LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ ÎN VEDEREA OBȚINERII GRADULUI DIDACTIC I [310474]

Universitatea ,,DUNĂREA DE JOS’’ [anonimizat] I

,,[anonimizat]’’

Coordonator,

Conf. Dr. GABRIEL BERCU

Candidat: [anonimizat]. ANTOHE FLORIN

Școala Gimnazială ,,Dan Barbilian’’ Galați

2017-2019

Capitolul I

Divizibilitatea numerelor naturale

§1. Divizor. Multiplu.

1.1.Definiție: Fie a si b doua numere naturale. Spunem ca b este divizor a lui a daca exista un numar natural c astfel incat a=b∙c.

[anonimizat] a se spune ca este un multiplu al lui b si se utilizeaza una dintre urmatoarele scrieri: b|a (se citeste „b divide a”) sau ab (se citeste „a este divizibil cu b”).

Exemple:

2|48, deoarece exista c astfel incat 48=2∙c (numarul natural c este 24)

Fie n un numar natural oarecare; n|0, deoarece exista c astfel incat 0=n∙c (numarul natural c este 0).

0|0, deoarece exista c astfel incat 0=0∙c (numarul natural c poate fi orice numar natural).

Daca a este un numar natural mai mare sau egal cu 2, atunci numerele 1 si a se numesc divizori improprii ai numarului a, iar ceilalti divizori ai numarului a se numesc divizori proprii.

Fie a un numar natural. Se noteaza cu Da multimea tuturor divizorilor lui a, iar Ma multimea tuturor multiplilor lui a. Atunci: Da={x| xsi x|a}; Ma={x| x si a|x }

D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ; numerele 1 si 12 [anonimizat] 2;3;4;6 sunt divizori proprii.

M12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …}

Observatii:

Multimea divizorilor unui numar natural nenul este o multime finita.

Multimea multiplilor unui numar natural nenul este o multime infinita.

§2. Criterii de divizibilitate.

Fie n un numar natural. Ne intereseaza sa stabilim conditia pe care trebuie sa o indeplineasca numarul n pentru a [anonimizat] a, fara a efectua impartirea lui n la a. Aceasta conditie (regula) se numeste criteriul de divizibilitate cu a.

2.1.Criteriul de divizibilitate cu 2:

Un numar natural este divizibil cu 2 daca si numai daca ultima sa cifra este para.

Exemple: Numărul 2345678 este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 8 și este cifră pară.

Numărul 2000 este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 0 și este cifră pară.

Numărul 327 nu este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 7 [anonimizat].

Numerele care sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare.

Criteriul de divizibilitate cu 3:

Un numar natural este divizibil cu 3 daca si numai daca suma cifrelor numarului este divizibila cu 3.

Exemple: Numărul 315702 este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 3 + 1 + 5 + 7 + 0 + 2 = 18, care este un număr divizibil cu 3.

Numărul 102072 este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 1 + 0 + 2 + 0 + 7 + 2 = 12, care este un număr divizibil cu 3.

Numărul 584 nu este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 5 + 8 + 4 = 17, care nu este un număr divizibil cu 3.

Criteriu de divizibilitate cu 4:

Un număr natural este divizibil cu 4, dacă si numai daca numărul format de ultimele sale două cifre este divizibil cu 4.

Exemple: Numărul 5312 este divizibil cu 4, [anonimizat] 12, este divizibil cu 4.

Numărul 708 este divizibil cu 4, [anonimizat] 8, este divizibil cu 4.

Numărul 1923 nu este divizibil cu 4, pentru că numărul format de ultimele sale două cifre, adică 23, nu este divizibil cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 5:

Un numar natural este divizibil cu 5, daca si numai daca ultima sa cifra este 0 sau 5.

Exemple: Numărul 315 este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră este 5.

Numărul 470 este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră este 0.

Numărul 1504 nu este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră nu este nici 0 și nici 5.

Criteriul de divizibilitate cu 6:

Un numar natural este divizibil cu 6, daca si numai daca este divizibil atat cu 2 cat si cu 3.

Exemple: Numărul 4182 este divizibil cu 6, pentru că este un număr par, deci se divide cu 2 și suma cifrelor sale, 4 + 1 + 8 + 2 = 15, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.

Numărul 981 nu este divizibil cu 6, pentru că nu este un număr par, deci nu se divide cu 2 deși este un număr divizibil cu 3.

Numărul 604 nu este divizibil cu 6, pentru că deși este un număr par, deci se divide cu 2, nu este un număr divizibil cu 3, suma cifrelor sale 6 + 0 + 4 = 10 nu e divizibilă cu 3.

Criterii de divizibilitate cu 7:

Numărul 7 se poate mândri cu numeroase zicători (măsoară de șapte ori și taie o dată; șapte dintr-o lovitură; unul la muncă, șapte la mâncare; șapte zile-n săptămână; etc.) dar și cu diferite reguli de divizibilitate. Iată 7 dintre aceste reguli:

a)Se scrie numărul în baza 10 folosind puterile lui 10, se înlocuiește numărul 10 cu 3 și se fac calculele. Dacă rezultatul obținut se divide cu 7, atunci și numărul inițial se divide cu 7.

Exemplu: Fie numărul 5285 care în baza 10 se scrie: 5∙10 + 2∙10+ 8∙10 + 5, iar prin înlocuirea bazei 10 cu 3 se obține 5∙3+ 2∙3+ 8∙3 + 5 = 1827 deci 52857.

b)Se înmulțește prima cifră din stânga cu 3 și se adună cu cifra următoare, apoi rezultatul se înmulțește cu 3 și se adună cifra următoare, ș.a.m.d. până la ultima cifră. Pentru simplificarea rezultatului se admite ca după fiecare operație să se scadă, din rezultatul obținut 7 sau multiplu de 7.

Exemplu: Fie numărul 5285. Operațiile sunt următoarele: 5∙3 =15, 15 + 2 = 17, dar 17 = 7∙2 + 3. Se renunță la 7∙2 și se continuă 3∙3 + 8 = 17, dar 17 = 7∙2 + 3 și putem renunța la 7∙2 și 3∙3 + 5 = 147.

c)Vom proceda ca la regula precedentă dar vom începe înmulțirea de la cifra unităților cu 5 de această dată.

Exemplu: Se consideră numărul 48902.

2∙5 = 10 = 7∙1 + 3; (3 + 0)∙5 = 15 = 7∙2 + 1; (1+ 9)∙5 = 50 = 7∙7 + 1; (1 + 8) ∙5 = 45 = 7∙6 + 3, 3 + 4 = 77, deci numărul 489027.

d)Se dublează cifra unităților și se scade din rezultat cifra zecilor, din nou se dublează rezultatul apoi se adună cu cifra sutelor. Procedeul se continuă alternând scăderea cu adunarea. Acolo unde este posibil rezultatul se poate micșora cu un multiplu al lui 7.

Exemplu: Fie numărul 5943. 3∙2 = 6, 6 – 4 = 2, 2∙2 = 4, 4 + 9 = 13, 13 = 7 + 6 , 6∙2 = 12, 12 – 5 = 77, deci numărul 59437.

e) Este o regulă comună a divizibilității cu 7, 11, 13. Se împarte numărul în clase: clasa unităților, clasa miilor, clasa milioanelor, etc. Dacă diferența sumelor grupelor numărului dat, adunate din 2 în 2, se divide cu 7, cu 11 sau cu 13, atunci numărul se divide cu 7, 11 sau13.

Exemplu: Aplicăm regula pentru numărul 55285783. (783 + 55) – 285 = 553 este divizibil cu 7.

f) Este o regulă comună a divizibilității cu 7, cu 3 sau cu 19. Se dau deoparte ultimele două cifre ale numărului, iar la numărul rămas se adună numărul format din cele două cifre date deoparte înmulțit cu 4. Dacă e necesar se repetă procedeul până se obține un rezultat a cărui divizibilitate cu 3, cu 7 cu 19 este evidentă.

Exemplu: Fie numărul 134064. 64∙4 = 256, 1340 + 256 = 1596. Repetăm regula: 96∙4 = 384, 15 + 384 = 399 numărul 399 se divide cu 7 și cu 3.

g) Numărul natural n se divide cu 7 (cu 11 și cu 13) dacă și numai dacă diferența nenegativă dintre cele două numere obținute din numărul natural dat prin tăierea lui în două, astfel ca la dreapta să rămână trei cifre, se divide cu 7 (cu 11 sau 13).

Exemple: Fie numărul 195258. Avem 195.258 258 – 195 = 637 1952587 (27894).

Fie numărul 76824. Avem 76.824 824 – 76 = 74811 7682411 (6984).

Fie numărul 84916. Avem 84.916 916 – 84 = 83213 8491613 (6532).

Dacă numărul are mai mult de șase cifre, împărțim de la dreapta la stânga numărul în grupe de câte trei cifre. Dacă diferența dintre suma numerelor exprimate prin grupe de rang par și suma grupelor de rang impar se divide cu 7, 11, 13, numărul dat se divide cu 7, 11, 13.

Exemple: Fie numărul 66807104. Avem 66.807.104 807 – (104 + 66) = 807 – 170 = 6377 668071047 (9543872).

Fie numărul 90582756. Avem 90.582.756582 – (756 + 90) = 582 – 846 = – 26411 9058275611 (8234796).

Fie numărul 10262929599. Avem 10.262.929.599(929 + 10) – (599 + 262) = 939 – 861 = 7813 1026292959913 (789456123).

Observatii:

1.Dacă un număr de două cifre se divide cu 7, atunci numărul format din aceleași cifre scrise în ordine inversă, mărit cu cifra zecilor din numărul inițial se divide cu 7.

Exemplu: 637, prin urmare numărul 36 + 6 = 427.

2.Dacă un număr de trei cifre se divide cu 7, atunci numărul format din aceleași cifre scrise în ordine inversă, micșorat cu diferența dintre cifra unităților și cifra sutelor numărului inițial, se divide cu 7.

Exemplu: Numărul 126 se divide cu 7. Numărul 621 – (6 – 1) = 616 se divide cu 7.

3.Dacă suma cifrelor unui număr cu trei cifre este egală cu 7, el se divide cu 7 numai dacă cifra zecilor este egală cu cifra unităților.

Exemplu: 322 se divide cu 7 deoarece 3 + 2 + 2 = 7.

Criteriul de divizibilitate cu 8

1.Un numar natural este divizibil cu 8, daca si numai daca numarul format de ultimele sale trei cifre este divizibil cu 8.

2.Un numar natural este divizibil cu 8 daca si numai daca suma dintre cifra unitatilor, dublul cifrei zecilor si cifra sutelor marita de 4 ori este divizibila cu 8.

Exemple: Numărul 12136 este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 136, este divizibil cu 8 sau 6+2∙3+4∙1=16, este divizibil cu 8.

Numărul 23971504 este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 504, este divizibil cu 8 sau 4+2∙0+4∙5=24, este divizibil cu 8.

Numărul 6147 nu este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 147, nu este divizibil cu 8 sau 7+2∙4+4∙1=19, nu este divizibil cu 8.

Criteriul de divizibilitate cu 9

Un numar natural este divizibil cu 9 daca si numai daca suma cifrelor numarului este divizibila cu 9.

Exemple: Numărul 702315 este divizibil cu 9, pentru că suma cifrelor sale, 7 + 0 + 2 + 3 + 1 + 5 = 18, care este un număr divizibil cu 9.

Numărul 728356041 este divizibil cu 9, pentru că suma cifrelor sale, 7 + 2 + 8 + 3 + 5 + 6 + 0 + 4 + 1 = 36, care este un număr divizibil cu 9.

Numărul 1954 nu este divizibil cu 9, pentru că suma cifrelor sale, 1 + 9 + 5 + 4 = 19, care nu este un număr divizibil cu 9.

Criteriul de divizibilitate cu 2n și 5n, n*

Un număr m = se divide cu 2n respectiv cu 5n, k n, dacă și numai dacă numărul format din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu 2n respectiv cu 5n.

Demonstrație

Numărul m se scrie în baza 10 sub forma: m = ak 10k + ak-1 10k-1 + ….+ an 10n + . Deoarece 2n | 10k (5n | 10k) pentru orice k n, rezultă că 2n | m (5n | m) dacă și numai dacă

2n | (5n | ).

Criteriul de divizibilitate 10n

Un numar natural este divizibil cu 10n, , daca si numai daca ultimele n cifre ale sale sunt egale cu zero. Altfel spus, un numar natural este divizibil cu 10 (100, 1000, ….) daca si numai daca ultima (ultimele doua, trei, …) cifra a numarului este egala cu zero.

Exemple: Numărul 70 este divizibil cu 10, pentru că ultima sa cifră este 0.

Numărul 3500 este divizibil cu 102 = 100, pentru că ultimele sale două cifre sunt zerouri.

Numărul 41300000 este divizibil cu 105 = 100000, pentru că ultimele sale cinci cifre sunt zerouri.

Numărul 20003 nu este divizibil cu 10, pentru că ultima sa cifră nu este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 11

Un numar natural este divizibil cu 11 daca si numai daca diferenta dintre suma cifrelor cu indice (rang) par si suma cifrelor cu indice (rang) impar din numarul natural dat se divide cu 11.

Daca N= , atunci 11 | N sau

Demonstratie:

N= si p=

Dacă r = 2k, atunci 10r = 102k = 9 + 1 = 9 M11 + 1.

Dacă r = 2k + 1, atunci 10r = 102k+1 = – 1 = 9090…9091 11 – 1 = M11 – 1.

Rezultă că m = p + M11 și deci 11 | m dacă și numai dacă 11 | p.

Exemple: Fie numărul 1925. Avem 9 + 5 = 14, 1 + 2 = 3 și 14 – 3 = 11. 1111 192511

Numărul 147520946 nu este divizibil cu 11 deoarece (4 + 5 + 0 + 4) – (1 + 7 + 2 + 9 + 6) = – 12

Criteriul de divizibilitate cu 12

Un număr natural este divizibil cu 12, dacă si numai daca este divizibil atat cu 3 cat și cu 4 adică dacă suma cifrelor sale este un multiplu de 3, iar numărul format cu ultimele două cifre este divizibil cu 4.

Exemplu: Numărul 4632 este divizibil cu 12, pentru că numărul format cu ultimele două cifre, 32, se divide cu 4 și suma cifrelor sale, 4 + 6 + 3 + 2 = 15, este un număr divizibil cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 13

Despărțim numărul dat în grupe de către trei cifre de la dreapta la stânga și înmulțim cifrele grupelor de rang impar cu 1, – 3 respectiv – 4, iar pe cele ale grupelor de rang par cu –1, 3 respectiv 4. Dacă suma algebrică a acestor produse se divide cu 13 și numărul dat se divide cu 13.

Exemplu: Numărul 95287998 este divizibil cu 13 (95287998 : 13 = 7329846) pentru că urmând procedeul de mai sus, împărțim numărul în grupe de câte trei cifre de la dreapta la stânga și stabilim paritatea grupelor, , apoi efectuăm [8·1 + 9· (– 3) + 9·(– 4)] + [7·(– 1) + 8·3 + 2·4] + [5·1 + 9·(– 3)]= (8 – 27 – 36) + (– 7 + 24 + 8) + (+ 5 – 27) = – 55 + 25 + (– 22) = – 5213.

Criteriul de divizibilitate cu 14

Un număr natural este divizibil cu 14, dacă si numai daca este divizibil atat cu 2 cat și cu 7 adică dacă este un număr par, și verifică una din condițiile de divizibilitate cu 7.

Exemplu: Fie numărul 322. Este un număr par, deci este divizibil cu 2 și conform (b) 3·3 + 2 = 11 = 7 + 4. Renunțăm la 7 și 4·3 = 12 + 2 = 147.

Criteriul de divizibilitate cu 15

Un număr natural este divizibil cu 15, dacă si numai daca este divizibil atat cu 3 cat și cu 5.

Exemple: Numărul 420 este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră este 0, deci se divide cu 5 și suma cifrelor sale, 4 + 2 + 0 = 6, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.

Numărul 735 este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră este 5, deci se divide cu 5 și suma cifrelor sale, 7 + 3 + 5 = 15, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.

Numărul 1836 nu este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră nu este 0 sau 5, deci nu se divide cu 5 deși suma cifrelor sale, 1 + 8 + 3 + 6 = 18, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.

Numărul 21370 nu este divizibil cu 15, pentru că deși ultima sa cifră este 0, deci se divide cu 5, suma cifrelor sale, 2 + 1 + 3 + 7 + 0 = 13, nu este un număr divizibil cu 3, deci nu se divide și cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 19

Un număr natural se divide cu 19 dacă și numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două cifre mărit de 4 ori și numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 19.

Observatie: Dacă este necesar se repetă procedeul până când se obține un rezultat a cărui divizibilitate cu 19 este evidentă.

Demonstrație:

Fie m = , n N, n 2 și p = , q = .

Atunci 4m = 4102 p + 4q = (3719 + 1)p + 4q = 3719p + p + 4q. Rezultă că 19 | m dacă și numai dacă 19 | (p + 4q).

Exemplu: Fie numărul 1110987.

11109 + 4 87 = 11457

114 + 4 57 = 342

3 + 4 42 = 171 iar 171 19.

Un număr natural se divide cu 19 dacă și numai dacă suma dintre dublul cifrei unităților și numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 19.

Demonstrație:

Fie m = , n , n 1 și p = .

21m = 210p + 21a0 = (11 19 + 1)p + (19 + 2) a0 = M19 + p + 2a0. Cum (21, 19) = 1, avem că 19 | m dacă și numai dacă 19 | p + 2a0.

Exemplu

Fie numărul 1110987.

111098 + 2 7 = 111112 11111 + 2 2 = 11115 1111 + 2 5 = 1121

112 + 2 1 = 114 11 + 2 4 = 19 iar 19 19

Criteriul de divizibilitate cu 25

Un număr este divizibil cu 25, dacă numărul format de ultimele sale două cifre este divizibil cu 25, adică dacă ultimele sale două cifre sunt: 00; 25; 50; 75.

Exemple: Numărul 3700 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 00.

Numărul 27925 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 25.

Numărul 1850 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 50.

Numărul 1003975 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 75.

Numărul 8354 nu este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre nu sunt 00, 25, 50 sau 75.

Criteriul de divizibilitate cu 27 sau 37

Un număr natural se divide cu 27, respectiv 37 dacă și numai dacă suma numerelor naturale obținute prin „tăierea” numărului în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37.

Demonstrație

Fie m = . Atunci m = + 103 + …..+ 10n-2. Cum 103 = 27 37 + 1, avem m = M37 + + + …+ .

Deci 37 | m dacă și numai dacă 37 | + + …+ .

Exemplu

Fie numărul 5392158.

158 + 392 + 5 = 555 iar 37 | 555

Criteriul de divizibilitate cu 125

Un număr este divizibil cu 125, dacă si numai daca numărul format de ultimele sale trei cifre este divizibil cu 125.

Exemple: Numărul 47375 este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 375 este divizibil cu 125.

Numărul 981625 este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 625 este divizibil cu 125.

Numărul 10495 nu este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 495 nu este divizibil cu 125.

Criteriu general de divizibilitate

Un număr natural m = se divide cu 10p q, n, p, q *, dacă și numai dacă înlăturând ultima cifră, înmulțind numărul obținut cu q și scăzând (adunând) la noul număr de p ori cifra suprimată, se obține un număr divizibil cu 10p q.

Demonstrație

Efectuând operațiile indicate se obține numărul m1 = (10n-1 an + 10n-2 an-1 + … + a1) q p a0 . Atunci 10m1 – qm = (10p q) a0. Rezultă că 10p q | m dacă și numai dacă 10p q | m1.

Exemplu

Să se verifice dacă numărul 232716 se divide cu 43.

43 = 10 4 + 3, deci p = 4 și q = 3

m1 = 3 23271 – 4 6 = 69789 m2 = 3 6978 – 4 9 = 20898

m3 = 3 2089 – 4 8 = 6235 m4 = 3 623 – 4 5 = 1849

m5 = 3 184 – 4 9 = 516 m6 = 3 51 – 4 6 = 129; 129 43.

Consecinte asupra restului impartirii unui numar natural n

1.Restul impartirii lui n la 10 este egal cu ultima cifra a lui n si restul impartirii lui n la 100, 1000, … este format din ultimele doua, trei, … cifre ale lui n.

2.Restul impartirii lui n la 2, sau la 5 este egal cu restul impartirii la 2, respectiv la 5, a ultimei cifre a lui n.

3.Restul impartirii lui n la 4, sau la 25, este egal cu restul impartirii la 4, respectiv la 25, a numarului format de ultimele doua cifre ale lui n.

4.Restul impartirii lui n la 3, sau la 9, este egal cu restul impartirii la 3, respectiv la 9, a sumei cifrelor numarului n.

§3. Proprietati ale relatiei de divizibilitate in multimea numerelor naturale.

In mod evident, relatia de divizibilitate de pe este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva, adica este o multime partial ordonata in care 1 este cel mai mic element (element initial) iar 0 este cel mai mare element (element final).

Proprietatea 1. Orice număr natural este divizibil cu 1, sau 1|a oricare ar fi a.

Proprietatea 2. 0 este divizibil cu orice număr natural, sau a|0, oricare ar fi a.

Proprietatea 3. Orice număr natural se divide cu el însuși, sau a|a, oricare ar fi a. (Reflexivitatea)

Proprietatea 4. Fie a și b două numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a atunci a = b, sau dacă a|b și b|a, atunci a = b oricare ar fi a, b. (Antisimetria)

Proprietatea 5. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a, sau dacă a|b și b|c, atunci a|c, oricare ar fi a, b, c. (Tranzitivitatea)

Proprietatea 6. Dacă un număr natural se divide cu alt număr natural, atunci primul se divide cu toți divizorii celui de-al doilea.

Proprietatea 7. Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m și dacă un număr natural b se divide cu același număr natural m, atunci și suma lor a + b se divide cu m sau dacă m|a și m|b, atunci m | (a + b) oricare ar fi a, b, m.

Demonstrație: m|a există a' număr natural astfel încât a = m∙a'

m|b există b' număr natural astfel încât b = m∙b'

a + b = m∙a' + m∙b' = m(a' + b')

a' + b' = c a + b = m∙c m|(a + b)

Proprietatea 8. Dacă unul din termenii unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural, iar celălalt termen nu se divide cu acel număr natural, atunci suma nu se divide cu acel număr natural.

Proprietatea 9. Fie a, b și m numere naturale, a > b. Dacă a se divide cu m și b se divide cu m atunci și a – b se divide cu m sau dacă m|a și m|b, atunci m|(a – b) oricare ar fi a, b, m.

Demonstrație: m|a există a' număr natural astfel încât a = m∙a'

m|b există b' număr natural astfel încât b = m∙b'

a – b = m∙a' + m∙b' = m(a' – b')

a' – b' = c a – b = m∙c m|(a – b)

Proprietatea 10. Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m, atunci produsul lui a cu orice număr natural se divide cu m, sau dacă m|a, atunci m|a∙b, oricare ar fi a, b, m.

Demonstrație: m|a m|a∙b, a, b și m sunt numere naturale.

m|a există numărul natural c, astfel încât a = m∙c

a∙b = mc∙b și c∙b este număr natural a∙bm

Proprietatea 11. Teorema lui Gauss. Dacă un număr natural divide produsul a două numere naturale și este prim cu unul dintre factori, el va divide celălalt factor al produsului:

a | bc și (a,b) = 1 a|c.

In rezolvarea anumitor probleme mai dificile sunt utile urmatoarele precizari:

a) ; ,

b) ;

c) ;

§4. Numere prime si numere compuse.

Multimea numerelor prime reprezinta o clasa foarte importanta de numere naturale.

Numim numar prim orice numar natural p≥2, care are exact doi divizori: pe 1 si pe el insusi.

Un numar natural care are cel putin trei divizori se numeste numar compus. Numerele naturale 0 si 1 nu sunt nici numere prime nici numere compuse. Singurul numar par, care este prim este numarul 2.

S-au pus de foarte mult timp intrebari despre numerele prime. Doua dintre acestea sunt urmatoarele: „Cate numere prime exista?” , „Care este forma numerelor prime?”

La prima intrebare , raspunsul este dat de urmatorul rezultat:

Teorema 1. Exista o infinitate de numere prime.

Demonstratie: Notam cu P multimea numerelor prime. Sa presupunem prin absurd ca multimea P este finita, (unde in mod evident =2, =3, =5, etc.) Vom considera si sa observam ca p>1 iar nu este divizor al lui p pentru 1≤i≤n. Tinand cont de teorema fundamentala a aritmeticii va exista un numar q>1 care sa divida pe p. Cum toate numerele prime sunt presupuse a fi doar deducem ca pentru un , ceea ce este absurd caci nu este divizor al lui p pentru orice 1≤i≤n. Deci P este multime infinita.

Observatie: In continuare pentru fiecare numar natural n≤1 vom nota prin al n-ulea nuamr prim, astfel ca (evident =2, =3, =5, etc.)

O alta intrebare fireasca legata de multimea numerelor prime a fost daca anumite submultimi infinite ale lui contin sau nu o infinitate de numere prime. In acest sens amintim un rezultat celebru al lui Dirichlet:

Teorema 2. Daca a, b iar (a,b)=1, atunci multimea contine o infinitate de numere prime.

Teorema 3. Exista o infinitate de numere prime de forma 4n-1 cu .

Demonstratie. Sa presupunem prin reducere la absurd ca multimea contine numai un numar finit de numere prime, fie acestea si sa consideram numarul . Numarul q trebuie sa aiba un factor prim de forma 4k−1 (caci daca toti factorii primi ai lui q ar fi de forma 4k+1 atunci si q ar trebui sa fie de forma 4k+1). Deci ar trebui ca sa divida pe q, ceea ce este absurd, de unde concluzia din enunt.

Teorema 4. Exista o infinitate de numere prime de forma cu .

Demonstratie. Sa presupunem prin absurd ca exista doar un numar finit de numere prime de forma si anume si sa consideram numarul . Cum un numar prim este de forma 6t−1 sau 6t+1, deducem ca q trebuie sa contina un factor prim de forma 6t−1 (caci in caz contrar ar trebui ca q sa fie de forma 6k+1). Deci ar trebui ca un sa divida pe q, ceea ce este absurd, de unde concluzia din enunt.

Teorema 5. Fie p un numar prim fixat. Exista o infinitate de numere prime de forma pn+1, cu .

Demonstratie. Sa presupunem ca exista un numar finit ,,…,de numere prime de forma din enunt si sa consideram (in caz ca exista numere prime de forma pn+1)sau a=p in caz contrar. Consideram de asemenea numarul si fie q un divizor al lui N. Atunci , deci . Atunci sau . Daca , atunci si , q | p, q=p, p | N. Cum p | a si p | N , atunci p | , contradictie.

Deci si p | , adica q−1=ps cu s, deci q=ps+1. Cum am presupus ca ,…, sunt toate numere prime de forma pn+1, deducem ca q= cu 1≤i≤t. Atunci q | a si q | N si din nou obtinem contradictia ca q | 1.

Deci pentru un numar prim p fixat exista o infinitate de numere prime de forma pn+1.

Ciurul lui Eratostene

Fiind dat un numar natural n≥2, pentru a stabili daca el este prim sau nu, este suficient sa verificam daca el este divizibil doar prin acele numere prime p≤ . Intr-adevar, sa presupunem ca n este compus si ca toate numerele prime ce-l divid verifica inegalitatile . Daca un anumit numar prim divide pe n, atunci putem scrie pentru un . Atunci si

| n. Numarul va avea cel putin un factor prim (care va fi mai mic decat )- absurd!

Obtinem astfel un criteriu simplu de a determina daca un numar natural este prim sau nu:

Daca un numar natural n nu este divizibil prin nici un numar prim , atunci numarul n este prim. Acest criteriu sta la baza „ciurului” prin care Eratostene a stabilit care numere dintr-o multime finita de numere sunt prime. Mai precis, el a scris de exemplu toate numerele de la 2 la n in ordine crescatoare. A taiat toti multiplii proprii ai lui 2, apoi toti multiplii proprii ai lui 3, pe urma pe cei ai lui 5. Se observa ca cel mai mic numar natural superior lui 5 care nu a fost taiat este 7 si se taie atunci si toti multiplii lui 7. Se continua in felul acesta procedeul de taiere pana se ajunge la etapa cand cel mai mic numar natural din sirul 2,3,…,n care nu a fost taiat este . Atunci procedeul se opreste deoarece conform criteriului enuntat mai inainte toate numerele netaiate din sirul 2,3,…,n sunt numere prime .

De exemplu, numarul 223 nu se divide cu 2,3,5,7,11 si 13. Este inutil sa verificam daca se mai divide cu 17 caci 172=289>223, rezultand astfel ca 223 este prim.

Procedeul descris mai sus poarta numele de ciurul lui Eratostene. Pe aceasta cale se poate obtine urmatorul sir de numere prime mai mici decat 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

In anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime <10.000.000, in care se dau cei mai mici divizori primi pentru fiacre numar natural ≤10.170.600 care nu se divid la 2, 3, 5 sau 7.

In anul 1951 au fost publicate tabele de numere prime pana la 11.000.000. Jacob Philipp Kulik (1793-1863) a intocmit tabele de numere prime pana la 100.000.000 (manuscrisul se pastreaza la Academia Austriaca de Stiinte din Viena). In finalul lucrarii, in cadrul Anexei 1 prezentam numerele prime de la 1 la 10.000. C.L. Baker si J. F. Gruenberger au intocmit in anul 1959 un microfil care contine toate numerele prime mai mici decat .

Teorema 6 (Bertrand-Cebîșev). Daca , , atunci intre n si 2(n−1) se afla cel putin un numar natural prim.

Acest rezultat a fost formulat inca din anul 1845 de catre J. Bertrand insa cel care a prezentat primul o solutie a acestuia a fost. P. L. Cebîșev in anul 1850. In cele ce urmeaza vom prezenta o solutie a lui P. Erdos (adaptata de L. Kalmar). Aceasta solutie se bazeaza pe demonstrarea catorva leme:

Lema 1: Daca , , atunci . (1)

Demonstratie. Facem inductie dupa n. Pentru n=2, (1) este adevarata deoarece ceea ce este evident.

Cum , pentru a proba (1) pentru n+1, este suficient sa demonstram ca ceea ce este evident.

Lema 2. Daca definim iar pentru n ≥ 2, , atunci , pentru orice .

Demonstratie. Facem din nou inductie dupa n. Pentru n=1,2 totul este clar. Presupunem lema adevarata pentru toate numerele < n si sa o demonstram pentru n.

Daca n este par, atunci si totul este clar. Daca n este impar , , atunci orice numar prim p astfel incat este un divizor al lui .

Din , deducem ca (2).

Produsul tuturor numerelor prime p astfel incat divizand este inferior lui . Scriind ca si tinand cont de ipoteza de inductie, , deducem ca si astfel lema 2 este demonstrata.

Lema 3. Daca p este un numar prim ce divide astfel incat , atunci p apare cu exponentul 1 in descompunerea lui in factor primi.

Demonstratie. Exponentul lui p in va fi . Daca (avem n=2 in care caz lema este adevarata caci ), atunci pentru avem , de unde deducem imediat ca , de unde si astfel lema este demonstrata.

Pentru un numar real pozitiv x, prin desemnam numarul numerelor prime q astfel incat .

Lema 4. Daca p este un numar prim, astfel incat , atunci si .

Demonstratie. Din , deducem ca exponentul lui p in descompunerea lui in factori primi (care este ) verifica inegalitatea .

Daca am avea , pentru am avea si atunci . Cum pentru orice avem ar trebui sa avem ceea ce contrazice faptul ca . Deci . Pentru a demonstra partea a doua a lemei tinem cont de faptul ca in descompunerea in factori primi a lui nu pot sa apara decat numere prime , de unde deducem ca .

