Lucrare metodico- științifică [629803]
3
UNIVERSITATEA „ALEXANDRU IOAN CUZA ” din
IAȘI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ
Lucrare metodico- științifică
pentru obținerea gradului
didactic I în învățământ
Coordonator științific,
Prof. Dr. Violeta Fotea
Candidat: [anonimizat] „Ion Mincu ”, Vaslui
IAȘI
2018-2020
UNIVERSITATEA „ALEXANDRU IOAN CUZA ” din IAȘI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ
4
Lucrare metodico- științifică pentru obținerea
gradului didactic I în învățământ
INELE DE POLINOAME –PROPRIETĂȚI
ARITMETICE
Coordonator științific,
Prof. Dr. Violeta Fotea
Candidat: [anonimizat] „Ion Mincu ” Vaslui
IAȘI
2018-2020
5
CUPRINS
Introducere …………………………………………………………………………………..……… .3
Capitolul I ………………………………………………………………………………..………. ..5
1. Inele euclidi ene…………………………………………………………………………..……..…….. 5
2. Subinele și ideale……………………………………………………………………………….…….. 9
3. Inele principale……………………………………………………………………….……….…….. 12
4. Inele factoriale……………………………………………………………………………..………. ..15
5. Domenii de integritate…………………………………………………………………………….… 18
Capitolul II ……………………………………………………………………………………….…. 20
1. Inele de polinoame………………………………………………………………………… .……. ..20
1.1 Divizibilitatea unui polinom prin x –a. Teorema lui B 𝑒́zout………………………..……….……..20
1.2 Schema lui Horner …………………………………………………………………………….……..21
1.3 Propriet ăți ale rela ției de divizibilitate ……………………………………………………………..22
1.4 Polinoame ireductibile …………………………………………………………………………..……24
1.5 Teorema fundamental ă a algebrei. Consecin țe………………………………….…….……….…….24
1.6 Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid …………………………………..……….….25
1.7 Polinoame cu coeficien ți raționali …………………………………………………………….……..28
1.8 Polinoame cu coeficien ți întregi ………………………………………………………………….….28
1.9 Relațiile lui Vi 𝑒̀te……………………………………………………………………………….……29
1.10 Ecua ții algebrice de grad superior ………………………….………………………….…….………30
1.11 Ecua ții reciproce ……………………………………………………………………………….……..31
1.12 Problem e rezolvate (ecuații cu coefici enți întregi, raționali, reali, complecși)………………………32
1.13 Aplica ții ale polinoamelor ………………………………………………………………….………..40
2.
2.1 Inelul K[X] este Euclidian …………………………………………………………………….…….. 46
2.2 Algoritmului lui Euclid de determinare a c.m.m.d.c a dou ă polinoame ….… .……………..…..…48
2.3 Orice inel euclidian este principal …………………………………………………………….……51
2.4 Orice inel principal este factorial…………………………………………………………….……54
Capitolul III ……………………………………………..……………………………………..…..60
Considera ții metodice privind predarea inelelor de polinoame……………………………………. 60
6
1. Aspecte organizatorice ale pred ării……………………………………………..… ..…… ………….. 60
1.1 Metodica introducerii inelelor de polinoame……………………………………….…………….. 60
1.2 Proiectarea didactic ă……………………………………………………………………..……..…… 61
2. Evaluarea unit ății inele de polinoame………………………………………………… .………….. 84
3. Metode de rezolvare a problemelor…………………………………………………………………..97
Concluzii ………………………………………………………………………………..…………..104
Bibliografie ……………………………………………………………………….………..……… 105
7
INTRODUCERE
Cele mai mari succese ale tehnicii, ce fac parte din viața oamenilor, sub toate formele ei, au
contribuit la cunoașterea rolului matematicii. Oricine știe, sau are cel puțin idee că aceste succese, în
totalitatea lor, nu s- ar putea obține fără matematică. Din acest motiv, interesul pentru matematică a
crescut mer eu și, odată cu acesta, necesitatea de informare asupra acestei științe.
În multe privințe, matematica este o știință abstractă prin modul de a pune problema. În timp
ce un cercetător dintr -un domeniu ca medicina, zoologia, botanica, geografia, geologia sau chiar din
lingvistică, istorie și astronomie, poate să expună unui neinițiat marea parte a problemelor,
rezultatelor, ba chiar și a metodelor și principiilor de bază din domeniul său de specialitate, în așa fel
încât neinițiatul să -și poată face o idee de ansamblu asupra domeniului re spectiv, acest lucru este
greu de făcut pentru fizică și chimia contemporană și încă și mai greu de făcut pentru matematica
contemporană.
S-a remarcat o altă descoperire a cărei fundamentare a început în urmă cu 150 de ani. S -a
observant că anumite reguli pentru înmulțirea numerelor prezintă o asemănare formală cu unele
reguli de adunare a numerelor. Legități asemănătoare s -au observant și la alte operații matematice,
cum ar fi la compunerea mișcărilor sau a permutărilor. Mult mai târziu însă, s -a ajuns la consecința
de a deduce din aceste proprietăți de bază, cu ajutorul unor procese logice, unele proprietăți noi mai
complexe și mai adânci. Acest domeniu creat succesiv este ceea ce se numește teoria grupurilor. Și
în acest caz se poate observa cum, la fel ca în geometria euclidiană, un sistem de axiome poate duce
la dezvoltările cele mai complexe.
Părți importante ale matematicii modern e, cum ar fi algebra, se tratează axiomatic. Acest
lucru se realizează astfel: fiind dată o colecție de obiecte matematice cu un sistem de axiome , adică
cu unele propoziții, care descriu proprietățile de bază ale acestor obiecte, să se deducă din aceste
axiome consecințele cele mai complexe, adică să se dezvolte cât mai adânc teoria unei astfel de
structuri , obținându -se o privire de ansamblu asupra tuturor posibilităților de realizare ale unui astfel
de sistem de axiome. Mulțimi de obiecte sau elemente pentru care orice două dintre acestea se pot
combina după o regulă specificată și într -o anumită ordine, astfel încât să se obțină un al treilea
element, apar în mod frecvent în toate ramurile matematicii.În algebră acestea poartă numele de legi
de compoziție. Aceste legi determină pe mulțimile de numere structuri algebrice: grup, inel și corp.
8
Inelele au un rol important în rezolvarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu două
operații binare. Exemple de mulțimi înzestrate cu două operații se întâlnesc de cei ce vor să studie ze
matematica încă din primele clase de școală, unde se discută despre suma și produsul a două numere
naturale, chiar dac ădefinițiile mai concrete ale operațiilor de adunare și înmulțire în mulțim ea
numerelor naturale nu sunt de înțeles încă. În liceu, elevii sunt învățați să definească corect
operațiile de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor întregi, raționale, reale, complexe, în
mulțimea polinoamelor cu o nedeterminată, în mulțimea matricelor pătratice. Astfel de exemple
concrete de mulțimi înzestrate cu două operații binare, pot fi studiate dintr -un punct de vedere mai
larg, prin introducerea noțiunilor de inel și corp.
În lucrarea de față am făcut o trecere în revistă a celor mai cunoscute noțiuni despre inele,
împreună cu proprietățile aritmetice, realizând o prezentare teoretică a acestora.
Lucrarea “Inele de polinoame – proprietăți aritmetice ” este structurată pe trei capitole:
1.în primul capitol se introduce și se analizează noțiunile de inele euclidiene, subinele și ideale, inele
principale, inele factoriale și domenii de integritate;
2.al doilea capitol face conexiunea cu materia școlară, unde sunt prezentate inelele de polinoame
împreună cu unele proprietățile;
3.ultimul capitol cuprinde considerații metodice privind predarea inelelor de polinoame, unde se
găsesc aspecte ale predării, evaluării, și metode de rezolvare a problemelor.
9
CAPITOLUL I
1. Inele euclidiene
Definiție. R se numește inel euclidian dacă există o funcție :→R* care îndepline ște următoarele
proprietăți:
1. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅∗𝑐𝑢𝑎|𝑏𝜑(𝑎)≤ 𝜑(𝑏)
2. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅∗, 𝑐𝑢𝑏 ≠ 0, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅∗𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡𝑎=𝑏𝑞+ 𝑟𝑐𝑢𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟)< 𝜑(𝑏)
R este inel euclidian față de funcția 𝜑
A doua proprietate este cunoscută ca teorema împărțirii cu rest în inelul euclidian R.
Elementele q și r se numesc câtul ș i restul împărțirii lui a prin b.
Teoremă. Fie E un inel euclidian. Atunci, oricare două elemente a și b din E* au cel mai
mare divizor comun d și, d este combinație liniară din a și b, adică
∃ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡𝑑=𝑎𝑥+𝑏𝑦
Demonstrație :
Fie 𝐿𝑎,𝑏= {𝑎𝑥+𝑏𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 }, mulțimea combinațiilor dintre a si b.
Fie 𝐿a,𝑏∗astfel încât 𝜑(𝑑)≤ 𝜑(𝑐), ∀ 𝑐 ∈ 𝐿𝑎,𝑏∗.
Din 𝑑 ∈ 𝐿𝑎,𝑏∗∃ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 astfel încât 𝑑 =𝑎𝑥+𝑏𝑦.
Din E inel Euclidian
∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐸𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î 𝑛𝑐â𝑡𝑎= 𝑑𝑞 + 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑑)
𝑟 = 𝑎 − 𝑑𝑞 = 𝑎 − (𝑎𝑥+𝑏𝑦)𝑞 = 𝑎 − 𝑎𝑥𝑞 − 𝑏𝑦𝑞 = 𝑎 (1 −𝑥𝑞)+
𝑏(−𝑦𝑞)
∈ 𝐿𝑎,𝑏
Se presupune c ă𝑟 ≠ 0.
Din modul de alegere al lui 𝑑𝜑(𝑑)≤ 𝜑(𝑟)𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐ț 𝑖𝑒𝑟 = 0
Din 𝑟 = 0 𝑎 = 𝑑𝑞𝑑|𝑎.
Din E- inel Euclidian
∃ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐸𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡𝑏= 𝑑𝑚 + 𝑛, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑛 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑛)< 𝜑(𝑑)𝑛 = 𝑏 −
𝑑𝑚 = 𝑏 − (𝑎𝑥+𝑏𝑦)𝑚 = 𝑏 − 𝑎𝑥𝑚 − 𝑏𝑦𝑚 = 𝑏 (1 − 𝑦𝑚 )+ 𝑎(− 𝑥𝑚) ∈ 𝐿 𝑎,𝑏
Se presupune c ă𝑛 ≠ 0
10
Din modul de alegere al lui 𝑑𝜑(𝑑)≤ 𝜑(𝑛)𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐ț 𝑖𝑒𝑛 = 0 .
Din 𝑛 = 0 𝑏 = 𝑑𝑚𝑑|𝑏
Dacă
𝑑′∈ 𝐸, 𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡𝑑′|𝑎ș𝑖𝑑′|𝑏 ∃ 𝑥′, 𝑦′∈ 𝐸, 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢𝑐𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝑑′𝑥′𝑠𝑖𝑏 = 𝑑′𝑦′
𝑑 =𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑑′𝑥′+ 𝑑′𝑦′= 𝑑′(𝑥′+ 𝑦′)𝑑′|𝑑
Deci, d este cel mai mare divizor comun pentru a și b.
Teoremă. Fie R un inel euclidian și 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑐𝑢𝑏 ≠ 0 . Atunci există un cel mai mare divizor
comun d al elementelor a și b.
Demonstrație :
Fie 𝑑 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 .
Aplicăm teorema împărțirii cu rest elementelor a și b
𝑎 = 𝑏𝑞 1+ 𝑟1, 𝑐𝑢𝑟 1= 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟1)< 𝜑(𝑏); (1)
Dacă𝑟1≠ 0 se aplic ăaceeași teoremă elementelor 𝑏și𝑟1
𝑏 = 𝑟 1𝑞2+ 𝑟2 , 𝑐𝑢𝑟 2= 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟2)< 𝜑(𝑟2); (2)
Dacă𝑟2≠ 0 se apli căaceeași teoremă ș i elementelor 𝑟1și𝑟2
𝑟1= 𝑟2𝑞3+ 𝑟2 , 𝑐𝑢𝑟 3= 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟3)< 𝜑(𝑟2); (3)
Se continuă mereu dacă restul obținut este diferit de zero.
…………………………………………………………………………
Dacă𝑟𝑛−3≠ 0aceeași teoremă o aplicăm elementelor 𝑟𝑛−4 și𝑟𝑛−3
𝑟𝑛−4= 𝑟𝑛−3𝑞𝑛−2+ 𝑟𝑛−2 , 𝑐𝑢𝑟 𝑛−2= 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟𝑛−2)< 𝜑(𝑟𝑛−3); (𝑛 − 2)
Dacă𝑟𝑛−2≠ 0aceeași teoremă o aplicăm elementelor 𝑟𝑛−3și𝑟𝑛−2
𝑟𝑛−3= 𝑟n−2𝑞𝑛−1+ 𝑟𝑛−1 , 𝑐𝑢𝑟 𝑛−1= 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟𝑛−1)< 𝜑(𝑟𝑛−2); (𝑛 − 1)
Dacă𝑟𝑛−1≠ 0aceeași teoremă o aplicăm elementelor 𝑟𝑛−2și𝑟𝑛−1
𝑟𝑛−2= 𝑟𝑛−1𝑞𝑛+ 𝑟𝑛 , 𝑐𝑢𝑟 𝑛= 0. (𝑛)
Șirul
𝜑(𝑏)> 𝜑(𝑟1)> 𝜑(𝑟2)> 𝜑(𝑟3)> ⋯ > 𝜑 (𝑟𝑛−3)> 𝜑(𝑟𝑛−2)> 𝜑(𝑟𝑛−1)…
este un șir strict descrescător de numere naturale deci după un număr finit de pași obținem neapărat
un rest nenul ∃𝑛 ∈ 𝑁𝑐𝑢𝑟 𝑛= 0.
Algoritmul se termină după un număr finit de pași.
Trebuie să arătăm că 𝑟𝑛−1 ( fiind ultimul rest nenul ) este c.m.m.d.c. al numerelor a și b.
11
Din relația (n) 𝑟𝑛−1|𝑟𝑛−2 , din relația (n -1)𝑟𝑛−2|𝑟𝑛−3 , din relația (n -2)𝑟𝑛−3|𝑟𝑛−4 , … ,
din relația (3) 𝑟2|𝑟1 , din relația (2) 𝑟1|𝑏, din relația (1) 𝑏|𝑎𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑒⇒ 𝑟𝑛−1|𝑎și 𝑟𝑛−1|𝑏.
Fie 𝑐 ∈ 𝑅 un divizor comun al elementelor a și b 𝑐|𝑟1𝑐|𝑎 − 𝑏𝑞 1.
Din relația (2) 𝑐|𝑟2𝑐|𝑏 − 𝑟 1𝑞2. Procedând intuitiv 𝑐|𝑟𝑛−1𝑑 = 𝑟 𝑛−1.
Șirul de egalități (1), (2), (3),…, (n -2), (n-1), (n) poartă denumirea de algoritmul lui Euclid .
Exemple.
1. Inelul ( Z, +, ∙) este un inel euclidian fiind dat ăși funcția 𝜑: 𝑍∗→ 𝑁 ,
𝜑(𝑛)=|𝑛|= {𝑛, 𝑑𝑎𝑐ă𝑛 ≥ 0
−𝑛, 𝑑𝑎𝑐ă𝑛 < 0, unde |𝑛|este valoarea absolută a lui n.
În acest inel are loc teorema împărțirii cu rest: dacă 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑍𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡
𝑎 =𝑏𝑞+ 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.
2.Fie K un corp comutativ. Inelul de polinoame într- o singură variabilă K[X] este un inel euclidian
fiind dat ă și funcția 𝜑: 𝐾[𝑋]∗→ 𝑁, 𝜑 (𝑓)= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 .
3.Inelul 𝑍[𝑖]= {𝑎 + 𝑏𝑖|𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍} este un inel euclidian unde se d ă și funcția
𝜑: 𝑍[𝑖]∗𝑍[𝑖] → 𝑁, 𝜑 (𝑎 +𝑏𝑖)= 𝑎2+ 𝑏2
Inelul s e numește inelul întregilor lui Gauss .
Teoremă. Se dă un inel Euclidian E și 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸∗.
Dacă 𝑎|𝑏și 𝑏|𝑎, atunci 𝜑(𝑎)= 𝜑(𝑏) ;
Dacă 𝑎|𝑏și 𝜑(𝑎)= 𝜑(𝑏) , atunci 𝑏|𝑎;
Dacă a este inversabil în E, atunci 𝜑(𝑎)= 𝜑(1) .
Demonstrație:
Dacă 𝑎|𝑏, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸∗𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛⇒ 𝜑(𝑎) ≤ 𝜑(𝑏) ;
Dacă 𝑏|𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸∗𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛⇒ 𝜑(𝑏) ≤ 𝜑(𝑎) ;
Atunci 𝜑(𝑎)= φ(𝑏) .
1.Din E- inel euclidian ∃𝑞, 𝑟 ∈ 𝐸 astfel încâ t 𝑎 =𝑏𝑞+ 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑏) .
Din 𝜑(𝑎)= 𝜑(𝑏)𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑎)
Presupunem c ă 𝑟 ≠ 0 .
Din 𝑎|𝑏 ∃ 𝑐 ∈ 𝐸𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡 𝑏 = 𝑎𝑐 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞= 𝑎 − 𝑎𝑐𝑞 = 𝑎(1 − 𝑐𝑞)
𝑟 = 𝑎 (1 − 𝑐𝑞 )𝑎|𝑟𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛⇒ 𝜑(𝑎)≤ 𝜑(𝑟) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐ț 𝑖𝑒𝑟 = 0 .
12
Dacă 𝑟 = 0 𝑎 =𝑏𝑞 𝑏|𝑎.
2.∀𝑎 ∈ 𝐸∗𝑎𝑣𝑒𝑚𝑎 = 𝑎 ∙ 1 1|𝑎𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛⇒ 𝜑(1) ≤ 𝜑(𝑎)
Din a inversabil în 𝐸∃𝑎′ ∈ 𝐸 astfel încâ t 𝑎 ∙ 𝑎′= 1 𝑎|1𝐸𝑖𝑛𝑒𝑙𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛⇒ 𝜑(𝑎) ≤ 𝜑(1)
Deci 𝜑(𝑎)= 𝜑(1) .
Teoremă. Fie A un domeniu de integritate, iar 𝜑: 𝐴∗→ 𝑁, o funcție care satisface condiția:
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐𝑢𝑏 ≠ 0, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙î 𝑛𝑐â𝑡𝑎=𝑏𝑞= 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑏)
Atunci funcția 𝜑1: 𝐴∗→ 𝑁, 𝜑 1(𝑎)= 𝑖𝑛𝑓 {𝜑(𝑏) |𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 |𝑏ș𝑖𝑏|𝑎} satisfice condi ția de mai sus și mai
mult, satisface și condi ția:
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴∗, 𝑎|𝑏 𝜑1(𝑎) ≤ 𝜑 1(𝑏)
Demonstrație:
Verificăm că 𝜑1satisface condiția a doua.
Fie 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐𝑢𝑏 ≠ 0 și fie 𝑏1≠ 0astfel încât 𝑏1|𝑏, 𝑏|𝑏1și 𝜑1(𝑏)= 𝜑(𝑏 1).
Din 𝑏 ≠ 0 𝑏1≠ 0. Atunci ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 astfel încât 𝑎 = 𝑏 1𝑞 + 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 0 , sau
𝜑(𝑟)< 𝜑(𝑏1)= 𝜑 1(𝑏)𝜑1(𝑟)= 𝑖𝑛𝑓 {𝜑 (𝑟′)|𝑟′|𝑟ș𝑖𝑟|𝑟′} < 𝜑 1(𝑏).
Din 𝑏|𝑏1ș𝑖𝑏1|𝑏 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 , astfel încât 𝑏1=𝑏𝑢 ș𝑖𝑢 este inversabil în A.
Din 𝑏1|𝑏 astfel încât 𝑏 = 𝑏 1𝑢 = 𝑏( 𝑢𝑣)și, cum A este domeniu de integritate
𝑢𝑣=𝑣𝑢= 1 u este inversabil in A.
Deci = 𝑏(𝑞𝑢)+ 𝑟 , unde 𝑟 = 0 sau 𝜑1(𝑏)> 𝜑 1(𝑟) 2.
Verificăm că 𝜑1satisface condiția 1.
Fie 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴∗, 𝑎|𝑏;𝑎𝐴este ideal într-un inel euclidian.
Vom arăta că aA este generat de 𝑡 ∈ (𝑎𝐴∗)care satisface proprietatea că 𝜑(𝑡)≤ 𝜑(𝑠), ∀ 𝑠 ∈ 𝑎𝐴.
Dacă 𝑡 ∈ (𝑎𝐴)∗, astfel încât 𝜑(𝑡)≤ 𝜑(𝑠), ∀𝑠 ∈ 𝑎𝐴(𝑡)𝑎𝐴( idealul generat de t este inclus în aA).
Fie 𝑥 ∈𝑎𝐴. Se arăta că 𝑥 ∈(𝑡), 𝑐𝑢𝑡 ∈ (𝑎𝐴)∗, 𝜑(𝑡)< 𝜑(𝑠), ∀𝑠 ∈ 𝑎𝐴.
Presupunem că 𝑥(𝑡), deci ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 astfel încât 𝑥 =𝑡𝑞+ 𝑟𝑐𝑢𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑡) .
Avem 𝑟 ≠ 0 și pentru c ă am presupus 𝑥(𝑡)𝜑(𝑟) < 𝜑(𝑡) .
Din 𝑥 ∈(𝑡)𝑎𝐴și 𝑡𝑞∈(𝑡)𝑎𝐴 𝑟 ∈𝑎𝐴, contradicție cu alegerea lui 𝑡𝑎𝐴 (𝑡)
𝑎𝐴=(𝑡), 𝑐𝑢𝑡 ∈ ( 𝑎𝐴)∗, astfel încât 𝜑(𝑡)< 𝜑(𝑠), ∀𝑠 ∈ 𝑎𝐴.
Fie 𝑏1∈ 𝐴, 𝑏 1|𝑏și 𝑏|𝑏1. Atunci din 𝑎|𝑏𝑏1|𝑎, deci 𝑏1∈𝑎𝐴= (𝑡) , de unde 𝜑(𝑡) < 𝜑(𝑏 1).
Deci 𝜑(𝑡) ≤ 𝑖𝑛𝑓 {𝜑(𝑏 1)| 𝑏1|𝑏 și 𝑏|𝑏1} = 𝜑 1(𝑏).
Din 𝑎𝐴=(𝑡)𝑎|𝑡și 𝑡|𝑎 𝜑1(𝑎)≤ 𝜑(𝑡) ≤ 𝜑 1(𝑏). Deci, din 𝑎|𝑏𝜑1(𝑎)≤ 𝜑 1(𝑏) 1.
13
Aplicație.
Să se arate că Z este inel euclidian, relativ la funcția 𝜑: 𝒁∗→ 𝑵 ,
𝜑(𝑛)=|𝑛|= {𝑛, 𝑑𝑎𝑐ă𝑛 ≥ 0
−𝑛, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛 < 0, unde |𝑛| este valoarea absolută a lui n.
Rezolvare:
Trebuie să arătăm că:
1. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝒁∗, 𝑐𝑢𝑎|𝑏𝜑(𝑎) ≤ 𝜑(𝑏) ;
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝒁∗, 𝑐𝑢𝑏 ≠ 0, ∃𝑞, 𝑟 ∈ 𝒁 astfel încât 𝑎 =𝑏𝑞+ 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 0 𝑠𝑎𝑢𝜑 (𝑟)< 𝜑(𝑏) .
1.Din 𝑎|𝑏 ∃ 𝑐 ∈ 𝒁 astfel încât 𝑏 =𝑎𝑐 𝜑(𝑏)= 𝜑(𝑎𝑐)|𝑏|=|𝑎𝑐||𝑏|=|𝑎||c|𝜑(𝑏)=
𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑐)
Din 𝑏 ≠ 0 |𝑏|≠ 0 𝑐 ≠ 0 |𝑐|≥ 1 𝜑(𝑐)≥ 1 𝜑(𝑎) ≤ 𝜑(𝑏) ;
2.Pentru 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒁 cu 𝑏 ≠ 0, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑵 astfel încât |𝑎|=|𝑏|𝑞 + 𝑟, 𝑢𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑟 < |𝑏| conform
teoremei împărțirii cu rest în N.
