LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific Conf. Dr. Dana Marina Piciu Candidat Prof. Ivănuș Nicolae… [624241]
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator științific
Conf. Dr. Dana Marina Piciu
Candidat: [anonimizat]. Ivănuș Nicolae
Școala Gimnazială, sat Mologești
Comuna Laloș u, județ ul Vâlcea
Seria
2016 – 2018
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
PRINCIPALELE MULȚIMI DE NUMERE ȘI OPERAȚIILE ELEMENTARE
DEFINITE PE ACESTEA
Coordonator științific
Conf. Dr. Dana Marina Piciu
Candidat: [anonimizat]. Ivănuș Nicola e
Școala Gimnazială, sat Mologești
Comuna L aloșu, județ ul Vâlcea
Seria
2016 – 2018
ACORD
Subsemnat a, Dana Marina Piciu , conferențiar doctor , la Facultatea de Științe ,
s pecializarea matematică, sunt de acord cu depunerea lucrării metodico – științifice p entru
ob ținerea gradului didactic I, elaborată de Ivănuș Nicolae , profesor Școala Gimnazială, sat
Mologești , localitatea Laloșu , jude țul Vâlcea , cu titlul “ Principale le mulțimi de numere și
operați ile elementare definite pe acestea ” .
Profesor coord onator,
Conf. Dr. Dana Marina Piciu
Data,
Declarație de autenticitate
Subsemnatul , Ivănuș Nicolae, având funcția didactică de profesor la unitatea școlară
Școala Gimazială, sat Mologești declar pe propria răspundere că lucrarea cu t itlul
„Principalele mulțimi de numere și operaț i ile elementare definite pe acestea” având
coordonator științific pe Conferențiar Universitar D octor Dana Marina Piciu a fost elaborată
personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței p ersonale și îmi aparține
în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au
fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi
precizată sursa preluării, inclusiv î n cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale
candidat: [anonimizat].
Data Semnătura
CUPRINS
INRODUCERE …………. …………………………… …………………………. ……. . ……………………… .. . … ….7
1. Motivaț ia a legerii temei…………………………….. ………………………… …………… . …………… . …..7
2. Import ața și actualitatea temei……………………………………………………………….. . ……… . …..7
A. FUNDAMENTARE TEORETICĂ
CAPITOLUL I – MULȚ IMEA NU MERELOR NATURALE ȘI OPERAȚ IILE
ELEMENTARE DE PE ACEASTA ………………………… …………….. ………………………. ………..10
I.1 . Mulțimi echivalente ……………………………………………… ……………… ………10
I.2 . Numere n aturale……………………………………………………………… ……..… ..11
I.3 . Adunarea numerelor naturale ……………………………………………… ………… . 12
I.4 . Înmulțirea numerelor naturale ………………………………………… … .. ……….….1 4
CAPITOLUL II – INELUL NUMERELOR Î NTREGI ……………………….. ……………. ……….16
II.1 . Noțiunea de grup ……………………………… …………………………………… . ….16
II.2 . Noțiunea de inel ……………………………… …………………………………………17
I I.3 . Construcț ia mulțimii numerelor întregi ………………………… ……………………18
II.4 . Adunarea numerelor întregi ………………………… ……………………………… … 19
II.5 . Proprietățile adunării numerelor întregi ………………………… ……………… .. …21
II.6 . Î nmulțirea numerelor î ntregi ………………………… ……………………………… . .23
II.7 . Proprietăți le înmulțirii numerelor întregi …………………………………………….24
II.8 . Inelul numerelor întregi ……………………… ………………………………… . …….25
CAPITOLUL III – CORPUL N UME R ELOR RAȚ IONALE …………………….. ……………….26
III.1 . Sisteme multiplicative închise …………………… ……………………… ……… … …2 6
III.2 . Construcția lui ………………………… …………………………………… … ……27
III.3 . Proprietățile inelui de fracții …………………… ………………………………… … .2 9
CAPITOLUL IV – CORPUL N UME R ELOR REALE .. ………………………. ………………. .. .. . ..31
IV.1 . Topologia pe ……………………… …………………………………………… …. . .31
IV. 2 . Definirea corpului numerelor reale …………………… ………………………… … .. . 32
IV.3 . Construcția lui cu ajutorul șirurilor Cauchy ………………… …… ……… . … … . 32
IV.4 . Complementa rea unui corp normat ………………… ………………………… .. … . ..3 7
CAPITOLUL V – CORPUL NUMERELOR COMPLEXE …………………….. ………………… . 3 8
V.1 . Construcția corpului numerelor complexe ……………… …………………… … ……38
V.2 . Modulul unui număr complex ……………… ……………………………………… … .40
V.3 . Teorema fundamental ă a algebrei ……………… ………………………………… . … .41
B. DEMERSUL METODICO – EXPERIMENTAL
CAPITOLUL VI – PROGRAMA OPȚ IONAL “MAGIA NUMERELOR” ……… …………44
V I.1 . Notă de prezentare ………….. ……………………………………. ……………… …………………………45
V I.2 . Competențe generale ……………….. ……………………………………………. …………………………46
V I.3 . Valori și atitudini …………. ………………………………. ………………………. …………………………46
V I.4 . Competențe specifice și conținuturi ………. ……………………………….. …………………………47
V I.5 . Sugestii metodologice .. ………. ……………………………. ……………………. …………………………49
V I.6 . Exemple de activități de învățare asociate competențelor specifice …………….. ………50
V I.7 . Metode de evaluare ……………. ………………………………………………… .. ………. ………………..55
VI.8 . Bibliografie ………….. ……………………………………………………………….. …………………………55
CAPITOLUL VII – PLANIFICAREA ANUALĂ ȘI CALENDARISTICĂ ……. …………….56
VI I.1. Planificare anuală ………………………. ……………………………………….. …………………………56
VII. 2 Eșalonarea anuală a unităților de învățare…………….. … ………….. …………………………57
VII.3 Pla nificarea calendaristică pe semestrul I………………….. …… …….. …………………………58
VII.4. Planificarea calendaristică pe semestrul al II – lea… ………………. .. …………………………61
CAPITOLUL VIII – TESTE DE EVALU A RE………… ……………………… …………………………64
VIII.1. Test de evaluare inițială – Numărul 1 ………………….. ………… ……… …………………………64
VIII.1.1. Barem de corectar e și evaluare……………. ….. ……………. …………………………66
VIII.1.2. Matri cea de specificații și competențele asociate testului…………………… .68
VIII.1.3 . Interpretarea rezultatelor………………………………………. …………………….. ….70
VIII.2. Test de evaluare inițială – Numărul 2 ………………….. .. ………………. …………………………75
VIII.2.1. Barem de corectare și evaluare………………………………. …………………………77
VIII.2.2. Matric ea de specificații și competențele asociate te stului…………………….79
VIII.2.3. Interpretarea rezultatelor………………………………………. …………………………81
VIII.3. Test de evaluare finală – Numărul 1 ………………. …. …. ………………. …………………………86
VIII.3.1. Barem de corectare și evaluare………………………………. …………………………88
VIII.3.2. Matricea de specificații și competențele asociate te stului…………… ……….90
VIII.3.3. Interpretarea rezultatelor…………………………………………………………………. 92
VIII.4. Test de evaluare finală – Numărul 2 ………………….. …….. …………… …………………………97
VIII.4 .1. Barem de corectare și evaluare………………………………. …………………………99
VIII.4.2. Matricea de specificații și competențele asociate te stului…………………..101
VIII.4.3. Interpretarea rezultatelor……………… ………………………. ……………………….103
CONCLUZII FINALE ………………… ………………………. ………………………. ………………………..108
BIBLIOGRAFIE ……………………. ………………………….. …………………………. ……………………….109
IN T RODUCERE
1. Motivația alegerii temei
Am ales această temă pentru că prin studiul efectuat în pregătirea tem ei și prin
experienț a câ știga tă la clasă în activitatea de impl e mentare a temei am sperat s ă – mi cresc
nivelul de pregă tire profesională, să identific cele mai potrivite procedee și metode pentru a – i
face pe elevii mei să – și însușească mai trainic cunoștințele despre numere, într – un mod mai
plăcut .
Activitatea la clasă mi – a oferit posibilitatea să constat că uneori elevii din ciclul
gimnazial întâmpină greutăți în însușirea noțiunilor despre mulțimile de numere și în
efectuarea operațiil or matematice definite pe acestea . Obiectivu l unei ac tivității matematice
este de a exersa intelectul elevilor , procesele de cunoaștere, iar folosirea material elor didactic e
le de clanșează o atitudine afectiv – emoțională favorabilă atingerii obiectivelor lecție i .
În urma alegerii acestei teme , am tras concluzia că profesorul de matematică trebuie să
dispună de o bază didactico – materială corespunzătoare , iar selectarea , promovarea , adaptarea
mijloacelor care asigură învățarea elevilor rămâne o preocupare constantă a acestuia, deci și a
mea.
Vreau să mulțumesc d omnilor profesori de la Facultatea de Matematică și Informatică
din cadrul Universități i din Craiova, în special d oamnei Co nf. Univ. Dr. Dana Marina Piciu
pentru sprijinul acordat în realizarea lucrării și tuturor cadrelor didactice care au ajutat la
formarea mea ca profesor.
2 . Importanța și actualitatea temei
Numerele reprezintă valori sau repere pe care oamenii le util izează pentru a se orienta
în viaț a de zi cu zi. Pute m reprezenta cu ele data la care ne – am nă scut, nota luată la un
examen, vâ rsta pe care o avem , salariul pe care l – am primit , cât ș i momentul în care încetă m
din viață .
Elevii intră foarte des în conta ct cu „ lumea numerelor ”. Pent r u a o înț elege trebuie să
cerceteze îndrumați de profesori , să posede informaț ii clare despre numere , să – ș i formeze
abilit at ea de – a opera cu ele .
Î n acest ă perioadă, pe care o tră im, a inovațiilor ș i a descoperirilor din domeniului
tehnic și informatic, rolul numerelor nu s – a redus, ba din contră a crescut. În general , noțiunile
a bstract e devine mai accesibil e ș i poate fi însușit e mai temeinic dacă sunt reprezentat e cu
ajutorul numerelor .
Activităț ile matematice au o impor tanță deosebită în dezvoltarea gâ ndirii eficiente ș i
creative a elevilor. Practica pedagogică arată că gândirea este stimulată în mare măsura de
matematică .
Activitățile matematice făcute cu elevii din ciclul gimnazial constituie fundamentul pe
care se ba zează sistem ul de cunoștințe matematice din liceu ș i oferă nenu mă rate posibilități de
a progresa elevilor , făcându – i pe toți apți pentru a învăț a matematica.
Tema lucră rii ,, Principalele mulțimi de numere și operațiile elementare definite pe
acestea ”, est e deosebit de actuală și p rin faptul că numerele ș i operaț iile definite pe acesta fac
parte di n deprinderile cognitive de bază care trebuie dobâ ndite de elevi.
M ulț imea numerelor naturale poate să fi considerată ca o mulțime esențială
pentru matematică ,de aceea în primul capitol am studiat acestă mulțime ș i proprietățile
generale ale operațiilor de adunare și înmulțire definite pe aceasta .
Se va arăta în al doilea capitol că : mulțimea numerelor întregi este un inel
comutativ și unitar în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi .
Imposibilitatea efectuarii unor împărțiri în mulțimea numerelor întregi a condus la
construcț ia corpului numerelor raț ionale , lucru evidențiat în capitolul al treilea.
În al patrulea capitol m – am ocupat de corpul numerelor reale , iar în al
cincilea capitol am tratat corpul numerelor complexe .
Demersul metodico – experimental a consta t în realizarea unui opț ional , introdus la
clasa a cincea , intitulat “Magia numerelor” . Am ales acest opț io nal deo arece am constatat
din experienț a anterioară că este de ajutor ca elevii să cunoa scă istoria numerelor, să fie
familiariza ț i cu calculele , să cunoască artificii de calcul, etc.
Elevii nu duc lipsă idei matematice , dar nu ș tiu să exprime aceste id ei prin limbaj
matematic. Ca urmare, am introdus în cadrul opț ionalului un capitol numit ” Probleme istețe”,
prin metode atractive și eficiente , dorind să le ofer suportul necesar pentru a – și dezvolta
gândirea logică . Raționamentele pe care se bazează gând irea logică se dobândesc cu mare
dificultate, de aceea în activitățile matematice propuse vor obliga elevii să cer ce teze , să – ș i
sporească capacităț ile de stu di u individual.
Lucrarea se încheie cu o planificare anuală ș i calend aristică a programei de
opț ion al ș i c u câ teva dintre aplicaț iile realizate de elevi .
CAPITOLUL I
MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE ȘI OPERAȚIILE ELEMENTARE
DEFINITE PE ACEASTA
La începuturile omenirii s – au folosit cuvinte pentru a număra obiecte, astfel au luat
“na ștere” numerele naturale. Prin folosirea numeralelor pentru reprezentarea numerelor
naturale a început procesul de abstractizare a lor. În Babilonul antic se folosea un sistem bazat
pe numerele de la 1 la 10. Egiptenii foloseau hieroglife diferite pentru puterile lui 10 , pornind
de la 1 până la un million. Prima recunoaștere a cifrei 0 apare în India, pentru a reprezenta
golul, absența.
Mulțimea numerelor naturale este esențială pentru matematică . Cea mai cunoscută
modalitate de introducere a mulțimii n umerelor naturale este data de axiomatica Dedekind –
Peano. În cadrul ei apar noțiunile de număr natural și funcție successor. Totodată, se folosește
simbolul “=” pentru a nota egalitatea și simbolul “0” pentru a nota un număr fixat .
1 . Mulțimi echiva lente
Definiția 1 .1 Două mulțimi 1 2 n A {a ,a ,…,a } și 1 2 n B {b , b ,…, b } se numesc
echivalente atunci când putem grupa elementele lor în perechi de forma
1 2 2 2 n n (a , b ),(a , b ),…,(a , b ) ,
astfel încât nici un element din cele două mulțimi să n u rămână ne asociat și nici unul să nu
apară în două perechi. Relația dintre cele două mulțimi este o relație de echivalență și o vom
nota cu A B .
Din modul de definire al relației că:
– două mulțimi sunt unic determinate în raport cu r elația: A B sau A B ;
– relația este reflexivă: A A ;
– relația este simetrică: A B B A ;
– relația este tranzitivă: dacă A B șiB C A C .
Relația de echivalență va îm părții mulțimile în clase de echivalență . Două mulțimi se
găsesc în aceeași clasă dacă sunt echivalente ori se găsesc în clase diferite dacă nu sunt
echivalente. Puterea clasei (numărul cardinal, mărimea clasei) este o proprietate comună
tuturor mulțimilo r care compun o clasă, proprietate neinfluențată de natura elementelor acestor
mulțimi.
2 . Numere naturale
Definiția 2 .1 Vom numi număr natural o clasă de echivalență pentru mulțimi finite. O
mulțime care nu este de aceeași putere cu nici una din su bmulțimile sale proprii se numeș te
finită.
Se numește unu (se scrie 1) proprietatea caracteristică a tuturor mulțimilor formate
dintr – un singur element, care alcătuiesc clasa de echivalență respectivă. Vom nota cu doi(vom
scrie 2) proprietatea caracterist ică a clasei de echivalență alcătui tă din mulțimile care au un
element și mai conțin încă un element , etc. .
Formăm, în acest mod , mulțimea a numerelor naturale, care este formată din
elementele: 1, 2, 3 …, n … , la care este adăugat și numărul zero înaintea numărului unu .
Numărul zero reprezintă clasa de echivalență a mulțimii vide și se noteaza cu 0.
În mulțimea sunt verificate următoarele cinci axiome ale lui Peano:
2 .2 Axiomele lui Peano
1. Zero apar ține mulțimii numerelor naturale.
2. Fiecare număr natural n are un succesor, pe care îl vom nota cu s(n).
3. Numărul zero nu este succesorul nici unui număr natural.
4. Două numere naturale cu același succesor se numesc egale.
5. Dacă M este o submulțime a lui ( M ), care cuprinde pe zero ( 0 M ) și
care dacă cuprinde pe n va cuprinde și pe succesorul s(n), atunci M .
Putem stabili între elementele mulțimii legi de compoziție interne (operații interne).
Oricărei perechi ordonate (a, b) care aparține produsului cartezian îi putem asocia un
element c, care aparține lui , folosind o lege de compoziție internă, pe care o vom numi
adunare.
3 . Adunarea numerelor naturale
Definiția 3 .1 Adunarea numerelor naturale care se notează cu „+” este introdusă prin
recurență , folosind următoarelor două relații:
1. n+0=n;
2. n+s(m)=s(n+m).
Aceste pr oprietăți implică:
s(n)=n+1.
Deoarece:
n+1=n+s(0)=s(n+0)=s(n).
