LUCRARE DE DIPLOMĂUNIVERSITATEA DUNĂREA DE JOS DIN GALAȚI [614031]

LUCRARE DE DIPLOMĂUNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS ” DIN GALAȚI
DEPARTAMENTUL DE FORMARE CONTINUĂ ȘI TRANSFER TEHNOLOGIC
PROGRAM DE CONVERSIE PROFESIONALĂ
Specializarea : MATEMATICĂ
Coordonator științific
LECTOR DR. CAMELIA FRIGIOIU
Absolvent: [anonimizat](LIBIDOV)ȘENDREA
GALAȚI
2018

APLICAȚII ALE TEORIEI PROBABILITĂȚILORUNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS” DIN GALAȚI
DEPARTAMENTUL DE FORMARE CONTINUĂ ȘI TRANSFER TEHNOLOGIC
PROGRAM DE CONVERSIE PROFESIONALĂ
Specializarea : MATEMATICĂ
Coordonator științific
LECTOR DR. CAMELIA FRIGIOIU
Absolvent: [anonimizat](LIBIDOV)ȘENDREA
GALAȚI
2018

CAPITOLUL I
EVENIMENTECAPITOLUL III
LEGILE CLASICE DE PROBABILITATE
1.1 Noțiuni general e
INTRODUCERE
1.2 Operatii cu evenimente
CAPITOLUL II PROBABILITĂȚI
2. 1 Probabilitate
2. 2Probabilitate condiționata
2.3 Formula probabilității totale
2.4 Formula probabilității cauzelor (Bayes)
2.5 Inegalitatea lui BooleCUPRINS3.1 Scheme probabilistice clasice de calcul a probabilităților
3.1.1 . Schema lui Poisson
3.1.3 . Schema luiBernoulli cu mai multe stări
3.1.4 Schema hipergeometrică (schema bilei nerevenite )
3.1.5 . Schema bilei nerevenite cu mai multe culori
3.1.6 Schema luiPascal ( binomială cu exponent negativ ).
CAPITOLUL IV APLICAȚII.
MODELE DE AȘTEPTARE
4.1 Elemente de teoria așteptării
4.2 Model de așteptare cu o singură statie de așteptare
4.3 Model de așteptare cu mai multe stații
4.4 Modelul M(∞, 1, 1)
4.5 Modelul M(∞, 1, s)
4.6 Modelul M(m,1,s)
CONCLUZII
BIBILIOGRAFIE

INTRODUCERE
Teoria probabilitătilor aavut caorigine modelul
reprezentat dejocurile denoroc, înspecial în
Franța secolului alXVII-lea,Blaise Pascal (1623 –
1662 )șiPierre Fermat (1601 -1662 )s-austrăduit
săofere unsuport matematic jocurilor denoroc,
cuocazia unei probleme propusă, în1654 ,de
cavalerul deMéré (1607 -1685 ),unpasionat
jucător dezaruri, care susținea căjocurile de
noroc uneori conduc larezultate care contrazic
matematica .
Progrese decisive sunt făcute, apoi, îndeosebi
dePierre Simon Laplace( 1749 -1827 )celcare pe
drept cuvânt trebuie safieconsiderat cafondator
alteoriei moderne aprobabilităților ;printre
lucrările sale amintim „Tratatul analitic al
probabilităților” apărut în1812 .Insa niciuna din
interpretările sale nupoate face abstracție de
definiția matematică .
,,Numim probabilitate aunui eveniment raportul
dintre numărul situațiilor favorabile pentru ca
evenimentul săseproducă șinumărul tuturor
situațiilor egal posibile ”
P(A)=m
n=𝐧𝐫.𝐜𝐚𝐳𝐮𝐫𝐢𝐥𝐨𝐫 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐢𝐥𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐞𝐫𝐢 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐮𝐥𝐮𝐢 𝐀
𝐧𝐫.𝐜𝐚𝐳𝐮𝐫𝐢𝐥𝐨𝐫 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐢𝐥𝐞
Din multitudinea factorilor care intervin în
fenomenele studiate , îivom selecționa pecei
decisivi șivom neglija influența factorilor secundari .
Această metodă este uzuală înstudiul
fenomenelor fizice , mecanice șiînaplicații tehnice .
Epoca noastră cunoaște o dezvoltare considerabilă
a acestei teorii , care este aplicată , întoate
domeniile de activitate (fizică , chimie , biologie ,
tehnică , astronomie , medicină , economie ,
sociologie , istorie , arheologie , psihologie ,
lingvistică ).

