Lucrare de dizertat ,ie [603351]

Lucrare de dizertat ,ie
Studiu Privind Teoria Valorilor Extreme prin
considerarea Pierderii Maxime
Aplicat ,ii ale Teoremei Fisher-Tippett
Adela Pană
Profesor îndrumător: Bogdan Iftimie

Sumar
Teoria valorilor extreme oferă o nouă abordare a modelării pierderilor punând ac-
centul nu pe media acestora, ci pe cuantilele extreme, una dintre acestea fiind VaR-ul.
Astfel în loc ca pierderile mari să fie eliminate, acestea se păstreaza s ,i se modelează
o nouă distribut ,ie pentru a putea răspunde la întrebări de genul: cu ce probabilitate
următoarea valoare maximă a pierderilor va depăs ,i un anumit nivel, sau care este pro-
babilitatea ca următoarea valoare maximă să fie mai mare decât celalte anterioare? La
aceste întrebari răspunsul este oferit de distribut ,ia valorilor extreme.
3

Cuprins
Sumar 3
Capitolul 1. Introducere 7
Capitolul 2. Stadiul cercetării s ,tiint ,ifice 9
1. De ce teoria valorilor extreme? 9
2. Ce aduce nou teoria valorilor exteme? 9
Capitolul 3. Rezultate teoretice 13
1.Teorema Fischer-Tippett 13
2.Domenii maxime de atract ,ie s,i constante de normalizare 15
3.Distribut ,ia generalizată a valorilor extreme s ,i distribut ,ia Pareto
generalizată 17
4.Metoda verosimilăt ,ii maxime 19
5.Estimarea distribut ,ieiF2MDA (H)prin potrivirea unei distribut ,ii
Pareto variabilelor extrase prin bariera u 20
6. Indicele de extrem 21
7. Estimarea parametrului , Metoda blocurilor 23
Capitolul 4. Studiu de caz 25
1. Metoda blocurilor 29
2. Metoda POT 30
3. Concluzii 33
4. Bibliografie 33
Bibliografie 35
5

CAPITOLUL 1
Introducere
Teoria valorilor extreme este folosită de regulă în situat ,ii în care probabilitatea de
aparit ,ie a unor valori mari este relativ mare, datele respective putând fi modelate cu o
distribut ,ie heavy-tailed. Astfel apare necesitatea schimbării atent ,iei de la corpul unei
distribut ,ii, as ,a cum era in cazul teoremei limită centrală, spre coada distribut ,iei respec-
tive.
Partea “Studiul Cercetării S ,tiint ,ifice” subliniază în fapt important ,a teoriei valorilor
extreme în estimarea VaR prin eliminarea constrângerii ca datele să urmeze o distribut ,ie
normală, în condit ,iile unor scenarii extreme de natura celor financiare. Estimatorii VaR
obtinut ,i prin modelarea unei distribut ,ii a valorilor extreme sunt mai robus ,ti decât cei
obtinut ,i prin presupunerea distribut ,iei normale.
Un alt caz în care teoria valorilor extreme este utilă este închiderea tabelelor de viat ,ă,
acolo unde probabilitatea de deces era considerată 1, iar în condit ,iile actuale când vârsta
limită depas ,es,te curent 100 de ani, valoarea 1 a probabilităt ,ii de deces nu mai reflectă
realitatea. Folosind teoria valorilor extreme se completează într-un mod mai fidel linia
de închiderea tabelelor actuariale de viat ,ă.
Teoria valorilor extreme se bazeaza pe teorema Fisher- Trippett s ,i caracterizează
distribut ,ia asimptotică a maximului normalizat (sau a minimului) al unui s ,ir de variabile
aleatoare independente s ,i identic distribuite. Astfel distribut ,ia asimptotica a maximului
este Fréchet, Gumbel, Weibull, distribut ,ia valorilor extreme sau Generalized Extreme
Distribution (GEV) o singură distribut ,ie parametrizată care cumulează în scriere cele
trei distribut ,ii ment ,ionate.
Urmeaza o caracterizare detaliată a distribut ,iilor care formează domeniul de atract ,ie
maxim al fiecăreia din cele trei distribut ,ii.
Următoarea parte teoretică cont ,ine metologia statistică de modelare a datelor după
o distribut ,ie a valorilor extreme prin 2 metode: metoda blocurilor s ,i metoda POT ’
Peaks Over Thresholds’. Pentru ca un set de date să poată fi modelate după o distribut ,ie
GEV , o serie de ipoteze statistice trebuie testate. Un instrument statistic important este
media excesului e(u) =E(XujX > u ), pentru usuficient de mare s ,i care oferă
de asemenea informat ,ii despre cât de mari ar trebui să fie datele respective pentru a fi
considerate extreme. Capitolul rezervat indicelui extrem prezintă modul în care poate
fi aplicată teoria valorilor extreme când datele nu mai sunt independente, as ,a cum se
întâmplă în realitate , apărând clustere de diverse dimensiuni. Sub anumite condit ,ii, se
arată că distribut ,ia asimptotică a maximului normalizat, dacă există, este tot o distribut ,ie
a valorilor extreme.
7

8 1. INTRODUCERE
Studiul de caz cont ,ine modelarea efectivă a unei distribut ,ii a valorilor extreme, valo-
rilor mari ale pierderilor dintr-o asigurare de incendiu în Danemarca. Se arată că datele
respective îndeplinesc ipotezele statistice de modelare după o distribut ,ie a valorilor ex-
treme s ,i sunt estimat ,i parametri distribut ,iei.

