Lucrare de disertat ie [605853]

Universitatea"Alexandru Ioan Cuza", Ias i
Facultatea de Matematic a
CLASE IMPORTANTE DE
EXTINDERI ALGEBRICE
Lucrare de disertat ie
Conduc ator  stiint ic:
Prof. Dr. Violeta FoteaCandidat: [anonimizat] as. Botezatu) Elena

Cuprins
1 Not iuni preliminarii 3
2 Clase de extinderi 5
2.1 Extinderi nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Extinderi algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Extinderi separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Extinderi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Grupul Galois al unei extinderi Galois 16
Bibliograe 22
1

Introducere
Evariste Galois (1811-1832) a fost un matematician francez, care a adus contribut ii importante
in domeniul algebrei. Acesta a fundamentat not iunea de grup ^ n matematic a, care are o important  a
major a^ n teoria general a a ecuat iilor algebrice. Ideile lui Galois au determinat aparit ia unor not iuni
noi, cum ar , cea de corp. ^In 1830 a creat celebra teorie a grupurilor numite ulterior grupuri Ga-
lois.
Aceast a lucrare analizeaz a diverse clase de extinderi pun^ and ^ n evident  a propriet at ile aces-
tora, exemple, teoreme de caracterizare  si conexiuni ^ ntre aceste clase. ^In primul capitol sunt
reamintite not iuni  si rezultate de baz a necesare abord arii capitolelor urm atoare. ^In cel de-al doilea
capitol sunt examinate pe r^ and diverse tipuri de extinderi: nite, algebrice, separabile  si nor-
male. La ecare clas a de extindere ^ nt^ alnim at^ at aspecte teoretice, c^ at  si exercit ii rezolvate care
faciliteaz a ^ nt elegerea p art ii teoretice. ^In ultimul capitol ^ nt^ alnim not iuni despre grupul Galois  si
extinderi Galois. Dat a o extindere Galois KL, este pus a ^ n evident  a conexiunea Galois: exist a o
corespondent  a bijectiv a ^ ntre laticea subcorpurilor unui corp L, ce cont inK si laticea subgrupurilor
grupuiui Galois Gal(K;L). De asemenea, exist a o corespondent  a bijectiv a ^ ntre laticea extinderilor
normale ale lui K, incluse ^ n L si laticea divizorilor normali ai lui Gal(K;L).
^In nal vreau s a mult umesc ^ ndrum atorului  stiint ic domanei Prof. Dr. Violeta Fotea pentru
sprijinul  si ^ ndrumarea acordat a ^ n elaborarea acestei lucr ari.
2

Capitolul 1
Not iuni preliminarii
Corpuri
FieKeste o mult ime cu cel put in dou a elemente, iar +  si
dou a operat ii pe K. Tripletul
(K;+;
) se nume ste corp dac a satisface axiomele:
1. (K;+) este grup abelian .
2. (Kn0;
) este grup .
3.^Inmult irea este distributiv a fat  a de adunare, 8x;y;z2K:
x
(y+z) =x
y+x
z
(y+z)
x=y
x+z
x.
Tripletul (K;+;
) se nume ste corp comutativ dac a ^ nmult irea este comutativ a.
Cele mai frecvente exemple de corpuri sunt corpul numerelor rat ionale, corpul numerelor reale,
corpul numerelor complexe, corpul Zp, undepeste un num ar prim.
O submult ime Fa unui corp Kse nume ste subcorp al luiK, dac a si numai dac a satisface
urm atoarele condit ii:
1.8x;y2F)xy2F
2.8x;y2F)x
y2F
3.8x2F;x6= 0)x12F
Dac aFeste subcorp al lui K, atunci not am FK.
Exemple:
1. FieKun corp. Atunci KK.
2.QR.
3.Q(p
2) =fa+bp
2j8a;b2Qg
QQ(p
2)R.
Fie corpurile ( K1;+;
)  si (K2;+;
). O funct ie f:K1!K2se nume ste morsm de corpuri
dac a pentru orice element x;y2K1avem:
3

Capitolul 1. Not iuni preliminarii 4
f(x+y) =f(x) +f(y)
f(x
y) =f(x)
f(y)
Un morsm bijectiv de corpuri se nume ste izomorsm . Unautomorsm este un morsm de
la un corp la el ^ nsu si.
Observat ie 1.0.1. Fief:K1!K2un morsm de corpuri. Atunci pentru 8k2Z six2K1
avem:
f(kx) =kf(x)
f(xk) = (f(x))k
Teorema 1.0.1. Orice morsm de corpuri este injectiv.
Caracteristica unui corp
Caracteristica unui corp este cel mai mic num ar natural nenul p, dac a exist a, astfel ^ nc^ at p
1 = 0.
^In acest caz not am carK =p. Dac a un astfel de num ar nu exist a, atunci carK = 0.
FieKcorp comutativ. Atunci avem:
carK =(
p;dac ap
1 = 0;pminim
0;^ n rest
Teorema 1.0.2. FieKcorp comutativ  si pcaracteristica sa. Au loc urmatoarele armat ii:
1.pprim
2.n
1 = 0 ^ nK)pjn
Demonstrat ie. 1. Presupumen c a pnu este prim, deci p=rq)
p
1 = (r
1)(q
1)
Darp
1 = 0)
)r
1 = 0 sauq
1 = 0;fals!
Deci,peste prim.
2. Fier6= 0  sir<p;n =pq+r)
n
1 =pq
1 +r
1
Darn
1 = 0  sipq
1 = 0)
)r
1 = 0;fals!
Prin urmare, pjn.
Teorema 1.0.3. FieKun corp. Atunci avem:
1.carK = 0)QK;p^ an a la izomorsm.
2.carK =p)ZpK;p^ an a la izomorsm.

