LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA [616030]
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Conduc ator stiint i c
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
FUNCT II CONVEXE S I CONCAVE;
APLICAT II ^IN STUDIUL INEGALIT AT ILOR
Conduc ator stiint i c
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-
ACORD
Subsemnatul,Vicent iu R adulescu , prof.univ.dr., la Facultatea de S tiint e, Depar-
tamentul de Matematic a , sunt / nu sunt de acord cu depunerea lucr arii metodico-
stiini ce pentru obt inerea gradului didactic I, elaborat a de G aman Adrian George,
profesor Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorman,
cu titlul FUNCT II CONVEXE S I CONCAVE; APLICAT II ^IN STUDIUL INEGA-
LITAT ILOR .
Profesor coordonator,
Numele si semn atura
Data,
Declarat ie de autenticitate
Subsemnatul G aman Adrian George av^ and funct ia didactic a profesor la unitatea
scolar a Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorma
declar pe propria r aspundere c a lucrarea cu titlul FUNCT II CONVEXE S I CON-
CAVE; APLICAT II ^IN STUDIUL INEGALIT AT ILOR av^ and coordonator stiint i c
prof.univ.dr. Vicent iu R adulescu a fost elaborat a personal pe baza studierii bibliogra-
ei de specialitate, a experient ei personale si ^ mi apart ine ^ n ^ ntregime. De asemenea
nu am folosit alte surse dec^ at cele ment ionate ^ n bibliogra e, nu au fost preluate texte,
date sau elemente de gra c a din alte lucr ari, f ar a a citate si f ar a a precizat a sursa
prelu arii, inclusiv ^ n cazul ^ n care sursa o reprezint a alte lucr ari ale candidat: [anonimizat].
Data
Semn atura candidat: [anonimizat]
1 Funct ii convexe pe R 1
1.1 Not iuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 C^ ateva inegalit at i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Funct ii convexe pe spat ii Banach 27
2.1 Not iuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Funct ii convexe conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Continuitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Funct ii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Inegalit at i variat ionale 41
3.1 Ecuat ii neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet a . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i variat ionale . . . . . . . . . . 54
4 PROIECTAREA S I DESF AS URAREA CERCET ARII 57
4.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Scopul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Obiectivele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 E santionul de subiect i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 E santionul de cont inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Locul si durata cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6.1 Locul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iv
4.6.2 Durata si etapele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Metodologia cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 PREZENTAREA REZULTATELOR, PE ETAPE ALE CERCET ARII 60
5.1 Rezultatele din etapa constatativ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Etapa experimental-ameliorativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate . . . . . . . . 76
5.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter formativ-educativ
derulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Rezultatele din posttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 COMPARAREA S I INTERPRETAREA STATISTIC A A DATELOR
OBT INUTE 87
6.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din posttest . . . . . . . . . 87
6.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest . . . . . . . 87
6.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest . . . . . . . 89
6.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n posttest . 90
6.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor si comparat iilor . . . . . . . 92
6.3 Direct ii si perspective ulterioare de abordare a temei . . . . . . . . . . 92
Bibliogra e 93
v
Capitolul 1
Funct ii convexe pe R
1.1 Not iuni introductive
De nit ia 1.1. O mult ime Ase nume ste convex a, dac a pentru oricare dou a puncte
x;y2A si orice2[0;1]avem:
x+ (1 )y2A:
Figura 1.1:
De nit ia de mai sus mai poate enunt at a astfel: " Mult imeaAeste convex a dac a
segmentul care une ste oricare dou a puncte din mult imea Ase a
a ^ n aceast a mult ime ".
De nit ia 1.2. FieARun interval. O funct ie f:A!Rse nume ste convex a
dac a:
f((1 )x+y)(1 )f(x) +f(y); (1.1)
pentrux;y2A si2[0;1]:
Funct iafse nume ste strict convex a dac a inegalitatea (1:1)este strict a pentru ori-
carex6=y si2(0;1).
1
Funct ia fse nume ste concav a dac a:
f((1 )x+y)(1 )f(x) +f(y); (1.2)
pentrux;y2A si2[0;1].
Dac a feste o funct ie convex a sau strict convex a atunci feste concav a sau strict
concav a. Dac a o funct ie este ^ n acela si timp convex a si concav a atunci aceasta este
a n a.
Geometric funct ia f:A!Reste convex a dac a punctele de pe gra cul funct iei
se a
a sub sau pe coarda care une ste punctele de coordonate A(a;f(a)) siB(b;f(b)).
Atunci:
f(x)f(a) +f(b) f(a)
b a(x a); (1.3)
pentru8x2[a;b] sia;b2A;a<b .
Acest lucru arat a ca funct iile convexe sunt majorate la nivel local de funct ii a ne.
Figura 1.2:
^In continuare sunt prezentate operat iile funct ionale ale funct iilor convexe.
Propozit ia 1.3.
1. Adunarea a dou a funct ii convexe, de nite pe acela si interval, este o funct ie con-
vex a. Dac a una dintre acestea este strict convex a atunci suma este strict convex a.
2
2.^Inmul tind o funct ie convex a (strict convex a) cu un scalar pozitiv obt inem tot o
funct ie convex a (strict convex a).
3. Restrict ia ec arei funct ii convexe (strict convexe) pe un subinterval al domeniului
de de nit ie este de asemenea o funct ie convex a (strict convex a).
4. Dac af:A!Reste o funct ie convex a (strict convex a) si g:R!Reste o
funct ie monoton cresc atoare (strict cresc atoare) si convex a atunci gfeste o
funct ie convex a (strict convex a).
5. Fief:A!Bo funct ie bijectiv a. Dac a feste cresc atoare atunci feste (strict)
convex a dac a si numai dac a f 1este (strict) concav a. Dac a f este o funct ie
descresc atoare si bijectiv a, atunci f sif 1au acela si tip de convexitate.
Putem generaliza inegalitatea (1.1) pentru o funct ie convex a fcu ajutorul vari-
abilelorx;y;z cu ponderile ;;2[0;1] astfel ^ nc^ at ++= 1. Ret inem c a
+= 1 .^In acest mod cazul cu 3 variabile poate transformat ^ ntr-un caz cu 2
variabile dup a cum urmeaz a:
f(x+y+z)f
x+ (1 )y+z
+
f(x) + (1 )fy+z
+
=f(x) + (1 )f
+y+
+z
f(x) + (+)
+f(y) +
+f(z)
=f(x) +f(y) +f(z):
Proced^ and inductiv se poate ar ata faptul c a f:A!Reste convex a,8×1;:::;xn2
A si81;:::;n2[0;1] a.^ .Pn
i=1i= 1 avem
f nX
i=1ixi!
nX
i=1if(x1):
Teorema 1.4. (Jensen [3]) Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci f este convex a
dac a si numai dac a:
3
fx+y
2
f(x) +f(y)
2;8x;y2A: (1.4)
Demonstrat ie. Se demonstreaz a doar su cient a, necesitatea ind evident a.
Presupunem prin reducere la absurd c a fnu este o funct ie convex a, deci exist a
un interval [ a;b] astfel ^ nc^ at gra cul funct iei nu este sub coarda format a de punctele
A(a;f(a)) siB(b;f(b)). Asta ^ nseamn a c a funct ia:
g(x) =f(x) f(b) f(a)
b a(x a) f(a); x2[a;b];
veri c a
=supfg(x) :x2[a;b]g>0. Observ am c a geste continu a si g(a) =
g(b) = 0. Prin calcul direct observ am de asemenea c a gveri c a ingalitatea (1.4). Fie
c=inffx2[a;b] :g(x) =
g. Atuncig(c) =
sic2(a;b) si pentru tot i t >0 cu
ct2(a;b):
g(c t)<g(c) sig(c+t)g(c)
g(c)>g(c t) +g(c+t)
2
ceea ce contrazice faptul c a gsatisface (1.4).
Teorema 1.5. (Jensen [3]) Dac a feste convex a pe intervalul A, atunci pentru orice
1;2;:::;n2[0;1], cu1+2+:::+n= 1, si pentrux1;x2;:::;xn2A, deducem c a
f(1×1+2×2+:::+nxn)1f(x1) +2f(x2) +:::+nf(xn): (1.5)
Aceasta mai poate scris a
fx1+x2+:::+xn
n
f(x1) +f(x2) +:::+f(xn)
n: (1.6)
Demonstrat ie. Pentru a demonstra inegalitatea de mai sus proced am prin induct ie.
Pentrun= 2 inegalitatea se reduce la (1.1). Presupun^ and inegalitatea adevarata pen-
tru combinat ii convexe de c^ ate n 1 elemente avem
f(1×1+2×2+:::+nxn) =f
(1 n)1
1 nx1+:::+n 1
1 nxn 1
+nxn
(1 n)f1
1 nx1+:::+n 1
1 nxn 1
+nf(xn)
4
si folosind ipoteza de induct ie obt inem
(1 n)1
1 nf(x1) +:::+n 1
1 nf(xn 1)
+nf(xn)
=1f(x1) +2f(x2) +:::+nf(xn):
Pentru1=2=:::=n=1
ninegalitatea (1.6) este demonstrat a.
Corolar 1.6. Fief:A!Ro funct ie continu a. Atunci feste convex a dac a si numai
dac a
f(x+t) +f(x t) 2f(x)0: (1.7)
pentru oricare x2A sit>0astfel ^ nc^ at x+t;x t2A.
Se observ a c a Teorema 1.5 si Corolarul 1.6 au variante simple ^ n cazul funct iilor
strict convexe.
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe
Funct ieif:A!R si punctului a2Ale ata s am funct ia ma:Anfag ! R,
ma(x) =f(x) f(a)
x a, unde valoarea ^ n xreprezint a panta coardei care une ste punctele
(a;f(a)) si (x;f(x)) a gra cului funct iei f.
Teorem a 1.7. (Galvani [2]) Fie f:A!R. Atuncifeste convex a (respectiv strict
convex a) dac a si numai dac a funct ia ata sat a maeste monoton cresc atoare (respectiv
strict cresc atoare)
Adic a,
ma(y) ma(x)
y x= 1x f(x)
1y f(y)
1a f(a)
1x x2
1y y2
1a a2 0(>0) (1.8)
pentru toate punctele x;y;a2A.
Demonstrarea teoremei de mai sus se realizeaz a cu urm atoarea lem a:
Lema 1.8. Fief:A!R. Atuncifeste convex a dac a si numai dac a
5
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)
1x x2
1y y2
1z z2 0; (1.9)
pentru toate punctele x;y;z2Acux6=y6=z.
Dac a funct ia este strict convex a atunci inegalitatea este veri cat a inlocuind inega-
litatea cu una strict a.
Demonstrat ie. Vom considera numai cazul x<y <z celelalte cazuri ind simi-
lare. Condit ia de mai sus inseamn a
(z y)f(x) (z x)f(y) + (y x)f(z)0;
pentrux < y < z dinA. Pentru ecare y2(x;z) acesta poate scris ca y=
(1 )x+z, iar ultima condit ie este echivalent a cu a rmat ia urm atoare
f((1 )x) +z)(1 )f(x) +f(z);
pentrux<z dinA si2[0;1].
Teorema 1.9. (Stolz [6]) Fie f:A!Ro funct ie convex a. Atunci feste continu a
pe interiorul intA al luiA si are derivate laterale nite ^ n ecare punct al intA . Mai
mult, dac a x<y dinintA implic a
f0
s(x)f0
d(x)f0
s(y)f0
d(y): (1.10)
^In particular, f0
s sif0
dsunt monoton cresc atoare pe intA .
Demonstrat ie. Conform Teoremei 1.7, avem
f(x) f(a)
x af(y) f(a)
y af(z) f(a)
z a
pentruxy<a<z din A. Aceste date ne asigur a c a derivata la st^ anga exist a si
f0
s(a)f(z) f(a)
z a;
6
Folosind un rat ionament asem an ator obt inem existent a f0
d(a) si veri carea inega-
lit at iif0
s(a)f0
d(a). Altfel dac a x < uv < y2int A, conform Teoremei 1.7
avem
f(u) f(x)
u xf(v) f(x)
v xf(v) f(y)
v y;
pentruu!x;u>x siv!y;v<y obt inemf0
s(a)f0
d(a)
Deoarecefadmite derivate laterale nite ^ n ecare punct, atunci este continu a ^ n
ecare punct.
Conform Teoremei 1.9 orice funct ie continu a si convex a de nit a pe intervalul [ a;b]
admite derivatele f0
d(a) sif0
s(b) ^ n aceste puncte , acestea put^ and in nite astfel ^ nc^ at
1f0
d(a)<1 si 1<f0
s(b)1
Propozit ia 1.10. Dac af: [a;b]!Ro funct ie convex a, atunci f(a+) sif(b )
exist a ^ n R si
~f(x) =8
<
:f(a+);dac a x=a,
f(x);dac a x2(a,b),
f(b );dac a x=b,
este convex a.
Propozit ia 1.11. Dac af:A!Reste convex a, atunci ecare feste monoton a
pe int A, sau exist a 2intA astfel ^ nc^ at feste monoton descresc atoare pe intervalul
( 1;]\A si monoton cresc atoare pe intervalul [;1)\A.
Demonstrat ie.
Deoarece orice funct ie convex a veri c a formula (1.3), r am^ ane s a consider am cazul
^ n careAeste deschis. Dac a fnu este monoton a, atunci exist a punctele a<b<c din
Aastfel ^ nc^ at
f(b)<f(a) sif(b)<f(c):
Cazulf(b)>f(a) sif(b)>f(c) nu este acceptat tot de formula (1.3). Deoarece f
este continu a pe [ a;c] aceasta^ si atinge in mumul pe acest interval^ n punctul 2[a;c],
acesta ind
f() =inff ([a;c]):
7
De fapt,f() =inff (A). Adic a, dac a x < a atunci ^ n conformitate cu Teorema
1.7 avem
f(x) f()
x f(a) f()
a ;
ceea ce conduce la
( a)f(a)(x a)f() + ( x)f(a)( a)f();
ceea ce rezult a
f(x)f();
Analog putem ar ata si cazul ^ n care c<x . Dac au<v< atunci
su() =s(u)s(v) =f(v) f()
v 0;
de unde
su(v)su()0:
Rezult a c a feste monoton descresc atoare pe A\( 1;]. Analog, dac a <u<v si
sv()sv(u) obt inem c a f(v)f(u), decifeste monoton descescatore pe A\[;1):
Corolar 1.12. Orice funct ie convex a f:A!Rcare nu este monoton a pe intA are
un minim global interior.
Teorema 1.13. Dac af:A!Reste o funct ie convex a, atunci feste Lipschitz pe
orice interval compact [a;b]cont inut ^ n interiorul lui A.