CAPITOLUL 2
Stadiul cercetării s ,tiint ,ifice
1. De ce teoria valorilor extreme?
Presupunem că într-un portofoliu daunele au o distribut ,ie cu media la 10UM s ,i că
au fost observate 100 de astfel de daune în care cea mai mare a fost de 50UM. Pentru
dauna cea mai mare, mai esta valid un astfel de model? Sau dacă ar fi fost de 100UM?
Astfel suntem în contextul in care variabilele X1; X2; : : : ; X 100sunt s ,i independente
si identic repartizate având funct ,ia de repartit ,ieF(x) =P(Xx) = 1ex/10pentru
x0. Atunci pentru Mn=maxfX1; X2; : : : ; X ng, avem
P(M100> x) = 1P(Xx)100= 1(
1ex
10)100:
De aici obt ,inem imediat că
P(M10050) = :4914 s,i căP(M100100) = 0 :00453 :
Deci cea mai mare valoare a daunelor nu mai urmează distribut ,ia init ,ială a daune-
lor ci o altă distribut ,ie care este dată de teorema Fisher-Trippett, s ,i anume distribut ,ia
Gumbell
(x) =exp(ex); x2R:
Mai mult decât atât, putem găsi distribut ,ia asimptotică a maximului Mn=maxfX1; X2; : : : ; X ng
fără a s ,ti forma exactă a distribut ,iei init ,iale a variabilelor X1; X2; : : : ; X nci comporta-
mentul cozii F(x) = 1F(x)pentru xmare (tinzând la 1). Acesta este punctul în
care este folosită teoria valorilor extreme.
2. Ce aduce nou teoria valorilor exteme?
În această sect ,iune vom discuta diverse articole ce tratează diverse probleme legate
de problematica valorilor extreme.
2.1. Extreme market risk and extreme value theory de Singh, Allen s ,i Robert
[SAR13 ].VaR este una dintre cele mai folosite estimări ale riscului in piet ,ele fianciare
s,i este din punct de vedere statistic o cuantile extremă a densităt ,ii profitului si pier-
derilor. Una dintre cele mai mari probleme în modelarea lui VaR este presupunerea că
câs,tigurile sunt variabile normale. Aceasta presupunere însă nu este validată atunci când
variabilele aleatoare ale câs ,tigurilor au distribut ,ii cu cozi grele, adică valori mai mari
decât cele normale, sau în alte cuvinte sunt extrem de deviate de la media distribut ,iei.
Se pot folosi două metode s ,i anume metoda maximului pe bloc s ,i metoda depăs ,irii unui
anumit nivel, peak over threshold .
9

10 2. STADIUL CERCETĂRII S ,TIINT ,IFICE
Metoda maximului pe bloc constă în împărt ,irea s ,irului de date în blocuri fixe de
mărime ks,i considerăm maximul pe fiecare bloc Mk. Dacă observabilele sunt inde-
pendente s ,i identic repartizate atunci distribut ,ia variabilei Mnpoate fi aproximată de o
distribut ,ie GEV pentru kfoarte mare. Metoda peak over threshold foloses ,te observat ,iile
date într-un mod mult mai eficient pentru că sunt utilizate toate observat ,iile ce depăs ,esc
un anumit nivel după care sunt modelate cu o distribut ,ie Pareto, în timp ce metoda blo-
curilor foloses ,te numai maximul dintr-un bloc de o anumită lungime pentru estimarea
distribut ,iei.
După estimarea distribut ,iei valorilor extreme se pot calcula o serie de cuantile ex-
treme, ca de exemplu VaR, obt ,inându-se un estimator mult mai robust decât în cazul în
care s-ar fi considerat distribut ,ia normală care nu ar fi verificat nici ipoteza de heavy-
tailed.
2.2. Tail relation between return and volume in the US stock market: An analysis
based on extreme value theory , de Longin s ,i Pagliardi [LP16 ].În acest articol se
investighează relat ,ia dintre valorile revenirilor Rts,i volumul tranzact ,iilor. Astfel din
punct de vedere economic, acest articol contribuie la o mai bună înt ,elegere a activităt ,ii
piet ,ei în perioade extreme. Un instrument statistic foarte potrivit in acest context este
teoria valorilor extreme.
Se foloses ,te metoda peak over thresholds pentru a potrivi o distribut ,ie Pareto pentru
cele două variabile minimale ale returnărilor s ,i volumul tranzact ,iilor o distribut ,ie joint
de tip Gumbel pentru a modela coeficientul de corelat ,ie.
Concluzia este că dacă coeficientul de corelat ,ie scade atunci valorile variabilelor se
apropie de cozile distribut ,iilor si este mult mai mic în condit ,iile extraordinare ale piet ,ei
decât în condit ,iile normale.
2.3. Bivariate extreme value theory: models and estimation de J. Tawn [Taw88 ].
Datele folosite în acest articol sunt valorile maxime anuale ale nivelului mării în două
porturi învecinate de pe coasta de est a Marii Britanii. Astfel cunoscându-se distribut ,ia
bivariată a valorilor extreme se dores ,te modelarea funct ,iei de dependent ,ă a valorilor
marginale.
Considerăm Zi= (Xi; Yi)1invariabile bivariate independente s ,i identic reparti-
zate cu distribut ,iaF(
;
). Definim max 1inZi= (M1n; M2n), unde M1n=maxXi
s,iM2n=maxYis,i presupunem că există s ,irul de constante normalizatoare ain>0s,i
bin,i= 1;2; : : : ; n astfel încât
P(M1nb1n
a1nx;M2nb2n
a2ny) =Fn(a1nx+b1n; a2ny+b2n)!
n!1G(x; y)
unde G(x; y)este o distribut ,ie non-degenerată. Distribut ,iile marginale sunt distribut ,ii
GEV .

2. CE ADUCE NOU TEORIA V ALORILOR EXTEME? 11
Se consideră cazul în care (X; Y )urmează o distribut ,ie a valorilor extreme cu distribut ,ii
exponent ,iale ca distribut ,ii marginale. În acest context putem scrie
G(x; y) =exp(
(x+y)A(x
x+y)
))
unde funct ,iaAmodelează dependent ,a între variabilele marginale Xs,iY.
2.4. Threshold life tables and their applications de Li, Hardy, Mary s ,i Tan [LHT08 ].
Cres ,terea rapidă a populat ,iei în vârstă în jur de 100 de ani a adus în prim plan important ,a
evaluării probabilităt ,ilor de supraviet ,uire la vârstă extremă s ,i a motivat actuarii să caute
o solut ,ie pentru a închide tabelele de mortalitate acolo unde era considerată probabilitate
de deces in valoare de 1.
Folosind rezultate asimptotice ale teoriei valorilor extreme se propune un model
numit Threshold life Table pentru a extrapola distributiile de supraviet ,uire la vârste ex-
treme cu scopul de a determina punctul potrivit de sfârs ,it in tabelele de mortalitate.
Metoda constă în estimarea unei valori Na vârstei numită threshold. Această va-
loare este caracterizată de faptul că pentru vârste mai mici de N, distribut ,ia funct ,ie de
supraviet ,uire este Gompertziană , iar pentru vârste mai mari ca N, funct ,ia de supraviet ,uire
este generalizată Pareto conform theoremei Balkena – De Haan – Pickands. Estima-
rea variabilei Nse deduce din condit ,ia ca partea Gompertziană a corpului distribut ,iei
funct ,iei de supraviet ,uire să fie consistentă cu coada ei.
2.5. Portfolio selection: An extreme value approach de DiTraglia s ,i Gerlach
[DG13 ].Se demonstrează teoretic ca coeficientul lower tail dependence care mă-
soară probabilitatea ca un portofoliu să aibă pierderi mari când indicele de piat ,ă sau
piat ,a financiară are, cont ,ine informat ,ii importante pentru investitorii cu aversiune la
risc.
Conceptul de tail dependence sau dependent ,ă a cozilor apart ,ine teoriei valorilor
extreme fiind o masură asimetrică a dependent ,ei a doua variabile, examinând numai
o regiune a distribut ,iei s ,i, în plus există pentru orice distribut ,ie, inclusiv pentru cea
heavy-tail care nu area toate momentele finite. În acest context se defines ,te
=lim
s"1P(X > F1
X(s)jy > F1
Y(s))
undeFX(s)s,iF1
Y(s)sunt cuantilele funct ,iilor de distribut ,ie ale celor doua variabile că-
rora li se studiază dependent ,a. Astfel când = 0,Xs,iYsunt asimptotic independente,
iar când = 1,Xs,iYsunt asimptotic dependente.
Rezultatele estimărilor coeficientului arată ca mic indică performant ,e mai mari
din punctul de vedere al eficient ,ei portofoliului decât cele cu mare.

