Lucrare metodico- stiint ificˇ a pentru [613962]

UNIVERSITATEA DIN PITES ¸TI
Lucrare metodico-¸ stiint ¸ificˇ a pentru
obt ¸inerea gradului didactic I ˆ ın
ˆ ınvˇ at ¸amˆ ant
Coordonator ¸ stiint ¸ific:
Lect .dr .Deaconu Laurent ¸iu
Candidat: [anonimizat] ¸ii de ma¸ sini Mioveni, Arge¸ s
2020

UNIVERSITATEA DIN PITES TI
Lucrare metodico- stiint ic a pentru
obt inerea gradului didactic I ^ n ^ nv at am^ ant
Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor
algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul liceal
Coordonator  stiint ic:
Lect:univdr:Deaconu Laurent iu
Candidat: [anonimizat] ii de ma sini Mioveni, Arge s
2020

Cuprins
I 6
1 Polinoame de o nedeterminat a peste un corp K 6
1.1 S iruri de elemente din corpul K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Operat ii cu  siruri de elemente din corpul K . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Forma algebric a a polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Valoarea unui polinom. Funct ii polinomiale. . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Operat ii cu polinoame scrise sub form a algebric a . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Adunarea  si ^ nmult irea polinoamelor scrise sub form a algebric a . . 10
1.3 Teorema ^ mp art irii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Teorema ^ mp art irii cu rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 ^Imp artirea prin X-a. Schema lui Horner . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Relat ia de divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Descompunerea polinoamelor ^ n factori ireductibili . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 R ad acini ale polinoamelor. Teorema lui Bezout . . . . . . . . . . 16
1.5.2 R ad acini multiple ale unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Polinoame ireductibile in K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4 Descompunerea polinoamelor ^ n factori ireductibili . . . . . . . . . 18
1.6 Relat iile lui Vi ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ecuat ii algebrice 22
2.1 Teorema fundamental a a algebrei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Ecuat ii algebrice cu coecient i in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Rezolvarea unor ecuat ii algebrice particulare cu coecient i reali . . . . . . 30
2.5.1 Ecuat ia de gradul I si II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Ecuatia de gradul III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Ecuat ia de gradul IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 Ecuat ii bip atrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Ecuat ii binome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Ecuat ii reciproce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II 41
3 Metode si strategii didactice de predare ^ nv at are specice matematicii 41
3.1 Metode de predare ^ nv at are specice matematicii . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Demonstrat ia matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Metode pedagogice tradit ionale de predare ^ nv at are a matematicii ^ n  scoal a 45
3.3.1 Expunerea sistematic a a cuno stint elor . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Metoda conversat iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.3 Metoda exercit iului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.4 Metoda muncii cu manualul  si cu alte auxiliare matematice . . . . 48
3.4 Metode pedagogice moderne de predare -^ nv at are a matematicii ^ n  scoal a 48
3.4.1 Problematizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2 ^Inv at area prin descoperire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Modelarea matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Metoda ^ nv at  arii pe grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.5 Algoritmizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.6 Instruirea programat a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.7 Softuri educat ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Metode activ-participative utilizate ^ n lect iile de matematic a . . . . . . . 52
3.5.1 Investigat ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.2 Proiectul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Metode interactive de grup utilizate in lect ia de matematic a . . . . . . . 54
3.6.1 Metoda cubului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.2 Metoda R.A.I. (round associated ideas) . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.3 Metoda JIGSAW(MOZAICUL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.4 Metoda PIRAMIDEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.5 Metoda BRAINSTORMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Descrierea cercet arii 68
4.1 Metode si tehnici de cercetare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Delimitarea problemei de cercetat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Stabilirea ipotezei cercetarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Obiectivele cercetarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Organizarea cercetarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Etapele cercetarii. Prelucrarea si interpretarea datelor . . . . . . . . . . . 72
4.6.1 Faza prealabila a interventiei factorului experimental . . . . . . . 72

4.6.2 Faza experimentarii modelului instructional si a inregistrarii rezultatelor 76
4.6.3 Faza compararii rezultatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Concluziile cercetarii experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A Anexa 86
B Anexa 89
C Anexa 95
Cuprins

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
licealArgument
Matematica este f ar a discut ie , una dintre cele mai frumoase  stiint e. Ea este baza
tuturor celorlalte discipline stiint ice. Este important a ^ n viat a ecarui om  si prioritar a
in formarea intelectual a a acestuia. Tema aleas a pentru elaborarea prezentei lucr ari ,
"Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul liceal"
este de o mare important a .
Alegerea temei a fost in
uent at a pe de o parte de important a cantitativ a  si calitativ a
a studierii ecuat iilor algebrice in liceu iar pe de alt a parte de modul in care aceste ecua tii
sunt prezentate spre ^ nv at are elevilor, adica ce metode si strategii de predare ar trebui
aplicate in cadrul ecuatiilor pentru o mai buna intelegere a acestora.
Rezolvarea ecuatiilor algebrice ocupa un loc central in predarea matematicii. Inca
din clasa I elevul este pus in fata rezolvarii banalei ecuatii de gradul I, transpusa intr-un
limbaj specic varstei. Pe parcursul anilor de scoala elevul se intalneste din ce in ce
mai des cu rezolvarea ecuatiilor, culminand cu clasa a XII-a unde se pune accentul pe
rezolvarea stiintica a ecuatiilor si nu numai pe rezolvarea algoritmica.
Prin experient a personal a, am observat c a elevii de nivel mediu , nu reu sesc^ ntotdeauna
sa- si formeze aptitudini de rezolvare a ecuat iilor algebrice. Utilizarea unor metode si
strategii de predare-^ nv at are adecvate ar putea cre ste nivelul de ^ nt elegere a acestei
probleme.
^In ^ nv at  am^ antul clasic, sistemul de solicit ari  si aprecieri practicat, nu asociaz a nevoia
de armare personal a a elevilor, orientarea lor spre performant e individuale cu exigent a
educat iei ^ n  si pentru colectivul de elevi. Elevul este doar un simplu observator al
not iunilor predate, participarea lui la lect ii este ^ n general condit ionat a de obt inerea unui
calicativ, not a, apreciere. Raportul cognitiv pe care ^ l aduce elvul clasei este in general
nul. Insistarea pe aspectului competitiv al muncii  scolare, prin sistemul de premieri,
penaliz ari se poate rasfr^ ange negativ ^ n sfera relat iilor interpersonale.
A. Binet cerea  scolii s a nu compare elevii net diferit i ^ ntre ei, ci mai degraba elevul
cu sine insu si, remarc^ and progresul , dep a sirea unui nivel anterior. Pentru ca acest lucru
s a se poata realiza este necesar ca profesorul s a- si cunoasc a foarte bine elevii. In mod
clar, profesorul nu poate lucra individual cu ecare elev al clasei, se pune problema dac a
folosirea unor metode de predare centrate pe elev,^ n care se pune accent pe activizarea
elevului ^ n grupe mici(4-6 elevi), nu determin a un randament mai bun de ^ nv at are
O cerinta important a a educat iei dup a cum spunea Jean Piaget,"este de a asigura o
metodologie variat a bazat a pe^ mbinarea activitat ilor de munc a independent a de^ nv at are,
cu activit at ile de cooperare, de ^ nv at are ^ n grup ". Cu toate c a ^ nv at area este o activitate

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
individual a, care t ine de efortul depus de ecare individ ^ n ^ t elegerea  si con stientizarea
semnicat iilor  stiint ei, relat iile interpersonale, de grup, sunt un factor important construirii
 si ^ nv at  arii personale  si colective." ^Inv at area ^ n grup exerseaza capacitatea de decizie
 si de init iativa, d ao nota mai personala muncii, dar  si o complementaritate mai mare
aptitudinilor  si talentelor, ceea ce asigur a o participare mai vie, mai activ a, sust inut a de
foarte multe elemente de emulat ie, de stimulare reciproc a, de cooperare fructuoas a"(J.Piaget,1972,pag
69).
Metodele  si strategiile de predare-^ nv at are construite de c atre profesor ^ n funct ie de
cerint ele educat ionale ale clasei constituie motorul actului de ^ nv at are. Cu ajutorul
lor profesorul poate ridica nivelul motivat ional al elevilor pentru ^ nv at are. Cele trei
componentele a motivat iei  scolare precum trebuint a de aliere , trebuint a arm arii puternice
a eului si cunoasterea cognitiv a pot  stimulate prin introducerea ^ n predarea lect iilor a
unor metode si strategii de predare – ^ nvatare centrate pe elev.
Experiente de psihologie  scolar a au aratat ecient a superioar a a muncii in grup in
rezolvarea unor sarcini bine denite folosindu-se metode de predare moderne. ^In condit iile
solut ion arii de probleme ^ n grup cre ste cantitatea de opinii, se ^ nfrunta puncte de vedere
diferite, are loc o zdruncinare a cli seelor de g^ andire  si de apreciere, ceea ce facesa creasca

exibilitatea rat ionamentului la membrii grupului. De asemenea , controlul  si triajul
erorilor este mul mai ecace, datorit a efectului de feed-back reciproc. Exist a o dinamica
a grupului cu efectul ei stimulativ, care ridic a nivelul performant ei colective, diferent iind-
o de simpla aditivitate a rezultatelor individuale. Pot aparea  si react ii negative la o
parte din elevi: timiditate in prezent a altora, distract ie, supunere necritic a la opinia unui
subgrup. Corectarea unor asemenea neajunsuri se poate realiza prin organizarea just a a
activit at ii de grup  si nu prin opt iunea pentru alternativa contrara.
Prin lucrarea de fat a imi propun s a urmaresc modul in care metodele si strategiile de
predare-invatare a ecuatiilor algebrice centrate pe elev in
uenteaza randamentul scolar
precum si cresterea nivelul motivational al elevului in invatare.
Consider c a ecuat iile algebrice cu coecient i reali ocupa un loc central in studiul
matematicii. Majoritatea elevilor, absolventi de liceu, se vor intalni in viata de zicu zi ,
cel mai des ,cu banala ecuatie de gradul I. Dezvoltarea gandirii elevului produsa insa de
rezolvarea problemelor de matematica in liceu este de o importanta covarsitoare pentru
formarea adultului .
Lucrarea este formata din 2 part i. Prima parte este format a din dou a capitole ^ n
care am centralizat not iunile  stiintice de baz a, necesare pred arii ecuat iilor algebrice cu
coecient i reali^ n liceu. ^In primul capitol am analizat important a polinoamelor in predarea

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
ecuatiilor din punct de vedere stiintic iar in capitolul doi am studiat ecuatiile algebrice
cu coecienti reali predate in liceu.
In partea a doua am urmarit in capitolul trei metodele si strategiile de predare-
invatare folosite in predarea matematicii in general, cu accent pe folosirea lor in invatarea
ecuatiilor algebrice cu coecienti reali. La metodele enumerate am adaugat aplicatii
corespunzatoare, folosite de mine in cadrul cercetarii pedagogice.
In capitolul 4 am facut o cercetare pedagogica , urmarind cresterea randamentului
scolar si a motivatiei scolare pentru invatare, prin utilizarea metodelor si strategiilor de
predare- invatare centrate pe elev.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Part I
1 Polinoame de o nedeterminat a peste un corp K
Not iunea de polinom este una dintre no tiunile fundamentale ale algebrei. Originea
acestei no tiuni se gase ste ^ ntr-o problem a foarte veche de matematic a  si anume aceea de a
elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectueaz a de obicei cu sume
si produse ^ n care intervin un num ar nit de numere. Aceast a problem a constituie de
altfel chiar ^ nceputul studiului algebrei ^ n gimnaziu, c^ and se consider a expresii de tipul
x+y;x2y+ 2xy^ n care se spune despre xsiyca sunt numere arbitrare (neprecizate).
Dezvolt^ and regulile de calcul cu asemenea expresii, algebra elementara are la baz a anumite
convent ii care nu pot  explicate dec^ at denind riguros cadrul ^ n care se efectueaz a
calculele si pun^ anad ^ n evident  a legatura sa cu corpurile de numere sau cu alte corpuri
sau inele abstracte.
Consider am un corp comutativ ( K;+;
), unde K reprezint a una din mult imile Q,R,C
sauZp, p numar prim.
1.1 S iruri de elemente din corpul K
Denit ,ie 1.1.1.Se nume ste  sir de elemente din corpul K o funct ie f:N!K
Elementulan=f(n)2Kreprezint a termenul general al  sirului
Ordinea de scriere a numerelor naturale induce ordinea de scriere a termenilor  sirului
 si anume:a0;a1;:::;an;::::
Pentru un  sir de elemente din corpul K se folose ste notat ia f= (ao;a1;:::;an;:::) sau
f=an.
Doua  siruri f= (ao;a1;:::;an;:::) sig= (b0;b1;:::bn;:::) sunt egale dac a a0=b0;a1=
b1;:::;an=bn;:::
Denit ,ie 1.1.2. Un  sirf= (ao;a1;:::;an;:::)se nume ste  sir nit dac a exist a un num ar
natural p, astfel ^ nc^ at am= 0, oricare ar  m>p .
A sadar, un  sir este nit dac a are un num ar nit de termeni nenului.
Exemplu:f1= (2;0;0;3;0;:::;0;:::).
1.1.1 Operat ii cu  siruri de elemente din corpul K
Not am cu KNmult imea  sirurilor de elemente din corpul K si cu K(N)mult imea
 sirurilor nite de elemente din K. Se observ a c a are loc incluziunea K(N)KN.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Denit ,ie 1.1.3. Fief;g2KN;f= (a0;a1;:::an;:::);g= (b0;b1;b2;:::;bn)doua  siruri.
S irulh2KN;h= (a0+b0;a1+b1;:::;an+bn;:::)se nume ste suma  sirurilor f si g.
Se noteaz a cu f+g.
S irulh2KN;h= (c0;c1;:::;cn;:::)unde pentru oricare m2Navemcm=a0bm+
a1bm1+:::+amb0=Pm
k=0akbmkse nume ste produsul  sirurilor f si g . Se noteaz a
cuh=f
g
Exemplu : FieK=Csif= (1;2;1;2;1;0;0;:::);g= (1;2;3;5;0;0;:::;0) . Atunci
f+g= (2;4;4;7;1;0;0;:::;0);f
g= (1;4;8;15;16;9;3;5;0;:::0)
Teorema 1.1.1. MultimeK(N)a  sirurilor nite este parte stabil a a mult imii KNin
raport cu operat iile de adunare si ^ nmult ire a  sirurilor.
Demonstrat ie. Fief;g2K(N);f= (a0;a1;a2;:::;am;0;0;:::);g= (b0;b1;:::;bn;0;0;:::)
astfel ^ nc^ at am;bn2Kf0g.
a) Dac ap>max (m;n) atunci avem ap+bp= 0 si astfel:
f+g= (a0+b0;a1+b1;:::;ap1+bp1;0;0;:::)2K(N)
cp=Pm
k=0akbpk+Pp
k=m+1ak
bpk.^In ecare sum a factorii subliniat i sunt nuli,
deoareceam+1=am+2=:::=ap= 0  sibpm=bpm1=:::=bp= 0
b) Fiep > m +nsif
g= (c0;c1;c2;c3;:::). Rezult a c a elementul cp= 0. A sadar
f
g= (c0;c1;:::;cp1;0;0;:::)2K(N).
Observat ie
Dac ap=m+nsiam;bn2K, atuncicm+n=am
bn2K. A sadar,m+neste
rangul cel mai mare pentru care elementul cpeste nenul.
Denit ,ie 1.1.4.Orice element al mult imii K(N)pe care s-a denit adunarea
si ^ nmult irea de  siruri se nume ste polinom cu coecient i in corpul K.
Dac af2K(N);f= (a0;a1;a2;:::;an;:::), undean2K, elementele a0;a1;:::;an
se numesc coecient ii polinomului f , iar n2Nse nume ste gradul polinomului f si
se noteaz an=grad(f).
Coecientul an2Kal polinomului f se nume ste coecient dominant. Dac a
coecientul dominant este egal cu 1, polinomul se nume ste polinom unitar sau moic.
Polinomul f= (0;0;0:::;0:::)cu tot i coecient ii nuli se nume ste polinom nul.
Polinomului nul i se atribuie gradul 1.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Teorema 1.1.2. Tripletul (K(N);+;
)formeaz a un inel comutativ f ar a divizori ai lui zero
(inel integru).
Demonstrat ie. Vericarea axiomelor inelului este evident a. Elementul neutru in raport
cu adunarea este polinomul nul e= (0;0;0:::;0;:::), iar fat a de ^ nmult ire este polinomul
f= (1;0;0;:::).
S a ar at am c a inelul este integru. Fie f;g2K(N) polinoame nenule, f= (a0;a1;:::;an;0;0:::),
g= (b0;b1;:::;bm;0;0:::),grad(f) =n;grad (g) =m.
Not amf
g= (c0;c1;c2:::) produsul polinoamelor f si g. Num arul cm+n=an
bm
este elementul nenul in corpul K, deci f
geste polinom nenul. A sadar inelul este inel
integru.
Observat ie:
Pentrup>m +navemcp= 0. Rezult a c a: grad f
g=m+n=grad(f) +grad(g)
1.1.2 Forma algebric a a polinoamelor
Polinoame constante
S a consider am mult imea KN
1a polinoamelor de forma f= (a;0;0;0:::0;:::);a2K.
Dac af= (a;0;0;:::);g= (b;0;0;:::);a;b2Katunci:f+g= (a+b;0;0;:::) iarf
g=
(ab;0;0;0:::).
Rezult a c a mult imea KN
1este parte stabil a a mult imii KNin raport cu operat iile de
adunare si de ^ nmult ire a polinoamelor.
Mai mult, funct ia F:KN
1!K;F (f) =aundef= (a;0;0:::) este bijectiv a si veric a
egalit at ileF(f+g) =F(f) +F(g) siF(f
g) =F(f)
F(g).
Aceste propriet at i ne permit sa identic am polinoamele de forma f= (a;0;0;:::) cu
elementula2K.^In acest mod mult imea K(N)
1se identic a cu mult imea K.
Polinoamele de forma f= (a;0;0;:::) le vom numi polinoame constante.
Dac ax2Ksif= (a0;a1;:::;an;0;0:::)2K(N), atunci:
x
f= (x;0;0;:::)
(a0;a1;a2;:::;an;0;0:::) = (xa0;xa 1;xa 2;:::;xan;0;0;:::) (1)
Relat ia (1) exprim a regula de ^ nmult ire a unui polinom cu un element din corpul K  si
anume:
Un polinom se ^ nmult e ste cu un element din K ^ nmult ind ecare coecient
al polinomului cu acest element .

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Forma algebric a a unui monom
Denit ,ie 1.1.5. Un polinom f2K(N)se nume ste monom dac a are un singur coecient
nenul.
Un rol important in scrierea unui polinom ^ l are monomul X= (0;1;0;0;:::) care se
citeste "nedeteminata X".
Denim puterile nedeterminatei X in mod recurent:
X2=X
X;Xn=Xn1
X;n2:
Se obt ine:X2= (0;0;1;0;0;:::)
X3= (0;0;0;0;1;0;0;:::)
……………………………..
Xn= (0;0;0;::::;0;1;0;0::::)
Se observ a c a X2;X3;:::;Xn;:::reprezint a monoame.
Pentru monomul fk= (0;0;0;;::0;1;0:::);ak2Kavem scrierea fk= (0;0;:::;0;1;0:::) =
akXk. A sadarfk=akXk, relat ie care reprezint a forma algebric a a monomului fk.
Num arulk2Nreprezint a gradul monomului fk. Dou a monoame se numesc asemenea
dac a au acela si grad.
Forma algebric a a unui polinom
Fief2K(N);f= (a0;a1;:::;an;0;0;:::);an2Kun polinom de gradul n. Folosind
operat iile cu polinoame avem:
f= (a0;0;0;:::) + (0;a1;0;0;:::) + (0;0;a2;0;0;:::) +:::+ (0;0;0;:::;0;an;0;0:::) = (2)
=a0+a1X+a2X2+:::+anXn
A sadar,f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn, scriere care reprezint a forma algebric a a
polinoamelor de grad n in nedeterminata X. Rezult a c a polinomul f este o sum a de
monoame. Monomul " anXn" se nume ste monomul dominant al polinomului f. Scrierea
unui polinom sub form a algebric a este unic a, abstract ie fac^ and de ordinea de scrierea a
monoamelor.
Fief;g2K(N);f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;g=b0+b1X+b2X2+:::+bmXm
, grad(f)=n si grad(g)=m. Polinoamele f  si g sunt egale si scriem f=g, dac a au acela si
grad si coecient ii respectivi egali: m=n;a 0=b0;a1=b1;a2=b2:::;an=bn.^In
particular, polinomul f este egal cu polinomul nul dac a tot i coecient ii s ai sunt nuli.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Pentru mult imea K(N)se va adopta notat ia K[X] pentru a pune in evident  a nedeterminata
X. In particular avem mult imile Q[X];R[X];C[X];Zp[X], adic a mult imile de polinoame
^ n nedeterminata X cu coecient i ^ n corpurile Q;R;C respectivZp.
Se observ a c a exist a incluziunile Q[X]R[X]C[X].
1.1.3 Valoarea unui polinom. Funct ii polinomiale.
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;an2Kun polinom de gradul n.
Denit ,ie 1.1.6. Dacax2K, elementul f(x) =a0+a1x+a2+:::+anxn;an2Kse
numeste valoarea polinomului f in x.
Observatie Dacaf;g2K[X], atunci au loc egalit at ile:
(f+g)(x) =f(x) +g(x)8x2K;
(fg)(x) =f(x)g(x)8x2K;
(f
g)(x) =f(x)
g(x);8xinK
Denit ,ie 1.1.7.Fief2K[X]un polinom nenul. Se nume ste funct ie polinomial a
ata sat a polinomului f, funct ia: f:K!K;f(x) =f(x);x2K
functiaf:K!Kse nume ste funct ie polinomial a dac a exist a un polinom g2
K[X], astfel ^ nc^ a f= g
Observat ie
Dacaf2K[X], atunci funct ia polinomial a fata sat a lui f este unic a. Reciproca
acestei armat ii nu este adevarat a.
Exemplu: Fien2Nsifn=Xn. Atuncif(0) = 0
1.2 Operat ii cu polinoame scrise sub form a algebric a
1.2.1 Adunarea  si ^ nmult irea polinoamelor scrise sub form a algebric a
Fier2Nsif;g2K[X] monoame de polinoame de gradul p: f=arXr;g=brXr.
T  in^ and cont de modul de denire a adun arii polinoamelor obt inem:
f+g= (ar+br)Xp; (3)
Mai general, dac a f;g2K[X] sunt polinoame de gradul n, respectiv m:
f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
g=b0+b1X+b2X2+:::+bmXm;
polinomul suma se va scrie sub forma:
f+g= (a0+b0) + (a1+b1)X+ (a2+b2)X2+:::+ (ap+bp)Xp+::: (4)
cu convent ia ca ai= 0 pentru i>n sibj= 0 pentru j >m . Relat ia (4) ne arat a ca suma
a dou a polinoame se face adun^ and monoamele asemenea din cele dou a polinoame.
Fief;g2K[X];f=arXr;g=bqXqdou a monoame. Folosindu-ne de denit ia
^ nmult irii polinoamelor se obt ine :
f+g=arbrXr+q; (5)
deci produsul a dou a monoame de gradul r , respectiv gradul q este un monom de gradul
r+q.
Analog, daca f;g2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn;g=b0+b1X+b2X2+
:::+bmXmsunt polinoame de gradul n, respectiv m, vom obt ine , cu convent ia c a ai= 0,
pentrui>n sibj= 0 pentru j >m :
f
g=a0b0+(a0b1+a1b0)X+(a0b2+a1b1+a2b0)X2+:::+(a0bm+n+a1bm+n1+:::+am+nb0)Xm+n
(6)
Produsulf
geste un polinom de gradul m+n. Relat ia (6), care d a forma algebric a a
polinomului produs f
g, poate  u sor obt inut a dac a avem ^ n vedere ^ nmult irea a dou a
sume, scriind:
f
g= (a0+a1X+a2X2+:::+anXn)(b0+b1X+b2X2+:::+bmXm)
 si efectu^ and calculele, av^ and i n vedere regulile de ^ nmult ire a dou a paranteze  si calculele
cu sume  si produse de monoame. De asemenea, se are ^ n vedere c a adunarea  si ^ nmult irea
polinoamelor sunt comutative.
Exemple Fief=X3+ 2X2+X2  sig= 2X3X2X+ 1 atunci:
f+g= 3X3+X21
f
g= 2X65X5X46X3+ 3X2+ 3X2

