Lucrare de Licent a [605848]

Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" Din Ias i
Facultatea de Matematic a
CONTINUITATE ^IN SPAT II METRICE
Lucrare de Licent  a
Coordonator  stiint ic:
Conf. dr. Anca CroitoruCandidat: [anonimizat], 2017
Ia si

Prefat  a
Funct iile continue reprezint a un domeniu de baz a ^ n analiza matematic a. Acestea au
aplicat ii nu doar ^ n teorie, ci  si ^ n practic a – ^ n zic a, chimie, economie sau biologie.
Funct iile erau cunoscute cu mult timp ^ nainte de Hristos sub forma unor corespondent e
^ ntre diferite m arimi, ap arute ca ni ste tabele ([1], [7]). ^In timpul lui Ren e Descartes (1596-
1650)  si Pierre de Fermat (1601-1665), s-au considerat funct ii algebrice denite prin poli-
noame, funct ii trigonometrice  si inversele lor, funct ia logaritmic a  si funct ia exponent ial a.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) a introdus termenul de funct ie ^ n 1694. ^In 1714,
Johann Bernoulli (1667-1748) a introdus notat ia fxcare,^ n 1734, va  transformat a^ n f(x) de
c atre Leonhard Euler (1707-1783)  si Alexis-Claude Clairaut (1713-1765). Denit ia obi snuit a
a unei funct ii denit a pe mult imi reale, cu valori ^ n R, folosit a  si ^ n zilele noastre, a fost dat a
^ n 1873 de c atre Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). De si au fost intuite
cu mult timp ^ nainte, not iunile de limit a  si continuitate au fost denite riguros ^ n secolul al
XIX-lea. Conceptele de limit a a unei funct ii ^ ntr-un punct  si cel de funct ie continu a ^ n Rau
fost denite ^ n 1812 de c atre Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Contribut ii importante
la studiul acestor not iuni au mai avut  si Sylvestre Fran cois Lacroix (1765-1843)  si Bernard
Bolzano (1781-1848).
Aceast a lucrare, intitulat a " Continuitate ^ n spat ii metrice ", cont ine un num ar de 30 de
pagini  si este structurat a ^ n dou a capitole. Primul capitol are rolul de a aminti sau de a aduce
la cuno stint  a cititorului not iunile necesare ^ nt elegerii lucr arii. Acest capitol introductiv este
^ mp art it, la r^ andul s au, ^ n dou a subcapitole, Not iuni preliminare  siLimite de funct ii . Al doi-
lea capitol cuprinde 7 subcapitole ce reprezint a nucleul acestei lucr ari. Not iunile teoretice,
c^ at  si rezultate  si exemple aferente acestora sunt prezentate ^ n primele 6 subcapitole, mai
exact ^ n Funct ii continue ^ ntr-un punct, Funct ii continue pe o mult ime, Homeomorsme  si
izometrii, Compararea topologiilor, Operatori liniari  si continui ,  siFunct ii uniform continue .
Iar ultimul subcapitol, Aplicat ii la funct ii continue , prezint a c^ ateva aplicat ii cu scopul de a
xa not iunile prezentate.
Doresc s a-i mult umesc doamnei Conf. Dr. Anca Croitoru pentru sprijinul acordat ^ n
vederea realiz arii acestei lucr ari, pentru r abdarea de care a dat dovad a ca  si coordonator  si
pentru atent ia  si timpul atribuite corect arii.
1

Cuprins
Prefat  a 1
1 Not iuni preliminare 3
1.1 Spat ii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 hhcgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Limite de funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Continuitate ^ n spat ii metrice 8
2.1 Funct ii continue ^ ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Funct ii continue pe o mult ime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Homeomorsme  si izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Compararea topologiilor metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Operatori liniari  si continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Funct ii uniform continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Aplicat ii la funct ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Bibliograe 30
2

Capitolul 1
Not iuni preliminare
Primul capitol este unul introductiv, mai exact unul ^ n care sunt prezentate not iuni ce vor
folosite pe parcursul acestei lucr ari. Capitolul este structurat ^ n dou a subcapitole, ^ n primul
se reamintesc termeni, precum: metric a, spat iu metric, norm a, spat iu normat, sfer a deschis a,
vecin atate, topologie, mult ime deschis a  si mult ime ^ nchis a, iar ^ n cel de-al doilea se trateaz a
at^ at limitele de funct ii, c^ at  si conceptele ce intervin ^ n denirea acestora. Totodat a sunt
prezentate propriet at i  si exemple aferente acestor not iuni.
Toate ideile din acest capitol sunt preluate din [2]  si [4].
1.1 Spat ii metrice
1.1.1 hhcgx
Denit ia 1.1.1. FieXo mult ime nevid a.
I. O aplicat ie d:XX!R+se nume ste metric a saudistant  a peXdac a satisface
urm atoarele condit ii:
(M1)d(x;y)0;8x;y2X;d(x;y) = 0,x=y(pozitivitatea distant ei);
(M2)d(x;y) =d(y;x),8x;y2X(simetria distant ei);
(M3)d(x;z)d(x;y) +d(y;z),8x;y;z2X(inegalitatea triunghiular a).
II. Perechea ( X;d) se nume ste spat iu metric .
Observat ia 1.1.2. Pe o aceea si mult ime se pot deni mai multe distant e. ^In raport cu
ecare, mult imea devine un alt spat iu metric, cu propriet at i distincte.
Propozit ia 1.1.3. ^Intr-un spat iu metric (X;d)au loc:
(i)d(x1;xn)d(x1;x2) +d(x2;x3) +:::+d(xn1;xn);8×1;x2;:::;xn2X;
(ii)jd(x;z)d(y;z)jd(x;y);8x;y;z2X;
(iii)jd(x;y)d(x0;y0)jd(x;x0) +d(y;y0);8x;y;x0;y02X.
Exemplul 1.1.4.
1. PeX=Rp;p2N, denimd(x;y) =p
(x1y1)2+ (x2y2)2+:::+ (xpyp)2;
8x;y2Rp;x= (x1;x2;:::;xp);y= (y1;y2;:::;yp). Atuncideste o metric a pe Rp,
numit a metrica euclidian a .
2. FieAo mult ime nevid a  si M(A) =ff:A!R;fm arginit a pe Ag. Atunci funct ia
d:M(A)M (A)!R+denit a prin d(f;g) = sup
x2Ajf(x)g(x)j;8f;g2M (A), este o
metric a peM(A), numit a metrica Ceb^  sev (saumetrica convergent ei uniforme ).
3

Capitolul 1. Not iuni preliminare 4
3. FieXo mult ime nevid a. Consider am funct ia d:XX!R+denit a prin
d(x) =(
1;x6=y
0;x=y. Atuncideste o metric a pe Xnumit a metrica discret a . Spat iul
X, ^ nzestrat cu aceast a metric a, se nume ste spat iu metric discret .
Denit ia 1.1.5.
I. O funct iek
k :X!R+se nume ste norm a pe spat iul vectorial Xdac a satisface
urm atoarele condit ii:
(N1)kxk0;8x2X sikxk= 0,x=, undeeste originea spat iului vectorial X
(pozitivitatea normei);
(N2)kxk=jj
kxk;82R si8x2X(omogenitatea normei);
(N3)kx+ykkxk+kyk,8x;y2X(inegalitatea triunghiular a).
II. Perechea ( X;k
k) se nume ste spat iu normat .
Teorema 1.1.6. Orice spat iu normat (X;k
k)este spat iu metric ^ n raport cu distant a
d(x;y) =kxyk,8x;y2X(numit a distant a indus a de norm a ).^In plus, are loc
kxk=d(x;);8x2X.
Observat ia 1.1.7. Reciproca teoremei precedente nu este adev arat a, adic a exist a metrici
care nu provin dintr-o norm a. De exemplu, e X=Rp(p2N);d(x;y) =pP
i=11
2i
jxiyij
1+jxiyij,
8x;y2Rp; x= (x1;x2;:::;xp);y= (y1;y1;:::;yp). Atuncideste o metric a pe Rp, care nu
provine dintr-o norm a.
Denit ia 1.1.8. Fie (X;d) un spat iu metric, x0un punct arbitrar din X sirun num ar real
pozitiv. Numim sfer a (saubil a)deschis a de centrux0 si de raz armult imea
S(x0;r) =fx2X;d(x0;x)<rg.
Exemplul 1.1.9. Dac ad(x;y) =jxyj, pentru8x;y2R, atunci
S(x0;r) =fx2R;jxx0j< rg= (x0r;x0+r), adic a sfera deschis a de centru x0 si de
raz areste intervalul deschis, centrat ^ n x0;(x0r;x0+r).
Denit ia 1.1.10. Fie spat iul metric ( X;d)  six0un punct arbitrar din X. O submult ime Va
spat iuluiXse nume ste vecin atate a punctului x0dac a exist a o sfer a deschis a centrat a ^ n x0,
cont inut a ^ n V, adic a dac a exist a r >0 astfel ^ nc^ at S(x0;r)V. Convenim s a not am prin
V(x0) mult imea tuturor vecin at at ilor punctului x0. Aceast a mult ime se va numi sistemul
vecin at at ilor punctului x0.
Exemplul 1.1.11. FieX=R sid(x;y) =jxyj, pentru8x;y2R. Mult imea
A= (0;2][f10geste vecin atate pentru x0=3
2, dar nu este vecin atate pentru punctele 2 sau
10.
Denit ia 1.1.12. O submult ime Da spat iului metric ( X;d) se nume ste mult ime deschis a
e dac aD=;, e dac aDeste vecin atate pentru orice punct al s au, adic a pentru 8x2D,
9r>0 astfel ^ nc^ at S(x;r)D. Familia tuturor mult imilor deschise se noteaz a prin d si se
nume ste topologia indus a de metrica d(sautopologia metric a ).
Exemplul 1.1.13.
1. Orice sfer a deschis a S(x0;r) este mult ime deschis a, ceea ce justic a  si termenul de
sfer a deschis a. ^Intr-adev ar, S(x0;r) este vecin atate pentru ecare din punctele sale.
^In particular, dac a spat iul X=Reste ^ nzestrat cu metrica euclidian a, atunci orice
interval de forma ( x";x+"), cu">0, este mult ime deschis a.

Capitolul 1. Not iuni preliminare 5
2. Dac a spat iul X=Reste ^ nzestrat cu metrica euclidian a, atunci orice interval de forma
(a;b), (a;+1) sau (1;b), cua;b2R, este mult ime deschis a.
3. Mult imeafx2R; 1<x2gnu este deschis a, ^ ntruc^ at (1 ;2] nu este vecin atate pentru
2 (nicio sfer a cu centrul ^ n 2 nu este cont inut a ^ n (1 ;2]).
Denit ia 1.1.14. O submult ime Fa spat iului metric ( X;d) se nume ste ^ nchis a dac a
cF=XnFeste deschis a.
Exemplul 1.1.15.
1. Dac a (X;d) este un spat iu metric discret, orice submult ime a sa este deschis a. Cum
orice mult ime AXpoate  scris a A=c(cA)  si cumcAX, rezult a c a Aeste
mult ime ^ nchis a. Prin urmare, ^ ntr-un spat iu metric discret orice submult ime a sa este
simultan deschis a  si ^ nchis a.
2. Orice sfer a ^ nchis a dintr-un spat iu metric ( X;d) este mult ime ^ nchis a, ceea ce justic a
termenul utilizat. ^Intr-adev ar, e T(x0;r) =fx2X;d(x;x0)rg si e8y2cT(x0;r).
Dac a lu am 0 < r0< d(x0;x)r, atunci se vede cu u surint  a c a S(y;r0)cT(x0;r),
adic acT(x0;r) este vecin atate a punctului arbitrar y.
Denit ia 1.1.16. FieAo submult ime nevid a a spat iului metric ( X;d). Numim diametru
al mult imii A, notat(A), elementul din R+denit prin (A) = supfd(x;y);x2A; y2Ag.
Denit ia 1.1.17. FieAo submult ime nevid a a spat iului metric ( X;d).
I. Spunem c a Aestem arginit a dac a(A)<1.
II. Spunem c a Aestenem arginit a dac a(A) = +1.
Exemplul 1.1.18. Dac aX=Rcu metrica euclidian a, atunci orice interval de forma
(a;b);(a;b];[a;b) sau [a;b], cua;b2R, este mult ime m arginit a.
Denit ia 1.1.19. S irul (xn)n(X;d) se nume ste  sir convergent (^ n X) dac a9a2Xcu
proprietatea c a8V2V(a);9nV2Nastfel ^ nc^ at8nnV;xn2V.ase nume ste limita
 sirului (xn)n.
Denit ia 1.1.20. Un  sir (xn)n(X;d) se nume ste  sir Cauchy (sau sir fundamental )
dac a8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at8n;mn";d(xn;xm)<".
Denit ia 1.1.21. Un spat iu metric ^ n care orice  sir Cauchy este convergent se nume ste
complet .
Denit ia 1.1.22. Un spat iu liniar normat, complet ^ n raport cu metrica indus a de norm a,
se nume ste spat iu Banach .
Denit ia 1.1.23. Fie X un spat iu oarecare  si A o submult ime a sa. O familie U=fDi;i2Ig
de p art i ale lui Xse nume ste acoperire a mult imii Adac aAS
i2IDi, iar dac aU1U  si
AS
Di2U1Dispunem c aU1este o subacoperire a luiU.
Denit ia 1.1.24. Dac a (X;d) este un spat iu metric  si AX, atunci o acoperire
U=fDi;i2Iga mult imii Ase va numi deschis a dac a elementele lui Usunt mult imi
deschise.
Denit ia 1.1.25.
I. Un spat iu metric ( X;d) se nume ste compact dac a din orice acoperire deschis a a sa se
poate extrage o subacoperire nit a.

Capitolul 1. Not iuni preliminare 6
II. O submult ime Aa spat iului metric ( X;d) se nume ste compact a dac a, privit a ca
subspat iu, este compact.
Teorema 1.1.26. Orice submult ime ARneste compact a dac a  si numai dac a este m arginit a
 si ^ nchis a.
Denit ia 1.1.27. Spunem c a un spat iu metric ( X;d) este secvent ial compact (saucom-
pact prin  siruri ) dac a orice  sir de puncte din Xcont ine un sub sir convergent la un punct
dinX.
Teorema 1.1.28. O mult ime dintr-un spat iu metric este compact a dac a  si numai dac a este
secvent ial compact a.
1.2 Limite de funct ii
Denit ia 1.2.1. Fie (X;d) un spat iu metric.
I. Un punct a2Xse nume ste punct interior muli mii;6=AXdac aAeste vecin atate
a luia. Not am cu A(sau intA) interiorul lui A(adic a mult imea tuturor punctelor
interioare lui A). Prin convent ie, int ;=;.
II. Un punct a2Xse nume ste punct de acumulare pentru mult imea ;6=AXdac a
orice vecin atate a lui aare ^ n comun cu mult imea Acel put in un punct diferit de a.
Not am cuA0mult imea derivat a a lui A(adic a mult imea tuturor punctelor de acumulare
a luiA). Prin convent ie, ;0=;.
III. Fiea2R;;6=AR si not amAs=A\(1;a];Ad=A\[a;1). Punctul ase
nume ste punct de acumulare la st^ anga (respectiv dreapta ) pentruA, dac aaeste
punct de acumulare pentru mult imea As(respectivAd). Vom nota mult imea punctelor
de acumulare la st^ anga (respectiv la dreapta) cu A0
s(respectivA0
d).
IV. Fie;6=AX. Un punct a2AnA0se nume ste punct izolat al luiA.
V. Un punct a2Xse nume ste punct aderent pentru mult imea AXdac a orice
vecin atate a lui aare ^ n comun cu Acel put in un punct. Not am cu Aaderent a lui A
(adic a mult imea tuturor punctelor aderente lui A).
^In continuare, consider am ( X;d 1)  si (Y;d 2) dou a spat ii metrice.
Denit ia 1.2.2. (cu vecin at at i) Fie ; 6=DX;f :D!Y siapunct de acumulare
pentruD. Spunem c a elementul l2Yestelimita funct iei f ^ n punctul a, dac a pentru
oriceV2VY(l), exist a o vecin atate U2VX(a) astfel ^ nc^ at dac a x2U\D;x6=a, are loc
f(x)2V.^In acest caz, vom scrie lim
x!af(x) =l.
Teorema 1.2.3. (Teorema de caracterizare a limitei unei funct ii ^ ntr-un punct )
Fie;6=DX,f:D!Y;l2Y sia2Xpunct de acumulare pentru D. Urm atoarele
armat ii sunt echivalente:
I.lim
x!af(x) =l(denit ia cu vecin at at i);
II. pentru8SY(l;"), cu">0,9SX(a;), cu>0, astfel ^ nc^ at8x2SX(a;)\Dare loc
f(x)2SY(l;")(caracterizarea cu sfere);
III. pentru8" > 0, exist a > 0, astfel ^ nc^ at dac a x2D;x6=a sid1(x;a)<  are loc
d2(f(x);l)<"(caracterizarea ");
IV. pentru orice (xn)Dnfag;xnd1!aimplic af(xn)d2!l(caracterizarea cu  siruri).

Capitolul 1. Not iuni preliminare 7
Observat ia 1.2.4. Denit ia cu  siruri a limitei unei funct ii ^ ntr-un punct o vom folosi pentru
a demonstra c a o funct ie nu are limit a ^ ntr-un punct. Mai exact, este sucient s a se arate c a
exist a dou a  siruri ( xn)  si (x0
n) ^ nDnfag, ambele convergente la a, pentru care  sirul imaginilor
(f(xn))  si (f(x0
n)) s a aib a limite diferite ^ n Y.
Exemplul 1.2.5. Fie funct ia f:Rnf0g!R, denit a prin f(x) = sin1
x. Atuncifnu are
limit a ^ n 0. ^Intr-adev ar, e  sirurile xn=2
(4n+1) six0
n=2
(4n1)care converg la 0. Atunci
f(xn) = sin(4n+1)
2= 1  sif(xn) = sin(4n1)
2=1.^In mod evident, lim
n!1f(xn) = 1  si
lim
n!1f(x0
n) =1, deci funct ia fnu are limit a ^ n 0.
Teorema 1.2.6. Fie;6=DX;f :D!Y;l2Y sia2Xpunct de acumulare pentru D.
Dac afare limital^ n punctula, atunci aceast a limit a este unic a.
Denit ia 1.2.7. Fie (Y;d) un spat iu metric, f:D!Y;;6=DR sia2Run punct de
acumulare la st^ anga (respectiv dreapta) pentru D. Spunem c a elementul l2Yestelimita
la st^ anga (respectiv la dreapta ) a funct iei f^ n punctul adac a pentru orice vecin atate
V2V(l) exist aU2V(a), astfel ^ nc^ at dac a x2U\Ds(respectivx2U\Dd),x6=a, are
locf(x)2V.^In acest caz, vom scrie limx!a
x<af(x) =l(respectiv limx!a
x>af(x) =l).
Vom nota uneori limx!a
x<af(x) =ls si limx!a
x>af(x) =ld.
Teorema 1.2.8. Fief:I!R,IRinterval deschis, a2I sil2R. Atunci exist a
lim
x!af(x) =ldac a  si numai dac a exist a limitele laterale ^ n a  si sunt egale cu l.
Teorema 1.2.9. Fie(X;d 1) si(Y;d 2)spat ii metrice,;6=DX;f :D!Y,
g:D![0;+1) sia2Xpunct de acumulare pentru D. Dac a exist a l2Y siU2V(a)
astfel ^ nc^ at d2(f(x);l)g(x)pentru orice x2U\D;x6=a silim
x!ag(x) = 0 , atunci exist a
lim
x!af(x) =l.
Teorema 1.2.10. FieF:D!Rm(DRn;n2N;m2N), adic aF= (f1;f2;:::;fm),
undefi:D!R;8i2f1;2;:::;mg sia2D0. AtunciFare limital= (l1;l2;:::;lm)^ n
punctuladac a  si numai dac a exist a simultan limitele lim
x!afi(x) =li;8i2f1;2;:::;mg.
Observat ia 1.2.11. Din acest a terorem a rezult a c a studiul limitei funct iilor ce sunt denite
pe un spat iu din Rncu valori ^ ntr-un spat iu din Rmpoate  redus la studiul funct iilor cu
valori reale, adic a de tipul f:D!R, undeDRn.
Teorema 1.2.12. (Principiul substitut iei )
Fie(X;d 1);(Y;d 2);(T;d 3)spat ii metrice, A(X;d 1);B(Y;d 2) si funct iilef:B!(T;d 3)
 sig:A!Bnfy0g. Dac a lim
y!y0f(y) =l silim
x!x0g(x) =y0, atunci
lim
x!x0f(g(x)) = lim
y!y0f(y) =l.
Un caz particular important al teoriei limitei unei funct ii ^ ntr-un punct ^ l constituie cazul
c^ and funct ia ia valori reale. ^In acest caz, apar o serie de propriet at i noi care nu au loc ^ n
cazul general.
Teorema 1.2.13. Fief:D!R, undeD(X;d) si eapunct de acumulare pentru D.
Dac a exist a lim
x!af(x) =l6= 0, atunci exist a o vecin atate Ua punctului aastfel ^ nc^ at fs a ia
valori de acela si semn cu lpentru toate punctele xdin(Unfag)\D.
Teorema 1.2.14. Fief:D!R, undeD(X;d) si ea2D0. Dac a exist a
lim
x!af(x) =l2R, atunci exist a o vecin atate Ua luia siM > 0astfel ^ nc^ at
jf(x)jM;pentru8x2(Unfag)\D:

Capitolul 2
Continuitate ^ n spat ii metrice
Acest capitol cont ine  sapte subcapitole: ^ n primele  sase sunt prezentate cele mai importante
propriet at i ale funct iilor continue denite pe submult imi ale unui spat iu metric ( X;d 1) cu
valori ^ ntr-un spat iu metric ( Y;d 2), iar ^ n cel de-al  saselea sunt prezentate aplicat ii aferente
acestora.
Not iunile teoretice din acest capitol sunt preluate din [4]  si [6], iar aplicat iile din [3]  si [5].
2.1 Funct ii continue ^ ntr-un punct
Consider am ( X;d 1)  si (Y;d 2) dou a spat ii metrice  si vom nota cu SX(x0;r) sfera deschis a ^ n
X, iar cuSY(y0;r) sfera deschis a ^ n Y.
Denit ia 2.1.1. (cu vecin at at i)
Fie funct ia f:D!(Y;d 2) unde;6=DX sia2D. Funct iafse nume ste continu a ^ na
dac a pentru orice V2VY(f(a)), exist aU2VX(a), astfel ^ nc^ at f(U\D)V, adic a pentru
8x2Dcux2U, s a rezulte f(x)2V.
Dac a funct ia fnu este continu a ^ n punctul a2D, atunci spunem c a festediscontinu a ^ n
punctula, iaraestepunct de discontinuitate a funct ieif.
Observat ia 2.1.2.
1. Not iunea de continuitate are sens doar ^ n punctele mult imii de denit ie a funct iei f.
2. Observ am c a not iunea de continuitate are caracter local, depinz^ and numai de valorile
funct iei dintr-o vecin atate a punctului. O funct ie poate , astfel, continu a ^ ntr-un punct
a2D, dar s a nu e continu a ^ ntr-un alt punct "apropiat" de el.
De asemenea, dac a feste continu a ^ n a sigeste o funct ie ce coincide local cu f, atunci
geste continu a ^ n a.
3. Remarc am c a, dac a a2Deste un punct izolat, atunci feste continu a ^ n a.^Intr-adev ar,
aind punct izolat, exist a o vecin atate Ua sa, astfel ^ nc^ at U\D=fag si atunci pentru
8V2V(f(a)) are loc
f(U\D) =f(fag)V;
ceea ce implic a continuitatea lui f^ na.
Teorema 2.1.3. (Caracterizarea cu limit a a continuit at ii ^ ntr-un punct )
Fief:D!(Y;d 2)undeD(X;d 1) sia2D0. Atuncifeste continu a ^ n adac a  si numai
dac a exist a lim
x!af(x) si este egal a cu f(a).
Demonstrat ie. S a presupunem c a feste continu a ^ n a. Atunci pentru orice V2V(f(a))
exist a o vecin atate U2V(a) astfel ^ nc^ at f(U\V)V, de unde rezult a c a are loc  si
f([Unfag]\D)V;
8

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 9
ceea ce spune c a lim
x!af(x) =f(a).
Reciproc , dac a lim
x!af(x) =f(a), atunci pentru orice V2V(f(a)), exist aU2V(a) astfel
^ nc^ at
f([Unfag]\D)V:
Cum  si pentru x=a2Dare loc, ^ n mod evident, f(a)2Vrezult a c a
f(U\V)V;
ceea ce spune c a feste continu a ^ n a.
Teorema 2.1.4. Fief:D!(Y;d 2), undeD(X;d 1) sia2D. Atuncifeste continu a
^ nadac a are loc una din urm atoarele situat ii:
I. oria2D0 silim
x!af(x) =f(a);
II. oriaeste punct izolat.
Demonstrat ie. Rezult a imediat din Teorema 2.1.3  si Observat ia 2.1.2-3.
Observat ia 2.1.5. Dac aa2D\D0iar funct ia feste continu a ^ n a, denit ia continuit at ii
luif^ nase scrie lim
x!af(x) =f(lim
x!ax).
Teorema 2.1.6. (Teorema de caracterizare a continuit at ii unei funct ii ^ ntr-un
punct )
Fief:D!(Y;d 2), unde; 6=DX sia2D. Atunci urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
I.feste continu a ^ n a(denit ia cu vecin at at i);
II. pentru8SY(f(a);");9SX(a;)astfel ^ nc^ at f(SX(a;)\D)SY(f(a);")adic a pentru
8x2SX(a;)cux2D=)f(x)2SY(f(a);")(denit ia cu sfere);
III. pentru8">0;9>0astfel ^ nc^ at pentru 8x2Dcud1(x;a)< =)
d2(f(x);f(a))<"(denit ia");
IV. pentru8xnDcuxnX!as a rezultef(xn)Y!f(a)(denit ia cu  siruri).
Demonstrat ie. Rezult a din Teorema 1.2.3 de caracterizare a limitei unei funct ii ^ ntr-un punct
 si din Teorema 2.1.4.
Teorema 2.1.7. FieRn siRm;(m2N;n2N)^ nzestrate cu metricile euclidiene cores-
punz atoare, e F:D!Rm, undeDRn siF= (f1;f2;:::;fm). AtunciFeste continu a
^ na2D, dac a  si numai dac a funct iile fi:D!Rsunt continue ^ n a, undei2f1;2;:::;mg:
Demonstrat ie. Find continu a ^ n a2D, rezult a c a pentru orice  sir ( xk) de puncte din D
cuxkRn
!a,  sirulF(xk)Rm
!F(a). DarF(xk)Rm
!F(a) dac a  si numai dac a fi(xk)R!fi(a)
pentru orice i2f1;2;:::;mg.
Prin urmare, condit ia de continuitate a lui F^ n punctulaeste echivalent a cu 8xkRn
!a=)
=)fi(xk)R!fi(a), pentru8i2f1;2;:::;mg, adic a cu condit ia de continuitate ^ n punctul
aa funct iilor ficui2f1;2;:::;mg.
Teorema 2.1.8. Fie(X;d 1);(Y;d 2) si(Z;d 3)trei spat ii metrice  si funct iile f:X!Y,
g:Y!Z. Dac afeste continu a ^ n a2X sigeste continu a ^ n f(a)2Yatuncigfeste
continu a ^ n a.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 10
Demonstrat ie. Vom folosi denit ia cu  siruri a continuit at i. Fie ( xn) un  sir arbitrar din Xcu
xnX!a. Cumfeste continu a ^ n arezult a c af(xn)Y!f(a). Atunci, t in^ and seama c a  si g
este continu a ^ n f(a), obt inem c a g(f(xn))Z!g(f(a)), adic a (gf)(xn)Z!(gf)(a), ceea
ce spune c a gfeste continu a ^ n a2X.
Fie (X;d 1);(Y;d 2) dou a spat ii metrice, DX sia2D0nD. Dac af:D!Reste o
funct ie denit a pe D, am putea prelungi fla mult imea D[fag^ n diferite moduri, atribuindu-
i luifo valoare arbitrar a ^ n punctul a. Dac a exist a lim
x!af(x) =l2Y, am putea considera
urm atoarea funct ie:
~f(x) =(
f(x);dac ax2D
l;dac ax=a(2.1.1)
care, evident, este o prelungire a lui flaD[fag.
Denit ia 2.1.9. Dac af:D!Y, undea2D0nD, are limita l2Y^ n punctul a, atunci
funct ia ~fata sat a funct iei fprin (2.1.1) poart a numele de prelungire a funct iei fprin
continuitate ^ n punctul a.
Exemplul 2.1.10. Fief(x) =sinx
x, denit a pe R. Cum lim
x!0f(x) = 1, vom putea prelungi
fprin continuitate ^ n 0. Prelungirea sa prin continuitate este funct ia
~f(x) =8
<
:sinx
x;dac ax2R
1;dac ax= 0:
Teorema 2.1.11. Fief:D!Y. Dac a exist a lim
x!af(x) =l2Y, atunci funct ia
~f:D[fag!Y, denit a prin (2.1.1) este continu a ^ n a.
Demonstrat ie. ^Intruc^ at pentru x2Dnfag;~f(x) =f(x), iar lim
x!af(x) =l, rezult a c a
lim
x!a~f(x) =l=~f(a), adic a ~feste continu a ^ n a.
2.2 Funct ii continue pe o mult ime
Consider am ca  si ^ n subcapitolul anterior dou a spat ii metrice ( X;d 1)  si (Y;d 2).
Denit ia 2.2.1. Fief:D!(Y;d 2), undeD(X;d 1). Spunem c a festecontinu a peD
dac afeste continu a ^ n orice punct x2D.
Exemplul 2.2.2.
1. Fie (X;d) un spat iu metric  si c2Xxat. Funct ia f(x) =cpentru orice x2Xeste
continu a pe Xdeoarece dac a x02X sixnX!x0, atuncif(xn) =cX!c=f(x0),
adic a este satisf acut a denit ia cu  siruri a continuit at ii.
2. Fief: (X;d)!(X;d) aplicat ia identic a, adic a f(x) =x;8x2X. Atuncifeste
continu a pe X. ^Intr-adev ar, e x02Xarbitrar. Atunci pentru orice  sir ( xn)Xcu
xnX!x0, rezult a c a f(xn) =xnX!x0=f(x0), ceea ce dovede ste continuitatea lui f
^ nx0, deci  si pe X.
3. Fie funct ia f:R!Rdenit a prin
f(x) =(
1;dac ax2Q
0;dac ax2RnQ
adic a funct ia caracteristic a a mult imii Q. Observ am c a8x2Rfunct ia nu este continu a
^ nxdeoarece nu exist a lim
y!xf(y).^Intr-adev ar, e x2Rarbitrar. Dac a ( xn) e un  sir

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 11
de puncte rat ionale cu xnR!x, atuncif(xn) = 1!1, iar dac a ( x0
n) este un  sir de
numere irat ionale astfel ^ nc^ at x0
nR!x, atuncif(xn) = 0!0. Prin urmare, nu exist a
limita funct iei f^ n punctul de acumulare x2R si decifnu e continu a ^ n x.
4. Fie R^ nzestrat cu metrica discret a d0. Atunci orice funct ie f: (R;d0)!(X;d), unde
(X;d) este un spat iu metric oarecare, este continu a. ^Intr-adev ar, e a2Run punct ar-
bitrar ^ nSX(f(a);") o sfer a arbitrar a cu centrul ^ n f(a) dinX; atuncif1(SX(f(a);"))
cont ine, evident, mult imea fagcare coincide cu SR(a;1), sfer a deschis a din ( R;d0) de
centrua si raz a 1. Prin urmare, avem
f(SR(a;1))SX(f(a);");
adic afeste continu a ^ n a.
5. Fie funct iile pri:Rn!Rdenite prin pri(x) =xi;8i2f1;2;:::;ng, unde
x= (x1;x2;:::;xn). Atunci funct iile pri, numite aplicat ii de proiect ie , sunt funct ii
continue pe Rn.^Intr-adev ar, e a= (a1;a2;:::;an)2Rn, arbitrar. Dac a ( xk)Rn
 sixkRn
!a, atuncixi
kR!ai,8i2f1;2;:::;ng, adic apri(x) =xi
kR!ai=pri(a),
8i2f1;2;:::;ng, ceea ce spune c a prieste continu a ^ n apentru8i2f1;2;:::;ng.
Teorema 2.2.3. (Teorema de caracterizare a continuit at ii pe un spat iu )
Fie(X;d 1) si(Y;d 2)dou a spat ii metrice  si f:X!Y. Atunci urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
I.feste continu a pe X;
II. pentru orice mult ime deschis a DdinY,f1(D)este mult ime deschis a ^ n X;
III. pentru orice mult ime ^ nchis a FdinY,f1(F)este mult ime ^ nchis a ^ n X;
IV. pentru orice submult ime Aa luiX,f(A)f(A).
Demonstrat ie. I=)IV:
FieAX siy2f(A). Atunci exist a x2Aastfel ^ nc^ at y=f(x). Cumx2Arezult a c a
exist a un  sir de puncte ( xn) ^ n mult imea Aastfel ^ nc^ at xnX!x. Funct iafind continu a
^ nx, rezult a c a f(xn)Y!f(x) =y, adic a am ar atat c a exist a un  sir de puncte ( f(xn)) ^ n
mult imeaf(A) astfel ^ nc^ at f(xn)Y!y. Prin urmare, y2f(A), decif(A)f(A).
IV=)III:
FieFo mult ime ^ nchis a ^ n Y, adic aF=F^ nY si eA=f1(F).
Conform ipotezei avem c a
f(A)f(A) =f(f1(F))F=F;
de unde rezult a c a
Af1(f(A))f1(F) =A
 si cumAArezult a c aA=A, ceea ce asigur a c a A=f1(F) este ^ nchis a ^ n X.
III =)II:
FieD2Y. AtunciF=YnDeste ^ nchis a ^ n Y. Conform ipotezei, f1(F) =f1(YnD)
este ^ nchis a ^ n X, de unde
Xnf1(F) =Xn[f1(Y)nf1(D)] =f1(D)2X:
II=)I:
Fiex0un punct arbitrar din X. Vom ar ata c a feste continu a ^ n x0.
FieD=SY(f(x0);") o sfer a deschis a arbitrar a centrat a ^ n f(x0). Conform ipotezei,

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 12
f1(D)2X. Cumf1(D) =f1(SY(f(x0);")) cont ine punctul x0 si este mult ime deschis a,
rezult a c af1(D)2V(x0). Prin urmare, exist a o sfer a deschis a SX(x0;") astfel ^ nc^ at
SX(x0;)f1(D);
de unde rezult a c a
f(SX(x0;))D=SY(f(x0);");
ceea ce spune c a feste continu a ^ n x0.
Observat ia 2.2.4.
1. Proprietatea II(respectivIII) ne spune c a f"^ ntoarce" deschi si (respectiv ^ nchi si) ^ n
deschi si (respectiv ^ nchi si).
2. Remarc am c a imaginea direct a printr-o aplicat ie continu a a unei mult imi deschise (res-
pectiv ^ nchise) nu este, ^ n general, deschis a (respectiv ^ nchis a). ^Intr-adev ar, dac a se
consider a funct ia f(x) =jxj, pentru8x2R, evidentfeste continu a. Dac a se ia
mult imeaD= (1;1) atuncif(D) = [0;1) care nu este deschis a. De asemenea, dac a
consider am funct ia f(x) =1
xdenit a pe R, evident ea este continu a pe mult imea sa
de denit ie. Se observ a c a imaginea prin fa mult imii ^ nchise F= [1;1) este intervalul
(0;1] care nu este mult ime ^ nchis a.
2.3 Homeomorsme  si izometrii
Denit ia 2.3.1. Fie (X;d 1)  si (Y;d 2) dou a spat ii metrice. O aplicat ie f:X!Yse nume ste
homeomorsm (sauizomorsm topologic ) dac a:
(i)feste biject ie  si
(ii)f;f1sunt aplicat ii continue.
Observat ia 2.3.2.
1. O aplicat ie ce satisface condit ia ( ii) se mai nume ste  si aplicat ie bicontinu a .
2. Observ am c a dac a feste homeomorsm, atunci  si f1este tot un homeomorsm.
Denit ia 2.3.3. Dou a spat ii metrice ( X;d 1)  si (Y;d 2) se numesc homeomorfe dac a exist a
un homeomorsm al lui XpeY.
Exemplul 2.3.4. Aplicat iaf:R!Rdenit a prin f(x) =x3este un homeomorsm al lui
RpeR,Rind ^ nzestrat cu metrica euclidian a.
Observat ia 2.3.5. Imaginea oric arei mult imi deschise printr-un homeomorsm este un des-
chis  si de asemenea imaginea reciproc a a oric arui deschis este un deschis.
Dac a dou a spat ii metrice sunt homeomorfe, atunci ele au acelea si propriet at i topologice, ceea
ce justic a termenul de izomorsm topologic care se folose ste ^ n loc de homeomorsm.
Remarc am c a not iunile de vecin atate a unui punct, mult ime deschis a, mult ime ^ nchis a, punct
aderent, punct interior, punct de acumulare, aderent  a, interior, exterior, frontier a, funct ie
continu a sunt not iuni cu caracter topologic, deci se conserv a prin homeomorsme, ^ n timp ce
not iunile de sfer a deschis a, mult ime m arginit a,  sir Cauchy, spat iu metric complet, diametru
nu sunt not iuni cu caracter topologic  si ^ n general nu se conserv a prin homeomorsme.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 13
Observat ia 2.3.6.
1. Dac a o aplicat ie f: (X;d 1)!(Y;d 2) este bijectiv a  si continu a, nu rezult a c a feste
homeomorsm. De exemplu, e Rcu metrica discret a ca spat iu ( X;d 1)  siRcu metrica
euclidian a ca spat iu ( Y;d 2), iarf:X!Yaplicat ia identic a, atunci se vede c a feste
biject ie,feste continu a deoarece pentru orice D20rezult a c a
f1(D) =D2P(R) =d1, darf1nu este continu a deoarece ^ n topologia discret a
orice submult ime a lui Rind deschis a rezult a c a (0 ;1]2d1, darf((0;1]) = (0;1] nu
este mult ime deschis a ^ n topologia uzual a a lui R.
2. Dac af: (X;d 1)!(Y;d 2)  sig: (Y;d 2)!(Z;d 3) sunt homeomorsme, atunci
fg: (X;d 1)!(Z;d 3) este tot un homeomorsm.
3. Dou a spat ii homeomorfe cu un al treilea sunt homeomorfe ^ ntre ele.
Denit ia 2.3.7. O aplicat ie fa spat iului metric ( X;d 1) ^ n spat iul metric ( Y;d 2) se nume ste
izometrie dac a:
(i)feste biject ie  si
(ii)d2(f(x);f(y)) =d1(x;y), pentru8x;y2X.
Observat ia 2.3.8.
1. Din condit ia ( ii) rezult a c a feste inject ie, deci ^ n locul primei condit ii s-ar putea cere
doar cafs a e surject ie.
2. Dac afeste o izometrie de la XlaY, atuncif1este tot o izometrie de la YlaX.
Denit ia 2.3.9. Dou a spat ii metrice ( X;d 1)  si (Y;d 2) se numesc izometrice dac a exist a o
izometriefa spat iului Xpe spat iulY.
Exemplul 2.3.10. Fiea2Rn. Funct iaf:Rn!Rn, denit a prin f(x) =x+a, pentru
8x2Rn, este o izometrie. ^Intr-adev ar, feste biject ie, iar
jjf(x)f(y)jj=jj(x+a)(y+a)jj=jjxyjj, pentru8x;y2Rn:
Teorema 2.3.11. Dac af: (X;d 1)!(Y;d 2)este o izometrie, atunci feste un homeomor-
sm al luiXpeY.
Demonstrat ie. S a ar at am mai ^ nt^ ai c a feste continu a. Fie x02X, arbitrar. Atunci, pentru
orice">0, avem
f1(SY(f(x0);")) =fx2X;f(x)2SY(f(x0);")g
=fx2X;d2(f(x);f(x0))<"g
=fx2X;d1(x;x0)<"g
=SX(x0;");
ceea ce asigur a continuitatea lui f^ nx0, deci pe X.
La fel se arat a c a pentru orice sfer a deschis a SX(x;) dinXare locf(SX(x;)) =SY(f(x);),
de unde rezult a c a  si f1este continu a.
Observat ia 2.3.12. Reciproca Teoremei 2.3.11 nu este adev arat a: exist a homeomorsme
care nu sunt izometrii. De exemplu, e funct ia f:R!(1;1), denit a prin f(x) =x
1+jxj,
numit a  si funct ia lui Baire . Aceast a funct ie este homeomorsm al lui Rpe (1;1), ambele
^ nzestrate cu distant a euclidian a, dar nu este izometrie ^ ntre aceste spat ii (exist a puncte
x;y2Rpentru carejf(x)f(y)j6=jxyj).
Observat ia 2.3.13. ^Intruc^ at orice izometrie este un homeomorsm, rezult a c a o izometrie
conserv a toate propriet at ile topologice. ^In plus, conserv^ and  si sferele, va conserva  si not iuni
precum m arginire, completitudine,  sir Cauchy.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 14
2.4 Compararea topologiilor metrice
^In continuare, vom trata problema compar arii topologiilor. ^In acest sens consider am metricile
d1 sid2pe spat iulX si eitopologia indus a de metrica di, undei2f1;2g. Vom nota cu
SX(x0;r) sfera deschis a ^ n X, iar cu SY(y0;r) sfera deschis a ^ n Y.
Denit ia 2.4.1.
I. Spunem c a topologia 1estemai put in n a dec^ at topologia 2(sau c a2estemai
n a dec^ at1) dac a12 si vom nota aceasta prin 12(sau21).
II. Spunem c a 1estestrict mai put in n a dec at2(sau c a2estestrict mai n a
dec^ at1) dac a12 si16=2. Vom nota aceasta prin 12(sau21).
Observat ia 2.4.2. Relat ia de net e pe mult imea topologiilor induse de metrici pe un spat iu
Xeste o relat ie de ordine (part ial a) ^ ntruc^ at ea este denit a cu ajutorul incluziunii ^ ntre clase
de mult imi.
Exemplul 2.4.3. FieR^ nzestrat cu metricile d1, metrica euclidian a  si d2, metrica discret a.
Se observ a c a 12deoarece8D21=)D22=P(R). Deoarece exist a
D= [0;1]2P(R) =2, darD621, rezult a c a 16=2, deci12.
Teorema 2.4.4. Fie metricile d1;d2pe spat iulX. Atunci12dac a  si numai dac a
aplicat ia indentic a i: (X;d 2)!(X;d 1)este continu a pe X.
Demonstrat ie. Observ am c a aplicat ia i: (X;d 2)!(X;d 1) este continu a pe Xdac a  si numai
dac a pentru8D21, rezult a c a i1(D) =D22, adic a12, ceea ce este echivalent cu
12.
Teorema 2.4.5. Fie metricile d1 sid2pe spat iulX. Atunci urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
I.12;
II. orice mult ime ^ nchis a fat  a de topologia 1este ^ nchis a  si fat  a de topologia 2;
III. pentru8x2X si pentru8V2V1(x)rezult aV2V2(x), undeVi(x)este sistemul
vecin at at ilor punctului xfat  a de topologia i;i2f1;2g;
IV. pentru8x2X si pentru orice sfer a deschis a S1(x;")exist a o sfer a S2(x;)astfel ^ nc^ at
S2(x;)S1(x;"), undeSi(x;")este sfera deschis a ^ n raport cu metrica di;i2f1;2g;
V. pentru8x2X si pentru orice  sir (xn)Xcuxnd2!x, rezult axnd1!x.
Denit ia 2.4.6. Dou a metrici d1 sid2pe spat iul Xse numesc echivalente dac a induc
aceea si topologie, adic a 1=2. Se noteaz a d1d2.
Observat ia 2.4.7. Se observ a c a ^ ntruc^ at
1=2,(12 si21),(12 si21);
1=2este echivalent cu condit ia ca aplicat ia indentic a i: (X;d 1)!(X;d 2) s a e homeo-
morsm.
Teorema 2.4.8. Fie metricile d1 sid2pe spat iulX.
I. Dac a exist a o constant a real a m> 0astfel ^ nc^ at
md1(x;y)d2(x;y);8x;y2X;
atuncid1d2.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 15
II. Dac a exist a dou a constante reale m> 0,M > 0astfel ^ nc^ at
md1(x;y)d2(x;y)Md 1(x;y);8x;y2X; (2.4.1)
atuncid1d2.
Demonstrat ie.
I. Fiex2X si eS1(x;") arbitrar a. Atunci, consider^ and =m"> 0, observ am c a
S2(x;)S1(x;").^Intr-adev ar, dac a y2S2(x;), rezult a c a d2(x;y)< =m"iar
din
md1(x;y)d2(x;y)m"
rezult a c ad1(x;y)<", adic ay2S1(x;"). Conform Teoremei 2.4.5 rezult a c a 12.
II. La fel se arat a c a din cea de-a doua inegalitate din (2.4.1) rezult a c a 21. Prin
urmare,1=2 si metricile d1;d2sunt echivalente.
Observat ia 2.4.9. Teorema 2.4.8 are doar caracter de sucient  a. Deci dou a metrici d1;d2
pot  echivalente f ar a s a satisfac a o condit ie de tip (2.4.1). ^Intr-adev ar, se consider a
X= (0;+1) ^ nzestrat cu metricile d1(x;y) =jxyj sid2(x;y) =j1
x1
yj;8x;y2X si se
vede cu u surint  a c a d1 sid2induc aceea si topologie, deoarece dac a xnd1!x=)xnd2!x
 si reciproc, ceea ce spune c a este ^ ndeplinit a condit ia de bicontinuitate a aplicat iei identice
i: (X;d 1)!(X;d 2).
S a presupunem acum c a exist a M > 0 astfel ^ nc^ at
d2(x;y)Md 1(x;y);8x;y2(0;1);
adic a yx
xyMjyxj;8x;y2(0;1): (2.4.2)
^In particular, dac a x6=y, atunci obt inem
xy1
M>0;pentru8x;y2(0;1) cux6=y:
F ac^ andx;ys a tind a la 0, am obt ine
01
M>0;
ceea ce evident este imposibil.
Prin urmare, nu exist a M > 0 astfel ^ nc^ at (2.4.2) s a aib a loc.
Observat ia 2.4.10. Dac a metricile d1;d2din Teorema 2.4.8 provin din norme, atunci (2.4.1)
este  si necesar a pentru ca metricile d1 sid2s a e echivalente.
Teorema 2.4.11. FieXun spat iu liniar ^ nzestrat cu normele k
k 1 sik
k 2 si1 si2
topologiile induse de cele dou a norme.
I. Dac a12, atunci9m> 0astfel ^ nc^ atkxk1mkxk2;8x2X.
II. Dac a1=2, atunci9m> 0;M > 0astfel ^ nc^ at mkxk1kxk2Mkxk1;8x2X.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 16
Demonstrat ie.
I. Din12rezult a c a aplicat ia identic a i: (X;d 2)!(X;d 1) este continu a pe X; ^ n
particular, ea este continu a ^ n 0. Atunci, pentru sfera S1(0;1) exist a>0 astfel ^ nc^ at
S2(0;)S1(0;"), adic a8y2S2(0;) =)y2S1(0;1) sau
kyk2< =) kyk1<1:
Fie">0 xat  six2X. S a not am cu y=x
kxk2+"2X.
Evidentkyk2=kxk2
kxk2+"< si atunci, conform implicat iei de mai sus, rezult a c a kyk1<
1. De aici obt inem kxk1<1
(kxk2+")  si cum">0 este arbitrar avem c a
kxk11
kxk2;8x2X:
II. La fel se arat a c a din 21rezult a existent a unei constante >0 astfel ^ nc^ at
kxk2kxk1;8x2X:
Din ultimele dou a inegalit at i se obt ine o relat ie de tip (2.4.1).
Exemplul 2.4.12. FieX=Rn(n2N)  si e urm atoarele distant e pe Rn:
d1(x;y) =vuutnX
k=1(xkyk)2;
d2(x;y) = max
1knjxkykj;
d3(x;y) =nX
k=1jxkykj;
8x;y2Rn;x= (x1;x2;:::;xn);y= (y1;y2;:::;yn):Vom ar ata c a aceste metrici sunt echi-
valente  si deci induc topologia natural a a lui Rn.^Intr-adev ar, cum
jxkykjd1(x;y) =vuutnX
k=1(xkyk)2s
n
max
1knjxkykj2
=pn
d2(x;y);
8k2f1;2;:::;ng;rezult a
d2(x;y)d1(x;y)pnd2(x;y);8x;y2Rn;
decid1este echivalent a cu d2.
Pe de alt a parte,
d2(x;y) = max
1knjxkykjd3(x;y) =nP
k=1jxkykjn
max
1knjxkykj=n
d2(x;y),
8x;y2Rn, ceea ce spune c a d2este echivalent a cu d3.
^In concluzie, cele trei metrici sunt echivalente  si cum topologia indus a de d1este topologia
natural a a lui Rn, toate cele 3 metrici induc topologia natural a a lui Rn.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 17
2.5 Operatori liniari  si continui
Denit ia 2.5.1. FieX siYdou a spat ii liniare peste corpul numerelor reale. Spunem c a
aplicat ieT:X!Yesteliniar a dac a satisface urm atoarele condit ii:
(i)T(x;y) =T(x) +T(y), pentru8x;y2X(proprietatea de aditivitate);
(ii)T(x) =T(x), pentru8x2X si82R(proprietatea de omogenitate).
Propozit ia 2.5.2. Dac aTeste o aplicat ie liniar a de la XlaY, atunciT(X)este un
subspat iu liniar al lui Y. Dac a, ^ n plus, Teste inject ie, atunci T1este de asemenea o
aplicat ie liniar a de la T(X)la X.
Demonstrat ie. Fiey1;y22T(X). Atunci exist a x1;x22Xastfel ^ nc^ at y1=T(x1)  si
y2=T(x2). CumTeste operator liniar, pentru orice ;2Ravem
y1+y2=T(x1) +T(x2) =T(x1+x2);
ceea ce spune c a y1+y22T(X)  si deciT(X) este subspat iu liniar al lui Y.
Dac aT:X!T(X) este biject ie, atunci
T1(y1+y2) =x1+x2=T1(y1) +T1(y2);
adic aT1este operator liniar.
Propozit ia 2.5.3. O aplicat ie liniar a T:X!Yeste biject ie dac a  si numai dac a
T(x) = 0 =)x= 0:
Demonstrat ie. S a presupunem c a Teste biject ie  si c a T(x) = 0. ^Intruc^ atT(0) = 0 rezult a
c aT(x) =T(0), de unde obt inem x= 0.
Reciproc , dac aT(x) = 0 =)x= 0, atunci dac a T(x1) =T(x2) rezult a c a
T(x1x2) =T(x1)T(x2) = 0 decix1=x2.
Denit ia 2.5.4.
I. Numim izomorsm liniar ^ ntre spat iile X siYo aplicat ie liniar a de la XlaYcare
este bijectiv a.
II. Dou a spat ii liniare ^ ntre care se poate stabili un izomorsm se numesc izomorfe .
Observat ia 2.5.5. FieTun operator liniar de la RnlaRm(n2N?;m2N?).
S a consider am baza canonic a ^ n Rnformat a din vectorii fe1;e2;:::;eng, ^ n care vectorul
ek= (0;:::; 1;0;:::; 0) are 1 pe coordonata k si ^ n rest 0 pentru 8i2f1;2;:::;ngcui6=k.
Dac ax= (x1;x2;:::;xn)2Rnatuncix=nP
k=1xkek. CumTeste un operator liniar avem
T(x) =T nX
k=1xkek!
=nX
k=1xkT(ek):
DarT(ek) = (y1;y2;:::;ym) este un vector din Rm. Dac a vom nota cu aik=Ti(ek), coordo-
nataia acestui vector, iar prin fe0
1;e0
2;:::;e0
mgbaza canonic a a lui Rmavem
T(ek) =mX
i=1Ti(ek)e0
i=mX
i=1aike0
i; (2.5.1)
iar coordonata ia luiT(x) va  dat a de
Ti(x) =nX
k=1aikxk:

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 18
Se observ a astfel c a vectorul T(x) se obt ine prin ^ nmult irea matricii de tip mn, [aik]1im
1kn
prin matricea coloan a2
6664×1
x2
…
xn3
7775:
MatriceaAT= [aik]1im
1kn;obt inut a ^ n acest mod, se nume ste matricea ata sat a operato-
rului T. Observ am c a  si reciproc, dac a avem o matrice de tip mn;[aik], putem deni prin
(2.5.1) o aplicat ie liniar a de la RnlaRm.
Dac a not am prin L(Rn;Rm) mult imea operatorilor liniari de la RnlaRm, iar prinMmn
mult imea matricilor cu mlinii  sincoloane, atunci funct ia ':L(Rn;Rm)!Mmn, care
asociaz a ec arui operator liniar T2L(Rn;Rm) matriceaAT^ n bazele canonice, este un izo-
morsm liniar. Prin folosirea acestei aplicat ii ', vom putea identica orice operator liniar
T2L(Rn;Rm) cu matricea ATasociat a.
Teorema 2.5.6. Dac aT:Rn!Rm siS:Rm!Rpsunt doi operatori liniari, atunci
ST:Rn!Rpeste un operator liniar, iar matricea AST, asociat a lui STeste produsul
matricilorAS siAT, adic a
AST=AS
AT
Demonstrat ie. Se observ a direct c a STeste operator liniar ^ ntruc^ at avem
(ST)(x1+x2) =S(T(x1) +T(x2)) =(ST)(x1) +(ST)(x2);
pentru8;2R.
Fiefe1;e2;:::;engbaza canonic a a lui Rn,fe0
1;e0
2;:::;e0
mgbaza canonic a a lui Rm, [aik]1im
1kn
matricea asociat a lui T si [bji]1jp
1immatricea asociat a lui S.
Dac a not am prin [ cjk] matricea asociat a operatorului STobserv am c a elementul cjkdin
liniaj si coloanakeste
cjk= (ST)j(ek) =Sj(T(ek)) =Sj mX
i=1Ti(ek)e0
i!
=mX
i=1Ti(ek)Sj(e0
k) =mX
i=1bjiaik:
Deci matricea [ cjk] este tocmai produsul matricelor [ bjk]  si [aik].
Teorema 2.5.7. Operatorul liniar T:Rn!Rneste un izomorsm liniar dac a  si numai
dac a matricea ATasociat a lui Teste nesingular a.
Demonstrat ie. Condit ia ca Ts a e biject ie este echivalent a cu condit ia ca pentru orice y2Rn
ecuat iaT(x) =ys a aib a solut ie unic a. Dar dac a [ aik]1im
1jneste matricea ata sat a operatorului
T, se observ a c a ultima condit ie este echivalent a cu cea ca sistemul de ecuat ii liniare
yj=nX
i=1aijxi;8j2f1;2;:::;ng
s a aib a solut ie unic a. ^In sf^ ar sit, aceasta revine la det[ aij]6= 0, adic a matricea ATs a e
nesingular a.
Observat ia 2.5.8. Pentru ca operatorul liniar T:Rn!Rms a e izomorsm este necesar
cam=n.
Denit ia 2.5.9. FieX siYdou a spat ii liniare normate. Spunem c a un operator liniar Tde
laXlaYestem arginit dac a exist a un num ar M > 0 astfel ^ nc^ at
kT(x)kMkxk;8x2X, undeMse nume ste constant a de m arginire : (2.5.2)

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 19
Teorema 2.5.10. Dac aTeste un operator liniar ^ ntre spat iile liniare normate X siY,
atunci urm atoarele armat ii sunt echivalente:
I.Teste continuu pe X;
II.Teste continuu ^ n originea 0Xa spat iuluiX;
III.Teste m arginit.
Demonstrat ie. Implicat iaI=)IIeste evident a.
S a ar at am c a II=)III.
^Intruc^ at aplicat ia Teste continu a ^ n 0 Xrezult a c a pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at
kxk< =) kT(x)T(0X)k=kT(x)k<";
^ n particular, lu^ and "= 1, exist a >0 astfel ^ nc^ at
kxk< =) kT(x)k<1: (2.5.3)
FieM=2
>0. Observ am c a inegalitatea (2.5.2) este ^ ndeplinit a pentru x= 0X.
Fie acumx6= 0X. S a not am cu y=
2x
kxk. Atuncikyk=k
2x
kxkk=
2< , ceea ce implic a,
conform cu (2.5.3), c a kT(y)k<1. De aici obt inem

T
2x
kxk

=


2kxkT(x)

<1;
de unde
2kxkkT(x)k<1 =) kT(x)k<2
kxk=Mkxk;
adic a (2.5.2) este ^ ndeplinit a.
S a ar at am c a III =)I. Dac aTeste operator m arginit, atunci 9M > 0 astfel ^ nc^ at s a aib a
loc (2.5.2).
Atunci pentru8x;y2Xare loc
kT(x)T(y)k=kT(xy)kMkxyk; (2.5.4)
de unde rezult a imediat continuitatea lui T. Intr-adev ar, e x02Xarbitrar. Dac a " >0,
^ nlocuind ^ n (2.5.4) pe cu"
M si peycux0, obt inem c akxx0k<="
Mceea ce implic a
kT(x)T(x0)k<M"
M=";
adic aTeste continuu ^ n x0.
Corolarul 2.5.11. Operatorul liniar T^ ntre spat iile liniare normate X siYeste un home-
omorsm dac a  si numai dac a Teste surjectiv  si exist a dou a numere m > 0; M > 0astfel
^ nc^ at
mkxkkT(x)kMkxk;8x2X: (2.5.5)
Demonstrat ie. S a presupunem mai ^ nt^ ai c a Teste homeomorsm. Atunci T siT1sunt
aplicat ii liniare  si continue. Fiind continue, sunt  si m arginite,  si conform teoremei anterioare
exist am> 0  siM > 0 astfel ^ nc^ at
kT(x)kMkxk;8x2X sikT1(y)k1
mkyk;8y2Y:
Dac a pentru8x2X, punemy=T(x), din ultimele dou a inegalit at i obt inem (2.5.5).
Reciproc , dac a are loc dubla inegalitate din (2.5.5) atunci, conform teoremei precedente,
Teste operator continuu.
CummkxkkT(x)k;8x2X, rezult a c a T(x) = 0Y=)x= 0X si deci, cum T(X) =Y,

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 20
conform Propozit iei 2.5.3, Teste biject ie. R am^ ane s a demonstr am c a T1este aplicat ie
continu a.
Fiey2Y si ex=T1(y), care ^ nlocuite ^ n inegalitatea mkxkkT(x)k, implic a
mkT1(y)kkT(T1(y))k=kyksaukT1(y)k1
mkyk;8y2Y:
Aplic^ and, din nou, teorema anterioar a obt inem c a T1este operator continuu pe Y.
S a presupunem acum c a X=Rn(n2N)  siY=Rm(m2N) ^ nzestrate cu normele
euclidiene. Atunci are loc:
Teorema 2.5.12. Dac aT:Rn!Rmeste operator liniar, atunci Teste operator continuu.
Demonstrat ie. FieT= (t1;t2;:::;tm), undeti:Rn!R;i2f1;2;:::;mg. Dac aTeste
aplicat ie liniar a, rezult a c a tisunt aplicat ii liniare de la RnlaR.
Conform Teoremei 2.1.7, a ar ata c a Teste aplicat ie continu a este echivalent cu a ar ata
c ati:Rn!R;i2 f1;2;:::;mgsunt aplicat ii continue. Prin urmare, f ar a a mic sora
generalitatea, putem presupune ^ n continuare c a Teste un operator liniar de la RnlaR. Fie
fe1;e2;:::;engbaza canonic a a lui Rn si ei=T(ei);8i2f1;2;:::;ng:
Dac ax2Rn, atuncix= (x1;x2;:::;xn)  si decix=nP
i=1xiei. Aplic^ and T si t in^ and seama c a
Teste liniar avem
T(x) =T nX
i=1xiei!
=nX
i=1xiT(ei) =nX
i=1xii;
de unde, utiliz^ and inegalitatea lui Cauchy-Schwartz-Buniakowski, avem
T(x) nX
i=12
i!1
2 nX
i=1×2
i!1
2
=Mkxk;8x2Rn;
ceea ce spune c a Teste un operator m arginit, deci  si continuu, conform Teoremei 2.5.10.
Observat ia 2.5.13. Se noteaz a prinL(X;Y ) mult imea tuturor operatorilor liniari de la
spat iul normat Xla spat iul normat Y, iar prinL(X;Y ) mult imea tuturor operatorilor
m arginit i. Se noteaz a cu X=L(X;R).
Teorema 2.5.14. Fiek
k:L(X;Y )!R+;kTk= sup
kxk1kTxk;8T2L(X;Y ). Atunci:
1.k
k este o norm a pe L(X;Y ), numit a norma operatorial a ,
2.8T2L(X;Y );kTk= sup
kxk=1kTxk= sup
x2Xn0kTxk
kxk= inffK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg.
Demonstrat ie. FieT2L(X;Y ). Atunci din Teorema 2.5.10, exist a K > 0 astfel ^ nc^ at
kTxkKkxk;8x2X. DecikTxkK;8x2Xcukxk1, adic a mult imea
fkTxk;kxk1geste majorat a de K. Atunci exist a sup
kxk1kTxk2R+ si decik
k este bine
denit a.
1. Ar at am ^ n continuare c a k
k este o norm a. Evident c a k0k= 0. Dac a T2L(X;Y )
astfel ^ nc^ atkTk= 0, atunci sup
kxk1kTxk= 0, de undekTxk= 0;8x2Xcukxk1.
Fiex2Xnf0g six0=1
kxkx. Cumkx0k= 1, rezult akTx0k=1
kxkkTxk= 0, de unde
kTxk= 0. DeciTx= 0;8x2X si prin urmare, T= 0.
FieT2L(X;Y )  si2. AvemkTk= sup
kxk1kTxk= sup
kxk1jjkTxk=jjkTk.
FieT1;T22L(X;Y )  si ex2Xcukxk1. Cumk(T1+T2)xkkT1xk+kT2xk
kT1k+kT2k, trec^ and la supremum dup a x2Xcukxk1, obt inem c akT1+T2k
kT1k+kT2k.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 21
2. FieT2L(X;Y ). Din incluziunilen
kTxk
kxk;x2Xnf0go
=
=n

T
1
kxkx

;x2Xnf0go
fkTxk;kxk= 1gfkTxk;kxk1g, rezult a c a
sup
x2Xnf0gkTxk
kxksup
kxk=1kTxk sup
kxk1kTxk (2.5.6)
FieA=fK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg. CumT2L(X;Y ), din Teorema 2.5.10
rezult a c a exist a K > 0 astfel ^ nc^ atkTxk Kkxk;8x2X. DeciA6=;. Prin
urmare, exist a inf A2R+. Fiea= infA si eK2A. AtuncikTxkK;8x2X
cukxk  1  si deci sup
kxk1kTxk K. CumKa fost ales arbitrar ^ n A, rezult a c a
sup
kxk1kTxka. Atunci, t in^ and seama de relat ia (2.5.6), pentru a dovedi egalit at ile
de mai sus, este sucient s a demonstr am c a sup
x2Xnf0gkTxk
kxk=a. Dac a presupunem c a
sup
x2Xnf0gkTxk
kxk< a, atunci exist a K2R+astfel ^ nc^ at sup
x2Xnf0gkTxk
kxk< K < a . De aici
obt inem c akTxk< Kkxk;8x2Xnf0g si decikTxkKkxk;8x2X. Rezult a
K2A si atunciaK < a ; contradict ie! Deci sup
x2Xnf0gkTxk
kxk=a si, prin urmare,
kTk= sup
kxk=1kTxk= sup
x2Xnf0gkTxk
kxk= inffK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg.
Observat ia 2.5.15. Dac aT2L(X;Y ), atuncikTk2fK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg.
^Intr-adev ar, din teorema de mai sus rezult a c a kTk= inffK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg si
atunci exist a un  sir ( Kn)fK > 0;kTxkKkxk;8x2Xgastfel ^ nc^ at Kn!kTk. Cum
kTxkKnkxk;8x2X;8n2N, trec^ and la limit a cu n!1 , obt inem c a
kTxkkTkkxk;8x2X, adic akTk2fK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg.^In consecint  a,
kTk= minfK > 0;kTxkKkxk;8x2Xg:
Teorema 2.5.16. Dac a (Y;k
k)este un spat iu Banach, atunci (L(X;Y );k
k)este un spat iu
Banach.
Demonstrat ie. Fie (Tn)L(X;Y ) un  sir Cauchy relativ la norma operatorial a. Atunci,
8">0;9n"astfel ^ nc^ at8n;mn";kTnTmk= sup
kxk1kTnxTmxk<"
2, de unde obt inem
8n;mn";kTnxTmxk<"
2;8x2Xcukxk1: (2.5.7)
Prin urmare,8x2Xcukxk1,  sirul (Tnx) este un  sir Cauchy ^ n ( Y;k
k). Cum (Y;k
k)
este un spat iu Banach, rezult a c a ( Tnx) este convergent ^ n Y;k
k).
Fiex2Xnf0g. Deoarece

1
kxkx

= 1, exist a lim
n!1Tn
1
kxkx
2Y si atunci exist a limita
lim
n!1Tnx=kxklim
n!1Tn
1
kxkx
2Y. Prin urmare,8x2X,  sirul (Tnx) este convergent ^ n Y.
Fie operatorul T:X!Y;Tx = lim
n!1Tnx;8x2X. Din cele de mai sus, Teste bine denit.
Cum (Tn)L(X;Y )  siTnconverge punctual pe XlaT, obt inem c a Teste un operator
liniar.
Trecem la limit a ^ n (2.5.7) cu m!1  si rezult a
8n;mn";kTnxTxk"
2;8x2Xcukxk1: (2.5.8)
Fiex2Xcukxk1. AtuncikTxkkTxTn"xk+kTn"xk"
2+kTn"k
kxk
"
2+kTn"knot:=K. DecikTxkK;8x2Xcukxk1.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 22
Dac ax2Xnf0g, cum

1
kxkx

= 1, obt inem c a

T
1
kxkx

K, adic akTxkKkxk.
Prin urmare,kTxkKkxk;8x2X, de unde deducem c a Teste un operator continuu. Deci
T2L(X;Y ). Din (2.5.8) obt inem atunci c a, 8nn";kTnTk= sup
kxk1kTnxTxk"
2<".
Deci
8">0;9n"astfel ^ nc^ at8nn";kTnTk<"; adic aTnk
k!T:
^In consecint  a, ( L(X;Y );k
k) este un spat iu Banach.
Corolarul 2.5.17. Xeste spat iu Banach.
2.6 Funct ii uniform continue
S tim c a o funct ie f: (X;d 1)!(Y;d 2) este continu a pe Xdac a este continu a ^ n orice punct
x2X.
Dac a transcriem ^ n limbaj "denit ia continuit at ii lui f^ n punctul arbitrar x2X, obt inem
c a, pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at:
(8y2X;d 1(x;y)<) =)d2(f(x);f(y))<": (2.6.1)
Observ am c a ^ n aceast a denit ie num arul depinde at^ at de "c^ at  si de punctul x2X.
Apare ^ ntrebarea reasc a dac a putem indica un >0 care sa e acela si pentru toate punctele
xdin spat iulX. R aspunsul este, ^ n general, negativ. Dac a f: (X;d 1)!(Y;d 2) este continu a
peX, atunci nu se poate ^ ntotdeauna g asi un acela si >0 pentru toate punctele x2X.^In
acest sens, s a analiz am urm atorul exemplu:
Exemplul 2.6.1. Fief: (0;1]!Rdenit a prin f(x) =1
x;8×2(0;1]. Se vede imediat c a
feste continu a pe (0 ;1].
Dac a am presupune c a pentru orice " > 0 exist a un ("), acela si pentru toate punctele
x2(0;1], atunci pentru orice x;y2(0;1]
jxyj< =) jf(x)f(y)j<";
lu^ and, ^ n particular, "=1
2obt inem c a pentru 8x;y2(0;1] are loc
jxyj< =)1
x1
y<1
2: (2.6.2)
Fiex=1
n siy=1
n+1cun2Nales astfel ^ nc^ at2
n<. Atunci din (2.6.2) avem:
jxyj<2
n=) jn(n+ 1)j<1
2;
de unde 1<1
2, ceea ce este absurd.
Se impune, deci, introducerea unui nou concept care s a descrie tocmai aceast a proprietate,
adic a pentru orice ">0 s a existe un >0, acela si pentru toate punctele x2X, astfel ^ nc^ at
s a aib a loc (2.6.1), adic a s a aib a un caracter uniform.
Denit ia 2.6.2. O funct ief: (X;d 1)!(Y;d 2) se nume ste uniform continu a peXdac a
pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at pentru orice x;ydinXs a aib a loc
d1(x;y)< =)d2(f(x);f(y))<":
Exemplul 2.6.3. Fief: [0;1)!Rdenit a prin f(x) =px;8×2[0;1). Fiex0=x si
x00=x+h, undex2[0;1)  sih>0.
Atunci avem:
jf(x+h)f(x)j=p
x+hpx=hp
x+h+px<hp
h=p
h:
Dac a" > 0 este arbitrar, lu^ and (") ="2, observ am c a pentru 0 < h <  ="2obt inem
jf(x+h)f(x)j<", adic afeste uniform continu a pe [0 ;1).

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 23
Denit ia 2.6.4. O funct ief: (X;d 1)!(Y;d 2) se nume ste lipschitzian a peXdac a exist a
un num arL>0 astfel ^ nc^ at
d2(f(x);f(y))Ld1(x;y);8x;y2X:
Observat ia 2.6.5. ^In particular, o funct ie f:A!R, undeAR, este lipschitzian a dac a
exist aL>0 astfel ^ nc^ at
jf(x)f(y)jLjxyj;8x;y2A:
Denit ia 2.6.6. O funct ief: (X;d 1)!(Y;d 2) se nume ste contrat ie peXdac a exist a o
constant a real a 2(0;1) astfel ^ nc^ at
d2(f(x);f(y))d1(x;y);8x;y2X:
Propozit ia 2.6.7. Orice contract ie a unui spat iu metric (X;d)este o funct ie lipschitzian a.
Demonstrat ie. Fiefo contract ie a lui X. Atunci exist a 2(0;1) astfel ^ nc^ at
d2(f(x);f(y))d1(x;y);8x;y2X:
Decifeste lipschitzian a cu constanta lipschitz L=.
Teorema 2.6.8. Orice funct ie lipschitzian a este uniform continu a.
Demonstrat ie. Fief: (X;d 1)!(Y;d 2) astfel ^ nc^ at s a existe L>0 pentru care s a aib a loc
d2(f(x);f(y))Ld1(x;y);8x;y2X: (2.6.3)
Observ am acum din (2.6.3) c a pentru orice " >0, exist a(") ="
Lastfel ^ nc^ at pentru orice
x;y2X
d1(x;y)<="
L=)d2(f(x);f(y))<L"
L=";
adic afeste uniform continu a.
Observat ia 2.6.9.
1. Este evident c a orice funct ie uniform continu a pe o mult ime Xeste  si continu a pe X.
^Intr-adev ar, dac a x02Xeste un punct arbitrar dar xat din X, atunci, rezult a c a
pentru orice ">0 exist a(")>0 astfel ^ nc^ at pentru orice x2Xs a aib a loc
d1(x;x0)< =)d2(f(x);f(x0))<";
ceea ce exprim a continuitatea lui f^ nx0.
^In cazul continuit at ii lui fpeXse observ a urm atoarea ordine a cuanticatorilor:
8x2X si8">0;9x(")>0 astfel ^ nc^ at pentru 8y2Xs a avem
d1(x;y)< =)d2(f(x);f(y))<";
iar la continuitatea uniform a
8">0;9(")>0 astfel ^ nc^ at8x;y2X
d1(x;y)< =)d2(f(x);f(y))<":
2. Continuitatea uniform a este o proprietate metric a  si atunci o funct ie poate  uniform
continu a ^ n raport cu o metric a particular a  si s a nu e uniform continu a ^ n raport cu o
metric a echivalent a cu ea.
3. Din Exemplul 2.6.1 se observ a c a exist a funct ii continue care nu sunt uniform continue.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 24
Teorema 2.6.10. (Teorema lui Cantor )
Fie(X;d 1) si(X;d 2)dou a spat ii metrice. Dac a f:X!Yeste o aplicat ie continu a pe X,
iarXeste un spat iu compact, atunci feste uniform continu a.
Demonstrat ie. Funct iafind continu a pe Xeste continu a ^ n orice punct x2X. Atunci,
pentru8x2X si8">0 exist arx(")>0 astfel ^ nc^ at pentru 8y2X
d1(y;x)<rx=)d2(f(x);f(y))<"
2: (2.6.4)
Dar
X=[
x2Xfxg=[
x2XS(x;rx
2):
FamiliaU=fS
x;rx
2

jx2Xgconstituind o acoperire deschis a pentru spat iul compact X,
va cont ine o subacoperire nit a U1=
S(xi;rxi
2);i2f1;2;:::;ng
pentruX. Deci
X=n[
i=1S(xi;rxi
2): (2.6.5)
Fie 0< minrxi
2;i2f1;2;:::;ng
. Dac ax;y2Xsunt astfel ^ nc^ at d1(x;y)< , s a
ar at am c a
d2(f(x);f(y))<":
^Intruc^ atx2X, din (2.6.5) rezult a c a exist a o sfer a deschis a S(xi;rxi
2) astfel ^ nc^ at
x2S(xi;rxi
2), adic a
d1(x;xi)<rxi
2: (2.6.6)
Conform cu (2.6.4) avem
d2(f(x);f(xi))<"
2: (2.6.7)
Pe de alt a parte, cum d1(x;y)<rezult a c ay2S(xi;rxi) ^ ntruc^ at din (2.6.6), avem
d1(xi;y)d1(xi;x) +d1(x;y)<rxi
2+<rxi:
Atunci, utiliz^ and din nou (2.6.4), obt inem
d2(f(y);f(xi))<"
2: (2.6.8)
Din (2.6.7)  si (2.6.8) rezult a c a pentru orice x;y2Xcud1(x;y)<are loc
d2(f(x);f(y))d2(f(x);f(xi)) +d2(f(xi);f(y))<"
2+"
2=";
ceea ce spune c a feste uniform continu a.
Teorema 2.6.11. FieDo mult ime m arginit a din R sif:D!Ro funct ie continu a pe
D. Atuncifeste uniform continu a pe Ddac a  si numai dac a fpoate  prelungit a prin
continuitate la D.
Demonstrat ie. Fiefuniform continu a pe D. S a ar at am c a poate  prelungit a prin continui-
tate laD. Fiex2DnD si (xn) un  sir de puncte din D, convergent la x. Atunci (xn) este
un  sir Cauchy ^ n D, adic a pentru8>0 exist an02Nastfel ^ nc^ at
m;nn0=) jxnxmj<: (2.6.9)
Pe de alt a parte, feste uniform continu a  si atunci orice " >0 exist a(")>0 astfel ^ nc^ at
pentru8x;y2Dcu
jxyj< =) jf(x)f(y)j<": (2.6.10)

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 25
^Ins a, pentru orice ">0, din (2.6.9)  si (2.6.10) rezult a c a pentru 8m;nn0are loc:
jf(xn)f(xm)j<";
care spune c a  sirul ( f(xn)) este  sir Cauchy ^ n R. Prin urmare, exist a l2Rastfel ^ nc^ at
lim
x!1f(xn) =l.
Observ am c a pentru orice  sir ( xn)D, cuxnconvergent la x, limita lui ( f(xn)) este aceea si,
egal a cul; prin urmare, exist a lim
y!xf(y)  si ^ n consecint  a, fse poate prelungi prin continuitate
^ n punctul x.
Reciproc , dac afse poate prelungi prin continuitate la D, rezult a c a funct ia ~f:D!R,
prelungirea prin continuitate a lui flaD, este o funct ie continu a pe mult imea ^ nchis a  si
m arginit a, deci compact a, D. Conform Teoremei 2.6.10 rezult a c a feste uniform continu a
peD, deci  si pe D.
^In acela si mod se poate ar ata  si rezultatul mai general.
Teorema 2.6.12. Fie(X;d 1)un spat iu metric, Ao submult ime relativ compact a a lui X si
f:A!(Y;d 2)o aplicat ie continu a pe Xcu valori ^ n spat iul metric complet (Y;d 2). Atunci
feste uniform continu a pe Adac a  si numai dac a fse poate prelungi prin continuitate la A.
Exemplul 2.6.13.
1. Funct ia f(x) = sinx2, denit a pe [1;1), este uniform continu a ^ ntruc^ at exist a
lim
x!1f(x) = sin 1, adic a fse poate prelungi prin continuitate la [ 1;1].
2. Funct iaf(x) = sin1
xdenit a pe (0 ;2
] nu este uniform continu a ^ ntruc^ at nu exist a limita
luifc^ andx!0  si decifnu se poate prelungi prin continuitate la [0 ;2
].
2.7 Aplicat ii la funct ii continue
2.7.1 . S a se studieze continuitatea urm atoarelor funct ii pe domeniile lor de denit ie:
a)f: [2;3]!R;f(x) =(
x2+ 4; x2[2;1]
2x+ 1; x2(1;3]
b)f: [1;4]!R;f(x) =(
x3+ 2; x2[1;1]
x24x+ 2; x2(1;4]
c)f: [0;1)!R;f(x) =8
<
:x+ 2
x; x2(0;1)
2; x= 0
d)f:R!R;f(x) =(
x2; x2RnQ
x; x2Q
e)f:R2!R;f(x;y) =8
><
>:x2y2
x2+y2;(x;y)6= (0;0)
1;(x;y) = (0;0)
f)f:R2!R;f(x;y) =8
><
>:x4ln(1x2y)
x4+y4;(x;y)6= (0;0)
0;(x;y) = (0;0)

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 26
Solut ie:
a) Funct iafeste continu a pe [ 2;3].
b)Funct ia este discontinu a ^ n punctul x= 1 (punct de discontinuitate de spet a I), deci
feste continu a pe [ 1;4]nf1g.
c)Punctulx= 0 este punct de discontinuitate de spet a a II- a, deci fnu este continu a
^ n 0, ci doar pe (0 ;1).

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 27
d)Fiea2R. Funct iafeste continu a ^ n adac a  si numai dac a 8(xn)R;xn!aavem
c af(xn)!f(a).
Fie (xn)Qastfel ^ nc^ at xn!a:Deci8n2N;f(xn) =xn, de unde rezult a c a f(xn)n!1!a.
Fie (yn)RnQastfel ^ nc^ at yn!a:Deci8n2N;f(yn) =x2
n, de unde rezult a c a
f(xn)n!1!a2.
a=a2()a(a1) = 0 =)a2f0;1g.
Cazul I :a2Rnf0;1g=)fdiscontinu a ^ n a, de unde rezult a c a aeste punct de
discontinuitate de spet a a II-a (nu exist a limita ^ n punct).
Cazul II :a2f0;1g=)fcontinu a ^ n a.
Fie8(xn)R;xn!a:
Cazul II.1 :9n02Nastfel ^ nc^ at8nn0;xn2Q. Atunci pentru8nn0;f(xn) =xn,
decif(xn)!a=f(a).
Cazul II.2 :9n02Nastfel ^ nc^ at8nn0;xn2RnQ. Atunci pentru8nn0;f(xn) =
x2
n, decif(xn)!a2=f(a).
Cazul II.3 :fxn;n2Ng=fyn2Q;n2Ng[fzn2RnQ;n2Ng, adic a (yn)  si (zn) sunt
sub siruri ale lui ( xn).
f(yn) =yn;8n2N=)f(yn)!a
f(zn) =z2
n;8n2N=)f(zn)!a2
a=a2(a2f0;1g)9
>=
>;=)f(xn)!f(a);8n2N;8(xn)nR, cuxn!a:
Din aceste trei subcazuri rezult a c a feste continu a ^ n a2f0;1g.
Decifeste continu a doar pe f0;1g.
e)Funct iafeste continu a pe R2nf(0;0)gind compunere de funct ii elementare. Vom
studia continuitatea ^ n punctul (0 ;0). Pentru aceasta vom considera  sirul ( xn;yn) = (1
n;1
n),
8n2N. Se observ a u sor c a (1
n;1
n)!(0;0) ^ nR2. Calcul am f(xn;yn) =1
n1
n
1
n2+1
n2=0
1
n2= 0,
decif(xn;yn)!06= 1 =f(0;0), de unde rezult a c a fnu este continu a ^ n punctul (0 ;0).
Prin urmare, feste continu a pe R2n(0;0).
f)Cum funct ia feste continu a pe R2nf(0;0)g, ind compunere de funct ii elementare,
r am^ ane de studiat continuitatea ^ n punctul (0 ;0). Din faptul c ax4
x4+y41;8(x;y)6= (0;0)
 si c a lim
(x;y)!(0;0)ln(1x2y) = 0 rezult a c a lim
(x;y)!(0;0)x4ln(1x2y)
x4+y4= 0 =f((0;0)), decifeste
continu a  si ^ n punctul (0 ;0).
Prin urmare, feste continu a pe R2.
2.7.2 Ce condit ii trebuie s a ^ ndeplineasc a mult imea A(X;d) pentru ca funct ia sa ca-
racteristic a 'As a e continu a pe X?
Solut ie: Funct ia'A: (X;d)!(R;j
j) este continu a pe Xdac a  si numai dac a pentru
orice mult ime deschis a Da luiR, ^ n topologia uzual a, '1
A(D)2d:Dar
'1
A(D) =8
>>><
>>>:X;12D si 02D
;;1=2D si 0=2D
A;12D si 0=2D
XnA;02D si 1=2D:
; siXsunt mult imi deschise ^ n X, pentru c a orice spat iu metric este spat iu topologic.
Prin urmare, pentru ca 'As a e continu a trebuie ca A2d siXnA2d;deciAs a e ^ n
acela si timp deschis a  si ^ nchis a.
2.7.3 Fief;g: (X;d 1)!(Y;d 2) dou a aplicat ii continue. S a se arate c a mult imea
A=fx2X;f(x) =g(x)geste ^ nchis a.

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 28
Solut ie: Vom ar ata c a A=A. CumAApentru orice mult ime A, va trebui s a de-
monstr am c a AA. Fiex02A. Atunci exist a un  sir ( xn)Acuxn!x0. Cumxn2A,
rezult a c af(xn) =g(xn);8n2N. F ac^ andns a tind a la1 si t in^ and seama c a f sigsunt
continue ^ n x0, rezult a c a f(x0) =g(x0), adic ax02A.
2.7.4 Fie (X;d) un spat iu metric  si f:X!Xo aplicat ie continu a astfel ^ nc^ at ff=f.
S a se arate c a mult imea f(X) este ^ nchis a.
Solut ie: Mult imeaf(X) se dene ste astfel: f(X) =fx2X;f(x) =xg=
=fx2X;f(x) =1X(x)g.
S tim c af si1Xsunt aplicat ii continue, deci suntem ^ n ipotezele Problemei 2.7.3, de unde va
rezulta c af(X) este inchis a.
2.7.5 Fie (X;d 1)  si (Y;d 2) dou a spat ii metrice, f;g:X!Ydou a funct ii continue  si A
o submult ime dens a a lui X. S a se arate c a dac a pentru orice a2A;f(a) =g(a), atuncif=g:
Solut ie: Prin ipotez a, A=X;de unde rezult a c a 8a2X, exist a un  sir ( xn)Acu
xn!a. Cumf(xn) =g(xn);8n2N sif;gsunt continue rezult a c a f(a) =g(a), decif=g.
2.7.6 Fief;g: (X;d)!(R,j
j) dou a aplicat ii continue, ;2R. S a se arate c a
mult imea:
a)A=fx2X;f(x)<g(x)geste deschis a;
b)B=fx2X;f(x)g(x)geste ^ nchis a;
c)C=fx2X;f(x)>geste deschis a;
d)D=fx2X;f(x) =geste ^ nchis a;.
e)E=fx2X;<f (x)<geste deschis a;
f)F=fx2X;f(x)geste ^ nchis a.
Solut ie: a) A=fx2X;f(x)<g(x)g.
A=fx2X;f(x)g(x)<0g=fx2X; (fg)(x)<0g= (fg)1((1;0)). S tim
c a (1;0) este mult ime deschis a ^ n R, iarf sigsunt aplicat ii continue. ^In concluzie
(fg)1((1;0)) =Aeste deschis a.
b)B=fx2X;f(x)g(x)g. Se poate observa c a B=cA, iarAeste o mult ime deschis a,
dup a cum am demonstrat la punctul a). A sadar, rezult a c a Beste mult ime ^ nchis a.
c)C=fx2X;f(x)> g=f1((;+1)). S tim c a feste aplicat ie continu a, iar
(;+1) este mult ime deschis a ^ n R. Prin urmare f1((;+1)) =Ceste mult ime deschis a.
d)D=fx2X;f(x) =g=f1(fg). Din ipotez a avem c a feste aplicat ie continu a,
iarfgeste mult ime punctual a, deci ^ nchis a. A sadar, f1(fg) =Deste mult ime ^ nchis a.
e)E=fx2X; < f (x)< g=f1((;)). S tim c a feste aplicat ie continu a , iar
(;) este mult ime deschis a ^ n R, pentru orice ;reali. Prin urmare, f1((;)) =Eeste
mult ime deschis a.
f)F=fx2X;f(x)g=f1([;]). S tim c a feste aplicat ie continu a , iar [ ;]
este mult ime ^ nchis a ^ n R, pentru orice ;2R. Prin urmare, f1([;]) =Feste mult ime
^ nchis a.
2.7.7 Fief: (X;d)!(R;j
j):S a se arate c a dac a pentru orice 2R, mult imile
fx2X;f(x)>g sifx2X;f(x)<gsunt deschise, atunci feste continu a.
Solut ie: Pentru a ar ata c a funct ia feste continu a, vom demonstra c a pentru orice
mult ime deschis a DdinR,f1(D) este deschis a ^ n X.
CumDR, dinteorema de structur a a mult imilor deschise , rezult a c a D=1S
n=1(an;bn).

Capitolul 2. Continuitate ^ n spat ii metrice 29
Astfel,f1(D) =f1(1S
n=1(an;bn)) =1S
n=1f1((an;bn)). Conform Problemei 2.7.6-e, obt inem
o reuniune num arabil a de mult imi deschise, de unde rezult a c a f1(D) este deschis a. Prin
urmare funct ia feste continu a.
2.7.8 S a se arate c a dac a ( X;d) este un spat iu metric, atunci funct ia d:XX!Reste
continu a pe XX.
Solut ie: Fie (x0;y0)2XX si e (xn;yn)XX! (x0;y0). S tim c a ( xn;yn)XX! (x0;y0)
dac a  si numai dac a xnX!x0 siynX!y0. Pe de alt a parte, conform inegalit at ii patrulate-
rului, avemjd(xn;yn)d(x0;y0)jd(xn;x0) +d(yn;y0);8n2N, de unde, trec^ and la limit a,
obt inem c a lim
n!1d(xn;yn) =d(x0;y0).
2.7.9 Fief:l2!R, denit a prin f((xn)) =1P
n=1n1xn. S a se verice c a feste bine
denit a, liniar a, continu a  si kfk==p
6.
Solut ie: Folosind inegalitatea lui H older, avem: (1P
n=1n1jxnj)2(1P
n=1jxnj2)
(1P
n=1n2) =
=2
6k(xn)k2, ceea ce arat a c a seria1P
n=1n1jxnjeste absolut convergent a, rezult a c a feste
bine denit a. Apoi: f((xn) +(yn)) =f((xn+yn)) =1P
n=1n1(xn+yn) =
=1P
n=1n1xn+1P
n=1n1yn=f((xn))+f((yn)), de unde rezult a c a feste liniar a. Deoarece
jf((xn))j=j1P
n=1n1xnj1P
n=1n1jxnj
6k(xn)k, rezult a c a feste continu a  sikfk=p
6.
^In nal, e xn=n1 six= (xn). Avemx2`2;kxk==p
6, iarf(x) =2=6, de unde
kfkjf(x)jkxk1==p
6, ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
2.7.10 DenimT:m!l2prinT((xn)) = (n1xn). S a se arate c a Teste corect denit,
liniar  si continuu. S a se calculeze kTk. EsteTinjectiv? Dar surjectiv?
Solut ie: Avem1P
n=1xn
n2supjxnj
2
6, ceea ce ne arat a c a T((xn))2l2, deciTeste bine
denit. Avem: T((xn) +(yn)) =T((xn+yn)) =
((xn)+(yn))
n
=T(xn) +T(yn),
deciTeste liniar. Folosind inegalitatea de mai sus, g asim kT((xn))k=

xn
n

=
=1P
n=1xn
n21
2
p
6k(xn)k, deciTeste continuu  sikTkp
6. Dac ae= (1;:::; 1;:::),
aveme2m;kek= 1  sikTek=p
6, ceea ce arat a c a kTk=p
6.Teste injectiv: dac a
T((xn)) = 0, atunci rezult a c axn
n

= 0, adic a xn= 0;8n2N.Tnu este surjectiv:
consider^ and yn=n1dac annu este p atrat perfect  si yn=k1dac an=k2, se constat a c a
(yn)2l2.^Ins a (nyn) nu este  sir m arginit, deoarece cont ine sub sirul kyk2=k2
k1=k.

Bibliograe
[1] Croitoru A., Durea M., V aideanu C., Probleme de Analiz a Matematic a I. Calcul
Diferent ial ^ n R, Editura PIM, Ia si, 2010.
[2] Gavrilut  A., Calcul diferent ial pentru funct ii de mai multe variabile. Note de curs ,
http://www.math.uaic.ro/ gavrilut/index.php?id=teaching.
[3] Popa E., Culegere de Probleme de Analiz a Funct ional a , Editura Didactic a  si Pedagogic a,
Bucure sti, 1981.
[4] Precupanu A., Bazele Analizei Matematice , Editura Canova, Ia si, 1995.
[5] Precupanu A., Florescu L., Blendea Gh., Cuciureanu M., Spat ii metrice. Probleme ,
Editura Universit at ii "Alexandru Ioan Cuza", Ia si, 1990.
[6] Rusu D., Analiz a funct ional a , Editura Performantica, Ia si, 2005.
[7] Papuc D. I., Universul matematic al civilizat iei umane , Editura Marineasa, Timi soara,
2003.
30