LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ ÎN VEDEREA [606888]
1
Universitatea ,,DUNĂREA DE JOS’’ Galați
Facultatea de Științe și Mediu
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ ÎN VEDEREA
OBȚINERII GRADULUI DIDACTIC I
,,ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA -ÎNVĂȚAREA
DIVIZIBILITĂ ȚII ÎN ÎNVĂ ȚĂMÂNTUL GIMNAZIAL ’’
Coordonator,
Conf. Dr. GABRIEL BERCU
Candidat: [anonimizat]. ANTOHE FLORIN
Școala Gimnazială ,,Dan Barbilian ’’ Galați
2017-2019
2
CUPRINS
Introducere.. ………………………………………………………………………………………. …………………… …….. ……3
Capitolul 1. Divizibilitatea numerelor naturale
§1. Divizor. Multiplu……………………………………….. …………………… ………………………………. ……….. …..5
§2. Criterii de divizibilitate …………………………………………………………………………………….. ………… …..5
§3. Proprietă ți ale relaț iei de d ivizibilitate î n ……………………………………………………. ……………. …13
§4. Numere prime. Numere compuse ……………………………………………………… …………… ……………. …14
§5. Descompunerea numerelor î n factori primi …………………………………………………… ………………. …23
§6. Divizori comuni. C.m.m.d.c …………………………………………………… ………………………. ……………. .25
§7. Multipli comuni. C.m.m.m.c……………………………………………. ………………………. ………………. …..27
Capitolul 2. Divizibilitatea numerelor î ntregi
§1. Noțiuni introductive. Teorema împărț irii cu rest….. …………………………………………………. …….. …28
§2. Congruen țe pe ………………. ………………………………………………………… …………………… …….. ….28
§3. Teremele lu i Euler, Fermat și Wilson……………………………………………………………………… …….. ..30
§4. Teoreme de reprezentare pentru numere î ntregi……………………………. ………………………….. …….. .31
Capitolul 3. Divizibilitatea polinoamelor
§1. Proprietă ți aritmetice ale ine lului de polinoame cu coeficien ți într-un corp comutativ.. ………….39
§2. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom …….. ……………………………………. ………….44
Capitolul 4. Aplicații ale divizibilită ții
§1. Numere prime. Numere compuse ……………………………………………………………………………… …….49
§2. C.m.m.d.c. C.m.m.m .c…………………. ………………………………………………………………………….. ……56
§3. Divizibilitatea î n și ……………………………………………….. ………………………………………….. …61
§4. Divizibilitatea polinoamelor……………………………………………………………… ……………………. ……..74
Capitolul 5. Considerații metodice
§1. Introducere………. ………………………………………………………………………………………. ………………. …86
§2. Principii didactice fundamentale în predarea matematicii…………………………………….. …………… .86
§3. Metode de predare -învățare a matematicii……………………………….. ………………………. ………….. …95
§4. Instruirea asistată de calculator și utilizarea ei î n predarea divizibilită ții…………. ………………. …124
§5. Metode de ev aluare a cunoștințelor elevilor………………………………………………………. …………. ..137
§6. Cercetarea pedagogică……………………………………………………………………. ……………. …………. ….144
§7. Experiment pedagogic: folosirea metodelor active și a instruirii asistate de calculator
în predarea -învățarea divizibilită ții……………………. …………………………… ……………… ………… ….146
§8. Considera ții metodice asupr a divizibilită ții polinoamelor………………………………… …………… ….152
Bibiliografie. ………………………………………………………………………………………. …………….. ……….. ….162
3
INTRODUCERE
Matematica a fost și va rămâne o materie indispensabilă, contribuind într -o foarte mare
măsură la dezvoltarea personalită ții orică rui elev.
Noțiunile de divizibilitate studiate în gimnaziu și mai apoi în liceu, creează su ficiente
dificultă ți tuturor elevilor și în special celor care nu au o înclinație genetică spre disciplina matematică .
Acesta este unul dintre motivele pentru care am ale s pentru lucrarea de grad o temă care impli că
divizibilitatea. În esen ță am pus accent pe capitolul „Divizibilitatea numerelor naturale” care este studiat
de elevii clasei a VI -a. O bună în țelegere și fixare a noț iunilor de divizibilitate cum ar f i c.m.m.d.c sau
c.m.m.m.c a două sau mai multor nume re, în clasa a VI -a, va asigura, în treapta liceală, mai exact în
clasa a XII -a, în țelegerea noț iunilor despre divizibilitatea polinoamelor. Î n lucrare au fost abordate
evident și aceste noț iuni de divizibilitate a polinoam elor, care conform programelor școlare în vigoare se
studiază tocmai în clas a a XII -a, de și în trecut se studiau chiar î n gimnaziu, la clasa a VIII -a.
Am observat, din experien ța la clasă, că de cele m ai multe ori folosirea exclusivă a
metodelor tradi ționale î n activitatea cu elevii nu conduce la rezultate foar te bune. Asta și datorită
faptului, că matematica, este privită de majoritatea elevilor ca un obiect rigid, ab stract. De aceea mi -am
propus să cercetez în ce măsură introducerea metodelor activ participative cât și a instruirii asistate de
calculator în procesul didactic, pot conduce la o îmbună tățire a rezultatelor școlare obținute de elevi. Î n
acest sens, am efectuat un ex periemnt pedagogic, care a pus în eviden ță faptul că atunci câ nd s-au
folosit metodele moderne combinate cu instruirea asistată de calc ulator s -au ob ținut rezultate superioare.
Lucrarea de fa ță este structurată pe cinci capitole : primele trei capitole prezintă partea
teoretică , capitolul a l patrulea este destinat aplica țiilor, î n timp ce ult imul capitol cuprinde consider ații
metodice legate de tema studiată cât și partea poate cea mai importantă și anume cercetarea pedagogică .
Primul capitol , care este dedicat divizibilită ții numerelor naturale, prezintă punct cu punct
noțiunile studiate de elevii clasei a VI-a. Astfel sunt prezentate no țiuni precum: divizor, multiplu, crite rii
de divizibilitate, proprietă ți ale relației de divizibilitate î n , numere prime, numere compus e,
descompunerea numerelor naturale î n factori primi, divizo ri comuni, c.m.m.d.c, multipli comuni,
c.m.m.m.c.
Capitolul al doilea tratează no țiuni de divizibilitatea numerelor î ntregi. Acesta cuprinde
teorema împăr țirii cu rest pentru numere î ntregi, congru ențe pe , teorem ele lui Euler, Fermat și
Wilson cât și teoreme de reprezentare pentru numere î ntregi.
Capitolul al treilea prezintă no țiuni de divizibilitatea polinoamelor, studiate de elevii de liceu
cum ar fi: proprietă țile aritmetice ale ine lului de p olinoame cu coeficien ți într-un corp comu tativ ,
polinoame ireductibile și descompunerea unui polinom.
În capito lul al patrulea am expus aplica ții diverse, cu grad variat de dificultate. Aceste
aplicații au fost grupate în funcție de noț iunile de divizibilitat e la care fac referire. Astfel întâlnim
4
aplica ții legate de: numere prime și numere compuse, c.m.m.d.c și c.m.m.c , divizibilitatea î n și
cât și de divizibilitatea polinoamelor.
Ultimul capitol este destinat păr ții metodice. Mai întâ i sunt trecute în revistă principiile
fundamentale ale didacticii adaptate în cazul matematicii, apoi metodele de predare -învățare si cele de
evaluare, fiecare metodă fiind însoțită de u n exemplu de aplicare într -o lecție care se referă la
divizibilitate . Urmează o secțiune referitoare la instruirea asistată de calculator si cum poate fi folosită
la predarea noțiunilor de divizibilitate . M-am oprit asupra lecțiilor AEL referitoare la capitolul
divizibilitatea numerelor naturale , site -ul www.numere -prime.ro ” softurile existente pe site -ul
www.sorin -borodi.ro cât și jocul Primes numbers & Divisibility (folosirea acestuia este exemplificată
într-un proiect de lec ție creat de fundația Noi Orizonturi î n cadrul proiectului pilot Digitaliada). Am
prezentat, apoi experimentul pedagogic, modalitatea de desfășurare și interpretare a rezultatelor
acestuia. Experimentul a arătat că folosirea metodelor mode rne poate duce la o îmbunatăți re a implicarii
elevilor în învă țare și a rezultatelor acestora. Capitolul se î ncheie cu o sec țiune referitoare la consideraț ii
metodice asupra divizibilită ții polinoamelor.
Am convingerea că elaborarea aces tei lucrări a contribuit la îmbunătă țirea pregă tirii
metodice a candidatului.
În final consider că trebuie adăugate câteva observa ții:
La capitolul patru, cel de aplica ții, problem ele prezentate sunt selectate di n mai multe culegeri precizate
în bibliograf ie. În plus după fiecare problemă este indic at concursul la care a fost dată. Nu se pretinde î n
niciun fel ca aceste problem e ar fi originale ( în cazul î n car e una dintre aplica ții aparț ine autorului este
precizat acest lucru).
La partea de metodică, toat e considera țiile teoretice -defini ții, clasifică ri, de scrieri de metode nu
reprezintă, în mod evident contribu ția proprie a autorului lucrării, ele făcâ nd pa rte din a șa-zisul
„common knowledge” al pedagogiei și metodicii predă rii mat ematicii, fiind sele ctate din căr ți
/materiale precizate în bibliografie. Contribu ția proprie a autorului constă î n: exemplele de aplicare a
fiecărei metode de predare -învățare/evaluare .
5
Capitolul I
Divizibilitatea numerelor naturale
§1. Divizor . Multiplu .
1.1.Definiție: Fie a și b două numere naturale. Spunem că b este divizor a lui a dacă există un
numă r natural c astfel încâ t a = b ∙ c.
În această situa ție, despre a se spune că este un multiplu al lui b și se utilizează una dintre urmă toarele
scrieri: b|a (se cite ște „b divide a”) sau ab (se cite ște „a este divizibil cu b”).
Exemple:
1. 2|48, deoarece există c astfel încâ t 48=2 ∙c (num ărul natural c este 24)
2. Fie n un num ăr natural oarecare; n|0, deoarece exist ă c astfel încâ t 0 = n ∙ c (numă rul natural
c este 0).
3. 0|0, deoarece există c astfel încâ t 0=0∙c (numă rul natu ral c poate f i orice numă r natural).
Dacă a este un numă r natural mai mare sa u egal cu 2, atunci numerele 1 și a se numesc divizori
improprii ai numă rului a, iar ceilal ți divizori ai numă rului a se numesc divizori proprii.
Fie a un numă r natural . Se noteaz ă cu Da mulțimea tuturor divizorilor lui a, iar Ma mulțimea tuturor
multiplilor lui a. Atunci: Da={x| xși x|a}; Ma={x| x și a|x }
D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ; numerele 1 și 12 sunt divizori improprii, iar numerele 2;3;4;6 sunt divizori
proprii.
M12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
Observa ții:
1. Mulțimea divizorilor unui număr natural nenul este o mulțime finită .
2. Mulțimea multiplilor unui numă r natural nen ul este o mul țime infinită .
§2. Criterii de divizibilitate .
Fie n un număr natural. Ne interesează să stabilim condi ția pe care trebuie să o îndeplinească
numă rul n pentru a fi divizibil cu un alt număr, de exemplu cu numă rul natural a, fără a efectua
împăr țirea lui n la a. Această condi ție (regulă) se numeș te criteriul de divizibilitate cu a.
2.1.Criteriul de divizibilitate cu 2 :
Un numă r natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară .
1 2… 2 0;2;4;6;8n n a a a a
Exemple: Numărul 2345678 este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 8 și este cifră pară.
Numărul 2000 este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 0 și este cifră pară.
Numărul 327 nu este divizibil cu 2, pentru că ultima sa cifră este 7 și nu este cifră pară, ci impară.
Numerele care sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare .
6
2.2 Criteriul de divizibilitate cu 3:
Un num ăr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3.
1 2 1 2… 3 … 3n n a a a a a a
Exemple: Numărul 315702 este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 3 + 1 + 5 + 7 + 0 + 2 = 18,
care este un număr divizibil cu 3.
Numărul 102072 este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 1 + 0 + 2 + 0 + 7 + 2 = 12, care e ste un
număr diviz ibil cu 3.
Numărul 584 nu este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale, 5 + 8 + 4 = 17, care nu este un n umăr
divizibil cu 3.
2.3 Criteriu de divizibilitate cu 4:
Un număr natural este divizibil cu 4, dacă și numai dacă numărul format de ultimele sale două cifre
este divizibil cu 4.
1 2 1 1… 4 4n n n n a a a a a a
Exemple: Numărul 53 12 este divizibil cu 4, pentru că numărul format de ultimele sale două cifre, adică
12, este divizibil cu 4.
Numărul 7 08 este divizibil cu 4, pentru că numărul format de ultim ele sale două cifre, adică 8, este
divizibil cu 4.
Numărul 19 23 nu este divizibil cu 4, pentru că numărul format de ultimele sale două cifre, adică 23, nu
este divizibil cu 4.
2.4 Criteriul de divizibilitate cu 5:
Un numă r natural este divizibil cu 5, dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
1 2… 5 0;5n n a a a a
Exemple: Numărul 315 este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră este 5.
Numărul 470 este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră este 0.
Numărul 1504 nu este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră nu este nici 0 și nici 5.
2.5 Criteriul de divizibilitate cu 6:
Un numă r natural este divizibil cu 6 , dac ă și numai dac ă este divizibil at ât cu 2 cât și cu 3.
Exemple: Numărul 4182 este divizibil cu 6, pentru că este un număr par, deci se divide cu 2 și suma
cifrelor sale, 4 + 1 + 8 + 2 = 15, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.
Numărul 981 nu este divizibil cu 6, pentru că nu este un număr par, deci nu se divide cu 2 deși este un
număr divizibil cu 3.
Numărul 604 nu este d ivizibil cu 6, pentru că deși este un număr par, deci se divide cu 2, nu este un
număr divizibil cu 3, suma cifrelor sale 6 + 0 + 4 = 10 nu e divizibilă cu 3.
7
2.6 Criterii de divizibilitate cu 7:
Numărul 7 se poate mândri cu numeroase zicători (măsoară de ș apte ori și taie o dată; șapte dintr -o
lovitură; unul la muncă, șapte la mâncare; șapte zile -n săptămână; etc.) dar și cu diferite reguli de
divizibilitate. Iată 7 dintre aceste reguli:
a)Se scrie numărul în baza 10 folosind puterile lui 10, se înlocuiește numărul 10 cu 3 și se fac calculele.
Dacă rezultatul obținut se divide cu 7, atunci și numărul inițial se divide cu 7.
Exemplu: Fie numărul 5285 care în baza 10 se scrie: 5 ∙103 + 2∙102+ 8∙10 + 5, iar prin înloc uirea bazei
10 cu 3 se obține 5 ∙33+ 2∙32+ 8∙3 + 5 = 182 7 deci 5285 7.
b)Se înmulțește prima cifră din stânga cu 3 și se adună cu cifra următoare, apoi rezultatul se î nmulțește
cu 3 și se adună cifra următoare, ș.a.m.d. până la ultima cifră. Pentru simplificarea rezultatului s e admite
ca după fiecare operație să se scadă, din rezultatul obținut 7 sau multiplu de 7.
Exemplu: Fie numărul 5285. Operațiile sunt următoarele: 5∙3 =15, 15 + 2 = 17, dar 17 = 7∙2 + 3. Se
renunță la 7 ∙2 și se continuă 3∙3 + 8 = 17, dar 17 = 7∙2 + 3 și putem renunța la 7∙2 și 3∙3 + 5 = 14 7.
c)Vom proceda ca la regula precedentă dar vom începe înmulțirea de la cifra unităților cu 5 de această
dată.
Exemplu: Se consideră numărul 48902.
2∙5 = 10 = 7∙1 + 3; (3 + 0)∙5 = 15 = 7∙2 + 1; (1+ 9)∙5 = 50 = 7∙7 + 1; (1 + 8) ∙5 = 45 = 7∙6 + 3, 3 + 4 =
77, deci numărul 48902 7.
d)Se dublează ci fra unităților și se scade din rezultat cifra zecilor, din nou se dublează rezultatul apoi se
adună cu cifra sutelor. Procedeul se continuă alternând scăderea cu adunarea. Acolo unde este posibi l
rezultatul se poate micșora cu un multiplu al lui 7.
Exemplu : Fie numărul 5943. 3 ∙2 = 6, 6 – 4 = 2, 2 ∙2 = 4, 4 + 9 = 13, 13 = 7 + 6 , 6∙2 = 12, 12 – 5 = 77,
deci numărul 5943 7.
e) Este o regulă comună a divizibilității cu 7, 11, 13. Se împarte numărul în clase: clasa un ităților, clasa
miilor, clasa milioanelor, etc. Dacă diferența sumelor grupelor numărului dat, adunate din 2 în 2, se
divide cu 7, cu 11 sau cu 13, atunci numărul se divide cu 7, 11 sau13.
Exemplu: Aplicăm regula pentru numărul 55285783. (783 + 55) – 285 = 553 este divizibil cu 7.
f) Este o regulă comună a divizibilității cu 7, cu 3 sau cu 19. Se dau deoparte ultimele două cifre ale
numărului, iar la numărul rămas se adună numărul format din cele două cifre date deoparte înmulțit c u
4. Dacă e necesar se r epetă procedeul până se obține un rezultat a cărui divizibilitate cu 3, cu 7 cu 19
este evidentă.
Exemplu: Fie numărul 134064. 64 ∙4 = 256, 1340 + 256 = 1596. Repetăm regula: 96∙4 = 384, 15 + 384
= 399 numărul 399 se divide cu 7 și cu 3.
g) Numărul natur al n se divide cu 7 (cu 11 și cu 13) dacă și numai dacă diferența nenegativă dintre cele
două numere obținute din numărul natural dat prin tăierea lui în două, astfel ca la dreapta să rămân ă trei
cifre, se divide cu 7 (cu 11 sau 13).
8
Exemple : Fie numărul 1 95258. Avem 195.258 258 – 195 = 637 1952587 (27894) .
Fie numărul 76824. Avem 76.824 824 – 76 = 74811 7682411 (6984) .
Fie numărul 84916. Avem 84.916 916 – 84 = 83213 8491613 (6532) .
Dacă numărul are mai mult de șase cifre, împărțim de la dreapta la stânga numărul în grupe
de câte trei cifre. Dacă diferența dintre suma numerelor exprimate prin grupe de rang par și suma
grupelor de rang impar se divide cu 7, 11, 13, numărul dat se divide cu 7, 11, 13.
Exemple: Fie numărul 66807104. Avem 66.807.104 807 – (104 + 66) = 807 – 170 = 637 7
66807104 7 (9543872) .
Fie numărul 90582756. Avem 90.582.756 582 – (756 + 90) = 582 – 846 = – 26411
90582756 11 (8234796) .
Fie numărul 10262929599. Avem 10.262.929.599 (929 + 10) – (599 + 262) = 939 – 861 = 7813
10262929599 13 (789456123 ).
Observa ții:
1.Dacă un număr de două cifre se divide cu 7, atunci numărul format din aceleași cifre scrise în ordin e
inversă, mărit cu cifra zecilor din numărul inițial se divide cu 7.
Exemplu: 637, prin urmare numărul 36 + 6 = 42 7.
2.Dacă un număr de trei cifre se divide cu 7, atunci numărul format din aceleași cifre scrise în ordin e
inversă, micșorat cu diferența dintre cifra unităților și cifra sutelor numărul ui inițial, se divide cu 7.
Exemplu: Numărul 126 se divide cu 7. Numărul 621 – (6 – 1) = 616 se divide cu 7.
3.Dacă suma cifrelor unui număr cu trei cifre este egală cu 7, el se divide cu 7 numai dacă cifra zeci lor
este egală cu cifra unităților.
Exemplu: 322 se divide cu 7 deoarece 3 + 2 + 2 = 7.
2.7 Criteriul de divizibilitate cu 8
1.Un numă r natural este divizibil cu 8, dac ă și numai dacă numă rul format de ultimele sale trei cifre este
divizibil cu 8.
1 2 2 1 2 1… 8 8n n n n n n a a a a a a a a
2.Un numă r natural este divi zibil cu 8 dacă și numai dacă suma dintre cifra unităților, dublul cifrei
zecilor și cifra sutelor mărită de 4 ori este divizibilă cu 8.
1 2 2 1 1… 8 2 4 8n n n n n n a a a a a a a a
Exemple: Numărul 12 136 este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică
136, este divizibil cu 8 sau 6+2 ∙3+4∙1=16, este divizibil cu 8.
Numărul 23971 504 este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 504,
este divizibil cu 8 sau 4+2 ∙0+4∙5=24, este divizibil cu 8.
Numărul 6 147 nu este divizibil cu 8, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 147, nu
este divizibil cu 8 sau 7+2 ∙4+4∙1=19, nu este divizibil cu 8.
9
2.8 Criteriul de divizibilitate cu 9
Un numă r natural este divizibil cu 9 dacă și numai daăa suma cifrelor n umărului este divizibilă cu 9.
1 2 1 2… 9 … 9n n a a a a a a
Exemple: Numărul 702315 este divizibil cu 9, pentru că suma cifrelor sale, 7 + 0 + 2 + 3 + 1 + 5 = 18,
care este un număr divizibil cu 9.
Numărul 728356041 este divizibil cu 9, pentru că suma cifre lor sale, 7 + 2 + 8 + 3 + 5 + 6 + 0 + 4 + 1 =
36, care este un număr divizibil cu 9.
Numărul 1954 nu este divizibil cu 9, pentru că suma cifrelor sale, 1 + 9 + 5 + 4 = 19, care nu este un
număr divizibil cu 9.
2.9 Criteriul de divizibilitate cu 2n și 5n, n*
Un număr m = k k 1 1 0a a …a a se divide cu 2n respectiv cu 5n, k n, dacă și numai dacă numărul format
din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu 2n respectiv cu 5n.
Demonstrație :
Numărul m se scrie în baza 10 sub forma: m = a k 10k + a k-1 10k-1 + ….+ a n 10n + n 1 n 2 1 0a a …a a .
Deoarece 2n | 10k (5n | 10k) pentru orice k n, rezultă că 2n | m (5n | m) dacă și numai dacă :
2n | n 1 n 2 1 0a a …a a (5n | n 1 n 2 1 0a a …a a ).
2.10. Criteriu l de divizibilitate 10n
Un numă r natural este divizibil cu 10n, *n, dacă și numai dacă ultimele n cifre ale sale sunt ega le
cu zero. Altfel spus, un numă r natural este divizi bil cu 10 (100, 1000, ….) dacă și numai dacă ultima
(ultimele doua, trei, …) cifră a numărului este egală cu zero.
Exemple: Numărul 70 este divizibil cu 10, pentru că ultima sa cifră este 0.
Numărul 3500 este divizibil cu 102 = 100, pentru că ultimele sale două cifre sunt zerouri.
Numărul 41300000 es te divizibil cu 105 = 100000, pentru că ultimele sale cinci cifre sunt zerouri.
Numărul 20003 nu este divizibil cu 10, pentru că ultima sa cifră nu este 0.
2.11 Criteriul de divizibilitate cu 11
Un numă r natural este divizibil cu 11 dacă și numai dacă diferenț a dintre suma cifrelor cu indice (rang)
par și suma cifrelor cu indice (rang) im par din numă rul natural dat se divide cu 11.
Dacă N=1 2 1 0…n n na a a a a , atunci 11 | N 1 3 5 0 2 4 11| … …a a a a a a sau
0 2 4 1 3 5 11| … …a a a a a a
Demonstra ție:
N=1
1 2 2 1 0 1 1 0… 10 10 … 10n n
n n n n na a a a a a a a a a
și p= 0 2 4 1 3 5 … … a a a a a a
10
Dacă r = 2k, atunci 10r = 102k = 9
2 111…1
k cifre + 1 = 9 M11 + 1.
Dacă r = 2k + 1, atunci 10r = 102k+1 =
2 2 cifre100…01
k – 1 =
2 cifre9090…9091
k 9090…9091 11 – 1 = M 11 – 1.
Rezultă că m = p + M 11 și deci 11 | m dacă și numai dacă 11 | p.
Exemple: Fie numărul 1925. Avem 9 + 5 = 14, 1 + 2 = 3 și 14 – 3 = 11. 11 11 192511
Numărul 1 47520946 nu este divizibil cu 11 deoarece (4 + 5 + 0 + 4) – (1 + 7 + 2 + 9 + 6) = – 12
2.12 Criteriul de divizibilitate cu 12
Un număr natural este divizibil cu 12, dacă și numai dacă este divizibil atât cu 3 cât și cu 4 adică dacă
suma cifrelor sale este un multiplu de 3, iar numărul format cu ultimele două cifre este divizibil c u 4.
Exemplu: Numărul 4632 este divizibil cu 12, pentru că numărul format cu ultimele două cifre, 32, se
divide cu 4 și suma cifrelor sale, 4 + 6 + 3 + 2 = 15, este un număr divizibil cu 3.
2.13 Criteriul de divizibilitate cu 13
Despărțim numărul dat în grupe de către trei cifre de la dreapta la stânga și înmulțim cifrele grupe lor de
rang impar cu 1, – 3 respect iv – 4, iar pe cele ale grupelor de rang par cu –1, 3 respectiv 4. Dacă suma
algebrică a acestor produse se divide cu 13 și numărul dat se divide cu 13.
Exemplu: Numărul 95287998 este divizibil cu 13 (95287998 : 13 = 7329846) pentru că urmând
procedeul de mai sus, împărțim numărul în grupe de câte trei cifre de la dreapta la stânga și stabilim
paritatea grupelor,
1 2 3998.287.95 , apoi efectuăm [8·1 + 9· ( – 3) + 9·( – 4)] + [7·( – 1) + 8·3 + 2·4] + [5·1 +
9·(– 3)]= (8 – 27 – 36) + ( – 7 + 24 + 8) + (+ 5 – 27) = – 55 + 25 + ( – 22) = – 5213.
2.14 Criteriul de divizibilitate cu 14
Un număr natural este divizibil cu 14, dacă și numai dacă este divizibil atât cu 2 cât și cu 7 adică dacă
este un număr par, și verifică una din condițiile de divizibilitate cu 7.
Exemplu : Fie numărul 322. Este un număr par, deci este divizibil cu 2 și conform (b) 3·3 + 2 = 11 = 7 +
4. Renunțăm la 7 și 4·3 = 12 + 2 = 14 7.
2.15 Criteriul de divizibilitate cu 15
Un număr natural este diviz ibil cu 15, dacă și numai dacă este divizibil atât cu 3 cât și cu 5.
Exemple: Numărul 420 este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră este 0, deci se divide cu 5 și suma
cifrelor sale, 4 + 2 + 0 = 6, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.
Numărul 735 este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră este 5, deci se divide cu 5 și suma cifr elor
sale, 7 + 3 + 5 = 15, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.
Numărul 1836 nu este divizibil cu 15, pentru că ultima sa cifră nu este 0 sau 5, deci nu se divide cu 5
deși suma cifrelor sale, 1 + 8 + 3 + 6 = 18, este un număr divizibil cu 3, deci se divide și cu 3.
Numărul 21370 nu este divizibil cu 15, pentru că deși ultima sa cifră este 0, deci se divide cu 5, s uma
cifrelor sale, 2 + 1 + 3 + 7 + 0 = 13, nu este un număr divizibil cu 3, deci nu se divide și cu 3.
11
2.16 Criteriul de divizibilitate cu 19
Un număr natural se divide cu 19 dacă și numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două
cifre mărit de 4 ori și numărul format din c elelalte cifre, este divizibilă cu 19.
Observa ție: Dacă este necesar se repetă procedeul până când se obține un rezultat a cărui divizibilitate
cu 19 este evidentă.
Demonstrație :
Fie m = n n 1 2 1 0a a …a a a , n N, n 2 și p = n n 1 2a a …a , q = 1 0a a.
Atunci 4m = 4 102 p + 4q = (3 719 + 1)p + 4q = 3 719p + p + 4q. Rezultă că 19 | m dacă și numai
dacă 19 | (p + 4q).
Exemplu: Fie numărul 1110987.
11109 + 4 87 = 11457
114 + 4 57 = 342
3 + 4 42 = 171 iar 171 19.
Un număr natural se divide cu 19 dacă și numai dacă suma dintre dublul cifrei unităților și numărul
format din celelalte cifre, este divizibilă cu 19.
Demonstrație :
Fie m = n n 1 2 1 0a a …a a a , n , n 1 și p = n n 1 1a a …a .
21m = 210p + 21a 0 = (11 19 + 1)p + (19 + 2) a 0 = M 19 + p + 2a 0. Cum (21, 19) = 1, avem că 19 | m dacă
și numai dacă 19 | p + 2a 0.
Exemplu
Fie numărul 1110987.
111098 + 2 7 = 111112 11111 + 2 2 = 11115 1111 + 2 5 = 1121
112 + 2 1 = 114 11 + 2 4 = 19 iar 19 19
2.17 Criteriul de divizibilitate cu 25
Un număr este divizibil cu 25, dacă numărul format de ultimele sale două cifre este divizibil cu 25,
adică dacă ultimele sale două cifre sunt: 00; 25; 50; 75.
Exemple: Numărul 37 00 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 00.
Numărul 279 25 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 25.
Numărul 18 50 este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre sunt 50.
Numărul 10039 75 este divizibil cu 25, pentru c ă ultimele sale două cifre sunt 75.
Numărul 83 54 nu este divizibil cu 25, pentru că ultimele sale două cifre nu sunt 00, 25, 50 sau 75.
12
2.18 Criteriul de divizibilitate cu 27 sau 37
Un număr natural se divide cu 27, respectiv 37 dacă și numai dacă suma numer elor naturale obținute
prin „tăierea” numărului în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respecti v cu
37.
Demonstrație :
Fie m = n n 1 2 1 0a a …a a a . Atunci m = 2 1 0a a a + 5 4 3a a a 103 + …..+ n n 1 n 2a a a 10n-2. Cum 103 = 27 37 +
1, avem m = M 37 + 2 1 0a a a + 5 4 3a a a + …+ n n 1 n 2a a a .
Deci 37 | m dacă și numai dacă 37 | 2 1 0a a a + 5 4 3a a a + …+ n n 1 n 2a a a .
Exemplu
Fie numărul 5392158.
158 + 392 + 5 = 555 iar 37 | 555
2.19 Criteriul de divizibilitate cu 125
Un număr este divizibil cu 125, dacă și numai dacă numărul format de ultimele sale trei cifre este
divizibil cu 1 25.
Exemple: Numărul 47 375 este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre,
adică 375 este divizibil cu 125.
Numărul 981 625 este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 625
este divizibil cu 125.
Numărul 10 495 nu este divizibil cu 125, pentru că numărul format de ultimele sale trei cifre, adică 495
nu este divizibil cu 125.
2.20 Criteriu l general de divizibilitate
Un număr natural m = n n 1 2 1 0a a …a a a se divide cu 10p q, n, p, q *, dacă și numai dacă înlăturând
ultima cifră, înmulțind numărul obținut cu q și scăzând (adunând) la noul număr de p ori cifra
suprimată, se obține un număr divizibil cu 10p q.
Demonstrație :
Efectuând operațiile indicate se obține numărul m 1 = (10n-1 an + 10n-2 an-1 + … + a 1) q p a 0 . Atunci
10m 1 – qm = (10p q) a 0. Rezultă că 10p q | m dacă și numai dacă 10p q | m 1.
Exemplu
Să se verifice dacă numărul 232716 se divide cu 43.
43 = 10 4 + 3 , deci p = 4 și q = 3
m1 = 3 23271 – 4 6 = 69789 m2 = 3 6978 – 4 9 = 20898
m3 = 3 2089 – 4 8 = 6235 m4 = 3 623 – 4 5 = 1849
m5 = 3 184 – 4 9 = 516 m6 = 3 51 – 4 6 = 129; 129 43.
13
Consecin țe asupra restului împărțirii unui num ăr natural n
1.Restul împăr țirii lui n la 10 est e egal cu ultima cifra a lui n și restul împărț irii lui n la 100, 1000, …
este format din ultimele două , trei, … cifre ale lui n.
2.Restul împăr țirii lui n la 2 , sau la 5 este egal cu restul împăr țirii la 2, respectiv la 5, a ultimei cifre a lui
n.
3.Restul împăr țirii lui n la 4, sau la 25, este egal cu restul împăr țirii la 4 , respectiv la 25, a numărului
format de ultimele două cifre ale lui n.
4.Restul împăr țirii lui n la 3, sau la 9, este egal cu restu l împăr țirii la 3, respe ctiv la 9, a sumei cifrelor
numă rului n.
§3. Propriet ăți ale relației de divizibilitate în mulț imea numerelor naturale .
În mod evident, rela ția de divizibilitate de pe este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, adică , |
este o mul țime parțial ordonată î n care 1 este cel mai mic element (element i nițial) iar 0 este cel mai
mare element (element final).
Proprietatea 1. Orice număr natural este divizibil cu 1, sau 1|a oricare ar fi a.
Proprietatea 2 . 0 este divizibil cu orice număr natural, sau a|0, oricare ar fi a .
Proprietatea 3 . Orice număr natural se divide cu el însuși, sau a|a, oricare ar fi a . (Reflexivitatea )
Proprietatea 4 . Fie a și b două numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a atunci
a = b, sau dacă a|b și b|a, atunci a = b oricare ar fi a, b. (Antisimetria)
Proprietatea 5 . Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se
divide cu a, sau dacă a|b și b|c, atunci a|c, oricare ar fi a, b, c. (Tranzitivitatea)
Proprietatea 6 . Dacă un număr natural se divide cu alt număr natural, atunci primul se divide cu toți
divizorii celui de -al doilea.
Proprietatea 7 . Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m și dacă un număr natural b se
divide cu același număr natural m, atunci și suma lor a + b se divide cu m sau dacă m|a și m|b, atunci m |
(a + b) oricare ar fi a, b, m.
Demonstrație : m|a există a' număr natural astfel încât a = m ∙ a'.
m|b există b' număr natural astfel încât b = m ∙ b'.
a + b = m ∙ a' + m ∙ b' = m(a' + b')
a' + b' = c a + b = m ∙ c m|(a + b)
Proprietatea 8 . Dacă unul din termenii unei sume de două numere naturale se divide cu un număr
natural, iar celălalt termen nu se divide cu acel număr natural, atunci suma nu se divide cu acel nu măr
natural.
Proprietatea 9 . Fie a, b și m numere naturale, a > b . Dacă a se divide cu m și b se divide cu m atunci și
a – b se divide cu m sau dacă m|a și m|b, atunci m|(a – b) oricare ar fi a, b, m.
Demon strație : m|a există a' număr natural astfel încât a = m ∙ a'
14
m|b există b' număr natural astfel încât b = m ∙ b'
a – b = m ∙ a' + m ∙ b' = m(a' – b')
a' – b' = c a – b = m ∙ c m|(a – b)
Proprietatea 10 . Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m, atunci produsul lui a cu
orice număr natural se divide cu m, sau dacă m|a, atunci m|a∙b, oricare ar fi a, b, m.
Demonstrație : m|a m|a∙b, a, b și m sunt numere naturale.
m|a există numărul natural c, astfel încât a = m ∙c
a∙b = m∙c∙b și c∙b este număr natural a∙bm
Proprietatea 11 . Teorema lui Gauss. Dacă un număr natural divide produsul a două numere naturale și
este prim cu unul dintre factori , el va div ide celălalt facto r al produsului:
a | bc și (a,b) = 1 a|c.
În rezolvarea anumitor probleme mai dificile sunt utile următoarele preciză ri:
a)n n
a a b M b ; n n
b a b a M , n
b)2 2 n n
a a b M b ; 2 2 n n
b a b a M
c)2 1 2 1 n n
a a b M b ; 2 1 2 1 n n
b a b a M
§4. Numere prime și numere compuse.
Mulțimea numerelor prime reprezintă o clasă foarte importantă de numere naturale.
Numim număr prim orice numă r natural p ≥ 2, car e are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuș i.
Un număr natural care are cel pu țin trei divizori se numește numă r compus. Numerele naturale 0 și 1 nu
sunt nici numere prime ni ci numere comp use. Singurul număr par, care este prim este numă rul 2.
S-au pus de foarte mult timp întrebări despre numerele prime. Două dintre acestea sunt următoarele:
„Câte numere prime există ?” , „Care este forma numerelor prime?”
La prima întrebare , răspunsul est e dat de urmă torul rezultat:
Teorema 1. Există o infinitate de numere prime.
Demonstra ție: Notă m cu P mulțimea numerelor prime. Să presupunem prin absurd că mulț imea P este
finită , 1 2, ,…,n P p p p (unde î n mod evident 1p =2, 2p=3, 3p=5, etc.) Vom considera
1 2… 1n p p p p și să observăm că p > 1 iar ip nu este divizor al lui p pentru 1 ≤ i ≤ n. Ținând cont de
teorema fundamentală a ari tmeticii va exista un numă r q > 1 care să dividă pe p. Cum toate numerele
prime sunt presupuse a fi doar 1,…,n p p deducem că i q p pentru un 1,…,i n , ceea ce este absurd
căci ip nu este divizor al lui p pentru orice 1 ≤ i ≤ n. Deci P este m ulțime infinită .
Observa ție: În continuare pentru fiecare numă r natural n ≤ 1 vom nota prin np al n-ulea nu măr prim,
astfel că 1 2, ,…, ,…n P p p p (eviden t 1p =2, 2p=3, 3p=5, etc.)
15
O altă întrebare firească legată de mul țimea numerelor prime a fost dacă anumite submulț imi infinite ale
lui conțin sau nu o infinitate de numere prime. Î n acest sens amintim un rezultat celebru al lui
Dirichlet:
Teorema 2. Dacă a, b* iar (a,b)=1, atunci mul țimea : an b n conține o infinitate de numere
prime.
Teorema 3. Există o infinitate de numere prime de forma 4 n − 1 cu *n .
Demonstra ție. Să presu punem prin reducere la absurd că mul țimea *4 1:n n conține numai un
numă r finit de numere prime, fie acestea 1,…,t q q și să considerăm numă rul 1 24 .. 1t q q q q . Num ărul q
trebuie să aibă un factor prim de forma 4 k − 1 (căci dacă to ți factorii primi ai lui q ar fi de forma 4 k + 1
atunci și q ar trebui să fie de forma 4 k + 1). Deci ar trebui ca iq să dividă pe q, ceea ce este abs urd, de
unde concluzia din enun ț.
Teorema 4. Există o infinitate de numere prime de forma 6 1n cu *n.
Demonstra ție. Să presupunem prin absurd că exis tă doar un numă r finit de numere prime de forma
6 1n și anume 1 2, …,k q q q și să considerăm numă rul 1 26 … 1k q q q q . Cum un numă r prim este de
forma 6 t − 1 sau 6 t + 1, deducem că q trebuie să con țină un factor prim de forma 6 t − 1 (căci î n caz
contrar ar trebui ca q să fie de forma 6 k + 1). Deci ar trebui ca un iq să dividă pe q, ceea ce este abs urd,
de unde concluzia din enun ț.
Teorema 5. Fie p un număr prim fixat. Există o infini tate de numere prime de forma pn + 1, cu *n.
Demonstra ție. Să presupunem că există un numă r finit 1p,2p,…,tpde numere prime de forma din enun ț
și să consi derăm 1 2…t a p p p p (în caz că există numere prime de forma pn + 1) sau a = p în caz
contrar. Considerăm de asemenea numă rul 1 2… 1 1p pN a a a și fie q un divizor al lui N.
Atunci | 1 1pq N a a , deci 1 modpa q . Atunci 1qa sau qa p. Dacă 1qa,
atunci 1 moda q si 10 … 1 modpN a a p q , q | p, q = p, p | N. Cum p | a și p | N ,
atunci p | 1 2… 1p pN a a a , contradic ție.
Deci qa p și p | 1 p q , adică q − 1= ps cu s, deci q = ps + 1. Cum am presupus că
1p,…, tpsunt toate numere prime de forma pn + 1, deducem că q =ip cu 1 ≤ i ≤ t. Atunci q | a și q | N
și din nou obținem contradicția că q | 1.
Deci pentru un numă r prim p fixat există o infinitate de numere prime de forma pn + 1.
Ciurul lui Eratostene
Fiind dat un numă r natural n ≥ 2, pentru a stabili dacă el este prim sau nu, este suficie nt să verifică m
daca el este divizibil doar prin acele numere prime p ≤ n . Într -adevăr, să presupunem că n este
16
compus și că toate nu merele prime ce -l divid verifică inegalită țile n p n . Dacă un anumit numă r
prim 0p divide pe n, atunci putem scrie 0 0 n p n pentru un 02n . Atunci 0
0nn np și
0n | n. Numă rul 0n va avea cel pu țin un fact or prim (care va fi mai mic decâ t n )- absurd!
Obținem astfel un cri teriu simplu de a determina dacă un nu măr natural este prim sau nu:
Dacă un numă r natural n nu este divizibil prin nici un numă r prim p n , atunci numă rul n este prim.
Acest criteriu stă la baza „ciurului” prin care Eratostene a s tabilit care numere dintr -o mul țime fini tă de
numere sunt prime. Mai precis, el a scris de exemplu toate numerele de la 2 la n în ordine crescătoare. A
tăiat to ți mult iplii proprii ai lui 2, apoi to ți multiplii proprii ai lui 3, pe urma pe cei ai lui 5. Se observă
că cel mai mic numă r natural su perior lui 5 care nu a fost tăiat este 7 și se taie atunci și toți multiplii lui
7. Se continuă în felul acesta procedeul de tăiere până se ajunge la etapa când cel mai mic numă r natural
din sirul 2,3,…, n care nu a fost tă iat este n . Atunci procedeul se opre ște de oarece conform criteriului
enun țat mai înainte toate numerele netăiate din ș irul 2,3,…, n sunt numere prime p n.
De exemplu, numă rul 223 nu se divide cu 2,3,5,7,11 și 13. Este inutil să verifică m dacă se mai divide cu
17 că ci 172=289 >223, rezultând astfel că 223 este prim.
Procedeul descris mai sus poartă numele de c iurul lui Eratostene. Pe această cale se poate ob ține
următorul șir de numere prime mai mici decat 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
51, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime <10.000.000, î n care se dau cei ma i mici divizori
primi pentru fie care numă r natural ≤10.170.600 care nu se divid la 2, 3, 5 sau 7 .
În anul 1951 au fost pub licate tabele de numere prime până la 11.000.000. Jac ob Philipp Kulik (1793 –
1863) a î ntocmit tabele de numere prime până la 100.000.000 (manuscrisul se păstrează la Academia
Austriacă de Științe din Viena). În finalul lucrării, î n cadrul Anexei 1 prezentă m numerele prime de la 1
la 10.000. C.L. Baker și J. F. Gruenberger au întocmit î n anul 1959 un microfil care con ține to ate
numerele prime mai mici decâ t 6000000 104.395.301 p .
Teorema 6 (Bertrand -Cebî șev). Dacă n , 4n , atunci î ntre n și 2(n − 1) se află cel pu țin un
numă r natural prim.
Acest rezultat a fost formul at încă din anul 1845 de către J. Bertrand însă cel care a prezenta t primul o
soluție a acestuia a fost. P. L. C ebîșev în anul 1850. În cele ce urmează vom prezenta o solu ție a lui P.
Erdos (adaptată de L. Kalmar). Această solu ție se bazează pe demonstrarea câ torva leme:
Lema 1 : Dacă n, 1n, atunci 24
2n
n
nC
n . (1)
Demonstra ție. Facem induc ție după n. Pentru n =2, (1) este adevărată deoarece 2
2
44 86
2 2 2C
6 2 8 3 2 4 18 16 ceea ce este evident.
17
Cum 1
2 2 22 121n n
n nnC Cn
, pentru a proba (1) pe ntru n + 1, este suficient s ă demo nstrăm că
12 1 4 4212 2 1n nn
n n n 2 1 1 2
1 1n
n n n 2 22 1 4 1 4 4 1 4 4n n n n n n n
1 0 ceea ce este evident.
Lema 2. Dacă definim 11P iar pentru n ≥ 2,
n
p prim
p nP p
, atunci 4n
nP , pentru orice *n.
Demonstra ție. Facem din nou induc ție după n. Pentru n = 1,2 totul este clar. Presupunem lema
adevărată pentru toate numerele < n și să o demon străm pentru n.
Dacă n este par, atunci 1 n nP P și totul este clar. Dacă n este impar , *2 1,n k k , atunci orice
numă r prim p astfel încâ t 2 2 1k p k este un divizor al lui
2 12 1 2 2 1 … 1
1 2 …k
kk k k kCk .
Din 2 1 1
2 1 2 1 2 1 1 1 2k k k k
k k kC C C
, deducem că 2 1 4k k
kC (2).
Produsul tuturor numerelor prime p astfel încâ t 2 2 1k p k divizâ nd 2 1k
kC este inferior lui 4k.
Scriind că 2 1 1
2n k k
p prim
k p nP P P p
și ținând cont de ipoteza de induc ție, 1
14k
kP
, deducem că
1 2 14 4 4 4k k k n
nP și astfel lema 2 este demonstrată .
Lema 3. Dacă p este un numă r prim ce divide 2n
nC astfel încâ t 2 p n , atunci p apare cu exponentul 1
în descompunerea lui 2n
nC în factor i primi.
Demonstra ție. Exponentul lui p în
2 22 !
!n
nnC
n va fi
122k k
kn n
p p
. Dacă 2 p n (avem
2 p n n = 2 în care caz lema este adevărată că ci 2
42 3 C ), atunci pentru 3n avem 2 p n ,
de unde deducem imediat că 22 2n n
p p , de unde 1 și astfel lema este demonstrată .
Pentru un numă r real pozitiv x, prin x desemnăm numă rul numerelor prime q astfel încâ t q x.
Lema 4. Dacă p este un num ăr prim, *r astfel î ncât 2|r n
n p C , atunci 2rp n și 2
2 2n n
nC n .
Demonstra ție. Din 2|r n
n p C , deducem că exponentul lui p în descompunerea lui 2n
nC în factori primi
(care este
122k k
kn n
p p
) verifică inegalitatea r.
Dacă am avea 2rp n , pentru k r am avea 22 0k kn n
p p și atunci 1
122r
k k
kn n
p p
.
Cum pentru orice x avem 2 2 1x x ar trebui să avem 1r ceea ce contrazice faptul că
18
r. Deci 2rp n . Pentru a demonstra partea a doua a lemei ținem cont de faptul că în
descompunerea î n factori primi a lui 2n
nC nu pot să apară decâ t numere prime 2q n , de unde deducem
că 2
2 2n n
nC n .
Lema 5 . Dacă n , 2n , atunci nici un numă r prim p astfel încâ t 2
3n p n nu poate să dividă
2n
nC .
