LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I FOLOSIREA UNOR METODE ACTIV – PARTICIPATIVE ÎN PREDAREA UNOR CONSTRUCȚII… [621871]

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I

FOLOSIREA UNOR METODE ACTIV –
PARTICIPATIVE ÎN PREDAREA UNOR
CONSTRUCȚII GEOMETRICE CU RIGLA ȘI
COMPASUL

Coordonator științific: Candidat: [anonimizat], 201 7
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE
UNIVERSITATEA „ LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU
FACULTATEA DE DREPT
DEPARTAMENTUL DE DREPT PRIVAT ȘI ȘTIINȚE ALE EDUCAȚIEI

AVIZ DEPUNERE LUCRARE GRAD DIDACTIC I

Subsemnatul , Lector univ. dr. IOAN ȚINCU , coordonator științific al
lucrării metodico -științifice cu titlul: „Folosirea unor metode activ -participative în
predarea unor construcții geometrice cu rigla și compasul” , elaborată de do mnul
profesor ADRIAN JIGA avizez favorabil depunerea lucrării, în vederea obținerii
gradului didactic I.

Data Semnătura
25.07.2017

Cuprins
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 5
Capitolul I. CONSTRUCȚII ELEMENTARE ………………………….. ………………………….. . 6
1.1 Considerații istorice asupra construcțiilor geometrice ………………………….. ……. 6
1.2 Ce probleme de constucții se pot rezolva cu rigla și compasul …………………… 10
1.3 Construcții elementare ………………………….. ………………………….. ………………… 15
1.4 Etapele unei probleme de construcție ………………………….. ………………………… 20
Capitolul II. TRATAREA ALGEBRICĂ A PROBLEMELOR DE ………………………… 25
2.1 Rezolvarea ecuațiilor cu rigla și compasul ………………………….. ………………….. 25
2.2 Corpul numerelor pitagoreice ………………………….. ………………………….. ………. 27
2.3 Planul pitagoreic ………………………….. ………………………….. …………………………. 29
2.4 Aplicații la ecuații de gradul trei cu coeficienți raționali ………………………….. . 30
Capitolul III. POLIGOANE REGULATE ȘI LOCURI GEOMETRICE …………………. 32
3.1 Poligoane regulate ………………………….. ………………………….. ………………………. 32
3.2 Rezolvarea problemelor de construcții prin metoda locurilor geometrice ……. 37
Capitolul IV. CONSTRUCȚII GEOMETRICE REALIZATE CU AJUTORUL
TRANSFORMĂRILOR GEOMETRICE ………………………….. ………………………….. …… 42
4.1 Rezolvarea problemelor de construcții prin metoda translației. ………………….. 42
4.2 Rezolvarea problemelor de construcții prin metoda rotației ………………………. 45
Capitolul V. METODE ACTIV -PARTICIPATIVE DE ………………………….. ……………. 48
PREDARE – ÎNVĂȚARE A UNOR NOȚIUNI DE GEOMETRIE ……………………….. 48
5.1. Sistemul metodelor de învățământ ………………………….. ………………………….. ……. 48
5.2. Metode tradiționale de predare -învățare specifice matematicii ……………………… 63
5.2.1. E xpunerea sistematică a cunoștințelor ………………………….. …………………….. 63
5.2.2. Metoda conversației ………………………….. ………………………….. …………………. 64
5.2.3. Demonstrația ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 67
5.2.4. M etoda exercițiului ………………………….. ………………………….. ………………….. 69
5.2.5. Metoda muncii cu manualul ………………………….. ………………………….. ……… 71
5.3. Metode moderne ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 72
5.3.1. Problematizarea ………………………….. ………………………….. ………………………. 72
5.3.2. Învățarea prin descoperire dirijată ………………………….. ………………………… 76
5.3.3. Metoda modelării ………………………….. ………………………….. …………………….. 78

5.3.4. Algoritmizarea ………………………….. ………………………….. ………………………… 81
5.3.5. Metode colaborative și de cooperare ………………………….. ………………………. 83
5.4. Metode de învățare active ………………………….. ………………………….. ……………….. 85
5.4.1. Metoda brainstorming ………………………….. ………………………….. ………………. 86
5.4.2. Metoda mozaicului (JIGSAW) ………………………….. ………………………….. ….. 90
5.4.3. Metoda proiectului ………………………….. ………………………….. ……………….. 91
5.5.1.Metoda cubului ………………………….. ………………………….. ………………………… 94
5.5.2. Metoda ciorchinelui ………………………….. ………………………….. …………………. 96
5.5.3. Turul galerie i………………………….. ………………………….. ………………………….. . 98
Capitolul VI. CONCLUZIILE PĂRȚII TEORETICE ………………………….. …………… 100
Capitolul VII. CERCETAREA PSIHOPEDAGOGICĂ ………………………….. ………….. 101
7.1. Formularea ipotezei, precizarea scopului și obiectivelor ………………………….. … 101
7.2 Prezentarea experimentului ………………………….. ………………………….. …………….. 103
7.3. Desfășurarea experimentului ………………………….. ………………………….. …………. 105
7.4. Rezultatele cercetării ………………………….. ………………………….. …………………….. 117
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 120
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 122
ANEXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 124

5

INTRODUCERE

Geometria pornește de la studiul unei figuri concrete (ce exprimă tresături
esențiale ale realității obiective) și elaborează propoziții abstracte. Geometria împletește
organic gândirea concretă cu cea abstractă: în consecință are un rol primordial în
formarea și dezvoltarea capacității deductive.
Asimilarea geometriei urmărește o spirală ce pornește de la intuirea vie a
realității obiective; pe această spirală se pun în acord cu intuirea un număr crescând de
propoziții din ce în ce mai abstracte: aceste propoziții devin ”cărămizile concrete” din
care se construiesc edificile teoriilor abstracte.
Prezenta lucrare este structurata pe parcursul a cinci capitole:
Capitolul I – Construcții elementare , începe cu câteva considerații istorice
asupra problemelor istorice asupra problemelor de construcție ge ometrică, după care
specifica ce fel de probleme se pot constri cu rigla si compasul. În continuare sunt
construcții elementare urmate de etapele unei probleme de construcție.
Capitolul II –Probleme de construcții imposibile ale antichității – le tratează
pe acestea în corpul numerelor pitagorice.
Capitolul III – Poligoane regulate si locuri geometrice , se ocupă de
împărțirea cercului în 𝑛 părți egale, arătându -ne în câte părți poate fi împărțit și în câte
nu poate fi împărțit un cerc cu rigla și compasu l. În continuare sun t tratate locurile
geometrice cu principiile esențiale în tentativa de conturare a locului geometric.
Capitolul IV – Construcții geometrice realizate cu ajutorul transformărilor
geometrice
Capitolul V – Metode activ -participative d e predare – învățare a unor
noțiuni de geometrie
Capitolul VI – Concluziile părții teoretice
Capitolul VII – Cercetarea pshihopedagogică

6
Capitolul I . CONSTRUCȚII ELEMENTARE

1.1 Considerații istorice asupra construcțiilor geometrice
Geometria având rădăcinile înfipte adânc în nevoile vitale ale societății omenești
(agrimensura, construcții de locuințe, industrie etc.), a atins un înalt nivel teoretic, a
elaborat metode specifice și în același timp foarte generale, care la rândul lor, au făcut
posibil e noi aplicații importante ale geometriei la problemele practice – un exemplu
instructiv constituindu -l tocmai construcțiile geometrice.
Începuturile construcțiilor geometrice se confundă cu cele ale geometriei. Pentru
apariția problemelor de construcție g eometrică și formarea unor procedee de construcție
au avut o mare însemnătate tendințele omului, în diferie epoci istori ce ale existenței lui,
de a reprezenta prin desene obiectele înconjurătoare și fenomenele observate, pe
anumite suprafețe, tendințe care au aparut în procesul muncii. Omul a recurs la
reprezentări grafice cu multe milenii înaintea er ei noastre. Pe obiectele de mobilier, pe
pereții stâncilor, pe ceramica omului prmitiv găsim ornamente, reprezentări grafice,
figuri geometrice (in paleoliticu l superior, în periaoada în care apare omul de tip actual
”homosapiens” apar figuri geometrice: linii drepte, cercuri, spirale, pătrate și
triunghiuri). Tehnica reprezentărilor se perfecționează în neolitic și în epoca de aramă.
În statele sclavagiste din antichitate, Egiptul, statele din Mesopotamia, India,
China, practica vieții de toate zilele, îndeosebi practica construcțiilor a dus la
descoperirea multor procedee de construcții geometrice: trasarea liniei drepte cu ajutorul
riglei, cons trucția unghiului drept, trasarea cercului etc.
O teorie care să dea baze logice construcțiilor geometrice și să explice
procedeele de rezolvare a apărut pentru prima dată la greci. Astfel Platon pune condiția
a toate construcțiile geometrice să fie făcute numai cu rigla și compasul, condiție
respectată și de Euclid, în cartea sa ”Elementele ”, fapt pentru care construcțiile făcute
cu rigla și compasul se mai numesc și constrcții euclidiene.
Problema împărțirii unui segment și a unui unghi în părți egale fig urează în
cartea ”Elementele” a lui Euclid. El rezolvă întâi împărțirea unghiului și apoi cu
ajutorul acesteia împărțirea segmentului. Construcția perpendicularei provine tot din
timpuri mai vechi. În textele cuneiforme babiloniene apar termeni distincți pentru
noțiunea ridicării perpendicularei dintr -un punct al unei drepte și pentru notiunea
coborârii unei perpendiculare dintr -un punct exterior. Euclid ia pe dreaptă de o parte și

7
de alta a punctului considerat, puncte la distanțe egale și construiește p erpendiculara cu
ajutorul triunghiului echilateral.
Grecii s -au servit la început de construcții geometrice pentru a demonstra
existența unor noțiuni abstracte. Astfel în Elementele lui Euclid este arătată cu ajutorul
construcțiilor geometrice existența pu nctului de înjumătățire a segmentului, existența
perpendicularei.
În Academia lui Platon au apărut multe dintre metodel e actuale de rezolvare a
proleme lor de constr ucție. La început problema se concepea apoi, se punea în legatură
cu o figură așternută pe f oaia de desen. Se presupunea problema rezolvată și se căuta să
se tragă anumite concluzii pentru a o readuce la construcții cunoscute. Dacă se reușea
atunci pe cale inversă se dadea soluția, care în urmă era demonstrată. În felul acesta se
împletea metoda analitică cu cea sintetică.
Preocupările în ceea ce privește condtrucțiile geometrice au luat un avânt
puternic, aceste probleme de construcții ajungând la noi în număr mic – majoritatea
culegerilor pierzându -se (culegerile lui Aristaios, Euclid și Apoloni us) păstrându -se în
schimb o colicție a lui Pappus, în care sunt recapitulate teoremele necesare înțelegerii și
aplicării acestor probleme.
În evul mediu, cu probelemele de construcții geometrice se ocupau
matematicienii arabi, atrași de necesitatea tehnic ii din imperiul înfloritor; se efectu au
construcții cu compasul cu deschizătura fixă, se constru iau rădăcinile ecuației de gradul
al III -lea cu ajutorul conicelor.
Problema construcțiilor făcute cu ajutorul compasului având o deschizătură fixă
reapare și l a Leonardo da Vinci. Matematicianul danez Georg Mohr și italianul Lorenzo
Mascheroni au arătat că toate construcțiile euclidiene pot fi făcute numai cu ajutorul
compasului și dau o serie de rezolvări elegante, urmărind să obțină construcții cât mai
exacte și tocmai de aceea au dat preferință compasului, cu care se obțin construcții
apropiate de cele exacte.
Steiner studiază problemele care pot fi rezolvate numai prin trasare de linii
drepte, dacă avem desenată în prealabil o figură fixă, un paralelogram, un pătrat sau un
cerc.
Cu problema construcției poligoanelor regulate sau împărțirii cercului, cum se
mai numește, matematicienii s -au ocupat încă din antichitate. Pe vremea lui Euclid
aceasta problemă era pur geometrică și se cunoștea rezolvarea ei numai în cazuri
simple 2𝑘;3∙2𝑘;5∙2𝑘 ș𝑖 15∙2𝑘.

8
Un progres pe cale pur geometrică părea imposibil și problema a rămas la stadiul
respectiv peste 2000 de ani când Gauss a stabilit legăturile problemei cu ra ționamentele
sale aritmetice ți a găsit o cale nouă pent ru abordarea ei. El a construit poligonul regulat
cu 17 laturi și a dat un răspuns definitiv la întrebarea: ”Care anume poligoane pot fi
construite cu rigla și compasul? ”.
Cu vremea s -a constatat că nu orice construcție geometrică se poate face numai
cu rigla si compasul. Ca exmplu avem cele trei probleme din atichitate:
1. Problema duplicării cubului, în care se cere să se construiască un cub
al cărui volum să fie egal cu dublul volumui cubului dat.
2. Problema trisecției unui unghi, în care se cere să se împartă un unghi
in trei părți egale.
3. Problema cvadraturii cercului, în care se cere să se construiască un
pătrat a cărui arie să fie egală cu aria unui cerc dat.
La primele două probleme, chiar în antichitate, s -au dat soluții, însă cu ajutorul
altor curb e. Hippias a folosit curba numită cvadratica pentru împărțirea unui unghi în
trei părți egale. Menechmus a rezolvat problema duplicitării cuului cu jutorul a două
parabole.
Însă problema cvadraturii cercului a preocupat pe unii matematicieni un timp
foarte îndelungat. În 1882 Lindeman a demostrat transcendența numarului 𝜋, punând
astfel în evidență imposibilitatea cvadraturii cercului.
Astăzi în matematica modernă s -a demonstrat când o construcție este posibilă cu
rigla ți compasul și când nu. Într -adevăr, dacă o problemă este posibilă a fi rezolvată cu
rigla și compasul, atunci fiecare punct al figurii se poate obține ca intersecția a două
drepte, a unei drepte cu un cerc sau cu două cercuri. Punând o asemenea ecuație se
observă că totul se reduce la a rez olva ecuații liniare sau cvadratice.
Geniu multilateral, m arele inițitor al Renașterii, Leonardo da Vinci s -a interesat
de toate branșele artelor și științelor. Mărturie stau mențiunile, schițele, comentariile,
construcțiile din uimitoarele sale caiete. Lu mea fascinantă a construcțiilor geometrice
nu putea scăpa preocupărilor sale, mai ales că matematicienii italieni ai Renașterii erau
literalmente pasionați de acest subiect. Se pare că Leonardo da Vinci a fost primul care
a extras grafic rădăcina pătrată d intr-un număr pozitiv.

9
Numărul de aur
Șirul numerelor lui Fibonacci reprezintă numere în care, fiecare nou număr care
urmează este egal cu suma celor două numere precedente. Este o stranie legătură între
acest șir și unele lucruri din natură. Cochilia sco icii respectă acest principiu, semințele
de floarea soarelui, fructul de ananas. Numărul de aur este 1,618. Dacă vom împărți
două numere succesive, din șirul lui Fibonacci, vom obține numărul de aur. Natura este
creată după o ordine care rămâne un mister. Niciodată nu vom găsi o margaretă care va
avea 14, 22, sau 56 de petale.
Acele de pin respectă și ele principiul lui Fibonacci. Nu există explicații
științifice. Este o regulă de aur pe care natura o respectă. Regula de aur este respectată și
de ADN -ul uma n. În arhitectură, templul lui Solomon, piramidele, Pantheonul,
bisericile, toate respectă regula de aur a proporțiilor. În arhitectură cea mai utilizată
formă geometrică este dreptunghi ul, care respectă regula de aur . Triunghiul de aur sau
isoscel are ung hiurile de 36 și 72 de grade, principiul regulii de aur este respectat.
În anul 2013, doi cercetători, cu ajutorul unui calculator performant, au reușit să
calculeze numărul 𝜋. Are 10000 de miliarde de zecimale. Numărul merge către infinit,
într-o ordine precisă și totodată misterioasă a zecimalelor. Cercetătorii susțin că
zecimale nu sunt așezate întâmplător, nu există hazard. A suta zecimală a numărului pi
este 9, a mia este 9, poziția zecimalei de un milion este tot 9. Proporția plantelor,
propor ția corpului uman, respectă principiul numărului de aur.
Fibonacci a creat acest șir de numere, plecând de la o problemă simplă. Dacă
avem un cuplu, o femelă și un mascul, de iepuri și acesta produce un nou cuplu de
iepuri, într -o lună, așa cum fiecare cup lu nou va produce un alt cuplu, într -o lună, câte
cupluri se vor forma? Rezultatul este unul incredibil, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34… Suma
dintre cele două numere care preced este egală cu numărul care urmează. Dacă vom
împărți numărul următor la cel prece dent, vom obține, 1,618, adică numărul de aur.
În anul 1509, Fra Luca Paciole a publicat De Divina Proporțione, care a fost
ilustrată de Leonardo da Vinci. Cartea dezvoltă principiul de aur din arhitectură,
geometrie, matematică. Este primul tratat consacr at numărului de aur. Autorul consideră

10
că, numărul de aur nu are numai proprietăți matematice. El comportă caracteristice
legate de estetică, misticism și divinitate.

Leonardo da Vinci a fost primul care a analizat proporțiile corpului uman. El a
demonst rat că, fiecare componentă a corpului uman respectă proporția numărului de
aur. Majoritatea pictorilor au respectat proporția de aur în tablourile lor. Numărul de
aur, pi sau phi, provine de la Phitias, un arhitect grec, care a introdus î n arhitectură
proporția de aur.
1.2 Ce probleme de constucții se pot rezolva cu rigla și compasul
Utilizarea riglei, se pare, s -a făcut din timpuri imemoriale. Totuși în desenele din
“Manualul egiptean al lui Ahmes” cel mai vechi document care s -a păstrat (aproximativ
1700 î. Hr.), toate desenele sunt trasate de regulă cu mâna.
Pe timpul arhitectului Vitruviu (sec. I d. Hr.) constructorii foloseau o coardă
înmuiată în praf roșu, alb sau negru pentru trasarea pe ziduri a liniilor drepte.
Geometria riglei est e foarte veche. Meșteșugarii, dulgherii, tăietorii de piatră,
constructorii au cunoscut și au transmis din generație în generație o serie de cunoștințe
în care rigla avea rolul principal. Începuturile geometriei riglei se află, bineînțeles, tot în
stiința greacă și ele sunt legate de metoda proiecției folosită de matematicienii greci.
Însă adevărații precursori ai geometriei riglei sunt pictorii și arhitecții Renașterii,
Leonardo da Vinci în “Trattato di Pitura” și J. Pelerin în “De artificiali perspettiva” .
Leonardo punea elevii să deseneze pe un geam prin care priveau subiectul expus
și demonstra pe cale experimentală legile perspective.

11
Cel care însă s -a ocupat s istematic de geomtria riglei a fost arhitectul francez G.
Desargues, cel care de fapt a pus ba zele științifice ale perspective, unde rigla este un
instrument de bază. În matematica elementară el enunță faimoasa teoremă ce -i poartă
numele (și care se poate verifica utilizând rigla).
Teoremă: Dacă cele trei drepte ce unesc perechi de vârfuri corespon dente a două
triunghiuri sunt concurente, atunci punctele de intersecție a laturilor corespondente sunt
coliniare.
La dezvoltarea și utilizarea geometriei proiective (care utilizează cu precădere
geometria riglei) și -au adus contribuții substanțiale Pascal , Monge, Carnot și Poncelet
În realizările de artă primitive rămase până astăzi, cercurile au fost trasate de
fiecare data cu măna. În același “Manual egiptean al lui Ahmes” este desenat un cerc
înscris într -un pătrat, dar figura este destul de grosier f ăcută, astfel încât cercul pare mai
degrabă un poligon cu șapte laturi. Pe de altă parte împărțirea circumferinței în 4,6,8,12
sau 24 părți congruente întâlnită frecvent în ornamentele egiptenilor sau împărțirea
circumferinței cercului în 6 × 60 de părți l a babilonieni, lasă loc presupunerii că vechile
popoare cunoșteau un instrument asemănător compasului.
După unii autori antici, inventarea compasului s -ar datora lui Potârniche, nepotul
celebrului Dedal. Invidios pe nepotul său – spune Ovidiu în “Metamorfo ze” – Dedal iar
fi provocat căderea acestuia de pe o construcție dedicată zeiței Atena, dar ca să -l
salveze, zeița l -a transformat pe copil ăntr -o potârniche.
Pentru a studia posibilitatea construirii cu rigla și compasul a unor puncte din
plan, se recurge la metodele algebrei dând problemei o formă algebrică. Se alege un
sistem de coordonate rectangulare în așa fel că originea axelor și punctul unitar al axei
x-lor să coincidă cu câte un punct dat. În acest sistem de coordonate pot fi reprezentate
atât seg mente cât și unghiuri. Punctul (𝑑,0) și originea determină segmentul de lungime
𝑑, iar punctul (cos𝛽,sin𝛽) împreună cu originea și axa determină unghiul 𝛽.
Cu rigla și compasul pot fi construite acele și numai acele puncte ale căror
coordonate într -un sis tem de coordonate atașat se exprimă prin expresii raționale și
rădăcini pătrate ale coordonatelor punctelor date. Pentru determinarea punctelor de
intersecție ale dreptelor și cercurilor (singurele linii care pot fi trasate cu ajutorul riglei
și compasului ) vom rezolva numai ecuații liniare și pătratice -coeficienții acestora
exprimându -se rational prin coordonatele punctelor date sau coordonatele punctelor
construite în prealabil. Toate expres iile raționale care cuprind numere reale date și
rădăcinile lor p ătrate, sunt construibile cu rigla și compasul. Aceste instrumente permit

12
construirea tuturor punctelor date, prin operații raționale și extrageri de rădăcini pătrate
oarecare, chiar complexe.
Dacă 𝑎 și 𝑏 sunt două numere date sau construibile, adică 𝑎 și 𝑏 sunt câte o
coordonată a două puncte date, sau cele două coordonate ale unui punct dat, atunci sunt
construibile și expresiile: 𝑎+𝑏,𝑎−𝑏,𝑎𝑏,𝑎
𝑏,√𝑎.(𝑎>0;𝑏>0).
– construcția expresiei 𝑎𝑏
1
𝑏=𝑎
𝑎𝑏

– construcția expresiei 𝑎
𝑏

– construcția expresiei √𝑎

13

𝑃𝑄=1 [𝑀𝑃]≡[𝑀𝑅] 𝑀𝑃 =𝑎+1
2
𝑄𝑅=𝑎 ∆𝑃𝑄𝑅 ~∆𝑆𝑄𝑅
1
𝑥=𝑥
𝑎 sau 𝑥=√𝑎
În ceea ce priveșt e numerele complexe, ele sunt date prin părțile lor reale și
imaginare. Operațiile raționale se exprimă rațional și prin ele, iar extragerea rădăcinii
pătrate dintr -un număr complex, înseamnă a extrage rădăcina pătrată din valoarea lui
absolută și a jumătă ții argumentului.
𝑎+𝑏𝑖=𝑟(cos𝛽+𝑖sin𝛽)=𝑟𝑒𝑖𝛽
√𝑎+𝑏𝑖=√𝑟(cos𝛽
2+𝑖sin𝛽
2)=√𝑟𝑒𝑖𝛽
2
Deci în cazul numerelor complexe operațiile raționale și extragerile de rădăcini
pătrate pot fi efectuate cu rigla și compasul.
Fie 𝑥=𝑓(𝑎,𝑏,𝑐,…,𝑘,𝑙) o funcție omogenă, definită pentru anumite valori
pozitive ale variabilei, care ia numai valori pozitive, volorile lui 𝑥 fiind considerate ca
lungimile unor segmente. Se pun e într ebarea, cum trebuie aleasă funcția pentru ca
segmentel e 𝑥 determinate de ea să fie independente de unitatea de măsură. Introducând
o nouă unitate de măsură și aplicând 𝑎′=𝑡𝑎,𝑏′=𝑡𝑏 (între lungimile nou obținute șo
cele vechi au loc relațiile de mai sus), putem scrie:
𝑥′=𝑓(𝑎′,𝑏′,𝑐′,…,𝑘′,𝑙′)=𝑓(𝑡𝑎,𝑡𝑏,𝑡𝑐,…,𝑡𝑘,𝑡𝑙), iar pentru ca 𝑥 și 𝑥′ să fie
lungimile aceluiași segment trebuie sa avem 𝑥′=𝑡𝑥 adică 𝑓(𝑡𝑎,𝑡𝑏,𝑡𝑐,…,𝑡𝑘,𝑡𝑙)=
𝑓(𝑎,𝑏,𝑐,…,𝑘,𝑙)

Aplicații :

1. Fiind date trei segmente de lungimi 𝑎,𝑏,𝑐 să se determine:

14
𝑥=𝑎𝑏2
𝑐2⇒ 𝑥=𝑎𝑏𝑏
𝑐𝑐⇒ 𝑥1=𝑎𝑏
𝑐⇒𝑥=𝑥1𝑏
𝑐
𝑐
𝑏=𝑎
𝑥1⟹ 𝑥
𝑥1=𝑏
𝑐⇒ 𝑥1
𝑥=𝑐
𝑏

2. Fiind date segmentele 𝑎,𝑏 să se gă sească segmentul 𝑥=𝑎𝑏
√𝑎2−𝑏2
𝑥=𝑎𝑏
𝑥1 ⇔ 𝑥
𝑎=𝑏
𝑥1 ⇔ 𝑥1
𝑏=𝑎
𝑥 ⇔𝑥1=√𝑎2−𝑏2

3. Să se construiască grafic segmentul 𝑥=√𝑎2+𝑏2+𝑐2
𝑥=√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ⇔ 𝑥12=𝑏2+𝑐2 ⇒𝑥=√𝑎2+𝑥12

15

4. Aplicații la extragerea rădăcinii pătrate a unui număr. Extra gerea rădăcinii
patrate pe exemple concrete:

𝑥=√15=√16−1=√42−12
𝑥=√29=√9+20=√9+16+4=√32+42+22
𝑥=√35=√36−1=√62−12

1.3 Construcții elementare
În această secțiune se arată cum se fac construțiile cele mai simple. Toate aceste
construcții se vor face, bineînțeles, într -un plan dat. Ele vor apărea mai târziu ca pași în
construcții mai complicate.

CONSTRUCȚI A 1. Bisectoarea unui unghi.
Pasul 1. Cu 𝐴 drept centru se desenează un arc de cerc. Acesta intersectează
laturile unghiului 𝐴 în punctele 𝐵 și 𝐶. Evident că [𝐴𝐵]≡[𝐴𝐶].
Pasu l 2. Cu acee ași deschizătură a compasului se desenează un cerc cu centrul în
B.
Pasul 3. Tot cu acee ași deschizătură a compasului se desenează un cerc cu
centrul în C. Aceste cercuri se vor întâlni într -un punct P care se află în partea opusă a
lui 𝐴 față de segmentul [𝐵𝐶].
Pasul 4. Desenăm segmentul [𝐴𝑃].
Conform cazului 𝐿.𝐿.𝐿. ∆𝑃𝐴𝐵 ≡∆𝑃𝐴𝐶 . Așadar ∢𝑃𝐴𝐵 ≡∢𝑃𝐴𝐶 și deci [𝐴𝑃
este bisectoarea căutată.

16
(Când s -au desenat cercur ile de la pașii 2 și 3, se putea utiliza orice raza mai
mare decât 1
2𝐵𝐶. Problemele apar doar dacă se folosește o raza așa d e mică, încât
cercurile să nu se intersecteze.)

CONSTRUCȚIA 2. Construcția unui unghi dat de o parte dată a unei semidrepte
date.
Pasul 1. La unghiul dat se desenează un cerc cu centrul în 𝐴 și de rază 𝑟. Acest
cerc va intersecta laturile lui 𝐴 în punctele 𝐵 și 𝐶.
Pasul 2. Se desenează un cerc cu centrul în capătul semidreptei date [𝐷𝑥 și de
rază 𝑟=𝐴𝐵=𝐴𝐶. Acest cerc va intersecta semidreapta dată într -un punct 𝐸.
Pasul 3. Se desenează un cerc c u centrul în 𝐸 și de rază 𝑠=𝐵𝐶. Aceste cercuri
se intersectează în două puncte 𝐹 și 𝐺 aflate de o parte și de alta a semidreptei [𝐷𝐸.
Pasul 4. Se desenează semidreapta [𝐷𝐹. Aceasta este semidreapta dorită. Din
cazul de congruență 𝐿.𝐿.𝐿.⇒ ∆𝐷𝐹𝐸≡∆𝐴𝐶𝐵 . Așadar ∢𝐹𝐷𝐸 ≡∢𝐵𝐴𝐶 , așa cum era
dorit.

17

CONSTRUCȚIA 3. Construcția mediatoarei unui segment.
Se dă segmentul [𝐴𝐵].
Pasul 1. Se desenează cercul cu centrul în 𝐴 și de rază 𝑟=𝐴𝐵.
Pasul 2. Se desenează cercul cu centrul în 𝐵 și de rază 𝑟=𝐴𝐵.
Pasul 3. Se desenează segmentul [𝑃𝑄]. Deoarece 𝑃 este echidistant față de 𝐴 și
𝐵, 𝑃 se află pe mediatoarea lui [𝐴𝐵], din acelați motiv 𝑄 se află pe mediatoarea lui
[𝐴𝐵]. Orice rază mai mare decât 1
2𝐴𝐵 este bună.
CONSTRUCȚIA 4. Construcția mijlocului unui segment.
Mediatoarea ne dă automat mijlocul segmentului.

18

CONSTRUCȚIA 5. Construcția perpendicularei pe o dreaptă dintr -un punct dat.
Cazul I. Se dă dreapta 𝑑 și un punct 𝑃. Se presupune mai întâi că 𝑃 este exterior
dreptei. Fie 𝑄 un punct oarecare de pe dreapta 𝑑.
Pasul 1. Se desenează un cerc cu centrul în 𝑃 și de rază 𝑟>𝑃𝑄. Cercul astfel
dus intersectează dreapta în punctele 𝑅 și 𝑆.
Pasul 2. Construim mediatoarea lui [𝑅𝑆]. Această dreaptă trece prin 𝑃, deoarece
[𝑃𝑅]≡[𝑃𝑆].

Cazul II. Dacă punctul 𝑃 este pe dreapta 𝑑, construcția este mai ușoară; în acest
caz se desenează un cerc cu centrul în 𝑃 care intersectează 𝑑 în punctele 𝑅 și 𝑆. Se
desenează mediatoarea lui [𝑅𝑆], aceasta fiind dreapta dorită.

CONSTRUCȚIA 6. Copierea unui triunghi de o parte dată a unei semidrepte.
Se dă ∆𝐴𝐵𝐶 . Se dau de asemenea o semidreaptă cu capătul în 𝐷 și un semiplan ce
conține semidrea pta în muchia sa. Dorim să construim ∆𝐷𝐸𝐹 , cu 𝐹 pe semidreapta dată
și 𝐸 în semiplanul considerat, astfel încât ∆𝐷𝐸𝐹 ≡∆𝐴𝐵𝐶 .
Pasul 1. Mai înâi se desenează un cerc cu centrul în 𝐷 și de rază 𝑏=𝐴𝐶. Acest
cerc intersectează semidreapta noastră într-un punct 𝐹 cu 𝐷𝐹=𝐴𝐶.
Pasul 2. Se desenează un cerc cu centrul în 𝐷 si de rază 𝑐.

19
Pasul 3. Se desenează un cerc cu centrul în 𝐹 si de rază 𝑎. Aceste două cercuri ar
trebui să se intersecteze în două puncte de o parte și de alta a semidreptei [𝐷𝐹. Ele se
intersectează astfel, deoarece fiecare din numerele 𝑎,𝑏 ș𝑖 𝑐 este mai mic decât suma
celorlalte două.
Pasul 4. Se desenează acum segment ele [𝐷𝐸] și [𝐷𝐹]. Conform cazului 𝐿.𝐿.𝐿.
avem ∆𝐷𝐸𝐹 ≡∆𝐴𝐵𝐶 , ceea ce se dorea.

CONSTRUCȚIA 7. Construcția unei drepte paralele cu o dreaptă dată.
Se dă dreapta 𝑑 și punctul exterior 𝑃. Fie 𝑄 și 𝑅 două puncte oarecare care aparțin
dreptei 𝑑.
Pasul 1. Se desenează [𝑃𝑄].
Pasul 2. Se desenează ∢𝑄𝑃𝑆 ≡∢𝑃𝑄𝑅 . Atunci unghiul ∢𝑄𝑃𝑆 și ∢𝑃𝑄𝑅 vor fi
alterne interne de unde rezultă că 𝑃𝑆∥𝑄𝑅. Construcția ∢𝑄𝑃𝑆 ≡∢𝑃𝑄𝑅 s-a bazat pe
construcția 2 și anume copierea unui unghi dat de o parte dată a unei semidrepte.