CAPITOLUL I EVENIMENTE
Experimentul reprezintă realizarea unui ansamblu
decondiții șiresurse conform unui anumit criteriu
decercetare .Încadrul experimentelor unproces
important este colectarea datelor .
Evenimentul este rezultatul unui experiment .
Probabilitatea unui eveniment este măsura
numerică aposibilității derealizare .
Evenimentul sigur este evenimentul care se
produce înmod obligatoriu într-unexperiment ,îl
notăm culitera E.
Evenimentul imposibil este evenimentul care înmod
obligatoriu nuseproduce încadrul unui experiment .
Notăm evenimentul imposibil cuØ.
Evenimentul aleator (întâmplător) este evenimentul
care seproduce saunu,într-unexperiment, șise
notează îngeneral cuA,B,C,sauA1,A2,…An.
Câmp deevenimente :rezultatele unor experimente
identice produc evenimente diferite ,iartotalitatea
acestor evenimente formează câmp deevenimente
sauspațiu deselecție alexperimentului .
EXEMPLE
1.Extragerea unei bilealbe dintr-ournă care conține
numai bilealbe, este uneveniment sigur .
2.Laaruncarea unui zar,evenimentul care constă în
apariția oricărei fețe dela1la6constituie
evenimentul sigur .apariția unui număr de7puncte la
oprobă aaruncării unui zareste uneveniment
imposibil .
3.Extragerea unei bilenegre dintr-ournă care conține
bilealbe, este uneveniment imposibil .
4.Apariția feței 2laaruncarea unui zar este un
eveniment intâmplător .
Observație !
Evenimentele contrarii sunt incompatibile, întimp ce
evenimentele incompatibile nusunt înmod obligatoriu
contrarii .

Obiectul destudiu alteoriei probabilitaților îl
reprezintă legile care semanifestă îndomeniul
fenomenelor întâmplătoare ceaucaracter demasă .
Prima lege aprobabilități spune că:
-probabilitatea cadouă evenimente săseproducă
concomitent nupoate fimaimare caprobabilitatea
fiecărui eveniment săseproducă singur .
Săpresupunem căavem unpacient cuembolie
pulmonară .Ceeste mai probabil, cavictima unei
embolii pulmonare săprezin tedoar simptomul
pareză, saucăpacientul prezintă înacelași timp și
pareză șidispnee?
Dacă răspundeți că un embol e mult mai puțin
probabil să producă un simptom rar, decât să
producă un simptom rar și unul frecvent, ați greșit.
V-ați grăbit și ați folosit sistemul 1 de gândire
intuitivă.CAPITOLUL II PROBABILITĂȚI
Adoua lege aprobabilităților spune că:
-dacă două evenimente posibile, AșiB,sunt
independente, probabilitatea caAșiBsăseproducă
împreună este egală cu produsul probabilităților
individuale aleluiAșiB.
Deexemplu care ,este probabilitatea caprimii doi
născuți aiunui cuplu săfiebăieți?
Deoarece cele două evenimente sunt independente, iar
probabilitatea deanaște unbăiat este de0,5,răspunsul
este 0,5×0,5=0,25(sau 25%).Probabilitatea 0
înseamnă că evenimentul este imposibil, iar
probabilitatea 1înseamnă căevenimentul esigur .
Atreia lege aprobabilităților spune că:
-dacă uneveniment poate avea mai multe rezultate
diferite șidistincte, A,B,Catunci probabilitatea caAsau
Bsăseproducă este egală cusuma probabilităților
individuale aleluiAșiB.Suma probabilităților tuturor
rezultatelor posibile (A,B,C,)este 1(sau 100%).

Probabilitate condiționată
•FieA,Bevenimente compatibile, senumește
probabilitatea luiAcondiționată deBsau
probabilitatea luiAposteriori producerii luiBșise
notează P(A/B ),raportul P(A∩B)/P(B).
•Înmod analog, sedefinește probabilitatea luiB
condiționata deA:
P (B|A) =(P (A ∩B))/(P(A ))
Dincele doua relații demaisusrezultă :
P(A∩B) = P(A|B) · P(B)
P (B∩A) = P (B|A) · P(A)
Săpresupunem căamurmărit întimp, unlotde10
000defumători șiamconstatat că200dintre aceștia
aucontractat cancer bronhopulmonar .Riscul absolut
deacontracta cancer pulmonar alunui fumător este:
P (𝐵
𝐹)=𝑃(𝐵∩𝐹)
𝑃(𝐹)=200
10000= 0,02=2%
2. Se poate studia riscul nefumătorilor, dacă dintr –
un lot de 20000 de nefumători, au contractat cancer
bronhopulmonar, numai 20 de persoane.
Riscul absolut de a contracta cancer pulmonar al
unui fumător este :
𝑃(𝐵
𝐹)=𝑃(𝐵∩ 𝐹)
𝑃( 𝐹)=20
20000= 0,001 =1%
18%
12%
51%30%

