LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific Conf. Dr. Dana Piciu Candidat Prof. Ivănuș Nicolae Anul… [310374]

[anonimizat] I

Coordonator științific

Conf. Dr. Dana Piciu

Candidat: [anonimizat]. Ivănuș Nicolae

Anul susținerii examenului

2018

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE ȘTIINȚE

PRINCIPALELE MULȚIMI DE NUMERE ȘI OPERAȚIILE ELEMENTARE DEFINITE PE ACESTEA

Coordonator științific

Conf. Dr. Dana Piciu

Candidat: [anonimizat]. Ivănuș Nicolae

Anul susținerii examenului

2018

CUPRINS

INRODUCERE

A. FUNDAMENTARE TEORETICĂ

CAPITOLUL I – MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE ȘI OPERAȚIILE ELEMENTARE DE PE ACEASTA

I.1. Date generale

I.2. Mulțimi echivalente

I.3. Numere naturale

I.4. Adunarea numerelor naturale

I.5. [anonimizat].1. Date generale

II.2. Noțiunea de grup

II.3. Noțiunea de inel

II.4. Construcția mulțimii numerelor întregi

II.5. Adunarea numerelor întregi

II.6. Proprietățile adunării numerelor întregi

II.7. Înmulțirea numerelor întregi

II.8. Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

II.9. [anonimizat].1. Date generale

III.2. Scopul cercetării

III.3. Sisteme multiplicative închise

III.4. Construcția lui

III.5. [anonimizat].1. Date generale

IV.2. Topologia pe

IV.3. Definirea corpului numerelor reale

IV.4. Construcția lui R cu ajutorul șirurilor Cauchy

IV.5. Complementarea unui corp normat

CAPITOLUL V – CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

V.1. Date generale

V.2. Construcția corpului numerelor complexe

V.3. Modulul unui număr complex

V.4. Teorema fundamentală a algebrei

V.5. Eșantionul de conținut

V.6. Locul și durata cercetării

V.7. Etapele cercetării

V.8. Metodologia cercetării

B. [anonimizat] – PROGRAMA OPȚIONAL “MAGIA NUMERELOR”

VI.1. Date generale

VI.2. Notă de prezentare

VI.3. Competențe generale

VI.4. Valori și atitudini

VI.5. Competențe specifice și conținuturi

VI.6. Sugestii metodologice

VI.7. Exemple de activități de învățare asociate competențelor specifice

VI.8. Metode de evaluare

VI.9. Bibliografie

CONCLUZII FINALE

BIBLIOGRAFIE

ANEXA NR 1– PLANIFICAREA ANUALĂ ȘI CALENDARISTICĂ

A) Planificare anuală

B) Eșalonarea anuală a unitășilor de învățare

C) Planificarea calendaristică pe semestrul I

D) [anonimizat] 2– APLICAȚII REALIZATE DE ELEVI

A) Matematică în versuri

B) Jocuri matematice

C) Eseuri matematice

D) Desene

E) Tangram

INTRODUCERE

M-am oprit la această temă pentru că prin studiul efectuat în pregătirea temei și prin experiența câștigată la clasă în activitatea de implementare a [anonimizat], să identific cele mai potrivite metode și procedee pentru a-i [anonimizat], într-un mod mai plăcut .

Numerele reprezintă valori sau repere pe care oamenii le utilizează pentru a se orienta în viața de zi cu zi. [anonimizat], [anonimizat] o avem , salariul pe care l-[anonimizat].

Elevii intră foarte des în contact cu „lumea numerelor ”. Pentru a o [anonimizat], să-și formeze abilitatea de-a opera cu ele .

[anonimizat] o trăim, a inovațiilor și a descoperirilor specifice domeniului tehnic și informatic, rolul numerelor nu s-a redus, ba din contră a crescut. În general, orice noțiune abstractă devine mai accesibilă și poate fi însușită mai temeinic dacă este reprezentată cu ajutorul numerelor.

Activitățile matematice au o importanță deosebită în dezvoltarea gândirii eficiente și creative a elevilor. Practica pedagogică arată că activitatea gândirii este stimulată în mare măsura de matematică.

Activitățile matematice desfășurate cu elevii din ciclul gimnazial constituie fundamentul pe care se bazează întregul sistem al cunoștințelor matematice din liceu și oferă nenumărate posibilități de a progresa elevilor, făcându-i pe toți apți pentru a învăța matematica.

Tema lucrării ,, Principalele mulțimi de numere și operațiile elementare definite pe acestea”, este deosebit de actuală și prin faptul că numerele și operațiile definite pe acesta fac parte din deprinderile cognitive de bază care trebuie dobândite de elevi.

Mulțimea numerelor naturale poate să fi considerată ca o mulțime esențială pentru matematică,de aceea în primul capitol am studiat acestă mulțime și proprietățile generale ale operațiilor de adunare și înmulțire definite pe aceasta.

Se va arăta în al doilea capitol că : mulțimea numerelor întregi este un inel comutativ și unitar în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi.

Imposibilitatea efectuarii unor împărțiri în mulțimea numerelor întregi a condus la construcția corpului numerelor rationale, lucru evidențiat în capitolul al treilea.

În al patrulea capitol m-am ocupat de corpul numerelor reale, iar în al cincilea capitol am tratat corpul numerelor complexe.

Demersul metodico-experimental a constat în realizarea unui opțional, introdus la clasa a cincea, intitulat “Magia numerelor”. Am ales acest opțional deoarece am constatat din experiența anterioară că este important ca elevii să cunoască istoria numerelor, să fie familiarizați cu procesul de calcul, să cunoască artificii de calcul, etc.

Elevii nu sunt lipsiți de logică, nici de idei matematice, dar nu știu să exprime aceste idei prin limbaj matematic. Ca urmare, am introdus în cadrul opționalului un capitol numit ” Probleme istețe”, prin metode eficiente și atractive, dorind să le ofer suportul necesar pentru a-și dezvolta gândirea logică. Raționamentele pe care se fundamentează gândirea logică se realizează cu mare dificultate, de aceea în activitățile matematice propuse vor obliga elevii să cerceteze, să-și dezvolte capacitățile de studiu individual.

Lucrarea se încheie cu o planificare anuală și calendaristică a programei de opțional și cu câteva dintre aplicațiile realizate de elevi.

CAPITOLUL I

MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE ȘI OPERAȚIILE ELEMENTARE DEFINITE PE ACEASTA

1. Date generale

La începuturile omenirii s-au folosit cuvinte pentru a număra obiecte, astfel au luat “naștere” numerele naturale. Prin folosirea numeralelor pentru reprezentarea numerelor naturale a început procesul de abstractizare a lor. În Babilonul antic se folosea un sistem bazat pe numerele de la 1 la 10. Egiptenii foloseau hieroglife diferite pentru puterile lui 10 , pornind de la 1 până la un million. Prima recunoaștere a cifrei 0 apare în India, pentru a reprezenta golul, absența.

Mulțimea numerelor naturale este esențială pentru matematică . Cea mai cunoscută modalitate de introducere a mulțimii numerelor naturale este data de axiomatica Dedekind-Peano. În cadrul ei apar noțiunile de număr natural și funcție successor. Totodată, se folosește simbolul “=” pentru a nota egalitatea și simbolul “0” pentru a nota un număr fixat.

2. Mulțimi echivalente

Definiția 2.1 Două mulțimi și se numesc echivalente atunci când putem asocia elementele lor în perechi de forma

,

astfel încât nici un element din cele două mulțimi să nu rămână neasociat și nici unul să nu apară în două perechi. Relația dintre cele două mulțimi este o relație de echivalență și o vom nota cu .

