LUCIA DUMITRIU CĂTĂLIN DUMITRIU BAZELE ELECTROENERGETICII BUCURE ȘTI, 2004 I CUPRINS CAP. 1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI 1… [621686]

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” DIN BUCURE ȘTI
FACULTATEA DE ENERGETIC Ǎ

FACULTATEA DE ENERGETICA BUCURESTI

LUCIA DUMITRIU CĂTĂLIN DUMITRIU

BAZELE
ELECTROENERGETICII

BUCURE ȘTI, 2004

I CUPRINS
CAP. 1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A
ELECTROMAGNETISMULUI
1
1.1. MĂRIMI CE CARACTERIZEAZ Ă STĂRILE
ELECTROMAGNETICE ALE CORPURILOR 1
1.1.1. Starea de electrizare 1
1.1.2. Starea de polariza ție 1
1.1.3. Starea de magnetiza ție 2
1.1.4. Starea electrocinetic ă 2
1.2. MĂRIMI CE CARACTERIZEAZ Ă CÂMPUL ELECTROMA GNETIC 3
1.3. CÂMPUL ELECTRIC IMPRIMAT 5
1.4. REGIMURILE DE DESF ĂȘURARE A FENOMENELOR
ELECTRICE ȘI MAGNETICE 5
1.5. CONDUCTOARE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC 6
1.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A
ELECTROMAGNETISMULUI 6
1.6.1. Legea fluxului electric 7
1.6.2. Legea fluxului magnetic 10
1.6.3. Legea induc ției electromagnetice 12
1.6.4. Legea circuitului magnetic 13
1.6.5. Legea conserv ării sarcinii electrice 15
1.6.6. Legea conduc ției electrice (legea lui Ohm) 16
1.6.7. Legea transform ării energiei electromagnetice în procesul
conducției electrice (legea lui Joule) 17
1.6.8. Legea leg ăturii în câmp electric 18
1.6.9. Legea polariza ției temporare 18
1.6.10. Legea leg ăturii în câmp magnetic 19
1.6.11. Legea magnetiza ției temporare 19
1.6.12. Legea electrolizei 21
1.7. ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC 21
1.7.1. Energia câmpului electrostatic 21
1.7.2. Densitatea de volum a energiei câmpului electrostatic 22
1.7.3. Teoremele for țelor generalizate în câmp electric 22
1.8. ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI MAGNETIC 24
1.8.1. Energia câmpului magnetic 24
1.8.2. Densitatea de volum a energiei câmpului magnetic 25
1.8.3. Teoremele for țelor generalizate în câmp magnetic 25
CAP. 2. CIRCUITE ELECTRICE 27
2.1. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE 27
2.1.1. Ipotezele teoriei circuitelor electrice cu parametri concentra ți 27
2.1.2. Elemente de circuit 28

II 2.1.2.1. Rezistorul 29
2.1.2.2. Bobina 30
2.1.2.3. Condensatorul 33
2.1.2.4. Sursa de tensiune 35
2.1.2.5. Sursa de curent 36
2.1.3. Circuite electrice 37
2.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice 37
2.1.3.2. Regimurile de func ționare ale circuitelor electrice 38
2.1.4. Teoremele generale ale teoriei circuitelor elctrice 39
2.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff 39
2.1.4.2. Teorema lui Tellegen 40
2.1.4.3. Teorema conserv ării puterilor 40
2.1.4.4. Teorema surselor ideale cu ac țiune nulă (Vaschy) 41
2.1.5. Metoda simbolic ă de reprezentare în complex a m ărimilor
sinusoidale 41
2.1.6. Ecuațiile lui Kirchhoff în form ă simbolică 42
2.1.7. Legea lui Ohm în complex 43
2.1.8. Regula divizorului de tensiune 44
2.1.9. Regula divizorului de curent 44
2.1.10. Teorema de conservare a puterilor 45
2.1.11. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui
Thévenin) 45
2.1.12. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui
Norton) 46
2.2. CIRCUITE TRIFAZATE 47
2.2.1. Sisteme de m ărimi trifazate 47
2.2.2. Conexiunile circuitelor trifazate 50
2.2.2.1. Conexiunea stea în regim simetric 51
2.2.2.2. Conexiunea triunghi în regim simetric 52
2.2.3. Circuite trifazate cu cuplaje magnetice 53
2.2.3.1. Receptor trifazat în conexiune stea cu cuplaje magnetice 53
2.2.3.2. Receptor trifazat în conexiune triunghi cu cuplaje magnetice 54
2.2.3.3. Linie trifazat ă cu cuplaje magnetice între conductoarele
fazelor 54
2.2.4. Analiza circuitelor trifazate alimentate cu tensiuni simetrice 54
2.2.4.1. Receptor dezechilibrat în conexiune stea 55
2.2.4.2. Receptor echilibrat în conexiune stea 57
2.2.4.3. Receptor dezechilibrat în conexiune triunghi 58
2.2.4.4. Receptor echilibrat în conexiune triunghi 60
2.2.5. Puteri în circuite trifazate 63
2.2.5.1. Puteri în sistemele trifazate func ționând în regim nesimetric 63
2.2.5.2. Puteri în sistemele trifazate func ționând în regim simetric 64
2.2.6. Metoda componentelor simetrice 66
2.2.6.1. Componentele simetrice ale sistemelor de m ărimi trifazate
nesimetrice 66
2.2.6.2. Tratarea cuplajelor magnetice în componente simetrice 67

III 2.2.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni
nesimetrice 68
2.2.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate 69
2.3. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL 73
2.3.1. Generalit ăți 73
2.3.2. Mărimi periodice 73
2.3.3. Caracterizarea m ărimilor periodice nesinusoidale 74
2.3.4. Puteri în regim nesinusoidal 75
CAP. 3. MA ȘINI ȘI ACȚIONĂRI ELECTRICE 77
3.1. TRANSFORMATORUL ELECTRIC 77
3.1.1. Principiul de func ționare 77
3.1.2. Teoria tehnic ă a transformatorului electric luând în considerare
pierderile în fier 78
3.1.3. Bilanțul puterilor transformatorului electric 81
3.1.4. Randamentul transformatorului electric 83
3.2. MOTORUL ASINCRON 84
3.2.1. Principiul de func ționare. Regimurile ma șinii 84
3.2.2. Teoria tehnic ă a mașinii asincrone în regim de motor 86
3.2.3. Bilanțul puterilor și randamentul motorului asincron trifazat 88
3.3. ACȚIONĂRI ELECTRICE 90
3.3.1. Sisteme de ac ționare electric ă 90
3.3.2. Ecuația fundamental ă a sistemelor de ac ționare electric ă 91
3.3.3. Reducerea cuplurilor și a momentelor de iner ție la arborele
motorului 92
3.3.4. Reducerea mi șcărilor de transla ție la mișcări de rotație 94
3.3.5. Caracteristicile mecanice ale ma șinilor de lucru 96
3.3.5.1. Mașini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu viteza liniar ă
sau cu viteza unghiular ă a mecanismului 96
3.3.5.2. Mașini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu unghiul de
rotație al unor organe componente ale ma șinii 98
3.3.5.3. Mașini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu cursa 98
3.3.6. Alegerea motoarelor electrice de ac ționare 99
3.3.6.1. Regimurile de func ționare ale mașinilor de lucru 99
3.3.6.2. Serviciile de func ționare ale motoarelor electrice 99
3.3.6.3. Alegerea tipului motoarelor electrice de ac ționare în func ție
de caracteristicile mecanice ale ma șinilor de lucru 100
3.3.6.4. Alegerea puterii nominale a motoarelor electrice de ac ționare
pe baza condi țiilor de încălzire 102
3.3.6.5. Verific ări netermice la alegerea motoarelor electrice 114
CAP. 4. REGIMURI DE FUNC ȚIONARE A INSTALA ȚIILOR
ELECTROENERGETICE 116

4.1. MODELAREA ELEMENTELOR COPMPONENTE ALE
SISTEMULUI ELECTROENERGETIC 117
4.1.1. Ipoteze de lucru 117
4.1.2. Modelarea generatoarelor 118
4.1.3. Modelarea consumatorilor 119
4.1.4. Modelarea re țelei 120

IV 4.2. REPREZENTAREA PRIN CUADRIPOLI A INSTALA ȚIILOR
ELECTRICE 120
4.3. SCHEMELE ELECTRICE ECHIVALENTE ALE RE ȚELELOR
ELECTRICE. CALCULUL PARAMETRILOR ELECTRICI
ECHIVALEN ȚI 122
4.3.1. Schemele electrice echivalente ale liniilor electrice 122
4.3.2. Schemele electrice echivalente ale transformatoarelor de putere 124
4.4. CALCULUL CIRCULA ȚIILOR DE CUREN ȚI ȘI DE PUTERI ÎN
REȚELELE ELECTRICE 128
4.4.1. Alegerea metodelor de calcul a regimului permanent de func ționare
a SEE 128
4.4.2. Precizări privind efectuarea calculelor 128
4.5. CALCULUL PIERDERILOR DE PUTERE ȘI ENERGIE ÎN
REȚELELE ELECTRICE 129
4.6. MĂSURI PENTRU REDUCEREA PIERDERILOR DE PUTERE ȘI
ENERGIE 131
4.6.1. Măsuri de reducere la nivelul proiect ării 132
4.6.2. Măsuri de reducere care nu necesit ă investiții mari 133
4.6.3. Măsuri de reducere care necesit ă investiții mari 133
4.6.4. Măsuri de reducere în întreprinderi 134
4.6.5. Compensarea local ă a puterii reactive 134
4.6.6. Măsuri de îmbun ătățire a factorului de putere în întreprinderi 136
4.6.7. Funcționarea în paralel a transformatoarelor 137
4.7. CURBE DE SARCIN Ă. INDICATORI AI CURBELOR DE
SARCIN Ă. 139
4.7.1. Indicatorii curbelor de sarcin ă 139
4.7.2. Rețeaua de distribu ție de medie tensiune ideal ă 143
BIBLIOGRAFIE 144

1 CAP.1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI
Stările și fenomenele fizice se caracterizeaz ă cu ajutorul m ărimilor fizice care se clasific ă
în:
• mărimi primitive , care se introduc pe cale experimental ă;
• mărimi derivate , care se definesc cu ajutorul m ărimilor primitive.
Teoria macroscopic ă a fenomenelor electromagnetice utilizeaz ă șase specii de m ărimi
primitive specifice, care caracterizeaz ă complet starea electromagnetic ă a corpurilor și starea
câmpului electromagnetic.
1.1. MĂRIMI CE CARACTERIZEAZ Ă STĂRILE ELECTROMAGNETICE ALE
CORPURILOR
1.1.1. Starea de electrizare (de încărcare electrică):
– pentru un corp mic – este caracterizat ă global de sarcina electric ă (q) – mărime
primitivă scalară, dotată cu semn. Unitatea de m ăsură în SI se nume ște coulomb [C].
– pentru un corp mare, caracterizarea st ării de încărcare electrică se face local (într-un
punct), cu ajutorul unor m ărimi derivate, numite densități de sarcin ă electrică:
• densitatea lineic ă: lql
ll0d
lim
→=r ; (1.1.1)
• densitatea de suprafa ță: Aqs
As0d
lim
→=r ; (1.1.2)
• densitatea de volum : VqV
VV0d
lim
→=r . (1.1.3)
Corpurile încărcate cu sarcini electrice î și asociază un sistem fizic numit câmp electric ,
prin care se transmit între corpuri for țe și cupluri electrice.
După modul cum transmit starea de electrizare se disting dou ă clase de materiale de
importanță esențială în industria electrotehnic ă:
• materiale electroconductoare – din care categorie fac parte: metalele și aliajele lor,
cărbunele, anumite solu ții de săruri, baze, acizi. Dintre aceste materiale deosebit de
importante pentru industria electrotehnic ă sunt Cu și Al, din care se realizeaz ă
conductoarele liniilor electrice aeriene și în cablu și înfășurările mașinilor și
transformatoarelor electrice. Materialele electroconductoare prezint ă proprietatea c ă la
trecerea curentului electric, în ele se dezvolt ă pierderi de putere prin efect Joule,
proporționale cu pătratul intensității curentului.
• materiale electroizolante , numite și materiale dielectrice , din care fac parte: lemnul,
sticla, mătasea, porțelanul, hârtia, uleiul, lacurile, aerul uscat, bachelita, cauciucul,
policlorura de vinil etc. În materialele dielectrice folosite în industria electrotehnic ă se
dezvoltă pierderi de putere propor ționale cu pătratul tensiunii și cu o mărime de
material numit ă tangenta unghiului de pierderi.
1.1.2. Starea de polariza ție:
– pentru un corp mic – este caracterizat ă global de momentul electric (p) – mărime
primitivă vectorială având unitatea de m ăsura coulomb metru [Cm].

2 – pentru un corp de dimensiuni mari, starea de polariza ție se caracterizeaz ă local cu
ajutorul densit ății de volum a momentului electric, m ărime derivată vectorială, numită
polarizație (P).
Metalele sunt practic nepolarizabile electric.
În cazul dielectricilor, starea de polariza ție apare numai în prezen ța câmpului electric și
dispare când acesta se anuleaz ă. O astfel de polariza ție se numește temporară și este
caracterizată de momentul electric temporar tp.
Unele materiale precum cristalele de cuar ț, sarea Seignette și turmalina, au o stare de
polarizație independent ă de câmpul electric, numit ă polarizație permanentă și caracterizată de
momentul electric permanent pp.
Cele două tipuri de polariza ție nu se exclud, astfel încât atât momentul electric cât și
polarizația satisfac rela țiile:
p tp pp+= , (1.1.4)
p tP PP += . (1.1.5)
1.1.3. Starea de magnetiza ție a unui corp mic se caracterizeaz ă global cu ajutorul m ărimii
primitive vectoriale numit ă moment magnetic (m), care se măsoară în amper metru p ătrat
[Am2]. Caracterizarea st ării de magnetizare a unui corp mare se face local, cu ajutorul
densității de volum a momentului magnetic, m ărime derivată numită magnetiza ție (M).
Unele corpuri ajung în stare de magnetiza ție numai în prezen ța câmpului magnetic, starea
numindu-se magnetiza ție temporară.
Altor corpuri le este proprie starea de magnetiza ție, independent de prezen ța câmpului
magnetic. Aceast ă stare se nume ște magnetizație permanentă.
Momentul magnetic și magnetizația satisfac rela țiile:
p tm mm += , (1.1.6)
p tM M M += . (1.1.7)
1.1.4. Starea electrocinetic ă a conductoarelor se caracterizeaz ă cu ajutorul m ărimii
primitive scalare numit ă intensitate a curentului electric de conduc ție (i), având ca unitate de
măsură amperul [A]. Aceasta se refer ă la o anumit ă secțiune a conductorului. Pentru
caracterizarea local ă a stării electrocinetice se introduce m ărimea derivată numita densitate a
curentului de conduc ție (J), relația dintre cele dou ă mărimi fiind:
∫=
SSAnJ i d. (1.1.8)
Unitățile de măsură SI ale acestor m ărimi sunt date în Tabelul 1.1.
Tabelul 1.1.
Mărime primitivă Simbol Unitate Mărime derivată Simbol Unitate
Densitate lineic ă ρl C/m
Sarcina electric ă q C Densitate superficial ă ρs C/m2
Densitate volumetric ă ρv C/m3
Momentul electric p Cm Polarizația P C/m2
Momentul magnetic m Am2 Magnetizația M A/m
Intensitatea curentului
electric de conduc ție
i
A Densitatea curentului
electric de conduc ție
J
A/m2

3 1.2. MĂRIMI CE CARACTERIZEAZ Ă CÂMPUL ELECTROMAGNETIC
Starea câmpului electromagnetic este caracterizat ă macroscopic prin urm ătoarele specii de
mărimi:
• intensitatea câmpului electric ( E), având unitatea de m ăsura volt pe metru {V/m];
• inducția electrica ( D), cu unitatea de m ăsura coulomb pe metru p ătrat [C/m2];
• intensitatea câmpului magnetic ( H), măsurată în amper pe metru [A/m];
• inducția magnetică (B), a cărei unitate de m ăsură este tesla [T].
Aceste specii de m ărimi de stare se introduc cu ajutorul a dou ă specii de mărimi primitive:
vectorul câmp electric în vid (vE) și vectorul induc ție magnetică în vid (vB).
Între mărimile de stare ale câmpului electric ( E,D), respectiv între cele ale câmpului
magnetic ( H,B), există următoarele relații:
E De= , (1.2.1)
H Bm= . (1.2.2)
Cu ajutorul acestor m ărimi se definesc patru m ărimi derivate importante în cadrul teoriei
macroscopice a electromagnetismului:
• tensiunea electric ă (U)- unitate de m ăsură voltul [V];
• fluxul electric ( Y)- unitate de m ăsură coulombul [C];
• tensiunea magnetic ă (Um)- unitatea de m ăsură amper (A) sau amper-spir ă (A.sp);
• fluxul magnetic ( F) cu unitatea de m ăsură weberul (Wb).
Relațiile de definiție sunt următoarele:
• tensiunea electric ă între două puncte A,B, calculat ă de-a lungul unei curbe deschise,
C, este:
∫=B
CAAB sE u
)(d
d, (1.2.3)
unde sd este elementul de linie orientat (Fig. 1.2.1).

Fig. 1.2.1
Dacă integrala se calculeaz ă pe o curbă închisă, Γ, atunci mărimea corespunz ătoare se
numește tensiune electromotoare (t.e.m.) și se exprimă cu relația:
∫
ΓΓ= sE e dd
. (1.2.4)
• fluxul electric printr-o suprafa ță oarecare, deschis ă, S, este:
AnD
SS S dd
∫=Ψ , (1.2.5)

4 unde Sn este normala la suprafa ță. Dacă suprafața se sprijină pe o curbă închisă, Γ, atunci
relația (1.2.5) devine:
AnD
SS S dd
∫
ΓΓ Γ =Ψ , (1.2.6)
unde d A reprezintă elementul de arie neorientat.
Sensul normalei la suprafa ță este asociat cu sensul de parcurgere al curbei dup ă regula
burghiului drept (Fig. 1.2.2).

Fig. 1.2.2
Dacă se calculează fluxul electric printr-o suprafa ță închisă, Σ, atunci relația de definiție
devine:
AnDdd
∫
ΣΣ Σ=Ψ . (1.2.7)
Normala la suprafa ța închisă este prin defini ție normala exterioar ă.
• tensiunea magnetic ă între două puncte A,B, se define ște ca și tensiunea electric ă (Fig.
1.2.1) de-a lungul unei curbe deschise:
∫=B
CAmAB sH u
)(d
d. (1.2.8)
Dacă integrala se efectueaz ă pe o curb ă închisă, atunci se define ște tensiunea
magnetomotoare (t.m.m.):
∫
ΓΓ= sH umm dd
. (1.2.9)
• fluxul magnetic se definește ca și fluxul electric (Fig. 1.2.2), fie prin suprafe țe
deschise, fie prin suprafe țe închise, cu rela țiile:
AnB
SS S dd
∫=Φ , (1.2.10)
A nB
SS S dd
∫
ΓΓ Γ=Φ , (1.2.11)
AnBdd
∫
ΣΣ Σ=Φ . (1.2.12)

5 Notă. Rămân valabile toate observa țiile făcute la fluxul electric în leg ătura cu normalele la
suprafețe.
Alte mărimi derivate importante sunt: solena ția (Θ), rezistența (R), capacitatea ( C),
inductivitatea ( L) etc.
În Tabelul 1.2 este prezentat ă corespondența dintre aceste m ărimi.
Tabelul 1.2
Mărime primitivă Simbol Unitate Mărime derivată Simbol Unitate
Intensitatea
câmpului electric E V/m Tensiunea electric ă U V
Inducția electrică D C/m2 Fluxul electric Y C
Intensitatea
câmpului magnetic H A/m Tensiunea magnetic ă Um A (A.sp)
Inducția magnetică B T Fluxul magnetic F Wb
1.3. CÂMPUL ELECTRIC IMPRIMAT
Experiența arată că starea electrocinetic ă a conductoarelor este produs ă uneori de cauze de
natură neelectromagnetic ă (de exemplu de o pil ă galvanică). Efectul acestor cauze se
echivalează cu efectul unui câmp electric ce ar determina aceea și stare electrocinetic ă. Acest
câmp se nume ște câmp electric imprimat . El este localizat fie în volumul fie pe suprafa ța de
contact a corpurilor conductoare și se caracterizeaz ă local prin m ărimea derivat ă vectorială
numită intensitatea a câmpului electric imprimat – iE.
iEeste o mărime de material și caracterizeaz ă conductoarele neomogene din punct de
vedere structural, termic, chimic și accelerate.
Proprietățile globale ale câmpului electric imprimat în raport cu o anumit ă curbă sunt
exprimate de integrala de linie a vectorului iE în raport cu acea curb ă, mărimea
corespunzătoare numindu -se tensiune electromotoare imprimat ă:
sE e
Ci Ci d)(∫= . (1.3.1)
1.4. REGIMURILE DE DESF ĂȘURARE A FENOMENELOR ELECTRICE ȘI
MAGNETICE
După modul de varia ție în timp a m ărimilor electrice și magnetice, st ările electromagnetice
se pot desfășura în următoarele regimuri:
– regimul static , în care mărimile de stare nu variaz ă în timp și nu se produc transform ări
energetice; în acest regim fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice și
pot fi studiate în cadrul unor capitole distincte ale teoriei, respectiv electrostatica și
magnetostatica ;
– regimul sta ționar , în care mărimile nu variaz ă în timp, dar interac țiunile câmpului
electromagnetic cu corpurile sunt înso țite de transform ări energetice;
– regimul cvasista ționar , în care mărimile variază în timp, dar suficient de lent încât s ă se
poată neglija curen ții de deplasare în raport cu cei de conduc ție, și influența lor magnetic ă
peste tot, cu excep ția dielectricului condensatoarelor; este cel mai important regim din punct
de vedere al aplica țiilor tehnice;
– regimul nesta ționar (regim variabil) caracterizat de cea mai general ă formă de variație în
timp a mărimilor, în care intervine fenomenul de radia ție electromagnetic ă.