Stabilim următoarele cazuri:
a.Dacă 𝑎 ≥ 0 și 𝑏 > 0 𝑎 =𝑏𝑞+ 𝑟, cu 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 ;
b.Dacă 𝑎 < 0 și 𝑏 > 0 − 𝑎 = 𝑏𝑞+ 𝑟 𝑎 = 𝑏 (−𝑞)− 𝑟 = 𝑏 (−𝑞)− 𝑏 + 𝑏 − 𝑟 =
𝑏(−𝑞 − 1 )+ 𝑏 − 𝑟 .
Dacă 𝑟 = 0 𝑎 = 𝑏(−𝑞) .
Dacă 𝑟 > 0 , notăm −𝑞 − 1 = 𝑞 1și 𝑏 − 𝑟 = 𝑟 1𝑎 = 𝑏𝑞 1+ 𝑟1 cu 0 < 𝑟 1< 𝑏.
c.Dacă 𝑎 < 0 și 𝑏 < 0 − 𝑎 = − 𝑏𝑞+ 𝑟 𝑎 =𝑏𝑞− 𝑟 = 𝑏𝑞+ 𝑏 − 𝑏 − 𝑟 =
𝑏(𝑞 + 𝑟 )+ (−𝑏 − 𝑟) .
Dacă 𝑟 > 0 , notăm 𝑞 + 1 = 𝑞 1și −𝑏 − 𝑟 = 𝑟 1𝑎 = 𝑏𝑞 1+ 𝑟1, cu 0 < 𝑟 1< −𝑏 =
|𝑏|.
d.Dacă 𝑎 ≥ 0 și 𝑏 < 0𝑎 = 𝑏 (−𝑞)+ 𝑟, cu 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|.
Deci în toate cazurile este demonstrată proprietatea 2.
2.Subinele si ideale
Defini ție. Fie (𝑅, +,∙) un inel. O submul țime nevid ă 𝑅′𝑅 se nume ște subinel al inelului 𝑅 dacă𝑅′
este inel în raport cu cele dou ă opera ții de pe 𝑅 dacă:
1. (𝑅′, +,∙) este subgrup al grupului (𝑅, +) ;
14
2. (𝑅′,∙) subsemigrup în semigrupul (𝑅,∙) .
Un subinel se nume ște subinel unitar dacă1𝑅∈ 𝑅′.
Observa ție. Exist ă subinele ale unui inel unitar care nu sunt unitare.
Ca exemplu, (2𝑍, +,∙ ) este subinel al lui (𝑍, +,∙) ce nu con ține 1.
Propozi ție. Fie 𝐴 un inel și 𝐴′ din 𝐴, o submul țime nevid ă a lui 𝐴. Atunci 𝐴′ este subinel al lui 𝐴
dacă sunt îndeplinite urm ătoarele condi ții:
1) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴′ ;
2) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′𝑥𝑦∈ 𝐴′.
Demonstra ție:
Fie 𝐴′ un subinel al lui 𝐴. Atunci, din defini ție rezult ă că𝐴′ este subgrup al grupului aditiv al lui 𝐴și,
atunci, este îndeplinit ă condi ția (1). Din definițierezultă și faptul că înmulțirea din 𝐴 induce o
înmulțire pe 𝐴′, ceea ce înseamnă că este îndeplinită și condiția (2).
Reciproc, dacă condițiile (1) și (2) sunt îndeplinite, atunci din (1) rezultă că 𝐴′este subgrup abelian al
grupului aditiv 𝐴, deci 𝐴′împreună cu adunarea este grup abelian, iar din (2) rezultă că înmulțirea
din 𝐴induce o înmulțire pe 𝐴′, care este asociativă și distributivă față de adunare. Deci 𝐴′este
subinel al inelului 𝐴.
Exemple:
1) (𝑍, +,∙) și(𝑄, +,∙) sunt subinele ale inelului (𝑅, +,∙) .
2) Pentru orice inel 𝑅, mulțimile {0} și 𝑅 sunt subinele ale lui 𝑅.
3) Inelul numerelor întregi Z este un subinel al inelului Z[i], al întregilor lui Gauss.
4) Inelul 2Z a numerelor întregi pare, este un subinel al inelului Z.
5) Dacă A și B sunt două inele oarecare atunci 𝐴 × {0} și {0} × 𝐵 sunt subinele ale
produsului direct 𝐴 × 𝐵 .
Defini ție. O submulțime nevidă I a unui inel comutativ se numește ideal dacă:
1) x-yI , x,yI;
2) axI, aA si xI.
15
Din aceast ă defini ție rezult ă că orice ideal al unui inel este un subinel, pe când reciproca nu este
adevarat ă.Astfel, Z este un subinel al lui Q, dar nu este ideal, a șa cum se vede șiîn exemplu 2/3 Q,
5 Z, iar 2/35 Z.
Subinelele inelului Z sunt submul țimile sale de forma nZ, n N.
Se arat ă că o astfel de submul țime este un ideal al inelului Z.
Dar, nZ, n ≥ 0, este subgrup al grupului aditiv (Z, +).
Dacă a Z și x nZ x nk, k Z ax ank n(ak) nZ.
Deci subgrupurile grupului aditiv (Z,+) coincid cu idealele inelului Z și cu subinelele sale.
Ideale prime și maximale
Definiție. Fie R un inel comutativ.
1.Un ideal P al lui R se numește ideal prim dacă P ≠ R și oricare ar fi x, y P, din xyP rezultă
xP sau yP.
2.Un ideal M al lui R se numește ideal maximal dacă M ≠ R și nu există ideale proprii ale lui R
care includ strict pe M , pentru orice J ≤R, din M ≤J, rezultă M J sau J R.
Exemple:
a)Dacă p este un număr întreg prim, atunci idealul generat de p în Z, notat pZ, este
ideal prim în Z.
Și reciproc, dacă pZ este ideal prim, atunci p este număr prim.
b)Un ideal I este maximal în inelul R dacă este element maximal al mulțimii ordonate (cu
incluziunea) a idealelor proprii ale lui R.
În inelul Z, orice ideal este de forma nZ, cu n Z. De unde rezultă că idealul nZ este maximal dacă
și numai dacă n este număr prim.
Într-adevăr, fie nZ ideal maximal. Atunci, m Z, din nZ ⊆mZ rezultă nZ mZ sau mZ Z.
Din m|n m ~ n sau m = 1. Știind că nZ ≠ Z, atunci n este ireductibil, deci prim.
Reciproca se obține în același mod.
a) Inelul R este integru dacă și numai dacă (0) este ideal prim.
b) Dacă K este corp, (0) este singurul său ideal propriu; (0) este și ideal maximal și ideal
prim.
O caracterizare utilă a idealelor maximale (respectiv prime), folosită în aplicații, este dată cu
16
ajutorul inelului factor.
Teoremă. Fie R un inel comutativ și I un ideal propriu în R.
a) I este ideal prim dacă și numai dacă inelul factor R /I este integru.
b) I este ideal maximal dacă și numai dacă inelul factor R /I este corp.
Demonstrație.
a)Fie I ideal prim. Fie =a +I, =b +I (cu a, b R) elemente din R /I.
Dacă = 0, atunci (a +I)(b +I) = 0 +I, adică ab I.
Dar I este prim, atunci a I sau bI, adică a +I == 0+I sau b +I = =0+I. Deci, R /I este integru.
Reciproc, se presupune că R /I este integru și fie a,b R cu a,bI.
Aceasta înseamnă că (a +I)(b +I) = 0 +I, dec i a +I = 0 +I sau b +I = 0 +I. Deci, a I sau b I.
b) Presupunem că I este ideal maximal în R.
Se va arăta că orice element nenul al inelului R /I este inversabil.
Atunci, fie =a +I, cu ≠ 0 +I, deci a I.
Idealul generat de I și a, adică I+Ra, include strict pe I; din maximalitatea lui I se obține I+Ra=R.
În particular, 1 R se scrie sub forma i +ra, cu i I și r R.
Deci, avem 1 +I = (ra +i) +I =ra +I = (r +I)(a +I), ceea ce înseamnă că a +I este inversabil.
Fie R /I corp și J un i deal care include strict pe I. Există deci x J, x I.
Aceasta înseamnă că x +I ≠ 0 +I, ș i atunci x +I este inversabil.
Se poate scrie c ă 1 +I = (r +I)(x +I), cu r R, adică există i I astfel încât 1 = rx +i.
Și de aici rezultă că 1 J, adică J =R.
Corolar. Orice ideal maximal al unui inel este prim. Dar, nu și orice ideal prim este maximal, ca de
exemplu, în inelul Z, 0 este ideal prim dar nu și maximal.
3.Inele principale
Defini ție. Un inel integru în care orice ideal este principal se nume ște inel principal sau inel
cu ideale principale .
Teorem ă. Orice inel euclidian este inel principal.
17
Demonstrație:
Fie A eclidian, f : A →N func ția respectiv ăși I un ideal al lui A. Vom ar ăta că I este ideal principal.
Dacă I=(0), afirma ția este demonstrat ă.
Dacă I(0), consider ăm submul țimea M a lui N. Deoarece N este o mul țime bine ordonat ă, rezult ă
că exist ă un element b I, b0 , astfel încât f(b) s ă fie elementul minimal în M. Vom ar ăta că
c=(b)=I. Din faptul c ă bI și I este un ideal în A, rezult ă că (b)⊂I.
Reciproc, fie a I. Deoarece b 0, exist ă q,rA astfel încât a = bq+r, unde r = 0 sau f(r)<f(b).
Dar r 0, atunci f(r)<f(b) și r = a-bqI, ceea ce este în contradic ție cu alegerea lui b. Rezult ă r = 0,
deci a=bq atunci a (b) și, deci I ⊂(b).
Propozi ție. Fie A un domeniu de integritate care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor de o
nedeterminat ă A[x] nu este inel principal; deci, nici euclidian.
Demonstra ție:
Deoarece A nu este corp, rezult ă că exist ă un element a A , a0 și a neinversabil.
Să arătăm că idealul generat de a și X nu este principal.
Să presupunem c ă aA[x]+xA[x]=(f), cu f A[x].
Atunci a(f), adic ă a=fg, cu g A[x]. Rezult ă că fA, iar, din faptul c ă X(f) , X=fh, h A[x],
rezult ă că f este inversabil în A și, atunci, ar rezulta c ă aA[x]+XA[x]=A.
De aici rezult ă 1=au+xv, cu u,v A[x], rela ție imposibil ă pentru c ă v0, fiindc ă a nu este inversabil.
Din aceast ă propozi ție rezult ă că inelul Z[x] nu este principal și oricare inel de polinoame de n>1
nedeterminate cu coeficien ții într-un corp nu este inel principal și, deci, nici euclidian.
Exemple de inele principale:
1. Orice corp comutativ este inel principal.
2. Inelul întregilor Z este inel principal.
3. Inelul întregilor lui Gauss Z[i ] este inel principal.
4. Oricare inel de polinoame de o nedeterminat ă, cu coeficien ți într-un corp este
inel principal (deoarece este inel euclidian ).
Pentru a,b A, definim (a)+(b). Este clar c ă (a)+(b) este ideal al lui A, numit suma idealurilor
principale (a) și (b).
18
Propozi ția. Fie A un inel principal și a,bA. Atunci :
1. Elementul d A este c.m.m.d.c. al elementelor a,b A dac ă și numai dac ă (a)+(b)=(d).
2. Elementul m A este c.m.m.m.c. al lui a și b dac ă și numai dac ă (m)=(a) (b).
Demonstra ție:
1. Dac ă dA este c.m.m.d.c. al lui a și b, atunci evident a (d), b(d) și, deci (a)+(b) (d).
În (a)+(b), fiind ideal principal , exist ă d'A a.î. (a)+(b)=(d').
Atunci rezult ă că d' este divizor comun al lui a și b , deci d' divide pe d, și(d) ⊂ (d')=(a)+(b).
Din (a)+(b) ⊂ (d) și (d)⊂ (a)+(b) rezult ă (d)=(a)+(b).
Reciproc, dac ă dA , a.î. (d)=(a)+(b) , atunci evident că d este divizor comun al lui a și b și, în plus,
exist ă relația d=au+bv, cu u,v A, din care rezult ă că orice divizor comun al lui a și b divide pe d.
2. Dac ă m este c.m.m.m.c. al elementelor a și b , atunci a/m și b/m. Deci (m) (a) și (m) (b), adic ă
(m) (a)(b). Ins ă, idealul (a) (b) este principal ; exist ă m'A a.î. (a)(b)=(m') și, deoarece m'
este multiplu comun al elementelor a și b , rezult ă că m divide pe m', adic ă
(m')=(a)(b)⊂(m) (a)(b) (m). Deci rezult ă că (m)=(a)(b).
Reciproc, dac ă mA astfel încât (m)=(a) (b), atunci m este multiplu comun al lui a și b. Fie m' alt
multiplu comun al lui a și b . Atunci m (a) și m'(b) , deci (m') ⊂ (a)(b)=(m), deci m divide pe m'.
Deci, în final, m este c.m.m.m.c al lui a și b.
Observa ții:
Într-un inel principal , idealul generat de un num ăr finit de elemente a 1,a2, … , a n coincide cu idealul
generat de c.m.m.d.c. al acestor elemente.
Din aceast ă cauz ă, atât idealul generat de a 1,a2, … ,a n, cât și cel generat de c.m.m.d.c. al elementelor
a1,a2, … ,a n se noteaz ă prin (a 1,a2, … ,a n).
Corolar. Într-un inel principal , orice dou ă elemente au un c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., iar dac ă dA
este c.m.m.d.c. al elementelor a și b din A, atunci exist ă u,vA a.î. c ă d = ua+vb.
Corolar. Într-un inel principal , orice element ireductibil este prim.
Din acest corolar deducem c ă inelul Z[i √5] nu este inel principal.
19
Lem ă. Fie A un inel principal și (a 0) (a1) (a2) … (an) un șir cresc ător infinit de ideale din
A. Atunci exist ă n>0 astfel c ă (ai+1)=(a i) pentru orice i n (orice lan ț ascendent de ideale principale
este sta ționar ).
Demonstra ție:
Fie I=U(a i); atunci I este un ideal în A, deoarece dac ă b,cI, atunci exist ă i,jN astfel încât b (ai) și
c(ai), iar, dac ă k=max, atunci b,c (ak).
Deoarece a k este ideal, rezult ă că b-c(ak) și pentru orice u A, u/3(ak), deci b-cI, și ubI. Inelul
A fiind principal, exist ă aA astfel încât I=(a). Cum a I, rezult ă că exist ă un num ăr natural n 0 astfel
încât a(an0). Atunci, evident (a) (an) , nn0și , din incluziunile evidente (a n) (a),
pentru n n0 se ajunge la afirma ția lemei.
4.Inele factoriale
Definiție. Un inel integru R se numește inel factorial sau descompunere unică în factoriprimi
(ireductibili) , dacă orice inel se descompune in inele ireductibile (sau domeniu cu descompunere.
Descompunerea este unică până la asociere și ordinea factorilor.
Exemple:
Inelele Z, Z[i], Z[1+𝑖√3
2] și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într -un
corp sunt inele factoriale.
Unicitatea descompunerii spune că nu trebuie să se facă distincție între descompunerile
2 ∙ 3, (−2)∙(−3), 3 ∙ 2 ș𝑖 (−3) ∙ (−2) ale lui 6 în Z.
Teoremă. Orice inel principal este factorial.
Demonstrație:
Demostrația teoremei rezultă din faptul că într- un inel principal orice element nenul și neinversabil
se descompune în produs finit de elemente prime, deci inelul este factorial.
Lemă. Dacă R este un inel factorial, descompunerea unui element în produs de elemente prime este
unică în afară de ordinea factorilor și o asociere a lor. Adică, dacă
𝑎 = 𝑝 1𝑝2… 𝑝 𝑛= 𝑞 1𝑞2… 𝑞 𝑚, 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑝 𝑖ș𝑖𝑞𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝑛ș 𝑖𝑗= 1, … , 𝑚 sunt elemente prime.
20
Atunci n=m și, schimbând ordinea factorilor, avem 𝑝𝑖= 𝑞 𝑖𝑢𝑖 , unde 𝑢𝑖 sunt elemente inversabile,
𝑖 = 1, … , 𝑛 .
Demonstratie:
Se folose ște metoda induc ției dup ă num ărul minim al factorilor din cele 2 descompuneri .
Se presupune c ă n ≤m. Atunci, pentru n =1, avem p 1 = q 1q2…qm. Din p 1 ireductibil p1 este asociat
cu unul dintre q j , 1≤ j ≤ m. Se poate presupune că acela este q 1. Atunci produsul q 2…qm~ 1 și deci
toți qj , 2≤ j ≤ m, ar fi elemente inversabile ale inelului R, ceea ce este in contradicț ie. Deci m=1 și
afirma ția este demonstrat ăîn acest caz.
Se presupune c ă afirma ția este adevarat ă pentru oricare dou ă descompuneri în care una are mai pu țin
de n factori. Din p n element prim pm pj ,1≤ j ≤ m. Se presupune că pn qmși din q m ireductibil
pn ~ q m pn = q mu , unde u este element inversabil în R.
Din p 1p2…p n = q 1q2…q m = p 1p2…q mu = q 1q2…q m p1p2…p n-1u = q 1q2…q m-1 = a’.
Deoarece p n-1u este element prim, rezult ă că sunt dou ă descompuneri ale elementului a ’ în
produs de elemente prime și din ipotez ă n-1 = m-1 n=m iar dup ă o eventual ă renumerotare p i ~
qi , 1≤ i ≤ n -1.
Lem ă. Într-un inel factorial R, orice element ireductibil este prim.
Demonstra ție:
Fie a un element ireductibil din inelul R. Atunci, din faptul că a este produs de elemente prime,
rezult ă că se divide cu un element prim p.
Numai c ă p este inversabil și rezult ă că p ~ a. Deci a este prim.
Teoremă. Fie R un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1. R este inel factorial.
2. Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de
elemente ireductibile și orice element ireductibil este prim.
3. Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de
elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor
și de asociere.
4. Orice element nenul și neinversabil din R este produs finit de elemente
ireductibile și orice două elemente din R au un cel mai mare divizor comun.
Demonstrație:
Se demonstreaz ă implica țiile „3 4” și „4 1”
21
„3 4”
Fie a,b R două elemente nenule și neinversabile. Pentru a aflacel mai mare divizor comun al
elementelor a și b se folosește un sistem de reprezentanți ai claselor de echivalență ale elementelor
ireductibile din R în raport cu relația de asociere în divizibilitate, notat cu P. Atunci există ș i sunt
unic determinate p 1,p2, … ,p nP , distincte, s 1,s2,…,s n,t1,t2,…,t nN , u , vU ( R )
astfel încât a = p 1s
1 ,…, p ns
nu și b = p 1t
1,…,p nt
nv. Elementele sunt unic determinate din unicitatea
descompunerilor în R. Fie r i = min (s i,ti) și definim d=p 1r
1,…,p nr
n. Dar d a și d b .
Dacă e a și e b atunci orice factor ireductibil c P care îl divide pe e, divide și pe a și pe b. Deci
c {p1,p2, … p n } pentru că altfel a (sau b) ar avea două descompuneri în factori ireductibili, dintre
care una îl conține pe c, iar cealaltă nu, ceea ce contrazice unicitatea descompunerilor. Deci e este
de forma p 1w
1,…,p nw
n q , cu w 1,w2, …, w nN, qU(R).
Din e a wi≤ ti , 𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ . Deci w i ≤ riși e d.
„4 1”
Un inel integru R cu proprietatea că, pentru orice două elemente x,y R, exist ă un c.m.m.d.c. al lor,
care se numește GCD -inel.
Din 4 că R este un GCD- inel. Se arată că orice element ireductibil în R este prim în R.
Fie p R, ireductibil și x,y R astfel încât p xy. Dac ă p nu divide x rezult ă că c.m.m.d.c. al
elementelor p și x este 1.
Dacă d x și d p atunci este imposibil ca d ~ p, deci d ~ 1. Deci d xy și p este prim cu x.
Din (p,x) = 1 (px,py) = y.
Din p py si p xy p (py, xy) p y p este prim în R.Deci R este inelul factorial.
Propoziție. Fie R un inel factorial, n N*și a,b 1, …,b n R.
Dacă a este prim cu orice bi, 1 ≤ i ≤ n , atunci a este prim cu produsul b 1, …,b n.
Demonstra ție:
Se arată că nu există nici un element prim care să dividă pe a dar și produsul b 1, …,b n.
Se presupune că există un element prim care să dividă și pe a dar și produsul b 1, …,b n.
Dacă p este un astfel de element, atunci există j, 1 ≤ j ≤ n astfel încât p bj .
Din p a p (a,b j ) = 1 p este inversabil,ceea ce este î n contradicție.
Atunci , rezultă că nu există nici un element prim p care să dividă atât pe a cât și produsul
b1, …,b n.
Fie R un inel integru și R[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în R.
22
Elementele inversabile din R[X] sunt cele din R și numai ele. De aici rezultă că două polinoame din
R[X] sunt asociate dacă și numai dacă se obțin unul din celălalt prin înmulțire cu un element
inversabil din R. Un element a R divide un polinom din R[ X] dacă și numai dacă toți coeficienții
polinomului se divid cu a.
Teoremă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame R[X] este inel factorial.
Demonstra ție:
Se dă R un inel factorial și f R[X] ireductibil. Se arată că orice polinom nenul și neinversabil din
R[X] este un produs de polinoame ireductibile. Se va demonstra aceasta prin inducție după gradul
polinomului.
Dacă f R[X], grad f = 0 și f este neinversabil atunci rezultă că f este produs finit de elemente prime
din R care sunt prime și ireductibile în R[X].
Dacă grad f > 1, atunci f se scrie sub forma f =c(f)f’ cu f’ un polinom primitiv și este suficient să
verificăm existența descompunerii pentru f’.
Dacă f’este ireductibil atunci demonstra ția este încheiată.
Dacă f’ nu este ireductibil atunci rezultă că are un divizor propriu în R[X] care nu poate fi decât un
polinom de grad strict mai mic decât f. Polinomul f ’ nu are divizori proprii în R pentru că este
primitiv. Deci f ’=gh gr ad f , unde g,h R[X] de grade strict mai mici decât grad f . Aplicând
ipoteza de inducție pentru g și h f’ este un produs de factori ireductibili în R[X].
Corolar.
Dacă R este un inel factorial, atunci inelul de polinoame în n variabile R[X 1, … , X n] este factorial.
Demonstrație:
Se demonstrează prin inducție după n.
Dacă n= 1 propoziție adevărată .
Se presupune afirmația adevărată pentru n -1R[X 1, … , X n] este inel factorial.
R[X 1, … , X n] = R[X 1, … , X n-1][X n]
Inelele Z[X], Z[X 1, … , X n], K[X 1, … , X n] cu K corp sunt inele factoriale.
5. Domenii de integritate
23
Definiție . Un inel comutativ, în care 1 ≠ 0 și fără divizori ai lui zero se numește domeniu de
integritate (sau inel integru ).
Exemple:
a. (Z, +, ∙) este domeniu de integritate.
b. (2Z, +, ∙) este un inel comutativ, fără unitate și fără divizori ai lui zero.
c. Mn(R), + , ∙) este un inel cu unitate, necomutativ ș i cu divizori ai lui zero. Unitatea inelului
(Mn (R), + , ∙) este matricea (δij), 1≤ i, j≤ n , cu δij = 0 ( ∀)i ≠ j ș i δij = 1, ( ∀) i∈ {1,2, …, n}.
Fie matricele
0 000 000 01
1
M ≠ O n , și
0 000 000 01
2
M ≠O n,
atunci M 1M2 = O n , dar M 2M1≠On .
d. (Mn(2Z), + , ∙) este inel fără unitate, necomutativ ș i cu divizori ai lui zero.
e. (Zn, +, ∙) este un inel comutativ cu unitatea 1̂ .