Lema 5. Daca , , atunci nici un numar prim p astfel incat nu poate sa divida .

Demonstratie. Daca , atunci si , deci si , de unde deducem ca . Cum pentru orice , , deducem ca . Pentru , avem si atunci pentru , deci pentru si . Rezulta astfel ca pentru , p nu divide .

Pentru n=3 sau n=4, cu necesitatea p=3 si din nou lema este adevarata caci , nu se divid prin 3.

Lema 6. Un numar prim p astfel incat apare in descompunerea lui in factori primi cu exponentul 1 .

Demonstratie. Daca , atunci si , deci si . Pentru , avem , deci pentru avem si ca si .

Deci exponentul al lui p in este 1.

Lema 7. Daca , , atunci .

Demonstratie. Se verifica imediat ca , adica lema este adevarata pentru n=14.

In sirul 1, 2 ,…, n numerele 4, 6, …, (in numar de ) sunt compuse. Pe de alta parte, pentru , sirul 1, 2, …, n contine si numerele impare compuse 1, 9 si 15, de unde deducem ca (caci ) si astfel lema este probata (observand ca pentru avem chiar .

Lema 8. Fie (sau daca nu exista astfel de numere prime). Atunci, pentru avem .

Demonstratie. Dupa felul in care am definit pe deducem ca , deci putem scrie , cu . Conform Lemei 6, daca p este un numar prim astfel incat , atunci p nu divide si prin urmare daca p este prim si , cu necesitate . Conform Lemei 5 avem chiar mai mult, , astfel ca produsul divizorilor primi ai lui va fi cel mult egal cu , iar conform Lemei 2 acest produs va fi .

Conform lemei 3 cum se vede ca exponentul unui numar prim p din descompunerea lui nu va fi >1 decat daca .

Numarul acestor numere prime va fi conform Lemei 7 (inlocuind in aceasta pe n prin , lucru posibil deoarece , de unde si ) inferior lui .

Conform Lemei 4, produsul puterilor acestor numere prime (care divid , deci si pe ) va fi cel mult egal cu , de unde deducem in final ca . (4)

Astfel, cum deducem, tinand cont de lema 1 si inegalitatea 4 ca :

, adica exact inegalitatea 3.

Lema 9. Daca , , atunci .

Demonstratie. Cum iar daca , atunci : , deducem conform principiului inductiei matematice ca lema este adevarata pentru orice .

Lema 10. Daca , , atunci .

Demonstratie. Pentru , avem si conform lemei 9 avem: .

Lema 11. Daca , , atunci .

Demonstratie. Se face inductie matematica dupa k (sau, daca tinem cont de Lema 9 mai avem de demonstrat inegalitatile pentru k=6 si k=7 care sunt adevarate).

Lema 12. Daca , , atunci .

Lema 13. Daca , , atunci .

Demonstratie. Tinand cont de Lema 8 este suficient sa demonstram ca pentru avem . Cum pentru , , conform Lemei 12 avem , de unde ridicand ambii membri la puterea deducem ca .

De asemenea, din , deducem ca si atunci conform lemei 10 avem , de unde .

Deci, pentru , si , de unde si cu aceasta lema este demonstrata.

Lema 14. Daca , atunci intre n si 2n se afla cel putin doua numere prime distincte.

Demonstratie. Daca , atunci conform definirii lui , daca in intervalul nu ar exista nici un numar prim, sau numai unul, atunci , ceea ce ar fi in contradictie cu Lema 13.

Daca n=6, lema este adevarata caci intre 6 si 12 se afla numerele prime 7 si 11.

Mai avem de demonstrat Lema 14 pentru . Acest lucru poate fi facut fie direct (utilizand un tabel de numere prime ), fie construind un sir de numere prime , , …, astfel incat , , si .

O data construit un astfel de sir (cum ar fi de exemplu sirul 7, 11, 13, 19, 23, 37, 43, 73, 83, 139, 163, 277, 317, 547, 631, 653, 1259 pentru m=16), sa vedem cum rezulta lema 14 pentru .

Primul termen al sirului , , …, nu depaseste pe n decat daca , deci .

Exista deci un indice maximal astfel incat . Atunci , si cum , intre n si 2n exista cel putin numerele prime si si cu aceasta lema este complet demonstrata.

Teorema 2. (Cebîșev). Daca , , atunci intre n si 2(n−1) avem cel putin un numar prim.

Demosntratie. Pentru n=4 si n=5 teorema este adevarata in mod evident deoarece intre 4 si 6 se afla 5 iar intre 5 si 8 se afla 7.

Pentru conform lemei 14 intre n si 2n se afla cel putin doua numere prime distincte p si q cu . Daca cel mai mare dintre acestea este , celalalt trebuie sa fie caci este par si compus pentru . Deci . Daca , cum , din deduce ca si cu aceasta Teorema lui Cebîșev este complet demonstrata.

In continuare vom prezenta cateva corolare la Teorema lui Cebîșev.

Corolar 1. Daca , , atunci intre n si 2n se afla cel putin un numar prim.

Demonstratie. Daca totul rezulta din teorema lui Cebîșev. Daca n=2 intre 2 si 4 se afla 3 , iar daca n=3 atunci intre 3 si 6 se afla 5. Astfel corolarul este demonstrat pentru orice .

Observatie: In anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrate urmatoarea generalizare a corolarului 1: Daca , , atunci in sirul n, n+1,…, n+k−1 se afla cel putin un numar admitand un divisor prim > k.

Corolarul 1 se deduce acum din acest rezultat pentru n=k+1. Aceasta generalizare a mai fost demonstrate si de I. Schur in 1929 ca si de P. Erdos in 1934.

Corolar 2. Daca , k>1, atunci .

Demonstratie. Facem inductie dupa k. Pentru k=2 avem . Daca , conform corolarului 1 exista cel putin un numar prim p astfel incat si astfel corolarul este demonstrat.

Corolar 3. Daca , , atunci in descompunerea lui in factori primi gasim cel putin un numar prim cu exponentul egal cu 1.

Demonstratie. Corolarul este in mod evident adevarat pentru n=2 si n=3 (2!=2, 3!=2∙3).

Fie acum . Daca n este par, n=2k, atunci si conform Corolarului 1 intre k si 2k=n gasim cel putin un numar prim p astfel incat . Vrem sa demonstram ca p apare cu exponentul1 in descompunerea in factori primi a lui n!. Intr-adevar, urmatorul numar din n! ce ar fi multiplu de p este 2p insa din .

Daca n este impar, n=2k+1 si din nou conform corolarului 1 intre k si 2k gasim cel putin un numar prim p (). Avem deci si si din nou ajungem la concluzia ca p apare in descompunerea lui n! cu exponent 1.

Observatie. De fapt, Corolarele 1 si 3 sunt echivalente.

Intr-adevar, mai inainte am vazut cum corolarul 1 implica corolarul 3. Reciproc, sa admitem ca cee ace afirma corolarul 3 este adevarat(adica pentru orice numar natural in n! exista cel putin un numar prim cu exponentul 1) sis a demonstram corolarul 1(adica pentru orice , intre n si 2n se afla cel putin un numar prim. Intr-adevar, fie p numarul prim ce apare in descompunerea in factori primi a lui (2n)! cu exponentul 1. Avem caci daca am avea , atunci in apar p si 2p si astfel exponentul lui p in ar fi cel putin 2. In concluzie, 2n<2p, adica n<p si cum p<2n deduce ca n<p<2n.

Deducem imediat:

Corolarul 4. Daca , atunci n! nu poate fi puterea unui numar natural cu exponentul >1.

Corolarul 5. Pentru orice , , avem inegalitatea .

Demonstratie. Pentru avem si atunci conform lemei 14 intre si exista cel putin doua numere prime distincte. Cum cele mai mici dintre aceste numere vor fi si avem .

Corolarul 6. Pentru orice , avem .

Demonstratie. Pentru k=2, 3 se verifica imediat prin calcul, iar pentru totul rezulta din corolarul precedent.

Corolarul 6. Daca , , atunci: .

Demonstratie. Daca , atunci si cum , cu necesitate si deci .

Fie p cel mai mare numar prim ≤ n+k. Atunci 2p> n+k. Conform Corolarului 1, intre p si 2p gaqsim cel putin un numar prim q, iar daca am avea , atunci , in contradictie cu alegerea lui p. Deci .

Cum , atunci si din nou conform corolarului 1, intre n si 2n exista un numar prim r. Cum , tinand cont de felul in care l-am ales pe p deducem ca . De asemenea, deoarece , avem .

Deducem de aici ca printre termenii sumei exista numai unul al carui numitor sa fie divizibil prin p. Punand pe x sub forma de fractie (cu numitorul ) se observa ca printre termenii ce dau numaratorul lui x exista unul ce nu se divide prin p. Atunci, daca scriem (cu ), p | t si p nu divide m, de unde concluzia ca .

Numere prime gemene

Daca p si p+2 sunt simultan numere prime, vom spune despre ele ca sunt gemene. Exemple: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), etc.

In 1949 a fost prezentat urmatorul rezultat legat de numere prime gemene: Pentru , n si n+2 sunt simultan prime daca si numai daca (din pacate din punct de vedere practic acest rezultat nu are nicio utilitate).

Problema principala este de a decide daca exista sau nu o infinitate de numere prime gemene.

Daca notam pentru prin = numarul numerelor prime p astfel incat p+2 este prim si , atunci Brun a demonstrat in 1920 ca exista un numar natural (efectiv calculabil) astfel incat pentru orice sa avem .

Intr-un alt articol celebru din 1919, tot Brun a demonstrat ca seria (unde suma este extinsa dupa perechile de numere gemene (p, p+2)) este convergenta sau multimea acestor numere gemene este finita. Numarul B poarta numele de constanta lui Brun iar Shanks si Wrench (in 1974) iar Brent (in 1976) au aratat ca .

Printre cele mai mari numere prime gemene cunoscute amintim si ca si (David Underbakke).

De aici rezulta ca multimea numerelor prime gemene, daca este infinita (lucru neprobat pana acum), atunci ele se apropie foarte mult unele de altele.

§.5 Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prime

Teorema 1. (Teorema fundamentala a aritmeticii)

Orice numar natural compus se scrie ca produs de numere prime, nu neaparat distincte.Scrierea este unica, facand abstractie de ordinea factorilor.

Demonstratie. Avem de demonstrat doua afirmatii, si anume:

1.Orice numar compus se scrie ca produs de factori primi;

2.Descompunerea este unica, facand abstractie de ordinea factorilor.

Vom demonstra 1).

Fie , n numar natural compus. Rezulta ca exista numar prim astfel incat , deci , . Numarul poate fi prim si problema este rezolvata sau poate fi compus si, la randul sau, se divide la un numar prim , adica cu .

Continuam procedeul pana cand si este numar prim. Notam si obtinem . Suntem siguri ca vom ajunge la o astfel de forma intr-un numar finit de pasi, avand in vedere ca si ca exista un numar finit de numere naturale mai mici decat n si mai mari decat 1.

Observatii:

a)Teorema fundamentala a aritmeticii se poate reformula astfel: Orice numar natural compus se scrie in mod unic (facand abstractie de ordinea factorilor) sub forma , unde sunt numere prime distincte, iar .

b) Scrierea de mai sus se numeste „descompunerea in factori primi” sau „descompunerea in factori” a numarului n.

Vom incerca acum sa deducem numarul divizorilor naturali ai unui numar natural. Mai intai ne amintim ca orice numar prim are exact doi divizori.

Daca , atunci multimea divizorilor lui n este , deci n are exact divizori.

Daca , atunci .

Observam ca pentru fiecare cu se scriu numerele cu .

Folosind regula produsului, deducem ca n are exact divizori.

Rezultatul se poate generaliza pentru , cu .

Daca notam cu numarul divizorilor naturali ai lui n iar cu suma divizorilor sai naturali atunci: iar .

Evaluarea p-adica a unui numar natural.

Notiunea din titlu p-adic valuation (eng); evaluation p-adique (fr.)- de altfel relativ recenta in matematica, este un mijloc sistematic si adesea eficace pentru utilizarea in toata „puterea” ei a teoremei de descompunere in factori primi. Desi nu este un panaceu (o metoda buna in orice situatie), metoda furnizata de aceasta notiune se dovedeste utila in multe demonstratii sau rezolvari de probleme de aritmetica. Pentr inceput avem nevoie de urmatoarea:

Definitie: Daca p este un numar prim , , atunci evaluarea p-adica a lui n este cel mai mare numar natural k astfel incat . Se va nota . Cu alte cuvinte, este exponentul lui p in descompunerea in factori primi a numarului n.

Exemple: .

Urmatoarele proprietati ale evaluarii p-adice sunt usor de dovedit, este nevoie doar de o oarecare abilitate in manevrarea proprietatilor operatiilor cu puteri.

P1. Daca si n se descompune sub forma , atunci pentru orice , iar daca p este distinct de , cu , atunci .

Exemple: Daca n=144, atunci , cum , avem si pentru orice numar prim ,.

P2. Daca , atunci daca si numai daca pentru orice p numar prim.

P3. Daca , atunci pentru orice numar prim p:

(i);

(ii), unde pentru se noteaza max {x,y} cel mai mare dintre numerele x, y, min {x, y} cel mai mic dintre numerele x,y, [x, y] cel mai mic multiplu comun al numerelor x, y, iar (x, y) cel mai mare divizor comun al acestor numere. Ne va fi utila observatia ca, daca , atunci .

P4. Daca si p este un numar prim, atunci:

(i)

(ii) .

Daca , atunci avem chiar egalitate.

Intr-un caz, oarecum general, se poate determina usor valoarea p-adica, si anume in cazul factorialului.

Teorema (Formula lui Legendre):

Daca p este un numar prim si , atunci .

Cum exista astfel ca si atunci , aparenta suma din membrul drept este finita, insa nu stim de la inceput „unde se termina”. Din aceasta cauza apar punctele de suspensie.

§.5 Divizori comuni a doua sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime intre ele.

Teorema 1. Fiind date doua numere , exista ( vom nota d=(a, b) ) astfel incat d | a, d | b, iar daca mai avem astfel incat si , atunci (adica in multimea partial ordonata (N, |) pentru orice doua elemente a si b exista ).

Demonstratie. Conform teoremei impartirii cu rest, putem scrie , cu , iar .

Daca atunci b | a si in mod evident d=(a,b)=b.

Daca , atunci conform aceleaiasi teoreme de impartire cu rest putem scrie , cu , iar .

Daca , atunci . Intr-adevar, din deducem ca d | b, iar din deducem ca d | a. Daca mai avem astfel incat si , atunci cum , deducem ca .

Daca , atunci din nou putem scrie , cu , si algoritmul descris pana acum continua, obtinandu-se un sir descrescator de numere naturale astfel incat . Sirul este stationar.

Astfel, daca pentru un anumit k, , atunci , pe cand, daca atunci d=1.

De exemplu: Daca a=49 si b=35 avem:

De unde deducem ca (49, 35)=7.

Daca a=187 si b=35 avem:

De unde deducem ca (187, 35)=1.

Observatii:

1.Numarul d poarta numele de cel mai mare divizor comun al lui a si b.

2. Algoritmul de gasire a celui mai mare divizor comun a doua numere naturale descris mai inainte poarta numele de algoritmul lui Euclid.

3. Daca pentru avem , vom spune despre a si b ca sunt prime intre ele.

4. Inductiv se arata ca pentru oricare n numere naturale exista astfel incat pentru orice si daca mai avem astfel incat pentru orice , atunci . Numarul d se noteaza prin si poarta numele de cel mai mare divizor comun al numerelor .

Un alt mod de a determina c.m.m.d.c a doua sau mai multor numere naturale mai mari decat 1 consta in parcurgerea urmatorilor doi pasi:

Pas 1: se descompun numerele in produs de puteri de numere prime.

Pas 2: se iau toti factorii primi comuni, o singura data, la puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei.

Exemplu:

§.6 Multipli comuni a doua sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b este cel mai mic număr care se împarte exact și la a și la b. Se notează: c.m.m.m.c al numerelor a și b sau [a;b]

1)

2) [a; b] = ma|m și b|m, oricare ar fi m', astfel încât a|m' și b|m' m'|m

Observație: Produsul a două numere naturale a și b este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c al lor: a·b = (a,b)·[a,b].

Exemplu: Fie numerele naturale 18 și 24. C.m.m.d.c. al lor este 6, iar c.m.m.m.c. este 72. Avem 18·24 = 432 = 6·72.

Capitolul II

Divizibilitatea pe

Definitie. Daca , , vom spune ca b divide a (vom scrie b | a) daca exista astfel incat (ca si in cazul lui nu vom defini, nici in cazul lui , divizibilitatea prin 0).

Evident, daca atunci si .

Numerele prime in se definesc ca fiind acele numere intregi p cu proprietatea ca , iar singurii divizori ai lui sunt . Evident, numerele prime din sunt numerele de forma , cu numar prim in .

Se verifica imediat ca daca atunci:

1)

2)Daca si , atunci (deci in relatia de divizibilitate nu mai este antisimetrica).

3)Daca si , atunci .

Teorema. (Teorema impartirii cu rest in )

Daca , b>0, atunci exista astfel incat , cu .

Demonstratie. Fie ; evident in P avem si numere naturale. Fie cel mai mic numar natural din P (cu ). Avem caci daca atunci , ceea ce contrazice minimalitatea lui r.

Observatii:

1.Putem formula teorema impartirii cu rest din si sub forma: Daca ,, atunci exista astfel incat , iar .

2.Numerele c si r cu proprietatea de mai sus poarta numele de catul, respectiv restul impartirii lui a la b, si sunt unice cu proprietatea respectiva, caci daca am mai avea astfel incat , cu , atunci , adica . Cum , daca am presupune, de exemplu ca , atunci , iar conditia implica si cum ,deducem imediat ca .

§2. Congruente pe

Definitie. Fie , un numar fixat. Vom spune ca sunt congruente modulo n daca ; in acest caz scriem .

Propozitie. Relatia de congruenta modulo n este o echivalenta pe compatibila cu operatiile de adunare si inmultire de pe (adica este o congruenta pe inelul ).

Demonstratie. Faptul ca relatia de congruenta modulo n este o relatie de echivalenta pe se probeaza imediat. Pentru a proba compatibilitatea acesteia cu operatiile de adunare si inmultire de pe , fie astfel incat si , adica si , cu . Atunci , adica si scriind deducem ca .

Corolar 1. Fie astfel incat pentru orice . Atunci si . In particular, daca astfel incat si , atunci .

Pentru vom nota prin clasa de echivalenta a lui x modulo n. Deoarece resturile impartirii unui numar oarecare din prin n sunt 0, 1,…, n−1, deducem imediat ca daca notam multimea claselor de echivalenta modulo n prin , atunci , iar pentru avem . Pe multimea se definesc operatiile de adunare si inmultire astfel: si (tinand cont de propozitia de mai sus deducem ca acestea sunt bine definite).

Propozitie. este inel comutativ in care unitatile sale sunt:

.

Demonstratie. Cum verificarea axiomelor nu ridica probleme deosebite, vom reaminti doar ca elementul neutru din fata de adunare este iar elementul neutru fata de inmultire este . Daca , atunci exista astfel incat , de unde deducem ca (x,n)=1.

Reciproc, daca si , atunci exista astfel incat , de unde deducem ca , deci .

De exemplu:

Pentru un numar natural definim iar pentru , numarul numerelor naturale astfel incat . Astfel , , etc., iar .

Functia definita mai sus poarta numele de indicatorul lui Euler. Ea a fost studiata de Euler inca din anul 1760. Notarea functiei lui Euler prin a fost facuta de Gauss in anul 1801.

Corolar. este corp n este prim.

Observatie. Daca in inelul consideram idealul a=, urmarind tehnica factorizarii unui inel (comutativ) printr-un ideal, daca am fi construit inelul factor se obtinea de fapt tot .

Fie acum , , si .

Propozitia. Ecuatia are solutie in daca si numai daca d|b; daca d|b atunci ecuatia are exact d solutii in .

Corolar. Daca n este numar prim, atunci ecuatia are solutie unica in daca si numai daca (a, n)=1 (adica, daca si numai daca n nu divide pe a).

Teoremele lui Euler, Fermat si Wilson

Lema 1. Daca G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente , atunci , pentru orice .

Demonstratie. Fie , iar (ordinul lui x). Atunci si conform Teoremei lui Lagrange , adica cu . Deducem imediat ca: .

Observatie. Daca G este comutativ exista o demonstratie elementara ce evita Teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege si . Cum

, deducem ca .

Corolar 1. (Euler) Daca este un numar natural iar astfel incat , atunci (mod n) ( fiind indicatorul lui Euler).

Demonstratie. Am vazut mai inainte ca este un monoid cu elemente inversabile. Astfel, daca aplicam lema 1 grupului (ce are elemente) pentru obtinem ca: (mod n).

Corolar 2. (Mica teorema lui Fermat) Daca este numar prim, iar astfel incat p nu divide pe a, atunci .

Demonstratie. Cum p este numar prim, si acum totul rezulta din corolarul 1.

Corolar 3. (Wilson) Daca este un numar prim, atunci (mod p).

Teorema chinezeasca a resturilor

In cadrul acestui paragraf vom prezenta sub alta forma asa zisa teorema chinezeasca a resturilor. Fie astfel incat pentru orice , , iar .

Teorema.

Sistemul are solutie in si oricare doua solutii difera printr-un multiplu de m.

Demonstratie. Daca , atunci pentru orice . Astfel exista astfel incat pentru orice . Daca notam , atunci si pentru . Daca vom considera , atunci vom avea si astfel pentru orice , de unde concluzia ca este solutie a sistemului (S).

Sa presupunem ca este o alta solutie a lui (S). Atunci pentru . Adica pentru orice , si cum pentru , deducem ca , adica .

Teoreme de reprezentare pentru numere intregi

Pentru un numar natual n, prin vom nota numarul divizorilor lui n iar prin numarul divizorilor d ai lui n cu proprietatea ca . Astfel, reprezinta numarul divizorilor de forma 4k+1 ai lui n iar numarul divizoirlor de forma ai lui n .

Conform teoremei fundamentale a aritmeticii pe n il putem scrie sub forma cu , iar .

In cadrul acestui paragraf vom da raspunsul la urmatoarele chestiuni.

P1: Pentru care numere naturale n exista astfel incat (*) .

P2: In caz ca pentru n fixat ecuatia (*) are cel putin o solutie sa se determine numarul tuturor solutiilor sale.

Observatie: Daca ecuatia (*) are o solutie in , atunci in ecuatia (*) va avea solutiile .

Aceasta observatie ne arata ca atunci cand vorbim despre numarul de solutii pentru ecuatia (*), trebuie sa specificam neaparat urmatoarele:

a)Daca este vorba de numarul de solutii din sau din ;

b)Ce intelegem prin solutii distincte? (altfel spus, daca solutiile (x,y) si (y,x) pentru sunt considerate distincte sau nu).

Pentru a nu crea confuzii vom tine cont de ordinea termenilor in cadrul solutiei (x,y) (pentru ) urmand ca atunci cand nu tinem cont de lucrul acesta sa-l mentionam expres.

Exemple:

1.Ecuatia are doua solutii in : (1,0) si (0,1) pe cand in are patru solutii: (1,0), (0,1), (−1,0) si (0,−1).

Daca nu tinem cont de ordinea termenilor concluzionam ca ecuatia are o unica solutie in , pe cand in are doua solutii.

2.Ecuatia are in o solutie unica si anume pe (1,1), pe cand in are patru solutii si anume: (1,1), (1, −1), (−1, 1) si (−1, −1).

Daca nu tinem cont de ordinea termenilor concluzionam ca ecuatia are in trei solutii.

Lema 1. Daca p este un numar prim de forma 4k+1, atunci .

Demonstratie. Scriind ca:

= deducem imediat egalitatile modulo p:

.

Conform teoremei lui Wilson , astfel ca .

Lema 2. Daca este un numar prim iar astfel incat p nu divide a, atunci exista numerele naturale nenule astfel incat la o alegere convenabila a semnelor + sau – avem .

Demonstratie. Daca , atunci si consideram multimea . Cum , rezulta ca exista doua perechi diferite , cu si .

Egalitatea este imposibila, caci in caz contrar ar rezulta ca (lucru imposibil caci ). De asemenea, egalitatea este imposibila, caci in caz contrar ar rezulta , deci , imposibil (caci ).

Deci (daca , atunci notam ) si cum , exista o alegere convenabila a semnelor + sau – astfel incat .

Cum , deducem ca si astfel numarul (care la o alegere convenabila a semnelor + si – este egal cu ) se divide prin p.

Teorema 1 (Fermat). Orice numar prim p de forma 4k+1 se poate scrie ca suma patratelor a doua numere naturale.

Demonstratie. Consideram . Evident, si .

Conform lemei 2, exista o alegere convenabila a semnelor + si – astfel incat . Atunci si conform lemei 1, , de unde deducem ca iar de aici ca , adica putem scrie cu .

Cum deducem ca , adica , deci , adica (caci ). Deducem ca si astfel teorema lui Fermat este complet demonstrata.

Corolar 1. Daca contine in descompunerea sa in factori primi numai numere prime de forma 4k+1, atunci n se poate scrie sub forma cu .

Demonstratie. Totul rezulta din teorema 1 si din aceea ca un produs finit de expresii de forma este de aceeasi forma (conform identitatii ).

Vom demonstra acum ca scrierea unui numar natural ca suma de doua patrate de numere naturale este unica, daca nu tinem cont de ordinea termenilor.

In fapt, vom demonstra un rezultat mai general:

Propozitia 1. Fie . Daca un numar natural prim p se scrie sub forma cu , atunci aceasta scriere este unica (cu conventia ca in cazul in care a=b=1 sa nu tinem cont de ordinea termenilor).

Demonstratie. Sa presupunem ca p are doua descompuneri: cu .

Atunci si cum :

deducem ca sau .

Daca , atunci din prima reprezentare a lui p deducem ca si deci , , , de unde si atunci .

Daca , atunci din a doua reprezentare a lui p deducem ca si , de unde a=b=1.

Vom avea deci si , de unde , adica si din , deducem ca (astfel ca in acest caz descompunerile se pot deosebi dor prin ordinea termenilor).

Observatii:

1.Din propozitia de mai inainte deducem ca daca numarul natural n poate fi reprezentat in cel putin doua moduri diferite ca suma de doua patrate de numere naturale (cu conditia sa nu consideram diferite descompunerile ce se deosebesc numai prin ordinea termenilor), atunci cu necesitate n nu este prim.

De exemplu, din egalitatile deducem ca numarul 2501 nu este prim.

2.Daca numarul n are doar o singura descompunere intr-o suma de doua patrate de numere naturale, nu rezulta cu necesitate ca n este prim.

De exemplu, se demonstreaza cu usurinta ca numerele 10, 18 si 45 au descompuneri unice sub forma , , si totusi ele nu sunt numere prime (se subintelege ca nu am tinut cont de ordinea termenilor).

Putem acum raspunde la chestiunea P1 formulata mai sus.

Teorema 2. (Fermat-Euler) Un numar natural n (scris sub forma ) se poate scrie sub forma cu daca si numai daca toti exponentii s din scrierea lui sunt numere pare.

Demonstratie. Revenim la scrierea lui n sub forma cu , si .

Cum iar conform teoremei 1 fiecare factor prim din scrierea lui se scrie sun forma cu deducem imediat ca se poate scrie sub aceeasi forma si aceeasi proprietate o va avea si (adica cu ).

Daca presupunem ca fiecare exponent s din scrierea lui este par, atunci in mod evident cu si atunci ,

Reciproc, fie ce se poate scrie sub forma cu si sa demonstram ca daca este cea mai mare putere a unui numar prim ce intra in descompunerea in factori primi a lui n (de fapt a lui ) atunci cu necesitate s este par. Presupunem prin absurd ca s este impar. Daca , atunci si daca notam si , , obtinem ca cu .

Conform presupunerii, s este impar iar (prin care am impartit egalitatea ) contine eventual o putere para a lui q, deducem ca si ca q nu divide simultan pe si . (sa zicem ca q nu divide ).

Privind acum egalitatea in deducem ca si cum am presupus ca q nu divide deducem ca de unde .

Cum si cum deducem ca este impar, astfel ca absurd.

Deci s este par. Rationand inductiv deducem ca toti exponentii s din descompunerea lui sunt pari si cu aceasta teorema este demonstrata.

Pentru a raspunde la chestiunea P2 de la inceputul paragrafului avem nevoie sa reamintim anumite chestiuni legate de aritmetica intregilor lui Gauss, . Se cunoaste faptul ca este un inel comutativ in care , precum si faptul ca elementele prime din sunt (pana la o multiplicare cu sau ) urmatoarele:

(i) ;

(ii)Numerele prime p din cu ;

(iii)Numere de forma cu si , unde p este un numar natural prim si .

Reamintim ca descompunerea numerelor din in factori primi este unica (in ipoteza ca nu se tine seama de multiplicarile cu si de ordinea factorilor).

Pentru definim norma lui z prin . Evident, daca cu p prim, , atunci (caci in caz contrar ).

Fie acum scris sub forma: cu , si .

Atunci descompunerea lui n in factori primi in va fi:

unde r si s variaza o data cu p si q.

Tinand cont de unicitatea descompunerii lui n de mai inainte deducem ca fiecarei reprezentari a lui n sub forma (cu ) ii corespund pentru si descompuneri de forma:

(*)

(**) cu , , si .

Observam ca factorii primi asociati lui determina in mod unic factorii primi ai lui ( si reciproc). De asemenea, fiecare pereche de numere complexe conjugate cu data de relatiile (*) si (**) de mai sus verifica egalitatea .

Observam de asemenea ca schimbarea nu afecteaza factorii reali q astfel ca iar . Pentru alegerea lui t avem 4 posibilitati (caci ). Pentru avem posibilitati de alegere (caci ) iar pentru ales, se determina din .

Analog pentru avem r+1 posibilitati de alegere (caci ) iar .

Astfel, avem un numar total de posibilitati de a asocia lui factorii primi Gauss din descompunerea lui n in factori primi (in )(unde produsul se face dupa toti primii astfel incat ).

Sa vedem cate dintre aceste asocieri sunt diferite.

Tinand cont de egalitatea , daca avem un factor atunci acesta devine astfel ca numarul cautat este de fapt (caci ).

Din cele de mai inainte deducem ca numarul total de solutii intregi ale ecuatiei este . Sa aratam acum ca .

Pentru aceasta sa observam ca numarul divizorilor impari ai lui n este egal cu numarul termenilor sumei: (***) .

Daca d | n, atunci este clar ca avem daca si numai daca in (***) este par, in caz contrar avand .

Daca inlocuim pe q cu −1 atunci produsul este zero chiar daca un singur exponent s este impar; daca toti acesti exponenti s sunt pari atunci si astfel membrul drept din (***) devine astfel ca termenii dezvoltarii acestui produs sunt exact toti divizorii lui .

Pentru a obtine fiecare termen trebuie sa fie numarat ca 1. Acest lucru este usor de realizat daca in (***) inlocuim in partea dreapta si pe p cu 1, obtinand .

Daca privim acum membrul stang al egalitatii (***) dupa ce in partea dreapta am inlocuit fiecare p cu 1 si fiecare q cu −1 este clar ca fiecare d | n, este numarat ca +1 si fiecare d | n, este numarat ca −1.

Astfel, membrul stang din (***) devine iar membrul drept , de unde egalitatea .

Sumand cele expuse pana aici obtinem urmatorul rezultat ce include si teorela Fermat Euler:

Teorema 2. Fie iar (cu , iar ) descompunerea lui n in factori primi.

Atunci ecuatia are solutie in daca si numai daca toti exponentii s din descompunerea lui sunt pari.