Relația a doua se mai poate formula în felul următor:
n+(m+1)=(n+m)+1,
ceea ce ne arată că, dacă n+r este definită considerând r=m, tragem concluzia că este definită
și pentru r=m+1, rezultân d că n+r este de fini tă pentru orice r.
Teorema 3 .2 (Proprietățile adunării) Adunarea numerelor naturale are următoarele
proprietăți:
1. Asociativitate: p, r,q ,
(p+r)+q=p+(r+q).
Demonstr ație: Egalitatea este verificată pentru q=0:
(p+r)+0= p+r și r+0=r, deci (p+r)+0=p+(r+0)=n+r.
Verifică m dacă egalitatea este adevărată pentru q, atunci va fi adevărată și pentru s(q).
Vom avea:
(p+r)+s(q)=s((p+r)+q)=s(p+(r+q))=p+s(r+q)=p+(r+s(q)).
Deci, este adevărată pentru orice q .
2. Comutativitate: p, r ,
p+r=r+p.
Demonstrație: Aratăm mai întâi pentru r=0, oricare ar fi p . Vom avea :
p+0=p;
să dovedim că
0+p=p.
Egalitatea este îndeplinită pentru p=0. Presupunem că dacă este îndeplinit ă pentru p,
atunci este îndeplinită pentru s(p). Avem:
0+s(p)=s(0+p)=s(p).
Deci, pentru p avem:
p+0=0+p=p.
Vom arăta același fapt pentru r=1, astfel încât obținem relația:
s(p)=p+1=1+p.
Mai întâi arătăm că egalitatea:
1+p=p+1
e ste îndeplinită , considerând p . Este îndeplinită pentru p=0. Considerăm că este
îndeplinită și pentru p, altfel scris
1+p=p+1
și aratăm că este îndeplinită și pentru s(p). Din:
1+p=p+1 va implică s(1+p)=s(p+1),
două numere natura le vor fi egale dacă au același succesor. Avem:
s(1+p)=1+s(p) și s(p+1)=p+s(1)=p+(1+1)=(p+1)+1=s(p)+1.
Deci, din condiția 1+p=p+1 rezultă că s(p)+1=1+s(p). Egalitatea 1+p=p+1 este justă,
pentru orice număr natural considerat . Să arătăm că egalitatea
p+r =r+p,
care am observat că este îndeplinită pentru orice p, dacă r este egal cu 0 sau 1, este îndeplinită
de orice r număr natural. Considerăm că este îndeplinită pentru r, deci :
p+r=r+p,
și demonstrăm că:
s(p+r)=s(r+p).
Vom avea că:
s(r+p)=r+s(p)=r+(p+1 )=r+(1+p)=(r+1)+p=s(r)+p.
Mai avem că:
s(p+r)=p+s(r).
Deci,
p+s(r)=s(r)+p.
Deci egalitatea
p+r=r+p ,
este adevarată p, r .
4 . Înmulțirea numerelor naturale
Înmulțirea este o operație internă care se poate defini pe mulțimea nu merelor naturale.
Definiția 4 .1 Oricărei perechi ordonate (n,m) de numere naturale îi putem asocia un
număr natural denumit produs , pe care îl vom nota n m , nm sau n m.
Putem define înmulțirea prin următoarele două relații:
1. n 0=0;
2. ns(m)=nm+m.
Teorema 6.2 Pe mulțimea numerelor natural e au loc următoarele afirmații:
1. n , vom avea
n 1=n.
Demonstrație: Au loc următoarele egalități:
n 1=n s(0)=(n 0)+n=n.
2. Suma a m elemente toate egale cu n este egală cu mn.
Demonstrație: Din definiția în mulțirii avem:
n s(1)=n 1+n=n+n=2n.
Considerăm suma
m 1 2 m S n n … n ,
la care toți termenii au aceeași valoare cu n , ea este egală cu mn , atunci deducem că:
m 1 m S S n mn n s(m)n (m 1)n
Deci, m avem:
m S mn .
3. Distributivitatea înmulțirii față de adunare, p, r,q avem relația:
p(r+q)=pr+pq.
Ea va fi adevărată pentru q=0 , p, r :
p(r+0)=pr+p 0=pr.
Considerăm distributivitatea adevărată pentru q și vom demonstr a că este adevărată și
pentru s(q). Vom avea:
p(r+s(q))=ps(r+q)=p(r+q)+r=pr+pq+p=pr+ps(q).
Tragem concluzia că relația este adevărată pentru p, r,q .
4. Înmulțirea este asociativă, p, r,q avem relația:
p(rq)=(pr)q.
Ea e ste adevărată pentru q=0 , p, r :
p(rq)=(pr)q.
Considerăm asociativitatea adevărată pentru q și demonstrăm că este adevărată și
pentru s(q). Vom avea:
p(rs(q))=p(rq+r)=prq+pr,
iar
(pr)s(q)=prq+pr,.
Tragem concluzia că relația este ad evărată pentru p, r,q .
5. Înmultirea este comutativă, p, r avem relația:
pr=rp.
Ea este adevărată pentru r=0 , p :
p 0 0 p 0 .
Considerăm comutativitatea adevărată pentru r ș i demonstrăm că este adevărată și
pentru s(r). Vom avea:
ps(r)=pr+r=r+pr=r+rp=s(r)p
Tragem concluzia că relația este adevărată pentru p, r .
CAPITOLUL II
INELUL NUMERELOR Î NTREGI
A fost necesară introducerea numerelor î ntreg i din motive practice, pent ru a explica
situații ca: variația temperaturii, datorii ș i venituri, etc. . Dar și datorită unor mot ive
matematice ca definirea scă derii numerelor natural e în orice condiții. Conceptul de număr
negativ apare ca o diferență de numere naturale. Există o infinitate de perechi de numere
natural e care au aceeași diferență.
Litera cu care se notează mulțimea numerelor î ntregi provine din germana, de la
cuvantul zahl care traduce prin cuvâ ntul număr.
Mulți mea numerelor î ntregi este compusă din mulț imea numerelor naturale
{0,1,2,4,5,…} la care se adaugă negativ ele numerelor nenule { 1, 2, 4, 5,…} .
1. Noțiunea de grup
Vom spune că o mulțime P este o structură algebrică, dacă pe P s unt definit e una sau
mai multe legi de compoziție care î ndeplinesc un număr de axiome, care vor fi numite axiome
de structură.
Definiția 1 .1 Vom numi grup o pereche (G, ), în care G va fi o mulțime nevidă, iar
„ ” o lege de compoziție internă pe G care urmatoarele proprietăț i:
1. Asociativitate, adică x, y, z G ,
(x y) z=x (y z).
2. Are un elem ent neutru , adică pentru x G , e G astfel încât
x e=e x=x.
3. Orice e lement din G este simetrizabil, x G , x ' G cu prop rietatea
x x’=x’ x=e.
Dacă operația “ ” va fi comutativă, atunci pentru orice x, y, z G
x y=y x,
grupul (G, ) se va numi abelian sau comutativ.
Mulțimea numerelor întregi împreună cu adunarea numerelor î ntregi, notată „+”,
este un grup abelian ( ,+), dar împreună cu înmulțirea numerelor î nt regi nu este grup,
deoarece nu îndeplineș te proprietatea a treia .
2. Noțiunea de inel
St ructura de inel este constituită pe exemplul în care se dă o mulțime nevidă și sunt
introduse două legi de compoziție, legate î ntre ele printr – o proprietate.
Def iniția 2 .1 : Cosideră m R o mulțime cu cel puțin un element , pe care o înzestrată m cu
două legi de compoziție. Vom spune că R este un inel în raport cu legile de compozitie “*” și
“ ” , dacă sunt indeplinite axiome le următoarele :
1. Per echea (R,*), alcatuită din mulțimea R și legea de compoziție “*”, este un
grup abelian .
2. Legea de compoziț ie ” ” este asociativă , adică x, y, z R ,
x (y z)=(x y) z.
3. Legea de compoziț ie ” ” este distributi vă față de legea de compoziț ie “*”,
adică x, y, z R ,
x (y z) x y*x z și (y z) x y x *z z .
Inelul R va fi notat cu (R,*, ), cu mențiunea că prima lege de compoziț ie fiind cea î n
raport cu care mulțimea R are structură de grup comutativ.
Legea de compoziț ie “ ” trebuie să satisfacă doar proprietatea de a fi asociativă. Ea
poate avea și alte proprietăț i.
Definiția 2 .2 Inelul (R,*, ) se va numi inel comutativ, dacă legea de compoziție “ ”
este comutativă, x, y R , a vem
x y=y x.
Definiția 2 .3 Inelul (R,*, ) se va numi inel unitar dacă legea de compoziție “ ”are
elemen t neutru, adică va există un element notat 1 R cu 1, 1 R, astfel încât, x R să
avem
x 1=1 x=x.
Un inel (R,*, ) poate fi comutativ și unitar. Mulțimea numerelor întregi este un
inel comutativ și unitar în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi.
3. Construcția mulțimii numerelor întregi
Demostră m că mulțimea numerelor întregi este un inel comutativ și unitar, în
ra port cu adunarea și înmulțirea numerelor întregi, pe care îl vom nota ( , ) .
Scăderea nu este tot timpul posibi lă pe mulțimea numerelor naturale. Ecuaț ia
x+m=n
are soluții în doar dacă n m.
O pereche ordonat ă de numere natural e n și m este un element din produsul catezian
. Putem considera în mulțimea submulț imea M formată din elementele
(n,m) , în care n m , va fi un număr natural ș i alta M ' avâ nd elemente de forma
(n ', m') , unde n ' m ' .
Consideră m r .
Elementele produsului cartezian se pot scrie:
r (m r, m) ,
ele aparțin ând submulțimii M . Consideră m orice element al subm ulț imii M vom avea :
(m r) m r .
Î ntre oricare două elemente din submulțim ea M ,
1 1 1 (n , m ) și 2 2 2 (n , m )
se poate stabili o relație binară , pe care o vom defini pe mulțimea P prin:
1 1 (n m ) și 2 2 (n m ) implică 1 2 , unde:
1 1 2 2 n m n m .
Relaț ia:
1 1 2 2 n m n m
se mai poate scrie
1 2 2 1 n m n m ,
s crierea aceasta este îndeplinită și de elemente ce se gă sesc și nu găsesc în mulț imea M.
Vom introduce astfel o relație binară ' în prin
1 2 1 2 2 1 ' n m n m .
Teorema 3 .1 Relația binara ' va fi o relație de echivalență.
Demonstrație : Relația îndeplinește următoar ele proprietăț i:
– reflexivitate: 1 1 2 ' , pentru că
1 1 1 1 n m n m ;
– simetrie: 1 2 1 2 2 1 , , ' ' , pentru că
1 2 2 1 2 1 1 2 n m n m n m n m ;
– tranzitivitate: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 , , , ' , ' ' , pentru că
1 2 2 1 2 3 3 2 1 2 2 3 2 1 3 2 n m n m , n m n m n m n m n m n m ,
folosind asociativitatea adună rii numerelor naturale, comutativitatea adunării numerelor
naturale ș i regularitatea numerelor natural e față de adunare obț inem
1 3 3 1 n m n m ,
vom avea
1 3 ' .
' va determina o partiție a lui N N în N N / ' clase de echivalență. Mulțimea
acestor clase de echilavență se va nota cu și se va numi mulțimea numerelor î ntregi.
Un număr î ntreg a (n, m) este clas a de echivalență (sau numărul întreg) care conține
elementul (n, p) . se va numi reprezentant a lui a . Fiecare clasă de echivalență
este reprezenta tă de orice element din clasa respectiv ă , care o va determina .
4. Adunarea numerelo r întregi
Definiția 4 .1: Suma dintre două elemente ale produsului cartezian ,
1 1 1 (n , m ) și 2 2 2 (n , m ) , va fi elementul 3 3 3 (n , m ) , d at de relaț ia
3 1 2 n n n , 3 1 2 m m m .
Operația de a dunare a elementelor produsului cartezian este o lege de
comp oziție i nternă, care este definită pe întrega mulț ime .
Teorema 4 .2. Rezultatul adunării dintre 1 1 1 (n , m ) și 2 2 2 (n , m ) , ehivalente cu
elementele 1 1 1 ' (n ',m ') și 2 2 2 ' (n ',m ') , va fi echivalent cu rezultatul adunării dintre
elementele 1 2 ' ' .
Demonstrație:
1 2 3 1 2 1 2 3 3 (n n , m m ) (n ,m )
ș i
1 2 3 1 2 1 2 3 3 ' ' ' (n ' n ', m ' m ') (n ', m ') .
Elementele 3 și 3 ' vor fi echivalente dacă :
3 3 3 3 n m ' n ' m ,
altfel scris:
1 2 1 2 1 2 1 2 (n n ) (m ' m ') (n ' n ') (m m ) .
Vom scrie primul membru astfel:
1 1 2 2 (n m ') (n m ') ,
a l doilea se va scrie
1 1 2 2 (n ' m ) (n ' m ) .
Știm că între 1 și 1 ' există o relație de echivalență , atunci
1 1 1 1 n m ' n ' m .
De asemenea , între 2 și 2 ' există o relație de echivalență , atunci
2 2 2 2 n m ' n ' m .
Vom avea:
1 1 2 2 1 1 2 2 (n m ') (n m ') (n ' p ) (n ' p )
Am demostrat că numerele 3 și 3 ' sunt într – o relație de echivalență .
Consecința 4 .3 C lasa de echivalență a elementului rezultat prin adunarea a două
elemente din este în strânsă legă tură cu de clasa de echivalență a elemente lor adunate.
Ea nu este influențată de reprezentantul ales î n fiecare din clasele conside rate.
Definiția 4 .4: Vom numi sumă a două numere întregi 1 a și 2 a , avâ nd ca reprezentanți
pe 1 și respectiv 2 , numărul întreg 3 a care î l are ca reprezentant pe 1 2 ( ) .
5 . Proprietățile adunării numerelor întregi
Teorema 5 .1 Următoarele enunțuri sunt adevă rate:
1. Adunarea numerelor întregi este comutativă .
Demonstrație: Considerăm numerele î ntregi
1 1 1 a (n , m ) și
2 2 2 a (n , m ) . Vom avea:
1 2 1 2 1 2 a a (n n ,m m ) si
2 1 2 1 2 1 a a (n n ,m m ) ,
rezultă că
1 2 2 1 a a a a .
2. Adunarea num erelor î ntregi este asociativă.
Demonstrație: Considerăm numerele î ntregi
1 1 1 a (n , m ) ,
2 2 2 a (n , m ) și
3 3 3 a (n , m ) . Vom avea:
1 2 3 (a a ) a (n,m) , am folosit următoarea notaț ie 1 2 3
1 2 3 n (n n ) n
m (m m ) m
,
1 2 3 a (a a ) (n ', m') , am folosit următoarea notaț ie 1 2 3
1 2 3 n ' n ' (n ' n ')
m ' m ' (m ' m ')
.
Folos ind asociativitate a numerelor naturale vom avea că
n=n’ și m=m’ ,
tragem concluzia că
1 2 3 1 2 3 (a a ) a a (a a ) ,
pentru că au același reprezentant.
3. Adunarea numerelor î ntregi admite element neutru.
Demonstrație: Consideră m e (n, n) .Vom avea:
(n, n) (0,0) ,
pentru n , fiindcă
n+0=0+n.
Consider a (n, m) , atunci:
a 0 0 a (n 0, m 0) (n, m) a .
Am demonstrat că numă rul e este element neutru pentru adunare.
4. Orice număr întreg are un opus față de adunarea numerelor î ntregi.
Demonstrație: Fiecă rui element
1 1 1 a (n , m ) îi corespunde un numar
2 1 1 a (m ,n ) ,
vom avea:
1 2 2 1 1 1 1 1 a a a a (n m , n m ) (0,0) e .
În condiț iile date, fiecare element are un singur simetric. Vom nota cu – a simetricul
numă rului a .
Teorema 5 .2 Opusul unei sume va fi egal cu suma opuș ilor termenilor.
Demonst rație: Vom nota cu – a și – b opuș ii lui a și b , vom avea:
(a+b)+[( – a)+( – b)]=[(a+b)+( – a)]+( – b)=[a+( – a)+b]+( – b)=(e+b)+( – b)=b+( – b)=e.
Teorema 5 .3: Ecuația x+b=a, a, b , va avea în multime a numerelor intregi doar o
soluț ie.
Demonstrație: Vom nota cu ( – b) simetricul lui b ș i vom avea:
(x+b )+( – b)=( – b)+a=x+[b+( – b)] =x+e=x,
x va fi egal cu ( – b)+a.
Pentru a, b vom avea:
[( – b)+a]+b=a+[( – b)+b]=a,
ecuația va avea o singură rădăcină
x=( – b)+a.
