LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific, Lect. univ. dr. Roș iu Monica Candidat , Găman(Niț u)… [616035]
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator științific,
Lect. univ. dr. Roș iu Monica
Candidat: [anonimizat](Niț u) Florentina Carmina
Școala Gimnaziala Bobiceș ti
Bobiceș ti,Olt
Seria 2015 -2017
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
MODELAREA Ș I INTERPRETAREA U NOR
PROBLEME PRACTICE PRIN ECUAȚII ȘI
SISTEME DE ECUAȚ II
Coordonator științific,
Lect. univ . dr. Roș iu Monica
Candidat: [anonimizat](Niț u) Florentina C armina
Școala Gimnaziala Bobiceș ti
Bobiceș ti,Olt
Seria 2015 -2017
ACORD
Subsemnatul(a),_________________________________________________________,
prof./conf./lect.univ.dr.__________________, la _____________________________________,
specializarea__________________________, sunt/nu sunt de acord cu depunerea lucrării metodico –
științifice pentru obținerea gradului didactic I, elaborată de
_____________________________________________________, profesor/învățător/educator la
Școala______ _________________________, localitatea_______________________________,
județul________________________________, cu titlul_________________________________
_________________________________________________________________.
Profesor coordonator,
Data,
Declarație de autenticitate
Subsemnatul(a)…………………………………………………………………având funcția
didactică de…………………………..la unitatea școlară…………………………………………….declar pe propria
răspundere că lucrarea cu
titlul……………………………………………………………………………………………………….. …………………………….
……………………………………………………………………………………. ……………………… ………………………avân d
coordonator științific……………………………………………………………………….a fost elaborată pers onal pe
baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De
asemenea nu am fol osit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte,
date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării,
inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidat: [anonimizat].
Data, Semnătura candidat: [anonimizat] ,
CUPRINS
INTRODUCERE 6
CAPITOLUL 1 : ECUAȚ II 8
1.1.Generalităț i 8
1.2.Ecuația de gradul întâ i cu o necunoscută 11
1.3.Ecuația de gradul întâ i cu două necunos cute 14
1.4.Ecuaț ia de g radul al doilea cu o necunoscută 17
1.5.Ecuaț ii cu parametru 18
1.6.Ecuaț ii cu module 22
1.7.Ecuații iraț ionale 26
1.8.Ecuații cu parte întreagă sau parte fracționară 27
CAPITO LUL 2 : SISTEME DE ECUAȚ II 30
2.1. Sisteme de ecuaț ii de gradul întâi 30
2.1.1.Sisteme de doua ecuaț ii cu două necunoscute 30
2.1.2.Sisteme echivalente 30
2.1.3.Metode de r ezolvare a unui sistem de doua ecuaț ii cu două necunoscute 31
2.1.4.Sisteme de trei ecuaț ii cu trei necunoscute 41
2.2. Sisteme simetrice 43
CAPITOLUL 3 : MODELAREA UNOR PRO BLEME PRACTICE CU AJUTORUL
ECUAȚIILOR SI SISTEMELOR DE ECUAȚ II 46
3.1.Conceptul de problemă – de la simple exerciții la situaț ii problematice 46
3.2.Strategii creative de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuațiilor și al sistemelor
de ecuaț ii 48
3.3.Metode de rezolvare a problemelor de aritmeticǎ 51
3.4.Exemple de probleme modelate prin ecuații sau sisteme de ecuaț ii 58
CAPITOLUL 4 : CONSIDERAȚII METODICE 74
4.1.Stabilirea obiectivelor 74
4.2. Analiz a și stabilirea resurselor educaț ionale disponibile 77
4.3.Metode utilizate în învăț are-evaluare 77
4.4. Utilizarea metodelor de evaluare 86
4.5.Proiectarea activitații didactice la matem atică 92
4.6.Experimentul pedagogic 95
4.6.1.Ipoteza si obiectivele cercetă rii 95
4.6.2.Descrierea eșantionului de subiecț i 96
4.6.3.Perioada de cercetare 97
4.6.4.Desfașurarea cercetă rii 97
4.6.5.Analiza ș i interpretarea rezul tatelor 105
4.7. Concluzii si propuneri 121
CONCLUZII FINALE 123
BIBLIOGRAFIE 124
ANEXE
6
INTRODUCERE
Matematica este o știință a realităț ii; obiec tivul ei final este o mai adâncă cunoaștere ș i
stăpânire a naturii. Datorită speci ficului ei, matematica se învață pentru a se aplica î n pract ică.
Matematica nu este o colecție nesfârșita de rezultate expuse î n succesiunea: defin iție, toremă
demonstraț ie, ci este mai degraba un arsenal de metode, ofer ind totodata un limbaj riguros și în
acelaș i timp flexibil pentr u descri erea rezultatelor cunoașterii.( D.Brî nzei)
Tema acestei lucrări metodico -stiinț ifice este ,, Modelarea ș i interpretarea u nor probleme
practice prin ecuaț ii și sisteme de ecuaț ii”
Reforma curriculară promovează trecerea de la pedagogia c lasică, bazată pe mo delul
tradițional al transmiterii, achiziț ionării și restituirii, la o pedagogie bazată p e modelul formării ș i al
reflecț iei pe rsonale. Succesul unei activităț i instructiv – educative depinde în mare măsură de
metodologia didactică folosită. Se cere azi f olosirea metodelor care activizează elevii. O modalitate
eficientă de realizare a unui în vățământ activ, i nteractiv și euristic este învăț area cu ajutorul
modelelor.
Modelarea este o metoda de învă țământ care presupune i nvestigarea indirecta a realită ții cu
ajutorul unor modele. Sc opul modelării este asimilarea și înț elegerea eficientă a cun oștinț elor de
către elevi, favorizarea unei cunoașteri mai ușoare, mai rapide și mai substanț iale .
Tema a fost aleasă din urmatoarele motive:
1.Rolul si locul privil egiat pe care il ocupa in cadrul intregului curriculum.
Noțiunea de ecuaț ie este comparabil ă cu un ,,fir roșu” al programei ș colare pentru disciplina
matematică, fiind întâlnită de elevi î n fiecare clasa. De asemenea, în fiecare clasă din ciclul
gimnazial sunt prevă zute nu meroase probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor ș i al sistemelor
de ecuaț ii.
2.Aplicabilitatea ecuațiilor î n diverse domenii.
Ecuațiile iși găsesc aplicabilitate î n toate ramuri le matematicii. Contribuie esențial la înțelegerea ș i
aprofundarea mulț imilor de numere studiate, la cal cularea unor lungimi de laturi și mă suri de
unghiuri prin aplicarea imediată a unor formule sau algoritmi. Viața, natura, societatea sunt supuse
7
unor legi care se exprimă prin ecuații. În fizică , se întâ lnesc ca ecuații (legi) ale mișcării. Legea
atracț iei universale a lui Newton a perm is calcularea traiectoriilor mișcărilor planetelor, iar mai
târziu a orbitelor sate liților artificiali care a condus la dezvoltarea comunicațiilor și televiziunii . Î n
astronomi e, legile lui Kepler descriu mișcările planetelor î n jurul so arelui. De asemenea , prin
ecuații sunt descrise reacțiile chimice , noțiunile din sfera financiară: dobandă , profit.
3.Stimularea potenț ialului creativ al elevilor prin rezolvarea de probleme.
Lucrarea de față este structurată în 4 capitole:,,Ecuații”, ,,Sisteme de ecuaț ii”, ,,Modelarea
unor pro bleme practice cu ajutorul ecuațiilor si sistemelor de ecu ații”, ,, Considerații metodice ”.
Primul capitol are ca scop introducerea no țiunilor de ecuație, ecuaț ii echivalente ,
prezentarea tipurilor de ecuații care se regăsesc în programa de matematică pentru gimnazi u, urmate
de exemple rezolvate ș i comen tate pent ru fiecare tip de ecuaț ie prezentat.
În al doilea capitol sunt prezentate si stemele de ecuații de gradul întâi cu doua ș i trei
necunoscute , met odele de rezolvarea a acestora și aplicarea lor în rezolvarea de exerciț ii.
Capitolul al treilea re prezinta part ea centrală a lucrării ș i se ocupă cu tratarea conceptului de
problemă , exem plificarea modelă rii problemelor la ciclul primar ș i gim nazial, subliniind rolul
rezolvării de probleme în stimularea creativităț ii la elevi.
Capitolul al patrulea cuprinde m etode de predare a matematicii în general si a ecuaț iilor in
particular. Se eviden țiază aplicații metodice, parcurgâ ndu-se cu ajutorul exemplelor, al problemelor,
noțiunilor prezentate anterior.
Prin caracterul să u elementar lucr area constituie un material preț ios în pregatirea elevilor de
gimnaziu. Tipurile de exerciții ș i metode de re zolvare propuse î n aceas ta lucrare vor aduce cu
siguranța o îmbunatațire a rezultatelor obț inute de elevi. Problemele sunt deosebit d e utile din punc t
de vedere metodologic, fiindc ă determină folos irea de strategii variate si raționamente fine prin
cerinț e de ordin calitativ. Ele au grade de dificultate variată și deschid noi orizonturi în vederea
însușirii matematicii, în particular a ecuațiilo r și sistemelor de ecuații, în învă țământul gimnazial.
8
CAPITOLUL 1
ECUAȚ II
1.1. Generalităț i
Definiț ia 1. O ecuație este o propoziț ie cu una sau mai multe variabile ,în care apare, o
singura dată semnul ,,=” .
Ceea ce apare în stâ nga semn ului ,,=” constituie membrul stâ ng al ecuației, iar ceea ce
apare î n dreapta, membrul drept al ecuației. Într -o ecuație,variabilele se mai numesc ș i necunoscute.
Exemplu: a) 2x – 1 = 7 – x este o ecuație cu necunoscuta x, având ca membru stâ ng pe 2x – 1 , iar
ca membru drept pe 7 – x .
b) 3x + 5y – 1 = 0 este o ecuație cu două necunoscute , x si y, al că rei membru
drept este 0.
Pentru notarea necunoscutelor se folos esc de obicei literele de la sfârș itul alfabetul ui
x,y,z,… Domeniul de existența al unei ecuații este mu lțimea valorilor admisibile ale necunoscutei
(respectiv ale necunoscu telor), adică mulțimea valorilor variabilei pentru care au sen s expresiile
algebrice ce apar în cei doi membri ai ecuaț iei.
Observații utile în rezolvarea exerciț iilor:
În pro blemele în care apare o ecuaț ie cu un a sau mai multe necunoscute se î ncepe prin
stabilirea domeniului de existență al ecuației, ceea ce se realizează prin impunerea de condiț ii.
Astfel, dacă în ecuația respectivă apar :
a) Fracții î n care necunoscuta (necunos cutele) apare la numitor se pune condiția ca numitorul să
fie nenul.
b) Radicali d e ordin par din expresii ce conț in necunoscuta (necunoscutele), se pune condiția ca
expresia respectivă să fie pozitivă .
Exemple :
1) În cazul ecuaț iei
0312x se imp une condiț ia
}1{\ 1 01 D x x .
2)
1
210
x ,
02x si
2 0 x x si
4 0 x x și
}4,0 / { 0 x x x D x
9
3)
3y x ,
}0 ,0 /),{( y xyx D
4)
012yx ,
0yx si
} /),{( 0 02yxyx Dyx yxyx
Definiț ia 2. O ecuaț ie cu o necu noscută are forma generală
F(x) = G(x),
Mx ,
unde F si G desemnează î n general expre sii algebrice pentru care operaț iile folosite au fost definite.
Mulțimea M în care ia valori necunoscuta este o submultime a lui
.
Mulțimea î n care ia valori necunoscuta se precizează în dreptul ecuației . În cazul în care nu
este scrisă se consideră mulț imea numerelor reale.
Defin iția 3. Dacă F(x 0)=G(x 0), oricare ar fi x 0
M spunem că expresi ile F(x) si G(x) sunt
identice ș i scriem F = G pe M.
În general, doua expresii nu sunt identice. Astfel, valorile x0
M pentru care F și G iau
aceeași valo are numerică vor fi numite soluț ii ale ecuaț iei. Acestea fac ca pr in înlocuirea
necunoscutei enunțul să exprime un adevar.
Definiț ia 4. A rezolva o ecuație înseamnă a determina toate soluț iile acesteia.
De exemplu, prin înlocuirea directă ,constatăm că e cuația
2x – 5 = 2 ,
x {0;1;2;3}
nu are nici o soluț ie, în mulț imea {0;1;2;3} . Aceeași ecuaț ie 2x – 5 = 2 ,
x , are o singură soluție
în
și anume x = 3,5.
Desp re ecuaț ia :
x x x x ,2 1 2 4 3 ,
se spune că are o infinitate de soluții î n
,deoarece orice număr real este o soluție a ecuației.
Ecuația se mai numește și ,, identitate “ sau ecuație nedeterminată. Pr in urmare ,, mulțimea de soluț ii
este
, adica S =
”
În sch imb , pentru orice valoare reală a necunoscutei x ,ecuaț ia
2 31 3 x x
ne cond uce ,dupa efectuarea calculelor , la egal itatea 3 = – 2, evident falsă. Spunem că o astfel de
ecuaț ie este o ecuație imposibilă .
Echivalența ecuaț iilor
Definiț ia 5. Două ecuații se numesc echivalente dacă au același domeniu de definiție și
aceeași mulțime de soluț ii.
10
Exemplu :
02x si
042x sunt echivalente î n
02x si
0)2(2x sunt echivalente î n
.
În continuare not ăm domeniul de definiț ie cu D.
Teorema 1. Oricare ar fi expresia H(x) ,ecuaț iile F(x) = G(x) și F(x)+H(x) = G(x)+H(x)
sunt echivalente.
Demonstrație:Într -adevă r, F(x 0) = G(x 0)
F(x 0)+H(x 0) = G(x 0)+H(x 0), pentru orice x0 din
D. Cunoaștem implicaț ia F(x 0)=G(x 0)
F(x 0)H(x 0) = G(x 0)H(x 0) , pentru orice x0 din D.
Implicaț ia inv ersă nu este adevarată, în schimb observă m ca F(x 0)H(x 0) = G(x 0)H(x 0)
H(x 0)=0
sau F(x 0) = G(x 0) , pentru orice x0 din D.
De unde deduce m rezultatul:
Teorema 2. Ecuaț ia F(x)H(x) = G(x)H(x) se descompune î n H(x) = 0 si F(x)=G(x). Altfel
spus, mulțimea soluțiilor ecuaț iilor F(x)H (x)=G(x)H(x) este reuniunea mulțimii soluțiilor ecuației
H(x)=0 și a mulțimii soluțiilor ecuaț iei F(x)=G(x ).
Teorema 3. Dacă H(x)=0 nu ia valo area 0 pe
,ecuaț iile F(x)H(x)=G(x)H(x) si F(x)=G(x)
sunt echivalente. Știm ca F(x 0)2=G(x 0)2
F(x 0)=G(x 0) sau F(x 0)= G(x 0) .
De aici rezultă :
Teorema 4. Ecuaț ia F(x)2=G(x)2
F(x)=G(x) sau F(x)=
G(x).
Pe o mulțime î n care F(x 0) și G(x 0) au același semn, ecuaț iile F(x)2=G(x)2 si F(x)=G(x)
sunt echivalente .
Aplicații ale acestor teoreme în rezolvarea ecuaț iilor:
1) Posibilitate de a găsi o ecuație cu 0 în memb rul drept, echivalentă cu o ecuație dată.
(trecem termenii î n unul din membri, schimbâ ndu-le semnul).
2) Înlocuirea unei ecuații cu numitori printr -o ecuație fără numitori. Dacă membri erau
fracții rationale, cei ai ecuaț iei nou formate sunt polinoame. Ecuația se numește ecuație î ntreaga.
3) Sesizarea posibilităț ii de a descompune o ecuaț ie.
4) Trecerea de la o ecuație care conține una sau doua rădăcini pătrate, la o ecuație fără
radicali: în acest scop, se separă un radical, apoi se ridică cei doi m embri la pătrat: dacă radic alul
este unic, el dispare, dacă sunt doi radicali , rămâ ne numai unul ș i se apli că procedeul din nou. La
ecuațiile iraț ionale, bazate pe ridicarea la pătrat sau pe mai multe ridicări succesive la pătrat , este de
remarcat faptul că obținem ecuaț ii în general c u mai multe rădăcini decât ecuația dată ș i se impune
verificarea rădăcinilor găsite ca făcând parte din rezolvare, evitând în acest mod și eventualele
greșeli de calcul.
11
1.2. Ecuația de gradul întâi cu o necunoscută
Definiț ia 6. Forma generală a unei ecuații de gradul întâi cu o necunoscută este
ax+b=0 , unde a si b sunt numere reale.
(1) În cazul
0a ecuația se rezolvă în două etape:
a) se scade din ambii membri b și se obț ine: ax = – b
b) se î mpart ambii membri prin a și se obț ine :
abx .
Această ultimă ecuație are evident soluție unică numă rul real
ab și este echivalentă cu ecuaț ia
ax+b=0 . Spunem că, în acest caz, e cuația este compatibil determinată .
(2) În cazul a = 0 avem situaț iile:
0b , ecuatia nu are solutii (este incompatibila).
b = 0 , ecuația este identic verificată pe
(este compatibil nedeterminată ).
Ecuații reduct ibile la ecuații de gradul întâi cu o necunoscută
Metodele de rezolvare ale ecuaț iilor reductibile la ecua ții de gradul întâi cu o necunoscută
constau într -un șir de transformă ri echiv alente succesive prin care ecuația se aduce la o formă din
care soluția poate fi citită .
În rezolvarea ecuaț iilor se folosesc urmatoarele două proprietați ale egalitaț ii (valabile
pentru numere reale):
Proprietatea 1 . Adunâ nd la (sau scăzâ nd din) ambii membri ai unei ecuații același număr
real obținem o altă ecuație, echivale ntă cu prima.
Proprietatea 2 . Înmulțind (sau împărțind) ambii membri ai unei ecuații cu acelați numă r
real, d iferit de 0, obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima.
De exemplu, să rezolvăm ecuaț ia: 3x – 1 = 9 ,
x
Adunând la ambii m embri numărul 1, obținem ecuaț ia 3x = 9 + 1 ,
x , echivalentă cu prima.
Împărț im ambii membri cu 3 și obținem ecuaț ia x =
310 ,
x , care este echivalentă cu prima.
Această ultimă ecuație are evide nt o singură soluție, numă rul
310 . Deci și ecuaț ia 3x -1=9,
x , are
o singură soluție, numă rul
310 .
O ecuaț ie cu necunoscuta x, de forma a1x + b 1 = a 2x + b 2, a1,b1,a2,b2
se rezovă astfel:
12
– se separă termenii ecuației astfel încât membrul stâng să conțină termenii î n care apare
necunoscu ta, iar membrul drept termenii î n care nu apare necunoscuta:
a1x – a2x= b 2 – b1 sau x(a 1 – a2)= b 2 – b1
– daca
2 1a a atunci
02 1aa ,împărțim ambii membri ai ecuaț iei prin
2 1aa și obținem
ecuația echivalentă
2 11 2
aabbx , având ca soluție unică numă rul real
2 11 2
aabb
; aceasta este
soluție ș i a primei ecuatii.
– dacă a1 = a2 si
2 1bb , atunci ecuația inițială nu are soluț ii (mulț imea soluțiilor este
mulțimea vidă ).
– dacă a1 = a2 si b1 = b2, atunci orice număr real este soluție a primei ecuaț ii (mulțimea
soluț iilor este
).
Exemple: 1. Să se rezove ec uația: 3x – 1 = x + 6 ,
x .
Separând termenii care conț in ne cunoscuta de termenii liberi obț inem ec uația 2x = 7 echivalentă cu
prima. Împărțim ambii membri cu 2 și obținem ecuația echivalentă x =
27 , care are soluția numă rul
27
. Deci și ecuaț ia 3x – 1 = x + 6 ,
x are soluția numă rul
27 .
2. Să se rezolve ecuaț ia: 4x + 2(3x – 1 ) = 1 + 3(x – 1 ),
x .
Desfacem parantezele; ecuaț ia devine 4x + 6x – 2 = 1 + 3x – 3 . Trecem în membrul stâng toți
termenii î n care apare necunoscuta x, iar î n membru l drept ceilalți termeni. Obținem ecuaț ia:
4x + 6x – 3x = 2+1 – 3 .
Reducem termenii asemenea; avem 7x = 0 . Această ecuație este echivalentă cu prima și are soluția
0. Deci și prima ecuație are ca unică soluție numă rul 0 .
3. Să se rezolve ecuaț ia :
1 21
3 27
xx
xx .
Stabilim domeniul de definiție al ecuației. Punem condiția ca numitorii s ă fie nenuli:
032x
si
2301 2 x x și
21,23\21D x . Înmulț im ambii membri cu 2x + 3 ,
apoi cu 2x – 1 (care sunt nenuli); obț inem:
(x + 7)(2x – 1 ) = (x + 1)(2x + 3)
echivalentă cu e cuația 8x = 10 având soluț ia
45x . Numă rul
45 este soluție și a ecuației iniț iale,
după cum se poate verifica prin înlocuire directă .
13
1.3. Ecuația de gradul întâi cu două necunoscute
Definiț ia 7. Forma generală a ec uației de gradul întâ i cu două necunoscute este
ax+by+c=0 , unde a,b,c sunt numere reale,
0a si
0b .
Numerele a si b se numesc coeficienții ecuaț iei, iar c se numeș te termenul liber al ecuatiei. În
general o astfel de ecuație este nedeterminată ; perechile de forma
xbaxcx , , sunt soluțiile
ecuaț iei. Punctele di n plan avâ nd aces te coordonate formeaza o dreaptă care se va numi dreapta
soluțiilor ecuaț iei ax+by+c=0 . Cazuri particulare:
b=0, ecuația devine: ax+c=0(
0a ) și dreapta soluț iilor este
acx , deci o dreaptă paralelă
cu axa ordonatelor.
0a , ecuaț ia devine by+c=0(
0b ) și dreapta soluț iilor este
bcy , deci o dreaptă
paralelă cu axa absciselor.
Exemple: a) Să se rezolve î n
ecuaț ia 3x-2y=1 .
Pentru orice
x avem
213xy .Deducem astfel că mulțimea soluțiilor ecuaț iei este:
} )21 3,{( .
Interpretare geometrică: Reprezentăm î ntr-un sistem ortogonal de axe două soluț ii ale acestei ecua ții,
de exemplu (1;1) și ( – 1, – 2 ). Notă m cu A(1;1) și B( – 1, – 2 ). Demonstrăm că orice soluție a
ecuației se reprezintă î n plan printr -un punct al dreptei AB. Fie C(1, – 2 ), D(x, – 2 ) și
M
213,xx Dreptele AC și MD sunt paralele; AC = 3; BC = 2; BD = x – (–1) = x+1; MD =
2)1(3)2(213 x x
. Obț inem
)1(36
12
2)1(33
12
x x x x MDAC
BDBC . Rezultă că
BCA
~
BDM . Din asemănarea triunghiurilor deducem că punctele M, A, și B sunt coliniare ș i deci
punctul M aparț ine dreptei AB.
Este adevarată și implicația inversă. Dacă
AByxP),( , atunci perechea (x,y) este soluție a ecuaț iei
3x–2 y=1.
14
În acest sens, considerăm funcț ia
21
23)(, : x xf f . Reprezentarea geometrică a graficului
funcț iei f este dreapta AB (vezi fig.1.). Din
1 2 321
23)( ),( y x y x y xf AByxP , deci
perechea (x,y) este soluție a ecuaț iei 3x–2 y=1.
Fig. 1. Reprezentarea grafica a functiei f
b) Să se rezolve î n Q ecuaț ia
5 3 2 y x .
Daca (x0,y0)
Q2 este o soluție a ecuaț iei, deducem:
.25;0 2 35152 152 35 2 3 5 2 5 3 2
2
0 02
0 00 02
02
0 0 0 0 0
x y x yy y y x y x y x
Deoarece x0
Q și
252
0x sunt incompatibile, rezultă că ecuația propusă nu are soluț ii.
Ecuația diofantică liniară
Definiț ia 8. Ecua ția:
ax+by+c=0, a,b,c
,ab
0 (1)
se numește ecu ație diofantică liniară .
Rezolvarea acestei ecuații presupune gă sirea perechilor (x,y)
2 care verifică ecuația.
Meritul pentru rezolvarea acestei ecuații î i apar ține matematic ianului grec Diofante, de unde și
numele de ,,ecuaț ii diofa ntice,, (ecuații cu soluții î ntregi). Rezolvarea acestui tip de ecuații se
bazează pe proprietăț i legate de divizibilitatea nume relor î ntregi.
Propozitia 1. Fie numerele î ntregi a, b, c, a si b diferite de zero ș i d = (a;b). Următoarele
afirmaț ii sunt echi valente :
i) d divide c ;
ii) ecuaț ia ax + by +c =0 admite soluții î n
.
15
Demonstrație. Dacă d nu divide pe c, atunci evident ecuația nu are soluții. Dacă d divide pe c, atunci
înmulțind ambii membri ai ecuaț iei ax + by = c cu
d
c , este suficient să demonstrăm că d este o
combinație liniară cu coeficienți î ntregi de a și b. Pentru aceasta se poate folosi algoritmul lui
Euclid.
Observaț ie. Putem considera (a,b)=1 , deoarece dacă d = (a;b) >1 atunci
11, a a d b b d ,
11( , ) 1ab și
ecuaț ia devine
11( ) 0a x b y d c de unde rezultă că
1c c d . Astfel ecuația dată este echivalentă cu
ecuaț ia
01 1 1 cybxa , unde
11( , ) 1ab . De aceea, vom consider a a,b,c
,prime î ntre ele.
Propoziț ia 2. Fie a si b doua numere întregi prime între ele. Soluția generală (x;y)
2 , a
ecuaț ie ax + by = 0 este :
x=
b ; y=
a ,
. (2)
Demonstrație: Î ntr-adevar dacă
2
0 0),(yx este o soluț ie, avem
0 0 by ax , deci
0axb . Cum a și
b sunt prime î ntre ele, deducem
0xb , adică
b x0 0 ,
0 . Înlocuind
0x în ecuație, rezultă
0 )(0 0byba
,
0 0a y . Deci soluț ia
),(0 0yx a ecuaț iei este de forma (2).
În plus se verifică imediat că orice pereche de numere x=
b ; y=
a ,
,este o soluție a
ecuaț iei din enun ț.
Propoziția 3. Soluția generală a ecuaț iei (1), unde a și b sunt prime î ntre ele , este :
x =
1x b ; y =
1y a ,
(2’)
(x1,y1)
2 fiind o solu ție oarecare a ecuaț iei.
Demonstrație: Înlocuind soluția (2’) în ecuaț ia (1) , deducem
0 ) () (1 1 1 1 c by ax oca ybb xa
,evident datorită ipotez ei.
Fie acum
2 ' ');(yx o soluție oarecare a ecuației (1), diferită de soluț ia (x1,y1), deci
1'
1'y sauyxx
. Deducem ax1+by 1+c=0,ax’+by’+c=0 , de unde a(x’ – x1)+b(y’ – y1)=0. Rezultă
imediat x’ – x1 =
b, y’ – y1 =
a, cu
, deci x’= x 1+
b, y’ = y 1
a (
).
În concluzie, dacă a si b sunt prime între ele , problema rezolvării ecuaț iei diofant ice (1) se reduce la
probl ema găsirii unei soluț ii particulare (x1;y1).
Exemple: 1) Să se rezolve î n
2 ecuaț ia 5x – 3y = 1 .
Metoda 1: Ecuaț ia se mai poate scrie 5x = 1+3y , de unde
51 3yx .Cum x
rezultă că
5
13y .Punând în plus condiț ia ca x >0, y >0, obț inem sol uția particular ă (2;3).
Deci, soluția generală (x,y)
2 a ecuaț iei propuse este:
16
x =2 – 3
; y =3 – 5
,
.
Metoda 2: Din
31 51 5 31 3 5xy x y y x , deci
31 2xxy . Trebuie ca
ax
312 ,
deci
21aax . Rezultă
ba
21 , de unde a = 2b – 1. De aici rezultă x = 2b – 1 + b = 3b – 1 ;
y = 3b – 1 + 2b – 1 =5b – 2 . Deci solutia generală a ecuaț iei este: x = 3b – 1 ; y = 5b – 2 ,
b .
Acea stă soluție se obț ine din cea de la metoda 1, pentru
b1 .
2) Să se rezolve î n
2 ecuația 127x – 52y + 1= 0 .
Se scoate necunoscu ta cu coeficientul cel mai mic î n modul:
521 127xy .
Putem scrie:
521 232xx y . Deoarece x și y sunt numere întregi, rezultă
ax
521 23 , deci
231 62231 52 aa xax
.
Raționâ nd analog, ded ucem
61 23
231 6 ba ba , care se mai scrie
61 53bb a și prin
urmare
cb
61 5 . Rezultă
51ccb , cu
1 551 cc . De aici rezultă
529x
si
127 22y . Deci soluția generală a ecuaț iei este:
529x ;
127 22y ,
.
1.4. Ecuaț ia de gr adul al doilea cu o necunoscută
Definiț ia 8: Forma generală a ecuaț iei de g radul al doilea cu o necunoscută este
ax2+bx+c= 0, a, b, c
,
0a .
I. Rezolvarea ecuaț iei de gradul al doilea,cazuri particulare:
a) Dacă c = 0 , ecuația are forma particulară ax2 + bx = 0 ,
0a .
ax2+bx = 0
x(ax+b) = 0
x=0 sau ax + b = 0, deci ecuația are două soluț ii : x1 = 0 și
abx2
Exemplu: Rezolvaț i ecuaț ia –6×2+5x=0 .
–6×2+5x = 0
x(–6x+5 ) =0
x = 0 sau –6x+5 = 0.
Ecuaț ia –6x+5 = 0 are soluț ia
65 . Deci mulțimea soluțiilor ecuației –6×2+5x=0 este S={0,
65 }.
b) Dacă b=0, ecuația are forma particulară ax2 + c = 0 ,
0a ; ax2+c=0
acx2 .
Dacă
0ac , atunci ecuația nu are soluții (în această situaț ie a și c au acelaș i semn).
17
Dacă
0ac , atunci ecuația are soluț iile :
ac și
ac (aceasta se întâmplă dacă a și c au
semne contrare) .
Exemple : Rezolvați ecuaț iile: i) –4×2+12=0; ii) 9×2+1=0
i) –4×2+12=0
–4×2= –12
x2=3
31x ;
32x .
ii) 9×2+1=0
9×2= –1
0912x , deci ecuația nu are soluț ii.
c) Ecuaț ia este de forma f(x) = 0, unde f(x) este un produs de doi factori.
În acest caz rezolvarea ecuației presupune egalarea fiecărui factor cu 0 și rezolvarea a două
ecuații de gradul întâi. Acest caz of eră o metodă de rezolvare a ecuaț iei de forma
ax2+bx+c=0 prin descompunerea expresiei ax2+bx+c în produs de factori de forma
x .
Exemplu: Rezolvați ecuaț iile:a) (2x–1)(x+1)=0 ;b) x2–14x+48=0
a) (2x–1)(x+1)=0
2x–1=0 sau x+1=0 .
Se obțin soluț iile
21
1x ;
12x .
b) x2–14x+48=0
x2–14x+49 -1=0
(x-7)2-1=0
(x-7+1)(x -7-1)=0
(x-8)(x-6)=0
x-8=0 sau x-6=0
x1=8;x 2=6.
