Lucrare de Disertat ie [606162]

Lucrare de Disertat ie
|||||||||||{
Miron- Balica Andreea

Universitatea "Ovidius" Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Inegalit at i integrale
Coordonator  stiint ic: Prof. Univ. Dr. Costara
Constantin
Absolvent: [anonimizat]- Balica Andreea
Constant a 2018

Contents
Introducere iii
1 Preliminarii iv
1.1 Not iuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1.1.1 Sume Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1.2 Propriet at i ale integralei denite . . . . . . . . . . . . . . . . . x
1.2.1 Proprietatea de liniaritate a integralei . . . . . . . . . . x
1.2.2 Proprietatea de aditivitate la interval a integralei . . . xi
1.2.3 Propriet at i de monotonie ale integralei denite . . . . . xi
1.2.4 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
2 Inegalit at i remarcabile xviii
2.1 Inegalitatea lui Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
2.2 Inegalitatea lui H older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
2.3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz . . . . . . . . . . . . xxii
2.4 Inegalitatea lui Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
2.5 Inegalitatea lui Ceb^  sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
2.5.1 Inegalitatea lui Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
2.5.2 Inegalitatea lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
2.5.3 Inegalitatea Hermite-Hadamard . . . . . . . . . . . . . xxviii
2.5.4 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx
3 Aplicat ii de la examenele de Bacalaureat  si Titularizare xxxii
3.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin calcul integral . . . . . xxxii
3.1.1 Aplicat ii de la examenul de Bacalaureat . . . . . . . . xxxii
3.1.2 Aplicat ii de la examenul de Titularizare . . . . . . . . xxxvii
4 Aplicat ii din Gazeta Matematic a, de la olimpiade  si concur-
suri  scolare xli
4.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin calcul integral . . . . . xli
4.1.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a . . . . . . . . . . . . xli
i

4.1.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare . . . . . liii
Concluzii lvi
Bibliograe lvii
ii

Introducere
iii

Chapter 1
Preliminarii
1.1 Not iuni introductive
Denit ia 1.1. Fie[a;b]un interval ^ nchis  si m arginit( compact) din R.
Se nume ste diviziune a intervalului [a;b]un sistem nit de puncte

= (x0;x1;:::;xn1;xn)din[a;b]astfel ^ nc^ at a=x0<x 1<x 2<:::<
xn1<xn=b.
Punctelex0;x1;x2;


;xnse numesc puncte de diviziune saunodurile
diviziunii
, iar intervalele [x0;x1],[x1;x2],


,[xn1;xn]se numesc
intervale de diviziune .
Sistemul de puncte = (1;2;


;n),i2[xi1;xi];i=1;nse
nume ste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii
.
Denit ia 1.2. Fie
= (x0;x1;:::;xn1;xn)o diviziune a intervalului [a;b].
Se nume ste norma diviziunii
cea mai mare dintre lungimile intervalelor
de diviziune [x0;x1];[x1;x2];


;[xn1;xn].
Avem ca notat ie,
k
kdef= max
1in(xixi1):
Denit ia 1.3. Diviziunea
= (x0;x1;:::;xn1;xn)a intervalului [a;b]o
numim diviziune echidistant a doar dac a toate intervalele de diviziune
[x0;x1];[x1;x2];


;[xn1;xn]au aceea si lungime.
Astfel ,k
k=ba
n.
iv

1.1.1 Sume Riemann
Fie [a;b]Run interval ^ nchis  si m arginit  si urm atoarele not iuni matemati
-ce:
a) funct iaf: [a;b]!R;
b) diviziunea
= ( x0;x1;:::;xn1;xn) a intervalului [ a;b];
c) sistemul de puncte intermediare = (1;2;


;n) asociat diviziunii

.
Denit ia 1.4. Se nume ste sum a Riemann sausum a integral a asociat a
funct ieif, diviziunii
 si punctelor intermediare 1;2;:::;nnum arul real

(f;) =nX
i=1f(i)(xixi1)
Interpretarea geometric a a sumei Riemann
Fie funct ia continu a f: [a;b]![0;+1);
=(x0;x1;:::;xn1;xn) o diviziune
a intervalului [ a;b], iar= (1;2;:::;n) un sistem de puncte intermediare
asociat diviziunii
.
Observat ia 1.5. Dac a funct ia feste pozitiv a, atunci suma Riemann 
(f;)
reprezint a suma ariilor dreptunghiurilor de baz a xjxj1 si de ^ n alt ime f(j),
cuj=1;n.
Prin urmare 
(f;) aproximeaz a aria mult imii din plan, numit a sub-
gracul luif,
fdef=f(x;y)2R2jaxb;0yf(x)g;
delimitat a de axa Ox, gracul lui f si dreptelex=a,x=b.
v

Denit ia 1.6. O funct ief: [a;b]!Rse nume ste integrabil a (Riemann)
dac a exist a un num ar real Ifcu proprietatea c a oricare ar  " >0, exist a
n">0astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
= (x0;x1;:::;xn1;xn)a interval-
ului[a;b]cuk
k<n" si orice puncte intermediare xj1jxj,j=1;n
are loc urm atoarea inegalitate:
j
(f;)Ifj<":
Num arul real Ifo numim integrala denit a a funct iei fpe inter-
valul [a;b] si se noteaz a:Zb
af(x)dx:
Denit ia 1.7. SimbolulR
este denumit semnul de integrare sau semnul
integralei.
Denit ia 1.8. Numerele a  si b se numesc capete de integrare saulimite
a este limita de integrare inferioar a
b este limita de integrare superioar a.
Denit ia 1.9. Intervalul [a, b] se nume ste interval de integrare .
Denit ia 1.10. Funct ia f se nume ste funct ia de integrat , iar x este
variabila de integrare .
Observat ia 1.11. Variabila de integrare poate  notat a cu orice liter a  si
este independent a de capetele de integrare.
Observat ia 1.12. Pentru un interval xat [a;b], num arulIf, asociat ec arei
funct ii integrabile f: [a;b]!Reste unic determinat de f, limita unui  sir
convergent de numere reale ind unic a.
Observat ia 1.13. Orice funct ie integrabil a f: [a;b]!Reste m arginit a,
adic a exist a o constant a M0astfel ^ nc^ atjf(x)jM,8×2[a;b].
Ca  si consecint  a, dac a funct ia f: [a;b]!Rnu este m arginit a, atunci nu
este integrabil a pe [a, b].
Criteriul Darboux
Fief: [a;b]!Ro funct ie m arginit a. Avem
s
(f) =n1X
j=0(xj+1xj)mj
vi

( sum a Darboux inferioar a), unde mj=infx2[xj;xj+1]:
S
(f) =n1X
j=0(xj+1xj)Mj
( sum a Darboux superioar a), unde Mj=supx2[xj;xj+1]:
Avems
(f)
(f;)S
(f);8sistem de puncte intermediare.
Corolarul 1.14. f monoton a!f integrabil a pe [a, b].
Demonstrat ie Presupunem c a f este cresc atoare.
Atuncif(a)f(x)f(b),8×2[a;b]!f este m arginit a. Mai mult,

= (a=x0<


< xn=b) diviziune pentru [ a;b]. Pentru orice " >
0;9
"="
f(b)f(a) + 1>0 astfel ^ nc^ at8
= (a=x0<


< xn=b)
diviziune pentru [ a;b] cu norm a
<"avem
S
(f)s
(f) =n1X
j=0(xj+1xj)(f(xj+1f(xj))
"
f(b)f(a) + 1n1X
j=0(f(xj+1fxj))<"
Exemplul 1.15. Funct iaf: [0;1]!R,f(x) =8
<
:1
x;x2(0;1]
1;x= 0este
funct ie nem arginit a deoarece
lim
x%01
x= +1:
Rezult a c a funct ia f nu este integrabil a pe [0, 1].
Observat ia 1.16. Integrala denit a a unei funct ii feste un num ar real, ^ n
timp ce integrala nedenit a a lui feste mult imea tuturor primitivelor lui f.
Teorema 1.17. Fie funct ia f: [a;b]!R. Urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
i)feste integrabil a;
vii

ii) exist a un num ar real Iastfel ^ nc^ at oricare ar   sirul de diviziuni
n=
(xn
0;xn
1;:::;xn
kn),(n2N)ale intervalului [a;b]culim
n!1k
nk= 0  si
oricare ar  punctele intermediare
xn
j1n
jxn
j, unde 1jkn sin2N;
 sirul sumelor Riemann

n(f;n)

n2Nconverge la I.
Observat ia 1.18. Dac a este ^ ndeplinit a una din cele dou a condit ii echiva-
lentei) siii), atunci integrala denit a a lui fse obt ine astfel:
Zb
af(x)dx= lim
n!1
n(f;n);
iar limita nu depinde de  sirul de diviziuni
n= (xn
0;xn
1;:::;xn
kn)ale interval-
ului[a;b]culim
n!1k
nk= 0  si nici de punctele intermediare n
j2[xn
j1;xn
j],
unde 1jkn sin2N.
Criteriul Darboux Fie f:[a, b]!Rm arginit a. Avem
s
(f) =n1X
j=0(xj+1xj)
Teorema 1.19. (Formula lui Leibniz-Newton)
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a care admite primitive pe intervalul
[a;b]. Atunci pentru orice primitiv a Fa funct ieifare loc egalitatea:
Zb
af(x)dx=F(b)F(a):
Demonstrat ie Fie (
n) ,
n= (x(n)
0;x(n)
1;


;x(n)
kn1;x(n)
kn) un  sir de
diviziuni ale intervalului [a, b], astfel ^ nc^ at
lim
n!1jj
njj= 0:
Aplic^ and teorema lui Lagrange funct iei F pe ecare interval [ x(n)
i1;x(n)
i];i=
1;kn, se g ase ste (n)
i2(x(n)
i1;x(n)
i) cu proprietatea
F(x(n)
i)F(xi1)(n)) =F0((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1) =f((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1):
Astfel,  sirul sumelor Riemann asociat funct iei f,  sirului de diviziuni (
n)ale
intervalului [a, b]  si  sirului de puncte intermediare (n)are termenul general:

n(f;(n)) =knX
i=1[F(x(n)
i)F(xi1)(n))] =F(b)F(a);8n2N:
viii

Cum f este integrabil a pe [a, b], rezult a c a
Zb
af(x)dx= lim
n!1
n(f;(n)) =F(b)F(a);
ceea ce trebuia demonstrat.
ix