Capitolul 2
Clase de extinderi
FieKun corp comutativ  si Fun subcorp al s au. Corpul Kse nume ste extindere a lui F si
se noteaz aFK.
Dac a avem extinderea FK, atunciFKeste spat iu liniar.
Dimensiunea spat iului liniar FKse nume ste gradul extinderii  si se noteaz a [ K:F].
2.1 Extinderi nite
Denit ie 2.1.1. FieKun corp comutativ  si Fun subcorp al s au. Extinderea FKse nume ste
nit a dac a [K:F]<1:
Exemple:
1.RC siQRatunci QCextinderi.
2. [C:R] = 2 deoarecef1;igeste o baz a ^ n RC, deciRCeste extindere nit a.
[R:Q] =c(cardinalul continuului), deci QReste extindere innit a.
3.QQ(p
2)
[Q:Q(p
2)] = 2 deoarece f1;p
2geste o baz a ^ n QQ(p
2), deci QQ(p
2) este extindere
nit a.
Teorema 2.1.1. FieLKE, undeL;K;E sunt corpuri comutative astfel ^ nc^ at
[K:L] =n<1 si[E:K] =m<1. Atunci [E:L]<1, mai exact
[E:L] = [E:K]
[K:L] =m
n
Demonstrat ie. Fiefeigi2Ibaz a ^ nKE siffjgj2Jbaz a ^ nLK.
Ar at am c a B=feifjg(i;j)este baz a ^ n LE:
Liniara independent  a :
X
i;jaijeifj= 0;aij2L;8i;j)X
i(X
jaijfj)ei= 0
feigibaz a ^ nKE9
>=
>;)X
jaijfj= 0;8i
X
jaijfj= 0;8i
ffjgjbaz a ^ nLK9
>=
>;)aij= 0;8i;j:
5

Capitolul 2. Clase de extinderi 6
DeciBeste liniar independent a ^ n LK.
Sistem de generatori:
Avemfeigisistem de generatori ^ n KE)8a2E;91;2;:::;m2Kastfel ^ nc^ at
a=mX
i=1iei:
Avemffjgisistem de generatori ^ n LK)8i2K;9ij2Lastfel ^ nc^ at
i=nX
j=1ijfj:
Rezult a c a: a=Pm
i=1Pn
j=1ijfjei:
DeciBeste sistem de generatiri ^ n LE.
A sadarBeste baz a ^ n LE sijBj=m
n)[E:L] = [K:L]
[E:K]:
Consecint e:
1. Dac a [L:K] = 1 atunci L=K.
2. Dac aLKE;[E:L] = [K:L], atunciE=K.
3. Dac a [L:K] =p, p prim, atunci nu exist a corpuri intermediare ^ ntre L siK.
Exercit iu 2.1.1. S a se determine forma elementelor corpului Q(p
2;3p
3;p
7):
Rezolvare 2.1.1. Avem Q(p
2;3p
3;p
7)(Q(p
2))(3p
3)Q(p
2)Q.
O baz a ^ n QQ(p
2)estef1;p
2g=B1:
O baz a ^ nQ(p
2)Q(p
2;3p
3)estef1;3p
3;3p
9g=B2.
O baz a ^ nQ(p
2;3p
3)Q(p
2;3p
3;p
7)estef1;p
7g=B3.
Atunci o baz a ^ n QQ(p
2;3p
3;p
7)esteB=B1B2B3 si de aici rezult a c a orice element al corpului
Q(p
2;3p
3;p
7)este o combinat ie liniar a din elementele lui B.

Capitolul 2. Clase de extinderi 7
2.2 Extinderi algebrice
FieKLextindere de corp comutativ  si a2L.
Denit ie 2.2.1. Spunem c a aeste algebric peste K si not ama alg=K, dac a9f2K[x];f6= 0
astfel ^ nc^ at f(a) = 0 .
Dac aQR, elementele din Rcare sunt algebrice peste Qse numesc numere algebrice ,
celelalte se numesc numere transcedente .
Pentru o extindere oarecare KL,aesteelement transcedent pesteKdac a nu este element
algebric peste K si not ama transc= K.
Exemple:
1.8a2K;a alg= k,aeste r ad acin a pentru xa2K[x]:
2.QR;p
2alg=Q;p
2 este r ad acin a pentru x222Q[x]:
3.RC; i alg= R;ieste r ad acin a pentru x2+ 12R[x].
4.QR; e;2R;e transc= Q; transc= R:
Denit ie 2.2.2. Extinderea KLse nume ste algebric a dac a8a2L; a alg= K.
Exemple:
1.RCeextindere algebric a .
2.QQ(p
2) e extindere algebric a .
3.QReextindere transcedent a .
Denit ie 2.2.3. FieKL,a alg=K,a2L. Se nume ste polinom minimal al lui a, notatma
sau cuIrr(a;K), polinomul cu propriet at ile:
coecientul dominant e 1;
este ireductibil ^ n K[x];
aeste r ad acin a a sa.
Teorema 2.2.1. FieKL;a2L;a alg= K sih2K[x]. Atuncimajh,h(a) = 0 .
Demonstrat ie. ,,)" S tim c amajh si ar at am c a h(a) = 0.
majh)h=ma
g;pentruma
g2K[x])h(x) =ma(x)
g(x)
Pentrux=aavem:h(a) =ma(a)
g(a), darma(a) = 0, de unde rezult a c a h(a) = 0:
,,(" S tim c ah(a) = 0  si ar at am c a majh.
Vom folosi metoda reducerii la absurd, a sa c a vom presupune c a ma-h. Din faptul c a heste
ireductibil rezult a c a:
(ma;h) = 1)9u;v2K[x] astfel ^ nc^ at 1 = ma(x)u(x) +h(x)v(x):
Pentrux=aavem:ma(a)u(a) +h(a)v(a) = 1, darma(a) = 0  sih(a) = 0, de unde rezult a
c a 0 = 1, fals!
Decimajh.

