LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA [616026]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Conduc ator  stiint ic
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
FUNCT II CONVEXE S I CONCAVE;
APLICAT II ^IN STUDIUL INEGALIT AT ILOR
Conduc ator  stiint ic
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-

ACORD
Subsemnatul,Vicent iu R adulescu , prof.univ.dr., la Facultatea de S tiint e, Depar-
tamentul de Matematic a , sunt / nu sunt de acord cu depunerea lucr arii metodico-
 stiini ce pentru obt inerea gradului didactic I, elaborat a de G aman Adrian George,
profesor Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorman,
cu titlul FUNCT  II CONVEXE S I CONCAVE; APLICAT  II ^IN STUDIUL INEGA-
LITAT  ILOR .
Profesor coordonator,
Numele  si semn atura
Data,

Declarat ie de autenticitate
Subsemnatul G aman Adrian George av^ and funct ia didactic a profesor la unitatea
 scolar a Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorma
declar pe propria r aspundere c a lucrarea cu titlul FUNCT  II CONVEXE S I CON-
CAVE; APLICAT  II ^IN STUDIUL INEGALIT AT  ILOR av^ and coordonator  stiint ic
prof.univ.dr. Vicent iu R adulescu a fost elaborat a personal pe baza studierii bibliogra-
ei de specialitate, a experient ei personale  si ^ mi apart ine ^ n ^ ntregime. De asemenea
nu am folosit alte surse dec^ at cele ment ionate ^ n bibliograe, nu au fost preluate texte,
date sau elemente de grac a din alte lucr ari, f ar a a  citate  si f ar a a  precizat a sursa
prelu arii, inclusiv ^ n cazul ^ n care sursa o reprezint a alte lucr ari ale candidat: [anonimizat].
Data
Semn atura candidat: [anonimizat]
1 Inegalit at i variat ionale 1
1.1 Ecuat ii neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet  a . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i variat ionale . . . . . . . . . . 14
Bibliograe 17
iv

Capitolul 1
Inegalit at i variat ionale
1.1 Ecuat ii neliniare
Pe parcursul acestui capitol ( H;h
;
iH;k
kH) va desemna un spat iu Hilbert real.
Denit ia 1.1. Spunem c a un operator A:H!Hestetare monoton dac a exist a
o constant a mA>0astfel ^ nc^ at
hAuAv;uviHmAkuvk2
H;8u;v2H:
Denit ia 1.2. Spunem c a un operator A:H!HesteLipschitz dac a exist a o
constant aLA>0astfel ^ nc^ at
kAuAvkHLAkuvkH;8u;v2H:
Remarca 1.3. Pentru un operator tare monoton  si Lipschitz A, avemmALA.
^Intr-adev ar,
mAkuvk2
H hAuAv;uviH
 kAuAvkHkuvkHLAkuvk2
H;8u;v2X:
Teorema 1.4. (Teorema Minty-Browder )FieA:H!Hun operator tare
monoton  si Lipschitz  si f2H. Atunci exist a un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
Au=f: (1.1)
Demonstrat ie. Fie>0. Consider am operatorul T:H!Hdenit astfel
T:=u;
1

unde
u:=fA+:
Vom ar ata c a pentru convenabil ales operatorul Teste o contract ie. Avem
kT1T2kH=ku1u2kH
=k12(A1A2)kH:
Dar,
ku1u2k2
H=h12(A1A2);12(A1A2)iH
=k12k2
H2hA1A2;12iH+2kA1A2k2
H:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton  si Lipschitz obt inem
kT1T2k2
H(12mA+2L2
A)k12k2
H:
Vom notaf() = 12mA+2L2
A. Aceasta este o ecuat ie de gradul al II-lea ^ n
necunoscuta al c arei discriminant
= 4 m2
A4L2
A= 4(m2
AL2
A)0 conform
Observat iei 1.3. Dac a mA< LAatuncif()>0, iar dac a mA=LAf() = (1
mA)20. Astfel,f()0 pentru orice 2R si
kT1T2kHq
12mA+2L2
A
k12kH:
Vom ar ata c a pentru  > 0 convenabil xat avemp
12mA+2L2
A<1.^Intr-
adev ar,
12mA+2L2
A= 1(2mAL2
A)<1 dac a 2mAL2
A>0:
A sadar, pentru orice 2
0;2mA
L2
A
,Teste contract ie  si putem aplica Teorema lui
Banach de punct x.
Fieunicul punct x al lui T0cu0xat (0< 0<2mA
L2
A). Atunci
T0=u=:
Deci
u=fAu+u;
adic af=Au si astfel am ar atat c a ueste o solut ie pentru (1.1).
2

Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Fie u1;u22Xastfel ^ nc^ at Au 1=
f siAu 2=f. Avem
hAu 1;vu1iH=hf;vu1iH;8v2H (1.2)
hAu 2;vu2iH=hf;vu2iH;8v2H: (1.3)
Fiev=u2^ n (1.2)  siv=u1^ n (1.3). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iH= 0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1u2k2
H0, adic au1=u2. 
Propozit ia 1.5. Fieu1;u2solut ii pentru (1.1) corespunz atoare datelor f1;f22H.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1u2kHCkf1f2kH:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (1.1) corespunz atoare datelor
f1;f22Havem
hAu 1;vu1iH=hf1;vu1iH;8v2H (1.4)
hAu 2;vu2iH=hf2;vu2iH;8v2H: (1.5)
Fiev=u2^ n (1.4)  siv=u1^ n (1.5). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iH=hf1f2;u2u1iH;
hAu 1Au 2;u1u2iH=hf1f2;u1u2iH;
adic a
mAku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1u2kH6= 0  simAku1u2kHkf1f2kH.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1u2kH= 0, 0C
0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular  si pentru C= 1=mA. A sadar, inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA. 
Remarca 1.6. ^In literatura de specialitate acest rezultat se nume ste  si dependent  a
Lipschitz de data init ial a .
3

Propozit ia 1.7. FieA:H!Hun operator tare monoton  si Lipschitz. Atunci
A1:X!Xeste tare monoton  si Lipschitz.
Demonstrat ie. Fief2H. Aplic^ and Teorema 1.4 rezult a c a exist a  si este unic un
elementu2Hastfel ^ nc^ at Au=f. Acest lucru este echivalent cu faptul c a operatorul
Aeste inversabil.
Fieu1;u22Hastfel ^ nc^ at Au 1=v1 siAu 2=v2. Folosind faptul c a A1v1=u1,
A1v2=u2 siAeste tare monoton avem
hA1v1A1v2;v1v2iH=hu1u2;Au 1Au 2iH
mAku1u2k2
H=mAkA1v1A1v2k2
H:
Folosind acum faptul c a Aeste Lipschitz avem
kAu 1Au 2kHLAku1u2kH()kv1v2kHLAkA1v1A1v2kH:
Deci
mAkA1v1A1v2k2
HmA
L2
Akv1v2k2
H:
Rezult a c a
hA1v1A1v2;v1v2iHmA
L2
Akv1v2k2
X:
Am ar atat astfel existent a unei constante mA1:=mA
L2
A, adic a operatorul A1este tare
monoton.
Utiliz^ and inegalitatea Cauchy-Schwarz se obt ine
hAu 1Au 2;u1u2iH kAu 1Au 2kHku1u2kH
=kv1v2kHku1u2kH:
Dar cumAeste tare monoton rezult a
mAku1u2kHkv1v2kH:
A sadar,
kA1v1A1v2kH=ku1u2kH1
mAkv1v2kH:
Am ar atat astfel existent a unei constante LA:=1
mA, adic a operatorul A1este Lips-
chitz. 
Consider am problema:
(P) Cautu2Hastfel ^ nc^ at a(u;v) =b(v);8v2X:
Admitem ipotezele:
4

(A1)b:H!Raplicat ie liniar a  si continu a;
(A2)a:HH!Rcu proprietatea c a pentru ecare w2H,
aplicat iav7!a(w;v) este liniar a  si continu a;
(A3) exist a ma>0 astfel ^ nc^ at
a(u;uv)a(v;uv)makuvk2
H;8u;v2H;
(A4) exist a La>0 astfel ^ nc^ at
ja(u;w)a(v;w)jLakuvkHkwkH;8u;v;w2H:
Teorema 1.8. (Lema Lax-Milgram neliniar a )Problema (P) are solut ie unic a.
Demonstrat ie. Cu ajutorul funct iei avom deni operatorul A:H!H. Pentru
w2H,Aweste elementul din Hcare veric a:
a(w;u) =hAw;uiH;8u2H:
Avem
hAuAv;uviH=hAu;uviHhAv;uviH
=a(u;uv)a(v;uv)
makuvk2
H;
adic a operatorul Aeste tare monoton.
Vom ar ata ^ n continuare c a operatorul Aeste Lipschitz. Avem
kAuAvkH= sup
w2H
w6=0HjhAuAv;wiHj
kwkH
= sup
w2H
w6=0Hja(u;w)a(v;w)j
kwkH;
 si
ja(u;w)a(v;w)j
kwkHLakuvkHkwkH
kwkH
=LakuvkH:
5

