LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI D IDACTIC I Coordonator științific, Conf. Univ. Dr. , Dana Piciu Candidat, Popescu Ion,… [602993]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI D IDACTIC I

Coordonator științific,
Conf. Univ. Dr. , Dana Piciu

Candidat: [anonimizat],
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni,
Comu na Scoarța, Gorj
Seria 2017 -2019

1
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE

“ INEGALITĂȚI ALGEBR ICE. APLICAȚII ÎN
MATEMATICA PREUNIVER SITARĂ ”

Coordonator științific,
Conf. Univ. Dr. , Dana Piciu

Candidat: [anonimizat],
Școala Gimnazială S coarța – Structura Budieni,
Comuna Scoarța, Gorj
Seria 2017 -2019

2

3

CUPRINS
Introducere …………………………………………………………………………………………. 5
Motivația alegerii temei ……………… ………………………… ………………………… ….6
I. Mulțimea numerelor reale.
Introducere ……………………………………………………. ………………………… …7
1.1 Corp ordonat. Șiruri infinite și limite într-un corp ordonat …………. ….8
1.2 Mulțimea numerelor reale …………………….. ………………………… …12
1.3 Corpul numerelor reale ………………………………… ………………………… .14
1.3.1 Mulțimea numere lor reale este un inel comutativ ……… ……14
1.3.2 Scufundarea canonică a lui ℚ în ℝ ………….. ………………… ..17
1.3.3 Mulțimea numerelor reale pozitive ………………………….. …. 18
1.3.4 Mulțimea numerelor reale este un corp ordonat ……… ……20
1.4 Relația dintre ℝ și ℚ ………………………………… ………………………… ..21
1.5 Mulțimea ℝ este un corp complet …………………………. …………… …23

II. Inegalități algebrice clasice
2.1 Inegalitatea mediilor și aplicații …………….. ………………………… ..25
2.2 Inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwarz și aplicații …….. ……..32
2.3 Inegalitatea lui M inkowski și aplicații ……………………………… ..37
2.4 Inegalitatea lui Young și inegalitatea lui H ölder ………………. ……………. …38
2.5 Inegalitatea lui C ebâșev și aplicații …………. ……….. …40
2.6 Formula lui A bel, inegalitatea rearanjamentelor și aplicații …………… .45
2.7 Inegalitatea lui B ernoulli ……………………….. ………………………… .49
2.8 Forma integrală a inegalității Cauchy -Buniakowski -Schwarz și aplicații ….49
2.9 Forma integrală a inegalității lui H ölder ……………………………… ..52
2.10 Forma integrală a inegalității M inkowski și aplicații ……………….. …….54
2.11 Forma integrală a inegalității C ebâșev și aplicații …………….56

4

III. Metode de obținere a unor inegalități
3.1 Principiul trinomului ……….. …………….. ………………………… ..59
3.2 Metoda reducerii la absurd ………………………. ………………………… ..63
3.3 Metoda inducției matematice ……………………….. ………………………… .67
3.4 Monotonia funcțiilor ……………………….. ………………………… .73
3.5 Convexitatea și C oncavitatea ……………………….. ………………………… .78

IV. Considerații metodice privind predarea inegalităților algebrice în ciclul gimna zial
4.1 Inițiere în studiul inegalităților ……………… ………………………. …84
4.1.1 Metoda factorului comun. ……………… ………………………… .84
4.1.2 Metoda S.O.S ………………………….. ……………….. ……..88
4.1.3 Inegalitatea me diilor ( cazul particular n = 2 ) …………………… …94
4.1.4 Inegalitatea Cauchy –Buniakowski –Schwarz ( cazul particular n = 3 ).102
4.1.5 Aplicații ale inegalitățile algebrice în geometrie ………….109
4.2 Proiec t de curs opțional pentru clasa a VIII –a ……………… .114
4.3 Fișe de lucru și teste. Interpretarea rezultatelor obți nute la teste . …124
Concluzii finale …………………………………………………………………………………….. …..139
Bibliografie ……………………………………………………………… …………………………. 140

5

INTRODUCERE

Societatea umană a parcurs un drum lung de la începuturile ei și până în preze nt. De -a
lungul mileniilor s -au succedat numeroase civilizații care au lăsat urme ale trecerii lor prin
istorie. Unele dintre aceste civilizații au avut realizări deosebite în multe domenii. Dintre toate
aceste realizări se remarcă cele din domeniul tehnic .
Este suficient să amintim de civilizația egipteană, de civilizația din America de Sud și de
civilizațiile din Europa (cea greacă și cea romană).
Toate societățile dezvoltate au realizat importanța matematicii și a rolului pe care acestea îl are în
puner ea în practică a aspirațiilor omenești. Studiul matematicii a căpătat astfel o importanță
deosebită. Creșterea nivelului de cunoștințe matematice și aplicarea lor în practică a devenit un
țel pentru savanții vremii. Odată cu trecerea timpului a crescut și numărul domeniilor de
activitate în care matematica să poată fi aplicată.
În viață sunt numeroase momente când trebuie să facem o alegere sau când ne
confruntăm cu o situație complexă. Matematica ne arată că există un singur mod corect de a
proceda și anum e să investigăm și să ajungem la o concluzie.
Acest lucru este cu atât mai valabil în societatea modernă. În prezent, nu există domenii de
activitatea în care matematica să nu -și fi adus contribuția. Știința, tehnologia și ingineria, atât de
importante pen tru succesul oricărei țări, nu se pot dezvolta fără profesioniști care să aibă o
pregătire matematică solidă.
O pregătire matematică solidă dezvoltă capacitatea de a propune ipoteze, experimente, a
analiza datele și a recunoaște tipare. Studierea matematic ii nu contribuie doar la creșterea
numărului de ingineri și oameni de știință, ci și la creșterea numărului de cetățeni care pot învăța,
gândi creativ și critic, indiferent de domeniile lor de activitate. Prin relația sa cu celelalte
discipline exacte mate matica ne ajută să înțelegem fenomenele care guvernează lumea și să
găsim soluții la problemele ce apar odată cu dezvoltarea societății.

6

MOTIVA ȚIA ALEGERII TEMEI

Relația de inegalitate are un rol important în demonstrarea multor rezultate matematice.
Cunoașterea inegalităților remarcabile, a tehnicilor și metodelor întrebuințate în demonstrarea
inegalităților algebrice devine imperativă.
Lucrarea “ Inegalități algebrice. Aplicații în matematica preuniversitară ” își propune să
vină în ajutorul elevilor care sunt la început de drum în ceea ce privește studiul inegalităților, dar
și a elevilor care se pregătesc pentru concursurile școlare.
Această lucrare poate fi consultată și de către profesorii care doresc să prezinte elevilor
de la clasă metode și apli cații ce depășesc structura manualului școlar. Lucrarea este structurată
pe 4 capitole.
În primul capitol “Mulțimea numerelor reale” se construiește mulțimea numerelor reale
ℝ cu ajutorul șirurilor Cauchy de numere raționale și se demonstrează că mulțimea ℝ este un
corp complet.
În cadrul celui de -al doilea capitol “Inegalități algebrice clasice” sunt prezentate o serie
de inegalități algebrice remarcabile și aplicații ale acestor inegalități. În unele cazuri este
prezentată și forma integral ă a acestor in egalități.
În capitolul 3 “Metode de obținere a unor inegalități” sunt expuse câteva metode folosite
în mod curent la demonstrarea inegalităților algebrice.
În capitolul 4 “Considerații metodice privind predarea inegalităților algebrice în ciclul
gimnazial ” sunt expuse dificultățile ce intervin în predarea inegalităților algebrice la o clasă de
nivel mediu și sunt prezentate câteva metode și exerciții care să facă acest demers să fie unul
reușit. În cadrul acestui capitol este prezentat și un proiect de cur s opțional împreună cu fișele de
lucru și testele aferente, precum și interpretarea acestor teste.
Ultima parte a lucrări este rezervată concluziilor finale.

7

CAPITOLUL I

MULȚIMEA NUMERELOR REALE.

INTRODUCERE

Considerăm un pătrat cu lungimea lat urii de 1cm. Se poate demonstra foarte ușor că
diagonala pătratului are lungimea egală cu
2 cm .
Acest lucru se poate scrie sub forma d 2 =2, unde d este lungimea diagonalei. Apare însă o
problemă: nu există un număr rațional cu a ceastă proprietate.
Presupunem prin reducere la absurd că există d ∈ ℚ astfel încât d 2 =2. Putem scrie
mdn ,
unde m, n sunt numere naturale nenule și ( m, n) = 1. Înlocuind d cu
m
n se obține m2 = 2n2.
Rezultă că m este număr par. Scriem m = 2i . Înlocuind m cu 2i și efectuând calculele ajungem la
concluzia că și n este număr par. Cum m și n sunt numere pare rezultă că (m, n) > 1 . Am obținut
o contradicție cu ipoteza. Am demonstrat astfel că nu e xistă un număr rați onal cu proprietatea
din enunț. Această observație ne arată că mulțimea ℚ nu conține toate numerele necesare pentru
a rezolva probleme elementare de geometrie. Apare astfel necesitatea de a se construi o mulțime
de numere mai bogată decâ t mulțimea numerelor raționale. Această mulțime se notează cu ℝ și
se numește mulțimea numerelor reale. Orice număr real care nu este număr rațional se numește
număr irațional. Construcția mulțimii numerelor reale se va realiza cu ajutorul șirurilor Cauchy
de numere raționale. Numerele reale vor fi definite ca și clase de echivalență de șiruri Cauchy de
numere raționale.
Teorema principală a acestui capitol este aceea că mulțimea ℝ este un corp complet . Mai
întâi se discută despre șiruri infinite. La începu t vor fi necesare șiruri de numere raționale.
Totuși, multe dintre rezultatele obținute pe parcurs se pot extinde la alte corpuri ordonate. În
multe cazuri, în loc să se demonstreze teoreme pentru ℚ, se vor demonstra teoreme pentru un
corp ordonat κ, unde κ = ℚ sau ℚ ⊂ κ .

8
1.1 CORP ORDONAT. ȘIRURI INFINITE ȘI LIMITE
ÎNTR -UN CORP ORDONAT

1.1.1 Definiție:
Fie κ un corp comutativ înzestrat cu o relație de ordine ≤ . Dacă această relație satisface
următoarele proprietăți:
i.
a b a c b c     , oricare ar fi a, b, c ∈ κ
ii.
a b a c b c     , oricare ar fi a, b, c ∈ κ , c≥ 0
iii.
,a b k a b   sau b ≤ a , atunci spunem că acest corp este un corp ordonat.

1.1.2 Definiție: Fie κ un corp ordonat și a ∈ κ .
Se numește modulul lui a ( sau valoarea absolută a lui a ) și se notează | a |,
un element din κ dat prin: | a | =
,0
,a dac ă 0 < a sau a
a dac ă a < 0  

Funcția modul are următoarele proprietăți:
i. | a | = 0 , dacă și numai dacă a = 0
ii. | a ∙ b | = | a | ∙ | b | , oricare ar fi a, b ∈ κ
iii. | a + b | ≤ | a | + | b | , oricare ar fi a, b ∈ κ .
În cele ce urmează se va lucra cu șiruri infinite incluse într -un corp ordonat κ.

1.1.3 Definiție:
Fie un corp ordonat κ și un șir ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ . Un număr ℓ ∈ κ este limi ta șirului
( xi )i ≥ 0 dacă pentru orice ε ∈ κ , ε pozitiv , există n ∈ ℕ , astfel încât | xi − ℓ | < ε , oricare ar fi i
∈ ℕ , i ≥ n .
Nu toate șirurile au limită. Un șir care are limită se numește șir convergent. Un șir care nu
are limită se numește ș i divergent.

9
1.1.1 Teoremă:
Limita unui șir convergent inclus într -un corp ordonat este unică.
Demonstrație:
Presupunem prin reducere la absurd că șirul (xi) i ≥ 0 ⊂ κ are două limite distincte, ℓ 1 și ℓ 2 .
Fie
12
2
. Limitele ℓ1 și ℓ 2 fiind distincte, rezultă că ε este pozitiv.
Există n1 , n2 ∈ ℕ astfel încât | xi − ℓ1 | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 1 și | xi − ℓ2 | < ε , oricare
ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 2 . Fie n3 = max ( n1, n2 ).
| ℓ1 − ℓ 2 | = | (ℓ 1 − xi) + (xi − ℓ 2) | ≤ | ℓ 1 − xi | + | xi − ℓ 2 | < ε + ε
Am obținut | ℓ 1 − ℓ 2 | < 2 ε = | ℓ1 − ℓ 2 | . Contradicție cu ipoteza.
Rezultă că limita șirului (xi) i ≥ 0 este unică.

1.1.2 Teoremă:
Fie un corp ordonat κ și (xi) i ≥ 0 un șir convergent inclus în κ.
Atunci, oricare ar fi ε ∈ κ , ε pozitiv , există n ∈ ℕ , astfel încât | xi – xj | < ε , oricare ar fi
i, j ∈ ℕ , i ≥ n, j ≥ n.
Demonstrație:
Notăm cu ℓ limita șirului (xi) i ≥ 0 . Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ .
Există n ∈ ℕ , astfel încât | xi − ℓ | <
2 , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n .
Avem | xi − ℓ | <
2 și | xj − ℓ | <
2 pentru i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n .
Atunci , pentru i ≥ n , j ≥ n , avem:
| xi – xj | = |(xi – ℓ) + (ℓ – xj)| ≤ | xi – ℓ | + | ℓ – xj | <
2 +
2 = ε

1.1.4 Definiție:
Fie κ un corp ordonat și (xi) i ≥ 0 un șir infinit inclus în κ . Spunem că șirul (xi) i ≥ 0 este
un șir Cauchy dacă su nt îndeplinite următoarele condiții: oricare ar fi ε ∈ κ , ε pozitiv , există n
∈ ℕ , astfel încât | xi – xj | < ε , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n.

1.1.1 Propoziția:
Orice șir Cauchy (xi) i ≥ 0 inclus într -un corp ordonat κ este mărginit super ior și inferior

10

Demonstrație:
Există n ∈ ℕ , astfel încât | xi – xj | < 1, oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n.
Rezultă că xi – xj < 1 sau xi < 1 + xj , pentru i ≥ n , j ≥ n . Dacă j = n, atunci xi < 2 + xn ,
pentru i ≥ n .
Fie A = max { x0 , x1 , ……. , xn−1 , 2 + xn }. Avem xi < 1 + A , oricare ar fi i ∈ ℕ .
Am demonstrat că șirul (xi) i ≥ 0 este mărginit superior. În mod similar se poate
demonstra că șirul este mărginit inferior.

1.1.5 Definiție:
Fie κ un corp ordonat și (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , (yi) i ≥ 0 ⊂ κ . Dacă pentru orice ε ∈ κ , ε pozitiv,
există n ∈ ℕ astfel încât | xi – xi | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n , atunci scriem
(xi) ∼ (yi).

1.1.3 Teoremă:
Relația ∼ este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor șirurilor (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , unde κ
este un corp ordonat.

Demonstrație:

i. Reflexivitatea
Demonstrăm că (xi) ∼ (xi) , oricare ar fi (xi) i ≥ 0 ⊂ κ .
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ . Alegem n = 1. Dacă i ≥ n , atunci | xi – xi | = 0 < ε.
Rezultă că (xi) ∼ (xi).

ii. Simetria
Fie (xi) i ≥ 0 ⊂ κ și (yi) i ≥ 0 ⊂ κ . Presupunem că ( xi) ∼ (yi) și demonstrăm că
(yi) ∼ (xi).
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ. Avem (xi) ∼ (yi). Rezultă că există n ∈ ℕ astfel
încât | xi – yi | < ε, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n .
Dar | yi – xi | = | (− 1) ∙ (xi – yi) | = |− 1| ∙ | xi – yi | = | xi – yi | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n .
Rezultă că (yi) ∼ (xi ).

11
iii. Tranzitivitatea
Fie (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , (yi) i ≥ 0 ⊂ κ și (zi) i ≥ 0 ⊂ κ .
Presupunem că ( xi) ∼ (yi) , (yi) ∼ (zi) și demonstrăm că ( xi) ∼ (zi).
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ . Avem ( xi ) ∼ (yi) și (yi) ∼ (zi).
Există n1 , n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – yi |<
2, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 1 și |yi – zi |<
2 , oricare
ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 2 . Notăm n3 = max ( n1 , n2 ).
Dacă i ≥ n 3 , atunci | xi – zi | = | (xi – yi ) + ( yi – zi ) | ≤ | xi – yi | + | yi – zi | <
2 +
2= ε.
Rezultă că (xi) ∼ (zi).

1.1.2 Propoziția:
Fie κ un corp ordonat și (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , (yi) i ≥ 0 ⊂ κ .
Dacă șirul (xi) i ≥ 0 este un șir convergent și (xi) ∼ ( yi ), atunci șirul (yi) i ≥ 0 este
convergent și are aceeași limită ca șirul (xi) i ≥ 0 .
Demonstrație :
Fie șirurile (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , (yi) i ≥ 0 ⊂ κ și ε un element pozitiv arbitrar din κ .
Notăm cu ℓ limita șirului (xi) i ≥ 0 . Există n1, n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – ℓ | <
2 ,
oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 1 și | xi – yi | <
2, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 2 .
Notăm n3 = max ( n1, n2 ). | yi – ℓ | = | yi – xi | + | xi – ℓ | < | yi – xi | + | xi – ℓ | <
2 +
2= ε
oricare ar fi i ≥ n 3 . Rezultă că șirul ( yi ) i ≥ 0 este convergent și limita lui este ℓ .

1.1.3 Propoziția:
Fie κ un corp ordonat și (xi) i ≥ 0 ⊂ κ , (yi) i ≥ 0 ⊂ κ . Dacă șirul (xi) i ≥ 0 este un șir
Cauchy și (xi) ∼ (yi), atunci șirul (yi) i ≥ 0 este un șir Cauchy .

Demonstrați e:
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ . Există n1 , n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – xj | <
3 , oricare ar fi
i, j ∈ ℕ , i ≥ n 1 , j ≥ n1 și | xi – yi | <
3 , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n 2 .
Fie n3 = max ( n1 , n2 ).

12
| yi – yj | = | ( yi – xi ) + ( xi – xj ) + ( xj – yj ) | ≤
≤ | yi – xi | + | xi – xj | + | xj – yj | <
3 +
3+
3= ε , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n 3 , j ≥ n3.
Rezultă că ( yi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy .
În concluzie, dacă unul dintre șiruri este un șir Cauchy , atunci ambele sunt șiruri Cauchy ,
iar dacă unul dintre șiruri este convergent , atunci ambele șiruri este convergent , atunci ambele
șiruri sunt conv ergente și au aceeași limită.

1.2 MULȚIMEA NUMERELOR REALE
Principiul care stă la baza construcției mulțimii numerelor reale este acela că fiecare șir
Cauchy de numere raționale determină un număr real, iar șirurile echivalente determină același
număr real .
Cu alte cuvinte, fiecare șir Cauchy dintr -o clasă de echivalență [( xi)i ≥ 0 ] determină același
număr real. Astfel, numerele reale vor fi definite ca fiind clase de echivalență de șiruri Cauchy
de numere raționale.

1.2.1 Definiție: Fie (xi)i ≥ 0 un șir Cauc hy de numere raționale și [(xi) i ≥ 0] clasa de
echivalență ce conține șirul (xi) i ≥ 0 în raport cu relația de echivalență ∼ definită pe
mulțimea șirurilor de numere raționale. Numim [ ( xi ) i ≥ 0] un număr real.

1.2.2 Definiție: Mulțimea numerelor reale est e definită astfel:
ℝ = { [( xi ) i ≥ 0] | ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy de numere raționale }

1.2.3 Definiție:
Fie numerele reale [( xi ) i ≥ 0] și [ ( yi ) i ≥ 0] . Definim pe ℝ operațiile de adunare și
înmulțire, astfel:
[( xi ) i ≥ 0] + [( yi ) i ≥ 0] = [ ( xi + yi ) i ≥ 0]
[( xi ) i ≥ 0] ∙ [( yi ) i ≥ 0] = [ ( xi yi ) i ≥ 0]
În cele ce urmează se va demonstra că cele două operații sunt corect definite .

13
1.2.1 Propoziția:
Fie un corp ordonat κ și ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ , ( yi ) i ≥ 0 ⊂ κ . Dacă ( xi ) i ≥ 0 și ( yi ) i ≥ 0 sunt
șiruri Cauchy , atunci șirurile ( xi + yi ) i ≥ 0 și ( xi ⋅ yi ) i ≥ 0 sunt șiruri Cauchy.
Demonstrație:
i. Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ . Există n1 , n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – xj | <
2 ,
oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n 1 , j ≥ n 1 și | yi – yj | <
2 , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n 2 , j ≥ n 2
Notăm n3 = max ( n1 , n2 ).
| ( xi + yi ) | − | ( xj + yj ) | = | ( xi – xj ) + ( yi – yj ) | ≤ | xi – xj | + | yi – yj | <
2+
2= ε , oricare ar fi
i, j ∈ ℕ , i ≥ n 3 , j ≥ n 3 .
Rezultă că șirul ( xi + yi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy .

ii. Șirurile ( xi ) i ≥ 0 și ( yi ) i ≥ 0 fiind șiruri Cauchy , rezult ă că sunt mărginite.
Există A ∈ κ și B ∈ κ astfel încât | xi | < A, pentru i ≥ 0 și | yi | < B, pentru i ≥ 0 . Există
n1 , n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – xj | <
2B , oricare ar fi i, j ∈ ℕ, i ≥ n 1, j ≥ n 1 și
| yi − yj | <
2A , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n 2 , j ≥ n 2 .
Fie n3 = max ( n1 , n2 ).
| xi yi − xj yj | = | xi yi − x j yi + xj yi − x j yj | ≤
≤ | xi yi − xj yi | + | xj yi − x j yj | = | yi ∙ ( xi − xj ) | + | xj ∙ ( yi − yj ) | =
= | yi | ∙ | xi − xj | + | xj | ∙ | yi − yj | < B ∙
2B + A ∙
2A =
2+
2= ε, oricare ar fi
i, j ∈ ℕ , i ≥ n 3 , j ≥ n 3 .
Rezultă că șirul ( xi⋅ yi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy .

1.2.2 Propoziția:
Fie κ un corp ordonat și ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ , ( yi ) i ≥ 0 ⊂ κ , ( zi ) i ≥ 0 ⊂ κ .
Dacă ( xi ) ∼ ( yi ), atunci ( xi + zi ) ∼ ( yi + zi ).
Demonstrație:
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ. Există n ∈ ℕ astfel încât | xi – yi | < ε,
oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n
| ( xi + zi ) | − | ( yi + zi ) | = | xi – yi | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n
Rezultă că ( xi + zi ) ∼ ( yi + zi ).

14
1.2.3 Propoziția:
Fie κ un corp ordonat și ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ, ( yi ) i ≥ 0 ⊂ κ, ( zi ) i ≥ 0 ⊂ κ șiruri Cauchy .
Dacă ( xi ) ∼ ( yi ), atunci ( xi zi ) ∼ ( yi zi ).
Demonstrație:
Șirul ( zi ) i ≥ 0 este un șir mărginit.
Există A ∈ κ astfel încât | zi | < A, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ 0 . Fie ε un element pozitiv
arbitrar din κ . Există n ∈ ℕ astfel încât | xi – yi | <
A pentru i ≥ n.
| xi zi – yi zi | = | zi ∙ ( xi – yi ) | = | zi | ∙ ( xi – yi ) | < B ∙
B = ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n .
Rezultă că ( xi zi ) ∼ ( yi zi ).

1.3 CORPUL NUMERELOR REALE

1.3.1 MULȚIMEA NUMERELOR REALE ESTE UN INEL COMUTATIV

1.3.1.1 Teoremă:
Operațiile de adunare și înmulțire pe ℝ sunt comutative și asociative.
Demonstrație:
Considerăm numerele reale a = [ ( xi ) i ≥ 0 ], b = [ ( yi ) i ≥ 0 ] și c = [ ( zi ) i ≥ 0 ].
a + b = [ ( xi ) i ≥ 0 ] + [ ( yi ) i ≥ 0 ] = [ ( xi + yi ) i ≥ 0 ] = [ ( yi + xi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( yi ) i ≥ 0 ] +[ ( xi ) i ≥ 0 ] = b + a.
(a + b) + c = ( [ ( xi ) i ≥ 0 ] + [ ( yi ) i ≥ 0 ] ) + [ ( zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi + yi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi ) i ≥ 0 ] = [ (( xi + yi ) + zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi + ( yi + zi )) i ≥ 0 ] = [ ( xi ) i ≥ 0 ] + [ ( yi + zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi ) i ≥ 0 ] + ( [ ( yi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi ) i ≥ 0 ] ) = a + ( b + c )

a ∙ b = ( [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( yi ) i ≥ 0 ] ) = [ ( xi yi ) i ≥ 0 ] = [ ( yi xi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( yi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] = b ∙ a
( a ∙ b ) ∙ c = ( [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( yi ) i ≥ 0 ] )∙ [ ( zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi yi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( zi ) i ≥ 0 ] = [ (( xi yi ) zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi ( yi zi )) i ≥ 0 ] = [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( yi zi ) i ≥ 0 ] =
[ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ ( [ ( yi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( zi ) i ≥ 0 ] ) = a ∙ ( b ∙ c )

15

1.3.1.1 Propoziția:
Fie κ un corp ordonat și ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ, unde xi = a ∈κ , pentru i ≥ 0 . Șirul ( xi ) i ≥ 0 este
convergente și are limita a. În particular, șirul ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy .
Demonstrație:
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ.
| xi – a | = | a – a | = 0 < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ 0 . Rezultă că șirul ( xi ) i ≥ 0 este un șir
convergent și are limita a .

1.3.1.2 Teoremă:
Elementul neutru la adunare există și este [(0) i ≥ 0 ] . Elementul neutru la înmulțire există și
este [( 1 ) i ≥ 0 ] .

