LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I [306405]
[anonimizat] I
ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. [anonimizat]: [anonimizat]. IACOB (STEMATE) ANA-MARIA
ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1
[anonimizat]
2020
UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
METODICA REZOLVĂRII PROBLEMELOR DE GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
ÎNDRUMĂTOR
PROF. UNIV. DR. [anonimizat]: [anonimizat]. IACOB (STEMATE) ANA-MARIA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.1
[anonimizat]
2020
Introducere
„Matematica este un mod de exprimare a [anonimizat] a înfățișa o [anonimizat].” – Gheorghe Țițeica.
[anonimizat], [anonimizat], și în același timp să se dezvolte facultățile psihice ale elevilor. Geometria, [anonimizat], complexă și dialectică a elevilor, capacitatea de a [anonimizat] a [anonimizat] a schematiza realitatea. [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat]. Astfel, [anonimizat].
În contextul unor schimbări continue a [anonimizat] a gândirii logice a elevilor. Fiecare lecție necesită o [anonimizat] a stabili nivelul de cunoștințe și deprinderi ale elevului. [anonimizat] a ideilor, [anonimizat], dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și înclinația spre precizie și obiectivitate.
[anonimizat]. Se face apoi o abstractizare a [anonimizat]. [anonimizat]. Treptat se urmărește ca elevii să se desprindă de contactul cu realitatea obiectivă și să poată studia figuri geometrice fără ca ele să fie legate de exemple concrete. Acumularea sistematică a cunoștințelor, [anonimizat], demonstrațiilor, [anonimizat], toate necesită o măiestri didactică din partea dascălului. De aceea, o aplicare adecvată a [anonimizat], [anonimizat].
[anonimizat] a gândirii elevilor. Alegerea acestei teme este motivată de importanța deosebită pe care geometria o are în cadrul matematicii. În urma activității la clasă am avut posibilitatea să observ că unii elevi întâmpină greutăți în studiul geometriei, care îi solicită mai mult decât o fac celelalte ramuri ale matematicii. Am constatat că trebuie să se țină seama de etapele dezvoltării psihopedagogice ale copilului în toate formele de predare și că trebuie trezit interesul acestuia pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite. Scopul principal al procesului didactic rămâne acela de a-l învăța pe elev „să învețe”. Pentru aceasta trebuie aplicat un stil de lucru activ formativ, metodele și procedeele didactice alese având un rol esențial.
Alegerea temei a stat la baza răspunsului la întrebarea continuă: ”Ce metode putem folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor privind predarea-învățarea geometriei triunghiului?”.
Descrierea lucrării
Primul capitol al lucrării prezintă rezultate generale privind geometria triunghiului, începând cu definirea triunghiului, elementele acestuia, clasificarea, congruența, asemănarea triunghiurilor, precum și linii importante în triunghi. Introducerea noțiunilor este tratată atât la nivel de gimnaziu cât și la nivel de liceu. În capitolul al doilea sunt enunțate și demonstrate teoreme remarcabile privind geometria triunghiului. Capitolul al treilea conține considerații metodice, pedagogice și psihologice privind predarea geometriei triunghiului. Sunt descrise metode generale și specifice de rezolvare a problemelor de geometrie urmărind o clasificare a acestora: probleme de concurență, probleme de coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii, probleme de maxim și minim, probleme pentru concursuri școlare. La finalul capitolului sunt atașate două proiecte didactice:”Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lor.” și “Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare”. Ultimul capitol al lucrării descrie metode de rezolvare a unor probleme cu caracter aplicativ : determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile, determinarea distanței dintre două puncte vizibile, inaccesibile, determinarea distanței dintre două puncte accesibile, dar despărțite printr-un obstacol, determinarea înălțimilor cu baza accesibilă, aplicații practice ale trigonometriei, triangulația, aplicații practice ale geometriei prin mijloace digitale.
Capitolul I . Rezultate generale privind geometria triunghiului
I.1. Definirea triunghiului. Elemente de bază ale unui triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [3].
Definiție. Se numește mulțime convexă o mulțime M de puncte, care are următoarea proprietate: dacă P și Q sunt puncte distincte oarecare ale mulțimii M, atunci M conține toate punctele segmentului (PQ): P,Q M (PQ) M.
Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur punct se consideră convexe. O mulțime formată din două puncte nu este convexă.
P Q P Q
Fig. I.1 Mulțime convexă Fig. I.2 Mulțime care nu este convexă
Exemple de mulțimi convexe: planele, semiplanele, dreptele, semidreptele, segmentele. Intersecția a două mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Definiție. O linie poligonală este o mulțime de forma L=[P1P2][P2P3]PnPn+1]. Punctele P1,P2,P3,….,Pn+1 se numesc vârfurile liniei, iar segmentele [P1P2], [P2P3], …[ PnPn+1] se numesc laturile ei. Linia poligonală se numește închisă dacă P1=Pn+1 și simplu închisă dacă în plus oricare două laturi nevecine nu au punct comun și două laturi vecine au suporturi diferite. O linie poligonală simplu închisă se numește poligon.
Definiție. Un poligon cu trei laturi se numește triunghi.
Interiorul unui poligon convex reprezintă intersecția semiplanelor deschise limitate de suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective. Reuniunea dintre un poligon convex P1P2P3,….,Pn și interiorul său se numește suprafață poligonală convexă și se notează cu [P1P2P3,….,Pn]. În cazul triunghiului ABC, mulțimea [ABC] se numește suprafață triunghiulară.
A
intABC
B C
Fig.I.3 Suprafață triunghiulară
La nivelul cunoștințelor de clasa a VI-a, triunghiul este definit astfel:
Definiție. Fie A,B,C trei puncte necoliniare. Figura geometrică obținută prin reuniunea [AB][BC][CA] se numește triunghi.
A
B Fig.I.4 C
În ABC : [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului; A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
I.2. Clasificarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [7].
Clasificarea triunghiurilor se poate face după măsurile unghiurilor sau comparând măsurile laturilor astfel:
În funcție de măsurile unghiurilor, triunghiurile se clasifică astfel:
Triunghi ascuțitunghic – triunghiul care are toate unghiurile ascuțite,
Triunghi dreptunghic – triunghiul cu un unghi drept,
Triunghi obtuzunghic – triunghiul cu un unghi obtuz.
Comparând lungimile laturilor, triunghiurile se clasifică astfel:
Triunghi oarecare (scalen) – triunghi cu lungimile laturilor diferite,
Triunghi isoscel – triunghi cu două laturi congruente,
Triunghi echilateral – triunghi cu toate laturile congruente.
Fig. I.5 Clasificarea triunghiurilor
I.3. Congruența triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [3].
Definiție. Fie ∆ABC și ∆A′B′C′ două triunghiuri. Dacă (AB)(A′B′), (AC)(A′C′), (BC)(B′C′), AA′, ∢B ≡∢B′, CC′, atunci spunem că există o congruență între triunghiurile ∆ABC și ∆A′B′C′ și scriem ∆ABC ∆A′B′C′.
Axioma de congruență L.U.L Fie ∆ABC și ∆A′B′C′ două triunghiuri (Fig. I.5). Dacă (AB)(A′B′), (AC)(A′C′) și AA′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
Fig. I.6 Triunghiuri congruente(L.U.L)
Teorema de congruență U.L.U Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A′B′C′ au (AB)(A′B′), AA′, ∢B ≡∢B′ atunci ∆ABC ∆A′B′C′. P
C C′
A B A′ B′
Fig. I.7 Triunghiuri congruente(U.L.U)
Demonstrație. Fie punctul P(A′C′ astfel încât (AC)(A′P). Conform axiomei L.U.L rezultă ∆ABC ∆A′B′P. Cum ∢B ≡∢A′B′P, ∢B ≡∢A′B′C′ și P, C′ sunt de aceeași parte a lui A′B′ rezultă că [B′C′ și [B′P coincid, iar C′=P. Prin urmare ∆ABC ∆A′B′C′.
Teorema de congruență L.L.L Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A′B′C′ au (AB)(A′B′), (AC)(A′C′), (BC)(B′C′), atunci ∆ABC ∆A′B′C′.
I.4. Asemănarea triunghiurilor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [7].
Definiție. Fie triunghiurile ABC și A′B′C′. Dacă
spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A′B′C′ și scriem ∆ABC∆A′B′C′.
Notația ∆ABC∆A′B′C′ stabilește ordinea vârfurilor. În acest caz, perechile de vârfuri (A, A′), (B, B′), (C, C′) și perechile de laturi ((BC), (B′C′)), ((AC),(A′C′)), ((AB), (A′B′)) se numesc corespondente sau omoloage.
Definiție. Raportul lungimilor a două laturi corespondente se numește raportul de asemănare al celor două triunghiuri.
Observație. Două triunghiuri congruente sunt asemenea, raportul de asemănare fiind egal cu 1.
Teorema 1. (Teorema fundamentală a asemănării) Fie ∆ ABC și DEBC, AD, DAB, EAC. Atunci ∆ADE∆ABC.
Demonstrație. În funcție de poziția punctelor A, B și D există trei situații posibile: D(AB), B(AD) și A(BD). Demonstrăm în cele ce urmează primul caz, D(AB), celelalte două demonstrându-se în mod analog.
Fig. I.8
Deoarece DEBC rezultă (unghiuri corespondente), (unghiuri corespondente), Din teorema lui Thales rezultă că . Construim EFAB, FBC. Atunci . Deoarece BDEF este paralelogram rezultă (DE)(BF) și . Așadar . Conform definiției rezultă ∆ADE∆ABC.
Pe baza teoremei 1 se pot demonstra teoremele asemănării, numite și cazuri de asemănare, care stabilesc condițiile necesare și suficiente pentru ca două triunghiuri să fie asemenea.
Fie triunghiurile ∆ABC și ∆A′B′C′:
Teorema 2. Dacă , atunci ∆ABC∆A′B′C′.
Teorema 3. Dacă , atunci ∆ABC∆A′B′C′.
Teorema 4. Dacă , atunci ∆ABC∆A′B′C′.
Demonstrație. Fie D(AB astfel încât (A′B′) (AD) și DEBC, E(AC, ∆ADE∆ABC conform teoremei fundamentale a asemănării. Demonstrăm că ∆ADE∆A′B′C′ și deci ∆ABC∆A′B′C′.
Fig. I.9
T2) (din ipoteză), (din construcție și din ipoteză), (din construcție). Deci ∆ADE∆A′B′C′.
T3) , (din ipoteză), (din ∆ADE∆ABC), (din construcție) rezultă , deci (A′C′) (AE), deoarece și (AD) (A′B′) rezultă că ∆ADE∆A′B′C′.
T4) (din ipoteză). Cum ∆ADE∆ABC rezultă și cum (A′B′) (AD), rezultă că . În concluzie A′C′=AE și B′C′=DE. De aici rezultă că ∆ADE∆A′B′C′.
I.5. Linii importante în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [7].
I.5.1 Mediana
Definiție. Segmentul care are ca extremități un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse se numește mediană.
Fig. I.10 Mediana unui triunghi
Din D(BC) și (DB) (DC) rezultă că (AD) este mediana corespunzătoare laturii (BC).Punctul D se numește piciorul medianei.
Observație. Orice triunghi are trei mediane.
Teoremă. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct G, numit centrul de greutate al triunghiului. Punctul de intersecție determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment al cărui lungime este ½ din lungimea segmentului pe care îl determină cu vârful opus laturii.
Demonstrație. Fie ∆ABC, D și E mijloacele laturilor (BC), respectiv (AC). Deoarece în triunghiul BAD, (BE), A, D, rezultă că (BE și (AD au un punct comun G.
Fig. I.11 Intersecția medianelor într-un triunghi
Deoarece (AD)) rezultă că {G}=(AD)(BE). Fie M, N mijloacele segmentelor (AG), respectiv (BG). (MN) este linie mijlocie în ∆ABG deci MNAB și MN=AB. În ∆ABC, (DE) este linie mijlocie, deci DEAB și DE=AB. Rezultă că (DE) (MN) și DEMN, deci MNDE este paralelogram. Așadar GD=MG=AM=AD. Fie F mijlocul laturii (AB) și {G′}=(FC)(AD). În mod analog demonstrăm că DG′=AD. Deoarece G și G′ aparțin segmentului (DA), din teorema de construcție a unui segment rezultă că G=G′.
I.5.2 Bisectoarea
Definiție. Bisectoarea unui unghi dintr-un triunghi se numește bisectoare interioară a unghiului dat.
Teoremă. Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal depărtate de laturile unghiului, reunit cu vârful unghiului.
Din D(BC) și BADCAD rezultă că (AD) este bisectoarea corespunzătoare unghiului A al triunghiului ∆ABC. Punctul D se numește piciorul bisectoarei.
Observație. Orice triunghi are trei bisectoare.
Teoremă. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct I, numit centrul cercului înscris în triunghiul dat.
Demonstrație. Conform teoremei transversalei rezultă că bisectoarele unghiurilor A și B intersectează laturile (BC) și (AC) în câte un punct D, respectiv E.
Din aceeași teoremă rezultă că există un punct I, {I}=(AD)(BE). Deci I). Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezultă d(I,BC)=d(I,AB), d(I,AB)=d(I,AC) și deci d(I,BC)=d(I,AC) și pentru că I) rezultă că (CI este bisectoarea unghiului C.
Fig. I.12 Intersecția bisectoarelor într-un triunghi
I.5.3 Mediatoarea
Definiție. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului.
Teoremă. a) Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.
b) Orice punct egal depărtat de capetele unui segment aparține mediatoarei segmentului.
În concluzie, mediatoarea unui segment este locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de capetele segmentului.
Definiție. Mediatoarea unei laturi a unui triunghi se numește mediatoare a triunghiului dat.
Observație. Orice triunghi are trei mediatoare.
Teoremă. În orice triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente într-un punct O, numit centrul cercului circumscris triunghiului.
Demonstrație. Demonstrăm mai întâi concurența a două mediatoare. Fie ∆ABC, d1 și d2 mediatoarele segmentelor (AB) respectiv (BC). Presupunând că d1 și d2 nu sunt concurente, rezultă d1d2. Pentru că d2BC rezultă că și d1BC. Dar d1BA. Deci prin B trec două perpendiculare distincte pe dreapta d1, ceea ce nu este posibil. Deci d1 și d2 sunt concurente. Fie d1d2={O}.
Prin proprietatea punctelor mediatoarei rezultă că (OA)(OB)(OC) ceea ce înseamnă că O aparține mediatoarei segmentului (AC).
Fig. I.13 Intersecția mediatoarelor într-un triunghi
I.5.4 Înălțimea
Definiție. Perpendiculara prin vârful unui triunghi pe dreapta determinată de latura opusă se numește înălțime.
Fie ∆ABC. Din D(BC) și ADBC rezultă că (AD) este înălțimea triunghiului ABC corespunzătoare laturii (BC).
Fig. I.14 Înălțimea într-un triunghi
Observație. Orice triunghi are trei înălțimi.
Teoremă. Înălțimile unui triunghi sunt concurente într-un punct H, numit ortocentrul triunghiului.
Demonstrație. Fie ∆ABC și A′, B′, C′ picioarele perpendicularelor din A, B, C, respectiv pe BC, AC, AB și ∆DEF triunghiul format de paralelele duse la laturile triunghiului ABC prin vârfurile acestuia.
Din construcție, ABCF și BCAD sunt paralelograme deci (BC)(AF)(AD). Pentru că BCDF și AA′BC rezultă că AA′DF. Deci AA′ este mediatoarea segmentului (DF). În mod analog se arată că BB′ și CC′ sunt mediatoarele segmentelor (DE) și (EF). Prin urmare, înălțimile triunghiului ABC sunt mediatoarele laturilor triunghiului DEF și deci rezultă, din teorema de concurență a mediatoarelor, că sunt concurente.