1.2 Propriet at i ale integralei denite
1.2.1 Proprietatea de liniaritate a integralei
Teorema 1.20. Liniaritatea integralei
Fief;g: [a;b]!Rfunct ii integrabile pe [a;b] sik2R. Atunci:
1. funct iaf+geste integrabil a pe [a;b] si
Zb
a[f(x) +g(x)]dx=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx;
(Integrala sumei este egal a cu suma integralelor.)
2. funct ia kf este integrabil a pe [a;b] si
Zb
a(k
f)(x)dx=kZb
af(x)dx:
(Constanta iese ^ n fat a integralei.)
Demonstrat ie
1. Fie  sirul (
n);
n= (x(n)
0;x(n)
1;


;x(n)
kn1;x(n)
knun  sir de diviziuni ale
intervalului [a;b]cu
lim
n!1jj
njj= 0;(n)2h
x(n)
i1;x(n)
ii
;i=1;kn;
puncte intermediare.
Avem:

n(f+g;(n)) =knX
i=1(f+g)
(n)

x(n)
ix(n)
i1
=knX
i=1f
(n)
i
x(n)
ix(n)
i1
+
+knX
k=1g
(n)
i
x(n)
ix(n)
i1
=
n
f;(n)

+
n
g;(n)

:
Deoarece funct iile f  si g sunt integrabile pe [a;b]rezult a c a
lim
n!1
n
f;(n)

=Zb
af(x)dx
 si
lim
n!1
n
g;(n)

=Zb
ag(x)dx:
x

Folosind operat iile cu  siruri convergente se deduce c a
lim
n!1
n
f+g;(n)

=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx;
ceea ce arat a c a funct ia f+geste integrabil a pe [a;b] si are loc egalitatea:
Zb
a(f+g)(x)dx=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx:
2. Analog se deduce c a funct ia kf este integrabil a pe [a;b] si
Zb
a(kf)(x)dx=kZb
af(x)dx:
1.2.2 Proprietatea de aditivitate la interval a integralei
Teorema 1.21. Aditivitatea la interval a integralei
Fief: [a;b]!R sic2[a;b]. Dac a funct ia f este integrabil a pe intervalele
[a;c] si[c;b], atunci f este integrabil a pe intervalul [a;b] si are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=Zc
af(x)dx+Zb
cf(x)dx:
Teorema 1.22. Ereditatea integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b]. Dac a [c;d][a;b],
atunci funct ia f este  si integrabil a  si pe intervalul [c;d].
1.2.3 Propriet at i de monotonie ale integralei denite
Teorema 1.23. Fief;g: [a;b]!Rfunct ii integrabile pe intervalul [a;b].
a) Dac af(x)0;8×2[a;b], atunciRb
af(x) dx0;(pozitivitatea inte-
gralei).
b) Dac af(x)g(x);8×2[a;b], atunciRb
af(x) dxRb
ag(x) dx(monoto-
nia integralei).
xi

Demonstrat ie
a) Fie  sirul (
n);
n= (x(n)
0;x(n)
1;:::;x(n)
kn1;x(n)
kn)un  sir de diviziuni ale
intervalului [a;b], cu
lim
n!1k
nk= 0;
iar(n) = ((n)
1;(n)
2;


;(n)
kn1;(n)
kn);(n)
i2[x(n)
i1;x(n)
i];i=1;kn, un
sistem de puncte intermediare. Atunci

n(f;(n)) =knX
i=1f((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1)0;8n2N
(s-a folosit c a f(x)0;8×2[a;b]).
Deoarece tot i termenii  sirului 
n(f;(n)))sunt pozitivi, iar  sirul este
convergent, atunci  si limita sa este pozitiv a, adic aRb
af(x) dx0.
b) Denim funct ia auxiliar a h: [a;b]!R;h=gf. Din proprietatea
de liniaritate a integralei rezult a c a funct ia h este integrabil a pe [a;b],
iar din proprietatea de pozitivitate rezult a c aRb
ah(x) dx0
A sadar,Rb
a[h(x)0f(x)]dx0, relat ie din care se obt ineRb
af(x) dxRb
ag(x) dx si proprietatea de monotonie a integralei este demonstrat a.
Corolarul 1.24. Proprietatea de medie a integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe [a;b] sim;M2Rastfel ^ nc^ at
mf(x)M;8×2[a;b].
Atunci
m(ba)Zb
af(x)dxM(ba):
Demonstrat ie Aplic^ and proprietatea de monotonie a integralei pentru
funct ia f  si funct iile constante m  si M pe intervalul [ a;b] se obt ine:
Zb
amdxZb
af(x)dxZb
aMdx
relat ii din care rezult a inegalit at ile din enunt .
Corolarul 1.25. Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b].
xii

Dac am=infff(x)jx2[a;b]g siM=supff(x)jx2[a;b]g, atunci
m(ba)Zb
af(x)dxM(ba):
Demonstrat ie Fieg: [a;b]!R,g(x) =m,8×2[a;b], o funct ie
constant a. Vom ar ata c a geste integrabil a  siZb
ag(x)dx=m(ba).
Observ am c a oricare ar  diviziunea
= ( x0;x1;:::;xn) a intervalului
[a;b]  si oricare ar  punctele intermediare xj1jxj, undej=1;n,
n2N, avem

(f;) =nX
j=1f(j)(xjxj1) =m(xnx0) =m(ba):
Consider^ and I=m(ba), obt inemj
(f;)Ij= 0<",8">0.
Deci conform Denit iei 1 :6:,feste integrabil a  siZb
ag(x)dx=m(ba).
CumMeste de asemenea funct ie constant a avemZb
aM dx =M(ba).
Aplic^ and monotonia integralei funct iei f si funct iilor constante m,M,
obt inemZb
am dxZb
af(x)dxZb
aM dx:
Decim(ba)Zb
af(x)dxM(ba).
Propozit ia 1.26. Modulul integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. Atunci funct ia jfjeste funct ie integra-
bil a pe intervalul [a;b] si are loc inegalitatea:
Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
Demonstrat ie Din ipoteza c a f este funct ie continu a pe [ a;b], rezult a c a
jfjeste funct ie continu a pe [ a;b], deci integrabil a pe [ a;b].
Din propriet at ile modulului, avem c a
jf(x)jf(x)jf(x)j;8×2[a;b]
xiii

 si aplic^ and monotonia integralei se obt ine
Zb
ajf(x)jdxZb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
A sadar,Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
Observat ia 1.27. 1 Modulul integralei este valabil  si pentru funct ii in-
tegrabile oarecare.
2 Reciproca acestui corolar este fals.
Dac a funct iajfjeste integrabil a pe [ a;b] nu rezult a ^ ntotdeauna c a funct ia
f este integrabil a pe [ a;b].
Exemplul 1.28. Fief: [a;b]!R;f(x) =(
1;x2Q
1;x2RnQ.
Funct ia f nu este integrabil a pe [a;b].
Avem ^ ns ajf(x)j= 1;8×2[a;b] si ca urmarejfjeste integrabil a pe inter-
valul [a;b]ind funct ie continu a.
Observat ia 1.29. Dac aZb
af(x)dx0, nu rezult a f(x)0,8×2[a;b].
Vom da un exemplu ^ n acest sens.
Fief: [0;2]!R,f(x) =x2x. Funct iafind elementar a este continu a
pe [0;2], deci este integrabil a.
AvemZ2
0f(x)dx=2
3, ^ ns afeste negativ a pe [0 ;1].
Observat ia 1.30. Dac af: [a;b]!Reste o funct ie integrabil a negativ a,
f(x)0,8×2[a;b], atunciZb
af(x)dx0.
Observat ia 1.31. Toate rezultatele precedente, cu privire la funct ii integra-
bile, sunt valabile  si ^ n cazul funct iilor continue.
xiv

Propozit ia 1.32. Dac af: [a;b]!Reste o funct ie continu a  si pozitiv a, iar
[c;d]este un interval inclus ^ n [a;b], atunci are loc inegalitatea
Zd
cf(x)dxZb
af(x)dx:
Demonstrat ie. Aplic^ and proprietatea de aditivitate la interval a inte-
gralei denite  si pozitivitatea integralei, obt inem
Zb
af(x)dx=Zc
af(x)dx+Zd
cf(x)dx+Zb
df(x)dxZd
cf(x)dx:
Corolarul 1.33. Dac aa < b  sif: [a;b]!Reste o funct ie continu a  si
pozitiv a, neidentic nul a pe (a;b), atunci are loc inegalitateaZb
af(x)dx> 0.
Demonstrat ie. S tim din ipotez a c a feste pozitiv a  si neindentic nul a
pe (a;b), deci exist a un punct x02(a;b) astfel ^ nc^ at f(x0)>0.
Cumfeste continu a ^ n x0 sif(x0)>0, atunci exist a o vecin atate a lui
x0^ n carefeste strict pozitiv a, adic a exist a un interval deschis Jastfel ^ nc^ at
x02J[a;b]  sif(x)>0,8x2J.
Fie [;]J, <  sicdef= inf
x2[;]f(x). Atunci exist a x12[;] astfel
^ nc^ atc=f(x1).
Cumx12[;]J, rezult a c a f(x1)>0. Prin urmare c >0. Dar
[;][a;b], aplic^ and propozit ia 1 :2, obt inem
Z
f(x)dxZb
af(x)dx: (1.1)
S tim c ac= inf
x2[;]f(x), decif(x)c,8×2[;]. Cumc>0, aplic^ and
monotonia integralei, avem
0<c()Z
f(x)dx: (1.2)
Din relat iile 1 :1  si 1:2 obt inem c aZb
af(x)dx> 0.
xv