6 1.5. CONDUCTOARE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC
La introducerea lui într-un câmp electric, un conductor neutru se electrizeaz ă (electrizare
prin influen ță). Fenomenul const ă în repartizarea unor sarcini electrice pe suprafa ța
conductorului, f ără modificarea sarcinii sale totale, nule în cazul conductoarelor neutre.
În regim electrostatic este îndeplinit ă condiția de echilibru electrostatic:
0=+iEE . (1.5.1)
În cazul conductoarelor omogene și neaccelerate, câmpul electric imprimat este nul,
0=iE , (1.5.2)
și, în consecință, câmpul electrostatic în aceste conductoare este de asemenea nul:
0=E . (1.5.3)
În fiecare punct al suprafe ței acestor conductoare câmpul electrostatic are numai
componentă perpendicular ă pe suprafață. În caz contrar, particulele purt ătoare de sarcini
electrice s-ar deplasa în conductor sau pe suprafa ța sa și nu ar fi îndeplinit ă condiția de
echilibru electrostatic.
Conductoarele omogene și neaccelerate, au în regim electrostatic urm ătoarele propriet ăți:
1. Toate punctele din interiorul unui conductor au acela și potențial. Deci suprafe țele
acestor conductoare sunt echipoten țiale și liniile de câmp sunt perpendiculare pe ele.
Demonstra ție: E = 0, deci UAB = V(A) – V(B) = 0;
2. Sarcina electric ă a conductoarelor este repartizat ă superficial, iar sarcina din
interiorul conductoarelor este nul ă;
3. La suprafața conductoarelor induc ția electrică este egală în orice punct cu densitatea
de suprafață a sarcinii electrice;
4. În cavitățile fără sarcini electrice din interiorul conductoarelor câmpul electric este
nul. Acest efect se folose ște în instalațiile de î.t. pentru ecranarea (prin conductoare legate la
pământ) a locurilor de observa ție în care se afl ă personal operator;
5. Orice suprafa ță echipotențială din câmp poate fi înlocuit ă cu o suprafa ță
conductoare f ără a perturba câmpul (principiul metaliz ării suprafețelor echipoten țiale).
1.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI
Legi- relații determinate experimental care exprim ă raporturi obiective și esențiale între
fenomene. Aceste rela ții care se stabilesc prin generalizarea datelor experimentale, pe baza
abstractizării, se numesc legi.
Teoreme – relațiile care se pot deduce prin analiz ă logică din altele (în ultim ă instanță din
legi).
Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice se clasific ă în:
– legi generale – valabile pentru orice fel de corpuri, indiferent de regimul de desf ășurare al
fenomenelor și independent de caracteristicile de material ale mediului. În aceast ă categorie
intră:
– legea fluxului electric,
– legea fluxului magnetic,
– legea inducției electromagnetice,
– legea circuitului magnetic,
– legea conserv ării sarcinii electrice,
– legea transform ării energiei electromagnetice în procesul conduc ției
electrice (legea lui Joule),

7 – legea legăturii în câmp electric,
– legea legăturii în câmp magnetic;
– legi de material – sunt valabile numai pentru anumite corpuri, fiind dependente de
caracteristicile de material ale acestora:
– legea polariza ției temporare,
– legea magnetiza ției temporare,
– legea conduc ției electrice (legea lui Ohm),
– legea electrolizei.
1.6.1. Legea fluxului electric
Corpurilor înc ărcate cu sarcini electrice li se asociaz ă un câmp electric.
Liniile de câmp electric sunt linii deschise care pleac ă de pe corpurile înc ărcate cu sarcini
pozitive și ajung pe corpurile înc ărcate cu sarcini negative (Fig. 1.6.1).
Suprafețele perpendiculare în orice punct pe liniile de câmp se numesc suprafe țe
echipotențiale.
Vectorul intensit ății câmpului electric și vectorul induc ției electrice sunt tangen ți în fiecare
punct la linia de câmp și, fiind funcții de punct )(rE , respectiv )(rD , au valori constante în
toate punctele aceleia și suprafețe echipotențiale.

a) b)
Fig. 1.6.1
Dacă înconjurăm cu o suprafa ță închisă un corp încărcat cu sarcin ă electrică, toate liniile
de câmp vor str ăbate suprafața. Fluxul electric este m ărimea ce caracterizeaz ă câmpul electric
din punct de vedere al valorilor pe care le ia induc ția electrică în toate punctele suprafe ței.
”În orice moment de timp fluxul electric Y printr-o suprafa ță închisă S este egal cu
sarcina electric ă qVS localizat ă în domeniul delimitat de aceast ă suprafață”:
Σ
ΣΣΣ = =Ψ∫ VqAnD dd
, (1.6.1)
unde Σn reprezintă normala exterioar ă la suprafața închisă Σ (Fig. 1.6.2).

Fig. 1.6.2

8 Trecând de pe suprafa ța Σ în domeniul (arbitrar) delimitat de aceasta, V Σ, (cu teorema lui
Stokes) și exprimând sarcina electric ă în raport cu densitatea ei de volum, se ob ține forma
locală a legii în domenii de continuitate și netezime a propriet ăților electrice:
∫ ∫
Σ ΣΣ=
VV
VV AnDdiv d d r , (1.6.2)
de unde rezult ă
V Ddiv r= . (1.6.3)
La o suprafa ță de discontinuitate (între dou ă medii cu propriet ăți electrice diferite)
încărcată cu densitate de suprafa ță a sarcinii electrice se ob ține o formă locală valabilă în toate
punctele suprafe ței:
s n nD D r=−1 2 . (1.6.4)
Dacă suprafața nu este înc ărcată cu sarcină, se obține relația de conservare a
componentelor normale ale induc ției electrice:
n nD D1 2= . (1.6.5)
Aplicații.
Legea fluxului electric poate fi folosit ă pentru calculul intensit ății câmpului electric în
cazul configura țiilor ce prezint ă simetrie.
Ø Calculul intensit ății câmpului electric produs de un corp punctiform înc ărcat cu
sarcina q.

Fig. 1.6.3

Din legea fluxului electric rezult ă:
Σ
Σ ΣΣ = ⋅ = =∫ ∫ Vq R RDA RDAnD24)( d)( d p .
Din această relație, ținând seama de (1.2.1) se ob ține intensitatea câmpului electric în orice
punct de pe suprafa ța Σ (sfera de rază R):
24)()(
Rq RDREV
ep eΣ= = .
Ø Calculul capacit ății condensatorului plan.
Capacitatea condensatorului plan poate fi calculat ă cu ajutorul legii fluxului electric
aplicată pe o suprafa ță închisă ce trece printr-o arm ătură și prin dielectric, sau pe baza
proprietăților conductoarelor omogene.

9

Fig. 1.6.4
Armăturile condensatorului fiind conductoare omogene, sarcina electric ă cu care se încarc ă
este repartizat ă pe suprafața lor dinspre dielectric, cu o densitate egal ă cu inducția electrică în
fiecare punct. Ținând seama de rela țiile (1.2.1) și (1.2.3) se ob ține capacitatea condensatorului
plan:

dA
dAqq
Edq
UqCe
e= ===d
,
unde ε este permitivitatea dielectricului.
În cazul unui condensator plan cu dielectric neomogen rela ția de mai sus devine:
∑
==n
k kk
dAC
1e.
Ø Calculul capacit ății condensatorului cilindric.

Fig. 1.6.5
Alegând o suprafa ță închisă latS S S ∪∪=Σ2 1 de formă cilindrică cu raza r, aplicând
legea fluxului electric și ținând seama de faptul c ă fluxul electric prin suprafe țele S 1 și S2 este
nul (liniile de câmp sunt pe direc ția razei de la arm ătura interioară încărcată pozitiv, la cea
exterioară încărcată negativ) rezult ă
qrl D DdA dAnD dAnD
Slat Slat=⋅= = = =Ψ ∫ ∫ ∫
ΣΣ p2 ,
unde q reprezintă sarcina cu care se încarc ă armătura interioară.
Calculând D, E și apoi U între armături, rezultă:

12ln2
RRl
UqCpe== .

10 În cazul unui dielectric neomogen cu n straturi, relația devine:

∑
=+=
n
k kkk
RRlC
11ln2
ep.
Ø Tubul de flux electric – porțiunea de câmp delimitat ă de totalitatea liniilor de câmp
care trec prin toate punctele unui contur închis Γ (Fig. 1.6.6).

Fig. 1.6.6
Se consideră o suprafață închisălatS S S ∪∪=Σ2 1 pe care se aplic ă legea fluxului electric.
Sensul fluxurilor 1Ψ și 2Ψ prin cele dou ă suprafețe S 1 și S2 este indicat de versorii celor dou ă
normale 1n respectiv 2n la cele două suprafețe. Deoarece pe suprafa ța laterală D n⊥Σ
rezultă că prin această suprafață fluxul este nul și
Σ Σ Σ
ΣΣ Σ =Ψ−Ψ= − = + = =Ψ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V
S S S Sq dAnD dAnD dAnD dAnD dAnD2 1 2 1
2 1 2 1.
Dacă în interiorul suprafe ței Σ nu există sarcini electrice
2 1Ψ=Ψ .
Rezultă că în regiunile din spa țiu în care nu exist ă sarcini electrice, fluxul câmpului electric
prin orice sec țiune transversal ă a unui tub de flux are aceea și valoare. Aceasta reprezint ă
proprietatea de conservare a fluxului electric de-a lungul unui tub de linii de câmp.
1.6.2 . Legea fluxului magnetic
Liniile de câmp magnetic (liniile vectorului induc ției magnetice) sunt linii închise.
Această constatare conduce la formularea legii fluxului magnetic: ” În orice moment fluxul
magnetic printr-o suprafa ță închisă este nul ”:
0 dd
= =Φ∫
ΣΣΣ AnB . (1.6.6)
Ținând seama de rela ția de definiție prelucrată cu ajutorul teoremei Gauss-Ostrogradski se
obține forma local ă a legii, pentru domenii de continuitate și netezime ale propriet ăților
magnetice (ale induc ției magnetice):
0 d = ∫
ΣVBdiv
V, (1.6.7)
adică
0=Bdiv . (1.6.8)
Relația (1.6.8) arată că nu există sarcini magnetice de tipul celor electrice.

11 La suprafețe de discontinuitate forma local ă a legii fluxului magnetic este:
01 2 =−n nB B , (1.6.9)
adică se obține relația de conservare a componentelor normale ale induc ției magnetice:
n nB B1 2= . (1.6.10)
Aplicații.
Ø Definind tubul de flux magnetic similar cu cel electric, se consider ă o suprafață
închisălatS S S ∪∪=Σ2 1 (Fig. 1.6.7) pe care se aplic ă legea fluxului magnetic.
Pe baza acelora și considerente de la tubul de flux electric se ob ține relația de conservare a
fluxului magnetic de-a lungul unui tub de linii de câmp.
2 1Φ=Φ .

Fig. 1.6.7
Ø Prin orice suprafa ță deschisă care se sprijin ă pe aceeași curbă închisă fluxul magnetic
este același.

Fig. 1.6.8
Fie două suprafețe 1ΓS și 2ΓS ce se sprijină pe curba Γ. Se consideră suprafața
2 1 Γ Γ∪=Σ S S și se aplică legea fluxului magnetic:
02 1
22
11
2 1=Φ+Φ−= + −= + = =Φ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
ΓΓ
ΓΓ
Γ ΓΣ Σ
ΣΣ Σ
SS
SS
S SdAnB dAnB dAnB dAnB dAnB .
Rezultă că oricare ar fi 1ΓS și 2ΓS fluxul magnetic se conserv ă:
2 1Φ=Φ .

12 1.6.3. Legea induc ției electromagnetice
Enunț: ”Tensiunea electromotoare indus ă în lungul unei curbe închise G este egal ă cu
viteza de sc ădere a fluxului magnetic prin orice suprafa ță deschisă ce se sprijin ă pe curba G”:
teS
ddΓΦ
−=Γ . (1.6.11)
Ținând seama de rela țiile de definiție ale celor dou ă mărimi, se obține forma explicit ă
A nB
tsE
SSd
ddd ∫ ∫
ΓΓ −=
Γ, (1.6.12)
în care elementul de arc sd pe curba Γ și versorul normalei ΓSn la suprafața ΓS sunt asociate
după regula burghiului drept (Fig. 1.2.2).
Dezvoltând derivata substan țială pentru medii în mi șcare și ținând seama de forma local ă a
legii fluxului magnetic, se ob ține următoarea formă integrală dezvoltată a legii:
()
m t
SS
SS ee dAnvBrot dAntBdsE += −∂∂−= ∫ ∫ ∫
ΓΓ
ΓΓ
Γx , (1.6.13)
unde et se numește t.e.m. indus ă prin transformare, iar em – t.e.m. indus ă prin mișcare.
În domenii de continuitate și netezime a propriet ăților fizice locale, aplicând teorema lui
Stokes membrului stâng al ecua ției (1.6.13), se ob ține forma local ă a legii:
()BvrottBErot x+∂∂−= . (1.6.14)
Pentru medii imobile, ecua ția devine
tBErot∂∂−= , (1.6.15)
cunoscută sub numele de a doua ecua ție a lui Maxwell.
La suprafețe de discontinuitate se conserv ă componenta tangen țială a intensității câmpului
electric:
1 2 t tE E= . (1.6.16)
Aplicații.
1. Principiul producerii t.e.m. alternative. Funcționarea generatoarelor de c.a. are la baz ă
fenomenul induc ției electromagnetice, care se produce ca urmare a existen ței unui câmp
magnetic învârtitor (produs de rotorul ma șinii care este un electromagnet rotit de turbin ă) ce
întretaie spirele înf ășurării statorice în care induce t.e.m. datorit ă componentei em.
2. Principiul transformatorului electric . Datorită variației fluxului magnetic din primar, în
secundarul transformatorului se induce prin transformare ( et) o t.e.m. de aceea și frecvență cu
cea a mărimilor primare.
3. În regim static și în regim sta ționar legea inducției electromagnetice are forma:
∫
ΓΓ = = 0 dsE e ,
numită teorema poten țialului electrostatic, respectiv electrocinetic sta ționar.

13 Considerând curba Γ o buclă a unui circuit electric și descompunând -o într-o sum ă de
curbe deschise Ck, ce urmăresc tensiunile la bornele laturilor care formeaz ă bucla, se obține:
∑ ∑∫ ∫
∈ ΓΓ = = = =
hk kblk
kCu sE sE e 0 d d )A( ,
relație ce reprezint ă teorema a doua a lui Kirchhoff : suma algebric ă a tensiunilor la bornele
laturilor l k ce aparțin buclei b h este nulă.
1.6.4. Legea circuitului magnetic
Enunț: ”Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe închise G este egal ă cu suma
dintre solena ția corespunz ătoare curen ților de conduc ție care str ăbat o suprafa ță deschisă
ΓS, mărginită de curba G și viteza de cre ștere a fluxului electric prin suprafa ța respectiv ă”:
tuS
S mmddΓ
ΓΨ
+Θ=Γ . (1.6.17)
Al doilea termen din partea dreapt ă a ecuației se numește curent hertzian .
Folosind relațiile de definiție ale mărimilor, se obține forma integral ă explicită a legii:
A nDtA nJ sH S
S SS dddd dΓ
Γ ΓΓ ∫ ∫∫+ =
Γ, (1.6.18)
în care elementul de arc sd pe curba Γ și versorul normalei ΓSn la suprafața ΓS sunt asociate
după regula burghiului drept (Fig. 1.2.2).
În cazul corpurilor imobile rela ția are forma:
A ntDA nJ sH S
S SS d d dΓ
Γ ΓΓ∫ ∫∫∂∂+ =
Γ, (1.6.19)
termenul al doilea din partea dreapt ă fiind numit curent de deplasare .
Se numește regim cvasista ționar regimul variabil în care se poate neglija curentul de
deplasare din legea circuitului magnetic, peste tot, cu excep ția dielectricului condensatoarelor.
În domenii de continuitate și netezime a propriet ăților fizice, aplicând teorema lui Stokes
membrului stâng și în ipoteza corpurilor imobile, se ob ține forma local ă a legii:
tDJ Hrot∂∂+= , (1.6.20)
numită prima ecuație a lui Maxwell.
La suprafețele de discontinuitate forma local ă este:
s t t J H H =−1 2 . (1.6.21)
Dacă pe suprafața de discontinuitate nu exist ă pânze de curent, are loc conservarea
componentelor tangen țiale ale intensit ății câmpului magnetic:
1 2 t tH H= . (1.6.22)
Observație:
Solenația are următoarea semnifica ție:
– pentru o suprafa ță SG perpendicular ă pe axa unui conductor parcurs de curentul electric de
conducție i, și a cărei arie este cel pu țin egală cu cea a conductorului: iS=ΘΓ;
– dacă aria suprafeței SG este mai mică decât cea a conductorului:
condS
S SAA
i JAΓ
Γ Γ= =Θ ;
– dacă SG taie cele N spire, parcurse de curentul i, ale unei bobine: iNS=ΘΓ.

14 Aplicații.
Ø În regim sta ționar legea capătă forma:
ΓΘ=Γ S mmu , (1.6.23)
respectiv
∫∫
ΓΓ =
Γ SSA nJ sH d d , (1.6.24)
numită teorema lui Amp ère.
Ø Calculul intensit ății câmpului magnetic produs de un conductor cilindric circular de
rază a, rectiliniu, infinit, parcurs de curentul i, uniform distribuit pe sec țiunea sa (Fig.
1.6.9).
Aplicând teorema lui Amp ère și calculând pe rând cei doi termeni, se ob ține:
r Hs HsH sH r umm p2 d d d )( ⋅= = = = ∫ ∫∫
Γ Γ ΓΓ ,
oricare ar fi r în raport cu a.