Din modul de definire al relației că:

două mulțimi sunt unic determinate în raport cu relația: sau ;

relația este reflexivă: ;

relația este simetrică: ;

relația este tranzitivă: dacă .

Relația de echivalență va împărții mulțimile în clase de echivalență . Două mulțimi se găsesc în aceeași clasă dacă sunt echivalente ori se găsesc în clase diferite dacă nu sunt echivalente. Puterea clasei (numărul cardinal, mărimea clasei) este o proprietate comună tuturor mulțimilor care compun o clasă, proprietate neinfluențată de natura elementelor acestor mulțimi.

3. Numere naturale

Definiția 3.1 Vom numi număr natural o clasă de echivalență pentru mulțimi finite. O mulțime care nu este de aceeași putere cu nici una din submulțimile sale proprii se numeste finită.

Se numește unu (se scrie 1) proprietatea caracteristică a tuturor mulțimilor formate dintr-un singur element, care formează clasa de echivalență respectivă. Vom nota cu doi(vom scrie 2) proprietatea caracteristică a clasei de echivalență formată din mulțimile care conțin un element și încă un element ,etc. .

Formăm, în acest mod , mulțimea a numerelor naturale, care este formată din elementele: 1, 2, 3 …, n … , la care este adăugat și zero înaintea numărului 1. Numărul zero reprezintă clasa de echivalență a mulțimii vide și se noteaza cu 0.

În mulțimea sunt satisfăcute următoarele cinci axiome ale lui Peano:

3.2 Axiomele lui Peano

Zero aparține mulțimii numerelor naturale.

Fiecare număr natural n are un succesor, pe care îl vom nota cu s(n).

Numărul zero nu este succesorul nici unui număr natural.

Două numere naturale cu același succesor sunt egale.

Dacă M este o submulțime a lui N (), care conține pe zero () și care dacă conține pe n va conține și pe succesorul s(n), atunci .

Putem stabili între elementele mulțimii legi de compoziție interne (operații interne). Oricărei perechi ordonate aparținând produsului cartezian îi putem asocia un element c, aparținând lui , cu ajutorul unei legi de compoziție internă, numită adunare.

4. Adunarea numerelor naturale

Definiția 4.1 Adunarea numerelor naturale notată prin „+” este definită prin recurență , folosind următoarelor două relații:

n+0=n;

n+s(m)=s(n+m).

Aceste proprietăți implică:

s(n)=n+1.

Deoarece:

n+1=n+s(0)=s(n+0)=s(n).

Relația a doua se mai poate formula în felul următor:

n+(m+1)=(n+m)+1,

ceea ce ne arată că, dacă n+r este definită pentru r=m, tragem concluzia că este definită și pentru r=m+1, rezultând că n+r este determinată pentru orice r.

Teorema 4.2 (Proprietățile adunării) Adunarea numerelor naturale are următoarele proprietăți:

Asociativitate: ,

(p+r)+q=p+(r+q).

Demonstrație: Egalitatea este verificata pentru q=0:

(p+r)+0=p+r și r+0=r, deci (p+r)+0=p+(r+0)=n+r.

Verificam dacă egalitatea este adevărată pentru q, atunci va fi adevărată și pentru s(q). Vom avea:

(p+r)+s(q)=s((p+r)+q)=s(p+(r+q))=p+s(r+q)=p+(r+s(q)).

Deci, este adevărată pentru orice .

Comutativitate: ,

p+r=r+p.

Demonstrație: Aratăm mai întâi pentru r=0, oricare ar fi . Vom avea:

p+0=p;

să dovedim că

0+p=p.

Egalitatea este îndeplinită pentru p=0. Presupunem că dacă este verificată pentru p, atunci este verificată pentru s(p). Avem:

0+s(p)=s(0+p)=s(p).

Deci, pentru avem:

p+0=0+p=p.

Vom arăta același lucru pentru r=1, astfel încât obținem relația:

s(p)=p+1=1+p.

Mai întâi arătăm că egalitatea:

1+p=p+1

este adevărată, pentru . Este adevărată pentru p=0. Considerăm că este adevărată și pentru p, altfel scris

1+p=p+1

și aratăm că este adevărată și pentru s(p). Din:

1+p=p+1 va implică s(1+p)=s(p+1),

două numere naturale daca sunt egale au același succesor. Avem:

s(1+p)=1+s(p) și s(p+1)=p+s(1)=p+(1+1)=(p+1)+1=s(p)+1.

Deci, din condiția 1+p=p+1 rezultă că s(p)+1=1+s(p). Egalitatea 1+p=p+1 este justă, pentru orice număr natural. Să arătăm că egalitatea

p+r=r+p,

care am observat că este adevărată pentru orice p, dacă r este egal cu 0 sau 1, este verificată de orice r număr natural. Considerăm că este adevărată pentru r, adică:

p+r=r+p,

și demonstrăm că:

s(p+r)=s(r+p).

Vom avea că:

s(r+p)=r+s(p)=r+(p+1)=r+(1+p)=(r+1)+p=s(r)+p.

Mai avem că:

s(p+r)=p+s(r).

Deci,

p+s(r)=s(r)+p.

Deci egalitatea

p+r=r+p ,

este adevarată .

5. Înmulțirea numerelor naturale

Înmulțirea este o operație internă care se poate defini pe mulțimea numerelor naturale.

Definiția 6.1 Oricărei perechi ordonate (n,m) de numere naturale îi putem asocia un număr natural denumit produs, pe care îl vom nota nm, nm sau nm.

Putem define înmulțirea prin următoarele două relații:

n0=0;

ns(m)=nm+m.

Teorema 6.2 Pe mulțimea numerelor natural au loc următoarele afirmații:

, vom avea

n1=n.

Demonstrație: Au loc următoarele egalități:

n1=ns(0)=(n0)+n=n.

Suma a m elemente toate egale cu n este egală cu mn.

Demonstrație: Din definiția înmulțirii avem:

ns(1)=n1+n=n+n=2n.

Considerăm suma

,

la care toți termenii sunt egali cu n este egală cu mn, atunci deducem că:

Deci, avem:

.

Distributivitatea înmulțirii față de adunare, avem relația:

p(r+q)=pr+pq.

Ea este adevărată pentru q=0 , :

p(r+0)=pr+p0=pr.

Considerăm distributivitatea adevărată pentru q și demonstrăm că este adevărată și pentru s(q). Vom avea:

p(r+s(q))=ps(r+q)=p(r+q)+r=pr+pq+p=pr+ps(q).

Tragem concluzia că relația este adevărată pentru .

Înmulțirea este asociativă, avem relația:

p(rq)=(pr)q.

Ea este adevărată pentru q=0 , :

p(rq)=(pr)q.

Considerăm asociativitatea adevărată pentru q și demonstrăm că este adevărată și pentru s(q). Vom avea:

p(rs(q))=p(rq+r)=prq+pr,

iar

(pr)s(q)=prq+pr,.

Tragem concluzia că relația este adevărată pentru .

Înmultirea este comutativă, avem relația:

pr=rp.

Ea este adevărată pentru r=0 , :

.

Considerăm comutativitatea adevărată pentru r și demonstrăm că este adevărată și pentru s(r). Vom avea:

ps(r)=pr+r=r+pr=r+rp=s(r)p

Tragem concluzia că relația este adevărată pentru.

CAPITOLUL II

INELUL NUMERELOR INTREGI

Date generale

A fost necesara introducerea numerelor intregi apare din motive practice, pentru a explica situații ca: variatia temperaturii, datorii si venituri, etc.. Dar și datorita unor motive matematice ca definirea scaderii numerelor natural in orice conditii. Conceptul de numar negative apare ca o diferență de numere naturale. Exista o infinitate de perechi de numere natural care au aceeasi diferenta

Litera cu care se noteaza numerele intregi provine din germana, de la cuvantul zahl care traduce prin cuvantul număr.