1.2.4 Aplicat ii
Exercit iul 1.34. S a se demonstreze inegalitatea
Ze
0ln(x+ 1)dxZe
0x
x+ 1dx
f ar a a calcula integralele.
Solut ie Fief;g: [0;e]!R;f(x) =ln(x+ 1)  sig(x) =x
x+ 1.
Vom demonstra c a f(x)g(x);8×2[0;e].
Denim funct ia h: [0;e]!R;h(x) =f(x)g(x), funct ie derivabil a pe [0 ;e],
cuh0(x) =x
(x+ 1)2.
Se observ a c a h0(x)0;8×2[0;e], ceea ce arat a c a funct ia h este cresc atoare
pe intervalul [0 ;e]  si 0 =h(0)h(x)h(e);8×2[0;e]. A sadar, h(x)
0;8×2[0;e], adic a
ln(x+ 1)x
x+ 1;8×2[0;e]:
Aplic^ and proprietatea de monotonie a integralei, se obt ine c a
Ze
0ln(x+ 1)dxZe
0x
x+ 1dx:
Exercit iul 1.35. S a se demonstreze inegalitatea
1Z1
0ex2dxe
.
Solut ie Funct iaf: [0;1]!R;f(x) =ex2este integrabil a pe [0 ;1] ind
funct ie continu a.
S a determin am m;M2R, valorile extreme ale funct iei f pe intervalul [0 ;1].
Deoarecef0(x) = 2xex20;8×2[0;1], rezult a c a funct ia f este cresc atoare
pe [0;1].
Astfel,
m=f(0) = 1;M=f(1) =e:
xvi

Aplic^ and proprietatea de medie se obt ine
1(10)Z1
0f(x)dxe(10)
 si obt inem ceea ce trebuia s a demonstr am.
Exercit iul 1.36. Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b].
Dac ajfjM, atunci
Zb
af(x)dxM(ba):
Solut ie Din modulul integralei  si proprietatea de monotonie a integralei
se obt ine:
Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdxZb
aMdx =M(ba)
xvii

Chapter 2
Inegalit at i remarcabile
2.1 Inegalitatea lui Young
Teorema 2.1. Fief:R+!R+o funct ie continu a, strict cresc atoare, astfel
^ nc^ atf(0) = 0 . Atunci oricare ar  a2R+ sib2f(R+), avem:
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(y)dy;
undef1este inversa funct iei f.
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Fieg:R+!R+,g(a) =abZa
0f(x)dx, pentru care
consider am b2R
+parametru.
Cumg0(a) =bf(a)  sifeste strict cresc atoare, avem
g0(a)>0 pentru 0<a<f1(b);
g0(a) = 0 pentru a=f1(b);
g0(a)<0 pentrua>f1(b):
Prin urmare geste strict cresc atoare pe (0 ;f1(b))  si strict descresc atoare
pe (f1(b);1).
Astfel obt inem c a g(f1(b)) este maximul funct iei gpentrua=f1(b).
Atunci
g(a)max(g(x)) =g(f1(b)): (2.1)
Darg(f1(b)) =bf1(b)Zf1(b)
0f(x)dx. Integr^ and prin p art i, obt inem
g(f1(b)) =Zf1(b)
0xf0(x)dx: (2.2)
xviii

Efectu am o schimbare de variabil a y=f(x), astfel relat ia 2 :10 devine
g(f1(b)) =Zb
0f1(y)dy: (2.3)
Darg(a) =abZa
0f(x)dx, ^ nlocuind relat ia 2 :11 ^ n relat ia 2 :9 obt inem
concluzia.
Interpretare geometric a
Dinf1inversa funct iei f, aceasta, raportat a la axa Oy, va avea acela si
grac cuf. FieGfgracul lui f.
Dac aS1este port iunea din plan cuprins a ^ ntre Gf, axaOx si dreapta
x=a, iarS2este port iunea din plan cuprins a ^ ntre Gf, axaOy si dreapta
y=b, atunci constat am c a avem:
abaria(S1) +aria(S2);
undearia(S1) =Za
0f(x)dx siaria(S2) =Zb
0f1(y)dy.
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a Q=P, adic ab=f(a).
xix

2.2 Inegalitatea lui H older
^In cele ce urmeaz a vom enunt a  si demonstra forma algebric a a inegalit at ii
luiYoung :
Teorema 2.2. Fiea;b2R
+ sip;q> 0astfel ^ nc^ at1
p+1
q= 1. Atunci
abap
p+bq
q;
cu egalitate dac a  si numai dac a ap=bq.
Demonstrat ie. Fie
>0 xat  si funct ia f:R+!R+,f(x) =x
. Se
observ a c afeste continu a, strict cresc atoare  si f(0) = 0. Fix^ and pe a sib si
aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1), obt inem:
abZa
0x
dx+Zb
0y1

dy=a
+1

+ 1+b1

+1
1

+ 1; (2.4)
cu egalitatea dac a  si numai dac a b=f(a) =a
.
Dar1
p<1  si1
q<1, prin urmare p>1  siq>1. A sadar, pentru
=p1,
avem1

+ 1 =1
p1+ 1 =p
p1=q;
de unde ^ nlocuind ^ n relat ia 2 :12 rezult a concluzia.
Teorema 2.3. Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ii continue  si p;q2R
+astfel
^ nc^ at1
p+1
q= 1.
Atunci
Zb
ajf(x)g(x)jdxZb
ajf(x)jpdx1
p

Zb
ajg(x)jqdx1
q
:
Demonstrat ie. Dac aZb
ajf(x)jpdx= 0 sauZb
ajg(x)jqdx= 0, atunci
8×2[a;b] avemjf(x)j= 0 saujg(x)j= 0, decijf(x)g(x)j= 0  si deciZb
ajf(x)g(x)jdx= 0, prin urmare inegalitatea din enunt  devine egalitate.
Presupunem c aZb
ajf(x)jpdx> 0  siZb
ajg(x)jqdx> 0  si e
=jf(x)j
Zb
ajf(x)jpdx1
p; =jg(x)j
Zb
ajg(x)jqdx1
q:
xx

Aplic^ and Teorema 2 :3:2 pentru si, obt inem
jf(x)j
jg(x)j
Zb
ajf(x)jpdx1
pZb
ajg(x)jqdx1
qjf(x)jp
pZb
ajf(x)jpdx+jg(x)jq
qZb
ajg(x)jqdx:
(2.5)
Integr am inegalitatea 2 :13 pe [a;b]. Aceasta devine
Zb
ajf(x)g(x)jdx
Zb
ajf(x)jpdx1
pZb
ajg(x)jqdx1
qZb
ajf(x)jpdx
pZb
ajf(x)jpdx+Zb
ajg(x)jqdx
qZb
ajg(x)jqdx=1
p+1
q= 1;
de unde rezult a concluzia.
xxi

2.3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz
Forma algebric a a inegalit at ii C-B-S a fost publicat a de Augustin Louis
Cauchy ^ n 1821. Forma integral a a fost formulat a init ial de Viktor Iakovlevici
Buniakovski ^ n 1859. A fost redescoperit a de Hermann Schwarz ^ n anul 1888.
Corolarul 2.4. Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a funct ii continue. Atunci
Zb
af(x)g(x)dx2
Zb
af2(x)dx

Zb
ag2(x)dx
: (2.6)
Avem egalitate ^ n inegalitate dac a g = 0  si f arbitrar a sau dac a f= kg;k2
R:
Demonstrat ie. Dac af= 0 atunci inegalitatea 2 :6 devine egalitate.
Pentruf6= 0 avemZb
af2(x)dx > 0. Consider am urm atoarea funct ie de
gradul doi:
h(t) =Zb
af2(x)dx
t22Zb
af(x)g(x)dx
t+Zb
ag2(x)dx; t2R:
Dar
h(t) =Zb
a
tf(x)g(x)2dx0;8t2R;
prin urmare h(t) este o funct ie de gradul doi, pozitiv a pentru orice t2R.
A sadar
0. Cum

= 4Zb
af(x)g(x)dx2
4Zb
af2(x)dx

Zb
ag2(x)dx
 si
0, obt inem concluzia.
Egalitatea are loc dac a
= 0, adic a dac a exist a t2Rastfel ^ nc^ at
h(t) = 0, sau echivalent dac a exist a t2Rastfel ^ nc^ at t
f(x) =g(x),8
x2[a;b], ceea ce se traduce prin f sigproport ionale.
Observat ia 2.5. ^In inegalitatea lui H older , (Teorema 2:3:3), pentrup=
q= 2, obt inem inegalitatea C-B-S , pentru funct ii pozitive.
xxii

2.4 Inegalitatea lui Minkowski
Urm atorul rezultat se datoreaz a matematicianului Hermann Minkowski :
Teorema 2.6. Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ii continue  si p1. Atunci
Zb
ajf+gjp1
p
Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p
:
Demonstrat ie. Dac ap= 1 sauZb
ajf+gjp= 0, inegalitatea este evi-
dent a.
Presupunem acum c a p > 1  siZb
ajf+gjp>0. Folosind propriet at ile
modulului avem
jf+gjp=jf+gj
jf+gjp1(jfj+jgj)jf+gjp1=jfj
jf+gjp1+jgj
jf+gjp1:
Prin urmare
jf+gjpjfj
jf+gjp1+jgj
jf+gjp1: (2.7)
Integr am relat ia 2 :15 pe [a;b]  si folosind inegalitatea lui H older , (Teorema
2:3:3), pentrup= (p1)qrezult a c a
Zb
ajf+gjpZb
ajfj
jf+gjp1+Zb
ajgj
jf+gjp1
Zb
ajfjp1
pZb
ajf+gj(p1)q1
q
+Zb
ajgjp1
pZb
ajf+gj(p1)q1
q
="Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p#Zb
ajf+gj(p1)q1
q
:
Prin ^ mp art ire cuZb
ajf+gjp1
q
, obt inem
Zb
ajf+gjp11
q
Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p
;
de unde t in^ and cont de faptul c a 1 1
q=1
p, rezult a concluzia.
xxiii

2.5 Inegalitatea lui Ceb^  sev
^In cele ce urmeaz a vom prezenta forma generalizat a a inegalit at ii lui
Ceb^  sev .
Teorema 2.7. Dac a funct iile f;g: [a;b]!Rsunt integrabile  si au aceea si
monotonie, iar p: [a;b]![0;1)este o funct ie pozitiv a  si integrabil a, atunci
are loc inegalitatea:
Zb
ap(x)dxZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(x)f(x)dxZb
ap(x)g(x)dx:
^In cazul ^ n care f sigsunt de monotonii diferite, avem:
Zb
ap(x)dxZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(x)f(x)dxZb
ap(x)g(x)dx:
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a una din funct iile f,geste constant a.
Demonstrat ie. Deoarecef sigau aceea si monotonie  si p(x);p(y)0,
8x;y2[a;b], rezult a c a
p(x)p(y)
f(x)f(y)

g(x)g(y)

