Lucrare de Disertat ie [606161]

Lucrare de Disertat ie
|||||||||||{
Miron- Balica Andreea

Universitatea "Ovidius" Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Inegalit at i integrate
Coordonator  stiint ic: Prof. Univ. Dr. Costara
Constantin
Absolvent: [anonimizat]- Balica Andreea
Constant a 2018

Contents
Introducere iii
1 Preliminarii v
1.1 Not iuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1.1.1 Sume Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
1.2 Propriet at i ale integralei denite . . . . . . . . . . . . . . . . . x
1.2.1 Proprietatea de liniaritate a integralei . . . . . . . . . . x
1.2.2 Proprietatea de aditivitate la interval a integralei . . . xi
1.2.3 Propriet at i de monotonie ale integralei denite . . . . . xi
1.2.4 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
2 Inegalit at i remarcabile xviii
2.1 Inegalitatea lui Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
2.2 Inegalitatea lui H older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
2.3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz . . . . . . . . . . . . xxii
2.4 Inegalitatea lui Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
2.5 Inegalitatea lui Ceb^  sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
2.5.1 Inegalitatea lui Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
2.5.2 Inegalitatea lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
2.5.3 Inegalitatea Hermite-Hadamard . . . . . . . . . . . . . xxviii
2.5.4 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx
3 Aplicat ii de la examenele de Bacalaureat  si Titularizare xxxii
3.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin calcul integral . . . . . xxxii
3.1.1 Aplicat ii de la examenul de Bacalaureat . . . . . . . . xxxii
3.1.2 Aplicat ii de la examenul de Titularizare . . . . . . . . xxxv
4 Aplicat ii din Gazeta Matematic a, de la olimpiade  si concur-
suri  scolare xxxviii
4.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin calcul diferent ial . . . xxxviii
4.1.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a . . . . . . . . . . . . xxxviii
i

4.1.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare . . . . . xli
4.2 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin calcul integral . . . . . xliii
4.2.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a . . . . . . . . . . . . xliii
4.2.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare . . . . . xlvii
Concluzii liv
Bibliograe lv
ii

Introducere
Rezultatele teoretice ale analizei matematice permit obt inerea unor ine-
galit at i care cu ajutorul metodelor algebrice ar  fost greu de demonstrat.
Lucrarea de fat  a prezint a c^ ateva metode analitice de obt inere a unor ine-
galit at i  si este structurat a ^ n patru capitole.
Primul capitol trateaz a metode analitice de calcul diferent ial. Capitolul
debuteaz a cu denirea unor not iuni precum puncte de extrem local  si global
ale unei funct ii.
Subcapitolul 1 :2 arat a important a teoremei lui Lagrange ^ n obt inerea unor
inegalit at i^ ntre funct ii. Una dintre cele mai importante  si utilizate consecint e
ale teoremei lui Lagrange este cea referitoare la monotonia funct iilor care se
stabile ste cu ajutorul semnului derivatei ^ nt^ ai . Acest rezultat este frecvent
utilizat pe parcursul lucr arii, at^ at ^ n demonstrarea unor rezultate teoretice,
c^ at  si ^ n aplicat iile prezentate ^ n Capitolele III  si IV.
O alt a metod a important a de obt inere a unor inegalit at i presupune uti-
lizarea convexit at ii  si aconcavit at ii unor funct ii. De altfel, chiar denirea pro-
priet at ilor de convexitate  siconcavitate se face cu ajutorul unor inegalit at i.
^In Subcapitolul 1 :4, sunt denite  si demonstrate o serie de inegalit at i
remarcabile , cum ar :
Inegalitatea dintre media geometric a  si media aritmetic a a nnumere
reale pozitive;
Inegalitatea lui Young ;
Inegalitatea lui H older ;
Inegalitatea lui Bernoulli ;
Inegalitatea lui Jensen .
Inegalitatea lui Jensen constituie o surs a pentru demonstrarea altor ine-
galit at i. ^In Subcapitolul 1 :4:6 se utilizeaz a inegalitatea lui Jensen pentru a
demonstra inegalitatea mediilor generalizate , inegalitatea Cauchy-Buniakovski-
Schwarz  si inegalitatea lui G oughens .
iii

Fiecare subcapitol al Capitolului I cont ine aplicat ii printre care reg asim:
inegalitatea lui Napier  si inegalitatea lui Steiner .
Capitolul al II-lea trateaz a metode analitice de calcul integral.
^In Subcapitolul 2 :2 sunt denite  si demonstrate propriet at ile de mono-
tonie ale integralei denite . Subcapitolul 2 :2 se ^ ncheie cu rezolvarea unor
aplicat ii din revista Recreat ii Matematice .
Subcapitolul 2 :3 aduce denirea  si demonstrarea formelor integrale a
mai multor inegalit at i prezentate ^ n Capitolul I. ^In plus, sunt prezentate
urm atoarele inegalit at i remarcabile :
Inegalitatea lui Minkowski ;
Inegalitatea lui Ceb^  sev ;
Inegalitatea lui Hermite-Hadamard .
Capitolele III  siIVcont in aplicat ii care utilizeaz a rezultatele teoretice
enunt ate  si demonstrate ^ n capitolele anterioare.
iv

Chapter 1
Preliminarii
1.1 Not iuni introductive
Denit ia 1.1. Fie[a;b]un interval ^ nchis  si m arginit( compact) din R.
Se nume ste diviziune a intervalului [a;b]un sistem nit de puncte

= (x0;x1;:::;xn1;xn)din[a;b]astfel ^ nc^ at a=x0<x 1<x 2<:::<
xn1<xn=b.
Punctelex0;x1;x2;


;xnse numesc puncte de diviziune saunodurile
diviziunii
, iar intervalele [x0;x1],[x1;x2],


,[xn1;xn]se numesc
intervale de diviziune .
Sistemul de puncte = (1;2;


;n),i2[xi1;xi];i=1;nse
nume ste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii
.
Denit ia 1.2. Fie
= (x0;x1;:::;xn1;xn)o diviziune a intervalului [a;b].
Se nume ste norma diviziunii
cea mai mare dintre lungimile intervalelor
de diviziune [x0;x1];[x1;x2];


;[xn1;xn].
Se noteaz a,
k
kdef= max
1in(xixi1):
Denit ia 1.3. Diviziunea
= (x0;x1;:::;xn1;xn)a intervalului [a;b]se
nume ste diviziune echidistant a dac a toate intervalele de diviziune [x0;x1];
[x1;x2];


;[xn1;xn]au aceea si lungime.
^In acest caz ,k
k=ba
n.
v

1.1.1 Sume Riemann
Fie [a;b]Run interval ^ nchis  si m arginit  si urm atoarele obiecte matemati
-ce:
a) funct iaf: [a;b]!R;
b) diviziunea
= ( x0;x1;:::;xn1;xn) a intervalului [ a;b];
c) sistemul de puncte intermediare = (1;2;


;n) asociat diviziunii

.
Denit ia 1.4. Se nume ste sum a Riemann sausum a integral a asociat a
funct ieif, diviziunii
 si punctelor intermediare 1;2;:::;nnum arul real

(f;) =nX
i=1f(i)(xixi1)
Interpretarea geometric a a sumei Riemann
Fie funct ia continu a f: [a;b]![0;+1);
=(x0;x1;:::;xn1;xn) o diviziune
a intervalului [ a;b], iar= (1;2;:::;n) un sistem de puncte intermediare
asociat diviziunii
.
Observat ia 1.5. Dac a funct ia feste pozitiv a, atunci suma Riemann 
(f;)
reprezint a suma ariilor dreptunghiurilor de baz a xjxj1 si de ^ n alt ime f(j),
cuj=1;n.
Prin urmare 
(f;) aproximeaz a aria mult imii din plan, numit a sub-
gracul luif,
fdef=f(x;y)2R2jaxb;0yf(x)g;
delimitat a de axa Ox, gracul lui f si dreptelex=a,x=b.
Denit ia 1.6. O funct ief: [a;b]!Rse nume ste integrabil a (Riemann)
dac a exist a un num ar real Ifcu proprietatea c a oricare ar  " >0, exist a
n">0astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
= (x0;x1;:::;xn1;xn)a interval-
ului[a;b]cuk
k<n" si orice puncte intermediare xj1jxj,j=1;n
are loc urm atoarea inegalitate:
j
(f;)Ifj<":
Num arul real Ifse nume ste integrala denit a a funct iei fpe in-
tervalul [a;b] si se noteaz a:
Zb
af(x)dx:
vi

Denit ia 1.7. SimbolulR
este denumit semnul de integrare sau semnul
integralei.
Denit ia 1.8. Numerele a  si b se numesc limite saucapete de inte-
grare:
a este limita de integrare inferioar a
b este limita de integrare superioar a.
Denit ia 1.9. Intervalul [a, b] se nume ste interval de integrare .
Denit ia 1.10. Funct ia f se nume ste funct ia de integrat , iar x este
variabila de integrare .
Observat ia 1.11. Variabila de integrare poate  notat a cu orice liter a  si
este independent a de capetele de integrare.
Observat ia 1.12. Pentru un interval xat [a;b], num arulIf, asociat ec arei
funct ii integrabile f: [a;b]!Reste unic determinat de f, limita unui  sir
convergent de numere reale ind unic a.
Observat ia 1.13. Orice funct ie integrabil a f: [a;b]!Reste m arginit a,
adic a exist a o constant a M0astfel ^ nc^ atjf(x)jM,8×2[a;b].
Ca  si consecint  a, dac a funct ia f: [a;b]!Rnu este m arginit a, atunci nu
este integrabil a pe [a, b].
Exemplul 1.14. Funct iaf: [0;1]!R,f(x) =8
<
:1
x;x2(0;1]
1;x= 0este
funct ie nem arginit a deoarece
lim
x%01
x= +1:
Rezult a c a funct ia f nu este integrabil a pe [0, 1].
Observat ia 1.15. Integrala denit a a unei funct ii feste un num ar real, ^ n
timp ce integrala nedenit a a lui feste mult imea tuturor primitivelor lui f.
Teorema 1.16. Fie funct ia f: [a;b]!R. Urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
i)feste integrabil a;
vii

ii) exist a un num ar real Iastfel ^ nc^ at oricare ar   sirul de diviziuni
n=
(xn
0;xn
1;:::;xn
kn),(n2N)ale intervalului [a;b]culim
n!1k
nk= 0  si
oricare ar  punctele intermediare
xn
j1n
jxn
j, unde 1jkn sin2N;
 sirul sumelor Riemann

n(f;n)

n2Nconverge la I.
Observat ia 1.17. Dac a este ^ ndeplinit a una din cele dou a condit ii echiva-
lentei) siii), atunci integrala denit a a lui fse obt ine astfel:
Zb
af(x)dx= lim
n!1
n(f;n);
iar limita nu depinde de  sirul de diviziuni
n= (xn
0;xn
1;:::;xn
kn)ale interval-
ului[a;b]culim
n!1k
nk= 0  si nici de punctele intermediare n
j2[xn
j1;xn
j],
unde 1jkn sin2N.
Criteriul Darboux Fie f:[a, b]!Rm arginit a. Avem
s
(f) =n1X
j=0(xj+1xj)
Teorema 1.18. (Formula lui Leibniz-Newton)
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a care admite primitive pe intervalul
[a;b]. Atunci pentru orice primitiv a Fa funct ieifare loc egalitatea:
Zb
af(x)dx=F(b)F(a):
Demonstrat ie Fie (
n) ,
n= (x(n)
0;x(n)
1;