Capitolul 2. Clase de extinderi 8
Observat ie.
K[a] =ff(a)jf2K[x]g- inelul de adjunct ie al lui alaK.
K(a) =ff(a)
g(a)jf;g2K[x];g(a)6= 0g- corpul de adjunct ie al lui alaK; cel mai mic corp, ^ n
raport cu incluziunea, ce cont ine pe K si pea.
Teorema 2.2.2. FieKL,a2L. Atuncia alg=Kdac a  si numai dac a K[a] =K(a):
Demonstrat ie. ,,)" S tim c aa alg=K si ar at am c a K[a] =K(a). DarK[a]K(a), deci r am^ ane
de ar atat c a K(a)K[a].
Cumg(a)6= 0)ma-g(a); maireductibil)(ma;g) = 1)
)9u;v2K[x] astfel ^ nc^ at ma
u+g
v= 1
)ma(a)
u(a) +g(a)
v(a) = 1;darma(a) = 0
)1
g(a)=v(a);v2K[x]:
Decif(a)
g(a)=f(a)
v(a)2K[a];f;v2K[x])K(a)K[a]:
A sadar are loc egalitatea K(a) =K[a].
,,(" S tim c aK[a] =K(a)  si ar at am c a a alg=K.
Fieg2K[x], gradg1  sig(a)6= 0
1
g(a)2K(a) =K[a])9f2K[x] astfel ^ nc^ at1
g(a)=f(a)
)1 =f(a)
g(a))aeste r ad acin a pentru polinomul fg12K[x]:
Dac a presupunem c a fg= 1)g2U(K[x]) =K, contadict ie cu grad g1. Decifg16= 0;
cuar ad acin a.
A sadara alg=K.
Teorema 2.2.3. FieKL;a2L. Dac aa alg=K, atunci [K(a) :K] =dimKK(a) =grad ma.
Demonstrat ie. Fiema=xn+an1xn1+


+a02K[x].
Ar at am c af1;a;:::;an1geste baz a ^ n KK(a):
Liniara independent  a:
Fiek0+k1a+


+kn1an1= 0;ki2K;i=0;n1.
Pentrun= 1, gradma= 1)a2K. Consider n>1.
Deciaeste r ad acin a pentru k0+k1x+


+kn1xn12K[x])ki= 0;8i=0;n1, altfel
aar  r ad acin a a unui polinom nenul din K[x] de gradn1, contradict ie cu grad ma=n
(ma= polinom de grad nimim cu ar ad acin a))f1;a;:::;an1gliniar independent^ n KK(a).
Sistem de generatori:
maa= 0)an=n1an1


1a0
)an+1=n1an


1a20a

Capitolul 2. Clase de extinderi 9
Deci8mn; amse scrie ca o combinat ie liniar a din f1;a;:::;an1g:
a alg=K)K(a) =K[a] =fP(a)jP2K[x]g;P(a) = combinat ie liniar a de elementele
f1;a;:::;an1g:
Decif1;a;:::;an1geste sistem de generatori.
A sadardimKK(a) = gradma.
Observat ie. Dac aa alg=K, atunci extinderea KK(a) este nit a.
Teorema 2.2.4. Orice extindere nit a este algebric a.
Demonstrat ie. FieKLo extindere nit a cu [ L:K] =n)dimKL=n. Fiea2L si
f1;a;:::;angL.
Avemf1;a;:::;angliniar dependent a ^ n KL)9k0;k1;:::;kn2Knu toate nule, astfel ^ nc^ at:
k0+k1a+


+knan= 0)arad acin a a polinomului
k0+k1x+


+knxn2K[x])a alg=K)KLeste extindere algebric a :
Corolarul 2.2.1. Dac aa2L;a alg= K, atunci extinderea KK(a)este algebric a, ind nit a.
Teorema 2.2.5. FieKLextindere nit a, [L:K] =n. Atunci9a1;a2;:::;an2Lastfel ^ nc^ at
L=K(a1;a2;:::;an).
Demonstrat ie. [L:K] =n)KLeste extindere algebric a.
FieB=fa1;a2;:::;angbaz a ^ nKL. Atunci
L=(nX
i=1kiaijki2K;8i=1;n)
K[a1;a2;:::;an] =K(a1;a2;:::;an)L;
pentru c a [L:K]<1 siaialg=K.
Teorema 2.2.6. FieKL sia2L.
1. Dac aa alg=K, atunciK(a)'K[x]
(ma):
2. Dac aa transc= K, atunciK(a)'K(x).
Demonstrat ie. Fie
f:K[x]!K[a]
f(x) =a
f(k) =k;8k2K:
fmorsm de inele: f(P1+P2) = (P1+P2)(a) =P1(a) +P2(a) =f(P1) +f(P2),8P1;P22K[x]
f(P1
P2) = (P1
P2)(a) =P1(a)
P2(a) =f(P1)
f(P2),8P1;P22K[x]
f(1) = 1)fmorsm unitar.
Imf =fPajP2K[x]g=K[a]
Kerf =fP2K[X]jP(a) =f(P) = 0g