Demonstrat ie. Din Teorema 1.9 avem
f0
d(a)f0
d(x)f(y) f(x)
y xf0
s(y)f0
s(b)
pentru8x;y2[a;b], cux<y , decifj[a;b]veri c a condit ia Lipschitz cu
L=maxfjf0
d(a)j;jf0
s(b)jg:
Consider am derivatele superioar a si inferioar a de ordin doi d nite de formulele:
8
D2f(x) = lim sup
h!0f(x+h) +f(x h) 2f(x)
h2;
D2f(x) = lim sup
h!0f(x+h) +f(x h) 2f(x)
h2
Dac a funct ia feste de dou a ori derivabil a ^ n punctul x, atunci
D2f(x) =D2f(x) =f00(x); (1.11)
undeD2f(x) siD2exist a si ^ n punctele de discontinuitate.
Teorema 1.14. Dac aAeste un interval deschis, atunci o funct ie f:A!Reste
convex a dac a si numai dac a feste continu a si D2f(x)0.
Altfel, dac a funct ia f:A!Reste convex a ^ n vecin at at ile oric arui punct din A,
atunci este convex a pe ^ ntreg intervalul A.
Demonstrat ie. Dac afeste convex a, atunci
D2f(x)D2f(x)0
Continuitatea funct iei fse deduce din Teorema 1.9.
Presupunem c a D2f(x)>0 peA. Dac afnu este convex a, atunci exist a un punct
x0astfel ^ nc^ at D2f(x)0, care este o contradict ie. ^In acest caz exist a subintervalul
A0= [a0;b0] astfel ^ nc^ at
fa0+b0
2
>f(a0) +f(b0)
2;
Folosind unul din intervalele [ a0;a0+b0
2];[3a0+b0
4;a0+3b0
4];[a0+b0
2;b0], putem alegem s a^ nlocuim
peA0cuA1= [a1;b1] cub1 a1=b0 a0
2 sif(a1+b1
2)>f(a1)+f(b1)
2
Utiliz^ and induct ia matematic a, din principiul includerii intervalelor obt inem punc-
tulx0.
^In general,
fn(x) =f(x) +1
nx2:
AtunciD2f(x)>0 si din cele de mai sus, rezult a c a fneste convex a.
Evident,
fn(x)!f(x);8x2A
9
de undefeste convex a.
Corolar 1.15. Consider am f:A!Ro funct ie de dou a ori derivabil a. Atunci:
1. f este convex a ()f000;
2. f este strict convex a ()f000 si grupul punctelor unde f" se anuleaz a nu
include intervale de lungime pozitiv a.
1.3 C^ ateva inegalit at i clasice
Teorem a 1.16. (Inegalitatea ponderat a mediilor A-G [5]) Dac a x1;;xn2(0;1) si
1;;n2(0;1),Pn
k=1k= 1,atunci
nX
k=1kxkx1
1xn
n; (1.12)
cu egalitate dac a si numai dac a x1==xn.
^Inlocuind pe xkcu1
xk^ n inegalitatea (1.12) obt inem
x1
1xn
n1Pn
k=1k
xk;
din nou cu egalitate dac a si numai dac a x1==xn, ceea ce reprezint a inegalitatea
ponderat a dintre media geometric a si media armonic a. Pentru 1=:::=n=1
n
obt inem inegalitat ile clasice dintre media aritmetic a si media geometric a, respectiv
media geometric a si media armonic a.
Teorem a 1.17. (Inegalitatea Popoviciu [4]) Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci
feste convex a dac a si numai dac a
f(x) +f(y) +f(z)
3+fx+y+z
3
2
3
fx+y
2
+fy+z
2
+fx+z
2
(1.13)
pentru orice x;y;z2A.
Dac a funct ia este strict convex a inegalitatea (1.13) este strict a except^ and cazul
x=y=z:
10
Demonstrat ie. Necesitatea. Presupunem c a xyz. Dac ayx+y+z
3, atunci
x+y+z
3x+z
2z;
si
x+y+z
3y+z
2z;
ceea ce duce la alegerea numerelor s;t2[0;1]astfel ^ nc^ at
x+z
2=sx+y+z
3+ (1 s)z;
y+z
2=tx+y+z
3+ (1 t)z;
)(x+y 2z)(s+t 3
2) = 0:
Dac ax+y 2z= 0 atuncix=y=z, iar inegalitatea 1.13 este evident a.
Dac as+t=3
2avem:
fx+z
2
sfx+y+z
3
+ (1 s)f(z);
fy+z
2
tfx+y+z
3
+ (1 t)f(z);
fx+y
2
1
2f(x) +1
2f(y);
^Insum^ and ultimele 3 inegalit at i obt inem:
fx+y
2
+fx+y
2
+fx+y
2
1
2(f(x) +f(y) +f(z)) +3
2x+y+z
3:
^Inmult ind inegalitatea cu2
3obt inem inegalitatea Popoviciu.
Analog se demonstreaz a cazul ^ n carex+y+z
3<y.
Su cient a.
Candy=xfolosim urm atoarea substitut ie a convexit at ii punctului de mijloc:
1
4f(x) +3
4fx+ 2y
3
fx+y
2
8x;y2A: (1.14)
11
Din Teorema 1.5 rezult a inegalitatea cerut a.
Teorem a 1.18. (Inegalitatea lui Young) Fie f: [0;1)![0;1)o funct ie cresc atoare
astfel ^ nc^ at f(0) = 0 silimx!1f(x) =1. Atunci
abZa
0f(x)dx+Zb
0f 1(x)dx;
pentru oricare a;b0, egalitatea av^ and loc dac a si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Consider am funct ia
F(x) =Zx
0f(t)dt+Zf(x)
0f 1(t)dt xf(x): (1.15)
FunctiaF(x) este derivabil a cu F0= 0 Acestea conduc la
0ua; 0vf(a))uvZu
0f(t)dt+Zv
0f 1(t)dt;
si acum teorema este demonstrat a.
Funct eig:A!R si punctului x0le ata s am funct ia fde nt a prin
f(x) =Zx
x0g(t)dt;
Deoarecegeste marginit a pe intervale m arginite rezult a c a geste o funct ie Lip-
schitz, ind deasemenea o funct ie convex a. Utiliz^ and Teorema 1.5 este su cient s a
ar at am c afeste convex a.
Pentruxy2Aavem
f(x) +f(y)
2 fx+y
2
=1
2 Zy
x+y
2g(t)dt Zx+y
2
xg(t)dt!
0;
deoarecegeste monoton cresc atoare.
Se observ a c a feste derivabil a ^ n ecare punct de continuitate al funct iei g sif0=g
la aceste puncte.
1.4 Subdiferent iala
Fief:A!R. Spunem c a fadmite o dreapt a suport pentru x2Adac a exist a 2R
astfel ^ nc^ at
f(y)f(x) +(y x);8y2A: (1.16)
12
De nim
@f(x) =f2R:satisface (1:16)g;
ca ind subdiferent iala funct iei f^ n punctulxpentru orice . Orice element 2@f(x)
se nume ste subgradient al funct iei f^ n punctul x.
Lema 1.19. Fief:A!Ro functie convex a. Atunci @f(x)6=?pentru orice punct
interior al intervalului A. ^In plus, toate funct iile g:A!Rcug(x)2@f(x), pentru
x2intA veri c a dubla inegalitate:
f0
s(x)g(x)f0
d(x);
si aceasta este monoton crescatoare pe int A.
Demonstrat ie. Ar at am c af0
d(x0)2@f(x0) pentru ecare x02intA. Dac ax2A,
cuxx0, atunci
f((1 t)x0+tx) f(x0)
tf(x) f(x0);
pentru orice t2(0;1], ceea ce rezult a
f(x)f(x0) +f0
d(x0)(x x0);
Dac axx0, printr-un rat ionament similar obt inem
f(x)f((x0) +f0
s(x0)(x x0);
sau
f0
s(x0)(x x0)f0
d(x0)(x x0); (1.17)
deoarecex x00.
Analog, spunem c a f0
s(x0)2@f(x0) pentru orice x02intA.
Din Teorema 1.9 rezult a c a funct ia geste monoton cresc atoare.
Propozit ia 1.20. FieF:A!Ro funct ie convex a si continu a si f:A!Ro
funct ie astfel ^ nc^ at f(x)2@f(x). Pentru toate punctele a;b2Acua<b avem:
F(b) F(a) =Zb
af(t)dt:
13
Demonstrat ie. Ar at am cazul ^ n care [ a;b]intA. Pentru diviziunea a=t0<
t1<:::<t n=ba intervalului [ a;b] avem
F0
s(tk 1)F0
d(tk 1)F(tk) F(tk 1)
tk tk 1F0
s(tk)F0
d(tk);8k;
Deoarece
F(b) F(a) =nX
k=1[F(tk) F(tk 1)];
obt inem
F(b) F(a) =Zb
aF0
s(t)dt=Zb
aF0
d(t)dt;
Se observ a c a F0
sfF0
d, cu egalitate pentru a rmat ia Propozit iei 1.20.
Teorema 1.21. Fief:A!Ro funct ie continu a si convex a si g:A!Ro funct ie
astfel ^ nc^ at g(x)2@f(x)pentru orice x2intA . Atunci
f(y) =supff(x) + (y x)g(x)jx2intAg;8y2A:
Demonstrat ie. Este evident pentru intervalul deschis A. Dac a yeste cel mai mic
punct al intervalului, observ am c a
f(y+t) f(y)tg(y+t)f(y+ 2t) f(y+t); t> 0;
cu limt!0+tg(y+t) = 0. Consider am ">0 cu>0 astfel ^ nc^ at
jf(y) f(y+t)j<"
2;
si
jtg(y+t)j<"
2;0<t<:
Obt inem
f(y+t) tg(y+t)<f(z) +";0<t<:
14
Teorema 1.22. Fief:A!Ro funct ie astfel ^ nc^ at @f(x)6=?pentru toate punctele
interioarex2A. Atuncifeste convex a.
Demonstrat ie. Fiea;b2A;a6=b sit2(0;1). Atunci (1 t)a+tb2intA pentru
orice2@f((1 t)a+tb) avem
f(a)f((1 t)a+tb) +t(a b);
f(b)f((1 t)a+tb) (1 t)(a b);
^Inmult ind inegalit at ile cu 1 t sitobt inem
f(a)f((1 t)a+tb) +t(a b)(1 t);
f(b)f((1 t)a+tb) (1 t)(a b)t;
Adun^ and inegalit at ile
(1 t)f(a) +tf(b)f((1 t)a+tb);
decifeste o funct ie convex a.
Teorema 1.23. Fie punctele xnxn 1:::x1din intervalul [a,b] si numerele
realetk;k=1;nastfel ^ nc^ at Pk=Pk
i=1tiveri c a relat iile
0PkPn siPn>0:
Atunci orice funct ie convex a fde nit a pe [a;b]veri c a inegalitatea:
f
1
PnnX
k=1tkxk!
1
PnnX
k=1tkf(xk):
Demonstrat ie. Consider am x=Pn
k=1tkxk
Pn siPk=Pn Pk 1=Pn
i=kti. Atunci
Pn(x1 x) =nX
i=1t1(x1 xi) =nX
j=2(xj 1 xj)Pj0;
si
15
Pn(x xn) =n 1X
i=1ti(xi xn) =n 1X
j=1(xj xj+1)Pj0;
ne arat a c a xnxx1. Consider am cazul ^ n care feste continu a si punctele
x1;x2;:::;x 3apart in (a;b). Conform Lemei 1.19 consider am funct ia g:A!Rastfel
^ nc^ atg(x)2@f(x) pentru orice x2intA. Atunci
f(z) f(y)g(c)(z y) dac azyc;
si
f(z) f(y)g(c)(z y) dac aczy:
Deasemenea alegem un indice mastfel ^ nc^ at x2[xm+1;xm]. Atunci
f
1
PnnX
k=1tkxk!
1
PnnX
k=1tkf(xk)
este majorat a de
m 1X
i=1[g(x)(xi xi+1) f(xi) +f(xi+1)]Pi
Pn
+[g(x)(xm x) f(xm) +f(x)]Pm
Pn
+[f(x) f(xm+1) g(x)(x xm+1)]Pm+1
Pn
+n 1X
i=m+1[f(xi) f(xi+1) g(x)(xi xi+1)]Pi+1
Pn;
care este o sum a de numere negative.
1.5 Aplicat ii
Exercit iul 1. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1 ar atat i c a:
x
y+z+t+y
x+z+t+z
x+y+t+t
x+y+z4
3:
16
Rezolvare. Dinx+y+z+t= 1 avem8
>><
>>:y+z+t= 1 x;
x+z+t= 1 y;
x+y+t= 1 z;
x+y+z= 1 t.
^Inlocuind, inegalitatea devine
x
1 x+y
1 y+z
1 z+t
1 t4
3:
Pentru a arat a inegalitatea consider am funct ia f: (0;1)!R; f(a) =a
1 a.
Calcul^ and
f0(a) =1
(1 a)2; sif00(a) =2 2a
(1 a)4;
observ am c a feste convex a atunci aplic^ and inegalitatea lui Jensen,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic a,
x
1 x+y
1 y+z
1 z+t
1 t
4f1
4
;
x
1 x+y
1 y+z
1 z+t
1 t41
4
1 1
4:
Inegalitatea este demonstrat a, deoarece relat ia de mai sus devine
x
y+z+t+y
x+z+t+z
x+y+t+t
x+y+z4
3:
Remarca 1.24. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1 ar atat i c a:
x1
x2+:::+xn+:::+xn
x1+:::+xn 1n
n 1:
Exercit iul 2. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t1 ar atat i c a:
x2
y+z+t+y2
x+z+t+z2
x+y+t+t2
x+y+z1
3:
17
Rezolvare.
Consider am x+y+z+t=S, de unde avem8
>><
>>:y+z+t=S x;
x+z+t=S y;
x+y+t=S z;
x+y+z=S t.
