<v 1;:::;vn>

8.1. SPAT  II VECTORIALE 127
Spunem c a o mult ime de vectori v1;:::;vnai spat iului vectorial KVeste
liniar independent a (sau c a vectorii v1;:::;vnsunt liniar independent i), dac a
singura combinatie liniar a nul a a vectorilor v1;:::;vneste cea trivial a, adic a
dac aa1;:::;an2K sia1v1+


+anvn= 0 implic a a1=


=an= 0.
Mult imea vid a este liniar independent a.
^In general, spunem c a o submult ime nu neap arat nit a Ga luiVeste
liniar independent a dac a orice submult ime nit a alui Geste liniar indepen-
dent a. O submult ime Ta luiVse zice liniar dependent a dac a nu este liniar
independent a.
E clar c a o submult ime a unei mult imi liniar independente este liniar
independent a  si c a o mult ime liniar independent a nu cont ine vectorul nul
(deoarece 1
0V= 0V).
Teorema 137 FieKVun spat iu vectorial  si v1;:::;vn2V. Armat iile ur-
m atoare sunt echivalente.
(a)Vectoriiv1;:::;vnsunt liniar independent i.
(b)Nici unul dintre vectorii v1;:::;vnnu este o combinat ie liniar a a ce-
lorlalt i.
(c)v16= 0,v262<v 1>, …,vn62<v 1;:::;vn1>.
Demonstrat ie. Implicat ia ( b))(c) este clar a.
(c))(a). Presupunem c a vectorii v1;:::;vnsunt liniar dependent i.
Atunci exist a a1;:::;aj2K,aj6= 0, astfel ^ nc^ at a1v1+


+ajvj= 0.
Decivj=(a1=aj)v1


(aj1=aj)vj12<v 1;:::;vj1>.
(a))(b). Dac a vectorul vieste combinat ie liniar a a celorlalt i, s a zicem,
vi=a1v1+


+ai1vi1+ai+1vi+1


+anvn, atuncia1v1+


+ai1vi1
vi+ai+1vi+1


+anvn= 0, deci vectorii v1;:::;vnsunt liniar dependent i. 
Teorema 138 (Teorema schimbului.) FieKVun spat iu vectorial nit gen-
erat,w1;:::;wnun sistem de generatori al lui V siv1;:::;vm2Vvectori liniar
independent i. Atunci mn si dup a o renumerotare a vectorilor w1;:::;wn,
<v 1;:::;vm;wm+1;:::;wn>=V.
Demonstrat ie. Facem induct ie dup a m. Pentrum= 0 armat ia e clar a.
Fiem1. Din ipoteza de induct ie, putem renumerota vectorii w1;:::;wn
astfel ^ nc^ at < v 1;:::;vm1;wm;:::;wn>=V. Deci putem scrie pe vmca o

128 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
combinat ie liniar a vm=a1v1+


+am1vm1+amwm+


+anwncuai2K.
Cumv1;:::;vmsunt liniar independent i, rezult a c a nm si nu tot i scalarii
am, …,ansunt nuli; renumerot^ and vectorii wm, …,wn, putem presupune c a
am6= 0. Rezult a c a wm=(a1=am)v1


(am1=am)vm1+ (1=am)vm
(am+1=am)wm+1


(an=am)wn. DeciV=<v 1;:::;vm1;wm;:::;wn><
v1;:::;vm;wm+1;:::;wn>, adic a<v 1;:::;vm;wm+1;:::;wn>=V.
FieKVun spat iu vectorial. O baz a a luiVeste o submult ime a lui
Vcare este simultan liniar independent a  si sistem de generatori pentru V.
Vectoriie1= (1;:::;0),e2= (0;1;:::;0),…,en= (0;0;:::;0;1) formeaz a o
baz a a luiKnnumit a baza canonic a . Vericarea se face u sor folosind egal-
itatea (a1;:::;an) =a1e1+


+anen, pentrua1;:::;an2K. De asemenea,
f1;X;X2;:::geste oK-baz a a lui K[X].
Teorema 139 Dac ae1;e2;:::;eneste o baz a a spat iului vectorial V, atunci
orice element x2Vse scrie ^ n mod unic sub forma
x=x1e1+x2e2+:::+xnencuxi2K
(x1;x2;:::;xnse numesc coordonatele lui x^ n bazae1;e2;:::;en).
Demonstrat ie. Scrierea din enunt  exist a pentru c a e1;e2;:::;en^ l genereaz a
peV. Dac axse mai scrie  si sub forma x=y1e1+y2e2+:::+ynencuyi2K,
atunci, sc az^ and cele dou a exprim ari ale lui x, obt inem 0 = ( x1y1)e1+(x2
y2)e2+:::+ (xnyn)en, decix1=y1,x2=y2,…,xn=yn, deoarece vectorii
e1;e2;:::;ensunt liniar independent i. 
De exemplu, ^ n baza canonic a a lui Kn, coordonatele vectorului ( a1;a2;:::;
an) sunt chiar a1;a2;:::;an; coordonatele aceluiea si vector^ n baza (1 ;0;0;:::;0),
(1;1;0;:::;0), …, (1;1;1;:::;1) sunta1a2,a2a3, …,an1an,an.
Teorema 140 Orice spat iu vectorial KVnit generat admite o baz a nit a  si
orice dou a baze au acela si num ar de elemente. Cardinalul comun al tuturor
bazelor se nume ste dimensiunea lui V si se noteaz a cu dim(V).
Demonstrat ie. FieGun sistem nit de generatori al lui V siSGo
submult ime liniar independent a (eventual S=;). FieBo mult ime liniar
independent a maximal a cu proprietatea SBG. Atunci< B > =V,

8.1. SPAT  II VECTORIALE 129
deoarece dac a y2Gn< B > , atunciB[fygeste liniar independent a,
contradict ie. Deci Bbaz a.
Ar at am acum c a orice dou a baze au acela si num ar de elemente. Fie Bo
baz a cumelemente  si Co alt a baz a cu nelemente. Cum Beste mult ime
liniar independent a  si Csistem de generatori, din teorema schimbului rezult a
c amn. Invers^ and rolurile lui B siCrezult a c anm, decim=n.
Folosind baza canonic a e1= (1;:::;0),e2= (0;1;:::;0),…,en= (0;0;:::;0;
1) vedem c a spat iul vectorial standard Knare dimensiunea n. Din demon-
strat ia precedent a  si din teorema schimbului, rezult a
Corolarul 141 FieKVun spat iu vectorial n-dimensional. Atunci din orice
sistem de generatori se poate extrage o baz a  si orice mult ime liniar indepen-
dent a se poate extinde la o baz a. ^In particular, orice mult ime cu nelemente
care este liniar independent a sau sistem de generatori este baz a.
Teorema 140 este adev arat a  si pentru spat ii care nu sunt nit generate
(vezi [5, teorema V.4.3]). Din acest motiv vom numi spat iile nit generate
spat ii nit dimensionale , iar pe cele care nu sunt nit generate spat ii innit
dimensionale . De exemplu, KKnesten-dimensional, iar KK[X] este innit
dimensional.
Teorema 142 FieKVun spat iu vectorial nit generat  si Wun subspat iu al
luiV. AtunciWeste nit generat  si dim(W)dim(V).^In plus,W=V
dac a  si numai dac a dim(W) =dim(V).
Demonstrat ie. Fien=dim(V). Din teorema schimbului, orice submult ime
liniar independent a a lui Ware cel mult nelemente. Din teorema 137 rezult a
c aWeste nit generat  si dim(W)dim(V). Dac adim(W) =dim(V),
atunci orice baz a a lui Weste  si o baz a a lui V, cf. corolarului 141. 
Teorema 143 FieVunK-spat iu vectorial n-dimensional  si e E=fe1,…,
eng,F=ff1;:::;fngbaze ale lui V. Exprim am ecare vector fj^ n bazaE,
fj=nX
i=1aijei; j = 1;:::;n:

130 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
Atunci matricea A= (aij)1i;jn2Mn(K), numit a matricea de trecere de
la bazaEla bazaF, este matrice inversabil a cu inversa matricea de trecere
de laFlaE.^In plus, dac a vectorul x2Vare ^ n baza Ecoordonatele
x1;x2;:::;xn si ^ n bazaFcoordonatele y1;y2;:::;yn, atunci
0
BBBB@x1
x2
…
xn1
CCCCA=A0
BBBB@y1
y2
…
yn1
CCCCA:
Demonstrat ie. FieB= (bij)1i;jnmatricea de trecere de la FlaE.
Pentruk= 1;:::;n avem
ek=nX
j=1bjkfj=nX
j=1bjknX
i=1aijei=nX
i=1(nX
j=1aijbjk)ei:
Rezult a c aPn
j=1aijbjk=ikpentru 1i;kn. DeciBA=In.^In plus,
x=nX
j=1yjfj=nX
j=1yjnX
i=1aijei=nX
i=1(nX
j=1aijyj)ei:
Teorema 144 FieV siWdou a spat ii vectoriale. Presupunem c a e1;e2;:::;en
este o baz a a lui V sif1;f2;:::;fn2W. Atunci exist a  si este unic a o
aplicat ie liniar a :V!Wcu proprietatea (ei) =fi,i= 1;:::;n .^In
plus,f1;f2;:::;fneste baz a a lui Wdac a  si numai dac a este izomorsm.
Demonstrat ie. Fie:V!Wo aplicat ie liniar a cu proprietatea (ei) =
fi,i= 1;:::;n . Dac aa1;:::;an2K, atunci(Pn
i=1aiei) =Pn
i=1ai(ei) =Pn
i=1aifi, de unde rezult a unicitatea lui . Fie acum aplicat ia :V!W
dat a prin(Pn
i=1aiei) =Pn
i=1aifi. E u sor de v azut c a este aplicat ie liniar a
 si(ei) =fi,i= 1;:::;n .
E clar c a dac a este izomorsm, atunci f1;f2;:::;fneste baz a a lui W.
Reciproc, presupunem c a f1;f2;:::;fneste baz a a lui W. Conform primei
p art i, exist a  si este unic a o aplicat ie liniar a :W!Vcu proprietatea
(fi) =ei,i= 1;:::;n . Atuncieste un endomorsm al lui Vcu propri-
etatea(ei) =ei,i= 1;:::;n . Din prima parte rezult a c a =I.

8.1. SPAT  II VECTORIALE 131
Corolarul 145 Un spat iu vectorial n-dimensional este izomorf cu spat iul
standardKn.^In particular, dou a spat ii vectoriale nit dimensionale sunt
izomorfe dac a  si numai dac a au aceea si dimensiune.
Corolarul 146 FieKun corp nit de caracteristic a p. AtunciKarepn
elemente.
Demonstrat ie. Kse poate organiza ca spat iu vectorial peste corpul Zp
denind ^ nmult irea cu scalari prin bax=axpentrua2Z. Fiendimensiunea
luiKpeste Zp. AtunciK'Zn
p, deciKarepnelemente.
Fief:V!Wun morsm de K-spat ii vectoriale. Dimensiunea
dim(Im(f)) a imaginii lui fse nume ste rangul luif si se noteaz a rang (f).
De asemenea, dimensiunea dim(ker(f)) a nucleului lui fse nume ste defectul
luif si se noteaz a defect (f); deci morsmele injective sunt cele de defect
nul.
De exemplu, dac a Veste un spat iu vectorial n-dimensional, atunci mor-
smul trivial are rangul 0  si defectul n, iar morsmul identic are rangul n si
defectul 0.
Teorema 147 (Teorema rang-defect.) Fief:V!Wun morsm de K-
spat ii vectoriale nit dimensionale. Atunci dim(V) =rang (u) +defect (u).
Demonstrat ie. FieE=fe1;:::;ek;ek+1;::;engundee1;:::;ekeste o baz a a
luiker(u) iaru(ek+1);::;u(en) este o baz a a lui Im(u). DecidimK(ker(u)) =
k sidimK(Im(u)) =nk. E sucient s a ar at am c a Eeste o baz a a lui V.
FiePn
i=1aiei= 0 cuai2K. Cume1;:::;ek siu(ek+1);::;u(en) sunt mult imi
liniar independente, avemPn
i=k+1aiu(ei) = 0, deciak+1=


=an= 0, apoiPk
i=1aiei= 0, decia1=


=ak= 0.
Fiex2V. Putem scrie u(x) =Pn
i=k+1biu(ei) cubk+1;:::;bn2K. Deci
u(x)Pn
i=k+1aiei2ker(u), deci putem scrie xPn
i=k+1biei=Pk
i=1biei,
b1;:::;bk2K. Decix=Pn
i=1biei.
Teorema 148 FieV siWdou a spat ii vectoriale nit generat  si Wun sub-
spat iu al lui V. Atuncidim(VW) =dim(V) +dim(W).
Demonstrat ie. Fiefe1;:::;emgo baz a a lui V siff1;:::;fngo baz a a lui
W. Se arat a c a B=f(e1;0);:::;(em;0);(0;f1);:::;(0;fn)go baz a a lui VW.

132 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
^Intra-dev ar, e ( x;y)2VW. Exist aa1;:::;am;b1;:::;bn2Kastfel
^ nc^ atx=Pm
i=1aiei siy=Pn
j=1bjfj. Rezult a c a ( x;y) =Pm
i=1ai(ei;0) +Pn
j=1bj(0;fj). DeciBeste sistem de generatori. Fie a1;:::;am;b1;:::;bn2K
astfel ^ nc^ atPm
i=1ai(ei;0) +Pn
j=1bj(0;fj) = (0;0). Rezult a c a (Pm
i=1aiei;Pn
j=1bjfj) = (0;0). Decia1;:::;am;b1;:::;bnsunt tot i nuli.
O demonstrat ie mai scurt a se obt ine aplic^ and teorema rang-defect proiec-
t ieipV:VW!V,pV(x;y) =x, deoareceker(pV) = 0Weste izomorf
cuW.
Teorema precedent a se extinde u sor la cazul produselor directe nite:
dac aKV1,…,KVnsunt spat ii vectoriale, atunci dim(V1


Vn) =dim(V1)+



+dim(Vn):
Teorema 149 (Teorema lui Grassmann.) FieYun spat iu vectorial  si V,
Wsubspat ii nit dimensionale ale lui Y. Atuncidim(V+W) =dim(V) +
dim(W)dim(V\W).
Demonstrat ie. Morsmul surjectiv :VW!V+W,(x;y) =xy
are nucleul T=f(x;x)jx2V\Wg. Avem izomorsmul x7!(x;x) :
V\W!T, decidefect () =dim(V\W). Cune surjectiv, rang () =
dim(V+W). Din teorema 148, dim(VW) =dim(V)+dim(W). Se aplic a
teorema rang-defect. 
8.2 Sisteme de ecuat ii liniare
FieKun corp (comutativ)  si m;n1. Consider am sistemul de ecuat ii
liniarenX
j=1aijxj=bi; i = 1;:::;m
undeaij;bi2K. Scris matriceal, sistemul este Ax=b, undeAeste matricea
de tip (m;n) cu elementele aijnumit a matricea sistemului, x=0
BB@x1
…
xn1
CCAeste
vectorul necunoscutelor  si b=0
BB@b1
…
bm1
CCAeste vectorul termenilor liberi. O

8.2. SISTEME DE ECUAT  II LINIARE 133
solut ie a sistemului este un vector coloan a c=0
BB@c1
…
cn1
CCAcu elemente din K
astfel ^ nc^ at Ac=b. Sistemul se nume ste incompatibil dac a nu admite nici o
solut ie, compatibil determinat dac a admite o solut ie unic a  si compatibil nede-
terminat dac a admite cel put in dou a solut ii. Dou a sisteme se zic echivalente
dac a au acelea si solut ii.
Se vede u sor c a urm atoarele transform ari nu afecteaz a mult imea solut iilor
unui sistem, deci produc sisteme echivalente cu cel dat.
a:Adunarea la o ecuat ie a altei ecuat ii ^ nmult ite cu un element din K.
b:Permutarea a dou a ecuat ii.
c:^Inmult irea unei ecuat ii cu un element nenul din K.
FieB= (Ab) matricea extins a a sistemului, adic a matricea sistemului la care
am ad augat vectorul coloan a al termenilor liberi. Transform arile a;b;c de mai
sus produc asupra matricei Burm atoarele transform ari numite transform ari
elementare pe linii .
1:Adunarea la o linie a altei linii ^ nmult ite cu un element din K.
2:Permutarea a dou a linii.
3:^Inmult irea unei linii cu un element nenul din K.
Observ am c a ecare din cele trei transform ari posed a o transformare invers a.
Spunem c a dou a matrice A,Bde acela si tip sunt echivalente pe linii dac aA
se obt ine din Bprintr-o succesiune de transform ari elementare pe linii. E clar
c a \echivalent a pe linii" este o relat ie de echivalent  a pe mult imea matricelor
de acela si tip. Prin calcul direct putem proba urm atorul rezultat.
Teorema 150 FieCo matrice de tip (p;q)cu elemente din K. Dac af
este una din tranform arile elementare 13 sif(C)este matricea obt inut a
dinCprin efectuarea transform arii f, atuncif(C) =f(Ip)C, undeIpeste
matricea unitate.
Apar astfel urm atoarele matrice numite matrice elementare .
1.Tij(a) = matricea unitate ^ n care la linia js-a adunat linia i^ nmult it a
cu elementul a2K.
2.Pij= matricea unitate cu liniile i sijpermutate.
3.Di(u) = matricea unitate cu linia i^ nmult it a cu elementul u2K.
Vedem c a
Tij(a)Tij(a) =Ip; P2
ij=Ip; Di(u)Di(u1) =Ip:

134 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
deci matricele elementare sunt inversabile.
Numim matrice e salon (pe linii) o matrice de forma
0
BBB@0


0 1


 0


 0



0


0 0 0


0 1


 0



0


0 0 0


0 0 0


0 1


























1
CCCA:
Mai precis o matrice e salon este o matrice ce veric a urm atoarele condit ii.
1. Primul element nenul din ecare linie, numit pivot , este egal cu 1.
2. Pivotul de pe linia i+ 1 este la dreapta pivotului de pe linia i.
3. Pivotul este singurul element nenul de pe coloana sa.
4. Eventualele linii nule apar la sf^ ar sit.
Teorema 151 O matrice e salon inversabil a este egal a cu matricea unitate.
Demonstrat ie. O matricea e salon este superior triunghiular a. Dac a este
 si inversabil a, atunci pivot ii apar pe diagonala principal a, deci este matricea
unitate.
Teorema 152 Orice matrice Acu elemente din Keste echivalent a pe linii
cu o matrice e salon unic a numit a forma e salon a luiA.
Demonstrat ie. Dac aA= 0, atunci Aeste matrice e salon. Presupunem
c aA6= 0. Proced am astfel. G asim prima coloan a cu elemente nenule, s a
zicem coloana j. Prin permut ari de linii, aducem un element nenul bal ei
pe prima linie  si apoi, ^ mp art ind prima linie la b, facemb= 1, obt in^ and ast-
fel un pivot ^ n pozit ia (1 ;j). Prin transform ari de tip 1, anul am elementele
a
ate dedesubt pe coloana pivotului. Apoi, se aplic a acela si algoritm subma-
tricei obt inute din Aelimin^ and linia 1  si primele jcoloane. La sf^ ar sit, prin
transform ari de tip 1, anul am elementele a
ate deasupra pe coloana ec arui
pivot.
Demonstrat ia unicit at ii, de si ^ n principiu simpl a, este destul de labo-
rioas a. De aceea o omitem. 
Corolarul 153 Dac aAeste o matrice, atunci exist a matricele elementare
E1, …,Ekastfel ^ nc^ at Ek


E1Aeste matrice e salon.

8.2. SISTEME DE ECUAT  II LINIARE 135
Corolarul 154 O matrice p atratic a este inversabil a dac a  si numai dac a ea
este produs de matrice elementare.
Demonstrat ie. FieAo matrice p atratic a inversabil a de ordin n. Cf.
corolarului precedent, exist a matricele elementare E1, …,Ekastfel ^ nc^ at
C=Ek


E1Aeste matrice e salon. Conform teoremei 151, C=In, deci
A=E1
1


E1
k. Reciproca este evident a. 
Cu notat iile precedente, A1=Ek


E1, deciA1se poate obt ine f ac^ and
asupra luiInsecvent a de transform ari elementare ce duce pe A^ nIn. Deci,
e salon^ and matricea ( A In) se obt ine matricea ( InA1). Obt inem astfel un
algoritm de calcul al inversei unei matrice prin transform ari elementare.
Din teorema 152  si comentariile anterioare referitoare la sistemele de
ecuat ii liniare rezult a
Teorema 155 Orice sistem de ecuat ii liniare este echivalent cu un sistem
av^ and matricea extins a o matrice e salon.
Presupunem c a sistemul de ecuat ii liniare
nX
j=1aijxj=bi; i= 1;:::;m
are matricea extins a Bmatrice e salon. Observ am c a dac a apare un pivot
^ n ultima coloan a a lui B, atunci sistemul are o ecuat ie de forma 0 = 1,
deci este incompatibil. ^In continuare presupunem c a Bnu are pivot i pe
ultima coloan a. Fie p1,…,pkcoloanele ce au pivot i. Numim necunoscutele
xp1,…,xpknecunoscute principale , celelalte necunoscute xs1,…,xslind nu-
mite necunoscute secundare . Trec^ and necunoscutele secundare ^ n membrul
drept  si neglij^ and ecuat iile de forma 0 = 0, sistemul devine
xpi=bilX
j=1aisjxsj; i= 1;:::;k:
Deci sistemul este compatibil, necunoscutele secundare, dac a exist a, pu-
t^ and lua valori arbitrare. Rezult a urm atoarea teorem a.

136 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
Teorema 156 Fie un sistem de ecuat ii liniare cu matricea extins a Bmatrice
e salon. Sistemul este compatibil dac a  si numai dac a Bnu are pivot i pe ultima
coloan a. Dac a este compatibil, sistemul este compatibil determinat dac a  si
numai dac a nu exist a necunoscute secundare, adic a matricea sistemului are
c^ ate un pivot pe ecare coloan a.
Metoda de rezolvare a unui sistem de ecuat ii liniare prin e salonarea ma-
tricei extinse poart a numele de metoda elimin arii a lui Gauss .
8.3 Rangul unei matrice
FieKun corp  siA2Mmn(K). Prin denit ie, rangul luiAeste num arul,
notatrang (A), egal cu ordinul maxim al unui minor nenul al lui A. Matricea
nul a are rangul zero.
Decirang (A) =r^ nseamn a c a Aare unr-minor nenul  si tot i minorii de
ordinr+ 1 sunt nuli. Din regula lui Laplace, vedem c a rang (A) =rdac a
 si numai dac a Aare unr-minor nenul  si tot i minorii de ordin r+ 1 sunt nuli.
Din denit ia rangului  si din faptul c a A sitAau aceea si minori, rezult a c a
0rang (A)min(m;n)  sirang (A) =rang (tA):
Dac aA2Mn(K), atuncirang (A) =ndac a  si numai dac a jAj6= 0.
Teorema 157 FieA2Mmn(K) siA2Mnp(K). Atuncirang (AB)
min(rang (A); rang (B)).
Demonstrat ie. Din formula Binet-Cauchy (teorema 133), rezult a c a un
r-minor al lui ABeste combinat ie liniar a de r-minori ai lui Aresp.B.
Corolarul 158 FieA2Mmn(K),U2GLm(K) siV2GLn(K). Atunci
rang (UA) =rang (AV) =rang (A):
^In particular, dou a matrice echivalente pe linii au acela si rang.
Demonstrat ie. Din teorema precedent a,
rang (UA)rang (A)  sirang (A) =rang (U1UA)rang (UA)
decirang (UA) =rang (A). Cealalt a egalitate se probeaz a analog. 