Demonstrație:
Fie a = [( xi ) i ≥ 0 ] un număr real arbitrar.
a + [( 0 ) i ≥ 0 ] = [( xi ) i ≥ 0 ] + [( 0 ) i ≥ 0 ] = [( xi + 0 ) i ≥ 0 ] = [( xi ) i ≥ 0 ] = a
[( 0 ) i ≥ 0 ] + a = [( 0 ) i ≥ 0 ] + [( xi ) i ≥ 0 ] = [( 0 + xi ) i ≥ 0 ] = [( xi ) i ≥ 0 ] = a

Rezultă că numărul real [ ( 0 ) i ≥ 0 ] este element neutru la adunare.
a ∙ [ ( 1 ) i ≥ 0 ] = [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( 1 ) i ≥ 0 ] = [ ( xi ∙ 1 ) i ≥ 0 ] = [ ( xi ) i ≥ 0 ] = a
[ ( 1 ) i ≥ 0 ] ∙ a = [ ( 1 ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] = [ ( 1 ∙ xi ) i ≥ 0 ] = [ ( xi ) i ≥ 0 ] = a
Rezultă că numărul real [ ( 1 ) i ≥ 0 ] este element neutru la înmulțire.

1.3.1.2 Propozi ția:
Dacă ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy inclus într -un corp ordonat κ , atunci (− xi ) i ≥ 0 este tot un
șir Cauchy.
Demonstrație:
Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ . Există n ∈ ℕ astfel încât | xi – xj | < ε ,
oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n .
| (− xi ) − (− xj ) | = | (− 1 ) ∙ ( xi – xj ) | = (− 1 ) ∙ | xi − x j | = | xi − x j | < ε ,
oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n . Rezultă că (− xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy.

16
1.3.1.3 Teoremă:

Orice element din mulțimea ℝ admite un invers în raport cu operația de adunare.
Demonstrație:
Fie numerele reale a = [ ( xi ) i ≥ 0 ] și b = [ (− xi ) i ≥ 0 ].
a + b = [ ( xi ) i ≥ 0 ] + [ (− xi ) i ≥ 0 ] = [ ( xi − xi ) i ≥ 0 ] = [ ( 0 ) i ≥ 0 ]
b + a = [ (− xi ) i ≥ 0 ] + [ ( xi ) i ≥ 0 ] = [ (−xi + xi ) i ≥ 0 ] = [ ( 0 ) i ≥ 0 ]
Rezultă că b este inversul numărului a

1.3.1.4 Teoremă:

Operația de înmulțire este distributivă față de operația de adunare.
Demonstrație:
Fie numerele reale a = [ ( xi ) i ≥ 0 ], b = [ ( yi ) i ≥ 0 ] și c = [ ( zi ) i ≥ 0 ]
a ∙ ( b + c ) = [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ ( [ ( yi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi ) i ≥ 0 ] ) =
= [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ ( [ ( yi + zi ) i ≥ 0 ] = [ ( xi ∙ ( yi + zi ) ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi yi + xi zi ) i ≥ 0 ] = ( [ ( xi yi ) i ≥ 0 ] + [ ( xi zi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( yi ) i ≥ 0 ] + [ ( xi ) i ≥ 0 ] ∙ [ (zi ) i ≥ 0 ] = a ∙ b + a ∙ c .

( b + c ) ∙ a = ( [ ( yi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi ) i ≥ 0 ] ) ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( yi + zi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] = [ (( yi + zi ) xi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( yi xi + zi xi ) i ≥ 0 ] = [ ( yi xi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi xi ) i ≥ 0 ] =
= [ ( yi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] + [ ( zi ) i ≥ 0 ] ∙ [ ( xi ) i ≥ 0 ] = b ∙ a + c ∙ a .

1.3.1.5 Teoremă:

Mulțimea ℝ, înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire formează un inel comutativ.
Demonstrație:
Având în vedere rezultatele obținute în teoremele 1.3.1.1 , 1.3.1.2 , 1.3.1.3 și 1.3.1.4 , ajungem
la concluzia că ( ℝ , + ; ) este un inel comutativ.

17
1.3.2 SCUFUNDAREA CAN ONICĂ A LUI ℚ ÎN ℝ

1.3.2.1 Teoremă:
Fie κ un corp ordonat și ( xi ) i ≥ 0 ⊂ κ. Șirul ( xi ) i ≥ 0 are limita a dacă și numai dacă
( xi ) ∼ ( ai ) , unde ai = a , oricare ar fi i ∈ ℕ .
Demonstrație:
Presupunem mai întâi că ( xi ) ∼ ( ai ). Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ .
Există n ∈ ℕ astfel încât | xi – ai | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n. Dar ai = 0, pentru i ≥ 0 .
Rezultă că | xi – a | < ε, pentru i ≥ n . Așadar a este limita șirului ( xi ) i ≥ 0 .
Presupunem acum că ș irul ( xi ) i ≥ 0 are limita a . Fie ε un element pozitiv arbitrar din κ .
Există n ∈ ℕ astfel încât | xi – a | < ε , pentru i ≥ n . Dar ai = a , pentru i ≥ 0 .
Rezultă că | xi – a | < ε, pentru i ≥ n . Adică ( xi ) ∼ ( ai ).

1.3.2.2 Teoremă:
Fie un corp ordonat κ și a, b ∈ κ . Presupunem că a ≠ b .
Atunci șirurile ( ai ) i ≥ 0 și ( bi ) i ≥ 0 nu sunt echivalente, unde ai = a , pentru i ≥ 0 și
bi = b, pentru i ≥ 0 .
Demonstrație:
Presupunem că cele două șiruri sunt echivalente. Rezultă că șirurile au aceeași limită.
Obținem a = b . Contradicție cu ipoteza.

1.3.2.1 Propoziția:
Fie numerele raționale distincte a și b . Atunci [( ai ) i ≥ 0 ] diferă de [( bi ) i ≥ 0 ] în ℝ ,
unde ai = a pentru i ≥ 0 și bi = b, pentru i ≥ 0 .
Demonstrație:
Presupunem prin reducere la absurd că [( ai ) i ≥ 0 ] = [( bi ) i ≥ 0 ] . Rezultă că ( ai ) ∼ ( bi ),
contradicție cu teorema 1.3.2 .2

1.3.2.3 Teoremă:
Aplicația f : ℚ → ℝ , f(x) = [( xi )i ≥ 0 ] , unde xi = x pentru i ≥ 0 , este un morfism injectiv.

18
Demonstrație:
Fie x și y numere raționale distincte.
f(x) = [( xi )i ≥ 0] , f(y) = [( yi )i ≥ 0 ]. Avem [ ( xi )i ≥ 0 ] ≠ [( yi )i ≥ 0 ] . Rezultă că f(x) ≠ f(y).

Am demonstrat astfel că aplicația este injectivă.
f( x + y ) = [(x + y ) i ≥ 0 ] = [(xi ) i ≥ 0 ] + [( yi ) i ≥ 0 ] = f(x)+ f(y)
f( x y ) = [(x y ) i ≥ 0 ] = [(xi ) i ≥ 0 ] ∙ [( yi ) i ≥ 0 ] = f(x)∙ f(y)
f(1)= [(1) i ≥ 0 ] .
În continuare, vom nota cu 0 elementul neutru la adunarea în ℝ și cu 1 elementul neutru la
înmulțire în ℝ .

1.3.3 MULȚIMEA NUMERELOR REALE POZITIVE

Pentru a demonstra că ℝ este un corp ordonat este important să se definească mulțimea
numerelor reale pozitive și să se evidențieze proprietățile acestei mulțimi.

1.3.3.1 Definiție:
Un șir Cauchy pozitiv într -un corp ordonat κ este un șir Cauchy ( xi ) i ≥ 0 cu următoarea
proprietate : există un element pozitiv ℓ ∈ κ și un număr n ∈ ℕ astfel încât xi ≥ ℓ , oricare ar fi
i ∈ ℕ , i ≥ n .
Un n umăr real pozitiv este un număr de forma [( xi ) i ≥ 0 ] unde (xi ) i ≥ 0 este un șir
Cauchy pozitiv din mulțimea numerelor raționale .

1.3.3.1 Propoziția:
Fie (xi) i ≥ 0 și (yi) i ≥ 0 două șiruri Cauchy de numere raționale cu proprietatea ( xi ) ∼ ( yi ).
Șirul ( xi) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv dacă și numai dacă șirul (yi) i ≥ 0 este un șir
Cauchy pozitiv.
Demonstrație:
Presupunem că șirul (xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv. Există ℓ > 0 și n1 ∈ ℕ astfel
încât xi ≥ ℓ , oricare ar oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n1 .
Avem ( xi ) ∼ ( yi ) . Există n2 ∈ ℕ astfel încât | xi – yi | <
2
, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n2 .

19
Fie n3 = max ( n1, n2 ). −
2
< xi – yi <
2

yi > xi −
2
> ℓ −
2
=
2
, oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n3
Rezultă că șirul (yi) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv.

1.3.3.1 Teoremă:
Dacă că a, b ∈ ℝ sunt numere reale pozitiv e, atunci numerele reale a + b și a ∙ b sunt
și ele pozitive .
Demonstrație:
Fie a = [( xi ) i ≥ 0 ] și b = [( yi ) i ≥ 0 ] unde ( xi ) i ≥ 0 și ( yi ) i ≥ 0 sunt șiruri Cauchy
pozitive din mulțimea numerelor raționale.
Există numere le raționale pozitive ℓ 1 , ℓ2 și num erele naturale n1, n2 astfel încât xi ≥ ℓ 1 ,
oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n1 și yi ≥ ℓ 2 oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n2 .
Fie n3 = max ( n1, n2 ).
xi + yi ≥ ℓ1 + ℓ 2 = ℓ , unde ℓ este un număr rațional pozitiv.
Rezultă că numărul real a + b este pozitiv .
xi ∙ yi ≥ ℓ 1 ∙ ℓ2 = ℓ , unde ℓ este un număr rațional pozitiv. Rezultă că a ∙ b este un număr
real pozitiv.
În cele ce urmează se demonstrează că pentru orice număr real a are loc doar una dintre relațiile :
( i ) a este pozit iv, ( ii ) a = 0 , sau ( iii ) – a este pozitiv.

1.3.3.2 Propoziția:
Fie a un număr real . Dacă a este pozitiv, atunci a ≠ 0.
Demonstrație:
Presupunem că a este pozitiv și a = 0 în același timp. Scriem a = [(0) i ≥ 0 ] și a = [( xi ) i ≥ 0 ],
unde ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv din mulțimea numerelor raționale.
Din egalitatea [(0) i ≥ 0 ] = [( xi ) i ≥ 0 ] rezultă că (0) ~ ( xi ). Aceasta este o contradicție cu
propoziția 1.3.3 .1

1.3.3.3 Propoziția:
Dacă a este un număr real, atunci nu este posibi l ca a și – a să fie în același timp numere
pozitive.

20
Demonstrație:
Presupunem că ambele numere sunt pozitive. Fie a = [( xi ) i ≥ 0 ] și – a = [(– xi ) i ≥ 0 ],
unde ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv din mulțimea numerelor raționale. Există n umerele
raționale pozitive ℓ 1 , ℓ2 și numerele naturale n1, n2 astfel încât xi ≥ ℓ 1 , oricare ar fi i ∈ ℕ , i
≥ n1 și yi ≥ ℓ 2 oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n2 . Fie n3 = max ( n1, n2 ).
Avem că xi > ℓ 1 și – xi > ℓ 2 , oricare a r fi i ∈ ℕ, i ≥ n3 . Contradicție .

1.3.3.4 Propoziția:

Dacă a ∈ ℝ și a ≠ 0 , atunci a este pozitiv sau – a este pozitiv.
Demonstrație:
Fie a = [( xi ) i ≥ 0 ] , unde ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy inclus în ℚ .
Atunci – a = [(− xi ) i ≥ 0 ] . Avem a ≠ 0, ceea ce implică [( xi ) i ≥ 0 ] ≠ [ ( 0 ) i ≥ 0 ] .
În consecință, șirurile ( xi ) și ( 0 ) nu sunt echivalente . Există un număr rațional pozitiv ε
astfel încât pentru orice n ∈ ℕ există i ≥ n astfel încât | ai – 0 | ≥ ε . Fie ε un număr rațional
pozitiv, ε fixat. Șirul ( xi ) i ≥ 0 fiind un șir Cauchy , rezultă că există n0 ∈ ℕ astfel încât
| xi − xj | <
2 , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n 0 , j ≥ n 0 . Fie i0 ≥ n0 astfel încât | xi0 | ≥ ε .
Ultima relație implică xi0 ≥ ε sau xi0 ≤ − ε. Presupunem că xi0 ≥ ε .
Din inegalitatea | xj − xi0 | <
2 obținem xj > xi0 −
2 ≥ ε −
2 =
2,
oricare ar fi j ∈ ℕ , j ≥ n 0 . Rezultă că a = [( xi ) i ≥ 0 ] este un număr real pozitiv.
Presupunem că xi0 ≤ − ε. În mod similar obținem
xj < xi0 +
2 ≤ − ε +
2 = −
2 , adică − xj ≥
2 oricare ar fi j ∈ ℕ , j ≥ n 0 .
Rezultă că − a = [( xi ) i ≥ 0 ] este un număr pozitiv.

1.3.4 MULȚIMEA NUMERELOR REALE ESTE UN CORP ORDONAT

1.3.4.1 Propoziția:
Fie [( xi ) i ≥ 0 ] un șir Cauchy pozitiv incl us într -un corp ordonat κ .
Atunci există n0 ∈ ℕ astfel încât ( xi-1 ) i ≥n0 este un șir Cauchy

21
Demonstrație:
Șirul ( xi ) i ≥ 0 fiind un șir Cauchy pozitiv , rezultă că există n0 ∈ ℕ și ℓ ∈κ , ℓ pozitiv ,
astfel încât xi ≥ ℓ , pentru i ≥ n 0 . Dacă i ≥ n 0 , atunci xi ≠ 0, deci xi admite un invers.
Avem, xi-1 ≤ ℓ i-1 și xi-1 este pozitiv. Fie ε u n element pozitiv arbitrar din κ .
Șirul ( xi )i ≥ 0 fiind un șir Cauchy , există n1 ∈ ℕ astfel încât | xi − xj | < ε ℓ2 ,
oricare ar f i i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n . Fie n2 = max ( n0, n1 ).
| xi-1 − xj-1 | = | ( xj − xi ) xi-1 xj-1 | = | xj − xi | ∙ | xi-1 | ∙ | xj-1 | = | xj − xi | ∙ xi-1 ∙ xj-1 ≤
≤ | xj − xi | ∙ d -1 ∙ d -1 < ε ∙ d 2 ∙ d -1 ∙ d -1 = ε , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n .
În concluzie, șirul ( xi-1 ) este un șir Cauchy .

1.3.4.1 Teoremă:
Dacă a este un număr real pozitiv, atunci a admite un invers in raport cu operația de
înmulțire.
Demonstrație:
Fie a = [( xi ) i ≥ 0 ] unde ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv de numere raționale .
Am demonstrat că există n0 ∈ ℕ astfel încât șirul ( xi-1 ) i ≥ n0 să fie un șir Cauchy .
Astfel, b = [ ( xi-1 ) i ≥ 0 ] este un număr real.
a ∙ b = [( xi ) i ≥n 0 ] ∙ [(xi-1 ) i ≥ n0 ] = [( xi xi-1 ) i ≥n 0 ] = [( 1 ) i ≥n 0 ]
Operația de înmulțire fiind comutativă, obținem că a admite un invers în raport cu operația de
înmulțire. În mod similar se poate demonstra că orice număr real negativ admite un invers.
În concluzie, orice număr ≠ 0 din ℝ admite un invers în raport cu operația de înmulțire.
Am demonstrat astfel că ℝ este un corp ordonat.

1.4 RELAȚIA DINTRE ℝ ȘI ℚ

În acest sub capitol vor fi prezentate câteva rezultate utile privind mulțimile ℝ și ℚ .
De exemplu, se va demonstra că limita unu i șir Cauchy de numere raționale este întotdeauna un
număr real și orice număr real este limita unui șir de numere raționale. Un alt rezultat important
este acela că mulțimea ℚ este de nsă în ℝ .

22
1.4.1 Propoziția:
Fie numerele reale a = [( xi ) i ≥ 0 ] și b = [( yi ) i ≥ 0 ] , unde ( xi ) i ≥ 0 și ( yi ) i ≥ 0 sunt
șiruri Cauchy de numere raționale. Dacă există n0 ∈ ℕ astfel încât xi ≤ yi , pentru i ≥ n 0 ,
atunci a ≤ b.
Demonstrație:
Presupunem că a > b. Atunci a − b este pozitiv . Dar a − b = [( xi − yi ) i ≥ 0 ].
Rezultă că există n1 ∈ ℕ și ℓ ∈ ℚ , ℓ pozitiv, astfel încât xi − yi ≥ ℓ, pentru i ≥ n 1 .
Având în vedere că ℓ este pozitiv, rezultă că xi > yi pentru i ≥ n . Notăm n2 = max ( n0, n1 ).
Avem că xi ≤ yi și xi > yi , pentru i ≥ n 2 . Contradicție.

1.4.2 Propoziția:
Dacă ε este un număr real pozitiv, atunci există x ∈ ℚ astfel încât 0 < x < ε .
Demonstrație:
Notăm ε = [( xi ) i ≥ 0 ] , unde ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy pozitiv de num ere raț ionale.
Există n0 ∈ ℕ și ℓ ∈ ℚ , ℓ pozitiv, astfel încât xi ≥ ℓ, oricare ar fi j ∈ ℕ , i ≥ n 0 .
Considerăm șirul ( ℓi ) i ≥ 0 , unde ℓi = ℓ , pentru i ≥ 0.
Aplicând propoziția 1.4.1 obținem ℓ ≤ ε . Între numerele raționale 0 și ℓ există un număr
rațional x astfel încât 0 < x < ℓ. Am obținut faptul că 0 < x < ε.

1.4.1 Teoremă:
Fie ( xi ) i ≥ 0 un șir Cauchy de numere raționale. Atunci șirul ( xi ) i ≥ 0 , considerat a fi
un șir de numere reale, este convergent, limita sa fiind numărul real a = [( xi ) i ≥ 0 ].

Demonstrație:
Fie ε un număr real pozitiv rațional. La propoziția 1.4.2 s-a demonstrat că există un
număr rațional pozitiv ε , astfel încât ε 1 < ε . Șirul ( xi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy de numere
raționale. Există n ∈ ℕ , astfel încât | xi – xj | < ε 1 , oricare ar fi i, j ∈ ℕ , i ≥ n , j ≥ n .
Fixăm i și notăm xi = ℓ . Avem | ℓ – xj | < ε 1 pentru j ≥ n .
Inegalitatea se mai poate scrie − ε 1 < ℓ – xj < ε 1 , pentru j ≥ n . Aplicând rezultatul de la
propoziția 1.4.1. obținem − ε 1 ≤ [( ℓ – xj ) j ≥ n ] ≤ ε1.
Dar [ ( ℓ – xj ) j ≥ n ] = [( ℓ ) j ≥ n ] − [( xj ) j ≥ n ], deci [ ( ℓ – xj ) j ≥ n ] este numărul real ℓ− a
. Dar ℓ = ai . Așadar − ε1 ≤ xi − a ≤ ε1 sau | xi − a | ≤ ε1 < ε , pentru i ≥ n.
Am obținut astfel că șirul ( xi ) i ≥ 0 este convergent, limita sa fiind numărul real a = [( xi ) i ≥ 0 ] .

23

1.4.3 Propoziția:
Dacă a ∈ ℝ și ε este un număr real pozitiv, atunci există un număr rațional x astfel încât
| x − a | ≤ ε .

Demonstr ație:
Numărul real a este limita unui șir de numere raționale ( xi ) i ≥ 0 . Există n ∈ ℕ , astfel
încât | xi − a | < ε , oricare ar fi i ∈ ℕ , i ≥ n . Alegem xn = x și obținem | xi − a | < ε.

1.4.2 Teoremă:
Mulțimea ℚ este densă în ℝ .
Demons trație:
Considerăm numerele reale a și b .
Demonstrăm că există un număr rațional x astfel încât a < x < b .
Fie ε =
2ba . Există numerele raționale r1, r2 astfel încât | a – r1| < ε și | b – r2 | < ε .
Rezultă că a – r1 < ε și b – r2 < ε.
Însumând cele două inegalități obținem
a + b – 2 ε < r1 + r2 . Dau a + b – 2 ε = 2 a . Așadar 2 a < r1 + r2 , sau
11
2rra
unde
11
2rr
. În mod similar se poate demonstra că
11
2rrb .

1.5 MULȚIMEA ℝ ESTE UN CORP COMPLET

1.5.1 Definiție:
Spunem că un corp ordonat κ este complet dacă orice șir Cauchy cu elemente din κ este
convergent la un element din κ.
1.5.1 Propoziția:
Dacă ( xi )i ≥ 0 este un șir de numere reale, atunc i există un șir ( yi )i ≥ 0 de numere raționale
astfel încât ( xi ) ∼ ( yi ).

24
Demonstrație:
Fie ε un număr real pozitiv arbitrar. Pentru orice număr real xi există un număr rațional y i
astfel încât | xi − yi | <
1
i pentru i ≥ 1 .
Considerăm șirul ( yi ) i ≥ 1. Există un număr rațional pozitiv
m
n astfel încât
m
n .
Avem .
Dacă i ≥ n , atunci | xi − y i | <
1
i ≤
1
n < ε .
Rezultă că ( xi ) ∼ ( yi ).

1.5.1 Teoremă:

Mulțimea ℝ este un corp complet.

Demonstrație:

Fie ( xi )i ≥ 0 un șir Cauchy de numere reale. Trebuie să arătăm că acest șir este
convergent. Există un șir ( yi ) i ≥ 0 de numere raționale astfel î ncât ( xi ) ∼ ( yi ). Conform
propoziției 1.1.3 rezultă că șirul ( yi ) i ≥ 0 este un șir Cauchy .

Din teorema 1.4.1 deducem că șirul ( yi ) i ≥ 0 este convergent și limita sa este un număr
real y. Având în vedere faptul că șirul ( yi ) i ≥ 0 este conve rgent și ( xi ) i ≥ 0 este convergent și are
limita y. Am demonstrat astfel că mulțimea ℝ este un corp complet.
1m
nn

25
CAPITOLUL II

INEGALITĂȚI ALGEBRICE CLASICE

2.1 INEGALITATEA MEDIILOR ȘI APLICAȚII
2.1.1 Teorema (inegalitatea mediilor ):
Dacă x1, x2, ……. xn , sunt numere reale strict pozitive, atunci:
12 n xx
nx 
≥
12
12 ….. ,1 1 1 ….. +n
n
nnx x x
x x x   
 cu egalitate dacă și numai dacă x1 = x2 = …= xn
(media aritmetică ≥ media geometrică ≥ media armonică)
Demonstrație :
Este suficient să demonstrăm prima in egalitate. Această inegalitate se va demonstra
folosind principiul inducției matematice și noțiunea de derivată.
Pentru n = 1 avem
1
1 . 1aa
Pentru n = 2 avem
12
11 2aaaa Această inegalitate este adevărată deoarece
2
1 2 1 2 1 2 12
122 ( ) = 0. 2 2 2a a a a a a aaaa     

Presupunem că inegalitatea este adevărată pentru oricare k numere pozitive ( k =
1,n ) și
demonstrăm că este adevărată pentru oricare n + 1 numere reale pozitive.
Fie numerele reale pozitive x1, x2, ……. x n, xn+1.
Considerăm funcția f : [ 0 ; + ∞ ) →
,
f ( t ) =
12 1
121n n
nx x ….. x t x x ….. x tn       

26
f ` ( t ) =
111
1 2 1 2
111
1 ( 1) ( 1)n nn n
nn
n n nnx x ….. x t x x ….. x = .n n t n t
       
Soluția ecuației f ` ( t )= 0 este t0 =
12n
n x x ….. x   .
Punctul t0 este punct de minim pen tru funcția f ( t ) .
Avem că f (t ) ≥ f (t0 ), ∀ t ∈ [ 0 ; + ∞ )
f (t ) ≥ f (t0 ) =

1 2 1 2
1n
nn x x … x x x … x= n      


1 2 1 2 1 2 1 2
101n n
n n n n x x … x x x … x x x … x n x x … x= = nn            



Avem că f (xn + 1)
1 2 1 1
1 2 110nn n
nx x … x x= x x … xn 
       
Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea
1 2 1 1
1 2 11nn n
nx x … x x x x … xn 
      

Mai rămâne de demonstrat cea de -a doua inegalitate. Rescriem această inegalitate sub forma:
1 2 1 2 121 1 1 1 1 1… …
n nn nn = n x x x x x x x x … x      



Această inegalitate se obține aplicând inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică
1 2 1 2 1
1 2 1 21n
nn n n
nnx x … x x x … xx x … x x x … x n              
1 2 1 2 1
1 2 1 2( ) ( )1n
nn n n n n
nnx x … x x x … x= x x … x x x … xn              
 1112nn n n x x … x     
1 2 1 2 1 2
12( 1)
1n n
n n nn
nx x … x x x … x n x x … x x x … x = n                

27
pentru num erele strict pozitive
121 1 1, , … ,
n x x x .
În cele de mai sus am demonstrat că media aritmetică ≥ media geometrică ≥ media armonică.
2.1.2 Aplicații:
1. Dacă x și y sunt numere reale stric pozitive, atunci:
22xyxyxy
Demonstrație : Dacă x și y sunt numere reale stric pozitive, atunci: x + y ≥ 2
.xy

Rezultă că
2xyxyxy  .