Dup a ^ nlocuire inegalitatea devine
x2
S x+y2
S y+z2
S z+t2
S t1
3;
Consider am funct ia f: (0;1)!Rde nit a astfel f(a) =a2
S a. Deoarece
f0(a) =2aS a2
(S a)2; sif00(a) =2S2(S a)
(S a)4;
rezult a c afeste convex a atunci aplic^ and inegalitatea lui Jensen vom avea:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic a,
x2
S x+y2
S y+z2
S z+t2
S t
4fS
4
;
x2
S x+y2
S y+z2
S z+t2
S t4S
42
S S
4;
x2
S x+y2
S y+z2
S z+t2
S t4S
3:
DeoareceS1, atunci inegalitatea este demonstrat a, relat ia de mai sus deve-
nind
x2
y+z+t+y2
x+z+t+z2
x+y+t+t2
x+y+z4
3:
Remarca 1.25. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn1ar atat i c a:
x2
1
x2+:::+xn+:::+x2
n
x1+:::+xn 11
n 1:
18
Exercit iul 3. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1 ar atat i c a:
xp1 x+yp1 y+zp1 z+tp1 t2p
3
3:
Rezolvare. Consider am funct ia f: (0;1)!Rf(a) =ap1 a. Calcul^ and
f0(a) =2 a
2p1 a(1 a); f00(a) = (1 a) 3
2+3a
4(1 a)5
2;
observ am c a funct ia feste convex a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
xp1 x+yp1 y+zp1 z+tp1 t4f1
4
;
xp1 x+yp1 y+zp1 z+tp1 t41
4q
1 1
4;
^In urma unui calcul simplu inegalitatea devine
xp1 x+yp1 y+zp1 z+tp1 t2p
3
3:
Remarca 1.26. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1 ar atat i c a:
x1p1 x1+:::+xnp1 xnrn
n 1:
Exercit iul 4. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive, ar atat i c a:
31
y+z+t+1
x+z+t+1
x+y+t+1
x+y+z
16
x+y+z+t:
Rezolvare. Consider am x+y+z+t=S, de unde avem8
>><
>>:y+z+t=S x;
x+z+t=S y;
x+y+t=S z;
x+y+z=S t.
19
Inegalitatea devine
31
S x+1
S y+1
S z+1
S t
16
S:
Consider am funct ia f: (0;1)!Rf(a) =1
S a:Atunci
f0(a) =1
(S a)2; f00(a) =2(S a)
(S a)2:
Deoarecefeste convex a atunci aplic am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic a,
1
S x+1
S y+1
S z+1
S t4fS
4
;
1
S x+1
S y+1
S z+1
S t41
S S
4;
1
S x+1
S y+1
S z+1
S t16
3S:
^Inmult ind inegalitatea cu 3 si inlocuind Sg asim
31
y+z+t+1
x+z+t+1
x+y+t+1
x+y+z
16
x+y+z+t:
Remarca 1.27. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive, ar atat i c a:
(n 1)1
x2+:::+xn+:::+1
x1+:::+xn 1
n2
x1+:::+xn:
Exercit iul 5. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive, ar atat i c a:
x
(y+z+t)2+y
(x+z+t)2+z
(x+y+t)2+t
(x+y+z)216
9(x+y+z+t):
20
Rezolvare. Consider am x+y+z+t=S, de unde avem8
>><
>>:y+z+t=S x;
x+z+t=S y;
x+y+t=S z;
x+y+z=S t.
Dup a ^ nlocuire vom avea de ar atat inegalitatea
x
(S x)2+y
(S y)2+z
(S z)2+t
(S t)216
9S:
Consider am funct ia f: (0;1)!Rf(a) =a
(S a)2. Dup a rezultatele
f0(a) =S+a
(1 a); f00(a) =2S
(S a)2;
observ am c a feste convex a atunci aplic am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic a,
x
(S x)2+y
(S y)2+z
(S z)2+t
(S t)2
4fS
4
;
x
(S x)2+y
(S y)2+z
(S z)2+t
(S t)24S
4
(S S
4)2;
x
(S x)2+y
(S y)2+z
(S z)2+t
(S t)216
9S:
De unde rezult a inegalitatea dorit a.
Remarca 1.28. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive, ar atat i c a:
x1
(x2+:::+xn)2+:::+xn
(x1+:::+xn 1)2n2
(n 1)2(x1+:::+xn):
Exercit iul 6. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t1 ar atat i c a:
xpx
y+z+t+ypy
x+z+t+zpz
x+y+t+tp
t
x+y+z2
3:
21
Rezolvare. Consider am x+y+z+t=S, de unde avem8
>><
>>:y+z+t=S x;
x+z+t=S y;
x+y+t=S z;
x+y+z=S t.
Aceasta devine,
xpx
S x+ypy
S y+zpz
S z+tp
t
S t2
3:
Fie funct ia f: (0;1)!R; sif(a) =apa
S a. Din convexitatea funct ia f
aplic^ and inegalitatea lui Jensen obt inem,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic a,
xpx
S x+ypy
S y+zpz
S z+tp
t
S t
4fS
4
;
xpx
S x+ypy
S y+zpz
S z+tp
t
S t4S
4q
S
4
S S
4:
PentruS1 obt inem
xpx
y+z+t+ypy
z+z+t+zpz
x+y+t+tp
t
x+y+z4q
S
4
32
3:
Remarca 1.29. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn1ar atat i c a:
x1px1
x2+:::+xn+:::+xnpxn
x1+::+xn 1pn
n 1:
Exercit iul 7. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t=xyzt ar atat i
c a:1
1 +yzt+1
1 +xzt+1
1 +xyt+1
1 +xyz4
5:
22
Rezolvare Consider am x+y+z+t=xyzt =S, de unde avem8
>><
>>:yzt=S
x;
xzt=S
y;
xyt=S
z;
xyz=S
t.
Inegalitatea devine
1
1 +S
x+1
1 +S
y+1
1 +S
z+1
1 +S
t4
5;
adic a,
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S4
5:
Consider am funct ia f: (0;1)!Rf(a) =a
a+S. Atunci
f0(a) =S
(a+S)2; f00(a) = 2S(a+S)
(a+S)4:
Deoarecefeste concav a atunci aplic am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
adic a,
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S
4fS
4
;
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S4S
4
S
4+S;
x
x+xyzt+y
y+xyzt+z
z+xyzt+t
t+xyzt4
5:
De unde rezult a inegalitatea cerut a.
Remarca 1.30. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn=x1:::xnar atat i c a:
1
1 +x2:::xn+:::+1
1 +x1:::xn 1n
n+ 1:
23
Exercitiul 8. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1 ar atat i c a:
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t8p
5:
Rezolvare. Consider am funct ia f: ( 1;0)!f(a) =1p1+a. Calcul^ and
f0(a) = 1
2(1 +a) 3
2; f00(a) =3
4(1 +a) 5
2
observ am c a funct ia feste convex a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
1p1+x+1p1+y+1p1+z+1p1+t
4f1
4
;
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t41q
1 +1
4;
^In urma calculului obt inem
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t8p
5:
Remarca 1.31. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1 ar atat i c a:
1p1 +x1+:::+1p1 +xnnpnpn+ 1:
Exercit iul 9. Pentru ; ;
; six;y;z;t numere reale pozitive, ar atat i c a:
4p
+4pxyzt4p
( +x)( +y)(
+z)(+t):
Rezolvare. ^Imp art ind inegalitatea cu4p
, obt inem
1 +4rx
y
z
t
4s +x
+y
+z
+t
;
24
1 +4rx
y
z
t
4s
1 +x
1 +y
1 +z
1 +t
;
Not^ anda1=x
; a 2=y
; a 3=z
; a 4=t
, avem
1 +4pa1a2a3a44p
(1 +a1)(1 +a2)(1 +a3)(1 +a4):
Consider am funct ia f:R!R; f(u) = ln(1 +eu) si observ am c a
f0(u) =eu
1 +euf00(u) =eu
(1 +eu)2;
deci funct ia feste convex a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem not^ and eu=ak:
ln(1 +a1) + ln(1 +a2) + ln(1 +a3) + ln(1 +a4)
4ln
1 + (a1a2a3a4)1
4
;
1
4ln[(1 +a1)(1 +a2)(1 +a3)(1 +a4)]ln
1 + (a1a2a3a4)1
4
;
ln[(1 +a1)(1 +a2)(1 +a3)(1 +a4)]1
4ln
1 + (a1a2a3a4)1
4
;
[(1 +a1)(1 +a2)(1 +a3)(1 +a4)]1
41 + (a1a2a3a4)1
4;
de unde obt inem inecut ia.
Remarca 1.32. Putem observa c a acest exercit iu se poate generaliza astfel:
Pentrua1:::an six1;:::;xnnumere reale pozitive, ar atat i c a:
npa1:::an+npx1:::xnnp
(a1+x1):::(an+xn):
Exercit iul 10. S a se determine cel mai mare num ar natural pentru care
rx
y+z+ry
x+z+rz
x+y>C;
oricare ar numerele pozitive x;y;z .
25
Rezolvare. Consider am x+y+z=S, de unde avem8
<
:y+z=S x;
x+z=S y;
x+y=S z;
Inegalitatea devine
rx
S x+ry
S y+r
z2
S z>C:
Consider am funct ia f: (0;1)!R; f(a) =pa
S a. Avem
f0(a) =2aS a2
(S a)2; f00(a) =2S2(S a)
(S a)4:
Deoarecefeste convex a, aplic am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z)
3fx+y+z
3
adic a,
px
S x+q
y
S y+pz
S z
3fS
3
;
rx
S x+ry
S y+rz
S z3s
S
3
S S
3;
rx
y+z+ry
x+z+rz
x+y3p
2:
Trebuie sa g asim cel mai mare num ar natural care satisface3p
2>C. Un calcul
simplu arat a c a C= 2.
O alt a metod a de rezolvare poate g asit a ^ n [1].
26
Capitolul 2
Funct ii convexe pe spat ii Banach
2.1 Not iuni introductive
O submult ime Ca unui spat iu liniar Eeste convex a dac a cont ine segmentul
[x;y] =f(1 )x+y:2[0;1]g;
care face lag atura ^ ntre punctele x siy.
Consider^ and
A+B=fx+y:x2A;y2Bg;
pentruA;BE si;2Rputem obt ine diferite exemple. Se poate ar ata c a A+B
este convex, cu condit ia c a A;B convexe si;0.
Submult imea Aa luiEse spune c a este a n a dac a este cont inut a ^ ntreaga dreapt a
ce trece prin cele dou a puncte. Astfel putem scrie algebric
x;y2A si2R)(1 )x+y2A:
Conform de nit iei, orice submult ime a n a este deasemenea convex a, dar reciproca
nu este adev arat a.
Pentru un num ar nit de elemente x1;x2;:::;xndinE, putem considera o combinat ie
a n a a acestora pentru orice punct de forma
x=nX
k=1kxk;
unde1;:::;n2R si1+2+:::+n= 1. Dac a ^ n plus, 1;2;:::;n0, atuncix
este o combinat ie convex a a punctelor x1;x2;:::;xn.
27
Lema 2.1.
O submult ime Ca unui spat iu liniar Eeste convex a/a n a dac a si numai dac a
aceasta cont ine orice combinat ie convex a/a n a de puncte din C.
Demonstrat ie. Su cient a demonstrat iei este evident a, iar necesitatea poate
demonstrat a prin induct ie matematic a.
Teorema 2.2. Consider am c a Ieste o submult ime a spat iului liniar E si are acoperirea
convex aco(I), cu dimensiunea p. Atunci orice punct x2co(I)este o combinat ie
convex a a cel mult p+ 1puncte din I.
Demonstrat ie. Presupunem c a
x=nX
k=0kxk;undexk2I;k>0; si1+2+:::+n= 1:
Dac an>p , atunci multimea J=fx0;:::;xngveri c a
dim(aff(J)dim(aff(I)) =pn 1
cufx1 x0;x2 x0;:::;xn x0gmult ime liniar dependent a.
Aceasta ne d a o mult ime de numere reale 0;1;:::;nnu toate nule, astfel ^ nc^ at
nX
k=0kxk= 0 sinX
k=0k= 0:
Aleg^ andt>0 pentru orice uk=k tk0 cuk= 0;:::;n siuj= 0. Aceasta ne
permite s a reducem num arul termenilor ^ n scrierea lui x. Deci,
x=nX
k=0kxk=nX
k=0(uk+tk)xk=X
k6=jukxk;
si
X
k6=juk=nX
k=0uk=nX
k=0(k tk) =nX
k=0k= 1:
Lema 2.3. Dac aUeste o mult ime convex a a unui spat iu liniar normat, atunci intU
siUsunt convexe.
28
Demonstrat ie. Dac ax;y2intU si2(0;1), atunci
x+ (1 )y+u=(x+u) + (1 )(y+u)2U;
pentru orice udinB"(0). Aceasta arat a c a intU este convex a.
Fiex;y2U. Exist a dou a siruri ( xk)k;(yk)kUcuxk!x siyk!y, c^ and
k!1 . Vom obt ine
x+ (1 )y= lim
k!1[xk+ (1 )yk]2U;
pentru tot i 2[0;1] de unde rezult a c a si Ueste convex a.
Lema 2.4. DacaUeste o mult ime deschis a a spat iului liniar normat E, atunci
acoperirea convex a este deschis a. Dac a Eeste nit dimensional si Keste o mult ime
compact a, atunci acoperirea convex a este compact a.
Demonstrat ie. Consider am combinat ia convex a x= m
k=0kxkde elemente ale
mult imiiU.
Avem,
x+u= m
k=0k(xk+u) pentru orice u2E;
rezult a c axk+u2Upentru orice k, deoareceIeste deschis a, ceea ce asigur a c a jjujj
este su cient de mic. Pentru u2B"(0) vom avea x+u2co(I).
Presupunem c a
f(0;:::;n;x0;:::xn) = kxkcu0;:::;n2[0;1];n
k=0k= 1;x0;:::xn2K:
Deoarecefeste continu a si domeniul de de nit ie este un spat iu compact, a sa este si
domeniul lui f.
Domeniul lui feste exactco(I) folosind Teorema 3.2.
2.2 Funct ii convexe conjugate
Consider am :E!R[f1g cu domeniul
D( ) =fx2E: (x)<1g:
Mult imea
Epi =f(x;)2ER: (x)g;
29
se nume ste epigraful lui .
De nit ia 2.5. PentruEun spat iu topologic funct ia :E!R[f1g se nume ste
inferior semicontinu a dac a pentru orice 2Rmult imea
[ ] =fx2E (x)g;
este ^ nchis a.
De nit ia 2.6. Funct ia :E!R[f1g se nume ste convex a dac a
(tx+ (1 t)y)t (x) + (1 t) (y)8x;y2E;8t2(0;1):
Propiet at ile elementare ale funct iilor convexe:
a) Dac a este o funct ie convex a, atunci Epi este o mult ime convex a ^ n ER si
reciproc.
b) Dac a este o funct ie convex a, atunci, pentru oricare 2Rmult imea [ ] este
convex a. Reciproca nu este adev arat a.
c) Dac a 1 si 2sunt convexe, atunci 1+ 2este convex a.
d) Dac a ( i)i2Ieste o familie de funct ii convexe, atunci anvelopa superioar a a acestei
familii este convex a.