Fig. 1.6.9

Solenația se calculeaz ă în cele două domenii:


≥< = ==Θ
ar iar
ari r
airJr
,, ,)(22
2
22
0 p
pp
Egalând termenii din teorem ă se obține:




≥<
=
arriar
air
rH
,2 ,
2)(2
pp.
Variația lui H(r) este prezentat ă în Fig. 1.6.9

15 1.6.5. Legea conserv ării sarcinii electrice.
Dacă se consideră o suprafață închisă Σ care trece prin dielectrici (nu este str ăbătută de
curenți de conducție), sarcina electric ă în interiorul suprafe ței (reprezentând un sistem izolat)
rămâne constant ă
.,ct q=Σ (1.6.25)
oricare ar fi fenomenele care se produc în interiorul suprafe ței:
Dacă suprafața intersecteaz ă și conductoare parcurse de curent electric de conduc ție,
“intensitatea curentului de conduc ție care părăsește suprafa ța S este egal ă în fiecare moment
cu viteza de sc ădere a sarcinii electrice adev ărate localizat ă în volumul delimitat de S”.
tq
iV
ddΣ−=Σ . (1.6.26)

Fig. 1.6.10

Folosind relațiile de definiție, legea capătă forma integral ă
∫ ∫
Σ−=
ΣΣ
VVVtAnJ dddd r . (1.6.27)
În regim electrocinetic sta ționar (regim de c.c.) sarcina electric ă este constant ă, iar relațiile
de mai sus cap ătă formele:
0 respectiv ,0 = =Σ Jdiv i , (1.6.28)
cunoscute sub numele de teorema continuit ății liniilor de curent continuu .
Interpretare : liniile de curent continuu sunt linii închise, sau curentul continuu circul ă
numai pe căi închise.
Consecințe:
1. Vectorul densit ății de curent este tangent la suprafa ța unui conductor str ăbătut de
curent continuu, deci conductorul este un tub de curent;
2. La trecerea printr-o suprafa ță de discontinuitate se conserv ă componenta normal ă a
densității de curent.
3. Dacă suprafața Σ tinde la limită către un nod al unui circuit, în regim electrocinetic
staționar și cvasistaționar
0 )A(= =∑
∈Σ
j knlki i , (1.6.29)
și reprezintă teorema întâi a lui Kirchhoff , cu enunțul: suma algebric ă a curen ților din
laturile l k incidente într-un nod n j al unui circuit electric este nul ă.

16 1.6.6. Legea conduc ției electrice (legea lui Ohm)
Enunț: “Suma vectorial ă dintre intensitatea câmpului electric E și intensitatea câmpului
electric imprimat iE din interiorul unui conductor izotrop este propor țională în fiecare punct
cu densitatea curentului electric de conduc ție din acel punct ”:
J EEir=+ , (1.6.30)
constanta de propor ționalitate ρ fiind o mărime scalară dependentă de natura materialului și de
temperatură, numită rezistivitate . Relația (1.6.30) reprezint ă forma locală a legii conduc ției
electrice și mai poate fi scris ă sub forma:
()iEE J +=s , (1.6.31)
unde σ =1/ρ se numește conductivitate electrică.
Consecințe:
1. În conductoarele perfect omogene din punct de vedere structural, mecanic, termic și
chimic, și neaccelerate, în care 0=iE , legea conduc ției electrice are form a:
J Er= sau E Js=
2. Pentru conductoare în regim electrostatic, fiind valabil ă condiția
0=J ,
forma locală a legii devine:
0=+iEE ,
relație numită condiția de echilibru electrostatic . În cazul conductoarelor perfect
omogene și neaccelerate, rela ția capătă forma:
0=E .
3. Într-un conductor aflat în astfel de condi ții câmpul electric este peste tot nul. Aceasta
explică fenomenul de influen ță electrostatică (vezi $ 1.5).
În teoria circuitelor electrice prezint ă o mare importan ță forma integral ă a legii lui Ohm
care se obține prin integrarea rela ției (1.6.30) de-a lungul unei por țiuni neramificate de
conductor, între punctele A și B de-a lungul fibrei medii (curba C din Fig. 1.6.11):
∫ ∫∫= +B
CAB
CAiB
CAsJ sE sE
)( )( )(d d d r (1.6.32)

Fig. 1.6.11

17 Ținând seama de defini țiile mărimilor derivate, rela ția se poate scrie sub forma:
∫ ∫= =+
C Ci b s
Ais
Aie u d drr . (1.6.33)
Pentru conductoare omogene ( r = ct.) cu secțiune A = ct., se obține forma integral ă a legii
lui Ohm pentru laturi de circuit active (având și surse de câmp electric imprimat), numit ă și
caracteristica u(i) a laturii:
iRe ui b ⋅=+ , (1.6.34)
unde:
AlRr= (1.6.35)
reprezintă rezistența electric ă a porțiunii neramificate de circuit de lungime l și secțiune A și
se măsoară în ohmi [ Ω]. În teoria circuitelor cu parametri concentra ți relația (1.6.34) se
asociază laturii reprezentate în figura 1.6.12.

Fig. 1.6.12
Relația (1.6.34) se mai poate scrie sub forma:
) (i be uGi + = , (1.6.36)
numită caracteristica i(u) a laturii. Mărimea G = 1/ R se numește conductan ță și se măsoară în
siemens [S].
1.6.7. Legea transform ării energiei electromagnetice în procesul conduc ției
electrice (legea lui Joule).
“Densitatea de volum a puterii cedat ă de câmpul electromagnetic unui conductor aflat în
stare electrocinetic ă este egal ă în orice punct cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului
electric și densitatea curentului electric de conduc ție”:
JE pj= (1.6.37)
Ținând seama de legea conduc ției electrice, rela ția mai poate fi scris ă sub forma:
()e R i i j p pJE J JEJ p −=− = −=2r r , (1.6.38)
unde 02> =J pRr și corespunde c ăldurii disipate în conductor prin efectul electrocaloric al
curentului de conduc ție (efect Joule -Lenz), iar JE pi e= reprezintă densitatea de putere
cedată de sursele de câmp imprimat în procesul de conduc ție.
După cum vectorii iE și J sunt omoparaleli, respectiv antiparaleli, 0>ep , puterea fiind
cedată, respectiv 0<ep , puterea fiind primit ă.
Forma integral ă a legii se ob ține prin integrarea densit ății de putere pe volumul
conductorului filiform, ținând seama c ă toți vectorii sunt paraleli (Fig. 1.6.13):

18 ()()()()()() . d d d d iuAnJsE AnJsE sAnJE Vp Pb
S C V V Vj J = = = = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ (1.6.39)

Fig. 1.6.13
Relația (1.6.39) arat ă că “puterea total ă cedată de câmpul electromagnetic unei por țiuni de
conductor filiform în procesul de conduc ție electric ă este egal ă cu produsul dintre tensiunea
electrică la bornele conductorului și intensitatea curentului electric care-l parcurge .”
Ținând seama de forma integral ă a legii conduc ției electrice, rela ția (1.6.39) se scrie sub
forma:
e R i b J P PieiRiu P −=−==2, (1.6.40)
unde 2iR PR= reprezintă puterea disipat ă în conductor sub form ă de căldură, iar ie Pi e=
este puterea generat ă de sursa de câmp electric imprimat (Fig. 1.6.12) cu t.e.m. ei, când este
parcursă de curentul electric de conduc ție i.
Dacă ei și i au același sens, Pe>0 și sursa cedeaz ă energie circuitului, iar dac ă ei și i au sens
invers, Pe<0 și sursa primește energie din circuit.
Unitatea de m ăsură a puterii se nume ște watt [W]. Integrala de timp a puterii se nume ște
energie. În energetic ă energia electric ă se măsoară în kilowattor ă [kWh]. Rela ția dintre
diferitele unități de măsură este:
kcal. 860 Ws103,6 kWh16≈ ⋅=
1.6.8. Legea leg ăturii în câmp electric
”În orice moment de timp și în orice loc, indiferent de regimul de varia ție al mărimilor,
între vectorul intensit ății câmpului electric, al induc ției electrice și al polariza ției, există
relația”:
PE D +=0e , (1.6.41)
unde []
m/F
10941
90⋅⋅=
pe este constanta universal ă numită permitivitatea vidului .
1.6.9. Legea polariza ției temporare
Aceasta este o lege de material care exprim ă dependența componentei temporare a
polarizației de intensitatea câmpului electric:
()Ef Pt= (1.6.42)
Pentru materialele izotrope și liniare din punct de vedere electric, categorie din care fac
parte cele mai multe din materialele dielectrice folosite în industria electrotehnic ă, această
dependență este dată de relația:
E Pe t ce0= , (1.6.43)

19 în care ec este susceptivitatea electric ă a materialului, m ărime adimensional ă, depinzând de
natura materialului și de condiții neelectrice (temperatur ă, presiune etc.). Aceste materiale nu
prezintă polarizație permanentă.
În aplicații legea polariza ției temporare se combin ă cu legea leg ăturii în câmp electric.
Astfel:
()E E E PE PE De e t c e ce e e e += +=+=+= 10 0 0 0 0 . (1.6.44)
Notând r ee c=+1 permitivitatea relativ ă a materialului și e ee=r0 permitivitatea sa
absolută, relația (1.6.44) devine:
E De= . (1.6.45)
1.6.10. Legea legăturii în câmp magnetic
”În orice moment de timp și în orice loc, indiferent de regimul de varia ție al mărimilor,
între vectorul intensit ății câmpului magnetic, al induc ției magnetice și al magnetiza ției, există
relația”:
()M H B + =0m , (1.6.46)
unde []m/H 1047
0−⋅=p m este o constant ă universală numită permeabilitatea vidului .
1.6.11. Legea magnetiza ției temporare
Această lege de material exprim ă dependența componentei temporare a magnetiza ției de
intensitatea câmpului magnetic:
()Hf Mt= (1.6.47)
Pentru materialele izotrope și liniare din punct de vedere magnetic, categorie din care fac
parte toate materialele feromagnetice cu excep ția magneților permanen ți, această dependență
este dată de relația:
H Mm tc= , (1.6.48)
în care mc este susceptivitatea magnetic ă a materialului, m ărime adimensional ă, depinzând
de natura materialului, de starea lui de deformare și de temperatur ă.
În tehnică legea se folose ște în combina ție cu legea leg ăturii în câmp magnetic:
()()( )()H H H M H M H Bm m t c m c m m m += + =+ =+ = 10 0 0 0 . (1.6.49)
Notând r mm c=+1 permitivitatea relativ ă a materialului și m mm=r0 permitivitatea sa
absolută, relația (1.6.49) devine:
H Bm= . (1.6.50)
Observații:
1. Materialele magnetice se clasific ă în:
Ø Materiale neferomagnetice (din care fac parte: Cu, Ag, Al, Pt, aerul) caracterizate
printr-o relație (1.6.50) liniar ă și printr-o valoare a permeabilit ății relative 1≈rm ,
ceea ce înseamn ă o permeabilitate absolut ă 0mm≈ .

20 Ø Materiale feromagnetice (Fe, Co, Ni, Ga și unele aliaje) pentru care rela ția (1.6.50)
este neliniară ca urmare a dependen ței permeabilit ății µ de intensitatea câmpului
magnetic H. Caracteristica B(H) numită curbă de histerezis magnetic este
reprezentată în Fig. 1.6.14.

Fig. 1.6.14
Aria închisă de ciclul de histerezis corespunde unei densit ăți de volum a energiei care se
transformă în căldură, prin frecări interne, la fiecare parcurgere a ciclului. Ea este
proporțională cu energia de magnetizare a acestor materiale.
Caracteristic pentru aceste materiale este valoarea foarte ridicat ă a permeabilit ății relative
(de ordinul 102…105), ceea ce, conform rela ției (1.6.50) determin ă obținerea unor induc ții
magnetice (respectiv a unor energii magnetice) de valoare mare, la valori relativ reduse ale
intensității câmpului magnetic.
La suprafața de separație dintre un corp feromagnetic și unul neferomagnetic, liniile de
câmp magnetic ies perpendicular pe suprafa ța corpului feromagnetic.
2. După forma ciclului de histerezis materialele feromagnetice se clasific ă în:
• Materiale magnetice moi , caracterizate printr-un ciclu de histerezis îngust. Aceste
materiale se magnetizeaz ă și se demagnetizeaz ă relativ ușor; ele se folosesc
pentru realizarea circuitelor magnetice ale ma șinilor, aparatelor și
transformatoarelor electrice. Din aceast ă categorie fac parte: Fe pur, Ol
electrotehnic (aliat cu 4% Si), diverse aliaje (Permalloy, Supermalloy). În afara
proprietăților magnetice, aceste materiale au și proprietăți conductoare, ceea ce
face ca în timpul func ționării, în circuitele magnetice ale dispozitivelor respective
să apară două categorii de pierderi: prin histerezis ( PH) și prin curenții turbionari
(curenți Foucault) care se induc în aceste materiale ( PF).
• Materiale magnetice dure , care au un ciclu de histerezis larg. Aceste materiale se
magnetizează și se demagnetizeaz ă relativ greu; ele se folosesc pentru realizarea
magneților permanen ți. Din această categorie fac parte Ol c ălit (cu 1% C), Ol-Cr,
Ol-W), Alnico etc.
Ø Materiale ferimagnetice (sau ferite ) cu o structur ă asemănătoare celor feromagnetice,
dar fiind materiale semiconductoare, caracterizate prin rezistivitate mare (102…106
Ωm). Feritele tehnice sunt materiale ceramice ob ținute prin sinterizare în câmpuri
magnetice. Ele pot fi moi sau dure.
• Feritele magnetice moi se pot folosi în dispozitivele de frecven ță joasă sau înaltă
ca piese masive, datorit ă faptului că fiind dielectrice, în ele nu se produc pierderi

21 prin curenți turbionari. Se folosesc pentru realizarea circuitelor magnetice ale
mașinilor electrice mici, miezuri de bobine, transformatoare sau ca antene
magnetice (ferite de Mn-Zn sau Ni-Zn la care permeabilitatea maxim ă se atinge
la temperaturi de aproximativ 300 C).
• Feritele magnetice dure se folosesc pentru realizarea magne ților permanen ți (în
mașini electrice, în difuzoare etc.) sau a memoriilor magnetice (ferite de Ba sau
Co – maniperm, magnadur, baferit etc.).
1.6.12. Legea electrolizei
Această lege caracterizeaz ă electroliții (conductoare de spe ța a doua în care trecerea
curentului de conduc ție este însoțită de reacții chimice) și se enunță astfel: “ Masa de
substanță depusă în unitatea de timp la unul din electrozii unei b ăi electrolitice parcurs ă de
curent de conduc ție, este egal ă cu produsul dintre intensitatea curentului electric i și raportul
dintre echivalentul electrochimic vnA/, prin constanta universal ă a lui Faraday, F0“:
i
FnA
tm
v0 dd= , (1.6.51)
în care F0=96 490 coulombi. În intervalul de timp t, masa m are expresia:

0 00dFnAqiFnAm
vt
v= =∫t , (1.6.52)
în care ∫=t
i q
0dt este sarcina electric ă, iar echivalentul electrochimic al substan ței este o
mărime de material.
1.7. ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC
1.7.1. Energia câmpului electrostatic
Energia câmpului electrostatic al unui sistem de corpuri conductoare se poate determina pe
baza principiului conserv ării energiei, conform c ăruia: energia elementar ă dWext primită de un
sistem din exterior într-o transformare, este egal ă cu suma dintre lucrul mecanic elementar δL
efectuat de sistem, c ăldura elementar ă δQ dezvoltată, creșterea elementar ă dWe a energiei
sistemului și energia elementar ă dWt transformată în alte forme:
t e ext W W Q L W d d d +++= d d . (1.7.1)
Dacă transformarea elementar ă se efectueaz ă foarte lent și izoterm, pentru a avea o
succesiune de st ări electrostatice, f ără dezvoltare sau transfer de c ăldură, și dacă nu se
efectuează lucru mecanic, atunci:
e ext W W d d= . (1.7.2)
În procesul de stabilire a câmpului electrostatic, lucrul mecanic elementar al for țelor
exterioare necesar transport ării sarcinii elementare de la ∞ până pe suprafața conductoarelor
este, pentru conductorul k:
k k kext qV L d= d . (1.7.3)
Lucrul mecanic total necesar înc ărcării cu sarcini elementare a tuturor conductoarelor este:
∑ ∑
= == =n
kk kn
kkext ext qV L L
1 1d d d . (1.7.4)

22 În regim electrostatic, sistemul prime ște energie din exterior numai sub form ă de lucru
mecanic al for țelor exterioare:
ext ext L W d= d , (1.7.5)
și ținând seama de rela țiile (1.7.2) și(1.7.4) rezult ă:
∑
==n
kk e qV W
1kd d . (1.7.6)
Considerând starea intermediar ă a conductoarelor caracterizat ă de sarcinile și potențialele
k k q q l=', respectiv k k V V l=', cu )1,0(∈l , valorile extreme corespunzând st ării inițiale,
respectiv finale, și integrând rela ția (1.7.6), se ob ține expresia energiei electros tatice
∑ ∫∑ ∫∑
= ==
===


= =n
kkkn
kkkn
kk k e qV qV qV W
11
0 11
01' '
21d d lll
l. (1.7.7)
În cazul particular al unui condensator
( )CqCU qU qV qV We22
2
2 121
21
21= = = − = . (1.7.8)
1.7.2. Densitatea de volum a energiei câmpului electrostatic
Energia câmpului electrostatic este localizat ă în tot domeniul ocupat de câmpul
electrostatic cu o densitate de volum care se poate exprima în func ție de mărimile de stare ale
câmpului electric cu una din rela țiile:
212
2 21
21D E DE weee= = = . (1.7.9)
Expresiile de mai sus sunt valabile numai în medii liniare și fără polarizație permanentă.
1.7.3. Teoremele for țelor generalizate în câmp electric
Teorema lui Coulomb permite calculul for țelor care se exercit ă asupra corpurilor în câmp
electrostatic numai pentru medii omogene, liniare și izotrope. O metod ă generală de calcul a
forțelor electrostatice ( și a forțelor electrice în regim variabil) are la baz ă principiul
conservării energiei (rela ția 1.7.1).
Considerând c ă asupra corpurilor conductoare se exercit ă forțe generalizate X, care
determină transformări elementare d x ale corpurilor, lucrul mecanic elementar efectuat de un
corp se exprim ă sub forma:
xXL d=d , (1.7.10)
unde forța generalizată X (acționând pe direc ția de creștere a lui d x) poate fi: o for ță de
deplasare, un cuplu, o presiune, o tensiune superficial ă și coordonata generalizat ă asociată, dx,
va fi o distanță, un unghi, un volum sau o arie.
Dacă transformările elementare sunt efectuate în regim electrostatic, energia elementar ă
primită de sistem de la sursele exterioare
∑
==n
1kd dk k ext qV W , (1.7.11)
este egală conform rela ției (1.7.1) cu suma dintre lucrul mecanic elementar efectuat de sistem
și creșterea elementar ă a energiei electrostatice a sistemului:
e ext W L W d d +=d . (1.7.12)

23 Calculul forței generalizate se poate face pe baza rela ției (1.7.12) în dou ă ipoteze:
Ø Sistemul este izolat . Aceasta implic ă:
0 d . = ⇒=k k q ct q (1.7.13)
și ținând seama de (1.7.11) și (1.7.12), rezult ă:
().dctqeW L=−=d , (1.7.14)
adică lucrul mecanic este efectuat pe baza sc ăderii energiei electrostatice interne a sistemului.
Exprimând energia electrostatic ă în funcție numai de sarcinile electrice și de coordonata
generalizată (în cazul unui condensator
)(22
xCq
eW= ) și ținând seama de (1.7.13) se ob ține:
()
xxWdWe
ctqe d.∂∂==. (1.7.15)
Relațiile (1.7.10), (1.7.14) și (1.7.15) conduc la prima teorem ă a forțelor generalizate în
câmp electrostatic:

.ctqe
xWX
=


∂∂−= . (1.7.16)
Deci: “ Forța generalizat ă X asociat ă coordonatei generalizate x este egal ă cu derivata
parțială cu semn schimbat a energiei electrostatice a sistemului (exprimat ă în funcție numai
de sarcinile electrice și coordonata generalizat ă), în raport cu coordonata generalizat ă x, la
sarcini constante ale conductoarelor .“
Ø Sistemul are poten țialele fixate (conductoarele sunt conectate la surse de tensiune),
adică:
0 d . = ⇒=k k V ct V . (1.7.17)
Din ecuația de bilanț rezultă:
()
extW qV qV Wn
kk k
ctVn
kkk ctVe d d d d
21
21
21
1 . 1.= =


= ∑ ∑
= = ==, (1.7.18)
adică energia primit ă de sistem de la sursele exterioare se distribuie în mod egal pentru
efectuarea de lucru mecanic și pentru creșterea energiei electrostatice a sistemului, iar
()(). .d dctVe ctVe ext dW W W L= == − =d . (1.7.19)
Exprimând energia electrostatic ă în funcție numai de poten țiale și de coordonata
generalizată (în cazul unui condensator
2)(2UxC
eW= ) și ținând seama de rela țiile (1.7.10),
(1.7.17) și (1.7.19) rezult ă a doua teorem ă a forțelor generalizate în câmp electrostatic:

.ctVe
xWX
=


∂∂= , (1.7.20)
adică: “Forța generalizat ă X asociat ă coordonatei generalizate x este egal ă cu derivata
parțială a energiei electrostatice a sistemului (exprimat ă în funcție numai de poten țialele
electrice și coordonata generalizat ă), în raport cu coordonata generalizat ă x, la poten țiale
constante ale conductoarelor “.