Demonstra ție. Dacă 2
3n p n , atunci 23n
p și 1n
p , deci 22n
p și 1n
p , de unde deducem
că 22 2 2 1 0n n
p p . Cum pentru orice x , 2 2 0x x , deducem că 22 0n n
p p .
Pentru 1k, avem 24
9kp n și atunci 2 912kn
p n pentru 4n, deci 22 0k kn n
p p pentru 1k
și 4n. Rezultă astfel că pentru 4n, p nu di vide 2n
nC.
Pentru n = 3 sau n = 4, cu necesitatea p = 3 și din nou lema este adevărată că ci 3
620 C , 4
870 C nu se
divid prin 3.
Lema 6. Un numă r prim p astfel î ncât 2 n p n apare î n descompunerea lui 2n
nC în factori primi cu
exponentul 1 2n.
Demonstra ție. Dacă 2 n p n , atunci 21 2n
p și 1n
p , deci 21n
p și 0n
p . Pentru 2k,
avem 22 2 2
kn n
p p n , deci pentru 1n avem 21kn
p si 20kn
p ca și 0kn
p .
Deci exponentul al lui p în 2n
nC este 1.
Lema 7. Dacă n, 14n , atunci 12nn .
Demonstra ție. Se verific ă imediat că 1414 6 12 , adică lema este adevărată pentru n=14.
În șirul 1, 2 ,…, n numerele 4, 6, …, 22n (în numă r de 12n ) sunt compuse. Pe de altă parte, pentru
15n, șirul 1, 2, …, n conține și numerele impare compuse 1, 9 și 15, de unde deducem că
1 3 2 12 2 2n n nn n n (căci 12 2n n ) și astfel lema este probată (observând
că pentru 15n avem chiar 12nn .)
19
Lema 8. Fie
2n
p prim
n p nR p
(sau 1nR dacă nu există astfel de numere prime). Atunci, pentru 98n
avem
3
24
2 2n
n nR
n n
.
Demonstra ție. După felul î n care am definit pe nR deducem că 2|n
n nR C , deci putem scrie 2n
n n nC R Q ,
cu *
nQ . Conform Lemei 6, dacă p este un num ăr prim astfel încâ t 2 n p n , atunci p nu divide
nQ și pri n urmare dacă p este prim și |np Q , cu necesitate p n. Conform Lemei 5 avem chiar mai
mult, 2
3p n , astfel că produsul divizorilor primi ai lui nQ va fi cel mult egal cu 2
3nP
, iar conform
Lemei 2 acest produs va fi 2 2
3 34 4n n
.
Conform lemei 3 cum 2|n
n nQ C se vede că exponentul unui numă r prim p din descompunerea lui nQ nu
va fi >1 dec ât dacă 2 p n .
Numă rul acestor numer e prime va fi conform Lemei 7 (înlocuind î n aceasta pe n prin 2n , lucru
posibil deoarece 98n 2 14n , de unde și 2 14n ) inferior lui 2
2n.
Conform Lemei 4, produsul puterilor acestor numere prime (care divid nQ, deci și pe 2n
nC ) va fi cel
mult egal cu 2
22n
n , de unde deducem în final că 2 2
3 2 4 2n n
nQ n . (4)
Astfel, cum 2n
n
n
nCRQ deducem, ținând cont de lema 1 și inegalitatea 4 că :
3
2
3 24 1 4
2 22 2 4 22n n
n n nR
n nn n n
, adică exact inegalitatea 3.
Lema 9. Dacă k, 8k , atunci 2 18 1kk .
Demonstra ție. Cum 82 256 18 9 iar daca 2 18 1kk , atunci :
12 2 2 2 18 1 36 36 18 36 18 2k kk k k k , deducem conform prin cipiului induc ției
matematice că lema este adevărată pentru orice 8k.
Lema 10. Dacă x, 8x, atunci 2 18xx .
Demonstra ție. Pentru x, 8x avem 8x și conform lemei 9 avem: 2 2 18 1 18x xx x .
Lema 11. Dacă k, 6k, atunci 2 6 1kk .
Demonstra ție. Se face induc ție ma tematică după k (sau, dacă ținem cont de Lema 9 mai avem de
demonstrat inegalită țile pentru k=6 și k=7 care sunt adevă rate).
20
Lema 12. Dacă x, 6x, atunci 2 6xx .
Lema 13. Dacă n, 648n , atunci 2nR n .
Demonstra ție. Ținând cont de Lema 8 este suficient să demonstrăm că pentru 648n avem
32 4 4 2n
nn n n . Cum pentru 648n , 266n, conform Lemei 12 avem 2
62 2n
n , de unde
ridicâ nd ambii membri la puterea 2n deducem că 32 2 2n
nn .
De asemenea, din 648n , deducem că 289n și atunci conform lemei 10 avem 2
92 4n
n , de unde
32 4 4 4n
n n n n .
Deci, pentru 648n , 3 2 2 2n n
n si 32 4n
n n , de unde 32 4 4 2n
nn n n și cu aceasta l ema
este demonstrată .
Lema 14. Dacă 6n, atunci î ntre n și 2n se afl ă cel pu țin două numere prime distincte.
Demonstra ție. Dacă 648n , atunci conform definirii lui nR, dacă î n interval ul ,2n n nu ar exista nici
un numă r prim, sau numai unul, atunci 2nR n , ceea ce ar fi în contradic ție cu Lema 13.
Dacă n=6, lema este adevărată căci între 6 și 12 se află numerele pri me 7 și 11.
Mai avem de demon strat Lema 14 pentru 7 647n . Acest lucru poate fi făcut fie direct (utilizâ nd un
tabel de numere prime 1000 ), fie construind un șir de numere prime 0q, 1q, …, mq astfel încâ t 07 q,
2 2k kq q , 2k m și 1 647mq a .
O dată construit un astfel de șir (cum ar fi de exemplu ș irul 7, 11, 13, 19, 23, 37, 43, 73, 83, 1 39, 163,
277, 317, 547, 631, 653, 1259 pentru m=16), să vedem cum rezultă lema 14 pentru 7 647n a .
Primul termen al șirului 0q, 1q, …, mq nu depă șește pe n decât dacă 1 m mq q a n , deci mq n.
Există deci un indice maximal 1 k m astfel încâ t kq n. Atunci 2k m , 1k n q și cum
22 2k kq q n , între n și 2n există cel pu țin numerele prime 1kq și 2kq și cu aceas ta lema este
complet demonstrată .
Teorema 2. (Cebî șev). Dacă n , 4n , atun ci între n și 2(n − 1) avem cel pu țin un numă r prim.
Demo nstrație. Pentru n = 4 și n = 5 teorema este adevărată în mod evident deoarece între 4 și 6 se află 5
iar între 5 și 8 se află 7.
Pentru 6nconform lemei 14 î ntre n și 2n se află cel pu țin două numere prime distincte p și q cu
p q. Dacă cel mai mare dintre acestea este 2 1q n , celălalt trebuie să fie 2 2n căci 2 1n
este par și compus pen tru 6n. Deci 2 1 n p n . Dacă 2 1q n , cum p q , din p q de-
duce m că 2 2 n p n și cu aceasta Teorema lui Ceb îșev este complet demonstrată .
În continuare vom prezenta câ teva corolare la Teorema lui Ceb îșev.
21
Corolar 1 . Dacă n, 2n, atunci î ntre n și 2n se află cel pu țin un numă r prim.
Demonstra ție. Dacă 4n totul rezultă din teorema lui Ceb îșev. Dacă n=2 între 2 și 4 se află 3 , iar
dacă n=3 atunci între 3 și 6 se află 5. Astfel corolarul este demonstrat pentru orice 2n.
Observa ție: Î n anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrat urmă toarea generalizare a corolarului 1: Dacă
,n k , n k , atunci în șirul n, n+1,…, n+k−1 se află cel pu țin un număr admițând un diviz or prim
> k.
Corolarul 1 se deduce acum din acest rezultat pentru n=k+ 1. Această generalizare a mai fost demon-
strată și de I. Schur în 1929 ca și de P. Erdos î n 1934.
Corolar 2. Dacă k , k > 1, atunci 2k
kp .
Demonstra ție. Facem induc ție după k. Pentru k = 2 avem 2
23 2 p . Dacă 2k
kp, conform
corolarului 1 există cel pu țin un numă r prim p astfel încât 12 2 2 2k k kp și astfel corolarul este
demonstrat.
Corolar 3. Dacă n, 2n, atunci î n desc ompunerea lui !n în factori primi găsim cel pu țin un
numă r prim cu exponentul egal cu 1.
Demonstra ție. Corolarul este în mod evident adevă rat pentru n = 2 și n = 3 (2!=2, 3!=2 ∙3).
Fie acum 4n. Dacă n este par, n = 2k, atunci 2k și conform Corolarului 1 î ntre k și 2k = n găsim
cel pu țin un numă r prim p astfel încâ t 2 k p k n . Vrem să demonstră m că p apare cu exponentul 1
în descompunerea î n factori primi a lui n!. Într-adevăr, următorul numă r din n! ce ar fi multiplu de p este
2p însă din 2 2 2 k p k p p n .
Dacă n este impar, n = 2k+1 2k și din nou conform corolaru lui 1 î ntre k și 2k găsim cel pu țin un
numă r prim p ( 2 k p k ). Avem deci 2p k n și 2 2 2 2 1p k p k n și din nou ajungem la
concluzia că p apare î n descompunerea lui n! cu exponent 1.
Observa ție. De fapt, C orolarele 1 și 3 sunt echivalente.
Într-adevăr, mai înainte am văzut cum corolarul 1 implică corolarul 3. Reciproc, să admitem că ceea ce
afirmă corolarul 3 este adevă rat (adică pentru orice numă r natural 1n în n! exist ă cel pu țin un număr
prim cu exponentul 1) și să demonstrăm corolarul 1(adică pentru orice 2n , între n și 2n se află cel
puțin un număr prim. Într -adevă r, fie p numărul prim ce apare în descompunerea î n factori primi a lui
(2n)! cu exponentul 1. Avem 2 2p n p căci dacă am avea 2 2p n , atunci î n
2 ! 1 2 … 1 1 … 2n n n n n apar p și 2p și astfel exponentul lui p în 2 !n ar fi cel pu țin 2.
În concluzie , 2n < 2p, adică n < p și cum p < 2n deduce m că n < p < 2n.
Deducem imediat:
Corolarul 4. Dacă n, 2natunci n! nu poate fi puterea unui numă r natural cu exponentul >1.
Corolarul 5. Pentru orice k, 4k, avem inegalitatea 22k kp p .
22
Demonst rație. Pentru 4k avem 35kp p și atunci conform lemei 14 î ntre kp și 2kp există cel
puțin două numere prime distincte. Cum cele mai mici dintre aceste numere vor fi 1kp și 2kp avem
22k kp p .
Corolarul 6. Pentru orice k , 2k avem 2 1k k kp p p .
Demonstra ție. Pentru k = 2, 3 se verifi că imediat prin calcul, iar pentru 4k totul rezultă din corolarul
precedent.
Corolarul 6. Dacă ,n k , 2n, atunci: 1 1 1…1 n n n k .
Demonstra ție. Dacă 1 1 1…1xn n n k , atunci 1x și cum 1kxn , cu necesitate 1k n
și deci k n.
Fie p cel mai mare numă r prim ≤ n + k. Atunci 2 p > n + k. Conform Corolarului 1, î ntre p și 2p găsim
cel pu țin un numă r prim q, iar dacă am avea 2p n k , atunci p q n k , în contradic ție cu
alegerea lui p. Deci 2 n k p .
Cum k n, atunci 2 n k n și din nou conform corolarului 1, î ntre n și 2n există un numă r prim r.
Cum 2r n n k , ținând cont de felul î n care l -am ales pe p deducem c ă r p. De asemenea,
deoarece n r, avem 2 n p n k p .
Deducem de aici că printre termenii sumei 1 1 1…1xn n n k există numai unul al că rui numitor
să fie divizibil prin p. Punâ nd pe x sub for mă de frac ție (cu numitorul 1 … n n n k ) se observă că
printre termenii ce d au numără torul lui x există unul ce nu se divide prin p. Atunci, dacă scriem mxt
(cu 1 … t n n n k ), p | t și p nu divide m, de unde concluzia c ă x.
Numere prime gemene
Dacă p și p + 2 sunt simultan numer e prime, vom spune despre ele că sunt gemene. Exemple: (3, 5), (5,
7), (11, 13), (17, 19), etc.
În 1949 a fost prezentat urmă torul rezultat legat de numere le prime gemene: Pentru 2n , n și n+2
sunt simultan prime dac ă și numai dacă 4 1 ! 1 0 mod n 2n n n (din pă cate din punct de
vedere practic acest rezultat nu are nicio utilitate).
Problema principală este de a decide dacă există sau nu o infinitate de numere prime gemene.
23
Dacă notă m pentru 1x prin 2x = numă rul numerelor prime p astfel încât p + 2 este prim și
2p x , atunci Brun a demonstrat în 1920 că există un numă r natural 0x (efectiv calculabil) astfel
încât pentr u orice 0 x x să avem
2 2100
lgxx
x .
Într-un alt articol celebru di n 1919, tot Brun a demonstrat că seria 1 1
2Bp p (unde suma este
extinsă după perechile de numere gemene ( p, p + 2)) este convergentă sau mul țimea a cestor numere
gemene este finită. Numă rul B poart ă numele de constanta lui Brun iar Shanks și Wrench (în 1974) iar
Brent (în 1976) au arătat că 1,90216054B .
Printre cele mai mari numere prime gemene cunoscute amintim 112351706595 2 1 și 7701571305 2 1
ca și 80025665551035 2 1 (David Underbakke).
De aici rezultă că mul țimea numerelor prime gemene, dacă este infini tă (lucru neprobat până acum),
atunci ele se apropie foarte mult unele de altele.
§.5 Descompunerea numerelor naturale î n produs de puteri de numere prime
Teorema 1. (Teorema fundamentală a aritmeticii)
Orice numă r natural compus se scrie ca produs de numere prime, nu neapar at distincte.Scrierea este
unică, făcând abstrac ție de ordine a factorilor.
Demonstra ție. Avem de demonstrat două afirma ții, și anume:
1.Orice numă r compus se scrie ca produs de factori primi;
2.Descompunerea este unică, făcând abstrac ție de ordinea factorilor.
Vom demonstra 1).
Fie n, n număr natural compus. Rezultă că există np număr prim astfel încâ t 1|p n , deci 1 1 n p n
, *
1 \ 1 n . Numă rul 1n poate fi prim și problema este rezolv ată sau poate fi compus și, la rândul său,
se divide la un numă r prim 2p, adică 1 2 2 n p p n cu *
2 \ 1 n .
Continuăm procedeul până câ nd 1 2 1 1 …k k n p p p n și 1kn este nu măr prim. Notă m 1not
k kn p și
obținem 1 2 …k n p p p . Suntem siguri că vom ajunge la o astfel de formă într -un număr finit de pa și,
având în vedere că 1 2 …k n n n n și că există un numă r finit de numere natu rale mai mici decâ t n
și mai mari decâ t 1.
Observa ții:
a)Teorema fundamentală a aritmeticii se po ate reformula astfel: Orice număr natural compus se scrie în
mod unic (făcând abstrac ție de ordinea factorilor) sub forma 1 2
1 2 …k
k n p p p , unde 1 2, ,…,k p p p
sunt numere prime distincte, iar *
1 2, ,…,k .
24
b) Scrierea de mai sus se nume ște „descompunerea î n fac tori primi” sau „descompunerea în factori” a
numă rului n.
Vom încerca acum să deducem numă rul divizorilor natura li ai unui număr natural. Mai întâi ne amintim
că orice numă r prim are exact doi divizori.
Dacă 1
1 n p , atunci mul țimea divizorilor lui n este 1 2
1 1 11, , ,…,nD p p p , deci n are exact 11
divizori.
Dacă 1 2
1 2 n p p , atunci 1 1 1 1 2 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 21, , , , , ,…, , , ,…,nD p p p p p p p p p p p p p .
Observă m că pentru fiecare 1ip cu 10,i se scriu numerele 1 2i jp p cu 20,j .
Folosind regula produsului, d educe m că n are exact 1 21 1 divizori.
Rezultatul se poate generaliza pentru 1 2
1 2 …k
k n p p p , cu *k.
Dacă notă m cu n numă rul divizorilor naturali ai lui n iar cu n suma divizorilor să i naturali
atunci: 1 21 1 … 1k n iar 1 2 1 1 1
1 2
1 21 1 1…1 1 1k
k
kp p pnp p p
.
Evaluarea p-adică a unui numă r natural.
Noțiunea din titlu p -adic valuation (eng); evaluation p -adique (fr.)- de altfel relativ rece ntă în
matematică, este un mijloc sistematic și adesea eficace pentru utilizarea în toată „puterea” ei a teoremei
de descompunere în factori primi. De și nu este un panaceu (o metodă bună în orice situaț ie), metoda
furnizată de această no țiune se dovedește utilă în multe demonstra ții sau rezolvări de probleme de
aritmetică . Pentr u început avem nevoie de urmă toarea:
Defini ție: Dacă p este un numă r prim , *n, atunci evaluarea p-adică a lui n este cel mai mare numar
natural k astfel înc ât |kp n . Se va nota p k n . Cu alte cuvinte, pn este exponentul lui p în
descompunerea în factori primi a numă rului n.
Exemple: 2 3 52 1; 27 3; 10 1 .
Următoarele proprietă ți ale e valuă rii p-adice sunt u șor de dovedit, este nevoi e doar de o oarecare
abilitate în manevrarea proprietă ților operaț iilor cu puteri.
P1. Dacă *n și n se descompune sub forma 1 2
1 2 …k
k n p p p , atunci pentru orice 1i k
ip in , iar dacă p este distinct de ip, cu 1i n , atunci 0pn.
Exemple: Dacă n=144, atunci , cum 4 2144 2 3 , avem 2 3 4, 2 n n și pentru orice numă r
prim 5p,0pn.
P2. Dacă *,m n, atunci |m n dacă și numai dacă p pm n pentru orice p numă r prim.
P3. Dacă *,a b, atunci pentru orice numă r prim p:
(i) , max ,p p pa b a b ;
25
(ii) , min ,p p pa b a b , unde pentru ,x y se noteaz ă max { x, y} cel mai mare dintre
numerele x, y, min { x, y} cel mai mic dintre nu merele x, y, [x, y] cel mai mic multiplu comun al
numerelor x, y, iar ( x, y) cel mai mare divizor comun a l acestor numere. Ne va fi utilă observa ția că,
dacă ,x y, atunci max , min , x y x y x y .
P4. Dacă *,a b și p este un num ăr prim, atunci:
(i);p p pa b a b
(ii) min ,p p pa b a b .
Dacă p pa b , atunci avem chiar egalitate.
Într-un caz, oarecu m general, se poate determina u șor valoarea p-adică, și anume î n cazul factorialului.
Teorema (Formula lui Legendre):
Dacă p este un num ăr prim și *n, atunci 2
1! …p k
kn n nnp p p
.
Cum există i astfel ca ip n și atunci 0,lnl ip , apare nta sumă din membrul drept este
finită, însă nu știm de la început „unde se termină”. Din această cauză apar punctele de suspensie.
§.6 Divizori comuni a două sau mai multor numere natu rale; c.m.m.d.c.; numere prime î ntre ele.
Teorema 1. Fiind date doua numere ,a b , există d ( vom nota d=(a, b) ) astfel încât d | a, d |
b, iar dac ă mai avem 'd astfel încâ t '|d a și '|d b , atunci '|d d (adică în mul țimea parțial
ordonată (N, |) pentru orice două elemente a și b există a b).
Demonstra ție. Conform teoremei împăr țirii cu rest, putem scrie 1 1 a bc r , cu 1 1,c r , iar
10r b .
Dacă 10r atunci b | a și în mod evident d=(a,b)=b.
Dacă 10r, atunci conform aceleia și teoreme de împărț ire cu rest putem scrie 1 2 2b rc r , cu
2 2,c r, iar 2 10r r .
Dacă 20r, atunci 1d r. Într -adevă r, din 1 2b r c deducem că d | b, iar din 1 1 a bc r deducem că d |
a. Dac ă mai avem 'd astfel încâ t '|d a și '|d b , atunci cum 1 1r a bc , deducem că '
1|d r d.
Dacă 20r, atunci din nou putem scri e 1 2 3 3r r c r , cu 3 20r r , și algoritmul descris până acum
continuă, ob ținându -se un șir descrescă tor de numere naturale 1 2, ,…r r astfel încâ t
2 1 3j j j jr r c r j . Șirul 1 2 3, , ,…r r r este staționar.
Astfel, dacă pentru un anumit k, 10kr, atunci k d r, pe când, dacă 11kr atunci d=1.
De exemplu: Dacă a=49 și b=35 avem:
26
1 1 49 1 35 14 1, 14 c r
2 2 35 2 14 7 2, 7 c r
3 3 14 2 7 2, 0 c r
De unde deducem că (49, 35)=7.
Dacă a=187 și b=35 avem:
1 1
2 2
3 3187 5 35 12 5, 12
35 2 12 11 ( 2, 11)
12 1 11 1 ( 1, 1)c r
c r
c r
De unde deducem c ă (187, 35)=1.
Observa ții:
1.Numă rul d poarta numele de cel mai mare divizor comun al lui a și b.
2. Algoritmul de g ăsire a cel ui mai mare divizor comun a două numere naturale descris mai înainte
poartă numele de algoritmul lui Euclid.
3. Dacă pentru ,a b avem , 1a b, vom spune despre a și b că sunt prime î ntre ele.
4. Inducti v se ara tă ca pentru oricare n numere naturale 1 2, ,…, 2n a a a n exist ă d astfel încâ t
|id a pentru orice 1i n și dacă mai avem 'd astfel încâ t '|id a pentru orice 1i n , atunci
'|d d . Numă rul d se noteaz ă prin 1 2, ,…,n d a a a și poartă numele de cel mai mare divizor comun al
numerelor 1 2, ,…,n a a a .
Un alt mod de a det ermina c.m.m.d.c a două sau mai mult or numere naturale mai mari decât 1 constă în
parcurgerea următorilor doi pa și:
Pas 1: se descompun numerele î n produs de puteri de numere prime.
Pas 2: se iau to ți factorii primi comuni, o singură dată , la puter ea cea m ai mică și se înmulțesc î ntre ei.
Exemplu:
2
2
3 2420 2 3 5 7420,504 2 3 7 84
504 2 3 7
§.7 Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b este cel mai mic număr care se împarte
exact și la a și la b. Se notează: c.m.m.m.c al numerelor a și b sau [a;b]
1)
m'b mm'a m m = b] [a;
2) [a; b] = ma|m și b|m, oricare ar fi m', astfel încât a|m' și b|m' m'|m
27
Observație : Produsul a două numere naturale a și b este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c
al lor: a · b = (a,b)·[a,b].
Exemplu : Fie numerele naturale 18 și 24. C.m.m.d.c. al lor este 6, iar c.m.m.m.c. este 72. Avem 18·24 =
432 = 6·72.
28
Capitolul I I
Divizibilitatea pe
§1. Noțiuni introductive. Teorema împărț irii cu rest.
Defini ție. Dacă ,a b , 0b , vom spune că b divide a (vom scrie b | a) dac ă există c astfel
încât a bc(ca și în cazul lui nu vom defini, nici î n cazul lui , divizibilitatea prin 0).
Evident, dacă aatunci 1| ; 1|a a și | 0a.
Numerele prime î n se definesc ca fiind acele numere î ntregi p cu proprietatea c ă 1,0,1 p , iar
singurii divizori ai lui p sunt 1;p . Evident, numerele prime din sunt numerele de forma p, cu
2p număr prim î n .
Se verifică imediat că dacă , ,a b c atunci:
1) | 0a a a
2)Dac ă |a b și |b a, atunci a b (deci î n relația de divizibilitate nu mai este antisimetric ă).
3)Dac ă |a b si |b c, atunci |a c.
Teorema. (Teorema împăr țirii cu rest î n )
Dacă ,a b, b>0, atunci exist ă ,c r astfel încâ t a cb r , cu 0r b .
Demonstra ție. Fie : P a xb x ; evident î n P avem și numere naturale. Fie r a cb cel mai
mic numă r natural din P (cu c ). Avem 0r b căci dacă r a cb b atunci
0 1a c b r , ceea ce contrazice minimalitatea lui r.
Observa ții:
1.Putem formula teorema împăr țirii cu rest din și sub forma: Dacă ,a b, 0b, atunci există
,c r astfel încâ t a cb r , iar 0r b .
2.Numerele c și r cu proprietatea de mai sus poartă numele de câtul, respectiv restu l împăr țirii lui a la b,
și sunt unice cu proprietatea respectivă, căci dacă am mai avea ', 'c r astfel încâ t '' a c b r , cu
0 'r b , atunci ' ' ' ' cb r c b r c c b r r , adica | 'b r r. Cum 0 , 'r r b , dacă am
presupune, de exemplu că 'r r , atunci 'r r b , iar condi ția | 'b r r implică ' 0 'r r r r și
cum ' ' 0 c c b r r ,deducem imediat că ' c c .
§2. Congruen țe pe
Defini ție. Fie n , 2n un num ăr fixat. Vom spune că ,a b sunt congruente modulo n dacă
|n a b ; în acest caz scriem mod a b n .
29
Propozi ție. Relația de congruență modulo n este o echivalen ță pe compatibilă cu opera țiile de
adunare și înmulț ire de pe (adică este o co ngruen ță pe inelul , , ).
Demonstra ție. Faptul că rela ția de congruență modulo n este o rela ție de echivalență pe se probează
imediat. Pentru a proba com patibilitatea acesteia cu opera țiile de adunare și înmulțire de pe , fie
, , ', 'a b a b astfel încâ t mod a b n și ' ' mod a b n , adică a b kn și ' ' 'a b k n , cu
, 'k k. Atunci ' ' ' a a b b k k n , adică ' ' mod a a b b n și scriind
' ' ' ' ' ' ' ' 'aa bb a a b b a b ak n b kn ak b k n deducem că ' ' mod aa bb n .
Corolar 1. Fie ,i ia b astfel încâ t mod i ia b n pentru ori ce 1,2,…,i k . Atunci
1 1mod k k
i i
i ia b n
și
1 1mod k k
i i
i ia b n
. În particular , dacă ,a b astfel încâ t mod a b n
și *k, atunci mod k ka b n .
Pentru x vom nota prin x
clasa de echivalen ță a lui x modulo n. Deoarece resturile împăr țirii unui
numă r oarecare din prin n sunt 0, 1,…, n − 1, deducem imediat că dacă notă m mul țimea claselor de
echivalen ță modulo n prin n, atunci ^ ^ ^
0,1,…, 1n n , iar pentru 0,1,…, 1 k n avem
^
: k k nt t . Pe mul țimea n se definesc opera țiile de ad unare și înmulț ire astfel: ^ ^ ^
x y x y și
^ ^ ^
x y x y (ținând cont de propoziția de mai sus deducem că acestea sunt bine definite).
Propozi ție. , ,n este inel comutativ în care unită țile sale sun t:
^
, , : , 1n n U x x n .
Demonstra ție. Cum verificarea axiomelor nu ridică probleme deosebite, vom reaminti doar că elementul
neutru din n față de adunare este ^ ^ ^
0,x n x iar elementul neutru fa ță de înmul țire este ^
1 . Dacă
^
n x U, atunci există ^
n y astfel încâ t ^ ^ ^ ^ ^
1 1 x y x y | 1n xy , de unde deducem că (x,
n)=1.
Reciproc, dac ă 0,1,…, 1x n și , 1x n , atunci există ,r s astfel încâ t 1 r n s x , de unde
deducem că ^ ^ ^ ^ ^11 s x x s , deci n x U.
De exemplu: ^ ^ ^ ^
12 1,5,7,11 U
Pentru un numă r natural 1n definim 1 1 iar pentru 2n, nnumă rul numerelor naturale
m n astfel încâ t , 1m n. Astfel 1 2 1 , 3 2 , etc., iar n U n .
30
Func ția *: definită mai sus poartă numele de indicatorul lui Euler. Ea a fost studia tă de Euler
încă din anul 1760. Notarea func ției lui Eu ler prin a fost făcută de Gauss î n anul 1801.
Corolar . , ,n este corp n este prim.
Observa ție. Dacă î n inelul consideră m idealul a = n, urmă rind tehnica factorizarii unui inel
(comutativ) printr -un ideal, dacă am fi construit inelul factor /n se ob ținea de fapt tot n .
Fie acum *,a b, n, 2n și , d a n .
Propozi ție. Ecua ția ^ ^ ^
a x b are solu ție în n dacă și numai dacă d | b; dacă d | b atunci ecuația ^ ^ ^
a x b
are exact d soluții în n.
Corolar . Dacă n este număr prim, atunci ecua ția ^ ^ ^
a x b are solu ție unică î n n dacă și numai dacă (a,
n)=1 (adică, dacă și numai dacă n nu divide pe a).
§3. Teorem ele lui Euler, Fermat și Wilson
Lema 1 . Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente 2n, atunci 1nx, pentru orice
x G.
Dem onstra ție. Fie x G, iar k o x (ordinul lui x). Atunci 1kx și conform Teoremei lui Lagrange
|k n , adică n k p cu p . Deducem imediat că : 1 1pn kp k px x x .
Observa ție. Dacă G este comutativ exist ă o demonstra ție elementară ce evită Teorema lui Lagrange.
Pentru aceasta se alege 1 2, ,…,n G x x x și x G. Cum
1 2 1, ,…, ,…,n n xx xx xx G x x , deducem că 1 1 1 1… … … … 1n n
n n n n xx xx x x x x x x x x .
Corolar 1. (Euler) Dacă 2n este un numă r natural iar a astfel încâ t , 1a n, atunci
1na(mod n) ( fiind indicatorul lui Euler).
Dem onstra ție. Am vazut mai înainte că ,n este un monoid cu n elemente inversabile. Astfel,
dacă aplică m lema 1 grupului ,n G U (ce are n elemente) pentru ^
a G obținem că : 1na
(mod n).
Corolar 2. (Mica teorema lui Fermat) Dacă 2p este numă r prim, iar a astfel încâ t p nu divide
pe a, atunci 11 mod pa p .
Demonstra ție. Cum p este numă r prim, 1 p p și acum totul rezultă din corolarul 1.
Corolar 3. (Wilson) Dacă 2p este un numă r prim, atunci 1 ! 1 0p (mod p).
31
Teorema chinezeasc ă a resturi lor
În cadrul acestui paragraf vom prezenta sub alt ă formă a șa zisă teoremă chinezească a resturilor. Fie
1 2, ,…,t m m m astfel încâ t , 1i jm m pentru orice i j , 1 2…t m m m m , iar 1 2, ,…,t b b b .
Teoremă .
Sistemul
1 1mod
mod t tx b n
S
x b m are solu ție în și oricare două soluții diferă printr -un multiplu de m.
Demonstra ție. Dacă i
imnm , atunci , 1i im n pentru orice 1i t . Astfel există ,i ir s astfel
încât 1i i i irm s n pentru orice 1i t . Dacă notă m i i ie s n , atunci 1 mod i ie m și
0 mod i je m pentru 1 , ,i j t i j . Dacă vom considera 0
1t
i i
ix b e
, atunci vom avea
0 mod i i i x b e m și astfel 0 mod i i x b m pentru orice 1i t , de unde concluzia că 0x este solu ție
a sistemului (S).
Să presupunem că 1x este o altă solu ție a lui (S). Atunci 1 0 0 mod i x x m pentru 1i t . Adică
1 0|im x x pentru orice 1i t , și cum , 1i jm m pentru i j, deducem că 1 2 0 1… |t m m m m x x ,
adică 0 1 mod x x m .
§4.Teoreme de reprezentare pentru numer e întregi
Pentru un num ăr natu ral n, prin d n vom nota numă rul divizorilor lui n iar prin ad n numărul
divizorilor d ai lui n cu proprietatea că mod 4 d a . Astfel, 1d n reprezintă numă rul divizorilor de
forma 4 k + 1 ai lui n iar 3d n numă rul divizor ilor de forma 4 3k ai lui n k.
Conform teoremei fundamentale a aritmeticii pe n îl putem scrie sub forma 1 22kn n n cu k,
1
1 mod 4r
p prim
pn p
iar
2
3 mod 4s
q prim
qn q
.
În cadrul acestui paragraf vom da răspunsul la urmă toarele chestiuni.
P1: Pentru care numere naturale n există ,x y astfel încâ t 2 2n x y (*) .
P2: În caz că pentru n fixat ecua ția (*) are cel puțin o soluție să se determine numărul tuturor soluț iilor
sale.
Observa ție: Dacă ecuația (*) are o soluție î n , atunci î n ecuația (*) va avea s oluțiile
,x y .
Această observa ție ne arată că atunci când vorbim despre numărul de soluții pentru ecuația (*), trebuie
să specificăm neapărat urmă toarele:
32
a)Dacă este vorba de numă rul de s oluții din sau di n ;
b)Ce în țelegem prin soluții distincte? (altfel spus, dacă soluțiile ( x, y) și (y, x) pentru x y sunt
considerate distincte sau nu).
Pentru a nu crea confuzii vom ține cont de ordinea termenilor în cadr ul solu ției (x, y) (pentru x y)
urmând ca atunci când nu ținem cont de lucrul acesta să -l men ționă m expres.
Exemple:
1.Ecua ția 2 21 x y are două solu ții în : (1,0) și (0,1) pe când î n are patru solu ții: (1,0),
(0,1), ( −1,0) ș i (0,−1).
Dacă nu ținem cont d e ordinea termenilor concluzionăm că ecua ția 2 21 x y are o unică solu ție în
, pe când î n are două solu ții.
2.Ecua ția 2 22 x y are în o solu ție unică și anume pe (1,1), pe când î n are patru solu ții
și anume: (1,1), (1, −1), (− 1, 1) și (−1, −1).
Dacă nu ținem cont d e ordinea termenilor concluzionăm că ecua ția 2 22 x y are în trei solu ții.
Lema 1. Dacă p este un numă r prim de forma 4 k + 1, atunci 21! 1 0 mod p2p .
Demonstra ție. Scriind că : 1 1 1 11 ! 1 2 … … 1 ! … 12 2 2 2p p p pp p p
=1 1! 1 2 …2 2p pp p p deducem imediat egalită țile modulo p:
21
21 1 11 ! ! 1 ! !2 2 2pp p pp .
Conform teoremei lui Wilson 1 ! 1 0 mod pp , astfel c ă 21! 1 0 mod p2p .
Lema 2. Dac ă p este un numă r prim iar a astfel încâ t p nu divide a, atunci există numerele
naturale nenule ,x y p astfel încât la o alegere convenabilă a semnelor + sau – avem
0 mod p ax y .
Demonstra ție. Dacă m p , atunci 21m p și considerăm mulț imea : 0 , X ax y x y m .
Cum 21 X m p , rezultă că există două perechi diferite 1 1,x y , 2 2,x y X cu 1 2x x și
1 1 2 2 1 2 1 2|p ax y ax y a x x y y .
Egalitatea 1 2x x este imposibilă, căci în caz contrar ar rezulta că 1 2|p y y (lucru imposibil că ci
1 2 0 ,y y m p p ). De asemenea, egalitatea 1 2y y este imposibilă, căci î n caz contrar ar
rezulta 1 2|p a x x , deci 1 2|p x x , imposibil (că ci 1 2 0 ,x x m p p ).
33
Deci *
1 2 x x x (dacă 0x , atunci notă m 2 1 x x x ) și cum *
1 2y y , există o alegere
convenabilă a semnelor + sau – astfel încâ t *
1 2 y y y .
Cum 1 2 1 x x x x m p , deducem că 0 ,x y p și astfel numă rul ax b (care la o alegere
convenabilă a semnelor + și – este egal cu 1 2 1 2a x x y y ) se divide prin p.
Teorema 1 (Fermat). Orice numar prim p de forma 4 k + 1 se poate scrie ca suma pătratelor a două
numere naturale.
Demonstra ție. Consid erăm 1!2pa . Evident, *a și , 1a p.
Conform lemei 2, există o alegere convenabilă a semnelor + și – astfel încâ t 0 mod ax y p . Atunci
2 2 20 mod a x y ax y ax y p și conform l emei 1, 21 0 moda p , de unde deducem că
2 2 20 mod a x x p iar de aici că 2 2 2 2 2 2 2 20 mod a x x a x y x y p , adică putem scrie
2 2x y kp cu *k.
Cum ,x y p deducem că 2 22 x y p , adică 2 kp p , deci 2k , adic ă 1k(căci *,x y).
Deducem că 2 2p x y și astfel teorema lui Fermat este complet demonstrat ă.
Corolar 1. Dacă *n conține în descompunerea sa î n factori primi numai numere prime de forma 4 k
+ 1, atunci n se poate scrie sub forma 2 2n x y cu ,x y.
Demonstra ție. Totul rezultă din te orema 1 și din aceea că un produs finit de expresii de forma 2 2x y
este de aceea și formă (conform identităț ii 2 2 2 2 2 2x y z t xz yt xt yz ).
Vom demonstra acum că scrierea unui număr natural ca sumă de două pă trate de numere naturale este
unică, dacă nu ținem cont de ordinea termenilor.
În fapt, vom demonstra un rezultat mai general:
Propozi ția 1. Fie ,a b. Dacă un numă r natural prim p se scrie sub forma 2 2p ax by cu ,x y,
atunci această scriere este unic ă (cu conven ția că în cazul î n care a=b= 1 să nu ținem cont de ordinea
termenilor).
Demonstra ție. Să presupunem că p are dou ă descompuneri: 2 2 2 2
1 1 p ax by ax by cu
1 1, , ,x y x y.
Atunci 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 p axx byy ab xy yx axx byy ab xy yx și cum :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1axx byy xy yx ax by x y ax by xy p x y xy deducem că 1 1|p axx byy
sau 1 1|p xy yx .
34
Dacă 1 1|p axx byy , atunci din prima reprezentare a lui p deducem c ă 1 1 0 xy yx și deci 1 1xy yx ,
1 1 p axx byy , 2 2
1 1 px ax by x px , de unde 1 x x și atunci 1 y y.
Dacă 1 1|p xy yx , atunci din a doua reprezentare a lui p deducem că 1 1 0 axx byy și
2 2
1 1 p ab xy yx , de unde a=b= 1.
Vom avea deci 1 1 p xy yx și 1 1 0 xx yy , de unde 2 2
1 1 px x y y py , adică 1 x y și din
2 2 2 2
1 1 p x y x y , deducem că 1 y x (astfel c ă în acest caz descompunerile se pot deosebi do ar
prin ordinea termenilor).
Observa ții:
1.Din propozi ția de mai înainte deducem că dacă numă rul natural n poate fi reprezentat în cel pu țin două
moduri diferite ca sumă de două pă trate de numere natu rale (cu condi ția să nu consideră m diferite
descompunerile ce se deosebesc numai prin ordinea termenilor), atunci cu necesitate n nu este prim.
De exemplu, din egalită țile 2 2 2 22501 1 50 10 49 deducem că numă rul 2501 nu este prim.
2.Dacă numă rul n are doar o singur ă descompunere într -o sumă de două pă trate de numere naturale, nu
rezultă cu necesitate c ă n este prim.
De exemplu, se demonstrează cu u șurință că numerele 10, 18 ș i 45 au descompuneri unice sub forma
2 210 1 3 , 2 218 3 3 , 2 245 3 6 și totusi e le nu sunt numere prime (se subîn țelege că nu am ț inut
cont de ordinea termenilor).
Putem acum ră spunde la chestiunea P1 formulată mai sus.
Teorema 2. (Fermat -Euler) Un numă r natural n (scris sub forma 1 22kn n n ) se poate scrie sub forma
2 2n x y cu ,x y dacă și numai dacă toți exponenț ii s din scrierea lui 2n sunt numere pare.
Demonstra ție. Re venim la scrierea lui n sub forma 1 22kn n n cu k,
1
1 mod 4r
p prim
pn p
și
2
3 mod 4s
q prim
qn q
.
Cum 2 22 1 1 iar conform teoremei 1 fiecare factor prim 1 mod 4p din scr ierea lui 1n se scrie sub
forma 2 2x y cu ,x y deducem imediat că 1n se poate scrie sub aceea și formă și aceeași proprietate
o va avea și 12kn (adică 2 2
12kn z t cu ,z t).
Dacă presupunem că fiecare exponent s din scrierea lui 2n este par, atunci î n mod evident 2
2n m cu
m și atunci 2 2 2 2 2
1 22kn n n z t m zm tm ,
Reciproc, fie n ce se poate scrie sub forma 2 2n x y cu ,x y și să demonstrăm că dacă sq
este cea mai mare putere a unui numă r prim 3 mod 4q ce intră în descompunerea î n factori primi a
35
lui n (de fapt a lui 2n ) atunci cu necesitate s este par. Presupunem prin absurd c ă s este impar. Dac ă
, d x y , atunci 2|d n și dacă notă m 1xxd si 1yyd , 1 2nnd , obținem că 2 2
1 1 1n x y cu
1 1, 1x y.
Conform presupunerii, s este impar iar 2d (prin care am împăr țit egalitatea 2 2n x y ) con ține
eventual o putere pară a lui q, deducem c ă 1|q n și că q nu divide simultan pe 1x și 1y. (să zicem că q
nu divide 1y).
Privind acum egalitatea 2 2
1 1 1n x y în q deducem că 2 2
1 1 0x y și cum am presupus că q nu divide
1ydeducem că 2 22 1 1
1 1 1 1 0 1 1x y x y de unde 21
1 1 11x y
q q .
Cum 1
121q
q
și cum 3 mod 4q deducem c ă 1
2q este impar, astfel c ă 11q absurd.
Deci s este par. Ra ționând inductiv deducem că toț i exponen ții s din descompunerea lui 2n sunt pari și
cu aceasta teorema este demonstrată .
Pentru a răspunde la chestiunea P2 de la î ncep utul paragrafului avem nevoie să reamintim anumite
chestiuni legate de aritmetica î ntregilor l ui Gauss, : , i a bi a b . Se cunoa ște faptul că
, ,i este un inel comutativ î n care , , 1; U i i , precum și faptul că elementele prime
din i sunt (până la o multiplicare cu 1 sau i ) urmă toarele:
(i)1i ;
(ii)Numerele prime p din cu 3 mod 4p ;
(iii)Numere de forma a bi cu *,a b și 2 2a b p , unde p este un num ăr natural prim și
1 mod 4p .
Reamintim că descompunerea numerelor din i în factori primi este unică (în ipoteza că nu se ține
seama de multiplică rile cu 1,i și de ordinea factorilor).
Pentru z a bi i definim norma lui z prin 2 2N z a b . Evident, dac ă N z p cu p prim,
1 mod 4p , atunci a b (căci î n caz contrar 22 0 mod 2p a ).
Fie acum n scris sub forma: 1 22kn n n cu k,
1
1 mod 4r
p prim
pn p
și
2
3 mod 4s
q prim
qn q
.
Atunci descompuner ea lui n în factori primi î n i va fi:
36
2 21
3 mod 4
1 mod 41 1k rs
q prim a b p
q p prim
pn i i n a bi a bi q
unde r și s variaz ă o dată cu p și q.
Ținând cont de unicitatea descompunerii lui n de mai înainte deducem că fiecărei reprezentă ri a lui n
sub forma 2 2n u v u iv u iv (cu ,u v ) îi corespund pentru u iv și u iv descompuneri
de forma:
(*) 1 2 1 211 1k k r r s tu iv i i i a bi a bi q
(**) 2 1 2 121 1k k r r s tu iv i i i a bi a bi q cu 0,1, 2,3t , 1 2k k k , 1 2r r r
și 1 2s s s .
Observăm că factorii primi asocia ți lui u iv determină î n mod unic factorii primi ai lui u iv (u iv
și reciproc). De asemenea, fiecare pereche de numere complexe conjugate , u iv u iv cu ,u v
dată de rela țiile (*) și (**) de mai sus verifică egalitatea 2 2n u v .
Observ ăm de asemenea că schimbarea i i nu afectează factorii reali q astfel că 1 2s s iar 12s s .
Pentru alegerea lui t avem 4 posibilit ăți (că ci 0,1, 2,3t ). Pentru 1k avem 1k posibilită ți de
alegere (că ci 10,1, 2,…, k k ) iar pentru 1k ales, 2k se determină din 2 1k k k .
Analog pentru 1r avem r + 1 posibilită ți de al egere (că ci 10,1, 2,…, r r ) iar 2 1r r r .
Astfel, avem un numă r total de 4 1 1k r posibilită ți de a asocia lui u iv factorii primi Gauss
din descompunerea lu i n în factori primi (în i )(unde produsul 1r se face după to ți primii
1 mod 4p astfel încâ t |rp n ).
Să vedem câ te dintre aceste asocieri sunt diferite.
Ținând con t de egalitatea 1 1i i i , dacă avem un factor 1 21 1k ki i atunci acesta devine
1 2 1 21 1 11 1 1 1k k k k k k k ki i i i i i i astfel c ă numărul că utat este de fapt 1
prim
|4 1
rp
p nr d n
(căci
1
1 mod 4r
p prim
pn p
).
Din cele de mai înainte deducem că numărul total de solu ții întregi ale ecuaț iei 2 2x y n este 1 4d n
. Să arătăm acum că 1 1 3d n d n d n .
Pentru aceasta s ă observăm că numă rul divizorilor impari ai lui n este egal cu numă rul termenilor
sumei: (***)
1 1
1 1
0 | |
0 1 mod4 3 mod4… … 1 … 1 …n t
r si i
j jm k m k r s
n t
m r p n q n
k s p qp p q q p p q q
.
37
Dacă d | n, atunci este clar că avem 1 mod 4d dacă și numai dacă î n (***)
1t
j
jk
este par, în caz
contrar avâ nd 3 mod 4d .
Dacă î nlocuim pe q cu −1 atunci produsul
|
3 mod 41 …
ss
q n
qq q
este zero chiar dacă un singur
exponent s este impar; dac ă toți acești exponenț i s sunt pari atunci
|
3 mod 41 … 1
ss
q n
qq q
și astfel
membrul drept din (***) devine
|
1 mod 41 …
rr
p n
pp p
astfel c ă termenii dezvoltă rii acestui produs
sunt exact to ți divizorii lui 1n.
Pentru a ob ține 1d n fiecare termen trebuie să fie numărat ca 1. Acest lucru este u șor de realizat dacă
în (***) î nlocuim în partea dreaptă și pe p cu 1, ob ținând
|
1 mod 41
rp n
pr
.
Dacă privim acum membrul stâng al egalită ții (***) după ce î n partea dreapt ă am î nlocuit fiecare p cu 1
și fiecare q cu −1 este clar că fiecare d | n, 1 mod 4d este numă rat ca +1 și fiecare d | n,
3 mod 4d este numă rat ca −1.