Capitolul 2. Clase de extinderi 10
Din Teorema fundamental a de izomorsm rezult aK[x]
Kerf'Imf =K[a]:
1.a alg=K)9P2K[x];P6= 0;P(a) = 0,majP
DeciKerf =fP2K[x] a.^ .majPg= (ma)
Obt inemK[x]
(ma)'K[a] =K(a):
2.a trasc=K)Kerf =fP2K[x]jP(a) = 0g= 0
Obt inemK[x]
0'K[a],K[x]'K(a)!izomorsm de domenii de integritate
)K(x)'K(a) ind corpurile de fract ii ale lui K[x]  siK[a] care sunt izomorfe.
Tranzitivitatea extinderii algebrice
Teorema 2.2.7. FieKLF. AvemF alg=K,F alg=L siL alg=K.
Demonstrat ie. ,,)"KFalg)8a2F;a alg= K)8a2L;a alg= K)KL alg:
KFalg)82F;9P2K[x];P6= 0 astfel ^ nc^ at P() = 0.
DarK[x]L[x], deci82F;9P2L[x];P6= 0 astfel ^ nc^ at P() = 0)LF alg:
,,(" AvemKL alg  siLF alg .
LF alg)8s2F;s alg=L)9Ps2L[x] cu:
Ps(x) =xm+lm1xm1+


+l1x+l0;Ps6= 0;Ps(s) = 0
KK(l0;l1;:::;lm1)L)
)s alg=K(l0;:::;lm1);Ps2K(l0;:::;lm1):
Obt inem [K(s;l0;l1;:::;lm1) :K(l0;l1;:::;lm1)]<1:
li2L
KL alg)
)lialg=K)[K(l0;l1;:::;lm1) :K]<1:
Deci [K(s;l0;l1;:::;lm1) :K]<1) extindereaKK(s;l0;l1;:::;lm1) estealg)
s alg=K;s2F, deciKF alg:
Not iunea de K- izomorsm
FieKL1,KL2.
Denit ie 2.2.4. O funct ief:L1!L2esteK- izomorsm dac a fizomorsm de corpuri  si
8a2K; f (a) =a.
Exemplu:
KL;a2L;a transc= K. AtunciK(a)'K(x) este unK- izomorsm care duce pe a^ nx.
Teorema 2.2.8. FieKL,a;b2L.
1. Pentrua;b alg=K:
Irr(a;K) =Irr(b;K),9f:K(a)!K(b)Kizomorsm, ^ nc^ at f(a) =b:
2. Pentrua;b transc= K9f:K(a)!K(b); Kizomorsm, ^ nc^ at f(a) =b.

Capitolul 2. Clase de extinderi 11
Demonstrat ie. 1. ,,)" Avem:
K(a)'K[x]=(Irr(a;K))'K(b)
P(a) P+ (Irr(a;K))!P(b):
,,(" FieIrr(a;K) =f,Irr(b;K) =g. AvemKizomorsmul:
':K(a)!K(b) cu'(a) =b:
'(f(a)) =f(b))f(b) = 0;de undegjf:
g; fireductibile, deci f=g.
2.a;b transc= K)K(x)'K(a)  siK(x)'K(b)Kizomorsme.
Fie'1:K(x)!K(a)  si'2:K(x)!K(b). Atunci9':K(a)!K(b);'='2'1
1:
Avem:'(a) ='2('1
1(a)) ='2(x) =b:
Exemple:
1. Urm atoarea funct ie este un Qizomorsm:
f:Q(p
2)!Q(p
2) =Q(p
2)
a+bp
2 abp
2:
2. Similar, fdenit mai jos este un Rizomorsm:
f:C!C
z z:
3. Urm atoarea funct ie este un alt exemplu de Qizomorsm:
f:Q(3p
3)!Q("3p
3), cu"r ad acin a pentru x2+x+ 1
a+b3p
3 +c3p
9 a+"b3p
3 +"2c3p
9:
Observ am c a3p
3;"3p
3;"23p
3 sunt r ad acini pentru x332Q[x].
Exercit iu 2.2.1. Fieao r ad acin a pentru f=x3x+ 12Q[x].
1. Determinat i b1^ nQ(a), undeb= 12a+ 3a22Q(a).
2. Determinat i mc2Q[x]; c= 1 +a2a2.
3. Ar atat i c a Q(a) =Q(c).
Rezolvare 2.2.1. 1. Polinomul feste ireductibil, altfel ar avea un factor de grad 1 cu coe-
cientul ^ n Q, fals!.
Decima=f, de unde rezult a c a QQ(a)are bazaf1;a;a2g.
Avemf(a) = 0 , de undea(1a2) = 1 . Deci obt inem a1= 1a2.
Fieb1=x+ya+za2;x;y;z2Q.^Inmult im cu b si obt inem:
(12a+ 3a2)(x+ya+za2) = 1)(x3y+ 2z) + (2x+ 4y5z)a+ (3x2y+ 4z)a2= 1
Din indenticaea coecient ilor, obt inem:
x=6
11;y=7
11;z=8
11:
Decib1=6
117
11a8
11a2:

Capitolul 2. Clase de extinderi 12
2. Determin am mcastfel:
(
1 +a2a2=cja
a3a+ 1 = 0j2)(
a+a22a3=ac
2a32a+ 2 = 0
(
a2a+ 2 =acj2
1 +a2a2=c)(
2a22a+ 4 = 2ac
1 +a2a2=c
Obt inem 1a+ 4 = 2ac+c, de undea=5c
2c+1(c6=1
2).
Dac ac=1
2obt inem1
2= 5, fals!.
Dinf=ma, rezult a c a (5c
2c+1)35c
2c+1+ 1 = 0 . Decimc=x3+x28x+ 11 .
3. Din faptul c a a=5c
2c+12Q(c)rezult a c a Q(a)Q(c).
Dinc= 1 +a2a22Q(a), obt inem Q(c)Q(a).
DeciQ(a) =Q(c).
Exercit iu 2.2.2. Fiex3x+ 12Q[x] siar ad acin a a sa. Determinat i:
1.3a2+2
a2+4^ nQ(a)
2.Irr(1;Q);unde= 2a+a2.
Rezolvare 2.2.2. 1. Polinomul f=x3x+ 1este ireductibil ^ n Q[x](gradf= 3, decifnu
are r ad acini ^ n Q).
O baz a ^ n Q(a)estef1;a;a2g
3a2+2
a2+42Q(a))9x;y;z2Qa.^ .3a2+2
a2+4=x+ya+za2.
)3a2+ 2 = 4x+ 4ya+ 4za2+xa2+ya3+za4
Folosima3a+ 1 = 0  si obt inem:
3a2+ 2 = (4xy) + (4y+yz)a+ (4z+x+z)a2
Din identicarea coecient ilor avem:
x=53
101;y=10
101;z=50
101:
Deci3a2+2
a2+4=53
101+10
101a+50
101a2.
2. Fie1=x+ya+za2cux;y;z2Q.^Inmult im cu  si obt inem:
1 = (2a+a2)(x+ay+a2z)
Din identicarea coecient ilor obt inem:
1=7
11+1
11a2
11a2:
Scriema^ n funct ie de 1.
(
7 +a2a2= 111ja
a3a+ 1 = 0j2)(
7a+a22a3= 111a
2a32a+ 2 = 0

