Lucrare de licent a [600503]

Universitatea din Bucures ti
Lucrare de licent  a
Spat ii metrice Schwarzschild
F a sie Ilie M ad alin
Coordonator
Asist. Dr. Pambuccian Varujan

Cuprins
1 Elemente de calcul tensorial pe variet at i diferent iabile 3
1.1 Variet at i diferent iabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Vectori tangent i. Spat ii tangente . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Not iunea de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Operat ii cu tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Spat ii cu conexiune an a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Legi de derivare. Conexiune an a . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Not iunea de geodezic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Torsiunea  si curbura unei conexiuni . . . . . . . . . . . 14
1.3 Spat ii cu conexiune metric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Spat ii Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Tensorul de curbur a Riemann-Chirstoel. Tensorul lui
Ricci. Tensorul lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Denirea distant ei ^ n spat ii Riemann . . . . . . . . . . 22
2 Introducere ^ n teoria relativit at ii 23
2.1 Teoria relativit at ii restr^ anse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Transform ari Lorentz. Consecint e ale postulatelor rel-
ativit at ii restr^ anse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Leg atura dintre mas a  si energie . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Teoria relativit at ii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Ecuat iile de c^ amp ale lui Einstein . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Consecit e ale ecuat iilor de c^ amp . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 C^ ampul gravitat ional slab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1

2.3.1 Leg atura dintre teoria relativit at ii generale  si teoria
newtonian a a gravitat iei . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2

Capitolul 1
Elemente de calcul tensorial pe
variet at i diferent iabile
1.1 Variet at i diferent iabile
1.1.1 Introducere
S tim s a descriem foarte bine propriet at ile unei structuri din Rnfolosind ge-
ometria euclidian a, ^ ns a pentru structuri mai complexe, aceste cuno stint e
nu ne mai sunt de folos. Pentru a asigura o ^ nt elegere deplin a a not iunilor
urm atoare, s a ne imagin am c a structura noastr a reprezint a o sfer a, iar pe
aceast a sfer a se a
 a o furnic a.
Pentru furnica noastr a, oricare dou a linii paralele se vor ^ nt^ alni la un
moment dat (cel put in aparent). Deci nu putem folosi cuno stint ele din ge-
ometria euclidian a. Cu toate acestea, observ am c a pentru o vecin atate a
furnicii, structura pe care se a
 a aceasta se poate aproxima la un plan  si ast-
fel putem aplica ce  stim din euclidian pe acea port iune. ^In plus, putem alege
 si alte astfel de vecin at at i, ajung^ and s a acoperim ^ ntreaga sfer a considerat a.
^In continuare vom traduce ^ n limbaj matematic considerat iile de mai sus.
Vom presupune  stiute rezultatele din analiza topologic a  si amintim c a o
aplicat iefse nume ste homeomorsm dac a este bijectiv a  si bicontinu a  si
difeomorsm de clas a Ckdac a este bijectiv a, de clas a Ck si cu inversa tot de
clas aCk.
Denit ie 1. FieMun spat iu topologic. Spunem c a perechea ( U;') este
3

ohart a ^ n jurul lui u2Mdac aUMeste o mult ime deschis a, u2U, iar
':U!'(U)2Rneste un homeomorsm.
Fig. 1.1
Denit ie 2. Spunem c a A=f(Ui;'i)ji2Igeste un atlas de clas a Ck
peMdac a
(i)M=[
i2IUi, adic aMpoate  acoperit cu mult imi din familia fUiji2Ig;
(ii) pentru orice dou a h art i ( Ui;'i);(Uj;'j),'i'1
j si'j'1
isunt difeo-
morsme de clas a Ck. Mai mult, dou a astfel de h art i se numesc compatibile .
Un atlas descrie o structur a diferent iabil a, iar un spat iu topologic M
^ nzestrat cu un atlas poart a numele de varietate diferent iabil a .^In plus,
'(u) =xse vor numi coordonatele locale ale lui u ^ n harta considerat a.
Revenind la exemplul nostru, vom spune c a furnica se a
 a pe o varietate
diferent iabil a, iar pentru a descrie propriet at ile acesteia, suntem nevoit i s a o
acoperim cu h art i care pot  transpuse ^ n Rnprin intermediul homeomors-
melor'.
1.1.2 Vectori tangent i. Spat ii tangente
O alt a not iune pe care trebuie s a o analiz am este cea de spat iu tangent  si de
vector tangent. Din euclidian  stim c a dou a arce (drumuri) diferent iabile pe
4

un deschis din Rnsunt echivalente ^ ntr-un punct x0dac a au acela si vector
tangent ^ n acel punct.
Fie acumMo varietate diferent iabil a de clas a Ck siu2M. Spunem c a
C:I!Meste un arc diferent iabil ^ n udac a imaginea sa prin harta ( U;')
^ n jurul lui ueste diferent iabil a ^ n '(u). De asemenea, dou a astfel de arce se
numesc echivalente ^ nu2Mdac a au imaginile echivalente ^ n '(u).
Se arat a u sor c a denit ia arcelor echivalente nu depinde de harta aleas a.
Denit ie 3. Clasa de echivalent  a a arcelor diferent iabile ^ n u2M
se nume ste vector tangent ^ nu. De asemenea, mult imea tuturor vectorilor
tangent i ^ ntr-un punct u2Mse nume ste spat iu tangent ^ nula varietatea
M si se noteaz a cu TuM.
Reuniunea tuturor spat iilor tangente le varietatea Mpoart a numele de
bratul tangent la varietatea considerat a  si se noteaz a TM=[
u2MTuM.
^In continuare vom analiza c^ ateva propriet at i ale unui vector tangent 2
TuM.
Fig. 1.2
^In primul r^ and, trebuie observat c a nu depinde de alegerea h art ii. Astfel,
dac a alegem dou a h art i ^ n jurul lui u2M, (U;')  si (V; ),  si not am imag-
inile luiprin aceste h art i cu w, respectiv v, obt inem c a putem exprima
componentele acestor imagini prin relat ia
5

vj=@Xj
@xiwi; (1.1)
unde sensul notat iilor este dat ^ n gura Fig. 1.2.
S a lu am acum o hart a ( U;') ^ n jurul lui u2M si o funct ie f:M!R
de clas aC1peMastfel ^ nc^ at f'1, notatf(x), este diferent iabil a ^ n '(u).
Denim act iunea vectorului tangent asupra funct iei fca ind derivata
luif^ n direct ia unei curbe tangente ^ n x. Adic a
f=gradf (x)w=@f(x)
@xiwi(1.2)
Mai mult, denit ia dat a nu depinde de harta considerat a.
Propriet at i. Fie,2TuM sif,gdou a aplicat ii diferent iale pe M.
Atunci
(1)(f+g) =(f) +(g);
(2)(f) =f,2R;
(3)(fg) =fg+gf;
(4) (+)f=f+f.
Fie (U;') o hart a ^ n jurul lui u2M sie1;:::envectorii bazei canonice
dinRn. S a mai consider am aplicat ia bijectiv a :TuM!Rncare duce
vectori tangent i ^ n imaginile lor pe Rn. Dac a aplic am inversa acestei funct ii
asupra vectorilor din baza canonic a de pe Rn, vom obt ine ni ste vectori din
spat iul tangent TuM, notat i d1;:::;dn, cudi=1(ei), care formeaz a o
baz a ^ n TuMnumit a baza natural a local a ^ n harta precizat a mai sus.
Pentru un vector oarecare pe Rn,w=wiei(sum^ and dup a indicele i),
avem c a
=1(w) =1(wiei) =wi1(ei) =widi(sum^ and dup a i):
Consider am, ^ n plus, o funct ie f:M!Rde clas aC1 si o hart a ( U;') ^ n
jurul luiu. Atunci vom avea c a
f= (widi)f=wi(dif) (sum^ and dup a i);
iar din relat ia (1.2) obt inem
dif=@f(x)
@xi: (1.3)
6

Se observ a imediat c a vectorii didin relat ia (1.3) se comport a ca  si c^ and
ar  operatori de derivare part ial a obi snuit i. Deci putem spune c a di=@
@xi.
Vom conveni ca de acum, atunci c^ and ^ ntr-o expresie exist a doi indici
identici, iar unul este pozit ionat superior  si cel alalt inferior, ^ n acea expresie
se va efectua sumare ^ n funct ie de acel indice. Aceast a convent ie poart a
numele de convent ia indicelui mut a lui Einstein . Drept exemplu, relat ia
wieieste, de fapt,nX
i=1wiei.^In cazul ^ n care vom ^ nt^ alni indici de acest tip,
dar f ar a s a se efectueze sumare, vom specica acest lucru ^ n mod explicit.
1.1.3 Not iunea de tensor
S a ne imagin am c a avem un balon plin cu aer  si ^ l rostogolim pe o suprafat  a
plan a. Observ am c a acesta se deplaseaz a f ar a s a- si modice centrul de greu-
tate. A sadar, ^ l putem reduce la un punct, iar mi scarea sa va  descris a
printr-un vector. Dac a umplem ^ ns a balonul cu ap a  si repet am procedeul,
observ am c a structura acestuia se modic a ^ n timpul deplas arii. Deci nu
mai putem folosi un vector pentru a-i descrie traiectoria. Astfel apare nevoia
denirii unui nou obiect matematic care s a descrie at^ at traiectoria c^ at  si
structura balonului nostru ^ n timpul deplas arii acestuia. Aceast a not iune
poart a numele de tensor.
Vom deni acum, ^ n limbaj matematic, considerentele de mai sus.
Un vector vse nume ste vector contravariant dac a ^ n urma unei schimb ari
de coordonate, acesta^  si modic a componentele contrar fat  a de componentele
bazei. Adic a matricea de trecere dintr-un sistem de coordonate ^ n altul a
vectorului v, este inversa matricei de trecere a bazei. Astfel dac a avem
v1;:::;vncomponentele vectorului ^ n sistemul de coordonate xi siV1;:::;Vn
componentele ^ n sistemul de coordonate Xi, atunci componentele vectorului
se transform a dup a legea
Vj=@Xj
@xivi: (1.4)
Un vector vse nume ste vector covariant dac a ^ n urma unei schimb ari de
coordonate, acesta ^  si schimb a componentele ^ n acela si mod ca  si baza. Adic a
at^ at vectorul, c^ at  si baza au aceea si matrice de trecere. A sadar, dac a avem
v1;:::;vncomponentele vectorului ^ n sistemul de coordonate xi siV1;:::;Vn
componentele ^ n sistemul de coordonate Xi, atunci componentele acestuia se
7

transform a dup a legea
Vj=@xi
@Xjvi: (1.5)
Un exemplu de vector contravariant poate  vectorul care descrie viteza
unei particule, iar un vector covariant poate  gradientul unei funct ii.
^In plus, vom numi c^ amp vectorial covariant (contravariant) aplicat ia care
asociaz a ec arui punct de pe varietatea Mun vector covariant (contravari-
ant).
Denit ie 4. Un obiect tse nume ste tensor de ordin r=p+q, dep
ori contravariant  si de qori covariant, dac a la o schimbare de coordonate,
componentele sale ti1:::ip
j1:::jqse modic a dup a legea
TI1:::Ip
J1:::Jq=@XI1
@xi1:::@XIp
@xip@xj1
@XJ1:::@xjq
@XJqti1;:::ip
j1;:::;j q; (1.6)
undep;q2N sii1;:::ip;j1:::jq;I1;:::Ip;J1;:::Jq= 1;:::;n .
Se observ a din denit ie c a un vector este un tensor de ordin 1 = 0 + 1
sau 1 = 1 + 0.
Vom numi c^ amp tensorial de ordinr=p+qaplicat ia care asociaz a
ec arui punct de pe varietatea Mun tensor de ordin r=p+q.
Se nume ste scalar ^ nu2Mun obiect reprezentat de o singur a compo-
nent a. Adic a poate  descris prin aplicat ia s:M!Rcare asociaz a ec arui
punct de pe varietate o valoare real a aplicat a ^ n punctul u. Observ am, de
asemenea, c a un scalar este un caz particular de tensor, av^ and ordinul r= 0.
Se poate da o denit ie  si mai general a pentru tensorul de ordin r=
p+qplec^ and de la legea de transformare din relat ia (1.6)  si ^ nmult ind-o cu
jacobianul transform arii (x) = '1(x) ridicat la puterea . Cu alte
cuvinte, legea de transformare devine
TI1:::Ip
J1:::Jq=J()@XI1
@xi1:::@XIp
@xip@xj1
@XJ1:::@xjq
@XJqti1;:::ip
j1;:::;j q; (1.7)
iar tensorul descris astfel se nume ste tensor relativ de pondere .
^In ceea ce urmeaz a vom folosi termenul de tensor at^ at pentru tensori
relativi c^ at  si pentru tensori absolut i (descri si prin relat ia (1.6)).
8