Fig. I.15 Intersecția înălțimilor într-un triunghi
I.6. Coliniaritate, concurență și paralelism în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [13].
Teoremă. Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc, numit cercul lui Euler.
Demonstrație.
Fig. I.16 Cercul lui Euler
Considerăm triunghiul ABC ascuțitunghic. Fie A′, B′, C′ mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] și fie A1= prBCA, B1= prACB, C1= prBAC.
BCA1A ABCA1 este trapez
[AB] este linie mijlocie în triunghiul ABC AB= AB
În triunghiul dreptunghic AA1B, A1 este mediană A1C= AB A1C= ABABCA1 este trapez isoscel A1 aparține cercului determinat de A,B,C.
Analog se demonstrează că punctele B1 și C1 aparțin aceluiași cerc.
Fie A1 mijlocul segmentului [AH].
[CA1] este linie mijlocie în triunghiul ABH CA1 BH, BH⊥AC și AC AC CA1⊥ A′C A′1 C′A′Bv este patrulater inscriptibil A′1 aparține cercului determinat de A′,B′,C′.
Analog arătăm că mijloacele segmentelor [BH] și [CH], punctele B′1 și C′1 aparțin cercului determinat de A′,B′,C′.
Observație. [A1A], [B1B], [C1C] sunt diametre în cercul lui Euler, deci dreptele A1A, B1B și C1C sunt concurente.
Teoremă. Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Demonstrație.
Fig. I.17 Dreapta lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Fie A=prBCM, B=prACM, C=prABM.
ABMC, MBAC, ABCM sunt patrulatere inscriptibile.
m(∢ABC)= m(∢AMC)= 900- m(∢A′CM)= 900- m(∢C′AM)= m(∢C'MA)= m(∢C'B'A)⇒ ∢C'B'A∢A'B'C ⇒ A', B', C′ sunt situate pe aceeași dreaptă (dreapta lui Simson).
Teoremă. În orice triunghi ABC ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului sunt situate pe aceeași dreaptă (dreapta lui Euler).
Demonstrație.
Fig. I.18 Dreapta lui Euler (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Capitolul II. Teoreme remarcabile privind geometria triunghiului
II.1 Egalități și inegalități geometrice
În acest paragraf am preluat cu mici modificări din lucrarea [3].
Teorema 1 (Teorema lui Thales) O paralelă la una din laturile unui triunghi determină, pe celelalte laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale.
Demonstrație. Fie un triunghi ABC și o dreaptă s, paralelă cu BC , astfel încât As. Notăm s∩AB={D} și s∩AC={E}. Demonstrăm că .
Cazul I. D (AB) și E (AC).
Fie =, unde m, n . Rezultă , adică (AD, AB) și (m,n) sunt proporționale, cu k>0 coeficientul de proporționalitate. Deci AD=k·m și AB=k·n. Fie punctele M1, M2, M3,…, Mn-1 pe (AB), astfel încât segmentele formate să fie congruente și AM1=k, AM2=2k, …, AMn-1=(n-1)k, AB=nk. Deoarece AD= k·m rezultă că D=Mm.
Prin punctele Mi, i= se duc paralele la BC care intersectează (AC) în punctele Ni, i=. Deoarece DE este una dintre aceste paralele, E=Nm. Atunci (AN1) (N1N2)… (Nn-1C). Atunci AE=mAN1 și AC=nAN1 deci
și .
Cazul II. B (AD) și C (AE).
Aplicăm rezultatul de la cazul I pentru triunghiul ADE și dreapta BC.
Fig. II.2 Teorema lui Thales
Cazul III. A (BD) și A (CE). Fie segmentele (AM) și (AN), (AM)⊂(AB), (AN)⊂(AC), astfel încât EMND este paralelogram și MN ⃦ ED ⃦ BC. Aplicând cazul I triunghiului ABC și dreptei MN obținem proporția cerută.
Teorema 2 (Teorema bisectoarei) Fie triunghiul ABC și D (BC). AD este bisectoarea unghiului ∢BAC dacă și numai dacă .
Demonstrație. „” Arătăm că dacă [AD este bisectoarea unghiului ∢BAC, atunci .
Construim prin C paralela la AD care intersectează AB în E (fig. II.4). Aplicând teorema lui Thales rezultă că .
Cum unghiurile ∢AEC și ∢BAD sunt unghiuri corespondente congruente, rezultă că triunghiul ACE este isoscel, deci (AE), de unde
Fig. II.4 Teorema bisectoarei
„” Arătăm că dacă atunci [AD este bisectoarea unghiului ∢BAC.
Considerăm D′ (BC), astfel încât [AD′ este bisectoarea unghiului ∢BAC. Atunci și . Prin proporții derivate rezultă că și deci BD=BD′ și D=D′.
Teorema 3 (Teorema lui Menelaus) Fie ∆ABC și A′, B′, C′ trei puncte coliniare distincte astfel încât A′ ∈ BC, B′ ∈ AC, C′ ∈ AB. Atunci
Demonstrație. Se duce prin C o paralelă la AB care intersectează dreapta A′B′ în P. Din teorema fundamentală a asemănării rezultă ∆CPA′ ∆BC′A′ și deci sau
CP= . Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă și ∆CPB′ ∆AC′B′, de unde se obține si CP= . Așadar de unde rezultă
Fig. II.5 Teorema lui Menelaus
II.2 Relații metrice în triunghi
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [3], [4], [11].
Teorema catetei. Lungimea catetei unui triunghi dreptunghic este medie proporțională între lungimea ipotenuzei și a proiecției catetei pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m(∢A)=90o și fie D=prBCA. Cum ∢B și ∢C sunt ascuțite, rezultă că D(BC) și
(BD)= prBC(AB), (CD)= prBC(AC).
Fig. II.6
∆BDA∆BAC fiind dreptunghice, cu unghiul ∢B comun. Din asemănarea triunghiurilor rezultă că și de aici AB2=CB·BD.
Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept este medie proporțională între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m(∢A)=90o și fie D=prBCA (Fig. II.5). Cum ∢B și ∢C sunt ascuțite, rezultă că D(BC) și (BD)= prBC(AB), (CD)= prBC(AC).
∆ADC∆BAC , de unde rezultă că ∆BDA∆ADC. Din asemănarea triunghiurilor rezultă că și de aici DA2=DB·DC.
Teorema lui Pitagora. Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, m(∢A)=90o și fie D=prBCA (Fig. II.6).
AB2=BC·BD și AC2=BC·DCAB2+AC2=BC·(BD+DC)=BC2.
Teorema lui Pitagora generalizată. a) Se consideră triunghiul ABC, C este un unghi ascuțit și D=prBCA, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC.
Demonstrație. În funcție de natura unghiului ∢B se consideră trei cazuri:
∢B ascuțit, atunci D(BC) (Fig. II.6). Triunghiurile ABD și ADC fiind dreptunghice au loc egalitățile:
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=BC – DC
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2-DC2+(BC-DC)2 de unde AB2=AC2+BC2-2BC·DC
∢B obtuz, atunci B(DC). Atunci
AB2=AD2+BD2
AD2=AC2- DC2
BD=DC – BC
Fig. II.7
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2 – DC2+(DC – BC)2 de unde AB2=AC2+BC2-2BC·DC
m(∢B)=90o, atunci AB2=AC2+BC2-2BC·DC rezultă din Teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora generalizată. b) Se consideră triunghiul ABC, C este un unghi obtuz și D=prBCA, atunci AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Demonstrație. ∢C fiind obtuz, rezultă că C(BD). Din triunghiurile dreptunghice ABD și ACD se obține:
AB2=AD2+BD2
AD2=BC2- CD2
BD= BC + CD
Fig. II.8
Înlocuind AD2 și BD în prima egalitate se obține AB2=AC2+BC2+2BC·DC.
Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Demonstrație. Se consideră triunghiul ABC în care AB2=AC2+BC2. Fie D proiecția lui A pe BC. Dacă ∢ACB nu este unghi drept atunci D≠C. Din ipoteză și din AB2=AC2+BC2-2BC·DC sau AB2=AC2+BC2+2BC·DC (după cum ∢ACB este ascuțit sau obtuz), rezultă BC·DC=0, adică DC=0, ceea ce este în contradicție cu D≠C. Rezultă că m(∢ACB)=90o.
Relația lui Stewart. Dacă A,B,C sunt trei puncte coliniare cu B(AC) și O un punct exterior dreptei AC, atunci are loc relația:
OA2·BC-OB2·AC+OC2·AB=AB·BC·AC
Demonstrație. Fie D piciorul perpendicularei din O pe AC. Pot apărea trei situații: D(BA, D(BC sau D=B.
Fie D(BA. Deci ∢OBD este ascuțit.
Fig. II.9
Aplicând teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul OAB se obține OA2=AB2+OB2-2AB·BD.
În triunghiul OBC, obtuzunghic,din teorema lui Pitagora generalizată obținem OC2=OB2+BC2+2BC·DB.
Înmulțim OA2=AB2+OB2-2AB·BD cu BC și obținem BC·OA2=BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC.
Înmulțim OC2=OB2+BC2+2BC·DB cu AB și obținem AB·OC2=AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB·AB.
Adunăm membru cu membru cele două relații și rezultă
BC·OA2+ AB·OC2= BC·AB2+BC·OB2-2AB·BD·BC+ AB·OB2+AB·BC2+2BC·DB·AB = AB·BC(AB+BC)+OB2(BC+AB)= AB·BC·AC+ OB2·AC,
deci relația lui Stewart este adevărată.
Teorema medianei. Fie ABC un triunghi și A′ mijlocul lui BC. Se notează a=BC, b=AC, c=AB. Atunci AA′2=.
Demonstrație. Aplicând relația lui Stewart se obține
AB2·A′C – AA′2·BC+AC2·BA′=BA′· A′C · BC
de unde rezultă că
Fig. II.10
Înlocuind AB′= A′C = rezultă
Formula lui Heron. Aria unui triunghi este dată de formula
A=unde p este semiperimetrul triunghiului.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și d=prBCA.
AD= ha
Din Teorema lui Pitogora generalizată c2=a2+b2-2a DC DC=( a2+b2-c2): 2a
În triunghiul dreptunghic ADC avem AD2=AC2-DC2 sau ha= b2- [(a2+b2-c2): 2a]2
ha2=[(2ab-a2-b2+c2)(2ab+a2+b2-c2)]:4a2 ha=2/a
S= A=
Teorema lui Gergonne. Pe laturile unui triunghi ABC se consideră punctele A′, B′, C′ (A′(BC), B′(AC), C′(AB)), astfel încât dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente. Fie {P}= AA′∩BB′∩CC′. Atunci este adevărată relația
Demonstrație.
APAB+APAC+APBC=AABC
Dacă h1, h2, h3 sunt înălțimile triunghiului și d1, d2, d3 sunt distanțele de la punctul P la laturile corespunzătoare
Deci
Fig. II.11
Teorema lui Euler. Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc numit cercul lui Euler.
Teorema lui Simson. Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.(Demonstrația în paragraful I.6)
Fig. II.12 Dreapta lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Demonstrație (utilizând aplicația Geogebra)
Fie triunghiul ABC și cercul circumscris acestuia.
Fig. II.13
Considerăm punctul M situat pe cercul circumscris triunghiului și construim proiecțiile acestuia pe laturile triunghiului.
Fig. II.14
Construim dreapta care trece prin punctele A', B', C' (dreapta lui Simson).
Fig. II.15
Reciproca teoremei lui Simson. Fie M un punct exterior triunghiului ABC și fie =prBCM, =prACM, =prABM. Dacă sunt coliniare, atunci M se află pe cercul circumscris triunghiului.
Demonstrație.
Fig. II.16 Reciproca teoremei lui Simson (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Deoarece punctele sunt coliniare ⇒ ∢A'B'C ∢ABC'.
B'MC'A, MB'A'C sunt patrulatere inscriptibile ⇒ m(∢A'B'C)= m(∢A'MC)= 900- m(∢MCB)
m(∢AB'C')= m(∢AMC')= 900- m(∢C'AM) ⇒ ∢MCB ∢C'AM⇒ ABCM inscriptibil ⇒ M se află pe cercul circumscris triunghiului ABC.
Teorema lui Carnot. Tangentele la cercul circumscris unui triunghi neisoscel în vârfurile lui taie laturile opuse în puncte situate pe o aceeași dreaptă(numită dreapta Lemoine a triunghiului ABC).
Demonstrație 1 (utilizând aplicația Geogebra)
Desenăm triunghiul ABC și cercul circumscris acestuia.
Fig. II.17
Construim tangentele la cercul circumscris în vârfurile triunghiului.
Fig. II.18
Construim punctele de intersecție ale tangentelor cu laturile opuse.
Fig. II.19
Construim dreapta lui Lemoine care să conțină A1, B1, C1 , punctele de intersecție ale tangentelor cu laturile opuse lor.
Fig. II.20
Demonstrație 2.
Fie A1 BC, B1 AC, C1 AB, astfel încât A1A, B1B, C1C sunt tangente cercului circumscris triunghiului ABC.
∢A1 , ∢ A1AB ∢ A1CA ⇒ A1AB A1CA⇒
Din ⇒
⇒
Analog, și . Înlocuim în produs și obținem ⇒ conform reciprocei Teoremei lui Menelaus punctele A1, B1, C1 sunt coliniare
Teorema lui Van Aubel. Fie triunghiul ABC și punctele A′(BC), B′AC, C′AB, astfel încât dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente într-un punct P. Atunci există relația
Demonstrație.
Fig. II.21 Teorema lui Van Aubel (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA'C și punctele coliniare B, P, B'.
⇒
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA'B și punctele coliniare C, P, C'.
⇒
Adunând cele două relații obținem:
Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și punctele A′BC, B′AC, C′AB. Dacă dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente, atunci:
Demonstrație.
Fig. II.22 Teorema lui Ceva (reprezentare geometrică realizată cu aplicația GeoGebra)
Fie AABBCC{P}.
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA'B și punctele coliniare C, P, C'.
Se aplică Teorema lui Menelaus pentru triunghiul AA'C și punctele coliniare B, P, B'.
Inmulțind cele două relații obținem :
Capitolul III. Considerații metodice, pedagogice si psihologice privind predarea geometriei triunghiului
III. 1. Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [1], [2], [10].
Studierea unor metode pedagogice de rezolvare a problemelor de geometrie este necesară, deoarece acestea înlesnesc înțelegerea demonstrațiilor, fiind mijloace de cercetare în rezolvarea problemelor și îl ajută pe elev să-și dea seama ce înseamnă un raționament logic. Problemele au:
Rol informativ– matematica aplicată în viața curentă, calcul, măsură, în studiul fizicii, studii tehnice, matematica privită ca obiect de cultură generală.
Rol formativ – exercițiul gândirii logice, educarea gândirii creatoare. O problemă cu rol formativ însemnă că soluția ei are interes și în sine, ca rezultat ce trebuie reținut: ceva ce vom folosi ulterior în alte probleme. Rolul formativ constituie un exercițiu al gândirii logice și al gândirii inventive.
Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
Metoda este legată de conținut, adică fiecare din cele trei moduri de a face matematică: euristică, logică și aplicată, își are stilul său specific.
Elementul intuitiv își are rolul lui în înțelegerea acțiunii de a construi acest sistem care este substituit cu rigoarea raționamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu practica, ci și psihologic, ca suport al investigației euristice, elementul intuitiv își are rolul lui. De aceea nu trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându-ne la demonstrații complet riguroase. Demonstrația riguroasă este mai bine prinsă în rostul ei când vine după o critică a justificării intuitive, înlocuind-o în fundamentarea logică, dar păstrând-o ca element activ în cercetarea euristică.