2. Dacă x, y, z, t sunt numere reale stric pozitive, atunci:
≥ 16
Demonstrație :
Avem următoarele inegalități :

Înmulțind inegalitățile de mai sus obținem
=16 = 16
3. Dacă x și y sunt numere reale pozitive, atunci:
35 25x + 3 y xy
Demonstrație :
2 221 2 0xy xy xy xyxy xy xy x y xyx y x y x y x y
              
22 2 2 22 2 2 22x y xy x y x xy y xy xyx y xy xy xyx y x y x y x y              
1 1 1 1x y z t
y z t x                     
1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2x x y y z z t t y y z z t t x x       
1 1 1 1 2 2 2 2x y z t x y z t
y z t x y z t x                                                          
x y z t
y z t x  
23
5 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 2 5 5 5x + 3 y x + x y y y x x y y y x y xy           

28

4. Dacă x, y și z sunt laturile unui triunghi, atunci:
(x + y – z) ∙ (y + z – x) ∙ (z + x – y) ≤ x y z
Demonstrație :
Avem următoarele inegalități:

2x y z y z xx y z y z x          = y

2y z x z x yy z x z x y          = z
2z x y x y zz x y x y z         
= x
Înmulțind inegalitățile de mai sus , obținem
 x y z y z x y z x z x y z x y x y z                
≤ x y z
222x y z y z x y z x       
≤ x y z
( x + y – z ) ∙ ( y + z – x ) ∙ ( y + z – x ) ≤ x y z

5. Dacă x, y și z sunt numere reale strict pozitive, atunci:

xyz
y z z x x y   > 2 ,
Demonstrație :
Avem următoarele inegalități:
221
1y y y
zx z x z x x y z
y        

221
1x x x
yz y z y z x y z
x        
221
1z z z
xy x y x y x y z
z        

Adunând inegalitățile de mai sus se obține:
 2 2 2 22.x y z x y z x y z
y z z x x y x y z x y z x y z x y z                

29
Egalitatea se realizează dacă și numai dacă
1 1 1.x y z , , si y z z x x y    
Din egalitățile de mai sus rezultă că x + y + z = y + z + z + x + x + y = 2 ( x + y + z )
adică x + y + z = 0 . Acest lucru nu este posibil deoarece x + y + z > 0.
În concluzie
xyz
y z z x x y   > 2.

6. Să se arate că:
31 1 1 1 1 12x y y z z x x y z          
, oricare ar fi x, y, z, numere reale
pozitive.
Demonstrație :
Inegalitatea poate fi rescrisă sub forma:
3
1 1 1 1 1 1 2x y z
x z x y y z          
Avem inegalitățile:

Însumând inegalitățile de mai sus se obține
1 1 1
1 1 1 1 1 11
1 1 1 1 1 1 2x y z
x z y x z yx y z
x z x y x z    
                 

1 1 1 1 1 31112 1 1 1 2 2x y z x y z             .
7. Dacă x, y și z sunt numere reale strict pozitive, atunci:

1 1 1
1 1 1 1 2 1 1x x x x z x z x z           
1 1 1
1 1 1 1 2 1 1y y y x y y x y x           
1 1 1
1 1 1 1 2 1 1z z z x z z y z y           
2 2 21 1 1
3 3 3 4x y z x y z x y z    

30

Demonstrație :
Avem inegalitățile:
x2 + 3 = x2 + 1 + 1 + 1 ≥
2 44 1 1 1 4x x   
y2 + 3 = y2 + 1 + 1 + 1 ≥
2 44 1 1 1 4y y   
z2 + 3 = z2 + 1 + 1 + 1 ≥
424 1 1 1 4z z   

Ultima inegalitate este adevărată deoarece
( x + y + z ) −
  xy xz yz = x + y + z −
xy xz yz =
=
1
2 (2x +2y +2z− ) =
8. Dacă x, y și z sunt numere reale strict pozitive, astfel încât x + y + z = 1 atunci:

Demonstrație :
Notăm x + 1 = a, y + 1 = b și z + 1 = c .
a + b + c = x + 1 + y + 1 + z + 1 = 1+ 1+1+ 1 = 4
x + 1+ y + 1 = a + b = 4 – c
x + y = 2 – c
Proced ând similar se obțin y + z = 2 – a și z + x = 2 – b
Inegalitatea se rescrie sub forma:

1 1 14 abc
– 4 – 4 – 4 + a + b + c ≥ 1

2 2 2 102x y x z y z      
2 2 2xy xz yz
2 2 2
11 1 1x y y z z x .z x y      
2 2 22 2 21c a b .c a b    
2 2 24 4 4 4 4 41 c c a a b b .c a b       
2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 4 4 4 4 + +x y z x y z x y z
          
4xy xz yz x y z
xyz xyz 

31

( a + b + c ) ∙ – 4 – 4 – 4 + 4 ≥ 1

( a + b + c ) ∙ ≥ 9
Ultima inegalitate este adevărată deoarece: a + b + c ≥
33 abc

Înmulțind aceste inegalități obținem
( a + b + c ) ∙

9. Dacă x, y și z sunt num ere reale strict pozitive, atunci:

Demonstrație :
Avem următoarele inegalități :

Însumând cele trei inegalități obținem ≥ 2 x + 2 y + 2 x , adică
≥ x + y + x .
10. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, astfel încât a b c = 1 , atunci:

1 1 1 abc
1 1 1 abc
31 1 1 1 1 13 a b c a b c    
331 1 1 1 1 13 3 9 abc a b c a b c           
2 2 2x y z x + y + z .y z x  
22xx y y = 2 x .yy  
22yy z 2 z = 2 yzz  
22zz x 2 x = 2 zxx  
2 2 2x y z y + z + xy z x  
2 2 2x y z + y z x
3 3 33
1 1 1 1 1 1 4a b c + b c c a a b        

32
Demonstrație :
Avem următoarele inegalități:

Însumând inegalitățile de mai sus, obținem:

Am folosit faptul că a + b + c ≥

2.2 INEGALITATEA CAUCHY – BUNIAKOWSKI – SCHWARZ ȘI APLICAȚII
2.2.1 Teorema (inegalitatea C auchy – Buniakowski – Schwarz ):
Dacă x1, x2, ……. xn, y1, y2 …., yn sunt numere reale, atunci:
(x21 + x22 + …. + x2n) ∙ (y21 + y22 + … + y2n) ≥ (x1 y1 + x2 y2 + …. + xn yn)2 , cu
egalitate dacă și numai dacă a1 = λ b1 , a2 = λ b2 , …. , an = λ bn, cu λ


Demonstrație :
 2 2 2
1 1 2 2 0nn x t y x t y + …. + x t y        
Considerăm ecuația
Membrul stâng al ecuației reprezintă o sumă de pătrate. Ecuația admite soluție dacă și numai
dacă adică
Ecuația se poate scrie sub forma:
 33
31 1 1 1 331 1 8 8 1 1 8 8 4a b c a b c a + b c b c            
 33
31 1 1 1 331 1 8 8 1 1 8 8 4b c a b c a b + c a c a            
 33
31 1 1 1 331 1 8 8 1 1 8 8 4c a b c a b c + a b a b            
331 3 3 3 6 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 4 4 8a b a b c a b c+ b c a c a b               
 46 6 6 6 6 2 2 2 4 4 4 6 4 3 6 12 6 6 3
8 8 8 8 8 8 8 4abc a b c a b c a b c                     
3 33 3 1 3 a b c 
1 1 2 2 nn x y , x y , …. , x y .       
  2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 0n n n n x x … x t 2 x y x y … x y t y y … y               
1 1 2 2 0nn x t y = x t y = …. = x t y       

33

Conf orm celor de mai sus , avem că:

Obținem inegalitatea:
2.2.2 Aplicații :
1. Fie numerele reale poz itive x1, x2, ……. xn .
Demonstrați că media aritmetică ≤ media pătratică
Demonstrație :

Rezultă că

Extragem radicalul și obținem:

2. Dacă x, y, z sunt numere reale strict pozitive, atunci:

Demonstrație :
Inegalitatea se poate rescrie sub forma:

  2 2 22221 1 1 1 1 1 x y z x y z             

3. Dacă x1, x2, ……. xn, sunt numere reale strict pozitive astfel încât x1 ∙ x2 ∙…. ∙xn,=1,
atunci: ≤ x1 + x2 +……. + xn

   2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 24 4 0n n n n x y x y … x y x x … x y y … y            
   2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n x y x y … + x y x x … + x y y … + y       
   2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 21 1 1 1 1nn x x … + 1 x … + x x … + x          
  2 2 2 2
1 2 1 2 nn x x … + x n x x … + x     
2 2 2 2
1 2 1 2 nn x x … + x x x … + x nn    
2 2 2
1 2 1 2 nn x x … + x x x … + x nn   
3x y z x y z x y z x y z       
  3 x y z x y z     
  22
1 1 1 x y z x y z x y z           
3 x y z .   
12 n x x … + x

34
Demonstrație :
Aplicând inegalitatea mediilor, obținem: x1 + x2 + … + xn ≥

4. Dacă x, y, z și t sunt numere reale pozitive, atunci:
16 ∙ (x3 + y3 + z3 + t3) ≥ (x + y + z + t)3
Demonstrație :
Dacă x + y + z + t = 0, atunci inegalitatea este evidentă.
Presupunem că x + y + z + t > 0.
4 ∙ ( x2 + y2 + z2 + t2 ) = (12 + 12 + 12 + 12 ) ∙ ( x2 + y2 + z2 + t2 ) ≥ ( x + y + z + t )2
Rezultă că x2 + y2 + z2 + t2 ≥
 2x y z t
n  .
(x3 + y3 + z3 + t3 ) ∙ ( x + y + z + t ) =

Rezultă că x3 + y3 + z3 + t3 ≥
 2  2 2 2 2 
 x y z t
x y z t  
  


adică 16 ∙ ( x3 + y3 + z3 + t3) ≥ ( x + y + z + t)3

12n
n n x x … x n   
  22
1 2 1 2 1 2 11n n n x x … + x x x … + x x x … + 1 x          
   2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 1 … 1 … …nn x x x n x x x .             
   2
1 2 1 2 1 2 1 2 … … … …n n n n x x x x x x = x x x x x x              
 
  2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 = x x y y z z t t x y z t
x x x y y y z z z t t t x y z t       
          
 
  22
434 1
16 16x y z t
x y z t x y z t x y z t x y z t  
             

35
5. Dacă x, y, z sunt numere reale strict pozitive, atunci:
Demonstrație :
Inegalitatea se poate rescrie sub forma:
( x2 + y2 + z2 ) ∙ (x4 + y4 + z4 ) ≥ ( x3 + y3 + z3 )2
( x2 + y2 + z2 ) ∙ ( x4 + y4 + z4 ) = ( x2 + y2 + z2 ) ∙ [ ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 + (z 2 ) 2 ] ≥
≥ (x ∙ x2 + y ∙ y2 + z ∙ z2 )2 = ( x3 + y3 + z3 )2
6. Fie a, b, c, x, y, z numere reale strict pozitive astfel încât a, b, c = x , y, z
Să se arate că:
Demonstrație :

Rezultă că

7. Dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive, atunci:

Demonstrație :

2 2 2 3 3 3
3 3 3 4 4 4 x y z x y z x y z x y z      
2 2 2
2 a b c a b c a x b y c z    
 2 2 2 a b c a x b y c za x b y c z          
2222 2 2 a b c a x b y c z
a x b y c z                               
2
2(a ) a b ca x b y c z b c
a x b y c z
             
22 2 2 a+b+c a b c a x b y c z a x b y c z          



2 2 2
22 a + b + c a + b + c a + b + c abc a b c x y z a b c a b c a b c             
1
2 3 2 3 2 3 2 a b c a b c b c a c a b       
2 3 2 3 2 3 a b c a b c b c a c a b       
2 2 2
2 3 2 3 2 3 a b c a a b c b b c a c c a b           

36

Rezultă că

2 2 2
2 2 22 3 2 3 2 3 a b c a ab ac b bc ab c ac bc        
2 2 2
2 2 22 3 2 3 2 3 a b c a ab ac b bc ba c ac bc       
 2 2 22 3 2 3 2 3 a ab ac b bc ab c ac bc         
2 2 2
2 2 22 3 2 3 2 3 a b c
a ab ac b bc ab c ac bc                       
   222
2 2 22 3 2 3 2 3 a ab ac b bc ab c ac bc         
2
22
222
2
22 3 2 3
2 3 2 3
23
23 a ba ab ac b bc ab
a ab ac b bc ababc cc ac bc
c ac bc                
2 2 2
2 2 22 3 2 3 2 3 a b c a ab ac b bc ab c ac bc       
22 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
2 3 2 3 2 3 5 5 5 a + b + c a b c ab ac bc a ab ac b bc ab c ac bc a b c ab ac bc                
 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2 21 1 4 4 4
2 5 5 5 2 5 5 5a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc
a b c ab ac bc a b c ab ac bc                          
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 4 4 4 1 5 5 5 1
2 5 5 5 2 5 5 5 2a b c ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc
a b c ab ac bc a b c ab ac bc                         

37
2.3 INEGALITATEA LUI MINKOWSKI ȘI APLICAȚII
2.3.1 Teorema (inegalitatea lui Minkowski ):
Dacă x1, x2, ……. xn, y1, y2, …., yn sunt numere reale, atunci:
,
cu egalitate dacă și numai dacă
Demonstrație :
Avem următoarea inegalitate:
cu egalitate dac ă și numai dacă x1 =
 x y1 , ….. , xn =
 yn
Adunând la fiecare termen al inegalității se obține

Extragem radicalul din fiecare membru al inegalității și obținem:

2.3.2 Aplicații:
1. Dacă x, y, z sunt numere reale, atunci:

Demonstrație :

22 2 2 2 2
1 1 1 1 …. … …n n n n x y x y x x + y y        
11 nn x y , ….. , x y unde x   
 2 2 2 2
1 1 1 122n n n n x y ….. x y x ….. x y ….. y       
2 2 2 2
11… …nn x x y y    
 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2n n n n n n x ….. x y ….. y x y ….. x y x ….. x y ….. y               
 222 2 2 2 2
1 1 1 1 n n n n x y + ….. + x y x ….. x y ….. y       
22 2 2 2 2
1 1 1 1 n n n n x y + ….. + x y x ….. x y ….. y       
2 2 2 2 2 2 221 1 1 1 1 1 3 2x + y x + y x y 3 x y           
2 2 2 2 2 2 221 1 1 1 1 1x + y x + y x y 3 x y           
2 2 2 2
11 2nn x ….. x y ….. y      

38

2. Dacă x, y, z sunt numere reale stric t pozitive, atunci:

Demonstrație :

2.4 INEGALITATEA LUI YOUNG ȘI INEGALITATEA LUI HÖLDER
2.4.1 Teorema (inegalitatea lui Young ):
Dacă u, v, p, q sunt numere reale stric t pozitive și
111 pq , atunci:
2pquv uvp
Demonstrați e:
Considerăm funcția
 : 0 ; , h lnh x x  

oricare ar fi
Funcția h ( x ) este o funcție concavă .
Rezu ltă că
1 1 1 1ln ln lnp q p q u v u vp q p q    
11ln lnpq u v uvpq   

11pq u v uvpq   
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1x + y x + y x y x y                       

2 2 2 2 2 2 2 2
221 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2x x + y y x x + y y
                 
             
2 2 21 1 1 6x y z x y z       
22 2 2 21 1 1 1 1 1x y z x y z          
 211h h 0,x , x – xx   
 0;x . 
 2 23 2 3 6 x y z x y z = x y z          

39
2.4.2 Teorema (inegalitat ea lui Hölder )
Dacă x1, x2, ……. xn, y1, y2, …. , yn sunt numere reale și p, q sunt numere reale stric t
pozitive , astfel încât
111 pq , atunci

Demonstrație :
Dacă atunci inegalitatea lui H ölder se transformă î ntr-o
egalitate.
Presupunem că . Rezultă că x0 = 0 și xk ∙ yk = 0, pentru
Presupunem în continuare că și
Aplicăm inegalitatea lui Young pentru

Inegalitatea de mai sus este adevărată pentru

11
1 1 1qq n n npp
k k k k
k k k x y x y
         
110nnpq
kk
kk x sau y

10np
k
k x

1,kn
10np
k
k x

1nq
k
k y 0

11
11kk
nnpqpq
kk
kkxyu si v
x y
  
   
      
1 1 1 1
1 1 1 111p
k k k k
n n n n p q p qp q p q
k k k k
k k k kx y x y + pq
x y x y 
      
   
         
                                  
11
11
1111pq
k k k k
nnpqnnpqpqkk
kk kk
kkx y x y + pq x y x y 
  
         
1,kn
11
11
11
1111pqnn
k k k k
nnpqkk nnpqpqkk
kk kk
kkx y x y + pq x y x y 


  
          


40

1 1 1
11
11
11n n npq
k k k k
k k k
nnpqnnpqpqkk
kk kk
kk x y x y

p x q y x y  


    
        


1
11
1111n
kk
k
nnpqpq
kk
kk x y
pq
x y

   
      
 . Dar
111pq . Rezultă inegalitatea
11
1 1 1n n n pqpq
k k k k
k k k x y x y
             
.

2.5 INEGALITATEA LUI CEBÂȘEV ȘI APLICAȚII
2.5.1 Teorema (Inegalitatea lui Cebâșev ):
Dacă șirurile de numere reale x1, x2, ……. xn
și y1, y2, …. , yn au aceeași monotonie, atunci

iar dacă șirurile nu au aceeași monotonie, atunci

Demonstrație :
1. Inegalitatea ( xi − xj) ∙ (yi − yj) ≥ 0 este adevărată pentru orice și orice
După efectuarea înmulți rilor se obține inegalitatea
această inegalitate fiind echivalentă cu inegalitatea
În continuare însumăm după indicii i și j .

1 1 2 2 1 2 1 2 ….. ….. …..n n n n x y x y x y x x x y y y n n n        
1 1 2 2 1 2 1 2 ….. ….. …..n n n n x y x y x y x x x y y y n n n        
1,in
1,jn
i i i j j i j jx y x y x y + x y 0  
i i j j i j j ix y + x y x y + x y 
 
1 1 1 1n n n n
i i j j i i j i
i j i j x y x y x y x y
        
1 1 1 1 1 1n n n n n n
i i j i i j j i
i j j i j j x y x y x y x y
             
        

41

Împărțind ambii membri ai inegalității cu 2n2 se obține inegalitatea

2. Inegalitatea ( xi − xj) ∙ (yi − yj) ≤ 0 este adevărată pentru orice și orice
După efectuarea înmulțirilor se obține inegalitatea
În continuare însumăm după indicii i și j

Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea

1 1 1 1 1n n n n n
i i j i i j i j
i j i j j n x y x y x y y x
            
       
1 1 1 1 1 1 1n n n n n n n
i i j j i j i j
i i j i j i j n x y x y x y y x
              
1 1 1 1 1 1n n n n n n
i i j j j i j i
i j j i j in x y n x y y x x y
                               
1 1 12n n n
i i i i
i i in x y 2 x y
             
1 1 1n n n
i i i i
i i i x y x y
n n n    
1,in
1,jn
i i j j i j j jx y + x y x y + x y 
 
1 1 1 1n n n n
i i j j i j j i
i j i j x y x y x y x y
        
1 1 1 1 1 1n n n n n n
i i j j i j j i
i j j i j j x y x y x y x y
             
        
1 1 1 1 1 1 1n n n n n n n
i i j j i j i j
i j j i j i j n x y x y x y y x
                
1 1 1 1 1 1n n n n n n
i i j j j i j i
i j j i j in x y n x y y x x y
                                    
1 1 12n n n
i i i i
i i in x y 2 x y
             
1 1 1n n n
i i i i
i i i x y x y
n n n    

42
2.5.2 Aplicații
1. Dacă x , y , z sunt numere reale pozitive atunci :
i. 2 ( x8 + y8 ) ≥ ( x3 + y3 ) ∙ ( x5 + y5 )
ii. 2 ( x8 + y8 + z8 ) ≥ ( x3 + y3 + z3 ) ∙ ( x5 + y5 + z5 )
Demonstrație :
i. Presupunem că x ≥ y . Atunci x3 ≥ y3 și x5 ≥ y5
Aplicând inegalitatea lui Cebâșev o bținem
2 ( x3 ∙ x5 + y3 ∙ y5 ) ≥ ( x3 + y3 ) ∙ ( x5 + y5 )
2 ( x8 + y8 ) ≥ ( x3 + y3 ) ∙ ( x5 + y5 )
ii. Presupunem că x ≥ y ≥ z . Atunci x3 ≥ y3 ≥ z3 și x5 ≥ y5 ≥ y5 .
Aplicând inegalitatea lui Cebâșev obținem
3 ( x3 ∙ x5 + y3 ∙ y5 + z3 ∙ z5 ) ≥ ( x3 + y3 + z3 ) ∙ ( x5 + y5 + z5 )
3 ( x8 + y8 + z8 ) ≥ ( x3 + y3 + z3 ) ∙ ( x5 + y5 + z5 )
2. Dacă x , y , z , t sunt numere reale pozitive, atunci :

Demonstrație :
Presupunem că x ≥ y ≥ z ≥ t. Atunci x3 ≥ y3 ≥ z3 ≥ t3
Aplicâ nd inegalitatea lui Cebâșev obținem inegalitățile:
3 ( x3 + y3 + y3 ) ≥ ( x + y + z ) ∙ ( x2 + y2 + z2 )
3 ( x3 + z3 + t3 ) ≥ ( x + y + t ) ∙ ( x2 + y2 + t2 )
3 ( x3 + z3 + t3 ) ≥ ( x + z + t ) ∙ ( x2 + z2 + t2 )
3 ( y3 + z3 + t3 ) ≥ ( y + z + t ) ∙ ( y2 + z2 + t2 )

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 x y z x y t x y t x y t + + + x y z + tx y z x y t x y t x y t                

43
Aceste inegalități sunt echivalente cu inegalitățile

Însumând inegalități de mai sus se obține

3. Dacă x1 , x2 , ……. , xn sunt n umere reale pozitive, astfel încât
x1 + x2 + ……. + xn = 1, atunci :

Demonstrație :
Presupunem că x1 ≥ x2 ≥ ……….. ≥ xn .
Rezultă că
Aplicând inegalitatea lui Cebâșev obținem:

3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2
33x y z x y z x y t x y t , ,x y z x y t          
3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2
33x z t x z t y z t y z t , x z t y z t          
3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2x y z x y t x y t x y t + x y z x y t x z t y z t                
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3x y z x y t x z t y z t + =       
 2 2 2 2
2 2 2 23
3x y z t
= x y z t  
   
21
12……….2 2 2 2 1n
nnx x x n + x x x     
121 1 1……….2 2 2n x x x    
 21
12
12
12……….2 2 2
1 1 1……….2 2 2n
n
n
nx x xn + x x x
x x …… x x x x     
         
212 1
12……….2 2 2nn
nx x x x …… x x x x x n        

44
Rezultă că

În cadrul demonstrației s -a folosit fapt ul că media aritmetică ≥ media armonică.
4. Fie x , y , z , t numere reale pozitive astfel încât x2 + y2 + z2 + t2 = 4.
Atunci:
Demonstrație :
Presupunem că x ≥ y ≥ z ≥ t . Rezultă că

Aplicăm inegalitatea lui Cebâșev și obținem:

Rezultă că
2 2 2 21 1 1 1
4x y z t + y z t z t x t x y x y z            
≥

   12
12
1 2 1 21 1 1……….2 2 2 1 1 1……….2 2 2
2 2 ………. 2 2 2 1n
n
nn + x x x + x x x n
n n n x x + x n x x …. x n         
           
2 2 2 24
3x y z t y z t z t x t x z x y z           
1 1 1 1 y z t z t x t x z x y z       
 2222
2 2 2 24x y z t x y z ty z t z t x t x y x y z
               
1 1 1 1 + y z t z t x t x y x y z         
222 2x y z t y z t z t x t x y x y z          
2 2 2 216
4x y z t y z t z t x t x y x y z            
 2 2 2 2 2 2 2 216 4
4 3 3x y z t x y z t x y z t x y z t              
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 24 3 2 2 4423 2 3 3 3 2x y z t x y z t
x y z t             
  

45
În cadrul demonstrației s -au folosit următoarele inegalități:

2.6 FORMULA LUI ABEL, INEGALITATEA REARANJAMENTELOR ȘI
APLICAȚII
2.6.1 Teorema (formula lui Abel ):
Fie numerele reale a1, a2, ……. an, și b1, b2, …., bn Dacă Ck = b1 + b2, +…. + bk pentru
, atunci:
a1 b1 + a2 b2 + ……. + a n bn = ( a1 – a2 ) C1 + ( a2 – a3 ) C2 + ….. + ( a n-1 – a n ) Cn – 1 +
an Cn .
Demonstrație :
( a1 – a2 ) C1 + ( a2 – a3 ) C2 +….. + ( a n-1 – a n ) Cn – 1 + an Cn =
= a1 C1 – a2 C1 + a2 C2 – a3 C2 +….. + a n – 1 C n – 1 – a n C n – 1 + an Cn
= a 1 C1 + a2 ( C2 – C1 ) + a3 (C3 – C2 ) +…. + a n – 1 (C n – 1 – C n – 2 ) + an (C n – C n – 1 ) =
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 +…. + a n bn .
2.6.2 Teorema (inegalitatea rearanjamentelor ):
Fie numerele reale x1, x2, ……. xn, , y1, y2, ……. yn, și z1, z2, …. , zn .
Dacă x1 ≤ x2 ≤ ……….. ≤ xn , y1 ≤ y2 ≤ ……….. ≤ yn și
{ y1, y2, …. , yn } = { z1, z2, …. , zn } , atunci:
x1 y1 + x2 y2 +…. + xn yn ≥ x1 z1 + x2 z2 +…. + xn zn ≥ x1 yn + x2 yn-1 +…. + xn y1
 y z t z t x t x y x y z           
  2 2 2 2 21 1 1 116
4 y z t z t x t x y x y z
x y z t x y z t           
      
1,kn

46
Demo nstrație :
i. x1 y1 + x2 y2 +…. + xn yn – ( x1 z1 + x2 z2 +…. + xn zn ) =
x1 y1 + x2 y2 +…. + xn yn – x1 z1 – x2 z2 – …. – xn zn =
= x1 ( y1 – z1 ) + x 2 ( y2 – z2 ) +…. + xn ( yn – zn )
Folosind formul a lui Abel putem res crie această egalitate sub forma
( x1 – x2 ) ( y1 – z1 ) + ( x2 – x3 ) ( y1 – z1 + y2 – z2 ) +…. + ( xn – 1 – xn ) ∙
∙( y1 – z1 + y2 – z2 +…. + yn – 1 – zn – 1) + xn ∙ ( y1 – z1 + y2 – z2 +…. + yn – 1 – zn – 1 + yn – zn ) =
= ( x1 – x2 ) ∙ ( y1 – z1 ) + ( x2 – x3 ) ∙ ( y1 + y2 – z1 – z2 ) +…. + ( xn – 1 – xn ) ∙
∙ ( y1 + y2 +…. + yn – 1 – z1 – z2 –…. – zn – 1 ) + xn ∙ ( y1 + y2 +….+ yn – z1 – z2 – …. – zn ) ≥ 0
deoarece xk ≤ yk + 1 pentru și y1 + y2 +…. + yk ≤ z1 + z2 + …. + zk
pentru
ii. x1 z1 + x2 z2 +…. + xn zn – ( x1 yn + x2 yn – 1 +…. + xn y1 ) =
= x 1 z1 + x 2 z2 +…. + x n zn – x1 yn – x2 yn – 1 –…. – xn y1 = x1 ( z1 – yn ) + x 2 ( z2 – yn – 1 ) +….
…..+ x n ∙ ( zn – y1 )

Folosind formula lui Abel , putem rescrie această egalitate sub forma
( x1 – x2 ) ∙ ( z1 – yn ) + ( x2 – x3 ) ∙ ( z1 – yn + z2 – yn – 1 ) +…… +
( xn – 1 – xn ) ( z1 – yn + z2 – yn – 1 +…. + zn – 1 – y2) +….. + xn ∙ ( z1 – yn + z2 – yn – 1 +…
… + zn – 1 – y2 + zn – y1 ) = ( x1 – x2 ) ∙ ( z1 – yn ) + ( x2 – x3 ) ∙ ( z1 + z2 – yn – yn – 1 ) +…
…. + ( xn – 1 – xn )
( z1 + z2 +…. + z n – 1 – yn – yn – 1 – … – y2 ) + xn ( z1 + z2 +… + zn – yn – yn – 1 – – y1 ) ≥ 0 .