Multimea numerelor intregi este compuna din multimea numerelor naturale la care se adauga negatinele numerelor nenule .

Noțiunea de grup

Vom spune că o mulțime P este o structură algebrică, dacă pe P s-au sunt definite una sau mai multelegi de compoziție care indeplinesc un număr de axiome, care vor fi numite axiome de structură.

Definiția 2.1 Vom numi grup o pereche (G, ), în care G va fi o mulțime nevidă, iar „” o lege de compoziție internă pe G care urmatoarele proprietati:

Asociativitate, adică ,

(xy) z=x (yz).

Are un element neutru , adica pentru , astfel încât

xe=ex=x.

Orice lement din G este simetrizabil, , cu proprietatea

xx’=x’x=e.

Dacă operația “” este comutativă, dacă pentru orice

xy=yx,

grupul (G, ) se numește abelian sau comutativ.

Mulțimea numerelor întregi impreuna cu adunarea numerelor intregi, notată „+”, este un grup abelian (,+), dar impreuna inmultirea numerelor intregi nu este grup, deoarece nu indeplineste proprietatea 3.

Noțiunea de inel

Structura de inel este constituita pe exemplul in care se da o multime nevida si sunt introduse doua legi de compozitie, legate intre ele printr-o proprietate.

Definiția 3.1: Cosideram R o mulțime nevidă, înzestrată cu două legi de compoziție pe R. Spunem că I este un inel în raport cu legile de compozitie “*” și “”dacă sunt indeplinite următoarele axiome:

Perechea (R,*), alcatuita din mulțimea R și legea de compoziție “*”, este un grup comutativ.

Legea de compozitie ” ” este asociativa, adică ,

x(yz)=(xy) z.

Legea de compozitie ” ” este distributivă față de legea de compozitie “*”, adică ,

și .

Inelul R va fi notat cu (R,*, ), cu mentiunea ca prima lege de compozitie fiind cea in raport cu care mulțimea R are structură de grup comutativ.

Legea de compozitie “” trebuie sa satisfăca doar proprietatea de a fi asociativa. Ea poate avea si alte proprietati.

Definiția 3.2 Inelul (R,*, ) se va numi inel comutativ, dacă legea de compoziție “” este comutativă, , avem

xy=yx.

Definiția 3.3 Inelul (R,*, ) se va numi inel unitar dacă legea de compoziție “”are elemen tneutru, adică va există un element notat cu 1, 1R, astfel încât, sa avem

x1=1x=x.

Un inel (R,*, ) poate fi comutativ și unitar. Mulțimea numerelor întregi este un inel comutativ și unitar în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi.

Construcția mulțimii numerelor întregi

Demostram că mulțimea numerelor întregi este un inel comutativ și unitar, în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi, notat .

Scaderea nu este intotdeauna posibila pe multimea numerelor naturale. Ecuatia

x+m=n

are soluții în doar dacă nm.

O pereche ordonata de numere natural n și m este un element din produsul catezian . Putem considera în mulțimea submultimea formată din elementele , în care n-m este un număr natural si alta avand elemente de forma , unde .

Consideram .

Elementele produsului cartezian ce se pot scrie:

aparțin submulțimii . Consideram orice element al submultimiiavem:

.

Intre oricare două elemente ale submulțimii ,

și

se poate stabili o relatie binara relație binară , definită în mulțimea P prin:

și implică , unde:

.

Relatia:

se mai poate scrie

,

dar această scriere este indeplinita și de elemente ce se gasesc si nu gasesc in multimea M.

Vom introduce astfel o relație binară în prin

.

Teorema 4.1 Relația binara este o relație de echivalență.

Demonstrație Relatia indeplineste urmatoarele proprietati:

reflexivitate: , pentru ca

;

simetrie: , pentru ca

;

tranzitivitate: , pentru ca

,

folosind asociativitatea adunarii numerelor naturale, comutativitatea adunarii numerelor naturale si regularitatea numerelor naturale fata de adunare obtinem

,

vom avea

.

va determina o partiție a lui NN în NN/' clase de echivalență. Multimea acestor clase de echilaventa se va nota cu cu si se va numi multimea numerelor intregi.

Un numar intregeste clasa de echivalență (sau numărul întreg) care conține elementul . se va numi reprezentant a lui a. Fiecare clasa de echivalenta este determinata de un element, reprezentand-o.

Adunarea numerelor întregi

Definiția 5.1: Suma dintre două elemente ale produsului cartezian și este elementul dat de relatia

, .

Adunarea elementelor produsului cartezian este o lege de compunere internă, care este definită pe intrega multime .

Teorema 5.2. Suma dintre și , ehivalente cu elementele și , va fi echivalentă cu suma dintre elementele .

Demonstrație:

si

.

Elementele și vor fi echivalente daca:

,

altfel scris:

.

Vom scrie primul membru astfel:

,

Al doilea se va scrie

.

Stim ca și sunt echivalente, atunci

,

asemenea și sunt echivalente, atunci

.

Vom avea:

Am demostrat ca elementele și sunt echivalente.

Consecința 5.3 Clasa de echivalență elementului rezultat prin adunarea a două elemente din este in stransa legatura cu de clasa de echivalență a elementelor adunate. Ea nu este influentata de reprezentantul ales in fiecare din clasele considerate.

Definiția 5.4: Vom numi sumă a două numere întregi și , avand ca reprezentanți pe și respectic , numărul întreg care il are ca reprezentant .

Proprietățile adunării numerelor întregi

Teorema 6.1 Urmatoarele enunturi sunt adevarate:

Adunarea numerelor intregi este comutativa.

Demonstrație: Consideram numerele intregi și . Vom avea:

si

,

rezulta ca

.

Adunarea numerelor intregi este asociativa asociativă.

Demonstrație: Consideram numerele intregi , și . Vom avea:

, am folosit urmatoarea notatie ,

, am folosit urmatoarea notatie .

Folosind asociativitatea numerelor naturale vom avea ca

n=n’ și m=m’ ,

tragem concluzia ca

,

pentru ca au același reprezentant.

Adunarea numerelor intregi admite element neutru.

Demonstrație: Consideram .Vom avea:

,

pentru , fiindca

n+0=0+n.

Consider , atunci:

.

Am demonstrat ca numarul e este element neutru pentru adunare.

Orice numar intreg are un opus fata de adunarea numerelor intregi.

Demonstrație: Fiecarui element îi corespunde un numar , vom avea:

.

In conditiile date, fiecare element are un singur simetric. Vom nota cu -a simetricul numarului a.

Teorema 6.2 Opusul unei sume este egal cu suma opusilor termenilor.

Demonstrație: Vom nota cu -a și -b opusii lui a și b, vom avea:

(a+b)+[(-a)+(-b)]=[(a+b)+(-a)]+(-b)=[a+(-a)+b]+(-b)=(e+b)+(-b)=b+(-b)=e.

Teorema 6.3: Ecuația x+b=a, , va admite în multimea numerelor intregi doar o solutie.

Demonstrație: Vom nota cu (-b) simetricul lui b si vom avea:

(x+b)+(-b)=(-b)+a=x+[b+(-b)}=x+e=x,

x va fi egal cu (-b)+a.

Pentruvom avea:

[(-b)+a]+b=a+[(-b)+b]=a,

ecuația va avea o singură rădăcină

x=(-b)+a.

6.4 Mulțimea numerelor întregi Z impreuna cu adunarea numerelor intregi este un grup abelian, fiinca operatia de adunarea are proprietatile urmatoare:

Asociativitate;

Are element neutru;

Orice numar intreg fata de adunare este simetrizabil.

Comutativitate.