1.1.4 Operat ii cu tensori
Avem denit mai sus conceptul de tensor. ^In mod natural, ne vom ^ ntreba
ce operat ii putem efectua cu acest obiect matematic.
^In primul r^ and, pentru a ne u sura scrierea, vom conveni ca ^ n locul mul-
tiindicilor de tipul J1;:::;Jqs a scriem Jq, unde Jreprezint a litera core-
spunz atoare indicilor, iar qnum arul acestora. Astfel relat ia (1.6) poate
scris a
TIp
Jq=@XIp
@xip@xjq
XJqtip
jq: (1.8)
Operat iile pe care le putem efectua cu tensorii sunt:
Egalitatea. Doi tensori sunt egali dac a au aceea si pondere, acela si ordin
 si componentele lor sunt egale (^ ntr-un sistem de coordonate).
Adunarea. Pentru doi tensori a sibde ponderi  si ordine egale, vom deni
suma lor ca ind un tensor cde acela si ordin  si pondere ca tensorii considerat i
 si care este caracterizat de suma componentelor celor doi tensori de mai sus.
Produsul tensorial. Dac a avem doi tensori a sibcu ponderile , respectiv
0 si ordinele r=p+q, respectiv r0=p0+q0, atunci tensorul de ordin
r+r0 si pondere +0descris, ^ n orice sistem de coordonate, de produsul
componentelor tensorilor a sibse nume ste produs tensorial ^ ntre tensorii
a sib si se noteaz a a
b.
Un caz particular important ^ l reprezint a produsul tensorial dintre un
tensor oarecare  si un scalar de pondere = 0, ^ n urma c aruia va avea sens s a
vorbim despre tensorul asau despre diferent a ab. Demonstrat ia reiese
u sor din cele prezentate p^ an a acum.
Contract ia. Fieaun tensor de ordin r=p+q si pondere . Vom
numi contract ia tensorului aoperat ia ^ n urma c areia tensorului considerat ^ i
asociem un alt tensor de ordin r2 = (p1) + (q1)  si de aceea si pon-
dere. Adic a, dac a tensorul are componentele aip
jq^ ntr-un sistem de coordonate
oarecare  si x am doi indici (unul covariant  si unul contravariant), e ei ih si
jk, atunci ^ nmult ind cu jk
ih si sum^ and dup a ace sti indici, obt inem tensorul
contractat ca ^ n relat ia
bi1:::ih1ih+1:::ip
j1:::jk1jk+1:::jq=jk
ihai1:::ih1ihih+1:::ip
j1:::jk1ikjk+1:::jq(1.9)
Un caz particular al acestei operat ii este contract ia produsului tensorial
a
b^ n care se alege un indice contravariant (covariant) al lui a si unul
covariant (contravariant) al lui b si efectu^ and operat iile descrise anterior,
obt inem un nou tensor pe care ^ l vom numi produsul contractat .
9

Se poate ar ata u sor c a toate operat iile de mai sus sunt independente de
sistemul de coordonate ales.
S a prezent am acum c^ ateva propriet at i de structur a a tensorilor. ^In acest
sens, vom considera un tensor de pori covariant (se poate rat iona, ^ n mod
cu totul analog,  si pentru un tensor contravariant)  si de pondere av^ and
componentele aip.
Spunem c a tensorul aeste simetric dac a permut^ and doi indici, compo-
nentele sale nu ^  si schimb a valoarea. Adic a
ai1:::ik:::ih:::ip=ai1:::ik1ihik+1:::ih1ikih+1:::ip: (1.10)
Spunem c a tensorul aeste antisimetric dac a permut^ and doi indici, com-
ponentele sale ^  si schimb a semnul. Adic a
ai1:::ik:::ih:::ip=ai1:::ik1ihik+1:::ih1ikih+1:::ip: (1.11)
Ment ion am c a propriet at ile de simetrie, respectiv antisimetrie ale unui
tensor sunt propriet at i intrinseci, deci nu depind de sistemul de coordonate
ales.
1.2 Spat ii cu conexiune an a
1.2.1 Legi de derivare. Conexiune an a
S tim c a prin operat ia de derivare se determin a frecvent a cu care o funct ie ^  si
schimb a valoarea pe o anumit a direct ie determinat a de un vector. ^In zic a,
aceast a not iune apare, de exemplu, ^ n descrierea vitezei la un moment de
timp dat.
Problema pe care o vom aborda ^ n continuare reprezint a descrierea unei
noi legi de derivare care s a descrie act iunea unui vector asupra altui vector.
S a preciz am totu si c a de acum ^ ncolo, vom nota cu uun punct ^ n jurul
c aruia se va construi o hart a la varietatea considerat a, iar cu uun c^ amp
vectorial contravariant ale c arui componente sunt ui.
Prin urmare, not^ and cu Vmult imea c^ ampurilor vectriale contravariante
pe varietatea M, spunem c a o lege de derivare este o aplicat ie VV!V
dat a de ( u;v)7!Du
Dv2Vpentru care urm atoarele axiome sunt valabile:
10

(1)D(u+v)
Dw=Du
Dw+Dv
Dw,
(2)D(fu)
Dv=fDu
Dv+uDf
Dv,
(3)Du
D(v+w)+Du
Dw,
(4)Du
D(fv)=fDu
Dv,
unde u;v; wb2V sif:M!Re o funct ie scalar a de clas a C1.
Fie harta ( U;') ^ n jurul lui u2M sidivectorii bazei naturale locale
peTuM. CumDdi
Ddjeste un vector, ^ l putem exprima ^ n funct ie de vectorii
bazei canonice astfel:Ddi
Ddj=
k
ijdk; (1.12)
unde
k
ijsunt componentele vectorului prin harta considerat a.
Remarc am faptul c a aceste componente sunt prezente indiferent de harta
aleas a, iar ele poart a numele de coecient i de conexiune . De asemenea, tre-
buie notat c a ^ n urma denirii unei legi de derivare pe o varietate, vom
obt ine  si un obiect
caracterizat de componentele sale
k
ij^ ntr-o anumit a
hart a. Acest obiect poart a numele de conexiune an a pe varietatea M.
Fieu=uidi siv=vjdjdou a c^ ampuri vectoriale  siDu
Dvlegea de derivare
asociat a. Atunci
Du
Dv=D(uidi)
D(vjdj)=vjD(uidi)
Ddj=vjDui
Ddjdi+Ddi
Ddjui
=
=vj@ui
@xjdi+Ddi
Ddjui
=vj@ui
@xjdi+
k
ijdkui
;(1.13)
deci
Du
Dv=vj@uk
@xj+
k
ijui
dk: (1.14)
Astfel am demonstrat c a dac a avem o conexiune an a pe M, puem de-
termina legea de derivare pe aceast a varietate, iar vectorul derivat aDu
Dveste
unic determinat de conexiunea
 si vectorii u siv. Cu alte cuvinte, not iunile
11

de conexiune an a  si lege de derivare sunt echivalente.
Denit ie 5. FieMo varietate diferent iabil a. Dac a dot am aceast a vari-
etate cu o conexiune an a (lege de derivare), atunci ea se va numi varietate
diferent iabil a cu conexiune an a sauspat iu cu conexiune an a .
1.2.2 Not iunea de geodezic a
S a revenim la exemplul nostru cu furnica a
at a pe sfer a  si s a presupunem
c a aceasta vrea s a mearga din punctul A^ n punctul Bastfel ^ nc^ at distant a
parcurs a s a e minim a. Dac a s-ar  a
at ^ ntr-un plan, traiectoria descris a
de ea ar  fost o dreapt a. ^Ins a aceasta se a
 a pe o sfer a, iar not iunea de
dreapt a ^  si pierde sensul aici. Deci suntem nevoit i s a g asim un alt mod de a
deni distant a minim a dintre dou a puncte.
Pentru a rezolva aceast a problem a, ne vom uita la vectorii tangent i la
arcul care une ste cele dou a puncte.
^In cazul unei drepte, observ am c a dac a transport am prin paralelism
un vector tangent ^ n lungul acesteia, vectorul respectiv r am^ ane tangent la
dreapt a. Altfel spus, derivata sa ^ n lungul dreptei este nul a.
Vom ^ ncerca s a aplic am aceast a denit ie  si pentru a descrie drumul de
lungime minim a dintre dou a puncte de pe sfer a. Astfel, spunem c a dru-
mul dintre dou a puncte este drum de lungime minim a dac a vectorul tangent
la drum r am^ ane tangent ^ n urma transportului paralel ^ n lungul acestuia.
Acest transport paralel este dat de conexiunea an a (legea de derivare) de
pe varietatea considerat a.
Prin urmare, dac a lu am un drum diferent iabil Cpe varietatea M si dou a
c^ ampuri vectoriale u sivastfel ^ nc^ at restrict iile lor la drumul considerat s a
e c^ ampuri vectoriale denite pe C(t), respectiv _C(t), atunci putem spune
c aueste paralel ^ n lungul lui Cdac a
Du
Dv(C(t)) = 0: (1.15)
S a analiz am acum restrict ia la drumul C, dat det7!xi(t), a legii
de derivare descrise ^ n relat ia (1.14). A sadar, vom alege o hart a ( U;') pe
varietateaMcare s a cont in a drumul considerat. Preciz am, de asemenea, c a
u=uidi,v=vjdj si not amxi(t) =xi(C(t)),ui(t) =ui(C(t))  sivi(t) =
_xi(t).
12