II. Rezolvarea ecuaț iei de gradul al doilea,cazul general:
Ecuația ax2+bx+c=0 , a, b, c
,
0a se poate scrie sub forma
04)2(2
2 acb bax
sau
44)2(2
2 ac b bax .(3)
Ecuația (3) are soluții dacă ș i numa i dacă
0 42ac b . Numă rul b2 – 4ac se numește
discriminantul ecuaț iei ax2+bx+c=0, a, b, c
,
0a și se notează cu litera g recească
.
Dacă
0 42ac b , din (3) rezultă
44
22ac b bax
De unde deducem soluț iile
aac b bx242
2,1 .
Așadar:
1.Dacă
0 , ecuaț ia ax2+bx+c=0 admite două soluț ii distincte:
18
abx21 ;
abx22
2.Dacă
0 , atunci ecuația admite două soluț ii egale:
abx x22 1
3.Daca
0 , ecuația nu are soluț ii reale.
Exemple:
a) 2×2+x – 1=0, a =2; b =1; c= – 1;
= b2– 4ac ;
= 9
49 1
1x ;
49 1
2x
Ecuația are soluț iile
21
1x ;
12x .
b) 16×2 – 40x + 25 = 0, a=16; b= – 40; c = 25;
=0,
1x
45
3240
2x .
c) 2×2+2x+1=0, a = 2; b = 2; c=1;
04 ,ecuația nu are sol uții reale.
Observaț ii:1. Condiț ia ac < 0 ( a si c de semne contrare) este o condiție suficientă (deoarece
rezultă
= b2– 4ac >0), dar nu și necesară pentru ca ecuaț ia ax2 + bx + c = 0 să admita soluț ii.
De exemplu, ecuaț ia x2-3x+2=0,a = 1;b = -3;c = 2;
= 1 are soluț iile x1= 2 si x 2=1,dar ac > 0.
2. Făcând suma ș i produsul s oluțiilor se obț ine:
abxx2 1
acxx2 1 .
Astfel, cunoscând suma și produ sul soluțiilor unei ecuaț ii de gra dul al doilea, putem scrie
ecuaț ia echivalenta:
02 P Sx x .
Cele doua relații între rădăcinile și coeficienții ecuației de gradul al doilea poartă numele de relaț iile
lui Viète.
1.5. Ecuaț ii cu parametru
Definiț ia 9. O ecuație cu parametru este o ecuație în care figureaza ș i alte litere decâ t
necunoscutele numite parametri.
În rezolvarea acestui tip de ecuație se face o discuție asupra parametrilor pe care îi conț ine.
Exemple: 1. Să se rezolve ecuaț iile: a) mx=3 , m
; b) mx=0 , m
.
a) Apar urmatoarele cazuri:
19
– dacă m
0, împărțim ambii membri ai ecuaț iei prin m și obținem ecuația echivalentă
mx3 ,care
are aceeași soluț ie,
m3 , ca și ecuația dată .
– dacă m = 0 , atunci 0 = 3 , eviden t fals. Î n acest caz spunem că ecuația este imposibilă .
În concluzie, pentru m
}0{ ecuaț ia mx=3 , m
are o singură soluț ie
m3 , iar pentru m=0
ecuația este imposibilă .
b) Distingem două cazuri :
– dacă m
0, împărțim ambii membri ai ecuaț iei prin m și obținem ecuația echivalentă
mx0 , adică
x = 0 care este și soluția ecuaț iei mx = 0, m
.
– dacă m=0 , atunci ecuaț ia devine 0x = 0, o egalitate adevarată oricare ar fi x
. Ecuația are o
infinitate de soluții, adică S =
. În concluzie:
Pentru m
}0{ ecuatia mx = 0, m
are o singură soluț ie x=0.
Pentru m=0 ecuaț ia este compatibil nedet erminată, mulțimea soluț iilor este
.
2. Să se rezolve ecuaț ia mx+3=x+m , unde m este un parametru real.
Trecem în membrul stâng toți termenii î n care apare necunoscuta x, iar în membrul drept ceilalț i
termeni. Se obține ecuaț ia echivalentă mx – x=m – 3,
x sau (m – 1)x=m – 3,
x
Distingem două cazuri:
– dacă
1m , împărțim ambii membri ai ecuației cu numă rul m – 1
0 și obținem ecuația
echivalentă
13
mmx care are aceeași soluție, numă rul
13
mm , ca și ecuația iniț ială.
– dacă m=1 , atunci ecuaț ia devine 0 = – 2, rezultat fals ; deci ecuația inițială nu are nici o
soluț ie.
În concluzie, pentru m
}1{ ecuaț ia mx+3=x+m , m
are o singură soluție, numă rul
13
mm , iar
pentru m=1 nu are nici o soluț ie.
3.Să se rezol ve ecuaț ia m2(x – 2) – 3m=x+1 , unde m este un parametru real.
Trecem în membrul stâ ng toți termenii î n care apare necunoscuta x, iar în membrul drept ceilalț i
termeni. Se obține ecuația echivalentă :
m2x – x=2m2+3m+1,
x sau x(m – 1)(m+1)=(2m+1)(m+1),
x .
Se remarcă urmatoarele cazuri:
20
a)m
– 1. În acest caz putem împărti ambii membri ai ecuaț iei prin m+1 ; obținem ecuația
echivalentă x(m – 1)=(2m+1),
x . Distingem alte două cazuri:
-m
1;obținem ecuația echivalentă
11 2
mmx ,
x ,care are o singură soluție, numă rul
11 2
mm .
– m = 1. Ecuaț ia devine 0x= 3 ,adica 0= 3 ,absurd. În acest caz, ecuați a inițială nu are soluț ii.
b) m= – 1. În acest caz ecuaț ia devine x(– 2)0=( – 1)0,
x ,adică 0 = 0 și spunem că ecuația
inițială are o infinitate de soluț ii reale (este o identitate), deci multimea soluț iilor este
.
Deci, pentru m
}1,1{ ecuaț ia m2(x – 2) – 3m=x+1 ,
x are o s ingură soluție reală ,
11 2
mm ,
pentru m=1 ecuația nu are nici o soluție ș i pentru m= – 1ecuația are o infinitate de soluții reale,
adică mulțimea soluț iilor este
.
4. Să se rezolve ecuaț ia
.042
xm x
Pune m condiț ia
4 04 x x . Avem
m x m xxm x2 0 2 042 .
Dacă
4 2m , adică
2m ecuația are o singură soluț ie
m x2 , iar dacă m = 2 ecuația nu are soluț ii.
5. Să se resolve ecuaț ia
.13
52
mx mx
Pentru ca ecuația să aibă sens punem conditiile:
5 010 5 mxmxmx și, dacă
mx m1,0 .
Dacă m = 0 , ecuaț ia devine
xx15213
52 , de unde
50
152x , rezultă că dacă m = 0
ecuația are soluț ia
152x .
Pentru
0m ecuația dată este echivalentă cu ecuaț ia
m x m mx mx 32 )15 2( ) 5(3)1 (2 .
a)dacă
0 15 2m , adică
215m , se obț ine
15 232
mmx ;
b)dacă
215m , ecuatia devine
2410x , evident fals, deci ecuatia nu are solutii.
Asadar, pentru
215;0\ m se verifică restricț iile
5ax si
mx1 :
a’)
)15 2( )32(55 15 232
5 mm mm
mm mx de unde
5 ,10 22 m m .
Astfel, pentru
5m ecuația nu are soluț ii.
21
b’)
)15 2()32(1
15 232 1 m m mm mm
mx de unde
5 ,15 32 m m , caz deja
studiat.
În concluzie, dacă
5;215m ecuația nu are soluții, iar dacă
5;215\ m ecuația are
soluț ia
15 232
mmx . Rezultat ul obț inut pentru m = 0 se regăsește î n formula pentru x din cazul
anterior.
6.Să se resolve ecuaț ia:
2 2161)12(2)12( m x x .
Avem:
m x m x m x m x x 2 4 1611 4 161)12)(12(2,12 2 2 2 2 .
7.Să se determine valorile reale ale lui m pentru care ecuaț ia
0) 3(2)2 (2 m x m x
are soluț ii egale.
Ecuația are soluții egale dacă
6 2 0 20 4 0) 3(8)2 (2 2 m m m m m
8. Se consideră ecuaț iile :
03 42x x
0 3)1 (2 2 mx m x ,unde m este un numar real.
Pentru ce valori ale lui m ecuaț iile au o soluție comună ?
Prima ecuație are două rădă cini numerice:
11x ,
32x . Punem pe rând condiția ca una dintre
soluții să verifice ecuația a doua. Se obțin două ecuații de gradul al doilea î n m:
0 32m m
022m m
Rezultă
}3;2;0;1{m .
9.Să se determine
m , știind că ecuaț iile:
0 3)2 ( )1(2 mx m x m și
0 )2 ( )1(2 mx m x m
admit cel puț in o rădăcină comună î n
.
Adunând cele doua ecuații obț inem
0)1 (2xm , de unde m = 0 sau
12,1x .
Daca m = 0 ecuațiile au ambele soluț ii
2 ,02 1x x comune; dacă m = 1 ecuațiile au soluția
comună x = 1 , iar dacă m = – 1 au în comun soluț ia x = – 1.
10.Se dă ecuaț ia
02)2 (2 x m mx cu rădă cinile
1x ți
2x.
a)Să se con struiasca ecuația având ca rădă cini
2 12
2
2 11
1 ,xxxXxxxX
.
22
b)Să se determine m astfel încâ t
2 12X X .
c)Să se arate în ce caz de aceeași proprietate se bucură și rădăcinile ecuaț iei date.
(C.G.M.,1929)
a) Din
mxxmmxx2,2
2 1 2 1 rezultă :
1
2 12
2 11
2 1 xxx
xxxX X
2 2
2 12 1
2 12
2 11
2 1)2 (2
) ( mm
xxxx
xxx
xxxXX .
Ecuaț ia
0 2 )2 ( )2 (2 2 2 m X m X m are rădă cinile
2 1,XX .
b)Din
12 1X X și
2 12X X rezultă
32,31
1 2 X X . Deci
92
)2 (2
2mm . Obținem
ecuaț ia
04 52m m cu rădă cinile 1 si 4.
c)Știind că
mmxx2
2 1 și
2 12x x obținem
mmxmmx3)2 (2,32
1 2 . Deci
m mm 2
9)2 (2
22
.Obținem ecuaț ia
04 52m m , deci aceleași val ori 1 ș i 4 pentru m.
1.6. Ecuații cu module
Definiț ia 10. Fie
x . Modulul sau valoarea absolută a numărului real x este numă rul
notat cu
x . Prin definiț ie ,
0 ,0 ,00 ,
xxxxx
x sau
0 ,0 ,
xxxx
x
Propriet ațile pe care le vom utiliza î n acest paragraf sunt :
x x ,0 ;
0 0 x x ;
xx x , ;
y ysauxx yx ;
yxyxyx ,, ;
0 , ,, y yxyx
yx ;
23
yxyxyx ,, ;
În locul lui x putem avea o expres ie în care î l avem pe x. În acest caz ex plicitarea modulului
presupune î n plus rezolvarea unor ine cuații prin care se stabilesc intervalele în care este împărțită
mulțimea
și după care se face explicitarea modulului.
Exemplu ,
1 ,11 ,1101 ),1(01,11x xx xxx xx xx
În rezolvare a ecuaț iilor cu module se urmărește să se elimine modulele și să se ob țină o
ecuație pe care știm cum să o rezolvă m. Pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin module se utilizeaza
urmă toarele metode :
a) definiț ia modulului;
b) ridicarea ambilor membri la pă trat;
c) rezolvarea ecuaț iilor pe intervale (din explicitarea modulelor mulț imea
este împărțită în
intervale; mulțimea soluțiilor ecuației date este egală cu reuniunea mulțimilor de soluții ale
ecuaț iei de pe in tervalele care compun pe
).
În rezolvarea ecuaț iei
aax , , în
, întâ lnim trei cazuri :
dacă
0a ecuțtia
ax nu are soluții, este imposibilă .
dacă
0a ecuaț ia
ax are soluț ia
0x , S = {0}.
dacă
0a ecuaț ia
a asauxx ax , S = { – a, a }.
1)
x x ,2
Folosind proprietațile modulului obț inem
2 2 2 saux x x , rezult ă S = { – 2 , 2}.
2)
x x ,5
Din
x x ,0 , rezultă ecuaț ia nu are solu ții.
3)
x x ,3 2
Ecuaț ia
}5;1{ 5 1 3 23 2 3 2 S saux x x sau x x .
4)
xx x ,212
Explicitând modulul obț inem
2 ,22 ,2202 ),2(02,22x xx xxx xx xx .
24
În plus, punem con diția
210 21 x x .
Dacă ,
21x ecuaț ia devine
x x 21 2 , cu x = – 1 care este și soluția ecuației iniț iale
5)
xx xx ,23
Explicitând modulele după cum x aparț ine unuia din intervalale
]3,0(],0,( sau
),3( , rezultă
urmatoarele trei cazuri :
a) Dacă
]0,(x oțtinem ecuaț ia
x xx 23 cu
]0,(5x , deci
5x nu
este soluție a ecuaț iei.
b) Dacă
]3,0(x ecuaț ia devine
x xx 23 cu
]3;0(35x , deci
35x este soluție a
ecuaț iei.
c) Dacă
),3(x avem ecuaț ia
x xx 23 cu
),3(1x , deci
1x nu este
soluție a ecuaț iei.
6)
x x x ,01 12
Deoarece
x x x ,01 ,012 și
01 12 x x , rezultă
1 01 x x și
1 1 012 12 six x x
.
Intersectând mulțimile celor două ecuații obținem mulțimea soluțiilor ecuației din enunț , S ={ – 1 }.
7)
x x ,953 2 .
Din
953 2 953 2 x x sau
9 532 x rezultă :
a)
1432 1432 9532 x x x sau
21114 3 2 x x sau
217x
b)
04 32 9 532 x x ecuatia în acest caz nu are soluț ii.
Deci,
211,217S .
8)
x x x ,21 1
Explicitând modulele după cum x aparț ine unuia din intervalale
]1,1(],1,( sau
),1( , rezultă
urmatoarele trei cazuri :
25
a) Dacă
]1,(x ecuația devine
22 21 1 x x , deci ecuația este
compatibil nedeter minată ,
]1,(1S .
b) Dacă
]1,1(x obținem
1 1 1 2 2 21 1 sauxx x x x x ,
}1{2S
.
c) Dacă
),1(x avem ecuaț ia
22 21 1 x x ,deci ecuația este compatibil
nedeterminată ,
),1(3S .
Mulțime a soluților ecuației iniț iale este
),1[]1,(3 2 1 S S SS .
9)
m mx ,5
Se utilizează proprietațile modulului și se obț ine :
5 5 mx mx
sau
5 5 mx mx sau
5mx . Deci, pentru
orice
m , mulțime soluț iilor e cuației este S = {m+5; m – 5 }.
10)
mm x x , 2 1
Evident, ecuația are soluț ii numai pentru
0m . Din explicitarea modulelor se obț in
urmatoarele trei cazuri :
a) Dacă
1x atunci
)2( 2 ),1( 1 x x x x și ecuaț ia devine
3 2 2 1 mx m x x
de unde
23mx . Cum x <1 , rezultă
1 123mm
. Deci, pentru m > 1,
23mx .
b) Dacă
]2;1[x atunci
)2( 2,1 1 x x x x și ecuaț ia devine
1 0 2 1 mx m x x
.Dacă m=1, S = [1;2], iar dacă
1x ecuația nu are soluț ii.
c) Dacă
2x atunci
2 2,1 1 x x x x și ecuaț ia devine
3 2 2 1 mx m x x
de unde
23mx . Cum x > 2, rezultă
1 223mm .
d) Prin urmare :
-pentru m > 1 ecuația are două soluț ii distincte
23mx si
23mx ;
-pentru m = 1 mulțimea soluțiilor ecu ației este intervalul [1;2];
26
-pentru m <1 ecuația nu are s oluții.
1.7. Ecuații iraț ionale
De la î nceput tr ebuie să precizăm cadrul destul de restrâns în care, problema rezolvă rii
ecuațiilor iraționale este abordată în gimnaziu. Î n limitele acestui cadru sunt analizate câteva situații
în care ecuații le conț in radicali de ordinul 2 sau 3.
Definiț ia 11. Se numește ecuație iraționala o ecuație în care necunoscuta figurează sub unul
sau mai mulț i radicali.
În rezolvarea ecuațiilor iraționale trebuie respectate urmă toarele etape :
1)Condiții de existență . Dacă în ecuaț ii sunt radicali de ordin par care conț in necunoscuta atunci
expre siile de sub radicali trebuie să fie nenegative. Uneori prin s impla rezolvare a acestor condiții se
poate stabili că ecuația nu are soluții. Dacă rezolvarea condițiilor este c omplicată nu se realizează .
2)Rezolvarea ecuaț iei. Se ridic ă ambii membri ai ecuaț iei la puteri convenabile (date de ordinele
radicalilor) obtinând în final o ecuație care nu conț ine necun oscuta sub radical. Pentru a obține o
astfel de ecuație se izolează într-un membru un radical și se ridică la puterea precizată de ordinul
radicalului. În alte cazuri, ecuația se înmulțește cu o expresie conjugată sau se efectuează substituț ii
convenabile.
3)Verificarea soluț iilor. Dacă pe parcursul rezolvării, prin transf ormările efectuate, ecuațiile
obținute nu sunt echivalente se impune verificarea soluțiilor acestora: mai întâi dacă satisfac
condițiile 1) și apoi dacă verifică ecuația dată. Mulțimea soluțiilor ecuației obț inute prin ridicare la
putere conține mulțimea soluțiilor ecuat iei date.
1.Să se rezolve ecuaț ia
31x .
Punem condiț ia
),1[ 01 x x . Ridicând ambii membri ai ecuației la pătrat obținem ecuaț ia
91x
de unde
),1[ 10x , deci este soluție a ecuaț iei .
2.Să se rez olve ecuaț ia
9 2 6 x x .
Punem co ndițiile :
0 6x și
6 092 x x si
6;29
29x x . Ridicând ambii membri ai
ecuației la pătrat obț inem ecuaț ia
8 36 4 6 )92( 62 2 x x x x x 1
4150 75 35 412 x x x
si
52x . Soluț ia este x = 5 deoarece
6;295 .
3.Să se rezolve ecuaț ia
56 1 x x .
27
Punem condiț iile :
01x si
06x
),1[x . Ridicând ambii membri ai ecuației la pătrat
obținem ecuaț ia
x x x x x x x 96 7 25)6 )(1(2)6()1(2 ,cu condiț ia
suplimen tară
0 9x
]9,(x . Deci
]9,1[]9,(),1[ x .
Ridicăm la pătrat ambii membrii ai ecuaț iei
x x x 96 72 . Obț inem
2 218816 7 xx x x
cu soluț ia
]9,1[3x .
4.Să se rez olve ecuaț ia:
011 122xx x .
Punem condiț iile:
012x și
),1[]1,( 0112 x
x . Ecuația este echivalentă cu
0112
2xxx x
. Explicitam modulul și obț inem:
a)Dacă
1x ecuaț ia devine
01 22x , de unde doar x = 1 este soluț ie a ecuaț iei.
b)Dacă
1x obținem 0 = 0 , adică ecuația este compatibil nedeterminată, deci mulțimea soluțiilor
ecuaț iei este
]1,( .
Ecuatia dată are soluț ia
}1{]1,( .
1.8. Ecuații cu parte întreagă sau parte fracționară
Definitia 12. Fie
x . Se numește parte întreaga a numă rului real x cel mai mare întreg
mai mic sau egal cu numă rul x.
kkx , și
1 kxk
Proprietaț i:
1 xxx ,
x
xx x1 ,
x
yx yx ,
yx,
ax ax ,
a x ,
0x x dacă
x și
1x x dacă
\ x
Definiț ia 13. Partea fractionară a numă rului real x este numă rul notat
xxx .
xxx
Proprietati:
28
x x ,1 0
x x0
a xx ax , ,
Exemple:
1.Să se rez olve ecuaț ia
231
xx .
Avem
x xxx 2312 . Putem aborda în două moduri rezolvarea
ecuaț iei:
a)Folosind proprietatea
1 xxx obținem
12312 xxx , cu soluț ia
]27,2(x
. Cum
3 x x .
b)Dacă
kk x ,3 , deducem
2 3312 3313
k k kk , deci
23kk , de
unde obț inem k = 1 și x = 3 .
Dacă
k k x ,13 , obținem ecuaț ia
213kk , de unde obț inem
21k ; ecuația
nu are soluț ii.
Dacă
k k x ,13 , obținem ecuaț ia
213kk , de unde obț inem
23k ; ecuaț ia
nu are solu ții.
2.Să se determine
x , astfel încâ t:
22
)2(34
xx .
Dacă
kk x ,3 , deducem
2 2)2 3(322 3
k k , deci
4 12 92 32 2 k k k , de
unde obținem k = – 1 și x = – 3 .
Dacă
k k x ,13 ,deducem
2 2)33(12 3 k k k ,
deci
)12 (912 32 2 k k k k , de unde obținem ecuaț ia
05 8 32k k , cu k = – 1 și x
= – 2.
29
Dacă
k k x ,13 , deducem
2 2)13(12 3 k k k , care ne conduce la ecuaț ia
014 32k k
, de unde obținem k = – 1 si x = – 4 . Soluțiile ecuaț iei sunt : – 4, – 3, – 2.
3.Să se rezolve ecuaț ia:
31
213
x .
Din
2 63 9 ,31
213
31
213
a x a ax x cu soluț ia
aax ,95 6
4.Să se rez olve ecuaț ia
xx
312 .
Știind că
)1;0[312
xsix deducem că
0312
xx . Cum
x x0 și
13120 x
,de unde
1,21x , deci x = 0 .
30
CAPITOLUL 2
SISTEME DE ECU AȚII
2.1.Sisteme de ecuații de gradul întâi
2.1.1. Sisteme de două ecuații cu două necunoscute
Definiția 1 . Un sistem de două ecuații de gradul întâi cu două necunoscute( x și y) are
forma:
(S)
0'0
' 'cybxac byax (
yx, ), a, b, c, a’, b’, c’ sunt numere reale, a, b, a’, b’ diferite de zero.
Numerele a, b, a’ și b’ sunt coeficientii sistemului , iar numerele c si c’ sunt termenii liberi.
Exemple:
0402
yxyx ,
0204 3 5,0
yxy x ,
062024 3 2
yxy x
Vom spune că perechea
2
0 0),(yx este soluț ie a sistemului (S) dacă amâ ndouă propoziț iile:
ax0 + by 0 + c =0 și a’x0 + b’y0 +c’ =0 sunt adevă rate.
Pentru sistemul
0402
yxyx , perechea (1, – 3) verifică ambele ecuaț ii, deci es te soluț ie a
sistemului.
A rezolva un sistem de ecuații înseamnă a găsi toate soluț iile acestuia.
2.1.2 Sisteme echivalente
Definiția 2 . Două sisteme de ecuații se numesc echivalente dac ă au aceeași mulțime a soluț iilor.
Fie sistemul
5 23
yxyx . În primul capitol s-a arătat că soluțiile unei ecuații de gradul întâi
cu două necunoscute pot fi identificate cu punctele unei drepte din plan.
Reprezentăm grafic dreptele soluț iilor celor două ecuaț ii (vezi fig. 2.). Ele se intersectează î n punctul
P având coordonatele (2;1). Rezultă de aici că (2;1) este soluția comună a celor două ecuații, deci și
soluția sistemului. Adunând membru cu membru cele două ecuații ale sistemului se obține ecuaț ia
31
(x + y) + (2x + y) = 3 + 5 echivalentă cu ecuaț ia 3x + 2y = 8 . Dreapta soluțiilor acestei ecuații
reprezentată în același sistem de axe de coordonate trece ș i ea prin punctul P. Deci, sistemul
53) 2() (3
yx yxyx
este echivalent cu cel considerat.
Fig. 2. Reprezentarea grafica a dreptelor solutiilor
În general, s e obț ine un sistem echiva lent cu un sistem dat atunci câ nd:
– ecuațiile sistemului sunt înlocuite cu ecuaț ii echivalente (obținute prin trece rea termenilor
dintr -un membru în celă lalt, schimbâ ndu-le semnul, sau prin înmultirea/împărțirea ambilor
membri cu un numă r nenul);
– o ecuație a sistemlui este înlocuită cu ecuația obținută prin adunar ea membru cu membru a
celor două ecuații.
Exemplu:
02 30 18 7 9
02 30 20 4 8
02 3405 2
y xy x
y xy x
y xyx .
2.1.2. Metode de rezol vare a unui sistem de doua ecuații cu două necunoscute
1) Metoda substituț iei
Pentru a rezolva un sistem de ecuaț ii de forma:
1 10
byaxc byax , unde
yx, , a,b,c,a 1,b1
, a,b nenule,
32
înlocuim x în prima ecuaț ie, cu a1y+b 1(se substituie x). Obținem o ecuaț ie cu necunoscuta y, pe care
o rezolvă m. Pentru valoarea lui y gasită , vom calcula x din x=a 1y+b 1. Perechile (x,y) astfel obținute
sunt soluț iile sistemului.
Exemplu :
34
5 20 16 4
5 201 2)5 2(3
5 201 2 3
xy
y xy
y xy y
y xy x .
Sistemul are o singură soluț ie, perechea ( – 3;4 ).
Dacă în urma î nlocuirii lui x, ecuația obț inută, în necunoscuta y, nu are soluție, atunci
sistemul nu are solu ții. De exemplu, sistemul
y xy x
201 6 3 nu are soluț ii deoarece prin
înlocuirea lui x cu 2y în prima ecuație obț inem – 3(2y) + 6y +1=0 , adica 1=0, fals.
Dacă în urma î nlocui rii lui x obținem o identitate atunci sistemul se reduce la o singură
ecuație. Soluțiile ecuației sunt soluț iile sistemului. De exemplu, sistemul
1 203 6 3
y xy x se reduce
la una dintre ecuații deoarece prin î nlocuirea lui x cu 2y – 1 în prima ecuație obț inem
3(2y–1)–6y+3= 0, adică 0 = 0. Mulțimea soluțiilor ecuaț iei x – 2y +1 = 0 ,
} /);1 2{( yy y ,este
mulțimea soluț iilor sistemului.
Asemănă tor se rezolvă un sistem de forma
1 10
bxayc byax , unde
yx, , a,b,c,a 1,b1
, a,b nenule.
De asemenea, dacă sistemul este de forma:
0'0
' 'cybxac byax ,
yx, , putem e xprima din
una dintre ecuații o necunoscută (x sau y) în funcție de cealaltă și obținem o formă echivalentă cu
una din formele tratate anterioar. De exemplu, sistemul
05 201 2 3
y xy x este echivalent cu sistemul
25
2101 2 3
x yy x
43
25
2106 2
25
210125
212 3
25
2101 2 3
yx
x yx
x yx x
x yy x
.
Sistemul are o singură soluț ie, perechea ( – 3;4 ).
Observaț ie: Metoda substituției este avantajoasă atunci când într -una dintre ecuațiile sistemului o
necunoscută are coeficientul 1 sau – 1 ; aceasta va fi scoasă în funcție de cealaltă necunoscută .
33
2) Metoda reducerii
Pentru rezolvarea sistemului (S’)
'' 'cybxac byax (
yx, ) prin metoda reducerii procedă m astfel:
– se elimină necuno scuta x, înmulțind ecuaț ia a doua cu a și prima cu – a’ și se adună apoi,
termen cu termen, ecuațiile astfel î nmul țite; se obține ecuaț ia:
ca acyba ab' ' ' ') ( .
– asemănător se elimină necunoscuta y,înmulțind prima ecuaț ie cu b’,a doua cu – b și se adună
apoi, termen cu termen, ecuațiile astfel înmulțite; se obț ine ecua ția:
' ' ' ') ( bccbxba ab .
Dacă
0) (' 'ba ab soluțiile ecuațiilor obținute alcătuiesc soluț ia sistemului (S’) :
ba abca acyba abbccbx' '' '
' '' '
, . (1)
Se verifică aceasta pentru ambele ecuaț ii ale sistemului (S’):
cba abcba ab
ba abca acbba abbccba
' '' '
' '' '
' '' ') (
'
' '' ' '
' '' '
'
' '' '
' ) (cba abcba ab
ba abca acbba abbccba
.
Exemplu: Să se rez olve sistemul
2 2 320 3 4
y xy x ,
yx,
4 68 178 8 1260 9 12
42 2 3320 3 4
y yy xy x
y xy x .
2 34 176 6 940 6 8
)3(2 2 3220 3 4
x xy xy x
y xy x
Sistemul are soluția unică (2; 4).
Dacă
0) (' 'ba ab , formulele (1) se numesc formulele lui Cramer de rezolvare pentru sistemul
(S’). În general, unui tablou de patru numere
' 'vuvu asezate pe linii și coloane, i se asociază
numă rul
vu uvvuvu' '
'' care se numeș te determinantul acestui tablou.
34
Astfel, determinantul asociat coeficienț ilor acestui sistem
''baba =
) (' 'ba ab se numeș te
deter minantul sistemului (S’). De asemenea , se observă că numără torul lui x poate fi scris
''bcbc ,
obținut din determinantul sistemului (S’) prin înlocuirea coeficienț ilor lui x cu termenii liber i din
sistem. La fel se deduce și numără torul lui y,
''caca ,înlocuind î n determinantul sistemului (S’)
coeficienț ii lui y cu termenii liberi c și c’din ecuaț iile respective.
Exemplu: Să se rezolve sistemul
7 5 33 4 2
y xy x .
Coeficienț ii sistemului sunt a = 2, b = 4, a’= 3,b’=5,iar termenii liberi sunt c = 3, c’= – 7.
''baba =
2 43525342 ,
''bcbc =
4374535743 ,
''caca
=
23 33277 332 , prin urmare
223,243 y x .
3) Metoda grafică
Considerăm planul î nzestrat cu un sistem o rtogonal de axe xOy. A rezolva î n
sistemul
(S)
0'0
' 'cybxac byax este echivalent cu a determina, î n planul xOy, coo rdonatele punctelor de
intersecț ie ale dreptelor d și d’ de ecuaț ii:
.0 :)(;0 :)(
' ' ' '
cybxadc byaxd
După pozițiile relative a două drepte întâ lnim trei cazuri:
– Dacă
0) (' 'ba ab dreptele sunt concurente; în acest caz sistemul are soluție unică , iar
coordonatele punctului de intersecție reprezintă soluț ia sistemului.
– Dacă
' ' 'cc
bb
aa dreptele sunt paralele; î n acest caz sistemul nu are solu ție.
– Dacă
' ' 'cc
bb
aa dreptele coincid; în acest caz sistemul are ca mulțime de soluții dreapta
soluțiilor uneia dintre cele două ecuaț ii.
35
În concluzie, un sistem de do uă ecuații de gradul întâi cu două necunoscute are o
interpretare geometr ică simpla : rezolvarea lui înseamnă căutarea punctelor comune a două drepte
din plan, date prin ecuațiile lor, drepte care, dacă ele există , sunt fie secante, fie paralele sau
confun date.
Această interpretare geometrică dată soluț iilor sistemului (S) perm ite o rezolvare ,,grafică ”
a sistemului.
Exemple:
1. Să se rezolve sistemul
03 20
y xyx ,
yx,
Reprezentăm dreptele soluț iilor celor două ecuaț ii ale sist emului( vezi fig. 3.):
.03 2 :)(;0 :)(
'
y x dyxd
Cum
031121' 'ba ab , rezultă că cele două drepte sunt concurente
într-un punct P; coord onatele acestui punct reprezintă soluția sistemului. Măsurând cu o riglă
gradată determină m soluț ia prin aproximare a sistemului. Obț inem abscisa punctului P, x=1, iar
ordonata y=1. Perechea (1;1) este soluția sistemului de ecuaț ii considerat.