Astfel, membrul stâ ng din (***) devine 1 3d n d n iar membrul drept 1d n , de unde egalitatea
1 1 3d n d n d n .
Sumând cele expu se până aici ob ținem următorul rezultat ce include și teorem a Fermat Euler:
Teorema 2. Fie *n iar 1 22kn n n (cu k ,
1
, |
1 mod 4r
p prin p n
pn p
iar
2
, |
3 mod 4s
q prim q n
qn q
) descompun erea
lui n în factori primi.
Atunci ecua ția 2 2x y n are solu ție în dacă și numai dacă toți exponenț ii s din descompunerea lui
2n sunt pari.
Numărul solu țiilor din ale ecua ției 2 2x y n este egal cu 1 34d n d n unde ad n este
numărul divizorilor d ai lui n cu proprietatea că mod 4 d a , a =1,3.
1.Dacă n = 1, atunci 11 1d și 31 0d astfel că î n ecuația 2 21 x y va avea 4(1 −0)=4
soluții.
2.Dacă n = 2, atunci 12 1d și 32 0d, astfel că î n ecuația 2 22 x y va avea 4(1 −0)=4
soluții.
3.Dacă n = 5, atunci 15 2d și 35 0d, astfel că î n ecuația 2 25 x y va avea 4(2 −0)=8
soluții.
38
4.Dacă p este un num ăr prim de forma 4 k + 1, atunci există *,x y astfel încâ t 2 2p x y (cum
1 2 d p iar 3 0 d p, conform teoremei 2 ecua ția 2 2x y p va av ea în 4(2−0)=8 soluț ii.
39
Capitolul III
Divizibilitatea polinoamelor
§1. Proprietăți aritmetice ale inelului de polinoame cu coeficienți într -un corp comutativ
Teorema împărțirii cu rest pentru pol inoame este fundamentală, stând la baza aritmeticii
polinoamelor. Pe baza acestei teoreme se construiește algoritmul lui Euclid de determinare a celui m ai
mare divizor comun pentru polinoame, se obține teorema de descompunere în factori a polinoamelor
etc.
Teorema împărțirii cu rest:
Fie K un corp comutativ. Oricare ar fi f, g K[X], g 0 există două polinoame q, r K[X]
astfel încât: f = gq + r, unde grad r grad g.
În plus, polinoamele q și r sunt unice satisfăcând proprietatea din teoremă.
Demon strație : Fie f = a o + a 1X + …a nXn și
g = b 0 + b 1X + … b mXm, unde a n 0 bm 0 m ≥0.
Vom demonstra că există formula din teoremă prin inducție după grad f = n.
Dacă ngrad g, luăm q = 0 și r = f.
Dacă n≥grad g, c onsiderăm polinomul: f = f – 1
mbanXn-mg. Se observă că grad f n și
conform ipotezei de inducție există polinoamele rq,astfel încât f = gq + r, grad r grad g.
f – 1
mbanXn-mg = g q + rf = 1
mbanXn-mg + g q + r, grad r grad g
f = g( q + 1
mbanXn-m) + r. Notând q = q + 1
mbanXn-m și r = r
Obținem : f = gq + r, grad r grad g.
Demonstrăm acum unicitatea din teoremă.
Presupunem că mai există două polinoame q 1 și r 1K[X] astfel încât: f = gq 1 + r1,
grad r 1 grad g.
Atunci f = gq + r = gq 1 + r1g(q – q1) = r 1 – r.
Dacă q – q10, atunci grad g(q – q1) ≥grad g.
Pe de altă parte, cum grad (r 1 – r)max(grad r 1, grad r) grad g, obținem o contradicție.
Deci trebuie ca q – q1 = 0, adică q = q 1, deci r 1 – r = 0, adică r = r 1.
Polinoamele q și r din teoremă se numesc câtul respectiv restul împărțirii lui f prin g.
Calculul valorii f(a) a unui polinom f K[X] într -un punct a K poate fi făcut cu algoritmul
împărțirii polinoamelor.
Teorema restului: Fie K un corp comutativ, f K[X] și a K. Atunci valoarea f(a) a
polinomului f în punctul a este egală cu restul împărțirii lui f prin X – a.
Demonstrație: Fie q, r K[X] astfel încât f(X) = ( X – a) q + r, grad r grad( X – a) = 1.
40
Rezultă că r K și f(a) = ((X – a) q + r)(a) = (a – a)q(a) + r(a) = r(a).
Corolar: Polinomul f(X) K[X] se divide cu polinomul X – a, a K dacă și numai dacă f(a) = 0.
Demonstrație: Din teorema împărțirii cu rest rezultă că f(X) = (X – a)q(X) + r, unde
q(X) K[X], r K.
Atunci X – a divide pe f(X) dacă și numai dacă r = 0, deci dacă și numai dacă f(a) = r = 0.
Relația de divizibilitate în inele de polinoame
Definiție: Fie K un corp comutativ și f, g două polinoame din K[X]. Spunem că polinomul g
divide polinomul f ( sau că f este divizibil prin g sau g este u n divizor al lui f sau f este un multiplu al lui
g) dacă există un polinom h astfel încât f = gh. Se scrie g f.
Câteva proprietăți ale relației de divizibilitate a polinoamelor:
1. Din teorema împărțirii cu rest rezultă că g divide pe f dacă și numai dac ă restul împărțirii lui f
la g este zero.
2. Dacă g f și g 0 atunci grad g grad f.
Într-adevăr, cum g f, atunci există un polinom h astfel încât f = gh.
Deoarece f 0, grad f =grad g + grad h. Dar grad h ≥0 și deci grad g grad f.
3. Polinoamele de gr ad 0, adică constantele nenule, divid orice polinom.
Într-adevăr, dacă a K, a 0 și f un polinom oarecare, putem scrie:
f =
aa1f = a
fa1 și deci a f.
4. Dacă f este un polinom și a K, a 0 atunci af f.
Într-adevăr f =
aa1f =
a1(af) și deci af f .
5. Relația de divizibilitate:
i. este reflexivă adică f f oricare ar fi polinomul f. Într -adevăr, f = f. 1.
ii. este tranzitivă, adică dacă f g și g h atunci f h. Într -adevăr, dacă f g, atunci există un
polinom f 1 astfel încât g = ff 1 și cum g h există un polinom h 1 astfel încât h = gh 1.
Atunci h = gh 1 = (ff 1)h1 = f(f 1h1) și deci f h.
iii. Dacă g f1 și g f2, iar h 1, h2 sunt două polinoame arbitrare, atunci g | h 1f1 + h 2f2 .
Într-adevăr, cum g | f 1 există polinomul g 1 astfel încât f 1 = gg 1 și cum g | f 2 există un polinom g 2
astfel încât f 2 = gg 2.
Avem: h 1f1 + h 2f2 = h 1gg1 + h 2gg2 = g(h 1g1 = h 2g2) și atunci g | h 1f1 + h 2f2.
iv. Dacă g | f și f | g atunci există a K, a ≠ 0 astfel încât f = ag .
Într-adevăr, cum g | f există polinomul h 1 astfel încât f = gh 1 și cum f | g există polinomul h 2
astfel încât g = fh 2 . Dacă g = 0, atunci f = 0.
În acest caz putem alege a = 1.
41
Dacă f = 0 obținem g = 0. Putem presupune acu m că f ≠ 0 și g ≠ 0.
Se obține: g = fh 2 = (gh 1)h2 = g(h 1h2). Cum g ≠ 0, atunci h 1h2 = 1 și deci grad(h 1h2) = 0, adică grad(h 1) +
grad(h 2) = 0.
Cum grad(h 1) ≥ 0 și grad(h 2) ≥ 0, avem: grad(h 1) = grad(h 2) = 0. Deci h 1h2 = a, a K , a ≠0.
În acest caz egalit atea f = gh 1 devine f = ag cu a K , a ≠0.
Definiție: Două polinoame f și g pentru care f |g și g | f se numesc asociate în divizibilitate (pe
scurt asociate).
Dacă f și g sunt polinoame asociate notăm: gfd
~. Rezultă din proprietățil e 5 iv) și 4) că, gfd
~
dacă și numai dacă există a K , a ≠0 astfel încât f = ag.
Exemplu: P olinoamele f = X2 + 1 și g = 3X2 + 3 sunt asociate îi divizibilitate deoarece
f =
31g.
Definiție: Fie K un corp comut ativ și f, g K[X] două polinoame. Un polinom d se numește un
cel mai mare divizor comun( pe scurt c.m.m.d.c.) al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele
condiții:
i. d este un divizor comun al lui f și g, adică d |f și d |g.
ii. orice alt divizor comun dal lui f și g divide neapărat și polinomul d(adică d| f și d| g,
atunci d| d).
Teorema 1: Fie K un corp comutativ. Dacă f și g sunt două polinoame din K[X], atunc i există un
c.m.m.d.c. al lui f și g.
Demonstrație: În cazul f = g = 0, conform definiției celui mai mare divizor comun, polinomul
nul este un c.m.m.d.c. al lor. Așadar putem presupune f ≠0. Dacă g = 0 atunci f este un divizor comu n al
lui f și g deoarece f = f·1 și g = f·0. dacă deste un divizor comun al lui al lui f și g atunci, deste în
particular un divizor al lui f. Deci f este un c.m.m.d.c. al lui f și g.
Să considerăm cazul când g ≠0. Aplicând teorema împ ărțirii cu rest polinoamelor f și g, găsim
două polinoame q 1 și r1 astfel încât f = gq 1 + r1 cu grad r 1<grad g.
Dacă r 1 ≠0 aplicăm teorema împărțirii cu rest polinoamelor g și r 1 și obținem polinoamele q 2 și r2
astfel încât g = r 1q2 + r2 cu grad r 2<grad r 1.
Repetând acest procedeu, obținem polinoamele q 3, q4, …q n, … și r 3, r4, …, r n, … astfel încât
r1 = r2q3 + r3, cu grad r 3<grad r 2,
rn-2 = rn-1qn + rn, cu grad r n<grad r n-1
rn-1 = rnqn+1 + rn+1, cu grad r n+1<grad r n
Cum grad r 1 > grad r 2 >…> grad r n > grad r n-1 >…, există un număr natural n astfel încât r n ≠0 și r n+1 =
0.
Cum r n-1 = rnqn+1 rezultă că r n | rn-1
Acum, deoarece r n-2 = rn-1qn + rn rn | rn-2
42
În continuare folosind egalitatea r n-3 = rn-2qn-1 + rn-1.
Ținân d cont că r n | rn-1 și r n | rn-2 deducem că r n | rn-3. Din aproape în aproape ținând cont de
egalitățile scrise mai înainte, rezultă că r n divide polinoamele | rn-1, rn-2, rn-3, …r 1.
g = r 1q2 + r2 și cum r n | r1 și r n | r2 rn | g
f = gq 1 + r1 și cum r n | r1 și r n | g rn | f
Deci r n este un divizor comun al polinoamelor f și g. Fie acum d un divizor comun al
polinoamelor f și g.
Din f = gq 1 + r1 r1 = f – gq1, și cum d |f și d | g rezultă că d | r1.
Din g = r 1q2 + r2 r2 = g – r1q2 și cum d | g și d | r1 d | r2.
Folosind egalitățile scrise înainte, din aproape în aproape, obținem că d divide polinoamele r 3, r4,
r5, …, r n-1, rn.
Deci r n (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g.
Rezumând cele demonstrate în această teoremă putem enunța următoarea regulă de obținere a
c.m.m.d.c. a două polinoame care poartă numele de algoritmul lui Eucli d. Pentru a obține c.m.m.d.c. a
două polinoame nenule f și g împărțim pe f la g(mai exact împărțim polinomul de grad mai mare la cel
de grad mai mic). Dacă restul împărțirii este zero atunci g este c.m.m.d.c.; dacă nu, împărțim pe g la
restul împărțirii, p e urmă împărțitorul celei de -a doua împărțiri la noul rest ș.a.m.d. Ultimul rest nenul
este c.m.m.d.c. al celor două polinoame.
Trebuie să facem observația că dacă polinoamele f și g sunt cu coeficienți numere reale(respectiv
raționale), prin algoritmul l ui Euclid obținem un c.m.m.d.c. al lui f și g care este un polinom cu
coeficienți numere reale(respectiv raționale).
Teorema precedentă ne arată că fiind date două polinoame f și g există un c.m.m.d.c. al lor. Mai
mult ne indică un procedeu de obținere a acestui c.m.m.d.c. Ne întrebăm dacă c.m.m.d.c. este unic
determinat. Acest lucru este lămurit de următoarea teoremă.
Teorema 2: Fie f, g două polinoame din K[X] și d un c.m.m.d.c. al lor. Atunci:
1. Dacă a K, a 0, atunci ad este un c.m.m.d.c. al poli noamelor f și g.
2. Invers, dacă deste un c.m.m.d.c. al lui f și g există a K, a 0 astfel încât d = ad.
Demonstrație:
1. Cum d | f și ad | d(din proprietatea 4.) atunci din proprietatea de tranzitivitate a d ivizibilității
obținem ad | f. Analog obținem ad | g. Fie dun divizor comun al lui f și g. Atunci, conform definiției
c.m.m.d.c. avem d| d. Cum d | ad d| ad.ad este un c.m.m.d.c. al lui f și g.
2. Presupunem că și deste un c.m.m.d.c. al lui f și g. Conform definiției c.m.m.d.c., cum d este
c.m.m.d.c. al lui f și g, obținem d| d. Schimbând rolurile lui d și davem d | d. Cum d| d și d |
datunci există a K, a 0 astfel încât d = ad.
43
Observații:
1. Teorema precedentă ne spune că c.m.m.d.c. a do uă polinoame f și g este unic, abstracție
făcând de un factor constant nenul.
2. Teorema ne ajută ca în calculele ce le facem pentru obținerea c.m.m.d.c. a două polinoame cu
coeficienți întregi prin algoritmul lui Euclid, să evităm coeficienții fracționar i.
Teorema 3: Fie f și g două polinoame. Dacă d este un c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci există
polinoamele u și v astfel încât d = uf + vg.
Demonstrație : Am văzut din teorema care ne dă algoritmul lui Euclid că ultimul rest nenul din
algoritmul lui Euc lid este c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g. Deci dacă
(1) f = gq 1 + r1
(2) g = r 1q2 + r2
(3) r1 = r2q3 + r3
…………………
(n) r n-2 = rn-1qn + rn
(n + 1) r n-1 = rnqn+1 + rn+1
este șirul de egalități din algoritmul lui Euclid unde ultimul rest nenul este r n, atunci r n este
c.m.m.d.c. al lui f și g. Din (1) obținem r 1 = u 1f + v 1g unde u 1 = 1, v 1 = -q1.
Din (2) obținem r 2 = g – r1q2 = g – (u1f + v 1g) = –( u1q2)f + (1 – v1q2)g = u 2f + v 2g, unde
u2 = u1q2 și v 2 = 1 – v1q2
Continuând procedeul putem să presupunem că pentru o rice i (1 i n – 1) am determinat
polinoamele u i, vi astfel încât r i = u if + v ig.
Din egalitatea (n) avem r n = rn-2 – rn-1qn. Cum r n-2 = u n-2f + v n-2g și r n-1 = u n-1f + v n-1g, atunci r n =
un-2f + v n-2g – (un-1f + v n-1g) qn = (u n-2 – un-1 qn)f + (v n-2 – vn-1 qn)g = u nf + v ng, unde
un = u n-2 – un-1 qn, vn = v n-2 – vn-1 qn.
Acum, dacă d este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f și g există a K, a 0 astfel încât:
d = ar n. Deci d = a(u nf + v ng) = uf + vg, unde u – aun și v = av n.
Definiție: Fie f și g două polinoame. Spunem că f și g sunt prime între ele dacă 1 este c.m.m.d.c.
al lui f și g.
Din teorema 2 rezultă că f și g sunt polinoame prime între ele dacă singurii divizori comuni ai lui
f și g sunt polinoame constante nenule.
Observații:
1. Fie f și g două polinoame nenule și d un c.m.m.d.c. al lor. Atunci se poate scrie f = fd și g =
gd. Polinoamele f și g sunt prime între ele. Într -adevăr, dacă deste un c.m.m.d.c. al lui f și g,
atunci d deste un divizor comun al polinoamelor f și g. Cum d este un c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci
dd | d. Deci există polinomul dastfel încât d = d dddd = 1 și deci deste un polinom
constant, ceea ce ne arată că f și gsunt prime între ele.
44
2. Așa cum am definit c.m.m.d.c. a două polinoame putem defini c.m.m.d.c. a unui număr finit
de polinoame. Deci, dacă f 1, f2, …, f n sunt n polinoame, atunci un polinom d se numește un c.m.m.d.c.
al polinoamelor f 1, f2, …, f n dacă verifică următoarele condiții:
i. d | f 1, d | f 2, …, d | f n
ii. Dacă deste un polinom astfel încât d| f1, d| f2, …, d| fn atunci d | d.
Fiind date polinoamele f 1, f2, …, f n un c.m.m.d.c. al lor se calculează astfel: se determină d 1 un
c.m.m.d.c. al f 1 și f 2, apoi se determină d 2 un c.m.m.d.c. al polinoamelor d 1 și f 3, apoi se determină d 3 un
c.m.m.d.c. al polinoamelor d 2 și f 4, procedeul continuând în mod analog, apoi se determină d n-1 un
c.m.m.d.c. al polinoamelor d n-2 și fn. Polinomul d = d n-1 este un c.m.m.d.c. al polinoamelor f 1, f2,…, f n.
Definiție: Fie f și g două polinoame. Un polin om se numește cel mai mic multiplu
comun(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții.
i. m este un multiplu al lui f și g, adică f | m și g | m;
ii. orice alt multiplu comun mal lui f și g este și multiplu al lui m (dacă f | m și g | m atunci m
| m).
Următoarea teoremă ne dă un procedeu de obținere a unui c.m.m.m.c. a două polinoame.
Teoremă: Fie f și g două polinoame dintre care cel puțin unul este nenul. Dacă d este un
c.m.m.d.c. al lui f și g, atunci polinomul m = fg / d este un c.m.m.m.c. al lui f și g.
Demonstrație: Cum d | f și d | g există gf,polinoame astfel încât f = d f și g = d g.
În plus, polinoamele fși gsunt prime între ele.
Deci m = fg = f g, ceea ce arată că m este un multiplu comun al lui f și g.
Fie mun polinom astfel încât f | m și g | m. Deci există polinoamele g 1 și f 1 astfel încât m=
ff1 și m= gg 1m= d ff1, m = dgg1 dff1 = dgg1. Cum d 0, atunci ff1 = gg1.
Polinoamele f și g fiind prime între ele, există polinoamele u, v astfel încât 1= u f + vg.
Înmulțim această egalitate cu g 1 (de exemplu) și obținem:
g1 = u g1f + v g1g = u g1f + vff1 =f( u g1 + vf 1) f | g1.
Deci există un polinom g 2 astfel încât g 1 = fg2.
Cum m = gg 1m = gfg2 = mg 2 și deci m | m. Deci poli nomul m =
dfg este un c.m.m.m.c.
al lui f și g.
§2. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom în produs de polinoame
ireductibile
Polinoamele ireductibile joacă un rol important în studiul structurii unor clase largi de inele de
polinoame ca și în problema rezolvării ecuațiilor algebrice.
45
Definiție: Fie K un corp comutativ și f K[X] un polinom de grad n > 0. Spunem că f este
polinom reductibil peste corpul K dacă există două polinoame g, h K[X] de grad strict mai mic decâ t n
astfel încât f = gh. În caz contrar spunem că f este polinom ireductibil peste corpul K.
Exemple:
1. Orice polinom de grad 1 din K[X] este ireductibil peste K.
Într-adevăr, fie f = aX + b, a 0, un polinom de grad 1, din K[X]. Dacă f este reductibil p este K există g,
h K[X] astfel încât f = gh, grad g < 1, grad h < 1.
Evident g 0 și h 0, de unde grad g = grad h = 0.
Obținem 1 = grad f = grad(gh) = grad g + grad h = 0 + 0 = 0. Contradicție.
Deci f este ireductibil peste K.
2. Dacă un polinom f K[X] de grad n > 1 este ireductibil peste K, atunci f nu admite rădăcini
în K. Reciproc, dacă un polinom f K[X] de grad 2 sau 3 nu admite rădăcini în K, atunci f este
ireductibil peste K. Într -adevăr, dacă grad f = n > 1 și a K este rădăcină a lui f, a tunci conform
teoremei factorului(Bèzout) X – a f, deci există q K[X] astfel încât f = (X – a)q(X).
Cum X – a, q K[X] și grad (X – a) = 1 < n, grad q = n – 1 < n, rezultă că f este reductibil peste
K. Reciproc, presupunem că f este de gradul 2 sau 3. D acă f este reductibil peste K, atunci f admite o
rădăcină în K.
Într-adevăr cum f este reductibil, există g, h K[X] astfel încât f = gh, grad g < grad f, și grad h
< grad f. Cum grad f = grad g + grad h, iar grad f { 2,3} grad g = 1 sau grad h = 1. Presupunem
grad g = 1 g = aX + b K[X] , a 0.
Fie c = a-1 b K. Avem: f(c) = g(c) · h(c) = (a(a-1 b) + b) · h(c) = 0 · h(c) = 0. Astfel polinomul f
= X2 – 5 Q[X] este ireductibil peste Q.
Astfel, ar exista a Q astfel încât 0 = f(a) = a2 – 5 5 = a Q. Contradicție.
Să observăm că polinomul X2 – 5 este reductibil peste R, deoarece f = (X – 5)(X + 5) și
X – 5, X + 5 R[X].
Polinomul f = X3 + ^
2X2 + X + ^
1 Z3[X] este ireductibil peste Z 3. Într -adevăr grad f = 3 și f(^
0)
= ^
1≠ ^
0, f(^
1) = ^
2≠ ^
0și f(^
2) = ^
1≠ ^
0.
Fie K un corp comutativ și K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți în K.
Vom arăta că aritmetica inelului K[X] este în esență aceeași cu cea a inelului Z al întregilor raționali.
Se știe că pentru orice număr întreg a > 1 există numerele prime p i > 0, 1 i n, unic
determinate astfel încât a = p 1p2 …p n, rezultat cunoscut sub numele de teorema fundamentală a
aritmeticii. Un rezultat asemănător este adevărat și pentru polinoamele cu coeficienți într -un corp
comutativ K, locul numerelor prime fiind luat de către polinoamele ireductibile.
46
Vom demonstra teorema de descompunere într -un cadru mai larg și de aceea vom avea nevoie de
câteva definiții și proprietăți p reliminarii.
Definiție : Fie R domeniu de integritate. Un element p R se numește prim dacă:
i. p ≠ 0 și p U(R)
ii. p ab p a sau p b
Definiție: Fie R domeniu de integritate. Un element q R se numește ireductibil dacă:
i. q ≠ 0 și q U(R)
ii. Dacă q = ab a sau b este ireversibil.
Definiție: Un domeniu de integritate R se numește factorial dacă orice element nenul și
neinversabil din R este produs de elemente prime ale lui R.
Vom demonstra următoarea teoremă:
Teoremă: Fie R un inel fa ctorial. Atunci inelul de polinoame R[X] este inel factorial. Pentru a
demonstra această teoremă sunt necesare câteva rezultate preliminare.
Lema 1: Fie a R și f = a 0 + a 1X + … + a nXn R[X].
Dacă a f atunci a ai, i = 0, 1, …n
Demonstrație: a f g = b 0 + b 1X + … + b mXm astfel încât f = ag f = ab 0 + a b1X + … + a
bmXm. Evident dacă f = 0 ai = 0 a ai, i = 0, 1, …n. Putem presupune că f ≠ 0 și avem că m = n
și a i = ab i a ai, i = 0, 1, …n.
Lema 2: Fie R un domeniu de integritate. Dac ă p R este un element prim în R, atunci p este
element prim în R[X].
Demonstrație: Fie f, g R[X] astfel încât p fg. Presupunem că f = a 0 + a 1X + … + a nXn și g =
b0 + b 1X + … + b mXm și că p | f și p | g. Co nform lemei 1, din p | f există un a k astfel încât p |
ak. Alegem pe k cel mai mic număr cu această proprietate.
Deci p a0, p a1, … , p ak-1, p | ak.
Analog din p | g, există un 1 astfel încât p b0, p b1, …, p b1-1, p | b1
Coeficientul lui Xk+1 din produsul fg este:
ck+1 =
1kjijiba = a 0bk+1 + a 1bk+1-1 + … + a k-1b1+1 + a kb1 + a k+1b1-1 + … + a k+1b0.
Deoarece p aibj, i ≠ k, j ≠ l și p | akb1, rezultă p | ck+1 și deci p | fg. Contradicție.
Deci p f sau p g, adică p este prim în R[X].
Presupunem că R este inel factorial și fie f = a0 + a 1X + … + a nXn R[X].
Vom nota c(f) = c.m.m.d.c. al elementelor a 0, a1, …, a n. c(f) se numește conținutul lui f.
Dacă c(f) = 1, atunci polinomul f se numește primitiv. Se observă că putem scrie f = c(f) f , unde f
este polinom pr imitiv.
Lema 3: (Gauss) Dacă R este inel factorial și f, g R[X] atunci c(fg) = c(f)c(g).
47
Demonstrație: Cum f = c(f) f, g = c(g) g, unde f și gsunt polinoame primitive, obținem fg
= c(f) f c(g)g = c(f)c(g) fgc(fg) = c(f)c(g)c( fg). Demonstrăm că c( fg) = 1.
Presupunem prin reducere la absurd că c( fg) ≠ 1 există p R element prim astfel încât p
c(fg)p fg. Cum p R element prim, conform lemei 2, p este un element prim în R[X], deci p
f sau p g. Conform lemei 1, rezultă că p c(f) sau p c(g). Contradicție cu faptul că f și
gsunt polinoame primitive.
Lema 4. Fie R un in el factorial, f, g R[X], unde g este un polinom primitiv.
Dacă a R, a ≠ 0 și g af, atunci g f.
Demonstrație: g af există h R[X] astfel încât af = gh c(af) = ac(f) = c(h).
Dar h = c(h) h, unde hpolinom primitiv. Deci af = gc(h) h, af = gac(f) hși simplificând cu a, avem f
= gc(f) hg f.
Vom nota K corpul de fracții al domeniului de integritate R.
Lema 5: Fie R un inel factorial cu corpul de fracții K și fie f, g R[X] două polinoame
primitive. Atunci f și g sunt asociate în R[X] dacă și numai dacă sunt asociate în inelul K[X].
Demonstrație: Este evident că dacă f și g sunt asociate în R[X], sunt asociate și în in elul K[X].
Invers, presupunem că f și g sunt asociate în divizibilitate în K[X] există u K[X] element
inversabil astfel încât g = uf.
Din u K[X] inversabil u K, u = a / b,a, b R, a ≠ 0, b ≠ 0. Deci g = (a / b)f gb = af și
conform lemei 5 avem g f și f g sunt asociate în R[X] polinoamele f și g.
Lema 6: Fie R un inel factorial și K corpul său de fracții. Fie f R[X] un polinom primitiv cu
grad f 1. Atun ci f este ireductibil în R[X] f este ireductibil în K[X].
Demonstrație: Presupunem că f este ireductibil în R[X] și fie f = gh, unde
g, h K[X], grad g 1, grad h 1.
Evident că putem scrie g = (a / b)g 1, unde a, b R, (ab) = 1, g 1 R[X].
Analog h = (c / d)h 1, unde c, d R, (c d) = 1, h 1 R[X].
În plus, grad g = grad g 1 și grad h = grad h 1, f = (ac / bd)g 1h1. Cum g 1 = c(g 1)g´1, h1 = c(h 1)h´1, unde g´1
și h´1 sunt polinoame primitive f = u g´1 h´1, unde u este un element i nversabil în K .
Se deduce că f și g´1 h´1 sunt asociate în K[X].
Conform lemei 5, f și g´1 h´1 sunt asociate în R[X] adică f = v g´1 h´1, unde v U(R).
Cum grad g´1 1 și grad h´1 1 f nu este ireductibil în R[X]. Contradicție.
Reciproc, fie f polinom ireductibil în K[X] și f = gh, g, h R[X]. Cum f este ireductibil în K[X]
rezultă că g este inversabil în K[X] sau h este inversabil în K[X]. Dacă g este inversabil în K[X] g
K, g ≠ 0 adică g = a K. Prin urmare f = ah. Cum f este primitiv, rezultă a inversabil în R. Deci f este
ireductibil în R[X].
48
Demonstrația teoremei: Fie f R[X] f = c(f)f 0, unde f 0 este un polinom primitiv.
Cum f 0 K[X], iar K[X] este un inel factorial (fiind euclidian), rezultă c ă f0 = f1f2…f n , unde f1,f2,…,f n
K[X] și sunt polinoame ireductibile.
Putem scrie evident pentru f i =
ii
bagi, unde a i, bi R și g i R[X] este un polinom primitiv.
Conform lemei 6, se obține că g i este ireductibil în R[X].
În aceste c ondiții f 0 se poate scrie sub forma f 0 =
bag1g2…g n, unde a, b R. Cum f 0 primitiv și
produsul g 1g2…g n este un polinom primitiv, din lema 5, rezultă că f 0 și g 1g2…g n sunt asociate în R[X],
adică f 0 = ug 1g2…g n, unde u U(R).
Cum c(f) este produs finit de elemente prime în R, care sunt prime și în R[X], conform lemei 2
rezultă că f este un produs finit de elemente ireductibile în R[X].
Vom demonstra unicitatea scrierii lui f ca un produs de elemente ireductibile în R[X].
Într-adevăr, să presupunem că avem egalitatea:f = f 1f2…f n = g 1g2…g m, unde f i, gi R[X] sunt
elemente ireductibile în R[X]. Dacă grad f i 1, atunci evident c(f i) = 1.
Se poate scrie: f = f 1f2…f sfs+1…f n = g 1g2…g rgr+1…g m, unde
f1f2…f s, g1g2…g r R și f s+1…f n, gr+1…g m sunt polinoame de grad mai mare ca 1.
Aplicând lema lui Gauss obținem că f 1f2…f s și g 1g2…g r sunt asociate în divizibilitate în R.
Cum R este factorial se obține r = s și făcând abstracție de o renumerotare avem g i ~ fi oricare ar fi 1 i
s. Din egalitatea de mai sus se obține f s+1…f n = g r+1…g m. Din lema 6 această egalitate gândită în inelul
K[X], implică m = n și g k ~ fk în K[X], oricare ar fi k = s + 1,….n. Aplicând din nou lema 5, obținem g k
~ f k în R[X], ori care ar fi k = s + 1,….n. Cu aceasta am demonstrat și unicitatea lui f ca produs de
elemente ireductibile în R[X].
49
Capitolul IV
Aplica ții ale divizibilit ății
§1. Numere prime. Numere compuse.
1.Fie numerele prime 1 2 31 … n n n astfel încâ t 4 4 4
1 2 31 … 30 n n n n , n. Să se arate c ă în
secven ța de mai sus, există 3 numere prime consecutive.
(Baraj 2003 juniori, Vasile Berghea)
Soluție.
Vom ară ta că 12n , 23n si 35n. Dacă 12n, atunci toate numerele in sunt impare , 1,31i și
atunci 4 4 4
1 2 31 … n n n ar trebui s ă fie imp ar. Însă 31
4
130i
in n
este un număr par și deci 12n.
Să presupunem acum că 23n. Atunci 43 1i in m , im , 1,31i .
Aceasta rezultă imediat ținând cont că 2
31 k M , dac ă k este un num ăr întreg care nu este multiplu de
3. Ob ținem contradicț ia: 31 31
4
3 3
1 130 3 1 31 1i i
i in n m M M
.
Deci 23n. Să presupunem acum c ă 35n. Atunci 45 1i in q , iq, 1,31i (deoarece in nu
este multip lu de 5, conform presupunerii făcute). Ob ținem contradicț ia:
31 31
4
5 5
1 130 5 1 31 1i i
i in n q M M
. Deci 35n și enunț ul este demonstrat.
2.Să se rezolve ecua ția 22 1999qp , p și q fiind numere prime.
(Olimpiada Rusia, 1999)
Soluție.
Vom folosi observa țiile evidente 3
7 2 1kM , 3 1
7 2 2kM , 3 2
7 2 4kM k . Evident că
3q nu este solu ție pentru problema noastr ă. Dac ă 3 1q k , k, atunci
2 3 1
7 7 7 2 1999 2 4 2 4 5q kp M M M . Aceasta este o contradic ție căci restul împăr țirii
lui 2p la 7 nu poate fi decat 0,1,2 sau 4. Deci 3 2q k , k și 22 1999qp
=3 2
7 7 7 7 2 4 4 4kM M M M . Deci p este multiplu de 7. Fiind num ăr prim, deducem c ă
7p și 2 112 1999 7 2048 2q , 11q.
Deci singura solu ție a problemei este 7p , 11q.
50
3.Să se determine numerele prime a și b, pentru care 1ab și 1ab sunt, de asemenea, prime.
Soluție.
1ab este impar, deci a=2 (sau b=2). Din 2 1b si 2 1b prime rezult ă b=2 sau b=3. Pentru 5b
avem 2 1 3b sau 2 1 3b.
4.Știind că , ,a b c și 4 4 43 a b c sunt prime, să se arate că 2 2 21 a b c este, de asemenea, prim.
Soluție.
4 4 43 n a b c este impar. Dacă a b c rezultă 2a , deci 4 413 n b c . Dac ă 3 1b k si
3 1c h rezult ă 3n . Deci 3b. Rezult ă 494 n c . Dac ă 5 , 1, 2c k , rezult ă
4
51 c M și 5n. Deci 5c , 719n care este prim și 2 2 21 37 a b c care este, de asemenea,
prim.
5.Să se determine n , pentru care toate numerele 1, 3, 7, 9, 13, 15n n n n n n să fie prime.
Soluție.
Notâ nd cu 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a numerele date, se verifică u șor că pentru 1, 2,3n cel pu țin unul dint re
ele este compus. Pentru 4n toate numerele sunt prime. Fie 5n. Dacă 5n k , 6a este compus.
Dacă 5 1n k , 4a este compus. Dacă 5 2n k , 5a este compus. Dacă 5 3n k , 3a este compus,
iar pentru 5 4n k cu 1k, numă rul 1a este compus. Deci 4n.
6.Există numere prime distincte , ,p q r astfel ca 210p qr , 210q pr și 210r pq ? Dar dacă 10
se înlocuie ște cu 11?
Soluție.
Fie p q r . Din 2| 10r p și 2| 10r q , rezultă |r q p q p . Cum 0 r q p , rezultă
|r p q. Deoarece 2 p q r , rez ultă p q r și deci p=2. Din 2| 10qr p , rezultă contradic ția
|14qr . Înlocuind 10 cu 11, după p=2 și 2 r q , urmează |15qr și se g ăsesc 2, 3, 5p q r care
verifică condi țiile.
7. Să se gă seasc ă toate numerele prime p pentru care 22pp este numă r prim.
Soluție.
Pentru 5p avem că : 2 2
3 3 2 3 1 3 1 1 1p p pp k M M , 22 3pp și deci 22pp
este compus. Avem că 2 22 2 4 , 3 22 3 17 și deci singura soluț ie a problemei este 3p .
8.Care este cel mai mare numă r de numere prime printre 10 numere consecutiv e?
Soluție.
51
Fie numerele consecutive 1, 2, 3,…, 10k k k k . Pentru 0,2 k avem patru numere prime.
Pentru k=1 există cinci numere prime. Fie 3.kCinci dintre numere sunt pare și deci compuse , iar din
trei numere impare conse cutive unul este multiplu de 3 și deci este compus. Aș adar pentru 3k cel
mult pa tru dintre numere sunt prime. Răspunsul este deci 5 și k=1.
9.Să se determine numerele natura le care nu pot fi scrise ca sumă a două numere compuse.
Soluție.
Arătăm că pentru 12n, n se scrie ca sum ă a două numere compuse. Dacă 2n k , 6n, avem
scrierea 6 2 3n k . Dacă 2 1n k , 6k, avem 9 2 4n k . Prin verificare se arată că
numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11 nu pot fi scrise ca sum ă a dou ă numere compuse.
10.Dacă ,m n , 2n , atunci 4 44 m n nu este prim.
(OIM 1969)
Soluție.
24 4 2 2 2 2 2 2 2 24 2 4 2 2 2 2 m n m n m n m n mn m n mn ,
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 4 1 m n mn m n mn m n n n .
Prima inegalitate de mai sus este strict ă dacă 0m . Dac ă 0m , numă rul 4 4 44 4 m n n este
evident compus.
11. Să se descompună î n factori primi 104060401.
Soluție.
Avem că 0 4
4 4 1 C C , 1 3
4 4 4 C C , 2
46 C, ceea ce ne arat ă calea pe care trebuie s ă o urmă m.
104060401= 4 3 2 42 2 2 2 2 410 4 10 6 10 4 10 1 10 1 101 ; aceasta este descompunerea
căutată.
12. Fie numă rul 101010…1nx cu n cifre de 1. Să se determine numerele n pentru care nx este prim.
Soluție.
Avem 2
2 1 2 4
210 1 10 1 10 11 10 10 … 1010 1 99n nn
n
nx .
52
Atunci 2
2100 110 199k
k
kx și cum * 100 1
99k pentru 2k avem 100 1199k și 210 1 1k ,
adică 2kx este compus. Pentru 1k avem 2 1 2 1
2 110 1 10 1
9 11k k
kx
. Numerele 2 110 1
9k , 2 110 1
11k
sunt naturale și mai mari ca 1, deci 2 1kx este compus. Singurul numă r prim este 2101x .
13.Dac ă n se scrie în două mod uri ca sumă de două pă trate perfecte, atunci n este compus.
Soluție.
2 2 2 2n a b c d . Dacă a și b au aceea și paritate, n este par, deci compus. Deci a și b, respectiv c și
d sunt numere naturale distincte cu parit ăți diferite. Fie a și c pare, b și d impare. Avem
a c d b u
d b a c v , , 1u v . Rezult ă a c hv , b d hu , a c ku , d b kv și deci
2hv kua ,
2hu kvb și 2 2 2 2
4u v k h
n
.
14.Să se arate c ă dintre trei numere co nsecutive mai mari ca 7, cel pu țin unu l are doi factori primi
distinc ți.
Soluție.
Fie numerele , 1, 2n n n . Dac ă 6 ,6 1n k k sau 6 2k , unu l dintre numere are factorii 2 și 3.
Dacă 6 1, 2n k k , avem 1 2 3 1n k și 2 3 2 1n k . Arătăm că nu putem avea simultan
3 1 2ak , 2 1 3bk cu 2, 2a b .Avem 1 13 2 1b a și cum 13 1 4b , rezult ă că 1b este par.
1 2b c și deci 13 1 3 1 2c c a și de aici 3 1 2c x , 3 1 2c y și deci 2 2 2x y , adică
1 12 2 1x y . Rezultă 1y și apoi 1, 1c b ceea ce contrazice 2b.
Daăa 6 3n k numerele sunt 3 2 1 ,2 3 2 ,6 5, 1k k k k . Dacă 2 1 3ak și 3 2 2bk cu
1, 3a b , rezultă 1 12 3 1b a și deci 12 1 3b, adiă a 1 2b c , 2c . Rezult ă
12 1 2 1 3c c a și deci 2 1 3c x , 2 1 3c y și apoi 3 3 2y x , adic ă 0, 1x c și de aici
contradic ție cu 2c .
Dacă 6 2n k , numerele sunt 2 3 1 ,3 2 1 , 2 3 2k k k .Cum 3 1k și 3 2k nu pot fi ambele
puteri ale lui 2, se ob ține din nou contradicț ie.
15.Daca 2, ,n p q sunt prime si 2 n np q r , sa se arate ca r este compus.
(Baraj 2004)
53
Soluție.
Presupunem c ă r este prim. Rezult ă imediat c ă 2r. Atunci unul dintre numerele p și q este 2, de
exemplu 2q (de aici rezultă 3p ). Dacă n este par, avem *2 ,n y y . Deci
22 2y y yp r r și deci 2 , 2 , , 2y a y br p r p a b a b y . Rezultă că
12 1 , 0, 2y a b ap p a b y . Avem 21 2 2y y yr p și deci 1 2 21 2 3y y yp .
Am ob ținut o contradic ție, căci se arată imediat prin inducț ie că 2 1 *3 1 2 ,y yy . Dac ă n este
impar, din 22n np r rezultă 2 21 2 , 2 |p r p r , adică 2p r și deci
2 3 32 2 2n np p p , adică 3 24 4 0 p p p și deci 21 4 0p p . Așadar 2p,
ceea ce nu convine. Deci ecua ția nu are soluț ii dac ă r este prim. A șadar r este compus.
16.Să se arate că există o infinitate de numere naturale a, astfel încât numerele 3
1 4 M n n a și
2
2 3 M n n a să fie compuse pentru orice n natural.
Soluție.
Luăm 34 , , 2 a k k k k ; 3 3 2 2
1 4 4 4 M n n k k n k n nk k .
Cum 2 22, 1 n k n nk k , rezultă că 1M este compus. 2 3 M n n a . Numă rul 3 n n este
par, deci dacă a este par și 4a, 2M este par și 22 M . Deci 2M este compus. Vom lua
3 24 4 a k k k k cu 2k h , 1h și deci 28 1 , 1a h h h .
17.Să se dete rmine cel mai mic numă r natural a, astfel încâ t pentru orice 0,9n , numerele
210nx n a să fie prime.
Soluție.
Avem 0x a și deci a este prim. Dac ă 2,3,5,7 a , atunci 1|a x și deci 1x este compus. Dacă
111, 221 13 17a x . Așadar 11a.Avem 11nx a și deci este necesar ca 11 să nu dividă nx
pentru orice 0,9n . Avem 11 19nx n n a și deci este necesar ca , 1, 2,…, 9a a a a să nu se
dividă cu 11. Rezultă 10 11a k și deci 11 10a k . Cum a este prim, rezultă 23,67,89,199,… a .
Pentru 23a avem 813 131x . Pentru 67a avem 317 41x .
Pentru 89a avem 113 23x . Pentru 199a numerele , 0,9nx n sunt toa te prime. A șadar a minim
este 199.
18.Să se determine cel mai mare numă r natural care nu poate fi scris în cel pu țin zece moduri ca sumă
de două numere compuse (nu se face distinc ție între n a b și n b a ).
Soluție.
54
Fie n numă rul numerelor prime mai mic i sau egale cu n. Vom demonstra urmă toarea:
Lemă . 112nn pentru orice 54n.
Demonstra ție. Vom utiliza induc ția. A vem 5454 16 112 și 5555 16 112 .
Dacă 1 2n k , atunci 2 1 11 2 2 1 11 112 2k nn k k .
Dacă 1 2 1n k , atunci 2 1 11 2 1 1 11 1 112 2k nn k și demo nstrația este
încheiată .
Revenind la probl emă vom arăta că orice numă r 52n se poate scrie în cel pu țin 10 moduri, ca sum ă
de dou ă numere compuse. Avem:
52 2 52 2 , 2,13 k k k , adic ă 12 scrieri;
53 4 49 8 45 9 44 14 39 15 38 18 35 20 33 21 32 25 28 26 27 are 10
scrieri.
Fie acum 54n si 1 2, ,…,k c c c numere compuse mai mici sau egale cu n. Avem 1 n k n .
Dintre numerele 1 2, ,…,k n c n c n c , unul poate fi 1, cel mult n sunt prime și deci cel p uțin
1 k n sunt compuse. Cum 1 k n n , rezult ă că cel pu țin
2 2 2 2 11 202nn n n sunt compuse. Nefacând distinc ție între scrierile n a b și
n b a , obținem cel puț in 10 scrieri distinc te.
În concluzie, numă rul c ăutat este 51. Se arat ă cu u șurință că sunt doar nouă scrieri pentru 51n, și
anume: 9 42 6 45 12 39 15 36 16 35 18 33 21 30 24 27 25 26 .
19.Găsi ți întregii 2n pentru care toate numerele naturale, care se scriu cu 1n cifre 1 și o cifră de 7,
sunt prime.
(Propus ă OIM, 1990)
Soluție.
Răspunsul este 2n și 3n, numerele fiind 7, 17 și 71. Pentru 4n construim un n umăr cu n cifre,
în condi țiile date, care este compus. Pentru 3n k suma cifrelor numă rului este 3 7 3 1 k M și deci
orice numă r se divide cu 3.
Amintim criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13. Pentru 1 1 0…n n M a a a a , Mse divide cu 7, 11 sau 13
dacă 1 2 1 0 5 4 3 8 7 6 11 10 9 … M a a a a a a a a a a a a se divide cu 7, 11 sau 13. Avem cazurile:
a) 6 1a k . Numă rul 7111…1N se divide cu 7 deoarece 1111 111 111 … 7 7 N
b) 6 2a k . Numă rul 111…1711N se divide cu 13 deoarece:
55
1 13711 111 111 … 111 11 611 N M
c) 6 4a k . Numă rul 711…11 13N deoarece 1 13111 7 104 N M
d) 6 5n k . Numă rul 11…1711N se divide cu 7 deoarece:
1 7711 111 111 … 11 700 N M .
20.Descompune ți numă rul 19855 1 în trei factori mai mari ca 1005 .
(Propus ă OIM, 1985)
Soluție.
Fie 3975n și avem 1985 4 3 2
5 5 1 1 1 1N M n n n n n .
Cum 1001 5n rămâne să descompunem : 2 2 4 3 2 2
1 1 3 1 5 1 N n n n n n n n n .
Cum 25n m cu 1985m , avem:
2 24 2 2 2 4 2 3 4 2 3
125 15 1 25 5 1 25 15 1 25 5 25 15 1 25 5 N m m m m m m m m m m m m
și factorii sunt mai mari ca 1005 .
21.Să se determine ,0 2nm m , dacă numă rul 22 2 3nm este prim.
Soluție.
Dacă 0n , atunci 0m sau 1m și 2 5mN .Convine doar 1m și 7N.
Presupunem că 2m. Atunci: 1
2 1 2 2 2
02 4 2 1 2 1 4 2 1n in am
iN
, unde 2 2m a
, a impa r.
De aici deducem că N este multiplu de 2 12 deoarece 1 2 2 2 2nn m a .
Cum 22 1N , obținem că N nu este prim.
Dacă 20, 2 4nm N este compus.
Dacă 1m, 2 2 5
3 3 2 3 1 5 6nnN M M (pentru 1n )
Deci 3| , 9N N și deci N este compus. 12 22 2 3 11 și deci 2m este solu ție a problemei.
Am arătat că singurele solu ții ale problemei sunt 1m și 2m.
