LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA [616033]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Conduc ator  stiint ic
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-

Cuprins
1 Introducere 2
2 Funct ii convexe pe R 3
2.1 Denit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 C^ ateva inegalit at i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Capitol2 11
Bibliograe 12
2

Capitolul 1
Introducere
2

Capitolul 2
Funct ii convexe pe R
2.1 Denit ii
Denit ia 2.1. O funct ief:A!Rse nume ste convex a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (2.1)
pentrux;y2A si2[0;1]:
Se nume ste funct ie strict convex a dac a inegalitatea referire este strict a pentru
oricarex6=y si2(0;1)
Funct ia fse nume ste concav a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (2.2)
pentrux;y2A si2[0;1].
Dac a feste o funct ie convex a sau strict convex a atunci feste concav a sau strict
concav a.
Dac a o funct ie este ^ n acela si timp convex a  si concav a atunci aceasta este an a.
………..funct ia f:A!Reste convex a dac a punctele de pe gracul funct iei se a
 a
sub sau pe coarda care une ste punctele de coordonate ( a;f(a))  si (b;f(b)). Atunci:
f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa)
pentru8x2[a;b]  sia;b2A;a<b .
Acest lucru arat a ca funct iile convexe sunt majorate la nivel local de funct ii ane.
3

Figura 2.1:
^In continuare sunt prezentate operat iile funct ionale ale funct iilor convexe.
Propozit ia 2.2.
1. Adunarea a dou a funct ii convexe, denite pe acela si interval, este o funct ie con-
vex a. Dac a una dintre acestea este strict convex a atunci suma este strict convex a.
2.^Inmultind o funct ie convex a (strict convex a) cu un scalar pozitiv obt inem tot o
funct ie convex a (strict convex a).
3. Restrict ia ec arei funct ii convexe (strict convexe) pe un subinterval al domeniului
de denit ie este de asemenea o funct ie convex a(strict convex a)
4. Dac af:A!Reste o funct ie convex a(strict convex a)  si g:R!Reste
……………. funct ie convex a atunci gfeste o funct ie convex a(strict convex a)
5. Fief:A!Bo funct ie bijectiv a. Dac a feste cresc atoare atunci feste strict
convex a dac a  si numai dac a f1este strict concav a. Dac a f este o funct ie des-
cresc atoare  si bijectiv a, atunci f sif1au acela si tip de convexitate.
Putem generaliza inegalitatea (ref) pentru o funct ie convex a fcu ajutorul varia-
bilelorx;y;z cu ponderile t;u;v astfel ^ nc^ at t+u+v= 1. Ret inem c a u+v= 1t.
^In acest mod cazul cu 3 variabile poate  transformat ^ ntr-un caz cu 2 variabile dup a
cum urmeaz a:
f(xt+yu+zv) =f(xt+ (1t)uy+zt
u+z)
tf(x) + (1t)f(uy+zt
u+z)
4

=tf(x) + (1t)f(u
u+v
y+v
u+v
z)
tf(x) + (u+v)f(u
u+v
f(y) +v
u+v
f(z))
=tf(x) +tf(y) +tf(z)
Teorema 2.3. Fief:A!Ro funct ie continu a. Atunci f este convex a dac a  si
numai dac a este convex punctul de mijloc, adic a:
f(x+y
2)f(x) +f(y)
2;8x;y2A: (2.3)
Demonstrat ie. Se demonstreaz a doar partea de sucient a.
Presupunem prin reducere la absurd c a feste o funct ie convex a pe un interval
[a;b] astfel ^ nc^ at gracul funct iei nu este sub coarda format a de punctele ( a;f(a))  si
(b;f(b)), aceasta:
g(x) =f(x)f(b)f(a)
ba(xa)f(a); x2[a;b]
veric a
=supfg(x)jx2[a;b]g>0. Not am c a este continu a  si g(a) =g(b) = 0.
Prin calcul direct observ am de asemenea c a geste convex a a punctului de mijloc.
Not amc=inffx2[a;b]jg(x) =
gcu necesitatea g(c) =
 sic2(a;b).
Vom avea din denit ia lui c, pentru tot i h>o cuc+h2(a;b):
g(ch)<g(c)sig(c+h)g(c)
g(c)>g(ch) +g(c+h)
2
^ n contradict ie cu not iunea c a geste convex a a punctului de mijloc. 
Corolar 2.4. Fief:A!Ro funct ie continu a. Atunci feste convex a dac a  si
numai dac a
f(x+h) +f(xh)2f(x)0: (2.4)
pentru oricare x2A sih>0astfel ^ nc^ at x+h;xh2A.
5

2.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe
Funct ieif:A!R sia2Ale ata s am funct ia ga:Afag!R; ga=f(x)f(a)
xa, unde
valoarea luat a de xreprezint a panta coardei care une ste punctele ( a;f(a))  sib;f(b) a
gracului funct iei f.
Teorem a 2.5. Galvani. Fie f:A!R. Atuncifeste convex a(respectiv strict con-
vex a) dac a  si numai dac a funct ia ata sat a gaeste nondecreasing(respectiv increasing)
Adic a,
ga(y)ga(x)
yx=1x f(x)
1y f(y)
1a f(a)
1x x2
1y y2
1a a2(2.5)
pentru toate punctele x;y;a2A.
Demonstrarea teoremei de mai sus se realizeaza cu urmatoarea lema:
Lema 2.6. Fief:!R. Atuncifeste convex a dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)
1x x2
1y y2
1z z20 (2.6)
toate punctele distincte x;y;z2A, echivalent dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)0 (2.7)
pentrux<y<z dinA.
Dac a funct ia este strict convex aatunci inegalitatea este vericat a inlocuind cu
>.
Demonstrat ie.
Condit ia de mai sus inseamn a
6