8.3. RANGUL UNEI MATRICE 137
Teorema 159 (Kronecker). FieA2Mmn(K). Atuncirang (A)este egal cu
dimensiunea peste Ka subspat iului generat de liniile lui A si de asemenea
egal cu dimensiunea peste Ka subspat iului generat de coloanele lui A.
Demonstrat ie. Fiel(A) respectiv c(A) dimensiunea subspat iului generat
de liniile respectiv coloanele lui A. Ar at am c a rang (A) =l(A). Se vede
u sor c a transform arile elementare nu afecteaz a l(A). Conform corolarului
158, putem presupune c a Aeste matrice e salon. Fie pnum arul de pivot i
ai luiA. E u sor de v azut c a primele plinii sunt liniar independente iar
celelalte sunt nule. Deci l(A) =p. Totodat a Aare unp-minor egal cu
1 (cel av^ and pivot ii pe diagonala principal a), deci rang (A) =p.^In nal,
rang (A) =rang (tA) =l(tA) =c(A).
Din demonstrat ie rezult a c a rangul (A) este egal cu num arul de pivot i ai
formei e salon a lui A.
Corolarul 160 FieA= (aij)2Mmn(K). Presupunem c a Aare unr-
minor nenul Mastfel ^ nc^ at tot i (r+ 1)-minorii obt inut i din Mprin bordare
cu elemente din Asunt nuli. Atunci rang (A) =r.
Demonstrat ie. F ar a a mic sora generalitatea, putem presupune c a M
const a din primele rlinii  sircoloane ale lui A. Not am liniile lui Acu
A1,…,Am. CumMeste unr-minor nenul, rang (A)r si liniileA1,…,Ar
sunt liniar independente.
Presupunem c a rang (A)r+ 1. Din teorema precedent a, putem pre-
supune c a liniile A1,…,Ar+1sunt liniar independente. Pentru j= 1;:::;n ,
consider am ( r+ 1)-minorul Mj=a11


a1ra1j
:


: :
ar1


arrarj
ar+11


ar+1rar+1j: Mjeste nul,
deoarece pentru j= 1;:::;r ,Mjare dou a coloane egale, iar pentru j=
r+ 1;:::;n se aplic a ipoteza. Complement ii algebrici d1,…,dr,dr+1=Mai
elementelor de pe coloana r+ 1 nu depind de j. Dezvolt^ and Mjpe coloana
r+ 1, obt inem 0 = d1a1j+


+drarj+Mar+1jpentruj= 1;:::;n . Deci
d1A1+


+drAr+MAr+1= 0, cuM6= 0. Rezult a c a liniile A1,…,Ar+1
sunt liniar dependente, contradict ie. 
Teorema 161 (Kronecker-Capelli). Un sistem de ecuat ii liniare este com-
patibil dac a  si numai dac a rangul matricei sistemului este egal cu rangul
matricei extinse.

138 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
Demonstrat ie. FieAmatricea sistemului  si Bmatricea extins a. Conform
teoremei 155  si corolarului 158, putem presupune c a B(deci  siA) este matrice
e salon. Condit ia din enunt  este echivalent a cu faptul Bnu are pivot i^ n ultima
coloan a. Se aplic a teorema 156.
Alt a demonstrat ie. Fie c1,…,cncoloanele lui A,bvectorul termenilor liberi
 six=0
BB@x1
…
xn1
CCA. Sistemul Ax=bse scrie sub forma x1c1+


+xncn=b.
Deci sistemul Ax=beste compatibil dac a  si numai dac a beste combinat ie
liniar a dec1,…,cndac a  si numai dac a rang (A) =dim<c 1;:::;cn>=dim<
c1;:::;cn;b>=rang (B).
8.4 Exercit ii
190:FieAo mult ime nit a  si P(A) mult imea p art ilor lui A.P(A) este grup
fat  a de operat ia de diferent  a simetric a
. Ar atat i c a acest grup o structur a
deZ2-spat iu vectorial  si g asit i o baz a a sa.
191:FieKun corp,Vun grup abelian  si End(V) mult imea endomorsmelor
luiV. Ar atat i c a End(V) este inel fat a de operat iile de adunare  si compunere,
 si c aV^ mpreun a cu operat ia extern a KV!V, (a;x)7!ax, este un
spat iu vectorial dac a  si numai dac a aplicat ia f:K!End(V), dat a prin
f(a)(x) =ax, pentrua2K six2V, este un morsm de inele.
192:Ar atat i c a grupul aditiv Znu poate  organizat ca spat iu vectorial
(peste nici un corp).
193:Care din submult imile urm atoare sunt subspat ii ale Q-spat iului vecto-
rialQ[X], (a)ff;f(a) =f(a)8a2Qg,
(b)ff;funitar, i.e. are coecientul dominant = 1 g,
(c)ff;fneunitarg,
(d)ff;fde grad imparg,
(e)ff;fde grad10g,
(f)ff;f(0) =f(1)g?
194:Fie subspat iile U=<(2;3;1);(1;2;0)> siW=<(1;1;1);(0;1;1)>
ale lui RR3. Calculat i U+W siU\W.

8.4. EXERCIT  II 139
195:FieVR-spat iul vectorial M3(R)  si eS(resp.A) mult imea matricelor
simetrice (resp. antisimetrice). Ar atat i c a S siAsunt subspat ii  si determinat i
dimensiunea lor. Este Vsuma direct a a lui ScuA?
196:FieVR-spat iul vectorial al  sirurilor de numere reale ( xn)n0care
veric a relat ia de recurent  a xn=xn1xn2, pentrun2. Ar atat i c a
 sirurile (sin(n=3))n0, (cos(n=3))n0constituie o baz a a lui V.
197:Fief=a0+a1X+


+an1Xn1+Xn2Q[X] un polinom ireductibil
 siy2Co r ad acin a alui f. Ar atat i c a mult imea 1 ;y;:::;yn1este o baz a a
Q-subspat iului vectorial generat de toate puterile lui y.
198:FieWsubspat iul lui QRgenerat defcos(20n);n0g. G asit i o
baz a a lui W. (Indicat ie. cos(20) este r ad acina polinomului ireductibil
8X36X1).
199:Ar atat i c a orice spat iu vectorial Vadmite o baz a.
200:FieVR-spat iul vectorial al polinoamelor de grad 4 cu coecient i
reali. Calculat i matricele de trecere ^ ntre bazele E=f1;X;X2;X3;X4g si
F=f1;X1;(X1)2;(X1)3;(X1)4g.
201:Cu notat iile din exercit iul anterior, e D:V!Voperatorul de
derivare. Ar atat i c a Deste aplicat ie liniar a  si calculat i matricele lui D^ n
bazeleE,F siG=f1;X=1!;X2=2!;X3=3!;X4=4!g.
202:Cu notat iile din exercit iul anterior, g asit i baze ^ n Im(D)  siker(D).
FieQ(p
2;p
3) =fa+bp
2 +cp
3 +dp
6ja;b;c;d2Qg.
203:Ar atat i c a Q(p
2;p
3)QR si c a 1;p
2;p
3;p
6 este o baz a a sa.
204:Ar atat i c a Q(p
2;p
3) este un subcorp al lui R.
205:FieQ-spat iul vectorial QV=Q(p
2;p
3). Ar atat i c a T:V!V,
T(x) = (p
2 +p
3)x, este un endomorsm al lui V si determinat i matricea
sa ^ n baza 1 ;p
2;p
3;p
6.
206:Cu notat iile din exercit iul anterior, ar atat i c a 1,p
2+p
3, (p
2+p
3)2,
(p
2+p
3)3este o baz a a lui V si determinat i matricea lui T^ n aceasta baz a.

140 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE
207:FieVR-spat iul vectorial al matricelor 2 2 cu intr ari reale  si e
A2Vxat a. Ar atat i c a aplicat ia T:V!V,T(Y) =AY+YAeste
liniar a. Determinat i matricea lui T^ n baza canonic a a lui V.
208:Ar atat i c a vectorii (2 ;2;3), (1;1;0), (1;2;1) constituie o baz a Fa
luiR3peste R. Calculat i matricele de trecere ^ ntre F si baza canonic a,  si
coordonatele lui (1 ;1;1) ^ n bazaF.
209:Calculat i inversa matricei A=0
BBBBBB@1 +a 1 1


1 1
1 1 +a 1


1 1
1 1 1 + a


1 1
: : :


: :
1 1 1


1 1 +a1
CCCCCCA
prin e salonare.
210::Calculat i inversa matricei B=0
BBBBBB@1 1 1


1 1
0 1 1


1 1
0 0 1


1 1
: : :


: :
0 0 0


0 11
CCCCCCAprin e salonare.
211:Listat i matricele e salon 2 4 cu elemente din Z2.
212:E salonat i matricea0
B@1 2 3 4
1 2 4 3
2 3 1 41
CA
 si g asit i baze ^ n subspat iile generate de liniile resp. coloanele matricei.
213:Rezolvat i sistemul de ecuat ii liniare8
><
>:x2y+z+t= 1
x2y+zt=1
x2y+z+ 5t= 5prin metoda
elimin arii a lui Gauss.
214:Rezolvat i sistemul de ecuat ii liniare8
>>><
>>>:x+y3z=1
2x+y2z= 1
x+y+z= 3
x+ 2y3z= 1:

8.4. EXERCIT  II 141
215:Calculat i inversa matricei urm atoare prin e salonare0
BBB@2 1 0 0
3 2 0 0
1 1 3 4
21 2 31
CCCA:
216:Calculat i rangul matricei0
B@a b c
b c a
c a b1
CA:
217:FieA2Mm;n(K) o matrice de rang p. Ar atat i c a Apoate  adus a
prin transform ari elementare pe linii  si pe coloane la forma
Ip0
0 0!
.
218:FieA;B2Mn(K). Ar atat i c a rang (AB)rang (A) +rang (B)n:

142 CAPITOLUL 8. SPAT  II VECTORIALE S I SISTEME LINIARE

Capitolul 9
Forma canonic a Jordan
^In acest capitol se prezint a teoria formei canonice Jordan. Trec^ and prin con-
ceptele de matrice caracteristic a, forma diagonal-canonic a, factori invariant i,
divizori elementari, se arat a c a orice matrice p atratic a cu elemente dintr-un
corp comutativ este asemenea cu o matrice Jordan.
Pe^ ntreg parcursul acestui capitol, prin corp vom^ nt elege corp comutativ.
9.1 Matricea unui endomorsm
FieKun corp. Fie VunK-spat iu vectorial nit dimensional  si e u;v
endomorsme ale lui V. FieE=fe1;:::;engo baz a a lui V. Exprim^ and
vectoriiu(e1),…,u(en) ^ n bazaE
u(ej) =nX
i=1aijei; j = 1;:::;n cuaij2K
obt inem matricea ME(u) := (aij)1i;jn2Mn(K) numit a matricea lui u^ n
bazaE.Fie vectorul x2V si ex1,…,xn(resp.y1,…,yn) coordonatele lui x
(resp.u(x)) ^ n bazaE. Atunci
u(x) =u(nX
j=1xjej) =nX
j=1xju(ej) =nX
j=1xjnX
i=1aijei=nX
i=1(nX
j=1aijxj)ei:
143

144 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Deci coordonatele lui u(x) ^ n bazaEse pot obt ine ^ nmult ind matricea lui u
cu coordonatele lui x, adic a
0
BBBB@y1
y2
…
yn1
CCCCA=ME(u)0
BBBB@x1
x2
…
xn1
CCCCA:
De exemplu, e simetria plan a fat  a de dreapta y=xtgt . Atunci
matricea lui S^ n baza canonic a este
cos2t sin 2t
sin2tcos2t!
, iar matricea lui 
^ n baza (cos t;sin t ), (sin t;cos t ) este
1 0
01!
.
Teorema 162 Cu notat iile de mai sus avem:
(a)ME(u+v) =ME(u) +ME(v),
(b)ME(vu) =ME(v)ME(u),
(c)ME(du) =dME(u)pentru orice d2K.
Demonstrat ie. Vom proba ( b), celelalte armat ii ar at^ andu-se analog. Fie
ME(u) = (aij)  siME(v) = (bij). Pentruk= 1;:::;n avem
(vu)(ek) =v(nX
j=1ajkej) =nX
j=1ajkv(ej) =nX
j=1ajknX
i=1bijei=nX
i=1(nX
j=1bijajk)ei:
A sadarME(vu) =ME(v)ME(u):
FieVunK-spat iu vectorial nit dimensional Pe mult imea End(V) a
endomorsmelor lui Vdenim o operat ie de adunare prin ( u+v)(x) =u(x)+
v(x)  si o operat ie de ^ nmult ire cu scalari prin ( au)(x) =au(x) pentru orice
u;v2End(V),a2K six2V. Se arat a u sor c a fat  a de adunare  si
compunere End(V) este un inel, iar fat  a de adunare  si ^ nmult ire cu scalari,
End(V) este un spat iu vectorial.
Teorema 163 FieVunK-spat iu vectorial nit dimensional  si E=fe1;:::;eng
o baz a a lui V. Aplicat ia ME:End(V)!Mn(K),u7!ME(u), este un
izomorsm de inele  si spat ii vectoriale.

9.1. MATRICEA UNUI ENDOMORFISM 145
Demonstrat ie. Din teorema precedent a rezult a c a MEeste un morsm
de inele  si spat ii vectoriale. Asociem ec arei matrice A= (aij)2Mn(K)
endomorsmul uAal luiVdenit pe baza Eprin
uA(ej) =nX
i=1aijei; j = 1;:::;n:
Obt inem aplicat ia :Mn(K)!End(V),(A) =uA. Se arat a u sor c a
aplicat iileME sisunt inverse una celeilalte. 
^In particular, ueste izomorsm dac a  si numai dac a ME(u) este matrice
inversabil a.
Teorema 164 FieVunK-spat iu vectorial nit dimensional, uun endo-
morsm al lui V,E;F baze ale lui V siCmatricea de trecere de la ElaF.
AtunciMF(u) =C1ME(u)C:
Demonstrat ie. FieE=fe1;:::;eng,F=ff1;:::;fng,ME(u) = (aij),
MF(u) = (bij)  siC= (cij). Avem
u(fk) =nX
j=1bjkfj=nX
j=1bjknX
i=1cijei=nX
i=1(nX
j=1cijbjk)ei:
Pe de alt a parte
u(fk) =u(nX
j=1cjkej) =nX
j=1cjku(ej) =nX
j=1cjknX
i=1aijei=nX
i=1(nX
j=1aijcjk)ei:
Rezult a c aPn
j=1cijbjk=Pn
j=1aijcjkpentru 1i;kn, deciCMF(u) =
ME(u)C:
Spunem c a dou a matrice A;B2Mn(K) sunt asemenea ,  si not amAB,
dac a exist a o matrice inversabil a U2Mn(K) astfel ^ nc^ at A=U1BU.
Relat ia de asem anare este o relat ie de echivalent  a pe Mn(K).^Intr-adev ar,
eA;B;C2Mn(K)  siU;V2GLn(K). AtunciA=I1AI,A=U1BU
implic aB=UAU1, iar dac aA=U1BU siB=V1CV, atunci rezult a
c aA= (VU)1C(VU).

146 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 165 FieVunK-spat iu vectorial nit dimensional, uun endo-
morsm al lui V siEo baz a a lui V. AtuncifMF(u)jFbaz a a lui Vgeste
exact mult imea matricelor asemenea cu ME(u).
Demonstrat ie. ^Incluziunearezult a din teorema precedent a. Reciproc,
eB;C2Mn(K),Cinversabil a astfel ^ nc^ at B=C1ME(u)C. FieF
bazaf1,…,fndenit a prin fj=Pn
i=1cijei,j= 1,…,n, undeC= (cij)  si
E=fe1;:::;eng. Din teorema precedent a, rezult a c a MF(u) =B.
9.2 Forma diagonal-canonic a
Impreun a cu inelul matricelor polinomiale Mn(K[X]) putem considera inelul
polinoamelor matriceale Mn(K)[X]. Elementele lui Mn(K)[X] sunt poli-
noamef=BmXm+


+B1X+B0cu coecient ii Bi2Mn(K), ^ nmult irea
monoamelor f ac^ andu-se dup a regula ( AXi)(BXj) =ABXi+j.
Teorema 166 ^Intre inelele Mn(K)[X] siMn(K[X])exist a un izomorsm
natural.
Demonstrat ie. Elementele lui Mn(K)[X] au formaPp
k=0AkXkcuAk=
(aijk)1i;jn2Mn(K). Se arat a u sor c a aplicat ia
':Mn(K)[X]!Mn(K[X]); '(pX
k=0AkXk) = (pX
i=0aijkXk)1i;jn
este un izomorsm de inele. 
^In continuare vom identica inelele Mn(K)[X]  siMn(K[X]) prin inter-
mediul izomorsmului precedent. De exemplu, vom identica polinomul ma-
triceal
01
0 1!
X2+
2 0
1 1!
X+
3 3
03!
cu matricea polinomial a

X2+ 2X+ 3X2+ 3
X X2+X3!
. Matricele din Mn(K) vor  numite matrice
constante.
FieA2Mn(K). Matricea XIAse nume ste matricea caracteristic a a lui
AiarPA=jXIAjse nume ste polinom caracteristic al luiA. R ad acinile lui

9.2. FORMA DIAGONAL-CANONIC A 147
PAse numesc valorile proprii ale luiA. De exemplu, matricea0
B@5 4 2
4 5 2
2 2 21
CA
are matricea caracteristic a0
B@X542
4X52
22X21
CA, polinomul caracter-
isticX312X2+ 21X10 = (X1)2(X10)  si valorile proprii 1  si
10.
Fief=BmXm+


+B1X+B02Mn(K)[X]  siA2Mn(K). Matricea
fd(A) :=BmAm+


+B1A+B0se nume ste valoarea la dreapta a lui f^ nA,
iar matricea fs(A) :=AmBm+


+AB 1+B0se nume ste valoarea la st^ anga
a luif^ nA.
Teorema 167 (Teorema lui B ezout generalizat a.) Fief2Mn(K)[X] si
A2Mn(K). Atunci exist a q2Mn(K)[X], astfel ^ nc^ at f=q(IXA)+fd(A)
 si aceasta este unica scriere a lui fsub formaf=q0(IXA) +rcuq02
Mn(K)[X] sir2Mn(K).
Analog, exist a q2Mn(K)[X], astfel ^ nc^ at f= (IXA)q+fs(A) si
aceasta este unica scriere a lui fsub formaf= (IXA)q0+rcuq02
Mn(K)[X] sir2Mn(K).
Demonstrat ie. Fief=BmXm+


+B1X+B0. Atuncifd(A) =
BmAm+


+B1A+B0. Deci
ffd(A) =Bm(IXmAm) +


+B1(IXA)
 si e sucient s a observ am c a
IXkAk= (IXA)(IXk1+


+Ak1):
Unicitatea. Fie f=q(IXA) +r=q0(IXA) +r0cuq;q02Mn(K)[X],
r;r02Mn(K). Atunci ( qq0)(IXA) +rr0= 0, deciq=q0 sir=r0,
altfel polinomul ( qq0)(IXA) are gradul1.
FieA2Mn(K) o matrice  si f=bpXp+bp1Xp1+


+b1X+b02K[X]
un polinom. Matricea f(A) =bpAp+bp1Ap1+


+b1A+b0I2Mn(K),
se nume ste valoarea lui f^ nA. Se vede c a ( If)(A)d= (If)(A)s=f(A). De
exemplu, valoarea lui f=X2+X+ 1 ^ n
01
11!
este matricea nul a.

148 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 168 (Hamilton-Cayley.) FieA2Mn(K). AtunciPA(A) = 0 .
Demonstrat ie. Fie (IXA)matricea adjunct a a matricei caracteristice
IXA. Din teorema 127 rezult a c a IPA=IjIXAj= (IXA)(IXA).
Din teorema lui B ezout generalizat a deducem c a 0 = ( IPA)d(A) =PA(A).
Spunem c a dou a matrice polinomiale A;B2Mn(K[X]) sunt echivalente ,
 si not amAB, dac a exist a dou a matrice inversabile U;V2Mn(K[X])
astfel ^ nc^ at A=UBV .
Aceasta este o relat ie de echivalent  a pe Mn(K[X]).^Intr-adev ar, e
A;B;C2Mn(K[X])  siU;V;U0;V02GLn(K[X]). Atunci A=IAI,A=
UBV implic aB=U1AV1, iar dac aA=UBV  siB=U0CV0, atunci
rezult a c aA=UU0CV0V.
Teorema 169 FieA;B2Mn(K). AtunciABdac a  si numai dac a
IXAIXB.
Demonstrat ie. Implicat ia direct a este imediat a: dac a A=SBS1cu
S2GLn(K), atunciIXA=S(IXB)S1.
Reciproc, presupunem c a IXAIXB. Deci exist a f;g2Mn(K)[X]
inversabile astfel ^ nc^ at
IXB=f(IXA)g:
Rezult a c a f(IXA) = (IXB)g1 si (IXA)g=f1(IXB). Din
teorema lui B ezout generalizat a, exist a f1;g12Mn(K)[X]  siF;G2Mn(K)
astfel ^ nc^ at
f= (IXB)f1+F sig=g1(IXB) +G:
Not am=IXA si=IXB. Combin^ and relat iile anterioare g asim
=fg=f(g1+G) =fg 1+fG =fg 1+ (f1+F)G:
Deci
FG =fg 1+f1G=fg 1+f1(gg1) =
=fg 1+f1gf1g1=g1g1+f1f1f1g1:
A sadar
IXBF(IXA)G= (IXB)(g1g1+f1f1f1(IXA)g1)(IXB):

9.2. FORMA DIAGONAL-CANONIC A 149
Privite ca polinoame, membrul st^ ang are gradul 1, deci membrul drept
este nul, altfel are gradul 2. Rezult a c a FG=I siB=FAG .
Dac ad1;:::;dn2K[X], not am cu diag(d1;:::;dn) matricea cu elementele
d1;:::;dnpe diagonala principal a  si zero ^ n rest.
Teorema 170 FieC2Mn(K[X])cujCj 6= 0 . Atunci exist a  si sunt
unice polinoamele unitare d1;:::;dn2K[X]astfel ^ nc^ at d1jd2j:::jdn
 siCdiag(d1;:::;dn).(Matriceadiag(d1;:::;dn) se nume ste forma diagonal-
canonic a a luiC.)
Demonstrat ie. Existent a. Vom ar ata mai mult  si anume c a Cse poate
aduce prin transform ari elementare pe linii  si coloane la forma diag(d1;:::;dn)
cud1;:::;dnpolinoame unitare astfel ^ nc^ at d1jd2j:::jdn.
Este sucient s a ar at am c a prin transform ari elementare pe linii  si coloane,
putem aduce matricea Cla forma urm atoare.
() Elementul c11este polinom unitar, toate celelalte elemente de pe prima
linie  si prima coloan a ale lui Csunt nule  si c11divide toate elementele ma-
tricei.
^Intr-adev ar, e C0matricea obt inut a din Ct aind prima linie  si prima
coloan a. CumjCj6= 0, rezult a c ajC0j6= 0. Rat ion^ and prin induct ie dup a
n, putem presupune c a C0se poate aduce prin transform ari elementare pe
liniile  si coloanele 2 ;:::;n la formaCdiag(d2;:::;dn) cud2;:::;dnpolinoame
unitare astfel ^ nc^ at d2jd2j:::jdn. Cumc11divide toate elementele matricei
C0, rezult a c a c11divided2,  si armat ia este probat a.
La forma () se ajunge prin intemediul algoritmului urm ator.
do
Prin permut ari de linii  si coloane, se aduce ^ n pozit ia (1 ;1) un polinom
nenul de grad minim;
whilec11nu divide toate elementele de pe prima linie do
begin
Se alege un element c1jnedivizibil cu c11;
Se face ^ mp art irea cu rest c1j=qc11+r;
Se scade coloana 1 ^ nmult it a cu qdin coloana j;
Se permut a coloanele 1  si j;
end
forj=2 tondo
Se scade coloana 1 ^ nmult it a cu c1j=c11din coloana j;

150 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
whilec11nu divide toate elementele de pe prima coloan a do
begin
Se alege un element ci1nedivizibil cu c11;
Se face ^ mp art irea cu rest ci1=qc11+r;
Se scade linia 1 ^ nmult it a cu qdin liniai;
Se permut a liniile 1  si i;
end
fori=2tondo
Se scade linia 1 ^ nmult it a cu ci1=c11din liniai;
ifc11nu divide un element cthen se adun a linia la linia 1;
untilc11divide toate elementele matricei;
se ^ mparte prima linie la coecientul dominant al lui c11.
Se observ a c a la ecare parcurgerea unei bucle whilec11se ^ nlocuie ste cu
restul unei ^ mp art iri la c11, deci gradul lui c11scade strict. Dup a parcurg-
erea celor dou a bucle while , cu except ia lui c11, toate celelalte elemente de
pe prima linie  si prima coloan a ale lui Csunt nule. Rezult a c a dup a ecare
parcurgerea a buclei do-until , gradul lui c11scade strict (except^ and even-
tual prima parcurgere). Deci algoritmul se termin a dup a un num ar nit de
pa si. E clar c a la terminarea algoritmului matricea Cveric a condit iile ( ).
Preg atim demonstrat ia unicit at ii. Fie C2Mn(K[X]) cujCj6= 0. Pentru
ecare 1pn, e
p(C) polinomul unitar egal cu cmmdc alp-minorilor
luiC. Astfel
1(C) estecmmdc al elementelor lui C, iar
n(C) =a1jCj,
undeaeste coecientul dominant al lui jCj. Cum orice ( p+ 1)-minor e
combinat ie liniar a de p-minori, rezult a c a

1(C)j
2(C)j:::j
n(C):
^In particular, dac a Ceste matricea caracteristic a a unei matrice A2Mn(K),

n(C) =PA. De exemplu, pentru matricea XIn, polinoamele
sunt
X;X2;:::;Xn.
Lema 171 FieC;D2Mn(K[X])cujCj6= 0  sijDj6= 0. Dac aCD,
atunci
p(C) =
p(D), pentrup= 1;:::;n .
Demonstrat ie. CumCD, exist aU;V2GLn(K[X]) cuC=UDV . Fie
1pn. Din formula Binet-Cauchy vedem c a
p(D) divide orice p-minor

9.3. FORMA JORDAN A UNEI MATRICE 151
al luiUD, deci
p(D)j
p(UD). La fel se vede c a
p(UD)j
p(UDV ).
Deci
p(D)j
p(C)  si, datorit a simetriei,
p(C)j
p(D). Cum
p(C),

p(D) sunt polinoame unitare, ele sunt egale. 
Demonstrat ia teoremei 170 (unicitatea). FieC2Mn(K[X])  sid1;:::;dn2
K[X] polinoame unitare astfel ^ nc^ at d1jd2j:::jdn siCdiag(d1;:::;dn).
Not amD=diag(d1;:::;dn). Conform lemei precedente,
p(C) =
p(D)
pentrup= 1;2;:::;n . Fie 1pn.p-minorii nenuli ai lui Dsunt pro-
dusele depelementedi. Cumd1jd2j:::jdn, rezult a
p(D) =d1d2


dp.
Cf. lemei precedente,
p(C) =
p(D) =d1d2


dppentrup= 1;2;:::;n .
Atuncid1=
1(C),d2=
2(C)=
1(C),…,dn=
n(C)=
n1(C). A sadar
polinoamele disunt unic determinate. 
Observat ia 172 Din demonstrat ia precedent a rezult a c a, pentru o matrice
C2Mn(K[X])cujCj6= 0, elementele formei diagonal-canonice diag(d1;
d2;:::;dn)se pot calcula prin d1=
1(C),d2=
2(C)=
1(C),…,dn=

n(C)=
n1(C).
Din teorema 170  si observat ia 172 rezult a
Teorema 173 FieC;D2Mn(K[X])cujCj6= 0 sijDj6= 0. AtunciCD
,C;D au aceea si form a diagonal-canonic a ,
p(C) =
p(D), pentru
p= 1;:::;n .
9.3 Forma Jordan a unei matrice
FieA2Mn(K)  si presupunem c a matricea caracteristic a XInAa lui
Aare forma diagonal-canonic a diag(1;:::;1;d1;d2;:::;dr), unded1;d2;:::;dr
sunt polinoame unitare de grad 1. Polinoamele d1;d2;:::;drpoart a numele
defactorii invariant i ai matricei A. A sadar, factorii invariant i ai matricei
A2Mn(K) sunt polinoamele de grad 1 ale formei diagonal-canonice a lui
XIA. Altfel spus, factorii invariant i ai lui Asunt polinoamele neconstante
de forma
i(IXA)=
i1(IXA),i= 1;:::;n , cf. observat iei 172.
De exemplu, matricea nul a are factorii invariant i X;X;:::;X , iar matricea
diag(1;2;:::;n ) are factorul invariant ( X1)(X2)


(Xn).

