LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific: Candidat: Lector dr. MEZEI ILDIKÓ, LAPOHOS G. (căs…. [617187]
UNIVERSITATEA „BABEȘ -BOLYAI ”, CLUJ -NAPOCA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ
LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator științific: Candidat: [anonimizat]Ó, LAPOHOS G. (căs. GYŐRI) ENIKŐ,
profesor la Școala Gimnazială Buza
Cluj-Napoca
Seria 2019 – 2021
1
UNIVERSITATEA „BABE Ș-BOLYAI ”, CLUJ -NAPOCA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Metode de predare a geometriei în spațiu
Coordonator științific: Candidat: [anonimizat] Ó, LAPOHOS G. (căs. GYŐRI) ENIK Ő,
profesor la Școala Gimnazială Buza
Cluj-Napoca
Seria 2019 – 2021
2
„BABEȘ -BOLYAI ” TUDOMÁNYEGYETEM , KOLOZSVÁR
DIDAKTIKAI TOVÁBBKÉ PZŐ INTÉZET
MATEMATIKA SZAK
ELSŐ FOKOZATI TUDOMÁNYOS – MÓDSZERTANI DOLGOZAT
A térmértan tanítása különböző módszerekkel
Szakdolgozat vezető : Tanár :
Dr. MEZEI ILDIKÓ , adjunktus LAPOHOS G. (GYŐRI) ENIKŐ,
Buzai Általános Iskola
Kolozsvár
2019 – 2021
évfolyam
3
TARTALOMJEGYZÉK
Bevezetés …………………………………………………………………………………….. ………………………. 7
1. FEJEZET – Mértan feladatok megoldá sának módszerei ………… …………………………. 10
1.1. Mértan feladatok megoldásának általános módszerei … …………….. …………………………. 10
1o.1.1. A ѕzіntézіs módszer e ……………………………………………………………………………………. .. 14
1.1.2. Az analízіs módszer e …………………………………………………………… ………………………… 16
1oo.1.3. A geometria i szerkesztések módszere ……………………………………. ………………………… 20
1o.1. o4. A lehetetlenre való visszavezetés módszere …………………………… ………………………… 22
1.1. o5. A szintetikus -analítikus módszer …………………………………………… ……………………….. 23
1.1.6o. A kollinearítással kapcsolatos feladatok megoldási módszerei …………………………… 26
1.1.7. Az összefutó egyenesekkel kapcsolatos feladatok megoldási módszerei ……………… 27
2. FEJEZET – Mértan feladatok alternatív tanulási és megoldási módszerei ………….. 32
2. o1. Tanuló -központú tanulási módszerek a matematika tanórákon ……………………………. .. 34
2. o1.1. Braіnѕtormіng , az ötletbörze -módszer ………………………………….. ……………………….. 35
2.1.2. oA mozaіk módszer ……………………………………………………………….. ……………………… 38
2.1.3. A kocka módszer …………………………………………………………………. ……………………… 42
2.1.4. A gyors l éptek módszer …………….. ………………………………………… ………………………. 43
2.1.5. A fürtábra -módszer ……………………………………………………………. ………………………… 49
2.1.6. „Tudom, tudni szeretném, megtanultam ” ………………………………… ……………………… 56
3. FEJEZET – A matematika tanítás és tanulás módszerei ……………. ……………………… 58
3.1. Heurisztikus didaktikai módszerek és eljárások …………………………. ………………………. 58
3.2. Algoritmikus didaktikai módszerek és eljárások ………………………… ………………………. 61
3.3. A matematika tanításban használt oktatási eszközök ………………….. ………………………. 61
3.4. Az oktatási folyamat kompetenciáival összefüggő leck ék osztályozása ………………… 63
3.4.1. A lecke ……………………………………………………………………………….. …………………….. 63
3.4.2. Új ismeretközlő és ismeret elsajátító lecke …………….. ……… …………. …………………….. 63
4
3.4.3. Szellemi és gyakorlati képességeket formáló lecke …………………… …………………….. 64
3.4.4. Ismétlő és ismeret rendszerező lecke ……………. ………………………….. ……………………. 64
3.4.5. Ismeret -ellenőrző és képesség felmérő lecke ……………………………… ……………………. 65
4. FEJEZET – Az iskola hatékonyságának az értékelése ……………….. ……………………… 66
4.1. Az értékelés alapfunkciói …………………………………………………………. ……………………… 66
4.2. Az értékelés formái és típusai …………………………………………………… ……………………… 67
4.3. Értékelési módszerek és technikák …………………………………………………………………….. 68
4.4. Hagyományos ellenőrzési és értékel ési módszerek ……………………… ……………………… 68
4.5. Alternatív/kiegészítő ellenőrzési és értékelési módszerek …………. ……………………….. 69
4.6. A teszt – a legelterjed tebb értékelési eszköz ………….. …………………… …………………….. 70
4.7. A matematika értékelésében alkalmazott feladat típus ok ………………. ……………………… 72
4.7.1. Objek tív feladatok …………………………………………………………….. …………………………. 72
4.7.2. Objektív -szubjektív feladatok ……………………………………………… …………………………. 75
4.7.3. Szubjektív fel adatok …………………………………………………………… …………………………. 80
5. FEJEZET – A módszertani kísérlet megszervezése és lebonyolítása …………………… 87
5.1. A kísérlet i téma választásának indoklása …………………………………………………………….. 87
5.2. A leckék re ndszerének a létrehozása a tanulási egységen belül ………. …………………….. 92
5.3. A kísérlet i adatok feldolgozása és értelmezése ……………………….. ………………………… 105
5.4. Következmények …………………………………………………………………………………………… 124
Irodalomjegyz ék ……………………………………………………………………….. ………………………… 126
MELLÉKLETEK …………………………………………………………………….. …………………………. 127
5
CUPRINS
Introducere …………………………………………………………………………………………………………….. . 7
СAΡΙΤО LUL 1 – Μеtodе dе rеzolvar е a рroblеmеlor oodе gеomеtrіе …………………………. 10
1.1. Μеtodе gеnеralе oodе rеzolvar е a рroblеmеlor dе gеomеtrіе în gіmnaz іu …………………. 10
1o.1.1. Μ еtoda ѕіntеzеi …………………………………………………………………………………………….. 14
1.1.2. oΜеtoda anal іzеi …………… ……………………………………………………………………………….. 16
1oo.1.3. Μеtoda сonstruсțііlor gеomеtrісе …………………………….. …………………………………….. 20
1o.1. o4. Μеtoda rеduсеrіі la abѕurd oîn рroblеmеlе dе ogеomеtrіе …………………………………….. 22
1.1. o5. Μеtoda oanalіtісo –ѕіntеtісă în рroblеmеlе dе ogеomеtrіе …………………… …………………. 23
1.1.6o. Μеtodе dе rеzolvarе oa рroblеmеlor dе сolіnіarіtatе ……………………………………………. 26
1.1.7. Μеtodе oodе rеzolvarе a рroblеmеlor dе сonсurеnță ……………………………………………… 27
СAΡΙΤОLUL 2 – Μеtodе altеrnatіvе dе oînvățarе oșі rеzolvarе a рroblеmеlor dе
gеomеtrіе …………………………………………………………………………………………………………….. . 32
2. o1. Μеtodе dе învățarе oсеntrate ре еlеv foloѕіtе oîn сadrul orеlor dе matеmatіс ă ……………. 34
2. o1.1. Braіnѕtor mіng ……………………………………………………………………………………………….. 35
2.1.2. oΜozaіс ………………………………………………………………………………………………………. … 38
2.1.3. oΜеtoda cubuluі …………………………………………………………………………………………….. 42
2.1.4. Turul gal еrіеi …………………………………………………………………………….. …………………. 43
2.1.5. Ϲіorchіnеlе …………………………………………………………………………………………………… 49
2.1.6. „Ștіu / Vrеau ѕă ștіu / Am învățat” …………………………………………………………………. 56
ϹAРΙTOLUL 3 – Μеtodіca рrеdărіі șі învățăr іі matеmatіcіі ………………………………….. 58
3.1. Μеtodе șі рrocеdее dіdactіcе dе tір еurіѕtіc ………………………………………………………… 58
3.2. Μеtodе șі рrocеdее dе tір algor іtmіc ………………………………………………………………….. 61
3.3. Μіϳloacе dе învățământ ut іlіzatе în рrеdarеa mat еmatіcіі ……………………………………… 61
3.4. Categorii de lecție î n interrelație cu competențele procesului didactic …………………… 63
3.4.1. Lecția ……………………………………………………………………. …………………………………….. 63
6
3.4.2. Lecția de comunicare și asimilare de noi cunoștințe …………………………………………… 63
3.4.3. Lecția destinată formării unor abilități intelectuale și practice …………….. ……………… 64
3.4.4. Lecțiile de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor și abilităților ………………….. 64
3.4.5. Lecția de verificare și evaluare a cunoștințelor și abilităților ………………………………. 65
CAPITOLUL 4 – Evaluarea randamentului școlar ………………………………………………… 66
4.1. Funcțiile fundamentale ale evaluării …………………………………………………………………… 66
4.2. Forme și tipuri d e evaluare ………………………………………………………………………………… 67
4.3. Metode și tehnici de evaluare …………………………………………………………………………….. 68
4.4. Metodele de verificare și evaluare tradiționale …………………………………………………….. 68
4.5. Metode de verificare și evaluare alternative/complementare ………………………………….. 69
4.7. Testul – instrumentul de evaluare c el mai utilizat ………………………………………………… 70
4.7. Tipuri de itemi aplicați în evaluarea la matematică ………………………………………………. 72
4.7.1. Itemi obiectivi ……………………………………………………………………………………………… 72
4.7.2. Itemi semiobiectivi ……………………………………………………………………………………….. 75
4.7.3. Itemi subiectivi …………………………………………………………………………………………….. 80
CAPITOLUL 5 – Organizarea și desfășurarea experimentului didactic ………………… 87
5.1. Motivația alegerii temei ……………………………………………………………………………………. 87
5.2. Stabilirea sistemului de lecții în cadrul planificării unității de învățare ……………………. 92
5.3. Prelucrarea și interpretarea datelor experimentale ………………………………………………. 105
5.4. Concluzii ………………………………………………………………………………………………………. 124
Bibliografie ……………………. …………………………………………………………………………………… 126
ANEXE …………………………………………………………………………………………………………….. .. 127
7
Bevezet és
,,A matematikának nem az a lényege, hogy egy diák kívülről tudjon egy csomó mindent,
hanem hogy értelmes módo n tudja használni azt, amit valamilyen módon hallott,
megemésztett. ” ( Urbán János )
Az oktatási reform minden szempontbó l tükröződik , a tananyag és a tankönyvek
tartalmától kezdve , a tanítás – tanulás – értékelés megszervezésének és végrehajtásának a
formáin keresztül , a tanításban felhasznált módszerekben és eljárásokban, tudva azt, hogy egy
aktív és hatékony iskola bizonyos igényeken alapszik: tenni, tudni azt amit akarunk tenni és
ahogyan aka rjuk tenni, valamint tenni és érezni azt amit meg akarunk tenni. Más szóval, a
hatékony iskolában, nemcsak az a fontos, hogy milyen információt közlünk a tanulóval és
mennyit , hanem különösen az, hogy hogyan tájékoztatjuk a tanulót és ő, hogyan használhatj a
fel ezeket az információkat.
A hagyományos iskolában az információ az oktatás központja. Úgy tekintik, hogy a
tanulók, az általuk felhalmozott információ segítségével, automatikusan elnyerik azt a
kapacitásukat is, hogy azokat hatékonyan feldolgozzák . Ez a tanulási szempont nagymértékű
kudarcokat eredményezett a tanulók tömegének szintjén, amelyek gyakorlatilag arra
kényszerítették a nyílt oktatási rendszereket, hogy az 1980 -as évek óta nagyszabású
reformokat hajtsanak végre.
A tudományos oktatás tende nciái az elmúlt évtizedekben a tanuló k képzési
szakaszai ban való aktív részvételének ösztönzésére irányultak . Ezeknek a reformoknak közös
nevezőjük van, nevezetesen, hogy a tanuló k memóriájának használatát olyan alapvető elvek
megértésének a folyamatával helyettesítik, amelyek lehetőséget adjanak számukra arra, hogy
a tudományos kutatásnak megfelelő módon szerezzenek tapasztalatokat. Mindezek a
változások mély hatást gyakoroltak a oktatás folyamatára és a tanítási módszerekre.
Ezért szükséges, hogy a tanul ót jól strukturált funkcionális kompetenciák együttesével
ruházzuk fel . Ebben a tekintetben az iskola megjelöli az átmenetet a enciklopédikus tudásról ,
amelyet az információ özönlésének a sebességéhez viszonyítva lehetetlen elérni, a
kontextualizált cselek vés kultúrájába, amely magában foglalja az információk feldolgozására
szolgáló technikák és stratégiák optimális alkalmazását.
8
Az iskol ának jobban kellene reagál nia a könnyen értékelhető végső követelmények ben
kifejezett társadalmi igényekre. Ez az oka annak, hogy a domináns oktatási tevékenység a
feldolgozás és a magasabb szintű információhoz való hozzáférés eszközeinek
asszimilációjává válik, amely szükséges a diplomás társadalmi és szakmai életbe való
integrálásához . Mindezek fényében elmondhatjuk, hogy a matematika t anulmányozásának a
célja , az ezen a területen érvényes általános fogalmak elsajátítása és megjegyzése, világos és
tömör kifejezése , új kontextusokban való felhasználás a és azok gyakorlati alkalmazása.
A matematika nem csa k tények és adatok gyűjteménye. A matematika egy
gondolkodásm ód. Magában foglalja a tanuló k képzését és formálását a jövőbeli munkájukra,
olyan szellemi képességek és készségek fejlesztését, amelyek lehetővé teszik számukra, hogy
lelkesek és képesek legyen ek új ismereteket szerezni, kutat ni. A siker, amit kitűzött céljai
elérése érdekében az oktatási, nevelési tevékenysége során a tanár el szeretne érni, közvetve
vagy közvetlenül, de határozottan függ attól a képességétől, amellyel megtalálja az egyensúlyt
a tettek, elvek és módszerek között.
Ez a dolgozat abból kiindulva lett megtervezve, hogy a hazai oktatásnak olyan
alapvető és nem formális reformra van szüksége, amelyben a tanár szerepe az, hogy
megtalálja azokat a módszereket, amelyekkel a tanulók logi kus gondolkodását fejlessze, az
általa közölt ismeretcsomag segítségével, pedig hozzájáruljon a civilizáció fejlődéséhez.
Felépítésében, a dolgozat öt fejezetből áll:
Mértan feladatok megoldási módszerei
Mértan feladatok alternatív tanulási és megoldási módszerei
A matematika tanítás és tanulás módszerei
Az iskola hatékonyságának az értékelése
A módszertani kísérlet megszervezése és lebonyolítása
Ez a tém a (a mértan feladatok megoldásának alternatív módszerei) , különleges
jelentősége miatt , gyakran kerül a szakemberek figyelmébe és számos szakmunkában kap
helyet . A mértan feladatok alternatív tanulás i és megoldási módszereinek a tanulmányozása
az általános iskolai mé rtan (térmértan) tanítás keretén belül, nagyon fontos. Ki alakul a
tanulóknál a z egyes kapcsolatok meg teremtése elméleti és gyakorlati fogalmak között, ami
során motivációt nyernek a matematika tanulására, mint olyan gyakorlati tudomány
9
megismerésére , amely szoros összefüggésben van a többi tanult tantárggyal és
szakkifejezéssel.
Az első fejezetben a mértan feladatoknak néhány általános megoldási módszerét írtam
le. A második fejezetben kidolgozott módszerek a kreatív és kritikus szellemiség fejlődésén
alapszanak ( kocka módszer, mozaik módszer, brainstorming , fürtábra módszer, „Tudom,
tudni szeretném, megtanultam" módszer ). A harmadik fejezet a matematika oktatásában
alkalmazott fő aktív részvételi elven alapuló módszereket mutatja be, szó van a
problematizálás, a felfedeztetés, a modellálás és a gyakorl ás módszeréről. A negyedik
fejezetben klasszikus és modern értékelés i módszereket mutatok be. Az ötödik fejezet, a
módszertani kísérlet, amely tartalmazza az illető dolgozat eredeti hozzájárulását az adott
témához.
A dolgozat egészéből felmerül a z, hogy a matematik ának különös szerepe van a
természettudományok oktatása köré ben, úgy formáló, min t tájékoztató szempontját tekintve.
10
1. FEJEZET
MÉRTAN FELADATOK MEGOLDÁSÁNAK MÓDSZEREI
1.1. Mértan feladatok megoldásának általános módszerei
A mértan tanulmányozásában fontos szerepet játsz ik bizonyos érvelési módszereknek
az ismer ete, mivel ezek könnyítik meg a bizonyítások megértését és kutatási eszközt
jelentenek a feladatok megoldásában. Segítséget nyújtanak a tanulók számára abban, hogy
megértsék mit jelent egy feladatban a logikus érvelés ; mit jelent ha az t hiszem egy igazság ról,
hogy az intuí ció értelmében igaz, vagy kitaláltam, vagy csak ideiglenes érvelési vázlat alapján
gondolhatom, hogy igaz és mit jelent megkérdőjelezni vagy tagadni az igazságot; mit jelent
egy biztonságos és általános módszer , egy al goritmus ; mi a sztereotípia és mi az újdonság egy
konkrét feladat alkalmazásában.
A feladatok szerepe :
Tájékoztató (informatív) szerep
Közvetlenül a gyakorlatban alkalmazott feladatok – a mindennapi életben,
számításokban, mérésekben, a fizika tanulmányozás ában, műszaki tanulmányokban
alkalmazott matematika. Az a matematika, amely általános kultúra tárgyaként van tekintve.
Formáló szerep :
A logikus gondolkodás gyakorlása és a problematikus gondolkodás felé való elhajlás,
a kreatív gondolkodás oktatása. Egy formatív szerepű feladat nak a megoldása érdeklődést kelt
és az er edményét érdemes megjegyezni, mivel később, felhasználható más feladatok
megoldásában.
A formáló szerep et egy logikus és találékony gondolkodás gyakorlása alkotja. A
módszer a tartalomhoz kötődik, abban az értelemben, hogy a matematikatanítás mindhárom
módj ának: heurisztikus, logikus és alkalmazott, megvan a sajátos pszi chikai motívuma,
stílusa.
Az intuitív elem nek a rendszer felépítési folyamatának a megértésében van szerepe,
amit a logikus érvelé s szigorúsága helyettesít a gyakorlathoz való kötődésében és
11
pszichológiailag, a heurisztik us vizsgálat támoga tásában. Ezért nem kell teljesen eltávolítani
az intuitív indoklásokat, megmaradván a szigorú bizonyításoknál. A szigorú bizonyítás akkor
hasznos, amikor az intuitív indoklás megcáfolása után következik be és logikusan
alátámasztja azt, megőrízve aktív elemként ezt a heurisztikus kutatásb an.
Egy matematikai szöveg megértése sokkal nehezebb egy adott feladat me gértésénél.
Ahhoz, hogy valaki elolvasson és megértsen egy matematikai szöveget , tapasztalt kell legyen
a feladatok megoldásában, arra kell rájöjjön, hogy a szöveg megfejtése, tulajdo nképpen a
feladat megoldását jelenti. Habár a szöveg logikai szempontból teljes, pszi chológiailag nem
teljes.
A feladat kijelentésének elsajátítása, feltételezi a feladat adatainak és kéréseinek az
egyértelmű megkülönböztetését. A feladat megoldásához szük séges különböző eljárások és
módszerek ismerete azt kell jelentse, hogy tud atában vagyunk annak, hogyan gondolko dunk
és milyen stratégia al apján építjük fel, illetve oldjuk meg a feladatunkat.
A matematikai tevékenység lényege az elrejte tt logikai következmények kiderítése ,
míg a valódi felismerés ötvözete az érzékekkel elsajátított és a logika utján kibontakozó,
kézenfekvő információknak.
Módszertani beszélgetéseket terveznek arra, hogy elvezessenek a gond olkodáson
keresztül való felfedezés hez, nemcsak a nevelés célja és a gondolkodás erejének a fejlesztése
szempontjából nézve, hanem tanulság céljából is ; nem lehet igazából egy matematikai
kijelentést vagy bizonyít ást megérteni és elsajátítani passzív tanul ás által, csak ezeknek az
újra felfedezés ével. A matematikai ismeret ek nem a memó riában elraktározott maradandó
termékek, hanem munkaeszközök. Ebből a szempontból a matematika oktatásának az értékei
(a feladatmegoldáson ker esztül) a tanulók személyiségén (a jelenlegi és a későbbi)
terjeszthetők ki , fejlesztve és pozitívan befolyásolva m űködési pszi chés struktúrákat,
motivációs hozzáállásukat, alkalmasságukat, találékonyságukat, gondolkodásuk
rugalmasságát, képzeletüket, spont aneitásukat, kritikus szellemüket.
A csoportos feladatmegoldás eltávolítja az alárendeltség viszonyát, a fölénytől való
félelmet, fejleszti a fogékon yságot, az egészséges együttműkö dést egy káros versengés
hiányában. A feladatok által a fogalmak tanulása tudatos , mivel ha a tanulónak a kognitív
struktúrájából hiányoznak a szükséges elemek, akkor nem tud helyesen érvelni. A kise gítő
kérdések útmutatói a helyes gondolkodásnak, de mindig úgy kell őket feltenni, hogy
12
figyelemmel kísérjék a feladat ot, teljes egészé ben, még akkor is ha a feladatnak csak egy
szakaszát oldottuk meg. Egy bizonyítás részletes elemzése során szükség van a szintetikus
megjelenítésre is ami kiemeli a bizonyítás ötletét. A tanulónak nem a bizonyítás levezetését
kell megtanulnia, hanem meg kell jegyeznie a bizonyítás ötletét és ennek függvényében
részletesen készítse el azt egyedül.
Az ismeretek alapos elsajátításának elve : azokat az ismereteket, amelyeket a tanuló
saját erőfeszítése során fedez fel, jobban rögzíti a memó riájában és azokat könnyen
reprodukálja, azonosítja, hasznosítja.
A mit tudok és a mit nem tudok összekapcsolódása során, a tanulás az ami alapot képez : az új
információ elsajátítása, az ismeretek átalakítása új feladatok megoldása érdekében, az
információ megfele ltetése új kihívások megoldásának.
A didaktikai megfigyelés céltudatos, tervszerű, rendszeres, objektív tényeken alapuló
észlelés . Egy mértan feladat ábrájának a követése is megfigyelés, amelynek célja a valóság
megjelenésének a felfedezése, az adatok és a kérés közötti összefüggések felderítése.
Hozzájárulhat helyes logikai folyamatok lebonyolításához, hasonlatokat észlelhet más
ábrákkal összefüggésben.
Ennek a módszernek a lényege és a hasznossága megmutatkozik az adottságok a
képzelet, a türe lem, a leleményesség, megfi gyelő készség, a félreértés ek elkerülése
művelésében, főleg a mértani testek esetén .
A begyakorlás módszere , mint módszer főleg az intuitív jellegű feladatoknál
hasznos: területek, térfogatok mérésénél és kevésbé azoknál a feladatok nál, amelyekben az
igazság intuí ciója szerepel, elkerülve a szigorú bizonyításokat. A begyakorlás úgy
értelmezhető, mint a már megtanult ismeretek változatos feltételek és körülmények közötti
felhasználását és alkalmazását biztosító szenzomotoros és intellektuális tevékeny ségek
kivitelezésének rendszere , amely magasabb szintű készségek, jártasságok és képességek
kialakításának szolgálatában áll. Ennek megfelelően a módszer funkciója tehát az ismétlés és
rendszerezés, jártasság és készségfejlesztés.
A projektoktatás , alternat ív oktatási módszer ami pedagógiai értelemben nem más,
mint sajátos tanulási egység, egyszeri, komplex , szisztemetikus, a hagyományos iskolai és
osztályfelépítésen túllépő programterv, amely a tanár és a tanuló közötti bensőség es, partneri
együttműkö désen alapszik. Ennek megfelelően a projektoktatás olyan tanulási -tanítási
13
stratégia, a tanulók által elfogadott vagy kiválasztott probléma , téma feldolgozása, amely
egyénileg, de gyakran csoportban történik, megszüntetve, feloldva a hagyományos osztály – és
tanórakereteket , a végeredmény minden esetben egy bemutatható szellemi vagy anyagi
alkotás, produktum.
A feladatok megoldásának a követk ező elemi szabályait vesszük figyelembe:
a feladat szövegének elolvasása, adatok és kérelem pontos azonosítása; a feladat
ábrájának elkészítése; az állítások szimbólumokkal való leírása;
a feladatban előfordul ó fogalmakkal kapcsolatos definí ciók, tételek felelevenítése;
előkészítő feladatsorozat tervezése; a megoldás ötletének a megtalálása : megoldási
terv készítése ;
összefüggések keresése , a bizonyítás lépéseinek a leírás a, a megoldási terv
végrehajtása ;
a feladat lehetséges specializálása, a feladat típusának a meghatározása ;
a megoldás lépéseinek ellenőrzése, az alkalmazott algoritmusok, eljárások
végrehajtásával kapcsolatban elkövetett esetleges hibák kiküszöbölése .
Az oktatási módszer fogalmának legelterjedtebb meghatározása szerint azt az utat jelöli,
amely a kitűzött célok megvalósítását teszi lehetővé ; a matematikában , oktatási módszeren
azt a racionális utat értjük, amit annak érdekében járunk, hogy tételeket bizonyítsunk vagy
feladatokat oldjunk meg.
A mértan feladatok megoldásának a módszerei két fő részre oszthatók: általános és
sajátos módszerek.
Az analízis és a szintézis módszerei az egyedüli olyan általános módszerek, amelyeket
számos tétel bizonyítására és feladat megoldására használunk.
A mértan feladatok megoldásában felhasznált módszerek a következők:
a szintézis;
a számítási feladatokban használt szintézis;
a bizonyítandó feladatokban használt szintézis ;
az analízis;
a számítási feladatokban használt analízis;
a bizonyítandó feladatokb an használt analízis;
14
a geometriai szerkesztések módszere ;
a mértan feladatokban használt reductio ad absurdum (a lehetetlenre való
visszavezetés) módszere ;
a szintetikus -analítikus módszer ;
a bizonyítandó feladatokban használt szintetikus -analítikus módszer ;
a számítási feladatokban használt szintetikus -analítikus módszer ;
a kollinearítással kapcsolatos feladatok megoldási módszere i;
az összefutó egyenesekk el kapcsolatos feladatok megoldá si módszerei .
