LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU O BȚINEREA GRADULUI [619325]

1
UNIVERSITATEA “OVIDIUS” CONSTANȚA
FACULTATEA DE MATEM ATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU O BȚINEREA GRADULUI
DIDACTIC I

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC :
LECT.UNIV.DR. ALEXANDRU BO BE
REALIZATOR:
PROF.MIHAI LAZĂR

CONSTAN ȚA
2016

2
UNIVERSITATEA “OVIDIUS” CONSTANȚA
FACULTATEA DE MATEM ATICĂ ȘI INFORMATICĂ

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIA TRIUNGHIULUI

CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC :
LECT.UNIV.DR. ALEXANDRU BO BE
REALIZATOR:
PROF. MIHAI LAZĂR

CONSTAN ȚA
2016

3

Cuprins

Capitolul 1: Asp ecte m etodice privind p redarea proprietăților fundament ale într-un
triun ghi
1.1 Scurt is toric
1.1.1 G eomet rie și topo logie
1.1.2 Punct, dreaptă, pl an, forme și s tructuri continue
1.1.3 T ransformări geometrice
1.1.4 Poligoane oarecare – definiții, proprietăți topolo gice și metrice în general
1.2 M etodica predării geometriei
1.3 Asp ectele metodi ce ale lucrării
Capitolul II: El emente de bază privind triun ghiul
2.1 D efiniții și notații
2.2 Clasifi care
2.3 T eoreme u zuale
2.4 A ria triu nghiului
2.5 T eoreme remarcabile
2.5.1 T eorema lui Menelaus
2.5.2 T eorema lui Ceva
2.5.3 T eorema lui Desargues
2.5.4 T eorema lui Pappus
2.5.5 R elația lui Sylvester
2.5.6 Punctul lui Gergonne
2.5.7 T eorema sinu surilor
2.5.8 T eorema cosinusului
2.5.9 R elatia lui Stewart
2.5.10 Teorema lui A poloniu
2.5.11 Teorema bis ectoarei
2.6 Probleme remarcabile de geomet ria triunghiului

4

CAPITOLUL I :
ASPECTE METODICE PRIVIND PRED AREA PROPRIETĂȚILOR
FUNDAMENTALE ÎNTR-UN TRIUNGHI

5
1.1 SCURT I STORIC

1.1.1 GEOME TRIE ȘI TOPOLOGIE

Geomet ria și topologia sunt domenii de bază ale matematicii teoretice contempo rane.
Aceste compa rtimente ale științei matematice sunt consacrate cercetării geometriilor dif eritelor
spații, studiului topologiilor spațiilor, varietăților și multiplelor structuri algebrice. În cadrul
acestor domenii sunt el aborate metode geomet rice, algebrice sau topo logice.1
Geomet ria s-a născut ca fiind ramura de stud iu a mat ematicii, care se ocupă cu relațiile
spațiale, și reprezintă una dintre cele două ramuri ale matematicii mode rne, împreună cu studiul
nume relor. Începuturile geometriei au fost marcate de o colecție de principii empirice în
legăură cu lungimea, aria și volumul, care au fost dezvoltate pentru a putea fi puse în practică în
constru cții, astronom ie și alte dome nii. Prin cercetarea proprietăților și relațiilor reciproce dintre
linii, suprafețe și vo lume se evidenția ză caracterul de disciplină inv estigativă.
Până în seculul al III–lea Î.Hr., geomet ria a fost pusă într-o formă axiomatică de către
Euclid, al cărui tratat „Element ele” a fost timp de mai mult de 2.000 de ani principala carte
după care s-a învăț at geometria. Ea sintetizează și lucrările altor matematicieni de dinaintea lui
sau contempo rani cu el: Hipo crate, Eudo xus, Tectet și alții. Ea cuprinde 13 capitole (inti tulate
cărți). Arhimede a d ezvoltat tehni ci ingenioase de calcul al suprafețelor și volumelor, în multe
privințe anticipând calculul integral modern. Dom eniul astronom iei, în special cel care se referă
la cartografierea pozițiilor stelelor și planetelor pe sfera cerească și care descrie relația dintre
mișcările corpurilor cerești, a servit ca o sursă importantă de probleme geometrice.
Introd ucerea coordonatelor de către René Descartes și evoluția algebrei a marcat o nouă
etapă a geometriei, deoarece figurile geometrice, cum ar fi curbele plane ar putea fi reprezentate
în mod analitic sub formă de funcții și ecuații. Subiectul geometriei a fost îmbogățit prin
studierea structurii intrinseci a obiectelor geometrice, care își are originea în Euler și Gauss ,
care au condus la crearea topologiei și geometriei diferențiale.
În contextul c ontemporan , geometria euclidiană a devenit strâns legată de geomet ria
computațională, grafica pe calculator, geometria convexă, geometria finită, geometria discretă
și unele zone ale combinatoricii. Teoria grupului geometric este o zonă în expansiune a teoriei
mai multor grupuri discrete generale, bazându -se pe modele ge ometrice și tehnici algebrice.2

1 Geometrie și topologie, Arnautov V., Lungu A., Palistrant A., dr. Damian Florin;
2 https://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_group;

6
Geometria diferențială a fost de o importanță crescândă pentru fizica matematică din
cauza postulării relativității generale a lui Einstein prin care universul este curbat. Geometria
diferențială contemporană este intrinsecă , ceea ce înseamnă că spațiile le consideră mulțimi
netede a căror structură geometrică este guvernată de o valoare Riemanniană, care determină
modul în care distanțele sunt măsurate în apropierea fiecărui punct, și nu o par te principală
dintr -un spațiu eu clidian plat.
Domeniul topologiei, care a avut dezvoltare masivă în secolul al XX – lea, este într -un
sens tehnic, un tip de geometrie de transformare, în care transformările sunt omomorfisme.
Acest lucru a fost adesea exprimat sub forma dictonului "topol ogia este geometria unei coli de
cauciuc”. Topologi a geometrică contemporană și topologi a diferențială, precum și subcapitole
particulare, cum ar fi teoria Morse, ar fi numărate de către cei mai mulți matematicieni, ca
părți ale geometriei. Topologia algeb rică și topologia generală s -au dezvoltat propriile lor
direcții.
Domeniul geometriei algebrice este o modernă încarnare a geometriei carteziene. De
la sfârșitul anilor 1950, până la mijlocul anilor 1970, ea a suferit o dezvoltare majoră
fundamentală, în mare parte datorită lucrărilor lui Jean -Pierre Serre și Alexander
Grothendieck. Acest lucru a condus la introducerea unor sisteme și punerea unui mai mare
accent pe metodele topologice, inclusiv diferite teorii coomologie. Studiul varietăților
algebrice cu puține dimensiuni, curbe algebrice, suprafețe algebrice și varietăți algebrice de
dimensiune 3 (" threefolds algebrice "), a fost mult mai avansat.
Teoria Gröbner și geometria algebrică sunt printre subcapitolele cele mai aplicate din
geometria algebrică m odernă. Geometria aritmetică este un câmp activ care combină
geometria algebrică și teoria numerelor. Alte direcții de cercetare implică spații modul i și
geometrie complexă.3
Topologia este o ramură a matematicii, mai precis o extensie a geometriei c are st udiază
deformările spațiului prin transformări continue.
În cadrul Sistemelor Geografice Informaționale te rmenul poate fi definit ca “știința și
matematica relațiilor utilizate pentru validarea geometriei entităților vectoriale și pentru o serie
de operați i cum ar fi analiza de rețea și de vecinătate”. În sens mai larg, topologia descrie
relațiile spațiale existente între obiecte folosind seturi de reguli pentru a observa cum entitățile
vectoriale (puncte, linii, poligoane) împărtășesc geometria și spațiul.
Termenul topologie provine din contracția substantivelor grecești topos (τóπος) și logos
(λóγος) care semnifică loc, respectiv studiu. Așadar, topologie înseamnă literal "studiul

3 https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry;

7
locului". În geometria euclidiană, două obiecte sunt echivalente dacă se pot transforma unul în
celălalt prin transformări izometrice care păstrează valoarea unghiurilor, lungimilor, ariilor și
volumelor .
Matematicianul Leonhard Euler a publicat lucrarea intitulată “Problema celor șapte
poduri de la Konigsberg ”4, despre care s e poate spune că stă la baza acestei ramuri
matematice. Termenul topologie este introdus de Johann Benedict Listing în articolul
Vorstudien zur Topologie (Studii preliminare pentru topologie)5, publicat în 1847.

Figura I.1 Harta din secolul XVII a orașului Konigsberg cu râul și podurile evidențiate

Topologia modernă are ca punct de plecare teoria mulțimi lor dezvoltată de Georg
Cantor în a doua jumătate a secolului al XIX – lea, la care se adaugă studiile privind seriile
Fourier și mulțimi le punctuale din cadrul teoriei spațiilor euclidiene. În lucrarea sa, Analysis
Situs din 1895, Henri Poincare int roduce conceptele de omotopie, omologie, c are astăzi aparțin
topologiei algebrice.6
În 1906, Maurice René Fréchet pornind de la luc rările lui Georg Cantor, Vito Volterra
și Lacques Salomon Hadamard deschide drumul în domeniul spațiilor metrice. În 1914, Felix
Hausdorff definește spațiul care îi va purta numele.

1.1.2 PUNCT, DREAPTĂ, PLAN

La baza studiului geometriei stau no țiuni fundamentale și axiome care exprim ă
propriet ățile acestor no țiuni. No țiunile fundamentale ale geometriei sunt:
– punctul,

4 http://www.esri.com/news/arcuser/0401/conundrum.html;
5 Vorstudien zur Topologie, Johann Benedict Listing, Gottingen bei Vandenheck und Ruprechi, 1948;
6 Papers on topology Analysis situs and its five supplements, Poincare H., American Mathematical Society,
London Mathematical Society

8
– dreapta,
– planul ,
– spațiul,
– distan ța,
– măsura unghiurilor.
Definiția 1.1.2.1: Se numește plan suprafața care conține în întregime or ice dreaptă care
trece prin două puncte oarecare ale sale.7
Planul este o noțiune ”abstractă”, despre care se poate afirma că se aseamănă cu
suprafața unei mese, placa de sticlă de la fereastră, o foaie netedă de hârtie (caiet), o pagină de
carte , fiind prelungite la nesfârșit ”în toate părțile”.
Observația 1.1.2.2: P lanul nu are grosime.
Definiția 1.1.2.3: Se numește punct figura geometrică plană fără nici o dimensiune
(reprezentată prin partea comună a două linii care se întâlnesc).8
Punctul este, de as emenea, o noțiune ”abstractă”, asemănător cu urma lăsată pe hârtie
de apăsarea vârfului unui creion bine ascuțit sau ca înțepătura unui vârf de ac.
Observația 1.1.2.4: Punctele se notează cu litere mari de tipar: 𝐴,𝐵,𝐶, etc.
Observația 1.1.2.5: Punctul nu are nici o dimensiune.
Prin convenț ie o mulțime de puncte reprezintă o figură geometrică. Prin urmare,
punctul este și el o figură geometrică (o mulțime cu un singur element).
Definiția 1.1.2 .6: Două puncte 𝐴 și 𝐵 care ocupă în pla n locuri diferite se numesc puncte
diferite sau puncte distincte.
Notăm această situație geometrică prin: 𝐴 ≠ 𝐵 și citim: ”punctul 𝐴 este diferit de
punctul 𝐵” sau ”punctele 𝐴 și 𝐵 sunt distincte”.
Definiția 1.1.2 .7: Două puncte 𝐴 și 𝐵 care ocupă același loc în plan se numesc puncte
identice sau puncte confundate.
Notăm această situație geometrică prin: 𝐴 = 𝐵 și citim: ”punctele 𝐴 și 𝐵 sunt puncte
identice sau puncte confundate” sau ”punctele 𝐴 și 𝐵 coincid”. De fapt, este vorba de unul și
același punct, motiv pentru care folosim o singură notație pentru ”astfel de puncte”, de exemplu,
numai litera 𝐴.
Definiția 1.1.2. 8: Se numește dreaptă în plan, determinat ă de două puncte distincte 𝐴1
și 𝐴2 ale planului, mulțimea tuturor punctelor coliniare cu 𝐴1 și 𝐴2.9
Dreapta se aseamănă cu un fir de ață foarte subțire și foarte bine întins.

7 Dicționarul explicativ al limbii române , ediția a II -a revăzută și adăugită, Academia Română, Institutul de
Lingvistică „Iorgu Iordan – Alexandru Rosetti”, Edi tura Univers Enciclopedic, 2009
8 idem
9 Geometrie elementar ă, R. Miron, Editura Didactiă și Pedagogică, bucurești, 1968, p. 56;

9
Observația 1.1.2. 9: Dreapt a se notează cu o singură literă mică, de exemplu : 𝑎,𝑏,𝑐,
𝑑, etc. Observația 1.1.2. 10: Dreapta nu are lățime sau grosime.
Dacă punctul 𝐴 se află pe dreapta 𝑎, scriem acest lucr u astfel: 𝐴∈𝑎 și citim: ”punctul
𝐴 aparține dreptei 𝑎”.
Dacă punctul 𝐵 nu se află pe dreapta 𝑎, scriem acest lucru: 𝐵 ∉ 𝑎 și citim:”punctul 𝐵
nu aparține dreptei 𝑎” sau ”punctul 𝐵 este exterior dreptei 𝑎” sau ”punctul 𝐵 este în exteriorul
dreptei 𝑎”.
Fiind date două puncte distincte 𝐴 și 𝐵 (𝐴 ≠ 𝐵), putem desena o singură dreaptă care
să treacă prin punctele 𝐴 și 𝐵. Mai spunem: două puncte distincte determină o singură dreaptă.
Prin convenț ie această dreaptă se note ază 𝐴𝐵.
Definiția 1.1.2. 11: Dacă punctele 𝐷 și 𝐸 aparțin dreptei 𝐴𝐵 (𝐷,𝐸∈ 𝐴𝐵), spunem că
punctele 𝐴,𝐵,𝐷 și 𝐸 se numesc punct e coliniare (aparțin aceleiași drepte).
Mulțimea punctelor care aparțin dreptei AB este o mulțime de puncte coliniare.
Dreptele 𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐷𝐵 sau 𝐷𝐸 au aceleași puncte, motiv pentru care ele se numesc ”drepte
identice” sau ”drepte confundate”. De fapt, este vorba de una și aceeași dreaptă, de aceea pentru
”toate” folosim aceeași notație, de exemplu 𝐴𝐵. Dacă punctul 𝐹 nu aparține dreptei 𝐴𝐵 (𝐹 ∉
𝐴𝐵), spunem că punctele 𝐴,𝐵,𝐹 sunt puncte necoliniare.
Definiția 1.1.2.1 2: Două drepte 𝑎 și 𝑏 care au un singur punct comun, 𝑀, se numesc
drepte concurente .
Acest lucru se notează: 𝑎 ∩ 𝑏 = {𝑀} și se citește: ”dreptele 𝑎 și 𝑏 sunt concurente în
punctul 𝑀” sau ”dreptele 𝑎 și 𝑏 se intersectează în punctul 𝑀” sau ”dreapta 𝑎 este concurentă
cu dreapta 𝑏 în punctul 𝑀”.10
Defini ția 1.1.2.13 : Se nume ște spa țiu o m ulțime de puncte care prezintă anumite
proprietăți.
Definiția 1.1.2.1 4: Se nume ște distanța euclidiană între două puncte 𝑃 și 𝑄 este
lungimea segmentului de dreaptă care le unește, [𝑃𝑄].
Definiția 1.1.2.1 5: Se nume ște ungh i figura geometric ă obținută prin reuniunea a dou ă
semidrepte cu originea comun ă.
La măsurarea în grade i se atribui e unghiului complet num ărul 360° .
Definiția 1.1.2.1 6: Se nume ște unghi de 1°, acel unghi care este egal cu a 360 – a parte
a unghiului comp let.
Observația 1.1. 2.17: Alte unit ăți: 1°=60′=3600′′ și 1′=60′′.