Înmulțirea numerelor întregi

Definiția 7.1 Vom numi produs a două numere intregi (n1,m1) și (n2,m2) elementul (n3,m3), unde:

n3=n1n2+m1m2 și m3=n1m2+n2m1.

Teorema 7.2: Relatia de echivalenta este pastrata de operatia de inmultire in multimea .

Demonstrație: Schimband un element (n1,m1) ori (n2, m2) printr-un element echivalent vom avea un produs (n3’,m3’) echivalent cu (n3,m3).

Schimband elementul (n2’,p2’) vom avea:

, pentru

Elementele a3 și a3’ vor fi echivalente dacă

n3+m3’=n3’+m3,

vom avea ca

n3+m3’=n1n2+m1m2+n1m2’+n2’m2=n1n2+m2’+m1m2+n2’

si

n3+m3’=n1n1’+m1m2’+n2m1+n2m1=n1n1’+m2+m1m2’+n2,

dar (n2,m2) și (n2’,m2’) sunt echivalente. Rezulta

n2+m2’=n2’+m2,

de aici rezulta

n3+m3’=n3’+m3,

prin urmare (n3,m3) și (n3’,m3’) vor fi echivalente pentru ca sun din aceeasi clasa de echivalenta.

Consecința 7.3 Produsul a doi reprezentati din clasele a1 și a2, alesi la intamplare,va aparțin unei aceleiași clase de echivalență .

Clasa pe care o vom nota cu sau a= a1a2 si o vom numi produsul numerelor intregi a1 și a2.

Vom avea:

.

Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

Teorema 8.1 Inmultirea numerelor intregi are urmatoarele proprietati:

Comutativitate.

Demonstrație: Vom avea:

și

,

rezulta ca

a1×a2=a2×a1.

Asociativitate.

Demonstrație: Vom inlocui a1,a2,a3 prin și facand calculele folosind proprietatile adunarii si inmultiri numerelor naturale avem ca

,

unde si

.

Numarul este element neutru .

Demonstrație: Pentru , vom avea ca

.

Distributivitate fata de adunare.

Demonstrație: Punând: ,

vom avea ca

, unde:

n=n1(n2+n3)+m1(m2+m3)

m=n1[m2+m3]+m1[n2+n3]

Cum

, cu

.

Va rezulta ca

a1(a2+a3)=a1a2+a1a3.

Inelul numerelor întregi

Mulțimea numerelor întregi cu adunarea numerelor intregi este un grup abelian. Inmultirea definita pe :

este asociativa,

este comutativa,

are element neutru

este distributiva fata de adunare.

Vom spune ca mulțimea numerelor întregi este inel comutativ și unitar.

CAPITOLUL III

CORPUL NUMERELOR RAȚIONALE

Date generale

Din considerente didactice, se introduc mai întîi doar numerele raționale pozitive în clasa a V-a. Totuși , din punct de vedere algebric diferența făcutî între numerele raționale pozitive și negative este artificială.

Numerele raționale s-au introdus pentru a elimina imposibilitatea efectuării unor împărțiri în mulțimea numerelor întregi. Spre exemplu, în nu este definit rezultatul împărțirii lui 5 la 3, deci ecuația 3x = 5 nu are soluții în . Considerăm cazul general, dacă și b nu este divizibil cu a , ecuația ax = b nu are soluții în multimea numerelor întregi. De aceea, vom introduce mulțimea numerele raționale ca fiind mulțimea care are ca elemente toate cîturile dintre numerele întregi. Revenind la exemplul anterior, cîtul împărțirii lui 5 la 3 este numărul rațional . Vom observa că numerele 10 și 6 au același cât, deci numerele rationale și sunt egale.

Sisteme multiplicative închise

Definiție 2.1 Considerând I un inel unitar și comutativ. Vom numi sistem multiplicativ închis o submulțime nevidă S a lui I care îndeplinește următoarele condiîii: și rezultă xy e S.

Am introdus noțiunea de sistem multiplicativ pentru că dorim construcția unei mulțimi de fracții cu numitori din S. Deoarece produsul a doi numitori dorim să fie tot un numitor, este necesar ca S să fie parte stabilă față de înmulțire. Este importantă considerarea fracțiilor cu numitorul 1, deci condiția ca .

Dintre sistemele multiplicative închise amintim: , , -inelul polinoamelor cu coeficienți în copul fixat K.

Construcția lui

Definitie 3.1 definim următoarea relație

dacă și numai dacă av = bu.

Elementul nenul se numește divizor al lui zero dacă , astfel încît xy = 0.

Dacă și S nu conține divizori ai lui 0, atunci relația definită anterior este o relație de echivalență.

Dacă S conține divizori ai lui zero vom modifica definiția astfel:

astfel încât

u(av – bu) = 0.

Dacă S nu conține divizori ai lui zero și cele doua relații coincid.

Vom arata că ultima relație este o relație de echivalență:

este reflexivă: , avem

căci astfel încât

1(au – au) = 0.

este simetrică: dacă , va astfel încît

x(av – bu) = 0,

deci

x(bu – av) = 0,

adică

.

este tranzitivă: considerăm , astfel încât și . Va rezulta că astfel încât

x(av- bu) = 0

și astfel încît

y(bw – cv) = 0.

Înmulțind cu wy, respectiv ux, obținem:

wyxav – wyxbu = 0

uxybw – uxycv= 0.

Vom aduna relațiile membru cu membru și vom observa că

wyxbu = uxybu,

va rezulta

wyxav – uxycv = 0,

adică

xyv(aw – cu) = 0.

Pentru ca rezulta că

.

Definiție 3.2 Considerând . Se numește fracție(de numărator a și numitor u) clasa de echivalență a lui în raport cu relația și o vom nota cu sau a/u. Vom nota mulțimea cu .

Folosind definiția vom introduce noțiunea de amplificare a fracțiilor cu numitorii din S, care este dată de relația:

.

Vom înzestra cu o structură de inel, folosind regulile obișnuite de adunare și

înmulțire a două fracții. Considerăm . Vom defini:

,

.

Propoziție 3.2. este un inel comutativ și unitar, unde:

și

.

Se va numi morfism canonic aplicația , care este un morfism unitar de inele.

Demonstrație Vom arăta doar că adunarea este correct definita. Considerăm , unde

și .

Trebuie să demonstrăm că

.

Considerând atunci

și .

Vom înmulți cu vv’y și respectiv cu uu’x egalitățile și le adunăm. Vom avea

.

Se observă că orice va avea imaginea inversabilă prin în . Inversul lui u/1este 1/u. Tragem concluzia că ecuația ux=b are soluția

Observație 3.4. Vom avea că:

a) x/1 = 0 în astfel încât sx = 0.

Morfismul este injectiv S nu are divizori ai lui 0.

Pentru , vom avea ca .

va fi corp pentru I un inel integru și , pe care îl vom numi numit corpul total de fracții al lui R și il vom nota cu Q(I). Daca , inversul lui a/b este b/a. Vom nota cu corpul de fracții al lui .

Proprietățile inelui de fracții

Proprietatea (de universalitate a inelului de fracții) 4.1 Consideram I un inel comutativ, unitar și S un sistem multiplicativ închis în I. este un inel comutativ unitar și este un morfism unitar cu proprietatea ca este inversabil în S, . Oricare ar fi P un inel unitar, comutativ și , , care pentru , este inversabil, va exista un unic morfism de inele astfel încât .

Teoremă 4.2 Considerăm I un inel comutativ, unitar și S un sistem multiplicativ închis din I. Având alt un inel comutativ, unitar A și un morfism cu proprietatea că ar fi T un inel unitar, comutativ și , astfel încât este inversabil, , va exista un unic morfism de inele astfel încât . Atunci va exista un unic izomorfism unitar de inele astfel încât .

