LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A pentru ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator  stiint i c: Conf. univ. dr. Cristian Niculescu Autor: Giurgiu… [628716]

UNIVERSITATEA din BUCURES TI
FACULTATEA de MATEMATIC A  si INFORMATIC A
LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A
pentru ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator  stiint ic:
Conf. univ. dr. Cristian Niculescu
Autor:
Giurgiu Gabriela Simona (c as. Bratosin)
Liceul Tehnologic "Sf^ anta Ecaterina" Urziceni
2022

2
UNIVERSITATEA din BUCURES TI
FACULTATEA de MATEMATIC A  si INFORMATIC A
POLINOAME
S I
ECUAT II ALGEBRICE
Coordonator  stiint ic:
Conf. univ. dr. Cristian Niculescu
Autor:
Giurgiu Gabriela Simona (c as. Bratosin)
Liceul Tehnologic "Sf^ anta Ecaterina" Urziceni
2022

Cuprins
Prefat  a ii
1 Scurt istoric al polinoamelor 1
2 Inelul Polinoamelor de o nedeterminat a peste corpul K[X] 3
2.1 Denit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Bibliograe 5
i

Prefat  a
Studiul polinoamelor, precum  si rezolvarea ecuat iilor algebrice, reprezint a una dintre cele
mai importante probleme ale matematicii. Teoria ecuat iilor are drept scop g asirea diferitelor
propriet at i ale unei ecuat ii, care s a permit a calculul exact sau cu aproximat ie al r ad acinilor ei
 si s a emit a concluzii asupra r ad acinilor ^ n funct ie de coecient i.
^In^ nv at  am^ antul preuniversitar se studiaz a diferite tipuri de ecuat ii de grad 3, care se reduc
la rezolvarea unor ecuat ii de gradul ^ nt ai  si doi, dar de cele mai multe ori, o problem a teoretic a
sau practic a, ne poate conduce la ecuat ii care nu se pot rezolva prin metodele cunoscute.
Astfel, ^ n cazul ^ n care nu putem determina exact solut ia ecuat iei, vom  nevoit i s a stabilim
pentru ecare solut ie aproximativ a, o margine inferioar a  si o margine superioar a, astfel ^ nc^ at
^ n intervalul format de ele s a se a
e r ad acina c autat a.
Dac a marginile sunt sucient de apropiate, orice num ar cuprins ^ ntre ele poate  considerat
ca o valoare aproximativ a a r ad acinii c autate. Totu si, ^ nainte de a determina astfel de margini
pentru ecare r ad acin a real a a ecuat iei este necesar s a  stim dac a ecuat ia P(X) = 0 are r ad acini
reale  si ^ n ce intervale se g asesc ele.
^Inainte de a trece la metodele de rezolvare a acestor tipuri de ecuat ii, am considerat indicat
ca ^ n primul capitol al acestei lucr ari s a prezint not iunea de polinom, construct ia inelului
polinoamelor peste un corp arbitrar  si propriet at ile sale.
^In capitolul doi am prezentat inelul de polinoame peste corpul numerelor reale. Aici sunt
prezentate trei teoreme mai importante  si anume:
Teorema lui Descartes – care poate stabili o margine superioar a a num arului de r ad acini
pozitive, precum  si o margine inferioar a a num arului de r ad acini negative ale unei ecuat ii.
Aceste margini se obt in prin intermediul num arului de variat ii al polinoamelor P(x)  si
P(x).
Teorema lui Rolle – care stabile ste intervalele limitate de c^ ate dou a numere ^ n care s a e
cuprinse r ad acinile reale, dar pentru a g asi num arul de r ad acini reale ale ecuat iei P(x) = 0
ii

