LUCRARE METODICO- ȘTIIN ȚIFIC Ă PENTRU OB ȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator știin țific Conf. Dr. Dana Piciu Candidat Prof. Iv ănu ș Nicolae… [624237]
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIIN ȚE
LUCRARE METODICO- ȘTIIN ȚIFIC Ă PENTRU
OB ȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator știin țific
Conf. Dr. Dana Piciu
Candidat: [anonimizat]. Iv ănu ș Nicolae
Anul sus ținerii examenului
2018
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIIN ȚE
PRINCIPALELE MUL ȚIMI DE NUMERE ȘI OPERA ȚIILE ELEMENTARE
DEFINITE PE ACESTEA
Coordonator știin țific
Conf. Dr. Dana Piciu
Candidat: [anonimizat]. Iv ănu ș Nicolae
Anul sus ținerii examenului
2018
CUPRINS
INRODUCERE………………………………….. …………………………………………… ……………………….5
A. FUNDAMENTARE TEORETIC Ă
CAPITOLUL I – MUL ȚIMEA NUMERELOR NATURALE ȘI OPERA ȚIILE
ELEMENTARE DE PE ACEASTA……………………… …………………………………………… …………..7
I.1. Date generale…………………………… …………………………………………… ………………………………….7
I.2. Mul țimi echivalente………………………………………………………………………….7
I.3. Numere naturale………………………………………………………………………..…… 8
I.4. Adunarea numerelor natural…………………………………………………… ………….9
I.5. Înmul țirea numerelor naturale………………………………………………..……….….11
CAPITOLUL II – INELUL NUMERELOR ÎNTREGI………… ………………………………………..13
II.1. Date generale……………………………………………………………………………… .13
II.2. No țiunea de grup……………………………………………………………………….….13
II.3. No țiunea de inel……………………………………………………………………………14
II.4. Construc ția mul țimii numerelor întregi…………………………………………………15
II.5. Adunarea numerelor întregi………………………………………………… ……………16
II.6. Propriet ățile adun ării numerelor întregi……………………………………………..…18
II.7. Înmul țirea numerelor întregi…………………………………………………………….20
II.8. Propriet ățile înmul țirii numerelor întregi……………………………………………….21
II.9. Inelul numerelor întregi……………………………………………………… …….…….22
CAPITOLUL III – CORPUL NUMERELOR RA ȚIONALE……………………………………… ….23
III.1. Date generale…………………………………………………………………………….. 23
III.2. Sisteme multiplicative închise…………………………………… ………………………23
III.3. Construc ția lui ℚ………………………………………………………………………..24
III.4. Propriet ățile inelui de frac ții…………………………………………………………….26
CAPITOLUL IV- CORPUL NUMERELOR REALE………….. ……………………………………….28
IV.1 . Date generale……………………………………………………………………………..28
IV.2. Topologia pe ℚ…………………………………………………………………………..28
IV.3 . Definirea corpului numerelor reale…………………………………………… …………29
IV.4. Construc ția lui ℝ cu ajutorul șirurilor Cauchy………………………………….…….29
IV.5. Complementarea unui corp normat……………………………………………….. ……33
CAPITOLUL V – CORPUL NUMERELOR COMPLEXE………… …………………………………35
V.1. Date generale………………………………………………………………………………. 35
V.2. Construc ția corpului numerelor complexe………………………………………………35
V.3. Modulul unui num ăr complex…………………………………………………………….37
V.4. Teorema fundamental ă a algebrei…………………………………………………….…38
B. DEMERSUL METODICO-EXPERIMENTAL
CAPITOLUL VI – PROGRAMA OP ȚIONAL “MAGIA NUMERELOR”…………………….41
VI.1. Date generale………………………….. …………………………………………… ………………………………41
VI.2. Not ă de prezentare………………………………. …………………………………………… …………………42
VI.3. Competen țe generale………………………………….. …………………………………………… ………….43
VI.4. Valori și atitudini…………………………………. …………………………………………… …………………43
VI.5. Competen țe specifice și con ținuturi…………………………………….. ………………………………..44
VI.6. Sugestii metodologice…………………… …………………………………………… …………………………46
VI.7. Exemple de activit ăți de înv ățare asociate competen țelor specifice…………………………47
VI.8. Metode de evaluare……………………… …………………………………………… ………………………….51
VI.9. Bibliografie…………………………… …………………………………………… ………………………………..52
CONCLUZII FINALE…………………………….. …………………………………………… ……………………..53
BIBLIOGRAFIE………………………………… …………………………………………… …………………………..54
ANEXA NR 1– PLANIFICAREA ANUAL Ă ȘI CALENDARISTIC Ă……………………………55
A) Planificare anual ă…………………………………………… …………………………………………… ………..55
B) Eșalonarea anual ă a unit ăților de înv ățare………………………………………… ……………………56
C) Planificarea calendaristic ă pe semestrul I……………………………… ………………………………..57
D) Planificarea calendaristic ă pe semestrul al II-lea………………………. …………………………….60
ANEXA NR 2– APLICA ȚII REALIZATE DE ELEVI………………………… ………………………63
A) Matematic ă în versuri…………………………………. …………………………………………… …………….63
B) Jocuri matematice…………………………. …………………………………………… ………………………….66
C) Eseuri matematice…………………………. …………………………………………… …………………………67
D) Desene…………………………………… …………………………………………… …………………………………70
E) Tangram………………………………….. …………………………………………… ………………………………77
INTRODUCERE
Am ales aceast ă tem ă pentru c ă prin studiul efectuat în preg ătirea temei și prin experien ța
câ știgată la clas ă în activitatea de implementare a temei am sperat să-mi cresc nivelul de
preg ătire profesional ă, să identific cele mai potrivite procedee și metode pentru a-i face pe elevii
mei să-și însu șeasc ă mai trainic cuno știn țele despre numere, într-un mod mai pl ăcut .
Numerele reprezint ă valori sau repere pe care oamenii le utilizeaz ă pentru a se orienta în
via ța de zi cu zi. Putem reprezenta cu ele data la car e ne-am n ăscut, nota luat ă la un examen,
vârsta pe care o avem , salariul pe care l-am primi t, cât și momentul în care încet ăm din via ță .
Elevii intr ă foarte des în contact cu „lumea numerelor ”. Pent ru a o în țelege trebuie s ă
cerceteze îndruma ți de profesori, s ă posede informa ții clare despre numere, s ă-și formeze
abilitatea de-a opera cu ele .
În acest ă perioad ă, pe care o tr ăim, a inova țiilor și a descoperirilor din domeniului tehnic
și informatic, rolul numerelor nu s-a redus, ba din contr ă a crescut. În general, no țiunile abstracte
devine mai accesibile și poate fi însu șite mai temeinic dac ă sunt reprezentate cu ajutorul
numerelor.
Activit ățile matematice au o importan ță deosebit ă în dezvoltarea gândirii eficiente și
creative a elevilor. Practica pedagogic ă arat ă c ă gândirea este stimulat ă în mare m ăsura de
matematic ă.
Activit ățile matematice f ăcute cu elevii din ciclul gimnazial constituie fund amentul pe
care se bazeaz ă sistemul de cuno știn țe matematice din liceu și ofer ă nenumărate posibilit ăți de a
progresa elevilor, f ăcându-i pe to ți ap ți pentru a înv ăța matematica.
Tema lucr ării ,, Principalele mul țimi de numere și opera țiile elementare definite pe
acestea”, este deosebit de actual ă și prin faptul c ă numerele și opera țiile definite pe acesta fac
parte din deprinderile cognitive de baz ă care trebuie dobândite de elevi.
Mul țimea numerelor naturale poate s ă fi considerat ă ca o mul țime esen țial ă pentru
matematic ă,de aceea în primul capitol am studiat acest ă mul țime și propriet ățile generale
ale opera țiilor de adunare și înmul țire definite pe aceasta.
Se va ar ăta în al doilea capitol c ă : mul țimea numerelor întregi ℤ este un inel comutativ
și unitar în raport cu adunarea și înmul țirea numerelor întregi.
Imposibilitatea efectuarii unor împ ărțiri în mul țimea numerelor întregi a condus la
construc ția corpului numerelor ra ționale, lucru eviden țiat în capitolul al treilea.
În al patrulea capitol m-am ocupat de corpul nume relor reale, iar în al cincilea
capitol am tratat corpul numerelor complexe.
Demersul metodico-experimental a constat în realiz area unui op țional, introdus la clasa a
cincea, intitulat “Magia numerelor”. Am ales ace st op țional deoarece am constatat din
experien ța anterioar ă c ă este de ajutor ca elevii s ă cunoasc ă istoria numerelor, s ă fie
familiariza ți cu calculele, s ă cunoasc ă artificii de calcul, etc.
Elevii nu duc lips ă idei matematice, dar nu știu s ă exprime aceste idei prin limbaj
matematic. Ca urmare, am introdus în cadrul op ționalului un capitol numit ” Probleme iste țe”,
prin metode atractive și eficiente, dorind s ă le ofer suportul necesar pentru a- și dezvolta gândirea
logic ă. Ra ționamentele pe care se bazeaz ă gândirea logic ă se dobândesc cu mare dificultate, de
aceea în activit ățile matematice propuse vor obliga elevii s ă cerceteze, s ă-și sporeasc ă
capacit ățile de studiu individual.
Lucrarea se încheie cu o planificare anual ă și calendaristic ă a programei de op țional
și cu câteva dintre aplica țiile realizate de elevi .
CAPITOLUL I
MUL ȚIMEA NUMERELOR NATURALE ȘI OPERA ȚIILE ELEMENTARE
DEFINITE PE ACEASTA
1. Date generale
La începuturile omenirii s-au folosit cuvinte pentr u a num ăra obiecte, astfel au luat
“na ștere” numerele naturale. Prin folosirea numeralelor pentru reprezentarea numerelor naturale
a început procesul de abstractizare a lor. În Babil onul antic se folosea un sistem bazat pe
numerele de la 1 la 10. Egiptenii foloseau hierogli fe diferite pentru puterile lui 10 , pornind de la
1 pân ă la un million. Prima recunoa ștere a cifrei 0 apare în India, pentru a reprezenta golul,
absen ța.
Mul țimea numerelor naturale este esen țial ă pentru matematic ă . Cea mai cunoscut ă
modalitate de introducere a mul țimii numerelor naturale este data de axiomatica D edekind-
Peano. În cadrul ei apar no țiunile de num ăr natural și func ție successor. Totodat ă, se folose ște
simbolul “=” pentru a nota egalitatea și simbolul “0” pentru a nota un num ăr fixat.
2. Mul țimi echivalente
Defini ția 2.1 Dou ă mul țimi 1 2 n A {a ,a ,…,a } = și 1 2 n B {b , b ,…,b } = se numesc echivalente
atunci când putem grupa elementele lor în perechi d e forma
1 2 2 2 n n (a , b ),(a , b ),…,(a , b ) ,
astfel încât nici un element din cele dou ă mul țimi s ă nu r ămân ă neasociat și nici unul s ă nu apar ă
în dou ă perechi. Rela ția dintre cele dou ă mul țimi este o rela ție de echivalen ță și o vom nota cu
A B ∼.
Din modul de definire al rela ției c ă:
– dou ă mul țimi sunt unic determinate în raport cu rela ția: A B ∼sau A B ≁;
– rela ția este reflexiv ă: A A ∼;
– rela ția este simetric ă: A B B A ⇒∼ ∼ ;
– relația este tranzitiv ă: dac ă A B șiB C A C ⇒∼ ∼ ∼ .
Rela ția de echivalen ță va împ ărții mul țimile în clase de echivalen ță . Dou ă mul țimi se
găsesc în aceea și clas ă dac ă sunt echivalente ori se g ăsesc în clase diferite dac ă nu sunt
echivalente. Puterea clasei (num ărul cardinal, m ărimea clasei) este o proprietate comun ă tuturor
mul țimilor care compun o clas ă, proprietate neinfluen țat ă de natura elementelor acestor mul țimi.
3. Numere naturale
Defini ția 3.1 Vom numi num ăr natural o clas ă de echivalen ță pentru mul țimi finite. O
mul țime care nu este de aceea și putere cu nici una din submul țimile sale proprii se nume ște
finit ă.
Se nume ște unu (se scrie 1) proprietatea caracteristic ă a tuturor mul țimilor formate dintr-
un singur element, care alc ătuiesc clasa de echivalen ță respectiv ă. Vom nota cu doi(vom scrie 2)
proprietatea caracteristic ă a clasei de echivalen ță alc ătuită din mul țimile care au un element și
mai con țin înc ă un element ,etc. .
Form ăm, în acest mod , mul țimea ℕ a numerelor naturale, care este format ă din
elementele: 1, 2, 3 …, n … , la care este ad ăugat și num ărul zero înaintea num ărului unu.
Num ărul zero reprezint ă clasa de echivalen ță a mul țimii vide și se noteaza cu 0.
În mul țimea ℕ sunt verificate urm ătoarele cinci axiome ale lui Peano:
3.2 Axiomele lui Peano
1. Zero apar ține mul țimii numerelor naturale.
2. Fiecare num ăr natural n are un succesor, pe care îl vom nota cu s(n).
3. Num ărul zero nu este succesorul nici unui num ăr natural.
4. Dou ă numere naturale cu acela și succesor se numesc egale.
5. Dac ă M este o submul țime a lui ℕ(M⊂ℕ), care cuprinde pe zero ( 0 M ∈ ) și
care dac ă cuprinde pe n va cuprinde și pe succesorul s(n), atunci M=ℕ.
Putem stabili între elementele mul țimii ℕ legi de compozi ție interne (opera ții interne).