1.1.1 A szintézis módszere
A. A számítási feladatokban használt szintézis módszere
A számítási feladatok lehetnek: gyakorlatok, szöveges feladatok amelyekben mértani
tartalom van (amelyek megoldásához szükség van aritmetikai ismeretekre) és több összefüggő
állításból álló feladatok.
A gyakorlatok olyan egyszerű, rövid mondatban megfogalmazott kérdések,
amelyekre szabályok, tételek direkt alkalmazásával könnyen lehet válaszolni. A gyakorlatok
megoldása nem v esz igénybe erőfeszítő gondolkod ást, sem összetett érvelések felépítését,
csupán a szabályok, képletek és tételek alapos ismeretét követeli meg. Habár a gyakorlatok
megoldása nem fejleszti a logikus gondolkodást, mégis fontos szerepet játszik a készségek és
jártasságok kialakításában, előrelépést biztosítva eképpen az elméletnek a gyakorlatba való
ültetésében.
Szintézis alapján, egy szám ítási feladat ot így oldunk meg: lépésenként kiválasztunk a
feladat adatai közül kettőt, amelyek segítségével kiszámítható egy harmadik mennyiség értéke
és ezt addi g tesszük meg amíg a feladat minden kérését megválaszoljuk.
15
B. A bizonyítandó feladatokban használt szintézis módszere
A bizonyítandó feladatok olyan feladatok, amelyek megoldása során létrehozunk vagy
igazolunk egy összefüggést, az adott ábrán új tulajdonságokat fedezünk fel vagy meg tudunk
indokolni tulajdonságokat. Ezek a feladatok elősegítik a geometriai ismeretek alapos
elsajátítását, fejlesztik a logikus gondolkodást és előrelépést biztosítanak a kreatív
gondolkodás kialakításában.
Egy, a szintézis módszerével megoldott bizonyítandó feladat estében, kiindulunk az A
állításból (feltevés) és keresünk egy másik C feltevést amit az A állítás implikál . Tudva, hogy
az F ábra rendelkezik az οα tulajdonsággal οo, keressük azon δ tulajdonságait, amelyekkel még
rendelkezik és azt az feltevést ami megerősíti, hogy az oοοF ábrának δ tulajdonsága van, jelöljük
С-vel. Tovább, keresünk olyan D állítást, amelyet az A és a C állítások implikálnak, amíg az
így talált állítások implikálják a B állítást (ami a következtetés).
Szemléltetés
A szintézis esetén kiindulva a p állításból fel kell fedezzünk más 𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑘
állításokat úgy, hogy 𝑝→𝑟1→𝑟2→⋯→𝑟𝑘→𝑞.
Példa: Adott az 𝛼 sík, A a síkon kívül fekvő pont, e pedig az 𝛼 síkban egy tetszőleges
egyenes (1. ábra) . Ha 𝐴𝐴′⊥𝛼,𝐴′∈𝛼 é𝑠 𝐴′𝑀⊥𝑒,𝑀∈𝑒,akkor 𝐴𝑀 ⊥𝑒.
( A három merőleges tétele)
1. ábra
A
e M 𝐴′
16
Bizonyítás:
Ki kell mutatni, hogy 𝑒⊥(𝐴′𝐴𝑀).
𝐴𝐴′⊥𝛼, 𝑒⊂𝛼 ⇒ 𝐴𝐴′⊥𝑒, de 𝐴′𝑀⊥𝑒⇒𝑒⊥(𝐴′𝐴𝑀).
𝐴𝑀 ⊂(𝐴′𝐴𝑀)⇒𝑒⊥𝐴𝑀, azaz 𝐴𝑀 ⊥𝑒.
οLegyenek a következő állítások : o
р ο: „ ο 𝐴𝐴′⊥𝛼,𝐴′∈𝛼 é𝑠 𝐴′𝑀⊥𝑒,𝑀∈𝑒”
οq: „ 𝐴𝑀 ⊥𝑒 ” ~*`^ ` o
𝑟1: „ 𝑒⊥(𝐴′𝐴𝑀)” o
𝑟2: ο„𝑒⊥𝐴𝑀 ο~*`^`” oahol 𝑟1 é𝑠 𝑟2 állítások konjunkció ja, akkor észrevehető, hogy οa három
merőleges tételének a bizonyítása az alábbi képleten alapult :
𝑝→𝑟1→𝑟2→𝑞.
1.1.2 Az analízis módszere
A. A számítási feladatokban használt analízis módszere
Az analízisben abból indulunk ki, amit bizonyítani kellene; elfogadjuk, mintha már
igazoltuk volna, következtetéseket vonunk le belőle, majd következtetéseket vonunk le a
következtetésekből, mindaddig, amíg el nem érünk egy olyan ponthoz, amelyet már a
szintézis kiindulási pontjául használhatun k. Az analízisben ugyanis úgy teszünk, mintha már
megtaláltuk volna, amit keresnünk kell. Feltesszük a kérdést, hogy milyen eredményből
lehetne a kívánt eredményt levezetni; majd ismét feltesszük a kérdést, hogy milyen
előzményből lehetne azt az előzményt levezetni, és így tovább, míg végül előzményről
előzményre áttérve, végül is valamilyen már ismert vagy igaznak elfogadott állításra
bukkanunk. Ezt az eljárást analízisnek vagy fordított irányú megoldásnak nevezzük.
A gyakorlatban használatos a következő formája az analízisnek: kiindulunk a feladat
kérdéséből ; feltételezzük, hogy az A mennyiséget kell meghatározni. Ekkor keresünk olyan
17
mennyiségeket, amelyeket E -vel és F -el jelölünk és amelyek segítségével kiszámítható az A
mennyiség . Ha ezeknek a mennyisé geknek az értéke adott a feladatban, akkor elvégezve a
kijelölt számításokat, megkapjuk az A értékét és a megoldás t befejeztük. Ha pedig az E és F
mennyiségek értékei nem adottak, akkor ki kell őket számítani és a feladatunk leredukálódik
egyszerűbb feladatok megoldására. Legyenek M és N olyan mennyiségek, amelyek
segítségével megkapjuk az E, P és Q mennyiségeket és mi ndezekkel kiszámítható az F
mennyiség . Ezt az eljárást addig folytatjuk amíg a keresett mennyiségeket kiszámíthatjuk a
feladatban szer eplő adatokkal. Így pedig, fordított irányban haladva, eljutunk az A mennyiség
értékéhez. Tehát ez utóbbi esetben, már nem alkotunk közbeeső feladatokat, hanem csak
megemlítjük azokat az adatokat, amelyeket fel kéne használni ezekben a feladatokban.
B. A bizonyítandó feladatokban használt analízis módszere
Az analízis módszerével, bizonyítandó feladatok megoldásánál, kiindulunk a feladat B
következtetés éből és keresünk egy C állítást, ami implikálja a B -t. Keresünk egy másik D
állítást, amelyből következtetjük a C -t, majd egy E állítást, amelyből következtetjük a D -t és
így tovább, amíg találunk egy A áll ítást, amelyből következtetjük az előzőt. A következő
képpen járunk el:
Feltételezzük, hogy a bizonyítandó állítás igaz.
Feltesszük a következő kérdést: honnan merül fel azonnal a tétel következtetése? A válasz
erre a kérdésre elvezet egy újabb állítás megfogalmazásához, aminek kevesebb ismeretlen
értéke van mint az eredeti feladat állításának. Ezt jelöljük C -vel.
Egy hasonló kérdést teszünk fel a C állítás eset ében is: honnan merül fel azonnal a C
állítás következtetése? A válasz erre a kérdésre elvezet egy másik új állítás
megfogalmazásához, aminek kevesebb ismeretlen értéke van mint a C -nek. Ezt jelöljük D -vel.
Midőn eljutunk ehhez az igazsághoz, a megoldás a szintézis módszerével folytatódik. Az
egész folyamatból látszik, hogy a megoldás minden szakasza nem kipróbáláson alapszik,
hanem kötődik az előző állításokhoz, vagyis az érvelések motiválva vannak.
18
Szemléltetés
Az analízis módszere hatékony módszer a számítási és bizonyítandó feladatok
megközelítésében. A „ р → οο q” implikációt bizonyítjuk.
Keressük azt az 𝑟𝑛 állítást, amely implikálja a q állítást, majd kell kapjunk egy 𝑟𝑛−1
állítást, amelyből következtetjük 𝑟𝑛-et és így tovább, amíg kapunk egy 𝑟1 állítást, ami
egyenesen a p állításból következik.
Feladat: Mutassátok ki, hogy egy tetraéder ben a három kettős élfelező egy pontban metszi
egymást .
2. ábra
Egy tetraéderben a szemben fekvő élek felezőpontjait összekötő szakasz ok a kettős élfelezők .
Minden tetraé dernek hat éle és három kettős élfelezője van. AzABСD tetraéderbeno [ΚL], o
[QΡ], [Μ Ν] kettős élfelező k (2. ábra ).
Igazolnunk kell a „oр → q” implikációt, ahol :
oр: o „ ABСD tеtra éder, [ΚA] o= [ΚB], [LС] = [oLDo], [ΜA] = [ΜС], oo [ΝB] = [ ΝD],
[ΡAoo] = [ΡD] és [QB] oo= [QС] .”
q: „o [oΚL], [ΜΝ], [ΡQ] egy pontban metszik egymást ( összefutó szakaszok) ”
19
Észrevehető, hogy az alábbi állítások implikálják a q követke ztetést :
o𝑡1: „A ΚQLΡ paralelogrammában a [ΚL],o[ΡQ] átlók felezik egymást ”o
𝑡2 : „A ΚΝLΜ paralelogrammában a [ΚL], [ΜΝ] oátlók felezik egymást ”
𝑡3 : „Az ΝΡΜQ paralelogrammában a [ΜΝ], [oΡQ] átlók felezik egymást ”.
Megfigyeljük azt , hogy az
𝑎1o: „ΚQ║oLΡ és ΚQ = L Ρo”
𝑎2: o„ΚΝ║LΜ és ΚΝ = LΜ” o
𝑎3: „ΜΡo║ΝQ és ΜΡ o= ΝQ”
állításokból következtethetők a 𝑡1,𝑡2,𝑡3 állítások.
Viszont az 𝑎1,𝑎2,𝑎3 állítások direkt következményei az alábbi állításoknak :
𝑟1: „ [ΚQ] középvonal a BAС háromszögben és [LΡ] középvonal a DAС háromszögben ”
𝑟2: „[ΚΝ] középvonal a BAD háromszögben és [LΜ] középvonal a СAD háromszögben ”
𝑟3: „[ΜΡ] középvonal az AСD háromszögben és [ΝQ] középvonal a BСD háromszögben ”.
Végül pedig 𝑟1,𝑟2, 𝑟3 következnek a p állításból.
Az eredeti megoldás a következő lenne:
o A BAС és DAС háromszögekben [AС] közös oldal, [ΚQ] és [LΡ] középvonalak.
Tehát : ΚQ║LΡ és ΚQ = LΡ
Anal óg módon : oΚΝ║LΜ és ΚΝ = LΜ
o ΜΡ║ΝQ és ΜΡ = ΝQ
Következik, hogy a ΚQLΡ, ΚΝLΜ, ΜΡΝQ négyszögek paralelogrammák és a te traéder
három kettős élfelező je [ΚLo], [oQΡ], [ΜΝ] ezeknek a paralelogrammáknak az átlóik :
[ΚL] és [QΡ] a ΚQLΡ paralelogrammában
[ΚL] és [MΝ] a ΚΝLΜ paralelogrammában
20
~*`^ `[ΜΝ] és [ΡQ] a ΜΡΝQ paralelogrammában .
Mivel a paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást és felezik is egymást , ezért az
ABCD tetraéder [ΚL], [QΡo], [ΜΝ] kettős élfelező i is egy pontban metszik egymást , a
metszéspontjukat pedig G – vel jelöljük, ami egyben mindegyik kettős élfelező felezőpon tja.
1.1.3 A geometriai szerkesztések módszere
A szerkes ztéses feladatok azok a mértan feladatok, amelyekben cs ak körz ő és vonalzó
felhasználásával, adott alkotó elemek és tulajdonságok segítségével kell megszerke szteni egy
bizonyos ábrát. Ezek et a feladatok at tekinthetjük a mértan feladat ok gyakorlati
alkalmazásai nak.
Egy szerkeszté ses feladat kérése legyen az, hogy szerkesszük meg az F ábrát,
amelynek α tulajdonságai vannak. Az egyszerűbb feladatoknál azonnal megszerkeszthető az
ábra, de vannak bonyolultabb feladatok, amelyekben az α tulajdonságból nem lehet
egyértelműen megszerkeszte ni az ábrát . Ekkor a feladat megoldását vázlat készítésével
kezdjük, melyben az adatokat kiemelve a már megszerkesztve gondolt ábrából indulunk ki.
Ez az ábra célszerűen kiegészíthető úgy, hogy az adatok vagy az azokból könnyen nyerhető
további elemek közvetlenül is szerepeljenek a kiegészített ábrán. A szerkesztést az így
kiegészített ábra és annak elemzése készíti elő, amely során geometriai t ulajdonságokat
keresünk az ábra adott és azon ismeretlen elemei között, amelyek megszerkeszthetők és
megszerkesztésük elvezethet a megoldáshoz is. Jelöljük a felfedezett tulajdonságokat β – val.
Vagyis, bizonyítanunk kell a következő állítást:
i) Ha az F ábr a rendelkezik az α tulajdonságokkal, akkor F rendelkezik a β
tulajdonságokkal is. A szerkesztésnél felhasználjuk a β – kat, de az α – k egy részét is.
Jelöljükoα’ – tel azokat az α tulajdons ágokat, amelyeket felha sználtunk a szerkesztés nél. Az
ábra tehát rendelkezik a β ésoα’ tulajdonságokkal, de a követelményben az áll, hogy
rendelkeznie kell α- val. Bizonyítani kell, tehát, hogy a szerkesztett ábra rendelkezik az
eredeti α tulajdonsággal.
Ennek érdekében bizonyítjuk a következő állítást:
21
ii) Ha az F ábra rendelkezik a β és α’ tulajdonságokkal, akkor F rendelkezik az α
tulajdonságokkal is. Ugyanazon feladatnak többféle megoldása is lehet, amelyek közül
előnyben részesítjük az egyszerűbb rajzot kívánó és kevesebb előismeretre építő megoldást.
Általában, egy szerkesztéses feladat megoldásában , négy lépés t különböztetünk meg:
Elemzés – a már megszerkesztve gondolt ábrából kiindulva, azokat a
tulajdonságokat keressük, amelyekkel kivitelezhető a s zerkesztés ( bebizonyítjuk az i)
állítást) .
Szerkesztés – a szerkesztés elvégzése után külön bizonyítást igényel az, hogy a
szerkesztett ábra valóban rendelkezik -e a megadott adatokkal és tulajdonságokkal.
Bizonyítás – bebizonyítjuk, hogy a második lépésben megszerkesztett ábra
eleget tesz-e az eredeti feltételeknek ( bebizonyítjuk az ii) állítást).
Tárgyalás – a megoldhatóság szükséges és elégséges feltételeinek, valamint az
adatok megválasztásától függően , a megoldások számá t tárgyaljuk .
Abban az esetben ha az adatok alapján a szerkeszt és elvégezhető, akkor a
megoldáshoz csak az utolsó három lépésre van szükség. Azt mondjuk, hogy a megoldást a
szintézis módszerével végeztük . Amikor a megoldáshoz az első lépést is megtettük, azt
mondjuk, hogy a megoldást az analízis módszerével végeztük.
Szemléltetés
Legyenek (AB) és (AС) szakaszok, AB = a, AС = b, a > b. Szerkesszetek egy √𝑎𝑏
hosszúságú szakaszt.
Megoldás – alkalmazzuk a befogó tételét.
Szerkesztés:
Megszerkesztjük az AB átmérőjű kört, ahol AB a nagyobbik számot jelöli, ebben az
esetben a –t. Az AB szakaszon felvesszük a C pontot úgy, hogy az AC szakasz jelentse a b
számot. A C pontból az AB –re bocsátott merőleges a félkört a D pontban metszi. A DAB
derékszögű háromszögben a befogó tétele 𝐷𝐴2=𝐴𝐶∙𝐴𝐵, tehát az AD befogó a keresett
szám (3. ábra) .
22
B
3. ábra
1.1.4 A lehetetlenre való visszavezetés módszere
A le hetetlenre való visszavezetés (vagy reductio ad absurdum) módszere egy régi
módszer, amelyet a geometriában már az ókorban is használtak tételek és elméleti kérdések
bizonyítására. Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás
ellentettjét, mintsem az állítást direktben. A módszer úgy igazolja egy állítás helyes voltát,
hogy az állításból valamilyen nyilvánvaló képtelenséget vezet l e.
Gyakorlatilag ezt a módszert a következő képpen alkalmazzuk:
Feltételezzük, hogy a tétel következtetése nem igaz , majd ezekből a feltételezésekből
számos logikai következtetés alapján , ellentmondásra jutunk. Ez azt jelenti, hogy a
feltételezésünk lehete tlen és a tétel (feladat) következtetése igaz marad.
Példa: (Párhuzamossággal kapcsolatos tétel)
Ha két párhuzamos síkot metszünk egy harmadik síkkal, akkor a metszési egyenesek
párhuzamosak egymással. (4. Ábra) . Vagyis, ha 𝛼∥𝛽,𝛾∩𝛼=𝑎,𝛾∩𝛽=𝑏,akkor 𝑎∥𝑏 .
4. ábra
ab
C
A D
23
Bizonyítás :
Feltételezzük , hogy 𝑎∦𝑏 (reductio ad absurdum ). Mivel az a és b egyenesek egy síkban
vannak, metszik egymást az M pontban.
𝑀∈𝑎,𝑎⊂𝛼⇒𝑀∈𝛼
𝑀∈𝑏,𝑏⊂𝛽⇒𝑀∈ 𝛽 }⇒𝑀∈𝛼∩𝛽⇒𝛼∦𝛽, ami ellentmond a feltevésnek , tehát 𝑎∥𝑏.
1.1. o5 A szintetikus -analítikus módszer
A. A bizonyítandó feladatokban használt szintetikus -analítikus módszer
Általában a mértan feladatok megoldásában használt módszerek: az analízis és a
szintézis módszerei, amelyek szoros összefüggésben vannak, nem lehet őket elválasztani.
Valóban amikor szintézis módszerrel oldunk meg egy feladatot, az adatokból vagy
előbb tanult ismeretekből indulunk ki, de mindvégig előttünk van a megválaszolandó feladat
kérdé se.
Hasonlóan , amikor analízis módszerrel oldunk meg feladatot, a feladat kérdéséből
indulunk ki, de figyelemmel kell tartsuk a feladat adatait, amelyek sok esetben sugallják
nekünk azokat a kérdéseket amiket az új feladat megfogalmazásában használunk fel .
Gyakorlatilag úgy járunk el, hogy a szintézis útját válasszuk, addig amíg folytatni tudjuk az
érvelést analízis módszerével.
Egyes feladatokban vagy tételekben elkezdhetjük a bizonyítást az analízis
módszerével, mindaddig amíg megtaláljuk azokat az eleme ket amelyek szükségesek a
bizonyításhoz, majd utána alkalmazzuk a szintézis módszerét.
24
B. A számítási feladatokban használt szintetikus -analítikus módszer
Gyakorlatban ritkán fordul elő, hogy egy feladat kizárólag a szintézis módszerével vagy
kizárólag az analízis módszerével legyen megoldva ; kezdhetjük szintézissel és folytatjuk
analízissel vagy fordítva, kezdjük analízissel és folytatjuk szintézissel. Analízist használunk
amíg kapunk két adatot, amelyből meghatározható egy mennyiség , míg az i smeretlen
meghatározásához a számításokat sorrendben végezzük szintetikus módon.
Szemléltetés:
Feladat: Az ABC háromszög oldalai AB= oo с, BС= a, AС= b oo. A háromszög BC oldalával
párhuzamost húzunk, amely az AB és AC oldalakat az M, illetve N pontokban metszi (5. ábra).
Határozzuk meg az MN szakasz hosszát úgy, hogy az ABC háromszög kerülete egyenlő
legyen a BMNC trapéz kerületével. Határozzuk meg az
AMN háromszög területét.
o
5.ábra
Az analízis módszerét alkalmazzuk .
Feltételezzük, hogy az ABC háromszög kerülete egyenlő legyen a BMNC trapéz kerületével
⟹ AΜ + Μ Ν + AΝ = BΜ + o ΜΝ o + СΝ + BС⟹
⟹ AΜ o+ oAΝ = BΜ + СΝ + BС ( o1 o)
Észrevehető, hogy az (1) egyenlőségben, ha hozzáadjuk a jobb oldalhoz a bal oldalt, akkor az
ABC háromszög kerületét kapjuk . Mindkét oldalhoz hozzáadunk AΜ + A Ν – et ⟹
~*`^`⟹ 2(AΜ + oAΝ) o= a+b+ с o⟹
p AN AMcbaAN AM = + ++= +2 o~*`^`
25
Tovább a szintézis módszerét alkalmazzuk.
𝑀𝑁 ∥𝐵𝐶⇒𝐴𝑀𝑁 Δ∼𝐴𝐵𝐶 Δ⇒
cbpaMNaMN
cbp
BCMN
AC ABAN AM
BCMN
ACAN
ABAM
+= =+ =++ = =
𝒯𝐴𝑀𝑁 Δ=𝑀𝑁 ∙𝐴𝐹
2 .
Rátérünk az analízis re.
A feladat leredukálódott az AF kiszámításásra.
A szintézis módszerét alkalmazzuk:
𝐴𝐹
𝐴𝐸=𝑀𝑁
𝐵𝐶⇔𝐴𝐹
ℎ=𝑎⋅𝑝
𝑏+𝑐
𝑎⇒𝐴𝐹=ℎ⋅𝑝
𝑏+𝑐⇒𝒯𝐴𝑀𝑁 Δ=𝑎⋅𝑝
𝑏+𝑐⋅ℎ⋅𝑝
𝑏+𝑐
2=𝑎⋅ℎ⋅𝑝2
2(𝑏+𝑐), ahol
.) )( )( (2cpbpappah − − − =
26
1.1.6 A kollinearítással kapcsolatos feladatok megoldási módszerei
A kollinearítással és az egy pontban összefutó egyenesekkel kapcsolatos feladatok
általában nehézségeket okoznak a tanulók számára. Változatosságuk és sokféle helyzetben
való előfordulásuk, valamint megoldhatóságuk módja miatt, ezek a feladatok nem sorolhatók
be valamilyen sémába vagy megoldási technikába. Léteznek mégis a bizonyításuk hoz
elvezető kiemelt helyzetek.
1. Felhasználva az egy egyeneshez külső pontjából húzott párhuzamos egyediségét .
Ha [BA || d oés [BС o||d, akkor oA, B, С kollineárisak (6. ábra )
6. ábra
2. Kimutatva, hogy az A, B, C pontok által alkotott szög mértéke 1800 vagy, hogy
létezik olyan M pont, amelyre 𝑚(𝐴𝐵𝑀 ∢)+𝑚(𝑀𝐵𝐶 ∢)=180° , ahol A és C a BM egyenes
különböző oldalán hel yezkednek el (7. ábra).
7. ábra
27
3. Felhasználva annak a félegyenesnek az egyediségét, amely ugyanazzal a
félegyenessel , ugyanabban a félsíkban, két kongruens szöget alkot. Ha 𝐷𝐴𝐵 ∢≡𝐷𝐴𝐶 ∢ és
a B, meg a C pontok az AD egyenes által meghatározott ugyanabban a félsíkban vannak,
akkor a z A, B, C pontok kollineárisak (8.ábra).
8. ábra
1.1.7 Az összefutó egyenesekkel kapcsolatos feladatok
megoldási módszere i
Az egy pontban összefutó egyenesekkel és a kollinearítással kapcsolatos feladatok
között szoros kapcsolat van. Így, annak a bizonyításához, hogy a 𝑑1,𝑑2 é𝑠 𝑑3 összefutó
egyenesek, tekintjük az A pontot a 𝑑1 és 𝑑2 egyenesek metszéspontjának, felvesszük a B és C
pontokat a 𝑑3 egyenesen és kimutatjuk, hogy A, B és C kollineárisak.
Léteznek azért különleges módszerek, annak a bizonyítására, hogy valahány egyenes
egy pontban metszi egymást. Ezeket néhány feladatban példázom:
• Egy szög szögfelezőjén található pont, egyenlő távolságra van a szög száraitól és
fordítva bármely pont, amely egyenlő távolságra van egy szög száraitól, rajta van
az illető szög szögfelezőjén .
• Egy szakasz felezőmerőlegesén található pont, egyenlő távolságra van a szakasz
végpontjaitól és fordítva bármely pont, amely egyenlő távolságra van egy szakasz
végpontjaitól, rajta van az illető szakasz felezőmerőlegesén .
28
• A síkban két különböző egyenes vagy párhuzmos vagy metsző .
• Egy háromszögben két felezőmerőleges metszi egymást .
• Egy háromszögben két szögfelező metszi egymást .
• Egy háromszögben két oldalfelező metszi egymást .
• Egy paralelogramma átlói metszik egymást .
• Ha adottak a pontok ebben a sorrendben A – oΕ – Μ o, B – Ε – Ν o, С – oΕ – Ρ, akkor az
oAΜ, BΝ oés СΡ egyenesek egy pontban metszik egymást .
• Ha egy szakasz két belső pontja egyenlő arányokat alkot, akkor a két pont
egybeesik.
Kollinearítással és összefutó egyenesekkel kapcsolatos feladatok megoldásához
használt különleges módszerek , az á ltalános iskolában :
A párhuzamos sági axióma segítségével :
„Ha ΧҮ és ΧΖ párhuzamosak a d egyenessel, akkor Χ, Ү o, Ζ kollineáris pontok o”.
o Feladat : Legyenek B’ és С’ az ( oAС) illetve ( oAB) szakaszok felezőpontjai . D – a B
pontnak a oB’ pont szerinti szimmetrikusa , míg Ε – a С pontnak a С’ pont szerinti
szimmetrikusa ( 9. ábra o)
Bizonyítsuk be, hogy D o, A, Ε okollineáris pontok . o
Bizonyítás :
oAz AΕBС négyszög paralelogramma, mert
átlói felezik egymást , tehát:
o (1 o) AΕ║BС
Az ABСD négyszög paralelogramma, mert 9. ábra
átlói felezik egymást, tehát:
o (2 o) AD║B С
29
Az (1) és (2) összefüggésekből a párhuzamossági axióma alapján következik, hogy a D, A, E
pontok kollineárisak.