Numarul solutiilor din ale ecuatiei este egal cu unde este numarul divizorilor d ai lui n cu proprietatea ca , a=1,3.

1.Daca n=1, atunci si astfel ca in ecuatia va avea 4(1−0)=4 solutii.

2.Daca n=2, atunci si , astfel ca in ecuatia va avea 4(1−0)=4 solutii.

3.Daca n=5, atunci si , astfel ca in ecuatia va avea 4(2−0)=8 solutii.

4.Daca p este un numar prim de forma 4k+1, atunci exista astfel incat (cum iar , conform teoremei 2 ecuatia va avea in 4(2−0)=8 solutii.

Capitolul III

Divizibilitatea polinoamelor

§1. Proprietăți aritmetice ale inelului de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ

Teorema împărțirii cu rest pentru polinoame este fundamentală, stând la baza aritmeticii polinoamelor. Pe baza acestei teoreme se construiește algoritmul lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun pentru polinoame, se obține teorema de descompunere în factori a polinoamelor etc.

1.1. Teorema împărțirii cu rest:

Fie K un corp comutativ. Oricare ar fi f, g K[X], g 0 există două polinoame q, r K[X] astfel încât: f = gq + r, unde grad r grad g.

În plus, polinoamele q și r sunt unice satisfăcând proprietatea din teoremă.

Demonstrație: Fie f = ao + a1X + …anXn și

g = b0 + b1X + … bmXm, unde an 0 bm 0 m ≥0.

Vom demonstra că există formula din teoremă prin inducție după grad f = n.

Dacă ngrad g, luăm q = 0 și r = f.

Dacă n≥grad g, considerăm polinomul: = f – anXn-mg. Se observă că grad n și conform ipotezei de inducție există polinoamele astfel încât = g + , grad grad g.

f – anXn-mg = g + f = anXn-mg + g + , grad grad g

f = g( + anXn-m) + . Notând q = + anXn-m și r =

Obținem : f = gq + r, grad r grad g.

Demonstrăm acum unicitatea din teoremă.

Presupunem că mai există două polinoame q1 și r1K[X] astfel încât: f = gq1 + r1,

grad r1 grad g.

Atunci f = gq + r = gq1 + r1g(q – q1) = r1 – r.

Dacă q – q10, atunci grad g(q – q1) ≥grad g.

Pe de altă parte, cum grad (r1 – r)max(grad r1, grad r) grad g, obținem o contradicție.

Deci trebuie ca q – q1 = 0, adică q = q1, deci r1 – r = 0, adică r = r1.

Polinoamele q și r din teoremă se numesc câtul respectiv restul împărțirii lui f prin g.

Calculul valorii f(a) a unui polinom f K[X] într-un punct a K poate fi făcut cu algoritmul împărțirii polinoamelor.

1.2. Teorema restului: Fie K un corp comutativ, f K[X] și a K. Atunci valoarea f(a) a polinomului f în punctul a este egală cu restul împărțirii lui f prin X – a.

Demonstrație: Fie q, r K[X] astfel încât f(X) = ( X – a) q + r, grad r grad( X – a) = 1.

Rezultă că r K și f(a) = ((X – a) q + r)(a) = (a – a)q(a) + r(a) = r(a).

1.3. Corolar: Polinomul f(X) K[X] se divide cu polinomul X – a, a K dacă și numai dacă f(a) = 0.

Demonstrație: Din teorema împărțirii cu rest rezultă că f(X) = (X – a)q(X) + r, unde

q(X) K[X], r K.

Atunci X – a divide pe f(X) dacă și numai dacă r = 0, deci dacă și numai dacă f(a) = r = 0.

1.4. Relația de divizibilitate în inele de polinoame

Definiție: Fie K un corp comutativ și f, g două polinoame din K[X]. Spunem că polinomul g divide polinomul f ( sau că f este divizibil prin g sau g este un divizor al lui f sau f este un multiplu al lui g) dacă există un polinom h astfel încât f = gh. Se scrie g f.

Câteva proprietăți ale relației de divizibilitate a polinoamelor:

1. Din teorema împărțirii cu rest rezultă că g divide pe f dacă și numai dacă restul împărțirii lui f la g este zero.

2. Dacă g f și g 0 atunci grad ggrad f.

Într-adevăr, cum g f, atunci există un polinom h astfel încât f = gh.

Deoarece f 0, grad f =grad g + grad h. Dar grad h≥0 și deci grad ggrad f.

3. Polinoamele de grad 0, adică constantele nenule, divid orice polinom.

Într-adevăr, dacă a K, a 0 și f un polinom oarecare, putem scrie:

f = f = a și deci a f.

4. Dacă f este un polinom și a K, a 0 atunci af f.

Într-adevăr f = f = (af) și deci af f .

5. Relația de divizibilitate:

i. este reflexivă adică f f oricare ar fi polinomul f. Într-adevăr, f = f. 1.

ii. este tranzitivă, adică dacă f g și g h atunci f h. Într-adevăr, dacă f g, atunci există un polinom f1 astfel încât g = ff1 și cum g h există un polinom h1 astfel încât h = gh1.

Atunci h = gh1 = (ff1)h1 = f(f1h1) și deci f h.

iii. Dacă g f1 și g f2, iar h1, h2 sunt două polinoame arbitrare, atunci g | h1f1 + h2f2 .

Într-adevăr, cum g | f1 există polinomul g1 astfel încât f1 = gg1 și cum g | f2 există un polinom g2 astfel încât f2 = gg2.

Avem: h1f1 + h2f2 = h1gg1 + h2gg2 = g(h1g1 = h2g2) și atunci g | h1f1 + h2f2.

iv. Dacă g | f și f | g atunci există a K, a ≠ 0 astfel încât f = ag .

Într-adevăr, cum g | f există polinomul h1 astfel încât f = gh1 și cum f | g există polinomul h2 astfel încât g = fh2 . Dacă g = 0, atunci f = 0.

În acest caz putem alege a = 1.

Dacă f = 0 obținem g = 0. Putem presupune acum că f ≠ 0 și g ≠ 0.

Se obține: g = fh2 = (gh1)h2 = g(h1h2). Cum g ≠ 0, atunci h1h2 = 1 și deci grad(h1h2) = 0, adică grad(h1) + grad(h2) = 0.

Cum grad(h1) ≥ 0 și grad(h2) ≥ 0, avem: grad(h1) = grad(h2) = 0. Deci h1h2 = a, a K , a ≠0.

În acest caz egalitatea f = gh1 devine f = ag cu a K , a ≠0.

1.5. Definiție: Două polinoame f și g pentru care f |g și g | f se numesc asociate în divizibilitate (pe scurt asociate).

Dacă f și g sunt polinoame asociate notăm: . Rezultă din proprietățile 5 iv) și 4) că, dacă și numai dacă există a K , a ≠0 astfel încât f = ag.

1.6. Exemplu: Polinoamele f = X2 + 1 și g = 3X2 + 3 sunt asociate îi divizibilitate deoarece

f = g.

1.7. Definiție: Fie K un corp comutativ și f, g K[X] două polinoame. Un polinom d se numește un cel mai mare divizor comun( pe scurt c.m.m.d.c.) al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții:

i. d este un divizor comun al lui f și g, adică d |f și d |g.

ii. orice alt divizor comun al lui f și g divide neapărat și polinomul d(adică| f și | g, atunci| d).

1.8. Teorema 1: Fie K un corp comutativ. Dacă f și g sunt două polinoame din K[X], atunci există un c.m.m.d.c. al lui f și g.

Demonstrație: În cazul f = g = 0, conform definiției celui mai mare divizor comun, polinomul nul este un c.m.m.d.c. al lor. Așadar putem presupune f ≠0. Dacă g = 0 atunci f este un divizor comun al lui f și g deoarece f = f·1 și g = f·0. dacă este un divizor comun al lui al lui f și g atunci, este în particular un divizor al lui f. Deci f este un c.m.m.d.c. al lui f și g.

Să considerăm cazul când g ≠0. Aplicând teorema împărțirii cu rest polinoamelor f și g, găsim două polinoame q1 și r1 astfel încât f = gq1 + r1 cu grad r1<grad g.

Dacă r1 ≠0 aplicăm teorema împărțirii cu rest polinoamelor g și r1 și obținem polinoamele q2 și r2 astfel încât g = r1q2 + r2 cu grad r2<grad r1.

Repetând acest procedeu, obținem polinoamele q3, q4, …qn, … și r3, r4, …, rn, … astfel încât

r1 = r2q3 + r3, cu grad r3<grad r2,

rn-2 = rn-1qn + rn, cu grad rn<grad rn-1

rn-1 = rnqn+1 + rn+1, cu grad rn+1<grad rn

Cum grad r1 > grad r2 >…> grad rn > grad rn-1 >…, există un număr natural n astfel încât rn ≠0 și rn+1 = 0.

Cum rn-1 = rnqn+1 rezultă că rn | rn-1

Acum, deoarece rn-2 = rn-1qn + rn rn | rn-2

În continuare folosind egalitatea rn-3 = rn-2qn-1 + rn-1.

Ținând cont că rn | rn-1 și rn | rn-2 deducem că rn | rn-3. Din aproape în aproape ținând cont de egalitățile scrise mai înainte, rezultă că rn divide polinoamele | rn-1, rn-2, rn-3, …r1.

g = r1q2 + r2 și cum rn | r1 și rn | r2 rn | g

f = gq1 + r1 și cum rn | r1 și rn | g rn | f

Deci rn este un divizor comun al polinoamelor f și g. Fie acum d un divizor comun al polinoamelor f și g.

Din f = gq1 + r1 r1 = f – gq1, și cum d |f și d | g rezultă că d | r1.

Din g = r1q2 + r2 r2 = g – r1q2 și cum d | g și d | r1 d | r2.

Folosind egalitățile scrise înainte, din aproape în aproape, obținem că d divide polinoamele r3, r4, r5, …, rn-1, rn.

Deci rn (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g.

Rezumând cele demonstrate în această teoremă putem enunța următoarea regulă de obținere a c.m.m.d.c. a două polinoame care poartă numele de algoritmul lui Euclid. Pentru a obține c.m.m.d.c. a două polinoame nenule f și g împărțim pe f la g(mai exact împărțim polinomul de grad mai mare la cel de grad mai mic). Dacă restul împărțirii este zero atunci g este c.m.m.d.c.; dacă nu, împărțim pe g la restul împărțirii, pe urmă împărțitorul celei de-a doua împărțiri la noul rest ș.a.m.d. Ultimul rest nenul este c.m.m.d.c. al celor două polinoame.

Trebuie să facem observația că dacă polinoamele f și g sunt cu coeficienți numere reale(respectiv raționale), prin algoritmul lui Euclid obținem un c.m.m.d.c. al lui f și g care este un polinom cu coeficienți numere reale(respectiv raționale).

Teorema precedentă ne arată că fiind date două polinoame f și g există un c.m.m.d.c. al lor. Mai mult ne indică un procedeu de obținere a acestui c.m.m.d.c. Ne întrebăm dacă c.m.m.d.c. este unic determinat. Acest lucru este lămurit de următoarea teoremă.

1.9. Teorema 2: Fie f, g două polinoame din K[X] și d un c.m.m.d.c. al lor. Atunci:

1. Dacă a K, a 0, atunci ad este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g.

2. Invers, dacă este un c.m.m.d.c. al lui f și g există a K, a 0 astfel încât = ad.

Demonstrație:

1. Cum d | f și ad | d(din proprietatea 4.) atunci din proprietatea de tranzitivitate a divizibilității obținem ad | f. Analog obținem ad | g. Fie un divizor comun al lui f și g. Atunci, conform definiției c.m.m.d.c. avem | d. Cum d | ad | ad.ad este un c.m.m.d.c. al lui f și g.

2. Presupunem că și este un c.m.m.d.c. al lui f și g. Conform definiției c.m.m.d.c., cum d este c.m.m.d.c. al lui f și g, obținem | d. Schimbând rolurile lui d și avem d |. Cum | d și d | atunci există a K, a 0 astfel încât = ad.

1.10. Observații:

1. Teorema precedentă ne spune că c.m.m.d.c. a două polinoame f și g este unic, abstracție făcând de un factor constant nenul.

2. Teorema ne ajută ca în calculele ce le facem pentru obținerea c.m.m.d.c. a două polinoame cu coeficienți întregi prin algoritmul lui Euclid, să evităm coeficienții fracționari.

1.11. Teorema 3: Fie f și g două polinoame. Dacă d este un c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci există polinoamele u și v astfel încât d = uf + vg.

Demonstrație: Am văzut din teorema care ne dă algoritmul lui Euclid că ultimul rest nenul din algoritmul lui Euclid este c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g. Deci dacă

f = gq1 + r1

g = r1q2 + r2

r1 = r2q3 + r3

…………………

(n) rn-2 = rn-1qn + rn

(n + 1) rn-1 = rnqn+1 + rn+1

este șirul de egalități din algoritmul lui Euclid unde ultimul rest nenul este rn, atunci rn este c.m.m.d.c. al lui f și g. Din (1) obținem r1 = u1f + v1g unde u1 = 1, v1 = -q1.

Din (2) obținem r2 = g – r1q2 = g – (u1f + v1g) = –( u1q2)f + (1 – v1q2)g = u2f + v2g, unde

u2 = u1q2 și v2 = 1 – v1q2

Continuând procedeul putem să presupunem că pentru orice i (1 i n – 1) am determinat polinoamele ui, vi astfel încât ri = uif + vig.

Din egalitatea (n) avem rn = rn-2 – rn-1qn. Cum rn-2 = un-2f + vn-2g și rn-1 = un-1f + vn-1g, atunci rn = un-2f + vn-2g – (un-1f + vn-1g) qn = (un-2 – un-1 qn)f + (vn-2 – vn-1 qn)g = unf + vng, unde

un = un-2 – un-1 qn, vn = vn-2 – vn-1 qn.

Acum, dacă d este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g există a K, a 0 astfel încât:

d = arn. Deci d = a(unf + vng) = uf + vg, unde u – aun și v = avn.

1.12. Definiție: Fie f și g două polinoame. Spunem că f și g sunt prime între ele dacă 1 este c.m.m.d.c. al lui f și g.

Din teorema 2 rezultă că f și g sunt polinoame prime între ele dacă singurii divizori comuni ai lui f și g sunt polinoame constante nenule.

1.13. Observații:

1. Fie f și g două polinoame nenule și d un c.m.m.d.c. al lor. Atunci se poate scrie f = și g = . Polinoamele și sunt prime între ele. Într-adevăr, dacă este un c.m.m.d.c. al lui și , atunci deste un divizor comun al polinoamelor f și g. Cum d este un c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci d | d. Deci există polinomul astfel încât d = d = 1 și deci este un polinom constant, ceea ce ne arată că și sunt prime între ele.

2. Așa cum am definit c.m.m.d.c. a două polinoame putem defini c.m.m.d.c. a unui număr finit de polinoame. Deci, dacă f1, f2, …, fn sunt n polinoame, atunci un polinom d se numește un c.m.m.d.c. al polinoamelor f1, f2, …, fn dacă verifică următoarele condiții:

i. d | f1, d | f2, …, d | fn

ii. Dacă este un polinom astfel încât | f1, | f2, …, | fn atunci | d.

Fiind date polinoamele f1, f2, …, fn un c.m.m.d.c. al lor se calculează astfel: se determină d1 un c.m.m.d.c. al f1 și f2, apoi se determină d2 un c.m.m.d.c. al polinoamelor d1 și f3, apoi se determină d3 un c.m.m.d.c. al polinoamelor d2 și f4, procedeul continuând în mod analog, apoi se determină dn-1 un c.m.m.d.c. al polinoamelor dn-2 și fn. Polinomul d = dn-1 este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f1, f2,…, fn.

1.14.Definiție: Fie f și g două polinoame. Un polinom se numește cel mai mic multiplu comun(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții.

i. m este un multiplu al lui f și g, adică f | m și g | m;

ii. orice alt multiplu comun al lui f și g este și multiplu al lui m (dacă f | și g | atunci m | ).

Următoarea teoremă ne dă un procedeu de obținere a unui c.m.m.m.c. a două polinoame.

1.15. Teoremă: Fie f și g două polinoame dintre care cel puțin unul este nenul. Dacă d este un c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci polinomul m = fg / d este un c.m.m.m.c. al lui f și g.

Demonstrație: Cum d | f și d | g există polinoame astfel încât f = d și g = d.

În plus, polinoamele și sunt prime între ele.

Deci m = g = f, ceea ce arată că m este un multiplu comun al lui f și g.

Fie un polinom astfel încât f | și g | . Deci există polinoamele g1 și f1 astfel încât = ff1 și = gg1= df1, = dg1 df1 = dg1. Cum d 0, atunci f1 = g1. Polinoamele și fiind prime între ele, există polinoamele u, v astfel încât 1= u + v.

Înmulțim această egalitate cu g1 (de exemplu) și obținem:

g1 = u g1 + v g1 = u g1 + vf1 =( u g1 + vf1) | g1.

Deci există un polinom g2 astfel încât g1 = g2.

Cum = gg1 = gg2 = mg2 și deci m | . Deci polinomul m = este un c.m.m.m.c. al lui f și g.

§2. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom în produs de polinoame ireductibile

Polinoamele ireductibile joacă un rol important în studiul structurii unor clase largi de inele de polinoame ca și în problema rezolvării ecuațiilor algebrice.

2.1. Definiție: Fie K un corp comutativ și f K[X] un polinom de grad n > 0. Spunem că f este polinom reductibil peste corpul K dacă există două polinoame g, h K[X] de grad strict mai mic decât n astfel încât f = gh. În caz contrar spunem că f este polinom ireductibil peste corpul K.

Exemple:

1. Orice polinom de grad 1 din K[X] este ireductibil peste K.

Într-adevăr, fie f = aX + b, a 0, un polinom de grad 1, din K[X]. Dacă f este reductibil peste K există g, h K[X] astfel încât f = gh, grad g < 1, grad h < 1.

Evident g 0 și h 0, de unde grad g = grad h = 0.

Obținem 1 = grad f = grad(gh) = grad g + grad h = 0 + 0 = 0. Contradicție.

Deci f este ireductibil peste K.

2. Dacă un polinom f K[X] de grad n > 1 este ireductibil peste K, atunci f nu admite rădăcini în K. Reciproc, dacă un polinom f K[X] de grad 2 sau 3 nu admite rădăcini în K, atunci f este ireductibil peste K. Într-adevăr, dacă grad f = n > 1 și a K este rădăcină a lui f, atunci conform teoremei factorului(Bèzout) X – a f, deci există q K[X] astfel încât f = (X– a)q(X).

Cum X – a, q K[X] și grad (X– a) = 1 < n, grad q = n – 1 < n, rezultă că f este reductibil peste K. Reciproc, presupunem că f este de gradul 2 sau 3. Dacă f este reductibil peste K, atunci f admite o rădăcină în K.

Într-adevăr cum f este reductibil, există g, h K[X] astfel încât f = gh, grad g < grad f, și grad h < grad f. Cum grad f = grad g + grad h, iar grad f { 2,3} grad g = 1 sau grad h = 1. Presupunem grad g = 1 g = aX + b K[X] , a 0.

Fie c = a-1 b K. Avem: f(c) = g(c) · h(c) = (a(a-1 b) + b) · h(c) = 0 · h(c) = 0. Astfel polinomul f = X2 – 5 Q[X] este ireductibil peste Q.

Astfel, ar exista a Q astfel încât 0 = f(a) = a2 – 5 = a Q. Contradicție.

Să observăm că polinomul X2 – 5 este reductibil peste R, deoarece f = (X – )(X + ) și

X – , X + R[X].

Polinomul f = X3 + X2 + X + Z3[X] este ireductibil peste Z3. Într-adevăr grad f = 3 și f() = ≠ , f() = ≠ și f() = ≠ .

Fie K un corp comutativ și K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți în K. Vom arăta că aritmetica inelului K[X] este în esență aceeași cu cea a inelului Z al întregilor raționali.

Se știe că pentru orice număr întreg a > 1 există numerele prime pi > 0, 1 i n, unic determinate astfel încât a = p1p2 …pn, rezultat cunoscut sub numele de teorema fundamentală a aritmeticii. Un rezultat asemănător este adevărat și pentru polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ K, locul numerelor prime fiind luat de către polinoamele ireductibile.

Vom demonstra teorema de descompunere într-un cadru mai larg și de aceea vom avea nevoie de câteva definiții și proprietăți preliminarii.

2.2. Definiție: Fie R domeniu de integritate. Un element p R se numește prim dacă:

i. p ≠ 0 și p U(R)

ii. p ab p a sau p b

2.3. Definiție: Fie R domeniu de integritate. Un element q R se numește ireductibil dacă:

i. q ≠ 0 și q U(R)

ii. Dacă q = ab a sau b este ireversibil.

2.4. Definiție: Un domeniu de integritate R se numește factorial dacă orice element nenul și neinversabil din R este produs de elemente prime ale lui R.

Vom demonstra următoarea teoremă:

2.5. Teoremă: Fie R un inel factorial. Atunci inelul de polinoame R[X] este inel factorial. Pentru a demonstra această teoremă sunt necesare câteva rezultate preliminare.

2.6. Lema 1: Fie a R și f = a0 + a1X + … + anXn R[X].

Dacă a f atunci a ai, i = 0, 1, …n

Demonstrație: a f g = b0 + b1X + … + bmXm astfel încât f = ag f = ab0 + a b1X + … + a bmXm. Evident dacă f = 0 ai = 0 a ai, i = 0, 1, …n. Putem presupune că f ≠ 0 și avem că m = n și ai = abi a ai, i = 0, 1, …n.

2.7. Lema 2: Fie R un domeniu de integritate. Dacă p R este un element prim în R, atunci p este element prim în R[X].

Demonstrație: Fie f, g R[X] astfel încât p fg. Presupunem că f = a0 + a1X + … + anXn și g = b0 + b1X + … + bmXm și că p f și p g. Conform lemei 1, din p f există un ak astfel încât p ak. Alegem pe k cel mai mic număr cu această proprietate.

Deci p a0, p a1, … , p ak-1, p ak.

Analog din p g, există un 1 astfel încât p b0, p b1, …, p b1-1, p b1

Coeficientul lui Xk+1 din produsul fg este:

ck+1 = = a0bk+1 + a1bk+1-1 + … + ak-1b1+1 + akb1 + ak+1b1-1 + … + ak+1b0.

Deoarece p aibj, i ≠ k, j ≠ l și p akb1, rezultă p ck+1 și deci p fg. Contradicție.

Deci p f sau p g, adică p este prim în R[X].

Presupunem că R este inel factorial și fie f = a0 + a1X + … + anXn R[X].

Vom nota c(f) = c.m.m.d.c. al elementelor a0, a1, …, an. c(f) se numește conținutul lui f.

Dacă c(f) = 1, atunci polinomul f se numește primitiv. Se observă că putem scrie f = c(f) , unde este polinom primitiv.

2.8. Lema 3: (Gauss) Dacă R este inel factorial și f, g R[X] atunci c(fg) = c(f)c(g).

Demonstrație: Cum f = c(f), g = c(g), unde și sunt polinoame primitive, obținem fg = c(f) c(g) = c(f)c(g) c(fg) = c(f)c(g)c(). Demonstrăm că c() = 1.

Presupunem prin reducere la absurd că c() ≠ 1 există p R element prim astfel încât p c()p f. Cum p R element prim, conform lemei 2, p este un element prim în R[X], deci p sau p . Conform lemei 1, rezultă că p c() sau p c(). Contradicție cu faptul că și sunt polinoame primitive.

2.9. Lema 4. Fie R un inel factorial, f, g R[X], unde g este un polinom primitiv.

Dacă a R, a ≠ 0 și g af, atunci g f.

Demonstrație: g af există h R[X] astfel încât af = gh c(af) = ac(f) = c(h).

Dar h = c(h), unde polinom primitiv. Deci af = gc(h) , af = gac(f) și simplificând cu a, avem f = gc(f) g f.

Vom nota K corpul de fracții al domeniului de integritate R.

2.10. Lema 5: Fie R un inel factorial cu corpul de fracții K și fie f, g R[X] două polinoame primitive. Atunci f și g sunt asociate în R[X] dacă și numai dacă sunt asociate în inelul K[X].

Demonstrație: Este evident că dacă f și g sunt asociate în R[X], sunt asociate și în inelul K[X]. Invers, presupunem că f și g sunt asociate în divizibilitate în K[X] există u K[X] element inversabil astfel încât g = uf.

Din u K[X] inversabil u K, u = a / b,a, b R, a ≠ 0, b ≠ 0. Deci g = (a / b)f gb = af și conform lemei 5 avem g f și f g sunt asociate în R[X] polinoamele f și g.

2.11. Lema 6: Fie R un inel factorial și K corpul său de fracții. Fie f R[X] un polinom primitiv cu grad f 1. Atunci f este ireductibil în R[X] f este ireductibil în K[X].

Demonstrație: Presupunem că f este ireductibil în R[X] și fie f = gh, unde

g, h K[X], grad g 1, grad h 1.

Evident că putem scrie g = (a / b)g1, unde a, b R, (ab) = 1, g1 R[X].

Analog h = (c / d)h1, unde c, d R, (c d) = 1, h1 R[X].

În plus, grad g = grad g1 și grad h = grad h1, f = (ac / bd)g1h1. Cum g1 = c(g1)g´1, h1 = c(h1)h´1, unde g´1 și h´1 sunt polinoame primitive f = u g´1 h´1, unde u este un element inversabil în K .

Se deduce că f și g´1 h´1 sunt asociate în K[X].

Conform lemei 5, f și g´1 h´1 sunt asociate în R[X] adică f = v g´1 h´1, unde v U(R).

Cum grad g´1 1 și grad h´1 1 f nu este ireductibil în R[X]. Contradicție.

Reciproc, fie f polinom ireductibil în K[X] și f = gh, g, h R[X]. Cum f este ireductibil în K[X] rezultă că g este inversabil în K[X] sau h este inversabil în K[X]. Dacă g este inversabil în K[X] g K, g ≠ 0 adică g = a K. Prin urmare f = ah. Cum f este primitiv, rezultă a inversabil în R. Deci f este ireductibil în R[X].

Demonstrația teoremei: Fie f R[X] f = c(f)f0, unde f0 este un polinom primitiv.

Cum f0 K[X], iar K[X] este un inel factorial (fiind euclidian), rezultă că f0 = f1f2…fn , unde f1,f2,…,fn K[X] și sunt polinoame ireductibile.

Putem scrie evident pentru fi = gi, unde ai, bi R și gi R[X] este un polinom primitiv.

Conform lemei 6, se obține că gi este ireductibil în R[X].

În aceste condiții f0 se poate scrie sub forma f0 = g1g2…gn, unde a, b R. Cum f0 primitiv și produsul g1g2…gn este un polinom primitiv, din lema 5, rezultă că f0 și g1g2…gn sunt asociate în R[X], adică f0 = ug1g2…gn, unde u U(R).

Cum c(f) este produs finit de elemente prime în R, care sunt prime și în R[X], conform lemei 2 rezultă că f este un produs finit de elemente ireductibile în R[X].

Vom demonstra unicitatea scrierii lui f ca un produs de elemente ireductibile în R[X].

Într-adevăr, să presupunem că avem egalitatea:f = f1f2…fn = g1g2…gm, unde fi, gi R[X] sunt elemente ireductibile în R[X]. Dacă grad fi 1, atunci evident c(fi) = 1.

Se poate scrie: f = f1f2…fsfs+1…fn = g1g2…grgr+1…gm, unde

f1f2…fs, g1g2…gr R și fs+1…fn, gr+1…gm sunt polinoame de grad mai mare ca 1.

Aplicând lema lui Gauss obținem că f1f2…fs și g1g2…gr sunt asociate în divizibilitate în R. Cum R este factorial se obține r = s și făcând abstracție de o renumerotare avem gi ~ fi oricare ar fi 1 i s. Din egalitatea de mai sus se obține fs+1…fn = gr+1…gm. Din lema 6 această egalitate gândită în inelul K[X], implică m = n și gk ~ fk în K[X], oricare ar fi k = s + 1,….n. Aplicând din nou lema 5, obținem gk ~ fk în R[X], oricare ar fi k = s + 1,….n. Cu aceasta am demonstrat și unicitatea lui f ca produs de elemente ireductibile în R[X].

Capitolul IV

Aplicatii ale divizibilitatii

§1. Numere prime. Numere compuse.

1.Fie numerele prime astfel incat , . Sa se arate ca in secventa de mai sus, exista 3 numere prime consecutive.

(Baraj 2003 juniori, Vasile Berghea)

Solutie.

Vom arata ca , si . Daca , atunci toate numerele sunt impare , si atunci ar trebui sa fie impar. Insa este un numar par si deci .

Sa presupunem acum ca . Atunci , , .

Aceasta rezulta imediat tinand cont ca , daca k este un numar intreg care nu este multiplu de 3. Obtinem contradictia: .

Deci . Sa presupunem acum ca . Atunci , , (deoarece nu este multiplu de 5, conform presupunerii facute). Obtinem contradictia:

. Deci si enuntul este demonstrat.

2.Sa se rezolve ecuatia , p si q fiind numere prime.

(Olimpiada Rusia, 1999)

Solutie.

Vom folosi observatiile evidente , , . Evident ca nu este solutie pentru problema noastra. Daca , , atunci . Aceasta este o contradictie caci restul impartirii lui la 7 nu poate fi decat 0,1,2 sau 4. Deci , si =. Deci p este multiplu de 7. Fiind numar prim, deducem ca si , .

Deci singura solutie a problemei este , .

3.Sa se determine numerele prime a si b, pentru care si sunt, de asemenea, prime.

Solutie.

este impar, deci a=2 (sau b=2). Din si prime rezulta b=2 sau b=3. Pentru avem sau .

4.Stiind ca si sunt prime, sa se arate ca este, de asemenea, prim.

Solutie.

este impar. Daca rezulta , deci . Daca si rezulta . Deci . Rezulta . Daca , rezulta si . Deci , care este prim si care este, de asemenea, prim.

5.Sa se determine , pentru care toate numerele sa fie prime.

Solutie.

Notand cu numerele date, se verifica usor ca pentru cel putin unul dintre ele este compus. Pentru toate numerele sunt prime. Fie . Daca , este compus. Daca , este compus. Daca , este compus. Daca , este compus, iar pentru cu , numarul este compus. Deci .

6.Exista numere prime distincte astfel ca , si ? Dar daca 10 se inlocuieste cu 11?

Solutie.

Fie . Din si , rezulta . Cum , rezulta . Deoarece , rezulta si deci p=2. Din , rezulta contradictia . Inlocuind 10 cu 11, dupa p=2 si , urmeaza si se gasesc care verifica conditiile.

7. Sa se gaseasca toate numerele prime p pentru care este numar prim.

Solutie.

Pentru avem ca: , si deci este compus. Avem ca , si deci singura solutie a problemei este .

8.Care este cel mai mare numar de numere prime printre 10 numere consecutive?

Solutie.

Fie numerele consecutive . Pentru avem patru numere prime. Pentru k=1 exista cinci numere prime. Fie Cinci dintre numere sunt pare si deci compuse , iar din trei numere impare consecutive unul este multiplu de 3 si deci este compus. Asadar pentru cel mult patru dintre numere sunt prime. Raspunsul este deci 5 si k=1.

9.Sa se determine numerele naturale care nu pot fi scrise ca suma a doua numere compuse.

Solutie.

Aratam ca pentru , n se scrie ca suma a doua numere compuse. Daca , , avem scrierea . Daca , , avem . Prin verificare se arata ca numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11 nu pot fi scrise ca suma a doua numere compuse.

10.Daca , , atunci nu este prim.

(OIM 1969)

Solutie.

, .