56
§2. C.m.m.d.c și C.m.m.m.c
1.Să se demonstreze că frac ția 21 4
14 3n
n
este ireduct ibilă pentru or ice numă r natural n.
Soluție.
Trebuie arătat că 21 4,14 3 1, n n n . Aceasta rezult ă imediat din egalitatea 3 14 3 n
− 2 21 4 n=1 și din faptul că ,a b divide , , ka lb k l .
2.Să se demonstreze că șirul 2 3 2n
na n conține o infinitate de numere prime între ele două câte
două .
(OIM, 1971).
Soluție.
Construim prin induc ție secvența căutată : 12n, 11a, 23n, 25a. Presupunem că am construit
numerele naturale 1 2 2 …k n n n astfel încâ t , 1, 1
i jn na a i j k .
Fie 1 2 …k m a a a . Consideră m numerele 0 12 ,2 ,…, 2m și resturile împăr țirii lor la m. Deducem c ă
există 0i j m astfel încâ t | 2 2j im (aceasta deoarece avem m +1 resturi din mul țimea
0,1, 2,…, 1 m. Deoarece m este impar 2 3 este impar , 2n
na n n , rezultă că m divide
2 1j i. Alegem 1 2kn t j i , unde *t este ales astfel încâ t 1k kn n. Deoarece | 2 1j im ,
deducem că res tul împăr țirii lui
1kna
la m este 22 3 1 . Deci 1, 1
kna m
și de aici rezultă pasul de
induc ție.
3.Să se determine numerele naturale nenule a și b dacă 2 2, 7 , a b a b a b .
Soluție.
Din a d , b d , , 1 rezultă 2 274 d
. Pentru d=1 rezultă 228 3
2 și
deci 1, 2,3 . Pentru d=2 și d=3 nu avem solu ții, iar pentru d=4 rezultă 1 . Perechile ,a b
sunt 1,3 , 3,1 , 2,3 , 3, 2 , 4, 4 .
4.Să se determine numerele naturale a, b, n pentru care avem 3, ,a b a b și 30na b .
Soluție.
Fie a d , b d , , 1 . Rezultă ,a b d si 3d d, adica 2d. Cum , 1 ,
rezultă 2 2,A B cu AB d. Rezultă de aici 3a A B si 3b B A și apoi 2 230nAB A B .
57
Cum 2 2A B nu este divizibil cu 3 și , 1A B, avem 3nA x și deci 2 29 10n nBx x B cu
, 1x B .
Dacă 2x, rezultă 2nx și contradicț ia 310 9 9 2n n n nx . Așadar, x este impar. Analog, se arată că x
nu se divide cu 5 și B nu se divide nici cu 2, nici cu 5. Cum |10nBx , rezultă 1 B x și 9 1 10n n .
Deci 1, 27, 3n a b sau 1, 3, 27n a b .
5.Dacă suma a trei numer e naturale este egală cu cel mai mic multiplu comun al lor, atunci unul dintre
numere e ste egal cu suma celorlalte două .
Soluție.
Fie , ,a b c d și deci , , a d b d c d și din , , a b c a b c rezultă , , cu
, , 1 . Dacă , 1 x , rezultă | , ,x și deci contradicț ia |x .Așadar
, 1, , 1, , 1 și deci , , . Avem deci .
Fie 1 . Avem 2 , deci 1 2 și deci 3. Rezult ă 1, 2 ,
3 și deci , 2 , 3 a d b d c d și c a b .
6.Să se determine numerele naturale a, b, c pentru care , , 12a b c , , , 420a b c ,
65520 ab bc ca .
Soluție.
Avem 12 , 12 , 12a b c , cu , , 1 . Rezultă , , 5 7 și 455 . Fie
7A . Avem 7 7 65A și deci 7 | . Fie 7B . Rezultă 7 65A B B (1)
și 7 nu divide AB (2). Dacă 5 |, din (1) rezultă 5 |AB. Dacă 5 nu divide , din , , 35
rezultă 5 |AB. Așadar 5 |AB. Din (1) rezultă 7 65AB , adică 9 AB și deci 5 AB.
Fie 5A și 1B . Din (1) avem 35 5 65 și deci 5 . Avem solu ția 420, 84, 60a b c
și permută rile ciclice.
7.Dacă ,m n sunt numere naturale nenule și ,m
m n este impar, să se arate că 3 1,3 1 2m n .
Soluție.
Evident 2 | 3 1m și 2 | 3 1n . Fie , d m n . Avem m dx , n dy cu x impar. Dacă
3 1,3 2m nD , avem 3 1mDX și 3 1nDY , adică 3 1dxDX si 3 1dyDY . Ridicăm
egalită țile la puterile y , respectiv x. Rezultă 3 1 1y x dxyDX DY , adică 1 1D DM M și
deci | 2D . Așadar 2D.
58
8.Fie 3 6 2 6 22 3 5n n n
nA . Să se afle cel mai mare divizor comun al numerelor 0 1 2005, ,…,A A A .
Soluție.
Avem 035 5 7 A , 8
16569 5A și deci 5 nu divide 1A . Arătă m că 7 |nA .
Avem
2 2 2 2
7 7
7 7 7 78 9 27 25 125 7 1 9 1 25 1
1 9 1 25 1n n n n n n
nA M M
M M M M
.
9.Fie a număr natural și 1 nnx , n
nx a n pentru orice 1n. Să se arate c ă pentru orice n avem
1 2, , 1n n nx x x .
Soluție.
Presupunem că există p prim 1 2| , | 1, | 2n n np a n p a n p a n .
Avem 1 2, 1, 2n n na kp n a hp n a lp n și de aici 1 a kp n hp n ,
1 2 a hp n lp n . Rezultă | 1 1p n a , | 1 2p n a a și deci
| 1 2 1 1 1p n a a n a a .
Cum | 1 1p n a , rezultă contradic ția |1p . Deci 1 2, , 1n n nx x x .
10. Fie *, ,a b m , , 1a b. Să se arate c ă există o infinitate de k astfel încâ t , 1 a kb m .
Soluție.
Rezultatul este o conseci nță imediată a teoremei lui Dirchlet, privitoare la numerele pri me din
progresiile aritmetice, în care ra ția și primul termen sunt prime î ntre ele. Există însă o demonstra ție
elementară pe care o prezentăm în cele ce urmează. Este suficient să demonstrăm c ă un k astfel
încât , 1 a kb m , căci atunci , 1, a k lm b m l .
Fie ,a m n , 1
1…r
m rD p p , unde , 1,ip i r , sun t toate num erele prime ce apar î n descompunerea
lui n și
i i pe m .
Consider ăm *
mmkD și arătăm că , 1 a kb m . Să presupunem că n -ar fi a șa și fie q un număr
prim astfel încâ t |q a kb și |q m .
Cazul I: |
mmq kD . Ținând cont de definiț ia lui mD, rezultă că q nu divide pe a. Dar |q a kb și
|q k implică contradic ția |q a.
59
Cazul II: q nu divide
mmkD . Cum |q m , din construc ția lui mD rezultă |q a. Din |q ași |q a kb,
obținem |q kb . Dar q este prim și q nu divide pe k, ceea ce implică |q b. Am ob ținut contradicț ia
| , 1q a b.
11.Fie 1 nna un șir de numere naturale nenule. Notă m 1,n n nx a a , 1,n n ny a a pentru ori ce
1n. Dacă șirurile 1 1,n nn nx y sunt progresii geometrice și există trei termeni consecutivi ai ș irului
1 nna în progresie geometrică, atunci șirul 1 nna este o progresie geometrică .
Soluție.
Avem 1 n n n na a x y și deci ș irul 1 1 n n na a este o progresie geometrică cu ra ția 1 2 2
1n n n
n n na a aqa a a
.
Din 2 , 1n na qa n , rezultă 2 1 1n
na a q și 1
2 2n
na a q . Există k astfel încâ t 2
2 1 k k ka a a .
Pentru 2k n avem 2
2 2 2 2 1n n na a a , adică 1 2 2
2 2 1n n na q a q a q și deci 2
2
1aqa
.
Pentru 2 1k n avem 2
2 1 2 1 2n n na a a și deci 1 2 2 2
1 1 2n n na q a q a q și avem de asemenea 2
2
1aqa
.
Calculă m 1k
ka
a .
Pentru 2 1k n avem 1
2 2 2
1
2 1 1 1n
n
n
na a q a
a a q a
.
Pentru 2k n avem 2
2 1 1 1 1 2 2
1
2 2 2 2 1 1n
n
n
na a q a a a aqa a q a a a a
.
Așadar, 1 nna este o progresie geometrică de ra ție 2
1ara . Se arată u șor că 1 2|a a și deci *r.
12. Fie 1 2, ,…, ,k a a a n numere naturale cu 1 21 …k a a a n și ,i ja a n pentru orice
, ,i j k i j . Să se arate că
1 21 1 1… 2
k a a a .
Soluție.
Pentru i j , ia și ja nu au multipli comuni n . În caz contrar am avea ,i ja a n . Numă rul
multiplilor lui ia care nu îl depă șesc pe n este
in
a
.
Rezultă de aici că
1k
i inna
și deci
1 111k k
i i i inn n ka a
.
60
Rezultă
112k
i in k
a n deoarece k n a k .
13. Fie numerele naturale 0 1 2 1 …n a a a a . Să se arate că 1
0 11 11, 2n
n
k k ka a
.
Soluție.
Vom demonstra prin induc ție. Pentru n=1 avem 0 1, 2a a, deci 0 11 1 11, 2 2a a .
Dacă 1
12n
na
, avem 1
1, 2n
n na a
și din ipoteza de inducț ie 1
0 11 11, 2n
n
k k ka a
rezultă
1 1
0 1 11 1 1 1 1 11 1 1, 2 , 2 2 2n
n n n n
k k k n na a a a
. Fie 1
12n
na
. Deoarece ,,aba ba b și
a b d , avem 1 1
1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1, 1 1 1 1 1 11, 2n n n n
k k k k
n
k k k k k k k k k k k k na a a a
a a a a a a a a a a
.
14.Dacă , ,a b n sunt numere naturale nenule, să se arate că dacă , 1a b , avem:
2 2, , a n b n n n .
Soluție.
Presupunem prin absurd c ă 2 2, , a n b n n n , adică 2| a n n si 2| b n n (1). Arătăm că
, 1 a n b n . Presupun em că există p numă r prim cu |p a n și |p b n. Din rela țiile (1) rezultă
|p n și apoi contradicț ia |p a și |p b. Așadar, , 1 a n b n și de aici 2| a n b n n , ceea ce
este imposibil, deoarece 2a n b n n .
61
§3.Divizibilitate
1.Să se g ăsească cifra 0,1,…,9 a astfel încât numă rul 123 456n a să fie divizibil la 7, 11, 13, 37.
Soluție.
Notâ nd b=7 sau 11, sau 13, avem că 456 23 1 457 23 227 modn a a a b . Dac ă b=7,
deducem c ă 3 7a și deci a=3. Dac ă b=11, rezulta că 7 11a și deci a=7. Pentru b=13, ob ținem
6 13a și a=6. Avem c ă 456 23 1 687 21 37n a a a . Condi ția 37 |n este satisfacută
doar dacă 16 mod37a . Însă nici un număr din mul țimea 0,1, 2,…,9 nu are această proprietate și
deci n nu se divide cu 37.
2.Să se determine cel mai mic numă r 1n pentru care frac ția 2
33 2
2 1nE nn se simplifică .
Soluție.
Din 2| 3 2d n și 3| 2 1d n rezult ă 3| 6 4d n n și 3| 6 3d n, deci | 4 3d n. Din | 4 3d n și
2| 3 2d n rezultă 2|12 9d n n și 2|12 8d n și de aici | 9 8d n. Din | 4 3d n și | 9 8d n rezult ă
| 36 27d n și | 36 32d n. De aici | 59d și cum 59 este prim, rezultă 59 | 4 3d n și n minim este
45.
3.Dacă ,a b și 3 24 27 1a b , atunci frac ția 2
33
2n aE nn b este ireductibil ă.
Soluție.
Presupunem că există p prim cu 2| 3p n a și 3| 2p n b.
Rezult ă 2 3| 2 3 3 2 2 3p n n a n b an b .
Rezult ă apoi 2 2| 2 3 3 2 3 2 9p a n a n an b a bn .
În sfâr șit se obține contradicț ia din: 2 3 2| 9 2 3 2 2 9 4 27 1p b an b a a bn a b .
4.Dacă m și n sunt numere naturale nenule și 2 3n m se divide cu 5, atunci 2 3m n se divide cu 5.
Soluție.
Arătăm mai întâ i că m și n au aceea și paritate. Dacă 2 1n k și 2m h avem:
5 5 5 2 3 2 4 9 2 5 1 10 1 2 1 1k h n m k hM M M
Dacă 2n k și 2 1m h avem:
5 5 5 2 3 4 3 9 5 1 3 10 1 1 3 1k h n m k hM M M
Fie acum n și m de aceea și paritate. Avem:
62
5 5 5 5 5 5 2 3 5 3 5 2 1 3 1 2 1 2 3 1m n m n m m m n m n n mM M M M M M
5.Să se arate că orice numă r natural prim cu 10 admite un m ultiplu format numai cu cifre de 1.
Soluție.
Fie ,10 1n. Aplicăm teorema împăr țirii cu rest. 1 1 1nq r , 2 2 1 1
1 11 ,…,11…1n n
n orinq r nq r
. Din
cele n+1 resturi dou ă sunt egale: 11…1inq r ; 11…1jnq r . Prin scădere ob ținem
11…100…0i jn q q și cum ,10 1n |11…1n .
6.Dacă 6 5p m este număr prim și 1 1 1 1 11 …2 3 4 4 2 4 3a
m m b atunci |p a.
Soluție.
Avem:
14 3 4 3 2 1 4 3 3 2 3 2
1 1 1 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 122 6 5 6 5km m m m m m
m
k k k k m k m k mpcx pk k k k k m k k m k b
.
7.Să se arate că pentru *,k n, k impar, avem că 1 2 3 … n divide 1 2 …k k kn .
Soluție.
Trebuie să arătăm că 1|1 …2k k n nn ,
11 | 2 1 2 … 1nk k k k k
jn n n j n j s
.
Avem că :
1
1 10 mod 1n n nk k k k
j js j j j j n
și
1 11 1 0 modnn nk k k k k
j js j j j j n n
.
Cum , 1 1n n , rezultă 1 | n n s .
8.Să se găsească numerele *n pentru care 2 | 3 1n n.
(Baraj 2005)
Soluție.
Dacă n este impar și 2 | 3 1n n, atunci 1n. Dacă cumva 3n, atunci 4 | 3 1n.Aceasta este o
contradic ție, că ci 3 1 1 1 1 1 2 2 mod 4n n . Deci singurul număr impar care este solu ție
a problemei este 1n. Presupunem că n este par; *2 ,kn t t , 2 nu divide *,t k. Arătăm prin
63
inducție că 2 2 3 *3 1 2 2 ,tt tt . Pentru 1t, este clar că 2 3 3 43 1 2 1 2 2 . Presupunem că
2 2 33 1 2 2 ,tt t .
Atunci 1 22 2 3 43 1 2 1 2 mod 2tt t t . Avem deci 2 2 33 1 2 2kk k , 2 2 33 3 1 2 2kn t k kt
(s-a folosit imparitatea lui t). Rezult ă 23 1 2ne k . Însă
2 2 2 3 1 2 2 2 2n n k kk e e n t k , ultima inegalitate fiind adevărată pentru 3k. Deci
nu avem solu ții cu 3k.
Pentru 1k avem 2 23 3 1 2 2 4n ne e n t pentru 2t. Deci, în acest caz, singura solu ție
este 1, 2t n .
Pentru 2k avem 2 2 4 3 1 2 4 4n ne e n t pentru 2t. Deci 1, 4t n este singura
soluție în acest caz. Am arătat că soluț iile sunt 1; 2; 4n n n .
9.Determina ți un numă r n care are exact 2005 divizori primi distinc ți și pentru care | 2 1nn .
(prelucrare OI M, 2000)
Soluție.
Definim 13a și pentru m, 1m , 13m ma a p , unde p este un divizor prim diferit de 3 al lui
22 2 1m ma a . Numărul că utat va fi 2005 n a . Avem că ma este impar și divizibil cu 3, *m . Deci
3 6ma si 2 6 32 2 1 2 2 1 3 mod9m ma a . Cum 3ma avem că :
22 2 1 2 2 1 1 8 7 1 57m m m ma a a a .
Din cele de mai sus rezultă că există un divizor prim 3p al lui 22 2 1m ma a . Prin ind ucție se arată că
*| 2 1,ma
ma m . Pentru 1m este evident, că ci 33| 2 1. Dacă | 2 1ma
ma, atunci:
3 22 1 2 1 2 2 1
3 3m m m ma a a a
m ma p a p și cum 3 32 1 2 1m ma p a , deducem 1
1| 2 1ma
ma
.
Mai trebuie arătat că numă rul de divizori primi ai lui 1ma este 1m.
Aceasta este echivalent cu a arăta că p nu divide ma. Dacă |mp a , cum | 2 1ma
ma, atunci
2 1 modmap și 22 2 1 3 modm ma ap . Cum 2| 2 2 1m ma ap , obținem contradicț ia 3p .
10.Să se arate că oricare ar fi m și n naturale, n umărul 2002 2003m nu divide pe 2146n .
Soluție.
Pentru 1m proprietatea este adevărată. Dacă 2m , 2002 4m și cum 2003 4 3 k , rezult ă că
2002 2003 4 3mh . Un numă r de forma 4 3h are un factor prim de f orma 4 3t. Cum
2146 2 29 37 , rezultă că 2146n nu are un factor prim de forma 4 3tși deci enunțul se verifică .
64
11.Dacă , , , , ,a b c m n p sunt numere naturale nenu le cu | , | , |m n p m n pa b b c c a și 72b , să se calculeze a
și c.
Soluție.
Rezultă imediat că , ,a b c au ace eași factori primi, ș i cum 3 22 3b , factorii primi sunt 2 și 3. Fie
1 2 1 22 3 , 2 3a c . Din |m na b rezultă : 13 m n (1) , 22 m n (2).
Din |p mb c rezultă : 1 3p m (3), 2 2p m (4), iar din |n pc a rezultă 1 1n p (5), 2 2n p (6).
Din (1) și (5) prin înmulț ire avem 13 m p și ținând seama de (3), rezultă 13 m p și deci 13p
m .
Analog se ar ată că 2 1 22 3 2, ,p n n
m m m .
Cum ,i i , rezultă | 2m p , | 3m p |m p și | 3m n |m n și deci p km , n hm . Avem deci
72 , 72h ka c , cu *,k h. Astfel, avem: 1 2 3, ,n m m p p nb k a c k b a k c și deci
1 3 ,np p mp mp m nmb k a a k c și deci 1 3np p m nmb k k c (*). Din 2m pc k b deducem 2mn n pnc k b (**) și
înmul țind (*) cu (**) avem 1 2 3 1p n mk k k și deci 1 2 3 1 k k k . Avem ,n m m pb a c b și deci
72 , 72n p
m m a c , unde |m n si |m p .
12.Fie , , ,a b c d numere î ntregi 0 a b c d . Se presupune că
ac bd b d a c b d a c . Să se arat e că numă rul ab cd nu este prim.
(OIM, 2001)
Soluție.
Relația se scrie: 2 2 2 2a ac c b bd d .
De aici avem: 2 2 2 2 2 2ac bd b bd d ac b bd d bd a ac c ab cd ad bc .
Dacă p ab cd și p este prim, atunci:
1)|p ac bd sau 2)2 2|p b bd d .
1)Deoarece p ab cd , rezultă |p ac bd ab cd a d b c și deci |p a d sau |p b c,
adică p a d sau p b c . Dar p ab cd a a d si p a b c . Am ob ținut o contradic ție.
2)Avem inegalită țile 2 22 2 b bd d ab cd p , adică 2 2b bd d p și cum p ab cd , rezultă
2 2b bd d ab cd b b d a d c d .
Pentru că p este prim, rezultă , 1b d și din eg alitatea precedentă deducem |b c d. Deci
b c d c d și am obținut din nou o contradicț ie.
65
13.Să se găsească toate numerele naturale , ,a b c cu proprietatea că 1a b c și
1
1 1 1abc
a b c .
(OIM, 1992)
Soluție.
Deoarece 3524 , deducem că 5x avem 3521 4x
x . Dacă numerele , ,a b c satisfac condi țiile
din enun ț și 5a , atunci 3 3 31 2 2 2 10 1 2 21 1 1abc abcabca b c a b c abc .
Singura posibilitate este ca 111 1 1abc
a b c . Această ultimă egalitate conduce la egalitatea
ab ac bc a b c care este contradictorie (deoarece 1, 1, 1a b c ). Deci 2,3, 4 a . Dacă
2a, deducem că 2 1
1 1bc
b c . Pentru 5b, avem că 2 131 1bc
b c (ultima inegalitate este
echivalentă cu 3 3 4 0, 3 3 5bc b c b c ); pentru 5b, avem 6c și
3 3 2 3 6 5b c ). Deci pentru 5b singura posibilitate pentru ca 2 1
1 1bc
b c
să fie numă r
natural este aceea ca 2 121 1bc
b c (valoarea 1 est e exclus ă, conform considera țiilor precedente).
Din ultima egalitate rezultă că 2 2 3 0b c , ceea ce este imposibil. Deci 3, 4b și cum b este par
(căci 1b divide numă rul impar 2 1bc), deducem că 4b. Avem că
8 1 8 1 7, , , 83 1 1 1c ccc c c .
Dacă 3a , se arată la fel ca mai sus ca 3 122 1 1bc
b c pentru 7b. Avem 4,5,6b . Cum b
este impar (că ci 2 | 3 1bc ), rezultă 5b , 15 1 15 1 14, , , 158 1 1 1c ccc c c (deoarece c este
impar, 5c).
Pentru 4a se arată la fel ca mai sus ca 4 123 1 1bc
b c pentru 6b. Deci î n acest caz nu avem
soluții, că ci 4 1
3 1 1bc
b c
nu poate fi 1 (conform unei observa ții precedente).
Concluzia tut uror considera țiilor precedente este că singurele soluț ii ale problemei sunt:
, , 2,4,8 , 3,5,15a b c .
66
14.Fie , 2 n n , 1 2 31 …k d d d d n toți divizorii naturali ai lui n și
1 2 2 3 1 …k k D d d d d d d . Să se arate că 2D n și să se găsească acele numere n pentru care 2|D n .
(OIM, 2002)
Soluție.
1, 1,k i
ind i kd și 2
1 1 2 2 1 1 2 2 3 11 1 1… …
k k k k k kn n n n n nD nd d d d d d d d d d d d
2 2 21 1 1 1… 11 2 2 3 1n n nk k k .
Am folosit mai sus faptul că , 1,id i i k . Pentru cea de-a doua parte a problemei, să observăm că
numerele prime n satisfac proprietatea indicată. Într -adevăr, î n acest caz, 2
1 2 | D d d n n . Vom arăta
că doar numerele prime au această proprietate. Fie n un număr care nu este prim și arătăm că D nu
divide 2n. Să presupunem că 2|D n . Deci 2, , 1 n a D a a (deoarece am arătat anterior că 2D n
).
2 2 2
1 2 2 3 1 2 21 1 1 1…
k kn a D an and d d d d d d d
, deoarece 3k ( n nefiind prim). Din
inegalită țile precedente rezultă 2 1a d .Fie p un numă r prim care divide pe a. Din 2n aD
deducem că |p n. Însă 2 p a d și obținem o contradicție cu definiț ia lui 2d, care este cel ma i mic
divizor supraunitar al lui n.
15.Fie , ,a b c numere î ntregi pentru care 2 2 2a b c
a b c
este număr întreg. Să se arate că există o infinitate
de numere naturale n astfel încâ t n n na b c
a b c
este număr î ntreg.
(Baraj, 1990)
Soluție.
Arătăm că numerele 2kn au proprietatea din enun ț. Pentru aceasta vom arăta prin inducție că :
1) 2 2 2k k ka b c a b c ;
2)2 2 22k k k
ab bc ac a b c .
Facem verificarea pentru 0k. Afirma ția 1) este evidentă .
Din 2 2 22 2 2 a b c ab ac bca b ca b c a b c , deducem că 2ab ac bc
a b c
este întreg, adică
afirma ția 2) pentru 0k .
Să presupunem că afirma țiile 1) și 2) sunt adevă rate pentru k și să le demonstră m pentru 1k.
67
Avem: 1 1 1 2 2 22 2 22 2 22k k k
k k k k k k a b c ab bc ac a b c
a c a b c a b c ținând cont de ipoteza de
induc ție. Avem: 2 2 2 ;2k k k a b c mab bc ac m și:
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 4k k kk k k
kk k k a b c ab bc ac ab bc acabca b c a b c a b c
2 2 2 2
242k k k
k a b c m a b cabca b c .
Din
2m a b c deducem că 2
2a b c m și din formula precedentă (ținând cont că
2 2 2k k ka b c
a b c ), rezultă afirma ția 2) pentru 1k.
16. Produsul divizorilor n aturali ai numărului natural n este egal cu 3240210 . Scriind divizorii numărului
n în ordine crescătoare 1 2 31 …k d d d d n , arăta ți că 1289d are cel pu țin 11 cifre.
(Problemă originală )
Soluție.
210 2 3 5 7 2 3 5 7 , , , , .x y z tn x y z t Numă rul natural n are un numă r k de divizori, unde
1 1 1 1 k x y z t .
2 2 3240
1 2 … 210 2 3 5 7kk x y z t
k d d d n
6480 6480 6480 6480 6480210 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7xk yk zk tk xk yk zk tk
4 46480 1 1 6480 xk yk zk tk x y z t k x x x
4 41 5 6 5 x x x , numă rul n are 1296 divizori.
Atunci 5 5 5 5
2 5 10
8 1289 1289 3
82 3 5 72 105 4 102nd d n dd , deci 1289dare cel pu țin 11 cifre.
5 5 5 5 52 3 5 7 210n
17.Arăta ți că pentru orice n, numă rul 78557 2 1n
nx este compus.
Soluție.
nx se di vide cu cel pu țin unul din tre numerele 3,5,7,13,19,37,73 și anume: dacă n par, 3nx , dacă
4 1n h , 5nx; dacă 12 7, 7n n h x ; dacă 12 11, 13n n h x . Pentru cazul 12 3n h se
consideră subcazurile:
a) 36 3n l pentru care 73nx;
68
b) 36 15n l pentru care 19nx;
c) 36 27n l pentr u care 37nx.
18.Să se găsească un factor cuprins între 1000 și 5000 al numă rului 33 19 172 2 2 1 .
Soluție.
În identitatea 3 3 3 2 2 23 x y z xyz x y z x y z xy xz yz pentru 112x , 62 y și
1 z . Calculă m 3 3 33 x y z xyz și obț inem:
33 18 17 33 17 33 19 172 2 1 3 2 2 5 2 1 2 2 2 1 , adică exact numărul din enun ț. Din i dentitatea de
mai sus deducem că un factor al acestui numă r este 11 62 2 1 1983 3 661 . Se poate deduce u șor în
acest moment că descompunerea î n factori primi a lui 33 19 172 2 2 1 este: 33 13 661 37021 .
19.Fie a și b naturale, 2b. Să se arate că numerele 2 1
2 1a
b
și 2 1
2 1a
b
nu sunt î ntregi.
Soluție.
Avem a bq r cu 0 1r b și
1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 2 2 … 2 12 1 2 1 2 1 2 1a bq r bq r r r rq qr b b b
b b b bm .
Deoarece 2b, avem 12 1 2 1 2 1r b b și deci 2 10 12 1r
b , adică m. Avem de asemenea
2 1 2 1
2 1 2 1a bq r
b bn . Pentru q impar:
1 2 3 2 2 2 1 2 12 2 2 2 … 12 1 2 1bq r r rrq q qr b b b
b bn
și n deoarece 2 10 12 1r
b .
Pentru q par avem:
2 2 2 2 1
2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1q
r b
bq r r r r
b b bn .
Cum 2 22 1 2 1q
b b și 2 10 12 1r
b , rezultă n.
20.Să se determine *a dacă există *n astfel ca 1 12 1n na se divide cu 2 1n na .
Soluție.
Avem 1 12 12 2 1 2 12 1n n
n n n
n naa a a aa .
69
Pentru 1a avem 2 2 2n n . Pentru 2a avem 11 2 1n . Pentru 3a și 2n avem de asemenea
o contradic ție,
10 2 2 1 2 1 2 1 12 2n
n n n
naa a a a .
Este suficient să arătăm că 12 12 2n
naa . Aceasta se arată imediat prin induc ție după 2n.
Deci 25 141, , , 43 3an aa a sau 11a.
21.Să se găsească ,a b astfel încâ t 2 2, , a b q a b r q r , r a b si 21977 q r .
(OIM, 1977)
Soluție.
Ecua ția dată este echivalentă cu: 2 2 2 22 2 2 4 2 2 2 1977 2a q b q q r q r r r .
Însă 0 1977r și deci 2 22 2 4 1977, 2 4 1977 89a q b q a q , 2 89b q . Deci
2 88, 2 88, 2 2 2 88 2a q b q a b q , 88 a b q . Însă 21977, 44q q și dec i
88 44 132 a b ,0 132r a b .
Dacă 0 42q , atunci 2 21977 1977 42 1977 1764 213r q și am obținut o contradicț ie.
Dacă 43q , avem că 1977 1849 128r . Cum 2 43a si 2 43b sunt impare, avem că
2 43 87, 2 43 87, 2 2 2 87 2 43 2 130a b a b , 0 128 130r a b ,a b 129,130 .
Dar 2 87 43 130a , 2 130, , 65b a b . Deci , 64,65 , 65,64 , 65,65a b .
Dacă 65 a b , avem c ă 22 65 65 130 0 și 0 128r . Dac ă 64, 65a b , avem c ă
2 264 65 64 129 65, 65 r , contradic ție.
Deci 44q si 21977 44 41r . Avem 2 2 222 22 2 22 41 1009a b . Cum 1009 este
prim, exist ă m și n numere naturale unice, astfel încâ t 2 21009 m n . Se arat ă ușor că 28m și
15n și că 50b și 7,37 a . Avem de asemenea 50a și 7,37b .
22.Fie *n. Să se calculeze numă rul de perechi ,a b *,a b pentru care 1 1 1
a b n .
Soluție.
Fie 1
1 1 2… , …r
r r n q q q q q , jq prim, *, 1,j j r . Vom arăta că numărul că utat este
1 2 1 2 1 2 … 1 2r . Fie ,a b o solu ție a ecuației din enunț .
Avem 2 2ab na nb na nb n n , 12 2 2
1…r
r a n b n n q q .
70
Avem că 1 1 1 1, , 0a n a nn a b a și la fel se arată că 0 b n .
Deci 1 2
1 2 … , 2 , 1,r
r j j a n q q q j r și 1 1 2 22 2 2
1 2 …r r
r b n q q q .
De aici rezultă imediat că numărul de solu ții este 2
1 2 1 2 1 2 … 1 2r n .
23. Fie *n și 1 2 1 …k d d d n toți divizorii lui n scriși în ordine crescătoare . Să se afle toate
numerele n pentru care 2 2 2 2
1 2 3 4d d d d n .
Soluție.
Dacă n ar fi impar, atunci 1 2 3 4, , ,d d d d ar fi impare și 4
2
1i
in d
ar fi par; co ntradic ție. Deci n este par
și 22 d. Dacă cumva 4 |n , atunci 3d sau 4d ar fi egale cu 4, și trecând î n egalitatea 4
2
1i
id n
la o
congruen ță mod 4, deducem contradicț ia 2
3 4 1 0 mod 4 sau d d d d d . Deci neaparat 4 nu
divide n. Aceasta ne arată că 3d este un numă r prim impar p. 4d poate fi ori 2p ori un numă r prim
impar q. Această din urmă alternativ ă este imposibil ă, căci în acest caz ar rezulta că 2 21 4n p q
este impar. Deci 42 d p și 2 2 21 4 4 5 5n p p p . Cum |p n, rezultă că
2| 5 5, 5, 130p n p p n . Se verific ă imediat că 130 este solu ție și din cele de mai sus rezultă că
este singura.
24.Găsiți numerele naturale N cu pro prietă țile:
i) Nare exact 16 divizori 1 2 16 1 …d d d N .
ii)
5 2 4 6 dd d d d .
(OBJ, 2002)
Soluție.
Dacă Neste impar, atunci 2 4d d este par și se obț ine contradi cția
52dd. Așadar N este par și deci
22 d. Deoarece
5 6 dd d rezultă 57 d.Cum 42d divide pe
5dd, rezultă c ă 42d este un divizor al
lui n și deci 5 4 2 d d .Dacă 5 4 1 d d , rezultă că 4 62d d .4 4 4, 1, 2d d d sunt divizori ai lui n
și sunt numere consecutive, deci 3n, adică 33d. Rezultă 42 3 6 d și deci 5 4 1 7 d d . Am
arătat că 57 d și deci 57 d, 68 d. Rezultă 8 |N și deci se obține contradicț ia 2
42 4 d .Rămâ ne
deci numai cazul 5 4 2 d d . Numerele N cu 16 divizori au formele: a) 15p ; b)7p q ; c)3 3p q ; d)3p qr
; e)pqrs , unde , , ,p q r s sunt numere prime distincte.
71
În cazul nostru, unul dintre facto ri este 2. Arătăm că 4 nu divide N. Să presupunem că 4 |N. Atunci
44 d sau 34 d. Dacă 44 d, atunci 33d, 5 4 2 6 d d ; contradic ție (că ci 57 d). Să
presupunem că 34 d.Dacă 48 d, atunci 510d; contradic ție. Deci 4d este un număr prim impar și
5 4 2 d d este, de asemenea , număr prim impar. Suntem î n cazul 3
4 5 2N d d . Deci 68 d,
42 8d , 4 55, 7. d d Avem
5 7 4 2 6 10 7 8d d d d d d ; contradic ție. Deci 4 nu div ide N
și 4d este impar (dacă 42 |d atunci unul din numerele 4d și 5 4 2 d d este divizibil cu 4; am văzut că
acest lucru nu este adevă rat). Din cele 5 cazuri posibile pentru N este evident că a) și c) nu pot avea loc
(deoarece 2 |N și 4 nu divide N).
Cazul b) poate avea loc doar dacă 72 , N q q prim, 3q. Dar î n acest caz 3 4 , 2 d q d q ; ultima
relație este imposibilă căci am observat că 4d trebuie să fie impar. Dacă are loc cazul d), atunci
32N p q , unde p și q sunt num ere prime impare distincte. Dacă q p, atunci 3d q,
4d p(deoarece 4d este impar), 2
5 2 d p p ; contradic ție. Dacă p q, atunci 3d p, 2
4d p ,
atunci 2
5 2 d p q . Pentru 3p obținem contradicț ia 22 0 mod 3 , 3, q p q q prim. Deci
p=3 și q=11. Am obținut contradicț ia 46 d. Dacă 4d q, atunci 2
5 2 d q p . Dar 22p p este un
divizor al lui N și am obținut o contradicț ie. Deci singurul caz posibil este e), 2N pqr , unde
3p q r sunt numere prime distincte. Avem 3 4 , d p d q (deoarece 4d este impar) și 5 2 d q .
Cum q nu divide 5d, 2 nu divide 5d, deducem că 2 r q .
Avem 516d și deci 14q, q și 2q fiind prime 2 5 q p . Dacă 5q, atunci 3p,45 d,
56 d; contradic ție (că ci 57 d ). Dacă 11q, atunci 2 13 r q . Deoarece 4 11 2 d p , rezultă
115,52p . Cum 11 p q , deducem că 7p. Se verifică imediat că 2 7 11 13 2002N are
proprietă țile din enunț . Din cele de mai sus rezultă că este singurul nu măr cu prop rietățile din enunț .
25.Să se arate că dacă 1n, atunci numă rul 3 110 4 1n n are mai mult de 10 divizori supraunitari.
Soluție.
Pentru 1 2
1 2 …k
k n p p p cu , 1,ip i k numere prime dist incte și 1i, numă rul divizorilor este
1 21 1 … 1k .
Notă m 3 110 4 1n n
na și avem 4na.
Rezultă 7 7 10 1000 4 1 10 7 11 13 1 4 1 10 1 4 1 14 1 7n n n n n n n
na M M .
Avem 4 7n na b , unde nb este impar și 1357nb b .
72
Dacă nbare un divizor prim diferit de 7, atunci na are cel pu țin 3 2 2 12 divizori.
Dacă 7k
nb, atunci 3k și nb are mai mult de 3 4 12 divizori. A șadar nb are cel pu țin 11 divizori
supraunitari.
26.Fie p și q două numere prime distincte. Să se arate că există numerel e naturale nenule a și b, astfel
încât media aritmetică a divizorilor numă rului a bn p q să fie număr î ntreg.
(Baraj, OIM, 2002)
Soluție.
Numă rul divizorilor este 1 1a b iar media aritmetică este :
2 21 … 1 …
1 1a bp p p q q q
ma b
. Dacă p și q sunt im pare, atunci putem alege a=b=1 și
avem 1 1
2 2p qm . Dacă p=2 și q este impar, alegem b q și 2 4 1…qa q q q și avem
2 2
2 4 11 2 2 … 2 1 …
1 … 1a q
qq q q
m
q q q q
. Cum 2 2 4 11 … 1 … 1q qq q q q q q q ,
rezultă 2 11 2 2 … 2 2 1a am . Dacă p este impar și q=2, alegem 2 4 1…pb p p p și a=p.
27. Determina ți cel mai mic numă r natural care are exact 144 de divizori și se divide cu 10 î ntregi
consecutivi.
(OIM, 1995)
Soluție.
Numărul căutat n se divide cu 3 22 3 5 7 și deci 3 5 6 1 2 42 3 5 7 11 13 …n cu
1 2 3 4 54, 2, 1, 1, 0… .
Numă rul divizorilor este 1 2 3 4 , 1 1 1 1 … 1k n n . Pentru 6k avem
contradi cția 44 3 2 192 n , deci 5k. Scrierile convenabile ale lui 144 sunt:
4 3 3 2 2 6 3 2 2 2 12 3 2 2 9 4 2 2 6 6 2 2 .
Numă rul minim este 5 22 3 5 7 11 110880n și se divide cu 1, 2,3,…,10 .
28.Fie *n și 1 21 …n a a a , toate n umerele prime cu n mai mici decât n. Să se arate că
numerele 1 2, ,…,n a a a formează progresie aritmetică, dacă și numai dac ă 1, 6, prim, 2kn n n n .
(OIM, 1991)
73
Soluție.
Dacă 1,6, 2kn sau numar prim, se verifică imediat că 1 2, ,…,n a a a formează progresie aritmetică.
Dacă 1n, atunci 1, 2n . Dacă 2 n, atunci 3, 4,6n . Pute m presup une deci că 3n și
că 1 2, ,…,n a a a formează progresie aritmetică. Dacă 22 a se arată imediat că n este prim. Dacă
23aatunci 2kn. Presupune m că 24a (de fapt 25a). Deoarece 23a, rezultă că 3|n și că 3 nu
divide 2a. 3 2 1 22 2 1a a a a . Cum 3, 1,3|a n n , rezult ă că 3 nu divide 3a și deci 21 mod3a .
Dar 1 2 1 2 1 1 1 1 1nn a a n a a n a , 2 2 1 1n n a . Deoarece
21 mod3a , din ultima rela ție rezultă 2 mod3n . Contradic ție, că ci 3|n.
74
§4.Divizibilitatea polinoamelor
1. Se consideră polinomul cu coeficienți întregi P(X)=aX2+bX +c
Să se arate că dacă pentru orice număr întreg m, restul împărțirii lui P(X) la X -m este multiplu de 3,
atunci numerele a,b,c se divid prin 3.
Soluție:
Restul împărțirii prin X – m este r = P(m) = am2 + bm + c.
Dacă pentru orice m, am2 + bm + c = 3k, atunci trebuie să fie adevărat și pentru m {0; 1; 2}.
Dacă m = 0, atunci c = 3k, deci 3 / c. Putem scrie c = 3q, q Z
Pentru m =1 a + b + 3q = 3k, k Z
Pentru m = 2 rezultă 4a + 2b + 3q = 3k, k Z
Rezolvând sistemul a + b + 3q = 3k se obține:
4a + 2b + 3q = 3k
a = –3 (k – a/2) și b = 3 (k – p – q) a și b se divid prin 3 .
2. Fie polinoamele P(X) = X4 – aX3 – aX2 + (a2 – 2)X – 2a + 12 și
Q(X) = m(X4 – 4X3 + 14X + 4) – n(X4 – 3X3 – 3X2 + 7X + 6)
a. Să se determine a R, astfel încât (X – 2) | P(X);
b. Să se determine cele mai mici numere naturale m și n pentru care (X + 2) | Q(X).
Solutie.
a. (X – 2) | P(X) P(2) = 0 24 – a 23 – a 22 + (a2 – 2) 2 – 2a + 12 = 0
16 – 8a – 4a + 2a2 – 4 – 2a + 12 = 0 2a2 – 14a + 24 = 0 a2 – 7a + 12 = 0
= 49 – 48 = 1
a1,2 = 217 a1 = 4, a 2 = 3
deci a 3, 4.
a. (X + 2) | Q(X) Q(– 2) = 0 m(16 + 32 – 16 – 28 + 4) – n(16 + 24 – 12 – 14 + 6) = 0
Atunci: 8m – 20n = 0 | 4 2m – 5n = 0 m =
25n N 5n 2, dar (5, 2) = 1 n 2, n cel mai
mic număr natural n = 2
m =
225 m = 5; deci m = 5, n = 2 .
3. Dacă n este un număr par, să se arate că X + 1 divide polinomul
(X – 1)n – (X + 3)n, dar (X + 1)2 nu divide pe (X – 1)n – (X + 3)n
Soluție.
Notez P(X) = (X – 1)n – (X + 3)n
75
P(– 1) = ( – 1 – 1)n – (– 1 + 3)n = (– 2)n – 2n = 2n – 2n = 0
P(X) (X + 1) (X + 1) | P(X). Cum n este par, rezultă: n = 2K, K N
P(X) = (X – 1)n – (X + 3)n = [(X + 1) – 2]n
P(X) = (X + 1)n – Cn1(X + 1)n-1 2 + C n2(X + 1)n-2 22 – … – Cnn-1(X + 1) 2n-1 + 2n – [(X + 1)n + +Cn1(X
+ 1)n-1 2 + C n2(X + 1)n-2 22 + … + C nn-1(X + 1) 2n-1 + 2n]
P(X) = (X + 1)n – Cn1(X + 1)n-1 2 + C n2(X + 1)n-2 22 – … – Cnn-1(X + 1) 2n-1 – 2n
P(X) = – (X + 1)[ C n1(X + 1)n-2 22 Cn3(X + 1)n-4 24 + … + C nn-1 (X + 1)0 2n]
(X + 1)2 | P(X)
4. Arătați că polinomul P(X) se divide cu Q(X), oricare ar fi n N.
a. P(X) = (n + 1) Xn+2 + (2n + 1) Xn+1 + n(Xn – X) – n, Q(X) = X + 1
b. P(X) = aXn+1 + (b + 2a)
c. P(X) = nXn+2 – (n + 1)(Xn+1 – Xn-1) – nXn, Q(X) = X2 – 1
Soluție.
a) P( –1) = (n + 1)( –1)n+2 + (2n+ 1)( –1)n+l + n[( –1)n – (–1)] – n =
(n + 1)( –1)n+2 + (2n + l)( –1)n+l + n(–1)n + n – n =
(–1)n [(n +1)( –1)2 + (2n + l)( –1) + n] =
(–1)n (n + 1– 2n – 1 + n) =
(–1)n 0 = 0, n N P(X) se di vide cu Q(X), n N
b) P( –2) = a( –2)n+1 + (b + 2a)( –2)n + 2b( –2)n-1 + (–2) + 2 =
(–2)n-1[a(–2)2+ (b +2a)( -2)+ 2b ] =
(–2)n-1(4a – 2b – 4a+ 2b ) =
(–2)n-1 0 = 0 n N
Deci, P(X) se divide cu Q(X), n N
c) X2 – 1 = (X + 1 )(X – 1)
P(1) = n – (n+ 1)(1n+l – 1n-l )-n 1n =
n – (n + 1 )(1 – 1) – n =
n – n = 0
P(X) se divide cu X – l
P(–1) = n(–1)n+2 – (n + l)[( –1)n+1– (–1)n-1] – n(–1)n =
n(–1)n+2 – (n + l)( –1)n+1 + (n+l)( –1)n-1 – n(–1)n =
(–1)n-1 [n(–1)3 – (n + 1)( –1)2 + (n + l) – n(–1)] =
(–1)n-1 (–n – n –1 + n +1 + n) =
(–1)n-1 0 = 0 n N P(X) se divide cu (X + 1), n N.
Cum P(X) se divide cu (X + 1) ș i P(X) se divide cu (X – 1) P(X) se divide cu (X2 – 1) P(X) se
76
divide cu Q(X) , n N.
5. Fie P(X) = a X3 + bX2 + cX + d , a, b, c, d, Z, a 0. Știind că polinomul P(X) este divizibil cu X2
– 3X + 2 să se arate că P(X) are cel puțin un coeficient mai mic decât – 1.
Soluție.
X2 – 3X + 2 = X2 – X – 2X + 2 = X(X – 1) – 2 (X – 1) = (X – 1)(X – 2)
P(X) se divide cu X2 – 3X + 2 P(X) se divide cu (X – 1) și P(X) se divide
cu (X – 2) P(l) = 0 și P(2) = 0
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = 0 d = – 8a – 4b – 2c d este număr par d = 2k
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d =0
8a + 4b + 2c + d = 0 d = – 8a – 4b – 2c d este număr par d = 2K
a + b + c + d = 0 a + b + c + d = o
8a + 4b + 2c + 2K = 0 | 2 4a + 2b + c + k = 0
Presupunem că a – 1, b ≥ – 1, c > – 1, d ≥ – 1
a + b + c ≥ – 3 | + d a +b + c + d ≥ d – 3
0 > d – 3 d 3, dar d ≥ – 1, d par d {0,2}
Dacă d = 0 avem:
a + b + c =0
4a + 2b + c = 0 c par
Presupunem că a ≥ – 1, b ≥ – 1
a + b ≥ – 2 | + c
a + b + c ≥ c – 2
0 ≥ c – 2
c 2 , dar c ≥ – 1, c număr par c { 0,2}
Dacă c = 0 avem:
a + b =0
2a + b = 0 a = 0 fals
Dacă c = 2 avem:
a + b = – 2 a = 1
2a + b = – 1 b = – 3a, fals deoarece b ≥ – 1
Dacă d = 2 avem:
a + b + c = – 2 a + b + c = – 2
4a + 2b + c = – 1 3a + b = 1
77
Din 3 a + b = 1 b = 1 – 3 a ≥ – 1 a 32; dar a ≥ – 1 a = – 1 b = 4, c = – 5 – 1, fals
Deci P(X) are cel puț in un coeficient mai mic de câ t – 1.