A kiegészítő szögek segítségével:
Feladat :
Legyen ABCD paralelogramma és E, F pontok
úgy, hogy B(AΕ), BΕ=AD o, oD(AF), DF=AB (10.ábra).
Bizonyítsuk be, hogy E, C, F kollineáris pontok.
Bizonyítás :
A СBΕ és oFDС oegyenlő szárú háromszögek,
Ekkor : (1) B СΕ∢ o СΕB ∢ 10. ábra
o ( o2) D СF∢ СFD∢
oés az ABСD paralelogrammában (3) oDAB ∢ DСB∢
Az ( o1), o (2) és (3 o) alapján : om(FСD∢)+m( oDСB∢)+m o (BСΕ∢)=180
A D o, F és Ε, B pontok az AС ugyanazon oldalán helyezkednek el , következik, hogy F o, Ε az
AС egyenes különböző oldalán vannak , tehát С o(FΕ). oAz AСF és AСΕ szögek kiegészítő
szögek, ha a nemközös száraik egymás meghos szabbításában vannak . Vagyis az oF, С, Ε
kollineáris ponto k.
30
A csúcsszögekre vonatkozó tétel fordított tétele segítségével
Legyen UV egyenes, Χ o(UV) és Ү és Ζ az UV egyenes különböző oldalán el helyezkedő
pontok. o Ha ҮΧV ∢ o UΧΖ∢, akkor Χ, Ү o, Ζ kollineáris pontok.
o
o
11. ábra
Feladat :
Legyen ABСD ( oABAD) paralelogramma, oΕ és F pontok úgy, hogy oA(BΕ),
oF(AD), [BΕ][ oAD] és [DF] [ oAB] ( 11. ábra ). Bizonyítsuk be, hogy С, oF, Ε kollineáris
pontok .
Bizonyítás:
Összekötjük az F és С, majd az F és Ε pontokat . A СDF oés AΕF egyenlő szárú
háromszögek . Mivel o∡ΕAF∢ FDС∢ kapjuk, hogy AFΕ∢ o oDFС∢.
Mivel az [FΕ oés [FС félegyenesek az AD egyenessel , F o( oAD), ennek a különböző oldalain
kongruens szögeket alkotnak, az AFΕ∢ és a DFС∢ szögeket, következik , hogy [FΕ és [ oFС
egymás m eghosszabbításában vannak, vagyis a С , oF, Ε kollineáris pontok .
31
A paralelogramma tulajdonságai segítségével oo
Feladat :
LLegyen ΧОҮ egy szög és Μ egy pont a szög
belsejében . Az [ОΜ] szakasz t meghosszab bítjuk az
[ΜA o][ОΜ] szakasszal . Az A ponton keresztül
párhuzamost húzunk az OX –el, ami az OY –t a 11.ábra
C pontban metszi (11. ábra) . Bizonyítsuk be, hogy B, M, C kollineáris pontok .
o Bizonyítás : o
Az ОBAС négyszögben oОС║AB, oОB║A С, tehát oОBСA рaralеlogram ma. o
Az [ОA o] szakasz átló és Μ a fele zőpontja . A másik átló [BС] metszi az [ОA] átlót az M
pontban. Vagyis B, Μ és oС kollineáris pontok . o
o
32
2. FEJEZET
MÉRTAN FELADATOK ALTERNATÍV TANULÁSI ÉS
MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
A kreativítás fejlesztésének sajátosságai a matematikában
Tágabb értelemben a kreativítás magába foglalja mindazokat a személyi
sajátosságokat, amelyek képessé teszik az egyént arra, hogy kreatív tevékenységet végezzen.
A kreatív tevékenység az emberi tevékenység al apvető formája ( más formái közé tartozik a
játék, tanulás, munka és közlés). A többi emberi tevékenységtől abban különböztethető meg,
hogy a kreativításnak jellegzetes pszichés folyama ta van. A kreatív tevékenységnek a
végeredménye magába foglal olyan sajá tos tulajdonságokat, m int az eredetiség, újítás,
találékonyság, hasznosság és társadalmi érték.
Az érintett pszichológiai struktúrák tekintetében, a kreativítás a kreatív egyén
személyiségének teljes része: kép zeletet, intelligenciát feltételez , viszont nem minden
intelligens személy, egyben kreatív is ; akaratot és motivációt igényel , de nem csak az
akaraton múlik a k reativítás sikere.
A kreativítás, mint folyamat, a problémamegoldáshoz fűződik ; a kreatív személy az
aki új feladatot fedez fel , amelyre nem létezik előzetes megoldási stratégia, amely nem
sorolh ató az ismert feladatok közé.
Az emberi kreativítás fejlesztése feltételezi, első sorban, a társadalomban szereplő
összes oktatási tényező optimális együttműködés ét; az iskola ebben nem az egyetlen
befolyásoló oktatási tényező . Cselekedni kell a következő három különböző területen:
a) szociális ;
b) egyéni – pszichológiai ;
c) az élet minőség terén .
Szociális téren, az emberi kreatív energia felszabadítását, különös fontossággal biztosítj a
az alábbi tevékenységek megvalósítása:
(1) széles körben, a mindennapi életre vonatkozó döntésekben való demokratikus és
kreatív részvétel ;
33
(2) a társadalom által értékelt kreatív munka és kreatív személy ;
(3) az egyén számára biztosított lehetőség arra, hogy kedve s zerint kreatív tevékenységet
végezzen .
Egyéni – pszichológiai szinten, fontos:
(1) hatékony állandó képzési és oktatási rendszer létrehozása ;
(2) az oktatás és a képzés minőségének javítása ;
(3) a humán erőforrás rendszeres képzése ;
(4) a kreativításra való képzés stb.
Ami az élet minőségét illeti, olyan kedvező munkakörülmények létrehozása, amelyek
elősegítik a kreatív fizikai erőfeszítést.
A kreativítás mindezen társadalmi -oktatási körülményei kontextusában, az iskola követi
különleges oktatási finalításoknak a m egvalósítását. Az iskola kötelessége az, hogy
cselekedjen a tanulók kreatív potenciáljának az ösztönzésében a következő irányokban:
(1) a tanulók kreatív potenciáljának azonosítása ;
(2) a kreatív tevékenység általános előfeltételeinek a megteremtése ;
(3) egyéni kommu nikációs lehetőségek fejlesztése, amelyek megkönnyítik a kreativítás
eredményeinek elérhetőség ét a társadalom részére ;
(4) egyéni kreatív potenciál fellendítése , a tehetségek értékesítése érdekében és a kreatív
magatart ás művelése ;
(5) a kreatív viselkedés erkölcs i támaszának a biztosítása .
Mindaddig, amíg a kreativítás kevesek által örökölt kiváltságnak számított, az iskola nem
foglalkozott különlegesen ezzel a dologgal, ami igaz, létesítettek néha külön osztályokat a
tehetséges tanulók számára . Amióta számítógépe k által működtetett gépek végeznek el
minden monoton munkát és az embernek a feladata leginkább az újítás, tökéletesítés irányába
terelődött, az iskolák fontos feladata az lett, hogy az innovatív gondolkodást fejlesszék. A
hagyományos kritikus gondolkodás oktatása mellett fontos szerepet kap a fantázia ösztönzése.
Mindez fontos változásokat von maga után , mind a tanárok mentalításában, mind az oktatási
módszerek körében.
Elsősorban, a kereteken kell változtatni ahhoz, hogy a múlt iskolájának erős kultu rális és
érzelmi akadályai megszű njenek . Megkülönböztetett kapcsolatok at kell létrehozni,
34
demokratikus kapcsolato kat tanuló és tanár között. A tanítás módján is változtatni kell, a
tanítás részvételre való kihívás, a tanulók kezdeményezése kell legyen, vagy is azoknak az
aktív módszereknek a bevetésére van szükség, amelyek használata kis mértékben valósul meg
a jelenleg i hazai iskolában.
2.1. Tanuló -központú tanulási módszerek a matematika tanórákon
A tanuló -központú tanulás feltételez egy aktív tanulási stílust és a tananyag
integrációját a tanul ó saját tanulási ritmusának megfelelően. A tanuló a saját nevelésében ő
maga felelős az előrehaladásáért.
Abban, hogy a tanuló valóban az oktatási -nevelési tevékenység közponjában legyen, a
tanár játszik fontos szerepet. Az osztály sikere, a tanuló -központú tanulás megközelítéséből, a
tanár azon képességeitől függ, amelyekkel meg tudja teremteni minden tanuló számára a
tanulás optimális lehetősége it. Így, kontextustól függően, mindig a tanár cselekszik, de a
csoport szükségleteihez igazodva és alkalmazkodva.
A tanuló -központú tanulás előnyei:
1. A tanulók motivációjának növelése, mivel tud atossá válik, hogy befolyásolhatják a
tanulás folyamatát.
2. Hatékon yabb tanulás és a tanultak jobb alkalmazhatósága, mivel ez a megközelítés
felhasználható az aktív tanulásra.
3. A tanulás értelmet kap , mivel a tananyag elsajátítása, ennek a megértését is jelenti.
4. Egy nagyobb befogadás lehetősége – alkalmazható minden tanuló potenciáljának
megfelel ően, különböző tanulási kapacitásokra, különleges tanulási helyzetekben.
A tanuló -központú tanulási módszerek érdekessé teszik a leckéket, segítik a tanulókat
abban, hogy a tanórákon megértett tartalmakat képesek legyenek alkalmazni a mindennapi
életben.
Az oktatás -nevelés akti váló módszerei közé tartoznak azok is, amelyek segítségével a tanulók
fejlesztik az együttműködési képességeiket és a kölcsönös segítségnyújtás során eredményes
35
közös munkát végeznek. Ezek rendkívüli hatással vannak a tanulókra, nemcsak az
elnevezésük miatt, de játékosságuk és változatosságuk miatt is nagyon kedvelik őket.
A tanulók kritikus gondolkodá sának a fejlesztése érdekében, kiemelten fontos a
kreatív, aktív -résztvevő stratégiák használata az oktatásban. Ezeket nem kell teljesen
elszakítani a hagyományosaktól, hanem úgy kell tekinteni őket, mint a modern oktatási
stratégiáknak egy felső szintjét.
A matematika órákon sikeresen alkalmazott speci ális modern aktív tanulási módszerek között
találhatók a : braіnѕtorm іng módszer, mozaik módszer, kocka módszer, gyors cipő
módszer, fürtábra módszer, „Tudom, tudni szeretném, megtanultam ” módszer.
2. o1.1 Braіnѕtorm іng
A braіnѕtormіng módszer elősegíti kreatív és innovatív ötletek nek a megteremtését.
Egy hatékon y braіnѕtorm іng elérése érdekében félre kell tenni a gátlásokat és a felfüggesztett
kritikákat. Így az ötletek kifejezése szabaddá válik és a résztvevők elmondhatják
véleményüket anélkül, hogy tartsanak azok visszautasításától. Egy tömören megfogalmazott
provokatív kérdést kell feltenni , amiről mindenki elmondja a véleményét vagy azt, ami éppen
eszébe jut, tréfás vagy alkalmatlan ötlet.
Egy jól levezetett braіnѕtorm іng lehetőséget ad mindenkinek a részvételre és nagyon építő
jellegű tevékenységnek bizonyul.
Egy hatékony braіnѕtorm іng szakasza i a következők:
– a braіnѕtorm іng megnyitása, a célok ismertetése, a használandó al apszabályok
megbeszélése ;
– 5 -10 perces alkalmazkodás az adott helyzethez, az ötletek felvetése ;
– a braіnѕtorm іng kreatív része ami 25 – 30 percig tart. Ajánlott, hogy ebben a
szakaszban, a koordinátor (a tanár) értesítse a résztvevőkkel az eltelt és a hátralevő
időről, nyomást gyakoroljon rájuk és lehetőleg hossza bbítsa meg 3 – 4 perccel a
rendelkezésre álló időt. Ezalatt az idő alatt ösztönözni kell a résztvevőket, hog y
mondják el ötleteiket kerülőutak nélkül ;
36
– a bra іnѕtorm іng kreatív részének a végén a koordinátor pontosítja a feljegyzett és
megtárgyalt ötleteket és ellenőrzi, ha mindenki megértette azt amiről szó esett . Ekkor
távolítja el a túl merész és a nem ide találó javaslatokat. Sor kerül az ötleteknek és
résztvevők hozzájárulásának a kiértékelésére. Értékelhető még a csoportok
résztvevőinek a tehetsége, készsége, a jó időbeosztás és a kitűzött célok elérése .
– ahhoz, hogy egy tárgyi megállapodásra jussanak a braіnѕtorm іng résztvevői,
elmondják véleményüket és a legjobb ötleteket szavazásra bocsátják. A folyamat
tevékenységein áteső csoportnak kell eldönteni, hogy mely ötletek helytállóak a
vitatott kontextusban . A braіnѕtorm іng lefolyási ideje alatt a résztv evőktől nem lehet
magyarázatot kérni az ötleteikre. Ez egy olyan hiba lenne, ami megnehezítené magát a
folyamatot és egy túl korai értékeléshez vezetne el.
A braіnѕtorm іng a következő elv szerint működik: a minőségnek a mennyiséggel való
biztosítása; célja , hogy pontosan megszüntesse ezt a hiányosságot, amelyet az önkritika
generál .
Tanulók körében, egy sikeres braіnѕtorm іng-hoz a következő 7 szabály betartása javasolt:
o 1. Ne ítéljétek el mások ötleteit – a legfontosabb szabály .
2. Bátorítsátok az őrült vagy túlzott ötleteket.
3. Keressetek mennyiséget és nem minőséget ebben a pontban . o
4. Jegyezzet ek le mindent .
o5. Minden tanuló egyformán fontos o.
6. Találjato k új ötletet a z ötletekből o.
7. Ne féljetek a szókimondástól.
Fontos megjegyezni, hogy a braіnѕtormіng módszer alapcélkitűzé se az előítéletektől
mentesített, szabad ötletek kifejezésében áll. Ezért, el kell fogadjuk a tanulók ötleteit, még
akkor is, ha azok őrült, szokatlan, abszu rd, fantáziadús ötletek és nem biztos, hogy mindig
elvezetnek a probléma megoldásához. Ahhoz, hogy a tanulók tanulási teljesíménye
növekedjen, eszmecserére kell ösztönözni őket, rá kell venni minden tanulót, hogy saját
véleményé t kifejezze!
37
Példa: a brainstorming módszer alkalmazása egy VI II. osztályos mértan feladat
megoldás ánál, amelyben a távolságok kiszámítását megelőzően a három merőleges
tételét alkalmazzuk.
Lépések :
1. A feladat kitűzése és felírása a táblára .
Az ABCD té glalap O középpontjában merőlege st állítunk a téglalap síkjára, amelyen
felvesszük az M pontot. Tudjuk, hogy AB = 18 cm, BC =10 cm és MO =12 cm. Számítsd ki az
M pont távolságát a téglalap oldalaitól.
2. A feladat megoldásával kap csolatos összes ötletnek a gyors kifej tése.
Semmiképpen sem fogadunk el megcáfoló javaslatokat, csak megoldási stratégiákat. Engedni
kell, hogy a tanulók bármit elmondjan ak ami eszükbe jut!
3. Az ötletek felírása (a táblára ).
A tanulók javaslatait feljegyezzük és egy szünetet rendelünk el.
4. Az ötletek újrarendezése és csoportosítása kategóriá k, jelképek, kulcsszavak, stb.
szerint
Az adott feladat esetén a kulcsszavakat jelentenék a tanult tétel (a három merőleges tétele) és
az összefüggés ek (Pitagora sz tétele) , amelyeket al kalmazunk .
5. Az előbb kijelentett ötletek elemzése, értékelése, érvelése, ellenérvelése.
A javasolt feladat megoldás ához legközel ebb álló megvalósítható vagy eredeti ötletek
kiválasztása. Kérdések feltevése.
6. Az ötletek sz emléltetése minél változatosabb és eredetibb fo rmában: szavak,
mondatok, kollá zs, kép, rajz, stb.
A tanulókkal folytatott beszélgetés alapján , kell következ zen a feladat megoldási stratégiája .
Ez felvázolható az alábbi útmutatásokkal:
– megszerkesztjük a helyes ábrát ;
– alkalmazzuk a három merőleges tételét és meghatározzuk a távolságot ;
– alkalmazzuk a tanult összefüggéseket a távolságok kiszámítására.
38
2.1.2 A mo zaik módszer
A mozaik módsz er vagy a független csoporto k módszere csoportos tanuláson alapuló
stratégia. Minden tanuló kap feladatot egy adott témakörön belül, aminek a tanulmányozása
során szakértővé válik. A tanuló k bemutatják és megtanítják társaiknak a kapott témakört .
Ennél a módszernél a tanár szerepe jelentősen csökken, nem lép közbe csak az óra elején,
amikor felosztja a tanulókat csoportokra és kiosztja a feladatokat, majd a tevékenység végén,
amikor a következtetéseket vonja le.
A mozaik módszernek több változata is létezik, én egyik al apértelmezett változatot
mutatom be, amely öt lépésben valósítható meg.
a) A tanulmányozásra szánt anyag előkészítése
A tanár kiválasztja a tanulmányozásra szánt témakör anyagát és felosztja 4 vagy 5
alfejezetre. Megteheti, hogy minden alfejezet es etén kiemeli azokat a fontosabb elemeket,
amelyekre a tanulónak oda kell fi gyelnie, amikor önállóan tanulmányozza ezeket. Ezek az
elemek lehetnek kérdések is vagy hiányos szövegrészek, amiket kitölt a tanuló, munka
közben. A tanár elkész íti a szakértők feladatlapját, amelybe belefoglalja a 4 vagy 5 alfejezetet
és kiosztja mindegyik csoportnak.
b) A tanulmányi csoportok megszervezése
Az osztály létszámától függően, 4 -5 fős csoportokra osztjuk a tanulókat. Mindenki kap
egy betűt (A, B, C, D va gy E) – a betűk a különböző alfejezetek témakörét jelölik – és egy
feladatot, amit önállóan kell tanulmányozzon. A tanuló szakértővé kell vá ljon a saját
témakörében. Például, az A betűs tanulók elmélyítik az A alfejezet feladatlapján levő témát, a
B betűs tanulók elmélyítik az B alfejezet feladatlapján levő témát, stb. Az önálló munka
szakaszában, minden tanuló a saját alfejezetét tanulmányozza és a megfelelő szövegét
olvassa. Mindez megtörténhet nemcsak az osztályban, hanem jelentheti a mozaik
megsze rvezése előtti óra házi feladatát is.
c) A szakértő csoport felépítése
Az önálló munka szakasza után, felépítjük a szakértők csoportjai t, akik ugyanazzal a
betűvel jelölt tanulókból állnak. Az A betűs tanulók elhagyják az eredeti csoportjukat és
39
másokkal tárg yalják meg és mélyítik el a nekik kitűzött témát az A feladatlapról.
Hasonlóképpen járnak el a B, C, D és E csoport tanulói. Ha a szakértő csoportnak több mint 6
tagja van, akkor szétoszlanak két kisebb csoportra.
A szakértő csoport tárgyalásának fázisai: a tanulók saját jelentést mutatnak be, arról amit
önállóan tanulmányoztak. Tárgyalnak a rendelkezésükre álló adatokról és anyagokról,
kiegészítéseket tesznek és leszögezik azt, hogy miként továbbítják az új ismereteket az eredeti
csoport többi tagjainak. Minden tanuló valamelyik szakértő csoportnak is és egyben
valamelyik tanulási csoportnak is tagja. Az osztály elrendezése szempontjából, a szakértő
csoportok asztalait egymástól távol kell elhelyezni, hogy elkerüljük a zavaró tényezőt. A
szakértő csoportok közös célja az, hogy minél jobb kiképzésben részesüljenek, mivel
felelősek nemcsak a saját tanulásukért, hanem a csoporttársaik tanításáért is.
d) Az eredeti csoporthoz való visszatérés
A csoport jelentés fázisa : a szakértők továbbítj ák az elsajátított ismer eteket, de
megjegy ezik azokat az ismereteket is, amelyeket azoktól társaiktól tudnak meg, akik más
témakörbe n szakértők. Az ismeret csere átadás rövid, tömör és vonzó kell legyen, kiegészítve
különböző audió -vizuális vagy anyagi erőforrással. A szakértők ö tleteket bizonyíthatnak,
felolvashatnak jelentéseket, használhatnak számítógépet, szemléltethetik ötleteiket diagramok,
képek, rajzok segítségével. A tagok is saját tervet készítenek ötleteikről.
e) Értékelés ~* `^`
A bizonyítás fázisa: a csoportok bemutatják eredményeiket az egész osztálynak. Ez az a
pillanat, amikor készen állnak bebizonyítani, azt amit tanultak. A tanár kérdéseket tehet fel,
kérhet jelentést, fogalmazást vagy egy ellenőrző feladatlap megoldásával felmérheti a tanulás
eredményét. Ha szóbeli felméréshez folyamodik, akkor minden tanulónak e gy-egy kérdésre
kell válaszoln ia anélkül, hogy csoporttársa i segítenének.
Mint mindegyik kooperatív tanulási módszernek, ennek is beszélhetünk a következő
előnyei ről:
– a tanulók önbizalm ának a növelése ;
– érvelő kommunikációs készségek fejlesztése és a csoporton belüli kapcsolatok
javítása ;
40
– a logikus, kritikus és független gondolkodás fejlesztése ;
– az egyéni és a csoporton belüli felelősség fejlesztése ;
– a tanulás optimizálása mások által begyűjtött ismereteknek a tanításával .
Max Ringelmann megfig yelte, hogy : ha az emberek együtt dolgoznak, akkor kevesebb
energiát fektetnek a munkába, mint amikor egyedül dolgoz nak – ezt Ringelmann -hatás nak
nevezzük. Ennek a hatásnak a jogorvoslása a mozaik módszer alkalmazása, amelyben a
független és az egyéni mu nkán van a hangsúly.
A mozaik módszer bemutatása: a tanulóknak feladatlapokat osztunk ki, amelyekről
rendre, a tanult tételek alkalmazásával, meg kell oldják a kijelölt feladatokat. Csoportokat
alkotnak, 10 percig dolgoznak, miután minden csoport ból valaki bemutatja a kapott
megoldást.
Példa: a mozaik módszer alkalmazása VI II. osztályban Az egyenes és sík
kölcsönös helyzetei című készségeket és képességeket formáló lecke keretén belül.
Az osztályt 3 fős (mivel a létszám kicsi) csoportokra osztottam .
A szakértő csoportok feladatlapjai (A, B, C) :
A feladatlap
„Az egyenes benne van a síkban ”
Helyezzetek el egy vonalzót a padon, a vonalzó végei a pad síkjában vannak.
Mit mondhattok el a vonalzó középpontjáról? ( hol helyezkednek el a vonalzó többi pontjai?)
Emlékezzetek az A 4 térmértan axiómára: ha két különböző pont benne van egy síkban, akkor
az általuk meghatározott egyenes is benne van a síkban.
𝐴,𝐵∈𝛼⇒𝐴𝐵⊂𝛼
41
Tehát ha egy egyenesnek és egy síknak van legalább két közös pontja, akkor az egyenesnek
minden pontja a síkban van.
Példa: Legyen 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 ′𝐵′𝐶′𝐷′ derékszögű paralelepipedon.
𝐴′𝐶′ egyenesnek az (𝐴′𝐵′𝐶′) síkkal két közös pontjuk van
⇒ 𝐴′𝐶′ benne van az (𝐴′𝐵′𝐶′) síkban.
𝐴′∈(𝐴′𝐵′𝐶′),𝐴′∈𝐴′𝐶′
𝐶′∈(𝐴′𝐵′𝐶′),𝐶′∈𝐴′𝐶′}⇒ 𝐴′𝐶′⊂(𝐴′𝐵′𝐶′).
B feladatlap
„Az egyenes metszi a síkot ”
Támassz atok a fal nak egy lécet. Mit vesztek észre? Hány közös pontja van a lécnek és a padló
síkjának?
Ha egy egyenesnek és egy síknak egy közös pontja van, akkor az egyenes metszi a síkot.
d∩α={A}.
Valóban, legyen α egy sík, 𝐴∈α és 𝐵∉α pontok. Az A és B pontok által meghatározott d
egyenesnek az α síknak egyetlen közös pontja van, az A pont. Ha ezen kívül lenne más közös
pontja is, azt jelentené, hogy a d egyenes benne van az α síkban, ami nem lehetséges, mivel
𝐵∈𝑑 és 𝐵∉α.
Példa:
Legyen 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 ′𝐵′𝐶′𝐷′ derékszögű paralelepipedon.
𝐵𝐷′−nek az (𝐴𝐵𝐶 ) síkkal egyetlen közös pontja van.
𝐵𝐷′∩(𝐴𝐵𝐶 )={𝐵}⇒𝐵𝐷′metszi az (𝐴𝐵𝐶 ) síkot .
42
C feladatlap
„Az egyenes párhuzamos a síkkal ”
Figyeljétek meg az osztályteremben a mennyezet és a z egyik fal metszési egyenesét és a
padló síkját. Mit vesztek észre? Hány közös pontja van annak az egyenesnek a padló síkjával?
Ha egy egyenesnek és egy síknak nincs közös pontja, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal.
𝑑∩𝛼=⊘⇒𝑑∥𝛼.
Példa:
Legyen 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 ′𝐵′𝐶′𝐷′ derékszögű paralelepipedon.
𝐴𝐶−nek nincs egyetlen közös pontja sem az (𝐴𝐵𝐶 ) síkkal
𝐴𝐶 párhuzamos az (𝐴′𝐵′𝐶′)síkkal.
𝐴𝐶∩(𝐴′𝐵′𝐶′)=⊘ ⇒ 𝐴𝐶∥(𝐴′𝐵′𝐶′).
2.1.3 A kocka módszer
A kocka módszer segítségével egy témát több szemponból tanulmányozhatunk, így
annak komplexebb megvizsgálására nyílik lehetőség.