24 Observații:
1. Pentru sistemele liniare, cele dou ă expresii ale for ței generalizate sunt echivalente.
2. Forțele electrostatice au valori mici, ceea ce face ca aplica țiile lor tehnice s ă se
înscrie într-un domeniu limitat la construc ția aparatelor de m ăsură și a unor
traductoare.
1.8. ENERGIA ȘI FORȚELE CÂMPULUI MAGNETIC
1.8.1. Energia câmpului magnetic
Se consideră un sistem de n circuite electrice filiforme, caracterizate de rezisten țele
electrice, tensiunile la borne, curen ții și fluxurile magnetice k k k k iuR Φ,,, (Fig. 1.8.1)

Fig.1.8.1
Energia magnetic ă a sistemului poate fi calculat ă pe baza principiului conserv ării energiei,
conform căruia energia primit ă de la surse trebuie s ă acopere pierderile prin efect Joule în
rezistențele circuitelor, lucrul mecanic al for țelor generalizate și creșterea energiei magnetice
a sistemului:
mn
kkkn
kkk W LtiR tiu d d d
12
1++ =∑ ∑
= =d . (1.8.1)
Dacă se aplică legea conduc ției electrice, pentru circuitul k se obține:
kk ik fk iR e u =+ , (1.8.2)
unde ufk este tensiunea electric ă în lungul firului, iar eik reprezintă t.e.m. a circuitului,
considerată nulă. Legea induc ției electromagnetice, aplicat ă conturului închis format din
conductorul circuitului k și linia tensiunii la borne, are forma:
tu u ek
k fkddΦ−=−=Γ . (1.8.3)
Considerând fluxurile magnetice variabile în timp, din ultimele dou ă ecuații se obține:
tiR uk
kk kddΦ+= . (1.8.4)
Înmulțind relația (1.8.4) cu ikdt și sumând pentru toate circuitele, rezult ă relația:
∑ ∑ ∑
= = =Φ + =n
kk kn
kkkn
kkk i tiR tiu
1 12
1d d d . (1.8.5)
Comparând rela țiile (1.8.1) și (1.8.5) se ob ține:
∑
=Φ = +n
kk k m i W L
1d d d . (1.8.6)

25 Considerând c ă în sistem au loc transform ări în care nu se efectueaz ă lucru mecanic
(circuitele sunt imobile), iar într-o stare intermediar ă curenții și fluxurile magnetice satisfac
relațiile ,'
k k i il= respectiv ,'
k kΦ=Φ l cu []1,0∈l , prin integrarea rela ției (1.8.6) se ob ține:
∑
=Φ=n
kkk m i W
121 (1.8.7)
În particular, pentru o bobin ă, LiΦ n == ,1 și
LLi i Wm22
2
21
21 Φ= =Φ= , (1.8.8)
iar pentru dou ă bobine cuplate magnetic
21122
2222
11121
21iiL iL iL Wm + + = . (1.8.9)
Primul termen reprezint ă energia magnetic ă proprie a bobinei 1, al doilea – energia
magnetică proprie a bobinei 2, iar al treilea – energia magnetic ă de interacțiune a bobinelor.
În general, pentru un circuit oarecare parcurs de curentul i, situat într-un câmp magnetic
exterior, energia de interac țiune este:
exti W Φ=int . (1.8.10)
1.8.2. Densitatea de volum a energiei câmpului magnetic
Energia câmpului magnetic este localizat ă în tot domeniul ocupat de câmp cu o densitate
de volum care se poate exprima în func ție de mărimile de stare ale câmpului magnetic prin
una din expresiile:
2 1 2
2 21
21B H BH wmmm= = = , (1.8.11)
valabile numai în medii liniare.
Observație:
Pentru a se compara densitatea de volum a energiei electrice cu cea a energiei magnetice,
pentru valori practice ale m ărimilor de stare, se determin ă:
• Densitatea de volum a energiei electrice în cazul unui câmp electric în aer, cu o
densitate a câmpului de 10 kV/cm:
3 2
0 J/m 42,4
21≈ = E we e ;
• Densitatea de volum a energiei magnetice pentru un câmp magnetic în aer, cu induc ția
de 1 T:
3
02
J/m 000.400
21≈ =mBwm .
Se observă că densitatea de volum a energiei magnetice este de aproximativ 90.000 de ori
mai mare decât a celei electrice, ceea ce justific ă importanța aplicațiilor tehnice și domeniile
largi de utilizare a dispozitivelor magnetice.
1.8.3. Teoremele for țelor generalizate în câmp magnetic
Lucrul mecanic elementar care se efectueaz ă la o deplasare elementar ă dx a unuia din
circuitele sistemului, în câmp magnetic, se poate determina din rela ția (1.8.6):

26 mn
kk k W i L d d
1∑
=−Φ =d . (1.8.12)
Calculul forței generalizate X se poate face în dou ă ipoteze:
Ø Fluxurile magnetice sunt men ținute constante , adică .ctk=Φ și 0 d=Φk .
În acest caz
().dct mW L=Φ−=d (1.8.13)
și lucrul mecanic se efectueaz ă în baza scăderii energiei magnetice a sistemului.
Exprimând energia magnetic ă în funcție numai de fluxurile magnetice și de coordonata
generalizată (în cazul unei bobine
)(22
xLWmΦ= ) și lucrul mecanic cu rela ția generală (1.7.10),
relația (1.8.13) conduce, în ipoteza de lucru adoptat ă, la:

.ctm
xWX
=Φ


∂∂−= , (1.8.14)
relație ce reprezint ă prima teorem ă a forțelor generalizate în câmp magnetic:
“Forța generalizat ă X asociat ă coordonatei generalizate x este egal ă cu derivata par țială cu
semn schimbat a energiei magnetice a sistemului (exprimat ă în funcție numai de fluxurile
magnetice și coordonata generalizat ă), în raport cu coordonata generalizat ă x, la fluxuri
constante. “
Ø Curenții circuitelor sunt men ținuți constanți, adică .ctik= și 0 d=ki .
Se prelucrează relația (1.8.12) în care
∑ ∑
= =Φ =


Φ =n
kk kn
kk k m i i W
1 1d d d
21
21, (1.8.15)
obținând
.d d d
1 1 1 21
21∑ ∑ ∑
= = =Φ =Φ −Φ =n
kk kn
kk kn
kk k i i i Ld (1.8.16)
Este evident c ă în acest caz
().dctimW L==d , (1.8.17)
și energia primit ă de sistem se împarte în mod egal pentru efectuarea de lucru mecanic și
pentru creșterea energiei magnetice a sistemului.
Exprimând energia magnetic ă în funcție numai de curen ți și de coordonata generalizat ă (în
cazul unei bobine 2)(
21ixL Wm= ) și lucrul mecanic cu rela ția generală (1.7.10), rela ția
(1.8.17) conduce, în ipoteza de lucru adoptat ă, la:

.ctim
xWX
=


∂∂= , (1.8.18)
relație ce reprezint ă a doua teorem ă a forțelor generalizate în câmp magnetic:
“Forța generalizat ă X asociat ă coordonatei generalizate x este egal ă cu derivata par țială a
energiei magnetice a sistemului (exprimat ă în funcție numai de curen ți și coordonata
generalizat ă), în raport cu coordonata generalizat ă x, la curen ți constanți.“

27 CAP. 2. CIRCUITE ELECTRICE
2.1. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE
2.1.1. Ipotezele teoriei circuitelor electrice cu parametri concentra ți
Regimurile circuitelor electrice se pot studia cu ajutorul ecua țiilor cu derivate par țiale ale
câmpului electromagnetic (ecua țiile lui Maxwell) în condi ții date. Prin utilizarea elementelor de
circuit cu parametri concentra ți studiul circuitelor electrice se simplific ă; în locul ecua țiilor cu
derivate parțiale intervin ecua ții diferențiale, mai simplu de rezolvat.
Teoria circuitelor electrice cu parametri concentra ți se elaboreaz ă prin particularizare din
teoria câmpului electromagnetic, în urm ătoarele condiții de aproximare:
1. Caracterul cvasista ționar al regimului , care presupune neglijarea curentului de deplasare
iitq
tD D (d
dd
d==ψ) peste tot, cu excep ția dielectricului condensatoarelor (asigurând astfel
închiderea circuitului). Regimul cvasista ționar este astfel caracterizat prin existen ța curentului
de conducție în conductoare și a celui de deplasare în condensatoarele cu dielectric perfect
izolant.
2. Localizarea energiei câmpului magnetic numai în bobine și a energiei câmpului electric
numai în condensatoare (de și iD stabilește câmp magnetic în dielectricul condensatoarelor și
câmpul magnetic variabil în timp din bobine produce câmp electric, acestea se vor neglija).
3. Se admite că intensitatea curentului care iese dintr-o born ă a unui element de circuit este
egală cu intensitatea curentului care intr ă prin cealaltă bornă. Această condiție presupune c ă
cea mai mare dintre dimensiunile l ale elementului de circuit este mult mai mic ă decât lungimea
de undă cea mai mică, l, care intervine în semnalul electric. Astfel în circuitele electrice cu
parametri concentra ți curentul electric se stabile ște instantaneu, efectul de propagare fiind
neglijabil. Considerând un conductor de lungime l parcurs de curentul


− =cxtf Itxim p2sin ),( , (2.1.1)
unde x este variabila spa țială, c este viteza de propagare a undei electromagnetice (egal ă cu
viteza luminii), iar f – frecvența, dacă
1 2<<cxfp , adică x l
l l<<⇒ << 1 1 , cu l=c
f,
intensitatea ixt(,) se poate aproxima cu expresia:
ft Itim p2sin )(≅ , (2.1.2)
valabilă pentru frecven țe joase.
Observație: Pentru frecven țe ridicate sau pentru circuite extinse în spa ții mari (dimensiunea
l este comparabil ă cu lungimea de und ă a semnalului), propagarea energiei nemaifiind
instantanee nu se mai poate neglija variabila spa țială. În această situație, în reprezentarea
circuitului se utilizeaz ă elemente infinit mici repartizate pe toat ă lungimea acestuia. Se ajunge
astfel la circuite cu parametri repartiza ți (distribuiți).
4. Caracterul filiform al conductoarelor, care presupune ca sec țiunea transversal ă pe liniile
de curent să fie suficient de mic ă pentru ca intensitatea curentului s ă fie repartizat ă practic
uniform pe aceast ă secțiune. Această ipoteză implică neglijarea reparti ției neuniforme a

28 curentului variabil în timp pe sec țiunea conductorului (efectul pelicular). În acest sens, teoria
circuitelor electrice este exclusiv o teorie a elementelor de circuit filiforme.
În regim variabil, satisfacerea condi ției caracterului filiform al conductoarelor se reduce la
verificarea condi ției:
af<<=dpsm1 , (2.1.3)
unde: a este dimensiunea liniar ă cea mai mică a secțiunii transversale a conductorului (dac ă
este circular, raza acestuia), iar d este adâncimea de p ătrundere a undelor electromagnetice în
mediul conductor caracterizat prin conductivitatea s și permeabilitatea m .
2.1.2. Elemente de circuit
Elementele de circuit sunt modele idealizate (prin selectarea numai a uneia dintre
proprietățile lor electrice sau magnetice, considerat ă esențială, și neglijarea celorlalte), precis
definite, cu ajutorul c ărora putem reprezenta (modela) dispozitivele electrice și electronice,
care sunt obiecte fizice reale.
Dacă notăm cu xt() valoarea instantanee a semnalului de intrare aplicat elementului de
circuit și cu yt() valoarea instantanee a semnalului de ie șire, relația dintre cele dou ă mărimi,
care în cazul cel mai general se poate scrie sub forma
()ttxyty ),( )(= , (2.1.4)
se numește ecuație caracteristic ă a elementului de circuit.
După tipul ecuației (2.1.4), elementele de circuit se clasific ă în:
• elemente liniare invariabile în timp :
ytKxt () ()= , (2.1.5)
unde K este o constant ă.
• elemente liniare variabile în timp (parametrice) :
ytKtxt () ()() = . (2.1.6)
• elemente neliniare invariabile în timp :
( )0)(),( =tytxf . (2.1.7)
• elemente neliniare variabile în timp :
( )0 ),(),( =ttytxg . (2.1.8)
Un element de circuit este caracterizat printr-o rela ție între curentul și tensiunea la bornele
sale. Independent de natura perechii de m ărimi (,)xy, tensiunea ut() și intensitatea curentului
it() sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit, iar produsul lor:
ptutit () ()() = (2.1.9)
se numește putere instantanee .
Integrala în raport cu timpul a puterii instantanee pe intervalul (,)tt12 se numește energie
electrică
ttp Wt
td)(2
1∫= . (2.1.10)
Din punctul de vedere al valorilor puterii instantanee, elementele de circuit pot fi clasificate
în două categorii:

29 • elemente de circuit pasive , pentru care în orice punct al caracteristicii de func ționare
p>0, ceea ce înseamn ă că elementul de circuit prime ște putere pe la borne (rezistorul, bobina,
condensatorul);
• elemente de circuit active (sau surse), pentru care cel pu țin într-un punct al caracteristicii
de funcționare p<0 , ceea ce înseamn ă că elementul de circuit cedeaz ă putere pe la borne
(sursa de tensiune, sursa de curent).
2.1.2.1. Rezistorul
Este un element de circuit a c ărui ecuație caracteristic ă este de forma
Ri u uR b == . (2.1.11)
a) Rezistorul liniar invariabil în timp . Acest element de circuit al c ărui simbol este
reprezentat în figura 2.1.1,a, are ecuația caracteristic ă (numită și ecuație constitutiv ă)
utRit () ()= (2.1.12)
sau
itGut () ()= , (2.1.13)
unde R>0 este rezistența elementului m ăsurată în ohmi Ω și G>0 este conductan ța
acestuia, măsurată în siemens S.
Ecuațiile (2.1.12) și (2.1.13) reprezint ă în planul ( u,i) o dreaptă ce trece prin origine; ca
urmare, tensiunea și curentul au aceea și formă de variație în timp. Înmul țind ecuația (2.1.12) cu
i(t) sau (2.1.13) cu u(t) se obține puterea instantanee primit ă pe la borne de rezistor:
pt utit RitGu t () ()() () () = = =2 2. (2.1.14)
Indiferent de sensul de referin ță al tensiunii sau curentului, p>0 și corespunde efectului
electrocaloric de transformare ireversibil ă a energiei electrice în c ăldură.
Dacă R = 0 ( G → ∞) ecuația (2.1.12) devine:
ut()=0, (2.1.15)
caracteristică a scurtcircuitului .
Dacă R→∞ (G = 0) ecuația (2.1.13) devine:
it()=0 (2.1.16)
caracteristică a laturii în gol .
b) Rezistorul liniar variabil în timp (parametric) , are ecuația caracteristic ă
utRtit () ()() = , (2.1.17)
unde R(t) se numește rezistență parametric ă, simbolul său fiind cel din figura 2.1.1,b.
Un exemplu de astfel de element de circuit este poten țiometrul.
Caracteristicile (2.1.17) reprezint ă în planul ( u, i) o familie de drepte ce trec prin origine;
deci forma de varia ție în timp a tensiunii este diferit ă de cea a curentului. Acest tip de element
poate fi folosit la modelarea unui contactor real cu ajutorul unui contactor ideal și a două
rezistoare liniare și invariabile în timp, R1 de valoare foarte mare și R2 de valoare foarte mic ă.
c) Rezistorul neliniar (Fig. 2.1.1,c) invariabil în timp cu ecuația caracteristic ă:
( ),0)(),( =tituf (2.1.18)
respectiv

30 ( ),0 ),(),( =ttitug (2.1.19)
pentru cel variabil în timp .

Fig. 2.1.1
După forma ecuației caracteristice, aceste elemente pot fi simetrice sau nesimetrice în raport
cu originea. Din punct de vedere al m ărimii care fixeaz ă univoc poziția punctului de func ționare
pe curba caracteristic ă, rezistoarele neliniare se clasific ă în:
• rezistoare neliniare controlate în tensiune, având ecua ția caracteristic ă de forma
())( )( tuiti= sau )(ˆuii= ; (2.1.20)
• rezistoare neliniare controlate în curent, având ecua ția caracteristic ă de forma
())( )( tiutu= sau )(ˆiuu= . (2.1.21)
Un rezistor neliniar caracterizat de faptul c ă pentru orice tensiune u dată (curent i dat)
curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificat ă) se numește rezistor neliniar controlat în
tensiune (curent).
Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent și
termistorul, a c ăror rezisten ță variază cu temperatura, varistorul a c ărui caracteristic ă este
controlată în tensiune și dioda cu gaz, având caracteristica controlat ă în curent.
Dioda cu jonc țiune, dioda Zener și dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu
caracteristic ă controlată în tensiune. Un alt exemplu este arcul electric în curent continuu și în
curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil în timp.
2.1.2.2. Bobina
Bobina necuplat ă magnetic are ecua ția caracteristic ă
u utb L==d
dϕ, (2.1.22)
numită ecuația de evolu ție a bobinei, din care, prin integrare pe intervalul (0, t) se obține
')d'( )0( ;')d'( )0( )(0
0ttu ttu tt
∫ ∫
∞−= += j j j ; (2.1.23)
Relația (2.1.23), numit ă și ecuație de ereditate a bobinei, arat ă că fluxul magnetic la
momentul t depinde de valorile anterioare ale tensiunii, deci bobina este un element cu
memorie . De asemenea rezult ă că în intervalul (,)−∞∞ fluxul magnetic în bobin ă este o
funcție absolut continu ă în timp. Se spune că fluxul are un caracter conservativ.
Dacă rezistența bobinei este nenul ă ( ) R≠0, ecuația (2.1.22) pentru bobina real ă capătă
forma:
L R b u utRi u +=+=ddj, (2.1.24)

31 unde uR se numește cădere de tensiune rezistiv ă, iar uL- cădere de tensiune inductiv ă.
a) Bobina liniar ă, invariabil ă în timp și necuplat ă magnetic , cu simbolul din figura 2.1.2,a,
are ecuația caracteristic ă
()()tLit=j , (2.1.25)
unde L>0 este inductivitatea măsurată în henry [H], constant ă pentru o anumit ă bobină.
În planul ( ϕ,i) caracteristica (2.1.25) este o dreapt ă ce trece prin origine, în consecin ță
fluxul magnetic și curentul au aceea și formă de variație în timp.
Ținând seama de ecua țiile (2.1.22), și (2.1.25) se ob ține ecuația caracteristic ă :
ut Li
t()=d
d , (2.1.26)
din care, prin integrare pe intervalul (0, t) rezultă
.'d)'(1)0( ;'d)'(1)0()(0
0∫ ∫
∞−= += ttuLi ttuLitit
(2.1.27)
Integrând ecua ția (2.1.26) pe intervalul (, ) 0tt+d și scăzând apoi membru cu membru
ecuația (2.1.27), se ob ține:
.'d)'(1)()d(d
∫+
=−+tt
tttuLtitti (2.1.28)
Dacă tensiunea este m ărginită, utU ()< în intervalul 0,T, atunci integrala din (2.1.28)
tinde către zero când dt→0, și deci se anuleaz ă și membrul stâng al acestei ecua ții. Al tfel
spus, în aceste circumstan țe curentul prin bobin ă este uniform continuu în intervalul (0,T). El
nu poate avea un salt brusc de la o valoare finit ă la o altă valoare finită.
Bobina liniară invariabilă în timp și necuplată magnetic este complet caracterizat ă de
inductivitatea proprie L și de intensitatea curentului în momentul ini țial i()0. Proprietățile de
continuitate ale fluxului magnetic și curentului electric prin bobin ă sunt utilizate în studiul
regimului tranzitoriu.
Înmulțind ecuația (2.1.26) cu itd' și integrând pe intervalul (,)0t în condiția i()00=, se
obține energia Wm acumulată în câmpul magnetic al bobinei:
()() ()()()()
Lttit tLi iiLttitu Wi t
m2
2
0 021
21'd' 'd''jj = = = = = ∫ ∫, (2.1.29)
a cărei valoare este pozitiv ă.
b) Bobina liniar ă, variabilă în timp (parametric ă) și necuplat ă magnetic (Fig. 2.1.2,b) are
ecuația caracteristic ă
()()()titLt=j , (2.1.30)
unde L(t) se numește inductivitate parametric ă.
Ținând seama de ecua țiile (2.1.22) și (2.1.30) se ob ține
ut Lti
titL
t() () () = +d
dd
d . (2.1.31)
Primul termen din membrul drept se nume ște cădere de tensiune inductiv ă prin pulsa ție, iar
al doilea – cădere de tensiune inductiv ă parametric ă.