Fig. 3. Reprezentarea grafică a dreptelor (d) și (d”)
2. Să se rezolve s istemul
0302
yxyx ,
yx, .
Dacă reprezentăm î ntr-un sistem de coord onate xOy dreptele soluțiilor celor două ecuații ce
formează sistemul (fig. 4.)se observă că ele sunt paralele. Dacă sistemul ar avea ca soluț ie perechea
(x;y), atunci am avea x + y = 2 și x + y =3 ; ceea ce este a bsurd. Sistemul este deci incom patibil.
36
Fig. 4. Reprezentarea grafică a dreptelor soluțiilor Fig. 5. Reprezentarea grafica a drept ei solutiilor
3. Să se rezolve sistemul
02 2 601 3
y xyx ,
yx, .
Amandouă ecuațiile ce formează sistemul au aceeași dreaptă a soluț iilor (fig. 5.). Deci sistemul are
mai multe soluț ii, perechile de forma (x;3x –1), unde
x . Putem spune că sistemul este
compatibil nedeterminat. Se observă că a doua ecuaț ie se ob ține din prima prin înmulț ire cu 3.
Observaț ii: Metoda de rezolvare grafică nu poate fi aplicată î ntotdeauna cu succes. De exemplu,
întămpinăm dificultăți î n rezolvarea grafică a sistemul
02 20 10 5
y xy x , datorită faptului că punctul
de intersecție al dreptelor soluț iilor celor două ecuaț ii ale sistemului :
03 2 :)(;0 :)(' y xd yxd
, P(10;4) este ,,departe” de originea axelor.
De asemenea, este difici l de rezolvat un sistem de ecuații, dacă dreptele sunt ,,aproape
paralele” ca în figur a 6.
Fig. 6. Reprezentare grafică drepte ,,aproape paralele”
Un a lt motiv pentru ca re metoda nu poate fi aplicată întotdeauna este imposibilitatea de a
stabili cu precizie mare coordonatele punctului de intersectie a dreptelor.
37
În practică această metodă se utilizează atunci câ nd nu se pretinde calculul exact, precis a l
soluț iei sistemului.
Exemple de exerciții rezolvate care evidenț iază unele probleme privind rezolvarea
sistemelor de do uă ecuații cu două necunoscute:
1)Să se rezolve sistemul
3 )1 ()1 (47)1 (4)1 (3
yx yxyx yx ,
2);(yx .
Luând ca necunoscute x + y – 1 =u și x – y – 1 =v sistemul se scrie :
11
3 47 12 19
3 47)3 4(4 3
3 47 4 3
3 47 4 3
vu
u vu
u vu u
u vv u
vuv u
Pentru u = 1, v = 1 obținem
02
112
1111
yx
yxx
yxyx . Sistemul inițial are soluț ia (2;0).
2) Să se rezolve sistemul
0532011
yxyx ,
2*);(yx .
Luând ca necunoscute
vyux1,1 , sistemul se scrie:
1 05 3 2 053 20
uvu
u uvu
v uvu . Din u = v = 1 rezulta x = 1, y = 1 .
Soluț ia sistemului este (1;1).
3) Să se rezolve sistemul
byxxyayxxy ,
*2*,, );( ba yx .
Sistemul dat se mai poate scrie
byxayx
byxyxa yxyx
111111
11 . Adunând cele doua ecuații ale
ultimului sistem rezultă
bay112 , de unde
bay112
, iar scăzându -le obț inem
bax112
.
38
Soluț ia sistemului este
baba112,112 , cu condiț iile
0 ,0 ba ba .
4) Să se rez olve sistemul
75
yxyx ,
2);(yx .
Adunând cele doua ecuaț ii ob ținem ecuaț ia
6 12 2 x x de unde
6x sau
6x și
1y .
Soluț iile sistemului sunt (6;1) și ( – 6;1).
5) Să se rez olve sistemul
4 23 2
y xy x ,
2);(yx
Adunând cele două ecuații și tinând seama de relaț ia
x x ,0 deducem că ecuația
obținută
1 2x nu are soluț ii reale, d eci sistemul dat nu admite soluț ii reale.
6) Să se determine soluț iile reale ale sistemului:
122
yxyx
Folosim ca metodă de rezolvare metoda substituției. Î n acest scop sistemul se scrie :
12 22
x xx y
Explicitând modulele după cum x aparț ine unuia din intervalele
]2,0(],0,( sau
),2( avem
urmatoarele situaț ii :
a) dacă
]0,(x ecuaț ia devine
12 2 x x de unde
5x ,iar
7y .
b) dacă
]2,0(x oțtinem 2 = 12 , evident fals,de unde rezultă că ecuația, ș i implicit sistemul, nu au
soluții.
c) dacă
),2(x ecuația obținută
12 2 x x are soluț ia
7x , iar
5y .
Soluțiile sistemului sunt ( – 5;7 ) ș i (7; – 5).
7) Să se rez olve sistemul
0 20 3
yxy x
30 20 3
yxy x
0 3 60 3
y xy x
.
Adunând cele două ecuații o bținem
)1;0[ 0 0 7 x x x . Din
0 3 y xy .
39
8) Să se rez olve sistemul
my mxyx,21 2 .
Sistemul dat este echivalent cu sistemul:
3 ) 2(1 2
xmyx . Dacă
2m , sistemul admite soluția
unică
)24;23(mm
m
. Pentru m= –2 rezultă sistemul
2 21 2
yxyx . În acest caz avem
21
11
22
, deci sistemul nu are soluț ie.
9) Să se determine
m astfel încât soluț iile sistemului :
2 )1 2(1 )1 (
myx mmyx m să fie proporționale cu 2 și 3.
1 2 ) 21 (2 )1 2(
)2 ( )1 2(2 )1 2(
)(2 )1 2(1 )1 (
2 2m m xm m mmyx m
mm myx mmmyx m
m myx mmyx m
Dacă
22m obținem
1 21 2
22
mm mx , de unde
21 21 2)1 2(22
mmm mm y
1 21
22
mm my
. Condiția ca soluțiile sistemului să fie proporționale cu 2 și 3 conduce la
urmatoarele două cazuri :
a)
05 4 )1 (2)1 2 (332
11 2
322 2 2
22
m m m m m mm mm m
yx
1m
, de unde x = 2, y = 3 sau
5m și obț inem
73,72 y x .
b)
05 )1 2 (2)1 (332
1 21
322 2 2
22
m m m m m mm mm m
xy .
Ecuația obținută nu are soluții reale, rezultă că nu există nici o valoare reală a lui m care să
îndep lineasca condiț ia din enun ț.
10) Să se rezolve sistemul :
mm y mx mmym x m,)2 (2 )16 ()4 (2 )31()1 2(
Pentru rez olvarea sistemului se utilizează formulele lui Cramer. În acest sens se calculează
determinanț ii :
40
2 22 2
)2 (5 20 20 54 13 3 16 33 2)31)(4 ()16 )(1 2(16 4311 2
m m mm m m m m m m mm mm m
2)2 (7)62 16 )(2 (16 )2 (231 2 m m m mm mm m
x
2)2 (3)4 2 4)(2 ()2 (242 1 2 m m m mm mm m
y
Pentru m = – 2 determinantul s istemului este nul, rezultă sistemul est e compatibil nedeterminat.
Soluțiile ecuaț iei – 3x + 7y = 0 ,
),73,( sunt și soluț iile sistemului.
Dacă
}2{\m determinant ul sistemului este nenul, rez ultă sistemul este compatibil de terminat.
Obținem
53,57y xy x , de unde avem soluț ia sistemului
53;57 .
11) Fie sistemul :
mm y m xmm y m xm,2 17)2 3()54(1 12)1 2()32( ,
2);(yx .
a) Să se rezolve sistemul . Discuț ie.
b) Dacă
1 ,0m m să se găsească o relație idependentă de m între x și y.
c) Să se rezolve ecuaț ia :
1419
myx ,
1 ,0m m .
a) Pentru rez olvarea sistemului se utilizează formulele lui Cramer. În acest sens se calcule ază
determinanț ii :
)1 ( )54)(1 2()2 3(2 3 541 2 322 mm m m mm mm m
)4 (2)1 2)(2 17()2 3)(1 12(2 32 171 21 12 mm m m m mm mm m
x
)5 3(3)1 12)(54()2 17)(32(2 17 541 12 32 mm m m m mm mm m
y
Pentru
}1;0{\m sistemul este compatibil determinat, având soluț ia
1)5 3(3;1)4 (2
mm
mm .
Pentru m = 0 sistemul este compatibil nedeterminat, cu solu țiile
),1 2,( .
41
Pentru m = 1 sistemul este incompatibil.
b) În general, pentru a stabili relația î ntre x și y, independentă de parametrul m, se elimină m între
cele doua ecuaț ii ale sistemului.
În acest caz se observă că ecuaț iile
1)5 3(3;1)4 (2
mmymmx se pot scrie :
162mx
;
169my .Scăzând cele două ecuații obținem relaț ia y – x =7.
d)
1)4 )(1(4 81)4 )(1()1(19)5 3(3)4 (21419
m mm
m mm m m
myx
0 11 4 3 4 82 2 m m m m m .
Tinând seama de condiț iile
1 ,0m m , soluția ecuaț iei este m = – 11 .
2.1.3. Sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute
Definitia 3 . Un sistem de trei ecuații de gradul întâ i cu trei necunoscute (x, y, z) are forma:
(S)
,, ,, ,, ,,, , , ,
dzcybxadzcybxad cz by ax (
zyx,, ),
Numerele reale nenu le a, b, c, a’, b’, c’,a’’,b’’ și c’’ sunt coeficienț ii sistemului , iar numerele reale d,
d’ si d’’ sunt termenii liberi.
Example:
14 4 618 22 4 3 3
z y xz yxz y x ;
5 219 2
z xyxzyx ;
3 51
4142 3
z y xzy x .
Vom spune că perechea
3
0 0 0 ),,( zyx este soluț ie a sistemului (S) dacă toate cele trei propoziții :
ax0 + by 0 + cz 0 = d , a’x0 + b’y0 +c’z0 = d’ și a’’x0 + b‘’y0 + c’’z0 = d’’ sunt adevarate.
A rezolva un sistem de ecuatii înseamnă a găsi toate soluț iile acestuia.
O metodă de rezolvare a sistem ului (S) constă în parcurgerea urmă torilor paș i:
– ,,scoatem” dintr -una dintre ecuațiile sistemului o necunoscută în funcț ie de celelalte;
– obținem un sistem de două ecuaț ii cu două necunoscute pe care îl rezolvă m prin
metod a reducerii sau metoda substituț iei;
– având valorile a două necunoscute, ob ținem soluț ia sistemului.
42
Exemple: 1. Să se rez olve sistemul
42 26
zyxzyxzyx
zyx,, .
Din x + y + z = 6 rezultă x = 6 – y – z. Înlocuind pe x în celelalte două ecuații ale sistemului
obținem un sistem de două ecuații î n y și z.
13
110 3
4 62 ) 6(2
zy
zzy
zyzyzyxy .
Întroducând valorile gă site pentru y și z în ecuaț ia x + y + z = 6 obținem x = 2 . Deci soluția
sistemului iniț ial este (2;3;1).
2. Să se rez olve sistemul
3 51
4142 3
z y xzy x ,
zyx,, .
Sistemul dat este echivalent cu sistemul
3 4 39 4 542 3
3 4151
4142 3
z xy xzy x
z xy xzy x .
Din prima ecuaț ie se scoate z = 42 – x – 3y și se înlocuiește în a treia ecuație (în a doua nu este
nevoie). Obținem sistemul î n x și y:
99
171 1279 4 5
yx
y xy x .
Introducând valorile gă site pentru x și y în ecuaț ia x + 3y + z = 42 obținem z = 6 . Deci soluț ia
sistemului este (9;9;6).
3. Să se discute sistemul
4 26 2 28
zy bxz yxz ayx , a și b fiind parametrii reali.
Din bx + 2y + z = 4 rezult ă z = 4 – bx –2y . Înlocuind pe z în celelalte două ecuații ale sistemului
obținem un sistem în x și y:
14 3)1(212)2()1(
y x by ax b .
Pentru rez olvarea sistemului se utilizează formulele lui Cramer. În acest sens se calculează
determinanț ii :
43
)12)(1( )4 23)(1()2 )(1(2)1(33 )1(22 1 a b a b a b bba b
)4 7(2 148)2(14363 142 12 a a aa
x
)1(10 )1(24)1(1414)1(2121 b b bbb
y
1) Dacă
21a si
1b , soluț ia sistemului este :
)1 )(12()4 7(2
b aax ,
)12(10
ay .
Înlocuind cele două valori gă site pentru x și y în prima ecuație obț inem
81210
)1 )(12()4 7(2aab aaz
, de unde
)1 )(12()8 3 4 4(2
b aab b az .
Soluț ia sistemului dat este:
)1 )(12()4 7(2
b aax ,
)12(10
ay ,
)1 )(12()8 3 4 4(2
b aab b az .
2) Dacă
21a , sistemul dat este incompatibil.
3) Dacă
1b și
74a sistemul dat este compatibil nedeterminat, cu solutiile
),316 3,314,(
.
4) Dacă
1b și
74a , sistemul dat este incompatibil.
2.2.Sisteme simetrice
Definitia 3 . O ecuaț ie cu două necunoscute se numeș te simetrică dacă înlocuind x cu y și y
cu x ecuaț ia nu se schimbă.
Exemplu: 1) Ecuaț ia
0 10 2 3 22 2 y xy x este o ecuație simetrică . Înlocuind x cu y și y cu x
se obț ine
0 10 2 3 22 2 x yx y adică aceeași ecuaț ie .
2) Ecuaț ia
05yx nu este o ecuaț ie simetrică. Î nlocuind x cu y și y cu x se
obține
05xy care nu este aceeași ecuaț ie.
Rezolvarea sistemelor de ecuaț ii simetrice presupune introducerea unor necunoscute
auxiliare S și P date de relațiile: x + y = S și xy = P , ceea c e va conduce la rezolvarea ecuației de
gradul al doilea ataș ata sistemului, t2 – St + P =0. Solutiile sistemului sunt ( t1 ;t2) si ( t2 ;t1).
Exemplu: Să se rezolve sistemul:
44
482
xyyx ,
2);(yx
Dacă t1 și t2 sunt soluțiile ecuaț iei t2 – St + P =0 atunci t1 +t2 = S și t1t2 = P. Dacă luă m S = 2 si
P = – 48 , rezultă că soluț iile sistemului sunt ( t1 ;t2) și ( t2 ;t1). Ecuația t2 – 2t – 48 =0 admite
soluț iile t1 = – 6 și t2 = 8. Soluț iile sistemului sunt ( – 6;8) și (8; – 6).
Prin introducerea acestor noi necunoscute S și P, în foarte multe cazuri sistemul simetric se
reduce la un sistem de ecuații format dintr -o ecuație de gradul întâi și o ecuaț ie de gradul al doilea în
necunoscutele S și P.
Pentru a face aceste substituț ii se vor mai folosi următoarele identităț i:
xy y xy x y x 2 22 2 2 2
P S y x xy yx 2 2) (2 2 2 2
) )( (2 2 3 3xy y xyx y x
SP S y x PP SS 3 ) 2 (3 3 3 2
22 4 22 4 4 42 2 yx y yx x y x
2 2 2 4 4 2 22 22)2 ( )(2) ( P P S y x xy y x
Exemple : Să se rezolve urmă toarele sisteme:
a)
8 2 211 3
2 22 2
y xy xy xy x ,
2);(yx
Pentru rezolvare, notă m x + y = S și xy = P și folosim relaț ia
P S y x 22 2 2 .
Se obțin urmă toarele sisteme echivalente cu sistemul dat:
21
8 3 21
40 15 1033 15 3
58 3 2)3(11 5
8 )2 (211 3 22
22
22
22
22
PS
P SS
P SP S
P SP S
P P SP P S
Revenind la notațiile făcute obținem spre rezolvare urmă toarele sisteme simetrice :
21
xyyx și
21
xyyx ,ale căror soluț ii sunt (2; – 1), ( – 1; 2 ), respectiv ( – 2 ; 1), ( 1; – 2 ).
Deci solu țiile sistemu lui iniț ial sunt: (2; – 1), ( – 1; 2 ),( – 2 ; 1), ( 1; – 2 ).
b)
23) (24
2 2y x xyyx xy ,
2);(yx
Pentru rezolvare, notă m x + y = S și xy = P și folosim relaț ia
P S y x 22 2 2 .
45
Se obțin urmă toarele sisteme echivalente cu sistemul dat:
03 5 24
0 23 5 24
23)2 (24
2 2 2S SS P
P SS P
P S PPS
Rezolvăm ecuaț ia: 2S2 + 5S +3 =0
a = 2, b = 5, c = 3 ,
23;1214 25 42 1 2,12 S SabS ac b
1) Pentru S1 = – 1 , P 1 = 5 obținem ecu ația t2 + t + 5 = 0 . Cum
019 ecuația nu are
soluții reale . Prin urmare, sistemul conside rat nu are soluț ii reale.
2) Pentru
211,23
2 2 P S obținem ecuaț ia 2t2 + 3t + 11 = 0 . Cum
079 ecuația nu are
soluț ii reale . Prin urmare, sistemul considerat nu are soluț ii reale.
c)
432 2
yxyxy x ,
2);(yx
Deoarece
3 3 032 2 2 2 yxyx y x y x . Deci,
34
432 2
yxyxyxyx
yxyxy x
, cu condiția suplimentară ca numerele
) (), ( yxyx să
aibă acelaș i semn . Avem două cazuri :
31
yxyx sau
13
yxyx .
În primul caz avem :
31
yxyx sau
31
yxyx , de unde deducem soluț iile (2; – 1 ) și ( – 2;1 ).
În al doilea caz avem :
13
yxyx sau
13
yxyx , de unde deducem soluț iile (2; 1 ) și ( – 2; – 1 ).
Deci soluțiile sistemului iniț ial su nt (2; – 1 ), ( – 2;1 ), (2; 1 ), ( – 2; – 1).
46
CAPITOLUL 3
MODELAREA U NOR PROBLEME PRACTICE PRIN ECUAȚII Ș I
SISTEME DE ECUAȚ II
3.1. Conceptul de problemă – de la simple exerciții la situaț ii problematice
Noțiunea de problemă are un conținut lar g, cuprinzând o gamă variată de preocupări și
acțiuni, î n diferite do menii. Î n sens larg, orice dificultate de ordin pr actic sau teoretic care necesită o
rezolvare poartă numele de problemă .
A avea (sau a -ți pune) o problemă înseamnă a căuta, în mod conșt ient, o actiune adecvată
pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat accesibil. A rezolva o problemă î nseamnă a
găsi o astfel de acțiune. (G.Polya ,1971 )
Tinând seama de faptul că orice proces de gândire este declanșat de o întrebare pe care ș i-o
pune sau car e i se pune omului, se admite că formularea unui ră spuns cl ar și precis la o astfel de
întrebare constituie o problemă .
Matematica este percepută ca o disciplină în care una din activitățile principale constă î n
rezol varea de probleme. Prin prob lemă, la matematică, se întelege o situație problematică a că rei
rezol vare se obține prin procese de gândire ș i calcul. A stfel, problemele din matematică vizează
anumite situații ce se cer soluționate în condițiile ipotezei(valori numerice și relaț ii de de penden ță
între ele) enunțată în text, prin raționament și printr -un șir de opera ții în care intervin valorile
numerice respective.
Cu toate acestea, însa, este dificil să se facă distincț ia între problemă și exerciț iu.
Problema implică î n rezolvarea ei o activitate de desco perire deoarece exclude existenț a la,
nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de r ezolvare, care ar transforma -o într -un exercițiu. Un
exercițiu oferă datele, numerele cu care se operează și operațiile care se efectuează, iar sarcina
elevului constă în efectuarea calculelor după tehnici ș i metode cunoscute.
G. Polya descrie problemele prin intermediul procesului de rez olvare : ,, A rezolva o
problemă oarecare m i se pare că înseamnă oarecum a gă si o cale sau o iesire : o ca le de a ocoli u n
obstacol, o ieș ire dintr -o dificultate.”
47
Distincț ia dintre o problem ă și un exercițiu se face, în general, în funcție de prezența sau
absența textului prin care se oferă date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, gă sirea unei
necunoscute. Dar din punct de vedere metodic, această distincție nu trebuie făcută după forma
exterioară a solicitării, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice î n exerci ții
sau probleme trebuie să țina seama și de experiența de care dispune ș i pe care o poate utiliza cel care
rezolvă .
Newel ș i Simon (196 1) au clasificat problemele după gradul lor de structurare î n problem e
bine definite ș i probleme slab definite (s -a avut î n vedere o stru cturare cu mai multe sau mai puț ine
elemente de nedetermin are si ambiguitate).
În timp ce problemele bine definite ș i specificate se pot rezolva prin algori tmi, cele slab
definite necesită anumite strategii și procedee euristice î n rezolvare, de unde putem deduce că
situaț iile problematice sunt problemele slab de finite, care nu pot fi rezolvate prin metode uzuale.
Ținând seama de măsura specificării date inițial în situația problematică, măsura specificării
stării finale vizate și necesarul de operaț ii de transformare, a rezltat o împărțire a problemelor în
cinci categorii – după criteriil e propuse de Rietman(1966), după cum urmează :
1. Probleme reprod uctiv – necreative – nu necesită un demers cognitiv creator , ci doar o
gandire reproductivă care, prin operații simple de transformare și combinare de
elemente și reguli , pe căi uzuale, transformă o situație bine specificată inițial, în altă
situație cu o stare finală tot bine specificată .
2. Probleme dem onstrativ – explicative – cer găsirea drumului de la starea inițiala la cea
finală, demonstrarea stării finale, explicitar ea și chiar invocarea ei î n cazul unor
elemente specificate.
3. Probleme inv entiv – creative – cer capacităț i cognitiv -creative foarte dezvoltate, iar
rezolvarea lor presupune explorare și invenție. Starea inițială este bine specificată .
4. Probleme euristic – creative – cer, de asemenea, capacităț i cognitiv -creative deosebite,
iar rezolvarea lor presupune explorare, inspirație, invenție, î nsa au un grad mare de
libertate și risc: conduc la noi proprietă ti, noi relații și pot conduce ș i la erori.
5. Probleme cu repr oiectare – creativă – sunt problemele unde reparcurgerea drumului pe
o alta cale poate să conducă și spre alte soluț ii, sau la un rezultat mai bun, ameliorat,
optimizat.
Dacă ne raportă m doar la exp eriența celui care este pus să rezolve o problemă dată, o
aceeași problemă poate fi u șoară sau dificilă. Un enunț poate fi o problemă pentru un elev din clasa
48
I, un exerciț iu pentru cel din c lasa a V -a sau doar ceva deja cunoscut pentru cel din liceu. P utem,
astfel, spune că o problemă prezintă un anumit grad de dificultate.
Matematica, ca disciplină scolară, ar trebui să vizeze formarea la elevi a capacității de a
aplica cunoștințele matematice în practică. În afară de factorii externi (examene, note), elevul este
motivat de inteleger ea necesității practice a ce ea ce învața. În activitatea la clasă sunt importante nu
numai problemele, ci, mai ales, situațiile -problemă, pe care elevii le întâlnes c sau le pot întâlni în
viață,î n realitatea î nconjuratoare. De aceea, este indicat să se recurgă la situații -problemă . Astfel
elevii fac legă tura cu viața cotidiană , realizează un model matematic și evaluează soluția obținută .
3.2. Strategii creative de rezol vare a problemelor cu ajutorul ecuaț iilor și al sistemelor de
ecuaț ii
Produsele activității creatoare î ndeplinesc o serie de atribute specifice : noutate,
originalitate, i ngeniozitate, utilitate practică ș i valoare sociala. Acest e atribute pot fi identificate î n
rezolvarea de probleme, astfel:
ingeniozitatea ș i originalitatea sunt observabile î n strateg ia de rezolvare a problemelor, în
construcția rationamentului logic ș i în modul de prezentare a soluț iilor alternative;
utilitatea practică și valoarea socială sunt vizibile în enunțarea problemei, în modul î n care
formularea acesteia evidenț iaza modelarea unui fenomen di n viața cotidiană .
Creativitatea, privită ca proces al gândirii, este legată de rezolvarea de probleme atât prin
descoperirea ș i conceperea de probleme noi, pentru care nu exista o s trategie de rezolvare anterioară,
cât și prin abordarea unor probleme non -standard într -o manieră inovativă .
Ca metodă de î nvațare , rezolvarea de probleme presupune din partea elevului identificarea
unei ,,reguli sau strategii de rezolvare” care să conducă la soluț ia probl emei.
Problemele practic -aplicative joacă un dublu r ol în cadrul orelor de matematica : un rol
informativ ( cu ajutorul lor se evidenț iaza aplicabilitatea matematicii în viața cotidiană) ș i un rol
formativ (activitatea d e rezolvare de probleme formează gîndirea creatoare ș i dezvo ltă motivația
pentru învăț are).
Strategiile creative de rezolvare a problemelor au în vedere urmatoarele aspecte:
organizare a colectivului de elevi astfel încât să se ceeze o atmosferă de lucru în care elevul
să aibă libertate de gândire, să se poată exprima liber, să -și prezinte spo ntan ideile;
îmbinarea metodelor ș i tehnicilor euristice, a cel or activ -participative, ce oferă posibilitatea
manifestării iniț iativei, libertatea de acțiune și gâ ndire;
49
introducerea unor probleme cât mai atractive, care se pot transcrie în ecuatii sau sis teme de
ecuații din ce î n ce mai complexe, care presupun noutate, origi nalitate, ingeniozitate, implică
imaginație, inteligența, presupun motivație și voinț a;
reformular ea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și al sistemelor de ecuații,
aducând unele modifică ri prin: schimbarea rapoartelor î ntre mărimi, combinarea diferitelor
mărimi și crearea de noi sarcini, adă ugare a sau eliminarea unora dintre mă rimi; compunerea
altor probleme pornind de la o ecuaț ie sau un sistem de ecua ții;
compunerea de probleme ce permite: evidenț ierea la elevi a flexibi lității gâ ndirii, a s piritului
critic, a originalităț ii, utilizarea d e date reale din realitatea vieții cotidiene, stimularea atenției
și a interesului, formularea de raț ionamente.
Exemple de probleme pentru ciclul primar :
1. La un magazin s -au adus 9 lă zi cu banane, fiecare ladă având câte 6 mănunchiuri cu un
număr egal de banane. Dacă numă rul total de banane era de 378, câte banane are o ladă ?
2. În curtea bunicii sunt cu 56 mai multe găini decât rațe. Să se afle câte găini și câte rațe sunt,
știind că sunt de 3 ori mai multe găini decât raț e.
3. Mă gândesc la un număr pe care îl adun cu 27; rezultatul îl împart la 4 ș i-l adun apoi cu 6.
Suma astfel obținută o împart la 7 și din rezultat scad 7. Dacă obțin 1, la ce număr m -am
gândit?
4. Într-o livadă sunt 269 de pomi fructiferi: meri, pruni ș i peri. Prunii sunt cu 14 mai mulți
decât merii, iar perii reprezintă jumatate din numărul merilor. Câț i pomi sunt din fiecare fel?
5. Suma a doua numere naturale este 240. Aflaț i numerele în cazul în care câtul împărț irii celui
mai mare la cel mai mic este 4, iar restul 20.
6. Pe trei rafturi se află 63 de carț i;pe primul raft , de trei or i mai multe decat pe al doilea și pe
al doilea de două ori mai multe decât pe al treilea. Câte carți sunt pe fiecare raft?
7. Câtul împarț irii a doua numere este 3, iar restul este 10. Dacă adunăm deîmpărțitul,
împărțitorul, câtul și restul obț inem 143. Care sunt numerele?
Exemple de probleme pentru ciclul gimnazial :
1. La un concurs de echitaț ie sunt am plasate pe traseu 1 3 obstacole. Pentru fiecare reuș ita se
acordă 10 puncte, iar eșecul se penalizează cu un punct. Câ te obsta cole a trecut un concurent,
dacă a totalizat 108 puncte?
2. O fabrică de dulciuri și -a propus să facă 600 de ciocolate în 5 zile pentr u a fi împărțite de
Crăciun copiilor. Lucrătorii ș i-au planificat să facă în fiecare zi un număr egal de ciocolate,
50
dar în prima zi depăș esc pl anul propus cu 10%, a doua zi rămân în urmă cu 15% față de cât
și-au propus. A treia și a patra zi respectă planu l, iar a cincea zi fac cu 80 de ciocolate mai
mult decâ t trebuia. În final,câte ciocolate au fost fă cute?
3. O suprafață de teren are forma unui triunghi cu perimetrul de 24 m. O latură a sa are
lungimea egală cu
31 din perimetru, iar o a d oua latură are lungime a egală cu
43 din prima
latură. Determinaț i lungimea celei de -a treia laturi.
4. Din doua metale cu densitatea de 7200 kg/m3 și 8400 kg/m3 s-au fabricat 19 kg de aliaj cu
densitatea 7200 kg/m3 . Cât s-a luat din fiecar e metal?
5. Peste câți ani vârsta tată lui va fi de trei ori cât vârsta fiului , dacă acum tatăl are 56 ani ș i fiul
30 de ani?
6. Un elev cumpără caiete la prețul de 2 lei ș i respectiv 4 lei bucata, cheltuind 200 de lei. Știind
că a cump ărat 63 de caiete, calcula ți câte caiete a cumpărat cu 2 lei bucata și câ te caiete a
cumpă rat cu 4 lei bucata?
7. O echipă de tractoriști trebuie să însă maânțeze 200 ha într -un anumit număr de zile.
Însământând cu 5 ha în plus pe zi, au terminat însămânțarea cu 2 zile mai devreme. În câte
zile și -au propus inițial să termine însămânțarea ș i câte hectare au fost însămânț ate pe zi?
8. Doi muncitori, lucrând împreună, pot face o anumită lucrare în 12 zile. Dacă primul
muncitor ar lucra 12 zile, iar al doilea muncitor 3 zile, atunci ei ar fac e numai 20% din
lucrarea întreagă. În câ t timp ar face fiecare, singur, lucrarea?
În funcție de experiența î n rezolvare , R.M. Gagne stabilește următorul ș ir de etape care
trebuie parcurs î n rezolvarea unei probleme:
reactualizarea conceptelor ș i regulilor cunoscute anterior;
evaluarea conceptelor pe baza experi enței;
selectarea regulilor și a indicatorilor relevanți pentru noua situaț ie;
Formularea ipotezelor specifice;
Elaborarea d emersului de descoperire a soluț iei;
Formul area altor ipoteze privind soluț iile posibile;
Evaluarea soluț iilor și verificarea celei optime.
Acest ș ir de etape se transpune î ntr-o succesiune de trei etape mai mari : etapa de analiză,
etapa de sinteză ș i etapa de evaluare. Procesul rezolvă rii de probleme poate fi rezumat schematic
astfel:
51
I. Punerea problemei
II. Definirea datelor ș i identificarea cerintelor
III. – Verificarea și selectarea cunoștiințelor utile î n rezolvare;
– Transformarea informațiilor prin r aționamente;
– Alegerea și verificarea soluț iilor
Strategiile cr eative pun accentul pe capacitățile de reflecție, sinteză, evaluare critică,
creaț ie. Strategiile creative sunt considerate strategii de activizare, participative. În acest s ens, este
util să se apeleze la : conversaț ii eur istice, descoperire semidirijată, descoperire indepen dentă ,
problematizarea, modelarea.