(zy)f(x)(zx)f(y)(yx)f(z)0
pentrux < y < Z dinA. Pentru ecare y2(x;z) acesta poate  scris ca y=
(1)x+z, iar ultima condit ie este echivalent a cu armat ia urm atoare
f((1)x) +z)(1)f(x) +z
pentrux<z dinA si2[0;1]. 
S 2.7. tolz. Fief:A!Ro funct ie convex a. Atunci feste continu a pe interiorul
intA al luiA si are derivate laterale nite ^ n ecare punct al intA . Mai mult, dac a
x<y dinintA implic a
f0
(x)f0
+(x)f0
(y)f0
+(y): (2.8)
^In particular, f0
 sif0
sunt nondecreasing pe intA .
Demonstrat ie. Adic a, conform Teormei 1.3.1, avem
f(x)f(a)
xaf(y)f(a)
yaf(z)f(a)
za
pentruxy<a<z din A. Aceste date ne asigur a c a derivata la st^ anga exist a  si
f0
(a)f(z)f(a)
za

2.3 C^ ateva inegalit at i clasice
Lema 2.8. (Versiunea discret a a inegalit at ii lui Jensen).O funct ie f:A!Reste
convex a dac a  si numai dac a pentru orice x1;:::;xn2A si numerele reale 1;:::;n2
[0;1]cuPn
k=1k= 1 avem
f(nX
k=1kxk)nX
k=1kf(xk):
Inegalitatea de mai sus este strict a ^ n cazul ^ n care f este strict convex a iar toate
punctelexksunt diferite  si toate numerele ksunt pozitive.
7

Demonstrat ie. Se realizeaza cu ajutorul inductiei matematice.
Pentrun= 2 este adevarat din denitia functiei convexe.
f(n+1X
k=1kxk) =f(nX
k=1kxk+n+1xn+1) =f(n+1xn+1+(1n+1)
1
1n+1
nX
k=1nxn))
n+1f(xn+1) + (1n+1)f(1
1n+1
nX
k=1kxk)
=n+1f(xn+1) + (1n+1)f(nX
k=1k
1n+1xk)
n+1f(xn+1) + (1n+1)nX
k=1k
1n+1f(xk)
=nX
k=1kf(xk) +n+1f(xn+1)
=n+1X
k=1kf(xk)

Teorem a 2.9. (Inegalitatea mediilor).Dac a x1;


;xn2(0;1) si1=


;n2(0;1),Pn
k=1k= 1,atunci
nX
k=1kxk>x1
1


xn
n
cu except ia cazului c^ and x1=


=xn.
^Inlocuind pe xkcu1
xk^ n inegalitatea |||||{obt inem
x1
1


xn
n>1Pn
k=1k
xk
cu except ia cazului c^ and x1=


=xn, ceea ce reprezint a inegalitatea mediei
geometrice-mediei armonice.
Teorem a 2.10. (Inegalitatea Popoviciu)Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci
feste convex adac a  si numai dac a
f(x) +f(y) +f(z)
3+f(x+y+z
3)2
3[f(x+y
2) +f(x+y
2) +f(x+y
2)] (2.9)
8

pentru orice x;y;z2A.
Dac a funct ia este strict convex a inegalitatea (referinta)este strict a except^ and cazul
x=y=z:
Demonstrat ie. Necesitatea. Presupunem c a xyz. Dac ayx+y+z
3, atunci
x+y+z
3x+z
2z
 si
x+y+z
3y+z
2z
ceea ce duce la alegerea numerelor s;t2[0;1]astfel ^ nc^ at
x+z
2=s
x+y+z
3+ (1s)
z
y+z
2=t
x+y+z
3+ (1t)
z
!(x+y2z)(s+t3
2) = 0:
Dac ax+y2z= 0 implicax=y=z, iar inegalitatea (refernta) este evident a.
Dac as+t=3
2avem:
f(x+z
2)s
f(x+y+z
3) + (1s)
f(z)
f(y+z
2)t
f(x+y+z
3) + (1t)
f(z)
f(x+y
2)1
2
f(x) +1
2
f(y)
^Insum^ and ultimele 3 inegalit at i obt inem:
f(x+y
2) +f(x+y
2) +f(x+y
2)1
2
(f(x) +f(y) +f(z)) +3
2
x+y+z
3
^Inmult ind inegalitatea cu2
3obt inem inegalitatea Popoviciu.
Asem an ator se demonstreaz a  si cazul ^ n carex+y+z
3<y.
Sucient a.
Candy=xfolosim urmatoarea substitutie a convexitatii punctului de mijloc:
9

1
4f(x) +3
4f(x+ 2y
3)f(x+y
2)8x;y2A: (2.10)
Din Teorema 114 rezulta inegalitatea ceruta. 
( 2.11. Teorem a) (Inegalitatea lui Young)Fie f: [0;1)![0;1)o funct ie cresc atoare
astfel incatf(0) = 0  silimx!1f(x) =1. Atunci
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(x)dx
pentru oricare a;b0, egalitatea av^ and loc dac a  si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Consideram functia
F(x) =Zx
0f(t)dt+Zf(x)
0f1(t)dtxf(x): (2.11)
FunctiaF(x)este diferentiabila cu F0= 0 Acestea duc la
0ua 0vf(a))uvZu
0f(t)dt+Zv
0f1(t)dt
si acum teorema este demonstrata. 
2.4 Subdiferent iala
2.5 Aplicat ii
10

Capitolul 3
Capitol2
11

Bibliograe
12