Lucrare de Disertat ie [605856]

Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" Din Ias i
Facultatea de Matematic a
FUNCT II CU VALORI MULT IMI.
SELECT II
Lucrare de Disertat ie
Coordonator  stiint ic:
Conf. dr. Anca CroitoruCandidat: [anonimizat], 2019
Ia si

Prefat  a
Analiza multivariat a (teoria funct iilor cu valori mult imi, numite  si multifunct ii) a avut
un progres remarcabil ^ n anii 70, c^ and au fost introduse not iunile generale  si au fost obt inute
diferite rezultate ce au o aplicabilitate important a. O serie de probleme au ap arut ^ n te-
oria controlului, matematica economic a  si management, teoria jocurilor, biomatematic a  si
statistic a ce au condus la cunoa sterea unei baze teoretice  si a unor tehnici specice pentru
analiza multivariat a. Conceptul de multifunct ie a fost introdus, ^ nainte de 1930, de Haus-
dor (1868-1942), Painleve (1863-1933), Bouligand (1889-1979)  si Kuratowski (1896-1980)
pentru a r aspunde la c^ ateva probleme dicile ale funct iilor inverse. Multifunct iile au ap arut
 si ^ n volumul lui Bourbaki, General Topology , doar c a ^ n acest studiu multifunct iile au fost
considerate funct ii denite pe o mult ime cu valori ^ ntr-o submult ime ale unei alte mult imi,
neglij^ and astfel propriet at i importante ale multifunct iilor. Kuratowski a fost cel care a dat
un statut important multifunct iilor ^ n cartea sa, Topology , 1958.
Problema select iilor pentru multifunct ii, numit a  si problema uniformiz arii, a fost mult
timp un rezultat central ^ n analiza multivariat a. Select iile pentru multifunct ii au aplicabili-
tate ^ n: parametrizarea proceselor …. , optimizare, control optimal, economie. Importante
rezultate au fost obt inute pentru select ii care p astreaz a propriet at i ale multifunct iilor, cum ar
 continuitatea sau m asurabilitatea. ^In 1949, a fost introdus a Teorema select iilor m asurabile
de c atre Kuratowski, Nardzewski  si Von Neumann, iar ^ n 1956, Michael a formulat Teorema
select iilor continue .
Aceast a lucrare este structurat a ^ n 3 capitole: Not iuni preliminare ,Funct ii cu valori
mult imi  siSelect ii pentru multifunct ii . Primul capitol este alc atuit din 3 subcapitole, unde
sunt prezentate not iuni legate de spat iile metrice, funct iile continue  si distant a Pompeiu-
Hausdor. Al doilea capitol prezint a propriet at i  si rezultate importante ale multifunct iilor
 si multifunct iilor continue, iar ^ n cel de-al treilea capitol apar rezultate despre existent a
select iilor pentru multifunct ii.
Doresc s a-i mult umesc doamnei Conf. Dr. Anca Croitoru pentru sprijinul acordat ^ n
vederea realiz arii acestei lucr ari, pentru r abdarea de care a dat dovad a ca  si coordonator  si
pentru atent ia  si timpul atribuite corect arii.
1

Cuprins
Prefat  a 1
1 Not iuni preliminare 3
1.1 Spat ii metrice, spat ii normate  si spat ii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Funct ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Distant a Pompeiu-Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Funct ii cu valori mult imi 17
2.1 Denit ii  si propriet at i generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Multifunct ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Select ii pentru multifunct ii 27
3.1 Select ii injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Select ii minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Select ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bibliograe 35
2

Capitolul 1
Not iuni preliminare
Primul capitol este unul introductiv, mai exact unul ^ n care sunt prezentate not iuni ce
vor  folosite pe parcursul acestei lucr ari. Capitolul este structurat ^ n trei subcapitole, ^ n
primul se amintesc termeni, precum: metric a, norm a, vecin atate, topologie, mult ime deschis a,
mult ime ^ nchis a, mult ime convex a, mult ime compact a, ^ n cel de-al doilea not iunile: limit a
 si funct ie continu a ^ ntr-un punct, respectiv pe o mult ime, funct ie uniform continu a, funct ie
lipschitzian a, iar ^ n ultimul subcapitol termenii: distant  a, exces, distant a Pompeiu-Hausdor
 si metrica Pompeiu-Hausdor. Totodat a sunt prezentate propriet at i  si exemple aferente
acestor not iuni.
Toate ideile din acest capitol sunt preluate din [4], [7]  si [8].
1.1 Spat ii metrice, spat ii normate  si spat ii topologice
Denit ia 1.1.1. FieXo mult ime nevid a.
1. O aplicat ie d:XX!R+se nume ste metric a saudistant  a peXdac a satisface
urm atoarele condit ii:
(M1)d(x;y)0;8x;y2X;d(x;y) = 0,x=y(pozitivitatea distant ei);
(M2)d(x;y) =d(y;x),8x;y2X(simetria distant ei);
(M3)d(x;z)d(x;y) +d(y;z),8x;y;z2X(inegalitatea triunghiular a).
2. Perechea ( X;d) se nume ste spat iu metric .
Observat ia 1.1.2. Pe o aceea si mult ime se pot deni mai multe distant e. ^In raport cu
ecare, mult imea devine un alt spat iu metric, cu propriet at i distincte.
Propozit ia 1.1.3. ^Intr-un spat iu metric (X;d)au loc:
a)d(x1;xn)d(x1;x2) +d(x2;x3) +:::+d(xn1;xn);8×1;x2;:::;xn2X;
b)d(x;z)d(y;z)d(x;y);8x;y;z2X;
c)d(x;y)d(x0;y0)d(x;x0) +d(y;y0);8x;y;x0;y02X.
Exemplul 1.1.4.
1. PeX=Rp;p2N, denimd(x;y) =p
(x1y1)2+ (x2y2)2+:::+ (xpyp)2;
8x;y2Rp;x= (x1;x2;:::;xp);y= (y1;y2;:::;yp). Atuncideste o metric a pe Rp,
numit a metrica euclidian a .
2. FieAo mult ime nevid a  si M(A) =ff:A!Rfm arginit a pe Ag. Atunci funct ia
d:M(A)M (A)!R+denit a prin d(f;g) = sup
x2Ajf(x)g(x)j;8f;g2M (A), este o
metric a peM(A), numit a metrica Ceb^  sev (saumetrica convergent ei uniforme ).
3

Capitolul 1. Not iuni preliminare 4
3. FieXo mult ime nevid a. Consider am funct ia d0:XX!R+denit a prin
d0(x) =(
1;x6=y
0;x=y. Atuncid0este o metric a pe Xnumit a metrica discret a . Spat iul
X, ^ nzestrat cu aceast a metric a, se nume ste spat iu metric discret .
4. Fie (Xi;di);i2f1;2;:::;ng, spat ii metrice oarecare. Consider am
X=X1X2:::Xn si denim metrica produs q(x;y) =s
nP
i=1d2
i(xi;yi),
8x= (x1;x2;:::;xn);y= (y1;y2;:::;yn)2X;xi;yi2Xi;8i2f1;2;:::;ng. Atunci
spat iul (X;q) se nume ste spat iu metric produs .
Denit ia 1.1.5.
1. O funct iek
k :X!R+se nume ste norm a pe spat iul vectorial Xdac a satisface
urm atoarele condit ii:
(N1)kxk0;8x2X sikxk= 0,x=, undeeste originea spat iului vectorial X
(pozitivitatea normei);
(N2)kxk=jj
kxk;82R si8x2X(omogenitatea normei);
(N3)kx+ykkxk+kyk,8x;y2X(inegalitatea triunghiular a).
2. Perechea ( X;k
k) se nume ste spat iu normat .
Teorema 1.1.6. Orice spat iu normat (X;k
k)este spat iu metric ^ n raport cu distant a
d(x;y) =kxyk,8x;y2X(numit a distant a indus a de norm a ).^In plus, are loc
kxk=d(x;);8x2X.
Observat ia 1.1.7. Reciproca teoremei precedente nu este adev arat a, adic a exist a metrici
care nu provin dintr-o norm a. De exemplu, e X=Rp(p2N);d(x;y) =pP
i=11
2i
xiyi
1+xiyi,
8x;y2Rp; x= (x1;x2;:::;xp);y= (y1;y2;:::;yp). Atuncideste o metric a pe Rp, care nu
provine dintr-o norm a.
Denit ia 1.1.8. Fie (X;d) un spat iu metric, x0un punct arbitrar din X sirun num ar
real pozitiv. Numim sfer a (saubil a)deschis a de centrux0 si de raz armult imea
S(x0;r) =fx2Xd(x0;x)<rg.
Exemplul 1.1.9. Dac ad(x;y) =jxyj, pentru8x;y2R, atunci
S(x0;r) =fx2Rjxx0j<rg= (x0r;x0+r), adic a sfera deschis a de centru x0 si de raz a
reste intervalul deschis, centrat ^ n x0;(x0r;x0+r).
Denit ia 1.1.10. Fie spat iul metric ( X;d)  six0un punct arbitrar din X. O submult ime
Va spat iului Xse nume ste vecin atate a punctului x0dac a exist a o sfer a deschis a centrat a
^ nx0, cont inut a ^ n V, adic a dac a exist a r > 0 astfel ^ nc^ at S(x0;r)V. Convenim s a
not am prinV(x0) mult imea tuturor vecin at at ilor punctului x0. Aceast a mult ime se va numi
sistemul vecin at at ilor punctului x0.
Exemplul 1.1.11. FieX=R sid(x;y) =jxyj, pentru8x;y2R. Mult imea
A= (0;2][f10geste vecin atate pentru x0=3
2, dar nu este vecin atate pentru punctele 2 sau
10.
Denit ia 1.1.12.
1. FieXo mult ime nevid a. O familie de submult imi ale lui Xse nume ste topologie
peXdac a  si numai dac a sunt ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
(T1)X;;2;

Capitolul 1. Not iuni preliminare 5
(T2)Di2I;8i2I)S
i2IDi2, pentruIo familie oarecare de indici;
(T3)Di2I;8i2I)T
i2IDi2, pentruIo familie nit a de indici.
2. Perechea ( X;) se nume ste spat iu topologic .
Denit ia 1.1.13. Un spat iu ( X;) se numet e spat iu T2 sauspat iu (separat) Ha-
usdor dac a  si numai dac a oricare ar  punctele distincte x;y2X, exist a dou a mult imi
deschise disjuncte Dx siDyastfel ^ nc^ at x2Dx siy2Dy.
Denit ia 1.1.14. O submult ime Da spat iului metric ( X;d) se nume ste mult ime des-
chis a e dac aD=;, e dac aDeste vecin atate pentru orice punct al s au, adic a pentru
8x2D,9r >0 astfel ^ nc^ at S(x;r)D. Familia tuturor mult imilor deschise se noteaz a
prind si se nume ste topologia indus a de metrica d(sautopologia metric a ).
Exemplul 1.1.15.
1. Orice sfer a deschis a S(x0;r) este mult ime deschis a, ceea ce justic a  si termenul de
sfer a deschis a. ^Intr-adev ar, S(x0;r) este vecin atate pentru ecare din punctele sale.
^In particular, dac a spat iul X=Reste ^ nzestrat cu metrica euclidian a, atunci orice
interval de forma ( x";x+"), cu">0, este mult ime deschis a.
2. Dac a spat iul X=Reste ^ nzestrat cu metrica euclidian a, atunci orice interval de forma
(a;b), (a;+1) sau (1;b), cua;b2R, este mult ime deschis a.
3. Mult imea
x2R1<x2
nu este deschis a, ^ ntruc^ at (1 ;2] nu este vecin atate pentru
2 (nicio sfer a cu centrul ^ n 2 nu este cont inut a ^ n (1 ;2]).
Denit ia 1.1.16. FieX6=;;d1;d2dou a distant e pe spat iul X si1;2topologiile res-
pectiv induse pe X. Distant ele d1 sid2se numesc echivalente dac a induc aceea si topologie,
adic a1=2. Se noteaz a d1d2.
Teorema 1.1.17. FieX6=; sid1;d2dou a distant e pe spat iul X, av^ and proprietatea c a
9;2(0;+1)astfel ^ nc^ at
d1(x;y)d2(x;y)d1(x;y);8x;y2X:
Atuncid1d2.
Exemplul 1.1.18. FieX=Rn(n2N)  si e urm atoarele distant e pe Rn:
d1(x;y) =vuutnX
k=1(xkyk)2;
d2(x;y) = max
1knjxkykj;
d3(x;y) =nX
k=1jxkykj;
8x;y2Rn;x= (x1;x2;:::;xn);y= (y1;y2;:::;yn). Atuncid1d2d3.
Denit ia 1.1.19. O submult ime Fa spat iului metric ( X;d) se nume ste ^ nchis a dac a
cF=XnFeste deschis a.
Exemplul 1.1.20.
1. Dac a (X;d) este un spat iu metric discret, orice submult ime a sa este deschis a. Cum
orice mult ime AXpoate  scris a A=c(cA)  si cumcAX, rezult a c a Aeste
mult ime ^ nchis a. Prin urmare, ^ ntr-un spat iu metric discret orice submult ime a sa este
simultan deschis a  si ^ nchis a.