Capitolul 2. Clase de extinderi 13
(
5a+a2+ 2 = 111aj2
7 +a2a2= 111)(
10a+ 2a2+ 4 = 221a
7 +a2a2= 111
Prin sumare, rezult a: 11(1+ 2a1) = 11a+ 11 , de undea(121) =11:
Pentru16=1
2; a=11
121 si ^ nlocuim ^ n a3a+ 1 = 0 .
Obt inem urm atoarea egalitate:
11
1213
+11
121+ 1 = 0
Deci, gradIrr1= 3.
2.3 Extinderi separabile
FieKL sia2L.
Denit ie 2.3.1. Spunem c a aesteseparabil pesteK si not am:a sep=K, dac aa alg=K siIrr a
nu are r ad acini multiple.
Denit ie 2.3.2. Spunem c a ar ad acin a multipl a pentru fde multiplicitate t, dac a (xa)tjf si
(xa)t+1-f.
Teorema 2.3.1. Dac a avem car K = 0, atuncia sep=K,a alg=K:
Lema 2.3.1. f2K[x]are r ad acini multimple ,(f;f0)6= 1.
Demonstrat ie 2.3.1. ;;)00Fief= (xa)tg,t2. Deriv^ and obt inem:
f0=t(xa)t1g+ (xa)tg:
Calcul am ^ n a si obt inem: f(a) =f0(a) = 0 .
Deci (xa)j(f;f0).
;;(00Exist aaastfel ^ nc^ at (xa)j(f;f0):Rezult a c af(a) =f0(a) = 0 .
Obt inem (xa)jg, deci (xa)2jf.
Observat ie 2.3.1. Dac afireductibil ^ n K[x],car K = 0, atuncifnu are r ad acini multimple.
Demonstrat ie. Presupunem c a fare r ad acini multiple, atunci obt inem: ( f;f0)6= 1.
Cumfireductibil, rezult a c a fjf0. Avemgrad f0< grad f , a sadarf0= 0. Darf=
anxn+an1xn1+:::ceea ce implic a nan= 0, daran6= 0, obt inem o contradict ie cu
car K = 0.
Deci,fnu are r ad acini multiple. A sadar, a sep=K:
Teorema 2.3.2. FieKun corp, cu car K =p si ef2K[x],fireductibil (nu neap arat Irr a ).
Atuncifare r ad acini multiple dac a  si numai dac a exist a g2K[x];cuf=g(xp).
Demonstrat ie. ,,)" Dac afare r ad acini multiple, rezult a f0= 0.
f=anxn+


+a2x2+a1x+a0
f0=nanxn1+


+ 2a2x+a1x

Capitolul 2. Clase de extinderi 14
Cumf0= 0, rezult a c a iai= 0;8i=1;n si folosind ipoteza car K =pobt inemai= 0;dac a
p-i.
Atuncif=aptxpt+


+apxp+a0:
Fieg=aptxt+


+apx+a02K[x]. Rezult a c a f=g(xp):
,,(" Dinf=g(xp) obt inem: f=aptxpt+


+apxp+a0, ceea ce revine la f0= 0, de unde
(f;f0) =f6= 1. Prin urmare, fare r ad acini multiple.
Denit ie 2.3.3. Corpul comutativ Kse nume ste corp perfect dac a orice element a2Leste
separabil peste K.
Teorema 2.3.3. FieKun corp comutativ, de car K =p. CorpulKeste perfect dac a  si numai
dac aKp=K.
Demonstrat ie. ,,)" Fie:K!K,x xp,morsm, rezult a KpK.
Presupunem Kp6=K, deci exist a a2K,a6=bp,8b2K:
A sadar polinomul xpanu are r ad acini ^ n K.
Dac aeste o r ad acin a pentru xpa, atunci:
a=p)xpa= (x)p si =2K:
AtunciIrr = (x)t;cu 2tp.
Deci,p alg=K, dar nu este sep=K, de unde rezult a Knu este perfect, fals.
^In concluzie, Kp=K.
,,(" Presupunem c a exist a a alg=K,anu estesep=K. Rezult a c a Irr a are r ad acini multiple.
Din teorema anterioar a, avem:
Irr a =xnp+


+a1xp+a0 siKP=Kceea ce implic a ai=bp
i:
A sadarIrra = (bnxn+


+b1x+b0)p, undebn= 1  sixn+


+b1x+b02K[x], contradict ie
cu ireductibilitatea lui Irr a .
Deci,Keste perfect.
Corolarul 2.3.1. Orice corp nit este perfect.
Demonstrat ie. Fie:K!K;x xp,morsm de corpuri.
este injectiv, ind morsm nenul de corpuri  si cum Kcorp nit, rezult a surjectiv. A sadar
Kp=K. Deci,Kperfect.
Exemplul 2.3.1. Zp(x)corp care nu este perfect.
Fief=ypx2Zp(x)[y],fireductibil. Veric am criteriul lui Eisenstein, cu x2Zp(x)prim.
Dac aeste o r ad acin a a polinomului, atunci
p=x)ypx=ypp= (y)p;
care are r ad acini multiple.
Deci alg= Zp(x) sinu estesep=Zp(x). Rezult a c a Zp(x)nu este corp perfect.
Propozit ia 2.3.0.1. FieKun corp, de car K =p,a2K, astfel ^ nc^ at xpanu are r ad acini
multiple ^ n K. Atuncixpaireductibil ^ n K[x].