5 .4 Mulțimea împreună cu adunarea numerelor î ntregi este un grup abelian, fiin dcă
operația de adunarea are proprietățile urmă toare:
1. Asociativitate;
2. Are element n eutru;
3. Orice număr întreg față de adunare este simetrizabil.
4. Comutativitate.
6. Înmulț irea numerelor î ntregi
Definiția 6 .1 Vom numi produs a două numere intregi (n 1 ,m 1 ) și (n 2 ,m 2 ) elementul
(n 3 ,m 3 ), unde:
n 3 =n 1 n 2 +m 1 m 2 și m 3 =n 1 m 2 +n 2 m 1 .
Teorema 6 .2: Relația de echivalență ' este păstrată de operația de înmulțire în
mulț imea .
Demonstrație: Schimbâ nd un element ( n 1 , m 1 ) ori ( n 2 , m 2 ) cu un element echivalent
vom avea un produs (n 3 ’,m 3 ’) echivalent cu (n 3 ,m 3 ).
Schimbâ nd elementul (n 2 ’,m 2 ’) vom avea:
3 3 3 a =(n ', m ') , pentru 3 1 2 1 2
3 1 2 2 1 n '=n n '+m m '
m '=n m '+n 'm .
Elementele a 3 și a 3 ’ vor fi echivalente dacă
n 3 +m 3 ’=n 3 ’+m 3 ,
vom avea că
n 3 +m 3 ’=n 1 n 2 +m 1 m 2 +n 1 m 2 ’+n 2 ’m 2 =n 1 n 2 +m 2 ’+m 1 m 2 +n 2 ’
ș i
n 3 +m 3 ’=n 1 n 1 ’+m 1 m 2 ’+n 2 m 1 +n 2 m 1 =n 1 n 1 ’+m 2 +m 1 m 2 ’+n 2 ,
dar (n 2 ,m 2 ) și (n 2 ’,m 2 ’) sunt echivalente. Rezultă
n 2 +m 2 ’=n 2 ’+m 2 ,
de aici rezultă
n 3 +m 3 ’=n 3 ’+m 3 ,
prin urmare (n 3 ,m 3 ) și (n 3 ’,m 3 ’ ) vor fi echivalente pentru că sun t din aceeași clasă de
echivalență .
Consecința 6 .3 Produsul a doi reprezentaț i din clasele a 1 și a 2 , aleși la întâ mplare, va fi
acelee ași clas ă de echivalență .
Clasa pe care o vom nota cu 1 2 a=a ×a sau a= a 1 a 2 ș i o vom numi produsul numerelor
î ntregi a 1 și a 2.
Vom avea:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 a a a (n n m m , n m n m ) .
7 . Proprietățile înmulțirii numerelor întregi
Teorema 7 .1 Înmulțirea numerelor întregi are următoarele proprietăț i:
1. Comutativitate.
Demonstrație: Vom avea:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 a a (n n m m , n m n m ) și
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 a a (n n m m , m n m n ) ,
rezultă că
a 1 ×a 2 =a 2 ×a 1 .
2. Asociativitat e.
Demonstrație: Vom î nlocui a 1 ,a 2 ,a 3 prin
1 1 2 2 3 3 (n , m ),(n , m ),(n , m ) și făcând calculele
folosind proprietățile adunării și înmulț iri numerelor natural, avem că
1 2 3 1 2 3 ( a a a a a a ) (n, m) ,
unde
1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 n n n n n m m n m m n m m ,
1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 m n n m n n m n n m m m m .
3. Numă rul e (1,0) este element neutru .
Demonstrație: Pentru a (n, m) , vom avea că a e e a (n 1 0 m,0 n 1 m) (n,m) a .
4. Distrib utivitate față de adunare.
Demonstrație: Considerând :
1 1 1 2 2 2 3 3 3 a =(n ,m ),a =(n ,m ),a =(n ,m ) ,
vom avea că
1 2 3 a (a a ) (n,m) , pentru :
n=n 1 (n 2 +n 3 )+m 1 (m 2 +m 3 ) ,
m=n 1 [m 2 +m 3 ]+m 1 [n 2 +n 3 ]
Cum
1 2 1 3 a a a a (n',m') , cu
1 2 1 2 1 3 1 3
1 2 2 1 1 3 3 1 n (n n m m ) (n n m m ) n
m' (n m n m ) (n m n m ) m
.
Va rezulta că
a 1 (a 2 +a 3 )=a 1 a 2 +a 1 a 3 .
8. Inelul numerelor întregi
Mulțimea numerelor întregi cu adunarea numerelor î ntregi este un grup
abelian . Înmulțirea definită pe :
– este asociativă ,
– este comutativă ,
– are element neutru
– est e distributivă față de adunare.
Vom spune că mulțimea numerelor întregi este un inel comu tativ și unitar.
CAPITOLUL III
CORPUL NUMERELOR RA Ț IONALE
Din considerente didactice, se introduc mai întâ i doar numerele raționale pozitive î n
clasa a V – a. Totuși , din punct de vedere algebric diferența făcută între numerele raționale
po zitive și negative este artificială.
Numerele raționale s – au introdus pentru a elimina imposibilitatea efectuării unor
împărțiri în mulțimea numerelor întregi. Spre exemplu, în nu este definit rezultatul
împărțirii lui 5 la 3, de ci ecuația 3x = 5 nu are soluții în . Considerăm cazul general, dacă
a, b și b nu este divizibil cu a , ecuația ax = b nu are soluții în mulț imea numerelor întregi.
De aceea, vom introduce mulțimea numerele r aționale ca fiind mulțime a care are ca elemente
toate câ turile dintre numerele întregi. Revenind la exemplul anterior, cîtul împărțirii lui 5 la 3
este numărul rațional 5 / 3 . Vom observa că numerele 10 și 6 a u același cât, deci num erele
raț ionale 5 / 3 și 10 / 6 sunt egale .
1. Sisteme multiplicative închise
Definiție 1 .1 Considerând I un inel unitar și comutativ. Vom numi sistem
multiplicativ închis o submulțime nevidă S a lui I care îndeplinește următoarele condiț ii: 1 S
și x, y S , vom avea xy S .
Am introdus noțiunea de sistem multiplicativ pentru că dorim construcția unei mulțimi
de fracții cu numitori din S . Deoarece , dorim ca produsul a doi numitori să fie tot un numitor,
este necesar ca S să fie parte stabilă fa ță de înmulțire. Este important să considerăm fracțiil e cu
numitorul 1, deci avem condiția ca 1 S .
Dintre sistemele multiplicative înch ise amintim: * {0} , 2 , K[X] – inelul
polinoamelor cu coeficienți în copul fixat K.
2. Construcția lui
Definiț ie 2 .1 (a,u),(b, v) I S definim ur mătoarea relație
(a, u) (b, v) ,
u nde av = bu.
Elementul nenul x I se va numi divizor al lui zero dacă y I , pentru care xy = 0.
Pentru 0 S și dacă S nu conține divizori ai lui 0, relația de mai sus este o relație de
echivalență.
Dacă S conține divizori ai lui zero vom schimba definiția astfel:
(a,u),(b, v) I S,(a, u) (b, v) x S
Pentru care
x (av – bu) = 0.
Dacă S nu are divizori ai lui zero și 0 S cele doua r elații vor fi identice .
Vom ară ta că ultima relație este o relație de echivalență:
– este reflexivă: (a,u) I S , avem
(a, u) (a, u)
căci 1 S astfel încât
1(au – au) = 0.
– este simetrică: pentru (a, u) (b, v) , va x S pentru care
x(av – bu) = 0,
vom avea
x(bu – av) = 0,
altfel spus
(b, v) (a,u) .
– este tranzitivă: considerăm (a,u),(b, v),(c, w) I S , astfel încât
(a, u) (b, v) și (b, v) (c, w) . Va rezulta că x S pentru care
x(av – bu) = 0
și y S pentru care
y(bw – cv) = 0.
Înmulțind cu wy, respectiv ux, vom obține :
wyxav – wyxbu = 0
uxybw – uxycv= 0.
Vom aduna relațiile membru cu mem bru și vom observa că
wyxbu = uxybu,
va rezulta
wyxav – uxycv = 0,
adică
xyv(aw – cu) = 0.
Pentru ca xyv S rezulta că
(a, u) (c, w) .
Definiție 2 .2 Considerând (a, u) I S . Se numește fracție(de număra tor a și numitor
u) clasa de echivalență a lui (a, u) în raport cu relația și o vom nota cu a
u sau a/u . Vom nota
mulțimea I S/ cu 1 S I {a / u | a I, u S} .
Folosin d definiția vom introduce noțiunea de amplificare a fracțiilor cu numitorii din
S, care este dată de relația:
a ta , u, t S, a I u tu .
Vom înzestra 1 S I cu o structură de inel, folosind regulile obișnuite de adunare și
înmulțire a două fracții. Considerăm (a, u),(b, v) I S . Vom defini:
a b av bu
u v uv ,
a b ab
u v uv .
Propoziție 2.3 . 1 (S I, , ) este un inel comutativ și unitar, unde:
0 0 0 , u S 1 u
și
1 u 1 , u S 1 u .
Se va numi morfism canonic aplicația 1 : I S I, (a) a /1, a I , care este un
morfism unitar de inele.
Demonstrație Vom arăta doar că adunarea este co rrect definită . Considerăm
(a, u),(b, v),(a ', u '),(b', v') I S , unde
(a, u) (a ', u ') și (b, v) (b', v') .
Trebuie să demonstrăm că
(va ub, uv) (v'a ' u 'b', u 'v ') .
Considerând x, y S atunci
x(u 'a ua ') 0 și y(v'b vb ') 0 .
Vom înmulți cu vv’y și respectiv cu uu’x egalitățile și le adunăm. Vom ave a
yx((va ub)u 'v ' (v'a ' u 'b ')uv) 0 .
Se observă că u S va avea imaginea inversabilă prin în 1 S I . Inversul lui
u/1este 1/u . Tragem concluzia că ecuația ux=b are soluția
b x u .
Observație 2 .4. Vom avea că:
a) x/1 = 0 în 1 S I s S pentru care sx = 0.
b) Morfismul este injectiv S nu are divizori ai lui 0.
c) Pentru 0 S , vom avea ca 1 S I .
1 S I va fi corp pentru I un inel integru și S I {0} , pe care îl vom numi numit corpul
total de fracții al lui R și il vom nota cu Q(I). Daca a, b I, b 0 , inversul lui a/b este b/a.
Vom nota cu Q( ) corpul de fracții al lui .
3. Proprietățile inelui de fracții
Proprietatea (de univers alitate a inelului de fracții) 3 .1 Consideră m I un inel
comutativ, unitar și S un sistem multiplicativ închis în I. 1 S I este un inel comutativ unitar și
1 : I S I este un m orfism unitar cu proprietatea că (u) este inversabil în S, u S .
Oricare ar fi P un inel unitar, comutativ și γ , γ : I P , care pentru u S , γ(u) este
inversabil, va exista un s ingur morfism de inele 1 :S I P pentru care γ= .
Teoremă 3 .2 Considerăm I un inel comutativ, unitar și S un sistem multiplicativ închis
din I. Având alt un inel comutativ, unitar A și : I B un mo rfism cu proprietatea că ar fi P
un inel unitar, comutativ și γ , γ : I P astfel încât γ(s) este inversabil, u S , va exista un
singur morfism de inele : A P pentru care γ= . Vom avea un singur izomorfism unitar
de inele 1 :S I A pentru care .
Teorema anterioară ne arată că proprietatea de universalitate a inelului de fracții va
determina inelul de fracții până la un izomorfism.
CAPITOLUL IV
CORPUL NUMERELOR REALE
Dacă numerelor întregi și raționale au apărut din considerente practice, imediate,
numerelor reale au fost introduse din motive mai complexe. Matematici i greci au descoperit că
diagonala pătratului cu latura de lungime 1 nu poate fi un număr rațional, ceea ce i – a
contrariat.
Structura de ordine a mulțimi numerelor reale este ilustrată cel mai bine de
reprezentarea numerelor reale ca o mulțime de puncte ce alcătuiesc o dreaptă. Pe aceasta
dreaptă, vom fixa un punct O și vom considera un alt punct A O ce corespunde numărului
1, astfel înzestrând dreapta cu o unitate de măsura. Fiecărui numar real îi va corespunde într –
un mod unic un punct de pe dreaptă, corespondența fiind dată de distanța de la reprezentarea
numărului real pe dreapta la punctul fix. Deci, cu ajutorul numerele reale putem măsura toate
distanțele.
1. Topologia pe
fi definit ca un corp normat , aplicația modul : ,
va avea proprietățile:
– x va avea loc x 0 ,
– x va avea loc x 0 x 0 ,
– x, y va avea loc x y x y ,
– x, y va avea loc x y x y .
Cu alte cuvinte, modulul (valoarea absolută) este o normă. Vom define metrica
(distanța) d : , d(x, y) x y , x, y , o aplicație care are proprietățile:
– x, y va avea loc d(x, y) d(y, x) 0 ,
– x, y va avea loc d(x, y) 0 x 0 ,
– x, y, z va avea loc d(x, y) d(x, z) d(z, y) .
Metrica astfel definită va determina o topologie pe .
2. Definirea corpului numerelor reale
Definitia 2 .1 Corpul numerelor reale este definit ca un corp comutativ ( , , ) , pe care
se stabile ște o relație de total ordonare “ ” ce satisface relațiile:
– este un corp ordonat, a, b,c vom avea că
a b a c b c
și
a b,c 0 ac bc .
– Mulțimile majorate d in vor admite margine superioară.
Teoremă 2.2 Fie două corpuri ordonate, comutative (K, , , ) și (M, , , ) care
satisfac ultima relație, va exista un unic izomorfism de corpuri : K M cu proprietatea că
x, y K, x y (x) (y) .
Deci , definirea mulțimii numerelor reale este unică.
Existenței structurii care îndeplinește relațiile anterioare se rezolvă prin construcția lui
, construcția poate fi făcu tă : zecimal, prin tăieturi în Q , cu ajutorul șirurilor Cauchy , etc. .
Cea mai elegantă și rapidă construcție a mulțimii numerelor reale se face folosind șirurile
Cauchy.
3. Construcția lui cu ajutorul șirurilor Cauchy
Vom porni de la ideea că numerele reale reprezintă limite de șiruri de numere
raționale. Vom considera toate șirurile de numere raționale n n 1 (x ) care au o limită.
Definiție 3 .1 Un șir de numere raționale de forma n n 1 (x ) se va numi șir Cauchy dacă
îndeplinește relația:
, 0 N pentru m, n N să avem m n x x .
Considerăm n n 1 n n n 1 R {(x ) | x , n 1,(x ) șir Cauchy}
Două șiruri n n 1 (x ) , n n 1 (y ) R vor fi echivalente dacă vor avea aceeași limită.
Deci n n n n (x ) (y ) 0 N cu proprietatea că pentru n N vom avea
n n x y .
Un număr real va fi o clasă de echivalență de șiruri din R, mulțimea factor R/ se va
nota cu și se va numi mulțimea numerelor reale. Fiecare număr rațional va fi de forma
(a,a,a,…) R .
R este inel unitar, comutativ unde n n n n n n (x ) (y ) (x y ) 0 .
Dacă n n 1 n P {(z ) R,(z ) 0} , atunci P este ideal maximal în R, deci R / P este
corp comutativ . Se va nota cu n [(x )] imaginea șirului n n 1 (x ) R , în R / P .
Teoremă 3 .2 a) (R, , ) este un inel comutativ și unitar unde:
n n n n n n n (x ) (y ) (x y ) ,
n n n n n n n (x ) (y ) (x y ) ,
n n (x ),(y ) R .
b) Mulțimea R / P este corp comutativ .
c) a , definim șirul const ant *
n n n (a ) R,a a, n . Prin asociere unui
element a cu clasa în R / P a șirului constant n n (a ) se obține un morfism de
corpuri.
d) Fie pe R / P relația bin ară " < " , dată de formula
n n [(x )] [(y )] , 0 și N pentru care n n x y , n N .
Relația” < ” va fi bine definită și va fi o relație de ordine strictă pe R / P . Relația
binară ” ” va fi o relație de ordine totală pe .
e) Considerăm : , unde n n [(x )] [ (x ) ] , n x R . Aplicația este corect
definită și îndeplinește proprietățile normei d efinite anterior .
f) Dacă n n 1 (r ) este un șir Cauchy de numere reale, atunci el converge la un număr
real.
g) Mulțimile nevide majorate cu elemente din au margini superioare.
h) Mulțimea numerelor raționale este de nsă în mulțimea numerelor reale.
Demonstrație : Vom demonstra subpunctele b și f.
b) P este ideal maximal.
Luăm n (x ) R \ P , va exista N și 0 să fie adevarată relația n x , n N .
Pentru că n (x ) nu tinde la 0, va exista 0 astfel încât n n N, k n să avem
n k x .