Deoarece xk ≤ xk + 1 , pentru și z1 + z2 +…. + zk ≤ yn + y n – 1 +…. + yn – k + 1
pentru

1, 1kn
1,kn
1, 1kn
1,kn

47

2.6.3 Aplicații:
1. Dacă x, y, z sunt numere reale pozitive, atunci:

Demonstrație :
Putem presupune că x ≥ y ≥ z Rezultă că
Aplicând inegalitatea rearanjamentelor se obțin inegalitățile

Însumân d inegalitățile de mai sus și scriem

Această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea din enunț
2. Dacă x1, x2, ……. xn sunt numere întregi pozitive și xi ≠ xj pentru i ≠ j , atunci :

Demo nstrație :
Fie ( y1, y2, ……. yn ) o permutare a ( x1, x2, ……. xn ) astfel încât y1 ≤ y2 ≤ ……. ≤ yn .
Atunci yi ≥ i , pentru .

Se aplică inegalitatea rearanjamen telor și se obține inegalitatea
3
2x y z + y z z x x y  
1 1 1 y z z x x y  
x y z y z x + + y z z x x y y z z x x y       
x y z z x y + + y z z x x y y z z x x y       
2x y z y z x z x y + + + y z z x x y y z z x x y y z z x x y              
y z z x x y= + 1+1+1 = 3y z z x x y    
12
2 2 211
1 2 2nx xx …… 1 …… nn      
1,in
2 2 21 1 1
12 …… n  
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 111 2 1 2 1 2 2nnxx x x x x…… …… …… …… n n n n              

48

3. Fie x1 ≤ x2 ≤ ……. ≤ xn și y1 ≤ y2 ≤ ……. ≤ yn două șiruri de numere reale și fie
( z1 , z2 , ……. , zn ) o permutare a ( y1 , y2 , ……. , yn ). Să se demonstreze că:
( x1 – y1 )2 + ( x2 – y2 )2 +……. + ( xn – yn )2 ≤ ( x1 – z1 )2 + ( x2 – z2 )2 +… + ( xn – zn )2
Demonstrație :
Conform inegalități rearanjamentelor avem
x1 y1 + x2 y2 +……. + xn yn ≥ x1 z1 + x2 z2 +… + xn zn
( x1 – y1 )2 + ( x2 – y2 )2 +……. + ( xn – yn )2 =

4. Dacă x, y, z sunt numere reale strict pozitive, atunci:

Demonstrație :
Presupunem că x ≥ y ≥ z . Atunci
Aplicând inegalitatea rearanjamentelor se obțin următoarele inegalități:

   112 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 22 2 2n n n n x x y y x x y y …… x x y y         
   
12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 2 2
n n n n x x …… x y y …… y x y x y …… x y           
   
12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 2 2
n n n n x x …… x y y …… y x z x z …… x z           
   112 2 2 2 2 2
1 1 2 2 22 2 2
n n n n n x x z z x x z z …… x x z z          
2 2 2
1 1 2 2 nn x z x z …… x z      
2 2 2 2 2 2x z y x z y 2 x y zz z x      
1 1 1 .z y x
2 2 2 2 2 2x y z x y z = x y zy z x x y z      
2 2 2 2 2 2x y z x y z = x y z .z x y x y z      

49

Însemnând inegalitățile obținute mai sus, deducem că

2.7 INEGALITATEA LUI BERNOULLI
2.7.1 Teorema (inegalitatea lui Bernoulli ):
Dacă x ≥ – 1 și n € ℕ, atunci:
Demonstrație :
Pentru demonstrarea acestei inegalități se va folosi principiul inducției matematice.
Inegalitatea este evidentă pentru n = 0 și n = 1 .
Presupunem că inegalitatea este adevărată pentru orice număr na tural k și
demonstrăm că inegalitatea este adevărată pentru n + 1.

2.8 FORMA INTEGRALĂ A INEGALITĂȚII
CAUCHY -BUNIAKOWSKI -SCHWARZ ȘI APLICAȚII

2.8.1 Teorema (forma integrală a inegalității Cauchy Buniakowski -Schwarz )
Considerăm funcțiile f , g : [ a , b ] → ℝ.
Dacă aceste funcții sunt integrabile Riemann pe intervalul [ a , b ] , atunci :

2 2 2 2 2 2x z y x z y x y z x y z = 2 x y z .y x y           
11nx nx .  
1,kn

 1 2
21 1 1 1 1
11nn x x x nx x 1 + x + nx + nx =
= 1 + n x nx 1 + n x .         
   
2
22b b b
a a a f(x) g(x)dx f (x)dx g (x)dx                 

50

Demonstrație :
Fie t un număr real arbitrar . Funcția
 2t f(x) g(x) este integrabilă Riemann pe
intervalul [a , b].
Avem deoarece
 2t f(x) g(x) 0  

Expresia de mai sus este pozitivă pentru orice număr real t . Rezultă că ∆ ≤ 0 .

Această inegalitate este adevărată dacă și numai dacă

2.8.2 Aplicații:
1. Să se arate că, dacă f : [ a , b ] → es te o funcție integrabilă, atunci:

Demonstrație :

2. Să se arate că, dacă f : [ a , b ] → este o funcție integrabilă, atunci:

Demonstrație :
2 2
2bb
aadxf (x) dx b af (x)   
 2 b
at f(x) + g(x) dx 0 
2 22b
a t f(x) t f(x) g(x) + g (x) dx 0  
2 22b b b
a a a t f(x) dx t f(x) g(x) dx + g (x) dx 0   
2 2 2b b b
a a at f (x)dx 2 t f(x) g(x) dx + g (x) dx 0   
2
2224b b b
a a a f(x) g(x)dx f (x)dx g (x)dx 0                     
2
22b b b
a a a 4 f(x) g(x)dx f (x)dx g (x)dx 0                    
2
22b b b
a a a f(x) g(x)dx f (x)dx g (x)dx                 

222 2 2
21|b b b bb
aa a a adxf (x)dx f(x) dx dx x b af (x) f(x)                   

2
22cos cosb b b
a a af(x) x dx f (x)dx x dx                 
22
2cos sinb b b
a a af(x) x dx f(x) x dx b a f (x)dx                   

51

3. Să se demonstreze că
2
0sin2x dx < 
Demonstrație :

Rezultă că
4. Să se ara te că, dacă f : [ 0 , 1 ] → este o funcție integrabilă, atunci:

Demonstrație :

Rezultă că

Dar

2
22sin sinb b b
a a af(x) x dx f (x)dx x dx                 
22
22cos sin cosb b b b
a a a af(x) x dx + f(x) x dx f (x)dx x dx                          
 2 2 2 2 2sin cos sinb b b b b
a a a a af (x)dx x dx f (x)dx x dx + x dx                       
 2 2 2 2cos sinb b b b
a a a af (x)dx x x dx = f (x)dx dx =               
22|bbb
aaaf (x)dx x b a f (x)dx   
          
22
2 2 2 2 2
0 0 0 0sin 1 sin 1 sinx dx = x dx dx x dx                     
          
22 22
0000sin cos22 dx x dx x | | = 1=            
   
2
0sin2x dx < 
112
003
2 f (x) dx f (x) dx 
21 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 024x f (x ) dx (2x) dx f (x ) dx = x dx f (x ) dx                            
3112 2 2 2
004 1 4
3 0 3x= | f (x ) dx f (x )dx  
2112 2 2
003
4 f (x ) dx 2x f (x ) dx 
112
002x f (x ) dx = f (x) dx 
21122
003
4 f (x ) dx f (x) dx  
21 1 122
0 0 033
42 f (x ) dx f (x)dx f (x)dx       

52

5. Să se arate că , dacă f : [ 0 , 1 ] → este o funcție deriva bilă cu derivata
continuă și f (1) = 0 , atunci:

Demonstrație :

Rezultă că

2.9 FORMA INTEGRALĂ A INEGALITĂȚII LUI HÖLDER

2.9.1 Teorema (forma integrală a inegalități lui Hölder )
Considerăm funcțiile f , g : [ a , b ] → [ 0 , + ∞ ) și numerele reale strict pozitive p și q cu
proprietatea .
Dacă funcțiile f , g sunt integrabile Riemann pe intervalul [ a , b ] , atunci:

Demonstrație :
Dacă sau atunci inegalitatea lui Hölder devine o
egalitate. Presupune că . Atunci funcția f(x) este n ulă aproape peste tot.
Rezultă că ș i funcția f(x) ∙ g(x) este nulă aproape peste tot.
Avem
112
001
3 f (x)dx f (x) dx   
2221 1 1
0 0 01
0 f (x) dx x f (x)dx x f (x) x f (x) dx                 
221 1 1 122
0 0 0 0
31122
001
11
3 0 3f x f (x)dx x f (x) dx x dx f (x) dx
x= f (x) dx f (x) dx                              
              

112
001
3 f (x) dx f (x) dx  
111 pq
11
b b bpq pq
a a a f (x) g(x) dx f (x) dx g (x) dx             
0bp
a f (x) dx = 
0bq
a g (x) dx = 
0bp
a f (x) dx = 
0bb
aa f(x) dx = f(x) g(x) dx = 

53

Presupunem în continuare că și
Aplicăm inegalitatea lui Young pentru
și

Se integrează pe intervalul [ a , b ] și se obține

adică

 0bp
a f x dx > 
 0bq
a g x dx > 
1
bp p
af (x)u
f (x) dx 


1
b qq
ag(x)u
g (x) dx 


1 1 1 111pq
b b b bp q p q p q p q
a a a af (x) g(x) f (x) g(x) + pq
f (x) dx g (x) dx f (x) dx g (x) dx    
                                        
1111pq
bbpqbb pqpqaa
aaf (x) g (x) f (x) g(x) + pq f (x) dx g (x) dx f (x) dx g (x) dx    
        
 
1111pqbb
bbaa pqbb pqpqaa
aaf (x) g (x) f (x)g(x) dx dx pq f (x) dx g (x) dx f (x) dx g (x) dx


             

1111bpqpqb b ba
bba a a pqbbpq pqaa
aaf (x) g (x)dx f (x) g (x) dx dx pq f (x)dx g (x)dx f (x)dx g (x)dx   
           
1111b b bpq
a a a
bbpqbb pqpqaa
aa f (x) dx g (x) dx f(x) g(x) dx
pq f (x) dx g (x) dx f (x) dx g (x) dx   
         
  

1111b
a
bb pqpq
aaf(x) g(x) dx
pq
f (x) dx g (x) dx   
      


111b
a
bb pqpq
aaf(x) g(x) dx
,
f (x)dx g (x)dx   
      


11
b b b pqpq
a a af(x) g(x) dx f (x) dx g (x) dx   
        

54

2.10 FORMA INTEGRALĂ A INEGALITĂȚII MINKOWSKI ȘI APLICAȚII
2.10.1 Teorema (forma integrală a inegalității Minkowski ):

Consideră funcțiile f, g : [ a , b ] → și numărul real p ≥ 1. Dacă func țiile f și g sunt
integrabile Riemann pe intervalul [a, b ] , atunci:

Demonstrație :
Dacă sau p = 1 atunci inegalitatea este evidentă.
Presupunem că și p > 1.

1 1 1
11pp
b b b p p p p p p
a a a
bb pp pp
aag(x) dx f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
f(x) dx + g(x) dx .
                   
           


1 1 1
b b b p p p p p p
a a af(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx     
              
b p
a = f(x) g(x) dx 0
b p
af(x) g(x) dx > 0
1 bb p p p
aaf(x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g(x) dx     

11
11
111
1
11bb pp
aa
p
pp b b b p p p pp
a a a
pbb p p pp
aaf(x) g(x) f(x) g(x) dx = f(x) f(x) g(x) dx
g(x) f(x) g(x) dx f(x) dx f(x) g(x) dx
g(x) dx f(x) g(x) dx

  
     
        
  
  
111pp
p bb pp pp
aaf(x) dx f(x) g(x) dx 
             
1p
b p p
af(x) g(x) dx 


55
Împărțind prin se obține

În cadrul demon strației s -a folosit inegalitatea lui Hölder .

2.10.2 Aplicații :
1) Să se demonstreze că :
Demonstrație :

2) Să se demonstreze că:

11
1
1 111b p
bb pp ppa
paab p p
a
p b b b p p p p p p
a a a
b p
a
f(x) g(x) dx
f(x) dx + g(x) dx
f(x) g(x) dx
f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx
f(x) g(x) dx
   
      

     
          




  


  
1 1 1
bb p p p pp
aa f(x) dx g(x) dx    
        
1144
00sin cosx dx x dx 1 
1 1 1 1 224 4 2 2
0 0 0 0sin cos sin cosx dx x dx x dx x dx       
 1 1 1 22 2 2
0 0 01sin cos 10 x + x dx dx dx = x = 1    
114
40011costg x dx dx .x
 1 1 14 4 2
0 0 0
1 1 1 222 2 2
0 0 0
2
11
240011
tg 1 1
11
cos costg x dx tg x dx dx
x dx dx tg x dx
dx = dx .xx   
    
  
  


56

2.11 FORMA INTEGRALĂ A INEGALITĂȚII CEBÂȘEV ȘI APLICAȚII
2.11.1 Teorema (forma integrală a inegalității Cebîșev ):

Dacă f , g : [ a , b ] → ℝ sunt două funcții monotone având aceeași monotonie, atunci:

Demonstrație :
Din monotonia funcțiilor f( x ) și g( x ) se deduce [ f( x ) – f( y ) ] ∙ [ g( x ) – g( y ) ] ≥ 0 ,
oricare ar fi x, y [ a, b ] , de unde f( x ) ∙ g( x ) + f( y ) ∙ g( y ) – f( x ) ∙ g( y ) – f( y ) ∙ g( x ) ≥ 0

Se integrează în funcție de x pe intervalul [ a, b ] și se obține:

oricare ar fi y ∈ [ a, b ] .

Se integrează în funcție de y pe intervalul [ a, b ] și se obține:

1 b b b
a a af(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dxba   
           

b
af(x) g(x) f(y) g(y) f(x) g(y) f(y) g(x) dx 0    
b b b b
a a a af(x) g(x) dx f(y) g(y) dx f(x) g(y) dx f(y ) g(x) dx 0       
b b b
a a af(x) g(x)dx b a f(y) g(y) f(x) g(y) dx f(y) g(x) dx 0,       
b b b
a a af(x) g(x)dx b a f(y) g(y) g(y) f(x) dx f(y) g (x)dx 0,       
b
ab b b
a a af(x) g(x)dx b a f(y) g(y) g(y) f(x) dx f(y) g(x) dy 0,     
b b b b b
a a a a a
bb
aaf(x) g(x) dx dy b a f(y) g(y) dy g(y) f( x) dx dy
f(y) g(x) dx dy 0   
    


57

Dar

Rezultă că

Inegalitatea precedentă este echivalentă cu inegalitatea:

Observație : Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt monotone de sens diferit, atunci:

1 b b b
a a af(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx ba   
           

b b b b
a a a a
b b b
a a ady f(x) g(x) dx b a f(y) g(y) dy f(x) dx
g(y) dy f(y) dy g(x) dx 0      
     
             
      
  
 bb
aa
b b b b
a a a ab a f(x) g(x) dx b a f(y) g(y) dy
f(x) dx g(y)dy f(y) dy g(x) dx 0       
                 
    
   
bb
aa
bb
aa
bb
aaf(x) dx = f(y) dy ,
g(x) dx = g(y) dy ,
f(x) g(x) dx f(y) g(y) dy 


 
bb
aa
b b b b
a a a a
b b b
a a ab a f(x) g(x) dx + b a f(x) g(x) dx
f(x) dx g(x) dx f(x) dx g(x) dx 0 .
2 b a f(x) g(x)dx 2 f(x) dx g(x) dx        
              
   
        
    
  
   
   0 .
1 b b b
a a af(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx ba   
           

58

2.11.2 Aplicații :
1. Dacă f: [1; 2 ] → ℝ este o funcție crescătoare, atunci :
211
207
3x f(x)dx f(x) dx 
Demonstrație :
Funcțiile f: [1; 2] → ℝ și g: [1; 2] → ℝ , g(x)= x2 sunt funcții crescătoare
32 2 2 2 2 12 2 2 2
11 1 1 1 1 02
17
331
21xx dx f(x) dx x dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx. x f(x)dx              

2. Dacă f: ℝ → ℝ este o funcție crescătoare, atunci :
30,t
tf ( t 0.x f (x))

Demonstrație :
Funcțiile f: ℝ → ℝ și g: ℝ → ℝ , g(x)= x3 sunt funcții crescătoare.
4
33 1 1 1002 4 2t t t tt
tt t t tt
txf ( x dx f ( f (x)) dx= f ( f (x)) dx= f ( f (x)) dx=t t t tx f (x))              

3. Demonstrați că
21
02 ln 2 ln 22ln 1+x
dx1+x    

Demonstrație :
Funcția f: [0; 1] → ℝ, f(x)= ln ( 1+ x2) este o funcție crescătoare, iar g:[0; 1] → ℝ ,
g(x)=
1
1 x este o funcție descrescătoare .
 12 2 2 1
0 2011
002ln ln 1+x 1+x 1+x x dx1+xln dx x dx x    

21 1 1
220 0 0ln 2 2 ln 2 211x dxdx dxxx         

 11
00 ln 2 2 ln 2 2 1 2 ln 242x arctg x          

11
00ln 1 ln 21dxxx  

2
1 1 12
0 0 0ln 1
ln 1 2 ln 2 ln 21 1 2x dx dx xxx                     

59
CAPITOLUL III

METODE DE OBȚI NERE A UNOR INEGALITĂȚI
3.1 PRINCIPIUL TRINOMULUI

3.1.1. Teorema:

Fie f :ℝ → ℝ , f (x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 și △ = b2 – 4ac.
i. Dacă △ > 0 , atunci ecuația f (x) = 0 are două soluții reale x1 < x2
și a ∙ f (x) > 0 ⟺ x ∈ (−∞; x 1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ) ;
a ∙ f (x) < 0 ⟺ x ∈ ( x1 ; x2 )
ii. Dacă △ = 0 , atunci a ∙ f (x) > 0 pentru orice x ∈ ℝ
2b
a
iii. Dacă △ < 0 , atunci a ∙ f (x) > 0 pentru orice x ∈ ℝ

Demonstrație :
i. f (x) = ax2 + bx + c = a
2bx cxaa =
= a
22 2 2 2
2
2 2 2 24
4 4 2 4 2 4bx b b c b b ac bx a x a xa a a a a a a a                                      
Dacă △ > 0 , atunci f (x) = a
.2 2 2 2 2 2b b b bx x a x xa a a a a a                                      
Ecuația f (x) = 0 are două soluții reale distincte
1222bbx si xaa     

Avem f (x) = a ( x – x1 )∙ ( x – x2 ) , deci a ∙ f (x) = a2 ∙ ( x – x1 )∙ ( x – x2 )
Rezultă : a ∙ f (x) > 0 ⟺ ( x – x1 )∙ ( x – x2 ) > 0 ⟺ ( x – x1 < 0 și x – x2 < 0 ) sau
( x – x1 > 0 și x – x2 > 0 ) ⟺ x < x1 < x2 și x > x2 < x1 ⟺
⟺ x ∈ (−∞; x 1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ).

60
a ∙ f (x) < 0 ⟺ ( x – x1 )∙ ( x – x2 ) < 0 ⟺ x – x1 > 0 și x – x2 < 0 ⟺
⟺ x > x1 și x < x 2 ⟺ x ∈ ( x1 ; x2 ).
ii. Dacă △ = 0 , atunci f (x) = a ∙
2
2bxa
Rezultă : a ∙ f (x) = a2 ∙
2
02bxa pentru orice x ∈ ℝ
2b
a
iii. Dacă △ < 0 , atunci a ∙ f (x) = a2 ∙
2
2024bxaa     pentru orice x ∈ ℝ .

3.1.2. Aplicații:
1. Dacă x și y sunt numere reale astfel încât 2x + 3y = 1, atunci
1
24xy
Demonstrație :
Notăm x y = t . Avem
tyx
Obținem
321txx sau 2×2 −x + 3t = 0.
Această ecuație admite soluții reale. Rezultă că
△ = ( -1 )2 −4 ∙ 2 ∙ 3t = 1− 24t ≥ 0 sau
1
24t
Am demonstrate astfel că
1
24t .
2. Să se arate că dacă ( x – 2 )2 + ( y – 2 )2 = 2 , x, y ∈ ℝ atunci :
2 3 2 3x
y   
Demonstrație :
Notăm
xty . Rezultă că x = t y
( ty − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 2
t2 y2 − 4 ty + 4 + y2 − 4 ty + 4 = 2
( t2+1) y2 − 4 y ( t +1) + 6 = 0.

61
Ecuația admite soluții reale . Rezultă că
△ = [4( t + 1)]2 – 4 ∙ ( t2 + 1) ∙ 6 = 8 [2( t + 1)]2 −3( t2 + 1) ≥ 0 ⟺
⟺ 2( t + 1)2 – 3( t2 + 1) ≥ 0
2( t2+ 2t +1) – 3t2 −3 ≥ 0
2t2 + 4t + 2 – 3t2 −3 ≥ 0
t2 − 4t +1 ≤ 0
( t2 − 4t + 4 ) −3 ≤ 0
( t − 2 )2 −3 ≤ 0
 2 3 2 3 0tt    

Rezultă că
2 3 ; 2 3t    sau
2 3 2 3x y   
3. Dacă x, y, z sunt numere reale astfel încât x + y + z = 1 și x2 + y2 + z2 = 1,
atunci:

1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10,,3 3 3 3 3 3x y z          

Demonstrație :
Demonstrăm mai întâi că
1 10 1 10
33z . Din prima relație obținem ,
x + y = 1 – z și x 2 +2 xy + y 2 = 1 – 2z + z 2 . Dar x 2 + y 2 = 2 – z 2.
Se ajung e la egalitatea
22 2 1
2zzxy .
Ecuația
2
2 2 2 1102zzt z t    admite soluțiile x și y . Înseamnă că discriminantul
ecuației este pozitiv.
△ = ( z − 1 ) 2 –
22 2 1402zz sau 3 z 2 – 2 y – 3 ≤ 0 .
Considerăm ecuați a 3 z 2 – 2 y – 3 = 0 .
Această ecuație are soluți ile
121 10 1 10
33z si z .
Soluțiile inecuației au proprietatea z1 ≤ z ≤ z2 . Cum z a fost ales arbitrar, rezultă că
toate cele trei numere au această proprietate.

62
4. Dacă x, y și z sunt numere reale pozitive astfel încât x + y + z = x y z și
x 2 = yz , atunci
3 x .
Demonstrație :
Numer ele y și z satisfac următoarele relații:
y ∙ z = x 2 și y + z = x y z – x = x 2 ∙ x – x = x 3 – x.
Ecuația t 2 – ( x3 – x ) ∙ t + x2 = 0 are soluțiile y și z.
△ = ( x3 – x ) 2 – 4 x 2 = [ x ∙ ( x 2 – 1) ] 2 – 4 x 2 = x2 ∙ [( x 2 – 1) 2 – 4] =
= x2 ( x 2 – 1 – 2) ∙ ( x 2 – 1 + 2) = x 2 ∙ ( x2 – 3 )∙ ( x2 + 1 )≥ 0.
Obținem x2 – 3 ≥ 0 sau
3 x .
5. Să se demonstreze că 6x 2 +4 y 2 +5 z 2 ≥ 5 xy +7 xz +3 yz , oricare ar fi numerele
reale x, y și z .
Demonstrație :
Rescriem inegalitatea 6 x 2 +4 y 2 +5 z 2 ≥ 5 xy +7 xz +3 yz sub forma
6 x 2 – ( 5 y +7 z ) x +4 y 2 +5 z 2 – 3 yz ≥ 0
△ =(5 y +7 z) 2 –24 ∙ ( 4y 2+5z 2 –3 yz)= 25y 2+70 yz +49 z 2 –96 y 2 –120 z 2+72 yz =
= –71( y – z ) 2 ≤ 0
Aplicăm teorema 3.1.1 (punctul iii.) și obținem inegalitatea din enunț.