Utiliz^ and Teorema de reprezentare a lui Riesz rezult a c a exist a  si este unic un
elementz2Hastfel ^ nc^ at b(v) =hz;viH, oricare ar  v2H. A sadar, problema (P)
este echivalent a cu urm atoarea problem a:
(P') Cautu2Hastfel ^ nc^ at
hAu;viH=hz;vi;8v2H:
DarhAu;viH=hz;viH;8v2H,Au=z; c aci lu^ and v=Auzavem
hAu;viH=hz;viH,kAuzk2
H= 0,Au=z.
Existent a  si unicitatea solut iei problemei (P) este astfel asigurat a de Teorema
Minty-Browder. 
Remarca 1.9. Dac aaeste liniar a  si ^ n primul argument, atunci se poate verica
u sor c aaeste form a bilinar a, continu a  si H-eliptic a. Astfel se redescoper a Lema
Lax-Milgram.
1.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet  a
Teorema 1.10. Fie(H;h
;
iH;k
kH)un spat iu Hilbert real. Fie KHo submult ime
nevid a, convex a  si ^ nchis a. Admitem c a A:H!Heste un operator tare monoton  si
Lipschitz. Atunci, pentru f2Hdat, exist a o unic a solut ie a inegalit at ii variat ionale
eliptice de prima spet  a:
hAu;vuiHhf;vuiH;8v2K
u2K:(1.6)
Demonstrat ie. Fie>0. Denim S:K!Kastfel
Su:=PK(u(Auf));
undePKeste operatorul de proiect ie pe K. Reamintim c a operatorul de proiect ie este
un operator monoton, adic a
hPKuPKv;uviH0;8u;v2H;
 si non-expansiv (vezi Brezis [ ?]),
kPKuPKvkHkuvkH;8u;v2H:
6

Vom ar ata c a Seste o contract ie pentru convenabil ales. Deoarece operatorul
de proiect ie PKnu m are ste distant a avem
kSu1Su2kX=kPK(u1(Au 1f))PK(u2(Au 2f))k
 k (u1u2)(Au 1Au 2)kH:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton  si Lipschitz se obt ine
kSu1Su2k2
H ku1u2k2
H2hAu 1Au 2;u1u2iH+2kAu 1Au 2k2
H
 ku1u2k2
H2mAku1u2k2
H+2L2
Aku1u2k2
X
= (12mA+2L2
A)ku1u2k2
H:
Dup a cum am v azut ^ n cadrul demonstrat iei Teoremei Minty-Browder expresia 1
2mA+2L2
A0 pentru orice 2R, iar pentru 2
0;2mA
L2
A
avemp
12mA+2L2
A<
1. A sadar, pentru orice 0 <<2mA
L2
A,Seste contract ie.
Fie 0< 0<2mA
L2
A. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a S0are
un unic punct x u, adic a
S0u=u=PK(u0(Auf)):
Utiliz^ and Teorema de proiect ie avem
hPK(u0(Auf))(u0(Auf));vPK(u0(Auf))iH0;8v2K
 si de aici
huu+0(Auf);vuiH0;8v2K
0hAuf;vuiH0:
Cum0>0, deducem
hAu;vuiHhf;vuiX;8v2K:
^In plus, not am c a u2K.
Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Pentru f2Hdat presupunem
ca exist a dou a elemente u1;u22Kastfel ^ nc^ at
hAu 1;vu1iHhf;vu1iH;8v2K (1.7)
hAu 2;vu2iHhf;vu2iH;8v2K: (1.8)
7

Fiev=u2^ n (1.7)  siv=u1^ n (1.8). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iH0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1u2k2
H0, adic au1=u2. 
Propozit ia 1.11. Fieu1 siu2solut ii pentru (1.6) corespunz atoare datelor f1;f22H.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1u2kHCkf1f2kH:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (1.6) corespunz atoare datelor
f1;f22Havem
hAu 1;vu1iHhf1;vu1iH;8v2K (1.9)
hAu 2;vu2iHhf2;vu2iH;8v2K: (1.10)
Fiev=u2^ n (1.9)  siv=u1^ n (1.10). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iHhf1f2;u2u1iH;
hAu 1Au 2;u1u2iHhf1f2;u1u2iH;
adic a
mAku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1u2kH6= 0  simAku1u2kHkf1f2kH.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1u2kH= 0, 0C
0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular  si pentru C= 1=mA. A sadar inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA. 
Remarca 1.12. Dac aAeste un operator liniar, atunci putem deni forma biliniar a
a:HH!Rastfel ^ nc^ at a(u;v) =hAu;viH.^In plus,aeste continu a  si H-eliptic a.
Redescoperim astfel Teorema lui Stampacchia.
8