Dar, n (x ) este Cauchy, considerând / 2 va N să avem n m x x / 2 , m, n N .
Considerăm N m k care îndeplinește relația anterioară. Pentru n N , vom avea
n m n n m n m x x x m x x x 2 2 .
Va exista N pentru care n x 0 dacă n N . Considerăm șirul n (y ) ,
n y 0 pentru n și n n y 1/ x pentru n N . Vom avea că n (y ) este un șir Cauchy și că
n n n x y 1 z ,
unde n z este 0 pentru n N , altfel spus n (z ) P .
Considerăm un șir Cauchy de numere reale n n 1 (r ) . Pentru nk k 1 (r ) un șir Cauchy de
numere raționale facem notația n nk k 1 r [(r )] , n fixat. Pentru n, k 1 vom face
notația nk r r(n, k) . Să arăt am că nk k 1 (r ) are limita n n n 1 [r(i , j ) ] în multimea numerelor reale,
notând cu n n i , j două șiruri strict crescătoare de numere naturale.
Deoarece n n 1 (r ) este șir Cauchy în multimea numer elor reale, având 1/ 4 , va exista
1 i cu proprietatea că oricare ar fi 1 a, b i vom avea
a b 1 r r 4 .
Deoarece
1 i k k 1 (r ) este șir Cauchy în mulțimea numerelor raț ionale, 1 c,d j (unde
1 j ) vom avea că
1 1 1 r(i ,c) r(i ,d) 4 .
Considerăm un număr natural n 2 și pentru k {1,…, n 1 } definim șirurile de
numere naturale i 1 < i 2 < … < i n – 1 și j 1 <j 2 < …< j n – 1 cu proprietățile:
a b k k 1 1 r r , a, b i 2 ;
k k k k 1 1 r(i ,c) r(i ,d) , c,d j 2 ;
k k 1 k k 1 r(i ,c) r(i ,c) , c, j 2 .
Ultima relație este vidă pentru k = 1.
Fie șirul Cauchy n n 1 (r ) în mulțimea numerelor reale, considerăm n 1 1/ 2 , va exista
n i pentru care n n 1 i i și
a b n n 1 1 r r , a, b i 2 .
Deoarece n k 1 (r(i ,k)) este șir Cauchy în multimea numerelor rationale, va exista
n p să a vem
n n n n 1 1 r(i ,c) r(i ,d) , c,d p 2 .
Din prima relație aplicată pentru k n 1 și n n 1 a i , b i vom avea că
n n 1 i i n 1 r r 2 ,
va exista n q , care va satisface
n n 1 n n 1 r(i ,c) r(i ,c) , c q 2 .
Rela țiile a doua și a treia sunt îndeplinite pentru n n 1 n n j max( j 1, p ,q ) și k=n , iar
n n 1 j j . Pentru oricare k 1 am construit șirurile strict crescătoare n n i , j , care satisfac toate
cele trei relații.
Vom nota n n n x r(i , j ) , pentru orice n 1 . Vom demonstra că n n 1 (x ) este șir
Cauchy în multimea numerelor raționale. Oricare ar fi n<m, n, m , vom avea că
m n m m n n m m n m m n n x x r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(in, j ) r(i , j ) .
Folosind relația a treia, vom avea că
m m
m m n m k m k 1 m k n
k n 1 k n 1 1 1 r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) 2 2
.
dar,
n
n m n n r(i , j ) r(i , j ) 1/ 2 .
Făcând înlocuirea , vom avea că
m n m m n n n n n 1 1 1 1 x x r(i , j ) r(i , j ) 2 2 2 ,
deci șirul n (x ) este Cauchy.
Vom demonstra că r n va avea l imita n n n 1 x [(r(i , j )) ] . Considerăm 0 și k
pentru care k 1/ 2 / 3 . Din prima relație vom avea că
a b k k 1 1 r r , a, b i 2 .
Pentru n > i k , vom arăta că n r x . Pentru aceasta, vom demonstra N și b N
vom avea
nb b b b r x r(n, b) r(i , j ) .
Considerăm q , pentru care q i n . Cum
q n i k 1 1 r r 2 ,
va exista N 0 pent ru care, 0 b N , să avem
q r(n, b) r(i ,b) 3 .
Deoarece n r este un șir Cauchy va exista N 1 pentru care, 1 a, b N , să avem
r(n, b) r(n,a) 3 .
Dacă N este 0 1 q max(N , N ,i ) , pentru b N vom avea că
b b b b q b q b b b r(n, b) r(i , j ) r(n, b) r(n, j ) r(n, j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) .
4. Complementarea unui corp normat
Definiție 4 .1 Considerăm o mulțime X {} . Vom numi distanță pe X o aplicație care
satisface următoarele axiome:
– x, y X va avea loc d x, y 0 d y, x ;
– x, y X va avea loc d x, y x 0 y ;
– x, y, z X va avea loc d x, y d x, d( ) z z, y .
Considerând o distanță d pe X, un dublet (X, d) se nume ște spațiu metric, iar
elementele lui X se numesc puncte.
Notăm cu
S(x, r) {y X | d(x, y) r}
sfera deschisă de rază r și centru x.
Distanța va defini o topologie pe X. D X este deschisă dacă pentru orice x D va
exista r>0, să avem S(x, r) D . Șirul n n 1 (x ) va fi convergent la
x D 0, N , n N să avem n d(x , x) . Un dublet (X, d) va fi numit complet
dacă fiecare șir Cauchy din X va fi convergent la un element din X.
Mulțimea numerelor raționale este un spaț iu metric, dar nu este complet. Completând
spațiul metric al mulțimii numerelor raționale putem construi spațiul metric complet al
mulțimii numerelor reale.
Definiție 4 .2 Considerăm un corp C com utativ. Aplicația N : C se va numi normă
dacă îndeplinește următoarele cerințe:
– x C va avea loc N(x) 0 ;
– x C va avea loc N(x) 0 x 0 ;
– x, y C va avea loc N(x y) N(x) N(y) ;
– x, y C va avea loc N(x y) N(x) N(y) .
Fie K un corp și N o normă. Dubletul (K, N) se va numi corp normat. Mulțimea
numerelor raționale este un corp normat, dar nu este complet. Completând corpul normat al
mulțimii numerelor raționale putem construi corpul normat complet al mulțimii numerelor
reale.
CAPITOLUL V
CORPUL NUMERELOR COMPLEXE
Încercările rezolvării ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au fost unele din
motivel e dezvoltării algebrei. S – a observat că ecuația de forma 2 X 1 0 nu are soluții în
mulțimea numerelor reale. Soluția acestei ecuații este egală cu rădăcina pătrată din numărul
1 .
Pentru exprimarea soluțiilor unor ecuații s – a folosit notația i 1 și s – a constatat că
este mai ușor să lucrăm cu numere de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale. Numerele de
forma aceasta se adună și se înmulțesc folosind regulile de adunare și înmulțire defini te pe
mulțimea numerelor reale, dar trebuie să ținem seama de faptul că 2 i 1 .
Un număr complex de forma a+bi este alcătuit dintr – o parte reală “a” și o parte
imaginară “bi”. Se folosește termenul imaginar pentru a arăta că nu avem de – a face cu numere
reale.
1. Construcția corpului numerelor complexe
Vom face notația . Dacă (a, b),(c,d) , atunci vom defini:
a, b c,d a c, b d ,
(a, b) (c,d) (ac bd,ad bc) .
Teorema 1 .1 Tripletul ( , , ) va fi un corp comutativ, iar ecuația 2 x 1 0 are
soluția în acest corp.
Demonstrație : Elementul neutru pentru adunare este perechea (0,0) , iar opusul
elementului (a, b) es te ( a, b) . Asociativitatea și comutativitatea adunării pe rezultă
imediat din proprietățile adunării pe . Prin urmare, ( , ) este un grup abelian.
Vom considera (a, b),(c,d),(e,f ) pentru a arăta că dubletul ( *, ) este grup
comutativ.
Deoarece
(a, b) (c,d) (ac bd,ad bc) ,
iar
(c,d) (a, b) (ca db,cb da) ,
rezultă folosind proprietățile înmulțirii și adunării pe că
(a, b) (c,d) (c,d) (a, b) .
Deci înmulțirea este comutativă pe .
Asociativitatea înmulțirii rezultă din relația
a,b c,d e,f a, b c,d e,f ace adf bcf bde,acf ade bce bdf
.
Elementul neutru pentru înmulțire este (1,0) pentru că
a, b 1,0 1,0 a, b a, b .
Vom considera (a, b) , unde a 0 sau b 0 . Inversul numărului (a,b) este
numărul
1
2 2 2 2 a b (a, b) , a b a b ,
deoarece
1 (a, b) (a, b) (0,1) .
Înmulțirea este distributivă față de adunare pentru că
a, b c,d e,f a,b c, d a, b e,f ac ae bd bf,ad af bc be
oricare ar fi (a, b),(c,d),(e,f ) .
Pentru i=(0,1), vom avea că 2 i (0,1) (0,1) ( 1,0) (1,0) . Deci, ecuația 2 x 1 0
are soluția în .
este un subcorp al lui , deoarece putem define o functie injectivă pe , cu valori
în , care asociază numărului real x perechea (x,0).
Orice număr x (a, b) se poate scrie
x a,0 b,0 0,1 a ib ,
unde i=(0,1).
Vom numi mulțimea numerelor complexe, mulțimea definită anterior. Tripletul
( , , ) este corpul numerelor complexe, iar elementele mulțimii se numesc pur
imaginare . Pentru x a ib , a, b vom numi partea reală a numarului complex x
numărul a, iar partea imaginară a numărului este ib.
2. Modulul unui număr complex
Numărul x a bi se va numi c onjugatul numărului complex z,
unde x a ib , iar modulul lui z va fi dat de relația
2 2 z a b .
Teorema 2 .1 Dacă 1 2 3 3 x , x , x , x 0 , atunci:
– 1 1 1 x x x ,
– 1 1 x x ,
– 2
1 1 1 x x x ;
– 1 2 1 2 x x x x ;
– 1 2 1 2 x x x x ;
– 1 1
3 3 x x
x x
;
– 1 1 x x ;
– 1 2 1 2 x x x x ;
– 1 2 1 2 x x x x ;
– 1 1
3 3 x x
x x .
Demonstrație : Vom demonstra doar unele relații, celelalte probându – se ușor.
Considerăm 1 1 1 x a b i , pentru 1 x vom avea că 1 b 0 , altfel spus 1 1 1 x a x .
Pentru 1 1 x x vom avea că 1 1 b b ,atfel spus 1 b 0 , rezultă 1 x .
Pentru a demonstra 1 2 1 2 x x x x , vom alege 1 1 1 x a b i si 2 2 2 x a b i , unde
1 2 1 2 a ,a , b , b .Vom avea că
1 2 1 2 x x x x
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 (a a ) (b b ) (a b ) (a b )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 a a 2a a b b 2b b a a b b 2 (a b )(a b )
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 (a a b b ) (a b )(a b )
2
1 2 1 2 (a b b a ) 0 .
Vom avea egalitate pentru 1 2
1 2 a a
b b .
3. Teorema fundamental ă a algebrei
Vom spune despre un corp M c ă est e o extindere corpului C dacă C este subcorp al lui
M.
Lema 3 .1 Considerăm C un corp comutativ și f C[X] , unde grad(f ) 1 . Va exista o
extindere M a lui C unde se găsesc toate rădăcinile lui f.
Lema 3 .2 Considerăm C un corp comutativ și f C[X] , unde grad(f ) 1 . Fie M o
extindere a lui C care conține rădăcinile 1 n x ,…, x ale lui f și 1 n g C[X ,…, X ] un polinom
simetric vom avea ca 1 n g(x ,…, x ) C .
Prima lemă exprimă un rezultat clasic, iar a doua lemă se obține din teorema
fundamentală a polinoamelor simetrice.
Teor ema (fundamentală a algebrei ) 3 .3 Fiecare polinom f [X] cu gradul mai mare
sau egal cu unu are cel puțin o ră dăcină în mulțimea numerelor complexe.
Demonstrație : Notăm cu i a conjugatul lui i a , pentru orice 1 i n vom considera
n
0 1 n f a a X … a X
și
n
0 1 n f a a X … a X .
Pentru
k i j
i j k c a a
,
unde 0 k 2n , vom avea că
2n
k k
k 0 f f c X
.
Dar din k k c c vom avea că f f [X] .
Vom presupune că teorema este verificata de toate p olinoamele din [X] .Va exista
numărul complex a pentru care
(f f )(a) 0
f (a)f (a) 0
f (a) 0
sau
f (a) 0 .
Rezultă că presupunerea este suficientă. Considerăm că f are gradul impar rezultă că
funcția polinomială a polinomului considerat este continuă și la va lua semne opuse, deci
a pentru care f(a)=0.
Notăm n=grad(f), unde n = 2 k p, k și p impar . Dacă k = 0 este evident ă afirmația.
Considerăm afirmația adevărată pentru oricare polinoame a căror grade se împart exact prin
2 k – 1 și nu se împart exact prin 2 k .
Din prima lemă rezultă că există o extindere M a mulțimii numerelor complexe în care
polinomul f va avea toate rădăcinile 1 n x ,…, x .
Fie
a
ij i j i j z x x a(x x ) ,
unde 1 i j n si a .
Polinomul
a
a ij
1 i j n f (X z )
are gradul egal cu
k k 1
2 k 1
n n(n 1) 2 p(2 p 1) C 2 m 2 2
,
unde m este impar. Polinomul a f va avea coeficienții polinoame simetrice de a
ij z . Din lema a
doua rezultă că a f [X] .
Deoarece 2 k – 1 împarte exact gradul lui a f și 2 k nu împarte exact gradul lui a f , va
rezulta că a f va avea cel puțin o rădăcină în . Vor exista a, b , a b pentru care
a b
ij ij z , z .
Cum
a
ij i j i j z x x a(x x )
și
b
ij i j i j z x x b(x x )
vom avea că
a b
ij ij i j z z (a b)(x x )
Va rezulta că i j x x și i j x x , deci i j x , x .
Folosind teorema tragem concluzia că un polinom de grad mai ma re sau egal cu unu
are toate rădăcinile în mulțimea numerelor complexe, deci corpul numerelor complexe va fi
algebric închis. În mulțimea numerelor complexe polinoamele ireductibile au gradul unu.
CAPITOLUL V I
PROGRAMĂ DE OPȚIONAL “MAGIA NUMER ELOR”
Disciplina: Matematică
An scolar:
Durata: 1 an
Clasa: a V – a
Ore pe saptamana: 1 ora
Profesor propunător:
Școala:
Denumirea opționalului:
„Magia Numerelor”
Aria curriculara: Matematica și științe ale naturii
Tipul: Opț ional l a nivelul disciplinei
Disciplina implicată : M atematică
1 . Notă de prezentare
Am realizat programa opționalului „Magia numerelor” pentru a – i motiva pe elevi
către studiul matematicii prin descoperirea numeroaselor și interesantelor proprietăți ale
nume relor.
Consider că printre cele mai mari invenții ale umanității este inventarea numerelor.
Simplitatea actuală a noțiunii de număr a fost rezultatul unui lung proces de abstractizare. De
ce au apărut numerele naturale? Numerele 0,1,2,3,……, sunt obiectul opționalului, ele sunt
numere atât de ușor de perceput încât le – am numit naturale. Ce cunoaștem noi despre
numerele naturale? Numerele naturale urmează unul după altul, mereu va există un altul,
precizând un număr, vom afla succesorul său adăugând 1, nume rele naturale sunt din ce în ce
mai mari, nu se sfârșesc, deși avem un un cel mai mic număr nu avem un ultim număr. În
nesfârșita lor succesiune, atât de obișnuită pentru noi, se află neobișnuite iregularități, dar și
minunate tipare, toate acestea făcându – mă să aleg acest opțional. Deasemenea, doresc să îmi
ajut elevii să perceapă matematica și în alt mod, nu doar ca pe un obositor șir de reguli.
În acest opțional, am prevăzut jocuri și probleme distractive, de logica, care vor
dezvolta memoria, spiritul de observație, istețimea elevilor.
Nu trebuie privită matematica ca o înșiruire de cifre, algoritmi sau probleme care
trebuie să le memoram și rezolvăm pentru că sunt prevăzute în programa școlară, ci este și o
disciplină interesantă. Trebuie să ne convin gem elevii că matematica nu este atât de grea cum
pare la prima vedere.
Matematica îi ajuta pe copii să își dezvolte atenția, să observe cu băgare de seamă
datelor unei probleme, să găsească orice amănunt relevant, să deosebească informațiile
esențiale d e cele neimportante pentru a rezolva corect problema. Activitățile didactice
formează judecăți analitice în rândul elevilor, necesare dezvoltarii unor personalități inventive,
iubitoare de investigații.