152 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 174 Produsul factorilor invariant i ai unei matrice A2Mn(K)
este egal cu polinomul caracteristic al lui A.
Demonstrat ie. DeoareceXInAdiag(1;:::;1;d1;d2;:::;dr), exist a
U;V2GLn(K[X]) astfel ^ nc^ at XInA=Udiag (1;:::;1;d1;d2;:::;dr)V.
Deci
PA=jXInAj=jUjjdiag(1;:::;1;d1;d2;:::;dr)jjVj=jUjjVjd1


dr:
CumPA sid1


drsunt polinoame unitare  si jUj;jVj 2K, rezult a c a
jUjjVj= 1.
Din teoremele 173  si 169 rezult a
Teorema 175 Dou a matrice A;B2Mn(K)sunt asemenea dac a  si numai
dac a au aceea si factori invariant i.
Unui polinom unitar f=Xn+an1Xn1+


+a1X+a02K[X], ^ i
asociem matricea Cf2Mn(K)
Cf=0
BBBBBBBB@0 0


0 0a0
1 0


0 0a1
0 1


0 0a2
: :


: : :
0 0


1 0an2
0 0


0 1an11
CCCCCCCCA
numit a matricea companion a lui fsaucompanionul lui f. De exemplu,
CX+3= (3)  siCX2X+5=
05
1 1!
.
Teorema 176 Polinomul caracteristic al companionului lui feste chiarf,
adic ajXInCfj=f.^In particular, f(Cf) = 0 .
Demonstrat ie. P astr^ and notat iile anterioare, avem
PCf=jXICfj=X 0


0 0 a0
1X


0 0 a1
01


0 0 a2
: :


: : :
0 0


1X an2
0 0


01X+an1:

9.3. FORMA JORDAN A UNEI MATRICE 153
Dezvolt^ and dup a ultima coloan a rezult a
PCf=a0+a1X+


an2Xn2+ (X+an1)Xn1=f:
Alternativ, dezvolt^ and dup a prima linie obt inem PCf=XjXICgj+a0,
undeg=Xn1+an1Xn2+


+a2X+a1 si se face induct ie dup a n.
Egalitateaf(Cf) = 0 rezult a din teorema Hamilton-Cayley. 
Teorema 177 Companionul matriceal Cfal unui polinom unitar f2K[X]
are un singur factor invariant  si anume f. Altfel spus,
XICfdiag(1;:::;1;f):
Demonstrat ie. Fie
B=XICf=0
BBBBBBBB@X 0


0 0a0
1X


0 0a1
01


0 0a2
: :


: : :
0 0


1X an2
0 0


01X+an11
CCCCCCCCA:
Din teorema precedent a,
n(B) =PCf=f. (n1)-minorul lui Bobt inut
t aind prima linie  si ultima coloan a are valoarea ( 1)n1, deci
n1(B) = 1.
Pentru 1in2,
i(B) divide
n1(B), deci
i(B) = 1 . Se aplic a
observat ia 172.
Fie matricele Ci2Mpi(K[X]),i= 1;:::;t . Matricea
C1C2


Ct:=diag(C1;C2;:::;Ct) =0
BBBB@C1
C2
…
Ct1
CCCCA
se nume ste suma direct a a matricelor C1,…,Ct. Armat iile urm atoarei leme
se probeaz a u sor.
Lema 178 Fie matricele Ci;Di2Mpi(K[X]),i= 1;:::;t .
(a) (C1


Ct) + (D1


Dt) = (C1+D1)


 (Ct+Dt):
(b) (C1


Ct)(D1


Dt) = (C1D1)


 (CtDt):
(c)Dac aCiDipentrui= 1;:::;t , atunciC1


CtD1


Dt.
(d)Dac aCi;Disunt matrice constante  si CiDipentrui= 1;:::;t ,
atunciC1


CtD1


Dt.

154 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 179 Dac a matricea A2Mn(K)are factorii invariant i d1;:::;dr,
atunci
ACd1


Cdr:
Demonstrat ie. Cf. teoremei 177, avem
XI(Cd1


Cdr) = (XICd1)


 (XICdr)
diag(1;:::;1;d1)


diag(1;:::;1;dr)diag(1;:::;1;d1;:::;dr):
Cumd1jd2j


jdr, deducem c a d1;:::;drsunt factorii invariant i ai matricei
Cd1


Cdr. Se aplic a teorema 175. 
Fied1;:::;dr2K[X] factorii invariant i ai matricei A2Mn(K)  si e
1,…,s2K[X] divizorii lor ireductibili (unitari). Putem scrie
di=ki1
1ki2
2


kis
s; i= 1;:::;r cu 0k1jk2j


krj; j= 1;:::;s:
Polinoamele
fkij
ijkij1; i= 1;:::;r; j = 1;:::;sg
se numesc divizorii elementari ai luiA. Deci divizorii elementari sunt puteri
de polinoame ireductibile unitare din K[X]. Egalit at ile anterioare permit
recuperarea factoriilor invariant i din divizorii elementari. Din teorema 174
rezult a
Teorema 180 Produsul divizorilor elementari ai unei matrice A2Mn(K)
este egal cu polinomul caracteristic al lui A.
Din teorema 175 rezult a
Teorema 181 Fie dou a matrice A;B2Mn(K). Armat iile urm atoare sunt
echivalente:
(a)AB,
(b)A,Bau aceea si factori invariant i,
(c)A,Bau aceea si divizori elementari.
Teorema 182 Fief;g2K[X]dou a polinoame unitare neconstante prime
^ ntre ele. Atunci CfgCfCg.

9.3. FORMA JORDAN A UNEI MATRICE 155
Demonstrat ie. Fien=p+q, undepeste gradul lui fiarqeste gradul
luig. Cf. teoremei 181, e sucient s a ar at am c a CfCgare un singur factor
invariant  si anume fg. Avem
XI(CfCg) = (XIpCf)(XIqCg)diag(1;:::;1;f)diag(1;:::;1;g)
diag(1;:::;1;f;g)diag(1;:::;1;1;fg):
Ultima echivalent  a rezult a din faptul c a ( n1)minorii nenuli ai matricei
diag(1;:::;1;f;g) sunt egali cu f,gsaufg, deci
n1(diag(1;:::;1;f;g)) = 1.

Fie2K[X] un polinom ireductibil unitar de grad s sik1. Denim
celula Jordan corespunz atoare lui kprin
Jk() =0
BBBBBBB@C
N C
N C
…
N C1
CCCCCCCA2Msk(K)
unde companionul Capare dekori iar matricea N2Ms(K), care apare de
k1 ori, are forma N=
1!
, elementele omise ^ n Jk()  siNind nule.
O sum a direct a de celule Jordan se nume ste matrice Jordan .
Pentruk= 1 avem J1() =C. Fie2K. Pentru celula Jordan
Jk(X) =0
BBBBBBB@
1
1
……
11
CCCCCCCAvom utiliza  si notat ia mai simpl a Jk().
X2+X+ 1 este ireductibil peste R siJ2(X2+X+ 1) =0
BBB@01 0 0
11 0 0
0 1 01
0 0 111
CCCA.
Teorema 183 Dac a2K[X]un polinom ireductibil  si k1, atunci
CkJk():

156 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Demonstrat ie. Cf. teoremelor 175  si 177, e sucient s a vedem c a Jk()
are un singur factor invariant  si anume k. FieDmatricea caracteristic a a
luiJk()  si en=sk, undeseste gradul lui . (n1)-minorul lui Dobt inut
t aind prima linie  si ultima coloan a are valoarea 1. Rezult a c a
n1(D) = 1,
deci
i(D) = 1 pentru 1in1. Pe de alt a parte, cu regula lui Laplace,
vedem c a
n(D) =k. DeciJk() are un singur factor invariant  si anume
k.
Enunt  am teorema central a a teoriei formei Jordan.
Teorema 184 (Forma Jordan a unei matrice). Dac a matricea A2Mn(K)
are divizorii elementari k1
1,…,kss, atunci
AJk1(1)


Jks(s):
Mai put in o permutare a celulelor, Jk1(1)


Jks(s)este unica matrice
Jordan asemenea cu A. Ea se nume ste forma Jordan a lui A.
Demonstrat ie. Fiedunul dintre factorii invariant i ai lui A sid=l1
1


lt
t
descompunerea lui d^ n produs de factori ireductibili. Cf. teoremei 182,
Cl1
1


lt
tCl1
1Cl2
2


lt
t


Cl1
1


Clt
t:
Folosind acest fapt  si teoremele 175,183, rezult a c a
ACd1


CdrCk1
1


CkssJk1(1)


Jks(s):
Unicitatea formei Jordan rezult a din faptul c a matricea Jordan Jk1(1)



Jks(s) are divizorii elementari k1
1,…,kss.
De exemplu, se poate ar ata c a matricea A=0
B@1 1 1
1 1 1
1 1 11
CA2M3(K),K
corp de caracteristic a 6= 3, are factorii invariant i X,X(X3), deci divizorii
elementari X,X,X3. Rezult a c a AJ1(X)J1(X)J1(X3) =0
B@0 0 0
0 0 0
0 0 31
CA. Aceea si matrice are peste un corp de caracteristic a 3 divizorii

9.4. POLINOMUL MINIMAL 157
elementariX,X2, deci forma Jordan J1(X)J2(X) =0
B@0 0 0
0 0 0
0 1 01
CA.
Din teorema anterioar a  si teorema 165 rezult a
Teorema 185 (Forma Jordan a unui endomorsm). Pentru orice endomor-
smual unuiK-spat iu vectorial nit-dimensional, exist a o baz a ^ n care
matricea lui ueste matrice Jordan. Aceast a matrice este unic a p^ an a la o
permutare a celulelor  si se nume ste forma Jordan a lui u.
Recapitul am conceptele ce conduc la forma Jordan: matrice constant a,
asem anare de matrice constante, matrice caracteristic a, echivalent  a de ma-
trice polinomiale, form a diagonal-canonic a a unei matrice polinomiale, factori
invariant i, divizori elementari, companion matriceal, celul a Jordan, matrice
Jordan.
Corolarul 186 Dac a o matrice A2Mn(K)arenvalori proprii distincte ^ n
K,1;2;:::;n2K, atunci
Adiag(1;2;:::;n):
^In particular, dac a un endomorsm ual unuiK-spat iu vectorial n-dimensi-
onal arenvalori proprii distincte, atunci ueste diagonalizabil.
Demonstrat ie. Cum produsul divizorilor elementari ai lui AestePA=
(X1)


(Xn), rezult a c a ace stia sunt exact X1,X2, …,Xn.
9.4 Polinomul minimal
FieA2Mn(K) o matrice  si f=bpXp+bp1Xp1+


+b1X+b02K[X]
un polinom. Matricea f(A) =bpAp+bp1Ap1+


+b1A+b0I2Mn(K),
se nume ste valoarea lui f^ nA. De exemplu, valoarea lui f=X2+X+ 1 ^ n
01
11!
este matricea nul a.
FieA2Mn(K) o matrice xat a. Se veric a u sor c a aplicat ia
'A:K[X]!Mn(K); 'A(f) =f(A)

158 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
este un morsm de inele. Nucleul s au ker('A) este un ideal nenul deoarece,
potrivit teoremei Hamilton-Cayley, PA(A) = 0, deci PA2ker('A). Unicul
generator polinom unitar Aal idealului ker('A) se nume ste polinomul min-
imal al lui A. Reamintim c a Aeste polinomul unitar de grad minim ^ n
ker('A), cf. demonstrat iei teoremei 94.
Teorema 187 FieA2Mn(K)o matrice  si g2K[X]un polinom. Urm a-
toarele armat ii sunt echivalente.
(a)g=A,
(b)geste unitar, g(A) = 0  sigeste de grad minim ^ ntre polinoamele cu
aceste propriet at i,
(c)geste unitar, g(A) = 0  sigdivide toate polinomele h2K[X]cu
proprietatea h(A) = 0 .
Demonstrat ie. Echivalent a ( a),(b) a fost justicat a mai sus, iar impli-
cat iile (a))(c)  si (c))(b) sunt clare.
Exemple 188 (a)Dac aa2K, atunciA=Xadac a  si numai dac a
A=aI.
(b)FieA=
02
1 3!
 sif=X23X+ 2 = (X1)(X2). Deoarece
f(A) = 0 ,Apoate f,X1sauX2. CumA6=I;2I, r am^ ane c a
A=f.
Teorema 189 Fief2K[X]un polinom unitar. Atunci polinomul minimal
al companionului lui feste chiarf, adic aCf=f.
Demonstrat ie. Fief=Xn+an1Xn1+


+a1X+a0 si ee1,…,enbaza
canonic a a lui Mn;1(K), adic a coloanele matricei In. Vedem c a Cfei=ei+1
pentrui= 1;:::;n1, deciCi
fei=ei+1. Dac ag=cn1Xn1+


+c1X+c02
K[X] are proprietatea g(Cf) = 0, atunci
0 =g(Cf)e1=cn1en+


+c1e2+c0e1=0
BBBB@c0
c1
…
cn11
CCCCA
decig= 0. Se aplic a teoremele 176  si 187. 

9.4. POLINOMUL MINIMAL 159
Teorema 190 FieA2Mn(K). Atunci polinomul minimal al lui Aeste
ultimul factor invariant al lui A. Altfel spus,
A=PA

n1(XIA):
Demonstrat ie. Fied1j


jdrfactorii invariant i ai lui A. Cf. teoremei
179, exist a S2GLn(K) astfel ^ nc^ at
SAS1=Cd1


Cdr:
Dac ag2K[X], atunci
Sg(A)S1=g(SAS1) =g(Cd1)


g(Cdr):
Decig(A) = 0 dac a  si numai dac a g(Cdi) = 0,i= 1;:::;r . Din teorema
precedent a, Cdi=di. T  in^ and seama c a d1j


jdr, rezult a c a g(A) = 0
dac a  si numai dac a drjg. DeciA=dr.
Teorema 191 (Teorema lui Frobenius.) FieA2Mn(K). AtunciPA siA
au aceea si factori ireductibili ^ n K[X].
Demonstrat ie. Fied1j


jdrfactorii invariant i ai lui A. CumPA=
d1


dr sid1j


jdr, rezult a c a PA sidrau aceea si factori reductibili. Dar
dr=A, cf. teoremei precedente. 
O matriceA2Mn(K) se zice diagonalizabil a dac aAeste asemenea cu o
matrice diagonal a.
Teorema 192 O matrice A2Mn(K)este diagonalizabil a dac a  si numai
dac aAare toate r ad acinile ^ n K si acestea sunt distincte.
Demonstrat ie. Are loc  sirul de echivalent e. Aeste diagonalizabil a ,di-
vizorii elementari ai lui Asunt de forma Xacua2K,ecare factor
invariant al lui Aare toate r ad acinile ^ n K si acestea sunt distincte ,ultimul
factor invariant (adic a A) are toate r ad acinile ^ n K si acestea sunt distincte.

FieA2Mn(K). Interpret am pe Aca endomorsmul spat iului vecto-
rialMn;1(K)'Kndat prinv7!Av. Putem atunci vorbi de defectul lui
A= dimensiunea nucleului acestui endomorsm. Din teorema rang-defect,
rang(A) +defect (A) =n.

160 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 193 FieA2Mn(K) si2K. Armat iile urm atoare sunt
echivalente.
(a)PA() = 0 (adic aeste valoare proprie a lui A),
(b)matriceaAIeste neinversabil a,
(c)defect (AI)1,
(d)Exist a 06=v2Mn;1(K)astfel ^ nc^ at Av=v.
Demonstrat ie. Avem  sirul de echivalent e. 0 = PA() =jIAj,ma-
triceaAIeste neinversabil a ,rang(AI)n1,defect (AI)1
,are loc (d).
Un vector 06=v2Mn;1(K) astfel ^ nc^ at Av=vse nume ste vector
propriu al luiAcorespunz ator valorii proprii iarker(AI) =fv2
Mn;1(K)jAv=vgse nume ste spat iul vectorilor proprii corespunz ator valorii
proprii.
9.5 Cazul K=C
^In continuare, vom lucra numai ^ n cazul K=C. Deoarece peste Cpoli-
noamele ireductibile unitare sunt de forma X, rezult a c a toate celulele
Jordan sunt de forma
Jk() =0
BBBBBBB@
1
1
……
11
CCCCCCCAcu2C sik1:
Vom numi o astfel de matrice -celul a Jordan de ordin k. Forma Jordan a
unei matrice A2Mn(C) se mai nume ste forma canonic a Jordan .
Teorema 184 cap at a forma urm atoare.
Teorema 194 (Forma canonic a Jordan a unei matrice). Orice matrice A2
Mn(C)este asemenea cu o matrice de forma
J=Jk1(1)Jk2(2)


Jks(s):
MatriceaJeste unic determinat a p^ an a la o permutare a celulelor Jordan
 si este numit a forma canonic a Jordan a lui A.1;:::;s2Csunt valorile
proprii ale lui A.

9.5. CAZUL K=C 161
Demonstrat ie. Se aplic a teorema 184. ^In plus, rezult a c a PA= (X
1)k1


(Xs)ks. Deci1;:::;ssunt valorile proprii ale lui A.
A sadar forma canonic a Jordan a unei matrice Aeste determinat a de
valorile proprii ale lui A si, pentru ecare valoare proprie , de num arul  si
ordinul-celulelor.
Observat ia 195 ^In ipotezele  si cu notat iile din teorema precedent a, dac a
f2C[X], atunci
f(A)f(Jk1(1))f(Jk2(2))


f(Jks(s)):
Se poate aplica teorema urm atoare.
Teorema 196 Fie2C,f2C[X] sik1. Atunci
f(Jk()) =0
BBBBBBB@f()
f0()
1!f()
f00()
2!f0()
1!f()




f(k1)()
(k1)!


f00()
2!f0()
1!f()1
CCCCCCCA
elementele de deasupra diagonalei principale ind nule.
Demonstrat ie. Ne putem reduce la cazul f=Xm. Vedem prin calcul
c a puterile succesive ale celulei Jordan Jk(0) =0
BBBBBBB@0
1 0
1 0
……
1 01
CCCCCCCAsunt
J2
k(0) =0
BBBBBBB@0
0 0
1 0 0
………
1 0 01
CCCCCCCA,


,Jk1
k(0) =0
BBBBBB@
11
CCCCCCA,Jk
k(0) = 0.
Aplic^ and formula binomului lui Newton pentru Jm
k() = (I+Jk(0))m,
obt inem formula din enunt , deoarece ( Xp)(m)=m! =Cm
pXpm.

162 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Fiea0,a1,…,ap12C,a06= 0. Consider am  sirul denit prin relat ia
de recurent  a xn=ap1xn1+ap2xn2+


+a0xnpcux0,…,xp1date.
Avem relat ia matriceal a ( xnp+1;:::;xn) = (xnp;:::;xn1)A, undeAeste
companionul matriceal al polinomului f=Xpap1Xp1


a1Xa0
(f= 0 se nume ste ecuat ia caracteristic a a relat iei de recurent  a). Rezult a c a
(xnp+1;:::;xn) = (x0;:::;xp1)An: (9.1)
Fief= (X1)k1


(Xs)kscu1;:::;sdistincte. Rezult a c a A
Jk1(1)Jk2(2)


Jks(s), deciAnJn
k1(1)Jn
k2(2)


Jn
ks(s).
Din relat ia 9.1  si teorema 196, rezult a c a termenul general al  sirului are forma
xn= (b10+b11n+


+b1k11nk11)n
1+


+(bs0+bs1n+


+bsks1nks1)n
s
cu coecient ii bij2C.
De exemplu, termenul general al  sirului denit prin relat ia de recurent  a
xn= 2xn1+xn22xn3xn4are formaxn= (a+bn)(1=2 +p
5=2)n+
(c+dn)(1=2p
5=2)n.
FieA2Mn(C)  sio valoare proprie a lui A. Multiplicitatea ma() a lui
ca r ad acin a a lui PAse nume ste multiplicitatea algebric a a lui. Num arul
mg() = defect(AI)
adic a dimensiunea subspat iului vectorilor proprii corespunz ator lui , se
nume ste multiplicitatea geometric a a lui.
Dac aAB, atunciPA=PB, deciA,Bau acelea si valori proprii  si cu
acelea si multiplicit at i algebrice.
Teorema 197 Dac aAB sieste o valoare proprie a lui A, atunci
multiplicitatea geometric a a lui ^ nAeste egal a cu multiplicitatea geometric a
a lui^ nB.
Demonstrat ie. FieS2GLn(K) astfel^ nc^ at B=SAS1. Avemdefect (B
I) =defect (SAS1I) =defect S (AI)S1=defect (AI).
Dac aA=Jk(), atunciPA= (X)k. Decima() =k simg() =
defect(AI) =krang(Jk(0)) = 1.