Oric ărei perechi ordonate (a, b) care apar ține produsului cartezian ×ℕ ℕ îi putem asocia un
element c, care apar ține lui ℕ, folosind o lege de compozi ție intern ă, pe care o vom numi
adunare.
4. Adunarea numerelor naturale
Defini ția 4.1 Adunarea numerelor naturale care se noteaz ă cu „+” este introdus ă prin
recuren ță , folosind urm ătoarelor dou ă rela ții:
1. n+0=n;
2. n+s(m)=s(n+m).
Aceste propriet ăți implic ă:
s(n)=n+1.
Deoarece:
n+1=n+s(0)=s(n+0)=s(n).
Rela ția a doua se mai poate formula în felul urm ător:
n+(m+1)=(n+m)+1,
ceea ce ne arat ă c ă, dac ă n+r este definit ă considerând r=m, tragem concluzia c ă este definit ă și
pentru r=m+1, rezultând c ă n+r este definit ă pentru orice r.
Teorema 4.2 (Propriet ățile adun ării) Adunarea numerelor naturale are urm ătoarele
propriet ăți:
1. Asociativitate: p, r,q ∀ ∈ ℕ,
(p+r)+q=p+(r+q).
Demonstrație: Egalitatea este verificat ă pentru q=0:
(p+r)+0=p+r și r+0=r, deci (p+r)+0=p+(r+0)=n+r.
Verific ăm dac ă egalitatea este adev ărat ă pentru q, atunci va fi adev ărat ă și pentru s(q).
Vom avea:
(p+r)+s(q)=s((p+r)+q)=s(p+(r+q))=p+s(r+q)=p+(r+s(q) ).
Deci, este adev ărat ă pentru orice q ∈ℕ.
2. Comutativitate: p, r ∀ ∈ ℕ,
p+r=r+p.
Demonstra ție: Arat ăm mai întâi pentru r=0, oricare ar fi p∈ℕ. Vom avea:
p+0=p;
să dovedim c ă
0+p=p.
Egalitatea este îndeplinit ă pentru p=0. Presupunem c ă dac ă este îndeplinit ă pentru p,
atunci este îndeplinit ă pentru s(p). Avem:
0+s(p)=s(0+p)=s(p).
Deci, pentru p ∀ ∈ ℕ avem:
p+0=0+p=p.
Vom ar ăta acela și fapt pentru r=1, astfel încât ob ținem rela ția:
s(p)=p+1=1+p.
Mai întâi ar ătăm c ă egalitatea:
1+p=p+1
este îndeplinit ă, considerând p ∀ ∈ ℕ. Este îndeplinit ă pentru p=0. Consider ăm c ă este îndeplinit ă
și pentru p, altfel scris
1+p=p+1
și arat ăm c ă este îndeplinit ă și pentru s(p). Din:
1+p=p+1 va implic ă s(1+p)=s(p+1),
dou ă numere naturale vor fi egale dac ă au acela și succesor. Avem:
s(1+p)=1+s(p) și s(p+1)=p+s(1)=p+(1+1)=(p+1)+1=s(p)+1.
Deci, din condi ția 1+p=p+1 rezult ă c ă s(p)+1=1+s(p). Egalitatea 1+p=p+1 este just ă,
pentru orice num ăr natural considerat. S ă ar ătăm c ă egalitatea
p+r=r+p,
care am observat c ă este îndeplinit ă pentru orice p, dac ă r este egal cu 0 sau 1, este îndeplinit ă de
orice r num ăr natural. Consider ăm c ă este îndeplinit ă pentru r, deci:
p+r=r+p,
și demonstr ăm c ă:
s(p+r)=s(r+p).
Vom avea c ă:
s(r+p)=r+s(p)=r+(p+1)=r+(1+p)=(r+1)+p=s(r)+p.
Mai avem c ă:
s(p+r)=p+s(r).
Deci,
p+s(r)=s(r)+p.
Deci egalitatea
p+r=r+p ,
este adevarat ă p, r ∀ ∈ ℕ.
5. Înmul țirea numerelor naturale
Înmul țirea este o opera ție intern ă care se poate defini pe mul țimea numerelor naturale.
Defini ția 6.1 Oric ărei perechi ordonate (n,m) de numere naturale îi pu tem asocia un
num ăr natural denumit produs, pe care îl vom nota n ⋅m, nm sau n ×m.
Putem define înmul țirea prin urm ătoarele dou ă rela ții:
1. n×0=0;
2. ns(m)=nm+m.
Teorema 6.2 Pe mul țimea numerelor naturale au loc urm ătoarele afirma ții:
1. n∀ ∈ ℕ, vom avea
n×1=n.
Demonstra ție: Au loc urm ătoarele egalit ăți:
n×1=n ×s(0)=(n ×0)+n=n.
2. Suma a m elemente toate egale cu n este egal ă cu mn.
Demonstra ție: Din defini ția înmul țirii avem:
n×s(1)=n ×1+n=n+n=2n.
Consider ăm suma
m 1 2 m S n n … n = + + + ,
la care to ți termenii au aceea și valoare cu n, ea este egal ă cu mn, atunci deducem c ă:
m 1 m S S n mn n s(m)n (m 1)n += + = + = = +
Deci, m∀ ∈ ℕ avem:
mS mn = .
3. Distributivitatea înmul țirii fa ță de adunare, p, r,q ∀ ∈ ℕ avem rela ția:
p(r+q)=pr+pq.
Ea va fi adev ărat ă pentru q=0 , p, r ∀ ∈ ℕ :
p(r+0)=pr+p ⋅0=pr.
Consider ăm distributivitatea adev ărat ă pentru q și vom demonstra c ă este adev ărat ă și
pentru s(q). Vom avea:
p(r+s(q))=ps(r+q)=p(r+q)+r=pr+pq+p=pr+ps(q).
Tragem concluzia c ă rela ția este adev ărat ă pentru p, r,q ∀ ∈ ℕ .
4. Înmul țirea este asociativ ă, p, r,q ∀ ∈ ℕ avem rela ția:
p(rq)=(pr)q.
Ea este adev ărat ă pentru q=0 , p, r ∀ ∈ ℕ :
p(rq)=(pr)q.
Consider ăm asociativitatea adev ărat ă pentru q și demonstr ăm c ă este adev ărat ă și pentru
s(q). Vom avea:
p(rs(q))=p(rq+r)=prq+pr,
iar
(pr)s(q)=prq+pr,.
Tragem concluzia c ă rela ția este adev ărat ă pentru p, r,q ∀ ∈ ℕ .
5. Înmultirea este comutativ ă, p, r ∀ ∈ ℕ avem rela ția:
pr=rp.
Ea este adev ărat ă pentru r=0 , p ∀ ∈ ℕ :
p 0 0 p 0 = = i i .
Consider ăm comutativitatea adev ărat ă pentru r și demonstr ăm c ă este adev ărat ă și pentru
s(r). Vom avea:
ps(r)=pr+r=r+pr=r+rp=s(r)p
Tragem concluzia c ă rela ția este adev ărat ă pentru p, r ∀ ∈ ℕ.
CAPITOLUL II
INELUL NUMERELOR ÎNTREGI
1. Date generale
A fost necesar ă introducerea numerelor întregi din motive practice , pentru a explica
situa ții ca: varia ția temperaturii, datorii ți venituri, etc.. Dar și datorit ă unor motive matematice
ca definirea sc ăderii numerelor naturale în orice condi ții. Conceptul de num ăr negativ apare ca o
diferen ță de numere naturale. Exist ă o infinitate de perechi de numere naturale care au aceea și
diferen ță .
Litera cu care se noteaz ă mul țimea numerelor întregi ℤ provine din germana, de la
cuvantul zahl care traduce prin cuvântul num ăr.
Mul țimea numerelor întregi este compus ă din mul țimea numerelor naturale
{0,1, 2,4,5,…} la care se adaug ă negativele numerelor nenule { 1, 2, 4, 5,…} − − − − .
2. No țiunea de grup
Vom spune c ă o mul țime P este o structur ă algebric ă, dac ă pe P sunt definite una sau mai
multe legi de compozi ție care îndeplinesc un num ăr de axiome, care vor fi numite axiome de
structur ă.
Defini ția 2.1 Vom numi grup o pereche (G, ), în care G va fi o mul țime nevid ă, iar „ ”
o lege de compozi ție intern ă pe G care urmatoarele propriet ăți:
1. Asociativitate, adic ă x, y, z G ∀ ∈ ,
(x y) z=x (y z).
2. Are un element neutru , adic ă pentru x G ∀ ∈ ,e G ∃ ∈ astfel încât
xe=e x=x.
3. Orice element din G este simetrizabil, x G ∀ ∈ , x ' G ∃ ∈ cu proprietatea
xx’=x’ x=e.
Dac ă opera ția “ ” va fi comutativ ă, atunci pentru orice x, y, z G ∀ ∈
xy=y x,
grupul (G, ) se va numi abelian sau comutativ.
Mul țimea numerelor întregi ℤ împreun ă cu adunarea numerelor întregi, notat ă „+”, este
un grup abelian ( ℤ,+), dar împreun ă cu înmul țirea numerelor întregi nu este grup, deoarece nu
îndepline ște proprietatea a treia.
3. No țiunea de inel
Structura de inel este constituit ă pe exemplul în care se d ă o mul țime nevid ă și sunt
introduse dou ă legi de compozi ție, legate între ele printr-o proprietate.
Defini ția 3.1: Cosider ăm R o mul țime cu cel pu țin un element, pe care o înzestrat ăm cu
dou ă legi de compozi ție. Vom spune c ă R este un inel în raport cu legile de compozitie “*” și
“”, dac ă sunt indeplinite axiomele urm ătoarele:
1. Perechea (R,*), alcatuit ă din mul țimea R și legea de compozi ție “*”, este un grup
abelian.
2. Legea de compozi ție ” ” este asociativ ă, adic ă x, y, z R ∀ ∈ ,
x(y z)=(x y) z.
3. Legea de compozi ție ” ” este distributiv ă fa ță de legea de compozi ție “*”, adic ă
x, y, z R ∀ ∈ ,
x (y z) x y* x z ∗ = și (y z) x y x *z z ∗ = .
Inelul R va fi notat cu (R,*, ), cu men țiunea c ă prima lege de compozi ție fiind cea în
raport cu care mul țimea R are structur ă de grup comutativ.
Legea de compozi ție “ ” trebuie s ă satisfac ă doar proprietatea de a fi asociativ ă. Ea
poate avea și alte propriet ăți.
Defini ția 3.2 Inelul (R,*, ) se va numi inel comutativ, dac ă legea de compozi ție “ ” este
comutativ ă, x, y R ∀ ∈ , avem
xy=y x.
Defini ția 3.3 Inelul (R,*, ) se va numi inel unitar dac ă legea de compozi ție “ ”are
element neutru, adic ă va exist ă un element notat 1 R ∈ cu 1, 1 ∈R, astfel încât, x R ∀ ∈ să avem
x1=1 x=x.
Un inel (R,*, ) poate fi comutativ și unitar. Mul țimea numerelor întregi ℤ este un inel
comutativ și unitar în raport cu adunarea și înmul țirea numerelor întregi.
4. Construc ția mul țimii numerelor întregi
Demostr ăm c ă mul țimea numerelor întregi ℤ este un inel comutativ și unitar, în raport
cu adunarea și înmul țirea numerelor întregi, pe care îl vom nota ( , ) +ℤ i .
Sc ăderea nu este tot timpul posibil ă pe mul țimea numerelor naturale. Ecua ția
x+m=n
are solu ții în ℕ doar dac ă n ≥m.
O pereche ordonat ă de numere naturale n și m este un element din produsul catezian
×ℕ ℕ . Putem considera în mul țimea ×ℕ ℕ submul țimea M format ă din elementele (n, m) α= ,
în care n m −, va fi un num ăr natural și alta M ' având elemente de forma (n ', m ') β= , unde
n ' m ' − .
Consider ăm r∈ℕ .
Elementele produsului cartezian ×ℕ ℕ se pot scrie:
r(m r,m) α = + ,
ele apar ținând submul țimii M. Consider ăm orice element al submul țimii Mvom avea:
(m r) m r + − = .
Între oricare dou ă elemente din submul țimea M,
1 1 1 (n , m ) α = și 2 2 2 (n ,m ) α =
se poate stabili o rela ție binar ă ℜ, pe care o vom defini pe mul țimea P prin:
1 1 (n m ) − ∈ ℕ și 2 2 (n m ) − ∈ ℕimplic ă 1 2 α ℜα , unde:
1 1 2 2 n m n m − = − .
Rela ția:
1 1 2 2 n m n m − = −
se mai poate scrie
1 2 2 1 n m n m + = + ,
Scrierea aceasta este îndeplinit ă și de elemente ce se g ăsesc ×ℕ ℕ și nu g ăsesc în mul țimea M.
Vom introduce astfel o rela ție binar ă 'ℜ în ×ℕ ℕ prin
1 2 1 2 2 1 ' n m n m α ℜ α ⇔ + = + .
Teorema 4.1 Rela ția binara 'ℜ va fi o rela ție de echivalen ță .