Prin această programă de opțional, am încercat să răs pund necesității de for mare de
capacități, atitudini și competențe clădite pe gândirea logică, critică, di vergentă și creativă.
Am implicat părinții în alegerea opționalului, iar în alegerea conținuturile am ținut
cont de particularitățile de vârstă și interesele elevilor.
În organizarea activităților, domină lucrul în echipă care facilitează comunicarea și
angajează elevii în diverse roluri în cadrul grupului.
2 . Competențe generale (preluate din Programa școlară la Matematică pentru clasele
a V – a, a VI – a, a VII – a, a VIII a, 2009 )
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în
care au fost definite;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematic e;
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații – problemă;
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii.
3 . Valori și atitudini
• Formarea în rândul elevilor a unei gândiri creative și deschise, independenței în
acțiune și în gândire pentru a avea capacitatea de a aborda sarcini diferite, dezvoltarea
inițiativei;
• Dezvoltarea perseverenței, tenacitătii, atenției distributive și a posibilitățilo r de
concentrare;
• Formarea capacității de observare;
• Formarea și dezvoltarea simțului critic și estetic, a capacității de a aprecia ordinea,
rigoarea și eleganța în elaborarea rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;
• Dezvoltarea obișnu inței de apela la concepte și metode matematice în abordarea unor
situații din viața de zi cu zi sau pentru rezolvarea unor probleme cu caracter practic;
• Dezvoltarea motivației pentru studiul matematicii ca domeniu esențial pentru viața
profesională și s ocială.
4 . Competențe specifice și conținuturi
Competențe specifice C onținuturi
1. Identificare noțiunilor legate de
numere naturale și stabilirea legăturii cu
semnele actuale
2.Folosirea operațiilor aritmetice în
exerciții de scriere a unor numere î n
sisteme de scriere variate
3.Alegerea și utilizarea algoritmilor
potriviți pentru determinarea unor numere
naturale
4.Exprimarea și discutarea
rezultatelor obținute prin calcul
5.Aplicarea formulelor de calcul și
transpunerea situațiilor practice în l imbaj
matematic
6.Integrarea noțiunilor învățate
despre numere în alte domenii
1.Călătorie în lumea numerelor
Ce știm despre numere? Istoria
evoluției sistemelor de scriere a numerelor
Șiruri de numere
Întocmirea șirurilor după o regulă
dată
Numere inte resante. Numere pare,
numere impare
Baze de numerație. Sisteme de
numerație
Numere „Curioase”
1.Identificarea proprietățiilor
operațiilor matematice și corelarea lor cu
noțiunile teoretice
2.Folosirea proprietățiilor
operațiilor aritmetice în calcule 2. Operații cu numere
Sume de numere naturale
Sume neobisnuite
Reconstituirea operațiilor
Pătrate perfecte.Cuburi perfecte
3.Selectarea și utilizarea de
algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu
numere naturale
4.Exprimarea în limbaj matematic
noțiunilor descoperite în viața cotidiană
5. Aplicarea tehnicilor de calcul în
construcții numerice
6. Transpunera unor situații –
pro blemă în limbaj matematic, rezolvarea
problemelor utilizând operațiile cu numere
și interpretarea rezultatului
Ultima cifră a numer elor.
Ultima cifră a numărului care nu este
pătrat perfect
Operaț ii magice
Criptaritmul
1. Identificarea situațiilor în care
există posibilitatea efectuării calcului rapid
și corelarea lor cu noțiunile teoretice
2. Folosirea artificiilor de calcul în
efectuarea de adunări, scăderi, înmulțiri ,
împărțiri
3.Selectarea și utilizarea unor
modalități adecvate de folosire a calcului
rapid
4.Exprimarea în limbaj matematic a
noțiunilor legate de calculul rapid
5.Interpretarea unor contexte
matematice utiliz ând calculul rapid și
artificii de calcul
6. Transpunerea unei situații –
problemă in limbaj matematic utilizând
artificii de calcul
3.Calcul rapid
Scamatorii matematice
Strădanii de perfecționare a
calculului
Artificii în calculul rapid al adunării,
scăde rii, înmulțirii și împărțirii
1.Identificarea datelor esențiale 4. Probleme istețe
oferite într – o problemă și a datele cerute de
problemă
2. Folosirea operațiilor și a
conceptelor geometrice în îndeplinirea unor
sarcini matematice
3. Selectarea și utilizarea unor
modalităț i adecvate de rezolvare a
problemelor și exercițiilor
4.Exprimarea noțiunilor matematice
cunoscute în rezolvarea sau compunerea
unor probleme
5. Interpretarea matematică a unor
probleme prin utilizarea unor metode
diferite
6.Transpunerea unei probleme în
limbaj matematic utilizând metode diverse
Rebus matematic .Anecdote
matematice
Pătrate magice – Sudoku
Tangram
Probleme de logică și perspicacitate
Probleme de atenție
Probleme de intuiție
Probleme cu erori
Probleme tip „capcană – surpriz e”
Probleme distractive
5 . S ugestii metodologice
Strategii didactice:
– problematizarea,
– coversația euristică,
– demonstrația,
– dezbateri în scopul definirii conceptelor,
– explorarea interdisciplinară,
– investigația în grup,
– discurs argumentativ
– discuția liberă și dirijată.
Resurse materiale:
– fișe de grup,
– laborator de informatică și matematică,
– cărți de specialitate.
6 . E xemple de activități de învățare asociate competențelor specifice
Competențe specifice Exemple de activități de învățare
1.Identif icare
noțiunilor legate de numere
naturale și stabilirea legăturii
cu semnele actuale
– Recunoașterea simbolurilor care au fost utilizate
ca cifre de romani
– Recunoașterea simbolurilor care au fost utilizate
ca cifre de indieni/arabi
– Recunoașterea sim bolurilor care au fost utilizate
ca cifre de egipteni
– realizarea de desene în care apar simboluri
utilizate ca cifre
2. Folosirea operațiilor
aritmetice în exerciții de
scriere a unor numere în
sisteme de scriere variate – Scrierea numerelor folosind v ariate sisteme de
scriere
– Despre numărul 999
– Numărul 365
– Numărul Șeherazadei
3.Alegerea și
utilizarea algoritmilor
potriviți pentru determinarea
unor numere naturale – Determinări de numere repetitive
– Folosirea restur ilor în determinarea unui număr
– Exerciții de determinare a unor numere naturale
formate din mai multe cifre
4.Exprimarea și
discutarea rezultatelor
obținute prin calcul – Stabilirea termenului general al unui numr păr
– Stabilirea termenului general al unui număr
impar
– Stabilirea term enului general al unor șiruri
5.Aplicarea formulelor
de calcul și transpunerea
situațiilor practice în limbaj
matematic – Aplicare de formule și calcul aritmetic
– Exerciții de calculare al a n – lea termen al unui
șir
6.Integrarea noțiunilor
cunoscute d espre numere în
alte domenii – Folosirea de reguli proprii pentru construirea
unor șiruri numerice.
– Identificarea și stabilirea legăturii dintre termenii
unor șiruri numerice ce apar în natură
Competențe specifice Exemple de activități de învățare
1.Id entificarea
proprietăților operațiilor
matematice și corelarea
lor cu noțiunile teoretice
– Definirea proprietăților adunării
– Definirea proprietăților scăderii
– Definirea proprietăților înmulțirii
– Definirea proprietăților împărțirii
2.Folosirea
propri etățiilor operațiilor
aritmetice în calcule
– Alcătuirea de piramide de numerelor folosind
operații de adunare
– Alcătuirea de piramide de numerelor folosind
operații de înmulțire
3.Selectarea și utilizarea
de algoritmi pentru
efectuarea operațiilor c u
numere naturale
– Exerciții de punere in valoare și de utilizare a
proprietăților adunării numerelor naturale
– Exerciții de punere in valoare și de utilizare a
proprietăților înmulțirii numerelor naturale
– Utilizarea algoritmului împărțirii cu restu l egal
cu zero si cu cu restul diferit de zero,
– Utilizarea algoritmului împărțirii cu restul egal
cu zero si cu cu restul diferit de zero
4.Exprimarea în limbaj
matematic a noțiunilor
descoperite în viața
cotidiană
– Reprezentarea unor pătrate perfect e cu
identificarea regulilor de formare a pătratelor perfecte
– Reprezentarea unor cuburi perfecte cu
identificarea reguliilor de formare a cuburilor perfecte
5.Aplicarea tehnicilor de
calcul în construcții
numerice
– Completarea spațiilor libere cu ope rațiile
potrivite pentru a avea egalități adevărate
– Completarea spațiilor libere cu operațiile
potrivite pentru a avea inegalități adevărate
6.Transpunera unor
situații – problemă în limbaj
matematic, rezolvarea
problemelor utilizand
operațiile cu numere și
interpretarea rezultatului – Rezolvarea problemelor care conduc la utilizarea
opera țiilor studiate
– Rezolvarea unor probleme prin realizarea de
conexiuni între ultima cifră a unui număr și proprietățile
sale
Competențe specifice Exemple de activități de învățare
1.Identificarea
situațiilor în care există
posibilitatea efectuării
calcului rapid și corelarea lor
cu noțiunile teoretice – Stabilirea diferitelor posibilităti de efectuare a
unui calcul
– Exerciții de recunoașterea unui număr dintr – un
șir d at
– Exercitii de recunoașterea unui număr dintr – o
schemă dată
2. Folosirea artificiilor
de calcul în efectuarea de
adunări, scăderi, înmulțiri ,
împărțiri – Exerciții de calcul rapid mintal
– Exerciții de calculare folosind artificii de calcul
3.Sele ctarea și
utilizarea unor modalitati – Exerciții de estimare sau de rotunjire a
rezultatelor
adecvate de folosire a calcului
rapid
– Reducerea unui calcul la o schemă sau model
– Remarcarea unor invariații în calcule
4.Exprimarea în limbaj
matematic a noțiu nilor legate
de calculul rapid
– Descrierea unor scamatorii matematice
– Generarea unor idei privind modalități de calcul
rapid
– Argumentarea unor posibilităti de calcul rapid
5.Interpretarea unor
contexte matematice utilizând
calculul rapid și artificii de
calcul
– Interpretarea unor calcule
– Elaborarea de strategii de calcul rapid
– Compararea rezultatelor folosind diferite tehnici
de calcul
6.Transpunerea unei
situații – problemă în limbaj
matematic utilizând artificii
de calcul – Generalizarea și particu larizarea unor metode de
calcul rapid
– Realizarea de conexiuni între rezultatele obținute
prin diferite tehnici de calcul
– Folosirea calcului rapid în probleme din alte
domenii
Competențe specifice Exemple de activități de învățare
1.Identificarea dat elor
esențiale oferite într – o
problemă și a datele cerute de
problemă
– Citirea cu atenție a enuntului unei probleme și
observarea datelor oferite de o problemă
– Citirea cu atenție a enuntului unei probleme și
observarea datelor cerute de o problemă
2. Folosirea operatiilor
si a conceptelor geometrice în
îndeplinirea unor sarcini
matematice – Folosirea figurilor Tangram în construirea
siluetelor unor obiecte
– Completarea unor „pătrate magice”
– Completarea unor pătrate de tip Sudoku
– Completarea unor fi guri magice
3. Selectarea și
utilizarea unor modalități
adecvate de rezolvare a
problemelor și exercițiilor – Exerciții de aplicare a metodei reducerii la
absurd, a principiului cutiei, a principiului parității
– Exerciții de perspicacitate
– Exerciții de alcătuire de pătrate sau alte
configurații magice
4.Exprimarea
noțiunilor matematice
cunoscute în rezolvarea sau
compunerea unor probleme
– Realizarea unor probleme în versuri
– Analizarea textului unei probleme în vederea
identificării unei metode care poate fi utilizată în
rezolvare
– Redactarea rezolvării unei probleme cu
argumentarea etapelor de rezolvare
5. Interpretarea
matematică a unor probleme
prin utilizarea unor metode
diferite – Analizarea unor scheme, modele sau algoritmi
pentru rezolvarea u nor probleme logice
– Exerciții care să evidențieze avantajele folosirii
unor metode
6.Transpunerea unei
probleme în limbaj matematic
utilizând metode diverse – Utilizarea unor metode diferite în rezolvarea unei
probleme de logica și interpretarea rezultatu lui
– Exerciții de argumentare a demersului de
rezolvare a unei probleme de perspicacitate utilizând
diferite metode
– Formularea unei probleme corecte pornind de la
un enunț parțial sau cu erori luând în calcul diferite
variante de dezvoltare a formulării date
7 . M etode de evaluare
Probe orale – evaluare critică bazat ă pe interesul arătat de elevi ș i participarea
efectivă la realizarea activităților;
Probe practice;
Probleme pe calculator(Power Point);
Probe scrise;
Observarea sistematică a elevi lor;
Portofoliul care va cuprinde referatele, jocurile ,poeziile și creațiile despre
matematică, imaginile și desenele realizate de către elevi.
8 . B ibliografie :
1. *** (2009). Programa școlară la Matematică pentru clasele a V – a, a VI – a, a
VII – a, a VII I – a ;
2. *** Manuale școlare pentru disciplina Matematică aprobate conform
Catalogului manualelor școlare valabile în învățământul preuniversitar;
3. Bălăuca, A. (2011). Teme pentru activități opț ionale , Iași : Editura Taida;
4. Dăncilă, I . , Dăncilă, E. (2011). Matema tică distractivă , Iași : Editura Gama.
CAPITOLUL V II
PLANIFICARE ANUALĂ ȘI CALENDARISTICĂ
1. P lanificare anuală
Clasa :
An școlar :
Clasa :
Curriculum aplicat: C.D. 1 oră/ săpt.
Profesor :
C apitolul S em I S em II
1. Test de evaluare inițială 1 oră
2. Călătorie în lumea numerelor 7 ore
3 . Operații cu numere 9 ore
4 . Calcul rapid 5 ore
5 . Probleme “ istețe” 10 ore
6 . Recapit ulăm și ne distrăm 1 o ră 1 oră
7. Test de evaluare finală 1 oră
18 ore 17 ore
Total : 35 ore
Tipul orelor
Nr. ore Nr. ore pe sem estru
I II
A. Predare – învățare 2 7 1 4 1 3
B. Evaluare 6 3 3
C. Recapitulare 2 1 1
T otal 3 5 18 17
2. E șalonarea anuală a unităților de învățare
CAPITOLUL
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE
NR.
ORE
DIN CARE
SEM. I SEM. II
A B C A B C
1. Test de evaluare inițială 1 oră – 1 – – – –
2 . Călătorie în lumea numerelor 7 ore 6 1 – – – –
3 . Operații cu numere 9 ore 8 1 – – – –
4 . Calcul rapid 5 ore – – – 4 1 –
5 . Probleme “ istețe” 10 ore – – – 9 1 –
6 . Recapitulăm și ne distrăm 2 ore – – 1 – – 1
7. Test de evaluare finală 1 oră – – – – 1 –
TOTAL 35 ore 18 ore 17 ore
3. P lanificare calendaristică pe semestrul I
Nr.
crt.
Unitatea de
învățare
Competențe
specifice
Nr.
ore
Conținuturi
Săptămâna
Obs.
1. Test de evaluare inițială – 1h S1
Călătorie în l umea numerelor – 7 ore
1.
Călătorie în
lumea
numerelor
1. Identificare noțiunilor
legate de numere naturale și
stabilirea legăturii cu semnele
actuale
2.Folosirea operațiilor
aritmetice în exerciții de scriere a
unor numere în sisteme de scriere
variate
3.Alegerea și utilizarea
algoritmilor potriviți pentru
determinarea unor numere
naturale
4.Exprimarea și discutarea 8h
Ce știm despre numere? Istoria evoluției
sistemelor de scriere a numerelor
Șiruri de numere
Întocmirea șirurilor du pă o regulă dată
Numere interesante. Numere pare,
numere impare
Baze de numerație. Sisteme de numerație
Numere „Curioase”
Evaluare S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
rezultatelor obținute prin calcul
5.Aplicarea formulelor d e
calcul și transpunerea situațiilor
practice în limbaj matematic
6.Integrarea noțiunilor
învățate despre numere în alte
domenii
Operații cu numere – 9 ore
2. Operații cu
numere 1.Identificarea
proprietățiilor operațiilor
matem atice și corelarea lor cu
noțiunile teoretice
2.Folosirea proprietățiilor
operațiilor aritmetice în calcule
3.Selectarea și utilizarea
de algoritmi pentru efectuarea
operațiilor cu numere naturale
4.Exprimarea în limbaj 9h Sume de numere naturale
Sume ne obisnuite
Reconstituirea operațiilor
Pătrate perfecte.Cuburi perfecte
Ultima cifră a numerelor
Ultima cifră a numărului care nu este
pătrat perfect
Operații magice
Criptaritmul
Evaluare S9
S10
211
S12
S13
S14
S15
S16
S17
matematic noțiunilor descoperite
în viața cotidiană
5. Aplicarea tehnicilor de
calcul în construcții numerice
6. Transpunera unor
situații – problemă în limbaj
matematic, rezolvarea
problemelor utilizând operațiile
cu numere și interpretarea
rezultatului
Recapitulăm și ne distrăm – 1 oră
3. Recapitulăm și ne distrăm 1h Exerciții și probleme recapitulative S18
4. P lanificare calendaristică pe semestrul al II – lea
Nr.
crt.