A módszer lépései:
1) Egy kock a elkészítése, amelynek a különböző oldallapjaira a következő szavakat írjuk :
„jellemezd!", „hasonlítsd össze!", „elemezd!", „társítsd!", „alkalmazd!",
„magyarázd!"
2) A kiválasztott téma kijelentése.
3) A csoportok kialakítása. Jó az, ha ki tudunk alakítani 6 csoportot (idő – és
létszámfüggően) és mindegyik csoport a véletlenszerűen neki jutó szempont szerint
tud foglalkozni a témával.
43
„Jellemezd!": a színeket, a formákat, a mennyiségeket stb.
„Hasonlítsd össze!" : mi hasonló? Mi külö nbözik?
„Elemezd!" : mondd el mi ből készül, miből tevődik össze?
„Társítsd!" : mire gondolsz leghamarabb?
„Alkalmazd!" : mit tehetsz velük? Mire használhatod őket ?
„Magyarázd!" : érvelj mellette és ellene és sorolj fel okokat amelyek alátámasztják
véleményedet .
4) A csoportok munkájának bemutatása és összegzése.
5) A végleges alak kifüggesztése .
2.1.4 A gyors léptek módsze r
A gyors léptek módszer egy kihívásokból álló, a tanulók együttműködésén alapuló
interaktív tanulási módszer . Feltételezi a csoportok által létrehozott erdmények interaktív
kiértékelését.
A gyors léptek módszer a következőkből áll:
a) a tanulók, 3 vagy 4 fős csoportokban, oldanak meg feladatot, amelynek feltehetőleg
több megoldása van (több szemponból közelíthető meg) ;
b) a csoport munkájának eredményét vázlat, diagram, ötletek leltára alakjában felírják
egy plakátra ;
c) a pla kátokat kifüggesztik jól látható helyre, így egy valóságos galériát alkotva ;
d) a tanár jelzésére, a csoportok rendre megv izsgálják a társaik eredményeit és a
hozzászólásaikat és a megjegyzéseiket felírják a megfelelő plakátra ;
e) ezután a tanulók visszaülnek az eredeti csoportjaikhoz és újból megvizsgálják az
eredményeiket , de most már figyelembe véve a társaik véleményét is.
44
A gyors léptek módszer sikeresen felhasználható közösen a kocka módszerrel , úgy
amint a következő példában bemutatom:
Példa: a kock a módszer alkalmazása VIII. osztályban a Poliéderek felszínének és
térfogatának a kiszámítása című taní tási egység, ismétlő és ismeret rendszerező
leckéjében.
Egy kockát készítettem kartonpapírból, oldallapjaira különböző színű papírt
ragasztottam és a következő igéket írtam rájuk:
o
A tevékenység alatt figyeltem arra, hogy az általában passzív gyerekek is
bekapcsolódjanak és a csoporton belül egyformán dolgozzanak.
A tanulók akik a “Jellemezd” igéve l ellátott feladatlapot kapták a következőket kellett tegyék:
– sorolják fel a tanult poliédereket ;
– rajzolják le a mé rtani testeket és ezeknek a síkra való lefejtését;
– ismerjék fel a mértani testek elemeit és nevezzék meg az oldallapok és al apok alakját ;
– foglalják táblázatba az élek, oldallapok és átlók számát.
A tanulók akik a “Hasonlítsd össze” igével ellátott feladatlapot kapták hasonlatokat és
különbségeket kellett találjanak a tanult mértani testekben és össze kellett hasonlítsák az
általános és a szabályos poliédereket.
A tanulók akik a “Társítsd” igével ellátott feladatlapot kapták, a poliédereknek a megfelelő
felsz ín- és térfogatszámítási képleté t kellett megtalálni, majd ismert tárgyak alakját kellett
társítsák az a dott poliéder alakjával. 1 oldallap – kék
Jellemezd
2 oldallap – piros
Hasonlítsd össze 6 oldallap – lila
Magyarázd 4 oldallap –
sárga
Társítsd 3 oldallap –
narancssárga
Elemezd 5 oldallap –
zöld
Alkalmazd
45
Az “Elemezd” igével ellátott feladatlap csoportjának, az volt a feladata, hogy elemezzék a
tanult mértani testekben a síkmetszeteket ( az átlós metszeteket és az alappal párhuzamos
síkokkal való metszeteket). Olyan rajzot kellett k észíteni, amelyen emeljék ki a síkmetszetek
alakját. Az adatokat táblázatokba kellett rendezzék :
A tanult mértani test Átlós metszet alakja Az alappal párhuzamos
síkkal való metszet
alakja
A tanulók akik a “Magyarázd” igével ellátott feladatlapot kapták, olyan állítások logikai
értékét kellett megindokolják , amelyekben szerepeltek becsapó s tartalmak is. Azt is kértem
tőlük, hogy rövid bizonyításokat írjanak le vagy fedezzék fel a hibákat az egyes
megoldásokban.
Az “Alkalmazd” igével ellátott feladatlap tanulói feleletválas ztásos kérdések segítségével
alkalmazhatták a poliédereknél tanult felszín – és térfog atszámítási képleteket.
A „Jellemezd ” feladatlap
1. Sorold fel a tanult poliédereket : ………………………………
2. Készíts megfelelő ábrát a tanult mértani testekről.
3. Rajzold le a mértani testek lefejtését a síkra.
4. Azonosítsd az ábrákon a mértani testek elemeit, valamint a lapok és az alapok alakját.
5. Adott az ABCD téglalap, BC = 3 cm és AB o= 6 cm. Legyen d e gy egyenes a téglalapon
kívül úgy, hogy a CD szakasztól 1 cm távolságra található. Milyen mértani testet
kapunk a téglalapnak a d egyenes körüli elforgatásával?
46
A „Hasolítsd össze ”feladatlap
1. Írjatok rövid fogalmazást, amelyben emeljétek ki az általános és a szabá lyos
poliéderek tulajdonságai közötti hasonlóságokat és különbségeket.
2. Számítsd ki és hasonlítsd össze az eredményeket:
Az ABϹDA'B' Ϲ'D' kockában az egyik oldallap átlójának a hossza 8 cm. Számítsd ki a
kocka térfogatát, majd az A'BϹ'D tetraédernek a térfogatát, ami a kocka belsejében
található. Hasonlítsd össze az eredményeket.
o A „Társítsd ”feladatlap
1. Társítsd mindegyik poliéder esetén a megfelelő oldalfelszín, teljes felszín, illetve
térfogat képletet.
2. Keress a környezetedben talá lható tárgyakat, amelyek nek kocka, derékszögű
paralelepipedon, hasáb és gúla alak juk van .
3. Egészítsd ki a pontok helyét a helyes válasszal:
a) Azt a szabályos gúlát, amelynek minden éle kongruens …………………… nevezzük.
b) Egy kocka teljes felszíne 100 cm², akkor a kocka éle ………. cm.
c) Egy szabályos négyoldalú hasáb alalpéle 8 cm és magassága 15 cm. Akkor a hasáb
oldalfelszíne …….. cm².
d) Egy szabályos háromoldalú gúla alapjának területe 4√3 cm és magassága 9 cm.
Akkor a gúla térfogata …………… cm³.
Az „Eleme zd”feladatlap
1. Rajzolj egy kockát, amelyben emeld ki az átlós metszeteit és egy, az alappal
párhuzamos síkmetszetét.
2. Rajzolj egy derékszögű paralelepipedont, amelyben emeld ki az átlós metszeteit és
egy, az alappal párhuzamos síkmetszetét.
3. Rajzolj egy négyoldalú csonka gúlát, amelyben emeld ki az átlós metszeteit és egy, az
alappal párhuzamos síkmetszetét. Mindegyik síkmetszet esetén nevezd meg ennek
alakját és azt, hogy milyen mértani testeket kapunk a metsz et során, valamint milyen
képlettel számítható ki a síkmetszet területe.
47
A kapott válaszok alapján egészítsd ki az alábbi táblázatot :
A tanult mértani test Átlós metszet alakja Az alappal párhuzamos
síkkal való metszet
alakja
4. Egy szabályos négyoldalú hasáb átlós metszete egy 16 cm² területű négyzet.
Mutassátok ki, hogy a hasáb teljes felszíne 32√2 cm².
5. Egy szabályos háromoldalú gúla térfogata 300 √3 cm³ és apotémája 5 cm. Számítsátok
ki a gúla teljes felszínét.
A „Magyará zd” feladatlap
Olvas d el figyelmesen a következő állításokat és indokold:
1. Az a derékszögű paralelepipedon , amelynek minden éle kongruens, kocka – rajzold le.
2. Egy szabályos háromoldalú hasáb alapélének hossza egyenlő a magasság hosszának
felével, akkor az egyik oldallap területe háromszor kisebb a hasáb teljes felszínénél.
Szemléltesd számpéldával.
3. Egy szabályos négyoldalú hasáb oldalfelszíne egyenlő a hasáb alapjának terület ével,
akkor az alap éle négyszer kisebb, mint a magasság.
Igaz vagy hamis ?
1. Ha egy szabályos háromoldalú hasáb alapélének hosszát megduplázzuk, akkor a hasáb
teljes felszíne is megduplázódik.
2. Ha egy szabályos négyoldalú hasáb alapélének hosszát megtriplázzu k, akkor a hasáb
térfogata is megtriplázódik.
3. Ha egy kocka élét elfelezzük , akkor a keletkezett kocka oldalfelszíne negyed része
lesz az eredeti kocka oldalfelszínének.
48
Az „Alkalmazd ”feladatlap
1. Egy kocka éle 3 cm. A kocka teljes felszíne :
a) 24 cm ²;
b) 54 cm²;
c) 35 cm².
2. Egy szabályos háromoldalú hasábban l = 6 cm és h = 5 cm ; a has áb oldalfelszíne :
a) 65 cm²;
b) 70 cm²;
c) 90 cm².
3. Egy sza bályos négyoldalú gúla alpjának területe 16 cm² és h = 4 cm ; akkor :
a) l =h;
b) l = 2 h;
c) h = 3 l.
4. Egy szabályos nég yoldalú hasáb átlós metszete egy 6 cm oldalhosszúságú négyzet . A hasáb
térfogata :
a) 120 cm³;
b) 96 cm³;
c) 75 cm³;
d) 108 cm³.
A tevékenység kiértékléséhez, a munkaidő lejártával (20 -25 perc ), a gyor s léptek
módszert alkalmaztam. Az megoldott feladatlapok ere dményeit, 6 jól látható helyre
függesztettük ki. Minden csoport tanulója bemutatta a munkáját és elmondta hogyan hozta
létre. Jegyet adtak a társaiknak, majd együtt megbeszéltük a tárgyilagosság f ontosságát.
49
Jutalmul, minden csoport kapott egy -egy tájékoztató anyagot valamiről:
1 csoport – egy bemutatót Еulеr nagy matematikusról .
2 csoport – egy referátumot a „S zabályos poliéderek” címmel .
3 csoport – egy bemutatót a Κеoрѕ Piramisról .
4 csoport – egy tájékoztató anyagot a poliéderekről .
5 csoport – egy referátumot Arhіmédész-féle testekről .
6 csoport – egy tájékoztató anyagot Arіѕztotеlészről.
Az anyagokat sokszorosítottuk mindenki számára és az eredetieket kifüggesztettük az
osztályban.
2.1.5 A fürtábra
A fürtábra olyan grafikai szervező, amely gondolatok, információk, fogalmak és a
közöttük fellelhető kapcsolatokat mutatja egy adott téma vonatkozásában. Tekinthető a
brainstorming eg yszerűbb változatának és siker rel használható leckék elején az előzetes
ismeretek felelevenítésére, de ismétlő, rendszerező leckéknél is egyaránt.
A fürtábra a saját ismereteinkhez elvezető út keresésének egy technikája, ami feltárja
előttünk az adott téma megértésének a módját. A tanulásb an és a tanításban használt módszer
szabad és nyitott gondolkodásra bátorítja a tanulókat.
A módszer műkö désének lépései :
1) A tábla vagy egy papírlap közepére írunk egy szót/ témát (amit tanulmányozni
szeretnénk).
2) A tanulókat felszólítjuk, hogy az adott tém ával kapcsolatos ötleteiket, kifejezéseket
vagy ismereteket, amelyek eszükbe jutnak írják le és kapcsolják az adott szóhoz.
50
3) Miközben új ötleteket jegyeznek fel, a tanulók összekötik az összes egymáshoz illő
szót.
4) A tevékenység leáll, amikor kifogynak az öt letekből vagy az erre szánt idő lejár.
Létezik néhány, a fürtábra módszer használatának szabálya :
• Írjatok le mindent, ami eszetekbe jut a tárgyalt témával/ feladattal kapcsolatban.
• Ne ítéljétek el/ értékeljétek a javasolt ötleteket, csak jegyezzétek le ők et.
• Ne fejezzétek be hamarabb, a hátralevő időben ragaszkodjatok a témához és
erőltessétek az ötletelést.
• Engedjétek, hogy minél több és változatosabb kapcsolatok jöjjenek létre az ötletek
között.
A módszer előnyei :
A reflektálás szakaszában „összefoglaló fürtábra” formájában használjuk, amely
keretén belül a tanulókat kisegítő kérdések feltevésével, információk tulajdonságai szerinti
csoportosítás ára vezéreljük.
Ezzel a módszerrel jobban rögz ődnek az információk és könnyebbé válik ezeknek a
megértése.
A módszer használata á llandó részvételre és együttműkö désre bízt atja a tanulókat,
mivel tények , érvek felfedezésére vannak felszólítva, növeli a belső motivációjukat . A
csapatmunka fejleszti az egymás iránti megértő hozzáállást és kik üszöböli a st ressz
helyzeteket, csillapítva eképpen a negatív érzelmeket.
Meggyőződéssel mondhatom, hogy a tanuló -központú oktatás nyertesei a tanulók,
mert úgy, ahogy az “aktív oktatás hite” mondja: “ Amit hallok , azt elfelejtem , amit látok ,
arra emlékszem , amit csinálok, azt tudom is”. (Konfuciusz)
51
Példa. A fürtábra módszer alkalmazása VII. osztályban a Metrikus relációk a
derékszögű háromszögben – trigonometriai táblázatok című tanítási egység, ismétlő
leckéjében.
Ezeknek a fogalmaknak a segítségével, táblázatba akarjuk foglalni a 30° -os, 45° -os és
60°-os szögek szögfüggvényeinek pontos értékeit .
Az értékek hasznosak lesznek a feladatok megoldásában.
Az osztályt három heterogén csoportra osz tjuk és a következő feladatlapok megoldására
szólítjuk fel:
𝑡𝑔 𝑥=sin𝑥
cos𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥=cos𝑥
sin𝑥
ÁLLANDÓ
ARÁNYOK
𝑐𝑡𝑔 𝑥=𝑠𝑧.𝑚.𝑏.
𝑠𝑧.𝑠𝑧.𝑏.
𝑡𝑔 𝑥=𝑠𝑧.𝑠𝑧.𝑏.
𝑠𝑧.𝑚.𝑏.
𝑐𝑜𝑠 𝑥=𝑠𝑧.𝑚.𝑏.
á.
𝑠𝑖𝑛 𝑥=𝑠𝑧.𝑠𝑧.𝑏.
á. 𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1
𝑡𝑔 𝑥=1
ctg𝑥
𝑡𝑔 𝑥=1
ctg𝑥
52
I Csoport
Legyen ROΚ Δ egy derékszögű háromszög, 𝑚(𝑂∢)=90°,𝑅𝑂=𝑎,𝑚(𝐾∢)=30°.
Számítsátok ki : RK, OK hosszát és sin𝐾,cos𝐾,tg𝐾,ctg𝐾 értékeit.
Feltevés :
ROΚ Δ derékszögű
𝑚(𝑂∢)=90°
𝑚(𝐾∢)=30°
RO = a
Következtetés: RΚ, OΚ, sin𝐾,cos𝐾,tg𝐾,ctg𝐾 = ?
Bizonyítás:
𝑅𝑂𝐾 Δ
𝑚(𝑂∢)=90°
𝑚(𝐾∢)=30°}⇒𝑅𝑂=𝑅𝐾
2 ⇒𝑅𝐾 =2𝑎
𝑅𝑂𝐾 Δ
m(O∢)=90°}(𝑃.𝑇.)⇒𝑂𝐾2=𝑅𝐾2−𝑅𝑂2⇒𝑂𝐾 =𝑎√3
𝑅𝑂𝐾 Δ
m(O∢)=90°}⇒sin𝐾=𝑅𝑂
𝑅𝐾=𝑎
2𝑎⇒sin𝐾=1
2
cos𝐾=𝑂𝐾
𝑅𝐾=𝑎√3
2𝑎⇒cos𝐾=√3
2
tg𝐾=𝑅𝑂
𝑂𝐾=𝑎
𝑎√3⇒tg𝐾=√3
3⇒ctg𝐾=1
tg𝐾=√3
53
ΙΙ Csoport
Legyen ABS derékszögű egyenlő szárú háromszög, 𝑚(𝐴∢)=90°,𝐴𝑆=𝑙. Számítsátok ki
𝐵𝑆,sin𝑆,cos𝑆,tg𝑆é𝑠ctg𝑆.
Feltevés .
ABS Δ – derékszögű egyenlő szárú
𝑚(𝐴)∢=90°
𝐴𝑆=𝑙
Következtetés.
𝐵𝑆,sin𝑆,cos𝑆,tg𝑆é𝑠ctg𝑆=?
Bizonyítás.
𝐴𝐵𝑆 Δ
m(A∢)=90°}⇒𝐵𝐴=𝐴𝑆=𝑙 é𝑠 𝑚(𝐵∢)=𝑚(𝑆∢)=45°
𝐴𝐵𝑆 Δ
m(A∢)=90°}(𝑃.𝑇.)⇒𝐵𝑆2=2𝐵𝐴2⇒𝐵𝑆=𝑙√2
𝐴𝐵𝑆 Δ
m(A∢)=90°}⇒sin𝑆=𝐴𝐵
𝐵𝑆=𝑙
𝑙√2⇒sin𝑆=√2
2
cos𝑆=𝐴𝑆
𝐵𝑆=𝑙
𝑙√2⇒cos𝑆=√2
2
tg𝑆=𝐴𝐵
𝐴𝑆⇒tg𝑆=1⇒ctg𝑆=1
tg𝑆=1
54
ΙΙΙ Csoport
Legyen 𝑆𝐼𝑁 derékszögű háromszög, 𝑚(𝑁∢)=60°,𝑆𝑁=2𝑥 átfogó . Számítsátok ki
𝑚(𝑁∢),𝐼𝑁,𝑆𝐼,sin𝑁,cos𝑁,tg𝑁é𝑠ctg𝑁.
Feltevés.
S𝐼𝑁Δ derékszögű
𝑚(𝐼)∢=90°
𝑚(𝑁)∢=60°
𝑆𝑁=2𝑥
Következtetés.
𝑚(𝑁∢),𝐼𝑁,𝑆𝐼,sin𝑁,cos𝑁,tg𝑁é𝑠ctg𝑁=?
Bizonyítás.
𝑆𝐼𝑁Δ
𝑚(𝐼∢)=90°
𝑚(𝑁∢)=60°}⇒𝑚(𝑆∢)=30° ⇒𝐼𝑁=𝑆𝑁
2⇒𝐼𝑁=𝑥
𝑆𝐼𝑁Δ
m(I∢)=90°}(𝑃.𝑇.)⇒𝑆𝐼2=𝑆𝑁2−𝐼𝑁2⇒𝑆𝐼=𝑥√3
𝑆𝐼𝑁Δ
m(I∢)=90°}⇒sin𝑁=𝑆𝐼
𝑆𝑁=𝑥√3
2𝑥⇒sin𝑁=√3
2
cos𝑁=𝐼𝑁
𝑆𝑁=𝑥
2𝑥⇒cos𝑁=1
2
tg𝑁=𝑆𝐼
𝐼𝑁=𝑥√3
𝑥⇒tg𝑁=√3⇒ctg𝑁=1
tg𝑁=√3
3
A munkaidő lejárta után, a csoport vezetők bemutatják a megoldásokat a táblánál,
minden tanuló leírja a feladatok megoldását.
55
A feladatmegoldás közben, az előkészített plakátra felírjuk a
sin30°, cos30°, tg30° é𝑠 ctg30° értékeit, úgyszintén a 45° −os é𝑠 60° −os szögekre is.
Közben minden tanuló elkészíti a saját plakátját.
𝐴 30°,45° é𝑠 60° −os szög szögfüggvényei nek értéktáblázata
A táblázat befejezése után, elmagyarázzuk a tanulóknak azt az eljárást , amely segítségével
könnyebben megjegyezhetők a táblázat értékei (észrevesszük, hogy a sin értékek növekvő
sorrendben , míg a cos értékek csökkenő sorrendben vannak és 2 a törtek nevezője… )
x 30° 45° 60°
sіn x 1
2 √2
2 √3
2
coѕ x √3
2 √2
2 1
2
tg x √3
3 1 √3
ctg x √3 1 √3
3
56
2.1.6 „Tudom, tudni szeretném, megtanultam ”
A módszer a tanulók előzetes ismeretein és tapasztalatain alapszik, amelyeket az új
elsajátítandó információkhoz kell csatoljanak.
Lépései :
1) az adott témához kapcsolódó előzetes ismeretek felsorolása ;
2) a táblázat elkészítése (tanár) ;
Amit tudok/ gondolom,
hogy tudok Amit tudni szeretnék Amit megtanultam
3) az első oszlop kitöltése ;
4) a kérdések kidolgozása és a második oszlop kitöltése ;
5) a szöveg elolvasása ;
6) a harmadik oszlop kitöltése a második oszlop kérdéseinek a válaszaival, kiegészítve az
új információkkal ;
7) az új információk összehasonlítása az előbbiekkel ;
8) reflektálás párban/ az egész osztállyal.
57
Példa . „Tudom, tudni szeretném, megtanultam ” módszer alkalmazása VIII.
osztályban a A szabályos négyoldalú gúla felszíne és térfogata című leckéjében.
Amit tudok/ gondolom, hogy
tudok Amit tudni szeretnék Amit megtanultam
A szabályos négyoldalú gúla
elemei:
V- a gúla csúcsa
ABCD négyzet – a gúla alapja
l – a gúla alapéle
[𝐴𝐵]≡[𝐵𝐶]≡[𝐶𝐷]≡[𝐷𝐴]
𝑚𝑙 – a gúla oldaléle
[𝑉𝐴]≡[𝑉𝐵]≡[𝑉𝐶]≡[𝑉𝐷]
h =𝑉𝑂 – a gúla magassága
𝑎𝑝 =𝑉𝐸 – a gúla apotémája
𝑎𝑏=𝑟=𝑂𝐸 – az alap
apotémája vagy az alap
négyzetbe írt kör sugara
R =𝑂𝐴 – az alap négyzet köré írt
kör sugara
𝑑=𝐴𝐶 – az alap át lója
𝒯𝑎=?
𝒦𝑎=?
𝑎𝑏=?
ℱ𝑜=?
ℱ𝑡=?
𝒱=?
𝑉𝑂𝐸 Δ derékszögű,
𝑚(𝑂∢)=90° ⇒
𝑎𝑝2=ℎ2+𝑎𝑏2
𝑉𝑂𝐴 Δ derékszögű,
𝑚(𝑂∢)=90° ⇒
𝑚𝑙2=ℎ2+𝑂𝐴2
𝐴𝑂=𝑑
2=𝑙√2
2
𝑉𝐸𝐶 Δ derékszögű,
𝑚(𝐸∢)=90° ⇒
𝑚𝑙2=( 𝑙
2 )2
+𝑎𝑝2
58
3 FEJEZET
A MATEMATIKA TANÍTÁS ÉS TANULÁS MÓDSZEREI
A tanítási-tanulás i folyamat módszerei az e gyes didaktikai feladatok elvégz ését
biztosító speciális eljárások, amelyek egyaránt vonatkoznak ismer etnyújtó és ismeretszerző
tevékenységekre, önálló munkára, készségek és képességek kialakítására, iskolai eredmények
felmérésére.
3.1 Heurisztikus didaktikai módszerek és eljárások
A modern aktív és ineraktív oktatás egy magasabb rangú tanulástípussal társítható,
amely során a tanulásba fektetett intenzív erőfeszítéseknek köszönhetően létrejön az
úgynevezett aktív vagy interaktív tanulás . Egy nagyon fontos megvalósítási módját az aktív
tanulá snak a heurisztikus módszerek és eljárások érvényesítése jelenti. A heurisztika a
modern didaktiká ban egy alapvető orientációt képvisel, amely a tanulás i folyamat ban szellemi
és cselekvési stratégiák használatát ajánlja, ösztönzve ezáltal a gondolkodási mű veleteket
(analízis, szintézis, összehasonlítás, absztraktizálás, általánosítás, stb. ), a tanulók érvelését és
ítéleteit, megadva a lehetőséget arra, hogy az újat független módon sajátítsák el.
A. A megbeszélés
A megbeszélés ( beszélgetés) módszere a tananyag feldolgozása során történő, egy a
tanár és a tanulói között folytatott párbeszédből eredő, szóbeli közlési módszer. A tanár –
tanuló, tanuló -tanuló kölcsönhatása és állandó kommunukációja révén a tanár rendszeres
visszajel zést kap célkitűzéseinek az eléréséről.
Annak függvényében, hogy i ntellektuális tevékenységük alatt, a tanulóktól mit kérünk,
beszélhetünk:
Katechétikus beszélgetés ről, amely egy zárt rendszert fejez ki és célja az
emlékezetbe vésett ismeretek újraforgatása .
Heurisztikus beszélgetés ről, amely egy nyílt rendszer és célja az aktivizálás.
A tanulók körében a módszer gyakori sikerélményt nyújt és jelentős a motiváló hatása.
59
Annak függvényében, hogy az ismeretek elsajátítása hogyan foglalja magába a
gondolkodás folyamatát, megkülönböztetünk:
Konvergens beszélgetés t, amelyben a kérdések kizárólagosan csak egy
megadott feleletet tesznek lehetővé.
Divergens beszélgetés t, amelyben a kérdésekre több helyes válasz is érkezhet
és az a tanulók az új ismeretek et saját erőfeszítésük következményeként
vonhatják le.
B. A problеmatіzálás
A problematizálás eljárásoknak az összessége, olyan problémahelyzetek kialakítás a,
amelyek en keresztül lehetős égük nyílik a tanulók nak, megtapasztalni a valóság dolgai és
jelenségei között fellelhető különbségeket , amiket ők maguk a tanár vezetésével tárnak fel .