De nit ia 2.7. Fie :E!R[f1g astfel ^ nc^ at D( )6=;. De nim funct ia
conjugat a a lui prin :E0!R[f1g
(f) = sup
x2Efhf;xi (x)g;(f2E0):
Pentru orice x2E xat, aplicat ia f7!hf;xi (x) este convex a si continu a pe
E0, deci si inferior semicontinu a. De unde se deduce c a anvelopa superioar a a acestor
funct ii, c^ and xparcurgeE, este convex a si inferior semicontinu a.
Propozit ia 2.8. Presupunem c a :E!R[f1g este convex a, inferior semicontinu a
siD( )6=;. AtunciD( )6=; si este marginit a inferior de o funct ie continu a
a n a.
30
Demonstrat ie. Fiex02D( ) si lu am0< (x0). Aplic^ and a doua formul a
geometric a a Teoremei Hahn-Banach ^ n spat iul ERcuA=epi siB=f[x0;y0]g.
Avem un hiperplan ^ nchis H= [ = ] ^ nERcare separ a strict mult imile A si
B. Observ am c a aplicat ia x2E7! ([x;0]) este o funct ionala liniar a si continu a pe
E si deci ([x;0]) =hf;xi, pentruf2E0.^Inlocuindk= ([x;0]) avem
([x;]) =hf;xi+k; [x;]2ER:
Lu^ and > peA si < peBobt inem:
hf;xi+k> ;8[x;]2Epi ;
si
hf;x 0i+k0< :
^In particular, avem
hf;xi+k (x)> ;8x2D( ); (2.1)
de unde
hf;x 0i+k (x0)> >hf;x 0i+k0:
Rezult ak>0. Din inegalitatea (2.1) avem
1
kf;x
(x)<
k;8x2D( );
si avem
1
kf
<+1.
Dac a,D( )6=;, de nim aplicat ia :E00!R[f1g prin
(x) = sup
f2E0fhf;xi (f)g;
pentrux2E.
Teorema 2.9. (Fenchel-Moreau) Presupunem c a :E!R[f1g este convex a,
inferior semicontinu a si D( )6=;. Atunci = .
Demonstrat ie. Este realizat a ^ n dou a etape.
31
Etapa 1 : Presupunem c a 0 si a rm am c a = . Se observ a c a . Din
de nit ia lui avem c a
hf;xi (f) (x); x2E; f2E0:
Pentrux02Edemonstr am c a = prin reducere la absurd, presupun^ and c a
(x0)< (x0). Putem avea (x0) = +1, dar ^ ntotdeauna
(x0)<+1:
Alic^ and a doua form a geometric a a Teoremei Hahn-Banach ^ n spat iul ERcu
A=Epi siB= [x0; (x0)]. Avem f2E0;k2R si 2Rastfel ^ nc^ at
hf;xi+k> ;8[x;]2Epi ; (2.2)
hf;x 0i+k (x0)< : (2.3)
Rezult ak0. Conform (2.2), exist a ">0 asfel ^ nc^ at
hf;xi+ (k+") (x) ;8x2D( ):
Avem
f
k+"
k+":
Din de nit ia lui (x0) rezult a c a
(x0)
f
k+";x0
f
k+"
f
k+";x0
+
k+":
De unde
hf;x 0i+ (k+") (x0) ; "> 0;
contradictie cu (2.3).
Etapa 2 :^In caz general x am f02D( ) si de nim
(x) = (x) hf0;xi+ (f0):
Funct ia este convex a, inferior semicontinu a, D( )6=; si 0. Deoarece
= , din Etapa 1, vom calcula
si
. Avem
32
(f) = (f+f0) (f0);
si
(x) = (x) hf0;xi+ (f0):
Rezult a c a = .
Lema 2.10. FieCEo mult ime convex a, atunci intC este o mult ime convex a.
Dac aintC6=;, atunci
C=intC:
Teorema 2.11. Fie si'funct ii convexe. Presupunem c a exist a x02D( )\D(')
astfel ^ nc^ at este continu a ^ n x0. Atunci
inf
x2Ef (x) +'(x)g= sup
f2Ef ( f) '(f)g
= max
f2E0f ( f) '(f)g:
Demonstrat ie. Consider am
a= inf
x2Ef (x) +'(x)g;
si
b= sup
f2E0f ( f) '(f)g:
Evidentba. Dac aa= 1 teorema este demonstrat a.
Presupunem c a a2R. Not amC=Epi . Deoarece este continu a ^ n x0rezult a
c aintC6=;. Putem aplica prima form a geometric a a teoremei Hahn-Banach cu
A=intC si
B=f[x;]2ER:a '(x)g;
deoareceA siBsunt convexe si nevide cu A\B=;deoarece dac a [ x;y]2A, atunci
> (x)a '(x);
de unde [x;y]6=B. Exist a un hiperplan ^ nchis Hcare separ a A siB^ n sens larg.
Conform Lemei 2.10 rezult a c a Hsepar a ^ n sens larg si mult imile A siB. Deci exist a
33
f2E0; k2R si 2Rastfel ^ nc^ at hiperplanul H= [ = ] separ a ^ n ER
mult imileC siB, unde
([x;y]) =hf;xi+k;8[x;]2ER:
Deci,
hf;xi+k ;8[x;]2C; (2.4)
hf;xi+k ;8[x;]2B: (2.5)
Aleg^ andx=x0 si l as^ and!+1^ n (2.4) observ am c a avem k0. Se observ a, c a
de fapt
k>0: (2.6)
Reamintim c a 6= 0, ceea ce ^ nseamn a c a jjfjj+jkj6= 0. Presupunem, prin asurd,
k= 0. Din (2.4) si (2.5) rezult a c a
hf;xi ;8x2D( );
hf;xi ;8x2D('):
DarB(x0;"0)D( ) pentru"0>0 su cient de mic, deci
hf;x 0+"0zi ;8z2B(0;1);
de unde rezult a c a hf;x 0i +"0kfk. Altfel,
hf;x 0i ; pentrux02D('):
De unde rezult a a rmat ia fals a f= 0, deoarece k= 0. Astfel am demonstrat relat ia
(2.6). Din (2.4) si (2.5) deducem c a
f
k
k;
si
'f
k
k a;
de unde
34
f
k
'(f
k)a:
Din de nit ia lui b, avem
f
k
'(f
k)b;
de unde rezult a
a=b=
f
k
'f
k
:
2.3 Continuitatea funct iilor convexe
Propozit ia 2.12. FieXun spat iu Banach si :X!R[f1g o funct ie convex a. Dac a
este local m arginit a superior in x02int(D( )), atunci este local m arginit a ^ n x0.
Demonstrat ie. Presupunem m arginit a superior de MpeBr(x)D, unde
D=int(D( )) sir>0. Ar at am ca este marginit a inferior pe ^ n Br(x).
Dac ay2Br(x) atunci rezult a c a 2 x y2Br(x) si
(x)1
2[ (y) + (2x y)]1
2[ (y) +M];
deci,
(y)2 (x) M;
pentruy2Br(x).
Propozit ia 2.13. FieXun spat iu Banach si :X!R[f1g o funct ie convex a.
Dac a este local m arginit a ^ n x02int(D( )), atunci este local Lipschitz ^ n x0.
Demonstrat ie. Presupunem c aj j<M peB2r(x0)D( ), pentru un r>0.
Pentrux;y2Br(x0) cux6=yconsider am =jjy xjj siz=y+r
(y x), de
undez2B2r(x0). Deoarece
y=
+rz+r
+rx;
35
este o combinat ie convex a din B2r(x0), avem
(y)
+r (z) +r
+r (x):
Deci,
(y) (x)
+r( (z) (x))2M
r=2M
rky xk:
Schimb^ and x siyrezult a c a
j (y) (x)j2M
rky xk:
Teorema 2.14. (Propietatea Lipschitz a funct iilor convexe) Fie Xun spat iu Banach
si :X!R[f1g o funct ie convex a lipschitz. Atunci este local Lipschitz pe
int(D( )).
Demonstrat ie. Din Propozit iile 2.12 si 2.13 r am^ ane de ar atat c a este local
marginit a superior.
Pentru oricare j2Nde nimDj=fx2X: (x)jg:Mult imileDjsunt ^ nchise
si
int(D( ))[1
j=1Dj:
Deoareceint(D( )) este o mult ime deschis a, din teorema de categorie Baire, exist a
pentru oricare jastfel ^ nc^ at int(Dj) este nevid a. Presupunem c a Br(x)int(Dj).
Atunci este marginit a superior de jpeBr(x).
Deoareceint(D( )) este deschis a cu y2int(D( )) siy6=xatunci exist a >1
astfel ^ nc^ at z=x+(y x)2int(D( )). Fie=1
2(0;1). Mult imea
V=fz+ (1 )b:b2Br(x)g;
este vecin atate pentru oricare y2int(D( )). Pentru orice punct
v=z+ (1 )b2V;
avem,
(v) (z) + (1 )j;
atunci este marginit a superior ^ n Vde unde rezult a c a este local Lipschitz ^ n y.
36
2.4 Funct ii omogene
Fun ctiile " pozitiv omogene " folosite ^ n analiza convex a sunt de nite pe un con convex
CdinRncare veri c a relat ia:
f(x) =f(x) pentru toti x2C si0:
Lema 2.15. Fiefo funct ie pozitiv omogen a de nit a pe conul convex C2Rn. Atunci
feste convex a dac a si numai dac a feste subaditiv a.
Demonstrat ie. Presupunem c a feste convex a si x;y2C. Atunci
1
2f(x+y) =fx+y
2
1
2(f(x) +f(y));
f(x+y)f(x) +f(y):
Necesitatea. Presupunem c a feste subaditiv a, de unde avem:
f((1 )x+y)f((1 )x) +f(y) = (1 )f(x) +f(y);
pentru8x;y2C si2[0;1] de unde se observ a c a feste convex a.
Lema 2.16. Fiefo functie omogen a strict pozitiv a de nit a pe conul convex C2Rn
astfel ^ nc^ at subintervalul x2Cjf(x)1este convex. Atunci feste o funct ie convex a.
Demonstrat ie. Conform lemei de mai sus este su cient s a ar at am c a funct ia este
subaditiv a. Consider am x;y2C, legem scalarii ; astfel ^ nc^ at >f (x) si >f (y).
Deoarecefeste o functie omogea strict pozitiva, atunci
fx
1 sify
1
Alegemx
siy
. Obt inem din convexitatea funct iei pe subinterval:
1
+ f(x+y) =fx+y
+
=f
+ x
+
+ y
1;
f(x+y) +
pentru oricare >f (x); >f (y). Deci
37
f(x+y)f(x) +f(y);
de unde rezult a c a feste subaditiv a.
Pentrup2[1;1) consider am funct ia omogen a strict pozitiv a dat a de formula
f(x1;:::;xn) = (xp
1+:::+xp
n)1
p
fpeste convex a ca o sum a de funct ii convexe. Deci
fx2Xjf(x)1g=fx2Xjfp(x)1g;
este convex a ceea ce implic a c a feste o funct ie convex a.
Lema 2.17. Fie functia J:R2
+!R. Atunci sunt echivalente:
a)Jeste convex a;
b)'=J(1;t)este convex a
c) exist a o submult ime GR2astfel ^ nc^ at
J(u;v) =supfau+bvj(a;b)2Gg:
Demonstrat ie.
a))b) este evident a.
b))c) consider am
J(u;v) =uJ
1;v
u
dac au>0;
si
J(u;v) =vJ(0;1) dac a u= 0:
Conform Teoremei (1.21)
'(t) =supfa+btj(a;b)2Gg;
unde,G=f('(s) sb;b)jb2@'(s);s2Rg.
c))a) este evident a.
38
Teorema 2.18. FieJ:R2
+!Ro funct ie omogen a pozitiv a continu a si convex a.
Atunci pentru orice spat iu de m asur a (X;;) si orice funct ie -integrabil a f:X!
R2
+pentru care Jfeste deasemenea -integrabil a, avem inegalitatea
JZ
Xfd
Z
XJfd: (2.7)
Demonstrat ie.
Fief= (f1;f2). Conform lemei de mai sus si teoremei de convergent a dominat a a
lui Lebesgue, avem
Z
X(Jf)(x)d=Z
Xsup
(a;b)2G(af1+bf2)d
sup
(a;b)2G
aZ
Xf1d+bZ
Xf2d
=J(Z
Xfd):
Teorema 2.19. Pentrup2( 1;0)[[1;1) sif;g2Lp()avem
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp;
dac a 0<p< 1inecuat ia este adevarat a si pentru
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp;
Dac af6= 0 aprope peste tot, atunci avem egalitate dac a si numai dac a g=f
aprope peste tot, pentru 0.
Demonstrat ie. J(1;t) = (1 +t1
p)peste strict convex a pentru p2(0;1) si strict
concav a pentru p2Rn[0;1]. Rezult a demonstrat ia aplic^ and Teorema de mai sus.
Corolar 2.20. Fie(X;;)un spat iu de m asur a nit a. Pentru orice f;g2
L1();f;g0avem:
exp1
(X)Z
Xlog(f(x) +g(x))d
exp1
(X)Z
Xlogf(x)d) +exp(1
(X)Z
Xlogg(x)d
:
39
2.5 Subdiferent iala
Aici scrii din Borwein de la pagina 117 pana la pagina 122 pana la sectiunea 4.2.4 si
sari comentariile legate de exercitiile adica nu mai faci referire la exercitiile care zice
el de ele, dar lasi comentriul fara sa il mai demonstrezi. Peste tot in loc de fnotezi
cu .
FieHun spat iu Banach. De nim subdiferent iala convex a a funct iei convexe :
H!R[f+1g^ nx2dom prin
@ (x) =fx2Hj (y) (x)hx;y xi;pentru tot i y2Hg; (2.8)
40
Capitolul 3
Inegalit at i variat ionale
3.1 Ecuat ii neliniare
Pe parcursul acestui capitol ( H;h;iH;kkH) va desemna un spat iu Hilbert real.
De nit ia 3.1. Spunem c a un operator A:H!Hestetare monoton dac a exist a
o constant a mA>0astfel ^ nc^ at
hAu Av;u viHmAku vk2
H;8u;v2H:
De nit ia 3.2. Spunem c a un operator A:H!HesteLipschitz dac a exist a o
constant aLA>0astfel ^ nc^ at
kAu AvkHLAku vkH;8u;v2H:
Remarca 3.3. Pentru un operator tare monoton si Lipschitz A, avemmALA.