CAPITOLUL 3
Rezultate teoretice
Cele mai multe rezultate au fost colectate din monografiile [ EKM13 ,Tsa05 ,Res07 ,
DHF07 ] din care am extras următoarele rezultate s ,i concluzii.
1. Teorema Fischer-Tippett
FieX1; X2; : : : ; variabile aleatoare independente s ,i identic distribuite cu distribut ,ia
comună F. Atunci distribut ,ia exactă a maximului
Mn=max(X1; X2; : : : ; X n)
este dată de
(1) P(Mnx) =P(X1x; : : : ; X nx) =F(x)n:
Dacă condit ,ia de independent ,ă nu este indeplinită, atunci o distributie de forma
Fnpoate fi o aproximat ,ie a distribut ,iei maximului. Pentru variabile independente, dar
heterogene, Xjcu distribut ,iaFj, relat ,ia (1) devine
P(Mnx) =Prodn
j=1Fj(x):
Dacă deviatiile Fjpot fi neglijate, atunci o distribut ,ie de tipul Fnpoate fi potrivită.
Teorema Fisher-Tripett specifica forma limitei distribut ,iei pentru un maxim centrat
si normalizat corespunzător. Mai precis, dacă există cn>0sidn2Rastfel încât
(2)Mndn
cn!
n!1H
atunci Htrebuie să fie de tipul uneia dintre cele trei distribut ,ii de extrem. Spunem că
Us,iVsunt doua distribut ,ii de acelas ,i tip dacă U(x) =V(ax+b). În acest limbaj, cele
trei tipuri de distribut ,ii de extrem sunt
(3)Fréchet,  > 0  (x) ={
0 x0
exx > 0
Weibull,  > 0 (x) ={
e(x)x0
1 x > 0
Gumbel, (x) =eex; x2R:
Conform relat ,iei (1), trebuie evaluate probabilităt ,ile de forma P((Mndn)/cnx)
care sunt echivalente cu P(Mnun)unde un=cnx+dn.
13

14 3. REZULTATE TEORETICE
Definim marginea superioară a suportului lui FprinxF=supfx2RjF(x)<1g.
Astel observăm că
Fn(x) =P(Mnx)!
n!1{
0x < x F
1x > x Fpentru xF<1;
ceea ce sugerează un tip de 01de distribut ,ie la limită cand xF<1. În plus, prezent ,a
unui salt la xF<1, anume,
F(x
F) =F(xF)F(x
F)>0;unde F(x) = 1F(x)
descrie tipul de distribut ,ieFal cărei maxim Mnare o distribut ,ie asimptotică degenerată.
Următorul rezultat oferă criterii aplicabile pentru existent ,a unei distribut ,ii asimpto-
tice a lui Mndegenerate.
Teoremă 1 (Leadbetter, Lindgren and Rootzén). FieFo distribut ,ie având xF<1
s,i2(0;1). Atunci
P(Mnun)!
n!1e
dacă s ,i numai dacă
lim
x"xFF(x)
F(x)= 1s,iF(xF) = 1 :
Astfel cazurile în care nu se aplica teorema Fisher-Tripett sunt furnizate în special
de distribut ,iile discrete având xF<1s,i cu un jump suficient de mare la xF.
Exemplu. Distribut ,iilePoisson ()s,iGeometric (p)au distribut ,iile asimptotice
ale maximumului Mndegenerate pentru că
P(X=k) =ek
k!; k2N;  > 0
s,i deci avem că
F(k) =k∑
r=0P(X=r) =k∑
r=0er
r!
de unde
F(k)
F(k1)=1F(k)
1F(k1)=1F(k1)F(k) +F(k1)
1F(k1)= 1F(k)F(k1)
F(k1)
= 1k/k!∑1
r=kr/r!= 1(
1 +1∑
r=k+1k!
r!rk)1
:
Acum,
1∑
r=k+1k!
r!rk1∑
s=1s
(k+ 1)( k+ 2): : :(k+ 1)1∑
s=1(
k)s
=/k
1/k!
k!10

2.DOMENII MAXIME DE ATRACT ,IE S ,I CONSTANTE DE NORMALIZARE 15
de unde concluzionăm că
lim
k!1F(k)
F(k1)= 0:
Teoremă 2 (Fisher-Tippett). Dacă Fn(cnx+dn)are o distributie asimptotică ne-
degenerate, cu constantele cns,idn>0atunci
Fn(x)H(xn
n)
!
n!10
cuH2 f; ;gs,in; nparametrii de locat ,ie s,i scalare.
2. Domenii maxime de atract ,ie s,i constante de normalizare
Dată fiind o distribut ,ieH2 f; ;g, se dores ,te să se cunoasca condit ,iile pe
care trebuie să le îndeplinească distribut ,iaFastel încât distribut ,ia asimptotică a lui
Mnsă fie H. Aici, ca de obicei, presupunem că Mn=maxfX1; X2; : : : ; X ngunde
X1; X2; : : : ; X nsunt iid cu distribut ,iaF. Mult ,imea tuturor distribut ,iilorFcare ve-
rifică acest lucru pentru H2 f; ;gformează Domenul Maxim de Atract ,ie al
distribut ,ieiHs,i îl vom prescurta cu MDA (H).
Oricare din cele trei domenii maxime de atract ,ie este închis fat ,ă de relat ,ia de echivalent ,ă
a cozilor, definită după cum urmează. Spunem că Fs,iGau cozile echivalente dacă au
acelas ,i punct de extremă dreapta (i.e. xF=xG) s,i in plus lim x"xFF(x)
G(x)=c. Mai mult,
orice două distribut ,ii cu cozi echivalente au aceleas ,i constante de normalizare cns,idn.
2.1. Domeniul maxim de atract ,ie al distribut ,iei Fréchet. Avem (x) =ex
pentru x > 0s,i deci1(x)
x!
x!11. As ,adar, 1(x)xpentru valori mari
ale lui x, deci coada lui (x)descres ,te ca o putere atunci cand x! 1 . Întreba-
rea care se pune acum este cât de departe poate fi distribut ,ia init ,ialăFfat,ă de coada
xs,i să rămână inca in MDA ()? Forma distribut ,ieiFcare verifică la coada
F(x) = xL(x)oferă răspunsul, unde L(x)este o funct ,ie care variază încet, i.e.
limx!1L(tx)
L(x)= 1pentru t >0. Astfel, F(x)poate fi asimilată din punct de vedere ma-
tematic cu x,L(x)aici fiind doar un factor multiplicativ, aproape constant la infinit.
Coada unor astfel de distribut ,ii este grea s ,i în cazul F(x) =cxobt,inem distribut ,ia
Pareto, pe când dacă F(x) =xL(x), obt ,inem distribut ,ii care variază regulat.
Teoremă 3 (Domeniul maxim de atract ,ie al lui ).F2MDA (), ( > 0) dacă
s,i numai dacă F(x) =xL(x)unde L(x)este o funct ,ie care variaza încet.
Dacă F2MDA (), atunci
c1
nMn!
n!1
unde cn=F (11/n) =inffx2RjF(x)11/ng.
MDA ()cont ,ine distribut ,ii heavy tailed pentru că E[(X+)] = +1pentru  >
. Astfel de distribut ,ii sunt adecvate modelarii datelor mari, spre exemplu fluctuat ,ile
pret ,urilor, plat ,i ale asigurărilor, etc.