;x(n)
kn1;x(n)
kn) un  sir de
diviziuni ale intervalului [a, b], astfel ^ nc^ at
lim
n!1jj
njj= 0:
Aplic^ and teorema lui Lagrange funct iei F pe ecare interval [ x(n)
i1;x(n)
i];i=
1;kn, se g ase ste (n)
i2(x(n)
i1;x(n)
i) cu proprietatea
F(x(n)
i)F(xi1)(n)) =F0((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1) =f((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1):
Astfel,  sirul sumelor Riemann asociat funct iei f,  sirului de diviziuni (
n)ale
intervalului [a, b]  si  sirului de puncte intermediare (n)are termenul general:

n(f;(n)) =knX
i=1[F(x(n)
i)F(xi1)(n))] =F(b)F(a);8n2N:
viii

Cum f este integrabil a pe [a, b], rezult a c a
Zb
af(x)dx= lim
n!1
n(f;(n)) =F(b)F(a);
ceea ce trebuia demonstrat.
ix

1.2 Propriet at i ale integralei denite
1.2.1 Proprietatea de liniaritate a integralei
Teorema 1.19. Liniaritatea integralei
Fief;g: [a;b]!Rfunct ii integrabile pe [a;b] sik2R. Atunci:
1. funct iaf+geste integrabil a pe [a;b] si
Zb
a[f(x) +g(x)]dx=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx;
(Integrala sumei este egal a cu suma integralelor.)
2. funct ia kf este integrabil a pe [a;b] si
Zb
a(k
f)(x)dx=kZb
af(x)dx:
(Constanta iese ^ n fat a integralei.)
Demonstrat ie
1. Fie  sirul (
n);
n= (x(n)
0;x(n)
1;


;x(n)
kn1;x(n)
knun  sir de diviziuni ale
intervalului [a;b]cu
lim
n!1jj
njj= 0;(n)2h
x(n)
i1;x(n)
ii
;i=1;kn;
puncte intermediare.
Avem:

n(f+g;(n)) =knX
i=1(f+g)
(n)

x(n)
ix(n)
i1
=knX
i=1f
(n)
i
x(n)
ix(n)
i1
+
+knX
k=1g
(n)
i
x(n)
ix(n)
i1
=
n
f;(n)

+
n
g;(n)

:
Deoarece funct iile f  si g sunt integrabile pe [a;b]rezult a c a
lim
n!1
n
f;(n)

=Zb
af(x)dx
 si
lim
n!1
n
g;(n)

=Zb
ag(x)dx:
x

Folosind operat iile cu  siruri convergente se deduce c a
lim
n!1
n
f+g;(n)

=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx;
ceea ce arat a c a funct ia f+geste integrabil a pe [a;b] si are loc egalitatea:
Zb
a(f+g)(x)dx=Zb
af(x)dx+Zb
ag(x)dx:
2. Analog se deduce c a funct ia kf este integrabil a pe [a;b] si
Zb
a(kf)(x)dx=kZb
af(x)dx:
1.2.2 Proprietatea de aditivitate la interval a integralei
Teorema 1.20. Aditivitatea la interval a integralei
Fief: [a;b]!R sic2[a;b]. Dac a funct ia f este integrabil a pe intervalele
[a;c] si[c;b], atunci f este integrabil a pe intervalul [a;b] si are loc egalitatea
Zb
af(x)dx=Zc
af(x)dx+Zb
cf(x)dx:
Teorema 1.21. Ereditatea integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b]. Dac a [c;d][a;b],
atunci funct ia f este  si integrabil a  si pe intervalul [c;d].
1.2.3 Propriet at i de monotonie ale integralei denite
Teorema 1.22. Fief;g: [a;b]!Rfunct ii integrabile pe intervalul [a;b].
a) Dac af(x)0;8×2[a;b], atunciRb
af(x) dx0;(pozitivitatea inte-
gralei).
b) Dac af(x)g(x);8×2[a;b], atunciRb
af(x) dxRb
ag(x) dx(monoto-
nia integralei).
xi

Demonstrat ie
a) Fie  sirul (
n);
n= (x(n)
0;x(n)
1;:::;x(n)
kn1;x(n)
kn)un  sir de diviziuni ale
intervalului [a;b], cu
lim
n!1k
nk= 0;
iar(n) = ((n)
1;(n)
2;


;(n)
kn1;(n)
kn);(n)
i2[x(n)
i1;x(n)
i];i=1;kn, un
sistem de puncte intermediare. Atunci

n(f;(n)) =knX
i=1f((n)
i)
(x(n)
ix(n)
i1)0;8n2N
(s-a folosit c a f(x)0;8×2[a;b]).
Deoarece tot i termenii  sirului 
n(f;(n)))sunt pozitivi, iar  sirul este
convergent, atunci  si limita sa este pozitiv a, adic aRb
af(x) dx0.
b) Denim funct ia auxiliar a h: [a;b]!R;h=gf. Din proprietatea
de liniaritate a integralei rezult a c a funct ia h este integrabil a pe [a;b],
iar din proprietatea de pozitivitate rezult a c aRb
ah(x) dx0
A sadar,Rb
a[h(x)0f(x)]dx0, relat ie din care se obt ineRb
af(x) dxRb
ag(x) dx si proprietatea de monotonie a integralei este demonstrat a.
Corolarul 1.23. Proprietatea de medie a integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe [a;b] sim;M2Rastfel ^ nc^ at
mf(x)M;8×2[a;b].
Atunci
m(ba)Zb
af(x)dxM(ba):
Demonstrat ie Aplic^ and proprietatea de monotonie a integralei pentru
funct ia f  si funct iile constante m  si M pe intervalul [ a;b] se obt ine:
Zb
amdxZb
af(x)dxZb
aMdx
relat ii din care rezult a inegalit at ile din enunt .
Corolarul 1.24. Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b].
xii

Dac am=infff(x)jx2[a;b]g siM=supff(x)jx2[a;b]g, atunci
m(ba)Zb
af(x)dxM(ba):
Demonstrat ie Fieg: [a;b]!R,g(x) =m,8×2[a;b], o funct ie
constant a. Vom ar ata c a geste integrabil a  siZb
ag(x)dx=m(ba).
Observ am c a oricare ar  diviziunea
= ( x0;x1;:::;xn) a intervalului
[a;b]  si oricare ar  punctele intermediare xj1jxj, undej=1;n,
n2N, avem

(f;) =nX
j=1f(j)(xjxj1) =m(xnx0) =m(ba):
Consider^ and I=m(ba), obt inemj
(f;)Ij= 0<",8">0.
Deci conform Denit iei 1 :6:,feste integrabil a  siZb
ag(x)dx=m(ba).
CumMeste de asemenea funct ie constant a avemZb
aM dx =M(ba).
Aplic^ and monotonia integralei funct iei f si funct iilor constante m,M,
obt inemZb
am dxZb
af(x)dxZb
aM dx:
Decim(ba)Zb
af(x)dxM(ba).
Propozit ia 1.25. Modulul integralei
Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. Atunci funct ia jfjeste funct ie integra-
bil a pe intervalul [a;b] si are loc inegalitatea:
Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
Demonstrat ie Din ipoteza c a f este funct ie continu a pe [ a;b], rezult a c a
jfjeste funct ie continu a pe [ a;b], deci integrabil a pe [ a;b].
Din propriet at ile modulului, avem c a
jf(x)jf(x)jf(x)j;8×2[a;b]
xiii

 si aplic^ and monotonia integralei se obt ine
Zb
ajf(x)jdxZb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
A sadar,Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdx:
Observat ia 1.26. 1 Modulul integralei este valabil  si pentru funct ii in-
tegrabile oarecare.
2 Reciproca acestui corolar este fals.
Dac a funct iajfjeste integrabil a pe [ a;b] nu rezult a ^ ntotdeauna c a funct ia
f este integrabil a pe [ a;b].
Exemplul 1.27. Fief: [a;b]!R;f(x) =(
1;x2Q
1;x2RnQ.
Funct ia f nu este integrabil a pe [a;b].
Avem ^ ns ajf(x)j= 1;8×2[a;b] si ca urmarejfjeste integrabil a pe inter-
valul [a;b]ind funct ie continu a.
Observat ia 1.28. Dac aZb
af(x)dx0, nu rezult a f(x)0,8×2[a;b].
Vom da un exemplu ^ n acest sens.
Fief: [0;2]!R,f(x) =x2x. Funct iafind elementar a este continu a
pe [0;2], deci este integrabil a.
AvemZ2
0f(x)dx=2
3, ^ ns afeste negativ a pe [0 ;1].
Observat ia 1.29. Dac af: [a;b]!Reste o funct ie integrabil a negativ a,
f(x)0,8×2[a;b], atunciZb
af(x)dx0.
Observat ia 1.30. Toate rezultatele precedente, cu privire la funct ii integra-
bile, sunt valabile  si ^ n cazul funct iilor continue.
xiv