9.5. CAZUL K=C 163
Teorema 198 FieA2Mn(C) sio valoare proprie a lui A. Atunci mul-
tiplicitatea algebric a a lui ^ nAeste suma ordinelor -celulelor lui A, iar
multiplicitatea geometric a a lui ^ nAeste num arul -celulelor lui A.^In
particular, ma()mg().
Demonstrat ie. Ultima armat ie rezult a din celelalte. Fie J=Jk1(1)
Jk2(2)


Jks(s) forma canonic a Jordan a lui A. CumAJ,are
aceea si multiplicitate algebric a (resp. geometric a) ^ n A siJ. Deci putem
presupune c a A=J. AvemPA= (X1)k1


(Xs)ks, de unde rezult a
prima armat ie. Apoi,
mg() = defect(AI) =
= defect(Jk1(1)Jk2(2)


Jks(s)) =
= defect(Jk1(1)) + defect( Jk2(2)) +


+ defect(Jks(s)):
^In nal folosim faptul c a
defect(Jk()) =(
0 dac a6= 0
1 dac a= 0
Corolarul 199 O matrice A2Mn(C)este diagonalizabil a dac a  si numai
dac a toate valorile proprii ale lui Aau multiplicitatea algebric a egal a cu mul-
tiplicitatea geometric a.
Demonstrat ie. Folosim teorem precedent a. Armat ia rezult a din faptul
c aAeste diagonalizabil a dac a  si numai dac a toate celulele Jordan ale sale
au ordinul 1.
Lema 200 Dac a2C sik;p1, atunci
defect (Jp
k(0)) =min(k;p):
Demonstrat ie. Pentrupk,Jp
k(0) = 0, deci defect( Jp
k(0)) =k. Pentru
pk1,Jp
k(0) are o diagonal a format a din kpelemente egale cu 1  si
toate celelalte elemente nule. Deci defect( Jp
k(0)) =p.
Teorema urm atoare permite un calcul direct al formei canonice Jordan a
unei matrice de numere complexe.

164 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 201 FieA2Mn(C),o valoare proprie a lui A sip1. Atunci
num arul-celulelor Jordan ale lui Ade ordinpeste
defect ((AI)p)defect ((AI)p1):
Demonstrat ie. FieJ=Jk1(1)Jk2(2)


Jks(s) forma canonic a
Jordan a lui A. CumA,Jsunt matrice asemenea, putem presupune c a
A=J. Atunci
defect((AI)p) =
= defect(Jp
k1(1)Jp
k2(2)


Jp
ks(s)) =
= defect(Jp
k1(1)) + defect( Jp
k2(2)) +


+ defect(Jp
ks(s)):
Folosind faptul c a defect( Jp
k()) = 0 dac a 6= 0  si lema anterioar a, avem
defect((AI)p) =sX
j=1X
j=min(kj;p):
Formula are loc  si dac a ^ nlocuim pcup1. Rezult a c a
defect((AI)p)defect((AI)p1) =
=sX
j=1X
j=(min(kj;p)min(kj;p1)) =sX
j=1X
j=;kjp1:
Din teorema anterioar a rezult a urm atorul algoritm de calcul direct al
formei canonice Jordan a unei matrice de numere complexe A.
1. Se calculeaz a valorile proprii ale lui A, adic a r ad acinile lui PA.
2. Pentru ecare valoare proprie , se calculeaz a numerele
fp= defect((AI)p)defect((AI)p1);1pma() + 1:
Pentru 1pma(), num arul -celulelor Jordan ale lui Ade ordinpeste
fpfp+1.

9.6. APLICAT  II ALE FORMEI CANONICE JORDAN. 165
De exemplu, e A=0
B@4 0 0
2 1 3
5 0 41
CA:G asimPA= (X4)2(X1). E clar
c aAare o singur a 1-celul a Jordan  si aceea are ordinul 1. Avem A4I=0
B@0 0 0
23 3
5 0 01
CA si (A4I)2=0
B@1 11
0 0 0
0 0 01
CA:Decif1= defect(A4I) = 1
 sif2= defect(A4I)2defect(A4I) = 21 = 1. Deducem c a Aare o 4-
celul a de ordinul doi. Deci forma canonic a Jordan a lui AesteJ1(1)J2(4) =0
B@1 0 0
0 4 0
0 1 41
CA:
9.6 Aplicat ii ale formei canonice Jordan.
FieA2Mn(C) o matrice cu forma canonic a Jordan J=Jk1(1)Jk2(2)



Jks(s). Ne intereseaz a g asirea unei matrice inversabile Uastfel ^ nc^ at
A=UJU1(Use nume ste matrice de asem anare ^ ntreA siJsau mai simplu
matrice de asem anare pentru A). PentruB2Mn(C)  siu;v2Mn;1(C), vom
scrieuB!v, dac aBu=v.
FieU2Mn(C). Not am coloanele lui Uprinu11,…,u1k1,…,us1,…,usks.
Atunci coloanele matricei AUsunt
Au11;:::;Au 1k1;:::;Aus1;:::;Ausks:
Pe de alt a parte, coloanele matricei UJsunt
1u11+u12;:::; 1u1k11+u1k1;1u1k1;:::;sus1+us2;:::;susks:
Deci egalitatea AU=UJeste echivalent a cu setul de relat ii
u11A1I!u12A1I!


A1I!u1k1A1I!0 (9.2)




us1AsI!us2AsI!


AsI!usksAsI!0:
FieSpec(A) =f1;:::;sg, mult imea valorilor proprii ale lui A. FieF=
fu1k1;u2k2;:::;usksg si pentru ecare 2Spec(A), eF=fuiki2Fji=
g.
D am, f ar a demonstrat ie, urm atoarea teorem a.

166 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
Teorema 202 (Filippov.) MatriceaUeste o matrice de asem anare ^ ntre A
 siJdac a  si numai dac a coloanele lui Uveric a relat iile (9:2) si mult imea
Feste liniar independent a pentru orice 2Spec(A).
^In particular, dac a valorile proprii ale lui Asunt distincte, atunci Ueste
o matrice ale c arei coloane sunt vectori proprii ai lui A(c^ ate unul pentru
ecare valoare proprie).
Exemple. (1) :Fie matricea A=0
BBB@3111
21 01
211 0
31111
CCCA. AvemPA=X4 si
defect (A) = 1, deci AJ4(0).Ueste matrice de asem anare dac a  si numai
dac a coloanele sale, u1,…,u4, veric a:
u1A!u2A!u3A!u4A!0  siu46= 0:
Calcul am puterile lui A:A2=0
BBB@2 011
1 01 0
2 011
2 0111
CCCA,A3=0
BBB@1 0 01
1 0 01
1 0 01
1 0 011
CCCA.
Putem luau1=t(1;0;0;0), adic aUs a e matricea format a cu prima coloan a
dinI;A;A2;A3:U=0
BBB@1 3 2 1
0 2 1 1
0 2 2 1
0 3 2 11
CCCA.
Putem proceda  si astfel. Rezolv^ and prin eliminare gaussian a sistemul cu
matricea extins a0
BBB@3111a
21 01b
211 0c
3111d1
CCCA, g asim
0
BBB@1 0 01ac
0 1 01 2ab2c
0 0 11bc
0 0 0 0 da1
CCCA, de unde obt inem solut ia0
BBB@ac+
2ab2c+
bc+
1
CCCA
 si condit ia de compatibilitate d=a.^In nal, d^ and lui succesiv valorile
1;0;0;0 g asimU=0
BBB@1 0 0 1
1 11 1
21 0 1
0 0 0 11
CCCA.

9.6. APLICAT  II ALE FORMEI CANONICE JORDAN. 167
(2):Fie matricea A=0
BBB@01 2 1
2 1 2 1
11 2 2
01 2 11
CCCA. AvemPA= (X2)2X2,
defect (A2I) = 1  sidefect (A) = 1, deciAJ2(2)J2(0).Ueste matrice
de asem anare (adic a A=U(J2(2)J2(0))U1) dac a  si numai dac a coloanele
sale,u1,…,u4, veric a:
u1A2I!u2A2I!0; u3A!u4A!0  siu2;u46= 0:
A2I=0
BBB@21 2 1
21 2 1
11 0 2
01 211
CCCA. Subspat iul 2-vectorilor proprii ai lui Aeste
generat de vectorult(1;1;1;1). Se vede c a ( A2I)t(0;1;0;0) =t(1;1;1;1):
Analog observ am c a At(1;1;0;1) = 0  siAt(1;1;1;0) =t(1;1;0;1):Deci o
matrice de asem anare este U=0
BBB@0 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 11
CCCA.
(3):Fie matricea A=0
BBB@31 01
2 0 01
11 1 0
21 0 01
CCCA. AvemPA= (X1)4.A
I=0
BBB@21 01
21 01
11 0 0
21 011
CCCA si (AI)2= 0. Rezult a c a defect (AI) = 2  si
defect (AI)2= 4, deciAJ2(1)J2(1).Ueste matrice de asem anare
(adic a,A=U(J2(1)J2(1))U1) dac a  si numai dac a coloanele sale, u1,…,
u4, veric a:
u1AI!u2AI!0; u3AI!u4AI!0  siu2;u4liniar independente :
Putem lua U=0
BBB@1 2 01
0 2 11
0 1 01
0 2 011
CCCA.

168 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
FieA2Mn(C). Consider am sistemul de ecuat ii diferent iale cu coecient i
constant iy0=Ay. Prin denit ie, o solut ie a acestui sistem este o funct ie
vectorial a derivabil a f:R!Cn, astfel ^ nc^ at f0(t) =Af(t) pentru orice t.
^In teoria ecuat iilor diferent iale cu coecient i constant i se arat a c a solut ia
general a a acestui sistem de ecuat ii este y=etACcuC2Mn1(C), unde
matriceaetA, numit a exponent iala lui A, se dene ste prin formula etA=P1
n=0(tA)n=n!.^In aplicat ii, explicitarea solut iei se face prin intermediul
formei canonice Jordan.
FieB2Mn(C),S2GLn(C)  siC2Mp(C). Din denit ie rezult a c a
etSBS1=S(1X
n=0(tB)n=n!)S1=SetBS1
 si
et(BC)=1X
n=0tn(BC)n=n! =etBetC:
De aici rezult a c a putem reduce calculul lui etAla cazul celulelor Jordan.
Pentru acestea avem
Teorema 203
etJk()=et0
BBBBBBBBBBB@1
t
1!1
t2
2!t
1!1




tk1
(k1)!


t2
2!t
1!11
CCCCCCCCCCCA:
Demonstrat ie.
etJk()=1X
n=0tnJn
k()
n!=
=1X
n=00
BBBBBBBBBBBBB@(t)n
n!
t
1!(t)n1
(n1)!(t)n
n!
t2
2!(t)n2
(n2)!t
1!(t)n1
(n1)!(t)n
n!




tk1
(k1)!(t)nk+1
(nk+1)!


t2
2!(t)n2
(n2)!t
1!(t)n1
(n1)!(t)n
n!1
CCCCCCCCCCCCCA=

9.7. EXERCIT  II 169
=et0
BBBBBBBBBBB@1
t
1!1
t2
2!t
1!1




tk1
(k1)!


t2
2!t
1!11
CCCCCCCCCCCA:
Exemplu. Fie sistemul de ecuat ii diferent iale cu coecient i constant i
y0=Ay, undeA=0
BBB@01 2 1
2 1 2 1
11 2 2
01 2 11
CCCA. Cum am v azut mai sus, A=
U(J2(2)J2(0))U1, undeU=0
BBB@0 1 1 0
1 1 02
0 1 01
0 1 0 01
CCCA. Rezult a c a solut ia
general a a ecuat iei diferent iale y0=Ayeste
f(t) =etAC=etU(J2(2)J2(0))U1C=UetJ2(2)tJ2(0)U1C
cuC2M41(C). Conform teoremei anterioare,
etJ2(2)tJ2(0)=etJ2(2)etJ2(0)=0
BBB@e2t0 0 0
te2te2t0 0
0 0 1 0
0 0t11
CCCA:
9.7 Exercit ii
^In exercit iile urm atoare Keste un corp comutativ.
219:G asit i clasele de asem anare ale matricelor din M2(Z2). (Indicat ie.
Dac a matricea nu este scalar a, atunci ea are un singur factor invariant.)
220:Num arat i clasele de asem anare ale matricelor din M2(K), undeKeste
un corp cu qelemente.

170 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
221:Calculat i factorii invariant i ai matricelor urm atoare cu transform ari el-
ementare  si cu ajutorul polinoamelor
. Pentru ecare matrice, scriet i forma
Jordan peste Q,R siC.
0
B@4 52
22 1
11 11
CA,0
B@31 3
22 927
5 261
CA,0
B@0 4 2
141
0 021
CA,0
BBB@21 1 0
0 1 1 0
01 2 1
11 1 11
CCCA,
0
B@3 0 0
a3 0
b021
CA,0
BBB@1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 11
CCCA.
222:Descriet i matricele A2M2(C) nediagonalizabile.
223:Fie;;
2Cdistincte  si A2M3(C). Determinat i forma canonic a
Jordan a lui A^ n cazurile urm atoare: (1) Spec(A) =f;;
g. (2)Spec(A) =
f;g,ma() = 2,mg() = 2. (3)Spec(A) =f;g,ma() = 2,mg() =
1. (4)Spec(A) =fg,mg() = 3. (5) Spec(A) =fg,mg() = 2. (6)
Spec(A) =fg,mg() = 1.
224:Determinat i forma canonic a Jordan  si o matrice de asem anare pentru
matriceaA=0
BBBBBBB@0 0 0


1
1 0 0


0
0 1 0


0
……………
0 0


1 01
CCCCCCCA2Mn(C).
225:Calculat i factorii invariant i ai matricelor urm atoare cu transform ari
elementare  si cu ajutorul polinoamelor
.0
BBBB@^1^1^0^1
^0^0^0^1
^1^1^1^0
^0^1^0^01
CCCCA2M4(Z2)  si0
BBBB@^1^0^0^0
^0^2^2^2
^0^1^0^0
^0^0^1^01
CCCCA2M4(Z3).
226:Este matricea A=0
B@1 2 0
0 1 2
0 0 11
CAasemenea cu o matrice diagonal a ?

9.7. EXERCIT  II 171
227:Cum poate ar ata forma Jordan a unei matrice cu polinomul caracter-
istic (X2)2(X3)3?
228:FieA2M10(Q). G asit i forma canonic a Jordan a lui A stiind c a printre
divizorii elementari ai lui Apeste Cse g asescXi, (Xi)2,X+p
2  si
X+p
3.
229:Fiea;b;c2Castfel ^ nc^ at a2;b2;c2sunt distincte. G asit i forma
canonic a Jordan a matricei A=0
BBB@0a b c
a0c b
b c 0a
c b a 01
CCCA:
230:Fie2Sn. G asit i forma canonic a Jordan a matricei A= (aij)1i;jn
undeaij=i(j)Aplicat ie:= (1943)(852). Deducet i c a dou a permut ari
;2Snsunt conjugate dac a  si numai dac a AA.
231:FieVunK-spat iu vectorial cu baza e1,…,en,nnum ar par. G asit i
forma Jordan a endomorsmului ual luiVdenit prin u(ei) =en+1i.
232:G asit i forma Jordan a unei matrice A2Mn(K) de rang 1. Aplicat i
rezultatul pentru B=0
B@1 1 1
2 2 2
3 3 31
CA siC=0
B@1 1 1
2 2 2
3331
CA
233:G asit i forma Jordan a unei matrice A2Mn(K) cu toate elementele
egale cu 1.
234:Fie matricea A=0
B@5 4 2
4 5 2
2 2 21
CA. Calculat i:
(a) polinomul caracteristic al lui A,
(b) inversa matricei Afolosind teorema Hamilton-Cayley,
(c) valorile proprii  si subspat iile proprii corespunz atoare,
(d) forma Jordan a lui A si o matrice de asem anare.
235:Determinat i forma canonic a Jordan  si o matrice de asem anare pentru
matriceaA=0
BBB@31 01
2 0 01
11 1 0
21 0 01
CCCA2M4(C). Calculat i puterile lui A.

172 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
236:Determinat i forma canonic a Jordan a matricei A=0
B@1 1 1
1" "2
1"2"1
CA
unde"= (1 +ip
3)=2.
237:Determinat i forma canonic a Jordan  si o matrice de asem anare pentru
matriceaA=0
B@0 0 8
1 012
0 1 61
CA2M3(C).
238:Determinat i forma canonic a Jordan  si o matrice de asem anare pentru
matriceaA=0
BBBBBB@0 0 0 0 1
1 0 0 01
0 1 0 02
0 0 1 0 2
0 0 0 1 11
CCCCCCA:
239:Determinat i forma canonic a Jordan a matricei A=0
B@a 0b
a a +b0
b 0a1
CA
undea;b2C.
240:Ar atat i c a o matrice A2Mn(K) este nilpotent a ,PA=Xn,
An= 0. Pentru n= 4, scriet i toate matricele Jordan nilpotente.
241:FieA2Mn(K) astfel ^ nc^ at PA=12


kcu1;2;:::;k2K[X]
polinoame ireductibile unitare distincte. Ar atat i c a AJ1(1)


J1(k).
242:Ar atat i c a o matrice A2Mn(K) este idempotent a (i.e. A2=A),
Aare divizorii elementari forma XsauX1. Pentrun= 4, scriet i toate
matricele Jordan idempotente.
243:Fie matricea A=0
B@1 1 1
111
1 1 11
CA. Ar atat i c a A=A2 si determinat i
forma Jordan a lui A.
244:G asit i forma Jordan a lui J2
n(0).

9.7. EXERCIT  II 173
245:Ar atat i c aJ2
5(0)J2
2(0)J2
3(0) folosind transform ari elementare de
tipPij.
246:Dat i un exemplu de dou a matrice nilpotente neasemenea av^ and acela si
rang, polinom caracteristic  si polinom minimal.
247:FieA;B2Mn(K). Ar atat i c a Tr(A+B) =Tr(A) +Tr(B)  si
Tr(AB) =Tr(BA).
248:Ar atat i c a o matrice A2Mn(C) cu urma nul a este asemenea cu o
matrice av^ and elementele de pe diagonala principal a nule.
249:Ar atat i c a o matrice A2Mn(C) are urma nul a dac a  si numai dac a A
se poate scrie sub forma XYYXcuX;Y2Mn(C).
250:FieKun corp,n1,A2Mn(K)  sib1;:::;bn2Kelemente distincte.
Ar atat i c aAcomut a cudiag(b1;:::;bn),esteAeste matrice diagonal a. ^In
particular, dac a Ak=diag(b1;:::;bn), atunciA=diag(a1;:::;an) cuak
i=bi,
i= 1;:::;n .
251:FieA;B2Mn(C) c aAB=BAastfel ^ nc^ at Aare valorile proprii
distincte. Ar atat i c a exist a S2GLn(C) astfel ^ nc^ at SAS1 siSBS1sunt
matrice diagonale.
252:FieA2Mn(C)  sik2. Ar atat i c a 2 rang (Ak)rang (Ak1) +
rang (Ak+1).^In particular, dac a rang (Ak) =rang (Ak1), atuncirang (Ak+1)
=rang (Ak).
253:G asit i forma canonic a Jordan a unei matrice A2M7(C) cuA=
X(X1)3 siTr(A) = 4.
254:G asit i termenul general al  sirurilor date prin relat iile de recurent  a: ( a)
xn=xn1xn2,×0= 2,×1=1. (b)xn= 10xn2+ 20xn3+ 15xn4+
4xn5,×0= 2,×1= 1,×2= 29,×3= 27,×4= 337.
255:Determinat i termenul general al  sirurilor ( an)n, (bn)n, (cn)ndenite
prin relat iile de recurent  a an+1= (bn+cn)=2,bn+1= (an+cn)=2,cn+1=
(an+bn)=2,a0;b0;c0date.
256:Ar atat i c a pentru n2, ecuat ia matriceal a Z2=Jn(0) nu are solut ii.

174 CAPITOLUL 9. FORMA CANONIC A JORDAN
257:FieKun corp de caracteristic a 6= 2  sin1. Ar atat i, prin induct ie
dup an, c a ecuat ia matriceal a Z2=Jn(1) are solut ii.
258:FieA= (aij)1i;jn2Mn(K) o inferior triunghiular a cu a11=a22=
:::=ann= sia12a23


an1n6= 0. Determinat i forma Jordan a lui A si
aplicat i rezultatul pentru Jk
n(),2K.
259:Fiea2C sik;n1. Ar atat i c a ecuat ia matriceal a Zk=Jn(a) are
solut ii ^ nMn(C).
260:Fie matricele A=0
BBB@21 01
21 01
11 0 0
21 011
CCCA siB=0
BBB@3111
21 01
211 0
31111
CCCA.
Au ecuat iile Y2=A,Z2=Bsolut ie ^ nM4(C) ?
261:Rezolvat i ^ n M3(C) ecuat iaY2=A, undeA=0
B@5 2 3
4 54
6 441
CA:
262:Calculat iAn sieApentruA=
0 2
3 5!
.
263:Calculat iAn sieApentruA=
31
1 1!
.
264:FieA2Mn(C). Ar atat i c ajeAj=eTr(A).
265:Calculat ietAundeA=0
BBB@0 1 0 0
2 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 01
CCCA:

Capitolul 10
Solut iile exercit iilor
1:Dac ac2Mn(A[B), atuncif(fcg) = (;;;) =f(;). Reciproc, dac a
A[B=M sif(X) =f(Y), atunciX=X\M= (X\A)[(X\B) =
(Y\A)[(Y\B) =Y.
Dac afeste surjectiv a, atunci exist a Xcuf(W) = (A;;), deciA\B
W\B=;. Reciproc, dac a A\B=;, atunci pentru orice ( C;D)2
P(A)P(B),f(C[D) = (C;D).
2:Se observ a c a feste injectiv a (resp. surjectiv a) ,ff=I(resp.
ff=I), sau se folosesc denit iile.
3:Fiea;b;p;q2Zcuf(a;b) =f(p;q). Rezult a 2p
2(ap)2Q, decia=p;
apoi (bq)(b+q2=3) = 0, deci b=q, deoarece 2 =362Z.
Cf. primei p art i, putem a seza punctele de coordonate ^ ntregi ^ ntr-un  sir
(Pi)i1astfel ^ nc^ at d1<d 2<d 3:::, undedieste distant a de la PilaC. Dac a
dn< rn< dn+1, cercul de centru C si raz arncont ine ^ n interior exact n
puncte cu coordonatele numere ^ ntregi.
4:Folosind egalit at ile 4 k= (2k+ 1)2(2k1)2 si 2k+ 1 = (k+ 1)2k,
se arat a c a Im(f) =Zn(4Z+ 2).
5:f;;fag;fbg;fcg;fdg;fa;bg;fa;cg;fa;dg;fb;cg;fb;dg;fc;dg;fa;b;cg;
fa;b;dg;fa;c;dg;fb;c;dg;fa;b;c;dgg, undea=;,b=f;g,c=ff;gg  si
d=f;;f;gg.
6: A1este nit a  si Im(f1)Im(f1f2)


, deci exist a a12\n1Im(f1



fn).A2este nit a, deci exist a a22\n2Im(f2


fn) astfel ^ nc^ at f1(a2) =
a1 s.a.m.d.
175

176 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
7:Dac ab2B, atuncif(B) =b62B, contradict ie. Rezult a c a b62B, adic a
exist aCAcub=f(C)2C. Decif(B) =f(C)  sib2CnB.
8:Injectivitatea lui grezult a din injectivitatea lui f si faptul c a f(C)C.
Fiey2A. Dac ay62C, atuncig(y) =y. Dac ay2C, atunci exist a x2BnA
 sin1 astfel ^ nc^ at y=fn(x), deciz=fn1(x)2C sig(z) =y.
Pentru cazul particular, f: [0;1]![0;1),f(x) =x=2, rezult a biject ia
g(x) =(
1=2n+1dac ax= 1=2n;
x altfel:
9:Aplic^ and exercit iul anterior pentru A=v(E),B=D sif=vu, obt inem
D'v(E)'E.
10:FiepB:BC!B sipC:BC!Cproiect iile canonice. Fie
funct iile:BACA!(BC)A,(f;g)(a) = (f(a);g(a)) pentru orice
(f;g)2BACA,a2A,  si: (BC)A!BACA,(h) = (pBh;pCh).
Se arat a c a ,sunt inverse una celeilalte.
Fie funct iile
: (CB)A!CAB, (
(f))(a;b) =f(a)(b), pentru orice
f2(CB)A,a2A,b2B,  si:CAB!(CB)A, ((g))(a)(b) =g(a;b),
g2CAB,a2A,b2B. Se arat a c a
,sunt inverse una celeilalte.
11:Induct ie dup a n, cazuln= 2 ind u sor. La pasul inductiv, scriem
jA1[A2[