Propoziție. Dacă inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element inversabil din A nu
este divizor al lui zero ( adică este ≠0 si 1≠0).
Demonstrație.
Se presupune că a A este un element inversabil din A; a este divizor al lui zero la dreapta.
În această situație, există b≠ 0 astfel încât ab = 0. Dacă se înmulțește această relație cu inversul
lui a, care există deja, rezultă b=0, ceea ce este în contradicție.
24
CAPITOLUL II
1. Inele de polinoame
Fiemulțimea numerelor complexe C.
Se consider ă F(N,C) ca fiind mulțimea tuturor funcțiilor definite pe N={0,1,…,n,…}cu valori în C.
O astfel de funcție se numește șir de numere complexe .
Funcția este definită pe fiecare element al multimii N, adică, înseamnă că f(k) = a k, k 0. Notăm
acest șir f prin (a k), k0. Deci f ={a 0,a1,…,a n,…}.
Egalitatea a două șiruri f = (a k), k0, g = (b k), k0 se notează f = g și are loc dacă a k = b k, ∀ k 0
(spunem că două șiruri sunt egale dacă ele coincid pe componente).
Din această mulțime de șiruri F(N,C) folosim o submulțime P, formată din aplicațiile pentru care
termenii șirului (a k), k0 sunt nuli in afar ă de un număr finit dintre ei.
Deci elementele lui P au forma: (a 0,a1,…,a n,0,0,…) notat (a 0,a1,…,a n,0 ), cu a n ≠ 0, unde
an (elementul de rang maxim nenul) se numește coeficientul dominant , la care se adaugă elementul
(0,0,…,0,…).
1.1.Divizibilitatea unui polinom prin X –a. Teorema lui Bézout .
Teorem ă. Restul î mpărțirii unui polinom f C[X], f 0, prin polinomul g = X-a C[X] este egal
cu valoarea numeric ă a polinomului f pentru x = a, adic ă r = f(a).
Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest a polinomului f prin polinomul g putem scrie
f = (X –a)q + r, unde grad(r)<1. Atunci , grad(r)=0, adică r este polinom constant sau r=0.
Deci, f (x) = (x – a)q(x) + r, ( )xC. Dacă notăm x = a rezultă că f(a) = r.
Teorema lui B 𝒆́zout. Polinomul f C(X), f 0, se divide prin g = X- a C(X) dac ăși numai dac ă
f(a) = 0.
Demonstrația. Este imediată, din teorema precedentă.
Deci polinomul f este divizibil cu polinomul g = X –a f (a)=0 a este rădăcină a polinomului f.
Definiție. Dacă polinomul f C(X), f 0 se divide prin (X – a)p, p N, p 2, dar f nu se divide prin
(X – a)p+1, atunci a este rădăcina multiplă de ordin p pentru polinomul f.
25
Rădăcina a este de ordinul 2 (sau dublă) pentru f, dacă f se divide prin (X-a)2, dar nu se divide prin
(X-a)3.
Rădăcină a este de ordinul 3 (sau triplă) pentru f, dacă f se divide prin (X -a)3, dar nu se divide prin
(X-a)4.
1.2.Schema lui Horner
Pentru a efectua împărțirea unui polinom f prin X -a se folose ște uneori schema lui Horner (William
George, 1786 – 1837).
Exemplu: Fie f = 3X5 – 2X3 + 3X2 – 5 și g = X – 2 .
Se va efectua împărțirea polinomului f la g .
3X5 + 0X4 – 2X3 + 3X2 + 0X – 5 | X – 2
-3X5 + 6X4 | 3X4 + 6X3+ 10X2 + 23X + 46
/ 6X4 – 2X3
-6X4 + 12X3
/ 10X3 + 3X2
-10X3 + 20X2
/ 23X2 + 0X
-23X2 + 46X
/ 46X – 5
-46X + 92
/ 87
Se va obține câtul q = 3X4 + 6X3 + 10X2 + 23X + 46 și re stul r = 87.
Succesiunea rezultatelor ob ținute sugerează dispunerea următoare, în care se văd reapărând
coeficienții încadrați din împărțire.
Deîmpărțitul X5 X4 X3 X2 X X0
Coeficienții deîmpărțitului 3 0 -2 3 0 -5
6 12 20 46 92
Valoarea lui a
(coeficienții câtului) 3 6 10 23 46 87=
restul
26
Se observă că în schema lui Horner au fost trecute puterile lui X, de la deîmpărțit în ordine
descrescătoare (chiar ș i puterile care lipsesc – acestea au coeficienții egali cu zero).
S-a construit tabelul, efectuând operațiile ce urmează :
Primul coeficient al câtului este egal cu acel al deîmpărțitului.
Calculul celui de- al doilea coeficient al câtului: 2 · 3 = 6 și apoi 0 + 6 = 6
Calculul celui de- al treilea coeficient al câtului: 2 · 6 = 12 și apoi -2 + 12 = 10
Calculul celui de- al patrulea coeficient al câtului: 2 · 10 = 20 și apoi 3 + 20 = 23
Calculul celui de- al cincilea coeficient al câtului: 2 · 23 = 46 și apoi 0 + 46 = 46
Calculul restului: 2 · 46 = 92 și apoi – 5 + 92 = 87 = r
Se observă că s chema lui Horner afi șează atât coeficienții câtului, cât și restul. De obicei, în
schema lui Horner a două linie numerică se elimină, rămânând doar ultima linie care dă coeficienții
câtului și ai r estului, după algoritmul descris mai sus. Gradul câtului es te cu o unitate mai mic decât
gradul deîmpărțitului. La final, schema arată astfel:
Deîmpărțitul X5 X4 X3 X2 X X0
3 0 -2 3 0 -5
2 3 6 10 23 46 87=
restul
Câtul X4 X3 X2 X X0
1.3.Proprietăți ale relației de divizibilitate
Dacă f,gC[X], atunci g se divide prin f numai dacă există un alt polinom q C[X], astfel încât
g = f q. Din f aptul că g se divide prin f, se va nota g f (g se divide prin f) sau f | g (f divide g).
Polinomul f este un divizor al lui g sau g este un multiplu al lui f.
Principalele proprietăți ale relației de divizibilitate, folosite în rezolvarea problemelor, sunt
următoarele:
P1. Rela ția de divizibilitate este:
1)Reflexiv ă (adic ă𝑓|𝑓)
2)Tranzitiv ă (adic ă, dac ă𝑓|𝑔și 𝑔|ℎ, atunci 𝑓|ℎ ), () f,g,h C[X].
Demonstrație.
1) Din f = 1f rezultă f | f.
27
2) Dacă f | g, atunci există q 1 C[X] astfel încât g = f q 1 , iar din g | h, există q 2 C[X] pentru care
h = gq 2. Din g = f q 1, h=g q 2 se obține h = f (q 1 q2), ceea ce demonstreaz ă că f | h.
P2. Fie f, g i, i = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ polinoame din C[X]. Dac ă f|𝑔𝑖, atunci f |∑ 𝑞𝑖𝑔𝑖𝑛
𝑖=1 , cu q i C[X], i = 1, 𝑛̅̅̅̅̅.
Demonstrație. Dacă f | g i, atunci există f iC[X] pentru care g i = f f i.
Atunci = fi = f ( ), ceea ce închide demonstrația.
P3. Fie f,g C[X], f |𝑔și g 0. Atunci f 0 și grad(f)grad(g).
Demonstrație. Această proprietate spune că un divizor (f) al unui polinom nenul (g) este un
polinom nenul de grad cel mult egal cu cel al polinomului.
Din f | g rezultă ca există q C[X] astfel încât g = f q.
Cum g 0, atunci f ≠ 0 și luând gradul în ultima egalitate de polinoame avem:
grad(g) = grad(f) + grad(q).
Cum q ≠ 0, avem grad(q) 0. Deci grad(g) grad(f).
P4. Fie f,g C[X], f 0 astfel încât f |𝑔, g|𝑓.
Atunci exist ă aC*(constanta real ă diferit ă de zero), iar f = ag.
Demonstrație. Din f ≠ 0 și g | f rezultă g ≠ 0 și există un g 1C[X] astfel încât f = gg 1. Din f | g
rezultă că există f 1K[X] astfel încât g = f f 1. Din f = g g 1 și g = f f 1 se obține că f = f f 1 g1 sau
(f ≠ 0) g 1f1=1. Trecând la grad, rezultă 0 = grad(1) = grad(f 1) + grad(g 1). Cum f 1g1 ≠ 0 avem
grad(f 1), grad(g 1) 0, iar în ultima egalitate demonstr ăm că grad(f 1) = grad(g 1) = 0, adică f 1, g1C*.
Deci,
f = a g, aC*.
Observații .
1) Această proprietate spune că dacă două polinoame se divid reciproc, atunci ele „diferă” printr- o
constantă nenulă a (f = ag), sau coincid, excepție făcând o constantă nenulă a.
2) Dacă f și g au același coeficient dominant și dacă f | g și g | f, atunci f = g.
n
ii ig q
1
n
iif q
1
n
ii if q
1
28
P5. Fie f,gC[X]. Atunci f |𝑔, dac ă orice r ădăcină a polinomului f (cu ordinul de multiplicitate
respectiv) este r ădăcinăși pentru polinomul g (cu acela și ordin de multiplicitate ).
Această proprie tate este utilă problemelor de divizibilitate a polinoamelor.
Defini ție. Polinoamele f,g C[X] sunt asociate î n divizibilitate dacă f g și g f (deci se divid
reciproc) și scriem f g.
Conform proprietății P 4, dacă f ≠ 0, atunci f este asociat cu g în divizibilitate dacă și numai dacă
există a C – {0} astfel încât f = ag; dacă f = 0, atunci f ~ g dacă și numai dacă g = 0, caz în care f =
ag, este verificată.
Defini ție. Divizorii în forma a și af, a C–{0}se numesc divizori improprii ai lui f C[X];
ceilal ți divizori ai lui f se numesc divizori proprii, în cazul în care există .
1.4. Polinoame ireductibile
Defini ție. Un polinom f C[X] se nume ște ireductibil peste C, dac ăare gradul cel pu țin unu și dac ă
nu are divizori proprii. În caz contrar, el se nume ște reductibil peste C.
Deci, un polinom f C[X] este reductibil pesteCdacă există cel puțin două polinoame g, h C[X], g,
h ≠ 0, de grad cel puțin unu, pentru care f = gh. Un polinom f R[X] este reductibil peste R dacă
există cel puțin două polinoame g,hR[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = gh.
Un polinom f Q[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există cel puțin două polinoame
g,hQ[X] (Z[X]), de grad cel puțin unu pentru care f = gh.
O clasă importantă de polinoame ireductibile din R[X] este dată de următoarea propoziție:
Propoziție. Orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X]) este un polinom ireductibil.
1.5. Teorema fundament ălă a algebrei. Consecințe.
Următorul rezultat este cunoscut sub numele de teorema fundamentală a algebrei, sau
Teorema lui d ’Alembert-Gauss. Orice polinom cu coeficien ți complec și, de grad mai mare sau
egal cu unu, are cel pu țin o r ădăcină in C.
29
Teorem ă.
1)Un polinom f C[X] este ireductibil, dac ăși numai dac ă f = aX + b, a,b C, a0.
2)Un polinom f C[X] este ireductibil, dac ăși numai dac ă f = aX + b, a,b C, a0 sau
f = aX2 + bX+ c, a,b,c C, a0, b2 – 4ac<0.
Rezultatul ce urmeaz ă este important deoarece precizează exprimarea unui polinom cu ajutorul
polinoamelor ireductibile.
Teorem ă (de descompunere în factori ireductibili). Fie f C[X] (R[X]). Atunci f se poate scrie ca un
produs finit de polinoame ireductibile din C[X] (R[X]).
1.Orice polinom f C[X], de grad n 1 are n r ădăcini (o rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu
ordinul său de multiplicitate).
2.Dacă f = a 0+ a 1X + a 2X2 + … + a n Xn , an≠0, n1, iar x 1, x2, … , x n sunt rădăcini ale lui f, atunci f
= an(X-x1) (X-x 2)… (X -xn).
3.Dacă un polinom de gradul n se anulează pentru n+1 valori distincte, atunci f=0.
1.6. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid.
FieC corpul numerelor complexe.
Defini ție. Fie f,gC[X]. Spunem că polinomul d C[X] este un cel mai mare divizor comun al
polinoamelor f, g dacă:
1.d este un divizor comun pentru f,g, adică d f și d g;
2.Orice alt divizor comun pentru f și g îl divide pe d, adică d’C[X], d ’ f, d’’ g d’ d.
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (c.m.m.d.c.) f, g va fi notat cu (f,g). Arătăm că oricare
ar fi două polinoame f,g C[X], există (f,g), ș i-l vom construi prin așa -numitul algoritm al lui
Euclid.
Teorem ă. Dacă f,g,q,r C[X] astfel încât f = gq + r și dac ă exist ă (g,r), atunci exist ă (f,g) și
(f,g) = (g,r).
Demonstrație. Fie d + (g,r). Deci d | g, d | r și d | gq + r (combinație de g și r). Deci d | f, adică d
este un divizor pentru f și g. Dacă d’ este un alt divizor comun pentru f și g, atunci av em d ’ | f – gq,
adică d’ | r. Atunci d ’ este un divizor comun pentru g și r și cum d = (g,r) rezultă d’ |d; ca în final
d = (f,g).
30
Teoremă. Oricare două polinoame din C[X] au un c.m.m.d.c.
Demonstrație.
Fie f,gC[X]. Dacă f = 0, atunci (0,g) = g, pentru c ă g | 0, g | g, iar dacă d’ | 0 și d’ | g, atunci d ’ | g și
deci (0,g) = g.
La fel se studi ază și situațiaîncazul în care f ≠ 0, g=0 când ( f,0) = f.
Se presupune că f ≠ 0 și g ≠ 0. Se împarte p olinomul de grad mai mare la polinomul de grad mai
mic. Se presupune că grad(f) grad (g) și considerăm următorul ș ir de împărțiri cu rest:
g = r 1 q2 + r 2, grad(r 2) < grad(r 1)
f = gq 1 + r 1, grad(r 1) < grad(g)
r 1 = r2 q3 + r 3, grad(r 3) < grad(r 2)
…………………………………..
r n-3 = r n-2qn-1 + r n-1, grad(r n-1) < grad(r n-2)
r n-2 = r n-1qn + 0.
Resturile ob ținute la împărțiri au proprietatea că, grad(r 1) > grad(r 2) > …
Gradele sunt distincte două câte două și aparțin mulțimii {0,1,2,…,grad(r 1)}. În inegalitățile d e mai
sus întâlnim restul r n-1 ≠ 0 și r n = 0.
Se arată că ultimul rest nenul r n-1 reprezintă cel mai mare divizor comun al polinoamelor f, g.
Se aplică lema în mod repetat (de jos în sus în cazul relațiilor amintite) și avem:
rn-1 = (rn-1,0) = (r n-2,rn-1) = (r n-3,rn-2) = … = (r 1,r2) = (g,r 1) = (f,g).
Se dau două polinoame f,g C[X], f,g ≠ 0 pentru a determina (f,g) se realizează ș irul de împărțiri cu
rest de mai sus dacă grad(f) grad(g).
Dacă grad(g)grad(f), atunci se inversează rolul lui f cu g.
Modul de a obține c.m.m.d.c. a două polinoame se numește algoritmul lui Euclid .
Observații.
31
1) Se observ ă că c.m.m.d.c. a două polinoame este unic până la o asociere în divizibilitate, în sensul
că dacă d = (f,g), d’ = (f,g), atunci d ~ d ’, adică există a C–{0}, astfel încât d = ad ’. Din d = (f,g) și
d’ | f, d ’ | g -> d ’ | d. Analog din d ’ = (f,g) și d | f, d | g d | d ’.
Dar, din d ’ | d și d | d’ rezultă d ~ d’ .
2) Dacă f, g sunt descompuse în factori ireductibili, atunci (f,g) se obține luând factorii comuni la
puterea cea mai mică.
3) Dacă în ș irul de împărțiri, o egalitate se înmulțește cu a C–{0}, atunci c.m.m.d.c. nu se modifică,
y6
acesta fiind unic până la asocierea cu o constantă nenulă din C, adică (f,g) = (af, bg), ( ) a,bC*.
Teorem ă. Fie f,gC[X], d= (f,g). Atunci exist ă u,vC[X] astfel încât d = uf + vg.
Demonstrație. Este directă, mergând de jos în sus cu exprimarea ultimului rest nenul r n-1.
Această consecință a teoremei afirmă că c.m.m.d.c. pentru polinoamele f, g se exprimă ca o
combinație de ele.
Defini ție. Fie f,gC[X]. Se spune c ă polinoamele f și g sunt prime între ele dac ă (f,g) = 1.
Folosind relația precedentă, dacă două polinoame f,g C[X] sunt prime între ele, atunci exist ă u,v
astfel încât 1=uf + vg.În acest caz are loc și reciproca.
Teorema. Fie f R[X], f0. Dacă x 0 = a+ib, b0 este o rădăcină complexă a lui f, atunci:
1. 𝑥0̅̅̅= a–ib este de asemenea o r ădăcină complex ă a lui f;
2. x0 si 𝑥0̅̅̅ au acela și ordin de multiplicitate.
S-a văzut că pentru f R[X] și x 0C–R, avem f( 𝑥0̅̅̅) = 𝑓(𝑥 0)̅̅̅̅̅̅̅, ceea ce arată că dacă x 0 este rădăcină a
lui f, atunci 𝑥0̅̅̅ este de asemenea rădăcină a lui f.
Din teoremă rezultă că dacă f este un polinom cu coeficienți reali, ce au o rădăcină complexă
x0 = a+ib, b ≠ 0, atunci mai are ca rădăcină și conjugata ei, 𝑥0̅̅̅ = a–ib și cele două rădăcini au același
ordin de multiplicitate. Dacă x 0 este o rădăcină simplă, atunci polinomul f se divide prin
X-x 0. Dacă și 𝑥0̅̅̅ este rădăcină, atunci rezultă că f se divide și prin X -𝑥0̅̅̅.
Deci, f se divide prin (X-x 0)(X-𝑥0̅̅̅) = (X –a–ib)(X –a+ib) = (X –a)2–(ib)2 = X2–2aX+a2+b2.
32
Din teoremă rezultă că:
1. Orice polinom cu coeficienți reali are un număr par de rădăcini complexe (care nu sunt
reale).
2. Orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.
Dacă se ține seama de teorema de descompunere în factori ireductibili, atunci are loc următoarea
teoremă:
Teorema. Orice polinom f = a 0+ a 1X + a 2X2 + … + a n Xn , a n≠0, fR[X] se poate scrie ca un
produs de polinoame de gradul întâi sau cu coeficienți reali:
f = a n(X-x1)k1…(X -xi)ki(X2 + b 1X + c 1)11 … (X2 + b pX + c p)1p, unde b s2 – 4cs<0, s= 1, 𝑝̅̅̅̅̅
1.7. Polinoame cu coeficienți raționali
Dacă Q[X] R[X], atunci rezultatele stabilite referitoare la polinoamele cu coeficienți reali sunt
valabile și pentru polinoamele cu coeficienți raționali sau întregi.
Teorema urm ătoare , precizează proprietăți specifice polinoamelor cu coeficienți raționali sau întregi.
Teorem ă. Fie fQ[X], f0. Dacă x 0 = a+ √𝑏 , a,bQ[X], b>0, √𝑏 Q[X] este o r ădăcină ptratic ă a
lui f, atunci:
1. 𝑥0̅̅̅= a-√𝑏 este, și ea o r ădăcină a lui f;
2. x0, 𝑥0̅̅̅au acela și ordin de multiplicitate.
Teorema spune că, dacă polinomul f Q[X] are ca rădăcină pe x 0 = a+ √𝑏, atunci f are ca rădăcină și
pe 0 = a-√𝑏 (conjugatul lui x 0) iar cele două rădăcini au același ordin de multiplicitate. Dacă x 0
este rădăcină simplă a lui f, atunci f se divide cu X– x0. Cum și 𝑥0̅̅̅ este rădăcină simplă a lui f, atunci
rezultă că f se divide și cu X -𝑥0̅̅̅. Atunci, f se divide prin produsul
(X–x0)(X-𝑥0̅̅̅)=(X –a- √𝑏)( X–a+ √𝑏)=(X –a)2–(√𝑏)2 =X2–2aX+a2–b.
1.8. Polinoame cu coeficienți întregi
Următorul rezultat are în vedere mulțimea Z[X] și oferă un mod de a descoperi rădăcinile rațional e
sau întregi ale unui polinom.
Teorem ă. Fie f = a 0+ a1X + a 2X2 + … + a n Xn , an≠0, fZ[X].
x
33
1. Dacă x 0= 𝑝
𝑞 (p,q numere prime între ele) este o r ădăcină rațional ă a lui f, atunci:
a) p divide termenul liber (adic ă p a0);
b) q divide coeficientul dominant al polinomului (adică q an ).
2. Dacă x 0 = p este o rădăcină întreagă a lui f, atunci p este divizor al termenului liber (adică
p a0).
Demonstrație.
1)Din f(x 0) = 0 a0 + a 1() + … + a n( )n = 0 sau a 0qn = -p(a 1qn-1 + … + a nqn-1).
De aici se în țelege c ă p|a 0qn și cum (p, q) = 1, rezultă că p | a 0.
Tot din scrierea de mai sus rezultă a n pq = -q(a 0qn-1 + a 1qn-2 …) și q |a nqn.
Dar (p, q) = 1 și deci q | a n.
2)Rezultă din 1) când q = 1.
Teorema spune că, pentru un polinom f cu coeficienți întregi, rădăcinile raționale posibile se află
printre fracțiile , unde p este un divizor (în Z) al termenului liber a 0, iar q este un divizor (în Z) al
coeficientului dominant a n al polinomului.
Dacă, pentru fZ[X] se caută rădăcini întregi, atunci acestea se află printre divizorii întregi ai
termenului liber a 0.
1.8.Relațiile lui Vi é̀te
În cazul unui polinom se poate stabili o legătură între coeficienții polinomului
f = a nXn + a n-1Xn-1 + … + a 1X + a 0C[X], a n ≠ 0 și rădăcinile sale x 1, x2, …, x n.
Teorem ă. Numerele complexe x 1, x2, … , x n, sunt rădăcini ale polinomului f C[X],
f = a nXn + a n-1Xn-1 + … + a 1X1 + a 0, an 0, dacă și numai dacă au loc relațiile, numite relațiile lui
Vi𝑒̀te :
x 1 + x 2 + … + x n = – 𝑎𝑛−1
𝑎
Demonstrație. Dacă x 1, x2, …, x n, sunt rădăcinile polinomului f de grad n, atunci
f = a n(X – x1)(X – x2)…(X – xn) qp
qp
qp
34
sau, după efectuarea calculelor și ordonarea termenilor după puterile descrescătoare ale lui X,
f = a n[Xn – (x1 + x 2 + … + x n)Xn-1 + (x 1×2 + … + x 1xn + x 2×3 + … x 2xn + … + x n-1xn)Xn-2 + … +
(-1)nx1x2…x n].
Dar cum f = a nXn + a n-1Xn-1 + … + a 1X + a 0, prin identificarea celor două polinoame rezultă relațiile
dorite. Reciproca este imediată.
1.10.Ecuații algebrice de grad superior
Defini ție. Se nume ște ecua ție algebric ă de necunoscut ă x, o ecua ție de forma f(x) = 0, unde f este
un polinom nenul.
Gradul polinomului f dă gradul ecuației algebrice.
Dacă f=a nxn + a n-1xn-1 +…+a 0, an0, atunci ecuația are gradul n, iar coeficienții a n, an-1, …, a 0 se
numesc coeficienții ecuației algebrice. Când coeficienții sunt numere reale, atunci ecuația alg ebrică
se spune că are coeficienți reali, etc.
O ecuație care nu poate fi redusă la o ecuație algebrică prin operațiile de adunare, înmulț ire, ridicare
la putere, se numește ecuație transcendentă ( ca de exemplu: sin x=x2+x; lg x+x-1=0 ).