0;8x;y2[a;b]: (2.8)
Inegalitatea 2 :16 este echivalent a cu
p(x)p(y)
f(x)g(x)f(x)g(y)f(y)g(x) +f(y)g(y)

0;8x;y2[a;b]:
(2.9)
Se integreaz a inegalitatea 2 :17 pe [a;b] dup ax si se obt ine
p(y)Zb
ap(x)f(x)g(x)dxp(y)g(y)Zb
ap(x)f(x)dx
p(y)f(y)Zb
ap(x)g(x)dx+p(y)f(y)g(y)Zb
ap(x)dx0:
^In continuare se integreaz a inegalitatea obt inut a pe [ a;b] dup ay si rezult a
Zb
ap(y)dyZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(y)g(y)dyZb
ap(x)f(x)dx
Zb
ap(y)f(y)dyZb
ap(x)g(x)dx+Zb
ap(y)f(y)g(y)dyZb
ap(x)dx0:
T  in^ and cont de faptul c a nu conteaz a litera cu care se noteaz a variabila
de integrare, obt inem concluzia.
Analog se procedeaz a  si ^ n cazul ^ n care funct iile f sigsunt de monotonii
diferite.
xxiv

Corolarul 2.8. Consider^ and p(x) = 1 ,8×2[a;b]^ n enunt ul Teoremei
2:3:4, obt inem forma simpl a a inegalit at ii lui Ceb^  sev  si anume:
a) dac af sigau aceea si monotonie, atunci
(ba)Zb
af(x)g(x)dxZb
af(x)dxZb
ag(x)dx;
b) dac af sigsunt de monotonii diferite, atunci
(ba)Zb
af(x)g(x)dxZb
af(x)dxZb
ag(x)dx:
xxv

2.5.1 Inegalitatea lui Jensen
Una dintre cele mai importante inegalit at i pentru funct iile convexe este cea
asociat a cu numele lui Jensen.
Teorema 2.9. Fief: [a;b]![;],g: [;]!Rdou a funct ii continue.
a) Dac ageste convex a, atunci:
g1
baZb
af(x)dx
1
baZb
ag(f(x))dx:
b) Dac ageste concav a, atunci:
g1
baZb
af(x)dx
1
baZb
ag(f(x))dx:
Demonstrat ie. a) Cumfeste continu a, dac a
= ( x0;x1;:::;xn) este
o diviziune a intervalului [ a;b]  si1;2;:::;nsunt punctele obt inute prin
aplicarea teoremei de medie pentru funct ia fpe intervalele [ x0;x1], [x1;x2],…,
[xn1;xn], obt inem c a:
g1
baZb
af(x)dx
=g
1
banX
k=1 Zxk
xk1f(x)dx!!
=g
1
banX
k=1(xkxk1)f(k)!
:
Dargeste convex a, prin urmare
g
1
banX
k=1(xkxk1)f(k)!
1
banX
k=1(xkxk1)g(f(k)) =
(gf;i);
unde
(gf;i) este o sum a Riemann asociat a funct iei gf, diviziunii

 si punctelor intermediare 1;2;:::;n.
Cumf sigsunt continue, avem gf: [a;b]!Reste continu a, deci
integrabil a. ^In baza Teoremei 2 :1:7  si Observat iei 2 :1:8, lu^ and diviziuni cu
norma tinz^ and la 0  si trec^ and la limit a obt inem concluzia.
b) Se demonstreaz a analog punctului a).
xxvi

2.5.2 Inegalitatea lui Bernoulli
Teorema 2.10. Fief: [a;b]!(0;1)o funct ie continu a. Atunci
a) dac a2(1;0)[(1;1)avem
Zb
af(x)dx
(ba)1Zb
af(x)dx;
b) dac a2(0;1)avem
Zb
af(x)dx
(ba)1Zb
af(x)dx:
Egalitatea are loc dac a feste funct ie constant a.
Demonstrat ie. Din inegalitatea lui Jensen , (Teorema 2 :3:9, punctul
a)), t in^ and cont de faptul c a funct ia g(x) =xeste convex a pentru 2
(1;0)[(1;1)  si concav a pentru 2(0;1), obt inem concluzia.
xxvii

2.5.3 Inegalitatea Hermite-Hadamard
La 22 noiembrie 1881, Charles Hermite trimite o scrisoare publicat iei
Mathesis . Un extras al scrisorii este publicat ^ n Mathesis 3, la pagina 82 ^ n
anul 1883. Acesta se referea la urm atorul rezultat:
Teorema 2.11. Fiea;b2Rcua<b  sig: [a;b]!Ro funct ie continu a  si
convex a. Atunci
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2: (2.10)
Demonstrat ia 1. Efectu am o schimbare de variabil a x= (1t)a+tb.
Avemdx= (ba)dt. Capetele de integrare devin:x1=a
x2=b)t1= 0
t2= 1:
Aplic^ and denit ia unei funct ii convexe, obt inem c a
Zb
ag(x)dx=Z1
0g((1t)a+tb)(ba)dt(ba)Z1
0
(1t)g(a) +tg(b)

dt
= (ba)t2
2g(b)(1t)2
2g(a)1
0= (ba)g(a) +g(b)
2:
A sadarZb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2: (2.11)
^In continuare observ am c a dac a s2
0;ba
2
, atunci
a+b
2+s2a+b
2;b
, iara+b
2s2
a;a+b
2
:
^In plusa+b
2=a+b
2+s+a+b
2s
2. Cumgeste convex a avem c a
ga+b
2
ga+b
2+s
+ga+b
2s
2: (2.12)
xxviii

Integr^ and relat ia 2 :20 pe intervalul
0;ba
2
, obt inem c a
(ba)ga+b
2
= 2ga+b
2(ba)
2= 2ga+b
2Z(ba)=2
01ds
= 2Z(ba)=2
0ga+b
2
ds
Z(ba)=2
0ga+b
2+s
ds+Z(ba)=2
0ga+b
2s
ds
=Zb
(a+b)=2g(x)dx+Z(a+b)=2
ag(x)dx=Zb
ag(x)dx:
Prin urmare
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx: (2.13)
Din relat iile 2 :19  si 2:21 obt inem concluzia.
Demonstrat ia 2. Dac aI= [a;b]  sif(x) =x, atunci inegalitatea lui
Jensen , (Teorema 2 :3:9, punctula)), devine
ga+b
2
1
baZb
ag(x)dx: (2.14)
Cumgeste convex a pe [ a;b], avem
g(x) =gbx
baa+xa
bab
bx
bag(a) +xa
bag(b):
Integr^ and pe [ a;b], obt inem
Zb
ag(x)dxg(a)
ba
bxx2
2b
a+g(b)
bax2
2axb
a= (ba)g(a) +g(b)
2:
(2.15)
Din inegalit at ile 2 :22  si 2:23, rezult a concluzia.
Observat ia 2.12. Dac ag: [a;b]!Reste o funct ie concav a, atunci
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2:
xxix

Demonstrat ie. Se demonstreaz a analog Teoremei 2 :3:11.
Interpretare geometric a
Dubla inegalitate 2 :18 are pentru o funct ie convex a  si pozitiv a, urm atoare
interpretare geometric a:
Aria trapezului curbiliniu AA0B0Beste mai mare dec^ at aria dreptunghi-
uluiA0A00B00B0 si totodat a este mai mic a dec^ at aria trapezului AA0B0B.
2.5.4 Aplicat ii
Exercit iul 2.13. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a  si p1.
S a se arate c a:
Zb
ajf(x)jdxp
(ba)p1Zb
ajf(x)jpdx:
Solut ie. Pentrup= 1, inegalitatea este evident a.
Dac ap>1, ^ n inegalitatea lui H older , (Teorema 2 :3:3), consider am
q= 1 +1
p1 sig(x) = 1,8×2[a;b]. Astfel rezult a c a:
Zb
ajf(x)jdx(ba)p1
pZb
ajf(x)jpdx1
p
:
Prin ridicare la puterea p, obt inem concluzia.
Exercit iul 2.14. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. S a se arate c a:
Zb
af(x) sinx dx2
+Zb
af(x) cosx dx2
(ba)Zb
af2(x)dx:
Solut ie. Aplic^ and inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz , (Corolarul
2:3:4), obt inem:
Zb
af(x) sinx dx2
Zb
af2(x)dxZb
asin2x dx; (2.16)
Zb
af(x) cosx dx2
Zb
af2(x)dxZb
acos2x dx: (2.17)
Adun^ and inegalit at ile 2 :24  si 2:25, obt inem concluzia.
xxx

Exercit iul 2.15. S a se arate c a:Ze
0p
ex1 + ln(x2+ 1)

dxe2.
Solut ie. Fief:R+!R+,f(x) = ln(x2+ 1). Funct ia feste continu a,
strict cresc atoare  si f(0) = 0.
Inversa funct iei festef1:R+!R+,f1=pex1.
Aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1),  si proprietatea de liniar-
itate a integralei denite, obt inem concluzia.
Exercit iul 2.16. S a se arate c a pentru a;b0, are loc inegalitatea:
(1 +a) ln(1 +a)(1 +a) + (ebb)ab:
Solut ie. Fief:R+!R+,f(x) = ln(x+ 1). Funct ia feste continu a,
strict cresc atoare  si f(0) = 0.
Inversa funct iei festef1:R+!R+,f1(x) =ex1.
Aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1), obt inem
Za
0ln(x+ 1)dx+Zb
0(ex1)dxab;
de unde rezult a inegalitatea dorit a.
xxxi

Chapter 3
Aplicat ii de la examenele de
Bacalaureat  si Titularizare
3.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin
calcul integral
3.1.1 Aplicat ii de la examenul de Bacalaureat
Exercit iul 3.1. Demonstrat i c a
1Z2
1p
x2x+ 1dxp
3
Solut ie. Avem 1x2 de unde rezult a c a 1 x24. Deci 0
x2x2, adun^ and un 1 la relat ie avem 1 x2x+13. Aplic am radicalul
 si avem 1p
x2x+ 1p
3. Integr^ and pe [1, 2] ultima inegalitate
obt inem:Z2
1dxZ2
1p
x2x+ 1dxZ2
1p
3dx
xj2
1Z2
1p
x2x+ 1dxp
3xj2
1
21Z2
1p
x2x+ 1dxp
3(21)
1p
x2x+ 1p
3:
xxxii