10 Punctul, dreapta, planul, Cristina Vușcan,
http://www.scoalapentrutoti.ro/index.php?option=com_content&view=article&id=342:punctul -dreapta –
planul&catid=63:geometrie -plan&Itemid=77 ;

10
La măsurarea în radiani, fiec ărui unghi (interpretat ca unghi la centru al unui cerc) îi
este atribuit ă ca valoare numeric ă, raportul 𝑏
𝑟 dintre lungimea arcului corespun zător și lungimea
razei.
Definiția 1.1.2.1 8: Se nume ște radian m ăsura acelui unghi care, din circumferin ța unui
cerc taie un arc de lungimea razei.
𝛼=1 𝑟𝑎𝑑 =57,296°

Figura I.2 M ăsura unghiurilor

Pentru a realiza transformarea din grade în radiani se folose ște rela ția de transformare .
Dacă se noteaz ă măsura unghiului, exprimat ă în grade, cu 𝛼 și măsura unghiului, exprimat ă în
radiani cu arc𝛼, avem:
arc𝛼=𝜋
180°≈0,01745 ∙𝛼
și
𝛼=180°
𝜋=57,29578° .

1.1.3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE

Studiu l transformărilor geometrice are o istorie bogată. Se poate spune că a apărut odată
cu geometria, din necesităț i practice care au condus la determinarea formei și dimensiunii
uneltelor de muncă și a locuințelor. Euclid, elev al lui Platon și Aristotel, reu nește în celebrele
sale Elemente, toate cunoștințele de geometrie accumulate p ână la el, organiz ându-le dup ă
concep ția elaborată de Aristotel. Transform ările geometrice mai complicate decât izometriile
care au fost folosite sunt: asem ănarea în tratatul “De spre conoide și sferoide” al lui Arhimede ,
respectiv omotetia și inversiunea în tratatul “Despre locuri plane” al lui Apoloniu din P erga.

11
Un studiu sistematic al transform ărilor geometrice este realizat de Augustus Ferdinand
Möbius în lucr ările “Calculul baricentric” (1827) și “Teoria similitudinii cercurilor” (1855).
Prezentarea geometriei prin intermediul transform ărilor geometrice este conform ă cu
afirma ția că “matematica este știința despre structurile matematice, transform ările geometrice
fiind fun cțiile originale ale matematicii”. Așadar transformările geometrice sunt elemente de
unificare a matematicii școlare. Deși transformările geometrice erau folosite de mult timp în
rezolvarea unor probleme de geometrie, ele nu au fost gândite ca funcții decâ t relativ recent,
când figurile geometrice au fost concepute ca mulțimi de puncte.
Definiția 1.1.3.1 : Fie 𝜋 un plan. O funcție 𝑡:𝜋→𝜋 se numește transformare geometrică.
Observați a 1.1.3.2: Oricărui punct 𝑀 din planul 𝜋, o transformare geometrică îi a sociază
un punct 𝑀`, unic în 𝜋, notat 𝑡(𝑀).
Observa ția 1.1.3.3: Dacă 𝑡(𝑀)=𝑀`, atunci 𝑀` se numește imaginea punctului 𝑀 prin
transformarea 𝑡.
Definiți a 1.1.3. 4: Transformările geometrice care păstrează distanța dintre puncte se
numesc iz ometrii sau transformări ortogonale.

Translația

Definiți a 1.1.3. 5: Transla ția în planul 𝜋 este o transformare a planului 𝜋 prin care toate
punctele planului care se deplaseaz ă în aceea și direc ție și sens, cu aceea și distan ță între orice
punct și transf ormatul s ău.
Definiția 1.1. 3.6: Fie, în plan, un vector 𝑎⃗. Transformarea care asocia ză oricărui punct
𝐴∈𝜋, punctul 𝐴’∈𝜋, astfel înc ât 𝐴𝐴’=𝑎⃗ se numește translație de vector 𝑎⃗.
Notând 𝑡: 𝜋 → 𝜋 o translație a planului rezultă că :
𝐴𝑡(𝐴)≡ 𝐴’𝑡(𝐴’)≡ 𝐴’’𝑡(𝐴’’)≡ ⋯ ≡ 𝑎⃗.
Teorema 1.1.3.7: Orice translație a planului 𝜋 este o izometrie de genul unu.
Teorema 1.1.3.8: Mulțimea translațiilor planului 𝜋 este grup comutativ în raport cu
operația de compunere.
Teorema 1.1.3.9: O izometrie a planului 𝜋 este o translație dacă și numai dacă
transformă orice semidreaptă într -o semidreaptă având aceeași orientare.11
În mod natural trebuie să se înceapă cu studiul simetriilor în plan, apoi se trece la spațiu.
Cerințele de simplitate conduc la următ oarea ordine:
– simetria față de un punct,

11 Transformări geometrice, Smaranda D., Soare N., Editura Academiei Române, București, 1988, pp. 27 -29;

12
– simetria față de o dreaptă, deși teoretic ultima este mai importantă.

Figura I.3 Transla ția

Transformata prin translație a unei figur i 𝐹 este o altă figură 𝐹1 egală cu cea dată.
Observația 1.1.3 .10: Translația este o transformare care nu deformează figurile. În
spațiu translația se definește într -un mod asemănător ca în plan.12

Simetria față de un punct în plan

Putem începe prin a cere elevilor să deseneze mai multe segmente care au același mijloc
𝑂. Ei desenează măsurând cu rigla sau eventual cu compasul o figură care poate fi apoi
prezentată și pe o planșă pregătită anterior.
Definiție 1.1.3. 11: Se numește s imetricul unui punct 𝐴 față de un punct 𝑂, în planul 𝜋,
punctul 𝐵 cu proprietatea că distan ța de la 𝐴 la 𝑂 este egală cu distanța de la 𝐵 la 𝑂, cu alte
cuvinte ca 𝑂 este mijlocul segmentului 𝐴𝐵, și notăm: 𝑆𝑂 𝐴 = 𝐵 sau 𝑆𝑂 𝐵 = 𝐴.13

Figura I. 414 Simetria unui punct față de un punct în plan

Simetria față de o dreaptă în plan

Pentru a introduce definiția acestei transformări geometrice putem începe cu următoarea
semiexperiență: în partea superioară a unei coli albe de hârtie se fac trei – patru pete mici de
cerneală, apoi coala se îndoaie. Petele de cerneală vor lăsa urme pe pa rtea inferioară a colii.
Dezdoim coala și unim cu o linie colorată fiecare pată cu urma lăsată de ea la îndoirea colii.

12 Metode pentru rezolvarea problem elor de geometrie, Gh. A. Chiței, Editura Didactică și Pedagocică,
București, 1969, pp. 224 -225;
13 Transformări geometrice, Smaranda D., Soare N., Editura Academiei Române, București, 1988, p.31;
14 Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie, Gh. A. Chiței, Editura Didactică și Pedagocică,
București, 1969, p. 257;

13
Trasăm cu o altă culoare linia de îndoire a colii. Dreptele duse anterior vor intersecta linia de
îndoire după niște puncte. Cerem elevi lor să măsoare, pentru fiecare pată în parte, distanța de
la ea și de la urma ei la dreapta de îndoire. Vor constata că aceste distanțe sunt aproximativ
egale și că dreapta ce unește o pată cu imaginea ei (cu urma ei) este perpendiculară pe linia de
îndoir e a colii.
Introducem notații și afirmăm că dreptele 𝐴𝐴′,𝐵𝐵′,𝐶𝐶′ și 𝐷𝐷′ sunt perpendiculare pe
𝑑 și că (𝐴𝑃) ≡ (𝑃𝐴′),(𝐵𝑄) ≡ (𝑄𝐵′),(𝐶𝑅) ≡ (𝑅𝐶′),(𝐷𝑆) ≡ (𝑆𝐷′).
Definiți a 1.1.3. 12: Punctele 𝐴 și 𝐵 din planul 𝜋 se numesc simetri ce în raport cu dreapta
𝑑 din planul 𝜋 dacă segmentul 𝐴𝐵 este perpendicular pe dreapta 𝑑 și o intersesctează într -un
punct 𝑂 astfel încât 𝐴𝑂 ≡ 𝑂𝐵.
Definiția 1.1.3. 13: Punctul 𝐵 se numește simetricul punctului 𝐴 în raport cu dreapta 𝑑.15

Figura I.5 Simetria unui punct față de o dreaptă în plan

Observați a 1.1.3.1 4: Dacă două puncte sunt simetrice în raport cu o dreaptă d atunci
fiecare dintre ele este simetricul celuilalt față de dreapta d. La fel ca mai sus notăm: 𝑆𝑑𝐴= 𝐵
și citim sim etricul punctului 𝐴 față de dreapta 𝑑 este punctul 𝐵. Astfel dacă avem:
𝑆𝑑𝐴 = 𝐵 ⇒{𝑑 ⊥ 𝐴𝐵
𝑑 ∩ 𝐴𝐵 = {𝑂}
[𝑂𝐴] ≡ [𝑂𝐵] .
Definiția 1.1.3.1 5: Dreapta d se numește axa simetriei axiale 𝑆𝑑𝐴.
Definiția 1.1.3.1 6: Punctul 𝐵 se numește simetricul punctului 𝐴 în raport cu dreapta 𝑑.
O simetrie axială este dată dacă este dată axa ei sau dacă se cunosc două puncte: un punct 𝐴 și
transformatul său 𝐵 prin simetria axială. În acest caz axa simetriei este mediatoarea segmentului
|𝐴𝐵|.
Teorema 1 .1.3.17 : Orice simetrie axială a planului este o izometrie de genul doi.

15 Transformări geometrice, Smaranda D., Soare N., Editura Academiei Române, București, 1988, p.43;

14

Teorema 1.1.3.18 : O izometrie a planului 𝜋 diferită de identitatea planului este o
simetrie axială dacă și numai daca admite cel puțin două puncte fixe.
Teorema 1.1.3.19 : Orice izometrie a planului 𝜋 este un produs de două sau trei simetrii
axiale.16

Rotația

În plan se disting două sensuri pentru rotația unei semidrepte în jurul originii sale:
– sensul invers mișcării acelor de ceas numit sens direct sau pozitiv,
– sensul de miș care a acelor de ceas numit sens retrograd sau negativ.
Definiți a 1.1.3. 20: Un unghi ∢𝐴𝑂𝐵 = ∢𝛼 se numeș te unghi orientat dacă perechea de
semidrepte [𝑂𝐴),[𝑂𝐵) este ordonată.
Definiți a 1.1.3. 21: Unghiul orientat ∢𝐴𝑂𝐵 = ∢𝛼 este orientat pozitiv dacă sensul de
parcurgere de la semidreapta (𝑂𝐴 la semidreapta (𝑂𝐵 este opus mișcării acelor de ceas și este
orientat negativ dacă sensul de parcugere de la semidreapta (𝑂𝐴 la semidreapta (𝑂𝐵 este cel
indicat de mișcarea acelor de ceas.17

Figura I. 6 Unghi orientat pozitiv Figura I. 7 Unghi orientat negativ

Definiți a 1.1.3. 22: Rotația de centru 𝑂 și unghi orientat ∢𝛼 a planului 𝜋 este o
transformare a planului prin care punctul 𝑂 se transformă în el însuși și orice a lt punct 𝐴 se
transformă într -un punct 𝐵 astfel încât [𝑂𝐴]=[𝑂𝐵] și unghiurile ∢𝐴𝑂𝐵 și ∢𝛼 sunt congruente
și au aceeași orientare.
Rotația de centru 𝑂 și unghi orientat ∢α se notează 𝑟𝑂𝛼, iar unghiul orientat ∢𝛼 variază
de la −∞ la +∞.

16 Transformări geometrice, Smaranda D., Soare N., Editura Academiei Române, București, 1 988, pp.44 – 45;
17 Idem pp. 55 -56;

15
Definiția 1.1.3. 23: Punctul 𝑂 se numește centrul rotației 𝑟𝑂𝛼.
Definiția 1.1.3.2 4: Unghiul orientat ∢𝛼 se numește unghiul rotației 𝑟𝑂𝛼
Definiția 1.1.3.2 5: Punctul 𝐵=𝑟𝑂𝛼(𝐴) se numește imaginea punctului 𝐴 prin rotația în
jurul pu nctului 𝑂 de unghi orientat ∢𝛼.
Teorema 1.1.3.2 6: Orice rotație a planului 𝜋 este o izometrie de genul unu.
Teorema 1.1.3.2 7: O izometrie a planului 𝜋 este rotație dacă și numai dacă admite un
singur punct fix.18
Un segment de dreaptă se transformă prin rotație în alt segment de dreaptă.
Un triunghi 𝐴𝐵𝐶 se transformă prin rotație în alt triunghi 𝐴’𝐵’𝐶’ egal cu cel dat.19
Această transformare geometrică este cu mult mai importantă decât simetriile, pentru
că definirea și studiul ei impun conceptul de vector în forma sa riguroasă: clasă de segmente
orientate echipolente (de aceeași lungime, aceeași direcție și același sens). În general, în cărțile
în care acest subiect se abordează, se introduce izomorfismul între grupul translațiilor cu
operația de co mpunere și grupul aditiv al vectorilor. Câteva observații se impun de la început.
Pentru noțiunea de vector cadrul cel mai convenabil este spațiul și nu planul. În consecință
apare mai natural studiul translației ca transformare a spațiului. Vectorii dintr -un plan se vor
identifica cu translațiile care duc planul în sine. Evident că această abordare este posibilă după
ce elevii au anumite cunoștințe de geometria spațiului. Preocuparea pentru operația de
compunere a translațiilor trebuie să ocupe un loc mai important ca la simetrii pentru că ea va
corespunde operației de adunare a vectorilor, operație mai puțin obișnuită, care primește astfel
o justificare foarte convingătoare.
Această transformare geometrică, relativ ușor de definit formal, are la bază un fo nd de
reprezentări intuitive extrem de complex: cele care duc la ideea de cerc, cele referitoare la
unghiuri și măsura unghiurilor, mișcarea de rotație tratată la fizică ș.a. Înainte de a introduce
această temă trebuie să ne asigurăm că elevii posedă fondu l necesar de reprezentări intuitive,
întărindu -l și orientându -l spre abordarea temei în discuție. În acest caz este mai util un film de
10-15 minute, care prin imagini din viața cotidiană și prin desene animate să pregătească terenul
pentru înțelegerea no țiunii de unghi orientat și de rotație în jurul unui punct în plan sau în jurul
unei drepte în spațiu. Absența unui asemenea film trebuie suplinită cu figuri convenabile și cu
exemple simple de mișcări de rotație în jurul unui punct întâlnite curent de ele vi cum ar fi: acele
de ceasornic, roțile de transmisie , etc. Se pot de asemenea construi modele specifice care să
reprezinte imaginile prin rotație ale unor figuri simple. Ca și în cazul translațiilor este mai

18 Transformări geometrice, Smaranda D., Soare N., Editura Academiei Române, București, 1988, pp.56 -57;
19 Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie, Gh. A. Chiței, Editura Didactică și Pedagocică,
București, 1969, p. 247;

16
convenabil să începem prin a considera rotația de un unghi dat în jurul unui punct dat a unei
figuri geometrice simple și nu a unui punct. Cel mai simplu pare a fi să considerăm o
semidreaptă de origine 𝑂 și să discutăm despre rotațiile ei în jurul punctului 𝑂. Fie semidreapta
(𝑂𝐴 pe care să o rot im în poziția (𝑂𝐴′. Înțelegem pentru moment cuvântul “rotim” în sens
cinematic pe baza unor reprezentări intuitive. La rotirea semidreptei (𝑂𝐴 punctul 𝐴 descrie un
arc de cerc 𝐴𝐴′̂.
– Imaginea prin 𝑟𝑂𝛼 a unei semidrepte este o semidreaptă.
– Imaginea prin 𝑟𝑂𝛼 a unui unghi este un unghi egal.
– Imaginea prin 𝑟𝑂𝛼 a cercului de centru 𝑆 și rază 𝑟 este cerc ul de centru 𝑆’=𝑟(𝑆) și
rază 𝑟.
– Inversa rotației 𝑟𝑂𝛼 este o rotație 𝑟−1=𝑟𝑂−𝛼.20

Omotetia în plan

Asemănarea particulară cea mai importantă, lăsând la o parte izometria, este omotetia
de centru dat și raport dat. Importanța omotetiei derivă, în primul rând, din teorema: Orice
asemănare este produsul dintre o omotetie și o izometrie. Omotetia păstrează direcțiile și
unghiurile. Toate lungimile cresc sau descresc cu același raport.
Din practc ă, spre exemplu pentru proiectarea unei clădiri, s -a constatat că la desenarea
elementelor unei construcții nu pot fi folosite dimensiunile reale. A apărut necesitatea folosirii
unor imagini modificate, mărite sau micșorate, dar care să păstreze forma clădirii respective.
Acest tip de problemă a fost rezolvată cu ajutorul unor transformări geometrice care căresc sau
micșorează distanța dintre puncte, dar păstreză proprietățile fi gurilor, numite asemănări.
Definiți a 1.1.3.2 8: Fie 𝑘∈ℝ∗ și 𝐼∈𝜋. Transformarea geometrică prin careoricărui
punct 𝑀∈𝜋 i se asociază punctul 𝑀′∈𝜋m astfel încât 𝐼𝑀’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 ∙ 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se numește o moteti e de
centru 𝐼 și raport 𝑘.
Omoteti a de centr u 𝑂 și raport 𝑘 se notează :
𝑂𝐼𝑘:𝜋→𝜋, 𝑂𝐼𝑘(𝑀)=𝑀′, unde 𝐼𝑀’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 ∙ 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Definiția 1.1.3.29: Punctul 𝑀’ se nume ște omoteticul punctului 𝑀.
Teorema 1. 1.3.30: Orice punct I din planul 𝜋 și orice numaăr real 𝑘 ≠ 0 definesc o
omotetie unică.