Defini ție. Se spune c ă a C este soluție (sau rădăcină) a ecua ției f(x) = 0, dac ă punând x = a î n
ecuație, aceasta se verific ă, adic ă f(a) = 0.
Se observă că dacă a este rădăcină a ecuației f(x)=0, atunci a este rădăcină și pentru polinomul f și
reciproc. R ezultatele stabilite pentru rădăcinile polinoamelor rămân valabile și pentru ecuațiile algebrice
definite de acestea.
Rezolvarea unei ecuații algebrice înseamnă să i se determine soluțiile. Se ș tiemodul de rezolvare a
ecuațiilor de gradul I ( ax+b=0, a 0 ), de gradul al doilea ( ax2+bx+c=0, a 0 ). Ecuațiile algebrice de
grad superior vor fi acele ecuații algebrice având gradul mai mare sau egal cu trei. Pentru ecuația de
gradul trei matematicianul italian Tartaglia a aflat formula de rezolvare, iar matematicianul italian
Ferrari a aflat formula de rezolvare a ecuației de gradul patru ( în secolul al XVI -lea ).
Atât pentru ecuația de gradul trei cât și pentru cea de gradul patru, formulele ce dau rădăcinile ecuațiilo r
se exprimă cu ajutorul radicalilor.
35
Ecuațiile generale de grad strict mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali (rezultatul se
datorează matematicienilor H.Abel și A. Ruffini ).
1.11.Ecuații reciproce
O ecuație care are forma a nxn+an-1xn-1+…+a 1x+a 0=0, a n0, pentru care a n-i=ai, 0 i n (termenii egali
despărțiți de extremi au coeficienți egali) se numește ecuație reciprocă de gradul n .
Forma ecuațiilor reciproce ce vor fi rezolvate sunt:
ax3+bx2+bx+a=0, a 0, dacă n=3;
ax4+bx3+cx2+bx+a=0, a 0, dacă n=4;
ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, a 0, dacă n=5.
Dacă gradul ecuației reciproce este impar, atunci ea are soluția x= -1, iar rezolvarea acestei ecuații se
reduce la rezolvarea ecuației x+1=0 ( cu soluția x= -1 ) și a unei ecuații recipro ce de grad par.
Rezolvarea unei ecuații reciproce de grad patru se va face împărțind ecuația prin x2 și se obține:
(1).
Se notează iar și (1) se scrie în funcție de y: ay2+by+c- 2a=0 cu soluțiile y 1,
y2. Se va reveni la substituție și se rezolvă ecuațiile , . Toate soluțiile acestei
ecuații sunt soluțiile ecuației date.
Exerci ții:
Să se rezolve următoarele ecuații :
1) 2×3+3×2+3x+2=0; 0c)x1b(x)x1a(x22
yx1x 2 yx1x2
22
1yx1x2yx1x
36
Este o ecuație reciprocă de grad impar. Rezolvarea acesteia se reduce la rezolvarea ecuației x+1=0 (când
x=-1) și a unei ecuații (reciproce) de gradul al doilea. Pentru a găsi coeficienții ecu ației se va folosi
schema lui Horner (coeficienții din ultima linie, sunt coeficienții căutați).
X3 X2 X X0
2 3 3 2
-1 2 1 2 0
Din tabel rezultă că ecuația 2×2+x+2=0 are rădăcinile .
Ecuația dată are soluțiile : -1, .
2) x4-x3-10×2+2x+4=0
Pentru rezolvare, se folose ște o tehnică asemănătoare. Se împarte ecuația prin x2 și se scrie sub forma
. Apoi, se notează , etc.
Ecuația dată are ca soluții: , .
1.12.Probleme rezolvate (ecuații cu coeficienți întregi, raționali, reali, complecși)
Să se rezolve următoarele ecuații:
1) x3-3×2-3x+1=0, dacă are rădăcină ;
E o ec uație cu coeficienți raționali. Dacă ecuația admite o rădăcină pătratică , atunci ea
admite și rădăcina pătratică conjugată .
Atunci polinomul din membrul stâng al ecuației se divide prin
.
Se aplic ă împărțirea, stabilind că . A treia rădăcină a ecuației este
dată de x+1=0, adică x3= -1. 415i1
415i1
0 10)x2(xx4x22 yx2x
217 33 1
3 2 x1
3 2 x1
3 2 x2
14x x 3 2)(x] 3 2) ][(x3 2) [(x) x )(xx(x222
2 1
1) 1)(x4x (x13x 3x x2 2 3
37
Observație. Pentru rezolvarea acestei ecuații, ar fi fost mai simplu dacă aplicăm prima relație a lui
Viẻte x 1+x2+x3=3. Cum , , atunci x3 = 3-4 = -1 .
2) z3+(4-2i)z2+(2-7i)z-3- 3i=0 dacă admite cel puțin o rădăcină reală.
Fie α rădăcina reală a ecuației.
Pentru z= α, se verifică ecuația și se scrie:
α3+(4-2i)α2+(2-7i)α-3-3i=0 sau α3+4α2+2α-3+i(- 2α2-7α-3)=0, care este un număr complex.
Acesta este 0 dacă:
Ecuația 2α2+7α+3=0 are soluțiile α1=-3, . Doar α= -3 verifică ambele ecuații ale sistemului.
Singura rădăcină reală este α=-3. Cu ajutorul schemei lui Horner se obține ecuația de gardu l al doilea
rezultată după ce s -a pus condiția de rădăcină a ecuației pentru α= -3.
Z3 Z2 Z Z0
1 4-2i 2-7i -3-3i
-3 1 1-2i -1-i 0
Aceasta este z2+(1-2i)z-1- i=0 cu Δ=1. Deci, rădăcinile ecuației sunt z1=i, z 2=-i+1 . Ecuația dată are
soluțiile: -3, i, -1+i .
3) x4-2(m-1)x2+(m2-5m-7)x2+(3m2+11m+4)x-4m2-4m=0, dacă are rădăcini independente de m.
Se va ordona ecuația după puterile descrescătoare ale lui m și se va obține:
m2(x2+3x-4)+m(-2×3-5×2+11x-4)+x4+2×3-7×2+4x=0, (1).
Dacă x este rădăcină independentă de m însemnă că relația (1) are loc pentru oricare m R, iar aceasta
are loc atunci când coeficienții trinomului de gradul al doilea în m sunt nuli, adică
3 2 x1 3 2 x2
03 7α 2α03 2α 4α α
22 3
21α2
0 4x 7x 2x x04 11x 5x 2×04 3x x
2 3 42 32
38
Din prima ecuație x1=-4, x 2=1. Aceste valori verifică și celelalte două ecuații. Deci ele reprezintă
rădăcinile, independente de m ale ecuației date.
Cu schema lui Horner se găsesc și restul rădăcinilor ecuației de gradul patru în x.
Ecuația x2-(1+2m)x+m2+m=0 are soluțiile x3=m, x 4=1+m .
Ecuația data are soluțiile: -4, 1, m, m+1 .
4) Să se determine parametrii reali m și n astfel încât ecuația x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină
dublă x=1 și să se rezolve ecuația dată.
Metoda 1 . Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin
(x-1)2 și atunci restul împărțirii celor două polinoame este polinomul nul.
Efectuând împărțirea, se va obține egalitatea
X4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+x+1-n)-2mx+n+m-1
Restul fiind pol inomul nul, adică – 2mx+n+m-1=0 rezult ă m=0 și n+m -1=0, adică m=0 și n=1.
Celelalte rădăcini ale ecuației sunt soluții (câtul egal cu zero) ale ecuației x2+x+1=0, adică
.
Metoda 2. (schema lui Horner)
În schema lu Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă când avem:
x4 x3 x2 x x0
1 -1 -m -1 n
1 1 0 -m m-1 m+n-1=0
1 1 1 1-m 2m=0
23 1×3,4 X4 X3 X2 X X0
1 2-2m m2-5m-7 3m2+11m+4 -4m2-4m
1 1 3-2m m2-7m-4 4m2+4m 0
-4 1 -1-2m m2+m 0
39
Deci –m+n- 1=0 și –m=0 dau m=0 și n=1, iar celelalte rădăcini ale ecuației date coincid cu ale câtului
x2+x+1=0.
Metoda 3 (metoda identificării). Dacă x=1 este rădăcină dublă a ecuației atunci trebuie să avem
egalitatea : x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2++).
De aici prin identificare, va rezulta sistemul: {−1 = 𝛼 − 2
−𝑚 = 𝛽 − 2𝛼 + 1
−1 = 𝛼 − 2𝛽
𝑛 = 𝛽
Din prima și a treia ecuație rezultă =1, =1.
Din celelalte ecuații se obține m=0, n=1. Apoi ecuația se va scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.
Celelalte două rădăcini sunt date de rădăcinile ecuației x2+x+1=0, adică .
Metoda 4 (metoda reducerilor succesive)
Dacă P=x2-2x+1, Q=x4-x3-mx2-x+n, atunci cel mai mare divizor comun dintre P și Q trebuie să fie P.
Dar și polinomul R=Q -x2P se va divide prin P. Avem deci: R=x3-(1+m)x2-x+n.
Și polinomul S=R-xP=(1-m)x2-2x+n se va divide prin P. C um S și P au același grad și S se divide prin P
rezultă că ele au aceleași rădăcini.
Condiția ca două polinoame P 1=a1x2+b1x+c 1, P2=a2x2+b2x+c 2 să aibă aceleași rădăcini este aceea de
proporționalitate a coeficienților termenilor de același grad
,(relații ce rezultă ușor din relațiile lui Viéte:
, ).
În cazul de fată, . De aici avem m=0, n=1.
Metoda 5. (relațiile lui Viéte). Din enunț avem că x1=x2=1.
Având o relație între rădăcini, vom asocia acesteia relațiile lui Viéte pentru o ecuație și atunci 23i1x3,4
21
21
21
cc
bb
aa
22
11
2 1ab
abxx
22
11
2 1ac
acxx
1n1mm1
40
sau
Din relațiile a doua și a treia rezultă 1 -m=1, adică m=0, iar din a doua și a patra n=1 -m=1. Pentru a găsi
rădăcinile x 3, x4 se rezolvă sistemul x 3+x4=-1, x 3×4=1, adică ecuația x2+x+1=0, când .
Relațiile lui Viéte – exerci ții rezolvate:
1) Fie ecuația x3+2×2-3x+1=0, cu rădăcinile x 1, x2, x3. să se calculeze:
a) x 12+x22+x32 ;
b) 1
𝑥12+1
𝑥22+1
𝑥32 ;
c) x 1n+x2n+x3n, n>3.
Relațiile lui Viéte pentru ecuația dată , sunt:
; ; ;
a) Suma de calculat devine succesiv
.
b) Se împart relațiile prin x 13, x23 și respectiv x 33 :
n xxxx1) x (xxx x)xx (x10x )(xx (x xx1 x x x x
4 3 2 14 3 2 1 2 1 2 14 3 2 1 2 14 3 2 1
n xx1 xxm1 xx1 x x
4 34 34 34 3
23i1x3,4
2 x1 3 xx2 1 1 x1
1064 xx2) x () x x xx x2(x) x x (x x x x2 12
1 3 2 3 1 2 12
3 2 12
32
22
1
0
x1
x32 x0
x1
x32 x0
x1
x32 x
2
3 332
2 222
1 11
41
Prin însumarea acestor egalități rezultă . De aici .
c) Dacă notăm cu , atunci vom găsi o relație de recurență pentru
aceste sume.
În (1) înmulțim prima relație cu x 1n-3, a doua cu x 2n-3 și , a treia cu x 3n-3, după care se adună, membru cu
membru relațiile obținute.
Se obține Sn+2S n-1-3S n-2+Sn-3=0, pentru oricare n>3, egalitate ce exprimă relația de recurență pentru
sumele S n. Dacă se cunosc S n-3, Sn-2, Sn-1, atunci se poate exprima S n din egalitatea de mai sus. Spr e
exemplu, pentru n=4 avem:
S4+2S 3-3S 2+S1=0 sau S 4=-2S 3+3S 2-S1=58+30+2=90.
Având sumele S2, S3, S4 se poate calcula S5=-2S 4+3S 2-S1, etc.
2) Se consideră ecuația x2-2x-1=0, cu rădăcinile x 1, x2, x3.
Dacă P=x5-2×4+6x+1, să se calculeze P(x 1)+ P(x 2)+ P(x 3).
Dacă x 1 este rădăcină a ecuației date, atunci x 13-2×1-1=0 sau x 13=2x 1+1.
Ținând seama de x 13=2x 1+1, vom aduce laforma P(x 1) când avem:
P(x 1)=x 12×13-2x 1×13+6x 1+1=x 12(2x 1+1)-2x 1(2x 1+1)+6x+1=2x 13-3x 12+4x 1+1=
=2(2x 1+1)-3x 12+4×1+1=-3x 12+8x 1+3.
Suma de calculat P(x 1)+P(x 2)+P(x 3) pe care o notăm , se scrie
, unde și deci
.
Suma căutată este -3.
Formarea ecuațiilor de grad III și IV
Pentru a forma ecuația de gradul al treilea care să aibă rădăcinile x 1, x2, x3 se calculează sumele
simetrice fundamentale:
Atunci ecuația finală este: x3-S1x2+S2x-S 3=0. 0x1
x136 x2
1 11 5×1
2
1
n
1n
3n
2n
1 n x x x x S
) P(x1
33×8 x3 ) P(x12
1 1 440 xx2) x ( x2 12
12
1
3 90843 ) P(x1
3 2 1 32 1 3 2 3 1 2 1 21 3 2 1 1
xxx Sxx xx xx xx Sx x x x S
42
Pentru a forma ecuația de gradul al patrulea de rădăcini x 1, x2, x3, x4, calculăm următoarele sume
simetrice fundamentale:
iar ecuația este: x4-S1x3+S2x2-S3x+S 4=0.
Rădăcini comune
Vor fi prezentate câteva tehnici de lucru pentru a determina un parametru astfel încât două ecuații,
dintre care cel puțin una este de grad superior, să admită cel puțin o rădăcină comună.
Probleme rezolvate
1.Să se determine parametrul real a pentru care ecuațiile
x2+x+a=0
x3-ax-3=0 au o rădăcină comună.
Metoda 1 (metoda scăderilor repetate) .
Fie P=x2+x+a, Q=x3-ax-3. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor P și Q va fi un divizor și pentru
polinoamele:
R=xP-Q=x2+2ax+3
S=R-P=(2a-1)x+3-a
V=(2a-1)R-xS=(4a2-a-3)x+3(2a- 1)
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor P, Q este de gradul întâi, care divide pe S, V, și ace stea
fiind polinoame de gradul întâi, se impune condiția ca S, V să aibă aceeași rădăcină.
Aceasta are loc dacă , coeficienții sunt proporționali
sau 4a3-a2-12a+12=0 cu unica soluție reala a=-2 .
Dacă a= -2 atunci ecuațiile devin:
x2+x-2=0 cu soluțiile x1=-2, x 2=1; 4 3 2 1 43 2 1 4 3 2 4 3 1 4 2 1 3 2 1 32 1 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1 21 3 3 2 1 1
xxxx Sxxx xxx xxx xxx xxx Sxx xx xx xx xx xx xx Sx x x x x S
1) 3(2aa3
3a 4a12a
2
43
x3+2x- 3=0 cu soluțiile x1=1, x 2,3 =−𝟏±𝒊 √𝟏𝟏
𝟐.
Deci rădăcina comună a ecuațiilor este x=1. Pentru a= -2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.
Observație . Ideea de rezolvare a fost aceea că dacă polinomul d divide polinoamele f, g, atunci pentru
orice h, k polinoame, avem d divide hf+kg, iar prin astfel de operații să ajungem la faptul că polinomul
d divide două polinoame de același grad cu d (mai sus S și V ).
După toate aceastea se impune condiția ca aceste ultime polinoame să aibă aceleași rădăcini.
Metoda 2 ( metoda eliminării parametrului ).
Fie rădăcina comună a celor două ecuații. Deci x= verifică ecuațiile:
2++a=0
3-a-3=0, (1).
Ideea este de a găsi o ecuație pe care o verifică , ecuație care nu trebuie să conțină parametrul a, ceea
ce revine la eliminarea lui a între cele două relații (1).
Cum a=-2- ( din prima relație ), a doua relație din (1) devine 2 3+2-3=0. Aceasta este ecuația pe
care o verifică rădăcină comuna . Singura soluție reală a ecuației este =1 pentru care din două ecuații
se obține a= -2.
Pentru a=- 2 cele două ecuații sunt:
x2+x-2=0, cu soluțiile x1=-2, x 2=1 și
x3+2x- 3=0, cu soluțiile x1=1, x 2,3 =−𝟏±𝒊 √𝟏𝟏
𝟐
Dacă a= -2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.
Metoda 3 ( metoda identificării ).
Fie rădăcina comună a celor două ecuații. Atunci au loc următoarele egalități:
x2+x+a=(x-)(x-)
x3-ax-3=(x-)(x2+x+)
sau
x2+x+a=x2-(+)x+x
x3-ax-3=x3+(-)x2+(-)x-
iar de aici, prin identificarea polinoamelor se obține sistemul:
44
{ += −1
= a
−= 0
−= −a
= 3
cu soluția ==1, =3, =-2, a=-2.
Prima ecuație mai are pe lângă soluția comună =1, și soluția x==-2, iar a doua ecuație are soluțiile
=1, x =−𝟏±𝒊 √𝟏𝟏
𝟐.
Deci a=- 2, iar soluția comună este x=1.
Metoda 4 (relațiile lui Vi éte ).
Fie x 1, x2 rădăcinile primei ecuații, iar x 1, x3, x4 rădăcinile celei de -a doua ecuații. Scriem relațiile lui
Viéte pentru cele două ecuații și avem:
x 1+x2=-1
x 1×2=a
x 1+x3+x4=0
x 1×3+x1x4+x3x4=-a
x 1x3x4=3
Scriem a patra relație sub forma x 1(x3+x4)+x 3×4=-a (1) iar a treia și ultima relație, sub formele
x3+x4=-x 1, .
Cu acestea (1) devine , (2).
Ținând seama de x 1×2=a și x 2=-1-x 1, (2) se scrie sau 2×13+x12-3=0 , ecuație ce
are ca singură soluție reală x1=1. Din (2) rezultă a= -2 și apoi din x 1×2=a se obține x2=-2.
A doua ecuație are rădăcina x 1=1 și soluțiile ecuației x 2+x+3=0, adică x3,4 =−𝟏±𝒊 √𝟏𝟏
𝟐.
Pentru a=- 2, ecuațiile au rădăcina comună x=1.
1.13.Aplicații la polinoame
1) Să se afle parametrul m astfel încât polinomul 4 3 246 X X X X m să se dividă prin
X+2. 14 3x3xx
ax3x
12
1
) x 1( xx3x1 1
12
1
45
4 3 2
4 3 246
( ) ( ) 0
( 2) (2) 0
( 2) ( 2) 4( 2) ( 2) 6( 2) 0
16 32 4 12 32f X X X X m
f X a f a
f X f
fm
mm
2) Arătați că polinomul 2 4 1( 1)nX X x se divide cu 21 X.
2 4 1 2 2 4 1
2 4 1 4 1 2 2
2 4 1 2 4 1 4 1( 1) ( 1) ( 1) ( )( )
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( 1) ( ) 0
( ) (( ) 1) ( 1) ( ) 0
()()()nn
n n n
n n nX X X X X X X X i X i
f X i f i
f X i f i
f i i i i i i i i i i i
f i i i i i i i i i i i
f X if X if X i
2( ) ( 1).X i f X
3) Arătați că 21 XX divide polinomul 611.nXX
6 1 2 6 1
12
1
2
23 2
1 1 1
2 3 3
2 2 2
0
2
6 1 6 1 3 2 1 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11( ) 1 ( 1) 1 ( )( )
( ) 0
( ) 0
1 0 0 10
1 0 1 0 0
1 1( ) 1 1 ( ) 1 1 0nn
n n nf X X X X X X X X X X X
fX
fX
X X X XX
X X X X
XXP X X X X X X X X X XXX
La fel se demonstrează că 2( ) 0PX
2
12 ( )( ) ( 1).f X X X X f X X
4) Arătațică polinomul 2 8 1( 1)nX X X se divide cu 21 X.
46
2 8 1 2
2 8 1 8 1 8
2 8 1 8 1 8( ) ( ) 0( ) ( 1) ( 1) ( )( )( ) ( ) 0
( ) ( 1) 0
( ) (( ) 1) ( ) ( ) ( ) 0
()( )( )()n
nnn
nnnf X i f if X X X X X f X i X if X i f i
f i i i i i i i i i i i
f i i i i i i i i i i i
f X if X i X i ff X i
2( 1).X
5) Rezolva ți ecuația reciprocă 4322 2 0.X X X X
4 3 2 2
22
22
2
2
1
1;2
2
2
1;2
2
3;42 2 0 :
1 2 1 12 1 0 2 1 0
2( 2 ) 1 0
1
2 3 1 0
1319 8 1 14
2
11. 1 1 0
1332
112. 2 2 02
1 16 15X X X X X
X X X XXX XXt t t
XtX
tt
t
t
t
X X xX
iX
X X XX
X
1;2
3;41 15
4
13
2
1 15
4i
iX
Deci
iX
6) Determina ți parametrii a și b ,aplicând teorema lui B 𝑒́zout,astfel încât polinomul
4 3 244 X X X aX b să se dividă cu 243 XX . Determina țiapoi câtul împărțirii.
g=X2-4X+3=(X-1)(X- 3)
{𝑓 ⋮ (𝑋 − 1)
𝑓 ⋮ (𝑋 − 3){𝑓(1)= 0
𝑓(3)= 0
47
f(1)=14-4+4+a-ba+b=-1
f(3)=34-4∙33+4∙32+a+b=03a+b=-9
{a + b = −1
3a+ b = −9a=-4 si b=3
X4-4X3+4X2-4X+3
-X4+4X3-3X2 X2-4X+3
X2-4X+3
X2+4X-3 X2+1
/ / /
Deci q= X2+1
7) Determina ți parametrul m și apoi aflați rădăcinile polinomului 3268 X X X m știind că
are rădăcina x=2.
32
32( ) 6 8
(2) 8 24 16 0 0
( ) 6 8 0f x X X X m
f m m
f X X X X
Folosim relațiile lui Vi 𝑒̀te:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3 3
1
2
1
2
36
8
04
2
0
0
2
4x x x
x x x x x x
x x x x
x
x
x
Deci x
x
8) Arătați că polinomul 2 4 1( 1)nX X X se divide cu 21 X.
48
2 4 1 2
4 1 4
4 1 4 1( 1) ( 1) ( 1)( 1)
( 1) (1 1 1) 1 ( 1) 1 1 1 0
(1) (1 1 1) 1 1 1 1 1 0n
nn
nnX X X X X X
f
f
Deci 2 4 1 2( 1) ( 1)nX X X X
9) Arătațică polinomul 3 2 3( 1)nnXX se divide cu 2( 1)XX.
𝑋13=-1
𝑋23=-1
X2-X+1=0
f(X 1)=(X 1-1)n-3+ X 12n-3= (X 1-1)n (X1-1)3+ X 1n X13= X 12n X16 +X 12n= X 12n- X 12n=0
La fel demonstrăm că 2( ) 0fX.
Deci3 2 3 2( 1) ( 1)nnX X X X
.
10) Calcula ți suma pătratelor rădăcinilor ecuației 25 6 0 XX .
1. 1 2
235 6 02XXXX
2. 1 2
135 6 02XXXX
2 2 2 23 2 ( 3) ( 2) 13 13 26S
11) Rezolva țiecuația :
23 7 2 0XX
49
2
2
1
1;2
23 7 2 03 7 2 0
49 24 25
275
16
3
2 2,3
1
3XXtt
Xt
t
t
t
XX
XX
Ecuația are o infinitate de soluții.
12) Rezolva țiecuația 23 { } 7{ } 2 0XX .
2
2
1
23{ } 7{ } 2 03 7 2 0
{}
25
2
1
3
{ } 2
11{ } ,33XXtt
Xt
t
t
XX
XX
Ecuația are o infinitate de soluții.