Exercit iul 3.2. Se consider a funct ia f: [0;1)!R, f(x) =8
<
:exe2x
x;x> 0
1;x= 0.
Folosind eventual inegalitatea exx+ 1;8x2R, s a se arate c a8x>0
0Zx
0f(t)dt< 1:
Varianta 24, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie
Avem f( t ) =e2t(et1)
t>0;8t2(0;1)  sif(0) = 1.
Decif(t)>0 ,8t2[0;1)  si integr^ and avemZx
0f(t)>0;8x>0:^Inlocuind
x cu -t ^ n inegalitatea exx+1;8x2Ravemett+1, deci 1ett,
iar f(t) =et(1et)
t>0, de unde f(t)et;8t > 0:Prin integrare
obt inem Zx
0f(t)dtZx
0etdt;8x>0
IarZx
0etdt=ex+e0=1
ex+ 1:
Deci Zx
0f(t)dt1
ex+ 1<1;8x>0:
Exercit iul 3.3. Fie funct ia f: (1;1)!R,f(x) =xx2
2+x3
3ln(1+x).
S a se arate, folosind funct ia f, c a
Z1
0ln(1 +x)dx5
12:
Varianta 69, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie Avemf0(x) = 1x+x21
1 +x=x3
1 +x.
Pe (-1, 0) derivata este negativ a, iar pe (0 ;1) este pozitiv a , deci 0 este
punct de minim absolut, astfel f(x)f(0) = 0:
Rezult axx2
2+x33ln(1 +x). Integr^ and relat ia avem
Z1
0xx2
2+x3
3dxZ1
0ln(1 +x)dx:
xxxiii

IarZ1
0xx2
2+x3
3dx=5
12, deci
Z1
0ln(1 +x)dx5
12:
Exercit iul 3.4. Se consider a funct ia f: [0;1)!R,f(x) =1
x+ 1.
S a se verice c a dac a a>0, atunci:
1
a+ 2Za+1
af(x)dx1
a+ 1:
Varianta 62, Bacalaureat 2008 M2
Solut ie. FieFo primitiv a a funct iei f, atunci
Za+1
af(x)dx=F(a+ 1)F(a):
Aplic am teorema lui Lagrange funct iei Fpe intervalul [ a;a+ 1]. Rezult a
c a exist ac2(a;a+ 1) astfel ^ nc^ at F(a+ 1)F(a) =F0(c) =f(c).
Prin urmare F(a+ 1)F(a) =f(c) =1
c+ 1. Cumc2(a;a+ 1), avem:
1
a+ 2<1
c+ 1<1
a+ 1:
A sadar
1
a+ 2<Za+1
af(x)dx<1
a+ 1:
Exercit iul 3.5. Se consider a funct ia f:R!R,f(x) = cosx1 +x2
2.
S a se demonstreze c aZ1
0cosx2dx9
10.
Varianta 47, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie. Deoarecef0(x) =sinx+x, rezult a c a f00(x) = 1cosx0,
8x2R. A sadarf0este cresc atoare pe R. Cumf0(0) = 0, rezult a c a pentru
x0 avemf0(x)f0(0) = 0. Deci feste cresc atoare pentru x0.
Cumf(0) = 0, obt inem c a pentru x0 avemf(x)f(0) = 0.
Prin urmare,
cosx1x2
2;8×2[0;1):
xxxiv

Rescriem inegalitatea astfel:
cosx21x4
2;8×2[0;1): (3.1)
Integr^ and relat ia 3 :1 pe [0;1]  si folosind Corolarul 2 :2:4 obt inem
Z1
0cosx2dxZ1
0
1x4
2!
dx=9
10:
Exercit iul 3.6. Se consider a funct iile f;g: (0;+1)!R;f(x) =ex si
g(x) =1
x. Folosind eventual faptul c a 2aba2+b2, pentru orice a;b2R,
s a se demonstreze c a
Z2
1ex
1
xdxe4e2+ 1
4:
Varianta 8, Bacalaureat 2009 M2
Solut ie. Pe [1;2] funct iile f(x)  sig(x) sunt pozitive,  si folosind 2 ab
a2+b2obt inemf(x)
g(x)f2(x) +g2(x)
2.
Avem
Z2
1f(x)
g(x)dx1
2Z2
1[f2(x) +g2(x)]dx=e4e2+ 1
4:
Exercit iul 3.7. Pentru ecare n2Nse consider a In=Ze2
elnnx
xdx.
Folosind, eventual, faptul c a 1lnx2oricare ar  x2[e;e2], s a se
demonstreze c a 12n+11
n+ 12n, pentru orice n2N.
Varianta 13, Bacalaureat 2009 M2
Solut ie. Din 1lnx2 obt inem 1lnnx2n,8×2[e;e2], deciZe2
e1
xdxZe2
elnnx
xdxZe2
e2n
xdx;astfel
lnxje2
elnn+1x
n+ 1je2
e2nlnxje2
e, adic a
12n+11
n+ 12n:
xxxv

Exercit iul 3.8. Se consider a funct ia f:R!R;f(x) =ex2. S a se demon-
streze c a
1Z1
0f(x)dxe:
Varianta 73, Bacalaureat 2009 M2
Solut ie. Avemf0(x) =ex2
2x>0;8×2[0; 1], deci f este strict cresc atoare
pe [0;1], adic af(0)f(x)f(1);
1f(x)e, de unde integr^ and avemZ1
01dxZ1
0f(x)dxZ1
0edx.
Rezult a c a
1Z1
0f(x)dxe:
Exercit iul 3.9. Se consider a, pentru ecare n2N, funct iile
fn: (1;1)!R; fn(x) =x2n
1 +x si
gn: (1;1)!R; gn(x) = 1x+x2x3+:::x2n1+fn(x):
a) S a se arate c a 0Z1
0fn(x)dx1
2n+ 1;8n2N.
b) S a se calculeze lim
n!1
11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n
; n2N.
Varianta 6, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie. a)Observ am c a
0x2n
1 +xx2n;8×2[0;1]:
Integr^ and aceast a inegalitate pe [0 ;1]  si folosind Corolarul 2 :2:4, obt inem
0Z1
0fn(x)dxZ1
0x2ndx=x2n+1
2n+ 11
0=1
2n+ 1:
b)Calcul am
Z1
0gn(x)dx=Z1
0
1x+x2x3+:::x2n1+x2n
1 +x
dx
=Z1
0
1x+x2:::x2n1+x2n1:::x2+x1 +1
1 +x
dx
=Z1
01
1 +xdx= lnjx+ 1j1
0= ln 2:
xxxvi

Dar
Z1
0gn(x)dx=Z1
0
1x+x2x3+:::x2n1+fn(x)

dx
= 11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n+Z1
0fn(x)dx:
Folosind rezultatul obt inut la punctul a), avem
0lim
n!1Z1
0fn(x)dxlim
n!11
2n+ 1= 0:
Aplic am teorema cle stelui  si obt inem c a lim
n!1Z1
0fn(x)dx= 0. Prin urmare
lim
n!1
11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n
= lim
n!1Z1
0gn(x)dxlim
n!1Z1
0fn(x)dx= ln 2:
3.1.2 Aplicat ii de la examenul de Titularizare
Exercit iul 3.10. Fief:R!R,f(x) =x
arctanx.
Calculat i partea ^ ntreag a a volumului corpului obt inut prin rotirea ^ n jurul
axeiOxa subgracului funct iei
g:"p
3
3;1#
!R; g(x) =p
f(x):
Titularizare 2009, Craiova
Solut ie. Volumului corpului obt inut prin rotirea subgracului funct iei g
^ n jurul axei Oxse determin a astfel:
vol(Cg) =Z1
p
3=3g2(x)dx:
Funct iafeste derivabil a  si
f0(x) =arctanxx
1 +x2
arctan2x;8x2R:
Consider am h:R!R,h(x) = arctanxx
1 +x2. Pentru orice x2R,
avem:
h0(x) =2×2
(1 +x2)20:
xxxvii

Prin urmare heste cresc atoare pe R.
Cumh(0) = 0  si heste cresc atoare pe R, rezult a c a h(x)>0, pentru
x>0  sih(x)<0, pentrux<0. A sadar dac a x2(1;0), atuncif0(x)<0,
iar dac ax2(0;+1), atuncif0(x)>0.
^In concluzie, feste strict descresc atoare pe ( 1;0)  si strict cresc atoare
pe (0;+1).
Avem
f00(x) =(1 +x2) arctanxx
(1 +x2) arctan2x0
=2(xarctanx) arctanx
(1 +x2)2arctan4x;8x2R:
Consider am v:R!R,v(x) =xarctanx. Pentru orice x2R, avem:
v0(x) =x2
1 +x20:
A sadarveste cresc atoare pe R.
Cumv(0) = 0  siveste cresc atoare pe R, rezult a c a v(x)>0, pentrux>0
 siv(x)<0, pentrux < 0. Dar arctan x > 0, dac ax > 0  si arctan x < 0,
dac ax<0.
Prin urmare, dac a x2(1;0), atuncif00(x)>0, iar dac a x2(0;+1),
atuncif00(x)>0.^In concluzie, feste convex a at^ at pe ( 1;0), c^ at  si pe
(0;+1).
Deoarecefeste convex a pe R, vom folosi inegalitatea Hermite – Hadamard ,
(Teorema 2 :3:11), pentru funct ia
g2(x) =f(x) =x
arctanx:
Atunci

1p
3
3!
f
1 +p
3
3
2!
Z1
p
3=3x
arctanxdx
1p
3
3!f(1) +fp
3
3
2:
Dar

1p
3
3!f(1) +fp
3
3
2=(3p
3)
6
1

4+p
3
3

6!
=3 +p
3
3<2:
Cumfeste strict cresc atoare pe (0 ;+1), avem
(3p
3)
3f
1 +p
3
3
2!
(3p
3)
3f p
3
3!
=(3p
3)
3
2p
3
= 2(p
31)>1:
A sadar
Z1
p
3=3x
arctanxdx
= 1:
xxxviii