Problema de a înțelege un text matematic este mai dificilă decât a rezolva o problemă propriu-zisă. Pentru a citi și înțelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o vastă experiență în rezolvări de probleme, să-și dea seama că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei probleme. Deși textul este complet din punct de vedere logic el este incomplet din punct de vedere psihologic.
Înțelegerea enunțului problemei presupune cunoașterea problemei astfel încât să distingă clar ce se dă și ce se cere în problemă. Cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie care să aibă semnificația lui „cum gândim”, deci semnificația strategiei punerii și rezolvării problemelor mari și mici.
Esența activității matematice este dezvăluirea implicațiilor logice ascunse, iar actul de cunoaștere pe viu este o îmbinare între informații dobândite senzorial și cele care izvorăsc din acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându-se cunoștințe neevidente.
Discuțiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai prin prisma scopului educativ de dezvoltare a puterii de gândire ci și a celui instructiv: nu se poate înțelege și asimila cu adevărat un enunț matematic sau o demonstrație dacă se învață pasiv și se recepționează gata făcută, ci numai atunci când ea se redescoperă. Cunoștințele matematice nu sunt statice, un material depozitat în memorie, ci un instrument de lucru. Valențele educative ale matematicii (prin rezolvarea de probleme) se extind în sfera personalității elevului (prezente și ulterioare) dezvoltând și influențând pozitiv aptitudini, ingeniozitate, flexibilitatea gândirii, imaginație, spontaneitate, spiritul critic.
Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendința de subordonare, frica de a domina, dezvoltă receptivitatea, interrelații sănătoase prin lipsa unei rivalități dăunătoare.
Învățarea noțiunilor prin probleme este conștientă pentru că elevul nu poate construi un raționament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.
Călăuzirea gândirii prin întrebări trebuie astfel făcută încât să se aibă mereu în atenție problema întreagă și ori de câte ori se rezolvă o secvență a ei, să fie prezentată și legătura acesteia cu întregul. După parcurgerea analitică a demonstrației, care durează mai mult pentru că trebuie rezolvate aspectele ei parțiale, este necesar să se facă o privire sintetică a ei care să sublinieze ideea demonstrației.
Elevul nu trebuie să rețină demonstrația în desfășurarea ei analitică; el trebuie să înțeleagă și să rețină ideea demonstrației, și în funcție de ea s-o poată reconstitui singur în detaliu.
Principul însușirii temeinice a cunoștințelor: cunoștințele descoperite prin efort propriu sunt fixate mai bine în memorie, sunt ușor de reprodus, identificat și utilizat.
Prin investigarea figurii, corelarea între ce știu și ce nu știu, învățarea se înscrie în cele trei procese ce generează temeinicia învățării:
însușirea informației noi;
transformarea cunoștințelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi;
evaluarea (adecvarea) informației la noile sarcini.
Observația didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub îndrumarea profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în scopul depistării unor aspecte ale realității, a unor relații între elementele ce se dau și ce se cer. Poate contribui la operații logice corecte, exprimarea unor deosebiri de relații cu alte figuri.
Este util pentru valențele educative ale acestei metode să zăbovim și în sensul ei întrucât este util să cultivăm calități moral – psihice precum imaginația, răbdarea, perspicacitatea, spiritul de observație și evitarea confuziilor, mai ales la corpurile geometrice.
Exercițiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V, unde este predominant caracterul intuitiv: măsurări de arii, volume și mai puțin la problemele tip geometrie preeuclidiană, unde totuși predomină intuiția adevărului cu mai puțin accent pe demonstrații riguroase. Ca orice acțiune motrice are valențe formative: adâncirea înțelegerii algoritmului de rezolvat, dezvoltarea operațiilor mintale și constituirea lor în structuri operaționale, sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor, prevenirea uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calități morale ca voința.
Pentru a beneficia de consecințele psihologice și de ordin mental ale metodelor intuitive, profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul concret, nemijlocit exersându-i priceperea, contemplarea, creând mutații ca intuiții superioare, subtile, ajutând și la generalizări și abstractizări. Și aici supralicitarea riscă să transforme matematica în „ lucru manual”.
Descoperirea didactică este o metodă euristică; presupune crearea condițiilor de reactualizare a experiențelor, capacităților individuale și deslușirea unor relații. Se pleacă cu delimitarea a ceea ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându-i acestuia să descopere prin proprie inițiativă restul.
Raționamentele euristice sunt importante deși nu dovedesc nimic. De asemenea, este important să ne clarificăm raționamentele euristice, deși în spatele fiecărui raționament clarificat există multe altele care rămân obscure și sunt uneori poate și mai importante.
În rezolvarea problemelor se ține cont de câteva reguli elementare:
citirea corectă a enunțului problemei, scrierea ipotezei și concluziei și construirea corectă a figurii geometrice;
însușirea enunțului problemei (eventual toate noțiunile și teoremele în legătură cu problema, ținând cont de date și relații);
cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie;
construirea de raționamente noi bazate pe axiome, definiții și alte raționamente învățate anterior;
stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul simbolurilor matematică, pe baza raționamentelor construite, ce permit urmărirea lanțului de judecăți ce formează demonstrația problemei;
discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluție nu încheie rezolvarea ei, ci trebuie examinate și condițiile care ne arată existența altor soluții, numărul lor, precum și diferite cazuri particulare ce pot apărea, sau generalizarea ei);
verificarea soluțiilor problemei (trebuie făcută mai ales în problemele de construcții geometrice; ea constă dintr-o demonstrație care trebuie să arate că figura obținută corespunde cu cea cerută în enunțul problemei).
III. 2. Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [1], [4], [23].
În matematică, prin metodă se înțelege calea rațională care trebuie folosită pentru a demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme. Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale și particulare.
Metodele analizei, metoda reducerii la absurb și metoda sintezei sunt metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme și probleme.
Metodele specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:
metoda vectorială
metoda analitică
metoda trigonometrică
metoda cu ajutorul numerelor complexe
metoda cu transformări geometrice
metoda de rezolvare a problemelor de coliniaritate
metoda de rezolvare a problemelor de concurență
metoda de rezolvare a problemelor de arii
metoda de rezolvare a problemelor de minim și maxim
III.2.1 Metode generale aplicate în demonstrarea teoremelor și rezolvarea problemelor
Metoda sintezei se dovedește a fi folositoare atât în rezolvarea unor probleme de calcul cât și în tratarea unor probleme de demonstrație. În cazul problemelor de geometrie verificăm sau stabilim o relație, găsim proprietăți noi ale figurilor date; în general, justificăm dacă o afirmație referitoare la o figură geometrică este adevărată sau nu. Într-o problemă de demonstrație se consideră o figură geometrică F, despre care se afirmă că are proprietățile α, și se cere să se demonstreze că, în acest caz, ea mai posedă și proprietățile β. Propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile α, notată cu I poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile β, notată cu C, poartă numele de concluzie. Prin urmare, într-o problemă de demonstrație se cere să se arate că, dacă pentru o figura F este adevărată propoziția I, atunci este adevărată și propoziția C. Recunoaștem cu ușurință că aici intervine implicația logică α.
Mecanismul metodei sintezei constă în a pleca de la propoziția α și a descoperi noi propoziții r1, r2, … , rk astfel încât: α r1 r2 … rk β.
Un exemplu de aplicare a metodei sintezei o reprezintă demonstrarea Teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM care intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci
Demonstrație. Se aplică Teorema lui Menelaus în triunghiul B′BC pentru punctele coliniare A, M, A′ și în triunghiul ABB′ pentru punctele coliniare C, M, C′ și obținem relațiile
Prin înmulțirea celor două egalități se obține relația cerută.
Fig. III.1 Teorema lui Ceva
2. Metoda analizei este eficientă în abordarea unor probleme de calcul sau demonstrație. În cazul problemelor de demonstrație se procedează astfel: trebuie să dovedim implicația pq. Se caută o propoziție rn care s-o implice pe q, după care trebuie găsită o propoziție rn-1 din care să deducem rn și așa mai departe până reușim să depistăm propoziția r1care rezultă direct din p.
Problema 1. Fie un triunghi oarecare ABC. Se notează cu D piciorul înălțimii din A și cu E punctul diametral opus lui A în cercul circumscris. Să se arate că AD·AE=AB·AC
Fig. III.2
Demonstrație: Notăm cu p propoziția obținută prin conjuncția ipotezelor, și cu q concluzia ,, AD·AE=AB·AC′′. Avem:
Propoziția r2: implica propozitia q
Propoziția r1: ,,∆ADC~∆ABE′′ se deduce din r2
In sfârșit r1 rezultă direct din p
Schema problemei: pr1r2q
3. Metoda reducerii la absurd (reductio ad absurdum) este folosită de elevi încă din primele clase de gimnaziu și la centrele de excelența, chiar din clasele primare. În ciuda aparentei simplități, permite rezolvarea unor probleme interesante și grele, din ramuri variate ale matematicii (și nu numai). Este principala metodă de demonstrație în probleme de unicitate. Ne poate ajuta să demonstrăm una dintre implicații într-o condiție necesară și suficientă.
Presupunem că vrem să demonstrăm propoziția p → q. A nu se confunda metoda de demonstrație prin reducere la absurd cu demonstrația prin contrapoziție. Ambele sunt demonstrații indirecte, dar demonstrația prin contrapoziție se bazează pe echivalența logică p → q ≡ ¬q → ¬p și este o demonstrație direct a contrarei reciprocei propoziției respective, în timp ce demonstrația prin reducere la absurd se bazează pe echivalența p ∧ ¬q ≡ ¬(p → q). Ea urmărește să arate că din propoziția p ∧ ¬q rezultă o contradicție (adică o propoziție de forma r ∧ ¬r), ceea ce se poate întâmpla numai dacă propoziția ¬(p → q) este falsă sau, echivalent, dacă propoziția p → q este adevărată.
Cum recunoaștem o problemă care s-ar putea rezolva prin metoda reducerii la absurd?
probleme în care ni se cere să demonstrăm că nu există obiecte matematice cu anumite proprietăți sau ni se cere să stabilim dacă există asemenea obiecte și bănuim că răspunsul este negativ
Fig. III.3
probleme în enunțul cărora apare una dintre expresiile ”cel mult” sau ”cel puțin”, în particular, probleme de unicitate
Presupunem că s-a demonstrat rezultatul:
Teoremă. Fie o dreaptă d și un punct A∉ d. Atunci există o dreaptă perpendiculară pe d care trece prin punctul A.
Vrem să arătăm că:
Teoremă. Printr-un punct exterior unei drepte există o singură dreaptă perpendiculară pe acea dreaptă.
Demonstrație. Fie o dreaptă d și un punct A∉ d. Presupunem prin reducere la absurd că din P putem duce două perpendiculare pe d, PQ și PR, unde Q, R ∈ d, Q ≠ R.
Fie S ∈ d astfel încât R ∈ (QS). Atunci ∢PRS este unghi exterior triunghiului PQR și, conform teoremei unghiului exterior, ∢PRS are măsura mai mare decât orice unghi al triunghiului PQR neadiacent lui. În particular, m(∢PRS) > m(∢PQR), ceea ce contrazice m(∢PRS) = m(∢PQR)= 90◦ .
Metoda reducerii la absurd poate fi folosită și la demonstrarea reciprocei Teoremei lui Ceva.
Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC și trei drept concurente AM, BM, CM care intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A′, B′, C′. Atunci
Reciproca Teoremei lui Ceva. Fie un triunghi ABC și punctele A′ ∈ BC, B′ ∈ AC, C′ ∈ AB. Dacă
(1)
atunci dreptele AA′, BB′, CC′ sunt concurente.
Demonstrație.
Presupunem prin reducere la absurd că dreptele nu sunt concurente. Fie {P} = BB′ ∩ CC′ și {A′′} = PA ∩ BC rezultă că A′′≠A′.
Aplicăm teorema lui Ceva pentru ∆ABC și dreptele concurente AA′′, BB′, CC′ și obținem (2)
Din relațiile (1) și (2) rezultă .
Deoarece A′′ și A′ aparțin laturii (BC) are loc A′′=A′, ceea ce contrazice A′′≠A′.
Fig. III.4
III.2.2 Metode specifice folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor
1. Metoda vectorială.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [Niculescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990].
Fie A și B doua puncte din plan. Perechea ordonata (A,B) se numește segment orientat sau vector legat în punctul A și se notează . Ordinea punctelor A, B indică sensul de parcurs al segmentului. Punctul A se numește originea lui , iar punctul B se numește extremitatea vectorului legat .
Două segmente orientate nenule coliniare au același sens, dacă sensurile de parcurs determinate pe dreapta suport coincid. Două segmente orientate paralele (paralelism în sens strict) au același sens dacă extremitățile lor se află în același semiplan determinat de dreapta care unește originile segmentelor. Prin modulul lui se înțelege lungimea segmentului neorientat [AB] și se notează cu .
Două segmente orientate nenule paralele (paralelism în sens larg) și se numesc echipolente dacă au același sens și aceeași lungime. Scriem acest lucru, ~ Se arată foarte ușor că relația de echipolență pentru segmente orientate nenule este o relație de echivalență. Clasele de echivalență ale segmentelor orientate, relative la relația de echipolență, se numesc vectori liberi. Fiecare segment orientat din clasa numită vector liber este un reprezentant al clasei. De exemplu, prin vectorul liber (aceasta este notația consacrată ), înțelegem mulțimea tuturor vectorilor echipolenți cu AB . Evident că un reprezentant al vectorului liber este vectorul legat . Vectorul liber, caracterizat prin faptul că are lungimea zero, iar direcția și sensul nedeterminate, se numește vectorul nul sau vectorul zero. El se notează cu si este reprezentat de orice segment orientat .
În mulțimea V a tuturor vectorilor liberi din plan, se definește adunarea după regula paralelogramului sau după regula triunghiului. Este ușor de demonstrat că perechea (V,+) este grup abelian (în contextul de față, simbolul ,,+′′ semnifică adunarea vectorilor liberi , nu a numerelor). Fiind dați un scalar tR și un vector liber , se definește în mod natural produsul dintre vectorul și scalarul t, care este un vector notat t. Daca sau t=0, atunci t= . Se dovedește cu ușurință că înmulțirea vectorilor liberi cu scalari, are proprietățile:
1) 1, ;
2) s(t , ;
3) (s+t) = s + t , ;
4) s(+ s,
Deducem că mulțimea V a vectorilor liberi din plan este un spațiu vectorial peste corpul R .
Fie și doi vectori nenuli. Se notează cu φ [ 0, π ] unghiul dintre și . Numărul real se numește produsul scalar al vectorilor și . Produsul scalar a doi vectori este nul dacă și numai dacă cei doi vectori sunt ortogonali.
Problemă. Să se demonstreze, cu ajutorul vectorilor, următoarele teoreme:
1) Teorema lui Pitagora generalizată
2) Teorema medianei
Demonstrație: 1) Fie ∆ABC . Avem Înmulțind scalar această relație cu ea însăți, obținem:
BC2=AC2+AB2-2
Fie B′ proiecția ortogonală a lui B pe AC. Este evident că produsul scalar este pozitiv, dacă și au același sens ( m()< 900 ) ; el este negativ dacă și au sensuri contrare (m() > 900). Se observă că demonstrația include și teorema lui Pitagora ( m() = 900 ); în acest caz, =0.
2) Fie A′ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC. Avem relațiile
– .