1.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua
Fie (H;h
;
iH;k
kH) un spat iu Hilbert real, operatorul A:H!H, aplicat iaj:H!
(1;+1]  si un element f2H.
Denit ia 1.13. O funct ional a j:H!(1;+1]se nume ste inferior semicon-
tinu a ^ nu2Hdac a
lim inf
n!1j(un)j(u);
pentru orice  sirfungHcare converge la u^ nH. Spunem c a jeste inferior semi-
continu a pe Hdac a este inferior semicontinu a ^ n orice punct u2H.
Consider am inegalitatea variat ional a eliptic a de spet a a doua :
(P) Datf2Hs a se determine u2Hastfel ^ nc^ at
hAu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H:
Admitem ipotezele:
9mA>0 astfel ^ nc^ athAuAv;uviHmAkuvk2
H;8u;v2H (1.11)
9LA>0 astfel ^ nc^ atkAuAvkHLAkuvkH;8u;v2H (1.12)
j:H!(1;1] este proprie, convex a  si inferior semicontinu a : (1.13)
Amintim acum o teorem a a lui Weierstrass.
Teorema 1.14. Fie(E;k
kE)un spat iu Banach re
exiv, AEo mult ime nevid a,
convex a, ^ nchis a  si ':A!(1;+1]proprie, convex a  si inferior semicontinu a.
Dac aAeste nem arginit a presupunem c a
lim
x2A
kxkE!1'(x) = +1:
Atunci'i si atinge minimul pe A, adic a exist a x02Aastfel ^ nc^ at '(x0) =
minx2A'(x).
Teorema 1.15. Admitem ipotezele (1.11)-(1.13). Fiind dat f2X, problema (P) are
solut ie unic a. ^In plus, solut ia depinde Lipschitz de data f.
Consider am problema auxiliar a:
9

(Paux) Datf2Hs a se determine u2Xastfel ^ nc^ at
hu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H:
Lema 1.16. Problema (Paux)are solut ie unic a. ^In plus, pentru f1;f22X, not^ and
cuu1;u2solut iile corespunz atoare problemei (Paux), avem
ku1u2kHkf1f2kH:
Demonstrat ie. Consider am aplicat ia J:X!(1;+1] denit a astfel
J(v) =1
2kvk2
H+j(v)hf;viH:
Jeste strict convex a  si inferior semicontinu a. Aplic^ and Teorema 1.14 rezult a c a exist a
u2Hastfel^ nc^ at J(u)J(v), pentru orice v2H. Presupun^ and c a exist a u1;u22H,
u16=u2astfel ^ nc^ at J(u1) =J(u2) = min
v2HJ(v), obt inem
Ju1+u2
2
<1
2J(u1) +1
2J(u2) = min
v2HJ(v);
ceea ce reprezint a o contradict ie.
Deci exist a un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
J(u)J(v);8v2H:
Not am c aj(u)<+1.^In caz contrar,1 este mai mare sau egal decat un num ar
nit. Astfel, Jeste proprie.
Vom ar ata ^ n continuare c a uminimizeaz a Jdac a  si numai dac a ueste solut ie
pentru ( Paux).
Pentru a demonstra prima implicat ie consider am v2H sit2(0;1) astfel ^ nc^ at
J(u)J(u+t(vu)), inegalitate care conform denit iei lui Jdevine
1
2kuk2
H+j(u)hf;uiH1
2ku+t(vu)k2
H+j(u+t(vu))hf;u+t(vu)iH:
Cumjeste convex a avem
j(u+t(vu)) =j((1t)u+tv)tj(v) + (1t)j(u)
iar
ku+t(vu)k2
H=kuk2
H+ 2thu;vuiH+t2kvuk2
H:
10