6. Știind că P(X) = mX4 – nX2 + p , m, n, p N* se divide cu
Q(X) = X2 – 4X + 3 să se arate că m este cel mai mare divizor comun al numerelor n și p.
Soluție
Descompunem î n factori Q(X)
Q(X)=X2 – 4X+3 = X2 – X – 3X + 3 =X(X – 1) – 3(X – 1) = (X – 1)( X – 3)
Q | P (X – 1)( X – 3) | P; deci ( X – 1) | P și ( X – 3) | P P(1) = 0 și P(3) =0
m – n + p = 0 | ( – 1) – m + n – p = 0
81m – 9n + p = 0 81m – 9n + p = 0
80m – 8n / = 0
80m – 8n = 0 n = 10m m | n
m – n + p = 0 | ( – 9) – 9m + 9n – 9p = 0
81m – 9n + p = 0 81m – 9n + p = 0
72m – 8p = 0
72m – 8p = 0 p = 9m m | p
Deci m | p și m | n m este divizor comun al lui n și p.
Fie m' N*, astfel î ncât m' | p și m' | n
Avem din m – n + p =.0 că m = n – p
Cum m' | p și m' | n m' | n – p m' | m. Deci m este cel mai mare divizor comun al lui n și p.
7. Să se demonstreze că polinomul
P(X) = (1 + X) 6m+l – (1 + X) 6p+l se divide cu X2 + X + 1, unde m, p N
Soluție.
Metoda I Toate rezolvările se bazează pe faptul că rădăcinile trinomului X2 + X + 1 sunt rădăcinile
cubice ale unităț ii(X3 – 1 = O (X – 1)( X2 +X + 1) = 0 )
Dacă notăm x 1 = 1, x 2,3 = 23 1i avem:
X2 + X + 1 = (X – X2) (X – X3)
Aplicâ nd teorema lui Bè zout (valabilă și pentru rădăcini compl exe) vom calcula:
P(x 2) =(1+ x 2) 6m+l – (1+ x 2) 6p+l
Dar din x 22 +x2 +1=0 x2 + 1 = –x22 , deci:
P(x 2) = (– x22)6m+1 – (–x22)6p+1 = –x22(x2)12m – (– x2)(x2)12p = – x22 + x 22 = 0 pentru că x 23 = 0.
La fel P(x 3) = 0
78
Metoda a II – a
Avem o altă rezolvare ast fel:
1 + x 2 = 1 + 23 1i = 23 1i = cos3 + i sin 3
Atunci (i + x 2)6m+1 = (cos
36m + i sin
36m)
3sin3cosi =
23 1i
Analog (1 +X 2)6p+1 = 23 1i; deci diferența lor este nulă.
8. Fie P(X) = aX2+bX+c, a, b ,c R, a 0
Q(X) = mX3+(n + 2m)X2+(2n + p)X + 2p, m, n ,p R, m 0
a. Arătați că p olinomul P(X) este ireductibil dacă și numai dacă P(1) P(– 1) > (a – c)2
b. Determinați rădăcinile polinomului Q(X) știind că el este divizibil cu X2 +X – 2.
Solutie
a. Fie P(X) ireductibil < 0 b2 – 4ac < 0 . .
P(1) P(– 1) = (a + b + c)(a – b + c) = (a+c)2 – b2 =
a2 + 2ac + c2 – b2 =
a2 – 2ac + c2 – b2 + 4ac =
(a – c)2 –
Cum < 0 P( l ) P( – 1) > (a – c)2
Reciproc, cum P( l ) P(– 1) > (a – c)2
(a + b + c) (a – b + c) > (a – c)2
a2 + 2ac + c2 – b2 > a2 – 2ac + c2
b2 – 4ac < 0
< 0 P(X) este ireductibil .
b. mX3 + (n+2m)X2 + (2n+p)X + 2p X2 + X – 2
– mX3 – mX2 + 2mX mX + (n + m)
/ (n + m) X2 + (2n + p + 2m) X + 2p
– (n + m) X2 + ( – n – m) X + 2n + 2m
/ (n + m + p) X + 2m + 2n + 2p
(X2 +X – 2) | Q(X) R(X) = 0 (n + p + m)X + 2m + 2n + 2p = 0 n + m + p = 0 n + m = – p
Deci Q(X) = (X2 + X – 2)[mX +(n+m)] = (X2 + X – 2)(mX – p)
Asociem lui Q(X) ecuația polinomială (X2 + X – 2)(mX – p) = 0
x1,2 =
231, x3 =
mp
79
Deci rădă cinile polinomului Q(X) sunt – 2, 1 ș i p / m
9. Fie polinoamele f, g Q[X], f = 2X4 – 3X2 + aX + b, g = X2 – 2X + 3
Să se determine coeficienții a, b Q astfel încât g | f
Soluție.
Metoda I – Aplicăm teorema împărțirii cu rest, apoi Identificăm restul cu zero.
2X4 – 3X2 + aX + b X2 – 2X + 3
– 2X4 + 4X3 – 6X2 2X2 + 4X – 1
/ 4X3 – 9X2 + aX + b
– 4X3 + 8X2 – 12X
/ – X2 +(a – 12)X + b
X2 – 2X + 3
/ (a – 14)X + b + 3
g | f r = 0 a – 14 = 0 a = 0
b + 3 = 0 b = – 3
Metoda a II – a Aplicăm teorema lui Bè zout :
g = 0 x2 – 2x + 3 = 0, a = l, b = – 2 , c = 3
= b2 – 4ac = ( – 2)2 – 4 1 3 = 4 – 12 = – 8
x 1,2 = 2 12222
28 2ii
Cum g | f, atunci (X – x1)(X – x2) | f (X – x1) | f și (X – x2) | f
f(x1) = 0 f(1 + 2i) = 0 a + b – 11 –2(14 – a)i = 0
f(x2) = 0 f(1 – 2i) = 0 a + b – 11 + 2(14 – a)i = 0
a + b – 11 = 0 a = 14
14 – a = 0 b = – 3
Metoda a III –a Aplicăm schema lui Horner
X0 X4 X3 X2 X
b 2 0 – 3 a
a + b – 11 + (a
– 14) 2i 1 + 2i 2 2(1 + 2i) – 5 + 4 2i – 3 – 2i + a
1 – 2i 2 4 – 1 a – 14
Deci a – 14 = 0 și a + b – 11 + (a – 4) 2i = 0 a = 14 și b = – 3
Aplicăm metoda identificării po1inoamelor
2X4 – 3X2 + aX + b = (X2 – 2X + 3)(2X2 + mX + n)
80
2X4 – 3X2 + aX + b = 2X4 +(m – 4) X3 +(n – 2m + 6) X2 + (3m – 2n)X+ 3n
Aplicând metoda coeficienților nedeterminați obținem:
m – 4 = 0 m = 4
n – 2m + 6 = – 3 n = – 1
3m – 2n = a a = 14
3n = b b = – 3
10. Să se determine polinomul f R[X], de gradul 5, știind că :
(X + 1)3 | f + 8 și (X – 1)3 | f – 8
Solutie.
Metoda I
Se aplică schema lui Horner
Cum grad f = 5 f = aX5 + bX4 + cX3 + dX2 + eX + m
X5 X4 X3 X2 X1 X0
a b c d e m + 8
– 1 a – a + b a – b + c – a + b – c + d a – b + c – d + e – a + b – c + d – e +
m + 8
– 1 a – 2a + b 3a – 2b + c – 4a + 3b – 2c + d 5a – 4b + 3c – 2d
+ e
– 1 a – 3a + b 6a – 3b + c – 10a + 6b –3c+d
Cum (X + 1)3 | f + 8
– a + b – c + d – e + m + 8 = 0
5a – 4b + 3c – 2d + e = 0 (1)
– 10 a + 6b – 3c + d = 0
X5 X4 X3 X2 X1 X0
a b c d e m – 8
+ 1 a a + b a + b + c a + b + c + d a + b + c + d
+ e a + b + c + d
+ e + m – 8
+1 a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c
+ d 5a + 4b +
3c + 2d + e
+1 a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b +
3c + d
Cum (X + 1)3 | f – 8 a + b + c + d + e + m – 8
5a + 4b + 3c + 2d + e = 0 (2)
10a + 6b + 3c + d = 0
81
Din (1) și (2) putem forma s istemul
– a + b – c + d – e + m + 8 = 0
5a – 4b + 3c – 2d + e = 0
– 10a + 6b – 3c + d = 0
a + b + c + d + e + m – 8= 0
5 a + 4b + 3c + 2d + e = 0
10a + 6b + 3 c + d = 0
Adunând ecuațiile două câte două, membru cu membru, obținem:
2b + 2d + 2m = 0 b + d + m = 0
10a + 6c + 2e = 0 5a + 3c + e = 0
12b + 2d = 0 6b + d = 0
Deci, folosind și sistemul inițial, avem:
a + c + e = 8
5 a + 3 c + e = 0
4b + 2d = 0
6b + d = 0
10a + 3c = 0
Din 4b + 2d = 0
6b + d = 0 b = d = 0, deci m = 0
a + c + e = 8 e = 8 – a – c e = 8 – a – c
5a +3c + e = 0 5a – 10a +8 – a – c = 0 – 6a +8 – c = 0
10a + 3c = 0 10a = – 3c c = – 310a
e = 8 – a – c e = 8 – a – c e = 8 – a – c
– 6a +8 +
310a = 0 – 18a + 24 + 10a = 0 a = 3
c = – 310a c = – 310a c = – 10
e = 8 – 3 + 10 e = 15
a = 3 a = 3
c = – 10 c = – 10
Deci f = 3X5 – 10X3 + 15X
Metoda a II – a Se aplică teorema împărțirii cu rest în care restul este un polinom nul.
Metoda a III – a Se aplică metoda identificării polinoamelor:
f + 8 =(X + 1)3 (aX2 + bX + c)
f – 8 = (X – 1)3(m X2 +nX + p) ,
82
Metoda a IV – a
Se aplică metoda derivatei polinomului:
– 1 este rădăcină multiplă de ordin 3 pentru h = f + 8
1 este răd ăcină multiplă de ordin 3 pentru g = f – 8.
Avem: h (– 1) = 0 g(1) = 0
h' (– 1) = 0 și g' (1) = 0
h " (– 1) = 0 g" (1) = 0
h "' , ( – 1) = 0 g' " (1) = 0
Rezolvând sistemul format și folosind că f = a 5X5 +a4 X4 + a 3 X3 + a 2 X2 + a 1X1 + a 0X0 obținem: a 0 = 0,
a1 = 15, a 2 = 0, a 3 = – 10, a 4 = 0, a 5 = 3 deci f = 3X5 – 10X3 + 15X.
11. Fie polinomul f R[X]
i. Dacă f = X 2n – 12Xn + 32 , atunci să se determine n N astfel încât X – 2 | f
ii. Dacă f = aX n+2 + bXn + 2 , atunci să se determine a și b astfel încât (X – 1)2 | f
Soluție.
i. Aplicăm teorema lui Bè zout:
(X – 2) | f f(2) = 0 22n – 12 22n + 32 = 0 22n – 4 22n – 8 22n + 32 = 0 2n(2n – 4) – 8(2n – 4)
= 0 (2n – 4) (2n – 8) = 0 n 2, 3
ii. Nu putem aplica teorema lui Bè zout deoarece polinomul (X – 1)2 are rădăcină multiplă , dar aplicăm
sau schema lui Horn er în care căutăm un algoritm de determinate a coeficienților , sau aplicăm metoda
derivatelor polinomului:
Xn+2 Xn+l Xn Xn-l Xn-2 … X2 Xl X0
a 0 b 0 0 … 0 0 2
1 a a a+ b a+ b a+ b … a+ b a+ b a + b
+2
1 a 2a 3a + b 4a + 2b 5a+3b … (n + 1)a
+(n – l) (n+2)a+nb
Se observă următorul algoritm de determ inare a coeficienților lui a și b:
Coeficientul lui a este cu 2 mai mare decât cel al lui b;
Coeficientul lui a însumat cu puterea lui X vor da tot timpul același număr n + 3,deci :
a + b + 2 = 0 a = n
(n + 2) a + nb = 0 b = – n – 2
Metoda derivatelor:
f(1) = 0 a + b + 2 = 0
f (1) = 0 (n + 2) a + nb = 0
f (1) 0 a(n + 2)(n + 1) + bn(n – 1) 0
83
a = n
b = – n – 2
Se observă că această metodă este mult mai eficientă.
12. Fie polinoamele P(X)= X3 + 4X2 + a, Q(X)=X2 – X – 2.
Determinați valoarea lui a astfel încât cel mai mare divizor comun a l polinoamelor P și Q să fie un
polinom de gradul I.
Am putea cere ca acest cel mai mare divizor comun să fie de gradul II ?
Soluție.
Notăm D(X) cel mai mare divizor comun al lui P și Q.
Descompunem în factori ireductibili Q(X).
Q(X) = X2 – X – 2 = X2 – 1 – X – l =
Q(X) = (X – l)(X+ 1) – (X+ 1) = (X+ 1)(X – 2)
Cum grad D = 1 D(X) = X + 1 sau D(X)= X – 2
Dacă D(X)= X + 1 (X + 1) | P(X)
P(– 1 ) = 0 – 1 + 4 + a = 0 a = – 3
Dacă D(X)=X – 2 (X –2) | P(X)
P(2) = 0 8 + 16 + a = 0 a = – 24.
Deci pentru a {– 3, –24}, D(X) este de gradul I.
Dacă gra d D(X) = 2, cum Q(X) = (X+ 1)(X – 2), grad Q = 2 D(X) = Q(X)(sau aQ(X), a lR*).
D(X) = Q(X) (X+ 1)(X – 2) | P(X)
(X + 1) | P(X) și (X –2) | P(X)
P(– 1) = 0 a = – 3 – 3 = – 24 (F)
P(2) = 0 a = – 24
Deci D(X) nu poate fi polinom de gradul II.
13. Fie polinomul P = x2n +axn + b, (a,b lR, dacă n ≥ 1).
Să se determine a și b astfel încât P să fie divizibil cu (x – 1)2 și să se arate că P nu poate avea rădăcini
triple nenule.
Soluție. Vom da mai multe soluții.
1. Dacă notăm xn = y, ecuația trinomă inițială se transformă în ecuație de
gradul II; y2+ ay + b = 0 . Cum ecuația binomă xn = y nu are rădăcini multiple, indiferent de valoarea lui
y nenul, rezultă că pentru a avea rădăcină dublă x = 1 pentru ecuația inițială, trebuie ca răd ăcinile
ecuației de gradul II î n y să fie confundate și egale cu 1. De aici obținem a = – 2, b=1.
2. Impunem condițiile P( l ) = 0, P'( l ) = 0 , adică 1 + a + b = 0 și 2n + na = 0 , deci a = – 2 și b = 1.
84
3. Efectuam împărțirea cu schema lui Horner:
X2n X2n-1 … Xn+l Xn Xn-l … X2 Xl X0
1 0 … 0 a 0 … 0 0 b
1 1 1 … 1 1+ a 1+ a … l+a l+a 1 + a +
b
1 1 2 … n – 1 n + a n + l +
2a … 2n – l + (n
– l)a 2n+na
Impunem condițiile ca resturile să fie nule, adică 1 + a + b =0 și 2n + na = 0
4. Transformăm polinomul dat astfel :
X2n+ aXn + b = X2n + Xn(a + 1) – (a+l) + b + a + l – Xn = Xn(Xn – 1 ) + (Xn – 1)( a+ 1 ) + b + a + 1 =
(Xn – 1)(Xn + a + 1 ) + b + a+ 1, de unde condițiile : a + l = – 1 și b + a + l = 0, deci a = – 2, b = 1.
A doua parte a cerinț ei: P" = 2n(2n – l)X2n-2 + n(n – l)aXn-2 = nXn-2 [2(2n – l)Xn + a(n – l)].
O eventuală rădăcină triplă nenulă ar trebui să anuleze ultima paranteză, polinomul inițial și deriv at a sa
pe care o scriem nXn-1(2Xn + a), de fapt 2xn + a = 0
Deci din cele d ouă polinoame de gradul n: 2 (2n – l )Xn +(n – 1)a și 2Xn + a care trebu ie să se anuleze
pentru aceeași valoare a lui X, obținem condiția
aa n n )1(
2)12(2 na = 0
Se vede că nici n = 0 nici a = 0 nu sunt acceptabile.
14. Fie f, g Q[X], f = X3 + aX2 + 11X + 6 și g = X3 + l4X + bX2. Să se determine a și b astfel încât f
și g să aibă un divizor comun de grad 2.
Soluție.
Se aplică algoritmul lui Euclid până se obține un rest de gradul 1 care trebuie să fie nul.
X3 + aX2 + 11X + 6 X3 + bX2 + 14X + 8
– X3 – bX2 – 14 X – 8 1
/ (a – b)X2 – 3X – 2
X3 + bX2 + 14X + 8 (a – b)X2 – 3X – 2
– X3 +
ba3X2 +
ba2X
ba1X + 223
babab
/ babab
32
X2 + bab a
2 14 14X + 8
– babab
32
X2 + 229 3 3
bab ab
X + 226 2 2
bab ab
/
229 3 2 14
babab ba ba
X +
226 2 8
babab ba
85
14(a – b)2 + (2 + 3b)(a – b) + 9 = 0 14(a – b)2 + 2(a – b) + 3b(a – b) + 9 = 0
8(a – b)2 + 2b(a – b) + 6 = 0 (a – b)(a – b + 1) = 0
Din (a – b)(a – b + l) = 0, cum a – b 0 a – b + l = 0 a – b = – 1
14(a – b)2 + 2(a – b) + 3b(a – b) + 9 = 0 14 – 2 – 3b + 9 = 0
a – b = – 1 a – b = – 1
– 3b = – 21 b = 7
a – b = – 1 a = 6
86
Capitolul V
Considera ții metodice
§1. Introducere
Obiectivul principal al oricărui profesor de matematică este acela de a stimula și de a crește interesul
elevilor pentru ac eastă disciplină .
Abordarea și formare a conceptelor matematice implică probleme de ordin psihologic și pedagogic
destul de consistente. Procesul prin care se ajunge la concepte matemati ce abstracte este unul complex
și de durată. Acesta începe odată cu pri mele perce pții și imagini și abia după vârsta de 11 -12 ani se
conturează entită țile mintale desprinse de suportul material, senzorial, care le -a generat.
Profesorul de matematic ă trebuie în primul rând să cunoască temeinic din punct de vedere științ ific
materia pred ată, dar în acela și timp trebuie să aibă aptitudini metodice ș i pedagogice pentru a putea
transmite cuno ștințele î ntr-un mod accesibil elevilor. El trebuie să dezvolte la elevii săi, capacitatea de
raționament, să încurajeze gândirea critică și c reativă .
Studiul matematicii în gimnaziu urmăre ște identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor
în func ție de contextul î n care au fost definite, prelucrarea datelo r de tip cantitativ, calitativ și struc tural,
utilizarea algoritmilor și a conceptelor matemat ice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situa ții
concrete precum și modelarea matematică a unor contexte problematic e variate, prin integrarea
cuno ștințelor din diferite domenii.
§2. Principii didactice fundametale î n predarea matematicii
Princ ipiile didacticii și, în particular, ale didacticii matematicii sunt teze generale care exprimă
concep ția de bază asupa învăță rii matematicii. Ele reprezint ă norme directoare pentru î ntreaga activitate
didactic ă. Principiile didact icii trebuie s ă ac ționeze împreună, preponderen ța unuia sau a altuia
depinzând de foarte mul ți factori dintre care specificul obiectului de învă țământ și vârsta școlară sunt
unii dintre cei mai importan ți.
Orice profesor de matematic ă trebuie să țină cont în activitatea sa la clas ă de câ teva principii didactice:
1) Principiul caracterului științific al învățămâ ntului matematic
Caracterul științific se manifestă în primul rând prin corectitudinea informațiilor extrase din matematică,
care reprezintă regina științelor. Informaț iile pr ovin prioritar din manuale și, în general, nu sunt afectate
de erori episodice.
Principiul caracterului științific al predării matematicii este asigurat ș i de nivelul de rigoare adoptat.
Prezentarea axiomatică realizează un grad de r igoare foarte ridicat d ar după ce acceptăm no țiunile
primare, rela țiile primare ș i o serie de legi ale logicii formale. Rigoarea expunerii este atenuată de
principiul accesibilită ții și cel al intuiției. De remarcat este faptul că accesibilitatea afectează , de regulă ,
doar rigoa rea argumentării și nu pe cea a definiț iilor sa u teoremelor. Astfel „demonstra țiile” aritm etice
87
la clasele mici se bazează pe o induc ție incompletă, din câteva situaț ii analizate se trage regula generală .
Nivelul rigorii demonstra țiilor cre ște odat ă cu clasa.
Principiul caracterului științific este validat și de însușirea treptată, dar conștientă, a metodelor și
limbajului „matematicii știință”. Este adevărat că, î n etapele de in troducere, comentarii, justificări,
profesorul, și cu at ât mai mult elevul, poa te să u tilizeze limbajul curent, dar chestiunile teoretice
abstracte trebuiesc făcute accesibile. Atunci când profesorul dă defini ții, enunțuri, demonstrații formale,
cerin ța utilizării limbajului și notaț iilor spe cifice este obligat orie. Acelea și pretenții trebuie avute și din
partea elevilor, cerându -le să prezinte ceea ce scriu pe tablă, corectându -i la nesfâr șit când spun „egale”
în loc de „congruente”. O mare grijă trebuie avut ă în cazul gre șelilor de limbaj care schimbă
semnific ația corectă ca, de ex emplu, înlocuirea condi ției necesare cu cea suficientă , etc.
Argumentarea acestui principiu se realizează și prin existența unor sisteme în evaluare precisă, în cadrul
cărora subiectivitatea și șansa sunt red use la maximum. Este simp lu de în țeles că acest principiu nu
restrâ nge creati vitatea procesului de predare – învățare- evalu are sau a elevului, ci le poten țează
suplimentar.
2) Principiul sistematizării și continuităț ii
Sistematizarea vizează desfă șurarea ordonată logic și pedagogic a conținuturilor, ordona rea capitolelor
și a para grafelor, succsesiunea ideilor și a argumentelor.
Continuitatea se refer ă la un ritm de recep ționare, asimilare ș i fixare a cuno ștințelor permițând evaluări,
controale și reglări. Sistematizarea și continuita tea se condi ționează reciproc, una fiind nerealizabilă în
absen ța celeilalte.
Principiul sistematizării este condi ționat de:
a) logica internă a matematicii;
b) structura organizatoric ă a învă țămâ ntului;
c) corelarea cu celelalte obiecte de studiu;
d) structura și evo luția psihologică a elevilor.
Acest principiu trebuie să se manifeste zi de zi în activitatea de la catedră.Programa analitica și
planificarea calendaristic ă sunt forme de materializ are a lui. Organizarea unei lec ții sau a unei unități de
învățare, planul de lec ție, reprezint ă materializarea cea mai curent ă a sa.
3) Principiul învă țării conș tiente și active
„Ideea după care memor ia nu ar avea un rol important î n matematic ă este gre șită. Este vorba aici nu de
memorizarea deliberat ă a unor defini ții, enunț uri, f ormule, la primele cont acte cu acestea (deci într -un
moment î n care ele nu au fost nici aprofundate, nic i suficient folosite), ci de re ținerea lor ca o consecință
firească a utilizării lor repetate și îndelungate” – Solomon Marcus.
Acumularea în ritm expone nțial al cunoștinț elor duce la transmiterea informa ției didactice într -un mod
cât mai rapid și condensat, ceea ce co nduce de multe ori la interpretări superficiale declarate ini țial
provizo rii, dar care se permanentizează din cauza lipsei de timp.
88
Memoră rile „mecanice” duc la fi xări slabe, instabile, informă rile trebuiesc mereu împrospă tate.
Înțelegerea, învățarea conștientă se bazează, în primul râ nd, pe structura congnitiv ă preexistent ă a
elevului. Factor ul cel mai important ce influen țează învăț area rezi dă în cantitatea, cali tatea, claritatea și
organizarea cuno ștințelor celui care învață .
Foarte importantă este și natura mediului de învăț at. Aici apare frecvent neces itatea de a desface
materialul în itemi u șor de învăț at suc cesiv, dar fiecare cu semnific ația sa logic ă. Adesea, o asemenea
desfacer e trebuie urmat ă de reconexarea logic ă a secven țelor.
Prima treapt ă a con știentizării constă în înț elege rea segmentului de materie prevăzut în lec ție sau în
segmentul de lec ție. Ce este dificil de înțeles în matem atică? Se spune că demonstra țiile, adică
succesiu nea silogismelor. Dar ce nu se în țelege? Valoarea argumentelor? Ori lan țul în î ntregimea s ă nu
poate fi perceput? Dac ă nu se în țelege un silogism, probabil c ă defec țiunea const ă în necunoa șterea
semnifica țiilor unor termeni (defin iții) iar neputința de a înțelege demonstrația în întregime se datorează
(presupunând că fiecare verig ă este în țeleas ă) numărului prea mare al pa șilor.
Unele demonstra ții indirecte (cum ar fi metoda reducerii la absurd) de și echivale nte logic cu unele
demo nstra ții directe ajung s ă provoace î ndoieli asupra valorii lor de argumentare.Limbajul specific și
notațiile pot aduce greutăți î n plus, dar dac ă sunt judicios alese pot înlesni mult în țelegerea ș i utilizarea
acestora.
Cerin țele aces tui principiu pot fi si ntetizate î n:
a) stimularea activită ții elevului în toate etapele învăță rii;
b) înțelegerea conținutului materiei de învățămâ nt;
c) dezvoltarea la elevi a con știentizării participă rii lor la propria instruire.
Coparticiparea elevului la propr ia instruire reprezint ă solu ția multor deficiențe. Profesorul trebuie, î n
modul de ex punere și prezentare, s ă dea impresia c ă, plecând de la ni ște necesități practice, redescoperă
alături de elev no țiunile ș i rezultatele respective.
Înțelegerea este un ind icator specific al mat ematicii ca obiect de învă țământ î n practicarea ei zilnic ă.
Elevul trebuie să în țeleagă, în primul rând, bucata de materie prevăzută în lecț ia respectiv ă. Acest lucru
este pe deplin posibil datorit ă numărului relativ mic de no țiuni, f ormule, procedee necesare s ă fie
reactualizate și numărului relativ mic de pași ai demonstrațiilor curente. Elevul nu ș tie dac ă a în țeles
corect și logic secvența din lecț ia predat ă sau doar a receptat -o și a acceptat -o. Noua secven ță trebuie
deja î nglobat ă în structura cognitiv ă a elevului pentru a putea trece mai departe.
Conștientizarea învățării matematicii î n anasamblul ei (ca obiect de învă țămâ nt) este un nivel care trece
dincolo de în țelegerea faptelor izolate. Î n linii mari este vorba de convingerea elevului c ă învățarea
matematicii nu este asemen ea unei „pedepse ce trebuie ispă șite” (folosind trebuie pentru tez ă, pentru
examene” etc) ci este o necesitate obiectiv ă nu doar pentru cultura general ă a orică rui adult al zilelor
noastre ci și ca un instru ment de cunoa ștere ș i studi ere a mai multor altor domenii științifice și, nu în
89
ultimul râ nd, datorit ă specificită ților sale privind logic ă și rigoarea raț ionamentelor sale ce duc la
disciplinarea gâ ndirii.
Marele matematician al nostru S olomon Marcus spun ea sugestiv că „matematica este o gimnastic ă a
minții”. Pentru racolarea interesului elevil or pentru matematica trebuie ac ționat permanent astfel încâ t
să se dezvolte două componente: una interioar ă matematicii care trebuie predat ă în a șa fel ca elevul să
găsească satisfac ție în însuși efortul de învățare ș i alta exterioar ă motivându -se prin aplica țiile ei
valoarea social ă și științ ifică a matematicii.
4) Principiul accesibilită ții (al respect ării particularit ăților de vâ rstă și individuale)
La baza activită ții de învă țare trebuie s ă se pun ă varianta optimist ă care afirmă că orice elev normal
poate să -și însuș ească cuno ștințele prevăzute în programa ș colar ă. Este evident c ă nu to ți în același ritm
și cu aceleaș i rezultate , dar spectrul actual de notare permit e practic tuturor elevilor unei clase care a u
un minim de cuno ștințe stabilit s ă promoveze în anul urmă tor.
În aplicarea acestui principiu este evident ă următoarea orientare: mai pu țin și mai uș or pentru cei mici
sau slab pregăti ți, mai mult ș i mai greu pe ntru cei mari sau mai b ine pregăti ți. Dar chiar î n cadrul a ceea
ce apreciem ca „u șor” sau „greu” se formulează unele indicații de a acț iona:
– de la ceea ce este mai apropiat (familiar) la ceea ce este mai îndepă rtat;
– de la simplu la complex;
– de la cunoscut la necunoscut.
După precizarea programei a nalitic, principiul accesibilită ții impune p rofesorului: alegeri de metode și
procedee didactice, actualizări adecvate de informa ții din repertoriu l cognitiv, desfaceri pe secven țe,
sinteza logică a secven țelor, d ezvoltări de motiva ții specifice, selec ții de aplicații și probleme
semnificative și adaptă ri pe criterii de evaluare. După ce profesorul și-a proiectat și realizat lecț iile la
nivelul de accesibilita te sperat, problema accesibilită ții se transferă fiecăru i elev și, fără a nega existen ța
a diverse grade de dificultate, se poate presupune c ă se realizeaz ă o învă țare conștientă, activă ș i
durabil ă. Intervine în discu ție și faptul c ă grupul de elevi nu este omogen, iar strategii le didactice trebuie
alese de că tre profesor pentru a avea eficien ță maximă. Aceasta înseamnă că procesul de predare –
învățare-evaluare trebuie individualizat. Dato ria profesorului este de a lua î n considerare o mare
varietat e de date individuale pentru a -și adapta poziția față de elev. E fortul de cunoa ștere individual ă
aprofundat ă a elevi lor este principalul demers con știent pe care î l poate face profesorul pentru a se
apropia de principiul accesibilită ții. Unii profesori consemneaz ă într-un caiet special unele particularit ăți
relevante a le fiec ărui elev, aces tea permi țând, î n timp, optim izarea atitudinii pedagogice fa ță de fiecare
elev.
Principiul accesibilită ții este încălcat mai ales în ceea ce privește necesitățile elevilor situaț i sub nivelul
mediu. Cei mai mul ți se plâng că matematic a este grea dar sunt și unii care spun c ă, pentru ei, aceasta
este u șoară, chiar atractiv ă. Dar, și pentru aceștia din urmă , trebuie s ă avem în vedere ac țiunea acestui
principiu și să nu-i „sacrific ăm” pe cei foarte buni men ținând pretenț iile la un nivel ( impus de
90
majoritatea c lasei) care ar putea să le dăuneze în competi țiile la care se vor p rezenta, fie acestea
admiterea î n liceu sau bacalaureat fie olimpiade și concursuri. O formă mai suprinz ătoare de a respecta
acest principiu revine profesorului de mat ematic ă în cazul acelo r elevi împătimi ți de matematic ă, care
neglijeaz ă alte materii din planul de învă țămâ nt. Profesorul de matematic ă, cu autoritatea pe care și-a
câștigat -o în fa ța unor astfel de elevi, trebuie s ă intervin ă cu tact pentr u a stopa unilat eralitatea pregă tirii,
sacrificarea culturii generale î n favoarea unei specializ ări premature.
5) Principiul caracterului intuitiv
În predarea ma tematicii este bine ca elevii să -și formeze noț iunile fundamentale prin abstr agerea lor din
realitatea fizică. Î n clasele I -IV intui ția trebuie s ă predomine, elevilor trebuie s ă li se prezinte materiale
intuitive cl are. Ulterior, se vor prezenta și modele intuitive care s ă conduc ă la gre șeli, astfel li se poate
explica elevilor necesitatea ra ționamentului. Treptat n umărul modelelor concret e va scădea, crescâ nd cel
al modelelor abstracte. Înlăturarea totală a intui ției este o grav ă eroare.
Principiul învă țării intuitive este justificat de:
– caracterul concret și contextual al gâ ndirii elevului;
– plusul de relevan ță ce a pare î ntr-un model sensibil;
– legătura între cunoa ștere ș i obiectul ei se realizeaz ă nu la nivelul abstrac ției maxime ci î ntr-un
mod convenabil (ca grad de accesibilitate);
– nevoia de surprindere a esen țelor ascunse de multivalenț a abstract ă;
Cuvâ ntul intuit iv are sensul de neabstract, neriguros, vizual, plauzibil, incomplet. Un alt sens este cel de
integrativ, opus analiticului. Acestuia i se asociaz ă termenul de cunoa ștere intuitiv ă, dobâ ndită prin
contactul cu realitatea obiectiv ă, prin intermediul sim țurilor, prin operare cu model fizic sau cu imagini.
Pentru predarea doimii, pătrimii, etc, se poate tăia un măr î n dou ă păr ți egale, apoi fiecare parte se taie
din nou în două păr ți egale. Mărul este î n acest ca z un obiect concret pentru o no țiune abstract ă. Exist ă
însă și sisteme abstracte care modeleaz ă no țiuni abstracte. De exemplu dreapta real ă este un model
abstract pentru mul țimea numerelor reale. Noțiunea de funcț ie este un sistem abst ract modelat prin
graficul func ției. Deci, î n matematic ă, no țiunile a bstracte sunt modelate fie abstract, fie conc ret. Modele
concrete pot fi rep rezentate de: desene, plan șe, plăci subț iri de forma unor poligoane, machete de
corpuri geometrice, desene prezentate cu ajutorul retroproiectorului.
Natura intui ției elevilor poa te fi și ea diferit ă. Unii elevi au o intui ție geometrică, figurativă, alții au o
intuiție algebric ă, opera țional ă. Aspectul intuitiv nu trebuie s ă fie doar un moment ini țial al predării , ci
un inso țitor permanent al actului de cunoa ștere , mai ales î n pasajele sale critice. Intui ția trebuie să
participe la toate etapele și vârstele învăță rii matematicii. Este ideal ă în descrierea premergătoare
introducerii unor no țiuni. O dovad ă a folosirii ei est e alegerea unora dintre propozi țiile matematice
adevă rate c a fiind teoreme. Matematic ianul intuie ște utilitatea ulterioar ă a unui rezultat și subliniaz ă
acest lucru numindu -l teoremă .
91
6) Principiul temeiniciei învă țării
Învățarea temeinic ă const ă în calitatea ei de a produce rezultate consistente, stabile și aplica bile. Este
validat ă când î nvățarea genereaz ă învă țare, adic ă structurile cognitive personale manifest ă tendin țe de
autodezvoltare. Simpla stocare mecanic ă a cuno ștințelor inductive, gestionate după criterii arbitrare,
obose ște și uzeaz ă memoria iar stocul informa țional devine perisabil.
Principiul temeiniciei învă țării se manifest ă în învă țămâ nt, mai ales prin:
a) aspecte organizatorice ale sistemului școlar;
b) manualele și celelalte materiale auxiliare;
c) stilul redundant al predă rii;
d) aplica ții;
e) aspecte de veri ficare și docimologice.
Dintre cele mai frecvente activită ți ale profesorului, orientate s pre asigurarea temeiniciei cuno ștințelor
acumulate, se recomand ă:
– recapitul ări îmbogă țite;
– prezentări de noi criterii logice și scheme de organizare a cunoștinț elor;
– evaluări în concep ții variate;
– reîmprospătări și consolidă ri.
Însușirea temeinic ă a unei teme nu se poate face î n ora de predare, temeinicia necesitâ nd consolid ări,
fixări și restructur ări.
Temeinicia învă țării se o pune superficialită ții, învăță rii în sal turi sau cu lacune și învăță rii formale,
ultima fiind relativ frecvent depistat ă la matematic ă. O contribu ție esenț ială la succesul acestui principiu
trebuie s ă o aducă manualele școlare, acestea prezentând, pe lâ ngă o ca ntitate mare de exemple,
exerci ții, aplica ții, conexiuni cu al te domenii, și o alternativ ă de prezentare a no țiunilor și rezultatelor
teoretice pe lângă cea oferit ă de profesor la clas ă.
7) Principiul motiva ției optime a învăță rii
Este clar că pentru a învă ța este necesar ă o motiva ție. Școala, spre deosebire de alte act ivități în care se
transmit informa ții (conferinț e, simpozioane, articole de pres ă, emisiuni TV, etc), are și un c aracter de
obligativitate. Calită țile matematicii: ri goarea, precizia, utilizarea ra ționamentului deductiv, înlănțu irea
și interdependenț a din tre fragmentele sale din toată perioada școlarităț ii, se pot transforma pentru mul ți
elevi în piedici și aspecte dezagreabile. O bun ă adecvare între intensitatea motiva ției ș i dificultatea
sarcinii cu care se confrunt ă subiectul conduce la cre șterea eficie nței activității și a satisfacției resimț ite.
Orice ac țiune umană desfăș urată în timp se conexează cu un sistem motiva țional. În raport cu totalitatea
motiva țiilor, consider ăm că o ac țiune este slab, optim sau supramotivat ă. Peri colul supramotiv ării la
matematic ă apare mai ales î n leg ătură cu participarea la olimpiad ă. Tipul de recompens ă generat de
afirmarea pe plan na țional sau chiar internațional, participări la tabere de pregă tire sau excursii ,
92
tratamentul pedagogic preferen țial și imaginea de sine ș i despre sine favorabil ă este de natur ă să
supramotiveze.
Foarte fr ecvent apare pericolul submotivării. Buna cunoa ștere a elevului, a preocupărilor și a anturajului
său permite adesea o interven ție orientat ă spre cre șterea motivă rii. Între submotivare și supramotivare
exist ă un ni vel optim, desemnat prin motiva ție optim ă. Căutarea și aproximarea motivaț iei optime
solicit ă ca profesorul să -și organizeze activitatea la clas ă cu mult profesionalism și chiar cu art ă.
Provocarea interesul ui elevilor trebuie ridicat ă la cea mai î naltă cotă în cadrul învă țământului
problematizat. Caracteristica sa principal ă nu const ă în simpla în șiruire de probleme ci în utilizarea
situa ției- problemă .
Învățarea prin descoperire sporește mult motivaț ia, ace asta fiind o metod ă de învă țământ prin care elevii
sunt îndemna ți să-și apropie virtuț i ale munci i de cercetare, reconstituind, în căutarea adevărului,
drumul elaborării cuno ștințelor, printr -o activitate proprie.Astfel elevului nu i se prezint ă doar produ sul
cunoa șterii ci, mai ales , căile prin care se ajunge la acest produs, mijloacel e de investigare, ceea ce
spore ște mult eficiența învăță rii.
Motiva ția învăță rii matematicii a elevilor este legat ă și de simpatia sau antipatia inspirat ă de persoana
profeso rului. Exist ă prejudecata prin ca re un bun profesor de matematică, recunoscându -i-se calită țile
legate de profesiune, aproape c ă i se contestă posibilitatea de a excela și la altceva.
8) Principiul legării teoriei de practic ă
Acest principiu revine la o core ctă corelare a senzorialului cu ra ționalul ș i per mite adesea o extensie a
motiva ției. Î n didactica matematic ii, principiul admite o relevan ță special ă deoarece conceptul de
„practic ă” este mult lărgit prin consens. Câ nd o teorie acrediteaz ă un algoritm îl privim drept „practică”.
În general, problemele sunt distinse drept „practic ă” în raport cu „teoria”. A șadar semnificația
cuvâ ntului „practic ă” în legă tură cu matematica înseamnă mai mult. În fond este vorba de modelarea
matematic ă a fenomenelor realită ții și de studierea acestor feno mene.Func țiile de diferite tipuri,
rezolvarea uno r probleme cu text care se pun în ecua ții sau sisteme, problemele de programare liniar ă,
problemele de combinatoric ă, problemele de geometrie, problemele de extrem, problemele de statistic ă
și cele de probab ilități, problemele di n teoria grafurilor sunt doar câ teva exemple care arat ă că există
aceast ă legătură cu practica. Cei care continu ă să afirme că matematica este o abstrac țiune fără legă tură
cu practica î n mod cert sunt victi mele unei neîn țelegeri de ter meni și momente.
În școală nu se poate face atâ ta matematic ă încâ t să aibă , în totalitate, aplica ții practice nemijlocite ș i
spectaculoase. Matematica studiat ă în școală deschide drumuri spre diverse domenii care edific ă o
știință care se aplic ă în alte științe, î n tehnic ă și practic ă. Matematica ofer ă tehnici specifice de studiu și
investigare î n multe domenii aplicative, dar ofer ă și o important ă dezvoltare și disciplinare a gândirii,
acestea subzistând î n straturile tuturor celorlalte discipline studiat e. Așadar, problema nu este aceea că
matematica ar fi steril ă, ci c ă un anumit public nu este informat suficient de fecunditatea nepo ților și
strănepo ților ei.
93
Rămâne î n sarcina profesorului de matematic ă să găseasc ă pe câ t pos ibil argumentarea la nivelul de
cuno ștințe al elevului la acel moment a no țiunilor și rezultatelor predate ș i să facă acele conexiuni care
se impun cu celelalte lucruri învă țate la matematic ă dar și la alte discipline.
9) Principiul conexiunii inverse
Pocesul de predare -învățare-evaluare constituie, evident un sistem de autocontrol. Momentul evaluării
permite controlul activită ții desfășurate ș i reglarea acesteia spre opt imizare. Evaluarea nu trebuie
gândită în sensul strict, limitat; majoritatea profesoril or simt chiar în timpul predă rii efective „fluxul”
care î i informeaz ă despre receptivitatea elevilor. De multe ori î ntreb ările puse de către elevi sunt mai
concludente în acest sens decâ t chiar problemele adresate lor de către profesor.Î n raport cu planificar ea
anterioar ă, fiecare informa ție primit ă de la clas ă permite o adaptare mai eficient ă a demersului
instructiv -educativ. Controlul temei de cas ă constituie un alt element important de reglare.Profesorul
trebuie să stimuleze elevii s ă se autoevalueze, și pe aceast ă bază să corecteze și să amelioreze
cuno ștințele dobândite.Pentru profesorii ș i elevii buni, aceste feed -back-uri cap ătă caracter de
continuitate.
Activitatea de învă țare a matematicii im pune aproape mereu treceri pe lâ ngă posibil e erori, imprecizi i,
inadverten țe. Ca un bun ghid alpin care î și asigur ă suplimentar grupul pentru anumite pasa je mai
periculoase, profesorul î și actualizeaz ă din timp posibilele erori ale sale și ale elevilor. Dacă un pas
greșit al unui campion al ghidului alpin are consec ințe tragice, o eroare a elevul ui nu numai că nu este
dramatică, dar poate fi și benefic ă. Se potrive ște aici vorba „se învață mai bine din greșeli” sau, în
acela și sens, că „dintr -o problemă pe care nu o po ți rezolva înveți mult mai mult decâ t din una pe care o
rezolvi cu usurin ță (încercările, căutările, frământările în vederea găsirii unor conexiuni care să ducă la
soluția problemei respective lămurește mult lucrurile ș i, de multe ori, conduce la probleme noi).
Profesorul nu trebuie să se gr ăbească să inventarieze gre șelile posibile într -o secven ță de cunoștinț e; o
asemenea inventariere este perisab ilă, deoarece nu poate beneficia de o justificare logic ă. Este de
așteptat (uneori chiar de dorit) ca un elev s ă comit ă una dintre erorile tipice, făcâ nd astfe l cadou
profesorului un bun prilej de a o semnala tuturor. Desigur, dac ă profesorul nu prime ște un asemenea
„cadou”, î și va putea crea ulterior situația î n care s ă marcheze erorile tipice. Dac ă o gre șeală major ă
apare fără să fi fost prevă zută de către pro fesor, acesta trebuie să aibă prospe țimea mintal ă de a sesiza
cauza generatoare și de a ataca prioritar aceast ă cauză.
10) Principiul problematiz ării
Acest principiu nu se regăse ște în didactica general ă, el fiind sp ecific matematicii. Principiul învă țării
conștiente ș i active, cel al in tuiției și al legă rii teoriei cu practica sunt cone ctate cu principiul
problematizării, dar nu î l asimileaz ă și nu -i știrbesc individualitatea. Î ntre termenii „problem ă” și „
exerci țiu” nu exist ă o delimitare fermă, sensurile l or se suprapun par țial într-o varia ție subiectiv ă. În linii
94
mari exerci țiul admite o abordare algoritmic ă, în timp ce problema necesit ă o abordare euristic ă, prin
opera ții de analiz ă, sintez ă, evaluare a alternativelor și a unor variante rezolutive anticip ative.
În matematica școlar ă, problemele reprezint ă concretul, teoria justificâ ndu-se prioritar prin organizarea
rațional ă, abstract ă, cu un ca racter general, a acestor entită ți. Regă sim, astfel, la nivel s uperior,
multitudinea de corela ții între particula r și general, î ntre practic ă și teorie, între senzorial și rațional.
Principiul problematizării nu dore ște degradarea ș i reducerea matematicii la un re țetar de gestionare ș i
rezolvare a probl emelor, ci o corelare armonioasă î ntre teoria matematic ă și probl eme.
În general predarea î ncepe, sau ar trebui s ă înceap ă, cu o prezentare de situa ții problematice ce justific ă
demersul rezolutiv, activizeaz ă și constientizeaz ă elevii. Pe mă sura predării și învăță rii teoriei, situa țiile
problematice se cristalizeaz ă în probleme.
Adesea, problemele relev ă necesitatea unor aprofundă ri teoretic e și ciclul se reia. Momentele de
evaluare se pot referi direct și exclusiv la teorie dar, dac ă o astfel de restrângere se generalizează, apare
iminent pericolul memoră rii mecanice, o inadaptare la sistemele in stituționalizate de evaluare și
incapacitatea aplicării cuno ștințelor teoretice în rezolvări de probleme și de situaț ii- problem ă.
Ca element central î n aplicarea principiului problematiz ării apare eviden țierea situaț iei problem atice
relevante pentru secve nța de cunostinț e.
Acest principiu facilitează dezvoltarea la elevi a unor strategii de rezolvare ce se cristalizeaz ă în strategii
cognitive; acestea constituie deschideri și antrenamente spre o ulterioar ă activitate de cercetar e ( nu
neapă rat centrat ă pe matematică), de căutare și descoperire, la intuirea unor solu ții și probleme noi.