Formula probabilității cauzelor (Bayes)
•Teorema probabilității cauzelor
Probabilitatea producerii oricărui eveniment X,este egală
cusuma probabilităților deproducere aluiX,condiționate
deevenimentele complete alesistemului șicomplet de
evenimente (Ai)i=1,nșicomplet deevenimente .
Px ( A j ) =𝑃𝐴𝑗𝑃𝑗(𝑋)
𝑃𝐴𝑖𝑃𝐴𝑖(𝑋)
Formula Bayes poate fifolosită înstabilirea diagnosticelor
medicale .
•Exemplu
Dinpopulația unui oraș 75%folosesc apă dinsistemul
centralizat, 10%din populație prezintă probleme ale
tractului intestinal, 60%dinceicuprobleme folosesc apă
dinsistemul centralizat .Care este probabilitatea caalegând
laîntâmplare unlocuitor cefolosește apa dinsistemul
centralizat săprezinte probleme aletractului intestinal ?
Dacă Aeste evenimentul caopersoană săprezinte
probleme, Beste evenimentul caopersoană săfolosească
apadinsistemul centralizat, atunci probabilitatea este:
P(A/B)=𝑃(𝐵
𝐴)∙𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)=0,60∙0,10)
0,75=0,80•Întestele depaternitate, aceasta serealizează prin
identificarea alelei obligatorii șideterminarea dacă tatăl
posibil, posedă această alelă .Indicele depaternitate (PI)
reprezintă șansa relativă catatăl prezumtiv sătransmită alela
obligatorie, fațădeunaltindivid neînrudit dinpopulație .
•FieXprobabilitatea valorilor de0,5sau 1pentru fiecare
locus .Testul depaternitate aredoar două posibilități –este
saunueste tatăl biologic –probabilitatea prioritară este 1din
două opțiuni posibile, adică 0,5–indicând că,,prioritatea
neutră ”poate fiprioritatea corectă .Dacă este folosită
valoarea de0,5pentru prioritatea prioritară, formula se
reduce laexpresia matematică care sefolosește pentru
indicele depaternitate combinat (CPI) :probabilitate de
paternitate(P= 0,5)=1
1+(1
𝑃𝑖𝐶𝑃𝐼)
•Teorema luiBayes este folosită înexpertize precum :
identificarea făptuitorului dintr-un număr de persoane
suspecte, identificarea urmelor papilare, identificarea urmelor
provocate deautoturisme, interpretarea probelor ADN, iarîn
cazul unora dintre aceste expertize, prinaplicarea teoriei, se
poate ajunge chiar laoconcluzie decertitudine aidentificării .

CAPITOLUL III LEGILE CLASICE DE PROBABILITATE
Schema luiPoisson
Teorem ă
Dacă evenimentele 𝐴1,𝐴2,𝐴3,…….𝐴𝑛auprobabilități
cunoscute P(𝐴1)=𝑝1,P(𝐴2)=𝑝2,…,P(𝐴𝑛)=𝑝𝑛,
atunci probabilitatea cădincele nevenimente săse
realizeze k(sisănuserealizeze n-k)este data de
coeficientul lui𝑋𝐾dindezvoltarea polinomului .
(𝑝1𝑥+𝑞1)(𝑝2𝑥+𝑞2)…..(𝑝𝑛𝑥+𝑞𝑛),
unde𝑞𝑖=1–𝑝𝑖,i=1,2,…,n.
Schema luiPoisson este folosită înrezolvarea
problemelor încare secere probabilitatea realizării
dekoriaunui eveniment într-oexperiență ceconstă
înefectuarea anprobe independente, atunci când
secunoaște probabilitatea realizării evenimentului
(șiacontrarului său) înfiecare dincele nprobe .
Aplicații
Launsupermarket s-afăcut unsondaj printre clienții
acestuia, punându -li-setrei întrebări lacare să
răspundă prinDAsauNU.S-a constatat că răspunsul DA la prima, a doua
respectiv a treia întrebare a fost de 60%, 80% respectiv
70%. Care este probabilitatea ca un client să dea :
a) trei răspunsuri DA?
b) trei răspunsuri NU?
Suntem în condițiile schemei lui Poisson (presupunând
că răspunsurile sunt independente unul de celălalt) cu 3
urne și cu probabilitățile :
𝑝1= 0,6; 𝑞1= 0,4; 𝑝2= 0,8; 𝑞2= 0,2; 𝑝3= 0,7; 𝑞3= 0,3.
Astfel probabilitatea ca să avem 3 răspunsuri DA
este coeficientul lui 𝑥3din polinomul ( 𝑝1𝑥+ 𝑞1)(𝑝2𝑥+
𝑞2)(𝑝3𝑥+ 𝑞3) adică
𝑝𝑎= 𝑝1𝑝2𝑝3= 0,6 ∙0,8 ∙0,7 = 0,336.
Probabilitatea să avem trei răspunsuri NU este
coeficientul lui
𝑥0(termenul liber)dinpolinomul demaisus,adică
𝑞1𝑞2𝑞3= 0,4 ∙0,2∙0,3 = 0,024.
În acest caz probabilitatea este coeficientul lui 𝑥2din
același polinom, 𝑝1𝑝2𝑞3+𝑝1𝑞2𝑝3+ 𝑞1𝑝2𝑝3= 0,6∙ 0,8∙0,3
+ 0,6∙ 0,2∙0,7 + 0,4∙ 0,8∙0,7 = = 0,452

