Lucrare de Licent a [606603]

Universitatea din Craiova
Facultatea de S tiint e
Departamentul de Matematic a
Lucrare de Licent  a
Funct ii armonice
Coordonator  stiint ic:
Prof. Univ. Dr. Mihai Mih ailescu
Absolvent: [anonimizat]
2016

Cuprins
1 Introducere 2
2 Formule de medie 4
2.1 Formula de medie pentru funct ii
armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Estim ari ale gradientului unei funct ii
armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Solut ii fundamentale ale ecuat iei lul Laplace 21
4 Funct ia Green 28
4.1 Propriet at i ale funct iei Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Principii de maxim 34
6 Metode Energetice 44
7 Lema de aproximare a funct iilor armonice a lui De Giorgi 47
1

Capitolul 1
Introducere
Termenul \ armonic " este folosit ^ n mod curent pentru a descrie calitatea
unui sunet. \ Funct iile armonice " sunt numite astfel datorit a unei leg aturi a
lor cu sursa unui sunet – o coard a vibrant a.
Fizicienii numesc mi scarea unui punct pe o coard a vibrant a \ mi scare
armonic a ". O asemena mi scare poate  descris a folosind funct iile sinus  si
cosinus  si ^ n acest context funct iile sinus  si cosinus sunt uneori numite ar-
monice. ^In analiza Fourier clasic a, funct iile de pe cercul unitate sunt extinse
^ n termeni de sinu si  si cosinu si. Extinderi asem an atoare exist a pe sfera din
RN, cuN > 2, ^ n termeni de polinoame armonice omogene. Cum aceste
polinoame joac a acela si rol pe sfer a ca  si cel jucat de \ armonicele " sinus  si
cosinus pe cerc au fost numite \ funct ii sferic armonice ". Termenul sferic
armonic a (en. spherical harmonic ) se consider a a  fost folosit pentru prima
dat a (1880) ^ n acest context de William Thomson (Lord Kelvin)  si Peter
Tait. De la ^ nceputurile anilor 1900 cuv^ antul \ armonic " a fost folosit pentru
a desemna nu umai polinoamele omogene cu Laplacian zero ci orice solut ie a
ecuat iei lui Laplace. Aceast a introducere referitoare la originea teremenului
\armonic " care apare ^ n denumirea \ funct iilor armonice " este preluat a din
lucrarea Axler, Bourdon, & Ramey [1, p. 25].
Scopul lucr arii de fat  a este acela de a prezenta diferite metode de studiu
ale funct iilor armonice. Acestea includ proprietatea de medie (Capitolul 2),
solut iile fundamentale (Capitolul 3), funct ia Green (Capitolul 4), principi-
ile de maxim (Capitolul 5), metodele energetice (Capitolul 6)  si o lem a de
aproximare a funct iilor armonice a lui De Giorgi (Capitolul 7). Lucrarea se
dore ste a  un \ survey " (o trecere ^ n revist a ) al (a) rezultatelor fundamen-
2

tale legate de teoria funct iilor armonice. ^In acest sens au fost consultate
urm atoarele referint e bibliograce: Axler, Bourdon, & Ramey [1], Evans [6],
Gilbarg & Trudinger [7], Han & Lin [8], Precup [9], R adulescu [11], Duzaar
& Mingione [5], unde tematica abordat a ^ n lucrarea de fat  a este bine repre-
zentat a. O bun a parte din rezultatele ce vor  prezentate ^ n aceast a lucrare
fac obiectul cursurilor de Ecuat ii cu derivate part iale  siCapitole speciale de
ecuat ii cu derivate part iale , urmate de c atre autoarea lucr arii ^ n anul 3 de
studiu al programului de Licent  a de la Departamentul de Matematic a din
cadrul Universot at ii din Craiova,  si unde autoarea s-a familiarizat pentru
prima dat a cu tematica abordat a aici. Studiul realizat ^ n lucrarea de fat  a
dep a se ste ^ ns a cadrul cursurilor amintite mai sus prezent^ and teoria funct iilor
armonice dintr-o perspectiv a mai larga  si complet^ and cuno stiint ele dob^ andite
la cursurile respective.
3

Capitolul 2
Formule de medie
2.1 Formula de medie pentru funct ii
armonice
Fie
un domeniu conex din RN. Pentru u2C(
) spunem c a
Denit ie 2.1. u veric a prima formul a de medie dac a
u(x) =1
!NrN1Z
@Br(x)u(y) dy;8Br(x)
;
Denit ie 2.2. u veric a a doua formul a de medie dac a
u(x) =N
!NrNZ
Br(x)u(y) dy;8Br(x)
;
unde!Nreprezint a aria sferei unitate ^ n RN.
Observat ie 1. Denit iile 2.1  si 2.2 sunt echivalente.
Demonstrat ie.
2.1 =)2.2
Fier>0 xat astfel ^ nc^ at Br(x)
. AtunciBs(x)
,8s2[0;r].
4

Avem c a
u(x)sN1=1
!NZ
@Bs(x)u(y) dy;8s2[0;r]:
Integr am ^ n raport cu s 2[0;r]  si obt inem
u(x)rN
N=1
!NrZ
00
B@Z
@Bs(x)u(y) dy1
CAds:
Aplic^ and formula coariei obt inem imediat concluzia.
2.2 =)2.1
Fier>0 xat astfel ^ nc^ at Br(x)
. AtunciBs(x)
,8s2[0;r].
Avem c a
u(x)sN
N=1
!NsZ
00
B@Z
@B(x)u(y) dy1
CAd;8s2[0;r]:
Deriv am ^ n raport cu s  si obt inem
sN1u(x) =1
!NZ
@Bs(x)u(y) dy;8s2[0;r]:
^Il l as am pe s s a tind a la r  si obt inem
u(x) =1
!NrN1Z
@Br(x)u(y) dy:
Observat ie 2.u veric a prima formul a de medie daca  si numai dac a
u(x) =1
!NZ
jzj=1u(x+rz) dz;8Br(x)
:
u veric a a doua formul a de medie dac a  si numai dac a
u(x) =N
!NZ
jzj1u(x+rz) dz;8Br(x)
:
5

Propozit ie 2.1. (Princiupiul de maxim  si de minim.)[6, Theorem 4, p. 27],
[7, Theorem 2.2] Fie
RNun domeniu deschis, m arginit  si conex. Dac a
u2C(
) si satisface formula de medie pe
atunci e u este constant a ^ n
, e u ^  si atinge maximul  si minimul numai pe frontiera lui
.
Demonstrat ie. Presupunem c a u 6constant a ^ n
. Veric am concluzia
pentru max
u=:M. (Pentru minim se procedeaz a similar, ^ nlocuind pe u cu
-u.) Denim
 :=fx2
ju(x) =Mg
:
Vrem s a ar at am c a  = ;. Pentru aceasta vom verica c a  este  si ^ nchis a  si
deschis a ^ n
. Acest fapt ^ mpreun a cu
domeniu conex implic a e  = ;,
e  =
. Cum u 6constant a ^ n
cazul  =
nu poate avea loc. Rezult a
c a  =;. Din denit ia lui  avem
 =u1(fMg):
Deci  este ^ nchis a. Ar at am c a  este deschis a. Fie x02. Atuncix02
.
Cum
este deschis a ^ nseamn a c a exist a r>0 a.^ .Br(x0)
. Deoarece u
veric a formula de medie pe
avem
M=u(x0) =N
!NrNZ
Br(x0)u(y)dyN
!NrNZ
Br(x0)Mdy=M:
Din cele de mai sus rezult a c a ^ n estim arile anterioare avem obligatoriu egali-
tate. (NU putem avea inegalitate strict a.) Acest fapt implic a u(y) =M;8y2
Br(x0), i.e.Br(x0)  si deci  este deschis a.
Astfel, rezult a c a u^  si atinge maximul numai pe frontiera lui
. 
Denit ie 2.3. O funct ie u2C2(
)se nume ste armonic a dac a

u(x) :=NX
k=1@2u
@xk2(x) = 0;8×2
:
Teorema 2.1. Fie u2C2(
) o funct ie armonic a ^ n
. Atunci u veric a
formula de medie ^ n
.
Demonstrat ie. Fie x2
 sir>0 astfel ^ nc^ at Br(x)
. Pentru ecare
2(0;r) avemB(x)
 si denim
f() =1
!NN1Z
@B(x)u(y)dy:
6