Propozit ia 1.31. Dac af: [a;b]!Reste o funct ie continu a  si pozitiv a, iar
[c;d]este un interval inclus ^ n [a;b], atunci are loc inegalitatea
Zd
cf(x)dxZb
af(x)dx:
Demonstrat ie. Aplic^ and proprietatea de aditivitate la interval a inte-
gralei denite  si pozitivitatea integralei, obt inem
Zb
af(x)dx=Zc
af(x)dx+Zd
cf(x)dx+Zb
df(x)dxZd
cf(x)dx:
Corolarul 1.32. Dac aa < b  sif: [a;b]!Reste o funct ie continu a  si
pozitiv a, neidentic nul a pe (a;b), atunci are loc inegalitateaZb
af(x)dx> 0.
Demonstrat ie. S tim din ipotez a c a feste pozitiv a  si neindentic nul a
pe (a;b), deci exist a un punct x02(a;b) astfel ^ nc^ at f(x0)>0.
Cumfeste continu a ^ n x0 sif(x0)>0, atunci exist a o vecin atate a lui
x0^ n carefeste strict pozitiv a, adic a exist a un interval deschis Jastfel ^ nc^ at
x02J[a;b]  sif(x)>0,8x2J.
Fie [;]J, <  sicdef= inf
x2[;]f(x). Atunci exist a x12[;] astfel
^ nc^ atc=f(x1).
Cumx12[;]J, rezult a c a f(x1)>0. Prin urmare c >0. Dar
[;][a;b], aplic^ and propozit ia 1 :2, obt inem
Z
f(x)dxZb
af(x)dx: (1.1)
S tim c ac= inf
x2[;]f(x), decif(x)c,8×2[;]. Cumc>0, aplic^ and
monotonia integralei, avem
0<c()Z
f(x)dx: (1.2)
Din relat iile 1 :1  si 1:2 obt inem c aZb
af(x)dx> 0.
xv

1.2.4 Aplicat ii
Exercit iul 1.33. S a se demonstreze inegalitatea
Ze
0ln(x+ 1)dxZe
0x
x+ 1dx
f ar a a calcula integralele.
Solut ie Fief;g: [0;e]!R;f(x) =ln(x+ 1)  sig(x) =x
x+ 1.
Vom demonstra c a f(x)g(x);8×2[0;e].
Denim funct ia h: [0;e]!R;h(x) =f(x)g(x), funct ie derivabil a pe [0 ;e],
cuh0(x) =x
(x+ 1)2.
Se observ a c a h0(x)0;8×2[0;e], ceea ce arat a c a funct ia h este cresc atoare
pe intervalul [0 ;e]  si 0 =h(0)h(x)h(e);8×2[0;e]. A sadar, h(x)
0;8×2[0;e], adic a
ln(x+ 1)x
x+ 1;8×2[0;e]:
Aplic^ and proprietatea de monotonie a integralei, se obt ine c a
Ze
0ln(x+ 1)dxZe
0x
x+ 1dx:
Exercit iul 1.34. S a se demonstreze inegalitatea
1Z1
0ex2dxe
.
Solut ie Funct iaf: [0;1]!R;f(x) =ex2este integrabil a pe [0 ;1] ind
funct ie continu a.
S a determin am m;M2R, valorile extreme ale funct iei f pe intervalul [0 ;1].
Deoarecef0(x) = 2xex20;8×2[0;1], rezult a c a funct ia f este cresc atoare
pe [0;1].
Astfel,
m=f(0) = 1;M=f(1) =e:
xvi

Aplic^ and proprietatea de medie se obt ine
1(10)Z1
0f(x)dxe(10)
 si obt inem ceea ce trebuia s a demonstr am.
Exercit iul 1.35. Fief: [a;b]!Ro funct ie integrabil a pe intervalul [a;b].
Dac ajfjM, atunci
Zb
af(x)dxM(ba):
Solut ie Din modulul integralei  si proprietatea de monotonie a integralei
se obt ine:
Zb
af(x)dxZb
ajf(x)jdxZb
aMdx =M(ba)
xvii

Chapter 2
Inegalit at i remarcabile
2.1 Inegalitatea lui Young
Teorema 2.1. Fief:R+!R+o funct ie continu a, strict cresc atoare, astfel
^ nc^ atf(0) = 0 . Atunci oricare ar  a2R+ sib2f(R+), avem:
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(y)dy;
undef1este inversa funct iei f.
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Fieg:R+!R+,g(a) =abZa
0f(x)dx, pentru care
consider am b2R
+parametru.
Cumg0(a) =bf(a)  sifeste strict cresc atoare, avem
g0(a)>0 pentru 0<a<f1(b);
g0(a) = 0 pentru a=f1(b);
g0(a)<0 pentrua>f1(b):
Prin urmare geste strict cresc atoare pe (0 ;f1(b))  si strict descresc atoare
pe (f1(b);1).
Astfel obt inem c a g(f1(b)) este maximul funct iei gpentrua=f1(b).
Atunci
g(a)max(g(x)) =g(f1(b)): (2.1)
Darg(f1(b)) =bf1(b)Zf1(b)
0f(x)dx. Integr^ and prin p art i, obt inem
g(f1(b)) =Zf1(b)
0xf0(x)dx: (2.2)
xviii

Efectu am o schimbare de variabil a y=f(x), astfel relat ia 2 :10 devine
g(f1(b)) =Zb
0f1(y)dy: (2.3)
Darg(a) =abZa
0f(x)dx, ^ nlocuind relat ia 2 :11 ^ n relat ia 2 :9 obt inem
concluzia.
Interpretare geometric a
Dinf1inversa funct iei f, aceasta, raportat a la axa Oy, va avea acela si
grac cuf. FieGfgracul lui f.
Dac aS1este port iunea din plan cuprins a ^ ntre Gf, axaOx si dreapta
x=a, iarS2este port iunea din plan cuprins a ^ ntre Gf, axaOy si dreapta
y=b, atunci constat am c a avem:
abaria(S1) +aria(S2);
undearia(S1) =Za
0f(x)dx siaria(S2) =Zb
0f1(y)dy.
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a Q=P, adic ab=f(a).
xix

2.2 Inegalitatea lui H older
^In cele ce urmeaz a vom enunt a  si demonstra forma algebric a a inegalit at ii
luiYoung :
Teorema 2.2. Fiea;b2R
+ sip;q> 0astfel ^ nc^ at1
p+1
q= 1. Atunci
abap
p+bq
q;
cu egalitate dac a  si numai dac a ap=bq.
Demonstrat ie. Fie
>0 xat  si funct ia f:R+!R+,f(x) =x
. Se
observ a c afeste continu a, strict cresc atoare  si f(0) = 0. Fix^ and pe a sib si
aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1), obt inem:
abZa
0x
dx+Zb
0y1

dy=a
+1

+ 1+b1

+1
1

+ 1; (2.4)
cu egalitatea dac a  si numai dac a b=f(a) =a
.
Dar1
p<1  si1
q<1, prin urmare p>1  siq>1. A sadar, pentru
=p1,
avem1

+ 1 =1
p1+ 1 =p
p1=q;
de unde ^ nlocuind ^ n relat ia 2 :12 rezult a concluzia.
Teorema 2.3. Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ii continue  si p;q2R
+astfel
^ nc^ at1
p+1
q= 1.
Atunci
Zb
ajf(x)g(x)jdxZb
ajf(x)jpdx1
p

Zb
ajg(x)jqdx1
q
:
Demonstrat ie. Dac aZb
ajf(x)jpdx= 0 sauZb
ajg(x)jqdx= 0, atunci
8×2[a;b] avemjf(x)j= 0 saujg(x)j= 0, decijf(x)g(x)j= 0  si deciZb
ajf(x)g(x)jdx= 0, prin urmare inegalitatea din enunt  devine egalitate.
Presupunem c aZb
ajf(x)jpdx> 0  siZb
ajg(x)jqdx> 0  si e
=jf(x)j
Zb
ajf(x)jpdx1
p; =jg(x)j
Zb
ajg(x)jqdx1
q:
xx

Aplic^ and Teorema 2 :3:2 pentru si, obt inem
jf(x)j
jg(x)j
Zb
ajf(x)jpdx1
pZb
ajg(x)jqdx1
qjf(x)jp
pZb
ajf(x)jpdx+jg(x)jq
qZb
ajg(x)jqdx:
(2.5)
Integr am inegalitatea 2 :13 pe [a;b]. Aceasta devine
Zb
ajf(x)g(x)jdx
Zb
ajf(x)jpdx1
pZb
ajg(x)jqdx1
qZb
ajf(x)jpdx
pZb
ajf(x)jpdx+Zb
ajg(x)jqdx
qZb
ajg(x)jqdx=1
p+1
q= 1;
de unde rezult a concluzia.
xxi

2.3 Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz
Forma algebric a a inegalit at ii C-B-S a fost publicat a de Augustin Louis
Cauchy ^ n 1821. Forma integral a a fost formulat a init ial de Viktor Iakovlevici
Buniakovski ^ n 1859. A fost redescoperit a de Hermann Schwarz ^ n anul 1888.
Corolarul 2.4. Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a funct ii continue. Atunci
Zb
af(x)g(x)dx2
Zb
af2(x)dx

Zb
ag2(x)dx
: (2.6)
Avem egalitate ^ n inegalitate dac a g = 0  si f arbitrar a sau dac a f= kg;k2
R:
Demonstrat ie. Dac af= 0 atunci inegalitatea 2 :6 devine egalitate.
Pentruf6= 0 avemZb
af2(x)dx > 0. Consider am urm atoarea funct ie de
gradul doi:
h(t) =Zb
af2(x)dx
t22Zb
af(x)g(x)dx
t+Zb
ag2(x)dx; t2R:
Dar
h(t) =Zb
a
tf(x)g(x)2dx0;8t2R;
prin urmare h(t) este o funct ie de gradul doi, pozitiv a pentru orice t2R.
A sadar
0. Cum

= 4Zb
af(x)g(x)dx2
4Zb
af2(x)dx

Zb
ag2(x)dx
 si
0, obt inem concluzia.
Egalitatea are loc dac a
= 0, adic a dac a exist a t2Rastfel ^ nc^ at
h(t) = 0, sau echivalent dac a exist a t2Rastfel ^ nc^ at t
f(x) =g(x),8
x2[a;b], ceea ce se traduce prin f sigproport ionale.
Observat ia 2.5. ^In inegalitatea lui H older , (Teorema 2:3:3), pentrup=
q= 2, obt inem inegalitatea C-B-S , pentru funct ii pozitive.
xxii