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
1.3 Teorema ^ mp art irii cu rest
1.3.1 Teorema ^ mp art irii cu rest
Fie (K;+;
) un corp comutativ si polinoamele f;g2K[X], g un polinom nenul.
Denit ,ie 1.3.1. A ^ mpart i polinomul f la polinomul g in K[X] ^ nseamn a a determina
polinoamele q;r2K[X], astfel ^ nc^ at
1.f=gq+r
2.grad(r)<grad (g).
Polinomul f se nume ste de^ mp art it , g se nume ste ^ mp art itor, iar polinoamele q si r se
numesc c^ atul, respectiv restul ^ mp art irii.
Av^ and ^ n vedere egalitatea f=g
q+r, se obt ine egalitatea grad(q) =grad(f)
grad(g)
Teorema 1.3.1 (Teorema imp art irii cu rest ).Fief;g2K[X];g6= 0. Atunci exist a
si sunt unice polinoamele q;r2K[X]cu propriet at ile:
a)f=gq+r
b)grad(r)<grad (g)
Demonstrat ie. Unicitatea c^ atului si a restului:
Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem c a exist a polinoamele q1;q2;r1;r22
K[X], astfel ^ nc^ at q16=q2;r16=r2care veric a relat iile f=gq1+r1;f=gq2+r2si
grad(r1)<grad (g);grad (r2)<grad (g):
Atunci rezult a c a f=gq1+r1=gq2+r2, relat ie din care rezult a egalitatea g(q1q2) =
r2r1. Referitor la grade se obt ine:
grad(g) +grad(q1q2) =grad(r2r1)<grad (g)
Contradict ia rezultat a conduce la egalitatea q1=q2, si apoir1=r2
Existent  a
Fie n=grad(f), m=grad(g). Deosebim cazurile:
1. pentrun<m , avemf= 0g+fsi se iaq= 0r=f
2. pentrunmef=a0+a1X+a2X2+::::+anXn;g=bo+b1X+b2X2+:::+bmXm.
Consider am polinomul: g1=anb
m1Xnmg=anXn+an1bm1b
m1Xn1 +:::+
b0anb
m1Xnm. Rezult a c a polinomul f1=fgare gradul strict mai mic dec^ at gradul
polinomului f.
Fief1=c0+c1X+c2X2+:::+cn1Xn
1;n1<n

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Dac an1< m avemf1=fanbmXnmgsauf=anbM1Xnmg+f1si se ia
q=anb
m1Xnmsir=f1
Dac an16=mrepet am procedeul anterior de mic sorare a gradului printr-o nou a
sc adere, lu^ and: g2=cn1b
m1Xn
1mg sif2=f1g2evidentn2=grad(f2)<n 1<n.
Se repet a procedeul anterior pentru perechile de polinoame ( f2;g2)  si se obt in
succesiv relat iile:
f1=fg1
f2=f1g2
f3=fpgp+ 1
::::::::::::::::::
fp+1=fpgp+1
:::::::::::::::::::::::::
fs=fs1gs
Adun^ and relat iile anterioare, se obt ine:
fs=fg1g2:::gs;grad (fs) =ns<m.
A sadar,f= (P
k=1)sgk+fs=g
q+fs, deoarece ecare polinom gkveric a
egalitateagk=g

Xnkmcu2K. Lu^ andr=fsteorema este demonstratat a.
Observat ie:
Teorema impart irii cu rest ofer a un algoritm concret de determinare a c^ atului si a
restului ^ mp art irii a dou a polinoame.
1.3.2 ^Imp artirea prin X-a. Schema lui Horner
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXnun polinom de gradul n si g=
Xa2K[X]
Teorema 1.3.2. Restul ^ mp artirii polinomului nenul f2K[X], la polinomul g=Xa2
K[X]este egal cu valoarea f(a)a polinomului f in a.
Demonstrat ie. Din teorema^ mp art irii cu rest, se obt ine: f= (Xa)
q+r;grad (r)<1
decir2K. Rezult a c a f(a) = 0q(a) +r, de under=f(a)
Teorema restului este ecient a pentru determinarea restului ^ mp art irii unui polinom
prin X-a, f ar a a efectua ^ mp art irile.
Schema lui Horner

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Fief2K[X];f=a0+a1X+a2X2+:::+anXnun polinom de gradul nenul si
g=Xa2K[X]. Not amq=b0+b1X+b2X2+:::+bn1Xn1c^ atul ^ mp art irii
polinomului f la g. Din teorema ^ mp art iri cu rest se obt ine:
f=(Xa)(b0+b1X+b2X2+:::bn1Xn1) +r
=rab0+ (b0ab1)X+ (b1ab2)X2+:::+ (bn1abn)Xn(7)
Identic^ and coecient ii celor doua polinoame in relat ia (7) se obt ine:
an=bn1 Aceste relatii permit deducerea ^ n mod recursiv a coecient ilor
an1=bn2abn1 c^ atuluibn1;bn2::::b 1;b0 si a restului r
an2=bn3abn2
:::::::::::::::::::::::::::::
a2=b1ab2
a1=b0ab1
a0=rab0
^In mod practic, pentru determinarea coecient ilor bn1;bn2:::;b 1;b0ai c^ atului si a
restului r se alcatuie ste urmatoarea schema:
an an1 an2 …a1a0
abn1=anbn1a+an1bn2a+an2…b1a+a1b0a+a0
bn1bn2 bn3 ….b0 r
Aceast a schem a de lucru ^ n care opereaz a numai cu elementul a2K si coecient ii
polinomului f, se nume ste schema lui Horner. Schema lui Horner are la baz a relat ia de
recurent  a:
bk=bk1a+ak1;k21;2;:::n1:
Exemplu: Fief=X32X2+ 6X1  sig=X1 . S a se determine c^ atul  si restul
^ mp art irii polinomului f la polinomul g.
Alc atuim schema lui Horner:
12 61
a= 1 11
121
(1) + 6 1
51
11 5 4
Decig=X2X+ 5  si restul r= 4

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
1.4 Relat ia de divizibilitate
Fie corpul de polinoame K[X]  si s a consider am dou a elemente oarecare din el gsi
h. Am observat c a produsul lor g
heste tot un polinom din K[X] al c arui grad este
egal cu suma gradelor celor dou a polinoame. Dac a not am acest polinom cu fvom obtine
f=gh,grad(f) =grad(g) +grad(h).
Aceasta ne sugereaz a urm atoarea problem a  si anume de a r aspunde la^ ntrebarea dac a,
dandu-se un polinom f in corpul K[X] exist a sau nu dou a polinoame in K[X] al c aror
produs s a e polinomul f
Denit ,ie 1.4.1. Fie(K;+;:)un corp comutativ si polinoamele f;g2K[X]. Spunem c a
polinomul g divide polinomul f dac a exist a un polinom h2K[X]astfel ^ nc^ at f=g
h.
Spunem c a g este un divizor al polinomului f sau c a polinomul f este un multiplu al
polinomului g. Deoarece grad(f)=grad(g)+grad(h), rezult a c a grad(g)<grad(f).
Dac a grad(g)=0 sau grad(g)=grad(f) atunci spunem ca g este un divizor impropriu
al lui f , iar dac a 0<grad(g)<grad(f), spunem ca g este un divizor propriu al lui f. Dac a
polinomul g divide polinomul f vom scrie gjf(se cite ste "g divide f") sau f:g (se cite ste
"f este divizibil cu g").
Polinomul g se numeste divizor al polinomului f, iar polinomul f se nume ste multiplu
al polinomului g.
Observat ie: Polinomulf2K[X] se divide cu polinomul g2K[X];g6= 0, dac a  si numai
dac a restul ^ mp art irii lui f la g este un polinom nul.
Relat ia de divizibilitate pe mult imea de polinoame K[X] are propriet at i asem an atoare
cu relat ia de divizibilitate pe mult imea Z a numerelor ^ ntregi.
P1. Relat ia de divizibilitate pe mult imea K[X] este re
exiv a
fjf;8f2K[X]
P2. relat ia de divizibilitate pe mult imea K[X] este tranzitiv a
dacaf;g;h2K[X];fjfsigjh, atuncifjh.
Intr-adevar, din ipotez a rezult a c a 9u;v2K[X], astfel ^ nc^ at g=fu sih=gv. Se obt ine
c ah=gv= (fu)v=f(uv), decifjh.
P.3 Polinomul nul f= 02K[X], este divizibil cu oricare polinom g2K[X],
deoarece 0=0g. Se spune c a f= 0 este cel mai mare element in raport cu divizibilitatea
pe K[X].
P.4 Polinoamele constante f=a;a2Ksunt divizori pentru orice polinom
K[X]

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
P.5 Dacaf;g;h2K[X], astfel ^ nc^ at fjgsifjhatuncifjug+vh;8u;v2K[X]
Denit ,ie 1.4.2. Polinoamele f;g2K[X]se numesc asociate in divizibilitate  si se
noteaz af g, dac afjgsigjf
Teorema 1.4.1. Polinoamele nenule f;g2K[X]sunt asociate in divizibilitate dac a  si
numai dac a9a2Kf0gastfel^ nc^ atf=ag
Demonstrat ie. Dac af=agatuncigjf si cumg=a1f, rezult afjg, decif g.
Reciproc, e f g. Atuncifjgsigjf, deci exist a u;v2K[X], astfel ^ nc^ at f=ug
 sig=vf. Se obt ine c a f=uvf si cum f este nenul, rezult a c a uv= 1. A sadar
u;v2Kf0gsi teorema este demonstrat a.
1.5 Descompunerea polinoamelor ^ n factori ireductibili
1.5.1 R ad acini ale polinoamelor. Teorema lui Bezout
Consider am un polinom f2K[X]
Denit ,ie 1.5.1. Elementul2Kse nume ste r ad acin a a polinomului f2K[X]dac a
f() = 0
Exist a o teorem a care pune in evident a o legatur a ^ ntre r ad acinule unui polinom
f2K[X] si divizibilitatea polinoamelor pe mult imea K[X].
Teorema 1.5.1 (Teorema lui Bezout) .Fief;g2K[X]si2K. Atunci:
1.este r ad acin a a polinomului fdac a si numai dac a fse divide cu polinomul
(X)2K[X];
2. dac afse divide cu polinomul nenul gsieste o r ad acin a a lui g, rezult a c a
este o r ad acin a a lui f.
Demonstrat ie: 1. Fie siX2K[X]. Din teorema ^ mp art irii cu rest rezult a c a
exist ahsir2K[X] astfel incat f=h
(X) +r;r2K(1)
Din teorema restului rezult a c a r=f()  si relat ia (1) se scrie f= (X)h+f()
(2)
Din relatia (2) rezult a c a este r ad acin a pentru f, atunci f() = 0 sif= (X)h,
deci se divide cu X. Reciproc , dac a f se divide cu Xdin relat ia (2) se
obt ine c af() = 0.
2. Dac a f se divide cu g, atunci exist a h2K[X], astfel ^ nc^ at f=gh. Rezult a c a
f() =g()h() = 0, deci este radacin a a polinomului f.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
1.5.2 R ad acini multiple ale unui polinom
Denit ,ie 1.5.2.Fief2K[X]un polinom nenul  si m2N. Elementul 2Kse
nume ste r ad acin a multipl a de ordinul m dac a polinomul f se divide cu (X)m,
dar nu se divide cu (X)m+1.
Numarul m se nume ste ordinul de multiplicitate al r ad acinii
Dac am= 1, r ad acinase nume ste r ad acin a simpl a. Dac a m= 2;3;:::r ad acina
se nume ste r ad acin a dubl a, tripl a,… .
Deci dac a2Keste r ad acin a multipla de ordinul m, polinomul f se poate scrie sub
formaf= (X)mg, undeg2K[X] sig()2K
1.5.3 Polinoame ireductibile in K[X]
Denit ,ie 1.5.3. Polinomul nenul f2K[X]se nume ste ireductibil peste inelul K
dac a exist a polinoamele g;h2K[X]de grad cel putin 1, astfel ^ nc^ at f=gh.
Un polinom f2K[X]cu grad(f)>0, care nu e reductibil peste K, se nume ste
ireductibil peste K.
Observat ii
1. Orice polinom de gradul 1 din K[X] este polinom ireductibil peste K.
2. Dac a un polinom f2K[X], de grad cel putin 2 este ireductibil peste K, atunci el
nu are r ad acini in K. ^Intr-adev ar , dac a f ar avea elementul inK r ad acin a, atunci
f se divide cu X si am putea scrie f= (X)g, deci f nu ar  ireductibil.
3. Dac a polinomul f2K[X] are gradul 2 sau 3  si nu admite r ad acini in K , atunci el
este polinom ireductibil peste K. ^Intr-adevar, dac a f ar  reductibil peste K, atunci
el s-ar scrie sub forma f=gh, unde g sau h ar avea gradul 1. Dac a g=aX+b,
atuncig(ba1) = 0  si se contrazice ipoteza c a f nu are r ad acini in K.
Observ am c a descompunerea^ n factori ireductibili depinde de corpul K^ n care polinomul
are coecient ii.
Cazul K=C Fief2C[X] un polinom nenul de grad n , n2N. Dac an > 1,
din teorema fundamental a a algebrei rezult a c a f are cel put in o r ad acin a 2C, iar din
teorema lui Bezout se obt ine c a f se divide cu polinomul g+X2C[X], A sadar f nu
este ireductibil pentru n>1.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
^In concluzie, un polinom nenul f2C[X] este ireductibil peste C dac a  si numai dac a
are gradul 1.
Cazul K=R Dac af2R[X] este un polinom nenul, el este ireductibil numai ^ n
urm atoarele dou a cazuri:
f are gradul 1;
f are gradul 2  si nu are r ad acini reale
Obt inem c a orice polinom f2R[X] de grad n, n >2, este polinom reductibil peste R,
deci el se poate scrie ca produs de polinoame de grad cel put in 1.
Cazul K=Q si K=Zp, p prim ^In inelele de polinoame Q[X] siZp[X] exist a
polinoame ireductibile de orice grad n n2N. De exemplu f=Xn22Q[X]
este ireductibil peste Q.
1.5.4 Descompunerea polinoamelor ^ n factori ireductibili
Problema descompunerii unui polinom^ n factori ireductibili este de o mare important  a
^ n matematic a. Cu ajutorul descompunerii polinoamelor se pot determina cu u surint a
r ad acinile unui polinom.
Teorema 1.5.2. Fie K un corp comutativ si f2K[X]un polinom de grad n2N. Au
loc urm atoarele rezultate:
1. Polinomul f se descompune ^ ntr-un produs nit de polinoame ireductibile peste K.
2. Dac af=f1f2::::fm=g1g2::::gksunt dou a descompuneri ^ n produs de polinoame
ireductibile ale lui f, atunci m=k si exist a o permutare 2Smcu proprietatea c a
fig(i);i21;2;:::;m
Demonstrat ie: Folosim induct ia matematic a.
Dac an= 1, atunci f este ireductibil peste K si armat ia este adevarat a.
Presupunem n > 1 si ca armat ia este adevarat a pentru polinoamele de grad mai
mic dec^ at n. Dac a f este ireductibil peste K, atunci demonstrat ia este incheiat a. ^In caz
contrar, exist a g;h2K[X] astfel ^ nc^ at f=gh sigrad(g)<n;grad (h)<n. Din ipoteza
de induct ie, polinoamele g  si h se scriu ca produs de polinoame ireductibile peste K.
Teorema 1.5.3. Fief2C[X];f=anXn+an1Xn1+:::a1X+a0un polinom de grad
n2N
1. Dac a1;2;:::;n2Csunt r ad acinile polinomului atunci f=an(X1)(X
2):::(Xn).

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
2. Dac a1;2;:::;n2Csunt r ad acinile distincte ale polinomului f, cu multiplicitat ile
m1;M2;:::mk2Natunci :f=an(X1)m1(X2)m2:::(Xk)mk.
Demonstrat ie: Dac a12Ceste r ad acin a a lui f, atunci f se divide cu X1, deci
exist ag2C[X] astfel^ nc^ at f= (X1)g. Deoarece2este r ad acin a a polinomului
f, se observ a u sor c a trebuie s a e r ad acin a pentru g. A sadar g se divide cu X1.
Rezult a c a exist a g12C[X] cu proprietatea c a g= (X2)g1, iarf= (X
1)(X2)g1. Se continu a rat ionamentul pentru 3sig1;4sig2 si se obt ine ^ n
nal descompunerea dorit a.
Dac af2R[X] , atunci f poate  privit  si ca element al inelului C[X], deci el va avea
r ad acini complexe 1;2;:::; 32C
Fie1;2;:::;k2Rr ad acinile reale ale lui f. Atunci f se divide ^ n R[X] cu polinomul
g= (X1)m1(X2)m2:::(Xk)mk, undem1;m2;:::mk2Nsunt multiplicitat ile
r ad acinilor 1;2;:::;k. Rezult a c a f se scrie sub forma f=ghundeh2R[X]  si h nu
are r ad acini reale, ci numai r ad acini zk=ak+bki2CR. Dar, se observ a u sor c a dac a
h(zk) = 0, atunci  si h(zk) = 0  si astfel polinomul h se divide cu hk= (Xzk)(Xz2
k)2
R[X]
^In concluzie, polinomul f2R[X] va avea urm atoarele descompunei in polinoame
ireductibile:
f=an(X1)m1:::(X2)mk(X2+a1+b1)n1:::(X2+apX+bp)np
undem1;m2;:::;mk;n1;n2;:::;np2N si1;2;:::;k2Rsunt r ad acinile reale ale lui f,
iar polinoamele X2+asX+bs;s2f1;2;:::;pgnu au r ad acini reale.
1.6 Relat iile lui Vi ete
Fief2C[X];f=a2X2+a1X+a0un polinom de gradul al doilea. Dac a x1;x22C
sunt r ad acinile polinomului f, atunci acesta are descompunerea in factori ireductibili:
f=a0(Xx1)(Xx2);
. Efectu^ and produsul in relat ia obt inem c a:
f=a2X2a1(x1+x2)X+a0x1x2;

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Din identicarea celor dou a exprim ari ale polinomului f obt inem relat iile^ ntre r ad acinile
 si coecient ii acestuia:
(
x1+x2=a2
a0
x1x2=a1
a0(8)
(relat iile lui Vi ete pentru un polinom de gradul 2)
Pentru un polinom de gradul trei , f2C[X];f=a3X3+a2X2+a1X+a0, avem
descompunerea in factori ireductibili f=a3(Xx1)(Xx2)(Xx3), undex1;x2;x32C
sunt r ad acinile polinomului.
Din egalitatea a3X3+a2X2+a1X+a0=a3(Xx1)(Xx2)(Xx3) se obt ine c a:
a3X3+a2X2+a1X+a0=a3X3a2(x1+x2+x3)X2+a1(x1x2+x1x3+x2x3)Xa0x1x2x3
Din identicarea coecient ilor se obt ine:
8
>><
>>:x1+x2+x3=a2
a3
x1x2+x1x3+x2x3=a1
a3
x1x2x3=a0
a3(9)
numite relat iile lui Vi ete pentru polinomul de gradul 3.
Mai general, proced^ and ^ n mod analog pentru un polinom f2C[X];f=anXn+
an1Xn1+:::+a1X+a0se obt in relat iile lui Vi ete:
(S)8
>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>:s1=x1+x2+:::xn=an1
an
s2=x1x2+x1x3+:::+x1xn+x2x3+x2x3+:::+xn1xn=an2
an
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
sk=x1x2:::xk+x1x3:::xk+1+:::+xnk+1:::xn1zn= (1)kank
an
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
sn=x1x2:::xn= (1)na0
an(10)
Dup a cum se observ a, suma skeste suma tuturor produselor a k dintre r ad acinile
polinomului f. Rezult a c a suma skareCk
ntermeni.
Observat ii:
1. Pentru ecuat ia algebric a f(x) = 0 solut iile x1;x2;:::;xnsunt r ad acinile polinomului
f  si, astfel, veric a acela si sistem de relat ii ale lui Vi ete.
2. Relat iile lui Vi ete se pot scrie pentru un polinom f2K[X], de gradul n2N,

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
care are toate cele n r ad acini 1;2;:::nin corpul K. ^In caz contrar nu se pot scrie
relat iile lui Vi ete. Astfel polinomul f2Q[X];f=xn2;n > 1, nu are nici o
r ad acin a in Q, deci nu putem scrie sistemul (S) de relat ii ale lui Vi ete

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
2 Ecuat ii algebrice
Fie (K;+;
) un corp comutativ si f2K(X) un polinom de gradul n, n2N. O
ecuat ie de forma f(x) = 0 se nume ste ecuat ie algebric a de gradul n cu coecient i ^ n K
 si necunoscuta x. Daca f=a0+a1X+a2X2+:::+anXn2K[X], ecua tia algebrica de
gradul n are forma
anxn+an1xn1+:::+a1x+a0= 0 (11)
Numerelea0;a1;:::;an2Kse numesc coecient ii ecuat iei, iar n se nume ste gradul
ecuat iei. Elementul se nume ste solut ie a ecuat iei.
In legatur a cu ecuat iile algebrice sunt studiate c^ ateva probleme importante.
Existent a solut iilor in corpul K
Numarul solut iilor ecuat iei in corpul K
Existent a unor formule generale de rezolvare a ecuat iilor algebrice de diferite grade
^In urmatoarele sect iuni urm arim s a rezolv am cele trei probleme propuse.
2.1 Teorema fundamental a a algebrei
Existent a solut iilor unei ecuat ii intr-un corp K, este o problem a care a preocupat
matematicienii ^ nca din cele mai vechi timpuri. Consider am un polinom f=a0+a1X+
a2X2+:::+anXn2K[X]  si funct ia polinomial a asociat a polinomului f, ff:K!K
Propriet at i
Propozitie 2.1. Dac aa0= 0, atunci oricare ar  numvarul  >0, exist a un num ar
;(0<  < 1)astfel ^ nc^ at s a avem jff(x)j<  pentru orice num ar x care satisface
condit iajxj<
Demonstrat ie. Deoarece
ff=n1X
k=0akxnk
rezult a c a
jff(x)j=jn1X
k=0akxnkjn1X
k=0jakxnkj=n1X
k=0jakjjxnkj
sau
jff(x)j max
0kn1jakj
n1X
k=0jxjk

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
 si cum
n1X
k=0jxjk=jxjjxjn+1
1jxj
(ind vorba despre suma termenilor unei progresii geometrice) . Daca not am cu M=
Max 0kn1jakj si t inem seama c a pentru jxj<1 vom avea
jff(x)jMjxjjxjn+1
1jxj<Mjxj
1jxj
Deoarece condit ia jff(x)j<este satisfacuta daca luam
mjxj
1jxj<
rezulta ca, in fapt , trebuie sa avem
jxj
1jxj<
M;jxj<
M+
Atunci, numarul a carui existent a vrem s-o punem in evident a este:
=
M+
si se vede c a 0 << 1
Aceasta proprietate ne ajut a s a d am urm atoarea consecint  a:
Propozitie 2.2 (Consecint a) .. Fief2C[X]six02Cxat. Atunci, oricare ar
>0, exist a 0<< 1astfel ^ nc^ at pentru orice h2Ccujhj<avem
jff(x0+h)ff(x0)j<
Intuitiv, aceast a consecint  a exprim a faptul ca funct ia ffse bucur a de proprietatea
c a, dac ax02Ceste un num ar xat atunci, num arul
jff(x0+h)ff(x0)j
poate  oric^ at de mic, dac a jhjeste sucient de mic.
Propozitie 2.3. Oricare ar  num arul pozitiv M, exist a num arul pozitiv N astfel c a,
dac ajxj>N , atuncijff(x)>Mj

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Demonstrat ie. observ am mai ^ ntai c a avem:
jnX
k=1akxnkjMax 1knjakj
nX
k=1jxjnk(12)
de unde , consider^ and jxj>1  si not^ and M1=Max 1knjakjavem
jnX
k=1akxnkjM1jxjn1
jxj1<M 1jxjn
jxj1
. Atunci rezult a, conform unei proprietat i cunoscute modulului c a
jff(x)j=jnX
k=0akxnkj=ja0xn+nX
k=1akxnkjja0xnjjnX
k=1akxnkj
iar, ^ n baza celor de mai ^ nainte, vom avea
jff(x)jja0j
jxjnM1jxjn
jxj1
. Ar at am acum c a se poate alege un numar M2astfel ^ nc^ at s a avem
ja0j
jxjnM1jxjn
jxj1>M 2
jxjn
.^Intr-adevat, aceasta implic a
ja0jM1
jxj1>M 2
de undejxj>1 +M1
ja0jM2condit ie evident satisf acut a, deoarece prin ipotez a jxjeste
sucient de mare.
Atunci, condit ia jff(x)j> M va  satisf acut a dac a M2
jxjn> M ceea ce revine la
jxj>nq
M
M2.
Va trebui s a lu am N=Maxf1 +M1
ja0jM2;nq
M
M2g.
Intuitiv , proprietatea 2 ne spune, c a num arul jff(x)jpoate  oric^ at de mare, dac anum arul
jxjeste sucient de mare. Dac a ff:R!Raceasta inseamn a c a limjff(x)j=1
Teorema 2.1.1. O ecuat ie algebric a de grad cel putin 1 cu coecient i complecsi admite
cel putin o solut ie complex a.
Pentru a putea demonstra aceast a teorem a vom demonstra mai ^ nt^ ai urmatoarea
propozit ie.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Propozitie 2.4. Lema Dac a x=xo2Ceste un num ar care nu anuleaz a funct ia ff,
atunci exist a un num ar h2Castfel ^ nc^ at s a avem jff(x0+h)j<jff(x0)j.
Demonstratie. Fie dezvoltarea Taylor in x=xo
ff(xo+h) =ff(x0) +nX
k=1f(k)
fhk
k!
din care ^ n virtutea ipotezei ff(xo)6= 0, avem
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +nX
h=1f(k)
f(x0)
ff(x0)hk
k!
Deoarece num arul x=x0ar putea s a anuleze unele din derivatele f(k)
f(nu le poate anula
pe toate , deoarece se vede c a f(n)
f(x) =a0n!6= 0), consider am k=qordinul cel mai mic
al derivatei care nu se anuleaz a ^ n x=x0. Rezult a c a putem scrie
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +nX
h=qf(k)
f(x0)
ff(x0)hk
k!
sau
ff(x0+h)
ff(x0)= 1 +bqhq+nX
k=q+1bkhk
not^ andbk=f(k)
f(x0)
k!ff(x0)
Vom putea deci sa scriem
jff(x0+h)
ff(x0)jj1 +bqHqj+jnX
k=q+1bkhkj
 si cumf(q)
f(x0)6= 0 rezult a c a bq6= 0  si prin urmare avem
jnX
k=q+1bkhkj=jbqhqnqX
k=1bq+k
bqhqj=jbqhqjjnqX
k=1bq+k
bqj
A sadar
jff(x0+h)
ff(x0)j1 +bqhqj+jbqhqjjnqX
k=1bq+k
bqkkj
.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Numerelebqsi h ind complexe, num arul bqhqva  tot complex deci de forma
bqhq=jbqhqj(cos+isin)
unde= arg(bqhq)q= argbq+qargh si se vede c a dac a lu am =obt inembqhq=
jbqhqj.
Aceasta ^ nseamn a ca, dac a alegem num arul h2Castfel ca argumentl s au s a satisfac a
condit ia
argh=argbq
q
atunci numarul bqhqeste real negativ. Rezult a c a j1 +bqhqj=j1jbqhqjj.
S a mai observ am c a, potrivit proprietat ii 1, num arul
jnqX
k=1bq+k
bqhkj
poate  f acut oric^ at de mic dac a jhjeste sucient de mic; ^ n particular exist a numarul 1
astfel c a, dac ajhj<1atunci
nqX
k=1bq+k
bqhk;1
2
 si prin urmare
jff(x0+h)
ff(x0)j<j1jbqhqjj+1
2jbqhqj
.
Din mult imea numerelor h2Ccare satisfac cerint ele impuse anterior, adic a
argh=argbq
q;jhj<1
le vom alege in continuare pe cele pentru care jbqhqj<1 adic a pe cele pentru care, ^ n
plus, este satisf acut a  si condit ia
jhj<1
qp
jbqj
ceea ce face ca
j1jbqhqjj+1
2jbqhqj= 1jbqhqj+1
2jbqhqj= 11
2jbqhqj<1