Schema lui Bernoulli (schema bilei revenite).
Săpresupunem căcele nurne dinschema lui
Poisson auaceeași compoziție .Înacest caz,
𝑝1=𝑝2=…=𝑝𝑛=p
𝑞1=𝑞2=…=𝑞𝑛=q
Aextrage câte obilă dinfiecare urnă este
echivalentă cuautiliza osingură urnă șiareface
compoziția după fiecare extragere, deci seintroduce
bilalalocînurnă, după ces-aconstatat culoarea,
amestecându -sebilele pentru aavea rezultate
independente .Înacest caz, polinomul P(n) devine
P(x) =(px+𝑞)𝑛,iarcoeficientul lui𝑥𝑘,care dă
probabilitatea căutată vafi:
P(n;k)=𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
Schema luiBernoulli (sau schema bilei
revenite) rezolvă problemele încare secere săse
calculeze probabilitatea realizării unui eveniment de
koriîntr-oserie denprobe independente, când se
cunoaște probabilitatea realizării evenimentului într-
osingură probă .Aplica ții
O unitate hotelieră se consideră că este normal
ocupată dacă cel puțin 80% din capacitatea sa este
utilizată. Dintr -un studiu statistic s -a obținut că
probabilitatea ca hotelul să fie normal ocupat într -o
zi este p = 7
8. Vrem să calculăm probabilitatea ca
unitatea hotelieră să fie normal ocupată în cinci zile
din cele șapte zile ale unei săptămâni.
Calculul acestei probabilități se face cu schema lui
Bernoulli cu bila întoarsă, unde n=7, k=5; p= 7
8și
q = 1 -p = 1
8.
Astfel se obține că :
P(7,5)=𝐶75∙75
85∙12
82=3
8∙76
86

Schema hipergeometrică (schema bilei nerevenite)
Seconsideră ournă Ucare conține abilealbe șib
bilenegre .Dinaceastă urnă seextrag nbile, fără
apune bila extrasă înapoi înurnă șisecere
probabilitatea deaavea kbilealbe.
Vom utiliza definiția clasică a probabilității. Atunci,
numărul cazurilor posibile este 𝐶𝑎+𝑏𝑛, iar numărul
cazurilor favorabile este 𝐶𝑎𝑘𝐶𝑏𝑛−𝑘
Deci, probabilitatea cerută este: 𝑃𝑛,𝑘=𝐶𝑎𝑘𝐶𝑏𝑛−𝑘
𝐶𝑎+𝑏𝑛
Se înțelege că numărul k de bile extrase satisface
dubla inegalitate :
max (0,n-b) ≤ k ≤ min (a,n), 0 ≤ n ≤ a+b
Avem un lot de N produse printre care se găsesc D
produse defecte.Se extrag la întâmplare n produse și se cere
probabilitatea ca printre cele n produse să se găsească
d produse defecte .Dacă notăm cu P(N,D; n,d)
probabilitatea cerută, atunci :
P(N,D ;n,d)=,max (0,n+D -N)≤d≤min(n,D).
Aplicații
Într-unlotde50depiese, 10sunt defecte .Seiaula
întâmplare 5piese .Vrem săcalculăm probabilitatea ca
treipiese dincele cinci sănufiedefecte .
Această probabilitate secalculează cuschema lui
Bernoulli cubilaneîntoarsă, unde a+b= 50;a=40,
b=10,n=5șik=3.Avem P(5;3)=𝐶403∙𝐶102
𝐶505=30
252