Demonstra ție: Rela ția îndepline ște urm ătoarele propriet ăți:
– reflexivitate: 1 1 2 ' α ∈ × ⇒α ℜ α ℕ ℕ , pentru c ă
1 1 1 1 n m n m + = + ;
– simetrie: 1 2 1 2 2 1 , , ' ' α α ∈ × α ℜ α ⇒α ℜ α ℕ ℕ , pentru c ă
1 2 2 1 2 1 1 2 n m n m n m n m + = + ⇒+ = + ;
– tranzitivitate: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 , , , ' , ' ' α α α ∈ × α ℜ α α ℜ α ⇒α ℜ α ℕ ℕ , pentru c ă
1 2 2 1 2 3 3 2 1 2 2 3 2 1 3 2 n m n m ,n m n m n m n m n m n m + = + + = + ⇒+ + + = + + + ,
folosind asociativitatea adun ării numerelor naturale, comutativitatea adun ării numerelor naturale
și regularitatea numerelor naturale fa ță de adunare ob ținem
1 3 3 1 n m n m + = + ,
vom avea
1 3 'αℜ α .
'ℜva determina o parti ție a lui N ×N în N×N/ℜ' clase de echivalen ță . Mul țimea acestor
clase de echilaven ță se va nota cu ℤ și se va numi mul țimea numerelor întregi.
Un num ăr întreg a (n, m) = este clasa de echivalen ță (sau num ărul întreg) care con ține
elementul (n,p) α= ∈ × ℕ ℕ . α se va numi reprezentant a lui a. Fiecare clas ă de echivalen ță este
reprezentată de orice element din clasa respective ă, care o va determina.
5. Adunarea numerelor întregi
Defini ția 5.1: Suma dintre dou ă elemente ale produsului cartezian ×ℕ ℕ , 1 1 1 (n , m ) α = și
2 2 2 (n ,m ) α = , va fi elementul 3 3 3 (n ,m ) α = , dat de rela ția
3 1 2 n n n = + , 3 1 2 m m m = + .
Opera ția de adunare a elementelor produsului cartezian ×ℕ ℕ este o lege de compozi ție
intern ă, care este definit ă pe întrega mul țime ×ℕ ℕ .
Teorema 5.2. Rezultatul adun ării dintre 1 1 1 (n , m ) α = și 2 2 2 (n ,m ) α = , ehivalente cu
elementele 1 1 1 ' (n ', m ') α = și 2 2 2 ' (n ', m ') α = , va fi echivalent cu rezultatul adun ării dintre
elementele 1 2 ' ' α +α .
Demonstra ție:
1 2 3 1 2 1 2 3 3 (n n ,m m ) (n , m ) α +α =α = + + =
și
1 2 3 1 2 1 2 3 3 ' ' ' (n ' n ', m ' m ') (n ', m ') α +α =α = + + = .
Elementele 3α și 3'α vor fi echivalente dac ă:
3 3 3 3 n m ' n ' m + = + ,
altfel scris:
1 2 1 2 1 2 1 2 (n n ) (m ' m ') (n ' n ') (m m ) + + + = + + + .
Vom scrie primul membru astfel:
1 1 2 2 (n m ') (n m ') + + + ,
al doilea se va scrie
1 1 2 2 (n ' m ) (n ' m ) + + + .
Știm c ă între 1α și 1'αexist ă o rela ție de echivalen ță , atunci
1 1 1 1 n m ' n ' m + = + .
De asemenea, între 2α și 2'α exist ă o rela ție de echivalen ță , atunci
2 2 2 2 n m ' n ' m + = + .
Vom avea:
1 1 2 2 1 1 2 2 (n m ') (n m ') (n ' p ) (n ' p ) + + + = + + +
Am demostrat c ă numerele 3α și 3'α sunt într-o rela ție de echivalen ță .
Consecin ța 5.3 Clasa de echivalen ță a elementului rezultat prin adunarea a dou ă
elemente din ×ℕ ℕ este în strâns ă leg ătur ă cu de clasa de echivalen ță a elementelor adunate. Ea
nu este influen țat ă de reprezentantul ales în fiecare din clasele cons iderate.
Defini ția 5.4: Vom numi sum ă a dou ă numere întregi 1a și 2a, având ca reprezentan ți pe
1α și respectiv 2α, num ărul întreg 3a care îl are ca reprezentant pe 1 2 ( ) α +α .
6. Propriet ățile adun ării numerelor întregi
Teorema 6.1 Urm ătoarele enun țuri sunt adev ărate:
1. Adunarea numerelor întregi este comutativ ă.
Demonstra ție: Consider ăm numerele întregi
1 1 1 a (n ,m ) = și
2 2 2 a (n ,m ) = . Vom avea:
1 2 1 2 1 2 a a (n n ,m m ) + = + + si
2 1 2 1 2 1 a a (n n ,m m ) + = + + ,
rezult ă c ă
1 2 2 1 a a a a + = + .
2. Adunarea numerelor întregi este asociativ ă.
Demonstra ție: Consider ăm numerele întregi
1 1 1 a (n ,m ) = ,
2 2 2 a (n ,m ) =și
3 3 3 a (n ,m ) = .
Vom avea:
1 2 3 (a a ) a (n, m) + + = , am folosit urm ătoarea nota ție 1 2 3
1 2 3 n (n n ) n
m (m m ) m = + +
= + + ,
1 2 3 a (a a ) (n ',m ') + + = , am folosit urm ătoarea nota ție 1 2 3
1 2 3 n ' n ' (n ' n ')
m ' m ' (m ' m ') = + +
= + + .
Folosind asociativitatea numerelor naturale vom ave a c ă
n=n’ și m=m’ ,
tragem concluzia c ă
1 2 3 1 2 3 (a a ) a a (a a ) + + = + + ,
pentru c ă au acela și reprezentant.
3. Adunarea numerelor întregi admite element neutru.
Demonstra ție: Consider ăm e (n,n) = .Vom avea:
(n,n) (0,0) = ,
pentru n∀ ∈ ℕ , fiindc ă
n+0=0+n.
Consider a (n, m) = , atunci:
a 0 0 a (n 0,m 0) (n, m) a + = + = + + = = .
Am demonstrat c ă num ărul e este element neutru pentru adunare.
4. Orice num ăr întreg are un opus fa ță de adunarea numerelor întregi.
Demonstra ție: Fiec ărui element
1 1 1 a (n ,m ) = îi corespunde un numar
2 1 1 a (m ,n ) = , vom
avea:
1 2 2 1 1 1 1 1 a a a a (n m ,n m ) (0,0) e + = + = + + = = .
În condi țiile date, fiecare element are un singur simetric. Vom nota cu -a simetricul
num ărului a.
Teorema 6.2 Opusul unei sume va fi egal cu suma opu șilor termenilor.
Demonstra ție: Vom nota cu -a și -b opu șii lui a și b, vom avea:
(a+b)+[(-a)+(-b)]=[(a+b)+(-a)]+(-b)=[a+(-a)+b]+(-b) =(e+b)+(-b)=b+(-b)=e.
Teorema 6.3: Ecua ția x+b=a, a,b ∈ℤ, va avea în multimea numerelor intregi doar o
solu ție.
Demonstra ție: Vom nota cu (-b) simetricul lui b și vom avea:
(x+b)+(-b)=(-b)+a=x+[b+(-b)]=x+e=x,
x va fi egal cu (-b)+a.
Pentru a,b ∀ ∈ ℤvom avea:
[(-b)+a]+b=a+[(-b)+b]=a,
ecua ția va avea o singur ă r ădăcin ă
x=(-b)+a.
6.4 Mul țimea ℤ împreun ă cu adunarea numerelor întregi este un grup abelian , fiindc ă
opera ția de adunarea are propriet ățile urm ătoare:
1. Asociativitate;
2. Are element neutru;
3. Orice num ăr întreg fa ță de adunare este simetrizabil.
4. Comutativitate.
7. Înmul țirea numerelor întregi
Defini ția 7.1 Vom numi produs a dou ă numere intregi (n 1,m 1) și (n 2,m 2) elementul
(n 3,m 3), unde:
n3=n 1n2+m 1m2 și m 3=n 1m2+n 2m1.
Teorema 7.2: Rela ția de echivalen ță 'ℜ este p ăstrat ă de opera ția de înmul țire în mul țimea
×ℕ ℕ .
Demonstra ție: Schimbând un element (n 1,m1) ori (n 2, m 2) cu un element echivalent vom
avea un produs (n 3’,m 3’) echivalent cu (n 3,m 3).
Schimbând elementul (n 2’,m 2’) vom avea:
3 3 3 a =(n ', m ') ′ , pentru 3 1 2 1 2
3 1 2 2 1 n '=n n '+m m '
m '=n m '+n 'm .
Elementele a 3 și a 3’ vor fi echivalente dac ă
n3+m 3’=n 3’+m 3,
vom avea c ă
n3+m 3’=n 1n2+m 1m2+n 1m2’+n 2’m 2=n 1n2+m 2’+m 1m2+n 2’
și
n3+m 3’=n 1n1’+m 1m2’+n 2m1+n 2m1=n 1n1’+m 2+m 1m2’+n 2,
dar (n 2,m 2) și (n 2’,m 2’) sunt echivalente. Rezult ă
n2+m 2’=n 2’+m 2,
de aici rezult ă
n3+m 3’=n 3’+m 3,
prin urmare (n 3,m 3) și (n 3’,m 3’) vor fi echivalente pentru c ă sunt din aceea și clas ă de echivalen ță .
Consecin ța 7.3 Produsul a doi reprezenta ți din clasele a 1 și a2, ale și la întâmplare, va fi
aceleeași clas ă de echivalen ță .
Clasa pe care o vom nota cu 1 2 a=a ×a sau a= a 1a2 și o vom numi produsul numerelor
întregi a 1 și a2.
Vom avea:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 a a a (n n m m ,n m n m ) = = + + .
8. Propriet ățile înmul țirii numerelor întregi
Teorema 8.1 Înmul țirea numerelor întregi are urm ătoarele propriet ăți:
1. Comutativitate.
Demonstra ție: Vom avea:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 a a (n n m m ,n m n m ) × = + + și
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 a a (n n m m ,m n m n ) × = + + ,
rezult ă c ă
a1×a 2=a 2×a 1.
2. Asociativitate.
Demonstra ție: Vom înlocui a 1,a 2,a 3 prin
1 1 2 2 3 3 (n , m ),(n ,m ),(n ,m ) și f ăcând calculele
folosind propriet ățile adun ării și înmul țiri numerelor natural, avem c ă
( )
1 2 3 1 2 3 ( a a a a a a ) (n,m) = × × = × × ,
unde
1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 n n n n n m m n m m n m m = + + + ,
1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 m n n m n n m n n m m m m = + + + .
3. Num ărul e (1,0) = este element neutru .
Demonstra ție: Pentru a (n,m) ∀ = , vom avea c ă a e e a (n 1 0 m,0 n 1 m) (n, m) a × = × = × + × × + × = = .
4. Distributivitate fa ță de adunare.
Demonstra ție: Considerând:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 a =(n ,m ),a =(n ,m ),a =(n ,m ) ,
vom avea c ă
1 2 3 a (a a ) (n,m) + = , pentru:
n=n 1(n 2+n 3)+m 1(m 2+m 3),
m=n 1[m 2+m 3]+m 1[n 2+n 3]
Cum
1 2 1 3 a a a a (n',m') + = , cu
1 2 1 2 1 3 1 3
1 2 2 1 1 3 3 1 n (n n m m ) (n n m m ) n
m ' (n m n m ) (n m n m ) m ′= + + + =
= + + + = .
Va rezulta c ă
a1(a 2+a 3)=a 1a2+a 1a3.
9. Inelul numerelor întregi
Mul țimea numerelor întregi ℤcu adunarea numerelor întregi este un grup abelian.
Înmul țirea definit ă pe ℤ:
– este asociativ ă,
– este comutativ ă,
– are element neutru
– este distributiv ă fa ță de adunare.
Vom spune c ă mul țimea numerelor întregi este inel comutativ și unitar.
CAPITOLUL III
CORPUL NUMERELOR RA ȚIONALE
1. Date generale
Din considerente didactice, se introduc mai întâi d oar numerele ra ționale pozitive în clasa
a V-a. Totu și , din punct de vedere algebric diferen ța f ăcut ă între numerele ra ționale pozitive și
negative este artificial ă.
Numerele ra ționale s-au introdus pentru a elimina imposibilitat ea efectu ării unor împ ărțiri
în mul țimea numerelor întregi. Spre exemplu, în ℤ nu este definit rezultatul împ ărțirii lui 5 la 3,
deci ecua ția 3x = 5 nu are solu ții în ℤ. Consider ăm cazul general, dac ă a,b ∈ℤ și b nu este
divizibil cu a , ecua ția ax = b nu are solu ții în mul țimea numerelor întregi. De aceea, vom
introduce mul țimea numerele ra ționale ca fiind mul țimea care are ca elemente toate câturile
dintre numerele întregi. Revenind la exemplul ante rior, cîtul împ ărțirii lui 5 la 3 este num ărul
ra țional 5 / 3 . Vom observa c ă numerele 10 și 6 au acela și cât, deci numerele ra ționale 5 / 3 și
10 / 6 sunt egale.
2. Sisteme multiplicative închise
Defini ție 2.1 Considerând I un inel unitar și comutativ. Vom numi sistem multiplicativ
închis o submul țime nevid ă S a lui I care îndepline ște urm ătoarele condi ții: 1 S ∈ șix, y S ∈,
vom avea xy S ∈.
Am introdus no țiunea de sistem multiplicativ pentru c ă dorim construc ția unei mul țimi
de frac ții cu numitori din S. Deoarece, dorim ca produsul a doi numitori s ă fie tot un numitor,
este necesar ca S s ă fie parte stabil ă fa ță de înmul țire. Este important s ă consider ăm frac țiile cu
numitorul 1, deci avem condi ția ca 1 S ∈.
Dintre sistemele multiplicative închise amintim: * {0} = − ℤ ℤ , 2−ℤ ℤ , K[X] -inelul
polinoamelor cu coeficien ți în copul fixat K.