Capitolul 2. Clase de extinderi 15
Demonstrat ie. Dac aeste r ad acin a pentru f=xpa, =2K, atuncif= (x)p, de unde
Irr  = (x)s;sp:
Presupunem c a s < p  si cumpeste prim, obt inem ( s;p) = 1, deci exist a u;v2Z, ^ nc^ at
1 =us+pv. Obt inem = (s)u(p)v si cums,p2K, rezult a2K, contradict ie.
Decis=p, adic af=Irr  .
2.4 Extinderi normale
Denit ie 2.4.1. FieKL. Spunem c a Leste o extindere normal a a luiKdac aL alg=K si
oricare ar  f2K[x],fireductibil cu f() = 0;2L, atunciCf;KL:
Exemple:
1.QQ(p
3) =Cx33;Qeste extindere normal a (r ad acinile lui x33 suntp
32Q(p
3) ).
2.QQ(3p
2) nu este extindere normal a (3p
2;23p
2=2Q(3p
2), unde2++ 1 = 0).
Teorema 2.4.1. (de caracterizare) Fie KL,Lalgebric peste K. Urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
1.Lnormal a=K;
2.Leste corp de descompunere pentru o familie de polinoame din K[x];
3. Dac aKLK(^ nchiderea algebric a a lui K)  si:K!K, unKizomorsm, atunci
(L)L.
Demonstrat ie. 1)2 Fiefjgj2Jo baz a pentru KL sifj=Irr j,8j2J. Demonstr am c a
L=Cffjjj2Jg.
Not amT=ffjjj2Jg. Din faptul c a Leste normal a rezult a c a CTL.
Invers, ea2L, atuncia=P
j2Jjj,j2K. Dinj2CT, obt inem c a a2CT. Deci
LCT.
2)3 AvemL=CT, undeTreprezint a o familie de polinoame.
Fie:K!KunKizomorsm  si ar at am c a (L)L.
Fieo r ad acin a a unui polinom fdinT, undefeste un polinom ireductibil, f=Pt
i=1aixi:
Obt inem
tX
i=1aii= 0;de undetX
i=1ai()i= 0:
Deci() r ad acin a pentru fde unde()2L.
Rezult a de aici c a (L)L si cumeste injectiv, obt inem (L) =L.
3)1 Fief2K[x],fireductibil, f() = 0, unde 2L.
Ar at am c a Cf;KL:Fieo alt a r ad acin a a lui f. Rezult a c a ; au acela si polinom
minimal. Atunci avem K()'K();1() =, unde1este unKizomorsm.
Prelungim 1la1:K!K si cum1este unKizomorsm, rezult a c a 1(L)L, de
unde1()2L, adic aCf;KL.

Capitolul 3
Grupul Galois al unei extinderi Galois
FieKLo extindere de corpuri.
Denit ie 3.0.1. Extinderea KLse nume ste Galois dac a este nit a, separabil a  si normal a.
Not am cuG(K;L)grupul Galois asociat extinderii KL.
Notat iaGal(K;L) este folosit a doar pentru o extindere Galois KL.
G(K;L) =f:L!Ljeste unKizomorsmg:
Observat ie 3.0.1. G(K;L)Aut L:
Teorema 3.0.1. FieKL=K()o extindere Galois. Atunci
jGal(K;L)j= [L:K] =grad Irr (;K):
Demonstrat ie. Vom evident ia o biject ie^ ntre mult imea K-izomorsmelor si mult imea r ad acinilor
luiIrr(;K).
Fieu2Gal(K;L). Vom ar ata c a u() este r ad acin a pentru Irr(;K):
Fie
Irr(;K) =a0+a1x+


+an1xn1+xn:
)a0+a1+


+an1n1+n= 0:
)a0+a1u() +


+an1(u())n1+ (u())n= 0:
)u() r ad acin a pentru Irr(;K):
Invers, dac a r ad acin a pentru Irr(;K), atunci
u:K()!K() este unKizomorsm, unde
!
k!k:
Ar at am c a u2Gal(K;L).
Extinderea KK() este normal a, deci avem:
2K())K()K():
 siau acela si polinom minimal de unde rezult a c a:
[K() :K] = [K() :K]:
Din cele dou a relat ii de mai sus, obt inem K() =K().
A sadaru2Gal(K;L).
16

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 17
Teorema 3.0.2. FieKLo extindere Galois. Atunci Gal(K;L)Sn, unden= [L:K].
Demonstrat ie. AvemL=K()  si ef=Irr(;K) care arenr ad acini.
Dac au;v2Gal(K;L)  siu6=v, atunciu()6=v(), pentru c a r ad acinile lui fapart in lui
K()  si dac au() =v(), atunciu=v, ceea ce este fals.
Fie
g:Gal(K;L)!Sn
g(u) ==1::: n
u()::: u (n)
:
Din faptul c a u6=v, rezult a c a u()6=v(), de undeg(u)6=g(v). Rezult a c a geste injectiv a.
gmorsm:
g(u1u2) =1:::  n
u1u2()::: u 1u2(n)
g(u1)g(u2) =u2(1)::: u 2(n)
u1(u2(1))::: u 1(u2(n))
1::: n
u2(1)::: u 2(n)
=g(u1u2):
^In concluzie Gal(K;L)Sn.
Teorema 3.0.3. Fien6= 2;n2N. Atunci exist a o extindere Galois KLastfel ^ nc^ at
Gal(K;L)'Sn.
Demonstrat ie. Not amE=K(x1;:::;xn)  siF=K(1;:::;n), unde
1=x1+