32 În planul ( ϕ,i) ecuația (2.1.30) reprezint ă o familie de drepte ce trec prin origine; ca urmare,
fluxul magnetic și curentul au forme diferite de varia ție.
Un exemplu de inductor parametric îl constituie un solenoid în interiorul c ăruia miezul
magnetic se deplaseaz ă alternativ.
c) Bobina neliniar ă (Fig. 2.1.2,c) este o bobin ă cu miez feromagnetic ce intr ă în
componența releelor, electromagne ților, transformatoarelor și mașinilor electrice. Caracteristica
ei flux-curent, numit ă caracteristică de magnetizare, este de forma:
()()( ).0 ,,=ttitgj (2.1.32)
numită curbă de histerezis .
Bobinele cu miez de fier pot fi modelate ca elemente de circuit, aproximând corespunz ător
forma caracteristicii, de exemplu prin segmente de dreapt ă.

Fig. 2.1.2
d) Bobine cuplate magnetic
Se spune că o bobină s parcursă de curentul is este cuplată magnetic cu alte ( l-1) bobine,
dacă fluxul magnetic ϕs este funcție și de intensitățile curenților ce parcurg aceste bobin e,
ecuația caracteristic ă a bobinei s fiind
()()()() ( )tti ti titil s s , ,…, ,…, ,2 1j j= . (2.1.33)
Dacă bobinele sunt liniare și invariabile în timp, ținând seama de rela țiile lui Maxwell pentru
inductivități, ecuația caracteristic ă (2.1.25) devine
∑
==l
kksk s iL
1j , (2.1.34)
în care mărimea
0>,0 sk i
ssd
s ss kiL L≠= ==j, (2.1.35)
se numește inductivitate proprie , iar mărimea
L Lisk ksds
ki sks===≠ϕ
0,,
(2.1.36)
putând fi pozitiv ă sau negativă, se numește inductivitate mutual ă.
Pentru a stabili ce semn se ia în considera ție în calculele din teoria circuitelor pentru
inductivitatea mutual ă, în schemele electrice se eviden țiază cu * bornele polarizate ale
bobinelor cuplate magnetic. Dac ă sensurile de referin ță ale curenților is și ik față de bornele
polarizate sunt identice (ambii intr ă sau ies din aceste borne), inductivitatea mutual ă este
pozitivă. În caz contrar, este negativ ă.

33 Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculeaz ă înlocuind rela ția (2.1.34) în
(2.1.22). Se ob ține astfel
u Li
tLi
tLi
ts sk
kl
k
ss
sk
kksl
k= = +
= =≠∑ ∑
1 1d
dd
dd
d, (2.1.37)
unde primul termen din membrul drept se nume ște cădere de tensiune inductiv ă proprie , iar al
doilea – cădere de tensiune inductiv ă mutuală.
Înmulțind ecuația (2.1.37) cu itsd' și integrând pe intervalul (0, t) în ipoteza i(0) = 0, se
obține expresia energiei magnetice înmagazinate în bobina s:
∫ ∑∫
≠=+ = =t l
skki
kssk ss ss ms iiL iL tiu W
0 10'' 2d 21'd . (2.1.38)
Primul termen din membrul drept se nume ște energie magnetic ă proprie și este strict
pozitiv, iar al doilea se nume ște energie magnetic ă mutuală și poate fi pozitiv sau negativ.
Energia magnetic ă totală a sistemului de l bobine cuplate magnetic are expresia
∫∑
==i
ksl
sksk m ii L W
0''
1,d. (2.1.39)
În cazul particular a dou ă bobine cuplate magnetic, se ob ține
W Li Li Liim= + +1
21
2112
222
1212, (2.1.40)
unde primul și al doilea termen reprezint ă energia magnetic ă înmagazinată în prima, respectiv a
doua bobină, iar ultimul termen reprezint ă energia magnetic ă de interacțiune.
2.1.2.3. Condensatorul
Considerând dielectricul condensatorului perfect izolant, legea conserv ării sarcinii electrice
conduce la rela ția dintre intensitatea curentului electric de conduc ție și sarcina electric ă sub
forma ecuației de evolu ție
iq
t=d
d. (2.1.41)
Integrată pe intervalul (0, t), ecuația (2.1.41) conduce la
'.d)'( )0( ;'d)'( )0()(0
0tti q tti qtqt
∫ ∫
∞−= += (2.1.42)
Relația (2.1.42) numit ă ecuația de ereditate a condensatorului, arat ă că sarcina electric ă la
momentul t, depinde de valorile anterioare ale curentului; prin urmare, condensatorul este un
element cu memorie.
Rezultă de asemenea c ă în intervalul (,)−∞∞ sarcina electric ă este o func ție absolut
continuă în timp ; altfel spus, sarcina electric ă nu variază discontinuu (are caracter conservativ).
a) Condensatorul liniar invariabil în timp , (Fig. 2.1.3,a) are ecua ția caracteristic ă
qtCut () ()= , (2.1.43)
unde C > 0 se numește capacitate și se măsoară în farazi [F].
În planul ( q, u) ecuația (2.1.43) reprezint ă o dreaptă ce trece prin origine, deci sarcina
electrică și tensiunea au aceea și formă de variație în timp.

34 Ținând seama de (2.1.43), ecua ția (2.1.41) devine
it Cu
t()=d
d, (2.1.44)
care prin integrare pe intervalul (0, t) conduce la
'.d)'(1=)0( ;'d)'(1)0()(0
0ttiCu ttiCutut
∫ ∫
∞−+= (2.1.45)
Condensatorul liniar și invariabil în timp este complet determinat de capacitatea C și de
tensiunea inițială u(0).
Înmulțind ecuația (2.1.44) cu utd' și integrând pe intervalul (0, t) în ipoteza u(0) = 0, se
obține energia acumulat ă în câmpul electric al condensatorului în acest interval
),()(21)(21)(21'd' 'd)'()'(2 2
0 0tutq tqCt Cu uuCttitu Wu t
e = = = = = ∫ ∫ (2.1.46)
a cărei valoare este pozitiv ă.
Printr-o demonstra ție similară celei pentru curentul prin bobin ă, se poate ar ăta că dacă
intensitatea curentului prin condensator este m ărginită, i(t) < I în intervalul [0, T], atunci
tensiunea electric ă la bornele condensatorului variaz ă continuu în intervalul (0, T). Altfel
spus, tensiunea la bornele unui condensator liniar invariabil în timp nu poate varia brusc de la o
valoare finită la o altă valoare finită.
Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice și a tensiunii la bornele condensatorului va fi
folosită în studiul regimului tranzitoriu.
b) Condensatorul liniar variabil în timp (parametric) cu simbolul din figura 2.1.3,b, are
ecuația caracteristic ă
qtCtut () ()() = , (2.1.47)
unde C(t) se numește capacitate parametric ă.
Din relația (2.1.41), ținând seama de (2.1.47), se ob ține
it Ctu
tutC
t() () () . = +d
dd
d (2.1.48)
Primul termen din membrul drept se nume ște component ă de pulsa ție a curentului , iar al
doilea – component ă parametric ă.
În planul ( q, u) ecuația (2.1.48) define ște o familie de drepte ce trec prin origine, deci
curbele de varia ție ale tensiunii și sarcinii electrice sunt diferite.
Un exemplu de condensator liniar variabil în timp este condensatorul cu arm ătură vibrantă.
c) Condensatorul neliniar (Fig. 2.1.3,c)
Condensatoarele reale au caracteristica q(u) neliniară (în general variabil ă în timp), de forma
( )0 ),(),( =ttutqf , (2.1.49)
reprezentată printr-o curbă de histerezis .
Ca și la bobina cu miez feromagnetic, condensatorul neliniar poate fi modelat ca element de
circuit, aproximând caracteristica neliniar ă prin segmente de dreapt ă.

35

Fig. 2.1.3
2.1.2.4. Sursa de tensiune
Sursa ideal ă independent ă de tensiune (Fig.2.1.4,a) este un element activ de circuit având
următoarea ecuație caracteristic ă:
utet i ()(), . = ∀ (2.1.50)
În planul ( u, i) caracteristica de func ționare este o dreapt ă paralelă cu axa curentului
(Fig.2.1.4,b).

Fig. 2.1.4

Rezultă că sursa ideală independentă de tensiune este un caz particular de rezistor neliniar
controlat în curent, caracterizat ă de faptul că pentru orice curent dat, tensiunea este unic
specificată.
Dacă et()=0, caracteristica (2.1.50) devine 0)(=tu , se reprezint ă pe axa curentului, și
sursa ideală independentă de tensiune devine un scurtcircuit ( ) R=0, proprietate important ă în
cadrul teoriei circuitelor electrice, folosit ă pentru pasivizarea acestor surse.
Semnificația fizică a definiției sursei ideale independente de tensiune este c ă circuitul
conectat la bornele sursei nu influen țează forma de und ă a tensiunii ei, ci numai curentul care
circulă prin sursă.
Puterea cedată de sursa de tensiune circuitului extern este:
ptutitetit () ()()()(). = = (2.1.51)
Dacă elementul de circuit degaj ă căldură prin efect electrocaloric, adic ă are rezistență
internă 0≠R , ecuația sa este:
ueRi=− . (2.1.52)
Un astfel de element se nume ște sursă reală de tensiune (Fig. 2.1.5,a). Caracteristica de
funcționare este o dreapt ă care nu trece prin origine (Fig. 2.1.5,b).

36

Fig. 2.1.5

Înmulțind relația (2.1.52) cu it(), se obține puterea electric ă cedată la borne de surs ă
pt utit etit Rit () ()() ()() () = = −2. (2.1.53)
Relația (2.1.50) arat ă că nu putem conecta în paralel (între acelea și borne) surse ideale de
tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare.
2.1.2.5. Sursa de curent
Sursa ideal ă independent ă de curent (Fig. 2.1.6,a) este o sursă de energie electromagnetic ă
având proprietatea de a debita un curent jt() independent de re țeaua conectat ă la bornele ei.
Semnificația fizică a definiției sursei ideale independente de curent este c ă, de data aceasta,
este prescrisă curba de varia ție a curentului sursei. Ea nu este influen țată de tensiunea la borne
determinată de circuitul extern, astfel încât ecua ția caracteristic ă a elementului este:
. ),()( u tj ti ∀ = (2.1.54)
În planul ( u,i) caracteristica este o dreapt ă paralelă cu axa tensiunii (Fig. 2.1.6,b).

Fig.2.1.6

Sursa independent ă de curent este un caz particular de rezistor neliniar controlat în tensiune,
deoarece, conform ecua ției caracteristice, pentru orice tensiune curentul este unic specificat.
Dacă jt()=0, caracteristica se reprezint ă pe axa tensiunii, și sursa ideală independentă de
curent devine o latur ă deschisă ( ) R→∞, proprietate de asemenea important ă în cadrul teoriei
circuitelor electrice, legat ă de pasivizarea acestor surse.
Puterea cedată de sursă circuitului extern este
ptutitutjt () ()() ()() = = . (2.1.55)
Schema echivalent ă a unei surse reale de curent este prezentat ă în figura 2.1.7,a, iar ecua ția
de funcționare este:
it jtGut () () (). =− (2.1.56)

Caracteristica de func ționare este o dreapt ă care nu trece prin origine (Fig. 2.1.7,b).

37

Fig. 2.1.7

Înmulțind relația (2.1.56) cu u(t) se obține puterea electric ă cedată la borne de surs ă:
pt utit utjt Gu t () ()() ()() (). = = −2 (2.1.57)
Relația (2.1.54) arat ă că nu putem conecta în serie (pe aceea și latură) surse de curent cu
valori diferite ale curen ților injectați.
2.1.3. Circuite electrice
2.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice
Circuitele sau re țelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate în diverse
moduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se ob ține astfel o structur ă cu un număr n de
borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare born ă se caracterizeaz ă prin curentul ik și
potențialul vk, iar diferența potențialelor a două borne se nume ște tensiune la borne .
Un circuit cu n borne de acces se nume ște multipol electric sau n-pol electric (Fig. 2.1.8). În
particular, dac ă n=2, circuitul se nume ște dipol , dacă n=3 – tripol și dacă n=4 – cuadripol
electric. Întâlnit ă și în reprezentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol a
circuitelor electrice (Fig. 2.1.9), se caracterizeaz ă prin intensitatea curentului absorbit printr-o
bornă și prin tensiunea între cele dou ă borne. Relația ufi=() sau igu=() se numește
caracteristica dipolului . Pentru sensurile de referin ță ale curentului și tensiunii la borne din
figură reprezentând convenția de la receptoare , puterea absorbit ă pe la borne de dipol,
pui=>0, iar dipolul se nume ște receptor . Pentru un sens invers al tensiunii la borne-
convenția de la generatoare , puterea la bornele dipolului p ui=−<0, iar dipolul se nume ște
generator .

Fig. 2.1.8

Fig. 2.1.9

Prin definiție circuitele ideale n – pol satisfac urm ătoarele condiții:

38 – în fiecare moment suma algebric ă a intensităților curenților bornelor de acces este nul ă;
– în fiecare moment puterea electromagnetic ă totală primită din exterior de circuitul n – pol
se exprimă conform teoremei puterii electromagnetice prin rela ția:
p vik
kn
k =
=∑
1. (2.1.58)
Asocierea a dou ă borne ai căror curenți sunt egali în valoare absolut ă și opuși ca semn,
constituie o poart ă. Un multipol ale c ărui borne sunt grupate astfel încât s ă constituie n porți se
numește multiport sau n – port (Fig.2.1.10). El se caracterizeaz ă prin tensiunile por ților și prin
intensitățile curenților acestora. Cuadripolul, având bornele grupate în dou ă porți, este un
diport (Fig. 2.1.11).

Fig. 2.1.10

Fig. 2.1.11

2.1.3.2. Regimurile de func ționare ale circuitelor electrice
După natura funcțiilor care exprim ă variația în timp a intensit ăților curenților și tensiunilor,
regimurile de func ționare ale circuitelor electrice se clasific ă în:
a) regim de curent continuu – în care mărimile de excita ție, intensitățile curenților, tensiunile
și potențialele electrice sunt constante în timp;
b) regim variabil – în care m ărimile de excita ție, intensitățile curenților, tensiunile și
potențialele electrice sunt func ții oarecare de timp;
c) regim periodic – în care m ărimile de excita ție, intensitățile curenților, tensiunile și
potențialele electrice sunt func ții periodice de timp.
Un regim periodic particular foarte important în practic ă este regimul sinusoidal.
Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de curent continuu sau
regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri
tranzitorii.
Rezolvarea sistemelor de ecua ții ce descriu func ționarea circuitelor electrice în unul din
regimurile de mai sus prezint ă particularități specifice fiec ărui regim, ceea ce determin ă
abordarea de tehnici de analiz ă specifice. Acestea se grupeaz ă în trei mari categorii:
1. Analiza regimurilor de curent continuu , cuprinzând metode de analiz ă ce conduc la
rezolvarea unui sistem de ecua ții algebrice care descriu func ționarea circuitului. Efortul de
calcul este determinat exclusiv de num ărul de ecuații ale sistemului. Cele mai utilizate metode
matematice în acest caz sunt algebra matriceal ă și metodele numerice de rezolvare a sistemelor
de ecuații algebrice.

39 2. Analiza regimurilor sinusoidale , cu ajutorul metodei simbolice a reprezent ării în
complex. Prin intermediul acestei tehnici, numit ă și metoda simbolic ă, sistemul de ecua ții
diferențiale ce descriu func ționarea circuitului în regim sinusoidal se transform ă într-un sistem
de ecuații algebrice, satisf ăcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a c ărui rezolvare este
mult mai simpl ă. Analiza se încheie prin revenirea din domeniul complex în domeniul real,
obținându-se astfel valorile instantanee ale m ărimilor electrice calculate – curen ți, tensiuni,
potențiale electrice.
3. Analiza regimurilor variabile oarecare , prin metoda opera țională. Tehnica cea mai
utilizată de analiză folosită în acest caz se bazeaz ă pe transformata Laplace, și permite
transformarea ecua țiilor diferențiale ale circuitului în ecua ții algebrice, satisf ăcute de
transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similar ă celei simbolice folosite în
analiza regimurilor sinusoidale. Dup ă obținerea soluțiilor sub forma transformatelor Laplace
(numite funcții imagine), se aplic ă transformata Laplace invers ă pentru a se ob ține valorile
instantanee ale necunoscutelor (numite func ții original). Pentru rezolvarea acestor regimuri
există însă și alte metode, care se bazeaz ă pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii.
2.1.4. Teoreme generale ale teoriei circuitelor electrice
2.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff
a) În regim cvasista ționar legea conserv ării sarcinii electrice pentru o suprafa ță închisă Σ
care înconjoar ă un nod oarecare ()nj al circuitului, intersecteaz ă toate conductoarele laturilor
l nk j∈() și nu trece prin dielectricii condensatoarelor, conduce la
iq
tΣΣ=− =d
d0. (2.1.59)
Dacă se atribuie semnul (+) curen ților care ies din nodul ()nj (au sensul de referin ță același
cu al normalei nΣ) și semnul ( -) celor care intr ă în nod, relația (2.1.59) conduce la
()
()Ak
lni
k j=
∈∑ 0. (2.1.60)
Relația (2.1.60) reprezint ă prima teorem ă a lui Kirchhoff, care se enun ță astfel: suma
algebrică a intensit ăților curen ților din laturile lk incidente în nodul ()nj al unui circuit este
nulă.
b) Aplicând legea induc ției electromagnetice pe conturul Γ, în ipoteza localiz ării câmpului
magnetic numai în bobine (având o valoare nul ă în afara elementelor de circuit) se ob ține
∫
ΓΓ = −= =Γ.0dd
tdsE eSj (2.1.61)
Descompunând curba închis ă Γ într-o sumă de curbe deschise ce urm ăresc liniile tensiunilor
la bornele laturilor lk ce formează bucla ()bh a circuitului, rela ția (2.1.61) conduce la
()
()Ak
lbu
k h=
∈∑ 0, (2.1.62)
relație ce reprezint ă teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric ă a tensiunilor la bornele
laturilor lk aparținând buclei ()bh a unui circuit este nul ă.
Din modul de deducere al ecua ției (2.1.62) rezult ă că semnul (+) se atribuie tensiunilor la
borne al căror sens de referin ță coincide cu cel al curbei Γ și semnul ( -) celorlalte.