Prima inegalitate de mai sus este stricta daca . Daca , numarul este evident compus.

11. Sa se descompuna in factori primi 104060401.

Solutie.

Avem ca , , , ceea ce ne arata calea pe care trebuie sa o urmam.

104060401= ; aceasta este descompunerea cautata.

12. Fie numarul cu n cifre de 1. Sa se determine numerele n pentru care este prim.

Solutie.

Avem .

Atunci si cum pentru avem si , adica este compus. Pentru avem . Numerele , sunt naturale si mai mari ca 1, deci este compus. Singurul; numar prim este .

13.Daca n se scrie in doua moduri ca suma de doua patrate perfecte, atunci n este compus.

Solutie.

. Daca a si b au aceeasi paritate, n este par, deci compus. Deci a si b, respectiv c si d sunt numere naturale distincte cu paritati diferite. Fie a si c pare, b si d impare. Avem , . Rezulta , , , si deci , si .

14.Sa se arate ca dintre trei numere consecutive mai mari ca 7, cel putin unul are doi factori primi distincti.

Solutie.

Fie numerele . Daca sau , unul dintre numere are factorii 2 si 3.

Daca , avem si . Aratam ca nu putem avea simultan , cu .Avem si cum , rezulta ca este par. si deci si de aici , si deci , adica . Rezulta si apoi ceea ce contrazice .

Daca numerele sunt . Daca si cu , rezulta si deci , adica , . Rezulta si deci , si apoi , adica si de aici contradictie cu .

Daca , numerele sunt .Cum si nu pot fi ambele puteri ale lui 2, se obtine din nou contradictie.

15.Daca sunt prime si , sa se arate ca r este compus.

(Baraj 2004)

Solutie.

Presupunem ca r este prim. Rezulta imediat ca . Atunci unul dintre numerele si este 2, de exemplu (de aici rezulta ). Daca n este par, avem . Deci si deci . Rezulta ca . Avem si deci .

Am obtinut o contradictie, caci se arata imediat prin inductie ca . Daca n este impar, din rezulta , adica si deci , adica si deci . Asadar , ceea ce nu convine. Deci ecuatia nu are solutii daca r este prim. Asadar r este compus.

16.Sa se arate ca exista o infinitate de numere naturale a, astfel incat numerele si sa fie compuse pentru orice n natural.

Solutie.

Luam ; .

Cum , rezulta ca este compus. . Numarul este par, deci daca a este par si , este par si . Deci este compus. Vom lua cu , si deci .

17.Sa se determine cel mai mic numar natural a, astfel incat pentru orice , numerele sa fie prime.

Solutie.

Avem si deci a este prim. Daca , atunci si deci este compus. Daca . Asadar .Avem si deci este necesar ca 11 sa nu divida pentru orice . Avem si deci este necesar ca sa nu se divida cu 11. Rezulta si deci . Cum a este prim, rezulta .

Pentru avem . Pentru avem .

Pentru avem . Pentru numerele sunt toate prime. Asadar a minim este 199.

18.Sa se determine cel mai mare numar natural care nu poate fi scris in cel putin zece moduri ca suma de doua numere compuse (nu se face distinctie intre si ).

Solutie.

Fie numarul numerelor prime mai mic sau egale cu n. Vom demonstra urmatoarea:

Lema. pentru orice .

Demonstratie. Vom utiliza inductia. Avem si .

Daca , atunci .

Daca , atunci si demosntratia este incheiata.

Revenind la problema vom arata ca orice numar se poate scrie in cel putin 10 moduri, ca suma de doua numere compuse. Avem:

, adica 12 scrieri;

are 10 scrieri.

Fie acum si numere compuse mai mici sau egale cu n. Avem . Dintre numerele , unul poate fi 1, cel mult sunt prime si deci cel putin sunt compuse. Cum , rezulta ca cel putin sunt compuse. Vefacand distinctie intre scrierile si , obtinem cel putin 10 scrieri distincte.

In concluzie, numarul cautat este 51. Se arata cu usurinta ca sunt doar noua scrieri pentru , si anume: .

19.Gasiti intregii pentru care toate numerele naturale, care se scriu cu cifre 1 si o cifra de 7, sunt prime.

(Propusa OIM, 1990)

Solutie.

Raspunsul este si , numerele fiind 7, 17 si 71. Pentru construim un numar cu n cifre, in conditiile date, care este compus. Pentru suma cifrelor numarului este si deci orice numar se divide cu 3.

Amintim criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13. Pentru , se divide cu 7, 11 sau 13 daca se divide cu 7, 11 sau 13. Avem cazurile:

a). Numarul se divide cu 7 deoarece

b). Numarul se divide cu 13 deoarece:

c). Numarul deoarece

d). Numarul se divide cu 7 deoarece:

.

20.Descompuneti numarul in trei factori mai mari ca .

(Propusa OIM, 1985)

Solutie.

Fie si avem .

Cum ramane sa descompunem : .

Cum cu , avem:

si factorii sunt mai mari ca .

21.Sa se determine , daca numarul este prim.

Solutie.

Daca , atunci sau si .Convine doar si .

Presupunem ca . Atunci: , unde , impar.

De aici deducem ca este multiplu de deoarece .

Cum , obtinem ca nu este prim.

Daca este compus.

Daca , (pentru )

Deci si deci este compus. si deci este solutie a problemei.

Am aratat ca singurele solutii ale problemei sunt si .

§2. C.m.m.d.c si C.m.m.m.c

1.Sa se demonstreze ca fractia este ireductibila pentru orice numar natural n.

Solutie.

Trebuie aratat ca . Aceasta rezulta imediat din egalitatea −=1 si din faptul ca divide .

2.Sa se demonstreze ca sirul contine o infinitate de numere prime intre ele doua cate doua.

(OIM, 1971).

Solutie.

Construim prin inductie secventa cautata: , , , . Presupunem ca am construit numerele naturale astfel incat .

Fie . Consideram numerele si resturile impartirii lor la m. Deducem ca exista astfel incat (aceasta deoarece avem m+1 resturi din multimea . Deoarece este impar , rezulta ca divide . Alegem , unde este ales astfel incat . Deoarece , deducem ca restul impartirii lui la este . Deci si de aici rezulta pasul de inductie.

3.Sa se determine numerele naturale nenule a si b daca .

Solutie.

Din , , rezulta . Pentru d=1 rezulta si deci . Pentru d=2 si d=3 nu avem solutii, iar pentru d=4 rezulta . Perechile sunt .

4.Sa se determine numerele naturale a,b,n pentru care avem si .

Solutie.

Fie , , . Rezulta si , adica . Cum , rezulta cu . Rezulta de aici si si apoi . Cum nu este divizibil cu 3 si , avem si deci cu .

Daca , rezulta si contradictia . Asadar, x este impar. Analog, se arata ca x nu se divide cu 5 si B nu se divide nici cu 2, nici cu 5. Cum , rezulta si . Deci sau .

5.Daca suma a trei numere naturale este egala cu cel mai mic multiplu comun al lor, atunci unul dintre numere este egal cu suma celorlalte doua.

Solutie.

Fie si deci si din rezulta cu . Daca , rezulta si deci contradictia .Asadar si deci . Avem deci .

Fie . Avem , deci si deci . Rezulta , si deci si .

6.Sa se determine numerele naturale a,b,c pentru care , , .

Solutie.

Avem , cu . Rezulta si . Fie . Avem si deci . Fie . Rezulta (1) si 7 nu divide (2). Daca , din (1) rezulta . Daca 5 nu divide , din rezulta . Asadar . Din (1) rezulta , adica si deci .

Fie si . Din (1) avem si deci . Avem solutia si permutarile ciclice.

7.Daca sunt numere naturale nenule si este impar, sa se arate ca .

Solutie.

Evident si . Fie . Avem , cu impar. Daca , avem si , adica si . Ridicam egalitatile la puterile , respectiv . Rezulta , adica si deci . Asadar .

8.Fie . Sa se afle cel mai mare divizor comun al numerelor .

Solutie.

Avem , si deci 5 nu divide . Aratam ca .

Avem .

9.Fie numar natural si , pentru orice . Sa se arate ca pentru orice avem .

Solutie.

Presupunem ca exista prim .

Avem si de aici , . Rezulta , si deci .

Cum , rezulta contradictia . Deci .

10. Fie , . Sa se arate ca exista o infinitate de astfel incat .

Solutie.

Rezultatul este o consecinta imediata a teoremei lui Dirchlet, privitoare la numerele prime din progresiile aritmetice, in care ratia si primul termen sunt prime intre ele. Exista insa o demonstratie elementara pe care o prezentam in cele ce urmeaza. Este suficient sa demonstram ca un astfel incat , caci atunci .

Fie , , unde , sunt toate numerele prime ce apar in descompunerea lui si .

Consideram si aratam ca . Sa presupunem ca n-ar fi asa si fie un numar prim astfel incat si .

Cazul I: . Tinand cont de definitia lui , rezulta ca nu divide pe . Dar si implica contradictia .

Cazul II: nu divide . Cum , din constructia lui rezulta . Din si , obtinem . Dar este prim si nu divide pe , ceea ce implica . Am obtinut contradictia .

11.Fie un sir de numere naturale nenule. Notam , pentru orice . Daca sirurile sunt progresii geometrice si exista trei termeni consecutivi ai sirului in progresie geometrica, atunci sirul este o progresie geometrica.

Solutie.

Avem si deci sirul este o progresie geometrica cu ratia . Din , rezulta si . Exista astfel incat .

Pentru avem , adica si deci .

Pentru avem si deci si avem de asemenea . Calculam .

Pentru avem .

Pentru avem .

Asadar, este o progresie geometrica de ratie . Se arata usor ca si deci .

12. Fie numere naturale cu si pentru orice . Sa se arate ca .

Solutie.

Pentru , si nu au multipli comuni . In caz contrara am avea . Numarul multiplilor lui care nu il depasesc pe este .

Rezulta de aici ca si deci .

Rezulta deoarece .

13. Fie numerele naturale . Sa se arate ca .

Solutie.

Vom demonstra prin inductei. Pentru n=1 avem , deci .

Daca , avem si din ipoteza de inductie rezulta

. Fie . Deoarece si , avem .

14.Daca sunt numere naturale nenule, sa se arate ca daca , avem:

.

Solutie.

Presupunem prin absurd ca , adica si (1). Aratam ca . Presupunem ca exista numar prim cu si . Din relatiile (1) rezulta si apoi contradictia si . Asadar, si de aici , ceea ce este imposibil, deoarece .

§3.Divizibilitate

1.Sa se gaseasca cifra astfel incat numarul sa fie divizibil la 7, 11, 13, 37.

Solutie.

Notand b=7 sau 11, sau 13, avem ca . Daca b=7, deducem ca si deci a=3. Daca b=11, rezulta ca si deci a=7. Pentru b=13, obtinem si a=6. Avem ca . Conditia este satisfacuta doar daca . Insa nici un numar din multimea nu are aceasta proprietate si deci nu se divide cu 37.

2.Sa se determine cel mai mic numar pentru care fractia se simplifica.

Solutie.

Din si rezulta si , deci . Din si rezulta si si de aici . Din si rezulta si . De aici si cum 59 este prim, rezulta si n minim este 45.

3.Daca si , atunci fractia este ireductibila.

Solutie.

Presupunem ca exista prim cu si .

Rezulta .

Rezulta apoi .

In sfarsit se obtine contradictia din: .

4.Daca m si n sunt numere naturale nenule si se divide cu 5, atunci se divide cu 5.

Solutie.

Aratam mai intai ca m si n au aceeasi paritate. Daca si avem:

Daca si avem:

Fie acum n si m de aceeasi paritate. Avem:

5.Sa se arate ca orice numar natural prim cu 10 admite un multiplu format numai cu cifre de 1.

Solutie.

Fie . Aplicam teorema impartirii cu rest. , . Din cele n+1 resturi doua sunt egale: ; . Prin scadere obtinem si cum .

6.Daca este numar prim si atunci .

Solutie.

Avem: .

7.Sa se arate ca pentru , impar, avem ca divide .

Solutie.

Trebuie sa aratam ca , . Avem ca: si

.

Cum , rezulta .

8.Sa se gaseasca numerele pentru care .

(Baraj 2005)

Solutie.

Daca este impar si , atunci . Daca cumva , atunci .Aceasta este o contradictie, caci . Deci singurul numar impar care este solutie a problemei este . Presupunem ca este par; , 2 nu divide . Aratam prin inductie ca . Pentru , este clar ca . Presupunem ca .

Atunci . Avem deci , (s-a folosit imparitatea lui t). Rezulta . Insa , ultima inegalitate fiind adevarata pentru . Deci nu avem solutii cu .

Pentru avem pentru . Deci, in acest caz, singura solutie este .

Pentru avem pentru . Deci este singura solutie in acest caz. Am aratat ca solutiile sunt .

9.Determinati un numar n care are exact 2005 divizori primi distincti si pentru care .

(prelucrare OIM, 2000)

Solutie.

Definim si pentru , , , unde este un divizor prim diferit de 3 al lui . Numarul cautat va fi . Avem ca este impar si divizibil cu 3, . Deci si . Cum avem ca :

.

Din cele de mai sus rezulta ca exista un divizor prim al lui . Prin inductie se arata ca . Pentru este evident, caci . Daca , atunci:

si cum , deducem .

Mai trebuie aratat ca numarul de divizori primi ai lui este .

Aceasta este echivalent cu a arata ca nu divide . Daca , cum , atunci si . Cum , obtinem contradictia .

10.Sa se arate ca oricare ar fi m si n naturale, numarul nu divide pe .

Solutie.

Pentru proprietatea este adevarata. Daca , si cum , rezulta ca . Un numar de forma are un factor prim de forma . Cum , rezulta ca nu are un factor prim de forma si deci enuntul se verifica.

11.Daca sunt numere naturale nenule cu si , sa se calculeze a si c.

Solutie.

Rezulta imediat ca au aceeasi factori primi, si cum , factorii primi sunt 2 si 3. Fie . Din rezulta : (1) , (2).

Din rezulta: (3), (4), iar din rezulta (5), (6).

Din (1) si (5) prin inmultire avem si tinand seama de (3), rezulta si deci . Analog se arata ca .

Cum , rezulta , si si deci , . Avem deci , cu . Astfel, avem: si deci si deci (*). Din deducem (**) si inmultind (*) cu (**) avem si deci . Avem si deci , unde si .

12.Fie numere intregi . Se presupune ca . Sa se arate ca numarul nu este prim.

(OIM, 2001)

Solutie.

Relatia se scrie: .

De aici avem: .

Daca si este prim, atunci:

1) sau 2).

1)Deoarece , rezulta si deci sau , adica sau . Dar si . Am obtinut o contradictie.

2)Avem inegalitatile , adica si cum , rezulta .

Pentru ca este prim, rezulta si din egalitatea precedenta deducem . Deci si am obtinut din nou o contradictie.

13.Sa se gaseasca toate numerele naturale cu proprietatea ca si .

(OIM, 1992)

Solutie.

Deoarece , deducem ca avem . Daca numerele satisfac conditiile din enunt si , atunci .

Singura posibilitate este ca . Aceasta ultima egalitate conduce la egalitatea care este contradictorie (deoarece ). Deci . Daca , deducem ca . Pentru , avem ca (ultima inegalitate este echivalenta cu ); pentru , avem si ). Deci pentru singura posibilitate pentru ca sa fie numar natural este aceea ca (valoarea 1 este exclusa, conform consideratiilor precedente). Din ultima egalitate rezulta ca , ceea ce este imposibil. Deci si cum este par (caci divide numarul impar ), deducem ca . Avem ca .

Daca , se arata la fel ca mai sus ca pentru . Avem . Cum este impar (caci ), rezulta , (deoarece este impar, ).

Pentru se arata la fel ca mai sus ca pentru . Deci in acest caz nu avem solutii, caci nu poate fi 1 (conform unei observatii precedente).

Concluzia tuturor consideratiilor precedente este ca singurele solutii ale problemei sunt: .

14.Fie , toti divizorii naturali ai lui si . Sa se arate ca si sa se gaseasca acele numere pentru care .

(OIM, 2002)

Solutie.

si

.

Am folosit mai sus faptul ca . Pentru cea de-a doua parte a problemei, sa observam ca numerele prime satisfac proprietatea indicata. Intr-adevar, in acest caz, . Vom arata ca doar numerele prime au aceasta proprietate. Fie un numar care nu este prim si aratam ca nu divide . Sa presupunem ca . Deci (deoarece am aratat anterior ca ).

, deoarece ( n nefiind prim). Din inegalitatile precedente rezulta .Fie un numar prim care divide pe . Din deducem ca . Insa si obtinem o contradictie cu definitia lui , care este cel mai mic divizor supraunitar al lui .

15.Fie numere intregi pentru care este numar intreg. Sa se arate ca exista o infinitate de numere naturale astfel incat este numar intreg.

(Baraj, 1990)

Solutie.

Aratam ca numerele au proprietatea din enunt. Pentru aceasta vom arata prin inductie ca:

1) ;

2) .

Facem verificarea pentru . Afirmatia 1) este evidenta.

Din , deducem ca este intreg, adica afirmatia 2) pentru .

Sa presupunem ca afirmatiile 1) si 2) sunt adevarate pentru si sa le demonstram pentru .

Avem: tinand cont de ipoteza de inductie. Avem: si:

.

Din deducem ca si din formula precedenta (tinand cont ca ), rezulta afirmatia 2) pentru .

16. Produsul divizorilor naturali ai numărului natural n este egal cu . Scriind divizorii numărului n în ordine crescătoare , arătați că are cel puțin 11 cifre.

(Problema originala)

Solutie.

Numarul natural n are un numar k de divizori, unde .

, numarul n are 1296 divizori.

Atunci , deci are cel puțin 11 cifre.

17.Aratati ca pentru orice , numarul este compus.

Solutie.

se divide cu cel putin unul dintre numerele 3,5,7,13,19,37,73 si anume: daca par, , daca , ; daca ; daca . Pentru cazul se considera subcazurile:

a) pentru care ;

b) pentru care ;

c) pentru care .

18.Sa se gaseasca un factor cuprins intre 1000 si 5000 al numarului .

Solutie.

In identitatea pentru , si . Calculam si obtinem:

, adica exact numarul din enunt. Din identitatea de mai sus deducem ca un factor al acestui numar este . Se poate deduce usor in acest moment ca descompunerea in factori primi a lui este: .

19.Fie si naturale, . Sa se arate ca numerele si nu sunt intregi.

Solutie.

Avem cu si

.

Deoarece , avem si deci , adica . Avem de asemenea . Pentru impar:

si deoarece .

Pentru par avem:

.

Cum si , rezulta .

20.Sa se determine daca exista astfel ca se divide cu .

Solutie.

Avem .

Pentru avem . Pentru avem . Pentru si avem de asemenea o contradictie,

.

Este suficient sa aratam ca . Aceasta se arata imediat prin inductie dupa . Deci sau .

21.Sa se gaseasca astfel incat , si .

(OIM, 1977)

Solutie.

Ecuatia data este echivalenta cu: .

Insa si deci , . Deci , . Insa si deci ,.

Daca , atunci si am obtinut o contradictie.

Daca , avem ca . Cum si sunt impare, avem ca , ,.

Dar , . Deci .

Daca , avem ca si . Daca , avem ca , contradictie.

Deci si . Avem . Cum este prim, exista si numere naturale unice, astfel incat . Se arata usor ca si si ca si . Avem de asemenea si .

22.Fie . Sa se calculeze numarul de perechi pentru care .

Solutie.

Fie , prim, . Vom arata ca numarul cautat este . Fie o solutie a ecuatiei din enunt.

Avem , .

Avem ca si la fel se arata ca .

Deci si .

De aici rezulta imediat ca numarul de solutii este .

23. Fie si toti divizorii lui scrisi in ordine crescatoare. Sa se afle toate numerele pentru care .

Solutie.

Daca ar fi impar, atunci ar fi impare si ar fi par; contradictie. Deci este par si . Daca cumva , atunci sau ar fi egale cu 4, si trecand in egalitatea la o congruenta mod 4, deducem contradictia . Deci neaparat 4 nu divide . Aceasta ne arata ca este un numar prim impar . poate fi ori ori un numar prim impar . Aceasta din urma alternativa este imposibila, caci in acest caz ar rezulta ca este impar. Deci si . Cum , rezulta ca . Se verifica imediat ca 130 este solutie si din cele de mai sus rezulta ca este singura.

24.Gasiti numerele naturale cu proprietatile:

i) are exact 16 divizori .

ii) .

(OBJ, 2002)

Solutie.

Daca este impar, atunci este par si se obtine contradictia . Asadar este par si deci . Deoarece rezulta .Cum divide pe , rezulta ca este un divizor al lui si deci .Daca , rezulta ca . sunt divizori ai lui si sunt numere consecutive, deci , adica . Rezulta si deci . Am aratat ca si deci , . Rezulta si deci se obtine contradictia .Ramane deci numai cazul . Numerele cu 16 divizori au formele: a) ; b) ; c) ; d) ; e) , unde sunt numere prime distincte.

In cazul nostru, unul dintre factori este 2. Aratam ca 4 nu divide . Sa presupunem ca . Atunci sau . Daca , atunci , ; contradictie (caci ). Sa presupunem ca .Daca , atunci ; contradictie. Deci este un numar prim impar si este, de asemenea , numar prim impar. Suntem in cazul . Deci , , Avem ; contradictie. Deci 4 nu divide si este impar (daca atunci unul din numerele si este divizibil cu 4; am vazut ca acest lucru nu este adevarat). Din cele 5 cazuri posibile pentru este evident ca a) si c) nu pot avea loc (deoarece si 4 nu divide ).

Cazul b) poate avea loc doar daca prim, . Dar in acest caz ; ultima relatie este imposibila caci am observat ca trebuie sa fie impar. Daca are loc cazul d), atunci , unde p si q sunt numere prime impare distincte. Daca , atunci , (deoarece este impar), ; contradictie. Daca , atunci , , atunci . Pentru obtinem contradictia prim. Deci p=3 si q=11. Am obtinut contradictia . Daca , atunci . Dar este un divizor al lui si am obtinut o contradictie. Deci singurul caz posibil este e), , unde sunt numere prime distincte. Avem (deoarece este impar) si . Cum nu divide , 2 nu divide , deducem ca .

Avem si deci , si fiind prime . Daca , atunci ,, ; contradictie (caci ). Daca , atunci . Deoarece , rezulta . Cum , deducem ca . Se verifica imediat ca are proprietatile din enunt. Din cele de mai sus rezulta ca este singurul numar cu proprietatile din enunt.

25.Sa se arate ca daca , atunci numarul are mai mult de 10 divizori supraunitari.

Solutie.

Pentru cu numere prime distincte si , numarul divizorilor este .

Notam si avem .

Rezulta .

Avem , unde este impar si .

Daca are un divizor prim diferit de 7, atunci are cel putin divizori.

Daca , atunci si are mai mult de divizori. Asadar are cel putin 11 divizori supraunitari.

26.Fie p si q doua numere prime distincte. Sa se arate ca existe numerele naturale nenule a si b, astfel incat media aritmetica a divizorilor numarului sa fie numar intreg.

(Baraj, OIM, 2002)

Solutie.

Numarul divizorilor este iar media aritmetica este :

. Daca p si q sunt impare, atunci putem alege a=b=1 si avem . Daca p=2 si q este impar, alegem si si avem . Cum , rezulta . Daca p este impar si q=2, alegem si a=p.

27. Determinati cel mai mic numar natural care are exact 144 de divizori si se divide cu 10 intregi consecutivi.

(OIM, 1995)

Solutie.

Numarul cautat se divide cu si deci cu .

Numarul divizorilor este . Pentru avem contradictia , deci . Scrierile convenabile ale lui 144 sunt:

.

Numarul minim este si se divide cu .

28.Fie si , toate numerele prime cu n mai mici decat n. Sa se arate ca numerele formeaza progresie aritmetica, daca si numai daca .

(OIM, 1991)

Solutie.

Daca sau numar prim, se verifica imediat ca formeaza progresie aritmetica. Daca , atunci . Daca , atunci . Putem presupune deci ca si ca formeaza progresie aritmetica. Daca se arata imediat ca n este prim. Daca atunci . Presupunem ca (de fapt ). Deoarece , rezulta ca si ca 3 nu divide . . Cum , rezulta ca 3 nu divide si deci . Dar , . Deoarece , din ultima relatie rezulta . Contradictie, caci .

§4.Divizibilitatea polinoamelor

1. Se consideră polinomul cu coeficienți întregi P(X)=aX2+bX +c

Să se arate că dacă pentru orice număr întreg m, restul împărțirii lui P(X) la X-m este multiplu de 3, atunci numerele a,b,c se divid prin 3.

Soluție:

Restul împărțirii prin X – m este r = P(m) = am2 + bm + c.

Dacă pentru orice m, am2 + bm + c = 3k, atunci trebuie să fie adevărat și pentru m {0; 1; 2}.

Dacă m = 0, atunci c = 3k, deci 3 / c. Putem scrie c = 3q, q Z

Pentru m =1 a + b + 3q = 3k, k Z

Pentru m = 2 rezultă 4a + 2b + 3q = 3k, k Z

Rezolvând sistemul a + b + 3q = 3k se obține:

4a + 2b + 3q = 3k

a = –3 (k – a/2) și b = 3(k – p – q) a și b se divid prin 3.

2. Fie polinoamele P(X) = X4 – aX3 – aX2 + (a2 – 2)X – 2a + 12 și

Q(X) = m(X4 – 4X3 + 14X + 4) – n(X4 – 3X3 – 3X2 + 7X + 6)

a. Să se determine a R, astfel încât (X – 2) | P(X);

b. Să se determine cele mai mici numere naturale m și n pentru care (X + 2) | Q(X).

Solutie.

a. (X – 2) | P(X) P(2) = 0 24 – a 23 – a 22 + (a2 – 2) 2 – 2a + 12 = 0

16 – 8a – 4a + 2a2 – 4 – 2a + 12 = 0 2a2 – 14a + 24 = 0 a2 – 7a + 12 = 0

= 49 – 48 = 1

a1,2 = a1 = 4, a2 = 3

deci a 3, 4.

a. (X + 2) | Q(X) Q(– 2) = 0 m(16 + 32 – 16 – 28 + 4) – n(16 + 24 – 12 – 14 + 6) = 0

Atunci: 8m – 20n = 0 | 4 2m – 5n = 0 m = N 5n 2, dar (5, 2) = 1 n 2, n cel mai mic număr natural n = 2

m = m = 5; deci m = 5, n = 2.

3. Dacă n este un număr par, să se arate că X + 1 divide polinomul

(X – 1)n – (X + 3)n, dar (X + 1)2 nu divide pe (X – 1)n – (X + 3)n

Solutie.

Notez P(X) = (X – 1)n – (X + 3)n

P(– 1) = (– 1 – 1)n – (– 1 + 3)n = (– 2)n – 2n = 2n – 2n = 0

P(X) (X + 1) (X + 1) | P(X). Cum n este par, rezultă: n = 2K, K N

P(X) = (X – 1)n – (X + 3)n = [(X + 1) – 2]n

P(X) = (X + 1)n – Cn1(X + 1)n-1 2 + Cn2(X + 1)n-2 22 – … – Cnn-1(X + 1) 2n-1 + 2n – [(X + 1)n + +Cn1(X + 1)n-1 2 + Cn2(X + 1)n-2 22 + … + Cnn-1(X + 1) 2n-1 + 2n]

P(X) = (X + 1)n – Cn1(X + 1)n-1 2 + Cn2(X + 1)n-2 22 – … – Cnn-1(X + 1) 2n-1 – 2n

P(X) = – (X + 1)[ Cn1(X + 1)n-2 22 Cn3(X + 1)n-4 24 + … + Cnn-1 (X + 1)0 2n]

(X + 1)2 P(X)

4. Arătați că polinomul P(X) se divide cu Q(X), oricare ar fi n N.

a. P(X) = (n + 1) Xn+2 + (2n + 1) Xn+1 + n(Xn – X) – n, Q(X) = X + 1

b. P(X) = aXn+1 + (b + 2a)

c. P(X) = nXn+2 – (n + 1)(Xn+1 – Xn-1) – nXn, Q(X) = X2 – 1

Solutie.

a) P(–1) = (n + 1)( –1)n+2 + (2n+ 1)( –1)n+l + n[(–1)n – (–1)] – n =

(n + 1)( –1)n+2 + (2n + l)( –1)n+l + n(–1)n + n – n =

(–1)n [(n +1)( –1)2 + (2n + l)( –1) + n] =

(–1)n (n + 1– 2n – 1 + n) =

(–1)n 0 = 0, n N P(X) se divide cu Q(X), n N

b) P(–2) = a(–2)n+1 + (b + 2a)( –2)n + 2b(–2)n-1 + (–2) + 2 =

(–2)n-1[a(–2)2+ (b +2a)(-2)+ 2b ] =

(–2)n-1(4a – 2b – 4a+ 2b ) =

(–2)n-1 0 = 0 n N

Deci, P(X) se divide cu Q(X), n N

c) X2 – 1 = (X + 1)(X – 1)

P(1) = n – (n+ 1)(1n+l – 1n-l )-n 1n =

n – (n + 1 )(1– 1) – n =

n – n = 0

P(X) se divide cu X – l

P(–1) = n(–1)n+2 – (n + l)[( –1)n+1– (–1)n-1] – n(–1)n =

n(–1)n+2 – (n + l)( –1)n+1 + (n+l)( –1)n-1 – n(–1)n =

(–1)n-1 [n(–1)3 – (n + 1)( –1)2 + (n + l) – n(–1)] =

(–1)n-1 (–n – n –1 + n +1 + n) =

(–1)n-1 0 = 0 n N P(X) se divide cu (X + 1), n N.

Cum P(X) se divide cu (X + 1) și P(X) se divide cu (X – 1) P(X) se divide cu (X2 – 1) P(X) se divide cu Q(X) , n N.

5. Fie P(X) = a X3 + bX2 + cX + d , a, b, c, d, Z, a 0. Știind că polinomul P(X) este divizibil cu X2 – 3X + 2 să se arate că P(X) are cel puțin un coeficient mai mic decât – 1.

Solutie.

X2 – 3X + 2 = X2 – X – 2X + 2 = X(X – 1) – 2 (X – 1) = (X – 1)(X – 2)

P(X) se divide cu X2 – 3X + 2 P(X) se divide cu (X – 1) și P(X) se divide

cu (X – 2) P(l) = 0 și P(2) = 0

a + b + c + d = 0

8a + 4b + 2c + d = 0

8a + 4b + 2c + d = 0 d = – 8a – 4b – 2c d este număr par d = 2k

a + b + c + d = 0

8a + 4b + 2c + d =0

8a + 4b + 2c + d = 0 d = – 8a – 4b – 2c d este număr par d = 2K

a + b + c + d = 0 a + b + c + d = o

8a + 4b + 2c + 2K = 0 | 2 4a + 2b + c + k = 0

Presupunem că a – 1, b ≥ – 1, c > – 1, d ≥ – 1

a + b + c ≥ – 3 | + d a +b + c + d ≥ d – 3

0 > d – 3 d 3, dar d ≥ – 1, d par d {0,2}

Dacă d = 0 avem:

a + b + c =0

4a + 2b + c = 0 c par

Presupunem că a ≥ – 1, b ≥ – 1

a + b ≥ – 2 | + c

a + b + c ≥ c – 2

0 ≥ c – 2

c 2 , dar c ≥ – 1, c număr par c { 0,2}

Dacă c = 0 avem:

a + b =0

2a + b = 0 a = 0 fals

Dacă c = 2 avem:

a + b = – 2 a = 1

2a + b = – 1 b = – 3a, fals deoarece b ≥ – 1

Dacă d = 2 avem:

a + b + c = – 2 a + b + c = – 2

4a + 2b + c = – 1 3a + b = 1

Din 3 a + b = 1 b = 1 – 3 a ≥ – 1 a ; dar a ≥ – 1 a = – 1 b = 4, c = – 5 – 1, fals

Deci P(X) are cel puțin un coeficient mai mic de cât – 1.