95
§3. Metode de predare -învățare a matematicii
G. Polya a comparat profesoru l cu un negustor care trebuie să -și vândă marfa utiliz ând toate mijloacele
posibile:
„ Țineți minte ca î ntotdeauna clientul are dreptate î n principiu, iar câteodată are dreptate și în
practică. Tână rul care refuz ă să înve țe matematica poate să aibă dreptate; este posibil ca el să nu fie
nici lene ș nici nepric eput ci doar să -l intereseze ma i mult altceva – există atât de multe lucruri
interesante î n jurul no stru. Este datoria dumneavoastră ca profesori, de vânzători de cuno ștințe, să -l
convinge ți pe elev că matematica este interesantă, că problema pe care o disc utați acum este
interesantă, că această problemă la care lucrează merită efortul”
Apari ția noil or programe, centrate pe achizi țiile elevilor, impune anumite schimbări î n didactica
matematicii. Diver sificarea metodelor de predare -învățare, a modurilor și f ormelor de organizare a
lecției, a situa țiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează noul cu rriculum.
Asigurarea unor situa ții de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să poată valorifica
propriile abilită ți în înv ățare.
Principalele metode didactice folo site de profesorii de matematică în predarea -învățarea matematicii în
școală sunt urmă toarele:
I. Metode clasice/tradi ționale
A. Expunerea
B. Conversa ția
C. Demonstra ția matematic ă
D. Metoda exerci țiului
E. Metoda muncii cu manuaul și culegerile de probleme
II. Metode moderne
F. Problematizarea
G. Modelarea matematică
H. Algoritmizarea
I. Metoda învă țării pe grupe
III. Metode de învă țare active
J. Brainstorming
K. Metoda mozaicului
L. Investiga ția
M. Proiectul
N. Jocul de rol
96
IV. Metode de dezvoltare a creativită ții
O. Metoda cubului
P. Turul galeriei
Q. Ciorchinele
R. Știu/ Vreau să știu/ Am învăț at (K W L)
Metodele tradi ționale de predare se dove desc de multe ori insuficiente î n actul de predare. De aceea
pentru o cre ștere a eficienței lecțiilor ș i impl icit a transmiterii de n oi cuno ștințe, profesorul de
matematic ă se vede nevoit s ă apeleze la metode și mijloace moderne cu scopul de a schimba atitudinea
pasiv ă a elevului și a-i stâr ni interesul. Metodele moder ne au rolul de a activa elevul în procesul de
dobândire de noi cuno ștințe, acest proces desfășurâ ndu-se prin efort propriu.
Cu toate acestea, o învă țare de durată se realizeaz ă numai atunci când profesorul reu șește să îmbine
armonios atât metodele moderne cât și cele tradiț ionale.
A. Expunerea
Este o metodă care se prezint ă în mai multe varian te: povestirea, prelegerea și explicația.
Explica ția este cel mai dest întâ lnită, în timp ce povestirea este mai pu țin folosit ă chiar și în clasele
foarte mici.
Povestirea const ă în desc rierea unor fapte, evenimente, întâmplă ri sau personaje. Prin povestire, la
matematic ă, se transmit date istorice legate de studiul unei discipline noi (de exemplu despre algebr ă la
clasa a VI -a) sau în prima lec ție din cadrul unei unități de învăț are, se prezint ă importan ța temei
respectiv e, anumite date despre autorii descoperirilor teoriei matematice respective.
Exemplu: Se poate ut iliza povestirea la predarea no țiunii de numă r prim cu ajutorul ciurului
lui Eratostene. Profesorul poate prezenta elevilor detalii legate de via ța și descoperirile sau invenț iile
matematicianului grec Eratostene.
Pentru a înlătura monotonia, î n cadrul unor ore, putem propune elevilor povestiri cu subiect dat. În
acest sens se poate alege un concept matematic o arecare (divizor , de exemplu) și cere ți elevilor s ă
creeze o poveste î n care personajul principal este conceput ales, iar alte per sonaje sunt „rudele” acestuia.
În acest fel, elevii ajung î n mod natura l la caracterizarea unei noi no țiuni prin sesizarea asemănărilor și
deosebirilor dintre no țiunea nouă și altele studiate anterior.
Exemplu: Î n cadrul capitolului Divizibilitatea numerelor naturale, la o or ă de aplica ții se p oate folosi
povestirea „Cinci pâini” de Ion Creangă .
Profesorul relateaz ă elevilor rezumatul sau întreaga povestire, fără so luția dat ă de judecă tor.
„Doi oam eni mergeau î mpreun ă pe un drum. Unul avea î n traist a sa trei pâini și celă lalt dou ă pâini.
După o vreme, au poposit la umbr ă, lângă o fântână și au început să -și mănânce pâinile. Apă ru, deodat ă,
97
un al treilea drume ț, care se opri, le dă du ziua bun ă, și îi rug ă să-i dea și lui ceva de mâ ncare , căci nu
avea merinde cu el și nici nu avea de unde s ă cumpere. Cei doi î l poftir ă să mănânce cu ei și mâ ncară
cele cinci pâini, apoi bă ură apă rece din fântână . După ce terminar ă de mâ ncat, călătorul străin îi dă du
cinci lei la întâ mplare celui care avusese trei pâini, drept ră splată pentru hrană și plec ă mai departe. Cei
doi mai răma seră oleac ă la umbră, iar cel care avusese trei pâini, îi dădu doi lei celuilalt și îi spuse că
atât i se cuvine, fiindc ă avusese două pâini. Acesta ră spunse c ă trebuie s ă împart ă banii în jumătate. Și,
pentru c ă nu reu șiră să se în țeleag ă, ajunser ă la judecat ă. Povestir ă ei judecătorului pricina, iar acesta î l
intreb ă pe cel cu dou ă pâini câ t crede el c ă i se cuvine. Acesta răspunse că, după dreptate, banii trebuiau
împăr țiți în dou ă, după dreptate. Judecătorul spuse că, dacă e dup ă dreptate, atunci să -i dea un leu înapoi
celui cu trei pâ ini, c ă numai atâ t i se cuvine. ”
Elevii sunt ruga ți să caute o explica ție pentru soluția oferită de judec ător. Profesorul poate indica
elevilor să rezolve „problema” din povestire cu ajutorul celui mai mic multiplu comun.
Ulterior găsirii unor posibile solu ții de că tre elevi, profesorul prezint ă continuarea povestirii:
„Cum cel cu dou ă pâini se ar ăta tare nem ulțumit, judecă torul explic ă pe în țelesul lui. Întâi î ntreab ă dacă
au mâ ncat fiecare la fel de mult ă pâine ca și ceilalți. Aș a fusese. Atunci spuse c ă, pentru a ști hotărât
cum s -a mâncat pâ inea trebuie s ă spun ă că s -a împărțit fiecare pâine în trei părț i egale, câ ți fuseser ă ei.
Apoi socoti c ă acela cu două pâini ar fi avut, după socoteala aceasta, șase bucăți, pe când cel cu trei
pâini ar fi avut nou ă. În total, au fost deci cincisprezece bucă ți. Cum au mâncat la fel de mult, î nseamn ă
că a mâ ncat fiecare câte cinci bucă ți. Asta înseamnă că acela cu două pâini i -a dat stră inului doar o
bucat ă din cele șase ale lui, pe când cel cu trei pâini i -a dat patru bucă ți din cele nouă ale lui. Care va s ă
zică, celui cu dou ă pâini i se cuvine numai un leu din cei cinc i pe care îi dăduse străinul, iar celui cu trei
pâini i se cuvin patru lei, câ te unul pentru fiecare bucat ă. Cel cu două pâini înapoie tovară șului său un
leu și plec ă rușinat. Cel cu trei pâ ini se mir ă tare de judecata ce a dreapt ă și zise c ă, dacă ar fi to ți
judecătorii a șa, cei care nu au dreptate nici nu ar mai veni pe la judecă ți.
Prelegerea const ă în prezentarea de către profesor a unui con ținut matematic în mod neî ntrerupt. Se
prezint ă defini ții, proprietăți, teoreme , demo nstrații, algoritmi fără ca elevului s ă i se adreseze vreo
întrebare. Este recomandabil ca aceast ă metod ă să fie câ t mai rar folosit ă și doar, eventual l a clasele
terminale de liceu, câ nd elevii au o putere mai mare de concentrare și de păstrare a at enției spre un
obiect.
Explica ția const ă în transmiterea unor cuno ștințe într -un timp relativ scurt de către profesor, în situa ții
când elevul, pe baza cuno ștințelor anterior însuș ite, nu le poate descoperi singur. Este o metod ă foarte
des întâ lnită în pre darea matematicii. Profesorul expun e logic și argumentat modul lui de gândire iar
elevii îl urmăresc cautând să -l înțeleag ă.
Pentru a mări eficien ța explicaț iei, este necesar ca profesorul s ă prezinte con ținutul la nivelul de
înțelegere a l elevilor, modul de expunere să fie clar, și cu anu mite pauze și, de asemenea, profesorul
trebuie să controleze dacă este urmărit de elevi, observând mimica lor, să uzeze de întrebări, repeti ții și
98
explica ții suplimentare.
Explica ția trebuie s ă dezvolte la elevi imagina ția, ea trebuie să fie clar ă și convingătoare. Metoda
explica ției se poate aplica la introducerea no țiunilor (de exemplu: divizor, multiplu, numă r prim), la
descrierea unor algoritmi (de exemplu algortimul de determinare a c.m.m.d.c, de determinare a
c.m.m.m .c).
B. Conversa ția
Metoda conversa ției const ă în dialogul dintre profesor și elev ș i se bazeaz ă pe
întreb ări și răspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adreseaz ă întreb ări elevilor dar și răspunde
la întreb ările ac estora. Conversa ția stimulează gâ ndire a elevilor în vederea însu șirii de cunoștinț e noi
sau fixarea, sistematizarea cuno ștințelor ș i deprinderil or asimilate anterior. Conversa ția ajut ă la
formarea ra ționamentului matematic la elevi, la realiza rea obiective lor formative ale învă țării
matematicii.
Clasificarea formelor conversa ției:
– După numărul de indivizi cărora li se adresează întrebarea conversa ția poate fi:
a) individual ă: între profesor și un singur elev
b) frontal ă: întreb ările se adreseaz ă întregii clase, i ar răspunsurile vin de la elevi diferi ți
– După momentul în lec ție conversaț ia este:
a) introductiv ă: folosit ă în momentele captării aten ției și reactualizării cunoștinț elor anterioare
b) folosită în scopul transmiterii de cuno ștințe noi: desfăș urată în evenimentu l de dirijare a
învățării
c) folosită pentru fixarea noilor cuno ștințe
d) folosit ă pentru recapitulare
e) folosit ă în procesul evaluării cuno ștințelor elevilor
– După tipul de ra ționament efectuat de elev câ nd dă răspunsul, conversa ția este:
a) euristic ă: când î ntreb ările se adresează gândirii și o dirijeaz ă spre efectuarea de ra ționamente,
judecă ți
b) catehetic ă: când î ntreb ările se adreseaz ă memoriei iar ră spunsu rile sunt reproduceri de
defini ții, formule, reguli.
În cadrul conversa ției este foarte important ca intreb ările pe care le formul ăm să fie precise, s ă nu fie
vagi, s ă vizeze un singur r ăspuns și să nu con țină răspunsul, să nu cear ă răspunsul prin „da” sau „nu”, să
contribuie la dezvoltarea gâ ndirii, adic ă să fie instructive.
Metoda conversa ției determin ă dezvoltar ea limbajului. Exprimarea matematic ă se realizeaz ă prin limbaj
natural, terminologie matematic ă și simbolist ică scrisă sau desenat ă. O importan ță deosebită se va
acorda limbajului matematic cu care se abordeaz ă conversa ția, realizând unitatea lecției dar n etrecând
99
peste o idee fără să o contureze bine. Aten ție se acordă atât limbajului oral cât și celui scris. Când
răspunsurile sunt gre șite vor fi corectate imediat prin discu ții mai ample din care profesorul va deduce și
cauza gre șelii.
În formularea propoz ițiilor matematice se folosesc cuvinte care au acela și sens ca în limbajul natural și
altele care au sens diferit î n matematic ă. Unele cuvinte s pecifice matematicii au trecut în limbajul uzual
cu un în țeles asemănător sau complet diferit. În definirea unor noțiuni matematice, numite cu cuvinte
care nu s -au întâlnit de către elev în limbajul cotidian până atunci, se va insista asupra în țelesului,
semnifica ției și simbolisticii scrise și exprimă rii orale. Ef ortul profesorului de matematică trebuie să se
îndrepte spre folosirea corect ă a limbajulu i simbolic (fără î nsă a abuza de acesta în defavoarea
exprimării textuale) și înțelegerii conținutului matematic redat î n aceste simboluri.
C. Demonstra ția matematică
Demonstra ția matematic ă este o metod ă de predare -învățare specific ă matematicii și
apare ca o form ă a demonstra ției logice care const ă într -un șir de raț ionamente prin care se verific ă un
anumit adev ăr, exprimat prin propozi ții.
Demonstra ția matematic ă este metoda specific ă de justif icare a teoremelor și const ă în a ară ta că, dac ă
ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezult ă din ea în mod logic. În orice demonstra ție ne
putem baza numai pe axiome sau/ și teoreme demons trate anterior. Nu este admis să fie utilizate
propozi ții/ proprietă ți care încă nu au fost demonstrate, acestea din urm ă putându -se baza la râ ndul lor
chiar pe teorema de demonstrat.
În cartea sa Polya d ă un răspuns î ntreb ării dacă trebuiesc prezentate demonstra ții riguroase elevilor din
învățămâ ntul preuniver sitar: „Da, trebuie s -o facem – dacă nu suntem sili ți, de cine știe ce condiții
extrem de vitrege, să coborâm ștacheta exigenț ei”
Elevul că ruia nu i s -a dat niciodat ă ocazia de a fi impresionat de o demonstra ție matematic ă a fost lipsit
de una din tră irile intelectuale de baz ă. Totu și, exagerarea cu demonstrarea riguroas ă a tuturor
aspectelor existente într -o teorie în cadrul căreia se încadrează o lec ție prezentat ă la clas ă, fără a ține
cont de nivelul specific clasei, poate duce din partea elevilor la o di stanțare de matematic ă.
Exem plu: Orice num ăr compus se scrie ca produs de numere prime, nu neap arat distincte. Scrierea este
unică, făcând abstrac ție de ordinea factorilor.
Prin d escompunerea mai multor numere î n produs de nu mere prime, profesorul poate a răta elevului in-
tuitiv veridicitatea teo remei. Însă este oare nevoie să fie demonstrată această teoremă la gimnaziu sau
chiar la liceu? Î ntr-un curs universitar despre teoria numerelor, s -ar putea s ă fie esen țial să se dea
demonstra ția acestei te oreme. Dar o asemenea demonstra ție fă cută unor elevi d e gimnaziu, poate fi con-
siderată inutil ă de către ace știa și-i poate îndepă rta de matematic ă.
În predarea -învățarea teoremelor trebuie să se ț ină cont de urmă toarele aspecte:
100
-să se asigure însu șirea faptului mat ematic exprimat în teoremă
-să se desprind ă ipoteza de concluzie
-să se transcrie în simboluri matematice enun țul
Există mai multe variante de demonstra ție matematică :
Demonstra ția prin analiz ă și sintez ă
În demonstra ția analitic ă, se porne ște de la ceea c e se cere(concluzia), se prelucreaz ă echivalent
concluzia până se ajunge la o propozi ție despre care se cunoaș te că e adev ărată. Gândirea elevului e
dirijată pentru a răspunde la î ntrebarea:”ce trebuie s ă știu pentru a dovedi că ?”/”de unde rezult ă ce
trebu ie eu s ă ară t?”. Trebuie insistat aici p entru redactarea corectă a implica țiilor/echivalenț elor.
Exemplu de aplicare a demonstra ției analitice : Dacă numă rul natural a are un numă r par de divizori
naturali, atunci a nu este pă trat perfect.
Dem onstra ție: Vom demonstra c ă numărul divizorilor oricărui pă trat perfect este impar. Pentru acestea,
ne amintim c ă, dac ă 1 2
1 2 …kn k k
k a p p p este descompunerea în factori primi a numă rului a , atunci
numă rul divizorilor lui a este 1 21 1 … 1k a n n n . Cum a este pă trat perfect, numerele
1 2, ,…,k n n n sunt pare toți factorii 1 21, 1,…, +1 k n n n sunt numere impare a este numă r
impar.
În demonstra ția sintet ică se porne ște de la ipotez ă și se ajunge , pas cu pas la concluzie. Elevul trebuie
să răspund ă la întrebarea “dacă știu…, ce pot s ă aflu?”,”ce rezult ă din ipoteza dat ă?”.
De cele mai multe ori se combină analiza cu sinteza.
Demonstra ția prin reducere la absurd
Metoda reducerii la absurd constă î n demons trarea propozi ției contrar ă reciprocei (non B non A),
care are aceea și valoare de adev ăr cu propozi ția (teorema) direct ă.
Raționamentul metodei const ă în următorii pa și:
– se neag ă concluzia propozi ției de demonstrat
– se efectueaz ă, pornind de la ipoteza propozi ției ș i ipoteza contrarei reciprocei, non A B , un șir
de ra ționamente corecte.
– în urma acestor ra ționamente ajungem la o propoziț ie care este fals ă.
Metoda reducerii la absurd constituie o problemă de logic ă destul de dificil ă pentru o categorie destul de
numeroasă de elev i, de aceea este recomandabil să se ilustreze metoda printr -un număr însemnat de
probleme, începând cu cele mai simple în care ipoteza și concluzia propozi ției date conțin câ te o singur ă
condiție. Tentaț ia elevilor d e a se opri la pasul „contradic ției” trebuie corectat cerându -li-se să explice î n
ce const ă aceast a și ce rezult ă în urma demo nstrației.
Exemplu: Vom exemplifica cu o celebr ă dem onstra ție pr in reducere la absurd care apar ține lui Eucl id,
matematician grec care a trăit în jurul anului 300 î. Hr . .
Există o infinitate de numere prime.
101
Dem onstra ție: Presupunem că există doar o mul țime finit ă de numere prime. Atunci exist ă un cel mai
mare numă r prim p. Așezăm numerele prime într -un șir crescă tor: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…, p.
Considerăm numă rul 2 3 5 … 1q p .
Cum q este mai mare decât cel mai mare numă r prim p, înseamnă că q este numă r comp us, deci el se
divide cu un număr prim, adică cu unul dintre numerele 2, 3, 5, …. , p.
Dar, pe de alt ă parte, se observă că q dă restul 1 la împăr țirea cu fiecare număr prim. Deci, presupunerea
că există un numă r finit de numere prime ne -a condus la contradic ție. Rezultă că există o infinitate de
numere prime.
Demonstra ția prin metoda indu cției matematice.
Metoda de ra ționament prin care se realizeaz ă trecerea de la propozi ții particulare la propoziții generale
se numeste induc ție.
Dacă o propozi ție care se referă la o mulț ime in finită de elemente este adevă rată în unele cazuri
particulare, atunci, pentru demonstra ția sa, se poate utiliza o metodă specială de raționament numită
metoda induc ției matematice.
Este folosit ă pentru demonstrarea unei propozi ții P( n) care depinde de un n umăr natural oarecare 0 n n.
Se parcurg cele două etape:
-etapa de verificare: se arată că propozi ția P(0n) este adevărată.
-etapa de demonstra ție (Sau pasul de induc ție) . Se demonstreaz ă implica ția P(k) →P(k+ 1),0 k n ,
adică, se presupune că P(k) este adevărată (unde k este oarecare) și se arat ă că, în acest caz, și P(k+1)
rămâne adevărată .
Exemplu : Să se demonstreze ca numărul 72n – 1 este divizibil cu 48, pentru orice n.
Fie P(n) = 72n – 1, n.
Pasul 1
Verificăm dacă P(1) este adevărată:
P(1) = 72 – 1 = 49 – 1 = 48 ⋮ 48 (A) => P(1) ⋮ 48 (A)
Pasul 2
Presupunem că P(n) este divizibil cu 48.
P(n) ⋮ 48 (A) => 72n – 1 = 48·a => 72n = 48a + 1
* Observați că am scos 72n separat, expresia obținută fiind folosită la pasul următor.
102
Pasul 3
Demonstrăm că dacă P( n) este adevărată, atunci P( n+1) este adevărată.
P(n+1) = 72(n+1) – 1 = 72n+2 – 1 = 72n·72 – 1 = 72·(48a+1) – 1 = 49·48a + 49 – 1 = 49·48a + 48 = 48·(49a
+1) ⋮ 48 => P(n+1) ⋮ 48 (A)
* Observați că pe parcurs am înlocuit 72n cu expresia obținută la pasul 2.
D. Metoda exerci țiului
Presupune efectuarea conștientă și repetată a unor acțiuni și operații cu scopul fixării noțiunilor,
formării un or deprinderi, dezvoltării unor capacități intelectuale.
Metoda exerci țiului se regăsește în fiecare lecție de matematică, în toate momentele lecț iei :
-în cadrul etapei de reactualizare : pregătesc și ușurează asimilarea noilor cunoștinț e
-în etapa de pr ezentare a noului material: determin ă descoperirea de către elev de no țiuni, proprietăț i,
algoritmi
-în etapa de fixare a cuno ștințelor: se asigură fixarea, asigurarea re ținerii ș i a transferului
-în etapa de evaluare a performanței: verificarea cuno ștințelor se realizeaz ă tot prin exerciții
În rezolvarea unui exercițiu avem urmatoarele etape:
-analiza inițială: se cite ște cu atenț ie textul, se face un plan de rezolvare
-rezolvarea propriu -zisă
-verificarea
Tipuri de exerciții:
-de recunoa ștere a unor noț iuni
-de aplicare a unor formule/algoritmi
-de autoinstruire, prin care se urmăre ște însușirea de cunoștinț e noi pornind de la cele anterioare –
anumite teoreme pot fi puse sub form ă de exerci țiu;
103
Metoda exercițiului poate fi combinat ă cu mu nca independentă a elevilor: rezolvarea exer-
cițiilor de to ți elevii î n caietele lor, în timp ce un elev desemnat de profesor explică cu voce tare ce lu-
crează, permi țând clasei efectuarea unui autocont rol. Acest lucru mobilizeaza to ți elevii pentru a fi mai
atenți și pentru a lucra, deoarece în orice moment, or icare din ei poate fi invitat să continue.
O altă variantă este rezolvarea independent ă a exerci țiilor în caiete, și discutarea lor la tabla după un
timp anun țat. Aici avantajul este că exercițiile pot fi date diferențiat, pentru a permite elevilor să lucreze
la capacitatea lor.
E. Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice
Este o forma de munca independent ă utilizat ă în scopul studierii și asimilării de cunoștinte
noi din texte scrise de matematică: manuale, culegeri de probleme, reviste de matematic ă.
Manualul școlar este principalul suport de învă țare pentru elev, și constituie un ghid și
pentru profesor, în pregătirea pentru lec ție. Învăț area din manu al presupune un efort propriu din partea
elevului, permite o ac omodare cu o exprimare riguroasă î n limbaj matematic, dezvolt ă capacitatea de
raționament, formează deprinderi de activitate intelectual ă. Manualul trebuie să fie accesibil și adaptat
nivelului elevilor cu care se lucreaz ă.
Metoda poate fi utilizat ă sub diferite forme:
-profesorul poate face la tabl ă demonstra ția unei teoreme/rezolvarea unei probleme printr -o anumit ă
metodă, apoi le cere elevilor să studieze din manual demonstra ția prin alt ă metodă, urmând ca la final să
se compare metodele folosite
-profesorul poate introduce o no țiune sau teoremă la clas ă și apoi s ă lase elevilor studiul unor co n-
secin țe/proprietăț i din manual sau alte auxiliare, exemplu: se predau criteriile de d ivizibilitate c u
2,3,5,9,10,25 și se cer elevilor alte criterii de divizibilitate: 7, 11, 13, 37, etc. Elevul va face un conspect,
care va fi apoi controlat de profesor.
-tema pentru acasă este o altă ocazie de muncă independent ă din manual sau alte auxiliare, este reco-
mandat ca profesorul s ă ceară elevilor s ă studieze s chițe de teorie/exercițiile rezolvate din manual
înainte de a trece la rezolvarea propriu -zisă a teme i.
Bineîn țeles, nu trebuie utilizat ă excesiv această metod ă, însă ea ajut ă la realizarea un ui obiectiv f unda-
mental al predării matematicii, și anume de „a -l învă ța pe elev cum să înveț e”.
Un manual bun trebuie:
– să respecte programa școlară ,
104
– să pună accent pe elementele esen țiale de conținut și să nu conțină detalii nesemnficative,
-să aibă un limbaj m atematic riguros, dar și adaptat vâ rstei elevilor ,
-să aibă suficiente exerci ții și probleme, gradate pe nivel de dificultate ,
-ideile importante s ă fie marcate sugestiv ,
-să aibă rezumate teoretice, te ste de evaluare la finalul fiecărui capitol, precum și probleme pentru re-
capitulare finală s-au pregă tirea examenelor.
F. Problematizarea
În activitatea sa didactică , profesorul de matematic ă folose ște diverse tehnic i prin care elevul
nu este pus în situa ția de a recepta cunoștințe gata sistemati zate ci î l stimuleaz ă să gândeasc ă și să lu-
creze prin eforturi personale.
Situa țiile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin actvitate proprie s ă gă seasc ă
defini ția unei noțiuni, enunțul unei propoziții matematice (proprietate a noț iunii), un algoritm de calcul
sau o nou ă metod ă de demonstra ție se numesc situaț ii-problem ă.
În predarea problematizat ă profesorul, prin întrebări și prezentare a materialului de învățare, dă posibili-
tatea elevului să asimileze prin exerci țiu niste scheme fu ndamentale de abstractizare, de conceptualiza-
re, de ra ționament ș i interpretare . Aceste stări sunt situa ții- problemă .
În pedagogie sunt descrise unele dintre aceste situa ții-problemă astfel:
Dezacord (conflict, contradic ție) între cunoștințele anterioare ale elevului și condiț iile noi de re-
zolvare a unei probleme;
Selectarea din cuno ștințele anteri oare a acelora cu valoare opera țional ă, adic ă elevul este pus în
fața unei contradicții î ntre modul de rezolvar e posibil din punct de vedere teoretic și imposibi li-
tatea lui de aplicare practică ;
Încadrarea cuno ștințelor anterioare î ntr-un sistem, con știentizarea că acest sistem nu este
întotdeauna opera țional și de aici necesitatea completă rii lui;
În predarea -învățarea matematicii prin problematizare, pro fesorul are ca scop principal să -i facă pe elevi
să gândeasc ă și mijlocul îl reprezintă rezolvarea de că tre ei a problemelor care cer un anumit grad de
creație, de nerutinare. Din punct de vedere pedagogic problemele trebuie să î ndeplineasc ă următoarele
condi ții esențiale:
să aibă sens, să țină seama de cuno ștințele anterioare ale elevului;
să fie adresate î n cel mai oportun moment din punct de vedere al elevului;
să trezească interesul și să solicite efort din partea elevului;
105
Rezolvarea de problem e trebuie privit ă ca pe un proces prin care elevul descoperă că o combina ție de
reguli învă țate anterior o poate a plica pentru a ajunge la o solu ție referitoare la o nouă situație problem-
atică.
Din acest punct de vedere, etapele în rezolvarea unei situa ții-problem ă sunt:
prezentarea situa ției- problem ă (verbal, scris, tabe l, grafic) de că tre profesor;
definirea problemei de către elev, adică distingerea caracteristicilor esen țiale ale situației, însuși-
rea enun țului, găsirea legă turii dintre date;
formularea de ipoteze de către elev care pot fi aplicate î n vederea u nei solu ții;
realizarea verifică rii ip otezelor sau a unor ipoteze succesive de către elev până găse ște una care
să-l conducă la solu ția căutată ;
Prin aplicarea în predare a problematizării, rezultatul final este întotdeauna descoperirea solu ției de că tre
elev a problemei propuse.
Învățarea centrată pe problem e este o directiv ă relativ nouă în educa ție, care vizeaz ă o contextualizare a
învățării, incitând elevii la considerarea ș i rezolvarea de problem e ale lumii r eale. În acest context, di-
recțiile de rezolv are pot fi diferite și pot con duce la mai multe clase de solu ții.
Succesiunea sarcinilor în învă țarea centrată pe problem e este:
determinarea de către elevi a existen ței sau non -existen ței unei probleme;
definire a problemei cu exactitate; identificarea info rmațiilor de care au nevoie pentr u a în țelege
problema;
identificarea resu rselor de care au nevoie pentru a colecta informa ția necesară ;
generarea unor posibile solu ții la problemă ;
prezentarea solu țiilor (event ual prin sus ținerea unei variante).
Exemple :
După ce se predă lectia c.m.m.m.d.c a dou ă numere naturale se propune următoarea problemă :
Unui grup de c opii i se distribuie rechizite școlare î n mod egal astfel: 112 cul egeri; 126 caiete; 42
stilouri și 84 c reioane. Afla ți numărul elevilor din grup ș tiind că acesta este cel mai mare posibil.
La o astfel de cerin ță, care ascunde destul de bine no țiunea care trebuie aplicat ă, major itatea elevilor ori
vor spune că nu știu să rezolve ori vor indica un răspuns gre șit fără prea multe c ăutări. Însă , pentru a
ajuta elevii să observe că problema este rezolvat ă dacă ei calculeaz ă c.m.m.d.c al numerelor 112; 126;
42; 84 profesorul poate interveni cu întrebări ajutătoare care să pună în eviden ță faptul că rechizitele se
distribuie în mod egal cât și faptul că probl ema cere cel mai mare număr posibil. Profesorul poate î ntre-
ba de exemplu ce va reprezenta numă rul de elevi p entru toate numerele care indică rechizitele.
După predarea lec ției c.m.m.m.c a două sau mai multor nume re natural e se poate propune elevilor
urmă toarea problemă :
106
Trei frigidere sunt pornite la ora 6. Primul frigider func ționează 6 minute ș i stă 18 minute, al doilea
funcționează 9 minute ș i stă 21 de minute, iar al treilea func ționează 5 minute ș i stă 13 min ute. La ce oră
cele trei frigidere vor porni din nou, în acela și moment?
La fel ca și în cazul p recedent profesorul va trebui să ghideze prin întrebări elevii pentru ca ace știa să-și
dea seama că au de fapt de calculat c.m.m.m.c a trei nu mere naturale. A poi va trebui să -i ajute pe elevi
să-și dea s eama că cele trei nume re sunt : 24 (6+18); 32 (9+21) și 18 (5+13).
G. Modelarea matematic ă
Aproape toate ramurile matematicii clas ice sau moderne sunt utilizate în modelarea fe-
nomenelor vie ții.
Mod elarea matematică poate fi privită ca fiind o metodă de rezolvare a unor probleme din diverse
domenii de activitate uman ă, folosind instrumentele matematice.
Procesul de modelare matematic ă are urmă toarele etape:
etapa const ruirii modelului matematic: ata șarea unei probleme matematice câ t mai adecv ată, bo-
gată în informa ții, dar simpl ă și optimală , care s ă descrie situa ția practic ă de rezolvat
rezolvarea problemei -model cu mijloace matematice
interpre tarea rezultatului matematic ob ținut din pun ctul de vede re al problemei ini țiale de re-
zolvat.
Elevi i trebuie învă țați, pe lângă partea teoretică, să construiască modele ale unor fenomene reale. Nu
este suficient, de exemplu, ca elevul de clasa a VI-a să știe să calculez e c.m.m.d.c sau c.m.m.m.c sau
să reprodu că criteriile de divizibilitate , trebuie să -l învă țăm să „vadă ” noțiunile de divizibilitate în lumea
înconjurătoare. Astfel poate cre ște interesul și motivaț ia pentru matematic ă, un obiect privit de elevi ca
fiind destul de abstract.
Exemplu: Dacă elevii u nei clase formează echipe de câte 3, rămân 2 elevi fără echipă, iar dacă formează
echipe de câte 2, rămâne fără echipă un elev. Aflați numărul minim de elevi al clasei, știind că în clasă
nu pot fi mai puțin de 25 elevi.
Soluție: Notă m cu x numărul elevilo r din clasă . Atunci 1 :3 rest 2x c ; 2 : 2 rest 1x c .
1 23 2; 2 1x c x c .
Adunăm 1 la fiecare di ntre cele două relații și obținem:
1 1 3 1 1 3x c x
2 1 2 1 1 2x c x
1 6 1 6 , dar 25 1 30 29x x k x x x elevi.
107
H. Algoritmizarea
Metodă frecvent utilizat ă în cadrul activită ții didactice la matematică , algoritmizarea presupune
existen ța unor scheme logice care să permit ă rezolvarea unor sarcini de lucru. Algoritmii reprezintă un
grupaj de scheme proced urale , o suit ă de opera ții standard p rin parcurgerea cărora se rezolvă o serie
mai larg ă de probleme asemănă toare.
Algoritmizarea reprezint ă o metod ă didactic ă de învă țămâ nt care angajeaz ă un lan ț de exerciț ii
dirijate, integra te la nivelul u nei scheme de ac țiune didactică standardizat ă, care urmăre ște îndeplinirea
sarcinii de instruire î n limitele d emersului prescris de profesor î n sens univoc.
Reușita metodei depinde de capacita tea algoritmilor pedagogici ale și de a interveni ca modele
opera ționale care eficientizeaz ă activitatea de învă țare prin intermediul aplică rii unor r eguli, formule sau
coduri de ac țiune didactic ă exacte și riguroase.
Specificul algoritmilor didactici rezult ă din contextul pedagogic în care are loc ac țiunea
automatizat ă, în alte si tuații această acțiune nu presupune înțelegerea operațiilor ș i a mecanismelor sale
specifice.
Activitatea didactică solicită însă ac țiuni aut omatizate care trebuie nu doar în țelese de către
elev, ci și construite uneori de acesta prin angajarea direct ă a proceselor sale cognitive superioare.
Valorificare a algoritmilor didactici implică ra ționalizarea procesulu i de instruire la nivelul unui
învățămâ nt programat care co nduce elevul spre rezultat pe că ile cel e mai eficiente. Angajarea lor în
acțiuni de instruire pro gramate pe calculator stimulează dezvoltarea psihologică a elevului prin
înlăn țuirea operațiilor prezentate î ntr-o ordine foarte determinat ă care permite rezolvarea unei probleme
sau a unei clase de probleme.
Clasificarea algoritmilor didactici poate fi realizat ă prin raportare la criteriul clasic propus de
psihologul rus Landa, care vizeaz ă con ținutul obiectivelor operaționale propuse. Î n aceast ă perspectiv ă
pot fi delimitate dou ă categorii de algortimi didactici:
a) algoritmi de identificare, care avansează o list ă de întrebă ri ierarhizate special pentr u sesizarea
clasei de probleme în vederea elaborării unei anumite clasificări cu valoare de sinteză ;
b) algori tmi de rezolvare, care avansea ză o succesiune de opera ții necesare pentru evaluarea exactă
a unei situa ții de instruire în vederea elaboră rii unei decizii eficiente;
Dezvoltarea acestui criteriu la nivelul sarcinilor de proiectare curent ă a lec ției permite evidențierea
urmă toarelor tip uri de algoritmi didactici:
algoritmi de sistematizare a materiei, aplicabili prin intermediul unor reguli de definire a
conceptelor, principiilor , legilor; de realizare a judecă ților și raționamentelor; de stăpânire a
formulelor; de analiză – sintez ă a teo riilor;
algoritmi de rezolvare a problemelor, aplicabil i prin intermediul unor reguli și ipoteze de lucru,
de calc ul, de proiectare, de investiga ție, etc;
108
algoritmi de consolidare a cuno ștințelor dobâ ndite, aplica bili prin reguli de proiectare și
perfec ționare a unor deprinderi intelectuale, sociale sau psihomotorii;
algorit mi de optimizare a unor capacită ți, aplicabili prin reguli de perfec ționare a standardelor de
rezolvare a unor probleme;
algortimi de crea ție, aplicabili prin r eguli de rezolvare a unor situații-problemă , exprima te la
nivelul unor tehnici de gâ ndire divergent ă productiv ă;
algoritmi de programare a materiei, aplicabili pin reguli de ierarhizare a secven țelor didactice la
nivelul unor coduri specifice ;
În func ție de aceste clasifică ri, se o bserv ă că algoritmizarea poate fi folosit ă cu succes în orice moment
al lec ției.
În cadrul capitol elor de divizibilitate predate în gimnaziu sunt întâlni ți urmă torii algoritmi:
algoritmul de verificare a faptulu i dacă un numă r este prim sau compus
algorit mul de calcul a c.m. m.d.c a două sau mai multor numere
algorit mul de calcul a c.m.m.m.c a două sau mai multor numere
I. Metoda învă țării pe grupe
Constă în faptul că sarcinile de lucru sunt executate de grupe de elevi și presupune o
activitate comună în cadrul aceluiași grup. Urmărește și dezvoltarea responsabilității individuale cu
efect asupra grupului.
Grupele pot fi omogene (formate din elevi cu acela și nivel de pregătire) și atunci
favorizează lucrul diferen țiat/obținerea de performa nțe sau eterogene (formate din elevi de toate
categoriile) ca re au și ele avantajul că elevii mai slabi pot fi ajutați de cei mai buni î n asimilarea
materiei. Randamentul maxim este oferit de grupe formate din 4 -6 elevi.
Activitatea pe grupe are următoarele etape:
formarea grupelor și repartizarea materialului de lucru
munca independentă a grupului
discuția în comun a rezultatelor obținute
Activitatea profesorului cuprinde:
etapa de pregătire a materialului și de repartizare a lui
etapa de îndrumare și supraveghere a activității în fiecare grup.
Ajutorul acordat grupului se face la cerere sau atunci câ nd se apreciaz ă o neîncadrare în timp/evolu ția
nesatisfăcă toare.
La sfâr șitul activității se prezintă la tablă rezolvarea, se fac aprecier i și se poart ă discu ții privind
corectitudinea și variantele de rezolvare.
109
Profesorul trebuie să tragă concluziile de încheiere. Deseori este utilă crearea unui mediu competi țional
între grupuri, acesta spore ște interesul și animă activitatea.
Pentru gru pele care au terminat mai re pede, profesorul trebuie să aibă pregatite sarcini suplimentare.
Această metodă prezintă riscul ca anumi ți elevi să nu ia parte la activitățile din grup și avantajul că
permite o mai bună comunicare și cooperare î ntre elevi.
Metode de învă țare active
În epoca actuală se pune accent pe formarea de competen țe, adică acele ansambluri structu-
rate de cuno ștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea ș i rezol varea unor
probleme specifice, în contexte variate. Învățarea nu mai poate ave a ca unic scop simpla memorare și
reproducere de cuno ștințe. O învă țare eficient ă presupune explicarea și susț inerea unor pu ncte de vedere
proprii, precum și realizare a unui schimb de idei cu ceilal ți.
Folosirea excesivă doar a modului de predare tradi țional, prin prelegere produce învățare
într-o mică măsură și determină de multe ori o atitudine pasivă din partea el evilor. De fapt, predarea
tradițională presupune că toți elevii pot asimila acelea și informaț ii, în acela și ritm, ceea ce este departe
de realitate.
Pentru elevi este insuficient dacă , în timpul unei ore, ascult ă explica țiile profesorului și
urmăresc demonstra țiile. Este mult mai eficient dac ă ei particip ă în mod acti v la procesu l de învă țare. Î n
pratica didactic ă s-a observat c ă elevul re ține doar 10-30% din ceea ce vede/aude, și până la 90% dacă
face un lucru de care e ste interesat, la care participă activ.
Aceste metode active necesită însă mai mult efort d in partea profesorulu i pentru pregătire. Ele fac însă
lecțiile mai interesate, cresc motiva ția elevilor și asigură adaptarea la potențialul fiecă rui elev. De aceea
este recomnadat ca profesorul s ă țină seama de urmă toarele aspecte:
dacă folosi ți pentru pri ma dat ă o anumit ă metod ă, aplicarea acesteia de c ătre elevi, respectiv ,
gestionarea timpului și a rezultatelor de că tre professor pot cauza o concentrare mai mică asupra
problemei esen țiale la care vrem să -i facem pe elevi să se gândească ;
pentru a evita s ituația prezentată anterior, este de preferat să prezenta ți metoda la o temă mai
simplă, înainte de a o folosi la o temă complexă ;
folosi ți o anumit ă metod ă de cel pu țin trei ori într -un an școlar, notaț i de fiecare dat ă const atările
și recitiți -le înainte de a aplica din nou metoda.
J. Brainstoming
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inova-
toare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de -o parte. As tfel
110
exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și p ărerile
fără teama de a fi respinși sau criticați.
Un brainstorming durează în jur de o jumătate de oră și participă în medie 10 elev i sau
grupuri de minim 10 elevi. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea
despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile . O var-
iantă a brainstormingului este brainwriting ul. O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia oca-
zia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele: deschiderea sesiunii de brainstorming,
o perioadă de acomodare de 5 -10 minute, partea creativă a brainstormingului, prelucrarea ideilor și sta-
bilirea unui acord.
În deschiderea sesiunii de brainstorming se prezintă scopul acesteia și se discută tehnicile și
regulile de bază ca re vor fi utilizate.
Perioada de acomodare durează 5 -10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în at-
mosfera brainstormingului. Este o mini -sesiune de brainstorming unde participanții sunt stimulați să
discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior.
Partea creativă a brainstormingului are o durată de 25 -30 de minute. Este recomandabil ca în
timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a trecut și cât timp a
mai rămas. Să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai acorde câte 3 -4 minute în plus.
În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie stimulați să -și spună părerile fără ocolișuri.
La sfârșitul părții crea tive coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate
și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor
elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente . Se face și o evaluare a sesiunii
de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în consi derare
pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie
atinse.
Pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune părerea
și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie să stabilească sin guri
care au fost ideile care s -au pliat cel mai bine pe conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru
ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare a pro-
cesul ui în sine.
Metoda creativă denumită brainstorming are o lungă istorie, dar ea a fost reactivată de
profesorul Alex Osborne, prorector la Universitatea Buffalo și fondator al Institutului de Creație
Tehnică, USA.
Fiecare dintre noi este o persoană creativă sau are anumite laturi creative. De multe ori ideea este
“omorâtă” chiar de către creatorul ei de frica înfruntării criticilor colegilor săi, de teama de a n u se face
111
de râs. Autocritica distruge momentul în care o idee creativă este iros ită înainte de a prinde viață. Brain-
stormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își propune să elimi ne exact
acest neajuns generat de autocritică.
Vă recomandăm 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședi nțe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
Nu judeca ți ideile celorlalți și nici chiar ale voastre până la î ncheierea proces ului de brainstorming. Nu
există idei proaste și idei bune. Evitaț i judecarea ideilor, ceea ce înseamnă atâ t criticarea cât și lăudarea
lor. Ideile mai slabe pot fi valoroase prin faptul că pot da na ștere la alte idei mai bune .
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
Este mai u șor să îmblânzești o idee exagerată decât să te gândeș ti imed iat la una ce poate fi pus ă în
aplicare imediat. Ideile bizar e, extreme și ciudate duc la rezultate nevăzute înainte. Gândiți soluții
nebune ști și vedeți î n ce se transform ă. Nu exist ă idei ridicole.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
La sfâr șitul întâ lnirii ceea ce conteaz ă este numărul de idei. Cu cât sunt mai multe, cu atâ t exist ă o șansă
mai mare de a gă si o idee bun ă. Nu v ă limita ți gândirea la soluț ii “de calitate”, pentru c ă veți rămâne
constrân și în gândire. Notați fiecare idee, dar fără detalii nefolositoare. Gândi ți repede și reflectați mai
târziu.
4. Notați tot.
Fiecare idee va fi notată. În cazul în care numărul de participan ți la brainstorming va fi mai mare de 15 –
20 el evi le vor fi distribuite carne țele de notițe pe care își vor nota toate ideile. La sfâr șitul întâlnirii
aceste carne țele vor fi adunate iar toa te ideile vor fi centralizate. În cazul în care numărul de participan ți
se va situa sub numărul 15 se va delega un elev care va avea rolul de a nota toate ideile create în timpul
sedin ței de brainstorming.
5. Fiecare elev este la fel de important.
Nu exist ă șefi ș i subaltern i. Nu exist ă coord onatori. Nu exist ă elevi “mai creativi” și elevi mai puț in cre-
ativi”. Fiecare elev participant are o perspectiv ă unică asupra situa ției ș i aceast ă perspectiv ă este la fel
de valoroas ă ca cea a elevului de lângă el. Ideile născute sunt ideile grupului și fiecare elev are aceea și
importan ță în nașterea ideii. Oferiți idei chiar și numai pentru a da ș ansa colegilor de a crea alte idei
bazate pe ce a ți creat. Încuraja ți participarea tuturor elevilor.
6. Nașteți idei din idei.
Adăuga ți gânduri la fiecare idee. Ascultați cu atenție ideile celorlalți și dezvoltați -le. Încerca ți să com-
binați ideile deja prezentate pentru a explora noi perspective. Este la fel de important s ă “broda ți” pe
ideile colegilor ca și crearea ideii inițiale. Construiți și dezvoltați ideile celorlalți. Dar nu criticaț i.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Nu vă sim țiți îngrădiț i de posibilele critici ale colegilor. Brainstormingul este un pro ces în care partici-
panții au ales să nu judece ideile celorlal ți. În acest caz orice idee, oricâ t de ciudat ă, oricâ t de
112
nebuneasc ă sau de exagerată va fi luată pur și simplu ca o idee. Exprimați toate ideile la care vă puteți
gândi.
Exemplu: Aplicarea met odei brainstormingului la rezolvarea unei problem e de divizibilitate.
Etape:
1. Alegerea sarcinii de lucru
Produsul divizorilor naturali ai numărului natural n este egal cu 3240210 . Scriind divizorii
numărului n în ordine crescăt oare 1 2 31 …k d d d d n , arăta ți că 1289d are cel pu țin 11 cifre.
2. Solicitarea exprimării, într -un mod câ t mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea
problemei.
Se va cere elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot a părea , de exemplu, sugestii
legate de folosirea unor formule știute deja de elevi, care pot ajuta la rezolvarea problemei. Sub niciun
motiv, nu se vor admite referiri critice. Lăsa ți elevii să propună orice metodă le trece prin minte!
3. Înregistrarea tutur or ideilor î n scris (pe tabl ă).
Anun țarea unei pauze pentru aș ezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi). Nota ți toate propunerile
elevilor. La sfâr șitul orei, puneți elevii să transcrie toate aceste idei și cereți -le ca pe timpul pauzei , să
mai reflecteze asupra lor.
4. Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.
Pentru problema analizat ă, cuvâ ntul cheie ar putea fi : divizor.