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
.^In consecint  a, dac a num arul h2Ceste astfel c a
argh=argbq
q;jhj<min1;1
qp
jbqj
avem
jff(x0+h)
ff(x0)j<1
tocmai armat ia din lem a.
Pentru demonstrarea teoremei vom folosi lema anterioar a, precum  si urm atorul rezultat
privitor la funct iile de doua variabile (rezultat analog unei proprietat i cunoscute a funct iilor
reale de o variabil a real a  si continue): o funct ie denit a  si continu a pe o mult ime de puncte
din plan ^ nchis a  si m arginit a, ^  si atinge marginile pe aceasta.
Relu am funct ia polinomial a ff:D2C!Cunde D este domeniul plan m arginit de un
cerc C cu centrul in origine  si de raz a arbitrar a sucient de mare astfel ^ nc^ at s a avem
jff(x)j>janjpentru toate punctele x2C, lucru posibil datorit a propriet at ii 2); not am
x=u+iv;ak=k+ki
Atunci
ff(x) =nX
k=0akxnk=nX
k=0(k+ik)(u+iv)nk
ceea ce se poate scrie sub forma ff(x) =p(u;v) +iq(u;v) unde p  si q sunt funct ii reale
de dou a variabile reale, continue si prin urmare
jff(x)j=p
p2(u;v) +q2(u;v)
care , de asemenea este o funct ie de dou a variabile reale, continu a pe D.
Conform rezultatului ment ionat aceast a funct ie are un minim absolut ^ n acest domeniu
pe care ^ l atinge ^ ntr-un punct pe care ^ l not am cu x1. Acest punct este interior lui D,
deoarece ind un punct de minim avem
jff(x1)jjff(0)j=janj
 si prin modul cum am ales domeniul D, inegalitatea contrar a este valabil a numai pentru
punctele de pe cercul C.
Armam acum ca ff(x1) = 0. Intr-adevar, dac a presupinem ff(x1)6= 0 atunci
conform lemei, exista h2Castfel incat x+h2Dsi
jff(x1+h)j<jff(x1)j

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
ceea ce contrazice faptul ca x1este punctul in care ffisi atinge minimul. Cu aceast a
teorema este demonstrat a.
2.2 Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n Z
Fie
anxn+an1xn1+:::+a0= 0 (13)
ecuat ie algebric a de gradul n, cu coecient ii a0;a1;:::;an2Z. Pentru ecuat ia (13) se pot
determina solut iile ^ n Z  si Q pe baza urm atorului rezultat:
Teorema 2.2.1. Fieanxn+an1xn1+:::+a0= 0, ecuat ie algebric a de gradul n2N
cu coecient i ^ n Z.
Dac a2Zeste solut ie a ecuat iei, atunci dividea0
Dac a=p
g2Q;(p;q) = 1 este solut ie a ecuat iei, atunci p divide a0, iar q divide
an
Demonstrat ie. a) dac a2Zeste solut ie pentru ecuat ie, rezult a c a: ann+an1n1+
:::+a1+a0= 0 sau, altfel scris
(an1n2+:::+a1) =a0 (14)
Din relat ia (14) rezult a c a dividea0
b) dac a=p
q2Qeste solut ie a ecuat iei, rezult a c a an(p
q)n+an1(p
q)n1+:::+a1(p
q)+a0=
0 , egalitate care se poate scrie sub formele:
p(anpn1+an1pn2q+:::+a1qn1) =a0qn(15)
respectiv,
q(an1pn1+an2pn2q+:::+a0qn1) =anpn(16)
deoarece (p;q) = 1, se obt ine c a p divide a0 si q dividean
Teorema ofer a o modalitate simpl a de a determina solut iile 2Z, respectiv=p
q2
Qale unei ecuat ii algebrice cu coecient i numere ^ ntregi. Astfel:
solut iile2Zse caut a printre divizorii termenului liber a0

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Solut iile=p
q2Q;(p;q) = 1, se caut a printre numerele rat ionale de formap
q,
unde p este un divizor al termenului liber a0, iar q este un divizor al coecientului
dominantan.
^In cazul ^ n care termenii a0;an2Zau mai mul ^ti divizori, apar prea multe fract iip
q2
Qcare trebuie ^ ncercate dac a sunt solut ii. Vom ar ata unele modalit at i practice de
^ ndep artare a unora dintre aceste fract ii.
Fief2C[X], un polinom de gradul n2Ncu coecient ii ^ ntregi  si =p
q2
Q;(p;q) = 1 o r ad acina a sa. Rezult a c a polinomul f este divizibil cu Xp
q si
f= (Xp
q)C(X) sauf= (qXp)C1[X], undeC1este un polinom cu coecient i
in Z. Atunci vom obt ine : f(1) = (qp)C1(1)  sif(1) = (qp)C1(1) A sadar,
dac apqnu divide f(1) sau p+qnu divide f(-1), atuncip
q2Qnu este solut ie a
ecuat iei.
2.3 Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n Q
Fiea;b;c2Q, astfel ^ nc^ at b0;c> 0  sipc2RQ.
Numerele reale de forma u=a+bpcse numesc numere irat ionale p atratice.
Numarul irat ional u=abpcse nume ste conjugatul num arului u=a+bpc
Se observ a u sor c a oricare numar irat ional p atratic u=a+bpcse poate scrie sub
una din formele +psaupunde;2Q; > 0;p2RQ, av^ and ^ n vedere
introducerea sau scoaterea factorilor de sub radicali.
Folosind formula binomului lui Newton, rezult a c a dac a u=a+bpceste num ar
irat ional p atratic, atunci un= (a+p
b)n=an+pbnundean;bn2Q sibn>0;pbn2
RQ. A sadaruneste un numar irat ional p atratic. De asemenea se observ a c a un=
anpbn= (un)
Teorema 2.3.1. Fief2Q[X];f=anxn+an1xn1+:::+a0, un polinom de grad n,
n2N siu=a+bp
bnum ar irat ional p atratic. Dac a u este r ad acina a polinomului f,
atunci:
u=ap
beste r ad acina a lui f
u siuau acela si ordin de multiplicitate.
Demonstrat ie. a) Avem succesiv: f(u) =a0+a1(ap
b) +:::+an(ap
b)n=a0+
a1(1p1) +a2(2p2) +:::+an(npn) =a0+a1(1+p1) +a2(2+p
2) +

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
:::+an(n+pn) =f(u) = 0 deci ueste r ad acin a a polinomului f.
b) Fiem;m 12Nordinele de multiplicitate ale r ad acinilor u si  u. Polinomul f se scrie
f= (Xu)m(Xu)m1g; (17)
undeg2Q[X]  sig(u)6= 0;g(u6= 0
S a presupunem c a m<m 1. Atunci , din relat ia (17) se obt ine:
f= (X22aX+a2b)m(XU)m1mg= (X22aX+a2b)mh
Polinomulh= (Xu)m1mg2Q[X]  sih(u) = 0. Din punctul a) al teoremei se
obt ine c ah(u) = 0, deci ( uu)m1mg(u) = 0. Dar uu6= 0, deci este necesar c a
g(u) = 0, in contradict ie cu g(u)6= 0.
A sadar nu se poate ca m<m 1. Analog se arata c a nu are loc inegalitatea m1<m.
^In concluzie m=m1 si teorema este demonstrat a.
2.4 Ecuat ii algebrice cu coecient i in R
Teorema 2.4.1. Fief2R[X];f=anxn+an1xn1+:::+a0, un polinom de grad n,
n2Ndac az=a+bi2C,a;b2R;b6= 0 este r ad acina a polinomului f, atunci:
z=abieste r ad acina a lui f
z sizau acelasi ordin de multiplicitate.
Proof.
Observat ii: Fie f2C[x], un polinom cu coecient i reali de gradul n2N.
Polinomul f are un num ar par de r ad acini z2CQ.
Dac a n este impar, atunci polinomul f are cel put in o r ad acin a real a. Mai mult,
num arul de r ada acini reale este impar.
2.5 Rezolvarea unor ecuat ii algebrice particulare cu coecient i
reali
2.5.1 Ecuat ia de gradul I si II
Ecuat ia de gradul I are forma generala ax+b= 0;a6= 0 Solut ia acestei ecuat ii este
x=b
a

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Ecuat ia de gradul II are forma general a ax2+bx+c= 0;a6= 0a;b;c2RPentru a rezolva
aceast a ecuat i se calculeaz a discriminantul =b24acsi in functie de se determin a
solut iile
Dac a
>0 ecuat ia are doua solut ii reale x1;2=bp


2a
Dac a
= 0 ecuat ia are doua solut ii egale x1=x2=b
2a;
Dac a
<0 ecuat ia are doua solutii complexe x1;2=bip

2a
2.5.2 Ecuatia de gradul III
Ecuat ia de gradul 3 are forma general a:
a3x3+a2x2+a1x+a0= 0;a3;a2;a1;ao2R.
Dac aa36= 0 , se poate ^ mp art i prin a3, obt in^ and o ecuat ie echivalent a de forma:
x3+ax2+bx+c= 0
Substituim pe x cu ya
3 si obt inem ecuat ia
y3+y(ba2
3) + (2a3
27ab
3+c) = 0
Deci este sucient sa rezolv am ecuat ia: y3+px+q= 0
Formulele lui Cardano
Aceast a metod a este datorat a lui Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia
(1499-1557)  si Gerolamo Cardano(1501-1578)
Caut am solut ia ysub formay=u+v. Din egalitatea ( u+v)3=u3+v3+3uv(u+v) = 0
rezult a c a ( u+v)33uv(u+v)(u3+v3) = 0 adic a y33uvy(u3+v3) = 0. Atunci
avem: :(3uv=p
(u3+v3) =q)(uv=p
3
u3+v3=q)8
<
:u3v3=p3
27
u3+v3=q
u3siv3sunt r ad acinile ecuat iei z2+qzp3
27= 0 adic a
z1;2=q
2r
p3
27+q2
4
Fieu;v2Castfel^inc^ at u3=z1;v3=z2;uv=p
3, atunci solut iile c autate sunt:
x1=u+v;x 2="u+"2v;x 3="2u+"v
unde"6= 1 este o r ad acin a de ordinul 3 a unitat ii.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
2.5.3 Ecuat ia de gradul IV
Consider am ecuat ia cu coecient i complecsi cu solut iile y1;y2;y3;y42C
y4+ay3+cy2+dy+e= 0
Substituim pe ycuxa
4; rezult a c a este sucient de studiat ecuat ia de forma
x4+px2+qx+r= 0
Metoda rezolventei lui Lagrange (1736-1813)
C autam solu tia sub forma x=u+v+w. Observ am c a ( u+v+w)2=u2+v2+w2+
2(uv+uw+vw), adic a(u+v+w)2(u2+v2+w2) = 2(uv+uw+vw). Ridic^ and la
puterea a doua obt inem ( u+v+w)22(u+v+w)2(u2+v2+w2) + (u2+v2+w2)2=
4(u2w2+v2W2+u2v2) + 8uvw(u+v+w). Rezult a c a
x42(u2+v2+w2)x28uvwx2(u2v2+u2w2+v2w2) +u4+v4+w4= 0
deci 8
>>><
>>>:u2+v2+w2=p
2
u2v2+u2w2+v2w2=p24r
16
u2v2w2=q2
64(18)
rezult a c a r ad acinile acesteia sunt solut iile ecuat iei de gradul 3
z3+p
2z2+ (p24r
16)zq2
64= 0:
Fiez1;z2;z3r ad acinile acesteia,  si e
u=pz1;v=pz2;w=pz3
astfel^inc ^tuvw =q
8. Atunci
x1=u+v+w;x 2=uvw;x 3=uv+w

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
2.5.4 Ecuat ii bip atrate
O ecuat ie bipatrat a cu coecient i in C este o ecuat ie algebric a de forma az4+bz2+c=
0;a;b;c2C;a6= 0. Pentru rezolvare se parcurg urm atorii pa si:
se noteaz az2=y si se ob tine ecuat ia de gradul doi: ay2+by+c= 0 numit a ecuat ia
rezolventa a a ecuat iei bip atrate;
se rezolv a ecuat ia rezolvent a in multimea C obt in^ ndu-se solutiile y1;y22C;
se scriu  si se rezolv a ecuat iile z2=y1 siz2=y2, obt in^ andu-se solut iile z1;z2;z3;z4
ale ecuat iei bip atrate.
2.6 Ecuat ii binome
O ecuat ie binom a cu coecient i ^ n mult imea C este o ecuat ie algebric a de forma
zna= 0;unden2N;a2C (19)
. Scriind ecuat ia binom a (7) sub forma zn=a, rezolvarea ei se reduce la determinarea
r ad acinilor de ordinul n2Nale numarului complex a.
Dacaa=r(cost+isint ) este scrierea sub forma trigonometric a a numarului a, atunci se
obt ine:
zk=npr(cost+ 2k
n+isint+ 2k
n);k20;1;2;:::;n1;(2)
(r ad acinile complexe ale lui z2C)
Exemplu:

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
2.7 Ecuat ii reciproce
Polinomulf2K[X];f=a0xn+an1xn1+:::+an, de gradul n2Nse nume ste
polinom reciproc dac a ^ ntre coecient ii s ai exist a relat iile: ak=ank;k20;1;2;:::;n
Exemple: Polinoamele reciproce de gradul 1,2,3  si 4 au formele: f1=aX+a;f2=
aX2+bX+a;f3=aX3+bX2+bX+a, respectivf4=aX4+bX3+cX2+bX+a
Denit ,ie 2.7.1. :
Se nume ste ecuat ie algebric a reciproc a de gradul n2No ecuat ie de forma f(x) = 0 ,
undef2K[X]este un polinom reciproc de gradul n.
Forma particular a a polinoamelor (ecuat iilor) reciproce de gradul n conduce la cateva
observat ii generale:
Enunt am mai jos c^ ateva propriet at i generale pentru ecuat iile reciproce de gradul n:
Propozitie 2.5. Dac a ecuat ia reciproc a are r ad acin a , atunci ea are si r ad acin a1

Demonstrat ie. Dac aeste o r ad acin a , atunci rezult a c a:
ann+an1n1+:::+a22+a1+a0= 0 (20)
 si6= 0(= 0!a0= 0!an= 0 (contradict ie). Deci se poate imp art i cu nsi
obt inem:
an+an1(1
) +:::+a1(1
)n1+a0(1
)n= 0
darai=ani;0insi putem scrie:
an(1
) +an1(1
)n1+:::+a1(1
) +a0= 0
prin urmare1
r ad acin a.
Propozitie 2.6. Orice ecuat ie reciproc a de grad impar are r ad acina x=1.
Demonstrat ie. Fien= 2p+ 1. Not am f(x) =a2p+1x2p+1+a2px2p+:::+a2x2+a1x+a0
 si atunci:
f(1) =a2p+1(1)2p+1+:::+a2(1)2+a1(1) +a0=
=a2p+1+a2p:::+ap+1(1)p+1+ap(1)p+:::+a2a1+a0=
= (a0a2p+1)(a1a2p) +:::+ (1)p(apap+1)

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
darai=a2p+1i(0i2p+ 1). Rezult a c a f(1) = 0  si deci x=1 este r ad acin a
pentru ecuat ia reciproc a de grad impar
Propozitie 2.7. Orice ecuatie reciproc a de grad impar se reduce la rezolvarea ecuat iei
x+ 1 = 0 si a unei ecuat ii de grad par.
Demonstrat ie. Din P.2. rezult a c a x=1 este radacina a lui f. Conform teoremei lui
Bezout, avem ca f(x) = (x+ 1)g(x).
Fieg(x) =b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0. Avem:
a2p+1x2p+1+a2px2p+:::+a2x+a1x+a0= (x+ 1)(b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0)
Prin identicarea coecient ilor avem:
a2p+1=b2p;a2p=b2p+b2p1;a2p1=b2p1+b2p2;:::;a 2=b2+b1;a1=b1+b0;a0=b0:
Cumai=a2p+1i;(0i2p+ 1) rezult a c a b0=b2p.
Cumb2p+b2p1=b1+b0, rezult a c a b1=b2p1. Proced^ and la fel, din egalitat ile
anterioare rezult a c a bi=b2p1;0i2p.
Deci ecuat ia b2px2p+:::+b2x2+b1x+b0= 0 este reciproc a.
Propozitie 2.8. Orice ecuat ie reciproc a de grad par, n=2p, se reduce la rezolvarea unei
ecuat ii de grad p si a q ecuat ii de grad II.
Demonstrat ie. Fie ecuat ia reciproc a a2px2p+:::+a2x2+a1x+a0= 0;a2p6= 0^Imp art im
ecuat ia prin xp;x6= 0. Rezult a c a:
a2p(xp+1
xp) +a2p1(xp1+1
xp1) +:::+ap+1(x+1
x) +ap= 0 (21)
yk=xk+C1
kxk2+C2
kxk4+C3
kxk6+:::+C3
k1
xk6+C2
k1
xk4+C1
k1
xk2+1
xk, adic a:
yk= (xk+1
xk) +C1
k(xk2+1
xk2) +C2
k(xk4+1
xk4) +::::
Pentruk= 1;2;:::;p se gase stexk+1
xk^ n funct ie de y;y2;:::;yp1;yp.^Inlocuind valorile
g asite in ecuat ia (8) va rezulta o ecuat ie ^ n necunoscuta y, de gradul p, care va avea p
r ad aciniy1;y2;:::;yp.
Pentru a obt ine r ad acinile ecuat iei reciproce, se rezolv a cele p ecuat ii de forma x+1
x=
yi;i21;2;:::;p adic a de forma x2yix+ 1 = 0;i21;2;:::;p
Denit ,ie 2.7.2. Se numesc ecuat ii reciproce si ecuat iile de forma :
anxn+an1xn1+:::+a0

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
avand urm atoarea proprietate ai=ani8i= 1;n.
Dac a n=2p, din ai=a2pirezult a c aap=ap, deciap= 0. Prin urmare orice
ecuat ie de tipul ment ionat are ca r ad acina pe x= 1. Atunci conform teoremei lui Bezout
putem scrie
anxn+an1xn1+:::+a2x2+a1x+a0= (x1)(bn1xn1+:::+b2x2+b1x+b0)
sau:
anxn+an1xn1+:::+a2x2+a1x+a0=bn1xn+ (bn2bn1xn1+:::+ (b0b1)x+b0)
Prin identicarea coecient ilor avem: ap=bn1;an1=bn2bn1;:::;a 2=b1b2;a1=
b0b1;a0=b0
Cuma0=anrezult a c ab0=bn1, cuma1=an1rezult a c ab1=bn2 si cum
a2=an2rezult a c ab2=bn3. Continu^ and astfel, obtinem c a bi1=bni8i= 1;n, ceea
ce ne arat a c a ecuat ia bn1xn1+:::+b2x2+b1x+b0= 0 este o ecuat ie reciproc a.
Rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul 3
Ecuat ia reciproc a de gradul 3 cu coecient i in corpul C are forma : ax3+bx2+bx+a=
0. Ecuat ia se poate scrie succesiv: a(x3+ 1) +b(x+ 1) = 0 sau
(x+ 1)(ax2+ (ba)x+a) = 0 (22)
Forma de scriere (9) arat a ca ecuat ia are solut ia x1=1  si alte dou a solut ii date de
ecuat ia reciproc a de gradul 2: ax2+ (ba)x+a= 0
Rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul 4
Forma generala a ecuat iei reciproce de gradul 4 cu coecient i ^ ntregi este: az4+bz3+
cz2+bz+a= 0.
Se observa ca ecuat ia nu admite solut ia x= 0. pentru rezolvare se parcurg urmatorii
pa si:
se ^ mparte prin z2 si se obt ine: az2+bz+c+b
a+a
z2.
se grupeaza termenii care au coecient ii egali: a(z2+1
z2+b(z+1
z) +c= 0.
se noteaza z+1
z=y si rezult a c a z2+1
z2=y22. Se obt ine ecuat ia de gradul 2
in y :a(y22) +by+c= 0 sauay2+by+c2a= 0 numit a ecuat ia rezolvent a a

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
ecuat iei reciproce de gradul 4.
se rezolv a ecuat ia rezolvent a obt in^ andu-se solut iile y1;y22C
se rezolv a ecuat iile z+1
z=y1 siz+1
z=y1care se aduc la forma z2y1z+ 1 = 0 si
z2y2z+ 1 = 0. Rezult a astfel solut iile z1;z2;z2;z42Cale ecuat iei reciproce.
A sadar rezolvarea ecuat iei de gradul 4 se reduce la rezolvarea a trei ecuat ii de gradul 2.
Observat ii:
1. Dacaf2C[X], este un polinom reciproc de gradul n2N, n num ar impar, atunci
rezolvarea ecuat iei reciproce de gradul n se reduce la rezolvarea ecuat iei z+ 1 = 0  si a
unei ecuat ii reciproce de gradul n1
2. Dac af2C[X], este un polinom reciproc de gradul n;n= 2k, rezolvarea ecuat iei
reciproce ata sate se poate reduce la rezolvarea unei ecuat ii de gradul k cu necunoscut a
y=z+1
z si a k ecuat ii de gradul 2 date de ecuat iile z+1
z=yp;p21;2;:::;k .
3.^In cazul unei ecuat ii reciproce cu coecient i ^ ntr-un corp Kse procedeaz a in mod
analog
2.8 Aplicat ii
1. Se consider a ecuat ia x2px+q= 0, cux1;x2r ad acinile ecuat iei. S a se determine:
(a)x2
1+x2
2
(b)x3
1+x3
1
(c)1
x1+1
x2
Rezolvare: a) Conform relat iilor lui Vi ete avem:
(
x1+x2=a2
a0
x1x2=a1
a0(23)
) (
x1+x2=p
x1x2=q(24)
dar (x1+x2)2=x2
1+2x1x2+x2
2)x2
1+x2
2= (x1+x2)22x1x2)x2
1+x2
2=p22q
b) Deoarece x1este r ad acina a ecuat iei, obt inem c a x2
1px1+q= 0)x2
1=px1q
^ nmult ind relat ia cu x1obt inemx3
1=px2
1=qx1.
Repetam procedeul pentru x2 si obt inemx3
2=px2
2=qx2.^Insum^ and cele doua

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
relat ii vom avea x3
1+x3
2=p(x2
1+x2
2)q(x1+x2) de undex3
1+x3
2=p(p22q)qp
decix3
1+x3
2=p33pq.
c)1
x1+1
x2=x1+x2
x1x2=p
q.
2. Se consider a ecuat ia mx22(m2)x10m= 0;m2R
(a) Pentru ce valori ale lui m ecuat ia are r ad acini de semne contrare;
(b) S a se determine o relat ie independent a de m^ ntre r ad acinile ecuat iei. Cu
ajutorul acesteia s a se determine valoarea r adacinilor egale.
Rezolvare: a)(
0
P=x1x2<0)
8
<
:(m2)2+m(m+ 10)0
m+ 10
m<0(25)
) 8
<
:2m2+ 6m+ 40
m+ 10
m>0(26)
obt inem c a m2(1;10)[(0;1)
3. S a se rezolve ^ n C ecuat iile
(a) 2×43×22 = 0
(b)
Rezolvare:
a) Not amx2=y si obt inem o ecuat ie rezolventa de forma 2 y23y2 = 0 .
Rezolvam ecuat ia
= 9 + 16 = 25 >0 cu solut iile y1= 4  siy2=1.
De undex2= 4 decix1;2=2  six2=1 cu solut iile x3;4=ib)
4. S a se rezolve ^ n C ecuat ia:
(a)x3+ 125 = 0
(b)