Av^ and toate acestea, putem deduce c a
Du
Dv
C=vj@uk
@xj+
k
ijui
dk
C= _xj@uk
@xj+
k
ijui
dk=
=dxj
dt@uk
@xj+
k
ijui
dk=duk
dt+
k
ijui_xj
dk:(1.16)
Deci relat ia (1.15) devine
Du
Dv=duk
dt+
k
ijui_xj= 0: (1.17)
Teorem a 1. FieMun spat iu cu conexiune an a, C: [a;b]!Mun
drum diferent iabil, t02[a;b] siu02TuM. Atunci exist a un c^ amp vectorial
u(t)paralel ^ n lungul lui Castfel c a u(t0) =u0.
Deci oricum am lua un vector pe un drum diferent iabil, ^ l putem trans-
porta prin paralelism ^ n lungul acestui drum.
Un alt rezultat important este
Teorem a 2. Dac a am dou a puncte pe o varietate  si un drum care le
leag a, atunci transportul paralel pe acel drum determin a un izomorsm ^ ntre
spat iile tangente determinate de cele dou a puncte.
Important a acestui rezultat reiese din faptul c a dac a avem o conexiune
an a pe o varietate, atunci putem corela spat iile tangente ^ n dou a puncte
diferite. Mai mult, putem corela dou a obiecte denite ^ n puncte diferite.
Denit ie 6. Spunem c a un drum Cde clas aC2peMse nume ste
geodezic a dac a ^  si transport a prin paralelism vectorii tangent i ^ n lungul s au.
Deci av^ and un drum C, dat det7!xi(t) cut2[a;b], o hart a ( U;')
care s a ^ l cont in a (pe el sau un segment al s au)  si ^ n baza denit iei, relat ia
(1.17) devine
d2xk
dt2+
k
ijdxi
dtdxj
dt= 0; (1.18)
adic a
xk+
k
ij_xi_xj= 0 (Ecuat ia unei geodezice) : (1.19)
Existent a geodezicelor pe o varietate reiese din
13

Teorem a 3. Pentru un spat iu cu conexiune an a M si un vector nenul v,
tangent ^ nu2MlaM, avem c a exist a  si este unic a o geodezic a maximal a
(adic a o geodezic a care nu este o restrict ie a altei geodezice) dat a de aplicat ia
t7!Cv(t)astfel c aCv(0) =u si_Cv(0) = v.
^In relat ia (1.14) vom face urm atoarele notat ii
uk
;i=@uk
@xi(1.20)
 si
uk
;i=@uk
@xi+
k
ijuj=uk
;i+
k
ijuj(1.21)
Putem deduce u sor c a uk
;isunt componentele unui tensor de ordin 2 =
1 + 1. De asemenea, legea de derivare (1.21) se va numi lege de derivare
covariant a a vectorului contravariant u.
Pentru un vector covariant ude componente uk, legea de derivare covari-
ant a se scrie
uk;i=uk;i
j
ikuj (1.22)
Deci, ^ n general, pentru un tensor oarecare tlegea de derivare covariant a
devine:
ti1:::ip
j1:::jq;k=ti1:::ip
j1:::jq;k+X
h
ih
kiti1:::ih1iih+1:::ip
j1:::jqX
h
j
kjhti1:::ip
j1:::jh1jjh+1:::jq:(1.23)
1.2.3 Torsiunea  si curbura unei conexiuni
Fieu sivdou a c^ ampuri vectoriale contravariante. Denim paranteza celor
dou a c^ ampuri vectoriale, notat a [ u;v] ca ind:
[u;v]f=u(v(f))v(u(f)); (1.24)
undefeste o funct ie de clas a CppeM.
S a determin am acum componenta de ordin ia acestei paranteze.
[u;v]f=u(v(f))v(u(f)) =u(vif;i)v(uif;i) =
=uj(vif;i);jvj(uif;i);j=uj(vi
;jf;i+vif;ij)vj(ui
;jf;i+uif;ij) =
=ujvi
;jf;ivjui
;jf;i= (ujvi
;jvjui
;j)f;i:
14

Deci componenta de ordin ia lui [ u;v] este dat a de
[u;v] = [u;v]if;i= (ujvi
;jvjui
;j)f;i: (1.25)
Propriet at i.
(1) [u;v] =[v;u];
(2) [u;[v;w]] + [v;[w;u]] + [w;[u;v]] = 0;
(3)[u+v;w] =[u;w] +[v;w];8;2R:;
Denit ie 7. Spunem c a aplicat ia T:VV!Veste torsiunea
asociat a unei conexiuni ane dac a veric a
T(u;v) =Du
DvDv
Du+ [u;v]: (1.26)
Propriet at i.
(1)T(u;v) =T(v;u);
(2)T(u+v;w) =T(u;w) +T(v;w);
(3)T(fu;v) =fT(u;v);
pentru orice u;v;w2V sifde clas aCppeM.
Fie (U;') o hart a ^ n jurul lui u2M, iaru=uidi siv=vididou a
c^ ampuri vectoriale. Din relat iile (1.14)  si (1.25) deducem c a
T(u;v) = [vj(uk
;j+
k
ijui)uj(vk
;j+
k
ijvi) +ujvk
;jvjuk
;j]dk=
= (
k
ij
k
ji)uivjdk:(1.27)
Spunem c a un spat iu cu conexiune an a este f ar a torsiune dac aT= 0.
Deci din relat ia (1.27) deducem c a ^ ntr-un spat iu f ar a torsiune avem

k
ij=
k
ji: (1.28)
Teorem a 4. Pe orice varietate diferent iabil a cu conexiune an a, exist a
o conexiune f ar a torsiune.
Demonstrat ie. S a consider am o nou a lege de derivare dat a de
Du
Dv=Du
Dv1
2T(u;v): (1.29)
Folosind denit ia torsiunii  si propriet at ile acesteia, se poate ar ata imediat
c a relat ia anterioar a este ^ ntr-adev ar o lege de derivare pe M. S a determin am
acum tosiunea acestei noi legi de derivare:
15

T(u;v) =Du
DvDv
Du+[u;v] =Du
Dv1
2T(u;v)
Dv
Du+1
2T(v;u) +[u;v] =Du
DvDv
Du
T(u;v) +[u;v] =[u;v] +[u;v] = 0;(1.30)
datorit a unicit at ii parantezei dintre dou a c^ ampuri vectoriale. 
^In plus, se poate ar ata c a T(u;v) este un tensor, iar acesta se nume ste
tensorul de torsiune pe varietatea M.
Denit ie 8. Spunem c a aplicat ia R:VVV!Veste curbura
asociat a undei conexiuni ane dac a aceasta veric a:
R(u;v)w=D2w
DuDvD2w
DvDuDw
D[u;v]: (1.31)
Fie (U;') o hart a ^ n jurul lui u2M si c^ ampurile vectoriale u=uidi,
v=vjdj siw=wkdk. Atunci, din relat iile (1.25)  si (1.14) deducem c a
R(u;v)w=D
Du[(wk
;i+
k
ijwj)vidk]D
Dv[(wk
;i+
k
ijwj)uidk](ujvh
;j
vjuh
;j)Dw
Ddh=uhD
Ddh[(wk
;i+
k
ijwj)vidk]vhD
Ddh[(wk
;i+
k
ijwj)uidk]
(ujvh
;jvjuh
;j)D
Ddh(wkdk) =uh@
@xh[(wk
;i+
k
ijwj)vi]dk+uh(wk
;i+
+
k
ijwj)vi]Ddk
Ddhvh@
@xh[(wk
;i+
k
ijwj)ui]dkvh(wk
;i+
k
ijwj)uiDdk
Ddh
(ujvh
;jvjuh
;j)wk
;hdk(ujvh
;jvjuh
;j)wkDdk
Ddh=uh[(wk
;ih+
k
ij;hwj+
+
k
ijwj
;h)vi+ (wk
;i+
k
ijwj)vi
;h]dkvh[(wk
;ih+
k
ij;hwj+
k
ijwi
;h)ui+
+ (wk
;i+
k
ijwj)uj
;h]dk(ujvh
;jvjuh
;j)wk
;hdk+uhvi(wk
;i+
k
ijwj)
s
hkds
uivh(wk
;i+
k
ijwj)
s
hkds(ujvh
;jvjuh
;j)wk
s
hkds= (
k
ij;huhviwj

k
ij;huivhwj)dk+ (
k
ij
s
hkuhviwj
k
ij
s
hkuivhwj)ds=
= (
k
ij;h
k
hj;i+
s
ij
k
hs
s
hj
k
is)uhviwjdk;
adic a
rk
jhi=@
k
ij
@xk@
k
hj
@xi+
s
ij
k
hs
s
hj
k
is: (1.32)
16

Prin urmare, se poate ar ata c a Reste un tensor ale c arui componente
suntrk
jhinumit tensorul de curbur a asociat spat iului cu conexiune an a ales.
1.3 Spat ii cu conexiune metric a
1.3.1 Introducere
Scopul nostru, precizat ^ nc a de la ^ nceputul capitolului este acela de a descrie
c^ at mai bine o structur a de varietate diferent iabil a folosind ceea ce  stim din
geometria euclidian a. S tim c a bratul tangent al unei variet at i are o structur a
de spat iu an, iar pentru a-i oferi o structur a de spat iu euclidian, trebuie s a-i
asociem un produs scalar.
Astfel, vom deni produsul scalar dintre vectrorii bazei naturale locale pe
o hart a oarecare prin
gij=di
dj:
Cumgijnu depinde de harta aleas a, deducem c a acestea sunt componen-
tele unui tensor dublu covariant.
^Inainte de a continua, s a ne amintim c a prin produs scalar se ^ ntelege
u
v=<u;v>= (uidi)(vjdj) =gijuivj(1.33)
Din euclidian, ne amintim c a distant a dintre dou a puncte este dat a de
produsul scalar dintre vectorul care le une ste  si el ^ nsu si, adic a
l2=u
u, iarDl2
Du= 0;
unde u2TM
^Intr-o varietate diferent iabil a cu conexiune an a, aceast a distant  a va
dat a del2=u
u=gijuiuj. De asemenea, gij=gji^ ntruc^ at distant a de la
AlaBeste egal a cu distant a de la BlaA.
Mai mult, deriv^ and distant a ^ n raport cu un vector v2TMobt inem:
Dl2
Dv=Du
u
Dv=gij;kuiujvk+gijui
;kujvk+gijuiuj
;kvk=
=gij;kuiujvk+gijDu
Dvi
uj+gijDu
Dvj
ui=gij;kuiujvk:
CumDl2
Dv= 0, deducem c a gij;k= 0.
17

Denit ie 9. Spunem c a gse nume ste tensor metric (fundamental) pe o
varietate diferent iabil a dac a veric a
gij;k= 0: (1.34)
Proprietate. Regula urc arii  si cobor^ arii indicelui: gijgjk=k
i.
1.3.2 Spat ii Riemann
Pornind de la denit ia anterioar a, vom ^ ncerca s a determin am o expresie
pentru componentele conexiunii
k
ij.^In acest sens, presupunem c a indicii
inferiori ai acestor componente sunt simetrici (adic a avem o conexiune f ar a
torsiune). Astfel, aplic^ and legea de derivare covariant a pentru un tensor
dublu covariant, dat a de relat ia (1.23)  si permut^ and circular indicii, obt inem
gij;k
p
ikgpj
p
kjgip= 0
gik;i
p
jigpk
p
ijgjp= 0
gki;j
p
kjgpi
p
jigkp= 0:
Adun^ and ultimele dou a relat ii  si sc az^ and-o pe prima, deducem
gij;k+
p
ikgpj+
p
kjgip+gjk;i
p
jigpk
p
ikgjp+gki;j
p
kjgpi
p
jigkp= 0
Deci

p
ijgpk=1
2(gjk;i+gki;jgij;k): (1.35)
^In baza propriet at i de mai sus, ^ nmult im relat ia (1.35) cu gkq si sum^ and
dup aqobt inem

q
ij=1
2gkq(gjk;i+gki;jgij;k): (1.36)
Conexiunea ale c arei componente sunt descrise de relat ia (1.36) se nume ste
conexiune riemannian a.
Teorem a 5. Pe un spat iu Riemann exist a o unic a conexiune care sat-
isface: (i) Tensorul torsiune este nul; (ii) Produsul scalar este invariant ^ n
raport cu transportul paralel.
Aceast a teorem a ne asigur a unicitatea conexiunilor ane pe un spat iu
Riemann, compatibile cu metrica dat a.
18