Exercit iul 3.11. Calculat i lim
n!+1n2X
k=1n
n2+k2folosind, eventual, faptul c a
funct iaf:R!R,f(x) =1
1 +x2este descresc atoare pe [0;+1).
Titularizare 2000
Solut ie. Fien2N sixn=n2X
k=1n
n2+k2, atunci
xn=n2X
k=1n
n2+k2=1
nn2X
k=1n
1 +k2
n2=1
nn2X
k=1fk
n
:
Fiek2f1;2;:::;n2g. Dink1
nxk
n, cumfeste descresc atoare pe
[0;+1), rezult a c a
fk
n
f(x)fk1
n
:
Integr^ and pek1
n;k
n
 si folosind Corolarul 2 :2:4 obt inem
Zk=n
(k1)=nfk
n
dxZk=n
(k1)=nf(x)dxZk=n
(k1)=nfk1
n
dx: (3.2)
Relat ia 3:12 este echivalent a cu
1
nfk
n
Zk=n
(k1)=nf(x)dx1
nfk1
n
:
^Insum^ and  si aplic^ and proprietatea de aditivitate la interval a integralei
denite, avem c a
1
nn2X
k=1fk
n
Zn
0f(x)dx1
nn2X
k=1fk1
n
: (3.3)
Dar
n2X
k=1fk1
n
=xn+f(0)f(n) =xn+ 11
1 +n2:
xxxix

Astfel relat ia 3 :13 devine echivalent a cu
xnarctannxn+1
n
11
1 +n2
=xn+n
1 +n2:
Prin urmare arctan nn
1 +n2xnarctann.
Cum lim
n!+1arctann=
2 si lim
n!+1
arctannn
1 +n2
=
2, aplic^ and
teorema cle stelui obt inem c a lim
n!+1xn=
2.
xl

Chapter 4
Aplicat ii din Gazeta
Matematic a, de la olimpiade  si
concursuri  scolare
4.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin
calcul integral
4.1.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a
Aplicat ia 1.
Dac af: [0;2]![0;1), este o funct ie convex a, atunci are loc inegalitateaZ2
af(x)cosxdx0.
Solut ie. AvemZ2
af(x)cosxdx =Z
af(x)cosxdx +Z2
af(x)cosxdx:
Pentru ultima integral a, cu substitut ia x=t+u, rezult a c aZ2
af(x)cosxdx =
Z
af(x+)cosxdx , de undeZ2
af(x)cosxdx =Z
acosx(f(x)f(x+))dx.
Acum, din P3pentrux;y2[0;];x < y , decix < y < x + < y +,
obt inemf(y+)f(x+)
yxf(y)f(x)
yx, decif(y)f(y+)f(x)f(x+).
Astfel, funct ia x!f(x)f(x+);x2[0;] este descresc atoare. ^In nal,
cum  sicosx este descresc atoare pe [0 ;], aplic^ and inegalitatea lui Ceb^ a sev,
avemZ2
af(x)cosxdx =Z
acosx(f(x)f(x+))dx1
Z
acosxdx


xli

Z
a(f(x)f(x+))dx
= 0.
Aplicat ia 2.
Dac af: [0;3]![0;1) este o funct ie concav a, atunci are loc inegalitatea
Z3
2f(x)dx
Z1
0f(x)dxZ2
1f(x)dx2
:
Solut ie. Dac af(x) = 0;8×2(0;3) inegalitatea din enunt  este evident a.
Presupunem c a exist a x02(0;3) astfel^ nc^ at f(x0)>0, de undeZb
af(x)dx>
0;(8)a;b2[0;3];a<b: Similar aplicat iei precedente, obt inem c a funct ia con-
tinu ag(x) =f(x+ 1)f(x) este descresc atoare pe intervalele [0 ;1];[1;2]
 si [2;3], deci pe [0 ;3]. Not am xn=Zn+1
nf(x)dx;n2 f0;1;2g:Astfel,
putem scrieZ3
2f(x)dx
Z1
0f(x)dxZ2
1f(x)dx2
()x2
x0
x2
1()lnx2+lnx0
2lnx1. Deoarece lnxeste o funct ie concav a pe
(0;1);ln(x2)+ln(x0)
2lnx2+x0
2

:Mai r am^ ane de ar atat c a x2+x02×1.
Denim funct ia derivabil a h: [0;2]!R;h(x) =Zx+1
xf(t)dt. Avemh0(x) =
f(x+ 1)f(x), care este o funct ie descresc atoare pe [0 ;2], de unde rezult a
c a h este concav a pe [0 ;2].
Rezult ah0+2
2

h(0)+h(2)
2, deci 2×1x2+x0.
Aplicat ia 3.
Presupunem c a f: [0;1]!Reste o funct ie derivabil a, cu f0continu a, astfel
^ nc^ atZ1
0f(x)dx= 0. Pentru 2(0;1) exist a inegalitatea:Z
0f(x)dx
1
8
max
x2[0;1]jf0(x)j.
Solut ie. Consider am funct ia derivabil a de dou a ori g: [0;1]!R;g(x) =Zx
0f(t)dt+Mx2
2, undeM=sup
x2[0;1]jf0(x)j. Avemg00(x) =f0(x) +M
0;(8)x2[0;1], deci g este convex a pe [0 ;1]. Folosind P1, putem scrie
g() =g((1)
0 +
1)(1)g(0) +g(1))
)Z
0f(x)dx+a2
2M
2M)
xlii

)Z
0f(x)dx=M
2(1)M
21+
22
=1
8M:
Aplicat ia 4.
Fief: [0;1]![0;1) o funct ie concav a  si integrabil a. Atunci are loc inegal-
itatea:
Z1
0x2f(x)dx1
2Z1
0f(x)dx:
Solut ie . Cum f este concav a, avem
f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y)f(x);(8)x;y;t2[0;1]:
Acum, pun^ and =x;y= 0, obt inem succesiv c a f(x2)xf(x);xf(x2)
x2f(x);(8)x2[0;1], deciZ1
0xf(x2)dxZ1
0x2f(x)dx, adic a1
2Z1
0f(x)dx
Z1
0x2f(x)dx.
Aplicat ia 5.
a) Dac af: [0;a]!R;f(0) = 0, este o funct ie convex a, atunci are loc ine-
galitatea
c2Za
0f(x)dxa2Zc
0f(x)dx;(8)c2[0;a]:
b) Fief;g: [0;1]!R, dou a funct ii cu urm atoarele propriet at i:
i) f este convex a, continu a  si f(0) = 0;
ii) g este derivabil a, inversabil a, cu g(i) =i, pentrui2f0;1g:
AtunciZ1
0g2(x)dx
Z1
0f(x)dxZ1
0(1g1(x))f(x)dx:
c) Fief: [0;1]!R;f(0) = 0, o funct ie concav a  si continu a. Consider am
g: [0;1]![0;1] o funct ie continu a. Dac a f este cresc atoare, atunci
Z1
0g(x)dx
Z1
0f(x)dxZ1
0f(g(x))dx:
d) Dac af;g: [0;1]!R;f(0) =g(0) = 0, sunt dou a funct ii convexe  si
cresc atoare, atunci
2 Z 1p
2
0f(x)dx
Z1
1p
2g(x)dx+Z1
1p
2f(x)dxZ 1p
2
0g(x)dx!
Z1
0f(x)
g(x)dx:
xliii

e) Dac af: [0;a]!R;f(0) = 0, este o funct ie convex a  si integrabil a,
a
6 Za
a
2f(x)dxZa
2
0f(x)dx!
Za
2
0xf(x)dx:
Solut ie.
a) Cum f este convex a pe [0 ;a];f(x+(1)y)f(x)+(1)f(y);(8)x;y2
[a;b], cu (8)2[0;1]. Acum, pentru y= 0  si=c
a2[0;1])fc
ax


c
af(x))Za
0fc
ax
dxc
aZc
0f(x)dx)
t=cx
0a2
Zc
0f(x)dxc2Za
0f(x)dx;(8)c2
[0;a].
Observat ie.
Pentruc=a
2, obt inem inegalitatea
Za
0f(x)dxfZa
2
0f(x)dx:
b) Este clar c a 0g(x)1;(8)x2[0;1]. Acum, ^ nlocuind ^ n punctul prece-
dent c cug(x);x2[0;1], obt inem c a g2(x)Z1
0f(x)dxZg(x)
0f(t)dt, de unde
Z1
0g2(x)dx
Z1
0f(x)dxZ1
0 Zg(x)
0f(t)!
dxZ1
0x0 Zg(x)
0f(t)!
dx=Zg(1)
0f(x)dx
Zg(1)
0xf(g(x))g0(x)dx=
g(x)=tZ1
0f(x)dxZ1
0g1(t)f(t)dt=Z1
0(1g1(x))f(x)dx:
Observat ie.
Pentrug(x) =xn, obt nem inegalitatea
Z1
0f(x)dx(2n+ 1)
Z1
0(1npxf(x)dx:
c)c2Z1
0f(x)dxZc
0f(x)dx)c2Z1
0f(x)dxcf(c))cZ1
0f(x)dx
f(c))
c:=g(x)Z1
0g(x)dxZ1
0f(x)dxZ1
0f(g(x))dx:
d) Din a) avem1
cZc
0f(x)dxcZ1
0f(x)dx)Zc
0f(x)dxc2Zc
0f(x)dx+Z1
cf(x)dx
)
Z1
cf(x)dx1c2
c2Zc
0f(x)dx:
Astfel, pentru c=1p
2obt inem1c2
c2= 1, de undeZ 1p
2
0f(x)dxZ1
1p
2f(x)dx:
xliv

Astfel cuplurile
Z 1p
2
0f(x)dx;Z1
1p
2g(x)dx!
; Z1
1p
2f(x)dx;Z 1p
2
0g(x)dx!
sunt ordonate descresc ator, de unde, folosind inegalitatea lui Ceb^ a sev,Z 1p
2
0f(x)dx
Z1
1p
2g(x)dx+Z1
1p
2f(x)dxZ 1p
2
0g(x)dx1
2 Z 1p
2
0f(x)dx+Z1
1p
2f(x)dx!