Capitolul 1. Not iuni preliminare 6
2. Orice sfer a ^ nchis a dintr-un spat iu metric ( X;d) este mult ime ^ nchis a, ceea ce justic a
termenul utilizat. ^Intr-adev ar, e T(x0;r) =fx2Xd(x;x0)rg si ey2cT(x0;r).
Dac a lu am 0 < r0< d(x0;x)r, atunci se vede cu u surint  a c a S(y;r0)cT(x0;r),
adic acT(x0;r) este vecin atate a punctului arbitrar y.
Denit ia 1.1.21. Fiind date dou a puncte x;y2Rn;n2N, mult imea

x;y
=
(1)x+y01
se nume ste segment (^ nchis ) de capete x;y.
Denit ia 1.1.22. O mult ime XRn;n2Nse nume ste convex a dac a o dat a cu dou a
puncte cont ine  si segmentul care le une ste
8x;y2X;82[0;1];(1)x+y2X

.
Denit ia 1.1.23. FieAo submult ime nevid a a spat iului metric ( X;d). Numim diame-
trual mult imii A, notat(A), elementul din R+denit prin (A) = sup
d(x;y)x2A; y2A
.
Denit ia 1.1.24. FieAo submult ime nevid a a spat iului metric ( X;d).
1. Spunem c a Aestem arginit a dac a(A)<1.
2. Spunem c a Aestenem arginit a dac a(A) = +1.
Exemplul 1.1.25. Dac aX=Rcu metrica euclidian a, atunci orice interval de forma
(a;b);(a;b];[a;b) sau [a;b], cua;b2R, este mult ime m arginit a.
Denit ia 1.1.26. S irul (xn)n(X;d) se nume ste  sir convergent (^ n X) dac a9a2X
cu proprietatea c a 8V2V(a);9nV2Nastfel ^ nc^ at8nnV;xn2V.ase nume ste limita
 sirului (xn)n.
Denit ia 1.1.27. Un  sir (xn)n(X;d) se nume ste  sir Cauchy (sau sir fundamental )
dac a8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at8n;mn";d(xn;xm)<".
^In cazul  sirurilor de funct ii, avem urm atoarele trei denit ii.
Denit ia 1.1.28. Fie o mult ime nevid a X si funct iile f;fn:X!R;8n2N. Se spune
c a  sirul (fn)converge punctual pe mult imea Xla funct iaf,  si not am fnp!
Xf, dac a
8x2X;fn(x)!f(x) ^ n0, adic a
8x2X;8V2V
f(x)

;9nx;Vastfel ^ nc^ at8n2Ncunnx;V;fn(x)2V:
Denit ia 1.1.29. Fie o mult ime nevid a X si funct iile f;fn:X!R;8n2N. Spunem
c a  sirul (fn)converge uniform pe mult imea Xla funct iaf,  si not am fnu!
Xf, dac a
8">0;9n"2Nastfel ^ nc^ at8nn" si8x2X;fn(x)f(x)<".
Denit ia 1.1.30. Fie o mult ime nevid a X si funct iile f;fn:X!R;8n2N. Spunem
c a  sirul (fn) este fundamental uniform pe mult imea Xla funct iafdac a8">0;9n"2N
astfel ^ nc^ at8n;mn" si8x2X;fm(x)fn(x)<".
Observat ia 1.1.31.
1. Dac afnu!
Xf, atuncifnp!
Xf.
2. S irul (fn) este fundamental uniform pe Xdac a  si numai dac a ( fn) converge uniform pe
X.
Denit ia 1.1.32. Un spat iu metric ^ n care orice  sir Cauchy este convergent se nume ste
complet .

Capitolul 1. Not iuni preliminare 7
Denit ia 1.1.33. Un spat iu liniar normat, complet^ n raport cu metrica indus a de norm a,
se nume ste spat iu Banach .
Denit ia 1.1.34. Fie X un spat iu oarecare  si A o submult ime a sa. O familie
U=
Dii2I
de p art i ale lui Xse nume ste acoperire a mult imii Adac aAS
i2IDi, iar
dac aU1U  siAS
Di2U1Dispunem c aU1este o subacoperire a luiU.
Denit ia 1.1.35. Dac a (X;d) este un spat iu metric  si AX, atunci o acoperire
U=
Dii2I
a mult imii Ase va numi deschis a dac a elementele lui Usunt mult imi
deschise.
Denit ia 1.1.36.
1. Un spat iu metric ( X;d) se nume ste compact dac a din orice acoperire deschis a a sa se
poate extrage o subacoperire nit a.
2. O submult ime Aa spat iului metric ( X;d) se nume ste compact a dac a, privit a ca
subspat iu, este compact.
Teorema 1.1.37. Orice submult ime ARneste compact a dac a  si numai dac a este
m arginit a  si ^ nchis a.
Denit ia 1.1.38. Spunem c a un spat iu metric ( X;d) este secvent ial compact (sau
compact prin  siruri ) dac a orice  sir de puncte din Xcont ine un sub sir convergent la un
punct dinX.
Teorema 1.1.39. O mult ime dintr-un spat iu metric este compact a dac a  si numai dac a
este secvent ial compact a.
Teorema 1.1.40. (Teorema lui Tihonov )
FieX=Q
i2IXi, unde (Xi;i)sunt spat ii topologice, 8i2I. AtunciXeste compact dac a  si
numai dac a (Xi;i)este compact,8i2I.
1.2 Funct ii continue
Denit ia 1.2.1. Fie (X;d) un spat iu metric.
1. Un punct a2Xse nume ste punct interior mult imii;6=AXdac aAeste vecin atate
a luia. Not am cu A(sau intA) interiorul lui A(adic a mult imea tuturor punctelor
interioare lui A). Prin convent ie, int ;=;.
2. Un punct a2Xse nume ste punct de acumulare pentru mult imea ;6=AXdac a
orice vecin atate a lui aare ^ n comun cu mult imea Acel put in un punct diferit de a.
Not am cuA0mult imea derivat a a lui A(adic a mult imea tuturor punctelor de acumulare
a luiA). Prin convent ie, ;0=;.
3. Fie;6=AX. Un punct a2AnA0se nume ste punct izolat al luiA.
4. Un punct a2Xse nume ste punct aderent pentru mult imea AXdac a orice
vecin atate a lui aare ^ n comun cu Acel put in un punct. Not am cu Aaderent a lui A
(adic a mult imea tuturor punctelor aderente lui A).
^In continuare consider am ( X;d 1)  si (Y;d 2) dou a spat ii metrice  si vom nota cu SX(x0;r)
sfera deschis a ^ n X, iar cu SY(y0;r) sfera deschis a ^ n Y.

Capitolul 1. Not iuni preliminare 8
Denit ia 1.2.2. (cu vecin at at i ) Fie;6=DX;f :D!Y siapunct de acumulare
pentruD. Spunem c a elementul l2Yestelimita funct iei f^ n punctul a, dac a pentru
oriceV2VY(l), exist a o vecin atate U2VX(a) astfel ^ nc^ at dac a x2U\D;x6=a, are loc
f(x)2V.^In acest caz, vom scrie lim
x!af(x) =l.
Teorema 1.2.3. (Teorema de caracterizare a limitei unei funct ii ^ ntr-un punct )
Fie;6=DX,f:D!Y;l2Y sia2Xpunct de acumulare pentru D. Urm atoarele
armat ii sunt echivalente:
a)lim
x!af(x) =l(denit ia cu vecin at at i);
b) pentru8SY(l;"), cu">0,9SX(a;), cu>0, astfel ^ nc^ at8x2SX(a;)\Dare loc
f(x)2SY(l;")(caracterizarea cu sfere);
c) pentru8" > 0, exist a > 0, astfel ^ nc^ at dac a x2D;x6=a sid1(x;a)<  are loc
d2
f(x);l

<"(caracterizarea ");
d) pentru orice (xn)Dnfag;xnd1!aimplic af(xn)d2!l(caracterizarea cu  siruri).
Teorema 1.2.4. Fie;6=DX;f :D!Y;l2Y sia2Xpunct de acumulare pentru
D. Dac afare limital^ n punctula, atunci aceast a limit a este unic a.
Denit ia 1.2.5. (cu vecin at at i )
1. Fie funct ia f:D!(Y;d 2) unde;6=DX sia2D. Funct iafse nume ste continu a
^ nadac a pentru orice V2VY
f(a)

, exist aU2VX(a), astfel ^ nc^ at f(U\D)V,
adic a pentru8x2Dcux2U, s a rezulte f(x)2V.
2. Dac a funct ia fnu este continu a^ n punctul a2D, atunci spunem c a festediscontinu a
^ n punctul a, iaraestepunct de discontinuitate al funct ieif.
Teorema 1.2.6. (Caracterizarea cu limit a a continuit at ii ^ ntr-un punct )
Fief:D!(Y;d 2)undeD(X;d 1) sia2D0. Atuncifeste continu a ^ n adac a  si numai
dac a exist a lim
x!af(x) si este egal a cu f(a).
Teorema 1.2.7. Fief:D!(Y;d 2), undeD(X;d 1) sia2D. Atuncifeste continu a
^ nadac a are loc una din urm atoarele situat ii:
a) oria2D0 silim
x!af(x) =f(a);
b) oriaeste punct izolat.
Observat ia 1.2.8. Dac aa2D\D0iar funct iafeste continu a ^ n a, denit ia continuit at ii
luif^ nase scrie lim
x!af(x) =f(lim
x!ax).
Teorema 1.2.9. (Teorema de caracterizare a continuit at ii unei funct ii ^ ntr-un
punct )
Fief:D!(Y;d 2), unde; 6=DX sia2D. Atunci urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
a)feste continu a ^ n a(denit ia cu vecin at at i);
b) pentru8SY
f(a);"

;9SX(a;)astfel ^ nc^ at f
SX(a;)\D

SY
f(a);"

adic a pentru
8x2SX(a;)cux2D)f(x)2SY
f(a);"

(denit ia cu sfere);
c) pentru8">0;9>0astfel ^ nc^ at pentru 8x2Dcud1(x;a)<)d2
f(x);f(a)

<"
(denit ia");
d) pentru8(xn)DcuxnX!as a rezultef(xn)Y!f(a)(denit ia cu  siruri).

Capitolul 1. Not iuni preliminare 9
Teorema 1.2.10. Fie(X;d 1);(Y;d 2) si(Z;d 3)trei spat ii metrice  si funct iile f:X!Y,
g:Y!Z. Dac afeste continu a ^ n a2X sigeste continu a ^ n f(a)2Yatuncigfeste
continu a ^ n a.
Fie (X;d 1);(Y;d 2) dou a spat ii metrice, DX sia2D0nD. Dac af:D!Reste o
funct ie denit a pe D, am putea prelungi fla mult imea D[fag^ n diferite moduri, atribuindu-
i luifo valoare arbitrar a ^ n punctul a. Dac a exist a lim
x!af(x) =l2Y, am putea considera
urm atoarea funct ie:
~f(x) =(
f(x);dac ax2D
l;dac ax=a(1.2.1)
care, evident, este o prelungire a lui flaD[fag.
Denit ia 1.2.11. Dac af:D!Y, undea2D0nD, are limita l2Y^ n punctul a,
atunci funct ia ~fata sat a funct iei fprin (1.2.1) poart a numele de prelungire a funct iei f
prin continuitate ^ n punctul a.
Exemplul 1.2.12. Fief(x) =sinx
x, denit a pe R. Cum lim
x!0f(x) = 1, vom putea
prelungifprin continuitate ^ n 0. Prelungirea sa prin continuitate este funct ia
~f(x) =8
<
:sinx
x;dac ax2R
1;dac ax= 0:
Teorema 1.2.13. Fief:D!Y. Dac a exist a lim
x!af(x) =l2Y, atunci funct ia
~f:D[fag!Y, denit a prin (1.2.1) este continu a ^ n a.
Denit ia 1.2.14. Fief:D!(Y;d 2), undeD(X;d 1). Spunem c a festecontinu a
peDdac afeste continu a ^ n orice punct x2D.
Exemplul 1.2.15.
1. Fie (X;d) un spat iu metric  si c2Xxat. Funct ia f(x) =cpentru orice x2Xeste
continu a pe Xdeoarece dac a x02X sixnX!x0, atuncif(xn) =cX!c=f(x0),
adic a este satisf acut a denit ia cu  siruri a continuit at ii.
2. Fief: (X;d)!(X;d) aplicat ia identic a, adic a f(x) =x;8x2X. Atuncifeste
continu a pe X. ^Intr-adev ar, e x02Xarbitrar. Atunci pentru orice  sir ( xn)Xcu
xnX!x0, rezult a c a f(xn) =xnX!x0=f(x0), ceea ce dovede ste continuitatea lui f
^ nx0, deci  si pe X.
3. Fie funct ia f:R!Rdenit a prin
f(x) =(
1;dac ax2Q
0;dac ax2RnQ;
adic a funct ia caracteristic a a mult imii Q. Observ am c a8x2Rfunct ia nu este continu a
^ nxdeoarece nu exist a lim
y!xf(y).^Intr-adev ar, e x2Rarbitrar. Dac a ( xn) e un  sir
de puncte rat ionale cu xnR!x, atuncif(xn) = 1!1, iar dac a ( x0
n) este un  sir de
numere irat ionale astfel ^ nc^ at x0
nR!x, atuncif(xn) = 0!0. Prin urmare, nu exist a
limita funct iei f^ n punctul de acumulare x2R si decifnu e continu a ^ n x.
4. Fie R^ nzestrat cu metrica discret a d0. Atunci orice funct ie f: (R;d0)!(X;d), unde
(X;d) este un spat iu metric oarecare, este continu a. ^Intr-adev ar, e a2Run punct ar-
bitrar ^ nSX
f(a);"

o sfer a arbitrar a cu centrul ^ n f(a) dinX; atuncif1
SX(f(a);")