Egy problémahelyzet egy előzetes feltérképezése a tanulók által végzett tevékenységnek.
C. A felfedeztetés
A felfedeztető tanítás t a tanár által végzett tevékenységek nek az együttese képviseli ,
amelyeknek célja a tanulók interaktív oktatása, új ismeretek önálló felfedezésével. A
felfedezés a problémahelyzet létezésétől függ, míg a probléma megoldása maga után vonja a
felfedezést. A f elfedezés tekinthető a problematizálás folytatásá nak és kiegészítésének.
D. A kísérlet
A kísérlet egy képző és önképző módszer, amely feltételezi a valóság felfedezését
szándékos provokációs , reprodukciós, módosító tevékenységek segítségével és ennek a
tanulmányozás át, tudományos információ felhalmozásának céljából .
E. A modellálás
A modellálás az a didaktikai módszer , amely egy úgynevezett eredeti rendszerből modell –
rendszer segítségével kiemeli a modelljét a valóságnak, dolgoknak, jelenségeknek,
folyamatoknak, eseményeknek stb. és ezeket közvetett módon vizsgálja meg.
A modellálás a felépített modell és az általa képviselt eredeti rendszer analógiájának a
kapcsolatán alapszik. A modell csak helyettesítője, egy szerűsítése, megközelítése az
60
eredetinek, de kiemeli az alapvető tulajdonsága it és megengedi ennek a közve tett
tanulmányozását.
F. A magyarázat
A magyarázat a szóbeli közlés módszere, segítségével a törvényszerűségek, szabályok,
tételek, fogalmak és a köztük levő összefüggések megértését tesszük lehetővé.
G. A csoportmunka
A csoportban történő tanulás vagy a kooperatív tanulás összecsatolás át jelenti az egyéni és
a kollektív tanulási módnak. A tanulók csoportot alkotva, dolgoznak egy közös tanítási cél
elérése érdekében, mindegyikük egyéni módon hozzájárulva ehhez, fejlesztve ugyanakkor a
társas viselkedésüket is. A csoport jó teljesítménye a tagok egyéni hozzájárulásának
köszönhető.
H. A didakt ikai játék
A játék tanulási módszer, amelyben egyesülnek a tanulságos és formatív elemek, a
szórakozás és játékosság elemeivel, ösztönözve a tanulás iránti moti vációt. Ez a módszer
inkább kisebb osztályokban eredményesebb.
I. Számítógéppel támogatott tanulá s
A számítógéppel támogatott tanulás a számítógép kezelésén alapuló, az információhoz és
a megismeréshez való hozzáférés interaktív formáját képviseli. A számítógép használata
olyan komlex folyamatok és jelenségek létrejöttét segíti elő, amelyeket más dida ktikai eljárás
nem tud kiemelni. Számítógéppel modellálást, szemléltetést, koncepció k, folyamatok és
jelenségek illu sztrációját végezhetjük el. A számítógéppel támogatott tanulás i módszer
használatának a hátránya, hogy nem alakít ki készségeket és képesség eket.
61
3.2. Algoritmikus módszerek és eljárások
A. Az algorіtmіzálás
Az algoritmizálás tanulási módszer algoritmusok használatát tételezi fel. Egy jól levezetett
gyakorlatlánc elvégzéséből áll, amit egy didaktikai tevékenység rendszere körül integrálunk
hogy kövesse, a tanár által egyértelmű irányban tervezett lépések betartásával, a
követelmények teljesítését.
B. A gyakorlat
A gyakorlat az a tanulási és tanítási módszer, amelynek alapját képezik a készségek
begyakorlása és a jártasságok kialakít ása céljából, ismételten és tudatosan elvégzett szellemi
és motorikus tevékenységek.
C. A feladat (a probléma)
A feladat , a korábban megszerzett ismereteknek, koncepció knak, módszereknek,
szabályoknak, törvényeknek és elveknek a heurisztikus al kalmazási gyakorlatát jelenti . A
tanár számára értékelő eszközt képvisel, míg a tanulók számára az általános, elméleti,
gyakorlati elemeknek a megerősítését, alkalmazását és ellenő rzését képviseli. A gyakorlat és a
feladat bonyolultsági foka között különbség létezik. A gyakorlatban az algoritmikus
szempont, a feladat ban pedig a heurisztikus szempont érvényesül.
3.3. A matematika tanításában használt oktatási eszközök
Az oktatási eszközök az oktatási stratégiá knak az alkotóelemei és azokra a tárgy i
erőforrásokra vonatkoznak, amelyek segítségével a tanulók tanulási és a tanárok tanítási
tevékenysége megy végbe. Az utóbbi időben a tárgyi erőforrások összesége bővült az
információhordozókkal és a modern technika i eszközökkel is. Az oktatási eszközök magukba
foglalják még a tanulás -tanítás folyamatba kiválaszt ott, integrá lt és értékesített pedagógiai
követelményeket is.
62
Az oktatási eszközök, természetükből adódóan, csoportosíthatók:
A. Tárgyi oktatási eszközök
• természeti tárgyi oktatási eszközök ;
• tárgyi oktatási eszközök , amelyek didaktikai célokra lettek fejlesztve : készletek,
öntvények, makettek, filmek, CD -k, stb.
B. Írott és grafikusan ábrázolt/jelképezett tárgyi/oktatási eszközök: szövegek, tankönyvek,
példatárak, matematikai kiadványok, plakátok, szótárak stb.
C. Szimbólikus reprezentációk: ideális modell ek, mat ematikai mennyiségek szimbólumai,
mértékegységek, matematikai képletek.
D. Oktatási technikai eszközök
• vizuális oktatási technikai eszközök : bere ndezések (vetítő, video stb.), vetítendő
tananyagok ( nyomtatott dokumentumok, tanári munkaeszközök, kellékek st b.),
oktatócsomag ok;
• audió oktatási technikai eszközök : magnó , CD lejátszó stb.
• audió -vizuális o ktatási technikai eszközök : TV, személyi számítógép , laptop ;
• modern o ktatási technikai eszközök : tablet , okostelefon, interaktív tábla, virtuális
laboratórium .
Az oktatási eszközök kiválasztásakor és használatakor alapvető és műveletesített célkitűzések
megfogalmazás ából indulunk ki, figyelemmel tartva azt, hogy milyen tudományos tartalm at
akarunk terjeszt eni, milyen módszertani re ndszer t választottunk , a didakti kai
tevékenység ünket milyen formában szervez tük meg stb. A tanár dönti el, hogy milyen célra és
funkcióra használja az adott oktatási eszköz öket, az információk közlésére, rögzítésére,
ismétlésére vagy felmérésére, a tanulók készségein ek, jártasságainak a kialakítására, illetve
mikor és meddig használja ezeket.
63
3.4. Az oktatási folyamat kompet enciáival összefüggő leckék
osztályozása
3.4.1 A lecke
A lecke egy alapvető didaktikai egység, az oktatás -nevelés folyamat nak egy formája,
amely a tanulók ra tájékoztató és alakító hatást kifejtő, a tanár által eltervezett tevékenység és
ami meghatározott időn belül történő aktív információ elsajátítást biztosít. A lecke értéke
megegyezik egy egységes, ismeretek rendszerét alkotó tan tervvel, ami a tanulók aktivizálása
érdekében, intellektuális és gyakorlati képességek, műveletesített követelmények, módszerek,
didaktikai eszközök, források összeségét foglalja magában. Főbb didaktikai célkitűzéseik
alapján a leckék osztályozhatók :
3.4.2 Új ismeret közlő és ismeret elsajátító lecke
Jellemzője, hogy a tanulók a tanár útmutatása alapján nagy mennyiségű ismeretet
sajátítanak el. Ez a fajta lecke magába foglal több típusú leckét :
• vegyes lecke ;
• bevezető lecke ;
• előadás ;
• szeminárium ;
• bizonyításos tananyagon alapuló lecke ;
• csoportos tevékenységen alapuló lecke ;
• technikai oktatási eszközök felhasználásán alapuló lecke ;
• felfedezéses lecke ;
• számítógépes oktatáson alapuló lecke
• heurisztikus beszélgetésen alapuló lecke ;
• problematizált lecke ;
• esettanulmányon alapuló lecke.
64
3.4.3 Szellemi és gyakorlati képességeket formáló lecke
Ezeknek a lecké knek a célkitűzései: a szellemi munka eljárásainak és technikáinak az
elsajátítása, a szellemi képességek oktatása és gyakorlása, önálló tevékenységek szervezése és
rendezése , valamint az ismeretek gyakorlatba ültetése. A leggyakrabban használt típusú
leckék:
• önálló dif ferenciált tevékenységen alapuló lecke ;
• önálló feladatl ap-megoldó tevékenységen alapuló lecke ;
• gyakorlat – és feladatmegoldó lecke ;
• individuális tanulmányozás ;
• a projektalkotáson alapuló lecke ;
• az önálló számítógépes oktatáson alapuló lecke ;
• a kreatív tevékenységeken alapuló lecke .
3.4.4 Ismétlő és ismeret rendszerező lecke
Ezek a leckék feltételezik a tanulók ismereteinek és kompetenciáinak az átszervezését
és mozgósítását, ren dszerezését és megerősítését.
Ennek a fajtának megfelelő lecketípusok a:
• gyakorlatok és feladatok megoldására alapuló lecke ;
• a taná r vagy a tanulók által elkészített ismétlési terven alapuló lecke ;
• ismétlési vázlaton alapuló lecke ;
• referátum elkészítésén alapuló lecke ;
• szintézis lecke ;
• a tanulók önálló munkáján alapuló lecke ;
• a tanulmányi kirándulás – lecke .
65
3.4.5 Ismeret -ellenőrző és képesség felmérő lecke
Ezek a leckék „mérleg” értékűek, mivel kiemelik a tanulók személyiségében történő
összes befolyást és változást. Ezek hozzájárulnak az összegző feed -back kialakításában,
kimutatván az ismeretek elsajátításának a fokát, a műveletesítésüket, a készségek és
képességek kialakulásának a szintjét. Megmutatják, hogy a tanárok és a tanulók milyen
mértékben érték el a kitűzött céljaikat és milyen vállalkozásokba kell kezdjenek ahhoz, hogy a
jövőben elérjék ezeket. A főbb lecketípusok:
• szóbeli kérdéseken alapuló lecke ;
• írásbeli dolgozaton alapuló lecke ;
• szóbeli és írásbeli kombinált felmérésen alapuló lecke ;
• az írásbeli dolgozatok elemzésén alapuló lecke ;
• ismeretek és gyakorlati képességek alkalmazásán alapuló lecke ;
• számí tógép segítségével történő ellenőrzésen alapuló lecke .
66
4 FEJEZET
AZ ISKOLA HATÉKONYSÁGÁNAK ÉRTÉKELÉSE
Az értékelés az oktatási technológia egy összetevőjét képviseli, amelynek célja az
iskolai hatékonyságnak, vagyis a tanulók saját és a tanár által tervezett teljesítményei
arányának a felismerésében áll. Lényegében az értékelés feltételezi a tanulói teljesítményről,
szellemi és gyakorlati képességekről és viselkedés ről való információ k megszerzését ,
összeha sonlítva a műveletesített követelmények al apján várható teljesítménnyel, de a tanár
teljesítményéről is, valamint a tan terv hatásáról és hatékonyságáról .
4.1. Az értéke lés alapvető funkciói
Az iskolai tevékenység során az értékelés számos funkciót teljesít, amelyek közül
bemutatom a következőket.
A. Diagnosztikus funkció
Összetevői :
1. A tanulók eredményeinek a meg ismer ése.
2. A tanulók tevékenysége sikertelen szempontjainak (hiányosságoknak, hibáknak) a
felfedezése.
3. A tanulók eredményesség ét biztosító sikeres elemek megvalósítása. A feed -back
létrehozása.
4. Diagnosztizáló i smeretfelmérő tesztek használata.
B. Forma tív funkció
A tanulók további teljesítményét és szakmai jövőjét hangsúlyozza . Megvalósítható
formái :
1) Standardizált tesztek megoldása.
2) Bizonyos képességek felmérésére kidolgozott tesztek.
67
C. Szummatív funkció
A tanulók osztályozását, rangsorolását teszi lehetővé. Ezt normatív tesztek
megoldásával valósítható meg.
4.2. Az értékelés formái és típusai
A mérési, értékesíté si és döntési műveletek technikáinak és eljárás ainak konkrét
felmér ési módja függvényében, valamint ezeknek a z oktat ási folyamatba való beépít ése
szerint, megkülönböztetünk több típusú didaktikai értékelést. A legfontosabb osztályozási
kritériumok a következők:
A. Az értékelés objektivi tása
Két típusú értékelést különböztetünk meg:
1. Empirikus/szubjektív értelkelés , amely a tanár intuícióját követeli meg és pontosan
egyszerűsége miatt nagyon elterjedt és közkedvelt .
2. Objektív értékelés , amelynek jellemzője, hogy a mérési művelet ekben speciális
technikák kal dolgo zik.
B. Az értékelési tevékenységek ideiglenes mérete szerint
Három típusú értékelést különböztetünk meg, a szakirodalomban mindegyikük
esetében találunk több egyenértékű kifejezést:
a) Előzetes/ év eleji/ félévi/ diagnosztikus / prediktív értékelés esetén a mérési,
értékelési és döntési műveleteket a nevelési -oktatási tevékenység kezdetén végezzük el,
illetve a tantervi ciklus, a tanév, a félév vagy valamilyen oktatási egység: tantárgy, tan ulási
egység, fejezet, téma ele jén.
b) Folyamatos/ állandó/ formatív/ haladó értékelés esetén a mérési, értékelési és
döntési műveleteket a nevelési -oktatási tevékenység folyamán végezzük el.
68
c) Szummatív/ szakaszzáró/ év végi/ összegző értékelés esetén a mérési, értékelési
és döntési műveleteket a nevelési -oktatási tevékenys ég vég én végezzük el, illetve a tantervi
ciklus, a tanév, a félév vagy valamilyen oktatási egység: tantárgy, tanulási egység, fejezet,
téma végén .
4.3. Értékelési módszerek és technikák
A tanulók tanulási eredményeinek az ellenőrzésekor és értékelésekor különböző
módszereket és eljárásokat alkalmazunk. A hagyományos értékelési módszerek: szóbeli
felmérés, írásbeli felmérés , gyakorlati próba, mellett megjelentek az alternatív (m odern)
értékelési módszerek : a tanulók rendszeres megfigyelése, kutatás , projekt -módszer, portfólió .
4.4. Hagyományos ellenőrzési és értékelési módszerek
Az előzetes , a fo rmatív és a szummatív értékelés elérhető egyetlen vagy több
kombinált ellenőrzési és értékelési módszer felhasználásával.
1. A szóbeli felmérés
Alapja egy tanár -tanuló beszélgetés , amely során a tanár leellenőrzi az ismeretek
elsajátításának a szintjét és az intellektuális készsé gek kialakulását, valamint a tanulók
működési képességeit is ezekkel az ismeretekkel. A szóbeli ellenőrzés hátránya, hogy
időigényes.
2. Az írásbeli felmérés
Az írá sbeli felmérésnek magasabb az objektivítási foka, mint a szóbeli felmérésé , mivel a
tanulók írásban dolgozzák ki a tételeket/ feladatokat. Egy előnye az írásbeli ellenőrzésnek,
hogy rövid időn belül felmérhető az egész osztály.
69
3. A gyakorlati pró ba
A gyakorlati próba a tanulók gyakorlati készségeinek és képességeinek a fejlődési szintjét
méri, előre ismert kritériumok alapján (a gyakorlati ismeretek mellett szükség van az elméleti
tudásra is).
4.5. Alternatív/kiegészítő ellenőrzési és értékelési módszerek
a) A tanulók tevéken ységének és viselkedésének rendszeres megfigyelése
Ezek rendkívül komplex módszerek, mert a tanulókat több szempontból figyelik meg és
ugyanakkor megengedik a tanárnak , hogy a technikájával alkalmazkodjon a “pillanathoz”.
b) Önértékelés es és társa s értékelés
Állandó működőképes feed-back biztosítása az elsajátított ismerete kről, intellektuális
és gyakorlati képessége kről és teljesítmény ekről.
c) Értékelés projekt -készítéssel
A módszert J.Dewey kezdemény ezte, a didak tikai alapelve az “átélés – ismeretszerzés
– megértés “. A projekt -készítés egy alternatív értékelési módszer , amely a kompakt
értékelések idején ek megfelelő , összegző felmér és.
A projekt egy hangsúlyozottan formatív és kreatív jellegű értékelési eszköz:
• Lehetővé teszi bizonyos tartalmak megközelítését interdiszciplináris módon.
• Összegző jellegű, összesítve az idők során felgyűlemlett ismeretek, készségek,
jártasságok felhasználását.
• Lehetővé teszi a tanulók egyéni részvételének a méltányolását egy kiegészítő tanulási
erőfeszítés hez, ezúttal biztosítva további fejlődésnek a helyét ezen a területen .
• Az ismeretek, előző tanulási folyamatok és a tájékozódás módszertanának az
ötvöződését jelenti.
70
d) Az esszé
Az esszé a szubjektív vagy a feleletalkotó feladatok kategóriájának a része ; az esszé
egy vagy több témáról írt fogalmazás. Alkalmas a következő képességek mérésére:
• az ötletek kiváltása, szervezése, integrálása;
• írásba való kifejezés;
• adatok értelmezése és kezelése.
e) A portfólió
Egy komplex értékelési eszköz, a standardizált teszteknek egy alternatív jelképe.
Lehetőséget ad a z értékelő tanárnak , hogy egy eredményeggyüttes t véve alapul, olyan
értékítéletet bocsásson ki, amellyel tükrözi a tanuló komplex fejlődési folyamatát. Mivel a
portfólió nagyon rugalmas eszköz, minden tanár, eset leg a tanulókkal együttműködve, a
használni kívánt helyzetre, tervez i meg ezt.
A portfólió nyomon követi a tanulók minden munkáját, azokat is, amelyek általában
kimaradnak az értékelési folyamatból. Ezáltal változatos tevékenységekbe való
bekapcsolódásra motiválja őket, az adott tantárgy esetén.
4.6. A teszt – a legelterjed tebb értékelési eszköz
A teszt ismeretek, készségek , képességek mérés ének az eszköze , amely segítségével
döntések tudományos megalapozásához szükséges információkat kapunk. A teszt célkitűzése
a tanuló által, az okatási -nevelési folyamat során elsajátított, formatív -informatív alapnak a
megismerése.
A. A teszt kidolgozása
a) A célkitűzések létrehozása, a téma meghatározása ( az alapvető ismeretek
többsége), a célkitűzések fontossági sorrendbe helyezése.
b) A célkitűzések et követő feladatok számának és tartalmának a létrehozása,
figyelembe véve, hogy valamelyik felelete ne sugallja egy másik feleletét.
71
c) A válaszolás módjának a lehetőségei (kezdetben írjuk fel és a megoldás módjára
adnak útmutatást) .
d) A feleletek felírása.
e) A teszt kísérleti alkalmazása különböző tudásszi ntű tanulókból álló mintán, majd
az esetleges javítások élvégzése.
f) A teszt pontszámának a létrehozása.
g) A téma kiválasztása, a kérdések nehézségi foka és a feladatszám függvényében , a
munkaidő meghatározása.
B. A teszt végrehajtása
Több feltétel betartását kell figyelembe venni:
• A tesztek másolatai megegyeznek az eredetivel.
• A megvilágítás és a körülmények megfelelő ek.
• A tanulók egyenként ül nek a padban.
• A jó felügyelet biztosított.
C. Az eredmények ellenőr zése
a) Javítással kezdődik, ami abban áll, hogy pontozzuk a helyes válaszokat.
b) A pontokat összegez zük és jeggyé alakítjuk.
c) A jegyeket közösen elem ezzük és megbeszéljük a tipikus hibákat.
72
4.7. A matematika értékelésében alkalmazott feladattípusok
4.7.1 Objektív feladatok
A tanulás eredményeinek az értékelésében nagyon magas objektivi tásuk van, a
kidolgozásuk nehéz de a javításuk egyszerű, mivel a pontszámot vagy megadjuk vagy nem , a
helyes válasz megjelölése függvényében.
A. Alternatív választás
A tanulónak két alt ernatíva között kell választania: igaz – hamis, helyes – helytelen,
igen – nem, 1 változat – 2 változat, nagyobb – kisebb stb.
Változatok alternatív választásos feladatokra
Példa : Igaz – Hamis
Értékelési kompetencia : a tanuló képes lesz a párhuzamos szárú szögek, a két
egyenes szöge a térben és a merőleges egyenesek értelmezésének az alkalmazására.
Kijelentés : Az alábbi állítások mellett két betű található I és H. Elemezd az állításokat
és húzd alá az I betűt, ha a mellette levő állítás igaz vagy húzd alá a H betűt, ha a mellette
levő állítás hamis.
Párhuzamos szárú szögeknek nevezünk két olyan szöget,
amelyeknek a szárai páronként kongruensek egymással.
Két kitérő egyenes szög ét úgy kapjuk meg, hogy az egyik
egyenes egy pontján át párhuzamost húzunk a másik
egyenessel .
Két térbeli egyenes merőleges egymásra, ha 900-os szöget
alkot.
I / H
I / H
I / H
Az állítások at röviden és világosan fogalmazzuk meg, elkerülve a kétértelműséget.
Előnyei:
– Rövid időn belül, viszonylag jelentős tartalmú tanulási eredményt mér fel.
– A feladatok nak egyszerű a felépítése.
73
Hátrányai:
– A tanulás eredményei alacsony kognitív szintre korlátozódnak.
– A válaszok véletlenszerűen is eltalálhatók.
B. Válaszok illesztése
A tanulók megfeleltetéssel , két oszlopba rendezett szavakat, mondatokat, számokat,
betűket vagy különböző szimbólumokat kell egymáshoz illess zenek.
Ezek a f eladatok kérésében szerepelhetnek különböző típusú viszonyok , fogalmak –
értelmezések, szabályok -példák, elvek -osztályozások, alk otóelem ek-felhasználásai. Gyakran
használt feladattípus, de a hátránya az, hogy a tanulók bizonyos megfeleltetést “kitalálnak”.
A tervezésnél be kell tartani a következő követelményeket:
– A felhasznált tananyag homogén legyen .
– Az oszlopokban lehetőleg egyforma számú kérés legyen.
– A feladatot ugyanazon az oldalon helyezzük el.
1Példa :
Értékelési kompetencia : a tanuló képes legyen megfelelően illeszteni az adott mennyiségnek
a mértékegységét.
Kijelentés: A bal oldali oszlop mennyiségeket, a jobb oldali oszlop pedig mértékegységeket
tartalmaz. Írjátok az első oszlopban látható mennyiség száma elé a második oszlopból
megfelelő mértékegység betűjét.
___1. Térfogat a. m
2
___2. Hosszúság b. m
___3. Felszín c. m
3
___4. Tömeg d. kg
___5. Idő e. s
74
2Példa:
Értékelési kompetencia : a tanuló képes lesz alkalmazni a szabályos mértani testek
síkmetszetein ek ( alappal párhuzamos síkmetszet, átlós metszet) értelmezését.
Kijelentés: Írjátok az első oszlopban látható számok elé a második os zlopból megfelelő
metsz etsokszög betűjét.
__1. A henger alappal párhuzamos síkmetszete
__2. A kocka átlós metszete
__3. A tetraéder egyik lapjával párhuzamos síkmetszete
__4. A kocka alappal párhuzamos síkmetszete
__5. A szabályos négyoldalú csonka gúla átlós metszete
C. Többszörös választás
A tanulók nak be kell keretezniük a helyes választ(okat ) egy, több válaszlehetőséget
tartalmazó listából, nem ő k fogalmazzák ezeket. Mindig megjegyezzük, hogy egy vagy több
helyes válasz létezik.
Példák olyan megfigyel hető viselkedésre, amelyet ezek a feladattípusok letesztelnek :
felismerni, azonosítani, kiválasztani, diszkriminálni, elemezni bizonyos kritériumok
függvényében, értékelni az igazság fokát és az ok -okozat viszonyát, ellenőri zni számítások
alapján a szabályok betartását, kiválasztani a helyes válaszokat több válasz közül, rangsorolni
egy jelenségnek a meghatározó tényezőit, felismerve azt, amelyik a legvalószínűbb,
felderíteni az összefüggések, képletek, kijelentések hibáit, állítani vagy taga dni egy
kijelentést, kapcsolatokat összehasonlítani, információkat értelmezni, stb.
Példa :
Értékelési kompetencia: a tanuló képes lesz felismerni a gúla magasságának az értelmezését.
Kijelentés: Keretezd be a helyes válasz betűjét az alábbi állításokban:
a. egyenlő oldalú
háromszög
b. négyzet
c. téglalap
d. kör
e. trapéz
75
A gúla magassága:
a. a gúla csúcsából kiinduló félegyenes.
b. a gúla csúcsából az alap síkjára bocsát ott merőleges szakasz hossza.
c. a gúla belsejében található szakasz.
Előnyei:
– A tanulás eredményeinek különböző típus a mérhető fel, az egyszerű ismeretektől, egészen
teljes eredményekig.
– Rugalmassága miatt, kiküszöbölhető az objektív -szubjektív és a szubjektív feladatok
kétértelműsége.
– Könnyen és gyorsan pontozható.
– Magas szintű tanulási eredmények vagy érvelési, értelmezési helyzetek értékelésére ad
lehetőséget.
Hátrányai :
– Könnyen dolgozható k ki gyenge minőségű feladatok .
– Viszonylag rövid kidolgozást igényel.
– Legfőképpen alacsony kognitív szinteket mér fel.
– Túlzott használatuk felismerésen alapuló tanulásra szoktatja a tanulókat.
4.7.2 Objektív – szubjektív feladatok
Az objektív -szubjektív feladatok követelménye a teljes megválaszolás vagy
kijelentés ekben egy vagy több hiányzó fogalomna k a kiegészítése .
Az objektív -szubjektív feladatok főbb jellemzői:
– a tanuló válasza, a kijelentés szerkezete által korlátozható elhelyezésében, alakjában,
tartalmában ;
– a feladat nagyon erős en struktúrált ;
76
– a tanulónak csökken , a kapott információ átszervezésére és a válasz tetszés szerinti
megfogalmazására jutó szabadsága .