Teorema anterioară ne arata că proprietatea de universalitate a inelului de fracții va determina inelul de fracții până la un izomorfism.

CAPITOLUL IV

CORPUL NUMERELOR REALE

Date generale

Dacă numerelor întregi și raționale au apărut din considerente practice, imediate, numerelor reale au fost introduse din motive mai complexe. Matematicii greci au descoperit că diagonala pătratului cu latura de lungime 1 nu poate fi un număr rațional, ceea ce i-a contrariat.

Structura de ordine a mulțimi numerelor reale este ilustrată cel mai bine de reprezentarea numerelor reale ca o mulțime de puncte ce alcătuiesc o dreaptă. Pe aceasta dreaptă, vom fixa un punct O și vom considera un alt punct ce corespunde numărului 1, astfel înzestrând dreapta cu o unitate de măsura. Fiecărui numar real îi va corespunde într-un mod unic un punct de pe dreaptă, corespondența fiind dată de distanța de la reprezentarea numărului real pe dreapta la punctul fix. Deci, cu ajutorul numerele reale putem măsura toate distanțele.

Topologia pe

este un corp normat, aplicația modul ,

va avea proprietățile:

va avea loc ,

va avea loc ,

va avea loc ,

va avea loc .

Cu alte cuvinte, modulul (valoarea absolută) este o normă. Vom define metrica (distanța) , , , o aplicație care are proprietățile:

va avea loc ,

va avea loc ,

va avea loc .

Metrica astfel definită va determina o topologie pe .

Definirea corpului numerelor reale

Definitia 3.1 Corpul numerelor reale este definit ca un corp comutativ , pe care se stabilește o relație de total ordonare “ ” ce satisface relațiile:

este un corp ordonat, vom avea că

și

.

Mulțimile majorate din vor admite margine superioară.

Teoremă 3.1 Fie două corpuri ordonate, comutative și care satisfac ultima relație, va exista un unic izomorfism de corpuri cu proprietatea că

.

Deci definirea mulțimii numerelor reale este unică.

Existenței structurii care îndeplinește relațiile anterioare se rezolvă prin construcția lui , construcția poate fi făcută : zecimal, prin tăieturi în Q , cu ajutorul șirurilor Cauchy , etc.. Cea mai elegantă și rapidă construcție a mulțimii numerelor reale se face folosind șirurile Cauchy.

Construcția lui R cu ajutorul șirurilor Cauchy

Vom porni de la ideea că numerele reale reprezintă limite de șiruri de numere

raționale. Vom considera toate șirurile de numere raționale care au o limită.

Definiție 4.1 Un șir de numere raționale de forma se va numi șir Cauchy dacă îndeplinește relația:

pentru sa avem .

Considerăm șir Cauchy}

Două șiruri , vor fi echivalente dacă vor avea aceeași limită.

Deci cu proprietatea că pentru vom avea .

Un număr real va fi o clasă de echivalență de șiruri din R, mulțimea factor se va nota cu și se va numi mulțimea numerelor reale. Fiecare număr rațional va fi de forma .

R este inel unitar, comutativ unde .

Dacă , atunci P este ideal maximal în R, deci este corp comutativ . Se va nota cu imaginea șirului , în .

Teoremă 4.2 a) este un inel comutativ și unitar unde:

,

,

.

b) Mulțimea este corp comutativ .

c) , definim șirul constant . Prin asociere unui element cu clasa în a șirului constant se obține un morfism de corpuri.

d) Fie pe relația binară " < " , dată de formula și pentru care .

Relația” < ” va fi bine definită și va fi o relație de ordine strictă pe . Relația binară ”” va fi o relație de ordine totală pe .

e) Considerăm , unde, . Aplicația este corect definită și îndeplinește proprietățile normei definite anterior.

f) Dacă este un șir Cauchy de numere reale, atunci el converge la un număr real.

Mulțimile nevide majorate cu elemente din au margini superioare.

Mulțimea numerelor raționale este densă în mulțimea numerelor reale.

Demonstrație Vom demonstra subpunctele b și f.

P este ideal maximal.

Luăm , va existași să fie adevarată relația. Pentru că nu tinde la 0, va exista astfel încât să avem. Dar, este Cauchy, considerând va să avem , . Considerăm care îndeplinește relația anterioară. Pentru , vom avea

.

Va exista pentru care dacă . Considerăm șirul , pentru și pentru . Vom avea că este un șir Cauchy și că

,

unde este 0 pentru , altfel spus .

Considerăm un șir Cauchy de numere reale . Pentru un șir Cauchy de numere raționale facem notația , fixat. Pentru vom face notația . Să arătam că are limita în multimea numerelor reale, notând cu două șiruri strict crescătoare de numere naturale.

Deoarece este șir Cauchy în multimea numerelor reale, având, va exista cu proprietatea că oricare ar fi vom avea

.

Deoarece este șir Cauchy în mulțimea numerelor raționale, (unde ) vom avea că

.

Considerăm un număr natural și pentru definim șirurile de numere naturale i1 < i2 < … < in-1 și j1<j2< …< jn-1 cu proprietățile:

;

;

.

Ultima relație este vidă pentru k = 1.

Fie șirul Cauchy în mulțimea numerelor reale, considerăm , va exista pentru care și

.

Deoarece este șir Cauchy în multimea numerelor rationale, va exista să avem

.

Din prima relație aplicată pentru și vom avea că

,

va exista , care va satisface

.

Relațiile a doua și a treia sunt îndeplinite pentru și k=n , iar . Pentru oricare am construit șirurile strict crescătoare , care satisfac toate cele trei relații.

Vom nota , pentru orice . Vom demonstra că este șir Cauchy în multimea numerelor raționale. Oricare ar fi n<m, , vom avea că

.

Folosind relația a treia, vom avea că

.

dar,

.

Făcând înlocuirea , vom avea că

,

deci șirul este Cauchy.

Vom demonstra că rn va avea limita . Considerăm și pentru care . Din prima relație vom avea că

.

Pentru n > ik, vom arăta că . Pentru aceasta, vom demonstra și vom avea

.

Considerăm , pentru care . Cum

,

va exista N0 pentru care, , să avem

.

Deoarece este un șir Cauchy va exista N1 pentru care, , să avem

.

Dacă N este , pentru vom avea că

.

Complementarea unui corp normat

Definiție 5.1 Considerăm o mulțime. Vom numi distanță pe X o aplicație care satisface următoarele axiome:

va avea loc ;

va avea loc ;

va avea loc .

Considerând o distanță d pe X, un dublet (X, d) se numește spațiu metric, iar elementele lui X se numesc puncte.

Notăm cu

sfera deschisă de rază r și centru x.

Distanța va defini o topologie pe X. este deschisă dacă pentru orice va exista r>0, să avem . Șirul va fi convergent la să avem . Un dublet (X, d) va fi numit complet dacă fiecare șir Cauchy din X va fi convergent la un element din X.

Mulțimea numerelor raționale este un spatiu metric, dar nu este complet. Completând spațiul metric al mulțimii numerelor raționale putem construi spațiul metric complet al mulțimii numerelor reale.

Definiție 5.2 Considerăm un corp C comutativ. Aplicația se va numi normă dacă îndeplinește următoarele cerințe:

va avea loc ;

va avea loc ;

va avea loc ;

va avea loc .

Fie K un corp și N o normă. Dubletul (K, N) se va numi corp normat. Mulțimea numerelor raționale este un corp normat, dar nu este complet. Completând corpul normat al mulțimii numerelor raționale putem construi corpul normat complet al mulțimii numerelor reale.