^Intr-adev ar,
mAku vk2
H hAu Av;u viH
kAu AvkHku vkHLAku vk2
H;8u;v2X:
Teorema 3.4. (Teorema Minty-Browder )FieA:H!Hun operator tare
monoton si Lipschitz si f2H. Atunci exist a un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
Au=f: (3.1)
Demonstrat ie. Fie>0. Consider am operatorul T:H!Hde nit astfel
T:=u;
41
unde
u:=f A+:
Vom ar ata c a pentru convenabil ales operatorul Teste o contract ie. Avem
kT1 T2kH=ku1 u2kH
=k1 2 (A1 A2)kH:
Dar,
ku1 u2k2
H=h1 2 (A1 A2);1 2 (A1 A2)iH
=k1 2k2
H 2hA1 A2;1 2iH+2kA1 A2k2
H:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton si Lipschitz obt inem
kT1 T2k2
H(1 2mA+2L2
A)k1 2k2
H:
Vom notaf() = 1 2mA+2L2
A. Aceasta este o ecuat ie de gradul al II-lea ^ n
necunoscuta al c arei discriminant = 4 m2
A 4L2
A= 4(m2
A L2
A)0 conform
Observat iei 3.3. Dac a mA< LAatuncif()>0, iar dac a mA=LAf() = (1
mA)20. Astfel,f()0 pentru orice 2R si
kT1 T2kHq
1 2mA+2L2
Ak1 2kH:
Vom ar ata c a pentru > 0 convenabil xat avemp
1 2mA+2L2
A<1.^Intr-
adev ar,
1 2mA+2L2
A= 1 (2mA L2
A)<1 dac a 2mA L2
A>0:
A sadar, pentru orice 2
0;2mA
L2
A
,Teste contract ie si putem aplica Teorema lui
Banach de punct x.
Fieunicul punct x al lui T0cu0 xat (0< 0<2mA
L2
A). Atunci
T0=u=:
Deci
u=f Au+u;
adic af=Au si astfel am ar atat c a ueste o solut ie pentru (3.1).
42
Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Fie u1;u22Xastfel ^ nc^ at Au1=
f siAu2=f. Avem
hAu1;v u1iH=hf;v u1iH;8v2H (3.2)
hAu2;v u2iH=hf;v u2iH;8v2H: (3.3)
Fiev=u2^ n (3.2) siv=u1^ n (3.3). Sum^ and,
hAu1 Au2;u2 u1iH= 0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1 u2k2
H0, adic au1=u2.
Propozit ia 3.5. Fieu1;u2solut ii pentru (3.1) corespunz atoare datelor f1;f22H.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1 u2kHCkf1 f2kH:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (3.1) corespunz atoare datelor
f1;f22Havem
hAu1;v u1iH=hf1;v u1iH;8v2H (3.4)
hAu2;v u2iH=hf2;v u2iH;8v2H: (3.5)
Fiev=u2^ n (3.4) siv=u1^ n (3.5). Sum^ and,
hAu1 Au2;u2 u1iH=hf1 f2;u2 u1iH;
hAu1 Au2;u1 u2iH=hf1 f2;u1 u2iH;
adic a
mAku1 u2k2
Hkf1 f2kHku1 u2kH;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1 u2kH6= 0 simAku1 u2kHkf1 f2kH.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1 u2kH= 0, 0C0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular si pentru C= 1=mA. A sadar, inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA.
Remarca 3.6. ^In literatura de specialitate acest rezultat se nume ste si dependent a
Lipschitz de data init ial a .
43
Propozit ia 3.7. FieA:H!Hun operator tare monoton si Lipschitz. Atunci
A 1:X!Xeste tare monoton si Lipschitz.
Demonstrat ie. Fief2H. Aplic^ and Teorema 3.4 rezult a c a exist a si este unic un
elementu2Hastfel ^ nc^ at Au=f. Acest lucru este echivalent cu faptul c a operatorul
Aeste inversabil.
Fieu1;u22Hastfel ^ nc^ at Au1=v1 siAu2=v2. Folosind faptul c a A 1v1=u1,
A 1v2=u2 siAeste tare monoton avem
hA 1v1 A 1v2;v1 v2iH=hu1 u2;Au 1 Au2iH
mAku1 u2k2
H=mAkA 1v1 A 1v2k2
H:
Folosind acum faptul c a Aeste Lipschitz avem
kAu1 Au2kHLAku1 u2kH()kv1 v2kHLAkA 1v1 A 1v2kH:
Deci
mAkA 1v1 A 1v2k2
HmA
L2
Akv1 v2k2
H:
Rezult a c a
hA 1v1 A 1v2;v1 v2iHmA
L2
Akv1 v2k2
X:
Am ar atat astfel existent a unei constante mA 1:=mA
L2
A, adic a operatorul A 1este tare
monoton.
Utiliz^ and inegalitatea Cauchy-Schwarz se obt ine
hAu1 Au2;u1 u2iH kAu1 Au2kHku1 u2kH
=kv1 v2kHku1 u2kH:
Dar cumAeste tare monoton rezult a
mAku1 u2kHkv1 v2kH:
A sadar,
kA 1v1 A 1v2kH=ku1 u2kH1
mAkv1 v2kH:
Am ar atat astfel existent a unei constante LA:=1
mA, adic a operatorul A 1este Lips-
chitz.
Consider am problema:
(P) Cautu2Hastfel ^ nc^ at a(u;v) =b(v);8v2X:
Admitem ipotezele:
44
(A1)b:H!Raplicat ie liniar a si continu a;
(A2)a:HH!Rcu proprietatea c a pentru ecare w2H,
aplicat iav7 !a(w;v) este liniar a si continu a;
(A3) exist a ma>0 astfel ^ nc^ at
a(u;u v) a(v;u v)maku vk2
H;8u;v2H;
(A4) exist a La>0 astfel ^ nc^ at
ja(u;w) a(v;w)jLaku vkHkwkH;8u;v;w2H:
Teorema 3.8. (Lema Lax-Milgram neliniar a )Problema (P) are solut ie unic a.
Demonstrat ie. Cu ajutorul funct iei avom de ni operatorul A:H!H. Pentru
w2H,Aweste elementul din Hcare veri c a:
a(w;u) =hAw;uiH;8u2H:
Avem
hAu Av;u viH=hAu;u viH hAv;u viH
=a(u;u v) a(v;u v)
maku vk2
H;
adic a operatorul Aeste tare monoton.
Vom ar ata ^ n continuare c a operatorul Aeste Lipschitz. Avem
kAu AvkH= sup
w2H
w6=0HjhAu Av;wiHj
kwkH
= sup
w2H
w6=0Hja(u;w) a(v;w)j
kwkH;
si
ja(u;w) a(v;w)j
kwkHLaku vkHkwkH
kwkH
=Laku vkH:
45
Utiliz^ and Teorema de reprezentare a lui Riesz rezult a c a exist a si este unic un
elementz2Hastfel ^ nc^ at b(v) =hz;viH, oricare ar v2H. A sadar, problema (P)
este echivalent a cu urm atoarea problem a:
(P') Cautu2Hastfel ^ nc^ at
hAu;viH=hz;vi;8v2H:
DarhAu;viH=hz;viH;8v2H,Au=z; c aci lu^ and v=Au zavem
hAu;viH=hz;viH,kAu zk2
H= 0,Au=z.
Existent a si unicitatea solut iei problemei (P) este astfel asigurat a de Teorema
Minty-Browder.
Remarca 3.9. Dac aaeste liniar a si ^ n primul argument, atunci se poate veri ca
u sor c aaeste form a bilinar a, continu a si H-eliptic a. Astfel se redescoper a Lema
Lax-Milgram.
3.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet a
Teorema 3.10. Fie(H;h;iH;kkH)un spat iu Hilbert real. Fie KHo submult ime
nevid a, convex a si ^ nchis a. Admitem c a A:H!Heste un operator tare monoton si
Lipschitz. Atunci, pentru f2Hdat, exist a o unic a solut ie a inegalit at ii variat ionale
eliptice de prima spet a:
hAu;v uiHhf;v uiH;8v2K
u2K:(3.6)
Demonstrat ie. Fie>0. De nim S:K!Kastfel
Su:=PK(u (Au f));
undePKeste operatorul de proiect ie pe K. Reamintim c a operatorul de proiect ie este
un operator monoton, adic a
hPKu PKv;u viH0;8u;v2H;
si non-expansiv (vezi Brezis [ ?]),
kPKu PKvkHku vkH;8u;v2H:
46
Vom ar ata c a Seste o contract ie pentru convenabil ales. Deoarece operatorul
de proiect ie PKnu m are ste distant a avem
kSu1 Su2kX=kPK(u1 (Au1 f)) PK(u2 (Au2 f))k
k (u1 u2) (Au1 Au2)kH:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton si Lipschitz se obt ine
kSu1 Su2k2
H ku1 u2k2
H 2hAu1 Au2;u1 u2iH+2kAu1 Au2k2
H
ku1 u2k2
H 2mAku1 u2k2
H+2L2
Aku1 u2k2
X
= (1 2mA+2L2
A)ku1 u2k2
H:
Dup a cum am v azut ^ n cadrul demonstrat iei Teoremei Minty-Browder expresia 1
2mA+2L2
A0 pentru orice 2R, iar pentru 2
0;2mA
L2
A
avemp
1 2mA+2L2
A<
1. A sadar, pentru orice 0 <<2mA
L2
A,Seste contract ie.
Fie 0< 0<2mA
L2
A. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a S0are
un unic punct x u, adic a
S0u=u=PK(u 0(Au f)):
Utiliz^ and Teorema de proiect ie avem
hPK(u 0(Au f)) (u 0(Au f));v PK(u 0(Au f))iH0;8v2K
si de aici
hu u+0(Au f);v uiH0;8v2K
0hAu f;v uiH0:
Cum0>0, deducem
hAu;v uiHhf;v uiX;8v2K:
^In plus, not am c a u2K.
Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Pentru f2Hdat presupunem
ca exist a dou a elemente u1;u22Kastfel ^ nc^ at
hAu1;v u1iHhf;v u1iH;8v2K (3.7)
hAu2;v u2iHhf;v u2iH;8v2K: (3.8)
47
Fiev=u2^ n (3.7) siv=u1^ n (3.8). Sum^ and,
hAu1 Au2;u2 u1iH0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1 u2k2
H0, adic au1=u2.
Propozit ia 3.11. Fieu1 siu2solut ii pentru (3.6) corespunz atoare datelor f1;f22H.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1 u2kHCkf1 f2kH:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (3.6) corespunz atoare datelor
f1;f22Havem
hAu1;v u1iHhf1;v u1iH;8v2K (3.9)
hAu2;v u2iHhf2;v u2iH;8v2K: (3.10)
Fiev=u2^ n (3.9) siv=u1^ n (3.10). Sum^ and,
hAu1 Au2;u2 u1iHhf1 f2;u2 u1iH;
hAu1 Au2;u1 u2iHhf1 f2;u1 u2iH;
adic a
mAku1 u2k2
Hkf1 f2kHku1 u2kH;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1 u2kH6= 0 simAku1 u2kHkf1 f2kH.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1 u2kH= 0, 0C0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular si pentru C= 1=mA. A sadar inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA.
Remarca 3.12. Dac aAeste un operator liniar, atunci putem de ni forma biliniar a
a:HH!Rastfel ^ nc^ at a(u;v) =hAu;viH.^In plus,aeste continu a si H-eliptic a.
Redescoperim astfel Teorema lui Stampacchia.
48
3.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua
Fie (H;h;iH;kkH) un spat iu Hilbert real, operatorul A:H!H, aplicat iaj:H!
( 1;+1] si un element f2H.
De nit ia 3.13. O funct ional a j:H!( 1;+1]se nume ste inferior semicon-
tinu a ^ nu2Hdac a
lim inf
n!1j(un)j(u);
pentru orice sirfungHcare converge la u^ nH. Spunem c a jeste inferior semi-
continu a pe Hdac a este inferior semicontinu a ^ n orice punct u2H.
Consider am inegalitatea variat ional a eliptic a de spet a a doua :
(P) Datf2Hs a se determine u2Hastfel ^ nc^ at
hAu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H:
Admitem ipotezele:
9mA>0 astfel ^ nc^ athAu Av;u viHmAku vk2
H;8u;v2H (3.11)
9LA>0 astfel ^ nc^ atkAu AvkHLAku vkH;8u;v2H (3.12)
j:H!( 1;1] este proprie, convex a si inferior semicontinu a : (3.13)
Amintim acum o teorem a a lui Weierstrass.
Teorema 3.14. Fie(E;kkE)un spat iu Banach re
exiv, AEo mult ime nevid a,
convex a, ^ nchis a si ':A!( 1;+1]proprie, convex a si inferior semicontinu a.
Dac aAeste nem arginit a presupunem c a
lim
x2A
kxkE!1'(x) = +1:
Atunci'i si atinge minimul pe A, adic a exist a x02Aastfel ^ nc^ at '(x0) =
minx2A'(x).
Teorema 3.15. Admitem ipotezele (3.11)-(3.13). Fiind dat f2X, problema (P) are
solut ie unic a. ^In plus, solut ia depinde Lipschitz de data f.
Consider am problema auxiliar a:
49
(Paux) Datf2Hs a se determine u2Xastfel ^ nc^ at
hu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H:
Lema 3.16. Problema (Paux)are solut ie unic a. ^In plus, pentru f1;f22X, not^ and
cuu1;u2solut iile corespunz atoare problemei (Paux), avem
ku1 u2kHkf1 f2kH:
Demonstrat ie. Consider am aplicat ia J:X!( 1;+1] de nit a astfel
J(v) =1
2kvk2
H+j(v) hf;viH:
Jeste strict convex a si inferior semicontinu a. Aplic^ and Teorema 3.14 rezult a c a exist a
u2Hastfel^ nc^ at J(u)J(v), pentru orice v2H. Presupun^ and c a exist a u1;u22H,
u16=u2astfel ^ nc^ at J(u1) =J(u2) = min
v2HJ(v), obt inem
Ju1+u2
2
<1
2J(u1) +1
2J(u2) = min
v2HJ(v);
ceea ce reprezint a o contradict ie.
Deci exist a un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
J(u)J(v);8v2H:
Not am c aj(u)<+1.^In caz contrar, 1 este mai mare sau egal decat un num ar
nit. Astfel, Jeste proprie.
Vom ar ata ^ n continuare c a uminimizeaz a Jdac a si numai dac a ueste solut ie
pentru ( Paux).