6. Știind că P(X) = mX4 – nX2 + p , m, n, p N* se divide cu

Q(X) = X2 – 4X + 3 să se arate că m este cel mai mare divizor comun al numerelor n și p.

Solutie

Descompunem în factori Q(X)

Q(X)=X2 – 4X+3 = X2 – X – 3X + 3 =X(X – 1) – 3(X – 1) = (X – 1)( X – 3)

Q | P (X – 1)( X – 3) | P; deci (X – 1) | P și (X – 3) | P P(1) = 0 și P(3) =0

m – n + p = 0 | (– 1) – m + n – p = 0

81m – 9n + p = 0 81m – 9n + p = 0

80m – 8n / = 0

80m – 8n = 0 n = 10m m | n

m – n + p = 0 | (– 9) – 9m + 9n – 9p = 0

81m – 9n + p = 0 81m – 9n + p = 0

72m – 8p = 0

72m – 8p = 0 p = 9m m | p

Deci m | p și m | n m este divizor comun al lui n și p.

Fie m' N*, astfel încât m' | p și m' | n

Avem din m – n + p =.0 că m = n – p

Cum m' | p și m' | n m' | n – p m' | m. Deci m este cel mai mare divizor comun al lui n și p.

7. Să se demonstreze că polinomul

P(X) = (1 + X) 6m+l – (1 + X) 6p+l se divide cu X2 + X + 1, unde m, p N

Solutie.

Metoda I Toate rezolvările se bazează pe faptul că rădăcinile trinomului X2 + X + 1 sunt rădăcinile cubice ale unității(X3 – 1 = O (X – 1)( X2 +X + 1) = 0)

Dacă notăm x1 = 1, x2,3 = avem:

X2 + X + 1 = (X – X2) (X – X3)

Aplicând teorema lui Bèzout (valabilă și pentru rădăcini complexe) vom calcula:

P(x2) =(1+ x2) 6m+l – (1+ x2) 6p+l

Dar din x22 +x2 +1=0 x2 + 1 = –x22 , deci:

P(x2) = (– x22)6m+1 – (–x22)6p+1 = –x22(x2)12m – (– x2)(x2)12p = – x22 + x22 = 0 pentru că x23 = 0.

La fel P(x3) = 0

Metoda a II – a

Avem o altă rezolvare astfel:

1 + x2 = 1 + = = cos + i sin

Atunci (i + x2)6m+1 = (cos + i sin ) =

Analog (1 +X2)6p+1 = ; deci diferența lor este nulă.

8. Fie P(X) = aX2+bX+c, a, b ,c R, a 0

Q(X) = mX3+(n + 2m)X2+(2n + p)X + 2p, m, n ,p R, m 0

a. Arătați că polinomul P(X) este ireductibil dacă și numai dacă P(1) P(– 1) > (a – c)2

b. Determinați rădăcinile polinomului Q(X) știind că el este divizibil cu X2 +X – 2.

Solutie

a. Fie P(X) ireductibil < 0 b2 – 4ac < 0. .

P(1) P(– 1) = (a + b + c)(a – b + c) = (a+c)2 – b2 =

a2 + 2ac + c2 – b2 =

a2 – 2ac + c2 – b2 + 4ac =

(a – c)2 –

Cum < 0 P( l ) P(– 1) > (a – c)2

Reciproc, cum P( l ) P(– 1) > (a – c)2

(a + b + c) (a – b + c) > (a – c)2

a2 + 2ac + c2 – b2 > a2 – 2ac + c2

b2 – 4ac < 0

< 0 P(X) este ireductibil.

b. mX3 + (n+2m)X2 + (2n+p)X + 2p X2 + X – 2

– mX3 – mX2 + 2mX mX + (n + m)

/ (n + m) X2 + (2n + p + 2m) X + 2p

– (n + m) X2 + (– n – m) X + 2n + 2m

/ (n + m + p) X + 2m + 2n + 2p

(X2 +X – 2) | Q(X) R(X) = 0 (n + p + m)X + 2m + 2n + 2p = 0 n + m + p = 0 n + m = – p

Deci Q(X) = (X2 + X – 2)[mX +(n+m)] = (X2 + X – 2)(mX – p)

Asociem lui Q(X) ecuația polinomială (X2 + X – 2)(mX – p) = 0

x1,2 = , x3 =

Deci rădăcinile polinomului Q(X) sunt – 2, 1 și p / m

9. Fie polinoamele f, g Q[X], f = 2X4 – 3X2 + aX + b, g = X2 – 2X + 3

Să se determine coeficienții a, b Q astfel încât g | f

Solutie.

Metoda I – Aplicăm teorema împărțirii cu rest, apoi Identificăm restul cu zero.

2X4 – 3X2 + aX + b X2 – 2X + 3

– 2X4 + 4X3 – 6X2 2X2 + 4X – 1

/ 4X3 – 9X2 + aX + b

– 4X3 + 8X2 – 12X

/ – X2 +(a – 12)X + b

X2 – 2X + 3

/ (a – 14)X + b + 3

g | f r = 0 a – 14 = 0 a = 0

b + 3 = 0 b = – 3

Metoda a II – a Aplicăm teorema lui Bèzout :

g = 0 x2 – 2x + 3 = 0, a = l, b = – 2 , c = 3

= b2 – 4ac = (– 2)2 – 4 1 3 = 4 – 12 = – 8

x 1,2 =

Cum g | f, atunci (X – x1)(X – x2) | f (X – x1) | f și (X – x2) | f

f(x1) = 0 f(1 + ) = 0 a + b – 11 –(14 – a)i = 0

f(x2) = 0 f(1 – ) = 0 a + b – 11 +(14 – a)i = 0

a + b – 11 = 0 a = 14

14 – a = 0 b = – 3

Metoda a III –a Aplicăm schema lui Horner

Deci a – 14 = 0 și a + b – 11 + (a – 4) i = 0 a = 14 și b = – 3

Aplicăm metoda identificării po1inoamelor

2X4 – 3X2 + aX + b = (X2 – 2X + 3)(2X2 + mX + n)

2X4 – 3X2 + aX + b = 2X4 +(m – 4) X3 +(n – 2m + 6) X2 + (3m – 2n)X+ 3n

Aplicând metoda coeficienților nedeterminați obținem:

m – 4 = 0 m = 4

n – 2m + 6 = – 3 n = – 1

3m – 2n = a a = 14

3n = b b = – 3

10. Să se determine polinomul f R[X], de gradul 5, știind că:

(X + 1)3 | f + 8 și (X – 1)3 | f – 8

Solutie.

Metoda I

Se aplică schema lui Horner

Cum grad f = 5 f = aX5 + bX4 + cX3 + dX2 + eX + m

Cum (X + 1)3 | f + 8

– a + b – c + d – e + m + 8 = 0

5a – 4b + 3c – 2d + e = 0 (1)

– 10 a + 6b – 3c + d = 0

Cum (X + 1)3 | f – 8 a + b + c + d + e + m – 8

5a + 4b + 3c + 2d + e = 0 (2)

10a + 6b + 3c + d = 0

Din (1) și (2) putem forma sistemul

– a + b – c + d – e + m + 8 = 0

5a – 4b + 3c – 2d + e = 0

– 10a + 6b – 3c + d = 0

a + b + c + d + e + m – 8= 0

5 a + 4b + 3c + 2d + e = 0

10a + 6b + 3 c + d = 0

Adunând ecuațiile două câte două, membru cu membru, obținem:

2b + 2d + 2m = 0 b + d + m = 0

10a + 6c + 2e = 0 5a + 3c + e = 0

12b + 2d = 0 6b + d = 0

Deci, folosind și sistemul inițial, avem:

a + c + e = 8

5 a + 3 c + e = 0

4b + 2d = 0

6b + d = 0

10a + 3c = 0

Din 4b + 2d = 0

6b + d = 0 b = d = 0, deci m = 0

a + c + e = 8 e = 8 – a – c e = 8 – a – c

5a +3c + e = 0 5a – 10a +8 – a – c = 0 – 6a +8 – c = 0

10a + 3c = 0 10a = – 3c c = –

e = 8 – a – c e = 8 – a – c e = 8 – a – c

– 6a +8 + = 0 – 18a + 24 + 10a = 0 a = 3

c = – c = – c = – 10

e = 8 – 3 + 10 e = 15

a = 3 a = 3

c = – 10 c = – 10

Deci f = 3X5 – 10X3 + 15X

Metoda a II – a Se aplică teorema împărțirii cu rest în care restul este un polinom nul.

Metoda a III – a Se aplică metoda identificării polinoamelor:

f + 8 =(X + 1)3 (aX2 + bX + c)

f – 8 = (X – 1)3(m X2 +nX + p) ,

Metoda a IV – a

Se aplică metoda derivatei polinomului:

– 1 este rădăcină multiplă de ordin 3 pentru h = f + 8

1 este rădăcină multiplă de ordin 3 pentru g = f – 8.

Avem: h (– 1) = 0 g(1) = 0

h' (– 1) = 0 și g' (1) = 0

h " (– 1) = 0 g" (1) = 0

h "' , (– 1) = 0 g' " (1) = 0

Rezolvând sistemul format și folosind că f = a5X5 +a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + a1X1 + a0X0 obținem: a0 = 0, a1 = 15, a2 = 0, a3 = – 10, a4 = 0, a5 = 3 deci f = 3X5 – 10X3 + 15X.

11. Fie polinomul f R[X]

i. Dacă f = X 2n – 12Xn + 32 , atunci să se determine n N astfel încât X – 2 | f

ii. Dacă f = aX n+2 + bXn + 2 , atunci să se determine a și b astfel încât (X – 1)2 | f

Solutie.

i. Aplicăm teorema lui Bèzout:

(X – 2) | f f(2) = 0 22n – 12 22n + 32 = 0 22n – 4 22n – 8 22n + 32 = 0 2n(2n – 4) – 8(2n – 4) = 0 (2n – 4) (2n – 8) = 0 n 2, 3

ii. Nu putem aplica teorema lui Bèzout deoarece polinomul (X – 1)2 are rădăcină multiplă, dar aplicăm sau schema lui Horner în care căutăm un algoritm de determinate a coeficienților , sau aplicăm metoda derivatelor polinomului:

Se observă următorul algoritm de determinare a coeficienților lui a și b:

Coeficientul lui a este cu 2 mai mare decât cel al lui b;

Coeficientul lui a însumat cu puterea lui X vor da tot timpul același număr n + 3,deci:

a + b + 2 = 0 a = n

(n + 2) a + nb = 0 b = – n – 2

Metoda derivatelor:

f(1) = 0 a + b + 2 = 0

f (1) = 0 (n + 2) a + nb = 0

f (1) 0 a(n + 2)(n + 1) + bn(n – 1) 0

a = n

b = – n – 2

Se observă că această metodă este mult mai eficientă.

12. Fie polinoamele P(X)= X3 + 4X2 + a, Q(X)=X2 – X – 2.

Determinați valoarea lui a astfel încât cel mai mare divizor comun al polinoamelor P și Q să fie un polinom de gradul I.

Am putea cere ca acest cel mai mare divizor comun să fie de gradul II ?

Solutie.

Notăm D(X) cel mai mare divizor comun al lui P și Q.

Descompunem în factori ireductibili Q(X).

Q(X) = X2 – X – 2 = X2 – 1 – X – l =

Q(X) = (X – l)(X+ 1) – (X+ 1) =(X+ 1)(X – 2)

Cum grad D = 1 D(X) = X + 1 sau D(X)= X – 2

Dacă D(X)= X + 1 (X + 1) | P(X)

P(– 1 ) = 0 – 1 + 4 + a = 0 a = – 3

Dacă D(X)=X – 2 (X –2) | P(X)

P(2) = 0 8 + 16 + a = 0 a = – 24.

Deci pentru a {– 3, –24}, D(X) este de gradul I.

Dacă grad D(X) = 2, cum Q(X) = (X+ 1)(X – 2), grad Q = 2 D(X) = Q(X)(sau aQ(X), a lR*).

D(X) = Q(X) (X+ 1)(X – 2) | P(X)

(X + 1) | P(X) și (X –2) | P(X)

P(– 1) = 0 a = – 3 – 3 = – 24 (F)

P(2) = 0 a = – 24

Deci D(X) nu poate fi polinom de gradul II.

13. Fie polinomul P = x2n +axn + b, (a,b lR, dacă n ≥ 1).

Să se determine a și b astfel încât P să fie divizibil cu (x – 1)2 și să se arate că P nu poate avea rădăcini triple nenule.

Solutie. Vom da mai multe solutii.

1. Dacă notăm xn = y, ecuația trinomă inițială se transformă în ecuație de

gradul II; y2+ ay + b = 0. Cum ecuația binomă xn = y nu are rădăcini multiple, indiferent de valoarea lui y nenul, rezultă că pentru a avea rădăcină dublă x = 1 pentru ecuația inițială, trebuie ca rădăcinile ecuației de gradul II în y să fie confundate și egale cu 1. De aici obținem a = – 2, b=1.

2. Impunem condițiile P( l ) = 0, P'( l ) = 0, adică 1 + a + b = 0 și 2n + na = 0, deci a = – 2 și b = 1.

3. Efectuam împărțirea cu schema lui Horner:

Impunem condițiile ca resturile să fie nule, adică 1 + a + b =0 și 2n + na = 0

4. Transformăm polinomul dat astfel:

X2n+ aXn + b = X2n + Xn(a + 1) – (a+l) + b + a + l – Xn = Xn(Xn – 1 ) + (Xn – 1)( a+ 1 ) + b + a + 1 =

(Xn – 1)(Xn + a + 1 ) + b + a+ 1, de unde condițiile: a + l = – 1 și b + a + l = 0, deci a = – 2, b = 1.

A doua parte a cerinței: P" = 2n(2n – l)X2n-2 + n(n – l)aXn-2 = nXn-2 [2(2n – l)Xn + a(n – l)].

O eventuală rădăcină triplă nenulă ar trebui să anuleze ultima paranteză, polinomul inițial și derivat a sa pe care o scriem nXn-1(2Xn + a), de fapt 2xn + a = 0

Deci din cele două polinoame de gradul n: 2(2n – l )Xn +(n – 1)a și 2Xn + a care trebuie să se anuleze pentru aceeași valoare a lui X, obținem condiția na = 0

Se vede că nici n = 0 nici a = 0 nu sunt acceptabile.

14. Fie f, g Q[X], f = X3 + aX2 + 11X + 6 și g = X3 + l4X + bX2. Să se determine a și b astfel încât f și g să aibă un divizor comun de grad 2.

Solutie.

Se aplică algoritmul lui Euclid până se obține un rest de gradul 1 care trebuie să fie nul.

X3 + aX2 + 11X + 6 X3 + bX2 + 14X + 8

– X3 – bX2 – 14 X – 8 1

/ (a – b)X2 – 3X – 2

X3 + bX2 + 14X + 8 (a – b)X2 – 3X – 2

– X3 + X2 + X X +

/ X2 + X + 8

– X2 + X +

/ X +

14(a – b)2 + (2 + 3b)(a – b) + 9 = 0 14(a – b)2 + 2(a – b) + 3b(a – b) + 9 = 0

8(a – b)2 + 2b(a – b) + 6 = 0 (a – b)(a – b + 1) = 0

Din (a – b)(a – b + l) = 0, cum a – b 0 a – b + l = 0 a – b = – 1

14(a – b)2 + 2(a – b) + 3b(a – b) + 9 = 0 14 – 2 – 3b + 9 = 0

a – b = – 1 a – b = – 1

– 3b = – 21 b = 7

a – b = – 1 a = 6

Capitolul V

Consideratii metodice

§1. Introducere

Obiectivul principal al oricarui profesor de matematica este acela de a stimula si de acreste interesul elevilor pentru aceasta disciplina.

Abordarea si formarea conceptelor matematice implica probleme de ordin psihologic si pedagogic destul de consistente. Procesul prin care se ajunge la concepte matematice abstracte este unul complex si de durata. Acesta incepe odata cu primele perceptii si imagini si abia dupa varsta de 11-12 ani se contureaza entitatile mintale desprinse de suportul material, senzorial, care le-a generat.

Profesorul de matematica trebuie in primul rand sa cunoasca temeinic din punct de vedere stiintific materia predata, dar in acelasi timp trebuie sa aiba aptitudini metodice si pedagogice pentru a putea transmite cunostintele intr-un mod accesibil elevilor. El trebuie sa dezvolte la elevii sai, capacitatea de rationament, sa incurajeze gandirea critica si creativa.

Studiul matematicii in gimnaziu urmareste identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite, prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ si structural, utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete precum si modelarea matematica a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunostintelor din diferite domenii.

§2. Principii didactice fundametale in predarea matematicii

Principiile didacticii si, in particular, ale didacticii matematicii sunt teze generale care exprima conceptia de baza asupa invatatrii matematicii. Ele reprezinta norme directoare pentru intreaga activitate didactica. Principiile didacticii trebuie sa actioneze impreuna, preponderenta unuia sau a altuia depinzand de foarte multi factori dintre care specificul obiectului de invatamant si varsta scolara sunt unii dintre cei mai importanti.

Orice profesor de matematica trebuie sa tina cont in activitatea sa la clasa de cateva principii didactice:

Principiul caracterului stiintific al invatamantului matematic

Caracterul stiintific se manifesta in primul rand prin corectitudinea informatiilor extrase din matematica, care reprezinta regina stiintelor. Informatiile provin prioritar din manuale si, in general, nu sunt afectate de erori episodice.

Principiul caracterului stiintific al predarii matematicii este asigurat si de nivelul de rigoare adoptat. Prezentarea axiomatica realizeaza un grad de rigoare foarte ridicat dar dupa ce acceptam notiunile primare, relatiile primare si o serie de legi ale logicii formale. Rigoarea expunerii este atenuata de principiul accesibilitatii si cel al intuitiei. De remarcat este faptul ca accesibilitatea afecteaza, de regula, doar rigoarea argumentarii si nu pe cea a definitiilor sau teoremelor. Astfel „demonstratiile” aritmetice la clasele mici se bazeaza pe o inductie incompleta, din cateva situatii analizate se trage regula generala. Nivelul rigorii demonstratiilor creste odata cu clasa.

Principiul caracterului stiintific este validat si de insusirea treptata, dar constienta, a metodelor si limbajului „matematicii stiinta”. Este adevarat ca, in etapele de introducere, comentarii, justificari, profesorul, si cu atat mai mult elevul, poate sa ultilizeze limbajul curent, dar chestiunile teoretice abstracte trebuiesc facute accesibile. Atunci cand profesorul da definitii, enunturi, demonstratii formale, cerinta utilizarii limbajului si notatiilor specifice este obligatorie. Aceleasi pretentii trebuie avute si din partea elevilor, cerandu-le sa prezinte ceea ce scriu pe tabla, corectandu-i la nesfarsit cand spun „egale” in loc de „congruente”. O mare grija trebuie avuta in cazul greselilor de limbaj care schimba semnificatia corecta ca, de exemplu, inlocuirea conditiei necesare cu cea suficienta, etc.

Argumentarea acestui principiu se realizeaza si prin existenta unor sisteme in evaluare precisa, in cadrul carora subiectivitatea si sansa sunt reduse la maximum. Este simplu de inteles ca acest principiu nu restrange creativitatea procesului de predare- invatare- evaluare sau a elevului, ci le potenteaza suplimentar.

Principiul sistematizarii si continuitatii

Sistematizarea vizeaza desfasurarea ordonata logic si pedagogic a continuurilor, ordonarea capitolelor si a paragrafelor, succsesiunea ideilor si a argumentelor.

Continuitatea se refera la un ritm de receptionare, asimilare si fixare a cunostintelor permitand evaluari, controale si reglari. Sistematizarea si continuitatea se conditioneaza reciproc, una fiind nerealizabila in absenta celeilalte.

Principiul sistematizarii este conditionat de:

logica interna a matematicii;

structura organizatorica a invatamantului;

corelarea cu celelalte obiecte de studiu;

structura si evolutia psihologica a elevilor.

Acest principiu trebuie sa se manifeste zi de zi in activitatea de la catedra.Programa analitica si planificarea calendaristica sunt forme de materializare a lui. Organizarea unei lectii sau a unei unitati de invatare, planul de lectie, reprezinta materializarea cea mai curenta a sa.

Principiul invatarii constiente si active

„Ideea dupa care memoria nu ar avea un rol important in matematica este gresita. Este vorba aici nu de memorizarea deliberata a unor definitii, enunturi, formule, la primele contacte cu acestea (deci intr-un moment in care ele nu au fost nici aprofundate, nici suficient folosite), ci de retinerea lor ca o consecinta fireasca a utilizarii lor repetate si indelungate”- Solomon Marcus.

Acumularea in ritm exponential al cunostintelor duce la transmiterea informatiei didactice intr-un mod cat mai rapid si condensat, ceea ce conduce de multe ori la interpretari superficiale declarate initial provizorii, dar care se permanentizeaza din cauza lipsei de timp.

Memorarile „mecanice” duc la fixari slabe, instabile, informariile trebuiesc mereu improspatate.

Intelegerea, invatarea constienta se bazeaza, in primul rand, pe structura congnitiva preexistenta a elevului. Factorul cel mai important ce influenteaza invatarea rezida in cantitatea, calitatea, claritatea si organizarea cunostintelor celui care invata.

Foarte importanta este si natura mediului de invatat. Aici apare frecvent necesitatea de a desface materialul in itemi usor de invatat succesiv, dar fiecare cu semnificatia sa logica. Adesea, o asemenea desfacere trebuie urmata de reconexarea logica a secventelor.

Prima treapta a constientizarii consta in intelegerea segmentului de materie prevazut in lectie sau in segmentul de lectie. Ce este dificil de inteles in matematica? Se spune ca demonstratiile, adica succesiunea silogismelor. Dar ce nu se intelege? Valoarea argumentelor? Ori lantul in intregimea sa nu poate fi perceput? Daca nu se intelege un silogism, probabil ca defectiunea consta in necunoasterea semnificatiilor nor termeni (definitii) iar neputinta de a intelege demonstratia in intregime se datoreaza (presupunand ca fiecare veriga este inteleasa) numarului prea mare al pasilor.

Unele demonstratii indirecte (cum ar fi metoda reducerii la absurd) desi echivalente logic cu unele demosntratii directe ajung sa provoace indoieli asupra valorii lor de argumentare.Limbajul specific si notatiile pot aduce greutati in plus, dar daca sunt judicios alese pot inlesni mult intelegerea si utilizarea acestora.

Cerintele acestui principiu pot fi sintetizate in:

stimularea activitatii elevului in toate etapele invatarii;

intelegerea continutului materiei de invatatmant;

dezvoltarea la elevi a constientizarii participarii lor la propria instruire.

Coparticiparea elevului la propria instruire reprezinta solutia multor deficiente. Profesorul trebuie, in modul de ex[unere si prezentare, sa dea impresia ca, plecand de la niste necesitati practice, redescopera alaturi de elev notiunile si rezultatele respective.

Intelegerea este un indicator specific al matematicii ca obiect de invatamant in practicarea ei zilnica. Eevul trebuie sa inteleaga, in primul rand, bucata de materie prevazuta in lectia respectiva. Acest lucru este pe deplin posibil datorita numarului relativ mic de notiuni, formule, procedee necesare sa fie reactualizate si numarului relativ mic de pasi ai demonstratiilor curente. Elevul nu stie daca a inteles corect si logic secventa din lectia predata sau doar a receptat-o si a acceptat-o. Noua secventa trebuie deja inglobata in structura cognitiva a elevului pentru a putea trece mai departe.

Constientizarea invatatrii matematicii in anasamblul ei (ca obiect de invatamant) este un nivel care trece dincolo de intelegerea faptelor izolate. In linii mari este vorba de convingerea elevului ca invatarea matematicii nu este asemenea unei „pedepse ce trebuie ispasite” (folosind trebuie pentru teza, pentru examene” etc) ci este o necesitate obiectiva nu doar pentru cultura generala a oricarui adult al zilelor noastre ci si ca un instrument de cunoastere si studiere a mai multor altor domenii stiintifice si, nu in ultimul rand, datorita specificitatilor sale privind logica si rigoarea rationamentelor sale ce duc la disciplinarea gandirii.

Marele matematician al nostru Solomon Marcus spunea sugestiv ca „matematica este o gimnastica a mintii”. Pentru racolarea interesului elevilor pentru matematica trebuie actionat permanent astfel incat sa se dezvolte doua componente: una interioara matematicii care trebuie predata in asa fel ca elevul sa gaseasca satisfactie in insusi efortul de invatare si alta exterioara motivandu-se prin aplicatiile ei valoarea sociala si stiintifica a matematicii.

Principiul accesibilitatii (al respectarii particularitatilor de varsta si individuale)

La baza activitatii de invatare trebuie sa se puna varianta optimista care afirma ca orice elev normal poate sa-si insuseasca cunostintele prevazute in programa scolara. Este evident ca nu toti in acelasi ritm si cu aceleasi rezultate , dar spectrul actual de notare permite practic tuturor elevilor unei clase care a un minim de cunostinte stabilit sa promoveze in anul urmator.

In aplicarea acestui principiu este evidenta urmatoarea orientare: mai putin si mai usor pentru cei mici sau slab pregatiti, mai mult si mai greu pentru cei mari sau mai bine pregatiti. Dar chiar in cadrul a ceea ce apreciem ca „usor” sau „greu” se formuleaza unele indicatii de a actiona:

de la ceea ce este mai apropiat (familiar) la ceea ce este mai indepartat;

de la simplu la complex;

de la cunoscut la necunoscut.

Dupa precizarea programei analitic, principiul accesibilitatii impune profesorului: alegeri de metode si procedee didactice, actualizari adecvate de informatii din repertoriul cognitiv, desfaceri pe secvente, sinteza logica a secventelor, dezvoltari de motivatii specifice, selectii de aplicatii si probleme semnificative si adaptari pe criterii de evaluare. Dupa ce p[rofesorul si-a proiectat si realizat lectiile la nivelul de accesibilitate sperat, problema accesibilitatii se transfera fiecarui elev si, fara a nega existenta a diverse grade de dificultate, se poate presupune ca se realizeaza o invatare constienta, activa si durabila. Intervine in discutie si faptul ca grupul de elevi nu este omogen, iar strategiile didactice trebuie alese de catre profesor pentru a avea eficienta maxima. Aceasta inseamna ca procesul de predare-invatare-evaluare trebuie individualizat. Datoria profesorului este de a lua in considerare o mare varietate de date individuale pentru a-si adapta pozitia fata de elev. Efortul de cunoastere individuala aprofundata a elevilor este principalul demers constient pe care il poate face profesorul pentru a se apropia de principiul accesibilitatii. Unii profesori consemneaza intr-un caiet special unele particularitati relevante ale fiecarui elev, acestea permitand, in timp, optimizarea atitudinii pedagogice fata de fiecare elev.

Principiul accesibilitatii este incalcat mai ales in ceea ce priveste necesitatile elevilor situati sub nivelul mediu. Cei mai multi se plang ca matematica este grea dar sunt si unii care spun ca, pentru ei, aceasta este usoara, chiar atractiva. Dar, si pentru acestia din urma, trebuie sa avem in vedere actiunea acestui principiu si sa nu-i „sacrificam” pe cei foarte buni mentinand pretentiile la un nivel (impus de majoritatea clasei) care ar putea sa le dauneze in competitiile la care se vor prezenta, fie acestea admiterea in liceu sau bacalaureat fie olimpiade si concursuri. O forma mai suprinzatoare de a respecta acest principiu revine profesorului de matematica in cazul acelor elevi impatimiti de matematica, care neglijeaza alte materii din planul de invatamant. Profesorul de matematica, cu autoritatea pe care si-a castigat-o in fata unor astfel de elevi, trebuie sa intervina cu tact pentru a stopa unilateralitatea pregatirii, sacrificarea culturii generale in favoarea unei specializari premature.

Principiul caracterului intuitiv

In predarea matematicii este bine ca elevii sa-si formeze notiunile fundamentale prin abstragerea lor din realitatea fizica. In clasele I-IV intuitia trebuie sa predomine, elevilor trebuie sa li se prezinte materiale intuitive clare. Ulterior, se vor prezenta si modele intuitive care sa conduca la greseli, astfel li se poate explica elevilor necesitatea rationamentului. Treptat numarul modelelor concrete va scadea, crescand cel al modelelor abstracte.Inlaturarea totala a intuitiei este o grava eroare.

Principiul invatarii intuitive este justificat de:

caracterul concret si contextual al gandirii elevului;

plusul de relevanta ce apare intr-un model sensibil;

legatura intre cunoastere si obiectul ei se realizeaza nu la nivelul abstractiei maxime ci intr-un mod convenabil (ca grad de accesibilitate);

nevoia de surprindere a esentelor ascunse de multivalenta abstracta;

Cuvantul intuitiv are sensul de neabstract, neriguros, vizual, plauzibil, incomplet. Un alt sens este cel de integrativ, opus analiticului. Acestuia i se asociaza termenul de cunoastere intuitiva, dobanditu prin contactul cu realitatea obiectiva, prin intermediul simturilor, prin operare cu model fizic sau cu imagini. Pentru predarea doimii, patrimii, etc, se poate taia un mar in doua parti egale, apoi fiecare parte se taie din nou in doua parti egale. Marul este in acest caz un obiect concret pentru o notiune abstracta. Exista insa si sisteme abstracte care modeleaza notiuni abstracte. De exemplu dreapta reala este un model abstract pentru multimea numerelor reale. Notiunea de functie este un sistem abstract modelat prin graficul functiei. Deci, in matematica, notiunile abstractesunt modelate fie abstract, fie concret. Modele concrete pot fi reperzentate de: desene, planse, placi subtiri de forma unor poligoane, machete de corpuri geometrice, desene prezentate cu ajutorul retroproiectorului.

Natura intuitiei elevilor poate fi si ea diferita. Unii elevi au o intuitie geometrica, figurativa, altii au o intuitie algebrica, operationala. Aspectul intuitiv nu trebuie sa fie doar un moment initial al predarii , ci un insotitor permanent al actului de cunoastere , mai ales in pasajele sale critice. Intuitia trebuie sa participe la toate etapele si varstele invatarii matematicii. Este ideala in descrierea premergatoare introducerii unor notiuni. O dovada a folosirii ei este alegerea unora dintre propozitiile matematice adevarate ca fiind teoreme. Matematicianul intuieste utilitatea ulterioara a unui rezultat si subliniaza acest lucru numindu-l teorema.

Principiul temeiniciei invatarii

Invatarea temeinica consta in calitatea ei de a produce rezultate consistente, stabile si aplicabile. Este validata cand invatarea genereaza invatare, adica structurile cognitive personale manifesta tendinte de autodezvoltare. Simpla stocare mecanica a cunostintelor inductive, gestionate dupa criterii arbitrare, oboseste si uzeaza memoria iar stocul informational devine perisabil.

Principiul temeiniciei invatarii se manifesta in invatamant, mai ales prin:

aspecte organizatorice ale sistemului scolar;

manualele si celelalte materiale auxiliare;

stilul redundant al predarii;

aplicatii;

aspecte de verificare si docimologice.

Dintre cele mai frecvente activitati ale profesorului, orientate spre asigurarea temeiniciei cunostintelor acumulate, se recomanda:

recapitulari imbogatite;

prezentari de noi criterii logice si scheme de organizare a cunostintelor;

evaluari in conceptii variate;

reimprospatari si consolidari.