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Rezolvare:
a)x3+ 125 = 0)x3=125 Consider am a=125;a=r(cost+isint)r=p
(125)2+ 02= 125 deci a= 125(cost+isint).
Deoarece cos t=1  si sint= 0 obt inem t=. Atunci r ad acinile complexe ale
ecuat iei sunt:
xk=3pr(cos+2k
3+isin+2k
3).
Pentuk= 0;x0= 5(cos
3+isin
3) = 5(1
2+p
3
2) =5(1+p
3)
2
Pentuk= 1;x1= 5(cos3
3+isin3
3) = 5
pentruk= 2;x2= 5(cos5
3+isin5
3) =5(1ip
3)
2
5. S a se rezolve ecuat iile reciproce in mult imea numerelor complexe:
(a) 2×35×25x+ 2 = 0
(b) 2×43×3+ 2×23x+ 2 = 0
Rezolvare:
a) Ecuat ia se poate scrie ( x+1)(2×27x+2) = 0 de unde obtinem solutia evidenta
x1=1 ( s)i rezolv^ and ecuat ia 2 x27x+ 2 = 0 obt inem
= 7216 = 33
decix2;3=7p
33
2
b) Ecuat ia 2 x43×3+ 2×23x+ 2 = 0 se ^ mparte la x2 si obt inem:
2×23x+ 23
x+2
x2= 0 , grup am convenabil si vom avea:
2(x2+1
x2)3(x+1
x) + 2 = 0 Not^ and x+1
x=tvom obt ine ( x+1
x)2=x2+1
x2+ 2x
decix2+1
x2= (x+1
x)22 adic ax2+1
x2=t22. Ecuat ia rezolvent a es,te
2(t22)3t+ 2 = 0 care devine 2 t23t2 = 0 cu solut iile t1= 4  sit2=1
Revenind la notat ie vom avea de rezolvat ecuat iile x+1
x= 4  six+1
x=1. Prima
ecuat ie devine: x24x+ 1 = 0 cu solut iile x1;2=4p
15
2
a doua ecuat ie devine x2+x+ 1 = 0 cu solut iile x3;4=1ip
3
2.
6. S a se rezolve ecuat ia 4 x4+ 14×34×226x+ 12 = 0,  stiind c a ^ ntre r ad acini exist a
relat iax1= 2×2.
Rezolvare:
^Imp artind ecuat ia la 2 obt inem o ecuat ie echivalenta 2 x4+ 7×32×213x+ 6 = 0
. Fiind o ecuat ie de gradul 4 cu coecient i ^ ntregi, ^ ncerc am s a c aut am r ad acinile
^ ntregi printre divizorii termenului liber D6=f1;2;3;6g. Obt inem prin
^ nlocuire r ad acinile x1=1,×2=2,×3= 1.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Folosind prima relat ie a lui Vi ete x1+x2+x3+x4=a4
a5adic ax1+x2+x3+x4=7
2
 si ^ nlocuind valorile obt inute vom avea 12 + 1 +x4=7
2adic ax4=3
2.
Observ am c a relat ia din problem a se veric a dar metoda folosit a ^ n rezolvarea
exercit iului nu depinde de relat ia dat a.
7. S a se formeze o ecuai e de gradul 3  stiind ca aimite radacinile x1= 2;x2= 2;x3= 3
.
Rezolvare:Folosind descompunerea polinoamelor in factori primi putem scrie cuai a
astfela(xx1)(xx2)(xx3) undea2Rdeci ecuat ia devine: a(x1)(x2)(x3) =
0 adic aa(x36×2+ 11x6) = 0,a2R
8. S a se arate c a ecuat ia x4+mx3+ (2m2+ 1)x2+nx+p= 0 nu pote avea toate
r ad acinile reale unde m;n;p2R.
Rezolvare: Calcul am suma p atratelor r ad acinilor ecuat iei init iale  si obt inem:
x2
1+x2
2+x2
3+x2
4= (x1+x2+x3+x4)22(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4) =
(m)22(2m2+ 1) =3m22<0;8m2R.
Presupun^ and c a ecuat ia ar admite doar r ad acini reale ar trebui ca x2
1+x2
2+x2
3+x2
4
0. Deoarece am demonstrat c a suma patratelor r ad acinilor ecuat iei x4+mx3+
(2m2+ 1)x2+nx+p= 0 este negativ a rezult a c a ecuat ia nu admite doar r ad acini
reale oricare ar  m;n;p2R.
9. Fie ecuat ia x42×3+x2+mx+n= 0.
(a) S a se determine m;n2Rastfel ^ nc^ at ecuat ia s a admit a r ad acin a pe x1=i.
(b) S a se determine r ad acinile ecuat iei, pentru m=2;n= 0.
Rezolvare:
Deoarece ecuat ia admite r ad acina complex a x1=i, vom obt ine:
i42i3+i2+mi+n= 0 de unde: 1 + 2 i1 +im+n= 0 decin+mi=2i,
deoarecem;n2Robt inemn= 0 sim=2.
b) Pentum=2;n= 0 ecuat ia devine x42×3+x22x= 0
Deoarece ecuat ia admite r ad acina complex a x1=iva admite ca r ad acin a  si pe
x2=i. Putem da factor comun pe xsi ecuat ia este: x(x32×2+x2) = 0 cu
r ad acinax3= 0 Folosindu-ne de prima relat ie a lui Vi ete x1+x2+x3+x4= 2 prin
^ nlocuirea r ad acinilor a
ate vom avea x4= 2

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Part II
3 Metode si strategii didactice de predare ^ nv at are
specice matematicii
Strategia didactic a a fost denit a ca un mod de combinare si organizare cronologic a
a ansamblurilor de metode si mijloace alese pentru atingerea anumitor obiective.
Strategia didactic a este un termen unicator, integrator care reune ste sarcinile de
^ nv at are, reprezent^ and un sistem complex si coerent de mijloace , metode, materiale  si
alte resurse educat ionale care urm aresc atingerea unor obiective. Ea este necesar a in orice
act pedagogic, ocup^ and un loc central ^ n cadrul activit at ii didactice, deoarece proiectarea
si organizarea lect iei se realizeaz a ^ n funct ie de decizia strategic a a profesorului. Ea este
conceput a ca un scenariu didactic complex, ^ n care sunt implicat i actorii pred arii^ nv at  arii,
condit iile realiz arii, obiectivele  si metodele vizate. Astfel, strategia pregureaz a traseul
metodic cel mai potrivit, cel mai logic  si mai ecient pentru abordarea unei situat ii
concrete de predare  si ^ nv at are. ^In acest fel , prin proiectarea didactic a se pot evita
erorile, riscurile si evenimentele nedorite din activitatea didactic a.
^In calitate de elemente factice, metodele sunt supuse strategiilor. Cu alte cuvinte,
strategia nu se confund a cu metoda sau cu metodologia didactic a, deoarece acestea din
urm a urm are ste o activitate de predare – ^ nv at are, i n timp ce strategia vizeaz a procesul
de instruire in ansamblu  si nu o secvent a a instruirii.
Principalele componente ale strategiei didactice sunt:
-sistemul formelor de organizare si desf a surare a activit at ii educat ionale;
-sistemul mijloacelor de ^ nv at am^ ant, respectiv a resurselor utilizate
-sistemul metodologic respectiv sistemul metodelor si procedeelor didactice.
-sistemul obiectivelor operat ionale. Caracteristicile strategiilor didactice sunt: implicarea
celui care ^ nvat a ^ n situat ii specice de ^ nv at are, rat ionalizarea  si adecvarea cont inutului
instruirii la particularitat ile psihoindividuale, creearea unor premise pentru manifestarea
optim a a interact iunilor dintre celelalte componente ale procesului de instruire, combinarea
contextual a, original a , unic a uneori a elementelor procesului instructiv-educativ.
Construirea unor strategii adecvate, intereselor copiilor  si nivelului de preg atire, reprezint a
din acest punct de vedere o provocare continu a  si un efort permanent de creativitate
didactic a din partea profesorului.
Dintre strategiile didactice mai importante ment ionam:
-strategii inductive, al caror demers didactic este de la particular la general.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
-strategii deductive, ce urmeaz a calea rat ionamentului invers fata de cele inductive,
pornind de la general la particular, de la legi sau principii la concretizarea lor in exemple;
– strategii analogice, ^ n cadrul carora predarea si ^ nv at area se desfa soar a cu ajutorul
modelelor;
– strategii transductive, cum sunt explicat iile prin metafore;
– strategii mixte: inductiv-deductive si deductiv-inductive;
– strategii algoritmice: explicativ-demonstrative, intuitive, expozitive, imitative, programate
si algoritmice propriu-zise;
– strategii euristice de elaborare a cuno stint elor prin efort propriu de g^ andire, folosind
problematizarea, descoperirea, modelarea, formularea de ipoteze, dialogul euristic, experimentul
de investigare, asaltul de idei, av^ and ca efect stimularea creativitat ii.
De cele mai multe ori profesorii folosesc strategiile mixte,^ mbinand armonios elementele
de dirijare  si independent  a, cu accent pe predare – ^ nv at are semidirijata.
Strategiile didactice sunt realizate cu ajutorul metodelor de predare si^ nv at are, informative
si activ-participative, de studiu individual, de vericare si evaluare.
3.1 Metode de predare ^ nv at are specice matematicii
3.2 Demonstrat ia matematica
Este o metoda de predare-^ nv atare specic a disciplinelor  stiint ice  si apare ca o forma
a demonstrat iei logice care const a ^ ntr-un  sir de rat ionamente prin care se veric a un
anumit adev ar, exprimat prin propozit ii.
Demonstrat ia matematic a este metod a specic a matematicii de justicare a teoremelor
si const a ^ n a arata c a, dac a ceea ce arm a ipoteza are loc, atunci concluzia rezult a din ea
^ n mod logic. Demonstrat ia se bazeaz a pe axiome sau pe teoreme demonstrate anterior.
Este important ca ^ n activitatea de predare-^ nv at are a teoremelor s a se t ina seama de
urm atoarele aspecte
S a se asigure insu sirea faptului matematic exprimat prin teoreme;
S a se identice clar ipoteza  si concluzia;
S a se transcrie in simboluri matematice ipoteza si concluzia (situatie des intalnita
si la rezolvarea problemelor de geometrie din generala);
Efectuarea demonstrat iei, utiliz^ and formele de scriere specice cu atent ionarea
necesar a efectu arii eventuale a dublei implicat ii pentru teoremele cu formularile:
"condit ia necesar a  si sucient a…", sau "dac a… si numai dac a…"

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Un dezavantaj al acestei metode este consumul mare de timp. ^Int elegerea demonstrat iei
matematice depinde foarte mult de nivelul de preg atire al elevilor.
Demonstrat ia matematic a prin analiz a  si sintez a
Demonstrat ia ^ n care se porne ste de la propozit ii generale spre propozit ii particulare
se nume ste demonstrat ie analitic a. ^In acest tip de demonstrat ie se porne ste de la ceea
ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adev arat. Propozit ia ce trebuie dovedit a c a
este adevarat a se ^ nlocuie ste cu propozit ii echivalente cu ea, p^ an a c^ and se ajunge la o
propozit ie cunoscut a, despre care se  stie c a este adevarat a.
Demonstrat ia^ n care se porne ste de la propozit ii particulare spre propozit ii generale se
nume ste demonstrat ie sintetic a. ^In acest tip de demonstrat ie se porne ste de la o propozit ie
care este cunoscut a ca adevarat a, din ea se deduc propozit ii despre care de asemenea  stim
c a sunt adevarate  si ultima este ceea ce trebuia demonstrata, rat ionamentele sunt legate
prin implicat ii adevarate.
Demonstrat ia matematic a poate  inclus a ^ n predare folosindu-ne de exercit ii cu
un nivel de dicultate mai ridicat. La Unitatea de ^ nv at are "Polinoame" elevul poate
demonstra sub ^ ndrumarea profesorului majoritatea teoremelor. ^ nt eleg^ and demonstrat ia
acestora rezolva mai u sor exercit iile propuse.
Exemplu de demonstratie sintetica aplicativ a:
S a se demonstreze ca polinomul f=X3+X2+X+ 1 nu are toate r ad acinile reale.
Se presupune ca polinomul admite radacini reale  si se calculeaz a suma p atratelor r ad acinilor
x2
1+x2
2+x2
3= 12 =1. Deoarece suma p atratelor r ad acinilor este num ar negativ,
obt inem c a polinomul nu poate avea toate r ad acinile reale.
Demonstrat ia matematic a prin reducere la absurd
Metoda reducerii la absurd este o metod a tradit ionala, veche, folosit a ^ nc a din cele
mai vechi timpuri, mai ales in geometrie.
La baza acestei metode sta una dintre legile fundamentale ale logicii clasice, care se
enunt  a astfel. Dintre dou a propozit ii contradictorii una obligatoriu este adevarat a, iar
cealalt a falsa. A treia posibilitate nu exist a.
^In practic a, se urm aresc urmatoarele etape:
se presupune ca ceea ce trebuie demonstrat este fals, adica se neag a concluzia
teoremei (propozit iei) date.
se fac o serie de deduct ii logice, care scot in evident a faptul ca presupunerea facut a
nu este posibil a si ram^ ane ca adev ar concluzia teoremei date.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
1
Exemplu:
Fie numerele a;b;c2Z. S a se demonstreze c a fx2Q=ax2+bx+c= 0g=;Folosim
metoda reducerii la absurd pentru a rezolva acest exercit iu:
Presupunem c a ecuat ia ax2+bx+c= 0 admite o r ad acin a rat ional a x0=m
n;m;n2
Z;n6= 0;(m;n) = 1
Condit ia ma m, n s a e prime ^ ntre ele exprim a ideea c a fract iam
nnu mai poate
simplicat a.
^Inlocuind in ecuat ie obt inem am2+bmn +cn2= 0
Distingem trei cazuri
m impar, n par deci am2impar,bmn parcn2par. Deci suma devine un num ar
impar diferit de 0. Contradict ie.
m par, n impar. Analog obt inem o contradict ie .
m par, n par nu se poate deoarece numerele sunt prime ^ ntre ele;
m impar, n impar. am2;bmn;cn2sunt impare. Deci  si suma lor va  impar a.
^In concluzie presupunerea f acut a este fals a.
Demonstrat ia prin induct ie matematic a
^In logic a, prin induct ie se ^ nt elege o form a de rat ionament ^ n care g^ andirea noastr a pleac a
dinspre particular spre general, sau de la cuno stint e cu un grad de generalitate mai mic
la cuno stint e cu un grad de cuno stint e mai mare.2
^In geometrie primele adev aruri au fost obt inute pe calea observat iei, deci calea induct iei.
De exemplu, la inceput, pe baza de experient e prin observat ii  si m asur atori, vechii egipteni
au stabilit raportul dintre lungimea cercului si diametrul s au.
^In procesul generaliz arii prin rat ionamentul inductiv se ^ nt^ alnesc dou a cazuri:
Se obt ine o concluzie general a despre o anumit a mult ime de obiecte de acela si fel
pe baza cercet arii tuturor elementelor ei.
Al doilea caz de generalizare pe cale inductiv a este acela ^ n care concluzia despre o
clas a de obiecte se obt ine pe baza studiului care nu cuprinde toate obiectele clasei
care se cerceteaz a . Acest fel de rat ionament se nume ste induct ie completa.
Exemplu
1Ardelean,L, Secelean.N,Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007,p78
2Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
3.3 Metode pedagogice tradit ionale de predare^ nv at are a matematicii
^ n  scoal a
Diversicarea metodelor de predare-^ nv at are, a modurilor  si formelor de organizare a
lect iilor  si a situat iilor de ^ nv at are, constituie cheia schimb arilor pe care le preconizeaza
noul curriculum. Asigurarea unor situat ii de ^ nv at are multiple creeaz a premise pentru ca
elevii s a poate valorica propriile abilit ati de ^ nv at are.
Principalele metode didactice folosite de profesorii de matematica in predare-^ nv at are
a matematicii ^ n  scoal a sunt:
expunerea sistematica a cuno stintelor;
metoda conversat iei;
metoda exercit iului;
metoda muncii cu manualul  s a culegerile de probleme;
problematizarea  si ^ nv at area prin descoperire;
modelarea matematic a;
metoda ^ nv at  arii pe grupe;
^ nv at area prin cooperare;
algoritmizarea
instruirea programata;
metode de^ nv at are activ-participative: brainstorming, metoda mozaicului, investigat ia,
proiectul, experimentul, jocul de rol;
metode de dezvoltare a creativit at ii specice matematicii.
Dintre metodele enumerate se disting metodele tradit ionale precum expunerea, sistematizarea
cuno stint elor, metoda conversat iei, metoda exercit iului, metoda muncii cu manualul;
cele numite metode moderne: problematizarea  si ^ nv at area prin descoperire, modelarea,
metoda^ nv at  arii pe grupe,^ nv at area prin coooperare, algoritmizarea, instruirea programat a;
iar de actualitate metodele de ^ nv at are activ-participative  si interactive.
Desigur c a,^ n cadrul diferitelor tipuri de lect ii la matematic a, se realizeaz a o combinare
a metodelor tradit ionale cu cele moderne  si se recomand a alternarea lor cu metodele

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
participative si interactive de ^ nv at are respectiv cu metodele de dezvoltare a creativit at ii
elevilor.3,p69)
3.3.1 Expunerea sistematic a a cuno stint elor
Este metoda care se prezint a^ n mai multe variante: povestirea , prelegerea si explicat ia.
Povestirea este mai putin folosit a ^ n matematic a.
Povestirea const a in descrierea unor fapte, evenimente sau ^ ntamplari. La matematic a
prin povestire se pot transmite date istorice legate de studiul unei discipline noi (de
exemplu despre intemeietorii algebrei moderne Galois. E, Abel, N, D'Alambert la^ nceputul
pred arii polinoamelor)sau in prima lectie din cadrul unitat ii de ^ nv at are. Povestirea are
un impact pozitiv asupra asimilarii ulterioare a cuno stiint elor de catre elevi deoarece
"umanizeaza" disciplina at^ at de  stiint ic a precum matematica.
Prelegerea const a ^ n prezentarea de c atre profesor a unui cont inut matematic ^ n mod
ne^ ntrerupt. Se prezint a denit ii, teoreme, propriet at i , demonstrat ii, algoritmi f ar a ca
elevii s a interact ioneze cu profesorul. Se utilizeaz a aceast a metod a la clasele terminale de
liceu, c^ and elevii au o putere mare de concentrare. Utilizarea ei abuziva la clase de elevi
medii^ ndep arteaz a elevul de cuno sterea matematic a, par andui-se inaccesibila.Alternarea
acestei metode cu o metod a cu metode activ-participative cre ste nivelul de ^ nt elegere a
cont inutului predat (explicat)
Explicat ia const a ^ n transmiterea unor cuno stinte ^ ntr-un timp relativ scurt de c atre
profesor, ^ n situat ii c^ and elevul, pe baza cuno stint elor anterior ^ nsu site, nu le poate
descoperi singur. Este o metod a des ^ nt alnit a ^ n predarea matematicii. Profesorul expune
logic  si argumentat modul de g^ andire iar elevii ^ l urm aresc caut^ and sa ^ nt eleag a. Este
necesar a prezentarea de c atre profesor a cont inutului la nivelul de ^ nt elegere a elevilor.
Modul ^ n care s e face explicat ia s a e clar  si cu anumite pauze. Profesorul trebuie s a
controleze limbajul non-verbal (mimica, gesturile) elevilor, s a pun a ^ ntreb ari pentru a
observa dac a este urm arit de elevi.
Explicat ia trebuie s a dezvolte la elevi imaginat ia, s a e clara  si conving atoare.
3.3.2 Metoda conversat iei
Aceast a metod a const a ^ n dialogul dintre profesor  si elev  si se bazeaz a pe ^ ntreb ari
 si r aspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adreseaz a ^ ntreb ari elevilor dar
 si r aspunde ^ ntreb arilor acestora. Stimuleaz a g^ andirea elevilor ^ n vederea ^ nsu sirii de
3Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
cuno stint e noi sau sistematizarea cuno stint elor  si deprinderilor dob^ andite anterior. Conversat ia
ajut a la formarea rat ionamentului matematic la elevi.
Exist a mai multe clasicari ale conversat iei:
Dup a num arul de elevi c arora li se adreseaz a^ ntrebarea, conversat ia este: individual a
(^ ntre profesor si elev); frontal a (^ ntreb arile se adreseaz a^ ntregii clase, iar r aspunsurile
vin de la elevi diferit i).
Dup a momentul ^ n lect ie conversat ia poate : introductiv a (folosit a ^ n momentele
capt arii atent iei  si reactualiz arii cuno stint elor anterioare); folosit a^ n scopul transmiterii
de cuno stint e noi (folosit a ^ n evenimentul de dirijare a ^ nv at  arii); folosit a pentru
xarea noilor cuno stint e; folosit a pentru recapitulare; folosit a ^ n procesul evalu arii
cuno stint elor elevilor
Dup a tipul de rat ionament efectuat de elev c^ and d a r aspunsul, se deosebesc conversat ia
: euristic a (c^ and ^ ntreb arile se adreseaz a g andirii  si o dirijeaz a spre efectuarea de
rat ionamente , judec at i), catehetic a (c^ and ^ ntreb arile se adreseaz a memoriei iar
r aspunsurile sunt reproduceri de denit ii, formule, reguli)
Este important ca ^ ntreb arile formulate sa e precise, s a vizeze un singur r aspuns  si
s a nu cont in a r aspunsul, s a contribuie la dezvoltarea g^ andirii. Se dezvolt a limbajul  si
puterea de comunicare a elevilor ^ n timpul conversat iei.
3.3.3 Metoda exercit iului
Exercit iul presupune efectuarea con stient a  si repetat a a unor operat ii sau act iuni
mintale ^ n vederea form arii de priceperi  si deprinderi, pentru dezvoltarea unor capacit at i
intelectuale  si acestea ^ n scopul ^ nv at  arii matematicii.
Evaluarea performant ei se realizeaz a tot prin exercit ii.
^In rezolvarea exercit iilor se recomand a urmatoarele etape.
familiarizarea de catre elevi cu enunt ul exercit iului;
^ nt elegerea exercit iului de c atre elevi;
rezolvarea propriu-zis a a exercit iului;
vericarea rezultatului obt inut

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Prin metoda exercit iului se urmare ste , sa se dea modele de rezolv ari care ulterior s a-l
determine pe elev s a rezolve at^ at exercit iile de tipurile prezentate c^ at  si descoperirea unor
metode sau algoritmi.
Formele de organizare a activit at ii pe metoda exercit iului sunt variate. Elevii pot
lucra independent sau frontal, exercit iile pot avea un nivel de dicultate diferit sau nu.
Exemplu:
Putem folosi aceast a metod a la determinarea c^ atului  si a restului ^ mp art irii a dou a
polinoame, folosirea schemei lui Horner, la utilizarea relat iilor lui Viete pentru determinarea
r ad acinilor unei ecuat ii algebrice.
3.3.4 Metoda muncii cu manualul  si cu alte auxiliare matematice
Metoda muncii cu manualul este o form a de munc a independent a utilizata ^ n scopul
studierii  si asimil arii de noi cuno stint e matematice. ^In acela si scop se folosesc culegeri
de probleme, teste de matematic a,  se de lucru. Manualul este principalul material
bibliograc al elevului  si ar trebui s a constituie un ghid pentru preg atirea profesorului
pentru lect ie. Pentru elev manualul  scolar cont ine cantitatea de informat ie necesar a
nivelului sau de ^ nv at are obligatorie.
^Inv at area din manual presupune un efort propriu din partea elevului ^ n a dezlega o
problema, ^ n a aborda subiecte complementare celor folosite de profesor^ n clas a. Folosirea
manualului ajut a la ^ nt elegerea limbajului matematic scris pe langa cel simbolic. Studiul
individual st a la baza perfect ion arii, formeaz a la elevi abilit ati de comunicare scris a
^ n specialitatea respectiv a. Prin aceasta metod a se realizeaz a unul dintre obiectivele
fundamentale ale matematicii: de a-l ^ nv at a cum s a ^ nvet e.4
3.4 Metode pedagogice moderne de predare -^ nv at are a matematicii
^ n  scoal a
3.4.1 Problematizarea
Situat iile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin activitatea sa
s a g asesc a denit ia unei not iuni, enunt ul unei propozit ii matematice, un algoritm de
calcul sau o nou a metod a de rezolvare a unei probleme. ^In predarea problematizata
profesorul, d a posibilitatea elevului s a asimileze prin exercit ii ni ste scheme fundamentale
4Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007, p.85