3. Construc ția lui ℚ
Defini ție 3.1 (a, u),(b, v) I S ∀ ∈ × definim urm ătoarea rela ție
(a, u) (b, v) ∼ ,
unde av = bu.
Elementul nenul x I ∈ se va numi divizor al lui zero dac ă y I ∃ ∈ , pentru care xy = 0.
Pentru 0 S ∉ și dac ă S nu con ține divizori ai lui 0, rela ția de mai sus este o rela ție de
echivalen ță .
Dac ă S con ține divizori ai lui zero vom schimba defini ția astfel:
(a, u),(b, v) I S,(a, u) (b, v) x S ∀ ∈ × ⇔∃ ∈ ∼
Pentru care
x(av – bu) = 0.
Dac ă S nu are divizori ai lui zero și 0 S ∈ cele doua rela ții vor fi identice.
Vom ar ăta c ă ultima rela ție este o rela ție de echivalen ță :
– este reflexiv ă: (a, u) I S ∀ ∈ × , avem
(a, u) (a,u) ∼
căci 1 S ∃ ∈ astfel încât
1(au – au) = 0.
– este simetric ă: pentru (a, u) (b, v) ∼ , va x S ∃ ∈ pentru care
x(av – bu) = 0,
vom avea
x(bu – av) = 0,
altfel spus
(b, v) (a, u) ∼ .
– este tranzitiv ă: consider ăm (a, u),(b, v),(c, w) I S ∀ ∈ × , astfel încât (a, u) (b, v) ∼și
(b, v) (c, w) ∼ . Va rezulta c ă x S ∃ ∈ pentru care
x(av- bu) = 0
și y S ∃ ∈ pentru care
y(bw – cv) = 0.
Înmul țind cu wy, respectiv ux, vom ob ține:
wyxav – wyxbu = 0
uxybw – uxycv= 0.
Vom aduna rela țiile membru cu membru și vom observa c ă
wyxbu = uxybu,
va rezulta
wyxav – uxycv = 0,
adic ă
xyv(aw – cu) = 0.
Pentru ca xyv S ∈ rezulta c ă
(a, u) (c, w) ∼ .
Defini ție 3.2 Considerând (a, u) I S ∈ × . Se nume ște frac ție(de num ărator a și numitor u)
clasa de echivalen ță a lui (a,u) în raport cu rela ția ∼ și o vom nota cu a
u sau a/u. Vom nota
mul țimea I S/ ×∼ cu 1S I {a / u | a I, u S} −= ∈ ∈ .
Folosind defini ția vom introduce no țiunea de amplificare a frac țiilor cu numitorii din S,
care este dat ă de rela ția:
a ta , u, t S, a I u tu = ∀ ∈ ∀ ∈ .
Vom înzestra 1S I −cu o structur ă de inel, folosind regulile obi șnuite de adunare și
înmul țire a dou ă frac ții. Consider ăm (a, u),(b, v) I S ∈ × . Vom defini:
a b av bu
u v uv ++ = ,
a b ab
u v uv ⋅ = .
Propozi ție 3.2. 1(S I, , ) −+ ⋅ este un inel comutativ și unitar, unde:
0 0 0 , u S 1 u = = ∀ ∈
și
1 u 1 , u S 1 u = = ∀ ∈ .
Se va numi morfism canonic aplica ția 1: I S I, (a) a /1, a I −ϕ → ϕ = ∀ ∈ , care este un
morfism unitar de inele.
Demonstra ție Vom ar ăta doar c ă adunarea este correct definit ă. Consider ăm
(a, u),(b, v),(a ',u '),(b', v ') I S ∈ × , unde
(a, u) (a ', u ') ∼și (b, v) (b ', v ') ∼ .
Trebuie s ă demonstr ăm c ă
(va ub, uv) (v 'a ' u 'b ',u 'v') + + ∼ .
Considerând x, y S ∈atunci
x(u 'a ua ') 0 − = și y(v 'b vb ') 0 − = .
Vom înmul ți cu vv’y și respectiv cu uu’x egalit ățile și le adun ăm. Vom avea
yx((va ub)u 'v' (v 'a ' u 'b')uv) 0 + − + = .
Se observ ă c ă u S ∀ ∈ va avea imaginea inversabil ă prin ϕ în 1S I −. Inversul lui u/1este
1/u. Tragem concluzia c ă ecua ția ux=b are solu ția
bxu=
Observa ție 3.4. Vom avea c ă:
a) x/1 = 0 în 1S I −⇔ s S ∃ ∈ pentru care sx = 0.
b) Morfismul ϕ este injectiv ⇔S nu are divizori ai lui 0.
c) Pentru 0 S ∈, vom avea ca 1S I − .
1S I − va fi corp pentru I un inel integru și S I {0} = − , pe care îl vom numi numit corpul
total de frac ții al lui R și il vom nota cu Q(I). Daca a,b I, b 0 ∈ ≠ , inversul lui a/b este b/a. Vom
nota cu Q( ) =ℚ ℤ corpul de frac ții al lui ℤ.
4. Propriet ățile inelui de frac ții
Proprietatea (de universalitate a inelului de frac ții) 4.1 Consider ăm I un inel comutativ,
unitar și S un sistem multiplicativ închis în I. 1S I − este un inel comutativ unitar și 1: I S I −ϕ →
este un morfism unitar cu proprietatea c ă (u) ϕ este inversabil în S, u S ∀ ∈ . Oricare ar fi P un
inel unitar, comutativ și γ∀, γ: I P → , care pentru u S ∀ ∈ , γ(u) este inversabil, va exista un
singur morfism de inele 1:S I P −δ → pentru care γ=δϕ .
Teorem ă 4.2 Consider ăm I un inel comutativ, unitar și S un sistem multiplicativ închis
din I. Având alt un inel comutativ, unitar A și : I B α → un morfism cu proprietatea c ă ar fi P un
inel unitar, comutativ și γ∀, γ: I P → astfel încât γ(s) este inversabil, u S ∀ ∈ , va exista un
singur morfism de inele : A P δ → pentru care γ=δα . Vom avea un singur izomorfism unitar de
inele 1:S I A −ε → pentru care εϕ=α .
Teorema anterioar ă ne arat ă că proprietatea de universalitate a inelului de frac ții va
determina inelul de frac ții pân ă la un izomorfism.
CAPITOLUL IV
CORPUL NUMERELOR REALE
1. Date generale
Dac ă numerelor întregi și ra ționale au ap ărut din considerente practice, imediate,
numerelor reale au fost introduse din motive mai co mplexe. Matematicii greci au descoperit c ă
diagonala p ătratului cu latura de lungime 1 nu poate fi un num ăr ra țional, ceea ce i-a contrariat.
Structura de ordine a mul țimi numerelor reale este ilustrat ă cel mai bine de
reprezentarea numerelor reale ca o mul țime de puncte ce alc ătuiesc o dreapt ă. Pe aceasta dreapt ă,
vom fixa un punct O și vom considera un alt punct A O ≠ ce corespunde num ărului 1, astfel
înzestrând dreapta cu o unitate de m ăsura. Fiec ărui numar real îi va corespunde într-un mod unic
un punct de pe dreapt ă, coresponden ța fiind dat ă de distan ța de la reprezentarea num ărului real
pe dreapta la punctul fix. Deci, cu ajutorul numere le reale putem m ăsura toate distan țele.
2. Topologia pe ℚ
ℚfi definit ca un corp normat, aplica ția modul :→ℚ ℚ ,
va avea propriet ățile:
– x∀ ∈ ℚ va avea loc x 0 ≥,
– x∀ ∈ ℚ va avea loc x 0 x 0 = ⇔ = ,
– x, y ∀ ∈ ℚ va avea loc x y x y + ≤ + ,
– x, y ∀ ∈ ℚ va avea loc x y x y ⋅ ≤ ⋅ .
Cu alte cuvinte, modulul (valoarea absolut ă) este o norm ă. Vom define metrica (distan ța)
d : × → ℚ ℚ ℚ , d(x, y) x y = − , x, y ∀ ∈ ℚ, o aplica ție care are propriet ățile:
– x, y ∀ ∈ ℚva avea loc d(x, y) d(y, x) 0 = ≥ ,
– x, y ∀ ∈ ℚva avea loc d(x, y) 0 x 0 = ⇔ = ,
– x, y, z ∀ ∈ ℚva avea loc d(x, y) d(x, z) d(z, y) ≤ + .
Metrica astfel definit ă va determina o topologie pe ℚ.
3. Definirea corpului numerelor reale
Definitia 3.1 Corpul numerelor reale este definit c a un corp comutativ ( , , ) + ⋅ ℝ , pe care se
stabile ște o rela ție de total ordonare “ ≤ ” ce satisface rela țiile:
– ℝ este un corp ordonat, a,b,c ∀ ∈ ℝ vom avea c ă
a b a c b c ≤⇒+ ≤ +
și
a b,c 0 ac bc ≤ ≥ ⇒≤.
– Mul țimile majorate din ℝ vor admite margine superioar ă.
Teorem ă 3.1 Fie dou ă corpuri ordonate, comutative (K, , , ) + ⋅ ≤ și (M, , , ) + ⋅ ≤ care satisfac
ultima rela ție, va exista un unic izomorfism de corpuri : K M γ → cu proprietatea c ă
x, y K, x y (x) (y) ∀ ∈ ≤ ⇒γ ≤ γ .
Deci, definirea mul țimii numerelor reale este unic ă.
Existen ței structurii care îndepline ște rela țiile anterioare se rezolv ă prin construc ția lui
ℝ, construc ția poate fi f ăcut ă : zecimal, prin t ăieturi în Q , cu ajutorul șirurilor Cauchy , etc..
Cea mai elegant ă și rapid ă construc ție a mul țimii numerelor reale se face folosind șirurile
Cauchy.
4. Construc ția lui ℝ cu ajutorul șirurilor Cauchy
Vom porni de la ideea c ă numerele reale reprezint ă limite de șiruri de numere ra ționale.
Vom considera toate șirurile de numere ra ționale n n 1 (x ) ≥ care au o limit ă.
Defini ție 4.1 Un șir de numere ra ționale de forma n n 1 (x ) ≥se va numi șir Cauchy dac ă
îndepline ște rela ția:
, 0 N ∀ε∈ ε> ⇒∃ ∈ ℚ ℕ pentru m,n N ∀ ≥ sa avem m n x x − <ε .
Consider ăm n n 1 n n n 1 R {(x ) | x , n 1,(x ) ≥ ≥ = ∈ ∀ ≥ ℚ șir Cauchy}
Dou ă șiruri n n 1 (x ) ≥, n n 1 (y ) R ≥∈ vor fi echivalente dac ă vor avea aceea și limit ă.
Deci n n n n (x ) (y ) 0 N ⇔∀ε> ⇒∃ ∈ ∼ ℕ cu proprietatea c ă pentru n N ∀ ≥ vom avea
n n x y − <ε .
Un num ăr real va fi o clas ă de echivalen ță de șiruri din R, mul țimea factor R/ ∼ se va
nota cu ℝ și se va numi mul țimea numerelor reale. Fiecare num ăr ra țional va fi de forma
(a,a,a,…) R ∈ .
R este inel unitar, comutativ unde n n n n n n (x ) (y ) (x y ) 0 ⇔ − → ∼ .
Dac ă n n 1 n P {(z ) R,(z ) 0} ≥= ∈ → , atunci P este ideal maximal în R, deci R / P =ℝ este
corp comutativ . Se va nota cu n[(x )] imaginea șirului n n 1 (x ) R ≥∈, în R / P =ℝ .
Teorem ă 4.2 a) (R, , ) + ⋅ este un inel comutativ și unitar unde:
n n n n n n n (x ) (y ) (x y ) + = + ,
n n n n n n n (x ) (y ) (x y ) ⋅ = ⋅ ,
n n (x ),(y ) R ∀ ∈ .
b) Mul țimea R / P =ℝ este corp comutativ .
c) a∀ ∈ ℚ, definim șirul constant *
n n n (a ) R,a a, n ∈ = ∀ ∈ ℕ. Prin asociere unui
element a ∈ℚ cu clasa în R / P =ℝ a șirului constant n n (a ) se ob ține un morfism de corpuri.
d) Fie pe R / P rela ția binar ă " < " , dat ă de formula n n [(x )] [(y )] , 0 < ⇔ ∃ε∈ ε> ℚși
N∃ ∈ ℕ pentru care n n x y , n N +ε≤ ∀ ≥ .
Rela ția” < ” va fi bine definit ă și va fi o rela ție de ordine strict ă pe R / P . Rela ția binar ă
”≤” va fi o rela ție de ordine total ă pe ℝ.
e) Consider ăm :→ℝ ℝ , unde n n [(x )] [ (x ) ] = , nx R ∀ ∈ . Aplica ția este corect
definit ă și îndepline ște propriet ățile normei definite anterior.
f) Dac ă n n 1 (r ) ≥ este un șir Cauchy de numere reale, atunci el converge la un num ăr
real.
g) Mul țimile nevide majorate cu elemente din ℝ au margini superioare.
h) Mul țimea numerelor ra ționale este dens ă în mul țimea numerelor reale.
Demonstra ție: Vom demonstra subpunctele b și f.
b) P este ideal maximal.
Lu ăm n(x ) R \ P ∈ , va exista N∈ℕși 0δ> să fie adevarat ă rela ția nx , n N >δ ∀ ≥ .
Pentru c ă n(x ) nu tinde la 0, va exista 0ε> astfel încât n n N, k n ∀ ∈ ∃ > să avem
nkx>ε . Dar,
n(x ) este Cauchy, considerând / 2 ε va N∃ ∈ ℕ să avem n m x x / 2 − <ε , m,n N ∀ ≥ .