2.4 Inegalitatea lui Minkowski
Urm atorul rezultat se datoreaz a matematicianului Hermann Minkowski :
Teorema 2.6. Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ii continue  si p1. Atunci
Zb
ajf+gjp1
p
Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p
:
Demonstrat ie. Dac ap= 1 sauZb
ajf+gjp= 0, inegalitatea este evi-
dent a.
Presupunem acum c a p > 1  siZb
ajf+gjp>0. Folosind propriet at ile
modulului avem
jf+gjp=jf+gj
jf+gjp1(jfj+jgj)jf+gjp1=jfj
jf+gjp1+jgj
jf+gjp1:
Prin urmare
jf+gjpjfj
jf+gjp1+jgj
jf+gjp1: (2.7)
Integr am relat ia 2 :15 pe [a;b]  si folosind inegalitatea lui H older , (Teorema
2:3:3), pentrup= (p1)qrezult a c a
Zb
ajf+gjpZb
ajfj
jf+gjp1+Zb
ajgj
jf+gjp1
Zb
ajfjp1
pZb
ajf+gj(p1)q1
q
+Zb
ajgjp1
pZb
ajf+gj(p1)q1
q
="Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p#Zb
ajf+gj(p1)q1
q
:
Prin ^ mp art ire cuZb
ajf+gjp1
q
, obt inem
Zb
ajf+gjp11
q
Zb
ajfjp1
p
+Zb
ajgjp1
p
;
de unde t in^ and cont de faptul c a 1 1
q=1
p, rezult a concluzia.
xxiii

2.5 Inegalitatea lui Ceb^  sev
^In cele ce urmeaz a vom prezenta forma generalizat a a inegalit at ii lui
Ceb^  sev .
Teorema 2.7. Dac a funct iile f;g: [a;b]!Rsunt integrabile  si au aceea si
monotonie, iar p: [a;b]![0;1)este o funct ie pozitiv a  si integrabil a, atunci
are loc inegalitatea:
Zb
ap(x)dxZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(x)f(x)dxZb
ap(x)g(x)dx:
^In cazul ^ n care f sigsunt de monotonii diferite, avem:
Zb
ap(x)dxZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(x)f(x)dxZb
ap(x)g(x)dx:
Egalitatea are loc dac a  si numai dac a una din funct iile f,geste constant a.
Demonstrat ie. Deoarecef sigau aceea si monotonie  si p(x);p(y)0,
8x;y2[a;b], rezult a c a
p(x)p(y)
f(x)f(y)

g(x)g(y)

0;8x;y2[a;b]: (2.8)
Inegalitatea 2 :16 este echivalent a cu
p(x)p(y)
f(x)g(x)f(x)g(y)f(y)g(x) +f(y)g(y)

0;8x;y2[a;b]:
(2.9)
Se integreaz a inegalitatea 2 :17 pe [a;b] dup ax si se obt ine
p(y)Zb
ap(x)f(x)g(x)dxp(y)g(y)Zb
ap(x)f(x)dx
p(y)f(y)Zb
ap(x)g(x)dx+p(y)f(y)g(y)Zb
ap(x)dx0:
^In continuare se integreaz a inegalitatea obt inut a pe [ a;b] dup ay si rezult a
Zb
ap(y)dyZb
ap(x)f(x)g(x)dxZb
ap(y)g(y)dyZb
ap(x)f(x)dx
Zb
ap(y)f(y)dyZb
ap(x)g(x)dx+Zb
ap(y)f(y)g(y)dyZb
ap(x)dx0:
T  in^ and cont de faptul c a nu conteaz a litera cu care se noteaz a variabila
de integrare, obt inem concluzia.
Analog se procedeaz a  si ^ n cazul ^ n care funct iile f sigsunt de monotonii
diferite.
xxiv

Corolarul 2.8. Consider^ and p(x) = 1 ,8×2[a;b]^ n enunt ul Teoremei
2:3:4, obt inem forma simpl a a inegalit at ii lui Ceb^  sev  si anume:
a) dac af sigau aceea si monotonie, atunci
(ba)Zb
af(x)g(x)dxZb
af(x)dxZb
ag(x)dx;
b) dac af sigsunt de monotonii diferite, atunci
(ba)Zb
af(x)g(x)dxZb
af(x)dxZb
ag(x)dx:
xxv

2.5.1 Inegalitatea lui Jensen
Una dintre cele mai importante inegalit at i pentru funct iile convexe este cea
asociat a cu numele lui Jensen.
Teorema 2.9. Fief: [a;b]![;],g: [;]!Rdou a funct ii continue.
a) Dac ageste convex a, atunci:
g1
baZb
af(x)dx
1
baZb
ag(f(x))dx:
b) Dac ageste concav a, atunci:
g1
baZb
af(x)dx
1
baZb
ag(f(x))dx:
Demonstrat ie. a) Cumfeste continu a, dac a
= ( x0;x1;:::;xn) este
o diviziune a intervalului [ a;b]  si1;2;:::;nsunt punctele obt inute prin
aplicarea teoremei de medie pentru funct ia fpe intervalele [ x0;x1], [x1;x2],…,
[xn1;xn], obt inem c a:
g1
baZb
af(x)dx
=g
1
banX
k=1 Zxk
xk1f(x)dx!!
=g
1
banX
k=1(xkxk1)f(k)!
:
Dargeste convex a, prin urmare
g
1
banX
k=1(xkxk1)f(k)!
1
banX
k=1(xkxk1)g(f(k)) =
(gf;i);
unde
(gf;i) este o sum a Riemann asociat a funct iei gf, diviziunii

 si punctelor intermediare 1;2;:::;n.
Cumf sigsunt continue, avem gf: [a;b]!Reste continu a, deci
integrabil a. ^In baza Teoremei 2 :1:7  si Observat iei 2 :1:8, lu^ and diviziuni cu
norma tinz^ and la 0  si trec^ and la limit a obt inem concluzia.
b) Se demonstreaz a analog punctului a).
xxvi

2.5.2 Inegalitatea lui Bernoulli
Teorema 2.10. Fief: [a;b]!(0;1)o funct ie continu a. Atunci
a) dac a2(1;0)[(1;1)avem
Zb
af(x)dx
(ba)1Zb
af(x)dx;
b) dac a2(0;1)avem
Zb
af(x)dx
(ba)1Zb
af(x)dx:
Egalitatea are loc dac a feste funct ie constant a.
Demonstrat ie. Din inegalitatea lui Jensen , (Teorema 2 :3:9, punctul
a)), t in^ and cont de faptul c a funct ia g(x) =xeste convex a pentru 2
(1;0)[(1;1)  si concav a pentru 2(0;1), obt inem concluzia.
xxvii

2.5.3 Inegalitatea Hermite-Hadamard
La 22 noiembrie 1881, Charles Hermite trimite o scrisoare publicat iei
Mathesis . Un extras al scrisorii este publicat ^ n Mathesis 3, la pagina 82 ^ n
anul 1883. Acesta se referea la urm atorul rezultat:
Teorema 2.11. Fiea;b2Rcua<b  sig: [a;b]!Ro funct ie continu a  si
convex a. Atunci
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2: (2.10)
Demonstrat ia 1. Efectu am o schimbare de variabil a x= (1t)a+tb.
Avemdx= (ba)dt. Capetele de integrare devin:x1=a
x2=b)t1= 0
t2= 1:
Aplic^ and denit ia unei funct ii convexe, obt inem c a
Zb
ag(x)dx=Z1
0g((1t)a+tb)(ba)dt(ba)Z1
0
(1t)g(a) +tg(b)

dt
= (ba)t2
2g(b)(1t)2
2g(a)1
0= (ba)g(a) +g(b)
2:
A sadarZb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2: (2.11)
^In continuare observ am c a dac a s2
0;ba
2
, atunci
a+b
2+s2a+b
2;b
, iara+b
2s2
a;a+b
2
:
^In plusa+b
2=a+b
2+s+a+b
2s
2. Cumgeste convex a avem c a
ga+b
2
ga+b
2+s
+ga+b
2s
2: (2.12)
xxviii

Integr^ and relat ia 2 :20 pe intervalul
0;ba
2
, obt inem c a
(ba)ga+b
2
= 2ga+b
2(ba)
2= 2ga+b
2Z(ba)=2
01ds
= 2Z(ba)=2
0ga+b
2
ds
Z(ba)=2
0ga+b
2+s
ds+Z(ba)=2
0ga+b
2s
ds
=Zb
(a+b)=2g(x)dx+Z(a+b)=2
ag(x)dx=Zb
ag(x)dx:
Prin urmare
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx: (2.13)
Din relat iile 2 :19  si 2:21 obt inem concluzia.
Demonstrat ia 2. Dac aI= [a;b]  sif(x) =x, atunci inegalitatea lui
Jensen , (Teorema 2 :3:9, punctula)), devine
ga+b
2
1
baZb
ag(x)dx: (2.14)
Cumgeste convex a pe [ a;b], avem
g(x) =gbx
baa+xa
bab
bx
bag(a) +xa
bag(b):
Integr^ and pe [ a;b], obt inem
Zb
ag(x)dxg(a)
ba
bxx2
2b
a+g(b)
bax2
2axb
a= (ba)g(a) +g(b)
2:
(2.15)
Din inegalit at ile 2 :22  si 2:23, rezult a concluzia.
Observat ia 2.12. Dac ag: [a;b]!Reste o funct ie concav a, atunci
(ba)ga+b
2
Zb
ag(x)dx(ba)g(a) +g(b)
2:
xxix