Ridicăm scalar la pătrat ambele relații și obținem :
4 AA′2 = AB2 +AC2 +2
BC2 = AC2 +AB2 -2
Adunând ultimele două egalități, obținem relația medianei:
4 AA′2 = 2( AB2 +AC2) –BC2
În capitolul I am prezentat demonstrația analitico- sintetică a teoremei privind concurența înălțimilor în triunghi ( pag. 15). Iată demonstrația aceleiași teoreme folosind metoda vectorială:
Teoremă. Într-un triunghi înălțimile sunt concurente.
Demonstrație. Fie înălțimile AA′ și CC′ și H punctul lor de intersecție. Unind B cu H și prelungind segmental (BH) până în B′AC. Atunci , .
Fig. III.5
Cum AA′BC și CC′AB rezultă că și ceea ce implică , adică sau HB′CA.
Metoda analitică.
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [20].
”Geometria a fost cultivată cu un deosebit rafinament de gândire de către lumea antică, în special de greci. Mari filozofi ca Thales, Pitagora, Platon etc., prin descoperirile lor , au pus bazele acestei ramuri a matematicii. Dar cel care a adunat și ordonat întregul material al predecesorilor săi, la care a adăugat contribuția sa și a prezentat geometria ca un corp închegat de știință, logic înlănțuit, a fost Euclid.”
Rezolvarea unor probleme de geometrie sintetică poate întâmpina anumite greutăți din cauza numărului restrâns de metode generale. De aceea s-au căutat tot timpul metode noi care să poată fi aplicate unui câmp mai larg de probleme. A apărut astfel geometria analitică, creatorul ei fiind considerat Descartes (1596-1650), acre o folosește pentru prima dată în lucrarea ”Application de l′Algèbre à la théorie des courbes”.
Prin geometria analitică, Descartes a legat geometria de algebră, dat fiind faptul că fiecare ecuație cu două necunoscute reprezintă o curbă și fiecărei curbe îi corespunde o ecuație. Problemele de geometrie devin astfel probleme de algebră, iar rezolvarea lor se face prin metode algebrice. De exemplu, teorema intersecției înălțimilor în triunghi, pe lângă rezolvarea prin metoda sintetică (prezentată în capitolul I) și prin metoda vectorială (prezentată în secțiunea III.2.2), poate avea și o demonstrație analitică: aceea de a arăta ca sistemul de trei ecuații (ale celor trei drepte) cu două necunoscute este compatibil. Acest exemplu ilustrează avantajele utilizării geometriei analitica. Există însă situații când rezolvarea problemelor pe cale analitică duce la calcule lungi și complicate.
Iată câteva noțiuni de bază specifice geometriei analitice:
Orice punct are doua coordonate A(xA,yA), numite abscisa xA și ordonata yA.
Coordonatele punctului care împarte un segment într‐un raport dat. Fie
numărul k și punctele A(xA , yA ) și B(xB , yB ) . Fie M (xM , yM ) punctul M AB
cu proprietate . Atunci
În particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB], avem
Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Atunci G va avea coordonatele
Panta unei drepte oblice sau orizontale. Panta unei drepte oblice sau orizontale d este
egală, prin definiție, cu tangenta unghiului ϴ, format de acea dreaptă cu direcția pozitivă a axei Ox. Panta dreptei d se notează cu md. Dreptele verticale nu au pantă, pentru ca
tangenta nu este definită în .
Ecuația unei drepte. Este o relație verificată de coordonatele oricărui punct M(x,y) de pe acea dreaptă (și numai de ele).
Ecuația oricărei drepte se poate pune sub forma ax+by+c=0 (ecuația carteziană generală a dreptei ), cu a ≠ 0 sau b ≠ 0 .
Ecuația unei drepte oblice : y = mx + n , cu m ≠ 0 . În acest caz, m este panta dreptei, iar n ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă și axa Oy.
Ecuația unei drepte orizontale: y = n (sau forma de mai sus, cu m=0). In acest caz, panta dreptei este 0, iar n reprezintă, ca și in cazul anterior, ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă si axa Oy.
Ecuația unei drepte verticale: x =α , unde α este abscisa punctului de intersecție dintre dreaptă și axa Ox.
Ecuația dreptei care trece printr‐un punct dat , M0 (x0 , y0 ) , și are o panta dată, m
Ecuația dreptei care trece prin două puncte A(xA , yA ), B(xB , yB )
dacă numitorii sunt nenuli.
Ecuația primei bisectoare : y = x (panta fiind egală cu 1). Ecuația celei de‐a doua bisectoare: y = – x (panta fiind egală cu ‐1).
Aflarea pantei unei drepte. Când nu cunoaștem unghiul dintre dreaptă și Ox, panta se poate afla astfel: Panta dreptei ce trece prin punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ) este mAB =
Panta dreptei de ecuație y = mx + n este m (coeficientul lui x).
Panta dreptei de ecuație ax + by + c = 0 este m= (daca b ≠ 0 ). Panta se poate obține și
exprimându‐l pe y în funcție de x, apoi considerând coeficientul lui x din membrul drept.
Condiții de paralelism și perpendicularitate.
Fie dreptele d: y=mx+n și d′: y=m′x+n′. Avem:
d ǁ d ′ m = m′ si n ≠ n′
d = d ′ m = m′ si n = n′
d ⊥ d ′ mm′ = -1 (produsul pantelor este ‐1)
Intersecția a doua drepte. Două drepte sunt concurente dacă și numai dacă sistemul format din ecuațiile lor are soluție unică. In acest caz, coordonatele punctului de intersecție se obțin rezolvând sistemul.
Distanța de la un punct la o dreaptă. Distanța de la punctul M 0 (x0 , y0 ) la dreapta
d : ax + by +c = 0 este dată de formula:
Aplicații ale determinanților în geometrie
Punctele A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) sunt coliniare dacă și numai dacă
Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite A(xA , yA ), B(xB , yB ) este
Aria triunghiului cu vârfurile în A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ) este
A=
Condițiile ca trei drepte să fie concurente. Presupunem că dreptele sunt date prin ecuațiile
Pentru ca dreptele să fie concurente trebuie să existe un punct M0(x0 , y0 ) care să verifice toate cele trei ecuații. Aceasta înseamnă că cele trei ecuații cu două necunoscute trebuie să formeze un sistem compatibil determinat. Pentru aceasta, condițiile necesare și suficiente sunt:
Să existe un determinant de ordinal II, format cu coeficienții lui x și y, diferit de zero, deci
sau sau . (Această condiție înseamnă din punct de vedere analitic că două dintre drepte sunt concurente.)
. (Această condiție arată că a treia dreaptă trece prin punctul de intersecție al primelor două drepte.)
Teoremă. Într-un triunghi medianele sunt concurente.
Demonstrație. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), vârfurile triunghiului ABC. Mijlocul laturii BC este A′( și mediana AA′ are ecuația
care scrisă dezvoltat este
(AA′) (2(2
Permutând circular vârfurile triunghiului, obținem ecuațiile celorlalte două mediane.
(BB′) (2(2
(CC′) (2(2
Adunând cele trei ecuații obținem în prima parte zero, deci una dintre ecuații este o combinație liniară a celorlalte două. Aceasta arată că medianele sunt concurente.
Ca urmare a rezultatelor generale privind geometria triunghiului, în scopul utilizării teoremelor remarcabile privind geometria triunghiului, pot apărea probleme de concurență, de coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii, de minim și maxim, probleme de loc geometric,etc.
III.3. Probleme de concurență
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [22].
Problema 1. Fie ABC un triunghi și o dreaptă oarecare d. Fie A′, B′, C′ respectiv proiecțiile pe d ale vârfurilor A, B, C. Perpendicularele duse din A′, B′, C′ pe laturile [BC], [CA], [AB] sunt concurente, iar punctul lor de intersecție se numește ortopolul dreptei d față de triunghiul ABC.
Soluție.
Fig. III.6
Folosind teorema lui Carnot, vom demonstra că dreptele B′B′′, C′C′′, A′A′′ sunt concurente. Fie un punct P interior triunghiului, care se proiectează pe laturile acestuia în punctele A”, B”, C′′. Conform teoremei lui Carnot există relația:
A''B2 – A''C2 +B′′C2 – B′′A2 + C′′A2 – C′′B2 = 0
Vom arăta că și perpendicularele duse din A′, B′, C′ verifică relația de mai sus, deci sunt concurente.
În triunghiul A′A′′B, conform teoremei lui Pitagora, A′A′′2=A′B2-A′′B2.
În triunghiul A′A′′C, conform teoremei lui Pitagora, A′A′′2=A′C2-A′′C2.
Deci A′B2-A′′B2= A′C2-A′′C2 A′′B2-A′′C2= A′B2-A′C2 .
În triunghiul A′BB′, conform teoremei lui Pitagora, A′B2=A′B′2+BB′2.
În triunghiul A′CC′, conform teoremei lui Pitagora, A′C2=A′C′2+C′C2.
Așadar A′′B2-A′′C2= A′B′2 – A′C′2+BB′2 – C′C2 (1)
În triunghiul B′AB′′, conform teoremei lui Pitagora, B′B′′2=B′A2-B′′A2.
În triunghiul A′A′′C, conform teoremei lui Pitagora, B′B′′2=B′C2-B′′C2.
Deci B′A2-B′′A2= B′C2-B′′C2 B′′C2-B′′A2= B′C2-B′A2 .
În triunghiul B′CC′, conform teoremei lui Pitagora, B′C2=C′B′2+CC′2.
În triunghiul B′AA′, conform teoremei lui Pitagora, B′A2=B′A′2+A′A2.
Așadar B′′C2-B′′A2= B′C′2 – B′A′2+CC′2 – AA′2 (2)
Analog C′′A2-C′′B2= C′A′2 – C′B′2+AA′2 – BB′2 (3)
Adunând relațiile (1), (2), (3) rezultă A′′B2 – A′′C2 +B′′C2 – B′′A2 + C′′A2 – C′′B2 = 0 și deci conform teoremei lui Carnot, B′B′′, C′C′′ , A′A′′ sunt concurente.
Problema 2. Fie A′ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC, L punctul de intersecție a tangentei în A la cercul circumscris triunghiului ABC cu latura [BC]. Să se arate că cercul lui Euler al triunghiului AA′L trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Soluție:
Fig.III.7
Fie A1 piciorul înălțimii din A pe BC, A2 mijlocul segmentului [AH] și W centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC. În triunghiul AOH, [WA2] este linie mijlocie, rezultă că WA2 ⃦ OA. Notăm cu A3 intersecția dreptelor A′A2 și AL diametrul [A′A3] al cercului lui Euler al triunghiului ABC este paralel cu OA A′A3 AL A2 este ortocentrul triunghiului AA′L. Dar (A′W)(WA2), deci cercul lui Euler al triunghiului AA′L trece prin W.
III.4. Probleme de coliniaritate și drepte celebre
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrarea [13].
Problema 1. Fie ABC un triunghi neisoscel și nedreptunghic și fie A1=prBCA, B1=prACB, C1=prBAC vârfurile triunghiului ortic. Fie {A′}BCB1C1, {B′}ACA1C1, {C′}BAB1A1. Atunci punctele A′, B′, C′ se găsesc pe o aceeași dreaptă (dreapta ortică a triunghiului).
Soluție 1(rezolvare prin construcție în GeoGebra) :
Construim triunghiul ABC și proiecțiile vârfurilor pe laturile opuse.
Fig.III.8
Construim {A′}BCB1C1, {B′}ACA1C1, {C′}BAB1A1.
Fig.III.9
Rezultă că punctele A′, B′, C′ se găsesc pe aceeași dreaptă.
Fig.III.10
Soluție 2.
Se aplică teorema lui Menelaus pentru triunghiul ABC și tripletele de puncte coliniare (A′, C1, B1), (B′, A1, C1), (C′, B1, A1):
Dreptele AA1, BB1, CC1 sunt concurente ⇒
Înmulțind relațiile obținem: ⇒ conform reciprocei Teoremei lui Menelaus punctele A′, B′, C′ sunt coliniare.
III.5 Probleme de arii
În redactarea acestui paragraf, am urmărit îndeaproape lucrările [24], [25] .
Problema 1. Să se arate că aria S a unui triunghi dreptunghic, în funcție de lungimile mb, mc ale medianelor corespunzătoare celor două catete, este dată de formula
S
Soluție. Din teorema medianei rezultă că:
=
S
S=
.
Problema 2. Fie triunghiul ABC, r raza cercului înscris triunghiului. Arătați că S.
Soluție.
Fig.III.11
Fie punctul I punctul de intersecție al bisectoarelor, centrul cercului înscris. Înălțimile triunghiurilor IAB, IAC și IBC sunt egale cu r.
SIAB+SIAC+SIBC= SABC
AB=c, AC=b, BC= a.
⇒ r⇒ S
Problema 3. Să se arate că pentru raza R a cercului circumscris triunghiului avem formula .
Soluție. Cum R (teorema sinusurilor) ⇒ R. Înmulțind ultima relație cu obținem
III.6 Probleme de maxim și minim
În redactarea acestui paragraf am urmărit îndeaproape lucrările [13], [21].
Problema 1. Să se demonstreze că dintre toate triunghiurile , având vârfurile B și C fixe, iar A mobil, astfel încât AB+AC=a (const) , cel de arie maximă se realizează numai pentru ABAC.
Soluție.
Fig.III.12
Se știe că locul geometric al punctelor M din plan pentru care MA+MB= (=const) este o elipsă.
MBC are arie maximă MBC este isoscel, MA=MB.
Problema 2. Se consideră triunghiul ABC dat ascuțitunghic.Să se precizeze triunghiul echilateral de arie maximă ce conține punctele A,B,C pe laturi.
Soluție.
Fig.III.13
Observăm că vârfurile triunghiului echilateral se află pe cercurile circumscrise triunghiurilor cu un unghi de 600 construite în exterior pe laturile triunghiului ABC. Fie M1M2 conținând punctul B, M1M3 conținând punctul A, M1,M2, M3 aparținând cercurilor considerate.
Arătăm că M2,C, M3 sunt coliniare.
Notăm m(∢M1BA)α.
M(∢M1AB)120o – α , m(∢CAM3)60o – A+α, m(∢ACM3)60o + A – α
m(∢CBM2)180o – B – α, m(∢BCM2)B + α –60o
m(∢M2CM3)60o + A – α + C +B + α –60o= 180o ⇒ M2,C, M3 sunt coliniare.
Din infinitatea de triunghiuri echilaterale M1M2M3 care conțin A,B,C pe laturi , va fi selectat cel de arie maxima, deci cel de latură maxima. M1M2 este maxim dacă și numai dacă dreapta M1M2 este paralelă cu linia centrelor cercurilor circumscrise triunghiurilor M1AB și M2BC.
Triunghiul echilateral de arie maximă are laturile perpendiculare pe TA, TB, TC, unde T este punctul lui Torricelli al triunghiului ABC.
III.7 Probleme pentru concursuri școlare
În redactarea acestui paragraf am urmărit îndeaproape lucrările [13], [21].
Pregătirea elevilor pentru concursurile școlare presupune parcurgerea mai multor etape, esențiale în parcursul participării la concursuri. Prime etapă presupune selecția elevilor capabili de performanță. Selecția se face continuu, existând elevi în a căror pregătire pot apărea sincope. O etapă importantă o constituie organizarea lucrului cu acești elevi. Lucrul se poate face în timpul orelor de matematică, lucrând diferențiat la nivel de clasă, și prin intermediul cercurilor de elevi, unde se poate lucra exclusiv doar pentru concursuri școlare. Pregătire participării la concursuri presupune o bună asimilare a noțiunilor teoretice (a celor de bază, obligatorii, dar mai ales a celor facultative, de o dificultate superioară) și o continuă aplicare a acestora în exerciții și probleme.