6. Fie x, y, z, numere reale pozitive astfel încât x+ y +z = 1 .
Atunci xy + yz + 2 zx ≤
1
2
Demonstrație : z = 1 – x – y
xy + yz + 2zx ≤
1
2 sau xy + y ( 1 – x – y ) + 2 x ( 1 – x – y ) ≤
1
2 sau
xy + y – yx – y 2 + 2x – 2×2 – 2xy ≤
1
2 sau 2×2 – 2x ( y – 1) + y 2 – y +
1
2 ≥ 0.
△ =4( y –1)2 –8( y 2– y+
1
2 )=4( y2 –2y +1 ) –8( y 2 – y+
1
2 )=4y2 – 8y +4– 8y2– 4= –4y 2 ≤
Conform pun ctului ( iii.), avem xy + yz + 2zx ≤
1
2.

63
3.2. METODA REDUCERII LA ABSURD

3.2.1. Introducere
Metoda reducerii la absurd este o metodă ce poate fi folosită în multe cazuri pentru a
demonstra anumite inegalități.
Metoda are la bază două princi pii:
 principiul terțului (o propoziție este adevărată sau falsă) și
 principiul contradicției (o propoziție nu este adevărată și falsă în același timp ).
Pentru a demonstra o inegalitate folosind metoda reducerii la absurd, proced ăm astfel:
presupunem că i negalitatea din enu nț este falsă, aceasta însemnând că inegalitatea contrarie este
adevărată și pe parcursul demonstrației deducem anumite consecințe ca re sunt în contradicție
unele cu celelalte.

3.2.2. Aplicații:
1. Să se demonstreze că:
2 2 21 1 1 11223 …. nn     
, ∀ n ∈ ℕ *
Demonstrație :
Pentru n = 1 avem
211211 – adevărat .
Presupunem prin reducere la absurd că există un număr natural ≥ 2 astfel încât inegalitatea din
enunț să nu fie adevărată. Fie p cel mai mic număr natural cu a ceastă proprietate
Avem
2 2 21 1 1 11223 …. pp      și
2 221 1 1 1122 3 1 1 …. p p      
Rezultă că
2 2 2 21 1 1 1 1 12 1 21 2 3 … p p p p         sau
21 1 1 1
11 p p p p p   .
Din ultima inegalitate obținem p2 < p ( p – 1) sau p < p – 1 – absurd.

64
2. Dacă x, y, z, sunt numere reale oarecare, atunci:
    2 2 2 4max , ,3xy xz yzx y y z z x   

Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că
  2 2 2max , , 3 x y y z z x    .
Rezultă că
    2 2 24 4 4,3 3 3xy xz yz xy xz yz xy xz yxx y y z si z x           .
Însumând cele trei inegalități obținem (x+y)2 + (y+z)2 + (x+y)2 < 4 (xy + xz + yz) sau
x2 + 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + z2 + 2zx + x2 < 4 xy + 4xz + 4yz sau
(x2 – 2xy + y2)+ ( y2 – 2yz + z2 )+( z2 – 2zx + x2 ) < 0
(x− y)2 + (y− z)2 + (z− x)2 < 0 – absurd.
3. Să se arate că dacă x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0 , t ≥ 0 , v ≥ 0 și
x y z , atunci:
2 22x t v y t z v     

Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că
2 22x t v y t z v      . Rezultă că
sau
 

22 22
2 2 2 2 2 2
2222
22x t v y t z v
x t tv v y t z v y t z v
x y z tv y t z v     
          
      
Din inegalitatea
x y z obținem
2
2 2 2 2 x y z y z yz sau yz x y z       
Rezultă că
22 2 2 22 2 2yz tv y t z v sau yz tv y t z v        sau

65

22 2 2 2 2 22yz tv yz+t v yz yv t z t v sau 0 > v y t z      – absurd.
4. Dacă x, y, z, sunt numere reale strict pozitive astfel încât
x + y + z ≥ x y z , atunci:
x2 + y2 + z2 ≥ x y z
3 .
Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că x2 + y2 + z2 < x y z
3 .
Aplicăm inegalitatea mediilor : x2 + y2 + z2 ≥
2 2 2 2 3 333x y z xyz .
Dar, x y z
3 > x2 + y2 + z2. Rezultă că x y z
3 >
233xyz .
Efectuăm calculele și obținem x y z >
33 .
În cele ce urmează aplicăm inegalitatea lui Cauchy : ( x + y + z )2 ≤ 3( x2 + y2 + z2 )
3
x y z > x2 + y2 + z2 ≥
22
33x y z xyz . Obținem x y z <
33 .
Am obținut x y z >
33 și x y z <
33 . – absurd.
5. Dacă x y z ∈ [0,2] verifică xy + xz + yz = 2, atunci : x2 + y2 + z2 ≤ 5.
Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că x2 + y2 + z2 > 5.
( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 +2( xy + xz + yz ) > 5 + 2 ∙ 2 = 9 . Rezultă că x + y + z >3 .
2x + 2y + 2z = 2 ( x + y + z ) > 2 ∙ 3 = 6 = 3 ∙ ( xy + xz + yz) =
= 2∙ ( x y + x z + y z )+ x y + x z + y z = 4 + x y + x z + y z
Presupunem că z = min ( x, y ) . Rezultă că x + y ≥ 2
Avem 3( x + y )= 3x + 3y ≥ 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) = 2 ∙ 3 = 6

66
Inegalitatea 2x + 2y + 2z > 4 + x y + x z + y z se poate rescrie sub forma
0 > z ∙ ( x + y – 2 ) + ( x – 2 )∙ ( y – 2 ). Dar, din x ≤ 2, y ≤ 2 rezultă
(x – 2)(y – 2)≥0 , iar din z ≥ 0 și x + y – 2 ≥ 0 avem z ( x + y – 2 ) ≥ 0.
Însumând inegalitățile obținem 0 > z ∙ ( x + y – 2 ) + ( x – 2 )∙ ( y – 2 ) ≥ 0 – absurd.
6. Dacă x, y, z, sunt trei numere strict pozitive astfel încât
1 1 1 121 1 1 8 , atunci xyzx y z     

Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că
1
8 xyz >
1 1 121 1 1x y z    

(1 + y ) ∙ (1 + z )+( 1 + x ) ∙ ( 1 + z )+( 1 + y ) ∙ ( 1 + x )= 2( 1 + x ) ∙ ( 1 + y ) ∙ ( 1 + z ) .
După efectuarea calculelor se obține egalitatea
x y + x z + y z = 1 – 2 xyz
x y + x z + y z <
1 1 31 2 18 4 4    
23 33
14
4 3 3xy xz yzxy xz yz xyz   
sau
21
64xyz . Obținem
1
8 xyz < .
Rezultă că
1
8xyz și
1
8xyz – absurd.
7. Dacă x, y, z, sunt numere reale pozitive astfel încât x y z = 1 , atunci:
2 2 21
8 8 8x y z
x yz y xz z xy
  

Demonstrație :
Presupunem prin reducere la absurd că
2 2 21
8 8 8x y z
x yz y xz z xy
  
Notăm
2 2 2, , 1
8 8 8x y za b c
x yz y xz z xy   
  

67
Avem a < 1, b < 1, c < 1 și a + b + c < 1 .
2
2 2 2 21 8 8 81 1 1 1x yz yz yz
a x x x      

2
2 2 2 21 8 8 81 1 1 1y xz xz xz
b y y y      

2
2 2 2 21 8 8 81 1 1 1z xy xy xy
c z z z      

2 2 2 2 2 21 1 1 8 8 81 1 1 512yz xz xy a b c x y z                       
.
Dar
2 2 2
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 11 1 1abc
a b c a b c                        
2 2 2 2 2 2
2 2 2a b c a a b c b a b c c
abc                 

   
2 2 2a b c a b c a b b c a c a b a b c c
abc                

222 4 4 4
2 2 24 2 4 2 4 2a bc bc ab c ac abc ab
abc    

4 4 4 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2512 512512abc abc a b c a b c
a b c a b c   

Am obținut 512 > 512 – absurd.

3.3. METODA INDUCȚIEI MATEMATICE
3.3.1. Introducere
În matematică există numeroase enunțuri în care intervine ca variabilă un număr natural
n, eventual cu condiția n ≥ m, unde m este un număr natural fixat. Un astfel de enunț se
notează P(n). Propozițiile de ti pul “ ∀ n ≥ m, P(n) ” se demonstrează printr -un raționament
numit inducție matematică.

68

Primul principiu al inducției matematice .
Fie P(n) un enunț care depinde de numărul natural n ≥ m. Dacă sunt îndeplinite condițiile:
i) P(n) este adevărată pentru n = m și
ii) presupunând că P(n) este adevărată pentru n = κ ( unde κ ≥ m este un număr natural
arbitrar ) rezultă că ea este adevărată și pentru n = κ +1 , atunci P(n) este adevărată pentru
orice număr natural n ≥ m .

Al doilea principiu al inducției mate matice .
Fie P(n) un enunț care depinde de numărul natural n ≥ m. Dacă sunt îndeplinite condițiile;
i) P(n) este adevărată pentru n = m și
ii) presupunând că P(n) este adevărată pentru orice n , unde m ≤ n < κ , rezultă că ea este
adevărată și pentru n = κ , atunci P(n) este adevărată pentru orice număr natural n ≥ m .

3.3.2. Aplicații:
1. Să se demonstreze inegalitatea:
1 1 1 1…. 2 ,
1 2 3n n 1.
n      

Demonstrație :
Pentru n = 1 ,
12 1,
1 – ( adevărat ).
Presupunem că
1 1 1 1…. 2
1 2 3
     este adevărată și demonstrăm că
1 1 1 1 1…. 2 1
1 2 3 1
      

.
1 1 1 1 1 1 1…. 2 2 1 2 2 1
1 2 3 1 1 1   
                
  

1 1 22 1 2 1 2 1
1 1 1   
             
   

69

1 2 1 12 1 2 1 2 1
11      
               
   
Conform cu primul principiu al inducției matematice,
1 1 1…. 2 , 1.
12n n
n     
2. Să se demonstreze in egalitatea:
 1 3 5 …… 2 1 1,12 4 6 …… 2 21 n n n n          

Demonstrație :
Pentru n = 1 ,
11322 3 sau  ( adevărat ).
Presupunem că
 1 3 5 …… 2 1 1
2 4 6 …… 2 21

         este adevărat ă
și demonstrăm că

1 3 5 …… 2 1 2 1 1.2 4 6 …… 2 2 2 23

           



1 3 5 …… 2 1 2 1 1 3 5 …… 2 1 2 1 2 1 1
2 4 6 …… 2 2 2 2 4 6 …… 2 2 2 2 2 21
    
                               


22 1 2 1 2 1 1
22 23 2 1 2 3 22 
            

Conform cu primul principiu al inducției matematice ,
 1 3 5 …… 2 1 1,12 4 6 …… 2 21 n n n n          
.
3. Să se demonstreze că dacă | x | ≤ 1 , atunci inegalitatea (1 – x)n + (1 + x)n ≤ 2n
este satisfăcută pentru orice număr natural nenul.
Demonstrație :
Pentru n = 1 , (1 – x )1 + (1 + x)1 ≤ 21 – ( adevărat ).
Presupunem că (1– x)𝜅 + (1+ x)𝜅 ≤ 2𝜅 – este adevărat ă și

70
demonstrăm că (1– x)𝜅+1 + (1+ x)𝜅+1 ≤ 2𝜅+1 .
(1– x)𝜅+1 + (1+ x)𝜅+1 = (1– x)𝜅 ∙ (1– x)+ (1 – x)𝜅 ∙ (1– x) ≤
≤ 2(1 – x)𝜅 + 2(1 + x)𝜅 = 2[(1 – x)𝜅 + (1+x) 𝜅] ≤ 2 ∙ 2𝜅 =2𝜅+1 .
Conform cu primul principiu al inducției matematice , (1– x)n +(1+ x)n ≤ 2n ,
1 n .

4. Să se demonstreze inegalitatea:
(x + y ) n ≤ 2 n-1 ∙ ( x n + y n ) , n ∈ ℕ , x > 0 , y > 0.
Demonstrație :
Pentru n = 0 , (x + y )0 ≤ 2-1 ∙ (x0 + y0 ) – ( adevărat ).
Presupunem că (x+ y)𝜅 ≤ 2𝜅-1 ∙ (x𝜅 + y𝜅 ) – este adevărat ă și
demonstrăm că (x+ y)𝜅+1 ≤ 2𝜅 ∙ (x 𝜅+1 + y 𝜅+1 ).
(x +y ) 𝜅+1 = (x +y )𝜅 ∙ (x +y ) ≤ 2𝜅-1 ∙ (x 𝜅 + y 𝜅 ) ∙ (x +y )=
= 2𝜅-1 ∙ ( x 𝜅+1 + y 𝜅+1 + x y𝜅 + yx𝜅 ) = 2 𝜅-1 ∙ ( 2x 𝜅+1 +2y 𝜅+1 + xy 𝜅 + yx 𝜅 – x 𝜅+1 – y 𝜅+1) =
=2𝜅-1 ∙ [ 2 x 𝜅+1 + 2y 𝜅+1 + x( y𝜅 – x𝜅) – y ( y𝜅 – x𝜅)] =
= 2𝜅-1 ∙ [ 2 (x 𝜅+1 + y 𝜅+1) – ( y𝜅 – x𝜅)∙ ( y – x )] ≤
≤ 2𝜅-1 ∙ 2 ∙ (x 𝜅+1 + y 𝜅+1) = 2𝜅 ∙ (x 𝜅+1 + y 𝜅+1), deoarece ( y𝜅 – x𝜅)∙ ( y – x ) ≥ 0
Conform cu primul principiu al inducției matematice
(x+ y )n ≤ 2n-1 ∙( xn + y n ) , n ∈ ℕ , x > 0 , y > 0.

5. Fie ( xi ) i ≥ 1 un șir de numere reale cu proprietatea
xn + 1 ≥
1
n ∙ ( x 1 + x 2 + ….+ xn ),
1 n . Să se demonstreze că
x1 + 2x 2 + ….+ nx n ≥
1
2n ( x1 + x 2 + ….+ x n ),
1 n .

71
Demonstrație :
Pentru n = 1 , x1 ≥
111
2x – ( adevărat ).
Presupunem că x1 + 2×2 + … + x 𝜅 + κ x𝜅 ≥
1
2 (x1 + x 2 + …. + x 𝜅 ) este adevărat ă și
demonstrăm că x1 + 2x 2 + …+κ x 𝜅 +( κ +1) x 𝜅+1 ≥
2
2 ( x1 + x 2 + …. + x 𝜅 + x𝜅+1 )
Inegalitatea xn + 1 ≥
1
n ∙ ( x 1 + x 2 + ….+ x n ) se rescrie sub forma
( n +1)∙ x n + 1 ≥
2
2n xn + 1 +
12 ….
2n x x x   Avem x1 +2x 2 + ….+𝜅 xk +( 𝜅 +1) xk+1 ≥
1
2
( x1 +2x 2 + ….+ x k )+
2
2 xk+1 +
12 …. 2
22x x x     ∙ ( x 1 + x2 + ….+ x k )+
2
2 xk+1 =
2
2
∙( x1 + x 2 + … + x 𝜅 + x𝜅+1).
Conform cu primul principiu al inducției matematice
x1 + 2x 2 + … + n xn ≥
1
2n ∙ (x1 + x 2 + …. + x n )
1 n

6. Demonstrați că:
(x1 + x 2 + …. + x n ) ∙
12
12
21 1 1…. . ,0n
nn , x x ,x x x , x     
 , n ∈ ℕ*
Demonstrație :
Pentru n = 1 , x1 ∙
11
x≥ 12 – ( adevărat ).
Presupunem că ( x1 + x 2 + … + x 𝜅 ) ∙
2
121 1 1….x x x   
 pentru oricare κ numere stric t
pozitive, unde κ =
1, n , și demonstrăm că (x1 + x 2 + …. +x n+1 )∙
2
1 2 11 1 1…. 1
nnx x x    

( x1 + x 2 + …. + xn + xn+1)∙
1 2 11 1 1 1….
nn x x x x    
 ( x1 + x 2 + …. +x n )∙
1 2 11 1 1 1….
nn x x x x    

( x1 + x 2 + …. + x n )+
1
121 1 1….n
nxx x x   
 +1 ≥

72
≥ n2+1 + xn+1
1 2 1121 1 1 1…. ( ) .
nnn x x x x xx x
         
 ≥ n2+1
+2
2 2
1
11
22
12
2 . 1 2 1 2 11 1 1 1…. ( )
nn n
nx x x n n n n xx x xnx
            
   


7. Se dau numere le pozitive, x1 , x2 , …. , xn astfel încât x1 + x 2 + …. + x n = n.
Demonstrați că x1 + x 2 + …. + xn ≤ 1

Demonstrație :
Pentru n = 1 , x1 ≤ 1 – ( adevărat ).
Pentru n = 2 , x1 x2 = x1 (2 – x1 ) = 1 – 1 + 2×1 – x12 =1– (x1 − 1)2 ≤ 1
– ( adevărat ).
Presupunem că x1 x2 … x𝜅 ≤ 1 pentru oricare κ numere pozitive cu proprietatea
x1 + x 2 + …. + κ = κ , unde κ =
1, n , și demon străm că x1 x2 …. xn xn+1 ≤ 1 pentru
oricare n+1 numere pozitive x1 , x2 ,…. , xn , xn+1 cu proprietatea x1 + x 2 + … +x n +xn+1 =
= n+1.
Avem x1 + x 2 + …. + x n + x n+1 = n+1. Cel puțin unul dintre numerele x1 , x2 , …. , x n+1
este ≤ 1 și cel puțin unul dintre numerele x1 , x2 , …. , x n+1 este ≥ 1 .
Presupunem că x1 ≤ 1 și x2 ≥ 1 .
x1 x2 …. xn xn+1 = ( x 1 x2 )∙ ( x3 ∙ …. ∙ xn xn+1 ) =
= ( x 1 x2 – x1 – x2 + 1 + x 1 + x 2 – 1)∙ ( x3 ∙ …. ∙ xn xn+1 ) =
= [(x 1 + x2 – 1) + x 1 (x2 – 1) – (x2 – 1)]∙ ( x 3 ∙ …. ∙ xn xn+1 )=
= [(x 1 + x 2 – 1) – (1– x1 ) ∙ ( x2 – 1)] ∙ ( x 3 ∙ …. ∙ x n xn+1 ) ≤
(x1 + x 2 – 1) ∙ (x3 ∙ …. ∙ x n+1 ) ≤ 1, deoarece ( x1 + x 2 – 1) + x 3 + …. + xn+1 = n .
Conform cu al doi lea principiu al inducției matematice, x1 x2 … xn ≤ 1
oricare ar fi numerele pozitive x1, x2, … , x n cu proprietatea x1 + x 2 + …. + x n = n.

8. Se dau n numere pozitive x1, x2, … , x n astfel încât x1 x2 … x n = 1 .
Demonstrați că:
(1 + x1 ) ∙ (1 + x2 ) …….. (1 + x n ) ≥ 2 n .
Demonstrație :
Pentru n = 1, 1 + x 1 ≥ 2 sau x1 ≥ 1 ( adevărat ).
Pentru n = 2 , (1+ x1 )(1+ x2 ) = 1+ x1 + x2 + x 1 x2 = 1+ x1 + x2 +1 =

73
=
2
1
11
1 1 11 112 4 2 4 4xxxx x x         .
Presupunem că (1 + x 1 ) ∙ (1 + x 2) …….. (1 + x𝜅 ) ≥ 2𝜅 pentru oricare 𝜅 numere pozitive
cu proprietatea x1 x2 x𝜅 = 1, unde κ =
1, n , și demonstrăm că
(1 + x 1 )∙ (1 + x 2 ) ..(1 + x n+1 )≥ 2n+1 pentru oricare n+1 numere pozitive x1 ,x2 ,….,xn ,
xn+1 cu propriet atea x1 + x 2 +…. ….+xn + x n+1 = n+1.
Avem egalitatea x1 x2 …. x n xn+1 =1. Cel puțin unul dintre numerele x1 , x2 , …. , xn xn+1
este ≤ 1 și cel puțin unul dintre numerele x1 , x2 , …. , x n+1 este ≥ 1 .
Presupunem că x1 ≤ 1 și x2 ≥ 1 .
(1 + x 1 ) ∙ (1 + x 2 ) …….. (1 + x n ) (1 + x n+1 ) = (1+ x 1 + x 2 + x 1 x2 ) ∙ (1 + x 3)…. (1 + x n+1 )
= ( 2 +2×1 x2 + x 1 + x 2 – 1 – x1 x2 ) ∙ ( 1+ x3 ) ∙ …. ∙ ( 1+ xn+1 ) =
= [2 ( 1+ x1 x2 ) +( x1 – 1 ) – x2 ( x1 – 1) ] ∙ (1 – x3 ) ∙ … ∙ ( 1+ x n+1 ) =
= [2 ( 1+ x 1 x2 ) +( x 1 – 1 ) ∙ (1 – x2 )]∙ (1 – x3 )∙ … ∙ ( 1+ x n+1 ) ≥
2( 1+ x 1 x2 )∙ ( 1 + x 3 )∙ … ∙ ( 1+ x n+1 ) ≥ 2 ∙ 2n = 2n+1 deoarece ( x1 x2 ) ∙ x 3 ∙ … ∙ = 1 .
Conform cu al doilea principiu al inducției matematice, (1 + x 1 ) ∙ (1 + x 2 ) …….. (1 + x n ) ≥ 2n
oricare ar fi numerele pozitive x1 , x2 , …. , x n cu proprietatea x1 x2 …. …. x n = 1.

3.4. MONOTONIA FUNCȚIILOR
3.4.1. Teorema:
Fie f : A → ℝ o funcție derivabilă pe intervalul A. Atunci:
i) funcția f este monoton crescă tor pe intervalul A dacă și numai dacă f `(x) ≥ 0,
 x A .
ii) funcția f este monoton descrescătoare pe intervalul A dacă și numai dacă f `(x)≤0,
xA .
Demonstrație :
“⟹” Presupunem că funcția f este monoton crescător pe intervalul A. Atunci pentru oricare x și
x0 din A, x ≠ x 0 , avem
0
00f x f x
xx . Rezultă că

00
0lim 0
xxf x f x
xx ,
deci f `(x) ≥ 0,
0 . x A
“⟸” Presupunem că f `(x) ≥ 0,
x A și fie x1, x2 ∈ A cu x1 < x2 . Aplicând teorema lui
Lagrange funcției f pe intervalul închis [ x1,x2] rezultă că există c ∈ ( x1, x2 )astfel încât
f (x2)− f (x 1)= (x2 – x1)f `(c). Deoarece c ∈ ( x1, x2 ) , rezultă că f `(c) ≥ 0 și cum x2 – x1 > 0, se
obține f (x 2)− f (x 1) ≥ 0, ceea ce înseamnă că funcția este monoton crescătoare pe intervalul A.
Punctul ( ii ) se demonstrează analog cu punctul ( i ).

74

3.4.2. Aplicații:
1. Dacă x este un număr real pozitiv, atunci
1 x exe .

Demonstrație :
Consid erând funcția f : (0 ; + ∞ ) → ℝ , f (x) = xx
ln ln ln(x) 1 ln 1 lnxx x x x x x xf x e e e x x x        

Ecuația f `(x) = 0 are soluția
11x , ee fiind punct de minim pentru funcția f.
Obținem f (x) ≥
1
1111 e x eee f x eeesau            
2. Să se arate că dacă x > 1 , atunci:
12x3x
Demonstrație :
Fie funcția f : (1 ; + ∞) → ℝ , f (x) =
123xx
2
22 21 1 1 120
2xxfxxxx x x x      

Rezultă că funcția f este strict crescătoare pe intervalul (i ; + ∞) și f (x) > f (1) = 0 sau
123x
x
, dacă x > 1
3. Să se arate că dacă 1 ≤ x < y , atunci:
11
1n n n ny x y x
nn
, oricare ar fi n ∈ ℕ*

Demonstrație :
Fie funcția
f : [1; + ∞) → ℝ , f (t) =
11
11 1, 1 011n n n n
n n n nt t t ntf t t t t tn n n n
        
Funcția f este descrescătoare pe int ervalul [1 ; + ∞) . Avem f (y) < f (x) sau
1 1 1 1
1 1 1n n n n n n n ny y x x y x y x sau n n n n n n        
.

75

4. Să se arate că dacă
x, y∈ (0 ; + ∞) și p ∈ [0 ; 1] , atunci ( x + y ) p ≤ x p + y p
Demonstrație :
Fie funcția f : (0 ; + ∞) → ℝ , f (t) = ( t+1) p – t p – 1.
ft
p(t+1)p-1− pt p-1= p[(t+1)p-1− pt p-1] ≤ 0
Funcția f este monoton crescător pe (0 ; + ∞), f (t) ≤ f (0) = 0 sau ( t+1) p ≤ t p+1 ,
oricare ar fi t > 0 . Pentru
xty , obținem
 1 1 .nn
n nn xx sau x y x yyy              
5. Să se arate că dacă x, y ∈ [0 ; + ∞) , atunci :
3x 3 + 7y 3 ≥ 9xy 2.
Demonstrație :
Considerăm funcția f : [0 ; + ∞) → ℝ , f (x) = 3x 3 + 7y 3– 9xy 2
f `(x) = 9x 2 – 9y 2 = 9 (x + y)∙ (x + y)
f `(x) = 0 dacă și numai dacă x = y și y este punct de minim.
f (x) ≥ f (y) = 3y 3 + 7y 3 – 9y 3 = y 3 ≥ 0 , adică 3x 3 + 7y 3 ≥ 9xy2 .