Capitolul 1. Not iuni preliminare 10
cont ine, evident, mult imea fagcare coincide cu SR(a;1), sfer a deschis a din ( R;d0) de
centrua si raz a 1. Prin urmare, avem
f
SR(a;1)

SX
f(a);"

;
adic afeste continu a ^ n a.
5. Fie funct iile pri:Rn!Rdenite prin pri(x) =xi;8i2f1;2;:::;ng, unde
x= (x1;x2;:::;xn). Atunci funct iile pri, numite aplicat ii de proiect ie , sunt funct ii
continue pe Rn.^Intr-adev ar, e a= (a1;a2;:::;an)2Rn, arbitrar. Dac a ( xk)Rn
 sixkRn
!a, atuncixi
kR!ai,8i2f1;2;:::;ng, adic apri(x) =xi
kR!ai=pri(a),
8i2f1;2;:::;ng, ceea ce spune c a prieste continu a ^ n apentru orice i2f1;2;:::;ng.
Teorema 1.2.16. (Teorema de caracterizare a continuit at ii pe un spat iu )
Fie(X;d 1) si(Y;d 2)dou a spat ii metrice  si f:X!Y. Atunci urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
a)feste continu a pe X;
b) pentru orice mult ime deschis a DdinY,f1(D)este mult ime deschis a ^ n X;
c) pentru orice mult ime ^ nchis a FdinY,f1(F)este mult ime ^ nchis a ^ n X;
d) pentru orice submult ime Aa luiX,f(A)f(A).
Observat ia 1.2.17.
1. Proprietatea b) (respectiv c)) ne spune c a f"^ ntoarce" deschi si (respectiv ^ nchi si) ^ n
deschi si (respectiv ^ nchi si).
2. Remarc am c a imaginea direct a printr-o aplicat ie continu a a unei mult imi deschise (res-
pectiv ^ nchise) nu este, ^ n general, deschis a (respectiv ^ nchis a). ^Intr-adev ar, dac a se
consider a funct ia f(x) =jxj, pentru8x2R, evidentfeste continu a. Dac a se ia
mult imeaD= (1;1) atuncif(D) = [0;1) care nu este deschis a. De asemenea, dac a
consider am funct ia f(x) =1
xdenit a pe R, evident ea este continu a pe mult imea sa
de denit ie. Se observ a c a imaginea prin fa mult imii ^ nchise F= [1;1) este intervalul
(0;1] care nu este mult ime ^ nchis a.
Denit ia 1.2.18. O funct ief: (X;d 1)!(Y;d 2) se nume ste uniform continu a peX
dac a pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at pentru orice x;ydinXs a aib a loc
d1(x;y)< =)d2
f(x);f(y)

<":
Denit ia 1.2.19. O funct ief: (X;d 1)!(Y;d 2) se nume ste lipschitzian a peXdac a
exist a un num ar L>0 astfel ^ nc^ at
d2
f(x);f(y)

Ld1(x;y);8x;y2X:
Observat ia 1.2.20. ^In particular, o funct ie f:A!R, undeAR, este lipschitzian a
dac a exist a L>0 astfel ^ nc^ at
f(x)f(y)Ljxyj;8x;y2A:
Teorema 1.2.21. Orice funct ie lipschitzian a este uniform continu a.

Capitolul 1. Not iuni preliminare 11
Observat ia 1.2.22.
1. Este evident c a orice funct ie uniform continu a pe o mult ime Xeste  si continu a pe X.
^Intr-adev ar, dac a x02Xeste un punct arbitrar dar xat din X, atunci, rezult a c a
pentru orice ">0 exist a(")>0 astfel ^ nc^ at pentru orice x2Xs a aib a loc
d1(x;x0)< =)d2
f(x);f(x0)

<";
ceea ce exprim a continuitatea lui f^ nx0.
^In cazul continuit at ii lui fpeXse observ a urm atoarea ordine a cuanticatorilor:
8x2X si8">0;9x(")>0 astfel ^ nc^ at pentru 8y2Xs a avem
d1(x;y)< =)d2
f(x);f(y)

<";
iar la continuitatea uniform a
8">0;9(")>0 astfel ^ nc^ at8x;y2X
d1(x;y)< =)d2
f(x);f(y)

<":
2. Continuitatea uniform a este o proprietate metric a  si atunci o funct ie poate  uniform
continu a ^ n raport cu o metric a particular a  si s a nu e uniform continu a ^ n raport cu o
metric a echivalent a cu ea.
3. Exist a funct ii continue care nu sunt uniform continue. Fie f: (0;1]!Rdenit a prin
f(x) =1
x;8×2(0;1].
1.3 Distant a Pompeiu-Hausdor
Vom folosi urm atoarele notat ii:
P(X) =fAAXg=P;
P 0(X) =fAXA6=;g=P0;
Pi(X) =fA2P 0(X)A^ nchis ag=Pi;
Pk(X) =fA2P 0(X)Acompact ag=Pk;
Pim(X) =fA2Pi(X)Am arginit ag=Pim;
Pimc(X) =fA2Pim(X)Acompact ag=Pimc.
Observat ia 1.3.1. PkPimPi.
Denit ia 1.3.2. Fie (X;d) spat iu metric, x2X;AX.Distant a de laxlaAse
dene ste prin:
d(x;A)(+1;dac aA=;
inf
y2Ad(x;y);dac aA6=;:
Propozit ia 1.3.3. Fie(X;d)spat iu metric, x;y2X;; 6=AX. Atunci au loc
urm atoarele propriet at i:
a)d(x;A)0;
b) Dac ax2A, atuncid(x;A) = 0 ;
c)d(x;A) = 0,x2A

Capitolul 1. Not iuni preliminare 12
d)d(x;A)d(x;y) +d(y;A);
e)jd(x;A)d(y;A)jd(x;y);
f) Funct ia f:X![0;+1);f(x) =d(x;A), este lipschitzian a pe X(rezult a c a feste
uniform continu a pe A, deci  si continu a pe A);
g)d(x;A) =d(x;A).
Exemplul 1.3.4.
I. FieX=R, ^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =jxyj;8x;y2R.
1.x= 5;A=f1;0;5;8g)d(x;A) = 0;
2.x= 4;A=f3;2;0;6;12g)d(x;A) = 2;
3.x=2;A= (1;4])d(x;A) = 3;
4.x= 4;A= (1;4))d(x;A) = 0;
5.x=p
3;A=Q)d(x;A) = 0.
II. FieX=R2^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =p
(x1y1)2+ (x2y2)2,
8x;y2R2;x= (x1;x2);y= (y1;y2). Fiea= (1;2)2R2 siA= [b;c], unde
b= (2;1);c= (5;1). Atunci d(a;A) =p
2.
Denit ia 1.3.5. Fie;6=A(X;d)  sir2(0;+1).
1. Se nume ste sfer a deschis a de centruA si raz armult imea
S(A;r) =fx2Xjd(x;A)<rg:
2. Se nume ste sfer a ^ nchis a de centruA si raz armult imea
T(A;r) =fx2Xjd(x;A)rg:
Observat ia 1.3.6. AS(A;r)T(A;r);8;6=A(X;d);8r2(0;+1).
Exemplul 1.3.7.
I. Fie R, ^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =jxyj;8x;y2R.
1. FieA= (2;4]R;r= 3. Atunci S(A;r) = (5;7);T(A;r) = [5;7].
2. FieA= (1;3)R;r= 2. Atunci S(A;r) = (1;5);T(A;r) = (1;5].
II. Fie R2^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =p
(x1y1)2+ (x2y2)2;8x;y2R2.
1. FieA=S
(4;3);1

R2;r= 1. Atunci S(A;r) =S
(4;3);2

,
T(A;r) =T
(4;3);2

.
2. FieA= [2;4][2;4]R2;r= 1. Atunci S(A;r) =AS4S
i=1BiS4S
i=1Ci
,
T(A;r) =AS4S
i=1BiS4S
i=1Ci

Capitolul 1. Not iuni preliminare 13
B1= [2;4][4;5);B2= [4;5)[2;4];B3= [2;4](1;2];B4= (1;2][2;4];
C1=
(x;y)2R2(x2)2+ (y4)2<1;x2(1;2);y2(4;5)
,
C2=
(x;y)2R2(x4)2+ (y4)2<1;x2(4;5);y2(4;5)
,
C3=
(x;y)2R2(x4)2+ (y2)2<1;x2(4;5);y2(1;2)
,
C4=
(x;y)2R2(x2)2+ (y2)2<1;x2(1;2);y2(1;2)
.
Denit ia 1.3.8. Fie (X;d) un spat iu metric  si A;B2P(X).
1. Se dene ste excesul luiAfat  a deBprin
e(A;B) = sup
x2Ad(x;B):
Prin convent ie, se consider a sup ;= 0;e(;;B) = 0;8B2P(X)  sie(A;;) =1,
8A2P 0(X).
2. Se dene ste distant a Pompeiu-Hausdor ^ ntreA siBprin
p(A;B) = max
e(A;B);e(B;A)
:
Observat ia 1.3.9.
1.e(A;B)2[0;1];p(A;B)2[0;1];8A;B2P(X).
2.9A;B2P 0(X) astfel ^ nc^ at e(A;B)6=e(B;A) (decienu este metric a).
3. Dac aA;B2P 0(X) sunt m arginite, atunci e(A;B)<1 sip(A;B)<1.
4.e(A;B) = inff">0AS(B;")g.
5.p(A;B) = inff">0AS(B;");BS(A;")g.
6.p([x;y];[z;t]) = max
jxzj;jytj
;8x;y;z;t2R;xy;zt.
Exemplul 1.3.10.
I. Fie R, ^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =jxyj;8x;y2R.
1. FieA=f1;2;3g;B=f1;4;7;9g. Atuncie(A;B) = 2;e(B;A) = 6;p(A;B) = 6;
2. FieA= [2;3);B=f1;4g. Atuncie(A;B) = 3;e(B;A) = 1;p(A;B) = 3;
3. FieA= [3;0);B= (1;5]. Atuncie(A;B) = 4;e(B;A) = 5;p(A;B) = 5;
4. FieA= (1;2];B= (1;5]. Atuncie(A;B) =1;e(B;A) = 3;p(A;B) =1;

Capitolul 1. Not iuni preliminare 14
II. Fie R2^ nzestrat cu metrica euclidian a d(x;y) =p
(x1y1)2+ (x2y2)2;8x;y2R2.
FieA;BR2;A= [a;b];B= [c;d];a= (2;0);b= (4;0);c= (0;1);d= (0;5). Atunci
e(A;B) =p
17;e(B;A) =p
29;p(A;B) =p
29.
Observat ia 1.3.11. Distant a Pompeiu-Hausdor pe Pi(X) nu este o construct ie topo-
logic a, adic a ea nu este determinat a de topologia lui X. Pentru a vedea aceasta, consider am
X=R+ si e dou a metrici pe X
d1(x;y) =x
1 +xy
1 +y;
d2(x;y) = min
1;jxyj
:
Fiep1 sip2distant ele Hausdor generate de d1 si respectiv d2. Atuncid1 sid2sunt
echivalente, dar p1 sip2nu sunt echivalente. ^Intr-adev ar, e;6=Ffamilia submult imilor
nite  si nevide ale lui N. Atunci Neste punct de acumulare a lui F^ n spat iul metric
Pi(X);p1

, dar nu este punct de acumulare a lui F^ n spat iul metric
Pi(X);p2

.
Totu si, are loc urm atoarea teorem a.
Teorema 1.3.12. Fie mult imea X6=;^ nzestrat a cu dou a distant e d1;d2astfel ^ nc^ at
d1d2 si ep1;p2distant ele Pompeiu-Hausdor generate de d1 sid2pePi(X). Presupunem
c a funct ia identic a i: (X;d 1)!(X;d 2)este biuniform continu a
i: (X;d 1)!(X;d 2)este
uniform continu a  si inversa sa i: (X;d 2)!(X;d 2)este de asemenea uniform continu a

.
Atuncip1p2.
Observat ia 1.3.13. ^In 1905, Pompeiu a denit metrica sa prin
d(A;B) =e(A;B) +e(B;A);8A;B2Pim(X);
unde (X;d) este un spat iu metric. Utiliz^ and Teorema 1.1.17, se poate vedea c a dp,
deoarece1
2d(A;B)p(A;B)d(A;B);8A;B2Pim(X):
^In continuare vom prezenta c^ ateva propriet at i remarcabile.
Propozit ia 1.3.14. FieA;B;C(X;d) six2X. Atunci:
a)p(A;B) =p(B;A);
b)e(A;B) = 0,AB;
c)p(A;B) = 0,A=B;
d)e(A;C)e(A;B) +e(B;C);
e)p(A;C)p(A;B) +p(B;C);
f) Dac aBC, atuncie(A;B)e(A;C);
g)d(x;A)d(x;B) +e(B;A);
h)d(x;A)d(x;B) +p(B;A).
Observat ia 1.3.15.
I.p:P(X)P(X)!R+are urm atoarele propriet at i:
1.p(A;B)0;8A;B2P(X);
2.p(A;B) =p(B;A);8A;B2P(X);
3.p(A;C)p(A;B) +p(B;C);8A;B;C2P(X).