Demonstrat ie. Se demonstreaz a analog Teoremei 2 :3:11.
Interpretare geometric a
Dubla inegalitate 2 :18 are pentru o funct ie convex a  si pozitiv a, urm atoare
interpretare geometric a:
Aria trapezului curbiliniu AA0B0Beste mai mare dec^ at aria dreptunghi-
uluiA0A00B00B0 si totodat a este mai mic a dec^ at aria trapezului AA0B0B.
2.5.4 Aplicat ii
Exercit iul 2.13. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a  si p1.
S a se arate c a:
Zb
ajf(x)jdxp
(ba)p1Zb
ajf(x)jpdx:
Solut ie. Pentrup= 1, inegalitatea este evident a.
Dac ap>1, ^ n inegalitatea lui H older , (Teorema 2 :3:3), consider am
q= 1 +1
p1 sig(x) = 1,8×2[a;b]. Astfel rezult a c a:
Zb
ajf(x)jdx(ba)p1
pZb
ajf(x)jpdx1
p
:
Prin ridicare la puterea p, obt inem concluzia.
Exercit iul 2.14. Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. S a se arate c a:
Zb
af(x) sinx dx2
+Zb
af(x) cosx dx2
(ba)Zb
af2(x)dx:
Solut ie. Aplic^ and inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz , (Corolarul
2:3:4), obt inem:
Zb
af(x) sinx dx2
Zb
af2(x)dxZb
asin2x dx; (2.16)
Zb
af(x) cosx dx2
Zb
af2(x)dxZb
acos2x dx: (2.17)
Adun^ and inegalit at ile 2 :24  si 2:25, obt inem concluzia.
xxx

Exercit iul 2.15. S a se arate c a:Ze
0p
ex1 + ln(x2+ 1)

dxe2.
Solut ie. Fief:R+!R+,f(x) = ln(x2+ 1). Funct ia feste continu a,
strict cresc atoare  si f(0) = 0.
Inversa funct iei festef1:R+!R+,f1=pex1.
Aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1),  si proprietatea de liniar-
itate a integralei denite, obt inem concluzia.
Exercit iul 2.16. S a se arate c a pentru a;b0, are loc inegalitatea:
(1 +a) ln(1 +a)(1 +a) + (ebb)ab:
Solut ie. Fief:R+!R+,f(x) = ln(x+ 1). Funct ia feste continu a,
strict cresc atoare  si f(0) = 0.
Inversa funct iei festef1:R+!R+,f1(x) =ex1.
Aplic^ and inegalitatea lui Young , (Teorema 2 :3:1), obt inem
Za
0ln(x+ 1)dx+Zb
0(ex1)dxab;
de unde rezult a inegalitatea dorit a.
xxxi

Chapter 3
Aplicat ii de la examenele de
Bacalaureat  si Titularizare
3.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin
calcul integral
3.1.1 Aplicat ii de la examenul de Bacalaureat
Exercit iul 3.1. Se consider a funct ia f: [0;1)!R, f(x) =8
<
:exe2x
x;x> 0
1;x= 0.
Folosind eventual inegalitatea exx+ 1;8x2R, s a se arate c a8x>0
0Zx
0f(t)dt< 1:
Varianta 24, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie
Exercit iul 3.2. Se consider a funct ia f: [0;1)!R,f(x) =1
x+ 1.
S a se verice c a dac a a>0, atunci:
1
a+ 2Za+1
af(x)dx1
a+ 1:
Varianta 62, Bacalaureat 2008 M2
xxxii

Solut ie. FieFo primitiv a a funct iei f, atunci
Za+1
af(x)dx=F(a+ 1)F(a):
Aplic am teorema lui Lagrange funct iei Fpe intervalul [ a;a+ 1]. Rezult a
c a exist ac2(a;a+ 1) astfel ^ nc^ at F(a+ 1)F(a) =F0(c) =f(c).
Prin urmare F(a+ 1)F(a) =f(c) =1
c+ 1. Cumc2(a;a+ 1), avem:
1
a+ 2<1
c+ 1<1
a+ 1:
A sadar
1
a+ 2<Za+1
af(x)dx<1
a+ 1:
Exercit iul 3.3. Se consider a funct ia f:R!R,f(x) = cosx1 +x2
2.
S a se demonstreze c aZ1
0cosx2dx9
10.
Varianta 47, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie. Deoarecef0(x) =sinx+x, rezult a c a f00(x) = 1cosx0,
8x2R. A sadarf0este cresc atoare pe R. Cumf0(0) = 0, rezult a c a pentru
x0 avemf0(x)f0(0) = 0. Deci feste cresc atoare pentru x0.
Cumf(0) = 0, obt inem c a pentru x0 avemf(x)f(0) = 0.
Prin urmare,
cosx1x2
2;8×2[0;1):
Rescriem inegalitatea astfel:
cosx21x4
2;8×2[0;1): (3.1)
Integr^ and relat ia 3 :11 pe [0;1]  si folosind Corolarul 2 :2:4 obt inem
Z1
0cosx2dxZ1
0
1x4
2!
dx=9
10:
Exercit iul 3.4. Se consider a, pentru ecare n2N, funct iile
fn: (1;1)!R; fn(x) =x2n
1 +x si
gn: (1;1)!R; gn(x) = 1x+x2x3+:::x2n1+fn(x):
xxxiii

a) S a se arate c a 0Z1
0fn(x)dx1
2n+ 1;8n2N.
b) S a se calculeze lim
n!1
11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n
; n2N.
Varianta 6, Bacalaureat 2009 M1
Solut ie. a)Observ am c a
0x2n
1 +xx2n;8×2[0;1]:
Integr^ and aceast a inegalitate pe [0 ;1]  si folosind Corolarul 2 :2:4, obt inem
0Z1
0fn(x)dxZ1
0x2ndx=x2n+1
2n+ 11
0=1
2n+ 1:
b)Calcul am
Z1
0gn(x)dx=Z1
0
1x+x2x3+:::x2n1+x2n
1 +x
dx
=Z1
0
1x+x2:::x2n1+x2n1:::x2+x1 +1
1 +x
dx
=Z1
01
1 +xdx= lnjx+ 1j1
0= ln 2:
Dar
Z1
0gn(x)dx=Z1
0
1x+x2x3+:::x2n1+fn(x)

dx
= 11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n+Z1
0fn(x)dx:
Folosind rezultatul obt inut la punctul a), avem
0lim
n!1Z1
0fn(x)dxlim
n!11
2n+ 1= 0:
Aplic am teorema cle stelui  si obt inem c a lim
n!1Z1
0fn(x)dx= 0. Prin urmare
lim
n!1
11
2+1
31
4+:::+1
2n11
2n
= lim
n!1Z1
0gn(x)dxlim
n!1Z1
0fn(x)dx= ln 2:
xxxiv

3.1.2 Aplicat ii de la examenul de Titularizare
Exercit iul 3.5. Fief:R!R,f(x) =x
arctanx.
Calculat i partea ^ ntreag a a volumului corpului obt inut prin rotirea ^ n jurul
axeiOxa subgracului funct iei
g:"p
3
3;1#
!R; g(x) =p
f(x):
Titularizare 2009, Craiova
Solut ie. Volumului corpului obt inut prin rotirea subgracului funct iei g
^ n jurul axei Oxse determin a astfel:
vol(Cg) =Z1
p
3=3g2(x)dx:
Funct iafeste derivabil a  si
f0(x) =arctanxx
1 +x2
arctan2x;8x2R:
Consider am h:R!R,h(x) = arctanxx
1 +x2. Pentru orice x2R,
avem:
h0(x) =2×2
(1 +x2)20:
Prin urmare heste cresc atoare pe R.
Cumh(0) = 0  si heste cresc atoare pe R, rezult a c a h(x)>0, pentru
x>0  sih(x)<0, pentrux<0. A sadar dac a x2(1;0), atuncif0(x)<0,
iar dac ax2(0;+1), atuncif0(x)>0.
^In concluzie, feste strict descresc atoare pe ( 1;0)  si strict cresc atoare
pe (0;+1).
Avem
f00(x) =(1 +x2) arctanxx
(1 +x2) arctan2x0
=2(xarctanx) arctanx
(1 +x2)2arctan4x;8x2R:
Consider am v:R!R,v(x) =xarctanx. Pentru orice x2R, avem:
v0(x) =x2
1 +x20:
xxxv

A sadarveste cresc atoare pe R.
Cumv(0) = 0  siveste cresc atoare pe R, rezult a c a v(x)>0, pentrux>0
 siv(x)<0, pentrux < 0. Dar arctan x > 0, dac ax > 0  si arctan x < 0,
dac ax<0.
Prin urmare, dac a x2(1;0), atuncif00(x)>0, iar dac a x2(0;+1),
atuncif00(x)>0.^In concluzie, feste convex a at^ at pe ( 1;0), c^ at  si pe
(0;+1).
Deoarecefeste convex a pe R, vom folosi inegalitatea Hermite – Hadamard ,
(Teorema 2 :3:11), pentru funct ia
g2(x) =f(x) =x
arctanx:
Atunci

1p
3
3!
f
1 +p
3
3
2!
Z1
p
3=3x
arctanxdx
1p
3
3!f(1) +fp
3
3
2:
Dar

1p
3
3!f(1) +fp
3
3
2=(3p
3)
6
1

4+p
3
3

6!
=3 +p
3
3<2:
Cumfeste strict cresc atoare pe (0 ;+1), avem
(3p
3)
3f
1 +p
3
3
2!
(3p
3)
3f p
3
3!
=(3p
3)
3
2p
3
= 2(p
31)>1:
A sadar
Z1
p
3=3x
arctanxdx
= 1:
Exercit iul 3.6. Calculat i lim
n!+1n2X
k=1n
n2+k2folosind, eventual, faptul c a
funct iaf:R!R,f(x) =1
1 +x2este descresc atoare pe [0;+1).
Titularizare 2000
Solut ie. Fien2N sixn=n2X
k=1n
n2+k2, atunci
xn=n2X
k=1n
n2+k2=1
nn2X
k=1n
1 +k2
n2=1
nn2X
k=1fk
n
:
xxxvi

Fiek2f1;2;:::;n2g. Dink1
nxk
n, cumfeste descresc atoare pe
[0;+1), rezult a c a
fk
n
f(x)fk1
n
:
Integr^ and pek1
n;k
n
 si folosind Corolarul 2 :2:4 obt inem
Zk=n
(k1)=nfk
n
dxZk=n
(k1)=nf(x)dxZk=n
(k1)=nfk1
n
dx: (3.2)
Relat ia 3:12 este echivalent a cu
1
nfk
n
Zk=n
(k1)=nf(x)dx1
nfk1
n
:
^Insum^ and  si aplic^ and proprietatea de aditivitate la interval a integralei
denite, avem c a
1
nn2X
k=1fk
n
Zn
0f(x)dx1
nn2X
k=1fk1
n
: (3.3)
Dar
n2X
k=1fk1
n
=xn+f(0)f(n) =xn+ 11
1 +n2:
Astfel relat ia 3 :13 devine echivalent a cu
xnarctannxn+1
n
11
1 +n2
=xn+n
1 +n2:
Prin urmare arctan nn
1 +n2xnarctann.
Cum lim
n!+1arctann=
2 si lim
n!+1
arctannn
1 +n2
=
2, aplic^ and
teorema cle stelui obt inem c a lim
n!+1xn=
2.
xxxvii