^Inainte de a continua, vom preciza c^ ateva notat ii utile pentru u surarea
calculelor viitoare. Anume
[ij;k] =1
2(gjk;i+gki;jgij;k);
k
ij
=gks[ij;s]:(1.37)
Aceste simboluri poart a numele de simbolurile lui Christoel de prima ,
respectiv a doua spet  a .
Se observ a c a aceste simboluri sunt simetrice, adic a
[ij;k] = [ji;k]  sik
ij
=k
j i
:
De asemenea, analiz^ and mai atent cele dou a simboluri, putem deduce
urm atoarele relat ii:
[ij;k] =gkss
ij
; (1.38)

k
ij=k
ij
; (1.39)
gij;k= [ik;j] + [jk;i]; (1.40)
gij;k=gsjns
iko
+gsis
j k
: (1.41)
1.3.3 Tensorul de curbur a Riemann-Chirstoel. Ten-
sorul lui Ricci. Tensorul lui Einstein
Tensorul ale c arui componente sunt descrise de relat ia (1.32) se nume ste ten-
sorul Riemann-Christoel . Acesta mai poate  scris, folosind relat ia (1.39)
astfel:
ri
jhk=@
@xhi
kj
@
@xki
hj
+s
kji
hs
s
hji
ks
:(1.42)
De asemenea, din rijhk=giprp
jhk^ mpreun a cu relat iile (1.38)  si (1.42),
19

componentele covariante ale acestui tensor devin
rijhk=gip@
@xhp
kj
gip@
@xkp
hj
+gipnp
hsos
kj

gipnp
ksos
hj
=@
@xh
gipp
kj
p
kj
gip;h
@
@xk
gipp
hj
+p
hj
gip;k+ [hs;i]s
kj
[ks;i]s
hj
=
=@
@xh[kj;i]@
@xk[hj;i]p
kj
([ih;p] + [ph;i]) +q
hj
([ik;p]+
+ [pk;i]) + [hs;i]s
kj
[ks;i]s
hj
;
de unde
rijhk=@
@xh[kj;i]@
@xk[hj;i] + [ik;p]p
hj
[ih;p]p
kj
: (1.43)
Propriet at i. Consider^ and relat iile (1.42)  si (1.43) obt inem urm atoarele
propriet at i pentru tensorul de curbur a:
(1)ri
jhk=ri
jkh;
(2)rijhk=rijkh;
(3)rijhk=rjihk;
(4)rijhk=rhkij;
(5)ri
jhh= 0 (f ar a sumare);
(6)ri
jhk+ri
hkj+ri
kjh= 0;
(60)rijhk+rihkj+rikjh= 0;
(7)ri
jhk;p+ri
jkp;h+ri
jph;k= 0:
Relat iile (6)  si (7) se numesc identit at ile lui Bianchi .
Teorem a 6. Tensorul de curbur a Reste singurul tensor care poate
construit  stiind doar tensorul metric  si derivatele sale part iale de ordin unu
 si doi. Mai mult, acesta este liniar ^ n derivatele part iale de ordin doi.
Demonstrat ie. ^In continuare vom prezenta doar o schit  a a demonstrat iei,
urm^ and ca pentru o ^ ntelegere deplin a a acesteia, cititorul este ^ ndrumat
s a consulte cartea "Tehnici de calcul spinorial  si tensorial neeuclidian cu
aplicat ii" de I. Beju, E. So os  si P.P. Teodorescu, Editura Tehnic a, Bucure sti,
1979, p. 155 .
20

Fix am un punct oarecare  si alegem un sistem de coordonate astfel ^ nc^ at
componentele conexiunii s a e nule. Mai mult, vom alege doar schimb arile
de coordonate care p astreaz a valoarea nul a a coecient ilor conexiunii.
Consider^ and legea de transformare a conexiunii ^ n urma unei schimb ari
de coordonate, ^ mpreun a cu cele prezentate 1.3.2 , deducem un nou tensor o
dat a contravariant  si de trei ori covariant. Mai mult, atunci c^ and conexiunea
este nul a, acel tensor poate  identicat cu tensorul de curbur a R, iar aceast a
asociere este independent a de sistemul de coordonate ales. 
Dac a ne propunem s a contract am tensorul de curbur a, observ am imediat
c a singura contract ie important a este cea dat a de
Rjh=ri
jhi=@
@xhi
ij
@
@xii
hj
+s
iji
hs
s
hji
is
:
(1.44)
Acesta este un tensor simetric si se nume ste tensorul lui Ricci. Con-
tract^ and  si acest tensor, obt inem un scalar dat de
R=Ri
i=gihRih=gihrk
ihk=gihgjkrjihk; (1.45)
iar acesta se nume ste curbura riemannian a scalar a.
Trec^ and identitatea lui Bianchi descris a ^ n relat ia (7), la forma sa covari-
ant a, obt inem
rijhk ;p+rijkp;h+rijph;k= 0: (1.46)
^Inmult ind aceast a relat ie cu gikgjh si sum^ and ^ n funct ie de tot i indicii de
sumare, avem c a
gikgjhrijhk ;p+gikgjhrijkp;h+gikgjhrijph;k=gjhrk
jhk;p +gjhrk
jkp;h
gikrh
iph;k=gjhRjh;pgjhRjp;hgikRip;k=R;pRh
p;hRk
p;k=
=R;p2Rk
p;k= 0
Deci 
Rk
p1
2k
pR
;k= 0: (1.47)
Tensorul
Ek
p=Rk
p1
2k
pR; (1.48)
se nume ste tensorul lui Einstein , iar relat ia (1.47) se poate scrie
Ek
p;k= 0 (1.49)
21

1.3.4 Denirea distant ei ^ n spat ii Riemann
Denit ie 10. Fie un drum C: [a;b]!M. Atunci lungimea drumului C
va  dat a de
L(C) =Zb
aj_C(t)jdt; (1.50)
undet2[a;b].
Vom deni distant a dintre dou a puncte u1;u22Mca ind dat a de:
d(u1;u2) = inf
CL(C); (1.51)
pentru orice drum C^ ntre cele dou a puncte.
Este interesant de observat c a topologia de spat iu metric indus a de funct ia
distant  a coincide cu topologia init ial a a variet at ii considerate. Deci distant a
este o not iune intrinsec a pe un spat iu Riemann.
Teorem a 7. FieCun drum ^ ntre dou a puncte dintr-un spat iu Riemann.
Dac a lungimea drumului este egal a cu distant a dintre cele dou a puncte, atunci
drumul considerat este o geodezic a.
Demonstrat ie. Fie
= (u1=a1< a 2< ::: < a p=u2) o partit ie a
drumuluiC.
Din denit ia lungimii unui drum, dat a ^ n relat ia (1.50), deducem c a suma
tuturor lungimilor segmentelor este chiar drumul considerat init ial. Dar pro-
priet at ile distant ei ne arat a c a distant a dintre cele dou a puncte este mai mic a
sau egal a dec^ at suma distant elor dintre segmentele considerate.
Astfel, din cele considerate, ^ mpreun a cu relat ia (1.51), deducem c a:
d(u1;u2)p1X
i=1d(ai;ai+1)p1X
i=1L(C
i) =L(C); (1.52)
unde am notat cu C
idrumurile de capete ai;ai+1din partit ia
.
Din ipotez a, d(ai;ai+1) =L(C
i). Deci ecare segment C
ieste o
geodezic a, de unde rezult a concluzia. 
Ideile prezentate in acest capitol au fost preluate preponderent din cartea
"Tehnici de calcul spinorial  si tensorial neeuclidian cu aplicat ii" de I. Beju,
E. So os  si P. P. Teodorescu, Editura Tehnic a, Bucure sti, 1979 .
22

Capitolul 2
Introducere ^ n teoria
relativit at ii
2.1 Teoria relativit at ii restr^ anse
2.1.1 Introducere
Teoria relativit at ii propus a de Albert Einstein este una dintre cele mai im-
portante teorii din zica modern a. Aceasta este divizat a ^ n teoria relativit at ii
restr^ anse (1905)  siteoria relativit at ii generale (1915) .
^In vederea elabor arii teoriei relativit at ii restr^ anse, Einstein a fost nevoit
sa admit a dou a ipoteze.
^In primul r^ and, legile zicii trebuie s a r am^ an a acelea si indiferent de repe-
rul inert ial ales. Not am faptul c a prin reper inert ial se va ^ ntelege un reper
^ n raport cu care obiectele asupra c arora nu act ioneaz a nici o fort  a, se mi sc a
rectiliniu  si uniform. Acest principiu poart a numele de principiul relativit at ii
restr^ anse . O consecint  a imediat a a acestui principiu este faptul c a, ^ n con-
trast cu teoria lui Newton, nu mai exist a nici un reper absolut ^ n raport cu
care s a descriem pozit ia sau viteza unui obiect.
A doua ipotez a arm a c a viteza luminii r am^ ane constant a indiferent de
reperul inert ial ales. Acest principiu poart a numele de principiul constant ei
vitezei luminii .
Se observ a imediat c a aceste postulate ridic a numeroase^ ntreb ari precum:
Cum descriem viteza unui obiect?, Ce este timpul?, Ce se ^ nt^ ampl a cu viteza
luminii dac a sursa din care provine se a
 a ^ n mi scare?
Toate acestea ^  si vor g asi r aspunsul ^ n cele ce urmeaz a.
23

Este important de ret inut c a aceast a teorie a fost demonstrat a experi-
mental, dar vitezele la care suntem supu si zilnic, sunt mult prea mici pentru
a-i observa efectele.
2.1.2 Transform ari Lorentz. Consecint e ale postulatelor
relativit at ii restr^ anse
Din principiul relativit at ii restr^ anse, observ am c a lipsa unui reper absolut ne
constr^ ange s a denim toate propriet at ile unui obiect sau eveniment ^ n raport
un (relativ la) un reper inert ial xat.
Pentru a ^ nt elege ^ n detaliu problema ridicat a de principiul constant ei
vitezei luminii, vom face urm atorul exercit iu de imaginat ie.
S a ne imagin am c a dou a persoane vor s a ^  si sincronizeze ceasurile. Pentru
aceasta, ei se hot ar asc ca ecare s a xeze dou a oglinzi paralele  si s a trimit a
simultan o raz a de lumin a perpendicular pe suprafat a unei oglinzi. Mai mult,
cele dou a oglinzi sunt pozit ionate astfel ^ nc^ at raza luminoas a s a ajung a de
la una la cealalt a ^ ntr-o jum atate de secund a. Deci o secund a pe ceas va
denit a de perioada in care raza luminoas a pleac a de la una din oglinzi, se
re
ect a din cealalt a  si se ^ ntoarce ^ napoi.
Av^ and aceste reguli, cei doi convin c a atunci c^ and sunt in stare de repaus,
ceasurile lor se mi sc a cu aceea si frecvent  a. Dar ce se^ nt^ ampl a dac a una dintre
persoane decide s a se deplaseze cu o anumit a vitez a vrelativ la cea de-a doua
persoan a?
^In acest caz, din perspectiva persoanei a
ate ^ n mi scare ceasul pare c a
se mi sc a cu aceea si frecvent  a ca atunci c^ and se a
a ^ n repaus. Din punctul
de vedere al observatorului, ^ ns a, de si distant a dintre oglinzi r am^ ane aceea si,
acesta observ a c a lumina str abate o distant  a mai mare, iar cum viteza luminii
este constant a, ea va conclude c a ceasul persoanei a
ate ^ n mi scare se mi sc a
mai ^ ncet.
Acest fenomen poart a numele de dilatare temporal a  si este reprezentat ^ n
gura Fig. 2.1.
^In mod natural, ne vom ^ ntreba care este diferent a dintre cele dou a cea-
suri. Pentru aceasta, vom nota viteza luminii cu c si va constitui distant a de
la persoana a
at a ^ n mi scare, la oglind a. De asemenea, a sa cum am precizat
mai sus, observatorul consider a c a ceasul persoanei a
ate ^ n mi scare se mi sc a
mai ^ ncet cu un factor
fat  a de ceasul s au. Deci distant a parcurs a de raza
luminoas a din perspectiva sa va
c.
24