Consider ăm N m k = care îndepline ște rela ția anterioar ă. Pentru n N ∀ ≥ , vom avea
n m n n m n m x x x m x x x 2 2 ε ε = + − ≥ − − >ε− = .
Va exista N∈ℕ pentru care nx 0 ≠ dac ă n N <. Consider ăm șirul n(y ) , ny 0 =pentru
n<ℕși n n y 1/ x = pentru n N ≥. Vom avea c ă n(y ) este un șir Cauchy și c ă
n n n x y 1 z = + ,
unde nz este 0 pentru n N ≥, altfel spus n(z ) P ∈.
Consider ăm un șir Cauchy de numere reale n n 1 (r ) ≥. Pentru nk k 1 (r ) ≥ un șir Cauchy de
numere ra ționale facem nota ția n nk k 1 r [(r )] ≥= , n∀ fixat. Pentru n, k 1 ∀ ≥ vom face
nota ția nk r r(n, k) = . S ă ar ătam c ă nk k 1 (r ) ≥are limita n n n 1 [r(i , j ) ] ≥ în multimea numerelor reale,
notând cu n n i , j dou ă șiruri strict cresc ătoare de numere naturale.
Deoarece n n 1 (r ) ≥este șir Cauchy în multimea numerelor reale, având 1/ 4 ε= , va exista
1i∈ℕ cu proprietatea c ă oricare ar fi 1 a, b i ≥ vom avea
a b 1r r 4− < .
Deoarece
1i k k 1 (r ) ≥este șir Cauchy în mul țimea numerelor ra ționale, 1 c,d j ∀ ≥ (unde
1j∈ℕ) vom avea c ă
1 1 1r(i ,c) r(i ,d) 4− < .
Consider ăm un num ăr natural n 2 ≥ și pentru k { 1,…, n 1 } ∀ ∈ − definim șirurile de
numere naturale i 1 < i 2 < … < i n-1 și j1<j 2< …< j n-1 cu propriet ățile:
a b k k 1 1r r , a, b i 2+− < ∀ ≥ ;
k k k k 1 1r(i ,c) r(i ,d) , c,d j 2+− < ∀ ≥ ;
k k 1 k k1r(i ,c) r(i ,c) , c, j 2−− < ∀ ≥ .
Ultima rela ție este vid ă pentru k = 1.
Fie șirul Cauchy n n 1 (r ) ≥ în mul țimea numerelor reale, consider ăm n 1 1/ 2 +ε= , va exista
ni∈ℕ pentru care n n 1 i i −> și
a b n n 1 1r r , a, b i 2+− < ∀ ≥ .
Deoarece n k 1 (r(i , k)) ≥este șir Cauchy în multimea numerelor rationale, va exist a np∈ℕ
să avem
n n n n 1 1r(i ,c) r(i ,d) , c,d p 2+− < ∀ ≥ .
Din prima rela ție aplicat ă pentru k n 1 = − și n n 1 a i , b i − = = vom avea c ă
n n 1 i i n1r r 2−− < ,
va exista nq, care va satisface
n n 1 n n1r(i ,c) r(i ,c) , c q 2−− < ∀ ≥ .
Rela țiile a doua și a treia sunt îndeplinite pentru n n 1 n n j max(j 1, p ,q ) −= + și k=n , iar
n n 1 j j −> . Pentru oricare k 1 ≥ am construit șirurile strict cresc ătoare n n i , j , care satisfac toate cele
trei rela ții.
Vom nota n n n x r(i , j ) = , pentru orice n 1 ≥. Vom demonstra c ă n n 1 (x ) ≥ este șir Cauchy
în multimea numerelor ra ționale. Oricare ar fi n<m, n, m ∈ℕ, vom avea c ă
m n m m n n m m n m m n n x x r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(in, j ) r(i , j ) − = − ≤ − + − .
Folosind rela ția a treia, vom avea c ă
m m
m m n m k m k 1 m k n
k n 1 k n 1 1 1 r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) 2 2 −
= + = + − = − < < ∑ ∑ .
dar,
n
n m n n r(i , j ) r(i , j ) 1/ 2 − < .
Făcând înlocuirea , vom avea c ă
m n m m n n n n n 1 1 1 1 x x r(i , j ) r(i , j ) 2 2 2 −− = − < + = ,
deci șirul n(x ) este Cauchy.
Vom demonstra c ă rn va avea limita n n n 1 x [(r(i , j )) ] ≥ = . Consider ăm 0ε> și k∈ℕ pentru
care k1/ 2 / 3 <ε . Din prima rela ție vom avea c ă
a b k k 1 1r r , a, b i 2+− < ∀ ≥ .
Pentru n > i k, vom ar ăta c ă nr x − <ε . Pentru aceasta, vom demonstra N∃ și b N ∀ ≥
vom avea
nb b b b r x r(n,b) r(i , j ) − = − <ε .
Consider ăm q∈ℕ, pentru care qi n ≥. Cum
q n i k 1 1r r 2+− < ,
va exista N 0 pentru care, 0 b N ∀ ≥ , să avem
q r(n,b) r(i ,b) 3ε− < .
Deoarece nr este un șir Cauchy va exista N 1 pentru care, 1 a,b N ∀ ≥ , să avem
r(n,b) r(n,a) 3ε− < .
Dac ă N este 0 1 q max(N , N ,i ) , pentru b N ≥ vom avea c ă
b b b b q b q b b b r(n,b) r(i , j ) r(n,b) r(n, j ) r(n, j ) r(i , j ) r(i , j ) r(i , j ) − ≤ − + − + − .
5. Complementarea unui corp normat
Defini ție 5.1 Consider ăm o mul țime X {} ≠. Vom numi distan ță pe X o aplica ție care
satisface urm ătoarele axiome:
– x, y X ∀ ∈ va avea loc ()() d x, y 0 d y, x = ≥;
– x, y X ∀ ∈ va avea loc () d x, y x 0 y =⇔ = ;
– x, y, z X ∀ ∈ va avea loc ()() d x, y d x, d( ) z z, y ≤ + .
Considerând o distan ță d pe X, un dublet (X, d) se nume ște spa țiu metric, iar elementele
lui X se numesc puncte.
Not ăm cu
S(x, r) {y X | d(x, y) r} = ∈ <
sfera deschis ă de raz ă r și centru x.
Distan ța va defini o topologie pe X. D X ⊂este deschis ă dac ă pentru orice x D ∈va
exista r>0, s ă avem S(x, r) D ⊂. Șirul n n 1 (x ) ≥ va fi convergent la
x D 0, N , n N ∈ ⇔∀ε> ∃ ∈ ∀ > ℕ să avem nd(x , x) <ε . Un dublet (X, d) va fi numit complet
dac ă fiecare șir Cauchy din X va fi convergent la un element din X.
Mul țimea numerelor ra ționale este un spatiu metric, dar nu este complet. Completând
spa țiul metric al mul țimii numerelor ra ționale putem construi spa țiul metric complet al mul țimii
numerelor reale.
Defini ție 5.2 Consider ăm un corp C comutativ. Aplica ția N : C →ℝ se va numi norm ă
dac ă îndepline ște urm ătoarele cerin țe:
– x C ∀ ∈ va avea loc N(x) 0 ≥;
– x C ∀ ∈ va avea loc N(x) 0 x 0 = ⇔ = ;
– x, y C ∀ ∈ va avea loc N(x y) N(x) N(y) + ≤ + ;
– x, y C ∀ ∈ va avea loc N(x y) N(x) N(y) ⋅ ≤ ⋅ .
Fie K un corp și N o norm ă. Dubletul (K, N) se va numi corp normat. Mul țimea
numerelor ra ționale este un corp normat, dar nu este complet. Co mpletând corpul normat al
mul țimii numerelor ra ționale putem construi corpul normat complet al mul țimii numerelor reale.
CAPITOLUL V
CORPUL NUMERELOR COMPLEXE
1. Date generale
Încerc ările rezolv ării ecuațiilor polinomiale cu coeficien ți reali au fost unele din motivele
dezvolt ării algebrei. S-a observat c ă ecua ția de forma 2X 1 0 + = nu are solu ții în mul țimea
numerelor reale. Solu ția acestei ecua ții este egal ă cu r ădăcina p ătrat ă din num ărul 1−.
Pentru exprimarea solu țiilor unor ecua ții s-a folosit nota ția i 1 = − și s-a constatat c ă este
mai u șor s ă lucr ăm cu numere de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale. Numerele de forma
aceasta se adun ă și se înmul țesc folosind regulile de adunare și înmul țire definite pe mul țimea
numerelor reale, dar trebuie s ă ținem seama de faptul c ă 2i 1 =− .
Un num ăr complex de forma a+bi este alc ătuit dintr-o parte real ă “a” și o parte imaginar ă
“bi”. Se folose ște termenul imaginar pentru a ar ăta c ă nu avem de-a face cu numere reale.
2. Construc ția corpului numerelor complexe
Vom face nota ția = × ℂ ℝ ℝ . Dac ă (a, b),(c,d) ∈ × ℝ ℝ , atunci vom defini:
()()( ) a,b c,d a c, b d + = + + ,
(a, b) (c,d) (ac bd,ad bc) ⋅ = − + .
Teorema 2.1 Tripletul ( , , ) + ⋅ ℂ va fi un corp comutativ, iar ecua ția 2x 1 0 + = are solu ția
în acest corp.
Demonstra ție: Elementul neutru pentru adunare este perechea (0,0) , iar opusul
elementului (a, b) este ( a, b) − − . Asociativitatea și comutativitatea adun ării pe ℂ rezult ă imediat
din propriet ățile adun ării pe ℝ. Prin urmare, ( , ) +ℂ este un grup abelian.
Vom considera (a, b),(c,d),(e,f ) ∈ × ℝ ℝ pentru a ar ăta c ă dubletul ( *, ) ⋅ℂ este grup
comutativ.
Deoarece
(a, b) (c,d) (ac bd,ad bc) ⋅ = − + ,
iar
(c,d) (a,b) (ca db,cb da) ⋅ = − + ,
rezult ă folosind propriet ățile înmul țirii și adun ării pe ℝ că
(a, b) (c,d) (c,d) (a,b) ⋅ = ⋅ .
Deci înmul țirea este comutativ ă pe ℂ.
Asociativitatea înmul țirii rezult ă din rela ția
()()()()()()( ) a,b c,d e,f a,b c,d e,f ace adf bcf bde,acf ade bce bdf = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − + + − .
Elementul neutru pentru înmul țire este (1,0) pentru c ă
()()()()() a, b 1,0 1,0 a, b a,b = = .
Vom considera (a, b) ∈ × ℝ ℝ , unde a 0 ≠sau b 0 ≠. Inversul num ărului (a,b) este num ărul
1
2 2 2 2 a b (a, b) , a b a b − = − + + ,
deoarece
1(a, b) (a,b) (0,1) −⋅ = .
Înmul țirea este distributiv ă fa ță de adunare pentru c ă
()()()()()()()( ) a, b c,d e,f a,b c, d a, b e,f ac ae bd bf ,ad af bc be + = + = + − − ⋅ ⋅ ⋅ + + + ,
oricare ar fi (a, b),(c,d),(e,f ) ∈ × ℝ ℝ .
Pentru i=(0,1), vom avea c ă 2i (0,1) (0,1) ( 1,0) (1,0) = ⋅ = − =− . Deci, ecua ția 2x 1 0 + = are
solu ția în ×ℝ ℝ .
ℝ este un subcorp al lui ℂ, deoarece putem define o functie injectiv ă pe ℝ, cu valori în
ℂ, care asociaz ă num ărului real x perechea (x,0).
Orice num ăr x (a,b) = ∈ × ℝ ℝ se poate scrie
()()() x a,0 b,0 0,1 a ib ⋅ = + = + ,
unde i=(0,1).
Vom numi mul țimea numerelor complexe, mul țimea ℂdefinit ă anterior. Tripletul
( , , ) + ⋅ ℂ este corpul numerelor complexe, iar elementele mul țimii −ℂ ℝ se numesc pur
imaginare. Pentru x a ib , a,b = + ∈ ∀ ∈ ℂ ℝ vom numi partea real ă a numarului complex x
num ărul a, iar partea imaginar ă a num ărului este ib.
3. Modulul unui num ăr complex
Num ărul x a bi = − ∈ ℂse va numi conjugatul num ărului complex z, unde x a ib = + ∈ ℂ,
iar modulul lui z va fi dat de rela ția
2 2 z a b = + .
Teorema 3.1 Dac ă 1 2 3 3 x , x , x , x 0 ∈ ≠ ℂ , atunci:
– 1 1 1 x x x ∈ ⇔ = ℝ ,
– 1 1 x x =,
– 2
1 1 1 x x x ⋅ = ;
– 1 2 1 2 x x x x ± = ± ;
– 1 2 1 2 x x x x ⋅ = ⋅ ;
– 1 1
3 3x x
x x =
;
– 1 1 x x = ;
– 1 2 1 2 x x x x + ≤ + ;
– 1 2 1 2 x x x x ⋅ ≤ ⋅ ;
– 1 1
3 3 x x
x x = .
Demonstra ție: Vom demonstra doar unele rela ții, celelalte probându-se u șor.
Consider ăm 1 1 1 x a b i = + , pentru 1x∈ℝ vom avea c ă 1b 0 =, altfel spus 1 1 1 x a x = = .
Pentru 1 1 x x =vom avea c ă 1 1 b b =− ,atfel spus 1b 0 =, rezult ă 1x∈ℝ.