Insusirea temeinica a unei teme nu se poate face in ora de predare, temeinicia necesitand consolidari, fixari si restructurari.

Temeinicia invatarii se opune superficialitatii, invatarii in salturi sau cu lacune si invatarii formale, ultima fiind relativ frecvent depistata la matematica. O contributie esentiala la succesul acestui principiu trebuie sa o aduca manualele scolare, acestea prezentand, pe langa o cantitate mare de exemple, exercitii, aplicatii, conexiuni cu alte domenii, si o alternativa de prezentare a notiunilor si rezultatelor teoretice pe langa cea oferita de profesor la clasa.

Principiul motivatiei optime a invatarii

Este clar ca pentru a invata este necesara o motivatie. Scoala, spre deosebire de alte activitati in care se transmit informatii (conferinte, simpozioane, articole de presa, emisiuni TV, etc), are si un caracter de obligativitate. Calitatile matematicii: rigoarea, precizia, utilizarea rationamentului deductiv, inlantuirea si interdependenta dintre fragmentele sale din toata perioada scolaritatii, se pot transforma pentru multi elevi in piedici si aspecte dezagreabile. O buna adecvare intre intensitatea motivatiei si dificultatea sarcinii cu care se confrunta subiectul conduce la cresterea eficientei activitatii si a satisfactiei resimtite.

Orice actiune umana desfasurata in timp se conexeaza cu un sistem motivational. In raport cu totalitatea motivatiilor, consideram ca o actiune este slab, optim sau supramotivata. Pericolul supramotivarii la matematica apare mai ales in legatura cu participarea la olimpiada. Tipul de recompensa generat de afirmarea pe plan national sau chiar international, participari la tabere de pregatire sau excursii, tratamentul pedagogic preferential si imaginea de sine si despre sine favorabila este de natura sa supramotiveze.

Foarte frecvent apare pericolul submotivarii. Buna cunoastere a elevului, a preocuparilor si a aanturajului sau permite adesea o interventie orientata spre cresterea motivarii. Intre submotivare si supramotivare exista un nivel optim, desemnat prin motivatie optima. Cautarea si aproximarea motivatiei optime solicita ca profesorul sa-si organizeze activitatea la clasa cu mult profesionalism si chiar cu arta. Provocarea interesului elevilor trebuie ridicata la cea mai inalta cota in cadrul invatamntului problematizat. Caracteristica sa principala nu consta in simpla insiruire de probleme ci in utilizarea situatiei- problema.

Invatarea prin descoperire sporeste mult motivatia, aceasta fiind o metoda de invatamant prin care elevii sunt indemnatisa-si apropie virtuti ale muncii de cercetare, reconstituind, in cautarea adevarului, drumul elaborarii cunostintelor, printr-o activitate proprie.Astfel elevului nu i se prezinta doar produsul cunoasterii ci, mai ales, caile prin care se ajunge la acest produs, mijloacele de investigare, ceea ce sporeste mult eficienta invatarii.

Motivatia invatarii matematicii a elevilor este legata si de simpatia sau antipatia inspirata de persoana profesorului. Exista prejudecata prin care un bun profesor de matematica, recunoscandu-i-se calitatile legate de profesiune, aproape ca i se contesta posibilitatea de a excela si la altceva.

Principiul legarii teoriei de practica

Acest principiu revine la o corecta corelare a senzorialului cu rationalul si permite adesea o extensie a motivatiei. In didactica matematicii, principiul admite o relevanta speciala deoarece conceptul de „practica” este mult largit prin consens. Can o teorie acrediteaza un algoritm il privim drept „practica”. In general, problemele sunt distinse drept „practica” in raport cu „teoria”. Asadar semnificatia cuvantului „practica” in legatura cu matematica inseamna mai mult. In fond este vorba de modelarea matematica a fenomenelor realitatii si de studierea acestor fenomene.Functiile de diferite tipuri, rezolvarea unor probleme cu text care se pun in ecuatii sau sisteme, problemele de programare liniara, problemele de combinatorica, problemele de geometrie, problemele de extrem, problemele de statistica si cele de probabilitati, problemele din teoria grafurilor sunt doar cateva exemple care arata ca exista aceasta legatura cu practica.Cei care continua sa afirme ca matematica este o abstractiune fara legatura cu practica in mod cert sunt victimele unei neintelegeri de termeni si momente.

In scoala nu se poate face atata matematica incat sa aiba , in totalitate, aplicatii practice nemijlocite si spectaculoase. Matematica studiata in scoala deschide drumuri spre diverse domenii care edifica o stiinta care se aplica in alte stiinte, in tehnica si practica. Matematica ofera tehnici specifice de studiu si investigare in multe domenii aplicative, dar ofera si o importanta dezvoltare si disciplinare a gandirii, acestea subzistand in straturile tuturor celorlalte discipline studiate. Asadar, problema nu este aceea ca matematica ar fi sterila, ci ca un anumit public nu este informat suficient de fecunditatea nepotilor si stranepotilor ei.

Ramane in sarcina profesorului de matematica sa gaseasca pe cat posibil argumentarea la nivelul de cunostinte al elevului la acel moment a notiunilor si rezultatelor predate si sa faca acele conexiuni care se impun cu celelalte lucruri invatate la matematica dar si la alte discipline.

Principiul conexiunii inverse

Pocesul de predare-invatare-evaluare constituie, evident un sistem de autocontrol. Momentul evaluarii permite controlul activitatii desfasurate si reglarea acesteia spre optimizare. Evaluarea nu trebuie gandita in sensul strict, limitat; majoritatea profesoril simt chiar in timpul predarii efective „fluxul” care ii informeaza despre receptivitatea elevilor. De multe ori intrebarile puse de catre elevi sunt mai concludente in acest sens decat chiar problemele adresate lor de catre profesor.In raport cu planificarea anterioara, fiecare informatie primita de la clasa permite o adaptare mai eficienta a demersului instructiv-educativ. Controlul temei de casa constituie un alt element important de reglare.Profesorul trebuie sa stimuleze elevii sa se autoevalueze, si pe aceasta baza sa corecteze si sa amelioreze cunostintele dobandite.Pentru profesorii si elevii buni, aceste feed-back-uri capata caracter de continuitate.

Activitatea de invatare a matematicii impune aproape mereu treceri pe langa posibile erori, imprecizii, inadvertente. Ca un bun ghid alpin care isi asigura suplimentar grupul pentru anumite pasaje mai periculoase, profesorul isi actualizeaza din timp posibilele erori ale sale si ale elevilor. Daca un pas gresit al unui campion al ghidului alpin are consecinte tragice, o eroare a elevului nu numai ca nu este dramatica, dar poate fi si benefica. Se potriveste aici vorba „se invata mai bine din greseli” sau, in acelesi sens, ca „dintr-o problema pe care nu o poti rezolva inveti mult mai mult decat din una pe care o rezolvi cu usurinta (incercarile, cautarile, framantarile in vederea gasirii unor conexiuni care sa duca la solutia problemei respective lamureste mult lucrurile si, de multe ori, conduce la probleme noi). Profesorul nu trebuie sa se grabeasca sa inventarieze greselile posibile intr-o secventa de cunostinte; o asemenea inventariere este perisabvila, deoarece nu poate beneficia de o justificare logica. Este de asteptat (uneori chiar de dorit) ca un elev sa comita una dintre erorile tipice, facand astfel cadou profesorului un bun prilej de a o semnala tuturor. Desigur, daca profesorul nu primeste un asemenea „cadou”, isi va putea crea ulterior situatia in care sa marcheze erorile tipice. Daca o greseala majora apare fara sa fi fost prevazuta de catre profesor, acesta trebuie sa aiba prospetimea mintala de a sesiza cauza generatoare si de a ataca prioritar aceasta cauza.

Principiul problematizarii

Acest principiu nu se regaseste in didactica generala, el fiind specific matematicii. Principiul invatarii constiente si active, cel al intuitiei si al legarii teoriei cu practica sunt conectate cu principiul problematizarii, dar nu il asimileaza si nu-i stirbesc individualitatea. Intre termenii „problema” si „ exercitiu” nu exista o delimitare ferma, sensurile lor se suprapun partial intr-o variatie subiectiva. In linii mari exercitiul admite o abordare algoritmica, in timp ce problema necesita o abordare euristica, prin operatii de analiza, sinteza, evaluare a alternativelor si a unor variante rezolutive anticipative.

In matematica scolara, problemele reprezinta concretul, teoria justificandu-se prioritar prin organizarea rationala, abstracta, cu un caracter general, a acestor entitati. Regasim, astfel, la nivel superior, multitudinea de corelatii intre particular si general, intre practica si teorie, intre senzorial si rational. Principiul problematizarii nu doreste degradarea si reducerea matematicii la un retetar de gestionare si rezolvare a problemelor, ci o corelare armonioasa intre teoria matematica si probleme.

In general predarea incepe, sau ar trebui sa inceapa, cu o prezentare de situatii problematice ce justifica demersul rezolutiv, activizeaza si constientizeaza elevii. Pe masura predarii si invatarii teoriei, situatiile problematice se cristalizeaza in probleme.

Adesea, problemele releva necesitatea unor aprofundari teoreticxe si ciclul se reia. Momentele de evaluare se pot referi direct si exclusiv la teorie dar, daca o astfel de restrangere se generalizeaza, apare iminent pericolul memorarii mecanice, o inadaptare la sistemele institutionalizate de evaluare si incapacitatea aplicarii cunostintelor teoretice in rezolvari de probleme si de situatii- problema.

Ca element central in aplicarea principiului problematizarii apare evidentierea situatiei problematice relevante pentru secventa de cunostinte.

Acest principiu faciliteaza dezvoltarea la elevi a unor strategii de rezolvare ce se cristalizeaza in strategii cognitive; acestea constituie deschideri si antrenamente spre o ulterioara activitate de cercetare ( nu neaparat centrata pe matematica), de cautare si descoperire, la intuirea unor solutii si probleme noi.

§3. Metode de predare-invatare a matematicii

G. Polya a comparat profesorul cu un negustor care trebuie sa-si vanda marfa utilizand toate mijloacele posibile:

„ Tineti minte ca intotdeauna clientul are dreptate in principiu, iar cateodata are dreptate si in practica. Tanarul care refuza sa invete matematica poate sa aiba dreptate; este posibil ca el sa nu fie nici lenes nici nepriceput ci doar sa-l intereseze mai mult altceva- exista atat de multe lucruri interesante in jurul nostru. Este datoria dumneavoastra ca profesori, de vanzatori de cunostinte, sa-l convingeti pe elev ca matematica este interesanta, ca problema pe care o discutati acum este interesanta, ca aceasta problema la care lucreaza merita efortul”

Aparitia noilor programe, centrate pe achizitiile elevilor, impune anumite schimbari in didactica matematicii. Diversificarea metodelor de predare-invatare, a modurilor si formelor de organizare a lectiei, a situatiilor de invatare, constituie cheia schimbarilor pe care le preconizeaza noul curriculum. Asigurarea unor situatii de invatare multiple creeaza premise pentru ca elevii sa poata valorifica propriile abilitati in invatare.

Principalele metode didactice folosite de profesorii de matematica in predarea-invatarea matematicii in scoala sunt urmatoarele:

Metode clasice/traditionale

Expunerea

Conversatia

Demonstratia matematica

Metoda exercitiului

Metoda muncii cu manuaul si culegerile de probleme

Metode moderne

Problematizarea

Modelarea matematica

Algoritmizarea

Metoda invatarii pe grupe

Metode de invatare active

Brainstorming

Metoda mozaicului

Investigatia

Proiectul

Jocul de rol

Metode de dezvoltare a creativitatii

Metoda cubului

Turul galeriei

Ciorchinele

Stiu/ Vreau sa stiu/ An invatat (K W L)

Metodele traditionale de predare se dovedesc de multe ori insuficiente in actul de predare. De aceea pentru o crestere a eficientei lectiilor si implicit a transmiterii de noi cunostinte, profesorul de matematica se vede nevoit sa apeleze la metode si mijloace moderne cu scopul de a schimba atitudinea pasiva a elevului si a-i strani interesul. Metodele moderne au rolul de a activa elevul in procesul de dobandire de noi cunostinte, acest proces desfasurandu-se prin efort propriu.

Cu toate acestea, o invatare de durata se realizeaza numai atunci cand profesorul reuseste sa imbine armonios atat metodele moderne cat si cele traditionale.

Expunerea

Este o metoda care se prezinta in mai multe variante: povestirea, prelegerea si explicatia. Explicatia este cel mai dest intalnita, in timp ce povestirea este mai putin folosita chiar si in clasele foarte mici.

Povestirea consta in descrierea unor fapte, evenimente, intamplari sau personaje. Prin povestire, la matematica, se transmit date istorice legate de studiul unei discipline noi (de exemplu despre algebra la clasa a VI-a) sau in prima lectie din cadrul unei unitati de invatare, se prezinta importanta temei respectiv anumite date despre autorii descoperirilor teoriei matematice respective.

Exemplu: Se poate utiliza povestirea la predarea notiunii de numar prim cu ajutorul ciurului lui Eratostene. Profesorul poate prezenta elevilor detalii legate de viata si descoperirile sau inventiile matematicianului grec Eratostene.

Pentru a inlatura monotonia, in cadrul unor ore, putem propune elevilor povestiri cu subiect dat. In acest sens se poate alege un concept matematic oarecare (divizor , de exemplu) si cereti elevilor sa creeze o poveste in care personajul principal este conceput ales, iar alte personaje sunt „rudele” acestuia. In acest fel, elevii ajung in mod natural la caracterizarea unei noi notiuni prin sesizarea asemanarilor si deosebirilor dintre notiunea noua si altele studiate anterior.

Exemplu: In cadrul capitolului Divizibilitatea numerelor naturale, la o ora de aplicatii se poate folosi povestirea „Cinci paini” de Ion Creanga.

Profesorul relateaza elevilor rezumatul sau intreaga povestire, fara solutia data de judecator.

„Doi oameni mergeau impreuna pe un drum. Unul avea in traista sa trei paini si celalalt doua paini. Dupa o vreme, au poposit la umbra, langa o fantana si au inceput sa-si manance painile. Aparu, deodata, un al treilea drumet, care se opri, le dadu ziua buna, si ii ruga sa-i dea si lui ceva de mancare, caci nu avea merinde cu el si nici nu avea de unde sa cumpere. Cei doi il poftira sa manance cu ei si mancara cele cinci paini, apoi baura apa rece din fantana. Dupa ce terminara de mancat, calatorul strain ii dadu cinci lei la intamplare celui care avusese trei paini, drept rasplata pentru hrana si pleca mai departe. Cei doi mai ramasera oleaca la umbra, iar cel care avusese trei paini, ii dadu doi lei celuilalt si ii spuse ca atat i se cuvine, fiindca avusese doua paini. Acesta raspunse ca trebuie sa imparta banii in jumatate. Si, pentru ca nu reusira sa se inteleaga, ajunsera la judecata. Povestira ei judecatorului pricina, iar acesta il intreba pe cel cu doua paini cat crede el ca se cuvine. Acesta raspunse ca, dupa dreptate, banii trebuiau impartiti in doua, dupa dreptate. Judecatorul spuse ca, daca e dupa dreptate, atunci sa-i dea un leu inapoi celui cu trei paini, ca numai atat i se cuvine.”

Elevii sunt rugati sa caute o explicatie pentru solutia oferita de judecator. Profesorul poate indica elevilor sa rezolve „problema” din povestire cu ajutorul celui mai mic multiplu comun.

Ulterior gasirii unor posibile solutii de catre elevi, profesorul prezinta continuarea povestirii:

„Cum cel cu doua paini se arata tare nemultumit, judecatorul explica pe intelesul lui. Intai intreaba daca au mancat fiecare la fel de multa paine ca si ceilalti. Asa fusese. Atunci spuse ca, pentru a sti hotarat cum s-a mancat painea trebuie sa spuna ca s-a impartit fiecare paine in trei parti egale, cati fusesera ei. Apoi socoti ca acela cu doua paini ar fi avut, dupa socoteala aceasta, sase bucati, pe cand cel cu trei paini ar fi avut noua. In total, au fost deci cincisprezece bucati. Cum au mancat la fel de mult, inseamna ca a mancat fiecare cate cinci bucati. Asta inseamna ca acela cu doua paini i-a dat strainului doar o bucata din cele sase ale lui, pe cand cel cu trei paini i-a dat patru bucati din cele noua ale lui. Care va sa zica, celui cu doua paini i se cuvine numai un leu din cei cinci pe care ii daduse strainul, iar celui cu trei paini i se cuvin patru lei, cate unul pentru fiecare bucata. Cel cu doua paini inapoie tovarasului sau un leu si pleca rusinat. Cel cu trei paini se mira tare de judecata cea dreapta si zise ca, daca ar fi toti judecatorii asa, cei care nu au dreptate nici nu ar mai veni pe la judecati.

Prelegerea consta in prezentarea de catre profesor a unui continut matematic in mod neintrerupt. Se prezinta definitii, proprietati, teoreme, demosntratii, algoritmi fara ca elevului sa i se adreseze vreo intrebare. Este recomandabil ca aceasta metoda sa fie cat mai rar folosita si doar, eventual la clasele terminale de liceu, cand elevii au o putere mai mare de concentrare si de pastrere a atentiei spre un obiect.

Explicatia consta in transmiterea unor cunostinte intr-un timp relativ scurt de catre profesor, in situatii cand elevul, pe baza cunostintelor anterior insusite, nu le poate descoperi singur. Este o metoda foarte des intalnita in predarea matematicii. Profesorul expune logic si argumentat modul lui de gandire iar elevii il urmaresc cautand sa-l inteleaga.

Pentru a mari eficienta explicatiei, este necesar ca profesorul sa prezinte continutul la nivelul de intelegere al elevilor, modul de expunere sa fie clar, si cu anumite pauze si, de asemenea, profesorul trebuie controleze daca este urmarit de elevi, observand mimica lor, sa uzeze de intrebari, repetitii si explicatii suplimentare.

Explicatia trebuie sa dezvolte la elevi imaginatia, ea trebuie sa fie clara si convingatoare. Metoda explicatiei se poate aplica la introducerea notiunilor (de exemplu: divizor, multiplu, numar prim), la descrierea unor algoritmi (de exemplu algortimul de determinare a c.m.m.d.c, de determinare a c.m.m.m.c).

Conversatia

Metoda conversatiei consta in dialogul dintre profesor si elev si se bazeaza pe intrebari si raspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adreseaza intrebari elevilor dar si raspunde la intrebarile acestora. Conversatia stimuleaza gandirea elevilor in vederea insusirii de cunostinte noi sau fixarea, sistematizarea cunostintelor si deprinderilor asimilate anterior. Conversatia ajuta la formarea rationamentului matematic la elevi, la realizarea obiectivelor formative ale invatarii matematicii.

Clasificarea formelor conversatiei:

Dupa numarul de indivizi carora li se adreseaza intrebarea conversatia poate fi:

individuala: intre profesor si un singur elev

frontala: intrebarile se adreseaza intregii clase, iar raspunsurile vin de la elevi diferiti

Dupa momentul in lectie conversatia este:

introductiva: folosita in momentele captarii atentiei si reactualizarii cunostintelor anterioare

folosita in scopul transmiterii de cunostinte noi: desfasurata in evenimentul de dirijare a invatatrii

folosita pentru fixarea noilor cunostinte

folosita pentru recapitulare

folosita in procesul evaluarii cunostintelor elevilor

Dupa tipul de rationament efectuat de elev cand da raspunsul, conversatia este:

euristica: cand intrebarile se adreseaza gandirii si o dirijeaza spre efectuarea de rationamente, judecati

catehetica: cand intrebarile se adreseaza memoriei iar raspunsurile sunt reproduceri de definitii, formule, reguli.

In cadrul conversatiei este foarte important ca intrebarile pe care le formulam sa fie precise, sa nu fie vagi, sa vizeze un singur raspuns si sa nu contina raspunsul, sa nu ceara raspunsul prin „da” sau „nu”, sa contribuie la dezvoltarea gandirii, adica sa fie instructive.

Metoda conversatiei determina dezvoltarea limbajului. Exprimarea matematica se realizeaza prin limbaj natural, terminologie matematica si simbolistca scrisa sau desenata. O importanta deosebita se va acorda limbajului matematic cu care se abordeaza conversatia, realizand unitatea lectiei dar netrecand peste o idee fara sa o contureze bine. Atentie se acorda atat limbajului oral cat si celui scris. Cand raspunsurile sunt gresite vor fi corectate imediat prin discutii mai ample din care profesorul va deduce si cauza greselii.

In formularea propozitiilor matematice se folosesc cuvinte care au acelasi sens ca in limbajul natural si altele care au sens diferit in matematica. Unele cuvinte specifice matematicii au trecut in limbajul uzual cu un inteles asemanator sau complet diferit. In definirea unor notiuni matematice, numite cu cuvinte care nu s-au intalnit de catre elev in limbajul cotidian pana atunci, se va insista asupra intelesului, semnificatiei si simbolisticii scrise si exprimarii orale. Efortul profesorului de matematica trebuie sa se indrepte spre folosirea corecta a limbajului simbolic (fara insa a abuza de acesta in defavoarea exprimarii textuale) si intelegerii continutului matematic redat in aceste simboluri.

Demonstratia matematica

Demonstratia matematica este o metoda de predare-invatare specifica matematicii si apare ca o forma a demonstratiei logice care consta intr-un sir de rationamente prin care se verifica un anumit adevar, exprimat prin propozitii.

Demonstratia matematica este metoda specifica de justificare a teoremelor si consta in arata ca, daca ceea ce afirma ipoteza are loc, atunci concluzia rezulta din ea in mod logic. In orice demonstratie ne putem baza numai pe axiome sau/si teoreme demonstrate anterior. Nu este admis sa fie utilizate propozitii/ proprietati care inca nu au fost demonstrate, acestea din urma putandu-se baza la randul lor chiar pe teorema de demonstrat.

In cartea sa Polya da un raspuns intrebarii daca trebuiesc prezentate demonstratii riguroase elevilor din invatamantul preuniversitar: „Da, trebuie s-o facem- daca nu suntem siliti, de cine stie ce conditii extrem de vitrege, sa coboram stacheta exigentei”

Elevul caruia nu i s-a dat niciodata ocazia de a fi impresionat de o demonstratie matematica a fost lipsit de una din trairile intelectuale de baza. Totusi, exagerarea cu demonstrarea riguroasa a tuturor aspectelor existente intr-o teorie in cadrul careia se incadreaza o lectie prezentata la clasa, fara a tine cont de nivelul specific clasei, poate duce din partea elevilor la o distantare de matematica.

Exemplu: Orice numar compus se scrie ca produs de numere prime, nu neaparat distincte. Scrierea este unica, facand abstractie de ordinea factorilor.

Prin descompunerea mai multor numere in produs de numere prime, profesorul poate arata elevului intuitiv veridicitatea teoremei. Insa este oare nevoie sa fie demonstrate aceasta teorema la gimnaziu sau chiar la liceu? Intr-un curs universitar despre teoria numerelor, s-ar putea sa fie esential sa se dea demonstratia acestei teoreme. Dar o asemenea demonstratie facuta unor elevi de gimnaziu, poate fi considerata inutila de catre acestia si-i poate indeparta de matematica.

In predarea-invatarea teoremelor trebuie sa se tina cont de urmatoarele aspecte:

-sa se asigure insusirea faptului matematic exprimat in teorema

-sa se desprinda ipoteza de concluzie

-sa se transcrie in simboluri matematice enuntul

Exista mai multe variante de demonstratie matematica:

Demonstratia prin analiza si sinteza

In demonstratia analitica, se porneste de la ceea ce se cere(concluzia), se prelucreaza echivalent concluzia pana se ajunge la o propozitie despre care se cunoaste ca e adevarata. Gandirea elevului e dirijata pentru a raspunde la intrebarea:”ce trebuie sa stiu pentru a dovedi ca?”/”de unde rezulta ce trebuie eu sa arat?”. Trebuie insistat aici pentru redactarea corecta a implicatiilor/echivalentelor.

Exemplu de aplicare a demonstratiei analitice: Daca numarul natural a are un numar par de divizori naturali, atunci a nu este patrat perfect.

Dem: Vom demonstra ca numarul divizorilor oricarui patrat perfect este impar. Pentru acestea, ne amintim ca, daca este descompunerea in factori primi a numarului a , atunci numarul divizorilor lui a este . Cum a este patrat perfect, numerele sunt pare toti factorii sunt numere impare este numar impar.

In demonstratia sintetica se porneste de la ipoteza si se ajunge , pas cu pas la concluzie. Elevul trebuie sa raspunda la intrebarea “daca stiu…, ce pot sa aflu?”,”ce rezulta din ipoteza data?”

De cele mai multe ori se combina analiza cu sinteza.

Demonstratia prin reducere la absurd

Metoda reducerii la absurd consta in demonstrarea propozitiei contrara reciprocei (non B non A), care are aceeasi valoare de adevar cu propozitia (teorema) directa.

Rationamentul metodei consta in urmatorii pasi:

se neaga concluzia propozitiei de demonstrat

se efectueaza, pornind de la ipoteza propozitiei si ipoteza contrarei reciprocei, , un sir de rationamente corecte.

in urma acestor rationamente ajungem la o propozitie care este falsa.

Metoda reducerii la absurd constituie o problema de logica destul de dificila pentru o categorie destul de numeroasa de elevi, de aceea este recomandabil sa se ilustreze metoda printr-un numar insemnat de probleme, incepand cu cele mai simple in care ipoteza si concluzia propozitiei date contin cate o singura conditie. Tentatia elevilor de a se opri la pasul „contradictiei” trebuie corectat cerandu-li-se sa explice in ce consta aceasta si ce rezulta in urma demosntratiei.

Exemplu: Vom exemplifica cu o celebra demonstratie prin reducere la absurd care apartine lui Euclid, matematician grec care a trait in jurul anului 300 i. HR..

Exista o infinitate de numere prime.

Dem: Presupunem ca exista doar o multime finita de numere prime. Atunci exista un cel mai mare numar prim p. Asezam numerele prime intr-un sir crescator: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…, p.

Consideram numarul .

Cum q este mai mare decat cel mai mare numar prim p, inseamna ca q este numar compus, deci el se divide cu un numar prim, adica cu unul dintre numerele 2, 3, 5, ….p.

Dar, pe de alta parte, se observa ca q da restul 1 la impartirea cu fiecare numar prim. Deci, presupunerea ca exista un numar finit de numere prime ne-a condus la contradictie. Rezulta ca exista o infinitate de numere prime.

Demonstratia prin metoda inductiei matematice.

Metoda de rationament prin care se realizeaza trecerea de la propozitii particulare la propozitii generale se numeste inductie.

Daca o propozitie care se refera la o multime infinita de elemente este adevarata in unele cazuri particulare, atunci, pentru demonstratia sa, se poate utiliza o metoda speciala de rationament numita metoda inductiei matematice.

Este folosita pentru demonstrarea unei propozitii P(n) care depinde de un numar natural oarecare . Se parcurg cele doua etape:

-etapa de verificare:se arata ca propozitia P() este adevarata

-etapa de demonstratie(Sau pasul de inductie) . Se demonstreaza implicatia P(k)→P(k+1),, adica, se presupune ca P(k) este adevarata(unde k este oarecare) si se arata ca, in acest caz, si P(k+1) ramane adevarata.

Exemplu: Să se demonstreze ca numărul 72n – 1 este divizibil cu 48,  pentru orice .

Fie P(n) = 72n – 1, .

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1) = 72 – 1 = 49 – 1 = 48 ⋮ 48 (A) => P(1) ⋮ 48 (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este divizibil cu 48.

P(n) ⋮ 48 (A) => 72n – 1 = 48·a => 72n = 48a + 1

* Observați că am scos 72n separat, expresia obținută fiind folosită la pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

P(n+1) = 72(n+1) – 1 = 72n+2 – 1 = 72n·72 – 1 = 72·(48a+1) – 1 = 49·48a + 49 – 1 = 49·48a + 48 = 48·(49a +1) ⋮ 48 => P(n+1) ⋮ 48 (A)

* Observați că pe parcurs am înlocuit 72n cu expresia obținută la pasul 2.

Metoda exercitiului

Presupune efectuarea conștientă și repetată a unor acțiuni și operații cu scopul fixării noțiunilor, formării unor deprinderi, dezvoltării unor capacități intelectuale.

Metoda exercitiului se regăsește in fiecare lectie de matematica, in toate momentele lectiei :

-în cadrul etapei de reactualizare : pregatesc si usureaza asimilarea noilor cunostinte

-în etapa de prezentare a noului material: determina descoperirea de catre elev de notiuni, proprietati, algoritmi

-în etapa de fixare a cunostintelor:se asigura fixarea, asigurarea retinerii si a transferului

-în etapa de evaluare a performanței:verificarea cunostintelor se realizeaza tot prin exerciții

În rezolvarea unui exercițiu avem urmatoarele etape:

-analiza inițială:se citeste cu atentie textul, se face un plan de rezolvare

-rezolvarea propriu-zisa

-verificarea

Tipuri de exerciții:

-de recunoastere a unor notiuni

-de aplicare a unor formule/algoritmi

-de autoinstruire, prin care se urmareste insusirea de cunostinte noi pornind de la cele anterioare-anumite teoreme pot fi puse sub forma de exercitiu;

Metoda exercițiului poate fi combinata cu munca independenta a elevilor: rezolvarea exercitiilor de toti elevii in caietele lor, în timp ce un elev desemnat de profesor explică cu voce tare ce lucreaza, permitand clasei efectuarea unui autocontrol. Acest lucru mobilizeaza toti elevii pentru a fi mai atenti si pentru a lucra, deoarece în orice moment, oricare din ei poate fi invitat sa continue.

O alta variantă este rezolvarea independenta a exercitiilor in caiete, si discutarea lor la tabla dupa un timp anuntat. Aici avantajul este că exercițiile pot fi date diferențiat, pentru a permite elevilor să lucreze la capacitatea lor.

Metoda muncii cu manualul si cu alte auxiliare matematice

Este o forma de munca independenta utilizata în scopul studierii și asimilării de cunoștinte noi din texte scrise de matematică: manuale, culegeri de probleme, reviste de matematica.

Manualul scolar este principalul suport de invatare pentru elev, si constituie un ghid si pentru profesor, in pregatirea pentru lectie. Invatarea din manual presupune un efort propriu din partea elevului, permite o acomodare cu o exprimare riguroasa in limbaj matematic, dezvolta capacitatea de rationament,formeaza deprinderi de activitate intelectuala. Manualul trebuie sa fie accesibil si adaptat nivelului elevilor cu care se lucreaza.

Metoda poate fi utilizata sub diferite forme:

-profesorul poate face la tabla demonstratia unei teoreme/rezolvarea unei probleme printr-o anumita metoda, apoi le cere elevilor sa studieze din manual demonstratia prin alta metoda, urmand ca la final sa se compare metodele folosite

-profesorul poate introduce o notiune sau teorema la clasa si apoi sa lase elevilor studiul unor consecinte/proprietati din manual sau alte auxiliare, exemplu: se predau criteriile de divizibilitate cu 2,3,5,9,10,25 si se cer elevilor alte criterii de divizibilitate: 7, 11, 13, 37, etc. Elevul va face un conspect, care va fi apoi controlat de profesor.

-tema pentru acasa este o alta ocazie de munca independenta din manual sau alte auxiliare, este recomandat ca profesorul sa ceara elevilor sa studieze schite de teorie/exercitiile rezolvate din manual inainte de a trece la rezolvarea propriu-zisa a temei.

Bineinteles, nu trebuie utilizata excesiv aceasta metoda, insa ea ajuta la realizarea unui obiectiv fundamental al predarii matematicii, si anume de „a-l invata pe elev cum sa invete”.