PREFAT  A iii
este necesar s a rezolv am ecuat ia P0(x) = 0, care nu este ^ ntotdeauna u sor de rezolvat.
Teorema lui Sturm – care ne d a num arul de r ad acini reale ale unei ecuat ii algebrice dintr-
un interval dat ( a; b) f ar a a mai  obligat i s a rezolv am o alt a ecuat ie.
^In capitolul trei al lucr arii am prezentat inelele de polinoame Q[X]  siZ[X], precum  si c^ ateva
familii de polinoame speciale cum ar :
Polinoamele lui Legendre
Polinoamele lui Hermite
Polinoamele lui Ceb^  sev
Ultimul capitol al lucr arii prezint a polinoamele simetrice  si teorema lui Newton care sunt
extrem de utile ^ n rezolvarea unor ecuat ii algebriec cu mai multe necunoscute  si a unor sisteme
de ecuat ii.
Desigur, ecuat iile algebrice reprezint a un domeniu vast, iar metodele de rezolvare a acestora
sunt variate. Acestea presupun o bun a experient  a a rezolvitorului dar  si capacitatea de a folosi
informat ia  si abilitatea de a rat iona, calit at i care se dezvolt a prin mijloace specice.
Deci, cuno stint ele dup a ce au fost^ nsu site, constituie doar un instrument, iar aportul esent ial
revine rezolv arii de probleme noi care s a apeleze la subtilit at i  si ranament, la metode nes-
tandard de rezolvare.

Capitolul 1
Scurt istoric al polinoamelor
Studiul ecuat iilor algebrice se bazeaz a pe aritmetica superioar a, care, la r^ andul ei
se bazeaz a pe teoria numerelor. Aceasta s-a format ^ n Grecia Antic a, ^ ncep^ and cu S coala
lui Pitagora,  scoal a care avea deviza lozoc a num arul este esent a lucrurilor, deci totul era
ntruchiparea numerelor . Aici au fost studiate numerele prime, divizorii unui num ar natural,
numerele gurative triunghiulare, poligonale sau piramidale, mediile aritmetic a, geometric a  si
armonic a, not iunile de cel mai mare divizor comun  si cel mai mic multiplu comun. Grecii an-
tici au dezvoltat o teorie complet a a numerelor rat ionale  si au descoperit numerele irat ionale,
ambele teorii av^ and caracter geometric.
Elementele lui Euclid reprezint a una dintre cele mai importante lucr ari din istoria matem-
aticii. Lui Euclid i se datoreaz[ teorema fundamental a a teoriei numerelor  siteorema ^ mp art irii
cu rest a numerelor naturale.
Diofant, ca aritmetician algebrist, a fost considerat ca fondator al teoriei algebrice a nu-
merelor. Dup a unii autori, algebra lui Diofant reprezint a contribut ia tuturor matematicie-
nilor greci din epoca sa. ^In lucr arile sale, Diofant expune metodele utilizate pentru rezolvarea
ecuat iilor de gradul I  si al II-lea. Necunoscutele sunt notate prin simboluri  si sunt folosite
consecvent semnele de operat ie.
Diofant este primul matematician grec care a recunoscut fract iile ca numere. La el apare
pentru prima dat a not iunea de num ar negativ. A studiat deasemenea  si rezolvarea sistemelor
liniare prin eliminarea succesiv a a necunoscutelor, av^ and contribut ia principal a la a sa-numita
ecuat ie diofantic a, pe care a prezentat-o sub forme diferite, f ar a a indica vreo metod a de
rezolvare. Cercetarea ecuat iilor nedeterminate face parte din analiza nedeterminat a sau analiza
diofantic a.
Frumuset ea teoriei elementare a numerelor, elegant a structurilor algebrice, prestigiul poli-
noamelor  si a ecuat iilor algebrice precum  si talentul, str aduint a  si ingeniozitatea matemati-
cienilor, din cele mai vechi timpuri, au condus la dezvoltarea unei ramuri a matematicii cu
1