5. Analiza critic ă, evaluarea , argumentarea , contraargumentarea ide ilor emise anterior.
Selectarea ideilor origi nale sau a celor mai apropiate de solu ții fezabile pentru problema supusă aten ției.
Pune ți întrebă ri de tipul: Am putea rezolva problema folosind rela ția cu produsul divizorilor? Ce anume
trebuie să arătă m?
6. Afișarea ideilor re zultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziț ii, colaje,
imagini, desene, etc.
Ca urmare a discu țiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problem ei. Aceasta
poate fi sintetizată sub forma unor in dicații de rezolvare de tipul:
descompunem numărul 210 în factori primi și luăm numă rul n de formă convenabilă
calculăm numă rul de divizori ai lui n
aplicăm rela ția cu produsul divizorilor
calculă m 1289d.
113
K. Metoda mozaicului
Numit ă și „metoda grupurilor interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă
(team -learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același
timp și responsabilitatea transmiterii inform ațiilor asimilate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la
începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul ac tivității
când va p rezenta concluziile activității.
Există mai multe variante ale metodei mozaic iar noi vom prezenta varianta standard a acestei
metode care se realizează în cinci etape.
1. Pregătirea materialului de studiu
Profesorul stabilește tema de studiu și o împart e în 4 sau 5 sub -teme. Opțional, poate stabili
pentru fiecare sub -temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul, atunci
când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări,
fie afirmativ, f ie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază
materialul.
Realizează o fișă -expert în care trece cele 4 sau 5 sub -teme propuse și care va fi oferită fiecărui
grup.
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în
clasă)
Fiecare elev din echipă, primește un număr de la 1 la 4 -5 și are ca sarcină să studieze în mod
independent, sub -tema corespunzătoare numărului său.
El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, ele vii cu numărul 1 din toate echipele
de învățare formate vor aprofunda sub -tema cu numărul 1. Cei cu numărul 2 vor studia sub -tema
cu numărul 2, și așa mai departe.
Faza independentă: fiecare elev studiază sub -tema lui, citește textul corespunzător. Acest s tudiu
independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea
organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu acelați număr se reunesc, constituind
grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu numărul 1, părăsesc
echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub -tema cu numărul 1. La
fel procedează și ceilalți elevi cu numerele 2, 3, 4 sau 5. Dacă grupul de experți are mai mult de
6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.
Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au
studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute l a dispoziție, se
114
adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și
celorlați membrii din echipa inițială.
Fiecare elev este membru într -un grup de experți și face parte dintr -o echipă de învățare. Din
punct de ve dere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate
în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.
Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având
responsabili tatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la rândul lor
cunoștințele pe care le transmit c olegii lor, experți în alte sub -teme. Modalitatea de transmitere
trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audio -vizuale, diverse
materiale.
Specialiștii într -o sub -temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computer ul, pot ilustra
ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să
pună întrebări și să -și noteze, fiecare realizându -și propriul plan de idei.
5. Evaluarea
Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele între gii clase. În acest moment elevii sunt gata să
demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori
poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci
fiecărui el ev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.
Exemplu: Aplicarea metodei mozaicului la predarea criteriilor de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3 la clasa a
V-a.
Etape:
Împărțirea clasei a V -a în 4 grupuri eterogene de 6 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de
învățare notată cu câte o literă (A, B, C, D). Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi
înțeles și discutat de către elevi.
Se propune lecția „Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3” – clasa a V -a.
Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru și a modului în care se va d esfășura
activitatea.
În cazul analizat, subiectul analizat este „Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10 și 3”.
Regruparea elevilor, în fu ncție de litera fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au litera A
vor forma un grup, cei cu litera B vor forma alt grup ș.a.m.d.
Așadar, unul dintre grupurile de „experți” va fi format din toți elevii care au primit, în cadrul gr upului
inițial de 6, Criteriul de divizibilitate cu 3.
115
Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de experți. Elevii citesc, discută ,
încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor di n gru-
pul lor originar.
Elevii din fiecare grup decid cum vor „preda”. Ei pot folosi exemple numerice, texte în vorbirea cur entă,
simboluri matematice.
Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități , se
adreseaz ă întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membrii di n
grupul expert pentru secțiunea respectivă.
În fiecare grup, sunt astfel „predate” cele patru criterii de divizibilitate, cu exemple. În acest f el, fiecare
elev devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru transmiterea corectă și completă a in-
formațiilor. Este important să monitorizați această activitate, pentru ca achizițiile să fie corect transmise.
Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa / cu toți participanții.
Câteva exerciții bine alese de profesor vor evidenția nivelul de înțelegere a temei.
Metoda Mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine
responsa bil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte
utilă în motivarea elevilor: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în „profesori” le conferă u n as-
cendent moral asupra colegilor.
L. Investiga ția
Investiga ția oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cuno ștințele însușite, în situații
noi și variate, pe parcursul unei ore sau unei su ccesiuni de ore de curs. Această metodă presupune
definirea u nei sarcini de lucru cu instruc țiuni precise, în țelegerea acesteia de către elevi î nainte de a
trece la rezolvarea propriu -zisă. Prin aceasta elevul demo nstreaz ă, și exerseaz ă totodată, o gamă largă de
cuno ștințe și capacități î n context e variate.
Investiga ția oferă , de asemenea, posibilitate a elevului de a se implica activ în procesul de învă țare, real-
izând permanente integrări și restructurări în sistemul operaț ional propriu, ceea ce confer ă cuno ștințelor
un caracter opera țional accentuat.
Investiga ția stimuleaz ă inițiativa elevilor pentru luarea deciziil or, oferind un nivel de în țelegere mult
mai profund asupra evenimentelor și fenomenelor studiate, motivând în acela și timp elevii în realizarea
activită ților propuse.
Prin realizarea unei investiga ții pot fi urmărite ca elemente esenț iale:
înțelegerea ș i clarificarea sarcinii de lucru
identificarea procedeelor pentru ob ținerea informaț iilor necesare
colectarea și organizarea datelor sau informa țiilor necesare
formularea și testarea unor ipoteze de lucru
116
schimbarea planului de lucru sau a meto dologiei de cole ctare a datelor, dacă este necesar
colectarea altor date, dacă este necesar
motivarea op țiunii pentru anumite metode folosite în investiga ție
scrierea/prezentarea unui scurt rapor t privind rezultatele investiga ției
Exemplu: Câte frac ții ireductibile con ține mul țimea: 1 2 2014; ;…;2015 2015 2015A ?
Evident răspunsul la această î ntrebare poate fi dat numărâ nd numerele prime cu 2015. Aceasta se poate
realiza foarte direct folosind indicatorul lui Euler:
1 1 12015 2015 1 1 1 14405 13 31 de frac ții ireductibile .
M. Proiectul
Este o metodă de învățare, dar și de evaluare complexă care se desfășoară pe perioade mai
lungi (mai multe zile, sapt ămâni sau chiar un semestru).
Profesoru l stabile ște tema, obiectivele și conținutul proiectului și sugerează elevilor un plan
de lucru.
Proiectul îi dă posib ilitatea elevului de a asambla î ntr-o viziune personal ă cuno ștințele pe
care le are, î l antreneaz ă în activită ți comple xe de colectare de date, precum și de prelucrare și organi-
zare a acestora î ntr-un mod original.
Exemplu: Realiza ți un proiect cu t ema Criterii de divizibilitate și aplicații ale lor î n probleme.
N. Metoda cubului
Metoda cubului presupune expl orarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective,
permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, analizează, aso-
ciază, aplică, argumentează.
Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una
din fețele cubului.
• Descrie: culorile, formele, mărimile, etc.
• Compară: ce este a semănător? Ce este diferit?
• Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune.
• Asociază: la ce te îndeamnă să te gândești?
117
• Aplică: ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
• Argumentează: pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
Această metoda e ste potrivită pentru a fi aplicată la lec țiile de recapitulare și sistematizare a cu-
noștințelor.
Exemplu: La lecția de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor – Unitatea de învățare: Divizibilitatea
numerelor naturale – clasa a VI -a.
Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare față diferit, iar fiecărei fețe
i-am asociat un verb, astfe l:
În desfășurarea activității, am avut grijă să dau indicații unde a fost necesar, să soluționez
situațiile în care nu toți elevii s -au implicat în cadrul activității în grup sau atunci când un elev a
monopolizat toate activ itățile.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul DESCRIE au avut următoarele sarcini:
– de enunțat definițiile pentru divizor, multiplu
– de enumerat criteriile de divizibilitate învățate
– de identificat numerele prime, n umere prime între ele
– de stabilit relația între c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a două numere
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul COMPARĂ au stabilit asemănări și deosebiri între
criteriile de divizibilitate (cu 3 și 9; cu 4 și 25); între procedeele de calcul pentru c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ au identificat dintr -o mulțime numerele
divizibile cu 2, cu 3, cu 5, cu 10 și au completat spațiile punctate cu răspunsuri corecte.
Pentru g rupa care a avut verbul ANALIZEAZĂ, sarcina de lucru a cerut ca elevii să analizeze în
ce mod se poate forma un dreptunghi cu ajutorul unor betișoare de lungimi diferite și cine este
câstigătorul unui joc.
Elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul ARGUMENTEAZĂ au avut de analizat și justificat
în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și chestiuni capcane. Le -am cerut să
realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr -o redactare a unei rezolvări. FFaațțaa 11 – aallbbaassttrruu
–– vveerrbbuull DDEESSCCRRIIEE
FFaațțaa 22 – rrooșșuu
–– vveerrbbuull CCOOMMPPAARRĂĂ
FFaațțaa 33 – vveerrddee
–– vveerrbbuull AASSOOCCIIAAZZĂĂ
FFaațțaa 44 – ppoorrttooccaalliiuu
–– vveerrbbuull AANNAALLIIZZEEAAZZĂĂ
FFaațțaa 55 – ggaallbbeenn
–– vveerrbbuull AARRGGUUMMEENNTTEEAAZZĂĂ
FFaațțaa 66 – mmoovv
vveerrbbuull AAPPLLIICCĂĂ
118
Elevii din grupa verbului APLICĂ au avut un set de întrebări grilă în care au aplicat criteriile de
divizibilitate, metodele de calcul a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., teorema împărțirii cu rest, etc.
Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20 -25 minute) , am aplicat metoda
„turul galeriei”.
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și -au prezentat
sarcina de lucru și modul de realizare a ei, după care au acordat note materialelor realizate de cel elalte
grupe, urmân d ca eu să discut împreună cu ei obiectivitatea notelor acordate și să corectez eventualele
erori.
Ca PREMIU, fiecare echipă a primit câte un material informativ, astfel:
Echipa 1 – un material despre Arhimede
Echipa 2 – un referat despre criterii partic ulare de divizibilate (cu 7, cu 11, cu 13)
Echipa 3 – un material despre “Ciurul lui Eratostene”
Echipa 4 – un material informativ despre Aristotel
Echipa 5 – un referat despre Cantor
Echipa 6 – un material informativ despre repartiția numerelor prime
Fișa nr.1: Verbul „DESCRIE”
1. Enunțați definiția divizibilității numerelor naturale.
2. Enumerați criteriile de divizibilitate studiate.
3. Scrieți multimea divizorilor lui 24.
4. Identificați în mulțimea divizorilor numărului 24, divizorii proprii și div izorii improprii.
5. Stabiliți relația dintre c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a 2 numere naturale.
Fișa nr.2: Verbul „ COMPARĂ”
1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență asemănări și deosebiri sau
analogii între criteriile de d ivizibilitate cu 3 și 9; cu 4 și 25; cu 8 și 125.
2. Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și compară rezultatele, pentru numerele:
a) 324 și 432; b) 120; 201; 504; c)35 și 54 .
Fișa nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”
1. În mulțimea A = { 12; 35; 254; 4600; 180; 54; 3 7; 803} identifică numerele divizibile cu 2; cu
3; cu 5; cu 10.
119
2. Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:
a) 2 23x pentru x {…….} .
b) 563xx pentru x {…….} .
c) 386ba pentru a + b {…….}.
Fișa nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”
1. Având 4 betișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, 5 betisoare cu lungimea de 2 dm fiecare, 7
betișoare cu lungimea de 3 dm fiecare și 8 betișoare cu lungimea de 4 dm fiecare, analiz ați dacă se poate
forma un dreptunghi având așezate toate aceste betișoare cap la cap pe conturul său?
2. Doi jucători joacă următorul joc: ei aleg, pe rând, un divizor natural pozitiv al numărului
1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă nici unul din divizorii deja aleși până
atunci. Primul care alege 1000 ca divizor pierde. Analizați ce se întâmplă dacă jocul se schimbă, în
sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini divizori decât oricare din numerele anterioar e
alese. Analizați cine câștigă jocul.
Fișa nr.5: Verbul „ARGUMENTEAZĂ”
1. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor următoare, justificând răspunsurile:
a) Suma a două numere naturale pare este un număr par.
b) Suma a două numere naturale impare este un număr impar.
c) Dac ă m N este divizibil cu 6 și cu 4, atunci m este divizibil cu 24.
d) Dacă m N este divizibil cu 17, atunci (15 m) este divizibil cu 51.
2. a) Găsiți un multiplu comun al numerelor 30 și 37. Arătați că orice multiplu comun al lor e ste
divizibil cu produsul lor.
b) Este adevărată afirmația și în cazul numerelor 36 și 40? Justificați.
Fișa nr.6: Verbul „APLICĂ”
1. Aflați două numere naturale al căror produs este 26460, iar c.m.m.d.c. al lor este 14.
2. Există un număr care împărțit la 3 să dea restul 1, împărțit la 4 să dea restul 2, împărțit la 5 să
dea restul 3, iar împărțit la 6 să dea restul 4?
3. Să se determine toate numerele naturale de 4 cifre, care împărțite la x34 să dea câtul 10 și
restul 12, știind că x34 se divide cu 6.
120
4. Fie A mulțimea numerelor de forma y12 divizibile cu 12 ș i B mulțimea numerelor de forma
ab1 divizibile cu 15.
a) Să se determine mulțimile A si B.
b) Să se afle A B, A B, A – B, B – A.
O. Turul Galeriei
Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între elevi, care
sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme. Această metodă presupune
evaluarea in teractivă și formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învățare) susceptibilă de a
avea mai multe soluții (mai multe pers pective de abordare).
2. Produsele muncii grupului se materializează într -o schemă, diagramă, inventar de idei etc.
notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într -o galerie.
4. La semnalul profesorului, grupuri le trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina soluțiile
propuse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt scrise pe posterul analizat.
5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziția inițială, înainte de plecare) fiecare
echipă își reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile și
comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Turul galeriei se folosește cu succes împreună cu metoda cubului , așa cum a fost folosită î n
exem plul anterior.
P. Metoda cio rchinelui
Este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi
folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterio r, cât și
în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a
înțelege o anumită temă, un anumit conținut. Reprezintă o tehnică efic ientă de predare și învățare care
încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.
2. Elevii v or fi solicitați să -și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte
în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându -se linii între acestea și cuvântul
inițial.
121
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii
între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în util izarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră tim pul alocat;
dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor,
nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
• În etapa de reflecție elevii vor fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiil or
în funcție de anumite criterii.
• Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile faci lizându -se
reținerea și înțelegerea acestora.
Exemplu: Metoda ciorchinelui aplicat ă la o lec ție de recapitulare a capitolului divizibilitate:
Întrebările puse de către profesor elevilor sunt urmă toarele:
1.Un numă r natural a este divizibil cu un alt numă r natural b dacă…… (gri)
2.Cum se noteaz ă a divizibil cu b? (vi șinie)
3.Criteriul de divizibilitate cu 2. (verde)
4.Da ți exemple divizibile cu 2. (galben)
5.Criteriul de divizibilitate cu 3. (verde)
6.Da ți exemple divizibile cu 3. (galben)
7.Criteriul de d ivizibilitate cu 4. (verde)
8.Da ți exemple divizibile cu 4. (galben)
9.Criteriul de divizibilitate cu 5. (verde)
10. Da ți exemple divizibile cu 5. (galben)
11. Criteriul de divizibilitate cu 9. (verde)
12. Da ți exemple divizibile cu 9. (galben)
13. Criteri ul de divizibilitate cu 10. (verde)
14. Da ți exemple divizibile cu 10. (galben)
15. Criteriul de divizibilitate cu 25. (verde)
16. Da ți exemple divizibile cu 25. (galben)
17. Ce este un numă r prim? (albastru)
18. Da ți exemple. (ro șu)
122
19. Dar un numă r compu s? (albastru)
20. Da ți exemple. (roș u)
21. Defini ți c.m.m.d.c. Cum se noteaz ă? (mov)
22. Defini ți c.m.m.m.c. Cum se noteaz ă? (mov)
Q. Metoda Știu/ Vreau s ă știu/ Am învăț at
Metoda KWL , necesar ă în în țelegerea unui text, este o metodă a gâ ndirii critice care poate fi utilă și
în cazul audierii unei pre legeri. Cu grupuri mici sau cu î ntreaga clas ă, se trece î n revist ă ceea ce elevii
știu deja despre o anumită temă și apoi se formulează întrebări la care se aș teapt ă găsirea răspunsului în
lecție.
Pentru a folosi aceast ă metod ă pute ți parcurge urmă toarele etape:
cereți-le la început elevilor să formeze perechi și să facă o listă cu tot ce știu despre tema ce
urmează a fi discutată. Î n acest timp, const ruiți pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/
Vreau să știu/ Am învăț at;
cereți apoi câtorva perechi să spună celorlalți ce au scris pe liste și notați lucrurile cu care toată
lumea este de acord în coloana din stâ nga; poate fi util să grupați informaț iile pe categorii;
în continuare ajuta ți-i pe elevi s ă formuleze întrebă ri despre lucrurile de care nu sunt siguri;
aceste întrebări pot apărea î n urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de
curiozitatea elevilor; nota ți aceste întrebări î n coloana din mijloc;
cereți-le apoi elevilor să citeasc ă textul;
după lectura textului, reveni ți asupra întrebărilor pe care le -au formulat înainte de a citi textul și
pe care le -au trecut în coloana „Vreau să știu”. Vedeți la ce întrebă ri s-au găsit răspunsuri în text
și treceți aceste răspunsuri în colo ana „Am învă țat”.
În continuare, întreba ți-i pe elevi ce alte informa ții au găsit în text, în legătură cu care nu au pus
întrebăr i la început și treceți -le și pe acestea în ultima coloană ;
întoarce ți-vă apoi la întrebările care au rămas fără răspuns și dis cutați cu elevii unde ar putea
căuta ei aceste informa ții;
în încheierea lec ției elevii revin la schema KWL și decid ce au învățat din lecție; unele dintre
întrebările lor s -ar putea să ră mână fără răspuns și s-ar putea să apară unele noi; în acest caz
întrebările pot fi folosite ca pu nct de plecare pentru investiga ții ulterioare ;
Metoda KWL îi activează pe elevi, îi face con știenți de procesul învățării și oferă elevilor posibilitatea
de a-și verifica nivelul cunoștințelor. Prin acest exercițiu se î ncuraje ază participarea fiecărui elev prin
conștientizarea eventualelor lacune și prin motivarea ac operirii acestora, se stimulează aten ția și
gândirea și oferă posibilitatea elevilor de a -și dezvolta competențele necesare unei abordări complexe ș i
integratoare.
Avantajele acestei metode sunt urmă toarele:
123
se clarifică ceea ce se știe, ceea ce nu se știe și ceea ce mai rămâne de învăț at
este o modalitate de învă țare interac tivă
mobilizeaz ă întregul colectiv al clasei
interdisciplinaritatea
este o metodă pragmatic ă de aborda re a textului
Ca dezavantaje ale acestei metode amintim urmă toarele:
poate fi uneori time -consuming
nu se pretează la absolut toate lec țiile
Exemplu: Apli carea metodei Știu/ Vreau să știu/ Am învățat la lecț ia Criterii de divizibilitate:
Știu:
Orice număr par se î mparte exact la 2.
Un număr natural se împarte exact la 5 dacă are ultima cifra 0 sau 5.
Un număr natural se împarte exact la 10 dacă are ultima c ifră zero.
Vreau să știu
Care este criteriul de divizibilitate cu 2,3,5,9,10 .
Am învă țat
Criteriile de divizibilitate cu 2,3,5,9,10.
§4.Instruirea asistată de calculator și aplicarea ei în predarea divizibilităț ii
Predarea matematicii poate beneficia din plin de dezvoltarea tehnologică din epoca modernă :
folosirea calculatoarelor, tabletelor, resurselor Internet, a softurilor matematice, etc.
Instruirea asistat ă de calculator se poate folosi pentru: predarea unor lecții de comunicare de noi
cunoștințe, aplicarea, consolidarea, sistematizarea noilor cunoștințe, verifica rea automată a unei lecții
sau a unui grup de lecții. Calculatorul – componenta hardware este utilizat ca suport tehnic, iar softul –
componenta software este utilizat ca suport informațional.
Putem spune în acest context ca profesorul devine un consultant , un coordonator și un verificator
al procesului didactic, el nemaifiind principala sursă de transmitere de cunoștințe. Și nu doar prof esorul
își pierde rolul principal. Concurat este și manualul, care nu mai este sursa informațională de bază , el
devenind un mijloc de start care se completează cu informațiile obținute cu ajutorul calculatorului.
Elevul este un adept al utilizării calculatorului în procesul didactic, mai ales în contextul ultimi lor ani.
Învățarea centrată pe elev devine baza instruirii asist ate de calculator.
Mai mult , calculatorul devine un mijloc de interven ție directă în organ izarea situații lor de
învățare, preluând o serie de sarcini legate de o rganizarea activităților de repetiție, de e xersare , de
evaluare ș.a. u șor transfer abile acum as upra noii tehnologii . Sau, calculatorul poate îndeplini un rol
tutorial, ajutând ele vii să progre seze mai rapid și cu rezultate mai bune . Calculatorul poate fi considerat
124
astfel un mijloc de informare, de exersare, de simulare, de aplicare și de consolidar ea cunoștințelor,
deosebit de util în procesul educațional.
Însă instruirea asistată de calculator îi oferă profesorului disponibilități de timp și posibilități de
a fol osi acest timp ocup ându-se mai mult de organizarea învăț ării, de structurarea conținu turilor , de
exersarea gândirii la el evi, de stimul area creativității acestora, aspecte adeseori neglijate p ână acum .
Profesorului îi rămâne mai mu lt timp să se ocupe de cercet area și rezol varea pe această b ază a
problemelor specifice cu care se confruntă în cadrul procesului instructiv -educa tiv și, m ai mult timp
pentru perfecționarea proprie.
Avantaje și dezavantaje în instruirea asistată de calculator
Avantaje Dezavantaje
Posibilități mai mari de transmitere de
noi conținuturi
Tratarea interdisciplinară a
conținuturilor
Interactivitate intensă
Implicarea elevilor în rezolvarea unor
probleme complexe
Permite simularea unor procese sau
fenomene naturale
Se oferă feed -back imediat – sunt oferite
rezultatele și progresele imediat
obținute, semnalează erorile i vite,
facilitează corectarea greșelilor
Este stimulată învățarea și este
întreținută motivarea
Se oferă o altă perspectivă a
individualizării instruirii; este permisă
adoptarea unui ritm propriu în instruire;
apare o autonomie în învățare
Dezvoltă perspica citatea, atenția,
distributivitatea și creativitatea
Permite utilizarea eficientă a timpului în
instruire și rapiditate
Componenta hardware este foarte
costisitoare
Componenta software este și ea
costisitoare și nu poate fi întotdeauna
testată înainte de achiziționare
Insuficienta instruire a resursei umane,
fie profesori, fie elevi
Programa școlară este foarte strictă și nu
permite alocarea de timp suficient
instruirii asistate de calculator
Comunicarea elevilor are de suferit: se
pierde obișnuința discu țiilor, capacitatea
de a argumenta un subiect, se reduce
capacitatea de exprimare verbală
Apare o izolare a elevului față de
profesor și colegii săi; relațiile sociale și
umane sunt diminuate
Nu toți elevii agreează o astfel de
instruire; dacă se au în ved ere stilurile de
învățare, cei cu stil practic preferă
această metodă
125
În predarea lec țiilor din capitolul divizibilitate la clasa a VI -a am fol osit, instruirea asistată de
calculator, alegând urmă toarele instrumente :
1) Platforma software AE L-este un sistem integrat de predare -învățare și management al
conținutului, menit să sprijine procesul de învățământ, să ușureze învățarea, să stimuleze
creat ivitatea, să suplimenteze metodele tradi ționale cu tehnologii noi.
Pentru predarea lec țiilor din capitolul divizibilitate în de la clasa a VI-a am folosit pachetul de lec ții
Ael PL -MAT -6-3.
126
127
128
129
2) Platforma www.numere -prime.ro
Este o aplica ție care poate fi folosită pentru:
a descompune un numă r natural în factori primi
a calcu la c.m.m.d.c sau c.m.m.mc a două numere
scrierea divizorilor unui numă r natural
verificare a faptulu i dacă două numere sunt divizibile
verificare a faptului dacă două numere sunt prime î ntre ele
130
3) Utile î n predarea capitolului divizibil itatea numerelor naturale sunt și softurile de pe site -ul
www.sorinborodi.ro cum ar fi Divizibilon.
4) Jocul prime numbers & Divisibil ity poate fi folosit cu succes în cad rul unei lec ții de consolidare
și fixare la unitatea de învăț are „Divizibilitatea numerelor naturale ”.
În continuare este prezentat un proiect de le cție care pune în evidență acest lucru. Proiectul de lecție este
creat de Funda ția Noi Orizonturi, î n cadrul program ului pilot Digitaliada al funda ției Orange.
131
Înțelegerea matematicii utilizând jocul Primes numbers & Divisibility
Clasa a VI -a – Divizibilitatea numerelor naturale I
Tipul lec ției – Consolidare și fixare
Introducere
În această lec ție de recapitu lare a capitolului
Divizibilitate I, elevii își vor consolida noțiunile
de divizor, multiplu, numere prime, numere compuse. Elevii vor lucra individual și în echipe,
împărtă șind experiența lor întregii clase.
Întrebări esen țiale:
Ce este un d ivizor? Ce este un multiplu? Ce sunt numerele prime? Ce este un număr
compus?
Competen țe specifice:
Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime ,
numere compuse
Obiective de învă țare:
Până la sfâr șitul acestei lec ții, elevii vor putea:
Să identifice divizorii, respectiv multiplii unui număr natural
Să identifice numere prime, numere compuse
Materiale necesare :
tabletele cu jocul Primes and divisibility
caiete, tabla
Concepte abordate:
Divizor
Multi plu
Număr prim
Număr compus
Desfă șurarea lecției
1.Captarea aten ției și prezentarea titlului lecției
Scop: Elevii să intre în atmosfera lec ției cu atenție și
curiozitate maximă Timp: 4 minute
Materiale: 24 de creioane colorate
Metoda: Conversa ția, jocul Concepte: divizibilitate
Profesorul expune următoarea ,,dilemă” a lui Moș Crăciun:
Moș Crăciun avea în sac 24 de cadouri.
Moșul se întreabă: pot oare să împart în mod egal toate cadourile la 12 copii? Dar la 15?
132
Profesorul așteaptă răspunsurile justific ate matematic ale elevilor. Invită unul dintre elevi să exemplifice,
cu ajutorul celor 24 de creioane colorate răspunsurile corecte.
Se anun ță titlul lecției Divizor. Multiplu. Număr prim. Număr compus – exerciții și se scrie pe tablă iar
elevii pe caie te.
2.Reactualizarea cuno ștințelor învățate anterior
Scop: Elevii să -și reamintească noțiunile despre
divizor, multiplu, număr prim, număr compus,
învățate în lecțiile anterioare. Timp: 10 minute
Materiale: fi șa de lucru
Metoda: Conversa ția, activitatea independentă Concepte: Divizor, multiplu, număr prim , număr
compus
Profesorul recapitulează, împreună cu elevii, noțiunile teoretice despre noțiunile învățate și preze ntate în
titlul lecției. Elevii primesc fi șa de lucru și au sarcina să o completeze ind ependent. Dacă întâmpină
greută ți li se dau indicații. Verificarea fișei se va face frontal. Elevii vor spune pe rând ce soluții au
găsit.
3.Dirijarea învă țării și fixarea cunoștințelor
Scop: Elevii să identifice divizorii, multiplii unui
număr natural si să gasească numerele prime Timp: 25 minute
Materiale: tableta, jocul Primes and divisibility
Profesorul cere elevilor să deschidă tabletele, să intre în jocul Primes and divisibility.
Prima etapă – 5 minute
Fiecare elev parcurge primul joc ,,Next prime” unde elevii vor avea un timp de lucru (cronometrat de
aplicație) în care au de găsit cel mai mic număr prim care este mai mare decât numărul dat. Există u n set
de minim 10 întrebări.
133
A doua etapă – 5 minute
Fiecare elev parcurge al doilea joc ,,Previous Prime”, în care au de găsit cel mai mare număr prim care
este mai mic decât numărul dat.
A treia etapă – 5 minute
Fiecare elev va parcurge jocul ”Divisibility I” în care vor aplica criteriile de divizibilitate cu 2 , 3, 5,10
prin găsirea numerelor care îndeplinesc unul dintre criteriile enumerate. În etapele jocului mai apa r
criteriile de divizibilitate cu 4,9,25,50,100 pentru care elevii vor primi o fi șă cu enunțul acestora,
descoperind astfel numerele care verifică și aceste criterii.
A patra etapă – 5 minute
Fiecare elev va parcurge jocul Divisibility II în care vor aplica criteriile de divizibilitate cu 2, 3,5,10. În
această etapă vor întâlni numere care folosesc combina ții dintre aceste criterii. În PrintScree n-ul de mai
jos, un număr divizibil cu 15 trebuie să fie divizibil cu 5 respectiv 3. Prin descoperirea numărului care
verifică ambele criterii vor ob ține un răspuns corect. O altă metodă ar fi împărțirea fiecărui număr la 15,
răspunsul corect fiind cel ca re se împarte exact.
134
4.Prezentarea con ținutului matematic
Scop: Să prezinte în fa ța colegilor regula găsită
pentru divizibilitatea cu 6, 12,15 etc, Elevii să fie
conștienți de trăirile prin care au trecut pe
parcursul activită ții Timp: 9 minute
Materiale: tabla, creta
Metoda: Expunerea
Profesorul va sublinia regulile de a găsi numere divizibile cu 6,12,15,20 folosind divizori ai aces tor
numere care au criterii de divizibilitate bine definite.
Reflec ție
Ce ați reținut cel mai ușor din această activitate?
Cum v -a ajutat jocul Primes&divisibility să rezolva ți probleme de divizibilitate?
Dacă ar trebui să reface ți pe caiet aceleași exerciții, cum ați proceda?
La ce vă ajută, în via ța de zi de zi, să știți divizibilitatea numerelor naturale?
Fișa de lucru 1
1. Demonstrați că propozițiile următoare sunt adevărate și scrieți notațiile corespunzătoare după mo delul
de la punctul a:
a)18 este divizibil cu 9………… 18 9 .
b)16 este divizibil cu 4 .
c)20 este multiplu al lui 4 .
d)18 este divizibil cu 18 .
2. Se consideră șirul numerelor de la 0 la 30. Se cere să se aleagă:
a) divizorii lui 10
135
b) multiplii lui 10
Fișă de enunțuri criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 4 : Un număr natural este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele
două cifre ale numărului dat este divizibil cu 4.
Ex. 2 16, 1324,
Criteriul de divizibilitate cu 25
Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adic ă dacă ultimele
sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.
Ex. 1 00, 1750
Criteriul de divizibilitate cu 100
Un număr natural este divizibil cu 100 dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00.
Ex. 13 00, 14.2 00
136
§5.Metode de evaluare a cuno știnț elor elevilor
Alături de predare și învățare, evaluarea este o componentă esențială a procesului de
învățământ care furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia. Prin evaluare s e
stabilește dacă obiectivele au fost realizate iar informațiile ob ținute sunt folosite pentru reglarea și
perfecționarea activității de predare -învățare.
Evaluarea școlară are urmatoarele etape:
-măsurarea rezultatelor, care constă în determinarea răspunsurilor corecte și a greșelilor
-aprecierea rezultatelor: acordarea notelor
-adoptarea măsurilor de îmbunătă țire a procesului didactic ș i a rezultatelor viitoare
Evaluarea are două func ții principale: de constatare și apreciere precum și funcția de
diagnoză și prognoză -predic ția evolu ției ulterioare a elevilor.
Există trei tipuri fundamentale de evaluare:
• Evaluare ini țială:la î nceputul unui cic lu de învă țământ, an ș colar ,semestru sau chiar unitate
de învă țare-are ca scop stabilirea nivel ului de la care pornesc elevii în acti vitatea următoare. Ea este
necesară datorită eterogenită ții clasei de elevi în ceea ce privește cunoștiț ele anterioare, ab ilitățile,
posibilită țile de învățare a noilor cunoștinț e. Pe b aza rezultatelor ei profesorul î și poate planific a
eficient predarea no ilor cuno ștințe, se poate adapta mai bine la nivelul clasei, poate să insiste mai
mult pe acele elemente necesare î n aborda rea noilor cuno ștințe, dar pe care elevii nu le stăpânesc
corespunză tor.
• Evaluarea continu ă sau formativ ă înso țește în permanență procesul didactic, contribuind la
optimizarea lui. P resupune verificarea sistematică și continu ă a elevilor din tot con ținutul esen țial al
învățării. Avantajele sun t: asigurarea feed -back -ului atât pentru elevi cât și pentru profesor,
posbilitatea modificăr ii stilului de învă țare al elevului, dacă rezultatele nu sunt mulț umitoare,
identificarea la timp a apari ției unor lacune.
În special la matematic ă, este foarte important ca elevii să fie evalua ți în permanență , deoarece, prin
structur a materiei, orice gol sau lacună în cuno ștințe îngreunează sau face chiar imposibil ă
înțelegerea lecțiilor următoare, conducâ nd la rezultate slabe.
• Evaluarea sumativă se realizează la sfâr șitul unei unități de învăț are, semestru (în cazul
tezelor), an școlar (teste de evalu are finală) sau ciclu de învă țămâ nt (examenele na ționale) și
permite aprecieri de bilan ț asupra nivelului de pregă tire al elev ilor cât și asupra procesului care a
generat rezultatele elevilor.
Metodele tradi ționale de evaluare sunt probele orale și scrise.
Evaluarea orală este metoda cea mai des utilizată : permite realizarea unui control al cuno ștințelor și
abilită ților elevilor dup ă fiecare lec ție sau în lecț iile de recapit ulare. Avantajele sunt: existen ța unei
interac țiuni directe dintre elev și profesor c are-l poate ajuta pe elev prin întrebări auxiliare și
137indica ții de rezolvare, în cazul în care acesta întâ mpin ă dificult ăți, deasemenea profesorul p oate
adecva mai bine sarcinile în func ție de nivelul fiecărui elev, corectarea greș elilor se re alizeaz ă
imediat. Dezavantaje: consum mare de timp, subiectivitate.
Evaluarea scrisă (extemporale, teste sumative, teze) au mai multe avantaje: testarea simultană a
tuturor elevilor cu acelea și sarcini de lucru, ob iectivitate, permite elevilor să rezolve c erințele în
ritm propriu și un singur dezavantaj major: asigurarea feed -back-ului cu întâ rziere.
Există și metode alternative de evaluare: investiga ția, proiectul (care sunt simultan și metode de
învățare și au fost tratate în capitolul corezpunză tor), por tofoliul, autoevaluarea.
Portofoliul este o metodă de evaluare complex ă, integratoare care ofer ă o imagine de ansamblu
asupra activită ții și evoluției î n timp a elevului. Se poate realiza sub forma unui dosar care cuprinde:
-rezultate la lucrări , teze
-rezolvă ri ale unor teme
-fișe cu formule și noț iuni
-soluții la probleme deosebite
-referate, etc.
Evaluarea portofoli ului are î n vedere: progresul înregistrat de elevi în în țelegerea matematicii,
motiva ția sa, perseverenț a, curiozitatea, abi litatea de a folosi instrumente matematice și a rezolva
situa ții-problemă . Portofoliul este o carte de vizit ă a elevului și elimină tensiunea ce înso țește alte
metode de evaluare tradi țională .
Autoevaluarea -este o metodă prin care elevii își apreciază singuri valoarea activităț ii
prestate. Se poate realiza prin:
-autonotare controlat ă: elevul î și dă întâ i o not ă pentr u propria presta ție care ulterior este ajustat ă de
profesor, cu lă muririle de rigoare
-notarea reciproc ă: elevii î și apreci ază reciproc contribu ția la rezolvarea unei probleme.
Instrumentele de evaluare (itemii) se împart î n: itemi obiectivi, sem iobiectivi și subiectivi.
1)Itemii obiectivi sunt:
a)cu alegere dual ă: adevă rat sau fals.
Stabile ște valoarea de adevăr pentru fiecare dintre propozi țiile:
a) 3 | 12 c) 6 5
b) 101| 5005 d) 3451 17
b)întrebări tip grilă
1.Cel mai mic num ăr prim de dou ă cifre este:
a) 10 b) 11 c) 12 d)13
2.Cel mai mic multiplu comun al numerelor 31 și 32 este:
a) 1 b) 32 c) 496 d) 992
1383.Numă rul natural a pentru care ,15 1a este:
a) 33 b) 50 c) 77 d) 165
4.Cel mai mare divizor propriu al numă rului 201510 este:
a) 20155 b) 201510 c) 201410 d) 20155 10
c)itemi de tip pereche
Înscri e în spa țiul din stâ nga fiecă rui item din coloana A litera corespunz ătoare rezultatului corect
din coloana B:
A B
___1) 48;12;36 =?
___2) 441;630 =?
___3) 112; 252 =?
___4) 72;108 =?
___5) 96;81 =? a) 28
b) 216
c) 3456
d) 4410
e) 12
f) 2592
2)Itemii semiobiectivi:
a)cu răspuns scurt/de completare
Completeaz ă spa țiile punctate :
1.Cel mai mare numă r de forma 98x divizibil cu 5 este …….
2.Cel mai mic mul tiplu de trei cifre al num ărului 37 este …….
3.Cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 24 este……..
4.Descompunerea în factori primi a numă rului 2100 este ……..
b)întrebă ri structurate
Exemple:
1.Un an este bisect dacă este divizibil cu 4, exceptând cazurile când este divizibil cu 100, fără a fi
divizibil cu 400.
a)Dă exemplu de un an care, de și este divizibil cu 4, nu este bisect;
b)Câ ți ani bisecți au fost între 1701 ș i 2015?
2.Într-o pung ă sunt 121 de bomboane.
a) Pot fi împăr țite acestea î n mod e gal la 5 copii? Justific ă;
b) Care este numă rul maxim de copii la care pot fi împăr țite în mod egal bomboanele, astfel încât
fiecare copil să primească mai mult de o bomboană ?
139
3.Fie 1 1 1 32 5 3 2 5 2 5 ,n n n n n nA n .
a) Dacă n=2, descompune numă rul A , în fact ori primi;
b) Precizează, în func ție de n , numărul de cifre al numă rului A;
c) Arată că 17A;
d) Afl ă valoarea lui n pentru care A are exact 50 de divizori naturali.
4.Un număr se divide cu 7 și prin împărțirea la 3 și la 5 dă resturile 1, respectiv 3. Afl ă:
a) cel mai mic num ăr cu aceste propriet ăți;
b) câ te numere mai mici ca 5000 cu aceste propriet ăți exist ă;
c) suma numerelor mai mici ca 5000 cu aceste propriet ăți.
5.Împăr țind portocalele dintr -o lad ă în grămezi de câte 4, de câte 5 sau de câte 6, rămân de fiecare
dată 3 portocale.
a) Verifică dacă în ladă pot fi 61 de portocale;
b) Determină numărul minim de portocale din lad ă, diferit de 3;
c) Afl ă numă rul portocalelor din lad ă, știind c ă este cel mai mic numă r de trei cifre cu propriet ățile
din enun ț.
6.Fie 5 10 951 2 2 … 2S . Arată că:
a) 11S
b) 3S
c) 1 32S
3)Itemi subiectivi -de rezolvare de probleme.
Rezolvarea de probleme este a ctivitatea principal ă a procesului de instruire la matematică ce
are ca scop dez voltarea creativită ții, gâ ndirii diverg ente, imagina ției, capacităț ii de analiz ă, sintez ă,
generalizare, capacită ții de a reformula o problem ă, etc.
Exemple:
1.Determină numere le naturale n pentru care 3 | 5 29n n .
2. Dacă a șezăm portocalele dintr -o ladă câte 5, rămâ n 3 portocale, iar dac ă le a șezăm câte 7, rămân
5 portocale. Află numă rul portocalelor din lad ă, știind că este cuprins între 50 ș i 70.
3. Află nume rele prime x și y, știind că 23 19 828x y .
4. Fie 1 23 7 5 3 7 17 21n n n n na și 1 13 7 2 3 7 10 21 ,n n n n nb n . Calculeaz ă
,a b.
1405. Fie numă rul natural 12 5a bN , unde *,a b. Știind că 2N are 16 divizori și 5N are 15
divizori, afl ă numărul N.
6.Determină pă tratele perfecte de trei cifre divizibile cu 3 și cu 5.
7. Determin ă numerele de forma abcd , dacă : 125 abcd si 9ab .
În continuare sunt prezentate exemple de teste transd isciplinare, cu câte 9 întrebă ri, compuse
din itemi de matematică, fizică și bio logie, care pot fi aplicate după anumite lec ții din unitate a de
învățare „Divizibilitatea numerelo r naturale”. Aceste teste sunt în concordan ță cu tipul subiectului
evaluă rii de la finalul clasei a VI -a. Testele sunt preluate d in Caietul de lucru : Matematică – algebr ă,
geomet rie, clasa a VI -a , sem I, al că rui coa utor sunt.
Test care poate fi aplicat după parcurgerea lec ției: Divizor. Multiplu.
Matematica … în parc
Maria și Ana sunt colege de clasă. Astăzi au hoatărât ca după terminarea temelor să se
recreeze două ore în parcul din apropierea zonei în care lo cuiesc.
1. Dacă n este numărul de minute pe care cele două colege și -au propus să -l petreacă în parc,
determinați numărul de divizori naturali al lui n.
2. Ana are vârsta reprezentată prin cel mai mic număr natural care are fix 6 divizori naturali. Care
este vârsta Anei.
3. Pe drumul până la parc sunt plantați castani. Numărul acestora este cuprins între cel mai mare
divizor propriu al numărului 118 și cel mai mare divizor propriu al numărului 183. Câți castani
sunt?
4. Maria culege de pe jos o castană care are încă coajă. Ea observă că pe această coajă sunt mai
mulți țepi. Îi numără și în glumă îi spune Anei că dacă ar avea un număr de castane și numărul total
al țepilor ar fi cât rezultatul calculului 20 + 21 + 22 + … + 220 , numărul țepilor este divizib il cu 7.
Justificați!
5. Cele două colege s -au așezat pe o bancă în parc. În fața lor sunt plantate într -un rond, panseluțe.
Numărul lor este cel mai mare multiplu al lui 18, mai mic decât 725. Determinați numărul
panseluțelor din rond.
6. Într -unul dintr e castani Maria observa o veveriță. Ea î și amintește de la orele de biologie că toate
animalele au corpul alcătuit din celule. Prezenta ți părțile componente ale celulei animale.
7. Pe una din panseluțe s -a așezat un fluture. Preciza ți mediul de viață al ac estei insecte.
1418. Ana st ӑ pe o bancӑ în parc. Ea observӑ cum picӑturile de apӑ de pe ramuri sclipesc în razele
soarelui, bruma așternut ӑ de dimineațӑ se împrӑștie sub formӑ de aburi, iar adierea vântului clatinӑ
ramurile castanilor. Care sunt categoriile d e fenomene fizice observate de Ana?
9. Maria se plimb ӑ pe o alee a parcului. Pe o margine a aleii sunt plantați arbuști la distanțe de doi
metri unul faț ӑ de altul. Ce distanțӑ a parcurs Maria, dacӑ, în timpul plimbӑrii, a numӑrat 13 arbuști?
Test care poate fi aplicat dupa parcurgerea lec ției : Criterii de divizibilitate
Matematica în … Săptămâna porților deschise
În săptămâna por ților deschise, organizată în fiecare an în luna octombrie în școala sa,
Cristi, elev în clasa a VI -a, participă la sesiu nea de comunicări științifice matematice.
1. În wekeend Cristi se apucă de realizarea lucrării pentru sesiunea de comunicări, dar constată că nu
are cele necesare. De aceea el merge la librăria din apropierea casei. De acolo el cumpără 4 pixuri cu
1,2 lei bucata, 3 radiere cu 2 lei bucata, 12 caiete și 8 creioane. Vânzătoarea îi spune prompt lui Cristi
că toate cumpărăturile costă 65 lei. Dar Cristi, din fire foarte vigilent i -a replicat vânzătoarei că nu e
posibil acest lucru. Justificați cum a gândit Cri sti!
2. Pentru realizarea lucrării, Cristi a consultat un număr de căr ți egal cu cel mai mic număr de două
cifre care este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 2. Câte căr ți a consultat Cristi?
3. Cristi a prezentat impecabil lucrarea în cadrul sesiun ii de comunicări. Una dintre aplica țiile care au
atras aten ția comisiei a fost următoarea: Calculați, fără a efectua efectiv înmulțirea cifra necunoscută
a din: 75487 54182 = 40900 6634 a .
4. La finalul prezentării, unul dintre profesorii evaluatori din comisie, l -a rugat pe Cristi să -i răspundă
la următoarea întrebare: “Un număr natural de patru cifre care are suma primelor trei cifre cel mult
egală cu 9, iar suma ultimelor trei cifre cel pu țin egală cu 17 este divizibil cu 3 sau cu 9”? D upă pu țin
timp în care s -a gândit, Cristi a răspuns corect: „Un astfel de număr care respectă condi țiile din
problemă este divizibil cu 3 sau 9”. Indicați ra ționamentul pe baza căruia Cristi a putut da răspunsul.
5. Cristi a ob ținut la sesiunea de comunică ri premiul I. În afară de diplomă el a primit și o sumă de
bani. Afla ți ce sumă a primit, știind că aceasta este reprezentată prin cel mai mic număr natural de
trei cifre divizibil cu 5 și 3 , care are cifra zecilor nenulă și divizibilă cu 2.
6. Pe coperta unui caiet Cristi observă imaginile unor plante care secretă latex. Numi ți trei plante pe
care Cristi le poate observa pe coperta caietului.
7. La libraria unde a mers Cristi sa facă cumpăraturile se mai vând și planșe. Cristi a fost atras de o
planșă ca re redă comparativ structura celulei vegetale și a celulei animale. Ajutați -l pe Cristi se afle
caracteristicile prin care celula vegetală diferă de celula animală.