Pentru a demonstra 1 2 1 2 x x x x + ≤ + , vom alege 1 1 1 x a b i = + si 2 2 2 x a b i = + , unde
1 2 1 2 a ,a , b , b ∈ℝ.Vom avea c ă
1 2 1 2 x x x x + ≤ + ⇔
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 (a a ) (b b ) (a b ) (a b ) + + + ≤ + + + ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 a a 2a a b b 2b b a a b b 2 (a b )(a b ) + + + + + ≤ + + + + + + ⇔
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 (a a b b ) (a b )(a b ) + ≤ + + ⇔
2
1 2 1 2 (a b b a ) 0 + ≥ .
Vom avea egalitate pentru 1 2
1 2 a a
b b = .
4. Teorema fundamental ă a algebrei
Vom spune despre un corp M c ă este o extindere corpului C dac ă C este subcorp al lui
M.
Lema 4.1 Consider ăm C un corp comutativ și f C[X] ∈ , unde grad(f ) 1 ≥. Va exista o
extindere M a lui C unde se g ăsesc toate r ădăcinile lui f.
Lema 4.2 Consider ăm C un corp comutativ și f C[X] ∈ , unde grad(f ) 1 ≥. Fie M o
extindere a lui C care con ține r ădăcinile 1 n x ,…, x ale lui f și 1 n g C[X ,…,X ] ∈ un polinom
simetric vom avea ca 1 n g(x ,…, x ) C ∈.
Prima lem ă exprim ă un rezultat clasic, iar a doua lem ă se ob ține din teorema
fundamental ă a polinoamelor simetrice.
Teorema (fundamental ă a algebrei ) 4.3 Fiecare polinom f [X] ∈ℂ cu gradul mai mare
sau egal cu unu are cel pu țin o r ădăcin ă în mul țimea numerelor complexe.
Demonstra ție: Not ăm cu ia conjugatul lui ia, pentru orice 1 i n ≤ ≤ vom considera
n
0 1 n f a a X … a X = + + +
și
n
0 1 n f a a X … a X = + + + .
Pentru
k i j
i j k c a a
+ = =∑ ,
unde 0 k 2n ≤ ≤ , vom avea c ă
2n
k k
k 0 f f c X
==∑ .
Dar din k k c c = vom avea c ă f f [X] ∈ℝ .
Vom presupune c ă teorema este verificata de toate polinoamele din [X] ℝ .Va exista
num ărul complex a pentru care
(f f )(a) 0 = ⇔
f (a)f (a) 0 = ⇔
f (a) 0 =
sau
f (a) 0 =.
Rezult ă că presupunerea este suficient ă. Consider ăm c ă f are gradul impar rezult ă c ă
func ția polinomial ă a polinomului considerat este continu ă și la ±∞ va lua semne opuse, deci
a∃ ∈ ℝ pentru care f(a)=0.
Not ăm n=grad(f), unde n=2kp, k∈ℕ și p impar . Dac ă k=0 este evident afirma ția.
Consider ăm afirma ția adev ărat ă pentru oricare polinoame a c ăror grade se împart exact prin 2k-1
și nu se împart exact prin 2k.
Din prima lem ă rezult ă c ă exist ă o extindere M a mul țimii numerelor complexe în care
polinomul f va avea toate r ădăcinile 1 n x ,…, x .
Fie
a
ij i j i j z x x a(x x ) = + + ,
unde 1 i j n ≤ < ≤ si a∈ℝ.
Polinomul
a
a ij
1 i j n f (X z )
≤ < ≤ = − ∏
are gradul egal cu
k k 1
2 k 1
nn(n 1) 2 p(2 p 1) C 2 m 2 2 −
− − − = = = ,
unde m este impar. Polinomul af va avea coeficien ții polinoame simetrice de a
ij z. Din lema a
doua rezult ă c ă af [X] ∈ℝ .
Deoarece 2k-1 împarte exact gradul lui afși 2k nu împarte exact gradul lui af, va rezulta
că afva avea cel pu țin o r ădăcin ă în ℂ. Vor exista a,b ∈ℝ,a b ≠ pentru care a b
ij ij z , z ∈ℂ.
Cum
a
ij i j i j z x x a(x x ) = + +
și
b
ij i j i j z x x b(x x ) = + +
vom avea c ă
a b
ij ij i j z z (a b)(x x ) − = − +
Va rezulta c ă i j x x + ∈ ℂși i j x x ∈ℂ, deci i j x , x ∈ℂ.
Folosind teorema tragem concluzia c ă un polinom de grad mai mare sau egal cu unu are
toate r ădăcinile în mul țimea numerelor complexe, deci corpul numerelor comp lexe va fi algebric
închis. În mul țimea numerelor complexe polinoamele ireductibile a u gradul unu.
CAPITOLUL VI
PROGRAM Ă DE OP ȚIONAL “MAGIA NUMERELOR”
1. Date generale
Disciplina: Matematic ă
An scolar:
Durata: 1 an
Clasa: a V-a
Ore pe saptamana: 1 ora
Profesor propun ător:
Școala:
Denumirea op ționalului:
„Magia Numerelor”
Aria curriculara: Matematica și știin țe ale naturii
Tipul: Op țional la nivelul disciplinei
Disciplina implicat ă – matematic ă
2. Not ă de prezentare
Am realizat programa op ționalului „Magia numerelor” pentru a-i motiva pe e levi c ătre
studiul matematicii prin descoperirea numeroaselor și interesantelor propriet ăți ale numerelor.
Consider c ă printre cele mai mari inven ții ale umanit ății este inventarea numerelor.
Simplitatea actual ă a no țiunii de num ăr a fost rezultatul unui lung proces de abstractiza re. De ce
au ap ărut numerele naturale? Numerele 0,1,2,3,……, sunt o biectul op ționalului, ele sunt numere
atât de u șor de perceput încât le-am numit naturale. Ce cunoa ștem noi despre numerele naturale?
Numerele naturale urmeaz ă unul dup ă altul, mereu va exist ă un altul, precizând un num ăr, vom
afla succesorul s ău ad ăugând 1, numerele naturale sunt din ce în ce mai ma ri, nu se sfâr șesc, de și
avem un un cel mai mic num ăr nu avem un ultim num ăr. În nesfâr șita lor succesiune, atât de
obi șnuit ă pentru noi, se afl ă neobi șnuite iregularit ăți, dar și minunate tipare, toate acestea
făcându-mă s ă aleg acest op țional. Deasemenea, doresc s ă îmi ajut elevii s ă perceap ă
matematica și în alt mod, nu doar ca pe un obositor șir de reguli.
În acest op țional, am prev ăzut jocuri și probleme distractive, de logica, care vor dezvolt a
memoria, spiritului de observa ție, iste țimea elevilor.
Nu trebuie privit ă matematica ca o în șiruire de cifre, algoritmi sau probleme care trebui e
să le memoram și rezolv ăm pentru c ă sunt prev ăzute în programa școlar ă, ci este și o disciplin ă
interesant ă. Trebuie s ă ne convingem elevii c ă matematica nu este atât de grea cum pare la
prima vedere.
Matematica îi ajuta pe copii s ă î și dezvolte aten ția, s ă observe cu b ăgare de seam ă
datelor unei probleme, s ă găseasc ă orice am ănunt relevant, s ă deosebeasc ă informa țiile esen țiale
de cele neimportante pentru a rezolva corect proble ma. Activit ățile didactice formeaz ă judec ăți
analitice în rândul elevilor, necesare dezvoltarii unor personalit ăți inventive, iubitoare de
investiga ții.
Prin aceast ă program ă de op țional, am încercat s ă r ăspund necesit ății de formare de
capacit ăți, atitudini și competen țe cl ădite pe gândirea logic ă, critic ă, divergent ă și creativ ă.
Am implicat p ărin ții în alegerea op ționalului, iar în alegerea con ținuturile am ținut cont
de particularit ățile de vârst ă și interesele elevilor.
În organizarea activit ăților, domin ă lucrul în echip ă care faciliteaz ă comunicarea și
angajeaz ă elevii în diverse roluri în cadrul grupului.
3. Competen țe generale (preluate din Programa școlar ă la Matematic ă pentru clasele a
V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII a, 2009)
1. Identificarea unor date și rela ții matematice și corelarea lor în func ție de contextul în
care au fost definite;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ , structural, contextual cuprinse în enun țuri
matematice;
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea lo cal ă sau
global ă a unei situa ții concrete;
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitat ive sau calitative ale unei situa ții
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora;
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale un ei situa ții-problem ă;
6. Modelarea matematic ă a unor contexte problematice variate, prin integra rea
cuno știn țelor din diferite domenii.
4. Valori și atitudini
• Formarea în rândul elevilor a unei gândiri creat ive și deschise, independen ței în ac țiune
și în gândire pentru a avea capacitatea de a aborda sarcini diferite, dezvoltarea ini țiativei;
• Dezvoltarea perseveren ței, tenacit ătii, aten ției distributive și a posibilit ăților de
concentrare;
• Formarea capacit ății de observare;
• Formarea și dezvoltarea sim țului critic și estetic, a capacit ății de a aprecia ordinea,
rigoarea și elegan ța în elaborarea rezolv ării unei probleme sau a construirii unei teorii;
• Dezvoltarea obi șnuin ței de apela la concepte și metode matematice în abordarea unor
situa ții din via ța de zi cu zi sau pentru rezolvarea unor probleme c u caracter practic;
• Dezvoltarea motiva ției pentru studiul matematicii ca domeniu esen țial pentru via ța
profesional ă și social ă.
5. Competen țe specifice și con ținuturi
Competen țe specifice Con ținuturi
1. Identificare no țiunilor legate de
numere naturale și stabilirea leg ăturii cu
semnele actuale
2.Folosirea opera țiilor aritmetice în
exerci ții de scriere a unor numere în
sisteme de scriere variate
3.Alegerea și utilizarea algoritmilor
potrivi ți pentru determinarea unor numere
naturale
4.Exprimarea și discutarea
rezultatelor ob ținute prin calcul
5.Aplicarea formulelor de calcul și
transpunerea situa țiilor practice în limbaj
matematic
6.Integrarea no țiunilor înv ățate
despre numere în alte domenii
1.C ălătorie în lumea numerelor
Ce știm despre numere? Istoria
evolu ției sistemelor de scriere a numerelor
Șiruri de numere
Întocmirea șirurilor dup ă o regul ă
dat ă
Numere interesante. Numere pare,
numere impare
Baze de numera ție. Sisteme de
numera ție
Numere „Curioase”
1.Identificarea propriet ățiilor
opera țiilor matematice și corelarea lor cu
no țiunile teoretice
2.Folosirea propriet ățiilor
opera țiilor aritmetice în calcule
3.Selectarea și utilizarea de
algoritmi pentru efectuarea opera țiilor cu
numere naturale
4.Exprimarea în limbaj matematic
no țiunilor descoperite în via ța cotidian ă
5. Aplicarea tehnicilor de calcul în 2. Opera ții cu numere
Sume de numere naturale
Sume neobisnuite
Reconstituirea opera țiilor
Pătrate perfecte.Cuburi perfecte
Ultima cifr ă a numerelor.
Ultima cifr ă a num ărului care nu este
pătrat perfect
Opera ții magice
Criptaritmul
construc ții numerice
6. Transpunera unor situa ții-
problem ă în limbaj matematic, rezolvarea
problemelor utilizând opera țiile cu numere
și interpretarea rezultatului
1. Identificarea situa țiilor în care
exist ă posibilitatea efectu ării calcului rapid
și corelarea lor cu no țiunile teoretice
2. Folosirea artificiilor de calcul în
efectuarea de adun ări, sc ăderi, înmul țiri ,
împ ărțiri
3.Selectarea și utilizarea unor
modalit ăți adecvate de folosire a calcului
rapid
4.Exprimarea în limbaj matematic a
no țiunilor legate de calculul rapid
5.Interpretarea unor contexte
matematice utilizând calculul rapid și
artificii de calcul
6. Transpunerea unei situa ții-
problem ă in limbaj matematic utilizând
artificii de calcul
3.Calcul rapid
Scamatorii matematice
Str ădanii de perfec ționare a
calculului
Artificii în calculul rapid al adun ării,
sc ăderii, înmul țirii și împ ărțirii.
1.Identificarea datelor esen țiale
oferite într-o problem ă și a datele cerute de
problem ă
2. Folosirea opera țiilor și a
conceptelor geometrice în îndeplinirea unor
sarcini matematice
3. Selectarea și utilizarea unor 4. Probleme iste țe
Rebus matematic .Anecdote
matematice
Pătrate magice-Sudoku
Tangram
Probleme de logic ă și perspicacitate
Probleme de aten ție
modalit ăți adecvate de rezolvare a
problemelor și exerci țiilor
4.Exprimarea no țiunilor matematice
cunoscute în rezolvarea sau compunerea
unor probleme
5. Interpretarea matematic ă a unor
probleme prin utilizarea unor metode
diferite
6.Transpunerea unei probleme în
limbaj matematic utilizând metode diverse
Probleme de intui ție
Probleme cu erori
Probleme tip „capcan ă – surprize”
Probleme distractive
6. Sugestii metodologice
Strategii didactice:
– problematizarea,
– coversa ția euristic ă,
– demonstra ția,
– dezbateri în scopul definirii conceptelor,
– explorarea interdisciplinar ă,
– investiga ția în grup,
– discurs argumentativ
– discu ția liber ă și dirijat ă.
Resurse materiale:
– fi șe de grup,
– laborator de informatic ă și matematic ă,
– cărți de specialitate.