CAPITOLUL 1. SCURT ISTORIC AL POLINOAMELOR 2
rezultate f ar a egal ^ n zilele noastre, cum ar  teorema fundamental a a algebrei. Aceast a teo-
rem a este simplu de formulat dar nu at^ at de simplu de demonstrat. Ea este at^ at de dicil a
^ nc^ at face obiectul rezultatului principal al tezei de doctorat a lui Gauss.
Teorema arm a c a orice polinom care are gradul mai mare ca zero, are cel put in o r ad acin a
complex a , iar rezultatul tezei este c a orice ecuat ie polinomial a de grad n, unde neste un
num ar pozitiv, are ^ ntotdeauna exact nr ad acini complexe . Matematicienii b anuiau ^ ns a c a
acest rezultat este adev arat cu mult ^ naintea lui Gauss.
Se  stie acum c a orice ecuat ie algebric a poate  solut ionat a, iar din propriet at ile polinoamelor
se pot deduce identit at i, inegalit at i sau alte aplicat ii deosebite ale matematicii.

Capitolul 2
Inelul Polinoamelor de o
nedeterminat a peste corpul K[X]
2.1 Denit ii
FieXo mult ime cu card(X)2, ^ n care avem o lege de compozit ie intern a notat a multiplicativ
"
", ^ n raport cu care exist a ^ n Xun element neutru e, care satisface axiomele:
1.×0=e;
2.×1=x;
3.xm
xn=xn
xm=xm+n;
4.xm6=xn; m6=n;
5.×6=e;8x2X;8m; n2M.
Astfel, dac a x2X;atunci xn2X;8n2M:
Demonstrat ia 1 Demonstrat ia se face prin induct ie:
Veric am P(0):x0=e;2X(adev arat)
Veric am P(1):x1=x;2X(adev arat)
Presupunem P(n):xn2Xadev arat
P(n+1):xn+1=xn
x2X)P(n+1)adev arat.
Denit ie: Fie Kun corp comutativ  si cuplul ( a; xn) format din elementele a2K sixn2X.
Ata s am acestui cuplu un element axn, unic determinat denumit monom , ce va avea componen-
tele: a=coecient, x=nedeterminata iar n=gradul monomului.
Denit ie: Dou a monoame se numesc asemenea dac a au acela si grad. Kse nume ste domeniul
de operatori al monoamelor  si avem ca axiom a c a
3

CAPITOLUL 2. INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINAT A PESTE CORPUL K[X]4
a(bxn) =abxn;8a; b2K sia0x0=a0
Denit ie: O expresie de forma
a0x0+a1x1+a2x2+


+anxn
se nume ste polinom de nedeterminat a xpeste corpul K.
Denit ie: Se nume ste gradul unui polinom, exponentul acelui monom cu coecient nenul din
scrierea polinomului, care are gradul cel mai mare. Coecientul acestuia se nume ste coecient
dominant . Se va folosi notat ia K[X] = mult imea polinoamelor de nedeterminat a xpeste corpul
K.
Un polinom este denit de  sirul coecient ilor a0; a1; a2;


; ancare sunt elemente din K,
iar un polinom din K[X] poate  scris sub forma:
P(x) =a0x0+a1x1+a2x2+


+anxn
sau sub forma
P= (a0; a1; a2;


; an)

Bibliograe
[1] N.Mih aileanu, Istoria Matematicii. Secolul al 18-lea. Prima jum atate a secolului al 19-lea.
Dezvoltarea ulterioar a a matematicii , Ed. S tiint ic a  si Enciclopedic a, Bucure sti, 1981
[2] R.A. Horn, S. Johnson, Analiz a Matriceal a , Ed. Theta, Bucure sti 2001
[3] G. Bercu, L. D au s, A.L. Pletea, Algebr a liniar a, geometrie analitic a, geometrie difent ial a
 si elemente de algebr a tensorial a Cap.4 , Universitatea Tehnic a "Gh. Asachi", Ia si.
[4] M. Horovitz, Modelul economic optim , Ed. Academiei, Bucure sti 1970
[5] C. Niculaescu, O. Veghe s, Introducere ^ n algebra liniar a ,www.biblioteca-digital a.ase.ro
[6] M. Ganga, Matematic a manual pentru clasa a XI-a , Ed. Mathpress, Ploie sti 2006
5