CAPITOLUL V

CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

Date generale

Încercările rezolvării ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au fost unele din motivele dezvoltării algebrei. S-a observat că ecuația de forma nu are soluții în mulțimea numerelor reale. Soluția acestei ecuații este egală cu rădăcina pătrată din numărul .

Pentru exprimarea soluțiilor unor ecuații s-a folosit notația și s-a constatat că este mai ușor să lucrăm cu numere de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale. Numerele de forma aceasta se adună și se înmulțesc folosind regulile de adunare și înmulțire definite pe mulțimea numerelor reale, dar trebuie să ținem seama de faptul că .

Un număr complex de forma a+bi este alcătuit dintr-o parte reală “a” și o parte imaginară “bi”. Se folosește termenul imaginar pentru a arăta că nu avem de-a face cu numere reale.

Construcția corpului numerelor complexe

Vom face notația . Dacă , atunci vom defini:

,

.

Teorema 2.1 Tripletul este un corp comutativ, iar ecuația are soluția în acest corp.

Demonstrație Elementul neutru pentru adunare este perechea , iar opusul elementului este . Asociativitatea și comutativitatea adunării pe rezultă imediat din proprietățile adunării pe . Prin urmare, este un grup abelian.

Vom considera pentru a arăta că dubletul este grup comutativ.

Deoarece

,

iar

rezultă folosind proprietățile înmulțirii și adunării pe că

.

Deci înmulțirea este comutativă pe .

Asociativitatea înmulțirii rezultă din relația

.

Elementul neutru pentru înmulțire este pentru că

.

Vom considera, unde sau. Inversul numărului (a,b) este numărul

,

deoarece

.

Înmulțirea este distributivă față de adunare pentru că

,

oricare ar fi .

Pentru i=(0,1), vom avea că . Deci, ecuația are soluția în .

este un subcorp al lui , deoarece putem define o functie injectivă pe , cu valori în , care asociază numărului real x perechea (x,0).

Orice număr se poate scrie

,

unde i=(0,1).

Vom numi mulțimea numerelor complexe, mulțimea definită anterior. Tripletul este corpul numerelor complexe, iar elementele mulțimii se numesc pur imaginare. Pentru vom numi partea reală a numarului complex x numărul a, iar partea imaginară a numărului este ib.

Modulul unui număr complex

Numărul se va numi conjugatul numărului complex z, unde,

iar modulul lui z va fi dat de relația

.

Teorema 3.1 Dacă , atunci:

,

,

;

;

;

;

;

;

;

.

Demonstrație Vom demonstra doar unele relații, celelalte probându-se ușor.

Considerăm , pentru vom avea că , altfel spus . Pentru vom avea că ,atfel spus , rezultă .

Pentru a demonstra , vom alege si , unde .Vom avea că

.

Vom avea egalitate pentru .

Teorema fundamentală a algebrei

Vom spune despre un corp M că este o extindere corpului C dacă C este subcorp al lui M.

Lema 4.1 Considerăm C un corp comutativ și , unde . Va exista o extindere M a lui C unde se găsesc toate rădăcinile lui f.

Lema 4.2 Considerăm C un corp comutativ și , unde . Fie M o extindere a lui C care conține rădăcinile ale lui f și un polinom simetric vom avea ca .

Prima lemă exprimă un rezultat clasic, iar a doua lemă se obține din teorema fundamentală a polinoamelor simetrice.

Teorema (fundamentală a algebrei ) 4.3 Fiecare polinom cu gradul mai mare sau egal cu unu are cel puțin o rădăcină în mulțimea numerelor complexe.

Demonstrație Notăm cu conjugatul lui , pentru orice vom considera

și

.

Pentru

,

unde , vom avea că

.

Dar din vom avea că .

Vom presupune că teorema este verificata de toate polinoamele din .Va exista numărul complex a pentru care

sau

.

Rezultă că presupunerea este suficientă. Considerăm că f are gradul impar rezultă că funcția polinomială a polinomului considerat este continuă și la va lua semne opuse, deci pentru care f(a)=0.

Notăm n=grad(f), unde n=2kp, și p impar . Dacă k=0 este evident afirmația. Considerăm afirmația adevărată pentru oricare polinoame a căror grade se împart exact prin 2k-1 și nu se împart exact prin 2k.

Din prima lemă rezultă că există o extindere M a mulțimii numerelor complexe în care polinomul f va avea toate rădăcinile .

Fie

,

unde si .

Polinomul

are gradul egal cu

,

unde m este impar. Polinomul va avea coeficienții polinoame simetrice de . Din lema a doua rezultă că .

Deoarece 2k-1 împarte exact gradul lui și 2k nu împarte exact gradul lui , va rezulta că va avea cel puțin o rădăcină în . Vor exista , pentru care .

Cum

și

vom avea că

Va rezulta că și , deci .

Folosind teorema tragem concluzia că un polinom de grad mai mare sau egal cu unu are toate rădăcinile în mulțimea numerelor complexe, deci corpul numerelor complexe va fi algebric închis. În mulțimea numerelor complexe polinoamele ireductibile au gradul unu.

CAPITOLUL VI

PROGRAMĂ DE OPȚIONAL “MAGIA NUMERELOR”

1. Date generale

Disciplina: Matematică

An scolar:

Durata: 1 an

Clasa: a V-a

Ore pe saptamana: 1 ora

Profesor propunător:

Școala:

Denumirea opționalului:

„Magia Numerelor”

Aria curriculara: Matematica și științe ale naturii

Tipul: Opțional la nivelul disciplinei

Disciplina implicată – matematică

2. Notă de prezentare

Am realizat programa opționalului „Magia numerelor” pentru a-i motiva pe elevi către studiul matematicii prin descoperirea numeroaselor și interesantelor proprietăți ale numerelor.

Consider că printre cele mai mari invenții ale umanității este inventarea numerelor. Simplitatea actuală a noțiunii de număr a fost rezultatul unui lung proces de abstractizare. De ce au apărut numerele naturale? Numerele 0,1,2,3,……, sunt obiectul opționalului, ele sunt numere atât de ușor de perceput încât le-am numit naturale. Ce cunoaștem noi despre numerele naturale? Numerele naturale urmează unul după altul, mereu va există un altul, precizând un număr, vom afla succesorul său adăugând 1, numerele naturale sunt din ce în ce mai mari, nu se sfârșesc, deși avem un un cel mai mic număr nu avem un ultim număr. În nesfârșita lor succesiune, atât de obișnuită pentru noi, se află neobișnuite iregularități, dar și minunate tipare, toate acestea făcându-mă să aleg acest opțional. Deasemenea, doresc să îmi ajut elevii să perceapă matematica și în alt mod, nu doar ca pe un obositor șir de reguli.

În acest opțional, am prevăzut jocuri și probleme distractive, de logica, care vor dezvolta memoria, spiritului de observație, istețimea elevilor.

Nu trebuie privită matematica ca o înșiruire de cifre, algoritmi sau probleme care trebuie să le memoram și rezolvăm pentru că sunt prevăzute în programa școlară, ci este și o disciplină interesantă. Trebuie să ne convingem elevii că matematica nu este atât de grea cum pare la prima vedere.

Matematica îi ajuta pe copii să își dezvolte atenția, să observe cu băgare de seamă datelor unei probleme, să găsească orice amănunt relevant, să deosebească informațiile esențiale de cele neimportante pentru a rezolva corect problema. Activitățile didactice formează judecăți analitice în rândul elevilor, necesare dezvoltarii unor personalități inventive, iubitoare de investigații.

Prin această programă de opțional, am încercat să răspund necesității de formare de capacități, atitudini și competențe clădite pe gândirea logică, critică, divergentă și creativă.

Am implicat părinții în alegerea opționalului, iar în alegerea conținuturile am ținut cont de particularitățile de vârstă și interesele elevilor.