A sadar,
1
2kuk2
H+j(u)hf;uiH1
2kuk2
H+thu;vuiH+t2
2kvuk2
H
+tj(v) + (1t)j(u)hf;uiHthf;vuiH;
expresie care dup a simplicare devine
t2
2kvuk2
H+thu;vuiX+t(j(v)j(u))thf;vuiH0:
Cumt>0 putem ^ mp art i prin t si obt inem
hu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiHt
2kvuk2
H:
Facemt!0  si obt inem c a ueste solut ie pentru ( Paux).
Reciproc, admitem c a ueste solut ie pentru ( Paux), adic a
hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Evalu am
J(v)J(u) =1
2kvk2
H+j(v)hf;viH1
2kuk2
Hj(u) +hf;uiH
=hu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH
+1
2kvk2
H1
2kuk2
Hhu;vuiH:
Dar,
1
2kvk2
H1
2kuk2
Hhu;viH+kuk2
H=kvk2
H2hu;viH+kuk2
H
2
=hvu;vuiH
2
=kvuk2
H
2:
Obt inem
J(v)J(u) =hu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH+kvuk2
H
20:
A sadar minimizantul lui Jeste unica solut ie a problemei ( Paux).
Fief1;f22H siu1;u2solut iile corespunz atoare problemei ( Paux). Atunciu1;u2
veric aj(u1)<1;j(u2)<1 si
hu1;vu1iH+j(v)j(u1)hf1;vu1iH;8v2H (1.14)
11

hu2;vu2iH+j(v)j(u2)hf2;vu2iH;8v2H: (1.15)
Fiev=u2^ n (1.14)  si v=u1^ n (1.15). Sum^ and,
hu1u2;u2u1iH+j(u2)j(u1) +j(u1)j(u2)hf1f2;u2u1iH:
Deci
ku1u2k2
Hhf1f2;u1u2iHkf1f2kXku1u2kH:
S i de aici,ku1u2kHkf1f2kX. 
Demonstrat ia Teoremei 2.5. Denim operatorul proxj:H!Hastfel
proxj(f) :=u
undeueste solut ia problemei ( Paux). Lema 1.16 ne spune c a operatorul proxjeste
non-expansiv. ^In plus, inegalitatea
hf1f2;u1u2iHku1u2k2
X
implic a
hproxj(f1)proxj(f2);f1f2iH0;8f1;f22H;
adic aproxjeste operator monoton.
Existent a. Fief2H; > 0  sij:H!(1;+1] o funct ional a proprie, convex a
 si inferior semicontinu a. Denim T:H!Hastfel
T(v) :=proxj(fAv+v)8v2H:
Vom demonstra ^ n continuare c a Teste contract ie pentru convenabil ales. Fie
u;v2H. Avem
kT(u)T(v)kH=kproxj(fAu+u)proxj(fAv+v)kH:
Cumproxjeste non-expansiv,
kT(u)T(v)kHkuv+(AvAu)kH:
Deci
kT(u)T(v)k2
H kuvk2
H2hAuAv;uviH+2kAuAvk2
H
(12mA+2L2
A)kuvk2
H:
12

Consider^ and 0 <<2mA
L2
Aavem 0<12mA+2L2
A<1.
Fie acum02
0;2mA
L2
A
. Atunci
kT0(u)T0(v)kHq
120mA+2
0L2
A
kuvkH
adic aT0este contract ie. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a exist a
un unic element u2Hastfel ^ nc^ at
T0u=u=prox0j(0f0Au+u):
Deciueste solut ie a problemei ( Paux)  si veric a
hu;vuiH+0j(v)0j(u)h0f0Au+u;vuiH;8v2H
0hAu;vuiH+0(j(v)j(u))0hf;vuiH;8v2H:
Cum0>0, deducem
hAu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H:
Deciueste solut ie a problemei (P).
Unicitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii ale problemei (P). Atunciu1 siu2veric a
hAu 1;vu1iH+j(v)j(u1)hf;vu1iH;8v2H: (1.16)
hAu 2;vu2iH+j(v)j(u2)hf;vu2iH;8v2H: (1.17)
Fiev=u2^ n (1.16)  si v=u1^ n (1.17). Sum^ and, obt inem
hAu 1Au 2;u2u1iH0:
Dar conform ipotezei (1.11)
mAku1u2k2
HhAu 1Au 2;u1u2iH0
obt inem egalitatea u1=u2.
Stabilitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii pentru problema (P)corespunz atoare datelor
f1;f22H. Atunci
hAu 1;vu1iH+j(v)j(u1)hf1;vu1iH;8v2H: (1.18)
hAu 2;vu2iH+j(v)j(u2)hf2;vu2iH;8v2H: (1.19)
13