20 Planul și spațiul euclidian, Brânzei D., Anița S., Cocea C., Editura Academiei Române, București, 1986,
pp.71 -72.

17
Teorema 1.1.3. 31: Omotetia de centru I și raport 𝑘 este o asemănare de genul unu dacă
𝑘>0, sau o asemănare de genul doi dac ă 𝑘 < 0.
Problema 1 .1.3.32: Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 cu vârfurile 𝐵 și 𝐶 fixe și de arie constantă. Se
cere locul geom etric al vârfului 𝐴 și al centrului de greutate 𝐺 al triunghiului.
Soluție :
Condițiile arie constantă și 𝐵𝐶 – constant implică ℎ constant, unde ℎ este lungimea
înălțimii din 𝐴. Așadar, locul lui 𝐴 este format din două drepte paralele cu 𝐵𝐶 la dis tanța ℎ de
ea. Fie I mijlocul segmentului [𝐵𝐶]. Punctul 𝐺 este omoteticul lui 𝐴 în omotetia de centru I și
raport 1
3. Deci locul geometric al lui 𝐺 este format din două drepte paralele cu 𝐵𝐶, fiecare la
distanța ℎ
3 de 𝐵𝐶.21

Figura I. 8

Proprietăți ale omotetiei:
a) Centrul de omotetie este propriul său omotetic.
b) O dreaptă care trece prin centrul de omotetie se transformă prin omotetie în el însuși.
c) Un plan care trece prin centrul de omotetie se transformă prin omotetie în el însuși .22

21 Planul și spațiul euclidian, Brânzei D., Anița S., Cocea C., Editura Academiei Române, București, 1986, pp.
82-83
22 Metode pentr u rezolvarea problemelor de geometrie, Gh. A. Chiței, Editura Didactică și Pedagocică,
București, 1969, p. 271;

18
1.1.4 POLIGOANE OARECARE – DEFINIȚII, PROPRIETĂȚI TOPOLOGICE ȘI
METRICE ÎN GENERAL

În 1736, matematicianul Leonhard Euler a publicat lucrarea Problema celor șapte
poduri de la Konigsberg d espre care se poate spune că stă la baza ramurii mate matice cunoscute
sub denumirea de topologie.23 În anul 1970, pregătindu -se de recensământ, United States
Census Bureau, a folosit toplogia matematică pentru a reduce erorile ce apăreau pe hărțile
rezultate. Astăzi în cadrul Sistemelor Geografice Informațion ale (GIS) termenul poate fi definit
ca “știința și matematica relațiilor utilizate pentru validarea geometriei entităților vectoriale și
pentru o serie de operații cum ar fi analiza de rețea și de vecinătate” .24 Totodată topologia face
diferența dintre mode le GIS și cele non -topologice (Modelul Spaghetti). Într-un sistem de
modelare a solidelor, modelul unui solid este alcătuit din două tipuri de date:
– date geometrice
– date topologice.
Datele geometrice sunt coordonate, vectori tangenți în diferite puncte ale frontierei,
vectori normali, coeficien ții planului feței unui poliedru,coeficienții algebrici ai unui petic
bicubic.
Datele topologice exprimă relațiile de conectivitate între caracteristicile geometrice:
laturile
(sau curbele) prin care sunt c onectate vârfurile, secvența de laturi care formează
conturul unei fețe și altele. Proprietățile topologice ale unui obiect sunt acele proprietăți care
nu se modifică prin deformarea obiectului. Prin deformare se modifică lungimile laturilor,
unghiurile, a ria. Acestea nu sunt proprietăți topologice. Ceea ce se păstrează sunt legăturile
dintre vârfuri.
De exemplu:
deformare

Figura I. 9 Deformarea unui triunghi

23 http://www.esri.com/news/arcuser/0401/conundrum.html
24 Geographical Information Systems and Science, Paul A. Longley, Michael F. Goodchild, D avid J. Maguire,
David W. Rhind, Editura John Wiley and sons, LTD, 2005

19

Defini ția 1.1.4.1: Două corpuri s e numesc echivalente topologic dacă unul se poate
deforma în cel ălalt.
Exemplu l 1.1.4.2: Prisma și paralelipipedul sunt echivalente topologic cu sfera deoarece
se pot deforma într -o sferă.
Un corp cu o trecere este topologic echivalent cu un tor deoarece se poate deforma într –
un tor.25
Sfera și torul fac parte din cla se de echivalență topologică diferite. Clasificarea se
bazează pe topologia curbelor închise:
a. Toate curbele închise care nu se intersectează, de pe suprafața unei sfere, sunt
echivalente topologic. Prin deformare ele se reduc la un punct. Astfel de curbe d efinesc
discuri topologice
b. Pe suprafața unui tor există două tipuri de curbe închise :
Defini ția 1.1.4. 3: O suprafață se numște orientabilă dacă există o definiție consistentă
privind ceea ce înseamnă stânga și dreapta pentru acea suprafață.
Exemplul 1.1.4 .4: Un exemplu tipic de suprafață neorientabilă este banda lui Möbius.
Se poate obține dintr -o banda de hârtie ale cărei capetele se unesc după ce unul dintre capete a
fost răsucit cu 180° (grade).

Figura I. 10 Banda lui Möbius26

Defini ția 1.1.4. 5: Un corp solid se numește orientabil dacă parcurgând orice contur al
său, punctele interioare conturului sunt situate tot timpul de aceeași parte a conturului.
Conectivitatea unui poliedru simplu este definită matematic prin formula lui Euler:
𝑉–𝐿+𝐹=2,
unde 𝑉: numărul de vârfuri,
𝐿: numărul de laturi și
𝐹: numărul de fețe.

25 https://ro.wikipedia.org/wiki/Topologie
26 http://www.anidescoala.ro/info/copii/sfaturi -copii/cum -construiesti -banda -lui-mobius/

20
Un solid oarecare se deosebește de un poliedru simplu prin faptul că fețele sale pot avea
mai multe contururi:
– conturul exterior al feței;
– conturul unei treceri prin polie dru;
– conturul unei găuri ( adâncituri).
Conectivitate a unui solid oarecare este definită prin formula Euler generalizată:
𝑉 – 𝐿 + 𝐹 − 𝐶 + 2𝑇 = 2𝑃,
unde 𝑉: numărul de vârfuri,
𝐿: numărul de laturi,
𝐹: numărul de fețe,
𝑃 este n umărul de vârfuri de părți distincte ale solidului,
𝑇 este numărul de treceri prin solid și
𝐶 este numărul de cicluri de laturi interne fețelor (cavities).27

1.2 METODICA PREDĂRII GEOMETRIEI

Deoarece geometria riguroasă, bazată pe demonstrații, nece sită formarea conceptelor
geometrice și realizarea unor operații logice, deductive cu aceste abstracțiuni, predarea
geometriei trebuie să țină cont de etapele mentale de dezvoltare ale copilului.
Stadiul operațiilor concrete
În această etapă putem vorbi m ai degrabă de o predare pregeometrică, al cărei rol este
de a pregăti elevul pentru stadiul următor. La acestă vârstă elevul reușește deja să clasifice, să
ierarhizeze, să sintetizeze, să finalizeze formarea conceptului de număr și să compare.28
Vom diferen ția două componente pe care le intitulăm succint matematica știință și
matematica de conexiune.
Pentru matematica știință deosebim:
a) Structura.
Fundamentele matematicii precizează interpretarea matematicii ca teorie deductivă
raportată la sisteme axiom atice cu diverse niveluri de formalizare.
b) Rezulatate .

27 idem
28 Modelarea solidelor, Prof. dr. ing. Florica Moldoveanu;

21
Este vorba aici de multitudinea de propoziții împreună cu demersurile argumentării lor
logico – deductive.
c) Clasificări, reordonaări.
Buna gestionare a multitudinii rezultatelor impune clas ificări pe domenii și
subdomenii ce se referă inclusiv la redemonstrări.
d) Istorie, evaluare.
Este necesară evidențierea unor momente, idei, persoane sau școli (ce au generat
conglomeratul de rezultate) și relevanța lor actuală.
e) Direcții de evoluț ie.
Matematica de conexiune elucidează legăturile ei multifuncționale cu:
a) Realitatea materială și socială;
b) Filozofia (ca reflectare în plan cognitiv a realității);
c) Alte științe (în dinamica lor);
d) Tehnica;
e) Didactica.29
Didactica reflectă imperativele și legitățile operației de primă importanță a transmiterii
peste generații de cunoștințe, deprinderi, abilități, emoții și valualizări. Prin obiectul și metodele
ei, didactica apare ca o știință de graniță între pedagocie și psihologie.
Mijloa cele metodicii predării matematicii
Termenul metodă provine din cuvintele grecești metha = spre, către, și odos = cale,
drum ce a rămas cu înțelesul drum spre… . Metoda didactică se referă la o cale ce se urmează
spre atingerea unor obiective educațional e; în metodica predării matematicii se referă prioritar
la însușirea unor noțiuni matematice. În mod simptomatic metodele de predare sunt aceleași cu
metodele de cercetare.
Metoda de învățământ reprezintă modalitatea de lucru selectată de profesor și aplic ată
cu ajutorul, și în beneficiul elevilor, ce asigură cooperarea profesor – elev și permite
profesorului să se afirme ca un purtător competent al conținuturilor învățământului ce îi justifică
rolurile de animator, ghid și evaluator.
Metodele de predare su nt și trebuie să fie extrem de variate pentru ca profesorul să aibă
de unde selecta pe cea considerată optimă în raport cu o secvență de cunoștințe și un grup de
elevi, dar nu este exclusă eventualitatea ca profesorul să creeze o metodă mai adecvată unor
circumstanțe speciale. Orientarea în setul masiv de metode deja atestate este ușurată de
diversele sisteme de clasificare adoptate.

29 Metodica predării matematicii, Brânzei D, Brânzei R., Editura Paralela 45, 2008, p .9

22
Unele dintre punctele de vedere ale clasificărilor și disjuncțiile ce le operează sunt:
– Din punct de vedere istoric: tra diționale, moderne.
– Din punct de vedere al extensiunii: generale (expunerea, prelegerea, conversația
euristică) și particulare.
– Prin modalitatea (principală) de prezentare: verbale și intuitiv – senzoriale.
– După gradul de angajare a elevilor: ac tive și pasive.
– După funcția didactică preponderentă: predare, fixare și consolidare, verificare și
evaluare.
– După modalitatea abordării problemelor: algoritmice, euristice.
– După organizarea muncii profesorului:
– individual (cu fiecare elev s eparat);
– în grupuri (omogene sau eterogene valoric );
– frontal (cu întreaga clasă).30
La geometria în spațiu rolul anaglifelor este micșorat datorită greutății pentru elev de a
ajunge personal la anaglifele dorite. Practica multor profesori a evidențiat funcționaliatea unor
truse extrem de simple și ușor de purtat. O placă de polistiren expandat (de mărimea unui caiet
și groasă de 1 – 2 cm) poate fi acoperită cu o foaie de hârtie cu linii convenabil trasate; diverse
deșeuri de plactic (adesea variat color ate) port sugera drepte din spțiu; bucățele de schotch sau
plastilină pot asigura stabilitatea provizorie a modelului. Elevii cu un plus de abilitatea (manuală
dar nu numai) pot realiza machete de calitate care să fie păstrate cu etichetă onorantă a numelu i
celui ce a conceput -o. Gaston Mialaret afirmă: “Orice metodă pedagogică rezultă din întâlnirea
mai multor factori și … educa ția va rămâne mereu o artă: arta de a adapta la o situație precisă
indicațiile generale date de cărțile de metodologie.”31
Dintr -o parte matematicienii se arată dezamăgiți de o diminuare a rigorii și a unei
multivocități ale adevărurilor. Unora le vine comod să creadă că o bună cunoaștere științifică
este suficientă unei înțegeri clare, lipsită de echivocuri. Poate că așa ar fi dacă elevul ar avea de
la început o capacitate maximală de abstractizare cu o verbalizare fără greș, fiind apt să înlănțuie
argumente logice variate. În realitate premisele de mai sus sunt departe de a fi corecte.32
Prin predarea geometriei se urmărește ca elev ii să își insușească un număr de cunoștințe
de geoemetrie, cele din programă, și în același timp să se dezvolte facultățile psihice ale elevilor.
În mod deosebit geometria este chemată să dezvolte gândirea elevilor, mai ales gândirea vie,
activă și complex ă, gândirea dialectică; capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage

30 Idem, pp.14 -15;
31 Introducere în pedagogie, Mialaret Gaston,Editura Didactică și Pedagogică, 1981, p.46;
32 Metodica predării matematicii, Brânzei D, Brânzei R., Editura Paralela 45, 2008, p.27;

23
esențialul, de a schematiza realitatea păstrând numai asptectele matematice, deprinderea de a
căuta și a desprinde
legăturile raționale dintre fapte, inițiativa personală în gândi re.
În procesul demonstrațiilor și a rezolvării problemelor de geometrie, prin deosebirea
implicațiilor și prin parcurgerea raționamentelor care le dovedesc, se urmărește dezvoltarea
gândirii sub aspectul logic, formal: înțegerea și folosirea definițiilor logice, a raționamentelor,
astfel ca ele să devină pentru elev mijloace proprii de convingere în învățarea matematicii.
Pe de altă parte spiritul în care se predă geometria în școala gimnazială trebuie să -i
pregătească pe elevi pentru continuarea studiilo r. Nu trebuie urmărită numai îmsușirea, pe orice
cale, a cunoștințelor din programa școlii gimnaziale, ci însușirea prin care să asigure elevilor
pregătirea necesară, pentru ca în clasa a IX – a să poată face un studiu sistematic al geometriei.33
Este evid ent pentru oricine că tratarea geometriei, pornind de la axionatica lui Euclid,
prezintă numeroase neajunsuri dintre care:
– lipsa de rigoare datorită incompletitudinii sistemului de axiome,
– greutatea introducerii unor noțiuni fundamentale din teor ia mulțimilor,
– algebra liniară
– analiza matematică.
Fără a elimina aceste lipsuri nu se p oate discuta de modernizarea geometriei. Tentativa
de a face operații radicale în construcția geometriei elementare implică riscul de a depăși nivelul
mediu. Cu toate adcestea, necesitatea stringentă de a prezenta conținutul geometriei euclidiene
conform cerințelor contemporane impune restructurarea ei.34