Ținând seama de tipurile de pr obleme ș i metodel e de învățare, corespondenț ele dintre ele
pot fi sintetizate și descrise ca în fig. 1. :
modelarea problematizarea
învaț area prin descoperire
metode expozitive conversaț ia euri stică
instruirea programata strategii euristico -algoritmice
Fig. 1. Corelații între tipurile de probleme și metodele de învăț are
3.3. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
Problemele de aritmetică constituie răspunsuri la anumite intrebări referitoare la preocupări
și acț iuni baz ate pe date numerice.
După structu ra lor, problemele de arit metică se clasifică î n : Metode de tip
algoritmic Metode de tip
euristic
Probleme,
exerciț ii Situaț ii
problematice
52
probleme simple, rezolvabile printr -o singură opera ție;
probleme compuse, rezolvabile prin două sau mai multe operații, indiferent dacă ele sunt de
același fel sau sunt operații de feluri ș i ordine diferite.
Sunt problemele cel mai des î ntalnite la ciclul primar. Ca metode de rezo lvare sunt, în
principal, doua: metoda analitică și metoda sintetică .
Problemele po t avea caracter general, rezolvâ ndu-se cu ajutorul unor procedee generale d e
calcul, dar pot avea structură matematică deos ebită , rezolvarea lor făcâ ndu-se pe baza unui anumit
algoritm specific. Construcțiile matematice din această din urma categorie se nu mesc probleme
tipice. O problemă tipică este ușor de rezolvat dacă este încadrată într -o anumită categorie, al că rei
algori tm de rezolvare este cunoscut.
Activitatea de rezolvare a problemelor tipice presupune mobilizarea tuturor component elor
psihicului, cu reale valențe î n dezvoltare a formativa a elevului, cu precădere a gândirii logice și
creatoare, a independenței în gând ire, a capacității de abstractizare ș i generalizare, a memori ei și a
inteligenței. Reprezintă o activitate care presupune stăpânirea unui bagaj de cunoștinț e matematice
diverse : tehnici de calcul, definiț ii, reguli, limbaj matematic.
Rezolvarea problemelo r tipice presupune un efort intelectual superior, ce reprezin tă un
continuu antrenament, care are ca efec t nu numai dezvoltarea capacităților intelectuale, ci și a celor
motivaționale ș i volitive.
Începând cu ciclul primar, se rezolvă urmatoarel e categorii de probleme -tip :
Probleme care se rezolva prin m etoda figurativă (grafică );
Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze);
Probleme de egalare a da telor (metoda aducerii la același termen de comparație sau metoda
comparaț iei);
Probleme de re st din rest (matoda mersului invers);
Probleme de miș care .
Pe masur ă ce vor fi insușite conț inuturi mai complex e, la gimnaziu, se vor rezolva ș i alte
categorii de probleme t ipice, cum ar fi : probleme de împărțire a unui număr în părți proporț ionale,
probl eme rezolva bile prin regula de trei compusă , probleme de ame stec ș i aliaje.
La ciclul primar problemele tipice pot fi rezolvate prin rationament aritmetic, ia r la ciclul
gimnazial se rezolvă prin raț ionament preponderent algebric.
Metoda figurativ ă (grafică ) constă în reprezentarea grafică a mă rimilor necunoscute ale
problemei și fixarea relaț iilor dintre acestea și mă rimile cunoscute prin desen (grafic) .
53
După modalitatea de reprezentare grafică a mă rimilor, problemele care se rezolvă prin
metoda figurativă pot fi clasificate în două mari categorii:
Proble me cu mărimi figurate prin segmente, avâ nd date sau mă rimi continue;
Probleme cu mă rimi figurate prin simboluri, având date sau mă rimi discrete, ce pot fi
numerate (și reprezentate) una câte una ș i care se pot pune în corespondența după anumite
criterii.
În cazul t ipurilor de probleme din această din urmă categorie reprezentarea mărimilor se
realizează prin simbolur i simple, alese aleator, precum: cercuri, pă trate, dreptunghiuri, litere, etc.
Tipur i de probleme cu mă rimi figurate prin segmente :
1) Probleme în care se cunosc suma și diferenț a numerelor
Exemplu : Suma a două numere naturale este 700, iar diferența lor este 140. Aflaț i numerele.
ÎIn acest caz graficul se realizează astfel: s e reprezintă numă rul mai mic (a) printr -un segment, iar
numă rul mai mare (b) printr -un segment de aceeaș i lungime cu primul la c are se adaugă 140. Suma
celor două numere se reprezintă prin două segmente de aceeași lungime la care se adaugă 140 și
aceasta se egalează cu 700.
Efectuarea calculelor se face după algoritmul cunoscut. Există două procedee :
a) Din total se scade diferența, apoi prin împărțire la 2 se calculează numă rul mai mi c, iar
prin adunare se determină celalalt numă r, astfel :
700 – 140 = 560(suma celor doua numere dacă acestea ar fi egale)
560:2 = 280 ( a)
280 + 140 = 420 ( b)
b) La total se a daugă diferența, apoi prin împă rțire la 2 se determină numărul mai mare, iar
prin scădere se va afla numă rul mai mic, astfel :
700 +140 = 840(suma celor doua numere dacă acestea ar fi egale)
840:2 = 420 ( b)
420 – 140 = 280 ( a) +140
+140
700 a
b
a+b
54
2) Probleme în care se cunos c suma (respectiv diferența) ș i raportul numerelor
Exemplu: Maria, Alexandra și Andreea au împreuna 200 de lei. Jumătate din suma Andreei este
egală cu o treime din suma Alexandrei ș i cu o cincime din suma Mariei. Prima etapa î n rezolvarea
problemei este realizarea graficului :
suma Andreei
suma Alexandrei
suma Mariei
În acest caz algorit mul de rezolvare este altul decât cel anterior: se împrte suma la numărul părților
egale figurate în desen, determinâ nd astfel suma de bani corespunza toare unei pă rti, apoi se
înmulțește cu numărul de părți egale cuprinse în reprezentarea fiecă rei sume de bani, astfel :
200:10 = 20(lei) – o parte
40220 (lei) – suma Andreei
60320 (lei) – suma Alexandrei
100520 (lei) – suma Mariei
Pentru problemele în care se cunoaște diferenț a numerelor al goritmul de rezolvare este asemănător :
diferența se împarte la numărul parților egale cuprinse în aceasta, apoi se înmulțește numărul obț inut
cu num ărul de părți corespunză tor datelor problemei .
3) Alte tipuri de probleme ale căror mă rimi sunt figurate prin segmente
Exemplu : Maria are de cinc i ori mai multe nuci deca t Ana. Câ te nuci are fiecare din ele, știind că
dacă Maria îi dă Anei 120 de nuci, atun ci numărul nucilor Anei reprezintă jumătate din numă rul
nucilor Mariei.
Inițial:
D
după î mprumut:
+120
Ana
– 120
Maria Ana
Maria
55
Din reprezentarea grafică se observă că 240+120=360 (lei) reprezintă trei părți, de unde o parte va fi
egală cu : 360:3=120 (lei) suma inițială a Anei
6005120 (lei) suma Mariei .
Exemplele prezentate evidențiază cele două etape importante î n rezolvarea problemelor
prin metoda fi gurativă : transpunerea enunțului în figură ș i interpretarea figurii pentru a obține părț i
egale.
Metoda reducerii la unitate constă în aflarea unei unități din mă rimea care apare în
problemă cu ajutorul căreia se află ceea ce se cere în enunț ul problemei. Se disting doua ti puri de
problemă care se rezolvă prin această metodă, dupa cum marimile care apar în enunț ul problemei
sunt direct (exemplul a) sau invers propor ționale (exemplul b ):
Exemplu :a) 7 bilete de autobuz costă 105 lei. Cât costă 11 bilete?
Se scrie următoarea schemă de rezolvare:
7 bilete ……………………… 105 lei
1 bilet …………………….. 105:7=15 l ei
11 bilete …………………….
1651115 lei.
Cele 11 bilete costă 165 lei.
Exemplul : b) Cinci robinete umplu un bazin în 6 ore. În câ t timp vor umple 3 robinete același bazin,
curgând la fel ca ș i celelalte?
5 robinete…… ………..6 ore…………1 (rezervor)
5 robinete……………..1 ora…………
61 (din rezervor)
1 robinet………………1 ora…………
301 ( din rezervor)
3 robinete……………..1 ora………..
101
303 ( din rez ervor)
3 robinete……………..10 ore……….1(rezervor)
Cele 3 robinete umplu rezervorul î n 10 ore.
Metoda comparaț iei – în unele probleme, relațiile d intre mărimi sunt date explicit : cu atât
mai mult, cu atâ t mai p uțin, de atâtea ori mai mult sau de atâtea ori mai puțin. Î n alte cazuri aceste
relații se deduc din compararea a două situaț ii diferite.
56
Metoda comparaț iei constă în sc rierea datelor problemei în mod corespunză tor, unele sub altele,
încercând să se egalez e datele privitoare la o mărime în cele două situaț ii, prin multiplicarea datelor
uneia sau ambelor situaț ii, dupǎ caz.
Exemplu : 2 kg de mer e și 5 kg de pere costă 19 lei. 5 kg de mere și 10 kg de pere costă 40 lei. Cât
costă un kg de mere ș i un kg de pere?
2 kg mere ……………5kg pere………….19 lei
5 kg mere…………. …10 kg pere……….. 40 lei
Se multiplică cu 2 primul rând pentru a egala can titatea de pere în ambele situaț ii.
4 kg mere…………..10 kg pere………….38 lei
5 kg mere………….. 10 kg pere………….40 lei
1 kg mere ……………………………………2 lei
2 kg mere ……………………… …………….
422 lei
5 kg pere……………………………………..19 -4=15 lei.
1 kg pere………………………………………15:5=3 lei.
Se observă că într -o anumită etapă, metoda comparației se bazează pe aplicarea me todei reducerii la
unitate.
Metoda mersului invers constă în rezolvarea unei probleme urmărind firul logic de la
sfârș itul spre începutul acesteia. Rezolvarea î ncepe cu ultima etapă parcursă . Dar n u numai mersul
este invers, ci și operațiile utilizate î n rezolvare sunt inverse celor din problemă .
Exemplu: Aflați un numă r natural a știind că dacă -l adună m cu 2, rezultatul obținut îl
înmulțim cu 5, din noul rezultat scă dem 30, noul rezultat se împarte la 15, obținându -se 2.
Exerciț iile d e tipul celor degajat e din enunțul problemei sunt de fapt ecuații de gradul întâi cu o
necunoscută, dar care se pot rezolva și prin raț ionament aritmetic.
În acest caz, enunț ul problemei se poate transpune în expresia numerică
2 15:3052 a .
Numă rul necun oscut a se determină astfel :
– prin proba operaț iei – în acest caz este nevoie de in troducerea unei necunoscute parțiale,
de aflarea cu ușurință a acesteia prin proba operaț iei, apoi reconstituirea exercitiului dupa fiecare pas
și continuarea aplică rii algoritmului :
Notǎm cu x paranteza pătrată , obținându -se
.30 215 2 15: x x x
Notǎm cu y paranteza rotundă , obținându -se
.12 5:60 605 30305 y y y y
În final se obține a+2=12 , deci a=10 .
57
– aplicâ nd metoda mersului invers – acest pro cedeu presupune efe ctuarea (după fiecare pas)
a unei operaț ii care ar fi fost rezolva tă în mod normal, dacă numarul a ar fi fost cunoscut ș i s-ar fi
rezolvat exercitiul dat :
215]305)2 [( a
30 305)2( a
30 305)2( a
605)2(a
5:602a
212a
10a
Metoda false i ipoteze constă în urmă torul algoritm :
se presupune că cerința problemei nu este cea corectă și se transformă într -o nouă ipoteză ;
se rezolvă problema pe baza presupunerii făcute ș i se ajunge la un rezultat care nu
concordă cu cel real (este fie m ai mare, fie mai mic decâ t acesta);
se compară rezultatul obț inut, pe baza presupunerii , cu cel real; din nepotrivirile obținute
se trage concluzia corectă de rezolvare a problemei.
Există mai multe ti puri de probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze.
Exemple : 1. Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 43 capete și 124 picioare. Câte găini și câț i
iepuri sunt în curte?
Cerința problemei este de a afla numărul de găini și numărul de iepuri. Deci, în curte sunt și
găini ș i iepuri. Vom presupune însă că în curte sunt numai găini sau numai iepuri. Să considerăm că
în curte sunt doar iepuri . Astfel am adaugat ipoteza :,,Î n curte sunt 43 de iepuri” deoarece sunt 43 de
capete. În acest caz ar fi în curte
172443 picioare. Dar în problemă se spune că sunt 124 de
picioare. Diferenț a de 172 – 124=48 picioare rezultǎ din fap tul că în curte există și gă ini.
Cum u n iepure are cu 2 picioare mai mult decât o g ăină, înseamă a că la fiecare găină au fost
numă rate 2 picioare î n plus. Deci, în curte sun t 48:2=24 găini ș i 43 – 24 = 19 iepuri .
2.Suma a ș apte numere natural e, diferite de zero, este 27. Arătați că cel puțin două dintre
numere sunt egale.
Cerința problemei este de a arăta că între cele șapte numere, două sunt egale. Vom presupun e că
toate cel e șapte numere sunt d iferite. Mai mult, presupunem că ele sunt cele mai mici numere
natural e consecutive, adică 1,2,3,4,5,6,7. Suma acestor numere este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Dar în problemă se spune că suma celor ș apte numere este 27 . Cum diferenț a dintre cele doua sume
58
este 28 – 27 = 1 , înseamnă că unul dintre numerel e 2, 3, 4, 5, 6 sau 7 trebuie să fie mai mic cu 1.
Daca 2 ar fi mai mic cu 1 ar deveni 1, deci două dintre numere ar fi egale. Daca 3 ar fi mai mic cu 1
ar deveni 2, dec i și în acest caz două numere ar fi egale. Același lucru s -ar întampla și atunci câ nd
4, 5, 6 sau7 ar fi mai mic cu 1. În concluzie, pentru ca suma să fie 27 trebuie să avem doua numere
egale.
3.Într -o urnă avem 7 bile albe și 9 roș ii. Care este cel mai mic numă r de bi le pe care trebuie
să îl extragem din urnă, fără a ne ui ta la ele, pentru a fi siguri că am scos o bilă albă ?
În acest caz, falsa ipoteză înseamnă să ne gândim la cea mai rea situație care se poate întâmpla și
anume să scoatem bile de orice c uloare, dar nu de culoare albă. În acest fel vom scoate mai întâi cele
9 bile negre. După cele 9 extrageri în urnă au mai ră mas numai bile albe. Deci la urmatoarea
extragere vom avea sigur o bilă albă. În concluzie, numă rul minim de extrageri, pentru a fi siguri că
am scos o bilă albă , este 10.
3.4.E xemple de pr obleme comentate care se modelează prin ecuații sau sisteme de
ecuaț ii
Multe probleme ridicate de practică pot fi rezolvate cu ajutorul unui model matematic. De
obicei, un model matematic asociat une i probleme es te format din ecuații ș i inecua ții, ce reflectă
problema concretă .
Rezolvarea acestora constă î n parcurgerea urmatoarelor etape :
1. Alegerea necunoscutelor principale ale problemei.
2. Stabilirea relațiilor (legăturilor) î ntre necunoscutele prob lemei. Aceste relații pot fi egalități,
inegalități sau de altă formă ; ele formând aș a-numitul model matematic al problemei.
3. Rezolvarea modelului matematic.
4. Interpretarea rezultatelor obț inute. Alegerea soluț iei problemei.
De multe ori elevii, î n rezolvarea problemelor, consideră corecte soluț iile gasite pe ntru
necunoscutele problemei, fără a analiza dacă rezultatele sunt posibile sau dacă aceste rezultate pot
conduce la unele interpretări sau generalizări. Dacă datele unei probleme sunt numerice, gă sirea
soluției nu ofe ră o idee completă asupra condiț iilor de posibilitate a problemei sau asupra
eventualelor particularităț i ce s -ar ivi prin modificarea datelor , pe când dacă enunțul problemei
conține date literale, rezolvarea ei conduce la formule care permit:
a) obținerea u nor reguli generale, care se aplică la toate problemele de același fel, prin care
putem găsi direct soluțiile orică rei probleme de felul celei considerate;
59
b) analiza problemei în toate amănuntele și î n toate cazur ile care se pot prezenta discutând
soluțiile adică examinând ce devin ele în diferite presupuneri fă cute asupra datelor literale; se
obține astfel o idee generală și completă asupra problemei.
Uneori , la rezolvarea unei probleme , se obține o soluție negativă care prin ea însăși pare că
nu ar e sens și problema este considerată imposibilă; dar dacă în problemă sunt mărimi ce pot fi
considerate în două sensuri opuse, se poate ca această imposibilitate să fie aparentă, adică soluția să
fie interpretată . Astfel, î n rezolvarea de probleme este important a se for ma deprinderea de a
generaliza ș i discuta problemele.
a) Prob leme rezolvate cu ajutorul ecuației de gradul întâi cu o necunoscută
Problema 1. În magazia unei cantine se găsește o cantitate de zahăr, care trebuie să ajungă pentru
un an umit număr de zile . Dacă se consumă zilnic câte 25 kg de zahă r, provizia se termină cu 5 zile
mai înainte; iar dacă se consumă câte 20 kg pe zi, mai rămân 60 kg de zahăr în magazie. Pentru câte
zile a fost planificată cantitatea de zahăr și câ te kg de za hăr se găse sc în magazie.
(G.M.,12/1971)
Rezolvare:
Notă m cu x numă rul de zil e pentru care a fost planificată cantitatea de zahăr. Astfel, cantitatea de
zahăr este egală pe de -o parte cu 25(x – 5), pe de altă parte cu 20x+60 . Obținem ecuaț ia
25(x – 5)= 20x+60 . Soluția x = 37 reprezintă numă rul de zil e pentru care a fost planificată cantitatea
de zahăr. Î nlocuind pe x cu 37 î n unul din membri ecua ției se obține cantitatea de zahă r, 800 kg.
La clasele a IV -a sau a V-a problema poate fi rezolvată prin metoda fi gurati vă. Pentru a sesiza mai
ușor legătura dintre cantitatea de zahăr care se consumă în ultimele 5 zile și cantitatea de zahăr
rămasă în magazie și numărul de zile în care se consumă câ te 25 kg se poat e realiza o reprezentare
grafică a situaț iei prezent ată în problemă :
20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 20kg 60kg
25kg 25kg 25kg 25kg 25kg
Putem afla mai întâi numă rul de zile:
3755:)60 205( si apoi numărul kg de zahăr care se
găsesc î n magazie
800602037 .
60
Problema 2. Media aritmetică a trei numere este 18. Primul număr este mai mare cu 5 decâ t al
doilea, iar medi a aritmetică dintre primul număr și al treilea este 20. Să se afle cele trei numere.
Rezolvare:
Notă m cu x,y,z cele trei numere. Datele proble mei conduc la urmatoarele relații î ntre necunoscute:
54 183zyxzyx
y=x – 5
x zzx40 202
Rezolvarea problemei conduce la ecuația de gradul întâ i :
x+x – 5+40 – x=54
Soluția ecuaț iei x=19 reprezintă primul numă r. Celelalte două numere sunt y=14 și z=21 .
Problema 3. Două trenuri pleacă în același timp din localitățile A și B și se î ndreaptă unul către
celălalt. Știind că trenurile se întâlnesc după două ore de la plecarea lor la o distantă situată la 15 km
de mijlocul distanței dintre localități și dacă trenul care are viteza mai mare ar merge de două ori
mai încet întâ lnirea ar avea l oc dup ă două ore și 48 de minute , aflați distanta dintre localități și
vitezele celor două trenuri.
Rezolvare:
Notă m cu x distanța (în km) dintre A ș i B. Viteza trenului care merge mai repede este
)152(21x ,
adică
)30(41x , iar a celu ilalt tren este
)30(41x .Ținand seama că 2 ore și 48 minute reprezintă
514
ore, iar trenul care me rge mai repede ar avea viteza
)30(81x , obținem ecuatia :
514
)30(81x +
514
)30(41x = x echivalentă cu ecua ția 2x=420 , de unde x=210 reprezintă
distanța dintre localităț i. Viteza primului tren este de 60 km/h, iar a celu i de-al doilea este de 45
km/h.
Problema 4. Două localități A ș i B sunt si tuate pe aceeași șosea, distanț a dintre ele fiind de 26 km.
Din A și B pleacă în același timp doi curieri în același sens . Curierul care porneș te din A merge cu
o viteza de 12 km/h , iar cel care pornește din B cu 8 km/h. După câ t timp ajunge primul curier pe
cel de -al doilea ?
61
A B C
Rezolvare :
În fiecare oră, primul curier înaintează cu 12 km, iar al do ilea numai cu 8 km, deci distanț a dintre ei
scade cu 12 – 8 =4 km . La început, distanț a dintre ei a fost de 26 km. Trebuie să aflăm de câte ori
putem scă dea 4 din 26, adica 26 : 4 =
216 . Primul curier ajunge pe cel de -al doilea după
216 ore.
Pentru a pune problema în ecuaț ie notăm prin t timpul(în ore) necesar sosir ii în C și prin x distanț a
BC. Obținem astfel relaț iile: x + 26 =12t și x = 8t . De unde 8t + 26 = 12t , deci
216t .
Generalizare : Când distanț a dintre punctele de plecare este d, iar mobilele pornesc în același timp și
merg în acelaș i sens cu vitezele v și v’, timpul necesar primului ca să -l ajungă pe al doilea este dat de
formula
,vvdt .
Totodată ne propunem să aflăm și la ce distanță de punctul B se vor întâ lni cei doi curieri. În acest
sens putem reformula problema a stfel:
Doi curieri merg pe distanț a de la X la Y cu mișcare uniformă, unul avâ nd viteza v și altul v’. Într-un
moment oarecare, cel dintâi se află î n punctul A și cel de -al doilea î n punctul B. La ce depă rtare de
punctul B se vor întâ lni ?
A d B x C
X Y
Pentru a pune problema în ecuație, să presupunem că ei merg amândoi în același sens ș i fie C
punctul unde se întâlnesc; notă m prin x distanț a BC și prin d distanța fixă cunoscută AB.
Daca v este viteza primului curier ș i t timpul necesar sosirii î n C atunci d + x = vt , de unde
.vxdt
Cel de -al doilea curier ajunge î n C tot în acela și timp t, căci am presupus că el a pornit din B când
cel dintâ i a pornit din A; notâ nd viteza lui cu v’, vom avea x = v’t, de unde
,vxt .
62
Egalâ nd valorile lui t avem:
vxd
vx, de unde
.,,
vvdvx
Discutie:
1. presupun em că v > v’, atunci valoarea lui x este pozitivă, cee a ce arată că întalnirea se va
face într -adevar în partea dreaptă a punctului B, așa cu am presupus. Aceasta se poate
întelege ușor căci dacă primul curier se afla în A în momentul când al doilea se gă sește în B,
viteza primul ui fiind mai mare, el trebuie să ajungă pe al doilea în partea dreaptă a punctului
B.
2. Presupunem că v < v’; formula dă î n acest caz pentru x o valoare negativă, ce arată că
întâlnirea a avut loc înainte de a ajunge curierii î n A și B, adică în partea stângă a punctului
B, căci din momentul ce ei sunt î n A și B, cel de -al doilea mergând mai repede se va depărta
mereu de cel dintâi, așa că ei nu se pot întâ lni la dreapta lui B.
3. Dacă v = v’, valoarea lui x în acest caz devine
0,dv , ceea ce conduce la o imposib ilitate; cei
doi curieri nu se întâlnesc niciodată . Aceasta este evident, deoarece ambii deplasându -se în
aceeași direcție, cu aceeași viteză, distanța dintre ei ră mane mereu d.
4. Dacă v = v’ și presupunem d = 0, în aceasta situaț ie valoarea lui x are forma
00 , adică este
un caz de nedeterminare, ceea ce se înțelege, căci ei aflându -se în același punct într -un
moment dat și având aceeași viteză se găsesc mereu împreună .
5. Dacă
,vv și d = 0 avem
00
,vvx . În acest caz punctul lor de întâlnire este
în B, care devine punct comun de plecare.
6. Dacă ei ar fi mers în sens contrar (unul către altul), atunci întâlnirea s -ar face î ntre A și B, și
dacă se notează ca și mai sus cu x distaț ta de la B la punctul de întâlnire obț inem ecua ția
vxd
vx, de unde
.,,
vvdvx
Considerâ nd viteza v’ ca pozitivă , când miș carea celui de -al doilea se face spre dreapta și ca
negativă când mișcarea se face în sens opus și dacă luăm distanța considerată spre dreapta punctului
63
B ca pozitivă și cele considerate spre stânga ca negative vom recunoaște că formula
,,
vvdvx
este conținută î n formula
.,,
vvdvx
Prin urmare, formula
,,
vvdvx se aplică î n ambele cazuri ale problemei. De a ici se poate vedea
cum, introduâand cantităț ile negative ca date ale unor probleme, putem să generalizăm problemele,
adică cu o singură formul ă, gas ită pentru unul din cazurile problemei, putem să studiem toate
celelalte cazuri ce le -ar putea prezenta ea, dacă atribuim datelor cunoscu te ale problemei atât valori
pozitive cât ș i negative.
b) Prob leme rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul întâ i cu două necunoscute
Problemele care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul întâi cu două necunoscute sunt, în
fapt, aplicații ale rezolvării ecuaț iei diofantice ax + by = c, a, b, c numere î ntregi, care admite o
infinitate de solu ții când a și b sunt prime între ele sau, în general, câ nd
cba),( . Ecuațiile diofantice
ridică probleme delicate, putâ nd avea sau nu solu ții, în num ăr finit sau infinit, c ând au solu ții.
Problema 1. Trei grupuri de pescari aflați î n concurs au pesc uit în total 113 pești. Î n medie, fiecare
membr u al primei grupe a prins 13 peș ti , fiecare membr u al grupei a doua a prins 5 peș ti, iar fie care
membru al grupei a treia câte 4 pești. Să se afle numărul membrilor din fiecare grupă, știind că î n
total au fo st 16 pescari.
Rezolvare:
Notă m cu x, respectiv y numă rul pescarilor d in prima, respectiv a doua grupă. Rezultă că în a treia
grupă sunt 16 – x – y pescari. Datele pr oblemei conduc la scrierea ecuaț iei:
13x + 5y + 4(16 – x – y ) = 113, care este echialentă cu ecua ția: 9x + y = 49 .
Din ecua ția ob ținuta rezultă că
945949 yxyx . Deoarece x,y
,4 – y
9M , de unde
rezultă că y = 9 k+ 4 , k
, deci x = 5 – k , k
. Ținâ nd seama că numă rul pescarilor e ste 16,
singura valoare posibilă pentru k este 0.
În concluzie, pentru k = 0 obținem x = 5, y = 4, 16 – x – y =7 . Deci î n cele trei grupe sunt 5,4,
respectiv 7 pescari.
Problema 2. Există dreptunghiu ri pentru care perimetrul și aria au ca măsuri același numă r?
Rezolvare:
Notă m cu x și y dimensiunile dr eptunghiului . Obținem ecuaț ia 2(x + y) = xy, x, y
.
64
Ecuația este echivalentă cu
24222
yxyyx . Deoarece x,y
, y – 2 >0 este divizor al
lui 4. Rezultă
},4,2,1{2y de unde
}6,4,3{y . Deci soluțiile ecuaț iei sunt x = 6, y = 3 ; x = 4 ,
y = 4 ; x = 3, y = 6 . Din p unct de vedere geometric, există două dreptunghiuri cu aceleași
dimensi uni permutate între ele și un pătrat , ceea ce se explică prin simetria ecuaț iei.
Problema 3. Într-un magazin , un cumpărător face cumpărături de 190 ruble și are pentru achitat
această sumă numai hâ rtii de 30 ruble, iar ca sierul nu are, pentru rest, decât hârtii de 50 ruble. Cum
se poate achita suma, în câte moduri și care este soluț ia?
(Mathematique et pedagogie, nr 38/1882)
Rezolvare:
Notăm cu x numărul de hâ rtii de 30 ruble pe care le -ar da cumpărătorul casierului ș i cu y numărul
de hâ rtii de 50 ruble pe care po ate să le dea rest casierul. Obținem ecuaț ia :
31 2635 19190 50 30yy xyx y x
, cu (x,y)
2 . De unde
ay
31 2
sau
21aay . Rezultă
21a , deci
12 a . Dedu cem
1 3 y ,
85x .
Din
0 ,0y x deducem
58,31 și cum
0 , obț inem
= 0,1,2,… . Ecuaț ia are o
infinitate de solu ții care reprezintă tot atâtea moduri de pl ată : x = 8, y = 1 ; x = 13, y = 4 ; x = 18,
y = 7 , …Soluția optimă este cea în care se folosește cel mai mic număr de hârtii de 30 și 50 ruble,
adică x = 8 și y = 1 .
Problema 4. Preț urile unitare pentru trei categorii de obiecte sunt 8 lei, 12 lei și res pectiv 25 lei. Câ te
obiect e s-au cumpărat din fiecare dacă s -au pă atit 820 lei pentru un total de 44 de obiecte?
Rezolvare:
Notă m cu x, y, respectiv z numărul obiectelor cumpărate din fiecare categorie. Obținem ecuaț iile:
8x + 12y + 25z = 820 și x + y + z = 44.
Eliminând z între cele două ecuaț ii deducem 17x + 13y = 280 , cu (x,y)
2 . Deci ,
137 9221xx y , de unde
ax
137 9 , sau
97 52aa x . Rezultă
ba
97 5 , deci
5212bb a
și prin urmare
52b . Obținem b = 5
2 , ceea ce implică a =
5 9 ,
deci:
8 13 x ;
1732y .
Din ecuaț ia x + y + z = 44 rezultă
.20 4z Ținand seama de condiț iile:
44 0,44 0,44 0 z y x
și
, obținem
1 . Soluț ia problemei este x = 5; y = 15 ;
65
z = 24 . Deci cu cei 280 lei s -au cumpărat 5, 15 și respectiv 24 obiecte având preț urile 8 lei, 12 lei,
respec tiv 25 lei.
c) Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de ecuaț ii
Problema 1. Dacă într -o sală se aș ează câte un elev î ntr-o bancă , rămân șase elevi în picioare. Dacă
se aș ează câte doi elevi într -o bancă, rămân patru bănci libere. Câți elevi sunt în clasa respectiv ă și
câte bă nci?
Rezolvare:
La clasel e a IV -a sau a V -a, este bine să realiz ăm o reprezentare a situaț iei:
În acest fel , elevii pot face mai ușor legătura între numă rul de elevi din ultimele patru bănci și cei
ramași în picioare și numărul de bănci care sunt ocupate acum de câ te doi elevi .
Putem afla m ai întâi numărul de bă nci:
1441:)614( și apoi numă rul de elevi
206114 .
La o clasă mai mare se obț ine sistemul cu necunoscutele x – numărul de elevi ș i y – numărul de
bănci:
)6 (26
y xyx . Aplicăm metoda substituției și obținem ecuaț ia
)6 (26 y y , de unde
y = 14 , iar x = 20 . Rezultă că sunt 20 elevi și 14 bă nci.