20
1.4 Etape le unei probleme de construcție
În cazul unei probleme de construcție se pot evindenția patru etape.
1. ANALIZA. Începe de obicei prin fraza „presupunem problema rezolvată”. În
cadrul acestei etape, pe o figură de obicei apoximativă considerăm simultan datele
problemei – elementele lui 𝐷 și necunoscutele aparținând familiei 𝑋. Se adaugă figurii
elemente noi (construcții ajutătoare caracterizate prin proprietăți ale lor referitoare la
elementele 𝐷∪𝑋 alcătuind o mulțime 𝐴). Se pun apoi în evidență propritățile
definitorii ale elementelor din 𝐴 ce folosesc doar elementele din 𝐷 și proprietăți
definitp rii pentru elementele din 𝑋 formulate cu ajutorul elementelor din 𝐷 și 𝐴.
2. CONSTRUCȚIA SAU SINTEZA. Exprimă succesiuni de utilizări ale
instrumentelor permise pentru a trasa elementele din 𝐴 și apoi din 𝑋. Această etapă
constituie în fond o rețetă d e fabricare a elementelor din 𝑋 cu tehnologii din 𝐼 și materie
primă din 𝐷.
3. DEMONSTRAȚIA SAU JUSTIFICAREA. Conține argumentarea faptului că
elementele construite satisfac proprietățile de construcție și justifică incadrarea lor în
problee de geometri e și nu de desen liniar.
4. DISCUȚIA. Pune în evidență condiții asupra datelor problemei pentru ca să
existe soluții și o estimare a numărului de soluții. În cadrul acestei etape sunt justificate
generalizări sau analogii ale problemei. În general discuția este conturată prin analiza
critică a fiecărei operații descrise în etapa de construcție.
Schema de succesiune a celor patru etape analiza – sinteza – demonstrația –
discuția nu trebuie înțeleasă într -un mod rigid, elementele din demonstrație sau discuți e
pot apărea în analiză, unele elemente ajutătoare pot apărea abia în demonstrație sau
discuție, anumite situații neprevăzute în etapa sintezei pot fi precizate în cadrul
discuției, etc.
În primele probleme, deosebit de simple, nu este necesară apariția tu turor celor
patru etape: constricția mediatoarei unui segment [𝐴𝐵], construcția bisectoarei
interioare unui unghi, construcția perpendicularei dintr -un punct exterior dreptei 𝑑 pe
dreapta 𝑑, construcția unui unghi congruent cu un unghi dat, construcția paralelei
printr -un punct dat la o dreaptă si altele.
Dacă pe baza cunoștintelor avute se poate executa construcția, atun ci rezolvarea
necesită numai ultimele trei o perații: construcția sau sinteza,demonstrația sau

21
justificarea și discuția; spunem în acest caz că rezolvarea s -a făcut prin metoda sintezei,
iar dacă rezolvarea cuprinde si prima etapa metoda se numește metoda analizei.

a. Rezolvarea unei probleme prin metoda sintezei .
Să se ducă o paralelă la bazele unui trapez astfel încât segmentul cuprins înt re
diagonale să aibă o lungime 𝐿.
Fie trapezul 𝐴𝐵𝐶𝐷 , în care s -au dus diagonalele 𝐴𝐶 și 𝐵𝐷. Se cere să se
construiască segmentul 𝐺𝐻 paralel cu bazele, cuprins între diagonale și de lungime 𝐿.

Construcția . Se alege pe baza mare 𝐶𝐷, începând din vârful 𝐷, un segment de
dreaptă 𝐷𝐹=𝐿. Prin extremitatea 𝐹 a acestui segment se duce o paralelă la diagonala
𝐵𝐷, care intersecteaz ă diagonala 𝐴𝐶 în punctul 𝐺 și din 𝐺 ducem o paralelă la 𝐶𝐷 care
intersectează diagonala 𝐵𝐷 în 𝐻. Segmentul căutata este [𝐻𝐺].
Demonstrația . Segmentul [𝐻𝐺] este egal cu 𝐿, cuprins între diagonale și paralel
cu bazele. Într -adevăr, figura 𝐷𝐹𝐺 𝐻 este un pararlelogram deoarece:
𝐹𝐺∥𝐷𝐻 – prin construcție;
𝐺𝐻 ∥𝐷𝐹 – prin construcție. Într -un paralelogram laturile opuse sunt
congruente, două câte două, deci 𝐻𝐺 =𝐷𝐹=𝐿. Prin construcție 𝐺 și 𝐻 se găsesc pe
diagonale, deci segmentul [𝐺𝐻] este cuprins între diagonale.
Discuția :
a. Dacă 𝐿<𝐶𝐷, segmentul căutat este în interiorul trapezului;
b. Dacă 𝐿=𝐶𝐷, atunci baza mare a trapezului este segmentul căutat;
c. Dacă 𝐿=0, atunci segmentul căutat se reduce la un punct care este
intersecția diagonalelor 𝐸=𝐴𝐶∩𝐵𝐷;

22
d. Dacă 𝐿>𝐶𝐷, atunci se obține un segment, în cazul nostru [𝑀𝑁], care
este exterior trapezului

b. Probleme rezolvate prin metoda analizei .
1. Să se construiască un triunghiu l ∆𝐴𝐵𝐶 când se cunosc picioarele 𝐴′,𝐵′,𝐶′ ale
înălțimilor sale din 𝐴,𝐵 respectiv 𝐶.
Analiza : Se presupune problema rezolvată; fiind ∆𝐴𝐵𝐶 triunghiul căutat,
∆𝐴′𝐵′𝐶′ triunghiul său ortic. Se mai presupune că triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 nu este dreptunghic.
Deoarece 𝑚(∢𝐴𝐴′𝐵)≡𝑚(∢𝐴𝐵′𝐵)=90° punctele 𝐴,𝐴′,𝐵′,𝐵 sunt pe același cerc de
diametru 𝐴𝐵 deci se constată că 𝐴𝐵′𝐴′𝐵 este un patrulater convex inscriptibil și deci
𝑚(∢𝐴𝐴′𝐵′)≡𝑚(∢𝐴𝐵𝐵′)=90°−𝑚(∢𝐴).

Analog se constată că 𝐴𝐶′𝐴′𝐶 este un patrulater convex inscriptibil și deci
𝑚(∢𝐴𝐴′𝐶′)≡𝑚(∢𝐴𝐵𝐶′)=90°−𝑚(∢𝐴) prin urmare 𝐴′𝐻 este bisectoarea interioară
pentru ∢𝐵′𝐴′𝐶′. Dreapta 𝐵𝐶, perpendiculară în 𝐴′ pe 𝐴′𝐻 va conține bisectoarele
exterioare. Se po t deci determina 𝐴,𝐵,𝐶 drept centre ale cercurilor exinscrise
triunghiului ∆𝐴′𝐵′𝐶′. Examinând în continuare și ipoteza că triunghiul căutat ar fi
obtuzunghic, 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶 )>90° se constată acum în mod analog că 𝐴′𝐴 este bisectoarea
interioară pentru ∢𝐵′𝐴′𝐶′, iar 𝐵′𝐵 și 𝐶′𝐶 sunt bi sectoare exterioare pentru ∢𝐴′𝐵′𝐶′
respective ∢𝐴′𝐶′𝐵′. Prin urmare 𝐴 este centrul cercului înscris triunghiului ∆𝐴′𝐵′𝐶′, iar
𝐵 și 𝐶 sunt centrele de cercuri extinscrise.

23

Construcția . Se pune în evidență centrul 𝐻 al cercului înscris în ∆𝐴′𝐵′𝐶′ și
centrele 𝐻𝑎,𝐻𝑏,𝐻𝑐 ale cercurilor exinscrise.
Discuția . Problema are patru soluții ∆𝐻𝑎𝐻𝑏𝐻𝑐 , ∆𝐻𝐻𝑐𝐻𝑏, ∆𝐻𝑐𝐻𝐻𝑎 și ∆𝐻𝑏𝐻𝑎𝐻
pentru ∆𝐴𝐵𝐶 în toate cazurile când 𝐴′,𝐵′,𝐶′ nu sunt coliniare, facă 𝐴′,𝐵′,𝐶′ sunt
coliniare , atunci problema nu admite soluții.
2. Să se înscrie într -un cerc un trapez în care cunoaștem înățimea și suma sau
diferența bazelor.
Din 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ⟹𝐴𝐵̂=𝐵𝐶 ̂ ⟹𝐴𝐷=𝐵𝐶 deci trapezul este isoscel. Fie 𝐴𝐻 ⊥
𝐷𝐶; 𝐷𝐻 =𝐷𝐶−𝐴𝐵
2, iar 𝐻𝐷 =𝐷𝐶−𝐻𝐶, 𝐻𝐶=𝐷𝐶−𝐻𝐷 =𝐷𝐶−𝐷𝐶−𝐴𝐵
2=
2𝐷𝐶−𝐷𝐶+𝐴𝐵
2=𝐷𝐶+𝐴𝐵
2.

a). Pentru a construi trapezul când se cunoaște înăl țimea 𝐴𝐻 și semidiferența
bazelor adică 𝐷𝐻 =𝐷𝐶−𝐴𝐵
2, se va construi triunghiul dreptunghic ∆𝐴𝐻𝐷 , cunoscând

24
catetele sale. Se duce mediatoarea ipotenuzei 𝐴𝐷 și din punctul 𝐴 ca centru și cu raza
cercului dat se determină poziția centrului 𝑂, se descrie cercul cu centrul în 𝑂 și cu raza
dată, se duce axa de smetrie 𝑎 , iar 𝐶 va fi simetricul lui 𝐷 față de 𝑎 și 𝐵 simetricul lui 𝐴
față de 𝑎.
b). Pentru cazul când se cunoaște suma bazelor, respectiv semisuma bazelor se va
construi triunghiul ∆𝐴𝐻𝐶 , cunoscând catetele și în rest se procedează în mod
asemănător ca la punctul precedent.
Pentru ca problema să fie posibilă, cazul când se dă suma bazelor, este necesar
și suficient ca raza cercului să fie mai mare decât 𝐴𝑀 și mai mică decât 𝐴𝑄 unde 𝑄=
𝑀𝑂 ∩𝐴𝐻.
Dacă se dă diferența bazelor este necesar ca raza să fie mai mare decât 𝐴𝑃, unde
𝑃=𝑁𝑂 ∩𝐴𝐻.

25
Capitolul II . TRATAREA ALGEBRICĂ A PROBLEMELOR DE
CONSTRUCȚII GEOMETRICE

2.1 Rezolvarea ecuațiilor cu rigla și compasul
S-a arătat că, utilizând rigla și compasul, se po t aduna, înmulți, împărți și extrage
rădăcini pătrate, pornind cu numere pozitive. Se presupune acum că avem un sistem de
coordonate în plan:

Se vrea să se știe ce puncte se pot construi cu rigla și compasul, dându -se
punctele de coordonate 1, iar 𝑎 și 𝑏 se află pe axa 𝑥-lor. Bineînțeles că numerele
negative apar și ele: 𝑎 și 𝑏 pot fi foarte bine negative. Aceasta însă nu produce greutăți;
dacă se poate construi punctul cu coordonata 𝑥, atunci cu siguranță că se poate construi
și punctul cu coordonata –𝑥; fiind date 𝑥 și 𝑦, se po t construi 𝑥−𝑦,𝑦−
𝑥,(−𝑥)𝑦,𝑥(−𝑦) și așa mai departe.
Aceasta înseamnă că utilizând rigla și compasul se po t efectua toate operațiile
descrise în axiomele unui corp ordonat euclidian. Altfel spus, se poate aduna, scădea,
înmulți, împărți și extrage rădăcina pătrată, în toate cazurile cînd aceste operații
algebrice sunt posibile. Când se vorbește despre “construi rea unui număr” , se înțelege ,

26
bineînțeles construirea punctului corespunzător pe axa 𝑥-lor. Evident, dacă se po t
construi ℎ și 𝑘, atunci se poate construi punctul (ℎ,𝑘) în sistemul de coordonate.
Trebuie doar să se construiască perpendiculare ca în figur a de mai sus, luându -se apoi
intersecția lor. Reciproc, dacă 𝑃=(ℎ,𝑘), este dat, se po t construi ℎ și 𝑘 coborându -se
perpendiculare pe axe.
Din aceste motive, în mai multe cazuri se poate rezolva probleme algebrice prin
intermediul constr ucțiilor cu rigla și compasul:

PROBLEMA1. Fie date punctele de coordonate 𝑎,𝑏,𝑐 pe axa 𝑥-lor, cu 𝑏2−
4𝑎𝑐>0. Se dorește să se construiască cu rigla și compasul, rădăcinile ecuației 𝑎𝑥2+
𝑏𝑥+𝑐=0. Aceste rădăcini find:
𝑥1=−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 și 𝑥2=−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Fiecare dintre ele poate fi calculat ă, pornind de la 𝑎,𝑏 și 𝑐, printr -un număr finit de
adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și extrageri de rădăcini. Fiecare dintre aceste operții
poate fi făcută geometric. Așa dar rădăcinile pot fi construite.

PROBLEMA2. Fie date pe axa 𝑥-lor punctele de coordonate 𝐴,𝐵,𝐶,𝐴′,𝐵′,𝐶′.
Dorim să costruim numerele 𝑥1 și 𝑦1 care sunt soluțiile sistemului:
{𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0
𝐴′𝑥+𝐵′𝑦+𝐶′=0
Suntem interesați de cazul în care graficele ecuațiilor sunt drepte neparalele care se
intersectează într -un punct (𝑥1,𝑦1). Aceasta se întâmplă dacă 𝐴𝐵′−𝐵𝐴′≠𝑂( fig II a)
).
În acest caz prin metode elementare obișnuite, obținem soluțiile sub forma
𝑥1=𝐵𝐶′−𝐵′𝐶
𝐴𝐵′−𝐵𝐴′ și 𝑦1=𝐴′𝐶−𝐶𝐴′
𝐴𝐵′−𝐵𝐴′

27

Toate operațiile cerute aici pot fi făcute cu rigla și compasul. Se arată că dacă
𝐴,𝐵,𝐶 sunt construite atunci cel puțin do uă puncte ale dreptei 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 pot fi
construite. Dacă 𝐵≠0, se po t scrie 𝑥=0 și 𝑥=1, obținându -se punctele (0,−𝐶
𝐵) și
(1,−𝐶−𝐴
𝐵). Dacă 𝐵=0, dreapta corespunzătoare este verticală și se po t construi
punctele (−𝐶
𝐴,0) și (−𝐶
𝐴,1) ( fig II b)).
După ce aceste puncte au fost construite se poate desena dreapta ce le conț ine.

2.2 Corpul numerelor pitagoreice
Un număr 𝑥 se numește pitagoreic dacă se poate calcula 𝑥 printr -un număr finit
de adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și extrageri de rădăcini pătrate, pornind cu 0 și
1. De exemplu, 2=1+1. Se presupune că 𝑛, este pitagoreic de unde rezultă prin
adunare că 𝑛+1 este pitagoreic, deoarece suma a două numere p itagoreice este un
număr pitagoreic. Prin inducție, rezultă că orice număr întreg pozitiv este pitagoreic.
Prin scădere, rezultă că orice număr întreg negativ este pitagoreic. Prin împărțire avem
următoarea:

Teorema 1. Orice număr rațional este pitagorei c.
Este ușor de arătat că:

28
Teorema 2. Numerele pitagoreice formează un corp euclidian ordonat.
Pentru a verifica aceasta, se observă că asociativitatea, comutativitatea,
distributivitatea rezultă automat pentru numerele pitagoreice, deoarece ele sunt
verificate pentru numerele reale. Ace eași observație se verifică și la axiomele referitoare
la ordine. Așadar numerele pitagoreice formează un corp ordonat care se notează cu 𝑆.
Mai târziu se arăta că unele numere nu sunt pitagoreice. Dacă se știe că exis tă un număr
care nu este pitagoreic, atunci există multe altele. De exemplu, dacă 𝑥 nu este
pitagoreic, iar 𝑝 și 𝑞 sunt întregi diferi te de 0, atunci 𝑦=𝑝
𝑞𝑥 nu este pitagoreic. Mai
general, dacă 𝑎 este pitagoreic, iar 𝑥 nu este pitagoreic, 𝑎 fiind diferit de 0, atunci 𝑎𝑥 nu
este pitagoreic. Printr -un 𝑆- punct, se înțelege un punct care are ambele coordonate
pitagoreice. Printr -o 𝑆- dreaptă, se înțelege o dreaptă care conține cel puțin două 𝑆-
puncte. Printr -un 𝑆- cerc se înțelege un cerc al c ărui centru este un 𝑆- punct și a cărei
rază este în 𝑆. Printr -o 𝑆- ecuație se înțelege o ecuație de forma 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 sau
𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0, în care toți coeficienții sunt în 𝑆. Aceste idei sunt legate
de următoarea teoremă:
Teorema 3. Oric e 𝑆- dreaptă este graficul unei 𝑆- ecuații.
Demonstrație: Fie 𝐿 o dreaptă ce conține 𝑆- punctele (𝑥1,𝑦1) și (𝑥2,𝑦2). Dacă 𝐿
este verticală, atunci 𝐿 este graficul 𝑆- ecuației 𝑥−𝑥1=0. Dacă 𝐿 nu este verticală,
atunci panta lui 𝐿 este 𝑚=𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1. Deoarece 𝑆 este un corp, 𝑚 este pitagoreic. Dreapta
𝐿 este graficul ecuației 𝑦−𝑦1=𝑚(𝑥−𝑥1) sau 𝑚𝑥−𝑦−(−𝑦1+𝑚𝑥1)=0, care este
o ecuație. Reciproca este de asemenea adevărată.
Teorema 4. Dacă o dreaptă 𝐿 este graficul unei 𝑆- ecuații atunci ea este o 𝑆-
dreaptă.
Demonstrație: Se presupune că 𝐿 este graficul 𝑆- ecuației 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0. Dacă 𝐵≠
0, atunci se poate pune 𝑥=0 și 𝑥=1, obținându -se 𝑆- punctele (0,−𝐶
𝐵) și (1,−𝐶−𝐴
𝐵).
Dacă 𝐵=0, atunci 𝐿 conține 𝑆- punctele (−𝐶
𝐴,0) și (−𝐶
𝐴,1).

Teorema 5. Dacă un cerc 𝐶 este graficul unei 𝑆- ecuații, atunci 𝐶 este un 𝑆- cerc.
Demonstrație: Fie dată 𝑆- ecuația 𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0, al cărei grafic
este un cerc. Putem transforma ecua ția în forma (𝑥+𝐷
2)2
+(𝑦+𝐸
2)2
=𝐷2+𝐸2−4𝐹
4.

29
Așadar centrul este 𝑆- punctul (−𝐷
2,−𝐸
2), iar raza este numărul pitagoreic 𝑟=
1
2√𝐷2+𝐸2−4𝐹.
Teorema 6. Fie 𝑃 un punct în intersecția a două 𝑆- cercuri, sau a două 𝑆- drepte,
sau a unui 𝑆- cerc și o 𝑆- dreaptă. Atunci 𝑃 este un 𝑆- punct.
Coordonatele 𝑥1 și 𝑦1 ale lui 𝑃 sunt soluțiile comune ale două 𝑆- ecuații, fiecare
de forma
𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 sau 𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0. Când se rezolvă un astfel de
sistem prin metodele algebrice obișnuite, se ca lculează 𝑥1 și 𝑦1, pornind de la operațiile
adunare, scădere, înmulțire, împărțire si extragerea rădăcinii pătrate. La fiecare pas
aceste operații nu ies din corpul numerelor pitagorice. Așadar rezultatele finale 𝑥1 și 𝑦1
sunt pitagorice.

2.3 Planul pitag oreic
Fie 𝐸 un sistem de coordonate în plan. Se notează cu 𝐸̅ mulțimea tuturor
punctelor pitagor eice din 𝐸; 𝐸̅ se va numi planul pitagoreic. Pentru fiecare 𝑆- dreaptă 𝐿,
fie 𝐿̅=𝐸̅∩𝐿. Mulțimile 𝐿̅ se numesc drepte pitagoreice. Analog dacă 𝐶 este un 𝑆- cerc,
fie 𝐶̅=𝐸̅∩𝐶. Mulțimile 𝐶̅ se numesc cercuri pitagoreice.
Așa cum s -a remarcat înainte, se va dovedi că nu toate numerele reale sunt
pitagoreice. Așadar 𝐸̅ este plin de “găuri”. De fapt 𝐸̅ nu conține în întregime nicio
dreaptă si niciun cerc.

30
Astfel, dacă 𝑥1 și 𝑦1 nu sunt pitagoreice, atunci dreptele 𝑥=𝑥1 și 𝑦=𝑦1 nu
conțin niciun punct din 𝐸̅. Dreptele de acest tip taie planul în “bucăți” depărtate una de
alta “doar la un punct”.
Pe de altă parte, dacă se cercetează planul pitagoreic lucrând doar cu rigla și
compasul, nu se va putea spune niciodată că lipsește vreun punct. Singurele drepte și
cercuri care pot fi desenate vor fi 𝑆- dreptele și 𝑆- cercurile. Dacă două 𝑆- drepte, 𝐿1 și
𝐿2, se intersectează intr -un punct, acest punct este în 𝐸̅. Așadar 𝐿̅1 se intersectează cu
𝐿̅2. Dacă o 𝑆- dreaptă 𝐿 intersectează un 𝑆-cerc 𝐶, punctele de intersecție sunt în 𝐸̅.
Așadar 𝐿̅∩𝐶̅=𝐿∩𝐶. Dacă două 𝑆- cercuri 𝐶1 și 𝐶2 se int ersectează, atunci 𝐶̅1 și
𝐶̅2 se intersectează în aceleași puncte. Așadar, deși dreptele și cercurile pitagoreice sunt
“pline de găuri” acestea “niciodată nu trec unele prin altele pe unde sunt găuri”; ele se
intersectează doar unde este așteptat să se fac ă.
Teorema 1. Orice construcție cu rigla și compasul care este posibilă în plan ete
posibilă și în planul pitagoreic.
Având în vedere această teoremă, întrebările privind trisecțiunea unghiurilor și
dublarea cuburilor devin mult mai concrete:
(1) Este adevărat ca în planul pitagoreic orice unghi are o trisecțiune?
(2) Este √23 pitagoreic?
Dacă răspunsul la (1) este “nu”, atunci nu există o metodă generală de trisecțiune
a unghiurilor cu rigla și compasul; singurele puncte care se pot construi sunt pun cte
pitagoreice și nu se poate construi o dreaptă care conține mai puțin de două puncte
pitagoreice.
Analog, dacă √23 nu este pitagoreic, nu se poate construi un segment care are
lungimea √23 . Ca să se răspundă la (1) și (2), trebuie să se facă câteva co nsiderații
algebrice.

2.4 Aplicații la ecuații de gradul trei cu coeficienți raționali
Fie 𝐹 un subcorp al mulțimii numerelor reale. Fie 𝑘 un număr pozitiv din 𝐹, se
presupune că √𝑘 nu este în 𝐹. Fie 𝐹(𝑘)={𝑥+𝑦√𝑘 | 𝑥,𝑦∈𝐹}. Mulțimea 𝐹(𝑘) se
numește extindere pătratică a lui 𝐹.
De exemplu, dacă 𝐹 este corpul 𝑄 al numerelor raționale, atunci 2∈𝐹 și √2∉
𝐹. Așadar, se poate forma extinderea pătratică:

31
𝐹(𝑘)=𝑄(2)={𝑥+𝑦√2 | 𝑥,𝑦∈𝑄}, aceste numere formează un corp.
Fie dată o ecuație de gr adul trei
𝑓(𝑧)=𝑧3+𝑎2𝑧2+𝑎1𝑧+𝑎0=0,
unde toți coeficienții sunt numere reale. Se reamintește din teoria ecuațiilor că
polinomul din stânga are întotdeauna o factorizare de forma 𝑔(𝑧)=(𝑧−𝑧1)(𝑧−
𝑧2)(𝑧−𝑧3)=0, unde 𝑧1,𝑧2,𝑧3 sunt rădăcinile sale. Aceste a pot să nu fie diferite, iar
două pot fi complexe. Aceasta înseamnă că:
𝑔(𝑧)=𝑧3−(𝑧1+𝑧2+𝑧3)𝑧2+(𝑧1𝑧2+𝑧1𝑧3+𝑧2𝑧3)𝑧−𝑧1𝑧2𝑧3=0.
Însă 𝑓(𝑧)=𝑔(𝑧) pentru orice 𝑧. Singurul mod în care se poate întâmpla aceasta
pentru polinoame este ca toți coeficien ții corespunzători să fie egali. Așadar se observă,
în particular, că
−(𝑧1+𝑧2+𝑧3)=𝑎2.
Se presupune ca 𝑎,𝑏 și 𝑐 sunt intr -un subcorp 𝐹 al numerelor reale și că ecuația
𝑧3+𝑎𝑧2+𝑏𝑧+𝑐=0 are o rădăcină 𝑧1 într-o extindere pătratică 𝐹(𝑘) a lui 𝐹. Atunci
𝑧̅1 este de asemenea o rădăcină, conform următoarei teoreme:
Teorema 1. Fie 𝑓 un polinom cu toți coeficienții în 𝐹. Dacă 𝑧0∈𝐹(𝑘) și
𝑓(𝑧0)=0, atunci 𝑓(𝑧̅0)=0.
Așadar, pentru ecuațiile polinomiale cu coeficienți în 𝐹, rădăcinile în 𝐹(𝑘) apar
în perechi conjugate.
Dacă a treia rădăcină este 𝑧3, avem −(𝑧1+𝑧̅2+𝑧3)=𝑎, sau 𝑧3=
−(𝑧1+𝑧̅2+𝑎). Însă 𝑧1+𝑧̅2∈𝐹. Așadar 𝑧3∈𝐹. Avem deci următoarea teoremă:
Teorema 2. Fie dată ecuația 𝑧3+𝑎𝑧2+𝑏𝑧+𝑐=0, cu coeficienți într -un corp
𝐹. Dacă ecuația are o rădăcină într -o extindere pătratică a lui 𝐹, atunci ecuația are o
rădăcină în 𝐹.
Teorema 3. Fie dată ecuația 𝑧3+𝑎𝑧2+𝑏𝑧+𝑐=0, unde coeficienții sunt
raționali. Dacă ecuația are o rădăcină în corpu l numerelor pitagorice, atunci are o
rădăcină rațională.
Demonstrație. Se presupune că un număr pitagoric 𝑧1 de ordin 𝑛 este rădăcină.
Avem deci un șir 𝐹0,𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑛, de extinderi pătratice, ca în paragraful precedent, cu
𝐹0=𝑄, 𝐹𝑖+1=𝐹𝑖(𝑘𝑖+1), pentru orice 𝑖, iar 𝑧1∈𝐹𝑛.
Cum 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑄, ecuația dată are coeficienții în 𝐹𝑛−1. Din Teorema 2, rezultă că
euația are o rădăcină în 𝐹𝑛−1. Repetând acest raționam ent de 𝑛−1 ori, avem că ecuația
dată are o rădăcină în 𝐹0. Deoarece 𝐹0=𝑄, teorema este demonstrată.

32
Capitolul II I. POLIGOANE REGULATE ȘI LOCURI GEOMETRICE

3.1 Poligoane regulate
O problemă deosebit de importantă este împărțirea cercului în 𝑛 părți egale .
Această problemă cere construirea cu rigla și compasul a 𝑛 puncte, care să împartă
cercul în 𝑛 arce egale. Știm din geometria elementară că aceste puncte sunt tocmai
vârfurile unui poligon regulat cu 𝑛 laturi. Și invers, cele 𝑛 vârfuri ale poligonului
regulat cu 𝑛 laturi împart cercul circumscris în 𝑛 arce cu aceeași măsură. Deci problema
împăr țirii cercului și problema construirii poligoanelor regulate sunt probleme identice.
Problema împărțirii cercului a fost rezolvată pentru 𝑛=2,3,5,15 încă din
antichitate. Tot atunci s -a rezolvat problema și pentru numerele care se obțin din cele de
mai sus prin înmulțire cu 2𝑘, unde 𝑘 este un număr natural. Primul care a adus noi
construcții în această problemă a fost Gauss, prin construirea poligonului regulat cu 17
laturi.
Natural se pune întrebarea, pentru care numere 𝑛 poate fi efectuată împărțir ea
cercului în părți egale? La această întrebare tot Gauss a dat răspunsul definitiv.
Este suficient să studiem cazurile în care 𝑛 este număr impar și prim, sau este un
număr de acest fel, ridicat la o putere oarecare. Într -adevăr, prin împărțiri succesiv e cu
2, cazurile în care 𝑛 este par, pot fi reduse la cazuri în care 𝑛 este impar (ceea ce revine
la împărțirea arcului sau coardei în două părți egale). Dacă 𝑛 este produsul a două
numere impare, prime între ele, 𝑛1 și 𝑛2, atunci împărțirea cercul ui pentru 𝑛=𝑛1𝑛2
se poate reduce la împărțirea cercului în 𝑛1 și în 𝑛2 părți. Într -adevăr, 𝑛1 și 𝑛2 fiind
numere prime între ele, se constată că ecuația nedeterminată 𝑥𝑛2−𝑦𝑛1=1 are soluție
în mulțimea numerelor întregi. Fie 𝑥=𝑘1 și 𝑥=𝑘2 o soluție. Înmulțind ambii membrii
ai egalității 𝑘1𝑛2−𝑘2𝑛1=1 cu 2𝜋
𝑛1𝑛2, obținem egalitatea
2𝜋
𝑛1𝑘1−2𝜋
𝑛2𝑘2=2𝜋
𝑛1𝑛2.
Observăm că termenul din membrul al doilea este egal cu lungimea cercului
împărțită la 𝑛1𝑛2 părți, iar în membrul întâi lugim ea cercului este împărțită în 𝑛1,
respectiv 𝑛2 părți, înmulțite cu 𝑘1, respectiv 𝑘2, ceeea ce ne arată că împărțirea cercului
pentru 𝑛=𝑛1𝑛2 este posibilă pentru fiecare dintre numerele 𝑛1 și 𝑛2.

33
De exemplu, pentru 𝑛=15=3∙5, are loc egalitatea 1
2(1
3−1
5)=1
15, adică
1
2(2𝜋
3−2𝜋
5)=2𝜋
15 și deci împărțirea cercului în 3 respectiv 5 părți egale rezolvă și
problema împărțirii în 15 părți egale, caz particular, cunoscut din antichitate.
Se consideră cercul de rază 1 și se dorește împărțirea lui în 𝑛 părți egale.
Punctele de împărțire corespund numerelor complexe care satisfac relația 𝑧𝑛=1.
A rezolva împărțirea cercului prin numărul 𝑛 înseamnă a constr ui rădăcinile
acestei ecuații. Rădăcinile ei diferite de 1 sunt date de ecuația 𝑧𝑛−1
𝑧−1=𝑧𝑛−1+𝑧𝑛−2+
⋯+𝑧+1=0, numită ecuația împărțirii cercului. Studiind această ecuație ne vom
referi la lema si teorema următoare.
Lema lui Gauss. Dacă polinomul 𝐹(𝑥)=𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎𝑛 are coeficienți
întregi și se descompune în corpul rațional, într -un produs de două polinoame, atunci
𝐹(𝑥) poate fi scris și ca un produs de două polinoame cu coeficienți întregi.
Dacă 𝐹(𝑥)=(𝑥𝑢+𝑏1𝑥𝑢−1+⋯+𝑏𝑢)(𝑥𝑣+𝑐1𝑥𝑣−1+⋯+𝑐𝑣), unde 𝑢+𝑣=
𝑛, coeficienții 𝑏ℎ și 𝑐𝑘 sunt numere raționale și dacă 𝐵ℎ și 𝐶𝑘 (ℎ=1,2,…,𝑢;𝑘=
1,2,…,𝑣) sunt numere întregi, astfel încât avem 𝑏ℎ=𝐵ℎ
𝐵0, 𝑐ℎ=𝐶ℎ
𝐶0, (𝐵0,𝐵1,…,𝐵𝑢)=
(𝐶0,𝐶1,…,𝐶𝑣)=1 (parantezele rotunde indică 𝑐.𝑚.𝑚.𝑑.𝑐), atun ci:
𝐵0𝐶0𝐹(𝑥)=(𝐵0𝑥𝑢+𝐵1𝑥𝑢−1+⋯+𝐵𝑢)(𝐶0𝑥𝑣+𝐶1𝑥𝑣−1+⋯+𝐶𝑣).
Comparând coeficienții corespunzători obținem:
𝐵0𝐶0𝑎1=𝐵0𝐶1+𝐵1𝐶0,𝐵0𝐶0𝑎2=𝐵0𝐶2+𝐵1𝐶1+𝐵2𝐶0,…,𝐵0𝐶0𝑎ℎ+𝑘=𝐵0𝐶ℎ+𝑘+
𝐵1𝐶ℎ+𝑘−1+⋯+𝐵ℎ−1𝐶𝑘+1+ 𝐵ℎ𝐶𝑘+𝐵ℎ+1𝐶𝑘−1+⋯+ 𝐵ℎ+𝑘𝐶0.
Dacă 𝑝 este un divizor prim al numărului 𝐵0𝐶0, și totodată este divizor al
numerelor 𝐵0,𝐵1,…,𝐵ℎ−1, 𝐶0,𝐶1,…,𝐶𝑘−1, dar nu este divizor al numerelor 𝐵ℎ și 𝐶𝑘,
atunci 𝑝 împarte partea stângă a egalității anterioare, dar nu împarte și partea di n
dreapta, căci împarte toți termenii acestei părți cu excepția unuia și anume a termenului
𝐵ℎ𝐶𝑘.
Din această contradicție rezultă că numărul 𝐵0𝐶0 nu are divizor prim și astfel
𝐵0𝐶0=1, adică 𝐵0=𝐶0=1.
Teorema lui Eisenstein. Dacă polinomul cu coeficienți întregi 𝐹(𝑥)=𝑥𝑛+
𝑎1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎𝑛 are coeficienții 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 divizibil cu un număr prim 𝑝, dar 𝑎𝑛 nu
este divizibil cu 𝑝2, atunci polinomul este ireductibil în corpul numerelor raționale.
Fie 𝐹(𝑥)=(𝑥𝑢+𝑏1𝑥𝑢−1+⋯+𝑏𝑢)(𝑥𝑣+𝑐1𝑥𝑣−1+⋯+𝑐𝑣), pe baza lemei
lui Gauss 𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑢,𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑣 sunt numere întregi. Numărul 𝑎𝑛=𝑏𝑢∙𝑐𝑣 este

34
divizibil cu 𝑝, dar nu este divizibil cu 𝑝2, de aceea dintre 𝑏𝑢 și 𝑐𝑣 numai unul este
divizibil c u 𝑝. Dacă 𝑐𝑣 este divizibil cu 𝑝, atunci 𝑎𝑛−1=𝑏𝑢∙𝑐𝑣−1+𝑏𝑢−1∙𝑐𝑣 fiind
divizibil cu 𝑝 și 𝑐𝑣−1 este divizibil cu 𝑝 (𝑎𝑛−1 și 𝑐𝑣 fiind divizibili cu 𝑝, dar 𝑏𝑢 nefiind
divizibil cu 𝑝).
Comparând coeficienții din cele două părți ale egalității anterioare, se decide:
𝑎𝑘=𝑏𝑢∙𝑐𝑘−𝑢+𝑏𝑢−1∙𝑐𝑘−𝑢+1+⋯+𝑏0∙𝑐𝑘,
(𝑘=𝑛−1,𝑛−2,…,1; 𝑐0=0,𝑐𝑣+1=𝑐𝑣+2=⋯=0);
în mod similar se deduce că și 𝑐𝑣,𝑐𝑣−1,…,𝑐1 și 𝑐1=1 sunt divizibili cu 𝑝.
Din această contradicție urmează te orema lui Eisenstein.
Se consideră funcția:
𝐹(𝑥)=𝑥𝑝−1
𝑥−1; luăm
𝐹(𝑥+1)=(𝑥+1)𝑝−1
𝑥=𝑥𝑝−1+𝑐𝑝1𝑥𝑝−2+⋯+𝑐𝑝2𝑥+𝑝.
Acest polinom este ireductibil în virtutea teoremei lui Eisenstein. Dar atunci este
ireductibilă și ecuația împărț irii cercului:
𝐹(𝑧)=𝑧𝑝−1
𝑧−1=𝑧𝑝−1+𝑧𝑝−2+⋯+𝑧+1=0.
Dacă 𝑛=𝑝2 și 𝑝 este un număr prim diferit de 2, atunci rădăcinile ecuației 𝑧𝑝−
1=0 sunt totodată și rădăcinile ecuației 𝑧𝑝2−1=0. Problema împărțirii cercului în
𝑝2 părți duce la ecuația:
𝑧𝑝2−1
𝑧𝑝−1=𝑧𝑝(𝑝−1)+𝑧𝑝(𝑝−2)+⋯+𝑧𝑝+1=0
(1)
Rădăcinile acestei ecuații împart cercul în 𝑝(𝑝−1) arce. Acele 𝑝 arce care
cuprind câte o rădăcină a ecuației 𝑧𝑝−1=0 sunt de două ori mai mari decât restul de
𝑝(𝑝−1)−𝑝 arce. Prin înjumătățirea l or, cercul se împarte în 𝑝2 părți egale.
Pentru a arăta că și ecuația (1) este reductibilă, se face substituția 𝑧=𝑥+1, și
ecuația devine: 𝑥𝑝(𝑝−1)+𝑝𝑥∙𝑔(𝑥)+𝑝=0, unde 𝑔(𝑥) este un polinom cu coeficienți
întregi de gradul 𝑝(𝑝−1)−2. Această ecuați e satisface condiția lui Eisenstein.
Punând 𝑛=𝑝𝛼, se obține ecuația:
𝑥𝑝𝛼−1
𝑥𝑝𝛼−1−1=𝑥𝑝𝛼−1(𝑝−1)+𝑥𝑝𝛼−1(𝑝−2)+⋯+𝑥𝑝𝛼−1+1=0.
Se observă în mod analog că atât ecuația 𝑥𝑝2−1
𝑥𝑝−1=0, căt și ecuația 𝑥𝑝𝛼−1
𝑥𝑝𝛼−1−1=0,
sunt ecuații ireduct ibile.