Capitolul 1. Not iuni preliminare 15
II.p:P(X)P(X)!R+este pseudometric a.
III.p:Pi(X)Pi(X)!R+satisface axiomele unei distant e care poate lua  si valoarea
+1.
IV.p:Pim(X)Pim(X)!R+este o metric a, iar topologia indus a de p(notat ap) se
nume ste metrica Pompeiu-Hausdor .
Presupunem ^ n continuare c a ( X;jj
jj) este spat iu normat. Pentru orice A;B2P 0 si
2Rnot am
A+B=fx+yjx2A;y2Bg;
A=faja2Ag;
jAj=p(A;f0g) = sup
x2Ajjxjj:
Propozit ia 1.3.16. FieA;B;C2P 0(X);n2N;fAgn
i=1;fBgn
i=1mult imi dinP0(X) si
;2R. Atunci au loc:
a)jA+Bjjj
jAj+jj
jBj;
b)jABjjj
jAjjj
jBj;
c)p(A;B ) =jj
p(A;B);
d)pnP
i=1Ai;nP
i=1Bi
nP
i=1p(Ai;Bi);
e)p(A+C;B +C)p(A;B);
f) Dac aA;B2Pimc, atuncip(A+C;B +C) =p(A;B);
g) Dac aA2Pimc, atuncip(A+C;C) =p(A;f0g) =jAj;
h)p(A;B)jABj;
i)p(A;B)jAjjBj;
j)p(A;A )jj
jAj;
k) Dac aA;B2Pimc, atuncip(A;A +B) =jBj;
l) Dac a (An)n2N;(Bn)n2NPi;Anp!A2Pi;Bnp!B2Pi siAnBn, pentru orice
n2N, atunciAB;
m)jACjp(A;B) +jBCj;
n)p
A1+ (1)A2;B 1+ (1)B2

p(A1;B1) + (1)p(A2;B2);82[0;1];
o)p(convA;convB )p(A;B);8A;B2Pi;undeconvA =T
E=convex a
AEEse nume ste acoperirea
(^ nf a sur atoarea )convex a ^ nchis a a mult imii A.
^In continuare prezent am o alt a formul a a distant ei Pompeiu-Hausdor care se refer a la
submult imi nevide ale spat iilor metrice arbitrare  si implic a distant a de la puncte la mult imi.
Teorema 1.3.17. Dac a (X;d)este un spat iu metric  si A;C2P 0(X), atunci
p(A;C) = sup
jd(x;A)d(x;C)jx2X
:
Observat ia 1.3.18. ^In particular, se obt ine c a
e(A;C) = sup
d(x;C)d(x;A)x2X
:

Capitolul 1. Not iuni preliminare 16
Propozit ia 1.3.19. FieA;B2P 0(X). Atunci au loc urm atoarele relat ii:
a)p(A;B) =p(A;B);
b)jAj=jAj.

Capitolul 2
Funct ii cu valori mult imi
^In acest capitol vom prezenta not iuni  si propriet at i generale referitoare la multifunct ii
 si multifunct ii continue. Dup a anii 50, teoria multifunct iilor s-a dovedit a  util a pentru
rezolvarea unor probleme din teoria controlului, probleme de optimizare, statistic a, economie,
teoria jocurilor, incluziuni diferent iale, biologie sau zic a.
Rezultatele din acest capitol au fost alese din [2], [3]  si [6].
2.1 Denit ii  si propriet at i generale
Denit ia 2.1.1. FieX siYdou a mult imi nevide. O funct ie F:X!P(Y) se nume ste
multifunct ie (sauaplicat ie multivoc a ) de laXlaY. Putem folosi  si notat ia
F:XY.
Pentru orice x2X, mult imea F(X)Y, se nume ste valoarea sauimaginea luiF^ n
x, iar mult imea
x2XF(X)6=;
se nume ste domeniul luiF si se noteaz a cu Dom (F).
Denit ia 2.1.2. FieX siYdou a mult imi nevide  si multifunct ia F:X!P(X).
1.Fse nume ste proprie dac a are domeniul nevid.
2.Fse nume ste strict a dac aF(x)6= 0, pentru orice x2X(ceea ce este echivalent cu
Dom (F) =X).
3. Dac aEX;E6=;, atunci restrict ia luiFlaE, notat aFjE:E!P(Y), este denit a
astfelFjE(x) =F(x), pentru orice x2E.
4. Mult imea ImF =S
x2XF(x) se nume ste imaginea luiF.
5. Dac aAX, atunci denim F(A) =S
x2AF(x). DeciImF =F(X).
Observat ia 2.1.3. Pentru orice AX;F(A) =
y2Y9x2Aastfel ^ nc^ at y2F(x)
.
Denit ia 2.1.4. Submult imea lui XY, denit a prin GrafF =
(x;y)y2F(x)
, se
nume ste gracul luiF.
Observat ia 2.1.5.
1. O multifunct ie Feste deplin caracterizat a prin gracul s au. ^Intr-adev ar, dac a Eeste
o submult ime nevid a a spat iului XY, atunci ea este gracul multifunct iei
F:X!P(Y), denit a prin F(x) =
y2Y(x;y)2E
.
2.^In denit ia gracului, vom considera multifunct ia ca ind o relat ie  si nu o funct ie de
laXlaY, pentru c a am denit GrafF ca submult ime a lui XY si nu a spat iului
XP(Y).
17

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 18
Denit ia 2.1.6. Numim inversa luiF, multifunct ia F1:Y!P(X) denit a prin
F1(y) =
x2Xy2F(x)
sau echivalent GrafF1=
(y;x)(x;y)2GrafF
.
Denit ia 2.1.7. Fie (X;d 1);(Y;d 2) dou a spat ii metrice.
1. Vom spune c a o multifunct ie Feste^ nchis a (respectiv deschis a ,convex a etc.) dac a
GrafF este o mult ime ^ nchis a (respectiv deschis a, convex a etc.) ^ n spat iul XY.
2. O multifunct ie F:X! P (Y) se nume ste cu valori ^ nchise (respectv deschise ,
convexe etc.) dac a F(x) este o mult ime ^ nchis a (respectiv deschis a, convex a etc.)
pentru orice x2X.
Denit ia 2.1.8. Dac aMY, atunci not am F1(M) =
xF(x)\M6=;
 si
F+1(M) =
xF(x)M
.
Observat ia 2.1.9. Dac aFeste cu valori punctuale, adic a F(x) =
f(x)
, unde
f:X!Yeste o funct ie, atunci ambele mult imi, F1(M)  siF+1(M), denite anterior, se
reduc laf1(M) =
x2Xf(x)2M
.
Anticip^ and put in, cele dou a moduri de a deni contraimaginea unei mult imi conduc la
dou a concepte de continuitate global a pentru multifunct ii, care extind conceptul de continu-
itate de la funct ii astfel:
1. Dac aF1(M) este deschis a ^ n Dom (F), pentru orice mult ime Mdeschis a ^ n Rq, atunci
spunem c a Festesemicontinu a inferior .
2. Dac aF+1(M) este deschis a ^ n Dom (F), pentru orice mult ime Mdeschis a ^ n Rq, atunci
spunem c a Festesemicontinu a superior .
Ambele not iuni se reduc la continuitate c^ and Feste o funct ie.
Propozit ia 2.1.10. FieX;Y dou a mult imi nevide  si multifunct ia F:X!P(Y). Atunci
au loc urm atoarele propriet at i:
a)FS
i2IAi
=S
i2IF(Ai);8(Ai)i2IP(X);
b)FT
i2IAi
T
i2IF(Ai);8(Ai)i2IP(X);
c)F(cA)ImFnF(A);8AX;
d)8A1;A22P(X);A1A2)F(A1)F(A2);
e)Dom (F1) =ImF =prY(GrafF );
f)ImF1=Dom (F) =prX(GrafF ).
Denit ia 2.1.11. FieX siYdou a mult imi nevide.
1. Dac aF:X!P (Y) este o multifunct ie  si :P(Y)!P (Y) o aplicat ie, atunci se
dene ste multifunct ia
(F) :X!P(Y) prin(F)(x) =
F(x)

;8x2X:
De exemplu: F;
F= intFetc.
2. Dac a "" este o operat ie^ ntre mult imi (de exemplu: [;\;;+ etc.)  siF;G :X!P(Y)
sunt multifunct ii, atunci se dene ste multifunct ia
FG:X!P(Y) prin
FG

(x) =F(x)G(x);8x2X:

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 19
Propozit ia 2.1.12. FieX;Y dou a mult imi nevide, multifunct ia strict a F:X!P (Y)
 si(Bi)i2IP(Y). Atunci:
a)F1(cB) =cF+1(B);8B2P(Y);
b)F+1(cB) =cF1(B);8B2P(Y);
c)F1S
i2IBi
=S
i2IF1(Bi);8(Bi)i2IP(X);
d)F1T
i2IBi
T
i2IF1(Bi);8(Bi)i2IP(X);
e)F+1S
i2IBi
S
i2IF+1(Bi);8(Bi)i2IP(X);
f)F+1T
i2IBi
=T
i2IF+1(Bi);8(Bi)i2IP(X).
Denit ia 2.1.13. FieX;Y;Z trei mult imi nevide. Dac a F:X!P(Y)  siG:Y!P(Z)
sunt dou a multifunct ii, atunci se nume ste multifunct ie compus a , multifunct ia notat a
GF:X!P(Z)  si denit a prin ( GF)(x) =S
y2F(x)G(y);8x2X.
Propozit ia 2.1.14. FieX;Y;Z trei mult imi nevide. Dac a F:X!P(Y) si
G:Y!P(Z)sunt dou a multifunct ii, AX siCZ, atunci:
a)
GF

(A) =G
F(A)

;
b)
GF
1(C) =F1
G1(C)

;
c)
GF
+1(C) =F+1
G+1(C)

.
Vom indica ^ n continuare exemple remarcabile de multifunct ii care apar ^ n probleme de
stabilitate a solut iilor unui sistem, de teoria controlului sau de optimizare.
Exemplul 2.1.15.
1. Fie;6=XRp;f:X!Rq si multifunct ia F:X!P(Rq) denit a prin
F(y) =f1(y) =
xf(x) =y
. Dac afnu este surjectiv a, atunci Dom (F) nu este
tot spat iul X. Dac afnu este injectiv a, atunci Fnu este funct ie. Studiul acestei
multifunct ii este legat de rezultatul ecuat iei f(x) =y. De exemplu, studiul stabilit at ii
solut iilor acestei ecuat ii conduce la studiul continuit at ii multifunct iei F.
2.Multifunct ii parametrizate
Fie;6=XRp, funct iaf:XRm!Rq si multifunct ia F:X!P(Rq) denit a prin
F(x) =
f(x;u)u2Rm
.
Astfel de multifunct ii apar ^ n teoria controlului.
Mai general, se poate considera funct ia f:XRm!Rq si multifunct ia
U:X!P(Rm). Funct iei f si multifunct iei Uli se poate asocia multifunct ia
G:X!P(Rq), denit a prin G(x) =
f(x;u)u2U(x)
.
3. Fie;6=XRp si;6=YRq, funct iaf:XY!R si multifunct ia G:X!P(Y).
Pentru ecare x2X, e problema de maximizare de forma
(Px) sup
y2G(x)f(x;y):
Funct iah:X!R, denit a prin h(x) = sup
y2G(x)f(x;y) se nume ste funct ia valoare
asociat a problemelor ( Px).
^In teoria optimiz arii, o problem a important a o reprezint a studiul multifunct iei
F:X!P(Y) ale c arei valori sunt solut iile problemelor ( Px), adic a
F(x) =
y2G(x)h(x) =f(x;y)
;8x2X.