7. Exemple de activit ăți de înv ățare asociate competen țelor specifice
Competen țe specifice Exemple de activit ăți de înv ățare
1.Identificare
no țiunilor legate de numere
naturale și stabilirea leg ăturii
cu semnele actuale
-Recunoa șterea simbolurilor care au fost utilizate
ca cifre de romani
-Recunoa șterea simbolurilor care au fost utilizate
ca cifre de indieni/arabi
-Recunoa șterea simbolurilor care au fost utilizate
ca cifre de egipteni
-realizarea de desene în care apar simboluri
utilizate ca cifre
2. Folosirea opera țiilor
aritmetice în exerci ții de
scriere a unor numere în
sisteme de scriere variate – Scrierea numerelor folosind variate sisteme de
scriere
– Despre num ărul 999
-Num ărul 365
– Num ărul Șeherazadei;
3.Alegerea și
utilizarea algoritmilor
potrivi ți pentru determinarea
unor numere naturale. -Determin ări de numere repetitive
-Folosirea resturilor în determinarea unui num ăr;
-Exerci ții de determinare a unor numere naturale
formate din mai multe cifre
4.Exprimarea și
discutarea rezultatelor
ob ținute prin calcul -Stabilirea termenului general al unui numr p ăr
-Stabilirea termenului general al unui num ăr
impar
-Stabilirea termenului general al unor șiruri
5.Aplicarea formulelor
de calcul și transpunerea
situa țiilor practice în limbaj
matematic – Aplicare de formule și calcul aritmetic
– Exerci ții de calculare al a n-lea termen al unui
șir
6.Integrarea no țiunilor
cunoscute despre numere în
alte domenii -Folosirea de reguli proprii pentru construirea
unor șiruri numerice.
-Identificarea și stabilirea leg ăturii dintre termenii
unor șiruri numerice ce apar în natur ă
Competen țe specifice Exemple de activit ăți de înv ățare
1.Identificarea
propriet ăților opera țiilor
matematice și corelarea
lor cu no țiunile teoretice
-Definirea propriet ăților adun ării
-Definirea propriet ăților sc ăderii
-Definirea propriet ăților înmulțirii
-Definirea propriet ăților împ ărțirii
2.Folosirea
propriet ățiilor opera țiilor
aritmetice în calcule
– Alc ătuirea de piramide de numerelor folosind
opera ții de adunare
– Alc ătuirea de piramide de numerelor folosind
opera ții de înmul țire
3.Selectarea și utilizarea
de algoritmi pentru
efectuarea opera țiilor cu
numere naturale
– Exerci ții de punere in valoare și de utilizare a
propriet ăților adun ării numerelor naturale
– Exerci ții de punere in valoare și de utilizare a
propriet ăților înmul țirii numerelor naturale
– Utilizarea algoritmului împ ărțirii cu restul egal
cu zero si cu cu restul diferit de zero,
– Utilizarea algoritmului împ ărțirii cu restul egal
cu zero si cu cu restul diferit de zero
4.Exprimarea în limbaj
matematic a no țiunilor
descoperite în via ța
cotidian ă
– Reprezentarea unor p ătrate perfecte cu
identificarea regulilor de formare a p ătratelor perfecte
– Reprezentarea unor cuburi perfecte cu
identificarea reguliilor de formare a cuburilor per fecte
5.Aplicarea tehnicilor de
calcul în construc ții -Completarea spa țiilor libere cu opera țiile
potrivite pentru a avea egalit ăți adev ărate
numerice
-Completarea spa țiilor libere cu opera țiile
potrivite pentru a avea inegalit ăți adev ărate
6.Transpunera unor
situa ții-problem ă în limbaj
matematic, rezolvarea
problemelor utilizand
opera țiile cu numere și
interpretarea rezultatului – Rezolvarea problemelor care conduc la utilizarea
opera țiilor studiate
-Rezolvarea unor probleme prin realizarea de
conexiuni între ultima cifr ă a unui num ăr și propriet ățile
sale
Competen țe specifice Exemple de activit ăți de înv ățare
1.Identificarea
situa țiilor în care exist ă
posibilitatea efectu ării
calcului rapid și corelarea lor
cu no țiunile teoretice -Stabilirea diferitelor posibilit ăti de efectuare a
unui calcul
-Exerci ții de recunoa șterea unui num ăr dintr-un
șir dat
-Exercitii de recunoa șterea unui num ăr dintr-o
schem ă dat ă
2. Folosirea artificiilor
de calcul în efectuarea de
adun ări, sc ăderi, înmul țiri ,
împ ărțiri -Exerci ții de calcul rapid mintal
-Exerci ții de calculare folosind artificii de calcul
3.Selectarea și
utilizarea unor modalitati
adecvate de folosire a calcului
rapid
-Exerci ții de estimare sau de rotunjire a
rezultatelor
-Reducerea unui calcul la o schem ă sau model
-Remarcarea unor invaria ții în calcule
4.Exprimarea în limbaj
matematic a no țiunilor legate
de calculul rapid
-Descrierea unor scamatorii matematice
-Generarea unor idei privind modalit ăți de calcul
rapid
-Argumentarea unor posibilit ăti de calcul rapid
5.Interpretarea unor
contexte matematice utilizând
calculul rapid și artificii de
calcul
-Interpretarea unor calcule
-Elaborarea de strategii de calcul rapid
-Compararea rezultatelor folosind diferite tehnici
de calcul
6.Transpunerea unei
situa ții-problem ă în limbaj
matematic utilizând artificii
de calcul -Generalizarea și particularizarea unor metode de
calcul rapid
-Realizarea de conexiuni între rezultatele ob ținute
prin diferite tehnici de calcul
-Folosirea calcului rapid în probleme din alte
domenii
Competen țe specifice Exemple de activit ăți de înv ățare
1.Identificarea datelor
esen țiale oferite într-o
problem ă și a datele cerute de
problem ă
-Citirea cu aten ție a enuntului unei probleme și
observarea datelor oferite de o problem ă
-Citirea cu aten ție a enuntului unei probleme și
observarea datelor cerute de o problem ă
2. Folosirea operatiilor
si a conceptelor geometrice în
îndeplinirea unor sarcini
matematice
-Folosirea figurilor Tangram în construirea
siluetelor unor obiecte
-Completarea unor „p ătrate magice”
-Completarea unor p ătrate de tip Sudoku
-Completarea unor figuri magice
3. Selectarea și
utilizarea unor modalit ăți
adecvate de rezolvare a -Exerci ții de aplicare a metodei reducerii la
absurd, a principiului cutiei, a principiului parit ății
-Exerci ții de perspicacitate
problemelor și exerci țiilor -Exerci ții de alc ătuire de p ătrate sau alte
configura ții magice
4.Exprimarea
no țiunilor matematice
cunoscute în rezolvarea sau
compunerea unor probleme
– Realizarea unor probleme în versuri
– Analizarea textului unei probleme în vederea
identific ării unei metode care poate fi utilizat ă în
rezolvare
-Redactarea rezolv ării unei probleme cu
argumentarea etapelor de rezolvare
5. Interpretarea
matematic ă a unor probleme
prin utilizarea unor metode
diferite -Analizarea unor scheme, modele sau algoritmi
pentru rezolvarea unor probleme logice
-Exerci ții care s ă eviden țieze avantajele folosirii
unor metode
6.Transpunerea unei
probleme în limbaj matematic
utilizând metode diverse -Utilizarea unor metode diferite în rezolvarea unei
probleme de logica și interpretarea rezultatului
– Exerci ții de argumentare a demersului de
rezolvare a unei probleme de perspicacitate utilizâ nd
diferite metode
-Formularea unei probleme corecte pornind de la
un enun ț par țial sau cu erori luând în calcul diferite
variante de dezvoltare a formul ării date
8. Metode de evaluare
• Probe orale – evaluare critic ă bazat ă pe interesul ar ătat de elevi și participarea
efectiv ă la realizarea activit ăților;
• Probe practice;
• Probleme pe calculator(Power Point);
• Probe scrise;
• Observarea sistematic ă a elevilor;
• Portofoliul care va cuprinde referatele, jocurile , poeziile și crea țiile despre
matematic ă, imaginile și desenele realizate de c ătre elevi.
9. Bibliografie:
1. *** (2009). Programa școlar ă la Matematic ă pentru clasele a V-a, a VI-a, a VII-
a, a VIII-a ;
2. *** Manuale școlare pentru disciplina Matematic ă aprobate conform Catalogului
manualelor școlare valabile în înv ăță mântul preuniversitar;
3. Bălăuca, A. (2011). Teme pentru activit ăți op ționale , Ia și: Editura Taida;
4. Dăncil ă, I., Dăncil ă, E. (2011). Matematic ă distractiv ă, Ia și: Editura Gama.
CONCLUZII GENERALE
Consider c ă scopul propus al acestei lucr ări a fost atins, am reu șit sa îmi îmbog ățesc
nivelul de preg ătire profesional ă și mi-am ajutat elevii s ă-și dezvolte abilit ățile de a opera cu
numere.
Cercetarea teoretic ă scoate în eviden ță importan ța mul țimilor de numere (mul țimea
numerelor naturale, mul țimea numerelor întregi,mul țimea numerelor ra ționale, mul țimea
numerelor reale ți mul țimea numerelor complexe) și detalieaz ă constuc ția lor, precum și
propiet ățile opera țiilor elementare definite pe acestea.
Op ționalul “Magia numerelor” contribuie vizibil la spo irea rezultatelor eleviilor la
matematic ă. În acela și timp, utilizarea lui va avea efecte pozitive atât asupra cre șterii motiva ție
elevilor pentru studierea matematicii, le va dezvol ta gândiriea logic ă, va ajuta la formarea și
dezvoltarea opera țiilor gândirii.
Din bibliografia studiat ă pentru cercetarea teoretica și din experien ța c ăpătat ă în
alc ătuirea op ționalui pot afirma c ă predarea-înva țarea mul țimilor de numere și a opera țiilor
definite pe acestea au urm ătoarele valen țe pentru elevii:
– antreneaz ă capacitatea de a analiza și de a sinteza, de a face compara ții, de a abstractiza
și de a generaliza, ajutând la dezvoltarea gandirii;
-înt ăre ște voin ța, dezvolt ă perseveren ța, ajut ă la sporirea încrederii în for țele proprii;
– stimuleaz ă cercetarea, ini țiativa;
– formeaz ă și dezvolt ă abilit ățile și deprinderile practice.
Aceste argumente ne permit s ă spunem că matematica poate sa devin ă accesibil ă fiec ărui
elev și poate fi îndr ăgit ă de elevi dac ă no țiunile matematice sunt descifrate ținând cont
particularit ățile de vârst ă și individuale ale elevilor, urmându-se c ăi care sporesc interac țiunea
elevilor, care ajut ă elevii s ă înve țe prin joac ă, care pun în prim plan înv ățarea elevilor .
BIBLIOGRAFIE
1. *** (2009). Programa școlar ă la Matematic ă pentru clasele a V-a, a VI-a, a VII-
a, a VIII-a ;
2. *** Manuale școlare pentru disciplina Matematic ă aprobate conform Catalogului
manualelor școlare valabile în înv ăță mântul preuniversitar;
2. Bălăuca, A. (2011). Teme pentru activit ăți op ționale , Ia și: Editura Taida;
3. Becheanu M., Dinc ă A., Ion I., Ni ță C., Purdea I., Radu N., Ștef ănescu C. (1983).
Algebr ă pentru perfec ționarea profesorilor , Bucure ști: EDP;
4. Brânzei D., Brânzei R. (2000). Metodica pred ării matematicii , Pite ști: Editura
Paralela 45;
5. Bu șneag, D., Piciu, D. (2002). Lec ții de algebr ă, Craiova: Editura Universitaria;
6. Bu șneag, D., Piciu, D. (2002). Probleme de logic ă și teoria mul țimilor , Craiova:
Editura Universitaria;
7. Bu șneag, D., Piciu, D. (2007). Complemente de algebr ă, Zal ău: Editura Gil;
8. Cucos C., B ălan B., Boncu S. (2009). Psihopedagogie pentru examenele de
definitivare și grade didactice , Ia și: Editura Polirom;
9. Dan, C., Chiosa, S. (2008). Didactica matematicii , Craiova: Ed Universitaria;
10. Dăncil ă, I., Dăncil ă, E. (2011). Matematic ă distractiv ă, Ia și: Editura Gama ;
11. Gherghel, N. (1996). Cum s ă scriem un articol știin țific . București: Editura
Știin țific ă
12. Panaitopol L., Gica Al. (2000). Elemente de teoria numerelor , Bucure ști: Editura
Universit ătii din Bucure ști;
B. Webografie:
• http://www.didactic.ro
• http://ro.wikipedia.org
• www.edu.ro
ANEXA NR. 1
PLANIFICARE ANUAL Ă ȘI CALENDARISTIC Ă
A) Planificare anual ă
Clasa:
An școlar:
Clasa :
Curriculum aplicat: C.D. 1 or ă/ s ăpt.
Profesor:
Capitolul Sem I Sem II
1. C ălătorie în lumea numerelor 8ore
2. Opera ții cu numere 9 ore
3. Calcul rapid 6 ore
4. Probleme “iste țe” 10 ore
5. Recapitulare și ne distr ăm 1 ore 1 ore
18 ore 17 ore
Total : 35 ore
Tipul orelor
Nr. ore Nr. ore pe semestru
I II
A. Predare – înv ățare 29 15 14
B. Evaluare 4 2 2
C. Recapitulare 2 1 1
Total 36 18 17
B) Eșalonarea anual ă a unit ăților de înv ățare
CAPITOLUL
UNITATEA DE ÎNV
ĂȚ ARE
NR.