Pentru a demonstra prima implicat ie consider am v2H sit2(0;1) astfel ^ nc^ at
J(u)J(u+t(v u)), inegalitate care conform de nit iei lui Jdevine
1
2kuk2
H+j(u) hf;uiH1
2ku+t(v u)k2
H+j(u+t(v u)) hf;u+t(v u)iH:
Cumjeste convex a avem
j(u+t(v u)) =j((1 t)u+tv)tj(v) + (1 t)j(u)
iar
ku+t(v u)k2
H=kuk2
H+ 2thu;v uiH+t2kv uk2
H:
50
A sadar,
1
2kuk2
H+j(u) hf;uiH1
2kuk2
H+thu;v uiH+t2
2kv uk2
H
+tj(v) + (1 t)j(u) hf;uiH thf;v uiH;
expresie care dup a simpli care devine
t2
2kv uk2
H+thu;v uiX+t(j(v) j(u)) thf;v uiH0:
Cumt>0 putem ^ mp art i prin t si obt inem
hu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH t
2kv uk2
H:
Facemt!0 si obt inem c a ueste solut ie pentru ( Paux).
Reciproc, admitem c a ueste solut ie pentru ( Paux), adic a
hu;v uiX+j(v) j(u)hf;v uiX;8v2X:
Evalu am
J(v) J(u) =1
2kvk2
H+j(v) hf;viH 1
2kuk2
H j(u) +hf;uiH
=hu;v uiH+j(v) j(u) hf;v uiH
+1
2kvk2
H 1
2kuk2
H hu;v uiH:
Dar,
1
2kvk2
H 1
2kuk2
H hu;viH+kuk2
H=kvk2
H 2hu;viH+kuk2
H
2
=hv u;v uiH
2
=kv uk2
H
2:
Obt inem
J(v) J(u) =hu;v uiH+j(v) j(u) hf;v uiH+kv uk2
H
20:
A sadar minimizantul lui Jeste unica solut ie a problemei ( Paux).
Fief1;f22H siu1;u2solut iile corespunz atoare problemei ( Paux). Atunciu1;u2
veri c aj(u1)<1;j(u2)<1 si
hu1;v u1iH+j(v) j(u1)hf1;v u1iH;8v2H (3.14)
51
hu2;v u2iH+j(v) j(u2)hf2;v u2iH;8v2H: (3.15)
Fiev=u2^ n (3.14) si v=u1^ n (3.15). Sum^ and,
hu1 u2;u2 u1iH+j(u2) j(u1) +j(u1) j(u2)hf1 f2;u2 u1iH:
Deci
ku1 u2k2
Hhf1 f2;u1 u2iHkf1 f2kXku1 u2kH:
S i de aici,ku1 u2kHkf1 f2kX.
Demonstrat ia Teoremei 2.5. De nim operatorul proxj:H!Hastfel
proxj(f) :=u
undeueste solut ia problemei ( Paux). Lema 3.16 ne spune c a operatorul proxjeste
non-expansiv. ^In plus, inegalitatea
hf1 f2;u1 u2iHku1 u2k2
X
implic a
hproxj(f1) proxj(f2);f1 f2iH0;8f1;f22H;
adic aproxjeste operator monoton.
Existent a. Fief2H; > 0 sij:H!( 1;+1] o funct ional a proprie, convex a
si inferior semicontinu a. De nim T:H!Hastfel
T(v) :=proxj(f Av+v)8v2H:
Vom demonstra ^ n continuare c a Teste contract ie pentru convenabil ales. Fie
u;v2H. Avem
kT(u) T(v)kH=kproxj(f Au+u) proxj(f Av+v)kH:
Cumproxjeste non-expansiv,
kT(u) T(v)kHku v+(Av Au)kH:
Deci
kT(u) T(v)k2
H ku vk2
H 2hAu Av;u viH+2kAu Avk2
H
(1 2mA+2L2
A)ku vk2
H:
52
Consider^ and 0 <<2mA
L2
Aavem 0<1 2mA+2L2
A<1.
Fie acum02
0;2mA
L2
A
. Atunci
kT0(u) T0(v)kHq
1 20mA+2
0L2
Aku vkH
adic aT0este contract ie. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a exist a
un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
T0u=u=prox0j(0f 0Au+u):
Deciueste solut ie a problemei ( Paux) si veri c a
hu;v uiH+0j(v) 0j(u)h0f 0Au+u;v uiH;8v2H
0hAu;v uiH+0(j(v) j(u))0hf;v uiH;8v2H:
Cum0>0, deducem
hAu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H:
Deciueste solut ie a problemei (P).
Unicitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii ale problemei (P). Atunciu1 siu2veri c a
hAu1;v u1iH+j(v) j(u1)hf;v u1iH;8v2H: (3.16)
hAu2;v u2iH+j(v) j(u2)hf;v u2iH;8v2H: (3.17)
Fiev=u2^ n (3.16) si v=u1^ n (3.17). Sum^ and, obt inem
hAu1 Au2;u2 u1iH0:
Dar conform ipotezei (3.11)
mAku1 u2k2
HhAu1 Au2;u1 u2iH0
obt inem egalitatea u1=u2.
Stabilitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii pentru problema (P)corespunz atoare datelor
f1;f22H. Atunci
hAu1;v u1iH+j(v) j(u1)hf1;v u1iH;8v2H: (3.18)
hAu2;v u2iH+j(v) j(u2)hf2;v u2iH;8v2H: (3.19)
53
Consider am v=u2^ n (3.18) si v=u1^ n (3.19) si sum^ and,
hAu1 Au2;u1 u2iH jhf1 f2;u1 u2iHj
kf1 f2kHku1 u2kH:
Utiliz^ and din nou ipoteza (3.11) avem
mAku1 u2k2
Hkf1 f2kHku1 u2kH:
A sadar,
ku1 u2kH1
mAkf1 f2kH:
Remarca 3.17. Dac aj0problema (P) este echivalent a cu
hAu;v uiHhf;v uiH;8v2H()Au=f:
Remarca 3.18. Dac aj=IK(funct ia indicator a mult imii K), undeKHeste o
mult ime nevid a, convex a si ^ nchis a iar
IK(v) =0v2K
1v62K;(3.20)
este o funct ional a proprie, convex a si inferior semicontinu a, atunci
hAu;v ui+IK(v) IK(u)hf;v uiH;8v2H:
Dac au2Katunci
hAu;v uiHhf;v uiH;8v2K:
Remarca 3.19. Dac aAeste liniar si j0atunci reg asim Teorema Lax-Milgram.
Remarca 3.20. Dac aAeste liniar si j=IKredescoperim Teorema lui Stampacchia.
3.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i
variat ionale
Fie (H;h;iH;kkH) un spat iu Hilbert real, operatorul A:H!H, funct ionala
j:H!( 1;+1] si un element f2H.
Consider am problema studiat a si ^ n sect iunea anterioar a:
54
(Pv) Datf2Xs a se determine u2Hastfel ^ nc^ at
hAu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H;
pentru care am admis ipotezele (3.11)-(3.13). Fie usolut ia unic a a lui ( Pv), adic a
j(v) j(u)hf Au;v uiH;8v2H;
echivalent cu
f Au2@j(u):
Dac ajeste diferent iabil a G^ ateaux, atunci, cum j este si convex a,
@j(u) =frj(u)g:
Prin urmare,
f Au=rj(u);
echivalent cu
Au+rj(u) =f:
Consider am problema:
(P)hAu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H:
Admitem c a j:H!Reste convex a, inferior semicontinu a, A:H!Heste operator
tare monoton si Lipschitz. ^In plus, admitem c a
(I)8
<
:exist aF:R+!R+astfel ^ nc^ at
jj(v) j(v)jF()8v2H;8>0
lim!0F() = 0:(3.21)
Admitem c a pentru A:H!Htare monoton si Lipschitz si j:H!Rconvex a si
inferior semicontinu a,
(Pv)hAu;v uiH+j(v) j(u)hf;v uiH;8v2H; (3.22)
are solut ie unic a.
Teorema 3.21. FieA:X!Hoperator tare monoton si Lipschitz, iar j;j:H!R
funct ionale convexe si inferior semicontinue. Admitem ^ n plus (I). Atunci
u!u^ nHc^ and!0:
55
Demonstrat ie. Consider^ and v=u^ n inegalitatea din problema ( P) siv=u^ n
inegalitatea (3.22) si sum^ and, obt inem
hAu Au;u uiH+j(u) j(u) +j(u) j(u)0;
si de aici,
hAu Au;u uiHj(u) j(u) (j(u) j(u))
jj(u) j(u)j+jj(u) j(u)j
2F():
CumAeste tare monoton,
mAku uk2
H2F():
Deducem de aici c a
u!uc^ and!0:
Remarca 3.22. Dac aj(0H) = 0 sij(v)0, atuncifugeste sir m arginit. ^Intr-
adev ar, pun^ and v= 0H^ n(P)avem
hAu; uiH+j(0H) j(u)hf; uiH
hAu A0H;u 0HiHhf;uiH+hA0H;uiH
de unde
kukH1
mA(kfkH+kA0HkH):
56
Capitolul 4
PROIECTAREA S I
DESF AS URAREA CERCET ARII
4.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii
Dac a la ^ nceputul cercet arii au fost expuse not iuni introductive asupra funct iilor con-
vexe si a unor inegalit at i clasice, cercetarea se concentreaz a subiectiv, pe anumite
etape ce ajut a la ^ nt elegerea si rezolvarea anumitor inecuat ii.
4.2 Scopul cercet arii
4.3 Obiectivele cercet arii
4.4 E santionul de subiect i
^In cercetare am folosit clasa a XI-a A a Liceului Teoretic "Constantin Noica", Ale-
xandria, judet ul Teleorman, pe care am ^ mpart it-o ^ n dou a loturi, unul de control si
altul experimental. ^In total ind investigat i 22 de elevi(10 fete si 12 b aiet i), cu v^ arste
cuprinse ^ ntre 17 si 18 ani.
4.5 E santionul de cont inut
E santionul de cont inut urm are ste ansamblul cont inuturilor/ informat iilor despre utili-
zarea funct iilor convexe ^ n studiul inecuat iilor, care sunt valori cate si testate ^ n cazul
cercet arii realizate.
57
4.6 Locul si durata cercet arii
4.6.1 Locul cercet arii
Tema este tratat a ^ n cadrul orelor de matematic a c^ at si ^ n cele de preg atire suplimen-
tar a, ^ n semestrul II, an scolar 2016/2017, desf a surate la Liceul Teoretic Constantin
Noica, Alexandria, judet ul Teleorman.
4.6.2 Durata si etapele cercet arii
Etape Constatativ a Experimental a Post-test
Timp de desf a surare
Tabela 4.1: Durata si etapele cercet arii
4.7 Metodologia cercet arii
Metodele si tehnicile de cercetare utilizate ^ n elaborarea lucr arii sunt:
Ancheta pe baz a de chestionar
Studiul documentelor scolare
Metoda comparat iei
Interviul
Auto-observat ia
Analiza cont inutului comunic arii
Observat ia sistematic a
Testul
Grile de interpretare
Metoda bibliogra c a sau studiul bibliogra ei de specialitate – baz a a docu-
ment arii
Metoda statistico-matematic a – metod a auxiliar a de cuanti care a rezultatelor
cercet arii
58
Tabela 4.2: Metodele si tehnicile de cercetare si momentul aplic arii^ n etapele cercet arii
Metoda Etape ale cercet arii
Constatativ a Experimental a Post-test Re-test
Auto-observat ia x x x x
Observat ia sistematic a x x x x
Ancheta pe baz a de x x x –
chestionar
Studiul documentelor x x x x
curriculare si scolare
Testul x x x x
Interviul – x x x
Grile de interpretare x x x x
Analiza cont inutului x x x x
comunic arii
Metode statistice de – x x x
colectare, interpretare si
corelare a datelor
Metoda bibliogra c a x x x x
Metoda comparat iei x x x x
59
Capitolul 5
PREZENTAREA
REZULTATELOR, PE ETAPE
ALE CERCET ARII
5.1 Rezultatele din etapa constatativ a
Etapa constatativ a – 15 sept. 2016 – 15 oct. 2016
Sarcina acestei etape este de a stabili nivelul elevilor ^ n momentul ^ nceperii expe-
rimentului psihopedagogic, la lotul de control, c^ at si la cel experimental.
Pe parcursul cercet arii am urm arit stadiul de dezvoltare a competent elor – cheie,
stabilite la nivelul Comisiei Europene: a ^ nv at a s a ^ nvet i, competent e interpersonale,
interculturale, sociale si civice, sensibilitate la cultur a.
Testul aplicat a cuprins itemi care vizau obt inerea unor informat ii cu privire la:
cunoa sterea si aplicarea de c atre elevi a not iunilor matematice;
calitatea calculului matematic dob^ andit de elev (corectitudine, diversitate, re
e-
xivitate);
calitatea utiliz arii calculului matematic ^ n redactarea rezolv arilor (corectitudine,
claritate);
60
Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din o ciu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (50 de puncte)
10p 1. Completat i spat iile puctate:
a) Dac af((1 )x+y)(1 )f(x) +f(y) atuncifeste …….. pe A
b) Dac af((1 )x+y)(1 )f(x) +f(y) atuncifeste …….. pe A
20p 2. Folosind metoda de reprezentare gra c a "prin puncte", trasat i gra cele
funct iilor sinus, cosinus pe intervalul [0; 2 ]
20p 3. S a se reprezinte gra c funct iile f(x) = 2x; g(x) = (1
2)x; h(x) = logx
2,
j(x) = logx
1
2pe domeniile de de nitie si s a se indice dac a sunt funct ii convexe
sau concave.
Subiectul II (40 de puncte)
10p 1. Folosind inegalitatea lui Jensen veri cat i dac a funct ia
f:R!R; f(x) = 3xeste convex a.
10p 2. Folosind de nit ia funct iei convexe ar atat i c a funct ia f:R!Rf(x) =x2
este convex a.