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 20
2.2 Multifunct ii continue
Denit ia 2.2.1. Fie;6=XRp;F:X!P 0(Rq) o multifunct ie  si x02X.
1.Fse nume ste superior semicontinu a ^ nx0, dac a oricare ar  o vecin atate
U2V
F(x0)

exist a o vecin atate U2V(x0) astfel ^ nc^ at F(V)Usau echivalent
F(x)U;8x2V.
Fse nume ste superior semicontinu a peX, dac a este superior semicontinu a ^ n orice
punctx2X.
2.Fse nume ste inferior semicontinu a ^ nx0, dac a8y2F(x0);8(xn)n2NX,
xn!x0;9(yn)n2NRqastfel ^ nc^ at yn2F(xn);8n2N siyn!y.
Fse nume ste inferior semicontinu a peX, dac a este inferior semicontinu a ^ n orice
punctx2X.
3.Fse nume ste continu a ^ nx0dac aFeste inferior semicontinu a  si superior semicontinu a
^ nx0.
Propozit ia 2.2.2. Fie;6=XRp;F:X!P 0(Rq)o multifunct ie  si x02X. Atunci:
a)Feste superior semicontinu a ^ n x0dac a  si numai dac a 8U2V
F(x0)

;9 >0astfel
^ nc^ at8x2T(x0;)avemF(x)U.
b)Feste superior semicontinu a ^ n x0dac a  si numai dac a 8U2V
F(x0)

;9 >0astfel
^ nc^ at8x2S(x0;)s a avem c a F(x)U.
c)Feste superior semicontinu a ^ n x0dac a  si numai dac a 8D20cuF(x0)D,
9V2V(x0)astfel ^ nc^ at F(V)D.
d) Presupunem c a F(x0)este compact a. Atunci Feste superior semicontinu a ^ n x0dac a
 si numai dac a8">0;9>0astfel ^ nc^ at8x2T(x0;)rezult a c aF(x)T
f(x0);"

.
Demonstrat ie.
a) " =)" Presupunem c a Feste superior semicontinu a ^ n x0. FieU2V
F(x0)

. Cum
Feste superior semicontinu a ^ n x0, rezult a c a exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at
F(x)U;8x2V.
V2V(x0) rezult a c a9r>0 astfel ^ nc^ at S(x0;r)V.
Fie=r
2>0)T(x0;)S(x0;r)V. Deci9>0 astfel ^ nc^ at F(x)U,
8x2T(x0;).
"(= " FieU2V
F(x0)

. Atunci9>0 astfel ^ nc^ at pentru orice x2T(x0;),
F(x)U. FieV=T(x0;), atunciV2V(x0)  si avemF(x)Upentru orice x2V,
rezult a c aFeste superior semicontinu a ^ n x0.
b) Se demonstreaz a analog.
c) " =)" Presupunem c a Feste superior semicontinu a ^ n x0 si eD20cuF(x0)D.
AtunciD2V
F(x0)

. CumFeste superior semicontinu a ^ n x0, rezult a c a exist a
V2V(x0) astfel ^ nc^ at F(V)D.
"(= " FieU2V
F(x0)

. Atunci exist a D20astfel ^ nc^ at F(x0)DU. Pentru
D20cuF(x)D, din ipotez a rezult a c a 9V2V(x0) astfel ^ nc^ at F(V)D; cum
DU, rezult a c a F(V)U. Deci9V2V(x0) astfel ^ nc^ at F(V)U, rezult a c a F
este superior semicontinu a ^ n x0.
d) " =)" Fie">0  siU=T
F(x0);"

)U2V
F(x0)

. Conforma) rezult a c a exist a
>0 astfel ^ nc^ at F(x)U;8x2T(x0;). DeciF(x)T
F(x0);"

;8x2T(x0;).
"(= " FieU2V
F(x0)

, rezult a c a9D20astfel ^ nc^ at F(x0)DU. Fie
"=d
F(x0);cD

. CumF(x0) este compact a, rezult a ">0. Pentru"
2>0, din ipotez a

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 21
rezult a c a9>0 astfel ^ nc^ at8x2T(x0;), rezult a c a
F(x)T
F(x0);"
2

S
F(x0);"

. DarS
F(x0);"

DU, deci9>0 astfel^ nc^ at
8x2T(x0;), s a avemF(x)U. Conforma) rezult a c a Feste superior semicontinu a
^ nx0.

Propozit ia 2.2.3. Fie;6=XRp;F:X!P 0(Rq)o multifunct ie  si x02X. Atunci
urm atoarele armat ii sunt echivalente:
a)Feste inferior semicontinu a ^ n x0;
b) Oricare ar  y2F(x0) si oricare ar  U2V(y), exist aV2V(x0)astfel ^ nc^ at pentru
oricex2Vs a avemF(x)\U6=;;
c) Oricare ar  D20cuD\F(x0)6=;, exist a>0astfel ^ nc^ at pentru orice x2T(x0;)
avemF(x)\D6=;;
d) Oricare ar  D20cuD\F(x0)6=;, exist a>0astfel ^ nc^ at pentru orice x2S(x0;)
avemF(x)\D6=;.
Demonstrat ie.
Vom demonstra c a a) =)b) =)c) =)a)  sic)()d).
1. "a) =)b)" Fiey2F(x0)  siU2V(y). Presupunem prin reducere la absurd c a exist a
V2V(x0), exist ax2Vastfel ^ nc^ at F(x)\U=;. FieV=S
x0;1
n

2V(x0);8n2N,
rezult a c a exist a xn2S
x0;1
n

, astfel ^ nc^ at: F(xn)\U=;;8n2N[].
xn2S(x0;1
n))0d(xn;x0)<1
n;8n2N)lim
n!1d(xn;x0) = 0)xn!x0^ nX.
CumFeste inferior semicontinu a ^ n x0, rezult a c a9(yn)nRqastfel ^ nc^ at
yn2F(xn);8n2N siyn!y^ nRq.
U2V(y)  siyn!y^ nRq, rezult a c a9n02Nastfel ^ nc^ at, pentru orice nn0s a
avem c ayn2U. Daryn2F(xn);8n2N, rezult a c a F(x)\U6=;;8nn0, ceea ce
contrazice [].
2. "b) =)c)" FieD20 siD\F(x0)6=;, rezult a c a9y2D siy2F(x0). Cum
D20, rezult a c a D2V(y). Dinb), rezult a c a exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at8x2V,
s a avem c a F(x)\D6=;.
V2V(x0))9 >0 astfel ^ nc^ at T(x0;)V, rezult a c a oricare ar  x2T(x0;),
avem c aF(x)\D6=;.
3. "c) =)a)" Fiey2F(x0);(xn)nX;xn!x0^ nX si eDn=S
y;1
n

, pentru orice
n2N, rezult a c a Dn2Y siDn\F(x0)6=;. Dinc), rezult a c a exist a n>0 astfel
^ nc^ at oricare ar  x2T(x0;n), s a avem F(x)\S
y;1
n

6=;. Cumxn!x0, rezult a
c a exist a (kn)nN( si f ar a a mic sora generalitatea putem presupune c a
kn<kn+1;8n2N) astfel ^ nc^ at8ikn, cuxi2T(x0;n) rezult aF(xi)\S
y;1
n

6=;
rezult a c ayi2F(xi)\S
y;1
n

.
Fie  sirul (ykn)n. Acest  sir are propriet at ile cerute la punctul a), adic aykn2F(xkn),
8n2N siyn!y^ nRq. DeciFeste inferior semicontinu a ^ n x0.
4. "c) =)d)" FieD20cuD\F(x0)6=;. Conformc), exist a>0 astfel ^ nc^ at pentru
oricex2T(x0;), s a avem F(x)\D6=;. Fie"=
2>0, rezult aS(x0;")T(x0;).
Deci pentru orice x2S(x0;"), rezult a c a F(x)\D6=;.
5. "d) =)c)" FieD20cuD\F(x0)6=;. Conformd), exist a">0 astfel ^ nc^ at pentru
oricarex2S(x0;"), s a avemF(x)\D6=;. Fie="
2>0, rezult aT(x0;)S(x0;").
Deci pentru oricare x2T(x0;), rezult aF(x)\D6=;.


Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 22
Propozit ia 2.2.4. Fie;6=XRp;f:X!Rqo funct ie  si multifunct ia
F:X!P 0(Rq)denit a prin F(x) =
f(x)
;8x2X. Fiex02X, atunci urm atoarele
armat ii sunt echivalente:
a)Feste superior semicontinu a ^ n x0;
b)Feste inferior semicontinu a ^ n x0;
c)feste continu a ^ n x0.
Exemplul 2.2.5.
1. Multifunct ia F:R!P (R);F(x) =(
[1;1];dac ax6= 0
f0g;dac ax= 0este inferior semicontinu a ^ n
0, dar nu este superior semicontinu a ^ n 0.
2. Multifunct ia G:R!P(R);G(x) =(
[1;1];dac ax= 0
f0g;dac ax6= 0este superior semicontinu a ^ n
0, dar nu este inferior semicontinu a ^ n 0.
3. FieH:R!P(R2);H(t) =ftgR, pentru oricare t2R.Heste inferior semicontinu a
^ n 0, dar nu e superior semicontinu a ^ n 0.
Propozit ia 2.2.6. Fie;6=XRp;F:X!P 0(Rq)o multifunct ie  si x02X. Atunci:
a)Feste superior semicontinu a ^ n x0dac a  si numai dac a pentru orice U2V
F(x0)

,
avemF+1(U)2V(x0).
b)Feste inferior semicontinu a ^ n x0dac a  si numai dac a pentru orice D20cu
D\F(x0)6= 0, avemF1(D)2V(x0).
c)Feste superior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a pentru orice D20, avem
F+1(D)20.
d)Feste inferior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a pentru orice D20, avem
F1(D)20.
e)Feste superior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a pentru orice mult ime ^ nchis a
BRq, avemF1(B)^ nchis a.
f)Feste inferior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a pentru orice mult ime ^ nchis a
BRq, avemF+1(B)^ nchis a.
Demonstrat ie.
a) " =)" FieU2V
F(x0)

. CumFeste superior semicontinu a ^ n x0, din denit ie
rezult a c a exist a V2 V(x0) astfel ^ nc^ at F(V)U, rezult aVF+1(U)  si cum
V2V(x0), rezult aF+1(U)2V(x0).
"(= " FieU2V
F(x0)

 siV=F+1(U). Din ipotez a rezult a V2V(x0). Fie orice
x2V=F+1(U), rezult aF(x)U. Deci exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice
x2V;F(x)U, rezult a c a Feste superior semicontinu a ^ n x0.
b) " =)" FieD20;D\F(x0)6=;. Conform Propozit iei 2.2.3 exist a  >0 astfel
^ nc^ at oricare ar  x2T(x0;), s a avemF(x)\D6=;. Deci pentru orice x2T(x0;),
rezult a c ax2F1(U), deciT(x0;)F1(D). CumT(x0;)2V(x0), rezult a c a
F1(D)2V(x0).
"(= " FieD20;D\F(x0)6=;. Din ipotez a rezult a F1(D)2V(x0), rezult a c a
exist a">0 astfel ^ nc^ at S(x0;")F1(D).
Deci pentru orice x2S(x0;"), avem c ax2F1(D), de unde rezult a c a F(x)\D6=;.

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 23
Prin urmare, pentru orice D20cuF(x)\D6=;exist a" >0 astfel ^ nc^ at pentru
oricex2S(x0;");F(x)\D6=;. Conform Propozit iei 2.2.3, rezult a c a Feste inferior
semicontinu a ^ n x0.
c) " =)" Presupunem c a Feste superior semicontinu a ^ n X.
FieD20;F+1(D)20dac a  si numai dac a F+1(D) este vecin atate pentru orice
punct al s au. Fie x2F+1(D), rezult a c a F(x)D. CumD20, rezult a c a
D2V
F(x)

. CumFeste superior semicontinu a ^ n x, rezult a c a exist a V2V(x)
astfel ^ nc^ at F(x)D)VF+1(D). CumV2V(x), rezult a c a F+1(D)2V(x).
Deci pentru orice x2F+1(D);F+1(D)2V(x), rezult a c a F+1(D)20.
"(= "Feste superior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a Feste superior semi-
continu a ^ n x0;8x02X.
Fiex02X si eD20cuF(x0)D, rezult a c a x02F+1(D). Din ipotez a avem c a
F+1(D)20. Not amF+1(D) =V, rezult a c a V2V(x0). S a ar at am c a F(V)D.
Fiey2F(V), rezult a c a exist a x2Vastfel ^ nc^ at y2F(x);x2V=F+1(D), rezult a
c aF(x)D. Cumy2F(x), rezult a c a y2D.
Deci pentru orice D20cuF(x0)D, exist aV2V(x) astfel ^ nc^ at F(V)D.
Conform punctului c) din Propozit ia 2.2.2, rezult a c a Feste superior semicontinu a ^ n
x0.
d) " =)" FieD20.F1(D)2xdac a  si numai dac a F1(D) este vecin atate pentru
orice punct al s au.
Fiex02F1(D), rezult a c a F(x0)\D6=;. CumFeste inferior semicontinu a ^ n x0,
din Propozit ia 2.2.3, rezult a c a exist a " >0 astfel ^ nc^ at pentru orice x2S(x0;") s a
avemF(x)\D6=;, rezult a c a S(x0;")F1(D), adic aF1(D)2V(x0).
"(= "Feste inferior semicontinu a pe Xdac a  si numai dac a Feste inferior semicon-
tinu a ^ nx0, oricare ar  x02X.
Fiex02X si eD20cuD\F(x)6=;, rezult a c a x02F1(D). Din ipotez a, avem
c aF1(D)20, rezult aF1(D)2V(x0). Deci pentru orice D20cuD\F(x0)6=;,
avemF1(D)2V(x0). Conform punctului b), rezult a c a Feste inferior semicontinu a
^ nx0.
e) " =)" Presupunem c a Feste superior semicontinu a pe Rp. FieBRq, o mult ime
^ nchis a. Fie D=cB, rezult aD20. Conform punctului c),F+1(D)20,
F+1(D) =F+1(cB) =cF1(B)20, rezult aF1(B) este ^ nchis a.
"(= " Fie orice D20, rezult acDeste ^ nchis a. Din ipotez a rezult a F1(cD)
este ^ nchis a, dar F1(cD) =cF+1(D) este ^ nchis a, rezult a c a F+1(D)20. Deci
F+1(D)20, pentru orice D20. Conform punctului c), rezult a c a Feste superior
semicontinu a pe X.
f) " =)" Presupunem c a Feste inferior semicontinu a pe X. FieBRq, o mult ime
^ nchis a, rezult a cB20. Conform punctului d), rezult a c a F1(cB)20. Dar
F1(cB) =cF+1(B)20, rezult aF+1(B) este ^ nchis a.
"(= " FieD20, rezult acDeste ^ nchis a. Din ipotez a, F+1(cD) este ^ nchis a. Dar
F+1(cD) =cF1(D), de unde rezult a c a F1(D)20. DeciF1(D)20, pentru
oriceD20. Conform punctului d), rezult a c a Feste inferior semicontinu a pe X.