6. Dacă x și y sunt numere pozitive, atunci :
9 ( x 3 + y 3 + z 3 ) ≥ ( x + y + z ) 3.
Demonstrație :

Demonstrăm mai întâi inegalitate a
4 ( x 3 + y 3 ) ≥ ( x + y ) 3.
4 ( x 3 + y 3 ) – ( x + y ) 3 = 4 x 3 + 4 y 3 – ( x 3 + y 3 + 3 x2y + 3xy 2) =
= 4 x 3 + 4 y 3 – x 3 – y 3 – 3 x2y – 3xy 2 = 3 x 3 + 3 y 3 – 3 x2y – 3xy 2 =
= 3 [x 3 + y 3– x2y – xy2] = 3[x 2 (x – y ) – y2 (x – y)] =
= 3 (x – y) ∙ (x2 – y2) = 3 (x – y) 2 ∙ (x + y) ≥ 0 .

Fie funcția f : [0 ; + ∞) → ℝ ,
f(x) = 9 (x 3 + y 3 + z 3) – ( x + y + z ) 3
f `(x) = 3∙ 9 ∙ x 2 – 3(x + y + z)2 = 3[ 9x 2 – (x + y + z) 2 ].
f `(x) = 0 dacă și numai dacă
2yzx .

76
Avem
 3 3 3 2
3 3 3 3 339 9 92 2 2 2 2y z y z y z y z y zf x f y z y z y z                                             

3 3
33 3 3 3 3 9 27 279 9 92 8 8 8yz yzy z y z y z y z            

3 3 3 3 3 3 3 3 3 18 1 99 9 4 08 4 4y z y z y z y z y z y z              

7. Să se arate că pentru orice n ∈ ℕ si x ≥ 0 ,
2
1 …..1! 2! n!n
x x x x e     
.

Demonstrație :
Demonstrăm inegalitate a prin metoda inducției matematice .
Pentru n = 0 ,
1xe – ( adevărat ).
Presupunem că
2
1 …..1: 2 : :k
x xexx
     pentru orice număr real pozitiv x și demonstr ăm că
21
1 …..1: 2 : : 1 :kk
x x x x x e 
     

Considerăm funcția f :[0 ; + ∞) → ℝ ,
f (x) =
21
1 …..1: 2 : : 1 :kk
x x x x x e     
  
f `(x) =
2
1 ….. 01: 2 : :k
x x x x e      Rezultă că f (x) este o funcție monotonă crescătoare și
f (x) ≥ f (0) = 0 sau
2
1 ….. ,1: 2 : n :n
x x x x e     ∀ n ∈ ℕ și x ≥ 0 .
8. Dacă 0 < x < 1 , atunci:
1
1121,x
xxx x e
Demonstrație :
11
1 1 1 1 1 111x x x x x x x x x xx x x x x x           


Fie fun cția f : (0 ; 1) → ℝ , f (x) =
11x
xxx .

77
ln f (x) = ln ( 1 + x )
1
1xx = ln ( 1 + x )
ln1xxx

 
2 2 221 1 1 1 2 ln 1ln ln1 1 1 1 1 1 1 1f x x xxxf x x x x x x x x x                   

Fie funcția g : (0 ; 1) → ℝ , g (x) =
 21ln1xxx

 
2
2 2 21 1 1 1 1 420
1 1 1x x xgxxx x x x x          
  
.
Funcția g este o funcție stric t crescătoare pe intervalul (0 ; 1) . Avem g (x) < g (1) = 0 ,
oricare ar fi x ∈ (0 ; 1) . Obținem f `(x) < 0, pentru x ∈ (0 ; 1) .
Funcția f este stric descrescătoare pe interv alul (0 ; 1) .

 10
1lim lim
2lim 1, limxx
x o xf x f x < f x
f x Avem
f xe   
   


Rezultă inegalitatea
1
1121,x
xxx x 0 < x < 1.e

9. Dacă z > y > x > 0 , să se arate că x y – z ∙ y z – x ∙ z x – y >1.

Demonstrație :
Notăm
yzU si txx Rezultă că y = Ux și z = tx , unde t > U > 1.
Înlocuim în inegalitatea din enunț și obținem:

x ( U – t ) x ∙ (Ux)( t -1) x ∙ (tx)( 1 – U )x >1. Aplicăm logaritmii și avem:

x (U – t) ln x + (t – 1) x ( ln U + ln x) + ( 1 – U) x ( ln t + ln x) > 0

După efectuarea calculelor se o bține inegalitatea
lnU ln
11t > Ut
Fie funcția f : (1 ; +∞) → ℝ , f (s) =
ln
1s
s

78


21ln
1sssfs
s


. Considerăm și funcția g : (1 ; +∞) → ℝ , g (s) =
1s
s – ln s .
g` (s) =
221 1 10,s
s s s   ∀ s > 1 .
Rezultă că funcția g (s) este strict descrescătoare pe intervalul (1 ; +∞) și
g (s) < g (1) = 0 , ∀ s > 1 .

20
1gsfs
s

pentru s > 1. Funcția f (s) strict descrescătoare și cum U < t ,
rezultă că f (U) > f (t) sau
ln lnt.11U
Ut

3.5. CONVEXITATEA ȘI CONCAVITATEA
3.5.1. Definiția:
Funcția f : A → ℝ , A interval, se numește funcție convexă pe intervalul A dacă pentru
oricare x1, x2 ∈ A și oricare t ∈ [0 ; 1 ] are loc inegalitatea :
f [( 1 – t ) x 1 + t x 2 ] ≤ (1 – t )∙ f ( x1 ) + t f ( x2 ).
3.5.2. Definiția:
Funcția f : A → ℝ , A interval, se numește funcție concavă pe intervalul A dacă pentru
oricare x1, x2 ∈ A și oricare t ∈ [0 ; 1 ] are loc inegalitatea:
f [( 1 – t ) ∙ x 1 + t x 2 ] ≥ (1 – t )∙ f ( x 1 ) + t f( x 2 ).
3.5.1 . Teorema:
Fie funcția f : [a ; b] → ℝ , a < b , o funcție care verifică condițiile:
a) f este continuă pe intervalul [a ; b] .
b) f este derivabilă de două ori pe intervalul (a ; b).

79
Atunci:
1) Dacă f „(x) ≥ 0 , ∀ x∈ (a ; b) , rezultă că funcția f este convexă pe intervalul închis
[a ; b] .
2) Dacă f „(x) ≤ 0 , ∀ x∈ (a ; b) , rezultă că funcția f este concavă pe intervalul închis
[a ; b] .
Demonstrație :
1) Fie a ≤ x 1 < x2 ≤ b și x∈ ( x1 ; x2 ) arbitrar . Există c1 ∈ ( x1 ; x ) și
c2 ∈ ( x ; x 2 ) astfel încât
1
2
22
1
1f c si f x f x f f c .xxfx
xxx 
Deoarece f `(x) este o funcție crescătoare ( f „(x) ≥ 0 , ∀ x∈ (a ; b)) și c1 < c 2 ,
rezultă că f `( c 1 ) ≤ f `( c2 ) adică:


112
2f x f x f x f x x x x x

Din faptul că x∈ ( x1 ; x2 ), rezultă că pentru orice t ∈ ( 0 ; 1 )
avem x = ( 1– t ) x1 + t x 2 .
Înlocuind pe x în relația de mai sus se obține
f [( 1 – t ) ∙ x 1 + t x 2 ] ≤ (1 – t )∙ f ( x 1 ) + t f( x 2 ) ceea ce înseamnă că f este funcție
conv exă pe intervalul [a ; b] .
2) Punctul 2 se demonstrează analog cu punctul 1 .

3.5.2 Teorema (Inegalitatea lui Jensen) :

Fie f : A → ℝ , A interval, și n ∈ ℕ și n ≥ 2 .
1) Dacă f este funcție con vexă pe intervalul A , atunci:
12 12… …., , 1,n n
if x A ix f x f x xxf nnnx         

2) Dacă f este funcție concavă pe intervalul A , atunci:
12 12… …., , 1,n n
if x A ix f x f x xxf nnnx         

80

Demonstrație :
1) Pentru demonstrație folosim metoda inducției matematice.
Pentru n=2 ,
12 12, ( )22f x f adev ăratx xxf ă 
deoarece
12 12
1 2 1 21 1 1 1112 2 2 2 2 2f x x xxf f x x f x f x               

Presu punem că
12 12
12… ….,, 2 .. , , , , .n nf x f x f x x x xf x x A unde x n           
,
și demonstrăm că
1 2 1 1 2 1
11… ….n nf x f x f x xxfnnx        
1 2 1 1 2
11 …. … 111 11n n n
nnx x x x x x xfn n nfx
               

12
1….111
11n
nx x xfxnfnn        

1 2 1 2 1
11
1…. ….
1111n n n
nf x x x f x f x f x f
nx
nnfxn
           

2) Punctul 2 se demonstrează analog cu punctul 1.
3.5.3 Aplicații:
1. Dacă x, y, z > 0 , atunci
 3x y z
x y z x y zx y z
Demonstrație :
Considerăm funcția f : (0 ; +∞) → ℝ , f (s) = s ln s
f `(s) = 1+ ln s
f „(s) =
10, pentru s > 0.s

81
Funcția f este stric convexă pe (0 ; +∞).

33
ln ln lnln3 3 3 3x y z
x y zx f y f z x y z
x y z x yff sau
x x y y z z sau zx z x yyz 
                
   

  

2. Dacă x, y, z > 0 , și x + y + z = 1 , atunci:
3
2xyz
y z z x x y  
  

Demonstrație :
Rescriem inegalitatea sub forma
3
2 1 1 1x y z
x y z  
  
Fie funcția f: (0 ; 1) → ℝ , f ( t ) =
1t
t

 
221;01 1tf t f tt t    
Funcția f este stric convexă pe ( 0 ; 1).
1
11 3
3 3 3 1613x y zf f sxfaf y fuz         

   

33
62 1 1 1x y z
x y z   
  
3. Fie x, y, z > 0 , Să se arate că:
3
3 3 3 5x y z
x y z x y z x y z       
Demonstrație :
 3 3 3 2 2 2x y z x y z
x y z x y z x y z x x y z y x y z z x y z                  

Fie funcția f : (0 ; +∞) → ℝ, f ( t ) =
2t
ta , unde a > 0 . Funcția f este stric t concavă.
Pentru a = x + y + z obținem

82


3
2 33
3x y z
x y zf saux y zxf
yfy
zx f z
   
3 335 2 2 2 5
3x y z
x y z
x y z x x y z y x y z z x y z
             
.
4. Fie numerele reale x1, x2 , …. x n > 0, n ∈ ℕ , n ≥ 2, cu x1∙ x2 ∙ …. ∙ x n = 1.
Să se demonstreze că:
x1 + x2 + …. + xn +
121 1 1 3….1 1 1 2nn
x x x     

Demonstrație :
x1 + x2 + …. + xn +
121 1 1 3….1 1 1 2nn
x x x      sau
12
121 1 1 3….1 1 1 2nnx x xx x n                     

Fie funcția f : (0 ; +∞) → ℝ, f ( t ) =
.1ttt f `(t)=
21
1t
t
 , f „(t) =
220
1t
 .
Funcția f este o funcție stric convexă.
f (t) –

21 2 1 3 1 3 2 102 1 2 2 1 2 1tt ttt pentru t 1.t t t           
12 12… .. 3 . .
2n n
nf x f x f x xxfnx    
deoarece
12
12 1….. . .n n
nx x xxxnx   

Rezultă că
12
121 1 1 3….. .2n
nnx x xx x x               
    

83

CAPITOLUL I V

CONSIDERAȚII METODICE PRIVIND PREDAREA INEGALITĂȚILOR
ALGEBRICE ÎN CICLUL GIMNAZIAL

Inegalitățile algebrice suscită un interes deosebit din partea profesorilor de matematică și
a unor elevi (în special elevii care se pregătesc pentru concursurile școlare ), fapt evidențiat p rin
numărul mare de publicații (culegeri, articole în reviste de specialitate) care au ca temă acest
capitol al matematicii.
De-a lungul anilor au apărut numeroase culegeri în care sunt prezentate diverse metode de
rezolvare a inegalităților algebrice.
Cu toate acestea, predarea inegalităților algebrice în ciclul gimnazial constituie o sarcină
destul de dificilă pentru profesori, în special în caz ul profesorilor din mediul rural.
Motivele pentru care acest lucru se întâmplă sunt multiple:
− nivelul mediu de c unoștințe al elevilor de la clasă.
− relația de inegalitate este mai greu de abordat de către elevi decât relația de egalitate.
− numărul relativ mic de inegalități simple.
În acest caz, introducerea în stadiul inegalităților algebrice trebuie să țină cont de nivelul
de pregătire al elevilor și de tehnicile de lucru cu care ei sunt obișnuiți să rezolve majoritatea
exercițiilor de la clasă (calculul algebric, descompuneri în factori, formule de calcul prescurtat),
astfel încât majoritatea elevilor să intuiască modul în care se demonstrează anumite inegalități,
pentru ca pe parcurs să se facă trecerea la inegalități mai dificile (inegalitatea mediilor,
inegalitatea lui Cauchy și altele ).
În cele ce urmează sunt prezentate o serie de metode și exerciții (nivelul de dificultate al
exercițiilor este relativ scăzut) care să faciliteze inițierea elevilor de nivel mediu în studiul
inegalităților algebrice.
Capitolul se încheie cu un proiect de cu rs opțional pentru clasa a VIII – a și cu interpretarea
rezultatelor obținut e la câteva teste.

84

4.1 INIȚIERE ÎN STUDIUL INEGALITĂȚILOR

4.1.1 METODA FACTORULUI CO MUN.

1. Fie x, y, z, t, ∈ ℝ astfel încât x ≤ 2 și y + z + t ≤ 10
Să se demonstreze că:
xy + xz + xt ≤ 20
Demonstrație :
xy + xz + xt = x( y + z + t ) ≤ 2 ∙ 10 = 20
2. Dacă x, y, z ∈ ℝ astfel încât x + y ≥ 3 și z ≥ 5, atunci:
7x + 2z + 7y ≥ 31.
Demonstrație :
7x + 2 z + 7y = 7x + 7y + 2z = 7(x + y ) + 2z ≥ 7 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 31
3. Dacă x, y ∈ {1, 2, …., 9} și x + y ≥ 5, atunci:
55 xx yy
.
Demonstrație :

55
10 10 55
11 11 55
11 55
55xx yy
x x y y
x y
x y
x y   
    
  
  

4. Fie x, y ∈ ℝ cu proprietatea x – y ≥ 6 .
Să se arate că:
7x – 4(x + y) ≥ 18 − y.
Demonstrație :
7x − 4(x + y) ≥ 18 − y ⇔
7x − 4x − 4y ≥ 18 − y ⇔
3x − 3y ≥ 18 ⇔
3(x − y) ≥ 18 ⇔
x − y ≥ 6 .

85
5.
Dacă x, y ∈ ℝ și x − y ≤ 2, atunci:
5(x + 20) ≤ x + 4(y + 2 7).
Demonstrație :
5(x + 20) ≤ x + 4(y + 27) ⇔
5x + 100 ≤ x + 4y + 108 ⇔
5x − x − 4y ≤ 108 – 100 ⇔
4x − 4y) ≤ 8 ⇔
4(x − y) ≤ 8 ⇔
x − y ≤ 2 .
6. Fie x, y ∈ ℝ astfel încât x + y ≥ 2. Demonstrați că:
(x + 1)2 − (x − 1)2 + 4y ≥ 8
Demonstrație :
(x + 1)2 − (x − 1)2 + 4y ≥ 8 ⇔
x2 +2x + 1 − (x2 − 2x + 1 ) + 4y ≥ 8 ⇔
x2 +2x + 1 − x2 + 2x − 1 + 4y ≥ 8 ⇔
4x + 4y ≥ 8 ⇔
4(x + y) ≥ 8 ⇔
x + y ≥ 2 .

7. Dacă x, y ∈ ℝ și x − y ≥ 1 , atunci:
(x + 1)2 − (x − 1)2 ≥ (y + 1)2 − (y − 1)2 + 4 .
Demonstrație :
(x + 1)2− (x − 1)2 ≥ (y + 1)2 − (y − 1)2 + 4 ⇔
x2 + 2x + 1− (x2 − 2x + 1) ≥ y2 + 2y + 1 − (y2 − 2y + 1 ) + 4 ⇔
x2 + 2x + 1− x2 + 2x − 1 ≥ y2 + 2y + 1 − y2 + 2y − 1 + 4 ⇔
4x ≥ 4y + 4 ⇔
4x− 4y ≥ 4 ⇔
4(x− y) ≥ 4 ⇔
x− y ≥ 1 .
8. Fie x, y ∈ ℝ cu proprietatea x − y ≤ 10. Să se demonstreze că:
23125x y x y 

86
Demonstrație :
23125x y x y   

5(x + y) ≤ 2(2x + 3y) + 10 ⇔
5x + 5y ≤ 4x + 6y + 10 ⇔
5x + 5y – 4x – 6y ≤ 10 ⇔
x− y ≤ 10 .

9. Fie x, y ∈ ℝ , x ≥ 1 , y ≥ 1 . Să se demonstreze că:
xy + x + y + 1 ≥ 4 .
Demonstrație :
xy + x+ y + 1 = x(y + 1) + 1∙ (y + 1) = (x +1)(y + 1) ≥ 2 ∙ 2 = 4

10. Fie x, y, z, t, ∈ ℝ astfel încât x + y ≥ 4 și z + t ≥ 5.
Să se demonstreze că:
xz + xt + yz + yt ≥ 20 .
Demonstrație :
xz + xt + yz + yt = x(z + t) + y(z + t) = (z + t)(x + y) ≥ 5 ∙ 4 = 20.

11. Dacă x ∈ ℝ și x ≥ 2 , atunci:
x3− x ≥ 6 .
Demonstrație :
x3− x = x ( x2 – 1) = x (x – 1)∙ (x + 1) ≥ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 6 .

12. Fie x ∈ ℝ , x ≥ 3.
Să se demonstreze inegalitatea :
x2− 5x + 6 ≥ 0 .

Demonstrație :
x2− 5x + 6 = x2 – 2x − 3 x + 6 = x(x − 2) – 3(x − 2) = (x− 2)(x − 3) ≥ 0 .

13. Dacă x ∈ ℝ , x ≥ 1 , atunci:
x3 + x2 ≥ x + 1.

87
Demonstrație :
x3 + x2 ≥ x + 1 ⇔
x3 + x2 – x − 1 ≥ 0 ⇔
x2(x + 1) − 1 ∙ (x + 1) ≥ 0 ⇔
(x + 1) (x2− 1) ≥ 0 ⇔
(x + 1) (x + 1) (x − 1) ≥ 0 ⇔
(x + 1)2 (x − 1) ≥ 0 .

14. Considerăm x, y ∈ ℝ , x ≥ 1 , y ≥ 1 . Să s e demonstreze inegalitatea:
x2y + xy2 ≥ (x + y)2 − (x + y) .

Demonstrație :
x2y + xy2 ≥ (x + y)2 − (x + y) ⇔
x2y + xy2 − (x + y)2 + (x + y) ≥ 0 ⇔
xy (x + y)− (x + y)2 + (x + y) ≥ 0 ⇔
(x + y)[ xy − (x + y)+1] ≥ 0 ⇔
xy (xy − x − y + 1) ≥ 0 ⇔
xy[ x(y − 1) − 1∙ (y − 1)] ≥ 0 ⇔
xy (x − 1) ∙ (y − 1) ≥ 0 .

15. Dacă x ≥ 0, y ≥ 0 , atunci
x3 + y3 ≥ xy∙ (x + y).

Demonstrație :
x3 + y3 ≥ x y ∙ (x + y)⇔
x3 + y3 ≥ x2y + x y2 ⇔
x3 + y3 − x2y − x y2 ≥ 0⇔
x2(x − y) − y2(x – y) ≥ 0⇔
(x − y)( x2 – y2) ≥ 0⇔
(x − y)∙ (x − y)∙ (x + y) ≥ 0⇔
(x − y)2∙ (x + y) ≥ 0 .

88

16. Demonstrați că:
x3(y +1) + y3(x +1) ≥ x2(y + y2) + y2(x + x2), dacă x ≥ 0 și y ≥ 0 .

Demonstrație :
x3(y +1) + y3(x +1) ≥ x2(y + y2) + y2(x + x2) ⇔
x3(y +1) + y3(x +1) − x2y(y +1)− y2x(x +1) ≥ 0⇔
x2(y +1)(x − y) − (x +1) y2(x − y) ≥ 0⇔
(x − y)[ x2(y +1) − (x +1) y2] ≥ 0⇔
(x− y)( x2y + x2− xy2− y2) ≥ 0⇔
(x − y)[ xy(x − y)+ (x − y) (x + y)] ≥ 0⇔
(x − y)+(x − y)( xy + x+ y) ≥ 0⇔
(x − y)2( xy + x+ y) ≥ 0 .

4.1.2 Metoda S.O.S
1. Dacă x > 0 , atunci:
12 x x
Demonstrație :
12 x x  

12 x 0x   
221xx 0x
x2−2 x + 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 ≥ 0 .

2. Să se demonstreze că:
2, ,xy x yyx
    

Demonstrație :
2xy yx  

20xy yx   
2220x y xy
xy
x2 + y2 − 2 xy ≥ 0 ⇔ (x − y)2.

89

3. Să se demonstreze că:
x2 + x + 1 > 0 , ∀ x ∈ ℝ .
Demonstrație :
x2 + x + 1 > 0 ⇔
x2 + x +
13044   
22130.22x , x        

4. Fie x. y ∈ ℝ*+ . Să se arate că:
1 1 4. x y x y

Demonstrație :
1 1 4 x y x y  
1 1 40 x y x y   
40xy xy x y  


240x y xy xy x y
22240x xy y xy xy x y  

2220x xy y xy x y
x2 −2xy + y2 ≥ 0 ⇔ (x − y)2 ≥ 0 .
5. Demonstrați că dacă x > 0, y > 0 , atunci:
1 4 9. x y x y

Demonstrație :
1 4 9 x y x y  

1 4 90 x y x y   
490yx
xy x y  


490y x x y xy
xy x y  
224 4 90x xy xy y xy
xy x y   

22440x xy y
xy x y
4×2 + 4xy + y2 ≥ 0 ⇔ (2x + y)2 ≥ 0.

90

6. Demonstrați că:
a)
231
1 4 4xxx , ∀ x ∈ (−1; + ∞) .
b)
22 23
4 1 1 1x y z
x y z     (x + y + z −1), ∀ x, y, z ∈ (−1; + ∞) .
Demonstra ție:
a)
231
1 4 4xxx
2
031
14xx
x


23 1 1014
4xx
xx  

4×2 − (3x − 1) (x + 1) ≥ 0⇔
4×2 − (3×2 + 3x − x −1) ≥ 0⇔
x2 − 2×2 + 1 ≥ 0⇔ (x − 1)2 ≥ 0
b) Avem următoarele inegalități obținem:
22 2
,,113 1 3 1 3 1
1 4 3 4 3 4 3yz
yzxx y zx                      
.

Însumând c ele trei inegalități obținem
22 2
113 1 3 1 3 1
1 4 3 4 3 4 3yz
yzxx y zx                        

22 2
113
14yz
yzx
x  
(x + y + z −1).
7. Fie x, y ∈ ℝ. Să se arate că :
2(x2 + y2) ≥ (x + y) 2
Demonstrație :
2(x2 + y2) ≥ (x + y) 2⇔
2×2 + 2y2 ≥ x2 +2xy + y 2⇔
2×2 + 2y2 − x2 +2xy − y 2 ≥ 0 ⇔
x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 ⇔
(x − y)2 ≥ 0.

91

8. Dacă x ≥ 0, y ≥ 0, atunci:
4(x2 + xy + y 2 ) ≥ 3(x + y)2
Demonstrație :
4(x2 + xy + y 2 ) ≥ 3(x + y)2 ⇔
4×2 + 4xy + 4y 2 ≥ 3(x2 + 2xy + y2) ⇔
4×2 + 4xy + 4y 2 − 3×2 − 6xy −3y2 ≥ 0 ⇔
x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 ⇔
(x − y)2 ≥ 0.
9. Fie x, y, z ∈ ℝ. Atunci:
(x − y)2 ≤ 2(x − y)2 + 2(y − z)2
Demonstrație :
(x − y)2 ≤ 2(x − y)2 + 2(y − z)2 ⇔
x2 − 2xz + z 2 ≤ 2(x2 − 2xy + y 2)+ 2(y2 − 2yz + z 2) ⇔
x2 − 2xz + z 2 ≤ 2×2 − 4xy + 2y 2 + 2y2 − 4yz + 2z 2 ⇔
x2 + 4y 2 + z2 − 4xy − 4yz + 2xz ≥ 0 ⇔
(x + z – 2y)2 ≥ 0.
10. Să se arate că:
x(x + 1) (x + 2) (x + 3)+1 ≥ 0 , ∀ x ∈ ℝ .
Demonstrație :
x(x + 1) (x + 2) (x + 3)+1 ≥ 0⇔
x(x + 3) (x + 1) (x + 2)+1 ≥ 0⇔
(x2 + 3x) (x2 + x +2x + 2)+1 ≥ 0⇔
(x2 + 3x) (x2 + 3x + 2)+1 ≥ 0⇔
(x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x)+1 ≥ 0 ⇔
(x2 + 3x + 1)2 ≥ 0 .
11. Fie x, y ∈ ℝ. Să se demonstreze că:
x2 – 2x + y2 – 6y + 10 ≥ 0 , ∀ x, y ∈ ℝ .
Demonstrație :
x2 – 2x + y2 – 6y + 10 ≥ 0 ⇔
x2 – 2x + 1 + y2 – 6y + 9 ≥ 0 ⇔
x2 – 2x + 12 + y2 – 6y + 32 ≥ 0 ⇔
(x – 1)2 + (y – 3)2 ≥ 0 .