[An[An+1j=jA1[A2[


[Anj+jAn+1jj(A1\An+1)[
(A2\An+1)[


[ (An\An+1)j si aplic am ipoteza de induct ie.
Altfel. Fie A=A1[A2[:::[An siB=XnA. PentruCX, e
C:C!f0;1gfunct ia caracteristic a a lui C^ nX; rezult a c ajCjeste suma
valorilor lui C. Se arat a c a A= 1B= 1(1A1)


(1An).
12:(a), (b), (d). Reprezent am o funct ie f:A!Bsub forma
f=
1 2::: a
f(1)f(2)::: f (a)!
cuf(1);f(2);:::;f (a)2B. Dac afeste oarecare, ecare element f(i) poate
 ales ^ nbmoduri. Deci N=ba. Dac afeste injectiv a (resp. strict
cresc atoare), atunci f(1);f(2);:::;f (a) sunt distincte (resp. formeaz a un  sir
strict cresc ator). Deci Ni=Aa
b siNr=Ca
b.
(c). Pentrui2B, eEimult imea funct iilor f:A!Bcui62Im(f).
Atunci mult imea non-surject iilor f:A!BesteE1[E2[


[Eb. Dac a

177
1i1i2


ikb, atunciEi1\


\Eikeste practic mult imea
funct iilorh:A!Bnfi1;:::;ikg, deci are (bk)aelemente. Pentru kxat,
suntCk
bastfel de intersect ii. Se aplic a ex. 11.
(e). FieC=f1;:::;a +b1g. Dac af:A!Beste o funct ie cresc atoare,
atunci funct ia
f0:A!C;f0=
1 2 3 ::: a
f(1)f(2) + 1f(3) + 2::: f (a) +a1!
este strict cresc atoare. Reciproc, dac a g:A!Ceste o funct ie strict
cresc atoare, atunci funct ia
g00:A!C;g00=
1 2 3 ::: a
g(1)g(2)1g(3)2::: g (a)a+ 1!
este cresc atoare. Cum aplicat iile f7!f0,g7!g00sunt inverse una celeilalte,
Nc=Ca
a+b1, cf. (d).
13:Unui monom Xi1
1Xi2
2


Xinnde gradk^ i asociem  sirul 0i1i1+i2
:::i1+


+in1k. Reciproc, unui  sir 0 j1j2:::jn1k
^ i asociem monomul de grad k,Xj1
1Xj2j1
2


Xjn1jn2
n1Xkjn1n . Cele dou a
funct ii astfel denite sunt inverse una celeilalte. Se aplic a punctul ( e) al
exercit iului precedent.
14:Pentru 1in, eAimult imea mult imea permut arilor 2Sncu
(i) =i. Atunci mult imea permut arilor cu puncte xe este A1[A2[


[An.
Dac a 1i1i2


ikn, atunciAi1\


\Aikeste practic mult imea
permut arilor mult imii f1;:::;ngnfi1;:::;ikg, deci are (nk)! elemente. Pentru
kxat, suntCk
nastfel de intersect ii. Se aplic a ex. 11.
15:Pentru 1is, eAimult imea numerelor 1 qndivizibile cu pi.
Atunci mult imea numerelor pozitive n si neprime cu nesteA1[A2[


[As.
Dac a 1i1< i 2<


< iks, atunciAi1\


\Aikeste mult imea
numerelor 1qndivizibile cu pi1


pik, deci aren=pi1


pikelemente.
Se aplic a ex. 11.
16:O relat ie de echivalent  a cu kclase de echivalent  a pe f1;2;:::;ngdeter-
min ak! surject iif1;2;:::;ng!f 1;2;:::;kgobt inute din surject ia canonic a
prin diverse numerot ari ale claselor dechivalent  a. Deci num arul acestor relat ii
estesn;k=k! undesn;keste num arul surject iilor de la f1;2;:::;nglaf1;2;:::;kg
(vezi ex. 12( c)). Num arul c autat este sn;1=1! +sn;2=2! +


+sn;n=n!.

178 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
17:Relat ia este re
exiv a ( nj0 =aa), simetric a ( njabimplic anjba)
 si tranzitiv a ( njab sinjbcimplic anjac=ab+bc).
18:(a).este re
exiv a (0 = aa2Z), simetric a ( ab2Zimplic aba2
Z)  si tranzitiv a ( ab2Z sibc2Zimplic aac=ab+bc2Z). Altfel:
este relat ia asociat a funct iei f:R!C,f(x) = cos(2x) +isin(2x).
(b);(c).nu este tranzitiv a: (0 ;1);(1;2)2, (0;2)62, iar
nu este
re
exiv a: (1 =3;1=3)62
.
19:Simplic am scrierea pun^ and xy^ n loc de (x;y)  si suprim^ and acoladele.
Fie
= 11 ;22;33. Avemg(12;21;13) = 0,g(
;12;21;23) = 1,g(12;21) =
2,g(
;12;21;13;31) = 3,g(12;21;11;22;13;23) = 4,g(
;12;21;13;23) =
5,g(12;21;11;22) = 6,g(f1;2;3g2) = 7,g(12;23) = 8,g(
;12;23) = 9.
g(12) = 12, g(
;12) = 13,g(11) = 14, g(
) = 15. ^In plus, 10;1162Im(g),
deoarece o relat ie simetric a  si antisimetric a este 
deci tranzitiv a.
20:Pentru orice f;g;h2F, avemDff=;,Dfg=Dgf siDfhDfg[Dgh.
21:Clasele de echivalent  a sunt dreptele ce trec prin 0  si un sistem de
reprezentant i este dat de un semicerc f ar a unul din capete al cercului unitate.
22:este relat ia asociat a funct iei f:C!R,f(z) = Re(z). Clasele de
echivalent  a sunt dreptele verticale, iar Reste un sistem de reprezentant i.
23:Relat ia este re
exiv a ( fI=If), simetric a ( fu=ugimplic agu1=
u1f)  si tranzitiv a ( fu=ug sigv=vhimplic afuv=uvf).
24:Relat ia este re
exiv a ( a+b=b+a), simetric a ( a+d=b+cimplic a
b+c=a+d)  si tranzitiv a ( a+d=b+c sic+f=d+eimplic aa+f=b+e).
Avem biject ia [( a;b)]7!ab:NN=! Z.
25:Relat ia este re
exiv a ( ab=ba), simetric a ( ad=bcimplic abc=ad)  si
tranzitiv a (ad=bc sicf=deimplic aaf=be). Avem biject ia [( a;b)]7!a=b:
ZN=! Q.
26:Relat ia este re
exiv a ( limn!1(anan) = 0), simetric a ( limn!1(anbn) = 0
implic a limn!1(bnan) = 0)  si tranzitiv a ( limn!1(anbn) = 0  si limn!1(bncn) =
0 implic a limn!1(ancn) = limn!1(anbn+bncn) = 0). Avem biject ia
[(an)n1]7!limn!1(an) :C=! R.

179
27:Buna-denire ^ nseamn a: ^k=^l)f(^k) =f(^l). Rezult a c a buna-denire
este echivalent a cu 4 jn.
28:Calcul am^ n c^ ate moduri putem completa o tabl a nn. Suntnn2operat ii
dintre care nn(n+1)=2sunt comutative deoarece elementele sub-diagonale sunt
deja precizate. Sunt n(n1)2+1operat ii care au element neutru deoarece linia
 si coloana elementului neutru sunt unic determinate  si elementul neutru poate
 oricare dintre cele nelemente.
29:Fie funct iile fn:S!S,fn(x) =xn,n1. CumSeste nit, exist a
n>m1 astfel ^ nc^ at fn=fm.
30:Se arat a c a Tn=T1Tn1+T2Tn2+


+Tn1T1(vezi [9, 3.23]).
31:(a) neasociativ a, necomutativ a, f ar a element neutru. ( b) asociativ a,
necomutativ a, f ar a element neutru. ( c) neasociativ a, comutativ a, f ar a ele-
ment neutru. ( d) asociativ a, comutativ a, f ar a element neutru. ( e) asociativ a,
comutativ a, cu elementul neutru zero.
32: f(xy=x+ 1) = 0 deoarece 1 (23)6= (12)3,f(xy=x) = 1,
f(xy=xy+ 1) = 2 deoarece 1 (23)6= (12)3,f(xy= 0) = 3,
f(xy=x+ 1 pentru x;y1, 0x=x0 =x) = 4,f(xy=x
pentrux;y1, 0x=x0 =x) = 5,f(xy=xy+ 1 pentru x;y1,
0x=x0 =x) = 6,f(xy=x+y) = 7. Deci feste surject ie.
33:Vezi solut ia ex. precedent.
34:Necomutativ a: 0(1=2)6= (1=2)0, asociativ a: x(yz) =x+[y]+[z] =
(xy)z, f ar a element neutru: ex=ximplic ae= 0, dar 0(1=2)6= 1=2.
35:(xy)zx(yz) = (ac+bb2)(xz), deciasociativ a,b2=b+ac.
xe=x,(ae1+b)x+be+c= 0, deciare element neutru ,bjc sib=
b2ac. Presupunem c a Ma;b;ceste monoid. Rezult a c a d=c=beste ^ ntreg  si
b= 1+ad,c=d(1+ad); a sadarxy=axy+(1+ad)(x+y)+d(1+ad). Avem
izomorsmele de monoizi f:Ma;b;c!Ma;1;0,f(x) =x+d sig:Ma;1;0!Ka,
g(x) =ax+ 1 (N. Beli).

180 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
36:Fiea;b1. Atunci a+a6=a, darmax(a;a) =min(a;a) =a si
cmmmc (a;a) =a, deci ( N;+) nu este izomorf cu nici unul din ceilalt i trei
monoizi. ^In plus,max(a;b);min (a;b)2fa;bg, darcmmmc (2;3) = 6, deci al
doilea monoid nu este izomorf cu al treilea sau cu al patrulea. ^In ne, ultimii
doi nu sunt izomor deoarece ^ n ( N[f1g;min ) ecuat iamin(a;x) =aare
o innitate de solut ii.
37:Dac aMeste monoid, morsmele ( N;+)!Mau forman7!an,axat
(cf. teoremei 22). Endomorsmele lui ( N;max ) sunt funct iile cresc atoare.
Singurul morsm f: (N;max )!(N;+) este cel nul, deoarece xyimplic a
f(y) =f(x) +f(y).
38: f(n) =f1;2;:::;ng.
39:FieA=
a b
c d!
2M2(Z) cuA3= 0. Rezult a c a jAj= 0, apoi
A2= (a+d)A si (a+d)A2= 0, deciA2= 0. Exist a B2M3(Z) cuB3= 0
 siB26= 0, de exemplu B=0
B@0 0 0
1 0 0
0 1 01
CA:
40:Prima parte este imediat a. Pentru partea a doua, pornim cu un grup
cuaelemente  si iter am construct ia M7!M0.
41:(Nn;+) arenatomi: (1;0;:::;0),…,(0;:::;0;1). Doi monoizi izomor au
acela si num ar de atomi.
42:Monoidul ( N2;+) are atomii (1 ;0)  si (0;1), iar ( Nnf1g;+) are atomii
2  si 3. Dac a f: (N2;+)!(Nnf1g;+) este un izomorsm  si f(1;0) =a,
f(0;1) =b, atuncibf(1;0) =af(0;1), deci (b;0) = (a;0), contradict ie.
43:Atomii unui monoid liber sunt literele, deci W(S) aresatomi. Dac a
monoizii sunt izomor, ei au acela si num ar de atomi, deci s=t. Reciproc,
dac as=t, orice biject ie S!Tse extinde la un izomorsm W(S)!W(T).
44:Fien6= 5;8. Orice element neinversabil din Mnesten+ 1, deci
p= (n1)2este atom. n+ 1 nu divide (2 n1)2, deoarecen6= 8. Deci
q= (2n1)2este atom, altfel (2 n1)2=abcua;b2n+ 1, imposibil.
Analog se arat a c a r= (n1)(2n1) este atom. Pentru n= 5, putem

181
luap= 42,q= 142 sir= 56. Pentru n= 8, putem lua p= 72,q= 232 si
r= 161. Altfel. Cf. teoremei lui Dirichlet, progresia aritmetic a ( an1)a1
cont ine o innitate de numere prime. Fie p6=qdou a dintre acestea. Rezult a
c ap2,q2 si (pq)2sunt atomi (O.I.M. 1977).
45:Atomii luiM2sunt numerele prime impare, iar atomii lui M3sunt nu-
merele prime de forma 3 k+ 1  si produsele pqcup;qnumere prime de forma
3k+ 2. ^InM3sunt numere ce se scriu ^ n mai multe moduri ca produs de
atomi (e.g., 552= 25
121).
46: xy= (xy)1=y1x1=yx.
47:Not^ and 0 = ( ^0;^0),a= (^1;^0),b= (^0;^1)  sic= (^1;^1) avem
+0abc
00aac
aa0cb
bbc0a
ccba0
48:(13) =ab, (23) =a2b, (132) =a2.
Iaa2baba2b
IIaa2baba2b
aaa2Iaba2bb
a2a2Iaa2bbab
bba2babIa2a
ababba2baIa2
a2ba2babba2aI
49:FieGun grup cu 4 elemente. Elementele lui Gau ordinul divizor al lui
4. Dac aGcont ine un element xde ordin 4, atunci Geste ciclic generat de
x, deciG'Z4. Presupunem c a G=f1;a;b;cgcua2=b2=c2= 1. Dac a
ab= 1 (resp.,ab=a,ab=b), atuncia=b(resp.,b= 1,a= 1), contradict ie.
Deciab=c,  si analogba=c,ac=ca=b,bc=cb=a. Compar^ and tablele
de ^ nmult ire (vezi exercit iului 47), vedem c a G'Z2Z2.
50:Fiek1 cu (ab)k= 1. Rezult a c a ak=bk, apoiank= (bn)k= 1,
decimdividenk,  si cum (m;n) = 1, rezult a c a mdividek. Din simetrie
rezult a c andividek, decimndividek, deoarece ( m;n) = 1.

182 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
51:FieGun grup cu 6 elemente. Gcont ine un element ade ordin 3  si un
elementbde ordin 2, cf. teoremei lui Cauchy. Deci G=f1;a;a2;b;ab;ab2g.
Dac aba= 1 (resp., ba=b,ba=b2,ba=a), atuncia=b(resp.,a= 1,
a=b,b= 1), contradict ie. Deci ba=absauba=a2b. Dac aba=ab, atunci
abare ordinul 6 (cf. ex. 50), deci Geste ciclic generat de ab, a sadarG'Z6.
Dac aba=a2b, atunci compar^ and tablele de ^ nmult ire (vezi ex. 48), se vede
c aG'S3.
52:FieGun grup cu 8 elemente. Dac a Gcont ine un element de ordin 8,
atunciGeste ciclic, deci G'Z8. Dac a toate elementele 6= 1 au ordinul 2,
atunciG'Z3
2. Presupunem c a Gcont ine un element ade ordin 4  si e
b2Gn< a > . Rezult a c a G=f1;a;a2;a3;b;ab;ab2;a3bg. Deducem c a
G'Z2Z4dac aab=ba,G'D4dac aba=a3b sib2= 1,  siG'Qdac a
ba=a3b sib2=a2.
53:Fief:A!Bo biject ie. Se arat a c a 7!ff1:SA!SBeste
izomorsm.
54:Biject iaf: (0;1)!(1;1),f(x) = (x1)=(x+ 1), veric a condit ia
f(xy) =f(x)f(y) pentrux;y> 0.
55:(a). 1 este elementul neutru, 1 = ac=ca=b2=d2=e2=f2=g2
 siad6=da, deciGgrup neabelian. G=< a;d > deoareceb=a2,c=a3,
e=ad,f=a2d,g=ad. (b). Clasele de conjugare sunt f1g,fbg,fa;cg,
fd;fg,fe;gg.Z(G) =f1;bg. (c). 1 are ordinul 1, a sicau ordinul 4,
celelalte au ordinul 2. ( d). Subgrupurile sunt f1g,G,f1;b;d;fg,f1;b;e;gg,
f1;a;b;cgf1;bg,f1;dg,f1;eg,f1;fg,f1;gg, normale, adic a reuniune de
clase de conjugare, ind primele 6. ( e).G= < b > =f^1;^a;^d;^egeste izomorf
cu grupul lui Klein, cf. exercit iului 49, deoarece elementele 6=^1 au ordinul
doi.
56:Realiz am pe D4ca grup de permut ari, ca ^ n ex. 89. Se compar a tablele
de ^ nmult ire.
57:FieTun triunghi echilateral cu centrul cercului circumscris O. Grupul
D3const a din rotat iile decentru O si unghi 0, 2 =3, 4=3 radiani  si cele 3
simetrii fat  a de axele de mediatoarele lui T. Privind aceste transformari ca
permut ari ale v^ arfurilor triunghiului se obt ine un izmorsm D3'S3.

183
58: D12are elemente de ordin 12 ^ n timp ce S4nu are.
59:Cu except ia elementelor 1 care are ordinul 1  si a lui 1 care are ordinul 2,
toate celelalte au ordinul 4. Subgrupurile de ordin 4 sunt f1;ig,f1;jg,
f1;kg si sunt normale deoarece sunt de indice 2. Exist a un singur subgrup
de ordin 2,f1g. Normalitatea acestuia se verica cu denit ia sau observ am
c aZ(Q) =f1g.
60:Elementul neutru este (0 ;1)  si (x;a)1= (ax;a). Elementele (2 ;1)
 si (1;1) au ordinul 2  si produsul lor (1 ;1) are ordin innit.
61:Fief:Q!Zun morsm  si x;n2Z,n6= 0. Atunci f(x) =nf(x=n),
decif(x) = 0 deoarece se divide cu orice n.
62:(Q;
) are un element de ordinul 2, pe 1, celelalte grupuri nu au. Apoi
se aplic a ex. precedent.
63:Pentru orice a1;:::;an;s2Znf0g,< a 1=s;:::;an=s > este subgrup al
grupului ciclic <1=s>, deci ciclic.
64:Putem lua grupurile aditive G=QN siH=ZQN.Heste subgrup al
luiGiar (a1;a2;:::)7!(0;a1;a2;:::) :G!Heste morsm injectiv. Grupurile
nu sunt izomorfe deoarece x7!2xeste automorsm al lui Gdar nu este
automorsm al lui H.
65: Geste produsul direct al grupurilor Z si (f1g;
).Gnu este ciclic
deoarece are  si elemente de ordin nit >1 (e.g. (0;1))  si elemente de ordin
innit (e.g. (1 ;0)).
66:FieHun subgrup nenul al lui ( Q;+).^Inmult ind cu un anumit q2Q,
putem presupune c a HZ. Folosim urm atoarele dou a observat ii. Dac a
a=b2Hcua;b2Nprime ^ ntre ele, atunci 1 =b2H(din 1 =aa0+bb0,
rezult a 1=b=b0+a0a=b2H). Dac ab;c2Nsunt prime ^ ntre ele, atunci
1=b;1=c2H,1=b;1=c2H(dac a 1=(bc)2H si 1 =bb0+cc0, atunci
1=(bc) =b0=c+c0=b2H).
67:FieHun subgrup nenul al lui Zp1. Dac aa2Znu se divide cu p,
atuncida=pn2H,d1=pn2H(din 1 =ab+pnc, rezult ad1=pn=bda=pn2
H). FieM=supfnjd1=pn2Hg. Dac aM=1, atunciH=Zp1, altfel
H=<d1=pM>.^In ^ ncheiere se aplic a teorema fundamental a de izomorsm
epimorsmului x7!xpn:Zp1!Zp1:

184 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
68:Prima parte se veric a prin calcul. fu((2+i)n)jn1g=f(b4;b0);(b1;b0)g,
fu((2i)n)jn1g=f(b0;b4);(b0;b1)g.
69:(a).d1 +iare ordinul 4 deoareced1 +i2=b2i6=b1  sid1 +i4=d4 =b1.
Dac a exist a n1 cu (2 +i)n2Q, atunci (2 + i)n= (2i)n, imposibil
cf. exercit iului precedent. ( b). Avem 2 + i=p
5(cos  +i sin  ) cu=
arctg (1=2). Din (a) rezult a c a arctg (1=2)=62Q. Subgrupul generat de
d1 +i sid2 +inu este ciclic deoarece cont ine un element de ordin 4  si un altul
de ordin innit. ( c). Dac aGeste nit generat, atunci el este num arabil, deci
Car  num arabil, ca reuniunea claselor sale modulo Q, contradict ie.
70:Se adapteaz a demonstrat ia teoremei 25 astfel. Fie Hun subgrup neciclic
al lui Z2. AtunciHnu este cont inut ^ n Zf0gsauf0gZdeoarece acestea
sunt izomorfe cu Z. Exist a atunci elementele ( a;b)2Hcua >0 minim  si
(0;c)2Hcuc>0 minim. Se arat a c a <(a;b);(0;c)>=H
71:Putem lua G= (Z[X];+)  si izomorsmul u:GG!G,u(f;g) =
f(X2) +Xg(X2).
^In urm atoarele patru exercit ii, Z[[X]] (resp. Z[X]) desemneaz a grupul
aditiv al seriilor formale (resp. polinoamelor).
72:FieAmult imea morsmelor Z[X]!Z. Se arat a c a aplicat ia u7!
u(1) +u(X)X+u(X2)X2+


:A!Z[[X]] este bijectiv a.
73:Neg am. Putem presupune c a u(Xn)6= 0 pentru orice n0. Punem
q0= 1  siqn= (ju(1)j+ 1)(ju(X)j+ 1)


(ju(Xn1)j+ 1), pentru n1.
Mult imea seriilor de formaP
nrnXncurn2f0;qngeste nenum arabil a, deci
exist a dou a serii de acest tip distincte cu aceea si imagine prin u. Sc az^ andu-
le, g asim o serie f=amXm+am+1Xm+1+


cuam6= 0  sian2f0;qng
pentrunmastfel ^ nc^ at u(f) = 0. Deci
qmu(Xm) =u(amXm) =qm+1u(a0
m+1Xm+1+a0
m+2Xm+2+


)
undea0
i=ai=qm+1. Deciqm+1divideqmu(Xm), de unde rezult a c a ju(Xm)j+
1 divideu(Xm), contradict ie.
74:Presupunem c a exist a f=P
nanXncuu(f)6= 0. Atunci aplicat ia
v:Z[[X]]!Z,v(P
nbnXn) =u(b0a0+(b0+b1)a1X+(b0+b1+b2)a2X2+


),
este morsm de grupuri. Cum use anuleaz a pe Z[X], rezult a c a v(Xn) =
u(f)6= 0, pentru orice n, contradict ie, cf. ex. 73.

185
75:Cf. ex. 73, exist a Ncuu(Xn) = 0 pentru nN+ 1. Atunci morsmul
uu(1)0u(X)1


u(XN)Nse anuleaz a pe Z[X], deci este nul, cf.
ex. 74.
76:(a).nda=b=b0,na=b2Z,bdividen. (b). Pentru orice a1;:::;an;s2
N,<da1=s;:::;dan=s> este subgrup al grupului ciclic cu selemente<d1=s>.
(c).Gnu este nit deoarece are elemente de orice ordin (cf. ( a)), deciGnu
este nici nit generat, cf. ( b).
77:Fief:Zm!Znmorsm. Pentru x2Z,f(bx) =f(xb1) =axcu
a=f(b1).
^In plus, 0 =f(cm) =am, decinjma, adic an=ddivideaunded= (m;n).
Reciproc, dac a n=ddividea,fdenit prin f(bx) =axeste morsm.
78:Grupul ( R;+)=Zare un singur element de ordinul doi 1 =2 +Z. Grupul
(R;+)=<p
2;p
3>are trei elemente de ordinul doi:p
2=2 +H,p
3=2 +H
 sip
2=2 +p
3=2 +H, undeH=<p
2;p
3>.
79:Funct iaf:Z!Z2= < (2;3)>,f(m) =d(m;m ) este un izomorsm
de grupuri, deoarece ( m;m )62<(2;3)>pentru orice mnenul  si (a;b) =
(ba)(2;3) + (3a2b)(1;1) pentrua;b2Z.^In (Z2;+)= <(2;2)>,d(1;1)
are ordinul 2 iard(1;0) are ordin innit.
80:Fiep:G!G=H morsmul canonic  si e elementul nenul x=
p(1;2;:::;2n;2n+1;:::). Pentru orice n,x=p(0;0;:::;0;2n;2n+1;:::) = 2np(0;0;
:::;0;1;2;:::). Un element y2Gcare se scrie sub forma 2nynpentru orice n
este obligatoriu nul.
81:Prima armat ie se veric a u sor. Fie K=f0;a;b;cggrupul lui Klein
(vezi solut ia ex. 47). Se arat a c a orice permutare 2SKcu(0) = 0 este
endomorsm al lui K.
82: xka= 1,ndivideka,n=(n;k) dividea.
83:Se folose ste ultima parte a demonstrat iei corolarului 45. Subgrupurile
luiZ12=Z=12ZsuntdZ=12Zcuddivizor al lui 12: fb0g,fb0;b6g,fb0;b4;b8g,
fb0;b3;b6;b9g,fb0;b2;b4;b6;b8;c10g,Z12. Pentru grupurile factor se aplic a corolarul
45  si teorema 44, de exemplu Z12=fb0;b3;b6;b9g'Z3.