Propozit ia 2.2.7. Fie;6=XRp;F:Rp!P 0(Rq)o multifunct ie superior semicon-
tinu a peX. Atunci pentru orice D20;F1(D)2B(X)(unde familia p art ilor boreliene
ale luiX,B(X)def=A(X) =T
C=algebr a
XCC, este- algebra generat a de X).
Demonstrat ie.
Fie oriceD20, rezult aD=1S
n=1Bn, undeBneste ^ nchis a pentru orice n2N.

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 24
F1(D) =F11S
n=1Bn
=1S
n=1F1(Bn).
CumBneste ^ nchis a  si Feste superior semicontinu a pe X, conform punctului e) al
Propozit iei 2.2.6, rezult a c a F1(Bn)2B(X);8n2N)1S
i=1F1(Bn)2B(X), deci
F1(D)2B(X).

Propozit ia 2.2.8. Fie;6=XRp;;6=YRq;F:X!P 0(Y);G:Y!P 0(Rm),F
este superior semicontinu a pe X(respectiv inferior semicontinu a pe X)  siGeste superior
semicontinu a pe Y(respectiv inferior semicontinu a pe Y). Atunci multifunct ia compus a GF
este superior semicontinu a pe X(respectiv inferior semicontinu a pe Y).
Demonstrat ie.
Fiex02X siD20astfel ^ nc^ at
GF

(x0)D.
FieE=
y2YG(y)D
. CumGeste superior semicontinu a, rezult a E20. Deci
F(x0)E siE20. CumFeste superior semicontinu a, rezult a c a exist a V2V(x0) astfel
^ nc^ atF(V)E, rezult aG
F(V)

D. Deci pentru orice D20, cu
GF

(x0)D,
exist aV2V(x0) astfel ^ nc^ at
GF

(V)D, rezult a
GF

(x0) este superior semicontinu a
^ nx0.

Propozit ia 2.2.9. Fie;6=XRp;F:X!Pi(Rq)o multifunct ie. Dac a Feste
superior semicontinu a ^ n x02X, atunci pentru orice " >0, exist aV2V(x0)astfel ^ nc^ at
pentru orice x2V; e
F(x);F(x0)

<". Dac aF(x0)este compact a, atunci  si reciproca este
adev arat a.
Demonstrat ie.
Fie">0  siU=T
F(x0);"

. AtunciU2V
F(x0)

. CumFeste superior semicontinu a
^ nx0, rezult a c a exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2V,F(x)T
F(x0);"

,
rezult a c a pentru orice y2F(x);d
y;F(x0)

", rezult a c a sup
y2F(x)d
y;F(x0)

", rezult a
c ae
F(x);F(x0)

". Deci pentru orice " >0, exist aV2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice
x2V; e
F(x);F(x0)

".
Pentru a demonstra reciproca, presupunem c a F(x0) este compact a  si orice ">0 exist a
V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2V; e
F(x);F(x0)

". FieU2V
F(x0)

. Cum
F(x0) este compact a, rezult a c a exist a " >0 astfel ^ nc^ at T
F(x0);"

U. Pentru acest ",
din ipotez a, rezult a c a exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2V; e
F(x);F(x0)

<"
dac a  si numai dac a sup
y2F(x)d
y;F(x0)

<", rezult a c a pentru orice y2F(x); d
y;F(x0)

<",
ceea ce implic a faptul c a y2T
F(x0);"

, de unde rezult a c a F(x)T
F(x0);"

U.
Deci pentru orice U2V
F(x0)

, exist aV2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2V,
F(x)U, rezult a c a Feste superior semicontinu a ^ n x0.

Propozit ia 2.2.10. Fie;6=XRp;F:X!Pi(Rq)o multifunct ie  si x02X. Dac a
pentru orice " > 0exist aV2V(x0)astfel ^ nc^ at pentru orice x2V;e
F(x);F(x0)

< ",
atunciFeste inferior semicontinu a ^ n x0. Dac aF(x0)este compact a, atunci  si reciproca
este adevarat a.
Demonstrat ie.
Fiey02F(x0)  siU2V(y0), rezult a c a exist a ">0 astfel ^ nc^ at S(y0;")U. Din ipotez a,
rezult a c a exist a V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2Vs a aveme
F(x0);F(x)

<", dac a
 si numai dac a sup
y2F(x)d
y;F(x)

<".
Cumy02F(x), rezult a c a d
y0;F(x)

<"dac a  si numai dac a inf
u2F(x)d(y0;u)<", rezult a

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 25
c a exist ay2F(x) astfel ^ nc^ at d(y0;y)<".
Prin urmare, exist a y2F(x) astfel ^ nc^ at y2S(y0;")U, rezult a c a F(x)\V6=;.
Deci pentru orice y02F(x0)  si oriceU2V(y0), exist aV2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru
oricex2V,F(x)\U6=;, rezult aFeste inferior semicontinu a ^ n x0.
Pentru reciproc a, presupunem c a F(x0) este compact a  si Feste inferior semicontinu a
^ nx0. Fie" >0, atunciF(x0) =S
y2F(x0)fygS
y2F(x0)S(y;"). CumF(x0) este compact a
rezult a c a exist a y1;y2;:::;yn2F(x0) astfel ^ nc^ at F(x0)nS
i=1S(yi;"), darFeste inferior
semicontinu a ^ n x0 siyi2F(x0);S(yi;")2V(yi), rezult a c a exist a Vi2V(x0) astfel ^ nc^ at
pentru orice x2Vi, avemF(x)\S(yi;")6=;;8i2f1;2;:::;ng.
FieV=nT
i=1Vi, rezult a c a V2V(x0). Fiex2V si acum demonstr am c a
e
F(x0);F(x)

<".
Fiey2F(x0)nS
i=1S(yi;"), rezult a c a exist a i02f1;2;:::;ngastfel ^ nc^ at y2S(yi0;"),
rezult a c ad(y;yi0)<". Dac ax2V, rezult a c a x2Vi0, ceea ce implic a faptul c a
F(x)\S(yi0;")6=;. Prin urmare, d
y;F(x)

d
y;yi0

+d
yi0;F(x)

<2". Deci
d
y;F(x)

<2"pentru orice y2F(x0), rezult a c a sup
y2F(x0)d
y;F(x)

2", unde
sup
y2F(x0)d
y;F(x)

=e
F(x0);F(x)

.
^In concluzie, pentru orice " >0;9V2V(x0) astfel ^ nc^ at pentru orice x2V, s a avem
e
F(x0);F(x)

2".

Corolarul 2.2.11. Fie;6=XRp;F:X!Pk(Rq)o multifunct ie. Atunci Feste
continu a pe Xdac a  si numai dac a Feste continu a pe Xca o funct ie de la spat iul metric
(X;d)la spat iul metric
Pk(X);h

.
Denit ia 2.2.12. Fie;6=DR;F:D!P 0(Rq) o multifunct ie cu valori nevide.
Spunem c a Feste"superior semicontinu a ^ nx02D, dac a pentru orice ">0, exist a
>0 astfel ^ nc^ at
F
D\S(x0;)

F(x0) +S(0;"):
Observat ia 2.2.13. ^In Denit ia 2.2.12, lu am mult imile deschise Vcare includ F(x0)
numai de forma F(x0) +S(0;"). Este clar c a aceast a not iune este mai general a dec^ at cea de
multifunct ie superior semicontinu a.
Propozit ia 2.2.14. Dac aFeste superior semicontinu a, atunci Feste  si"superior
semicontinu a.
Observat ia 2.2.15.
1. Exist a multifunct ii "superior semicontinue care nu sunt superior semicontinue. De
exemplu,F:R!P(R2);F(x) =fxg(0;1). Fie">0  si=". Atunci
F
S(0;")

F(0) +S(0;"), deciFeste"superior semicontinu a. ^Ins a, dac a se ia
V=n
(x;y)2R2jyj<1
jxj six6= 0o
, atunciF(x) nu este inclus a ^ n V, deciFnu este
superior semicontinu a.
2. Dac aF(x0) este compact a, cele dou a not iuni coincid.
^Intr-adev ar, ^ n acest caz, pentru orice mult ime deschis a ERqcuF(x0)E, exist a
">0 astfel ^ nc^ at F(x0) +S(0;")E.
Denit ia 2.2.16. Fie;6=DRp siF:D!P (Rq) o multifunct ie cu valori nevide.
Spunem c a Feste"inferior semicontinu a ^ nx02D, dac a pentru orice " >0 exist a
>0 astfel ^ nc^ at F(x0)F(x) +S(0;"), pentru orice x2D\S(x0;).

Capitolul 2. Funct ii cu valori mult imi 26
Observat ia 2.2.17. De aceast a dat a, not iunea de "inferior semicontinu a este mai
restrictiv a dec^ at not iunea inferior semicontinu a.
Propozit ia 2.2.18. Dac aFeste"inferior semicontinu a, atunci Feste inferior
semicontinu a.
Demonstrat ie.
Presupunem c a Feste"inferior semicontinu a ^ n x0 siy02F(x0),
V2V(y0);"> 0 astfel ^ nc^ at S(y0;")V si>0 ca ^ n Denit ia 2.2.16. Dac a
x2S(x0;)\D, atunci exist a y12S(y0;")  si exist ay22F(x) astfel ^ nc^ at y0=y1+y2.
Deciy22F(x)\S(y0;"), rezult aF(D)\V6=;pentrux2S(x0;). 
Observat ia 2.2.19.
1. Cele dou a not iuni coincid c^ and F(x0) este compact a. Pentru aceasta, presupunem c a
Feste inferior semicontinu a ^ n x0, x am">0, acoperim F(x0) cu familia
S
yi;"
2
i2f1;2;:::;ng
;yi2F(x0), consider am iastfel ^ nc^ at F(x)\S
yi;"
2

6=;
pentrux2S(x0;i)  si lu am= min
ii2f1;2;:::;ng
.
2. Exist a multifunct ii inferior semicontinue care nu sunt "inferior semicontinue. De
exemplu, multifunct ia F: [0;1]! P (R2) denit a prin F(x) =
(t;xt)t>0
este
inferior semicontinu a pe [0 ;1], dar nu este "inferior semicontinu a ^ n niciun punct
din [0;1].^Intr-adev ar,  sirul ( xn);xn!x0, e (t0;x0t0)2F(x0)  si e  sirul ( tn),
tn>0;tn!t0. Este clar c a yn= (tn;xntn)2F(x0)  siyn!y0. S a ar at am c a Fnu
este"inferior semicontinu a ^ n x0= 0. Presupunem contrariul  si deducem c a exist a
 >0 astfel ^ nc^ at pentru orice x2[0;1]\S(0;) avemF(0)F(x) +S(0;1). Deci,
pentrun2N, exist atn>0 astfel ^ nc^ at ( ntn)2+x2t2
n<1. Deducem c a  sirul este
m arginit  si ajungem imediat la o contradict ie.