Unitatea de
învățare
Competențe
specifice
Nr.
ore
Conținuturi
Săptămâna
Obs.
Calcul rapid – 5 ore
1.
Calcul
rapid
1. Identificarea situațiilor
în care există posibilitatea
efectuării calcului rapid și
corelarea lor cu noțiunile teoretice
2. Folosirea artificiilor de
calcul în efectuarea de a dunări,
scăderi, înmulțiri , împărțiri
3.Selectarea și utilizarea
unor modalități adecvate de
folosire a calcului rapid
4.Exprimarea în limbaj
matematic a noțiunilor legate de
calculul rapid
5.Interpretarea unor 6h
Scamatorii matematice
Strădanii de perfecționare a calculului
Artificii în calculul rapid al adunării,
scăderii, înmulțirii și împ ărțirii.
Evaluare S1
S2
S3, S4
S5
contexte matematice utilizând
calculul rap id și artificii de calcul
6. Transpunerea unei
situații – problemă in limbaj
matematic utilizând artificii de
calcul
Probleme istețe – 10 ore
2. Probleme
istețe 1.Identificarea datelor
esențiale oferite într – o problemă
și a datele cerute de problemă
2. Folosirea operațiilor și
a conceptelor geometrice în
îndeplinirea unor sarcini
ma tematice
3. Selectarea și utilizarea
unor modalități adecvate de
rezolvare a problemelor și
exercițiilor 10h Rebus matematic .Anecdote matematice
Pătrate magice – Sudoku
Tangram
Probleme de logică și perspicacitate
Probleme de atenție
Probleme de intuiție
Probleme cu e rori
Probleme tip „capcană – surprize”
Probleme distractive
Evaluare
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
4.Exprimarea noțiunilor
matematice cunoscute în
rezolvarea sau compunerea unor
probleme
5. Interpretarea
matematică a unor probleme prin
utilizarea un or metode diferite
6.Transpunerea unei
probleme în limbaj matematic
utilizând metode diverse
Recapitulăm și ne distrăm – 1 oră
3. Recapitulăm și ne distrăm 1h Probleme de sinteză S16
4. Test d e evaluare finală – 1 oră S17
CAPITOLUL V II I
TESTE DE EVALUARE
1. Test de evaluare inițială – Numărul 1
Nume și prenume:
Clasa : a V – a
An ș colar:
PARTEA I:Pentru exercițiile cu numerele 1 și 2 specificați doar răspunsul. Pentru
exercițiul cu număr ul 3 spuneți dacă propoziția este adevărată sau dacă propoziția este falsă.
(45 de puncte)
20 p
5 p
20 p
1. Calculați: a) 3467 + 27= b) 657 – 84=
c) 504 x 23= d) 4716:9=
2. Câte triunghiuri sunt desenate în figura de mai jos?
3. Stabiliți dacă propozițile următoare sunt adevărate sau false.
a) Numărul cel mai mare de patru cifre diferite este 9999.
b) 762 este cu 416 mai mare decât numărul 346.
c) 3303 este mai mic decât numărul 3030.
d) Împărțind numărul 31 la 7 obținem câtul 4 și restul 3.
Partea a II – a: Scrieți rezolvările complete. (45 de puncte)
15 p
4. Efectuați: ( ) 30 128: 4 12 5 : 2 16 54 : 9
7 p
6 p
7 p
10 p 5. Aflați:
a) numărul x știind că este egal cu triplul lui 116.
b) fracția din dreptunghiul de mai jos care este reprezentată de partea colorată.
c) fracția din dreptunghi de mai jos care este reprezen tată de partea necolorată.
6. Nicu are 8 bomboane, Mihai are de patru ori mai multe. Victor are cu 10
bomboane
mai puțin decât au împreună Nicu și Mihai. Câte bomboane au cei trei copii la un
loc?
NOTĂ:
R ezolvarea corectă a cerințelor de la partea I și de la partea a II este punctată cu
90 de puncte. Zece puncte se vor acorda din oficiu.
Timp efectiv de lucru: 50 de minute.
1.1 Barem de corectare și evaluare
Partea I
Nr. item 1 2 3
a b c d a b c d
Rezultate 3494 573 1 1592 524 4 F A F A
Punctaj 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p
Partea a II a
Oricărei soluții corecte , chiar dacă este diferită de cea din barem, i se va ac orda
punctaj ul maxim corespunzător.
F racțiuni de punct nu se acordă , dar se pot atribui punctaje intermediare
pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului stabilit de barem.
4. =30 (32 + 60): 2 – 16 + 54: 9
=30 92: 2 – 16 + 54: 9
=276: 2 – 16 + 54: 9
=138: 2 – 16 + 6
=69 – 16 + 6
=53 + 6
=59 15 p
5. a)
x 116 3
x 348 7 p
b)
4
6 6 p
c)
2
6 7 p
6. Nicu = 8 bomboane
Mihai = 8 4=32 bomboane
Victor =8+32 – 10=40 – 10=30 bomboane
C opii i la un loc =8+32+30 = 70 bomboane 10 p
10 p se acordă din oficiu. Vom calcula n ota finală împărțind punctajul obținut
la 10 .
1.2 Matricea de specificații și competențele asociate testului
Matricea de specifica ț ii
Competențe de
evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Reprezentarea numerelor
naturale în forme diverse . I 3a 5 p
Folosirea intuitivă a
conceptului de fracție și
conceptelor despre figuri
geometrice. I 2
II 5b
I I 5c II 5b
II 5c 18 p
Respectarea ordinii
efectuării operațiilor și a
folosir ii corecte a
parantezelor în exerciții de
calcul. II 4 15 p
Exerciții cu operații cu
numere naturale. I 1 20 p
Det e rminarea unor numere
care derivă din: de atâtea ori
mai puțin , cu atât mai mult,
cu atât mai puțin, de atâtea
ori mai mult, de atâtea ori
mai puțin. I 3b
I 3c
I 3d I 3b
I 3c
I 3d 15 p
Exprimarea în limbaj
matematic a unei situații
problemă. II 6 4 p
Determinarea datelor oferite,
a datelor cer ute și a II 5 a
II 6 II 6 10 p
operațiilor prin care se poate
rez olva o problemă.
Schematizarea datel or și
etapelor de rezolvare a unei
probleme. II 6 II 6 3 p
Total 14 p 12 p 6 p
35 p
13 p 10 p 90 p
Competențe urmărite :
C1. Identificarea u nor corespondențe simple după reguli date.
C2. Recunoașterea unor figuri geometrice.
C3. Utilizarea numerelor fracționare pentru a utiliza subdiviziuni ale întregului.
C4. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu
numere naturale.
C5. Analizarea, pe baza unui plan simplu de idei, a demersului de parcurs în rezolvarea
unei ecuații sau a unei probleme.
C6. Interpretarea semnificației operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații
problemă.
Bibliografie: Testul e ste elaborat după modelul de test de evaluare inițială pentru
disciplina M atematică, la clasa a V – a , din anul ș colar 2011 – 2012 oferit de Centrul Naț ional
de Evaluare ș i Examinare din Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului.
1.3 Interpretarea rezultatelor
Clasa: a V – a
Nr. elevi testați: 1 4
Tipul evaluării: Inițială
Disciplina: Matematică
Rezultatele obținute de elevi
Nr
crt
Numele și
prenumele Itemi Nota
Item 1
20 p. Item 2
5 p. Item 3
20 p. Item 4
15 p. Item 5
20 p. Item 6
10 p. 1 0 p.
oficiu
1. A . M. 20 5 10 5 5 0 1 0 5,5
2. B . D . 15 0 15 2 0 0 1 0 4,2
3 . C . G . 20 5 20 5 5 0 1 0 6,5
4 . D . D . 20 0 20 0 10 3 1 0 6,3
5 . F . A . 15 5 20 15 20 5 1 0 9,0
6. G. M. 5 0 10 0 0 0 1 0 2,5
7 . M.F. 15 0 20 0 5 0 1 0 5,0
8 . M.C. 10 5 10 1 5 0 1 0 4,1
9 . P. R. 20 5 20 15 20 10 1 0 10,0
1 0 . P.L. 15 5 5 0 0 0 1 0 3,5
1 1 . T.D. 20 5 15 15 10 4 1 0 8,9
1 2 . V.N. 20 5 20 1 7 0 1 0 7,5
Puncte posibile 280 70 280 180 240 120 1 2 0 1 2 00
Pun cte realizate 195 40 185 59 87 22 1 2 0 730
Procent de realizare 68,64
% 57,14
% 66,07
% 32,77
% 36,25
% 18,33
% 100
% 60 , 83
%
Procent de
nerealizare 31 , 36
% 42 , 86
% 33 , 93
% 67 , 23
% 63,75
% 81,67 % 0
% 39 , 17
%
Punctaj realizat / p unctaj maxim 60 , 83 %
Comparând rezultatele și datele obținute putem spune că:
– situația oricărui elev ( atât despre cunoștințele ce le posedă , cât și despre lipsurile
acestuia ) e ste oferită de datele regăsite pe orizontală;
– datele regăsite pe verticală ne oferă detal ii despre punctele obținute de elevi la fiecare
cerință a testului ; de aici obținem :
1. Aproape toți elevii știu să rezolve exerciții simple cu cele patru operații
înv ățate.
2. Elevii au reușit să determine valoarea de adevăr a propozițiilor deși au fost și
elevi care au reușit .
3. Majoritatea elevilor pot să recunoască figurile geometrice.
4. Mai mult de jumătare dintre elevi au rezolvat parțial exercițiul în care trebuia să
re specte ordinea efectuării operațiilor , iar o treime din ei l – au rezolvat corect .
5. M ulți elevi nu au scris corect fracțiile care reprezentau porțiu nea colorată/
necolorată din desene prezentate .
6. Doar câțiva elevi au rezolvat problema prezentată.
Diagrama de mai jos reflectă p rocentul de realizare a competențelor la testul
inițial.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
I1 I2 I3 I4 I5 I6 66.07%
57.14%
36.25% 32.77%
18.33% 68.64%
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Prin tabelul următor vom reprezenta sintetic rezultatele elevilor pentru acest test inițial.
Note Frecvența
Sub 5 4
5 – 5,99 2
6 – 6,99 2
7 – 7,99 1
8 – 8,99 1
9 – 10 2
Cu ajutoru l poligonul ui de frecvență următor vom reprezenta rezultatele elevilor pentru
acest test inițial.
Putem reprezenta rezultatele elevilor pentru acest test inițial și prin acest tabel sintetic .
Clasa Frecvența notelor Punctaj
maxim
pe clasă Punctaj
realizat
pe clasă
Realizat
% 9 – 10 8 –
8,99 7 –
7,99 6 –
6,99 5 –
5,99 Sub 5
a V – a 2 1 1 2 2 4 1200 730 60,83 %
O altă reprezentare a rezultatele elevilor pentru acest test inițial la matematic ă este
oferită de tabelul de mai jos .
Clasa a VIII – a
Nota
Frecvența Procentaj
2 1 6 , 66 % 9 – 10
1 8,3 3 % 8 – 8,99
1 8,33 % 7 – 7,99
2 16,66 % 6 – 6,99
2 1 6 , 66 % 5 – 5,99
4 33 , 33 % Sub 5
Procentajul notelor obținute este evidențiat în diagrama următoare.
6 6 , 66 % din elevi au obținut notă de promovare.
Nota medie pe clasă este 6 , 08 ( șase și 8 %).
Cu ajutorul histogramei următoare putem reprezenta rezultatele elevilor la acest test inițial.
Reprezentând într – o hist ogramă vom obține : procentajul elevilor pe verticală , și nivelul
performanței atinse în raport cu notă pe orizontală .
În prima etapă de observare a gradului de cunoștințe dobândite în clasa a IV – a ,
rezultatele au dovedit că această clasă are un nivel med iu , se impune folosirea unor fișe de
recuperare pentru elevii ce au obținut rezultate slabe , fișe cu ajutorul cărora să se atingă
competențe le dorite a se forma la elevi. P e viitor este necesar:
1. Să fie întocmit un program individual de recuperare cu elevii care nu au avut un
punctaj mare .
2. Să fie mărit interesul elev ilor chiar și folosind o notare încurajatoare.
3. Să se regândească mod alitatea de pregăti re la matematică .
4. Să se pregăteasc ă bine evaluările curent e .
5. Să l i se dea temă suplimentară elevilor care au avut note bune.
2. Test de evaluare inițială – Numărul 2
Nume și prenume:
Clasa : a V – a
An ș colar:
Nume și prenume:
PARTEA I:Pentru exercițiile cu numerele 1 și 2 specificați doar răspunsul. Pentru
exercițiul cu numărul 3 spuneți dacă propoziția es te adevărată sau dacă propoziția este falsă.
(45 de puncte)
20 p
5 p
20 p
1. Calculați: a) 4236 + 42= b) 713 – 78=
c) 407 x 27= d) 3402: 7=
2. Câte pătrate sunt desenate în figura de mai jos?
3. Stabiliți dacă propozițile următoare sunt adevărate sau false.
a) Numărul cel mai mic de patru cifre diferite este 1000.
b) 317 este cu 428 mai mic decât numărul 745.
c) 5005 este mai mare de cât numărul 5050.
d) Împărțind numărul 45 la 7 obținem câtul 6 și restul 3.
Partea a II – a: Scrieți rezolvările complete. (45 de puncte)
15 p
7 p
6 p
4. Efectuați: (123: 3 + 324:4): 2 – (11 15 – 12 13 ) 3 =
5.Aflați:
a) numărul x știind că este egal cu un sfert din lui 180.
b) fracția din dreptunghiul de mai jos care este reprezentată de partea colorată.
7 p
10 p
c) fracția din dreptunghi de mai jos care este reprezentată de partea necolorată.
6. Nicu are 48 bomboane, Mihai are de patru ori mai puține. Victor are cu 10
bomboane mai multe decât au împreună Nicu și Mihai. Câte bomboane au cei trei
copii la un loc?
NOTĂ:
R ezolvarea corectă a cerințelor de la partea I și de la partea a II este punctată cu
90 de puncte. Zece puncte se vor acorda din oficiu.
Timp efectiv de lucru: 50 de minute.
2.1 Barem de corectare și evaluar e
Partea I
Nr. item 1 2 3
a b c d a b c d
Rezultate 4278 635 1058 2 486 2 F A F A
Punctaj 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p
Partea a II a
Oricărei soluții corecte , chiar dacă este diferită de cea din barem, i se va ac orda
punctaj ul maxim corespunz ător.
F racțiuni de punct nu se acordă , dar se pot atribui punctaje intermediare
pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului stabilit de barem.
4. = (41 + 81 ): 2 – (165 – 156) 3
= 122 : 2 – 9 3
= 61 – 27
= 34 15 p
5. a)
x 180 : 4
x 45 7 p
b)
5
8 6 p
c)
3
8 7 p
6. Nicu = 4 8 bomboane
Mihai = 48:4=12 bomboane
Victor =48+12+10=60+10=70 bomboane
C opii i la un loc =48 +12+70=130 bomboane 10 p
10 p se acordă din oficiu. Vom calcula n ota finală împărțind punctajul obținut
la 10 .
2.2 Matricea de specificații și competențele asociate testului
Matricea de specifica ț ii
Competenț e de
evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Reprezentarea numerelor
naturale în forme diverse . I 3a 5 p
Folosirea intuitivă a
conceptului de fracție și
conceptelor despre figuri
geometrice. I 2
II 5b
II 5c II 5b
II 5 c 18 p
Respectarea ordinii
efectuării operațiilor și a
folosir ii corecte a
parantezelor în exerciții de
calcul. II 4 15 p
Exerciții cu operații cu
numere naturale. I 1 20 p
Det e rminarea unor numere
care derivă din: de atâtea ori
mai puțin , cu atât mai mult,
cu atât mai puțin, de atâtea
ori mai mult, de atâtea ori
mai puțin. I 3b
I 3c
I 3d I 3b
I 3c
I 3d 15 p
Exprimarea în limbaj
matematic a unei situații
problemă. II 6 4 p
Determinarea datelor oferite,
a datelor cerute și a II 5 a
II 6 II 6 10 p
operaț iilor prin care se poate
rez olva o problemă.