În organizarea activităților, domină lucrul în echipă care facilitează comunicarea și angajează elevii în diverse roluri în cadrul grupului.

3. Competențe generale(preluate din Programa școlară la Matematică pentru clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII a, 2009)

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete;

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;

5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă;

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.

4. Valori și atitudini

• Formarea în rândul elevilor a unei gândiri creative și deschise, independenței în acțiune și în gândire pentru a avea capacitatea de a aborda sarcini diferite, dezvoltarea inițiativei;

• Dezvoltarea perseverenței, tenacitătii, atenției distributive și a posibilităților de concentrare;

• Formarea capacității de observare;

• Formarea și dezvoltarea simțului critic și estetic, a capacității de a aprecia ordinea, rigoarea și eleganța în elaborarea rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;

• Dezvoltarea obișnuinței de apela la concepte și metode matematice în abordarea unor situații din viața de zi cu zi sau pentru rezolvarea unor probleme cu caracter practic;

• Dezvoltarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu esențial pentru viața profesională și socială.

5. Competențe specifice și conținuturi

6. Sugestii metodologice

Strategii didactice:

problematizarea,

coversația euristică,

demonstrația,

dezbateri în scopul definirii conceptelor,

explorarea interdisciplinară,

investigația în grup,

discurs argumentativ

discuția liberă și dirijată.

Resurse materiale:

fișe de grup,

laborator de informatică și matematică,

cărți de specialitate.

7. Exemple de activități de învățare asociate competențelor specifice

8. Metode de evaluare

Probe orale – evaluare critică bazată pe interesul arătat de elevi ți participarea efectivă la realizarea activităților;

Probe practice;

Probleme pe calculator(Power Point);

Probe scrise;

Observarea sistematică a elevilor;

Portofoliul care va cuprinde referatele, jocurile ,poeziile și creațiile despre matematică, imaginile și desenele realizate de către elevi.

9. Bibliografie

1. Dăncilă.I, Matematică distractivă, Editura Sigma , 2000;

2. Artur Bălăuca, Teme pentru activități optionale, Editura Taida, 2011;

4.Programa școlară la Matematică pentru clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII a, 2009;

3. Manuale școlare.

CONCLUZII GENERALE

BIBLIOGRAFIE

***Legea Educației nr. 1/2011

***OM nr. 5561/2011 Metodologia privind formarea continuă a personalului din învățământul preuniversitar

Albu, M., (1999). Minighid pentru elaborarea lucrărilor științifice în psihologie. Cluj Napoca: Editura Clusium

American Psychological Association (Ed. 6). (2010). Publication manual of the American Psychological Association. Washington, DC: American Psychological Association

Beaud, M. (1997). L’art de la thèse. Comment préparer et rédiger une thèse de doctorat, un mémoire de D.E.A. ou de maitrise ou tout autre travail universitaire. Paris: Éditions La Découverte

Bocoș, M. (2003). Cercetarea pedagogică. Suporturi teoretice și metodologice. Cluj-Napoca: Editura Casa Cărții de Știință

Bocoș, M., Jucan, D. (2008). Fundamentele pedagogiei. Teoria și metodologia curriculumului. Pitești: Editura Paralela 45

Chelcea, S. (2005). Cum să redactăm o lucrare de licență, o teză de doctorat, un articol științific în domeniul științelor socioumane. București: Editura comunicare.ro.

Dicționarul explicativ al limbii române. București: Editura Academiei

Eco, U. (2000). Cum se face o tezǎ de licențǎ. Disciplinele umaniste. Editura Pontica

Ferréol, G., Flageul, N. (1998). Metode și tehnici de exprimare scrisǎ și oralǎ. Iași: Editura Polirom

Gherghel, Nicolae.(1996). Cum să scriem un articol științific. București: Editura Științifică

Guidère, M. (2004). Méthodologie de la recherche. Giude de jeune chercheur en Lettres, Langues, Sciences humaines et scoiales. Maîtrise, DEA, Master, Doctorat. Nouvelle édition revue et augmenée. Bruxelles De Boeck Université

Ionescu, M. (2007). Instrucție și educație, ediția a III-a. Arad: Editura Universității de Vest "Vasile Goldiș"

Joița, E. (2000). Management educațional. Profesorul manager – roluri și metodologie. Iași: Editura Polirom

Joița, E. (coord). (2007). Profesorul și alternativa constructivistă a instruirii. Craiova: Editura Universitaria

Jucquois, G. A. (1996). Rédiger, présenter, composer. L’art du rapport et du mémoire. Bruxelles De Boeck Université

Lenoble – Pinson, M. (1996). La rédaction scientifique. Conception, rédaction, présentation, signalétique. Bruxelles De Boeck Université

Milkovitch-Rioux, C, Veilhan, H. (2006). Méthodologie de la recherche. Maitraise – D.E.A. (Master 1 et 2) de Lettres [en ligne]. Clermont – Ferrand. Disponibil: http://www.univ-bpclermont.fr/CEAD/2-Modules

Mogonea, F. R., Mogona, F., Popescu M. A., Ștefan M. A. (2012). Ghid theoretic și aplicativ pentru realizarea lucrării de licență/disertație. Craiova: Editura Universitaria

Mogonea, F. (2009). Profesorul și managementul clasei de elevi. Fundamente teoretice. Ipoteze și soluții aplicative. Sarcini și instrumente de lucru. Profilul de competență managerială a profesorului. (2009). Craiova: Editura Universitaria

Mogonea, F. R. (2010). Dificultǎțile de învǎțare în context școlar. Craiova: Editura Universitaria

Păiși Lăzărescu, M., Tudor, L. S., Stan, M.M. (2011). Elaborarea, redactarea și prezentarea lucrării de licență/ disertație în domeniul științelor educației. Pitești: Editura Universității din Pitești

Pǎlǎșan, T. (2001). Cercetarea pedagogicǎ, în Pregǎtirea psihologicǎ, pedagogicǎ și metodicǎ a profesorilor, coord. R. M. Niculescu. Brașov: Editura Universitǎții Transilvania

Rad, Ilie. (2008). Cum se scrie un text științific. Discipline umaniste. Iași : Editura Polirom

Radu, I. (coord.). (1993). Metodologie psihologică și analiza datelor. Cluj-Napoca: Editura Sincron

Rǎdulescu, M. (2006). Metodologia cercetǎrii științifice. Elaborarea lucrǎrilor de licențǎ, masterat, doctorat. București: Editura Didacticǎ și Pedagogicǎ, R.A.

B. Webografie:

Curba lui Gauss

http://ro.wikipedia.org/wiki/Lucrare_de_licen%C8%9B%C4%83#cite_ref-0

http://ro.wikipedia.org/wiki/Plagiat

http://vasilenechita-satumare.blogspot.ro/2012/03/anexa-1-greseli-tipice.html

http://www.euro.ubbcluj.ro/studenti/regulamente/reg_licenta.pdf

http://www.indiana.edu/%7Ewts/pamphlets/plagiarism.shtml

http://www.socio.uvt.ro/as/wp-content/uploads/2012/01/Procedura-privind-frauda-si-plagiatul-in-randul-studentilormasteranzilordoctoranzilor.pdf

http://www.socio.uvt.ro/as/wp-content/uploads/2012/01/Procedura-privind-frauda-si-plagiatul-in-randul-studentilormasteranzilordoctoranzilor.pdf,

www.armyacademy.ro/doc_universitate/plagiatul.pdf

ANEXA NR. 1

PLANIFICARE ANUALĂ ȘI CALENDARISTICĂ

Planificare anuală

Clasa:

An școlar:

Clasa :

Curriculum aplicat: C.D. 1 oră/ săpt.