35
Pentru ca ecuațiile să aibă rădăcina construibilă cu rigla și compasul, gradul
ecuațiilor trebuie să fie o putere a lui 2. Adică dintre polinoamele 𝑝𝛼 laturi numai acele
pot fi constr uibile pentru care 𝑝𝛼−1(𝑝−1)=2𝑚.
Se deduce că 𝛼=1,𝑝=2𝑚+1. Urmează rezultatul:
Un poligon cu 𝑝2,𝑝3,…,𝑝𝛼 (𝑝 număr prim) laturi nu este construibil cu rigla și
compasul, iar un poligon cu 𝑝 laturi poate fi construit dacă 𝑝=2𝑚+1 (condiție
necesară).
Se poate arăta că dacă un număr prim este de forma 2𝑚+1, exponentul lui 𝑚
este o putere a lui 2.
Teoria lui Galois asupra ecuațiilor ne furnizează și condițiile suficiente pentru ca
o ecuație să aibă rădăcina construibilă cu rgla și compasul. Se demons trează teorema:
Dacă 𝑝 este un număr prim de forma 2𝑚+1 (număr al lui Gauss), atunci cercul
poate fi împărțit în 𝑝 părți egale.
Pe baza celor spuse putem enunța celebra teorema a lui Gauss: Împărțirea
cercului cu rigla și compasul în 𝑛 arce egale se poate efectua numai în cazul numerelor
𝑛 care se pot descompune în factori primi de forma 2𝑚+1, care figurează cel mult la
puterea întâi. (În cazul numerelor 𝑛 de acest fel împărți rea cercului poate fi efectuată ).
Aplicând această teoremă, se constată că dintre poligoanele regulate având numărul
laturilor mai mic de 100, sunt construibile cu rigla ș i compasul cele cu următoarele
numere de laturi: 2,3,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85 și
96.
Construirea efectivă a acestor poligoane în unele cazuri este prea laborioasă.
Astfel Richelot, aplicând metodele lui Gauss, a construit poligonul regulat cu 257 laturi ,
dar construcțiile sale umplu 84 pagini. Matematicianul Hermes a lucrat 10 ani la
construirea poligonului regulat cu 65537 laturi. Calculele și construcțiile sale sunt
cuprinse într -o lucrare atât de vastă încât manuscrisele sale umplu un geamantan întreg .
Din cauza mărimii ei, lucrarea nu este nici până zi editată. Ea se găsește în biblioteca
Seminarului de Matemtică din Göttingen.

APLICAȚIA 1. Să se înscrie într -un cerc un poligon regulat cu 15 laturi.
Soluție: Fie figura de mai jos, în cercul dat, o coardă 𝐴𝐵 egală cu latura
pentagonului regulat convex. În triunghiul isoscel ∆𝐴𝑂𝐵 , 𝑂 fiind centrul cercului se
observă că 𝑚(∢𝐴𝑂𝐵 )=360°
2=72° și deci 𝑚(∢𝑂𝐴𝐵 )=𝑚(∢𝑂𝐵𝐴 )=54°.

36
Fie acum 𝐵𝐶 coarda egală cu raza cercului, astfel în cât unghiul la centru 𝑚(∢𝐵𝑂𝐶 )=
60° să fie alăturat unghiului ∢𝐴𝑂𝐵 . Rezultă că 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶 )=60°
2=30° și deci
𝑚(∢𝑂𝐴𝐶 )=54° −30° =24°, care este chiar valoarea unghiului la centru
corespunzător poli gonului regulat convex înscris î n cerc , cu 15 laturi. Pentru
complexitatea construcției, se duce mediatoarea 𝐷𝐸 a razei 𝑂𝐴, care taie coarda 𝐴𝐶 în
𝐸. Triunghiul ∆𝐴𝑂𝐸 fiind astfel isoscel, rezultă că 𝑚(∢𝐴𝑂𝐸 )=𝑚(∢𝑂𝐴𝐶 )=24° și
deci, nu rămâne decât să se prelungească pe 𝑂𝐸 până taie arcul 𝐴𝐵 în 𝑀, coarda 𝐴𝑀
fiind atunci latura respectivul ui poligon regulat înscris, cu 15 laturi.

APLICAȚIA 2. Un triunghi echilateral ∆𝐴𝐵𝐶 este înscris într -un cerc, 𝐴𝐷 este
o treime din 𝐴𝐵, iar 𝐵𝐸 este o treime din 𝐵𝐶. Să se demonstreze că 𝐷𝐸 este egală cu
lungimea razei cercului.
Soluție. Fie 𝑅 raza cercului și 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐿. Avem, precum se știe 𝐿=
𝑅√3. Fie încă, potrivit enunțului, punctul 𝐷 situat pe 𝐴𝐵 și punctul 𝐸 situat pe 𝐵𝐶,
adică astfel încât să rezulte că 𝐴𝐷=1
3∙𝐴𝐵 și 𝐵𝐸=1
3∙𝐵𝐶. Fie, de asemenea, 𝐹
mijlocul segmentului [𝐸𝐶]. Atunci rezultă că 𝐴𝐷=𝐵𝐸=𝐸𝐹=𝐹𝐶=𝐿
3 și 𝐵𝐷 =𝐵𝐹=
2∙𝐿
3 . Triunghiul ∆𝐷𝐵𝐹 este asemenea cu ∆𝐴𝐵𝐶 , întrucât au unghiul 𝐵 comun și 𝐵𝐷
𝐴𝐵=
𝐵𝐹
𝐵𝐶=2𝐿
3
𝐿=2
3. Rezultă atunci că 𝐷𝐹=2
3∙𝐴𝐶=2
3∙𝐿. În triunghiul ∆𝐷𝐵𝐹 ,
echilateral astfel, mediana 𝐷𝐸 fiind și înălțime, se poate afla, aplicând unuia din

37
triunghiurile dreptunghice ∆𝐵𝐷𝐸 sau ∆𝐹𝐷𝐸 teorema lui Pitagora. Rezultă că
𝐷𝐸2=(2𝐿
3)2
−(𝐿
3)2
=3𝐿2
9=𝐿2
3 și deci 𝐷𝐸=𝐿
√3=𝑅, ceea ce trebuia demonstrat.

3.2 Rezolvarea problemelor de construcții p rin metoda locurilor
geometrice
Problemele de loc geometric au un aspect particular pe care încercăm să -l punem
în evidență.
Problema fixează o mulțime 𝐹 de elemente fixe (puncte, drepte, cercuri,
segmente, arce etc.) și o mulțime 𝐾 de constante (direcții, numere reale) cu ajutorul
cărora se formează o proprietate 𝑃 referitoare la punctele planului. Se cere să se
determine locul geometric al punctelor 𝑀 ce satisfac proprietatea 𝑃, adică mulțimea
acelor puncte 𝑀 pentru care propoziția 𝑃(𝑀) este adevărată.
Uneori proprietatea 𝑃 este formulată în raport cu un element veritabil: de
exemplu poate fi un punct (apar ținând unui element din 𝐹) sau o dreaptă ce trece printr –
un anumit punct, sau are o direcție precizată, sau un cerc (trecând prin unul sau două
puncte, tangent unei drepte). O anumită succesiune de construcții 𝐶 permite să asociem
elementului 𝑒 unul sau mai multe puncte 𝑀; în acest caz trebuie să se înțeleagă că
proprietatea 𝑃 este adevărată pentru 𝑀 dacă există o poziție a lui 𝑒 încât prin 𝐶 să poată
rezulta 𝑀.

38
Rezolvarea unei probleme de loc geometric se compune din două părți distincte:
în prim a parte trebuie să se “ghicească – intuiască” care este locul geometric; în cea de a
doua parte trebuie să se demonstre ze că mulțimea imaginată satisfa ce condițiile
anunțate. De fapt aceste două et ape sunt foarte greu de separat , iar operația de “ghi cire”
are un foarte pronunțat c aracter geometric.
Ca urmare a primei etape se cunoaște mulțimea 𝑀 și trebuie să se demonstreze
că aceasta conincide cu locul geometric 𝛼; deci în cadrul celei de a doua părți, singura
ce se obișnuiește a fi redactată, trebuie să se demonstreze o egalitate de mulțimi și
anume 𝑀=𝛼. În general o astfel de egalitate se dovedește în două etape: a) 𝑀⊆ 𝛼 și
b) 𝛼⊆𝑀. Deoarece apartenența unui punct 𝑀 la mulțimea 𝛼 se exlicitează conform
enunțului problmei de loc geometric, pentru aceste două etape trebuie să se demonstreze
următoarele implicații:
a) 𝑀∈ ℳ→ este adevărată propoziția 𝑃(𝑀) (orice punct al figurii are
proprietatea enunțată)
b) Este adevărată propoziția 𝑃(𝑀)→𝑀∈ ℳ (orice punct care are proprietatea
enunțată aparține figurii)
Uneori este mai convenabil ca în locul uneia sau celeilalte dintre implicații să se
demonstreze o altă implicație echival entă:
a’) 𝑃(𝑀) nu este adevărată →𝑀∉ℳ (orice punct care nu are proprietatea
enunțată nu aparține figurii)
b’) 𝑀∉ℳ→𝑃(𝑀) nu este adevărată (orice punct care nu aparține figurii nu
are proprietatea enunțată)
O serie de probleme de construcți e se reduc la găsirea unui punct sau a mai
multor puncte. Un punct este determinat prin intersecția a două linii, iar fiecare din
aceste linii poate constitui o condiție. De aici se poate deduce că, dacă nu se tine cont de
una din condițiile car e determină un punct, atunci toate punctele care îndepli nesc
cealaltă condiție au aceeaș i proprietate, deci ele formează un loc geometric, iar punctul
se găsește pe acest loc geometric; dacă nu se tine cont de cealaltă condiție, atunci toate
punctele care îndeplinesc prima condiție au acee ași proprietate, deci ele formează un alt
loc geometric, pe care, de asemenea, se află punctul căutat. Deci punctul căutat se
găsește la intersecția celor două locuri geometrice.
Metoda locurilor geometrice constă deci în a alege punctul care trebuie
determinat pentru a face construcția cerută, apoi pe baza datelor din problemă se
stabilesc cele două condiții care pot determina punctul căutat; se află locurile

39
geometrice corespunzătoare ale acestor două condiții cănd una es te considerate și
cealaltă, în mod provizoriu, este neglijată, iar la intersecția acestor două locuri
geometrice se află punctul căutat.
Datorită f aptului că punctul căutat se afl ă la intersecția a două locuri geometrice,
aceasta înseamnă că aceste locuri trebuie aflate, ori trebuie să fie cunoscute mai dinainte
de studiul geometriei.
Pentru a ușura întrebuințarea metodei de mai sus se amintesc elevilor unele
locuri geometrice studiate de către ei mai înainte. Cunoașterea lor este necesară,
deoarece uneori ele dau posibilitatea să vedem unde se găsește punctul căutat.
Din geometria plană:
– Locul geometric al punctelor egal depărtate de extremitățile unui segment de
dreaptă este mediatoarea segmentului.
– Locul geometric al punctelor egal depărtate de latu rile unui unghi este
bisectoarea ace stui unghi.
– Locul geometric al punctelor egal depărtate de d ouă drepte paralele este o
dreap tă paralelă cu ele.
– Locul geometric al punctelor din plan, care se află la distanță fixă de un punct
fix, este u n cerc care admite punctul fix l a centru și distanța data ca rază.
– Locul geometric al punctelor din plan din care un segment de dreaptă [𝐴𝐵] se
vede sub un unghi dat este format din două arce simetrice față de segmentul [𝐴𝐵] și
care trec prin acel e puncte (dacă ungh iul este de 90°, atunci locul geometric este un cerc
care admite pe [𝐴𝐵] ca diametru).
– Locul geometric al punctelor din plan care au raportul distanțelor la două
puncte fixe 𝐴, 𝐵 constant este un cerc care are ca diametru segmentul care unește
punctele 𝐶 și 𝐷 conjugate armonic față de punctele 𝐴 și 𝐵 (numit cercul lui Apolonius) .
– Locul geometric al punctelor din plan care au diferența pătratelor distanțel or la
două puncte fixe constantă este o perpendicular ă pe dreapta ce unește cele două puncte
fixe.
– Locul geometric al punctelor din plan care au suma pătratelor distanțelor la
două puncte fixe constantă este un cerc care are centrul în mijlocul segmentului ce
unește cele două puncte fixe .
În geometria în spațiu:
– Locul geometric al punctelor egal depărtate de două puncte fixe este un plan
perpendicular pe mijlocul segmentului de dreaptă ce unește cele două puncte.

40
– Locul geometric al punctelor egal depărtate de fețele unui unghi diedru este
planul bisector al acestui unghi .
– Locul geometric al dreptelor perpendicular e pe o dreaptă într -un punct dat este
planul perpendicular pe dreapta data în punctul dat.
– Locul geometri c al punctelor care se află la egală depărtare de două plane
paralele date este un plan paralel cu ele.
– Locul geometri c al punctelor care se află la egală distanță de un punct fix este o
sferă.
APLICAȚIE. Arc capabil de un unghi dat.
Se consideră punctele fixe 𝐴 și 𝐵 si punctele real 𝛽∈(0°,180° ). Să se
determine locul geometric al punctelor 𝑀 situate în tr-unul din semiplanele limitate de
dreapta 𝐴𝐵, pentru 𝑚(∢𝐴𝑀𝐵 )=𝛽°.
Soluție. Se consideră punctele 𝐴,𝐵,𝐴≠𝐵 și 𝑆 unul din semiplanele limitate de
dreapta 𝐴𝐵. Fie semidreapta (𝐴𝐶 în semiplanul opus al lui 𝑆 astfel încât 𝑚(∢𝐶𝐴𝐵 )=
𝛽° și 𝑂 punc tul de intersecție al mediatoarei segmentului [𝐴𝐵] cu perpendicular prin 𝐴
pe 𝐴𝐶. Pe cercul de centru 𝑂 și rază 𝑟=𝑂𝐴, punctele 𝐴 și 𝐵 determină arcul 𝐴𝐵̂ situat
în semiplanul 𝑆. Se va arăta că acest arc fără capetele 𝐴 și 𝐵 este locul geometri c căutat.
Fie 𝑀 un punct al arcului 𝐴𝐵̂ din semiplanul 𝑆 și 𝑁 un punct al cercului care nu aparține
semiplanul 𝑆. Atunci 𝑚(∢𝐴𝑀𝐵 )=1
2𝑚(∢𝐴𝑁𝐵 ). Deoarece 𝐴𝐶 este tangent
cercului ( 𝐴𝐶⊥𝐴𝑂), rezultă că 𝑚(∢𝐶𝐴𝐵 )=1
2𝑚(∢𝐴𝑁𝐵 ); deci 𝑚(∢𝐴𝑀𝐵 )=
𝑚(∢𝐶𝐴𝐵)=𝛽°.
Rămâne de arătat că pentru orice punct 𝑄 al semiplanului 𝑆 nesituat pe arcul 𝐴𝐵̂,
𝑚(∢𝐴𝑄𝐵 )≠𝛽°. Într -adevăr, dacă 𝑄∈𝐼𝑛𝑡 𝒞(𝑂,𝑟)∩𝑆, rezultă că 𝑚(∢𝐴𝑄𝐵 )>
1
2𝑚(∢𝐴𝑁𝐵 )=𝛽°, deoarece ∢𝐴𝑄𝐵 este un unghi cu vârful în interiorul cercului, iar
dacă 𝑄∈𝐸𝑥𝑡 𝒞(𝑂,𝑟)∩𝑆 rezultă că 𝑚(∢𝐴𝑄𝐵 )<1
2𝑚(∢𝐴𝑁𝐵 )=𝛽°. Arcul deschis
𝐴𝑀𝐵̂ din semiplanul 𝑆 astfel construit este locul geometric al punctelor 𝑀 pentru care
𝑚(𝐴𝑀𝐵̂ )=𝛽° și se numește arc cap abil de 𝛽° față de segmentul [𝐴𝐵].

41
Arcul deschis 𝐴𝑁𝐵̂ din semiplanul opus este arcul capabil de 180° −𝛽° față de
segmentul [𝐴𝐵].

42
Capitolul I V. CONSTRUCȚII GEOMETRICE REALIZATE CU AJUTORUL
TRANSFORMĂRILOR GEOMETRICE

4.1 Rezolvarea problemelor de construcții prin metoda translației.
Numim transformare sau aplicație a spațiului 𝑆 în el însuși orice lege 𝑇 care
asociază fiecarui element 𝑎∈𝑆 un element 𝑎′∈𝑆; 𝑎′ se numește transformatul sau
imaginea elementului 𝑎 și se notează 𝑎′=𝑇(𝑎).
Translația este o transformare definită de un vector liber 𝑣⃗. Fiecărui punct 𝑀∈𝑆
îi corespunde un punct 𝑀′∈𝑆, astfel încât 𝑀𝑀 ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ este echipolent cu 𝑣⃗.
Într-o translație de vector 𝑣⃗ imaginile a două puncte 𝑀1, 𝑀2 sunt două puncte
𝑁1=𝑇(𝑀1), 𝑁2=𝑇(𝑀2), astfel încât 𝑀1𝑁1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑀2𝑁2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și 𝑣⃗ sunt vectori echipolenți,
patrulaterul 𝑀1𝑀2𝑁2𝑁1 este

paralelogram, vectorii 𝑀1𝑁1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑀2𝑁2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt vectori echipolenți. Segmentele [𝑀1𝑀2] și
[𝑁2𝑁1] sunt congruente, paralele și la fel orientate, transformarea păstrează distanțele,
deci și unghiurile.
Translația este transformarea geometrică ce duce puncte diferite în puncte
diferite și duce orice segment într -unul congruent cu el, deci t ranslația este o izometrie.
Proprietatea translației se aplică la rezolvarea unor probleme de construcție,
când se vrea să se apropie unele elemente ale figurii, pentru a ușura construcția ei. Prin
translația inversă, elementele ce au fost apropiate revin în pozițiile lor inițiale.
Această metodă se aplică elevilor pe problema: Să se construiască un trapez
cunoscând cele patru laturi.
Deoarece elevii știu să construiască un triunghi cănd se cunosc trei laturi li se
pare de la început că tot așa de simplu se poate construi și un trapez, dar se conving

43
repede că nu pot face construcția și atunci vor înțelege analiza după care prin translația
uneia din laturile neparalele ale trapezului se ia un triunghi în care se cunosc cele trei
laturi. Construcția și dem onstrația nu pot întâmpina greutăți, iar discuția se reduce la
găsirea condițiilor î n care se poate construi un triunghi când se dau cele trei laturi
(𝑏−𝑑)<(𝑎−𝑐)<(𝑏+𝑑), 𝑎<𝑐.

APLICAȚIE. Să se construiască un trapez cunoscând unul din unghiurile sale 𝛼,
cele două diagonale 𝑑1 și 𝑑2 și linia mijlocie 𝑚.
𝐴𝐶=𝑑1, 𝐵𝐷=𝑑2, 𝑚(∢𝐵𝐴𝐷 )=𝛼
Se construiește un trapez oarecare 𝐴𝐵𝐶𝐷 și se însemnează pe el elementele date.
Se aduce aminte că linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu semisuma
lungimilor bazelor trapezului; pentru a obține un triunghi în care una din laturi are
lungimea egală cu suma lungimilor bazelor trapezului, ducem 𝐶𝐸∥𝐵𝐷. Se obține astfel
triunghiul ∆𝐴𝐶𝐸 în care două laturi au respectiv lungimile egale cu l ungimile
diagonalel or date, iar lungimea bazei este egală cu suma lungimilor bazelor trapezului,
adică de două ori lungimea lini ei mijlocii a trapezului ( 𝐴𝐶=𝑑1,𝐶𝐸=𝑑2,𝐴𝐸=2𝑚 ).
Construind triunghiul ∆𝐴𝐶𝐸 , se află poziția vârfurilor 𝐴 și 𝐶, vârful 𝐵 este
determinat de intersecția dreptei 𝐶𝐿, paralelă cu 𝐴𝐸, cu dreapta 𝐴𝐾, care formează cu
dreapta [𝐴𝐸 un unghi 𝛼. Pentru a găsi vârful 𝐷 trebuie făcută translația inversă a
diagonalei translatată a nterior, adică prin 𝐵 se duce paralela la 𝐶𝐸 determinându -se
astfel vârful 𝐷 sau mai simplu este de a așeza pe [𝐴𝐷 segmentul [𝐸𝐷]≡[𝐶𝐵].

44

Construcția depinde de posibilitatea de a construi triunghiul ∆𝐴𝐶𝐸 , de existența
punctului 𝐵 și de exist ența pe segmentul [𝐴𝐸] a punctului 𝐷.
1. Condițiile ca să se poată construi un triunghi cunoscând cele trei laturi:
𝑑1−𝑑2<2𝑚<𝑑1+𝑑2 ( 𝑑1≤𝑑2 )
2. 𝐵 este un punct de intersecție a două drepte 𝐶𝐿 și 𝐴𝐾. Pentr u ca aceste două
drepte să nu fie paralele este su ficient ca unghiul 𝛼 să fie mai mic de 180° , dar aceasta
nu este su ficient pentru ca punctul 𝐵 să fie unul din vârfurile trapezului căutat.
Semidreapta [𝐴𝐾 trebuie să se afle în afara unghiului ∢𝐶𝐴𝐸 (deoarece 𝐴𝐶 este o
diagonală a trapezului), adică 𝛼>𝑚(∢𝐶𝐴𝐸 ). S-ar putea ca singura condiție a reușitei
construcției este 𝑚(∢𝐶𝐴𝐸 )<𝛼<180° , dar aceasta condiție este necesară, dar nu și
suficientă, ea asigură poziția punctului de intersecț ie 𝐵 pe semidreapta [𝐶𝐿, dar dacă
unghiul 𝛼 se mărește acest punct se poate muta prea departe de punctul 𝐶.
3. Pentru a găsi condiția care limitează poziția acestui punct pe semidreapta
[𝐶𝐿, se recurge la metoda de a construi cel de al patrulea vârf 𝐷 al trapezului. Pentru a -l
determina se așează pe segmentul [𝐸𝐴] segmentul, [𝐸𝐷]≡[𝐵𝐶]. De aici este clar că
𝐵𝐶 trebuie să fie mai mic decât 𝐴𝐸. Dacă [𝐸𝐶]≡[𝐴𝐶], în acest caz 𝛼=180° −
𝑚(∢𝐶𝐴𝐸 ) (deoarece 𝐴𝐵𝐶𝐸 un parallelogram, dacă se mărește, pun ctul 𝐵 se mută spre
stânga, iar punctul 𝐷 iese din limitele segmentului [𝐴𝐸]).
Ca rezultat definitiv obținem condițiile reușitei construcției:
𝑑1−𝑑2<2𝑚<𝑑1+𝑑2 ( 𝑑1≤𝑑2 )

45
𝑚(∢𝐶𝐴𝐸 )<𝛼<180° −𝑚(∢𝐶𝐴𝐸 ) dacă 𝑑1=𝑑2, trapezul 𝐴𝐵𝐶𝐷 este
isoscel.

4.2 Rezolvarea problemelor de construcții prin metoda rotației
Numim rotație în jurul unui punct fix 𝑂, de un unghi dat de măsură 𝛼,
transformarea care face ca fiecărui punct 𝐴 să-i corespundă un punct 𝐵, astfel încât
𝑂𝐴=𝑂𝐵 și 𝑚(∢𝐴𝑂𝐵 )=𝛼, în mărime și sens.
Un segment de dreaptă se transformă prin rotație în alt segment de dreaptă
congruent cu cel dat.
Un triunghi ∆𝐴𝐵𝐶 se transformă prin rotație în alt triunghi ∆𝐴′𝐵′𝐶′ congruent cu
cel dat.
O dreaptă 𝑑 si transformanta ei 𝑑′ prin rotație formează un unghi congruent cu
unghiul de rotație, iar pentru a găsi transformanta unei drepte se duce prin 𝑂
perpendiculara 𝑂𝐸 pe dreapta 𝑑 și se rotește segmentul [𝑂𝐸] în jurul punctului 𝑂 în
sens direct, de un unghi de măsură 𝛼, obținându -se astfel segmentul [𝑂𝐸′]. În punctul 𝐸′
se duce perpendiculara 𝐸′𝐹 pe segmentul [𝑂𝐸′]. Această perpendicular ă este
transformanta, prin rotaț ie, a dreptei 𝑑.
Metoda rotației în rezolvarea problemelor de geometrie constă în faptul că,
pentru a găsi punctele sau dreptele care constituie elementele fundamentale la care se
reduce rezolvarea problemei date, se folosește transformarea prin rotație.
Se presupune problema rezolvată, apoi pe baza dependețelor date, reduce m
problema dată la altă probl emă mai puțin complicată; aceasta, la rândul ei, la una mai
puțin complicată și tot așa, din aproape în aproape, până când ajungem la un moment
dat la concluzia că problema poate fi rezolvată dacă se cunoaște poziția unui punct pe o
dreaptă sau pe un cerc, sau a unei drepte față de un cerc sau față de altă dreaptă. Apoi se
cercetează dacă este posibil ca acele puncte sau drepte care constituie cheia dezlegării
probelemei date, nu cumva se pot construi printr -o rotație. Dacă este posibil, atunc i pe
baza celo r date în problemă se aleg: centrul de rotație, unghiul de rotație și sensul, apoi
se trece la efectuarea rotației care ne conduce la găsirea elementului fundamental cu
ajutorul căruia putem rezolva problema.
Prin rotație se pot suprapune unghiuri și linii care, de multe ori, dau posibilitatea
să se reducă problema dată la una mai simplă sau la una cunoscută.

46
APLICAȚIE. Să se construiască un triunghi echilateral care are vârfurile pe trei
drepte paralele.
Fie 𝑑1,𝑑2 și 𝑑3 trei drepte paralele și triunghi ul echilateral care trebuie construit.
Analiza. Se presupune problema rezolvată, iar ∆𝐴𝐵𝐶 este triunghiul echilateral
căutat. Un vârf poate fi luat arbitrar pe una din dreptele paralele; de exemplu, se ia fixă
poziția punctului 𝐴. În acest caz este suf icient să se mai găseacă poziția vârfului 𝐵 pe
dreapta 𝑑2 sau a lui 𝐶 pe dreapta 𝑑3. Cu alte cuvinte, rezolvarea problemei se reduce la
găsirea poziției unui punct pe o dreaptă.
Pentru aceasta se observă că, dacă se rotește latura 𝐴𝐶 în jurul punctului 𝐴, în
sens direct, cu un unghi de 60°, latura 𝐴𝐶 va coincide cu latura 𝐴𝐵, iar 𝐶 va coincide cu
vârful 𝐵. Însă prin 𝐶 trece și dreapta 𝑑3. Deci transformarea prin rotație a dreptei 𝑑3 în
jurul centrului de rotație 𝐴, în sens direct cu un unghi de 60°, trece și ea prin 𝐵. Poziția
vârfului 𝐵 fiind asfel determinat ă, se poate construi triunghiul echilateral cerut.
Construcția . Din punctul 𝐴, care are poziția arbitrară pe dreapta 𝑑1 se duce 𝐴𝐸⊥
𝑑3. Rotim segmentul 𝐴𝐸 în jurul punctului 𝐴 ca centru de rotație de un unghi cu măsura
de 60°, în sens direct. Obținem în felul acesta segmentul [𝐴𝐸′]. Ducem în 𝐸′
perpendiculara 𝑑′3 pe 𝐴𝐸′. Dreapta 𝑑′3 care este transformanta dreptei 𝑑3 prin rotația
definită mai sus, intersectează dreapta 𝑑2 în punctul 𝐵. Cu o deschidere de compas cât
𝐴𝐵, cu centrul în 𝐴, se descrie un arc de cerc care intersectează pe 𝑑3 în 𝐶. Triunghiul
căutat f iind ∆𝐴𝐵𝐶 .

47
Demonstrația. Triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 astfel construit îndeplinește condițiile impuse
de problemă. Într -adevăr, punctul 𝐵 găsindu -se la intersecția dreptei 𝑑2 cu 𝑑′3 el
aparține dreptei 𝑑′3, deci este omologul punctului 𝐶 de pe dreapta 𝑑3, pe care îl găsim
luând 𝐸𝐶=𝐸′𝐵, deoarece se cunoaște faptul că transformantul unui segment de
dreaptă, printr -o rotație , este tot un segment de dreaptă congr uent cu cel dat. De aici
rezultă că 𝐴𝐶=𝐴𝐵. Unghiul ∢𝐸𝐴𝐶 fiind congruent cu unghiul ∢𝐸′𝐴𝐵 și cum:
𝑚( ∢𝐸𝐴𝐶 )+𝑚( ∢𝐶𝐴𝐸 ′)=60° urmează ca 𝑚( ∢𝐸′𝐴𝐵)+𝑚( ∢𝐶𝐴𝐸 )=60°, deci
unghiul ∢𝐵𝐴𝐶 are măsura de 60°. Prin urmare triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 , fiind isoscel și având
unghiul opus bazei cu măsura de 60°, este echilateral.
Discuția. Dacă un vârf este ales arbitrar pe una din drepte, atunci problema
admite două soluții. În cazul nostru cea de -a doua soluție este trunghiul ∆𝐴𝐵′𝐶′,
simetricul triunghiului ∆𝐴𝐵𝐶 față de dreapta 𝐴𝐸.