Teoria așteptării este unadintre cele maiinteresante încadrul fenomenelor deoptimizare șiderentabilizare aleunei firme .
Seconstituie caoramură acercetărilor operaționale, cearecaobiectiv abordarea matematică acozilor sauafirelor deașteptare .
Firele deașteptare șiteoria așteptării și-augasit aplicabilitate îndiverse domenii cum arfitelecomunicațiile, controlul traficului,
anticiparea performanțelor computerelor,serviciile medicale, traficul aerian, vânzarea marfurilor .
Unele caracteristici ceprezintă interes pentru un operator desistem deașteptare sunt următoarele :
Lungimea șirului deașteptare :
-sereferă lanumărul deelemente, care suntînașteptare într-ooarecare locație sauloc
deașteptare, pentru afiprelucrate
Timpul de așteptare :
-este durata de timp dintre sosirea unui element în sistem și până la începerea deservirii
acestuia.
Timpul de sistem :
-acesta este timpul de așteptare plus timpul pentru a fi servit..
Volumul de lucru :
reprezintă timpul necesar pentru a procesa elementele de așteptare și este egal cu suma
dintre timpul rămas deservire a elementului în servire și timpul de servire a tuturor elementelor de așteptare
într-un sistem de lucru de conservare.
Perioada de ocupare :
-reprezintă intervalul de timp care începe cu schimbul serverului către un nou șir, după ce șirul precedent
deservit este liber, și sfârșește când șirul respectiv devine gol. CAPITOLUL IVAPLICAȚII. MODELE DE AȘTEPTARE

Legea lui Little
Legea luiLittle este fundamentală înanaliza sistemelor deașteptare .Aceasta poate fiaplicată oricărui sistem
indiferent detipul proceselor desosire șideservire aclienților (singura condiție impusă acestor procese este
deafistaționare) șiindiferent deregulile deoperare asistemului .Această lege poate fiaplicată rețelelor de
așteptare cuconfigurație arbitrară precum șioricărui subsistem alunei rețele deașteptare .
Fieunsistem pentru care ratadesosire aclienților eλ.Presupunem stabilitatea sistemului :
-Dincând încând ……..
-Consecință :clienții pleacă dinsistem curataλ
Fie:
-n-numărul mediu declienți însistem
-W-timpul mediu pecare unclient îlpetrece însistem =intârzierea medie
-Formula luiLittle :
n = λ⋅W
L = λ⋅W
Lq =λ⋅Wq
Ecuațiile luiLittle sunt aplicabile oricărui model, șirezultă că:
Wq =Lq/ λ , W = Wq +1/ μ

Model de așteptare cu o singură stație de server
Caracteristici numerice alemodelului :
• ρ=λ/(µs)intensitatea detrafic (numarul de
clienți care sosesc întimpul mediu deservire)
•𝑃0=1-λ/(μ )probabilitatea casănuexiste
clienți însistem
•Lq=𝜆2/(µ·(µ -λ))numărul mediu declienți ce
așteaptă larând
•L=Lq+λ/μ numărul mediu declienți însistem
•Wq=Lq/λtimpul mediu deașteptare
• W=Wq+1/µtimpul deașteptare plus timpul
deservice
•Pw =λ/(µ )probabilitatea caunnou venit să
aștepte pentru afiajutat• Într-obibliotecă universitară, labiroul deinformații
sosesc înmedie 10cititori peoră, pentru acere
asistență, sosirile având orepartiție Poisson .Timpii de
service auorepartiție exponențială șiratadeservice este
de12cereri deasistență rezolvate peoră.
•Care este probabilitatea casănuexiste cereri de
asistență însistem?
•P0=1-λ/µ=1-10/12=0,1667
•Care este numărul mediu decereri ceașteaptă săfie
rezolvate?
•Lq=𝜆2/(µ·(µ -λ))=102/(12(12-10))=4.1667
•Care este timpul mediu deașteptare ?
•Wq=Lq/λ=4,1667 /10=0,41667 ore
•Care este timpul mediu pecare uncititor îlpetrece la
biroul deinformații (timpul deașteptare plus timpul de
service)
•W=Wq +1/µ=0,41667 +1/12=0,5ore=30minute
•Care este probabilitatea caunnou venit săaștepte
pentru afiajutat?
•Pw=λ/(µ)=10/(12)=0,83333