92

12. Să se demonstreze că:
224 4 5 20 10 3,x x y y     
∀ x, y ∈ ℝ .
Demonstrație :
224 4 5 20 101x x y y     

 224 4 1 4 20 100 1x x y y        

2 2 2 2 2 221 2 1 10 2 1 2 1 3.xy       

13. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci:
17×2 + 15y2 + 10z2 ≥ 4xy + 6yz + 8xz
Demonstrație :
17×2 + 15y2 + 10z2 ≥ 4xy + 6yz + 8xz ⇔
17×2 + 15y2 + 10z2 – 4xy – 6yz – 8xz ≥ 0 ⇔

(x2 – 4xy + 4y2) + (y2 – 6yz + 9z2)+ (z2 – 8xz + 16×2) ≥ 0⇔
(x – 2y)2 + (y – 3z)2 + (z – 4x)2 .

14. Fie numerele reale x, y, z . Să se arate că:
x2+ y2 + z2 ≥ xy + xz + yz
Demonstrație :
x2 + y2 + z2 ≥ xy + xz + yz ⇔
x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz ≥ 0 ⇔

1
2 (2×2 + 2y2 + 2z2 –2 xy –2 xz –2 yz ≥ 0 ⇔

1
2 [(x2 – 2xy + y2)+(y2 – 2yz + z2)+(x2 – 2xz + z2)] ≥ 0 ⇔
1
2
[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] ≥ 0 .

15. Fie x, y, z ∈ ℝ cu x + y + z = 1. Demonstrați că:
x2 + y2 + z2 ≥ 4(xy + xz + yz) – 1⇔

93

Demonstrație :

x2 + y2 + z2 ≥ 4(xy + xz + yz) – 1
x2 + y2 + z2 ≥ 4(xy + xz + yz) – (x + y + z) 2 ⇔
x2 + y2 + z2 ≥ 4xy + 4xz + 4yz) – x2 – y2 – z2 – 2xy – 2xz – 2yz ⇔
2xy2 + 2xz2 + 2yz2 – 2xy – 2xz – 2yz ≥ 0 ⇔
(x2 − 2xy + y2) + (x2 – 2xz + z2) + ( y2 – 2yz + z2) ≥ 0 ⇔
(x – y) 2 + (x – z)2 +(y – z)2 ≥

16. Dacă x, y ∈ ℝ și x ≥ 1, y ≥ 1,atunci :
  2 1 1 . x y x y     

Demonstrație :
  2 1 1 x y x y      

 2 1 2 1 x y x y     

2 1 2 1x x y y 0      
  1 2 1 1 1 2 1 1 0x x y y                

22
1 1 1 1 0.xy     

17. Să se demonstreze că oricare ar fi x, y, z ≥ 0, avem:
6. x y z y z x z x y xyz     

Demonstrație :
6 x y z y z x z x y xyz      

60 x y z y z x z x y xyz       
   2 2 2 0 x y z xyz y z x xyz z x y xyz                   

 2 2 2 0 x y yz z y z xz x z x xy y         

222
0. x y z y z x z x y     

94
18. Dacă x, y, z , t ≥ 0, atunci:
 x z y t xy zt   

Demonstrație :
 x z y t xy zt    

2
x z y t xy zt    

222 xy xt zy zt xy xyzt zt      
2 xy xt zy zt xy xyzt zt      

20 xt zy xyzt   

2
0. xt zy

4.1.3 Inegalitatea mediilor ( cazul particular n = 2 ).
Dacă x și y sunt numere reale strict pozitive, atunci:

2.11 2xy xy
xy


1. Dacă x ∈ ℝ și x > 0 , atunci:
144.5 5x x
Demonstr ație:
1 1 4 2 2 44 4 .55 5 5 5 x 2 x = 2 = = x  

2. Dacă x ≥ 0 , atunci:
2
22
1x 2
x


Demonstrație :
22
22111 2 1 2
11xx
xx      


2
222
2 2 2111 1 22 2 2
1 1 1xxx
x x x      
  

95

3. Fie x, y, z > 0 astfel încât x + y + z = 1 . Să se arate că:
1
4x y z .

Demonstrație :
 1
2 2 2x y z x y zx y z    
 22 11
24x y z x y z    
.

4. Dacă x, y > 0 , atunci:
221 1 9xy . .yx  

Demonstrație :

221 1 9xy .yx   
2 2 2 219x y x y y x y x     
224 1 9xy yx    

2 9 5xy
yx   
2.xy
yx
2 2 .x y x y y x y x   

5. Să se arate că dacă x, y, z > 0 , atunci:
6.x y y z z x z x y    

Demonstrație :
Rescriem inegalitatea sub forma
6.x z y z y x z x z y x y                 

Avem următoarele inegalități:
22x z x z z x z x   

96

22y z y z z y z y   
22y x y x x y x y   

Rezultă că
2 2 2 6 .x z y z y x z x z y x y                    

6. Demonstrați că:
xy + y z + zx + x y z (x + y + z) ≥ 6 x y z , ∀ x, y, z ≥ 0.

Demonstrație :
xy + yz + zx + x y z (x + y + z) ≥ 6 x y z ⇔
xy + yz + zx + x2y z + x y2z + x y z2 ≥ 6 x y z ⇔
(xy + x y z2) + (yz + y z x2) + (zx + z x y2) ≥ 6 x y z
xy + x y z2 ≥ 2
2 2 2 222 xy xyz x y z xyz 
yz + y z x2 ≥ 2
2 2 2 222 yz yzx y z x xyz
zx + z x y2 ≥ 2
2 2 2 222 zx zxy z x y xyz .
Adunând cel e trei inegalități se obține
(xy + x y z2) + (yz + y z x2) + (zx + z x y2) ≥ 2 x y z +2 x y z +2 x y z = 6 x y z

7. Demonstrați că are loc inegalitatea:
xy yz zxx y zz x y    
pentru orice x, y, z > 0
Demonstrație :
Observăm că
22 2 2xy yz xy yzyyz x z x    
22 2 2xy zx xy zxxxz y z y    

97

22 2 2yz zx yz zxz z .x y x y    
2 2 2xy yz xy zx yz zx x y zz x z y x y        

xy yz zx x y zz x y     

8. Dacă x ≥ 0 și y ≥ 0, atunci:
2
22 2
112 2 2xyxy            

Demonstrație :
22 2 2 2 2
1 1 1 1 22 2 4 4 4 4x y x y x yx y x y                           

22
2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 2x y xy xyxy xy xy          

 22
4 4 2
22xy xy xy
.  


9. Fie x și y numere reale astfel încât xy = 1 . Să se demonstreze inegalitatea:
 1 1 4x y .   

Demonstrație :
11x 2 x = 2 x   

11y 2 y = 2 y   

 1 1 2 2 4x y x y xy = 4 .     

10. Dacă x, y ∈ ℝ+ și x y = 1 , atunci:
1 x x+1 y y 9   
.

98

Demonstrație :
1 2 3 x x+1 x x x 1 x x       

1 2 3 y y+1 y y y 1 y y       

 3 3 9 9 x x+1 y y+1 x y xy      

11. Fie x, y, z, t numere reale pozitive nenule. Să se arate că:
1 1 1 1 16x y z t .y z t x                      

Demonstrație :
1 2 1 2 1 2 1 2x x x y y y , y y y z z z       

1 2 1 2 1 2 1 2z z z t t t , t t t x x x       

1 1 1 1 2 2 2 2 16 16x y z t x y z t x y z t .y z t x y z t x y z t x                                                               

12. Dacă x, y, z > 0 , atunci:
(x + y) ∙ (y + z) ∙ (z + x) ≥ 8 x y z
Demonstrație :
2 2 2 x y xy , y z yz , z x zx      

Rezultă că (x + y)∙ (y + z)∙ (z + x) ≥
 222xy yz zx  
(x + y)∙ (y + z)∙ (z + x) ≥
2 2 28x y z 8 x y z .

13. Demonstrați că:
2 338 xy yx xy

, ∀ x, y > 0 .
Demonstrație :
2 338 xy yx xy

⇔ (x + y)2
33xy 8yx  

99

222 2 4 x y xy x y xy xy     

3 3 3 3 2 21222x y x y y x y x x y xy    
2
33248xyx y + xy y x xy    
.
14. Fie x și y numere reale pozitive.
Să se demonstreze inegalitatea:

14 x y x y xy .    
Demonstrație :
 1 2 1 2 x y x y x y       

 21 2 2 2 2 x y x y x y x y = x y x y 2 xy = 4 xy .            

15. Dacă x, y ≥ 0 , atunci:
x3y3 + xz3+2 x2y ≥ 4x2y2
Demonstrație :
x3y3 + xy3 ≥
3 3 3 4 6 2 322x y xy x y = 2x y
x3y3 + xy3+2 x2y ≥ 2 x2y3+2 x2y = 2 x2(y3 + y) ≥
2 x2
3 2 42 2 2 y y x y   = 2 x2 ∙ 2 y2 = 4x2y2

16. Dacă x >0 și y >0 , atunci:
114xy
yx

Demonstrație :
1 2 1 2 1 2 1 2x x x , y y y       

2 1 1 24y y y x y x x x + = 2 + 2 2 =
y x y x y x y x      

17. Să se arate că:
x4 + y4 + z4+ t4 ≥ 4 x y z t , ∀ x, y, z, t ≥ 0 .

100

Demonstrație :
4 4 4 4 2 222 x y x y x y    

4 4 4 4 2 222 z t z t z t    

x4 + y4 + z4+ t4 ≥ 2 x2y2 + 2 z2t2 = 2 (x2y2 + z2t2)
2 2 2 222 x y z t 4xyzt   
18. Arătați că pentru orice numere reale stric t pozitive x, y, z avem:
3x y z + + y z x

Demonstrație :
2 2 2x y z x y z x z + + + 1 2 1y z x y z x z x      
2 2 4x z x z x z 2 2z x z x zx                   
⇔
3x y z + + y z x
19. Demonstrați că
13 x y xy   , ∀ x, y > 0 .
Demonstrație :
1 1 22 1 2 x y +1 2 xy xyxy xy xy       

112 2 2 4xy xy
xy xy
     

13 x y xy  

20. Demonstrați că pentru orice x, y, z ≥ 0 , avem
3
2x y z y z x z x y x y z .       

Demonstrație :

22x y z x y zx y z    


22y z x y z xy z x    


22z x y z x yz x y    

101

Adunăm cele trei inegalități și obținem
 3
2x y zx y z y z x z x y .     

21. Fie x, y, z ∈ ℝ , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .
Demonstrați inegalitatea:

222 22xy yz zx x y z + + .xy yz zx

Demonstrație :
Demonstră m mai întâi inegalitatea
2 42xy x y xy
 2 4 22 42xy x y x y xy xyxy      

2 , 2 2 2 2 2 x y xy xy xy xy    

Rezultă că (x + y)∙ (2+xy) ≥
2 2 2 2xy xy 4 xy  
În mod similar se demons trează inegalitățile
.22 4 2 4 2yz y z zx x z si yz zx

Obținem astfel

 2.2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2x y z xy yz zx x y y z x z x y z + + + xy yz zx          

22. Dacă x, y, z sunt numere reale pozitive și x y z = 1 , atunci:
1 1 1
2x y z
x y y z z x    

Demonstrație :
112
2x y xy sau xy xy  

112
2y z yz sau yz yz  

112
2z x zx sau zx zx  

102

1 1 1 1 1 1
222 x y y z z x xy yz zx       

1 1 1
2x y z x y y z z x xyz       
1 1 1
2x y z x y y z z x    

23. Dacă x, y, z ≥ 1 , atunci:
31 1 12x yz y zx z xz xyz .        

Demonstrație :
111 1 122x xyzx yz x yz yz        

111 1 122y xyzy zx y zx zx .         
111 1 122z xyzz xy z xy xy .         

Rezultă că
31 1 12 2 2 2xyz xyz xyz xyzx yz y zx z xy = .          

4.1.4 Inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwarz ( cazul particular n = 3 )

Dacă x, y, z, a, b, c sunt numere reale, atunci:
(x2 + y2 + z2)∙ (a2 + b2 + c2) ≥ (xa + yb + zc)2
1. Fie x, y, z ∈ ℝ astfel încât x + y + z = 6. Atunci:
x2 + y2 + z2 ≥ 12
Demonstrație :
(x2 + y2 + z2)∙ (12 + 12 + 12) ≥ (x ∙ 1 + y ∙ 1 + z ∙ 1)2 ⟺
(x2 + y2 + z2)∙ 3 ≥ (x + y + z) 2 ⟺
(x2 + y2 + z2)∙ 3 ≥ 62 ⟺
x2 + y2 + z2 ≥ 12 .

103

2. Fie x, y, z ∈ ℝ astfel încât x2 + y2 + z2 =1.
Demonstrați că:
3 x y z  

Demonstrație :
(1∙ x +1∙ y +1∙ z)2 ≤ (12+12+12)∙ (x2 + y2 + z2) ⇔
(x + y + z)2 ≤ 3∙1 ⇔
(x + y + z)2 ≤ 3 ⇔
 23 x y z    

3 x y z  
.
3. Fie x, y, z ∈ ℝ astfel încât x2 + y2 + z2 =7.
Demonstrați că:
2 3 7 2 x y z  

Demonstrație :
(x + 2y + 3z)2 ≤ (12+22+32) ∙ (x2 + y2 + z2) ⇔
(x + 2y + 3z)2 ≤ (1+4+9) ∙ 7 ⇔
(x + 2y + 3z)2 ≤ 14 ∙ 7 = 72 ∙ 2⇔
Rezultă că
 2 22 3 7 2 x y z   

2 3 7 2 x y z   

4. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci:
x2 + 4y2 + 9z2 ≥
 223
3x y z .
Demonstrație :
[x2 + (2y)2 + (3z)2]∙ (12+12+12) ≥ (x ∙ 1 + 2y ∙ 1+ 3z ∙ 1)2⇔
(x2 + 4y2 + 9z2)∙ 3 ≥ (x + 2y + 3z)2 ⇔
x2 + 4y2 + 9z2 ≥
 223
3x y z .

104

5. Fie x, y, z ∈ ℝ cu proprietatea x + y + z =
14 3 .
Să se demonstreze inegalitatea:
22
2949yzx .  
Demonstrație :
2 2 2 2
2 2 21 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3x y z x y z                                

22
2 21449yzx x y z      

222214 3 14 9 1449yzx       

22
2949yzx .  

6. Să se arate că:
(x2 + y2 + z2)∙ (x8 + y8 + z8) ≥ (x5 + y5 + z5), ∀ x, y, z ∈ ℝ.
Demonstrație :
(x2 + y2 + z2)∙ [(x4)2 + (y4)2 + (z4)2] ≥ (x∙ x4 + y∙ y4 + z∙ z4) 2⇔
(x2 + y2 + z2)∙ (x8 + y8 + z8) ≥ (x5 + y5 + z5) 2

7. Fie x, y ∈ ℝ. Să se demonstr eze inegalitatea:
(2×2 + y2)∙ (2y2 + x2) ≥ 9×2 y2
Demonstrație :
(x2 + x2 + y2)∙ (y2 + y2 + x2) ≥ (xy + xy + yx) 2⇔
(2×2 + y2)∙ (2y2 + x2) ≥ (3x y)2 ⇔
(2×2 + y2)∙ (2y2 + x2) ≥ 9×2 y2 .
8. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci:
(x + y+ 1)∙ (x + y + z2) ≥ (x + y + z) 2, ∀ x, y, z ≥ 0.
Demonstrație :
 2 2 2 2 22211 x y x y z x x y y z                    

(x + y+ 1)∙ (x + y + z2) ≥
222x y z   (x + y+ 1)∙ (x + y + z2) ≥ (x + y + z) 2 .

105

9. Fie numerele reale pozitive x, y, z . Să se arate că:
 6 x y y z z x x y z       

Demonstrație :
 2 2 2 22221 1 1 1 1 1x y y z z x x y y z z x                 

  2
3 x y y z z x x y y z z x           

  2
3 2 6 x y y z z x x 2y 2z x y z           

 6 x y y z z x x y z       
.
10. Dacă x ≥ 1, y ≥ 1 și z ≥ − 2 , atunci:
3 x 1 y 1 z +2 x y z       
.
Demonstrație :
 2 2 2 22221 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2x y z x y z                 

  2
1 1 2 3 1 1 2x y z x y z           
 2
1 1 2 3x y z x y z        
3 x 1 y 1 z +2 x y z       
.

11. Fie x ∈ ℝ , − 3 ≤ x ≤ 5 . Să se demonstreze că:
42 x +1 x +3 10 2x .    

Demonstrație :
 2 2 2 22221 1 1 3 1 10 2 1 1 1 1 3 10 2x x x x x x                 

  2
1 3 10 2 3 1 3 10 2x x x x x x           

 2
1 3 10 2 3 14x x x       

10 2 42 x +1 x+3 x   
.

12. Fie x, y, z ∈ ℝ , x + y + z = 1, atunci:
5 5 5 21x y z y z x z x y        
.

106
Demonstrație :
 
2
2222221 5 1 5 1 5
1 1 1 5 5 5x y z y z x z x y
x y z y z x z x y           
           

  2
5 5 5 3 5 5 5x y z y z x z x y x y z y z x z x y                 

  2
5 5 5 3 7 7 7x y z y z x z x y x y z           

 2
5 5 5 21 21x y z y z x z x y x y z            

5 5 5 21x y z y z x z x y        
.

13. Fie a1 , a2 , a3 , b ∈ (−x ; +∞) și
1 2 3 3 x a x a x a x b      
Demonstrați că:
a1 + a 2 + a 3 ≥ 3b .
Demonstrație :

 2 2 2 2222
1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 x a x a x a x a x a x a                 
  2
1 2 3 1 2 3 3 x a x a x a x a x a x a            

 2
1 2 3 3 3 3x a a a x b      
 1 2 3 3 3 9x a a a x b      

1 2 3 3 3 3x a a a x b     
a1 + a 2 + a 3 ≥ 3b .

14. Fie x, y, z ∈ ℝ , x, y, z >0 .
Să se arate că:
1 4 9 36
x y z x y z   .
Demonstrație :

222 22 2 2 1 2 3 1 2 3.x y z x y z
x y z x y z                            

2 1 4 91 2 3 36 x y zx y z        

1 4 9 36 x y z x y z   .

107

15. Să se determine inegalitatea :
2 2 2
, , 0 , 4x y z 4 , x y z x y zy z x       
.
Demonstrație :

222 22 2 2 x y z x y zy z x y z x
y z x y z x                              
2 2 2
2 x y z x y z x y zy z x       

22 2 2
4x y z x y z x y zy z x x y z       .

16. Dacă x, y, z >0 , atunci:
1 1 19 x y z x y z    

Demonstrație :
222 22 2 2 1 1 1 1 1 1x y z x y z
x y z x y z                                 

 2 1 1 1111 x y z x y z        

2 1 1 13 9. x y z x y z      

17. Demonstrați că:
1 1 1 3,1 1 1 2 unde x, y, z x y z     
și x + y + z = 3

108

Demonstrație :
22 22 2 2
21 1 11 1 1
1 1 1
1 1 11 1 1
1 1 1x y z
x y z
x y z
x y z                         

          

 2 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 x y zx y z             
 2 1 1 1331 1 1 x y zx y z         

1 1 1 1 1 1 9 33 3 91 1 1 1 1 1 6 2 .x y z x y z              

18. Dacă x >0, y >0 și z >0 , atunci:
1 1 1 9
2 .x y y z z x x y z      

Demonstrație :
2222 2 2 1 1 1x y y z z x
x y y z z x                                 
2
1 1 1 x y y z z x
x y y z z x
          

 2 1 1 1111 x y y z z xx y y z z x             

 2 1 1 12 2 2 3 x y zx y y z z x        

1 1 1 9
2 .x y y z z x x y z      

19. Demonstrați inegalitatea:
2 2 2
2 2 212 2 2x y z , x, y, z > 0 .x yz y zx z xy     

109

Demonstrație :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2x y zx yz y zx z xy
x yz y zx z xy
x y z x yz y zx z xy
x yz y zx z xy                                   

           

 2 2 2
2 2 2 2
2 2 22 2 22 2 2x y z x yz y zx z xy x y zx yz y zx z xy              

 
222 2 2
2 2 2 2 2 2 212 2 2 2 2 2x y z x y z x y z .x yz y zx z xy x y z xy xz yz x y z               

4.1.5 Aplicații ale inegalitățile algebrice în geometrie

1. Dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi oarecare, atunci:
a2+ b2+ c2 < 2ab + 2ac + 2bc .
Demonstrație :
Avem u rmătoarele inegalități:
|a − b| < c, |a − c| < b, |b − c| < a .
Rezultă că (a − b)2 < c2, (a − c)2 < b2, (b − c)2 < a2
Obținem (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 < a2 + b2+ c2 ⇔
a2− 2ab + b2+ a2− 2ac + c2+ b2− 2bc + c2 < a2+ b2+ c2⇔
a2+ b2+ c2 < 2ab + 2ac + 2bc .
2. Considerăm un romb cu lungimea laturii ℓ . Să se demonstreze că A ≤ ℓ2 ,
unde A reprezintă aria rombului.

Demonstrație :
Fie d1 și d2 lungimile diagonalelor rombului.
22 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2,2 2 2 4 4 4d d d d d d d dA                 

110

2222 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 22024d d d dA d d d d d d        

3. Să se ar ate că în orice triunghi are loc inegalitatea a ≥ 2
 p b p c unde p este
semiperimetru și a, b, c lungimile laturilor.

Demonstrație :
Notăm p – b = x și p – c = y
x + y = p – b + p – c =2p – b – c=2
2abc b c a b c b c a .        
x + y ≥
2 2 2
2 2 0 0xy x xy y x y .      
4. Fie ABC un triunghi dreptunghic (m (∢A) = 900) și AD ⊥ BC . Să se demonstreze
următoarele inegalități.
a) BC ≥ 2 ∙ AD
b) BD2 + DC2 ≥ 2 ∙ AD
c) AB + AC ≤ BC
2
d) A ≤
2
2BC
 ( A reprezintă aria triunghiului )
e) AD ≤
 2 2 1AB AC BC


Demonstrație :
a) Aplicând teorema înălțimii în triunghiul ABC obținem AD2 = BD∙ DC ⇔
AD=
BD DC

BC ≥ 2 AD ⇔ BD + DC ≥ 2
BD DC ⇔
  2 2 2
2 0 0 BD BD DC DC BD DC      

b) Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile ABD și ADC :
BD2 + AD2 = AB2
CD2 + AD2 = AC2
BD2 + CD2 +2 AD2 = AB2+ AC2 = BC2 ≥ (2 AD)2 = 4AD2⇔ BD2 + CD2 ≥ 2 AD2

111
c) Se aplică teorema catetei în triunghiul ABD și ADC :
AB2 = BD∙ DC ⇔ AB =
BD BC
AC2 = CD∙ BC ⇔ AC =
CD BC ⇔
AB + AC ≤ BC
2⇔
BD BC +
CD BC ≤ BC
2⇔

 22 BC BD CD BC BD CD BC      
222 BD CD BD CD BD CD BD CD       

2
2 2 2 2 0 0 BD BD CD CD BD CD BD BD CD CD BD CD .            

d)
11
22 22AB AC AB ACA AB AC      

1 1 2
2 2 2 22AB AC BC BCA .     Rezultă că
2
2BCA .

e)
22AB ACAD = .
AB AC

 2 2 2 2
222 2 1 2 2 1AB AC AB AC AB AC AB AC AB ACAD
AB AC         
 

  2 2 2 22 2 1 AB AC AB AC AB AC AB AC       

2 2 2 222AB AC + 2AB AC AB AC AB AC AB AC      

Avem inegalitățile:
222 AB AC AB AC  

 22
22
2 2AB AC AB AC AB ACAB AC AB AC AB AC      

222422
2 2 2AB AC AB AC AB ACAB AC      
.
5. Fie ABC D un trapez dreptunghic ( AB || CD , AB > CD ) cu AC ⊥ BC. Să se demonstreze
că A≥
2 h2, unde A reprezintă aria tra pezului, iar h reprezintă lungimea înălțimii
trapezului.

112

Demonstrație :
Construim CE ⊥ AB . Aplicăm teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic ABC și
obținem
CE2 = AE ∙ EB ⇔ CE =
AE EB
A=
  2
2 2 2CE AB DC CE AE EB AE CE AE EB        
222 2 2 2 CE AE EB CE CE CE h .      

6. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi ABC , iar x, y, z distanțele de la un punct
interior triunghiului la laturi. Să se demonstreze că:
x2 + y2 + z2
2
2 2 24S
a b c
Demonstrație :
Unim punctul interior triunghiului cu vârf urile triunghiului. Notăm cu S1, S2, S3
ariile celor trei triunghiuri astfel obținute.
1 2 3 , , .2 2 2xa yb zcS S S  

S = S 1 + S 2 + S 3
(x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2) ≥ (xa + yb + zc)2 ⇔
(x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2) ≥ (2S 1 + 2S2 + 2S3)2 ⇔
(x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2) ≥ (2S)2 = 4S2 ⇔
x2 + y2 + z2 ≥
2
2 2 24S
a b c .
7. Fie un paralepiped dreptunghic cu lungimea diagonalei d și a, b, c lungimile laturilor.
Să se demonstreze că:
d 2 ≥
2A , A reprezintă aria totală a par alelipedului dreptunghic.
Demonstrație :
Efectuând calculele obținute d 2 = a2 + b2 + c2 și A = 2ab + 2ac + 2bc ⇔
d 2 ≥
2A⇔ a2 + b2 + c2 ≥
2 2 2
2ab ac bc
2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab + 2ac + 2bc ≥ 0 ⇔ (a − b)2+ (a − c )2+(b − c)2 ≥ 0 .