13) Calcula ți suma 2 2 2
1 2 23 … S X X X , unde 1 2 23, ,…,X X X sunt rădăcinile ecuației
23 22 21 5 42 3 3 4 f X X X X X .
Obs.
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) 2
( ) 2 2 2
… ( … ) 2( … ) 2n n n na b a b ab
a b c a b c ab ac bc
a a a a a a a a a a S S
Particularizare
50
2 2 2 2 2
1 2 23 1 2 23 1 2 1 1 2
1 1 2 23
2 1 2 22 23
2
12… ( … ) 2( … ) 2
… 2
… 3
2 4 6 2nn X X X X X X X X X X S S
S X X X
S X X X X
S S S
Deci S=-2.
14) Determina ția,b,c astfel încât aceste numere să fie rădăcinile ecuației 320 X aX bX c
2 2 21
1
1
1 1 1 0
10a b c a b c
ab ac bc b ab
abc c ac
c a k
b c b c c c b sau b
ac
2)
2.1. inelul K[X] este Euclidian, unde K este corp comutativ
Fie K un corp comutativ. Atunci K[X] este un inel euclidian cu funcția
𝜑: 𝐾[𝑋]∗→ 𝑁, 𝜑 (𝑓)=𝑔𝑟a𝑑𝑓.
Rezolvare :
Trebuie să arătăm că:
1. ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾 [𝑋]∗𝑐𝑢𝑓|𝑔𝜑(𝑓)≤ 𝜑(𝑔);
2. ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾 [𝑋], 𝑐𝑢𝑔 ≠ 0, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐾 [𝑋] astfel încâ t 𝑓 =𝑔𝑞+ 𝑟, cu r = 0 sau grad f < grad g
1. Fie f.g K[X]* cu f g h K[X] astfel încât g = fh.
Din K corp comutativ K[X] este domeniu de integritate grad g = grad f + grad h
(g) = (f) + (h) (f) (g);
2. Fie f,g K[X], g0.
Vom ar ăta ca exist ă două polinoame q,r K[X] astfel încâ t f = gq + r, cu r = 0 sau grad r < grad g.
Fie f = a 0 + a1X + … + a nXn si g = b 0 + b 1X + … +b m 0 si m 0.
51
Vom demonstra prin induc ție dup ă grad f = n c ă q,r K[X] astfel încâ t f = gq + r, cu r =0 sau
grad r < grad g.
Dacă n < grad g atunci punem q=0 si r = f grad r < grad g.
Dacă n grad g consider ăm polinomul f ’ = f – bm-1anxn-mg.
Se observ ă că grad f ’ < n 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑧𝑒𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒⇒ q’, r’ K[X] astfel î ncât f’ = gq ’ + r’, unde
grad r ’ < grad g.
f – bm-1anxn-mg = gq ’ + r’ f = b m-1anxn-mg + gq ’ + r’ f = g (b m-1anxn-m + q’) + r’.
Notând q = b m-1anxn-m + q’ și r = r ’ obținem f = gq + r, unde grad r < grad g.
Deci K[X] este inel Euclidian.
Aplica ție.
Arata ți că inelul Z[i] = {a + bi a,b Z} este un inel euclidian relativ la func ția
: Z[i]*→ N , (a + bi) = a2 + b2
Rezolvare:
Trebuie s ă arătăm că:
1. , Z[i]* cu () ();
2. , Z[i] , cu 0, ,1 Z[i] astfel încât = q + 1 , unde 1 = 0 sau (1) <();
1. Din , Z[i]* = a 1 + b 1i si = a 2 + b 2i cu a 1, b1, a2, b2 0.
Definim func ția N : Z[i] → 𝑁, N( a + bi ) = a2 + b2 , pe care o vom numi funcția norm ă.
Vom ar ăta că, Z[i] N( ) = N()N().
N( ) = N[(a 1a2 – b 1b2) + i(a 1b2 + b 1a2)] = (a 1a2 – b 1b2)2 + (a 1b2 + b 1a2)2
= (a 1a2)2 + (b 1b2)2 + (a 1b2)2 + (b 1a2)2.
N()N() = (a 12 + b 12)(a22 + b 22) = (a 1a2)2 + (b 1b2)2 + (a 1b2)2 + (b 1a2)2.
Deci avem N( ) = N()N() (norma produsului a dou ă elemente este egal ă cu produsul normelor
celor dou ă elemente).
2. Fie , Z[i], cu 0 = a 1 + b 1i și = a 2 + b 2i cu a 2, b2 0.
Din Z[i], cu 0 -1Q[i], -1 = 1
𝛽 = 1
𝑎2 + 𝑏 2𝑖= 𝑎2− 𝑏2𝑖
𝑎22+𝑏22 Q[i]
,-1 = (a 1 + b 1i) ∙ 𝑎2− 𝑏2𝑖
𝑎22+𝑏22=𝑎1𝑎2+ 𝑏1𝑏2
𝑎22+𝑏22+ 𝑖𝑎2𝑏1− 𝑎1𝑏2
𝑎22+𝑏22 Q[i]
Fie r = 𝑎1𝑎2+ 𝑏1𝑏2
a22+𝑏22 Q și s = 𝑎2𝑏1− 𝑎1𝑏2
𝑎22+𝑏22 Q.
52
S-a ajuns la forma de scriere -1 = r + si , cu r,s Q.
Fie = a 3 + b 3i, unde a 3, b3 sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respectiv s și
= r – a3 + (s – b3)i = r + si – (a3 + b 3)i = -1 – = +.
Din modul de definire a lui Z[i] Z[i], dar și Z[i] Z[i].
Fie = 1 Z[i] N() = N(1) N(1) = N()N() (am ar ătat mai sus)
N(1) = N() ∙ [(r – a3)2 + (s – a3)2] .
Din r,s Q si a 3 ,b3 sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respectiv s
|𝑟 − 𝑎 3|≤1
2 si |𝑠 − 𝑏 3|≤1
2 N(1) = N() ∙ [(r – a3)2 + (s – a3)2] N() ∙1
2N() (1) <()
Deci Z[i] este inel Euclidian.
Aplicație.
Determina ți cel mai mare divizor comun al elementelor 2 + 8i și 3 + i în inelul întregilor lui Gauss
Z[i] = {a + bi a,b Z}.
Rezolvare:
Z[i] este un inel Euclidian în raport cu funcția : Z[i]*→ N, (a + bi) = a2 + b2.
Utilizăm algoritmul lui Euclid
2 + 8i = (-3 + i)(- 2i) + 2i și (2i)= 4 < 10= (-3 + i)
-3 + i = (2i)i + (- 1 + i) și (-1 + i)= 2 <4 = (2i)2i = (-1 +i)(1 – i)+0,
Deci (2+ 8i, -3+ i) = – 1 + i și [2 + 8i, -3 + i] =
(2 + 8𝑖)(−3 + 𝑖)
−1 + 𝑖= −14−22𝑖
−1 + 𝑖= 36𝑖 − 8
2= −4 + 18𝑖
Aplicație.
Determina ți elementele inversabile ale inelului Z[i √3].
Rezolvare:
Z[i√3] = {a + bi a,b Z}.
Definim funcția normă N : Z[i √3] →N, N(a + bi √3) = a2 + 3b2.
Norma produsului a două elemente este egală cu produsul normelor celor două elemente
N() = N()N(), , Z[i√3].
Fie Z[i√3] , = a 1 + b 1i√3, a1 ,b1 Z este un element inversabil în Z[i √3] ’ Z[i√3] astfel
încât ’ = ’ = 1 N (’) = N(1) N()N(’) = N(1) = 1.
53
Deci este inversabil în Z[i √3] N() = 1.
Reciproc, dac ă N() = 1 atunci Z[i√3] un element inversabil in Z[i √3].
Din N() = 1 a12 + 3b 12 = 1 a1 {-1, 1}, b 1 = 0 {-1,1} este inversabil în Z[i √3].
S-a arătat că este inversabil în Z[i √3] dacă și numai dacă N ( ) = 1, adică dacă și numai dacă
{-1,1}.
2.2. algoritmului lui Euclid de determinare a c.m.m.d.c a dou ă polinoame și exemple
Propozi ția. Într-un inel euclidian, orice 2 elemente au un c.m.m.d.c. și un c.m.m.m.c.
Demonstra ție:
Fie A un inel euclidian și a,b dou ă elemente din A. Dac ă unul dintre acestea este nul, atunci cel ălalt
este c.m.m.d.c. al lor. Se presupune a,b≠0. În acest caz , pentru demonstra ția propozi ției , se va
aplica succesiv teorema î mpărțirii cu rest, ceea ce reprezint ă algoritmul lui Euclid .
Se aplic ă teorema î mpărțirii cu rest elementelor a și b și se ob ține :
1. a=bq 1+r, unde r 1=0 sau f(r 1)<f(b);
Dacă r1≠0 există elementele q 2,r2∈A a.î.
2. b=r 1q2+r2, cu r 2=0 sau f(r 2)<f(r 1).
Dacă r2≠0, se aplic ă teorema î mpărțirii cu rest elementelor r 1și r2 . Exist ă elementele q 3,r2∈A a.î.:
3. r 1=r2q3+r3, cu r 3=0 sau f(r 3)<f(r 2)
Repetând acest procedeu , se ob ține elementele q 4,q5,.,qn,. și r4,r5,.,rn,., astfel încâ t:
4. r 2=r3q4+r4, cu r 4=0 sau f(r 4)<f(r 3);
……………
r n-2=rn-1qn+rn , cu r n=0 sau f(rn)<f(r n-1);
r n-2=rn-1qn+rn+1 cu r n+1=0 sau f(r n)<f(r n+1).
Deoarece șirul f(r 1)>f(r 2)>…>f(r n)>f(r n+1)>.. este un șir descresc ător de numere naturale, dup ă un
număr finit de pa și se ob ține un rest nul , adic ă exist ă un num ăr natural n a. î. r n≠0 și rn+1≠0.
Arătăm că rn este c.m.m.d.c. al lui a și b. Cum r n-1=rnqn+1⇒ rn rn-1.
Deoarece r n-2=rn-1qn+rn⇒ rnrn-2.
Se va folosi egalitatea r n-3=rn-2qn-1+rn-1 și ținînd cont că rnrn-1 și rnrn-2, rezult ărnrn-3. Din aproape, în
aproape ținînd cont de egalitatea 4 , rezult ă că rn divide elementele r n-1, rn-2, ., r 2,…. Din egalitatea 3
rezult ă că rnr1 și din egalitatea 2 rezult ă rna. Deci r n este un divizor comun al elementelor a și b.
54
Din 1 ob ținem r 1=a-bq 1și deci d'r1. Din 2 ob ținem r 2=b-r1q2. Cum d'r1și d'b ⇒ d'r2. Din egalitatea
3 obținem r 3=r1-r2q3și deci d'r3. Acum folosim egalitatea 4 . Din aproape în aproape rezult ă că d'
divide elementele r 4,r5,., r n-1,rn. Așadar r n (ultimul rest nenul) este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Șirul de egalit ăți 1,2,3,4,., n≠0 poartă numele de algoritmul lui Euclid . Acest șir de egalit ăți ne
permite s ă determin ăm pentru un inel euclidian un c.m.m.d.c. a dou ă elemente. De asemenea,
c.m.m.d.c. este unic determinat , abstrac ție făcând de o asociere în divizibilitate .
Corolarul. Într-un inel euclidian, orice element ireductibil este prim.
Exemplu:
1) În inelul Z[i] , fie a=16+6i si b=7+3i . S ă calcul ăm c.m.m.d.c. al lor.
16+6i=(7+3i)(2-i)+(-1+7i), f(-1+7i)<f(7+3i), 50<28.
7+3i=(-1+7i)(1-i)+(1-5i), f(1-5i)<f(-1+7i), 26<50;
-1+7i=(1-5i)(-1+0i)+2i, f(2i)<f(1-5i), 4<26.
1-5i=(-2-i)2i+(-1-i), 2i=(-1-i)(-1-i), f(-1-i)<f(2i), 2<4.
C.m.m.d.c. al numerelor 16+6i și 7+3i este -1+i.
2) Determina ți c.m.m.d.c. al polinoamelor f,g ϵ ₵[X],
f = X4 – 3X3 +3X2 -3X +2 si g = X3 +X2 + X +1.
Pentru aflarea c.m.m.d.c. al polinoamelor, se aplic ă algoritmul lui Euclid.
X4 -X3 3X2 -3X +2 X3 +X2 +X +1
-X4 -X3 -X2 -X X – 4
4X3 +2X2 -4X +2
4X3 +4X2 +4X +4
+6X2 +6
55
Se împarte apoi g la r = X2 +1 , polinom ob ținut prin î mpărțirea la 6 a restului î mpărțirii de mai sus:
X3 +X2 +X +1 X2 +1
-X3 -X X + 1
X2 +1
-X2 -1
C.m.m.d.c. al polinoamelor f și g este X2 + 1.
2.3. Orice inel euclidian este principal
Teoremă. Un inel euclidian este principal.
Demonstrație:
Fie R un inel euclidian, : R*→ 𝑁o funcție și A un ideal în R.
Se arată că acest ideal este principal.
Dacă A = (0) A este principal.
Dacă A (0) considerăm submulțimea M = { (a) aA, a0} a lui N. Deoarece N este o
mulțime bine ordonată, rezultă că există un element b A, A ideal a lui R astfel că (b)să fie
elementul minimal în M.
Se va arăta că bR = A . Din b A, A ideal a lui R bR A.
Fie a A. Din b 0 q,r R astfel încât a = bq + r, unde r = 0 sau (r) <(b).
Dacă r = 0 a bR.
Dacă r 0, r = a – bq A, și (r) <(b) rezultă contradicție cu alegerea lui b.
Din această teoremă rezultă că inelul întregilor lui Gauss Z[ i] , 𝑍 [1+𝑖√3
2] și orice inel de polinoame
de o nedeterminată, cu coeficienți într -un corp sunt inele principale deoarece sunt și inele euclidiene.
56
Propoziție. Fie R un inel integru care nu este corp. Atunci inelul de o nedeterminată R[X]
nu este inel principal.
Demonstrație:
R nu este corp a R, a 0 și a neinversabil. Se arată că idealul generat de a și X nu este
principal. Presupunem că aR[X] + XR[X] = (f), f R.
Din a = fg, g R[X] f R
Din X =fg ’, g’ R[X] f este inversabil în R aR[X] +XR[X] =R[X]. Deci rezultă
relația 1 = a + X, , R[X], relație imposibilă deoarece 0 (a neinversabil).
Din această propoziție rezultă că inelul Z[X] nu este inel principal și orice inel de polinoame
de n > 1 nedeterminate cu coeficienți într -un corp nu este inel principal și deci nici euclidian.
Propoziție. Fie R un inel principal și a,b R. Atunci:
1.Elementul d R este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b dacă și numai dacă
aR + bR = dR.
2.Elementul m R este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b dacă și numai dacă
mR = aR bR
Demonstrație:
1. “”
Dacă d R este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b a dR, b dR și
aR +bR dR. Din aR +bR ideal principal aR +bR = d ’R d’ este divizor comun al lui a și b
d’ d d’R = aR + bR ⊇ dR aR +bR = dR
“ ”
Fie dR astfel încât aR +bR = dR d este divizor comun al lui a și b deci are loc relația
d = a + b, , R orice divizor comun al lui a și b divide pe d.
2. “”
Dacă m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b mR aR bR.
Din aR bR ideal principal aR bR =m ’R este multiplu comun al lui a și b mm’
mR ⊇m’R aR bR mR = aR bR.
“ ”
Fie mR astfel încât mR = aR bR m este multiplu comun al lui a și b. Fie m ’ alt multiplu
57
comun al lui a și b m’ aR și m’ bR m’R aR bR=mR mm’.
Corolar. Într-un inel principal orice două elemente au cel mai mare divizor comun și cel mai mic
multiplu comun, iar dacă d R este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b din R , atunci
există ,R, d=a+b.
Corolar. Într-un inel principal orice element ireductibil este prim. Din acest corolar deducem că
inelul 𝑍[𝑖√5].
Lemă. Fie R un inel principal și (𝑟𝑛)𝑛≥0 un șir de elemente din R astfel încât
𝑟0𝑅𝑟1𝑅𝑟2𝑅…𝑟𝑛𝑅𝑟𝑛+1𝑅… (un șir crescător infinit de ideale din R).
Atunci există m N astfel încât 𝑟𝑚𝑅=𝑟𝑚+𝑖𝑅, iN.
Demonstrație:
Fie I reuniunea idealelor 𝑟𝑛𝑅, nN. Dacă x,y I, atunci exista i,j N astfel încât x 𝑟𝑖𝑅,
y 𝑟𝑗𝑅. Deci x,y 𝑟𝑡𝑅, unde t=max(i,j). Din 𝑟𝑡𝑅 ideal x-y𝑟𝑡𝑅. Dacă rR, rx𝑟𝑡𝑅 x-yI și
rxI. deci I este idealal lui R. I nelul R este principal a R astfel încât I= aR. Din a I
mN astfel încât a 𝑟𝑚𝑅adică aR = 𝑟𝑚𝑅. Deci 𝑟𝑚𝑅 = aR = I = 𝑟𝑚+𝑖𝑅, iN.
Teoremă. Într-un inel principal orice element nenul și neinversabil se descompune în produs finit de
elemente prime.
Demonstrație:
Fie R un inel principal. Presupunem prin reducere la absurd că în inelul R există un element nenul
și neinversabil r care nu se poate scrie ca un produs finit de elemente prime. Din R inel principal
rezultă că elementele prime sunt echivalente cu elemente ireductibile.
Elementul r nu este ireductibil, deci r = r 1s1, cu r 1s1 elemente nenule si neinversabile, neasociate cu r.
Dacă sunt produse finite de elemente ireductibile atunci r este produs de r 1 șis1 elemente ireductibile
ceea ce este fals.
Deci cel puțin unul dintre ele nu se scrie ca produs de elemente ireductibile.Fie r 1 un astfel de
element deci înlocuind în raționamentul de mai sus pe r cu r 1 rezultă că există un divizor r 2 al lui r 1,
care este neinversabil și neasociat cu r 1. Procedând inductiv, rezultă existența unui șir (𝑟𝑛)𝑛≥0 de
elemente din R cu r 0 = r și că pentru orice n N, r n+1 este un divizor propriu al lui r n .
Din acest șir rezultă șirul strict crescător infinit de ideale r 0R ⊂ r1R⊂ r2R ⊂…⊂ rnR ⊂ rn+1R ⊂… .
58
Din lema de mai sus rezultă că un astfel de șir nu poate exista într– un inel principal. Deci
presupunerea făcută este falsă.
Propoziție. Fie R un inel integru și :R* →N o funcție care are proprietatea a dou ă din
definiția inelului euclidian.
Atunci funcția ’:R*→N definită prin ’(a) = (b) când b parcurge toate elementele
asociate cu a, satisface primele dou ă relațiile din definiția inelului euclidian.
Demonstrație: Vom verifica dacă ’ satisface relația a doua. Fie a,b R, cu b0 și b’
un element asociat cu b pentru care ’(b) = (b’). Deci b0 .
Din modul de definire al funcției rezultă că există q și r astfel încât a = b’ q + r cu
R=0 sau (r) <(b’) (r) <’(b).
Din b ’ = bu, u element inversabil in R a = buq + r și că ’(r)(r)<(b’)=’(b), dacă r 0.
Pentru a verifica prima relație, observăm că din modul în care s -a definit ’rezultă că
pentru a asociat cu a ’ avem ’(a)=’(a’). Presupunem că a b și a,b 0. Din modul de
definire al funcției idealul aR este ideal principal generat de un element a ’, cu
proprietatea că a’ 0, (a’) (c), pentru orice c aR. Din aR = a ’R a și a’sunt asociate,
pentru orice element asociate ’(a)=(a’)’(b) pentru orice element asociat cu b este în
idealul aR.
Aplicație.
Fie R un inel principal, a,b,c R, cu a0, cu b0, d= mmdc {a,b}și ecuația (*) ax + by = c.
a) Arătați că ecuația (*) admite soluții (x,y) R2 dacă și numai dacă d c.
b) Dacă (x 0y0)R2 este o soluție a ecuației (*), atunci determinați toate soluțiile acesteia.
Rezolvare:
a) “ ”
Dacă (x,y) R2 este o soluție a ecuației (*)= ax + by = c.
Din d=c.m.m.d.c. {a,b} d a și d b d (ax + by) d c.
“ ”
Dacă dceR astfel încât c = de. Fie , R cu proprietatea că a +b=d.
Atunci ae + be = de = c (e,e)R2 este soluție aecuației (*).
59
b) Dacă (x0,y0) R2 este o soluție a ecuației (*)atunci ax0+by 0=c.
Fie (x,y)R2 este o soluție oarecare a ecuației (*) ax+by=ca(x-x 0)+b(y-y 0)=0.
Fie și a = da ’, b=db ’, a’,b’R sunt relativ prime.
Deci a ’(x-x0)+b’(y-y0)=0 a’(x-x0)=b’(y-y0) b’(x-x0)uR astfel încât
x-x 0=b’ua’b’u=-b(y-y 0)y-y 0=-a’u.
Deci orice soluție a ecuației ( * ) este de forma (x 0+b’u,y0-a’u),uR.
Perechea (x 0+b’u,y0-a’u),uR2 verifică ecuația (*) S= {( (x0+b’u,y0-a’u)uR)}.
2.4. Orice inel principal este factorial
Teoremă. Orice inel principal este factorial.
Demonstrație:
Demostrația acestei teoreme rezultă din faptul ca într -un inel principal orice
element nenul și neinversabil se descompune în produs finit de elemente prime, deci inelul
este factorial.
Lemă. Dacă R este un inel factorial, descompunerea unui element în produs de elemente
prime este unică în afară de ordinea factorilor și o asociere a lor. Adică dacă a = p 1p2…p n =
q1q2…q m, unde p i și q j , i = 1, …, n, j = 1, … ,m sunt elemente prime, atunci n=m ș i,
schimbând eventual ordinea factorilor, avem p i = q i ui unde u i sunt elemente inversabile, i =
1,…,n.
Demonstrație:
Vom face o inducție după numărul minim al factorilor din cele două descompuneri.
Presupunem că n m. Atunci pentru n=1 avem p 1 = q 1q2…q m. Din p 1 ireductibil rezultă că p 1
este asociat cu unul dintre q j, 1jm.
Putem presupune că acela este q 1. Atunci produsul q 2…q m~1 și deci toți q j, 2jm, ar fi
elemente inversabile ale inelului R, ceea ce este o contradicție. Deci m=1 și afirmația este
demonstrată în acest caz.
Presupunem că afirmația este adevărată pentru orice două descompuneri în care una are mai puțin
de n factori. Din element prim p n qj , 1jm .
Presupunem că p nqm și din q m ireductibil pn~qm pn=qmu, unde u este element inversabil în R.
60
Din p 1p2…p n = q 1q2…q m p1p2… q mu = q 1q2…q m p1p2…p n-1u = q 1q2…q m-1=a’.
Deoarece p n-1u este element prim rezultă că avem două descompuneri ale elementului a în
produs de elemente prime și din ipoteza inductivă n-1=m-1n=m iar după o oarecare
renumerotare p i~ai , 1in-1.
Lemă. Într-un inel factorial R orice element ireductibil este prim.
Demonstrație:
Fie a un element ireductibil din inelul R. Atunci, din faptul că a este produs de elemente
prime rezultă că se divide cu un element prim p. Dar p este neinversabil p~ a. Deci a este
prim.
Teoremă. Fie R un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1.R este inel factorial.
2.Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente
ireductibile și orice element ireductibil este prim.
3.Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente
ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de
asociere.
4.Orice element nenul și neinversabil din R este produs finit de elemente ireductibile și orice
două elemente din R au un cel mai mare divizor comun.