Model de așteptare cu mai multe stații
Acest model arekstații, sosirile auorepartiție
Poisson, rata medie asosirilor fiind λ,service -ul
este repartizat exponențial rata medie deservice
fiind μpentru fiecare stați Raportul λ/μ este
măsura densități traficului care indică numărul
minim destații pentru anusepierde clienții .
Exemplu :
La cabinetul unui dentist rata sosirii
pacienților este de2,8pacienți peoră.Doctorul
poate trata înmedie 3pacienți peoră.
Studiind timpul deașteptare s-aconstatat căun
pacient așteaptă înmedie 30deminute înainte de
aficonsultat demedic .
• Care este rata medie a sosirilor și
respectiv rata medie a service -ului în termeni
de pacienți pe minut ?
λ= 2,8 , µ = 3 Wq = 30 minute•Rata medie asosirilor :
λ=2,8/60=0,0466 pacienți peminut
•Rata medie aservice -ului:
µ=3/60=0,05pacienți peminut
• Care este numărul mediu depacienți însala
deașteptare ?
Lq=λ·W=0,0466 ·30=1,4
• Dacă unpacient intră însala deașteptare la
ora10:10,laceorăvapărăsi cabinetul ?
W=Wq+ 1/μ=30+1/0,05=50min
Pacientul vapărăsi sistemul laora11.

•Unbirou detaxe șiimpozite aredouă ghișee delucru
cupublicul .Sosirile auorepartiție Poisson, cuorată
medie de14persoane peoră,timpii deservice auo
repartiție exponențială, rata deservice fiind de10
clienți peoră,pentru fiecare ghișeu .
•Calculați caracteristicile numerice alemodelului :
k = 2
𝜆/µ = 14/10 = 1,4
•Probabilitatea casănuexiste clienți însistem :
𝑃0=1/(1+(𝜆∕𝜇)/1!+((𝜆∕𝜇)²)/2!⋅2μ/(2μ -λ))=
1/(1+1,4+((1,4)²)/2 ⋅20/(20 -14)) = 0,1765
•Numărul mediu declienți dinrând
Lq = ((𝜆∕𝜇)ᵏλμ)/(( k-1)!(κμ-λ)²)· 𝑃0= ((1,4)²∙14 ⋅10)/((20 -14)²)
·0,1765=1,3451•Numărul mediu de clienți în sistem
L= Lq +𝜆/𝜇= 1,3451+14/(10 ) = 2,7451
•Timpul mediu pe care un client îl petrece la
coadă:
Wq =Lq/λ = 1,3451/14 = 0,0961 ore
•Timpul mediu pe care un client îl petrece în
sistem:
W = Wq + 1/ μ = 0,0961 + 1/10 = 0,1961 ore
•Probabilitatea de așteptare este
Pw =1/( 2!)·( 𝜆/µ)² ·( 2 μ/(2μ -λ)) ·𝑃_0 =
((1,4)²)/2 ⋅20/(20 -14)⋅0,1765=0,5765
•Probabilitatea să fie un client în sistem
P1 = ((𝜆/𝜇)¹)/1! 𝑃0=1,4 ·0,1765 = 0,2471
•Probabilitatea să fie cel puțin 2 clienți în
sistem
P(n ≥2) = 1 -P(n≤1) = 1 -0,4236 =0,576

Modelul M(∞, 1, 1)
Acest model folosește unsistem deașteptare cu:
• ∞- oinfinitate deunități însursa (fenomen de
așteptare deschis) ;
• 1-unfirdeașteptare ;
• 1-ostație deservire .
λn -constant, deoarece populația din care provin
sosirile este suficient de mare
µn -constant pentru că există o singură stație de
servire , deci nu depinde de numărul unităților din
sistem.
Rezultă din :
𝑝𝑛=𝜆
𝜇∙𝑝𝑜=𝑝𝑛∙𝑝0
Unde ρ=𝜆/𝜇este factor deserviciu sau intensitatea
traficului
Pentru ρ>1nueste suficientă osingură stație de
deservire (avem oaglomerare ,creștere așirului de
așteptare) .
• Pentru ρ<1seobtine :
po=1-ρ;pn=𝑝𝑛(1-ρ)−
𝑛=𝜌
1−𝜌−numărul mediu deunități dinsistem
−
𝑛𝑓=𝜌2
1−𝜌−numărul mediu deunități dinfir;
−
𝑛𝑠=𝜌−numărul mediu deunități încurs deservire ;
𝜇∙ 𝑛-numărul mediu de unități servite in
unitatea detimp ;
−
𝑡𝑓=1
𝜇∙𝜌
1−𝜌timpul mediu deașteptare alunei unități
desistem ;
𝑡𝑠=1
𝜇∙1
1−𝜌timpul mediu deașteptare alunei unități
desistem ;