+xn;2=X
1i<jnxixj;:::;n=x1
:::
xn:
AtunciFEeste o extindere Galois, pentru c a xir ad acin a pentru:
f=nY
i=1(xxi) =xn1xn1+


+ (1)nn:
f2F[x],fireductibil cu r ad acinile distincte.
[E:F]<1, pentru c a xi; i=1;nsunt algebrice (r ad acinile lui f).
E=Cf;Fdeci extinderea este normal a  si cum r ad acinile sunt distincte, rezult a c a FE
separabil a.
Rezult a c a FEeste extindere Galois.
Fie2Sn. Consider am: u(xi) =x(i), de undeu(i) =i,8i. Rezult a c a u=F= 1F.
Asocierea!ueste injectiv a. A sadar, obt inem:
jSnjjGal(F;E)jjSnj(din teorema anterioar a).
^In concluzie, Gal(F;E)'Sn.
FieKLo extindere  si consider am G(K;L).
FieKmult imea subcorpurilor lui L, ce includ K  si e Lmult imea subgrupurilor lui G(K;L).
Teorema 3.0.4. (Teorema fundamental a a teoriei lui Galois, partea 1)
Dac a extinderea KLeste Galois, atunci exist a o biject ie ^ ntre K siL.

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 18
Demonstrat ie. Extinderea KLeste Galois deci exist a un element primitiv , adic aL=
K().
Fie
 :L!K
HGal(K;L) LH=fx2Lju(x) =x;8u2Hg:
AvemKLHL:
LHcorp:x;y2LH)u(xy) =xy;u(xy) =xy;u(x1) =x1;x6= 0;8u2H.
Decixy;xy;x12LH. Fie
:L!K
KL1L Gal(L1;L)Gal(K;L):
Observ am c a   si sunt antimonotone.
H1H2)LH1LH2: L 1L2)Gal(L2;L)Gal(L1;L):
Dac aH2L, ar at am c a H= (H),H=Gal(LH;L):
AvemHGal(LH;L)  si demonstr am c a LHLeste extindere Galois.
DinKLextindere nit a  si KLHL, rezult a c a LHLeste extindere nit a. Vom
ar ata c aLnormal a=LH. Fiex2L. Avemx alg=Kde unde9Irr(x;K) =f si cumKL
normal a, rezult a c a Cf;KL. Cumx alg=LH siCf;KLrezult a c aIrr(x;LH)jIrr(x;K),
deciCIrr(x;LH)L.
Dac aL sep=K, atunciL sep=LH.
DeciLHLeste o extindere Galois, rezult a c a exist a 2L, ^ nc^ atL=LH().
Fieh=Q
u2H(xu()). Polinomul hare peca r ad acin a (pentru u= 1L).
Observ am c a:
8v2H;v(h) =h)h2LH[x])Irr(;LH)jh:
Avem
jGal(LH;L)j= [L:LH] =grad Irr (;LH)gradh=jHj:
Obt inem:
jGal(LH;L)jjHj siHGal(LH;L):
Rezult aH=Gal(LH;L).
Pe de alt a parte, L1LGal(L1;L). Ar at am c a [ L:L1] = [L:LGal(L1;L)]:
Din prima parte a demonstrat iei, G(LGal(L1;L);L) =Gal(L1;L).
DinKLextindere Galois, rezult a c a LGal(l1;L)Leste extindere Galois.
L1Leste o extindere Galois.
A sadar obt inem [ L:LGal(L1;L)] = [L:L1], de undeL1=LGal(L1;L):
Deci   si sunt una inversa celeilalte.
Observat ie 3.0.2. FieK,Lcorpuri nite. Extinderea Galois KLeste:
nit a
normal a, pentru c a L=Cxpnx;K.
separabil a, pentru c a Knit, deciKperfect.
Teorema 3.0.5. (Teorema fundamental a a teoriei lui Galois, partea a 2-a)
FieKLo extindere Galois  si HGal(K;L).
HBGal(K;L)dac a  si numai dac a extinderea KLHeste normal a.

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 19
Demonstrat ie. ,,)" Fiex2LH si ex0o r ad acin a arbitrar a a polinomului minimal al lui x(numit
conjugat al lui x).
Atunci exist a u2Gal(K;L), a sa ^ nc^ at u(x) =x0.
Pentru orice v2H, avemuvu1(x0) =uv(x) =u(x) =x0 si cumuHu1=H, obt inem c a
x02LH.
Rezult a c a extinderea KLHeste normal a.
,,(" Presupunem c a extinderea KLHeste normal a  si consider am restrict ia
f:Gal(K;L)!Gal(K;LH):
Aplicat iafexist a, deoarece extinderea KLHeste normal a.
^In plus,feste morsm de grupuri  si este surjectiv a.
^Intr-adev ar, dac a u2Gal(K;LH), atunciuse extinde la un automorsm  ual ^ nchiderii
algebrice a lui K, apoi se extinde la un automorsm ual luiLpesteK, a sa ^ nc^ at restrict ia
sa laLHesteu.
Ker f este un subgrup al llui Gal(K;L) care invariaz a toate elementele lui LH, adic a
Ker f =H.
De aici rezult a c a HCGal(L;K).
Corolarul 3.0.1. Dac aHSn, atunci exist a o extindere Galois TE^ nc^ atGal(T;E)'H.
Exercit iu 3.0.1. Fie extinderea Galois QQ(p
2). Determinat i Gal(Q;Q(p
2)).
Rezolvare 3.0.1. Irr(p
2) =x22are r ad acinilep
2 sip
2.
Fie
u1:Q(p
2)!Q(p
2);u1(p
2) =p
2 si
u2:Q(p
2)!Q(p
2);u2= 1Q(p
2):
Deci,Gal(Q;Q(p
2)) =fu1;u2g'Z2:
Exercit iu 3.0.2. Determinat i grupurile Galois asociate urm atoarelor extinderi de corpuri:
1.QQ(p
2;p
3)
2.QQ("), unde"este r ad acin a pentru F8=x4+ 1.
Rezolvare 3.0.2. 1.Irr(p
2) =x22are r ad acinilep
2 sip
2.
Irr(p
3) =x23are r ad acinilep
3 sip
3.
Fie
u1:(p
2!p
2
p
3!p
3;u2:(p
2!p
2
p
3!p
3;u3:(p
2!p
2
p
3!p
3;u4:(p
2!p
2
p
3!p
3:
DeciGal(Q;Q(p
2;p
3)) =fu1;u2;u3;u4g.