Profesor:

Capitolul Sem I Sem II

1. Călătorie în lumea numerelor 8ore

2. Operații cu numere 9 ore

3. Calcul rapid 6 ore

4. Probleme “istețe” 10 ore

5. Recapitulare și ne distrăm 1 ore 1 ore

18 ore 17 ore

Total : 35 ore

Eșalonarea anuală a unităților de învățare

Planificare calendaristică pe semestrul I

Planificare calendaristică pe semestrul al II-lea

ANEXA NR. 2

APLICAȚII REALIZATE DE ELEVI

Matematică în versuri

Matematica

Dabija Paul Damian

La mate’ scriu de toate,

Cifre, fracții adunate.

Scriem pe pătrățele,

Da’ am mai uitat din ele.

Lecțiile noi și multe,

Fac aproape cât un

munte.

Nici un crab care danseaza…

În a cincea se calculează.

Albina în stup

Tănăsoiu Mariana

O albină zboară într-un stup,

Cu toate dimensiunile egale.

Dacă șase metri au muchiile în grup,

Care este lungimea muchiei sale?

Ana are mere

Ivana Bianca

Ana are patru mere.

Le împarte la o masă,

Cu cinci colegi de clasă.

Câte felii egale primește fiecare?

Cinsprezece înțelepți

Vîlcu George

Cinsprezece înțelepți

Au primit o întrebare.

Dacă șase sunt sugubeți,

Ce procent sunt ei din adunare?

Ora de mate

Popescu Lavinia

Când vine ora de mate,

Mă distrez, măi frate!

Calculez cu numere,

Fară nici o temere.

Fracțiile- am învățat,

Cu ele eu m-am jucat.

Știu să amplific, să simplific,

Fracții egale să exemplific.

Eu la tabla am ieșit,

Acasă m-am pregătit,

Profu’ bun m-a ajutat,

Nota zece am luat!

Figuri de departe

Ion Laura

Privind distrată, de departe,

Am văzut un vizitiu în carte.

Era un trapez sfios, nătâng,

Singur, m-a făcut să plâng!

Pe pagina următoare,

Mergeau triunghiurile la vale.

Ca o herghelie mare

Striveau totul, în a lor cale.

Dupa ele o trăsură,

Un dreptunghi cam dolofan

Mergea-n spate ca un sultan,

Răsuflând greoi pe gură.

Patru cercuri mititele,

Rostogolindu-se ele

Jucăus, puțin rebele,

Încercau să atingă stele.

Jocuri matematice

Figuri geometrice

Ion Laura

Orizontal

1. Porțiune dintr-o dreaptă mărginită de două puncte.

3. Paralelogram cu un unghi drept.

5. Poligon cu patru laturi.

7. Element al unui poligon.

8. Figura elementară fară dimensiuni.

10. Poligon cu doua și numai două laturi opuse paralele.

Vertical

2. Poligon cu trei laturi.

4. Linie frânta închisă.

5. Poligon cu 5 laturi.

6. Patrulater cu toate laturile egale.

9. Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix.

Eseuri matematice

Despre teorema împărțirii cu rest

Ion Daliana

În manualul de clasa aV-a Teorema împărțirii cu rest este enunțată astfel: „Pentru orice două numere naturale d și î cu î ≠ 0, există și sunt unice două numere naturale c și r astfel încât: d = c ∙ î + r și r < î , unde d = deîmpartitul, î = împărtitorul, c = câtul împărțirii și r = restul împărțirii”.

Următoarele proprietăți ale teoremei se folosesc des în probleme:

1) Dacă adunăm la d un multiplu a lui î, restul împărțirii nu se schimbă.

2) Dacă înmulțim deîmpărțitul cu un număr, restul se înmulțește cu acel număr.

d ∙ m = î ∙ c ∙ m + m ∙ r, unde m ∙ r < m ∙ î

3) Dacă numerele d și î se împart cu un număr atunci și restul se împarte cu același număr.

d/m = î/m ∙ c +r/m,

4) Dacă două numere dau același rest la împărțirea cu un număr m, diferența lor se împarte exact la m.

d – î = m ∙ (c1 – c2) “(Matematică pentru clasa a V-a, Editura Art)

În continuare o să dau câteva exemple de probleme și exerciții în rezolvarea cărora folosim Teorema împărțirii cu rest:

Exemplu 1. Faceți împărțirile și verificați rezultatele obținute folosind teorema împărțirii cu rest.

a) 27 : 5 = b) 567 : 12 = c) 13 : 85 = d) 0 : 47 =

Exemplul 2. Ce numere sunt resturile împărțirii unui număr natural la:

a) 4 b) 2 c) 12 d) 2015

Exemplul 3. Aflați: a) Cel mai mic număr natural care împărțit la 12 dă câtul 17.

b) Cel mai mare număr de două cifre care împărțit la 7 să dea rest 1.

c) Câte numere de două cifre dau restul 2 la împărțirea cu 5.

Exemplul 4. Ionel vrea să cumpere de la florarie trandafiri .Câți trandafiri poate să cumpere dacă unul costa 5 lei și are la el 28 lei? Ce rest primeste de la vânzătoare? Verificați soluția.

Exemplul 5. Calculați suma resturilor împărtirii unui număr natural la 6.

Exemplul 6. Găsiți cel mai mare număr natural care împărtit la 16 dă câtul egal cu o cincime din rest.

Exemplul 7. Un număr natural de trei cifre are primele două cifre identice, iar cifra unităților 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre și se obține restul 7. Aflați deîmpărțitul, împărțitorul și câtul.

Exemplul 8. Găsiți cel mai mic număr natural n care, împărțit la 142 și apoi la 15, să dea același rest 14 și câturile diferite de zero.

Exemplul 9. Aflati numărul care împărtit la 17 dă câtul si restul 13.

Exemplul 10. Găsiți toate numerele naturale care împărțite la:

a) 5 dau restul egal cu câtul;

b) 8 dau restul mai mare cu 2 decat câtul;

c) 9 dau restul de două ori mai mic decât câtul.

Exemplul 11. Găsiți toate numerele naturale de două cifre care împărțite la un număr natural format dintr-o singură cifră dau restul 6.

Exemplul 12. Suma a cinci numere naturale consecutive se împarte la 5?

Exemplul 13. Suma tuturor numerelor naturale de patru cifre diferite între ele, cu cifrele a, b, c, d se împarte exact la a + b + c+d ?

Exemplul 14. Prin împărțirea numerelor și , la același număr natural, obținem câturile și , și resturile m, n, p. Aflați împărțitorul.

Bibliografie:

1.Singer, M., Radu, M., Manual de matematică pentru clasa a V-a, Editura Sigma, 2000, Cluj-Napoca;

2.Săvulescu,D., Perianu,M.,Matematică pentru clasa a Va, Editura Art, 2014,București.

Desene

Cowdoi

Gaiță Alexandra

Cursa cifrelor

Bocșe Octavian

Într-un razboi suntem doar numere

Constantin Laurențiu

Paradoxul săgeții

Bocșe Octavian

Paradoxul bărbierului

Constantin Izabela

Paradoxul poștașului

Dincă Neluța

Paradoxul “Achile și broasca țestoasă”

Vîlcu Bogdan

Tangram

Fotbalist

Constantin Laurențiu

Barca pe valuri

Tănăsoiu Mariana

Baloo

Ghiță Corina

Declarație de autenticitate

Declarație de autenticitate

Subsemnatul(a)…………………………………………………………………având funcția didactică…………………………..la unitatea școlară…………………………………………….declar pe propria răspundere că lucrarea cu titlul……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..având coordonator științific……………………………………………………………………….a fost elaborată personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului.

Data Semnătura candidatului