Demonstrație:
Arătăm doar implica țiile „34” și „41”
„34”
Fie a,bR două elemente nenule și neinversabile. Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al
elementelor a și b se ia un sistem de reprezentanți ai claselor de echivalență ale elementelor
ireductibile din R în raport cu relația de asociere în divizibilitate, notat cu P. Atunci există și
sunt unic determinate p 1,p2,…,p nP distincte, s 1,s2,…,s n,t1,t2,…,t nN, u,vU(R) astfel încât
a = 𝑝1𝑠1 … 𝑝𝑛𝑠𝑛u și b=𝑝1𝑡1 … 𝑝𝑛𝑡𝑛v.
Elementele sunt unic determinate din unicitatea descompunerilor în R.
Fie r i= min(s i,ti) și definim d = 𝑝1𝑟1 … 𝑝𝑛𝑟𝑛. Se observă că d a și d b . Dacă e a și e b atunci orice
cP. Factorul ireductibil care îl divide pe e divide pe a și pe b. Deci c {p 1,p2,…,p n} pentru că
61
altfel a (sau b) ar avea două descompuneri în factori ireductibili, dintre care una îl conține pe c, iar
cealaltă
nu, ceea ce contrazice unicitatea descompunerilor.
Deci e este de forma p1w1 … pnwnq, cu w 1,…,w nN, q U(R).
Din e a wi si. Din e b wi ti , i=1, 𝑛̅̅̅̅̅. Deci w i ri și e d.
„4 1”
Un inel integru R cu proprietatea că, pentru orice două elemente x,y R, există un
c.m.m.d.c. al lor, se numește GCD -inel. Din 4 R este un GCD-inel.
Să arătăm că orice element ireductibil în R este prim în R. Fie p R ireductibil și x,y R
astfel încât p xy. Dacă p ∤ x rezultă că c.m.m.d.c. al elementelor p și x este 1. Dacă d x și d
p atunci este imposibil ca d ~p, deci d ~1. Deci p xy și p este prim cu x.
Din (p,x) = 1 (py, xy) = y. Din p py si p xy p (py,xy) p y p este prim in R.
Deci R este inel factorial.
Propoziție. Fie R un inel factorial, n N* și a,b 1,…,b n R. Dacă a este prim cu orice bi , 1in,
atunci a este prim cu produsul b 1 … bn.
Demonstrație:
Vom arăta că nu există nici un element prim care să dividă atât pe a cât și produsul b 1 … bn.
Presupunem că există un element prim care să dividă atât pe a cât și produsul b 1 … bn. Dacă
p este un astfel de element, atunci există j, 1jn astfel încât p bj .
Din p a p (a, b j) = 1 p este inversabil, contradicție.
Deci nu există nici un element prim p care să dividă atât pe a cât și produsul b 1 … bn.
Fie R un inel integru și R [X ] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în
R. Elementele inversabile din R[X] sunt cele din R și numai ele. De aici rezultă că două
polinoame din R[X] sunt asociate dacă și numai dacă se obțin unul din celălalt prin
înmulțire cu un element inversabil din R. Un element a R divide un polinom d în
R[ X] dacă și numai dacă toți coeficienții polinomului se divid cu a.
Lemă.
Fie aR și f = a 0 + a 1X + … +a nXnR[X]. Dacă a f atunci aai, oricare ar fi i = 0,1,2,…, n.
62
Demonstrație:
Din a f există g = b 0 + b 1X + …+b mXmastfel încât f = ag = ab 0 + ab 1X + ab mXm.
Dacă f = 0 ai = 0 a ai , oricare ar fi i.
Presupunem că f 0 deci avem m = n și a i = ab i a ai.
Definiție.
Fie R un inel factorial și f = a 0 + a 1X + … +a nXn R[X] .
C.m.m.d.c. al coeficienților a o,a1, …,a n este numit conținutul polinomului f.
Notație: c(f).
Definiție. Un polinom cu conținutul egal cu 1se numește polinom primitiv .
Observăm că f este polinom primitiv dacă și numai dacă nu există p prim în R astfel încât p
să dividă toți coeficienții lui. Orice polinom f R[X] se poate scrie sub forma f = c(f) ∙f’,
unde f ’ este polinom primitiv. Reciproc, dacă f =a ∙f’, a R și f’ polinom primitiv atunci
a = c(f).
Propoziție. Fie R un inel factorial și f,g două polinoame primitive cu coeficienți în R.
Atunci și produsul fg este polinom primitiv.
Demonstrație:
Presupunem că fg nu este polinom primitiv există p un element prim în R astfel încât
p fg. Avem p f sau p g. Deci avem o contradicție fg este polinom primitiv.
Propoziție. Fie R un inel factorial și f,g R[X].Atunci c(fg)=c(f) ∙c(g).
Demonstrație:
Fie f = c(f) ∙f’, g = c(g) ∙g’, unde f ’, g’ sunt polinoame primitive.
fg = c(f)c(g) ∙f’∙g’, cu f ’g’ polinoame primitive. Deci c(fg) = c(f) ∙c(g).
Lemă. Fie R un inel factorial și f,g R[X], unde g este un polinom primitiv. Dacă a R,
a0, g af, atunci g f .
Demonstrație:
Din g af af = gf, unde h R[X]. Din g polinom primitiv c(g) = 1 ac(f) = c(g)c(h) = c(h).
Dar h = c(h)h ’ af = gc(h)h ’ af = gac(f)h ’ f = c(f)gh ’ g f.
63
Propoziție. Fie R un inel factorial , K corpul său de fracții și f R[X], grad f 1.Atunci f
este ireductibil în R[X] dacă și numai dacă f este primitiv și este ireductibil înK[X].
Demonstrație:
“ ”
Din f ireductibil în R[X] f este este polinom primitiv c(f)=1. Dacă f = gh, g,h K[X],
atunci, înmulțind cu c.m.m.m.c. al numitorilor coeficienților polinoamelor g și h af =
g1h1, cu g 1h1 R[X], aR.
Aplicăm conținutul polinoamelor c(af)= c (g1h1) a = c(g1) c(h 1). Din g 1,h1 R[X] g1=
c(g1)∙g2, h1 = c(h 1)∙h2 , unde g 2 ,h2 R[X] sunt primitive. Deci af = c (g1)∙g2∙ c(h 1)∙h2 af =
ag2h2f=g 2h2.
Din f ireductibil în R[X] grad g 2 =0 sau grad h 2 =0.
Din grad g = grad g 1 = grad g 2 și grad h = grad h 1 = grad h 2 grad g = 0 sau grad h = 0.
“ ”
Din f ireductibil în K[X] f nu are divizori proprii de grad 1 în K[X] f nu are divizori
proprii de grad 1 în R [ X ].
Cum f este primitiv, nu are nici factori de grad 0 neinversabili f ireductibil în R[X] .
Lemă. Dacă R este inel factorial, atunci orice polinom ireductibil din R[X] este prim.
Demonstrație:
Fie f un polinom ireductibil dinR[X] și Kcorpul s ău de frac ții.
Dacă grad f = 0 f este element ireductibil în R f este prim în R f este prim în
R[X]. Dacă grad f 0 este polinom primitiv.
Presupunem că f gh, f este element prim în K[X] f g sau f h în K[X]. Presupunem că
f g g = ff ’, f’K[X]. Atunci există a A, a 0, astfel încât af ’ R[X].
Rezultă că f ag înR[X] f g în R[X].
Teoremă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame R[X] este inel factorial.
Demonstrație:
64
Fie R un inel factorial și f R[X] ireductibil. Trebuie să arătăm că orice polinom nenul și
neinversabil din R[X] este un produs de polinoame ireductibile. Se va demonstra aceasta
prin inducție după gradul polinomului.
Dacă f R[X], grad f = 0 și f este neinversabil f este produs finit de elemente prime în R
care sunt prime și ireductibile în R[X].
Dacă grad f 1, f se scrie sub forma f = c(f)f ’, cu f’ un polinom primitiv și este suficient să
verificăm existența descompunerii pentru f’.
Dacă f’ este ireductibil, atunci s-a terminat.
Dacă f’ nu este ireductibil, rezultă că are un divizor propriu în R[X] care nu poate fi decât un
polinom de grad strict mai mic decât gr ad f . Polinomul f’ nu are divizori proprii în R
pentru că este primitiv.
Deci f ’ = gh, cu g,h R[X], cu grade strict mai mici decât g r a d f . Aplicând ipoteza de
inducție pentru g și h f’ este un produs de factori ireductibili în R[X].
Corolar.
Dacă R este un inel factorial, atunci inelul de polinoame în n variabile R[X 1, … , X n] este factorial.
Demonstrație:
Se demonstrează prin inducție după n. Dacă n = 1, rezultă propoziție adevărată. Se
presupune afirmația adevărată pentru n – 1 R[X 1, … , X n-1] este inel factorial.
R[X 1, … , X n]= R[X 1, … , X n-1][X n]
Inelele Z[X], Z[X 1, … ,X n], K[X 1, … ,X n] cu K corp sunt inele factoriale.
CAPITOLUL III
CONSIDERA ȚII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME
1.ASPECTE ORGANIZATORICE ALE PRED ĂRII
1.1.METODICA INTRODUCERII INELELOR DE POLINOAME
Metodica își are rădăcinile în grecescul „ methodos ” care înseamnă „ drum ” deci ea este cea
care conturează drumul pe care trebuie să -l urmeze profesorul pentru atingerea obiectivelor.
65
Elevii, de la clasa a XII- a au deja cunoștințele necesare pentru a face trecerea la predar ea
Inelelor de polinoame . Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de
abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice.
Predarea Inelelor de polinoame vizează următoarele obiective de referință , realizarea lor
reprezentând una din cerințele obligatorii.
a) Recunoașterea și diferențierea mulțimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor și a
structurilor algebrice;
b) Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia;
c) Compararea proprietăților algebrice sau aritmetice ale operațiilor definite pe diverse mulțimi,
în scopul identificării unor algoritmi;
d) Exprimarea proprietăților mulțimilor înzestrate cu operații prin identificarea organizării
structurale a acestora;
e) Utilizarea similarității operațiilor definite pe mulțimi diferite în deducerea unor proprietăți
algebrice;
f) Utilizarea calculelor algebrice în probleme practice uzuale;
g) Recunoașterea polinoamelor;
h) Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice;
i) Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date;
j) Aplicarea în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor.
1.2.PROIECTAREA DIDACTIC Ă
Primele documente de lu cru ale profesorului sunt programa și manualul. Profesorul trebuie
să formuleze competențele specifice pentru clasa a XII -a (se vor scrie în planificarea anuală), apoi
obiectivele operaționale sau concrete pentru fiecare lecție (se vor scrie în rapoarte de lecție).
În general, competențele se definesc ca ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi
dobândite prin învățare. Ele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice în contexte
diverse.
66
Competențele generale au rolul de a orienta de mersul didactic pe întreg parcursul disciplinei
și de a da seama asupra achizițiilor finale ale elevului în urma studierii disciplinei în cauză.
Competențele specifice se formează pe durata unui an de studiu și sunt deduse din
competențele generale, fiind etape în dobândirea acestora. Competențelor specifice le corespund
anuminte conținuturi.
Competețele generale și specifice au fost stabilite în ultimii ani de minister, de aceea se
întâlnesc in aceeași formă în planificările tuturor profesorilor, dar ele trebuie să reflecte și
particularitățile intelectuale ale grupului de elevi.
Competențe generale :
o Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare;
o Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;
o Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de
dificultate;
o Exprimarea și redactarea corectă și incorectă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau
a strategiilor de rezolvare a unei probleme;
o Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei;
o Generalizarea unor propietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin
îmbunătațirea sau generalizarea algoritmilor.
Competențe specifice :
Utilizarea terminologiei corespunzătoare noțiunii de polinom și a unor caracteristici ale acestuia;
Întreruperea soluțiilor unor ecuații polinominale în rezolvarea de probleme practice;
Aplicarea calcul ului polinomial în rezolvarea unor ecuații algebrice;
Traspunerea în limbajul ecuațiilor polinomiale a unor situații concrete;
Determinarea unor polinoame sau ecuații polinomiale care satisfac anumite condiții precizate;
Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în calculul cu polinoame;
Obiectivele operaționale ce se pot formula pentru o lecție diferă de la un profesor la altul, ceea ce
face ca mulțimea lor să fie considerabilă. Un grup de specialiști condus de Benjamin Bloom a
propus o împărțire a obiectivelor operaționale în trei domenii:
Cognitiv (vizează cunoștințele și aptitudinile intelectuale );
Afectiv ( vizează sentimentele, motivațiile, interesele, atitudinile, valorile );
67
Psihomotor (vizează aptitudinile manuale și senzoriale).
După B. Bloom domeniul cognitiv se referă la următoarele clase de comportamente:
Însușirea cunoștințelor: cunoașterea terminologiei, particularităților, convențiilor, criteriilor,
principiilor, metodelor pentru formularea cărora se pot folosi următoarele verbe: a defini, a distinge,
a identifica, a recunoaște, a dobândi și următoarele complemente directe: termeni, terminologie,
semnificație, date, proprietăți, reguli, mijloace, clasificări, tehnici;
Întelegerea elementară a cunoștințelor; trans punerea, interpretarea, extrapolarea folosind
următoarele verbe: a traduce, a exprima în propriile cuvinte, a reprezenta, a redefini, a distinge , a
ilustra, a interpreta, a rearanja, a stabili, a determina, a extinde, a completa și următoarele
complemente: definiție, semnificație, concluzii, metode, consecințe, efecte;
Aplicarea cunoștințelor ce se poate descrie cu ajutorul verbelor: a aplica, a utiluza, a genera liza,
alege, a stabili legături, a dezvolta, a organiza, a clasifica și cu ajutorul complementel or: principii,
concluzii, metode, situații, fenomene, procese;
Analiza cunoștințelor: determinarea elementelor componente, a principiilor și relațiilor folosind
verbele: a distinge, a identifica, a compara, a deduce, a analiza, a recunoaște și complementele :
elemente, ipoteze, concluzii, argumente, relații, teme, idei, scopuri;
Sinteza cunoștințelor: îmbinarea elementelor component determinate în urma analizei în scopul
elaborării unor soluții, strategii, algoritmi, relații folosind verbele: a constitui, a modifica, a propune,
a planifica, a proiecta, a deriva, a combina, a formula, a sintetiza, a dezvolta și complementele:
structură, model, soluție, schemă.
Proiectarea unității de învățare
O unitate de învățare reprezintă o structură didactică și flexibilă, care are următoarele caracterisici:
Determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin integrarea unor obiective de
referință;
Este unitară din punct de vedere tematic;
Se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o perioadă de timp;
Se finalizează prin evaluare.
Proiectarea unei unități de învățare se face într -un tabel ce conține următoarele rubrici:
Conținuturi unde apar inclusiv detalieri de conținut necesare în explicitarea anumitor
68
parcursuri, respectiv în cuplar ea lor la baza proprie de cunoaștere a elevilor;
Obiective de referință – se trec numerele obiectivelor de referință din programa școlară;
Activități de învățare – se trec activități care pot fi cele din programa școlară, sau altele, pe care
profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;
Resurse –se trec specificări de timp, mijloace didactice, metode didactice;
Evaluare – se menționează instrumentele sau modalitățile de evaluare aplicate în clasă.
Fiecare unitate de învățare se încheie cu evaluare sumativă.
Apariția noilor programe, centrate pe achizițiile elevilor, impune anumite schimbări în
didactica fiecărei discipline. Diversificarea metodelor de învățare, a modurilor și formelor de
organizare a lecției, a situațiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează
noul curriculum. Asigurarea unor situații de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să
poată valorifica propriile abilități în învățare.
Metodele de învățare sunt scheme de acțiune identificate de teoriile învățării; ele sunt
aplicate conținuturilor disciplinei studiate și reprezintă acțiuni interiorizate de elev.
Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe , adică a acelor
ansambluri structurate de cu noștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea
și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.
Învățarea nu poate avea ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe: în societatea
contemporană, o învățare eficientă presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii,
precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor în clasă, consecință a
modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte mică măsură. De fapt,
prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informații, în același ritm, ceea ce este
departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei ore, ascultă explicațiile
profesorului și văd o demonstrație sau un experiment. Este mult mai eficient dacă elevii participă în
mod activ la procesul de învățare: discuția, argumentarea, investigația, experimentul, devin metode
indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată.
Astfel, învățarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acționeze.
Trecerea la o metodologie mai activă, centrată pe elev , implică elevul în procesul de învățare și îl
învață aptitudinile învățării, dar și aptitudinile fundamentale ale muncii alături de alții și ale
69
rezolvării de probleme. Metodele centrate pe elev implică individul în evaluarea eficacității
procesului lor de învățare și în stabilirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare.
Dintre metodele de inva țare ce se pot aplica Inelelor de polinoame, ar putea fi:
A. Metodele tradiționale:
Explicația -constă în transmiterea cunoștințelor într -un timp relativ scurt de către profesor, în situații
când elevul, pe baza cunoștințelor anterior însușite, nu le poate descoperi singur. Este o metodă
foarte des întâlnită în predarea matematicii. Profesorul expune logic și argumentat modul lui de
gândire iar elevii îl urmăresc căutând să -l înțeleagă. Această metodă se poate aplica la introducerea
noțiunilor (inel, subinel,…), la descrierea unor algoritmi (algoritmul lui Euclid, determinar ea
c.m.m.d.c), raționamente.
Metoda conversației – constă în dialogul dintre profesor și elev și se bazează pe întrebări și
răspunsuri. Această metodă stimulează gândirea elevilor în vederea însușirii de cunoștințe noi sau
fixare, sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor asimilate anterior. Conversația ajută la formarea
raționamentului matematic la elevi, la realizarea obiectivelor formative ale învățării matematicii.
Demonstrația matematică – este metoda specifică de justificare a teoremelor și constă în a arata că,
dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic. În orice
demonstrație ne putem baza numai pe axiome sau/ și teoreme demonstrate anterior.
Metoda exercițiului – presupune efectuarea conștientă și repetată a unor operații sau acțiuni mintale
sau motrice în vederea formării de priceperi și deprinderi, pentru dezvoltarea unor capacități
intelectuale și toate acestea în scopul învățării matematicii. Se poate spune că în orice lecție de
matematică se rezolvă exerciții, cu operații mintale, respectiv în toate momentele lecției. Cu ajutorul
exercițiilor se asigură fixarea noilor cunoștințe în evenimentele de asigurare a reținerii, a
transferului, a obținerii de performanță..
Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice – este o formă de muncă independentă,
utilizată în scopul studierii și asimilării de cunoștințe noi din texte scrise de matematică. În același
scop se folosesc auxiliarele matematice (culegeri de probleme), reviste de matematică (Gazeta
Matematică), monografii, etc. Manualul de matematică este principalul material bibliografic al
elevului și constituie ghid pentru pregătirea profesorului pentru lecție.
70
B. Metodele moderne:
Învățarea prin descoperire – constă în găsirea unor soluții în diferi te probleme concrete. Astfel elevii
pot descoperi o formulă, o noțiune, un principiu, o regulă, definiție sau teoremă.
Metoda învățării pe grupe – constă în faptul că sarcinile de lucru sunt executate de grupe de elevi și
presupune o activitate comună în cadrul aceluiași grup. Prin muncă de grup se urmărește și
dezvoltarea responsabilităților individuale cu efect asupra grupului.
Metoda învățării prin cooperare – reprezintă utilizarea, ca metodă instrucțională a grupului mic de
elevi astfel încât aceștia să poată lucra împreună, urmând că fiecare membru al grupului să își
îmbunătățească performanțele proprii și să contribuie la creșterea performanțelor celorlalți membri
din grup.
C. Metode de învățare active:
Metodă Brainstorming – înseamnă formularea a cât mai multor idei – oricât de fanteziste ar putea
părea acestea – ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea .
Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate
creativă cât mai mare.
Mozaicul (metida Jigsaw)- este o strategie bazată pe învățarea în echipa. Fiecare elev are o sarcină
de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii
celorlalți colegi a informațiilor asimilate. În acest caz, rolul profesorului este foarte mic, el intervine
semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la
sfârșitul activității când va prezenta concluziile.
D. Metode de dezvoltare a creativității:
Metoda cubului- presupune explorarea unui subiect , a unei situații din mai multe perspective,
permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Ciorchinele – este o metodă care presupune identificarea unor co nexiuni logice între idei, poate fi
folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât
și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
71
Știu-vreau s ă știu–am învăța t-este o metod ă care trece în revist ă ceea ce elevii știu despre tem ă și
apoi se formuleaz ă întrebări la care se aș teapt ă găsirea răspunsului în lecție; întrebările pot apărea în
urmă dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de curiozitatea elevilor.
PROIECT DIDACTIC
Clasa:
Unitate școlară:
Profesor:
Aria curiculară : Matematică și Științe ale naturii
72
Disciplină : Algebră
Titlul activității : Împărțirea polinoamelor
Tipul lecției : predare – învățare, fixare – consolidare
Durata : 50 min
Obiective cadru :
1. Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice;
3. Utilizarea corectă a algor itmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de
dificultate
4. Exprimarea și redactarea corectă și coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării
sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
5. Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei
6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin
îmbunătățirea sau generalizarea algoritmilor
Obiective de referință :
1. Det erminarea unor polinoame sau ecuații polinomiale care satisfac anumite condiții precizate
2. Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în calculul cu polinoame
3. Compararea proprietăților operațiilor cu numere reale, respectiv complexe și aplicarea acestor
proprietăți în rezolvarea ecuațiilor
Obiective operaționale : La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
O1. să identifice câtul și restul împărțirii a două polinoame
O2. să utilizeze schema împărțirii polinoamelor
O3. să identifice câtul și restul împărțirii unui polinom la (X -a)
Metode didactice : explicația, demonstrația, conversația euristică,
73
Mijloace didactice: tabla, creta, trusa de geometrie, manualul
Evaluare : continuă, frontală, globală
Bibliografie : Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului – Programa școlară de matematică, clasa
a X-a, anul școlar 2004 – 2005
Năstăsescu C., Niță C. – Exerciții și probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică,
București 1981;Damian M iron-Alexandru – Teoria și metodologia instruirii,Editura Fundației
România de Mâine, București 2001
MOMENT ORGANIZATORIC
1)Pregătesc materialul didactic și verific prezența elevilor Durata: 2 min
2)Verificarea modului de însușire a cunoștințelor do bândite anterior Durata: 5 min
Obiective: O1,O2
Metode folosite: conversația, examinarea
Reamintim forma algebrică a unui polinom
n
nXa XaXaaf …2
2 1 0 , unde a 0,…,a n se numesc coeficienții polinomului f și X este
nedeterminata.
Gradul polinomului f, notat grad f este cel mai mare număr natural n astfel încât a n≠0, a n
numinduse coeficientul dominant al lui f, a 0 poartă numele de termen liber al polinomului.
Gradul polinomului nul, grad 0=- ∞, prin convenție, grad(f+g)≤max(grad f, grad g), cu convențiil e
-∞<a, -∞+a= -∞, (-∞)+( -∞)=-∞ grad(fg)=grad f + grad g, f,g≠0
Valoarea unui polinom f într- un punct α este dată de numărul f(α)=a 0+a1 α+a 2 α2+…a n αn, funcția
f:C->C, f (α)=f(α), se numește funcția polinomială asociată poliomului f.
3)Fixarea cunostințelor Durata: 15 min
Obiective: O1,O2,O3
74
Metode folosite: demonstrația, explicația,conversația euristică
Teorema împărțirii cu rest : Fiind date două polinoame oarecare cu coeficienți complecși f,g cu
g≠0, există două polinoame q,r cu coeficienți complecși astfel încât f=gq+r, unde grad r < grad g. În
plus, q și r sunt unic determinate.
f poartă numele de deîmpărțit, g de împărțitor, q de cât, iar r de rest.
g grad r grad, ],[ , ! , 0 ],[ , r gqfXCr q qXCq f
Demonstrație
Fie n=grad f, m=grad g.
Dacă n<m fie q=0, r=f. Atunci relația f= gq+r devine f=g0+f.
Se presupunem atunci că n≥m.
f=a 0+a1X+a 2X2+…+a nXn, an≠0
g=b 0+b1X+b 2X2+…+b mXm, bm≠0.
Fie atunci polinomul: .1 g Xbaf fm n
mn
În această egalitate avem a nXn (de la f ) – m n
mnX
ba. bmXm (de la g) și deci termenul de grad maxim
se va reduce, de unde grad f 1< grad f.