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 20
Not amu2=a,u3=b si obt inem: u4=ab,u2
i= 1;i=1;4.
u2u2:(p
2!p
2!p
2
p
3!p
3!p
3)u2
2=u1;
u3u3:(p
2!p
2!p
2
p
3!p
3!p
3)u2
3=u1;
u4u4:(p
2!p
2!p
2
p
3!p
3!p
3)u2
4=u1:
Rezult aGal(Q;Q(p
2;p
3))'Gr. Klein.
2. R ad acinile lui X4+ 1sunt:";"3;"5;"7.
Obt inem automorsmele:
ui:Q(")!Q(");i=1;4
u1(") =";u2(") ="3;u3(") ="5;u4(") ="7:
DeciGal(Q;Q(")) =fu1;u2;u3;u4g.
Deoarece"4=1, rezult a c a "5=", de unde ("5)5=" si("7)7=".
u2u2:"!"3!"9=")u2
2=u1;
u3u3:"!"5="!"5=")u2
3=u1;
u4u4:"!"7="3!"21=")u2
4=u1:
Rezult aGal(Q;Q("))'Gr. Klein.
Exercit iu 3.0.3. Fief=x322Q[x]. Determinat i Gal(Q;Cf;Q).
Rezolvare 3.0.3. R ad acinile lui fsunt3p
2;"3p
2;"23p
2, unde"este r ad acin a pentru x2+x+ 1.
Cf;Q=Q(";3p
2) si obt inem extinderea QQ(";3p
2):
Fieui2Gal(Q;Q(";3p
2);iaruieste dat de ui(") siui(3p
2).
u1:(
"!"
3p
2!3p
2;u2:(
"!"2
3p
2!3p
2;u3:(
"!"
3p
2!"3p
2;
u4:(
"!"2
3p
2!"3p
2;u5:(
"!"
3p
2!"23p
2;u6:(
"!"2
3p
2!"23p
2:
Avemu2u36=u3u2, pentru c a:
u2u3(3p
2) =u2("3p
2) ="23p
2 siu3u2(3p
2) =u3(3p
2) ="3p
2:
Deci,Cf;Q=Gal(Q;Q(";3p
2))'S3:
Exercit iu 3.0.4. Fief=x322Q[x]. AvemGf;Q=S3. (conform Exercit iului 3.0.3)
1. Determinat i diagrama laticii subgrupurilor lui Gf;Q.
2. Determinat i diagrama laticii subcorpurilor Cf;Q=Q(3p
2;)(=L).

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 21
Rezolvare 3.0.4. 1. Subgrupurile lui Gf;Qsunt ^ n biject ie cu subgrupurile lui S3 si sunt:
H1=f1Lg;
H2=hu1i;u1:(
!2
3p
2!3p
2;u1are ordinul 2;
H3=hu2i;u2:(
!
3p
2!3p
2;H3CS3;H3=f1;u2;u2
2g;u2are ordinul 3;
H4=hu2u1i;u2u1are ordinul 2;
H5=hu2
2u1i;u2
2u1are ordinul 2;
H6=S3:
Obt inem diagrama:
H1=f1g
H2=hu1i H4=hu2u1iH5=hu2
2u1i
H3=hu2i
H6=S3
2. Not amLHicuLi=fx2Lju(x) =x;8u2Hig.
L1=fxju(x) =x;8u2H1= 1g=L=Cf;Q=Q(3p
2;):
L2=fxju1(x) =x;8u12H2g=Q(3p
2):
L3=fxju2(x) =x;8u22H3g=Q():
L4=fxju2u1(x) =x;8u2u12H4g:
u2u1:(3p
2!3p
2
!2u2u1(3p
2) =u2(23p
2) =23p
2 =3p
2:
u2u1(23p
2) =u2(43p
2) =3p
2 =23p
2:
Deci
L4=Q(23p
2):
L5=fxju2
2u1(x) =x;u2u12H5g
:
u2
2u1:(
3p
2!23p
2
!u2
2u1(3p
2) =223p
2 =3p
2:
L5=Q(3p
2):
L6=fxju(x) =x;8u2S3g=Q:

Capitolul 3. Grupul Galois al unei extinderi Galois 22
Laticea subcorpurilor corespunz atoare este:
L1=Q(3p
2;)
L2=Q(3p
2) L4=Q(23p
2)L5=Q(3p
2)
L3=Q()
L6=Q

Bibliograe
[1] V. Leoreanu-Fotea, Teoria lui Galois , Ed. Al. Myller, Ia si si 2016.
[2] M.T arn auceanu, Probleme de algebr a , vol II, Ed. Unive. Al. I. Cuza, Iasi, 2004.
[3] https://ro.wikipedia.org/wiki/.
23