1428. Pentru a rezolva tema la fizică, elevii trebuie să exerseze clasificarea corpurilor dup ă diferite
criterii. După ce criteriu a găsit Cristi următoarele grupe?
a) vapor, avion, locomotivă, automobil; b) vagon, corabie, cărucior, planor.
9. Ajută -l pe Cristi să găsească două criteria diferite care să conducă la aceeași ordonare a
următoarel or corpuri: cutie de chibrituri, telefon mobil, manual, cărămidă.
Test care poate fi aplicat dup ă parc urgerea lec ției : Proprietă ți ale relaț iei de divizibilitate
Matematica și … bobul de fasole
„Era odată o femeie săracă care locuia într -un sat de la poalele munților alături de fiul ei,
Jack. Într -o zi, femeia îl chemă la ea pe Jack și îi spuse că a doua zi dis -de-dimineață să meargă în
târg, să vândă vaca și cu banii obținuți să cumpere hrană pentru a putea supraviețui. (…) Pe drum
Jack a întâlni t un bătrân care i -a propus un schimb care la prima vedere părea tare ciudat: i -a propus
lui Jack să -i dea vaca în schimbul unor boabe de fasole fermecate.”(Jack și vrejul de fasole – de
Joseph Jacobs )
1. Dacă a reprezintă numărul boabelor de fasole primite de Jack și a / (125 x + 65y), pentru orice x și
y numere naturale, determinați numărul boabelor de fasole primite de Jack în schimbul vacii.
2. Jack a urcat în vârful vrejului de fasole răsărit dintr -una dintre boabele primite și acolo a dat de
casa unui uriaș. În acel moment uriașul era plecat la vânătoare. Dacă m este masa uriașului în tone și
m / (m – 93), aflați m știind că m < 93 și m este maxim posibil.
3. Jack a văzut în casa uriașului o colivie în care stătea o găină de aur care făcea doar ouă de aur . Pe
parcursul a 3 luni găina a făcut x ouă în prima lună, y ouă în a doua și z ouă în a treia. Dacă x / y și y
/ (x + z), iar în total găina a făcut 60 ouă, determi nați câte ouă a făcut găina în fiecare dintre cele trei
luni.
4. După ce a adus găina acasă, Jack vindea zilnic un număr de ouă pentru ași asigura cele necesare
traiului de zi cu zi. Aflați câte ouă vindea zilnic, dacă numărul acestora este egal cu valoare a
numărului natural prim p ce verifică relația ( p + 1) / ( p + 4).
5. Dacă x și y reprezintă în câte minute Jack, respectiv uriașul au coborât din vârful vrejului până
jos, iar xy – 2x = 17, determinați x și y știind că x > y.
6. Vrejul de fasole pe care J ack s -a urcat are culoarea verde, aceasta fiind dată de cloroplastele din
structura vrejului. Ce tip de țesut indică prezența cloroplastelor în structura acestei tulpini?
7. Într -o zi Jack sparge un ou și observă că acesta este format din trei componente asemănătoare
componentelor celulare. Specifica ți care sunt cele trei componente celulare de bază.
8. Jack vrea să afle volumul unui ou de aur. El dispune de o cană gradată și apă. Cum poate
proceda? Pe ce proprietate generală a corpurilor se bazează metoda sa?
1439. Să presupunem c ӑ pe vremea lui Jack se foloseau unitӑți de măsură tradiționale românești. Astfel,
Jack a măsurat lungimea vrejului și a g ӑsit 500 de stânjeni, sala mare din castelul uriașului avea aria
de 1 pogon, covorul de la intrare avea lungime a de 5 coți, înălțimea turnului castelului era de 50 de
prăjini iar, în cămară, uriașul avea 20 ocale de cartofi și 10 de banițe cu grăunțe. Ajută -l pe Jack să
afle valorile în SI ale mărimilor de mai sus, găsind corespondența lor în următoarea list ӑ:
1. Stânjen A. 223 cm
2. Pr ӑjinӑ B. 3 stânjeni
3. Cot C. 664 mm
4. Pogon D. 501 179 dm2
5. Ocaua E. 1,291 kg
6. Baniț ӑ F. 40 ocale
§6. Cercetarea pedagogic ă
Cercetarea pedagogică este un demers sistematic de cunoa ștere, e xplicare și
îmbunătă țire a fenomenului educaț ional. Ea are ca punct de plecare con știentizarea unei d ificultă ți
întâmpinate de profesor î n activitatea la clas ă, și urmărește în final sporirea eficienței activității și
îmbunătă țirea rezultatelor.
În cadrul procesului de învă țămâ nt se manifest ă o serie de variabile, aflate într -o permanen ță
interac țiune. Sa rcina cercetării pedagogice este de a î ncerca s ă „descifreze” rela țiile dintre ele, în
scopul optimiză rii rezultatelor.
În câmpul de acțiune al pract icii educaționale intră:
Profes orul cu personalitatea sa, pregă tirea sa metodic ă și de specialitate
Elevul (elevii) care, au personalitate în formare, î și manifest ă propriile
particularități și propriul potenț ial
Conținutul învațământului cu elementele sa le de constanță, dar și cu o anume
dinamică ( în special în perioada de reformă )
Baza materială cu minusurile sale
O serie de alte variabile conjuncturale care pot avea infuențe importante asupra
activitații educationale.
Relaț ia dintre aceste elemente este complexă, dinamică și orice modificare a unuia dintre
ele determină reacții în lanț asupra celorlalte.
Cercetătorul își îndreaptă atenția asupra uneia sau alteia dintre variabilele existente sau
asupra raporturilo r dintre ele, încearcă s ă-i descifreze mecanismul de acțiune, particularitățile, s ă-i
stabilească infuențele și să optimizeze activitatea pe secvența avută în vedere.
Cercetarea pedagogica poate fi de dou ă tipuri:
144-cercetare aplicativă : rezolv ă problemele educa ției curente pe termen scurt
-cercetare fundamentală, pe termen lung -concepe și proie ctează educa ția, învățământul, ș coala
viitorului
În lucrarea de fa ță voi prezenta o cercetare aplicativ ă.
Deasemenea cercetarea se mai clasifi că în:
-constatativă : urmăre ște cunoașterea și descrierea în detaliu a unei situații educaț ionale
-ameliorativ ă: are drept scop verificarea eficienței unor inovații – cu caracter mai accentuat sau mai
puțin accentuat practic – ce se constituie ca ipoteze ale cercetarii.
Orice cercetare pedagogic ă presupune parcurgerea urmă toarelor etape:
1)stabilirea te mei de cercetare și a obiectivelor
2)asigurarea documenta ției
3)formularea ipotezei de lucru
4)organizarea propriu -zisă a cercetă rii:
– stabilirea perioade i de cercetare;
– precizarea locului de desfășurare a cercetării și a eșantionului de subiecți;
– stabilirea metodelor de înregistrare și prelucrare a datelor;
– aplicarea interven țiilor preconizate ș i urmărirea rezultatelor obținute;
5) prelucrarea și interpretarea datelor
6) formularea concluziilor
Ipoteza de cercetare pedagogica este o presupunere p rivind desfă șurarea î n perspectiv ă a unui
proces educa țional în scopul obț inerii unor rez ultate mai bune, a unei optimiză ri a fenomenului
studiat .
Metodele f olosite în cercetarea pedagogică sunt:
I. Metoda observației – constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele in
condițiile obișnuite;
II. Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor
modificări în desfășurarea procesului instructiv -educativ, cu scopul imbunatatirii rezultatelor
Experimentul educativ are trei faze:
etapa pregătitoare;
etapa de efectuare;
etapa de evaluare.
III. Metoda convorbirii – constă dintr -un di alog între cercetator și subiecții investigați;
IV. Metoda chestionarului – este o anchetă care se desfasoară pe baza de chestionar scris;
V. Metoda cercetării documentelor școlare;
VI. Metoda analizei produselor activitații școlare;
VII. Teste psihopedagogice;
145 VIII. Metoda interevaluă rii elevilor;
IX. Tehnici sociometrice.
Cerințele unei cercetă ri pedagogice eficiente:
-înregistrarea corect ă a datelor
-investigarea unui număr suficient de cazuri, care să se justifice din punct de v edere statistic (loturi
reprezentative de elevi)
-asigu rarea cadrului natural al situa țiilor pedago gice de investiga ție (activitatea să fie inclusă î n ore
normale)
Pentru ca măsurarea s ă fie cât mai reală este necesar să determin ăm caracteristicil e
fenomenelor ce urmează a fi mă surate și să folosim cel mai potrivit instrument de măsurare. Cele
mai utilizate instrumente de măsurare în cercetarea pedagogică sunt:
– numărarea datelor;
– ordonarea datelor;
– prelucrarea statistică a datelo r cercetarii.
Dintre tehnicile statistice utilizate mai frecvent în cadrul cercetarii pedagogice se
enumeră:
întocmirea tabelului de rezultate ( tabele analitice și sintetice );
reprezentări grafice: – histograma
– poligonul de frecvență.
calcularea unor indici statistici : media aritmetică.
§7.Experiment pedagogic : utilizarea metodelor moderne și a ins truirii asistate de calculator
în predarea -învățarea divizibilității î n gimnaziu
1.Motiva ția alegerii temei. Scopul și obiectivele cercetă rii
Am ales să efectuez o cercetare ped agogică pe această temă din mai multe motive. În primul
rând, am optat pentru acest capitol, deoarece el creeaz ă destul de multe dificultă ți elevilor de
gimnaziu. În plus în țelegerea corectă a noț iunilor de divizibilitate de către elevii claselor a V -a și a
VI-a asig ură acestora baza necesar ă de care au nevoie mai târziu, în ciclul liceal, atunci când vor
opera cu no țiuni de divizibilitate la un nivel mai rid icat.
Este evident faptul c ă limitarea la metodele și mijloacele tradiționale de învățămâ nt, conduce de
cele mai multe ori la rezultate nu foarte bune. Pornind de la acest ă constatare, sunt inevitabile
următoarele întrebă ri:
„Care este eficien ța met odelor active, moderne, combinate și cu instruirea asistat ă de calculator?”
146„Pot aceste metode s ă contibuie la îmbunătă țirea rezultatelor școlare?” „Dacă da, în ce mă sură?”
Obiectivele cercetă rii:
utilizarea unor tehnici de determinare obiectiv ă a nivelulu i de pregătire ini țial ș i final al
elevilor;
determinarea nivelului general de pregătire la disciplina matematică a elevilor implicați în
cercetare;
înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor
experimentale ș i de co ntrol la testul inițial și cel final;
utilizarea calculatorului în procesul didactic
stimularea creativității elevilor
sintetizarea rezultatelor cercetării, elaborarea concluziilor.
2.Formularea ipotezei de cercetare
În realizarea procesului de cercetare e xperimental ă am pornit de la urmă toarea ipotez ă:
“ Introducerea î n activitatea instructiv educativ ă la clas ă a metodelor activ -participative, vor reu și să
stârnesc ă interesul elevilor și să-i implice în propria lor formare, asigurându -se astfel o cre ștere a
rezultatelor școlare și implicit a succesului ș colar ?”
3.Coordonatele cercetarii
Experimentu l pedagogic a fost realizat în semestrul I al anului școlar 2016 -2017, cu ocazia parcur-
gerii unită ții de învăț are “Divizibilitatea nume relor naturale”. Conform p rogramei școlare, î n
vigoare la acea dat ă, aceast ă unitate de învă țare cuprinde următoarele lecț ii:
1.Divizor. Multiplu.
2. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9.
3. Proprietă ți ale relației de divizibilitate î n .
4. Num ere prime. Numere compuse.
5.De scompunerea numerelor naturale î n produs de puteri de numere prime.
6.Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale. C.m.m.d.c.
7.Numere prime î ntre ele.
8.Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale. C.m.m. m.c.
9.Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea.
Clasa experimental ă a fost clasa a VI -a C , iar clasa de cont rol a fost a VI -a A, clasele avâ nd efec-
tive apropiate de elevi, î n jurul valorii de 25 de elevi.
147Atât clasa martor cât și cea ex perimentală au fost alese în așa fel încât să fie clase eterogene, cu
elevi aflați la toate nivelurile cognitive, de la cel mai ridicat până la cel mai scăzut, elevi care provin
din familii de diferite categorii socio -profesionale.
4.Desfă șurarea prop riu z isă a cercetă rii
S-a aplicat întâi un test inițial, pentru a asigura faptul că cele două clase au un nivel
asemănător de pregătire. S -au verificat cu această ocazie cunoștințele de bază necesare în abordarea
noii unități de învățare și anume cele referito are la:
-divizor, multiplu
-criterii de divizibilitate învă țate î n clasa a V -a: cu 2,5,10
În desfășurarea efectivă a cercetării, la clasa de control a VI-a A s-a lucrat într -o manieră
clasică, folosind preponderent maniera de lucru frontală și individuală (fără lucru pe grupe),
folosind metode tradiționale: expunerea, explicația, conversația, demonstrația, exercițiul, iar ca
mijloace didactice au fost folosite manualul și auxiliarele didactice .
La clasa experimentală a VI-a C :
-s-au folosit m etode active , centrate pe elev și anume: metoda mozaicului la predarea criteriile de
divizibilitate, a șa cum a fost exemplificat anter ior, metoda brainstormingului cât și metoda
ciorchi nelui sau metoda cubului la lec țiile de recapitulare de la finalul capitolului.
– deasemene a s-a utilizat metoda investiga ției ș i a modelarii la rezolvarea unor problem e practice de
divizibilitate .
-s-a folosit instruirea asistată de calculator pr in folosirea la majoritatea lec țiilor a platformei soft-
ware Ael cât și a site -ului www.numere -prime.ro . Cu ajutorul acestui site elevii și-au verificat anu-
mite rezultate, de exemplu atunci câ nd au avut de calcula t c.m.m.d.c sau c.m.m.m.c a două numere.
Modul în care s -au aplicat metodele active î n studiu l capitolului “Divizibilitatea numer elor natura-
le” este detaliat, în această lucrare, la paragraful referitor la metode didactice.
După parcurgerea unității de învățare s -a aplicat testul final, pentru a vedea în ce măsură modul de
lucru diferit de la cla sa experimentală a produs rezultate mai bune și pentru a vedea în ce măsură se
confirmă ipoteza experimentului.
Sunt prezentate î n continuare cele dou ă teste:
148
TEST INI ȚIAL
1. Sublinia ți în ș irul de numere date pe cele divizibile cu 5:
4; 40; 31; 14; 55 ; 200; 1000; 63; 0
2. Scrie ți toate numerele de forma 7a divizibile cu 2.
3. Câte numere naturale impare, î n baza 10, de forma 12ab există?
4. Determina ți numerele naturale nenule , ,a b c știind c ă 2 3 58a b c , a este numă r
prim, iar c este divizibil cu 10.
5. Determina ți numă rul natural x , pentru care 2 1x este divizor al lui 50.
6. Determina ți numerele naturale a și b știind c ă: 11 4 42 0a b
Punc taj: 1. 1p; 2. 1p; 3. 2p; 4. 2p; 5. 2p; 6. 1p
TEST FINAL
1. Calcula ți suma numerelor prime c uprinse între 80 și 100.
2. Scrie ți toate numerele divizibile cu 45 de forma 672ab.
3. Calcula ți: a) 28;42;63 b) 28;42;63
4. Determina ți numerele a și b , știind că , 7a b și 35 a b .
5. Determina ți cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 6 ș i la 15 s ă dea acela și rest 3
și câtul diferit de zer o.
6. Determina ți numerele prime a, b și c care verific ă egalitatea: 38 60 198a b c .
7. Arătați că numerele 13 3n n și 15 5n n nu sunt prime î ntre ele.
8. Trei autobuze pornesc din aceea și stație, la aceeași oră , în direc ții diferite. Primul autobuz
face cursa dus -întors în 90 de minute, al doilea î n 45 de minu te, iar al treilea în 150 de mi-
nute. După câ te ore vor pleca din nou, din aceea și stație, la aceeași oră ?
9. Pentru n numă r natural nenul, notă m cu nP produ sul divizorilor naturali ai numă rului n. De-
termina ți n cu proprietatea ca 15756nP .
Punctaj: 1. 1p; 2. 1p; 3. 1p; 4. 1p; 5. 1p; 6. 1p; 7. 1p; 8. 1p; 9. 1p.
1495.Interpretarea grafică a datelor
Testul inițial
La testul ini țial, susținut de cele două clase a VI -a din no țiunile de divizibilitate studiate la clasa a
V-a, s-au înregistrat urmă toarele note:
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr elevi
VI C 0 0 2 2 5 7 5 2 2
Nr elevi
VI A 0 0 2 3 4 8 2 4 1
La testul ini țial media clasei VI C a fost 7,00 , iar a clasei VI A a fost 6,87 .
Testul final
La testul final, dat la cele două clase a VI -a , la finalul unită ții de învăț are “Divizibilitat ea numere-
lor natural e, au fost înregistrate urmă toarele note:
Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr elevi
VI C 0 0 1 2 3 7 4 4 4
Nr elevi
VI A 0 0 2 2 4 7 4 3 2
150
La clasa a VI -a C (clasa experimentala) media testului final a fost de 7,56.
La clas a de control a VI -a A, media a fost 7,08.
6.Concluzii
Cele dou ă clase de elevi utilizate pentru cercetare au fost bine alese, întrucât diferen ța
mediilor la testul ini țial este destul de mică (7,00 si 6,87) , acest lu cru asigurâ nd validitate
experi mentului.
Se observă cu certitudine că la clasa experimental ă, a VI -a C, unde au fost a plicate
metode active, moderne și s-a folosit instruirea asistat ă de calculator , media testului final a fost de
7,56 , spre deosebire de clasa martor unde media a fost 7,08.
Putem spune că astfel se confirmă ipoteza cer cetării.
Metodele folosite la clasa experimentală au reușit să sporească interesul și motivația
elevilor pentru noțiunile studiate, ducând la îmbunătățirea rezultatel or.
Concluzia desprins ă este că folosirea metodelor active, cât și folosirea instruirii asistate de
calculator, au reu șit să facă partea teoretic ă mai accesibil ă, no țiunile și legă turile dintre ele au fost
fixate mai bine, s -a remarcat o m ai mare u șurință în raționament ș i exprimare.
Lecțiile au fost considerate de cea mai mare parte d intre elevi mai interesante decât cele obi șnuite.
S-a demonstrat astfel că utilizarea metodelor activ -participative î n procesul instructiv educativ
accelereaz ă însu șirea cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor, a capacităților ș i
contribuie la dezvoltarea tuturor proceselor psihice.
151 Metodel e activ -participative folosite î n cadrul de mersului pedagogic au o eficien ță
sporit ă prin fa ptul c ă antreneaz ă elevul în procesul de predare -învățare, transformându -l în
participant activ al propriei sale formari, profesorului reven indu-i sarcina de coordonator,
îndrumător al activită ții.
Totuși, chiar dacă aceste metode fac lecț iile mai interesante și mai atractive pentru elevi
în clasă, contează foarte mult și activitatea lor acasă, calitatea efectuării temei. Dacă elevul îș i
neglijează partea sa de responsabilitate, rezultatele nu pot crește dramatic, chiar dacă noi în clas a îi
asiguram un mediu cât mai atractiv.Ca profesori, trebuie să avem permanent în vedere faptul că e
necesar să găsim căi și soluții prin care matematica să trezească interesul și curiozitatea elevilor , să
le stimuleze efortul personal, spiritul creator, ima ginația, gândirea critică.
§8. Considera ții metodice asupra divizibilită ții polinoamelor
Considerăm inelul polinoamelor cu coeficienți într -un corp dat K.
Vom defini întâi divizorii improprii; orice polinom este divizibil cu:
1) orice polinom de gradul zer o (constantele corpului K) afară de polinomul nul;
2) orice polinom asociat – polinomul obținut prin înmulțirea polinomului dat cu o constantă a
corpului.
1.Exemple: fie Q corpul numerelor raționale. Polinomul P =
52X2 – X +
43 este divizibil cu
o constantă oarecare, de exemplu 72, deoarece avem: 52X2 – X + 43 =
821
27
57
722X X
Înmulțind pe P cu o constantă, de exemplu 85 obținem polinomul asociat P =85P. P este divizibil P',
deoarece P =58P.
Divizorii menționați se numesc improprii; divizorii diferiți de aceștia când există se numesc proprii.
Divizorii improprii fiind divizori ai o ricărui polinom, problema importantă și mai grea este aceea a
căutării divizorilor proprii. Dacă un polinom P nu are nici un divizor propriu, el se numește
ireductibil. Dacă Peste divizibil cu Q, el este divizibil și cu orice asociat al lui Q, căci dacă P= QT
putem scrie P=(kQ)
Tk1, unde k este o constantă nenulă a corpului, ceea ce arată că Peste
divizibil cu kQ.
Este util să facem o comparație cu inelul numerelor întregi. Aici orice număr este divizibil
cu + 1, cu –1 (unitățile) și cu fa ctorii asociați. Divizorii improprii sunt în număr finit, pe când în
inelul polinoamelor cu coeficienți într -un corp dat infinit, divizorii improprii sunt în număr infinit.
Atragem atenția că definiția dată polinomului ireductibil presupune că s -a fixat c orpul coeficienților
(inelul de polinoame). Astfel: polinomul X2 – 3 Q[X] este ireductibil; pe scurt P este ireductibil în
152corpul rațional. Același polinom P este reductibil în corpul real, căci X2 – 3 = (X –3 )(X+ 3),
deci P are divizori proprii în inelul polinoamelor cu coeficienți reali.
2.Algoritmul lui Euc1id: Scopul predării acestei lecții nu este numai acela de a asigura o
verigă necesară în studiul polinoamelor, numai de a face pe elevi să știe cum se calc ulează
c.m.m.d.c..
Foarte adesea unii elevi cu atât rămân; știu cum să ca1culeze mecanic, analog "știu" să
împartă două numere de oricâte cifre, fără să poată justifica.
Există în înțelegerea algoritmului un proces de gândire specific care își are importan ța sa
educativă; algoritmul însuși nu trebuie văzut numai ca o metodă de calcul, ci și ca o metodă de
demonstrație. De asemenea, nu trebuie uitat că algoritmul acesta stă la baza studiului unei clase
largi de inele – cele euclidiene – astfel încât în expun erea lui trebuie subliniată schema, tipul de
raționament, care în partea esențială poate fi generalizat. Această lecție dă prilejul să degajăm
noțiunea în sine de algoritm și importanța ei în mașina de calcul.
Pe direcția acestui scop complex, să dăm un ele indicații asupra modului de expunere.
Fie P și Q două elemente ale unui inel de polinoame (intenționat nu notez P(X), Q(X), am în vedere
scopul de a pune în evidență tiparul potrivit unui inel euclidian oarecare) și fie grad P > grad Q.
Ne propunem să găsim divizorii comuni (spun divizorii comuni și nu cel mai mare divizor comun;
am în vedere și teoremele care se demonstrează prin algoritm). Împărțim pe P la Q ; fie P = QC + R,
grad R < grad Q.
Dacă P și Q au un divizor comun d, P = P 1d; Q = Q 1d, acesta este și divizor al lui R, căci R =
P – QC = P 1d – Q1dC = d(P 1 – Q1C) și P 1 – Q1C aste tot un element al inelului.
Analog, dacă Q și R au un divizor comun, acesta este și divizor al lui P.
Să aprofundăm această dublă constatare (insist pentru că primul pas al algoritmului trebuie
bine înțeles – ceilalți pași urmează de la sine, se fac la fel ).
Să notăm M = { d 1, d2, …} mulțimea divizorilor comuni lui P și Q;
M= { d 1, d2, …} mulțimea divizorilor comuni lui Q și R. Un element din M – oricare – este și în M'
, căci dacă d este divizor al lui P și Q este și al lui R, deci al lui Q și R. La fel, a doua propoz iție
poate fi interpretată: orice element din M' este și în M.
Cele două mulțimi M și M' coincid. Problema de a găsi mulțimea divizorilor comuni lui P și Q s -a
redus la problema de a găsi divizorii comuni lui Q și R. Nu am rezolvat încă problema, dar am
redus -o la aceeași problemă într -un caz mai simplu.
Mai simplu, pentru că în loc de P și Q avem Q și R cu grad Q < grad P, grad R < grad Q,
deci două polinoame de grade respectiv mai mici.
Important este și faptul că avem aceeași problemă (vom face din nou, vom repeta același
raționament, același ca1cul); important este și faptul că gradele sunt mai mici, că avem un caz mai
simplu, mai ușor de rez olvat.
153Subliniez: primul pas a fost mai greu, pașii următori sunt la fe1 (subliniez aceasta pentru a
degaja la sfârșit noțiunea de algoritm în general și faptul că acesta este modul de lucru potrivit
mașinii de calcul).
Notez d. c. divizorii comuni
Să afl ăm mulțimea d. c. lui Q și R . La fel, se împarte Q la R.
Q = RC 1 + R 1, grad R 1 < grad R.
Problema s -a redus acum la una și mai simplă; în loc de Q, R avem R, R 1 cu grad R < grad
Q, grad R 1 < grad R. Mulțimea M pe care o căutăm este acum mulțimea M" a d. c. lui R și R 1.
Procedăm la fel:
R = R 1C2 + R 2, grad R 2 < grad R 1.
Apoi repetăm. Până când? Aici apare un alt aspect esențial al inelulu1euclidian; gradul este un
număr natural (≥0). Gradul resturilor succesive descrește; deci după un număr finit de pași (mai mic
decât grad Q) ajungem sau la o împărțire cu restul 0 sau la una în care gradul restului este 0, adic ă
restul este o constantă și împărțirea se va face exact.
Să scriem șirul de împărțiri și să presupunem, de exemplu,
P = QC + R
Q = RC 1 + R 1
R = R 1C2+R2
R1 = R 2C3 + R 3
R2 = R 3C4
Că sunt 5 împărțiri ( mă feresc să iau n împărțiri, să folosesc…, pentru că urmăresc ideea și nu v reau
să încurc atenția în problema de notație).
Repet: mulțimea d. c. lui P și Q este aceeași cu mulțime a d. c. lui Q și R, adică lui R și R 1,
adică lui R 1 și R 2, adică lui R 2 și R 3.
Problema s -a redus deci la aceasta: să se afle mulțimea d. c. lui R 2 și R 3 știind că R 2 = R 3C4.
Aici raționamentul este puțin schimbat: orice element d care e divizor al lui R 3 este și
divizor al lui R 2, deci este d. c. lui R 2 și R 3 (căci din R3 = dq R2 = (dq)C 4 = d(qC 4)).
Reciproc, orice d. c. lui R 2 și R 3 este de la sine divizor lui R 3.
Așadar mulțimea d. c. lui R 2 și R 3 – care este mulțimea M căutată coincide cu mulțimea
divizorilor lui R 3, ultimul împărțitor din șirul împărțirilor făcute.
Privire sintetică: Pentru a găsi mulțimea divizorilor comuni a două elemente P și Q dintr -un
inel de polinoame, facem șirul de împărțiri menționat până ajungem la o împărțire exactă care este
ultima.
Mulți mea căutată coincide cu mulțimea divizorilor ultimului împărțitor.
Găsirea divizorilor comuni a două polinoame s -a redus la găsirea divizorilor (evident, nu mai
spunem comuni) unui polinom.
1543.Noțiunea de algoritm: Șirul de împărțiri efectuate mai sus poar tă numele de algoritmul lui
Euclid. În general, numim algoritm o succesiune de calcule de același tip care se leagă între ele
constituind împreună rezolvarea unei probleme. Noțiunea de algoritm este foarte importantă pentru
folosirea mașinilor modeme de ca lcul; mașina poate repeta un tip de calcul dat folosind rezultatele
obținute tot de ea în calculul precedent. Munca matematicianului care întocmește un program pentru
mașină constă în găsirea unui algoritm potrivit problemei, pe care mașina să îl execute.
4.Noțiunea de c.m.m.d.c. și teorema demonstrată o dată cu stabilirea algoritmului: Revenim
la șirul de împărțiri de mai sus. Mulțimea d. c. lui P și Q coincide cu mulțimea divizorilor ultimul ui
împărțitor (de sus R 3). Un divizor comun oarecare al lui P și Q este un divizor al lui R 3. Printre
divizorii lui R 3 este și însuși R 3, alți divizori proprii ai lui R 3 – când există – au grad mai mic; de
aceea numim pe R 3 c.m.m.d.c. al lui P și Q ; notăm (P , Q) = R 3.
Ce știm despre un d. c. care nu este neapărat, cel mai mare? Știm că el este divizor comun al
lui R 3, pe care l -am numit c.m.m.d.c.. Avem deci:
5.Teoremă: Un divizor comun a două elemente ale inelului divide pe c.m.m.d.c. al lor.
(Acest enunț se ia uneori ca definiție pentru c.m.m.d.c. : numim c.m.m. d.c. acel divizor comun care
este multiplu al oricărui divizor comun.)
Discuție: Dacă c.m.m.d.c. (ultimul împărțitor) este o constantă, singurii lui divizori sunt
constantele; cele două polinoame date nu au d. c. diferiți de constante (care, știm, sunt d ivizori
improprii, le au ca divizori orice polinoame). In acest caz, polinoamele sunt numite prime între ele .
Urmează exerciții – exemple date ca temă acasă – după cel puțin un exemplu făcut în clasă.
Evident, alegem exerciții care să reprezinte o varieta te de cazuri; un șir de împărțiri mai lung, altul
mai scurt, un exercițiu în care c.m.m.d.c. este o constantă, altul în care este de gradul I, altul î n care
e de gradul II , etc.
Dăm în acest sens următorul exercițiu.
Folosind algoritmul lui Euclid, găsiț i c.m.m.d.c. al polinoamelor:
a) f = X4 + 3X3 +X2 – 2 și g = X3 + 2X2 + 2X + 1 din Q[X];
b) f = nXn+1 – (n + 1)Xn + 1 și g =Xn – nX+ n – 1 din Q[X]
c) f = X2 + 3X + 2 și g = X2 – X – 2 în R[X] ;
d) f = X4 + X2 + ^
2X + ^
2 și g = X2 +^
3X + ^
6 din Z 7[X] ;
e) f = X4 + ^
2X2 + X + ^
2 și g = X4 + X3 +^
2X +^
2 din Z 3[X] ;
f) f = X5 + 5X4 + 4X3 – 8X2 – 5X + 3 și g = X4 + 5X3 + 7X2 + X –2 în R[X]
155Rezolvare:
a. X4 + 3X3 + X2 – 2 X3 + 2X2 + 2X + 1
– X4 – 2X3 – 2X2 – X X + 1
/ X3 – X2 – X – 2
– X3 – 2X2 – 2X – 1
/ –3X2 – 3X – 3
Putem scrie: –3X2 – 3X – 3 = – 3(X2 + X + 1)
X3 + 2X2 + 2X + 1 X2 + X + 1
– X3 – X2 – X X + 1
/ X2 + X + 1
– X2 – X – 1
/ / /
Deci D(X) = X2 + X + 1, unde am notat D(X) c. m. m. d. c. al polinoamelor f și g; grad D = 2
b) nXn+1 – (n+ 1) Xn + 1 Xn – nX + n – 1
– nXn+1 + n2 X2 + (n2 – n)X nX – (n+1)
/ – (n+ 1) Xn+ n2X2 +(n2-n) X + 1
(n+1) Xn – (n2 + n)X + n2 – 1
/ n2X2 – 2nX + n2
n2X2 – 2nX + n2 = n2 (X2 – 2X + 1)
Xn – nX + n – 1 X2 – 2X + 1
– Xn + 2Xn-l – Xn-2 Xn-2 + 2Xn-3 +… +(n – 2)X + (n – 1)
/ 2Xn-l – Xn-2 – nX + n – 1
– 2Xn-l + 4Xn-2 – 2Xn-3
/ 3Xn-2 – 2X n-3 – nX + n – 1
……………………..……
………………..…………
/ (n – 2)X3 – (n – 3)X2 – nX + n – 1
– (n–2)X3 + 2(n – 2)X2 – (n – 2)X
/ (n – 1)X2 – 2(n – 1)X + n – 1
– (n – 1)X2 + 2(n – 1)X – n + 1
/ / / /
D(X) = X2 – 2X + 1 = (X -1), grad D = 2
156
c. X2 + 3X + 2 X2 – X – 2
– X2 + X + 2 1
/ 4X + 4
X2 – X – 2 X + 1
– X2 – X X – 2
/ – 2X – 2
2X + 2
/ /
Deci D (X) = X + 1, grad D = 1
d. X4 + X2 +^
2X + ^
2 X2 +^
3X +^
6
^
6X4 +^
4X3 + X2 X2+^
4X
/ ^
4X3 + ^
2X2 + ^
2X + ^
2
^
3X3 + ^
2X2 + ^
4X
/ ^
4X2 + ^
6X + ^
2
^
4X2 + ^
6X + ^
2 = ^
4(X2 + ^
5X + ^
4)
X2 + ^
3X + ^
6 X2 + ^
5X + ^
4
^
6X2 + ^
2X + ^
3 ^
1
/ ^
5X + ^
2 = ^
5(X + ^
6)
X2 + ^
5X + ^
4 X + ^
6
^
6X2 + X X + ^
6
/ ^
6X + ^
4
X + ^
6
/ ^
3 ^
3 0
D(X) = 1, grad D = 0. Polinoamele sunt prime între ele.
157e. X4 + ^
2X3 + X + ^
2 X4 + X3 + ^
2X + ^
2
^
2X4 + ^
2X3 + X + ^
1 ^
1
/ X3 + ^
2X
X4 + X3 + ^
2X + ^
2 X3 + ^
2X
^
2X4 + X2 X + ^
1
/ X3 + X2 + ^
2X + ^
2
^
2X3 + X
/ X2 / + ^
2
X3 + ^
2X X2 + ^
2
^
2X3 + X X
/ /
D(X) = X2 + ^
2, grad D = 2
f. X5 + 5X4 + 4X3 – 8X2 – 5X + 3 X4 + 5X3 + 7X2 + X –2
– X5 – 5X4 – 7X3 – X2 + 2X X
/ / – 3X3 – 9X2 – 3X + 3
X4 + 5X3 + 7X2 + X –2 X3 + 3X2 + X – 1
– X4 – 3X3 – X2 + X X + 2
2X3 + 6X2 + 2X – 2
– 2X3 – 6X2 – 2X + 2
/ / / /
D(X) = X3 + 3X2 + X – 1, grad D = 3
Revenim din nou: Să evităm ca astfel de exerciții să fixez e în mintea elevului numai mecanismul;
cu prilejul ascultării, când se efectuează un exercițiu, să punem întrebări asupra fondului, asupra
raționamentului general, adaptat cazului concret pe care îl avem în față.
În lecția următoare, după revederea algorit mului, trecem la stabilirea unor teoreme –
consecințe ale lui.
a) Dacă înmulțim elementele P și Q cu același element T obținem elementele PT și QT. Ce
putem spune despre c.m.m.d.c . al lor ?
Vom păstra pe tablă, de la ascultare, șirul de împărțiri de la af larea lui (P, Q). Arătăm că din P = QC
158+ R, grad R < grad Q, rezultă PT = QT, C+RT, grad RT < grad QT. Enunțăm și în cuvinte, apoi
scriem în paralel șirul de la (P,Q), șirul de împărțiri pentru aflarea lui (PT , QT).
P = QC + R PT = QTC + RT
Q= RC 1 + R 1 QT = RTC 1 + R 1T
R=R 1C2 + R 2 RT = R 1TC 2 + R 2T
R1 = R 2C3 R1T = R 2TC 3
Deducem că (PT, QT) = (P, Q)T
Enunțăm și în cuvinte. Stabilim analog că dacă împărțim elementele P și Q cu același e lement – care
trebuie să fie d. . – și c.m.m.d.c. se împarte cu el.
b) Stabilim teorema fundamentală pentru teoria descompunerii: dacă un element divide un
produs și este prim cu unul din factori, el divide pe celălalt factor. Demonstrația e bazată pe
algoritm (și pe consecința a)). Dacă Q divide produsul PT și este prim cu P, avem (P,Q) = k
(constant) și deci – conform consecinței a) – (PT, QT) = kT
Deoarece Q este divizor comun pentru PT (prin ipoteză) și pentru QT (în mod evident),
conform teoremei stabi lită prin algoritm, Q va divide pe c.m.m.d.c. al lor, adică pe kT, deci și pe T.
Rezultă teorema: un produs de polinoame ireductibile nu poate fi divizibil cu un polinom
ireductibil care nu se află, eventual înmulțit cu o constantă, printre factorii lui. P entru cazul a doi
factori, teorema se reduce la cea de mai sus; pentru cazul a n factori se demonstrează prin inducție .
De aici rezultă in mod imediat teorema unicității descompunerii în factori ireductibili (dacă
am avea P = AB… = A 1B1…, unde factorii a r fi diferiți nu numai prin ordine sau prin înmulțirea
unora din ei cu constante, produsul AB… ar fi divizibil cu A 1 , care nu se află prin factorii lui) .
Dacă raționamentele au fost conduse astfel încât să sublinieze ce a fost esențial, dacă în plus s -au
folosit notații destul de generale, elevii nu vor avea decât mai puțin de un pas de făcut pentru a
înțelege ce este un inel euclidian și că într -un astfel de inel este valabilă teorema unicității
descompunerii în factori ireductibili – care este baza te oriei divizibilității într -un astfel de inel.
Observație importantă. Dăm tot acum o altă consecință a algoritmului – de astă dată specifică
inelului de polinoame. Importanța ei va fi pusă în evidență după ce se trece la partea a doua a
studiului polinoamel or – la ecuații. Am văzut că polinoamele cu coeficienți raționali pot fi privite și
ca elemente particulare ale inelului de polinoame cu coeficienți reali. În general, polinoamele pest e
corpul K pot fi privite și ca polinoame peste corpul K' care este o ex tensie a lui K (K K').
Împărțirea cu rest și deci algoritmul lui Euc1id ne conduce la resturi și câturi cu coeficienți În
același corp K. Deci, fie că considerăm polinoamele cu coeficienții în K, fie că le considerăm în K' ,
c.m.m.d.c. al lor este acelaș i.
6.Rădăcinile unui polinom
Până acum, X a fost o nedeterminată, un simbol care a servit la definirea polinomului, dar
neesențial; ne -am fi putut dispensa de scrierea lui, exprimând polinomul numai prin coeficienții lui.
159În acest mod, s -a constituit o te orie a inelului de polinoame.
Acum survine o schimbare importantă: privim pe x ca un element oarecare – variabil – al
corpului coeficienților; făcând calculele indicate, polinomul P(X) devine: o funcție de x (definită pe
corpul K al coeficienților, cu valo ri în același corp, K). Problema importantă este acum: pentru ce
valori ale lui x (din corpul K), funcția P(x) ia valoarea 0 (zero al corpului K, – nu mai e vorba de
elementul nul al inelului de polinoame); această problemă se numește rezolvarea ecuațiilor
algebrice.
Trebuie să observăm că operațiile cu polinoame au fost definite astfel încât dacă înlocuim pe
X cu un element al corpului K, operațiile cu valorile în K ale polinoamelor se fac după aceleași
reguli ca și operațiile cu polinoame.
7.Exemplu: A(X )B(X) = P(X). Dacă în loc de X punem un element al corpului K ( un număr din K dacă acesta este corp numeric) produsul A(
Relația A(X) B(X) = P(X) rămâne valabilă ca o relație între numere dacă în loc de x avem un număr
oarecare' din K. Spunem că ea este o identitate.
Analog, pentru o relație de forma: A(x) = B(x)C(x) + R(x)
În particular, dacă a este o rădăcină a lui B (X), obținem: A( ) = R()
În cazul B(X) = X – , restul este o constantă, R = A ( ) și dacă A( ) = 0, polinomul A(X) este
divizibil cu X – .
8.Ecuații în corpul complex
Începem studiul ecuațiilor cu cazul când lucrăm în corpul complex (coeficienții sunt numere
complexe ș i căutăm rădăcinile complexe). De ce începem cu acest caz?
Anunțăm: este cazul cel mai simplu; pare curios, deoarece numerele complexe ni se par mai
greu de folosit decât cele reale, cu atât mai mult față de cele raționale. Numai la sfârșit, după ce
vom st udia ecuațiile și în corpul real sau în cel rațional, ne vom da seama de ce spunem despre
cazul complex că este cel mai simplu. Afirmația noastră a rămas deci deocamdată nejustificată; ea
este însă foarte utilă: în primul rând ea naște o curiozitate care a nimă interesul pentru studiu – cum
asta? ia să vedem; – în al doilea rând, această afirmație – în special când va fi reluată la sfârșit – va
ajuta pe elev să presimtă sau chiar să înțeleagă noțiunea de corp algebric închis ; în fine, din pun ct
de vedere f ilozofic, metodologic, îl va face să înțeleagă că, în unele cazuri cel puțin, ideile generale
aduc o simplificare în tr-un anumit sens – a problemei. Elevul a fost obișnuit să considere o
generalizare ca un proces mai greu decât tratarea cazului particular ; într -adevăr, abordarea unei
probleme mai generale presupune introducerea unui aparat tehnic suplimentar și un plus de
probleme de detaliu, însă structura e ansamblu a soluției devine mai clară, mai unitară. Sublinierea
unor, astfel de aspecte – la locul, în momentul și în măsura pe care profesorul le găsește mai
potrivite – introduce pe elev nu direct în matematica modernă, dar în spiritul ei, în stilul ei de
gândire.
Este de asemenea important să amintim că polinoamele cu coeficienți raționali sau reali fac
160parte ca un caz particular din mulțime a polinoamelor cu coeficienți complecși .
Urmează teorema fundamentală.
După ce arătăm consecința – o ecuație de gradul n are n rădăcini – amin tim că acest fapt l -am
cunoscut în cazul particular al ecuației b inome, la trigonometrie.
Dăm teorema și sub forma: în corpul complex singurele polinoame ireductibile sunt cele de
gradul I (orice polinom de grad > 1 poate fi descompus).
9.Relații între rădăcini și coeficienți
Este vorba de a identifica: a 0Xn + a 1Xn-1 + … + a n = a 0(X – x1) (X – x2)…(X – xn)
10.Ecuații cu coeficienți reali
Aici problema cheie este justa înțelegere a legăturii dintre un caz general și unul particular
(de fapt – mai puțin general) – legătură esențială pentru gândire în genere. Ecuația are c oeficienți
reali – considerată ca un caz particular al celei cu coeficienți complecși – are toate proprietățile
acesteia. Așadar, ecuația cu coeficienți reali P(x) = 0 are n rădăcini complexe (n, gradul) – putând fi
, unele dintre ele sau toate, în particu lar, reale. Putem scrie: P(X) = a 0(X – x1)(X – x2) … (X – xn)
(1)
Dar faptul că ea e un caz particular trebuie să se reflecte și în proprietăți specifice care nu
sunt ale cazului general ( analog cum dreptunghiul are toate proprietățile paralelogramul ui, dar în
plus, are și proprietatea specifică – diagonale egale); dacă ecuația cu coeficienți reali admite
rădăcina complexă a + bi, admite și pe conjugata ei a – bi (ceea ce, evident, nu se întâmplă în cazul
general).
Grupând factorii respectivi din (1 ), obținem descompunerea polinomului P(X) în polinoame
cu coeficienți reali, deoarece [x – (a + bi)][x – (a – bi)] = (x -a)2 + b2.
Găsim teorema: în inelul polinoamelor cu coeficienți reali, polinoamele ireductibile sunt
cele de gradul I, cele de gradul II, care nu au rădăcini reale (orice polinom cu coeficienți reali poate
fi descompus în factori de gradul I și II).
161BIBLIOGRAFIE
1. Alexandru G .; Panaitopol L ., Probleme de ar itmetică și teoria numerelor , Editura Gil,
Zalău, 2006
2. Alexandru V., Goșoiu N. M., Elemente de teoria numerelor, Editura Universită ții din
Bucur ești, Bucure ști, 1999
3. Ardelean, L. , Didactica matematicii, vol . 1 și 2, Editura Universității Lucian Blaga, Sibiu,
2007
4. Antohe F., Antonescu M, ș.a, Caiet de lucru. Partea I. Matematică , cls a VI -a, Editura
Paralela 45, Pite ști, 2017
5. Borevici. I. Z. , Safarevici I. R. Teoria numerelor, Editura Științifică și Enciclopedică,
Bucure ști ,1985
6. Brânzei D ., Metodica predării matematicii, Ed itura Paralela 45, Pitesti, 2005
7. Bușneag D ., Co mplemente de aritmetică și teoria elementară a numerelor, Editura Gil,
Zalău, 2007.
8. Ganga, M ., Manual de matematică pentru clasa a XI I-a, Ed itura Mathpress Ploiești , 2007
9. Linț, M.; Lin ț D., Matematica de excelen ță- cls a VI -a, Editura paralela 45, Pite ști 2014
10. Năstăsescu C., Ni ță. C., Vraciu C., Bazele algebrei, vol I, Editura Academiei, Bucure ști,
1986.
11. Niculescu, L ., Matematică, manual pentru clasa a XII -a, Ed itura Cardinal, Craiova, 2007
12. Zaharia D., Zaharia M., Culegere Mate 2000+; Partea I. Matemat ică, cls a VI -a, Editura
Paralela 45, Pite ști, 2015
162DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE
privi nd lucrarea metodico-științifică pentru obținerea grad ului didactic I
Subsemn atul ANTOHE C. FLORIN -MIHAI , cadru didactic la ȘCOALA GIMNAZIALĂ
,,DAN BARBILIAN ” din localitatea GALAȚI , județul GALAȚI, cu dom iciliul în GALAȚI, Str.
Domnească nr 129 ap 2, act de identi tate seria GL, nr. 775389 tel 075 3045012 , e-mail
antoheflorin@yahoo.com , înscris în seria 2017 -2019 pentru examenul de acordare a gradului
didactic I, cunos când dispo zițiile articolului 292, Cod p enal, cu privi re la falsul în de clarații,
declar pe propria răspundere următoarele:
a) Lucrarea metodic o-științifică cu tema „Aspecte metodice privind predarea –
învățarea divizibilită ții în învățământul gimnazial ” a fost elabo rată personal și îmi
aparține în întregime;
b) Nu am folos it alte su rse decât cele menționate în bibliografie;
c) Nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte sur se
fără a fi citate sau fără a fi precizată sursa p reluării, inclusiv dacă sursa o reprezintă alte lucrări
ale subsemnatului ANTOHE C. FLORIN -MIHAI .
d) Lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen s au de concurs.
Dau prezenta declarație fiindu-mi necesară la predarea lucrării metodico -științifice pentru
obținerea gradului didactic I, în vederea evaluării și a acceptării pentru sus ținerea finală.
Data,
Semnă tura,
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ ÎN VEDEREA [606888] (ID: 606888)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.