Observaț ie: Prob lema poate suporta mici modificări. Și anume să redistribuim elevii astfel încât să
fie câte doi, apoi o bancă cu un elev ș i restu l goale.
Astfel se obț ine p roblema: Dacă într -o sală se asează câte un elev într -o bancă, rămân șase elevi în
picioare. Dacă se asează câte doi elevi într -o bancă, iar într -o bancă se aș ează unul singur, rămân
patru bănci libere. Câți elevi sunt în clasa r espectivă și câte bă nci?
Putem afla mai întâi numă rul de banci:
15411:)614( și apoi numă rul de elevi
216115
.
66
Situația dată poate fi modelată prin urmă torul sistem:
1)5(26
y xyx . Aplică m metoda
substituției și obținem ecuaț ia
1)5(26 y y , de unde y = 15 , iar x = 21 . Rezultă că sunt 21
elevi și 15 bă nci.
Problema 2. Nelu este de
981 ori mai mare ca Sandu. Acum 5 ani Sandu avea
31 din vârsta lui Nelu.
Câți ani are fiecare ?
(G.M. ,5/1972)
Rezo lvare:
La clasa a V -a se poat e realiza o reprezentare grafică a situației expuse în problemă :
Nelu
Sandu
5 ani
În acest fel, se poate observa ușor ca o parte egală reprezintă 1 an. De unde rezultă că Sandu are 9
ani și Nelu are 17 ani.
Problema se poate rezo lva și cu ajutorul sistemel or de ecuaț ii.
Daca n otăm cu x vârsta lui Nelu ș i cu y vârsta lui Sandu obț inem sistemul :
)5(35981
y xy x
echivalent cu sistemul
10 317 9
y xy x .
Din cele două relații obținem ecuaț ia: 9(3y – 10)=17y. Soluția ecuaț iei este y=9. Deci Sandu are 9
ani, iar Nelu are 17 ani.
Problema 3. În trei lăzi sunt 90 mere. Dacă transferăm din ladă a doua 3 mere în prima ladă atunci
prima ladă are cu un măr mai mult decât a doua ladă, iar dacă transferăm din lada a doua 5 mere î n
67
lada a treia, atunci lada a doua conține cu 15 mere mai multe decât lada a treia. Să se găsească câte
mere sunt în fiecare ladă .
(G.M. ,7/1986)
Rezolvare:
Notă m cu x,y,z numărul de mere din cele trei lăzi. Obținem următoarele relaț ii:
(1) x+y+z=90
(2) x+3=y – 3+1
(3) y – 5=z+5+15
Situația descrisă se regăsește î n sistemul :
25590
zyxyzyx
Sistemul se poat e rezolva prin metoda substituției, însă datorită formei lui se poate rezolva mai
simplu dacă se adună cele trei egalități. Obținem ecuaț ia 3y = 120. Soluț ia y = 40 reprezin tă
numă rul de mere din a doua ladă. După care gă sim x = 35 și z = 15, rezult ă că î n prima ladă sunt 40
de mere, iar î n a treia sunt 15 mere.
Observație : La ciclul primar și la clasa a V -a nu se lucrează explicit cu sisteme de ecuaț ii, dar se
folosesc pr oprietăți ale relației de egalitate și se rezolvă problemele prin operarea simultană cu două
sau mai multe relaț ii de egalitate. O altă metodă de rezolvare presupun e folosirea metodei figurative
și realizarea unei scheme:
3
Prima ladă
3
A doua ladă 90
15 5
A treia ladă a
5
Notă m cu a o parte egală .
90 – (5 +15) – (5 + 15 + 5)=45 ( 3a )
45 : 3 = 15 ( a ) mere în a treia la dă
15 + 5 + 15 +5 = 40 mere în a doua ladă
68
15 + 5 + 15 = 35 mere în prima ladă .
Problema 4. Se împarte o sumă de bani în părți egale, între mai multe persoane. Dacă ar fi fost trei
persoane mai mult, partea fiecăruia ar fi fost cu câte 100 lei mai mică, ia r dacă ar fi fost două
persoa ne mai puțin partea fiecăruia ar fi fost cu câte 100 lei mai mare. Să se afle suma de bani și
numă rul de persoane.
Rezolvare:
Notă m cu x numărul persoanelor ș i cu y suma care trebuie împărțită. Obținem sistemul d e ecuaț ii :
2200 1000 1200 100
3 200 100 22 300 1003
10021003 22
22
x xyx x
x x y xy xyx x y xy xy
xy
xyxy
xy
.
Punând în plus condiț ia x>0, y>0 obținem soluț ia x = 12, y = 6000 . Deci, cei 6000 lei pot fi
împărțiți , în condiț iile date, la 12 persoane.
Problema se poate gen eraliza. Astfel, se presupune că în loc de trei persoane în plus, ar fi fost m
persoane și că în loc de două perso ane mai puț in, ar fi fost n persoane mai puțin; în primul caz,
partea fiecăruia s -ar micș ora cu p lei, în al doilea caz s -ar mă ri cu q lei.
Se obține sistemul de ecuaț ii:
nqx qx nyxy xympx px myxy xy
qxy
nxypxy
mxy
22 .
Înmulț ind prima ecuaț ie cu n, a doua cu m și adunând ecuațiile obț inute, avem
2) () )( ( ) (
np mqqpnm mnpqynp mqqpmnx
.
Problema este posibilă dacă x>0; deci mq – np >0 și mq – np divide mn(p + q). Valoarea lui y este
întotdeauna admisibilă .
Problema 5. Două robinete ar putea um ple un bazin în 8 ore. Dacă primul robinet este deschis timp
de 6 ore, după care deschidem ș i al doilea r obinet, ele vor avea nevoie de î nca 6 ore pentru a umple
bazinul. În câ te ore poate umple bazinul fiecare robinet singur?
Rezolvare:
Dacă primul robinet are nevoie de x ore pen tru a efectua lucrarea, atunci într -o oră realizează
x1 din
69
lucrare. Analog, pentru al doilea robinet vom avea
y1 din lucrare. Asfel, putem scrie urmă torul
sistem de ecuaț ii:
61128111
1116161118
yxyx
yx xyx
Problema 6.Să se afle l aturile unui triunghi isoscel, știind c ă aria triunghiului este egală cu a2, iar
aria totală a conului obținut prin rotirea triunghiului în jurul înălțimii dusă din varf pe baza
triunghiului este
2b .
Rezolvare:
Notă m cu 2x, y baza, respectiv latura ega lă a triungh iului isoscel. Înălț imea corespunzătoare bazei
este egală cu
2 2x y ,deci aria este egală cu
2 2x yx , iar aria totală a conului este
) ( yxx .
Obținem sistemul :
224
24 2 2 2
22 2 2
) () (
) () (
) (byxxbaxyx
byxxa x yx
byxxa x yx
Prin scă derea membru cu membru a celor două ecuații obț inem
2124 4
24 4
2 a b
bxba bx ,
cu condiț ia ca b > a . Prin adunare obț inem
4 44 4
24 4
22) (2
a bbb ayba bxy
.
Deci baza triunghiului isoscel este
) (2124 4a bbx și latura egală este
) (2) (
4 44 4
a b bb ay
.
Problema 7. Fie M și N mulțimile ale căror elemente sunt soluț iile pentru
a si
b din
egalitatea :
(a + 2)(b + 3) = 2ab.
Să se determine
N M .
Rezolvare:
Egalitatea devine ab – 3a – 2b – 6 = 0. Se adaugă și se scade numărul 12 și obținem ecuaț ia:
(b – 3)(a – 2) = 12.
Divizor ii lui 12 î n
sunt : 1, 2, 3, 4, 6, 12 și astfel obț inem :
70
315
12123
ab
ab ;
144
12213
ab
ab
Analo g se procedează în celelalt cazuri. Obț inem M = {3, 4, 5, 6, 8 , 14}, N = {4, 5, 6, 7, 9, 15} ș i
}6,5,4{N M
d) Prob leme rezolvate cu ajutorul ecuaț iei de g radul al doilea cu o necunoscută
Problema 1. Salariul lunar al un ui muncitor era de 800 lei. După două măriri succesive cu acelaș i
procent, salariul a deveni t 1058 lei. Cu ce procent s -a mă rit salariul de fiecare data?
Rezolvare:
Notă m cu p procentul cu care s -a mărit salariul de fiecare dată. Astfel, salariul după prima reducere
este
800100100800100800 p p , iar după a doua reducere va fi
800100100800100100
1008001001002
p p p p
. Rezultă că
1058 8001001002
p .
Ecuația obținută este echivalentă cu ecuaț ia
13225) 100(2p . De unde rezultă
115 100 p ,
cu soluț iile
215 ,152 1 p p .Ținând seama că p este procentul cu care s -a mărit salariul, din cele
două soluții, 15 ș i – 215, nu put em admite decât pe cea pozitivă , p = 15 .
Observaț ie : Problem a poate ,, suferi” mici modificări. Ș i anume, salariul se modifică fie după două
reduceri succesive, fie după o reducere și o mărire, cu acelaș i procent sau cu procente diferite.
Trebuie mai î ntâi să vedem cum alegem valorile astfel încât relațiile să corespundă .
Cazul general: Salariul lunar al unui muncitor era
a lei. După două modificări succesive (ambele
măriri, ambele reduceri sau o marire și o reducere) cu acelaș i proce nt p (p > 0), salariul a devenit b
lei.
Ecuaț ia problemei este
bap p
100100
100100 .Cu ajutorul ei se rezolvă orice problemă analoagă
cu cea da tă. De asemenea, această formulă ne permite să află m oricare din da tele literale care apar în
problemă a, b sau p, când celelalte ar fi cunoscute .
Astfel, cu ajutorul ei putem rezolva problema: ,, Prețul unui televizor s -a mărit cu 10%. După un
timp, no ul preț al televizorului s -a micșorat cu 10%. După aceste două modificari televizorul costă
1980 lei. Determinați prețul iniț ial al televizorului.”
71
Problema 2. O asociație agricolă trebuie să însămânțeze 200 ha într -un anumit număr de zile.
Însămânțând cu 5 ha în plus pe zi, au terminat însămânț area cu 2 zile mai devreme . În câte zile și -au
propus inițial să termine însămânțatul și câte hectare au fost însămâ ntate pe zi?
Rezolvare:
Alegem necunoscuta x pentru numărul de ha propuse a fi însămânț ate pe zi. În acest caz, numărul de
zile în care ar fi trebuit să fie terminate însămânț area este
x200 .
În problemă se arată că lucrând 5 ha în plus pe zi, numărul zilelor în care s -a făcut lucrarea este mai
mic cu 2 decât cel planifica t. Obținem astfel ecuaț ia
2200
5200 x x , în care expre siile din cele
două părț i sunt definite pe
}0,5{\ .
Rezultă 200x = 200(x+5) – 2x(x+5) , ecuație ale cărei rădă cini sunt
25 ,202 1 x x .Ținând seama
că x reprezintă număr ul hectarelor, punem în plus condiț ia x > 0 . Rezultă că problema admite ca
soluție decâ t x = 20 . Deci, și -au propus să termine însămânțatul î n 10 zile.
Problema 3. Două robinete umplu un bazin î n 12 ore. Primului robinet, singur, îi trebuie cu 10 ore
mai p uțin decât celui de -al doilea, ca să umple bazinul. În câ t timp poate umple fiecare robinet
singur bazinul?
Rezolvare:
Dacă primul robinet are nevoie de x ore pentru a umple bazinul, atunci î ntr-o ora umple
x1 din bazin.
Al doilea robinet va umple bazinul în x + 10 ore, deci î ntr-o ora va umpe
101
x din bazin. În
problemă se arată că cele două robinete, curgând împreună,umplu bazinul în 12 ore. Obținem astfel
ecuaț ia;
1101 112
xx , în care expresi a din membrul stâng este definită
pe
}0,10{\ .Rezult ă
0 120 14 )10()102(12121
)10(102x x xx xxxxx , cu
soluț iile
6 ,202 1 x x . Deoarece x reprezintă numă rul de ore nec esar umplerii bazinului, rezultă
că problema admite ca soluție decâ t x = 20 . Deci, p rimu l robinet va umple bazinul în 20 de ore, iar
al doilea î n 30 ore.
Problema 4. Într-un solar pentru copii se construiește un bazin în formă de drept unghi. Perimetrul
dreptunghiului este 28 m, iar suprafata de 48 m2. Care sunt dimensiunile dreptunghiului?
Rezolvare:
72
Notă m cu x, respectiv y dimensiunile dreptunghiului. Obținem următorul sistem de ecuaț ii simerice:
4814
yxyx ,
2);(yx
Dacă t1 și t2 sunt soluțiile ecuaț iei t2 – St + P =0 atunci t1 +t2 = S și t1t2 = P. Dacă luă m S = 14 și
P = 48 , rezultă că soluțiile sistemului sunt ( t1 ;t2) și ( t2 ;t1). Ecuaț ia t2 – 14t + 48 =0 admite
soluț iile t1 = 6 și t2 = 8. Soluțiile sistemului sunt (6;8) și (8; 6), care cores pund dimensiunilor unui
aceluiaș i dreptunghi.
Observație: Prin varierea datelor ș i/sau a cerințelor se pot obț ine probleme cu grad de dificultate mai
ridicat decât cel al problemei iniț iale.
Problema 5. Perimetrul bazei unei clă diri d reptunghiulare este de 70 m. Clădirea este în conjurată de
un gard care, care este pretutindeni la aceeați depărtare de clădire. Suprafața înconjurată de gard este
cu 74 m2 mai mare decât suprafața ocupată de clădire. Să se afle depărtarea de la gard la clă dire.
Rezolvare :
Dacă notă m cu x > 0 depărtarea de la gard la clă dire, atunci dimensiunile suprafetei înconjurată de
gard vor fi a+2x și b+2x , unde a + b = 35 . Ecuaț ia problemei este :
74 )2 )(2( bax bx a ,
de unde
0 37 35 22x x , cu soluț iile
474,12 1x x . Cum x > 0 rezultă că problema are
doar soluț ia x = 1 ; deci depă rtarea de la gard la cladire este 1 m.
Problema 6. Circumferința roții dinapoi a unei trăsuri este de 3 ori mai mare decât circumferința
roții dinainte. Dacă micșorăm circumferința roț ii dinapo i cu 2 dm și mărim circumferința roț ii
dinain te cu 1 dm atunci la o distanță de 12 0 m roata dinapoi face cu 10 învârtituri mai puțin decât
roata dinainte. Să se afle circumferințelor celor două roț i.
Rezolvare:
Notă m cu l circumferința roții dinainte; atunci ecuaț ia problemei este:
11201023120
l l ,
}32,1{\l
Rezultă
0 34 23 3)23(12)1)(310(112
233102l l l lll ll cu soluț iile
317,22 1l l
. Problema are două soluții: circumferința roții din faț a este 2 dm,res pectiv
317 , iar
circumferința roț ii din spate este 6 dm, respectiv 17 dm.
73
Generalizare : Notăm circumferința roții din față cu k, circumferința roț ii din spate cu l, iar cu x
notăm distanța pe care roata din față face cu u învârtituri ma i mul t decât cea din spate. Obținem
ecuaț ia
lxukx , cu
0 ,0 ,0 u k l de unde
kllkux ,
kl .
Această formulă ne permite să află m oricare dintre necunoscutele x, l, k sau u, când celelalte sunt
cunoscute . Cu aj utorul ei putem rezolva urmă toarea problema :
Roata din spate a unei trăsuri are circumferința de 3 m, iar cea din față de 2 m. Pe ce distanță va
face roata din fața cu 200 învârtituri mai mult decâ t cea din spate?
Pentru l = 3, k = 2 și u = 200 obținem d istanț a x = 1200 .
Observații : Dacă x < 0 când l – k < 0, deci l < k putem spune că raza roții din spate este mai mică
decât cea din față .
Dacă l = k atunci u = 0 ¸deci cele două roți vor face un număr egal de învârtituri pe o
distanț a oarecare.
Concluzii
Rezolvar ea problemelor cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuaț ii permite elevilor:
-Transpunerea datelor din enunțul problemelor în ecuații sau într -un sistem de ecuaț ii ;
-Reformular ea unor probleme care se rezolvă cu aj utorul ecuaț iilor sau al unui sistem de ecuații pe
baza unor ecuații sau sisteme de ecuaț ii cu un grad ridicat de dificultate;
-Utilizarea unor formulă ri clare p entru problemele care se rezolvă cu ajutorul ecuaț iilor sau al unui
sistem de ecuaț ii;
-Dezvolt area unor raționamente logice folosind ecuații și sisteme de ecuații î n rezolvarea unor
probleme;
-Cultivarea încrederii în sine, asigurând dezvoltarea inițiative î n cadrul grupului/colectivului de
elevi;
-Sporirea capacităț ii de a v izualiza redarea u nei probleme într -o ecuație sau un sistem de ecuaț ii.
74
CAPITOLUL 4
CONSIDERAȚ II METODICE
Prin problematica diversă și complexă care -i formează obiectul, prin solicitările la care
obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe c are o propune, prin antrenarea și stimularea
tuturor forț elor intelectuale, p sihice ș i fizice ale elevilor, matematica contri buie la dezvoltarea
personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii,
precum ș i la diversifi carea căilor de acț iune a omului în natură și societate.
Matema tica este considerată, pe drept cuvânt, un element de cultură generală absolut
necesar î n orice domeniu de activitate umană. În perioada contemporană, matematica ocupă un rol
esențial în proces ul de învățămâ nt.
În contextul noilor schimbări și modifică ri care au loc în structura învățământului
preuniversitar, corelă rii interdisciplinare a anumitor aspect c omune mai multor discipline de
învățământ, trecerii de la învățămâ ntul informativ la cel formativ, de modelare a int electului elevului
este necesară crearea unei conjuncturi flexibile în care să privim învățămâ ntul matmemati c sub toate
aspectele: competențe, conț inut, strategii , evaluare, proiectare didactică .
4.1.S tabilirea obiectivelor
Procesul de învățământ reprezintă activitatea sistematică ș i organizată care se desfasoară în
școală, sub îndrumarea cadrelor didactice, în vederea educă rii elevilor. Conținutul acestuia se
obiectivează î n documentele curriculare (documente școlare oficial e și neoficiale) , ca re au rolul de a
organiza situațiile de î nvățare și de a genera experiențe de învăț are. Ele se clasifică astfel:
Principale (Planul de învățământ, programa școlară, manualul ș colar);
Auxiliare (Auxiliare curriculare, ghiduri metodice, materiale didacti ce suport, norme
metodologice, î ndrumatoare pentru elevi, c aiete de activitate independentă pentru elevi,
softuri educaț ionale, seturi multimedia, pachete de învăț are);
Specifice activității de proiectare didactică (Planificarea calendaris tică, proiecte de unitați de
învătare, proiecte de lecț ii/activi tăți didactice).
75
Metodica își are rădăcinile în grecescul ,,methodos” care înseamnă ,,drum”, deci ea este cea
care cont ureaza drumul pe care trebuie să -l urmeze profesorul pent ru atingerea obi ectivelor
educaț ionale.
Obiectivul educaț ional este ipostaza cea mai ,,concretă” a finalităților educaționale și
desemnează tipul de schimbări pe care procesul de învățământ îl așteaptă și/sau îl
realizează.( C.Cucoș ,2006)
Primele documente de lucru ale pro fesorului sunt programa școlară și manualul ș colar.
Profesorul tre buie să formuleze competenț ele specifice pentru fiec are an de studiu (se vor scrie în
planificarea calendaristică), apoi obiectivele operaționale pentru fiecare lecție(se vor scrie în
proiec tele de lecț ie).
În general, competenț ele se definesc ca ansamblur i structurate de cunoștințe și deprinderi
dobândite prin învățare. Ele permit identificarea ș i rezo lvarea unor probleme specifice în diferite
contexte. Competenț ele generale au rolul de a orienta demersul didactic pe întreg parcursul
disciplinei ș i de a re flecta achizițiile finale ale elevului în urma studierii disciplinei în cauză .
Competențele specifice se formează pe durata unui an de studiu și sunt deduse din
competențele generale, fiind etape în dobândirea acestora. Competenț elor specifice le corespund
anumite conț inuturi, acestea regăsindu -se în programa școlară .
Obiectivele unei lecții au rolul de a direcționa și focaliza învățarea. Însă , nu de putine ori,
apar dificultăți î n stabili rea acestor obiective. Specialiștii au păreri împărțite în legatură cu gradul de
precizi e cu care se cuvine a fi descri s, la nivelul unui obiectiv, c eea ce vor fi capabili elevii să facă .
De exemplu, unii pedagogi susțin că obiectivele trebuie să descrie în termeni observabili
condițiile învățării și, totodată , crit eriile de evaluare a performanț ei minime acceptabile. Cei mai
mulți sunt de accord că stabilirea obiectivelor lecției implică o proiectare temeinică, ghidează
procesul instructiv și este utilă pentru evaluare. Un obiectiv de instruire trebuie să aibă, totuș i,
anumite caracteristici minimale:
– Să precizeze cine este subiectul învăță rii(persoana vizata este elevul);
– Să precizeze strategiile de învățare( conversația frontal, demonstrația, activitațile î n grup
sau simularea);
– Să precizeze conținuturile care urmează a fi explicate;
– Să precizeze operaț iile intelectuale implicate de atingerea obiectivelor (verbe utilizate: a
defini, a recunoaste, a calcula, a rezolva, a identifica, a preciza, a ordona, a com para).
76
Obiectivele operaț ionale sunt acel e obiective care descriu ce va ști ș i ce va fi capabil să facă elevul
la sfârșitul unei lecții. A operaționaliza un obiectiv înseamnă a preciza comportamentele observabile
și măsurabile, precum și nivelul de perform anță așteptat la finalul lecției. Obiectivele operaționale se
stabilesc pe unități de conținut și activități de învăț are.
Un grup de specialiș ti condu s de Benjamin Bloom a propus o împărțire a obiectivelor operaționale
în trei comportamente:
– Cognitiv (viz ează cunoștințele ș i aptitudinile intelectuale );
– Afectiv ( vizează sentimentele , motivaț iile, interesele, atitudinile, valorile );
– Psihomotor (vizează aptitudinile manuale și senzoriale).
Prima clasă se referă la însuș irea și redarea informațiilor transmi se prin cunoștințe (și este
cel mai bine surprinsă de m ajoritatea profesorilor). Obiectivele afective se referă la deprinderi
intelectuale adică modalit ăți de operare cu informația transmisă , modelare a atitudinilor, formarea
judecăților de valoare, iar cel e psiho -motorii la formarea priceperilor ș i deprinderilor practice.
Nu toate obiectivele pot fi traduse în termeni comportamentali; de exemplu, dezvoltarea
creativității se produce în timp și nu este uș or vizibilă.
Obiectivele operaț ionale reprezinta punc tul de pornire, în proiectarea lecției, î n elaborarea
instrumentelor de măsurare și î n stabilirea criteriilo r de evaluare a rezultatelor obț inute.
Ele diferă de la un profesor la altul și de la o lecție la alta. Însă același subiect de predat
poate fi rel uat în diferite obiective operaționale (pentru același subiect reluat în tipuri de lecții
diferite se formează comportamente diferite).
Exemple:
A. Cognitive:
Să identifice proprietățile relaț iei de egalitate ;
Să aplice proprietățile relați ei de egalitate în rezolvarea ecuațiilor propuse în fiș a de lucru;
Să rezolve ecuaț ii de forma ax +b = 0 și reductibile la aceasta;
Să transcrie î n lim baj matematic diferite situaț ii problema;
Să rezolve prin ecuații și sisteme de ecuații probleme frecvent întâlnite în acti vitatea cotidiană ;
Să comenteze valoarea metodelor folosite (aritmetice, algebrice);
Să interpreteze soluția (soluțiile) ecuaț iei, s istemului ca soluț ii ale problemei;
Să verifice în problemă soluțiile obț inute;
Să formuleze probleme când se cunoaș te mo delul matematic ce o caracterizează ;
Să propună probleme ce se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuaț ii .
77
B. Psiho -Motorii :
Să mani feste interes pentru lecț ie ;
Să scrie lizibil pe caiete și la tablă ;
Să redacteze î n mod logic rezolv area unor probleme, folosind metode aritmetice si algebrice ;
Sa dovedească abilitate în rezolvarea problemelor ș i a modelului matematic aferent acesteia;
C. Afective:
Să fie atenți și să participe activ la lecț ie;
Să-și dezvolte interesul pentru studiu l matematicii prin aplicarea cunoștințelor î n probleme
variate;
Să-și dezvolte spiritul de observțtie ;
Să manifeste spiritu l de competiție, ordine și disciplină .
4.2. A naliza si stabilirea resuselor educationale disponibile
Orice profesor bine pregătit trebuie să stie ce îi oferă manualul pentru îndeplinirea
obiectivelor și are dreptul sau chiar obligația să regândească conț inutul propus de manua l, deoarece
acesta s -ar putea să nu cuprindă ultimele noutăți din domeniu sau să nu corespundă n ivelului de
pregă tire a elevilor
Manualul ș colar este instrumentul de lucr u pentru elevi, care organizează conț inuturile
propuse de programele școlare la fiecare obiect de studiu și la fiecare clasă. În țara noastră , manualul
este centrat pe elev, profeso rii avâ nd acces la manuale diferite (manualele alternativ e), care le permit
organizarea și prezentarea conținutului în manieră proprie. Conț inutul educativ trebuie să reliefeze
esențialul în contextul lecției, să relizeze un echilibru între componentele fo rmative ș i informative.
Pe tot parcursul selectării, organizării și prelucrării informațiilor pe care le are la îndemană,
profesorul trebuie să aibă î n vedere colectivul de elevi cu car e se va lucra, ce nivel de cunoștinț e are,
ce ca pacitate de asimilare și utilizare a acestor informaț ii.
Un profesor es te cu atât mai bun cu cat reușește să -l înveț e pe elev exact ceea ce poate
(elevul ) și are realmente nevoie. (C.Cucoș ,2006)
Pentru a -i determi na pe elevi să gândească, să rezolve probleme, să găsească soluții ,
profesorul trebuie să găsească strategii de a -i implica pe elevi în învățare și de a gestiona în mod
adecvat astfel de situaț ii didactice.
4.3.M etode utilizate în învăț are-evaluare
78
O metodă de învățământ reprezintă o cale de organizare și dirijare a învă țării î n vederea
atingerii obiectivelor specifice disciplinei, un ansamblu organizat de procedee.
Învățarea constă în î nsusirea meto dică de catre elevi a unor cunoștinț e sau deprinderi cerute
de profesor.
Metoda constit uie modalitatea prin care se obț ine t ransmiterea si insusirea continutului
notional al activitatilor matematice. Specificitatea conținutului și aspectul logic al cunoș tințelor
matematice impun un caracter obiectiv metodelor de învățămâ nt.
În funcție de obiective și centrare, metodele se împa rt în metode tradiționale ș i metode
moderne.
La metodele tradiționale, centrul acț iunii este pus p e profesor ( expunerea, explicaț ia,
conversația, demonstraț ia, lucrul cu manualul, exercițiul), în timp ce, la metodele moderne, acțiunea
este centrată pe ele v (algoritmizarea, modelarea, proble matizarea, instruirea programată , studiul de
caz,simularea).
În didactica modernă se recomandă folosirea metodelor activ -participative deoarece:
– sunt centrate pe elev ș i pe activitate
– comunicarea este multidirecț ionala
– pun accentul pe dezvoltarea gândirii, formarea de aptitudini ș i deprinderi
– evaluarea este formativă
– încurajeaza participarea și iniț iativa copiilor
– promovează parte neriatul dintre cadru didactic ș i elev
Principalele met ode moderne care se pot aplica în mate matică sunt: problematizarea,
învăț area prin descoperire , brainstormingul , metoda ciorchinelui , metoda cubului , turul galeriei ,
algoritmizarea , modelarea.
Alegerea celor mai adecvate metode de predare poate contribui la accentuar ea caracterului
formativ al dobândirii cunoștințelor. În cele ce urmează voi detalia câ teva metode dida ctice care
permit abordarea conț inuturilor specifice matematicii.
Expunerea asigură transmiterea ordonată, sistematică și continuă a cunoștințelor,
reprezentând o cale simplă, rapi dă și eficientă de instruire. Prin faptul că, în expunere elevilor li se
oferă cunoș tinte ,,de-a gata ” metoda predispune la pasivism ș i la absen ța spiritului critic . De aceea
profesorul trebuie să aibă o comunicare vie cu elevii, solicitându -le permanent atenția și să verifice
dacă este urmă rit de elevi. Ace st lucru se poate realiza prin întrebări, repetiții, explicaț ii
suplimentare.
79
Explicația constă in dezv ăluirea, pe baza unei argumentaț ii logice, a unor date noi.
Explicațiile se folosesc câ nd se int roduc termeni matematici noi, câ nd se in troduce un nou tip de
demonstrație sau când se elaborează și fixează o schemă generală de rezolvare a unor probleme. La
nivelul activităților matematice, explicația este folosită atât de cadrul didactic cât și de elevi.
Profesorul explică procedeul de lucru,termenii matematici, sarc ini de lucru, iar elevul explică modul
în care a acționat, soluțiile găsite î n rezolvarea sarcinilor , folosind limbajul matematic. În general, î n
matematica , explicațiile se impun când tema es te complet noua ș i notiunile noi nu pot fi descoperite
printr -o altă metodă mai activă. De exemplu, la gimnaziu, se întâ lnesc momente de explicaț ie la
introducerea noțiunilor de ecuație, de sistem de ecuație. Explicaț ia solicită la un nivel destul de înalt
operaț iile gândirii și contribuie la lăr girea și adâncirea orizontului științific, la formarea concepț iei
despre lume, la dezvoltarea proceselor intelectuale. Metoda explicației se regăsește în secvenț ele
didacti ce ale diverselor tipuri de lecț ii.
Convers ația este una din metodele de bază î n dialogul car e se realizează între profesor și
elevi, prin care se stimulează ș i se dirijează activitatea de învăț are a acestora. Se bazează pe întrebări
și răspunsuri ce se întrepătrund pe verti cală (între profesor și elevi) și pe orizontală (între elevi ș i
elevi).
După numărul de persoane cărora li se adresează întrebarea, conversaț ia poate fi
individuală (între profesor ș i un singur elev) sau frontală (când întrebările se adresează întregii
clase, iar răspunsurile v in de la diferiți elevi). Î n functie de tipul lectiei se poate folosi conversaț ia
euristică (în scopul însușirii de cunoștinț e), conversaț ia de reactualizare (in scopul reactualizării și
introducerii în tema lecției noi ), conversația de fixare ( în scopul fixării și sistematizării
cunoștințelor ) ș i conversaț ia de verificare (în scopul verificării orale a cunoștinț elor ).
Conversaț ia euristică este acel tip de conversaț ie care constă într -o succesiune de întrebări
puse cu abilitate, în alternanț ă cu răspun surile primite de la elevi, prin care profesorul deter mină
elevii să facă o investigație în sfera informaț iilor existente deja în mintea lor, să facă asemenea
asociații încât să ajungă la descoperirea unor date noi. Cu alte cuvinte, printr -un efor t de gând ire
inductivă, călăuziț i de întrebări, elevii pot ajunge la sesizarea unor legături cauzale, a unor trăsături
caracteristice, la formularea unor concluzii și generalizări, pot să desprindă ș i să formuleze logic o
regulă, să elaboreze o definiț ie, etc.
Un alt tip de conversaț ie este conversația catihetică , în care întrebările se adresează
memoriei, care cer ră spunsuri de reprod ucere din memorie a unor definiț ii, formule, reguli.