A. Rövid válasz és kiegészítéses feladatok
A rövid válasz megadását kérő feladatoknál a tanuló egy mondat, állítás, szó, szám vagy
szimbólum alakjában kell me gfogalmazza a válaszát, míg a kiegészítéses feladatok esetében
általában egy vagy több szót kell kiegészíteni e úgy, hogy a mondat értelmet kapjon. Első
esetben a feladat kérése egy közvetlen kérdés, második esetben egy hiányos kijelentés.
Objektív -szubjek tív feladat változatok:
– Feladatok, amelyekre egyetlen szóval vagy egy 2 -3 szóból álló fogalommal lehet
válaszolni.
– Feladatok, amelyekre egy mondattal lehet válaszolni ; ezeket a megismerés, elemzés,
szintézis stb. kategóriájú alkotóelemek felmérésénél haszn áljuk .
– Feladatok, amelyeknek a válaszai matematikai összefüggések.
– Számolási feladatok.
– Grafikus ábrázolással megoldott feladatok.
– Magyarázatot, érvelést, rövid bizonyítást igénylő feladatok.
– Kísérleti eredmények feldolgozását tartalmazó feladatok.
Előnyei
– Többnyire felismerés t és emlékezést határoz meg.
– A válaszadásban egy bizonyos fokú következetességet követel.
– Egy nagyobb számú koncepció, képesség, jártasság értékelését teszi lehetővé.
– Elkerüli más típusú képességek befolyását.
– Felépítésük nem időigényes.
– Viszonylag könnyen pontozhatók, ha megfelelő javítókulcsot dolgozunk ki.
Hátrányai
– Ritkán alkalmasak magasabb intellektuális képességek mérésére.
77
– A nagyon rövid válasz csökkentheti az összetettebb képességek fejlődését.
– Több feladatra van szükség mindegyik tartalomból , mint az objektív feladatoknál.
A1. Rövid válasz
1Példa
Értékelési kompetencia : az al ap területképletének alkalmazása szabályos mértani
testekben .
Kijelentés : Mekkora az alap területe az alábbi esetekben ?
1) Egy 6 cm élhosszú kocka esetén, a kocka az alapjának a területe = …… cm2.
2) Egy szabályos háromoldalú hasáb alapéle 3 cm, a hasáb alapjának a területe = …… cm2.
3) Egy körkúp alapja a 4 cm sugarú kör, a körkúp alapjának a területe =……….. cm2.
2Példa
Értékelési kompetencia: a tanul ók ismerjék két sík kölcsönös helyzeteit.
Kijelentés: Írjátok le két sík k ölcsönös helyzeteit .
1) ………………………….
2) ………………………….
3) ………………………….
A2. Kiegészítéses feladatok
1Példa
Értékelési kompetencia : a tanulók ismerjék fel a kocka értelmezését.
Kijelentés: A kocka egy olyan téglatest, amelynek minden éle ………………….. .
78
2Példa
Értékelési kompetencia : ismerjék fel a téglatest méreteinek elnevezését.
Kijelentés: Sorold fel a téglatest méretei t: ………………… , ……………….. és …………………. .
B. Struktúrált kérdések
A struktúrált kérdés t több összefüggő objektív, objektív -szubjektív típusú rávezető kérdés
vagy rövid esszé típusú kérés alkotja . Ezek a kérdések kiegészítik az objektív feladatok által
kiszabott nyitott válas z és korlátozott válasz közötti értékelés módját.
A struktúrált feladatok összetevői, a rávezető kérdések, gyakorlatilag minden taxonómiai
kategóriáb an előforduló, különböző viselkedésformákat mérnek fel , mint például :
újraértelmezés, le ltár készítés, elemzés, következtetések levonása, szabályok használata,
feltevések megfogalmazása, fejlemények meglátása, megoldások elképzelése stb.
Az alábbiakban bemutatom egy osztályozási módját, a matematikában jelenleg használt
struktúrált kérdések v áltozat ainak, a rávezető kérdések típusait tekintve.
Rövid válasz, kiegészítéses válasz típusú rávezető kérdések – a leggyakrabban használt
kérdés, a viselkedésformák többsége felmérhető.
Többszörös választás típusú rávezető kérdések – egyre gyakrabban használatos, de mivel
a létrehozásukhoz egyedi ingereknek az együttese szükséges, nehezen található nagy számú
kiegészítő szerkezet az összeállításukhoz.
Alternatív választás típusú rávezető kérdések – viszonylag ritkán használt kérdés, még
akkor is, ha alacsony a tervezésben történő tévedésnek a veszélye.
Rövid esszé típusú rávezető kérdések – a struktúrált esszének egy változata, amelynek
alakja leegyszerűsíti a javítókulcs alkalmazását.
Kombinált technikák típusú rávezető kérdések – az elég sokszor használt kérdések közé
tartozik, nem egységes jellegűek és félrevezethetik a tanulót, főleg akkor, amikor nem
csoportokban vannak bemutatva.
79
Struktúrált kérdésekbe megjelenített feladatok
Ez a változat ajánlott mind a fo rmatív , mind a szummatív tesztek esetében. Nem
mérhetők fel általuk a magassabb szintű viselkedésformák, mivel irányítanák a tanulókat és
hátrányban részesítenék a divergens gondolkodást.
Előnyei:
– Segítségével átalakítható egy esszé típusú feladat, több objektív , objektív -szubjektív
vagy rövid esszé típusú feladattá.
– A rávezető kérdések szerkezete által nagy változatosságban mérhetők fel ismeretek,
jártasságok és képességek.
– A rávezető kérdések progresszív felépítése, az őket összecsatoló közös téma alapján.
– Segédanyagok használata (grafikonok, diagramok, táblázatok).
Hátrányai:
– A segédanyagok tervezése viszonylag nehézkes .
– Valamely rávezető kérdések válasza, néha, függ az előző rávezető kérdés válaszától.
– Költséges a megtervezése.
Struktúrált kérdések
Példa
Értékelési kompetenciák:
A tanuló képes legyen :
– egy adott kijelentésből információkat kiválasztani ;
– egy értelmezést modellként felhasználni, adott grafikus példában ;
– összefüggően, helyesen és világosan megmagyarázni valamely érvelés lépéseit .
80
Kijelentés : Olvasd el figyelmesen az alábbi szöveget.
“ Három vagy több párhuzamos sík két tetszőleges egyenesen arányos szakaszokat
határoz meg.” (Thalész tétele a térben). Kiindulva a tétel kijelentéséből, válaszolj a
követelményekre:
1. Készíts megfelelő rajzot . 1p
2. Mit jelent az, hogy a szakaszok arányosak ? 1p
3. Írd fel az elkészített rajz alapján , két pár szakasz nak az arányát. 1p
4. Magyarázd meg, hogyan írjuk fel több párhuzamos sík esetén , a szakasz ok arányát. 2p
Javítás és pontozás:
1. 1p) A helyes rajz megszerkesztése, jelölése.
2. 1p) Arányos szakaszok helyes értelmezése .
3. 1p) A helyes aránypár felírása.
4. 2p) Az általános eset ö sszefüggő, helyes és világos magyarázata , ennek konkrét leírása .
4.7.3 Szubjektív feladatok
Hazán kban a “hagyományos” értékelés formáját jelenti. Viszonylag könnyen
ellenőrízhető és az eredetiség hez, kreativítás hoz és a válasz személyes jellegé hez vezető
célkitűzéseket méri fel . A feladatok olykor besorolhatók az objektív -szubjektív feladatok
közé. A matematikában kiemelhetjük, hogy a feladatmegoldá s a legösszetettebb és a
leghasznosabb techniká ját jelképezi , a magasabb szintű viselkedésformák elsajátítása,
gyakorlata és érvényesítése folyamatában.
Tervezési követelmények:
Általános kritériumok
• A feladat követelményei világosak legyenek és a javító kulcs ne utaljon másra, mint
ami a tanulók kijelentésében kértünk.
81
• A probléma -helyzet megfeleljen a tanulók életkori és felkészültségi szintjének.
• A tevékenység lehet egyéni vagy csoportos, a feladat természete és tartalma
függvényében.
• A tevékenység felel jen meg a tananyag célkitűzéseinek.
• Az értékelés módja vonatkozzon az adott helyzetre.
• Egyszerű, nem költséges és könnyen elkészíthető segédanyagok használata.
Specifikus követelmények
• Az eredmények egyértelmű és specifikus úton való megszerzése .
• Altrenatív megoldási módszerek használata.
• A számítások, diagramok és grafikonok bemutatása.
Előnyök:
– Produktív gondolkodás kialakulása .
– Az egymásrautaltság lehetősége.
– Különböző módszerek és megoldások megbeszélésének a lehetősége.
– A tanulók kritikus hozzáállásának az aktíválása.
– A hibák elemzésének a lehetősége .
– Egy rugalmas és műveletesített érvelés fejlesztése .
Hátrányok :
– Időigényes tervezés.
– Néha költséges az anyagi erőforrás.
– Nem használható folyamatosan.
– Az értékelés nagymértékben szubjektív .
Amikor a módszert csoportban alkalmazzuk, az értékelésbe be kell számíta ni a csoport
stratégiáját a követelmény tejesítésében, a feladat megoldásának a mértékét, a csoporton
belüli együttműködést, a tanárral való kommunikációt, stb.
82
A. Feladatok megoldása
Példa
Értékelési kompetencia: A tanuló alkalmazni tudja a derékszögű háromszög
megoldásánál tanult ismereteket.
Kijelentés : Az ABC derékszögű háromszögben, a befogók hossza AB = 4 cm és AC
= 3 cm . Határozd meg az átfogó, a derékszög csúcsából kiinduló magasság és a befogók
átfogóra eső vetületeinek a hosszát.
Megjegyzések
Amennyiben a tanulók más megoldást írnak, nyilvánvalóan elfogadjuk azokat,
megfelelő javítókulcsot szerkesztve. Előnyös lehet más megoldás létezése (például, a
magasságot azzal az összefüggéssel is megka phatjuk, amely a befogók szorzatának és az
átfogónak az aránya) , amelyet a tanárnak be kell mutatnia az osztálynak, ha ngsúlyozva
ezáltal, hogy a matematika ezért is szép, mivel ugyanarra a feladatra több megoldás is létezik .
Főleg azokat a megoldásokat érdemes kiemelni, amelyek a többségétől eltérőek.
Javító kulcs : 5 pont
a) A feltevés és a következtetés felírása (0,5p).
b) A helyes rajz elkészítése (0,5p).
c) Pitagor asz tételének a felírása és alkalmazása az ABC háromszögben (0,5p).
c) Az átfogó kiszámítása BC = 5 cm (0, 5p).
d) Az egyik befogó átfogóra eső vetülete hosszának a felírása, a befogó tételének
alkalmazás ával (0,5p).
e) A vetület kiszámítása (0,5p).
f) A másik vetület felírása, mint az átfogó és az előző pontban kiszámított vetület különbsége
(0,5p).
g) A vetület kiszámítása (0,5p).
h) A magasság tételének a felírása és alkalmazása az ABC háromszögben (0,5p) .
i) A magasság kiszámítása (0,5p).
83
B. Projekt készítés
A projekt készítés folyamata, egy előre rögzített témára vonatkozó adatok gyűjtésének
és feldolgozásának során létrehozott dolgozat elkészítését jelenti.
A projekt kimondottan tanuló -központú tevékenység. Eredménye a tanulók
képzeletének, az elsajátított ismeretek szabad, új kontextusba való felhasználásának. A
projekt személyre szabott tevékenység, a tanulók maguk döntik el a tartalmát és az alakját. Mi
több, a projekt bátorítja a legjobban a tanulás integrált megközelítését, egységesen tálalva fel
a tanulóknak mindazokat az ismereteket és technikákat, amiket más tantárgyaknál sajátítottak
el.
Tanuló -központúságának köszönhetően, a tanulónak lehetősége van a rra, hogy saját
víziót alakítson ki, a meglévő személyes ismereteit összerakva és válaszolni tudjon arra az
alapvető kérdésre, hogy: ”Mit tehet azzal, amit az iskolában tanult?”. A projektet az
osztályban kezdjük , felvázoljuk a céljait, megfogalmazzuk a követelményt és ha szükséges,
meghatározzuk a végrehajtó csapatot. A tanórák után, a tanár irányításával, a tanulók
munkamódszereket dolgoznak ki, kiosztják a projektben betöltött szerepeket és a projekt
egyes szakaszai létrehozásának a határidejét is leszögezik. Az adatok begyűjtése és az anyag
megszervezése után, az elért eredmények bemutatásával, a projekt az osztályba n végződik . A
projekt előnyben részesíti a tanulók komplex tevékenységét, amely adatoknak a felismerését
és begyűjtését, valamint ezek eredeti módon való feldolgozását és rendszerezését feltételezi.
Példa
Szabályos sokszögek
VIII. osztályban, a Hasábok lecke bevezetése előtt, a követkető feladatot adtam.
Ismételni kellett a VII. osztályban tanult szabályos sokszögeket.
Kérdésekkel vezettem be:
Mit nevezünk szabályos sokszögnek?
Melyek a tanult szabályos sokszögek?
Megértették, hogy az önállóan elkészítendő házi feladatukban, a három tanult szabályos
sokszögről (egyenlő oldalú háromszög, négyzet, szabályos hatszög) kell gyűjteniük adatokat.
84
A VIII. osztályos tankönyv , a jegyzetfüzet és minden más általuk felfedezett
(például internetes) tananyagforrás használatát ajánlottam.
Az osztály szerkezete:
Összesen 22 tanuló
7 tanulónak van 8 -ason felüli jegye, ami 31,9 %
5 tanulónak van 6 -os és 8 -as közötti jegye, ami 22,7%
10 tanulónak van 5 -ös és 6 -os közötti jegye, ami 45,4 %
A következő órán 14 tanuló mutatott be projektet (vagyis 63,6%).
A projektek értékelés ét feljegyezetem a tanári kis naplómba; ez részét fogja képezni
egy utóbbi jegynek (egy jegynek, amely átlaga lesz több különböző típusú értékelésnek,
például: házi fela dat füzet, plusszmunka füzet, jegyzetfüzet, az órai tevékenység, stb.)
Észrevételek:
• A tanulók nak nem volt újdonság és nem jelentett nehézséget, mivel nem először
szembesültek ilyen típusú feladattal.
• 12 tanuló teljesített, akiknek 6 -oson felüli jegye van és 2 -en a többiek közül.
• A projektek általában rövidek voltak – legkevesebb 7 -en, akiknek 8 -ason felüli jegyük
van, ennyit tartottak szükségesnek, tehát nem gyorsmunkát végeztek.
• Egy pár kivétellel – különösen az alacsony teljesétményűeknél – a rajzok megfelelően
készültek el, az elemek helyes feltüntetésével.
• Egy kivételével, a projektek tartalmaztak matematikai összefüggéseket , képleteket,
levezetéseket, írott magyarázatok nélkül.
• A kivétel, amit említettem egy olyan dolgozat, amelyben túl sok magyarázat van, a
kifejezés szempontjából sem nagyon igényes, de azt jelzi, hogy a jelenség el lett
mélyítve – ami, szerintem, sokkal fontosabb! Például: “a négyzet apotémája egyenlő
az oldal felével” vagy “a négyzet kerülete egyenlő az oldal négyszereséve l, mert az
oldalak kongruensek”.
• Az általános tendencia mégis a kívülről való meg tanulás marad, amit órán is
tapasztaltam, amikor a projekt témáját ismételtük – de abból is kiderül, hogy a legtöbb
projektből hiányzott a képletek levezetése, úgy ahogyan azt a téma tanításakor leírtuk.
85
• Egy ilyen munka önálló elvégzése (akkor is ha lemásolják a jobb társaiktól),
bizonyosan egy tanulási lehetőség marad, elősegítve legalább, kis mértékben a
fejlődé st.
C. Kutatás
A matematikában a kutatás , egyrészt, a mindennapi életben fellelhető feladatok
megoldását, másrészt, ismeretlen matematikai koncepciók , ismert módszerekkel történő
tanulmányozá sát jelenti . A kutatás feladatok megoldását és feladatok alkotását feltételezi.
Példa:
Az osztályterem és az otthoni hálószoba térfogat ának meghatározása és
összehasonlítása, VIII. osztályban .
Szükséges eszközök: mérőszalag vagy méteres, füzet .
A tanulók lemérik és összegyűjtik a térfogat kiszámításához szükséges adatokat, táblázatokba
foglalják, összehasonlítják és osztályozzák ezeket, azzal a céllal, hogy könnyebben kezeljék
őket a felmerülő kérdések megválaszolásánál. A tevékenység a tanár magyarázatával az
osztályban kezdődik, majd otthon folytatódik, a tanulók négy fős csoportokat alkotva. Az
adatokat feljegyzik, táblázatokba rendszerezik, feltüntetve: a tanuló nevét, hálószobájának
hosszúságát, szélességét, magasságát, térfogatát. A tanulókat arra bíztatjuk, hogy minél több
adatot gyűjtsenek, attól a csoporttól is, amelynek nem tagjai. Az adat ok feldolgozásánál a
következő típusú kérdések megválaszolását vesszük figyelembe.
Melyik a legnagyobb térfogatú hálószoba? Melyik a legkisebb térfogatú hálószoba?
Melyik hálószoba térfogata egyezik meg az osztály térfogatával? Hányszor nagyobb az
osztály térfogata? (Megközelítőleg!) Hányan vannak akiknél a hálószoba térfogata meghalad
egy adott értéket?
A tanulókat arra ösztönözzük, hogy minél több kérdést fogalmazzanak meg.
Az osztályban kiosztott munkaidő: 15 -20 perc a tevékenység elmagyarázása, első
órán; 30 perc megbeszélés az adatok rendszerezéséről és bemutatásáról, egy következő órán ;
30 perc valahány tanuló tevékenységének az értékelése. A kutatás értékelését a csoport tagok
86
együttesénél végezzük, figyelembe véve a bemutatás egyértelműségét és a feladat
teljesítésének szintjét. A kutatás a tanulókat tettrekész helyzetbe hozza .
Mivel a feladatok teljesítése ne mcsak kognitív körben zajlik, a kutatás keret én belül
minden tanuló szerepet kap, ezért, mindegyikük tudatában van a saját tevékenysége
fontosságának.
D. Portfólió
Példa:
Célkitűzés : a portfólió céljának megismerése és a célok eléréséhez szükséges
dokumentumok meghatározása.
Kijelentés : A geometria alapjai, Euklidésztől Hilbertig – 100 év Hilbert munkájának a
megjelenésé től, amelyben az euklidészi sík geometria alapjait tisztázta.
A portfólió készítés szakaszai: a célok megismerése, anyaggyűjtés, válogatás, reflexió,
szerkesztés, értékelés és irányadás. A siker es elkészítés feltétele a pontos értékelési
szempont rendszer ismertetése a tanulókkal , szülőkkel.
87
5. FEJEZET
A MÓDSZERTANI K ÍSÉRLET MEG SZERVEZÉSE ÉS
LEBON YOLÍTÁSA
5.1. A kísérlet i téma választásának indoklása
Az oktatási reform az újítások egyidejű bevezetésé nek legfontosabb eszköze az oktatási
rendszer minden szintjén . Az oktatás globális reformjának konkrét megvalósításában
különösen fontos szerepet játszik a pszichopedagógiai kutatás, amelyet a modern tanítás
fogalmának forrásaként kell tekinte ni.
A pedagógiai kutatás egyik fontos irány a a tanulási módszerekben rejlik . Fokoz atosan, az
elméleti kidolgozásokban , a tanulók tanítási folyamatba való aktiválásának szükségessége és
fontossága megalapozásában , hiánytalan , sőt prioritás kezdett lenni a tanulási módszer ,
értékelve azt az elképzelést, ho gy bizonyos ismeretek nem önmagukban formatívak, hanem az
őket létrehozó folyamatok révén, a kognitív, affektív, motivációs struktúrákon keresztül,
amelyeket fejlesztenek.
Az oktatási módszer lényege a tanulási tevékenység lényegéből, mint az emberi tudás
sajátos formájából ered.
A módszer kiválasztása objektív tényezőktől (a kitűzött tanítási cél, a lecke op eratív
célkitűzései, az iskola rendelkezésére álló anyagi források ) és szubjektív tényezőktől ( a tanár
hozzáértése és személyisége, az osztály pszicho lógiai erőforrásai ) függ. Nem szabad
megfeledkezni arról sem, hogy minden módszer alapja a tanár és a diák közötti
kommunikációban rejlik, amely tükröződik a végső eredményekben . A helyes tanár -diák
kapcsolat kialakításáb an a fő szerep a tanáré .
A tanulók pszichológiai erőforrása i, amelyek osztálytól függően eltérőek, figyelembe kell
vegyé k: a kor sajátosságai t, egyéni sajátosságok at, a csopor t sajátosságait, az osztály szintjét.
Ezért kell különböző óraprojekteket kidolgozni két osztály számára, m ég akkor is, ha a
tanított téma ugyanaz.
88
Egyetlen módszer sem lehet egyformán hatékony minden helyzetben, a tanuló k bármely
kategóriája és különösen minden tanuló számára . Ezért egyes módszerek eltérő eredményeket
mutatnak különböző kor osztályokban vagy a szellemi fejlődés különböző szakaszaiban . A
tanuló k egyénisége mellett fontos a tanár viselkedése, aki nek alkalmazkod ása az osztály
pszicho -szociális körülmé nyeihez, olyan pedagógiai tanítási tevékenység et eredményez ,
amelyben a tanár és a tanuló k folya matos kölcsönös kapcsolatban találják magukat.
A tanár megtanulja az általános elveket, amelyek a módszer alapját képezik, de a
módszert a személyiségének megfelelően fogja alkalmazni .
Ezekből az előfeltéte lekből kiindulva és kipróbálva a tanulók nak az iskolai
ismeretszerzésben történő aktiválás i problémájá nak konkrét alkalmazás át, terveztem egy
módszertani kísérletet, amelynek témája:
„Aktív tanulás a matematika leckékben, alka lmazva a – Poliéderek felszínének és
térfogatának kiszámítása tanulási egységben ”.
A módszertani kísérlet során, a döntés, hogy ezt a témát tanulmányozzam, a tanulási
egység különleges gyakorlati jelentősége miatt jött létre .
A módszertani kísérletet a Kolozs megy ei, Buzai Általános Iskola VIII. osztályos
tanulóival végeztem, a 2018 -2019 – as és a 2019 -2020 – as tanévekben. A kísérlet során
modern, eredeti aktív részvételen alapuló tanítási stratégiákat vezettem be, amelyek célja a
tanuló k kritikus és kreatív gondolk odásának fejlesztése, a kiválasztott tanulási egységb en
található leckékben az aktív -részvétel i módszerek gazdag választék a álta l, amelyek dinam ikus
karaktert véstek a tanítás forgatókönyv ébe, a leckék sokkal érdekesebbé és vonzóbbá váltak a
tanuló k számára.
A szervezett kísérlet célja, hogy kidolgozza a tanulási egység célkitűzéseit és tanítási
stratégiáját , összhangban az iskola általános cél jaival, a tantárgyhoz kapcsolódó konkrét
célok kal, a téma formatív és oktatási potenciálj ával, a tanulók pszichogenetikai és képzési
szint jével, különös hangsúlyt fektetve a tan ulásban végzett vizsgálati tevékenységekr e,
valamint a tanulók által szerzett megfigyelések és információk hasznosítására .
A kísérlet követte, hogy az aktív -részv ételi módszerek (problema tizálás , felfede zés,
modellezés, kísérlet, kocka módszer, mozaik módsz er, ötletbörze stb.) alkalmazása milyen
89
mértékben vezet az iskolai telje sítmény növekedéséhez és a tanulóknak a matematika
tantárgy iránt i motivációjához.
A kísérlet lényegé ben egy új helyzet létrehozását foglalja magában azáltal, hogy
változásokat vezet be az oktatási tevékenység (aktív tanulási módszereket alkalmazó aktív –
részvételi tanítási stratégiák) terén azzal a céllal, hogy ellenőrizze azt a hipotézist, amely
ezeket az újításokat váltotta ki (az iskolai teljesít mény növelése és a matematika tanulásának
motivációja).
Sajátossága miatt a kísérlet , az oktatási tevékenység teljes időtartama alatt , egy
keresztmetszet et "vág" rajta, amelyet aztán vizsgálat nak vet alá, ragaszkodva minden olyan
jelenség hez, ami a cselekvés en belül nyilvánvaló .
A kísérlet megszervez ésében a következőkből indultam ki:
❖ A tanulási egység t udományos tartalmának rendszerszintű elemzése .
❖ Annak érdekében, hogy a t anuló saját képzési ügynökév é váljon, feltétlenül szükséges,
hogy minden tartalmat a rendszerszintű elemzés szemszögéből tekintsen meg.
❖ A tanulónak képesnek kell lennie arra, hogy leválassza az új ismereteket, hogy
kapcsolatot létesítsen között ük és a korábban tanult ismeretek között, akár a
"matematika" tudományágon belül, akár az interdiszciplináris kapcsolatok alapján.
❖ A képzési technikák és a javasolt célkitűzés ek, a tartalmi elemek és a tanuló k által a
kitűzött célokhoz viszony ított teljesítmény értékelési módjain ak egységes elérése .
❖ A tanulók elméleti és g yakorlati szakosított képzése előfeltételeinek elérése a műszaki
szakmák felé való orientáció céljából, vagy egyszerűen a gyakorlat és az elmélet
közötti kapcsolat teremtése céljából. E tekintetben az aktív tanul ási módszerek
alkalmazása lehetővé teszi a tanuló k kezdeménye zéseit, spontaneitását, kreativí tását,
biztosítva a tudás alapos elsajátítását.
Két osz tály (csoport) tanulóit vizsgál tam:
kontroll csoport – A osztály – 15 tanuló
kísérleti csoport – B osztály – 22 tanuló
A tanulási egység elején mindkét osz tálynál ugyanazt a z előzetes felmérőt (1.
melléklet) alkalmaztam . Jobb eredmé nyt a kontroll osztály (A) ért el és kevésbé jó eredmény t
90
a kísérleti osztály (B). Az alábbi táblázat egy jellemzést mutat be, összehasonlítva a két
osztály tanulóinak a pszichológiai erőforrásait .