Un manual bun trebuie:

– sa respecte programa scolara,

– sa puna accent pe elementele esentiale de continut si sa nu contina detalii nesemnficative, s

-a aiba un limbaj matematic riguros, dar si adaptat varstei elevilor

-sa aiba suficiente exercitii si probleme, gradate pe nivel de dificultate

-ideile importante sa fie marcate sugestiv

-sa aiba rezumate teoretice, teste de evaluare la finalul fiecarui capitol, precum si probleme pentru recapitulare finala s au pregatirea examenelor.

Problematizarea

In activitatea sa didactica, profesorul de matematica foloseste diverse tehnici prin care elevul nu este pus in situatia de a recepta cunostinte gata sistematizate ci il stimuleaza sa gandeasca si sa lucreze prin eforturi personale.

Situatiile create de professor prin care elevul este determinat ca prin actvitate proprie sa gaseasca definitia unei notiuni, enuntul unei propozitii matematice (proprietate a notiunii), un algoritm de calcul sau o noua metoda de demonstratie se numesc situatii-problema.

In predarea problematizata profesorul, prin intrebari si prezentare a materialului de invatare, da posibilitatea elevului sa asimileze prin exercitiu niste scheme fundamentale de abstractizare, de conceptualizare, de rationament si interpretare. Aceste stari sunt situatii- problema.

In pedagogie sunt descrise unele dintre aceste situatii-problema astfel:

Dezacord (conflict, contradictie) intre cunostintele anterioare ale elevului si conditiile noi de rezolvare a unei probleme;

Selectarea din cunostintele anterioare a acelora cu valoare operationala, adica elevul este pus in fata unei contradictii intre modul de rezolvare posibil din punct de vedere theoretic si imposibilitatea lui de aplicare practica;

Incadrarea cunostintelor anterioare intr-un sistem, constientizarea ca acest sistem nu este intotdeauna operational si de aici necesitatea completarii lui;

In predarea-invatarea matematicii prin problematizare, profesorul are ca scop principal sa-I faca pe elevi sa gandeasca si mijlocul il reprezinta rezolvarea de catre ei a problemelor care cer un anumit grad de creatie, de nerutinare. Din punct de vedere pedagogic problemele trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii esentiale:

sa aiba sens, sa tina seama de cunostintele anterioare ale elevului;

sa fie adresate in cel mai oportun moment din punct de vedere al elevului;

sa trezeasca interesul si sa solicite efort din partea elevului;

Rezolvarea de problem trebuie privita ca pe un process prin care elevul descopera ca o combinatie de reguli invatate anterior o poate aplica pentru a ajunge la o solutie referitoare la o noua situatie problematica.

Din acest punct de vedere, etapele in rezolvarea unei situatii-problema sunt:

prezentarea situatiei- problema (verbal, scris, table, grafic) de catre profesor;

definirea problemei de catre elev, adica distingerea caracteristicilor esentiale ale situatiei, insusirea enuntului, gasirea legaturii dintre date;

formularea de ipoteze de catre elev care pot fi applicate in vederea unei solutii;

realizarea verificarii ipotezelor sau a unor ipoteze successive de catre elev pana gaseste una care sa-l conduca la solutia cautata;

Prin aplicarea in predare a problematizarii, rezultatul final este intotdeauna descoperirea solutiei de catre elev a problemei propuse.

Invatarea centrata pe problem este o directive relative noua in educatie, care vizeaza o contextualizare a invatarii, incitand elevii la considerarea si rezolvarea de problem ale lumii reale. In acest context, directiile de rezolvare pot fi diferite si pot conduce la mai multe clase de solutii.

Succesiunea sarcinilor in invatarea centrata pe problem este:

determinarea de catre elevi a existentei sau non-existentei unei probleme;

definirea problemei cu exactitate; identificarea informatiilor de care au nevoie pentru a intelege problema;

identificarea resusrselor de care au nevoie pentru a colecta informatia necesara;

generarea unor posibile solutii la problema;

prezentarea solutiilor (eventual prin sustinerea unei variante).

Exemple:

Dupa ce se preda lectia c.m.m.m.d.c a doua numere naturale se propune urmatoarea problema:

Unui grup de copii i se distribuie rechizite scolare in mod egal astfel: 112 culegeri; 126 caiete; 42 stilouri si 84 creioane. Aflati numarul elevilor din grup stiind ca acesta este cel mai mare posibil.

La o astfel de cerinta, care ascunde destul de bine notiunea care trebuie aplicata, majoritatea elevilor ori vor spune ca nu stiu sa rezolve ori vor indica un raspuns gresit fara prea multe cautari. Insa, pentru a ajuta elevii sa observe ca problema este rezolvata daca ei calculeaza c.m.m.d.c al numerelor 112; 126; 42; 84 profesorul poate interveni cu intrebari ajutatoare care sa puna in evidenta faptul ca rechizitele se distribuie in mod egal cat si faptul ca problema cere cel mai mare numar posibil. Profesorul poate intreba de exemplu ce va reprezenta numarul de elevi pentru toate numerele care indica rechizitele.

Dupa predarea lectiei c.m.m.m.c a doua sau mai multor numere naturale se poate propune elevilor urmatoarea problema:

Trei frigidere sunt pornite la ora 6. Primul frigider functioneaza 6 minute si sta 18 minute, al doilea functioneaza 9 minute si sta 21 de minute, iar al treilea functioneaza 5 minute si sta 13 minute. La ce ora cele trei frigidere vor porni din nou, in acelasi moment?

La fel ca si in cazul precedent profesorul va trebui sa ghideze prin intrebari elevii pentru ca acesti sa-si dea seama ca au de fapt de calculat c.m.m.m.c a trei numere naturale. Apoi va trebui sa-I ajute pe elevi sa-si dea seama ca cele trei numere sunt : 24 (6+18); 32 (9+21) si 18 (5+13).

Modelarea matematica

Aproape toate ramurile matematicii clasice sau moderne sunt utilizate in modelarea fenomenelor vietii.

Modelarea matematica poate fi privita ca fiind o metoda de rezolvare a unor probleme din diverse domenii de activitate umana, folosind instrumentele matematice.

Procesul de modelare matematica are urmatoarele etape:

etapa construirii modelului matematic: atasarea unei probleme matematice cat mai adecvata, bogata in informatii, dar simpla si optimala, care sa descrie situatia practica de rezolvat

rezolvarea problemei-model cu mijloace matematice

interpretarea rezultatului matematic obtinut din punctul de vedere al problemei initiale de rezolvat.

Elevii trebuie invatati, pe langa partea teoretica, sa construiasca modele ale unor fenomene reale. Nu este suficient, de exemplu, ca elevul de clasa a VI-a sa stie sa calculeze c.m.m.d.c sau c.m.m.m.c sau sa reproduca criteriile de divizibilitate, trebuie sa-l invatam sa „vada” notiunile de divizibilitate in lumea inconjuratoare. Astfel poate creste interesul si motivatia pentru matematica, un obiect privit de elevi ca fiind destul de abstract.

Exemplu: Dacă elevii unei clase formează echipe de câte 3, rămân 2 elevi fără echipă, iar dacă formează echipe de câte 2, rămâne fără echipă un elev. Aflați numărul minim de elevi al clasei, știind că în clasă nu pot fi mai puțin de 25 elevi.

Solutie: Notam cu x numarul elevilor din clasa. Atunci ; .

.

Adunăm 1 la fiecare dintre cele două relații și obținem:

elevi.

Algoritmizarea

Metoda frecvent utilizata in cadrul activitatii didactice la matematica, algoritmizarea presupune existenta unor scheme logice care sa permita rezolvarea unor sarcini de lucru. Algoritmii reprezinta un grupaj de scheme procedurale , o suita de operatii standard pin parcurgerea carora se rezolva o serie mai larga de probleme asemanatoare.

Algoritmizarea reprezinta o metoda didactica de invatamant care angajeaza un lant de exercitii dirijate, integrate la nivelul unei scheme de actiune didactica standardizata, care urmareste indeplinirea sarcinii de instruire in limitele demersului prescris de profesor in sens univoc.

Reusita metodei depinde de capacitatea algoritmilor pedagogici alesi de a interveni ca modele operationale care eficientizeaza activitatea de invatare prin intermediul aplicarii unor reguli, formule sau coduri de actiune didactica exacte si riguroase.

Specificul algoritmilor didactici rezulta din contextul pedagogic in care are loc actiunea automatizata, in alte situatii aceasta actiune nu presupune intelegerea operatiilor si a mecanismelor sale specifice.

Activitatea didactica solicita insa actiuni automatizate care trebuie nu doar intelese de catre elev, ci si construite uneori de acesta prin angajarea directa a proceselor sale cognitive superioare. Valorificarea algoritmilor didactici implica rationalizarea procesului de instruire la nivelul unui invatamant programat care conduce elevul spre rezultat pe caile cele mai eficiente. Angajarea lor in actiuni de instruire programate pe calculator stimuleaza dezvoltarea psihologica a elevului prin inlantuirea operatiilor prezentate intr-o ordine foarte determinata care permite rezolvarea unei probleme sau a unei clase de probleme.

Clasificarea algoritmilor didactici poate fi realizata prin raportare la criteriul clasic propus de psihologul rus Landa, care vizeaza continutul obiectivelor operationale propuse. In aceasta perspectiva pot fi delimitate doua categorii de algortimi didactici:

algoritmi de identificare, care avanseaza o lista de intrebari ierarhizate special pentru sesizarea clasei de probleme in vederea elaborarii unei anumite clasificari cu valoare de sinteza;

algoritmi de rezolvare, care avanseaza o succesiune de operatii necesare pentru evaluarea exacta a unei situatii de instruire in vederea elaborarii unei decizii eficiente;

Dezvoltarea acestui criteriu la nivelul sarcinilor de proiectare curenta a lectiei permite evidentierea urmatoarelor tipuri de algoritmi didactici:

algoritmi de sistematizare a materiei, aplicabili prin intermediul unor reguli de definire a conceptelor, principiilor, legilor; de realizare a judecatilor si rationamentelor; de stapanire a formulelor; de analiza- sinteza a teoriilor;

algoritmi de rezolvare a problemelor, aplicabili prin intermediul unor reguli si ipoteze de lucru, de calcul, de proiectare, de investigatie, etc;

algoritmi de consolidare a cunostintelor dobandite, aplicabili prin reguli de proiectare si perfectionare a unor deprinderi intelectuale, sociale sau psihomotorii;

algoritmi de optimizare a unor capacitati, aplicabili prin reguli de perfectionare a standardelor de rezolvare a unor probleme;

algortimi de creatie, aplicabili prin reguli de rezolvare a unor situatii-problema, exprimate la nivelul unor tehnici de gandire divergenta productiva;

algoritmi de programare a materiei, aplicabili pin reguli de ierarhizare a secventelor didactice la nivelul unor coduri specifice

In functie de aceste clasificari, se observa ca algoritmizarea poate fi folosita cu succes in orice moment al lectiei.

In cadrul capitolelor de divizibilitate predate in gimnaziu sunt intalniti urmatorii algoritmi:

algoritmul de verificare a faptului daca un numar este prim sau compus

algoritmul de calcul a c.m.m.d.c a doua sau mai multor numere

algoritmul de calcul a c.m.m.m.c a doua sau mai multor numere

Metoda invatarii pe grupe

Constă în faptul că sarcinile de lucru sunt executate de grupe de elevi și presupune o activitate comună în cadrul aceluiași grup. Urmărește și dezvoltarea responsabilității individuale cu efect asupra grupului.

Grupele pot fi omogene(formate din elevi cu acelasi nivel de pregatire) si atunci favorizeaza lucrul diferentiat/obtinerea de performante sau eterogene(formate din elevi de toate categoriile) cae au si ele avantajul ca elevii mai slabi pot fi ajutati de cei mai buni in asimilarea materiei. Randamentul maxim este oferit de grupe formate din 4-6 elevi.

Activitatea pe grupe are următoarele etape:

formarea grupelor și repartizarea materialului de lucru

munca independentă a grupului

discuția în comun a rezultatelor obținute

Activitatea profesorului cuprinde:

etapa de pregătire a materialului și de repartizare a lui

etapa de îndrumare și supraveghere a activității în fiecare grup.

Ajutorul acordat grupului se face la cerere sau atunci cand se apreciaza o neincadrare in timp/evolutia nesatisfacatoare.

La sfarsitul activitatii se prezinta la tabla rezolvarea, se fac aprecieri si se poarta discutii privind corectitudinea si variantele de rezolvare.

Profesorul trebuie sa traga concluziile de incheiere. Deseori este utila crearea unui mediu competitional intre grupuri, acesta sporeste interesul si anima activitatea.

Pentru grupele care au terminat mai repede, profesorul trebuie să aiba pregatite sarcini suplimentare.

Aceasta metoda prezinta riscul ca anumiti elevi sa nu ia parte la activitatile din grup si avantajul ca permite o mai buna comunicare si cooperare intre elevi.

Metode de invatare active

În epoca actuala se pune accent pe formarea de competente, adica acele ansambluri structurate de cunostinte si deprinderi dobandite prin invatare, care permit identificarea si rezolvarea unor probleme specifice, in contexte variate. Invatarea nu mai poate avea ca unic scop simpla memorare si reproducere de cunostinte. O invatare eficienta presupune explicarea si sustinerea unor puncte de vedere proprii, precum si realizarea unui schimb de idei cu ceilalti.

Folosirea excesivă doar a modului de predare traditional, prin prelegere produce invatare intr-o mica masura si determina de multe ori o atitudine pasiva din partea elevilor. De fapt, predarea traditionala presupune ca toti elevii pot asimila aceleasi informatii, in acelasi ritm, ceea ce este departe de realitate.

Pentru elevi este insuficient daca, în timpul unei ore, asculta explicatiile profesorului si urmaresc demonstratiile. Este mult mai eficient daca ei participa in mod activ la procesul de invatare. In pratica didactica s-a observat ca elevul retine doar 10-30% din ceea ce vede/aude, si pana la 90% daca face un lucru de care este interesat, la care participa activ.

Aceste metode active necesita insa mai mult efort din partea profesorului pentru pregatire. Ele fac insa lectiile mai interesate, cresc motivatia elevilor si asigura adaptarea la potentialul fiecarui elev. De aceea este recomnadat ca profesorul sa tina seama de urmatoarele aspecte:

daca folositi pentru prima data o anumita metoda, aplicarea acesteia de catre elevi, respective, gestionarea timpului si a rezultatelor de catre professor pot cauza o concentrare mai mica asupra problemei esentiale la care vrem sa-i facem pe elevi sa se gandeasca;

pentru a evita situatia prezentata anterior, este de preferat sa prezentati metoda la o tema mai simpla, inainte de a o folosi la o tema complexa;

folositi o anumita metoda de cel putin trei ori intr-un an scolar, notati de fiecare data constatarile si recitite-le inainte de a aplica din nou metoda.

Brainstoming

Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați.

Un brainstorming durează în jur de o jumătate de oră și participă în medie 10 elevi sau grupuri de minim 10 elevi. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile. O variantă a brainstormingului este brainwritingul. O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.

Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele: deschiderea sesiunii de brainstorming, o perioadă de acomodare de 5-10 minute, partea creativă a brainstormingului, prelucrarea ideilor și stabilirea unui acord.

În deschiderea sesiunii de brainstorming se prezintă scopul acesteia și se discută tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate.

Perioada de acomodare durează 5-10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în atmosfera brainstormingului. Este o mini-sesiune de brainstorming unde participanții sunt stimulați să discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior.

Partea creativă a brainstormingului are o durată de 25-30 de minute. Este recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas. Să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai acorde câte 3-4 minute în plus. În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie stimulați să-și spună părerile fără ocolișuri.

La sfârșitul părții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse.

Pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s-au pliat cel mai bine pe conceptul dezbătut.

Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare a procesului în sine.

Metoda creativă denumită brainstorming are o lungă istorie, dar ea a fost reactivată de profesorul Alex Osborne, prorector la Universitatea Buffalo și fondator al Institutului de Creație Tehnică, USA.

Fiecare dintre noi este o persoană creativă sau are anumite laturi creative. De multe ori ideea este “omorâtă” chiar de către creatorul ei de frica înfruntării criticilor colegilor săi, de teama de a nu se face de râs. Autocritica distruge momentul în care o idee creativă este irosită înainte de a prinde viață. Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică.

Vă recomandăm 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:

Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.

Nu judecati ideile celorlalti si nici chiar ale voastre pana la incheierea procesului de brainstorming. Nu exista idei proaste si idei bune. Evitati judecarea ideilor, cee ace inseamna atat criticarea cat si laudarea lor. Ideile mai slabe pot fi valoroase prin faptul ca pot da nastere la alte idei mai bune.

Încurajați ideile nebunești sau exagerate.

Este mai usor sa imbalnzesti o idee exagenarata decat sa te gandesti imediat la una ce poate fi pusa in aplicare imediat. Ideile bizarre, extreme si caudate duc la rezultate nevazute inainte. Ganditi solutii nebunesti si vedeti in ce se transforma. Nu exista idei ridicole.

Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.

La sfarsitul intalnirii cee ace conteaza este numarul de idei. Cu cat sunt mai multe, cu atat exista o sansa mai mare de a gasi o idee buna. Nu va limitati gandirea la solutii “de calitate”, pentru ca veti ramane constransi in gandire. Notati fiecare idee, dar fara detalii nefolositoare. Ganditi repede si reflectati mai tarziu.

Notați tot.

Fiecare idee va fi notata. In cazul in care numarul de participant la brainstorming va fi mai mare de 15-20 elevi le vor fi distribuite carnetele de notite pe care isi vor nota toate ideile. La sfarsitul intalnirii aceste carnetele vor fi adunate iar toate ideile vor fi centralizate. In cazul in care numarul de participant se va situa sub numarul de 15 se va delega un elev care va avea rolul de a nota toate ideile create in timpul sedintei de brainstorming.

Fiecare elev este la fel de important.

Bu exista sefi si subaltern. Nu exista coorodnatori. Nu exista elevi “mai creativi” si elevi mai putin creativi”. Fiecare elev participant are o perspectiva unica asupra situatiei si aceasta perspectiva este la fel de valoroasa ca cea a elevului de langa el. Ideile nascute dunt ideile grupului si fiecare elev are aceeasi importanta in nasterea ideii. Oferiti idei chiar si numai pentru a da sansa colegilor de a crea alte idei bazate pe ce ati creat. Incurajati participarea tuturor elevilor.

Nașteți idei din idei.

Adaugati ganduri la fiecare idee. Ascultati cu atentie ideile celorlalti si dezvoltati-le. Incercati sa combinati ideile deja prezentate pentru a explora noi perspective. Este la fel de important sa “brodati” pe ideile colegilor ca si crearea ideii initiale. Construiti si dezvoltati ideile celorlalti. Dar nu criticati.

Nu vă fie frică de exprimare.

Nu va simtiti ingraditi de posibilele critici ale colegilor. Brainstormingul este un process in care participantii au ales sa nu judece ideile celorlalti. In acest caz orice idee, oricat de ciudata, oricat de nebuneasca sau de exagerata va fi luata pur si simplu ca o idee. Exprimati toate ideile la care va puteti gandi.

Exemplu: Aplicarea metodei brainstormingului la rezolvarea unei problem de divizibilitate.

Etape:

Alegerea sarcinii de lucru

Produsul divizorilor naturali ai numărului natural n este egal cu . Scriind divizorii numărului n în ordine crescătoare , arătați că are cel puțin 11 cifre.

Solicitarea exprimarii, intr-un mod cat mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei.

Se va cere elevilor sa propuna strategii de rezolvare a problemei. Pot aparea , de exemplu, sugestii legate de folosirea unor formule stiute deja de elevi, care pot ajuta la rezolvarea problemei. Sub niciun motiv, nu se vor admite referiri critice. Lasati elevii sa propuna orice metoda le trece prin minte!

Inregistrarea tuturor ideilor in scris (pe tabla).

Anuntarea unei pauze pentru asezarea ideilor (de la 15 minute pana la o zi). Notati toate propunerile elevilor. La sfarsitul orei, puneti elevii sa transcrie toate aceste idei si cereti-le ca pe timpul pauzei, sa mai reflecteze asupra lor.

Reluarea ideilor emise pe rand si gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.

Pentru problema analizata, cuvantul cheie ar putea fi : divizor.

Analiza critica, evaluarea , argumentarea , contraargumentarea ideilor emise anterior.

Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate se solutii fezabile pentru problema supusa atentiei. Puneti intrebari de tipul: Am putea rezolva problema folosind relatia cu produsul divizorilor? Ce anume trebuie sa aratam?

Afisarea ideilor rezultate in forme cat mai variate si originale: cuvinte, propozitii, colaje, imagini, desene, etc.

Ca urmare a discutiilor avute cu elevii, trebuie sa rezulte strategia de rezolvare a problemei. Aceasta poate fi sintetizata sub forma unor indicatii de rezolvare de tipul:

descompunem numarul 210 in factori primi si luam numarul n de forma convenabila

calculam numarul de divizori ai lui n

aplicam relatia cu produsul divizorilor

calculam

Metoda mozaicului

Numita si „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (team-learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.

În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.

Există mai multe variante ale metodei mozaic iar noi vom prezenta varianta standard a acestei metode care se realizează în cinci etape.

1. Pregătirea materialului de studiu

Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional, poate stabili pentru fiecare sub-temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.

Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub-teme propuse și care va fi oferită fiecărui grup.

2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă)

Fiecare elev din echipă, primește un număr de la 1 la 4-5 și are ca sarcină să studieze în mod independent, sub-tema corespunzătoare numărului său.

El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu numărul 1 din toate echipele de învățare formate vor aprofunda sub-tema cu numărul 1. Cei cu numărul 2 vor studia sub-tema cu numărul 2, și așa mai departe.

Faza independentă: fiecare elev studiază sub-tema lui, citește textul corespunzător. Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea organizării mozaicului.

3. Constituirea grupului de experți

După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu acelați număr se reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu numărul 1, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub-tema cu numărul 1. La fel procedează și ceilalți elevi cu numerele 2, 3, 4 sau 5. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.

Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlați membrii din echipa inițială.

Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă de învățare. Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.

Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.

4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare

Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audio-vizuale, diverse materiale.

Specialiștii într-o sub-temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să pună întrebări și să-și noteze, fiecare realizându-și propriul plan de idei.

5. Evaluarea

Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.

Exemplu: Aplicarea metodei mozaicului la predarea criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3 la clasa a V-a.

Etape:

Împărțirea clasei a V-a în 4 grupuri eterogene de 6 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare notată cu câte o literă (A, B, C, D). Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi.

Se propune lecția „Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3” – clasa a V-a.

Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru și a modului în care se va desfășura activitatea.

În cazul analizat, subiectul analizat este „Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3”.

Regruparea elevilor, în funcție de litera fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au litera A vor forma un grup, cei cu litera B vor forma alt grup ș.a.m.d.

Așadar, unul dintre grupurile de „experți” va fi format din toți elevii care au primit, în cadrul grupului inițial de 6, Criteriul de divizibilitate cu 3.

Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experți. Elevii citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar.

Elevii din fiecare grup decid cum vor „preda”. Ei pot folosi exemple numerice, texte în vorbirea curentă, simboluri matematice.

Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membrii din grupul expert pentru secțiunea respectivă.

În fiecare grup, sunt astfel „predate” cele patru criterii de divizibilitate, cu exemple. În acest fel, fiecare elev devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru transmiterea corectă și completă a informațiilor. Este important să monitorizați această activitate, pentru ca achizițiile să fie corect transmise.

Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa / cu toți participanții.

Câteva exerciții bine alese de profesor vor evidenția nivelul de înțelegere a temei.

Metoda Mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în „profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

Investigatia

Investigatia ofera posibilitatea elevului de a aplica in mod creativ cunostintele insusite, in situatii noi si variate, pe parcursul unei ore sau unei succesiuni de ore de curs. Aceasta metoda presupune definirea unei sarcini de lucru cu instructiuni precise, intelegerea acesteia de catre elevi inainte de a trece la rezolvarea propriu-zisa. Prin aceasta elevul demosntreaza, si exerseaza totodata, o gama larga de cunostinte si capacitate in context variate.

Investigatia ofera, de asemenea, posibilitatea elevului de a se implica active in procesul de invatare, realizand permanente integrari si restructurari in sistemul operational propriu, cee ace confera cunostintelor un caracter operational accentuat.

Investigatia stimuleaza initiative elevilor pentru luarea deciziilor, oferind un nivel de intelegere mult mai profund asupra evenimentelor si fenomenelor studiate, otivand in acelasi timp elevii in realizarea activitatilor propuse.

Prin realizarea unei investigatii pot fi urmarite ca elemente esentiale:

intelegerea si clarificarea sarcinii de lucru

identificarea procedeelor pentru obtinerea informatiilor necesare

colectarea si organizarea datelor sau informatiilor necesare

formularea si testarea unor ipoteze de lucru

schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, daca este necesar

colectarea altor date, daca este necesar

motivarea optiunii pentru anumite metode folosite in investigatie

scrierea/prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigatiei

Exemplu: Cate fractii ireductibile contine multimea: ?

Evident raspunsul la aceasta intrebarea poate fi dat numarand numerele prime cu 2015. Aceasta se poate realiza foarte direct folosind indicatorul lui Euler:

de fractii ireductibile.

Proiectul

Este o metodă de învățare, dar și de evaluare complexă care se desfășoară pe perioade mai lungi(mai multe zile, saptamani sau chiar un semestru).

Profesorul stabileste tema, obiectivele si continutul proiectului si sugereaza elevilor un plan de lucru.

Proiectul ii da posibilitatea elevului de a asambla intr-o viziune personala cunostintele pe care le are, il antreneaza in activitati complexe de colectare de date, precum si de prelucrare si organizare a acestora intr-un mod original.

Exemplu: Realizati un proiect cu tema Criterii de divizibilitate si aplicatii ale lor in probleme.

Metoda cubului

Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.

Sunt recomandate următoarele etape:

Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.

Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.

Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una din fețele cubului.

• Descrie: culorile, formele, mărimile, etc.

• Compară: ce este asemănător? Ce este diferit?

• Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune.

• Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești?

• Aplică: ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?

• Argumentează: pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.

Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.

Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.

Aceasta metoda este potrivita pentru a fi aplicata la lectiile de recapitulare si sistematizare a cunostintelor.

Exemplu: La lecția de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor– Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale – clasa a VI-a.

Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare față diferit, iar fiecărei fețe
i-am asociat un verb, astfel:

În desfășurarea activității, am avut grijă să dau indicații unde a fost necesar, să soluționez situațiile în care nu toți elevii s-au implicat în cadrul activității în grup sau atunci când un elev a monopolizat toate activitățile.

Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul DESCRIE au avut următoarele sarcini:

– de enunțat definițiile pentru divizor, multiplu

– de enumerat criteriile de divizibilitate învățate

– de identificat numerele prime, numere prime între ele

– de stabilit relația între c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a două numere

Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul COMPARĂ au stabilit asemănări și deosebiri între criteriile de divizibilitate (cu 3 și 9; cu 4 și 25); între procedeele de calcul pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ au identificat dintr-o mulțime numerele divizibile cu 2, cu 3, cu 5, cu 10 și au completat spațiile punctate cu răspunsuri corecte.

Pentru grupa care a avut verbul ANALIZEAZĂ, sarcina de lucru a cerut ca elevii să analizeze în ce mod se poate forma un dreptunghi cu ajutorul unor betișoare de lungimi diferite și cine este câstigătorul unui joc.

Elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul ARGUMENTEAZĂ au avut de analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și chestiuni capcane. Le-am cerut să realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

Elevii din grupa verbului APLICĂ au avut un set de întrebări grilă în care au aplicat criteriile de divizibilitate, metodele de calcul a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., teorema împărțirii cu rest, etc.

Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20-25 minute), am aplicat metoda „turul galeriei”.

Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și-au prezentat sarcina de lucru și modul de realizare a ei, după care au acordat note materialelor realizate de celelalte grupe, urmând ca eu să discut împreună cu ei obiectivitatea notelor acordate și să corectez eventualele erori.

Ca PREMIU, fiecare echipă a primit câte un material informativ, astfel:

Echipa 1 – un material despre Arhimede

Echipa 2 – un referat despre criterii particulare de divizibilate (cu 7, cu 11, cu 13)

Echipa 3 – un material despre “Ciurul lui Eratostene”

Echipa 4 – un material informativ despre Aristotel

Echipa 5 – un referat despre Cantor

Echipa 6 – un material informativ despre repartiția numerelor prime

Fișa nr.1: Verbul „DESCRIE”

1. Enunțați definiția divizibilității numerelor naturale.

2. Enumerați criteriile de divizibilitate studiate.

3. Scrieți multimea divizorilor lui 24.

4. Identificați în mulțimea divizorilor numărului 24, divizorii proprii și divizorii improprii.

5. Stabiliți relația dintre c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a 2 numere naturale.

Fișa nr.2: Verbul „COMPARĂ”

1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență asemănări și deosebiri sau analogii între criteriile de divizibilitate cu 3 și 9; cu 4 și 25; cu 8 și 125.

2. Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și compară rezultatele, pentru numerele:

a) 324 și 432; b) 120; 201; 504; c)35 și 54.

Fișa nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”

1. În mulțimea A = {12; 35; 254; 4600; 180; 54; 37; 803} identifică numerele divizibile cu 2; cu 3; cu 5; cu 10.

2. Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:

a) pentru x {…….}.

b) pentru x {…….}.

c) pentru a + b {…….}.

Fișa nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”

1. Având 4 betișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, 5 betisoare cu lungimea de 2 dm fiecare, 7 betișoare cu lungimea de 3 dm fiecare și 8 betișoare cu lungimea de 4 dm fiecare, analizați dacă se poate forma un dreptunghi având așezate toate aceste betișoare cap la cap pe conturul său?

2. Doi jucători joacă următorul joc: ei aleg, pe rând, un divizor natural pozitiv al numărului 1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă nici unul din divizorii deja aleși până atunci. Primul care alege 1000 ca divizor pierde. Analizați ce se întâmplă dacă jocul se schimbă, în sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini divizori decât oricare din numerele anterioare alese. Analizați cine câștigă jocul.

Fișa nr.5: Verbul „ARGUMENTEAZĂ”

1. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor următoare, justificând răspunsurile:

a) Suma a două numere naturale pare este un număr par.

b) Suma a două numere naturale impare este un număr impar.

c) Dacă m N este divizibil cu 6 și cu 4, atunci m este divizibil cu 24.

d) Dacă m N este divizibil cu 17, atunci (15 m) este divizibil cu 51.

2. a) Găsiți un multiplu comun al numerelor 30 și 37. Arătați că orice multiplu comun al lor este divizibil cu produsul lor.

b) Este adevărată afirmația și în cazul numerelor 36 și 40? Justificați.

Fișa nr.6: Verbul „APLICĂ”

1. Aflați două numere naturale al căror produs este 26460, iar c.m.m.d.c. al lor este 14.

2. Există un număr care împărțit la 3 să dea restul 1, împărțit la 4 să dea restul 2, împărțit la 5 să dea restul 3, iar împărțit la 6 să dea restul 4?

3. Să se determine toate numerele naturale de 4 cifre, care împărțite la să dea câtul 10 și restul 12, știind că se divide cu 6.

4. Fie A mulțimea numerelor de forma divizibile cu 12 și B mulțimea numerelor de forma divizibile cu 15.

a) Să se determine mulțimile A si B.

b) Să se afle A B, A B, A – B, B – A.

O. Turul Galeriei

Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între elevi, care sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme. Această metodă presupune evaluarea interactivă și formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.

Astfel, turul galeriei constă în următoarele:

1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învățare) susceptibilă de a avea mai multe soluții (mai multe perspective de abordare).

2. Produsele muncii grupului se materializează într-o schemă, diagramă, inventar de idei etc.

notate pe o hârtie (un poster).