16 3. REZULTATE TEORETICE
V on Misses a găsit o condit ,ie us ,or verificabilă pentru ca densitatea unei distribut ,ii
să se găsească în MDA (). Aceasta afirmă că dacă densitatea fsatisface
(4) lim
x!1xf(x)
F(x)= > 0
atunci F2MDA ().
Astfel MDA ()constă în distribut ,ii care satisfac condit ,ia (4) s,i toate distribut ,iile
care au coada echivalentă. Ca exemple, avem:
(1)Pareto
(2)Cauchy
(3)Burr
(4)distribut ,iile stabile cu  < 0, adica, c1X1+c2X2d=b(c1; c2)X+a(c1; c2),
adică distribut ,ii închise la convolut ,ii s,i multiplicări cu numere reale.
2.2. Domeniul maxim de atract ,ie (DMA ( ())) pentru distribut ,ia Weibull
(x) =e(x), > 0.Cum distribut ,iile Frechét si Weibull sunt legate între ele prin
relat ,ia (x1) = ( )(x)este de as ,teptat ca să existe o legatură s ,i între mult ,imile
MDA ( )s,iMDA ().
Într-adevăr MDA ( )este caracterizată prin
MDA ( ) =fFdistribut ,iejxFs,iF(xFx1)2MDA ()g:
Astfel MDA ( )este formată din distribut ,ii cu suport mărginit la dreapta s ,i, prin ur-
mare, nu pot fi cea mai bună alegere pentru modelarea evenimentelor extreme în asigu-
rări si finant ,e.
Condit ,ia care poate fi verificată în practică de apartenent ,ă a unei distribut ,ii laMDA ( )
este
lim
x"xF(xFx)f(x)
F(x)= > 0
pentru orice densitate fpozitivă pe un interval (z; x F). Deci MDA ( )este formată
din toate distribut ,iile ce verifică această condit ,ie, împreună cu distribut ,iile cu coadă
echivalentă.
Exemple: U(0;1), distribut ,iile Beta, distribut ,iile a căror coadă la xFse comportă
ca o funct ,ie putere, i.e. F(x) =k(xFx), cuxF<1.
2.3. Domeniul maxim de atract ,ie al distribut ,iei Gumbel (x) =eex.Cum
1(x)excând x! 1 , rezultă ca (x)descres ,te exponent ,ial la infinit mult
mai repede decât orice funct ,ie putere x. Astfel MDA ()va cont ,ine distribut ,ii cu
coadă us ,oară (distribut ,ia normală), cât s ,i distribut ,ii cu coadă moderată (distribut ,ia log-
normală).

3.DISTRIBUT ,IA GENERALIZATĂ A V ALORILOR EXTREME S ,I DISTRIBUT ,IA PARETO GENERALIZATĂ 17
Dată fiind deci viteza de variat ,ie in cazul distribut ,iei Gumbel, definim funct ,iile care
variază rapid astfel:
F2R1() lim
x!1F(xt)
F(x)={
0t >1
1 0< t < 1:
MDA ()este caracterizat astfel de distribut ,ieiFpentru care exista funct ,ii pozitive ~a
astfel încât:
lim
x"xFF(x+t~a(x))
F(x)=et; t2R;unde xF 1:
O posibilă alegere pentru funct ,iaaeste:
a(x) =∫xF
xF(t)
F(x)dt; x < x F;
Constantele de normalizare cn,dnse aleg asftel:
dn=F (
11
n)
s,icn=a(dn)
Ca exemple ment ,ionăm:
(1)distribut ,ia normală
(2)distribut ,ia lognormală
(3)Weibull.
3. Distribut ,ia generalizată a valorilor extreme s ,i distribut ,ia Pareto generalizată
Din punct de vedere statistic, este util să avem o singura reprezentare a celor trei
distribut ,ii a valorilor extreme. Astfel vom defini H(x)prin
H(x) ={
e(1+x)1/;dacă̸= 0
eex; dacă= 0:
unde 1 +x > 0.
Pentru  >0, obt ,inem distribut ,ia Frechét , pentru = 0, distribut ,ia Gumbel, iar
pentru  <0, rezultă distribut ,ia Weibull.
Două caracterizări ale MDA (H):
(1)Distribut ,iaF2MDA (H)dacă s ,i numai dacă lim nt!1nF(cnx+dn) =
ln(Hxi(x))
(2)Distribut ,iaF2MDA (H)dacă s ,i numai dacă există o funct ,ieapozitivă
astfel încât pentru 1 +x > 0,
lim
u"xFF(u+xa(u))
F(u)={
(1 +x)1/; dacă̸= 0
ex;dacă̸= 0:

18 3. REZULTATE TEORETICE
V om introduce prin urmare distribut ,iaG(x)prin
G(x) ={
(1 +x)1/;dacă̸= 0
exdacă= 0;
care este numită distribut ,ia Pareto generalizată.
Întrucât lim u"xFF(u+xa(u))
F(u)=limx"xFP(
Xu
a(u)> xjX > u)
=G(x), obt ,inem că
excesele scalate peste bariera u:Xu
a(u)au coada ce tinde asimptotic la distribut ,ia Pareto
generalizată (GDP).
Notăm Fu(x) =P(Xu < xjX > u )pentru x > 0s,iu < x Fca fiind distribut ,ia
excesului variabilei Xpeste bariera us,i
e(u) =E[XujX < u ]
ca fiind media excesului variabilei X.
Teoremă 4. Pentru o variabilă XGDP (; ),e(u) =+u
1pentru +u > 0
este o funct ,ie lineară în u. De asemenea, un calcul simplu arată că
F(x) =e(0)
e(x)e∫x
01
e(u)du
ceea ce demonstrează că o distribut ,ie continuă este în mod unic determinată de media
excesului.
Aceste rezultate au implicat ,ii statistice. Presupunem că avem X1; X2; : : : ; X niid
es,antion s ,i construim graficul funct ,iei mediei excesului în funct ,ie de u. Căutăm regiu-
nea în care această funct ,ie este liniară s ,i pentru aceste valori ale lui use poate găsi aceea
barieră upotrivită pentru care Fusă fie aproximată cu o distribut ,ie Pareto generalizată.
3.1. Estimări ale distribut ,iei GEV . FieX1; X2; : : : ; X no es ,antion din distribut ,ia
Hunde
H(x) =8
<
:exp(
(
1 +xu
)1/)
;1 +xu
>0
exp(
exu
)
; = 0;
iar= (; u).
Aplicând metoda verosimilat ,ii maxime, nu se obt ,ine solut ,ie explicită, chiar în cazul
distribut ,iei Gumbel, când = 0. Situat ,ia̸= 0, e încă s ,i mai complicată. Metoda
momentelor poate fi aplicată numai pentru  < 1deoarece pentru 1,Hvariază
regulat cu indicele 1/s,i prin urmare E[X]nu este finit.
3.2. Estimări bazate pe condit ,ia de apartenent ,a la MDA. Ipoteza acum este mai
relaxată s ,i anume:
X1; X2; : : : ; X nF; F2MDA (H):
DarF2MDA (H)este echivalent cu:
lim
n!1nF(cnx+dn) =lnH(x)

4.METODA VEROSIMILĂT ,II MAXIME 19
s,i pentru cn,dn, s,irurile de constante normalizatoare.
Atunci un estimator pentru coada distribut ,ieiFva fi:
bF(u) =1
n(
1 +^u^dn
^cn)1/^
unde ^;^cn;^dnsunt estimatori pentru ; cns,idniaru=cnx+dnsuficient de mare.
Astfel pas ,ii necesari estimării cozii distribut ,ieiFsunt:
(1)Găsirea unor estimatori pentru parametrul ,
(2)Găsirea unor estimatori pentru constantele normalizatoare cns,idn.
Pentru estimarea parametrului =1>0folosim că F2MDA (), > 0s,i
după cum a fost caracterizat domeniul maxim de atract ,ie al distribut ,iei Frechét, rezultă
căF(x) =xL(x),x > 0iarL(x)o funct ,ie care variază încet (lim x!1L(tx)
L(x)= 1,
t >0).
4. Metoda verosimilăt ,ii maxime
(1)Presupunem că F(x) =x,x1. Atunci Y=ln(X)Exp()ce implică
^n= y1
n=(
1
nn∑
j=1ln(Xj))1
:
(2)Presupunem că F(x) =Cx. Considerând C=urezultă că
^n=(
1
nn∑
j=1ln(Xj;n
u))1
=(
1
nn∑
j=1lnXjlnu)1
:
undeX1;n> X 2;n>


> X n;neste scrierea ordonată a es ,antionului X1; X2; : : : ; X n.
(3)Presupunem acum Fse comportă ca o distribut ,ie Pareto începând cu x > u .
Date fiind observat ,iileX1; X2; : : : ; X n, s,i bariera u,Xjva fi un “excess
peste u” dacă Xj> u, excesul fiind Xju. Notăm cu Kn=∑n
j=1I(u;1)(Xj) =
numărul de excese . Knva fi o variabilă binomială cu probabilitatea p=
P(X1> u).
Definim de asemenea momentele depăs ,irii excesului prin fj:j1gprin
1=inffj1 :Xj> ug2=inffj >  1; Xj> ug: : :

20 3. REZULTATE TEORETICE
Atunci,
P(X1> x) =1∑
k=1P(1=k; X 1> x) =1∑
k=1P(1=k; X k> x)
=1∑
k=1P(X1u; X 2: : : ; X k1u; X k> u; X k> x)
=1∑
k=1(F(u))k1F(x) =F(x)
F(u):
Deci pentru x > u ,
P(X1> x) =F(x)
F(u)=cx
cu=(x
u)
de unde faptul că pentru y >1,
P(X1
u> y)
=y; y > 1:
Presupunând că distribut ,iaFare o coadă Pareto pentru x > u , atunci excesele
relative{Xj
u:j >1}
sunt un es ,antion ale unei distribut ,ii Pareto cu parametru
s,i suport [1;1).
Dacă presupunem că F(x) =xL(x), atunci
P(X1
u> y)
=F(uy)
F(u)(uy)L(uy)
uL(u)y
pentru umare.
Astfel, presupunand că u2(Xk+1; Xk)s,i aplicând cazul (1) variabilelor
Xk
u,Xk1
u,: : : ;X1
u, obt ,inem:
^H
k;n=(
1
kk∑
j=1ln(Xj;n
Xk;n))1
=(
1
kk∑
j=1lnXj;nlnXk;n)1
:
Deci estimatorul Hill ^H
k;nîn acest caz, F(x) =xL(x)are aceeas ,i formă ca
s,i în modelul exact, F(x) =x, dar constanta ueste înlocuită cu variabila
aleatoare Xk;nunde u2(Xk+1; Xk).
5. Estimarea distribut ,ieiF2MDA (H)prin potrivirea unei distribut ,ii Pareto
variabilelor extrase prin bariera u
FieX1; X2; : : : ; X nvariabilele aleatoare iid ale distribut ,ieiF2MDA (H)pentru
2R.
Alegem un umare s ,i notăm
Nu=cardfi:i= 1;2; : : : ; n; X i> ug