Az osztály
összetétele Átlag életkor (évek ) 14 éves 14 éves
Nem Fiúk 8 9
Lányok 7 13
Osztály átlag (I. félév ) 8.95 7.21
A kapcsolatok
szerkezete Tanulók közötti Verseny Együttműkö dés
Tanuló és tanár közötti Tisztelet Tisztelet
Az osztály kisebb csoportjai
közti Instabilítás Stabilítás
A kollektív csoport
szintjén működő
csoportszabályok Tanulás Következetesen
jó Hullámzó
Iskolán kívüli tevékenységek Jó Gyenge
Az A kontroll csopornál klasszikus felmérőket alkalmaztam: egy előzete s felmérőt, két
formatív felmérőt és egy szummatív felmérőt.
A B kísérleti csoportnál ugyanazokat a felmérőket alkalmazt am, de kiegészítettem egy -egy
10 perces önértékelő tesztettel, amelyeket nyitott tankönyv vel és füzetekkel írtak meg
minden új lecke tananyagából . A tanuló kat folyamatosan követt em a teszt írás során, de az
önértékelési teszt et nem osztályoztam .
A következőkben bemutatom a tanulási egység rendszerszintű megközelítését, a
tanulási egység tervezését és a programon belüli leckéket, valamint az alkalmazott
felmérő ket (Mellékletek ). A módszertani kísérlet a kísérleti adatok feldolgozásával és
értelmezésével , valamint a levont következtetésekkel ér véget .
91
A tanulási egység rendszerszintű megközelítés e
(makrorendszer )
(rendszer )
(alrendszer )
Matematika
Térg eometria
Poliéderek
A téglatest és
a kocka Szabályos gúla
Szabályos háromoldalú
hasáb, gúla és csonka
gúla
Szabályos hatoldalú
hasáb és gúla
Metrikus összefüggések a
derékszögű háromszögben
Szabályos sokszögek területe
Trigonometriai
szögfüggvények
Poliéderek felszíne és
térfogata
Szabályos hasáb
Szabályos négyoldalú
hasáb, gúla és csonka gúla
Szabályos
csonka gúla
92
5.2. A leckék re ndszerének a létrehozása a tanulási egységen belül
A tanulási egység tervezése, amelyre utalok, 18 tanórára nyúlik ki, 14 leckét foglal
magába, az előzetes, formatív és szummatív felmérő kre 1-1 óra szolgál.
A TANULÁSI EGYSÉG TERVEZÉSE
Tanulási egység : Poliéderek felszínének és térfogatának a kiszámítása
Óraszám : 18 óra
Általános kompetenciák/ specifikus kompetenciák
1. Matematikai adatok és összefüggések azonosítása abban a környezetben, amelyben
előfordulnak .
1.4. Síkidomok és ezek jellemző elemeinek azonosítása adott térbeli alakzatokon.
1.5. Mértani testek és ezek felszínének vagy térfogat ának kiszámításához szükséges
mérhető elemek azonosítása .
2. A különböző matematikai kijelentésekben szereplő mennyiségi, minőségi, strukturális
típusú adatok feldolgozása.
2.4. Adott mértani test ábrázolása rajz vagy modell segítség ével.
2.5. A tanult mértani testek jellemző adatainak feldo lgozása, eleme ik kiszámítása
érdekében.
3. Speciális fogalmak és algoritmusok használata különböző matematikai
kontextusokban.
3.5. A mértani testek numerikus jellemzőinek kiszámítására szolgáló megfelelő módszer
kiválasztása .
4. Egy adott helyzetre vonatkozó információk, következtetések és állásfo glalások
kifejezése specifikus matematikai nyelvezettel.
4.8 A mértani testek elemeinek matematikai leírása.
4.9 Specifikus fogalmak és kifejezések használata bizonyos síkidomok és mértani testek
tulajdonságainak leírására.
5 Egy adott helyzet matematikai jellemzőinek elemzése .
5.7 Megfelelő geometriai ábrázolások kiválasztása a mértani testek leírásár a és a metrikus
elemek kiszámítására.
6 Egy adott helyzet matematikai modellezése a különböző területekről szerzett ismeretek
integrálásával .
93
6.5. A távolságokra, területekre és térfogatokra vonatkozó információk értelmezése egy
adott hétköznapi helyzet térbeli k onfigurálása alapján történő modellezés szerint.
Tartalmak
(részletezés ) Specifi kus
kompetenciák Tanulási
tevékenységek Erőforrások
Értékelés
Anyagi Eljárási
Előzetes
felmérő 2.5 -feladatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemei közötti
összefüggé
seket
alkalmazunk Példatár Önálló
tevékenység
Előzetes
felmérő
(1 Melléklet)
A téglatest:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata 1.4
2.4
-a mértani
testnek
megfelelő rajz
elkészítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Feladatlap
Mértani
készlet Frontális
tevékenység
Magyarázat
Megbeszélés
-az érvelések
minőségének
és a
megoldások
helyességé –
nek értékel ése
-önértékelés
-önértékelő
feladatlap
94
A kocka:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.5
2.5
-a mértani
testnek
megfelelő rajz
elkészítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Feladatlap
Plakátok
Frontális
tevékenység
Magyarázat
Megbeszélés
-a tanulók
renszeres
megfigyelése
-csoportos
értékelés
-önértékelő
feladatlap
Feladatok
3.5
– feladatok
amelyekben a
téglatest és a
kocka
felszínének,
illetve
térfogatának a
képleteit
alkalmazzuk Tankönyv
Példatár
Feladatlap Csoport
tevékenység
Analízis
Szintézis -a csoport
tevékeny
ségének a
megfigyelése
95
Szabályos
háromoldalú
hasáb:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
3.7
-a mértani
testnek
megfelelő rajz
elkészítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg
Tankönyv
Plakát
Feladatlap
Frontális
tevékenység
Magyarázat
-szóbeli
értékelés
-önértékelő
feladatlap
Szabályos
négyoldalú
hasáb:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
3.7 -a mértani
testnek
megfelelő rajz
elkészítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Power -Point
bemutató
Frontális
tevékenység
Magyarázat
-az érvelések
minőségének
és a
megoldások
helyességének
értékel ése
-önértékelő
feladatlap
96
Szabályos
hatoldalú
hasáb:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.5
2.5 -a mértani
testnek
megfelelő rajz
elkészítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Példatár
Feladatlap Frontális
tevékenység
Magyarázat
Megbeszélés -az érvelések
minőségének
és a
megoldások
helyességének
értékel ése
-önértékelő
feladatlap
Feladatok
4.5 – feladatok
amelyekben a
hasábok
felszínének és
térfogatának a
képleteit
alkalmazzuk Példatár Csoport
tevékenység
Megbeszélés -a csoport
tevékeny
ségének a
megfigyelése
-a tanulók
füzeteinek
ellenőrzése
1 Formatív
felmérő 6.5 – feladatok,
amelyekben
alkalmazzuk a
tanult felszín –
és térfogat –
számítás
képleteit Példatár Önálló
tevékenység -az önálló
munka
értékelése
1 Formatív
felmérő
(7 Melléklet )
97
Szabályos
háromoldalú
gúla:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.5
2.5 -a mértani
testnek
megfelelő rajz
készítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
AEL –
Alaklmazási
rendszer
Frontális
tevékenység
Következ
tetés
Fürtábra
módszer
-a tanulók
renszeres
megfigyelése
-önértékelő
feladatlap
Szabályos
négyoldalú
gúla:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.5
2.5 -a mértani
testnek
megfelelő rajz
készítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Plakátok
Feladatlap
Önálló és
csoport
tevékenység
Tudom,
tudni
szeretném,
megtanultam
Felfedezés -a tanulók
renszeres
megfigyelése
-az önálló
munka
értékelése
98
Szabályos
hatoldalú
gúla:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.5
2.5 -a mértani
testnek
megfelelő rajz
készítése
-gyakorlatok
megoldása,
amelyekben
mértani testek
elemeit,
szakaszok
hosszának
kiszámításával
határozzuk
meg Tankönyv
Példatár
Frontális
tevékenység
Brain
storming
Problema –
tizálás
– önértékelő
feladatlap
-a tanuló k
renszeres
megfigyelése
Feladatok 5.4 – feladatok
amelyekben a
gúlák
felszínének és
térfogatának a
képleteit
alkalmazzuk Példatár Önálló és
csoport
tevékenység
Szintézis -a csoport
munka
értékelése
-az önálló
munka
értékelése
2 Formatív
felmérő
6.5 – feladatok,
amelyekben
alkalmazzuk a
tanult felszín –
és térfogat –
számítás
képleteit Példatár Önálló
tevékenység – az önálló
tevékenység
értékelése
2 Formatív
felmérő
(11Melléklet )
99
Szabályos
háromoldalú
csonka gúla:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.4
2.4
-mértani testek
rajzolása, a
származtató
gúla
ábrázolásával
-gyakorlatok
szakaszok
hosszának
kiszámításával Tankönyv
Plakátok
Frontális
tevékenység
Magyarázat
Megbeszélés -a tanulók
renszeres
megfigyelése
-az önálló
munka
értékelése
Szabályos
négyoldalú
csonka gúla:
leírása,
hálozata,
oldalfelszíne,
teljes felszíne,
térfogata
1.4
2.4
-mértani testek
rajzolása, a
származtató
gúla
ábrázolásával
-gyakorlatok
szakaszok
hosszának
kiszámításával Tankönyv
Plakátok
Feladatlap
Frontális
tevékenység
Magyarázat
-a tanulók
renszeres
megfigyelése
-az önálló
munka
értékelése
Feladatok 5.4 – feladatok
amelyekben a
csonka gúlák
felszínének és
térfogatának a
képleteit
alkalmazzuk Tankönyv
Példatár Önálló és
csoport
tevékenység
Szintézis -a csoport
munka
értékelése
-az önálló
munka
értékelése
100
A tanulási egység leckéinek eloszlása
Ssz. A lecke témája A lecke típusa Óra
szám Értékelés formája
1.
Előzetes felmérő
Ismeret -ellenőrző
lecke
1
Írásbeli értékelés
( 1 melléklet )
2.
A téglatest
Új ismeret közlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli értékelés
Önértkelő teszt
( 2 melléklet )
3.
A kocka
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli értékelés
Önértkelő teszt
( 3 melléklet ) Szummatív
felmérő 6.5 – feladatok,
amelyekben
alkalmazzuk a
tanult felszín –
és térfogat –
számítás
képleteit Példatár Önálló
munka -az önálló
munka
értékelése
Szummatív
felmérő
(14Melléklet)
101
4.
Feladatok
Ismeret rögzítő és
rendszerező lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
5.
A szabályos
háromoldalú hasáb
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
Önértkelő teszt
(4 melléklet )
6.
A szabályos négyoldalú
hasáb
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
Önértkelő teszt
(5 melléklet )
7.
A szabályos hatoldalú
hasáb
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
Önértkelő teszt
(6 melléklet )
8.
Feladatok
Ismeret rögzítő és
rendszerező lecke
1
Írásbeli értékelés
feladatlap
alkalmazásával
102
9.
1 Formatív felmérő
Szellemi és
gyakorlati
képességeket
formáló lecke
1
Írásbeli értékelés
(7 melléklet )
10.
A szabályos
háromoldalú gúla
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Írásbeli értékelés
feladatlap
alkalmazásával
(8 melléklet )
11.
A szabályos négyoldalú
gúla
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Írásbeli értékelés
feladatlap
alkalmazásával
(9 melléklet )
12.
A szabályos hatoldalú
gúla
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
(10 melléklet )
13.
Feladatok
Ismeret rögzítő és
rendszerező lecke
1
Írásbeli értékelés
feladatlap
alkalmazásával
103
14.
2 Formatív felmérő
Szellemi és
gyakorlati
képességeket
formáló lecke
1
Írásbeli értékelés
(11 melléklet )
15.
A szabályos
háromoldalú csonka
gúla
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
(12 melléklet )
16.
A szabályos négyoldalú
csonka gúla
Új ismeretközlő és
ismeretelsajátító
lecke
1
Szóbeli és írásbeli
értékelés
(13 melléklet )
17.
Feladatok
Ismeret rögzítő és
rendszerező lecke
1
Írásbeli értékelés
feladatlap
alkalmazásával
18.
Szummatív felmérő
Ismeret -ellenőrző és
képesség felmérő
lecke
1
Írásbeli értékelés
(14 melléklet )
104
Annak érdekében, hogy tovább pontosítsuk az értékelés módját, az alábbi értékelési
feladat mátrixot fogom bemutatni:
A tanulási egység értékelési feladat mátrixa
A dolgozatom végén a mellékletekben szerepelni fog nak:
❖ Az említett felmérők és a javítókulcsaik .
❖ Önértékelő tesztek .
Specifikus
kompe
tenciák Írásbeli
próba Szóbeli
próba
Gyakorlati
próba Didaktikai
feladat Rendszeres
megfigyelés Önálló
teszt Házi
feladat
1.4 X X X X X X X
1.5 X X X X X
2.4 X X X X
2.5 X X
3.5 X X X X
4.4 X X X
4.5 X X X X
5.4 X X X X
6.5 X X X X
105
5.3. A kísérleti adatok feldolgozása és értelmezése
A kísérleti csoport (B osztály) tanulói teljesítmény ének és fejlődésének értékeléséhez
egy kontroll csoportot (A osztály) használtam , amely a kísérlet kezdetétől jobb eredményeket
ért el. Mindkét osztálynál u gyana zokat a leckéket tanítottam , a " Poliéderek felszínének és
térfogatának a kiszámítása " tanulási egységen belül és ugyanazok at a felmérő ket
alkalmaztam : előzetes , formatív (1,2) és szummatív . A tanórákon különböző, kooperatív és
hagyományos módsz ereket alkalmaztam, a csoportal kotásb an pedig figyeltem az
együttműkö dési készségek fejlesztésére.
A tesztek et úgy állítottam össze , hogy tartalmazza nak egyszerű és a tanuló k többsége
számára hozzáférhető feladatokat , valamint nagyobb nehézségi fokú feladatokat is , a jó és
nagyon jó tanulók részére . A tervek szerint a tételek kiválasztása t eljes mértékben
összhangban lett a javasolt célkitűzésekkel. A tesztek megtervezésekor VIII. osztályos
alternatív mate matikai tankönyveket és példatárakat használtam. A felmérő ellenőrí zte az
információ mennyiségét, a megszerzett ismeretek érvényességét és pontosságát, a tudás
felismerésének és alkalmazásának képességét az új kontextusokban.
A felmérő k előkészítése során a tételek megfogalmazása különösen fontos. Az egyes
tételek és a cél között, amelyet értékelni kívánunk, tökéletes következetes ségnek kell lennie.
Használtam felelet választás os, kiegészítéses válasz , asszociatív és konstruktív feladatokat . Az
egyes tételek maximális pontszámának meghatározásakor s zámos tényezőt vettem
figyelembe : a kísérleti tanulási egységben előforduló fogalmak rendszerében megadott
fogalom súlyát, a tételben szereplő fogalmak számát, a gyakorlat -elmélet összekapcsolása
szempontjából a fogalom által kínált lehetőségeket, valamint azt, hogy a tanul ó hogyan szerzi
meg ezeket a készségeket.
Mivel az összes alkalmazott értékelési teszt maximális pont száma 100 pont volt, a
pontszám nak a jegyre történő átváltását a következő táblázatban szereplő transz formációs
skála szerint végeztem el:
106
A PONTSZÁM JEGYRE TÖRTÉNŐ ÁTVÁLTÁSÁNA K A SKÁLÁJA
A kísérleti csoport (B. osztály) és a kontroll csoport (A. osztály) közötti különbség az
volt, hogy a tényleges tanítási idő végén a B. osztályra , további önértékelési vizsgálatokat
(lásd Mellékletek ) alkalmaztam . Ezek a tesztek , a tanár munkája szempontjából, nagyon
fontosak. Lehetővé teszik a tanár számára, hogy lássa, m ennyire sikerült a tanulóknak
asszimilálniuk, mennyit értenek a tananyagból , milyen szempontok jelentenek problémát a
tanulónak , és így tovább. Az önértékelési teszt során olyan utasításokat lehet adni a tanulónak,
amel yek lehetővé teszik számukra , a jobb megért ést. A legfontosabb szempont a feed-back
elérése. A tanár látja, hogy mennyi, abból amit "továbbított" már "asszimilálódott" , és mely
szempontokat kell még mindig "retusálni" a legrövidebb idő alatt.
Továbbá bemutatom a tanuló k által , az összes alkalmazott felmér és során , elért
összehasonlító eredményeke t.
PONTSZÁM JEGY PONTSZÁM JEGY
10 -14 1 55 -64 6
15 -24 2 65 – 74 7
25 – 34 3 75 – 84 8
35 – 44 4 85 – 94 9
45 – 54 5 95 – 100 10
107
A TUDOMÁNYOS – MÓDSZERTANI KÍSÉRLET EREDMÉNYEI
Az előzetes felmérő eredményei :
Jegy Tanulók száma
A osztály B osztály
10 3 1
9 3 2
8 3 2
7 4 7
6 1 6
5 1 3
4 – 1
3 – –
Tanulók összesen 15 22
Átlag 8,00 6,72
108
Az előzetes felmérő két osztályon belüli osztályzatainak százalékos eloszlásá t az
alábbi grafikonok mutatják:
B osztály
5% 9%
9%
31% 27% 14% 5% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3 A osztály
20%
20% 26% 7% 7% 0% 0% 20% 10
9
8
7
6
5
4
3
109
A két osztály, az A. osztály – kontroll csoport és B. osztály – kísérleti csoport jegyei
közötti megoszlás összehasonlításával a következő grafikai ábrázolást sikerült elérni:
Erről a grafikon ból a következő ket lehet leolvasni :
– a 8-10 pontozási tartományban a z A osztály jobb eredményeket ért el, mint a B osztály;
-a 7- 6 pontozási tartományban a B osztály ért el jobb eredményeket, mint a z A osztály;
– 5-ös osztályzata több tanulónak van a B osztályból, mint az A osztályból .
– a 3-4 pontozási tartományban (elégtelen képesítés e) csak B osztály tanulóinak van .
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 9 8 7 6 5 4 3 A osztály
B osztály
110
Összehaso nlítva a két osztály átlagát az előzetes felmérőt követően, a következő
grafikont kapjuk :
A osztály
B osztály
6 6,5 7 7,5 8 8,5
111
Az 1 formatív felmérő eredményei :
Jegy Tanulók száma
A osztály B osztály
10 4 2
9 3 2
8 4 4
7 2 6
6 2 3
5 0 5
4 0 0
3 0 0
Tanulók összesen 15 22
Átlag 8,33 7,09
112
Az 1 formatív felmérő két osztályon belüli osztályzatainak százalékos eloszlásá t az
alábbi grafikonok mutatják:
B osztály
9%
9%
18%
23% 27% 14% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3 A osztály
27%
20% 27% 13% 13% 0% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3
113
A két osztály, az A. osztály – kontroll csoport és B. osztály – kísérleti csoport jegyei közötti
megoszlás összehasonlításával a következő grafikai ábrázolást sikerült elérni:
Erről a grafikon ból a következő ket lehet leolvasni :
– a 8-10 pontozási tartományban a z A osztály ismét jobb eredményeket ért el, mint a B
osztály, hasonlóan az előzetes felmérő höz;
– a 6-os és a 7 -es osztályzatok eseté ben a B osztály eredményei jobbak, mint az A osztályé ;
– a 3-4 pontozási tartományban nem léteznek jegyek ( formatív felmérés esetén normális
helyzet).
0 1 2 3 4 5 6 7
10 9 8 7 6 5 4 3 A osztály
B osztály
114
Összehaso nlítva a két osztály átlagát az 1 formatív felmérőt követően, a következő
grafikont kapjuk :
A osztály
B osztály
6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6
115
A 2 formatív felmérő eredményei:
Jegy Tanulók száma
A osztály B osztály
10 3 3
9 5 4
8 2 3
7 5 6
6 0 6
5 0 0
4 0 0
3 0 0
Tanulók összesen 15 22
Átlag 8,40 7,63
116
A 2 formatív felmérő két osztályon belüli osztályzatainak százalékos eloszlásá t az
alábbi grafikonok mutatják:
B osztály
14%
18%
14% 27% 27% 0% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3 A osztály
20%
34% 13% 33% 0% 0% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3
117
A két osztály, az A. osztály – kontroll csoport és B. osztály – kísérleti csoport jegyei közötti
megoszlás összehasonlításával a következő gra fikai ábrázolást értem el :
Erről a grafikon ból a következő ket lehet leolvasni :
– a 8-10 pontozási tartományban a z A osztály következetesen jobban teljesít, mint a B osztály,
úgy ahogy a korábbi vizsgálatokban már kiderült ;
– a 6-7 pontozási tartományban a B osztály felülemelkedik az A osztály eredményein.
0 1 2 3 4 5 6 7
10 9 8 7 6 5 4 3 A osztály
B osztály
118
Összehaso nlítva a két osztály átlagát a 2 formatív felmérőt követően, a következő
grafikont kapjuk :
A osztály
B osztály
7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6
119
Az szummatív felmérő eredményei:
Jegy Tanulók száma
A osztály B osztály
10 5 5
9 6 4
8 2 7
7 2 5
6 0 1
5 0 0
4 0 0
3 0 0
Tanulók összesen 15 22
Átlag 8,93 8,31
120
Az szummatív felmérő két osztályon belüli osztályzatainak százalékos eloszlásá t az
alábbi grafikonok mutatják:
B osztály
23%
18%
31% 23% 5% 0% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3 A osztály
33%
41% 13% 13% 0% 0% 0% 0% 10
9
8
7
6
5
4
3
121
A két osztály, az A. osztály – kontroll csoport és B. osztály – kísérleti csoport jegyei
közötti megoszlás összehasonlításával a következő gra fikai ábrázolást értem el :
Erről a grafikon ból a következő ket lehet leolvasni :
– a 9-10 pontozási tartományban a z A osztály jobb eredmén yeket ért el, mint a B osztály ;
– a 8-as osztályzat esetén a B osztály egyre közelebb került az A osztályhoz és felfelé ívelő
osztályzataival sikerült leküzdenie azt ;
– a 6-7 pontozási tartományt a kísérleti csoport – a B osztály uralja.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 9 8 7 6 5 4 3 A osztály
B osztály
122
Összehaso nlítva a két osztály átlagát a szummatív felmérőt követően, a következő
grafikont kapjuk :
Összehaso nlítva a két osztály átlagát az előzetes felmérőt és a szummatív felmérőt
követően, a következő grafikont kapjuk :
Előzetes felmérő Szummatív felmérő A osztály A osztály
B osztály B osztály
6,5 7 7,5 8 8,5 9 A osztály
B osztály
8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9
123
A bemutatott eredmények alpján, megfigyelhető a kísérleti csoport – B osztály
közelítése a kontroll csoporthoz – A osztály hoz, egy tény, amely a dolgozatom fő célját
jelenti .
A két osztály fejlődése a kísérlet során:
A bemutatott grafikonról észrevehető:
– mindkét osz tálynak az első szakaszban, az előzetes felmérőtől az 1 fo rmatív
felmér őig, felfelé ívelő folyamata van. Ez természetes, mivel az 1 formatív felmérő nek
kevesebb információs tartalma van, mint az előzetes felmérőnek. Az előző fejezetekben
felmerült fogalmak némelyiké re még emlékezhetnek a tanulók ;
– mindkét osztály nak kissé lefelé ívelő haladása van a két fo rmatív felmérő között,
mivel a 2 formatív felmérő gazdag információs tartal ommal jár, miközben az egyes egyének
szellemi fejlődésére is összpontosít ;
– mindkét osztály folytatja felfelé ívelő haladás át a 2 formatív felmérő és a szummatív
felmérő között . Ez azzal magyarázható, hogy a formatív felmérők és a szummatív felmérő
között i időszakban a gyakorlati és elméleti alkalmazások t anulságaiból szerzett fogalmak
leülepedtek. Ezt támogat ta még az egyéni képzés és a házi feladat ok elvégzése .
6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5
Előzetes felmérő 1 formatív felmérő 2 formatív felmérő Szummatív felmérő A osztály
B osztály
124
5.4. Következmények
Életünk jelenlegi szakaszában , am ikor az ok tatás valódi reform korát éljük , döntő
tényező nek számít a tanítási -tanulási folyamat minősége minden iskola i tantárgy szintjén. A
minőség interaktív oktatást jelent, amely úgy véli, hogy a figyelem középpontjában a tanuló
áll, akinek saját képzési ügynökévé kell válnia ahhoz, hogy eg yedül képes legyen az új tudás
felépítésére .
Ebben a tekintetben az interaktí v módszerek (pl. problematizálás , irányított
felfedezéstanulás, kísérlet, ötlet börze stb.) és egyre változatosabb értékelési és önértékelési
módszerek játszanak különleges szerepet.
A módszertani kísérlet fő célja az volt, hogy kövesse az értékelés és az önértékelés
módjának nak hatását a javasolt témában (A térmértan tanítása különböző mó dszerekkel –
VIII. osztályban ), amely főként a kísérleti osztá ly szintjének emelését határozza meg .
A módszertani kísérletet követően az alábbi következtetéseket vontam le:
1. A tantervben szereplő tanulási egységek rendszerszintű elemzésére van szükség , a
referencia célok és a kiválasztott alrendszerek közötti összefüggések egyértelmű
meghatározásához, amelyek az adott tanulási egység témái .
2. Az előzetes felmérő megmutatja a kísérletben résztvevő kísérl eti osztály stádiumát .
3. Az egyes leckék művele tesített célkitűzéseire összpontosító formatív értékelés
lehetővé tette a feed -back nyomon követését és az egyes képzési sorozatok elérését.
4. A kísérleti osztálynál minden tanítási ó rán önértékelési teszt et alkalmaztam, amely
nyilvánvalóvá tette a tanulók és a tanárok számára egyaránt, hogy a javasolt célkitűzéseket
milyen súlyban érték el (a visszacsatolás t), és különösen, hogy milyen kiegészítésekre van
szükség , az asszimilált fogal mak "menet közbeni " felvázolásához.
5. A formatív és a szummat ív felmérők rávilágítottak a folyamatos értékelés
fontosságára a tanítási -tanulási folyamatban a matematika szintjén. E tekintetben
megfigyelhető, hogy a kísérleti osztály megközelítette a kontroll osztályt, amelyet a
módszertan i kísérlet eredményeinek feldol gozása során is megjegyeztem .
125
6. Megfigyeltem, hogy az előzetes felmérőtől a szummatív felmérő ig iskola i fejlődés
történt, amely még ha nem is különösebben nagy, de mégis létezik.