1.3 Aspectele metodice ale lucrării

În prefața lucrării Enseignement et apprentissage des mathématiques (Predarea și
învățarea matematicii) M ichel Fayol afirmă: „Societățile noastre tehnologice se confruntă cu o
problemă extrem de delicată: pe de o parte, dezvoltarea tehnologiilor necesită formarea și
angajarea unui număr tot mai mare de tehnicieni, de ingin eri și de cercetători în domeniile
matematicii și ale științelor, iar pe de altă parte, toate cercetările internaționale pun în evidență
o scădere generală a preocupărilor tinerelor generații pentru aceste discipline științifice sau

33 Metodica predării geometriei în școala de opt ani, Opr eanu E., Sandu M., Cășigărița G., Bogdanov Z., Editura
Didactică și Pedagogică, 1965,p.19;
34 Geometrie elementară, Radu Miron, Editura Didactică și Pedagogică, 1968, p.3;

24
altele ce le sunt asoci ate. Mai mult, comparările internaționale au pus în evidență nivele de
performanță relativ modeste în științe și matematică în țările latine” (Crahay & alii, coord.,
2005, p.5).
Cercetările privind predarea și învățarea matematicii au luat o amploare cons iderabilă
în ultimele două decenii, constituindu -se într-un domeniu autonom de cercetare în cadrul
didacticii generale.
Echipele de cercetători în didactica matematicii, ce reunesc specialiști din diverse
domenii: psihologi, pedagogi, matematicieni, filo sofi etc., au ca direcții principale de cercetare:
a. analiza specificului învățării matematicii în scopul identificării strategiilor celor mai
eficiente de învățare, precum și a obstacolelor cu care elevii se confruntă în desfășurarea acestui
proces;35
b. dezvoltarea de modele conceptuale ale demersurilor cognitive pe care le realizează
elevii în învățarea matematicii, pe baza rezultatelor psihologiei în domeniul cunoașterii și al
învățării;
c. conceperea de dispozitive pedagogice pentru eficientizarea proc esului formativ, ce
urmează a fi experimentate la clasă;
d. furnizarea unei baze științifice solide pentru învățarea matematicii și promovarea unei
formări de calitate în acest domeniu.36
În didactica matematicii din țara noastră, în prezent se conturează t rei direcții de
manifestare a preocupărilor specialiștilor în domeniu.37 Există, în primul rând, o direcție ce
corespunde didacticii -acțiune, promovată preponderent de matematicieni și de profesorii de
matematică și este centrată pe conținuturile matematice ce trebuie prelucrate și transmise în
cadrul orelor de matematică, mai exact pe transinformația didactică a cunoașterii științifice
matematice. În acest context, matematicienii cu preocupări în didactica matematicii sunt
interesați de prima fază a transin formației didactice (în special de alcătuirea programelor de
matematică), în timp ce practicienii, profesorii de matematică, sunt, în mod firesc, interesați de
cea de -a doua fază a acestui proces (construcția cunoașterii matematice la nivelul elevului).
O a doua direcție a preocupărilor în didactica matematicii românești ar corespunde
didacticii -formare, promovată de formatorii de viitori profesori de matematică (metodicienii
din universități). Această didactică este derivată din didactica generală (tradiți onală),
reprezentând o particularizare și o adaptare a acesteia la specificul disciplinei (studiază

35 Apud M. Fayol, Crahay & alii, coord., Enseignement et apprentissage des mathématiqu es, 2005, p.5, Predarea
și învățarea matematicii – studiul obstacolelor și al erorilor, Căprioara Daniela, Editira Universitară, București,
2011, p.29;
36 Idem p. 30;
37 La didactique des sciences, Astolfi J.P., Develay M., PUF, Paris, 2002, pp.115 -119;

25
principiile didacticii matematicii, proiectarea activității didactice, obiectivele matematicii
școlare, metodologia didactică, evaluarea instruirii etc.).
Cea de -a treia direcție conturată în câmpul didacticii matematicii din țara noastră este
cea a didacticii -cercetare, promovată de cercetătorii în domeniu. Eforturile acestora sunt
orientate spre identificarea caracteristicilor învățării matematicii, preocup ări ce se înscriu în
orientările actuale la nivel internațional.
În schema de mai jos redăm sintetic orientările actuale în didactica matematicii
românești:

Figura I.1 2 Orientări actuale în didactica matematicii românești38

Profesorul realizeaz ă o multit udine de funcții extrem de variate și aflate într -o conexiune
complexă. Unele funcții se referă la predare – învățare – evaluare:
– Secvențializare;
– Concepere – proiectare;
– Organizare;
– Evaluare;
– Autoevaluare.
Alte funcții sunt direcționate către elev:
– Cunoa ștere;
– Activizare;
– Clasificare valorică;
– Evaluări de moment

38 Predarea și învățarea matematicii – studiul obstacolelor și al erorilor, Căprioara Daniela, Editira Universitară,
București, 2011 DIDACTICA
MATEMATICIIDidactica –
cercetareCercetători în
științele
educațieiSpecificul învățării
matematicii centrat pe
gândirea mateamatică
Didactica –
formare Metodicieni în
universități,
formatoriParticularizarea didacticii
generale centrată pe
principiile didacticii
Didactica –
acțiuneMatematicieni,
profesori de
matematicăTransinformația centrată
pe conținuturi

26
– Motivări;
– Clasificare profesională.
Profesorul este un important factor ăn configurația complexă a grupurilor sociale
militând pentru civilizație și cultură. Îndeplinirea cu succes a unei asemenea varietăți de
competență solicită aptitudini pedagogice.
Gaston Mialaret afirm ă: "Orice metodă pedagogică rezultă din ăntâlnirea mai multor
factori… educația va r ămâne mereu o artă: arta de a adapta la o situație precisă indicațiile
generale date de căr țile de metodologie" .39

39 Introducere în pedagogie, Mialaret Gaston, Editura Didactică și Pedagogică, 1981

27

Capitolul II:
ELEMENTE DE BAZĂ PRIVIND TRIUNGHIUL

28
Drumul de o mie de mile începe cu primul pas.” – Lao Tse

2.1 DEFINIȚII. NOTAȚII.

Se consideră trei puncte necoliniare 𝐴,𝐵,𝐶. Două câte două, aceste puncte determină
segmentele:
[𝐴𝐵],[𝐵𝐶],[𝐶𝐴].
Definiția 2.1.1 : Se numește triunghi o figură geometrică ce rezultă dintr -o reuniune ca
[𝐴𝐵]∪[𝐵𝐶]∪[𝐶𝐴], unde 𝐴,𝐵,𝐶 sunt puncte necoliniare .40

Figura II.1 Triunghi – 𝛥𝐴𝐵𝐶

În figura II.1 este desenat un triunghi, notat ∆𝐴𝐵𝐶 . Prin convenție semnul “ 𝛥” se citește
“triunghi”, și notația „ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ” se citește „triunghiul 𝐴𝐵𝐶 ”.
Definiția 2.1.2: S egmentele [𝐴𝐵],[𝐵𝐶] și [𝐶𝐴] se numesc laturile triunghiului .
Definiția 2.1.3: U nghiurile ∢𝐵𝐴𝐶 ,∢𝐴𝐵𝐶 și ∢𝐴𝐶𝐵 (∢𝐴,∢𝐵 și ∢𝐶) se numesc
unghiurile triunghiului.
Laturile și unghiurile unui triunghi reprezintă elementele unui triunghi.
Pentru lungimile laturilor unui triunghi se folosește următoarea notație:
– latura [𝐵𝐶], care se opune unghiului 𝐴, să se noteze cu “ 𝑎”,
– latura [𝐶𝐴], care se opune unghiului 𝐵, să se noteze cu “ 𝑏”
– latura [𝐴𝐵], care se opune unghiului 𝐶, să se noteze cu “ 𝑐”.

40 Cuculescu Ion, Ottescu Constantin, Gaiu N. Laurențiu, Geometrie Manual pentru clasa a VI –a, Editura
didactică și Pedagogică, 1989

29
Definiția 2.1. 4: Suma lungimilor laturilor 𝛥𝐴𝐵𝐶 , adică 𝐵𝐶+𝐶𝐴+𝐴𝐵=𝑎+𝑏+𝑐 se
numește perimetrul 𝛥𝐴𝐵𝐶 .
Se notează 2𝑝=𝑎+𝑏+𝑐, deci 𝑝 este semiperimetrul: 𝑝=𝑎+𝑏+𝑐
2.
Definiția 2.1. 5: Se numește unghi exterior unui triunghi unghiul adiacent și supl ementar
cu un unghi al triunghiului.41
Dacă 𝐴𝐵𝐶 este un triunghi și dacă se notează cu 𝑃 planul din care face parte triunghiul,
atunci:
a) 𝑖𝑛𝑡(∢𝐴𝐵𝐶 )∩𝑖𝑛𝑡(∢𝐴𝐶𝐵 )∩𝑖𝑛𝑡(∢𝐶𝐴𝐵 )=𝑖𝑛𝑡(𝛥𝐴𝐵𝐶 )
b) 𝑃−[𝛥𝐴𝐵𝐶 ∪𝑖𝑛𝑡(𝛥𝐴𝐵𝐶 )]=𝑒𝑥𝑡(𝛥𝐴𝐵𝐶 )

2.2 CLASIFICARE

Triunghiurile pot fi clasificate după măsurile unghiurilor lor, astfel:
a) Dacă un triunghi are toate unghiurile ascuțite (cu măsurile mai mici decât 90°), el se
numește triunghi ascuțitunghic.
În figura II.2 a) 𝑚(∢𝐴)<90°,𝑚(∢𝐵)<90°,𝑚(∢𝐶)<90°
b) Dacă un triunghi are un unghi drept (cu măsura de 90°) se numește triunghi
dreptunghic.
În figura II.2 b) 𝑚(∢𝐷)=90°,𝑚(∢𝐸)<90°,𝑚(∢𝐹)<90°.
Definiția 2. 2.1: Latura care se opune unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte
două laturi se numesc catete.
c) Dacă un tr iunghi are un unghi obtuz, se numește triunghi obtuzunghic.
În figura II.2 c) 𝑚(∢𝐺)>90°,𝑚(∢𝐻)<90°,𝑚(∢𝐼)<90°.

Figura II.2 Clasificare a) ascuțitunghic b) dreptunghic c) obtuzunghic

41 idem

30

Triunghiurile mai pot purta și alte denumiri, după lungimil e comparative ale laturilor
lor, fără ca aceasta să constituie un criteriu de clasificare.
a) Dacă un triunghi are laturile de lungimi diferite, el se numește triunghi oarecare sau
triunghi scalen.
În figura II.3 a) [𝐴𝐵]≠[𝐵𝐶],[𝐵𝐶]≠[𝐶𝐴] și [𝐶𝐴]≠[𝐴𝐵]
b) Dacă un triunghi are două laturi congruente (cu aceeași lungime), el se numește
triunghi isoscel.
În figura II.3 b) [𝐷𝐸]≠[𝐸𝐹].
Definiția 2. 2.2: Latura necongruentă [𝐷𝐸] se nume ște baza triunghiului isoscel .
Definiția 2. 2.3: Vârful opus bazei se nume ște vârful triunghiului isoscel.
c) Dacă un triunghi are toate laturile congruente (cu aceeași lungime), el se numește
triunghi echilateral.
În figura II.3 c) [𝐺𝐻]≡[𝐻𝐼]≡[𝐼𝐺].
Observ ația 2.2.4: T riunghiul echilateral este un triunghi iso scel particular .
Observația 2.2.5: Mulțimea triunghiurilor echilaterale este incusă în mulțimea
triunghiurilor isoscele.42

Figura II.3 Alte denumiri a) oarecare b)isoscel c) echilateral

2.3 TEOREME UZUALE

Teorema 2.3.1.: Suma unghiurilor interio are: 𝛼+𝛽+𝛾=180°
Teorema 2.3.2: Suma unghiurilor exterioare: 𝛿+𝜀+𝜃=180°

42 ibidem

31

Figura II.4 Unghiurile unui triunghiului

Teorema 2.3.3: Două înălțimi se află în relație de proporționalitate inversă cu laturile
corespunzătoare: ℎ𝑐
ℎ𝑏=𝑏
𝑐.
Teorema 2.3.3: Două înălțimi se află în relație de proporționalitate inversă cu laturile
corespunzătoare: ℎ𝑐
ℎ𝑏=𝑏
𝑐.
Teorema 2.3.4: Înălțimile sunt concurente în ortocentrul 𝐻.43
Teorema 2.3.5: Medianele în triunghi sunt concurente în c entrul de greutate G. Ele se
taie una pe cealaltă în raport 2 la 1: 𝐴𝐺
𝐺𝐸=𝐵𝐺
𝐺𝐹=𝐶𝐺
𝐺𝐷=2
1.
Teorema 2.3.6: Bisectoarele se întâlnesc în centrul 𝐼 al cercului înscris în triunghi.
Teorema 2.3.7: Mediatoarele (perpendicularele duse în m ijlocul laturilor) se întâlnesc
în 𝑂, centrul cercului circumscris triunghiului
Teorema 2.3.8: (Teorema unghiurilor exterioare) 𝛿=𝛽+𝛾; 𝜀=𝛼+𝛾; 𝜃=𝛼+𝛽
Inegalități în triunghi: 𝑎+𝑏>𝑐; 𝑎+𝑐>𝑏; 𝑏+𝑐>𝑎
Două triunghiuri sunt congruente dacă:
– Laturile lor sunt respectiv congruente (L.L.L.);
– Câte două laturi și unghiul cuprins între ele sunt respectiv congruente (L.U.L.);
– Câte o latură și unghiurile alăturate ei sunt respectiv congruente (U.L.U.);
– Câte două laturi și unghiul ce se opune celei mai mari sunt respectiv congruente.

43 Rüdiger Erbrecht, König Hubert, Karlheinz Martin, Wolfgang Pfeil, Willi Wörstenfeld, Tabele și formule
uzuale, Editura All Educational, 2002

32

Figura II.5 Medianele triunghiului

Teorema 2.3.9: O paralel ă dusă la una din laturile unui triunghi determin ă, pe celelalte
laturi sau pe prelungirile lor, segmente propor ționale.
Teorema 2.3.10 : Mai multe dre pte paralele determin ă pe dou ă secante segmente
propor ționale.
Defini ția 2.3.11: Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au laturile propor ționale și
unghiurile corespunz ătoare congruente.
Cazuri de asem ănare ale triunghiurilor: Fie triunghiurile 𝐴𝐵𝐶 și 𝐴′𝐵′𝐶′
Cazul unghi – unghi (U.U.) Dacă ∢𝐴≡∢𝐴′ și ∢𝐵≡∢𝐵′, atunci ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴′𝐵′𝐶′.
Cazul latur ă – unghi – latură (L.U.L.) Dacă ∢𝐴≡∢𝐴′ și 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′, atunci
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴′𝐵′𝐶′.
Cazul latur ă – latură – latură (L.L.L.) Dacă 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′, atunci ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴′𝐵′𝐶′.
Teorema 2.3.12: Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 și 𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐴≠𝐷,𝐷∈𝐴𝐵 și 𝐸∈𝐴𝐶. Atunci
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴𝐷𝐸 .44

2.4 ARIA TRIUNGHIULUI

Aria triunghiului exprimă suprafața din interiorul celor trei laturi ale triunghiului.
I. Triunghiul arbitrar
Fie 𝛥𝐴𝐵𝐶 . Aria triunghiului se calculează după forumula : 𝐴=1
2𝑏∙ℎ

44 C. Năstăsescu, C. Ni ță, Gh. Andrei, M. R ăduțiu, F. Vornicescu, N. Vornicescu Mateamatic ă Manual pentru
clasa a IX – a – pentru programele M1 și M2, Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1999.