Chapter 4
Aplicat ii din Gazeta
Matematic a, de la olimpiade  si
concursuri  scolare
4.1 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin
calcul diferent ial
4.1.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a
Urm atoarea aplicat ie ilustreaz a modul ^ n care poate  folosit a teorema
luiFermat , (Teorema 1 :1:9).
Exercit iul 4.1. [Daniel Sitaru, Drobeta Turnu-Severin ]Fieai2(0;1)nf1g,
i=1;n. S a se arate c a pentru orice x2Rare loc inegalitatea
ax
1+ax
2+:::+ax
nn;
dac a  si numai dac a a1a2:::an= 1.
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 3/2013
Solut ie.(S tim c aa1;a2;:::;an>0  sia1a2:::an= 1. Aplic^ and inegali-
tatea mediilor, (Propozit ia 1 :4:3), rezult a c a:
ax
1+ax
2+:::+ax
n
nnp
ax
1ax
2:::ax
n=n;8x2R: (4.1)
^Inmult ind relat ia 4.1 cu n, obt inem inegalitatea din enunt .
xxxviii

)Fie funct ia f:R!R,f(x) =ax
1+ax
2+:::+ax
n. Observ am c a f(0) =n
 si c af(x)f(0),8x2R. Prin urmare, x= 0 este punct de minim local
pentruf.
Conform teoremei lui Fermat , rezult a c a f0(0) = 0. Cum
f0(x) =ax
1lna1+ax
2lna2+:::+ax
nlnan;8x2R;
obt inem c a f0(0) = ln(a1a2:::an) = 0. A sadar a1a2:::an= 1.
Exercit iul 4.2. [C alin Burdu sel, T^ argovi ste ]S a se demonstreze c a:
x
sinxtanxx
>tanx
xxsinx
; (4.2)
oricare ar  x2
0;
2
.
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 2/2011
Solut ie. Fiex2
0;
2
. Prin logaritmare, inegalitatea 4 :2 devine:
(tanxx) lnx
sinx
>(xsinx) lntanx
x
:
Folosind propriet at ile logaritmilor obt inem:
(tanxx)(lnxln sinx)>(xsinx)(ln tanxlnx): (4.3)
Inegalitatea 4 :3 este echivalent a cu:
lnxln sinx
xsinx>ln tanxlnx
tanxx; (4.4)
unde sinx<x< tanx.
Prin aplicarea teoremei lui Lagrange , (Teorema 1 :2:2) funct iei ln pe in-
tervalul [sin x;x], respectiv [ x;tanx], rezult a c a exist a cx2(sinx;x)  si
dx2(x;tanx) astfel ^ nc^ at
lnxln sinx
xsinx= ln0cx;iarln tanxlnx
tanxx= ln0dx: (4.5)
Cumcx<dx, avem1
cx>1
dx. Dar ln0cx=1
cx si ln0dx=1
dx.
^Inlocuind pe ln0cx si ln0dx^ n relat ia 4 :5  si t in^ and seama c a1
cx>1
dx,
rezult a inegalitatea 4 :4.
xxxix

Exercit iul 4.3. [Marian Cucoane s, M ar a se sti ]Fie numerele a;b;c2[1;1).
S a se demonstreze inegalitatea:
aa2bbb2ccc2a(abc)abc: (4.6)
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 6-7-8/2012
Solut ie. Prin logaritmare, inegalitatea 4 :6 devine
a2blna+b2clnb+c2alncabcln(abc);
care prin ^ mp art ire cu abcse scrie:
a
clna+b
alnb+c
blnclna+ lnb+ lnc: (4.7)
Pentru a demonstra inegalitatea 4 :7 consider am urm atoarea funct ie:
f:R!R; f(x) =a
cx
lna+b
ax
lnb+c
bx
lnc:
Avem
f0(x) =a
cx
lna
clna+b
ax
lnb
alnb+c
bx
lnc
blnc;8x2R;
iar
f00(x) =a
cx
ln2a
clna+b
ax
ln2b
alnb+c
bx
ln2c
blnc;8x2R:
Cumf00(x)0;8x2R, rezult a c a f0este cresc atoare pe R. Deoarece:
f0(0) = ln2a+ ln2b+ ln2clnalnclnblnalnclnb=
=1
2
(lnalnb)2+ (lnblnc)2+ (lnclna)2
0;
rezult a c af0(x)0, pentru orice x2[0;1). A sadarfeste cresc atoare pe
x2[0;1).
Cum
f(1) =a
clna+b
alnb+c
blnc;
 si
f(0) = lna+ lnb+ lnc;
iarf(1)f(0), obt inem inegalitatea 4 :7.
xl

4.1.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare
Exercit iul 4.4. S a se arate c a:
lim
n!11
n+ 1+1
n+ 2+:::+1
n+ 2n
= 0:
O.N.M., etapa local a Ia si, 2014
Solut ie. Utiliz^ and inegalitatea mediilor obt inem:
0<1
n+ 1+1
n+ 2+:::+1
n+ 2n1
2pn+1
2p
2n+:::+1
2p
2nn:(4.8)
Dar
1
2pn+1
2p
2n+:::+1
2p
2nn=1
2pn
1 +1p
2+:::+1p
2n
: (4.9)
Cum lim
n!1n
2n= 0, aplic am teorema Stolz-Ces aro  si avem:
lim
n!11 +1p
2+:::+1p
2n
2pn= lim
n!1r
1
2n+1
2pn+ 1pn

= lim
n!11
2r
1
2n+1p
n+ 1 +pn
= lim
n!11
2 r
n+ 1
2n+1+rn
2n+1!
= 0:
Din relat iile 4 :8  si 4:9, folosind teorema cle stelui , rezult a c a:
lim
n!11
n+ 1+1
n+ 2+:::+1
n+ 2n
= 0:
Exercit iul 4.5. Calculat i
lim
n!1"
1 +1
n
+
1 +1
n 1
2
+:::+
1 +1
n 1
n
n#
;
unde1este xat.
O.N.M., etapa judet ean a Cluj, 2008
xli

Solut ie. Fien2N. Not am
xn=
1 +1
n
+
1 +1
n 1
2
+:::+
1 +1
n 1
n
n:
Cum
1 +1
n 1
k
>1;8k=1;n;
deducem c a
xn>0;8n2N: (4.10)
Din inegalitatea lui Bernoulli , (Teorema 1 :4:7, inegalitatea 1 :19), avem:

1 +1
n 1
k
<1 +1
n
1
k:
A sadar
xn<1
n
1 +1
2+:::+1
n
;8n2N: (4.11)
Aplic^ and teorema Stolz-Ces aro obt inem:
lim
n!11
n
1 +1
2+:::+1
n
= lim
n!11
(n+ 1)
1
(n+ 1)n: (4.12)
Fie funct ia f: [n;n+ 1]!(0;1),f(x) =x. Aplic^ and teorema lui
Lagrange funct iefpe intervalul [ n;n+ 1] rezult a c a exist a c2(n;n+ 1)
astfel ^ nc^ at ( n+ 1)n=
c1.
Atunci
1

1
(n+ 1)21<1
(n+ 1)
1
(n+ 1)n<1

1
(n+ 1)
n1:(4.13)
Prin trecerea la limit a a relat iei 4 :13 rezult a c a:
lim
n!11
(n+ 1)
1
(n+ 1)n= 0:
Din relat iile 4 :10, 4:11  si 4:12, folosind teorema cle stelui obt inem c a:
lim
n!1xn= 0:
xlii

4.2 Aplicat ii ale inegalit at ilor obt inute prin
calcul integral
4.2.1 Aplicat ii din Gazeta Matematic a
Exercit iul 4.6. [C at alin Cristea, Craiova ]Fief: [0;1]!Ro funct ie deriv-
abil a. S a se demonstreze c a:
f2(1)2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dx:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 5/2012
Solut ie. Integr^ and prin p art i obt inem
Z1
0f2(x)dx=xf2(x)1
0Z1
0x
f2(x)0dx=f2(1)2Z1
0xf0(x)f(x)dx:
(4.14)
Adun^ and la relat ia 4 :14 termeniiZ1
0f2(x)dx siZ1
0
xf0(x)2dxrezult a
c a
2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dx=f2(1) +Z1
0
f(x)xf0(x)2dx: (4.15)
Cum
f(x)xf0(x)20,8×2[0;1], aplic^ and Propozit ia 2 :2:1, avemZ1
0
f(x)xf0(x)2dx0, deci relat ia 4 :15 devine
2Z1
0f2(x)dx+Z1
0
xf0(x)2dxf2(1):
Exercit iul 4.7. [Radu Pop, Baia Mare ]Fiex1;x2;:::;xnnumere reale nenule
cu proprietatea c a1
x2
1+1
x2
2+:::+1
x2
n=n. S a se arate c a:
x1arctanx1+x2arctanx2+:::+xnarctanxnn
4:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 9/2012
Solut ie. ^In rezolvarea acestui exercit iu vom aplica urm atoarea form a
special a a inegalit at ii Cauchy – Buniakovski – Schwartz , pe care nu o vom
demonstra, (demonstrat ia se poate vedea ^ n [17]):
xliii