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
de abstractizare, de conceptualizare, de rat ionament  si interpretarea. Acestea sunt situat ii
problem a.
Situat iile problem a sunt de felul urm ator:
dezacord(con
ict, contradict ie)^ ntre cuno stint ele anterioare ale elevului  si condit iile
noi de rezolvare de probleme;
selectarea de cuno stint e anterioare a acelora cu valoare operat ional a, adic a elevul
este pus^ n fat a unei contradict ii^ ntre modul de rezolvare posibil din punct de vedere
teoretic  si imposibilitatea lui de aplicare practic a;
^ ncadrarea cuno stint elor anterioare ^ ntr-un sistem, con stientizarea c a acest sistem
nu este ^ ntotdeauna operat ional  si de aici necesitatea complet arii lui.
^In predarea-^ nv at area matematicii prin problematizare, profesorul are ca scop principal
s a-i fac a pe elevi s a g^ andeasc a. Mijlocul ^ l reprezint a rezolvarea problemelor care cer un
anumit grad de creat ie de c atre elevi. Problemele trebuie s a aiba sens, s a t in a seama de
cuno stint ele anterioare ale elevului, s a e adresate ^ n momentul oportun din punctul de
vedere al elevului, s a trezeasc a interesul  si s a solicite efort din partea elevului.
Etapele de rezolvare a unei situat ii-problem a sunt: prezentarea situat iei problem a de
c atre profesor, denirea problemei de c atre elev, formularea de ipoteze de c atre elev care
pot  aplicate ^ n vederea unei solut ii, realizarea veric arii ipotezelor p^ an a c^ and se g ase ste
una care conduce la solut ia corect a.
Prin aplicarea^ n predare a problematiz arii, rezultatul nal este^ ntotdeauna descoperirea
solut iilor de c atre elev a problemei propuse.5
Exemplu:
3.4.2 ^Inv at area prin descoperire
Descoperirea ca mijloc de predare-^ nv at are, constituie o parte a preocup arii didacticii
moderne. G asirea unor solut ii ^ n diferite probleme concrete presupune o activitate de
descoperire. Elevii pot descoperii o formula, o not iune, un principiu, o regul a, o denit ie
sau teorem a. Elevii descoper a informat ii deja cunoscute, deci de fapt descoperirea de
tip didactic este o redescoperire. ^Inv at area prin descoperire se confund a cu metoda
problematiz ari, diferent a este c a elevii trebuie s a descopere prin analiza solut ii posibile la
situat ia problem a. ^Inv at area prin descoperire se poate realiza: independent, atunci c^ and
elevul desf a soar a ^ ntreaga activitate iar profesorul doar urmare ste desf a surarea acesteia
sau dirijat, atunci c^ and profesorul coordoneaz a ^ ntreaga activitate.
5Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007, p.93

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Metoda descoperirii dirijate este folosit a des ^ n cadrul orelor de matematic a atunci
c^ and dirijarea de c atre profesor a activit at ii elevului se realizeaz a ^ ntr-o mic a m asur a.
Elevii prin efort personal, prin analiz a, sintez a, induct ie, generalizare, analogie sunt l asat i
s a descopere o teorem a, o demonstrat ie, un algoritm de calcul.
Exemplu:
S a se determine restul ^ mp art irii polinomului f=X3+ 2X26X+ 1 la polinomul
g=x2. Generalizat i rezolvarea. Elevii a
^ andu-se in fat a unei situat ii- problem a pot
efectua ^ mp art irea sau pot folosi teorema ^ mp art irii cu rest pentru determinarea restului
^ mp art irii. Profesorul insist a s a se utilizeze teorema ^ mp art irii cu rest.
Se obt inef=g
q+r;grad (r)<grad (g) decif= (x2)q+rprin calcularea valorii
polinomului f in 2 se obt ine f(2) =rdeci r=9. Prin generalizarea acestei probleme se
obt ine exact demonstrat ia teoremei restului.
3.4.3 Modelarea matematica
Modelarea matematic a este o metod a pedagogic a prin care g^ andirea elevului este
condus a la descoperirea solut iei cu ajutorul modelului, av^ and la baza rat ionamentul prin
analogie.
Modelele pot  clasicate in :
modele materiale care se folosesc sub forma de machete, dar pot   si ilustrate ^ n
lm, tv, video sau softuri pentru computere;
modele ideale: grace, logice, matematice6
3.4.4 Metoda ^ nv at  arii pe grupe
Metoda ^ nv at  arii pe grupe const a ^ n ^ mp art irea colectivului de elevi al unei clase ^ n
grupe omogene sau eterogene  si elevii din grupele formate rezolv a sarcini de lucru ^ n
comun. Prin munca in grup se urmare ste pe langa educarea elevului ^ n spiritul muncii
sociale  si dezvoltarea capacitat ilor intelectuale individuale, cre sterea stimei de sine a
elevului .
Se utilizeaz a din ce in ce mai mult aceast a metod a aduc^ and efecte benece asupra
form arii grupului de elevi, dezvoltarea cooper arii, negocierii, analizei. Criteriile de formare
sunt: omogenitatea, eterogenitatea, criteriul afectiv. Grupele omogene contin elevi de
acelasi nivel de pregatire, cele eterogene sunt formate din elevi de toete categoriile iar
6Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007,p.118

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
cele alc atuite pe criteriul afectiv sunt bazate pe prietenii, vecinatatea in banca sau de
domiciliu, preocup ari comune.
Num arul de elevi dintr-un grup ia valor de la 2 la 10, randamentul maxim este oferit
^ n general de grupurile de 4-6 elevi.
Activitatea pe grupe presupune urm atoarele etape:
repartizarea materialului pe grupe;
munca independenta a grupului;
discut ia ^ n comun a rezultatelor
. Sarcinile de lucru pot s a difere in funct ie de tipul grupelor: la grupe omogene se vor
repartiza sarcini corespunzatoare nivelului de omogenitate, in celelalte cazuri se pot da
sarcini echivalente tuturor grupelor cu sarcini suplimentare pentru polii grupului.
La sf^ ar situl activit at ii solut iile se prezint a pe tabl a sau pe postere, se poart a discut ii
privind corectitudinea variantelor de rezolvare. Rolul profesorului este de a urm ari  si de
a ^ ndruma modul ^ n care grupurile de elevi ^  si ^ ndeplinesc sarcinile, precum  si discutii in
scopul dezvoltarii de rationamente matematice.
3.4.5 Algoritmizarea
Este o metoda folosit a frecvent ^ n cadrul orelor de matematic a. Algoritmizarea
presupune existent a unor scheme logice care s a permit a rezolvarea unor sarcini de lucru.
Algoritmizarea reprezint a o metod a didactic a de^ nv at  am^ ant care angajeaza un lant  de
exercit ii dirijate, la nivelul unei scheme de act iune didactic a standardizat a, care urmare ste
^ ndeplinirea unor sarcini de instruire ^ n limitele demersului prescris de profesor.7
Exemplu
Transpunerea procedurii de rezolvare a ecuat iei de gradul al doilea ^ ntr-un algoritm a
c arui schema logica este: Ecuat ia de gradul II are forma general a ax2+bx+c= 0;a6=
0a;b;c2RPentru a rezolva aceast a ecuat i se calculeaz a discriminantul =b24acsi in
functie dese determin a solut iile
Dac a
>0 ecuat ia are doua solut ii reale x1;2=bp


2a
Dac a
= 0 ecuat ia are doua solut ii egale x1=x2=b
2a;
Dac a
<0 ecuat ia are doua solut ii complexe x1;2=bip

2a
7Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007,p.132

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
3.4.6 Instruirea programat a
Instruirea programat a reprezint a o metod a de ^ nv at  am^ ant care organizeaz a actiunea
didactic a aplic^ and criteriile ciberneticii la nivelul activitat ii de predare-^ nv at are-evaluare,
conceputa ca un sistem dinamic si complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente si
interrelat ii . C^ ateva tr as atui ale instuirii programate sunt:
Materialul de ^ nv a are este transmis ^ ntr-un mod care-l oblig a pe elev la o activitate
permanent a
Materia este astfel programat a ^ nc^ at s a nu cuprind a obstacole,
Ritmul ^ nv at t arii depinde doar de elev, deoarece elevii lucreaz a individual;
Controlul este integral constituind o parte a ^ nv at  arii. Elevul nu poate continua
procesul de ^ nv at are dac a nu  si-a ^ nsu sit materia8
Un dezavantaj al acestei metode este c a priceperea de aplicare a cuno stint elor este mai
mic a.
3.4.7 Softuri educat ionale
Softurile educat ionale sunt de asemenea metode didactice folosite ^ n procesul pred arii
^ nv at  arii matematicii. Sunt programe interactive prin care exersarea se face nu numai prin
exercit ii  si probleme ci  si prin jocuri educat ionale interactive. Cont in module de predare
care ajut a elevul sa- si reaminteasc a lect ia predat a ^ n clas a. Cont in teste pe nivele de
dicultate, respectiv sinteze la sf^ arsit de capitol. Aceste softuri educat ionale sunt ideale
pentru preg atirea evalu arii la sf^ ar situl unit at ii de^ nv at are. Ele asociaz a not iunile teoretice
cu elementele din viat a real a, sunt atractive pentru elevi dob^ andind astfel ^ ntr-un mod
pl acut not iuni de matematic a.
Exemple de softuri educat ionale:
Geogebra(pentru geometrie).
3.5 Metode activ-participative utilizate^ n lect iile de matematic a
^In ultimul deceniu s-a pus mare accent pe utilizarea metodelor activ-participative ^ n
procesul de predare-^ nv at are. Unul dintre motivele folosirii preponderent a acestor metode
este c a ele implic a elevul ^ n timpul orelor de curs mai mult dec ^t metodele tradit ionale.
8Okon, W, ^Inv at  am^ antul problematizat ^ n  scoala contemporan a, EDP,Bucure sti,1978, p.58

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Cerint ele educat ionale ^ n momentul de fat a sunt de a dezvolta la elevi anumite atitudini
 si aptitudini care s a implice cooperarea, adaptarea la anumite situat ii. Toate acestea se
pot dezvolta transform^ and elevul din spectator ^ n timpul orei ^ ntr-un actor interesat de
propria dezvoltare.
3.5.1 Investigat ia
Investigat ia ofer a posibilitatea elevului de a aplica ^ n mod creativ cuno stint ele insu site
^ n situat ii noi si variate.Elevul prime ste ni ste sarcini de lucru pe care trebuie s ale^ nt eleag a
foarte bine ^ nainte de a trece la rezolvarea propriu zis a. Cu ajutorul acestei metode elevul
utilizeaz a s si exerseaz a, o gam a larg a de cuno stint e  si capacit at i ^ n situat ii variate.
Investigat ia ofer a elevului posibilitatea de a se implica activ ^ n procesul de ^ nv at are.
^Incurajeaz a  si dezvolt a init iativa elevilor pentru luarea deciziilor, ajut a elevii s a ^ nt eleag a
mai profund a elementele studiate, motiveaz a elevii s a realizeze activit at ile propuse.
Prin realizarea unei investigat ii pot  urm arite urmatoarele elemente esent iale:
^ nt elegerea  si claricarea sarcinii de lucru;
identicarea procedeelor pentru obt inerea informat iilor necesare;
colectarea  si organizarea datelor sau informat iilor necesare;
formularea  si testarea unor ipoteze de lucru;
schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, dac a este
necesar;
colectarea altor date, dac a este necesar;
motivarea opt iunii pentru anumite metode folosite in investigat ie;
scrierea /prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigat iei
Sunt trei etape esent iale care trebuie parcurse ^ n cadrul metodei:
denirea problemei;
alegerea metodei/metodologiei adecvate;
identicarea solut iilor.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Sarcinile de lucru adresate de catre profesor ^ n realizarea unei investigat ii pot varia ca
nivel de complexitate a cuno stintelor  si competent elor implicate9Un exemplu de utilizare
a investigat iei ^ n cadrul "Ecuat iilor algebrice" este: Determinarea r ad acinilor ^ ntregi ale
unei ecuat ii cu coecient i reali.
3.5.2 Proiectul
Metoda proiectului^ nseamn a realizarea unui produs, ca urmare a colect arii  si prelucr arii
de date referitoare la o tema xat a anterior. Este o activitate centrat a pe elev. ^In
timpul execut arii proiectului elevii i si folosesc cuno stint ele acumulate p^ an a^ n prezent
, ^ ntr-un context nou  si relevant, imaginat ia lor este l asat a liber a ^ n timpul realiz arii
proiectului. Avantajul acestei metode sunt c a elevii i si dezvolt a creativitatea, pot decide
asupra cont inutului  si asupra formei de prezentare.Cel mai mare dezavantaj al acestei
metode este c a elevii, av^ and acces la resurse tehnologice, pot prelua informat iile de pe
internet, fara s a le prelucreze, prezent^ and apoi produsul nal ca ind personal.
Proiectul incepe^ n clas a, prin formularea obiectivelor si formularea sarcinilor de lucru.
^In afara orelor de curs, dar sub ^ ndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de
lucru si xeaz a termenele pentru diferite etape ale proiectului.
Dup a corelarea datelor si organizarea materialului, proiectul se incheie ^ n clas a prin
prezentarea rezultatelor obt inute.
Exemplu
La ^ nceputul semestului II am ^ mp art it elevii clasei ^ n 4 grupe de c^ ate 7 elevi, omogene,
in funct ie de nivelul de cuno stint e. Grupele au primit urm atoarele teme:
1. Ecuat ia de gradul al doilea, 2. Ecuat ia bip atrat aa,3.Ecuat ii binome, 4. Ecuat ii de
gradul 3.
Obiectivul principal a fost s a recapituleze ecuat iile discutate ^ n clasele IX-XI. Au avut
timp s a lucreze la proiect o lun a din momentul ^ nceperii proiectului. I-am ^ ncurajat s a
se ^ nt^ alneasc a s a lucreze la bibliotec a ^ n grup.
3.6 Metode interactive de grup utilizate in lect ia de matematic a
^In ultima perioda, ca urmare a aplic arii reformei  scolare s-a diminuat utilizarea
metodelor expozitive  si a crescut ponderea celor moderne. Se pune accent pe promovarea
metodelor si tehnicilor de ^ nv at are care s a solut ioneze adecvat situat iile noi de ^ nv at are,
pe utilizarea unor metode active( care s a stimuleze implicarea elevilor ^ n activitatea de
^ nv at are , s a le dezvolte g^ andirea critic a  si capacitatea de adaptare la viat  a, s a ^ i antreneze
9Ardelean,L, Secelean.,N.Didactica matematicii-not iuni generale,Ed. ULB Sibiu,2007,p.140

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
^ n activit acti de investigare  si cercetare direct a a fenomenelor)  si apelarea la metode pasive
numai c^ and este nevoie, pe accentuarea tendint ei formativ-educative, a metodei didactice,
pe extinderea metodelor care conduc la formarea capacit at ilor de autoinstruire ce ofer a
educatului autonomie ^ n achizit ionarea  si prelucrarea informat iilor. Cerint e pentru ca
^ nv at area ^ n clas a s a e interactiv a:
elevii s a e implicat i/angajat i ^ n sarcinile de ^ nv at are autentice  si multidisciplinare
aprecierile s a se bazeze pe performant e reale;
strategiile didactice s a aib a la baza interrelat ionarea reciproc a;
grupurile de lucru sa e eterogene;
cadrul didactic s a e un facilitator al ^ nv at  arii;
elevii s a ^ nvet e c aut^ and, descoperind, explor^ and nu numai singuri ci  si ^ mpreun a;
feedback-ul s a e continuu, rapid si constructiv. (Oprea,C.L., 2009,p21)
Beneciile aduse de metodele interactive de grup sunt net superioare celor moderne ele
sunt centrate pe elev, comunicarea in cadrul lor este multidirect ional a, accentul cade pe
dezvoltarea g^ andirii, pe formarea de aptitudini  si deprinderi, ^ ncurajeaz a participarea
elevilor, init iativa, creativitatea acestora. Prezent am mai jos cateva metode interactive
utilizate ^ n lect ia de matematic a.Cadrul didactic este acela care are putere decizional a  si
capacitatea de a alege ceea ce poate desfa sura ^ n propriul colectiv de elevi.
3.6.1 Metoda cubului
Este o metod a de explorare a unei situat ii matematice din diferite perspective cognitive.
Cowan,G si Cowan, E, 1980 propun analiza unui concept sau a unei sintagme, proiectand-
o pe sase fete ale unui cub. Fiecare fat a ofer a o alta perspectiv a ^ n abordarea conceptului,
pun^ and ^ n evident a diferite operat ii mentale.
Etapele pentru organizarea unor activit at i utiliz^ and metoda cubului sunt:
alegerea unit at ii de ^ nv at are  si activit at ilor de ^ nv at are;
preg atirea materialului didactic: confect ionarea unui cub pe ale c arui fet e s-au
notat  sase dintre deprinderile care trebuie exersate: descrie, compar a, analizeaz a,
asociaz a, aplic a, argumenteaz a.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
organizarea colectivului de elevi prin ^ mp art irea lui in 6 grupe, ecare dintre ele
examin^ and tema din perspectiva cerint ei de pe una din fet ele cubului:
Descrie : culorile, formele, m arimile
Compar a: Ce este asem an ator? Ce este diferit?
Analizeaz a: Spune din ce este alc atuit etc.
Asociaz a: La ce te ^ ndeamn a s a g^ ande sti?
Aplic a: Ce pot i face cu acestea? La ce se poate folosi?
Argumenteaz a: Pro sau contra enumer a o serie de motive care vin in sprijinul
armat iei tale.
valoricarea sarcinilor de grup: sarcina nalizat a este prezentat a de reprezentantul
ecarui grup ^ ntregului colectiv de elevi.
a sarea formei nale pe tabl a sau peret ii clasei (Neagu M.,Mocanu.M., 2007, p.48)
Aceasta metoda se aplic a unei clase de elevi ^ mp art it in  sase grupe. Fiecare grup a i si alege
un reprezentant (lider) care va da cu zarul-cubul (ecarei fet e a cubului, cadrul didactic
^ i asociaz a o cerint a, care trebuie neap arat s a ^ nceap a cu cuvintele:"descrie", "compar a",
"analizeaz a", "asociaz a", "aplic a", "argumenteaz a" ), va descoperi sarcina grupei  si se va
^ ntoarce ^ n grupul sau cu materialul necesar rezolv arii ( se, materiale didactice, culori,
etc).
Este preferabil ca elevul s a urmeze ordinea indicat a mai sus (^ n acest sens fet ele
cubului ar putea  numerotate), dar nu este obligatoriu acest lucru. Se poate ^ ncepe cu
rezolvarea sarcinii indicate pe oricare fat a a cubului.
Modul de utilizare a metodei poate stimula creativitatea  si originalitatea organiz arii
unei lect ii de c atre profesor ce- si propune s a ating a competent e  si s a formeze atitudini,
valori, sentimente. Aceasta metoda se poate aplica la clas a ^ n toate lect iile de consolidare
a cuno stint elor , priceperilor  si de recapitulare, datorit a adaptabilit at ii sale  si impactului
pozitiv asupra elevilor.
3.6.2 Metoda R.A.I. (round associated ideas)
Metoda R.A.I. urm are ste stimularea  si dezvoltarea capacitat ilor elevilor de a comunica,
prin ^ ntreb ari  si r aspunsuri, ceea ce tocmai au ^ nv at at. Denumirea provine de la init ialele
RASPUNDE-ARUNC A-INTEROGHEAZ A si se desfa soar a astfel: la sf^ ar situl unei
activit at ii, cadrul didactic ^ mpreun a cu elevii, investigheaz a rezultatele obt inute ^ n urma

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
^ nv at  arii, printr-un joc de aruncare a unei mingi de la un copil la altul. Cel care arunc a
mingea trebuie s a pun a o ^ ntrebare din lect ia ^ nv at at a celui care o prinde. Cel care
prinde mingea r aspunde la ^ ntrebare  si apoi arunc a mai departe altui coleg, pun^ and o
nou a ^ ntrebare. Evident cel care ^ ntreab a trebuie s a cunoasc a  si r aspunsul la ^ ntrebarea
adresat a. Elevul care nu cunoa ste r aspunsul iese din joc, iar r aspunsul va veni din partea
celui care a pus ^ ntrebarea. Acesta are ocazia de a arunca ^ nc a o data mingea  si, deci,
de a mai pune o ^ ntrebare. ^In cazul ^ n care cel care intreab a este descoperit ca nu  stie
r aspunsul la ^ ntrebare, este scos din joc, ^ n favoarea celui c aruia i-a adresat ^ ntrebarea.
Eliminarea celor care nu au r aspuns corect sau a celor care nu au dat r aspuns, conduce
treptat la r am^ anerea ^ n grup a celor mai bine preg atit i. Este o metod a care ^ i pune pe
elevi ^ ntr-o situat ie competitiv a. Dac a elevii  stiu c a urmeaz a la sf^ ar situl activit at ii s a
foloseasc a aceast a metod a vor  foarte atent i la ora, pentru a putea pune ^ ntreb ari si de
a r aspunde corect.
Metoda R.A.I. :
poate  folosit a la sf^ ar situl lect iei, pe parcursul ei sau la ^ nceputul ei ( ^ n scopul
descoperirii de c atre cadrul didactic a eventualelor lacune ^ n cuno stint ele copiilor  si
a reactualiz arii lor;
este o metod a de a realiza un feed-back rapid, ^ ntr-un mod pl acut, energizant sai
mai put in stresant dec^ at metodele clasice de evaluare;
se desf a soar a ^ n scopuri constatativ – ameliorative  si nu ^ n vederea sanct ion arii;
permite reactualizarea  si xarea cuno stint elor dintr-un domeniu, pe o tem a dat a
^ mbin a cooperarea cu competit ia;
exerseaz a abilit at ile de comunicare interpersonal a, capacitat ile de a formula^ ntreb ari
 si de a g asi cel mai potrivit r aspuns;
^ ncurajeaz a chiar  si pe cei mai timizi copii pentru c a sunt antrenat i ^ n acest joc cu
mingea, astfel ei comunic a cu u surint  a  si particip a cu placere la activitate.
. Exist a un oarecare suspans care ^ ntret ine interesul pentru metoda R.A.I. . Tensiunea
este dat a de faptul ca elevii nu  stiu la ce ^ ntreb ari s a se a stepte din partea colegilor, dar
 si din faptul c a nu  stiu dac a mingea le va  adresat a sau nu. Aceast a metod a este un
exercit iu de promptitudine, atent ia participant ilor trebuie s a r am^ an a permanent treaza
 si distributiv a. Metoda RAI poate  organizat a cu toat a clasa sau cu grupe mici, ecare
det inand o minge. Membrii grupurilor se autoelimina treptat, ram^ an^ and cel mai bun din

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
grup. Acesta intr a ^ n nal a c^ a stig atorilor de la celelalte grupe, jocul desf a sur^ andu-se p^ an a
la r am^ anerea ^ n curs a a celui mai bine pregatit. ^Intreb arile pe care le pun elevii colegilor
se pot redacta pe bilet ele, pe care ace stia s a le extrag a la ^ nceputul activit at ii. ^In acest
fel , se c^ a stig a timp, poate  cuprins a o arie mai larg a de cuno stint e, se evit a repetit ia.
Cadrul didactic supravegheaz a desf a surarea jocului  si^ n nal lamure ste problemela la care
nu s-au g asit solut ii. Metoda R.A.I. poate  folosit a  si pentru vericarea cuno stint elor pe
care copii le-au dob^ andit independent. Accentul se pune pe ceea ce s-a ^ nv at at  si pe ceea
ce se ^ nvat  a ^ n continuare prin intermediul cre arii de ^ ntreb ari  si de r aspunsuri.Ar trebui
folosite la ^ nceput ^ ntreb ari cu grad de dicultate mic pentru a verica cuno stint ele de
baz a dintr-o unitate de ^ nv at are , iar apoi ^ ntreb ari cu grad de dicultate din ce in ce mai
mare.
Puncte tari
completeaz a eventualele lacune ^ n cuno stint ele elevilor;
are rol de xare  si consolidare a cuno stint elor predate.
Puncte slabe
elevii sunt tentat i s a-i scoat a din joc pe unii colegi sau s a se r azbune pe alt ii,
adres^ andu-i ^ ntreb ari prea dicile pentru ei;
elevii sco si din joc pot s a devin a dezinteresat i de joc  si nu se mai creeaza feed-backul;
cuno stint ele vericate sunt ^ n general teoretice  si nu practice
Exemplu: Unitatea de ^ nv at are: Operat ii cu polinoame-recapitulare si sistematizare-
clasa a XII-a
Sarcina didactica: S a formuleze^ ntreb ari clare pe^ nt elesul colegilor utiliz^ and cuno stint ele
referitoare la operat iile cu polinoame.
Material didactic : Mingea
Regula jocului:
un elev arunc a mingea altui elev, formul^ and o ^ ntrebare;
cel care prinde mingea r aspunde la ^ ntrebare, apoi o arunc a mai departe altui elev,
pun^ and o noua ^ ntrebare;
elevul care nu  stie iese afar a din joc, la fel  si cel care este descoperit c a nu  stie
r aspunsul la propria ^ ntrebare.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Exemple de ^ ntreb ari
Ce operat ii cu polinoame cunoa stem?
Cum se adun a dou a polinoame?
Cum se ^ nmult esc dou a polinoame?
Care sunt propriet at ile adun arii/^ nmult irii polinoamelor?
Enunt at i teorema ^ mp art irii cu rest?
Enunt at i teorema restului?
Cum determinat i restul ^ mp art irii unui polinom fla un polinom g=X1?
Care va  gradul unui polinom format din adunarea a dou a polinoame , unul de gradul
2  si altul de gradul 3?
Care va  gradul unui polinom format din produsul a dou a polinoame , unul de gradul
unu  si altul de gradul doi?
Recompens a: Fiecare elev va  recompensat cu c^ ate un ecuson pe care scrie "Expert
^ n operat ii cu polinoame"
3.6.3 Metoda JIGSAW(MOZAICUL)
Jigsaw sau "metoda grupurilor interdependente (Neculau Adrian, Boncu St,1998,apud
Oprea C.L.,2007,p.7)" este o strategie bazata pe|^ nv at area ^ n echip a (team-learning).
Fiecare elev are o sarcin a de studiu ^ n care trebuie s a devin a expert. El are ^ n acela si
timp  si responsabilitatea transmiterii informat iilor asimilate, celorlalti colegi.
Rolul cadrului didactic este mult diminuat^ n aceast a metod a. El intervine semnicativ
la ^ nceputul lect iei c^ and ^ mparte elevii ^ n grupurile de lucru  si traseaz a sarcinile  si la
sf^ ar situl activit at ii c^ and va prezenta concluziile activit at ii.
Exist a mai multe variante ale metodei mozaic, dar varianta standard a acestei metode
se realiazeaz a in cinci etape. Etapele metodei mozaicului
1.Pregatirea materialului de studiu:
Profesorul stabile ste tema de studiu  si o ^ mparte in 4 sau 5 subteme. Poate
stabili pentru ecare subtem a, elementele principale pe care trebuie s a pun a
accentul elevul, atunci c^ and studiaz a materialul ^ n mod independent. Acestea
pot  formulate e sub forma de ^ ntreb ari, e armativ, e un text eliptic care
va putea  completat numai atunci cand elevul studiaz a materialul.
realizeaz a o  s a expert ^ n care trece cele 4 sau 5 subteme propuse  si care va
oferit a ecarui grup.
2.Organizarea colectivului ^ n echipe de ^ nv at are de c atre 4-5 elevi