6. INDICELE DE EXTREM 21
numărul exceselor peste upe care le notăm cu Y1; Y2; : : : ; Y n. Atunci distribut ,iei vari-
abilelor exces a lui Xe dată de:
Fu(y) =P(XuyjX > u ) =P(YyjX > u )
care mai poate fi scrisă ca:
F(u+y) = F(u)F(y):
Acum, lim u"xFjFu(x)G;(u)(x)j= 0, distribut ,ia Pareto fiind distribut ,ia asimptotică
a variabelelor excess peste u,
G;(x) =8
><
>:(
1 +x
)1/
dacă̸= 0
ex/dacă= 0:
Asftel, pentru umare, Fu(y) = G;(u)(y).
Un estimator pentru F(u)este dat de funct ,ia distribut ,iei empirice:
[F(u) = Fn(u) =1
nn∑
i=1IfXi>ug=Nu
n:
As,adar, pentru estimatorii corespunzători, ^,^ai lui s,i,\Fu(y) = G^;^(y), iar un
estimator al cozii F(u+y)va fi
bF(u+y) = F(u)Fu(y) =Nu
n(
1 +^y
^)1/^
:
De obicei ^s,i^, estimatorii parametrilor s,isunt obt ,inut ,i prin metoda verosimilităt ,ii
maxime sau metoda momentelor.
6. Indicele de extrem
Teoria valorilor extreme de până acum s-a bazat pe faptul că datele formează o serie
de variabile aleatoare independente s ,i identic distribuite. În realitate însă, evenimentele
extreme au loc in clustere din cauza dependent ,ei în seria de date. De exemplu, în cadrul
asigurărilor, daunele mari care apar din cauza furtunilor, tornadelor, inundat ,iilor nu sunt
independente: o valoare mare extremă este urmată, într-o anumită perioadă de timp, de
clustere de valori mari, fapt valabil s ,i pentru un minim extrem.
Extinderea teoriei valorilor extreme în cazul în care datele sunt doar stat ,ionare se
face prin intermediul conceptului de indice extremal care permite caracterizarea relat ,iei
dintre structura de dependent ,ă a datelor s ,i caracterul lor extremal.

22 3. REZULTATE TEORETICE
Pentru a putea aplica teoria indicelui extremal, seria stat ,ionară X1; : : : ; X ntrebuie
să verifice următoarea condit ,ie
date fiind două mult ,imi de indici A1=fi1; : : : ; i pgs,iA2=fj1; : : : ; j qg
oricare evenimente de forma fmax
i2A1Xiungs,ifmax
j2A2Xjung
sunt asimptotic independente când n! 1 s,i distant ,alnîntreA1s,iA2
verificăln
n!0:(5)
Această condit ,ie este verificată de o clasă destul de largă de serii de timp gaussiene
dar s ,i de cele care au zgomotul cu coada Fréchet sau Gumbell. Teoria indicelui extremal
se bazează pe două teoreme ale lui Leadbetter [ Lea83 ].
Prima teoremă asigură existent ,a distribut ,iei valorilor extreme pentru maximul nor-
malizat al unei serii de timp strict stat ,ionare s ,i care verifică condit ,ia (5). Efectul de
dependent ,ă apare în distribut ,ia marginală a maximului Mkpe blocul k. Astfel fie
~X1; : : : ; ~Xno serie de variabile aleatoare independente s ,i identic distribuite cu pro-
prietatea că distribut ,ia marginală a lui ~Xieste aceeas ,i cu distribut ,ia lui Xidin seria
stat,ionară. Fie ~Mn=maxf~X1; : : : ; ~Xng. Atunci a doua teoremă a lui Leadbetter
stabiles ,te următorul rezultat.
Teoremă 5 (Leadbetter [ Lea83 ]).Dacă există s ,iruln>0s,ins,i o distribut ,ie
nedegenerată ~F(x)astfel încât
P(~Mnn
nx)
!
n!1~F(x)
s,i dacăP(
Mnn
nx)
converge, atunci,
P(Mnn
nx)
!
n!1F(x) = ~F
x(x):
pentru un anumit 2[0;1].
Constanta se numes ,te indice extremal s ,i joacă un rol foarte important în determi-
narea distribut ,iei asimptotice a maximului unei serii stat ,ionare de timp.
Printr-un calcul simplu se poate determina legătura dintre parametrii distribut ,iei
asimptotice a maximului pentru seria stat ,ionară, respectiv pentru seria independentă.
Avem
~F(x) =exp(
(
1 +x
)1/)
s,i
F(x) = ~F
(x) =exp(
(
1 +x
)1/)

7. ESTIMAREA PARAMETRULUI , METODA BLOCURILOR 23
de unde prin identificarea parametrilor obt ,inem
=; =; =(1):
As,adar parametrul care modelează coada distribut ,iei rămâne neschimbat.
7. Estimarea parametrului , Metoda blocurilor
Pornim cu faptul că
P(Mnun)P(~Mnun) = (F(un))n
în condit ,iile în care n(1F(un))!
n!1. Logaritmând, această relat ,ie se mai poate
scrie
lim
n!1lnP(Mnun)
nlnF(un)=:
Numărătorul poate fi estimat printr-o cuantilă empirică
^F(un) =1
nn∑
i=1IfXiung= 1N(un)
n
unde N(un)este num[rul depăs ,irilor peste bariera un. Număratorul P(Mnun)este
estimat prin metoda blocurilor.
Fieklungimea unui bloc s ,i fieg=[n
k]
, partea întreagă a luin
k. Putem considera de
fapt că g=n
k. Cel de-al k-ilea bloc este format din fXjjj2 f(i1)k+ 1; : : : ; ik ggs,i
fieXk;imaximul acestui bloc.
Din proprietatea de independent ,ă asimptotică a blocurilor, as ,a cum reiese din condit ,ia
de mai sus, rezultă că
P(Mnun) =P(max
1igun)
din independent ,ăPg(Xk;iun):
Probabilitatea
^P(Mk
iun) =1
gg∑
i=1IfXk;iung= 11
gg∑
i=1IfXk;i>ung= 1G(un)
g
unde G(un)este numarul blocurilor al căror maxim depăs ,es,teun. De aici obt ,inem
^b=g
nln(1G(un)/g)
ln(1N(un)/n)=1
kln(1G(un)/g)
ln(1N(un)/n):
Pentru ilustrarea teoriei indicelui de extrem am simulat o serie de timp cu 1000 de va-
riabile având = 0:5.
Histograma indică o distribut ,ie unimodală deplasată la dreapta.
După aceea am modelat o distribut ,ie de valori extreme pentru seria strict stat ,ionară
s,i am obt ,inut parametrii = 0:967,= 0:97,= 1:03. Pentru seria de date obt ,inută
cu blocuri de lungime 5 am determinat parametrii = 0:945,= 2:9911 s,i= 3:18.
De remarcat valorile foarte apropiate pentru s,i.

24 3. REZULTATE TEORETICE
0510152025300.00.20.40.60.81.0
LagACFSeries t
Figura 1. Funct ,ia de autocorelare acfarată valori semnificative ale co-
eficientului de corelat ,ie pană la al treilea lag.
Histogram of log(t)
log(t)Frequency
-20246020406080
Figura 2. Histograma pentru datele simulate.