Prin schimbarea de variabil a y=x+zavem
f() =1
!NZ
jzj=1u(x+z)dz=1
!NZ
@B1(0)u(x+z)dz:
Deci
f0() =1
!NZ
@B1(0)ru(x+z)
zdz
=1
!NZ
@B(x)ru(y)
yx
1
N1dy
=1
!NN1Z
@B(x)ru(y)
~ dy
=1
!NN1Z
@B(x)@u
@(y) dy
=1
!NN1Z
B(x)
u(y) dy:
Cumueste armonic a rezult a c a
f0() = 0:
Decif() este constant a. Pe de alt a parte avem
lim
!0f() =u(x);
pentru c a
lim
!01
!NN1Z
@B(x)u(y)dy=u(x):
^Intr-adev ar, relat ia de mai sus rezult a din estim arile urm atoare
1
!NN1Z
@B(x)u(y) dyu(x)=1
!NN1Z
@B(x)
u(y)u(x)

dy
7

1
!NN1Z
@B(x)ju(y)u(x)jdy<";8<:
Concluzia teoremei este acum clar a. 
Observat ie 3. Pentru o funct ie u ce veric a formula de medie nu se cere ca
u s a e neted a (adic a u2C2(
)), dar pentru o funct ie armonic a se impune
s a e de clas a C2. Vom ar ata c a aceste propriet at i sunt echivalente.
Teorema 2.2. Dac au2C(
)veric a formula de medie ^ n
atunci u este
neted a  si armonic a ^ n
.
Demonstrat ie. Alegem'2C1
0(B1(0)) cu
Z
B1(0)'(x) dx= 1;
 si
'(x) = (r); r=jxj:
Atunci
!N1Z
0rN1 (r) dr= 1:
pentru c a
1 =Z
B1(0)'(x) dx=Z
B1(0) (jxj) dx=1Z
00
B@Z
@Br(0) (r) dx1
CAdr
=1Z
0 (r)0
B@Z
@Br(0)dx1
CAdr=!N1Z
0rN1 (r) dr:
Pentru ecare ">0 denim
'"(z) :=1
"N'z
"
:
8

Pentru orice x2
, e"<dist(y;@
) := inf
y2@
jxyj. Pentru ecare funct ie
f:
!Rdenimf:RN!R
f(x) =(
f(x);x2
0;x2RNn
:
Avem'"2C1
0(RN)  si
Z

u(y)'"(yx)dy=Z
RNu(y)'"(yx)dy=Z
RNu(x+)'"()d
=1
"NZ
RNu(x+)'
"
d=Z
jj<"u(x+)
"N'
"
d
=1
"NZ
jj<1u(x+")'()"Nd=Z
jj<1u(x+")'()d
=1Z
00
B@Z
@Br(0)u(x+") (jj)d1
CAdr
=1Z
00
B@Z
jzj=1u(x+"rz) (rjzj)rN1dz1
CAdr
=1Z
0 (r)rN10
B@Z
jzj=1u(x+"rz)dz1
CAdr
=!Nu(x)1Z
0rN1 (r)dr
=u(x):
Not am c a ultima linie de mai sus este o consecint  a a Observat ei 2.
Am ar atat c a
Z

u(y)'"(yx) dy=u(x);8×2
":=fy2
: dist(y;@
)>"g:
9

Deci
('"u)(x) =u(x);8×2
":
Din Brezis [3, Proposition 4.20] rezult a c a ueste neted a.
Presupunem c a
u60 ^ n
. Atunci exist a x02
a.^ .
u(x0)>0 (spre
exemplu). Cum ueste neted a, deci de clas a C2, avem c a funct ia
x2
!
u(x)2R;
este continu a. Din cele de mai sus, rezult a c a exist a r>0 a. ^ .

u(x)>0;8x2Br(x0)
:
Denim
f() :=1
!NN1Z
@B(x0)u(y) dy:
Din formula de medie avem
f() =u(x0) =const;82(0;r):
Decif0() = 0, pentru orice 2(0;r). Calcul^ and ca ^ n demonstrat ia Teore-
mei 2.1 g asim
0 =f0() =1
!NN1Z
B(x0)
u(y) dy>0;
ceea ce reprezint a o contradict ie.
Deci
u(x) = 0, pentru orice x2
.
Observat ie 4. Din Propozit ia 2.1, Teorema 2.1  si Teorema 2.2 concluzion am
faptul c a funct iile armonice sunt netede  si satisfac formula de medie. Deci
funct iile armonice satisfac principiul de maxim. O consecint  a a principiului
de maxim este unicitatea problemei Dirichlet pe un domeniu m arginit, convex
 si deschis.
Dac a
RNeste deschis, m arginit  si conex atunci:
(P)(

u(x) =f(x); x2
u(x) =g(x); x2@
;
10

admite o unic a solut ie pentru orice f2C(
)  sig2C(@
) date.
Demonstrat ie. Presupunem c a (P) ar avea dou a solut ii u1 siu2. Atunci
(

u1(x) =f(x) =
u2(x); x2
u1(x) =g(x) =u2(x); x2@
:
Deci (

u1(x)
u2(x) = 0; x2
u1(x)u2(x) = 0; x2@
:
Denimv(x) :=u1(x)u2(x). Atunciv(x) veric a problema
(

v(x) = 0; x2
v(x) = 0; x2@
Rezult a c a veste funct ie armonic a ^ n
. Din Teorema 2.1, vveric a formula
de medie. Din Propozitia 2.1 avem c a vveric a principiul de maxim  si de
minim ^ n
. Deci, e veste constant a ^ n
, e v^  si atinge maximul  si
minimul numai pe frontiera lui
. Din cele de mai sus v(x) = 0 pentru orice
x2
, ceea ce ^ nseamn a c a (P) admite solut ie unic a. 
^In general, unicitatea solut iei nu este adev arat a pe domenii nem arginite.
Exemplu: Dac a
:=fx2RN:jxj>1gatunci problema
(

v(x) = 0; x2
v(x) = 0; x2@
;
admite solut iile
1.v1(x) = 0;8×2
;
2.v2(x) =(
logjxj; N = 2
jxj2N1; N3:
11

2.2 Estim ari ale gradientului unei funct ii
armonice
Discut am ^ n cele ce urmeaz a estim ari pentru gradientul funct iilor armonice.
Lema 2.1. Fieu2C(BR), u armonic a ^ n BR=BR(x0). Atunci
jru(x0)jN
Rmax
BRjuj:
Demonstrat ie. Din Teorema 2.1  stim c a u veric a formula de medie, iar
din Teorema 2.2 deducem c a u este neted a.

@u
@xi
=NX
k=1@2
@x2
k@u
@xi
=NX
k=1@3u
@x2
k@xi=NX
k=1@3u
@xi@x2
k
=NX
k=1@
@xi@2u
@x2
k
=@
@xiNX
k=1@2u
@x2
k=@
@xi(
u)
= 0:
A sadar

@u
@xi
= 0^ nBR. Adic a@u
@xieste funct ie armonic a^ n BR;8i=1;N.
Din Teorema 2.1 deducem c a@u
@xisatisface formula de medie ^ n BR. Acest
fapt  si teorema de integrare prin p art i (formula Gauss-Ostrogradski) implic a
@u
@xi(x0) =N
!NRNZ
BR(x0)@u
@xi(y) dy=N
!NRNZ
@BR(x0)u(y)i(y) dy:
Astfel urmeaz a c a sunt adev arate estim arile
@u
@xi(x0)N
!NRNZ
@BR(x0)ju(y)jji(y)jdy
N
!NRN!NRN1max
@BRjuj
N
Rmax
BRjuj:
Concluzia se obt ine imediat din estim arile de mai sus. 
12