A sadar, totul se va reduce la triunghiul dreptunghic cu ipotenuza
c si
catetele distant a cde la persoana a
at a ^ n mi scare, la oglind a  si distant a
v
parcurs a de aceast a persoan a. Aplic^ and teorema lui Pitagora deducem
(
c)2=c2+ (
v)2(2.1)
care se reduce la

=1r
1v2
c2: (2.2)
Aceast a m arime poart a numele de factorul
al lui Lorentz.
Fig. 2.1
Din principiul relativit at ii restr^ anse,  stim c a un set de coordonate pentru
un punct dat este valabil doar ^ ntr-un anumit reper. Pentru a descrie totu si
acel obiect  si ^ n alte repere, vom  nevoit i s a denim un set de transform ari
de coordonate numit transform ari Lorentz .
^In mare, aceste transform ari se realizeaz a prin rotirea reperului ^ n jurul
unor axe spat iale ^ mpreun a cu deplasarea acestuia ^ ntr-o anumit a direct ie.
Astfel, dac a deplas am reperul init ial dat de coordonatele ( x1;x2;x3;x4) ^ n
lungul axei x1cu vitezav, vom obt ine un nou set de coordonate ( x01;x02;x03;x04)
caracterizat prin formulele:
25

x0=x1vx4
r
1v2
c2()x1=x01+vx04
r
1v2
c2;
x02=x2;
x03=x3;
x04=x4x1v
c2r
1v2
c2()x4=x04+x01v
c2r
1v2
c2;(2.3)
unde componentele x, respectivx0(= 1;2;3) reprezint a componentele
spat iale, iar x4 six04sunt componente temporale. Aceste relat ii se numesc
transform arile lui Lorentz .
S a not am reperele de mai sus cu K0, respectiv K1, iar pentru a evita
confuzia, vom renota viteza reperului K1^ n raport cu K0cuv1. Consider am
acum un alt reper K2care se mi sc a rectiliniu  si uniform cu viteza v2^ n raport
cu reperulK1^ n direct ia axei x1(vezi Fig. 2.2).
Fig. 2.2
Diferent iind relat iile de mai sus  si ^ mp art ind pe prima la ultima, obt inem
26

c a viteza reperului nou format ^ n raport cu reperul init ial este
v=dx1
dx4=dx01+v1dx04
r
1v2
c2r
1v2
c2
dx04+v1dx01
c2=dx01+v1dx04
dx04+v1dx01
c2=dx01
dx04+v1
1 +v1
c2dx01
dx04=v2+v1
1 +v1v2
c2:
(2.4)
Astfel am a
at formula de compunere a vitezelor. ^In plus, dac a alegem
v1=c, atunci
v=c+v2
1 +v2
c=c+v2
c+v2
c=c: (2.5)
Deci viteza luminii r am^ ane constant a indiferent de viteza cu care o com-
punem.
S a prezent am acum c^ ateva consecint e ale acestor transform ari.
Presupunem c a avem o rigl a paralel a cu axa x1. Din perspectiva unui
observator a
at ^ n acela si reper cu rigla, lungimea acesteia este dat a de L=
xBxA, unde am notat cu xA sixBcoordonatele pe axa x1a capetelor riglei
considerate. Dac a un alt observator care se mi sc a rectiliniu  si uniform cu
vitezav^ n raport cu primul reper, vrea s a m asoare aceast a rigl a la momentul
x04, atunci lungimea acestia va  dat a de L0=x0
Bx0
A, iar din transform arile
Lorentz avem:
L=xBxA=x0
B+vt0x0
Avt0
r
1v2
c2=x0
Bx0
Ar
1v2
c2=L0
r
1v2
c2>L0(2.6)
Deci lungimea obiectului m asurat a de un observator a
at ^ n repaus este
mai mare dec^ at cea m asurat a de un observator a
at ^ n mi scare. Adic a cu
c^ at viteza de deplasare este mai mare, cu at^ at un obiect va p area mai mic.
Presupunem acum c a avem dou a evenimente ce se petrec ^ n acela si punct
pe axax1, dar la momente de timp diferite notate t1 sit2(de exemplu
^ nceputul  si sf^ ar situl unui fenomen). Durata acestui fenoment, m asurat a
de un observator a
at ^ n repaus fat  a de reperul ales, va  t=t2t1. Din
perspectiva unui observator care se mi sc a cu o vitez a vrelativ la reperul
init ial, durata dintre cele dou a evenimente va  dat a de t0=t0
2t0
1. Astfel,
27

conform transform arilor lui Lorentz, vom avea
t0=t0
2t0
1=t2vx1
c2t1+vx1
c2r
1v2
c2=t2t1r
1v2
c2=tr
1v2
c2>t (2.7)
Deci timpul m asurat de observatorul a
at ^ n mi scare relativ la reperul
init ial este mai mare dec^ at cel m asurat de un observator a
at ^ n repaus fat  a
de acela si reper. A sadar, un fenomen va p area c a dureaz a mai mult pentru
un observator a
at ^ n mi scare.
Astfel am pus ^ n evident  a caracterul relativ al simultaneit at ii.
2.1.3 Leg atura dintre mas a  si energie
Masa unui obiect m asoar a capacitatea acestuia de a se opune act iunii unei
fort e care i-ar putea modica starea de mi scare. ^In relativitate, expresia
masei are forma
m=m0
=m0r
1v2
c2(2.8)
undem0este masa corpului a
at ^ n repaus, iar veste viteza de deplasare a
corpului considerat.
Aceast a m arime se num ste masa relativist a a corpului. Se observ a u sor c a
valoarea acestei m arimi este strict legat a de viteza de deplasare a obiectului.
Dac a dezvolt am ^ n serie Taylor termenul
, deducem c a

=1r
1v2
c2= 1 +1
2v2
c2+:::;
iar pentru viteze mult mai mici dec^ at viteza luminii, putem spune, cu o bun a
aproximare, c a
1r
1v2
c2=1 +1
2v2
c2:
^Inlocuind ce am obt inut mai sus ^ n relat ia (2.8), vom putea aproxima
masa relativist a astfel:
m=m0
1 +1
2v2
c2
=m0+1
c2m0v2
2
28

Ceea ce^ ncer am noi s a a
 am este c^ at de mult cre ste masa unui corp atunci
c^ and viteza acestuia a crescut de la 0 la v. Vom nota aceast a diferent  a cu

m si va  dat a de

m=mm0=1
c2m0v2
2: (2.9)
Mai mult, remarc am faptul c am0v2
2este chiar energia cinetic a descris a ^ n
mecanica clasic a. ^In cazul nostru, aceast a m arime este diferent a de energie
a corpului ^ n urma trecerii de la viteza 0 la v si se noteaz a
E.
Cu aceste notat ii putem rescrie relat ia (2.9)

m=1
c2
E: (2.10)
A sadar, dac a avem un corp de mas a m, energia total a pe care acesta o
poate ceda este dat a de
E=mc2: (2.11)
Aceast a ecuat ie pune ^ n evident  a faptul c a dac a un corp cedeaz a sau
prime ste energie, atunci  si masa acestuia se va modica corespunz ator. ^In
plus, datorit a prezent ei termenului c2, deducem c a p^ an a  si o modicare mic a
a masei, va avea ca rezultat o schimbare considerabil a a energiei.
Trebuie ret inut totu si c a aceast a relat ie nu indic a o echivalent  a ^ ntre mas a
 si energie  si nici faptul c a masa se poate transforma ^ n energie (sau invers).
Cele dou a not iuni caracterizeaz a propriet at i diferite ale materiei  si de aceea
nu pot  considerate echivalente.
2.2 Teoria relativit at ii generale
2.2.1 Introducere
Teoria relativit at ii reprezint a una dintre cele mai importante teorii din zica
modern a, av^ and nenum arate aplicat ii chiar  si ^ n viata de zi cu zi (sisteme
de localizare GPS). Teoria relativit at ii generale a ap arut ca o generalizare
a teoriei relativit at ii restr^ anse ^ ntruc^ at cea din urm a nu lua ^ n calcul  si
efectele c^ ampului gravitat ional. Einstein a constatat c a ^ n prezent a unui
c^ amp gravitat ional, nu se mai pot folosi rigle  si ceasuri standard pentru de-
scrierea unui eveniment deoarece acestea sunt in
uent ate de c^ ampul specicat
anterior. Mai mult, principiul constant ei vitezei luminii trebuie abandonat,
29

iar principiul relativit at ii restr^ anse va  generalizat spun^ and astfel c a legile
zicii au aceea si form a indiferent de sistemul de coordonate admisibil la care
ne raport am. Acest nou principiu poart a numele de principiul echivalentt ei
al lui Einstein.
^Inainte de a continua, s a facem un exercit iu de imaginat ie pentru a ilustra
leg atura dintre cele dou a teorii, dar  si pentru a asigura o bun a ^ nt elegere a
considerat iilor urm atoare.
^In acest sens, s a presupunem c a o persoan a se a
 a ^ ntr-un lift la o distant  a
considerabil a de sol. La un moment dat, mecanismul de prindere al liftu-
lui cedeaz a rezult^ and ^ n caderea liber a a acestuia. Din moment ce aceast a
c adere se produce brusc, persoana a
at a ^ n auntru va r am^ ane pentru o clip a
suspendat a ^ n aer ca  si cum c^ ampul gravitat ional din jurul s au ar  disp arut.
Acest fenomen pune ^ n evident  a faptul c a, local, putem descrie un eveni-
ment folosind teoria relativit at ii restr^ anse printr-o alegere convenabil a de
reper. ^In plus, un astfel de reper exist a totdeauna.
Ne propunem acum s a descriem spat iul sub in
uent a unui c^ amp gravitat ional.
Pentru aceasta, vom conveni ca prin indicii notat i cu litere latine s a se
^ nt eleag a numere naturale din intervalul ^ nchis [1 ;4], iar cu litere grece sti
numere naturale din intervalul ^ nchis [1 ;3].
Vom modela matematic universul evenimentelor reale prin intermediul
unei variet at i diferent iabile pseudoriemanniene de dimensiune 4 notat a R,
astfel c a ec arui eveniment ^ i corespunde un punct pe varietate descris ^ n
mod unic de un sistem de valori x1;x2;x3;x4numit sistem de coordonate .
Not am totu si c a aceast a unicitate se realizeaz a doar pentru evenimente care
nu coincid.
A sadar, dac a un eveniment raportat la un reper oarecare Keste modelat
matematic prin sistemul de coordonate xi, atunci o schimbare de reper va
avea drept rezultat  si o schimbare a sistemului de coordonate. Se observ a
totu si c a reciproca nu este totdeauna adev arat a. De asemenea, primele trei
componente ale sistemului de coordonate vor descrie coordonatele spat iale
ale evenimentului, iar cea de-a patra va descrie componenta temporal a a
acestuia.
Important a calculului tensorial ^ n elaborarea teoriei relativit at ii generale
reiese din posibilitatea de a exprima componentele unui tensor ^ n orice sistem
de coordonate (admisibil)  stiind componentele acestuia ^ n sistemul init ial  si
legea de transformare de la un sistem la altul. Deci dac a un tensor are
componentele nule ^ n sistemul init ial, atunci va avea componentele nule ^ n
orice alt sistem de coordonate (admisibil).
30