20p 3. Ar atat i folosind inegalitatea lui Jensen c a funct ia tangent a este convex a pe
(0;
2), iar funct ia cotangent a este convex a pe (0 ;)
Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
61
Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea din
barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare
pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din o ciu. Nota nal a se calculeaz a prin ^ mp art irea
punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.a) convex a 5p
b) concav a 5p
2. 2p
3p
3.x 1 -2-1 -1
201
2121
f(x)%1
41
21p
21p
224%
g(x)& 42p
211p
21
21
4&4p
4p
Se observ a din reprezentarea gra c a c a f;gsunt convexe 2p
62
x 01
81
41
21248+1
h(x)%-3-2-10123%
j(x)& 3210-1-2-3&4p
4p
Se observ a din reprezentarea gra c a c a heste concav a iar jeste convex a 2p
SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.Dac afeste convex a atuncif(x)+f(y)
2f(x+y
2) 2p
f(x)+f(y)
2 f(x+y
2) =3x+3y
2 3x+y
2 4p
3x+3y 2p3x+3y
2=(p
3x p
3y)2
20: 4p
2.f este convex a,f((1 )x+y)(1 )f(x) +f(y), 2p
,((1 )x+y)2(1 )x2+y2, 2p
,(1 )x2+(1 )y2 2(1 )xy0, 4p
,(1 )(x y)20 care este adev arat a 2p
3.Pentrux;y2(0;
2) avemtgx+tgy
2 tgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 cosxcosy tgx+y
2= sinx+y
2(cosx+y
2
cosxcosy 1
cosx+y
2) = 4p
sinx+y
2[1 cos(x y)]
2 cosxcosycosx+y
20: 2p
Funct iatgeste convex a pe (0 ;
2) si concav a pe (
2;0). 2p
Pentrux;y2(0;
2) avemctgx+ctgy
2 ctgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 sinxsiny ctgx+y
2= cosx+y
2(sinx+y
2
sinxcosy 1
sinx+y
2) = 4p
cosx+y
2[1 cos(x y)]
2 sinxsinysinx+y
20: 2p
Funct iactgeste convex a pe (0 ;
2) si concav a (
2;2). 2p
^Inregistrarea rezultatelor ^ n etapa constatativ a a fost f acut a ^ n tabelul sintetic de
mai jos ceea ce a permis ^ nscrierea punctajului obt inut ^ n urma aplic arii baremului de
corectare si pune ^ n evident a subiectele pe competent e, rezultatele obt inute de ecare
elev, at^ at pe segmentele de competent e vizate, c^ at si nivelul de competent a general a.
63
Tabela 5.1: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Numele si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total O ciu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
1. B.F.A. 101018 38 – – – 10 48 4,80
2. B.M.F. 101620 46 810 5 23 10 79 7,90
3. I.A.V. 102020 50 1010 12 32 10 92 9,20
4. I.M.R. 101520 43 -5 – 5 10 58 5,80
5. L.M.I. 101320 43 810 5 24 10 76 7,60
6. M.D.A. 101720 47 -10 – 10 10 67 6,70
7. M.M.F. 101520 45 810 5 23 10 78 7,80
8. M.R.E. 102020 50 1010 8 28 10 88 8,80
9. P.A.E. 101720 47 210 – 12 10 69 6,90
10. S.V.I. 102020 50 1010 6 26 10 86 8,60
11. Z.D.I. 101320 43 -3 – 3 10 56 5,60
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not a(xi) 4,8 7,9 9,2 5,8 7,6 6,7 7,8 8,8 6,9 8,6 5,6 79,7
x2
i 23,04 62,41 84,64 33,64 57,76 44,89 60,84 77,44 47,61 73,96 31,36 597,59
Media 7,25
64
Tabela 5.2: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
1 2 2 3 2 1 –
11 Procente 9% 18% 18% 28% 18% 9% –
Tabela 5.3: Distribut ia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99100123
Not aNum ar elevi
65
Tabela 5.4: Diagrama areolar a
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
0%9%18%
28%
18%
18%9%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
66
Tabela 5.5: TABEL SINTETIC
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV A
Numele si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total O ciu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
1. B.A.C. 101720 47 -10 – 10 10 67 6,70
2. C.L.M. 101620 46 -10 – 10 10 66 6,60
3. D.A.I. 101320 43 -4 – 4 10 57 5,70
4. D.C.S. 102020 50 1010 5 25 10 85 8,50
5. F.A.C. 101720 47 210 – 12 10 69 6,90
6. I.G. 101320 43 810 5 23 10 76 7,60
7. M.C.M. 101520 45 710 5 27 10 77 7,70
8. M.O.A. 101320 43 1010 6 26 10 79 7,90
9. N.N.M. 101420 44 1010 5 25 10 79 7,90
10. P.E.D. 101520 45 -3 – 3 10 58 5,80
11. S.R.C. 102020 50 1010 7 27 10 87 8,70
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not a(xi) 6,7 6,6 5,7 8,5 6,9 7,6 7,7 7,9 7,9 5,8 8,7 80
x2
i 44,89 43,56 32,49 72,25 47,61 59,29 57,76 62,41 62,41 33,64 75,69 592
Media 7,27
67
Tabela 5.6: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
– 2 3 4 2 – –
11 Procente – 18% 27% 37% 18% – –
Tabela 5.7: Distribut ia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,991001234
Not aNum ar elevi
68
Tabela 5.8: Diagrama areolar a
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV A
0%0%18% 37%
27%18%0%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
Dispersia (s2
Epentru clasa experimental a si s2
Cpentru clasa de control) este egal a
cu media aritmetic a a abaterilor p atratice de la medie, ind dat a de formula
s2=P11
i=1(xi m)2
n(5.1)
O aproximat ie ceva mai bun a a acestei caracteristici numerice se obt ine utiliz^ nd
valoarea
s2=P11
i=1(xi m)2
n;unde11X
i=1(xi m)2=11X
i=1×2
i T2
n: (5.2)
av^ andxi m= abaterea ec rei valori de la media (aritmetic a) calculat a
n = num arul total de rezultate
T = totalul rezultatelor pe ^ ntreg e santionul
69
s2
E=597;56 6352;09
11
10=597;56 577;46
10=20;1
10= 2;01
s2
C=592 6400
11
10=592 581;82
10=10;18
10= 1;018
Abaterea standard este r ad acina p atrata pozitiv a a dispersiei. Dispersia si abaterea
standard m asoar a variabilitatea datelor fat a de medie.
sE=q
s2
E=p
2;01 = 1;42
sC=q
s2
C=p
1;01 = 1;00
Pentru lotul experimental m= 7,25 sisE= 1,42 de unde rezult a intervalul ( m
sE;m+sE) = (5;83; 8;67). Acest lucru ^ nseamn a c a 7 din 11 elevi au obt inut rezultate
^ n intervalul (5,83;8,67), adic a 63 ;64%. Colectivul de elevi este relativ omogen.
Pentru e santionul de control m= 7,27 sisC= 1,00 de unde rezult a intervalul
(m sC;m+sC) = (6,27;8,27). Acest lucru ^ nseamn a c a 7 din 11 elevi au obt inut re-
zultate ^ n intervalul (6,27;8,27), adic a 63 ;64%, situat ie similar a cu cea de la e santionul
experimental.
5.2 Etapa experimental-ameliorativa
Strategiile didactice interactive (de predare – ^ nv at are – evaluare) ofer a ocazii bene ce
de organizare pedagogic a a unei ^ nvat ari temeinice, u soare si pl acute, ^ n acela si timp,
cu un pronunt at caracter activ – participativ din partea elevilor, cu posibilit at i de
cooperare si de comunicare e ciente.
Obiectivele ^ nv at arii trebuie s a e ^ n concordant a cu tipul de interaci une proiectat
pentru lect ia respectiv a.
Folosirea sistematic a a strategiilor de interact iune ^ ntre participant ii la activitate,
presupune desf a surarea unor relat ii de comunicare e cient a si constructive ^ n cadrul
c arora, tot i participant ii la discut ii, s a obt in a bene cii ^ n planurile cognitive, afectiv-
motivat ional, atitudinal, social si practice – aplicativ .
Strategia didactic a este modalitatea e cient a prin care profesorul^ i ajut a pe elevi s a
accead a la cunoa stere si s a- si dezvolte capacit at ile intelectuale, priceperile, deprinde-
rile, aptitudinile, sentimentele si emot iile, constituindu-se dintr-un ansamblu complex
70
si circular de metode, tehnici, mijloace de ^ nv at am^ ant si forme de organizare a acti-
vit at ii complementare, pe baza c arora profesorul elaboreaz a un plan de lucru cu elevii,
^ n vederea realiz arii unei ^ nv at ari e ciente.
^In elaborarea planului profesorul trebuie s a aib a ^ n vedere o serie de factori care
condit ioneaz a o bun a desf a surare a act iunilor de predare – ^ nv at are – evaluare .
Pentru reu sita activit at ii, profesorul trebuie s a implice foarte mult elevii, ace stia
completeaz a planul de lucru cu propriile interese, dorint e de cunoa stere si de activitate
intelectual a.
Elevii ^ si pot manifesta dorint a de a ^ nv at a prin cooperare, ^ n echip a, colectiv sau
individual, pot s a opteze pentru anumite metode, tehnici sau procedee de lucru.
Strategiile didactice interactive de grup sunt o modalitate e cient a de organizare
a activit at ii prin care se favorizeaz a schimburile interreelat ionale ^ ntre participant ii
la activitate prin procese interumane de cooperare si copmetit ie constructive (educat
– educat, educat – profesor, educat – grup), ele stimuleaz a activismul subiectului ^ n
interact iunea sa, nu numai cu ceilalt i, ci si cu materialul de studiu.
Strategiile au ^ n vedere sprijinirea dezvolt arii copilului pe baza interact iunilor so-
ciale ce conduc la conturarea suportului cognitive si socio – afectiv necesar form arii
pro lului intelectual si psihologic si integr arii acestuia ^ n societate.
^In elaborarea unei strategii didactice e ciente trebuie s a t inem cont de urm atoarele
etape :
1. Examinarea scopurilor si a obiectivelor ce trebuiesc atinse.
2. Alegerea cont inuturilor corespunz atoare.
3. Examinarea exigent elor si orient arilor impuse de normele si principiile didactice.
4. Examinarea alternativelor metodologice de predare – ^ nv at are – evaluare dispo-
nibile.
5. Analiza resurselor disponibile: umane, materiale, de cont inut, de timp colar.
6. Alegerea formei de grupare a colectivului de elevi.
7. Alegerea metodelor, tehnicilor de instruire, mijloacelor didactice ^ n funct ie de
situat ia de instruire propus a, dup a principiul complementarit at ii al interdependent ei
si al sprijinului reciproc.
8. Gasirea unor solut ii alternative asupra posibilit at ilor si c ailor optime de combi-
nare a metodelor, mijloacelor si formelor de organizare a colectivului, pe baza analizei
punctelor forte si a celor slabe ^ n realizarea cu e cient a a activit at ii profesorului cu
elevii s ai .
9. Opt iunea/decizia asupra strategiei didactice de urmat.
71
10. Aplicarea strategiei didactice, in mod
exibil si particular, ^ n cadrul activit at ii
instructive – educative desf a surate cu elevii.
11. Evaluarea permanent a a demersurilor f acute, corectarea si adaptarea strategiei
didactice la necesit at ile elevilor si la situat iile spontane, greu de prevazut.
12. Aprecierea nal a a e cient ei strategiei didactice desf a surat a (^ n funct ie de felul
cum s-au simt it elevii, de modul ^ n care le-a placut sau nu s a studieze, de progresele si
performant ele obt inute de ace stia, de realizarea obiectivelor, si de e cient a ^ mbin arii
metodelor, tehnicilor, mijloacelor didactice, formelor de organizare a activit at ii cu
variabil a timp disponibil si necesar).
13. Emiterea predict iilor care vizeaz a modul cum va folosit a strategia didactic a
^ n activit at ile instructive – educative viitoare .
Strategia didactic a devine astfel teorie si act iune implicate ^ n rezolvarea optim a a
unei situat ii de instruire.
Aceasta presupune o abordare teoretic a ^ n m asur a ^ n care valori c a ^ n mod creativ
concept ia pedagogic a a societ at ii, ^ n general si pe cea a profesorului ^ n mod special,
experient a ^ mp art a sit a de colectivul de cadre didactice asupra modurilor e ciente de
concepere a demersurilor didactice.
Implic a o abordare practic a atunci c^ and se face opt iunea concret a asupra combin arii
e ciente ^ ntre metode, mijloace didactice si formele de organizare (frontal, colectiv a,
individual a, pe grupuri/micro – grupuri, mixt a) a activit at ii.
Strategiile didactice ocup a un loc central ^ n cadrul procesului de ^ nv at am^ ant. Pro-
iectarea si organizarea lect iei se de nesc si se realizeaz a ^ n funct ie de decizia stategic a
a profesorului.
Aceasta demonstreaz a caracterul organizat si strategic al activit at ilor interprinse
de profesor cu elevii s ai, opus celui haotic si ^ nt^ ampl ator. De aceea lect ia – ca form a
principal a de organizare a procesului de ^ nv at am^ ant – reprezint a "cadrul predilect ^ n
care pot valori cate una sau mai multe strategii".(Dan Potolea,1989,p.144)
Relat ia dintre strategiile didactice si cont inutul procesului de ^ nv at amant este
foarte important a. Leg aturile dintre strategiile didactice si cont inuturile procesului
de ^ nv at am^ ant sunt de tip determinist si reglatorii.
Organizarea si structurarea cont inutului, nivelul de abstractizare si generalizare
a cunostint elor, dozarea si prelucrarea metodologic a a acestora ^ n manualele scolare,
determin a luarea unor decizii metodologice din partea profesorului.
Metoda tradit ional a, linear a, bazat a cu prec adere pe prezentarea, descrierea, exem-
pli carea cont inuturilor impune cu prec adere ^ n procesul de transmitere – asimilare a
72
cuno stint elor folosirea metodelor tradit ionale si de multe ori pasive (metode de expu-
nere oral a si continu a a cuno stint elor, demonstrat ia, exempli carea etc.).
Dac a decizia profesorului vizeaz a prezentarea informat iilor ^ ntr-o manier a activ –
problematizant a, impun^ and participarea direct a a elevilor^ n redescoperirea cuno stint elor,
atunci si metodologia utilizat a implic a metodele active si interactive (problematizarea,
descoperirea, colaborarea, studiul de caz, ^ nv at area reciproc a etc.)
Pentru un cont inut c^ at mai accesibil profesorul poate opera restructur ari si adapt ari
^ n interiorul acestuia, conform logicii ^ nv at arii active. Acela si cont inut poate predat
folosind strategii didactice variate, ^ n funct ie si de celelalte component ale acesteia
(resurse materiale, de timp, umane, forme de organizare a colectivului etc.)
Strategiile didactice prescriu felul ^ n care elevul este pus ^ n contact cu noul cont inut
de studiat, preciz^ and traiectoria pe care urmeaz a s a o parcurg a ^ n vederea persona-
liz arii, integr arii acestuia. Tot ele ofer a solut ii de ordin srtructural – procedural,cu
privire la programarea si combinarea diferitelor metode, procedee, mijloace si forme
de organizare, dar si cu privire la programarea unui ^ ntreg set de operat ii de ^ nv at are.
^In funct ie de strategia aleas a, profesorul identi c a operat iile pe care elevii urmeaz a s a
le efectueze pentru a ajunge la achizit iile dorite.