Lema 2.2. Fieu2C(BR)o funct ie armonic a ^ n BR(x0), cuu(x)0pentru
oricex2BR(x0). Atunci
jru(x0)jN
Ru(x0):
Demonstrat ie. Ca ^ n demonstrat ia Lemei 2.1 avem
@u
@xi(x0) =N
!NRNZ
@BR(x0)u(y)i(y) dy:
Cumueste nenegativ a avem
@u
@xi(x0)N
!NRNZ
@BR(x0)u(y)ji(y)jdyN
!NRNZ
@BR(x0)u(y) dy:
Conform formulei de medie, avem
@u
@xi(x0)N
Ru(x0);
 si concluzia lemei este clar a. 
Corolar 2.1 (Teorema lui Liouville) .[6, Theorem 8, p.30], [7, Problem 2.14]
O funct ie armonic a ^ n RNm arginit a inferior  si/sau superior este constant a.
Demonstrat ie. Fie u armonic a ^ n RNm arginit a inferior. Atunci exist a
M2Ra.^ .u(x)Mpentru orice x2RN. Fiev(x) =u(x)M. Atunciv
este armonic a ^ n RN siv(x)0, pentru orice x2RN. Pentru ecare x2RN
arbitrar, dar xat aplic am Lema 2.2 pe BR(x). Astfel, avem
jrv(x)jN
Ru(x);8R> 0:
L as amR!1  si obt inem
rv(x) = 0;8x2RN:
Rezult avconstant a, deci  si ueste constant a. 
O variant a echivalent a a Teoremei lui Liouville este dat a ^ n corolarul
urm ator. Demonstrat ia rezultatului este diferit a de cea a Corolarului 2.1  si
poate  g asit a ^ n [10, Problema 6.17].
13

Corolar 2.2. Fieu:RN!Rcontinu a astfel ^ nc^ at
u(x) =1
jBr(x)jZ
Br(x)u(z)dz;8r>0;8x2RN:
Dac au0^ nRNatunci u este constant a.
Demonstrat ie. Presupunem c a unu ar  constant a. Fie x; y2RNastfel
^ nc^ atu(x)<u(y)  si
r0:=jxyj>0:
Pentru orice r>r 0not am
A(r) :=Z
Br(x)u(z) dz;B(r) :=Z
Brr0(y)u(z) dz:
Observ am c a pemtru orice r>r 0avem
u(x)
u(y)=jBrr0(y)jA(r)
jBr(x)jB(r)=!N(rr0)N
N
!NrN
N
A(r)
B(r)=rr0
rN

A(r)
B(r):
CumBrr0(y)Br(x), pentru orice r>r 0 siu0 rezult a c a A(r)B(r),
pentru orice r>r 0^Intr-adev ar, e z2Brr0(y), i.e.jzyj<rr0. Atunci
jzxjjzyj+jyxjrr0+r0=r;
 si deciz2Br(x).
Din cele de mai sus avem
u(x)
u(y)rr0
rN
;8r>r 0:
L as amr!1  si g asimu(x)u(y) ceea ce reprezint a o contradict ie cu
u(x)<u(y). Rezult a c a ueste constant a. 
Denit ie 2.4. Pentru un multi-indice = (1;2;:::;N)not am
jj:=1+2+::+N;
lungimea lui (i0pentru orice i2f1;:::;Ng). Not a  si
Dmu(x) :=@jju(x)
@x1
1@x2
2
:::
@xN
N;
undejj=m.
14

Propozit ie 2.2. Fieu2C(BR)armonic a ^ n BR=BR(x0). Atunci, pentru
orice multi-indice cujj=m, avem
jDmu(x0)jNmem1m!
Rmmax
BRjuj:
Demonstrat ie. Demonstr am concluzia prin induct ie dup a m. Pentru
m= 1 totul este clar din Lema 2.1. Consider am cazul c^ and jj=m+ 1.
Pentru 2(0;1) denim
r= (1)R2(0;R):
Aplic am Lema 2.1 pentru@mu
@xm
i^ nBr si obt inem
@m+1u
@xm+1
i(x0)N
rmax
BrjDmuj:
Din pasul de induct ie avem
max
BrjDmujNmem1m!
(Rr)mmax
BRjuj:
Combin^ and ultimele dou a exprim ari g asim derivata
@m+1u
@xm+1
i(x0)N
1Nmem1m!
mRm+1max
BRjuj:
Lu am  =m
m+1 si avem
1
m(1)=
1 +1
mm
(m+ 1)<e(m+ 1):
Deci rezultatul este adev arat pentru orice derivat a simpl a. Concluzia rezult a
din observat ia c a pentru orice multi-indice = (1;2;:::;N) avem
1!2!:::N!jj!:
Propozit ia 2.2 este complet demonstrat a. 
Teorema 2.3. [6, Theorem 10, p. 31] O funct ie armonic a este analitic a.
15

Demonstrat ie. Fieuarmonic a ^ n
. Pentru x2
xat consider am
B2R(x)
 sih2RNcujhjR:Din formula lui Taylor avem
u(x+h) =u(x) +m1X
i=11
i!"
h1@
@x1+:::+hN@
@xNi
u#
(x) +Rm(h)
unde
Rm(h) =1
m!
h1@
@x1+:::+hN@
@xNm
u
(x1+ h1;:::;xN+ hN); ;
pentru 2(0;1). Observ am c a x+h2BR(x) pentrujhj< R . Din
Propozit ia 2.2 obt inem
jRm(h)j1
m!jhjmNmNmem1m!
Rmmax
B2Rjuj:
Atunci pentru orice hcujhjN2eR
2avem
lim
m!1Rm(h) = 0:
Deciueste analitic a. 
Teorema 2.4 (Inegalitatea lui Harnack) .[6, Theorem 11, p. 32], [7, Theo-
rem 2.5] Fie u armonic a ^ n
 siu(x)0, pentru orice x2
. Atunci pentru
oriceK
compact exist a C=C(
;K)astfel ^ nc^ at
1
C
u(y)u(x)C
u(y);8x; y2K:
Demonstrat ie. Fie
r:=1
3dist(K;@
) =1
3inf
k2K
x2@
jkxj:
Fiex; y2Kxate astfel ^ nc^ at:
jxyjr:
Atunci este u sor de probat c a
B2r(x)Br(y). Din formula de medie
avem
u(x) =N
!N(2r)NZ
B2r(x)u()dN
!N(2r)NZ
Br(y)u()d =1
2Nu(y):
16

Deci
u(x)1
2Nu(y);8x; y2K;cujxyjr:
EvidentK[
x2KBr(x). Deoarece Keste compact exist a un num ar nit de
bileB1; B2;:::;Bpde raz a r astfel ^ nc^ at
Kp[
i=1Bi; Bi\Bi+1=;:
^Intre orice dou a puncte ale lui Kse poate ajunge prin acest procedeu dup a
cel multpmi sc ari. Deci
u(x)1
2Npu(y);8x; y2K:
Concluzia este imediat a. 
Observat ie 5. Dac a
u(x) = 0 , pentru orice x2
, unde
RNeste un
deschis m arginit atunci
Z

u
'dx= 0;8'2C2
0(
):
Demonstrat ie. Fie'2C2
0(
) xat a. Atunci este evident c a '(x) = 0
pentru orice x2@
 si cum'este continu a  si cu suport compact ^ n
de fapt
'(x) = 0 pentru orice x^ ntr-o vecin atate a frontierei lui
fapt ce implic a
@'
@(x) =r'(x)
~ (x) = 0 pentru orice x2@
.
Pe de alt a parte formula lui Green implic a
Z

(u
''
u) dx=Z
@

u@'
@'@u
@
dx:
Din cele de mai sus deducem c a
Z

u
'dx=Z
@
u@'
@dx= 0:
Concluzia este acum clar a. 
17

Teorema 2.5. Dac au2C(
)astfel ^ nc^ at
Z

u
'dx= 0;8'2C2
0(
);
atunciueste armonic a ^ n
.
Demonstrat ie.
Claim 1. Pentru orice Br(x)
avem
(2.1) rZ
@Br(x)u(y) dy=NZ
Br(x)u(y) dy:
Demonstrat ie. (Claim 1) Presupunem N3 (cazulN= 2 se trateaz a
asem an ator). Fie
'(y;r) :=(
(jyj2r2)N;jyjr
0 ;jyj>r;
 si
'k(y;r) := (jyj2r2)Nk[2(Nk+ 1)jyj2+N(jyj2r2)]; k=2;N;jyjr;
 si
'k(y;r) = 0; k=2;N;jyj>r:
Calcul^ and, avem '(
;r)2C2
0(
)  si

y'(y;r) =(
2N' 2(y;r);jyjr
0;jyj>r:
Avem  si'22C2
0(
).
Din ipoteza Teoremei 2.5 avem
0 =Z