48
Capitolul V. METODE ACTIV -PARTICIPATIVE DE
PREDARE – ÎNVĂȚARE A UNOR NOȚIUNI DE GEOMETRIE

5.1. Sistemul metodelor de învățământ

,, Copiii trebuie să fie educați, dar este necesar de
asemenea ca ei să fie lăsați să se educe singuri. – Abbé Dimnet ”

Societatea prezentului, dar mai ales a viitorului se circumscri e unui timp al
informației, al complexității. De aceea, investiția în intel igența, creativitatea și
capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor va fi extrem de rentabilă in viitor.
Rolul profesorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai
important. Punându -și elevii în situații variate de instruire, el transf ormă școala “într -un
templu și un laborator” (M. Eliade ).
Școala nu trebuie înțeleasă ca fiind locul unde profesorul predă și elevii ascultă.
Învățarea devine eficienta doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul de
învățare.
Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eșecul
școlar. De aceea profesorul de matematica trebuie să creeze un climat instituțional
favorabil folosind diverse metode moderne care să -l determine pe elev să se implice
activ în procesul instruc tiv – educativ.
Toate situațiile și nu numai metodele active propriu -zise în care elevii sunt puși
și care îi scot pe aceștia din ipostaza de obiect al formării și -i transformă în subiecți
activi, coparticipanți la propria formare, reprezintă forme de înv ățare activă.
Etimologic, termenul metodă provine din grecescul „methodos”, care înseamnă
„drum spre”. Metodele de învățământ pot fi definite ca „modalități de acțiune cu
ajutorul cărora, elevii, în mod independent sau sub îndrumarea profesorului, își însu șesc
cunoștințe, își formează priceperi și deprinderi, aptitudini, atitudini, concepția despre
lume și viață”.( M.Ionescu, V.Chiș, p.126)
Programele școlare urmăresc învățarea matematicii cu noțiuni acumulate
asemănător unei spirale ascendente. Pe măsură c e elevii înaintează în vârstă, maturitatea
și experiențele dobândite îi ajută nu doar să adauge noi informații celor deja acumulate,
ci și să crească calitativ (în profunzime) pe cele vechi. Dacă elevii claselor primare iau
contact cu matematica prin aritm etică, învățând numerele și operațiile elementare cu

49
acestea, elevii de gimnaziu învață elemente de algebră, însușind noțiunea de
necunoscută și rezolvând ecuații, rezolvând probleme cu puncte, drepte, plane, distanțe,
măsuri de unghiuri, dar și cu definiț ii, teoreme, demonstrații. Ramurile matematicii se
diversifică în cadrul programei de liceu, elevii studiind aici și analiza matematică care
are la bază noțiunea de funcție, geometria analitică care face o legătură apreciabilă între
algebră și geometria si ntetică, precum și elemente de statistică și probabilități, respectiv
algebră superioară.
Matematica studiată în școală urmărește două aspecte importante, vis-a-vis de
finalitățile urmărite și anume:
– cuprinderea unor noțiuni de bază necesare aprofundării unei matematici
superioare,eventual de studiat ulterior, respectiv noțiuni necesare studiului celorlaltor
științe;
– formarea unor capacități intelectuale și abilități specifice, cum ar fi logica în
gândire,aprecierea adevărului, respect pentru corectitudine etc.
Conținutul învățământului matematic, văzut ca un sistem, promovează
următoarele valori:
-cunoștințe;
-priceperi și deprinderi (abilități) intelectuale și practice;
-capacități intelectuale și practice;
-competențe intelect uale și practice;
-atitudini;
-aptitudini;
-comportamente;
-conduite etc.
Dacă cunoașterea școlară are la bază un sistem de alegeri realizate la diferite
niveluri, astfel încât să se asigure un sistem de achiziții care se va îmbogăți și rafina
ulterior, ac este alegeri se referă la procesul de selectare și valorificare a conținuturilor
curriculare (Bocoș, M., 2007):
– transpoziția didactică externă , focalizată pe alegerea, prelucrarea și
reelaborarea didactică a cunoașterii științifice, a conținuturilor prop rii unei științe
(matematică) și pe construirea unui curriculum formal (ansamblu de experiențe de
învățare și formare oferite elevilor în diferite cicluri curriculare). Curriculumul formal
matematic se obiectivează în documente școlare oficiale: planuri de învățământ,
programe școlare, manuale școlare, auxiliare curriculare.

50
– transpoziția didactică internă , care analizează modul în care cunoștințele
științifice de referință sunt transformate în scopuri ale predării: în manuale (alegerea
editoril or și a autorilor), în alte auxiliare și suporturi curriculare și de către profesorul
însăși, în activitățile didactice pe care le organizează la nivel micro.
Reformele educaționale în general, modul în care ele influe nțează studiul
matematicii face referi re asupra curriculumului, trecând astfel de la punerea accentului
pe conținuturile învățării la punerea accentului pe experiențele educaționale oferite
elevilor, mai precis trecerea de la dimensiunea informativă la cea formativ -educativă a
întregului proce s de învățământ.
Din punct de vedere executiv, operației îi corespunde un procedeu, acțiunii o
anumită metodă, iar activității o metodologie. Procedeele pot fi considerate tehnici mai
limitate de acțiune care reprezintă un mod concret de valorificare a met odei. Metoda se
poate defini ca o acțiune comună a binomului profesor -elev pentru informarea și
formarea elevului, în timp ce metodologia didactică reprezintă ansamblul metodelor și
procedeelor folosite în învățământ.
Metodele sunt instrumente importante a flate la dispoziția profesorului, de a căror
cunoștințe și utilizare depinde eficiența muncii educative. Profesorul, cunoscând
varietatea metodelor, particularitățile elevilor cu care lucrează, obiectivele pe care
trebuie să le atingă, trebuie să acționeze pentru a -și valorifica pe deplin personalitatea,
devenind el însuși un creator în materie articulare a strategiilor, metodelor și
procedeelor didactice.
Antrenarea permanentă a elevilor la un efort intelectual susținut și înarmarea
acestora cu capacități necesare unei activități de învățare productivă reprezintă
modalitatea cea mai eficientă de educare a elevilor în spiritul unei atitudini conștiente și
active.
Deși învățarea este eminamente o activitate proprie, ținând de efortul individual
depus în înțe legerea și conștientizarea semnificațiilor științei, nu este mai puțin adevărat
ca relațiile interpersonale, de grup sunt un factor indispensabil apariției și construirii
învățării personale și colective. “Învățarea în grup exersează capacitatea de decizie și de
inițiativă, dă o notă mai personală muncii, dar și o complementaritate mai mare
aptitudinilor și talentelor, ceea ce asigură o participare mai vie, mai activă, susținută de
foarte multe elemente de emulație, de stimulare reciprocă, de cooperare fruc tuoasă.”
Între elementele constitutive ale procesului intsructiv -educativ se stabilește o
relație de interdependență, în care metodelor didactice le revine o importanță deosebită.

51
În conformitate cu principiile didacticii moderne, se acreditează ideea
transformării elevului în subiect al acțiunii instructiv -educative și implicării sale active
în realizarea acestui proces. Elevii prezintă particularități psihoindividuale, astfel încâ t
se impune utilizarea unei game cât mai ample de metode de predare care să le valorifice
potențialul. Semnificația metodelor depinde, în cea mai mare măsură, de utilizator și de
contextul în care este folosită.
Metodele tradiționale, expozitive ori front ale lasă impresia că nu ar mai fi în
conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului. Acestea
pot însă dobândi o valoare deosebită în condițiile unui auditoriu numeros, având un
nivel cultural care să -i asigure accesul la m esajul informațional transmis raportat la
unitatea de timp.
Metodologia didactică actuală este orientată către implicarea activă și conștientă
a elevilor în procesul propriei formări și stimularea creativității acestora. În acest
context, prefacerile pe ca re le cunosc metodele de învățământ cunosc câteva direcții
definitorii. Relația dinamică -deschisă constă în raporturile în schimbare ce se stabilesc
între diferitele metode. Diversitatea metodelor este impusă de complexitatea procesului
de învățare, fiecar e metodă trebuie să fie aleasă în funcție de registrul căruia i se
raportează. Amplificarea caracterului formativ al metodelor presupune punerea
accentului pe relațiile sociale pe care le are elevul în procesul de culturalizare și formare
a personalității. Reevaluarea permanentă a metodelor tradiționale vizează adaptarea lor
în funcție de necesități și raportarea lor la evoluția științei.
La începutul secolului XX s -au preconizat diverse moduri de organizare a
învățământului, denumite școli active, în care accentul cade pe studiul individual
efectuat de elevi. Modul nou, activ, de organizare a învățământului se dovedește
superior, dar solicită mult timp. Odată cu descongestionarea programelor școlare în
cadrul reformei învățământului, se va începe și activi zarea predării în școala
românească.
În cadrul instruirii interactive, sarcina profesorului este de a le propune elevilor
activități de formare intelectuală, care să îi implice activ și interactiv, să îi determine să
își exerseze potențialul în căutarea no ului, iar noul să îl achiziționeze prin eforturi
intelectuale și acționale proprii. Dacă obiectivul major în instruirea interactivă este
centrarea pe activitatea de învățare individuală sau colaborativă a elevului,
profesorul ajutându -l să își modeleze per sonalitatea, să își dezvolte responsabilitatea și
încrederea în sine, atunci principalele condiții pe care trebuie să le îndeplinească o

52
instruire interactivă, pentru a i se putea atribui calitatea de a fi „eficientă”, în viziunea
autoarei Mușata Bocoș, ar fi următoarele: constructivismul, interactivitatea și
metacognitivismul (Bocoș, M.-D., 2013).
Scopul principal al metodelor didactice este orientarea proceselor de predare –
învățare,(autoînvățare) -evaluare (autoevaluare), rămânând subordonate acestor proce se.
Metodele însoțesc acțiunea educativă, dar nu se identifică cu aceasta. Eficiența acțiunii
educative este dependentă de identificarea unor modalități optime de îmbinare a
elementelor caracteristice acțiunilor instructiv –educative, având mai ales clarit ate în
ceea ce privește sistematizarea proceselor de predare -învățare -evaluare, iar în vederea
asumării rezultatelor scontate, extrem de utile sunt și procedeele didactice. Ele sunt
componente ale metodelor, detalii particulare ale acestora, detalii care ț in de execuția
acțiunii, tehnici particulare cu rol de instrumente ale metodelor. O metodă poate fi
considerată un sistem omogen de procedee, acțiuni și operații selecționate în funcție de
caracteristicile situației de învățare și integrate într-un mod uni tar de execuție și de
acțiune didactică.
Caracterul operațional al metodelor didactice este relevat de către diversele
circumstanțe ale instruirii, fiind necesară articularea lor calitativă, în mod sistematic,
ținând cont de condițiile instruirii, cu cont ribuția absolut necesară a creativității și
originalității profesorului.
Metodele activ -participative pun accent pe învățarea prin cooperare, aflându -se
în antiteză cu metodele tradiționale de învățare. Educația pentru participare și
democrație face parte din gama noilor educații, care reprezintă cel mai pertinent și mai
util răspuns al sistemelor educative la imperativele generate de problematica lumii
contemporane. Prin participare, elevii își pot exprima opțiunile în domeniul educației,
culturii, timpulu i liber, pot deveni coparticipanți la propria formare. Elevii nu sunt doar
un receptor de informații, ci și un participant activ la educație.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează
interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare
mai activă și cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină “identificarea
subiectului cu situația de învățare în care acesta este antrenat”, ceea ce duce la
transformarea el evului în stăpânul propriei transformări și formări.
În procesul instructiv -educativ, încurajarea comportamentului participativ
înseamnă pasul de la „a învăța” la a „învăța să fii și să devii”, adică pregătirea pentru a
face față situațiilor, dobândind do rința de angajare și acțiune. Principalul avantaj al

53
metodelor activ -participative îl reprezintă implicarea elevilor în actul didactic și
formarea capacității acestora de a emite opinii și aprecieri asupra fenomenelor studiate.
În acest mod, elevilor le va fi dezvoltată o gândire circumscrisă abilităților cognitive de
tip superior, gândirea critică. Aceasta reprezintă o gândire centrată pe testarea și
evaluarea soluțiilor posibile într -o situație dată, urmată de alegerea rezolvării optime pe
baza argumentel or.
A gândi critic înseamnă a deține cunoștințe valoroase și utile, a avea convingeri
raționale, a propune opinii personale, a accepta că ideile proprii pot fi discutate și
evaluate, a construi argumente suficiente propriilor opinii, a participa activ și a colabora
la găsirea soluțiilor.
Pentru ca învățarea prin cooperare să se bucure de un real succes, se impune
respectarea unor reguli. Literatura de specialitate relevă faptul că, pentru ca elevii să fie
dispuși să lucreze în echipă, se impune respectar ea a două condiții: asigurarea unui
climat pozitiv în clasă; formularea unor explicații complete și corecte asupra sarcinii de
lucru, astfel încât aceasta să fie înțeleasă de toată lumea.
Astfel, vor fi preferate metodele activizante, cele care să le preti ndă elevilor
activitate continuă, atât în plan mental, al gândirii, cât și în plan practic, al acțiunii.
Orice profesor de matematică își va dori elevi care să judece, să raționeze logic, să
infereze, să aplice cunoștințele matematice în diferite contexte, să reflecteze, să întrebe,
să sesizeze și să rezolve probleme în mod activ, să își pună întrebări relativ la validitatea
soluțiilor.
În vederea asigurării unui climat pozitiv în sala de clasă este necesar ca elevii să
aibă impresia că au succes în ceea c e fac. Factorii care asigură succesul într -o clasă sunt:
formularea de expectanțe pozitive față de elevi; utilizarea unor strategii de management
educațional eficient; stabilirea de obiective clare și comunicarea acestora elevilor;
valorificarea la maxim a timpului destinat predării; evaluarea obiectivă.
Eficiența muncii în grup depinde de claritatea explicației pentru sarcinile de
lucru. Profesorii trebuie să ofere explicații cât mai clare și să se asigure că ele au fost
corect înțelese de către elevi.
V. Guțu oferă o imagine fidelă asupra antitezei care se creează între metodele
tradiționale și cele moderne utilizate în predare. Metodele tradiționale au următoarele
caracteristici:
•pun accentul pe însușirea conținutului, vizând, în principal, latura in formativă a
educației;

54
•sunt centrate pe activitatea de predare a profesorului, elevul fiind văzut ca un
obiect al instruirii;
•sunt predominant comunicative, verbale și livrești;
•sunt orientate, în principal, spre produsul final;
•au un caracter formal, sunt rigide și stimulează competiția;
•stimulează motivația extrinsecă pentru învățare;
•relația profesor -elev este autocratică, disciplina școlară fiind impusă.
La polul opus, metodele moderne se caracterizează prin următoarele note:
•acordă prioritate dezvoltării personalității elevilor, vizând latura formativă a
educației;
•sunt centrate pe activitatea de învățare a elevului, acesta devenind subiect al
procesului educațional;
•sunt centrate pe acțiune, pe învățarea prin descoperire;
•sunt or ientate spre proces;
•sunt flexibile, încurajează învățarea prin cooperare și capacitatea de autoevaluare
la elevi;
•stimulează motivația intrinsecă;
•relația profesor -elev este democratică, bazată pe respect și colaborare, iar
disciplina derivă din modul de organizare a lecției.
Din toate cele menționate rezultă faptul că profesorul trebuie să -și schimbe
concepția și metodologia instruirii și educării, să coopereze cu elevii, să devină un
model real de integrare socioprofesională și educație permanentă, să se implice în
deciziile educaționale, să asigure un învățământ de calitate. Pregătirea managerială a
profesorului, însușirea culturii manageriale, nu numai cea tradițională psihopedagogică
și metodică, pot asigura esențial înțelegerea și aplicarea relație i autoritate -libertate, ca
nou sens al educației, prin predare -învățare și rezolvarea altor situații din procesul
educațional școlar.
Profesorul nu va putea dezvolta elevul pentru și prin libertatea rațională și
creativă, dacă el însuși nu o cunoaște, nu o înțelege, nu are un comportament de om
liber. Reconsiderarea relației autoritate -libertate, orientarea prioritară spre elev, spre
obiectivele formativ -educative au generat și o altă alternativă în sistemul concepțiilor
educaționale – perspectiva umanistă a supra educației. Excesul de control dăunează
conduitei firești, valorile morale trebuie să joace un rol mai important, omul trebuie
format pentru schimbare, afirmarea sa trebuie să fie liberă și constructivă.

55
Învățarea activă înseamnă,conform dicționarului ,procesul de învățare calibrat pe
interesele /nivelul de înțelegere /nivelul de dezvoltare al participanților la proces.
De ce vorbim despre „învățare activă“?
Cercetări efectuate în ultimii 25 de ani arată că pasivitatea din clasă (înțeleasă ca
rezultat al predării tradiționale, în care profesorul ține o prelegere, eventual face o
demonstrație, iar elevii îl urmăresc) nu produce învățare decât în foarte mică măsură.
Iată câteva rezultate ale acestor studii:
• Elevii sunt atenți numai 40% din timpul afecta t prelegerii. (Pollio, 1984)
• Elevii rețin 70% din conținuturile prezentate în primele 10 minute și numai 20%
din cele prezentate în ultimele 10 minute ale prelegerii. (McKeachie, 1986)
• Elevii care au urmat un curs introductiv de psihologie bazat pe pre legere au
demonstrat că știu numai cu 8% mai mult decât elevii din clasa de control care NU au
făcut cursul deloc! (Rickard et al., 1988)
• Un studiu vizând implicațiile predării centrate pe discursul magistral (Johnson,
Johnson, Smith, 1991) relevă că: at enția elevilor descrește cu fiecare minut care trece pe
parcursul prelegerii; prelegerea se potrivește numai celor care învață eficient prin canal
auditiv; prelegerea promovează învățarea de nivel inferior a informațiilor factuale;
prelegerea presupune că toți elevii au nevoie de aceleași informații în același ritm;
elevilor nu le place să fie supuși unei prelegeri.
De ce vorbim despre „învățare interactivă“?
Fără îndoială, este adevărat că acela care învață trebuie să -și construiască
cunoașterea prin inte rmediul propriei înțelegeri și că nimeni nu poate face acest lucru în
locul său. Dar nu este mai puțin adevărat că această construcție personală este favorizată
de interacțiunea cu alții care, la rândul lor, învață.
Altfel spus, dacă elevii își construiesc cunoașterea proprie, nu înseamnă însă că
fac acest lucru singuri, izolați. Să nu uităm că omul este o ființă fundamental socială.
Promovarea învățării active presupune și încurajarea parteneriatelor în învățare. În fapt,
adevărata învățare, aceea care permite transferul achizițiilor în contexte noi, este nu doar
simplu activă (individual activă) ci interactivă!
Aspectul social al învățării a fost reliefat de Jerome Bruner încă din anii ‘60. El
avansează conceptul de reciprocitate definit ca „o nevoie umană profundă de a da o
replică altcuiva și de a lucr a împreună cu alții pentru atingerea unui obiectiv”.
Reciprocitatea este un stimulent al învățării: „Când acțiunea comună este necesară, când
reciprocitatea este ac tivată în cadrul unui grup în vederea obținerii unui rezultat, atunci

56
par să existe procese care stimulează învățarea individuală și care conduc pe fiecare la o
competență c erută de constituirea grupului.“ (Bruner, 1966)
Nu numai cercetarea, dar și experi ențele cadrelor didactice cu metodele
colaborative evidențiază efectul benefic al interacțiunii elevilor. Gruparea și sarcinile în
care membrii grupului depind unul de celălalt pentru realizarea rezultatului urmărit arată
că:
• elevii se implică mai mult în învățare decât în abordările frontale sau
individuale;
• odată implicați, elevii își manifestă dorința de a împărtăși celorlalți ceea ce
experimentează, iar aceasta conduce la noi conexiuni în sprijinul înțelegerii;
• elevii acced la înțelegerea profundă atunc i când au oportunități de a explica și
chiar preda celorlalți colegi ceea ce au învățat.
Printre metodele care activizează predarea -învățarea sunt și cele prin care elevii
lucreaz ă productiv unii cu alții,își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reci proc.Ele
pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor foarte ușor de
reținut,caracterului ludic și oferind alternative de învățare cu „priză“ la copii.
Metodele active necesită o pregătire atentă: ele nu sunt eficiente decât in
cond ițiile respectării regulilor jocului. Avantajul major al folosirii acestor metode
provine din faptul că ele pot motiva și elevii care au rămâneri în urmă la matematică.
Într-un sens larg, învățarea trebuie înțeleasă dincolo de noțiunile de„educație” și
„școală”.
Învățarea presupune o atitudine atât față de cunoaștere cât și față de viață,
atitudine care pune accent pe inițiativa omului.
Termenul de „învățare” cuprinde achiziționarea și practicarea de noi
metodologii, noi priceperi, noi atitudini și n oi valori necesare pentru a trai într -o lume în
continua schimbare.
Învățarea este, în fapt, procesul de pregătire pentru a face față unor situații noi.
Ea se poate produce conștient,sau, deseori, inconștient, de obicei din experiența unor
situații de v iață, cu toate că și situațiile imaginate pot declanșa învățarea. Practic, fiecare
persoană din lume, școlarizată sau nu, experimentează procesul învățării la diferite
nivele, dar probabil că în prezent nimeni nu învață încă la nivelul, cu intensitatea și cu
viteza necesară pentru a face față complexității lumii moderne.
Teoria reprezintă un model eficient de achiziție informațională, de construcție,
reconstrucție și chiar de dezvoltare a determinanților învățării umane.

57
Proiectarea și realizarea optimă ale activității instructiv -educative depind de
felul cum se desfășoară, dimensionează și articulează componentele materiale,
procedurale și organizatorice, care imprimă un anumit sens și o anumită eficiență
pragmatică formă rii tineretului.
Concretizarea idealurilor educaționale în comportamente și mentalități nu este
posibilă dacă activitatea de predare și de învățare nu dispune de un sistem coerent de căi
și mijloace de înfăptuire, de o instrumentalizare procedurală și te hnică a pașilor ce
urmează a fi realizați pentru atingerea scopului propus.
Formele și mijloacele strategice, de înfăptuire a sarcinilor didactice, pot fi
circumscrise terminologic prin intermediul sintagmelor de tehnologie didactică,
metodologie didacti că, metodă, procedeu și mod de organizare ale învățării.
Procesul de învățământ este format din mai multe componente aflate în
interdependență. Astfel, obiectivele pedagogice, conținutul învățământului, metodologia
didactică, evaluarea didactică și proiec tarea pedagogică (a procesului de învățământ),
deși secvențe de sine stătătoare în cadrul procesului de educare și formare, se află într -o
legătură permanentă a cărei finalitate se regăsește în fiecare unitate elementară de
educat.
Comparativ cu celelalt e subsisteme care formează și definesc didactica
generală, metodologia didactică este subsistemul care se bazează pe interacțiunea
directă dintre cele două elemente fundamentale ale actului educațional: educatorul și
educabilul.
Pentru a definii conceptul de metodologie didactică trebuie avută în vedere
raportarea la activitatea pedagogică de formare – dezvoltare permanentă a personalității
aflată în strânsă interdependență cu toate elementele componente ale procesului de
învățământ, privite ca ansamblul s tructural luat în deplina lui unitate.
Această viziune pedagogică, de inspirație curriculară, conferă metodologiei
didactice valoarea unei teorii sistemice care angajează la nivelul de predare -învățare –
evaluare un ansamblu de tehnici de eficientizare a acțiunii de instruire.
Ca acțiune extrem de complexă, metodologia înglobează o structură tehnică
laborioasă compusă din metode, procedee și mijloace didactice prin care se urmărește
eficientizarea actului pedagogic.
„În calitate de teorie, metodologia i nstruiri precizează natura, funcțiile și
clasificările posibile ale diferitelor metode de învățământ. Sunt descrise caracteristicile
operaționale ale metodei, în perspectiva adecvării lor la circumstanțe diferite ale

58
instruirii, și sunt scoase în evidență posibilitățile de ipostaziere diferențiată ale acestora,
în funcție de creativitatea și inspirația profesorului.”1
Metodele didactice reprezintă acțiunile subordonate realizării scopurilor
activității de instruire prin avansarea unor căi de învățare efi ciente de organizare și
desfășurare ale predării -învățării din perspectiva elevului, corelându -se cu celelalte
componente ale instruirii.
„Metodele de instruire se aseamănă cu metodele ce cercetare (ale științei),
deoarece ambele sunt căi ce duc la contu rarea unor fapte, legități, descr ieri, interpretări
cât mai apro piate de realitate. Dar există si deosebiri dintre care una fundamentală
constă în faptul că, în timp ce metodele de cercetare produc, elaborează cunoștințe
metodele didactice – de regulă -prezintă, vehiculează cunoașterea sedimentată la un
moment dat.”2
Primele metode servesc la descoperirea propriu -zisă a unor adevăruri, în timp ce
ultimele slujesc la comunicarea lor ori la conducerea eforturilor spre redescoperirea
adevărurilor noi doar p entru elevi.
Metoda are un caracter polifuncțional deoarece poate participa simultan sau
succesiv la realizarea mai multor obiective instructiv -educative.
Opțiunea profesorului pentru o anumită metodă de învățământ constituie o
decizie de mare complexitat e. Alegerea unei metode se face ținând cont de finalitățile
educației, de conținutul procesului instructiv, de particularitățile de vârstă și de cele
individuale ale elevilor, de psiho -sociologia grupurilor școlare, de natura mijloacelor de
învăță mânt, de experiența și competen ța didactică ale profesorului.
Metodele dețin mai multe funcții specifice din perspectiva unor specialiști în
metodologia didactică:
a. funcția cognitivă (pentru elev, metoda constituie o cale de acces spre
cunoașterea adevă rurilor și a procedurilor de acțiune, spre însușirea științei și teh nicii, a
culturii și a comporta mentelor umane; metoda devine pentru elev un mod de a afla, de a
cerceta, de a descoperi);
b. funcția formativ -educativă (metodele supun exersării și elaboră rii diversele
funcții psihice și fizice ale elevilor, prin formarea unor noi deprinderi intelectuale și

1 Cucoș C., Pedagogie, Editura Polirom, București, 2006, pagina 286
2 Cucoș C., Pedagogie, Editura Polirom, București, 2006, pagina 286

59
structuri cognitive, a unor noi atitudini, sentimente, capacități, comportamente; metoda
de predare este și un proces educativ);
c. funcția instrumental ă (sau operațională – metoda servește drept tehnică de
execuție, mijlocind atingerea obiectivelor instructiv -educative);
d. funcția normativă (sau de optimizare a acțiunii – metoda arată cum trebuie să
se procedeze, cum să se predea și cum să se învețe ast fel încât să se obțină cele mai
bune rezultate).
Procedeele didactice reprezintă operațiile care sprijină eficientizarea metodelor
alese de profesor în diferite situații concrete.
„Procedeul didactic reprezintă o secvență a metodei, un simplu detaliu, o
tehnică mai limitată de acțiune, o componentă sau chiar o particularizare a metodei.”3
Valoarea și eficiența unei metode sunt condiționate de calitatea, adecvarea și
congruența p rocedeelor care o compun.
Mijloacele de învățământ reprezintă instrumentele naturale, artificiale, tehnice,
informaționale, cu caracter auxiliar în raport cu metodele și procedeele didactice.
În urma acestei schematice analize se poate considera că m etodologia didactică
reflectă capacitatea acesteia de integrare și valorificare pedagogică a m etodelor,
procedeelor și mijloa celor didactice disponibile la un anumit moment al evoluției școlii
și gândirii pedagogice, constând în capacitatea educatorului de a aplica teoria instruirii
(tradițională, modernă, post -modernă) prin angajarea resurselor funcționale și
structurale existente la nivelul metodelor, procedeelor și mijloacelor didactice.
Dimensiunea teoretică a metodologiei didactice explică și interpr etează natura,
conținutul, forma și clasificarea posibilă a diferitelor metode, procede e și mijloace
didactice, valori ficabile ca acțiuni, operații și instrumente eficiente în activitatea de
predare – învățare – evaluare.
Dimensiunea practică operaționa lizează trăsăturile specifice metodelor
didactice relevante prin deschiderea și interacțiunea lor, care solicită nivelurile
superioare ale creativității pedagogice, definitorii pentru personalitatea educatorului. În
practica pedagogică nu se poate vorbi de o metodă bună sau mai puțin bună, de rezultate
obținute doar datorită uneia sau alteia dintre metode. Dar pentru a fi eficiente, metodele
trebuie să se alinieze unor criterii specifice precum cel de structurare și folosite în cadrul
unor strategii de pred are – învățare – evaluare.

3Cucoș C., Pedagogie, Editura Polirom, București, 2006, pagina 287

60
Din această perspectivă strategiile și metodele corespunzătoare acestora pot fi
clasificate în:
– strategii directe de instruire , care au ca principală caracteristică faptul de a fi
centrate, în mare măsură, pe activitatea p rofesorului (expunerea, explicația, observarea,
demonstrarea, lucrul cu manualul);
– strategiile de instruire indirectă , sunt centrate pe elev și se dovedesc foarte
eficiente atunci când: urmăresc dezvoltarea la elevi a unor capacități și performanțe ale
gândirii; vizează formarea unor atitudini și dezvoltarea unor abilități cu caracter
impersonal (problematizarea, studiul de caz, modelarea, simularea);
– strategii de instruire de tip interactiv : au ca principală caracteristică faptul că
aduc actorii relați ei educaționale într -o relație de parteneriat. Ele favorizează, de
asemenea, reunirea membrilor colectivului școlar în grupuri și realizare a unor sarcini
(metoda conversa ției, a dezbaterii, a rezolvării de probleme în grup, a jocului de rol, a
brainstormin g-ului,, a tutoratului, a învățării prin cooperare);
– strategii de instruire de tip experiențial . Sunt centrate pe elev, punând accent mai
mult pe procesele învățării decât pe produsele ei (exercițiul, learning by doing (a învăța
făcând), lucrări practice , proiecte, învățarea prin descoperire, prin investigație);
– strategii de instruire facilitatoare a studiului independent și diferențiat .
Actorul principal al acestui tip de strategie este elevul, în tip ce rolulprofesorului este
diminuat. Elevul est e evaluat și are posibilitatea de a seautoevalua prin fișa de activitate
personala. Metoda folosită este cea astimulării gândirii critice a elevului.
În didactica modernă „metoda de înv ățământ este în țeleasă ca un anumit mod de
a proceda care tinde să plaseze elevul într -o situație de învățare, mai mult sau mai puțin
dirijată care să se apropie până la identificare cu una de cercetare științifică, de urmărire
și descoperire a adevărului și de legare a lui d e aspectele practice ale vieții.“ (M.
Ionescu, V. Chis, 2001, p.126).
Clasificarea metodelor didactice este încă o problemă controversată, atât în
legătură cu stabilirea criteriilor clasificării, cât și în raport cu apartenența metodelor la
anumite clase, problematica taxonomiei rămâne încă deschisă.
Se poate face observația conform căreia există simultan mai multe clasificări ce
pot fi destul de operante în circumstanțe bine stabilite, dar criteriile de clasificare nu
sunt absolute, iar încadrarea unei metode într -o anumită clasă este relativă.