Schematizarea datel or și
etapelor de rezolvare a unei
probleme. II 6 II 6 3 p
Total 14 p 12 p 6 p
35 p
13 p 10 p 90 p
Competențe urmărite :
C1. Identificarea unor coresponden țe simple după reguli date.
C2. Recunoașterea unor figuri geometrice.
C3. Utilizarea numerelor fracționare pentru a utiliza subdiviziuni ale întregului.
C4. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu
numere natural e.
C5. Analizarea, pe baza unui plan simplu de idei, a demersului de parcurs în rezolvarea
unei ecuații sau a unei probleme.
C6. Interpretarea semnificației operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații
problemă.
Bibliografie: Testul este elaborat du pă modelul de test de evaluare inițială pentru
disciplina M atematică, la clasa a V – a , din anul ș colar 2011 – 2012 oferit de Centrul Naț ional
de Evaluare ș i Examinare din Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului.
2.3 Interpretarea rezultatelor
Clasa: a V – a
Nr. elevi testați: 1 4
Tipul evaluării: Inițială
Disciplina: Matematică
Rezultatele obținute de elevi
Nr
crt
Numele și
prenumele Itemi Nota
Item 1
20 p. Item 2
5 p. Item 3
20 p. Item 4
15 p. Item 5
20 p. Item 6
10 p. 1 0 p.
oficiu
1. B. R. 15 5 10 5 6 0 1 0 5,1
2. C. F. 20 0 15 2 0 0 1 0 4,7
3 . C . R. 20 5 20 15 5 10 1 0 10,0
4 . D . O. 20 5 15 0 10 4 1 0 6,4
5 . D. T. 20 5 15 15 20 5 1 0 9,0
6. I. D. 15 5 5 0 0 0 1 0 3,5
7 . M.M. 10 0 5 0 0 0 1 0 2,5
8 . M.G. 15 5 10 2 5 0 1 0 4,7
9 . M. V. 20 5 20 15 15 0 1 0 8,5
1 0 . T.C. 20 5 20 2 5 0 1 0 7,2
1 1 . P.A. 20 5 20 0 0 0 1 0 5,5
1 2 . V.F. 20 0 20 1 5 0 1 0 5,6
Puncte posibile 280 70 280 180 240 120 1 2 0 1 2 00
Puncte realizate 21 5 45 175 57 71 19 1 2 0 727
Procent de realizare 76,78
% 64,28
% 62,50
% 31,66
% 29,58
% 15,83
% 100
% 60 , 58
%
Procent de
nerealizare 23 , 22
% 35 , 72
% 37 , 50
% 68 , 34
% 70,42
% 84,17
% 0
% 39 , 42
%
Punctaj realizat / punctaj maxim 60 , 58 %
Comparând rezultatele și datele obținute putem spune că:
– situația oricărui elev ( atât despre cunoștințele ce le posedă , cât și despre lipsurile
acestuia ) este oferită de d atele regăsite pe orizontală;
– datele regăsite pe verticală ne oferă detal ii despre punctele obținute de elevi la fiecare
cerință a testului ; de aici obținem :
7. Aproape toți elevii știu să rezolve exerciții simple cu cele patru operații
învățate.
8. Elevii au reușit să determine valoarea de adevăr a propozițiilor deși au fost și
elevi care au reușit .
9. Majoritatea elevilor pot să recunoască figurile geometrice.
10. Mai mult de jumătare dintre elevi au rezolvat parțial exercițiul în care trebuia să
respecte ordinea e fectuării operațiilor , iar mai puțin o treime din ei l – au rezolvat corect .
11. M ulți elevi nu au scris corect fracțiile care reprezentau porțiu nea colorată/
necolorată din desene prezentate .
12. Doar un elev a rezolvat problema complet prezentată.
Diagrama de mai jos reflectă p rocentul de realizare a competențelor la testul
inițial.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
I1 I2 I3 I4 I5 I6 62.50% 64.28%
29.58% 31.66%
15.83% 76.78%
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Prin tabelul următor vom reprezenta sintetic rezultatele elevilor pentru acest test inițial.
Note Frecvența
Sub 5 4
5 – 5,99 3
6 – 6,99 1
7 – 7,99 1
8 – 8,99 1
9 – 10 2
Cu ajutorul po ligonul de frecvență următor vom reprezenta rezultatele elevilor pentru
acest test inițial.
Putem reprezenta rezultatele elevilor pentru acest test inițial și prin acest tabel sintetic .
Clasa Frecvența notelor Punctaj
maxim
pe clasă Punctaj
realizat
pe clasă
Realizat
% 9 – 10 8 –
8,99 7 –
7,99 6 –
6,99 5 –
5,99 Sub 5
a V – a 2 1 1 1 3 4 1200 727 60,58 %
O altă reprezentare a rezultatele elevilor pentru acest test inițial la matematic ă este
oferită de tabelul de mai jos .
Clasa a VIII – a
Nota
Frecvența Procentaj
2 1 6 , 66 % 9 – 10
1 8,3 3 % 8 – 8,99
1 8,33 % 7 – 7,99
2 8,33 % 6 – 6,99
3 25 % 5 – 5,99
4 33 , 33 % Sub 5
Procentajul notelor obținute este evidențiat în diagrama următoare.
6 6 , 6 6 % din elevi au obținut notă de promovare.
Nota medie pe clasă este 6 , 05 ( șase și 5 %).
Cu ajutorul histogramei următoare putem reprezenta rezultatele elevilor la acest test inițial.
Reprezentând într – o h istograma vom obține : procentajul elevilor pe verticală , și nivelul
performanței atinse în raport cu notă pe orizontală .
În prima etapă de observare a gradului de cunoștințe dobândite în clasa a IV – a ,
rezultatele au dovedit că această clasă are un nivel mediu , se imp une folosirea unor fișe de
recuperare pentru elevii ce au obținut rezultate slabe , fișe cu ajutorul cărora să se atingă
competențe le dorite a se forma la elevi. P e viitor este necesar:
6. Să fie întocmit un program individual de recuperare cu elevii care nu a u avut un
punctaj mare .
7. Să fie mărit interesul elev ilor chiar și folosind o notare încurajatoare.
8. Să se regândească mod alitatea de pregăti re la matematică .
9. Să se pregăteasc ă bine evaluările curent e .
10. Să l i se dea temă suplimentară elevilor care au avut note bune.
3. Test de evaluare finală – Numărul 1
Nume și prenume:
Clasa : a V – a
An ș colar:
PARTEA I: Scrieți litera care desemnează răspunsul corect. (45 de puncte)
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
1. Rezultatul calculului
est e:
A. 27 B. 2 3 C. 20 D. 19
2. Cosiderând mulțimile A {2;5;7;9;11;13} și B {5;4;7;11;} . C el mai mare
număr natural care aparține mulțimii A B este :
A. 11 B. 7 C. 13 D. 9
3. Pentru ce valoare a lui a, număru l 126a este divizibil cu 3 :
A.6 B. 8 C. 0 D. 5
4. Rezultatul împărțirii 22344:49 este:
A.457 B. 678 C. 456 D. 345
5. Trasformând numărul 1,08 într – o fracție ordinară obținem :
A. 14
15 B. 26
25 C. 17
5 D. 27
25
6. M edia aritmetică a numerelor x=2,56 și y=3,88 este :
A. 3,21 B. 3,23 C. 3,22 D. 3,27
7. P erimetrul unui dreptunghi cu lă țimea de 4 d m și l ungimea de 8 d m este :
A. 24 dm B. 12 dm C. 32 dm D. 64 dm
8. Un pogon este egal cu :
A. 100 m² B. 10 m² C. 500 m² D. 5000 m²
9. R ezultatul calculului 8 7 3
7 7 7 este :
A. 12
7 B. 5
7 C. 8
7 D. 13
7
Partea a II – a: Pentru următoarele probleme scrieți rezolvări le complete. (45 de puncte)
9 p
9 p
9 p
9 p
9 p
1. Efectuați 0 435 716 2 5 1 0 5 .
2. Rezolvați ecuația 1,6y 8 24 .
3. Alina a cumpărat 60% din cele 10 de produse necesare pentru o prăjitură.
Câte produse a cumpărat Alina?
4. Un turist merge cu viteza constantă de 300 m/ minut. Într – o oră câți
kilometri va m erge turistul?
5. Într – un penar sunt de trei ori mai multe pixuri decât creioane . Adăugând
patru pixuri, numărul pixurilor devine de cinci ori mai mare decât al creioanelor .
Câte pixuri au fost în co ș?
NOTĂ:
Rezolvarea corectă a cerințelor de la partea I și de la partea a II este punctată cu
90 de puncte. Zece puncte se vor ac ordă din oficiu.
Timp efectiv de lucru: 50 de minute.
3.1 Barem de corectare și evaluare
Partea I
Nr. item 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rezultate B A A C D C A D A
Punctaj 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p
Partea a II a
Oricărei soluții corecte, chiar dacă este diferită de cea din barem, i se va acorda
punctajul maxim corespunzător.
Fracțiuni de punct nu se acordă, dar se pot atribui punctaje intermediare
pentru rezolvă ri parțiale, în limitele punctajului stabilit de barem.
1. 0 5 1
345 1 1
716 0 0
2 5 25
1+1+0+25=27 2 p
2 p
2 p
2 p
1 p
2. 1,6y 24 8
1,6y 16
y 10 3 p
3 p
3 p
3. 60 60% 10 10 6 100 2 p
2 p
5 p
4. 1h =60 min
200 60 12000m
1200m 12km 3 p
3 p
3 p
5. Vom nota cu p numărul de pixuri și cu c numărul de cre ioane.
p= 3 c
p +4 = 5 c
Ob ț inem: p =6. 1p
2p
2p
2p
10 p se acordă din oficiu. Vom calcula nota finală împărțind punctajul obținut
la 10.
3.2 Matricea de specificații și competențele asociate testului
Matricea de sp ecifica ț ii
Competențe de
evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Exerciții cu o perații cu
numere naturale , în care se
folosește ordinea efectuării
operaților. I 1. (5p)
II1.(9p)
II4 (3p) 17 p
Exerciții cu î mpărțirea cu
rest dintre două numere
naturale. Exerciții cu
î mpărțirea dintre un numă r
natural și o fracție
zecimală finită. I4. 5(p)
II2 .(3p) II2 .(6p) II5 (3p) 17 p
Conceptele de divizor și
de multiplu. Criterii de
divizibilitate . I3.(5p) 5 p
St abilirea apartenenței unui
element la o mulțime,
operații cu mulțimi. I2.(5p) 5 p
Exerciții cu procente și cu
aflarea unei fracții dintr – un
număr. II3 .(9p) 9 p
Adunări și scăderi de
fracții ordinare cu același
numitor. I9.(5p) 5 p
Transfo rmari de fracții. I5.(5p) 5 p
Exerciții cu media I6.(5p) 5 p
aritmetică.
Probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuațiilor. II5 .(6p) 6 p
Transformări cu unități de
măsură pentru
lungime .Exerciții cu
perimetre. I7.(5p)
II4 .(3p) 8 p
Tra nsformări și calcule cu
unități de măsură pentru
arie, volum, capacitate,
masă, timp. I8.(5p)
II4 .(3p) 8 p
Total 30 p 5 p 5 p 21 p 13 p 16 p 90 p
Competențe urmărite :
C1. Utilizarea operațiilor și a proprietăților acestora în calcule cu numere na turale/
raționale pozitive.
C2. Utilizarea de algoritmi pentru divizibilitatea cu 2, 5 și 10.
C3. Identificarea și utilizarea noțiunilor specifice teoriei mulțimilor.
C4. Transpunerea unei situații problemă in limbaj matematic, rezolvarea problemei
obținut e și interpretarea rezultatului.
C5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr rațional pozitiv și utilizarea de
algoritmi pentru optimizarea calculului cu facții zecimale.
C6. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referito are la
perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură.
C6. Interpretarea semnificației operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații
problemă.
Bibliografie: Testul este elaborat după modelul de test de evaluare pe ntru disciplina
M atematică, din anul școlar 2011 – 2012 oferit de Centrul Național de Evaluare și Examinare
din Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului.
4.3 Interpretarea rezultatelor
Clasa: a V – a
Nr. elevi testați: 14
Tipul evaluării : Fina lă
Disciplina: Matematică
Rezultatele obținute de elevi
Nr
crt
Nu –
mele și
prenu –
mele Itemi Nota
I1
5 p. I 2
5 p. I 3
5 p. I4
5 p. I 5
5 p. I6
5
p. I7
5
p. I8
5
p. I9
5
p. I I1
9 p. II2
9 p. II3
9 p. II4
9 p. II5
9 p. 10
p.
ofici
u
1. A. M. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 10 5, 8
2. B. D. 5 5 0 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 10 5 ,2
3. C. G. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 5 6 2 0 10 7,2
4. D. D. 5 5 5 5 5 5 0 5 5 9 7 0 0 0 10 6, 6
5. F. A. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 5 10 9, 5
6. G. M. 5 5 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 10 3 ,5
7. M.F. 5 5 0 5 5 5 0 5 5 9 0 0 0 0 10 5, 4
8. M.C. 5 5 5 5 0 5 0 5 5 2 0 0 0 0 10 4, 7
9. P. R. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 10 10 ,0
10. P.L. 5 5 5 5 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 10 4,0
11. T.D . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 0 10 9,1
12. V.N. 5 5 5 5 5 5 5 0 5 9 9 9 4 0 10 8,1
Puncte posibile 60 60 60 60 60 60 60 60 60 108 108 108 108 108 120 1200
Puncte
realizate 60 60 45 60 50 50 40 50 55 70 48 42 33 14 120 7 91
Procent de
realizare 100
% 1 00
% 75
% 100
% 83 ,
33
% 83 ,
33
% 66,
66
% 83 ,
33
% 91,
66
% 64,
81
% 44,
44
% 38,
88
% 30,
55
% 12,
96 % 100
% 6 5 , 91
%
Procent de
nerealizare 0
% 0
% 25
% 0
% 16 ,
67
% 16 ,
67
% 33 ,
34
% 16 ,
67
% 8 ,
34
% 35 ,
19
% 55 ,
56
% 61 ,
12
% 69 ,
45
% 87 ,
04
% 0
% 34, 09
%
Punctaj realizat / punctaj maxim 6 5 , 91 %
Com parând rezultatele și datele obținute putem spune că:
– situația oricărui elev (atât despre cunoștințele ce le posedă, cât și despre lipsurile
acestuia) este oferită de datele regăsite pe orizontală;
– datele regăsite pe verticală ne oferă detalii despre p unctele obținute de elevi la fiecare
cerință a testului; de aici obținem:
13. Toți elevi au calculat corect la exercițiile 1, 3 și au intersectat corect cele două
mulțimi.
14. Marea majoritate a elevilor și – au însușit corect criteriile de divizibilitate.
15. Mulți ele vi au calculat corect media aritmetică.
16. O parte din elevi nu au respectat ordinea efectuării operaților .
17. Doar 4 elevi au rezolvat corect ecuația dată.
18. Doar un elev a rezolvat corect ultima problemă .
Diagrama de mai jos reflectă procentul de realizare a co mpetențelor la testul
de evaluare finală .
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 II1 II4 II3 II4 II5 100% 100%
91.66%
64.81% 75% 100%
44.44%
38.88% 83.33% 83.33%
12.96% 66.66% 83.33%
30.55% C1
C2
C3
C4
C5
C6
Prin tabelul următor vom reprezenta sintetic rezultatele elevilor pentru acest test de
evaluare finală .
Note Frecvența
Sub 5 3
5 – 5,99 3
6 – 6,99 3
7 – 7,99 1
8 – 8,99 1
9 – 10 3
Cu ajutorul poligonul ui de frecve nță următor vom reprezenta rezultatele elevilor pentru
acest test de evaluare finală .
Putem reprezenta rezultatele elevilor pentru acest test de evaluare finală și prin acest
tabel sintetic.
Clasa Frecvența notelor Punctaj
ma xim
pe clasă Punctaj
realizat
pe clasă
Realizat
% 9 – 10 8 –
8,99 7 –
7,99 6 –
6,99 5 –
5,99 Sub 5
a V – a 3 1 1 1 3 3 1200 7 91 65,91 %
O altă reprezentare a rezultatele elevilor pentru acest test de evaluare finală la
matematică este oferită de tabelul de mai jos.
Clasa a VIII – a
Nota
Frecvența Procentaj
3 25 % 9 – 10
1 8,33 % 8 – 8,99
1 8,33 % 7 – 7,99
1 8,33 % 6 – 6,99
3 25 % 5 – 5,99
3 25 % Sub 5
Procentajul notelor obținute este evidențiat în diagrama următoare.
75 % din elevi au obținut notă de promovare.
Nota medie pe clasă este 6, 59 (șase și 59 %).
Cu ajutorul histogramei următoare putem reprezenta rezultatele elevilor la acest test de
evaluare finală .