113

8. Arătați că aria totală maximă a unui paralelipiped dreptunghic este
2
24L , unde L este suma
lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului.
Demonstrație :
Aria totală a paralelipipedului dreptunghic este A = 2ab + 2a c + 2bc ,
unde a, b și c reprezintă lungimile laturilor paralelipedului .
L = 4(a + b + c).
A ≤
2
24L⇔ 2ab + 2ac + 2bc ≤
24
24abc
2(ab + ac + bc) ≤
216
24abc (a + b + c)2 ≥ 3(ab + ac + bc) ⇔
a2 + b2 + c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc ≥ 3ab + 3ac + 3bc ⇔
a2 + b2 + c2− ab − ac − bc ≥ 0 ⇔
   2 2 2 2 2 2 12 2 2 02a ab b a ac c b bc c         

2 2 2 102a b a c b c     

114

4.2 PROIECT DE CURS OPȚIONAL PENTRU CLASA A VIII -A

Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Comu na Scoarța

CURS OPȚIONAL

INIȚIERE ÎN STUDIUL INEGALITĂȚILOR ALGEBRICE

− Matematică −

Propun ător: prof. Popescu Ion

115

Unitatea de învățământ : Avizat,
……………………………………………………… Inspector de specialitate ,
Prof.

FIȘĂ DE AVIZARE
A PROIECTULUI DE PROGRAMĂ P ENTRU OPȚIONAL

Denumirea opționalului: ………………………………………………………………………………
Tipul: ……………………………………………………………………………………………….. ………..
Clasa : ……………………………………………………………………………………………………… …..
Durata: ……………………………………………………………………………………….. ………………..
Număr de ore pe săptămână: …………………………………………………………………………..
Autorul :…………………………………………………………………………………………………. …….
Abilitarea pentru susținerea cursului: ……………………………………………………………….
Instituția de învățământ: …………………………………………………………………………………
AVIZUL CONSILIU LUI DE CURRICULUM AL ȘCOLII (C.C.Ș.)
Criterii și indicatori de evaluare Da Nu Da, cu
recomandări
I. Respectarea structurii standard a programei în
vigoare
 Argument
 Obiective specifice
 Activități de învățare(cel puțin câte una pentru
fiecare obi ectiv)
 Conținuturi
 Modalități de învățare
II. Existența bibliografiei
III. Elemente de calitate
 Respectarea particularităților de vârstă ale elevilor
 Concordanța cu etosul școlii, cu interesele elevilor
 Conținutul argumentului
 Conținutul lecției de prezentare:
– oportunitatea opționalului
– realismul în raport cu resursele disponibile
 Corelarea obiectivelor cu activitățile de învățare
 Corelarea obiectivelor cu unitățile de conținut
 Adecvarea modalităților de evaluare la demersul
didactic propus

Avizul C.C.Ș. (da; da, cu recomandări; nu)
Avizul conducerii școlii ………………………………………..
Director, ………………………………………….. .

116

ARGUMENT

Demonstrarea unei inegalități algebrice constituie un prag greu de trecut pentru mulți
elevi.
De cele mai multe ori elevii nu reușesc să intuiască pașii ce trebuie parcurși în vederea
demonstrării inegalității algebrice. Acest lucru este valabil chiar și în cazul unor inegalități destul
de simple.
Relația de inegalitate se dovedește a fi mai greu de asimilat de către elevi decât relația de
egalitate. Acest curs opțional își dorește să vină în ajutorul elevilor în vederea familiarizării lo r
cu anumite metode folosite pentru demonstrarea inegalităților algebrice.
În alegerea metodelor și a exercițiilor prezentate în cadrul cursului opțional s -a ținut cont
de nivelul de pregătire al elevilor și de gradul lor de receptivitate. Predomină inegal itățile cu un
nivel scăzut sa u mediu de dificultate, inegalitățile cu un gard sporit de dificultate fiind puține și
demonstrarea lor fiind prezentată în detaliu.
Metodele prezentate în cadrul cursului o pțional nu sunt numeroase, punându -se în schimb
accen t pe un număr mare de aplicații. Acest lucru nu este întâmplător. Scopul opționalului este
acela de a -i determina pe elevi să fie încrezători în capacitatea lor de a demonstra inegalități
algebrice și nu de a -i bulversa cu un număr prea mare de metode.
Cursul “ Inițiere în studiul inegalităților ” își propune să lărgească orizontul de
cunoaștere al elevilor, încur ajându -i să analizeze și să rezolve problemele din ce în ce mai
variate.

117

COMPETENȚE GENERALE

1. Cunoașterea, înțelegerea și utilizarea concep telor matematice.
2. Evaluarea caracteristicilor matematice specifice unei probleme sau unei situații –
problemă.
3. Utilizarea limbajului matematic în comunicarea scrisă și orală.

VALORI ȘI ATITUDINI

1. Dezvoltarea curiozității și a creativității, a iniția tivei și a independenței în gândire.
2. Dezvoltarea capacității de concentrare, a tenacității și a perseverenței.
3. Dezvoltarea spiritului de observație și a simțului critic.
4. Dezvoltarea capacității de a aprecia eleganța și rigoarea ce intervin în rezolvarea un ei
probleme de matematică.
5. Dezvoltarea capacității de a rezolva probleme practice apelând la concepte și metode
matematice.
6. Dezvoltarea interesului pentru studiul matematicii și realizarea importanței acestui
domeniu pentru societate.

118

COMPETENȚE SPECIFIC E

1. Cunoașterea, înțelegerea și utilizarea conceptelor matematice.

Competențe specifice
Activități de învățare

1. Utilizarea calculul
ui cu numere reale − aplicarea regulilor de calcul pentru numere
reale.
− calcularea mediei aritmetice și a mediei
geom etrice.
2. Utilizarea
calculului algebric. − aplicarea regulilor de calcul pentru numere
reale reprezentate prin litere.
− folosirea formulelor de calcul prescurtat.
− aplicarea metodelor de descompunere în
factori.
3. Demonstrarea unor
inegalități folosind
proprietățile figurilor
geometrice. − recunoașterea figurilor geometrice.
− identificarea vârfurilor, laturilor sau a fețelor.
− aplicarea teoremelor (înălțimii, catetei,
Pitagora, Thales) pentru cal cularea lungimilor
unor segmente .

119

2. Evaluarea caracteristicilo r matematice specifice unei probleme sau unei situații
problemă.

Competențe specifice Activități de învățare
1. Utilizarea proprietăților relației de
inegalitate. – exerciții de exersare a
proprietăților relației de
inegalitate.
– aducerea unor inegalități
algebrice la o formă mai
simplă.
– utilizarea unor inegalități
algebrice clasice cu scopul de
a obține noi inegalități.

3. Utilizarea limbajului matematic în comunicarea scrisă și orală.

Competențe specifice Activități de învățare
2. Utilizarea tuturor moda lităților de
exprimare în vederea prezentării
soluției unei probleme . – expunere a orală a pașilor ce
trebuie parcurși în vederea
soluționării unei probleme.
– redactarea corectă a rezolvării
unei probleme.

120

PLANIFICAREA ANUALĂ

Nr.
Crt. Capitol
Seme strul

Sem. I

Sem. II

1
Metoda factorului comun
4
–

2
Metoda SOS
6 –

3
Inegalitatea Mediilor
8 –

4
Inegalitatea Cauchy – Schwarz
–
7

5
Aplicații ale inegalităților algebrice în
geometrie – 8

6

Total ore

18

15

121

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL I

Nr.
Crt. Capitol Conținuturi Nr.
ore Săptămâni Obs.

1

Metoda
factorului
comun.
Recapitulare – factor comun .

1
S1

Aplicații
1 S2
Aplicații
1 S3
Evaluare 1 S4

2

Metoda SOS.
Recapitulare – restrângere în
pătrate de binoame.

1
S5
Aplicații
1 S6
Aplicații
1 S7
Aplicații
1 S8
Aplicații
1 S9
Evaluare
1 S10

3

Inegalitatea
mediilor.
Recapitulare – media aritmetică
și media geometrică.

1
S11
Aplicații
1 S12
Aplicații
1 S13
Aplicații
1 S14
Aplicații
1 S15
Aplicații
1 S16
Aplicații
1 S17
Evaluare 1 S18

122

PLANIFICARE CALENDARISTICĂ PE SEMESTRUL II

Nr.
Crt. Capitol Conținuturi Nr.
ore Săptămâni Obs.

1

Inegalitatea
Cauchy –
Schwarz.
Prezentarea și demonstrarea
inegalității.

1
S1

Aplicații
1 S2
Aplicații
1 S3
Aplicații
1 S4
Aplicații
1 S5
Aplicații
1 S6
Evaluare
1 S7

2

Aplicații ale
inegalităților
algebrice în
geometrie
Recapitularea un or noțiuni de
geometrie plană.

1
S8

Recapitularea unor noțiuni de
geometrie în spațiu.

1
S9
Aplicații
1 S10
Aplicații
1 S11
Aplicații
1 S12
Aplicații
1 S13
Aplicații
1 S14
Evaluare
1 S15

123

BIBLIOGRAFIE

1. Marin Chirciu – Inegalități algebrice – de la Inițiere la Performanță,
Editura Paralela 45, Pitești 2014.

2. Radu Gologan, Anton Negrilă, Maria Negrilă – Algebră. Geometrie,
clasa a VIII -a, Editura Paralela 45, Pitești 2014.

3. Ștefan Alexe, Marin Chirciu – Algebră, clasa a IX -a,
Editura Paralela 45, Pitești 2002.

124

4.3 Fișe de lucru și teste. Interpretarea rezultatelor obținute la teste.

Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

METODA FACTORULUI COMUN

FIȘĂ DE LUCRU
1. Dacă x ∈ ℝ și x ≥ 4 , atunci:
a) x2 – x ≥ 12.
b) x3 – 4x ≥ 48.
c) x4 – x2 ≥ 240.
2. Fie x ∈ ℝ , x ≥ 8 . Să se arate că:
a) x2 – 5x – 24 ≥ 0.
b) x2 – 14x + 48 ≥ 0.
c) x2 + 2x – 80 ≥ 0.
d) x2 – x – 56 ≥ 0.
3. Să se demonstreze urmă toarele inegalități :
a) x3 + x ≥ 2 x2 + 2 , ∀ x ∈ ℝ , x ≥ 2 .
b) x3 + 2x ≥ 5 x2 + 10 , ∀ x ∈ ℝ , x ≥ 5 .
c) x7 + x ≥ x6 + 1 , ∀ x ∈ ℝ , x ≥ 1 .
d) x4 + 3x ≥ 3×3 + 9 , ∀ x ∈ ℝ , x ≥ 3 .

4. Dacă x ∈ ℝ și x ≥ y , atunci:
a) x3 + xy2 ≥ x3 + yx2 .
b) x3 + 2xy2 ≥ yx2 + 2y3 .

125
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

METODA S O S

FIȘĂ DE LUCRU

1. Să se arate că:
a) x2 + 10x + 26 > 0 , ∀ x ∈ ℝ .
b) x2 +
2 37
39x > 0, ∀ x ∈ ℝ .
c) x2 + y2 – 6x – 8y + 25 ≥ 0, ∀ x, y ∈ ℝ .
d) x2 + 4y2 + 2x – 4y + 2 ≥ 0, ∀ x, y ∈ ℝ .
e) x2 + y2 +z2 – 2x – 4y – 6z +14 ≥ 0, ∀ x, y, z ∈ ℝ .
f) 2×2 + 5y2 + 3 z2 ≥ 4xy + 6yz , ∀ x, y, z ∈ ℝ .
g) 5×2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2 (xy +yz +2zx) , ∀ x, y, z ∈ ℝ .

2. Să se demonstreze următoarele inega lități:
a)
229 6 10 2 2x x y y      4 ,∀ x, y ∈ ℝ
b)
228 20 2 3 4y y x x      3 ,∀ x, y ∈ ℝ

126
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a
INEGALITATEA MEDIILO R
FIȘĂ DE LUCRU

1. Arătați că:
a) 6x + 7y ≥ 2
42xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
b) 4x + 5y ≥ 2
20xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
c) 2x + 10y ≥
80xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
d) x2 + 12y2 ≥
48 xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
e) 4×2 + 10y2 ≥
160 xy ,∀ x, y ∈ ℝ+

2. Să se demon streze următoarele inegalități:
a) (x + y)∙ (xy + 1) ≥ 4xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
b) (x + y)∙ (xy + 4) ≥ 8xy ,∀ x, y ∈ ℝ+
c) (x + y)∙ (xy + 1)∙ (x2 + y2) ≥ 8x2y2 ,∀ x, y ∈ ℝ+
d) (x + y)∙ (x2 + y2)∙
11
xy ≥ 8xy ,∀ x, y ∈ ℝ*+
e) (x + y)∙ (y + z)∙ (z + x)∙
1 1 1 1 1 1
x y y z z x                 ≥ 64 ,∀ x, y, z ∈ ℝ*+
f) (1 + x)∙ (1 + y)∙ (1 + z) ≥ 8
xyz ,∀ x, y, z ∈ ℝ+
g) (1 + x)∙ (1 + y)∙ (1 + z) ∙ (1 + t) ≥ 16
xyzt ,∀ x, y, z, t ∈ ℝ+
h)
y z xx y zx y z              ≥ 8 dacă, ∀ x, y, z ∈ ℝ*+ și xy z = 1.
i)
2 3 6y z xx y zx y z              ≥ 48 dacă x, y, z ∈ ℝ*+ și xyz = 1.

127
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

INEGALITATEA CAUCHY – BUNIAKOWSKI – SCHWARZ

FIȘĂ DE LUCRU

1. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci:
a) (x2 + y2 + z2)∙ (x2 + y2 + 9) ≥ (x2 + y2 + 3z)2
b) (x2 + y2 + z2)∙ (x2 + y2 + 4z2) ≥ (x2 + y2 + 2z2)2
c) (x2 + y2 + z2)∙ (4×2 + 9y2 + 16z2) ≥ (2×2 + 3y2 + 4z2)2
d)
22 2 2 2 2 2
2 2 2
4 16 25 4 2 5y x z x y zx z y                      
e) (x2 + y2 + z2)∙ (x2 + 2y2 + 3z2) ≥ (x2 +
2 y2 +
3 z2)2
f) (x + y + z)∙ (4x + 9y + 36z) ≥ (2x + 3y + 6z)2
g)
 22 3 42 3 4x y zx y z x y z       

2. Fie x, y, z ∈ ℝ , astfel încât x + y + z = 9 . Să se arate că:
x2 + y2 + z2 ≥ 27 .
3. Fie x, y, z ∈ ℝ , astfel încât 2x + 3y + 5z = 2
38 .
Să se arate că: x2 + y2 + z2 ≥ 4 .

4. Dacă x, y, z ∈ ℝ și x2 + y2 + 4z2 = 27 , atunci:
|x + y + 2z| ≤ 9

5. Dacă x, y, z ∈ ℝ și 9×2 + 16y2 + z2 = 48 , atunci:
|3x + 4y + z| ≤ 12.

128

Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

APLICAȚII ALE INEGAL ITĂȚILOR ALGEBRICE Î N GEOMETRIE

FIȘĂ DE LUCRU

1. Dacă A reprezintă aria unui pătrat și P reprezintă perimetrul său,
atunci A + 4 ≥ P

2. Considerăm un dreptunghi cu lungimea diagonalei d. Să se arate că
22 d P 
, unde P reprezintă perimetrul dreptunghiului.

3. Fie ABC un triunghi oarecare. Alegem punctele E ∈(AB) și F∈(AC) astfel încât
EF || BC. Să se demonstreze că
2.AE CF
EB FA

4. Fie un triunghi oarecare cu lungimile laturilor a, b, c și h a, hb, hc lungimile
înălțimilor corespunzătoare. Să se arate că:
1 1 1 3
2a b cah bh ch S  
, unde S reprezintă aria triunghiului.

5. Să se demonstreze următoarea inegalitate:
a b c ≥ 8 (p – a)∙ (p – b)∙ (p – c), unde a, b, c, reprezintă lungimile laturilor
unui triunghi oarecare, iar p reprezintă semi perimetrul triunghiului.

129
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

TEST DE EVALUARE

(1p) 1. Dacă x, y, z, t ∈ ℝ , astfel încâ t x + z ≥ 1 și y + t ≥ 3, atunci:
7x + 4y + 7z + 4t ≥ 19 .

(1p) 2. Fie x, y ∈ ℝ , x ≥ y . Să se arate că:

2.2 5 10x y x y y 

(2p) 3. Fie x, y, a, b ∈ ℝ și astfel încât x + y ≤ 10 și 2a + 3b ≤ 12. Să se
demonstreze că:
2ax + 3bx + 2ay + 3by ≤ 120 .

(2p) 4. Dacă x, y ∈ ℝ și x ≥ 1, y ≥ 1, atunci:
x2y + 1 ≥ x2 + y

(2p) 5. Fie x, y, z ∈ ℝ , x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 2 . Să se demonstreze următoarea
inegalitate:
xyz + 2x + 2y + z y ≥ 2xy + xz + yz + 2 .

 Se acor dă 2p din oficiu.
 Timp de lucru 50 minute .

130

Rezultatele obținute la test:

Nota Nr. Elevi %
10 2 16,6%
9 1 8,3%
8 2 16,6%
7 2 16,6%
6 1 8,3%
5 4 33,3%
4 0 0%

Repreze ntarea rezultatelor într -un grafic cu bare

012345
Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10Nr. Elevi

131
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

TEST DE EVALUARE

(1p) 1. Să se arate că:
x2 + 6x + 25 > 0, ∀ x ∈ ℝ .

(1p) 2. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci:
x2 – 2xy + y2 + 4z2 ≥ 0 .

(2p) 3. Demonstrați că dacă x > 0 și y > 0 , atunci:

1 25 36. + x y x y

(2p) 4. Fie x, y ∈ ℝ . Să se arate că:
4×2 + 9y2 – 4x – 30y +26 ≥ 0 .

(2p) 5. Fie x, y, z, t ∈ ℝ . Să se demonstreze inegalitatea:

4(x2 + y2 + z2 + t2) ≥ ( x + y + z + t )2 .

 Se acordă 2p din oficiu.
 Timp de lucru 50 minute .

132

Rezultatele obținute la test:

Nota Nr. Elevi %
10 1 8,3%
9 2 16,6%
8 2 16,6%
7 1 8,3%
6 2 16,6%
5 4 33,3%
4 0 0%

Reprezentarea rezultatelor într -un grafic cu bare

012345
Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10Nr. Elevi

133
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

TEST DE EVALUARE

(1p) 1. Să se arate că:
25x +
54yxy , ∀ x, y ∈ ℝ+ .

(1p) 2. Demonstrați inegalitatea :

22
32x y x y   ≥
12xy , unde x, y ∈ ℝ+ .

(2p) 3. Dacă x, y, z > 0 , atunci:

1 1 12 3 .32x y + z 8 y z x                

(2p) 4. Demonstrați că are loc inegalitatea :

1 1 1 x y z yz zx xy x y z     ∀ x, y, z > 0 .

(2p) 5. Dacă x, y, z sunt numere reale strict pozitive , atunci :

1 1 1 x y y z zx 4 x y y z z x x y z          

 Se acordă 2p din oficiu.
 Timp de lucru 50 minute .

134

Rezultatele obținute la test:

Nota Nr. Elevi %
10 1 8,3 %
9 1 8,3 %
8 3 25 %
7 2 16,6 %
6 2 16,6 %
5 3 25 %
4 0 0 %

Reprezentarea rezultatelor într -un grafic cu bare

012345
Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10Nr. Elevi

135
Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

TEST DE EVALUARE

(1p) 1. Dacă x, y, z ∈ ℝ , atunci: :
(x2 + y2 + z2)∙ (x2 + 36y2 + 64z2) ≥ (x2 + 6y2 + 8z2)2 .

(1p) 2. Demonstrați inegalitatea:
(x4 + y4 + z4)∙ (x10 + y10 + z10) ≥ (x7 + y7 + z7)2, ∀ x, y, z ∈ ℝ .

(2p) 3. Fie x, y, z ∈ ℝ cu proprietatea x + y + z =
23 .
Să se arate că :
x2 + y2 + z2 ≥ 4 .

(2p) 4. Dacă x, y, z ∈ ℝ , x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ – 5, și x + y + z = 12 , atunci :

3 2 5 6x y z     

(2p) 5. Să se demonstreze următoarea inegalitatea:

2 2 2
2x y z x y z y z z x x y     , ∀ x > 0, y > 0 , z > 0 .

 Se acordă 2p din oficiu.
 Timp de lucru 50 minute .

136

Rezultatele obținute la test:

Nota Nr. Elevi %
10 2 16,6 %
9 0 0 %
8 3 25 %
7 2 16,6 %
6 1 8,3 %
5 4 33,3 %
4 0 0 %

Reprezentarea rezultatelor într -un grafic cu bare

012345
Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10Nr. Elevi

137

Școala Gimnazială Scoarța – Structura Budieni
Prof. Popescu Ion
Clasa a VIII -a

TEST DE EVALUARE

(2p) 1. Considerăm un dreptunghi cu lungim ea diagonalei d. Să se arate că
d ≥
2A , unde A reprez intă aria dreptunghiului.

(2p) 2. Să se demonstreze că în orice triunghi echilateral este adevărată
inegalitatea:
 33AP
, unde A reprezintă aria triunghiului și P reprezintă
perimetrul dreptunghiului.

(2p) 3. Fie un paralelipiped dreptunghic cu lungimea diagonalei d și a, b, c
lungimile laturilor paralelipipedului . Să se arat e că:

43 d S , unde S reprezintă suma tuturor muchiilor
paralelipipedului.

(2p) 4. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi și h a, hb, hc lungimile
înălțimilor corespunzătoare. Să se demonstreze că :

2
2 2 2
2 2 2363
a b ch h habc   , unde S reprezintă aria triunghiului.

 Se acordă 2p din oficiu.
 Timp de lucru 50 minute .

138

Rezultatele obținute la test:

Nota Nr. Elevi %
10 2 16,6 %
9 2 16,6 %
8 1 8,3 %
7 2 16,6 %
6 2 16,6 %
5 2 16,6 %
4 1 8,3 %

Reprezentarea rezultatelor într -un grafic cu bare

012345
Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10Nr. Elevi

139

CONCLUZII FINALE

O bună desf ășurare a procesului de învățământ presupune cunoașterea elevilor și a
dificultăților pe care aceștia le pot întâmpina în procesul de învățare. Responsabilitatea
profesorului constă în a găsi soluții și a veni în sprijinul elevilor.
Cunoașterea elevilor de la clasă presupune atât cun oașterea fiecărui elev în parte cât și
cunoașterea modului în care elevul învață. A -ți cunoaște elevii înseamnă să știi cine sunt, ce știu,
cum se raportează la activitatea de învățare, la matematică și la ei înșiși.
Profesorul trebuie să știe care sunt abilitățile matematice ale elevului și disponibilitatea
acestuia de a participa la ora de curs.
Profesorul trebuie de asemenea să fie receptiv la modul unic de a învăța, de a gândi și de a studia
matematica pe care un elev le -a dezvoltat pe parcursul anilor școlari. Fiecare elev este capabil să
contribuie și să beneficieze de pe urma fiecărei lecții într -un mod unic.
Activitatea didactică desfășurată pe parcursul a mai mulți ani mi -a permis să observ
modul în care elevii se raporte ază la relația de inegalitate și să determin abilitățile lor în a
demonstra inegalități algebrice.
Am ajuns la concluzia că demonstrarea inegalităților algebrice este o sarcină dificilă pentru elevii
de nivel mediu, aceasta rămânând apanajul elevilor care se pregătesc pentru concursuri școlare.
În elaborarea lucrării “ Inegalități algebrice. Aplicații în matematica preuniversitară ”
am încercat să valorific experiența dobândită la catedră și să ofer un sprijin elevilor de nivel
mediu care doresc să abordeze a cest capitol special al matematicii. Am avut în vedere alegerea
unor metode care să suscite interesul elevilor și care să permită participarea activă a acestor a la
lecție. Metodele prezentate sunt elementare și sunt însoțite de un număr mare de aplicații. Prin
alegerea unor metode adecvate se realizează o învățare eficientă și elevii îndrăgesc matematica.
Acest lucru nu poate fi decât îmbucurător, având în vedere importanța matematicii în dezvoltarea
intelectuală și profesională a elevilor.
În încheiere aș vrea să -i mulțumes c doamnei Conf. Univ. Dr. Dana Piciu pentru
îndrumări și pentru sprijinul acordat în realizarea acestei lucrări.

140

BIBLIOGRAFIE

1. Christina – Theresia Dan, Sabina – Tatiana Chiosa : Didactica matematicii,
Editura Universitaria, Craiov a, 2005.
2. D. Bușneag, D. Piciu : Lecții de algebră, Editura Universitaria, Craiova, 2002.
3. D. Bușneag, D. Piciu, F. Chirteș : Complemente de algebră, Editura Gil,
Zalău, 2006.
4. Marin Chirciu : Inegalități algebrice – de la Inițiere la Performanță, Editura
Paral ela 45, Pitești 2014.
5. M. Onucu, Drâmbe : Inegalități. Idei și Metode, Editura Gil, Zalău, 2003.
6. Ștefan Alexe, Marin Chirciu : Algebră, clasa a IX -a, Editura Paralela 45,
Pitești 2002.

Bibliografie Internet :
1. https://keoserey.files.wordpress.com/2012/07/zdravko -cvetkovski –
inequalities -theorems_ -techniques -and-selected -problems.pdf
2. http://images3.wikia.nocookie.net/nccmn/ro/images/6/66/Inegalitati.pdf