u(y)
y'(y;r) dy=Z
Br(0)u(y)2N' 2(y;r) dy:
Deci Z
Br(0)u(y)'2(y;r) dy= 0:
18

Ar at am c a dac a pentru k=2;N1 avem
(2.2)Z
Br(0)u(y)'k(y;r)dy= 0,rZ
00
B@Z
Bs(0)u(y)'k(y;r)dy1
CAds= 0;
atunci
(2.3)Z
Br(0)u(y)'k+1(y;r) dy= 0:
^In fapt, deriv^ and relat ia (2.2) ^ n raport cu r g asim
Z
@Br(0)u(y)'k(y;r) dy+Z
Br(0)u(y)@'k
@r(y;r) dy= 0:
Pentru 2k<N ' k(y;r) = 0, pentrujyj=r, deci
Z
Br(0)u(y)@'k
@r(y;r) dy= 0:
Calcul^ and@'k
@r(y;r) = (2r)(Nk+ 1)'k+1(y;r):
Atunci relat ia (2.3) este adev arat a.
Lu^ andk=N1 ^ n (2.3) g asim
Z
Br(0)u(y)'N(y;r) dy= 0;
sau Z
Br(0)u(y)[2jyj2+N(jyj2r2)] dy= 0;
sau Z
Br(0)u(y)[(N+ 2)jyj2Nr2] dy= 0:
19

Deriv am ^ n raport cu r avem
(N+ 2)r2Z
@Br(0)u(y) dy2NrZ
Br(0)u(y) dyNr2Z
@Br(0)u(y) dy= 0;
sau
2r2Z
@Br(0)u(y) dy= 2NrZ
Br(0)u(y) dy;
sau
rZ
@Br(0)u(y) dy=NZ
Br(0)u(y) dy:
Deci (2.1) este adev arat a. 
Revenim la demonstrat ia Teoremei 2.5. Deriv^ and ^ n raport cu rrelat ia
(2.1) g asim
d
dr2
641
!NrN1Z
@Br(x)u(y)dy3
75=d
dr2
64N
!NrNZ
Br(x)u(y)dy3
75
=N
!Nd
dr2
641
rNrZ
00
B@Z
@Bs(x)u(y)dy1
CAds3
75
=N
!N2
64N
rN+1Z
Br(x)u(y)dy+1
rNZ
@Br(x)u(y)dy3
75
= 0:
Deci1
!NrN1Z
@Br(x)u(y)dy=const:
^In plus,
lim
r!1N
!NrNZ
Br(x)u(y) dy=u(x);8r>0;a:i:Br(x)
:
Din cele de mai sus rezult a c a uveric a formula de medie ^ n
. Din Teorema
2.2 obt inem faptul c a u este armonic a. 
20

Capitolul 3
Solut ii fundamentale ale
ecuat iei lul Laplace
C aut am o funct ie armonic a ^ n RNcu simetrie radial a, i.e.

u(x) = 0;8x2RN
 si
u(x) =v(r); r=jxj= NX
j=1×2
j!1=2
:
Calcule elementare arat a c a
@u
@xi=v0(r)@r
@xi=v0(r)xi
jxj;8i=1;N;
 si
@2u
@x2
i=v00(r)x2
i
jxj2+v0(r)jxj2x2
i
jxj3;8i=1;N:
Astfel obt inem

u(x) =NX
j=1@2u
@x2
j
=v00(r) +v0(r)N
jxjjxj2
jxj3
=v00(r) +v0(r)N1
r:
21

Decivveric a ecuat ia
v00(r) +N1
rv0(r) = 0; r0:
Fiew(r) =v0(r). Din relat ia de mai sus deducem c a weste solut ie a ecuat iei
w0(r) +N1
rw(r) = 0;
sau echivalent
w0(r)
w(r)=N1
r;
sau
lnw(r) = lnr1N+C;
ceea ce implic a
w(r) =Cr1N;
undeCeste o constant a real a. Astfel am g asit c a
v0(r) =Cr1N;
de unde deducem c a
v(r) =(
C1r2N+C2; N3
C3lnr+C4; N = 2;
undeC1; C 2; C 3; C 4denot a patru constante reale. Suntem interesat i s a
g asim o funct ie armonic a cu singularitate ^ n 0 a sa ^ nc^ at
Z
@Br(0)@v
@rdx= 1;8r>0:
PentruN= 2, relat ia de mai sus devine
C3Z
jxj=r1
rdx= 1:
Trecem la coordonate polare si obt inem
C31
r2Z
0rd = 1;
22

de unde deducem c a
C3=1
2:
PentruN3 prin calcul se obt ine C1=1
!N(2N), unde!Ndesemneaz a aria
sferei unitate ^ n RN.
Deci
E(x) :=8
<
:1
2lnjxj; x6= 0;N= 2
1
!N(2N)
1
jxjN2
; x6= 0;N3;
veric a

E(x) = 0;8x2RNnf0g;
iar ^ nx= 0, E are o singularitate, i.e.
lim
jxj!0E(x) = +1:
^In plus, Z
@Br(0)@E
@dx= 1;8r>0:
Similar, pentru orice a2RNxat, funct ia
E(a;x) :=8
<
:1
2lnjxaj; x6=a;N = 2
1
!N(2N)
1
jxajN2
; x6=a; N3;
veric a

xE(a;x) = 0;8x2RNnfag;
lim
x!aE(a;x) = +1;
 siZ
@Br(a)@E(a;x)
@xdx= 1:
^In particular pentru a= 0 avemE(0;x) =E(x).
Funct iileEse numesc solut ii fundamentale ale ecuat iei lui Laplace .
23

Teorema 3.1. [6, Theorem 12], [7, Chapter 2.4] Fie
RNdomeniu
m arginit  si u2C1(
)\C2(
). Atunci pentru orice a2
are loc
u(a) =Z

E(a;x)
u(x) dxZ
@

E(a;x)@u
@x(x)u(x)@E
@x(a;x)
dx:
Observat ie 6. 1. Pentru orice a2
, funct iax!E(a;x)este integra-
bil a ^ n
, de si are o singularitate, i.e. E(a;
)2L1(
).
^In particular, dac a a= 0,
=B1(0) siN= 2 avem
Z
B1(0)E(x) dx=1
2Z
B1(0)ln(x) dx=1
21Z
0ln(s)2sds=1Z
0ln(s) ds;
 si cum
lim
"!01Z
"sln(s)ds=1
4;
deducem c a E2L1(B1(0)).
2. Pentrua62
, expresia din membrul drept se anuleaz a. ^Intr-adev ar,
dac aa62
, atunci funct ia x!E(a;x)nu are singularit at i ^ n niciun
punct din
 si din a doua formul a a lui Green avem c a
Z

[E(a;x)
u(x)u(x)
xE(a;x)] dx
=Z
@

E(a;x)@u
@(x)u(x)@E
@x(a;x)
dx;
 si combin^ and cu faptul c a
xE(a;x) = 0 pentrux6=adeducem c a
membrul drept se anuleaz a dac a a62
.
3. Lu^ andu1^ n expresia din enunt  g asim c a
Z
@
@E
@x(a;x) dx= 1;8a2
:
24

Demonstrat ie. Fier >0 mic astfel ^ nc^ at Br(a)
. Aplic am a doua
formul a a lui Green pe
nBr(a) pentruE(a;
)  si u  si avem
Z

nBr(a)(E
uu
E)dx=Z
@

E@u
@u@E
@
dx
+Z
@Br(a)
E@u
@u@E
@
dx:
Cum
xE(a;x) = 0, pentru orice x2
nBr(a) g asim
Z

E
udxZ
Br(a)E
udx=Z
@

E@u
@u@E
@
dx
+Z
@Br(a)
E@u
@u@E
@
dx:
Putem s a trecem la limit a c^ and r!0 ^ n relat ia de mai sus  si obt inem
Z