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Fiecare elev din echipa, prime ste un numar de la 1 la 4-5  si are ca sarcin a s a
studieze ^ n mod independent, subtema corespunzatoare num arului sau.
El trebuie s a devin a expert ^ n problema dat a. De exemplu, elevii cu num arul
1 din toate echipele de ^ nv at are formate, vor aprofunda subtema cu num arul
1. Cei cu num arul 2 vor studia tema cu num arul 2,  si a sa mai departe
Fiecare elev studiaz a subtema lui, cite ste textul corespunzator. Acest studiu
independent poate  f acut^ n clas a sau poate constitui o tem a de clas a, realizat a
^ naintea organiz arii mozaicului.
3.Constituirea grupurilor de expert i.
Dupa ce au parcurs faza de lucru independent, expert ii cu acela si num ar se reunesc,
constituind grupurile de expert i pentru a dezbate problema^ mpreun a. Astfel , elevii
cu num arul 1, p ar asesc echipele de ^ nv at are init iale  si se adun a la o mas a pentru a
aprofunda subtema cu numarul 1. La fel procedeaz a  si ceilalt i elevi cu numerele 2,
3, 4 sau 5. Dac a grupul de expert i are mai mult de 6 membrii, acestea se divizeaz a
^ n dou a grupuri mai mici.
Elevii prezint a un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au
loc discut ii pe baza datelor  si materialelor avute la dispozit ie, se adaug a elemente
noi  si se stabile ste modalitatea ^ n care noile cuno stint e vor  transmise  si celorlalt i
membrii din echipa init ial a. Fiecare elev este membru ^ ntr-un grup de expert i  si
face parte dintr-o echipa de ^ nv at are. Din punct de vedere al angajamentuilui zic,
mesele de lucru ale grupului de expert i trebuie plasate ^ n diferite locuri ale s alii de
clas a, pentru a nu se deranja reciproc. Scopul comun al ec arui grup de expert i
este s a se instruiasc a c^ at mai bine, av^ and responsabilitatea propriei ^ nv at  ari  si a
pred arii  si ^ nv at  arii colegilor din echipa init ial a.
4.Re^ ntoarcerea ^ n echipa init ial a de ^ nv at are Expert ii transmit cuno stint ele
asimilate , ret in^ and la r^ andul lor cuno stint ele pe care le transmit colegii lor, expert i
^ n alte subteme. Modalitatea de transmitere trebuie s a e scurt a, concis a, atractiv a,
put^ and  ^ nsot it a de suporturi audio-vizuale, diverse materiale. Speciali stii ^ ntr-o
subtem a pot demonstra o idee, citi un raport, folosi computerul, pot ilustra ideile
cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotograilor. Membrii sunt stimulat i s a discute,
s a pun a ^ ntreb ari si s a- si noteze, ecare realiz^ and propriul plan de idei.
5.Evaluarea Grupele prezint a rezultatele ^ ntregii clase. ^In acest moment elevii sunt
gata s a demonstreze ce au ^ nv at at. Profesorul poate pune ^ ntreb ari, poate cere un

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare ecarui elev o  sa de evaluare. Dac a
se recurge la o evaluare oral a, atunci ec arui elev i se va adresa o ^ ntrebare la care
trebuie s a r aspund a f ar a ajutorul echipei.
Puncte tari
Strategia mozaicului este focalizat a pe dezvoltarea capacitat ilor de ascultare, vorbire,
cooperare, re
ectare, g^ andire creativ a  si rezolvare de probleme. Astfel elevii trebuie
s a asculte activ comunic arile colegilor, s a e capabili s a expun a ceea ce au ^ nv at at,
s a coopereze ^ n realizarea sarcinilor, s a g aseasc a cea mai potrivit a cale pentru a-i
^ nv at a  si pe colegii lor ceea ce au studiat;
stimuleaza ^ ncrederea ^ n sine a elevilor;
dezvolt a abilit at ile de comunicare argumentativ a  si de relat ionare^ n cadrul grupului;
dezvolt a r aspunderea individuala  si de grup;
optimizeaz a ^ nv at area prin predarea achizit iilor altcuiva (Oprea.C., 2003,p.9)
Puncte slabe:
Materialul propus pentru ^ nv at are poate  prea dicil/u sor pentru anumit i elevi ceea
ce creeaz a sentimente de superioritate/inferioritate la elevi. Poate dezvolta la elevi o
stare de anxietate legat a de cont inutul ^ nv at at.
Exemplu
Etape:
1. Stabilirea temei de studiu : Ecuat ii algebrice cu coecient i reali- lect ie de consolidare
la clasa a XII-a.
Alegerea subtemelor de studiu corespunzatoare celor 4 etape:
(a) Ecuat ii algebrice cu coecient i in Z,
(b) Ecuat ii algebrice cu coecient i in Q;
(c) Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n R;
(d) Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ n C
2. Organizarea colectivului ^ n echipe de ^ nv at are de c atre 4 elevi.
^Imp art irea clasei ^ n grupuri de 4 elevi, ecare dintre ace stia primind c^ ate o  sa de
^ nv at are numerotat a de la 1 la 4. Fiecare elev din echip a prime ste c^ ate un num ar de

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
la 1 la 4  si are ca sarcin a s a studieze ^ n mod independent subtema corespunzatoare
num arului s au pentru a deveni expert ^ n probleme dat a. Astfel, elevii cu numarul
1 studiaz a subtema 1, elevii cu numarul 2 studiaza subtema 2, elevii cu num arul 3
studiaz a subtema 3, iar elevii cu num arul 4 studiaz a subtema 4.
Se prezint a succint subiectul tratat. Se explic a sarcinile de lucru  si modul ^ n care se
va desf a sura activitatea proiectat a pentru lect ia urmatoare. Fiecare elev prime ste
ca tem a pentru acas a s a studieze tema de pe o  sa de lucru  si s a devin a expert ^ n
domeniu.
3. Constituirea grupurilor de expert i.
Dup a parcurgerea fazei de lucru independent, expert ii cu acela si num ar se reunesc,
constituind grupe de expert i pentru rezolvarea sarcinii ^ mpreun a.
Are loc faza discut iilor ^ n grupul de expert i ^ n care elevii prezint a ecare ceea ce  stie
despre not iunea avuta spre studiu, au loc discut ii, se rezolv a sarcinile respective  si
se stabile ste modalitatea ^ n care noile cuno stint e vor  transmise celorlalti membri
din echipa init ial a. Se pot folosi desene, simboluri matematice.
4. Re^ ntoarcerea ^ n echipa init ial a.
Are loc faza raportului de echipa ^ n care expert ii transmit cuno stint ele asimilate,
ret in^ anad la r^ andul lor cuno stint ele pe care le-au transmis colegii lor, expert i ^ n alte
subteme.
Membrii din echipele init iale de ^ nv at are discut a ^ ntre ei, pun ^ ntreb ari pentru a- si
clarica anumite lucturi.
Dac a sunt neclarit at i, se adreseaz a ^ ntreb ari expertului. Dac a neclaritat ile persista
se pot adresa ^ ntreb ari  si celorlalt i membri din grupul de expert i pentru sect iunea
respectiv a. ^In ecare grup sunt "predate" astfel cele patru secvent e ale lect iei.
^In acest fel ecare elev devine responsabil pentru propria ^ nv at are, c^ at  si pentru
transmiterea corect a  si complet a a informat iilor.
5. Evaluarea
^In cadrul acestei etape are loc faza demonstrat iei ^ n care rezultatele grupelor se
prezint a ^ ntregii clase. Se trece ^ n revist a materialul dat prin prezentare cu toata
clasa, cu tot i participant ii. Se alege cate o problema pentru ecare subtema  si
se rezolv a. se insist a asupra not iunilor studiate. Se propune o problem a care s a
cuprinda aplicat ii asupra celor patru subteme

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Fi sa expert 1
Subtema 1: Ecuat ii algebrice cu coecient i ^ ntregi
Fieanxn+an1xn1+:::+a0= 0, ecuat ie algebric a de gradul n2Ncu coecient i
^ n Z.
1. solut iile 2Zse caut a printre divizorii termenului liber a0
2. Solut iile =p
q2Q;(p;q) = 1, se caut a printre numerele rat ionale de formap
q,
unde p este un divizor al termenului liber a0, iar q este un divizor al coecientului
dominantan.
Pe baza rezultatului prezentat mai sus rezolvat i exercit iile urm atoare:
1. 1. Vericat i dac a x= 1 este solut ie a ecuat iei: x3+ 2×23
2= 0 Putet i verica  si
^ n alt mod?
2. 2. Determinat i solut iile ^ ntregi ale ecuat iei x33×2+x+ 1 = 0
3. 3. Determinat i dac a ecuat ia 2 x3+ 3×24x+ 3 = 0 are solut ii rat ionale
Fisa expert 2 Subtema 2: Ecuat ii algebrice cu coecient i rat ionali
Fief2Q[X];f=anxn+an1xn1+:::+a0, un polinom de grad n, n2N si
u=a+bp
bnum ar irat ional p atratic. Dac a u este r ad acina a polinomului f, atunci:
u=ap
beste r ad acina a lui f
u si uau acela si ordin de multiplicitate.
Pe baza rezultatului prezentat mai sus rezolvat i exercit iile urm atoare:
1. 1. Vericat i dac a x= 1p
2 este solut ie a ecuat iei: x33×2+x+ 1 = 0 Putet i
verica  si ^ n alt mod?
2. 2. Determinat i valoarea parametrului real m pentru care x= 1p
5 este solut ie a
ecuat ieix3mx2+ 1 = 0
3. 3. Determinat i parametrii reali m,n stiind c a ecuat ia 2 x3+ 3×24x+ 3 = 0 admite
solut ia 1 +p
3
Fisa expert 3
Subtema 3: Ecuatii algebrice cu coecienti reali
Fisa expert 4
Subtema 4: Ecuatii algebrice cu coecienti in Zn

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
3.6.4 Metoda PIRAMIDEI
Metoda piramidei sau metoda bulgarelui de zapada are la baza impletirea activitatii
individuale cu cea desfasurata in mod cooperativ, in cadrul grupurilor. Ea consta in
incorporarea activitatii ecarui membru al colectivului intr-un demers colectiv mai amplu,
menit sa duca la solutionarea unei sarcini sau a unei probleme.
Fazele de desfasurare a metodei piramidei:
1. Faza introductiva: profesorul expune datele problemei in cauza;
2. Faza lucrului individual: elevii lucreaza pe cont propriu la solutionarea problemei
timp de 5 minute. In aceasta etapa se noteaza intrebarile legate de subiectul tratat.
3. Faza lucrului in perechi: elevii formeaza grupe de doi elevi pentru a discuta rezultatele
individuale la care a ajuns ecare. Se solicita raspunsuri la intrebarile individuale
din partea colegilor si , in acelasi timp, se noteaza daca apar altele noi.
4. Faza reuniunii in grupuri mari. De obicei se alcatuiesc doua mari grupe, aproximativ
egale ca numar de participanti, alcatuite din grupele mai mici existente anterior si
se discuta despre solutiile la care s-a ajuns. Totodata se raspunde la intrebarile
nesolutionate.
5. Faza raportarii solutiilor in colectiv. Intreaga clasa , reunita, analizeaza si concluzioneaza
asupra ideilor emise. Acestea pot  trecute pe tabla pentru a putea  vizualizate
de catre toti psrticipantii si pentru a  comparate. Sa lamuresc si raspunsurile la
intrebarile nerezolvate pana in aceasta faza, cu ajutorul conducatorului (profesorul).
6. Faza decizionala. Se alege solutia nala si se stabilesc concluziile asupra demersurilor
realizate si asupra participarii elevilor la activitate.
Ca si celelalte metode care se bazeaza pe lucrul in perechi si in colectiv, metoda
piramidei are avantajele stimularii invatarii prin cooperare, al sporirii increderii in fortele
proprii prin testarea ideilor emise individual, mai intai in grupuri mici si apoi in colectiv.
Dezvolta capacitatea de a emite solutii inedite la problemele si sarcinile aparute, precum
si dezvoltarea spiritului de echipa si intrajutorare.
Dezavantajele inregistrate sunt de ordin evaluativ, deoarece se poate stabili mai greu
care si cat de insemnata a fost contributia ecarui participant (Oprea,C.L.,2003,p.31).
Aceasta metoda poate  utilizata in rezolvarea problemelor cu mai multe cai de
rezolvare si a caror rezolvare presupune rezolvarea mai multor operatii.
Exemplu:

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Etape:
1. Faza introductiva: Se prezinta problema. Sa se determine parametrii reali m,n stiind
ca polinomul f=X43X3+nX2+mX+nse divide cu polinomul g=X21
2. Faza lucrului individual. Elevii au lucrat pe cont propriu la solutionarea problemei
timp de 5 minute
3. Faza lucrului in perechi . Elevii au format grupe de doi elevi, constituite din colegii
de banca pentru a discuta rezultatele individuale la care a ajuns ecare
4. Faza reuniunii in grupuri mai mari. S-au format, progresiv, grupe de cate 4 , apoi
de cate 8 elevi si au discutat problema, au vericat solutiile gasite
5. Faza raportarii solutiilor in colectiv. Solutiile gasite s-au scris pe tabla si s-au
vericat colectiv.
6. Faza decizionala . Se pastreaza doar solutiile care reprezinta rezolvarea corecta a
problemei.
Varianta 1
Stiind ca f este divizibil cu g si g= (X1)(X+ 1) obtinem ca :(1)=f+ (X
1)=f+ (X)
(f(1) = 0
f(1) = 0))(m+ 2n= 2
m=4)(m+ 2n= 2
m= 4)(n=1
m= 4
Varianta 2
Se efectueaza impartirea efectiv intre cele doua polinoame
3.6.5 Metoda BRAINSTORMING
Metoda brainstorming este o metoda de stimulare a creativitatii ce consta in enuntarea
spomtana a cat mai multor idei pentru solutionarea unei probleme intr-o atmosfera lipsita
de critica.
Folosirea acestei metode impune participarea activa a elevilor, dezvolta capacitatea
de a formula intrebari, de a argumenta, de a cauta si gasi solutii, de a lua decizii, in
ceea ce priveste alegerea unor cai de lucru; se exerseaza atitudinea creativa si exprimarea
personalitatii.
Metoda se desfasoara in grupuri de 5-20 elevi. Durata optima de timp pentru elevi
este de 20 minute in functie de problema supusa dezbaterii si de numarul de elevi care
fac parte din grup.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Se impune respectarea unor cerinte/ reguli si ele vizeaza:
– selectarea problemei propuse in discutie (sa reprezinte interes de studiu si dezbatere
din partea copiilor;
-crearea unui mediu educational corespunzator stimularii creativitatii;
-admiterea de idei in lant, pornind de la o idee se pot rezolva altele prin combinatii ,
asociatii; -implicarea activa a tuturor participantilor;
-inregistrarea exacta a ideilor in ordinea prezentata;
-amanarea aprecierilor si a evaluarii ideilor emise.
Etapele metodei:
-alegerea temei si a sarcinii de lucru;
-solicitarea exprimarii intr-un mod cat mai scurt si corect a frazelor, fara cenzura,
a tuturor ideilor "Traznite" ori neobisnuite , fanteziste asa cum le vine in minte; intr-
un astfel de caz ne bazam pe "cantitatea genereaza calitatea"; se pot face asociatii in
legatura cu armatiile celorlalti, se pot prelua, completa sau transforma ideile de grup,
dar sub niciun motiv, nu se vor admite referiri critice, nimeni nu are voie sa faca observatii
negative;
– inregistrarea tuturor ideilor in scris sau video;
-anuntarea unei pauze pentru asezarea ideilor (de la 1-2 zile pentru a vorbi intre ei
ori in familie sa isi lamureasca opiniile personale);
-reluarea ideilor pentru a  grupate pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, imagini care
reprezinta posibile criterii;
-analizeaza, critica, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior,
la nivelul clase;
-selectionarea ideilor originale sau a celor apropiate de solutii fezabile pentru problema
sau tema pusa in discutie;
-asarea ideilor rezultate in forme cat mai variate si originale: imagini, desene, cantece,
joc de rol, colaje, etc. (Brebene,S.,Gongea, E.,Ruiu,G.,Fulga,M.,2002) Exemplu
Etape:
1.Alegerea temei Rezolvarea unor ecuatii algebrice de grad superior cu coecienti in
C – Recapitulare – clasa a XII-a. Sarcina de lucru: Completeaza textul problemei
urmatoare cu cat mai multe cerinte adaugand sau nu valori pentru m si n:
Fie polinomul f=X4+mX3+nX2+mX+ 1 = 0;m;n2C.
2. Solicitarea exprimarii intr-un mod cat mai rapid a cerintelor compuse , fara cenzura
a ideilor, asa cum vin ele in minte. Nimeni nu are voie sa faca observatii negative.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
3. Fiecare elev gandeste timp de 10 minute si scrie cerintele pe un biletel primit
anterior.
4. La expiratea celor 10 minute , toti elevii clasei vin si lipesc biletelele pe plansa pe
care era scris textul incomplet al problemei.
5. Analiza critica, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior,
la nivelul clasei.
Exemple de cerinte compuse:
1)Calculati f(0);f(1);
2) Determinati m si n stiind ca polinomul se divide cu polinomul g=X21 3) Pentru
m=n=0 rezolva ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie binoma)
4) Pentru m=1,n=2 rezolvati ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie reciproca de gradul
4)
5) Pentru m=0 si n=2 rezolvati ecuatia f(x) = 0;(Obtinem o ecuatie bipatrata)
6) Pentru ce valori ale lui m si n ecuatia f(x) = 0 admite radacini intregi;
7) Vericati daca 1 este radacina a ecuatiei f(x) = 0.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
4 Descrierea cercet arii
4.1 Metode si tehnici de cercetare
Procesul de cercetare stiintica cumprinde trei momente. Primul dintre ele se bazeaza
pe observarea unor lucruri, fenomene sau procese. Cel de-al doilea moment se refera la
crearea ipotezei pe baza faptelor observate si a raporturilor dintre ele. Ipoteza indeplineste
rolul raspunsului la intrebarea pusa in fata observatiei. Ultima faza o constituie vericarea
experimentala a ipotezei – moment al desprinderii concluziilor pe baza ipotezei si vericarea
lor prin intermediul experientelor.
Principalele metode utilizate in cercetarea psihopedagogica sunt:
4.2 Delimitarea problemei de cercetat
Se observ a c va in ultimul deceniu se pune mare accent pe metodele activ-participative
de predare ^ nv at are. ^Intrebarea care intervine c and aplic am o strategie nou a este dac a
^ ntr-adev ar metodele de predare ^ nv at are activ participative optimizeaz a motivat ia  si
i nv at area la elevii de liceu de nivel mediu. Conform teoriei Lui Ausubel si Robinson exist a
trei componente a motivat iei ^ n mediul  scolar: impulsul cognitiv, trebuint a arm arii
puternice a eului, trebuint a de aliere. Impulsul cognitiv se refer a la nevoia de cunoa stere,
de aprofundare a unui domeniu din curiozitate, din dorint a de a acumula cuno stinte  si
de a le aplica in rezolvarea problemelor. Trebuint a arm arii eului urmare ste imaginea
pe care elevul o poate avea in cadrul grupului care ^ i asigur a un statut  si afecteaz a
nivelul stimei de sine.Trebuint a de aliere const a ^ n nevoia de a relat iona  si de a
acceptat de un anumit anturaj. Conform legii Yerkes-Dodson, cre sterea performant ei
este proport ional a cu intensitatea motivat iei numai p^ an a la un anumit grad, ceea ce
denot a faptul c a trebuie s a existe un echilibru ^ ntre potent ialu elevului  si intensitatea
motiv arii. Pentru a  motivat i s a ^ nvet e, elevii trebuie implicat i activ ^ n desf a surarea
lect iilor ^ n clas a. Elevii nu vor  motivat i s a ^ nvet e dac a se a
 a ^ ntr-o pozit ie de a steptare
pasiv a (spectatori )^ n clas a. Ar trebui sa e participanti activi in timpul invatarii
.Problema cercetarii consta intr-un studiul ce isi propune sa urmareasca modicarile
comportamentale cognitive si psihomotorii ale elevilor in cazul utilizarii unor metode de
predare activ participative pentru cresterea nivelului motivational al elevilor in legatura
cu invatarea si a randamentului scolar..

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
4.3 Stabilirea ipotezei cercetarii
Pentru stabilirea ipotezei de cercetare am urmarit sa raspund la urmatoarele intrebari:
– Ce/Cine ii determina pe elevi sa invete?
– Care sunt obiectivele lor de invatare?
– Cand metodele de predare oferite dau randament?
In realizarea procesului de cercetare am pornit de la urmatoarea ipoteza: " Utilizarea
metodelor moderne de predare/ invatare cresc randamentul si interesul elevului pentru
invatare? "
4.4 Obiectivele cercetarii
Ca profesor al unor clase de elevi , mi-am propus ca in cadrul acestui experiment sa
realizez urmatoarele obiective:
1. Cresterea motivatiei de ^ nv at are si a randamentului scolar al elevilor folosind
metode si strategii de predare centrate pe elev;
2.^Indrumarea elevilor pentru a^ nt elege modul^ n care^ nvat  a  si oferirea de oportunitat i
de ^ nvat are;
3. Introducerea de strategii de predare care sa corespunda nevoilor individuale de
invatare, astfel incat elevii sa-si formeze un sistem de capacitati de munca scolara ca de
exemplu:
capacitatea de a se concentra in perioada predarii;
scurtarea perioadei de acomodare cu o activitate noua;
insusirea deprinderii de studiu individual, deprinderea de a lucra in grup, de a
colabora la nivelul grupului si de a-si asuma raspunderii;
dezvoltarea exprimarii matematice in diverse situatii;
formarea deprinderii de a redacta singur sau cu ajutor o rezolvare de problema;
formarea deprinderii de a urmari argumentarea unui coleg, de a participa la competent
la discutie;
formarea deprinderii de autoevaluare a muncii si de control reciproc, de a aprecia
corect timpul necesar efectuarii unei lucrari.
Realizarea acestor obiective este conditionata de indeplinirea urmatoarelor conditii:

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Trecerea activitatilor didactice din responsabilitatea profesorului pe seama elevilor,
pentru care lectia trebuie sa devina o activitate proprie, dar coordonata de profesor.
Acordarea prioritatilor sarcinilor formative in raport cu cele informative, fara a
afecta volumul de notiuni si cunostinte transmise elevilor.
Formarea intre profesor si elev a unor relatii de cooperare, bazate pe comunicarea
reala, pe incredere reciproca, pe participarea efectiva la descoperire, aplicarea cunostintelor
si rolul lor.
4. monitorizarea si inregistrarea progreselor elevilor pe parcursul si la nele cercetarii
aplicative.
4.5 Organizarea cercetarii
Tipul cercetarii: aplicativ-ameliorativa;
Perioada de cercetare: anul scolar 2018-2019, semestul II
Locul de desfasurare: Liceul Tehnologic Constructii de masini Mioveni
Disciplina de invatamant: Matematica
Am folosit in cercetare clasa a XII B.
Se stie ca nu se poate interveni in modicarea inteligentei elevilor, dar acestia pot
motivati sa invete si sa-si insuseasca minimul de cunostinte necesare dintr-un anumit
domeniu. Pentru aceasta se impune proiectarea unor lectii cu ajutorul carora sa se
deplaseze accentul de la activitatea de predare/invatare la munca efectiva a elevilor, de
a invata elementele esentiale ale lectiei, sub indrumarea competenta a profesorului. Ca
orice cercetare complexa presupune folosirea unui complex de metode de investigare.
Metode de cercetare folosite :
1. Metoda de baza a fost cea experimentala cu anumite particularitati. Fiind vorba de
un experiment integrat in procesul de invatamant, el a fost transformat treptat intr-o
activitate caracterizata prin naturalete si obisnuit. Cercetarea a avut caracterul unui
experiment de instruire care se va desfasura ca o activitate formativa cu elevii din liceu.
2. Metoda chestionarului vizand stabilirea nivelului motivational de invatare al elevilor
clasei terminale, pentru a a
a asteptarile elevilor la nivelul grupului de lucru privind
rezultatele invatarii.
3. Metoda observarii a fost utilizata pentru cunoasterea diferitelor aspecte ale activitatii
elevilor la lectii, pentru luarea unor decizii privind desfasurarea ulterioara a experimentului,
in functie de constatarile facute. Aceasta a vizat actiunea mecanismelor invatarii, procesul
dezvoltarii motivatiei, gradul de asimilare a unor modele, norme , valori, in conformitatate