Z 1p
2
0g(x)dx+Z1
1p
2g(x)dx!
=1
2Z1
0f(x)dxZ1
0g(x)dxZ1
0f(x)g(x)dx:
e) Conform P2funct iaf(x)
x;x2(0;a
2] este cresc atoare.
Rezult af(x)
xf(x+y)
x+y;(8)x;y2(0;a
2])a
2xf(x)+a2
8f(x)xZa
2
0f(x+y)dy=
xZx+a
2
xf(t)dt;x2[0;a])a
2Za
2
0xf(x)dx+a2
8Za
2
0f(x)dxZa
2
0x2
20 Zx+a
2
xf(t)dt!
dx)
a
2Zfraca 2
0xf(x)dx+a2
8Za
2
0f(x)dxa2
8Za
a
2f(x)1
2Za
2
0x2
f
x+a
2
f(x)
dx:
Similar rat ionamentului din Aplicat ia 1 obt inem c a funct ia f
x+a
2

f(x);x2
0;a
2
este cresc atoare, de unde aplic^ and inegalitatea lui Ceb^ a sev, obt inemZa
2
0x2
f
x+a
2
f(x)
dx2
a
Za
2
0x2dx
Za
2
0
f
x+a
2
f(x)
dx=
a2
12 Z1
a
2f(x)dxZa
2
0f(x)dx!
:Rezult a
a
2Za
2
0xf(x)dx+a2
8Za
2
0f(x)dxa2
8Za
a
2f(x)a2
12 Z1
a
2f(x)dxZa
2
0f(x)dx!
:
^In nal,a
6 Za
a
2f(x)dxZa
2
0f(x)dx!
Za
2
0xf(x)dx:
Aplicat ia 6.
Fief: [a;b]!Ro funct ie convex a  si integrabil a.
a) Dac af0
da+b
2

0  sip: [a;b]!R+este o funct ie cresc atoare, atunci
Zb
af(x)p(x)dxfa+b
2

Zb
ap(x)dx:
b) Dac af(b)f(a)  sip: [a;b]!R+este funct ie descresc atoare, atunci
Zb
af(x)p(x)dxf(a) +f(b)
2
Zb
ap(x)dx:
xlv

c) Dac af: [a;b]!R+este concav a, atunci are loc inegalitatea:
1
baZb
af2(x)dxf2a+b
2
+
f0
da+b
22

(ba)2
12:
d) Dac af: [a;b]!R+este convex a, atunci are loc inegalitatea:
1
baZb
af2(x)dxf2(a) +f(a)f(b) +f2(b)
3:
Solut ie.
a) DinP4iii) avem
f(x)fa+b
2
+
xa+b
2
f0
da+b
2
p>0)p(x)f(x)
fa+b
2
p(x) +
xa+b
2
p(x)f0
da+b
2
;
de unde, prin integrare  si folosind inegalitatea lui Ceb^ a sev,
Zb
ap(x)f(x)dxfa+b
2Zb
ap(x)dx+f0
da+b
2Zb
a
xa+b
2
p(x)dx
fa+b
2Zb
ap(x)dx+f0
da+b
2

1
ba
Zb
a
xa+b
2
dx
|{z}
=0
Zb
ap(x)dx+
=fa+b
2Zb
ap(x)dx
b) Aplic^ and P3ii);pentrua<x<b obt inem
f(x)f(a)
xaf(b)f(a)
ba)f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa))
)Zb
ap(x)f(x)dxf(a)Zb
ap(x)dx+f(b)f(a)
ba
Zb
ap(x)(xa)dx
Cebasev

Cebasevf(a)Zb
ap(x)dx+f(b)f(a)
(ba)2Zb
ap(x)dx
Zb
a(xa)dx=
=f(a) +f(b)
2Zb
ap(x)dx:
xlvi

c) Cum f este concav a  si pozitiv a,
f(x)fa+b
2
+
xa+b
2
f0
da+b
2
;
deci
f2(x)f2a+b
2
+2
xa+b
2
f0
da+b
2
+
xa+b
22
f0da+b
22
)
)Zb
af2(x)dx(ba)f2a+b
2
+ 2f0
da+b
2Zb
a
xa+b
2
dx+
+
f0
da+b
22

Zb
a
xa+b
22
dx;
de unde reiese imediat concluzia.
d)^Intruc^ atf(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa), prin ridicare la p atrat  si integrare,Zb
af2(x)dx(ba)f2(a)+2f(a)(f(b)f(a))
baZb
a(xa)dx+f(b)f(a)
ba2


Zb
a(xa)2dx, de unde
a
baZb
af2(x)dxf2(a) +f(a)f(b) +f2(b)
3:
Exercit iul 4.1. [C at alin Cristea, Craiova ]Fief: [0;1]!Ro funct ie deriv-
abil a. S a se demonstreze c a:
f2(1)2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dx:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 5/2012
Solut ie. Integr^ and prin p art i obt inem
Z1
0f2(x)dx=xf2(x)1
0Z1
0x
f2(x)0dx=f2(1)2Z1
0xf0(x)f(x)dx:
(4.1)
Adun^ and la relat ia 4 :14 termeniiZ1
0f2(x)dx siZ1
0
xf0(x)2dxrezult a
c a
2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dx=f2(1) +Z1
0
f(x)xf0(x)2dx: (4.2)
xlvii

Cum
f(x)xf0(x)20,8×2[0;1], aplic^ and Propozit ia 2 :2:1, avemZ1
0
f(x)xf0(x)2dx0, deci relat ia 4 :15 devine
2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dxf2(1):
Exercit iul 4.2. [Traian T am^ aian, Carei, Satu Mare ]Fief: [a;b]!Ro
funct ie derivabil a de dou a ori, cu derivata de ordinul doi continu a, astfel
^ nc^ atf(a) =f(b). S a se demonstreze c a
Zb
axf0(x)dx2
(ba)5
120Zb
a(f"(x))2dx:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 6- 7- 8/2017
Solut ie. Pentru rezolvarea acestei probleme aplic am inegalitatea lui
Cauchy- Buniakowski- Schwarz demonstrat a ^ n capitolul 2. Astfel, avem
Zb
a(x2(a+b)x+ab)f"(x)dx
Zb
a[(x2(a+b)x+ab)]2dx
Zb
af"(x)2dx
(4.3)
Dar
Zb
a(x2(a+b)x+ab)f"(x)dx=Zb
a(x2(a+b)x+ab)(f0(x))0dx=
= (x2(a+b)x+ab)f0(x)jb
aZb
a(2x(a+b))f0(x)dx=
=Zb
a(a+b2x)f0(x)dx= (a+b)Zb
af0(x)dx2Zb
axf0(x)dx=
= (a+b)f(x)jb
a2Zb
axf0(x)dx= (a+b)(f(b)f(a))2Zb
axf0(x)dx;
iar din f(a) = f(b) avem c a
Zb
a(x2(a+b)x+ab)f"(x)dx= 2Zb
axf0(x)dx: (4.4)
Fie
I=Zb
a(x2(a+b)x+ab)2dx=Zb
a[(xa)(xb)]2)dx:
xlviii

Not amt=xa
ba,dx= (ba)dt, rezult axa=t(ba),xb= (ba)(t1)
 si avem
I=Zb
a[(xa)(xb)]2dx=Z1
0[(ba)2t(t1)]2(ba)dt=
= (ba)5Z1
0(t2(t1)2dt= (ba)5Z1
0(t42t3+t2)dt=
= (ba)51
52
4+1
3
=(ba)5
30:
Deci,
I=Zb
a(x2(a+b)x+ab)2dx=(ba)5
30; (4.5)
Prin ^ nlocuirea lui (4.4)  si (4.5) ^ n (4.3) avem

2Zb
axf0(x)dx2
(ba)5
30Zb
a(f00(x))2dx
Zb
axf0(x)dx2
(ba)5
120Zb
a(f00(x))2dx
Exercit iul 4.3. [Cristian Moant  a, Craiova ]Fien2N,n2.
S a se arate c a:
nX
k=21
k+ 1Zk
k1exdx<1
n1Zn
1lnx+ 1
xdxZn
1exdx:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 1/2011
Solut ie. Fief;g: [1;1)!R,f(x) =ex sig(x) = ln(x+ 1)lnx.
Cumf sigsunt continue, deci integrabile, feste strict cresc atoare, iar g
este strict descresc atoare, aplic^ and inegalitatea lui Ceb^  sev , (Corolarul 2 :3:8,
punctulb)), rezult a c a
Zn
1f(x)g(x)dx1
n1Zn
1f(x)dxZn
1g(x)dx: (4.6)
Aplic am teorema lui Lagrange funct iei " ln " pe intervalul [ x;x+ 1]  si
obt inem c a ln( x+ 1)lnx>1
x+ 1,8×2[1;1), adic a
g(x)>1
x+ 1;8×2[1;1): (4.7)
xlix

Din relat iile 4 :18  si 4:19, rezult a c a
1
n1Zn
1f(x)dxZn
1g(x)dxZn
1f(x)g(x)dx>Zn
1ex1
x+ 1dx: (4.8)
Folosind proprietatea de aditivitate la interval a integralei denite, avem
Zn
1ex1
x+ 1dx=nX
k=2Zk
k1ex1
x+ 1dx: (4.9)
Dar1
x+ 11
k+ 1,8×2[k1;k], prin urmare
nX
k=2Zk
k1ex1
x+ 1dxnX
k=2Zk
k1ex1
k+ 1dx=nX
k=21
k+ 1Zk
k1exdx: (4.10)
Din relat iile 4 :20, 4:21  si 4:22 obt inem inegalitatea cerut a.
Exercit iul 4.4. Fief: [0;1]![0;1]o funct ie de dou a ori derivabil a, cu
urm atoarele propriet at i:
a)f00este continu a, cresc atoare  si strict pozitiv a pe [0;1];
b)f0este convex a  si 0f0(x)1,8×2[0;1].
S a se arate c a:
Z1
01
f00(x)dxf0
f(1)f(0)

f(f0(1))f(f0(0)):
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 3/2012
Solut ie. Din (ff0)0(x) =f0(f0(x))
f00(x) rezult a c a
(ff0)0(x)
f00(x)=f0(f0(x));8×2[0;1]:
Cum (ff0)0este cresc atoare (ca produs de dou a funct ii pozitive  si
cresc atoare), iar1
f00este descresc atoare, aplic am inegalitatea lui Ceb^  sev
(Corolarul 2 :3:8, punctulb))  si obt inem:

f(f0(1))f(f0(0))
Z1
01
f00(x)dx=Z1
0(ff0)0(x)dxZ1
01
f00(x)dx
Z1
0(ff0)0(x)
f00(x)dx=Z1
0f0(f0(x))dx:
(4.11)
l

Darf0este convex a, aplic^ and inegalitatea lui Jensen (Teorema 2 :3:9,
punctula)), avem:
Z1
0f0(f0(x))dxf0Z1
0f0(x)dx
=f0
f(1)f(0)