E
udxlim
r!0Z
Br(a)E
udx=Z
@

E@u
@u@E
@
dx
+ lim
r!0Z
@Br(a)
E@u
@u@E
@
dx:
Calcul am limitele de mai sus ^ n cazul N3 ( pentruN= 2 se procedeaz a
similar). Astfel, pentru N3 t inem cont c a
E(a;x) =1
!N(2N)
1
jxajN2;8×6=a:
Not^ and
C:=1
!N(N2)max
x2
j
u(x)j;
25

avem succesiv estim arile
Z
Br(a)1
!N(2N)
u(x)
jxajN2dxZ
Br(a)1
!N(N2)j
u(x)j
jxajN2dx
maxx2
j
u(x)j
!N(N2)Z
Br(a)1
jxajn2dx
CZ
Br(0)1
jyjN2dy
CrZ
00
B@Z
@Bs(0)1
sN2dy1
CAds
CrZ
01
sN2!NsN1ds
C!NrZ
0sds
C!Nr2
2!0;dacar!0;
 si
Z
@Br(a)E@u
@dx1
!N(N2)Z
@Br(a)1
jxajN2@u
@dx
1
!N(N2)Z
@Br(a)1
jxajN2jrujdx
1
!N(N2)max
x2
jru(x)jZ
@Br(a)1
jxajN2dx
C1
rN2!NrN1
C!Nr!0;dacar!0:
26

^In continuare, calcul am@E
@x(a;x) =rxE(a;x)
x(x). Pentru aceasta ob-
serv am c a@E
@xi=1
!N
xiai
jxajN;8i=1;N;
 si astfel g asim
rE=1
!N
xa
jxajN:
Pe de alt a parte amintim c a frontiera bilei @Br(a) avem(x) =xa
jxaj. Deci
@E
@=1
!N
xa
jxajN
xa
jxaj
=1
!N
1
jxajN1:
T  in^ and cont de calculele anterioare simple estim ari arat a c a
Z
@Br(a)u(x)
@E
@xdx=1
!NZ
@Br(a)u(x)
1
jxajN1dx
=1
!N
1
rN1Z
@Br(a)u(x) dx!u(a);
dac ar!0 ^ n ultima relat ie de mai sus. Lu^ and ^ n considerare toate calculele
anterioare concluzia teoremei este imediat a. 
27

Capitolul 4
Funct ia Green
Fie
RNdomeniu m arginit  si u2C1(
)\C2(
). Din Teorema 3.1 avem
c a pentru orice x2
are loc formula
u(x) =Z

E(x;y)
u(y) dyZ
@

E(x;y)@u
@y(y)u(y)@E
@y(x;y)
dy:
Dac aurezolv a problema
()(

u(y) =f(y); y2
u(y) ='(y); y2@
;
pentru funct iile f2C(
)  si'2C(@
) date, atunci upoate  exprimat ^ n
termeni de fsi'plus un \ termen necunoscut ". Ne propunem s a elimin am
acest \ termen necunoscut " ajust^ and E.
Pentru orice x2
xat, consider am

(x;y) :=E(x;y) +(x;y);
pentru un anumit (x;
)2C2(
) cu
y(x;y) = 0 ^ n
. Atunci Teorema
3.1 poate  reformulat a, pentru orice x2
, astfel
u(x) =Z

(x;y)
u(y) dyZ
@


(x;y)@u
@y(y)u(y)@

@y(x;y)
dy;
pentru c a(x;
) este armonic a. Aleg^ and corespunz ator, vom  capabili s a
denim conceptul de funct ie Green.
28

Astfel, pentru ecare x2
xat, alegem (x;
)2C2(
)\C1(
) astfel
^ nc^ at (

y(x;y) = 0; y2
(x;y) =E(x;y); y2@
:
Not am
(x;y) rezultat prin G(x;y)  si numim Gfunct ie Green . Dac a un
asemeneaGexist a, atunci solut ia ua problemei (*) poate  exprimat a prin
u(x) =Z

G(x;y)f(y) dy+Z
@
'(y)@G
@y(x;y) dy:
Observ am c a G(x;y) este denit a ca funct ie ^ n y2
pentru ecare x2
xat. Existent a lui Geste o chestiune thenic a pe care nu o vom prezenta ^ n
acest a lucrare dar ^ ndrept am cititorul interesat c atre referint ele [6, 7, 8, 9, 11]
unde existent a lui Geste riguros explicat a.
4.1 Propriet at i ale funct iei Green
Amintim c^ ateva propriet at i ale lui G.
1.Geste unic a. Acest fapt este o consecint  a a principiului de maxim  si
a faptului c a diferent a a dou a funct ii Green este o funct ie armonic a ^ n

care se anuleaz a pe @
.
2. Funct ia Green G(x;y) este simetric a ^ n

, adic a
G(x;y) =G(y;x);8x; y2
; x6=y:
3. Pentrux;y2
cux6=yau loc
0>G(x;y)>E(x;y); N3;
0>G(x;y)>E(x;y)1
2log(diam(
)) ; N = 2, unde diam(
) =
max
x;y2
jxyj.
4. Putem calcula funct ia Green pe bila BR(0). ^In acest caz particular
expresia funct iei Green este dat a de formula
G(x;y) =8
><
>:1
(2N)!N
jxyj2NR
jxjxjxj
Ry2N
; N3
1
2
lnjxyjlnR
jxjxjxj
Ry
; N = 2:
29

5. FieGfunct ia Green pe bila BR(0). Atunci prin calcule se obt ine c a
@G
@y(x;y) =R2jxj2
!NRjxyjN;8x2BR(0);8y2@BR(0):
^In continuare not am
K(x;y) :=R2jxj2
!NRjxyjN;8x2BR(0);8y2@BR(0):
Kse nume ste nucleu Poisson  si are urm atoarele propriet at i
K(x;y) este neted a pentru x6=y;
K(x;y)>0 pentrujxj<R;
R
jyj=RK(x;y) dy= 1;8jxj<R.
Teorema 4.1 (Formula de integrare Poisson) .[7, Theorem 2.6 ,p. 20] Pen-
tru'2C(@BR(0)), funct ia
u(x) =8
<
:R
@BR(0)K(x;y)'(y) dy;jxj<R
'(x);jxj=R;
satisfaceu2C1(BR(0))\C(BR(0))  si
(

u(x) = 0; x2BR(0)
u(x) ='(x); x2@BR(0):
Observat ie 7. ^In formula Poisson, lu^ and x= 0, avem
u(0) =1
!NRN1Z
@BR(0)'(y) dy;
ceea ce reprezint a formula de medie
Teorema 4.2 (Inegalitatea lui Harnack pe bil a) .Fieuarmonic a ^ n BR(x0)
 siu0. Atunci
R
R+rN2

Rr
R+r
u(x0)u(x)R
RrN2

R+r
Rr
u(x0);
under=jxx0j<R.
30

Demonstrat ie. Putem presupune c a x0= 0  siu2C(BR(0)). Din formula
Poisson avem
u(x) =1
!NR
Z
@BR(0)R2jxj2
jyxjN
u(y) dy:
Folosind acest fapt  si t in^ and cont c a RjxjjyxjR+jxjpentru
jyj=Robt inem estim arile
1
!NR
Rjxj
R+jxj
1
R+jxjN2Z
@BR(0)u(y) dyu(x);
 si
u(x)1
!NR
R+jxj
Rjxj
1
RjxjN2Z
@BR(0)u(y) dy:
^In plus, proprietatea de medie implic a
u(0) =1
!NRN1
Z
@BR(0)u(y) dy:
Cu observat iile de mai sus formula din teorem a este imediat a. 
Corolar 4.1 (Teorema lui Liouville) .Dac aueste o funct ie armonic a ^ n RN
m arginit a superior sau inferior, atunci ueste constant a.
Demonstrat ie. Presupunem c a u0 ^ nRN. Fix amx2RN. Aplic am
Teorema 4.2 pentru orice bil a BR(0) cuR>jxj si avem
R
R+jxjN2

Rjxj
R+jxj
u(0)u(x)R
RjxjN2

R+jxj
Rjxj
u(0):
L as amR!1 ^ n estim arile de mai sus  si g asim
u(x) =u(0):
Cumxa fost ales arbitrar rezult a c a u(x) =u(0), pentru orice x2RN. Deci
ueste constant a. 
31