Fiind daten1numere reale pozitive a1;a2;:::;an, are loc inegalitatea
x2
1
a1+x2
2
a2+:::+x2
n
an(x1+x2+:::+xn)2
a1+a2+:::+an;
oricare ar  nnumere reale x1;x2;:::;xn.
Rezult a astfel c a
nX
i=11
x2+1
x2
in2
nx2+nX
i=11
x2
i=n2
nx2+n=n
x2+ 1: (4.16)
Integr^ and relat ia 4 :16 pe intervalul [0 ;1], obt inem c a
nX
i=1xiarctanxxi1
0narctanx1
0: (4.17)
Observ am c a relat ia 4 :17 este echivalent a cunX
i=1xiarctanxin
4.
Exercit iul 4.8. [Cristian Moant  a, Craiova ]Fien2N,n2.
S a se arate c a:
nX
k=21
k+ 1Zk
k1exdx<1
n1Zn
1lnx+ 1
xdxZn
1exdx:
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 1/2011
Solut ie. Fief;g: [1;1)!R,f(x) =ex sig(x) = ln(x+ 1)lnx.
Cumf sigsunt continue, deci integrabile, feste strict cresc atoare, iar g
este strict descresc atoare, aplic^ and inegalitatea lui Ceb^  sev , (Corolarul 2 :3:8,
punctulb)), rezult a c a
Zn
1f(x)g(x)dx1
n1Zn
1f(x)dxZn
1g(x)dx: (4.18)
Aplic am teorema lui Lagrange funct iei " ln " pe intervalul [ x;x+ 1]  si
obt inem c a ln( x+ 1)lnx>1
x+ 1,8×2[1;1), adic a
g(x)>1
x+ 1;8×2[1;1): (4.19)
xliv

Din relat iile 4 :18  si 4:19, rezult a c a
1
n1Zn
1f(x)dxZn
1g(x)dxZn
1f(x)g(x)dx>Zn
1ex1
x+ 1dx: (4.20)
Folosind proprietatea de aditivitate la interval a integralei denite, avem
Zn
1ex1
x+ 1dx=nX
k=2Zk
k1ex1
x+ 1dx: (4.21)
Dar1
x+ 11
k+ 1,8×2[k1;k], prin urmare
nX
k=2Zk
k1ex1
x+ 1dxnX
k=2Zk
k1ex1
k+ 1dx=nX
k=21
k+ 1Zk
k1exdx: (4.22)
Din relat iile 4 :20, 4:21  si 4:22 obt inem inegalitatea cerut a.
Exercit iul 4.9. Fief: [0;1]![0;1]o funct ie de dou a ori derivabil a, cu
urm atoarele propriet at i:
a)f00este continu a, cresc atoare  si strict pozitiv a pe [0;1];
b)f0este convex a  si 0f0(x)1,8×2[0;1].
S a se arate c a:
Z1
01
f00(x)dxf0
f(1)f(0)

f(f0(1))f(f0(0)):
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 3/2012
Solut ie. Din (ff0)0(x) =f0(f0(x))
f00(x) rezult a c a
(ff0)0(x)
f00(x)=f0(f0(x));8×2[0;1]:
Cum (ff0)0este cresc atoare (ca produs de dou a funct ii pozitive  si
cresc atoare), iar1
f00este descresc atoare, aplic am inegalitatea lui Ceb^  sev
(Corolarul 2 :3:8, punctulb))  si obt inem:

f(f0(1))f(f0(0))
Z1
01
f00(x)dx=Z1
0(ff0)0(x)dxZ1
01
f00(x)dx
Z1
0(ff0)0(x)
f00(x)dx=Z1
0f0(f0(x))dx:
(4.23)
xlv

Darf0este convex a, aplic^ and inegalitatea lui Jensen (Teorema 2 :3:9,
punctula)), avem:
Z1
0f0(f0(x))dxf0Z1
0f0(x)dx
=f0
f(1)f(0)

: (4.24)
Din relat iile 4 :23  si 4:24 rezult a c a

f(f0(1))f(f0(0))
Z1
01
f00(x)dxf0
f(1)f(0)

: (4.25)
Cumf sif0sunt funct ii cresc atoare pe [0 ;1], ^ mp art ind relat ia 4 :25 prin
f(f0(1))f(f0(0))

>0,8×2[0;1], obt inem concluzia.
Exercit iul 4.10. [Dan Marinescu  si Viorel Cornea, Hunedoara ]
Fieg: [a;b]![c;d]o funct ie continu a  si f: [c;d]!Ro funct ie convex a.
S a se arate c a:
a)c+d1
baZb
ag(x)dx2[c;d].
b)f
c+d1
baZb
ag(x)dx
f(c) +f(d)1
baZb
af(g(x))dx.
Gazeta Matematic a, Seria B, Nr. 6/2011
Solut ie.a) Cumgeste continu a  si cg(x)d, pentru orice x2[a;b],
rezult a conform Corolarului 2 :2:6 c a
c(ba)Zb
ag(x)dxd(ba): (4.26)
Relat ia 4:26 este echivalent a cu c1
baZb
ag(x)dxd. Prin urmare
c+d1
baZb
ag(x)dx2[c;d].
b) Aplic am inegalitatea lui Jensen funct iei convexe f si obt inem
f
c+d1
baZb
ag(x)dx
=f1
baZb
a(c+dg(x))dx

1
baZb
af(c+dg(x))dx:(4.27)
xlvi

Fiex2[a;b]. Cumg(x)2[c;d] exist a2[0;1] astfel ^ nc^ at g(x) =
c+ (1)d. Darfeste convex a pe [ c;d], prin urmare
f(g(x)) +f(c+dg(x)) =f(c+ (1)d) +f(d+ (1)c)
f(c) + (1)f(d) +f(d) + (1)f(c) =
=f(c) +f(d):
A sadarf(c+dg(x))f(c) +f(d)f(g(x)). Prin integrare pe [ a;b]
rezult a c a
Zb
af(c+dg(x))dx(f(c) +f(d))(ba)Zb
af(g(x))dx (4.28)
Imp art ind inegalitatea 4 :28 cuba, din inegalitatea 4 :27 obt inem con-
cluzia.
4.2.2 Aplicat ii de la olimpiade  si concursuri  scolare
Exercit iul 4.11. S a se calculeze limita
lim
n!1Z1
0exndx:
O.N.M., etapa judet ean a Bucure sti, 2013
Solut ie. Deoareceexn1, oricare ar  x2[0;1], aplic^ and Corolarul
2:2:4, obt inem c aZ1
0exndx1: (4.29)
Fieg: [0;1]!R,g(x) =ex3x. Cumg0(x) =ex3<0, rezult a c a g
este strict descresc atoare, deci g(x)<g(0) = 1.
Obt inem astfel c a ex1 + 3x,8×2[0;1].
Prin urmare, exn1 + 3xn, de unde prin integrare pe intervalul [0 ;1]
rezult a c a: Z1
0exndxZ1
0(1 + 3xn)dx= 1 +3
n+ 1: (4.30)
Din relat iile 4 :29  si 4:30, trec^ and la limit a  si aplic^ and teorema cle stelui
obt inem c a:
lim
n!1Z1
0exndx= 1:
xlvii

Exercit iul 4.12. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a cu proprietatea c a:
xf(y) +yf(x)1;8x;y2[0;1]:
Demonstrat i c a:Z1
0f(x)dx
4:
Concursul "Traian Lalescu", Timi soara, 2014
Solut ie. ^In integrala I=Z1
0f(x)dxefectu am schimbarea de variabil a
x= sin si apoix= cos, de unde rezult a relat iile:
I=Z
2
0f(sin) cos d; respectivI=Z
2
0f(cos) sin d:
Adun^ and cele dou a relat ii obt inem:
2I=Z
2
0[f(sin) cos+f(cos) sin]d
2:
A sadarZ1
0f(x)dx
4.
Exercit iul 4.13. [Emil Popa, Sibiu ]Dac af: [0;1]!Reste o funct ie deriv-
abil a pe [0;1]cuf(0) = 0 , atunci pentru orice n2avem:
Z1
0f2n(x)dxn2Z1
0f2n2(x)dxZ1
0[f0(x)]2dx:
Concursul "Gheorghe Laz ar", Sibiu, 2012
Solut ie. Cumf(0) = 0, rezult a c a
fn(x) =Zx
0[fn(t)]0dt=nZx
0fn1(t)f0(t)dt:
Aplic am inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz , (Corolarul 2 :3:4)  si
obt inem:
f2n(x)n2Zx
0f2n2(t)dtZx
0[f0(t)]2dt
f2n(x)n2Z1
0f2n2(t)dtZ1
0[f0(t)]2dt: (4.31)
Prin integrare relat iei 4 :31 ^ n funct ie de xpe [0;1] avem
Z1
0f2n(x)dxn2Z1
0f2n2(x)dxZ1
0[f0(x)]2dx:
xlviii

Exercit iul 4.14. Fie funct ia f: [0;1]!Rderivabil a cu derivata continu a
astfel ^ nc^ atZ1
0[f0(x)]2dx2Z1
0f(x)dx:
S a se determine f stiind c af(1) =1
6.
O.N.M., etapa nat ional a 2009
Solut ie. Cum [f0(x) +x]20;8×2[0;1], conform Propozit iei 2 :2:1
avem:
0Z1
0[f0(x) +x]2dx=Z1
0[f0(x)]2dx+ 2Z1
0xf0(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx+ 2xf(x)1
02Z1
0f(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx1
32Z1
0f(x)dx+1
3=
=Z1
0[f0(x)]2dx2Z1
0f(x)dx0:
A sadar,Z1
0[f0(x) +x]2dx= 0. Dar funct ia f0este continu a, prin urmare
f0(x) =x. Prin integrare obt inem
f(x) =x2
2+c;8×2[0;1]:
Din condit ia f(1) =1
6, obt inemc=1
3. Decif(x) =x2
2+1
3.
Exercit iul 4.15. Se consider a funct iile f;g: (0;+1)!R;f(x) =ex si
g(x) =1
x.
Folosind eventual faptul c a 2aba2+b2, pentru orice a;b2R, s a se demon-
streze c aZ2
1ex
1
xdxe4e2+ 1
4.
Solut ie. Pe[1;2]funct iilef(x) sig(x)sunt pozitive,  si folosind 2aba2+b2
obt inemf(x)
g(x)f2(x)+g2(x)
2.
AvemZ2
1f(x)
g(x)dx1
2Z2
1[f2(x) +g2(x)]dx=e4e2+ 1
4.
Varianta 8, Bacalaureat 2009 M2
xlix