: (4.12)
Din relat iile 4 :23  si 4:24 rezult a c a

f(f0(1))f(f0(0))
Z1
01
f00(x)dxf0
f(1)f(0)

: (4.13)
Cumf sif0sunt funct ii cresc atoare pe [0 ;1], ^ mp art ind relat ia 4 :25 prin
f(f0(1))f(f0(0))

>0,8×2[0;1], obt inem concluzia.
Exercit iul 4.5. [Dan Marinescu  si Viorel Cornea, Hunedoara ]
Fieg: [a;b]![c;d]o funct ie continu a  si f: [c;d]!Ro funct ie convex a.
S a se arate c a:
a)c+d1
baZb
ag(x)dx2[c;d].
b)f
c+d1
baZb
ag(x)dx
f(c) +f(d)1
baZb
af(g(x))dx.
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 6/2011
Solut ie.a) Cumgeste continu a  si cg(x)d, pentru orice x2[a;b],
rezult a conform Corolarului 2 :2:6 c a
c(ba)Zb
ag(x)dxd(ba): (4.14)
Relat ia 4:26 este echivalent a cu c1
baZb
ag(x)dxd. Prin urmare
c+d1
baZb
ag(x)dx2[c;d].
b) Aplic am inegalitatea lui Jensen funct iei convexe f si obt inem
f
c+d1
baZb
ag(x)dx
=f1
baZb
a(c+dg(x))dx

1
baZb
af(c+dg(x))dx:(4.15)
li

Fiex2[a;b]. Cumg(x)2[c;d] exist a2[0;1] astfel ^ nc^ at g(x) =
c+ (1)d. Darfeste convex a pe [ c;d], prin urmare
f(g(x)) +f(c+dg(x)) =f(c+ (1)d) +f(d+ (1)c)
f(c) + (1)f(d) +f(d) + (1)f(c) =
=f(c) +f(d):
A sadarf(c+dg(x))f(c) +f(d)f(g(x)). Prin integrare pe [ a;b]
rezult a c a
Zb
af(c+dg(x))dx(f(c) +f(d))(ba)Zb
af(g(x))dx (4.16)
Imp art ind inegalitatea 4 :28 cuba, din inegalitatea 4 :27 obt inem con-
cluzia.
lii

4.1.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare
Exercit iul 4.6. S a se calculeze limita
lim
n!1Z1
0exndx:
O.N.M., etapa judet ean a Bucure sti, 2013
Solut ie. Deoareceexn1, oricare ar  x2[0;1], aplic^ and Corolarul
2:2:4, obt inem c aZ1
0exndx1: (4.17)
Fieg: [0;1]!R,g(x) =ex3x. Cumg0(x) =ex3<0, rezult a c a g
este strict descresc atoare, deci g(x)<g(0) = 1.
Obt inem astfel c a ex1 + 3x,8×2[0;1].
Prin urmare, exn1 + 3xn, de unde prin integrare pe intervalul [0 ;1]
rezult a c a: Z1
0exndxZ1
0(1 + 3xn)dx= 1 +3
n+ 1: (4.18)
Din relat iile 4 :29  si 4:30, trec^ and la limit a  si aplic^ and teorema cle stelui
obt inem c a:
lim
n!1Z1
0exndx= 1:
liii

Exercit iul 4.7. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a cu proprietatea c a:
xf(y) +yf(x)1;8x;y2[0;1]:
Demonstrat i c a:Z1
0f(x)dx
4:
Concursul "Traian Lalescu", Timi soara, 2014
Solut ie. ^In integrala I=Z1
0f(x)dxefectu am schimbarea de variabil a
x= sin si apoix= cos, de unde rezult a relat iile:
I=Z
2
0f(sin) cos d; respectivI=Z
2
0f(cos) sin d:
Adun^ and cele dou a relat ii obt inem:
2I=Z
2
0[f(sin) cos+f(cos) sin]d
2:
A sadarZ1
0f(x)dx
4.
Exercit iul 4.8. [Emil Popa, Sibiu ]Dac af: [0;1]!Reste o funct ie deriv-
abil a pe [0;1]cuf(0) = 0 , atunci pentru orice n2avem:
Z1
0f2n(x)dxn2Z1
0f2n2(x)dxZ1
0[f0(x)]2dx:
Concursul "Gheorghe Laz ar", Sibiu, 2012
Solut ie. Cumf(0) = 0, rezult a c a
fn(x) =Zx
0[fn(t)]0dt=nZx
0fn1(t)f0(t)dt:
Aplic am inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz , (Corolarul 2 :3:4)  si
obt inem:
f2n(x)n2Zx
0f2n2(t)dtZx
0[f0(t)]2dt
f2n(x)n2Z1
0f2n2(t)dtZ1
0[f0(t)]2dt: (4.19)
Prin integrare relat iei 4 :31 ^ n funct ie de xpe [0;1] avem
Z1
0f2n(x)dxn2Z1
0f2n2(x)dxZ1
0[f0(x)]2dx:
liv

Exercit iul 4.9. Fie funct ia f: [0;1]!Rderivabil a cu derivata continu a
astfel ^ nc^ atZ1
0[f0(x)]2dx2Z1
0f(x)dx:
S a se determine f stiind c af(1) =1
6.
O.N.M., etapa nat ional a 2009
Solut ie. Cum [f0(x) +x]20;8×2[0;1], conform Propozit iei 2 :2:1
avem:
0Z1
0[f0(x) +x]2dx=Z1
0[f0(x)]2dx+ 2Z1
0xf0(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx+ 2xf(x)1
02Z1
0f(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx1
32Z1
0f(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx2Z1
0f(x)dx0:
A sadar,Z1
0[f0(x) +x]2dx= 0. Dar funct ia f0este continu a, prin urmare
f0(x) =x. Prin integrare obt inem
f(x) =x2
2+c;8×2[0;1]:
Din condit ia f(1) =1
6, obt inemc=1
3. Decif(x) =x2
2+1
3.
lv

Concluzii
Lucrarea de fat  a prezint a c^ ateva metode analitice de obt inere a unor
inegalit at i  si este structurat a ^ n patru capitole.
Primul capitol trateaz a metode analitice de calcul diferent ial  si concen-
treaz a not iuni teoretice specice capitolelor "Funct ii derivabilele"  si "Aplicat ii
ale derivatelor ^ n studiul variat iei funct iilor" din programa  scolar a pentru
clasa a XI-a.
Al doilea capitol trateaz a metode analitice de calcul intergral  si concen-
treaz a not iuni teoretice specice capitolului "Funct ii integrabile" din pro-
grama  scolar a pentru clasa a XII-a.
Capitolele III  siIVcont in aplicat ii care utilizeaz a rezultatele teoretice
enunt ate  si demonstrate ^ n capitolele anterioare.
Suger am ca direct ii de dezvoltare a acestei lucr ari studiul procedeelor
pentru demonstrarea monotoniei  si/sau m arginirii unui  sir  si al criteriilor de
convergent  a a  sirurilor, ^ ntruc^ at aceste not iuni pot facilita obt inerea unor
inegalit at i.
lvi

Bibliography
[1] V. Arsinte, Probleme elementare de calcul integral , Editura Universit at ii
Bucure sti, 1995.
[2] N. Boboc, I. Colojoar a, Matematic a, Elemente de analiz a matematic a,
Manual pentru clasa a XII-a , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti, 1995.
[3] T. Ceau su, M. Megan, I. L. Popa, Probleme de matematic a cu enunt uri
 si solut ii date la concursurile de Titularizare 1993-2013 , Editura Matrix
Rom, Bucure sti, 2014.
[4] N. Dinculeanu, Gh. Marinescu, S. Marcus, Analiz a matematic a, Volumul
I, Edit ia a V-a , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1980.
[5] M. O. Drimbe, Inegalit at i, idei  si metode , Editura Gil, Zal au, 2003.
[6] M. Ganga, Matematic a, Manual pentru clasa a XI-a M1 , Editura Math-
press, Ploie sti, 2006.
[7] M. Ganga, Matematic a, Elemente de analiz a matematic a, Manual pen-
tru clasa a XII-a M1 , Editura Mathpress, Ploie sti, 2005.
[8] Gh. Gussi, O. St an a sil a, T. Stoica, Matematic a, Elemente de analiz a
matematic a, Manual pentru clasa a XI-a , Editura Didactic a  si Peda-
gogic a, Bucure sti, 1992.
[9]Gazeta Matematic a, Seria B Nr. 3/2013, Nr. 3/2012, Nr. 5/2012, Nr.
6-7-8/2012, Nr. 9/2012, Nr. 1/2011, Nr. 2/2011, Nr. 6/2011.
[10] Hui-Hua Wu, Shanhe Wu, Various proofs of the Cauchy-Schwarz in-
equality , Octogon Mathematical Magazine, Vol 17, Nr. 1, 2009, 227,
http://www.uni-miskolc.hu/ matse/Octogon/ .
[11] W.J. Kaczor, M.T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis III, In-
tegration , American Mathematical Society, 2000.
lvii

[12] D.S. Mitrinovi c, P.M. Vasi c, Analytic Inequalities , Springer-Verlag,
Berlin, 1970.
[13] D. Popa, Curs Capitole speciale de analiz a matematic a pentru preg atirea
profesorilor .
[14] Recreat ii matematice , Nr. 2/2003, Nr. 2/2004, Nr. 1/2015.
[15] Gh. Siret chi, Calcul diferent ial  si integral, Volumul I, Not iuni funda-
mentale , Editura S tiint ic a  si Enciclopedic a, Bucure sti, 1985.
[16] Gh. Siret chi, Calcul diferent ial  si integral, Volumul II, Exercit ii , Editura
S tiint ic a  si Enciclopedic a, Bucure sti, 1985.
[17] S . Smarandache, O inegalitate util a , Lect ia 1, 8 februarie 2010, Bu-
cure sti, http://www.viitoriolimpici.ro .
[18] S coala virtual a a t^ an arului matematician – Inegalit at i,
http://www.math.md .
[19] F. Vi sescu, L. Z^ rn a, Bacalaureat 2008: Matematic a MT2, subiectul III
– repere de abordare , Editura Crizon, Constant a, 2008.
[20] G. Vlad, C. Z^ rn a, Ghid de preg atire pentru Bacalaureat 2009, Matem-
atic a M1 , Editura Sigma, Constant a, 2009.
[21] http://www.olimpiade.ro/
[22] http://www.mategl.com/download.htm .
lviii