În anul școlar curent, în cadrul unor clase s-au remarcat elevi capabili de performanță. Întrucât lucrul la clasă, datorită timpului limitat, nu a fost suficient pentru pregătirea acestor elevi, am organizat un cerc de elevi care se întrunește săptămânal, în vederea pregătirii pentru concursurile școlare.
Iată un exemplu de problemă pregătitoare pentru concursuri școlare la gimnaziu, lucrată cu elevii clasei a VII-a, la cercul de matematică:
Problemă.(G.M. 3/1989, pag.101) Fie un triunghi dreptunghic (m(∢A)=90o). Pe dreapta AB se ia un punct M astfel încât triunghiul BMC să fie isoscel, cu (BM)(CM). Arătați că .
Soluție:
Elevii vor fi îndrumați să folosească notații simplificare, să noteze laturile necunoscute ale triunghiului cu litere mici, să determine legăturile dintre acestea și mai ales să analizeze toate cazurile posibile de poziționare a punctului M, în raport cu măsurile unghiurilor ascuțite ale triunghiului inițial.
Considerăm triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A și notă, AB=c, AC=b și deci BC=.
Se observă existența a două cazuri în funcție de măsurile unghiurilor B și C.
Dacă m(∢B)> m(∢C), atunci punctul M de pe dreapta AB se află în exteriorul segmentului (AB). Notăm AM= deci BM=BA+AM= c +
În ∆MAC, dreptunghic în A avem sau CM= . Deoarece BM=CM obținem c+ = sau de unde rezultă că .
Rezultă de aici că = deci MC=. În concluzie, sau . (1)
Pe de altă parte (2).
Din (1) și (2) rezultă egalitatea din enunț. Analog se rezolvă cazul m(∢C)> m(∢B), când punctul M aparține segmentului (AB).
Fig.III.14
O problemă de liceu potrivită pregătirii concursurilor școlare ar putea fi:
Problemă.(G.M. 3/1989 pag. 103) Într-un triunghi oarecare ABC se duc cevienele izogonale AD și AB, DBC, EBC. Să se arate că
Soluție. Considerăm cercul circumscris triunghiului ABC și . Obținem ∢ABM∢DMC și ∢BDA∢MDC, deci ∆ABD ∆DMC, ceea ce conduce la sau .
Analog, din asemănarea ∆AMB ∆AEC obținem . Rezultă că .
Din asemănarea ∆AMC ∆ABE obținem sau . Obținem în final
Problemă.(G.M. 5/2019 Concurs Gazeta matematică, clasa a VII-a )Fie ABC un triunghi și H ortocentrul său. Fie D un punct pe latura (AC) și E proiecția lui D pe dreapta BC. Demonstrați că EHBD dacă și numai dacă BD trece prin mijlocul lui [AE].
Soluție. Presupunem EH BD și demonstrăm că BD trece prin mijlocul lui [AE].
Fie BDAH={F}.
Cum AFBC și DEBC, rezultă că AFDE.
Din ipoteză știm BD EH, iar HFBE F este ortocentrul triunghiului HBE EFBH dar BH AC EFAC. Și cum AFDE AFED este paralelogram iar AA și FD sunt diagonale și se intersectează în punctul P punctul P este mijlocul segmentului [AE].
Presupunem BD trece prin mijlocul lui [AE] și demonstrăm că EH BD.
Fie AEDF={P}.
AFDE FAPDEP, AP=EP, APFEPD APFEPDFP=PDADEF este paralelogram.
BH AC, EFAC EFBH, HFBEF este ortocentrul triunghiului HBE BFHE
EH BD.
Fig.III.15
Problemă.(G.M. 4/2019, ediția a IX-a, Concurs Gazeta matematică, clasa a VII-a ) Fie ABCD un dreptunghi, iar E ∈ [BC] și F ∈ [CD] două puncte care satisfac condițiile: [BE] ≡ [DF] și m(EAF) = 45◦. Arătați că SAEF = SABE + SADF.
Soluția 1.
Fig.III.16
Fie m(EAB)=α și m(DAF)=β.
simAEB=P, simAFD=Q, EFAP={M}
Din ipoteză știm că ABCD este dreptunghi(DAB)=900 și cum m(EAF)=450α+β= m(EAB)+ m(DAF)= m(DAB)- m(EAF)= 900-450= 450 α+β=450.
Cum simAEB=P [PE] ≡ [BE], m(PAE)= m(BAE)=αPAE≡EAB SPAE= SEAB
Ținând cont de relațiile α+β=450, m(EAF)=450 și m(PAE)= α m(FAQ)= m(EAF)- m(PAE)= 450 – α= β= m(DAF)FAQ≡DAF.
FAQ≡DAF , FDAD, prAPF=Q FAQ≡DAF[FD] ≡ [FQ] și SFAQ= SDAF
EFPQ={M}MFQ≡MEP[MF] ≡ [ME], SAMF= SAME
și SMFQ= SMEP
SAEF = SAMF+ SAME = (SAME+ SMEP )+( SAMF- SMFQ )= SPAE+ SQAF = SADE+ SADF
SAEF = SABE+ SADF .
Soluția 2.
Fig.III.17
Prelungim segmentul [AB] cu un segment [BN], unde NExt(ABCD) astfel încât [BN] [AD].
ADF≡NBE m(NEA)= 1800 – m(EAN) – m(ENA) = 1800 – m(EAB) – m(FAD)= 1800 – (900 – m(EAF))= 1350
SABE+ SADF = SAEN = = SAEF
III.8 Probleme pentru examene școlare
În anul școlar 2019-2020, la Școala Gimnazială Nr. 1 Roata de Jos, județul Giurgiu, au fost înscriși la clasa a VIII-a A 25 de elevi. Date fiind rezultatele la Evaluarea Națională din anul școlar trecut, scopul principal stabilit pentru anul curent a fost creșterea procentului de promovabilitate la acest examen. Pentru a atinge acest scop elevii participă la ore suplimentare de pregătire în cadrul școlii. Prin câștigarea unui concurs național și participarea în cadrul unui proiect școala a fost dotată cu un laborator digital, permițând astfel folosirea în cadrul orelor de matematică a resurselor digitale. Copiii au fost implicați astfel în activități integrate într-o formă atractivă, motivantă, care să conducă activitatea spre investigare, cercetare și aplicare practică.
Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII-a A), an școlar 2018-2019:
Rezultatele la Evaluarea Naționala (clasa a VIII-a A), an școlar 2019-2020:
GRAFIC REZULTATE
Pentru o bună pregătire a participării la examenele naționale, lucrul la clasă, urmărind programa pentru Evaluarea Națională, sistematizat prin recapitulări ale materiei din anii anteriori l-am suplimentat cu rezolvarea unor probleme tipice acestui examen.
Geometria triunghiului se regăsește, în cadrul subiectelor de Evaluare Națională, atât la Subiectul I, problema 4, cât și la Subiectul III, problema 1. Dacă în secțiunea I problema de geometrie plană este de dificultate scăzută, în secțiunea III, problema 1 conține deseori și cerințe de dificultate peste medie, pentru departajarea candidaților. Există în perioada ultimilor ani tendința de a introduce la problema de geometrie plană cerințe care să pună elevul în situația de a face corespondențe între noțiunile teoretice învățate, subiectele îndepărtându-se în ultimii ani de modelul subiectelor practice cu care ne obișnuisem în perioada 2010-2014. Acest lucru determină faptul că mulți elevi rezolvă cu ușurință prima cerință a problemei de geometrie plană, întâmpinând probleme la celelalte două cerințe. Realizând o analiză a subiectelor date în ultimii ani la Evaluare Națională am parcurs împreună cu elevii probleme de geometrie plană după modelul celor date la Evaluarea Națională în anii trecuți.
Voi prezenta în continuare câteva probleme tipice de geometrie a triunghiului rezolvate în cadrul orelor de pregătire cu elevii claselor a VIII-a. Problemele sunt atât din cele date la Evaluarea Naționale în anii precedenți, cât și probleme concepute după modelul celor date la Evaluarea Națională.
Problema 1. În figura de mai jos este reprezentat un cerc, de diametru AB = 8cm și punctul T , situat pe cerc, diferit de punctele A și B . Punctul C este intersecția tangentei la cerc în punctul T cu tangenta la cerc în punctul A și punctul D este intersecția tangentei la cerc în punctul T cu tangenta la cerc în punctul B . Lungimea segmentului AC este de 2 cm . (Model oficial EN, 2020)
Fig.III.18
a) Arătați că lungimea cercului de diametru AB este egală cu 8 π cm.
b) Demonstrați că triunghiul ABD este isoscel.
c) Dreptele AT și OC se intersectează în punctul M și dreptele BT și OD se intersectează în punctul N . Demonstrați că aria patrulaterului MONT este egală cu 6,4cm2 .
Soluție.
ℒ = 2πr ⇒ ℒ = 2π 4= 8π cm2
[AC][CT], [AO][OT] ⇒ OC⊥AT ⇒ m(∢TMO)=900
[TD][DB], [TO][OB] ⇒ OD⊥BT ⇒ m(∢TNO)=900
m(∢ATB)=
⇒ patrulaterul MONT este dreptunghi
TCO, m(∢T)=900 ⇒TC2+TO2=CO2 ⇒ CO=
Teorema catetei ⇒ TO= ⇒MO=
Teorema înălțimii ⇒ MT
CM⇒ SMONT=L l= cm2
Problema 2. În figura de mai jos este schița unui teren în formă de dreptunghi ABCD cu AB =10m și AD =10m . Punctul M este mijlocul laturii AB și punctul N este punctul de intersecție a dreptelor CM și BD .
Fig.III.19
a) Arătați că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 2 100 m2 .
b) Demonstrați că măsura unghiului BNC este egală cu 90° .
c) Demonstrați că punctul A este situat pe mediatoarea segmentului ND .
Soluție.
a) 𝓐ABCD=l L= 10 10=100 cm2.
b) CMB, m(∢B)=900 ⇒ CB2+MB2=CM2 ⇒ CM=
ABD, m(∢A)=900 ⇒ AD2+AB2=DB2 ⇒ DB=⇒ BO=
ABC, BO mediană, CM mediană ⇒ N centru de greutate
Fie N′ astfel încât BN′⊥CM⇒ BN BN ⇒ N=N′ ⇒ BN⊥CM
Fie Q mijlocul [ND]. Demonstrăm că AQ⊥ND
Fie ANBC{P}, N centru de greutate al triunghiului ABC ⇒AP mediană
APB, m(∢B)=900 ⇒ PB2+AB2=AP2 ⇒ AP=
AP ⇒AN=AD=10 cm⇒ ADN isoscel, AQ mediană ⇒ AQ mediatoarea segmentului ND.
Problema 3. Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel ABCD cu AB ⃦CD , CD 12 m , AD =BC 24m și m (∢BAD) 45 . Punctul M este piciorul perpendicularei din D pe dreapta AB , O este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului ABCD și E este punctul de intersecție a dreptelor AD și BC .
a) Arătați că AM 12 m .
b) Determinați aria triunghiului AEB .
c) Punctul P este mijlocul laturii AB . Demonstrați că punctele P , O și E sunt coliniare.
Fig.III.20
Soluție.
ADM, DM⊥AB ⇒ m(∢M)=900
m(∢A)=450⇒ cos A ⇒ cos 45o ⇒ AM cm.
DCAB ⇒ EDCEAB⇒ ⇒ k= ⇒ k=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ cm2
= =
P mijlocul laturii [AB]
AEB:
⇒ isoscel, EP mediană ⇒ EP înălțime⇒ EP⊥AB
AOB:
⇒ isoscel, OP mediană ⇒ OP înălțime⇒ OP⊥AB
EP⊥AB, OP⊥AB ⇒ dreptele EP și OP coincid ⇒E, O, P coliniare
Problema 4. În figura de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD cu ABCD, AB=12 cm, CD=4cm și m(ABC)60. Paralela prin B la dreapta AC intersectează dreapta CD în punctul P.
Fig.III.21
Arătați că măsura unghiului ADC este egală cu 1200.
Arătați că aria patrulaterului ABPD este egală cu 56 cm2.
Se consideră punctul M, mijlocul segmentului AB și N, punctul de intersecție a dreptelor PM și BC. Demonstrați că lungimea segmentului BN este mai mică decât 2,7 cm.
Soluție.
Folosind proprietatea conform căreia unghiurile alăturate unei laturi neparalele în trapez sunt suplementare m(ADC) 1800 – m(BAD) 1800 – 600= 1200.
Fie DEAB.
În ADE, AE= = 4 cm.
m(DAE) 600
tg A = tg 600 = = DE= 4
ABPC paralelogram, CB diagonală SACB = SCBP
SABPD = SABCD + SPCB = = 32 + 24 = 56 cm2 .
Problema 5. În figura de mai jos este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB 6 cm și BC 10 cm. Punctele M și N sunt situate pe laturile BC, respectiv AD, astfel încât BM 8 cm și AN 2 cm. Punctul E este proiecția punctului D pe dreapta MN.
Fig.III.22
Arătați că perimetrul patrulaterului ABCD este egal cu 32 cm.
Demonstrați că triunghiul DEN este dreptunghic isosocel.
Demonstrați că, dacă BFMN, F MN, atunci BEDF este paralelogram.
Soluție.
ABCD este dreptunghi PABCD= 2L+2l= 32 cm.
Punctul E este proiecția punctului D pe dreapta MN m(DEN) 900 EDN este dreptunghic.
Construim MP AD DP=CM= 2 cm, PN=6 cm
În triunghiul MPN, m(P) 900MN=6 cm (Teorema lui Pitagora).
DMN: DE MN= MP DN
DE 6= 6 8 DE= = 4 cm.
În triunghiul DNE, EN2= DN2 – DE2 EN=4 cm DE=EN EDN este isoscel.
Fig.III.23
DN BM DNEBMF și cum DN=BM DNEBMF DE=BF. Dar DEBF BEDF este paralelogram.
În subiectele de Bacalaureat, problemele de geometrie a triunghiului apar la exercițiile 5 și 6 de la I. Se pune accentul pe noțiuni de trigonometrie aplicate în triunghi, Teorema sinusurilor, Teorema cosinusurilor, operații cu vectori precum și probeleme de rezolvare a triunghiului dreptunghic. Iată câteva exemple de probleme tipice cuprinse în subiecte de bacalaureat:
Problema 1.Să se calculeze sin A, știind că în triunghiul ABC se cunosc AB= 4, BC= 2 și m(C)=600.
Soluție.
Aplicăm teorema sinusurilor .
BC= a = 2
AB=c = 4
m(C)=600 4 sinA= 2 sin A= .
Problema 2. Să se calculeze măsura unghiului A, știind că în triunghiul ABC se cunosc latura BC=10 și raza cercului circumscris egală cu 10.
Soluție.
Din teorema sinusurilor sinA= m(A)=300
Problema 3. În triunghiul ABC se cunosc AB=AC=6 și BC=6. Să se calculeze cosB.
Soluție.
Aplicăm teorema cosinusurilor și obținem
cosB== = m(B)=300.
Problema 4. Să se calculeze perimetrul triunghiului MNP, știind că MN=2, MP=3 și m(NMP)=1200.
Soluție.
Fig.III.24
Aplicăm teorema cosinusurilor și obținem
cosM= =4 + 9 – 12 cos1200
cos1200= cos(1800 – 600) = – cos600= –
=19 NP=
PMNP= MN+NP+PM= 2+ + 3= 5+
Problema 5. Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic cu aria egală cu 18 și măsura unui unghi egală cu 450.
Soluție.