61
O me todă așa -zis tradițională poate evolua spre modernitate în măsura în care
secvențele procedurale care o compun îngăduie restructurări inedite sau atunci când
circumstanțele de aplicare a acelei metode sunt cu totul noi.
Dar și unele metode – așa-zis mod erne – pot conține secvențe destul de
tradiționale sau descoperim că variante ale metodei în discuție erau de mult cunoscute și
aplicate.
Clasificările posibile ale metodelor pot fi realizate și după criterii subsecvente
astfel:
a. din punct de vedere istoric :
• metode tradiționale, clasice (expunerea, conversația, exercițiul etc.);
• metode moderne, de dată mai recentă (algoritmizarea, problematizarea,
brainstorming -ul, instruirea programată etc).
b. în funcție de extensiunea sferei de aplicabilitate :
• metode generale (expuner ea, prelegerea, conversația, cursul magistral etc.);
• metode particulare sau speciale (restrânse la predarea unor discipline de
învățământ sau aplicabile pe anumite trepte ale instrucției și educației, cum
ar fi exerciț iul moral sau exem plul, în cazul educației morale).
c.pornind de la modalitatea principală de prezentare a cunoștințelor :
• metode verbale, bazate pe cuvântul scris sau rostit;
• metode intuitive, bazate pe observarea directă, concret -senzorială a
obiectelor fenome nelor realității sau a substitutelor acestora.
d. după gradul de angajare a elevilor la lecție :
• metode expozitive sau pasive, centrate pe memoria reproductivă și pe
ascultare; pasivă;
• metode active, care suscită activitatea de explorare personală a realității.
e.după funcția didactică principală :
• cu funcția principală de predare și comunicare;
• cu func ția prin cipală de fixare și consolidare ;
• cu funcția principală de verificare și apreciere ale rezultatelor muncii.
f. în funcție de modul de administrare a experienței ce urmează a fi însușită :
• metode algoritmice, baz ate pe secvențe operaționale, stabile, construite
dinainte;
• metode euristice, bazate pe descoperire proprie și rezolvare de probleme.
g. după forma de organizare a muncii :

62
• metode individual e, pentru fiecare elev în parte ;
• metode de predare -învățare în grupuri (de nivel sau omogene și pe grupe
eterogene) ;
• metode frontale, cu întreaga clasă;
• metode combinate, prin alternări între variantele de mai sus.
h.în funcție de axa învățare mecanică (prin receptare) – învățare conștientă (prin
descoperire):
• metode bazate pe învățarea prin receptare (expunerea, demonstrația cu
caracter expozitiv);
• metode care aparțin preponderent descoperirii dirijate (conversația euristică,
observația dirijată, instruirea programată, studiul de caz etc.);
• metode de descoperire propriu -zisă (obser varea independentă, exercițiul
euristic, rezolvarea de probleme, brainstorming -ul etc.)
i. după sorgintea schimbării produse la elevi :
• metode heterostructuran te (transformarea se produce prin altul, ca în cazul
expunerii, conversației, studiului de caz, problematizării etc.);
• metode autostructurante (individul se transformă prin sine, ca în situația unor
metode de tipul descoperirii, observației, exercițiului etc.).4
„Considerăm că fiecare metodă didactică poate poseda, la un moment dat, note
și trăsături care o vor face să se integreze, succesiv, în clasele de metode mai sus
invocate.
Taxonomiile avansate sunt construcții teoretice orientative, care ne ajută să
identificăm tendinț a generală a metodologiei de a se baza pe caracteristici aflate la poli
opuși în vederea realizării unei etiche tări și a unei circumscrieri teoretice, atunci când se
cere o astfel de explicitare, sau pentru alegerea și selectarea practică a unor metode de
învățământ, în circumstanțe pragmatice variate.”5
Metodele nu apar în stare pură, ci sub forma unor variante și aspecte diferite. Ele
nu se manifestă izolat, ci apar și se concretizează în variante metodologice compozite,
prin difuziunea permanentă a unor trăsături și prin articularea a două sau mai multe
metode.
Există însă o serie de m etode primare, de „ideal -tipuri“ metodologice din care
derivă combinații inedite pe care este bine să le trecem în revistă. Vom evoca în

4 Landsheere, V., L’Education et la formation, PUF, Paris, 1992, pagina 130
5 Cucoș C., Pedagogie, Editura Polirom, București, 2006, pagina 291

63
paragraful următor aceste variant e ideale, precum și o serie de combinații metodologice
mai des întâlnite.6

5.2. Metode tradiționale de predare -învățare specifice matematicii

5.2.1. Expunerea sistematică a cuno ștințelor

Dintre formele pe care le îmbracă expunerea sistematică a cunoștințelor
(povestirea, prelegerea, descrierea, explicația, etc.), opinăm că matematica utilizează
cu precădere explicația. Elementele explicative domină procesul de instruire, acestea
fiind car acteristice atingerii unor obiective de referință care cuprind formarea de
deprinderi și abilități practice de utilizare a noțiunilor matematice. Ceea ce conferă o
accentuată notă de adaptabilitate este operativitatea impusă de aplicarea acestei metode
prin alternarea expunerii cu demonstrația practică, elevii fiind astfel scoși din
pasivitatea posturii de simpli receptori. Analogiile cu situații cunoscute fac din
receptorul pasiv un participant activ la expunere. Expunerea nu se desfășoară în
condiții perf ect univoce, adică fără alternative și reveniri, nici la disciplinele cărora
metoda le este caracteristică. Elevul primește în condiții univoce doar ceea ce i se
comunică în funcție de nivelul de cunoștințe dobândit, de propriile -i presupuneri, de
experien ța sa practică, de nivelul său de gândire, de înțelegerea codului de
comunicație, ca să nu mai vorbim de oscilațiile de atenție.
Profesorul trebuie să reproiecteze lecția prin prisma posibilităților elevilor și cu
mijloacele lor de gândire. Accentul trebu ie pus pe raționament, prin argumentări
temeinice, prin scoaterea în evidență a modului în care trebuie să gândească. Expunerea
trebuie să fie însoțită de un control permanent al gradului de receptivitate al clasei,
urmărindu -se mimica elevilor (edificatoa re în special la elevii mici), satisfacția
înțelegerii lecției sau îngrijorarea și neliniștea în cazul în care elevul a pierdut firul
explicației citindu -se pe fața elevilor, întrebările, repetiția, explicațiile suplimentare,
analogiile cu alte noțiuni cun oscute permit realizarea unui control permanent al
receptivității la expunere, în matematică recurgem neapărat la metoda expunerii
(explicației) atunci când tema este complet nouă și printr -o metodă activă nu se poate

6www.bp -soroca.md/pdf/ metodele %20educatiei.pdf

64
descoperi noutatea, sau metoda activă este ineficientă din punctul de vedere al
operativității.
Explicația este o metodă foarte des întâlnită în predarea matematicii. Profesorul
expune logic și argumentat modul lui de gândire iar elevii îl urmăresc căutând să -l
înțeleagă.
Explicația trebuie s ă dezvolte la elevi imaginația, ea trebuie să fie clară și
convingătoare. Metoda explicației se poate aplica la introducerea noțiunii de ecuație, la
descrierea unor algoritmi cum ar fi: algoritmul de rezolvare al ecuației de gradul al
doilea.
În exemplul următor, cu ajutorul metodei explicației, s -a prezentat construcția
unui unghi congruent cu un unghi dat.
Se dorește să se construiască un un ghi cu vârful în 𝑀 și cu o latură p e
semidreapta [𝑀𝑋, astfel încât să fie congruent cu unghiul dat ∢𝐴𝐵𝐶 .
Pasul 1: trasăm două cercuri de raze congruente cu centrele 𝐵 și 𝑀
Pasul 2: unghiul ∢𝐴𝐵𝐶 determină pe cerc arcul 𝑃𝑁
Pasul 3: cercul cu vârful în 𝑀 taie semidreapta [𝑀𝑋 în 𝐷, utilizând compa sul,
reportăm în 𝐷 coarda corespunzătoare arcului 𝑃𝑁 pe cercul cu centrul în 𝐵 și obținem
arcul 𝐷𝐸 congruent cu arcul 𝑃𝑁
Pasul 4: trasăm semidreapata [𝑀𝐸. Unghiul ∢𝐷𝑀𝐸 este congruent cu unghiul
∢𝐴𝐵𝐶

5.2.2. M etoda conversației

Conversa ția face parte din categoria metodelor didactice de transmitere și
însușire a cuno ștințelor și din subcategoria metodelor de comunicare orală, respectiv a

65
celor de comunicare orală conversativă. Ea reprezintă o metodă de învă țământ bazată pe
dialogul dintr e profesor și elev, pe întrebări și răspunsuri.7
Pentru realizarea obiectivelor învățării se r ecomanda întrebările „ deschise”, care
solicită inteligența productivă, îndeamnă la anumite acțiuni, sugerează sau anticipează
anumite operațiuni de efectuat și lasă elevilor mai multă libertate de căutare, de
cercetare, de formulare a mai multor răspunsuri sau soluții posibile.
Întrebările pot fi: întrebări convergente, care îndeamnă la analize, comparații,
sinteze , asociații de idei, explicații.
a) Întrebări divergente, care exersează gândirea pe traiectorii inedite, originale,
evidențiind o diversitate de soluții la aceeași problemă.
b) Întrebări de evaluare, solicitând elevii să emită judecăți proprii asupra aspectelor
întâlnite în funcție de criterii diferite .
O clasificare succintă a diferitelor modalități de abordare a metodei se poate
realiza pe baza funcției îndeplinite în procesul instructiv -educativ.
Conversația poate fi:
a) Conversația de aprofundare și consolidare, are rolul de consolidare și f ixarea
cunoștințelor
b) Conversația de verificare, control și apreciere, are rolul de verificare și apreciere
a performanțelor învățării
c) Conversația catehetică, se utilizează pentru consolidarea noțiunilor asimilate de
elevi, având scopul reproducerii succint e a celor învățate
d) Conversația euristică, are ca func ție să mobilizeze cuno ștințele pe care le au
elevii și să-i conducă pe ace știa la descoperirea unor noi adevăruri . Cea mai des
utilizată în lec țiile de matematică, ea constă în aceea că, folosindu -se de o
succesiune de întrebări, puse cu măiestrie și în alternan ță cu răspunsurile primite
de la elevi, profesorul îi îndeamnă pe ace știa să efectueze investiga ții în sfera
informa țiilor existente deja în mintea lor, să facă asemenea asocia ții, încât să
ajung ă la descoperirea unor noi adevăruri.
Atât profesorul cât și elevii pot formula întrebări referitoare la tema lec ției;
primul, spre a vedea cum au fost receptate și înțelese mesajele sale didactice, ceilal ți

7 Bocoș, M., (2007), Didactica disciplinelor pedagogice. Un cadru constructivist ,
Editura Parașela 45, Pitești

66
pentru a -și lămu ri anumite chestiuni sau pentr u a-și completa informa țiile de care
dispun, în legătură cu subiectul aflat în discu ție.
Important este ca profesorul să formuleze întrebările clar și precis, fără
ambiguită ți și să-i obișnuiască și pe elevi să procedeze la fel.
Întrebările puse de profesor să se adreseze cu precădere gândirii elevilor, nu
memoriei lor și să fie astfel formulate încât să -i incite la dialog ( și să nu -i inhibe).
De aceea, în literatura pedagogică se recomandă înlocuirea întrebărilor care
încep cu „ce“, „cine“, „când “ etc., cu unele de forma „explica ți de ce… “, „ce s-ar
întâmpla dacă… “ sau „interpreta ți…“, „compara ți…“ etc.
Desigur întrebările formulate de profesor vor avea în vedere cuno ștințele
anterioare și experien țele elevilor. În caz cont rar, răspunsurile a șteptate vor veni doar de
la elevii care beneficiază acasă de îndrumare sau de cei interesa ți de tema discutată, pe
care au studiat -o pe cont propriu în prealabil.
În practica școlară, conversa ția se utilizează în combina ții cu alte meto de, cum ar
fi:demonstra ția, observa ția, problematizarea. Datorită multitudinii ipostazelor în care se
prezintă metode conversa ției are o largă aplicabilitate în spa țiul școlar.8
În exemplul următor, cu ajutorul metodei conversației, s -a prezentat construcția
bisectoarei unui unghi.
Înaintea fiecărui pas elevii sunt stimulați să găsească etapele construcției
bisectoarei unui unghi.
Pasul 1. Cu 𝐴 drept centru se desenează un arc de cerc. Acesta intersectează
laturile unghiului 𝐴 în punctele 𝐵 și 𝐶. Evident că [𝐴𝐵]≡[𝐴𝐶].
Pasul 2. Cu acee ași deschizătură a compasului se desenează un cerc cu centrul în
B.
Pasul 3. Tot cu acee ași deschizătură a compasului se desenează un cerc cu
centrul în C. Aceste cercuri se vor întâlni într -un punct P care se află în partea opusă a
lui 𝐴 față de segmentul [𝐵𝐶].
Pasul 4. Desenăm segmentul [𝐴𝑃].
Conform cazului 𝐿.𝐿.𝐿. ∆𝑃𝐴𝐵 ≡∆𝑃𝐴𝐶 . Așa dar∢𝑃𝐴𝐵 ≡∢𝑃𝐴𝐶 și deci [𝐴𝑃
este bisectoarea căutată.

8Crețu D., Nicu A. (2009), Pedagogie – pentru definitivat și gradul didactic II , Editura
Universității "Lucian Blaga" Sibiu 2009, p. 200 .

67
(Când s -au desenat cercur ile de la pașii 2 și 3, se putea utiliza orice raza mai
mare decât 1
2𝐵𝐶. Problemele apar doar dacă se folosește o raza așa de mică, încât
cercurile să nu se intersecteze. )

5.2.3. Demonstrația

Demonstrația este o metodă didactică bazată pe acțiunea de cercetare indirectă a
realității. Ea valorifică îndeosebi resursele raționamentului de tip deductiv implicând
prezentarea unor obiecte, fenomene și procese din natură și societate, reale sau
substitute, în vederea stimulării capacității elevilor de descoperire și de argumentare a
esenței acestora. Demonstrațiile logico -matematice se deosebesc de demonstrațiile
bazate pe utilizarea materialului inductiv, utilizate în studiul altor discipline.
Este o metodă de bază, prin care profesorul prezintă dovede ște pe baza unui
material concret – intuitiv, exemple, argumente logice sau ac țiuni practice, realitatea unui
obiect, fenomen, proces sau a unor adevăruri. Această meto dă cunoa ște o multitudine de
variante, cum ar fi:
a) demonstra ția cu ajutorul obiectelor reale, în stare naturală
b) demonstra ția cu substitutele obiectelor sau fenomenelor ( plan șe, desene,
scheme, tabele, machete)
c) demonstra ția acțiunilor și comportame ntelor
d) demonstra ția cu ajutorul experimentelor de laborator (experiment
demonstrativ)
e) demonstrația cu ajutorul mijloacelor tehnice audio – vizuale.

68
Demonstra ția didactică provoacă o percep ție activă, concret -senzorială a
realită ții și nu trebuie conf undată cu demonstra ția logică ( teoretică ), de natură
deductivă. Metoda se folose ște cu succes la toate clasele înlesnind învă țarea.9
Demonstrația matematică este metoda specifică de justificare a teoremelor și
constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea
în mod logic.
Demonstrația în care se porne ște de la propoziții generale spre propoziții
particulare se nume ște demonstrație analitică. In acest tip de demonstrație se porne ște de
la ceea ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adevărat.
Demonstrația matematică prin metoda reducerii la absurd constă în demonstrarea
propoziției contrară recip rocei, care are aceea și valoare de adevăr cu propoziția
directă.10
Demonstrația prin metoda inducției matematice constă în trecerea de la
propoziț ii particulare la propoziții generale.
Metoda demonstrației prin inducție matematică se aplică tuturor propozi țiilor
matematice care depind de un număr natural.
Cu această metodă se dezvoltă la elevi aptitudini necesare abordării inductive și
deductive.
Exemplu: Să se construiască mijlocul unui segment.
CONSTRUCȚIA 1. Construcția mediatoarei unui segment.
Se dă segmentul [𝐴𝐵].
Pasul 1. Se desenează cercul cu centrul în 𝐴 și de rază 𝑟=𝐴𝐵.
Pasul 2. Se desenează cercul cu centrul în 𝐵 și de rază 𝑟=𝐴𝐵.
Pasul 3. Se desenează segmentul [𝑃𝑄]. Deoarece 𝑃 este ech idistant față de 𝐴 și
𝐵, 𝑃 se află pe mediatoarea lui [𝐴𝐵], din acelați motiv 𝑄 se află pe mediatoarea lui
[𝐴𝐵]. Orice rază mai mare decât 1
2𝐴𝐵 este bună.
CONSTRUCȚIA 2. Construcția mijlocului unui segment.
Mediatoarea ne dă automat mijlocul segme ntului.

9Crețu D., Nicu A. (2009), Pedagogie – pentru definitivat și gradul didactic II , Editura
Universității "Lucian Blaga" Sibiu 2009, p. 205.
10Ardelean, L., Secelean, N. (2007), Didactica matematicii , Editura Universității
„Lucian Blaga”, Sibiu

69

5.2.4. Metoda e xercițiului
La modul cel mai general, exercițiile pot fi privite ca acțiuni concrete efectuate
conștient și repetat în scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi (mai rar
cunoștințe) noi, pentru a ușura anumite activități și a contribui la dezvoltarea unor
aptitudini. Avantajele metodei exercițiului sunt:
• Se poate forma o gândire productivă, creatoare.
• Se oferă posibilitatea câștigării unei anumite independențe.
• Se oferă posibilitatea inițierii unui dialog -conversație cu obiective precise
asupra unor metode și soluții.
• Se activează atitudinea critică și poate crește discernământul elevilor în privința
celor mai bune metode de lucru.
• Se oferă profesorului o anumită posibilitate de a analiza și evalua
activitatea sau performanțele generale ale unui elev.
Condiția primordială de reușită este dată în principal de selecția
corespunzătoare a problemelor sau exerc ițiilor, precum și de activitatea de
îndrumare -proiectare. Prin urmare, exercițiile sunt acțiuni efectuate în mod conștient
și repetat de către elev cu scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi și chiar
cunoștințe noi, pentru a ușura alte activități ș i a contribui la dezvoltarea altor aptitudini.

70
Nu există lecție în care să nu se aplice această metodă. Alte avantaje sunt concretizate
în rezultatele aplicării ei: formează o gândire productivă; oferă posibilitatea muncii
independente; oferă posibilitatea analizei diverselor metode și soluții de rezolvare a
problemelor; activează simțul critic și autocritic și îi învață pe elevi să -și aprecieze
rezultatele și metodele de lucru; oferă posibilitatea depistării și eliminării erorilor.
Este clar că metoda nu c ontribuie numai la formarea priceperilor și
deprinderilor de lucru, ci contribuie substanțial la dezvoltarea unui raționament
flexibil și operant. Pentru profesor, alegerea, formularea și rezolvarea problemelor și
apoi exploatarea rezultatelor obținute con stituie o sarcină de importanță deosebită.
Alegerea problemelor este condiționată de programa analitică, succesiunea prezentării
noțiunilor în manuale, metodele de rezolvare ce pot fi folosite și de elevii cărora li se
adresează. Formularea problemelor trebuie să țină cont de noțiunile cunoscute de
elevi, să fie clară, concisă (nu ambiguă) și să folosească limbajul de specialitate
numai în măsura în care este cunoscut elevilor. Rezolvarea trebuie să aibă în vedere
obținerea rezultatelor pe căi clare și ușor de verificat, reținerea tipurilor de
raționamente folosite, deschiderea perspectivei pentru rezolvarea unor probleme
analoage sau mai complexe. Folosirea rezultatelor obținute trebuie să vizeze
lămurirea conținutului activ în cunoașterea noțiunilor învățate și adâncirea
semnificației lor, asimilarea metodelor de rezolvare și aplicarea lor la rezolvarea
altor probleme. Utilizarea pe scară largă a acestei metode a condus la o clasificare a
exercițiilor și problemelor în funcție de aportul capacităților intelectuale necesare
rezolvării lor.
a) Exerciții și probleme de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode: de
exemplu, în gimnaziu, prin recunoa șterea noțiunilor din medi ul
înconjurător se asigură o primă concretizare a celor abstracte.
b) Exerciții de aplicare imediată a unor formule sau algoritmi care se propun pentru
asigurarea conexiunii inverse, în scopul formării de priceperi și deprinderi. Rolul
acestor exerciții constă în exemplificarea unor formule și/sau a unor reguli .
c) Exerciții de autoinstruire, prin care se urmăre ște însu șirea de cuno ștințe noi
pornind de la cele dobândite anterior.
d) Exerciții de calcul mintal, care î și lărgesc aplicabilitatea în toate domeniile u șurând
formarea deprinderilor și însu șirea cuno ștințelor. Calculul mintal este o adevărată
gimnastică a minții, exersarea lui grăbind și ordonând dezvoltarea gândirii .

71
e) Exerciții comentate, aceste exerciții comentate se pot găsi în culegeri, dar esențiale
sunt exercițiile rezolvate în clasă ca model pentru cele propuse .
Formele de organizare a activității bazate pe metoda exercițiului sunt variate.
În general, în predarea -învățarea matematicii, nu există lecție în care să nu se aplice
metoda exercițiului11.
Folosind metoda exercițiului elevii construiesc triunghiuri folosindu -se de cazurile
de construcție ale triunghiurilor.
5.2.5. M etoda muncii cu manualul
Această metodă este o formă de muncă independentă utilizată în scopul studierii și
asimilării de cuno ștințe noi din texte scrise de matematică.
Manualul școlar este unul din instrumentele de lucru pentru elevi, poate cel mai
important, care detaliază în mo d sistemic temele recomandate de programele școlare și
contribuie la organizarea procesului de învățământ.
Elevii trebuie să fie învățați de către profesor în cadrul lecțiilor cum să
folosească manualul,cum să alcătuiască rezumate,conspecte,fișe etc.
Este o metodă fundamentală pentru formarea deprinderii de muncă intelectuală
și un instrument de autoeducație;
Este o metodă de predare -învățare tradițională (din punct de vedere istoric )
accesibilă nivelului de vârstă și cunoștințe ale elevilor;
S-a constatat că 80% dintre elevii de gimna ziu și liceu folosesc manualul pentru
exerciții și probleme nu pentru înv ățarea teoriei.
Folosirea manualului permite elevului o acomodare cu textul scris, cu o
exprimare riguroasă specifică textelor matematice.
Manualul trebui e să fie accesibil și strict adaptat nivelului treptei de învățământ
căruia se adresează.
Tema pentru acasă este o altă ocazie de muncă independentă din manual sau alte
auxiliare de matematică. Ea este dată astfel ca elevul să studieze din manual și teoria și
modelele de exerciții rezolvate12.

11Ardelean, L., Secelean, N . (2007), Didactica matematicii , Editura Universității
„Lucian Blaga”, Sibiu
12Ardelean, L., Secelean, N. (2007), Didactica matematicii , Editura Universității
„Lucian Blaga”, Sibiu

72
În multe cazuri, manualele conțin sarcini de lucru corelate cu conținutul lecției.
Organizarea unor activități de învățare pornind de la aceste sarcini de lucru poate fi o
soluție pentru dinamizarea învățării.
Prin utilizarea acestei metode se realizează u nul din obiectivele fundamentale ale
predării matematicii și anume de „a -l învăța pe elev cum să învețe”.

5.3. Metode moderne

5.3.1. P roblematizarea

Este o metodă care solicită un efort intelectual din partea copilului pentru
descoperirea de noi cunoștințe sau procedee de acțiune și de verificare a soluțiilor
găsite.
Având în vedere nivelul de formare a reprezentărilor matematice,
problematizarea se utilizează foarte frecvent. Problematizarea aplicată în școală poate fi
considerată o vari antă a conversației euristice. Această metodă dezvoltă la copil
gândirea independentă, scheme operatorii și asigură motivația intrinsecă a învățării. Prin
rezolvarea situațiilor problemă propuse de către profesor, copilul își însușește noi
cunoștințe.
Orice situație -problemă dă naștere unei stări conflictuale în gândire, copilul
trebuind să facă față diferenței dintre cunoștințele sale interioare și sarcina de lucru.
Pentru a fi eficientă situația -problemă trebuie să respecte următoarele cerințe:
– să pună î n evidență dezacordul dintre cunoștințe și sarcina de rezolvat;
– să declanșeze o trebuință de cunoaștere;
Activitatea să fie orientată spre descoperirea de noi cunoștințe și procedee de
acțiune pentru rezolvarea dezacordului existent. Orice profesor care u tilizează metoda
problematizării trebuie să parcurgă următoarele etape:
– organizarea situației problemă;
– formularea sarcinilor;
– sistematizarea și fixarea cunoștințelor dobândite prin rezolvarea
sarcinii.
Respectarea acestor etape în derularea situației – problemă, asigură elevului :
percepția și înțelegerea problemei; selectarea cunoștințelor anterioare în scopul
adaptări i lor la datele noii probleme; căutarea prin efort propriu a soluției de rezolvare a

73
problemei; obținerea, verbalizarea și verificarea rezultatului obținut; exersarea achiziției
dobândite .
Profesorul care utilizează această metodă de lucru trebuie să ofe re copiilor un
minim de informații pentru a -i orienta spre cunoștințele care îi pot ajuta să rezolve
problema și o întrebare -problemă care să le indice dificultatea sarcinii și care să -i ajute
să stabilească legături între cunoștințe și sarcină.
R. M. Gagn é, în lucrarea sa „Condițiile învățării“, sugerează următorul traseu de
rezolvare a problemelor:
– definirea cerințelor;
– punerea problemei prin sesizarea condițiilor;
– recunoașterea situației de plecare și selectarea informațiilor;
– organizarea și re organizarea informației în direcția identificării soluțiilor
posibile, pe calea raționamentului, intuiției, deducției,analogiei;
– opțiunea pentru soluția optimă ;
– verificarea soluției și a rezultatului.
Elemente de problematizare se pot introduce în cadrul conversației euristice sub
formă de întrebări de tipul de ce, dacă…atunci, ce s -ar întâmpla dacă…, copiilor
revenindu -le sarcina de a emite soluții și a le verifica în acțiune. Se pot introduce
elemente de problematizare și în cazul folosirii metode i exercițiului sau a jocului.
Fără a exagera, se poate afirma că, în învă țământul preuniversitar, factorul
decisiv în învă țarea matematicii îl constituie rezolvarea de probleme și exerci ții.
„Rezolvarea problemelor a fost baza învă țământului încă de pe timpul
papirusului Rhind. Opera lui Euclid poate fi considerată ca o contribu ție pedagogică
care constă în disecarea geometriei în diferite probleme u șor de dominat. După părerea
mea, problemele sunt și astăzi baza învă țământului matematic în școala sec undară“
(Polya G.).
Importan ța problemelor și a exerci țiilor se vede și în aspectele cantitative legate
de acest subiect:
-timpul afectat rezolvării problemelor este, în general, mai mare în cursul orelor
decât cel destinat teoriei -manualele con țin sute d e exerci ții și probleme
-sursele problemelor, pentru toate nivelurile, sunt foarte bogate și inepuizabile
-temele date pentru acasă constau aproape exclusiv din rezolvări de exerci ții și
probleme

74
-majoritatea subiectelor lucrărilor de verificare, ale teste lor na ționale, ale
examenelor de bacalaureat și admitere în facultate solicită doar rezolvarea de probleme
-probele concursurilor și olimpiadelor jude țene, na ționale și interna ționale
constau tot din rezolvarea de probleme
Așa cum spunea într -un articol marele nostru matematician acad. Nicolae
Teodorescu: „trecerea de la un rezultat la altul se face pe cale logică folosindu -se
opera țiile, ra ționamente, construc ții auxiliare etc, pe baza unei înlăn țuiri compatibile
cu axiomele și consecin țele acestora necesare parcurgerii drumului de la date
larezultate. Înlăn țuirea se face cu instrumente matematice: rela ții și opera ții și în
momentul în care enun țul este formulat ca o comandă sau ca o aspira ție, căutarea unui
drum care să ducă de la date la rezultat constituie o problemă“ .
Important de menționat faptul că, o foarte mare categorie de probleme pot
deveni simple exerciții (care presupun exersări rutiniere), pentru acei elevi dotați care
stăpânesc foarte bine cunoștințele necesare în momentul rezolvării. Același enunț, poate
deține statutul de exercițiu sau de problemă, în funcție de adresant, de cunoașterea și
experiența sa matematică, de exigențele sale, respectiv de situația particulară în care se
află.
Dacă un exercițiu implică operații de aplicare, exersare, transfer, extrapolare a
cunoștințelor matematice, o problemă, în schimb, presupune, în plus, exersare de
raționamente logico -matematice, operații de analiză, de sinteză și chiar de evaluare
(formulare de judecăți de valoare) .
În studiul matematicii, diversitatea problemelor face să existe o diversitate de
posibilități de clasificare:
1) După conținutul problemelor de matematică :
– probleme de algebră;
– probleme de geometrie;
– probleme de trigonometrie;
– probleme de analiză matematică;
– probleme de probabilități;
– probleme de statistică.
2) După gradul de generalitate :
– probleme generale
– probleme specifice
3) După numărul de etape și operații implicate :

75
– probleme simple
– probleme complexe
4) După metoda de rezolvare :
– probleme care se rezolvă aplicându -se direct o formulă;
– probleme care se rezolvă cu ajutorul unui algoritm;
– probleme pentru a căror rezolvare este necesară o anumită
analiză (de obicei, anterioară aplicării unui algoritm);
– probleme de sinteză
5) După gradul de structurare (clasificare realizată de Newell și Simon):
– probleme bine definite;
– probleme slab definite (structurarea presupune mai multe sau
mai puține elemente de nedeterminare ori de ambiguitate

6) După natura lor :
– problemele reproductive -noncreative (rezolvarea unei ecuații de
gradul al doilea)
– problemele demonstrative -aplicative sau inductiv -creative
– problemele inventiv -creative
– problemele euristic -creative (rezolvarea unei ecuații
trigonometrice)
„A rezolva o problemă î nseamnă a găsi o ie șire dintr -o dificultate, î nseamnă o
cale de a ocoli un obstacol , de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi
soluția unei probleme este o performan ță specifică inteligen ței, iar inteligen ța este
apanajul distin ctiv al speciei umane “ (Polya G.).
Exemplu: Să se construiască un trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵∥𝐶𝐷) când se dă 𝐴𝐵=
4𝑐𝑚,𝑚(∢𝐴)=72°,𝐴𝐷=3𝑐𝑚,𝑚(∢𝐵)=50° .
Această construcție se bazează pe proprietatea: perechile de unghiuri
∢𝐷𝐴𝐵 ,∢𝐴𝐷𝐶 și ∢𝐴𝐵𝐶 ,∢𝐵𝐶𝐷 sunt suplementare (consecință a relației 𝐴𝐵∥𝐶𝐷)
Pasul 1: se construiește triunghiul ∆𝐷𝐴𝐵 (caz L.U.L)
Pasul 2: se construiește unghiul ∢𝐴𝐵𝑋 cu măsura de 50°
Pasul 3: prin 𝐷 se duce o paralelă la 𝐴𝐵
Pasul 4: semidreapta [𝐵𝑋 se intersectează cu paralela prin 𝐷 la 𝐴𝐵 în vârful 𝐶
al trapezului.

76

5.3.2. Î nvățarea prin descoperire dirijată

Metoda descoperirii este o altă metodă de explorare indirectă utilizată frecvent
în lec țiile de matematică. Prin intermediul acestei metode, elevii, îndruma ți de profesor,
descoperă (pe baza însu șirilor anterioare și a experien ței personale) cuno ștințe noi.
Predarea prin descoperire reprezintă un ansamblu de activită ți desfă șurate de
profesor, care vizează punerea elevilor în situa ția de a descoperi, de a -și însu și
cuno ștințele prin efort propriu și își propune ca scop principal să îl înve țe pe elev să
gândească ( de aceea, dirijarea exterioară este redusă la minimum).
Învățarea prin descoperire are la bază o strategie de lucru euristică, o modalitate
de participare activă a elevilor în procesul instructiv – educativ, prin efectuarea de
activită ți și investiga ții proprii, independente , orientate în direc ția cercetării,
reconstruc ției și redescoperirii adevărurilor științifice și a metodologiilor de elaborare a
lor.
Activitatea de cercetare a elevului finalizată cu actul descoperirii, are sens numai
în măsura în care ea este declan șată prin punerea unei probleme, ceea ce face ca între
problematizare și descoperire să existe o legătură foarte strânsă. Astfel, pe de o parte,
descoperirea este dependentă de existen ța situa ției – problemă, se desfă șoară într -un
cadru problematizat, iar pe de altă parte, rezolvarea unei probleme implică o

77
descoperire. Descoperirea poate fi considerată o continuare și o întregire a
problematizării, ea constituind momentul final al acesteia.
Predarea -învățarea cu ajutorul metodelor problematizării și descoper irii necesită
utilizarea unor tehnici care să determine elevul să conștientizeze conflictul dintre
informația dobândită și o nouă informație, implicându -l activ în acțiunea de
descoperirea a unor noi proprietăți ale fenomenului/obiectului studiat.
Învățarea prin descoperire apare ca o întregire a metodei problematizării. Se
evidențiază trei modalități principale de învățare prin problematizare și descoperire:
modalitatea inductivă, modalitatea deductivă și modalitatea prin analogie.
Aplicarea acestei metode presupune parcurgea următoarelor etape :
• confruntarea cu o situație problemă, etapă în care se manifestă interesul
pentru căutare și explorare;
• realizarea actului descoperirii, prin structurarea și interpretarea datelor,
utilizarea operațiilor gândirii și evidențierea noului;
• verbalizarea generalizărilor și formularea concluziilor;
• exersarea în ceea ce s -a descoperit prin aplicarea celor descoperite în noi
contexte situaționale.
Avantajele utilizării aceste i metode sunt:
• creează mediul favorabil unei activități intelectuale intense;
• rezultatele descoperirilor reprezintă achiziții trainice, contribuind și la
asigurarea motivației intrinseci;
• contribuie la însu șirea unor metode euristice, de descoperire;
• permi te monitorizarea progresiei învățării și schimbul informațional
consistent de la elev la profesor.
Problematizarea și descoperirea fac parte dintre metodele formativ -participative,
care solicită gândirea creatoare a elevului, îi pun la încercar e voința, îi dezvoltă
imaginația, îi îmbogățește experiența.
Folosind metoda învățării prin descoperire, se va lansa o provocare spre
explorări și muncă individuală sau în echipă, prin documentare și activități aplicative,
prin investigație șt iințifică și tehnică.
Ajutorul profesorului în descoperire este indispensabil dar, pentru a asigura
premisele exploatării valen țelor formative euristice ale descoperirii și ale instruirii
interactive, este necesar ca acest ajutor să fie minim și să cons tea în crearea condi țiilor

78
favorabile realizării descoperirilor de către elevi, pe cât posibil prin activită ți
independente ( individuale și colective) și autonome. În practica instruirii interactive, se
pot îmbina în moduri variate, următoarele tipuri de descoperiri, astfel încât să se asigure
dezvoltarea optimă a tuturor tipurilor de ra ționamente:
Tipuri de descoperiri
Descoperiri Bazate pe
● Inductive – raționamente de tip inductiv, în care gândirea parcurge drumul
de la particular la general.
●Deductive – raționamente de tip deductiv, , în care gândirea parcurge
drumul de la general la particular.
●Transductive – raționamente transductive, care sunt asociate cu gândirea
artistică sau imaginativă întrucât sunt specifice artelor.
●Analogice/ prin
analogie – raționamente analogice / prin analogie, în care gândirea
parcurge drumul de la particular la particular sau de la general la
general, stabilindu -se rela ții logice tranzitive între date.
Pentru descoperirea noului elev ii parcurg următoarele etape :
1. Sesizarea problemei/ situa ției – problemă, de con știentizare și de confruntare cu
ea, de analiză a ei, de inducere la elevi a disponibilită ții și a dorin ței de a rezolva,
precum și a comportamentului de căutare, de investigar e, de explorare, de
experimentare, de cercetare, de descoperire, de inven ție.
2. Căutarea independentă a solu țiilor la problema pusă și realizarea actului
descoperirii.
3. Formalizarea rezultatelor descoperirii.
4. Personalizarea noilor achizi ții și integrarea lor în sistemul cognitiv propriu al
elevilor, în viziunea sistemică și aplicarea creatoare a rezultatelor descoperirii în
contexte situa ționale diferite.
Instruirea prin descoperire reprezintă o orientare strategică pentru un învă țământ
activ și interactiv, o concep ție valoroasă și inovatoare.