3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într-o galerie.

4. La semnalul profesorului, grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina soluțiile propuse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt scrise pe posterul analizat.

5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziția inițială, înainte de plecare) fiecare echipă își reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile și comentariile notate de colegi pe propriul poster.

Turul galeriei se folosește cu succes împreună cu metoda cubului, asa cum a fost folosita in exemplul anterior.

Metoda ciochinelui

Este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.

Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut. Reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.

Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:

1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.

2. Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.

3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii

între toate ideile care par a fi conectate.

4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.

Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:

Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.

Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.

Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.

Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.

Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:

• În etapa de reflecție elevii vor fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.

• Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile facilizându-se reținerea și înțelegerea acestora.

Exemplu: Metoda ciorchinelui aplicata la o lectia de recapitulare a capitolului divizibilitate:

Intrebarile puse de catre profesor elevilor sunt urmatoarele:

1.Un numar natural a este divizibil cu un alt numar natural b daca…… (gri)

2.Cum se noteaza a divizibil cu b? (visinie)

3.Criteriul de divizibilitate cu 2. (verde)

4.Dati exemple divizibile cu 2. (galben)

5.Criteriul de divizibilitate cu 3. (verde)

6.Dati exemple divizibile cu 3. (galben)

7.Criteriul de divizibilitate cu 4. (verde)

8.Dati exemple divizibile cu 4. (galben)

9.Criteriul de divizibilitate cu 5. (verde)

10. Dati exemple divizibile cu 5. (galben)

11. Criteriul de divizibilitate cu 9. (verde)

12. Dati exemple divizibile cu 9. (galben)

13. Criteriul de divizibilitate cu 10. (verde)

14. Dati exemple divizibile cu 10. (galben)

15. Criteriul de divizibilitate cu 25. (verde)

16. Dati exemple divizibile cu 25. (galben)

17. Ce este un numar prim? (albastru)

18. Dati exemple. (rosu)

19. Dar un numar compus? (albastru)

20. Dati exemple. (rosu)

21. Definiti c.m.m.d.c. Cum se noteaza? (mov)

22. Definiti c.m.m.m.c. Cum se noteaza? (mov)

Ciorchinele obtinut este prezentat pe pagina urmatoare:

Metoda Stiu/ Vreau sa stiu/ Am invatat

Metoda KWL , necesara in intelegerea unui text, este o metoda a gandirii critice care poate fi utila si in cazul audierii unei prelegeri. Cu grupuri mici sau cu intreaga clasa, se trece in revista ceea ce elevii stiu deja despre o anumita tema si apoi se formuleaza intrebari la care se asteapta gasirea raspunsului in lectie.

Pentru a folosi aceasta metoda puteti parcurge urmatoarele etape:

cereti-le la inceput elevilor sa formeze perechi si sa faca o lista cu tot ce stiu despre tema ce urmeaza a fi discutata. In acest timp, constuiti pe tabla un tabel cu urmatoarele coloane: Stiu/ Vreau sa stiu/ Am invatat;

cereti apoi catorva perechi sa spuna celorlalti ce au scris pe liste si notati lucrurile cu care toata lumea este de acord in coloana din stanga; poate fi util sa grupati informatiile pe categorii;

in continuare ajutati-i pe elevi sa formuleze intrebari despre lucrurile de care nu sunt siguri; aceste intrebari pot aparea in urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de curiozitatea elevilor; notati aceste intrebari in coloana din mijloc;

cereti-le apoi elevilor sa citeasca textul;

Dupa lectura textului, reveniti asupra intrebarilor pe care le-au formulat inainte de a citi textul si pe care le-au trecut in coloana „Vreau sa stiu”. Vedeti la ce intrebari s-au gasit raspunsuri in text si treceti aceste raspunsuri in coloana „Am invatat”.

In continuare, intrebati-i pe elevi ce alte informatii au gasit in text, in legatura cu care nu au pus intrebai la inceput si treceti-le si pe acestea in ultima coloana;

intoarceti-va apoi la intrebarile care au ramas fara raspuns si discutati cu elevii unde ar putea cauta ei aceste informatii;

in incheierea lectiei elevii revin la schema KWL si decid ce au invatat din lectie; unele dintre intrebarile lor s-ar putea sa ramana fara raspuns si s-ar putea sa apara unele noi; in acest caz intrebarile pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigatii ulterioare

Metoda KWL ii activeaza pe elevi, ii face constienti de procesul invatarii si ofera elevilor posibilitatea de a-si verifica nivelul cunostintelor. Prin acest exercitiu se incurajeaza participarea fiecarui elev prin constientizarea eventualelor lacune si prin motivarea acoperirii acestora, se stimuleaza atentia si gandirea si ofera posibilitatea elevilor de a-si dezvolta competentele necesare unei abordari compleze si integratoare.

Avantajele acestei metode sunt urmatoarele:

se clarifica ceea ce se stie, ceea ce nu se stie si ceea ce mai ramane de invatat

este o modalitate de invatare interactiva

mobilizeaza intregul colectiv al clasei

interdisciplinaritatea

este o metoda pragmatica de abordae a textului

Ca dezavantaje ale acestei metode amintim urmatoarele:

poate fi uneori time-consuming

nu se preteaza la absolut toate lectiile

Exemplu: Aplicarea metodei Stiu/ Vreau sa stiu/ Am invatat la lectia Criterii de divizibilitate:

Stiu:

Orice numar par se imparte exact la 2.

Un numar natural se imparte exact la 5 daca are ultima cifra 0 sau 5.

Un numar natural se imparte exact la 10 daca are ultima cifra zero.

Vreau sa stiu

Care este criteriul de divizibilitate cu 2,3,5,9,10

Am invatat

Criteriile de divizibilitate cu 2,3,5,9,10.

§4.Instruirea asistata de calculator si aplicarea ei in predarea divizibilitatii

Predarea matematicii poate beneficia din plin de dezvoltarea tehnologica din epoca moderna: folosirea calculatoarelor, tabletelor, resurselor Internet, a softurilor matematice, etc.

Instruirea asistata de calculator se poate folosi pentru: predarea unor lecții de comunicare de noi cunoștințe, aplicarea, consolidarea, sistematizarea noilor cunoștințe, verificarea automată a unei lecții sau a unui grup de lecții. Calculatorul – componenta hardware este utilizat ca suport tehnic, iar softul – componenta software este utilizat ca suport informațional.

Putem spune în acest context ca profesorul devine un consultant, un coordonator și un verificator al procesului didactic, el nemaifiind principala sursă de transmitere de cunoștințe. Și nu doar profesorul își pierde rolul principal. Concurat este și manualul, care nu mai este sursa informațională de bază, el devenind un mijloc de start care se completează cu informațiile obținute cu ajutorul calculatorului. Elevul este un adept al utilizării calculatorului în procesul didactic, mai ales în contextul ultimilor ani. Învățarea centrată pe elev devine baza instruirii asistate de calculator.

Mai mult, calculatorul devine un mijloc de intervenție directă în organizarea situațiilor de învățare, preluând o serie de sarcini legate de organizarea activităților de repetiție, de exersare, de evaluare ș.a. ușor transferabile acum asupra noii tehnologii. Sau, calculatorul poate îndeplini un rol tutorial, ajutând elevii să progreseze mai rapid și cu rezultate mai bune. Calculatorul poate fi considerat astfel un mijloc de informare, de exersare, de simulare, de aplicare și de consolidarea cunoștințelor, deosebit de util în procesul educațional.

Însă instruirea asistată de calculator îi oferă profesorului disponibilități de timp și posibilități de a folosi acest timp ocupându-se mai mult de organizarea învățării, de structurarea conținuturilor, de exersarea gândirii la elevi, de stimularea creativității acestora, aspecte adeseori neglijate până acum. Profesorului îi rămâne mai mult timp să se ocupe de cercetarea și rezolvarea pe această bază a problemelor specifice cu care se confruntă în cadrul procesului instructiv-educativ și, mai mult timp pentru perfecționarea proprie.

Avantaje și dezavantaje în instruirea asistată de calculator

In predarea lectiilor din capitolul divizibilitate la clasa a VI-a am folosit, instruirea asistata de calculator, alegand urmatoarele instrumente:

Platforma software AEL-este un sistem integrat de predare-învătare si management al continutului, menit sa sprijine procesul de invatamant, sa usureze invatarea, sa stimuleze creativitatea, sa suplimenteze metodele traditionale cu tehnologii noi.

Pentru predarea lectiilor din capitolul divizibilitate in de la clasa a VI-a am folosit pachetul de lectii Ael PL-MAT-6-3.

Platforma www.numere-prime.ro

Este o aplicatie care poate fi folosita pentru:

a descompune un numar natural in factori primi

a calcula c.m.m.d.c sau c.m.m.mc a doua numere

scrierea divizorilor unui numar natural

verificare a faptului daca doua numere sunt divizibile

verificare a faptului daca doua numere sunt prime intre ele

Utile in predarea capitolului divizibilitatea numerelor naturale sunt si softurile de pe site-ul www.sorinborodi.ro cum ar fi Divizibilon.

Jocul prime numbers & Divisibility poate fi folosit cu succes in cadrul unei lectii de consolidare si fixare la unitatea de invatare „Divizibilitatea numerelor naturale.

In continuare este prezentat un proiect de lectie care pune in evidenta acest lucru. Proiectul de lectie este creat de Fundatia Noi Orizonturi, in cadrul programului pilot Digitaliada al fundatiei Orange.

§5.Metode de evaluare a cunostintelor elevilor

Alături de predare și învățare, evaluarea este o componentă esențială a procesului de învățământ care furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia. Prin evaluare se stabilește dacă obiectivele au fost realizate iar informațiile obținute sunt folosite pentru reglarea și perfecționarea activității de predare-învățare.

Evaluarea școlară are urmatoarele etape:

-măsurarea rezultatelor, care constă în determinarea răspunsurilor corecte și a greșelilor

-aprecierea rezultatelor: acordarea notelor

-adoptarea masurilor de imbunatatire a procesului didactic si a rezultatelor viitoare

Evaluarea are doua functii principale:de constatare si apreciere precum si functia de diagnoza si prognoza-predicitia evolutiei ulterioare a elevilor.

Exista trei tipuri fundamentale de evaluare:

• Evaluare initiala:la inceputul unui ciclu de invatamant, an scolar ,semestru sau chiar unitate de invatare-are ca scop stabilirea nivelului de la care pornesc elevii in activitatea urmatoare. Ea este necesara datorita eterogenitatii clasei de elevi in ceea ce priveste cunostitele anterioare, abilitatile,posibilitatile de invatare a noilor cunostinte. Pe baza rezultatelor ei profesorul isi poate planifica eficient predarea noilor cunostinte, se poate adapta mai bine la nivelul clasei, poate sa insiste mai mult pe acele elemente necesare in abordarea noilor cunostinte, dar pe care elevii nu le stapanesc corespunzator.

• Evaluarea continua sau formativa insoteste in permanenta procesul didactic, contribuind la optimizarea lui. Presupune verificarea sistematica si continua a elevilor din tot continutul esential al invatarii. Avantajele sunt: asigurarea feed-back-ului atat pentru elevi cat si pentru profesor, posbilitatea modificarii stilului de invatare al elevului, daca rezultatele nu sunt multumitoare,identificarea la timp a aparitiei unor lacune.

In special la matematica , este foarte important ca elevii sa fie evaluati in permanenta, deoarece, prin structura materiei, orice gol sau lacuna in cunostinte ingreuneaza sau face chiar imposibila intelegerea lectiilor urmatoare, conducand la rezultate slabe.

• Evaluarea sumativa se realizeaza la sfarsitul unei unitati de invatare, semestru(in cazul tezelor), an scolar(teste de evaluare finala) sau ciclu de invatamant(examenele nationale) si permite aprecieri de bilant asupra nivelului de pregatire al elevilor cat si asupra procesului care a generat rezultatele elevilor.

Metodele traditionale de evaluare sunt probele orale si scrise.

Evaluarea orala este metoda cea mai des utilizata:permite realizarea unui control al cunostintelor si abilitatilor elevilor dupa fiecare lectie sau in lectiile de recapitulare. Avantajele sunt: existenta unei interactiuni directe dintre elev si profesor care-l poate ajuta pe elev prin intrebari auxiliare si indicatii de rezolvare, in cazul in care acesta intampina dificultati, deasemenea profesorul poate adecva mai bine sarcinile in functie de nivelul fiecarui elev, corectarea greselilor se realizeaza imediat. Dezavantaje:consum mare de timp, subiectivitate.

Evaluarea scrisa(extemporale, teste sumative, teze) au mai multe avantaje:testarea simultana a tuturor elevilor cu aceleasi sarcini de lucru, obiectivitate, permite elevilor sa rezolve cerintele in ritm propriu si un singur dezavantaj major:asigurarea feed-back-ului cu intarziere.

Exista si metode alternative de evaluare:investigatia, proiectul(care sunt simultan si metode de invatare si au fost tratate in capitolul corezpunzator), portofoliul, autoevaluarea.

Portofoliul este o metoda de evaluare complexa, integratoare care ofera o imagine de ansamblu asupra activitatii si evolutiei in timp a elevului. Se poate realiza sub forma unui dosar care cuprinde:

-rezultate la lucraru, teze

-rezolvari ale unor teme

-fise cu formule si notiuni

-solutii la probleme deosebite

-referate, etc.

Evaluarea portofoliului are in vedere:progresul inregistrat de elevi in intelegerea matematicii, motivatia sa, perseverenta, curiozitatea, abilitatea de a folosi instrumente matematice si a rezolva situatii-problema. Portofoliul este o carte de vizita a elevului si elimina tensiunea ce insoteste alte metode de evaluare traditionala.

Autoevaluarea-este o metoda prin care elevii isi apreciaza singuri valoarea activitatii prestate. Se poate realiza prin:

-autonotare controlata:elevul isi da intai o nota pentru propria prestatie care ulterior este ajustata de profesor, cu lamuririle de rigoare

-notarea reciproca:elevii isi apreciaza reciproc contributia la rezolvarea unei probleme.

Instrumentele de evaluare(itemii) se impart in: itemi obiectivi, semiobiectivi si subiectivi.

1)Itemii obiectivi sunt:

a)cu alegere duala: adevarat sau fals.

Stabileste valoarea de adevar pentru fiecare dintre propozitiile:

3 | 12 c) 6 5

101| 5005 d) 345117

b)intrebari tip grila

1.Cel mai mic numar prin de doua cifre este:

a) 10 b) 11 c) 12 d)13

2.Cel mai mic multiplu comun al numerelor 31 si 32 este:

a) 1 b) 32 c) 496 d) 992

3.Numarul natural a pentru care este:

a) 33 b) 50 c) 77 d) 165

4.Cel mai mare divizor propriu al numarului este:

a) b) c) d)

c)itemi de tip pereche

Inscrie in spatiul din stanga fiecarui item din coloana A litera corespunzatoare rezultatului corect din coloana B:

2)Itemii semiobiectivi:

a)cu raspuns scurt/de completare

Completeaza spatiile punctate:

1.Cel mai mare numar de forma divizibil cu 5 este …….

2.Cel mai mic multiplu de trei cifre al numarului 37 este …….

3.Cel mai mare divizor comun al numerelor 30 si 24 este……..

4.Descompunerea in factori primi a numarului 2100 este ……..

b)intrebari structurate

Exemple:

1.Un an este bisect daca este divizibil cu 4, exceptand cazurile cand este divizibil cu 100, fara a fi divizibil cu 400.

a)Da exemplu de un an care, desi este divizibil cu 4, nu este bisect;

b)Cati ani bisecti au fost intre 1701 si 2015?

2.Intr-o punga snt 121 de bomboane.

a) Pot fi impartite acestea in mod egal la 5 copii? Justifica;

b) Care este numarul maxim de copii la care pot fi impartite in mod egal bomboanele, astfel incat fiecare copil sa primeasca mai mult de o bomboana?

3.Fie .

a) Daca n=2, descompune numarul A , in factori primi;

b) Precizeaza, in functie de n , numarul de cifre al numarului A;

c) Arata ca ;

d) Afla valoarea lui n pentru care A are exact 50 de divizori naturali.

4.Un numar se divide cu 7 si prin impartirea la 3 si la 5 da resturile 1, respectiv 3. Afla:

a) cel mai mic numar cu aceste proprietati;

b) cate numere mai mici ca 5000 cu aceste proprietati exista;

c) suma numerelor mai mici ca 5000 cu aceste proprietati.

5.Impartind portocalele dintr-o lada in gramezi de cate 4, de cate 5 sau de cate 6, raman de fiecare data 3 portocale.

a) Verifica daca in lada pot fi 61 de portocale;

b) Determina numarul minim de portocale din lada, diferit de 3;

c) Afla numarul portocalelor din lada, stiind ca este cel mai mic numar de trei cifre cu proprietatile din enunt.

6.Fie . Arata ca:

a)

b)

c)

3)Itemi subiectivi-de rezolvare de probleme.

Rezolvarea de probleme este activitatea principala a procesului de instruire la matematica ce are ca scop dezvoltarea creativitatii, gandirii divergente, imaginatiei, capacitatii de analiza, sinteza, generalizare, capacitatii de a reformula o problema, etc.

Exemple:

1.Determina numerele naturale n pentru care .

2. Daca asezam portocalele dintr-o lada cate 5, raman 3 portocale, iar daca le asezam cate 7, raman 5 portocale. Afla numerul portocalelor din lada, stiind ca este cuprins intre 50 si 70.

3. Afla numerele prime x si y, stiind ca .

4. Fie si . Calculeaza .

5. Fie numarul natural , unde . Stiind ca are 16 divizori si are 15 divizori, afla nuamrul N.

6.Determina patratele perfecte de trei cifre divizibile cu 3 si cu 5.

7. Determina numerele de forma , daca: si .

§6. Cercetarea pedagogica

Cercetarea pedagogica este un demers sistematic de cunoastere, explicare si imbunatatire a fenomenului educational. Ea are ca punct de plecare constientizarea unei dificultati intampinate de profesor in activitatea la clasa, si urmareste in final sporirea eficientei activitatii si imbunatatirea rezultatelor.

In cadrul procesului de invatamant se manifesta o serie de variabile, aflate intr-o permanenta interactiune. Sarcina cercetarii pedagogice este de a incerca sa „descifreze” relatiile dintre ele, in scopul optimizarii rezultatelor.

În câmpul de acțiune al practicii educaționale intră:

Profesorul cu personalitatea sa, pregatirea sa metodica si de specialitate

Elevul(elevii) care, ca personalitate în formare, isi manifesta propriile particularitați si propriul potential

Conținutul învațământului cu elementele sale de constanță, dar și cu o anume dinamică ( în special în perioada de reformă )

Baza materială cu minusurile sale

O serie de alte variabile conjuncturale care pot avea infuențe importante asupra activitații educationale.

Relația dintre aceste elemente este complexă, dinamică și orice modificare a unuia dintre ele determină reacții în lanț asupra celorlalte.

Cercetătorul își îndreaptă atenția asupra uneia sau alteia dintre variabilele existente sau asupra raporturilor dintre ele, încearcă sa-i descifreze mecanismul de acțiune, particularitățile, sa-i stabilească infuențele și să optimizeze activitatea pe secvența avută în vedere.

Cercetarea pedagogica poate fi de doua tipuri:

-cercetare aplicativa: rezolva problemele educatiei curente pe termen scurt

-cercetare fundamentala, pe termen lung-concepe si proiecteaza educatia, invatamantul, scoala viitorului

In lucrarea de fata voi prezenta o cercetare aplicativa.

Deasemenea cercetarea se mai clasifica in:

-constatativa:urmareste cunoasterea si descrierea in detaliu a unei situatii educationale

-ameliorativa: are drept scop verificarea eficienței unor inovații – cu caracter mai accentuat sau mai puțin accentuat practic – ce se constituie ca ipoteze ale cercetarii.

Orice cercetare pedagogica presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

1)stabilirea temei de cercetare si a obiectivelor

2)asigurarea documentatiei

3)formularea ipotezei de lucru

4)organizarea propriu-zisa a cercetarii:

– stabilirea perioadei de cercetare;

– precizarea locului de desfășurare a cercetării și a eșantionului de subiecți;

– stabilirea metodelor de inregistrare si prelucrare a datelor;

– aplicarea intervențiilor preconizate si urmărirea rezultatelor obținute;

5) prelucrarea si interpretarea datelor

6) formularea concluziilor

Ipoteza de cercetare pedagogica este o presupunere privind desfasurarea in perspectiva a unui proces educational in scopul obtinerii unor rezultate mai bune, a unei optimizari a fenomenului studiat

Metodele folosite în cercetarea pedagogică sunt:

I. Metoda observației – constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele in condițiile obișnuite;

II. Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea procesului instructiv-educativ, cu scopul imbunatatirii rezultatelor

Experimentul educativ are trei faze:

etapa pregătitoare;

etapa de efectuare;

etapa de evaluare.

III. Metoda convorbirii – constă dintr-un dialog între cercetator și subiecții investigați;

IV. Metoda chestionarului – este o anchetă care se desfasoară pe baza de chestionar scris;

V. Metoda cercetării documentelor școlare;

VI. Metoda analizei produselor activitații școlare;

VII. Teste psihopedagogice;

VIII. Metoda interevaluarii elevilor;

IX. Tehnici sociometrice.

Cerintele unei cercetari pedagogice eficiente:

-inregistrarea corecta a datelor

-investigarea unui numar suficient de cazuri, care sa se justifice din punct de vedere statistic(loturi reprezentative de elevi)

-asigurarea cadrului natural al situatiilor pedagogice de investigatie(activitatea sa fie inclusa in ore normale)

Pentru ca măsurarea sa fie cât mai reală este necesar să determinăm caracteristicile fenomenelor ce urmează a fi masurate și să folosim cel mai potrivit instrument de măsurare. Cele mai utilizate instrumente de măsurare în cercetarea pedagogică sunt:

numărarea datelor;

ordonarea datelor;

prelucrarea statistică a datelor cercetarii.

Dintre tehnicile statistice utilizate mai frecvent în cadrul cercetarii pedagogice se enumeră:

întocmirea tabelului de rezultate ( tabele analitice și sintetice );

reprezentări grafice: – histograma

– poligonul de frecvență.

calcularea unor indici statistici : media aritmetică.

§7.Experiment pedagogic: utilizarea metodelor moderne si a instruirii asistate de calculator in predarea-invatarea divizibilitatii in gimnaziu

1.Motivatia alegerii temei. Scopul si obiectivele cercetarii

Am ales sa efectuez o cercetare pedagogica pe aceasta tema din mai multe motive. In primul rand, am optat pentru acest capitol, deoarece el creeaza destul de multe dificultati elevilor de gimnaziu. In plus intelegerea corecta a notiunilor de divizibilitate de catre elevii claselor a V-a si a VI-a asigura acestora baza necesara de care au nevoie mai tarziu, in ciclul liceal, atunci cand vor opera cu notiuni de divizibilitate la un nivel mai ridicat.

Este evident faptul ca limitarea la metodele si mijloacele traditionale de invatamant, conduce de cele mai multe ori la rezultate nu foarte bune. Pornind de la acesta constatare, sunt inevitabile urmatoarele intrebari:

„Care este eficienta metodelor active, moderne, combinate si cu instruirea asistata de calculator?”

„Pot aceste metode sa contibuie la imbunatatirea rezultatelor scolare?” „Daca da, in ce masura?”

Obiectivele cercetarii:

utilizarea unor tehnici de determinare obiectivă a nivelului de pregătire initial si final al elevilor;

determinarea nivelului general de pregătire la disciplina matematică a elevilor implicați în cercetare;

înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor experimentale și de control la testul inițial si cel final;

utilizarea calculatorului în procesul didactic

stimularea creativității elevilor

sintetizarea rezultatelor cercetării, elaborarea concluziilor.

2.Formularea ipotezei de cercetare

In realizarea procesului de cercetare experimentala am pornit de la urmatoarea ipoteza:

“ Introducerea in activitatea instructiv educativa la clasa a metodelor activ-participative, vor reusi sa starnesca interesul elevilor si sa-i implice in propria lor formare, asigurandu-se astfel o crestere a rezultatelor scolare si implicit a succesului scolar”

3.Coordonatele cercetarii

Experimentul pedagogic a fost realizat in semestrul I al anului scolar 2016-2017, cu ocazia parcurgerii unitatii de invatare “Divizibilitatea numeelor naturale”. Conform programei scolare, in vigoare la acea data, aceasta unitate de invatare cuprinde urmatoarele lectii:

1.Divizor. Multiplu.

2. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9.

3. Proprietati ale relatiei de divizibilitate in .

4. Numere prime. Numere compuse.

5.Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prime.

6.Divizori comuni a doua sau mai multor numere naturale. C.m.m.d.c.

7.Numere prime intre ele.

8.Multipli comuni a doua sau mai multor numere naturale. C.m.m.m.c.

9.Probleme simple care se rezolva folosind divizibilitatea.

Clasa experimentala a fost clasa a VI-a C , iar clasa de control a fost a VI-a A, clasele avand efective apropiate de elevi, in jurul valorii de 25 de elevi.

Atât clasa martor cât și cea experimentală au fost alese în așa fel încât să fie clase eterogene, cu elevi aflați la toate nivelurile cognitive, de la cel mai ridicat până la cel mai scăzut, elevi care provin din familii de diferite categorii socio-profesionale.

4.Desfasurarea propiru zisa a cercetarii

S-a aplicat întâi un test inițial, pentru a asigura faptul că cele două clase au un nivel asemănător de pregătire. S-au verificat cu această ocazie cunoștințele de bază necesare în abordarea noii unități de învățare și anume cele referitoare la:

-divizor, multiplu

-criterii de divizibilitate invatate in clasa a V-a: cu 2,5,10

În desfășurarea efectivă a cercetării, la clasa de control a VI-a A s-a lucrat într-o manieră clasică, folosind preponderent maniera de lucru frontală și individuală (fără lucru pe grupe), folosind metode tradiționale: expunerea, explicația, conversația, demonstrația, exercițiul, iar ca mijloace didactice au fost folosite manualul și auxiliarele didactice.

La clasa experimentală a VI-a C :

-s-au folosit metode active, centrate pe elev si anume: metoda mozaicului la predarea criteriile de divizibilitate, asa cum a fost exemplificat anterior, metoda brainstormingului cat si metoda ciorchinelui sau metoda cubului la lectiile de recapitulare de la finalul capitolului.

– deasemenea s-a utilizat metoda investigatiei si a modelarii la rezolvarea unor problem practice de divizibilitate

-s-a folosit instruirea asistata de calculator prin folosirea la majoritatea lectiilor a platformei software Ael cat si a site-ului www.numere-prime.ro. Cu ajutorul acestui site elevii si-au verificat anumite rezultate, de exemplu atunci cand au avut de calculat c.m.m.d.c sau c.m.m.m.c a doua numere.

Modul in care s-au aplicat metodele active in studiul capitolului “Divizibilitatea numerelor naturale” este detaliat, in aceasta lucrare, la paragraful referitor la metode didactice.

După parcurgerea unității de învățare s-a aplicat testul final, pentru a vedea în ce măsură modul de lucru diferit de la clasa experimentală a produs rezultate mai bune și pentru a vedea în ce măsură se confirmă ipoteza experimentului.

Sunt prezentate in continuare cele doua teste:

TEST INITIAL

Subliniati in sirul de numere date pe cele divizibile cu 5:

4; 40; 31; 14; 55; 200; 1000; 63; 0

Scrieti toate numerele de forma divizibile cu 2.

Cate numere naturale impare, in baza 10, de forma exista?

Determinati numerele naturale nenule stiind ca , a este numar prim, iar c este divizibil cu 10.

Determinati numarul natural x , pentru care este divizor al lui 50.

Determinati numerele naturale a si b stiind ca:

Punctaj: 1. 1p; 2. 1p; 3. 2p; 4. 2p; 5. 2p; 6. 1p

TEST FINAL

Calculati suma numerelor prime cuprinse intre 80 si 100.

Scrieti toate numerele divizibile cu 45 de forma .

Calculati: a) b)

Determinati numerele a si b , stiind ca si .

Determinati cel mai mic numar natural care impartit pe rand la 6 si la 15 sa dea acelasi rest 3 si catul diferit de zero.

Determinati numerele prime a, b si c care verifica egalitatea: .

Aratati ca numerele si nu sunt prime intre ele.

Trei autobuze pornesc din aceeasi statie, la aceeasi ora, in directii diferite. Primul autobus face cursa dus-intors in 90 de minute, al doilea in 45 de minute, iar al treilea in 150 de minute. Dupa cate ore vor pleca din nou, din aceeasi statie, la aceeasi ora?

Pentru n numarul natural nenul, notam cu produsul divizorilor naturali ai numarului n. Determinati n cu proprietatea ca .

Punctaj: 1. 1p; 2. 1p; 3. 1p; 4. 1p; 5. 1p; 6. 1p; 7. 1p; 8. 1p; 9. 1p.

5.Interpretarea grafica a datelor

Testul initial

La testul initial, sustinut de cele doua clase a VI-a din notiunile de divizibilitate studiate la clasa a V-a, s-au inregistrat urmatoarele note:

La testul initial media clasei VI C a fost 7,00 , iar a clasei VI A a fost 6,87.

Testul final

La testul final, dat la cele doua clase a VI-a , la finalul unitatii de invatare “Divizibilitatea numerelor naturale, au fost inregistrate urmatoarele note:

La clasa a VI-a C (clasa experimentala) media testului final a fost de 7,56.

La clasa de control a VI-a A, media a fost 7,08.

6.Concluzii

Cele doua clase de elevi utilizate pentru cercetare au fost bine alese, intrucat diferenta mediilor la testul initial este destul de mica (7,00 si 6,87) , acest lucru asigurand validitate experimentului.

Se observa cu certitudine ca la clasa experimentala, a VI-a C, unde au fost aplicate metode active, moderne si s-a folosit instruirea asistata de calculator, media testului final a fost de 7,56 , spre deosebire de clasa martor unde media a fost 7,08.

Putem spune ca astfel se confirma ipoteza cercetarii.

Metodele folosite la clasa experimentală au reușit să sporească interesul și motivația elevilor pentru noțiunile studiate, ducând la îmbunătățirea rezultatelor.

Concluzia desprinsa este ca folosirea metodelor active, cat si folosirea instruirii asisteate de calculator, au reusit sa faca partea teoretica mai accesibila, notiunile si legaturile dintre ele au fost fixate mai bine, s-a remarcat o mai mare usurinta in rationament si exprimare.

Lectiile au fost considerate de cea mai mare parte dintre elevi mai interesante decat cele obisnuite.

S-a demonstrat astfel ca utilizarea metodelor activ-participative in procesul instructiv educativ accelereaza insusirea cunostintelor, formarea priceperilor si deprinderilor, a capacitatilor si contribuie la dezvoltarea tuturor proceselor psihice.

Metodele activ-participative folosite in cadrul demersului pedagogic au o eficienta sporita prin faptul ca antreneaza elevul in procesul de predare-invatare, transformandu-l in participant activ al propriei sale formari, profesorului revenindu-i sarcina de coordonator, indrumator al activitatii.

Totuși, chiar dacă aceste metode fac lecțiile mai interesante și mai atractive pentru elevi în clasă, contează foarte mult și activitatea lor acasă, calitatea efectuării temei. Dacă elevul își neglijează partea sa de responsabilitate, rezultatele nu pot crește dramatic, chiar dacă noi în clasa îi asiguram un mediu cât mai atractiv.Ca profesori, trebuie să avem permanent în vedere faptul că e necesar să găsim căi și soluții prin care matematica să trezească interesul și curiozitatea elevilor, să le stimuleze efortul personal, spiritul creator, imaginația, gândirea critică.