33
Notăm prin:
𝑎,𝑏,𝑐 − lungimile laturilor 𝐵𝐶,𝐴𝐶, respectiv 𝐴𝐵;
𝛼,𝛽,𝛾 − mărimile unghi urilor opuse laturilor 𝐵𝐶,𝐴𝐶, respectiv 𝐴𝐵;
𝑝=𝑎+𝑏+𝑐
2;
𝑅 − raza cercului circumscris;
𝑟 − raza cercului înscris;

Figura II.6 Aria triunghiului arbitrar

𝐴 − aria triunghiului;
𝐴𝐹=ℎ𝑎 înălțimea dusă din vârful 𝐴;
𝐴𝐸=𝑚𝑎 bisectoarea dusă din vârful 𝐴;
𝐴𝐷=𝑙𝑎 mediana dusă din vârful 𝐴;
În aceste notații:
1) 𝛼+𝛽+𝛾=180°
2) 𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝛼 (Teorema cosinusurilor)
3) 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽 =𝑐𝑠𝑖𝑛𝛾 =2𝑅 (Teorema sinusurilor)
4) A =1
2𝑎∙ℎ𝑎
5) 𝐴=1
2𝑏𝑐∙𝑠𝑖𝑛𝛼
6) A =𝑝√(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) (formula lui Heron)
7) 𝑟=𝐴
𝑝
8) 𝑅=𝑎𝑏𝑐
4𝐴
9) 𝑚𝑎 =1
2√2(𝑏2+𝑐2)−𝑎2

34
10) 𝑏
𝑐=𝐸𝐶
𝐵𝐸 (proprietatea bisectoarei)

II. Triunghiul dreptunghic
Fie triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐶 cu 𝑚(∢𝐶) = 90°.
Notăm catetele prin 𝑎,𝑏 și ipotenuza 𝑐, proiecțiile catetelor pe ipotenuză prin 𝑎𝑐=𝐷𝐵,
𝑏𝑐=𝐴𝐷. Atunci:
1) 𝑐2=𝑎2+𝑏2 (teorema lui Pitagora);
2) 𝐴=1
2𝑎∙𝑏
3) 𝐴=1
2𝑐∙ℎ𝑐
4) 𝑟=𝑎+𝑏−𝑐
2
5) 𝑅=𝑐
2
6) 𝑎=𝑐𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑐𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑏𝑡𝑔𝛼 =𝑏𝑐𝑡𝑔𝛽
7) ℎ𝑐2=𝑎𝑐∙𝑏𝑐 (teorema înălțimii)
8) 𝑏2=𝑐∙𝑏𝑐 (teorema catetei)
9) 𝑎2=𝑐∙𝑎𝑐 (teorema catetei)

Figura II.7 Aria triunghiului dreptunghic

III. Triunghiul echilateral de latură 𝑎
1) 𝐴=𝑎2
4√3
2) 𝐴=𝑃∆2
12√3
3) 𝑟=𝑎
2√3
4) 𝑅=𝑎
√3

35

2.5 TEOREME REMARCABILE

2.5.1 Teorema lui Menelaus45 este una dintre teoremele clasice ale geometriei
triunghiului. De -a lungul anilor ea a fost demonstrată prin five rse metode folos ind rezultatele
din geometria sintetică, dar și cu metoda analitică, cu metoda vectorială și cu ajutorul
transformărilor geometrice.
Teorema lui Menelaus:
Fie un triunghi 𝐴𝐵𝐶 ,𝑀∈(𝐵𝐶),𝑁∈(𝐴𝐶),𝑃∈(𝐴𝐵). Dacă punctele 𝑀,𝑁,𝑃 sunt
coliniare, atunci :
𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1.
Demonstrație:
Considerăm că două din punctele 𝑀,𝑁,𝑃 se află pe laturile triunghiului, iar al treilea se
află pe prelungirea celei de -a treia laturi.
Se construiește 𝐶𝑆∥𝐵𝐴,𝑆∈𝑀𝑃

Figura II.8 Teorema lui Menelaus

În triunghiul 𝑀𝐵𝑃 cu 𝐶𝑆∥𝐵𝑃 conform teoremei fundamentale a asemănării avem:
𝛥𝑀𝐵𝑃 ∼𝛥𝑀𝐶𝑆 ⟹𝑀𝐵
𝑀𝐶=𝑃𝐵
𝐶𝑆;
În triunghiul 𝐶𝑁𝑆 cu 𝐶𝑆∥𝐴𝑃 conform teoremei fundamentale a asemănării avem:

45 Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff. Probleme practice de ge ometrie. Editura Tehnică, București, 1990.

36
𝛥𝐶𝑁𝑆 ∼𝛥𝐴𝑁𝑃 ⟹𝑁𝐶
𝑁𝐴=𝐶𝑆
𝐴𝑃.
Înmulțind membru cu membru egalitățile de mai sus, deducem:
𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=𝑃𝐵
𝐶𝑆∙𝐶𝑆
𝐴𝑃=𝑃𝐵
𝐴𝑃⟹𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1.
Reciproca teoremei lui Menelaus:
Fie un triunghi 𝐴𝐵𝐶 ,𝑀∈(𝐵𝐶),𝑁∈(𝐴𝐶),𝑃∈(𝐴𝐵).Dacă :
𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1
atunci punctele 𝑀,𝑁,𝑃 sunt coliniare.46

2.5.2 Teorema lui Ceva47 este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicații ăn
geometria proiectivă. A fost descoperită de matematicianul italian Giovanni C eva, care a
formulat -o și a demonstrat -o în anul 1678 în lucrarea "De lineis rectis se invicem secantibus
statica constructio ". Teorema lui Ceva¸ și reciproca sa caracterizează concurența a trei ceviene
cu ajutorul rapoartelor în care picioarele acestora î mpart laturile triunghiului. În locul cevienelor
se consider ă trei drepte oarecare și se exprim ă concurența lor în același mod: cu ajutorul
rapoartelor în care punctele de intersecție a dreptelor cu laturile triunghiului împart aceste laturi.
Diversitatea pozițiilor celor trei drepte în raport cu triunghiul dat face posibile mai multe
generalizări ale teoremei lui Ceva. Utilizarea segmentelor orientate este avantajoasă în gruparea
cazurilor ce pot apărea.
Teorema lui Ceva:
Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 și punctel e 𝑀,𝑁,𝑃 situate pe dreptele 𝐵𝐶,𝐶𝐴 și respectiv 𝐴𝐵,
diferite de vârfurile 𝐴,𝐵,𝐶. Dacă dreptele 𝐴𝑀,𝐵𝑁,𝐶𝑃 sunt concurente, atunci are loc relația:
𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1.
Demonstrație:
Considerăm că punctele 𝑀,𝑁,𝑃 se află, fiecare, pe câte o latură a triunghiului. Fie
{𝑂}=𝐴𝑀 ∩𝐵𝑁∩𝐶𝑃.
Aplicăm teorema lui Menelaus, în triunghiul 𝐴𝐵𝑀 cu transversala 𝐶−𝑂−𝑃 și rezultă:
𝐶𝐵
𝐶𝑀∙𝑂𝑀
𝑂𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1
Aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiul 𝐴𝐶𝑀 cu transver sala 𝐵−𝑂−𝑁 și
obținem:

46 Radu Miron, Geometrie elementară, Editura didactică și pedagogică, București, 1968;
47 Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff. Probleme practice de geometrie. Editura Tehnică, București, 1990;

37
𝐵𝐶
𝐵𝑀∙𝑂𝑀
𝑂𝐴∙𝑁𝐴
𝑁𝐶=1.

Figura II.9 Teorema lui Ceva

Egalitățile precedente conduc la:
1
𝐶𝑀∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1
𝐵𝑀∙𝑁𝐴
𝑁𝐶⟹𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝑁𝐶
𝑁𝐴∙𝑃𝐴
𝑃𝐵=1
Reciproca tereme i lui Ceva are loc de ase menea.48

2.5.3 Teorema lui Desargues49:
Fie două triunghiuri 𝛥𝐴𝐵𝐶 și 𝛥𝐷𝐸𝐹 fără vârfuri comune, cu laturi respectiv paralele.
Atunci dreptele 𝐴𝐷,𝐵𝐸 și 𝐶𝐹 sunt paralele sau concurente.
Demonstrație:
În cazul în care segmentele 𝐴𝐵 și 𝐷𝐸 au lungimi diferite, dreptele 𝐴𝐷 și 𝐵𝐸 se vor
întâlni într -un punct 𝑂. (În caz contrar, ar rezulta că 𝐴𝐵𝐷𝐸 ar fi un paralelogram ceea ce
contravine ipotezei).
𝑂𝐷
𝑂𝐴=𝐷𝐸
𝐴𝐵
Tot în acest caz, triunghiurile 𝛥𝐴𝐵𝐶 și 𝛥𝐷𝐸𝐹 sunt aseme nea, fără a fi egale:
𝐷𝐸
𝐴𝐵=𝐸𝐹
𝐵𝐶≠1
Fie acum 𝑂′ punctul de intersecție al dreptelor 𝐵𝐸 și 𝐶𝐹. Avem:
𝑂′𝐸
𝑂′𝐵 =𝐸𝐹
𝐵𝐶 =𝐷𝐸
𝐴𝐵 =𝑂𝐸
𝑂𝐵.
Va rezulta:

48 Radu Miron, Geometri e elementară, Editura didactică și pedagogică, București, 1968
49 Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff. Probleme practice de geometrie. Editura Tehnică, București, 1990.

38
𝑂𝐸
𝑂𝐵 − 1 =𝑂′𝐸
𝑂′𝐵 − 1,

Figura II.10 Teore ma lui Desargues

apoi
𝐸𝐵
𝑂𝐵 =𝐸𝐵
𝑂′𝐵
și deci
𝑂𝐵 = 𝑂′𝐵.
Dacă luăm în compas lungimea 𝐵𝑂, ridicăm compasul, punem la loc un vârf în 𝐵 și
trasăm punctul 𝑂′, acesta va coincide cu punctul de plecare 𝑂, așadar 𝑂=𝑂′ iar dreptele dat e
sunt concurente.
În cazul în care segmentele 𝐴𝐵 și 𝐷E sunt egale, 𝐴𝐵𝐷𝐸 este un paralelogram. De aici
rezultă 𝐴𝐷 || 𝐵𝐸. Tot din 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 rezultă egalitatea triunghiurilor 𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝛥𝐷𝐸𝐹 deci și
a segmentelor 𝐵𝐶 și 𝐸𝐹. Ca și mai înai nte, vom avea 𝐵𝐸 || 𝐶𝐹. În concluzie, 𝐴𝐷 || 𝐵𝐸 || 𝐶𝐹.

2.5.4 Teorema lui Pappus din Alexandria50 (în greacă: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς) (c. 290
– c. 350) a fost unul dintre ultimii mari matematicieni greci ai antichității. Contribuțiile sale se
înscri u cu precădere în domeniul geometriei. I se atribuie teorema lui Pappus, din geometria
proiectivă.51
Teorema lui Pappus:
Fie un triunghi 𝐴𝐵𝐶 . Se consideră punctele 𝐴’∈𝐵𝐶,𝐵’∈𝐶𝐴,𝐶’∈𝐴𝐵, distincte de
vârfurile triunghiului , astfel încât avem :
𝐴′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐶′𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆.

50 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011
51 https://ro.wikipedia.org/wiki/Pappus_din_Alexandria

39
În aceste condiții , triunghiurile 𝐴𝐵𝐶 și 𝐴’𝐵’𝐶’ au același centru de greutate.
Demonstrație:
Fie 𝐺 și 𝐺’ centrele de greutate ale triunghiurilor 𝐴𝐵𝐶 și 𝐴’𝐵’𝐶’, iar 𝑃 un punct oarecare
în plan. Scriem relația lui Leibniz pentru 𝐺 și 𝐺’.
Obtinem :
3 𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3 𝑃𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Avem:
(1− 𝜆)𝑃𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝜆𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1−𝜆) 𝑃𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1−𝜆) 𝑃𝐶′⃗⃗⃗⃗ =𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝜆𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Prin adunare obtinem:
(1− 𝜆)( 𝑃𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)= (1− 𝜆)( 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
deci
𝑃𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
de unde 𝐺=𝐺’.52

2.5.5 Relația lui Sylvester53:
În orice triunghi 𝐴𝐵𝐶 , avem relația:
𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
unde 𝑂 este centrul cercului circumscris triunghiului,
𝐻 ortocentrul.
Demonstrație :
Se consider ă mijlocul 𝐴1 laturii 𝐵𝐶 și 𝐴` punctul diametral opus lui 𝐴 de pe cercul
circumscris triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . Deoarece ∢𝐴𝐵𝐴 `=90° și ∢𝐴𝐶𝐴 `=90° (𝐴𝐴` este diametru) ,
𝐵𝐻 ⊥𝐴𝐶 și 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 rezultă că 𝐴`𝐵𝐻𝐶 este paralelogram. Se s criu relațiile vectoriale
referitoare la mediana unui triunghi:
2𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐴`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Se deduce:
2𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

52 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Edi tura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011
53 idem

40
Punând 𝑀=𝑂 se obține relația cerută.

Figura II.11 Relația lui Sylvester

Observația 2.5.5.1: Pentru 𝑀=𝐻 se obține o propoziție similară:
2𝐻𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

2.5.6 Punctul lui Gergonne
Joseph Diaz Gergonne (n. 19 iuni e 1771 – d. 4 mai 1859) a fost ofițer în armata franceză,
ulterior a intrat în învățământ și a ocupat funcția de director al École polytechnique. A contribuit
la construirea geometriei triunghiului și a cercului prin noile teoreme pe care le -a stabilit :
– teorema lui Gergonne
– punctul lui Gergonne.
A arătat că geometria analitică permite rezolvarea problemelor de construcții în mod
direct, simplu și elegant. De asemenea, a contribuit și la dezvoltarea geometriei descriptive și a
geometriei proiective.
În 182 0 a studiat minuțios noțiunea duală de rețea de conice și a dezvoltat teoria
transformării prin dualitate. A dezvoltat ideile lui Victor Poncelet relativ la principiul
continuității.

41
Gergonne a introdus denumirea de podară și a introdus unele calcule simb olice,
contribuind la dezvoltarea logicii matematice. A introdus semnul incluziunii ( ⊂).54
În 1814 a completat teoria lui Laplace din 1772 relativ la ecuațiile liniare cu mai multe
necunoscute. În perioada 1810 a întemeiat și a contribuit substanțial la pu blicația periodică
"Annales de mathématiques pures et appliquées ", numită și "Analele lui Gergonne" (Annales
de Gergonne), revistă care a existat până în 1832.
Punctul lui Gergonne:
Dacă în triunghiul 𝐴𝐵𝐶 se notează cu 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 punctele de contact ale cercului înscris
cu laturile [𝐵𝐶],[𝐶𝐴],[𝐴𝐵] atunci dreptele 𝐴𝐴1,𝐵𝐵1,𝐶𝐶1 sunt concurente într -un punct numit
punctul lui Gergonne și notat 𝛤.55
Demonstrație:
Se ține cont că tangentele din același punct la un cerc au lun gimi egale:
𝐴𝐵1≡𝐴𝐶1,
𝐵𝐶1≡𝐵𝐴1,
𝐶𝐴1≡𝐶𝐵1
și se aplică teorema lui Ceva. Prin urmare:
𝐶1𝐴
𝐶1𝐵∙𝐴1𝐵
𝐴1𝐶∙𝐵1𝐶
𝐵1𝐴=1,
Deci dreptele 𝐴𝐴1,𝐵𝐵1,𝐶𝐶1 sunt concurente sau paralele.
Cum 𝐴1 ∈𝐵𝐶, 𝐵1∈𝐴𝐶 și 𝐶1∈𝐴𝐵, cele trei drepte nu pot fi paralele, deci sunt
concurente.56

Figura II.12 Punctul lui Gergonne

54 https://ro.wikipedia.org/wiki/Joseph_Gergonne
55 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011
56 Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff. Probleme practice de geometrie. Editura Tehnică, București, 1990.