Teorema 4.3 (B^ocher ).Fieuarmonic a ^ n BR(0)nf0g(bila punctat a) astfel
^ nc^ at
lim
jxj!0u(x)
E(x)= 0;
unde
E(x) =(
1
jxjN2; x6= 0; N3
lnjxj; x6= 0; N= 2:
Atunciupoate  denit a ^ n origine astfel ^ nc^ at ueste armonic a ^ n BR(0)
(i.e.,uare o \singularitate ^ ndep artabil a").
Observat ie 8. De fapt, teorema de mai sus are loc ^ ntr-un cadru mai general
 si spune c a dac a ueste o funct ie armonic a ^ n bila punctat a atunci ea poate
 reprezentat a ca o combinat ie liniar a dintre solut ia fundamental a a ecuat iei
lui Laplace  si o funct ie armonic a ^ n ^ ntreaga bil a. Rezultatul ^  si are originea
^ n lucrarea lui B^ ocher [2] din 1903.
Demonstrat ie. Presupunem c a ueste continu a ^ n 0 <jxjR. Fiev
solut ia problemei(

v(x) = 0; x2BR(0)
v(x) =u(x); x2@BR(0):
Vom ar ata c a v=u^ nBR(0).
Fiew=vu^ nBR(0)nf0g. Pentru ecare r2(0;R] not am
Mr:= max
@Br(0)jwj= max
jxj=rjw(x)j:
Presupunem c a N3. Este evident c a
jw(x)jMrrN2
jxjN2;8×2@Br(0);8r2(0;R]:
Apoiw si1
jxjN2sunt armonice ^ n BR(0)nBr(0):Principiul de maxim implic a
faptul c a
jw(x)jMrrN2
jxjN2;8x2BR(0)nBr(0):
Pe de alt a parte
Mr= max
@Br(0)jvujmax
@Br(0)jvj+ max
@Br(0)jujM+ max
@Br(0)juj;
32

undeM= max
@BR(0)jvj= max
@BR(0)juj.
Deci, pentru orice x6= 0, xat avem
jw(x)jrN2
jxjN2M+rN2
jxjN2max
@Br(0)juj;8r2(0;jxj):
Trecem la limit a c^ and r!0, t in^ and cont c a
(4.1) lim
r!0rN2max
@Br(0)juj= 0;
 si g asim
w(x) = 0:
De fapt, cum xeste arbitrar avem c a w0 ^ nBR(0)nf0g. Cumveste
continu a  si
u(x) =v(x);8×6= 0
 si
lim
x!0v(x) =v(0);
putem deni u(0) =v(0) astfel ^ nc^ at uv^ nBR(0).
^In nal justic am relat ia (4.1). S tim din ipotez a c a
lim
x!0u(x)
1
jxjN2= 0:
Deci avem lim x!0ju(x)j
jxjN2= 0. Acest fapt implic a c a pentru orice ">0
exist s=(")>0 a.^ .
ju(x)j
jxjN2<";8jxj<:
Astfel, pentru ecare r2(0;) avem
ju(x)jrN2<";8jxj=r:
Deducem c a pentru orice r2(0;) are loc estimarea
rN2max
jxj=rju(x)j<":
Deci
lim
r!0rN2max
@Br(0)juj= 0;
 si astfel relat ia (4.1) este adev arat a. 
33

Capitolul 5
Principii de maxim
^In acest capitol vom folosi principiul de maxim pentru funct ii sub-armonice,
pentru a deduce estim ari ale gradientului ^ n interiorul domeniului  si inegali-
tatea lui Harnack.
Observat ie 9. Fie
2RNun domeniu deschis  si m arginit  si u2C2(
).
Dac a exist a un punct interior z12
a sa ^ nc^ at
u(z1) = sup
x2
u(x):
atunci 8
><
>:@u
@xi(z1) = 0
@2u
@x2
i(z1)0;8i=1;N:
Dac a exist a un punct interior z22
a sa ^ nc^ at
u(z2) = inf
x2
u(x):
atunci 8
><
>:@u
@xi(z2) = 0
@2u
@x2
i(z2)0;8i=1;N:
34

Teorema 5.1 (Principiul de maxim pentru funct ii subarmonice) .Fieu2
C2(B1(0))\C(B1(0)) funct ie subarmonic a pe B1(0), i.e.

u(x)0;8x2B1(0):
Atunci are loc
sup
B1(0)usup
@B1(0)u:
Demonstrat ie. Pentru ecare ">0 denimu":B1(0)!Rastfel ^ nc^ at
u"(x) :=u(x) +"jxj2;8x2B1(0):
Calcule elementare conduc la estim arile de mai jos
(5.1)
u"(x) =
u(x) +"
(jxj2)
=
u(x) + 2"N > 0;8x2B1(0):
Dac a ar exista un punct interior z12B1(0) a.^ .u"(z1) = sup
x2B1(0)u"(x) atunci
am avea@u"
@xi(z1) = 0;
 si
@2u"
@x2
i(z1)0;8i=1;N;
ceea ce induceru"(z1) =~0  si
u"(z1)0 ceea ce contrazice relat ia (5.1).
Deci
(5.2) sup
B1(0)u"sup
@B1(0)u":
^In plus este clar c a
u(x)u"(x) =u(x) +"jxj2;8">0;8x2B1(0);
ceea ce conduce la
u(x)sup
B1(0)u";8x2B1(0):
Din cele de mai sus  si relat ia (5.2) rezult a faptul c a
u(x)sup
B1(0)u"sup
@B1(0)u";8">0;8x2B1(0):
35

Astfel, am g asit c a
sup
B1(0)usup
@B1(0)u+";8">0:
L as am"&0  si concluzion a c a
sup
B1(0)usup
@B1(0)u:
Demonstrat ia Teoremei 5.1 este complet a. 
Observat ie 10. Concluzia Teoremei 5.1 r am^ ane adev arat a  si dac a lucr am
pe domenii m arginite ^ n locul B1(0):
Rezultatul urm ator d a o estimare a gradientului unei funct ii armonice ^ n
interiorul domeniului ^ n care este denit a funct ia. Metoda din demonstrat ie
^ i apart ine lui Bernstein (1910).
Propozit ie 5.1. Fieuarmonic a ^ n B1(0). Atunci are loc
sup
x2B1=2(0)jru(x)jC1
sup
x2@B1(0)ju(x)j;
undeC1=C1(N)este o constant a pozitiv a. ^In plus, pentru orice 2[0;1]
are loc
ju(x)u(y)jC2jxyj
sup
z2@B1(0)ju(z)j;8x; y2B1
2(0);
undeC2=C2(N)este o constant a pozitiv a.
Demonstrat ie. Un calcul direct arat a c a

(jruj2) =
NX
j=1@u
@xj2!
=NX
i=1@2
@x2
i NX
j=1@u
@xj2!
=NX
i=1@
@xi NX
j=1@
@xi@u
@xj2!
=NX
i=1@
@xi NX
j=12@u
@xj@2u
@xi@xj!
= 2NX
i=1NX
j=1@
@xi@u
@xj@2u
@xi@xj
= 2NX
i=1NX
j=1 @2u
@xi@xj2
+@u
@xj@3u
@x2
i@xj!
= 2NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
+2NX
j=1@u
@xj@u
@xj NX
i=1@2u
@x2
i!
= 2NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
:
36

Deci

(jruj2) = 2NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
0;
 si astfeljruj2este o funct ie subarmonic a ^ n B1(0):Pentru a obt ine estimarea
interioar a avem nevoie de o \ cut-o function ".
Pentru orice '2C1
0(B1(0)) avem

('jruj2) =
'jruj2+ 4NX
i;j=1@'
@xi
@u
@xj
@2u
@xi@xj
+ 2'NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
:
Lu^ and'=2pentru2C1
0(B1(0)) astfel ^ nc^ at (x) = 1, pentru orice
x2B1
2(0)avem

(2jruj2) = 2
jruj2+ 2jrj2jruj2+ 8NX
i;j=1@
@xi
@u
@xj
@2u
@xi@xj
+
+22NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
(2
6jrj2)
jruj2Cjruj2;
undeCeste o constant a pozitiv a ce depinde doar de (mai exact, Ceste
maximul pe B1(0) al funct iei2
6jrj2).
Pentru a justica inegalitatea e sucient s a ar at am c a
8jruj2jrj2+ 8NX
i;j=1@
@xi
@u
@xj
@2u
@xi@xj
+ 22NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
0:
Aceast a ultim a inegalitate se justic a u sor dac a observ am c a este echivalent a
cu
NX
i;j=1
2@
@xi
@u
@xj2
+NX
i;j=12
2@
@xi
@u
@xj@2u
@xi@xj+NX
i;j=1@2u
@xi@xj2
=
=NX
i;j=1
2@
@xi
@u
@xj+@2u
@xi@xj2
0:
37

^In continuare observ am c a

(u2) = 2jruj2+ 2u
u= 2jruj2;
 si deci

(2jruj2)Cjruj2=C
2
(u2):
Astfel, pentru orice >0 sucient de mare avem

(2jruj2+u2)0:
Din Teorema 5.1 rezult a
sup
B1(0)(2jruj2+u2)sup
@B1(0)(2jruj2+u2)
Din cele de mai sus  si faptul c a = 1 ^ nB1=2(0)  si= 0 pe@B1(0) deducem
sup
B1
2(0)jruj2sup
B1
2(0)(2jruj2+u2)
sup
B1(0)(2jruj2+u2)
sup
@B1(0)(2jruj2+u2)
sup
@B1(0)u2:
In nal, punct am c a
ju(x)u(y)jjxyj
sup
B1
2(0)jruj;8x; y2B1
2(0);
de unde
ju(x)u(y)jjxyj
C
sup
@B1(0)juj:
Cum
jxyjjxyj;82[0;1];
ultima relat ie implic a
ju(x)u(y)jC
jxyj
sup
@B1(0)juj:
Demonstrat ia Propozit iei 5.1 este complet a. 
38

Urm atorul rezultat ajut a la deducerea inegalit at ii lui Harnack.
Lema 5.1. Fie u o funct ie armonic a  si nenegativ a ^ n B1(0). Atunci are loc:
sup
B1
2(0)jr(logu)jC;
undeC=C(N)este o constant a pozitiv a.
Demonstrat ie. Putem presupune f ar a a mic sora generalitatea c a u(x)>
0, pentru orice x2B1(0). Fiev:= logu. Un calcul direct arat a c a

v=jrvj2:
Dorim o estimare interioar a a lui rv. Fiew:=jrvj2. Avem

w+ 2NX
i=1@v
@xi
@w
@xi= 2NX
i=1@2v
@xi@xj2
:
Ca ^ n demonstrat ia anterioar a avem nevoie de o \ cut-o function ". Pentru
^ nceput observ am c a
(5.3)NX
i;j=1@2v
@xi@xj2
NX
i=1@2v
@x2
i2
1
N(
v)2jrvj4
N=w2
N:
Lu am o funct ie nenegativ a '2C1
0(B1(0)). Prin calcul direct deducem c a

('w) + 2NX
i=1@v
@xi
@('w)
@xi= 2'NX
i;j=1@2v
@xi@xj2
+ 4NX
i;j=1@'
@xi@v
@xj@2v
@xi@xj
+2wNX
i=1@'
@xi@v
@xi+ (
')w
'NX
i;j=1@2v
@xi@xj2
2jr'jjrvj3

j
'j+Cjr'j2
'

jrvj2;
dac a'este ales a sa ^ nc^ atjr'j2
's a e m arginit ^ n B1(0).
39

Alegem's a e'=4pentru un2C1
0(B1(0)). Pentru un asemenea 
xat din relat ia (5.3) obt inem

(4w) + 2NX
i=1@v
@xi
@(4w)
@xi4
Njrvj4C3jrj
jrvj3
42(
+Cjrj2)jrvj2
4
Njrvj4C3jrvj3C2jrvj2;
unde C este o constant a pozitiv a ce depinde doar de Nsi. Deci pentru o
constant a pozitiv a ce depinde doar de Nsiavem
(5.4)
( 4w) + 2NX
i=1@v
@xi
@(4w)
@xi4
Nw2C:
Cumw0 ^ nB1(0)  si0 ^ nB1(0) cu= 0 pe@B1(0) avem c a 4w^  si
atinge maximul ^ n punctul interior x02B1(0). Atunci
8
><
>:@(4w)
@xi(x0) = 0;8i=1;N

(4w)(x0)0:
Deci din relat ia (5.4) avem
4(x0)w2(x0)C(N;)
Dac aw(x0)1 atunci4(x0)w(x0)C(N)  si deci
w(x0)C(N)
4(x0):
Altfelw(x0)<1.^In ambele cazuri se obt ine concluzia lemei. 
Corolar 5.1. Fieuo funct ie armonic a  si nenegativ a ^ n B1(0). Atunci exist a
o constant a pozitiv a Cdepinz^ and doar de Npentru care
u(x1)C u(x2);8×1; x22B1
2(0):
40

Demonstrat ie. Presupunem c a u > 0 ^ nB1(0). Fiex1; x22B1
2(0)
arbitrare dar xate. Denim f: [0;1]!R, prin
f(t) := logu(tx2+ (1t)x1)
Observ am c a f2C1(0;1)  si
f(1)f(0) =1Z
0f0(t)dt:
Astfel, din cele de mai sus  si Lema 5.1 avem
logu(x2)logu(x1) =1Z
0rlog(u(tx2+ (1t)x1)))
(x2x1)dt
1Z
0jrlog(u(tx2+ (1t)x1)))j
jx2x1jdt
 jx2x1j1Z
0C(N)dt
C(N);
 si deci
logu(x2)
u(x1)C;
ceea ce conduce la concluzia corolarului. 
Propozit ie 5.2 (Principiul de maxim al lui Hopf) .[6, p. 330], [7, Lemma
3.4] Fieu2C(B1(0)) astfel ^ nc^ at

u(x) = 0;8x2B1(0):
Dac ax02@B1(0)astfel ^ nc^ at
u(x)<u(x0);8x2B1(0)nfx0g;
atunci@u
@(x0)C(u(x0)u(0));
undeCeste o constant a pozitiv a ce depinde doar de N.
41

Demonstrat ie. Fiev:B1(0)!R,
v(x) =ejxj2e:
Este evident c a v(x)>0, pentru orice x2B1(0):Un calcul simplu arat a c a

v(x) =ejxj2(2N+ 42jxj2)>0;8jxj1
2;
dac a2N+ 1. Deci pentru un asemenea xat, funct ia v este subarmo-
nic a ^ n domeniul A=B1(0)nB1
2(0):Pentru">0 denim
h"(x) :=u(x)u(x0) +"v(x):
Calcule elementare arat a c a

h"(x) =
u(x) +"
v(x)
="
v(x)0;8x2A:
Este evident  si faptul c a
h"(x)0;8×2@B1(0);
 si ^ n plus
h"(x0) = 0:
Cumu(x)<u(x0), pentru orice xcujxj=1
2, putem alege ">0 sucient de
mic astfel ^ nc^ at
h"(x)<0;8×2@B 1
2(0):
Atunci, din Teorema 5.1, funct ia subarmonic a h"^  si atinge maximul ^ n A ^ n
punctulx0. Acest fapt implic a
@h"
@(x0) = lim
t%0h"(x0+t)h"(x0)
t0
Dar@h"
@(x0) =@u
@(x0) +"@v
@(x0);
 si deci
@u
@(x0)@u
@(x0) = 2e>0:
42

Deci@u
@(x0)>0.
Not am c a p^ ana ^ n acest moment am folosit doar faptul c a u este subar-
monic a. Vom estima ". Fie
w(x) :=u(x0)u(x)>0;inB1(0):
Este clar c a

w(x) = 0;8x2B1(0):
Din Corolarul 5.1 (inegalitatea lui Harnack) avem
inf
B1
2(0)wC(N)
w(0);
sau
u(x0)sup
B1
2(0)uC(N)
(u(x0)u(0));
de unde
max
B1
2(0)uu(x0)C(N)(u(x0)u(0)):
Deci putem lua "=
C(N)(u(x0)u(0)) cusucient de mic, depinz^ and
doar deN.
Observat ie 11. Ultima parte din demonstrat ia de mai sus are scopul de a
ar ata c a lu^ and "=
C(N)(u(x0)u(0)) cusucient de mic avem
h"(x)<0;8jxj=1
2:
43

Capitolul 6
Metode Energetice
Fie u:B1(0)!Rfunct ie armonic a, i.e

u(x) = 0;8x2B1(0):
^Inmult im ecuat ia de mai sus cu '2C1
0(B1(0))  si integr am pe B1(0):Obt inem
astfel Z
B1(0)'
u(x) dx= 0:
Aplic am formula lui Green  si obt inem
Z
@B1(0)@u
@(x)'(x) d(x)Z
B1(0)ru(x)
r'(x) dx= 0:
Cum'are suport compact rezult a c a '= 0 pe@B1(0). Deci
Z
B1(0)ru(x)
r'(x) dx= 0:
Avem astfel urm atorul rezultat,
Lema 6.1. Dac au:B1(0)!Reste armonic a atunci
Z
B1(0)ru
r'dx= 0;8'2C1
0(B1(0)):
44