186 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
84:Fien1. Subgrupul Un=fz2Cjzn= 1g=fcos2k=n +
isin 2k=njk= 0;1;:::;n1geste ciclic generat de cos2=n+isin 2=n.
Dac aHeste un subgrup cu nelemente, atunci HUn(cf. teoremei lui
Lagrange), deci H=Un.
85:FieCnsubgrupul lui Ggenerat de fn=DnTDn. Deoarece fn(x) =
x+1=2n, subgrupurile Cnalc atuiesc un lant  strict ascendent a c arui reuniune
este un subgrup care nu este nit generat.
86: Heste subgrup normal deoarece (ij)(kl)1= ((i)(j))((k)(l)).
GrupulS3=Hare 4!=4 = 6 elemente. Deoarece (12)(13)(12)1(13)1=
(123)62H, rezult a c ad(12)  sid(13) nu comut a ^ n S3=H. Aplic am exercit iul
51.
87:Permutarea identic a are ordinul 1, cele 10 de transpozit ii sunt impare
 si au ordinul 2, cele 20 de cicluri de lungime 3 sunt pare  si au ordinul 3, cele
30 de cicluri de lungime 4 sunt impare  si au ordinul 4, cele 24 de cicluri de
lungime 5 sunt pare  si au ordinul 5, cele 15 produse de c^ ate dou a transpozit ii
disjuncte sunt pare  si au ordinul 2, cele 20 produse de c^ ate o transpozit ie  si
un ciclu de lungime 3 disjuncte sunt impare  si au ordinul 6.
88:Fief:S3!f 1;
gun morsm. Elementele de ordin 3 din S3, adic a ci-
clurile de lungime 3, sunt duse de f^ n 1. Cum un produs de dou a transpozit ii
distincte este un ciclu de lungime 3, fduce toate transpozit iile ^ n 1 (mors-
mul trivial) sau toate ^ n 1 (morsmul signatur a).
89:D=fI;(1234);(13)(24);(1432);(13);(24);(12)(34);(14)(23)g, adic a gru-
pul diedral D4, vezi  si exercit iul 55.
90: H =fI;(1234)(5678) ;(1537)(2846) ;(1836)(2745) ;(1638)(2547) ;(1432)
(5876), (1735)(2648) ;(13)(24)(57)(68)g. Se folose ste teorema 47 sau se com-
par a tablele de ^ nmult ire ale lui H siQ.
91:(a).Sneste generat de toate transpozit iile  si ( ij) = (1i)(1j)(1i).
(b). (23)(12)(23) = (13), (34)(13)(34) = (14), etc.  si aplic am ( a). (c).
(12:::n)(12) (12:::n)1= (23), (12 :::n)(23)(12:::n)1= (34), etc.  si aplic am
(b).

187
92:Fie2An. (a). Cf. ex. precedent, este un produs de un num ar
par de transpozit ii de forma (1 i)  si (1i)(1j) = (1ji). (b). Cf. ex. precedent,
este un produs de un num ar par de transpozit ii de forma ( i i+ 1)  si
(12)(23) = (123), (12)(34) = (123)(234), (12)(45) = (123)(234)(345), etc.
93:Fieo transpozit ie  si un ciclul de lungime 5. Schimb^ and numerotarea
 si lu^ and o putere a lui , ne reducem la cazul = (12)  si= (12345). Se
aplic a ex. 91.
94:FieHun subgrup de indice 2. Atunci jHj= 6. CumA4nu are elemente
de ordin 6, rezult a c a H'S3, cf. ex. 51. Atunci Hcont ine toate cele trei
elemente de ordin 2 din A4. DeciHcont ine subgrupul fI;(12)(34);(13)(24);
(14) (23)g, ^ n contradict ie cu teorema lui Lagrange.
95:FieHun subgrup normal diferit de fIg siA5. Conform teoremei lui
Cauchy,Hcont ine un element de ordin prim p. Decip= 2;3 sau 5. Dac a H
cont ine un ciclu de lungime 3, atunci jG=Hjnu se divide cu 3, deci Hcont ine
toate ciclurile de lungime 3,  si rezult a c a H=A5, contradict ie. Cazul c^ and
Hcont ine un ciclu de lungime 5 se trateaz a similar. Putem presupune c a
(12)(34)2H. Atunci (123)(12)(34)(123)1= (23)(14)2H, deciHcont ine
subgrupulfI;(12)(34);(13)(24);(14)(23)g. Rezult a c ajG=Hjnu se divide cu
2, deciHcont ine toate elementele de ordin 2 din A5. Rezult a c a Hconst a
dinI si cele 15 elemente de ordinul 2, contradict ie (G. Pollack, 1955).
96:Se folose ste formula de conjugare a unui ciclu (a1;:::;ak)1= ((a1);
:::;(ak)). Se t ine seama c a ciclurile disjuncte comut a iar un ciclu de lungime
kse poate scrie ^ n kmoduri. Num arul permut arile de tip ( k1;k2;:::;kn) este
n!=(1k12k2


nknk1!k2!


kn!).
97:Se folose ste teorema 47. H=fI;(12)(36)(45) ;(13)(25)(46) ;(14)(26)(35) ;
(165)(243);(156)(234)g.
98: Sim (B) const a din rotat iile de unghi 0, =2,, 3=2 ^ n jurul lui 0.
99:Fix am o fat  a aa tetraedrului. Stabilizatorul lui a, adic a mult imea
S:=fg2Gjg(a) =ageste un subgrup al lui Gcu 3 elemente. Oricare ar
 o fat  aba tetraedrului, exist a g2Gcug(a) =b.^In plus, dac a g;h2G,
atuncig(a) =h(a) dac a  si numai dac a gh12S. Deci num arul fet elor este
egal cu [G:S]. Rezult a c ajGj=jSj[G:S] = 3
4 = 12.

188 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
^In afar a de transformarea identic a, sunt 4
2 = 8 rotat ii cu axa trec^ and
printr-un v^ arf  al tetraedrului  si centrul fet ei opuse,  si 3
1 = 3 rotat ii cu
axa trec^ and prin mijlocul a dou a muchii opuse. Fiecare rotat ie permut a
fet ele tetraedrului. Obt inem astfel un morsm injectiv f:G!S4. Prinf
primele 8 rotat ii se corespund cu ciclurile de lungime 3, iar ultimele 3 rotat ii
se corespund cu produsele de c^ ate dou a transpozit ii disjuncte, deci imaginea
luifesteA4.
100:Adapt^ and rat ionamentul din ex. 99 se obt ine jGj= 24.Gact ioneaz a
tranzitiv asupra celor 6 fet e ale cubului  si stabilizatorul unei fet e are ordinul
4. DeciGare 6
4 = 24 de elemente. ^In afar a de transformarea identic a,
sunt 3
3 = 9 rotat ii cu axa trec^ and prin centrul a dou a fet e opuse, 4

2 = 8 rotat ii cu axa trec^ and prin dou a v^ arfuri opuse  si 6
1 = 3 rotat ii
cu axa trec^ and prin mijlocul a dou a muchii opuse. Fiecare rotat ie permut a
diagonalele cubului. Obt inem astfel un morsm injectiv G!S4care este
izomorsm deoarece grupurile au 24 de elemente. Prin acest izomorsm
primele 9 rotat ii se corespund cu ciclurile de lungime 4  si produsele de c^ ate
dou a transpozit ii disjuncte, urm atoarele 8 rotat ii se corespund cu ciclurile de
lungime 3, iar ultimele 6 rotat ii se corespund cu tranpozit iile.
101:Adapt^ and rat ionamentul din ex. 99 se obt ine jGj= 60. ^In afar a de
transformarea identic a, sunt 6
4 = 24 rotat ii cu axa trec^ and prin centrul a
dou a fet e opuse, 10
2 = 20 rotat ii cu axa trec^ and prin dou a v^ arfuri opuse  si
15
1 = 15 rotat ii cu axa trec^ and prin mijlocul a dou a muchii opuse. Fiecare
rotat ie permut a cele 5 cuburi ^ nscrise ^ n dodecaedru. Obt inem astfel un
morsm injectiv G!S5. Prin acest izomorsm primele 24 rotat ii, care sunt
elemente de ordinul 5, se corespund cu ciclurile de lungime 5, urm atoarele 20
rotat ii, care sunt elemente de ordinul 3, se corespund cu ciclurile de lungime
3, iar ultimele 15 rotat ii se corespund cu produsele de c^ ate dou a transpozit ii
disjuncte.
102:Presupunem c a G=Z(G) =<^x> si ey;z2G. Putem scrie y=axm
 siz=bxncua;b2Z(G)  sim;n ^ ntregi. Atunci yz=axmbxn=abxm+n=
bxnaxm=zy.
FieGun grup cu p2elemente neabelian. Cum jZ(G)jdividejGj=p2
rezult a c ajZ(G)j= 1 (cf. primei p art i, jG=Z(G)j6=p). FiejGj=jZ(G)j+
[G:C(x1)] +


+ [G:C(xn)] ecuat ia claselor lui G. CumpdividejGj si
ecare termen [ G:C(xi)], rezult a c a pdividejZ(G)j, contradict ie.

189
103:Presupunem ( K;+)'(K;
). DeciKeste innit. Dac a 16= 1,
atunci1 este element de ordinul 2, deci ( K;+) are un element bde ordinul
2. Rezult a c a b=b, deci1 = 1, contradict ie. Deci 1 = 1. Atunci
2a= 0 pentru orice a2(K;+), deci deci toate elementele nenule din ( K;
)
sunt r ad acini ale polinomului X21, contradict ie.
104:(1ba)1= 1 +b(1ab)1a.
105:Fiea;b;c;d2Z,b;dimpare, astfel ^ nc^ at ( a=b)(c=d) = 1. Obt inem
ac=bd, decia;csunt impare. Rezult a c a U(Z(2)) const a din fract iile a=bcu
a;bimpare.
106:Se veric a prin calcul c a ZSeste subinel. Fie Aun subinel al lui Q. E
clar c a ZA. FieSmult imea numerelor prime pcu 1=p2A. Fiea=bcu
a;b2Z,b6= 0  si (a;b) = 1. Scriem 1 = aa0+bb0cua0;b02Z. 1=b=a0a=b+b0,
decia=b2A,1=b2A,bare tot i factorii primi ^ n S.
107:Avem izomorsmul ( ka)a2A7!fa2Ajka=^1g:ZA
2!P (A).
108:Aplicat ia
a b
c d!
7!
^a^b
^c^d!
:M2(Z)!M2(Zn) este un morsm
surjectiv de inele cu nucleul M2(nZ), deciM2(nZ) este ideal bilateral  si
rezult a izomorsmul din enunt .
FieIun idealel bilateral al lui M2(Z). Se arat a c a mult imea JZ
a elementelor matricelor din Ieste un ideal, s a zicem J=nZ,  si c a toate
matricele cu un element egal cu n si celelalte nule se g asesc ^ n I. Rezult a c a
I=M2(nZ).
In general, dac a Reste un inel, atunci idealele bilaterale ale inelului
Mk(R) suntMk(J),Jideal bilateral al lui R,  siMk(R)=Mk(J)'Mk(R=J).
109:Aplicat ia (a;b)7!(a+I;b+J) :AB!A=IB=J este un morsm
surjectiv de inele cu nucleul IJ.
FieKun ideal al lui AB si ep:AB!A,q:AB!Bproiect iile
canonice. Fie ( x;y);(x0;y0)2K. Atunci (x;y0) = (1;0)(x;y)+(0;1)(x0;y0)2
K. Rezult a c a K=p(K)q(K).
110:FieJun ideal al lui A. Dac aJ f0gQ, atunciJare forma
f0gH. Dac a exist a ( a;x)2Jcua6= 0, atunci (0 ;y) = (a;x)(0;y=a)2J,
decif0gQJ. Rezult a c a J=KQ, undeKeste proiect ia lui KpeZ.

190 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
111:Exemplul Z2[X]=(X2+X+^1). Fie:Z2[X]!Kmorsmul canonic
 si not am 0 = (^0), 1 =(^1)  siz=(X). Atunci K=f0;1;z;z + 1g
 siz2+z+ 1 = 0, deci z2=z+ 1. Tablele cerute rezult a din egalit at ile:
y+y= 08y2K,z(z+ 1) = 1, (z+ 1)2=z. Celelalte exemple se trateaz a
analog.
112:Z4are caracteristica 4 iar celelalte au caracteristica 2. Z2[X]=(X2+
X+^1)Z2[X] este corp iar celelalte sunt neintegre. In inelul Z2[X]=X2Z2[X]
ecuat iay2= 0 are 2 solut ii ^ n timp ce ^ n inelul Z2Z2are numai una.
FieAun inel cu 4 elemente. Dac a Aare caracteristica 4 atunci e izomorf
cuZ4. Presupunem c a are caracteristica 2. Atunci A=f0;1;x;x + 1g.
Rezult a cazurile: A'Z2Z2(x2=x),A'Z2[X]=X2Z2[X] (x2= 0 sau
x2= 1)  siA'Z2[X]=(X2+X+^1)Z2[X] (x2=x+ 1).
113:Z[i]=(3) =f^0;^1;^i;^1^ig.F(da+bi) =dabi.
114:Fief=a0+a1X+:::+anXn. (a). Dac aaki
i= 0, 0in, atunci
fk0+


+kn= 0. Reciproc, dac a fk= 0, atunci ak
n= 0  si (fanXn)2k= 0.
(b). Dac aa0= 1  sia1,…,annilpotent i, atunci exist a kcugk= 0, unde
g= 1f, decif(1 +g+


+gk1) = 1. Cazul a0inversabil se reduce la
a0= 1. Dac a ( a0+a1X+:::+anXn)(b0+b1X+:::+bmXm) = 1,n1, se
obt ine succesiv anbm= 0,a2
nbm1= 0,a3
nbm2= 0,…,am+1
nb0= 0,a0b0= 1,
deciannilpotent.
(c). Fief=a0+a1X+:::+anXn sig=b0+b1X+:::+bmXmnenul de
grad minim cu fg= 0. Se obt ine succesiv anbm= 0,ang= 0,an1bm= 0,
an1g= 0,…,a0g= 0  si ^ n nal fbm= 0.
115:0,A,f^0;^Xg.
116:Se observ a c a Iconst a din polinoamele cu termenul liber par. Fie
f2Z[X] cuI=fZ[X]. CumX2fZ[X], rezult a c a f=X, deci
22XZ[X], contradict ie.
117:Se adapteaz a solut ia precedent a.
118:Faptul c aIeste ideal se veric a u sor. Presupunem c a I= (s1;:::;sk)
 si eNastfel ^ nc^ at orice termen de rang >N din  sirurile s1;:::;skeste nul.
Atunci  sirul 1 ;2;:::;N;N + 1;0;0;:::apart ine lui In(s1;:::;sk), contradict ie.

191
119:Presupunem c a I= (f1;:::;fk)  si eaiXmonomul de grad 1 al lui fi,
1ik. Fier2Q. AtuncirX2I, decirX=P
igificugi2Z+XQ[X].
Deducem c a rapart ine subgrupului generat de a1;:::;ak. Deci grupul aditiv
Qeste generat de a1;:::;ak, contradict ie.
120:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectivf:Z[i]!Z2,f(a+bi) =da+b. Faptul c a ker(f) = (1 +i)Z[i] rezult a
din egalitatea ( a+bi)=(1 +i) = (a+b+ (ba)i)=2.
121:Solut ie. Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru mor-
smele surjective f:Z[i]!Z5,f(a+bi) =da+ 3b sig:Z[i]!Z5Z5,
g(a+bi) = (da+ 3b;da+ 2b). Faptul c a ker(f) = (2 +i)Z[i] rezult a din egali-
tatea (a+bi)=(2 +i) = (a2b+ (2ba)i)=5.
122:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:Z[X]!ZZ,(f(X)) = (f(0);f(1)). Surjectivitatea rezult a din
egalitatea(a+ (ba)X) = (a;b).
123:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:Q[X]!QQ,(f(X)) = (f(1);f(1)). Surjectivitatea rezult a
din egalitatea ((a+b)=2 + (ab)X=2) = (a;b).
Se arat a c a ZZare patru idempotent i, ^ n timp ce Z[X]=(X21) are
doar doi (un element yeste idempotent dac a y2=y). Alt a solut ie. Dac a
A;B sunt inele comutative  si A'B, atunciA=2A'B=2B. Deci, dac a
Z[X]=(X21)'ZZ, atunci Z2[X]=(X21)'Z2Z2,
124:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:Z[X]!A,(f(X)) = (f(1);f(1)). Surjectivitatea rezult a din
egalitatea((a+b)=2 + (ab)X=2) = (a;b).
125:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:K[X]!Kn,(f(X)) = (f(a1);:::;f (an)). Pentru surjectivi-
tate se folose ste polinomul de interpolare Lagrange, F=Pn
i=1ciQ
j6=i(X
aj)=Q
j6=i(aiaj) cuci2K.
126:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:Z[X]!Z2[X],(a0+a1X+::+anXn) = (ca0+ca1X+::+canXn):

192 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
127:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:Q[X;Y ]!A,(f(X;Y )) =f(T2;T3). Oriceu2Q[X;Y ] se
poate scrie u= (Y2X3)h+fY+gcuf;g2Q[X],h2Q[X;Y ]. Dac a
(u) = 0, rezult a c a f(T2)T3+g(T2) = 0, deci f=g= 0.
128:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:C[X;Y ]!A,(f(X;Y )) =f(T;iT ). Oriceu2R[X;Y ] se poate
scrieu= (Y2+X2)h+fY+gcuf;g2R[X],h2R[X;Y ]. Dac a(u) = 0,
rezult a c af(T)iT+g(T) = 0, deci f=g= 0.
129:Datorit a ex. precedent, putem ^ nlocui pe R[X;Y ]=(X2+Y2) cu
subinelulAal lui C[T] format din polinoamele fcuf(0) real.Q(A) =C(T).
130:Fie,r ad acinile complexe ale lui X2+bX+c. Se folosesc morsmele
f7!(f();f()),f7!(f() +f0()X) + (X2), resp.f7!f().
131:Z[X;Y ]=(X1;Y2)'Z.Q[X;Y ]=(X2+ 1;Y22) este dome-
niu ind izomorf cu un subinel al lui C. Folosind morsmul f(X;Y )7!
(f(i;i);f(i;i)) :R[X;Y ]=(X2+1;Y2+1)!CCvedem c a R[X;Y ]=(X2+
1;Y2+ 1)'CC, deci nu este domeniu.
132:Se aplic a teorema fundamental a de izomorsm pentru morsmul sur-
jectiv:A[X]!A,(f(X)) =f(a). Generalizare. Fie a1;:::;an2A. Din
morsmul surjectiv :A[X1;:::;Xn]!A,(f(X1;:::;Xn)) =f(a1;:::;an),
se obt ineA[X1;:::;Xn]=(X1a1;:::;Xnan)'A:
133:Fie:Z[X;Y ]!Qun morsm de inele, (X) =a=m,(Y) =b=n
cua;b;m;n ^ ntregi,m;n > 0,  sipun num ar prim > m +n. Se arat a c a
1=p62Im().
134:Cu notat iile din ex. 106, A=B=fZSjSmult ime nit ag.
135:Presupunem c a Z[X]'Z[X;Y ]. Atunci Z2[X]'Z2[X;Y ]. Orice
ideal al lui Z2[X] este principal, cf. teoremei 94, dar idealul ( X;Y )Z2[X;Y ]
nu este principal, cf. ex. 117.
136:Se folose ste demonstrat ia teoremei 74.
137:Dac a (P1
n=0anXn)(P1
m=0bmXn) = 1, atunci a0b0= 1. Reciproc, a0
dac a este inversabil, se arat a prin induct ie c a exist a b0;b1;:::astfel ^ nc^ at
(P1
n=0anXn)(P1
m=0bmXn) = 1.

193
138:Fie:Z[[X]]!Zun morsm de inele  si e (X) =k. Aplic^ and
seriilor inversabile 1 +Xrezult a c a1 +k2f 1g, decik= 0. Rezult a c a
(P1
n=0anXn) =a0.
139:^In algoritmul lui Euclid obt inem: a= 24;54;24;6,b= 54;24;6;0.
140:Fiea=bq+r^ mp art irea cu rest a lui alab. AtunciXa1 =
Xr(Xb1)(Xb(q1)+Xb(q2)+


+Xb+ 1) +Xr1:
141:Amplic^ and cu X1, obt inem f= (X61)=(X1).
142:^In algoritmul lui Euclid obt inem: a=X44X3+ 1,X33X2+ 1,
3X2X+ 1, (2=3)X1=3, 1=6,q=X1, (1=3)X+ 1, (9=2)X5=2.
143:Se adapteaz a solut ia ex. 140.
144: x= (a;c),y=c=x,u=a=x,v=dx=a =bx=c.
145:Se repet a demonstrat ia din cazul D=Z.
146:Fie2K[X] un polinom ireductibil  si e a,bputerile la care apare 
^ n descompunerea lui fresp.g. Atuncia2b3a4b


, decia=b.
Altfel. Din ipotez a rezult a c a f(g=f)2n2Q[X] pentru orice n, decifjg.
Analog se arat a c a gjf.
147:Din relat ia F0F1F2


Fn1=Fn2 rezult a c a orice divizor comun al
luiFn siFnk, 0kn1, este impar  si-l divide pe 2.
148:232= 24(27)454(27)4=(5
27)41 (mod 641) (L. Euler).
149:Folosind teorema 95, obt inem ( X21)Q[X] + (X31)Q[X] = (X
1)Q[X]  si (X21)Q[X]\(X31)Q[X] = (X4+X3X1)Q[X].
150:Descompunem f,g^ n produs de polinoame ireductibile: f= (X
1)4(X+1)2(X2+X+1)(X2+1),g= (X+1)2(X2+1)(X2X+1)(X4+1).
Rezult a (f;g) = (X+ 1)2(X2+ 1)  si [f;g] =fg=(f;g).

194 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
151: X21 = (X+ 1)(X1).X31 = (X1)(X2+X+ 1) =
(X1)(X+1=2+ip
3=2)(X+1=2ip
3=2).X41 = (X+1)(X1)(X2+
1) = (X+ 1)(X1)(X+i)(Xi).X51 = (X1)(X4+X3+X2+
X+ 1) = (X1)(X2+ (1=2 +p
5=2)X+ 1)(X2+ (1=2p
5=2)X+ 1) =
(X1)(X!)(X!2)(X!3)(X!4),!= (p
51)=4 +iq
10 + 2p
5=4.
X61 = (X+ 1)(X1)(X2+X+ 1)(X2X+ 1) = (X+ 1)(X1)(X+
1=2 +ip
3=2)(X+ 1=2ip
3=2)(X1=2 +ip
3=2)(X1=2ip
3=2).
152:Fief=X3m+X3n+1+X3p+2.X4+X2+1 = (X2+X+1)(X2X+1).
Dac a"este o r ad acin a a lui X2+X+ 1, atunci f(") = 0. Fie!o r ad acin a
a luiX2X+ 1. Atunci f(!) =!((1)p+ (1)n) + (1)p+1+ (1)m= 0
,p;m au aceea si paritate  si p;nparit at i diferite.
153:Polinoamele de grad 2 sau 3 sunt ireductibile ,nu au r ad acini ^ n
Z2. Cele de grad 4 sau 5 sunt ireductibile ,nu au r ad acini ^ n Z2 si nu sunt
produse de polinoamele ireductibile de grad 2 sau 3. Polinoamele ireductibile
de grad5 sunt:X,X+^1,X2+X+^1,X3+X+^1,X3+X2+^1,
X4+X+^1,X4+X3+^1,X4+X3+X2+X+^1,X5+X2+^1,X5+X3+^1,
X5+X4+X3+X2+^1,X5+X4+X3+X+^1,X5+X4+X2+X+^1,
X5+X3+X2+X+^1.
154:Se observ a c a X15+^1 se divide cu X5+^1 = (X+^1)(X4+X3+X2+X+^1)
 si cuX3+^1 = (X+^1)(X2+X+^1). Rezult a X15+^1 = (X+^1)(X4+
X3+X2+X+^1)(X2+X+^1)(X8+X7+X5+X4+X3+X+^1). Apoi
X8+X7+X5+X4+X3+X+^1 = (X4+X+^1)(X4+X3+^1).
155: X56X49X7+^1 = (X8X7X+^1)7= (X^1)56.
156:Fief=X2+ (a+bz)X+ (c+dz)2K[X] cua;b;c;d2f0;1g.f
este ireductibil,nu au r ad acini ^ n K.f(0) = 0,c=d= 0.f(1) = 0,
1 +a+bc+d= 0.f(z) = 0,a+b+d= 0  si 1 +b+c= 0.f(z+ 1) = 0
,1 +a+d= 0  sia+b+c= 0.
157:Automorsmul al lui Z2[X] dat de(f(X)) =f(X+^1) duce pe
X3+X+^1 ^ nX3+X2+^1, deci corpurile sunt izomorfe.
158:Fie2K[X] un polinom ireductibil  si e a,bresp.cputerea la care
apare^ n descompunerea lui f,gresp.h. T  in^ and seama c a apare ^ n
descompunerea lui [ f;g;h ] la puterea max( a;b;c ) (teorema 107), este su-
cient s a prob am egalitatea 2max( a;b;c ) + min(a;b) + min(a;c) + min(b;c) =
2min(a;b;c ) + max(a;b) + max(a;c) + max(b;c).