Capitolul 3
Select ii pentru multifunct ii
^In acest capitol, prezent am o serie de rezultate despre existent a unor select ii pentru
multifunct ii, select ii care au unele propriet at i, cum ar  injectivitatea sau continuitatea.
FieX;Y dou a mult imi nevide. Fiind dat a o multifunct ie F:X!P 0(Y), oselect ie a
sa este o funct ie care asociaz a ec arui element x2Xun element F(x)2P 0(Y).
Rezultatele din acest capitol au fost selectate din [1], [2], [5]  si [6].
3.1 Select ii injective
Rezultatul urm ator ofer a un exemplu ( teorema mariajului ) ^ n care se pune problema
existent ei select iilor injective. D^ andu-se X siYdou a mult imi nevide  si F:X!P (Y), o
multifunct ie cu valori nevide  si nite, atunci condit ia:
cardAcardF (A); (3.1.1)
pentru orice mult ime nit a AX, este sucient a pentru existent a select iilor infective.
Ca model consider am urm atoarea problem a a mariajului, numit a a sa de H. Weyl.
Fie:
Xmult imea b arbat ilor nec as atorit i;
Ymult imea femeilor nec as atorite;
F(x) mult imea prietenelor b arbatului x.
Condit ia (3.1.1) spune c a pentru ecare grup de b arbat i, num arul lor nu dep a se ste
num arul femeilor prietene.
De exemplu, nu este posibil ca doi b arbat i s a aib a c^ ate o singur a prieten a  si aceea comun a.
^In aceste condit ii, ecare b arbat se poate c as atori cu una din prietenele sale.
Teorema 3.1.1. (Teorema mariajului )
FieX siYdou a mult imi nevide  si e F:X!P(Y)o multifunct ie cu valori nevide  si nite.
Presupunem cardAcardF (A), pentru orice mult ime nit a AX. AtunciFadmite o
select ie injectiv a.
Demonstrat ie.
Cazul 1. Dac a mult imea Xeste nit a, demonstrat ia se face prin induct ie dup a n=cardX .
Pentrun= 1, se alege un element y2F(x). Presupunem rezultatul adev arat pentru orice
XcucardX <n  si lu am un XcucardX =n. Se disting dou a cazuri:
a)cardA<cardF (A) pentru orice AX;A6=X.^In acest caz, se ia x02X;y 02F(x0)
 si se aplic a presupunerea inductiv a pentru Xnfx0g siYnfy0g. Construct ia select iei
este evident a.
b) M acar pentru un AX;A6=X, avemcardA =cardF (A).^In aceast a situat ie,
cardA < n . Aplic am presupunerea inductiv a  si construim o select ie injectiv a pe A.
Consider am o nou a multifunct ie F1:XnA!P
YnF(A)

care veric a ipoteza din
enunt   si deci se aplic a din nou ipoteza inductiv a.
27

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 28
Cazul 2. Dac a mult imea Xeste innit a, consider am ecare F(x) topologizat cu topologia
discret a, deci F(x) este un spat iu compact separat Hausdor. Lu am produsul cartezian
F=Q
x2XF(x)  si, conform Teoremei lui Tihonov 1.1.40, spat iul Feste compact.
Fiefx1;x2;:::;xngmult ime nit a din X siGacea submult ime din Fpentru care
p(xi)6=p(xj), pentrui6=j;i;j2f1;2;:::;ng. Aici,p(xi) ^ nseamn a componenta din F(xi) a
elementului dinF. Mult imeaGeste ^ nchis a  si nevid a (conform pasului precedent).
Clasa tuturor mult imilor Gare proprietatea intersect iei nite (tot din pasul precedent, pe
baza faptului c a reuniunea nit a a unor mult imi nite este nit a)  si deci intersect ia tuturor
este nevid a. Este clar c a un element din aceast a intersect ie este select ia c autat a. 
Solut ia prezentat a aici a fost dat a de P.Halmos  si H. Vaughan ^ n Amer. J. Math , 1950.
3.2 Select ii minimale
Fie (X;d) un spat iu metric, Yun spat iu Hilbert  si F:X!P 0(Y) o multifunct ie cu
valori nevide, convexe  si ^ nchise. Atunci se consider a select ia minimal a f:X!Y, denit a
prinf(x) =m
F(x)

, undem
F(x)

reprezint a notat ia pentru elementul de norm a minim a
din mult imea convex a  si ^ nchis a F(x).
Teorema 3.2.1. Dac a (X;d)este un spat iu metric, Yeste un spat iu Hilbert  si
F:X!P 0(Y)este o multifunct ie continu a cu valori nevide, convexe  si ^ nchise, atunci
select ia minimal a f:X!Y, denit a prin f(x) =m
F(x)

, este continu a.
Demonstrat ie.
Fiex02X si">0. Vom demonstra mai ^ nt^ ai c a pentru orice ">0 exist a o vecin atate
Ua luix0astfel ^ nc^ at pentru orice x2Us a avem:
jjf(x)jj2jjf(x0)jj2+": (3.2.1)
Pentru aceasta, vom folosi proprietatea multifunct iei Fde a  inferior semicontinu a.
Schimb^ and eventual ", vom demonstra de fapt c a pentru orice ">0, exist a o vecin atate Ua
luix0, astfel ^ nc^ at pentru x2Us a avemjjf(x)jjjjf(x0)jj+".
Pentru a demonstra acest fapt ^ ncepem prin a observa c a pentru ">0, exist ayo2F(x0)
astfel ^ nc^ at y0jjf(x0)jj+".
Aplic am punctul b) al Propozit iei 2.2.3 cu V=S
0;jjf(x0)jj+"

 si deducem c a exist a
U, vecin atate a lui x0, astfel ^ nc^ at pentru orice x2Us a avemF(x)S
0;jjf(x0)jj+"

. De
aici rezult a c a m
F(x)

2S
0;jjf(x0)jj+"

, pentrux2U, ceea ce trebuia demonstrat.
Continu am demonstrat ia, observ^ and c a dac a f(x0) = 0, atunci (3.2.1) implic a faptul c a
feste continu a ^ n x0. Dac ajjf(x0)jj>0, atunci, folosind proprietatea multifunct iei Fde a
superior semicontinu a, deducem c a exist a W, vecin atate a lui x0, astfel ^ nc^ at pentru x2W,
exist ayx2F(x0) astfel ^ nc^ at:
jjf(x)yxjj"
jjf(x0)jj: (3.2.2)
^Intr-adev ar, folosind Propozit ia 2.2.8 cu V=F(x0) +S
0;"
jjf(x0)jj
, deducem existent a
unei vecin at at i Wa luix0astfel ^ nc^ at pentru x2Wavem:
F(x)F(x0) +S
0;"
jjf(x0)jj
;
adic a relat ia (3.2.2).
Din (3.2.1)  si inegalitatea Cauchyhx;yi2jjxjj
jjyjj
, deducem:
hf(x0);f(x)i=hf(x0);yxi+hf(x0);f(x)yxihf(x0);yxi":

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 29
Pe de alt a parte, o caracterizare variat ional a a elementului de cea mai bun a aproximare
pentru o mult ime conex a  si ^ nchis a ^ n Yne d a:
hf(x0);yf(x0)i0;
pentru orice y2F(x0), ceea ce implic a:
hf(x0);f(x)f(x0)i": (3.2.3)
^In sf^ ar sit, deoarece:
jjf(x)jj2=jjf(x0)jj2+jjf(x0)f(x)jj2+ 2hf(x0);f(x)f(x0)i;
din relat iile (3.2.1)  si (3.2.3) avem:
jjf(x0)f(x)jj22"jjf(x0)f(x)jj2+ 2hf(x0);f(x)f(x0)i"
 si deci
jjf(x0)f(x)jj2<3":

Vom aplica acum Teorema 3.2.1^ n stabilirea unui rezultat privind problema parametriz arii
unei multifunct ii.
Denit ia 3.2.2. FieX;Y mult imi nevide. Spunem c a multifunct ia F:X!P 0(Y) este
parametrizat a dac a se pot pune ^ n evident  a o mult ime U6=; si o funct ie f:XU!Y
astfel ^ nc^ at F(x) =f(x;U);8x2X. S a observ am c a dac a Fare o parametrizare continu a,
atunci x^ and u02U, obt inem c a funct ia x!f(x;u0) este o select ie continu a a lui F.
A sadar, problema parametriz arii este mai dicil a dec^ at cea a existent ei select iilor continue.
Corolarul 3.2.3. Fie(X;d)un spat iu metric  si F:X!P 0(Rq)o multifunct ie continu a
cu valori nevide, convexe  si compacte. Atunci exist a o funct ie continu a f:XB!Rq
astfel ^ nc^ at pentru orice x2XavemF(x) =f(x;B), undeBeste sfera unitate ^ nchis a de
centru 0 si raz a 1dinX.
Demonstrat ie.
Not amp(x) =max
1;inf
y2F(x)jjyjj
 si denimf:XB!Rqprin
f(x;u) = 
F(x);p(x)u

, unde 
F(x);p(x)u

reprezint a proiect ia elementului p(x)upe
mult imea convex a  si compact a F(x).
Este u sor de v azut c a F(x) =f(x;B), pentrux2X. Mai r am^ ane de ar atat c a funct ia f
denit a mai sus este continu a.
Pentru aceasta se utilizeaz a Teorema 3.2.1 pentru a deduce c a funct ia peste continu a  si
apoi Propozit ia 2.2.8.

3.3 Select ii continue
Pentru ^ nceput, vom prezenta unele not iuni  si unele rezultate ce vor  folosite ^ n acest
paragraf. ^In continuare, vom considera ( X;d) un spat iu metric.
Denit ia 3.3.1.
1. O familieA=fAigi2I, de submult imi ale lui X, se nume ste acoperire pentruXdac a
X=S
i2IAi.

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 30
2. O subacoperire a acopeririiAeste o subfamilie A0a luiAcare este de asemenea
acoperire pentru X.
3. FieA;Bacoperiri ale lui X. Spunem c aAraneaz aBsau c aAeste o ranare a lui
B, dac a pentru ecare A2Aexist aB2Bastfel ^ nc^ at AB.
4.Ase nume ste acoperire deschis a pentruXdac aAeste format a din mult imi deschise.
Denit ia 3.3.2. O familieAde submult imi ale lui Xse nume ste local nit a dac a
pentru ecare x2X, exist a o vecin atate a lui xcare intersecteaz a (are intersect ie nevid a cu)
cel mult un num ar nit de mult imi din A.
Teorema 3.3.3. Dac a (X;d)este un spat iu metric, atunci orice acoperire deschis a a lui
Xare o ranare local nit a.
Teorema 3.3.4. FieU=
Uii2I
o acoperire deschis a a unui spat iu topologic (X;d),
cu proprietatea c a exist a o ranare deschis a local nit a a sa. Atunci exist a o ranare deschis a
local nit a a lui U,V=
Vii2I
a luiX, astfel ^ nc^ at ViUi, pentru orice i2I.
Teorema 3.3.5. Fie(X;d)un spat iu metric  si U=
Uii2I
o acoperire deschis a a lui
X. Atunci exist a o acoperire deschis a V=
Vii2I
a luiX, astfel ^ nc^ at ViUi, pentru
oricei2I.
Teorema 3.3.6. Fie(X;d)un spat iu metric  si U=
Uii2I
o acoperire deschis a a lui
X. Atunci exist a o ranare deschis a local nit a V=
Vii2I
a luiXcu proprietatea c a
ViUi, pentru orice i2I.
Denit ia 3.3.7. Fie (X;d) un spat iu metric. O funct ie f:X!Rqse nume ste local
lipschitzian a dac a pentru orice x2Xexist aV2V(x) astfel ^ nc^ at fs a e lipschitzian a pe
V.
Observat ia 3.3.8. Orice funct ie f:X!Rqlocal lipschitzian a este continu a pe X.
Denit ia 3.3.9. Fie (X;d) un spat iu metric. Pentru o funct ie f:X!Rvom nota prin
suppf =
x2Xf(x)6= 0
mult imea numit a suportul funct iei .
Teorema 3.3.10. (partit ia continu a a unit at ii) Fie(X;d)un spat iu metric  si
A=
Aii2I
o acoperire local nit a a lui X. Atunci exist a o familie
pii2I
de funct ii
pi:X![0;1]care are urm atoarele propriet at i:
a)pisunt local lipschitziene, oricare ar  i2I;
b)supppiAi, oricare ar  i2I;
c)P
i2Ipi(x) = 1 , oricare ar  x2X.
Observat ia 3.3.11. Suma de la punctul c) al Teoremei 3.3.10 are sens deoarece pentru
ecarex, numai un num ar nit de pi(x) sunt nenuli, av^ and ^ n vedere b)  si faptul c aAeste
local nit a.
Denit ia 3.3.12. Familia de funct ii
pii2I
dat a de Teorema 3.3.10 se nume ste
partit ie local lipschitzian a a unit at ii subordonat a acoperirii A.
Teorema 3.3.13. (partit ia continu a a unit at ii ^ n spat ii compacte) Fie(X;d)un
spat iu metric compact  si e A=
Dii2f1;2;:::;ng
o acoperire deschis a a sa. Atunci
exist a funct iile continue pi:X![0;1]cu urm atoarele propriet at i:
a)supppiDi, oricare ar  i2f1;2;:::;ng;
b)nP
i=1pi(x) = 1 , oricare ar  x2X.