Fie ABC, m(A)=900 și m(B)=450 ABC este dreptunghic isoscel AB=AC
SABC= = 18 c2= 36 AB=AC=6.
Problema 6. Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic ABC cu m(A)=900 are loc
AD2= ABACsinA unde D este piciorul înălțimii din A.
Soluție.
Fig.III.25
DAB, m(ADB)=900 sinB=
DAC, m(ADC)=900 sinC=
Înmulțind cele două relații membru cu membru obținem AB⸱AC⸱sinA⸱sinC= AD2.
Problema 7. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,-3) și B(2, -2). Deetrminați ecuația dreptei d care trece prin A și este perpendicular pe AB.
Soluție.
mAB= – 1 și cum AB d md = 1.
d: y – yA = m(x – xA) y + 3= 1(x – 3)
y = x – 6
III.9 Proiecte didactice
PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI-a
Matematică
UTILIZAREA APLICAȚIILOR QUIZIZZ ȘI GEOGEBRA ÎN PREDAREA GEOMETRIEI
DISCIPLINA: Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Noțiuni geometrice fundamentale. Unghiuri
TITLUL LECȚIEI: Unghiuri în jurul unui punct. Suma măsurilor lor
TIPUL LECȚIEI : Lecție de fixare a cunoștințelor
DURATA : 50 minute
SCOPUL : Dobândirea capacității
Profesor : Stemate Ana-Maria
Clasa : a VI-a B
COMPETENȚE GENERALE:
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE:
1.5. Recunoașterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configurații date
2.5. Recunoașterea coliniarității unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare
3.5. Utilizarea unor proprietăți referitoare la distanțe, drepte, unghiuri, cerc, pentru realizarea unor construcții geometrice
4.5. Exprimarea prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific geometric, a noțiunilor legate de dreaptă, unghi, cerc
5.5. Analizarea seturilor de date numerice sau a reprezentărilor geometrice în vederea optimizării calculelor cu lungimi de segmente, distanțe, măsuri de unghiuri și de arce de cerc
6.5. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de unghiuri.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECIFICE:
O1. Să recunoască într-o configurație geometrică unghiurile în jurul unui punct
O2. Să determine măsurile unghiurilor în jurul unui punct aplicând noțiunile cunoscute
O3. Să argumenteze corespunzător transpunând în limbaj/ notații geometrice, rezultatele obținute.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE: Conversația, povestea, explicația, jocul, exercițiul individual.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT: Tabletele cu aplicațiile Quizizz și GeoGebra, videoproiectorul, fișa de lucru.
FORME DE ORGANIZARE : Frontal și individual
BIBLIOGRAFIE :
Dan Zaharia, Maria Zaharia, Algebră, geometrie, culegere de exerciții și probleme pentru clasa a VI-a, Editura Paralela 45
Tatiana Udrea, Daniela Nițescu, Matematică, Manual pentru clasa a VI-a, Editura Didactică și Pedagogică
Desfășurarea lecției
Anexa 1
Reactualizarea cunoștințelor: test în aplicația Quizizz
https://quizizz.com/admin/quiz/5d9cd4c5993e53001acab651/noiuni-geometrice-fundamentale-despre-unghi
Anexa 2
Dirijarea învățării: exerciții în GeoGebra
Exercițiul 1. (preluat din Ghid clasa a VI-a Math, pag.34.)
Exercițiul 2. Fie trei unghiuri în jurul unui punct BAB′, B′AB′′, B′′AB, cu m(∢BAB′)=110o și m(∢B′AB′′)=150o. Calculați măsura unghiului B′′AB. Pași:
FIȘĂ DE LUCRU
În figura de mai jos avem m (∢AOB) = 42o, m (∢DOC) = 128o și m (∢AOC) = 79o.
Aflați măsurile unghiurilor BOC, AOD
În figura de mai jos avem m (∢AOB) = 38o, m (∢DOC) = 3xo , m (∢BOC) = xo și m(∢AOD) = 2xo. Aflați măsurile unghiurilor ∢BOC, ∢AOD și∢DOC.
Calculați măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente, știind că diferența măsurilor a două dintre unghiuri este de 40o.
Se consideră cinci unghiuri în jurul unui punct, având măsurile exprimate prin numere naturale consecutive. Calculați măsurile unghiurilor.
În figura de mai jos avem m(∢AOB) = xo, m(∢DOC) = 2xo , m(∢BOC) = xo + 30o , m(∢DOE) = xo – 10o și m(∢AOE) = 150o. Aflați măsurile unghiurilor ∢AOB, ∢ BOC, ∢COD, ∢DOE, ∢AOE
PROIECT DIDACTIC
Clasa a VI-a
Matematică
Înțelegerea matematicii utilizând jocul GeoGebra Math Calculators
Clasa a VI-a
Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare
DISCIPLINA: Matematică
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Triunghiul
TITLUL LECȚIEI: Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare
TIPUL LECȚIEI: Lecție de însușire de noi cunoștințe
DURATA: 50 minute
SCOPUL: Dobândirea capacității de a identifica triunghiuri congruente
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse situații matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
COMPETENȚE SPECIFICE:
1.6. Recunoașterea unor elemente de geometrie plană și a noțiunii de triunghi
2.6. Calcularea unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri în cadrul geometriei triunghiului
3.6. Utilizarea criteriilor de congruență și a proprietăților unor triunghiuri particulare pentru determinarea caracteristicilor unei configurații geometrice
4.6. Exprimarea în limbaj geometric a caracteristicilor triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi
5.6. Analizarea unor construcții geometrice în vederea evidențierii unor proprietăți ale triunghiurilor
6.6. Transpunerea, în limbaj specific, a unei situații date legate de geometria triunghiului, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
OBIECTIVE OPERAȚIONALE DERIVATE DIN COMPETENȚELE SPECIFICE:
1. Să distingă cele trei cazuri de congruență a triunghiurilor
2.Să identifice în configurații geometrice, elementele congruente din două triunghiuri congruente.
3. Să utilizeze corect cazurile de congruență pentru stabilirea congruenței a două triunghiuri.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE: Conversația, explicația, exercițiul, munca individuală, tabletele cu jocul GeoGebra Math Calculators, fișe de lucru pentru elevi.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : Tabla, caietul, manualul, fișa de lucru
FORME DE ORGANIZARE : Frontal și individual
BIBLIOGRAFIE :
I. Petrică, V. Bășeanu, I. Chebici, Manual de matematică, clasa a VI-a, Editura Petrion, 2004
Ș. Smărăndoiu, M. Perianu, D. Savulescu, Clubul matematicienilor, Editura Art, 2016
D. Brânzei, D. Zaharia, M. Zaharia, Mate 2015, Editura Paralela 45, 2015
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Anexa 1
Fișa de lucru 1 – Congruența triunghiurilor
Anexa 2: Cele 3 fișe propuse spre rezolvare în clasă
.
Fișa de lucru 3
Dacă și , și calculați perimetrele celor două triunghiuri.
Fie cu A)=65°, Aflați și
Demostrați că dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci perimetrele lor sunt egale.
Fie segmentul [AB] și M mijlocul său. Pe perpendiculara în M pe AB se ia un punct P. Demonstrați că ΔPMA≡ΔPMB.
Se consideră triunghiul și mijlocul segmentului . Se prelungește segmentul cu segmentul , . Să se arate că: și
Capitolul IV. Probleme cu caracter aplicativ
În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucrările [1], [13], [20], [29].
Începutul studiului geometriei, ca orice proces de cunoaștere, este influențat de percepția practică concretă a elevului. Copiii sunt atrași și interesați de problemele practice în care pot aplica noțiunile geometrice studiate. De aceea, ori de câte ori este posibil, profesorul trebuie să facă trimitere la practică. În geometrie sunt destul de numeroase temele care nu au aplicații practice directe, ci servesc numai pentru deducerea altora sau pentru dezvoltarea unui mod util de a gândi. De exemplu, problemele de construcție geometrică nu se întâlnesc în marea lor majoritate în practică. Ele constituie însă un important mijloc de dezvoltare a gândirii, a capacității de a rezolva probleme de geometrie. Aceste cunoștințe au un rol indirect în pregătirea elevilor pentru activitatea practică. Ele dezvoltă de asemenea gândirea științifică și priceperea de a rezolva probleme, iar pe de altă parte ele oferă posibilitatea de a dobândi conștient alte cunoștințe de geometrie care au aplicații practice directe.
Deoarece aplicarea în practică a cunoștințelor de geometrie este destul de dificilă, profesorul trebuie să urmărească cu perseverență această problemă. Pentru a rezolva probleme practice elevii trebuie să învețe să afle unghiul a două direcții și să rezolve probleme de aflare a unor distanțe. Aplicațiile practice încep cu astfel de probleme pentru a ajunge la adevărate probleme practice, care de obicei sunt mai complexe.
Dintre cunoștințele predate în ciclul gimnazial, cele mai multe aplicații practice le au asemănarea, relațiile metrice și cunoștințele de geometrie în spațiu.
Pentru elevi, cele mai accesibile sunt problemele de calcul: aflarea unei lungimi sau arii, aflarea unei laturi a unui triunghi dreptunghic, calculul unei suprafețe, etc. Se rezolvă mai întâi astfel de probleme de geometrie pentru ca elevii să câștige priceperile necesare rezolvării lor. După aceea, profesorul trebuie să prezinte probleme practice a căror rezolvare revine, din punct de vedere geometric, la rezolvarea problemelor de mai sus. În urma rezolvării lor, elevii aprofundează cunoștințele, acestea căpătând un grad de conștiență mai mare. În capitolele de geometrie plană în care se studiază relațiile de egalitate și poziție, sunt mai puține prilejuri de rezolvare a unor probleme practice. Legarea de practică are mai mult aspectul unei legări de concret, de realitatea obiectivă și de activitatea elevilor. Cel mai folosit mijloc este accentul pe construcția figurilor. Elevii intuiesc proprietățile care apar pe figurile construite. Când construcția se face pe teren, legarea de concret este și mai evidentă. Intuirea unei proprietăți pe baza figurii desenate reprezintă calea cea mai folosită prin care elevii iau la cunoștință noțiuni geometrice. Însușirea oricărei proprietăți, a oricărei teoreme de geometrie cuprinde două aspecte: înțelegerea conținutului și demonstrarea adevărului acestuia. Cel mai bun mod de înțelegere a unei proprietăți este descoperirea ei. Atunci când elevii descoperă prin observarea figurilor o proprietate, e clar că au și înțeles-o. Ținând cont de caracterul concret al gândirii elevilor, ei pot desprinde proprietățile cel mai ușor prin observarea unor exemple. Intuirea pe această bază a proprietății provoacă o satisfacție care antrenează elevii.
Observarea proprietăților geometrice, precum și aplicare celor deja asimilate se realizează foarte eficient prin lucrări practice și exerciții efectuate de elevi în clasă sau în afara clasei, cu ajutorul instrumentelor de măsurat sau al unor aparate simple. Noile tendințe, precum și evoluția tehnologiei, înlocuiesc lucrările practice în afara sălii de clasă cu simulări virtuale ale aplicațiilor practice.
Formele sub care se prezintă lucrările practice la geometrie sunt multiple. Câteva exemple ar fi:
Mânuirea instrumentelor pentru măsurat lungimi,
Aprecierea distanțelor și aprecierea rezultatelor unor operații efectuate pe teren,
Măsurători pe teren,
Confecționarea de material didactic(figuri din carton, machete)
Realizarea unor simulări grafice prin intermediul aplicațiilor pe calculator.
Lucrările practice contribuie la consolidarea cunoștințelor și la formarea deprinderilor de mânuire a instrumentelor și aparatelor necesare. Pentru efectuarea lucrărilor practice la matematică este necesar să se asigure școlii o bază materială. Este de preferat să existe un cabinet de matematică în care să se poată desfășura pregătirea lecțiilor de lucrări practice, folosind aparatele și instrumentele necesare. Se impune existența materialelor necesare confecționării planșelor, graficelor, modelelor de corpuri geometrice. Sunt necesare instrumente pentru trasarea liniilor drepte, instrumente pentru măsurat lungimi, riglă gradată, compas, șubler.
Pregătire unei lucrări practice se face amănunțit. Este necesar ca în prealabil profesorul să execute lucrarea practică, pentru a-și da seama de materialele necesare, etapele ce trebuie parcurse, interpretarea și verificarea rezultatelor, greutățile ce pot apărea pe parcursul lucrării, măsurile ce pot fi luate pentru evitarea accidentelor și a rezultatelor false. Ținând cont de locul unde se desfășoară lucrarea practică la geometrie, lucrările pot fi împărțite în lucrări efectuate în clasă, lucrări efectuate în cabinetul de matematică sau lucrări pe teren. Dintre toate acestea cele mai importante sunt lucrările pe teren. Acestea înarmează elevii cu deprinderi practice și contribuie la dezvoltarea reprezentărilor spațiale. Pe teren este îndepărtată monotonia spațiului restrâns al clasei, iar mediul dinamic cere elevilor formarea de noi deprinderi, adaptarea la noul mediu și la condițiile de lucru.
Lucrările practice de început constau în deprinderea trasării unor linii drepte sau a unor unghiuri drepte cu ajutorul echerului topografic, măsurarea unor unghiuri, a unor suprafețe.
Ca o disciplină largă, cu nenumărate aplicații, matematica este în mod inerent practică. Deși nu există lipsă de matematică în viața de zi cu zi, o zonă care domină existența noastră de zi cu zi este geometria. La urma urmei, în fiecare zi întâlnim o gamă largă de forme geometrice, cum ar fi călătoria în metrou cilindric sau autobuzele dreptunghiulare, traversarea râurilor peste poduri arcuite și lucrul și trăirea în clădiri dreptunghiulare.
Iar pentru cadrele didactice, presate de timp și lipsite de idei de lecții antrenante, geometria în arhitectură este un subiect minunat. La urma urmei, formele în design structural sunt omniprezente (dar ușor de trecut cu vederea pentru că sunt atât de comune) și, cel mai bine, toate sunt practice. Există nenumărate proiecte care pot fi făcute cu acest subiect.
Triunghiurile posedă o serie de avantaje cheie care le fac ideale atât pentru arhitecți, cât și pentru elevi curioși: aceste forme sunt incredibil de comune și ușor de aplicat și de utilizat în viața de zi cu zi.
Forța unui triunghi derivă din forma sa, care răspândește forțe în mod egal între cele trei laturi ale sale. Indiferent de tipul de triunghi folosit într-o structură (isoscel, scalen sau echilateral), triunghiurile sunt stabile, întrucât sunt în mod inerent rigide, cele trei părți întărindu-se reciproc. După cum a explicat un gânditor Redditor, unghiurile unui triunghi se vor deforma înainte ca părțile să cedeze. Mai simplu spus, nu există nicio modalitate de a deforma un triunghi fără a-l distruge în proces.
Acesta poate fi un experiment excelent pentru elevi. În timp ce podurile gumdrop reprezintă în mod tradițional introducerea unui elev în arhitectură, acest plan de lecție duce conceptul cu câțiva pași mai departe, obligând echipele de elevi să se gândească atât din perspectiva unui planificator urban cât și a unui inginer civil. O altă sugestie bună este ca aceștia să facă structuri de testare la efort, care sunt întărite cu șuruburi triunghiulare. Acest experiment îi determină pe elevi să formeze diverse forme și să evalueze puterea cu greutăți reale. Atunci când efectuează acest experiment, elevii ar trebui să acorde atenție la două lucruri: în primul rând, cât de mult poate suporta fiecare structură înainte de prăbușire și, în al doilea rând, modul în care fiecare structură se dezintegrează. Laturile cedează mai întâi? Sau unghiurile se deformează până când materialul nu mai poate suporta sarcina? Această distincție va fi importantă pentru consolidarea calităților unice ale triunghiurilor și de ce sunt mult mai puternice decât alte forme.