Exercit iul 4.16. Pentru ecare n2Nse consider a In=Ze2
elnnx
xdx.
Folosind, eventual, faptul c a 1lnx2oricare ar  x2[e;e2], s a se
demonstreze c a 12n+11
n+12n, pentru orice n2N.
Solut ie. Din1lnx2obt inem 1lnnx2n,8×2[e;e2], deciZe2
e1
xdxZe2
elnnx
xdxZe2
e2n
xdx!lnxje2
elnn+1x
n+ 1je2
e2nlnxje2
e, adic a
12n+11
n+12n.
Varianta 13, Bacalaureat 2009 M2
Exercit iul 4.17. Se consider a funct ia f:R!R;f(x) =ex2. S a se demon-
streze c a 1Z1
0f(x)dxe.
Solut ie. Avemf0(x) =ex2
2x>0;8×2[0; 1] , deci f este strict cresc atoare
pe[0;1], adic af(0)f(x)f(1); 1f(x)e, de undeZ1
01dx
Z1
0f(x)dxZ1
0edx. Rezult a c a 1Z1
0f(x)dxe.
Varianta 73, Bacalaureat 2009 M2
Aplicat ia 6. Fie f: [a;b]!Ro funct ie convex a  si integrabil a.
a) Dac af0
da+b
2

0  sip: [a;b]!R+este o funct ie cresc atoare, atunci
Zb
af(x)p(x)dxfa+b
2

Zb
ap(x)dx:
b) Dac af(b)f(a)  sip: [a;b]!R+este funct ie descresc atoare, atunci
Zb
af(x)p(x)dxf(a) +f(b)
2
Zb
ap(x)dx:
c) Dac af: [a;b]!R+este concav a, atunci are loc inegalitatea:
1
baZb
af2(x)dxf2a+b
2
+
f0
da+b
22

(ba)2
12:
d) Dac af: [a;b]!R+este convex a, atunci are loc inegalitatea:
1
baZb
af2(x)dxf2(a) +f(a)f(b) +f2(b)
3:
l

Solut ie.
a) DinP4iii) avem
f(x)fa+b
2
+
xa+b
2
f0
da+b
2
p>0)p(x)f(x)
fa+b
2
p(x) +
xa+b
2
p(x)f0
da+b
2
;
de unde, prin integrare  si folosind inegalitatea lui Ceb^ a sev,
Zb
ap(x)f(x)dxfa+b
2Zb
ap(x)dx+f0
da+b
2Zb
a
xa+b
2
p(x)dx
fa+b
2Zb
ap(x)dx+f0
da+b
2

1
ba
Zb
a
xa+b
2
dx
|{z}
=0
Zb
ap(x)dx+
=fa+b
2Zb
ap(x)dx
b) Aplic^ and P3ii);pentrua<x<b obt inem
f(x)f(a)
xaf(b)f(a)
ba)f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa))
)Zb
ap(x)f(x)dxf(a)Zb
ap(x)dx+f(b)f(a)
ba
Zb
ap(x)(xa)dx
Cebasev

Cebasevf(a)Zb
ap(x)dx+f(b)f(a)
(ba)2Zb
ap(x)dx
Zb
a(xa)dx=
=f(a) +f(b)
2Zb
ap(x)dx:
c) Cum f este concav a  si pozitiv a,
f(x)fa+b
2
+
xa+b
2
f0
da+b
2
;
deci
f2(x)f2a+b
2
+2
xa+b
2
f0
da+b
2
+
xa+b
22
f0da+b
22
)
)Zb
af2(x)dx(ba)f2a+b
2
+ 2f0
da+b
2Zb
a
xa+b
2
dx+
li

+
f0
da+b
22

Zb
a
xa+b
22
dx;
de unde reiese imediat concluzia.
d)^Intruc^ atf(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa), prin ridicare la p atrat  si
integrare,Zb
af2(x)dx(ba)f2(a) + 2f(a)(f(b)f(a))
baZb
a(xa)dx+
f(b)f(a)
ba2

Zb
a(xa)2dx, de unde
a
baZb
af2(x)dxf2(a) +f(a)f(b) +f2(b)
3:
Aplicat ia 1.
Dac af: [0;2]![0;1), este o funct ie convex a, atunci are loc inegalitateaZ2
af(x)cosxdx0.
Solut ie. AvemZ2
af(x)cosxdx =Z
af(x)cosxdx +Z2
af(x)cosxdx:
Pentru ultima integral a, cu substitut ia x=t+u, rezult a c aZ2
af(x)cosxdx =
Z
af(x+)cosxdx , de undeZ2
af(x)cosxdx =Z
acosx(f(x)f(x+))dx.
Acum, din P3pentrux;y2[0;];x < y , decix < y < x + < y +,
obt inemf(y+)f(x+)
yxf(y)f(x)
yx, decif(y)f(y+)f(x)f(x+).
Astfel, funct ia x!f(x)f(x+);x2[0;] este descresc atoare. ^In nal,
cum  sicosx este descresc atoare pe [0 ;], aplic^ and inegalitatea lui Ceb^ a sev,
avemZ2
af(x)cosxdx =Z
acosx(f(x)f(x+))dx1
Z
acosxdx


Z
a(f(x)f(x+))dx
= 0.
Aplicat ia 2.
Dac af: [0;3]![0;1) este o funct ie concav a, atunci are loc inegalitatea
Z3
2f(x)dx
Z1
0f(x)dxZ2
1f(x)dx2
:
Solut ie. Dac af(x) = 0;8×2(0;3) inegalitatea din enunt  este evident a.
Presupunem c a exist a x02(0;3) astfel^ nc^ at f(x0)>0, de undeZb
af(x)dx>
lii

0;(8)a;b2[0;3];a < b: Similar aplicat iei precedente, obt inem c a funct ia
continu ag(x) =f(x+ 1)f(x) este descresc atoare pe intervalele [0 ;1];[1;2]
 si [2;3], deci pe [0 ;3]. Not amxn=Zn+1
nf(x)dx;n2f0;1;2g:Astfel, putem
scrieZ3
2f(x)dx
Z1
0f(x)dxZ2
1f(x)dx2
()x2
x0x2
1()
lnx2+lnx0
2lnx1.
liii

Concluzii
Lucrarea de fat  a prezint a c^ ateva metode analitice de obt inere a unor
inegalit at i  si este structurat a ^ n patru capitole.
Primul capitol trateaz a metode analitice de calcul diferent ial  si concen-
treaz a not iuni teoretice specice capitolelor "Funct ii derivabilele"  si "Aplicat ii
ale derivatelor ^ n studiul variat iei funct iilor" din programa  scolar a pentru
clasa a XI-a.
Al doilea capitol trateaz a metode analitice de calcul intergral  si concen-
treaz a not iuni teoretice specice capitolului "Funct ii integrabile" din pro-
grama  scolar a pentru clasa a XII-a.
Capitolele III  siIVcont in aplicat ii care utilizeaz a rezultatele teoretice
enunt ate  si demonstrate ^ n capitolele anterioare.
Suger am ca direct ii de dezvoltare a acestei lucr ari studiul procedeelor
pentru demonstrarea monotoniei  si/sau m arginirii unui  sir  si al criteriilor de
convergent  a a  sirurilor, ^ ntruc^ at aceste not iuni pot facilita obt inerea unor
inegalit at i.
liv

Bibliography
[1] V. Arsinte, Probleme elementare de calcul integral , Editura Universit at ii
Bucure sti, 1995.
[2] N. Boboc, I. Colojoar a, Matematic a, Elemente de analiz a matematic a,
Manual pentru clasa a XII-a , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bu-
cure sti, 1995.
[3] T. Ceau su, M. Megan, I. L. Popa, Probleme de matematic a cu enunt uri
 si solut ii date la concursurile de Titularizare 1993-2013 , Editura Matrix
Rom, Bucure sti, 2014.
[4] N. Dinculeanu, Gh. Marinescu, S. Marcus, Analiz a matematic a, Volumul
I, Edit ia a V-a , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1980.
[5] M. O. Drimbe, Inegalit at i, idei  si metode , Editura Gil, Zal au, 2003.
[6] M. Ganga, Matematic a, Manual pentru clasa a XI-a M1 , Editura Math-
press, Ploie sti, 2006.
[7] M. Ganga, Matematic a, Elemente de analiz a matematic a, Manual pen-
tru clasa a XII-a M1 , Editura Mathpress, Ploie sti, 2005.
[8] Gh. Gussi, O. St an a sil a, T. Stoica, Matematic a, Elemente de analiz a
matematic a, Manual pentru clasa a XI-a , Editura Didactic a  si Peda-
gogic a, Bucure sti, 1992.
[9]Gazeta Matematic a, Seria B Nr. 3/2013, Nr. 3/2012, Nr. 5/2012, Nr.
6-7-8/2012, Nr. 9/2012, Nr. 1/2011, Nr. 2/2011, Nr. 6/2011.
[10] Hui-Hua Wu, Shanhe Wu, Various proofs of the Cauchy-Schwarz in-
equality , Octogon Mathematical Magazine, Vol 17, Nr. 1, 2009, 227,
http://www.uni-miskolc.hu/ matse/Octogon/ .
[11] W.J. Kaczor, M.T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis III, In-
tegration , American Mathematical Society, 2000.
lv

[12] D.S. Mitrinovi c, P.M. Vasi c, Analytic Inequalities , Springer-Verlag,
Berlin, 1970.
[13] D. Popa, Curs Capitole speciale de analiz a matematic a pentru preg atirea
profesorilor .
[14] Recreat ii matematice , Nr. 2/2003, Nr. 2/2004, Nr. 1/2015.
[15] Gh. Siret chi, Calcul diferent ial  si integral, Volumul I, Not iuni funda-
mentale , Editura S tiint ic a  si Enciclopedic a, Bucure sti, 1985.
[16] Gh. Siret chi, Calcul diferent ial  si integral, Volumul II, Exercit ii , Editura
S tiint ic a  si Enciclopedic a, Bucure sti, 1985.
[17] S . Smarandache, O inegalitate util a , Lect ia 1, 8 februarie 2010, Bu-
cure sti, http://www.viitoriolimpici.ro .
[18] S coala virtual a a t^ an arului matematician – Inegalit at i,
http://www.math.md .
[19] F. Vi sescu, L. Z^ rn a, Bacalaureat 2008: Matematic a MT2, subiectul III
– repere de abordare , Editura Crizon, Constant a, 2008.
[20] G. Vlad, C. Z^ rn a, Ghid de preg atire pentru Bacalaureat 2009, Matem-
atic a M1 , Editura Sigma, Constant a, 2009.
[21] http://www.olimpiade.ro/
[22] http://www.mategl.com/download.htm .
lvi