Fie n 1= grad f 1. Atunci f 1 este de forma: |
01 1
1 1| 1
1|
1 …a Xa Xafn
nn
n
.
Dacă n 1<m atunci r gqffr Xbaqm n
mn , ,1 , grad r=n 1<m=grad g.
Dacă n 1≥m atunci fie g Xbaf fm n
mn1|
1
1 2 , grad f 2=n2, evident n 2<n1<m.
Repetăm procedeul și vom obține:
75
g Xbaf fg Xbaf fg Xbaf f
mn
mp
n
p pm n
mnm n
mn
p
) (
1
11|
1
1 21
….. ………. ………. ………..
cu n>n 1>……>n p>np+1.
Cum NpNm , astfel încât n p+1<m.
Adunăm egalitățile obținute, facem reducerile ce se impun și în final vom obține:
. ) … () (
1|
1
1 g XbaXbaXbaf fmnp
mp
np m n
mn m n
mn
p
Notăm polinomul aflat în paranteză cu q și f p+1 cu r și obținem formula
f=gq+r cu grad r=n p+1<m=grad g.
Demonstrăm apoi faptul că descompunerea obținută este unică.
Fie q 1,r1 q1≠q, r 1≠r, f=gq 1+r1, f=gq+r, f=gq+r=gq 1+r1, g(q-q 1)=r1-r.
Dacă q -q1≠0 atunci grad g(q-q 1)>grad g. Dar grad(r 1-r)<max(grad r 1,grad r)<grad g, cea ce este o
contradicție. Asta înseamnă că ipoteza noastră este greșită și atunci q -q1=0, adică q=q 1. Astfel
obținem g0=r 1-r, r 1-r=0, r 1=r. Deci cele două polinoame q,r obținute prin aplicarea teoremei
împărțirii cu rest sunt unic determinate.
Observație: Operațiile efectuate asupra coeficienților polinoamelor nu schimbă natura coeficienților
noi rezultați.
Toate operațiile efectuate asupra polinomului f se pot scrie sub forma unui tab el:
f=anXn+an-1Xn-1+…+a 0 g=bmXm+…+b 0
m n
mn n
mm n n
n XbbaXbbaXa 0 1 1…
… m n
mnXbaqmnp
mp
npXba) (
|
01 1 |
1 11 |
1 1 …a Xa Xafn
nn
n
76
……………………………………………………
) (
01 ) (
1) (…p np p
npnp p
np p a Xa Xaf
mnp
mp
n np p
np XbbaXa0) (
) (…
r=) 1 (
01 ) 1 (
1 1 …
p np p
np p a X a f
Această schemă se numește regula de împărțire a polinoamelor și este folosită în practică pentru a
obține câtul și restul împărțirii a două polinoame.
Pentru mai buna înțelegere a schemei se prezintă un exemplu concret:
Exemplu: f=2X5+X4-5X3-8X+1, g=X2-3.
2X5 +X4 5X3 -8X +1 X2 -3
–
2X5 +6X
3 2X3+X2+X+3
X4 +X3 -8X +1
-X4 +3X
2
77
X3 +3X
2 -8X +1
-X3 +3X
3X2 -5X +1
–
3X2 +9
-5X +10
2X5+X4-5X3-8X+1=(X2-3)(2X3+X2+X+3)+(-5X+10).
O altă teoremă importantă în cazul împărțirii polinoamelor este cea care ne permite calcularea
restului împărțirii la un binom de forma (X -a) fără a face efectiv împărțirea.
Teoremă:
Restul împărțirii unui polinom prin (X -a) este egal cu valoarea f(a) a polinomului f în a.
Demonstrație : Fie f deîmpărțitul și g=(X -a) împărțitorul. Efectuăm împărțirea cu rest și obținem:
f=(X-a)q+r, unde grad r <grad (X-a)=1.
Deci grad r<0, adică r este un polinom constant ce nu depinde de nedeterminata X.
Calculam valoarea lui f în a și obținem: f(a)=(a -a)q+r, f(a)=0q+r, f(a)=r.
Pentru o mai bună înțelegere se prezintă urmatorul exemplu:
Exemplu: f=X3-2X2+X+1, g=X-2
r=f(2)=23-2.22+2+1, r=8-8+3, r=3.
Această teoremă ne permite calcularea restului dar nu ne oferă nici un indiciu asupra câtului
împărțirii polinomului f prin binomul (X -a)
Indicăm un procedeu de identificare atât a restului cât și a câtului împărțirii a unui polinom prin
binomul de forma (X-a), procedeu cunoscut sub numele de schema lui Horner
Fie f un polinom de forma:f=a 0+a1X+a 2X2+…+a nXn, an≠0.
78
Efectuăm împărțirea cu rest și obținem: f=(X -a)q+r.
Dacă grad f=n, atunci grad q=n -1. Fie q de forma: q=b 0+…+b n-2Xn-2+bn-1Xn-1.
Atunci f=(X-a)q+r devine: a 0+a1X+…+a nXn=(X-a)(b 0+…+b n-1Xn-1)+r.
Efectuăm înmulțirile:
(X-a)(b 0+…+b n-1Xn-1)=b n-1Xn+bn-2Xn-1+…+b 0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(b n-2-ab-1)Xn-
1+…+(b 0-ab1)X-ab0
a0+a1X+a 2X2+…+a nXn= b n-1Xn+bn-2Xn-1+…+b 0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(b n-2-ab-1)Xn-
1+…+(b 0-ab1)X-ab0
De aici rezultă că:
an=bn-1
an-1=bn-2-abn-1
…………….
a1=b0-ab1
a0=r-ab0
Scoatem coeficienții b i și r în funcție de a j și de cel calculat anterior:
bn-1=an
bn-2=an-1-abn-1
………………
b0=a1+ab 1
r=a 0+ab 0
Toate valorile calculate se trec într-un tabel de forma:
Xn Xn-1 … X1 X0
an an-1 … a1 a0
79
an an-1-abn-1 … a1+ab 1 a0+ab 0
bn-1 bn-2 … b0 r
Pentru o mai bună înțelegere se prezentă un exemplu:
f=2X4-5X3-8X+1, g=(X-2)
X4 X3 X2 X X0
2 -5 0 -8 1
2 –
5+2×2=-
1 0+2(-1)=-
2 -8+2(-2)=-
12 1+2(-12)=-
23
b3 b2 b1 b0 r
Se numește un elev la tablă pentru a rezolva urmatorul exercițiu:
1. Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f prin polinomul g; determinați restul împărțirii
lui f la h.
f=X4+6X3+8X2+1, g=X3-X+1, h=X-2
X4 +6X
3 +5X
2 +1 X3 -X +1
-X4 +X2 -X 2X3+X2+X+3
6X3 +9X
2 -X +1
80
–
6X3 +6X -6
9X2 +5X -5
X4 X3 X2 X X0
1 6 8 0 1
1 6+2×1=
8 8+2×8=24 0+2×24=48 1+2×48=97
b3 b2 b1 b0 r
4)ASIGURAREA FEED-BACK-ULUI Durata: 3 min
Obiective: O1,O2,O3
Metode folosite: Conversația
Fac o scurtă recapitulare a noțiunilor care au fost utilizate în decursul lecției.
5)Încheierea activității Durata: 2 min
Stabilesc tema pentru acasă (culegere ex:…, pag…).
Ofer indicații cu privire la rezolvarea problemelor ce ar putea prezenta dificultăți.
PROIECT DIDACTIC
Clasa:
Unitate școlară:
Profesor:
81
Aria curiculară : Matematică și Științe ale naturii
Disciplină : Algebră
Titlul activității : Polinoame – exerciții recapitulative
Tipul lecției : lecție de recapitulare
Durata : 50 min
Competențe generale:
1.Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial
2. Exprimarea unor probleme practice, folosind calculul polinomial
3. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor
Competențe specifice:
La finalul orei elevii trebuie :
– să aplice corect operațiile cu polinoame
– să poată determina rădăcinile unui polinom cu coeficienți în diferite mulțimi de numere
– să poată aplica relațiile lui Viete
– să poată rezolva ecuații algebrice diverse
Metode didactice :
– exercițiul frontal și individual
– prezentare Power Point a fișelor de muncă independentă
-analiza unor exerciții din fișele date
-corectarea și evaluarea individuală
– conversație frontală
-explicația
-exemplificarea
82
Resurse materiale: – fișă de autoevaluare
Matematica – manual clasa a XII- a, Ed. Didactică și pedagogică
Desfășurarea metodică a lecției
EVENIMENTELE
LECȚIEI ACTIVITĂȚILE DIN LECȚIE
P – PROFESOR, E – ELEV STRATEGIA
DIDACTICĂ:
M.M.M.
Captarea atenției.
Pregătirea clasei pt.
lecție.
Prezentarea de
material pentru
reactualizarea
cunoștințelor
anterioare însușite.
Informarea elevului
asupra obiectivelor
urmărite.
Profesorul face prezența, verifică dacă există cretă,
cere elevilor să aibă caietele pe bancă, verifică tema
Titlul lec ției:Exerciții recapitulative – polinoame
Prezentare Power Point:
– competențele specifice lecției
-prezentarea modului de evaluare a acestui capitol, prin
prezentarea fi șelor de munc ă independent ă pregatite.
Se distribuie fișele de muncă independentă, se clarifică
modul de completare a acesteia.
Timpul alocat completării fișei este de 15 minute.
Se prezintă rezultatele corecte ale exercițiilor din fișele
nr 1 și nr 2 ( elevii se pot autoevalua, notând pe fișă
punctajul obținut)
Se rezolvă la tablă câțiva itemi din fișă, pentru Conversația
conversație
frontal
și individuală
Explicația
83
Prezentarea de
material și dirijarea
învățării
Asigurarea
transferului, reținerii
și conexiunii inverse
înțelegerea greșelilor existente.
Fișă de muncă independentă
Nr 1
Fie polinoamele f = x4 – x3 – 4×2 + 2x + 4, g = x-2,
h = x3 + 2×2 + 2x +1
I. ( 3 puncte) Pe foaia de lucrare, scrieți rezultatul
corect
1. Valoarea f(-1) este ……..
2. Restul împărțirii lui f la g este ……
3. Câtul împărțirii lui f la h este ………
II. (3 puncte) Pe foaia de lucrare, încercuiți
rezultatul corect. Dintre cele trei variante de
răspuns, scrise la fiecare cerință, doar una este
corectă.
4. Suma rădăcinilor lui f este:
A. 0 B. 1 C. 2
5. Produsul rădăcinilor lui f este:
A. 4 B. -4 C. 0
6. Suma pătratelor rădăcinilor lui f este:
A. 1 B. 0 C. 2
III. (3 puncte) Pe foaia de lucrare, să se asocieze
enunțului din coloana A, 3 răspunsuri p otrivite din
coloana B
A B
Exemplificări
Muncă
independentă
84
Obținere de
performanță
Asigurarea
conexiunii inverse
Asigurarea
transferului, reținerii
și conexiunii inverse
Polinomul f B1 nu are toate rădăcinile reale
B2 are toate rădăcinile reale
B3 are 2 rădăcini întregi
B4 are gradul IV
Fișă de muncă independentă
Nr 2
Fie polinoamele f = x4 + x3 – x2 + x-2, g = x+2,
h = x3 + 2×2 – x +1
I. ( 3 puncte) Pe foaia de lucrare, scrieți rezultatul
corect
1. Valoarea f(1) este ……..
2. Restul împărțirii lui f la g este ……
3. Câtul împărțirii lui f la h este ………
II. (3 puncte) Pe foaia de lucrare, încercuiți
rezultatul corect. Dintre cele trei variante de
răspuns, scrise la fiecare cerință, doar una este
corectă.
4. Suma rădăcinilor lui f este:
A. -1 B. 1 C. -2
5. Produsul rădăcinilor lui f este:
A. -1 B. -2 C. 2
Munca
independentă
în clasă
85
Obținere de
performanță
Asigurarea
transferului, reținerii
și conexiunii inverse
6. Suma pătratelor rădăcinilor lui f :
A. 3 B. -2 C. -1
III. (3 puncte) Pe foaia de lucrare, să se asocieze
enunțului din coloana A, 3 răspunsuri potri vite din
coloana B
A B
Polinomul f B1 are toate rădăcinile reale
B2 are 2 rădăcin i întregi
B3 are gradul IV
B4 nu are toate rădăcinile reale
După terminarea testului, se face autoevaluarea, în
Power Point se prezintă rezultatele fișelor. Se rezolvă
la tablă cu elevii unele exerciții din fișe.
Temă: Să se rezolve ecuațiile:
Exercițiu
frontal cu elevi
la tablă
Muncă
independentă
pentru acasă
PROIECT DIDACTIC
Clasa:
Unitate școlară:
Profesor:
Aria curiculară : Matematică și Științe ale naturii 02 ) 3013 3 ) 204 3 ) 1
2 32 32 4
xxxx x xx x
86
Disciplină : Algebră
Titlul activității : Evaluare sumativ ă. Polinoame.
Tipul lecției : lecție de evaluare a cuno ștințelor
Durata : 50 min
Competențe:
1.Justificarea unui demers sau rezultat matematic obținut sau indicat privind monoame, polinoame,
fracții algebrice, recurgînd la argumentări.
2.Investigarea valorii de adevăr a unei afirmații, propoziții, inclusiv cu ajutorul exemplelor,
contraexemplelor.
3. Utilizarea de algoritmi relevanți pentru optimizarea calculelor cu monoa -me, polinoame, fracții
algebrice.
Obiectivele operaționale: la fin alul lecției, elevul va fi capabil:
O1-să utilizeze formulele calculului prescurtat indicate la conținuturi pentru simplificarea
expresiilor (polinoamelor);
O2-să descompună o expresie algebrică în produs de factori;
O3-să utilizeze formulele calculului prescurtat indicate la conținuturi pentru simplificarea
expresiilor;
O4-să descompună o expresie algebrică în produs de factori;
Strategii didactice :
Metode : observarea, Exercitiul, Expunerea, Problematizarea, Demonstrația
Forme : frontal, grup, individual
DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII
Nr.
crt. Etapele
lecției Timp Obiec
tive Activitatea profesorului Activitatea elevilor Strategii
didactice
87
1. Evocare
Moment
organiza-
toric
Captarea
atenției 1
min
Salută elevii, formează
un climat psihologic
pozitiv pentru activitatea
la oră.
Profesorul împarte fi șele
cu evaluarea. Explic ă
cum sa rezolve evaluarea Răspund la salutul
profesorului, și
pregătesc materialele
necesare pentru
desfășurarea lecției.
Observație
2. Realizare
a sensului
43
min
O1
O2
O3
Profesorul urm ărește
cum rezolv ă evaluarea. Evaluare
în scris
4. Extinderea
Tema
pentru
acasă 1
min
De studiat exerci ții…,
pagina…..
Noteaz ă tema pentru
acasăîn caiete. Observare
TEST- POLINOAME
1. Dacă polinomul P(X) = X3 – 2X2 – 2X – m , este divizibil cu ( X – 3) , atunci m este :
a) –3 , b) 3 , c) 6 , d) 1
88
2. Fie polinomul P(x) = 8X3 + 2X2 +bX +c ,
I. Dacă restul împărț iriilui P(x) la (X – 1) este 10 ,atunci b +c este:
a)0; b)1; c)2; d)3
II. Dacă ,în plus P(x) se divide la (2X – 1) atunci b și c sunt: A) b=3; c= -3, B) b=c=3, C) b=c=2 ,
D) b=1, c=3
3. Dacă polinomul X3- mX2 +nX +4 se divide la (X2 – 4) ,atunci m șin sunt :
a) m= -1 ; n= -8 , b) m= 1 ; n= -4 ; c) m=n=1 , d) m= -8 ; n= -1 ;
4. Fie polinomul P(x) = 2X3 – 3X2 – 4X + 6
O rădăcină rațională a sa, de forma qp , este: a) 21, b) -21 , c)23 , d) -23
5. Polinomul 2X3+aX2 +bX+c are rădăcina 23și, în plus , se divide la (X – 1 )2.
Atunci: a, b, c sunt : A) a= -7 ,b=8, c= -3 , B) 7 ; -8 ; 3, C) 1; 8 ; 3, D) 3; 2 ; 1
6. Fie X1 ; X 2 ;X3 rădăcinile ecuației X3 + X2 – 4X – 4 = 0 . Rădăcinile X1 ; X 2 ;X3 ,sunt:
A) 1 ; 2, B) -1 ; 2 , C) 1 ; 4, D) 2 ; 3
2.EVALUAREA UNITĂȚII INELE DE POLINOAME
Evaluarea reprezintă un proces continuu și de durată putându -se face la începutul
programului de instruire, pe parcursul acestuia sau la finalul său. Focalizată pe unitatea de învățare,
evaluarea ar trebui să asigure evidențierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însuși în
vederea atingerii obiectivelor realizării competențelor prevăzute în programă. Este important să fie
evaluate nu numai cantitatea de informație de care dispune elevul ci, mai ales, ceea ce poate el să
facă utilizând ceea ce știe sau ceea ce intuiește.
89
Evaluarea poate fi concepută că:
O cale de perfecționare;
Ocazie de validare a justeții secvențelor educative, a componentelor procesului didactic;
Un mijloc de delimitare, fixare și intervenție asupra conținuturilor și obiectivelor educaționale.
În funcție de momentul în care se realizează, se disting trei forme sau tipuri de evaluare:
Evaluare inițială – se realizează la începutul unui program de instruire sau la începutul unei perioade
de instruire (semestru, an școlar) și are ca scop stabilirea nivelului de pregătire al elevilor.
Evaluarea continuă – se realizează pe parcursul procesului de învățământ și are că obiective
verificarea sistematică a progreselor elevilor, cunoașterea sistematică a rezultatelor, determinâ nd
efecte reglatoare asupra activității și ameliorarea ei continuă. Se realizează prin examinări scrise,
orale sau practice, iar rezultatele obținute se raportează la obiectivele operaționale ale activităț ii
instructive-educative.
Evaluarea sumativă – se realizează la sfârșitul unei perioade mai lungi de instruire (semestru, an) sau
la final ul unei unități de învățare, pentru a oferi informații despre nivelul de performanță al elevilor
în raport cu obiectivele educaționale. Se realizează prin teste, lucrări semestriale (teze), examene
(naționale) și permite aprecieri de bilanț asupra nivelului de pregătire al elevilor cât și asupra
procesului care a generat rezultatele elevilor.
În metodele tradiționale de evaluare sunt incluse probele orale, probele scrise și probele
practice.
Pentru realizarea funcțiilor evaluării se impune o folosire echilibrată a strategiilor de evaluare,dar și
diversificarea metodelor de evaluare.
Metodele complementare de evaluare oferă informații suplimentare despre activitatea și
nivelul de achiziții ale elevului, competează metodele tradiționale de evaluare. În catego ria
metodelor complementare de evaluare sunt incluse: observația sistematică a activității și
comportamentului elevilor, investigația; proiectul; portofoliul; autoevaluarea.
Un loc de prim rang în verificarea nivelului de pregătire al elevilor îl ocupă pro bele scrise.
Metodologia verificării prin probe scrise impuse folosirea diferitelor forme lucrări scrise de control
curent (extemporale), lucrări de control la sfârșitul unui capitol (teste), lucrări scrise semestriale
(teze).
90
Avantajele folosirii formelor de evaluare scrisă sunt următoarele:
-obiectivitate, prin anonimatul lucrărilor scrise;
-verificarea unui număr mare de elevi într -un timp dat;
-posibilitatea comparării rezultatelor obținute de toți elevii;
– realizarea feed-back- ului la sfărșitul unei secvențe de intruire sau la ce al unui capitol
Dezavantajele acestor probe, sunt:
-nu permit elucidarea unor erori din timpul examinării;
-nu se pot introduce întrebări suplimentare.
Pentru a realiza o evaluare relevantă și eficace,intrumentele de evaluare (extemporale, teze,
teste) trebuie să îndeplinească anumite cerințe, să întrunească anumite „calități tehnice”
indispensabile atingerii scopului pentru care au fost proiectate.Principalele calități ale unui
intrument de evaluare sunt: validitatea, fidelita tea, obiectivitatea și aplicabilitatea.
Validitatea este dată de precizia, acuratețea cu care intrumentul/testul măsoară ce și -a propus să
măsoare.
Fidelitatea reprezintă acea calitate a unui test de a produce rezultate constante (sau foarte apropi ate)
în urmă aplicării sale repetate în condiții identice, aceluiași grup de elevi.
Obiectivitatea reprezintă gradul de concordanță între aprecierile făcute de evaluatori independenț i
asupra răspunsurilor pentru fiecare dintre itemii testului.
Aplicabilitatea dese mnează calitatea testului de a fi administrat și interpretat cu ușurință.
Elaborarea de către profesor a unui intrument de evaluare este o activitate deosebit de complexă ce
presupune parcurgerea mai multor etape:
1. Stabilirea obiectivelor – constă în precizarea a ceea ce trebuie să știe si să facă elevul după ce a
parcurs o lecție, un capitol, materia unui semestru sau an școlar.
2. Stabilirea numărului de întrebări(itemi) și formularea lor . Numărul întrebărilor poate varia de la
câteva (în cazul unei lecții) până la o sută ăi peste o sută (în cazul unui an școlar), profesorul având
grijă că ele să cuprindă probleme de bază, esențiale ale materiei parcurse. Întrebările trebuie să fie
91
clar fo rmulate, precise, concise, să nu solicite decât un singur răspuns posibil și să fie adaptate
particularităților de vârstă ale elevului.
3. Stabilirea modalităților de răspuns.
4. Ierarhizarea (aranjarea) itemilor se face în funcție de natură, complexitatea și di ficultatea
cunoștințelor pe care le cuprind, fie pornind de la cele mai simple și sfârșind cu cele mai complexe,
fie în ordine ciclică de dificultate, pe itemi aranjați în ordine de dificultate crescând. De regulă se
pun la început întrebările considerate de bază, esențiale, necesare pentru obținerea unei note de
trecere, țînând seama și de faptul că unele întrebări nu trebuie să sugereze răspunsul altora.
5. Elaborarea instrucțiunilor de răspuns . Acestea se pun de obicei la început și cuprind indicații
asupra modului în care trebuie procedat pentru rezolvarea testului.
6. Redactarea formularului de răspuns . În cazul în care formularul nu prevede spațiul pentru
răspunsuri, se elaborează un formular de răspuns care cuprinde școala, clasa, numele și prenumele
elevul ui, obiectul, data, loc pentru răspunsuri,în funcție de modalitățile de răspuns solicitate de
fiecare item în parte; loc pentru înscrierea numărului de puncte atribuite de profesor fiecărui item, cu
ocazia corectării.
7. Aplicarea experimentală .În scopul stab ilirii variantei optime de formulare a întrebărilor, a
modalităților și a timpului de parcurs, precum și pentru definitivarea instrucțiunilor sub toate
aspectele, testul se aplică experimental pe un eșantion alcătuit din elevi mai slabi, mijlocii și buni.
Ulterior,după mai multe aplicări, i se pot aduce și alte îmbunătățiri.
8. Stabilirea punctajului testului . Fiecărui răspuns corect i se atribuie unul sau mai multe puncte, în
funcție de gradul de dificultate al itemului și de numărul de operații pe care îl aplică rez olvarea. La
alcătuirea itemului, profesorul stabilește și valoarea răspunsurilor parțiale, cărora le acordă puncte
sau fracțiuni de puncte. Numărul punctelor rezultate din totalul răspunsurilor corecte reprezintă cota
sau scorul testului.
9. Stabilirea timpului acordat pentru rezolvarea testului-se face în raport cu natura problemei,
dificultatea întrebărilor, numărul aplicațiilor necesare pentru obținerea răspunsurilor. Valorificarea
notelor se face prin analiza colectivă a greșelilor tipice și perfecționarea activități i celor doi factori a
procesului instructiv- educativ (profesor și elev).
Se recomandă folosirea testelor, alături de celelalte metode de avaluare, datorită avantajelor
acestora: obiectivitate, operativitate, surprinderea mai exactă a nivelului de cunoștințe și deprinderi.