Reprezentând în tr – o h istogramă vom obține: procentajul elevilor pe verticală, și nivelul
performanței atinse în raport cu notă pe orizontală.
În etapă finală de observare a gradului de cunoștințe dobândite în clasa a V – a,
rezultatele au dovedit că această clasă are un nivel mediu, se impune folosirea unor fișe de
recuperare pentru elevii ce au obținut rezultate slabe, fișe cu ajutorul cărora să se atingă
competențele dorite a se forma la elevi. Pe viitor este necesar:
– să se aloce resurse de timp în fiecare oră pen tru aprofundarea unor noțiuni;
– să se discute în clasă tema pentru acasă și să se rezolve exercițiile dificile ;
– să se acorde teme diferențiate;
– să se realizarea unui program individual de r ecuperare;
– să se obișnuiască elevi i clasei cu t este concepute pe itemi;
– să se lucreze pe grupe;
– să se repete explic area noțiunil or care au fost însușite de către elevi în tr – o proporție
mică;
– să se realizeze consultații în vederea recuperării materiei, în afara programului
școlar.
4. T est de evaluare finală – Numărul 2
Nume și prenume:
Clasa : a V – a
An ș colar:
PARTEA I: Scrieți litera care desemnează răspunsul corect. (45 de puncte)
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
5 p
1. Rezultatul calculului 3 5 5 este:
B. 27 B. 2 3 C. 28 D. 29
2. Cosiderând mulțimile A {3;6;9;12;15;18} și B {4;6;8;9} . C el mai mare
număr natural care aparține mulțimii A B este :
B. 12 B. 7 C. 15 D. 9
3. Pentru ce valoare a lui a, numărul 621a e ste divizibil cu 3 :
A.7 B. 9 C. 0 D. 5
4. Rezultatul împărțirii 33231:57 este:
A.585 B. 584 C. 583 D. 538
5. Trasformând numărul 2,875 într – o fracție ordinară obținem :
A. 23
8 B. 26
15 C. 27
16 D. 13
4
6. M edia aritmetică a numerelor x=1,65 și y=4,23 este :
A. 3,16 B. 2,67 C. 2,95 D. 2,94
7. P erimetrul unui dreptunghi cu lățimea de 5 d m și l ungimea de 9 d m este :
A. 14 dm B. 28 dm C. 27 dm D. 29 dm
8. Două pogoane sunt egale cu :
A. 1000 m² B. 2 m² C. 200 m² D. 10000 m²
9. R ezultatul calculul ui 7 7 2
11 11 11 este :
A. 12
11 B. 5
33 C. 10
11 D. 13
11
Partea a II – a: Pentru următoarele probleme scrieți rezolvări le complete. (45 de pu ncte)
9 p
9 p
9 p
9 p
9 p
1. Efectuați 0 567 127 2 6 1 0 6 .
2. Rezolvați ecuația 1, 4y 11 25 .
3. Mihai a citit 4 0% din totalul cele 2 0 de cărți , aflate într – o bibliotecă . Câte
cărți a citit Mihai ?
4. Un biciclist m erge cu viteza constantă de 450 m/ minut. Într – o oră câți
kilometri va merge biciclistul ?
5. Într – un ghiozdan sunt de patru ori mai puține cărți decât caiete . Adăugând
patru caiete, numărul caietelor devine de șase ori mai mare decât al cărților . Câte
caiete au fost în ghiozdan ?
NOTĂ:
Rezolvarea corectă a cerințelor de la partea I și de la partea a II este punctată cu
90 de puncte. Zece puncte se vor ac ordă din oficiu.
Timp efectiv de lucru: 50 de minute.
4.1 Barem de corectare și evaluar e
Partea I
Nr. item 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rezultate C D B C A D B D A
Punctaj 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p
Partea a II a
Oricărei soluții corecte, chiar dacă este diferită de cea din barem, i se va acorda
punctajul maxim corespunzător.
Fracțiuni d e punct nu se acordă, dar se pot atribui punctaje intermediare
pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului stabilit de barem.
1.
567 1 1
127 0 0
2 6 36
1+1+0+36=38 2 p
2 p
2 p
2 p
1 p
2. 1, 4y 25 11
1, 4y 14
y 10 3 p
3 p
3 p
3. 40 40% 20 20 8 100 2 p
2 p
5 p
4. 1h =60 min
450 60 27000m
27000m 27km 3 p
3 p
3 p
5. V om nota cu x numărul de cărților și cu y numărul de caietelor.
y = 4 x
y +4 = 6 x
Obținem : y = 8 1 p
2 p
2 p
2p
10 p se acordă din oficiu. Vom calcula nota finală împărțind punctajul obținut
la 10.
4.2 Matricea de specifica ții și competențele asociate testului
Matricea de specificații
Competențe de
evaluat
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Exerciții cu o perații cu
numere naturale , în care se
folosește ordinea efectuării
operațilo r. I 1. (5p)
II1.(9p)
II4 (3p) 17 p
Exerciții cu î mpărțirea cu
rest dintre două numere
naturale. Exerciții cu
î mpărțirea dintre un numă r
natural și o fracție
zecimală finită. I4. 5(p)
II2 .(3p) II2 .(6p) II5 (3p) 17 p
Conceptele de divizor și
de mult iplu. Criterii de
divizibilitate . I3.(5p) 5 p
Stabilirea apartenenței unui
element la o mulțime,
operații cu mulțimi. I2.(5p) 5 p
Exerciții cu procente și cu
aflarea unei fracții dintr – un
număr. II3 .(9p) 9 p
Adunări și scăderi de
fracții ordinare cu același
numitor. I9.(5p) 5 p
Transformari de fracții. I5.(5p) 5 p
Exerciții cu media I6.(5p) 5 p
aritmetică.
Probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuațiilor. II5 .(6p) 6 p
Transformări cu unități de
măsură pentru
lungime . Exerciții cu
perimetre. I7.(5p)
II4 .(3p) 8 p
Transformări și calcule cu
unități de măsură pentru
arie, volum, capacitate,
masă, timp. I8.(5p)
II4 .(3p) 8 p
Total 30 p 5 p 5 p 21 p 13 p 16 p 90 p
Competențe urmărite :
C1. Utilizarea operațiilo r și a proprietăților acestora în calcule cu numere naturale/
raționale pozitive.
C2. Utilizarea de algoritmi pentru divizibilitatea cu 2, 5 și 10.
C3. Identificarea și utilizarea noțiunilor specifice teoriei mulțimilor.
C4. Transpunerea unei situații prob lemă in limbaj matematic, rezolvarea problemei
obținute și interpretarea rezultatului.
C5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr rațional pozitiv și utilizarea de
algoritmi pentru optimizarea calculului cu facții zecimale.
C6. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la
perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură.
C6. Interpretarea semnificației operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații
problemă.
Bibliografie: Te stul este elaborat după modelul de test de evaluare pentru disciplina
M atematică, din anul școlar 2011 – 2012 oferit de Centrul Național de Evaluare și Examinare
din Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului.
4.3 Interpretarea rezultatel or
Clasa: a V – a
Nr. elevi testați: 14
Tipul evaluării: Fina lă
Disciplina: Matematică
Rezultatele obținute de elevi
Nr
crt
Nu –
mele și
prenu –
mele Itemi Nota
I1
5 p. I 2
5 p. I 3
5 p. I4
5 p. I 5
5
p. I6
5
p. I7
5
p. I8
5
p. I9
5 p. I I1
9 p. II2
9 p. II3
9 p. II4
9 p. II5
9 p. 10
p.
ofici
u
1. B. R . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 10 5, 7
2. C. F . 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 0 0 0 0 10 5 , 5
3. C. R . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 10 10,0
4. D. O . 5 5 0 5 5 5 5 5 5 9 9 0 0 0 10 6, 8
5. D. T . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 6 10 9, 7
6. I. D . 5 5 0 5 5 0 0 5 5 0 0 0 0 0 10 4,0
7. M.M . 5 5 0 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10 3 , 5
8. M.G . 5 5 5 5 5 0 5 5 5 4 0 0 0 0 10 5 , 4
9. M. V . 5 5 0 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 0 10 8,6
10. T.C . 5 5 5 5 0 5 5 5 5 9 5 9 0 0 10 7,3
11. P.A . 5 5 5 5 5 0 5 5 5 9 0 3 0 0 10 6,2
12. V.F . 5 5 5 5 5 5 5 0 5 9 2 4 0 0 10 6,5
Puncte posibile 60 60 60 60 60 60 60 60 60 108 108 108 108 108 120 1200
Puncte
realizate 60 60 40 60 55 40 45 50 6 0 74 43 43 27 15 120 7 92
Procent de
realizare 100
% 100
% 66,
66
% 100
% 91,
66
% 66,
66
% 75
% 83 ,
33
% 100
% 68,
51
% 39,
81 % 39,
81
% 25
% 13,
88 % 100
% 66
%
Procent de
nerealizare 0
% 0
% 33,
34
% 0
% 8 ,
34
% 33,
34
% 25
% 16 ,
67
% 0
% 31 ,
49
% 60 ,
19
% 60 ,
19
% 75
% 86 ,
12
% 0
% 34
%
Punctaj realizat / punctaj maxim 66 %
Comparând rezultatele și datele obținute putem spune că:
– situația oricărui elev (atât despre cunoștințele ce le posedă, cât și despre lipsurile
acestuia) este oferită de datele regăsite pe orizontală;
– datele regăsite pe vertic ală ne oferă detalii despre punctele obținute de elevi la fiecare
cerință a testului; de aici obținem:
19. Toți elevi au calculat corect la exercițiile 1, 3, 9 de la prima parte și au
intersectat corect cele două mulțimi.
20. Marea majoritate a elevilor și – au însu șit corect criteriile de divizibilitate.
21. Mulți elevi au calculat corect media aritmetică.
22. O parte din elevi nu au respectat ordinea efectuării operaților .
23. Patru elevi au rezolvat corect ecuația dată și doi au rezolvat – o parțial .
24. Doi elevi au rezolvat parți al sau corect ultima problemă .
Diagrama de mai jos reflectă procentul de realizare a competențelor la testul
de evaluare finală .
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 II1 II4 II3 II4 II5 100% 100% 100.00%
68.51% 67% 100%
39.81% 39.81% 91.61%
66.66%
13.88% 75.00% 83.33%
25.00% C1
C2
C3
C4
C5
C6
Prin tabelul următor vom reprezenta sintetic rezultatele elevilor pentru acest test de
evaluare finală .
Note Frecvența
Sub 5 2
5 – 5,99 3
6 – 6,99 3
7 – 7,99 1
8 – 8,99 1
9 – 10 2
Cu ajutorul poligonul ui de frecvență următor vom reprezenta rezultatele elevilor pentru
acest test de evaluare finală .
Putem reprezenta rezultatele elevilor pentru acest t est de evaluare finală și prin acest
tabel sintetic.
Clasa Frecvența notelor Punctaj
maxim
pe clasă Punctaj
realizat
pe clasă
Realizat
% 9 – 10 8 –
8,99 7 –
7,99 6 –
6,99 5 –
5,99 Sub 5
a V – a 2 1 1 3 3 2 1200 7 92 66 %
O altă reprezentare a rezultatele el evilor pentru acest test de evaluare finală la
matematică este oferită de tabelul de mai jos.
Clasa a VIII – a
Nota
Frecvența Procentaj
2 16,66 % 9 – 10
1 8,33 % 8 – 8,99
1 8,33 % 7 – 7,99
3 25 % 6 – 6,99
3 25 % 5 – 5,99
2 16,66 % Sub 5
Proc entajul notelor obținute este evidențiat în diagrama următoare.
83,33 % din elevi au obținut notă de promovare.
Nota medie pe clasă este 6, 60 (șase și 60 %).
Cu ajutorul histogramei următoare putem reprezenta rezultatele ele vilor la acest test de
evaluare finală .
Reprezentând într – o h istogramă vom obține: procentajul elevilor pe verticală, și nivelul
performanței atinse în raport cu notă pe orizontală.
În etapă finală de observare a gradul ui de cunoștințe dobândite în clasa a V – a,
rezultatele au dovedit că această clasă are un nivel mediu, se impune folosirea unor fișe de
recuperare pentru elevii ce au obținut rezultate slabe, fișe cu ajutorul cărora să se atingă
competențele dorite a se forma la elevi. Pe viitor este necesar:
– să se aloce resurse de timp în fiecare oră pentru aprofundarea unor noțiuni;
– să se discute în clasă tema pentru acasă și să se rezolve exercițiile dificile ;
– să se acorde teme diferențiate;
– să se realizarea unui program individual de r ecuperare;
– să se obișnuiască elevi i clasei cu teste concepute pe itemi;
– să se lucreze pe grupe;
– să se repete explic area noțiunil or care au fost însușite de către elevi în tr – o proporție
mică;
– să se realizeze consultații în vederea recuperării materiei, în afara programului
școlar.
CONCLUZII GENERALE
Consider că scopul propus a l acestei lucră ri a fost atins, am reușit sa î mi îmbogățesc
nivelul de pregătire profesională ș i mi – am ajutat elevii să – ș i dezvolte abilităț ile de a opera cu
numere.
Cercetarea teore tică scoate în evidență importanța mulțimilor de numere (mulțimea
numerelor naturale, mulțimea numerelor î ntregi, mulțimea numerelor raț ionale , mulțimea
numerelor reale ț i mulțimea numerelor compl exe) și detaliează constucția lor, precu m și
prop r ietățile operaț iil or elementare definite pe acestea .
Opț ionalul “Magia numerelor” contribuie vizibil la spoirea rezultatelor eleviilor la
matematică . În același timp, utilizarea lui va avea efecte pozitive atât asupra creșterii motivaț ie
elevilor pentru studierea matematicii, le va dezvolta gândiri ea logic ă, va ajuta la formarea și
dezvoltarea operațiilor gândirii.
Din bibliografia stud iată pentru cercetarea teoretica ș i din experi ența căpătată în
alcă tuir ea opț ionalui pot afirma că predarea – în vaț area mulț imilor de numere ș i a operaț iilor
definite pe acestea au următoarele valenț e pentru elevii :
– a ntrenează capacitatea de a analiza ș i de a sinteza, de a face comparații , d e a
abstractiza și de a generaliza, ajutâ nd la dezvoltarea gandirii ;
– întărește voinț a, dezvoltă perseverenț a, ajută la sporirea încreder ii în forț ele proprii;
– stimulează cercetarea , iniț iativa ;
– formează ș i dezvoltă abilităț ile ș i deprinderi le practice.
A ceste argumente ne permit să sp unem că matematica poate sa devină accesibilă
fiecărui elev și poate fi îndrăgită de elevi dacă noț iunile matematice sunt descifrate ținând
cont particularitățile de vârstă ș i individuale ale elevilor, urmâ ndu – se că i care sporesc
interacț iunea elevilor, care ajută elevii să î n vețe prin joacă, care pun î n prim plan învăț area
elevilor .
BIBLIOGRAFIE
1. *** (2009). Programa școlară la Matematică pentru clasele a V – a, a VI – a, a
VII – a, a VII I – a ;
2. *** Manuale școlare pentru disciplina Matematică aprobate con form
Catalogului manualelor școlare valabile în învățământul preuniversitar;
2. Bălăuca, A. (2011). Teme pentru activități opț ionale , Iași : Editura Taida;
3. Becheanu M., Dincă A., Ion I., Niță C., Purdea I., Radu N., Ștefănescu C.
(1983). Algebră pentru perfec ț ionarea profesorilor , București: EDP;
4. Brânzei D., Brânzei R. (2000). Metodica predării matematicii , Pitești: Editura
Paralela 45;
5. Buș neag, D. , Piciu, D. (2002). L ecț ii de algebr ă , Craiova : Editura
Universitaria;
6. Buș neag, D. , Piciu, D. (2002). Probleme de l ogică și teoria mulțimilor ,
Craiova : Editura Universitaria;
7. Buș neag, D. , Piciu, D. (2007). Complemente de algebră , Zalău: Editura Gil;
8. Cucos C., Bălan B., Boncu S. (2009). Psihopedagogie pentru examenele de
definitivare și grade didactice , Iași : Editura Po lirom;
9. Dan, C . , Chiosa , S. (2008). Didactica matematicii , Craiova : Ed Universitaria;
10. Dăncilă, I . , Dăncilă, E. (2011). Matematică distractivă , Iași : Editura Gama ;
11. Gherghel, N. (1996). Cum să scriem un articol științific . București: Editura
Științifică
12. Pan aitopol L., Gica Al. (2000). Elemente de teoria numerelor , București:
Editura Universitătii din București;
B. Webografie:
http://www.didactic.ro
http://ro.wikipedia.org
www.edu.ro
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific Conf. Dr. Dana Marina Piciu Candidat Prof. Ivănuș Nicolae… [624241] (ID: 624241)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.