Observație:

40 Teoremele lui Kirchhoff ob ținute sub formele (2.1.60) și (2.1.62) sunt independente de
natura elementelor de circuit și de modul de varia ție în timp a tensiunilor și curenților. Ele sunt
consecințe ale structurii topologice (derivând din modul de interconexiune a elementelor de
circuit) a rețelei.
2.1.4.2. Teorema lui Tellegen
Aceasta este o teorem ă generală, reprezentând o consecin ță directă a teoremelor lui
Kirchhoff.
Fiind date dou ă regimuri oarecare de func ționare ale unui circuit electric, notate cu ( ')
respectiv ( ''), curenții și tensiunile corespunz ătoare, care verific ă independent cele dou ă
teoreme ale lui Kirchhoff, satisfac urm ătoarele relații:
() 0="'tiu (2.1.63)
și
()() 0= − '""'t tiuiu , (2.1.64)
unde u este vectorul tensiunilor laturilor (por ților) circuitului, iar i este vectorul intensităților
curenților laturilor (porților) circuitului.
Demonstrarea celor dou ă relații se bazează pe proprietatea de ortogonalitate a matricelor de
incidență laturi-secțiuni și laturi-bucle, ceea ce le confer ă valabilitate atât pentru regimuri
diferite, produse de excita ții sau condiții inițiale diferite, într-un acela și circuit, cât și pentru
regimuri diferite ale unor circuite diferite, dar având aceea și structură topologică (același graf).
2.1.4.3. Teorema conserv ării puterilor
Pentru cazul particular când cele dou ă regimuri se confund ă, teorema lui Tellegen conduce
la următoarea relație între tensiunile și curenții porților, corespunz ătoare unui regim oarecare al
unui circuit:
uit⋅=0. (2.1.65)
Relația (2.1.65) reprezint ă teorema conserv ării puterilor instantanee . Dacă numărul total al
porților (elementelor) circuitului este np, relația mai poate fi exprimat ă în forma:
uit⋅= =
= =∑∑ui pkk k
kn
kn p p
1 1, (2.1.66)
unde p uik kk= , reprezintă puterea instantanee primit ă prin poarta k a (elementului) circuitului,
când sensurile curentului și tensiunii la bornele por ții sunt asociate dup ă convenția de la
receptoare.
Din (2.1.65) și (2.1.66) rezult ă expresia
ui pkk
kn
k
kn p p
= =
= =∑∑
1 10, (2.1.67)
cu enunțul: suma algebric ă a puterilor instantanee primite la por țile (bornele elementelor)
unui circuit este în fiecare moment nul ă.

2.1.4.4. Teorema surselor ideale cu ac țiune nulă (Vaschy)

41 a) Teorema surselor ideale de tensiune cu ac țiune nulă: dacă se introduc în serie cu fiecare
element conectat într-un nod al unui circuit surse ideale de tensiune, având aceea și t.e.m. și
orientate la fel fa ță de nod, tensiunile și curenții prin elementele circuitului nu se modific ă.
Demonstra ția teoremei este evident ă, căci introducerea surselor de tensiune nu schimb ă
ecuațiile lui Kirchhoff: prima nu se modific ă, iar în a doua termenii noi care apar ( ±e) , se
anulează reciproc.
Aplicații ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea tensiunii ini țiale
a unui condensator (echivalent ă cu o sursă de t.e.m.), anularea fluxului magnetic ini țial,
respectiv a curentului ini țial al unei bobine (condi ția inițială nenulă fiind reprezentat ă printr-o
sursă echivalentă de tensiune).
b) Teorema surselor ideale de curent cu ac țiune nulă: dacă în paralel cu fiecare element
(latură) de circuit ce formeaz ă un contur închis (bucla bh) se conecteaz ă câte o sursă ideală de
curent, orientat ă în sensul buclei și având aceea și intensitate, tensiunile și curenții prin
elementele circuitului nu se modific ă.
Validitatea teoremei este evident ă, căci introducerea surselor de curent nu schimb ă ecuațiile
Kirchhoff : în prima termenii noi ( ±j) care apar se anuleaz ă reciproc, iar a doua nu se
modifică.
Aplicații ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea sarcinii electrice
inițiale, respectiv a tensiunii ini țiale a unui condensator (condi ția inițială nenulă fiind
reprezentată printr-o surs ă echivalentă de curent), anularea curentului ini țial al unei bobine
(echivalent cu o surs ă de curent).
2.1.5. Metoda simbolic ă de reprezentare în complex a m ărimilor sinusoidale.
Într-un circuit electric liniar cu parametri concentra ți, aplicarea unor m ărimi de excita ție
(ex.: tensiuni electromotoare) sinusoidale de aceeași frecvență determină apariția unui regim
permanent sinusoidal. Calculul curen ților și tensiunilor din acest regim corespunde determin ării
soluției particulare a sistemului de ecua ții integro-diferen țiale obținut cu ajutorul teoremelor lui
Kirchhoff și al ecuațiilor caracteristice fiec ărei laturi, în regim dinamic.
Rezolvarea poate fi îns ă mult simplificat ă dacă se utilizează metoda reprezent ării în
complex a m ărimilor sinusoidale . În baza acestei metode, fiec ărei mărimi sinusoidale de forma
()a w+ = t Vtv sin2 )( (2.1.68)
îi corespunde o m ărime complexă notată cu {}vC sau V, care are ca modul valoarea efectiv ă a
mărimii sinusoidale și ca argument faza ini țială a acesteia :
{}
ajVeV tvCd
)( == , (2.1.69)
unde 1−=j .
Mărimea V reprezintă un vector (fazor) în planul complex. Aceast ă reprezentare conduce
deci la diagrame vectoriale (fazoriale) în planul complex, care se pot construi prin alegerea
arbitrară a originii de faz ă (a mărimii complexe cu faza ini țială nulă).
Metoda simbolic ă operează cu ajutorul urm ătoarelor teoreme:
1) Teorema combina țiilor liniare .
Complexul unei combina ții liniare de m ărimi sinusoidale având aceea și frecvență se obține
prin substituirea m ărimilor sinusoidale cu reprezent ările lor în complex:
∑ ∑
= ==

n
kk kn
kkk V v C
1 1l l , (2.1.70)

42 unde λk sunt constante reale. Rezult ă deci că mărimea complex ă echivalentă se obține prin
adunarea vectorilor k kVl .
2) Teorema derivatei .
Complexul derivatei în raport cu timpul a unei m ărimi sinusoidale este egal cu complexul
mărimii sinusoidale multiplicat cu wj:
VjtvC w=


dd. (2.1.71)
Deci în domeniul complex acestei opera ții îi corespunde cre șterea modulului m ărimii de w
ori și majorării argumentului cu p/2 (rotirea vectorului cu p/2 în sens trigonometric).
3) Teorema integralei .
Complexul integralei nedefinite în raport cu timpul a unei m ărimi sinusoidale este egal cu
complexul mărimii sinusoidale împ ărțit la wj:
{} V
jtvC
w1d=∫ . (2.1.72)
Operației de integrare în raport cu timpul a unei m ărimi sinusoidale îi corespunde, în
domeniul reprezent ării în complex, reducerea modulului de w ori și micșorarea argumentului cu
p/2 (rotirea vectorului cu p/2 în sens orar).
Pe baza teoremelor de sus, metoda simbolic ă reduce problema rezolv ării unui sistem de
ecuații integro-diferen țiale liniare, cu termenul liber variind în timp sinusoidal, la rezolvarea
unui sistem de ecua ții algebrice, ale c ărui variabile sunt imaginile (reprezent ările complexe) ale
mărimilor sinusoidale respective (curen ți sau tensiuni necunoscute).
Deoarece coresponden ța dintre mărimea sinusoidal ă și complexul său este biunivoc ă, odată
cunoscută soluția sistemului de ecua ții algebrice complexe (ex.: valorile complexe ale
curenților), se poate reveni la solu ția în domeniul timpului cu rela ția:
{ }tjeV tvw2 Im)(= . (2.1.73)
2.1.6. Ecua țiile lui Kirchhoff în form ă simbolică.
Pentru un circuit electric liniar cu l laturi și n noduri, con ținând rezistoare, bobine,
condensatoare și surse ideale independente de tensiune, ecua țiile lui Kirchhoff în valori
instantanee (în regim dinamic) au expresiile:
1,1 ;0
)()( −= =∑
∈n j i
j kA
nlk ; (2.1.74)
și
1 ,1 ; d1
dd
dd
)( )( 1)( )( +−= =




+ + + ∑ ∑ ∫ ∑
∈ ∈
≠=nl h e tiCtiLtiLiR
h kA
h kA
blk
blk
kl
kppp
kpk
k kk . (2.1.75)
și constituie un sistem complet de ecua ții independente ( n-1 cu prima teorem ă și l-n+1 cu
teorema a doua). Solu țiile particulare sinusoidale ale acestui sistem, cu reprezent ări în complex,
satisfac conform teoremelor (2.1.70. 2.1.71, 2.1.72) urm ătoarele ecuații algebrice complexe:
1,1 ;0
)()( −= =∑
∈n j I
j kA
nlk (2.1.76)

43 1 ,1 ;1
)( )( 1)( )( +−= =




+ + + ∑ ∑ ∑
∈ ∈
≠=nl h E ICjILj ILj IR
h kA
h kA
blk
blk
kpl
kppkp kk kkww w
(2.1.77)
Relațiile (2.1.76) și (2.1.77) reprezint ă prima, respectiv a doua teorem ă a lui Kirchhoff în
complex și au următorul enunț:
„Suma algebric ă a reprezent ărilor în complex ale curen ților laturilor conectate într-un
nod este egal ă cu zero ”, respectiv
„Suma algebric ă a reprezent ărilor în complex ale c ăderilor de tensiune rezistive ()kkIR ,
inductive




+∑
≠=pl
kppkp kk ILj ILj
1w w , capacitive 



k
kICjw1, este egal ă, de-a lungul
fiecărei bucle independente h, cu suma algebric ă a reprezent ărilor în complex ale t.e.m. ()kE
ale surselor independente de tensiune ”.
Căderile de tensiune rezistive, inductive și capacitive se reprezint ă în complex sub forma
comună kkIZ , în care impedan ța complexă kZ are relațiile de definiție:

kC kp m k L k RCjZ Lj Z Lj Z R Zk kp k kww w1 ; ; ; = = = = , (2.1.78)
corespunzătoare unui rezistor de rezisten ță Rk, unei bobine ideale de inductivitate Lk, unui
cuplaj magnetic cu inductivitatea mutual ă Lkp, sau unui condensator de capacitate Ck.
Inductivitatea mutual ă Lkp este pozitivă (negativă) după cum curenții p kII, au sensuri
identice (contrare) fa ță de bornele polarizate ale celor dou ă bobine cuplate magnetic.
Impedanța complexă a laturii lk este:
k k
kk k k jX RCLj R Z +=


− +=ww1d
, (2.1.79)
unde Rk este rezisten ța iar Xk reactanța laturii, cu k k C L k X X X −= , k L L Xkw= -reactanța
inductivă, iar k C C Xkw/1= – reactanța capacitivă.
2.1.7. Legea lui Ohm în complex.
Pentru o latur ă de circuit necuplat ă magnetic cu alte laturi, (Fig. 2.1.12), se poate scrie
legea lui Ohm în complex sub forma:
kk k k IZ E U =+ . (2.1.80)
Dacă latura k este cuplată magnetic cu alte q laturi
∑
≠=+ =+q
kppp mkp kk k k I Z IZ E U
1, (2.1.81)
semnificația mărimilor fiind cea de mai sus.
Relația (2.1.80) se mai poate scrie sub forma:
k kk k E IZ U − = . (2.1.82)
2.1.8. Regula divizorului de tensiune.

44 Tensiunea aplicat ă la bornele celor dou ă impedanțe înseriate din figura 2.1.13 se distribuie
pe acestea dup ă relațiile:

2 11
1Z ZZU U
+= , (2.1.83)

2 12
2Z ZZU U
+= . (2.1.84)
Impedanța echivalentă a laturii este:
2 1Z Z Ze+= . (2.1.85)
În general impedan ța echivalentă a unei conexiuni serie este:
( )
∑ ∑ ∑∑
= = = == = + = =n
kk esn
kk esn
kn
kk k k es X X;R R;jX R Z Z
1 1 1 1 . (2.1.86)
Relația generală de calcul a tensiunii în divizor este:

∑
== ==n
kkj
esj
j j
ZZUZZUIZ U
1. (2.1.87)
2.1.9. Regula divizorului de curent.
Curentul absorbit de ansamblul celor dou ă impedanțe conectate
în paralel din figura 2.1.14, se distribuie pe cele dou ă laturi conform
relațiilor:

2 12
2 11
1Z ZZI
Y YYI I
+=
+= , (2.1.88)

2 11
2 12
2Z ZZI
Y YYI I
+=
+= . (2.1.89)
Admitanța echivalentă a conexiunii este:
2 1Y Y Ye+= , (2.1.90)
iar impedanța echivalentă:

2 121
Z ZZZZe+= . (2.1.91)
În general, admitan ța, respectiv conductan ța și susceptanța, și impedanța echivalentă a unei
conexiuni paralel se exprim ă cu relațiile:
( )
; ; ;
1 1 1 1∑ ∑ ∑∑
= = = == = + = =n
kk epn
kk epn
kk kn
kk ep B B G G jB G Y Y , (2.1.92)

∑
==n
kkep
ZZ
11. (2.1.93)
Relația generală de calcul a curentului dintr-o deriva ție este:

45
∑
== = =n
kk jepj
j j
Z ZIYYI YU I
11. (2.1.94)
2.1.10. Teorema de conservare a puterilor.
Puterea complex ă primită pe la borne în regim sinusoidal de o latur ă completă de circuit ca
cea reprezentat ă în figura 2.1.12, are expresia:
*
kk k IU S= , (2.1.95)
unde *,k kIU sunt respectiv complexul tensiunii la borne și complexul conjugat al intensit ății
curentului în latur ă, exprimate fa ță de sensurile de referin ță indicate în figur ă.
Se poate demonstra c ă puterea complex ă primită în regim sinusoidal de un circuit electric
izolat de exterior, pe la bornele celor l laturi este nul ă, adică:
∑∑
= == = =l
kkkl
kk IU S S
1*
10.
(2.1.96)
Dacă ținem seama de (2.1.82), rezult ă:
( )
0*
1= − =∑
=kl
kk kk IE IZ S , (2.1.97)
adică
2 *
kk kk IZ IE= , (2.1.98)
reprezentând ecua ția de bilanț al puterilor: puterea complex ă generată (gS) = puterea
complexă consumată (cS). Dezvoltând termenul din partea dreapt ă se pun în eviden ță puterile
activă (Pc) și reactivă (Qc) consumate:
( )c c kk kk k k k kk c jQ P IjX IR IjX R IZ S += + = += =2 2 2 2. (2.1.99)
2.1.11. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin).
Un circuit electric liniar aflat în regim sinusoidal admite o schem ă echivalentă cu sursă de
tensiune eE și impedanță echivalentă eZ.
Dacă între bornele A și B ale unui circuit electric
liniar aflat în regim sinusoidal se conecteaz ă o latură
cu impedanța complexă ABZ și t.e.m. complex ă
ABE (Fig. 2.1.15), valoarea complex ă a intensității
curentului prin aceast ă latură este:
AB ABAB AB
ABZ ZE UI++=
00,
(2.1.100)
unde
0ABU reprezintă valoarea complex ă a tensiunii între bornele A și B la funcționarea în gol
(fără latura A,B);

46 0ABZ reprezintă impedanța complexă echivalentă a circuitului pasivizat în raport cu bornele
A și B, înainte de conectarea laturiiA,B:

ABsccAB
ABIUZ0
0= . (2.1.101)
Dacă latura A,B este pasiv ă ( )0=ABE , relația (2.1.100) ia forma:

AB ABAB
ABZ ZUI
+=
00. (2.1.102)
2.1.12. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton).
Un circuit electric liniar aflat în regim sinusoidal admite o schem ă echivalentă cu sursă de
curent eJ și admitanță echivalentă eY (Fig. 2.1 16).

Dacă între două borne de acces A și B ale acestui circuit se conecteaz ă un receptor de
admitanță ABY în paralel cu o surs ă ideală de curent ABJ, tensiunea complex ă între aceste
borne este:
AB ABAB ABscc
ABY YJ IU
+−=
0, (2.1.103)
cu
ABsccI – valoarea complex ă a curentului prin latura A,B când bornele A și B sunt
scurtcircuitate în absen ța sursei ABJ;
0ABY – admitanța complexă echivalentă în raport cu bornele A și B când circuitul este
pasivizat și receptorul nu este conectat,

0 001
ABABscc
ABABUI
ZY = = . (2.1.104)
Dacă 0=ABJ , relația (2.1.103) ia forma:

AB ABABscc
ABY YIU+=
0. (2.1.105)

47 2.2. CIRCUITE TRIFAZATE
2.2.1. Sisteme de m ărimi trifazate
Un ansamblu de trei m ărimi sinusoidale ordonate, de aceea și frecvență, defazate între ele,
se numește sistem trifazat și poate fi exprimat cu rela ția
.3,1 ), sin(2 = + = k t V vk k k g w (2.2.1)
Dacă valorile efective ale m ărimilor sistemului sunt egale
3 2 1 V V V == (2.2.2)
și defazajele între dou ă mărimi consecutive sunt
,32
3 2 2 1 apg g g g =−=− (2.2.3)
sistemul se nume ște trifazat simetric .
Dacă 1=α sistemul se nume ște de succesiune direct ă, iar vectorii 3 2 1 ,,VVV
(reprezentând imaginile complexe ale celor trei m ărimi sinusoidale) sunt ordona ți în sens orar.
Dacă 1−=α sistemul se nume ște de succesiune invers ă, iar cei trei vectori sunt

ordonați în sens trigonometric. Valoarea 0=a corespunde sistemului de succesiune
homopolar ă, pentru care cei trei vectori sunt în faz ă.
a) Fie sistemul trifazat simetric direct format din m ărimile

)32( 2 )34( 2)32( 2) ( 2
321
π+γ+ω =π−γ+ω =π−γ+ω =γ+ω =
t sin V t sin Vvt sin V vt sin Vv
(2.2.4)
mărimea v2 fiind defazată în urma mărimii v1, iar mărimea v3 în urma mărimii v2, ca în figura
2.2.1.

Fig. 2.2.1

Fig. 2.2.2

48 Reprezentarea în complex a m ărimilor sistemului (2.2.4) conduce la rela țiile
.32)32(
32 32)
32(
21
Va eV Ve VVa eV Ve VV Ve V
j jj jj
= = == = ===
+− −
p pgp pgg
(2.2.5)
a căror reprezentare în planul complex este dat ă în figura 2.2.2.
În relațiile (2.2.5) s-a introdus operatorul complex de rota ție
,23
2132
j eaj
+−= =p
(2.2.6)
care rotește vectorul pe care-l înmul țește cu 32π în sens trigonometric .
Înmulțirea cu a2 rotește vectorul în sens orar cu 32p.

Operatorul a are următoarele propriet ăți:
,1 , ,, )(, ,1
3 6 3 23 5 2 13 4*2 * 2
=== == === = =
+ + n n na a a a a a a aaa a a a a
(2.2.7)
0 12=++ aa (2.2.8)
b) Un sistem trifazat simetric invers este compus din m ărimile:
)32( 2 )34( 2)32( 2) ( 2
321
π−γ+ω =π+γ+ω =π+γ+ω =γ+ω =
t sin V t sin Vvt sin Vvt sin Vv
(2.2.9)
mărimea v2 fiind defazată înaintea mărimii v1, iar mărimea v3 înaintea mărimii v2, ca în figura
2.2.3.
Reprezentarea în complex a celor trei m ărimi sinusoidale conduce la sistemul
Va eV Ve VVa eV Ve VV Ve V
j ) (jj ) (jj
2 32
32
332
32
21
= = == = ===
π−π−γπ π+γγ
, (2.2.10)
iar diagrama vectorial ă este dată în figura 2.2.4.