195
159:Dac ab2Zp, atuncibp=b(corolarul 39), deci f(b) =^1. Cf. teoremei
110, exist a un corp KZp^ n carefare o r ad acin a . E clar c a 62Zp.^In
K[X],fse descompune f= (Xa)(Xa^1)


(Xadp1). Dac af
ar  reductibil ^ n Zp[X], un produs dek<p factori de forma Xa^sar
apart ine lui Zp[X]. Evalu^ and coecientul lui Xk1, rezult a c a ka2Zp, deci
a2Zp, contradict ie.
160:Se aplic a criteriul lui Eisenstein pentru un divizor prim pal luik.
161:X7!aX+beste un automorsm al lui K[X] cu inversul X7!X=a
b=a.
162:Fieg=f(X+ 1) = (X+ 1)2n+ 1. ^InZ2[X], (X+^1)2n+^1 =X2n.
Deci, except^ and coecientul dominant, tot i coecient ii lui gsunt pari. ^In
plus,g(0) = 2. Aplic am criteriul lui Eisenstein pentru p= 2.
163:f= (Xp1)=(X1). Polinomului f(X+1) =Xp1+C1
pXp2+


+
Cp2
pX+pi se poate aplica criteriul lui Eisenstein, deoarece Ck
pse divide cu
ppentruk= 1;:::;p1.
164:Fiek=nq+r^ mp art irea cu rest a lui klan. Deoarece "k
j= ("n
j)q"r
j=
"r
j, rezult a c a tk=tr. E clar c a t0= 1 + 1 +


+ 1 =n si din formulele
lui Newton rezult a tr= 0 pentru 1rn1. Alt a solut ie. Dac a n
dividek, atuncitk= 1 + 1 +


+ 1 =n. Presupunem c a nnu dividek si
e!=cos2=n+i sin 2=n. Atuncitk= 1 +!k+!2k+


+!(n1)k=
(!nk1)=(!k1) = 0.
165:Fiepksumak-puterilor r ad acinilor ecuat iei. Din formulele lui Newton
rezult ap1=1,p2= 14 =3,p3=p22p13 = 2. Alt a solut ie.
0 =x4+x3+ 2×2+x+ 1 = (x2+ 1)(x2+x+ 1), deci suma c autat a este
i3+ (i)3+ 1 + 1 = 2.
166: p1=1  sip2= 0. Pentru k3, formulele lui Newton dau pk+
pk1=1! +


+p2=(k2)! = 0 de unde rezult a pk= 0 prin induct ie dup a k.
167: X6
1>X5
1X2>X4
1X2
2>X4
1X2X3>X3
1X3
2>X3
1X2
2X3>X2
1X2
2X2
3.
168:Nu sunt izomorfe, deoarece ^ ntre X siX2sunt o innitate de monoame
(cele de forma XYn), ^ n timp ce ^ ntre orice dou a numere naturale exist a doar
un num ar nit de numere naturale.

196 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
169:Variabilele algoritmului iau succesiv valorile: h=f,3(X2Y+XY2+
X2Z+XZ2+Y2Z+YZ2+ 2XYZ ), 3XYZ , 0;T(h) =X3,3X2Y, 3XYZ
 sig= 0,Y3
1,Y3
13Y1Y2,Y3
13Y1Y2+ 3Y3.
170:Monoamele Xi
1Xj
2Xk
3de grad 6, mai mici ca T(f)  si av^ andijk
suntX4
1X2
2> X4
1X2X3> X3
1X3
2> X3
1X2
2X3> X2
1X2
2X2
3. Decif=s2
1s2
2+
as3
1s3+bs3
2+cs1s2s3+ds2
3. D^ and nedeterminatelor X1;X2;X3valorile 1;1;0;
2;1;1; 1;2;2; 1;1;1 se obt in ecuat iile 4 + b= 0,27b+ 4d= 0,
108a+ 16d= 0  si 1ab+c+d= 0, de unde rezult a a=4,b=4,
c= 18,d=27.
171: f1=s1s34s4,f2=s2
22s1s3+ 2s4,f3=s2
1s2s1s32s2
2+ 4s4,
f4=s1s2
22s2
1s3s2s3+ 5s1s45s5.
172:Facems1= 0,s2=p,s3=q^ n rezultatul ex. 170. D=4p327q2.
173: y1+y2= 2s3
1+as1s2+bs3=bs3. Facemx1= 1,×2=",x3="2
 si avemb= 0 + 33= 27. Deci y1+y2=27q.y1y2=cs3
2+ds2
3. Facem
x1= 1,×2=",x3="2 si avemd= 0, apoix1= 1,×2=1,×3= 0  si avem
c= ((1")(1"2))3= 27. Ecuat ia este y2+ 27qy27p3= 0 cu r ad acinile
y1;2= 27(q=2q
(q=2)2(p=3)3). Fie=3r
q=2 +q
(q=2)2+ (p=3)3 si
=3r
q=2q
(q=2)2+ (p=3)3. Din relat iile x1+x2+x3= 0,×1+"x2+
"2×3= 3,x1+"2×2+"x3= 3, deducem x1=+,x2="2+" si
x3="+"2. Din faptul c a x1este r ad acin a, deducem =p=3. Pentru
x3+ 6x+ 2 = 0, obt inem =3p
2  si=3p
4.
174:Din teorema fundamental a a polinoamelor simetrice, aplicat ia
f(X;Y )7!f(X+Y;XY ) :R[X;Y ]!Aeste un izomorsm de inele. Deci
A=(X2+Y2)'R[X;Y ]=(X22Y)'R[X].
175:(1). Cu regula lui Sarrus se obt ine D= 2. (2). Se adun a liniile la
prima, se d a factor comun a+b+c, apoi se scade prima coloan a din celelalte.
Se obt ineD= (a+b+c)(ab+bc+caa2b2c2). (3). Este determinant
Vandermonde, D= (ca)(cb)(ba). (4), (5). Se consider a determinantul
Vandermonde1 1 1 1
a b c X
a2b2c2X2
a3b3c3X3^ n care se evalueaz a coecient ii lui X2 siX.

197
Se obt in valorile ( ca)(cb)(ba)(a+b+c)  si (ca)(cb)(ba)(ab+ac+bc).
Se poate proceda  si direct sc az^ and prima coloan a din celelalte  si d^ and factori
comuniba,cape coloane.
176:^Inmult ind determinantul cu transpusul s au se obt ine D2=3p1p2
p1p2p3
p3p3p4
cupk=xk
1+xk
2+xk
3. Din formulele lui Newton se obt ine p1= 0,p2=2p,
p3= 3q,p4= 2p2. Rezult aD2=27q24p3.
177:(1). Se adun a toate liniile la prima, se d a factor comun a+3b, dup a care
se scade linia 1^ nmult it a cu bdin celelalte. Se obt ine D= (a+3b)(ab)3. (2).
Privim determinantul ca polinom ^ n x. Prin adun ari de linii se observ a c a el
are r ad acinileyz(de exemplu, adun^ and toate liniile la prima se observ a
r ad acinayz). Rezult aD= (x+y+z)(xyz)(xy+z)(x+yz).
(3). Privim determinantul ca polinom ^ n a. Prin adun ari de linii se observ a
c a el are r ad acinile bcd,b+c+d,bc+d,b+cd. Rezult a
D= (a+b+c+d)(a+bcd)(ab+cd)(abcd).
178:Se evalueaz a coecientul lui Xi^ n determinantul Vandermonde
1 1


1 1
a1a2


anX
a2
1a2
2


a2
nX2
: :


: :
ai1
1ai1
2


ai1
nXi1
ai
1ai
2


ai
nXi
ai+1
1ai+1
2


ai+1
nXi+1
: :


: :
an
1an
2


an
nXn:
Se obt ineD= (Pa1


ani)Q
k>j(akaj).
179:Sc adem prima linie din celelalte, d am aixfactori comuni pe coloane
 si adun am coloanele la prima.
= x(a1x)(a2x)


(anx)(1=x+1=(a1
x) +


+ 1=(anx)).

198 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
180:Dezvolt^ and dup a primele dou a linii avem D=5 3
2 55 3 0
2 5 3
0 2 5
5 0
2 32 3 0
0 5 3
0 2 5= 665:
181:Dezvolt^ and dup a prima linie se obt ine relat ia de recurent  a Dn=
5Dn16Dn2. Rezolv^ and ecuat ia caracteristic a a recurent ei, x25x+6 = 0,
se obt ineDn= 3n+12n+1.
182:Fie"o r ad acin a de ordinul na unit at ii. Egalitatea
"(a1+a2"+


+an"n1) =an+a1"+


+an1"n1
arat a c a
AB=0
BBBBBB@f("1)f("2)


f("n)
"1f("1)"2f("2)


"nf("n)
"2
1f("1)"2
2f("2)


"2
nf("n)
: :


:
"n1
1f("1)"n1
2f("2)


"n1
nf("n)1
CCCCCCA:
Rezult a c ajABj=jAjjBj=f("1)


f("n)jBj, iarjBj6= 0 deoarece Beste
un determinant Vandermonde. Se obt ine jAj=f("1)


f("n):
183:Presupunem c a exist a un morsm de grupuri surjectiv f:Z2!Z3.
Fief(1;0) = (a;b;c )  sif(0;1) = (a0;b0;c0). Cumfeste surject ie, exist a
d;e;d0;e0;d00;e002Zastfel ^ nc^ at (1 ;0;0) =f(d;e), (0;1;0) =f(d0;e0)  si
(0;0;1) =f(d00;e00). Cu calcule de felul (1 ;0;0) =f(d(1;0) +e(0;1)) =
df(1;0) +ef(0;1), se arat a c a0
B@d e 0
d0e00
d00e0001
CA0
B@a b c
a0b0c0
0 0 01
CA=I3;egalitate
imposibil a deoarece lu^ and determinantul ambilor membri obt inem 0 = 1.
Alt a solut ie. Dac a grupurile Z2 siZ3sunt izomorfe, atunci grupul Z2=2Z2'
Z2
2este izomorf cu Z3=2Z3'Z3
2, fals. Alt a solut ie. Se arat a c a sunt 8
morsme de grupuri Z3!Z2,  si numai 4 morsme de grupuri Z2!Z2.
184:FieRinelul endomorsmelor Q-spat iului vectorial Q[X]  si ea;b;c;d2
Rdeterminate prin a(Xn) =X2n,b(Xn) =X2n+1,c(X2n) =Xn,c(X2n+1) =
0,d(X2n) = 0,d(X2n+1) =Xn,n0. Se iauA= (a b)  siB=
c
d!
:

199
185:Liniile unei matrice inversabile formeaz a o Z2-baz a a spat iului vectorial
Z3
2. Prima linie, L1, poate  orice vector nenul, deci poate  aleas a^ n 8 1 = 7
moduri. A doua, L2, poate  orice vector neproport ional cu L1, deci poate
 aleas a ^ n 82 = 6 moduri. A treia, L3, poate  orice vector ^ n afara
subspat iului generat de L1 siL2, deci poate  aleas a ^ n 8 4 = 4 moduri.
^In concluzie sunt 168 de matrice inversabile. ^In general sunt ( qn1)(qn
q)


(qnqn1) matrice inversabile de ordin ncu elemente dintr-un corp
(comutativ) cu qelemente.
186:O matriceA2M3(Z4) este inversabil a dac a  si numai dac a redusa ei
modulo 2 este inversabil a. C^ ate 16 asfel de matrice au aceea si redus a modulo
2, deci num arul c autat este 16
168 = 2688, cf. ex. precedent.
187:Inversele sunt ( adbc)1
db
c a!
,
cossin
sincos!
,

sincos
cossin!
,0
B@1 0a
0 1b
0 0 11
CA.
188:FieE=In+U. Din relat ia E2=nE, deducemU1= (n1)1(U+
(2n)In).
189:Se vede c a BC=nIn, undeCeste transpusa conjugatei lui B, adic a
C=0
BBB@1"n1
1


"1
1"n1
2


"2
:


:
1"n1
n


"n1
CCCA;deoarece 1 + "n1
i"j+


+"i"n1
j= 1 +"j="i+



+ ("j="i)n1= 0, pentru i6=j.
190:Rezult a din faptul c a X
X=;pentru orice X2P(A). O baz a este
ffxgjx2Ag.
191:Faptul c aEnd(V) este inel se veric a u sor. Fie a2K. Condit ia
a(x+y) =ax+ay, pentrux;y2V, este echivalent a cu f(a)2End(V), iar
celelalte condit ii din denit ia spat iului vectorial sunt echivalente cu faptul c a
feste morsm de inele.
192:FieKun corp. Se folose ste exercit iul precedent, t in^ and seama c a
End(Z) =Z si c a nu exist a morsme de inele K!Z.

200 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
193:Sunt subspat ii submult imile de la ( a), (e)  si (f).
194: U+V=<(2;3;1);(1;2;0);(1;1;1);(0;1;1)>=R3,U\V=<
(1;1;1)>.
195:O matrice simetric a are forma0
B@a b c
b d e
c e f1
CAiar una antisimetric a are
forma0
B@0a b
a 0c
bc01
CA. DecidimR(V) = 9,dimR(S) = 6  sidimR(A) = 3.
E clar c aS\A= 0, deciV=SA.
196:S irurile (sin(n=3))n0, (cos(n=3))n0veric a relat ia de recurent  a,
de exemplu cos(n=3) +cos((n2)=3) = 2cos((n1)=3)cos(=3) =
cos((n1)=3):Ele sunt liniar independente: asin (n=3)+bcos(n=3) = 0,
n0, implic a 0 = asin 0 +bcos 0 =asin= 3 +bcos= 3, decia=b= 0.
Dac a  sirul ( xn) veric a relat ia de recurent  a, atunci xn=x0cos(n=3)+(2×1
x0)sin(n=3)=p
3:
197:Fiek0. FieXk=fq+b0+b1X+


+bn1Xn1^ mp art irea cu
rest a luiXklaf. Cumf(y) = 0, rezult a c a yk=b0+b1y+


+bn1yn1.
Presupunem c a 1 ;y;:::;yn1sunt liniar independente peste Q. Atunci exist a
un polinom nenul g=c0+c1X+


+cn1Xn12Q[X] cug(y) = 0. Cum f
este ireductibil, exist a u;v2Q[X] cuuf+vg= 1. F ac^ and X=yobt inem
0 = 1, contradict ie.
198:1=2 =cos(60) = 4cos3(20)3cos(20), deciy=cos(20) este
r ad acin a polinomului P= 8X36X1. Cum1 nu sunt r ad acini ale
luiP(X=2) =X33X1, rezult a c a Peste ireductibil peste Q. Din
exercit iul precedent deducem c a 1, y,y2sunt liniar independente peste Q.
Cumcos(20n) are forma f(y) cuf2Q[X], rezult a c a 1, y,y2este o baz a
a luiW.
199:Adaptat i prima parte a demonstrat iei teoremei 140, justic^ and existent a
mult imii liniar independente maximale Bcu ajutorul lemei lui Zorn (vezi [5,
teorema V.4.3]).

201
200: MEF=0
BBBBBB@11 11 1
0 12 34
0 0 13 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 11
CCCCCCA siMFE=0
BBBBBB@1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 11
CCCCCCA.
201:ME(D) =MF(D) =0
BBBBBB@0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0 01
CCCCCCA;MG(D) =0
BBBBBB@0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 01
CCCCCCA:
202:f1;X;X2;X3geste o baz a a lui Im(D), iarf1geste o baz a a lui ker(D).
203:Q(p
2;p
3) =<1;p
2;p
3;p
6>. Fiea;b;c;d2Qcua+bp
2 +cp
3 +
dp
6 = 0. Atunci a+bp
2 =p
3(c+dp
2). Analiz^ and cazurile a+bp
2 = 0
 sia+bp
26= 0, deducem c a a=b=c=d= 0.
204:Fiea+bp
2 +cp
3 +dp
66= 0 cua;b;c;d2Q. Vedem c a ( a+bp
2 +
cp
3 +dp
6)(abp
2 +cp
3dp
6)(a+bp
2cp
3dp
6)(abp
2cp
3 +
dp
6) = ((a+cp
3)2(bp
2 +dp
6)2)2((acp
3)2(bp
2dp
6)2)2=
(a23c2)2+ 4(b23d2)2+ 4(ab3cd)2+ 12(adbc)22Q:
205:0
BBB@0 2 0 0
1 0 0 3
1 0 3 2
0 1 1 01
CCCA:
206:Not amp
2 +p
3 cuy. Exprim^ and 1 ;y;y2;y3^ n bazaf1;p
2;p
3;p
6g
se obt ine matricea A=0
BBB@1 0 5 0
0 1 0 11
0 1 0 9
0 0 2 01
CCCA:Dezvolt^ and Laplace pe liniile 1  si
4 g asimjAj= 46= 0, decif1;y;y2;y3geste baz a. Matricea lui T^ n aceasta
baz a este0
BBB@0 0 01
1 0 0 0
0 1 0 10
0 0 1 01
CCCA:

202 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
207:Dac aA=
a b
c d!
, atunci matricea lui T^ n baza
1 0
0 0!
,
0 1
0 0!
,

0 0
1 0!
,
0 0
0 1!
este0
BBB@2a c b 0
b a +d 0b
c 1a+d c
0c b 2d1
CCCA:
208:Fie matricea A=0
B@2 11
21 2
3 0 11
CA. AtuncijAj=1  si
A=0
B@11 1
4 56
3 341
CA, deciA1=A. Matricele de trecere sunt MCF=
A,MFC=A1. Coordonatele lui (1 ;1;1) ^ n bazaFsunt (1;3;2).
209:E salon^ and matricea ( AIn) se obt ine ( InA1) cuA1=(a2+an)1
0
BBBBBB@1na 1 1


1 1
1 1na 1


1 1
1 1 1 na


1 1
: : :


: :
1 1 1


1 1na1
CCCCCCA:Concret, se adun a
toate liniile la prima, se ^ mparte prima linie la a+n, se scade prima linie din
celelalte, etc.
210:E salon^ and matricea ( BIn) se obt ineB1=0
BBBBBB@11 0


0 0
0 11


0 0
0 0 1


0 0
: : :


: :
0 0 0


0 11
CCCCCCA:
211:Not am simplicat Z2=f0;1g. Tipurile de matricele e salon sunt:
1 0a b
0 1c d!
,
1a0b
0 0 1c!
,
1a b 0
0 0 0 1!
,
1a b c
0 0 0 0!
,

0 1 0a
0 0 1b!
,
0 1a0
0 0 0 1!
,
0 1a b
0 0 0 0!
,
0 0 1 0
0 0 0 1!
,

0 0 1a
0 0 0 0!
,
0 0 0 1
0 0 0 0!
,
0 0 0 0
0 0 0 0!
.

203
212:Prin transform ari elementare pe linii deducem succesiv matricele0
B@1 2 3 4
0 0 11
01541
CA,0
B@1 2 3 4
0 1 5 4
0 0 111
CA,0
B@1 2 3 4
1 2 4 3
2 3 1 41
CA,
0
B@1 0 011
0 1 0 9
0 0 111
CA. Subspat iul generat de liniile matricei este f(a;b;c;11a+
9bc)ja;b;c2Rg. Cum rangul matricei este 3, subspat iul generat de
coloane este R3.
213:F ac^ and succesiv transform arile elementare pe linii T12(1),T13(1),
D2(1=2),T23(4), obt inem matricele0
B@12 1 1 1
12 111
12 1 5 51
CA,
0
B@12 1 1 1
0 0 022
0 0 0441
CA,0
B@12 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 01
CA,0
B@12 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 01
CA. Sis-
temul este compatibil nedeterminat, echivalent cu x= 2yz,t= 1.
214:F ac^ and succesiv transform arile elementare pe linii T12(2),T13(1),
T14(1),P24,D3(1=4),T24(1),T21(1),T34(4),T31(3),T42(2),T43(1),
obt inem matricele0
BBB@1 131
2 12 1
1 1 1 3
1 23 11
CCCA,0
BBB@1 131
01 4 3
0 0 4 4
0 1 0 21
CCCA,
0
BBB@1 131
0 1 0 2
0 0 1 1
0 0 4 51
CCCA,0
BBB@1 033
0 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 11
CCCA,0
BBB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCCA. Sistemul este in-
compatibil.
215:E salon^ and matricea ( A I 4) se obt ine ( I4A1) cu
A1=0
BBB@21 0 0
3 2 0 0
3119 3 4
23 142 31
CCCA:

204 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
216:Dac a determinantul matricei
= (a+b+c)(a+b"+c"2)(a+b"2+c")
este nenul, rangul este 3. Dac a
= 0  si ( a26=bcsaub26=acsauc26=ab),
atunci rangul este 2. Dac a a;b;c sunt nenule  si a2=bc,b2=ac,c2=ab,
adic ab=a,c=a2cu3= 1, atunci rangul este 1. Dac a a;b;c sunt nule,
rangul este 0.
217:Se e saloneaz a Ape linii  si apoi pe coloane.
218:Fiep=rang (A). Putem presupune c a Aare forma din ex. anterior.
Rezult a c a ABeste matricea obt inut a din Bprin anularea ultimelor np
linii. E clar c a rang (B)rang (AB) +np.
219:PentruA2M2(Z2).
1(IXA)6= 1,A= 0 sauA=I. Dac a
A;B6= 0;I, atunciAB,PA=
2(IXA) =
2(IXB) =PB.^Intre
matricele diferite de 0  si I,
0 1
0 0!
,
0 0
1 0!
,
1 1
1 1!
au polinomul
caracteristic X2,
1 1
0 1!
,
1 0
1 1!
,
0 1
1 0!
au polinomul caracteristic
X2+ 1,
0 1
1 1!
,
1 1
1 0!
, au polinomul caracteristic X2+X+ 1, iar
matricele r amase au polinomul caracteristic X2+X.
220:Folosind rat ionamentul din solut ia problemei precedente, se arat a c a
suntq2+qclase.
221:(a):IXA=0
B@X45 2
2X+ 21
1 1 X11
CA0
B@1 1 X1
2X+ 21
X45 21
CA
0
B@1 0 0
0X2X+ 1
0X1X2+ 5X21
CA0
B@1 0 0
0 1X23X+ 1
0X2X+ 11
CA
0
B@1 0 0
0 1 0
0 0 (X1)31
CA.
3(IXA) = (X1)3 si
2(IXA) = 1 deoarece
IXAare un 2-minor egal cu X. DeciAare un singur factori invariant
(X1)3 si un singur divizor elementar ( X1)3. Forma Jordan a lui Aeste
J3(1) =0
B@1 0 0
1 1 0
0 1 11
CA.