80
Eficiența conversației depinde ș i de priceperea profesorului de a formula ș i a pune întrebări,
în alternanță firească cu răspunsurile aș teptate. Indiferent de forma conversatiei, intrebarile trebuie
sa indeplineasca anumite conditii. Din punct de vedere al conținutului , se cere ca întrebarea să fie
clară și precis formulată, concisă, astfel încât elevii să -și dea seama exact ce anume li se cere. Sub
aspect gramatical , între bările să fie formulate corect ș i simplu, evitându -se întrebările vagi,
imprecise, care admit răspunsuri referitoare la contexte diferite și nu orientează elevii sp re sarcină.
În caz de nevoie se pot adresa întrebări a jutătoare, suplimentare, care ușurează înț elegerea și duc la
corectarea răspunsurilor greș ite. Întrebările vor fi d e asemenea accesibile și variate, nu vor conține
răspunsurile aș teptate, nu vor cere ră spunsuri monosilabice, de tipul „da” sau „nu”. Apoi, între bările
vor fi bine repartizate și diferenț iate ca grad de dificultate, astfel încât să cuprindă întreaga clasă.
Profesorul trebuie să fie atent ș i la timpul de gândire acordat elevilor, să fie sufic ient, în c az contrar
răspunsurile sunt superficiale, eronate, incom plete, confuze. Metoda conversației ajută la
dezvoltarea limbajului matematic și formarea raț ionamentului matematic la elevi, contribuind as tfel
la dezvoltarea personalităț ii acestora.
Problematizarea și învăț area prin descoperire sunt metode ac tiv-participative care constau
în crearea unor situații -problemă și rezolvarea acestora de că tre elevi, porn ind de la cunoștinte
anterior însușite în vederea obținerii unor adevăruri noi. Noț iunea de situație -problemă desemnează
o stare contradictorie, conflictuală care se formează între diferite niveluri de cunoaștere: experiența
anterioară de care dispune ele vul (informația existentă) și necunoscutul (noile informații) cu care
este confruntat și în fața că ruia datele vechi se dove desc a fi eficiente pentru a -l întelege și a duce la
rezolvarea dorită. Întrebă rile fron tale sau individuale utilizate î n etapa de p regatire a introducerii
unei noțiuni sau chiar în etapa prezentării materialului nou, între bări care se adresează gîndirii sau
raționamentului, determină situaț ii conflictuale.
Problematizarea presupune parcurgerea mai multor momente: un moment pregătitor
(crearea situaț iei-problema) , unul tensional (elevul conștientizează contradicția dintre p roblema pe
care o are de rezolvat și cunoștințele de care dispune) ș i unul rezolutiv (formularea uno r ipoteze care
pot fi aplicate în vederea obținerii unei soluții și verificarea acestora până se găsește una care să
conducă la soluția căutată ). Aceasta es te una din cele mai uti le metode didactice, prin potenț ialul său
euristic ș i activizator. Specificul acestei metode constă în faptul că profesorul nu comunică pur și
simplu cunoștinț e gata ela borate, ci pune elevii în situația de căutare ș i descoperire .
Rezolvarea de probleme reprezintă un proces prin care elevul obț ine prin combinarea al e
unor reguli anterior cunoscute,o noua achizitie în cunoaș tere. Expresia ,,r ezolvare de probleme” se
81
folosește atunci când se vorbește despre găsirea de soluții la probl eme noi și nu la acelea î n care se
substituie valori numerice î n diferite expresii matematice sau cele de calcul propuse pentru fo rmarea
deprinderilor de calcul. Rezolvarea de probleme solicită un efort autentic de invesigare în vederea
găsirii soluțiilor, îndeamna la observații, reflecții adâ nci, la creativitate ș i origina litate în găsirea
răspunsurilor, ceea ce consolidează fondul cognitiv.
Prin aplicarea în practică a problematizării, rezultatul final este întotdeauna descoperirea soluț iei
problemei pu se. Deci, în matematică, descoperirea poate fi privită ca o î ntregire a problematiză rii.
Descoperirea este metoda prin care elevul găseste el î nsusi, pr intr-un efort propriu de
analiză , inductie, generalizare o demonstraț ie, un proc edeu de calcul, etc. E a solicită elevul să
gândească, îi pune la încercare voința, îi dezvoltă imaginația și îi îmbogățește experienț a de
rezolvare a diverselor probleme.
Aplicarea acestei metode trebuie să ț ina seama de ni velul de dezvoltare intelectuală a
elevilor, de complex itatea problemelor, iar rezultatele obț inute individual tr ebuie să fie analizate și
sistematizate cu întreaga clasă .
Dupa natura raționamentelor utilizate, învăț area prin descoperire poate fi de tip:
– inductiv – atunci când elevii, analizâ nd o serie d e cazu ri particulare, elaborează o regulă
generală care apoi est e demonstrată ;
– deductiv – în acest caz elevii obțin rezultate noi aplicând raționamente asupra cunoștințelor
anterioare, combinându -le între ele sau cu noi informaț ii;
– analog – transpunerea unor relații, algoritmi,etc., la contexte diferite dar analoage într-un
sens bine precizat. Analogiile în matematica pot fi de conținut sau de raționament. Analogiile
se întâlnesc frecvent î n procesul de rezolvare a problemelor, având aspecte felurite, în
diver se etape ale rezolvă rii.
Această metodă are o deosebită valoare formativă dezvoltând atât capacitățile de cunoaș tere
ale elevilor(interesul,pasiunea) cât și importante trăsături ale personalităț ii (tena citate, spiritul de
ordine, disciplină , originalitate) .
Lucrul cu manualul este o metodă care permite parcurge rea și asimilarea unor cunoștințe
noi, precum și formarea de priceperi și deprinderi de muncă intelectuala. Lucrul cu manualul de
matematică presupune în primul râ nd descifrarea textului matema tic. Citirea textului este însoțită de
explicaț iile profesorulu i și ale elevilor, de ilustrarea celor citite cu un material didactic adecvat ,
realizând astfel analiza simultană a conținutului ș i a formei de exprimare a acestuia. Lectura
independentă este o altă formă a muncii cu manualul, a cărei utilizare necesită stăpânirea de către
82
elevi a unor deprinderi de a se folosi eficient de manual. Această metodă este absolut necesară
pentru a pune bazele autoeducației și educaț iei permanente.
Observaț ia este urmărire a sistematic a de catre elev a unor obiecte ș i fenomene, fie sub
îndrum area cadrului didactic (observaț ie dirijat ă), fie în mod autonom (observaț ie independentă), în
scopul depi stării unor aspecte ale realității și întregirii unor informații. Observaț iile s e pot realiza
individual sau în echipe, în acest din urmă caz fiind necesară repartizarea sarcinilor pentru fiecare
membru ș i corelarea fina lă a rezultatelor. Prin observație se urmăreș te descrierea, explicarea,
interpretarea unor fenomene, din perspectiv a unor sarcini concrete de învăț are, exprimarea
rezultatelor observației cu ajutorul unor materiale scrise: referate, gra fice, tabele, desene . În acelaș i
timp, această metodă conduce la formarea unor calităț i personale, cum ar fi: consecvență, răbdare,
perseverenț ă, perspicacitate, creativitate.
Studiul de caz este o metodă care se bazează pe cercetare și stimulează gîndirea critică prin
analiza , întelegerea, diagnosticarea ș i rezolvarea unui caz. Un studiu de caz descrie pe scurt o
situație în care exis tă o dilemă. Această dilemă constituie baza discuț iei. Etapele unui studiu de caz:
-prezentarea cazului î n fata elevilor ;
-culegerea informațiilor în legătură cu cazul;
-discutarea, analiza ș i sistematizarea materialului pentru cazul ales ;
-dezbaterile asu pra informațiilor culese ș i stabilirea variantelor de s oluționare a cazului ;
-alegerea soluției optime ș i argumentarea ei ;
Metodele pe care le -au utilizat elevi i pentru rezolvarea sarcinilor în lucră rile scrise pot fi discutate
cu întreaga clasă ca studii de caz.
Demonstraț ia constă în prezentarea unor obiecte, fenomene sau s ubstitute ale acestora,
precum ș i în executarea sau producerea în fața elevilor a unor acțiuni, fenomene, experienț e, în
scopul asigurării unui suport concr et-senzorial procesului de î nvățare.
Demonstraț ia este una din metodele de baza în activitățile matematice și valorifică noutatea
cunoștințelor și a situațiilor de învăț are.
Demonstrația matematică este o metodă de predare -învățare specifică matematicii. Ea
constă într -un șir de raț ionamente prin care se verifică un anumit adevă r, expr imat prin propoziț ii.
Modelarea este o metodă bazată pe folosirea analogiei, adică pe redarea într -o formă
simplificată, schematizată, aproximativă a unor obiecte sau fenomene ce sunt mai greu sau chiar
imposibil de urmărit prin observare direct. În proc esul de învăț ământ se folosesc mai multe categorii
de modele:
83
modele obiectuale (reproduc la scară mai mică sau mai mare decât în realitate diferite obiecte
sau fenomene, sub formă de: corpuri geometrice, piese secț ionate, machete, etc.);
modele figurative (reproduc obie ctul cu ajutorul imaginii: schițe, organigrame, grafice -scheme și
reprezentă ri);
modele simbolice (reproduc origina lul cu ajutorul semnelor convenț ionale: formule matematice,
algoritmi de l ucru, scheme de rationament).
Modelul are o valoare euristică. Studiul pe model dezvoltă spiritul de observație,
capacitatea de analiză și sinteză, imaginația, antrenează gâ ndirea creatoa re a elevului, conduce la
cunoaș terea realității pe baza proprietăți lor esenț iale, familiarizeaz ă elevii cu ce rcetarea științifică
autentică. Eficacitatea modelării la matematică este marită de utilizarea a cât mai multor tipuri de
modele ținând cont de particularitățile de vârstă și cunoștinț ele elevilor.
În matematică sc hemele, reprezentă rile grafice pot fi considerate modele deoarece reproduc
particularități ale sistemului original și mediaza cunoașterea acestuia. În timpul rezolvă rii
problemelor cu ajutorul metod ei figurative, elevii elaborează modele ( scheme f igurativ e) pe care le
utilizează efectiv, în mod activ, î n rezolvarea problemelor; operează efectiv cu modelele realizate și
acționează efectiv asu pra lor sprijinind procesul de înț elegere a problemelor.
Chiar dacă elevii trebuie încurajați să elaboreze singuri sc heme figurative, este necesa r să
se verifice calitatea modelelor utilizate: corectitudine, fidelitate, accesibilitat e, simplitate. Metoda
figurativă, utilizată ca modelare prezintă numeroase avantaje: sprijină relizarea unui învățământ
activ, modern; stimu lează creativitatea; familia rizează elevii cu raț ionamentul prin analogie; asigură
o învățare eficientă și temeinică; facilitează abstractizarea.
În rezolvarea prob lemelor cu conținut practic, utilizarea modelor simbolice oferă elevului
posibilitatea să va dă unitar structura problemei.
Exerciț iul se referă la efectuarea conștientă și repetată a unor acțiuni și operaț ii în scopul
formării de priceperi si deprinderi practice sau intelect uale, dezvoltării unor capacități și atitudini,
consolidării cunoștinț elor dobândite, sti mulării potenț ialului creativ al elevilor. O acțiune poate fi
considerată exercițiu numai în condițiile în care păstrează un caracter algoritmic. Ea se finalizează
cu formarea un or abilităț i ce vor putea fi ap licate î n rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de
complexitate.
În cadrul lecțiilor de matematică, se utilizează forme de muncă independentă pentru
rezolvarea de exerciții ș i probleme. Pentru formarea priceperii de muncă independentă se utilizează
o forma intermediară ș i anume aceea a exerciț iilor comentate .
84
Exerciț iul comentat constă în rezolvarea exercițiilor și problemelor de către toți elevii clasei
în caietele lor, î n timp ce un e lev desemnat de profesor explică cu voce tare ce lucrează , ceea ce
permi te efectuarea unui autocontr ol în absenț a folosirii tablei. În funcț ie de gradul de formare a
deprinderilor, comentarea cu voce tare presupune explicația, justificarea ș i efectuarea calculelor sau
se poate rezuma la analiza exercițiilor și schiț area planului de rezolvare. Această met odă permite ca
orice elev să continue comentariul, ceea ce sporește atenția și motivaț ia pentru lucru.
Cu timpul, pe măsură ce elevii își însuș esc deprinder ile de a rezolva singuri exerciții, vor fi lăsați să
lucreze din ce î n ce mai independent, ceea ce p ermite ca prof esorul să observe modul de lucr u al
elevilor mai slabi. Exercițiile pot fi date diferențiat pentru ca elevii să lucreze la capacităț ile lor.
Jocul didactic este metoda care accentuează rolul formativ al activităț ilor matematice prin
exersare a operaț iilor gândirii (analiza, sinteza, clasificare, abstra ctizare, generalizare), dezvoltă
spiritual de initiativă, de independență, dar și de echipă ; formează deprinderi de lucru corect și rapid;
favorizează însușirea conștientă, temeinică, într -o form ă accesibilă, plăcută și rapidă, a cunoștinț elor
matematice. Structura jocului didactic matematic se referă la: sc opul didactic, sarcina didactică,
elemente de joc, conținutul mat ematic, materialul didactic, regulile jocului. Orice exercițiu sau
problemă matematică poate deveni joc didactic dacă: realizează un scop ș i o sarcină didactică din
punct de vedere matematic; folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii; folosește un
conținut matematic accesibil și atractiv, utilizează reguli de joc cun oscute an ticipat ș i respectate de
elevi.
Această metodă poate fi folosită cu succes în captarea atenției elevilor. Î n cadrul une i lecții
de recapitulare ș i sistematizare cu tema ,, Ecuații de gradul întâi.Probleme care se rezolvă cu ajutorul
ecuaț iilor” se poate utiliza urmă torul joc matematic, ce se poate transforma într -o ecuaț ie de gradul
întâi cu o necunoscută: Profesorul solicită unui elev să se gândească la un numă r. Adună acest
număr cu 5, înmulțeste rezultatul cu 3. Scade numărul la care te -ai gândi t, mai scade 9 și împarte
rezultatul la 2. Elevul va comunica rezultatul obținut, iar profesorul ,,ghicește” numărul la care s -a
gândit elevul. Magie sau truc aritmetic! Elevii vor descoperi, într -un final, că ecuația este
echivalentă cu o formă elementară care permite aflarea cu ușurință a numărului.
Algoritmizarea este o metodă bazat ă pe folosirea algoritmilor în învăț are. Algoritmul este
un sistem de raționamente și operații care se desfășoară într -o anumită succesiune finită ce duce la
recunoașterea ș i rezolvar ea problemelor de acelaș i tip. Condiț ia pedagogică ce se impune în
folosirea algoritmilor este ca predarea și asimilarea lor să nu se desfăș oare ca ceva dat de -a gata
pentru memorare, ci elevii să participe efectiv la descoperirea algoritmului. Pr in aplicarea lui
85
repetată, acesta se va automatiza ș i ulterior va putea fi folosit ca mijloc de rezolvare a unor sarcini
complexe.
În consecinț ă, asimilarea algoritmilor nu reprezintă un scop final, ci doar o e tapă ce
deschide noi posibilități activităț ii de în vățare. În cazul rezolvă rii unui anumit tip de probleme elevul
își însușește o suită de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează î n acest
tip. Algoritmizarea se folosește în predarea și învățarea ecuațiilor de gradul întâ i și al doilea.
Instruirea programată constă în aplicarea principiilor c iberneticii în procesul de
învățământ. Acest proces, în sens cibernetic, este un sistem di namic complex, constituit dintr -un
ansamblu de elemente si interrelaț ii.
Există diverse t ipuri de programare a materiei și a activității de învăț are: programare
liniară (răspunsurile sunt construite de elevi, iar secvenț ele au următoare le momente: prezentarea
informației, exerciț iul de rezolvat, construirea răspunsului, compararea răspunsului ofer it cu cel
corect), programarea ramificată (elevului îi sunt prezentate mai multe variante de răspunsuri, iar el
trebuie să -l aleagă pe cel corect, în caz contrar fiind oblig at să parcurgă mai multe secvenț e
intermediare, ce cuprind explicaț ii suplime ntare, ajutându -l să sesizeze și să -și corecteze greș eala).
Avanta jele acestei metode pot fi: creșterea randamentului activității de învăț are,
economisirea timpului, însușirea conștientă a cunoștinț elor, promptitudinea controlului, asigurarea
unui ritm individua l de muncă. Printre dezavantaje se numără : divizarea une ori exagerată a materiei,
înăbuș irea spiritului creator al elevilor, des curajarea gândirii divergente. Ținând cont de aceste
avantaje ș i dezavantaje, metoda instruirii programate se utilizează î n func ție de scopurile urmărite în
predarea di verselor obiecte de învățământ. Rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două
necunoscu te se face urmând anumiți pași. Parcurgerea succesiunii logice a pașilor îi pune pe elevi în
situația de a selecta ș i ordo na inf ormațiile și cunoștințele dobâ ndite anterior, operaț ii cu numere
reale și rezolvări de ecuații, în acest caz, și de a le transpune înt r-o reprezentare grafică adecvată. Un
model de aplicare a metodei pentru rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda graf ică este
prezentat în fig. 1 .
Fig. 1. Reprezentarea grafică a modelului Scrie ecuaț iile
sub forma
ax+by=c ș i
a’x+b’y=c’
forma Stabilește
relațiile
între
coeficienț i Stabilește
pozițiile
relative ale
celor doua
drepte Stabilește
numărul
soluț iilor
sistemului Găsește
mulțimea
soluț iilor
86
Brainstormingul e ste o metodă care ajută la crearea uno r idei și concepte creative ș i
inovatoare. O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocaz ia de a partic ipa la dezbateri și
se poate dovedi o acț iune foarte constructivă. Folosit în cadrul lecț iilor, brainstormingul reprezintă
un cadru de învăț are activ -participativ extrem de familiar elevilor.
Etapele unei ședințe de brainstorming sunt următoarele:
1. enunta rea temei și discuțiile pe marginea ei;
2. reformularea temei: ,,Cum să…”;
3. alegerea unei reform ulări esențiale ș i notarea ei: Î n cate moduri putem să …”
4. încălzirea;
5. brainstormingul propriu -zis;
6. cea mai fantezistă idee.
Brainstormingul funcț ionează dup ă pri ncipiul: asigurarea calității prin cantitate și îș i propune să
elimine exact acest neajuns generat de autocritica.
Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile ș i criticile suspendate vor fi puse de -o parte.
Astfel exprimarea elevilor va deveni liberă și își vor spune ideile ș i părerile fără teama de a fi
respinși sau criticaț i. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare îș i spune părerea despre
cele expuse ș i absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile.
Metod a ciorchinelui este o variantă mai simplă a brainstorming -ului care presupune
identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu su cces atât la începutul unei lecții
pentru reactualizarea cunoștinț elor predate anterior, cât și în cazul le cțiilor de sinteză, de
recapi tulare, de sistematizare a cunoștinț elor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căil or de acces spre propriile cunoștinț e evidenț iind
modul de a înț elege o anumită temă, un anumit conț inut. Ciorchinele reprezintă o tehnică ef icientă
de predare și învăț are care încuraj ează elevii să gândească liber ș i deschis.
Metoda ciorchinelui funcț ionează după următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de
hârtie.
2. Elevii vor f i solicitați să -și noteze to ate ideile, sintagmele sau cunoștinț ele pe care le au în
minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându -se linii între
acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi ș i le noteaz ă prin cuvintele respective, elevii vor trage linii
între toate ideile care par a fi conectate.
87
4.4. Utilizarea metodelor de evaluare
Toate demersurile didactice ale profesorului urmă resc atingere a obiectivelor stabilite de la
început, dar gradul de reali zare a lor este observabil în urma evaluă rii.
După I.T.Radu, evaluare e ste ,,un proces complex menit să măsoare și să aprecieze valoarea
rezultatului sistemului de educație sau a unei părț i a acesteia, eficacitatea resurselor a condițiilor și a
operaț iilor folosite în desfasurarea activităț ii, prin compararea rezult atelor cu obiectivele propuse, în
vederea luă rii deciziil or privind ameliorarea activității în etapele urmă toare’’.
Evaluarea reprezintă un proces continuu și de durată, putându -se face la î ncepu tul p rogramului de
instruire (evaluarea inițială), pe parc ursul acestuia (evaluarea curentă/continuă) sau la finalul său
(evaluarea finală) și se realizează după o proiectare amănunțită și fundamentată solid.
Metodele și instrumentele utilizate în evaluar ea performanțelor ș colare sunt de mai multe
feluri(C.Cucoș ,2006):
– tradiționale ( probe orale, probe scrise, probe practice );
– complementare ( observarea si stematica a elevilor, investigaț ia, proiectul , portofoliul,
tema pentru acasă, tema de lucru î n clasa , autoevaluarea)
Pentru realizarea funcțiilor evaluă rii se impune o f olosire echilibrată a strategiilor de evaluare, dar ș i
diversificarea metodelor de evaluare, metodele complementare de evaluare oferă informaț ii
suplimentare despre activitatea ș i nivelul de achizirii ale elevu lui, completeaza metodele tradiț ionale
de evaluare.
În verificarea nivelului de pregă tire al elevilor un loc important îl ocupă probele scrise.Verificarea
scrisă, la matematică, se realizeaza prin: lucră ri de control curent e sau la sfarșitul unui capitol (teste)
și lucră ri scrise semestriale (teze).
Probele scrise sunt puse în practică datorită unor avantaje:
– permit verificarea unui număr mare de elevi î ntr-un timp relativ scurt;
– obiectivitate, prin compararea rezultatelor obținute î n urma evaluă rii tuturor elevilor
asupra aceleiași secvenț e curriculare;
– posibilitatea elev ilor de a formula independent răspunsul, î n ritm -propriu;
– avantajarea unor elevi timizi sau care se exprimă defectuos pe cale oral ă.
Dezavantajele acestor probe, sun t:
– nu permit elucidar ea unor erori din timpul examină rii;
– nu se pot int roduce î ntrebă ri suplimentare;
88
Pentr u a realiza o evaluare eficientă , inst rumentele de evaluare trebuie să îndeplineasca
anumite cerinț e necesare atingerii scopului pentru care au fost proiectate.
Principalele calităț i ale unui instrument de evaluare sunt: validitatea (precizi a cu care
instrumentul/testul măsoară ceea ce și -a propus să mă soare), fidelitatea ( calitatea unui test de a da
rezultate constant e în urma aplicării lui succesive în condiții idntice, aceluiaș i grup de elevi),
obiectivitatea ( gradul de concordanță între aprecierile fă cute de eval uator independent asupra unui
răspuns bun pentru fiecare din itemii unui test), aplicabilitatea (calitate a testului de a fi administrat ș i
interpretat cu ușurință ).
După gradul de obiectivitate î n notare item ii se clasifică î n : itemi obiectivi, itemi
semiobiectivi ș i itemi subiectivi (cu ră spuns deschis). Pornind de la tema lucrării, voi prezenta î n
continuare câteva exemple din fiecare ti p de item i.
Itemi obiectivi
1. Itemi cu alegere dua la – cu răspuns ,,corect – greșit”, ,, adevă rat – fals “, da – nu “.
Exemple:
Obiectiv de evaluare: Să rezolve ecuaț ii de forma ax +b = 0 și reductibile la aceasta.
Enunț: Citește cu atenție fiecare dintre în trebările de mai jos. Dacă apreciezi că ră spunsul
corect este DA încercuiește litera D . Î n caz contrar încercuieș te litera N.
D N 1. Este x = 2 soluția ecuaț iei 3x – 1 = 5 ?
D N 2. Este soluția ecuaț iei 3(x – 1 ) = 4x – 5 nulă?
D N 3. Dacă 60 % dintr -un numă r este 15, este numărul mai mic decâ t 15?
D N 4. Pentru m = 0 , ecuaț ia mx + 2 = 0 are soluț ie?
Obiectiv de evaluare: Să rezolv e diferite tipuri de ecuații .
Enunț: Alegeți ,,A” sau ,,F” în funcție de valoarea de adevăr a propoziț ilor:
a)Unica soluție reală a ecuaț iei
11x este x = 2 . A -F
b)Ecuaț ia
4 8 42x x nu are soluț ii reale. A -F
c) Perechea (2; – 1 ) este soluț ie a ecuației 2x+y=5 . A-F
d)Ecuaț ia
012 m mx x are o singură soluț ie pentru m=2 . A -F
2. Itemi cu alegere multiplă – solicită elevul să aleagă un ră spuns dintr -o listă de variante
oferite pentru o singură premisă
89
Obiectiv de evaluare: Elevul va fi capabil să rezolve o ecuaț ie de forma ax + b = 0.
Enunt: Rezolvă ecuația î n
121
21
21
21
21:
x .
Încercuiește litera corespunzătoare ră spunsului corect:
A. – 11; B. – 5 ; C. 5 D. imposibil
Obiectiv de ev aluare: Elevul va fi capabil să rezolve o ecuaț ie de gradul al doilea.
Enunț: Alegeți varianta corectă ( o singură variantă este corectă )
Soluțiile reale ale ecuaț iei
02 5 22x x sunt:
A.
21,2 ; B.
1,41 ; C.
2,21 D. {1;4}
Obiectiv de e valuare: Elevul va fi capabil să rezolve un sistem de ecuaț ii.
Enunț: Alegeți varianta corectă (o singură variantă este corectă )
Fie sistemu l format din ecuaț iile
6 22 5,121
yxy x unde
yx, .
Soluț ia sistemului este:
A. (2; – 2 ) ; B. ( – 1;4 ); C. (1;1) D. ( – 2 ;2}
Obiectiv de e valuare: Elevul va fi capabil să rez olve o ecua ție cu modul.
Enunț: Alegeț i varianta corectă (o singură variantă este corectă )
Ecuaț ia
25x are două soluț ii. Suma celor doua soluții este egală cu:
Încerc uieste litera corespunzatoare ră spunsului corect:
A.– 10; B. 7 ; C. 3 D. 10
Obiectiv de evaluare: Cunoașterea terminologiei aferente noțiunii de ecuaț ie.
Enunț: Alegeți varianta corectă (o singură variantă este corectă )
a.Numă rul
72 este soluție a ecuaț iei:
A.
072x ; B.
537x ; C.
027x ; D.
x x 239 ;
b.Ecuaț ia
43
512x este echivalentă cu ecuaț ia:
90
A.
4152x ; B.
0 168x ; C.
0 198x ; D.
3)12(4x ;
c.O ecuaț ie de gradul al doilea are doua rădă cini reale ș i diferite atunci discriminantul este:
A.
0 ; B.
0 ; C.
0 ; D.
3. Ite mi de tip pereche – corespondențe între termeni – definiț ii, reguli – exemple , simboluri –
concepte , meto de – exemplifică ri.
Obiectiv de evaluare:E levul este capabil să rezolve diferite tipuri de ecuaț ii.
Enunț: Scrieți în spațiul liber din dreptul fiecărei ecuații din coloana stângă, litera corespunzatoare
soluț iei corecte din coloana a doua.
______1.
05x a. 2
_______2.
153x b. 3
_______3.
)9 (2 3 22 2 x x x c. – 5
_______4.
09 62x x d. 6
Itemi semiobiectivi
1. Itemi cu ră spun s scurt/de completare – propoziții lacunare care solicită răspunsuri
scurte(completări de cuvinte, de definiț ii)
Exemple:
a. Soluția reală a ecuaț iei
732x este numă rul………..
b. Ecuaț ia
0 2mx are soluția x = – 7 pentru care numă rul m este egal cu……..
c.Soluția ecuaț iei
32
9x este egală cu ……………
d.Fie ecuaț ia
10 4 3y x ; dacă x = 2, atunci y =……..
e.Soluția sistemului de ecuaț ii
13 3 231
y xx este
. ………………
yx
f.Suma coeficienților ecuaț iei
02 32x x este egală cu ………….
91
g.Discriminantul ecuaț iei
02 32x x este egal cu …………..
2. Întrebă ri structurate – formate din mai multe întrebă ri de tip ob iectiv sau semiobiectiv legate
între ele printr -un element comun.
Exemple:
Obiectiv de evaluare:
Elevul să fie capabil să extragă informaț ii dintr -un enunț dat;
Elevul să stie să formeze ecuația de gradul al doilea câ nd se cunosc suma și produsul
rădăcinilor.
Elevul să fie capabil să explice în mod coerent, corect și clar pașii urmați într -un
raționament
Exemplu:
Enunț : Se consideră egalitatea 2a – 3(x – a) = 3 – a :
a)dacă – 3 este soluție pentru ecuația dată , atunci a = …….
b)dacă
3a , atunci x =…………
c) dacă
a și
2a , atunci
x ……..
3. Itemi subiectiv i – întrebări a căror rezolvare solicită redactări, formularea lor bazându -se pe
operații de gândire (deducții, comparații, sistematizări, generaliză ri). Acest tip de itemi se
foloseș te pentr u a testa capacitatea de sinteză a elevilor, originalitatea î n tratarea unui subiect,
claritatea stilului.
Exemple:
Obiectiv de eva luare: Elevul va fi cacapabil să rezolve o ecuație reductibilă la ecuația de
gradul întâi cu o necunoscută .
Enunț: Să se rezolve î n
ecuaț ia
312
4 21 x x x .
10 puncte
Barem de corectare ș i notare:
a) Pentru gă sirea numitorului comun se acordă 1 punct.
b) Pentru găsirea formei echivalente a ecuației, eliminâ nd numitorii , se acor dă 3 puncte.
c) Pentru e liminarea parantezelor se acordă 2 puncte.
d) Pentr u separarea termenilor se acordă 1 punct.
e) Pentru reducerea termenilor asemenea ș i efectuarea calculelor se acordă 2 puncte.
f) Pentru aflarea soluției se acordă 1 punct.
92
Obiectiv de e valuare : Elevul va fi capabil să rezolve o problemă cu ajutorul ecuaț iilor și a
sistemelor de ecuaț ii.
Enunț: Suma a două numere este 1 00, iar raportul lor 0,25. Aflați cele două numere.
5 puncte
Barem de corectare ș i notare:
x yyx
4100
,unde x,y sunt cele două numere……………..3p.
x = 20, y = 80……………………………………………….2p.
Avantajele folosirii testelor sunt: ob iectivitatea, operativitatea, mă surarea gradu lui de
asimilare a cunoștințelor ș i deprinderilor.
4.5.Proiectarea activității didactice la matematică
Proiectarea activității didactice constă în anticiparea unor etape și acț iuni concrete de
realizare a predă rii, pe care le -am prezentat anterior.
O coor donată de bază a pr oiectă rii didactic e este proiectarea personalizată care conferă
profesorului dr eptul de a lua decizii, accentuând faptul că documentele de proiectare didactică sunt
docume nte administrative care asociază î ntr-un mod personalizat elementele programei (compe tențe
specifice, conținuturi, activități de învăț are) cu selectarea resu rselor metodologice, temporale ș i
materiale.
Mă voi opri î n continuare asupra a trei elemente de proiectare, necesare profesoru lui:
planificarea calendaristică , proie ctarea unității de învățare și proiectul de lecț ie.
Planificarea calendaristică (anexa A)
În elaborarea unei planificări calendaristice, se recomandă parcurgerea urmatoarelor etape:
1. Realizarea asocierilor dintre competentele specific e și conț inuturi.
2. Împărțirea în unități d e învăț are.
3. Stabilirea s uccesiunii de parcurgere a unităților de învăț are.
4. Alocarea timpului considerat nec esar pentru fiecare unitate de învățare, în concordanță cu
competenț ele specific e și conț inuturile vizate.