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 31
Denit ia 3.3.14. Fiind dat a acoperirea deschis a A=
Dii2f1;2;:::;ng
a spat iului
metric compact ( X;d), familia de funct ii continue
pii2f1;2;:::;ng
;pi:X![0;1], care
veric a propriet at ile a)  sib) din Teorema 3.3.13, se nume ste partit ie a unit at ii subordo-
nat a acoperirii A.
Vom prezenta ^ n continuare clase de multifunct ii care admit select ii continue.
Observat ia 3.3.15. Exist a multifunct ii continue care nu au select ie continu a. De exem-
plu:
1. Multifunct ia F:R!P 0(R), cu valori convexe  si compacte, denit a prin
F(x) =8
><
>:f1g;dac ax<0
[1;1];dac ax= 0
f1g;dac ax>0
este superior semicontinu a pe R, dar nu admite select ii continue.
2. Multifunct ia F: (1;1)!P 0(R2) denit a prin
F(x) =8
><
>:
(y1;y2)y1= cos;y2=xsin;1
x1
x+ 2jxj
;dac ax2(1;1)nf0g

(y1;y2)1y11;y2= 0
;dac ax= 0
este continu a pe ( 1;1), dar nu admite select ii continue.
^In continuare, vom considera X siYspat ii metrice.
Denit ia 3.3.16. O multifunct ie strict a F:X!P 0(Y) se nume ste local select ionabil a
^ nx02X, dac a pentru y02F(x0) exist a o vecin atate deschis a Ua luix0 si o funct ie continu a
f:U!Yastfel ^ nc^ at f(x0) =y0 sif(x)2F(x) pentrux2U.
Propozit ia 3.3.17. Dac a multifunct ia Feste local select ionabil a, atunci ea este inferior
semicontinu a ^ n x0.
Demonstrat ie.
Fiey02F(x0)  siVo vecin atate deschis a a lui y0. Trebuie s a ar at am c a exist a o vecin atate
Wa luix0astfel ^ nc^ at pentru x2Ws a avemF(x)\V6=;.
Fief:U!Yo select ie local continu a cu f(x0) =y0 si eWUo vecin atate deschis a a
luix0astfel ^ nc^ at f(x)2Vpentrux2W. Avem, deci f(x)2F(x)\Vpentru orice x2W.

Propozit ia 3.3.18. FieF:X!P 0(Y)o multifunct ie cu valori nevide  si convexe.
Presupunem c a Feste local select ionabil a ^ n orice punct x02X. AtunciFare o select ie
continu a.
Demonstrat ie.
Fiec aruix2X^ i asociem un element y2F(x)  si o select ie continu a (local) f:Ux!Y,
Uxind o vecin atate deschis a a lui x. FamiliafUxjx2Xgeste o acoperire deschis a a lui
X. Fie
Vii2I
o ranare deschis a local nit a a sa. Pentru ecare i2I, exist ax(i)2X
astfel ^ nc^ at ViUx(i).
Fie
pii2I
o partit ie a unit at ii subordonat a familiei
Vii2I
 si denim
f(u) =P
i2Ipi(u)fx(i)(u).
Dac aisatisface condit ia pi(u)>0, atunciu2ViUx(i) si decifx(i)(u)2F(u). Cum
F(u) este convex a, deducem c a f(u)2F(u), pentru orice u2X.


Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 32
Lema 3.3.19. FieF:X!P 0(Y)o multifunct ie inferior semicontinu a cu valori nevide,
convexe  si ^ nchise. Atunci pentru orice r > 0exist af:X!Ycontinu a astfel ^ nc^ at
d
f(x);F(x)

<r, pentru orice x2X.
Demonstrat ie.
Pentru ecare y2Y, eUy=
x2Xd
y;F(x)

<r
. Mult imile Uysunt deschise
pentru c aUy=
x2XF(x)\S(y;r)6=;
, iarFeste inferior semicontinu a. Familia
U=
Uyy2Y
este o acoperire deschis a a lui X. FieV=
Vii2I
o ranare deschis a
local nit a a sa  si
pii2I
o partit ie a unit at ii subordonat a ei. Deci pentru ecare i2I
exist ay(i) astfel ^ nc^ at ViUy(i). Denimf(x) =P
i2Ipi(x)y(i). Este clar c a feste continu a.
^In plus, dac a pi(x)>0, atuncix2ViUy(i) si decid
y(i);F(x)

< r. De aici, folosind
convexitatea lui F(x), deducem u sor c a d
f(x);F(x)

<r.

D am acum rezultatul central din teoria select iilor continue  si anume, Teorema lui
Michael (1956).
Teorema 3.3.20. (Teorema lui Michael ) Fie (X;d)un spat iu metric, (Y;jj
jj)un
spat iu Banach si F:X!P 0(Y)o multifunct ie inferior semicontinu a cu valori nevide,
convexe  si ^ nchise. Atunci Fare select ie continu a.
Demonstrat ie.
Se construie ste un  sir de funct ii continue fi:X!Yastfel ^ nc^ at pentru x2Xs a avem:
a)jjfk(x)fk1(x)jj<2k+2;k2;
b)d
fk(x);F(x)

<2k;k1.
Dac a se realizeaz a acest lucru, atunci a) implic a faptul c a  sirul de funct ii ( fn) este uniform
Cauchy  si deci este convergent la o funct ie continu a f:X!Y. Apoi, din b) rezult a imediat
c af(x)2F(x), oricare ar  x2X.
Existent a lui f1satisf ac^ and b) rezult a imediat din Lema 3.3.19. Se presupune c a am
construitf1;f2;:::;fn. Se construie ste fn+1care s a satisfac a a)  sib), denind multifunct ia
Fn+1:X!P 0(Y) prinFn+1(x) =
y2F(x)jjyfn(x)jj<2n
. Din ipoteza inductiv a
rezult a c aFn+16=;pentru orice x2X. Se arat a c a Fn+1este inferior semicontinu a. Pentru
aceasta, e Vdeschis a ^ n X si eU=
x2XFn+1(x)\V6=;
.
Se arat a c a Ueste deschis a. Fie x02U. Se ia<2n si
Q=
y2Yjjyfn(x0)jj<
, care este evident nevid a. Fie:
U1=
x2XF(x)\V\Q6=;
 si
U2=
x2Xjjfn(x)fn(x0)jj<2n
:
Mult imeaU1este deschis a pentru c a Feste inferior semicontinu a. Mult imea U2este
deschis a pentru c a fneste continu a. Este u sor de vericat c a x02U1\U2U, deci
multifunct ia Fn+1este inferior semicontinu a.
Se aplic a Lema 3.3.19 multifunct iei Fn+1 si determin am fn+1:X!Ycu
d
fn+1(x);Fn+1(x)

<2n1, pentru orice x2X.
Se obt ine:
jjfn+1(x)fn(x)jj<2n1+ 2n2n+1;
care d aa)  si
d
fn+1(x);F(x))d(fn+1(x);Fn+1(x)

<2n1;
care d ab). 

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 33
Corolarul 3.3.21. Fie multifunct ia F:X!P 0(Y)ca ^ n Teorema lui Michael 3.3.20,
AXo mult ime ^ nchis a  si nevid a  si f:A!Yo funct ie continu a cu f(x)2F(x)pentru
x2A. Atunci multifunct ia G:X!P 0(Y)denit a prin
G(x) =(
f(x)
;dac ax2A
F(x);dac ax62A
este o multifunct ie inferior semicontinu a. ^In plus,fse poate prelungi la tot spat iul cu
p astrarea continuit at ii.
Demonstrat ie.
Vom folosi caracterizarea cu  siruri a semicontinuit at ii inferioare. Fie x02X;y 02G(x0)
 sixn!x0. Dac ax02A, atunciy02f(x0). Pentru acele valori npentru care xn2A,
consider am yn=f(xn), iar pentru celelalte, consider am yn2F(xn) dat de semicontinuitatea
inferioar a pentru f^ nx0.
Este clar c a yn2G(xn)  siyn!y0. Dac ax062A, cumAeste ^ nchis a se poate considera
xn62A, pentru orice n si se iayn2F(xn) =G(xn) cuyn!y0.
Pentru partea a doua, se ia F(x) =Ypentru orice x2X, se construie ste ca mai sus  si
apoi se aplic a Teorema lui Michael 3.3.20.

Corolarul 3.3.22. Fie multifunct ia F:X!P (Y)ca ^ n Teorema lui Michael 3.3.20.
FieAXo mult ime nevid a, ^ nchis a  si e ':A!Ycontinu a cu '(x)2F(x)pentru orice
x2A. Atunci'poate  extins a la o select ie continu a a lui Fpe ^ ntreg spat iul.
^In particular, dac a se xeaz a x0 siy0astfel ^ nc^ at y02F(x0), atunci exist a o select ie
continu afa luiF, cuf(x0) =y0.
Demonstrat ie.
Se consider a multifunct ia:
G(x) =(
F(x);dac ax62A
'(x)
;dac ax2A:
Se aplic a Teorema 3.3.6  si se obt ine c a Geste inferior semicontinu a conform Corolarului
3.3.21.

Dup a cum am v azut, exist a multifunct ii superior semicontinue cu valori compacte  si
convexe care nu au select ii continue.
Pentru multifunct ii superior semicontinue se pot obt ine rezultate de existent  a a select iilor
aproximative.
Teorema 3.3.23. Fie(X;d)un spat iu metric, (Y;jj
jj)un spat iu Banach  si
F:X!P 0(Y)o multifunct ie inferior semicontinu a cu valori nevide  si convexe. Atunci,
pentru">0, exist af":X!Y, local lipschitzian a cu propriet at ile:
a)f"(X)convF (X);
b)Graf (f")Graf (F) +S(0;").
Demonstrat ie.
Este sucient s a presupunem c a multifunct ia Feste"superior semicontinu a, din
Denit ia 2.2.12.
Prin urmare, pentru ecare x2Xexist a(x)>0 astfel ^ nc^ at
F
S(x;(x))

F(x) +S(0;"
2). Putem ^ nlocui (x) cu(x)<"
2.
FamiliaS=n
S
x;(x)
4x2Xo
este o acoperire deschis a a spat iului X. Fie

Capitolul 3. Select ii pentru multifunct ii 34
U=
Uii2I
o ranare local nit a a sa  si
pii2I
o partit ie local lipschitzian a a unit at ii
subordonate ei. Pentru ecare i2I, lu amzi2F(Ui)  si apoi denim f"(x) =P
i2Ipi(x)zi.
S a ar at am c a f"^ ndepline ste condit iile cerute.
Este clar c a f"este bine denit a, local lipschitzian a  si ia valori ^ n convF (X).
DeoareceUeste o ranare a lui S, pentru ecare i2I, exist axi2Xastfel ^ nc^ at
UiS
x;(xi)
4
.
Fiex2X si eI(x) acei indici ipentru care pi>0. Deducem c a x2Ui si deci
x2S
x;(xi)
4
pentrui2I(x). Fie(xj) = max
(xi)i2I(x)
.
S a observ am c a d(xi;xj)d(xi;x) +d(xj;x)(xi)
4+(xj)
4(xj)
2, pentrui2I(x).
Prin urmare, UiS
xj;(xj)

 si decizi2F
S(xj;(xj))

F(xj) +S
0;"
2

.
Av^ and ^ n vedere c a mult imea F(xj) +S
0;"
2

este convex a, rezult a c a
f"(x)2F(xj) +S
0;"
2

. Prin urmare, exist a yj2F(xj) astfel ^ nc^ atjjf"(x)yjjj"
2.
Obt inem astfel q
(x;f"(x));(xj;yj)

d(x;xj) +d
f"(x);yj

", adic a
x;f"(x)

2Graf (F) +S(0;").

Corolarul 3.3.24. Fie(X;d)un spat iu metric  si e funct iile '; :X!R,'este
superior semicontinu a  si este inferior semicontinu a cu '(x) (x), pentru orice x2X.
Atunci exist a o funct ie continu a fastfel ^ nc^ at '(x)f(x) (x), pentru orice x2X.
Demonstrat ie.
Se aplic a Teorema lui Michael 3.3.20 multifunct iei F(x) =
'(x); (x)
.


Bibliograe
[1] Aubin J.P., Frankowska H., Set-Valued Analysis , Birkhauser Boston, 1990.
[2] C^ arj a O., Unele metode de analiz a funct ional a neliniar a , Editura Matrix Rom, Bucure sti,
2003.
[3] Florescu L.C., Analiz a Matematic a , Editura Universit at ii "Alexandru Ioan Cuza", Ia si,
1999.
[4] Gavrilut  A., Calcul diferent ial pentru funct ii de mai multe variabile. Note de curs ,
http://www.math.uaic.ro/ gavrilut/index.php?id=teaching.
[5] Hu. S., Papageorgiou N.S., Handbook of Multivalued Analysis, Vol. I. Theory , Kluwer
Acad. Publ., 1997.
[6] Petru sel A., Mot  G., Multivalued Analysis and Mathematical Economics , House of the
Book of Science Cluj-Napoca, 2004.
[7] Precupanu A., Bazele Analizei Matematice , Editura Canova, Ia si, 1995.
[8] Rusu D., Analiz a funct ional a , Editura Performantica, Ia si, 2005.
35