49

Fig. 2.2.3
Fig. 2.2.4
Teorema 2.2.1. Suma mărimilor unui sistem trifazat simetric de succesiune direct ă sau
inversă este nulă atât în valori complexe cât și în valori instantanee .
Pentru demonstrarea teoremei în valori complexe se utilizeaz ă relația (2.2.8)
, )a a(V V V V 0 12
3 2 1 =++=++ (2.2.11)
iar forma în valori instantanee a teoremei,
03 2 1 =++ v v v (2.2.12)
se demonstreaz ă pe baza propriet ăților funcțiilor trigonometrice.
Teorema 2.2.2. Fie sistemul trifazat simetric de succesiune direct ă sau invers ă
.,,3 2 1 VVV Sistemul format din m ărimile diferen ță a câte dou ă mărimi consecutive ale
acestuia este tot un sistem trifazat simetric de aceea și succesiune ca și mărimile .,,3 2 1 VVV
Demonstra ție. Fie sistemul 3 2 1 ,,VVV de succesiune direct ă. Sistemul mărimilor diferen ță
este compus din m ărimile
65
1 3 312 2 2
3 2 236 2 2
2 1 12
3 133 1
ππ−π
=−=−=−==− =−=−==−=−=−=
jjj
eV ) a(VVVa V V VeV )a a(VVaVa V V VeV )a(VVaV V V V
. (2.2.13)
După cum se observ ă, valoarea efectiv ă a mărimilor diferen ță este aceeași și de 3 ori mai
mare decât valoarea efectiv ă V, mărimile complexe 31 23 12 , , V V V sunt defazate cu 6p înainte
față de mărimile 3 2 1 ,,VVV , iar defazajele între dou ă mărimi consecutive ale noului sistem
sunt 32p. Să reținem deci pentru m ărimea 12V relațiile

50

Fig. 2.2.5
V V 312= (2.2.14)
.6arg arg12p+ = V V (2.2.15)
Reprezentarea vectorial ă a celor
două sisteme de importan ță practică
deosebită, este reprezentat ă în figura
2.2.5.
O demonstrație similară se poate face
considerând sistemul 3 2 1 ,,VVV de
succesiune invers ă.

În acest caz se ob țin relațiile
. 3 )1 (3 ) (3 ) 1(
65
2 2
1 3 312 2 2
3 2 236
2 1 12
ppp
jjj
eV aVVVa V V VeV aaVVaVa V V VeV a VVaV V V V
−−
=− =−=−==−=−=−==−=−=−=
(2.2.16)

Observație
Se numește regim (trifazat) simetric, regimul în care m ărimile electrice (curen ții și
tensiunile) formeaz ă sisteme trifazate simetrice de succesiune direct ă sau invers ă.
c) Un sistem homopolar este format din trei m ărimi sinusoidale cu valori efective egale și
în fază
), sin(23 2 1 gw+ === t V v v v (2.2.17)
adică în reprezentare complex ă
gjVeV V V V ====3 2 1 . (2.2.18)
Evident, diferen ța a două mărimi consecutive este nul ă, iar suma tuturor este
. 3 33 2 1gjVe V V V V ==++ (2.2.19)
2.2.2. Conexiunile circuitelor trifazate
Sistemele trifazate pot func ționa în una din urm ătoarele conexiuni:
– în conexiune stea, ob ținută prin legarea sfâr șitului celor trei faze la un acela și punct numit
neutru sau nul;
– în conexiune triunghi, realizat ă prin legarea sfâr șitului fiecărei faze la începutul fazei
următoare.
2.2.2.1. Conexiunea stea în regim simetric
În figura 2.2.6. este reprezentat un sistem trifazat compus din generator, linie de transmisie
și receptor, elementele terminale fiind conectate în stea. Consider ăm (pentru moment) c ă
impedanțele pe faze ale celor trei componente ale sistemului sunt egale, adic ă
gj
g g g g eZ Z Z Zj===3 2 1 etc.

51

Fig. 2.6

Fig. 2.2.6

Punctul comun la care se conecteaz ă bornele fazelor generatorului, notat cu 0, se nume ște
neutrul (nulul ) generatorului , în timp ce punctul comun la care se conecteaz ă bornele
impedanțelor de fază ale receptorului, notat cu N, se numește neutrul (nulul ) receptorului .
Conexiunea stea având trei conductoare de faz ă – poate fi completat ă cu un conductor
conectat între cele dou ă neutre și numit conductor neutru sau fir de nul . Între tensiunile de
fază ale generatorului (tensiunile între fiecare din bornele 1,2,3 și neutrul 0), notate cu
3 2 1,,uuu și tensiunile de linie (între fazele corespunz ătoare) la borne, notate cu
,,,31 23 12 uuu pentru sensurile de referin ță din figura 2.2.6, se pot scrie cu ajutorul teoremei a
doua a lui Kirchhoff rela țiile
, , ,1 3 31 3 2 23 2 1 12 u u u u u u u u u −= −= −= (2.2.20)
respectiv
. , ,1 3 31 3 2 23 2 1 12 U U U U U U U U U −= −= −= (2.2.21)
Sistemul tensiunilor fiind simetric, conform rela ției (2.2.14) rezult ă
, 3fg lg U U= (2.2.22)
unde s-a notat cu Ul valoarea efectiv ă a tensiunilor de linie, respectiv cu Uf valoarea efectiv ă
a tensiunilor de faz ă.
Similar între tensiunile de faz ă ale receptorului (tensiunile între fiecare din bornele 1',2',3'
și neutrul N), notate cu N N N u uu3 2 1 , , și tensiunile de linie la bornele receptorului, notate cu
'1'3'3'2'2'1 , , u u u există relația
. 3fr lr U U= (2.2.23)
Aplicând prima teorem ă a lui Kirchhoff în punctul N rezult ă (pentru circuitul cu fir neutru)
.0 3 2 1 iiii =++ (2.2.24)
Cum regimul este simetric, conform rela ției (2.2.12), avem

52 ,00=i (2.2.25)
relație valabilă indiferent dac ă există fir de nul sau nu.
Rezultă că indiferent de valoarea impedan ței firului neutru )0 (0≥Z căderea de tensiune
0Nu este nulă.
Pentru sistemul trifazat din figura 2.2.6 curen ții în fazele generatorului, liniei și
receptorului sunt egali, adic ă
.fr l fg II I == (2.2.26)
2.2.2.2. Conexiunea triunghi în regim simetric
Dacă într-un sistem trifazat alc ătuit din generator, linie de transmisie și receptor,
elementele terminale sunt conectate în triunghi, se ob ține schema din figura 2.2.7.

Fig. 2.2.7

Notând cu 31 23 12 ,,iii și ,,,'1'3'3'2'2'1 iii curenții din fazele generatorului, respectiv ale
receptorului, și cu 321,,iii curenții de linie, aplicând prima teorem ă a lui Kirchhoff se ob țin
relațiile
, , ,'3'2 '1'3 23 31 3 '2'1 '3'2 12 23 2 '1'3 '2'1 31 12 1 i i i ii i i i ii i i i ii −=−= −=−= −=−= (2.2.27)
respectiv
. , ,'3'2 '1'3 23 31 3 '2'1 '3'2 12 23 2 '1'3 '2'1 31 12 1 I I I I I I I I I I I I I I I −=−= −=−= −=−=
(2.2.28)
Regimul fiind simetric, conform cu rela ția (2.2.14), între valoarea efectiv ă a curenților de
linie și cea a curenților de fază ai generatorului, respectiv receptorului, exist ă relația
. 3 3fr fg l I I I = = (2.2.29)
În cazul conexiunii triunghi, tensiunile de faz ă ale generatorului, respectiv receptorului,
sunt egale cu tensiunile de linie la bornele acestora, adic ă între valorile efective ale acestor
tensiuni există relațiile
lg fgU U= , respectiv .lr frU U= (2.2.30)
Observație
În regim simetric, în oricare conexiune, suma curen ților de linie și suma tensiunilor de
linie este nul ă atât în valori instantanee cât și complexe.

53 2.2.3. Circuite trifazate cu cuplaje magnetice
2.2.3.1. Receptor trifazat în conexiune stea cu cuplaje magnetice
Considerăm un receptor în conexiune stea având impedan țe egale pe faze
( )Z Z Z Z ===3 2 1 fără conductor neutru, care prezint ă cuplaje magnetice statice între faze
(fig. 2.2.8,a).

Teorema a doua a lui Kirchhoff aplicat ă pe buclele b1 și b2 conduce la ecua țiile
3 3 1 2 2 1 12 IZ IZIZ IZ IZIZ Um m m m + − − +−=
,1 1 2 3 3 2 23 IZIZ IZ IZ IZ IZ Um m m m − + − +−= (2.2.31)
din care se ob țin relațiile
,) ( ) (2 1 12 IZZ IZZ Um m −− −=
,) ( ) (3 2 23 IZZ IZZ Um m −− −= (2.2.32)
ce corespund schemei echivalente f ără cuplaje magnetice din figura 2.2.8,b.
2.2.3.2. Receptor trifazat în conexiune triunghi cu cuplaje magnetice
Fie un receptor echilibrat în conexiune triunghi având cuplaje magnetice între faze (Fig.
2.2.9,a).
Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe cele trei bucle ob ținem
), (31 23 12 23 31 12 12 I IZ IZ IZ IZ IZ Um m m + + = + + =
), (31 12 23 31 12 23 23 I IZ IZ IZ IZ IZ Um m m + + = + + = (2.2.33)
). (23 12 31 23 12 31 31 I IZ IZ IZ IZ IZ Um m m + + = + + =
Adunând cele trei ecua ții și ținând seama c ă suma tensiunilor de linie este nul ă, rezultă
.0) )( 2 (31 23 12 =++ + I I I Z Zm (2.2.34)

54 Cum primul termen este diferit de zero datorit ă rezistențelor pozitive ale laturilor, rezult ă
relația
.031 23 12 =++ I I I (2.2.35)
Ținând seama de ecua ția (2.2.35), sistemul (2.2.33) devine
,) ( ,) ( ,) (31 31 23 23 12 12 IZZ U IZZ U IZZ Um m m −= −= −= (2.2.36)
corespunzând schemei echivalente f ără cuplaje magnetice din figura 2.2.9,b.
2.2.3.3. Linie trifazat ă cu cuplaje magnetice între conductoarele fazelor
Pentru linia trifazat ă reprezentată în figura 2.10,a, se calculeaz ă căderea de tensiune pe
impedanța fazei 1:
). (3 2 1 3 2 1 1 I IZIZ IZ IZIZ Um l m m l + + = + + = (2.2.37)
Dacă sistemul curen ților de linie este simetric,
03 2 1 =++ I II , (2.2.38)
ecuația (2.2.37) devine
1 1 ) ( IZ Z Um l−= (2.2.39)
și corespunde schemei echivalente din figura 2.2.10,b, fazele liniei fiind identice.

2.2.4. Analiza circuitelor trifazate alimentate cu tensiuni simetrice
2.2.4.1. Receptor dezechilibrat în conexiune stea
Definiții:
Ø Circuitele (receptoarele) trifazate (indiferent de conexiune) care au impedan țele de
fază egale în modul și argument, adic ă
,3 2 1jj
f f f ZeZ Z Z Z ==== (2.2.40)
se numesc circuite (receptoare) echilibrate .
Ø Dacă cel puțin una din ecua țiile care deriv ă din relația (2.2.40) nu este satisf ăcută,
circuitul (receptorul) se nume ște dezechilibrat .
Fie circuitul dezechilibrat în conexiune stea reprezentat în figura 2.2.11.

55

Fig. 2.2.11
Sistemul simetric al tensiunilor de alimentare poate fi pus sub forma

.,,
1 312
21
Ua UUa UeU Uj
f
===a
(2.2.41)
a) Când întrerup ătorul K este închis pe pozi ția a, receptorul are conexiune stea cu
conductor neutru de impedan ță .00≠Z Curenții de fază, aceeași cu cei de linie, se exprim ă
cu legea lui Ohm în complex, prelucrat ă cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff, prin
relațiile

), U U(YZUI), U U(YZUI), U U(YZUI
NNNNNN
0 3 3
33
30 2 2
22
20 1 1
11
1
− = =− = =− = =
(2.2.42)
iar curentul din conductorul neutru, în mod similar
.0 0
00
0 NNUYZUI = = (2.2.43)
Aplicând prima teorem ă a lui Kirchhoff în nodul N, rezult ă:
,0 3 2 1 I I I I =++ (2.2.44)
și ținând seama de rela țiile (2.2.42) și (2.2.43) se ob ține
.0) (0 3 2 1 0 3 3 2 2 11 =+++ − + + Y Y Y Y U UY UY UYN (2.2.45)
Relația (2.2.45) permite calculul tensiunii 0NU numită tensiunea de deplasare a neutrului ,
sau simplu – deplasarea neutrului :

56 .
0 3 2 13 3 2 2 11
0 0Y Y Y YUY UY UYV V UN N++++ +=−= (2.2.46)
Odată calculată tensiunea ,0NU curenții se calculeaz ă cu relațiile (2.2.42) și (2.2.43) .
b) Dacă întrerupătorul K se închide pe pozi ția b, receptorul este conectat în stea cu
conductor neutru de impedan ță .00=Z În acest caz deplasarea neutrului este nul ă, adică
,00 0 =−= V V UN N (2.2.47)
potențialele celor dou ă neutre fiind egale ). (0V VN=
Curenții de fază (egali cu cei de linie) se calculeaz ă cu relațiile
, , ,3 3 3 2 2 2 11 1 UY I UY I UYI = = = (2.2.48)
iar
.3 2 1 0 I I I I ++= (2.2.49)
c) În cazul în care întrerup ătorul K rămâne deschis, receptorul este conectat în stea fără
conductor neutru (cu neutrul izolat ), ceea ce echivaleaz ă cu relația . Z∞→0
În această situație prima teorem ă a lui Kirchhoff conduce la rela ția
,03 2 1 =++ I I I (2.2.50)
din care, ținând seama de ecua țiile (2.2.42), ob ținem
.
3 2 13 3 2 2 11
0 0Y Y YUY UY UYV V UN N+++ +=−= (2.2.51)
Același rezultat se ob ține dacă în relația (2.2.46) se înlocuie ște .0 /10 0 = =Z Y
După calculul tensiunii 0NU cu relația (2.2.51), curen ții fazelor receptorului se calculeaz ă
cu relațiile (2.2.42).
Dacă nu se cunosc (sau nu se pot determina prin m ăsurare pentru c ă neutrul rețelei nu este
accesibil) tensiunile de faz ă, dar se cunosc sau se pot m ăsura tensiunile de linie (între faze),
curenții se exprimă cu relațiile

). () (
2 23 3 3 3 32 2 22 12 1 11 1
N NNN N
U U Y UY IUY IU UY UYI
+−= ==+ = =
(2.2.52)
Substituind aceste rela ții în (2.2.50) se determin ă tensiunea pe faza a doua a receptorului
.
3 2 1121 23 3
2Y Y YUY UYUN++−= (2.2.53)
Cum tensiunile de linie satisfac rela ția
,031 23 12 =++ U U U (2.2.54)
se obțin expresiile curen ților sub forma
3 2 131 3 12 2
1 1Y Y YUY UYYI++−=

57 3 2 1121 23 3
2 2Y Y YUY UYY I
++−= (2.2.55)
.
3 2 123 2 31 1
33 3Y Y YUY UYY I
++−=
Exemplul E.2.2.1
Receptorul trifazat din figura E.2.2.1 este alimentat
cu un sistem simetric de tensiuni cu tensiunea fazei 1
. 1201 V U= Să se calculeze curen ții fazelor și
curentul din firul de nul când se cunosc urm ătoarele
valori ale parametrilor:
.310 X ,3/10 X , 10
2 L21 L0 3 2
Ω = =Ω == Ω==
CC
XX R R
Fig. E.2.2.1
Soluție:
Se calculează impedanțele receptorului în conexiune stea cu conductor neutru:
.
310Z ;10 ;10 ;
310
0 0 3 3 2 2 2 2 1 1 j jX R Z jX jX R Z j jX ZL C L C = = == = − += −= −=
Receptorul fiind dezechilibrat se calculeaz ă deplasarea neutrului:
, 120
103
101
101
103101
101
103120
3232
32
0 3 2 133 22 11
0pp p
jj j
N e
j je ej
Y Y Y YYU YU YUU =
−++



+ +
=++++ +=−

apoi tensiunile fazelor

.0 120 1203 120 120 1203 120 120 120
32
32
0 3 32 32
32
0 2 26 32
0 1 1
= − =−== − =−== −=−=
− −−
p pp p pp p
j j
N Nj j j
N Nj j
N N
e e U U Ue e e U U Ue e U U U

Curenții fazelor se calculeaz ă cu legea lui Ohm:
,0 , 312103 120 , 36
3103 120
322
22
236
11
1 = = = = =
−= =−− −
I ee
ZUI e
je
ZUIjj
Njj
Npp
pp

iar curentul din firul de nul cu prima teorem ă a lui Kirchhoff:
. 312 312 366 2 3
3 2 1 0p p pj j j
e e e I I I I = + =++=−

2.2.4.2. Receptor echilibrat în conexiune stea
Pentru acest tip de receptor este satisf ăcută relația (2.2.40), ceea ce conduce la egalitatea
admitanțelor

58 .3 2 1jjYeY Y Y Y−==== (2.2.56)
Tensiunile aplicate receptorului fiind definite de sistemul (2.2.41) și ținând seama de
relațiile (2.2.42-44), ecua ția (2.2.45) devine
.0) 3( ) (0 0 3 2 1 =+ −++ YY U U U UYN (2.2.57)
Deoarece ,03 2 1 =++ U U U rezultă
,0) 3(0 0 =+YY UN (2.2.58)
relație valabilă atât pentru conexiunea stea cu conductor neutru de impedan ță ,00≠Z cât și
pentru conexiunea stea cu neutrul izolat ). (0∞→Z
În ambele cazuri solu ția ecuației (2.2.58) este
,00 0 =−= V V UN N (2.2.59)
deoarece în re țelele disipative p ărțile reale (rezisten țe, respectiv conductan țe) ale impedan țelor
și admitanțelor sunt pozitive și nenule.
Evident relația (2.2.59) este valabil ă și pentru conexiunea stea cu conductor neutru de
impedanță ). ( 00 0 V V ZN= =
Rezultă deci că în cazul receptorului echilibrat în conexiune stea, indiferent de variant ă,
deplasarea neutrului este nul ă. În această situație este evident c ă tensiunile de faz ă ale
receptorului sunt egale cu tensiunile de faz ă ale rețelei, adică:
. , ,3 3 2 2 1 1 U U U U U UN N N = = = (2.2.60)
Aplicând legea lui Ohm în complex se ob țin curenții de fază (egali cu cei de linie)
. , ,1 1 3 3 12
12
2 2 1 1 Ia UYa UY I Ia UYa UY I UY I = = = = = = = (2.2.61)
Relațiile (2.2.61) arat ă că în cazul unui receptor echilibrat, în oricare din variantele
conexiunii stea, alimentat cu un sistem simetric direct de tensiuni, curen ții absorbiți formează
un sistem simetric direct cu valorile efective
.3 2 1ZU
I I If=== (2.2.62)
Dacă în cazul conexiunii stea cu neutrul izolat se cunosc tensiunile de linie care conform
teoremei 2.2.2 satisfac rela țiile
,3
12 1 3 31122
3 2 236
1 2 1 12
Ua U U UUa U U UeU U U Uj
=−==−==−=p
(2.2.63)
din prima ecua ție a sistemului (2.2.63), ținând seama de (2.2.60), se ob ține:
.
316
12 1 1pj
N eU U U−
== (2.2.64)
Curenții se exprimă cu relațiile (2.2.61) prelucrate sub forma
. , ,
31
1 3 12
26
12 1 1 Ia I Ia I eUY UY Ij= = = =−p
(2.2.65)
În acest caz valorile efective ale curen ților sunt

59 .
33 2 1ZUI I Il=== (2.2.66)
2.2.4.3. Receptor dezechilibrat în conexiune triunghi
Dacă receptorul are fazele conectate în triunghi, și linia de alimentare este f ără pierderi,
tensiunile de linie ale re țelei de alimentare se aplic ă direct fazelor receptorului ca în figura
2.2.12. Aceste tensiuni formeaz ă sistemul trifazat simetric direct
. , ,12 31 122
23 12 Ua U Ua U eU Uj
l = = =a (2.2.67)
Exprimând curenții fazelor cu legea lui Ohm,
se obțin relațiile
3131
31
2323
23
1212
12 , ,
ZUI
ZUI
ZUI = = =
(2.2.68)
și aplicând prima teorem ă a lui Kirchhoff în
nodurile 1',2' și 3', se obțin curenții de linie
. , ,23 31 3 12 23 2 31 12 1 I I I I I I I I I −= −= −=
(2.2.69) Fig. 2.2.12

Exemplul E.2.2.2
Se dă receptorul trifazat în conexiune
triunghi din figura E.2.2.2, pentru care se
cunosc valorile parametrilor
.310 , 10 , 203 2 1 Ω == Ω==Ω=C LX X R R R
Știind că sistemul tensiunilor de alimentare
este simetric de secven ță directă, să se
calculeze curen ții de fază și de linie.