[30]
IV.1 Determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Geometria triunghiului este folosită ca unealtă de lucru în determinarea distanței dintre două puncte accesibile și vizibile.
Fie punctele A și B, a căror distanță trebuie determinată fără să fie măsurată direct.
Pentru realizarea experimentului elevii au nevoie de jaloane,ruletă, țăruși, creion, caiet pentru măsurători. Determinarea distanței se poate face folosind mai multe metode.
Folosim congruența triunghiurilor
Se alege un punct oarecare O, unde se așează vertical un jalon.
Se aliniază coliniar cu O și A jalonul C, iar cu O și B jalonul D.
Se măsoară OA și OB
Pe direcția AOC se fixează jalonul A′, iar pe direcția BOD jalonul B′, astfel încât OA′=OA și OB′=OB.
Se măsoară distanța A′B′. Distanța A′B′ reprezintă distanța AB.
Explicație: Triunghiurile AOB și A′OB′ sunt congruente.
Fig. IV.1
Folosim proprietatea liniei mijlocii
Aliniem jalonul M cu O și A și jalonul N cu O și B, astfel încât MA=MO și NB=NO, și măsurăm distanța MN.
Aliniem jalonul M′ cu O și A și jalonul N′ cu O și B, astfel încât OM′= ½ OA și ON′=1/2 OB, apoi măsurăm distanța M′N′. Distanța AB va fi egală cu dublul distanței M′N′.
Explicație: MN este linie mijlocie în triunghiul AOB, și cum triunghiurile MON și M′ON′ sunt congruente, rezultă că MN=M′N′. Deci AB=2MN=2M′N′.
Fig. IV.2
Folosim asemănarea triunghiurilor
Aliniem jaloanele A′ cu O și A și B′ cu O și B, astfel încât OA′= 1/10 ·OA și OB′=1/10·OB.
Măsurăm distanța A′B′ . Distanța AB= 10·A′B′.
Explicație: Triunghiurile OAB și OA′B′ sunt asemenea deci .
Observație: Dacă distanțele OA și OB sunt mari atunci se pot considera OA′=1/100·OA și OB′=1/100·OB.
Fig. IV.3
Folosind unghiurile de 45o, 30o, 60o și Teorema lui Pitagora.
Din A și B trasăm direcțiile Ax și Bx care să facă unghiul de 60o și 30o cu AB. Ax și Ay se intersectează în O.
Măsurăm distanțele AO și BO. Distanța AB= .
Explicație: triunghiul AOB este dreptunghic, deci putem aplica Teorema lui Pitagora.
Observație:
Putem folosi unghiul de 45o. Din A și B se trasează Ax și By care fac împreună cu AB unghiuri de 45o și se intersectează în O. Se măsoară distanța AO sau OB și atunci AB=OA.
Fig. IV.4
Fig. IV.5
IV.2 Determinare distanței dintre două puncte vizibile, dar numai unul accesibil
Determinarea lățimii unui râu.
Fără nici un instrument sau aparat, stând în poziție de drept, elevul situat în punctul B vizează punctul A pe malul opus prin marginea vizierii șepcii. Elevul face stânga împrejur și vizează tot pe sub marginea șepcii un punct pe teren, măsurând apoi distanța BA′, care reprezintă lățimea BA a râului. Este vorba aici despre congruența a două triunghiuri dreptunghice care au o catetă comună (înălțimea elevului) și câte un unghi ascuțit alăturat cu măsuri egale.
Fig. IV.6
Procedeul folosit duce la rezultate aproximative. Pentru obținerea rezultatelor cât mai apropiate de realitate, elevii își vor da silința să execute lucrarea cât mai corect. Aceasta duce la întărirea simțului de răspundere față de o anumită sarcină.
O variantă mai riguroasă de determinare o reprezintă cea în care se folosește echerul topografic.
Se așează echerul în B și se trasează direcțiile AB′BA′ și CBD perpendicular una pe cealaltă.
Se consideră distanțele BC și BD egale și se măsoară unghiul ACB=α.
În D se construiește unghiul BDA′=α. Lățimea râului este egală cu BA′-BB′, distanțe care pot fi măsurate.
Explicație: Triunghiurile dreptunghice ABC și DBA, având câte o catetă și un unghi respectiv congruente, sunt congruente.
Observație: Cunoscând CB și α se poate calcula cateta AB folosind relația AB=BC·tgα.
Determinarea lungimii unui obstacol
Se fixează jaloane în A și B și se trasează AA′ și BB′ astfel încât AA′⊥BB′ și unghiul ABB′ să aibă măsura de 45o sau de 60o. Direcțiile trasate se intersectează în C.
Se măsoară distanța AC=AB (dacă unghiul B are măsura de 45o), sau distanța BC (dacă unghiul B are măsura de 60o)
Folosind cunoștințele de trigonometrie, având unghiul B cu măsura α, se poate calcula AB folosind una din relațiile:
AB=BC·cosα sau AB=AC·ctgα.
Fig. IV.7
IV.3 Determinarea distanței între două puncte vizibile, dar ambele inaccesibile
Fie de determinat distanța AB între punctele A și B inaccesibile, dar vizibile (de exemplu, două puncte pe malul unui râu).
Se alege un punct oarecare M pe malul opus.
Se trasează MC astfel încât punctele A, M, C să fie coliniare.
Se trasează dreapta BD astfel încât M(BD).
Se măsoară unghiul AMB=α.
Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MC până în B′, când distanța AB se vede sub unghiul α/2 (măsura unghiului MB′B să fie egală cu α/2).
Se deplasează aparatul de măsurat unghiuri pe direcția MD până în A′, când distanța AB se vede sub unghiul α/2 (măsura unghiului MA′A să fie egală cu α/2).
Se măsoară distanța A′B′, care este egală cu distanța AB ce trebuie determinată.
Explicație: Triunghiul AMA′ este isoscel, deoarece dacă unghiul MA′A=α/2 iar unghiul AMB=α este exterior triunghiului, rezultă că și unghiul MAA′=α/2. Analog se demonstrează și că triunghiul BMB′ este isoscel. Triunghiurile AMB și A′MB′ sunt congruente, deci AB=A′B′.
Fig. IV.8
IV.4 Determinarea distanței între două puncte accesibile, dar despărțite între ele printr-un obstacol care împiedică vizibilitatea dintr-un punct în altul
Ne propunem să măsurăm lungimea clădirii școlii.
Se alege pe teren un punct O și se trasează direcțiile OA și OB
Se consideră jaloanele N și M astfel încât OM=MA și ON=NB.
Se trasează direcția MNM′.
Se trasează direcțiile Ox și Oy și se determină intersecția dreptei MM′ cu aceste direcții. Fie P și Q aceste intersecții.
Se măsoară OP și OQ și apoi se determină punctele C și D astfel încât OP=PC și OQ=QD.
Se obține CD prelungirea dreptei AB.
Folosind proprietatea liniei mijlocii în triunghi se poate determina astfel BC.
Fig. IV.9
IV.5 Determinarea înălțimilor cu baza accesibilă
prin folosirea umbrei formată pe pământ de corpul a cărui înălțime trebuie determinată
Fie AB=h înălțimea ce trebuie determinată și AC umbra acesteia.
Măsurăm lungimea umbrei, AC=d.
În D fixăm un jalon de lungime cunoscută, b și măsurăm umbra DF formată de jalon. Fie DF=d′.
Înălțimea AB și jalonul DE, fiind perpendiculare pe pământ, sunt paralele între ele. Se formează astfel două triunghiuri asemenea BAC și FDE. Rezultă de aici că h/b=d/d′ și deci h=b/d′·d.
Fig. IV.10
Este interesant de amintit aici procedeul prin care Pitagora a determinat înălțimile piramidelor din Egipt.
Prin folosirea unei oglinzi
Procedeul duce la rezultate dorite numai dacă terenul pe care se așează oglinda este perfect orizontal. Fie h înălțimea ce trebuie determinată și l un baston înfipt în pământ.
Se așează oglinda O între H și l, astfel încât raza incidentă BO să se reflecte după direcția OB′.
Se formează triunghiurile asemenea OAB și OA′B′ și deci H/l=d/d′.
Obținem H=d/d′·l.
Fig. IV.11
IV.6 Aplicații practice ale noțiunilor de trigonometria triunghiului
În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucrarea [27].
Trigonometria înseamnă pur și simplu calcule cu triunghiuri (de aici provine tri). Este un studiu al relațiilor în matematică care implică lungimi, înălțimi și unghiuri ale diferitelor triunghiuri. Primele noțiuni au apărut în timpul secolului al III-lea î.Hr., de la aplicațiile geometriei până la studii astronomice. Trigonometria își răspândește aplicațiile în diferite domenii precum arhitectură, inginerie, astrofizică, fizică și chiar criminalistică.
Înainte de a trece la detaliile aplicațiilor sale, să răspundem la o întrebare: ce domeniu științific a folosit prima dată trigonometria?
Răspunsul imediat așteptat ar fi matematica, dar nu se oprește acolo. Chiar și fizica folosește o mulțime de concepte despre trigonometrie. Un alt răspuns, conform lui Morris Kline, în cartea sa numită „Gândirea matematică de la antichitate până în prezent”, a afirmat că „trigonometria a fost dezvoltată pentru prima dată în legătură cu astronomia, cu aplicații pentru navigație și construcția de calendare. Aceasta a fost în urmă cu aproximativ 2000 de ani. Geometria este mult mai veche, iar trigonometria este bazată pe geometrie ”. Cu toate acestea, originile trigonometriei pot fi atribuite civilizațiilor din Egiptul Antic, Mesopotamia și India în urmă cu mai bine de 4000 de ani.
Pornind de la elementele de bază, poate fi utilizată trigonometria în viața de zi cu zi? Trigonometria poate să nu aibă aplicațiile sale directe în rezolvarea problemelor practice, dar este folosită în diverse lucruri de care ne bucurăm atât de mult. De exemplu, muzica, după cum știți că sunetul călătorește în valuri și acest model, deși nu este la fel de regulat ca o funcție sinusoidală, este încă util în dezvoltarea muzicii pe calculator. În mod evident, un computer nu poate să asculte și să înțeleagă muzica așa cum facem noi, astfel încât computerele o reprezintă matematic prin undele sale sonore. Și asta înseamnă că inginerii de sunet trebuie să cunoască cel puțin elementele de bază ale trigonometriei.
Trigonometria poate fi folosită pentru a măsura înălțimea unei clădiri sau a munților: dacă știți distanța de unde observați clădirea și unghiul de ridicare puteți găsi cu ușurință înălțimea clădirii. În mod similar, dacă aveți valoarea unei părți și unghiul de depresiune din partea de sus a clădirii puteți găsi și o altă latură în triunghi, tot ce trebuie să știți este o latură și un unghi al triunghiului.
Trigonometrie în tehnica zborului:
Inginerii de zbor trebuie să țină cont de viteza, distanța și direcția acestora, împreună cu viteza și direcția vântului. Vântul joacă un rol important în cum și când va ajunge un avion acolo unde este nevoie, acesta este rezolvat folosind vectori pentru a crea un triunghi folosind trigonometria pentru a rezolva. De exemplu, dacă un avion călătorește la 234 mph, 45 grade N de E și există un vânt care suflă spre sud la 20 mph. Trigonometria va ajuta să rezolvați pentru acea a treia parte a triunghiului dvs. Care va conduce avionul în direcția corectă, avionul va călători efectiv cu forța vântului adăugat la cursul său.
Trigonometrie în fizică:
În fizică, trigonometria este utilizată pentru a găsi componentele vectorilor, modelarea mecanicii undelor (atât fizice cât și electromagnetice) și a oscilațiilor, însumează puterea câmpurilor și utilizează produse punct și încrucișat. Chiar și în mișcarea proiectilului aveți multă aplicare de trigonometrie.
Arheologii folosesc trigonometria?
Trigonometria este utilizată pentru a împărți în mod corespunzător siturile de excavare în zone de lucru egale. Arheologii identifică diferite instrumente utilizate de civilizație, iar trigonometria îi poate ajuta în aceste săpături. De asemenea, o pot folosi pentru a măsura distanța față de sistemele de apă subterane.
Trigonometrie în criminologie:
În criminologie, trigonometria poate ajuta la calcularea traiectoriei unui proiectil, la estimarea a ceea ce ar fi putut cauza o coliziune într-un accident de mașină sau cum a căzut un obiect de undeva sau în ce unghi a fost împușcat un glonț etc.
Trigonometrie în biologia marină;
Biologii marini folosesc adesea trigonometria pentru a stabili măsurători. De exemplu, pentru a afla cum nivelurile de lumină de la diferite adâncimi afectează capacitatea algelor de a se fotosinteza. Trigonometria este utilizată pentru a găsi distanța dintre corpurile cerești. De asemenea, biologii marini utilizează modele matematice pentru a măsura și înțelege animalele de mare și comportamentul acestora. Biologii marini pot folosi trigonometria pentru a determina mărimea animalelor sălbatice de la distanță.
Trigonometrie în inginerie marină:
În inginerie marină, trigonometria este utilizată pentru construirea și navigarea navelor marine. Pentru a fi mai specifică trigonometria este utilizată pentru proiectarea rampei marine, care este o suprafață înclinată pentru conectarea zonelor de nivel inferior și superior, poate fi o pantă sau chiar o scară în funcție de aplicarea sa.
Alte utilizări ale trigonometriei:
Se folosește în oceanografie pentru calcularea înălțimii valurilor din oceane. Funcțiile sinusși cosinus sunt fundamentale pentru teoria funcțiilor periodice, cele care descriu undele de sunet și lumină.
Trigonometria poate fi folosită pentru acoperișul unei case, pentru a face acoperișul înclinat (în cazul bungalourilor individuale) și înălțimea acoperișului în clădiri etc.Este utilizată pentru industria navală și a aviației. Este utilizată în cartografie (crearea hărților). De asemenea, trigonometria are aplicațiile sale în sistemele prin satelit.
Problemă. Un observator măsoară un unghi vertical α la orizontul mării, dintr-un punct A, de pe acoperișul unui bloc situat pe țărm.Cunoscând raza R a Pământului, să se calculeze înălțimea blocului.
Notăm înălțimea blocului AB cu x, unghiul vertical ∢CAO cu α și complementul său cu β.
Avem R=OA·cosβ= (R+x)·cosβ. De aici rezultă x= și deci x=.
Fig. IV.12
Problemă. Să se calculeze înălțimea unei statui așezată pe un piedestal situat într-un loc inaccesibil.
Fie o bază AB care se poate măsura, situată în plan orizontal și în același plan vertical cu statuia.
Se măsoară din A unghiurile verticale ale punctelor D și E și din B unghiul vertical al punctului E.
Observăm că ∢AEB=∢CAE-∢CBE, deci AE= .
Dar ∢DAE=∢EAC-∢DAC, deci DE=.
Fig. IV.13
Problemă. Cunoscând trei puncte pe un teren, A, B, C, se cere să se găsească poziția unui al patrulea punct M, din care se văd segmentele AB și BC sub unghiurile α și β. (Problema hărții)
Poziția punctului M este dată de intersecția arcelor cercurilor descrise pe AB și BC. Problema este nedeterminată dacă M aparține cercului circumscris triunghiului ABC.
Considerăm unghiurile ∢MAB=x și ∢MCB=y. Avem x+y+α+β+B= 360o, deci x+y=360o- α – β – B.
Măsurăm AB=a, BC=b și ∢ABC=B.
În ∆ABM și în ∆BCM avem și de unde .
Notăm .