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
cu programele scolare.
4. Studiul documentelor scolare si a produselor activitatii elevilor s-a referit la cercetarea
cataloagelor, programei, manualului, la studierea frecventa a situatiei ecarui elev, a
portofoliului acestuia, a lucrarilor efectuate. Datele obtinute prin cercetarea documentelor
scolare mi-au permis sa fac aprecieri asupra evolutiei elevilor, cercetarea neajunsurilor si
emiterea de noi ipoteze de lucru.
5. Metoda testelor vizand evaluarea formativa si sumativa a progresului inregistrat de
catre elevi
6. Metode de masurare a rezultatelor cercetarii, de prelucrare si interpretare a datelor
(numararea, intocmirea tabelelor de rezultate si consemnarea datelor in foile de observatie
dupa administrarea probelor si inregistrarea performantelor, tabele analitice, tabele sintetice,
reprezentari grace))
Stabilirea e santioanelor de subiect i cuprin si in cercetare
A sa cum am mentionat cercetarea se realizeaza cu clasele XIIB. Clasa a XIIB va  clasa
de control dar va indeplini va indeplini functia de esantion experimental.
Caracterizarea subiect ilor
Clasa a XIIB la inceputul anului scolar 2018-2019 este formata din 29 elevi (20
baieti si 9 fete) cu varste cuprinse inte 18-19 ani. Din punct de vedere al provenientei
socioprofesionale, majoritatea provin din familii de muncitori. Ca mediu de provenienta
colectivul este format din 20 elevi din mediul urban (Mioveni) iar 9 elevi din mediul rural.
Colectivul clasei este omogen, majoritatea elevilor ind normal dezvoltati atat zic,
cat si intelectual. Elevii sunt disciplinati, sunt comunicativi si sociabili. Majoritatea
elevilor din clasa , in momentul in care au terminat clasa a VIII-a nu au avut ca prim a
optiune liceul la care se a
a acum. Pentru majoritatea lor admiterea la liceu a fost un
esec intelectual. Asteptarile lor si ale parintilor erau mai mari.
Pentru o mai buna cunoastere a colectivului de elevi , s-a avut in vedere dimensiunea
sociala si dimensiunea psihologica. Relatiile elevului cu grupul social careia ii apartine
(clasa din elevi) au o importanta deosebita asupra evolutiei personalitatii sale, cat si
asupra randamentului invatarii.
Majoritatea elevilor urmeaza ca la sfar situl clasei a XII-a s a sust in a examenul de
bacalaureat. Motivat ia elevilor pentru ^ nvat are depinde foarte mult de dorint a acestora
de a sust ine  si de a promova acest examen.
In legatura cu nivelul de aspiratie si orientare scolara si profesionala elevilor s-a recurs

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
la administrarea periodica a testelor de sondaj. Prelucrarea si sistematizarea rezultatelor
s-a realizat in scop comparativ in doua perioade , la inceputul clasei a XII-a si la sfarsitul
clasei a XII-a.
O analiza succinta a rezultatelor a condus la concluzia ca, putini elevi doresc sa urmeze
cursurile unei forme de invatamant postliceal sau universitar, in domenii variate, altii sunt
indecisi si nu raspund
4.6 Etapele cercetarii. Prelucrarea si interpretarea datelor
4.6.1 Faza prealabila a interventiei factorului experimental
La inceputul anului scolar, deprinderile de munca ale elevilor nu sunt in concordanta cu
un invatamant diferentiat si individualizat. Cauza se gaseste in predominarea lectiilor de
predare – invatare in clasele V-XI. Acestor particularitati vine sa li se adauge instabilitatea
si emotivitatea specice varstei, vointa slaba, ceea ce impiedica si mai mult formarea unor
deprinderi constante de munca. La inceputul clasei a XII-a am aplicat un test de sondaj
initial (predictiv) pentru a observa nivelul de cunostinte al elevilor in rezolvarea ecuatiilor
studiate pana in momentul respectiv. Testul a fost conceput sub forma de 9 itemi din
care 3 itemi cu alegere multipla si 6 itemi rezolvare de probleme.
Tinand cont ca urmeaza sa sustina la sfarsitul clasei a XII-a examenul de bacalaureat
si ca itemii din modelul ocial propus de Ministerul Educatiei contin in proportie de
50 rezolv ari de ecuat ii am considerat ca este necesar sa insist pe aceasta portiune mai
mult. Testul de evaluare initial l-am conceput cu itemi care parcurg rezolvarile de ecuatii
obisnuite, invatate in anii anteriori. Am urmarit in acest test modul in care isi redacteaza
elevii rezolvarile si modul in care se prezint a in fat a unei situat ii problem a.
Testele de evaluare s-au aplicat in scris elevilor din clasa a XIIB de la Liceul Tehnologic
Constructii de masini Mioveni, primind se apoi lucrand individual.
Clasa XII.
Obiectul : Matematica
Capacitatea : Evaluarea competent elor dob^ andite in clasele IX-XI in rezolvarea ecuatiilor
algebrice.
Obiective de evaluare:
– sa recunoasca diferite tipuri de ecuatii;
– sa rezolve ecuatii de gradul I,II;
– sa aplice algoritmi de rezolvare in diverse situatii problema

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Test de evaluare initial
1. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia
x23x+ 2 = 0
2. Vericati daca x= 1 este solutie a ecuatiei x4+ 3×2+ 4 = 0
3. Stiind ca x+1
x= 5. S a se calculeze x2+1
x223
4. S a se determine ecuat ia de gradul al doilea, cu radacinile reale x1;x2,  stiind c a au
loc relat iile x1+x2= 8  six1+x2=2x1x2.
5. S a se determine valoarea parametrului real m2Rstiind c a solut iile ecuat iei x2
(m+ 1)x+ 4m= 0 veric a relat ia x1+x2+x1x2= 11
6. Se d a ecuat ia x2mx+m1 = 0. Pentru ce valori ale lui mo r ad acina este dubl a
celeilalte?
7. Rezolvat i ^ n mult imea numerelor reale ecuat ia: x61 = 0
8. Rezolvati ecuatia x43×2+ 2 = 0
9. Se da ecuat ia de gradul al doilea
(1 +2)x2(1 +)x+(1) = 0
Sa se determine parametrul pentru care are loc inegalitatea
11
x1+1
x2+1
x1x20
Rezultate obt inute:
Num ar elevi prezent i 28

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
ElevI1I2I3I4I5I6I7I8I9OfPunctajObtinut
A:B: 10 10 5 5 0 000010 40
B:C 10 10 5 5 5 500010 50
B:V: 10 0 0 0 0 000010 20
B:O: 10 10 5 5 5 000010 45
C:M: 10 10 10 10 5 555010 70
D:A: 10 10 10 5 5 000010 50
D:F: 10 0 0 0 0 000010 20
D:L: 10 10 0 0 0 000010 30
F:A: 10 10 5 5 5 500010 50
I:M: 10 10 0 5 5 000010 40
I:B: 10 0 0 0 0 000010 20
L:A: 10 10 5 5 5 000010 45
M:E: 10 10 0 0 0 000010 30
M:R: 10 10 0 0 0 000010 30
M:D: 10 10 0 0 0 000010 30
M:C 10 10 10 10 10 500010 +65
M:E: 10 10 5 5 5 000010 45
M:D: 10 10 0 5 5 000010 40
M:C: 10 10 5 0 0 000010 35
N:G: 10 10 0 0 0 000010 30
P:D: 10 10 0 5 5 000010 40
P:L: 10 10 5 10 10 000010 55
S:A: 10 10 10 10 10 000010 60
S:R: 10 10 5 5 5 000010 45
S:F: 10 10 0 0 0 000010 30
T:M: 10 10 0 0 0 000010 30
T:A: 10 10 10 10 10 505510 75
V:R: 10 10 10 10 10 555010 75
Total 280 250 105 115 105 301015 5280 1195

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Am constatat ca media generala a fost la clasa XIIB 4,26.
Sintetic rezultatele obt inute se prezint a astfel:
Nota 10987654321
NrElevi 0022275730
Reprezentarea rezultatelor se realizeaza prin intermediul diagramei areorale
8.0 %nota 225.0 %nota 3
18.0 %nota 4
25.0 %
nota 58.0 %
nota 68.0 %
nota 78.0 %
nota 8
Figure 1: Test Initial
Reprezentarea rezultatelor se realizeaza prin intermediul urmatoarei histograme
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910
037
57
2 2 2
0 0
Nota obt ¸inutˇ a;Numˇ ar eleviTest Init ¸ial
Figure 2: T1
Interpretarea rezultatelor
Rezultatele obt inute la acest test au condus la urm atoarele concluzii:

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
-colectivul clasei este unul omogen, cu posibilitati intelectuale normale;
-majoritatea elevilor clasei au parcurs rezolvarea exercitiilor 1-3 din test, ceea ce arat a
c a au cuno stinte minime de rezolvare a ecuatiilor ;
-majoritatea elevilor intampina dicultati in rezolvarea unor sarcini cum ar :
nu recunosc relatiile lui Viete pentru o ecuatie de gradul al doilea
nu toti elevii stiu sa redactezerezolvarea unei probleme;
ritmul de lucru al elevilor este sc azut;
nu recunosc diferite tipuri de ecuat ii studiate ^ n anii anteriori;
un singur elev a incercat rezolvarea exercitiului 9
In urma acestui test, pe parcursul activitatilor didactice urmatoare, la ecare unitate
de invatare studiata voi urmari estomparea lacunelor descoperite prin rezolvari de exercitii
cu ecuatii in diferite moduri pentru a observa daca situatia constatata in acest test poate
 modicata odata cu aplicarea testului nal.
Concluzii dup a evaluarea init iala
Nu toti elevii din clasa sunt atenti la activitatile desfasurate;
Spiritul de observat ie nu este antrenat sucient, ind limitat doar la rezolvarea algoritmic a
a unor itemi;
Atitudinea elevilor fat a de^ nvatare este pasiva, nu prezinta interes pentru noul cont inut,
neind activat i in lectie.
Elevii ^ nteleg vag not iunile ^ nvat ate f ara a- si forma reprezentari clare, precise in
legatura cu acestea;
4.6.2 Faza experimentarii modelului instructional si a inregistrarii rezultatelor
.
Primul obiectiv al etapei de cercetare a fost identicarea motivat iei de ^ nvatare a
elevilor. Am aplicat un chestionar, conceput si administrat in scopul diagnostic arii
motivat iei de ^ nv atare a elevilor(Anexa 1).
In urma analiz arii chestionarului am observat c a elevii clasei a XIIB isi doresc in
proport ie de 30% s a ^ nvet e, motivele principale a majorit at ii elevilor este s a promoveze
examenul de bacalaureat  si s a- si continue studiile in diferite domenii. Ceilalti 70% au
considerat ca nu pot s a ^ nvete, nu au timp, e prea greu. Raspunsul dominant la intrebarea
numarul 2 din chestionar a fost 4 , adica nivelul de motivatie pentru invatarea matematicii

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
este foarte scazut.La intrebarea 3 raspunsul dominant a fost d) orele sa e antrenanate.
Unul din obiectivele importante ale cercetarii a fost organizarea unor lectii in care sa
folosesc strategii de predare care sa ridice nivelul motivational al clasei a XIIB . In
desfasurarea lectiilor, pentru invatarea centrata pe elev, am urmarit urmatoarele elemente
principale:
1. Prezentarea si constientizarea de catre elevi a obiectivelor invatarii pentru ca elevul
sa e mai motivat si sa colaboreze mai bine cu mine ca profesor.
2. Predarea informatiilor.
In semestrul I al anului scolar 2018-2019 am lucrat o ora in plus cu elevii clasei a
XII B. In cadrul acelor ore suplimentare de matematica, am introdus in predare-invatare
metode activ participative pentru a-si creea elevii o obisnuinta in folosirea metodelor
centrate pe elev. Am dorit ca rezultatul experimentului sa nu e in
uentat de noutatea
metodelor folosite iar timpul alocat explicarii folosirii metodelor sa e redus.
Am aplicat un test de evaluare formativa in timpul semestrului I pentru a vedea daca
nivelul motivational al elevilor a crescut .(Anexa 2)
In predarea lectiilor am folost o varietate de strategii si metode centrate pe elev care
sa antreneze elevii in actul invatarii si care sa ridice nivelul motivational al elevilor. Am
folosit metode interactive precum R.A.I.,metoda mozaicului, metoda piramidei corelandu-
le cu metode traditionale precum metoda exercitiului, muncii cu manualul.
In semestrul II , odata cu inceperea predarii unitatii de invatare "Polinoame" am
inceput in timpul orelor de algebra sa folosesc metode centrate pe elev.(Anexa 3)
3. Invatarea prin cooperare
Utilizarea lucrului in grup este o strategie foarte des folosita care incurajeaza invatarea
intre colegi, deoarece ecare participant din grup, spre exemplu , se simte util si satisfacut
de a  o parte activa a grupului. La unele lectii grupurile au fost formate din elevi cu
acelasi nivel de cunostinte, la altele cu nivel diferit. In functie de strategia de predare
adoptata , am folosit forme de organizare a clasei care sa-i permita ecarui elev sa
evolueze, indiferent de nivelul cunostintelor. I-am indemnat pe elevi sa formeze grupuri
de studiu , mobilizandu-i ca in timpul liber sa se intalneasca acasa si sa discute rezolvari
de probleme, urmand ca apoi, in timpul orelor de curs sa aprofundam . (Anexa 5)
4. Aplicarea unor teste formative elevilor, se de lucru, se de autoevaluare la care
elevii lucrau in grup sau individual. Aceste se le-am aplicat dupa ecare secventa de
invatare pentru a aprecia cati elevi au inteles si au realizat invatarea. In cadrul selor
de lucru am stabilit sarcinile de lucru in mod structurat pentru a oferi un feed-back
structurat(Anexa4)

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
La nalul semestrului II am sustinut un test de evaluare nal , format din 8 exercitii
tip rezolvare de probleme. Am tinut cont de tipologia exercitiilor ce apar in modelul
ocial de bacalaureat, la prolul tehnologic. Alegerea itemilor am facut-o in concordanta
cu nivelul si interesele elevilor.
Obiectivele urmarite la test au fost:
– rezolvarea diferitelor tipuri de ecuatii algebrice ce apar in programa scolara IX-XII;
– realizarea de leg aturi ^ ntre ecuat ii  si r ad acinile polinoamelor;
-utilizarea schemei lui Horner sau a ^ mp art irii polinoamelor

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Test de evaluare nal
1. S a se determine valoarea parametrului real m,  stiind c a r ad acinile x1;x2;x3ale
ecuat ieix3mx2+ 2x1 = 0 veric a relat ia x1+x2+x3=x1x2x3
2. S a se rezolve in C ecuat ia x364 = 0.
3. S a se rezolve in C ecua tiax43×24 = 0.
4. S a se determine r ad acinile ^ ntregi ale ecua tieix36×2+ 11x6 = 0.
5. S a se determine radacinile rationale ale ecuatiei 2 x3+ 3×26x4 = 0.
6. S ase determine o ecuat ie de gradul 3 care admite r ad acinile 1, -1, 3.
7. S a se rezolve ecuat ia reciproc a 2 x3+ 3×2+ 3x+ 2 = 0.
8. Se consider a polinomul f=x33×23x+ 1 si polinomul g=x+ 1.
a) Determinat i c^ atul si restul ^ mp art irii polinomului f la polinomul g.
b) Determinat i rad acinile polinomului f.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Rezultate obt inute:
Numar elevi prezent i: 28
ElevI1I2I3I4I5I6I7I8a)I8b)OfPunctajObtinut
A:B: 10 5 10 0510 0 10 0 10 50
B:C 10 10 10 10 010 0 10 5 10 75
B:V: 10 10 0 00 0 0 0 0 10 30
B:O: 10 10 5 55 5 0 10 5 10 65
C:M: 10 10 10 10 010 5 10 10 10 85
D:A: 10 10 10 0510 0 10 10 10 75
D:F: 5 5 5 00 0 0 0 0 10 25
D:L: 10 10 10 00 0 0 10 0 10 50
F:A: 10 10 10 00 0 0 10 10 10 60
I:M: 10 10 10 10 0 0 5 10 5 10 70
I:B: 10 5 5 0010 0 10 0 10 50
L:A: 10 10 510 010 0 10 5 10 70
M:E: 10 10 5 5510 0 10 5 10 70
M:R: 10 10 0 0010 0 10 0 10 50
M:D: 5 5 0 0010 0 10 5 10 45
M:C 10 10 10 5510 5 10 5 10 80
M:E: 10 10 10 0010 0 10 0 10 60
M:D: 10 10 10 0010 0 10 5 10 65
M:C: 5 5 5 50 0 0 10 0 10 40
N:G: 10 10 10 00 0 0 10 0 10 50
P:D: 5 5 5 0010 0 10 0 10 45
P:L: 10 10 10 0010 0 10 5 10 65
S:A: 10 10 10 0010 0 10 10 10 70
S:R: 10 10 10 010 10 0 5 5 10 70
S:F: 10 5 5 00 0 0 10 0 10 40
T:M: 10 5 5 0010 0 10 0 10 50
T:A: 10 10 10 1010 10 5 10 5 10 90
V:R: 10 10 10 10 510 5 10 5 10 85
Total 260 240 205 7550190 25 255 100 280 1680
Am constatat ca media pe clasa dupa testul nal este de 6. Ceea ce denota o crestere
semnicativa, comparativ cu rezultatele obtinute la testul initial.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Sintetic rezultatele se prezint a astfel:
Nota 10987654321
NrElevi 0338282200
Reprezentarea rezultatelor se realizeaza prin intermediul diagramei areorale
7.2 %nota 37.2 %nota 4
28.5 %nota 5
7.2 %nota 6
28.5 %
nota 77.2 %
nota 810.7 %
nota 93.5 %
nota 10
Figure 3: Test Final
Rezultatele obtinute sunt reprezentate si printr-o histrograma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910
0 02 28
28
3 3
0
Nota obt ¸inutˇ aNumˇ ar eleviTest Final
Figure 4: T2

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Interpretarea rezultatelor:
Rezultatele obt inute de c atre elevii clasei a XII-B la testul nal au condus la urmatoarele
concluzii:
– majoritatea elevilor au rezolvat exercitiile 1, 2 , 3,8a).
– jumatate din elevi au parcurs integral sau partial exercitiile 4,6,8b).
– un numar de 8 elevi au incercat rezolvarea exercitiului numarul 7.
– redactarea rezolvarilor s-a facut cu atentie in majoritatea cazurilor.
– tinand cont de nivelul cunostintelor elevilor toti itemii au fost parcursi , neexistand
problema nerezolvabila.
– Exercitiul 1 si exercitiul 8a) au fost rezolvate de un procent de 93% elevi.ceea ce
arata ca elevii stapanesc relatiile lui Viete precum si impartirea polinoamelor. Notiuni
fundamentale in rezolvarea ecuatiilor algebrice.
4.6.3 Faza compararii rezultatelor
Scopul principal al administrarii factorului experimental la clasei a XIIB a fost cresterea
motivatiei de invatare si a randamentului scolar. Pentru vericarea acestui demers
didactic am comparat rezultatele obtinute de elevi la testul T1, dat in prima parte
a perioadei experimentala cu rezultatele elevilor la testul nal T2. rezultatele au fost
uimitoare in ceea ce priveste cresterea nivelului motivational.
Rezultatele obtinute de elevii clasei aXII-B la testul nal completate cu datele obtinute
prin observarea elevilor pe parcursul anului scolar si cu cele furnizate de produsele
activitatii, conrma ipoteza de lucru a cercetarii. Folosirea in cadrul orelor de matematica
a rezolvarii de cat mai multe tipuri de exercitii si probleme prin metode si strategii de
predare invatare centrate pe elev, contribuie la stimularea gandirii logice si a creativitatii
elevilor. Consider ca cel mai important aport adus de folosirea metodelor centrate pe elev
este cresterea increderii in sine a elevului ceea ce conduce imediat la cresterea nivelului
motivational al elevului in invatare.
S-a demonstrat astfel ipoteza de lucru, utilizarea metodelor si strategiilor de predare
– invatare centrate pe elev contribuie la dezvoltarea motivatiei elevilor, la cresterea
interesului pentru invatare.
Consider ca foarte importanta ramane activitatea profesorului care prin experienta sa
si prin legatura sa cu ecare subiect al clasei, va perfectiona actul didactic al predarii.
Reprezentarea rezultatelor :

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Nota 10987654 3 21Media
EvaluareFinala 0338282 2 005;64
EvaluareInitiala 0022275 7 304;26
Diferenta 03160135301;38
Reprezentarea rezultatelor se realizeaza prin intermediul urmatoarei histograme
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910
037
57
2 2 2
0 0 0 02 28
28
3 3
0
Nota obt ¸inutˇ a;Numˇ ar eleviTest1 Test 2
Figure 5: T1T2histograma
Analizand rezultatele se pot observa urmatoarele:
Randamentul scolar la nivelul clasei a XII B a crescut.
Nivelul motivational a crescut constant la clasa a XIIB
Diferenta dintre media obtinuta de catre elevi la testarea initiala si media obtinuta
la testarea nala este de 1,38. Un rezultat foarte bun. Unul dintre motivele obtinerii
acesui rezultat este si apropierea de examenul de bacalaureat.
La testul initial au promovat un numar de 13 elevi, in procent de 46%. La testul
nal au promovat 22 elevi adica un procent de 78 %. Diferenta de 9 elevi (32%)
este semnicativa.
Note sub 5 fost la testarea nala au fost in numar de 6. Uimitor este faptul ca la
examenul de bacalaureat sustinut de elevii clasei a XII-B un numar de 7 elevi nu au
obtinut note sub 5. Ceea ce arata importanta studierii ecuatiilor algebrice in liceu
Se observa din tabel ca doua diferente din tabel sunt foarte semnicative. Anume
diferenta de 6 elevi care au obtinut note de 7 , si diferenta negativa de -5 la notele

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
de 3. Acest fapt arata ca metodele folosite dau randament la elevii slabi si cei
mediocri.
Rezultatele obtinute sunt o dovada a ecientei metodelor activ-participative aplicate in
predarea lectiilor.
4.7 Concluziile cercetarii experimentale
Obiectivele experimentului au fost in mare masura realizate. Utilizarea strategiilor
diferentiate de invatare in
uenteaza activitatea de insusire a cunostintelor elevilor, constatandu-
se o crestere a randamentului scolar si a motivatiei de invatare.
Datele obtinute la testul nal au pus in evidenta ca elevii de la clasa a XII-B , Liceul
tehnologic Constructii de masini Mioveni, judetul Arges, au obtinut rezultate mai bune
in urma utilizarii metodelor activ-participative in lectiile de matematica.
Utilizarea strategiilor si metodelor activ- participative a determinat o mai buna colaborare
intre copii, in acelasi timp ei au devenit mai competitivi, dorind sa iasa in evident a prin
rezultatele obt inute. Consider ca foarte importanta ramane activitatea profesorului care
prin experienta sa si prin legatura sa cu ecare subiect al clasei, va perfectiona actul
didactic al predarii.
Chiar daca elevii au aceeasi varsta ei prezinta diferente in nivelul de pregatire, de
aptitudini si se impune adaptarea si diferentierea modului in care sunt tratati in timpul
orelor de curs.par Se impun anumite elemente pe care trebuie insistat in timpul orelor de
curs, si anume:
in timpul orelor climatul afectiv social in care elevii isi pun intrebari , comunica cu
usurinta, in care se discuta cu placere metode alternative de rezolvare a problemelor,
in functie de specicul elevilor trebuie cultivat cu grija si atentie de catre profesor;
o anumita disciplina scolara privind atitudinea fata de invatare trebuie dezvoltata,
cu precadere la elevii care nu sunt extrem de interesati de actul educativ;
prezentarea rezultatelor pe care trebuie sa le atinga elevul , alegerea unor materiale
didactice si metode pentru realizarea obiectivelor cognitive si afective ale lectiei;
folosirea unui plan de actiune pozitiv in care sa se urmareasca cresterea increderii
elevului in fortele proprii;
realismul si rabdarea cu care trebuie sa se inarmeze profesorul in legatura cu
dicultatile pe care le va intalni in rezolvarea problemelor

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
Utilizarea metodelor centrate pe elev a determinat la elevi mai multa spontanaitate,
au inceput sa aiba mai mult curaj in exprimarea idelor de rezolvare, au inceput sa
puna intrebari si sa se bazeze unii pe ceilalti.La sfarsitul anului scolar relatiile elev-elev,
profesor- elev au fost foarte bune.
Singura problema pe care am depistat-o in studiul realizat este ca nu s-au facut
imbunatatiri la nivelul superior al invatarii, adica niciun elev nu a obtinut nota 10 la
testul nal. Putem tine cont de faptul ca m-am concentrat cu precadere in cresterea
nivelului motivational al elevilor mediocrii si slabi, pe cei buni si foarte buni nu i-am
promovat sucient. Imi pun intrebarea daca la nivelul cel mai inalt al invatarii metodele
clasice nu dau randament mai bun, caci de la un anumit nivel in colo elevul trebuie sa
lucreze in special singur, interventia celorlalti factori sa e foarte mica.