În tabelul 1 este prezentat un exemplu de rubricaț ie a planificarii calendaristice .
Tabelul 1. Rubricați a planifică rii calendaristice
93
Unitatea
de invăț are Competenț e
specifice Conț inuturi Numă r
de ore alocate Saptămâ na Observaț ii
Se indică prin
titluri(teme)
stabilite de
către profeso r Se trec
competențele
specifice din
programa școlară Sunt cele d in
lista de
conținuturi a
programei Se stabilește de
către profesor în
funcție de
experiența
acestuia ș i de
nivelul clasei Se consemnează
eventualele
modifică ri
determinate de
aplicarea efec tivă
la clasă .
Proiectarea unei unitătii de învăț are (anexa B)
Elementul generator al planifică rii calendaristice este unitatea de învățare. Aceasa reprezintă o
structură didactică deschisă și flexibilă , care are urmatoarele caracteristici:
– determină formarea la elev a unui comportament specific, generat de integ rarea unor
obiective de referinț a;
– este unitară din punct de vedere tematic;
– se desfășoară sistematic ș i continuu, pe o perioada mai mare de timp;
– se finalizează prin evaluare sumativă .
Proiectare a pe unități de învățare se realizează dupa ce s -a întocmit planificarea calendaristică. Deși
denumirea și alocarea de timp pentru unitățile de învăț are se stabilesc la începutul fiecărui an școlar
prin planificare, proiectele unităților de învățare se re aliză ritmic pe parcursul acestuia înaintea
abordării la clasă a unității respective.
Algoritmul proiectării unei activități de învățare conține următorii paș i:
identificare a obiectivelor (Î n ce scop voi face?)
selecț ionare a conținuturilor(Ce voi face?)
determinarea activităților de învăț are(Cum voi face?)
analiza resurselor(Cu ce voi face?)
stabilir ea instrumentelor de evaluare(Câ t s-a realizat?)
Unitățile de învățare se identifică prin tema acesteia care poate fi un enunț complex, original
formulat s au pr eluat fie din lista de conț inuturi a pro gramei, fie din manual. Proiectarea unei unități
de învățare poate fi întocmită pornind de la urmă toarea rubricaț ie (tabelul 2.) :
Școala………………….. Unitatea de învăț are…………..
Disciplina……………….. Nr.ore pe să pt…………………..
94
Profesor……………….. Clasa…………………
Tabelul 2. Str uctura unei unități de învățare
Unitatea de învăț are Competenț e
specifice Activități de
învăț are Resurse Evaluare
Se trec
competențele
specifice din
programa școlară Activități din
programa școlară ,
completate,
modificate sau
propuse de profesor Specifică ri de
timp, de loc,
forme de
organizare a
clasei, etc Instrumente sau
modalităț i de
evaluare aplicate
la clasă
Completarea rubricației se face pe orizontală, cu detalieri pe baza indicaț iilor din
planificare (competențe specifice și conț inuturi), enumerând activitățile de învățare în ordinea
derulării acestora și precizâ nd resursele necesare bunei desfășură ri a procesului didactic. Se
urmăreș te astfel, corelarea elementelor celor cinci coloane.
Spre deose bire de proiectarea tradițională bazată pe l ecție, proiectarea unității de învăț are
are urmatoare le avantaje: creaza un mediu de învățare coerent în care așteptă rile elvil or devin clare
pe termen mediu ș i lung; constituie un cadru complementar de realiza re a proiectării, neî nlocuind
proiectul de lec ție, putând există ca modalitate suplimentară de proiectare curriculară; dă perspectivă
lecțiilor în funcție de secvența unitaății de învățare în care se află .
Proiectarea unitățatii de învățare conț ine suficiente elemente p entru definire unei ore de
clasă ; se pot trasa linii orizontale care vor delimita orele de clasă din interiorul unei unități de
învățare, astfel încâ t vor evidenția elementele de conținut, competenț ele specific e la care se
raportează cele câteva activități de învățare prevăzute a se real iza în acea oră, resursele necesare
învățării, precum și specificații de evaluare formativă pentru fiecare dintre activitățile de învățare
proiectate pentru acea oră. Aceasta face posibilă renunț area la proiec tul de lecț ie.
Proiectarea lectiei (anexele C și E)
Lecția este cea mai importantă formă de organizare a procesului instructiv -educativ. Pent ru
un profesor este important să poată elabora în detaliu proiectele de lecții .
Proiectul de lecție trebuie să conț ină:
– date de identificare: data , clasa, disci plina (matematică );
95
– date pedagogice ale lecției: subiectul lecției, tipul lecț iei (dobândire de noi cunoștințe,
formare de priceperi și deprinderi, recapitulare ș i sistematizare, evaluare), competenț ele
specifice, obie ctivele operaț ionale, strategii didact ice folosite;
– scenariul didactic (desfășurarea lecției), care conține: secvențele lecției, obiectivele
operaționale urmărite, conț inuturile, st rategiile didactice și modalităț i de evaluare.
Proiectarea î n detaliu a lectiei prezinta urmatoarele avantaje: co ntribuie la clarificarea unor
probleme de continut si de strategie didactica, asigura o pregatire mai buna a profesorilor pentru
lectie, acorda profesorilor posibilitatea unei mai mari flexibilitati in timpul lectiilor,asigura
mijloacele de evaluare.
Etape le mari ale unei lecț ii sunt: momenul organizatoric, verificare a temei , reactualizarea
cunoștinșelor, priceperilor și depriderilor implicate în înțelegerea noului conț inut; captarea atenț iei;
anunțarea subiectului lecț iei; enunț area obiectivelor ; predarea noilor conț inuturi; fixarea acestora;
transferul cunoștinț elor; tema pentru acasă .
Elaborare a proiectelor de lecț ie nu trebuie privită ca o activitate formală, ci, potrivit
împrejurării , ea trebuie să încurajeze creativitatea didactică a profesorului. Proi ectul de lecț ie este un
instrument de lucru operațional ș i un ghid pentru profesor care trebuie să aibă următoarele
caracteristici:
-să ofere o perspectivă globală și completă asupra lecț iei;
-să aibă un caracter realist;
-să fie simplu și operaț ional;
-să fie flexibil;
-să facilitez e realizarea obiectivelor operaț ionale.
4.6.Experimentul pedagogic
Experi mentul este metoda principală de investigație pedagogică directă . Termenul
,,experiment” provine din latinescul ,,ex perimentum”, care are semnificați a de probă, verificare,
experientă. În cazul cercetă rilor pedagogice constă î n verificarea unei ipoteze, ce ea ce justifică
realizarea experimentului.
Spre deosebire de observaț ie, care presupun e urmă rirea evenimentelor educaționale, fără
nici o intervenție din partea cercetătorului, experimentul implică modificarea intenționată a
condițiilor de apariție ș i desf ășurare a fenomeneului pedagogic pe care îl investigă m. Din acest
motiv, experimentul e ste uneori denumit ,, observaț ie provocată”. Voi descrie în co ntinuare etapele
realiză rii experimentului pedagogic.
96
4.6.1. Ipoteza ș i obiectivele experimentului
Noțiunea de ecuație se regăsește pe întregul parcurs al programei ș colare pentru disciplina
matematică. Astfel, în gimnaziu, elevii se întâlnesc cu noțiunea de ecuație în fiecare clasă, iar mai
târziu și î n clasele de liceu.
Rezolvarea de ecuații ș i de probleme ca re se rezolvă prin ecuații, îi ajută la înțelegerea și
aprofundarea mulțimilor de numere studiate. În egală măsura contribuie la însușirea de că tre elevi a
limbajului algebric.
De fiecare dată, prin lecțiile de matematică am urmărit atâ t dezvoltarea logici i și
independenței gândirii, cât și formarea deprinderilor și cunoștiinț elor practice.
De aceea, la fiecare clasă, am încercat să facilitez înteleg erea și fixarea noțiunii de ecuație
apelând la experiența de viață a elevilor, rezolvând câ t mai multe probleme cu caracter practic.
În cadrul a cestui experiment mi -am propus înlocuirea metodelor tradiționale (demonstrația,
explicaț ia) cu me todele active, euristice, care îi conduc pe elevi la situația de a descoperii noțiunile
noi, această activitate fiind deose bit de motivantă pentru ei.
Cercetarea realizată s-a bazat pe ipoteza, conform că reia, prin util izarea metodelor moderne
va crește performanța atin gerii competențelor specifice prevăzute în programa scolară pentru
disciplina matematică , iar elevii asimileaz ă mai b ine o cantitate de cunoștinte, își formeaza și
consolidează deprinderi ti pice pentru rezolvarea de ecuații și probleme.
Obiectivele cercet ării:
– Aplicarea prin analogie a metodelor aritmetice de rezolvare a probleme lor pentru punerea
problemelor în ecuaț ii;
– Îmbunătăț irea proceselor instructiv -educative;
– Creșterea nivelului de performanț a a elevilor;
– Transferul cunoștințelor î n rezolvarea prob lemelor;
Variabilele cercetă rii:
– Variabilele independente ale exp erimentului: metode moderne de învăț are, respectiv:
problematizarea și învățarea prin descoperire, algoritmizarea, programarea instruită.
– Variabilele dependent e ale experimentului: performanț ele școlare ș i comportamentale ale
elevilor (deprinderi t ipice pentru rezolvarea de ecuaț ii și probleme, capacitaț i cognitive
complexe: gândire divergentă, critică, logică )
Datele obținute î n acest experiment sunt corelate cu datele din experimentul natu ral. Pentru
verificarea eficienței datelor pedagogice obț inute prin experiment se impune o compar are. Astfel
97
cercetarea se desfașoară pe două grupe paralele de subiecți (clase, școli): o grupă experimentală (în
care se provoacă fenomenul de studiat) și o gru pă de control (martor).
4.6.2.Descrierea eșantionului de subiecț i
Eșantionul de subiecț i a fost format din 24 de elevi din doua clase paralele de la Școala
Gimnaziala Bobicești, județul Olt. Î n fiecare clasă au fost înscriși câ te 12 elevi. Elevii din clasa a
VIII-a, structura Leotești a constituit eș antionul experimental, ia r cei din clasa a VIII -a Bobicești
eșantionul de control.
În totalitate, e levii provin din mediul rural. Î n majoritatea cazurilor, familiile acestora
constitu ie un mediu propice de forma re și dezvoltare intelectuală, afectivă și fizică .
În cadrul eșantionului de subiecți interesul pentru învățătură este inegal di stribuit.
Majoritatea elevilor și -au format convingerea că princip ala îndatorire este învățătura: unii dintre
aceătia sunt silit ori și îș i fac datoria z i de zi din proprie convingere și inițiativă, alț ii sub stricta
supraveghere a parinț ilor. S e remarcă, însa, și elevi care uită de învățătură și se lasă prinș i de mreaja
jocului, venind la scoală cu lecțiile nefăcute sau făcute pe jumatate, găsind de fiecare dată scuze.
4.6.3. Perioada de cercetare
În cadrul planifică rii calendaristice întocmită la începutul anului școlar, unității de î nvatare
,,Ecuații, inecuații ș i siste me” i -am atribuit un număr de 18 ore care s -au desfăș urat pe parcursul a
nouă săptămâni î n perioada ma rtie-mai. Experimentul s -a desfășurat î n anul scolar 2014 -2015,
semestrul II.
4.6.4. Desfășurarea cercetă rii
Pe parcursul cercetă rii am folosit urmatoar ele metode de investigaț ie:
– Studiul literaturii de specialitat e;
– Studiul documentelor ș colare;
– Metoda experimentului ;
– Metoda testelor;
– Prezentarea ș i prelucrarea matematico -statistică a datelor cercetă rii.
Mi-am propus ca, pe parcursul experimentului pedag ogic, să predau câte o ora în plus la
clasa constituită din eș antion ul experimental. Deci la această clasă experimentală am pus accent pe
predarea ecuațiilor în doua etape: mai întâ i, i-am familiarizat pe elevi cu noțiunea de ecuaț ie, aceștia
98
au învățat să rezolve ecuațiile, raționând în fiecare caz în parte, am demo nstrat regulile de rezolvare
sub forma generală , care, treptat, au luat locul raț ionamentelor.
De asemenea am apelat la învaț area cu ajutorul modelelor, i -am învățat pe elevi să
folosească metodele aritmet ice, respectiv metoda figurativă, î n rezolvarea pr oblemelor de aritmetica
pentru ca, ma i apoi, folosind analogia i -am învățat să pună corect problemele î n ecuatie.
Experimentarea pedagogică se desfăș oară de regulă, î n trei etape:
– o primă etapă cu caracter de constatare;
– o fază fundamental ă care cuprinde experimentul propriu -zis;
– o etapă finală de control
În prima etapă sunt studiate condițiile în care se va desfăș ura experi mentul. Pentru
realizarea optimă a tutur or dezideratelor subliniate am ț inut seama de bagajul de cunoștințe pe care
și l-au format el evii î n anii anterior i.
Astfel, am considerat firesc să recapitulăm noțiunile despre ecuaț ii învăț ate.
În clasa a V -a elevii au studiat:
– mulțimea numerelor natural e, N și ecuațiile care se rezolvă î n N.
– numere raț ionale pozitive Q + și ecuaț ii de tipul:
)0 ( :),0 ( :),0 ( ,. , xbxa abax abaxbxabax
, unde a si b sunt
numere natural sau fractii zecimale.
În clasa a VI -a au învăț at:
– ecuațiile în mulțimea numerelor raționale poz itive;
– mulțimea numerelor î ntregi,
și ecuații î n
.
Iar, î n clasa a VII -a au rezolvat:
– ecuaț ii de forma
QbQa bax , ,0* ;
– proprietăți ale relației de egalitate în mulț imea numerelor reale;
– ecuaț ii de forma
ba b ax ,,0 , mulțimea soluțiilor, ecuaț ii echivalente;
– ecuaț ii de forma
Qaa x ,2 .
Noțiunea de ecuație apare încă din ciclul primar atunci când se dorește calcularea unui
număr necunoscut la adunare, scădere, înmulțire sau împărț ire. De fapt nu este altceva dec ât
rezolvarea de ecuații simple de gradul întâi cu o necu noscută. Însa, la școlarii mici nu se folosește
termenul de ecuaț ie, aceasta este introdu s prin diverse tipuri de exerciții care se rezolvă numai prin
raționament aritmetic.
99
Calculul unui numă r necunoscut la clasele primare se realizează utilizând metoda balanț ei,
prin î ncercare -eroare, prin utilizarea de obiecte s au desene, folosind proba operaț iei, metoda
mersului invers. Având în vedere adaptarea permanentă a deme rsului didactic la particularităț ile de
vârstă și individuale ale elevilor pe î ntreg parcu rsul ciclului primar, metodele sunt selectate astfel
încât să permită trecerea gradată de la simplu la complex, de la concret la abstract, de la particular la
general.
De aceea, în introducerea noț iunii de ecuație este indicat să se pornească de la exemple
simple de probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaț iilor, ceea ce permite elevilor să vadă, încă de la
început, aplicabilitatea practică a ecuaț iilor.
În clasa a V -a rezolvarea ecuaț iilor elementare s -a făcut prin proba operaț iei:
-Ecuaț ia de forma x + a = b cu x = b – a se bazează pe relaț ia:
Termen1+Termen2=Suma ,
T1 + T 2 = S de unde T1 = S – T2 sau T2 = S – T1
Cu aceste relaț ii se rezolvă ecuaț ii de tipul: x + 3 = 15 sau 25 + x = 32 .
-Ecuaț ia de forma x – a = b, a – x = b se bazează pe relaț ia:
Descăzut – Scăzător = diferență ,
D – S = d cu D = S + d sau S= D – d
Aceste relaț ii se folosesc la rezolvarea ecuț iilor de tipul: x – 3 = 15 sau 34 – x = 10 .
-Ecuaț iile de forma
0 , , abxabax se bazează pe relația : Factor1x Factor2 = Produs ,
P FF2 1
din care F1 = P:F 2 sau F2 = P:F 1.
În acest caz putem rezolva ecuaț ii de tipul:
20 2x sau
363x .
-Ecuaț iile de forma
0 , :,0 , : xbxa abax au la bază relația :Deîmpărțit : Împărțitor = Câ t,
CID:
din care
ICD sau I = D:C .
Cu aceste relații putem rezolva ecuaț ii de tipul:
72:x sau
12:72x .
Începând cu clasa a VI -a, după introducerea numerelor întregi, rezolvarea ecuaților am făcut –
o folosind proprietățile relaț iei de egalitate (vezi fig. 2 .).
100
0C
0C
Fig. 2. Proprietățile relaț iei de egalitate
Exemplu : În rezolvarea ec uației
x + 4 = 1
x +4 +( – 4) = 1+( – 4)
x + 0 = – 3
x = – 3
determinarea necu noscutei se face prin adunarea î n ambi i membri a opusului lui 4, adică – 4. Sunt
puse astfel în evidentă și proprietăți ale operaț iei de adunare ca: asociativita tea și element neutru. Se
atrage atenția elevilor că î ntotdeauna un t ermen poate trece dintr -un membru în altul cu condiția să i
se schimbe semnul.
La clasa a VII rezolvarea ecuaț iei de forma
Qaa x ,2 se poate face prin două metode:
– prin utilizarea formulei de calcul prescurtat
) )( (2 2yxyx y x ;
– prin aplic area radicalului în cei doi membri ai ecuaț iei:
0 ,2 aa x
a x a x
. De obicei, se preferă utilizarea primei metode, î n care elevii pot aplica
formulele de calcul prescurtat.
Dupa desfașurarea acestei activități au fost testați to ți elevii, tocmai pentru a surp rinde
nivelul minim de cunostințe legate de : mulțimea soluțiilor unei ecuații, rezolvarea ecuaț iilor
elementare, a ecuaț iilor de forma ax + b = 0 și reductibile la aceas ta, rezolvarea ecuaț iei de
forma
Qaa x ,2 și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaț iilor.
La clasa experimentală am predat capitolul,, Ecuații, inecuații și sisteme” utilizând o
strategie complexă formată din metodele active prezentate î n paragrafele anterioare, completâ nd cu
orele suplimentar e.
În clasa a VIII -a se abordează :
– ecuaț ii de forma
ba b ax ,,0 , mulțimea soluțiilor, ecuaț ii echivalente; A=B
A+C=B+C
A – C = B – C A x C = B x C A : C = B : C
101
– ecuaț ii de forma
0 ,0 , ,,,0 b a cba c byax ;
– sisteme de ecuații de forma
R cbacbacybxacybxa
2 2 2 1 1 1
2 2 21 1 1,,,,,,00 ,metode de rezolvare
– ecuaț ii de forma
0 , ,,,02 a cba cbx ax .
– probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și al sistemelor de ecuaț ii.
Pentru elevii care se pregatesc pentru concu rsuri sau olimpiade se recomandă rezolvarea de: ecuaț ii
diofanti ce, ecuații cu module, ecuații cu parametru, ecuații cu parte î ntreaga sau parte fractionara. O
prezentare a acestor ecuații, insoțită de exemple rezolvate, a fost facută în capitolul 1 al acestei
lucrări.
Pentru aceste conț inuturi am alocate în planificare un numă r de 18 ore.
În eta pa de experimentare propriu -zisă, în concordanță deplină cu obiectivele formulate,
am organizat și condus urmă toarele activități de învăț are:
1.Rezolvări de ecuaț ii de forma
ba b ax ,,0 și reductibile la aceasta.
Această activitate a presupus o primă etapă în cadrul căr eia, folosind metode tradiționale de
predare -îvățare (expli cația, discuția și conversația), elevii au rezolvat ecuațiile raționând în fiecare
caz î n parte , ceea ce a condus la o mai bună familiarizare a acestora cu noțiunea de ecuație, după
care, f olosind metode precum demonstrația ș i algoritmizarea, au fost asimil ate ș i regulile de
rezolvare sub forma generală .
Rezolvarea ecuațiilor reductibile la ecuații de gradul întâi cu o necunoscută se poate fa ce pe
baza unui algoritm cu următorii paș i:
– eliminarea nu mitorilor (dacă există );
– desființarea parantezelor (dacă există);
– separarea termenilor;
– efectuarea calculelor algebrice de reducere a termenilor asemenea;
– determinarea soluției în mulțimea în care se rezolvă ecuaț ia;
– efectuarea unei verificări (opț ional, d ar indicat).
Exemplu: Să se rezolve î n
ecuaț ia:
31 2
43
2x xx
Pasul 1: eliminarea numitorilor
Numi torul comun este 12, prima fracție se amplifică cu 6, a doua cu 4 și a treia cu 3. Obț inem :
312
43
24 3 6x x x
sau
12)12(4
12)3(3
126 x x x .
102
Având ac elași numitor, prin înmulțirea egalității cu 12 obț inem:
)12(4)3(3 6 x x x .
Pasul 2: desființ area parantezelor
Se aplică proprietatea de distribu tivitate a înmulțirii față de adunare:
48936 x xx
Pasul 3 : separarea termenilor
Termenii care conti n necunoscuta se aduc, de regulă, în membrul stâng, iar termenii cunoscuți î n
membrul drep t. La trecerea dintr -un membru în altul orice termen își schimbă sem nul. Se obț ine:
94 836 xxx
Pasul 4: reducerea termenilor asemenea și efectuarea calculelor
5 5x
Pasul 5 : determinarea soluț iei
Egalitatea se împarte la numarul cu care se înmulțește necunoscuta, î n acest caz – 5 :
)5(:5 5x
Se obține soluț ia x = 1 , care este număr real. Deci, soluț ia este 1.
S-au reactualizat noțiunile cheie de care au nevoie elevii î n rezolvarea corectă a ecuaț iilor:
determinarea n umitorului comun a două sau mai multe fracții proprietăț i ale relației de egalitate,
calcu l algebric elementar, proprietăți ale operaț iilor studiate, regula semnelor.
Se verifică, întotdeauna, rezultatele obținute și compatibilitatea acestora cu mulțimea î n care se
rezolvă ecuaț ia.
2. Explicitarea mulțimii soluț iilor unei ecuaț ii de forma ax+by+c=0 , unde a, b, c sunt
numere reale și interpretarea rezultatului obț inut.
În cadrul acestei activităț i au fost folosite metodele: jocul didacti c, metoda brainstormi ng, exerciț iul.
3. Exerciț ii de rezolvare a sistemelor de ecu ații liniare pri n metodele: reducerii, substituției,
graphic. Pentru a crește randamentul activității de învăț are am folosit programar ea instruită î n
rezolvare a sistemelor prin metoda grafică .
4. Rezovări de ecuaț ii de grad ul al doilea, verificarea cunoaș terii formulei de calc ul a
discriminantului unei ecuaț ii de gradul II, verificarea cunoaș terii formulei de calcul a rădăcinilor
unei ecuaț ii.
Metoda clasică de predare a ecuaț iei de g radul al doil ea cu o necunoscută constă î n prezentarea
formelor particulare ale ecuației ș i apoi tratarea formei generale.
În predarea formei particulare
0 ,02 a c ax :
103
– am folosit experienț ele anterioare ale elevilor: ecuaț ia de forma
Qaa x ,2 studiată în
clasa a VII -a și întâlnită la geometrie î n cadrul uni tații de învățare,,Relaț ii metrice”;
– am propus ecuații de forma dată , de la simplu la complex:
1)
162x (a = 1, – c = pă trat perfect);
2)
52x (a = 1, – c = nu est e pătrat perfect)
3)
0 27 32x (
1a )
4)
0 10 22x (
0ca )
În predarea formei particulare
0,0 ,02 b a bx ax :
– am reactualizat regula produsului egal cu zero ș i metoda factorului comun; elevii au fos t
indrumați să observe și să tragă concluziile: că toate ecuaț iile de forma dată au două
soluții, întotdeauna una egală cu 0 și cealaltă soluț ie este de forma
abx .
În predarea formei complete:
– am introdus exerciții de identificare a coef icienților numerici ai ecuației, considerâ nd
exemple diferite de ecua ții în care coeficienții să fie exprimați prin numere negative,
iraționale, zecimale, etc sau chiar să lipsească :
01 22 x x ,
02 3 22x x ,
0 2 32 x x
,
08 3412x x ,
0 342x ,
0 5 22x x
– se poate cere elevilor să utilizeze proprietăți ale relaț iei de egalitate pe ntru a simplifica
scrierea ecuației, obținând ecuaț ii echivalente. În ecuaț ia
0 15 10 52x x coeficien ții
sunt multiplii de 5 și ecuația poate fi împărțită prin 5,
03 2 5:0 15 10 52 2 x x x x .
– pentru înț elegerea formulelor de rezolvare și formarea unui raționament de rezolvare,
evitâ nd me morarea mecanica a acestora, s -a pornit de la rezolvarea fără formulă a unui
anumit număr de exerciț ii:
– rezolvarea ecuaț iei
0 25 102x x , care se poate restrâ nge, folosind formulele de
calcul prescurtat, în
5 05 0)5(2 x x x .
– ecuaț ia
0 16 102x x , în rezolvarea căreia se pleacă de la comple tarea expresiei
x x102
în vederea obținerii ecuaț iei echivalente:
0)35 )(35( 0 3)5( 09)25 10 (2 2 2x x x x x
08x
și
02x de unde x = 8 și x = 2 .
– un exemplu î n care coeficientul lui x este impar:
02 32x x , iar î n acest caz se
104
poate încerca formarea pătratului unei diferențe sau se poate înmulți convenabil ecuația
pentru a evita calculul cu fracții:
01)3 2( 019 12 4 8 12 4 402 322 2 2 x x x x x x
2 0)13 2)(13 2( x x x si x = 1.
– demonstrar ea formulei pentru cazul general se face în paralel cu un exemplu concret:
3:02 7 32x x
0 ,02 a cbx ax
032
372x x
02acxabx
032
67
67
372 2
2
x x
02 22 2
2
ac
ab
abxabx
32
67
67
372 2
2
x x
ac
ab
abxabx
2 2
2
2 2
32
3649
672
x
ac
ab
abx
22 2
4 2
3625
672
x
22 2
44
2 aac b
abx
65
67x
aac b
abx24
22
657x
31,22 1x x
aac b bx242
2,1
Formul a și algoritmul de rezolvarea au fost fixate prin câ t mai multe exemple.
Rolul discriminantului
ac b 42 a fost pus în evidență prin rezolvarea de ecuații în care apar
cazurile
0 ,0 ,0 , elevii fiind ghidați să descopere legătura dintre discriminant și numărul
de soluții ale ecuației . De asemenea, au fost date exemple care să susț ină faptul că formula este
generală și se poate aplica ș i formelo r particulare. S -a pus accent pe identificarea coeficienților
ecuației pornind de la poziția acestora și nu după notaț ie ( prin exemple de tipul
0 3 22 a cx bx )
și pe calcu lul separat al discriminantului, pentru a se evi ta greș elile de calcul .
105
5. Exerci ții de rezolvare a unor probleme cu con ținut practic, utilizând ecua ții; analizarea
prin activit ăți de grup sau individuale a metodelor matematice adecvate pentru rezolvarea unor
situa ții problem ă utilizând ecua ții sau sist eme de ecuaț ii.
Pe parcursul acestei activităț i am apelat la strategii creative de rezolvare a problemelor:
metode de tip algoritmic (modelarea, metode e xpozitive, instruirea programată) ș i metode de tip
euristic (problematizarea, învățarea p rin descoperire, conversaț ia eur istică ).
În plus, în cadrul lecțiilor desfășurate, am urmă rit:
– Cooperarea ca modalitate eficientă de realizare a sarcinil or didactice, cooperarea privită
în strânsă legatură cu munca individuală, idependentă ;
– Formarea de pri ceperi și deprinderi de muncă intelectuală, de aplicare în practică a celor
învăț ate;
– Dezvoltarea capacităț ilor de investigare ale elevilor;
– Exerciț ii de fixare a algoritmilor, formulelor, de aplicare a lor în diferite condiț ii date;
– Stimularea gâ ndirii cr eative.
Pentru a fixa ș i aprofu nda noțiunile învățate, atât în clasă cât și acasă , elevii au rezolvat, prin dive rse
metode, foarte multe exerciții ș i probleme cu grade diferite de dificultate. Î n acest sens a m folosit
fise de lucru diferenț iat.
Reactualiz area cunoștințelor ș i recapitularea s -au reali zat atat prin metode clasice, cât ș i prin metode
moderne (metoda cubului, metoda ciorchinelui, metoda brainstorming, turul galeriei, jocul didactic).
De asemenea, pe parcursul unității de învățare predată , am v erificat, oral sau prin teste sc rise, gradul
de înțelegere și asimilare a cunoștinț elor.
În etapa finală, de control am dat același test celor două clase, iar prelucrarea ș i
interpre tarea rezultatelor au fost realizate cu ajutorul calculatorului.
Evaluare a finală realizată la finalul unei u nități de învățare urmă rește o comparar e a
rezultatelor elevilor la sfârșitul acesteia cu cele înregistrate la î nceputul etapei de instruire, cu scopul
de a reliefa progresele în învățare ale fiecă rui elev.
Acest tip de evaluare are atâ t un caracter sumativ, de constatare a n ivelului achiziț iilor
elevilor în urma parcurgerii unității respective, cât ș i un caracter formativ, deoarece informațiile
obținute în urma prelucrării rezultatelor evaluă rii sunt utilizate pentru ap licarea de mă suri
ameliorative imediate î nteprinse de cadrul didacti c pentru remedierea lipsurilor î nregistrate.
106
4.6.5.Analiza ș i interpretarea rezultatelor
În etapa de evaluare se înregistrează și se măsoară rezultatele experimentului. P e baza lor se
stabilesc diferenț ele dintre esantioane, între datele înregistrate în etapa pregătitoare și cele
consemnate î n finalul experimentului.
Testul aplicat în prima etapă a experimentului a avut rolul de a stabili nivelul existent în
momentul iniț ierii experimentu lui pedagogic, atât la eș antionul expe rimental cât ș i la cel de control.
Obiectivele testului iniț ial:
O1 Să verifice că un element al unei mulțimi este soluție a ecuaț iei date;
O2 Să rezolve ecuații elementare prin proba operaț iei;
O3 Să transcrie î n limbaj matema tic diferite situații problemă ;
O4 Să rezolve ecuaț ii de forma ax + b = 0 și reductibile la aceasta;
O5 Să verifice în problemă soluțiile obț inute;
O6 Să interpreteze soluția ecuației ca s oluție a problemei.
După stabilirea tipului de test, es te nevoie de un procedeu care să asigure faptul că testul
măsoară obiectivele educaționale definite anterior și are o bună validitate de continut. În acest scop
se construiește matricea de specificaț ii. Pe liniile acesteia sunt enunț ate co nținuturile testate. Pe
coloane, nivel urile cognitive la care dorim să măsurăm conț inuturile respective.
Matricea de specificații a testului inițial este dată î n tabelul 3 .
Tabelul 3 . Matricea de specificații test ini țial
Conț inuturi Cunoaș tere Înțelegere Aplicare Rezolvare de
probleme Total
(Itemi)
1.Verif icarea unui element dintr -o
mulțime ca soluție a unei ecuaț ii
date 1)
6 itemi
_
_
_
6
2.Rezolvarea unor ecuaț ii
elementare 2 a)
2 itemi
_
_
_
2
3.Rezolvarea unor ecuaț ii de forma
ax + b = 0 și reductibile la aceasta
_ 2 a)
1 itemi 2a),2b)
3 item
_
4
4.Probleme care se rezolvă cu
ajutorul ecuaț iilor
_ 3)
1 item
_ 4)
1 item 2
Total 8 (57%) 2 (14%) 3 (22%) 1 (7%) 14
107
TEST INIȚ IAL
Ecuații. Probleme care se rezo lvă cu ajutorul ecuaț iilor
1)Verificați care dintre elementele mulț imii { – 2;
21 ; 0; 1; 0,5;
4 } este soluție a
ecuaț iei 2x + 1 = 3 .