42

2.5.7 Teorema sinusurilor stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și
sinusurile unghiurilor din tre ele.
Teorema sinusurilor :
Dacă laturile unui triunghi au lungimile 𝑎,𝑏 și 𝑐, iar unghiurile care se opun acestora
sunt 𝐴,𝐵 și 𝐶, atunci:
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑅=𝑎∙𝑏∙𝑐
2∙𝑆
unde 𝑅 este raza cercului circumscris tri unghiului,
𝑆 este aria triunghiului.57
Demonstrație:
Se construiește cercul circumscris triunghiului 𝐴𝐵𝐶 , la fel ca în figura alăturată.
Conform teoremei unghiului la centru,
∢𝐵𝐴𝐶 =∢𝐵𝑂𝐶
2.

Figura II.13 Teorema sinusurilor

Pe de altă parte, triunghiul 𝑂𝐵𝐶 este triunghi isoscel cu vârful în 𝑂, deci înălțimea 𝑂𝐴′
este și mediană și bisectoare. Rezultă că :

57 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Editura didac tică și pedagogică, R.A., București, 2011

43
∢𝐵𝑂𝐴 `=∢𝐵𝑂𝐶
2=∢𝐵𝐴𝐶 .
Deoarece triunghiul 𝑂𝐵𝐴 ` este triunghi dreptunhic cu vârful în 𝐴′ avem:
𝑠𝑖𝑛(∢𝐵𝑂𝐴 `)=𝑎
2𝑅
de unde rezultă că :
𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝑎
2𝑅.
Printr -un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor 𝐵 și 𝐶 iau aceeași
valoare:
𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝑏
2𝑅
𝑠𝑖𝑛𝐶 =𝑐
2𝑅.

2.5.8 Teorema cosinusului
În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și s ub numele de teorema lui
Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de
celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele.
Teorema cosinusului:
Într-un triunghi oarecare pătratul unei latu ri este egal cu suma pătratelor celorlalte două
laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.
Formula:
𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2∙(𝐴𝐵)∙(𝐴𝐶)∙𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑎2=𝑐2+𝑏2−2∙𝑐∙𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝐴
sau:
𝑐𝑜𝑠( ∢𝐵𝐴𝐶 )=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶2
2𝐴𝐵∙𝐴𝐶
unde 𝐴𝐵=𝑐,
𝐴𝐶=𝑏
𝐵𝐶=𝑎
sunt laturile triunghiului 𝐴𝐵𝐶 .58
Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora:
Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii 𝐶, la fel ca în figura alăturată.59
Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii 𝐵.

58 idem
59 Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques , Édition Didier, 1980, ch 11 -2, p 265

44

Figura II.14 Teorema cosinusului

Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca ipotenuză
latura 𝑐, se aplică teorema lui Pitagora:
𝑐2=(𝑎𝑠𝑖𝑛 𝛾)2+(𝑏−𝑎𝑐𝑜𝑠𝛾 )2,
ceea ce este echivalent cu formula enunțată.

2.5.9 Relatia lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și
lungimea segmentului dintr -un vârf la un punct de pe latura opusă.
Relatia lui Stewart:
Dacă punctele 𝐴,𝐵,𝑀 sunt coliniare și 𝑀∈[𝐴𝐵], atunci pentru orice punct 𝑂∈𝒫
avem:
𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 +𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 =𝑂𝑀2∙𝐴𝐵+𝐴𝐵∙𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵.60
Demonstrație:
I. Dacă 𝑀=𝐵, relația de verifică imediat.
Presupunem 𝑀≠𝐵 și fie 𝑘 raportul în care 𝑀 împa rte 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Rezultă
(1−𝑘)𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑘𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
De unde
(1−𝑘)2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑘𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2,
sau
(1−𝑘)2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2𝑘𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑘2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 (1)
Avem

60 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curricu lum
diferențiat, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011

45
2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2.

Figura II.15 Rela ția lui Stewart

Cum 𝑀∈[𝐴𝐵], avem 𝑘=−𝑀𝐴
𝑀𝐵, deci :
1−𝑘=1+𝑀𝐴
𝑀𝐵=𝑀𝐵 +𝑀𝐴
𝑀𝐵=𝐴𝐵
𝑀𝐵.
Relația (1) devine:
(𝐴𝐵
𝑀𝐵)2
𝑂𝑀2=𝑂𝐴2+𝑀𝐴
𝑀𝐵(𝑂𝐴2+𝑂𝐵2−𝐴𝐵2)+(𝑀𝐴
𝑀𝐵)2
𝑂𝐵2.
𝐴𝐵2∙𝑂𝑀2= 𝑂𝐴2+𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵(𝑂𝐴2+𝑂𝐵2−𝐴𝐵2)+𝑂𝐵2∙𝑀𝐴2 (2)
𝐴𝐵2∙𝑂𝑀2=𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 ∙𝐴𝐵+𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 ∙𝐴𝐵−𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵 ∙𝐴𝐵2
Împărțim ambii membrii cu 𝐴𝐵 și obținem egalitatea din enunț :
𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 +𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 =𝑂𝑀2∙𝐴𝐵+𝐴𝐵∙𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵.

II. Notăm 𝑚(∢𝑂𝑀𝐴 )=𝛼, deci 𝑚(∢𝑂𝑀𝐵 )=𝜋−𝛼. Aplicând teorema cosinusului
pentru a calcula 𝑂𝐴 în triunghiul 𝑂𝑀𝐴 și apoi 𝑂𝐵 în triu nghiul 𝑂𝑀𝐵 . Avem:
𝑂𝐴2=𝑂𝑀2+𝑀𝐴2−2𝑂𝑀 ∙𝑀𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 (1)
𝑂𝐵2=𝑂𝑀2+𝑀𝐵2−2𝑂𝑀 ∙𝑀𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼) (2)
Înmulțim (1) cu 𝑀𝐵, iar (2) cu 𝑀𝐴 și apoi adunăm relațiile astfel obținute.
𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 =𝑂𝑀2∙𝑀𝐵 +𝑀𝐴2∙𝑀𝐵 −2𝑂𝑀 ∙𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 =𝑂𝑀2∙𝑀𝐴 +𝑀𝐵2∙𝑀𝐴 −2𝑂𝑀 ∙𝑀𝐵 ∙𝑀𝐴 cos(𝜋−𝛼)
𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 +𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 =𝑂𝑀2∙(𝑀𝐴 +𝑀𝐵 )+𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵 ∙(𝑀𝐴 +𝑀𝐵 ) (3)
Unde am ținut cont de relația:
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=0.
Dacă înlocuim 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 =𝐴𝐵, obținem relația din enunț:

46
𝑂𝐴2∙𝑀𝐵 +𝑂𝐵2∙𝑀𝐴 =𝑂𝑀2∙𝐴𝐵+𝐴𝐵∙𝑀𝐴 ∙𝑀𝐵.

2.5.10 Teorema medianei stabilește o relație între lungimea unei mediane dintr -un
triunghi și lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un caz particular al teoremei
lui Stewart. Mai este numită teorema lui Apoloniu după Apoloniu din Pe rga.
Teorema medianei:
Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 cu 𝐷 mijlocul laturii (𝐵𝐶). Atunci:
𝑚𝑎2=2(𝑏+𝑐)2−𝑎2
4=𝑏2−𝑐2
2−𝑎2
4,
unde 𝑚𝑎 = 𝐴𝐷,
𝑎 = 𝐵𝐶,
𝑏 = 𝐴𝐶,
𝑐 = 𝐴𝐵
𝐷 este mijlocul segmentului [𝐵𝐶].61
Demonstra ție:

Figura II.16 Teorema medianei62

În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 se aplică terorema lui Pitagora generalizată (teorema cosinusului):
𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 (1)
În triunghiul 𝐴𝑀𝐶 se aplică terorema lui Pitagora generalizată (teorema cosin usului):
𝐴𝑀2=𝐶𝑀2+𝑏2−2𝑏(𝐶𝑀)cos𝐶
𝐴𝑀2=(𝑎
2)2
+𝑏2−2𝑏𝑎
2 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝐴𝑀2=𝑎2
4+𝑏2−𝑏𝑎 𝑐𝑜𝑠𝐶 (2)

61 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011
62 https://ro .wikipedia.org/wiki/Teorema_medianei#/media/File:Apollonius%27_theorem.svg

47
Din relația (1) scoatem:
2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑎𝑎2+𝑏2−𝑐2⇒𝑐𝑜𝑠𝐶 =𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
Înlocuin d noua expresie în relația (2):

𝐴𝑀2=𝑎2
4+𝑏2−𝑏𝑎∙𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
𝐴𝑀2=𝑎2
4+ 𝑏2 4)−𝑎2
22)
−𝑏2
22)
+𝑐2
22)

𝐴𝑀2=𝑏2−𝑐2
2−𝑎2
4=2(𝑏+𝑐)2−𝑎2
4,
Analog de arat ă că lungimile 𝑚𝑏,𝑚𝑐 ale medianelor dus e din vârfurile 𝐵,𝐶 sunt date
de formulele:
𝑚𝑏=1
2√2(𝑏2+𝑐2)−𝑎2
𝑚𝑐=1
2√2(𝑎2+𝑏2)−𝑐2.63

2.5.11 Teorema bisectoarei exprimă o relație între lungimile segmentel or determinate
de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade și cele ale laturilor acelui unghi.
Teorema bisectoarei:
Într-un triunghi 𝐴𝐵𝐶 , bisectoarea unghiului 𝐴 determină pe latura opusă (𝐵𝐶) segmente
proporționale cu laturile triunghiului :
𝐵𝐷
𝐷𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶 .64
Demonstratie:
Notăm 𝐵𝐶=𝑎,𝐴𝐶=𝑏,𝐴𝐵=𝑐 și considerăm 𝑀∈𝐴𝐵,𝑁∈𝐴𝐶, astfel încât :
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
și
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Atunci :
|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 𝑏|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =𝑏𝑐
și

63 C. Ionescu -Bujor, D. Filipescu, S.Hortopan, Matematica, Vol. II Geometria plană – Geometria în spațiu.
Triginonometria, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 1962
64 C. Năstăsescu, I. Chițescu, C. Niță, D. Mihalca, Manual de matematică trunchi comun și curriculum
diferențiat, Editura didactică și pedagogică, R.A., București, 2011

48
|𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 𝑐|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=𝑐𝑏,
deci cei doi ve ctori au aceeași lungime.

Figura II.17 Teorema bisectoarei

Se c onstrui ește apoi 𝐴𝑀𝑃𝑁 paralelogram. Dar cum paralelogramul are două laturi
alăturate de lungimi egale, rezultă că el este un romb.
Cum într -un romb diagonalele sunt bisectoare rezultă că 𝐴,𝐷,𝑃 sunt coliniare și deci
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt vectori coliniari, adică ∃𝛼∈ℝ astfel încât 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝛼𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1).
Deoarece 𝐴𝑀𝑃𝑁 paralelogram, atunci 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (regula paralelogramului) și
vom avea conform (1):
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝛼𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝛼(𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝛼(𝑏𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑐𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝛼𝑏𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝛼𝑐𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
(𝐴𝐷 fiind bisectoarea unghiului 𝐵𝐴𝐶 atunci 𝐷∈(𝐵𝐶) și atunci 𝐷 împarte segmentul
[𝐵𝐶] într-un raport pe care îl vom nota cu 𝑘,𝑘>0, adică 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑘𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și deci 𝑘=𝐵𝐷
𝐷𝐶.
Deoarece 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑘𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, atunci 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1
𝑘+1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑘
𝑘+1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3).
Din (2)+(3) rezultă că :
𝛼𝑏=1
𝑘+1
și
𝛼𝑐=𝑘
𝑘+1.
Făcând raportul obținem :

49
𝛼𝑐
𝛼𝑏=1
𝑘+1
𝑘
𝑘+1⇒𝑐
𝑏=𝑘,
Adică
𝑐𝑏=𝐵𝐷
𝐷𝐶.
Teorema bisectoarei exte rne:
Bisectoarea externă a unghiului 𝐴 (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri
externe 𝐵𝐴𝐶 ′ și 𝐵′𝐴𝐶) determină pe dreapta 𝐵𝐶 (în exteriorul segmentului 𝐵𝐶) punctul 𝐸
pentru care are loc relația:
𝐵𝐸
𝐸𝐶=𝐵𝐴
𝐴𝐶.
Dacă bis ectoarea externă este paralelă cu 𝐵𝐶, un astfel de punct nu există.
Reciproca teorem ei bisectoarei externe : Dacă un punct 𝐷 interior laturii 𝐵𝐶 o împarte
pe aceasta în segmente ce respectă relația de mai sus, atunci 𝐴𝐷 este bisectoarea unghiului 𝐴.
Reciproca teoremei bisectoarei externe este adevărată .
Lungimea bisectoarei în triunghi.
Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 și bisectoarea 𝐴𝑀,𝑀∈(𝐵𝐶). Notăm 𝑎+𝑏+𝑐=2𝑝. Lungimea
𝐴𝑀 =𝑙𝑎 este data de formula:
𝑙𝑎2=4𝑏𝑐
(𝑏+𝑐)2𝑝(𝑝−𝑎).

2.6 PROBLEME REMARCABILE DE GEOMETRIA TRIUNGIULUI

2.6.1 Într -un triunghi 𝐴𝐵𝐶 , fie 𝐷 și 𝐸 picioarele bisectoarelor unghiurilor 𝐴 și 𝐵. Un
romb este înscris în patrulaterul 𝐴𝐸𝐷𝐵 (diagonalele rombului cad pe laturi diferite ale 𝐴𝐸𝐷𝐵 ).
Fie 𝜑 unghiul neobtuz al rombului. Arătați că 𝜑≤𝑚𝑎𝑥 {∢𝐵𝐴𝐶 ;∢𝐴𝐵𝐶 }.
I.M.O. 2013
Soluție:
Fie 𝐾,𝐿,𝑀 și 𝑁 vârfurile rombului corespunzătoare laturilor 𝐴𝐸,𝐸𝐷,𝐷𝐵 și respectiv
𝐵𝐴. Notăm cu 𝑑(𝑋,𝑌𝑍) distanța de la punctul 𝑋 la latura 𝑌𝑍.
Cum 𝐷 și 𝐸 sunt picioarele bisectoarelor avem 𝑑(𝐷,𝐴𝐵)=𝑑(𝐷,𝐴𝐶) și 𝑑(𝐸,𝐵𝐶)=
𝑑(𝐸,𝐴𝐵)𝑑(𝐷,𝐵𝐶)=𝑑(𝐸,𝐴𝐶)=0⇒ 𝑑(𝐷,𝐴𝐶)+𝑑(𝐷,𝐵𝐶)=𝑑(𝐷,𝐴𝐵) ș𝑖

50
𝑑(𝐸,𝐴𝐶)+𝑑(𝐸,𝐵𝐶)=𝑑(𝐸,𝐴𝐵)
Din moment ce 𝐿∈𝐷𝐸; 𝑑(𝑋,𝐴𝐶)+𝑑(𝑋,𝐵𝐶)=𝑑(𝑋,𝐴𝐵) ecuația este liniară în 𝑋
interior triunghiului. Aceste două relații implică ⇒ 𝑑(𝐿,𝐴𝐶)+𝑑(𝐿,𝐵𝐶)=𝑑(𝐿,𝐴𝐵) (1)
Notăm unghiurile din figură și 𝑎=𝐾𝐿. Apoi avem 𝑑(𝐿,𝐴𝐶)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝜇
𝑑(𝐿,𝐵𝐶)=𝑎𝑠𝑖𝑛𝛾 .