5.3.3. M etoda modelării

Metoda modelării reprezintă o orientare didactică în care gândirea elevului este
dirijată spre descoperirea adevărului pe baza raționamentului prin analogie, utilizând un
model didactic.

79
Învățarea prin modelare presupune două etape. Într -o primă etapă, învățarea se
va face pe baza modelelor construite de profesori, etapă în care se vor analiza trăsăturile
modelului și compararea lui cu originalul. Î n a doua etapă, elevii vor fi deprinși să -și
construiască propriile modele printr -o succesiune logică de raționamente. Această
metodă constă în utilizarea modelelor ca sursă pentru dobândirea de noi cunoștin țe.
Prin modelare se dezvoltă la elev i spiritul de observație, capacitatea de analiză,
sinteză și creativitate. Astfel, elevul se obișnuiește să creeze noi probleme ce trebuiesc
rezolvate, să adapteze algoritmi cunoscuți la situații noi, etc.
Modelul didactic este o reproducere materială sau mentală a obiectelor și
fenomenelor din viața reală, fără a fi o copie identică a originalului ci asemănător cu
acesta, păstrând însușirile sale esențiale, semnificative. El constituie o simplificare, o
schematizare, a realului. Studiind modelul, operând cu acesta, elevii dobândesc
informații despre sistemul real. După formă și structură, modelele pot fi materiale,
figurative și simbolice.
Modele materiale sunt foarte intuitive, dar trebuiesc construite, aduse în sala de
clasă pentru a putea f i prezentate. Profesorul aduce, de obicei, un singur model material
pe care -l prezintă unei clase formate din aproximativ 30 de elevi. O parte din acești
elevi nu reușesc să surprindă detaliile. Pentru a se asigura că fiecare elev poate să
urmărească și s ă observe modelul, profesorul ar trebui să apeleze la modelele
figurative: desene, fotografii, reprezentări grafice sau scheme ale originalului care au
capacitatea de a reproduce forma exterioară, structura internă și relațiile funcționale ale
originalulu i.
În acest sens se poate utiliza și software -ul educațional, materiale interactive,
materiale video, tutoriale interactive etc.
Modelul reprezintă un sistem material sau ideal ( logico – matematic ), care
reproduce în mod esen țializat note sau particular ități ale sistemului original și care
mediază cunoa șterea unor proprietă ți ale acestuia.
Caracteristicile modelelor pot fi rezumate astfel:
1. Este o simplificare a originalului.
2. Este o reprezentare l ărgită a originalului, în sensul că nu reprezintă numai o
analogie a proprietă ților acestuia, ci sugerează si proprietă ți necunoscute ale
originalului.

80
3. Conține un element ipotetic, având toate trăsăturile generate de ipoteza
științifică. Odată cu verificarea valabilită ții ipotezei făcute, carac terul ipotetic al
modelului dispare.
4. Conține un element de imagina ție științifică, fiind un proces al activită ții de
sinteză.
Se pot eviden ția două tipuri de rela ții între model și original:
1. relația model – prototip, care este o rela ție de asemănare, nu d e identitate
2. relația model – acțiune, care este o rela ție de înlesnire a cunoa șterii
(reproducerea devine model numai în măsura în care aduce o informa ție în plus
cu privire la original).
Tipuri de modele și modelări didactice
În practica educa țională, in studiul diferitelor discipline de învă țământ se
apelează la o diversitate de modele didactice și la posibilită ți multiple de clasificare a
lor:
I. După forma de prezentare:
1. Modele materiale – prezintă asemănări fizice cu sistemul original:
– modele materiale similare (identice, izomorfe): se aseamănă foarte mult cu
sistemul original (mulaje, hăr ți, fotografii)
– modele materiale analogice: reproduc numai acele componente ale sistemului
care eviden țiază func țiile acest uia ( mi șcarea browniană, modele pentru structura
atomului )
– subclasa construc țiilor: reproduc rela țiile spa țiale dintre componentele
subsistemului (machete, modele spa țiale ale moleculelor)
2. Modele ideale – se caracterizează p rin absen ța formei de concretizare fizică a
sistemului original și au un grad de abstractizare mai mare decât cele materiale
– modele ideale de ordin I: au grad de abstractizare mai scăzut (modele
simbolice, simboluri chimice)
– modele ideale de ordin II ( logico – matematic ): au grad de abstractizare mai
mare ( ecua ții logico – matematice, algor itmi de calcul )

II.După natura lor:
1. Modele obiecturale: prezintă forma de concretizare fizică a sistemului original
(corpuri geometrice, obiecte concrete);

81
2. Modele figurative: sunt scheme sau reprezentări grafice (schema unei instalații
industriale, schem e circuitului apei în natură);
3. Modele simbolice: sunt formule logice sau matematice care stau la baza
construirii unor ra ționamente, a func ționării unor dispozitive (formule de calcul
pentru diferite tipuri de concentra ții ale solu țiilor, formule de termod inamică);

III.După rolul lor:
1. Modele explicative: sprijină procesul de în țelegere (scheme, reprezentări
grafice)

2. Modele predictive: sprijină deducerea transformărilor pe care le va suferi
sistemul studiat;
Utilizarea modelării în cele mai diverse contexte educa ționale, apelul la Noile
Tehnologii de Informare și Comunicare și posibilitatea gradării nivelelor de
abstractizare, au dus la practicarea mai multor tipuri de modelări :
I.Modelarea similară / prin analogie formală completă – generează
modelei zomorfe de tipul modelelor materiale: similare intuitive (machete, mulaje întregi
sau sec ționate).
II.Modelarea prin analogie formală par țială- generează modele ideale,
abstracte, mintale (modele grafice, formule, modele matematice, concepte, idei, teori i).
III.Modelarea simulatorie – generează simulări structurale, analoage cu
originalul din punct de vedere func țional (simulări cu ajutorul calculatorului electronic,
modelul inversiunii Walden).

5.3.4. A lgoritmizarea
Algoritmizarea este o metodă de învățământ care presupune aplicare de
algoritmi, respectiv efectuarea unei suite de operații, integrate în scheme de acțiune
didactica, ce urmăresc îndeplinirea unei sarcini de instruire, iar algoritmul conține un
ansamblu de indicații, prescripții, reguli și raționamente, care conduc la rezolvarea unei
sarcini de predare -învățare.
Metodele algoritmice ocupă un loc deosebit în formarea gândirii științifice la
elevi, contribuind la dezvoltarea operativită ții. Metoda se poate referi la două domenii
importan te: însu șirea algoritmilor de calcul și însu șirea algoritmilor de desfă șurare a
unor activită ți practice. (V.Sunel și colab., 1997)

82
Metoda algoritmizării operează cu algoritmi, care reprezintă o succesiune
riguroasă de ra ționamente și indica ții, aranjate într-o schemă logică,având ca rezultat
soluționarea fie a unor exerci ții, fie a unor activită ți de un anumit tip.
Algoritmizarea este acea metodă de învă țământ cu ajutorul căreia achizi ționarea
noilor cuno ștințe se realizează prin parcurgerea succesivă a unor etape la capătul cărora
se ob ține rezultatul dorit, solu ția unei probleme.
Un algoritm reprezintă o succesiune de opera ții care se desfă șoară întotdeauna în
aceea și ordine, cu stricte țe stabilită și care conduce în final la rezolvarea corectă a unei
probleme sau sarcini concrete de acela și tip.
Elaborarea unui algoritm cuprinde următoarele etape: (G.Palmade,1975)
• Analiza proc esului, fenomenului de învă țat.
• Descompunerea lui în opera ții elementare.
• Stabilirea unei succesiuni optime a acestor opera ții.
• Verificarea, pe cale experimentală sau mintală a concordan ței dintre
gradul de dificultate al opera țiilor și nivelul de pregătir e al elevilor.
• Definitivarea listei de opera ții și etapelor succesiunii de realizare a lor.
• Aplicarea algoritmului as tfel stabilit la rezolvarea unui anumit tip de
probleme .
• Corectarea algoritmului dup ă aplicări repetate.
În func ție de momentul în care int ervin în procesul de predare – învățare și de
finalitatea urmărită, distingem:
a) Algoritmi de rezolvare – conțin un sistem de indica ții, prescrip ții, reguli și
raționamente, cu ajutorul cărora, elevul rezolvă o problemă, un exerci țiu sau
realizează o activitate practică.
b) Algoritmi de recunoa ștere – conțin un sistem de reguli și de ra ționamente, cu
ajutorul cărora, elevul recunoa ște dacă tipul de problemă pe care o are de
rezolvat face parte din una din clasele de probleme rezolvate anterior. De regulă,
recunoa șterea are la bază „cuvintele cheie“ .
c) Algoritmi optimali – apelează la gândirea probabilistică și la strategia euristică a
elevilor, care, pe baza unor ra ționamente inductive sau deductive găsesc solu ția
optimă a unei probleme din mai multe solu ții probabile.
Exemplu: Să se construiască un dreptunghi 𝐴𝐵𝐶𝐷 cu 𝐴𝐵=8𝑐𝑚 și 𝐴𝐶=10𝑐𝑚
Se parcurg următorii pași:

83
– se construiește segmentul [𝐴𝐶]
– se construiește triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 , dreptunghic în 𝐵 (caz I.C.)
– se construiește triunghiul ∆𝐶𝐷𝐴 ≡∆𝐴𝐵𝐶
5.3.5. Metode colaborative și de cooperare

Sunt metode de predare în care:
• elevii lucrează împreună, în perechi sau în grupuri mici, pentru a rezolva
aceeași sarcină, pentru a explora o temă nouă sau a lansa idei noi,
combinații noi sau chiar învățări autentice;
• activitatea elevilor este structurată;
• elevii sunt evaluați atât pentru munca individuală cât și pentru lucrul realizat
de întregul grup;
• elevii comunică direct între ei – față în față;
• elevii în văță să lucreze ca o echipă.
Matematica oferă elevilor oportunități în direcția cooperării și colaborării cu
colegii, tutori, experți, profesioniști, părinți, etc., facilitând și favorizând prin
instrumentele sale schimbul de idei și discuții, dezvoltând spiritul critic, obiectivitatea și
reflexiunea discursivă.
Învățarea prin colaborare și cooperare consideră elevii ca membri ai unui grup,
dar implică, de asemenea, fenomene precum negocierea sau partajarea înțelesurilor –
inclusiv construirea și întreținerea conceptelor de sarcini – ce sunt realizate interactiv
în procesele de grup. Acest tip de învățarea implică și învățarea individuală fără a fi
reductibilă la ea.
Științele învățării ca întreg și-au modif icat obiectivele de la viziunea îngustă a
învățării individuale la incorporarea atât a învățării individuale, cât și a celei de grup.
Trăsăturile dominate ale acestor metode sunt:
• Transferul cunoștințelor și al informațiilor între profesori și elevi. Profesorii pot
structura resursele (materiale pe suport electronic, mijloace audio -video etc.) necesare
desfășurării activității propuse, pot organiza activitatea, pot sprijini elevii pentru a -și
aduce o contribuție la activitate. Profesorii încura jează participarea colegilor, a
părinților și a membrilor comunității în activitatea propusă. Astfel, profesorii furnizează
informații elevilor și în același timp dobândesc ei înșiși noi cunoștințe, experiențe,
strategii pe care elevii le produc în diferit e situații de învățare.

84
• Modificarea rolurilor profesorului și elevului. Metoda implică elevii în fixarea
obiectivelor de învățare, în etapizarea activităților, în evaluarea procesului de învățare.
Profesorii cooperanți încurajează elevii în a -și folosi pro priile cunoștințe, în a le
împărtăși cu colegii și a produce noi cunoștințe pe baza strategiilor de învățare folosite.
Astfel, elevii sunt încurajați să cunoască opiniile fiecăruia, să -și dezvolte gândirea
critică și creativă, să participe deschis la discu țiile pe tema propusă, devenind
responsabilitate prin a -și planifica propria lui activitate. Profesorul devine mediator de
cunoștințe, sprijinind elevii în a se conecta la noi surse de informații pentru îmbogățirea
experienței lor, îi învață cum să învețe.
• Formarea echipelor. Se realizează în funcție de următoarele repere:
1) obiectivele clare de grup;
2) responsabilitatea personală;
3) specializarea pe sarcini a membrilor echipelor;
4) adaptarea la nevoilor individuale;
5) oportunități de grup bine def inite;
6) competiție în cadrul grupului;
7) lucrul de grup să fie bine structurat și cu o finalitate bine stabilită;
8) alegerea unei sarcini de grup bine definită, plurivalentă, suficient de
complexă, lipsită de ambiguități, orientată spre scopuri sociale pentru a stimula activități
și atitudini sociale, astfel încât să provoace interacția coordonată.
Beneficiul utili zării acestor metode este dat de provocarea unei interacțiuni
intense între participanți.
Avantajele utilizării acestor metode:
• Elevii pot profita de pe urma faptului că trebuie să își coordoneze interacțiunile,
explicându -și raționamentul și înțelegând modul celuilalt de a reacționa și argumenta.
• Pot duce la un așa -numit conflict socio -cognitiv atunci când se confruntă cu
informații noi sau contradictorii venite de la parteneri.
• Stimulează procesele cognitive deoarece fiecare trebuie să își su sțină punctul său
de vedere cu argumente, să -și pună de acord informațiile cu cele ale partenerilor, să
învețe să se asculte reciproc și să evalueze soluțiile posibile la probleme.
• Se dezvoltă spiritul competitiv.
• Se constată o influență pozitivă a motivaț iei elevilor în ceea ce privește
autoeficiența, conștientizarea scopului, învățării și evaluarea intrinsecă a sarcinilor de

85
învățare. Factorii care generează aceste efecte sunt: impactul motivațional pozitiv al
suportului dat de colegi în învățare, suportu l dat de grup atunci când se confruntă cu
dificultatea sarcinii, creșterea interesului elevilor față de materia subiect sau față
de sarcina primită spre rezolvare, necesitatea de a explica propriile cunoștințe și de a le
expune judecății grupului.
• Asigură un climat afectiv pozitiv care induce majorității elevilor rezultate mai
bune.
Activități specifice acestor metode:
• munca independentă;
• activități experimentale diferențiate;
• documentarea urmată de dezbateri sau susținerea de referate;
• realizarea unor portofolii;
• realizarea unor dispozitive, albume, machete, planșe, prezentări, soft
educațional, etc;
• activități de evaluare asistate de calculator.
Dificultăți și factori de risc:
• cooperarea și colaborarea nu se produce spontan fiind neces ar un timp
pentru formarea deprinderilor de lucru;
• în timpul învățării prin cooperare și colaborare, în clasă se produce un
fundal sonor ca o „forfotă”;
• necesită un efort suplimentar din partea profesorului și al elevilor săi;
• aplicarea disciplinei de grup, minoritatea trebuind să ia în considerare
alternativele propuse de majoritatea grupului.

5.4. Metode de învățare active

Învățarea centr ată pe elev reprezintă o abordare care presupune un stil de
învățare activ și integrarea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de
învățare al elevului. Elevul trebuie să fie implicat și responsabil pentru progresele pe
care le face în ceea ce privește propria lui educație.
Pentru a avea cu adevărat elevul în centrul activității instructiv -educative,
profesorul îndeplinește roluri cu mult mai nuanțate decât în școala tradițională. În
abordarea centrată pe elev, succesul la clasă depinde de c ompetențele cadrului didactic

86
de a crea oportunitățile optime de învățare pentru fiecare elev. Astfel, în funcție de
context, profesorul acționează mereu, dar adecvat și adaptat nevoilor grupului.
Avantajele învățării centrate pe elev sunt:
✓ Creșterea motiv ației elevilor, deoarece aceștia sunt conștienți că pot influența
procesul de învățare;
✓ Eficacitate mai mare a învățării și a aplicării celor învățate, deoarece aceste
abordări folosesc învățarea activă;
✓ Învățarea capătă sens, deoarece a stăpâni materia în seamnă a o înțelege;
✓ Posibilitate mai mare de includere – poate fi adaptată în funcție de potențialul
fiecărui elev, de capacitățile diferite de învățare, de contextele de învățare
specifice.
Metodele de învățare centrată pe elev fac lecțiile interesante, sprijină elevii în
înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le aplice în viața reală.
Printre metodele care activează predarea -învățarea sunt și cele prin care elevii
lucrează productiv unii cu alții, își dezvoltă abilități de col aborare și ajutor reciproc. Ele
pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic
și oferă alternative de învățare cu ,,priză” la elevi.
În vederea dezvoltării gândirii critice la elevi, trebuie să utilizăm, cu precăd ere
unele strategii activ -participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiționale,
ele marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice.
Dintre metodele moderne specifice învățării active care pot fi aplica te cu succes
și la orele de matematică fac parte: brainstormingul, metoda mozaicului, investigația,
proiectul, experimentul, jocul de rol.

5.4.1. Metoda brainstorming

Numele metodei provine din limba engleză de la „brain “ (creier) și „storm “
(furtună), de unde și sintagma „luare cu asalt a creierului“ , metoda inteligen ței în asalt,
și „asalt de idei“ , care eviden țiază faptul că metoda stimulează spiritul de inven ție și
spiritul creativ.
J.G.Rawlinson define ște brainstorming -ul, ca o modalitate de a ob ține, într -un
răstimp scurt un număr mare de idei de la un grup de oameni. Defini ția sa se axează pe
trei elemente: un număr mare de idei, un grup de oameni și un răstimp scurt, elemente

87
care sunt esen țiale în caracterizarea metodei. Principiul brainstorming -ului constă în
transformarea cantită ții în calitate. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei
viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât m ai mare.
Metoda are drept scop emiterea unui număr cât mai mare de soluții, de idei,
privind modul de rezolvare a unei probleme, în speranța că, prin combinarea lor se va
obține soluția optimă. Calea de obținere a acestor idei este aceea a stimulării creat ivității
în cadrul grupului, într -o atmosferă lipsită de critică, neinhibatoare, rezultat al amânării
momentului evaluării .
Brainstorming -ul se desfășoară în cadrul unui grup nu foarte mare (maxim 30 de
persoane), de preferință eterogen din punct de vedere al pregătirii, sub coordonarea unui
moderator, care îndeplinește rolul atât de animator cât și de mediator. Durata optimă
este de 20 –45 de minute. Specificul metodei constă în disocierea timpului de producerea
ideilor (faza de producție de idei), de timpul în care se evaluează aceste idei (faza
aprecierii critice a ideilor emise). Această disociere se face în scopul stimulării gândirii
diverg ente, creșterii producției de idei. În folosirea acestei metode se cer respectate
următoarele reguli considerate esențiale:
După enunțarea problemei se lasă frâu liber dezlănțuirii gândirii și imaginației
creative a elevilor. Ei trebuie să exprime spontan și deschis ideile care le vin pentru
prima oară în minte. Accentul se pune pe cantitate, pe enunțarea a cât mai multe idei și
soluții.
Se vor asigura condiții pentru crearea unei ambianțe stimulative, favorabile
creativității, intime, degajate de orice co nvenționalism și conformism;
Vor fi ascultați cu atenție toți participanții la discuție, fiind încuraja ți să emită
idei noi, să încerce noi asociații între cele exprimate deja, să le combine și să ajungă pe
această cale la idei superioare celor inițiale. C eea ce poate părea absurd pentru unul,
poate sugera altora o idee nouă, interesantă și utilă;
Elevii vor fi încuraja ți indiferent de valoarea ideilor emise. Chiar și soluții
aparent imposibile, aberante vor fi înregistrate; cuvintele de genul „ridicol”, „aberant”,
„absurd” se dovedesc nefavorabile unui proces de creație.
Înregistrarea discuției se va face prin mijloace moderne sau cu discreție de către
o persoană dinainte desemnată;
Evaluarea și selecția ideilor emise se face ulterior; de aici și denumirea de
„metoda evaluării amânate”.

88
Uneori discuția se poate repeta până la găsirea soluției așteptate. Folosirea
acestei metode pornește de la ideea că o problemă abordată cu logici diferite, tratată din
unghiuri diferite de vedere are mai mare șanse să -și găs ească rezolvarea cuvenită.
În procesul de învățământ metoda se mai folosește în cadrul unor lecții de
sinteză cu caracter aplicativ, în activitățile de cerc, pentru soluționarea unei situații
problemă, elaborarea planului unei lucrări, etc.
Avantajele utilizării metodei brainstorming sunt multiple:
• obținerea rapidă și ușoară a ideilor noi și a soluțiilor rezolvitoare;
• aplicabilitatea largă, aproape în toate domeniile;
• stimulează participarea activă și creează posibilitatea contagiunii ideilor;
• dezvoltă creat ivitatea, spontaneitatea, încrederea în sine prin procesul
evaluării amânate;
• dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă;
Limitele brainstorming -ului:
• nu suplinește cercetarea de durată, clasică;
• depinde de calitățile moderatorului de a anima și dirija discuția pe făgașul
dorit;
• oferă doar soluții posibile nu și realizarea efectivă;
• uneori poate fi prea obositor sau solicitant pentru unii participanți;
• poate să apară fenomenul numit „chiul social“ (când responsabilitatea se
împarte între mai mulți indivi zi, unii depun mai puțin efort).
Regulile care derivă din principiile men ționate anterior sunt:
1. Judecata de valoare este suspendată, se emit, se acceptă, se inventariază și se
notează cât mai multe idei (chiar dacă par vagi, confuze, îndepărtate de
subiect ) oral, în mod spontan, liber, în orice ordine, fără discu ții și dezbateri
prelungite (se realizează separarea inten ționată a actului imagina ției de faza
gândirii critice, ra ționale);
2. Se încuraj ează participan ții să construiască idei noi și asocia ții pe ba za
ideilor celorlal ți, respectiv să preia idei emise de al ții și să dezvolte, să le
ajusteze, să le asocieze, să le combine etc., în vederea generării de idei noi,
adesea superioare primelor;
3. Se evită orice spirit critic, autocritic, evaluator și promovea ză spiritul
creator;

89
4. Se încurajează emiterea de idei neconven ționale și originale și manifestarea
liberă a imagina ției.
Metoda brainstorming comportă trei faze:
● faza de divergen ță,
● faza de realizare a criticii și a evaluării,
● faza de convergen ță, de alegere a solu țiilor.
În cadrul lec țiilor se realizează variante prescurtate ale metodei, obiectivul
fundamental fiind acela de a -i determina pe elevi să -și exprime liber opiniile, să
formuleze idei proprii eliberate de judecă ți, să exerseze atitudini desc hise și creative în
grup, să fie motiva ți pentru activitate, să înve țe într -o manieră plăcută și atractivă.
Pentru derularea optimă a unui brainstorming se pot parcurge următoarele etape:
Alegerea temei și a sarcinii de lucru
Solicitarea exprimării într -un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, fără
cenzură, a tuturor ideilor – chiar trăsnite, neobișnuite, absurd, fanteziste, așa cum vin ele
în minte legate de rezolvarea unei situații -problemă conturate. Se pot face asociații în
legătură cu afirmațiile celorlalți, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup,
dar, sub nici un motiv, nu se vor admite referiri critice. Nimeni nu are voie să facă
observații negative.
Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă, flipcha rt)
Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi)
Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte
cheie, imagini care reprezintă diferite criterii etc.
Analiza critică, evaluarea, argumentare a, contraargumentarea ideilor emise
anterior, la nivelul clasei sau al unor grupuri mai mici
Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru
problema supusă atenției. În această etapă se discută liber, spontan, riscurile și
contradicțiile care apar.
Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte,
propoziții, colaje, imagini, desene, cântece, joc de rol etc.13

13http://www.matestn.ro/mate/Matematica%2520in%2520judet/Comunicari/Calin%252
0Ramona -Metoda%2…

90
Exemplu: Să se construiască triunghiul ∆𝐴𝐵𝐶 , când 𝐴𝐵=5𝑐𝑚,𝑚(∢𝐴𝐵𝐶 )=
30° și 𝐵𝐶=6 𝑐𝑚.
Etapa 1: deschiderea sesiunii de brainstorming: se discută regulile de bază ale
metodei
Etapa 2: partea creativă în care fiecare elev vine cu idei diversificate pentru
rezolvarea ecuației
Etapa 3: închiderea sesiunii de brainstorming.

5.4.2. Metoda mozaicului (JIGSAW)

C. F. Herreid vorbește despre cercetările lui Harold Aarons în domeniul învățării
prin cooperare, acest autor fiind cel care a propus numele de mozaic (jigsaw) pentru
metoda în cauză. Metoda se bazează pe un principiu relativ sim plu: fiecare dintre
grupurile de studiu primește o parte specifică a unei probleme pe care trebuie să o
trateze din punctul de vedere propriu. Pentru ca acest lucru să se îndeplinească, ei devin
„experți” în această parte a problemei. În timpul în care mem brii unuia dintre grupuri
desfășoară un astfel de proces, membrii celorlalte grupuri se află într -un proces similar,
doar că ei trebuie să devină „experți” într -o altă parte a problemei (aceasta din urmă a
fost divizată de la bun început de către profesor într-un număr egal de „părți” cu
numărul grupurilor implicate în respectiva activitate). Fiecare grup ia cunoștință și se
focalizează doar pe partea care i -a fost atribuită de către instructor. În momentul în care
grupurile consideră că membrii proprii au atins gradul de expertiză necesar, instructorul
dispune o redispunere a întregului colectiv de cursanți: noile grupuri formate vor
conține câte un „expert” din fiecare dintre grupurile anterioare (în acest mod se
reasamblează problema). În acest mod se con stituie „mozaicul”, din părți ale
aceleiași probleme care trebuie, printr -un efort a noilor grupuri constituite să se
armonizeze și să funcționeze ca un întreg.
Exemplu: Să se contruiască triunghiul ∆𝑀𝑁𝑃 știind că 𝑁𝑃 =6 𝑐𝑚,𝑚(∢𝑀𝑁𝑃 )=25°
și 𝑚(∢𝑁𝑃𝑀 )=45°.
Etapa 1: – pregătirea materialului de studiu : construcția triunghiului dupa cazul U.L.U.
– împărțirea temei în patru subteme:
1. trasarea segmentului [𝑁𝑃]
2. construcția unghiului ∢𝑀𝑁𝑃 pe semidreapta [𝑁𝑥

91
3. construcția unghiului ∢𝑁𝑀𝑃 pe semidreapta [𝑃𝑦
4. intersctarea semidreptelor [𝑁𝑥 și [𝑃𝑦
Etapa 2: organizarea colectivului în grupe de învățare, de câte 4 elevi, fiecare elev
studiază individual subtema lui.
Etapa 3: constituirea grupului de experți; elevii cu numărul 1 din fiecare grupă se adună
la o masă pentru a aprofunda subtema numărul 1, la fel procedează și ceilalți elevi cu
numerele 2, 3 și 4.
Etapa 4: elevii se reîntorc la grupa inițială și îi învață pe ceilalți colegi subtema în care
ei au devenit experți
Etapa 5: evaluarea: grupele prezintă întregii clase rezultatele obținute.

5.4.3. Metoda proiectului

Învățarea bazată pe proiecte este un model de instruire centrat pe elev. Acest tip
de învățare dezvoltă cunoștințe și capacități în dom eniul matematicii prin sarcini de
lucru extensive, care promovează investigația și demonstrațiile autentice ale învățării
prin rezultate și performanțe. Educația prin metoda proiectului este orientată de întrebări
cheie ale curriculumului care fac legătura între standardele de performanță (obiective de
referință și competențe specifice), capacitățile cognitive de nivel superior ale elevilor și
contexte din viața reală. Unitățile de învățare care utilizează metoda proiectului includ
strategii de instruire va riate, menite să îi implice pe elevi indiferent de stilul lor de
învățare. Tehnologia este utilizată tot pentru a sprijini învățarea și documentarea în

92
realizarea produsului finit. Pe întreg parcursul desfășurării proiectului, sunt incluse
diferite metode de evaluare pentru a asigura calitatea activităților de învățare.
Proiectul are obiective operaționale clare, care sunt în conformitate cu
standardele de performanță (obiectivele de referință și competențele specifice) și se
concentrează pe ceea ce trebuie să știe elevii ca rezultat al activităților de învăța re.
Concentrându -se pe obiective, profesorul definește în planul de evaluare modalitățile
corespunzătoare prin care elevii demonstrează ceea ce au învățat și organizează
activitățile de învățare și procesul de instruire. Activitățile proiectului au drept r ezultat
produsele elevilor și performanțe legate de sarcini realizate de aceștia, precum
prezentările convingătoare, care demonstrează că au înțeles obiectivele operaționale și
standardele de performanță.
Introducerea unei unități de învățare bazate pe un proiect se realizează prin
intermediul unor întrebări care exprimă idei importante și durabile, cu un caracter
transdisciplinar. Elevii sunt provocați să cerceteze mai în profunzime subiectul cu
ajutorul întrebărilor de conținut, care se concentrează pe obiectivele operaționale și pe
standarde de performanță. Există trei tipuri de întrebări cheie ale curriculumului:
esențiale, specifice unității de învățare și specifice conținuturilor. Întrebările esențiale au
un caracter general și su nt întrebări deschise care abordează idei importante și concepte
durabile pe care oamenii se străduiesc să le înțeleagă. Acestea depășesc de multe ori
granița unei singure discipline și îi ajută pe elevi să vadă legătura dintre subiecte.
Întrebările unităț ii sunt direct legate de proiect și sprijină investigațiile cu privire la
întrebarea esențială. Acestea ajută la demonstrarea înțelegerii de către elevi a
conceptelor de bază ale proiectului. Întrebările de conținut au mai mult un caracter
factual și sunt conforme standardelor de performanță.
Proiectele au relevanță pentru viața elevilor și pot implica reprezentanți ai
comunității sau experți din exterior, care asigură un context pentru învățare.
Cu ajutorul tehnologiei, elevii au un control mai mare asupra produselor finale,
precum și posibilitatea de a personaliza aceste produse. Elevii pot depăși limitele sălii
de clasă colaborând cu alți elevi aflați la distanță prin intermediul email -ului sau al
propriilor site -uri sau prezentând u-și rezultatele învățării cu ajutorul instrumentelor
multimedia. Activitățile proiectului sprijină dezvoltarea atât a capacităților cognitive,
cât și a celor metacognitive, precum colaborarea, auto -monitorizarea, analiza datelor sau
evaluarea informațiilo r. Pe parcursul proiectului, întrebările cheie ale curriculumului îi

93
provoacă pe elevi să gândească și să facă legătura cu concepte care contează în lumea
reală.
Organizarea activităților de realizare a proiectelor presupune din partea
profesor ului următoarele activități:
• Stabilirea titlului: profesorul poate să decidă tema proiectului sau poate să
permită elevilor să o facă
• Stabilirea grupelor de lucru: se va face de către profesor după consultarea
prealabilă a elevilor
• Stabilirea timpului de l ucru: profesorul trebuie să proiecteze atât timpul
alocat elevilor pentru realizarea proiectului cât și timpul pentru prezentarea
și evaluarea proiectelor
• Stabilirea obiectivelor și a competențelor vizate
• Ghidarea activității: presupune îndrumarea elevilor cu privire la rolul și
sarcinile de lucru ale fiecăruia, indicații la părțile pe care elevii nu știu să le
dezvolte, indicarea de bibliografie suplimentară
• Evaluarea: profesorul decide criteriile după care vor fi evaluați elevii
Învățarea prin metoda proi ectului încurajează spiritul investigativ și gândirea de
nivel superior și spore ște încrederea în sine. Achizițiile în domeniile cunoașterii sunt
egale sau mai bune decât cele generate de alte metode, iar elevii implicați în proiecte își
asumă o responsabi litate mai mare în ceea ce privește propriul studiu decât pe parcursul
activităților didactice tradiționale (Boaler, 1999; SRI, 2000).
Învățarea prin metoda proiectului este un model de instruire care implică elevii
în investigarea unor probleme captivant e. Proiectele care oferă mai multe oportunități de
învățare pot fi semnificativ diferite în ceea ce privește aria tematică sau scopul și pot fi
aplicate la clase diferite și la mai multe niveluri de studiu. Proiectele angajează elevii în
roluri active, cum ar fi: luarea deciziei, investigare; documentare
Proiectele servesc obiective operaționale specifice, semnificative. Proiectele nu
reprezintă abateri de la programa școlară, activități suplimentare sau activități cu o temă
comună. Curriculumul prin proiecte este orientat de întrebări importante care leagă
obiectivele operaționale și gândirea de nivel superior a elevilor cu viața de fiecare zi.
Elevii își asumă deseori roluri din viața reală și trebuie să îndeplinească sarcini pline de
semnificație.

94
În timp ce lucrează la proiecte, elevii își dezvoltă competențe pentru lumea reală,
corespunzătoare secolului XXI – multe din acestea fiind solicitate de angajatorii din
zilele noastre – cum ar fi capacitatea de a: colabora; lua decizii; avea inițiativă; rezolva
probleme complexe; comunică eficient.
Exemplu: Să realizeze proiectul „Construcția patrulaterelor” ținând cont și de
următoarele aspecte: clasificarea patrulaterelor, definitiile patrulaterelor particulare,
proprietătile patrulaterelor.