Exemplu
•Cuajutorul unor metode statistice s-astabilit că
sosirile lamagazia centrală descule deservită de
unsingur gestionar sunt poissoniene cumedia
λ=30persoane peoră,iartimpul deservire aunei
persoane areorepartiție exponențială cumedia
de90sec.
Săsedetermine :
-probabilitatea caînsistemul deașteptare sănu
existe niciunsolicitant launmoment dat;
-probabilitatea cainsistem săexiste 3solicitanți la
unmoment dat;
-numărul mediu desolicitanți din sistemul de
așteptare,
-numarul mediu desolicitanți care așteaptă (dinfir).-numărul mediu de solicitanți care sunt serviți la
un moment dat
-numărul mediu de solicitanți serviți efectiv într -o
unitate de timp.
-timpul mediu de așteptare a unui solicitant până
să fie servit și timpul mediu de așteptare în întreg
sistemul de așteptare.
Unitatea de timp: 1 oră ;
Λ =30 sosiri/oră;
Μ =3600 /90=40 serviri/oră ;
𝜌=𝜆
𝜇=30
40=0,75 intesitatea timpului
𝑝0=1−𝜌
𝑝0=1−0,75=0,25
𝑝3=𝑝3∙𝑝0
𝑝3=0,753-0,25=0,106

𝑛=0.75
1−0.75=3
𝑛𝑓=0,752
1−0,75=2,25
𝑛𝑓=0,75
𝜇∙𝑛𝑠=40∙0,75=30𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑟𝑖 /𝑜𝑟ă
𝑡𝑓=1
40∙0,75
1−075=0,075𝑜𝑟𝑒=4’30’’
𝑡𝑠=1
40∙0,75
1−0,75=0,1=6′
Observație :
Dacă firuldeașteptare este limitat, adică sistemul
deașteptare arecapacitatea mărginită laNunități
deci,înfiruldeașteptare sepotaflacelmult N–1
unități ,atunci formulele modeluluiM (∞, 1, 1) devin :
𝜌0=1−𝜌
1−𝜌𝑁+1
pt.n≤𝑁
pn= pn∙1−ρ
1−ρN+1
0,pt.n>N
•nu mai este necesară condiția ρ<1;
•unitățile care sosesc în sistem când n>N, pleacă
în altă parte.

•Presupunem S>1,unde S=numărul
funcționarilor cecorespund ghișeelor existente
înbanca “X”.Banca “X”amaiangajat înca 5
funcționari, iaracum are 6funcționari ce
desfașoară activitatea la6ghișee distincte,
putând săservească maimulți clienți simultan .
•Media sosirilor clienților labancă este de4500
clienți pelună, iartimpul mediu deservire a
unui client este de0,02zile.
•Săsedetermine :
-numărul mediu declienți care așteapta săfie
serviți deunfuncționar
-timpul deașteptare larând
•6funcționari (6ghișee)
•𝜆=4500 clienți în20zile=225 clienți pezi
1
𝜇=0,02zile=50clienți pezilaghișeuρ= 𝜆
𝜇=225
50=4,5
𝜌=𝜆
𝑠∙𝜇=225
6∙50=0,75
𝜌𝑜=1
𝑛=𝑜𝑠−1𝜌𝑛
𝑛!+𝜌𝑠
𝑠!∙1
1− 𝜌=1
𝑛=05(`4,5𝑛)
𝑛+(4,56)
6!∙1
1−0,75=1
𝑛=05(4,5𝑛)
𝑛!+46,1303125
=1
63,27578125 +46,1303125=0,009141151
𝑛=054,5𝑛
𝑛!=4,50
0+4,51
1!+4,52
2!+4,53
3!+4,54
4!+4,55
5!=63,27578125
𝑛𝑓=𝜌𝑠
𝑆!∙ 𝜌
(1−𝜌)2∙𝑝𝑜=4,56
6!∙0,75
(1−0,75)2∙0,009141151
=1,2649562226265
𝑛𝑠=𝜌=4,5
Modelul M( ∞, 1, s)

• 𝑛= 𝑛𝑓+ 𝑛𝑠=1,264956226265 +4,5
=5,764956226265
𝑡𝑓=𝑛𝑓
𝜇∙ 𝑛𝑠=1,264956226265
50∙4,5=0,0056220276
𝑡𝑠= 𝑡𝑓+1
𝜇=0,0056220276 +0,02
=00.256220276
Laintrarea înstadion, launmeci defotbal, aufost
amplasate 3case debilete .
Dindatele anterioare seștiecăsosirile sunt poissoniene,
cumedia λ=12spectatori peminut, iartimpul mediu de
servire –distribuție exponențiala negativă -este de10sec.
•Să se determine numărul mediu de spectatori care
așteaptă să intre pe stadion și timpul mediu de
așteptare la coadă .
-factorul de serviciu al tuturor staților•𝜌𝑜=1
5+4
3=0,158
• 𝑛=23
3!+0,667
(1−0,667)2∙0,158=1,27
•𝑡𝑓=1
6∙2∙23
3!∙0,667
(1−0,667)2∙0,158=0,106𝑚𝑖𝑛