205
(b):IXA=0
B@X+ 3 13
22X9 27
52X+ 61
CA0
B@1X+ 33
X922 27
25X+ 61
CA
0
B@1X+ 33
0X2+ 6X+ 5 3X
0 2X+ 1X1
CA0
B@1 0 0
0X 2X+ 1
0 3XX2+ 6X+ 51
CA
0
B@1 0 0
0 1 X
0X2+ 5 3X1
CA0
B@1 0 0
0 1 0
0 0X32X1
CA.
3(IXA) =X32X si

2(IXA) = 1 deoarece IXAare un 2-minor egal cu X26X5.
DeciAare un singur factori invariant X32X. Peste Qdivizorii el-
ementari sunt X siX22, iar forma Jordan este J1(X)J1(X22) =0
B@0 0 0
0 0 2
0 1 01
CA. Peste R siCdivizorii elementari sunt X,Xp
2  siX+p
2,
iar forma Jordan este J1(0)J1(p
2)J1(p
2) =0
B@0 0 0
0p
2 0
0 0p
21
CA.
(c): IXA=0
B@X42
1X+ 4 1
0 0 X+ 21
CA0
B@1 0 0
0X+ 2 (X+ 2)2
0X+ 2 01
CA
0
B@1 0 0
0X+ 2 0
0 0 ( X+ 2)21
CA.
1(IXA) = 1.
3(IXA) = (X+ 2)3 si

2(IXA) =X+ 2 deoarece matricea 2IAare rangul 1. Deci Aare
factorii invariant i X+ 2  si (X+ 2)2. Peste Qdivizorii elementari sunt X+ 2
 si (X+ 2)2, iar forma Jordan este J1(2)J2(2) =0
B@2 0 0
02 0
0 121
CA.
(d):
1(IXA) = 1.
4(IXA) = (X1)2(X2)2 si
3(IXA) = 1
deoarece matricele IA si 2IAau rangul 3.
DeciAare un factori invariant ( X1)2(X2)2. Peste Q;R;Cdivizorii
elementari sunt ( X1)2 si (X2)2, iar forma Jordan este J2(1)J2(2) =0
BBB@1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 1 21
CCCA.

206 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
(e):Factorii invariant i sunt ( X3)2(X+ 2) pentru a6= 0  si (X3),
(X3)(X+2) pentru a= 0. ^In primul caz forma Jordan este J2(3)J1(2) =0
B@3 0 0
1 3 0
0 021
CA, ^ n cel de-al doilea diag(3;3;2).
(f):
4(IXA) = (X1)4 si
3(IXA) = 1 deoarece minorul ( I
A)416= 0. Forma Jordan este J4(1) =0
BBB@1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 11
CCCA.
222:Matricele nediagonalizabile au forma A=SJ2()S1cuSmatrice cu
determinatul 1. G asim A=
+bdb2
d2bd!
cub6= 0 saud6= 0.
223:(1)diag(;;
). (2)diag(;; ). (3)J2()J1(). (4)diag(;; ).
(5)J2()J1(). (6)J3().
224: A=CXn1, deciAare un factor invariant: Xn1. Divizorii el-
ementari sunt X"1, …,X"n, unde"1,…,"nsunt r ad acinile de or-
dinulnale unit at ii, iar forma Jordan este diag("1;:::;"n). O matrice de
asem anare se obt ine din egalitatea CXn1S=S
diag("1
1;:::;"1
n), unde
S=0
BBBBBB@1 1


1
"1"2


"n
"2
1"2
2


"2
n
: :


:
"n1
1"n1
2


"n1
n1
CCCCCCA.
225:(a):Factorii invariant i: X2+^1,X2+^1. Forma Jordan este J2(^1)J2(^1).
(b):Factorii invariant i: X4^1. Forma Jordan este J2(^1)J2(^2).
226:Presupunem c a Adiag(a;b;c ). AtunciA sidiag(a;b;c ) au acela si
polinom caracteristic, deci a=b=c= 1, a sadar AI, fals. Alt a solut ie.
Forma Jordan a matricei este J3(1).
227: J2(2)J3(3),J2(2)J2(3)J1(3),J2(2)diag(3;3;3),diag(2;2)
J3(3),diag(2;2)J2(3)J1(3),diag(2;2;3;3;3).

207
228:Factorii invariant i ai lui Apeste Csunt aceea si cu cei peste R si au
formau= (Xi)f,v= (Xi)2(X+p
2)(X+p
3)g. Cumu;v2Q[X]
 siuvare gradul 10, rezult a c a u= (Xi)(X+i),v= (Xi)2(X+
i)2(X+p
2)(Xp
2)(X+p
3)(Xp
3). Forma canonic a Jordan a lui A
esteJ2(i)J2(i)diag(i;i;p
2;p
2;p
3;p
3).
229:Aare valorile proprii distincte a+b+c,abc,bac,cab
(vezi ex. 177), deci Adiag(a+b+c;abc;bac;cab):
230:Se vede c a dac a ;2Sn, atunciAA=A. Exist a o permutare
astfel ^ nc^ at 1= (1;:::;k 1)(k1+ 1;:::;k 2)


(ks1+ 1;:::;n ). Rezult a
c aAAA(A)1A1CXp11


CXps1, undep1,…,ps
sunt lungimile ciclurilor din descompunerea lui . Se folose ste apoi ex. 224.
Pentru= (1943)(852), Adiag(1;1;i;i;1;";"2;1;1). Pentru ultima
armat ie a exercit iului observ am c a din forma canonic a Jordan a lui A
putem recupera descompunerea lui ^ n produs de cicluri disjuncte.
231:Dac acar(K)6= 2, atunci ^ n baza e1+en,e1en,e2+en1,e2en1,
…,en=2+en=2+1,en=2en=2+1, matricea lui uestediag(1;1;1;1;:::;1;1).
Dac acar(K) = 2, atunci^ n baza e1,e1+en,e2,e2+en1, …,en=2,en=2+en=2+1,
matricea lui uesteJ2(1)


J2(1).
232:Celulele Jordan de rang 1 sunt J1(a) cua6= 0  siJ2(0). Forma Jordan a
luiAestediag(a;0;:::;0) dac aTr(A) =a6= 0  siJ2(0)0n2dac aTr(A) = 0.
Bdiag(5;0;0),CJ2(0)0.
233:Se aplic a exercit iul precedent. Adiag(n;0;:::;0) dac an
1K6= 0  si
AJ2(0)0 dac an
1K= 0.
Altfel.PA= (Xn)Xn1. CumA2=nA, polinomul minimal al lui A
este divisor al lui X2nX, deci egal cu X2nXdeoareceAnu este matrice
scalar a. Dac a n
1K6= 0, atunci Aeste diagonalizabil a, Adiag(n;0;:::;0).
Dac an
1K= 0, atunci AJ2(0)0, deoarece rang (A) = 1.
234:(a).PA=X312X2+ 21X10 = (X1)2(X10). (b).A1=
0:1A21:2A+ 2:1. (c);(d):Subspat iile proprii sunt V1=<w 1;w2>,V10=<
w3>, undew1,w2,w3sunt coloanele matricei S=0
B@11 2
1 0 2
0 2 11
CA. (d).
Forma Jordan a lui Aestediag(1;1;10), o matrice de asem anare este chiar
S,A=S
diag(1;1;10)S1.

208 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
235: PA= (X1)4. Avemdefect (AI) = 2  si (AI)2= 0, deci
defect ((AI)2) = 4. Rezult a AJ2(1)J2(1) =J. AvemAU=UJ, unde
Ueste o matrice ale c arei coloane, u1,…,u4, veric a condit iile u1AI!u2AI!0,
u3AI!u4AI!0  siu2,u4sunt liniar independente. U=0
BBB@1 0 1 1
2 0 1 1
0 1 0 0
0 0 011
CCCA.
An=UJnU1, undeJn=0
BBB@1 0 0 0
n1 0 0
0 0 1 0
0 0n11
CCCA.
236:A4= 9I, deciAdivideX49 = (X+p
3)(Xp
3)(X+ip
3)(Xip
3).
CumTr(A) =ip
3, rezult a c a Adiag(p
3;p
3;ip
3), deoarece A2
diag(3;3;3).
237:AvemPA= (X2)3. Matricea B=A2I=0
B@2 0 8
1212
0 1 41
CAare
defectul 1, deci AJ3(2). C aut am o matrice Uale c arei coloane u1,u2,u3
s a verice: u1B!u2B!u3 siu36= 0. Putem lua U=0
B@12 4
0 14
0 0 11
CA:
238:Se vede c a AJ3(1)J2(1). Avemu1AI!u2AI!u3 siu4A+I!u5,
undeu1, …,u5sunt coloanele matricei U=0
BBBBBB@104 14 1
63 1 31
32 12 1
11 111
0 0 1 0 11
CCCCCCA:
239: AJ2(a+b)J1(ab).
240: Aeste nilpotent a,Aare formaXj,PA=Xn, cf. teoremei
lui Frobenius. Divizorii elementari sunt puteri ale lui X. Pentrun= 4,
matricele Jordan nilpotente sunt: J4(0),J3(0)J1(0),J2(0)J2(0),J2(0)
J1(0)J1(0),J1(0)J1(0)J1(0)J1(0).
241:Se face rat ionamentul din demonstrat ia corolarului 186.

209
242:Aeste idempotent a ,AdivideX2X,divizorii elementari ai lui
Aau formaXsauX1. Pentrun= 4, matricele Jordan idempotente sunt:
I,diag(1;1;1;0),diag(1;1;0;0),diag(1;0;0;0), 0 4.
243:Se aplic a ex. precedent. Cum Tr(A) = 1,Adiag(1;0;0).
244:fk=defect (J2k
n(0))defect (J2k2
n(0)) =min(n;2k)min(n;2k2).
Dac an= 2p, atuncifk=(
2 dac akp
0 dac akp+ 1, deciJ2
2p(0)Jp(0)Jp(0).
Dac an= 2p+1, atuncifk=8
><
>:2 dac akp
1 dac ak=p+ 1
0 dac akp+ 2, deciJ2
2p+1(0)Jp(0)
Jp+1(0).
Altfel. Matricea J2
2p(0) este nilpotent a cu indicele de nilpotent  a p si are
defectul 2, deci J2
2p(0)Jp(0)Jp(0). Matricea J2
2p+1(0) este nilpotent a cu
indicele de nilpotent  a p+ 1  si are defectul 2, deci J2
2p+1(0)Jp(0)Jp+1(0).
245: P13P24P23J2
5(0)P23P24P13=J2
2(0)J2
3(0).
246: J2(0)J2(0)J4(0)  siJ1(0)J3(0)J4(0).
247:FieA= (aij)1i;jn siB= (bij)1i;jn.Tr(A+B) =P
i(aii+bii) =P
iaii+P
ibii=Tr(A) +Tr(B).Tr(AB) =P
iP
jaijbji=P
jP
ibjiaij=
Tr(BA).
248:FieA= (aij). Anul am succesiv elementele a11,…,annfolosind proce-
dura urm atoare. Presupunem c a a116= 0. Dac a Aare un element nenul ai1
cui>1, atunci ^ nlocuim AcuTi1(a11=ai1)ATi1(a11=ai1). Proced am similar
dac aAare un element nenul pe prima linie. Dac a, except^ and pe a11toate
elementele de pe prima linie  si linie coloan a sunt nule  si exist a un element
aii6= 0;a11,i1, atunci realiz am ai16= 0 ^ nlocuind AcuTi1(1)ATi1(1).
^In nal se folose ste faptul c a
a0
0a!

0a2
1 0!
.
249: Tr(XYYX) =Tr(XY)Tr(YX) = 0, cf. ex. 247. Reciproc,
eAo matrice cu urma nul a. Cf. ex. anterior, putem presupune c a Aare
elementele de pe diagonala principal a nule. Se ia X=diag(1;2;:::;n )  si se
determin aYdin egalitatea A=XYYX.

210 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR
250:Dac aA= (aij), atunciAcomut a cudiag(b1;:::;bn),aij(bibj) = 0
pentru orice i;j.
251:Fie1;:::;nvalorile proprii ale lui A. Exist aS2GLn(C) astfel ^ nc^ at
SAS1=diag(1;:::;n) =D si eC:=SBS1. DinAB=BA, rezult a c a
CD=DC. Se aplic a ex. precedent.
252:Putem presupune c a Aeste matrice singular a. Cum fk=defect (Ak)
defect (Ak1) este num arul 0-celulelor Jordan ale lui Ade ordink, rezult a
c afkfk+1.
253: J3(1)J1(1)03.
254:(a)xn="n+"2n. (b)xn= (1 +n2+n3)(1)n+ 4n.
255:Avem0
B@an+1
bn+1
cn+11
CA= (1=2)A0
B@an
bn
cn1
CA, undeA=0
B@0 1 1
1 0 1
1 1 01
CA. Deci
0
B@an
bn
cn1
CA= (1=2n)An0
B@a0
b0
c01
CA. Rezult a c a A=Sdiag (1;1;2)S1, unde
S=0
B@11 1
1 0 1
0 1 11
CA. DeciAn=Sdiag ((1)n;(1)n;2n)S1= (1=3)
0
B@2n+ 2(1)n2n+ (1)n+12n+ (1)n+1
2n+ (1)n+12n+ 2(1)n2n+ (1)n+1
2n+ (1)n+12n+ (1)n+12n+ 2(1)n1
CA:
Alt a solut ie. Fie B=0
B@1 1 1
1 1 1
1 1 11
CA. AtunciAn= (BI)n=B(2n+
(1)n+1)=3 + (1)n+1I.
256:CumZeste nilpotent a, Zn= 0, cf. ex. 240. Deci 0 = Z2n2=Jn1
n(0),
contradit ie.
257:Se iaZde forma matrice inferior triunghiular a cu elementele de pe diag-
onala principal a egale cu 1  si cu celelalte diagonale paralele cu diagonala prin-
cipal a formate ecare din elemente egale. De exemplu,0
B@1 0 0
1=2 1 0
1=8 1=2 11
CA2
=
J3(1):

211
258:
n(IXA) = (X)n si
n1(IXA) = 1 deoarece minorul
(IXA)1nnu se anuleaz a ^ n X=.AJn(). PentruJk
n(),2K, se
aplic a teorema 196. Jk
n()Jn(k).
259:Forma canonic a Jordan a matricei Jk
n(kpa) esteJn(a), cf. ex. anterior.
Deci exist a S2GLn(C) astfel ^ nc^ at ( SJn(kpa)S1)k=Jn(a).
260:Putem ^ nlocui matricele A;B cu formele lor canonice Jordan: A
J2(0)J2(0),BJ4(0). Doar prima ecuat ie are solut ie, cf. ex. 256  si 259.
261: S1AS=diag(1;2;3), undeS=0
B@1 2 2
1 0 2
2 1 21
CA:Obt inem (S1YS)2=
diag(1;2;3). Aplic^ and ex. 250 obt inem Y=Sdiag (1;p
2;p
3)S1.
262:An=Udiag (2n;3n)U1 sieA=Udiag (e2;e3)U1undeU=
1 2
1 3!
.
263: An=U
2n0
n2n12n!
U1 sieA=U
e20
e2e2!
U1unde
U=
2 1
1 1!
.
264:Se reduce problema la cazul A=Jn(a)  si se aplic a teorema 203.
265: PA= (X2+ 1)2 sidefect (AiI) =defect (A+iI) = 2. Deci forma
canonic a Jordan a lui AesteJ=J2(i)J2(i). O matrice de asem anare
esteU=0
BBB@i1i1
2i2i
i1i1
0i0i1
CCCA siU1= 410
BBB@i1i1
1 0 12i
i1i1
1 0 1 2 i1
CCCA.
etJ=
eit0
teiteit!

eit0
teiteit!
.etA=UetJU1=
410
BBB@ieit+teiteitieit+teiteit
2eit+iteitieit2eititeitieit
ieit+teiteitieit+teiteit
iteitieititeitieit1
CCCAU1= 41

0
BBB@4cost2tsint2tcost+ 2sint 2tsint 2sint2tcost
2tcost6sint4cost2tsint2tcost+ 2sint 2tsint
2tsint 2tcost2sint4cost+ 2tsint6sint2tcost
2tcost2sint2tsint 2tcost2sint4cost+ 2tsint1
CCCA.

212 CAPITOLUL 10. SOLUT  IILE EXERCIT  IILOR

Bibliograe
[1] M. Artin, Algebra. Prentince Hall, New Jersey 1990.
[2] D. Fadd eev, I. Sominski, Recueil d'exercises d'alg ebre sup erieure. Edi-
tions MIR, Mouscou 1972.
[3] G. Galbur a, F. Rad o, Geometrie. Editura Didactic a  si Pedagogic a,
Bucure sti 1979.
[4] P. Halmos, Naive Set Theory. Springer, New York, Berlin 1974.
[5] Ion D. Ion, N. Radu, Algebr a. Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti 1991.
[6] I. Kaplansky Commutative Rings. The University of Chicago Press,
Chicago and London 1974.
[7] C. N ast asescu, C. Nit  a, C. Vraciu, Bazele Algebrei. Editura Academiei
Rom^ ane, Bucure sti 1986.
[8] I. Proskouriakov, Recueil de probl emes d'algebre lin eaire. Editions
MIR, Mouscou 1989.
[9] I. Tomescu, Probleme de combinatoric a  si teoria grafurilor. Editura
Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti 1981.
213

Index
adunare modulo n, 30
aplicat ia identic a, 13
asociere ^ n divizibilitate, 88
atom, 35
automorsm interior, 39
axioma alegerii, 19
baz a, 128
baza canonic a, 128
biject ie, 13
caracteristica unui inel, 69
celul a Jordan, 155
centrul unui grup, 41
ciclu, 38
clas a de resturi, 22
clas a la dreapta, 44
clas a la st^ anga, 44
clasa de echivalent  a, 20
cmmdc, 89
cmmmc, 89
codomeniu, 12
coecient, 76, 80
coecient dominant, 76
combinat ie liniar a, 126
complement algebric, 113
complementar a, 11
componenta omogen a, 81
compunerea funct iilor, 12
congruent  a modulo n, 21
congruent e modulo un subgrup, 44conjugare ^ ntr-un grup, 53
coordonate, 128
corp, 61
corpul cuaternionilor, 73
corpul de fract ii, 75
corpul fract iilor rat ionale, 77
defectul unui morsm, 131
determinant, 109
determinant Vandermonde, 112
dezvoltarea determinantului dup a o
linie, 114
dimensiunea unui spat iu vectorial, 128
divizor al lui zero, 64
divizori elementari, 154
domeniu, 65
domeniu de denit ie, 12
ecuat ia claselor de elemente conjugate,
54
ecuat ie caracteristic a, 162
element inversabil, 28
element neutru, 27
eliminare gaussian a, 136
exponent iala unei matrice, 168
factori invariant i, 151
familie de mult imi, 18
familie de elemente, 18
forma canonic a Jordan, 160
forma diagonal-canonic a, 149
214

INDEX 215
forma e salon, 134
forma Jordan a unei matrice, 156
forma Jordan a unui endomorsm, 157
formula Binet-Cauchy, 118
formulele De Morgan, 11
formulele lui Newton, 106
funct ie, 12
funct ii egale, 12
grad, 76, 80
grac, 12
grup, 28
grup abelian, 37
grup ciclic, 43
grup de simetrie, 38
grup factor, 48
grup nit, 37
grup nit generat, 43
grup simplu, 59
grupul Zn, 31
grupul aditiv al unui inel, 61
grupul diedral D4, 39
grupul diedral Dn, 39
grupul general liniar, 64
grupul lui Klein, 38
grupul permut arilor SA, 38
grupul permut arilor Sn, 50
grupul rotat iilor cubului, 59
grupul rotat iilor dodecaedrului, 59
grupul rotat iilor tetraedrului, 59
grupuri izomorfe, 39
ideal, 66
ideal principal, 67
ideal nit generat, 67
idealele lui Z, 66
idealul generat de o mult ime, 67
imaginea direct a a unei mult imi, 14indicatorul lui Euler, 24, 46
inel, 61
inel comutativ, 61
inel factor, 70
inel integru, 65
inelul Zn, 65
inelul ^ ntregilor lui Gauss, 62
inelul de polinoame ^ n nnedetermi-
nate, 80
inelul matricelor, 63
inelul polinoamelor ^ ntr-o nedetermi-
nat a, 76
inelul seriilor formale, 85
inject ie, 13
inmult ire cu scalari, 123
inmult irea matricelor, 62
intersect ie, 10
inversa unei funct ii, 14
inversiune, 52
izometrie, 38
izomorsm de grupuri, 39
izomorsm de inele, 68
izomorsm de monoizi, 32
izomorsm de spat ii vectoriale, 125
Lema chinez a a resturilor, 71
lema lui Kronecker, 97
liniar independent  a, 127
matrice, 62
matrice adjunct a, 114
matrice asemenea, 145
matrice caracteristic a, 146
matrice companion, 152
matrice de asem anare, 165
matrice diagonalizabil a, 159
matrice e salon, 134
matrice echivalente, 148

216 INDEX
matrice echivalente pe linii, 133
matrice elementare, 133
matrice inversabil a, 116
matrice Jordan, 155
matrice p atratic a, 62
matrice polinomial a, 146
matricea caracteristic a, 146
matricea de trecere, 130
matricea unui endomorsm, 143
minor, 113
minor complementar, 113
monoame asemenea, 80
monoid, 28
monoidul liber, 33
monom, 76, 80
morsm de corpuri, 68
morsm de grupuri, 39
morsm de inele, 67
morsm de monoizi, 32
morsm de spat ii vectoriale, 124
morsmul lui Frobenius, 70
mult ime, 9
mult ime factor, 20
mult ime num arabil a, 16
mult imea p art ilor, 10
mult imea vid a, 10
mult imi disjuncte, 10
mult imi echipotente, 16
multiplicitate algebric a, 162
multiplicitate geometric a, 162
multiplicitatea unei r ad acini, 79
necunoscute principale, 135
necunoscute secundare, 135
notat ie aditiv a, 29
notat ie multiplicativ a, 29
nucleul unui morsm de grupuri, 41
nucleul unui morsm de inele, 69num ar prim, 93
omotetie, 125
operat ie comutativ a, 27
operat ie algebric a, 27
operat ie asociativ a, 27
ordinea lexicograc a, 102
ordinul unui grup, 37
parte stabil a, 28
partit ie, 20
pereche ordonat a, 11
permut ari disjuncte, 51
permutare, 13
permutare impar a, 53
permutare par a, 53
pivot, 134
polinoamele simetrice fundamentale,
101
polinom ireductibil, 93
polinom matriceal, 146
polinom simetric, 101
polinom unitar, 76
polinomul caracteristic, 146
polinomul minimal, 158
pre-imaginea a unei mult imi, 14
produs cartezian, 11, 19
produs direct de grupuri, 38
produs direct de inele, 64
produsul direct de spat ii vectoriale,
124
proiect ie canonic a, 13
r ad acin a, 78
rangul unei matrice, 136
rangul unui morsm, 131
regula lui Cramer, 117
regula lui Laplace, 113
relat ie, 19

INDEX 217
relat ie de echivalent  a, 19
relat iile lui Vi et e, 79
reuniune, 10
scalari, 123
semigrup, 28
signatura unei permut ari, 52
sistem compatibil determinat, 133
sistem compatibil nedeterminat, 133
sistem Cramer, 118
sistem de reprezentant i, 21
sistem incompatibil, 133
sisteme echivalente, 133
spat iu vectorial, 123
spat iu vectorial nit generat, 126
spat iul vectorial standard, 124
structura grupurilor ciclice, 49
subcorp, 72
subgrup, 40
subgrup ciclic, 42
subgrup generat de o mult ime, 42
subgrup normal, 44
subgrupul impropriu, 40
subgrupul trivial, 40
subinel, 65
subinel prim, 69
submult ime, 9
subspat iu, 125
subspat iul generat de o mult ime, 126
sum a direct a de matrice, 153
sum a de ideale, 71
suma de subspat ii, 126
suma direct a, 126
surject ie, 13
teorem fundamental a a polinoamelor
simetrice, 104
teorema Cantor-Schr oder-Bernstein, 17teorema de izomorsm pentru inele,
70
teorema ^ mp art irii cu rest, 78
teorema B ezout generalizat a, 147
teorema de izomorsm pentru grupuri,
48
teorema formei Jordan, 156
teorema Fundamental a a Algebrei, 95
teorema Hamilton-Cayley, 148
teorema Kronecker-Capelli, 137
teorema lui B ezout, 78
teorema lui Cantor, 17
teorema lui Cauchy, 54
teorema lui Cayley, 50
teorema lui Euler, 47
teorema lui Filippov, 166
teorema lui Frobenius, 159
teorema lui Grassman, 132
teorema lui Kronecker, 137
teorema lui Lagrange, 45
teorema lui Wilson, 80
teorema mic a Fermat, 47
teorema rang-defect, 131
teorema schimbului, 127
teoremele lui Euclid, 94
termen principal, 103
transform ari elementare, 133
transpozit ie, 38
valoare proprie, 147
valoarea la dreapta, 147
vector propriu, 160
vectori, 123