Articularea metodelor, procedeelor, mijloacelor si formelor de organizare genereaz a
strategii didactice care, aplicate ^ n situat ii concrete de predare si ^ nv at are pun ^ n
valoare cont inuturile predate, ^ n vederea realiz arii obiectivelor propuse .
Strategiile didactice interactive necesit a anumite condit ii de timp mai ^ ndelungat
fat a de cele expositive de exemplu (timp de gandire acordat elevilor, timp de interrelat ionare,
timp de expunere a ideilor individuale si comune, timp de evaluare etc.) profesorul
trebuie s a analizeze cu atent ie elementele favorizante ale acestora. Cel mai important
este ca elevul s a primeasc a, spre ingurgitare, cat mai multe informat ii ^ ntr-un timp
relativ redus, dar s a-i lipseasc a propria contribut ie ^ n acest proces de transmitere, ind
doar un receptor al mesajului.
^In proiectarea strategiilor didactice, ^ n general, profesorul trebuie s a armonizeze
metodele, procedeele si formele de organizare a colectivului cu resursele disponibile, ^ n
funct ie de aportul lor la dezvoltarea cunoa sterii si la provocarea situat iilor stimulative
de ^ nv at are. Strategiile didactice interactive au nevoie, mai mult dec^ at alte tipuri, un
efort de proiectare si corelare atent a a resurselor ^ n concordant a cu metodele, tehnicile
si forma de organizare grupal a a elevilor, pentru a ment ine constant si pentru mai
mult timp interesul elevilor pentru activitate. ^In lipsa acestui interes de participare
al elevilor pentru a colabora si a lucra ^ mpreun a , strategiile didactice nu ^ si satisfac
73
condit iile de e cient a si e cacitate dorite. Scopul intractivit at ii este cel de stimulare
a particip arii la interact iuni si la g asirea unor solut ii prin cooperare, mijloacele de
^ nv at am^ ant trebuie s a constitue ^ n factori de sprijinire a lucrului ^ n grup si de stimula-
rea ^ nv at arii individuale si colective. Lipsa resurselor materiale poate duce la renunt ari
si la discomfort cu efecte nedorite asupra ^ nv at arii .
Rolul, locul si functiile strategiilor didactice interactive in activitatea instructive –
educative
Locul central pe care-l ocupa strategiile de predare si ^ nv at are ^ n cadrul tehnologiei
didactice este dat de faptul c a proiectarea si organizarea lect iei se realizeaz a ^ n funct ie
de decizia strategic a a profesorului, corelat a cu dorint ele si interesele elevilor. ^In
consecint a, demersul s au va urma un anumit plan, bine stabilit care plaseaz a elevul
^ ntr-o situat ie de ^ nv at are propice, ^ ntr-un context de solicit ari, condit ii si resurse, care
permit dob^ andirea competent elor pre gurate prin obiective.
Strategiile interactive au un rol esential si un loc important ^ n toate cele trei faze
ale conceperii si realiz arii activit at ii didactice:
1. Faza proiect arii, atunci c^ and, ^ n funct ie de factorii care in
uient eaz a alegerea
strategiei (obiective, resurse disponibile – umane, material, informat ionale, de timp
etc.) profesorul decide ce strategie va folosi ^ n activitatea de predare/^ nv at are .
2. Faza de desf a surare a activit at ii, atunci c^ and se materializeaz a/concretizeaz a
strategia didactic a aleas a ^ n mod
exibil si pin adapt ari continui.
3. Faza (auto) evaluarii, care are ^ n vedere aprecierea rezultatelor calit at ii strate-
giilor didactice aplicate.
Menirea strategiei este aceea de a crea sanse elevilor de a se ^ mplica ^ n situat ii
concrete de ^ nv at are, ^ n asa fel ^ nc^ at abilit at ile s a e dob^ andite la un nivel calitativ
superior.
^In acest sens, funct iile pe care le ^ ndeplinesc strategiile didactice sunt urm atoarele:
1. Funct ia de organizare a procesului de ^ nv at am^ ant.
2. Funct ia de aranjare, de dispunere si de combinare a metodelor, tehnicilor, mij-
loacelor de ^ nv at am^ ant si formelor de organizare a activit at ii, ^ n mod congruent si
complementar .
3 . Funct ia de motivare a ^ nv at ^ arii elevilor si de asigurare a e cient ei acesteia.
4. Funct ia de orientare a demersurilor practice de realizare a ^ nv at arii.
5. Func ^tia de dirijare
exibil a c atre atingerea obiectivelor propuse.
6. Func ^tia de conducere si coordonare a activit at ilor de predare – ^ nvat are – evalu-
are, bazat pe stimularea relat iilor dintre agent ii educat ionali.
74
7. Func ^tii de apreciere a tuturor variabilelor implicate si de adaptare a lor cores-
punz atoare la condit iile si situat iile ap arute.
8. Funct ia de stimulare a creativit at ii cadrului didactic ^ n organizarea e cient a a
activit at ii, prin ^ mbinarea elementelor ce contribuie la cristalizarea strategiilor .
^In proiectarea activit at ii instructive – educative, profesorul opteaz a pentru un tip
de experient a de ^ nv at are, un tip de lect ie (mixt a, de formare de priceperi si deprinderi,
de recapitulare, de veri care, activit at i creative etc.), stabile ste scopurile (informative,
formative si educative ) si obiectivele operat ionale (concrete ),structureaz a si adap-
teaz a cont inutul lect iei, decide asupra strategiei didactice (^ n funct ie si de resursele
umane, material , de timp, de principiile didactice etc.) realiz^ and combinat ii optime
^ ntre metodele, tehnicile, procedeele, mijloacele de ^ nv at am^ ant si formele e ciente de
organizare a colectivului.
Predarea – ^ nv at area – evaluarea activit at ii didactice succed si includ toate aceste
operat ii si decizii strategice, depinz^ and^ n mare m asur a de buna lor corelare si deducere
reciproc a , precum si de creativitatea cadrului didactic si de alt i factori ce t in de elevi
(personalitatea ,nivelul de pregatire, motivat ia etc.). Accentul se pune nu pe "CE"
voi preda elevilor ?" ci pe "CUM" voi reu si s a-i determin pe elevi s a ^ nvet e? Putem
deci s a a rm am c a strategiile didactice constituie cheia reu sitei activit at ii instructive
– educative si elementul ei central.
……………….pagina 146……………………………… .
Dezideratele de modernizare si de perfect ionare a strategiilor didactice se ^ nscriu
pe direct iile sporirii caracterului activ al metodelor si tehnicior de ^ nv at am^ ant, ^ n
aplicarea unor metode cu un pronunt at caracter formativ ^ n valori carea noilor teh-
nologii instruct ionale (e-learning), ^ n contaminarea si suprapunerea problematiz arii
asupra ec arei metode si tehnici de ^ nv atare, reu sind astfel s a se aduc a o ^ nsemnat a
contribut ie la dezvoltarea ^ ntregului potent ial al elevului.
Cerint a primordial a educat iei progresiviste, cum spune Jean Piaget, este de a asi-
gura o metodologie diversi cat a bazat a pe ^ mbinarea activit at iilor de ^ nv at are si de
munc a independent, cu activit at iile de cooperare, de ^ nv at are ^ n grup si de munc a
interdependent a .
Metodele de ^ nv at am^ ant ("odos" =cale , drum ;"metha"= c atre , spre) reprezint a
c aile folosite ^ n scoal a de c atre profesor ^ n a-i sprijini pe elevi s a descopere viat a,
natura, lumea, lucrurile, stiint a.
Ele sunt totodata mijloace prin care se formeaz a si se dezvolt a priceperile, deprin-
derile si capacit at iile elevilor de a act iona asupra naturii, de a folosi roadele cunoa sterii
75
5.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate
Activitatea nr. 1 (prezentare, descriere)
transform^ and exteriorul ^ n facilitate interioare, form^ andu- si caracterul si dezvolt^ andu-
si personalitatea.
^Inv at am^ antul modern preconizeaz a o metodologie axat a pe act iune, operatorie,
deci pe promovarea metodelor interactive care s a solicite mecanismele g^ andirii, ale
inteligent ei, ale imaginat iei si creativit at ii.
5.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere)
76
5.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere)
5.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere)
5.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter
formativ-educativ derulate
5.6 Rezultatele din posttest
77
Tabela 5.9: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA POSTTEST
Numele si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total O ciu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
1. B.F.A. 55555510 40 8 – 8 10 58 5,80
2. B.M.F. 55555510 40 15 59- 29 10 79 7,90
3. I.A.V. 55555510 40 201067 43 10 93 9,30
4. I.M.R. 55555510 40 10 52- 17 10 67 6,70
5. L.M.I. 55555510 40 18 773 35 10 85 8,50
6. M.D.A. 55555510 40 15 55- 25 10 75 7,50
7. M.M.F. 55555510 40 15 58- 28 10 78 7,80
8. M.R.E. 55555510 40 201033 36 10 86 8,60
9. P.A.E. 55555510 40 16 55- 26 10 76 7,60
10. S.V.I. 55555510 40 201044 38 10 88 8,80
11. Z.D.I. 55555510 40 10 5– 15 10 65 6,50
78
ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 167 67 49 17
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 75,91% 60,91% 44,55% 15,45%
79
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
control nal
80
Numele si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total O ciu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
1. B.A.C. 55555510 40 5 – 5 10 55 5,50
2. C.L.M. 55555510 40 20 53- 28 10 78 7,80
3. D.A.I. 55555510 40 201084 42 10 92 9,20
4. D.C.S. 55555510 40 13 5– 18 10 68 6,80
5. F.A.C. 55555510 40 20 63- 29 10 79 7,90
6. I.G. 55555510 40 15 4– 19 10 69 6,90
7. M.C.M. 55555510 40 20 51- 26 10 76 7,60
8. M.O.A. 55555510 40 201033 36 10 86 8,60
9. N.N.M. 55555510 40 20 5– 25 10 75 7,50
10. P.E.D. 55555510 40 201053 38 10 88 8,80
11. S.R.C. 55555510 40 10 4– 14 10 64 6,40
81
ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 183 64 23 10
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 83,18% 58,18% 20,91% 10%
82
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
83
Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din o ciu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (40 de puncte)
1. Completat i spat iile puctate:
Fief:A!Ro funct ie de dou a ori derivabil a
5p a)feste ……………. pe A,f000
5p b)feste ……………. pe A,f000
Fief:A!Ro funct ie derivabil a
5p c)feste convex a pe A,f0este ………… pe A
5p d)feste concav a pe A,f0este ………… pe A
10p 2. Stabilit i corespondent ele dintre funct iile urm atoare si intervalele pe care
aceste sunt concave:
f(x) =x3+x R
g(x) =ex+ 2x( 1;0]
h(x) = lnx R
j(x) =x 1
x(0;+1)
10p 3. Funct iaf:R!R; f(x) =x3 3×2+ 5 este convex a pe:
a)[0;1)b)[0;1)c)[1;1)d)( 1;1]
Subiectul II (50 de puncte)
1. Fie funct ia f:R!R; f(x) =2x
x2+1.
20p a) S a se determine D;Df00.
10p b) S a se determine intervalele de convexitate, concavitate.
10p 2. S a se determine numarul real mpentru care funct ia
f:R!R; f(x) =e x(x+m) este convex a pe [2 ;1).
10p 3. Consider am numerele x;y2Rcux+y= 1. Ar atat i c ax
1+x+y
1+y2
3
84
Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea din
barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare
pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din o ciu. Nota nal a se calculeaz a prin ^ mp art irea
punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.
a)feste convex a 5p
feste concav a 5p
b)f0cresc atoare 5p
fdescresc atoare 5p
2.f! 2.5p
g! 2.5p
h! 2.5p
j! 2.5p
3.[1;1) 10p
SUBIECTUL II (50 de puncte)
85
1.a)f0(x) =2(x2+1) 2x2x
(x2+1)2= 3p
= 2×2+2
(x2+1)2 5p
)Df0=R 2p
f00(x) = (f0(x))0= 3p
= 4x( x4+2×2+3)
(x2+1)4 5p
)Df00=R 2p
b)f00(x) = 0, 4x( x4+ 2×2+ 3) = 0, 2p
x4+ 2×2+ 3 = 0)x1;2=p
3 2p
x= 0 2p
Funct iafeste convex a pe [ p
3;0][[p
3;+1) 2p
Funct iafeste concav a pe ( 1; p
3][[0;p
3) 2p
2.fconvex a pe [2 ;+1))f00(x)0 1p
f0(x) =e x( x m+ 1) 2p
f00(x) =e x(x+m 2) 2p
)x= 2 m,
din tabelul de varit ie avem fconvex a pe [2 m;1) 3p
Avem 2 m= 2)m= 2 2p
3.f: (0;1)!R; f(x) =x
1+x
f0(x) =1
(x+1)2 2p
f00= 2(x+1)
(x+1)4 3p
f00= 0)x2( 1; 1];f000 six2[ 1; 1);f000 3p
fconvex a)f(x)+f(y)
2f(x+y
2) 1p
^Inlocuind avemx
x+1+y
y+1
2f(x+y
2)
Lu^ andx+y= 1 avemx
x+1+y
y+12
32p
86
Capitolul 6
COMPARAREA S I
INTERPRETAREA STATISTIC A
A DATELOR OBT INUTE
6.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din
posttest
6.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
0234
2
012 23
2
1Num ar elevi
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
87
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
0182737
18
0918 1828
18
9
Percente (%)|||||||||
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test init ial
lot experiment-test init ial
88
6.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
134
2
1 124
3
1Num ar elevi
lot de control-test nal lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
92737
18
9 91837
27
9
Procente (%)|||||||||
lot de control-test nal lot experiment-test nal
89
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
lot de control-test nal
lot experiment-test nal
6.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n
posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
234
2
0134
2
1Num ar elevi
lot de control-test initial lot experiment-test nal
90
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
182737
18
092737
18
9
Procente (%)|||||||||
lot de control-test initial lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test initial
lot experiment-test nal
91
6.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor si
comparat iilor
6.3 Direct ii si perspective ulterioare de abordare a
temei
92
Bibliogra e
[1] T.R adulescu, V. Radulescu, T. Andreescu , Problems in real analysis: Advanced
calculs on the real axis, Springer (2009), 271-272.
[2] L. Galvani, Sulle funzioni converse di una o due variabili de nite in aggregate
qualunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1916), 103-134.
[3] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math. 30 (1906), 175-193.
[4] T. Popoviciu, Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes,
Analele Stiinti ce Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11 (1965), 155-164.
[5] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of
Math. 17 (1888), 145-150.
[6] O. Stolz, Grunz uge der Di erential und Integralrechnung, Vol. 1,Teubner, Leipzig,
1893.
93
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA [616030] (ID: 616030)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.