Consider am v=u2^ n (1.18)  si v=u1^ n (1.19)  si sum^ and,
hAu 1Au 2;u1u2iH jhf1f2;u1u2iHj
 kf1f2kHku1u2kH:
Utiliz^ and din nou ipoteza (1.11) avem
mAku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH:
A sadar,
ku1u2kH1
mAkf1f2kH:
Remarca 1.17. Dac aj0problema (P) este echivalent a cu
hAu;vuiHhf;vuiH;8v2H()Au=f:
Remarca 1.18. Dac aj=IK(funct ia indicator a mult imii K), undeKHeste o
mult ime nevid a, convex a  si ^ nchis a iar
IK(v) =0v2K
1v62K;(1.20)
este o funct ional a proprie, convex a  si inferior semicontinu a, atunci
hAu;vui+IK(v)IK(u)hf;vuiH;8v2H:
Dac au2Katunci
hAu;vuiHhf;vuiH;8v2K:
Remarca 1.19. Dac aAeste liniar  si j0atunci reg asim Teorema Lax-Milgram.
Remarca 1.20. Dac aAeste liniar  si j=IKredescoperim Teorema lui Stampacchia.
1.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i
variat ionale
Fie (H;h
;
iH;k
kH) un spat iu Hilbert real, operatorul A:H!H, funct ionala
j:H!(1;+1]  si un element f2H.
Consider am problema studiat a  si ^ n sect iunea anterioar a:
14

(Pv) Datf2Xs a se determine u2Hastfel ^ nc^ at
hAu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H;
pentru care am admis ipotezele (1.11)-(1.13). Fie usolut ia unic a a lui ( Pv), adic a
j(v)j(u)hfAu;vuiH;8v2H;
echivalent cu
fAu2@j(u):
Dac ajeste diferent iabil a G^ ateaux, atunci, cum j este  si convex a,
@j(u) =frj(u)g:
Prin urmare,
fAu=rj(u);
echivalent cu
Au+rj(u) =f:
Consider am problema:
(P)hAu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H:
Admitem c a j:H!Reste convex a, inferior semicontinu a, A:H!Heste operator
tare monoton  si Lipschitz. ^In plus, admitem c a
(I)8
<
:exist aF:R+!R+astfel ^ nc^ at
jj(v)j(v)jF()8v2H;8>0
lim!0F() = 0:(1.21)
Admitem c a pentru A:H!Htare monoton  si Lipschitz  si j:H!Rconvex a  si
inferior semicontinu a,
(Pv)hAu;vuiH+j(v)j(u)hf;vuiH;8v2H; (1.22)
are solut ie unic a.
Teorema 1.21. FieA:X!Hoperator tare monoton  si Lipschitz, iar j;j:H!R
funct ionale convexe  si inferior semicontinue. Admitem ^ n plus (I). Atunci
u!u^ nHc^ and!0:
15

Demonstrat ie. Consider^ and v=u^ n inegalitatea din problema ( P)  siv=u^ n
inegalitatea (1.22)  si sum^ and, obt inem
hAuAu;uuiH+j(u)j(u) +j(u)j(u)0;
 si de aici,
hAuAu;uuiHj(u)j(u)(j(u)j(u))
 jj(u)j(u)j+jj(u)j(u)j
2F():
CumAeste tare monoton,
mAkuuk2
H2F():
Deducem de aici c a
u!uc^ and!0:

Remarca 1.22. Dac aj(0H) = 0  sij(v)0, atuncifugeste  sir m arginit. ^Intr-
adev ar, pun^ and v= 0H^ n(P)avem
hAu;uiH+j(0H)j(u)hf;uiH
hAuA0H;u0HiHhf;uiH+hA0H;uiH
de unde
kukH1
mA(kfkH+kA0HkH):
16

Bibliograe
[1] T.R adulescu, V. Radulescu, T. Andreescu , Problems in real analysis: Advanced
calculs on the real axis, Springer (2009), 271-272.
[2] L. Galvani, Sulle funzioni converse di una o due variabili denite in aggregate
qualunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1916), 103-134.
[3] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math. 30 (1906), 175-193.
[4] T. Popoviciu, Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes,
Analele Stiintice Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11 (1965), 155-164.
[5] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of
Math. 17 (1888), 145-150.
[6] O. Stolz, Grunz uge der Dierential und Integralrechnung, Vol. 1,Teubner, Leipzig,
1893.
17