CAPITOLUL 4
Studiu de caz
Pentru a ilustra teoria valorilor extreme se vor folosi valorile pagubelor provocate de
incendii în Danemarca. Sunt 2156 de date exprimate în milioane de coroane s ,i constând
în pagubele ce depas ,esc 1 milion de coroane in perioada 3 ianuarie 1980 – 31 decembrie
1990 acoperind intervalul (1:68;236:25).
Scopul acestui studiu este modelarea datelor respective pentru a putea raspunde unor
întrebări de genul: cu ce probabilitate urmatoarea valoare maximă a pagubelor va depăs ,i
un anumit nivel, sau care este probabilitatea ca urmatoarea valoare maximă să fie mai
mare decât toate celelalte anterioare?
Un răspuns este oferit de distribut ,ia asimptotică a maximului. Astfel conform teoriei
valorilor extreme distribut ,ia asimptotică a maximului este dată de distribut ,ia GEV
H(x) ={
exp(
(1 +x)1/)
̸= 0
exp(exp(x)) = 0;
unde este parametrul distribut ,iei responsabil de coada distribut ,iei. Cu cât este mai
mare, cu atât este mai grea coada distribut ,ieiH.
Astfel semnul parametrului clasează distribut ,ia datelor X1; X2; : : : ; X nîn unul
din cele trei domenii de atract ,ie. Pentru  >0,Fse află în domeniul maxim de atract ,ie
al distribut ,iei Fréchet, pentru = 0,Fse află în domeniul de atract ,ie al distribut ,iei
Gumbel iar pentru  <0,Fapart ,ine domeniului de atract ,ie al distribut ,iei Weibull.
Apartenent ,a la domeniile maxime de atract ,ie poate fi verificată si de QQplot. Grafi-
cul QQplot este definit de mult ,imea de puncte f(Xk;n; F1(nk+1
n)
); k= 1;2; : : : ; n g
unde Xn;nXn1;n


 X1;nsunt statisticile de ordine, iar Feste distribut ,ia esti-
mată a datelor. Dacă distribut ,iaFeste bine potrivită, graficul ar trebui să fie o dreaptă.
În acest caz se ia ca distribut ,ie de referint ,ă distribut ,ia exponent ,ială. Dacă distribut ,iaF
are cozi mai grele decât exponent ,iala atunci plotul va fi curbat spre stânga. Majoritatea
seriilor financiare au  >0s,i o astfel de situat ,ie este descrisă în figura 1.
Dacă distribut ,iaFare cozi la fel de grele ca distribut ,ia exponent ,ială atunci plotul ar
trebui să arate liniar s ,i deci F2MDA (Weibull ). În cazul = 0, avem o reprezentare
în figura 2.
Dacă distribut ,iaFare cozi mai us ,oare decât distribut ,ia exponent ,ială, atunci F2
MDA (Gumbel )iar în acest caz  <0cu o ilustrare în figura 3.
În cazul nostru QQplotul indică =1
>0s,i deci F2MDA ()de unde F
are cozi grele, adică Feste Pareto sau asemănătoare unei distribut ,ii Pareto (i.e. F
xL(x)unde Leste of funct ,ie slow varying).
25

26 4. STUDIU DE CAZ
0510152025300246
pe
Figura 1. Cazul unei distribut ,ii cu coadă grea.
02460246
ee1
Figura 2. Cazul unei distribut ,ii cu coadă moderată.
Histograma, de asemenea, indică o distribut ,ie deplasată la dreapta.
Un alt instrument utilizat pentru studiul cozii distribut ,ieiFeste funct ,ia media exce-
sului. Pentru distribut ,ia exponent ,ialăExp(), media excesului este e(u) = 1/ . Pentru
distribut ,ia Pareto asa cum este enunt ,at în teorema 4,e(u) =+u
1este o funct ,ie liniară

4. STUDIU DE CAZ 27
-3-2-101230246
ne
Figura 3. Cazul unei distribut ,ii cu coada us ,oară.
05010015020025002468
Ordered DataExponential Quantiles
Figura 4. QQplot Danish data versus exponent ,ială.
inu. Astfel în general, curba mediei excesului este localizată între constanta 1/s,i
+u
1s,i tinde la infinit atunci când u! 1 .

28 4. STUDIU DE CAZ
Histogram of log(danish)
log(danish)Frequency
-1012345050100150200
Figura 5. Histograma logaritmului datelor.
0102030405060020406080100120
ThresholdMean Excess
Figura 6. Media excesului arată liniaritate pentru u2(8;18).
Figura de mai sus arată că datele luate în studiu provin dintr-o distribut ,ie cu coadă
grea la infinit, adică ar proveni dintr-o distribut ,ie Pareto sau dintr-una apropiată de Pa-
reto, adică coada ar fi de forma F(x)xL(x)unde L(x)este o funct ,ie care variază
încet la infinit.

1. METODA BLOCURILOR 29
Urmează să estimăm parametrul = 1/. Pentru aceasta, întrucât am demonstrat
mai sus ca  > 0, se va folosi estimatorul Hill definit prin
Hk;n=1
kk∑
i=1logX(i)
X(k+1)
unde keste numărul de statistici de ordine folosite în estimare cu X(1)X(2)



X(n). În practică se face plotul Hill al lui format din mult ,imea de puncte:
f(k; H1
k;n);1kng
s,iva fi ales în funct ,ie de stabilitatea graficului. Avantajul acestui estimator este faptul
că atunci când distribut ,iaFse apropie destul de mult de distribut ,ia Pareto, estimatorul
Hill se apropie de asemenea de estimatorul verosimilitat ,ii maxime. Dezavantajul este
că acest estimator nu este invariant la locat ,ie.
151653345036728411028123414401646185220581.01.52.02.529.00 5.40 3.45 2.60 2.10 1.81 1.62 1.44 1.29 1.16 1.05
Order Statisticsalpha (CI, p =0.95)Threshold
Figura 7. Graficul estimatorului în funct ,ie de numărul de statistici de
ordine X(k)luate în considerare.
În cazul nostru, plotul estimatorului Hill sugerează valoarea lui 1:4;1:5sau
echivalent 0:7ceea ce plasează distribut ,iaFînMDA (),= 1:4.
1. Metoda blocurilor
Această metodă constă în împărt ,irea seriei de date în blocuri nesuprapuse de aceeas ,i
lungime s ,i alegerea unui maxim pentru fiecare bloc. După aceea se potrives ,te o distribut ,ie
a valorilor extreme seriei de maxime obt ,inute.
În practică, apar probleme legate de dimensiunea blocului. O dimensiune prea mare
face ca unele observat ,ii mari situate în acelas ,i bloc să se piardă. Pe de altă parte, o