2) Rezolvați ecuaț iile:
a) x + 1 = 7
32
9x
2x – 8 =4
2x – 5 = 3x
b)
5 4)1(3 x x
21
61
32 x x
3)Trei caiete și patru cărti costă 35 lei. Dacă un caiet costă un leu, cât costă o carte?
4)Suma a doua numere este 100, iar raportul lor este
41 . Aflaț i cele doua numere.
Barem de corectare :
Subiect 1) 2 a) 2 b) 3) 4)
Punctaj 5×6=30p 5×4=20p 10×2=30p 10p 10p
În urma corectării testului inițial conform baremului, clasa experimental ă a obtinut
rezultatele prezentate î n tabelul 4 . Media clasei a fost 6,83, cu un procent de promovabilitate de
83,33% .
108
Tabelul 4 . Matrice de evaluare etapa inițială clasa experimentală
Nr.crt Nume ș i
prenume Sub 1 Sub2 a) Sub2 b) Sub 3 Sub 4 Oficiu Total
Punctaj
Nota
(xi)
xi2
6x5p=30p 4x5p=20p 2x10p=20p 10p 10p 10p
1. B.M-A 20 15 5 4 2 10 56 5,6 31,36
2. B.I-D 20 15 5 6 2 10 58 5,8 33,64
3. B.A-M 25 15 10 10 8 10 78 7,8 60,84
4. C.C. 15 10 0 0 0 10 35 3,5 12,25
5. C.A-A 25 15 10 10 6 10 76 7,6 57,76
6. D.G-A 30 20 10 10 8 10 88 8,8 77,44
7. D.A-M 30 20 10 10 10 10 90 9 81
8. G.M. 25 10 0 0 0 10 45 4,5 20,25
9. G.H-G 30 20 10 10 6 10 86 8,6 73,96
10. M.G. 25 15 5 10 3 10 68 6,8 46,24
11. S.M-A 30 15 0 8 2 10 65 6,5 42,25
12. T.S-M 25 20 5 10 5 10 75 7,5 56,25
PUNCTAJ
MAXIM 360 240 240 120 120 120 1200 120
14400
PUNCTAJ
REALIZAT 300 190 70 88 52 120 820 82 593,24
MEDIA (m) 6,83
Se observă din tabelul 5 că s-au obț inut punctaje bune la itemi i care presupun rezolvarea ecuaț iilor
simple, calcule cu num ere reale ș i rezultate slabe la itemii car e presupun rezolvarea unor ecuații
reductibile la ecuația de gradul întâ i ( itemul 2b) și probleme care se rezolvă prin ecuaț ii(itemul 4) .
Tabelul 5 . Procen t de realizare pe fiecare item în parte la clasa ex perimentală
Itemul 1 2a) 2b) 3 4
PROCENT DE
REALIZARE 83,33% 79,16% 29,16% 73,33% 43,33%
Distribuț ia notelor pe i ntervale de n ote este prezentată în tabelul 6 , iar în fig. 3 . sunt procentele pe
intervale de note. Ponderea cea mai mare 25% au avut -o note le din intervalul 7 -7,99, î n numar de 3.
109
Tabelul 6 . Distribuț ia notelor pe intervale de note
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Numar note 1 1 2 2 3 2 1 0
Fig. 3 . Procentaj note cl asa experimentală test iniț ial
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Distribuția numărului de note test in țial clasa
experimental ă
numar note
Fig. 4 . Distr ibuția notelor pe intervale 8-8,99
5-5,99
6-6,99
7-7,99 9-9,99 10 3-3,99
4-4,99
110
Rezultatele obț inute d e clasa de control pentru același tes t inițial sunt date în tabelul 7 . Se constată o
diferență foarte mică î ntre mediile celor două clase ceea ce reflectă un nivel apropiat al
cunoștinț elor.
Tabelul 7 . Matrice de evaluare etapa inițială clasa de control
Nr.crt Nume ș i
prenume Sub 1 Sub2 a) Sub2 b) Sub 3 Sub 4 Oficiu Total
punctaj Nota
(xi)
xi2
6x5p=30p 4x5p=20p 2x10p=20p 10p 10p 10p
1. A.C-G 30 15 10 10 10 10 85 8,5 72,25
2. B.A. 25 15 10 10 8 10 78 7,8 60,84
3. C.E-C 25 20 10 10 0 10 75 7,5 56,25
4. C.A-M 30 20 10 10 5 10 85 8,5 72,25
5. D.L-M 20 15 5 4 2 10 56 5,6 31,36
6. I.E-N 30 20 12 10 10 10 92 9,2 84,64
7. R.V-M 25 15 5 10 3 10 68 6,8 46,24
8. R.M-N 25 20 5 10 5 10 75 7,5 56,25
9. R.G-C 30 20 10 10 8 10 88 8,8 77,44
10. V.M-I 30 15 0 8 3 10 66 6,6 43,56
11. V.A-M 25 10 0 3 0 10 48 4,8 23,04
12. V.E 15 10 0 1 0 10 36 3,6 12,96
PUNCTAJ
MAXIM 360 240 240 120 120 120 1200 120
14400
PUNCTAJ
REALIZAT 310 185 87 96 54 120 852 85,2 637,08
MEDIA(m) 7,10
Se poate observa că itemii c are au procentaj mic sunt aceiași cu cei de la clasa experimental ă.
Tabelul 8 . Procen t de realizare pe fiecare item î n parte la clasa de control
Itemul 1 2a) 2b) 3 4
PROCENT DE
REALIZARE 86,11% 77,08% 36,25% 80% 45%
La testul iniț ial au participat 12 elevi din clasa de control obținând note cuprinse între 3,60 ș i 9,20,
media clasei fiind 7,10.
111
Tabelul 9 . Distribuț ia notelor pe intervale de note la clasa de control
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Numar note 1 1 1 2 3 3 1 0
Rezultatele obținute la clasa de control pe inter vale de note sunt reprezentate în fig. 5 .
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Distribuția numărului de note test ini țial clasa de
control
numar note
Fig. 5. Distribuț ia notelor pe intervale
8%
8%
8%
17%
25%25%8%0%Procentaj note clasa de control
Fig. 6 . Procentaj note clasa de control
Clasa de control î nregi streaza un procent mai mare decât clasa experimentală î n intervalul de note
7-7,99 dupa c um se poate observa î n figura 7 , de unde și diferenț a mică dintre mediile celor două
clase. Comparând cele două grupuri pe intervale de note am obț inut tabelul 10 . 8-8,99
7-7,99
6-6.99 5-5,99 4-4,99 3-3,99 10 9-9,99
112
Tabelul 10 . Numă r comparativ de note pe intervale la tes tul iniț ial pentru cele două eș antioane
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Nr. note clasa
experimental ă 1 1 2 2 3 2 1 0
Nr. Note clasa de
control 1 1 1 2 3 3 1 0
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Diagrama de compara ție pentru testul ini țial
clasa experimentală clasa de control
Fig. 7 . Rezultate le comparative ale celor două eș antioane după testul iniț ial
Analizând diagrama din fig. 6. observăm că numărul notelor diferă î n intervalele de note
5-5,99 și 8 -8,99, în rest distribuția notelor este aceiaș i.
Calculăm și caracteristicile numerice de împr ăștiere a datelor statistice de la t estul inițial
pentru cele două eș antioane.
Dispersia (s2e pentru clasa experimental ă și s2c pentru clasa de control) este egală cu media
aritmetică a abaterilor pătratice de la medie, fiind dată de formula
nmx
sii
12
12
2) ( . O aproximaț ie
ceva mai bu nă a aceste i caracteristici numerice se obține utilizâ nd valoarea
1) (12
12
2
nmx
sii
,
nTx mx
i ii i2 12
112
12 2) (
,
unde xi – m = abaterea fiecă rei valori de la media (aritmetică) calculată
n = numă rul total de rezultate
T = totalul rez ultatelor pe întreg eș antionul
113
99,21190,32
1133,560 24,593
1112672424,593
2
es
92,21116,32
1192,604 08,637
111204, 725908,637
2
cs
Abaterea standard este rădăcina pătrata pozitivă a dispersiei. Dispersia și abaterea standard măsoara
variabilitatea datelor fată de medie.
se =
72,1 99,22es , sc =
70,1 92,22cs .
Pentru eș antionul experimental m = 6,83 ș i se = 1,72 de unde rezultă intervalul ( m – se, m+se ) =
(5,11;8,55). Acest lucru înseamnă că 7 din 12 elevi au obținut rezultate în intervalul (5,11;8,55),
adică 58,33%. Colectivul de elevi este relativ omogen.
Pentru eș antionul de control m = 7,10 ș i sc = 1,70 de unde rezultă intervalul ( m – sc, m+sc ) =
(5,40;8,80). Acest lucru înseamnă că 9 din 12 elevi au obținut rezultate în intervalul (5,40;8,80),
adică 75%. Acest lucru reflectă gradul mai mare de omogenitate față de eș antionul experimental.
Metodele utilizate pentru însușirea noțiunilor, la eș antionul experimental, au fost diferite de
cele folosite la eșantionul de control, în primul caz utilizâ ndu-se metode interactive care pun
accentul pe imp licarea activă a elevului. Pentru fixarea și consolidarea cunoștințelor, la clasa
experimentală, am urmărit să lucrez cu elevii diferențiat, folosind fișe de lucu care cuprind î n plus,
pentru elevii mai slabi, exerciții cu model de rezolvare (a nexa F).
La finalul experimentului a avut loc o recapitulare finală bazată pe aceleaș i principii ale
instruirii active și interactive. În această etapă am aplicat un t est, ide ntic pentru cele două
eșantioane, care a constat în rezo lvarea tipurilor de ecuații ș i sistem e învățate și a problemelor care
se rezolvă prin ecuaț ii. Mi -am propus, ca folosind metodele moderne, să -i motivez pe elevi să
participe activ și conștient la procesul de insușire și asimilare a ecuațiilor și sistemelo r, să știe, atât
să rezolve ecuaț ii, dar și să justifice regulile pe care le folosesc.
Obiectivele testului final:
O1 Să verifice soluția unei ecuaț ii;
O2 Să rezolve ecuații reductibile la ecuaț ii de forma ax + b = 0;
O3 Să însușească metoda de rezolvarea a ecuaț iei de gradul al doi lea;
O4 Să cunoscă formulel e de calcul a discriminantului și rădăcinilor ecuaț iei de gradul al doilea;
O5 Să rezolve prin ecuații și sisteme de ecuații probleme frecvent întâlnite în activitatea cotidiană ;
O6 Să verifice în problemă soluțiile obț inute;
114
O7 Să interpreteze s oluția ecuației ca sol uție a problemei.
Matricea de specificații a testu lui final este dată în tabelul 11 .
Tabelul 11 . Matricea de specificaț ii test final
Conț inuturi Cunoaș tere Înțelegere Aplicare Rezo lvare de
probleme Total
(Itemi)
1. Ecuaț ii de grad ul întâi cu
o necunoscută 1a) , 2a)
2 itemi 2b), 2c)
2 itemi
_ 1f)
1 item
5
2.Ecuații de gradul întâi cu
două necunoscute
_ 1b)
1 item
_ 3a)
1 item
2
3.Sisteme de ecuaț ii liniare 1e)
1 item
_ 3b)
1 item
_
2
4.Ecuaț ia de gradul al doilea 1c),
1 item
_ 2d), 1d)
2 item
_
3
5.Probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuaț iilor
_
_ 4a)
1 item 4b)
1 item 2
Total 4 (29%) 3 (21%) 4 (29%) 3 (21%) 14
115
TEST DE EVALUARE FINALĂ
CLASA a VIII -a
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timp efectiv de lucru 50 minute.
Subiectul 1. Completează spaț iile libere:
5p a)Soluția ecuaț iei 2x + 3 = 7 este egală cu … ………..
5p b)Fie ecuaț ia 3x + 4y = 10 ; daca x = 2 , atunci y = ………..
5p c)Suma coeficienților ecuaț iei
02 32x x este egală cu ……..
5p d)Discriminantul ecuaț iei
02 32x x este egal cu………..
5p e)Soluția si stemului de ecuaț ii
13 3 231
y xx este
…………
yx
5p f)Daca 50% din x este 20, atunci x =………
Subiectul 2. Scrieți în spațiul liber din dreptul fiecărei ecuații din coloana stângă , litera
corespunzatoare soluț iei corecte din coloana a doua.
5p ______ a)
21
6x 1. – 6
5p _______b)
2 )2(3 x x 2. 3
5p _______c)
)9 (2 3 22 2 x x x 3. 6
5p _______ d)
06 52x x 4. 1
5. 2
Pe foaia de test scrieț i rezolvările complete pentru urmă toarele subiecte:
Subiectul 3. Se dă sistemul:
yxyxy x,,12 316 3 .
10p a)Determinaț i valoarea real a a lui m pentru care perechea (1,m) este soluție a ecuaț iei
3x – y =12 .
10p b)Să se rezolve sistemul.
Subiectul 4. Un călător parcurge o distanță în trei zi le astfel: î n prima zi parcurge 40 % din
drum, a doua zi o treime din res t, iar î n a treia zi ultimii 60 km.
10p a)Câti kilometri a parcurs călătorul î n cele trei zile?
116
10p b)Cât la sută din distanța totală a parcurs în primele două zile?
Barem de cor ectare :
Subiect 1) 2 3) 4)
Punctaj 5×6=30p 5×4=20p 2×10=20p 2×10=20p
În urma corectării testului final, clasa experimental ă a obținut rezultatele prezentate î n
tabelul 12 . Media clasei a fost 7,20, cu un proce nt de promovabilitate de 91,66%.
Tabelul 12. Matrice de evaluare etapa finală clasa experimen tală
Nr.
crt. Numele ș i
prenumele Subiectul1 Subiectul2 Subiectul3 Subiectul4 Oficiu Total
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 10p 10p 10p
1. B.M-A 5 5 5 5 5 0 5 5 0 0 5 5 2 0 10 57
2. B.I-D 5 5 5 5 5 0 5 5 5 0 5 10 2 0 10 67
3. B.A-M 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 10 10 3 10 78
4. C.C. 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 0 5 1 0 10 46
5. C.A-A 5 5 5 0 5 0 5 5 5 0 5 10 10 6 10 76
6. D.G-A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 4 10 89
7. D.A-M 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 10 10 8 10 96
8. G.M. 5 5 5 5 5 0 5 5 0 0 3 5 4 0 10 57
9. G.H-G 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 9 2 10 86
10. M.G. 5 5 5 5 5 0 5 5 0 5 5 10 4 0 10 69
11. S.M-A 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 10 3 0 10 68
12. T.S-M 5 5 5 0 5 5 5 5 5 0 5 5 10 5 10 75
PUNCTAJ
MAXIM 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 120 120 120 120 120 1200
PUNCTAJ
REALIZAT 60 60 60 40 60 25 60 60 40 30 46 100 75 28 120 864
MEDIA 7,20
Au fost rezolvate corect, de toți elevii, exerciț iile c are au presupus rezolvarea ecuației de
gradul întâi (1a,1b,2a,2b) și sisteme de ecuații (1e), d upă cum se observă în tabelul 13 . Au
întâmpinat greutăți în înțelegerea și rezolvarea exerciț iilor 1f) ,3a), 4b).
Tabelul 13 . Procen t de realizare pe fiecare item în parte la clasa experimentală
117
Itemul 1a. 1b. 1c. 1d. 1e. 1f. 2a. 2b. 2c. 2d. 3a. 3b. 4a. 4b.
Procent de
realizare 100
% 100
% 100
% 66,66
% 100
% 41,66
% 100
% 100
% 66,66
% 50
% 38,33
% 83,33
% 62,5
% 23,33
%
8%
17%
25% 25%17%8%0%Procentaj note clasa experimental ă
Fig. 8 . Procentaj note clasa experime ntală test final
În intervalele de note 6 -6,99 ș i 7-7,99 s -au ob ținut cele mai multe note, î ntr-un procent de
25% ,i ar procentul elevilor cu note î ntre 8-9,99 a ră mas neschimbat (fig.8 ).
Se observă că î n intervalul 6 -6,99 a crescut numărul notelor față de testul inițial și nu au
existat note î n intervalul 3 -3,99. Aces t lucru arată că s -a înregistrat o ușoară creștere a nivelului de
cunoștinț e pentru elevii cu rezultate mici la testul inițial, după cum se vede î n tabelul 14 .
Tabelul 14 . Distribuț ia notelo r pe intervale de note
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Numar note 0 1 2 3 3 2 1 0
Datele din tabelul 14 au fost reprezentate grafic în figura 9 , din care, du pa cum se poate observa,
rezultă un anumit grad de omogenitat e al clasei experimental e. 4-4,99
5-5,99
6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
118
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Distribuția numărului de note test final clasa
experimental ă
numar note
Fig. 9 . Distribuția numă rului de note pe interval
Clasa de control a obț inut la testu l final rezu ltatele prezentate în tabelul 15 . Media obținută la acest
test a fost 7,17, cu 0,07 mai mai mare decât cea obținută la testul iniț ial.
Tabe lul 15 . Matrice de evaluare etapa finală clasa de control
Nr.
crt. Numele si
prenumele Subiectul1 Subiectul2 Subiectul3 Subiectul4 Oficiu Total
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 10p 10p 10p
1. A.C-G 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 0 10 85
2. B.A 5 5 5 0 5 5 5 5 5 0 5 10 10 3 10 78
3. C.E-C 5 5 5 0 5 0 5 5 5 0 5 10 10 6 10 76
4. C.A-M 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 0 10 85
5. D.L-M 5 5 5 0 5 5 5 5 0 0 5 5 0 0 10 55
6. I.E-N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 5 10 90
7. R.V-M 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 10 0 0 10 65
8. R.M-N 5 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 10 6 0 10 76
9. R.G-C 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 3 10 88
10. V.M-I 5 5 5 5 5 0 5 5 0 5 5 10 3 0 10 68
11. V.A-M 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 2 5 3 0 10 50
12. V.E-A 5 5 5 0 5 0 5 5 0 0 0 5 0 0 10 45
PUNCTAJ
MAXIM 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 120 120 120 120 120 1200
PUNCTAJ
REALIZAT 60 60 60 35 60 35 60 60 35 35 47 105 71 17 120 860
MEDIA 7,17
119
În tabelul 16 este prezentat procentual punctajul realizat de ele vi pentru fiecare item la clasa de
control.
Tabelul 16 . Procen t de realizare pe fiecare item în parte la clasa de control test final
Itemul 1a. 1b. 1c. 1d. 1e. 1f. 2a. 2b. 2c. 2d. 3a. 3b. 4a. 4b.
Procent de
realizare 100
% 100
% 100
% 58,33
% 100
% 58,33
% 100
% 100
% 58,33
% 58,33
% 39,16
% 87,5
% 59,16
% 14,16
%
În tabelul 17 este redată distribuț ia elevilor pe interval de note.
Tabelul 17 . Distribuț ia notelor pe intervale de note
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Numar note 0 1 2 2 3 3 1 0
Se observă că situația procentuală a notel or la testul final pentru clasa de control (fig.10 .), nu diferă
cu mult față de testul iniț ial, se înregistrează totuși o ușoară creștere î n intervalul 5 -5,99(vez i fig.11 ).
8%
17%
17%
25%25%8%0%Procentaj note clasa de control
Fig. 10 . Procentaj note clasa de control test final 4-4,99
5-5,99
6-6,99
7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
120
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Distribuția numărului de note test final clasa de control
numar note
Fig. 11 . Distribuția numă rului de note pe interval
Comparând cele două grupuri pe intervale de note, la tes tul final, am obti nut tabelul 18 .
Tabelul 18 . Numă r comparativ de note pe intervale la testul final pentru cele doua esantioane
Intervale note 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Nr. note clasa
experimental ă 0 1 2 3 3 2 1 0
Nr. note clasa de
control 0 1 2 2 3 3 1 0
Numă rul de no te pe intervale pentru cele două clase este în mare măsură egal la testul final. Cele
două clase diferă însă ca omogenitate (vezi fig.12 ).
00.511.522.533.5
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99Diagrama de compara ție pentru testul final
clasa experimentală clasa de control
Fig. 12 . Rezult atele comparative ale celor două eșantioane după testul final
121
De asemenea, am rea lizat reprezentarea comparativă a notelor între testul inițial și testul final
pentru clasa experimental ă în fig. 13 și în fig. 14 pentru clasa de control.
Se observă că 4 elevi din clasa experimental ă au obținut aceeași n otă, restul avâ nd note mai mari la
testul final. Pentru grupul de control situația se prezintă astfel: 4 elevi au obținut aceeași notă , 5
elevi au avut note mai mari la testul final, iar restu l au obținut o notă mai mare la testul iniț ial.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nota test initial 5.6 5.8 7.8 3.5 7.6 8.8 9 4.5 8.6 6.8 6.5 7.5
Nota test final 5.7 6.7 7.8 4.6 7.6 8.9 9.6 5.7 8.6 6.9 6.8 7.5024681012notaSituatia notelor pentru clasa experimental ă
Fig.13 . Tratarea comparativă a notelor clasei experimental e între cele două teste
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nota test initial 8.5 7.8 7.5 8.5 5.6 9.2 6.8 7.5 8.8 6.6 4.8 3.6
Nota test final 8.5 7.8 7.6 8.5 5.5 9 6.5 7.6 8.8 6.8 5 4.5012345678910notaSituatia notelor pentru clasa de control
Fig.14 . Tratarea comparativă a notelor clasei de control î ntre cele două teste
122
În urma corectării testului final, se observă că di ferența dintre mediile celor două clase se
accentueaza î n favoarea clasei experimentale (0,37 pentru clasa experimentală față de 0,07 pentru
clasa de control), ceea ce confirmă ipoteza enun țată la î nceput.
08,21198,22
1108,622 04,645
111296, 746404,645
2
es
32,21153,25
1176,617 29,643
111221, 741329,643
2
cs
se =
44,1 08,22es , sc =
52,1 32,22cs .
Pentru eș antionul experimental m = 7,20 ș i se = 1,44 de unde rezultă intervalul ( m – se, m+se ) =
(5,7;8,6). Acest lucru înseamnă că 9 din 12 elevi au obținut rezultate în intervalul (5,7;8,6), adică
75%. Gradul de omogenitate al eș antionului a crescut.
Pentru eș antionul de control m = 7,17 ș i sc = 1,52 de unde rezultă intervalul ( m – sc, m+sc ) =
(5,6;8,6). Acest lucru înseamnă că 8 din 12 elevi au obținut rezultate în intervalul (5,40;8,80), adică
66,66%, situație similară cu cea de la testul iniț ial.
4.7.Concluzii ș i propuneri
Rezultatele cercetă rii au fost anali zate, prelucrate, interpretate în scopul eficientizării
modalităților operaț ionale de utilizare personalizată a metodelor și procedeelor active f olosite în
scopul creș terii randamentului ac tivității desfăș urate. I ntegrarea metodelor moderne î n procesul
predării-învăță rii ma tematicii la gimnaziu conturează un model co nstructivist al învățării
experie nțiale care accentueaza asumarea conștientă a gâ ndirii libere, corecte, responsabile.
Deși s -a pornit de la un nivel inițial foarte apropiat, după aplicarea experimentulu i,
atingerea obiectivelor s -a făcut în mod diferențiat. Experimentul, deși nu a evidenț iat rezultate
deoseb ite, a dus la ameliorarea si tuației la învățătura a elevilor. Prin lecțile desfășurate am urmărit
formarea unor concepții științ ifice despre lume și viață, înț elegerea fenomenelor ce se petrec în
mediul înconjurător, formarea unor gândiri critice și creative, a unei imaginaț ii bogate .
Însușirea cunoștințelor este cu atât mai eficientă cu cât se sprijină pe activitatea proprie a
elevului, care pus în fața unor situații -problemă este antrenat continuu în găsirea unor noi legături, în
stbilirea unor concluzii, în ,,descoperirea” unor noi adevă ruri.
Am observat că, la clasa experimentală , au fost amplificate colaborarea ș i cooperarea,
activitatea în echipa, fiind antrenați și stimulați, î n acest fel, elevii cu rezultate mai slabe. Munca în
grup favorizează asimilarea conștientă a cunoști nțelor de către toti elevii, doarece îi determina pe
123
toți să gândească activ în cadrul cooperării și î ntrajutor ării cu ocazia rezolvării de exercitii și
probleme. Datorită experimentului fă cut, elevii au manifestat int eres sporit pentru studiul ecuațiilor
și sistemelor.
Strategiile active , creative au fost cadrul unei învățări active, conș tiente prin:
-descoperire și analogie;
-o învățăre intensă și eficientă cu un pronunț at caracter formativ;
-respectarea particularităț ilor psiho -cognitive ale elevilor;
-menținerea unei motivaț ii ridicate;
-creearea condițiilor pentru înțelegerea ș i realizarea transferului a ceea ce se învață ;
Noile programe analitice î ncurajeaza utilizarea metodelor moderne. Prin aceasta, se doreș te
o reconsiderare a raportului d intre ac tivitatea profesorului și activitatea elevului în cadrul procesului
de învățământ. Astfel, elevul participă activ la propria sa formare.
Dar nu trebuie lă sate deoparte nici metodele tradiționale, nu putem spune că sunt mai puțin
eficiente decât cele mode rne. Eficiența unei metode depinde de modul în care ea este valorificată î n
contextul didactic, de influenț a pe care o are asupra rezultatelor ș colare, de c antitatea de efort
intelectual ș i practic, de vo lumul de timp investit de elev ș i profesor (M.Ionesc u,2003).
Evident, există elevi slabi la matematică, care nu ,,vă d” nici folosul, nici rostul oricărui
adevă r ma tematic parțial ce nu are aplicație directă . De aceea este foarte importantă strădania
profesorilor de matematică de a -i face pe elevi ,,să vadă” și ,,să simtă” acest rost , pentru ca ei să
învețe matematică cu mai mult interes.
124
CONCLUZII FINALE
Matemat ica contribuie esențial la educarea memoriei, atenției, voinț ei, imaginaț iei, la
amplificarea setei de cunoaștere, la autoperfecțion are și are un rol imortant în dezvoltarea
intelectuală a celor ce o studiază .
Școala are obligația, așadar, să facă din stud iul matematicii, nu un scop în sine, ci un
instrument de acțiune eficientă, constructivă ș i modelatoare asupra personalității elevul ui. Se cere
să-i cream elevului condiții ca singur să descifreze unele taine ale cunoaș terii. Apelul la activitatea
creatoare a elevu lui, ca un proces de asimilare și acomodare, crează condiții pentru formarea și
interiorizarea operaț iilor intelectuale, pr oces prin care se produce dezvoltarea intelectuală .
Algebra este una dintre ramurile cele mai importante al matematicii, cun oscând î n tim p o
dezvoltare foarte accentuată. Problematica de care se ocupă a devenit mai vastă și mai variată .
Faptul că elevii de gimnaziu, învățând algebra, realizează trecerea la un alt fel de
matematică, mai abstractă, care le permite să folosească notațiile algebrice corespunzătoare, că
învață un ins trument matematic cum sunt ecuațiile nu rămâne fără efect asupra formă rii lor
intelectuale.
Chiar dacă î n viitor ele vii nu vor avea nevoie niciodată să rezolve ecuații ei se vor orienta
mai bine î n problemele concrete pe care le va pune viața în general. Prin faptul că învață algebra,
gandirea lor devine mai pătrunză toare , vorbirea l or devine mai simplă și mai clară. Deprinderile pe
care și le formează vor fi folosite sub diferite forme, oricare ar fi alegerile lor viitoare.
Pe parcursul acestei lucrări, am încercat să demonstrez că abordarea acestei teme contribuie
la pregă tirea prof esorului pe de o parte și la creșterea eficienței activității sale în munca la clasă , pe
de altă parte. Pornind de la studi ul materialului bibliografgic și având la bază experiența la clasă, am
prezentat câ teva metode activ -participative eficiente în form area motivaț iei pentru studierea
matematicii ca domeniu important pentru viața sociala și profesională .
Profesorul este obl igat să se perfecționeze mereu, să găsească cele mai potr ivite procedee
didactice care să ducă la obținerea obiectivelor urmărite. D e aceea putem spune că activitatea
acestuia este în continuă formare.
125
BIBLIOGRAFIE
1. *** Programe ș colare pentru clasele V -VIII
2. ***Suport curs MATEDIDACTICA ,,Oportunități pentru o carieră didactică de calitate printr -un
program național de formare contin uă a profesorilor de matematică din învăță mântul preuniversitar ”
3. ***Colecția Gazeta Matematică
4. Banu F. & alții (2005), Niță , C. (coord.) . Ghid de evaluare la matematică. Bucureș ti
5. Cerghit, I. (1997). Metode de învaățământ. Bucureș ti: E.D.P
6. Cîrjan, F . (2007). Didactica matematicii, ediția a II -a. Bucureș ti: Corint
7. Chirilă, C. & alț ii (2012). Supo rt curs pentru formarea continuă a profesorilor de matematică
în societatea cunoaș terii. Matrial editat de I.S.J. Iaș i.
8. Crăciunel, I. & alții (1993). Matematică .Manu al pentru clasa a VIII -a.Bucureș ti: E.D.P.
9. Cristescu, V, Costea, E (1988). Algebră ș i geometrie pentru clasa a VIII -a, partea a V -a.
Editura Universității din Timiș oara
10. Cucoș, C (2006). Pedagogie. Iaș i: Editura Polirom
11. Georgescu, B.E. & Onofraș , E. (1983). Metode de rezol vare a problemelor de matematică în
liceu. Bucureș ti: E.D.P.
12. Gheba, G. (1975). Exerciții și probleme de matematică. Bucureș ti: E.D.P.
13. Hollinger, A. (1965). Metodica predării algebrei. Bucureș ti: E.D.P.
14. Lucien ne, F. (1973). Expunerea modernă a matematicii elementare. București: Ed. Științifică
15. Mogonea F.R. , Mogonea F., Popescu A. M., Ștefan M.A. (2013). Ghid metodologic de
elaborare a lucrării metodico -științifice pentru obț inerea gradului didactic. Craiova
16. Polya, G.(1965). Cum rezolvăm o pro blemă? București:Ed. Științifică
17. Polya, G.(1971). Descoperirea în matematică. Bucureș ti:E. D. P.
18. Radu, D. & Radu, E. (1999). Matematică . Manu al pentru clasa a VII -a. Bucureș ti: Ed. Teora
19. Radu, D. & Radu, E. (2011). Matematică . Manual pentru c lasa a VII -a. Bucureș ti: Ed. Teora
20. Roman, T., Sacter, O., Simionescu, D. Gh. (1970). Probleme da te la concursurile de
matematică . Bucureș ti: E.D.P
21. Roșca, A . (1981). Creativitatea generală și specifică. București: Editura Academiei Bucureș ti
22. Rus, I. & Varna, D. (1983). Metodica predării matematicii. Bucureș ti: E.D.P
23. Schneider, Gh.(19 92). Probleme de aritmetică și algebră . Craiova: Editura Apolo
24. Spircu, T, Crăciunel, I., Chișu, L. (1991). Matematică . Manual pentru clasa a VII -a.
Bucureș ti: E.D.P .
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific, Lect. univ. dr. Roș iu Monica Candidat , Găman(Niț u)… [616035] (ID: 616035)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.