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
A Anexa

Anexa 1
Chestionar privind motivatia elevilor pentru invatare
Dragi elevi, va rugam sa completati chestionarul de mai jos. Sinceritatea raspunsurilor
dumneavoastra asigura acuratetea rezultatelor studiului.
1. Motivele pentru care invat sunt:(Incercuieste 2 variante care ti se
potrivesc cel mai mult)
a) pentru a fi cel mai bun
b) pentru a fi recunoscut si respectat de catre ceilalti;
c) pentru ca profesorul explica pe intelesul meu;
d)pentru ca profesorul imi inspira teama;
e) pentru ca materia este interesanta;
f) pentru ca sunt obligat de parinti;
g)pentru ca imi place sa studiez;
h) pentru a nu ma face de rusine;
i) pentu ca profesorul imi inspira respect.
2. Pe o scara de la 1 – 10 apreciaza-ti nivelul de motivatie pentru invatarea
matematicii, unde 1 este cel mai putin si 10 este cel mai mult
3.Ce te-ar ajuta cel mai mult sa inveti? Bifeaza variantele care ti se
potrivesc:
a) atmosfera din timpul orelor de curs;
b) recompensa prin laude, aprecieri pozitive, incurajari, premii;
c) sa aplic practic ceea ce invat;
d)orele sa fie antrenanate;
4. Nu invat la matematica pentru ca:
a) nu imi place;
b) nu am timp
c)nu ma ajuta cu nimic in viata;
d)profesorul nu ma apreciaza;
e) nu imi explica nimeni ;
f) e prea greu;
5.Cat de mult timp aloci activitatilor de invatare pe zi?
a) Deloc
b) Maxim1 ora
c) Intre 1-2 ore;
c) Intre 2-4 ore;
d) mai mult de 4 ore
6. Pentru tine, succesul in viata inseamna:
a) intemeierea unei familii;
b) banii;
c) cunostintele pe care le detin;
d) cariera de succes;
7 Ce doriti sa faceti dupa terminarea liceului?
a) sa ma angajez;
b) sa-mi continui studiile;
c) sa nu fac nimic;
1

Date de identificare
Gen:F/M
Varsta: …
2

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
B Anexa

PROIECT DE LECT ¸IE
UNITATEA: Liceul Tehnologic Construct ¸ii de Ma¸ sini- Mioveni
ANUL S ¸COLAR: 2018-2019
CLASA: A XII B
PROFESOR: UT ¸ IC ˇA (DUMITRACHE) VIORICA
ARIA CURRICULAR ˇA:Matematicˇ a ¸ si ¸ stiint ¸r
OBIECUL : Matematicˇ a
UNITATEA DE ˆINVˇ aT ¸ ARE: Operat ¸ii cu polinoame
TEMA LECT ¸ iei: Test de evaluare
TIMP: 50 min
Analiza SWOT:
1. Puncte tari:
•fixarea cuno¸ stiint ¸elor prin rezolvˇ ari de exercit ¸ii ¸ si probleme;
•sistematizarea cuno¸ stiint ¸elor prin fi¸ se de sintezˇ a;
•portofoliile elevilor;
•Portofoliile profesorului;
2. Puncte slabe:
•lipsa de interes a elevilor pentru studiul matematicii
•lipsa manualelor ¸ scolare;
3. Oportunitˇ at ¸i : Existent ¸a unei competit ¸ii ˆ ın clasˇ a ˆ ıntre elevii buni;
4. Amenint ¸ˇ ari:
•slaba pregˇ atire a elevilor pentru ore;
•fuga de la ore a elevilor.
COMPETENT ¸E GENERALE
1. Identificarea unor date ¸ si relat ¸ii matematice ¸ si corelarea lor ˆ ın funct ¸ie de contextul
ˆ ın care au fost definite;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitatil, calitativ, structural sau contextual cuprinse
ˆ ıenunt ¸uri matematice;
3. Utilizarea algoritmilor ¸ si a conceptelor matematice pentru caracterizarea localˇ a sau
globalˇ a a unei situat ¸ii;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unor situat ¸ii
concrete ¸ si a algoritmilor de prelucrare a acestora;
5. Analiza ¸ si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situat ¸ii problemˇ a ˆ ın
scopul gˇ asirii de strategii pentru optimizarea solut ¸iilor;

6. Modelarea matematicˇ aa unor contexte problematice, prin integrarea cuno¸ stiint ¸elor
din diferite domenii.
COMPETENT ¸E SPECIFICE
1. Evident ¸ierea asemˇ anˇ arilor ¸ si a deosebirilor dintre proprietˇ at ¸ile unor operat ¸ii definite
pe mult ¸imi diferite ¸ si cel cu calcul polinomial ¸ si cel cu numere;
2. Determinarea unor polinoame, funct ¸ii polinomiale sau ecuat ¸ii algebrice care verificˇ acondit ¸ii
date;
3. Modelarea unor situat ¸ii practice, utilizˆ and not ¸iunea de polinom sau de ecuat ¸ie
algebricˇ a
OBIECTIVE OPERAT ¸IONALE
Cognitive:
La sfˆ ar¸ situl orei elevul va fi capabil sˇ a:
OC 1: Sˇ a aplice proprietat ¸ile polinoamelor;
OC 2: Sˇ a efectueze operatii cu polinoame;
OC 3: Sˇ a rezolve ecuat ¸ii cu anumite structuri matematice;
OC 4: Sˇ a analizeze anumite condit ¸ii impuse polinoamelor.
Psiho-motorii:
OP 1: Sˇ a manifeste interes pentru test si concentrare afectivˇ a la lect ¸ie;
OP 2: Sˇ a scrie lizibil pe fi¸ sa testului de evaluare;
OP 3: Stimularea curiozitˇ at ¸ii ¸ si dezvoltarea simt ¸ului critic;
OP 4: Dezvoltarea spiritului de observat ¸ie ¸ si a concentrˇ arii ˆ ın rezolvarea problemelor.
OP 5: Sˇ a-¸ si dezvolte capacitˇ at ¸i rezolutive, perseverent ¸ˇ a, capacitate de modelare, atent ¸ie ,
gˆ andirea logicˇ a rapidˇ a, intuit ¸ia superioarˇ a, spiritul de observat ¸ie.
VALORI SI ATITUDINI
Dezvoltarea unei gˆ andiri deschise, creative, a independent ¸ei ˆ ın gˆ andire ¸ si act ¸iune.
Manifestarea init ¸iativei, a disponibilitˇ atii de a aborda sarcini variate, a tenacitˇ at ¸ii, a
perseverent ¸ei ¸ si a capacitˇ at ¸ii de concentrate.
Dezvoltarea simt ¸ului estetic ¸ si critic, a capacitˇ at ¸ii de a aprecia rigoarea, ordinea ¸ si
elegant ¸a ˆ ın arhitectura unei probleme sau a construirii unei teorii.
Formarea obi¸ snuint ¸ei de a recurge la concepte ¸ si metode matematice ˆ ın abordarea
unor situat ¸ii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
Formarea motivat ¸iei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viat ¸a
socialˇ a ¸ si profesionalˇ a.
TRANSFERUL CONCLUZIILOR – realizarea de conexiuni, generalizˇ ari,ˆ ıntrebˇ ari.
STRATEGII DIDACTICE : activ-participative; Principii didactice: Principiul participˇ arii
¸ si ˆ ınvˇ at ¸ˇ arii gradat a performant ¸ei, principiua conexiunii inverse.
Strategia didacticˇ a :
Metode : conversat ¸ia , expunerea , explicat ¸ia, observat ¸ia, exercit ¸iul, demonstrat ¸ia,
munca elevilor cu manualul, problematizarea, descoperirea.
Mijloace de ˆ ınvˇ at ¸amˆ ant:
1. Resurse materiale de informare ¸ si documentare,
2. Fi¸ se de evaluare;

3. Portofoliile elevilor;
4. Portofoliul profesorului
Forme de organizare : Frontalˇ a, individualˇ a
Obiective de evaluare:
Pe tot parcursul lect ¸iei, prin procesul de evaluare formativˇ a oralaˇ a ¸ si scrisˇ a, se apreciazaˇ a
”Cˆ at de bine?” ¸ si ”Cum ¸ stiu elevii?”:
OE 1: Sˇ a efectueze operat ¸ii cu polinoame; OE 2: Sˇ a aplice teorema ˆ ımpˇ art ¸irii cu rest,
OE 3: Sˇ a verifice existent ¸a solut ¸iilor unor ecuat ¸ii ˆ ın diferite contexte matematice;
OE 4: Sˇ a aplice proprietˇ at ¸ile anumitor structuri matematice;
Forme ¸ si metode de evaluare:
1. Evaluare formativˇ a la ˆ ınceputul activitˇ at ¸ii prin metoda chestionˇ arii orale;
2. Evaluarea formativˇ a prin proba scrisˇ a- Test de evaluare;
Materiale bibliografice:
1. Burtea,M., BurteaG., – Matematicˇ a. Manual pentru clasa a XII M1, Editura
Carminis, 2006;
2. Baluna,M.,Mure¸ sean,M.,-Ghid de pregˇ atire pentru examenul de bacalaureat, Ed.GIL,
Sˇ alaj, 2017;
Test formativ- Polinoame
1. Se considerˇ a polinoamele f=X3−2X2+ 4X−5, g=X2−6X+ 1
(a) Calculat ¸i f(1)·g(−1)
(b) Calculat ¸i f·g
(c) Determinat ¸i cˆ atul ¸ si restul ˆ ımpˇ art ¸irii polinomului f la g
2. Fie f=X3−mX2+ 2X−1, f∈R[X]. Determinat ¸i valoarea parametrului real m
¸ stiind cˇ a restul ˆ ımpˇ art ¸irii polinomului f la polinomul g=X−1 este 2.
3. Determinat ¸i cˆ atul ¸ si restulˆ ımpˇ art ¸irii polinomului f=X4−1 la polinomul g=X−2.
4.ˆInpˇ art ¸ind polinomul f∈C[X], f= 2X3−mX2+ 6 la X−2 se obt ¸ine restul -2. Sˇ a
se determine restul ˆ ımpˇ art ¸irii polinomului f la polinomul la X−1
5. Sˇ a se determine restul ˆ ımpˇ art ¸irii polinomului f∈C[X], f=Xn+1−3Xn+ 4 la
X+ 2∈C[X] ¸ stiind cˇ arestul ˆ ımpˇ art ¸irii lui f la X-2 este -12.

Barem de notare
Nr. Rˇ aspunsul a¸ steptat Punctaj Total
1a) f(1) = 1−2 + 4−5 =−2 4p
g(−1) = 1 + 6 + 1 = 8 4p
Finalizare f(1)g(−1) =−16 2p
10p
1b) f·g=x5−6×4+x3−2×4+ 12×3
−2×2+ 4×3−24×2+ 4x−5×2+ 30x−5 5p
=x5−8×4+ 17×3−31×2+ 34x−5 5p
10p
1c) q=x+ 4 5p
r= 29x−9 5p
10p
2 f(1) = 2 5p
1−m+ 2−1 = 2 5p
Finalizare m= 0 5p
15p
3 q=x3+ 2×2+ 4x+ 8 10p
r= 15 5p
15p
4 f(2) =−2, 5p
m= 6 5p
r=f(1), r= 2 5p
15p
5 f(2) =−12,2n+1−32n+ 4 =−12 5p
n= 4 5p
r=f(-2)=20 5p
15p
90p

Momentele
LectieiObiective
operat ¸ionaleActivitatea profesorului Activitatea elevului Metode si
procedeeModalitˇ at ¸i
de evaluare
1. Moment
organizatoric
( 2’ )Pregatirea mijloacelor de invatamant.
Notarea absent ¸elor. Asigurarea condit ¸iilor
optime pentru desf˘ a¸ surarea lect ¸iei.Elevii isi pregatesc caietele,
manualele,ins trumentele de
scris.
2. Captarea
atent ¸iei (4’)Verificarea frontal˘ a a temei, calitativ ¸ si
cantitativ prin sondaj folosind dialogul
profesor- elev; elev-elev,prin confruntarea
rezultatelor (in cazul in care apar diferent ¸e
se rezolv˘ a exercit ¸iile la tabl˘ a).Asculta. Discuta in grupuri,
cauta gre¸ salaConversat ¸ia
examina
toare.Urmaresc
modul de
argumentare
3. Anunt ¸area
temei ¸ si a
obiectivelor.
Reactualizarea
cuno¸ stint ¸elorAnunt ¸ obiectivele de referint ¸a ale lect ¸iei.
Scrie titlul lect ¸iei pe tabla.Test de evaluare.
Prezintˇ a cont ¸inutul teoretic propus pentru
a fi evaluat: Operat ¸ii cu polinoame. ˆImparte
fi¸ sele cu testele de evaluareElevii asculta,ˆ ıntreabˇ a dacˇ a
au nelˇ amuririExercit ¸iul,
algoritmizareaAutoevalu
area
4.Prezentarea
cont ¸inutului
si dirijarea
ˆ ınvˇ at ¸ˇ ariiO1−
4, OP 2, OE 1−
4Supravegheazˇ a activitatea independentˇ a
a elevilor. Adreseazˇ a eventuale
observat ¸ii.preia de la elevi fi¸ ele cu rezolvarea
problemelor din testul de evaluare, la sfˆ ar¸ sitl
perioadei de timp.Elevii rezolvˇ a exercit ¸iile
independent. Citesc
exercitiile propuse din fi¸ sele
cu testul de evaluare.Predau
testele la sfˆ ar¸ situl perioadei
de timp alocateExercit ¸iul,
algoritmizarea,
demonstrat ¸iaObserv
cum
rezolva
elevii
exercit ¸iile
propuse
5.Tema
pentru acasˇ[a]OP 2 se anunt ¸a tema. Elevii noteazˇ a tema Apreciez
modul ˆ ın
care s-a
desfˇ asurat
testul

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
C Anexa

PROIECT DE LECT ¸IE
UNITATEA: Liceul Tehnologic Constructii de Masini , Mioveni
CLASA: a XII-a B Tehnologic
PROFESOR: Dumitrache D. Viorica
OBIECTUL: Matematic˘ a – Algebra.
UNITATEA DE INVATARE: Ecuat ¸ii algebrice.
TEMA LECTIEI: Rˇ adˇ acini ale ecuat ¸iilor.Ecuat ¸ii algebrice.
TIPUL LECTIEI: De sistematizare ¸ si recapitulare
TIMP: 90 minute.
COMPETENTE GENERALE:
1. Identificarea unor date si relat ¸ii matematice ¸ si corelarea lor ˆ ın funct ¸ie de contextul ˆ ın
care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse ˆ ın
enunt ¸uri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.
4. Analiza ¸ si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situat ¸ii problem˘ a ˆ ın
scopul g˘ asirii de strategii pentru optimizarea solut ¸iilor.
5. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situat ¸ii
concrete ¸ si a algoritmilor de prelucrare a acestora.
COMPETENTE SPECIFICE:
1. Recunoa¸ sterea mult ¸imilor de polinoame ;
2. Aplicarea unor algoritmi ˆ ın calculul polinomial;
3. Determinarea unor polinoame sau ecuat ¸ii algebrice care ˆ ındeplinesc condit ¸ii date ;
4. Exprimarea unor probleme practice, folosind calculul polinomial;
5. Aplicarea, prin analogie, ˆ ın calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica
numerelor.
OBIECTIVE OPERAT ¸ IONALE:
Elevii s˘ a fie capabili:
O1. Sˇ a identifice dintr-o mult ¸ime de ecuat ¸ii ecuat ¸iile algebrice.
O2. Sˇ a clasifice ecuat ¸iile algebrice dupa criteriile cunoscute.
O3. Sˇ a structureze intr-un context necunoscut calculul rˇ adˇ acinilor polinoamelor, utilizˆ and
suportul teoretic cunoscut.
O4. S˘ a-¸ si ˆ ınsu¸ seasc˘ a treptat exigent ¸ele unui exprim˘ ari riguroase specifice disciplinei.
O5. S˘ a justifice prin argumente ˆ ınl˘ ant ¸uite logic, pa¸ sii de rezolvare a unei probleme.
1 OBIECTIVE EDUCATIVE:
Dezvoltarea unei gˆ andiri deschise, creative, a independent ¸ei ˆ ın gˆ andire ¸ si act ¸iune.
Manifestarea init ¸iativei, a disponibilit˘ at ¸ii de a aborda sarcini variate, a tenacit˘ at ¸ii, a
perseverent ¸ei ¸ si a capacit˘ at ¸ii de concentrare.
Dezvoltarea simt ¸ului estetic ¸ si critic, a capacit˘ at ¸ii de a aprecia rigoarea, ordinea ¸ si
elegant ¸a ˆ ın arhitectura rezolv˘ arii unei probleme sau a construirii unei teorii.

Formarea obi¸ snuint ¸ei de a recurge la concepte ¸ si metode matematice ˆ ın abordarea unor
situat ¸ii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
Formarea motivat ¸iei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viat ¸a
social˘ a ¸ si profesional˘ a.
TRANSFERUL CONCLUZIILOR – realizarea de conexiuni, generaliz˘ ari, ˆ ıntreb˘ ari.
STRATEGII DIDACTICE: activ-participative.
Principii didactice:
Principiul particip˘ arii ¸ si ˆ ınv˘ at ¸˘ arii active.
Principiul asigur˘ arii progresului gradat al performant ¸ei.
Principiul conexiunii inverse.
RESURSE MATERIALE: – manualul clasa a XII-a, fi¸ se de lucru,tabla ,creta.
RESURSE PROCEDUALE: – investigat ¸ia ¸ stiint ¸ific˘ a, problematizarea, observarea sistematic˘ a
a elevului, rezolvarea de probleme/situat ¸ii problem˘ a.
METODE FOLOSITE: – conversat ¸ia euristic˘ a, explicat ¸ia,exercitiul , descoperirea,munca
independenta, brainstorming,.
FORME DE ORGANIZARE: – frontal, individual, ˆ ın grupuri mici.
PROCEDEE DE EVALUARE – analiza r˘ aspunsurilor, observarea sistematic˘ a a atent ¸iei
,verificarea cantitativ˘ a si calitativ˘ a a temei.
MATERIAL BIBLIOGRAFIC: – programa scoara,planificarea;
-“ Manual pentru clasa a XII-a M2 Matematic˘ a” Marius Burtea, Georgeta Burtea, editura
Carminis, Pitesti, 2007.

Ecuat ¸ii
IIdentificat ¸i ecuat ¸iile algebrice ¸ si clasificat ¸i-le:
1.√5x+ 7−√2x+ 3 = 3 x+ 4
2.×3−1 = 0
3. 3x+ 6 = 3
4. cos x= 1
5.×4−4×2+ 1 = 0
6. 2x−1+ 2 = 10
7.×3−x2+x−1 = 0
8. 5×3−31×2+ 31x−5 = 0
II
Echipa1
1. Rezolvat ¸i ecuat ¸ia
2. Determinat ¸i rˇ adˇ acinile polinomului f=x3−3×2−3x+ 1
Echipa2
1. Rezolvat ¸i ecuat ¸ia x3= 1
2. Determinat ¸i rˇ adˇ acinile intregi ale polinomului f=x4−4×2+ 4
Echipa3
1. Rezolvat ¸i ecuat ¸ia x4−3×2−2 = 0
2. Determinat ¸i rˇ adˇ acinile polinomului f= 2×3+ 3×2+ 3x+ 2
Echipa4
1. Rezolvat ¸i ecuat ¸ia x2+ 2x+ 1 = 0
2. Determinat ¸i rˇ adˇ acinile polinomului f= (X−1)(X−2)(X−3)
IIIEcuat ¸ia 2 x4−3×3+ 2×2−3x+ 2 = 0 se ˆ ımparte la x2¸ si obt ¸inem:
2×2−3x+ 2−3
x+2
x2= 0 , grupˇ am convenabil si vom avea:
2(x2+1
x2)−3(x+1
x)+2 = 0 Notˆ and x+1
x=tvom obt ¸ine ( x+1
x)2=x2+1
x2+2xdeci
x2+1
x2= (x+1
x)2−2 adicˇ a x2+1
x2=t2−2. Ecuat ¸ia rezolventˇ a es,te 2( t2−2)−3t+2 = 0
care devine 2 t2−3t−2 = 0 cu solut ¸iile t1= 4 ¸ si t2=−1
Revenind la notat ¸ie vom avea de rezolvat ecuat ¸iile x+1
x= 4 ¸ si x+1
x=−1. Prima ecuat ¸ie
devine: x2−4x+ 1 = 0 cu solut ¸iile x1,2=4±√
15
2
a doua ecuat ¸ie devine x2+x+ 1 = 0 cu solut ¸iile x3,4=−1±i√
3
2.

Momentele
LectieiObiective
operat ¸ionaleActivitatea profesorului Activitatea elevului Metode si
procedeeModalitˇ at ¸i
de evaluare
1. Moment
organizatoric
( 2’ )Pregatirea mijloacelor de invatamant.
Notarea absent ¸elor. Asigurarea condit ¸iilor
optime pentru desf˘ a¸ surarea lect ¸iei.Elevii isi pregatesc caietele,
manualele,ins trumentele de
scris.
2. Captarea
atent ¸iei (4’)Verificarea frontal˘ a a temei, calitativ ¸ si
cantitativ prin sondaj folosind dialogul
profesor- elev; elev-elev,prin confruntarea
rezultatelor (in cazul in care apar diferent ¸e
se rezolv˘ a exercit ¸iile la tabl˘ a).Asculta. Discuta in grupuri,
cauta gresalaConversat ¸ia
examina
toare.Urmaresc
modul de
argumentare
3. Anunt ¸area
temei ¸ si a
obiectivelor
(2’ )Anunt ¸
obiectivele de
referint ¸a ale
lect ¸iei
4.
Reactualizarea
cunostint ¸elorO1, O2ˆI.mpart clasa ˆ ın 5 grupuri a cˆ ate 5 elevi ¸ si
propun fiecˇ arei grupe o fi¸ sa de ecuat ¸iiSelecteaza din fi¸ sa ecuatiile
algebrice de grad superiorFi¸ sele se
analizeazaObserv
cum
identifica
elevii
ecuat ¸iile
5.
Recapitulare
si
sistematizareO3, O4 Propun fiecˇ arui grup o fi¸ sa cu sarcinile: Sˇ a
rezolve o ecuat ¸ie algebricˇ a.2.Determinarea
rˇ adˇ acinilor unui polinom (PII)ˆIndeplinesc sarcinile, scriu
rezultatele pe tablaApreciez
modul de
rezolvare
Scriu pe tabla ecuat ¸ia 2 x4−3×3+ 2×2−3x+
2 = 0 Solicit idei de rezolvare(Tezolvare PIII)Propun diferite idei.Ajung
la concluzia ca este o ecuatie
reciprocˇ aEvaluez
capacitatea
de analiza

Momentele
Lect ¸ieiOb. Op Activitatea profesorului Activitatea elevului Metode si
procedeeModalitati
de evaluare
O4 Propun elevilor problema:Sˇ a se detemine m,
n astfel incˆ at polinomul f=x3+mX2+nX−
3 sˇ a se dividˇ a cu polinomul g=X2−X+ 1.
Depistat ¸i mai multe metode de rezolvare.Discuta ˆ ın grup, analizeaza
si depisteazˇ a metodele
posibile de rezolvareexercitiul Urmˇ aresc
competent ¸a
de a
depista
mai multe
metode
O2 Propun grupurilor sarcina: Descompunet ¸i pe
R ˆ ın factori polinoamele f=X4+X2−1 ¸ si
g=X4−1Rezolvarea o scriu pe un
poster. La final se afi¸ seaza
lucrarileTurul galeriei Urmaresc
capacitatea
de
rezolvare a
problemei
Cer frupurilor sˇ a i ¸ndeplineascˇ a sarcina.
Compuneti cˆ ate o ecuat ¸ie de grad mai mare
ca 2.Propuneti-o spre rezolvare echipei vecineElevii compun o ecuatie si
apoi o trimit spre rezolvare
echipei vecine. Rezolvˆ and-o
in prealabilR.A.I. Urmˇ aresc
capacitatea
de a
compune o
problema
¸ si de a o
rezolva
Tema pentru
acasaAnunt ¸ tema.Fiecare elev va indeplini o
lucrare de laborator, care va fi sust ¸inutˇ a
individual pe parcursul orelor urmˇ atoareAnalizeaza cerint ¸ele, pun
ˆ ıntrebˇ ari.

IV
Metode de rezolvare folosite:
– Se utilizeazˇ a teorema ˆ ımpˇ art ¸irii cu rest ¸ si se determina m, n pentru r= 0
-Se utilizeazˇ a teorema lul Bezout. g= 0 se afla solut ¸iile x1, x2¸ sif(x1) = 0, f(x2) = 0
-ˆImpart ¸itorul este un polinom de grad 2, deˆ ımpˇ art ¸itul este un polinom de gradul 1, pe
care ˆ ıl notˇ am cu aX+b
V
Tema pentru acasˇ a: Rezolvarea ecuat ¸iilor algebrice de la exercit ¸iul I

Metode  si strategii de predare-^ nv at are a ecuat iilor algebrice ^ n ^ nvat  am^ antul
liceal
References
[1] Burtea M.Burtea G., Matematica. Manual pentru clasa a XII . Ed. Carminis, Pitesti,
1994 2
[2] Panaitopol L.,Draghicescu I.C., Polinoame si ecuat ii algebrice . Ed. Albatros, 1980, 3
[3] Radu N., Inv atare  si g^ andire , Ed. S tiint ic a  si enciclopedic a,Bucure sti , 1976 4