30 4. STUDIU DE CAZ
dimensiune mare ajută reducerea fenomenului de clustering a volatilităt ,ii seriei de date,
perioadele de volatilitate mai mare fiind urmate de perioade de volatilitate mai mică.
Cele 2173 de date vor fi împărt ,ite în blocuri de lungime 30 obt ,inându-se astfel 73
de maxime lunare M1; M2; : : : ; M 73. Acestea sunt testate pentru a vedea dacă provin
dintr-o distribut ,ie cu coadă grea pentru ca distribut ,ia valorilor maximale sa fie oportună.
Astfel histograma indică o distribut ,ie unimodală puternic deplasată la dreapta.
Histogram of y5
y5Frequency
050100150200250051015
Figura 8. Histograma celor 73 de maxime.
QQ plotul este relevant de asemenea pentru o distribut ,ie cu coadă grea.
Funct ,iei mean excess este apropiată de o linie dreaptă ceea ce indică faptul că
distribut ,ia de bază a maximelor M1; M2; : : : ; M 73poate fi modelată de o distribut ,ie
cu coadă grea.
În final o distribut ,ie a valorilor extreme este modelată pentru valorile maximale ale
blocurilor obt ,inându-se parametrii = 0:545(0:135) respectiv = 8:808(1:189) s,i
= 12:609(1:218) ca valorile corespunzătoare ale standard errors,
H(x) =exp(
(
1 + 0 :545x12:609
8:808)1/0:545)
:
2. Metoda POT
S,tim că X1; X2; : : : ; X nau distribut ,iaF2MDA (H), din rezultatele anterioare
cu o valoare estimată a lui = 0:714unde
H(x) =exp(
(1 +x)1/)

2. METODA POT 31
0501001502002500.00.51.01.52.02.53.03.5
y5z
Figura 9. QQplot pentru cele 73 de maxime M1; M2; : : : ; M 73.
10203040506020406080100120
ThresholdMean Excess
Figura 10. Funct ,ia media a excesului pentru M1; M2; : : : ; M 73.
Atunci conform theoremei ??, variabilelor Yi=Xiuunde Xi> u pot fi modelate
cu o distribut ,ie Pareto
G;(x) =8
<
🙁
1x
)1/
pentru ̸= 0
ex/dacă= 0:

32 4. STUDIU DE CAZ
As,a cum am arătat mai sus, utrebuie ales suficient de mare, adică apropiat de punctul
de extremă dreaptă al distribut ,iei,xF, s,i astfel încât graficul funct ,iei media excesului
să fie liniar, deci obt ,inem u2(10;20).
0102030405060020406080100120
ThresholdMean Excess
Figura 11. Media excesului e(u) =E[XujX > u ]pentru daunele
din asigurarea de incendiu.
Distribut ,ia Pareto estimată asociată modelului Yi=Xiudepinde de numărul de
exceedances Yi, adică implicit depinde de u.
Intra-devăr pentru u= 10 , obt ,inem ^= 0:4968062 (0:1362093 ) s,i^= 6:9745523
(1:113), valori estimate ale parametrilor s,icu erorile standard corespunzatoare în
paranteză s ,i bazându-se pe 106 exceedances. De asemenea pentru u= 15 , obt ,inem
^= 0:5429537 (0 :1813311) s,i^= 8:7180167 (1:8417240 ) având 60exceedances.
Un estimator al cozii distribut ,ieiFpentru u= 15 este
\F(u+y) =Nu
nG^;^(y) =60
2156G^;^(y)
care se scrie
\F(15 + y) =60
2156(
1 + 0 :542y
8:7180)1/0:542953
iar un estimator al cuantilei xpeste
^xp=u+^
^(n
Nu(1p)^1)
= 15 +0:542
8:7180(60
2156(1p)0:5421)
de unde obt ,inem ^x0:999= 15:011,^x0:995= 14:9684 s,i^x0:9= 14:9439 .
O important ,ă deosebită o reprezintă distribut ,ia deplasată
Fu(xu) =P(XuxujX > u ) =P(XxjX > u ):

4. BIBLIOGRAFIE 33
În limbajul reasigurărilor, această distribut ,ie estimează probabilitatea ca o daună să
se afle în intervalul (u; x), s,tiind că a depăs ,it valoarea u.
1020501002000.00.20.40.60.81.0
x (on log scale)Fu(x-u)
Figura 12. Graficul distribut ,ieiFu(xu)arată similar cu al unei
distribut ,ii Pareto.
3. Concluzii
Datele folosite în studiu au fost testate statistic cu succes pentru a fi modelate cu o
distribut ,ie a valorilor extreme. Folosind acest model, estimatori pentru cuantilele xp,
pentru orice pin intervalul (0;1)pot fi obt ,inut ,i.
În concluzie, teoria valorilor extreme este un instrument robust pentru modelarea
seriilor de timp cu coada grea, as ,a cum sunt majoritatea seriilor din finant ,e s,i asigurări.
4. Bibliografie

Bibliografie
[DG13] Francis J DiTraglia and Jeffrey R Gerlach. Portfolio selection: An extreme value approach.
Journal of Banking & Finance , 37(2):305–323, 2013.
[DHF07] Laurens De Haan and Ana Ferreira. Extreme value theory: an introduction . Springer Science
& Business Media, 2007.
[EKM13] Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg, and Thomas Mikosch. Modelling extremal events: for
insurance and finance , volume 33. Springer Science & Business Media, 2013.
[Lea83] M Ross Leadbetter. Extremes and local dependence in stationary sequences. Probability The-
ory and Related Fields , 65(2):291–306, 1983.
[LHT08] Johnny Siu-Hang Li, Mary R Hardy, and Ken Seng Tan. Threshold life tables and their appli-
cations. North American Actuarial Journal , 12(2):99–115, 2008.
[LP16] François Longin and Giovanni Pagliardi. Tail relation between return and volume in the us
stock market: An analysis based on extreme value theory. Economics Letters , 145:252–254,
2016.
[Res07] Sidney I Resnick. Heavy-tail phenomena: probabilistic and statistical modeling . Springer
Science & Business Media, 2007.
[SAR13] Abhay K Singh, David E Allen, and Powell J Robert. Extreme market risk and extreme value
theory. Mathematics and computers in simulation , 94:310–328, 2013.
[Taw88] Jonathan A Tawn. Bivariate extreme value theory: models and estimation. Biometrika , pages
397–415, 1988.
[Tsa05] Ruey S Tsay. Analysis of financial time series , volume 543. John Wiley & Sons, 2005.
35