Modelul M(m,1,s)
•Într-osecție sunt 9mașini identice șisunt
angajați 4mecanici care intervin numai în
momentul încare omașina sedefectează,
pentru aorepara .Știind căreparația unei
mașini este ovariabilă aleatoare cuparametrul
μ=½mașini peorășicădurata medie de
funcționare aunei mașini fără niciodefecțiune
este de5ore,săsedetermine :
-probabilitatea caînsistemul deașteptare să
segăsească 3mașini, apoi 4mașini .
-numărul mediu demașini defecte ceașteaptă
launmoment datsăfiereparate .
-timpul mediu deașteptare înfirșiînsistem .
-unitatea detimp:ora
m =9 s =4 λ =1
5μ =1
2•𝜌=𝜆
𝜇=2
5
• 𝜌=𝜆
𝑠∙𝜇=2
20=1
10
•𝑝𝑛=𝐶𝑚𝑛∙𝜌𝑛∙𝑝0
•𝑝3=𝐶94∙23
53∙0,047=0,259
•𝑝𝑛=1
𝑛=0𝑠1𝐶𝑚𝑛∙𝜌𝑛+𝑠
𝑠!∙ 𝑛=𝑠𝑚𝑘𝐴𝑚𝑛∙ 𝜌𝑛
•𝑝0=1
𝑛=03𝐶9𝑛∙2𝑛
5𝑛+4𝑛
4!∙ 𝑛=49𝐴9𝑛∙1𝑛
10𝑛=0,47

În practică, mijloacele materiale investite pentru crearea sau perfecționarea unui sistem de așteptare sunt
limitate și obligația principală constă în a le utiliza în mod economic eficient și științific justificat.
Din acest punct de vedere, putem afirma că problema principală de aplicare a teoriei
așteptării constă în stabilirea și justificarea materiale necesare pentru atingerea
unui nivel dat al calității serviri în fenomenele de așteptare cu caracter de masa .
Fluxul de intrare secaracterizează prin numărul de cereri, care intră în
sistem într -o unitate de timp.Cererile pot apărea în mod uniform sau
neuniform.
Cu toată verificarea minuțioasă a utilajului înaintea începerii lucrului,
în procesul de producție pot apărea defecțiuni , deci și cerințe pentru reparații.
În fiecare sistem de așteptare există elemente care efectuează serviciile, numite
stații sau canale de servire. În limbajul teoriei așteptării sistemele pot avea una sau
mai multe stații de servire .Pentru servirea fiecărei unități este necesar un timp oarecare
în cursul căruia stația este ocupată și nu poate servi alte unități. În mod frecvent nu se poate
prevedea durata servirii unei anumite unități , astfel încât durata serviciului este aleatoare.
Pentru aprecierea obiectivă a calității sistemelor de așteptare este important să se aleagă în mod
corect indicatorii de eficiență ai sistemelor . Este necesară deci o analiză riguroasă a elementelor
și caracteristicilor sistemelor de așteptare.CONCLUZII

•1. Bărbosu D., Zelina I., Calculul
probabilităților, Editura CUB PRESS 22, Baia
Mare, 1998
•2. Beganu G. (coordonator), Teoria
probabilităților și statistic matematică,
Culegere de probleme, Editura Meteor Press,
București 2004
•3. Blaga P., Calculul probabilităților și
statistică matematică. Curs șiculegere de
probleme, Universitatea „Babeș -Bolyai ” Cluj –
Napoca, 1994
•4. Căbulea L., Aldea M., Elemente de teoria
probabilităților și statisticămatematică, Editura
Didactica, Alba Iulia, 2004•5. Ciucu G., Elemente de teoria
probabilităților și statistică matematică,Editura
Didactică și Pedagogică, București, 1963
•6. Ciucu G., Craiu V., Introducere în teoria
probabilităților și statisticămatematică, Editura
Didactică și Pedagogică, București,
1971 Signal Processing, Prentice Hall, 2000
•7. Reischer C., Sâmboan G., Teodorescu T.,
Teoria probabilităților,Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1967
•8. Trandafir R., Introducere în teoria
probabilităților, Editura Albatros, 1979BIBILIOGRAFIE

VĂMULȚUMESC