Figura II.18

Deoarece 𝐾𝐿𝑀𝑁 este paralelogram situat de o parte a laturii 𝐴𝐵, obținem:
𝑑(𝐿,𝐴𝐵)=𝑑(𝐿,𝐴𝐵)+𝑑(𝑁,𝐴𝐵)=𝑑(𝐾,𝐴𝐵)+𝑑(𝑀,𝐴𝐵)=𝑎(𝑠𝑖𝑛𝛿 +𝑠𝑖𝑛𝜀 )
Prin urmare relația (1) se citește:
𝑠𝑖𝑛𝜇 +𝑠𝑖𝑛𝛾 =𝑠𝑖𝑛𝛿 +𝑠𝑖𝑛𝜀 (2)
Dacă unul dintre unghiuri le 𝛼 sau 𝛽 este obtuz (neascuțit) atunci relația căutată este
trivială. Să presupunem ca 𝛼,𝛽<𝜋
2. Este suficient să arătăm că 𝜓=∢𝑁𝐾𝐿 ≤𝑚𝑎𝑥 {𝛼;𝛽}.
Presupunem prin absurd că 𝜓>𝑚𝑎𝑥 {𝛼;𝛽}.
Deoarece 𝜇+𝜓=∢𝐶𝐾𝑁 =𝛼+𝛿 prin presupunerea făcu tă obținem:
𝜇=(𝛼−𝜓)+𝛿<𝛿.
Deoarece 𝛾+𝜓=∢𝐶𝑀𝑁 =𝛽+𝜀 prin presupunerea făcută obținem:
𝛾=(𝛽−𝜓)+𝜀<𝜀.
Apoi, deoarece 𝐾𝑁 ∥𝑀𝐿 avem 𝛽=𝛿+𝛾 deci 𝛿<𝛽<𝜋
2 și deoarece 𝐾𝐿∥𝑀𝑁 avem
𝛼=𝜀+𝜇 deci 𝜀<𝛼<𝜋
2.

51
În final prin urmare 𝜇<𝛿<𝜋
2; 𝛾<𝜀<𝜋
2 obținem 𝑠𝑖𝑛𝜇 <𝑠𝑖𝑛𝛿 și 𝑠𝑖𝑛𝛾 <𝑠𝑖𝑛𝜀 care
contrazice relația (2) ⇒ presupunerea făcută este greșită ⇒ 𝜓≤𝑚𝑎𝑥 {𝛼;𝛽}.
Se observă că egalitatea are loc atunci când 𝛼=𝛽 pentru fiecare romb înscris în
patrulaterul 𝐴𝐸𝐷𝐵 .

2.6.2 În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 , bisectoarea unghiului la vârf 𝐶 intersectează cercul circumscris și
perpendiculara bisectoarelor laturilor 𝐵𝐶 și 𝐶𝐴 în punctele 𝑅,𝑃 și respectiv 𝑄. Mijloacele
laturilor 𝐵𝐶 și 𝐶A sunt 𝑆 și respectiv 𝑇 . Dovediți că triu nghiurile 𝑅𝑄𝑇 și 𝑅𝑃𝑆 au aceeași arie.
I.M.O. 2007
Soluție:
În cazul în care 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 atunci triunghiul 𝐴𝐵𝐶 este isoscel , triunghiuri 𝑅𝑄𝑇 și 𝑅𝑃𝑆
sunt simetrică față de bisectoarea 𝐶𝑅 și declarația este banală . În cazul în care 𝐴𝐶 ≠ 𝐵𝐶,
atunci acesta poate fi presupune, fără a pierde din generalitate că 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶 .
Notăm centrul cercului circumscris de 𝑂. Triunghiurile dreptunghice 𝐶𝑇𝑄 și 𝐶𝑆𝑃 au
unghiuri egale în vârful 𝐶, astfel încât acestea sunt similare , ∢𝐶𝑃𝑆 = ∢ 𝐶𝑄𝑇 = ∢ 𝑂𝑄𝑃 și:
𝑄𝑇
𝑃𝑆=𝐶𝑄
𝐶𝑃 (1).

Figura II.19

52

Fie 𝑙 mediatoarea coardei 𝐶𝑅; desigur 𝑙 trece prin centrul cercului circumscris 𝑂.
Datorită unghiurilor egale la 𝑃 și 𝑄 , triunghiul 𝑂𝑃𝑄 este isoscel cu 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 .
Apoi, linia 𝑙 este axa de simetrie în acest triunghi, de asemenea. Prin urmare , punctele 𝑃
și 𝑄 sunt simetrice pe segmentul 𝐶𝑅 față de punctul 𝑈, 𝑅
𝑃 = 𝐶𝑄 și 𝑅𝑄 = 𝐶𝑃. (2)

Triunghiurile 𝑅𝑄𝑇 și 𝑅𝑃𝑆 au unghiuri egale în punctele 𝑄 și respectiv 𝑃. Apoi:
𝜎(𝑅𝑄𝑇 )
𝜎(𝑅𝑃𝑆 )=1
2∙𝑅𝑄∙𝑄𝑇∙𝑠𝑖𝑛𝑅𝑄𝑇̂
1
2∙𝑅𝑃∙𝑃𝑆∙𝑠𝑖𝑛𝑅𝑃𝑆̂=𝑅𝑄
𝑅𝑃∙𝑄𝑇
𝑃𝑆.
Înlocuind relațiile (1) și (2),
𝜎(𝑅𝑄𝑇 )
𝜎(𝑅𝑃𝑆 )=𝑅𝑄
𝑅𝑃∙𝑄𝑇
𝑃𝑆=𝐶𝑃
𝐶𝑄∙𝐶𝑄
𝐶𝑃=1.
Prin urmare, ariile triung hiulrilor 𝑅𝑄𝑇 și 𝑅𝑆𝑃 sunt egale, adică:
𝜎(𝑅𝑄𝑇 )=𝜎(𝑅𝑃𝑆 ).

2.6.3 Fie 𝐴𝐵𝐶 un triunghi cu centrul cercului circumscris 𝑂. Punctele 𝑃 și 𝑄 sunt puncte
interioare ale laturilor 𝐶𝐴 respectiv. Cercul 𝑘 trece prin punctele de centru ale segme ntelor 𝐵𝑃,
𝐶𝑄 și 𝑃𝑄 . Dovediți că în cazul în care linia dreapta 𝑃𝑄 este tangentă la cercul 𝑘, atunci 𝑂𝑃 =
𝑂𝑄.
I.M.O. 2009
Soluție:
Fie 𝐾 ,𝐿 ,𝑀 ,𝐵’ ,𝐶’ mijloacele segmentelor 𝐵𝑃 ,𝐶𝑄 ,𝑃𝑄 ,𝐶𝐴 și respectiv 𝐴𝐵 (a se
vedea figura II.20). Din moment ce 𝐶𝐴∥𝐿𝑀 , avem ∢𝐿𝑀𝑃 =∢𝑄𝑃𝐴 . Din moment ce 𝑘 este
tangent la segmentul 𝑃𝑄 în punctul 𝑀, avem ∢𝐿𝑀𝑃 =∢𝐿𝐾𝑀 . Astfel, ∢𝑄𝑃𝐴 =∢𝐿𝐾𝑀 .
Deoarece 𝐴𝐵∥𝑀𝐾, avem ∢𝑃𝑄𝐴 =∢𝐾𝐿𝑀 . De aceea, triunghiurile 𝐴𝑃𝑄 și 𝑀𝐾𝐿 sunt
asemenea, deci
𝐴𝑃
𝑃𝑄=𝑀𝐾
𝑀𝐿=𝑄𝐵
2
𝑃𝐶
2=𝑄𝐵
𝑃𝐶 (1).
Acum relația (1) este echivalentă cu:
𝐴𝑃∙𝑃𝑉=𝐴𝑄∙𝑄𝐵
ceea ce înseamnă puterea punctelor exterioare 𝑃 și 𝑄 față de cercul circumscris triunghiului
𝐴𝐵𝐶 este egală, a stfel astfel 𝑂𝑃=𝑂𝑄.

53

Figura II.20

Comentariu: Ultimul argument poate fi, de asemenea, demonstrat prin următorul
calcul:
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=𝑂𝐵′2+𝐵′𝑃2−𝑂𝐶′2−𝐶′𝑄 2
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=(𝑂𝐴2−𝐴𝐵′2)+𝐵′𝑃2−(𝑂𝐴2−𝐴𝐶′2)−𝐶′𝑄2
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=(𝐴𝐶′2−𝐶′𝑄2)−(𝐴𝐵′2−𝐵′𝑃2)
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=(𝐴𝐶′−𝐶′𝑄)(𝐴𝐶′+𝐶′𝑄)−(𝐴𝐵′−𝐵′𝑃)(𝐴𝐵′+𝐵′𝑃)
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=𝐴𝑄∙𝑄𝐵−𝐴𝑃∙𝑃𝐶.
Cu relația (1), tragem concluzia că :
𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=0.

2.6.4 Punctele 𝑃 și 𝑄 se află pe latura (𝐵𝐶) a triunghiului ascuțitunghic 𝐴𝐵𝐶 , astfel
încât ∢𝑃𝐴𝐵 = ∢𝐵𝐶𝐴 și ∢𝐶𝐴𝑄 = ∢𝐴𝐵𝐶 . Punctele 𝑀 și 𝑁 se află pe dreptele 𝐴𝑃, respectiv
𝐴𝑄, astfel încât 𝑃 este mijlocul lui (𝐴𝑀) și 𝑄 este mijlocul lui (𝐴𝑁). Demonstrați că dreptele
𝐵𝑀 și 𝐶𝑁 se intersectează pe cercul circumscris triunghiului 𝐴𝐵𝐶 .
I.M.O. 2014

54
Soluție:
Notam cu 𝑆 punctul de intersecție al liniilor 𝐵𝑀 și 𝐶𝑁. Fie mai mult decât atât notăm
cu 𝛽=∢ 𝑄𝐴𝐶 =∢ 𝐶𝐵𝐴 și 𝛾= ∢ 𝑃𝐴𝐵 =∢ 𝐴𝐶𝐵 . Din aceste egalități rezultă că
triunghiurile 𝐴𝐵𝑃 și 𝐶𝐴𝑄 sunt asemenea (a se vedea figura II.21 ) . Prin urmare, obținem:
𝐵𝑃
𝑃𝑀=𝐵𝑃
𝑃𝐴=𝐴𝑄
𝑄𝐶=𝑁𝑄
𝑄𝐶.

Figura II.21

În plus, ∢ 𝐵𝑃𝑀 =𝛽+𝛾=∢ 𝐶𝑄𝑁 .
De aici triunghiurile 𝐵𝑃𝑀 și 𝑁𝑄𝐶 sunt asemenea. Acest lucru dă
∢𝐵𝑀𝑃 =∢𝑁𝑄𝐶 ,
deci triunghiurile 𝐵𝑃𝑀 și 𝐵𝑆𝐶 sunt asemănătoare. Astfel, obținem:
∢ 𝐶𝑆𝐵 =∢ 𝐵𝑃𝑀 = 𝛽+ 𝛾=180° −∢ 𝐵𝐴𝐶 ,
care com pletează soluția .

2.6.5 Fie 𝐼 centrul cercului înscris în triunghiul 𝐴𝐵𝐶 și fie 𝛤 cercul său circumscris.
Dreapta 𝐴𝐼 taie a doua oară 𝛤 în 𝐷. Fie 𝐸 un punct pe arcul 𝐵𝐷𝐶 și 𝐹 un punct pe latura 𝐵𝐶
astfel încât :
∢ 𝐵𝐴𝐹 = ∢𝐶𝐴𝐸 <1
2 ∢𝐵𝐴𝐶 .

55
Notăm cu 𝐺 mijlocul segmentului 𝐼𝐹. Demonstrați că dreptele 𝐷𝐺 și 𝐸𝐼 se intersecteaz ă
pe 𝛤.
IMO 2010

Soluție:
Fie 𝑋 al doilea punct de intersecție a liniei 𝐸𝐼 cu 𝛤, iar 𝐿 să fie piciorul bisectoarei
unghiului 𝐵𝐴𝐶 . Fie 𝐺’ și 𝑇 să fie punctele de intersecție ale segmentului 𝐷𝑋 cu liniile 𝐼𝐹 și
𝐴𝐹.
Trebuie să se arate că 𝐺=𝐺’ sau 𝐼𝐺’=𝐺’𝐹. din teorema lui Menelaus aplicată
triunghiului 𝐴𝐼𝐹 și liniei 𝐷𝑋, este necesară relația:
1=𝐺′𝐹
𝐼𝐺′=𝑇𝐹
𝐴𝑇∙𝐴𝐷
𝐼𝐷,
sau 𝑇𝐹
𝐴𝑇=𝐼𝐷
𝐴𝐷.

Figura II.22

Fie 𝐾 punctul de intersecție al dreptei 𝐴𝐹 cu 𝛤 (Figura II.22); deoarece ∢𝐵𝐴𝐾 =∢𝐶𝐴𝐸
avem arcele de cerc 𝐵𝐾̂= 𝐶𝐸̂, prin urmare 𝐾𝐸∥𝐵𝐶.

56
Observăm că ∢𝐼𝐴𝑇 =∢𝐷𝐴𝐾 =∢𝐸𝐴𝐷 =∢𝐸𝑋𝐷 =∢𝐼𝑋𝑇, astfel punctele 𝐼,𝐴,𝑋 și 𝑇
sunt conciclice. Prin urmare avem ∢𝐼𝑇𝐴 =∢𝐼𝑋𝐴 =∢𝐸𝑋𝐴 =∢𝐸𝐾𝐴 , astfel 𝐼𝑇∥𝐾𝐸∥𝐵𝐶.
Prin urmare obținem:
𝑇𝐹
𝐴𝑇=𝐼𝐿
𝐴𝐼.
Deoarece 𝐶𝐼 este bisectoarea unghiului ∢𝐴𝐶𝐿, obținem 𝐼𝐿
𝐴𝐼=𝐶𝐿
𝐴𝐶. În plus, ∢𝐷𝐶𝐿 =
∢𝐷𝐶𝐵 =∢𝐷𝐴𝐵 =∢𝐶𝐴𝐷 =1
2∢𝐵𝐴𝐶 , de aici triunghiurile ∆𝐷𝐶𝐿 și ∆𝐷𝐴𝐶 sunt asemenea; Prin
urmare, vom obține:
𝐶𝐿
𝐴𝐶=𝐷𝐶
𝐴𝐷.