5.5. Meto de de dezvoltare a creativității

Ca subcategorii a metodelor și a tehnicilor de învă țare activă sunt: metodele
pentru dezvoltarea spiritului critic ( metoda „cubului “, tehnica „cvintetului “, tehnica
„știu/vreau să știu/am învă țat“, tehnica „ciorchinelui “, tehnica „turul galeriei “).
Metodele pentru dezvoltarea spiritului critic sus țin că un punct cardinal al
activită ților educative ar trebui să îl constituie existen ța de neutralitate critică, respectiv
tendin ța ca profesorul să nu le prezinte elevilor numai certitudini, adevăruri științifice
demonstrate, să transmită numai cuno ștințe autentice ci și diverse opinii ale sale și ale
altora, pe care elevii să le analizeze critic. Numai a șa îi vom putea ajuta pe ace știa să î și
formeze propriile opi nii, numai a șa vor putea dobândi instrumente pentru a putea
explicita realitatea înconjurătoare și își vor putea construi ra ționamente și judecă ți.
Metodele pentru dezvoltarea spiritului creativ se caracterizează prin faptul că
exersează gândirea divergen tă creativă și comportamentul creativ al elevilor, ceea ce
implică explorarea activă a mediului și descoperirea de solu ții personale la probleme cu
care se confruntă.
Deoarece numărul de strategii, metode și tehnici de dezvoltare a gândirii critice
și creative este foarte mare iar literatura care le tratează este foarte bogată vor fi
abordate pe scurt câteva dintre ele.

5.5.1.Metoda cubului

Metoda cubului este o strategie care facilitează analiza unui sub iect din diferite
puncte de vedere. Este o metodă de învățare prin cooperare ce presupune explorarea
unui subiect din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a
unei teme.

95
Se recomandă, în general, parcurgerea următoarelor etape :
• Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: Descrie, Compară,
Analizează, Asociază, Aplică, Argumentează.
• Anunțarea subiectului pus în discuție.
• Împărțirea clasei în șase grupe, câte una pentru fiecare față a cubului.
• Există mai multe modalități de stabilire a celor șase grupuri. Modul de
distribuire se poate face aleatoriu (fiecare grupă rostogolește cubul și primește ca
sarcină de lucru perspectiva înscrisă pe fața de sus) sau poate fi decis de profesor, în
funcție de anumite cr iterii care vizează responsabilitatea individuală și de grup,
specializarea pe sarcini a membrilor echipelor și oportunități de grup.
• Colaborarea și redactarea materialului la nivelul fiecărui grup.
• Afișarea formei finale a materialelor astfel încât toți elevii să poată vizualiza
rezultatele.
Cunoașterea colaborativă reprezintă o modalitate de a genera cunoștințe prin
coordonarea unor activități comune în cadrul unui grup.
Punctele slabe ale metodei sunt:
• eficiența scăzută în grupurile mari;
• imposibil itatea cuantificării exacte a contribuției fiecărui elev la rezolvarea
sarcinii de lucru;
Oportunitățile acestei metodei se identifică în:
• stimularea creativității elevilor;
• crearea unui mediu colaborativ;
Atunci când profesorul alege să folosească această metodă trebuie să țină cont de
faptul că unii elevi pot domina grupul, nu se realizează un echilibru la nivel de grup
și se poate obține un randament scăzut al elevilor emotivi.

Exemplu: Copierea unui triunghi de o parte dată a unei semidrepte.
Se dă ∆𝐴𝐵𝐶 . Se dau de asemenea o semidreaptă cu capătul în 𝐷 și un semiplan
ce conține semidreapta în muchia sa. Dorim să construim ∆𝐷𝐸𝐹 , cu 𝐹 pe semidreapta
dată și 𝐸 în semiplanul considerat, astfel încât ∆𝐷𝐸𝐹 ≡∆𝐴𝐵𝐶 .
Cele șase g rupe în care a fost împărțită clasa au avut de examinat câte o temă din
perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului.
– Descrie: Semidreapta, semiplanul și cercul

96
– Compară: Relatia dintre măsura unghiurilor și lungimea segmentelor
unui triunghi
– Analizează: Cele două cercuri se intersectează?
– Asociază: ∆𝐷𝐸𝐹 ≡∆𝐴𝐵𝐶
– Aplică: Copierea unui triunghi dreptunghic de o parte dată a unuei
semidrepte
– Argumentează: Verifică construcția obtinută.

5.5.2. Metoda ciorchinelui

Metoda ciorchinelui este o metodă ce se poate utiliza mai ales în etapa
de reactualizare a structurilor învățate anterior sau în etapa de evocare, elevii fiind puși
în situația de a stabili conexiuni între elementele studiate, de a se implica activ în
procesul de gândire.
Modalitatea de realizare
• Se scrie un cuvânt sau expresie nucleu în centrul tablei sau a unei foi de hârtie;
• Elevii vor fi solicita ți să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cuno ștințele pe
care le au în minte în legătură cu tema respectiv ă, în jurul cuvântului din centru,
trăgându -se linii între acestea și cuvântul ini țial. În timp ce le vin în minte idei noi și le
notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi
conectate.
• Activitatea se opre ște când se epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de
timp acordată.

97
• La finalul exercițiului se va comenta întreaga structura cu explicațiile de rigoare.
Participarea întregii clase la realizarea “ciorchinelui” este lansată ca o provocare
și determi nă o întrecere de a descoperi noi conexiuni legate de termenul propus.
Deși este o metodă mai simplă a brainstorming -ului, ciorchinele este o metodă
care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes
atât la începu tul unei lec ții pentru reactualizarea cuno ștințelor predate anterior, cât și în
cazul lec țiilor de sinteză, de reactualizare, de sistematizare a cuno ștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cuno ștințe
eviden țiind modul de a în țelege o anumită temă, un anumit con ținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învă țare care încurajează
elevii să gândească liber și deschis.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchin elui:
● Scrie ți tot ce vă trece prin minte referitor la tema/problema pusă în discu ție.
● Nu judeca ți/evalua ți ideile propuse, ci doar nota țiile.
● Nu vă opri ți până nu epuiza ți toate ideile care vă vin în minte sau până nu
expiră timpul alocat: dacă ide ile refuză să vină insista ți și zăbovi ți asupra temei până ce
vor apărea unele idei.
● Lăsa ți să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei: nu l imitați nici
numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele metodei:
– se încurajează participarea întregii clase
– poate fi folosită cu succes la evaluarea unei unități de conținut, dar și pe
parcursul predării, făcându -se apel la cunoștințele dobândite de elevi
– stimulează conexiunile dintre idei
– pune în evidență m odul propriu de a înțelege o temă anume
– realizează asociații noi de idei sau relevă noi sensuri ale ideilor
– caută căi de acces spre propriile cunoștințe.
Exemplu: Să se construiască mediatoarea unui segment
Astfel, s-a scris pe mijlocul tablei “Mediatoarea unui segment” , apoi elevii au
scris pe caiet toate cuvintele sau sintagmele care le -au venit în minte în legătură cu
mediatoarea. Discutând despre mediatoare, elevii au răspuns la întrebări de genul:
• Ce este mijlocul unui segment?
• Cum găsim mi jlocul unui segment?

98
• Ce este mediatoarea unui segment?
• Care este proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment?
• Care este definița cercului?

5.5.3. Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între
elevi,care sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme. Această
metodă presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de
grupuri de ele vi.
Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învățare)
susceptibilă de a avea mai multe soluții (mai multe perspective de abordare).
2. Produsele muncii grupului se materializează în tr-o schemă, diagramă, inventar
de idei etc. notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într -o veritabilă galerie.
4. La semnalul profesorului, grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a
examina soluțiile pro puse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt scrise
pe posterul analizat.

99
5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziția inițială, înainte de
plecare) fiecare echipă își reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale c elorlalți
și discută observațiile și comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Turul galeriei se folosește cu succes împreună cu metoda cubului.
Exemplu: Să se construiască următoarele poligoane regulate: triunghiul
echilateral, pătratul, hexagonu l regulat și octogonul regulat.
– elevii se împart în grupe de câte 4 elevi.
– produsul muncii lor este afișat pe un poster pe o foaie mare
– posterele se expun pe pereții clasei
– grupele trec pe la fiecare poster examinând ideile propuse, scriind comentariile
și observațiile lor pe posterul analizat
– fiecare echipă î și examinează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și
discută observațiile și comentariile notate de colegi pe propriul poster.

100
Capitolul VI . CONCLUZIILE PĂRȚII TEORETICE

Concluziile desprinse au fost cele relativ la ceea ce poate fi optimizat în cadrul
predării -învățării matematicii în gimnaziu și liceu. Numărul insuficient de ore de
matematică comparativ cu dimensiunea mare a conținuturilor face ca, de multe ori
lucrurile să scape de sub control și să fie insuficient de bine stăpânită materia de predat.
Astfel este necesară o regândire atât a strategiilor didactice de urmat, cât și o regândire a
propriilor noastre atitudini vis-a-vis de abilitățile și competențele ce este necesar a le
forma elevilor pentru ca ei să fie capabili a se descurca în orice situație matematică.
Pentru că una dintre sarcinile importante ale profesorului de matematică este
aceea de a diminua dificultățile de învățare ale elevilor, el va fi nevoit să aleagă acele
metode activ -participative care să se potrivească cel mai bine atât lecției de matematică,
cât și nivelulu i clasei respective.
Semnifica ția globală a metodelor interactive poate fi exprimată succint prin
următoarele idei: punerea accentului p e elev ca finalitate, ca subiect activ și ca mijloc
(obiect), accentuarea complexită ții existen ței acestuia și interac țiunile cu al ții.
În timp ce în educa ția tradi țională se avea în vedere obiectul și raționalitatea
instrumentală, metodele active insistă pe subiectivitate fără ca prin acestea să se
realizeze ra țiunea în ansamblu, pe intui ție, pe afectivitate, astfel spus pe
extrara ționalitate, pe deschiderea persoanei asupra tot ceea ce se petrece în ea, asupra
proceselor complexe pe care modelele tradi ționale ale științei nu le puteau explica.
Metodele active î și trădează necesitatea, cunoa șterea fiind inclusivă, ea
exprimând continuitatea între persoana care cunoa ște și ceea ce aceasta cunoa ște, ele
caută complementaritatea și rela țiile, sistematizarea experien ței subiective, colaborarea
și cercetarea comună. În fa ța acestor elemente experien ța controlată și reduc ționismele
de orice fel î și pierd valoarea.

101
Capitolul VII. CERCETAREA PSIHOPEDAGOGICĂ

7.1. Formularea ipotezei, precizarea scopului și obiectivelor

Motivarea demersului experimental a fost dată de ideea că finalitatea întregului
proces prin care se învață matematica în gimnaziu și liceu se măsoară, mai mult sau mai
puțin, prin rezultatele obținute la examene. De aceea, rolul de bază a acestei lucrări este
acela de a găsi cele mai potrivite modalități de înțelegere, asimilare și aplicare a
noțiunilor matematice, care să le ofere elevilor posibilitate a obținerii performanței
dorite, urmărite.
Efortul intelectual propriu, antrenamentul la care este supusă gândirea, precum și
participarea activă în procesul învățării matematicii, sunt proprii învățământului
matematic general. Capacitatea de a rezolva pro bleme este esențială atât în însușirea
cunoștințelor, cât și în formarea operațiilor matematice. Astfel, problematizarea poate
deveni metoda principală de utilizat pe tot parcursul predării – învățării matematicii. Mai
mult decât atât, problematizarea este necesar să fie utilizată și ca procedeu în contextul
utilizării altor metode principale, respectiv, să fie utilizată sistematic, astfel încât să fie
bine stăpânită de elevi și ei să o poată folosi din proprie inițiativă, în diverse contexte,
lucrarea de fa ță propunându -și demonstrarea impactului pozitiv pe care îl are folosirea
predominantă a problematizării în procesul predării -învățării matematicii în gimnaziu și
liceu.
Obiectivele cercetării (O.C.) stabilite au fost:
O.C. 1- stabilirea creșterii eficiențe i învățării elementelor de geometrie , prin
utilizarea frecventă a metodelor moderne de predare -învățare;
O.C. 2 – studiul efectelor pe care le produce abordarea diferențiată a instruirii
comparativ cu abordarea tradițională
O.C. 3– evidențierea avantajelor utilizării învățării prin combinarea metodelor
tradiționale
O.C. 4 – stabilirea și aplicarea probelor de contro l, înregistrarea rezultatelor;
O.C. 5 – prelucrarea și interpretarea rezultatelor;
O.C. 6 – formularea concluziilor.
Obiectivele etapei constatative au fost împărțite în două mari categorii și anume:
– obiective cu caracter general
– obiective cu caracter specific.

102
În categoria obiectivelor cu caracter general au fost incluse:
– Stabilirea măsurii în care sunt folosite metodele de predare și învățare active;
– Stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor înainte de începerea experimentului
formativ.
În categoria obiectivelor cu caracter specific au fost incluse:
– Trecerea în revistă și selectarea metodelor și instrumentelor de cercetare;
– Alcătuirea eșantioanelor de subiecți;
– Alcătuirea eșantionu lui de conținut;
– Înregistrarea și selectarea opiniilor elevilor cu privire la modalitățile de predare
și învățare a matematicii .
Legat de metodele de cercetare, nici una dintre metodele folosite, oricât ar fi fost
de complexă și de elaborată, nu ar fi fost suficientă singură pentru realizarea întregului
tablou de date necesar, deaceea s -a recurs la un sistem de metode care, acționând
sinergic, au contribuit la construirea unei imagini clare a situației actuale.
Metodele folosite în cercetare au fost:
– Experimentul
– Metoda observației sistematice
– Metoda anchetei pe bază de chestionar
– Metoda testelor
Instrumentele de cercetare folosite au fost:
– Grila de întrebări
– Fișa de observație
– Chestionarele
– Testele de cunoștințe
Folosirea metodelor moderne în procesul de predare -învățare și în acord cu
nivelul de pregătire și profilul de învățare al elevilor poate duce la îmbunătățirea
semnificativă a rezultatelor învățării matematicii și implicit a motivației pentru studiul
acestei discipline.
Scopul și obiectivele cercetării decurg în mod firesc din ipoteza stabilită.
Scopul experimentului a vizat determinarea creșterii eficienței învățării
conținuturilor prin utilizarea unor metode de pr edare moderne precum și prin
combinarea acestora.

103
7.2 Prezentarea experimentului

Una din cerințele importante ale bunei desfășurări a procesului de învățământ o
constituie cunoașterea elevilor, atât din punct de vedere cognitiv cât și din punct de
vedere afectiv -emoțional, fără de care munca profesorului este grea și rezultatele sunt
slabe. Elevii diferă unii de alții în funcție de ereditate, mediul social, educația primită în
familie și de nivelul economic, cultural și religios al familiei.
Numai printr -o cunoaștere amănunțită a copilului ca individ se poate stabili un
„diagnostic” pedagogic și se pot alege cele mai adecvate mijloace și metode.
Cunoașterea copilului se poate realiza și prin discuții cu aceștia și în afara orelor
de curs, în special în pa uze și în activitățile extracurriculare, printr -o mare atenție la
problemele ridicate de aceștia în timpul orelor, prin discuții cu ceilalți profesori despre
elevi.
Din datele culese din caietul de observații asupra elevilor, din documentele
școlare, situa ția loturilor care au fost supuse experimentului este prezentată în Tabelele
1 și 2 de la Anexa 1.
Am ales mai multe loturi experimentale, astfel la clasa a VI -a am ales două clase
paralele, omogene din punct de vedere al numărului de elevi, al situației l a învățătură, al
interesului pentru matematică.
În conformitate cu aceste tabele, colectivul clasei a VI -a de la Școala Gimnazială
Șoarș este format din 12 elevi, 5 fete și 7 băieți, colectivul clasei a VI -a de la Școala
Gimnazială Bărcuț este format din 8 elevi, 3 fete și 5 băieți. Dintre aceștia, 11 elevi
prezintă o dezvoltare psihică normală, iar 1 subiect are o dezvoltare psihică limitată, în
clasa a VI -a de la Școala Gimnazială Șoarș, iar în clasa a VI -a de la Școala Gimnazială
Bărcuț, 6 elevi prezintă o dezvoltare psihică normală, iar 2 elevi, o dezvoltare psihică
limitată.
Locul de desfășurare a cercetării este Școala Gimnazială Șoarș și Școala
Gimnazială Bărcuț
Perioada de cercetare
Cercetarea pedagogică s -a desfășurat pe parcursul a doi ani școlari și anume
2015 -2016 și 2016 -2017.
Etapele implicate
Cercetare pedagogică în cauză presupune parcurgerea următoarelor etape:

104
1. Realizarea unui studiu diagnostic referitor la rolul metodelor moderne în
procesul de predare -învățare precum și a instruirii difere nțiate;
2. Identificarea aspectelor relevante în vederea implicării elevilor în desfășurarea
lecțiilor în urma utilizării metodelor moderne, tradiționale și a instruirii diferențiate;
3. Elaborarea de instrumente de cercetare adecvate;
4. Culegerea datelor;
5. Analiza și interpretarea datelor prin valorificarea dimensiunilor calitativă și
cantitativă ale cercetării.
Stabilirea calendarului cercetării și asigurarea măsurilor de respectare a
acestuia
În funcție de planificările calendaristice elaborate la începutu l anului școlar, s -a
stabilit, pentru fiecare etapă, perioada necesară derulării ei.
Disciplina de studiu implicată
Matematică
Eșantionul de conținut
• Conținuturile din programa de matematică la clasa a VI -a.
Dat fiind că cercetarea include un experiment pedagogic cu grup de control, vor
fi selectate eșantioane independente, cu elevi din două clase echivalente, alese pe baza
rezultatelor obținute la aplicarea unor teste pedagogice de cunoștințe și pe baza notelor
obținute la matematică până la începerea e xperimentului. La clasa a V I-a este o clasă
experimentală și una de control. Constituirea claselor experimentale și de control a fost
făcută după administrarea unor teste inițiale (pretest) identice care a avut rolul de a
determina care este nivelul de pre gătire inițial al claselor. Analizând rezultatele obținute
la pretest s -a stabilit clasa experimentală și cea de control ce urmau a fi comparate și
care erau inițial de nivel egal.
Tipul demersului logic
Cercetarea s -a realizat printr -un demers logic, pre dominant de tip inductiv.
Metodologia de cercetare, respectiv sistemul metodelor de cercetare
• alegerea eșantioanelor de elevi prin administrarea de probe scrise de
evaluare inițiale, identice;
• inventarierea cunoștințelor referitoare la utilizarea calcula torului manifestate
la elevii implicați în experiment;

105
• studiul documentelor curriculare oficiale, pentru alegerea eșantioanelor de
conținut;
• alegerea perechilor de clase echivalente, experimentale și de control, de
nivele aproximativ egale, sub aspecte diferite;
• experimentul psihopedagogic (tehnica eșantioanelor independente );
• urmărirea schimbărilor survenite în atitudinile și comportamentul moral al
elevilor prin observații, analiza documentelor școlare, studii de caz etc.;
• test pedagogic de cu noștințe, identic pentru clasele implicate în experiment.
Instrumentele operaționale de culegere a datelor
• chestionare;
• teste pedagogice de cunoștințe;
• produse ale activității elevilor;
• fișe de observații etc.
Strategia de verificare și evaluare a rezultat elor obținute de subiecți
• evaluarea prin teste pedagogice de cunoștințe, identice pentru clasele
experimentale și cele de control;
• observația.
Metodologia de prelucrare a datelor cercetării
Datele obținute vor fi prelucrate cu ajutorul metodelor de prelucr are statistico –
matematică și de interpretare a datelor cercetării. Pentru a ușura munca, s -au întocmit
diferite tabele cu datele propuse spre interpretare.
Stabilirea modalităților de valorificare a cercetării
Verificarea rezultatelor pe noi subiecți.

7.3. Desfășurarea experimentului

S-a efectuat un studiu asupra unei clase experimentale, studiu alcătuit din două
etape și anume: în prima etapă s -a încercat determinarea creșterii eficienței învățării
elementelor de geometrie prin utilizarea metodelor mo derne, iar în a doua etapă
determinarea eficienței instruirii diferențiate în predarea -învățarea elementelor de
geometrie.
Constituirea claselor experimentale și de control a fost făcută după administrarea
unor teste inițiale (pretest) identice care a avu t rolul de a determina care este nivelul de

106
pregătire inițial al claselor. Analizând rezultatele obținute la pretest s -a stabilit clasa
experimentală și cea de control ce urmau a fi comparate și care erau inițial de nivel egal.
La finalul experimentului, au fost aplicate teste finale (posttest) identice atât
pentru clasa experimentală cât și pentru cea de control. Pentru aprecierea progresului în
planul achizițiilor cognitive ale elevilor, au fost comparate rezultatele la posttest față de
pretest, pentru p erechea de clase control – experimentală.
Prima etapă a cercetării care a avut loc în anul școlar 2015 -2016 a avut ca studiu
eficiența utilizării metodelor moderne în procesul de predare –învățare a elementelor de
geometrie.
S-au evaluat cunoștințele el evilor și s -au analizat rezultatele de la pretest. La
clasa de control s -a desfășurat lecția obișnuit, având ca materiale didactice fișe de lucru
și apelând la calculator ca și mijloc didactic.
La clasa experimentală s -a folosit în predarea lecțiilor diver se metode moderne:
metoda Brainstorming, Știu/vreau să știu/ am învățat, Proiectul, Simularea,
Problematizarea, Mozaicul, IAC, Cubul.
De exemplu, pentru lecția „Mediatoarea unui segment” s -a utilizat:
• Strategia prin investigație
• Modelul Știu / Vreau să știu / Am învățat care presupune parcurgerea a trei
etape:
1. accesarea a ceea ce elevii știu deja: ȘTIU/CRED CĂ ȘTIU ?
2. determinarea a ceea ce dorește a se învăța: VREAU SĂ ȘTIU
3. reactualizarea a ceea ce s -a învățat în urma experimentului: AM ÎNVĂȚAT
Pentru a înțelege mai bine, elevii au nevoie să învețe prin experiențe proprii și să
utilizeze reprezentări vizuale și intuitive. După un moment de reactualizare a
cunoștințelor, într -o atmosferă car e să încurajeze comunicarea liberă, fără inhibiții și
teama de a primi o notă mică, ideile sunt formulate și se clarifică mai bine. Pentru a
promova gândirea critică, elevii au nevoie de suficient timp pentru a -și exprima ideile și
pentru a primi feedback constructiv.
S-a utilizat metoda învățării prin descoperire pentru învățarea unor elemente de
geometrie . Discuțiile desfășurate în activitățile pe grupe a favorizat dezvoltarea
competențelor de investigare a realității și de deliberare pe plan mental. În g eneral, s -a
indus la elevi o atitudine activă, orientată spre formare de deprinderi practice și
rezolvare de probleme concrete, care să dezvolte gândirea și creativitatea, comunicarea

107
a fost benefică procesului de învățare (s -au dezvoltat competențe de com unicare).
Fiecare grupă prezintă rezultatele cu scopul sistematizării cunoștințelor.
Ca urmare a întrebărilor elevilor, pe parcursul desfășurării lecției, intervențiile
profesorului au avut rolul de a dezvolta gândirea critică a elevilor și metacogniția, d e a
încuraja autodirijarea și autoreglarea învățării, ca fundamente ale unei învățări de
profunzime și autentice.
Elevii au lucrat pe grupe (sau individual pentru realizarea desenelor), sub
supravegherea și cu ajutorul profesorului.
Interesant ă a fost diversitatea de idei și experiențe ceea ce a stimulat gândirea
critică care se știe că apare când nu există mentalitatea “unicului răspuns corect”.
Învățarea s -a îmbunătățit deoarece activitatea elevilor a fost bazată pe cunoștințele și
experiențel e lor anterioare, permițându -le acestora să lege ceea ce știu deja de noile
informații.
Elevii au fost implicați activ în procesul de învățare, la un nivel accesibil, ceea ce
le-a oferit sentimentul satisfacției și o învățare cu plăcere. S -a con statat că elevii au o
capacitate de gândire și de înțelegere mai mare dacă informațiile noi sunt accesibile.
Pentru a ajunge să gândească critic, elevii trebuie aibă încredere în forțele
proprii, să se implice activ în procesul de învățare și să comunice a stfel încât să
dovedească respect față de opiniile colegilor. Este foarte important ca elevii să aibă
respect pentru rigoarea științifică, să fie pregătiți pentru dezbateri cu argumente
științifice, să formuleze și să demonteze judecăți greșite. Observați a științifică,
evaluarea argumentelor și a dovezilor, folosirea analizei și a investigației, aplicarea
gândirii critice trebuie să fie utilizate spontan de către elevi, să devină un obicei pentru
aceștia.
Învățarea bazată pe investigație facilitează dezvol tarea învățării de profunzime și
motivarea intrinsecă a elevului, deoarece, prin gândire critică, elevii integrează
informațiile noi în structura cognitivă existentă, sau schimbă această structură în funcție
de noile informații dobândite, realizând astfel legături/conexiuni între informațiile noi și
cunoștințele existente. Elevii ajung astfel să -și dezvolte abilități de a învăța să învețe.
Tehnica eșantioanelor paralele independente a permis realizarea unui design
experimental intersubiecți. În tabelul de la anexa 2 sunt prezentat notele obținute de
elevii celor două clase, precum și alte date necesare prelucrării datelor cercetării, unde:
N1- numărul de elevi din clasa de control (clasa a VI -a de la Școala Gimnazială
Bărcuț);

108
N2- numărul de elevi din clas ă experimentală (clasa a VI -a de la Școala
Gimnazială Șoarș);
x01- valorile individuale ale notelor obținute de elevii clasei de control la pretest;
x02- valorile individuale ale notelor obținute de elevii clasei experimentale la
pretest;
x1- valorile indi viduale ale notelor obținute de elevii clasei de control la posttest;
x2- valorile individuale ale notelor obținute de elevii clasei experimentale la
posttest;
m01- media notelor obținute de elevii clasei de control la pretest;
m02- media notelor obținute de elevii clasei experimentale la pretest;
m1- media notelor obținute de elevii clasei de control la posttest;
m2- media notelor obținute de elevii clasei experimentale la posttest;
Conform rezultatelor obținute la pretest și prezentate în tabelul 2, la co mpararea
mediilor obținute la pretest nu există diferențe semnificative, astfel au putut fi
considerate echivalente din punct de vedere al cunoștințelor anterioare.
În urma rezultatelor obținute la posttest și prezentate în tabelul 2 , s -a observat
la compararea mediilor obținute între clasa experimentală și cea de control există
diferențe semnificative. Astfel, diferența dintre media de la pretest față de posttest
pentru clasa de control nu este semnificativă, pe când pentru clasa experimentală
aceasta este semnificativă fiind aproape de un punct.

109
Rezultatele obținute la test de cele două clase, una de control și una
experimentală, sunt redate prin următoarele diagrame (datele sunt exprimate sub formă
de procentaje).

Diagrama de structură pentru clasa de control

0%5%10%15%20%25%30%35%40%45%50%
Elevi cu
note de
4Elevi cu
note de
5Elevi cu
note de
6Elevi cu
note de
7Elevi cu
note de
8Elevi cu
note de
9Clasa de control
6.00
6,50
6,75
7,50
5,8
6
6,2
6,4
6,6
6,8
7
7,2
7,4
7,6
7,8
8
Clasa de control
Clasa experimentală
Pretest
Posttest

110
Diagrama de structură pentru clasa experimentală

Analizând aceste d iagrame se observă că numărul notelor maxime este
semnificativ mai mare la clasa experimentală decât la clasa de control, față de numărul
notelor slabe, care este mai mic decât la clasa de control.
Aceleași rezultate au fost redate și prin diagrama de comp arație, realizată pentru
compararea rezultatelor obținute de clasele experimentale și de control.

Diagrama de comparație dintre clasa de control si clasa experimentală

0%5%10%15%20%25%30%35%
Elevi
cu
note
de 4Elevi
cu
note
de 5Elevi
cu
note
de 6Elevi
cu
note
de 7Elevi
cu
note
de 8Elevi
cu
note
de 9Clasa experimentală
01234
Elevi
cu
note
de 4Elevi
cu
note
de 5Elevi
cu
note
de 6Elevi
cu
note
de 7Elevi
cu
note
de 8Elevi
cu
note
de 9Clasa de control
Clasa experimentală

111
Din această diagramă reiese că numărul elevilor cu note de 9 este mai mare la
clasa experimentală, 3 elevi, față de clasa de control, 1 elev, iar numărul elevilor cu note
de 8 este mai mare la clasa experimentală , în timp ce numărul de note de 4 este mai
mare la clasa de control.
În urma analizei rezultatelor celor două clase am ajuns la concluzia că acestea
susțin ipoteza eficienței utilizării metodelor moderne în procesul de predare -învățare.
Notele obținute de fiecare elev în parte sunt prezentate în tab elul de la anexa 3,
atât la clasa experimentală, cât și la clasa de control.
Prin intermediul tabelului de comparație, am prezentat rezultatele obținute de
cele două clase, evidențiind numărul mare de note bune la clasa experimentală față de
numărul mai sc ăzut la clasa de control.

Cele două clase experimentale au fost obiectul studiului și în anul următor
școlar, an în care am încercat să determin eficiența instruirii diferențiate în predarea –
învățarea elementelor de geometrie .
Primul pas al acestui studiu a fost identificarea stilu rilor de învățare ale elevilor.
Pentru o organizare eficientă a procesului de predare -învățare profesorul trebuie să
cunoască care sunt stilurile de învățare preferate de elevi.
Acest lucru a fost posibil prin aplicarea unui chestionar‚ „Chestionar referi tor la
stilurile de învățare” – Anexa 5. Analiza răspunsurilor la acest chestionar a indicat faptul
că stilul de învățare predominant este cel auditiv. Grupele de elevi Clasa de control
(8 elevi) Clasa
experimentală
(12 elevi)
Nr. elevi % Nr. elevi %
Elevi cu note de 4 1 12,5% 0 0%
Elevi cu note de 5 1 12,5% 1 8,33%
Elevi cu note de 6 0 0% 2 16,66%
Elevi cu note de 7 4 50% 2 16,66%
Elevi cu note de 8 1 12,5% 4 33,33%
Elevi cu note de 9 1 12,5% 3 25%

112
Probele de evaluare scrise au fost administrate cu scopul de a colecta date despre
evoluția elevilor pa rticipanți la studiu.
La clasa de control metodica activităților didactice a fost cea obișnuită, procesul
de predare -învățare nefiind influențat de variabila experimentală.
La clasele experimentale procesul de predare învățare a fost caracterizat de
introducerea unei variabile experimentale: instruirea diferențiată în proces și în acord cu
nivelul și profilul de învățare al elevilor, organizarea instruirii făcându -se pe grupe de
nivel.
Deoarece stilul de învățare predominant este cel auditiv s -au utiliza t cu
preponderență următoarele metode pe grupe: Brainstorming, Jocul de rol,
Cubul,Tehnica Ciorchinelui și altele.
Pentru lecția ”Mediatoarea unui segment” am folosit tehnica ciorchinelui. Este o
tehnică de predare – învățare care încurajează pe elevi să g ândească liber și deschis.
Ciorchinele este un „braistorming necesar”, prin care se stimulează evidențierea
legăturilor, conexiunilor dintre idei ; o modalitate de a construi sau realiza asociații noi
de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor.
Tehni ca realizării unui ciorchine presupune parcurgerea câtorva pași și anume:
• Se scrie un cuvânt sau o propoziție -nucleu în mijlocul tablei, al unei hârtii de
flipchart sau al unei pagini de caiet;
• Se scriu cuvinte sau sintagme care vin elevilor în minte în legătură cu tema sau
problema scrisă în mijlocul tablei;
• Se leagă cuvintele sau ideile produse de cuvântul sau sintagma inițială, stabilită
ca punct de plecare, prin trasarea unor linii care evidențiază conexiunile dintre idei ;
Astfel, am scris pe mijlocu l tablei “Mediatoarea unui segment” , apoi elevii au
scris pe caiet toate cuvintele sau sintagmele care le -au venit în minte în legătură cu
mediatoarea. Discutând despre mediatoare, elevii au răspuns la întrebări de genul:
• Ce este mijlocul unui segment?
• Cum găsim mijlocul unui segment?
• Ce este mediatoarea unui segment?
• Care este proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment?
Elevii au răspuns la aceste întrebări și astfel am descoperit noțiunea de
mediatoare. Înainte de a trece la realizarea tehnicii ciorchinelui, am impus câteva reguli
care trebuiesc respectate și anume:

113
1. Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema pusă în discuție.
2. Nu evaluați ideile produse, ci doar notați -le.
3. Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vinîn minte sau până expiră
timpul alocat.
4. Lăsați să apară cât mai multe idei și variate conexiuni între idei.
Pentru a implementa ceea ce au învățat elevii au avut de realizat ciorchinele de
pe tablă si de rezolvat o fișă cu probleme de construcție a mediatoarei unui segment.
Avantajele acestei metode sunt:
• este ușor de aplicat oricărei vârste și unei palete largi de domenii;
• nu este costisitoare și nici nu necesită explicații amănunțite;
• participanții se prind repede în joc, acesta fiind pe de o parte o modalitate de
relaxare și, pe de altă parte, o sursă de noi descoperiri.
De exemplu, pentru lecția „Construcția triunghiurilor” am folosit metoda
Mozaicului (Jigsaw) care este bazată pe învățarea în echipă (team -learning). Fiecare
elev are o sarcină de stu diu în care trebuie să devină ”expert”, dar are în același timp și
responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate celorlalți colegi.
Am împărțit clasa în grupe de câte 4 elevi. S -a numărat până la 4, astfel încât
fiecare membru al celor 4 echipe s ă aibă un număr de la 1 la 4.
Am împărțit tema în 4 sub -teme. Fiecare membru al grupelor a primit o fișă de
învățare (elevii cu nr.1 –fișa nr.1, cei cu nr. 2 –fișa nr. 2, cei cu nr. 3 – fișa 3, iar cei cu
nr. 4 –fișa 4) și a studiat -o individual.
Fiecare elev va trebui să studieze întreaga lecție, care va fi însă predată de
colegii de grup pe fragmente. Toți elevii cu nr. 1 s -au adunat într -un grup, cei cu nr. 2 în
alt grup și astfel s -au obținut 4 grupe iar membrii grupurilor se vor numi „experți”.
„Expe rții” au citit fragmentul care le -a revenit, au discutat între ei pe baza
datelor și a materialelor avute la dispoziție și au hotărât modul în care vor preda
celorlalți colegi; s copul comun al fiecărui grup de experți a fost să se instruiască cât mai
bine, având responsabilitatea propriei învățări dar și a predării și învățării colegilor din
echipa inițială.
S-au refăcut grupele inițiale și „experții” au predat celorlalți colegi de grupă ceea
ce au studiat. Discuțiile desfășurate în activitățile pe grupe a favorizat însușirea
întregului material de către toți membrii. Elevii au avut o atitudine activă și s -au
dezvoltat competențele în comunicare..