ORE
DIN CARE
SEM. I SEM. II
A B C A B C
1. C ălătorie în lumea numerelor 8 ore 7 1 – – – –
2. Opera ții cu numere 9 ore 8 1 – – – –
3. Calcul rapid 6 ore – – – 5 1 –
4. Probleme “iste țe” 10 ore – – – 9 1 –
5. Recapitul ăm și ne distr ăm 10 o re – – 1 – – 1
TOTAL 35 ore 18 ore 17 ore
C) Planificare calendaristic ă pe semestrul I
Nr.
crt.
Unitatea de
înv ățare
Competen țe
specifice
Nr.
ore
Con ținuturi
Săpt ămâna
Obs.
Călătorie în lumea numerelor – 8 ore
1.
C
ălătorie în
lumea numerelor
1. Identificare no
țiunilor
legate de numere naturale și
stabilirea leg ăturii cu semnele
actuale
2.Folosirea opera țiilor
aritmetice în exerci ții de scriere a
unor numere în sisteme de scriere variate
3.Alegerea
și utilizarea
algoritmilor potrivi ți pentru
determinarea unor numere naturale
4.Exprimarea și discutarea
rezultatelor ob ținute prin calcul
5.Aplicarea formulelor de
calcul și transpunerea situa țiilor 8h
Ce
știm despre numere? Istoria evolu ției
sistemelor de scriere a numerelor
Șiruri de numere
Întocmirea șirurilor dup ă o regul ă dat ă
Numere interesante. Numere pare, numere
impare
Baze de numera ție. Sisteme de numera ție
Numere „Curioase” Evaluare S1 S2 S3 S4 S5,S6 S7 S8
practice în limbaj matematic
6.Integrarea no țiunilor
înv ățate despre numere în alte
domenii
Opera ții cu numere – 9 ore
2. Opera ții cu
numere 1.Identificarea propriet ățiilor
opera țiilor matematice și corelarea
lor cu no țiunile teoretice
2.Folosirea propriet ățiilor
opera țiilor aritmetice în calcule
3.Selectarea și utilizarea de
algoritmi pentru efectuarea opera
țiilor cu numere naturale
4.Exprimarea în limbaj
matematic no țiunilor descoperite în
via ța cotidian ă
5. Aplicarea tehnicilor de
calcul în construc ții numerice
6. Transpunera unor situa ții-9h Sume de numere naturale Sume neobisnuite Reconstituirea opera
țiilor
Pătrate perfecte.Cuburi perfecte
Ultima cifr ă a numerelor
Ultima cifr ă a num ărului care nu este p ătrat
perfect
Opera ții magice
Criptaritmul Evaluare S9 S10 211 S12 S13 S14 S15 S16 S17
problem ă în limbaj matematic,
rezolvarea problemelor utilizând opera
țiile cu numere și interpretarea
rezultatului
Recapitul ăm și ne distr ăm– 1 or ă
3. Recapitul ăm și ne distr ăm 1h Exerci ții și probleme recapitulative S18
D) Planificare calendaristic ă pe semestrul al II-lea
Nr.
crt.
Unitatea de
înv ățare
Competen țe
specifice
Nr.
ore
Con ținuturi
Săpt ămâna
Obs.
Calcul rapid – 6 ore
1.
Calcul rapid
1. Identificarea situa
țiilor în
care exist ă posibilitatea efectu ării
calcului rapid și corelarea lor cu
no țiunile teoretice
2. Folosirea artificiilor de
calcul în efectuarea de adun ări,
sc ăderi, înmul țiri , împ ărțiri
3.Selectarea și utilizarea
unor modalit ăți adecvate de folosire
a calcului rapid
4.Exprimarea în limbaj
matematic a no țiunilor legate de
calculul rapid
5.Interpretarea unor contexte
matematice utilizând calculul rapid 6h
Scamatorii matematice Str
ădanii de perfec ționare a calculului
Artificii în calculul rapid al adun ării,
sc ăderii, înmul țirii și împ ărțirii.
Evaluare S1 S2, S3 S4, S5 S6
și artificii de calcul
6. Transpunerea unei situa ții-
problem ă in limbaj matematic
utilizând artificii de calcul
Probleme iste țe – 10 ore
2. Probleme iste
țe 1.Identificarea datelor
esen țiale oferite într-o problem ă și a
datele cerute de problem ă
2. Folosirea opera țiilor și a
conceptelor geometrice în îndeplinirea unor sarcini matematice
3. Selectarea
și utilizarea
unor modalit ăți adecvate de
rezolvare a problemelor și
exerci țiilor
4.Exprimarea no țiunilor
matematice cunoscute în rezolvarea sau compunerea unor probleme
5. Interpretarea matematic
ă a 10h Rebus matematic .Anecdote matematice P
ătrate magice-Sudoku
Tangram Probleme de logic
ă și perspicacitate
Probleme de aten ție
Probleme de intui ție
Probleme cu erori Probleme tip „capcan
ă – surprize”
Probleme distractive Evaluare S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16
unor probleme prin utilizarea unor metode diferite
6.Transpunerea unei
probleme în limbaj matematic utilizând metode diverse
Recapitul ăm și ne distr ăm – 1 or ă
3. Recapitul ăm și ne distr ăm 1h Probleme de sintez ă S17
ANEXA NR. 2
APLICA ȚII REALIZATE DE ELEVI
A) Matematic ă în versuri
Matematica
Dabija Paul Damian
La mate’ scriu de toate,
Cifre, frac ții adunate.
Scriem pe p ătr ățele,
Da’ am mai uitat din ele.
Lec țiile noi și multe,
Fac aproape cât un
munte.
Nici un crab care danseaza…
În a cincea se calculeaz ă.
Albina în stup
Tănăsoiu Mariana
O albin ă zboar ă într-un stup,
Cu toate dimensiunile egale.
Dac ă șase metri au muchiile în grup,
Care este lungimea muchiei sale?
Ana are mere
Ivana Bianca
Ana are patru mere.
Le împarte la o mas ă,
Cu cinci colegi de clas ă.
Câte felii egale prime ște fiecare?
Cinsprezece în țelep ți
Vîlcu George
Cinsprezece în țelep ți
Au primit o întrebare.
Dac ă șase sunt sugube ți,
Ce procent sunt ei din adunare?
Ora de mate
Popescu Lavinia
Când vine ora de mate,
Mă distrez, m ăi frate!
Calculez cu numere,
Far ă nici o temere.
Frac țiile- am înv ățat,
Cu ele eu m-am jucat.
Știu s ă amplific, s ă simplific,
Frac ții egale s ă exemplific.
Eu la tabla am ie șit,
Acas ă m-am preg ătit,
Profu’ bun m-a ajutat,
Nota zece am luat!
Figuri de departe
Ion Laura
Privind distrat ă, de departe,
Am v ăzut un vizitiu în carte.
Era un trapez sfios, n ătâng,
Singur, m-a f ăcut s ă plâng!
Pe pagina urm ătoare,
Mergeau triunghiurile la vale.
Ca o herghelie mare
Striveau totul, în a lor cale.
Dupa ele o tr ăsur ă,
Un dreptunghi cam dolofan
Mergea-n spate ca un sultan,
Răsuflând greoi pe gur ă.
Patru cercuri mititele,
Rostogolindu-se ele
Juc ăus, pu țin rebele,
Încercau s ă ating ă stele.
B) Jocuri matematice
Figuri geometrice
Ion Laura
Orizontal
1. Por țiune dintr-o dreapt ă m ărginit ă de dou ă puncte.
3. Paralelogram cu un unghi drept.
5. Poligon cu patru laturi.
7. Element al unui poligon.
8. Figura elementar ă far ă dimensiuni.
10. Poligon cu doua și numai dou ă laturi opuse paralele.
Vertical
2. Poligon cu trei laturi.
4. Linie frânta închis ă.
5. Poligon cu 5 laturi.
6. Patrulater cu toate laturile egale.
9. Locul geometric al punctelor egal dep ărtate de un punct fix.
C) Eseuri matematice
Despre teorema împ ărțirii cu rest
Ion Daliana
În manualul de clasa aV-a Teorema împ ărțirii cu rest este enun țat ă astfel: „Pentru orice dou ă
numere naturale d și î cu î ≠ 0, exist ă și sunt unice dou ă numere naturale c și r astfel încât: d = c · î +
r și r < î , unde d = deîmpartitul, î = împ ărtitorul, c = câtul împ ărțirii și r = restul împ ărțirii”.
Urm ătoarele propriet ăți ale teoremei se folosesc des în probleme:
1) Dac ă adun ăm la d un multiplu a lui î, restul împ ărțirii nu se schimb ă.
î m d+m =î c +r i
2) Dac ă înmul țim deîmp ărțitul cu un num ăr, restul se înmul țește cu acel num ăr.
d · m = î · c · m + m · r, unde m · r < m · î
3) Dac ă numerele d și î se împart cu un num ăr atunci și restul se împarte cu acela și num ăr.
d/m = î/m · c +r/m,
4) Dac ă dou ă numere dau acela și rest la împ ărțirea cu un num ăr m, diferen ța lor se împarte
exact la m.
d – î = m · (c 1 – c2) “(Matematic ă pentru clasa a V-a, Editura Art)
În continuare o s ă dau câteva exemple de probleme și exerci ții în rezolvarea c ărora folosim
Teorema împ ărțirii cu rest:
Exemplu 1. Face ți împ ărțirile și verifica ți rezultatele ob ținute folosind teorema împ ărțirii cu
rest.
a) 27 : 5 = b) 567 : 12 = c) 13 : 85 = d) 0 : 47 =
Exemplul 2. Ce numere sunt resturile împ ărțirii unui num ăr natural la:
a) 4 b) 2 c) 12 d) 2015
Exemplul 3. Afla ți: a) Cel mai mic num ăr natural care împ ărțit la 12 d ă câtul 17.
b) Cel mai mare num ăr de dou ă cifre care împ ărțit la 7 s ă dea rest 1.
c) Câte numere de dou ă cifre dau restul 2 la împ ărțirea cu 5.
Exemplul 4. Ionel vrea s ă cumpere de la florarie trandafiri .Câ ți trandafiri
poate s ă cumpere dac ă unul costa 5 lei și are la el 28 lei? Ce rest primeste de la
vânz ătoare? Verifica ți solu ția.
Exemplul 5. Calcula ți suma resturilor împ ărtirii unui num ăr natural la 6.
Exemplul 6. G ăsi ți cel mai mare num ăr natural care împ ărtit la 16 d ă câtul egal cu o cincime
din rest.
Exemplul 7. Un num ăr natural de trei cifre are primele dou ă cifre identice, iar
cifra unit ăților 5. Acest num ăr se împarte la un num ăr de dou ă cifre și se ob ține
restul 7. Afla ți deîmp ărțitul, împ ărțitorul și câtul.
Exemplul 8. G ăsi ți cel mai mic num ăr natural n care, împ ărțit la 142 și apoi la
15, s ă dea acela și rest 14 și câturile diferite de zero.
Exemplul 9. Aflati num ărul care împ ărtit la 17 d ă câtul si restul 13.
Exemplul 10. G ăsi ți toate numerele naturale care împ ărțite la:
a) 5 dau restul egal cu câtul;
b) 8 dau restul mai mare cu 2 decat cât ul;
c) 9 dau restul de dou ă ori mai mic decât câtul.
Exemplul 11. G ăsi ți toate numerele naturale de dou ă cifre care împ ărțite la un num ăr natural
format dintr-o singur ă cifr ă dau restul 6.
Exemplul 12. Suma a cinci numere naturale consecut ive se împarte la 5?
Exemplul 13. Suma tuturor numerelor naturale de pat ru cifre diferite între ele, cu cifrele a, b,
c, d se împarte exact la a + b + c+d ?
Exemplul 14. Prin împ ărțirea numerelor omnp, onpm și opmn , la acela și num ăr natural,
ob ținem câturile onp, opm și omn , și resturile m, n, p. Afla ți împ ărțitorul.
Bibliografie:
1.Singer, M., Radu, M., Manual de matematic ă pentru clasa a V-a, Editura Sigma, 2000,
Cluj-Napoca;
2.S ăvulescu,D., Perianu,M.,Matematic ă pentru clasa a Va, Editura Art, 2014, Bucure ști.
D) Desene
Cowdoi
Gai ță Alexandra
Cursa cifrelor
Boc șe Octavian
Într-un razboi suntem doar numere
Constantin Lauren țiu
Paradoxul s ăge ții
Boc șe Octavian
Paradoxul bărbierului
Constantin Izabela
Paradoxul po șta șului
Dinc ă Nelu ța
Paradoxul “Achile și broasca țestoas ă”
Vîlcu Bogdan
E) Tangram
Fotbalist
Constantin Lauren țiu
Barca pe valuri
Tănăsoiu Mariana
Baloo
Ghi ță Corina
Declara ție de autenticitate
Subsemnatul, Iv ănu ș Nicolae, având func ția didactic ă de profesor la unitatea școlar ă Școala
Gimazial ă, sat Mologe ști declar pe propria r ăspundere c ă lucrarea cu titlul „Principalele mul țimi de
numere și opera țile elementare definite pe acestea” având coordonat or știin țific pe conferen țiar
universitar doctor Dana Piciu a fost elaborat ă personal pe baza studierii bibliografiei de specia litate,
a experien ței personale și îmi apar ține în întregime. De asemenea nu am folosit alte su rse decât cele
men ționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafic ă din alte lucr ări,
fără a fi citate și f ără a fi precizat ă sursa prelu ării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezint ă alte
lucr ări ale candidatului.
Data Semn ătura
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO- ȘTIIN ȚIFIC Ă PENTRU OB ȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator știin țific Conf. Dr. Dana Piciu Candidat Prof. Iv ănu ș Nicolae… [624237] (ID: 624237)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.