În final, se știe că mijlocul 𝐷 al arcului 𝐵𝐶 este echidistant față de punctele 𝐼 ,𝐵 ,𝐶,
deci:
𝐷𝐶
𝐴𝐷=𝐼𝐷
𝐴𝐷.
Rezumând aceste relații, obținem :
𝑇𝐹
𝐴𝑇=𝐼𝐿
𝐴𝐼=𝐶𝐿
𝐴𝐶=𝐷𝐶
𝐴𝐷=𝐼𝐷
𝐴𝐷,
așa cum se dorește.
Comentariu:
Egalitatea 𝐴𝐼
𝐼𝐿=𝐴𝐷
𝐷𝐼 este cunoscută și poate fi obținută în mai multe mo duri diferite. De
exemplu, se poate considera inversiunea cu centrul 𝐷 și raza 𝐷𝐶=𝐷𝐼. Această inversare ia
∢𝐵𝐴𝐶 la segmentul 𝐵𝐶, deci punctul 𝐴 merge la 𝐿. Prin urmare, 𝐼𝐿
𝐷𝐼=𝐴𝐼
𝐴𝐷, care este egalitatea
dorită.
O altă soluție:
La fel ca în soluția precedentă, vom introduce punctele 𝑋 ,𝑇 și 𝐾 și observăm că este
suficient pentru a dovedi egalitatea ca :
𝑇𝐹
𝐴𝑇=𝐷𝐼
𝐴𝐷⇔𝑇𝐹+𝐴𝑇
𝐴𝑇=𝐷𝐼+𝐴𝐷
𝐴𝐷⇔𝐴𝑇
𝐴𝐷=𝐴𝐹
𝐷𝐼+𝐴𝐷.

Deoarece ∢𝐹𝐴𝐷 =∢𝐸𝐴𝐼 și ∢𝑇𝐷𝐴 =∢𝑋𝐷𝐴=∢𝑋𝐸𝐴 =∢𝐼𝐸𝐴, obținem că
triunghiurile 𝐴𝑇𝐷 și 𝐴𝐼𝐸 sunt asemenea: 𝛥𝐴𝑇𝐷 ~𝛥𝐴𝐼𝐸 , prin urmare 𝐴𝑇
𝐴𝐷=𝐴𝐼
𝐴𝐸.
În continuare, vom folosi, de asemenea, relația 𝐷𝐵 =𝐷𝐶=𝐷𝐼. Fie 𝐽 să fie un punct de
pe extensia a segmentului 𝐴𝐷 peste punctul 𝐷, astfel încât 𝐷𝐽=𝐷𝐼 = 𝐷𝐶 (vezi Figura II.23).
Apoi ∢𝐷𝐽𝐶 =∢𝐽𝐶𝐷 =1
2(𝜋−∢𝐽𝐷𝐶 )=1
2∢𝐴𝐷𝐶 =∢𝐴𝐵𝐼. Mai mult decât atât, ∢𝐵𝐴𝐼 =

57
∢𝐽𝐴𝐶, deci triunghiurile 𝐴𝐵𝐼 și 𝐴𝐽𝐶 sunt asemenea: 𝛥𝐴𝐵𝐼 ~𝛥𝐴𝐽𝐶 , prin urmare 𝐴𝐵
𝐴𝐽=𝐴𝐼
𝐴𝐶, sau
𝐴𝐵∙𝐴𝐶=𝐴𝐽∙𝐴𝐼=(𝐷𝐼+𝐴𝐷)∙𝐴𝐼.

Figura II. 23

Pe de altă parte , obținem ∢𝐴𝐵𝐹 = ∢𝐴𝐵𝐶 = ∢𝐴𝐸𝐶 și ∢𝐵𝐴𝐹 = ∢𝐶𝐴𝐸 , astfel
triunghiurile 𝐴𝐵𝐹 și 𝐴𝐸𝐶 sunt asemenea: 𝛥𝐴𝐵𝐹 ~𝛥𝐴𝐸𝐶 , ceea ce implică 𝐴𝐹
𝐴𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐸, sau 𝐴𝐹∙
𝐴𝐸=𝐴𝐶∙𝐴𝐵.
Rezumând cele de mai sus obținem:
(𝐷𝐼+𝐴𝐷)∙𝐴𝐼=𝐴𝐵∙𝐴𝐶=𝐴𝐹∙𝐴𝐸⇒𝐴𝐼
𝐴𝐸=𝐴𝐹
𝐴𝐷+𝐷𝐼
așa cum se dorește.

58

CAPITOLUL III:
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI

59
Studiul geometriei are o importan ță crescândă, deoarece contribuie la dezvolatarea
însușirilor psihice ale elevilor și în același timp îiînzestrează cu o serie de cunoștințe și
deprinderi utile în viață. Pentru o insușire temeinic ă a cunoștințelor de geometrie, un loc
important îl ocupă și rezolvările de probleme.
Pentru ca rezolvarea problemelor de geometria triunghiului să fie reușită, elevul trebuie
să țină cont de următoarele reguli:
I. Citirea atentă a enunțului problemei și con struirea corectă a figurii despre care este
vorba în problemă. De multe ori o problemă contruită greșit conduce la erori de
raționamente și la paradoxuri.
II. Însușirea enunțului problemei.
III. Cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea probleme lor de
geometria triunghiului.
IV. Construirea de raționamente noi pe baza axiomelor, definițiilor și a altor
raționamente anterioare.
V. Stabilirea relațiilor între diferite le elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul
simbolurilor matematice, pe baza ra ționamentelor construite, care ne permit să
urmărim șirul raționamentelor logice car e formează demonstrația problemei.
VI. Discutarea problemei.
În probleme de geometrie, o soluție găsită nuîncheie rezolvarea acesteia, ci trebuie
examinate și condițiile, care prezintă existența altor soluții, numărul lor, precum și diferite
cazuri particulare care pot apărea.
VII. Verificarea soluțiilor problemei.
O soluție găsită prin rezolvarea unei probleme trebuie verificată mai ales în cele de
construcții geometrice. Ea constă în general dintr -o demonstrație care trebuie să arate că figura
obținută corespunde cu ceacerută în enunțul problemei.
În geometrie se întâlnesc numeroase și variate probleme, însă, oricâte încercări s -ar face,
nu este posibil să se găsească un singur mer s rațional după care s -ar putea rezolva , ci un grup
mare de probleme se rezolvă într -un fel, alt grup în alt fel și se găsesc multe semenea căi
derezolvare a problemelor , deoarece multe și variate sunt noțiunile teoretice pe baza cărora au
fost formulate p roblemele care aparțin diferitelor grupuri.
Cunoașterea celor mai întâlnite metode pentru rezolvarea probelmelor de geometria
triunghiului este necesară tuturor celor care studiază geometria , deorece își dezvoltă capacitatea
de a generaraliza, având posibi litatea de a lega între ele problemele care se rezolvă după o
anumită schemă de raționament.

60
Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două mari grupe
principale:
– generale;
– particulare.

3.1 METODE GENERALE

3.1.1 Metoda sinteze i

A. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul
Probleme le de calcul sunt acele p robleme care cer găsirea unor valori numerice,
cunoscându -se anumite date. Atunci când mărimile din problemă nu sunt exprimate prin
numere, ci prin litere, atunci re zultatul obținut se exprimă, în mod general, printr -o formulă.
Prin sinteză o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale
problemei între care există o legătură și cu ajutorul lor se formulează o problemă care ne dă
posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi
alte două date cunoscute, fie date prin enunțul problemei, fie calculate anterior, și cu ajutorul
lor se formulează o altă problemă , care rezolvată ne dă valoarea altei no i mărimi. Se procedează
în acest fel până găsim tocmai valorile mărimilor ce se cer în problemă.
Prin folosirea metodei sintezei în rezolvarea problemelor de calcul, problema dată se
descompune în alte probleme mai ușoare, a căror rezolvare conduce la gă sirea soluțiilor cerute.

B. Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație
Problemele de demonstrație sunt probleme prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea
sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date, î n general, să se
justifice dacă o afirmație pe care am formulat -o mai înainte referitoare la o propietate a unei
figure geometrice este adevărată sau nu.
Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută simultan la dezvoltarea gândirii logice,
cât și la însuși rea temeinică a noțiunilor de geometrie.
La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin sinteză se procedează astfel: se
pornește de la ipoteza A și se caută o altă propoziție C , pe care o implică propoziția A. Se caută
mai departe o propoziție D, pe car e să o implice propozițiile A și C , și așa mai departe până
când propoziția propozițiile astfel obținute implică propoziția B (concluzia).

61

Exemplul 3.1.1. 1:
Într-un triunghi, punctul de concurență al bisectoarelor interioare este ortocentrul
triunghiului care s e obține unind punctele de intersescție ale acestor bisectoare cu cercul
circumscris triunghiului dat.
Demonstrație:
Fie 𝐴𝐵𝐶 triunghiul înscris în cercul 𝑂, iar punctul 𝐷 punctul de intersecție al
bisectoarelor interioare ale triunghiului 𝐴𝐵𝐶 ,𝑀,𝑁,𝑃 de intersecție ale bisectoarelor 𝐴𝐷,𝐶𝐷 și
𝐵𝐷 cu cercul 𝑂. problema cere să se arate că punctul 𝐷 este ortocentrul triunghiului 𝑀𝑁𝑃 .
Este suficient să se arate că bisectoarele interioare ale triunghiului 𝐴𝐵𝐶 sunt, respectiv ,
înălți mile triunghiului 𝑀𝑁𝑃 . Pentru aceasta se folosește teorema referitoare la suma unghiurilor
interioare unui tirunghi și se măsura unghiurilor înscrise într -un cerc.
Fie 𝐸 punctul de intersecție ak bisectoarei unghiului 𝐴 cu latura 𝑁𝑃. În triunghiul DEN
aplicîm teorema referitoare la suma unghiurilor interioare unui triunghi.
∢𝐷𝑁𝐸 +𝑁𝐸𝐷 +𝑁𝐷𝐸 =180°.
Se observă că unghiul 𝐷𝑁𝐸 este egal cu unghiul DBC pentru că au aceeași măsură,
adică:
∢𝐷𝑁𝐸 =∢𝐷𝐵𝐶 =𝑚(𝑃𝐶̂)
2.(1)

Figura III.1
Pe de altă parte, tinând seama că prin ipoteză BD este bisectoarea unghiului ABC,
egalitatea (1) de mai sus se mai poate scrie:

62
∢𝐷𝑁𝐸 =∢𝐷𝐵𝐶 =∢𝐵
2.
Unghiul NDE fiind un unghi cu vârful în interiorul unui cerc, măsura lui este egală cu
semisuma măsurilor a rcelor cuprinse între laturile sale, deci:
∢𝑁𝐷𝐸=𝑚(𝐴𝑁̂)+𝑚(𝑀𝐶̂)
2.(2)
Se observă că:
𝑚(𝐴𝑁̂)
2=∢𝐶
2
și
𝑚(𝑀𝐶̂)
2=∢𝐴
2
atunci egalitatea (2) se mai poate scrie:
∢𝑁𝐷𝐸=∢𝐴+∢𝐶
2.
Înlocuind în teorema privind suma unghiurilo r interioare unui triunghi obținem:
∢𝐵
2+∢𝐴+∢𝐶
2+∢𝑁𝐸𝐷 =180°
sau
∢𝐴+∢𝐵+∢𝐶
2+∢𝑁𝐸𝐷 =180° .(3)
Însă, ținând cont că în triunghiul ABC avem:
∢𝐴+∢𝐵+∢𝐶=180°
iar
∢𝐴+∢𝐵+∢𝐶
2=180 °
2,
∢𝐴+∢𝐵+∢𝐶
2=90°,
relația (3) se mai poate scrie:
90°+∢𝑁𝐸𝐷 =180°
sau
∢𝑁𝐸𝐷 =90°.
Acest rezultat afirmă că bisectoarea AD a unghiului A din triunghiul BAC este înălțime
în triunghiul NMP, dusă din vârful M pe latura NP.
În mod asemănător se poate arăta că bisectoarele BD și CD sunt perpendicular, respec tiv
pe MN și MP .
De aici rezultă că cele trei bisectoare interioare ale triunghiului ABC fiind înălțimi în
triunghiul MNP, punctul de concurență al bisectoarelor este ortocentru în triunghiul MNP.

63

Exemplul 3.1.1.2:
Într-un triunghi oarecare, patrulaterul care a re trei vârfuri în mijloacele laturilor, iar al
patrulea vârf în unul din picioarele înălțimilor este trapez isoscel.
Demonstrație:
Fie ABC triunghiul dat . Punctele E, F, G mijloacele laturilor AB, BC, CA, iarp unctul
D piciorul perpendicularei duse din B. Problema cere să se demonstreze că patrulaterul DEFG
este un trapez isoscel.

Figura III.2

Punctele E și F fiind, respective, mijloacele laturilor AB și BC din triunghiu l ABC, se
deduce că dreapta EF este paralelă cu latura AC :
𝐸𝐹∥𝐴𝐶.
Din ipoteză știm că punctele F și g sunt respectiv mijloacele laturilor BC și AC.
Conform proprietății liniei mijlocii într -un triunghi, că segmental FG este aralel cu latura AB
și egal cu jumătate din lungimea lui AB, deci:
𝐹𝐺∥𝐴𝐵
𝐹𝐺=𝐴𝐵
2=𝐴𝐸=𝐸𝐵.
În triun ghiul dreptunghic ADB, punctul E este mijlocul laturii AB, conform ipotezei,
deci DEsete mediană. Însă mediana într -un triunghidreptunghic, care este dusă din vârful
unghiului drept est eegală cu jumătatea ipotenuzei, deci:
𝐷𝐸=𝐴𝐸=𝐸𝐵.
Comparând rezult atele de mai sus, deducem că:
𝐷𝐸=𝐺𝐹.

64
Sintetizând rezultatele, putem spune că patrulaterul DEFG, având laturile opuse DG și
EF paralele și laturile neparalele ED și GE egale, este trapez isoscel.

3.1.2 Metoda analizei

A. Metoda analizei în rezolvarea pr oblemelor de calcul
O problemă de geometria triunghiului se rezolvă prin metoda analizei astfel: se pleacă
de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă
astfel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă.
Un alt mod de aplicare a metodei analizei pleacă de la întrebarea problemei . Considerăm
că ea cere să se găsească valoarea mărimii A. Atunci se caută mărimile cu ajutorul cărora se
poate calcu la valoarea mărimii A, fie acele mărimi E și F . dacă va lorile acestor mărimi sunt
date în problemă, atunci se fac calculele indicate, se găsește valoarea lui A și cu aceas ta
problema dată este rezolvată. Însă se paote întâmpla ca, la rândul lor, valorile mărimilor E și F
să nu fie cunoscute. Atunci trebuiesc c alculate valorile mărimilor E și F.
În acest fel problema propusă s -a redus la rezolvarea altor probleme mai puțin
complicate. Considerăm mărimile M și N care conduc la calcularea valo area mărimii E și P și
Q mărimile cu ajutorul cărora se calculea ză caloarea mă rimii F.
Acest procedeu continuă până când valorile mărimil or căutate se po t calcula cu ajutorul
unor date cunoscute în problema propus ă. Din acest moment folosind mersul invers , din
aproape în apro ape, se ajunge la valoarea mărimii A și cu aceasta problema este re zolvată.

B. Metoda analizei î n rezolvarea problemelor de demonstrație
La rezolvarea unei pro bleme prin analiz ă se porne ște de la ocncluzia B și se cau tă o
propoz iție C care s ă o implice pe B.
Căutăm o altă propoziție D din care să o deducem pe C , apoi o pro poziție E din care să
o deducem pe D și așa mai departe, p ână c ând se găseș te o propoziție A din care se poate deduce
propoz iția precedentă . În mod practice se parcurg următorii pași:
a) Se presup une că propoziția de demonstrate este adevărată.
b) Se pune întrebarea: "De unde reiese imediat concluzi te oremei? ". Răspunsul la
această întrebare duce la formularea unei propoziții C, mai p uțin necunoscut ă decât
cea datâ în teorem ă.
c) O întrebare ase mănătoare se pune ș i pentru propoziția C : "De unde reiese imediat
concl uzia propoziției C ? ". Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei
propoziții D, mai p uțin necunoscut ă decât C.

65
d) Acest process se repetă până când se obț ine o pr opoziție cunoscută , stabilit ă mai
înainte.
e) Din moment ce se ajunge la un adevăr, raționamentul decurge mai departe după
metod a sintezei.

Exemplul 3.1.2. 1: