Lucrare de licent a [605218]

Universitatea ,,Aurel Vlaicu" din Arad
Facultatea de S tiint e Exacte
Programul de studii Matematic a informatic a
Lucrare de licent  a
Abordarea ecuat iilor
diferent iale  si cu diferent e prin
intermediul metodeloroperat ionale
Coordonator  stiint ic:
Conf. dr. Codrut a STOICA
Absolvent: [anonimizat]-Diana NEAG
Iulie 2017

Referat
privind lucrarea de licent  a cu titlul
,,Abordarea ecuat iilor diferent iale  si cu diferent e prin intermediul metodelor
operat ionale "
^ ntocmit a de absolventa Amalia-Diana NEAG.
Lucrarea are 9 pagini  si este organizat a astfel:
1. Introducere
2. Capitolul 1
3. Capitolul 2
4. Capitolul 3
5. Concluzii
6. Bibliograe
Din punct de vedere al cont inutului  si al prezent arii, lucrarea ^ ntrune ste
toate condit iile cerute de o lucrare de licent  a la specializarea Matematic a
informatic a din cadrul Facult at ii de S tiint e Exacte.
Av^ and ^ n vedere cele de mai sus, recomand sust inerea public a a lucr arii
de licent  a cu titlul ,,Abordarea ecuat iilor diferent iale  si cu diferent e prin in-
termediul metodelor operat ionale ", ^ ntocmit a de absolventa Amalia-Diana
NEAG, ^ n sesiunea din iulie 2017  si propun acordarea notei . . . . . . .
ARAD, 10 ianuarie 2017
Conf. dr. Codrut a STOICA
1

Cuprins
Introducere 3
1 Transformarea Laplace 4
1.1 Not iuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Funct ii original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Denirea transform arii Laplace . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriet at i ale transform arii Laplace . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Transformarea Laplace invers a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Aplicat ii ale transform arii Laplace 7
2.1 Calculul unor integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Rezolvarea unor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Rezolvarea unor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Concluzii 8
Bibliografie 9
2

Introducere
Lucrarea de fat  a ^  si propune prezentarea unor modele folosite ^ n cadrul ma-
tematicilor nanciare.
Lucrarea este structurat a dup a cum urmeaz a. Capitolul 1 , intitulat
Not iuni matematice , prezint a unele elemente utile ^ n dezvoltarea teoriei ul-
terioare.
^InCapitolul 2 , numit Propriet at i asimptotice , sunt puse ^ n evident  a
comport ari ale proceselor evolutive.
3

Capitolul 1
Transformarea Laplace
Acest capitol prezint a transformarea Laplace, o clas a particular a de trans-
form ari integrale, denite prin relat ia :
F(s) =Zb
af(x)K(x;s)dx;s2K;
undef: (a;b)!K siK: (a;b)K!K:Aceast a clas a ^  si g ase ste apli-
cabilitatea ^ n electronic a  si rezolvarea ecut iilor diferent iale, integrale  si cu
derivate part iale, transformarea Laplace stabilind o corespondent  a ^ ntre do-
meniul timp  si planul complex.
Au fost dezvoltate idei din lucr arile [1], [2]  si [3].
1.1 Not iuni generale
^In continuare vom studia … vezi pag 188.
1.1.1 Funct ii original
Definit ia 1.1.1. O aplicat ie f:R!Cpentru care sunt ^ ndeplinite
condit iile:
(i)f(x) = 0;8x<0;
(ii) f derivabil a pe port iuni;
(iii) exist a numerele reale M > 0  si0;^ nc^ at:
jf(xj)Mex;8x2R;
se nume ste funct ie original.
4

Amalia-Diana NEAG Metode operat ionale
Observat ia 1.1.1. Se nume ste indice de cre stere al funct iei f, valoarea:
$= maxjf(x)jMex;8x2R:
Exemplul 1.1.1. Funct ia lui Heaviside, numit a funct ia treapt a unitate, cu
u:R![0;1], denit a prin u(x) =8
<
:0; x< 0
1
2; x= 0
1; x> 0este cel mai evident exem-
plu de funct ie original.
1.1.2 Denirea transform arii Laplace
Fief:R!Co funct ie original.
Definit ia 1.1.2. Se nume ste transformata Laplace a funct iei original f,
aplicat iaF:C!C;dat a de
F(s) =Z1
0f(x)esxdx
 si care are notat ia L[f(x)](s):
Propozit ia 1.1.1. Integrala denit a F(s) =R1
0f(x)esxdxeste absolut con-
vergent a pe mult imea:
S!=fs=p+iq2Cp;q2R; p>!g;
numit a semiplanul de convergent  a, dac a f:R!Ceste o funct ie original
cu indicele de cre stere !.
Demonstrat ie. Deoarece f este o funct ie original cu indicele de cre stere !,
rezult a c a exist a M > 0 astfel ^ nc^ atjf(x)jM!x;8X2R:
Fies=p+iq2Ccup;q2Rastfel c ap>q , au loc relat iile
jF(s)jZ1
0jf(x)jjesxjdxMZ1
0e(!p)xdx=M
p!:
)M
p!>0  si limx!1M
p!= 0)demonstrat ie ^ ncheiat a.
Teorema 1.1.2. Funct iaF:C!Cdenit a de F(s) =R1
0f(x)esxdxeste
olomorf a pe mult imea S!:
5

Amalia-Diana NEAG Metode operat ionale
Demonstrat ie. Fies02fs2CjRe s>!gxat. Avem
F(s)F(s0)
ss0=Z1
0f(x)esxes0x
ss0dx:
9R> 0 astfel ^ nc^ at:
D0=fs2Cjss0jRgS!:
Fie
=@D 0:Funct iag:C!C;denit a de g(s) =esx;este olomorf a ^ n C
 si poate  dezvoltat a ^ n seria Taylor ^ n punctul s02D0astfel:
esx=es0x(ss0)xes0x+1
2{(ss2
0)I

ezx
(zs0)2[zs0(ss0)]dz:
)
F(s)F(s0)
ss0=Z1
0xf(x)es0xdx+ (ss0)Z1
0f(x)R(x;s;s 0)dx;
unde
R(x;s;s 0) =1
2{I

ezx
(zs0)2[zs0(ss0)]dz
Cumf:R!Co funct ie original cu indicele de cre stere !;9M > 0 astfel
^ nc^ atjf(x)jMe!x, pnetru8x2R, av^ and astfel loc relat iile:
Z1
0f(x)R(x;s;so)dxM
R(Rr)Z1
0e(!p)xdx=M
R(Rr)(p!);
1.2 Propriet at i ale transform arii Laplace
1.3 Transformarea Laplace invers a
6

Capitolul 2
Aplicat ii ale transform arii
Laplace
Acest capitol prezint a … Au fost dezvoltate idei din lucr arile [1], [2]  si [3].
2.1 Calculul unor integrale improprii
Exemplul 2.1.1.
Propozit ia 2.1.1. Pentru orice (t)are loc relat ia
E[(t)] =E[(s)];8t;s2R+:
Teorema 2.1.2. Pentru ecare tt0, aceast a solut ie admite estimarea
jx(t;!)x0(!)jZt
t0jG(x0(!);s;(s;!))jdsexpZt
t0B(s;!)ds
:(2.1)
Demonstrat ie. Se poate verica u sor ceva.
2.2 Rezolvarea unor
2.3 Rezolvarea unor
7

Concluzii
Lucrarea de fat  a vine cu r aspunsuri  si cu exemple pertinente, riguros  si
 stiint ic atestate prin abord ari matematice concrete.
8

Bibliograe
[1] E.A. Barba sin, Introduction dans la theorie de la stabilit e, Izd. Nauka,
Moscou, 1967.
[2] R. Datko, Uniform asymptotic stability of evolutionary processes in Ba-
nach spaces ,Siam J. Math. Anal. 3 (1972) 428{445.
[3] D. Ga spar, Analiz a funct ional a, Ed. Facla, Timi soara, 1981.
9