Avem , deci , de unde
.
Cum , deci .
Obținem astfel .
Din relațiile de mai sus putem calcula x și y. Deci construind dreptele AM și CM, găsim punctul M rezultat din intersecția lor.
Fig. IV.14
IV.7 Triangulația
În redactarea acestui capitol am urmărit îndeaproape lucrarea [28].
În trecut, a fost dificil să se măsoare cu exactitate distanțe foarte lungi, dar a fost posibil să se măsoare cu exactitate unghiurile dintre puncte aflate la mulți ilometric distanță. Aceasta ar putea fi oriunde de la câțiva ilometric, la 50 de ilometric sau mai mult. Triangulația este o metodă de sondare care măsoară unghiurile dintr-un triunghi format din trei puncte de control al sondajului. Folosind trigonometria și lungimea măsurată dintr-o singură parte, se calculează celelalte distanțe din triunghi. Forma triunghiurilor este importantă, deoarece există o mulțime de inexactități într-un triunghi, dar ideal este unul cu unghiuri de bază de aproximativ 45 de grade.
Fiecare dintre distanțele calculate este apoi utilizată ca o parte într-un alt triunghi pentru a calcula distanțele până la un alt punct, care la rândul său poate porni un alt triunghi. Acest lucru se face de câte ori este necesar pentru a forma un lanț de triunghiuri care leagă punctul de origine la controlul sondajului în locul necesar. Unghiurile și distanțele sunt apoi utilizate cu poziția inițială cunoscută și formulele complexe, pentru a calcula poziția (Latitudine și Longitudine) din toate celelalte puncte din rețeaua de triangulație. Deși calculele utilizate sunt similare cu trigonometria predată în liceu, deoarece distanța dintre punctele de sondaj este în general lungă (de obicei aproximativ 30 de kilometri), calculele permit, de asemenea, determinarea curburii Pământului. Distanța măsurată în primul triunghi este cunoscută sub numele de „Linia de bază” și este singura distanță măsurată ; toate celelalte sunt calculate din aceasta și unghiurile măsurate. Înainte de anii ‘50, această distanță inițială de bază trebuia să fie foarte atent măsurată cu lungimi succesive de tije a căror lungime era cunoscută cu exactitate. Aceasta a însemnat că distanța ar fi relativ scurtă (poate un kilometru sau cam așa ceva) și că ar fi într-o zonă destul de plană, cum ar fi o vale sau o câmpie. Triunghiurile măsurate din aceasta au crescut treptat ca mărime. Unghiurile din triunghiuri sunt măsurate folosind un teodolit, care este un instrument cu un telescop conectat la două cercuri rotative (unul orizontal și unul vertical) pentru a măsura unghiurile orizontale și verticale. Un teodolit de bună calitate utilizat pentru sondajele geodezice ar fi gradat la 0,1 secunde dintr-un arc, iar un unghi rezultat din măsurători repetate ar avea de obicei o precizie de aproximativ 1 secundă de arc, ceea ce este echivalent cu aproximativ 5 cm pe o distanță de 10 kilometri. În triangulație nu sunt necesare unghiurile verticale, dar pot fi utilizate pentru a măsura diferența de înălțime între puncte.
Sondajul triunghiular a fost introdus pentru prima dată de un bărbat olandez pe nume Sneli.
Triangulație de supraveghere
Triangulația este preferată pentru dealuri și zone ondulate, deoarece este ușor să stabiliți stații la distanțe rezonabile între ele. În zonele plane și aglomerate, acesta nu este potrivit deoarece intervisibilitatea stațiilor este afectată. Dificultatea este depășită prin construirea turnurilor, care este destul de costisitoare.
Principalul dezavantaj al triangulării este acumularea de eroare în lungimi și direcție a liniilor, deoarece ambele, pentru linii succesive, depind de calculele pentru cele ale liniei precedente, ceea ce necesită bazele de verificare.
Operațiuni în triangulație :
Munca de teren a unei triangulații se realizează în următoarele operații bine definite : recunoaștere, pregătirea stației, măsurarea de bază, măsurarea unghiurilor. Pe lângă munca de teren, triangulația constă în specificații, proiectarea stațiilor și semnalelor și reducerea și ajustarea observațiilor.
Aplicații ale supravegherii triunghiului :
Stabilirea punctelor de control localizate cu precizie pentru sondajele geografice și plane ale suprafețelor mari.
Stabilirea punctelor de control amplasate cu exactitate în legătură cu cercetarea aeriană.
Amplasarea exactă a proiectelor de inginerie, cum ar fi liniile de centru, punctele terminale și arbori pentru tuneluri lungi, și liniile de centru și butoanele pentru poduri cu distanță lungă.
Fig. IV.15. Un sistem format din stații de triangulație conectate de un lanț de triunghiuri.
IV. 8 Aplicații practice ale geometriei prin mijloace digitale
Termenii și conceptele noi sunt mai ușor de înțeles prin mijloace digitale decât cu tabla clasică și creta. Profesorii au înțeles că există o schimbare structurală a mentalității generațiilor, că rolul lor va deveni în curând cel al unui coach și că predarea unidirecțională nu mai este interesantă pentru generațiile care au acces la minunile moderne ale digitalului. Folosirea instrumentelor digitale reprezintă o metodă eficientă de combatere a absenteismului și a abandonului școlar, în cazul copiilor cu rezultate slabe la învățătură. În cazul elevilor cu rezultate medii și bune la învățătură, aceste metode sunt folosite și apreciate pentru că oferă feedback imediat, îi motivează să se autodepășească și să se dezvolte la nivel personal.
Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale digitale în procesul instructiv-educativ:
▪ Oferă elevilor un instrument modern și atractiv de exersare a noțiunilor teoretice și de formare a competențelor specifice
▪ Elevii pot colabora, pot învăța împreună sau pot concura unii cu alții
▪ Fiecare elev poate lucra în ritm propriu, fiind esențial progresul fiecăruia raportat la nivelul inițial
▪ Crește interesul elevilor pentru studiul prin integrarea educației digitale în demersul didactic
▪ Elevii se pot autoevalua, putând vizualiza la final soluția corectă pentru fiecare întrebare la care au răspuns eronat
▪ Îmbină metodele didactice tradiționale cu cele moderne
▪ Stimulează capacitățile de învățare
▪ Crește motivația elevilor
▪ Instalează un climat de autodepășire, competitivitate
▪ Întreține un nivel ridicat al atenției
▪ Stimulează gândirea logică și imaginația
▪ Asigură un feedback rapid
▪ Corectarea greșelilor se face rapid
▪ Stabilirea unor măsuri de remediere bazate pe feedback-ul primit
▪ Utilizare aplicaților de către elevi se poate face utilizând diferite dispozitive IT (tabletă, telefon mobil, PC)
În predarea matematicii folosind resursele digitale se pot folosi aplicații descărcate pe dispozitivele IT dar și aplicații disponibile online, pe diverse site-uri de sprecialitate.
Fig. IV.16
Iată câteva site-uri în care se pot accesa aplicații utile predării geometriei:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_en.html
Fondat în 2002 de către laureatul Nobel Carl Wieman, PhET Interactive Simulations este un proiect al Universității Colorado ce oferă simulări și experimete interactive de matematică și alte științe. Aplicațiile PhET se bazează pe cercetări riguroase și conduc elevii către o învățare prin explorare și descoperire.
https://www.geogebra.org/m/jfp2XqFw
Simulator pentru adunarea și descompunerea vectorilor.
Fig. IV.17
Fig. IV.18.Simulator- metoda celor mai mici pătrate
Fig. IV.19. Simultor- calculul și reprezentare grafică a funcțiilor trigonometrice
https://www.geogebra.org/
GeoGebra este un software matematic dinamic pentru toate nivelurile de educație care combină geometria, algebra, foile de calcul, graficele, statistica și analiza într-un singur pachet ușor de utilizat. GeoGebra este o comunitate rapid crescătoare de milioane de utilizatori situați în mai toate țările lumii. GeoGebra a devenit furnizorul principal de software matematic dinamic, ajutând educția de științe, tehnologie, inginerie și matematică (STEM) și inovația în domeniul educației în lumea întreagă.
Fig. IV.20. Exemplu de construcție folosită în capitolul ”Asemănarea triunghiurilor”
https://www.mathwarehouse.com/
Este un site dedicat lecțiilor dinamice de matematică, incluzând demonstrații și activități interactive.
Fig. IV.21. Joc interactiv de calcul pentru unghiul exterior unui triunghi
https://www.mathplayground.com/TransformationWorkshop/index.html
Acest site educațional este destinat elevilor claselor 1-6 și include spații de lucru matematice, în predarea geometriei putând fi folosită tabla geometrică de lucru”geoboard”
Fig. IV.22. Construcția simetricelor pe tabla geometrică
Utilizarea resurselor digitale reprezintă o sursă inepuizabilă de materiale didactice, antrenând capacitatea de concentrare a elevilor și percepția practică a noțiunilor geometrice studiate. Noile tendințe în educație aduc în prim-plan digitalizarea procesului educativ folosită ca metodă de apropiere a elevului de matematică, de transpunere a noțiunilor teoretice în practică, dar și de înlocuire a aplicațiilor practice realizate în trecut pe teren cu simulări virtuale.
Bibliografie
Bogdanov Z., Călugărița GH., Opreanu E., Sandu M., Metodica predării geometriei, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Coța A., Rado M., Răduțiu M., Vornicescu F., Matematică – Geometrie și trigonometrie- Manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1997.
Ganga M., Matematică- Manual pentru clasa a IX-a, Editura MathPress, Ploiești, 2004.
Ganga M., Matematică- Manual pentru clasa a X-a , Editura MathPress, Ploiești, 2001.
Ianuș S., Soare N., Niculescu L., Tena M., Probleme de geometrie și trigonometrie pentru clasele IX – X, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
Ion V., Enache M., Spiță A., Geometrie plană pentru gimnaziu, Editura Univers-Mat, Brăila, 1994.
Iurea Gh., Luchian D., Popa G., Zanoschi A., Matematică- Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
Iurea Gh., Zanoschi A., Matematică- Algebră, Geometrie: clas a VII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2016.
Lupu C., Săvulescu D., Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Pitești, 2000.
Negrilă A., Negrilă M., Matematică: Algebră, Geometrie: clasa a VII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2014.
Nicolae S., Chilom I., Sas M., Matematică- exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, Editura Booklet, București, 2017.
Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică București, 1990.
Peligrad S., Țurcanu A., Popa Ș., Teste de evaluare standard- clasa a VII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2014.
Perianu M., Stănică C., Balica I., Matematică pentru Evaluarea Națională, Editura Art Educațional, București, 2017.
Pervain I., Baicu V., Matematică, jurnal de vacanță – clasa a VI-a, Editura Delfin, București, 2013.
Petrică I., Ștefan C., Matematică- probleme pentru clasele V-VIII, Editura Petrion, București, 1995
Radu D., Radu E., Matematică, manual pentru clasa a VII-a, Editura Teora, București, 2011.
Săvulescu D., Sinteze teoretice pentru pregătirea Evaluării Naționale, Editura Art, București, 2016.
Simionescu D. GH., Geometrie analitică, Manual pentru clasa a XI-a , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1970
Stoka M., Raianu M., Mărgăritescu E., Culegere de probleme de trigonometrie pentru licee, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Teodorescu N., Societatea de Științe Matematice din România, Gazeta matematică, nr. 1-5, București, 1985.
Tudor I., Matematică- algebră, geometrie- Modalități de lucru diferențiate, clasa a VII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
Țițeica G, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1965.
Udriște C., Tomuleanu V., Geometrie analitică, manual pentru clasa a XI-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995.
Zanoschi A., Iurea Gh., Popa G., Răducanu P., Șerdean I., Matematică- Teste pentru Bacalaureat, Editura Paralela 45, Pitești, 2016.
http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei
https://www.embibe.com/exams/real-life-applications-of-trigonometry/
https://www.icsm.gov.au/education/fundamentals-mapping/surveying-mapping/surveying-methods
https://medium.com/@SwunMath/geometry-in-everyday-life-architecture-458501acada7
https://www.digitaliada.ro/materiale-digitaliada
https://www.viitoriolimpici.ro/
https://www.didactic.ro/pregatire-bac/aplicatii-ale-trigonometriei-in-geometrie
Index de notații
Notăm cu:
[AB] segmentul închis determinat de punctele A,B
(PQ) segmentul deschis determinat de punctele P,Q
(AB semidreapta cu originea în punctul A
[ABC] suprafața triunghiulară
H ortocentrul triunghiului
G centrul de greutate al triunghiului
O centrul cercului circumscris triunghiului
I centrul cercului înscris triunghiului
vector legat
| | lungimea vectorului
segmente orientate echipolente
vectorul liber
vectorul nul
φ [ 0, π ] unghiul dintre și .
x produsul scalar al vectorilor și
A(xA, yA) punctul de coordonate xA si yA
mAB panta dreptei AB
d(M,d) distanța de la punctul M la dreapta d
𝓐, S aria triunghiului
P semiperimetrul triunghiului
a latura (BC) a triunghiului ABC
b latura (AC) a triunghiului ABC
c latura (AB) a triunghiului ABC
r raza cercului circumscris triunghiului
R raza cercului circumscris triunghiului
ℒ lungimea cercului
simAEB simetricul punctului B față de dreapta AE
prAB P=M proiecția pe latura AB a punctului P este punctul M
Index de noțiuni
A
asemănare
axiomă
aplicație digitală
B
bisectoare
C
cazuri de asemănare
catetă
centru de greutate
centrul cercului circumscris triunghiului
centrul cercului înscris triunghiului
cerc circumscris triunghiului
cerc înscris triunghiului
Cercul lui Euler
Ceva
ceviene
ceviene izogonale
coliniar
concluzie
concurente
congruență
contrapoziție
D
demonstrație
demonstrație analitico-sintetică
descoperirea didactică
dreaptă
dreapta Lemoine
drepte concurente
drepte paralele
drepte perpendiculare
dreapta lui Simson
dreapta lui Lemoine
dreapta ortică
E
echipolent
echivalență
exercițiul didactic
G
geometrie
GeoGebra
I
Implicație logică
interiorul unui triunghi
intersecție
ipoteză
ipotenuză
Î
înălțime
J
jalon
L
laturile triunghiului
linie mijlocie
linie poligonală
linie poligonală închisă
M
mediană
mediatoare
medie proporțională
metoda analitică
metoda analizei
metoda reducerii la absurd
metoda sintezei
metoda vectorială
metode de rezolvare
minim
maxim
mulțime
mulțime convexă
mulțime vidă
O
observația didactică
ortocentru
ortopolul dreptei față de triunghi
P
panta dreptei
paralel
paralelogram
patrulater inscriptibil
perpendicular
PheT
piciorul înălțimii
plan
poligon convex
prima bisectoare
produs scalar
produs vectorial
proiecție ortogonală
punct
puncte coliniare
punctul lui Torricelli
Q
Quizizz
R
raport de asemănare
relații metrice
Relația lui Stewart
reducere la absurd
S
segment
segment orientat
segmente proporționale
simulator
suprafață triunghiulară
T
tangenta la cerc
teoremă
Teorema lui Carnot
Teorema lui Ceva
Teorema lui Gergonne
Teorema lui Heron
Teorema lui Menelaus
Teorema lui Thales- pag. 16
Triangulația
trigonometrie
triunghi ascuțitunghic
triunghi dreptunghic
triunghi echilateral
triunghi isoscel
triunghi oarecare(scalen)
triunghi obtuzunghic
triunghi ortic
V
vârful liniei poligonale
vârfurile triunghiului
vector
vector legat
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I [306405] (ID: 306405)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.