Dac a alegem coordonatele spat iale  si 4coordonata temporal a a unui
eveniment, m asurate natural folosind rigle  si ceasuri standard, atunci m arimea
ds2=dd+c2(d)2; (2.12)
undeceste viteza de propagare a luminii ^ n vid, reprezint a invariantul
fundamental de tip Minkowski  si descrie distant a dintre dou a evenimente
spat iotemporale vecine.
Aleg^ and c^ ate un sistem de coordonate admisibil xipentru cele dou a eveni-
mente, putem exprima componentele diconform relat iei
di=@i
@xjdxj;
cu ajutorul c areia putem scrie relat ia (2.12) sub forma
ds2=gijdxidxj; (2.13)
undegijsunt componentele tensorului metric fundamental. Aceast a relat ie
descrie metrica variet at ii considerate.
^In particular, ^ n teoria relativit at ii restr^ anse, tensorul metric fundamental
va  dat de
gij=ij=0
BB@1 0 0 0
01 0 0
0 01 0
0 0 0 c21
CCA(2.14)
 si se nume ste tensorul lui Minkowski . Metrica pentru un astfel de spat iu va
 dat a de
ds2=ijdxidxj=dx1dx2dx3+c2(dx4)2
 si se nume ste metrica Minkowski .
Dac a invariantul fundamental este negativ, atunci spunem c a cvadrivec-
torul de componente dieste temporal, dac a este pozitiv, atunci este spat ial,
iar dac a este nul, atunci descrie ecuat ia unui con real denumit conul luminos
elementar .
Pentru a clarica not iunea de con luminos, vom considera c a avem un
eveniment real modelat de un punct a2Rprintr-un sistem de coordonate
xi. Av^ and ^ n vedere relat ia de denire a conului luminos elementar
ds2=gijdxidxj= 0 (2.15)
31

 si din considerat iile expuse p^ an a acum, putem s a atribuim punctului aun
con luminos anterior  si unul posterior cu v^ arfurile ^ n acest punct. Mai
mult, aceast a atribuire este independent a de sistemele de coordonate sau
de reperele alese.
S a presupunem coordonatele spat iale xate ( x=const: )  si s a alegem
dx46= 0. Dac adx4>0 atunci elementul de linie (sau de curb a), care pleac a
din punctul a, se g ase ste ^ n conul posterior, iar pentru dx4<0 acesta se
g ase ste ^ n conul anterior.
Sensul zic al acestor considerat ii reiese din faptul c a evenimentele a
ate
^ n conul anterior pot  considerate drept cauze ale evenimentului, iar cele
a
ate ^ n conul posterior pot  efecte ale acestuia. Toate aceste considerente
sunt exprimate  si ^ n gura Fig. 2.3.
Fig. 2.3
Dac a ^ n schimb alegem coordonata x4constant a, iar x6= 0, atunci ele-
mentul de linie (sau de curb a) care pleac a din punctul ase g ase ste ^ ntre cele
dou a regiuni. Acest fapt are drept consecint  a ^ n zic a incapacitatea atribuirii
unei relat ii cauzale ^ ntre dou a evenimente ce se petrec ^ n acela si timp (adic a
dx4= 0).
Reformul^ and cele de mai sus, spunem c a dac a avem dou a evenimente
32

ce se petrec simultan ^ ntr-un reper admisibil (^ n sensul c a dx4= 0), dar
coordonatele spat iale sunt diferite ^ n raport cu acela si reper, atunci nu putem
lega cele dou a evenimente printr-un semnal (chiar dac a este de tip luminos).
Astfel am enunt at principiul cauzalit at ii al lui Einstein .
Din acest principiu, ^ mpreun a cu principiul echivalent ei al lui Einstein,
putem spune c a orice punct din varietatea considerat a Rdotat cu un sistem
de coordonate xiadmite o transformare de coordonate i=i(xj) astfel ^ nc^ at
expresia invariantului fundamental s a devin a
ds2=ijdidj; (2.16)
undeijsunt componentele tensorului Minkowski.
Mai mult, dac a diferent iem transformarea local a considerat a, obt inem
di=@i
@xjdxj
 si deci, putem exprima componentele tensorului fundamental gij^ n sistemul
de coordonate xi^ n funct ie de componentele tensorului Minkowski ij^ n
sistemul de coordonate iastfel
gij=@k
@xi@h
@xjkh: (2.17)
Din aceast a relat ie obt inem c a determinantul tensorului metric fundamental
g=jgijjtrebuie s a e negativ, adic a g<0.
2.2.2 Ecuat iile de c^ amp ale lui Einstein
La sf^ ar situl anului 1915, Einstein a admis ^ n mod axiomatic faptul c a legea
c^ ampului gravitat ional este dat a de
Eij=Tij; (2.18)
undeEijsunt componentele covariante ale tensorului lui Einstein dedus ^ n
capitolul anterior, Tijsunt componentel tensorului simetric energie-impuls
care descrie sursele c^ ampului gravitat ional, iar reprezint a constanta gravitat ional a
universal a a lui Einstein.
S tim c a divergent a covariant a a tensorului lui Einstein este nul a ( vezi
relat ia (1.49)) deci  si divergent a tensorului energie-impuls va  nul a, adic a
Ti
j;i= 0: (2.19)
33

Rezolvarea relat iilor (2.20) presupune determinarea funct iilor gijcunosc^ and
tensorul energie-impuls  si condit iile la limit a. Altfel spus, trebuie s a rezolv am
zece ecuat ii diferent iale cu derivate part iale de ordin doi dintre care, datorit a
divergent ei nule a tensorului lui Einstein, numai  sase din ele sunt indepen-
dente. Acest lucru indic a faptul c a dac a avem date tensorul energie-impuls
 si condit iile la limit a, nu putem determina unic toate cele zece potent iale
gravitat ionale gij.
Pentru a aborda aceast a problem a, vom considera cazul particular ^ n care
c^ ampul gravitat ional este static  si de intensitate slab a. ^In acest caz, putem
presupune c a tensorul metric fundamental are componentele de forma
gij=ij+
ij; (2.20)
undeijsunt componentele tensorului Minkowski, iar
;
4
c si
44
c2sunt
funct ii aplicate coordonatelor spat iotemporale alese  si care sunt at^ at de mici
^ nc^ at produsul lor este neglijabil comparativ cu valorile ^ nsele.
Folosind denit a tensorului Ricci ( vezi relat ia (1.44))  si aplic^ and relat ia
(1.39) ^ mpreun a cu (2.14)  si (2.20) obt inem
Rij=1
2kh
ij;kh1
2kh"

hj;k1
2
hk;j
;i+

ki;h1
2
hk;i
;j#
(2.21)
F ar a a intra ^ n detalii, din principiul einsteinian al echivalent ei, observ am
^ mpreun a cu Einstein c a geometria variet at ii r am^ ane neschimbat a la trans-
form ari de coordonate innitezimale, iar c^ ampul gravitat ional este descris
de potent iale gravitat ionale diferite ^ n sisteme de coordonate diferite. Altfel
spus, dac a avem date sursele  si condit iile la limit a pentru ecare sistem de
coordonate, atunci putem determina ^ n mod unic ecuat iile de c^ amp aleg^ and
convenabil reperul.
Prin urmare, aleg^ and sistemul de coordonate astfel ^ nc^ at m arimile
ijs a
respecte
kh

hj;k1
2
kh;j
= 0; (2.22)
expresia tensorului lui Ricci precizat a anterior devine
Rij=1
2kh
ij;kh: (2.23)
Deci, ^ ntr-un c^ amp gravitat ional static, slab, sistemul ecuat iilor de c^ amp
se reduc ^ n prim a aproximat ie la ecuat iile lui Newton, Poisson, Laplace. Mai
34

mult, av^ and ^ n vedere leg atura dintre principiul echivalent ei  si principiul
cauzalit at ii ale lui Einstein, ajungem la concluzia c a dac a am determinat
o solut ie a ecuat iilor de c^ amp, atunci prin schimb ari ale sistemelor de co-
ordonate admisibile, putem determina din aceasta un num ar arbitrar de
alte solut ii zic echivalente. A sadar, ^ n sistemul ecuat iilor de c^ amp trebuie
s a existe patru ecuat ii din cele zece care s a e satisf acute de potent ialele
gravitat ionale gij.
S a calcul am acum ecuat iile de c^ amp pentru cazul c^ ampurilor gravitat ionale
statice, slabe. Pentru u surarea calculelor vom face notat iile:

ij=
ij1
2ijpq
pq; (2.24)
care implic a

ij=
ij1
2ijpq
pq: (2.25)
S tiind c a potent ialele gravitat ionale sunt de forma (2.20), introduc^ and
notat iile (2.25) ^ n relat ia (2.21) obt inem
Rij=1
2kh

ij1
2ijpq
pq
;kh1
2kh" 

hj1
2hjpq
pq
;k
1
2

hk1
2hkpq
pq
;j!
;i+ 

ki1
2kipq
pq
;h1
2

hk
1
2hkpq
pq
;i!
;j3
5=1
2kh
ij;kh1
4ijkhpq
pq;kh1
2kh

hj;ki
1
2hjpq
pq;ki1
2
hk;ji+1
4hkpq
pq;ji+
ki;hj1
2kipq
pq;hj
1
2
hk;ij+1
4hkpq
pq;ij
=1
2kh
ij;kh1
4ijkhpq
pq;kh1
2kh
hj;ki
1
2
ki;hj1
2kh1
2hkpq
pq;ij
hk;ij1
2kipq
pq;hj1
2hjpq
pq;ki
:
Mai sus am specicat c a putem efectua schimb ari de coordonate innitez-
imale f ar a a modica geometria variet at ii. Astfel, printr-o rotire convenabil a
a reperului, expresia anterioar a se reduce la
Rij=1
2kh
ij;kh1
4ijkhpq
pq;kh1
2kh
hj;ki1
2kh
ki;hj:(2.26)
35