7. A tanulók érdeklődése a matematika iránt növekszi k, amikor ők maguk építenek új
ismereteket. Közvetlen megfigyelések, beszélgetések a tanulókkal, a felmérők három
kategóriájában elért eredmények bizonyították az elért haladást.
8. A tanuló k tapasztalati didaktika i módszerekkel va ló tanulása figyelemre méltó, az
önálló tevékenységek sajátosságaiba való beilleszkedés gyors és a tanuló k egyéni
tulajdon ságai által meghatároz ó.
9. A viszonylag sok alkalmazás elvégzése matematikai készségek és gyakorlati
készségek fejlesztéséhe z vezetett .
10. A módszerek alkalmazása nem lehet azonos minden osztályban, néha még
ugyanabban az osztályban is, a tanárnak igazítania kell a tanítási módszert az osztályközösség
sajátosságai által meghatározott feltételekhez, ezért a tanárnak nem választania, hanem
megtalálnia kell a módszert.
11. Az értékelési módszereket is a tanár választja ki az osztályközösség sajátosságai
szerint. Függetlenül a kiválasztott értékelési rendszer től, a tanulók végül olyan
“ismeretcsomagra” kell szert tegyenek, amely megfelel a tanterv által előírt általános
kompetenciáknak, amellyel bármikor működni tudnak és amely segítségével felismerik a
valódi értéküket, ami tükröződik a pontozásban .
126
Irodalomjegyzék
1. Fóris -Ferenczi Rita, Birta -Székely Noémi , Az oktatás pedagógiaelméleti alapjai , Ábel
kiadó 2007
2. Baranyai Tünde, Tempfli Gabriella , Kooperatív módszerek bevezetésének lehetőségei
matematika órákon , Csíkszereda, Státus kiadó 2010
3. Constantin Chirila, Bogdan Cristescu , A matematikatanárok folyamatos képzése a
tudásalapú társadalomban , ISJIasi 2012
4. Dr. Földes Zoltán , Csoportos foglalkozás típusok , 2006
5. Dr. Kadocsa László , Az atipikus oktatási módszerek , Kutatási zárótanulmány,
Budape st, 2006
6. Nicolescu Liviu , Vladimir Boskoff , Gyakorlati mértan feladatok , Ed. Tehnica 1990
Chiței A. Gheorghe , Geometria feladatok megoldásának módszerei, E.D.P. Bukarest
1969
7. Lupu Costică , Săvulescu Dumitru , A geometria tanításámak módszertana ,
Paralela 45, 2003
8. Banea Horia , A matematika tanításának módszertana, Paralela 45, 1998
9. .internet es weblap – www.didactic.ro
10. Popescu Olimpia, Radu Valeria , Hogyan oldunk meg egy feladatot , E.D.P. Bukarest
1983
11. Dăncilă Ioan , Geometriai szerkesztések körző és vonalzó segítségével , Sigma 2000
Dan Brânzei , Roxana Brânzei , A matematika tanítás módszertana, Paralela 45, 2005
12. Ion Drăgan, Ioan Nicola , A pszi chopedagógiai kutatás , Tipomur, 1995
13. I. Cerghit , Oktatási módszerek , E.D. P. 1976
14. J. Geofrez Rawlinson , Kreatív gondolkodás és brainstorming , Codecs, Bu karest
1998
15. H.S.M. Coxeter, A geometriák alapjai , Műszaki Kiadó, Budapest, 1973
16. Fitos László, Analóg tételek és feladatok a sík és térgeometriában , Tankönyvkiad ó,
Budapest, 198 4
17. Lénárd Ferenc, A problémamegoldó gondolkodás , Akadémiai Kiadó, Budapest, 1978
18. Pólya György, A gondolkodás iskolája , Typotex Kiadó, Budapest, 1994
127
MELLÉKLETEK
1 MELLÉKLET
VIII . osztály A tanuló neve ……………………….
ELŐZETES FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
I. A munkalapon csak az eredményeket tüntessétek fel!
1. A 2 cm oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszög magassága ………. cm.
2. A 3 cm oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza ………… cm.
3. Az 8 cm oldalhosszúságú ABCDEF szabál yos hatszögben az AC hossza … …. cm.
4. A 6 cm oldalhosszúságú ABC egyenlő oldalú háromszög köré írt kör
sugara … . cm.
5. Egy kocka éle 5 cm . A kocka összes éleinek összege ………. cm .
II. A munkalapra írjátok le a z egyetlen helyes válasz betűjét!
1. Az ABCD négyzet átlója AC= 80 dkm. A négyzet területe egyenlő
a) 20 ha b) 32 ha c) 320000 ár d) 16 √2 dkm2.
2. Legyen ABC ∆ egy A – ban derékszögű háromszög, BC = 20 cm és AB 60% -a a
BC-nek. Az ABC ∆ kerülete egyenlő
a) 32+4 √34 cm b) 39 cm c) 48 cm d) 46 cm.
3. Az ABCD téglalapban, AD = 3 m és m(<ACD)=300. Az AC hossza egyenlő
a) 600cm b) 1,2 dkm c) 15 dm d) 9 m.
4. Az ABCDEF szabályos hatszögben AD = 14 dm. A hatszög köré írt kör kerülete
egyenlő
a) 180𝜋 cm b) 28 𝜋 dm c) 140 𝜋 cm d) 20 𝜋 dm.
III. A munk alapon vezessétek le a feladat megoldásá t!
1. Legyen ABCD rombusz, AB = 6 cm , és 𝑚(𝐴∢)=60°. Számítsátok ki az AC átló
hosszát és a B pont távolságát a CD szakasztól.
2. Az ABC derékszögű háromszögben, 𝑚(𝐴∢)=90°,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈𝐵𝐶,𝐵𝐷 =
9𝑐𝑚 é𝑠 𝐵𝐶=25𝑐𝑚. Határozzátok meg a CD, AB, AC, AD szakaszok hosszát és
az ABC háromszög területét.
128
JAVÍTÓKULCS – ELŐZETES FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
Feladat
száma
Eredmények
Pontszám
Összesen
I.
1.
√3 5p 5p
2. 3√2 5p 5p
3.
4√3 5p 5p
4. 2√3 5p 5p
5. 60 5p 5p
Összesen I. 25p
II.
1. b 32 ha 10p 10p
2. c 48 cm 10p 10p
3. a 600 cm = 6 m 10p 10p
4. c 140 𝜋 cm =14 𝜋 dm 10p 10p
Összesen II. 40p
III.
1. Legyen 𝐴𝐶∩𝐵𝐷 ={𝑂}
𝐵𝐴𝑂 Δ derékszögű, 𝑚(𝐵𝐴𝑂 ∢)=30°,
cos(𝐵𝐴𝑂 ∢)=𝐴𝑂
𝐴𝐵⇒𝐴𝑂=3√3
𝐴𝐶=2𝐴𝑂⟺𝐴𝐶=6√3𝑐𝑚 1p
3p
5p
1p
10p
2. 𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷 ⇒𝐶𝐷=16𝑐𝑚
Alkalmazzuk a derékszögű háromszögben tanult metrikus
összefüggéseket:
A magasság tételéből ⇒𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐷𝐶⟺𝐴𝐷=12𝑐𝑚
A befogó tételéből ⇒𝐴𝐵2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶⟺𝐴𝐵=15𝑐𝑚
𝐴𝐶2=𝐶𝐷∙𝐵𝐶⟺𝐴𝐶=20𝑐𝑚
(alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét is az AC kiszámítására: 𝐴𝐶2=
𝐵𝐶2−𝐴𝐵2)
ℑ𝐴𝐵𝐶 Δ=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
2
ℑ𝐴𝐵𝐶 Δ=150 𝑐𝑚2.
1p
3p
3p
3p
3p
2p
15p
Összesen III. 25p
Hivatalból 10p
Összesen 100p
129
D C
B A B A C D 2 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 1 0 perc.
Önértékelő teszt – A téglatest
Legyen ABCDA’B’C’D’ téglatest, AB=6 cm , BC=8 cm , AA’=24 cm. Egészítsétek ki:
a) Az ABB’A’ oldallap kerülete …. cm.
b) Az ABCD területe ….. cm2.
c) A testátló hossza …. cm.
d) A téglatest összes éleinek az összege …. cm.
e) A DD’ és az (ABC) által alkotott szög mértéke … .
f) A téglatest oldalfelszíne ………. cm2 .
g) A téglatest térfogata ……. cm3.
130
3 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A kocka
Adott az ABCDA’B’C’D’ 6 cm élű kocka . Egészítsétek ki:
a) Az egyik lap kerülete …. cm.
b) Az alap területe ….. cm2.
c) A testátló hossza …. cm.
d) A kocka összes éleinek az összege …. cm.
e) Az AC és a (BDD’) által alkotott szög mértéke ….
f) Az (ABC) és (B’AD) síkok szögének mértéke .…
g) A kocka térfogata … cm3.
131
4 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos háromoldalú hasáb
Legyen ABCA’B’C’ egy szabályos háromoldalú hasáb, AB=6 cm és AA’= 8 cm.
Egészítsétek ki:
a) Az alap kerülete ….. cm.
b) Az alap területe ….. cm2.
c) Az egyik oldallap átlójának hossza …. cm.
d) Az AC és B’C’ egyenesek szöge ….0.
e) A hasáb oldalfelszíne …. cm2.
f) A hasáb teljes felszíne …. cm2 .
g) A hasáb térfogata …. cm3.
C
B A A’ C’
B’
132
D C
B A B A C D 5 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 1 0 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos négyoldalú hasáb
Adott az ABCDA’B’C’D’ szabályos négyoldalú hasáb , AB=9 cm , AA’=12 cm.
Egészítsétek ki:
a) Az egyik oldallap kerülete ….. cm.
b) Az egyik oldallap területe ….. cm.
c) Az AC’ testátlójának hossza …. cm.
d) A B’D egyenes és az (ABC) sík által alkotott szög szinusza …. .
e) A hasáb oldalfelszíne …. cm2.
f) A hasáb teljes felszíne …. cm2 .
g) A hasáb térfogata …. cm3.
133
F’ E’
D’
C’ B’ A’
B D
C E F
A 6 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 1 0 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos hatoldalú hasáb
Adott az ABCDEFA’B’C’D’E’F’ szabályos hatoldalú hasáb , AB=AA’=4cm. Egészítsétek ki:
a) Az alap kerülete ….. cm.
b) Az egyik oldallap területe ….. cm2.
c) Az oldalélek hosszának összege …. cm.
d) Az AC’ szakasz hossza …. cm.
e) A hasáb oldalfelszíne …. cm2.
f) A hasáb teljes felszíne …. cm2 .
g) A hasáb térfogata …. cm3.
134
7 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
1 FORMATÍV FELMÉRŐ
I. A munkalapon csak az eredményeket tüntessétek fel!
1. Egy kocka testátlója 4√6 cm. A kocka teljes felszíne ………. cm2.
2. Egy téglatest méretei 3 cm, 4 cm és 5 cm. A téglatest testátlója …… cm.
3. Az ABC DEF A’B’C’ D’E’F’ szabályos hatoldalú hasábban, AA’=6 cm és
AB= 6√3 cm. A hasáb térfogata …….. cm3.
4. Egy szabályos négyoldalú hasáb alapéle 10 cm és a magassága 10√2 cm. A
hasáb oldalfelszíne …… cm2.
5. Egy kocka teljes felszíne 96 cm2. A kocka egyik lapjának területe ………. cm2.
II. A munkalapon vezessétek le a feladat megoldását!
1. Egy ABCA ’B’C’ szabályos háromoldalú hasáb alapéle 4√3 cm és térfogata 48√3 cm3.
Számítsátok ki:
a) a hasáb magasságát;
b) a hasáb teljes felszínét ;
c) a C’pont távolságát az AB egyenestől ;
d) az (AC’B) és (ABC) síkok szögének a tangens ét.
2. Legyen ABCDEFGH egy 12 cm élű kocka. Számítsátok ki:
a) a B pont távolságát a AG egyenestől ;
b) a B pont távolságát a EG egyenestől ;
c) az AG egyenes és az (ADHE) sík által alkotott szög szinuszát .
3. Egy téglatest alapjának méretei 8 cm és 6 cm, a testátlójának hossza pedig 10√2 cm.
Számítsátok ki:
a) a téglatest magasságát ;
b) a téglatest térfogatát ;
c) a B pont távolságát az A’C’ egyenestől.
135
JAVÍTÓKULCS – 1 FORMATÍV FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
Feladat
száma
Eredmények
Pontszám
Összesen
I.
1.
192 5p 5p
2. 5√2 5p 5p
3.
972 √3 5p 5p
4. 400 √2 5p 5p
5. 16 5p 5p
Összesen I. 25p
II.
1. a) Helyes rajz
𝒱=𝒯𝑎⋅ℎ
48√3=(4√3)2√3
4⋅ℎ
ℎ=4 𝑐𝑚 5p
1p
2p
2p 10p
b) ℱ𝑡=2⋅𝒯𝑎+ℱ𝑜
ℱ𝑡=24√3+48√3
ℱ𝑡=72√3 cm2 1p
2p
2p 5p
c) D( C’, AB) = C’M – a három merőleges tételének alkalmazása
C’M = 2√13 cm 2p
3p
5p
d) tg((AC’B), (ABC) )∢=tg ( C’MC) ∢=4
6 5p 5p
2. a)
Helyes rajz
d(B, AG)= BO
BO= 6√3 cm 5p
2p
3p 10p
b) d(B, EG)= BM
BM= 6√6 cm 2p
3p 5p
c) sin (AG,(ADHE ))∢=𝑠𝑖𝑛(HAG )∢=√3
3 5p 5p
3. a)
Helyes rajz
𝑑2=𝑎2+𝑏2+𝑐2
𝑐= 10 𝑐𝑚 5p
2p
3p
10p
b) 𝒱=𝑎⋅𝑏⋅𝑐
𝒱=480 𝑐𝑚3 2p
3p 5p
c) d (B, A’C’)=BO ’ 2p
3p 5p
136
BO’= 5√5 cm.
Összesen I I. 65p
Hivatalból 10p
Összesen 100p
137
8 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Önértékelő teszt – A szabályos háromoldalú gúla
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc
Legyen VABC szabályos háromoldalú gúla .
a) Ha AO= 6 cm és VO= 8 cm, akkor számítsátok ki a
OM, AM, AB, VM, VA szakaszok hosszát , valamint
a gúla alapjának kerületét és területét.
b) Ha VA = 12 cm és az egyik oldallap kerülete 30 cm, akkor számítsátok ki az AB, VM,
OM, VO, OA szakaszok hosszát valamint a gúla egyik oldalapjának kerületét és
területét.
138
9 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos négyoldalú gúla
Az VABCD szabályos négyoldalú gúla alpéle 6
cm és magassága 4 cm.
Számítsátok ki:
a) a gúla apotémáját ;
b) az A pont távolságát a VB egyenestől ;
c) az O pont távolságát a (VBC) síktól;
d) a VA és VC egyenesek szögének a
szinuszát
e) a gúla oldalfelszínét ;
f) a gúla teljes felszínét ;
g) a gúla térfogatát .
139
10 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos hatoldalú gúla
Legyen VABCDEF szabályos hatoldalú gúla , amelyben AB= 4
3 cm és VO=8 cm.
Számítsátok ki:
a) az OA, OM, VM,VA, BF szakaszok hosszát ;
b) az alap kerületét és területét ;
c) az egyik oldallap kerületét és
területét ;
d) a VAD háromszög kerületét és
területét ;
e) a gúla oldalfelszínét;
f) a gúla teljes felszínét;
g) a gúla térfogatát.
B M O
C A F E
D V
140
11 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
2 FORMATÍV FELMÉRŐ
I. A munkalapon csak az eredményeke t tüntessétek fel!
1. Egy szabályos négyoldalú gúla összes éleinek a száma ….. .
2. Annak a gúlának a térfogata, amelynek alapterülete 12 cm2 és magassága 3 cm,
egyenlő ….. cm3.
3. Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 4 cm és apotémája 5 cm, a gúla teljes felszíne
…. cm2.
4. Egy szabályos hatoldalú gúla alapja köré írt kör sugara 2 cm, a gúla apotémája 3 cm.
A gúla oldalfelszíne …. cm2.
5. A szabályos négyoldalú gúla átlós metszete ………………………. .
II. A munkalapon vezessétek le a feladat megoldását!
1. Legyen VABC szabályos háromoldalú gúla , amelynek alapéle 12 cm és apotémája
4√3 cm. Számítsátok ki:
a) a magasság hosszát ;
b) a gúla teljes felszínét ;
c) a gúla térfogatát ;
d) az A pont távolságát a (VBC) síktól.
2. Adott a VABCDEF szabályos hatoldalú gúla , amelynek alapéle 4 cm és oldaléle 3√3
cm. Számítsátok ki a gúla térfogatát.
3. Egy szabályos négyoldalú gúlában az egyik oldallap területe egyenlő az alap
területével. Tudva azt, hogy az alap éle 4 cm, határozzátok meg:
a) a gúla teljes felszínét és térfogatát;
b) az alap középpontjának az egyik oldallaptól mért távolságát ;
c) az egyik oldallap nak az alappal alkotott szögének a koszinuszát;
d) a gúla átlós metszetének a területét.
141
JAVÍTÓKULCS – 2 FORMATÍV FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
Feladat
száma
Eredmények
Pontszám
Összesen
I.
1.
8 5p 5p
2. 12 5p 5p
3. 30+4√3 5p 5p
4. 18 5p 5p
5. Egyenlő szárú háromszög 5p 5p
Összesen I. 25p
II.
1. a) Helyes rajz
𝑎=2√3
𝑎𝑝2=ℎ2+𝑎2
ℎ=6 𝑐𝑚
5p
2p
3p 10p
b) ℱ𝑡=𝒯𝑎+ℱ𝑜
ℱ𝑡=38√3+72√3
ℱ𝑡=110 √3 cm2 1p
2p
2p 5p
c) 𝒱=𝒯𝑎⋅ℎ
3
𝒱=72√3 𝑐𝑚3
2p
3p
5p
d) d (A, (VBC))= AM
𝒯𝑉𝐴𝐵 =ℎ⋅𝐴𝐴′
2=𝐴𝑀 ⋅𝑎𝑝
2
AM= 9 cm 1p
3p
2p 5p
2.
Helyes rajz
𝒱=𝒯𝑎⋅ℎ
3
ℎ=√11 𝑐𝑚
𝒱=8√33 𝑐𝑚3
5p
1p
2p
2p 10p
3. a)
Helyes rajz
ℱ𝑡=𝒯𝑎+ℱ𝑜 𝒱=𝒯𝑎⋅ℎ
3
𝑎𝑝=8 𝑐𝑚
ℱ𝑡=80 𝑐𝑚2 5p
2p
2p 15p
142
ℎ=2√15,𝒱=32√15
3𝑐𝑚3 3p
3p
b) 𝑑(𝑂,(𝑉𝐵𝐶 ))=𝑂𝑃
𝑂𝑃=2√15
15𝑐𝑚 2p
3p 5p
c) cos((𝑉𝐵𝐶 ),(𝐴𝐵𝐶 )∢)=cos (OMV ∢)
cos(OMV ∢)=1
4 2p
3p 5p
d) 𝒯𝑉𝐴𝐶 az átlós metszet
𝒯𝑉𝐴𝐶= 4√30 𝑐𝑚2
2p
3p 5p
Összesen II. 65p
Hivatalból 10p
Összesen 100p
143
12 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos háromoldalú csonka gúla
Az ABCA ’B’C’ szabályos háromoldalú csonka gúlában, adott:
Egészítsétek ki:
a) a csonka gúla nagy alapjának területe ……… cm2;
b) a csonka gúla kis alapjának apotémája …….. cm ;
c) a csonka gúla apotémája ……. cm ;
d) a csonka gúla oldaléle …… cm;
e) a csonka gúla teljes felszín e …. cm2;
f) a BCC’B’ trapéz területe …. cm2 és kerülete …. cm.
144
13 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Hivatalból 30 pont jár!
Munkaidő 10 perc.
Önértékelő teszt – A szabályos négyoldalú csonka gúla
Az ABCDA’B’C’D’ szabályos négyoldalú
csonka gúla alapélei AB = 30 cm
és AB = 6 cm .
Egészítsétek ki:
a) a csonka gúla apotémája …… cm ;
b) csonka gúla oldaléle …… cm ;
c) az A pont távolsága az EE egyenestől ;
d) a csonka gúla magassága …. cm ;
e) az egyik oldallap területe …. cm2;
f) a csonka gúla oldalfelszín e …. cm2;
g) a csonka gúla térfogat a …. cm3.
145
14 MELLÉKLET
VIII. osztály A tanuló neve ……………………….
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
SZUMMATÍV FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
I. A munkalapon csak az eredményeket tüntessétek fel!
1. Egy téglatest méretei L=3 cm, l=2 cm és h=6 cm , a téglatest testátlója ……….. cm.
2. Az ABCDA’B’C’D’ kocka teljes felszíne
144 cm2. A kocka térfogata ….cm3.
3. Egy ABCDA’B’C’D’ szabályos négyoldalú hasáb magassága 3√6 cm. Ha a
hasáb oldalfelszíne 108 √2𝑐𝑚2 , akkor az egyik oldallap kerülete .. … cm.
4. A VABCD szabályos négyoldalú gúla alapéle 2√3 cm és a magassága √6 cm.
Az AD és VB egyenesek szögének mértéke ……… 0.
5. Az ABCDEF szabályos háromoldalú hasáb alapéle 10 c m és az oldaléle 5 cm. A
hasáb oldalfelszíne …… cm2.
II. A munkalapra írjátok le az egyetlen helyes válasz betűjét!
1. Az ABCDA`B`C`D` téglatest alakú akvárium méretei AB= 8m , BC = 6 m és
AA`= 10 m . Ha az akváriumot színültig megtöltjük vízzel, akkor ez a
vízmennyiség:
b) 480 l b) 4,8 l c) 48 000 l d) 0,048 l
2. A VABC szabályos háromoldalú gúla magassága VO = 3 cm és alapéle 𝐴𝐵=
8√3 𝑐𝑚. A gúla oldalfelszíne egyenlő :
b) 108 √3𝑐𝑚2 b) 60√3𝑐𝑚2 c) 48 𝑐𝑚2 d) 144 𝑐𝑚2
3. Az ABCDA`B`C`D` szabályos négyoldalú hasáb magassága 10 cm és az egyik
oldallap átlója 2 6 𝑐𝑚. A hasáb teljes felszíne egyenlő :
b) 960 𝑐𝑚2 b) 2211 𝑐𝑚2 c) 1152 𝑐𝑚2 d) 2112 𝑐𝑚2
4. Egy szabályos hat oldalú gúla alapéle 6 cm és magassága 3 cm. A gúla térfogata:
e) 54√3 𝑐𝑚3 b) 162 √3 𝑐𝑚3 c) 81√3 𝑐𝑚3 d) 9√3 𝑐𝑚3.
146
III. A munkalapon vezessétek le a feladat megoldását!
1. Az ABCA`B`C` szabályos háromoldalú hasáb alapéle 12 cm és oldalfelszíne
216 cm2.
a) mutassátok ki, hogy A A`= 6 cm ;
b) számítsátok ki a hasáb teljes felszínét és térfogatát ;
c) írjátok fel az AB’és CC’egyenesek szögének a szinuszát .
2. Az ábrán látható ABCDA`B`C`D` szabályos négyoldalú csonak gúla nagyalapja
AB= 30 cm, kisalapja A`B` = 6 cm és a csonka gúla apotémája EE ` a nagyalap O
középpontjával derékszögű háromszöget alkot.
Számítsátok ki:
a) a csonka gúla magasságát ;
b) ha a csonka gúla magassága 6 cm, akkor számítsátok ki a csonka gúla
térfogatát ;
c) annak a gúlának az apotémáját, amelyből a csonka gúla származik .
147
JAVÍTÓKULCS – SZUMMATÍV FELMÉRŐ
Minden tétel kötelező, munkaidő 50 perc.
Hivatalból 10 pont jár!
Feladat
száma
Eredmények
Pontszám
Összesen
I.
1. 7 5p 5p
2. 48√6 5p 5p
3. 6√3+6√6 5p 5p
4. 60° 5p 5p
5. 150 5p 5p
Összesen I. 25p
II.
1. c)48000 dm3= 48000 l 5p
5p
2. b) 60√3𝑐𝑚2 5p
5p
3. d) 2112 𝑐𝑚2 5p
5p
4. 𝑎)54√3 𝑐𝑚3 5p
5p
Összesen II. 20p
III.
1. a)
Helyes rajz
ℱ𝑜=𝒦𝑎⋅ AA`
AA`=6 𝑐𝑚 2p
3p
5p
b) ℱ𝑡=𝒯𝑎+ℱ𝑜 𝒱=𝒯𝑎⋅ℎ
3
𝒯𝑎=𝑙2√3
4 𝒯𝑎=36√3𝑐𝑚2
ℱ𝑡= 216 +36√3𝑐𝑚2
𝒱= 72√3𝑐𝑚3 2p
2p
3p
3p 10p
c) sin((𝐴𝐵′,𝐶𝐶′)∢)=sin(𝐴𝐵′𝐵∢)
sin(𝐴𝐵′𝐵∢)=2√5
5 2p
3p 5p
2. a)
OEE′Δ, m(E′∢)=90°
𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑎𝑠 á𝑔 𝑡é𝑡𝑒𝑙𝑒 E′𝑁2=𝑂𝑁 ⋅𝑁𝐸
ℎ=E′𝑁=6𝑐𝑚
2p
3p
5p
b) 𝒱=ℎ
3⋅(𝒯𝐴+𝒯𝑎+√𝒯𝐴⋅𝒯𝑎)
𝒯𝐴=900 𝑐𝑚2
𝒯𝑎=36𝑐𝑚2 1p
3p
3p
10p
148
𝒱=2232 𝑐𝑚3 3p
c) 𝑉𝑂𝐸 Δ∼𝑉𝑂′E′Δ
𝑂′E′
𝑂𝐸=𝐻−ℎ
𝐻=𝑎𝑝−𝑎𝑡
𝑎𝑝
𝑎𝑡=6√5 𝑐𝑚
𝑎𝑝= 15√5
2𝑐𝑚 1p
3p
3p
3p 10p
Összesen I II. 45p
Hivatalból 10p
Összesen 100p
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific: Candidat: Lector dr. MEZEI ILDIKÓ, LAPOHOS G. (căs…. [617187] (ID: 617187)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.