Se disting trei mari categorii de itemi:
92
Itemi obiectivi- solicită elevul să selecteze răspunsul corect din mai multe variante propuse. Se mai
numesc itemi închiși, deoarece elevul nu este pus în situatuația de a elabora răspunsul ci de a -l
identifica din mai multe variante posibile. Acest tip de item prezintă următoarele avantaje:
– Sunt relative ușor de construit și corectat;
– Asigură o obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– Punc tajul se acordă sau nu în funcție de marcarea răspunsului corect;
– Favorizează un feed -back rapid;
– Permit evaluarea unui volume mare de rezultate ale învățării într -un timp scurt.
Din categoria itemilor obiectivi fac parte:
Itemii cu a legere duală -solicită elevii să selecteze unul dintre cele două răspunsuri: adevărat/ fals,
corect/ greșit, da/ nu, accord/ dezacord, correct/ incorrect;
Itemii de tip pereche solicită elevii să stabilească o corespondență între cuvinte, propoziții, numere,
litere distribuite pe două coloane paralele. Criteriul de baza căruia se stabilește răspunsul correct este
enunțat în instrucțiunile care preced cele două coloane. Informațiile din prima coloană sunt enunțuri
(premise) ale itemului respectiv, iar cele din a două coloană reprezintă răspunsurile. Acești itemi se
folosesc îndeosebi pentru evaluarea informațiilor factuale: definiții, termini, date, autori, etc.
Itemi cu alegere multiplă solicită elevul să aleagă raspunsul corect dintr -o listă de variante oferit ă
pentru o singură premisă. Acești itemi sunt frecvent utilizați în cazul probelor de evaluare,
permițând măsurarea rezultatelor învățării: cunoașterea terminologiei, a definițiilor, a principiilor,
metodelor sau procedeelor etc. Itemii cu alegere multiplă sunt formați dintr -un enunț și o listă de
variante de răspuns, dintre care una sau mai multe pot fi corecte. Variantele incorecte se numesc
distractori.
Itemii semiobectivi – solicită din partea elevului elaborarea unui răspuns scurt sau răspunsul la
întrebări structurate. Prin concizia răspunsului pe care un elev este solicitat să -l dea la un item
semiobiectiv, se dezvoltă:
-profunzimea înțelegerii noțiunilor învățate;
-operarea cu noțiuni matematice într -un ritm mai alert decâ t a fost obișnuit;
-claritate în exprimare.
Din categoria itemilor semiobiectivi fac parte:
93
Itemi cu răspuns scurt/ de completare – presupun formularea de către elev a unui răspuns scurt în
totalitatea lui sau doar o parte componentă a unei afirmații incomplete, astfel încât aceasta să capete
sens și valoare de adevăr. Itemii cu răspuns scurt le cer elevilor să ofere răspunsul sub formă unei
propoziții, fraze, a unui cuvânt, număr, simbol. Itemii de completare solocită, în general, drept
răspuns unul sau două cuvinte, care uneori să s e încadreze în contextul-suport oferit.
Întrebări structurate sau itemi formați din mai multe sub întrebări , de tip obiectiv sau semiobiectiv,
legate între ele printr- un element comun. Întrebările structurate se plasează între itemii de tip
obiectivi și cei cu răspuns liber, de tip eseu, oferind elevului o ghidare în elaborarea răspunsului.
Itemi subiectivi (cu răspuns deschis) – permit evaluarea unor obiective complexe ale învățării care
scot în evidență originalitatea, creativitatea și caracterul personal al răspunsului. Principalele tipuri
de itemi subiectivi sunt: rezolvarea de probleme și eseul.
Exemple de teste în care sunt aplicați o parte din itemii amintiți:
TEST
POLINOAME
1.Determinați a,b și rezolvați ecuația:
x4+x3-25×2+ax+b=0 dac ă are r ădăcina x 1=3-i√2 8p.
2.Determina ți parametrul real m știind c ă
P(x)= 𝑚𝑥2− 𝑚𝑥4+(𝑚2+ 2𝑚 − 4 )𝑥2− 4 împărțit la x-1 d ă restul 7. 4p.
3.Fie polinomul f= x3-3x+5. S ă se determine valoarea acestui polinom pentru
X0=√2 +√33 +√2 −√33 4p.
4.Determina ți polinomul f = ax3+bx2+cx+d știind c ă f împărțit la x2-x dă restul x și
împărțit la x2-3x+2 d ă restul 3x-2 8p.
Indicații, rezolvări succinte, răspunsuri și autoevaluare :
94
Oficiu 1p.
1. Determinați a,b și rezolvați ecuația x4+x3-25×2+ax+b=0 dac ă are r ădăcina x 1=3-i√2 8p.
a) 𝑥2= 𝑥 1̅̅̅
b) Q(x)= (x-3+i√2)(x-3-i√2)=𝑥2− 6𝑥 + 11
c) Împărțim polinomul inițial la 𝑥2− 6𝑥 + 11
d) Restul trebuie să fie zero, deoarece 𝑥1 ,𝑥2 sunt rădăcini
e) Avem : ( a-41 ) x + ( b – 66 ) = 0
f) Alcătuim sistemul {𝑎 −41= 0
𝑏 −66= 0
g) Concluzie : a=41, b=66.
h) Deoarece C(x)= 𝑥2+ 7𝑥 + 6 , aflăm 𝑥3= −1, 𝑥 4= −6
Răspuns : a=41, b=66
𝑥12⁄= 3 ± 𝑖 √3, 𝑥3= −1, 𝑥 4= −6 .
2.Determina ți parametrul real m știind c ă
P(x)= 𝑚𝑥2− 𝑚𝑥4+(𝑚2+ 2𝑚 − 4 )𝑥2− 4 împărțit la x-1 d ă restul 7. 4p.
a) 1) Conform teoremei lui B 𝑒́zout r=f(1)=7
b) f(1)=m-m+( 𝑚2 +2m – 4) – 4 = 𝑚2+ 2𝑚 − 8
c) 3)𝑚2+ 2𝑚 − 8 = 7 , de unde m=-5 sau m=3
3.Fie polinomul f= x3-3x+5. S ă se determine valoarea acestui polinom pentru
X0=√2 +√33 +√2 −√33 4p.
a) Substituirea f( 𝑥0)
b) Aplicarea formulei (𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3+ 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2+ 𝑏3
c) Observ ăm rela țiile:
(2 + √3)2∙ (2 − √3)2= (2 − √3)și (2 + √3)2∙ (2 − √3)2= (2 + √3)
d) f(𝑥0) = 9
95
4.Determinați polinomul f = ax3+bx2+cx+d știind c ă f împărțit la x2-x dă restul x și
împărțit la x2-3x+2 d ă restul 3x-2 8p.
a) Împărțim în coloana,polinomul inițial la 𝑥2− 𝑥
b) Egalăm restul primit cu restul din ipoteză (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )𝑥 + 𝑑 = 𝑥
Avem 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 și d=0
c) Împărțim în coloniță,polinomul inițial la 𝑥2− 3𝑥 + 2
d) Egalăm restul primit cu restul din ipoteză (9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 )𝑥 + 𝑑 − 2𝑏 − 6𝑎 = 3𝑥 − 2
Avem 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 3 și d-2b-6a=-2
e) Alcătuim sistemul {𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1
9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 3
6𝑎 + 2𝑏 − 𝑑 = −2
𝑑 = 0
f) Rezolv sistemul . Concluzie : a=0, b=1, c=0, d=0. Răspuns : f (x) = 𝑥2
Autoevaluare. Tabelul scorurilor.
Scrieți punctajul acumulat:
Item Din of. It. 1 It. 2 It. 3 It. 4 Total
Scor maxim 1p. 8p. 4p. 4p. 8p. 25 puncte
Scor acumulat
TEST
INELE ȘI POLINOAME CU COEFICIENȚI ÎNTR -UN CORP COMUTATIV
I. 45 p
Pe lucrare scrieți răspunsul corect care completează enunțul.
96
5p 1. Binomul X a K X divide polinomul f K X la binomul ……… este fa
5p 2. Restul împărțirii unui polinom f K X la binomul ……… este fa
5p 3. Polinomul f X m C X admite r ădăcina 1xi pentru m……..
Pe lucrare scrie ți una din variantele ADEVARAT (A) sau FALS (F)
5p 4. Pentru 1m gradul polinomului 32( 1) 2f m X mX X m este egal cu 3
A F
5p 5. Num ărul 1 este r ădăcina a ecua ției 3210 x x x
A F
4p 6. Polinomul 232 f X X este ireductibil peste X
A F
4p 7. Dac ă 4 4 1 4 2 4 3n n n nf X X X X C X si 231g x x x C X atunci gf
A F
Pe lucrare scrie ți litera corespunz ătoare r ăspunsului corect
4p 8. Care este câtulîmp ărțirii lui 3252 f X X X la x2+1 ?
a) 2 b) 63X c) 5 d) 1X e) 3X
4p 9. Calcula ți 22
12xx unde 12,xx sunt r ădăcinile polinomului 265 f x x
a) 6 b) 25 c) -6 d) -5 e) 26
4p 10. Dac ă 21 2 3f X X X si 22 8 3g X X X atunci termenul liber al
polinomului fg este
a) 3 b) -3 c) 0 d) 10
97
II 8 p Pe lucrare scrie ți rezolv ările complete pentru subiectele II, III, IV.
Se consider ă polinomul 29( 3) 2 9f X X X
4p a) Demonstra ți că f se divide cu 4X
4p b) Ce rest d ă f la î mpărțirea cu 2X
III
12p
1) Se consider ă polinomul cu coeficien ți raționali 325 14 f X aX X și suma 1 2 3xxx
xS x x x ,
xN unde 1 2 3,,x x x sunt r ădăcinile polinomului f.
4p a) s ă se determine num ărul ra țional a astfel încâ t polinomul s ă admit ă rădăcina 12 x
4p b) pentru 4 a , să se rezolve ecua ția 0 fx
4p c) pentru 4 a , să se determine egalitatea 3 2 142 4 5S S S
15p
2) Se consider ă polinomul 3244 f X X X X cu 1 2 3,,x x x C. Se cere :
5p a) câtul și restul î mpărțirii lui f la 21 gX
5p b) descompune ți polinomul fîn produs de polinoame ireductibile
5p c) rezolva ți în ecua ția 20xf
IV
10p
98
5p Determina ți ,mn stiind ca polinomul 43(2 ) ( ) 1 f X m n X m n X da restul 1 la
impartirea cu 2X si restul 2 la impartirea cu 1X
5p Determinati a stiind ca radacinile 1 2 3,,x x x C ale polinomului 3266 f X X aX
Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
BAREM DE CORECTARE
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 X-a i F A A A d e a
II
a) / ( ) 0 X a f f a 1p
29( 4) ( 4 3) 2( 4) 9f 1p
( 4) 0f 1p
finalizare 4 fX
1p
b) teorema restului 1p
( 2)fr 1p
înlocuire 29( 2) ( 2 3) 2( 2) 9f 1p
finalizare 6r 1p
III
1.
99
a) ( 2) 0f 1p
înlocuire 32( 2) ( 2) 5( 2) 14 0 a 1p
finalizare 8 4 10 14 0a 1p
8 4 10 14 0a 1p
4 a 2p
b) schema lui Horner
3X 2X X 0X
1 -4 -5 14
-2 1 -6 7 0
1p
2( ) ( 2)( 6 7)f x x x X 1p
2( ) 0 ( 6 7) 0f x X X 1p
finalizare : 2;3 2;3 2Sx 1p
c) 324 5 14 0i i ix x x , 1,3i 1p
32
1 1 14 5 0x x x 1p
32
2 2 24 5 14 0x x x 1p
32
3 3 34 5 14 0x x x 1p
Adunarea rela țiilor 3 3 3 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4( ) 5( ) 42 0 x x x x x x x x x 1p
Înlocuirea și finalizarea 3 2 1
3 2 14 5 42 0
42 2 5S S S
S S S
1P
100
2.
a) Î mpărțirea lui f la g
2
32
3
2
2……..14 4 /4
/ 4 4
/4 4
/////////XX X XX
XX
X
X
3p
2( 1)( 4) 0f X X 1p
finalizare 4: 0 q X r 1p
b) 3 2 24 4 ( 1)( 4) f X X X X X 2p
21 ( 1)( 1)X X X 1p
(2 ) 0xf (2 1)(2 1)(2 4) 4x x x 2p
1 2 1 0 0xx 1p
2 2 4 0 2xx 1p
finalizare : 0,2sx 1p
IV
1) (2) 1 9 3 8f m n 1p
(1) 2 3 0fm 1p
9 3 8
30mn
m
1p
finalizare 0m 1p
101
8
3n 1p
2) Condi ția 13
22xxx 1p
2 1 32x x x 1p
Rela țiile lui Vi 𝑒̀te 1 2 3bx x xa 1p
1 2 3 6 x x x
236x
22x
(2) 0f 1p
finalizare 11a 1p
Nota : Orice altă rezolvare corectă va fi punctată cu punctaj maxim.
3.Metode de rezolvare a problemelor
În matematică, prin metodă înțelegem calea care trebuie urmată în vederea rezolvării unei
probleme. În formarea priceperilor și deprinderilor intervine cunoașterea metodelor generale precum
ar fi analiză, sinteză, metodă reducerii la absurd etc., valabile în toate ramurile matematicii școlare,
precum și a metodelor specifice capitolului studiat.
102
Matematicianul american G. Polya spunea în lucrarea să "Cum rezolvăm o problemă?", în
matematică nu există "o cheie magică" prin care s -ar deschide toate ușile și ar rezolva toate
problemele, ci se pot da numai sfaturi de abordare a rezolvării.Sfaturile date de profesor precum:
descompunerea pr oblemei în elemente componente, căutarea unor analogii, abordarea cazurilor
particulare, folosirea desenului și multe altele sunt binevenite, dar adevărata învățare se realizează
prin însăși desfășurarea acestei activități. În lucrarea amintită, Polya scria: "Dacă vreți să rezolvați o
problemă trebuie să rezolvați probleme". Este bine și necesar să menționăm două aspecte:
1.De multe ori se învață mai cu folos prin rezolvarea unei probleme rezolvate (folosindu -ne de alte
metode);
2.Uneori, nerezolvarea une i probleme poate fi mai utilă pentru formarea priceperilor, decât
rezolvările dintr -o bucată dar care în afară de satisfacția succesului imediat s -ar putea să nu lase
"urme" care să fie folosite și la alte probleme.
Formarea deprinderilor ține de însușirea unor automatisme. Din punct de vedere metodic
apare contradicția între tendința de a face multe exerciții pentru formarea acestor deprinderi și grijă
de a nu cădea în rutină, în formalism. Desigur, prin acumulări cantitative, priceperile se transformă
în deprinderi.
Metode generale de rezolvare a problemelor de matematică:
Analiză. Analiza constă în următoarele: se pornește de la o propoziție necunoscută P1, care se
reduce la altă propoziție P2, apoi P2 la altă propoziție necunoscută P3 etc. până se ajung e la
propoziția cunoscută P. Între prima și ultima propoziție se interpune un număr oarecare de propoziții
necunoscute, iar propozițiile consecutive sunt echivalente din punct de vedere logic.
Sinteză.Prin această metodă se ponește de la o propoziție cunoscută P1 și se trece la o propoziție P2
până se ajunge la propoziția care trebuie demonstrată P. După cum se observă, această metodă
urmează o cale inversă metodei analizei.
Metodă reducerii la absurd. Această se bazează pe principiul "terțului exclus". Pen tru a demonstra o
teoremă este suficient să demonstrăm contrară reciprocei ei, deoarece cele două propoziții sunt
echivalente din punct de vedere logic. Cu alte cuvinte, prin reducere la absurd, presupunând
concluzia teoremei directe falsă, se va ajunge prin deducții logice succesive la o contradicție (de
regulă cu ipoteza teoremei), acest lucru ar echivala cu faptul că este falsă contrară teoremei
reciproce. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă, deci concluzia teoremei este adevărată. Când
103
se prezin tă elevilor această metodă trebuie insistat asupra obligativității includerii a acestui ultim
aspect în cadrul oricărei demonstrații în care se utilizează aceast ă metodă.
Metodă algebrică. Această metodă constă în considerarea uneia sau a mai multor mărimi ce
trebuiesc determinate, că necunoscutele unor ecuații sau a unor sisteme de ecuații. Aceste ecuații
(respectiv sisteme de ecuații) se formează cu ajutorul relațiilor de legătură ce se stabilesc între
cerințe și datele problemei, precum și prin intermedi ul unor rezultate matematice deja cunoscute. Un
lucru important în acest demers îl constituie alegerea corectă a necunoscutelor, formare ecuațiilor
(care de multe ori se poate dovedi dificilă) precum și verificarea soluțiilor găsite. Dacă la formarea
ecuațiilor, elevii întâmpină dificultăți, este recomandat că ei să construiască și un model grafic al
problemei. Acest model le- ar putea ușura (în mod intuitiv) descoperirea relațiilor de legătură dintre
datele problemei. Verificarea soluțiilor găsite ne pemite să analizăm "fiabilitatea" modelului
construit și poate să descoperim alte metode de rezolvare.
Cum îmi aleg problemele?
În vederea selectării problemelor ce vor fi rezolvate de către elevi, în cadrul lecției, este util să
urmărim următoarele aspecte: gradul de dificultate să crească treptat de la simplu la complex; să fie
accesibile fiecărui elev; să aibă un caracter aplicativ (chiar legate de experiența de zi cu zi a elevilor,
dacă este posibil); să posede un grad cât mai mare de atractivitate.
Etapele rezolvării unei probleme.
Spre deosebire de exercițiu, care constă în aplicarea directă a noțiunilor teoretice învățate, rezolvarea
unei probleme necesită gândirea creatoare, imaginația matematică și ingeniozitatea elevilor.
În vederea rezolvării unei probleme, trebuie să ținem cont de următoarele:
-Înțelegerea problemei. Iată întrebările care trebuie să ni le formulăm în această primă etapă: Care
este necunoscută? Care sunt datele? Care este condiția? Este suficientă condiția pentru a determina
cerința? Trebuie să facem un desen? Care sunt noutățile corespunzătoare? Care sunt diversele părți
ale condiției? Segmentele condiției se pot scrie în limbaj matematic?
-Întocmire planului (construirea modelului matematic). Am învățat o teoremă care ar putea fi
aplicată aici? Cunoaștem o problemă înrudită având aceeași necunoscută, sau căreia am putea să -i
folosim metodă de rezolvare? Nu am putea să introducem un element auxiliar pentru a o face
folosită? Am putea -o reformula? Ne putem imagina o problemă mai generală? Dar una particulară?
Au fost utilizate toate datele problemei?Enunțăm relațiile dintre date și necunoscute. Aceste relații
104
pot fi egalități, inegalități sau de altă formă și ele vor formă așa -numitul model matematic al
problemei.
-Rezolvarea modelului ma tematic. Transformăm elementele care ni se dau și cele necunoscute.
Încercăm să introducem elemente noi, mai apropiate de datele problemei. Generalizăm. Examinăm
cazurile particulare. Aplicăm analogii.
-Verificarea soluției găsite. Se interpretează datele obținute. Se aleg soluțiile practice. Nu există oare
o altă cale mai directă care să ne ducă la același rezultat? Se consemnează soluțiile găsite și în acest
fel, schemă rezolvării unei probleme a luat sfârșit.
105
Concluzii
După programele actuale, se predau doar câteva noțiuni de aritmetică a numerelor
naturale, întregi, reale, în clasele gimnaziale, iar până în clasa a XII – a , când ar trebui făcută
legătură între aritmetica numerelor întregi și aritmerica polinoamelor , aceste noțiuni nu sunt
diversificate sau dezvoltate. În clasele de gimnaziu se predau cunoștințe ce înlesnesc formarea
unei structuri cognitive operaționale și a unei baze acceptabile de modelare intuitive.
Datorită dificultăților întâlnite în cazul aritmeticii, asimilarea noțiunilor este mai dificil de
obținut direct la nivelul de rigoare dorit și atunci sunt necesare “ trepte ” successive până la
sfârșitul clasei a XII -a. Predarea noțiunilor de polinoame se face într -o formă succesivă elevilor
de liceu apoi se dau exemple pe ntru toate tipurile de mulțimi de numere pentru care se pot da
teoreme de împărțire cu rest care să permită să construim și pentru ele o anume aritmetică.
În cadrul acestei lucrări se va arăta că aritmetica polinoamelor dar și alte aritmetici se pot
trata în cadrul învățământului preuniversitar într -un mod unitar.. Aceasta va genera un nivel de
performanță superioară, care va duce la reușita unui examen național. Un plus de rigoare în
școală determină un plus accentuat în cazul nivelului de învățământ supe rior .
Tipurile de exerciții și metodele de rezolvare propuse în această lucrare vor aduce o
înbunătățire a rezultatelor obținute de elevi. Problemele sunt foarte utile din punct de vedere
metodologic, fiindcă determină folosirea de metode de rezolvare variate și raționamente clare
prin cerințe de ordin calitativ. Ele au grade de dificultate diferite și deschid noi orizonturi în
vederea însușirii matematicii, mai exact a inelelor de polinoame, în învățământul preuniversitar.
Lucrarea urmărește că elevii să capete o deschidere cât mai largă spre studiul sistematic
al polinoamelor și ecuațiilor algebrice iar prin acestea să le înlesnească trecerea către studiul unei
problematici de nivel mai înalt.
106
Bibliografie:
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/
[2] Ion, D.I., Radu, N., Algebra, EDP, București, 1981/91
[3] Ion, D.I et al., Probleme de Algebră, EDP, București 1981
[4] Leoreanu, V., Fundamente de algebră, Ed. MatrixRom, București,2001
[5] Năstăsescu, C., ș.a., Bazele algebrei, Vol.I., Ed.Acad., București,1986
[6] Purdea, I., Tratat de algebră modernă, vol II, Ed. Academiei,București, 1982
[7] Tărnăuceanu, M., Probleme de algebră, vol.II., Ed.Univ.” Al.I.Cuza ” Iași, 2003
[8] Tofan, I, Volf, A.C. Algebră, Inele, Module, Teorie Galois, Ed.MatrixRom,
București, 2001
[9] Tofan, I., Elemente de algebră, Ed. Univ. Al.I.Cuza, Iasi, 1998
[10] Liviu Ardelean, Nicolae Secelean, Didactica Matematicii, Editura Universit ății “Lucian
Blaga ”, Sibiu, 2007
[11] H. Banea – "Metodica predării matematicii" Ed. Paralela 45, 1992, Pitești.
[12] https://docplayer.gr/31817977-Aritmetica- in-domenii-de-integritate- si-teoria-modulelor-
note-de-curs.html
[13] https://math.ubbcluj.ro/~marcus/for_students/curs-algebra2-polinoame- ec-algebrice-
v7.1.pdf
[14] https://edict.ro/rezolvarea-problemelor-de-matematica/
[15] https://dokumen.site/download/divizibilitatea-polinoamelor-a5b39f0ac7e438
[16] https://edoc.pub/polinoame-pdf-free.html
[17] http://www.scritub.com/stiinta/matematica/POLINOAME-STATISTIC-I-
PROBABIL31311182.php
[18] https://dokumen.site/download/polinoame-a5b39efff371cc
107
Declarație de autenticitate,
Subsemnata BĂRBUȚĂ ELENA, cadru didactic la Liceul Tehnologic „ Ion
Mincu ”, din localitatea Vaslui, județul Vaslui, înscrisă la examenul de acordare a
gradului didactic I, seria
2018 – 2020, cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod penal cu privire la falsul în
declarații, declar pe propria răspundere urmatoarele:
-lucrarea fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;
-nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
– nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse, fără
a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o repre zintă
alte lucrări ale subsemnatei;
-lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Dau prezen ta declarație fiindu -mi necesară la predarea lucrării metodico –
științifice în vederea avizării de către conducătorul științific, domnul/ doamna
prof……………………………………………………………………….
Declarant,
(nume, prenume)…………………………………………………..
(semn ătura)………………………………………………………..
Data …………………………..
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Lucrare metodico- științifică [629803] (ID: 629803)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.