114
Grupelor inițiale li s -a cerut să realizeze un poster care să conțină ideile
principale ale membrilor grupului, iar apoi să prezinte rezultatul întregii clase.
Ocazional, s -a intervenit cu întrebări sau cu explicații atunci când „experții” nu
au știut să dea răspuns și s -au corectat informațiile eronate.
Avantajele acestei metode sunt:
– Anihilarea „efectului Ringelmann” (lenea sociala, când individul își
imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită c u
precizie);
– Dezvoltă interdependența dintre membrii grupului;
– Ameliorează comunicarea.
Din tabelele de la anexa 4, putem observa că media obținută de clasa
experimentală este mai mare decât media clasei de control, în urma testu lui dat la
sfârșitul capitolului.
Rezultatele obținute la test de cele două clase, una de control și una
experimentală, sunt redate prin diagrame de structură/areolare.

25%
0%
50%12.50%0%
12.50% Elevi cu nota de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9
Elevi cu note de 10Diagrama de structură pentru clasa de control

115

Analizând aceste diagrame se observă că procentajul notelor maxime este
semnificativ mai mare la clasa experimentală decât la clasa de control, față de
procentajul notelor slabe, care este mai mic decât la clasa de control.
În urma testului susținut de cele două clase la sfârșitul experimentului, s -au
obținut următoarele rezul tate:

Aceleași rezultate au fost redate și prin diagrama de comparație, realizată pentru
compararea rezultatelor obținute de clasele experimentale și de control.
0
25%
16.66%
33.33%16.66%8.33%
Elevi cu nota de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9
Elevi cu note de 10Diagrama de structură pentru clasa experimentală
Grupele de elevi Clasa de control
(8 elevi) Clasa
experimentală
(12 elevi)
Nr. elevi % Nr. elevi %
Elevi cu nota de 5 2 25% 0 0
Elevi cu note de 6 0 0% 3 25%
Elevi cu note de 7 4 50% 2 16,66%
Elevi cu note de 8 1 12,5% 4 33,33%
Elevi cu note de 9 0 0% 2 16,66%
Elevi cu note de 10 1 12,5% 1 8,33%

116

Din această diagramă reiese că numărul elevilor cu note de 9 este mai mare la
clasa experimental ă, 2 elevi, f ață de clasa de control, 1 elev , că numărul elevilor cu note
de 8 este mai mare la clasa experimentală, 4 elevi, față de clasa de control, 1 elev, iar
numărul elevilor cu note de 7 și 5 este mai mare la clasa de control, decât la clasele
exper imentele.
În urma analizei rezultatelor celor două clase am ajuns la concluzia că acestea
susțin ipoteza.
În urma rezultatelor obținute la posttest și prezentate în tabelul , s -a observat la
compararea mediilor obținute la posttest că între clasa experime ntală și cea de control
există diferențe semnificative. Astfel, diferența dintre media de la pretest față de posttest
pentru clasa de control nu este semnificativă, pe când pentru clasa experimentală
aceasta este semnificativă.
În concluzie, aceste rezulta te care evidențiază îmbunătățirea semnificativă a
rezultatelor învățării la clasele experimentale care au beneficiat de instruire diferențiată,
confirmă ipoteza cercetării.
Aceste rezultate superioare se datorează proiectării și implementării :
• activităț ilor de învățare în concordanță cu particularitățile elevilor
• fișelor de activitate didactică ce conțineau sarcini de învățare adaptate ca și
complexitate sau durată de realizare la nivelul fiecărui grup
• fișelor de activitate experimentală ce conțineau s arcini de învățare diferențiate
prin nivelul de sprijin acordat de către profesor, în funcție de nivelul grupului
01234
Elevi cu
nota de
5Elevi cu
note de
6Elevi cu
note de
7Elevi cu
note de
8Elevi cu
note de
9Elevi cu
note de
10Clasa de control
Clasa experimentală

117
Rezultatele experimentului dovedesc și faptul că numărul elevilor care prezentau
risc de eșec școlar s -a diminuat atunci când ei au fost trat ați diferențiat.
Rezultatele experimentului pedagogic precum și a numeroaselor studii existente
în literatura de specialitate demonstrează eficiența instruirii diferențiate, recomandând,
astfel ca aceasta să devină o practică de instruire curentă. Totuși implementarea și
utilizarea ei frecventă este limitată de efortul mare pe care trebuie să -l depună
profesorul, de mijloacele de învățământ de care dispune.
Exemplele oferite de această lucrare constituie doar câteva sugestii didactice și
modalități de creș tere a eficienței predării și învățării elementelor de geometrie .

7.4. Rezultatele cercetării

S-a observat că metodele didactice utilizate în procesul de predare – învățare a
elementelor de geometrie influențează semnificativ rezultatele învățării, interesul și
motivația elevilor pentru studiul disciplinei .
Restructurarea procesului de învățământ generată de necesitatea creșterii calității
acestuia a adus în prim plan paradigma instruirii centrate pe elev. Astfel profesorii
trebuie să privească învățarea din perspectiva implicării active a elevului în construirea
cunoștințelor, formării deprinderilor, dezvoltării competențelor și să -și revizuiască
abordarea predării în concordanță cu aceste noi cerinț e. Utilizarea cu preponderență a
metodelor activ -participative stimulează incontestabil gândirea de nivel superior.
Profesorul trebuie să organizeze învățarea ghidat de principii conform cărora elevii
trebuie implicați în activități de cercetare, acțiune, rezolvare de probleme, reflecție etc.
Rezolvarea sarcinilor de lucru, prin eforturi proprii, făcând apel la resursele de care
dispun (intelectuale, fizice, emoționale) duce cu siguranță la creșterea motivației pentru
învățare. Astfel, spre deosebire de met odele tradiționale în care conversațiile sunt
dominate de profesor, elevul trebuie să devină un partener egal de dialog în care să fie
încurajat să -și exprime propriile idei și opinii. Elevii trebuie încurajați și sprijiniți de
către profesor să -și organiz eze conținuturile astfel încât să le înlesnească învățarea lor.
În instruirea tradițională profesorul este suveran, iar elevii au un singur rol, de a
recepta aceste conținuturi. Formele de organizare a activităților de învățare, pe grupuri
mici sau indivi dual care înlocuiesc activitatea cu clasa întreagă, utilizarea unor materiale
instrucționale variate care să suplimenteze utilizarea cu preponderență a manualului,
generează superioritatea acestor metode în raport cu metodele tradiționale.

118
Totuși, profeso rul nu trebuie să renunțe în totalitate la metodele tradiționale ci să
găsească soluții de activizare a acestora pentru a le maximiza potențialul.
Alegerea unei metode didactice adecvate și eficiente nu este un lucru simplu
pentru profesor. Nu există un t ipar predefinit, ce se poate aplica oricând, oricum și
oricui.
Selectarea și aplicarea unor astfel de metode nu se poate face fără a ține seama
de structura logică și gradul de dificultate al disciplinei, de specificul conținutului de
transmis, de scopul și obiectivele urmărite și cel mai important cunoașterea
caracteristicilor psihice, fizice și ale individualității elevilor. Metoda are eficiența
maximă dacă prin aplicarea ei toți elevii înregistrează un progres în urma situației de
învățare la care sunt supuși.
O altă observație este faptul că diferențierea instruirii în conținut, proces și
produs în acord cu nivelul de pregătire, interesul și profilul de învățare al elevilor
eficientizează procesul de predare – învățarea elementelor de geometrie .
Difer ențierea nu este o metodă în sine ci reprezintă un proces de punere în
aplicare a celor mai eficiente metode didactice, care să satisfacă diversitatea abilităților
cognitive, nivelului de pregătire, ritmului de învățare, stilurilor de învățare, ale elevilo r
dintr-o clasă. Cunoașterea acestor particularități ale elevilor este esențială în primul rând
pentru profesor, care trebuie să -și proiecteze demersurile instructive în concordanță cu
acestea. De asemenea percepția realistă a elevilor în ceea ce privește posibilitățile,
punctelor forte și a punctelor slabe pe care le au, determină creșterea încrederii de sine
în ceea ce privește eficiența învățării. Aceștia vor conștientiza faptul că prin efort
propriu dar susținut și orientat de către profesor vor progres a și astfel vor fi motivați
pentru învățare.
În predarea – învățarea tradițională, profesorul are tendința să trateze toți elevii
ca fiind de nivel mediu. Această abordare nu este benefică pentru elevii care au
cunoștințe, deprinderi, abilități peste aces t nivel deoarece se vor plictisi, își vor pierde
interesul dacă nu sunt provocați cu lucruri noi, pe măsura capacităților lor și nu vor mai
progresa. Pe de altă parte nu este benefică nici pentru elevii ce se situează sub acest
nivel, deoarece dacă au sarc ini de lucru ce îi depășesc în mod constant se vor descuraja
și demotiva în același timp. În acest sens, profesorul trebuie să depășească aceste
stereotipuri negative și să utilizeze acele metode care promovează egalitatea de șanse
pentru toți elevii și ca re le dau acestora posibilitatea să -și valorifice întreg potențialul de
care dispun.

119
Diferențierea conținutului se poate realiza variind complexitatea acestuia și / sau
extinzându -l dincolo de granițele clasicelor manuale. Diferențierea procesului implică
proiectarea și implementarea unor activități de învățare variate, cu niveluri adecvate de
provocare și sprijin, care să stimuleze abilitățile cognitive de nivel superior,
creativitatea, uneori competiția dar de cele mai multe ori cooperarea. Diferențierea
produsului presupune utilizarea unor metode și instrumente de evaluare variate și
implicarea elevilor în alegerea modalității prin care să arate ceea ce au învățat.
Corelarea acestor demersuri are consecințe pozitive în stimularea motivației și
îmbunătăți rea randamentului școlar și foarte important, în diminuarea riscului de eșec
școlar.
Totodată s -a observat că utilizarea rațională a tehnologiei informației și
comunicării optimizează procesul de predare – învățare.
Noile tehnologii au implicații atât în ceea ce privește optimizarea procesului de
predare, oferind posibilitatea profesorului să acceseze și să utilizeze resurse și
instrumente variate și interesante dar și în ceea ce privește optimizarea procesului de
învățare, facilitând elevilor accesul la i nformații și făcând posibilă colaborarea acestora
de la distanță.
Aceasta facilitează învățarea într -un ritm propriu, în concordanță cu interesele și
preferințele fiecăruia, asigură accesul elevilor la materiale exact când și unde este
necesar. De asemene a și rezultatele evaluărilor pot fi semnificativ îmbunătățite prin
antrenarea elevilor în rezolvarea problemelor, exercițiilor, a testelor de evaluare și
autoevaluare pe care le pot accesa ori de câte ori au nevoie.
Experimentul are un rol fundamental în predarea – învățarea elementelor de
geometrie. Uneori există limitări obiective și elevii nu pot fi implicați în activități care
vizează confruntarea directă cu fenomenele și investigarea acestora. În acest caz soluția
pentru vizualizare și investigare sun t simulările și experimentele virtuale. Utilizarea lor
rațională, combinarea instrumentelor și a resurselor adecvate pot optimiza procesul de
predare – învățare a elementelor de geometrie.

120
CONCLUZII

În etapa actuală a învățământului un factor important îl constituie calitatea
procesului de predare – învățare la nivelul oricărei discipline școlare.
Calitatea asigură un învățământ interactiv, care consideră că elevul este în
centrul atenției, el trebuie să devină propriul său agent de perfecționare, să fie capabil să
„construiască” singur noua sa cunoaștere.
În lucrarea de față, ne -am propus să verificăm dacă prin aplicarea unor metode
moderne vom obține rezultate mai bune cu elevii și o fixare mai ușoară a cunoștințelor.
Lucrarea realizată are un caracter teoretico -aplicativ iar analizele și cercetările
prezentate detaliat pe parcursul acesteia permit formularea următoarelor concluzii
generale:
• Metodele didactice utilizate în procesul de predare – învățare influențează
semnificativ rezultatele învățării, interesul și motivația elevilor pentru studiul
matematicii;
• Diferențierea instruirii în conținut, proces și produs în acord cu nivelul de
pregătire, interesul și profilul de învățare al elevilor eficientizează procesul de predare –
învățare;
• Implementarea metodelor moderne de predare -învățare a evidențiat faptul că
acestea au o contribuție majoră la formarea/dezvoltarea competențelor necesare tinerilor
pentru a se integra în societatea globală și valorizează potențialul creativ al cadrelor
didactice.
Cercetarea a relevat câteva observații critice și puncte slabe ale utilizării
tehnicilor moderne de predare -învățare. Astfel se desprind următoarele:
• realizarea unor asemenea activități de predare -învățare -evalua re presupune o
pregătire laborioasă a profesorului care trebuie să imagineze posibilele demersuri
abordate de elevi, să pregătească activitatea în cele mai mici amănunte și să asigure
oferta necesară de puncte de sprijin pentru a obține rezultatul dorit;
• activitățile de predare -învățare -evaluare bazate pe tehnicile moderne sunt mari
consumatoare de timp și nu asigură o evaluare imediată și un control al activității
elevului;
• unele teme grele cu un conținut nou sunt mai greu de abordat prin tehnicile
moder ne deoarece cer mai mult timp pentru a fi abordate în această manieră;

121
• realizarea activităților în acest sens cere o dotare materială complexă și spațiu
adecvat de desfășurare pentru a se asigura eficiența învățării;
• sunt unele conținuturi ale programei școlare care nu se pretează a fi abordate în
această manieră;
• monitoriz area activităților moderne cere un efort suplimentar din parte
profesorului, existând riscul ca elevii să se supraaprecieze sau să nu se implice în mod
real și la standardele cerute.
Activitățile didactice bazate pe tehnicile moderne de predare -învățare -evaluare
reprezintă pentru studiul matematicii contextul cel mai favorabil familiarizării elevilor
cu specificul gândirii critice și a metodei științifice de investigare a realității. Aceste
activități moderne favorizează aprofundarea cunoștințelor propuse d e programa școlară
la matematică , de manualele școlare și asigură deschideri interdisciplinare.
Ele generează motivația intrinsecă, diminuează presiunea generată de
personalitatea profesorului și îi determină chiar și pe elevii cei mai reticenți să parti cipe
la construirea propriei cunoașteri a elementelor de geometrie .
În plus, prin deprinderile pe care le dobândesc elevii își construiesc o gândire
științifică corectă, se familiarizează cu învățarea autodirijată, își formează
personalitatea, manifestă o conduită civică corectă și își schimbă optica asupra învățării.

Anexe
122
BIBLIOGRAFIE

1. Albulescu, I., (2009), Pragmatica predării. Activitatea profesorului între rutină
și creativitate, Editura Paralela 45, Pitești
2. Ardelean, L., Secelean, N. (2007), Didactica matematicii , Editura Universității
„Lucian Blaga”, Sibiu
3. Ardelean, L., Secelean, N., (2007), Didactica mat ematicii -managementul,
proiectarea și evaluarea activităților didactice , Universității „Lucian Blaga“, Sibiu
4. Banea, H., (1998), Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești
5. Barbu, M.-D., (2013), Motivația învățării și reușita școlară , Editura Vladimed –
Rovimed, Bacău
6. Bocoș, M., (2007), Didactica disciplinelor pedagogice. Un cadru constructivist ,
Editura Parașela 45, Pitești
7. Bocoș, M., Jucan, D., (2008), Fundamentele pedagogiei. Teroria și metodologia
curriculumului. Repere și instrumente didactice pentru formarea profesorilor , Editura
Paralela 45, Pitești.
8. Bocoș, M.-D., (2013), Instruirea interactivă , Editura Polirom, Iași
9. Brânzei, D., Brânzei, R., (2000), Metodica predării matematicii , Editura
Paralela 45,Pitești
10. Brânzei, D., (1983), Bazele raționamentului geometric, Editura Academică,
București
11. Buicliu, Gh.,(1967), Probleme de construcții geometrice cu rigla și compasul,
Editura Tineretului, București
12. Căliman, T., (1975), Învățământ, Inteligență, Problematizare – Studiu
experimental ,Editura Didactică și Pedagogică, București
13. Cerghit, I., (2006), Metode de învățământ , Editura Polirom, Iași
14. Cerghit, I., Radu, I., (1990), Didactica , Editura Didactică și Pedagogică,
București
15. Cerghit, I., (2006), Metode de învățământ , Editura Polirom, Iași
16. Cerghit, I., (2008), Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri,
stiluri și strategii, Editura Polirom, Iași
17. Ciomoș, F., Bocoș, M., (2001), Suporturi pentru definitivarea în învățământ ,
Casa Cărții Științ ă, Cluj -Napoca.

Anexe
123
18. Crețu, D., Nicu, A., (2009), Pedagogie – pentru definitivat și gradul didactic II ,
Editura Universității „Lucian Blaga” Sibiu.
19. Crețu, D., Nicu A ., (2009), Pedagogie , Editura Universității „Lucian Blaga” ,
Sibiu
20. Dăncilă, I., (2000), Constru cții cu rigla și compasul, Editura Sigma
21. Dăncilă, I., (1997), Geometria de care ai nevoie, Editura Teora
22. Hollinger, Al., (1982), Probleme de geometrie, Editura Didactică și Pedagogică
23. Ionescu, M., Chis, V., (2001), Pedagogie. Suporturi pentru formarea
profesorilor , Editura Presa Universitatii Clujeana
24. Ionescu, M., Chiș, V., (1992) , Strategii de predare și învățare , Editura
Științifică, București
25. Ionescu, M., Bocoș, M., (coord.) (2009), Tratat de didactică modernă , Editura
Paralela45, Pitești
26. Neacșu, I., (1978), Motivație și învățare , Editura Didactică și Pedagogică,
București
27. Neacșu, I., (1990), Metode și tehnici de învățare eficientă , Editura Militară,
București
28. Neacșu, I., (1999), (ed. a II-a), Instruire și învățare. Teorii. Modele. Strategi i,
EdituraDidactică și Pedagogică, București
29. Nicola, I., (2000), Tratat de pedagogie școlară , Editura Aramis, București.
30. Olsen, J., și Nielsen, T.W.,( 2009), Noi metode și strategii pentru managementul
clasei , Didactica Publishing House.
31. Oprescu, N., (1996), Pedagogie , Ed. Fundației „România de Mâine”, București.
32. Păun, E. Potolea, D. (coord.) (2002), Pedagogie. Fundamentări teoretice și
demersuri aplicative , Editura Polirom, Iași
33. Pânișoară, I.O., (2009), Profesorul de succes. 59 de deprind eri de pedagogie
practică ,Editura Polirom, Iași
34. Rusu, E., (1962), Despre învățarea matematicii , Editura Științifică, București
35. Smaranda, D., (1988), Transformări geometrice, Editura Academică, București
Bibliografie Internet:
http://wikipedia.org
www.didactic.ro
www.edu.ro/index.php?module=uploads&func=download&fileId …

Anexe
124

ANEXE
ANEXA 1

PREZENTAREA COLECTIVULUI EXPERIMENTAL

Clasa a VI -a de la Școala Gimnazială Bărcuț
Tabelul nr. 1

Nr.
Crt. Elevi Sex Dezvoltare psihică
Fete Băieți Normală Limitată
1. G.H. X X
2. M. J. X X
3. C.E. X X
4. A.C. X X
5. A.B. X X
6. D.L. X X
7. F.E. X X
8. F.I. X X
TOTAL 3 5 7 1

Anexe
125

Clasa a VI -a de la Școala Gimnazială Șoarș
Tabelul nr. 2

Nr.
Crt. Elevi Sex Dezvoltare psihică
Fete Băieți Normală Limitată
1. A.C. X X
2. B.N. X X
3. C.I. X X
4. C.M. X X
5. D.T. X X
6. G.C. X X
7. A.I. X X
8. G.I. X X
9. G.M. X X
10. I.C. X X
11. L.A. X X
12. R.S. X X
TOTAL 5 7 10 2

Anexe
126
ANEXA 2

Clasa de control (clasa 1)
(N1=8) Clasa experimentală (clasa 2)
(N2=12)
Nr.
Crt
. Elevi Pretest
stsststs
t (x 01) Posttest
(x1)
Nr.
Crt. Elevi Pretest
(x02) Posttest
(x2)
1. G.H. 9 9 1. A.C. 7 8
2. M. J. 6 7 2. B.N. 4 6
3. C.E. 5 7 3. C.I. 8 9
4. A.C. 8 8 4. C.M. 6 9
5. A.B. 6 7 5. D.T. 6 7
6. D.L. 6 7 6. G.C. 7 7
7. F.E. 4 4 7. A.I. 4 5
8. F.I. 4 5 8. G.I. 6 8
9. G.M. 6 6
10. I.C. 7 8
11. L.A. 8 8
12. R.S. 9 9
MEDIA 6 6,75
MEDIA 6,5 7,5
Diferenț a 0,75 Diferența 1,00

Anexe
127
ANEXA 3
TABEL CU REZULTATELE INDIVIDUALE ALE ELEVILOR
DIN CLASA a VI -a DUPĂ EFECTUAREA EXPERIMENTULUI
Clasa de control
(clasa 1)

(N1=20) Clasa experimentală
(clasa 2)
(N2=21) Nr.
Crt. Elevi Nota la
test Nr.
Crt. Elevi Nota la
test
1 G.H. 9 1 A.C. 8
2 M. J. 7 2 B.N. 6
3 C.E. 7 3 C.I. 9
4 A.C. 8 4 C.M. 9
5 A.B. 7 5 D.T. 7
6 D.L. 7 6 G.C. 7
7 F.E. 4 7 A.I. 5
8 F.I. 5 8 G.I. 8
9 G.M. 6
10 I.C. 8
11 L.A. 8
12 R.S. 9
MEDIA 6,75 MEDIA 7,5

Anexe
128

12.50%
12.50%
0%
50%12.50%12.50%Elevi cu note de 4
Elevi cu note de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9Diagrama de structură pentru clasa de controlGrupele de elevi Clasa de control
(8 elevi) Clasa
experimentală
(12 elevi)
Nr. elevi % Nr. elevi %
Elevi cu note de 4 1 12,5% 0 0%
Elevi cu note de 5 1 12,5% 1 8,33%
Elevi cu note de 6 0 0% 2 16,66%
Elevi cu note de 7 4 50% 2 16,66%
Elevi cu note de 8 1 12,5% 4 33,33%
Elevi cu note de 9 1 12,5% 3 25%

Anexe
129

0% 8.33%
16.66%
16.66%
33.33%25% Elevi cu note de 4
Elevi cu note de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9Diagrama de structură pentru clasa experimentală

Anexe
130
ANEXA 4
TABEL CU REZULTATELE INDIVIDUALE ALE ELEVILOR
DIN CLASA a VII -a DUPĂ EFECTUAREA EXPERIMENTULUI

Clasa de control (clasa 1)
(N1=8)
Clasa experimentală (clasa 2)
(N2=24)
Nr.
Crt
. Elevi Note test Nr.
Crt. Elevi Note test
1. G.H. 10 1. A.C. 8
2. M. J. 7 2. B.N. 6
3. C.E. 7 3. C.I. 9
4. A.C. 8 4. C.M. 10
5. A.B. 7 5. D.T. 7
6. D.L. 7 6. G.C. 7
7. F.E. 5 7. A.I. 6
8. F.I. 5 8. G.I. 8
9. G.M. 6
10. I.C. 8
11. L.A. 8
12. R.S. 9
MEDIA 7 MEDIA 7,66

Anexe
131

25%
0%
50%12.50%0%
12.50% Elevi cu nota de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9
Elevi cu note de 10Diagrama de structură pentru clasa de controlGrupele de elevi Clasa de control
(8 elevi) Clasa
experimentală
(12 elevi)
Nr. elevi % Nr. elevi %
Elevi cu nota de 5 2 25% 0 0
Elevi cu note de 6 0 0% 3 25%
Elevi cu note de 7 4 50% 2 16,66%
Elevi cu note de 8 1 12,5% 4 33,33%
Elevi cu note de 9 0 0% 2 16,66%
Elevi cu note de 10 1 12,5% 1 8,33%

Anexe
132

Diagrama de comparație

0
25%
16.66%
33.33%16.66%8.33%
Elevi cu nota de 5
Elevi cu note de 6
Elevi cu note de 7
Elevi cu note de 8
Elevi cu note de 9
Elevi cu note de 10Diagrama de structură pentru clasa experimentală
01234
Elevi cu
nota de
5Elevi cu
note de
6Elevi cu
note de
7Elevi cu
note de
8Elevi cu
note de
9Elevi cu
note de
10Clasa de control
Clasa experimentală

Anexe
133
ANEXA 5

CHESTIONAR REFERITOR LA STILURILE DE ÎNVĂȚARE

Nume:………………………………………………. Dată ……………….

Acest chestionar vă va ajuta să descoperiți modul în care învățați cel mai bine.

▪ Nu există răspunsuri corecte sau greșite
▪ Puteți să răspundeți la chestionar cât timp doriți
▪ Vă va lua probabil între 10 -30 de minute, dar este OK să alocați mai mult t imp
▪ Răspundeți la toate întrebările pentru a obține cele mai bune rezultate
▪ Toate răspunsurile sunt de tipul „da“ sau „nu“
▪ Încercuiți numai un singur răspuns la fiecare întrebare
▪ Dacă doriți să răspundeți „uneori“, gândiți -vă dacă înclinați să fiți de acor d sau
dimpotrivă cu afirmația respectivă, iar apoi răspundeți „da“ sau „nu“
▪ Pentru a obține cele mai bune rezultate, onestitatea este foarte importantă
▪ Chestionarul trebuie să fie completat de unul singur, dar este OK să folosiți un
secretar/cititor dacă s imțiți nevoia
1 Atunci când îi descrieți unui prieten o petrecere/vacanță, îi descrieți
muzica, sunetele și zgomotul auzite? Da Nu
2 Vă folosiți mâinile atunci când vorbiți? Da Nu
3 Preferați radio -ul sau televizorul ca să rămâneți la curent cu
știrile/sportul mai degrabă decât să citiți un ziar? Da Nu
4 Atunci când folosiți un computer, găsiți că sugestiile vizuale sunt
folositoare, de ex., simbolurile/imaginile din barele de instrumente,
evidențierile și sublinierile, etc? Da Nu
5 Când trebuie să vă notați informațiile, preferați să desenați diagrame
și desene în loc de a lua notițe? Da Nu
6 Când jucați ‘x/0’ sau table, puteți să vă imaginați 0 -urile și x -urile
sau tablele în poziții diferite? Da Nu
7 Vă place să dezmembrați obiectele și să reparați lucrurile, de ex.,
bicicleta, motoarele, etc.? Da Nu
8 Când încercați să vă amintiți cum se scrie un cuvânt, încercați să -l
scrieți de câteva ori în feluri diferite până îl găsiți pe acela care pare
corect? Da Nu

Anexe
134
9 Atunci când învățați ceva nou, preferați instrucțiunile verbale,
discuțiile și/sau prelegerile? Da Nu
10 Vă place să construiți lucruri? Da Nu
11 Atunci când folosiți un computer, găsiți că vă ajută sunetele pe care
le scoate pentru a vă informa că ați făcut ceva gr eșit sau pentru a vă
indica când ați terminat ceva? Da Nu
12 Atunci când revizuiți/studiați sau învățați ceva nou, vă place să
folosiți diagrame și/sau imagini? Da Nu
13 Sunteți rapid și eficient când e vorba să copiați informații? Da Nu
14 Dacă vi se spune ceva, vă amintiți de obicei ce vi s -a spus, fără să vi
se repete? Da Nu
15 În timpul dvs. liber, vă place să faceți ceva activ din punct de vedere
fizic, de ex., sport? Da Nu
16 Atunci când aveți timp liber, vă place să ascultați muzică? Da Nu
17 Atunci când vizitați o expoziție/galerie, sau vă uitați la o vitrină,
preferați să vă uitați la ele liniștit, de unul singur? Da Nu
18 Vă este mai ușor să vă amintiți numele persoanelor decât fețele lor? Da Nu
19 Când pronunțați un cuvânt literă cu literă, de obicei trebuie să scrieți
cuvântul? Da Nu
20 Vă place să vă mișcați prin jur atunci când lucrați? Da Nu
21 Învățați să scrieți cuvinte prin a le pronunța cu voce tare? Da Nu
22 Atunci când descrieți o petrecere/vacanță unui prieten, îi descrieți
cum arătau persoanele, ce anume purtau și culorile? Da Nu
23 Atunci când începeți o sarcină nouă, vă place să munciți susținut și
să faceți ceva imediat? Da Nu
24 Învățați bine privind pe cineva care dă dovada unei anume abilități? Da Nu
25 Vă este mai ușor să vă amintiți fețele oamenilor decât numele
acestora? Da Nu
26 Spunerea lucrurilor cu voce tare vă ajută să învățați? Da Nu

Anexe
135
27 Vă place să demonstrați și să le arătați lucruri celorlalți? Da Nu
28 Vă plac discuțiile și să ascultați opiniile altor oameni? Da Nu
29 Atunci când îndepliniți o sarcină practică, urmăriți diagrame? Da Nu
30 Vă place jocul de rol și să interpretați personaje? Da Nu
31 Preferați să mergeți în căutarea informațiilor și resurselor mai
degrabă decât să stați la bibliotecă? Da Nu
32 Atunci când vizitați o expoziție/galerie sau când vă uitați la o vitrină,
vă place să vorbiți despre obiectele expuse și să ascultați observațiile
celorlalți? Da Nu
33 Vă este ușor să urmăriți o hartă? Da Nu
34 Credeți că una dintre cele mai bune modalități de a aprecia ceva
expus sau o sculptură este să puteți atinge obiectul? Da Nu
35 Atunci când citiți o relatare sau un articol dintr -o revistă, vă
reprezentați scena în minte? Da Nu
36 Aveți tendința de a fredona sau de a vorbi singur atunci când
îndepliniți sarcini? Da Nu
37 Vă uitați la imaginile dintr -o revistă înainte de a vă hotărî ce să
purtați? Da Nu
38 Atunci când plănuiți o nouă călătorie, vă place să vorbiți cu cineva
pentru a afla unde să mergeți? Da Nu
39 Vi s -a părut întotdeauna dificil să rămâneți liniștit mult timp, și
preferați în general să fiți activ? Da Nu

Acum descoperiți care este stilul dvs. de învățare
Încercuiți numai numărul întrebărilor la care ați răspuns DA.
4 1 2
6 3 5
8 9 7
12 11 10
13 14 15
17 16 19
22 18 20

Anexe
136
24 21 23
25 26 27
29 28 30
33 32 31
35 36 34
37 38 39

Total încercuite__ Total încercuite__ Total încercuite__
Vizual/Văz Auditiv/Ascultare Practic

▪ Acum trasați/reprezentați grafic numărul total pentru fiecare stil în graficul de
mai jos
▪ Cea mai îna ltă coloană din grafic indică stilul dvs. de învățare preferat
▪ Dacă coloanele din grafic sunt aproximativ egale, probabil vă place să folosiți
toate stilurile de învățare

13 13
12 12
11 11
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
Vizual/Vedere Auditiv/Ascultare Practic

Anexe
137

VIZAT,
Conducător științific Lector univ.dr. IOAN ȚINCU
Data 18.07.2017

D E C L A R A Ț I E
de autenticitate asupra lucrării metodico -științifice de grad didactic I

Subsemnatul/subsemnata JIGA ADRIAN domiciliat/ă în localitatea FĂGĂRAȘ str.
Gării, bl.B, sc. A, ap.17, județul BRAȘOV având actul de identitate CI Seria BV nr. 880184
CNP 1840830081829 înscrisă pentru susținerea lucrării metodico -științifice de grad didactic
I, cu titlul „ Folosirea unor metode activ -participative în predarea unor construcții
geomet rice cu rigla și compasul”.
Conducător științific Lector univ.dr. IOAN ȚINCU
Declar următoarele:
a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;
b) nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse
fară a fi citate și fară a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă
alte lucrări ale mele;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Specific explicit că ideile prezentate sunt originale, iar sursele de informații care stau
la baza emiterii unor teorii originale au fost corect citate și prezentate în lucr are.

Data 25.07.2017
Numele și prenumele ADRIAN JIGA
Semnătura