Contract^ and aceste componente obt inem
R=gijRij=ijRij=ij1
2kh
ij;kh1
4ijkhpq
pq;kh1
2kh
hj;ki
1
2kh
ki;hj
=1
2ijkh
ij;kh1
4ijijkhpq
pq;kh1
2kh
hj;ki
1
2ijkh
ki;hj=1
2ijkh
ij;khkhpq
pq;kh1
2ijkh
hj;ki1
2ijkh
ki;hj;
de unde
R=1
2khpq
pq;kh1
2ijkh
hj;ki1
2ijkh
ki;hj (2.27)
^Inlocuind acum aceste rezultate ^ n relat ia care exprim a componentele
tensorului lui Einstein deducem
Eij=Rij1
2gijR=Rij1
2ijR=1
2kh
ij;kh1
4ijkhpq
pq;kh
1
2kh
hj;ki1
2kh
ki;hj+1
4ijkhpq
pq;kh+1
4ijijkh
hj;ki+
+1
4ijijkh
ki;hj=1
2kh
ij;kh1
2kh
hj;ki1
2kh
ki;hj+
+kh
hj;ki+kh
ki;hj;
care prin schimb ari de coordonate innitezimale se reduce la
Eij=1
2kh
ij;kh1
2kh
ki;hj1
2kh
hj;ki: (2.28)
Consider^ and de asemenea restrict ia
kh
hj;k= 0 (2.29)
 si av^ and ^ n vedere principiul echivalent ei al lui Einstein  si folosind relat ia
(2.22) obt inem c a ecuat iile de c^ amp pentru un c^ amp gravitat ional static  si
slab au forma
kh
ij;kh=2Tij: (2.30)
36

2.2.3 Consecit e ale ecuat iilor de c^ amp
^Inainte de a continua, vom preciza doi operatori clasici din teoria c^ ampului,
anume divergent a unui c^ amp vectorial u, respectiv operatorul lui Laplace
pentru un c^ amp scalar f. Astfel, divergent a este dat a de
divu=ui
;i=ui
;i+
i
ijuj=ui
;i+1
2gg;juj;
care atunci c^ and geste strict pozitiv devine
divu=1pgpgui
;i+1
2pgg;iui
=1pg(pgui);i;
undeg=jgijj, iar operatorul lui Laplace este dat de

f= div(grad f) = (gijf;j);i=gijf;ij:
O prim a consecint  a a ecuat iilor de c^ amp o reprezint a legea de bilant 
a energiei  si impulsului unui sistem sistem zic care genereaz a un c^ amp
gravitat ional. Matematic ea reprezint a anularea divergent ei covariante a ten-
sorului energie-impuls Tasociat surselor de c^ amp.
Din denit ia divergent ei covariante dat a mai sus, simetria tensorului T
 si leg atura dintre componentele tensorului metric fundamental  si cele ale
conexiunii metrice asociate, putem rescrie legea de bilant  (2.19) sub forma
(pgTi
j);i1
2pggkh;jTkh= 0;
(pgTj
i);jpg
k
ijTj
k= 0;(2.31)
Din aceste relat ii putem deduce dou a observat ii foarte importante. ^In
primul r^ and, datorit a prezent ei potent ialelor gravitat ionale  si a componen-
telor conexiunii metrice^ n cele dou a relat ii este evident iat a in
uent a c^ ampului
gravitat ional asupra evenimentelor ce se petrec ^ n acest c^ amp.
De asemenea, se observ a c a pritr-o alegere convenabil a a sistemului de
coordonate, componentele
k
ijpot  anulate. ^In zic a, acest lucru indic a
faptul c a exist a un reper inert ial ^ n raport cu care c^ ampul gravitat ional se
poate "anihila", deci ^ n raport cu care sunt valabile considerentele din teoria
relativit at ii restr^ anse.
37

O alt a consecit  a a ecuat iilor de c^ amp o reprezint a legea care dene ste
mi scarea unui punct material. ^In acest sens, vom deni componentele con-
travariante ale tensorului energie-impuls prin
Tij=0wiwj; (2.32)
unde
wi=dxi
ds(2.33)
constituie componentele contravariante ale vectorului vitez a w, iarseste
m arimea care m asoar a lungimea de la un punct xat pe linia de univers a
particulei dat a de xi=xi(s)  si particula ^ ns a si. De asemenea, 0=0(xi)
reprezint a densitatea de mas a de repaus a sistemului de puncte ^ n care ne
a
 am.
Din relat ia (2.33) se observ a imediat,  stiind c a dseste invariantul funda-
mental, fapul c a
gijwiwj= 1: (2.34)
S a ^ nmult im acum prima ecuat ie din relat ia (2.31) cu wjsum^ and dup a
indicelej. Av^ and ^ n minte relat iile (2.32), (2.33)  si (2.34), putem deduce
relat ia
gjkwjwk(pg0wi);i+1
20pgwi(gjk;iwjwk+ 2gjkwjwk
;i) = 0:
Cum termenul din a doua parantez a reprezint a derivata part ial a a termenu-
lui din st^ anga relat iei (2.34) ^ n raport cu xi, iar valoarea din fat a primei
paranteze este chiar termenul ^ nsu si, relat ia anterioar a se reduce la
(pg0wi);i= 0: (2.35)
Aceast a relat ie descrie legea de bilant -conservare a masei de repaus pentru
un sistem de puncte materiale distribuite uniform  si este, de asemenea, o
consecit  a a ecuat iilor de c^ amp.
Revenind la prima ecuat ie din relat ia (2.31)  si utiliz^ and expresia (2.32) a
tensorului energie-impuls, aceasta devine
(pg0wiwj);i1
2pggkh;j0wkwh= 0; (2.36)
38

iar din legea de bilant -conservare a masei de repaus, aceasta se reduce la
(pg0wiwj);i1
2pggkh;j0wkwh= (pg0wi);i+pg0wiwj;i
1
2pg0gkh;jwkwh=pg0wiwj;i1
2pg0gkh;jwkwh= 0
Deci
wj;iwi1
2gkh;jwkwh= 0; (2.37)
care ^ n baza relat iei (2.33) devine
wj;iwi1
2gkh;jwkwh=@wj
xidxi
ds1
2gkh;jwkwh=dwj
ds1
2gkh;jwkwh= 0:
Continu^ and calculele obt inem o form a echivalent a a relat iilor anterioare
dwi
ds+
i
jkwjwk= 0 (2.38)
sau altfel spus
d2xi
ds2+
i
jkdxj
dsdxk
ds= 0: (2.39)
Aceste relat ii sunt de fapt ecuat iile de mi scare ale punctelor materiale ce
genereaz a c^ ampul gravitat ional  si, ^ n plus, sunt consecit e ale ecuat iilor de
c^ amp. Mai mult, se observ a c a aceste relat ii descriu ecuat iile unor geodez-
ice, ceea ce ne indic a faptul c a punctele materiale care genereaz a c^ ampul
gravitat ional se mi sc a pe geodezicele spat iu-timpului "curbat" de acest c^ amp.
Cum ^ n expresia ecuat iilor de mi scare anterioare nu este precizat a masa
inert ial a sau gravitat ional a, putem trage concluzia c a^ ntr-un c^ amp gravitat ional
toate corpurile "cad la fel".
Denit ie 11. Fie un punct material arbitrar, dar xat dintr- un sistem
de puncte care genereaz a c^ ampul gravitat ional. Acest punct material se
nume ste particul a de prob a saucorp de prob a dac a efectele sale gravitat ionale
nu perturb a c^ ampul gravitat ional ^ n care se a
 a.
Not^ and cu m0masa de repaus a particulei de prob a  si av^ and ^ n vedere
cele de mai sus, legea de mi scare a acestei particule va  dat a de
d(m0wi)
ds1
2m0gjk;iwjwk= 0 saud(m0wi)
ds+m0
i
jkwjwk= 0 (2.40)
39

Cum componentele covariante ale impulsului H0al particulei de prob a,
respectiv componentele covariante ale fort ei F0cu care c^ ampul gravitat ional
act ioneaz a asupra pariculei sunt date de
H0
i=m0wi;respectivF0
i=1
2m0gjk;iwjwk;
iar legea de bilant  a impulsului  si energiei corpului de prob a devine
dH0
i
ds=F0
i:
Un prim inconvenient care reiese din aceste relat ii ^ l reprezint a prezent a
invariantului fundamental dscare datorit a caracterului s au de lungime, im-
pune dimensiuni zice diferite fat  a de cele uzuale pentru cele dou a m arimi
implicate. Pentru a rezolva aceast a problem a, vom ^ nlocui cele dou a m arimi
cu
Hi=cH0
i, respectivFi=cF0
ids
dt;
legea de bilant  pentru corpul de prob a scriindu-se acum sub forma mult mai
familiar a
dHi
dt=Fi (2.41)
Interpret^ and aceast a lege, putem scrie c a
H=m0cw=m0cgjdxj
dtdt
ds;
E=m0cg4jdxj
dtdt
ds;
F=1
2m0cgik;dwi
dtdwk
dtdt
ds;
Q=1
2m0cgjk;4dwj
dtdwk
dtdt
ds;(2.42)
unde componenta H4a impulsului este identicat a cu energia Ea corpului de
prob a, iar componenta F4a fort ei gravitat ionale este puterea Qa c^ ampului
gravitat ional.
O remarc a important a care reiese din ecuat iile de bilant  (2.40) o constituie
valabilitatea acestora ^ n orice sistem de coordonate (deci ^ n orice reper).
Astfel, reperele inert iale nu vor mai  privilegiate.
40

2.3 C^ ampul gravitat ional slab
A sa cum am precizat la^ nceputul acestul capitol, teoria relativit at ii reprezint a
una dintre cele mai importante teorii ale zicii moderne. Pentru a ^ nt elege
mai bine implicat iile  si consecit ele acesteia, vom analiza cazul particular
reprezentat de c^ ampul gravitat ional slab.
Pentru a deni acest c^ amp gravitat ional, suntem nevoit i s a admitem
urm atoarele ipoteze:
(i) C^ ampul gravitat ional este generat de un sistem de puncte materiale dis-
tribuite continuu, care nu interact ioneaz a ^ ntre ele  si care au o densitate de
mas a de repaus 0. Mai mult, exist a un sistem de coordonate (deci un reper)
^ n raport cu care punctele materiale din sistemul considerat au o vitez a mult
mai mic a dec^ at viteza de propagare a luminii ^ n vid, adic a au o mi scare lent a.
(ii) C^ ampul gravitat ional generat de sursele de c^ amp este slab. Adic a m arimile