Observat ie 12. EvidentB1(0)poate  inlocuit a cu orice domeniu m arginit
dinRN.
Lema 6.2 (Inegalitatea Cacciopolli) .Dac au2C1(B1(0)) satisface
Z
B1(0)ru(x)
r'(x) dx= 0;8'2C1
0(B1(0));
atunciZ
B1(0)2jruj24Z
B1(0)jrj2u2dx;82C1
0(B1(0)):
Demonstrat ie. Cum u2C1(B1(0)), x^ and 2C1
0(B1(0)) funct ia ':=
2u2C1
0(B1(0))  si
r'=2ru+ 2ur:
Din relat ia din enunt  avem
Z
B1(0)2jruj2dx+ 2Z
B1(0)urrudx= 0:
Simple estim ari ^ mpreun a cu inegalitatea lui H older implic a
Z
B1(0)2jruj2dx=2Z
B1(0)urrudx
2Z
B1(0)jjjujjrujjrjdx
20
B@Z
B1(0)2jruj2dx1
CA1=2

0
B@Z
B1(0)u2jrj2dx1
CA1=2
4Z
B1(0)u2jrj2dx;
 si concluzia inegalit at ii Caccioppoli este clar a. 
45

Corolar 6.1. Fieufunct ie armonic a ^ n B1(0)atunci pentru orice 0r <
R1avem
Z
Br(0)jru(x)j2dxC
(Rr)2Z
BR(0)u2(x) dx;
undeCeste o constant a pozitiv a.
Demonstrat ie. Aplic am Lema 6.2, lu^ and ca funct ie test a sa ^ nc^ at
(x) =(
1; x2Br(0)
0; x2B1(0)nBR(0);
 si
jr(x)j2
Rr;8x2B1(0):
S tim c a Z
B1(0)2jruj2dx4Z
B1(0)u2jrj2dx:
Din felul cum a fost aleas a deducem c a
Z
Br(0)jruj2dx=Z
Br(0)2jruj2dx16
(Rr)2Z
BR(0)u2(x)dx:
Demonstrat ia corolarului este complet a. 
Rezultatul anterior este extrem de interesant deoarece poate  privit ca o
formulare invers a a inegalit at i Poincar e .^In acest sens ^ ncheiem acest capitol
amintind formularea clasic a a inegalit at ii Poincar e.
Teorema 6.1 (Inegalitatea Poincar e) .Pentru orice funct ie u2C1
0(
),
exist aC > 0;C=C(N;
)astfel ^ nc^ at
Z

u2dxCZ

jruj2dx:
Pentru mai multe detalii se poate consulta Brezis [3, Proposition 8.13 &
Corollary 9.19].
46

Capitolul 7
Lema de aproximare a
funct iilor armonice a lui De
Giorgi
^In acest capitol prezent am un rezultat clasic de aproximare a funct iilor armo-
nice obt inut pentru prima dat a de De Giorgi [4] ^ n demonstrarea regularit at ii
suprafet elor minimale  si cont inut ^ n formularea de mai jos ^ n lucrarile lui Si-
mon [12]  si Duzaar & Mingione [5].
Teorema 7.1. FieB1(0)bila unitate din RN. Pentru ecare ">0exist a o
constant a pozitiv a 2[0;1], depinz^ and doar de N  si "astfel ^ nc^ at urm atoarea
armat ie este adev arat a:
Pentru orice u2H1(B1(0)) satisf ac^ and
(7.1)Z
B1(0)jruj2dx1
 si "aproximativ armonic a" ^ n sensul c a
(7.2)Z
B1(0)rur'dxsup
B1(0)jr'j;8'2C1
0(B1(0));
exist a o aplicat ie armonic a h2H1(B1(0)), ^ n sensul c a
Z

rhr'dx= 0;8'2C1
0(B1(0));
47

a sa ^ nc^ at
(7.3)Z
B1(0)jrhj2dx1
 si
(7.4)Z
B1(0)jhuj2dx"2:
Demonstrat ie. Vom demonstra acast a teorem a prin metoda reducerii la
absurd. Presupunem prin absurd c a rezultatul teoremei nu este adev arat.
Atunci exist a ">0  si un  sirfukgastfel ^ nc^ at uk2H1(B1(0)),
(7.5)Z
B1(0)jrukj21
 si
(7.6)Z
B1(0)rukr'dx1
ksup
B1(0)jr'j;8'2C1
0(B1(0))
 si
(7.7)Z
B1(0)jhukj2dx>"2;
pentru orice funct ie armonic a h ce satisface (7.3) .
Cum toate armat iile de mai sus implic a doar prezent a gradientului lui uk si
cum dac a se adun a o constant a unei funct ii armonice obt inem tot o funct ie
armonic a, putem presupune c a
(7.8)Z
B1(0)ukdx= 0;8k2N:
Folosind (7.5), (7.8)  si inegalitatea Poincar e-Wirtinger (a se vedea Brezis [3,
p. 312] ), deducem c a  sirul fukgeste m arginit ^ n spat iul Banach re
exiv
48

H1(
)  si deci conform Brezis [3, Theorem 3.18] deducem c a exist a un sub sir,
notat totuk siu2H1(B1(0)) astfel ^ nc^ at ukconverge slab la u ^ n H1(B1(0)).
^In plus, din teorema de scufundare compacta RellichKondrachov (a se
vedea Brezis [3, Theorem 9.16] ) avem c a ukconverge tare la u ^ n L2(B1(0)).
Din inferior semicontinuitatea slab a  si relat ia (7.5) deducem (via Brezis [3,
Proposition 3.5 (iii)] c a
(7.9)Z
B1(0)jruj2dxlim inf
k!1Z
B1(0)jrukj2dx1
L as^ andk!1 ^ n (7.6)  si folosind din nou convergent a slab a ruk*ru^ n
(L2(B1(0)))Ndeducem c a:
Z
B1(0)rur'dx= 0;8'2C1
0(B1(0)):
Aceasta ^ nseamn a c a u este slab armonic a ^ n B1(0)  si astfel armonic a ^ n sens
clasic. Ca o consecint  a din relat ia (7.9) putem lua u=h^ n (7.7)  si (7.3)  si
obt inem Z
B1(0)juukj2dx>"2;
ceea ce contrazice faptul c a uk!u^ nL2(B1(0)).
49

Bibliograe
[1] S. Axler, P. Bourdon, & W. Ramey: Harmonic function theory . Second
edition. Graduate Texts in Mathematics, 137. Springer-Verlag, New
York, 2001.
[2] M. B^ ocher: Singular points of functions which satisfy partial dierential
equations of elliptic type, Bull. Amer. Math. Soc. 9(1903), 455465.
[3] H. Brezis: Functional analysis: Sobolev spaces and partial dierential
equations . Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp.
[4] E. De Giorgi: Frontiere orientate di misura minima . Seminario di Ma-
tematica della Scuola Normale Superiore di Pisa, 1960-1961.
[5] F. Duzaar & G. Mingione: Harmonic type approximation lemmas, J.
Math. Anal. Appl. 352(2009), 301-335.
[6] L. C. Evans: Partial dierential equations . Second edition. Graduate
Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Provi-
dence, RI, 2010. xxii+749 pp.
[7] D. Gilbarg & N. S. Trudinger: Elliptic partial dierential equations
of second order . Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics.
Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[8] Q. Han & F. Lin: Elliptic partial dierential equations . Second edi-
tion. Courant Lecture Notes in Mathematics, 1. Courant Institute of
Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society,
Providence, RI, 2011. x+147 pp.
[9] R. Precup: Lect ii de ecuat ii cu derivate part iale . Presa Universitar a
Clujan a, Cluj-Napoca, 2004.
50

[10] S. R adulescu & M. R adulescu: Teoreme  si probleme de analiz a mate-
matic a , Ed. Didactic a  si pedagogic a, Bucure sti, 1982.
[11] V. R adulescu: Ecuat ii cu derivate part iale . Reprograa Universit at ii
din Craiova, Craiova, 1999.
[12] L. Simon: Lectures on Regularity and Singularities of Harmonic Maps .
Birkh auser, Basel, 1996.
51