;
4
c;
44
c2 si derivatele lor de ordin ^ n^ ai  si al doilea sunt at^ at de mici ^ nc^ at
produsul lor este neglijabil comparativ cu valorile ^ nsele.
(iii) La distant e spat iale mari fat  a de sursele c^ ampului gravitat ional, efectele
acestui c^ amp pot  neglijate. Adic a la distant e mari structura spat iu-timpului
se reduce la cea minkowskian a. ^In plus, din aceast a ipotez a putem deduce
condit iile la limit a

ij(xk) =O1
l
;pentrul!1; (2.43)
undel=pxx, iar notat ia O1
l
descrie cum vor cre ste m arimile
ij
atunci c^ and ne apropiem de innit  si poate  considerat drept termenul dom-
inant al acestora. Pentru o mai bun a ^ nt elegere a acestei notat ii, cititorul este
^ ncurajat s a consulte pagina "https://en.wikipedia.org/wiki/Big Onotation"
disponibil a ^ n data de 14.04.2016.
^In baza ipotezei (ii) am ar atat anterior c a ecuat iile de c^ amp pentru un
c^ amp gravitat ional slab se reduc la ecuat iile (2.30) ^ mpreun a cu restrict iile
(2.23). Dac a vom considera, ^ n plus, ipoteza (i)  si relat iile (2.32), atunci
vom putea aproxima componentele covariante ale tensorului energie-impuls
prin relat iile Tij=ikjhTkhcare din relat iile de denire a tensorului metric
fundamental ^ n cazul unui spat iu Minkowski, obt inem
T=T;T4=c2T4 siT44=c4T44; (2.44)
41

iar din denit ia invariantului fundamental dat a de relat ia (2.13)  si din (2.20)
obt inem
ds2=gijdxidxj=ijdxidxj+
ijdxidxj=dxdx+c2(dx4)2+
+
ijdxidxj= (+
)dxdx+c2(dx4)2+
44(dx4)2+ 2
4dxdx4=
=(dx)2+
dxdx+
44(dx4)2+ 2
4dxdx4+c2(dx4)2=
=c2(dx4)2
1dx
dx421
c2+
441
c2+ 2
4dx
dx41
c2+
dx
dx4dx
dx41
c2!
;
care dac a not am coordonata temporal a cu x4=t si consider am viteza
surselor de c^ amp v=dx
dtcuv=pvv, devine
ds=cdtr
1v2
c2+
44
c2+ 2
4v
c2+
vv
c2
sau mai scurt
ds=cdt (2.45)
Revenind la relat ia (2.33) deducem c a
w=dx
ds=dx
cdt=1
cdx
dt=v
c
w4=dx4
ds=dx4
cdx4=1
c(2.46)
iar dac a folosim relat iile (2.32) ^ n (2.44) obt inem
T=0ww=0v
cv
c=0
c22vv;
T4=c20ww4=c20v
c1
c=0
2v;
T44=c40w4w4=c401
c1
c=0
2c2:(2.47)
Astfel,  stiind relat iile de denire a componentelor contravariante ale ten-
sorului Minkowski ( vezi relat ia (2.14)) putem scrie termenul din st^ anga relat iei
(2.30) sub forma
kh
ij;kh=
ij;+1
c2
ij;44=
ij@2
@xx1
c2@2
@t2
=
ij;
42

undese nume ste operatorul lui d'Alembert . De asemenea, folosind  si expre-
siile componentelor covariante ale tensorului energie-impuls exprimate prin
relat iile (2.47), relat ia (2.30) devine

=20
c22vv;

4=20
2v;

44=20
2c2;(2.48)
cu condit iile la limit a

= 0;
=O1
l
;pentrul!1: (2.49)
Deci

= 0: (2.50)
Pe noi ne intereseaz a totu si s a determin am componentele
ij, iar pentru
aceasta este sucient s a folosim relat ia (2.25) ^ mpreun a cu restrict ia (2.50)
astfel c a

=
1
2pq
pq=1
2pq
pq=1
244
44;

4=
41
24pq
pq=
4;

44=
441
244pq
pq=
441
2c21
c2
44=1
2
44;
care pot  scrise sub forma

=1
c2
44;

4=
4;

44= 2
44(2.51)
Cu aceste noi relat ii, ultimele dou a relat ii din (2.48) devin

4=20
2v;

44=0
2c2;(2.52)
43

av^ and condit iile la limit a

4=O1
l
;pentrul!1: (2.53)
Astfel, folosind relat iile (2.51), expresia m arimii devine
=r
1v2
c2+
44
c2+ 2
4v
c2+
44
c2v2
c2; (2.54)
unde vreprezint a viteza surselor de c^ amp.
S a admitem acum ^ nc a o ipotez a, ^ n plus fat  a de cele trei deja stabilite  si
anume
(iv) Un punct material care se mi sc a liber prin c^ ampul gravitat ional consid-
erat nu ^ l perturb a sensibil. Mai mult, viteza particulei respective este una
lent a.
Pornind de la ipotezele admise p^ an a acum  si de la relat iile (2.42), rezult a
c a impulsul  si energia corpului de prob a  si fort a  si puterea c^ ampului gravitat ional
44

pot  exprimate dup a cum urmeaz a:
H=m0c
jdxj
dtdt
ds+
jdxj
dtdt
ds
=m0c()dx
dtdt
ds
m0c
dx
dtdt
dsm0c
4dx4
dtdt
ds=m0cv
cm0c
v
cm0c
41
c=
=m0
[(1
)v
4] =m0
h
1
44
c2
v
4i
;
E=m0c
4jdxj
dtdt
ds+
4jdxj
dtdt
ds
=m0c
4v
c+m0c
441
c+c21
cm0c=
=m0


4v+
44+c2

=m0c

1 +
44
c2+
4v
c2
;
F=1
2m0cjk;dwj
dtdwk
dtdt
ds1
2m0c
jk;dwj
dtdwk
dtdt
ds=
=1
2m0c
;dw
dtdw
dtdt
dsm0c
4;dw
dtdw4
dtdt
ds1
2m0c
44;dw4
dtdw4
dtdt
ds=
=1
2m0


;dw
dtdw
dt+ 2
4;dw
dtdw4
dt+
44;dw4
dtdw4
dt
=
=1
2m0


;vv+ 2
4;v+
44;

;
Q=1
2m0cjk;4dwj
dtdwk
dtdt
ds+1
2m0c
jk;4dwj
dtdwk
dtdt
ds=
=1
2m0c
;4dw
dtdw
dtdt
ds+m0c
4;4dw
dtdw4
dtdt
ds+1
2m0c
44;4dw4
dtdw4
dtdt
ds=
=1
2m0


;4vv+ 2
4;4v+
44;4

;
undeare aceea si expresie formal a ca ^ n relat ia (2.54), dar de aceast a dat a
vdescrie viteza corpului de prob a.
Pentru a identica mai usor rezultatele anterioare, le vom rescrie in forma
lor nal a
45

H=m0
h
1
44
c2
v
4i
;
E=m0c

1 +
44
c2+
4v
c2
;
F=1
2m0


;vv+ 2
4;v+
44;

;
Q=1
2m0


;4vv+ 2
4;4v+
44;4
(2.55)
Din moment ce corpul considerat se mi sc a lent, iar c^ ampul gravitat ional
are o intensitate slab a, putem neglija produsele triple din ultimele dou a relat ii
de mai sus. Astfel, fort a  si puterea c^ ampului gravitat ional put^ and  scrise
(renot^ and eventual)
F=1
2m0

2
4;v+
44;

;
Q=1
2m0
(2
4;4v+
44;4):(2.56)
A sadar, legea de bilant  a impulsului  si energiei corpului de prob a, ^ n
ipotezele admise p^ an a acum, se exprim a prin
dH
dt=1
2m0
(2
4;v+
44;);
dE
dt=1
2m0
(2
4;4v+
44;4):(2.57)
2.3.1 Leg atura dintre teoria relativit at ii generale  si teo-
ria newtonian a a gravitat iei
P astr^ and ipotezele (i)-(iv) de p^ an a acum, vom admite de asemenea c a
(v) Sistemul de puncte care genereaz a c^ ampul gravitat ional se a
 a ^ n repaus
fat  a de reperul ^ n raport cu care sunt valabile  si celelalte ipoteze considerate.
Cu alte cuvinte, c^ ampul gravitat ional este static^ n raport cu reperul ales, deci
potent ialele gravitat ionale
ijnu depind de coordonata temporal a x4=t.
Analiz^ and aceast a ipotez a observ am c a vitezele vale surselor de c^ amp
sunt nule. Deci, ^ n baza relat iilor (2.52)  si (2.53), potet ialele
4trebuie s a
satisfac a

4= 0; (2.58)
46

av^ and condit iile la limit a


4= 0;
4=O1
l
;pentrul!1; (2.59)
unde
este operatorul lui Laplace.
Totodat a, m arimea descris a ^ n relat ia (2.54) devine
=r
1 +
44
c2: (2.60)
Astfel, ^ n virtutea acestor ipoteze, putem descrie comportarea c^ ampului
gravitat ional folosind doar cea de-a doua relat ie din (2.52), unde locul oper-
atorului lui d'Alembert va  luat de operatorul lui Laplace.
^Indrept^ andu-ne acum atent ia c atre legea de bilant  a impulsului  si energiei
corpului de prob a  si t in^ and cont de independent a componentei
44fat  a de
coordonata temporal a x4=t, deducem c a
dH
dt=1
2m0
grad
44;dE
dt= 0; (2.61)
iar din expresiile impulsului  si energiei corpului de prob a date ^ n relat iile
(2.55) obt inem
H=m0

1
44
c2
v;respectivE=m0c2

1 +
44
c2
; (2.62)
unde
=r
1v2
c2+
44
c2+
44
c2v2
c2
deoarece viteza veste, de aceast a dat a, cea a particulei de prob a.
Av^ and toate acestea claricate, s a mai admitem o ultim a ipotez a, anume
(vi) Corpul de prob a se mi sc a at^ at de lent ^ nc^ at putem neglija (^ n comparat ie
cu unitatea) m arimeav2
c2, iar c^ ampul gravitat ional este at^ at de slab ^ nc^ at
putem neglija (comparativ cu unitatea) m arimea
44
c2.
^In aceste condit ii, unica ecuat ie care guverneaz a comportamentul c^ ampului
gravitat ional se reduce la


44=c20; (2.63)
47

av^ and condit iile la limit a

44=O1
l
;pentrul!1: (2.64)
Totodat a expresiile impulsului  si energiei corpului de prob a devin
H=m0v;respectivE=m0
c2+v2
2+
44
2
; (2.65)
iar legea de bilant  va  de forma
d(m0v)
dt=1
2m0grad
44;
1
2m0v2+1
2m0
44=const:(2.66)
Dac a ^ n relat iile (2.63) – (2.66) sunt ^ ndeplinite egalit at ile

44= 2  si=8k
c2;
unde  este potent ialul gravitat ional al lui Newton, Poisson, Laplace, iar k
este constanta gravitat ional a universal a a lui Newton, atunci putem conclude
c a cele dou a teorii, cea a relativit at ii generale  si cea clasic a a lui Newton, sunt
compatibile.
S a ^ nlocuim acum ipotezele (i) – (vi) cu ipoteza
(i0)^In raport cu un reper ales, in
uent a c^ ampului gravitat ional, generat de
un sistem de puncte materiale, este neglijabil a. Altfel spus, potent ialele
gravitat ionale
ijsunt nule.
^In aceste condit ii, metrica spat iu-timpului considerat va  cea de tip
Minkowski, iar expresiile impulsului  si energiei corpului de prob a sunt de
forma
H=m0vq
1v2
c2;respectivE=m0c2
q
1v2
c2: (2.67)
Deci teoria relativit at ii generale  si teoria relativit at ii restr^ anse sunt com-
patibile.
Trebuie ret inut totu si c a leg aturile dintre aceste teorii nu implic a faptul
c a teoria newtonian a a gravitat iei sau teoria relativit at ii restr^ anse sunt cazuri
particulare ale teoriei relativit at ii generale, ^ ntruc^ at aceste teorii se bazeaz a
48

pe axiome care se exclud reciproc. Totu si, ipotezele admise pe parcursul
rat ionamentelor din aceast a sect iune ne pun ^ n evident  a limit arile domeniilor
de aplicabilitate ale celor dou a teorii: cea newtonian a a gravitat iei  si cea a
relativit at ii restr^ anse.
49