Fig. E.2.2.2
Soluție
Impedanțele fazelor receptorului au valorile:
. 20 , 20 ,203
3 33
2 2 1 1p pj
Lj
C e jX R Z e jX R Z R Z =+= = −= ==−

Cu ajutorul legii lui Ohm se calculeaz ă curenții de fază:
3
332
2323
233
332
2323
23
1212
12 10
20200, 10
20200,1020200p
pp
p
pp
j
jj
j
jj
e
ee
ZUI e
ee
ZUIZUI = == = == ===−
−−

iar cu prima teorem ă a lui Kirchhoff se determin ă curenții de linie:

60
. 310 10 1010 10 1010 10 10
2 3 3
23 31 332
3
12 23 23 3
31 12 1
p p pp pp p
j j jj jj j
e e e I I Ie e I I Ie e I I I
= − =−==− =−== −=−=
−− −−

2.2.4.4. Receptor echilibrat în conexiune triunghi
În acest caz impedan țele fazelor receptorului satisfac rela ția
.31 23 12jjZeZ Z Z Z ==== (2.2.70)
iar curenții de fază se exprimă cu relațiile (2.2.68), ob ținându-se
. , ,1212 31
31 122 122
23
2312
12 IaZUa
ZUI IaZUa
ZUIZUI = == = == = (2.2.71)
Relațiile (2.2.71) arat ă că la alimentarea receptorului echilibrat în conexiune triunghi cu
tensiuni simetrice, ca și la cel în stea, curen ții absorbiți pe faze formeaz ă un sistem simetric cu
valorile efective
.31 23 12ZUI I Il=== (2.2.72)
Curenții de linie se determin ă cu relațiile (2.2.69) și conform teoremei 2.2.2, vor forma la
rândul lor un sistem simetric direct
,3 ) 1(
1 312
26
12 12 31 12 1
Ia IIa IeI a I I I Ij
===− =−=−p
(2.2.73)
cu valorile efective
ZUI I Il3
3 2 1 ===
. (2.2.74)
Observații
1. În cazul mai multor circuite (receptoare) conectate în serie sau în paralel și în conexiuni
diferite, se pot face transfigur ări succesive, pentru a ob ține un receptor echivalent în stea sau
în triunghi.
2. În cazul mai multor circuite (receptoare) dezechilibrate în stea, cu neutrele izolate,
potențialele acestor neutre nu coincid și stelele nu pot fi conectate cu laturile omoloage în
paralel. În acest caz se impune transfigurarea stelelor în triunghiuri, laturile omoloage ale
acestor triunghiuri fiind conectate în paralel, ceea ce permite ob ținerea unui receptor
echivalent în triunghi.
3. Dacă un circuit (receptor) în conexiune triunghi este alimentat printr-o linie având
impedanțe nenule pe faze, pentru a determina tensiunile aplicate fazelor receptorului trebuie
să se țină seama de căderile de tensiune pe linie. Pentru aceasta circuitul (receptorul) în
triunghi se transfigureaz ă în stea și apoi, prin înserierea impedan țelor de fază ale stelei

61 obținute cu impedan țele liniei, rezult ă circuitul echivalent în stea. Rezolvarea acestuia
furnizează curenții prin linie care vor determina c ăderile de tensiune c ăutate.
4. Pentru circuitele (receptoarele) echilibrate, conform rela țiilor de transfigurare stea-
triunghi prezentate în capitolul 1, sunt valabile rela țiile
.3YZ Z=Δ (2.2.75)
5. În regim simetric, curen ții de linie sunt defaza ți față de tensiunile stelate ale
generatorului (tensiuni de faz ă când acesta este conectat în stea) sau ale receptorului cu
argumentul j=arctg XR (/) al impedanțelor de sarcină ZRjX=+ și au valoarea efectiv ă
.3
33
Δ Δ= = ==ZU
ZU
ZU
ZU
Il
Yl f
Yf
l (2.2.76)
6. În cazul circuitelor (re țelelor) trifazate echilibrate în stea, curen ții fazelor formeaz ă un
sistem trifazat simetric și prin conductorul neutru nu trece curent. Acest conductor ar putea fi
deci suprimat. În practic ă însă, în rețelele de distribu ție la joasă tensiune, nu se renun ță la el
datorită numărului mare de consumatori cu receptoare monofazate care fac imposibil ă o
echilibrare perfect ă. Acest conductor neutru, cu sec țiune mai mică decât a conductoarelor de
fază, are rolul de a stabiliza poten țialul punctului neutru al receptorului, astfel încât fiec ărei
faze să i se aplice practic aceea și tensiune efectiv ă.
Exemplul E.2.2.3.
Circuitul din figura E.2.2.3,a, compus din dou ă receptoare dezechilibrate în conexiune stea,
este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni. S ă se exprime curen ții din fazele liniei de
alimentare.

Fig. E.2.2.3.,a

Soluție
Cele două receptoare fiind dezechilibrate, poten țialele neutrelor lor N’ și N” sunt diferite,
deci conexiunile stea nu se pot considera în paralel. În aceast ă situație se transfigureaz ă
conexiunile stea în triunghi și se obțin impedanțele echivalente pe faz ă:
3,1, ,1
''3
1'
''= ==∑
=ji
YYY
YZ
jikk
ijij

respectiv

62 .3,1, ,1
''''3
1''
''''= ==∑
=ji
YYY
YZ
j ikk
ijij
ale receptoarelor echivalente reprezentate în figura E.2.2.3,b.
Receptorul echivalent în triunghi are impedan țele
. ,3,1 , ,1 1
'' 'ji ji
Y Y YZ
ij ij ijij≠ =
+==
Acest receptor se transfigureaz ă apoi într-un receptor în conexiune stea, cu impedan țele pe
fază
. , ,
31 23 1223 31
3
31 23 1212 23
2
31 23 1231 12
1Z Z ZZZZ
Z Z ZZZZ
Z Z ZZZZ
++=
++=
++=
La acest pas, schema echivalent ă a circuitului este cea reprezentat ă în figura E.2.2.3,c.
Fig. E.2.2.3,b și c

Deplasarea neutrului se calculeaz ă cu relația
3 2 13 3 2 2 1 1
0
e e ee e e
NY Y YYU YU YUU+++ +=
unde .3,1 ,1=+= kZZY
kek
Tensiunile aplicate fazelor receptorului echivalent sunt:
,3,1 ,0= −= k U U UN k kN
iar curenții fazelor, egali cu cei din linia de alimentare sunt:
.3,1 ,= = k YU IeN kN k

63 Observație:
Într-o rețea trifazată echilibrată în regim simetric, tensiunile și curenții sunt simetrici, iar
conductoarele neutre nu sunt parcurse de curent și căderile de tensiune pe neutre sunt nule. Ca
urmare, punerea în scurtcircuit a tuturor punctelor neutre nu schimb ă nici curenții, nici
tensiunile rețelei, regimul de func ționare rămânând simetric. În consecin ță putem calcula
mărimile fazei 1 utilizând o schem ă monofazată constituită din elemente ale fazei 1 și un
conductor neutru de impedan ță .00=Z Procedeul este cunoscut sunt numele de “ Metoda
schemei monofazate ”. Pentru a obține schema monofazat ă de calcul se procedeaz ă astfel:
– se elimină cuplajele mutuale, dac ă este cazul;
– se transfigureaz ă toate conexiunile triunghi în conexiuni stea cu rela ția .3/Δ=Z ZY
Din schema monofazat ă se poate calcula simplu curentul I1, curenții celorlalte faze fiind
12
2 Ia I= și .1 3 Ia I=
2.2.5. Puteri în circuite trifazate
2.2.5.1. Puteri în sistemele trifazate func ționând în regim nesimetric
Un circuit (receptor) trifazat poate fi considerat ca un multipol cu 4 sau 3 borne de acces,
după cum este sau nu prev ăzut cu conductor neutru (Fig.2.2.13). Dac ă neutrul 0 al re țelei de
alimentare este accesibil și se consider ă că sistemul tensiunilor de faz ă ale generatorului
(rețelei) este simetric, sunt valabile rela țiile (2.2.41). Dac ă neutrul nu este accesibil, se dau
tensiunile de linie sub forma (2.2.67).

Puterea complex ă trifazată transmisă pe la borne
receptorului reprezentat în figura 2.2.13, se poate
exprima în func ție de potențialele și curenții asociați
bornelor, cu rela ția
S VI VI VI V Ig= + + +−∗ ∗ ∗ ∗
11 22 33 0 0( ). (2.2.77)
Cum ,3 2 1 0 I I I I ++= substituind aceast ă relație
în (2.2.77) se ob ține
Fig. 2.2.13
S V VI V VI V VI UI UI UIg=− +− +− = + +∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗( ) ( ) ( ) .1 0 1 2 0 2 3 0 3 11 22 33 (2.2.78)
Circuitul fiind dezechilibrat, rezult ă că sistemul curen ților este oarecare, deci
I Ie I Ie I Iej j j
1 1 2 2 3 31 2 3 = = =b b b, , . (2.2.79)
Prelucrând rela ția (2.78) în func ție de relațiile (2.41) și (2.79) se obține
S UIe UIe UIegj j j= + +11 22 331 2 3 j j j, (2.2.80)
unde jjj, , =13 se definește cu relația
j j ba j −= (2.2.81)
Partea reală a puterii complexe reprezint ă puterea activă trifazată furnizată receptorului
{} P S UI UI UI UI UI UIg g = = + + Re cos( ,) cos( ,) cos( ,).11 1 1 22 2 2 33 3 3 (2.2.82)

64 Puterea reactiv ă trifazată furnizată la borne este partea imaginar ă a puterii complexe
{} Q S UI UI UI UI UI UIg g = = + + Im sin( ,) sin( ,) sin( ,).11 1 1 22 2 2 33 3 3 (2.2.83)
Dacă neutrul rețelei nu este accesibil (re țea fără conductor neutru), este satisf ăcută relația
I I I1 2 30 ++= și dacă se ia ca referin ță pentru poten țiale borna (faza) 3, rela ția (2.2.78)
devine
S U UI U UI UIUIg=− +− = +∗ ∗ ∗ ∗( ) ( ) .1 3 1 2 3 2 13 1 23 2 (2.2.84)
În consecință, puterea activ ă este
{} P S UI U I UI U Ig g = = + Re cos( ,) cos( ,),131 13 1 232 23 2 (2.2.85)
iar puterea reactiv ă
{} Q S UI U I UI U Ig g = = + Im sin( ,) sin( ,).131 13 1 232 23 2 (2.2.86)
În afara acestor puteri definite la bornele receptorului, se mai pot exprima puterile
consumate în elementele rezistive și reactive ale circuitului. Astfel puterea complex ă
consumată de receptorul trifazat în conexiune stea se calculeaz ă cu relația
,3
023
02 2
002
332
222
11 ∑ ∑
= =+ = + + + =
kkk
kkk c IXj IR IZ IZ IZ IZ S (2.2.87)
din care rezult ă puterile activ ă și reactivă consumate de receptor
{}
P S RIc c kk
k= =
=∑ Re ,2
03
(2.2.88)
respectiv
{}
Q S XI X X Ic c kk
kL C k
kk k= = = −
= =∑ ∑ Im ( ).2
03
2
03
(2.2.89)
Evident, conform teoremei de conservare a puterilor în curent alternativ, puterile calculate
cu relațiile (2.2.82) sau (2.2.85) și (2.2.88), respectiv (2.2.83) sau (2.2.86) și (2.2.89) trebuie
să fie identice, ceea ce constituie verificarea rezolv ării circuitului cu metoda bilan țului de
puteri.
2.2.5.2. Puteri în sistemele trifazate func ționând în regim simetric
Dacă sistemul tensiunilor de alimentare ale unui receptor echilibrat în conexiune stea cu
conductor neutru este simetric de succesiune direct ă, sistemul curen ților va fi de asemenea
simetric direct.
Puterea instantanee totală furnizată unei sarcini trifazate în regim simetric este
pui ui ui =++11 22 33. (2.2.90)
Prelucrând rela ția (2.2.90) se ob ține
p UIff =3 cos,j (2.2.91)
unde
jab=−, (2.2.92)
este defazajul între tensiunea și curentul de faz ă.

65 Din relația (2.2.91) rezult ă că în regim simetric puterea instantanee trifazat ă este constant ă,
adică energia se transmite uniform. Aceast ă proprietate este deosebit de important ă în cazul
când sarcina este un motor electric trifazat al c ărui cuplu mecanic va fi constant
(nepulsatoriu), eliminând vibra țiile.
Puterea complex ă trifazată transmisă receptorului în cazul re țelelor cu conductor neutru se
exprimă cu relația
S UI UI UI UI UIeg ffj= + + = =11 22 33 11 3 3* * * *.j (2.2.93)
Dacă receptorul este conectat în stea, U Ul f=3 și I Il f= ,iar dacă este conectat în
triunghi U Ul f= și I Il f=3. În oricare dintre situa ții puterea complex ă poate fi exprimat ă
în funcție de mărimile de linie cu rela ția
S UIeg llj=3j. (2.2.94)
Din ultimele dou ă relații se exprimă puterea activ ă sub formele
{} P S UIg g ff = = Re cos 3 j (2.2.95)
și
{} P S UIg g ll = = Re cos, 3 j (2.2.96)
respectiv puterea reactiv ă
{} Q S UIg g ff = = Im sin 3 j (2.2.97)
și
{} Q S UIg g ll = = Im sin 3 j. (2.2.98)
Puterea aparent ă totală se exprimă în funcție de mărimile de fază sau de linie cu rela țiile
S UI UIg ff ll = = 3 3 . (2.2.99)
Circuitul fiind echilibrat, impedan țele pe faze sunt egale Z Z Z Z1 2 3 ===, iar sistemul
curenților fiind simetric, I00=. În acest caz puterea complex ă consumată de receptor este:
S ZI RI jXIc= = + 3 3 312
12
12( ). (2.2.100)
Puterile activă și reactivă consumate sunt
{} P S RIc c = = Re , 312 (2.2.101)
respectiv
{} Q S XI X XIc c L C = = = − Im ( ). 3 312
12 (2.2.102)
Factorul de putere într-un circuit trifazat în regim simetric se define ște cu relația
. cos
gg
PSPk = = j (2.2.103)

66 2.2.6. Metoda componentelor simetrice
2.2.6.1. Componentele simetrice ale sistemelor de m ărimi trifazate nesimetrice
Un sistem trifazat nesimetric ordonat poate fi descompus în trei sisteme simetrice: un
sistem direct, un sistem invers și un sistem homopolar. Descompunerea este unic ă și mereu
posibilă (teorema lui Fortescue), fiind exprimat ă cu relațiile:
h i dh i dh i d
V Va Va VV Va Va VV V V V
+ +=++ =++=
2
32
21
(2.2.104)
unde a este operatorul complex de rota ție.
Rezolvând sistemul (2.2.104) în raport cu componentele simetrice, se ob țin
). (31) (31) (31
3 22
132
2 13 2 1
Va Va V VVa Va V VV V V V
idh
+ + =++ =++ =
(2.2.105)
Aceste componente formeaz ă sistemele de succesiune homopolar ă ),,,(h h h VVV directă
) , ,(2
d d d VaVaV și inversă ). , ,(2
i i i VaVaV
Se poate demonstra simplu c ă valorile efective ale componentelor simetrice de tensiune și
de curent satisfac urm ătoarele relații:
fd li ld U U U 3== , (2.2.106)
respectiv
fd li ld I I I 3== . (2.2.107)
Prima ecuație din sistemul (2.2.105) și relațiile (2.2.106) și (2.2.107) au urm ătoarele
consecințe:
1. Într-un circuit trifazat f ără conductor neutru (în conexiune stea sau triunghi), deoarece
suma curenților de linie este totdeauna nul ă )0 (3 2 1 =++ I II , componenta lor homopolar ă
este nulă pentru orice nesimetrie.
2. Dacă curenții de fază ai receptorului conectat în triunghi au o component ă homopolară,
aceasta se închide în interiorul triunghiului (consecin ță a punctului anterior).
3. Dacă există un conductor neutru și este parcurs de curent, acest curent este egal cu
triplul componentei homopolare a curen ților de linie ).3 (3 2 1 0 hI I II I =++=
4. Suma tensiunilor de linie a unui sistem trifazat este nul ă )0 (31 23 12 =++ U U U în orice
regim, drept urmare componenta homopolar ă a tensiunilor de linie este nul ă.
5. Tensiunile de faz ă ale unui receptor echilibrat în conexiune stea f ără conductor neutru
nu au component ă homopolară (conform punctului 1, curen ții fazelor receptorului nu au
componentă homopolară).
6. Tensiunile de faz ă ale diferiților consumatori în conexiune stea, conecta ți în paralel la o
aceeași linie trifazat ă (la aceleași tensiuni de linie), pot diferi numai prin componentele
homopolare (conform rela ției (2.2.106) componentele direct ă și inversă sunt aceleași, oricare
ar fi punctul neutru la care se raporteaz ă).

67 Cunoscând valorile componentelor simetrice de curent și de tensiune se poate aprecia
abaterea regimului nesimetric studiat fa ță de regimul simetric prin definirea a dou ă mărimi
caracteristice – gradul de disimetrie și gradul de asimetrie.
Gradul de disimetrie se define ște ca raportul dintre valoarea efectiv ă a componentei inverse
și valoarea efectiv ă a componentei directe
.
di
dVV=e (2.2.108)
Gradul de asimetrie este definit ca raportul dintre valoarea efectiv ă a componentei
homopolare și valoarea efectiv ă a componentei directe
.
dh
aVV=e (2.2.109)
În practică, un sistem de tensiuni sau de curen ți se consideră simetric dacă atât ed cât și ea
sunt mai mici ca 0,05.
2.2.6.2. Tratarea cuplajelor magnetice în componente simetrice
Considerăm cazul general al unui receptor trifazat simetric (conexiunea fiind arbitrar ă) cu
cuplaje magnetice nereciproce între faze (este cazul cuplajelor între înf ășurările unei mașini
electrice, ale c ăror impedanțe de cuplaj depind de pozi ția circuitelor fa ță de sensul de mi șcare
al rotorului), reprezentat în figura 2.2.14,a.

(a)

(b)
Fig. 2.2.14
Exprimând căderile de tensiune se ob țin expresiile

.1'
2"
3 33'
1"
2 23"
2'
1 1
IZ IZ IZ UIZIZ IZ UIZ IZIZ U
m mm mm m
+ +=+ +=+ +=
(2.2.110)
Ținând seama de descompunerea (2.2.104) și rezolvând sistemul (2.2.110) în func ție de
componentele simetrice ale tensiunilor, rezult ă:
, , ,hh h ii i dd d IZ U IZ U IZ U = = = (2.2.111)
unde cele trei impedan țe – directă, inversă și homopolară – se calculeaz ă cu relațiile

." '"2 '" '2
m m hm m im m d
Z ZZ ZZa ZaZ ZZa ZaZ Z
++=++=+ +=
(2.2.112)
Schema echivalent ă fără cuplaje magnetice, corespunz ătoare relațiilor (2.2.111) este
prezentată în figura 2.2.14,b.

68 În cazul unor cuplaje magnetice statice, m m m Z Z Z ==" ' și relațiile (2.2.112) devin

m hm i d
Z Z ZZZ Z Z
2+=−== (2.2.113)
Dacă circuitul analizat nu are cuplaje magnetice, se ob ține
.Z Z Z Zh i d === (2.2.114)
2.2.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice
Într-un circuit trifazat echilibrat, alimentat cu un sistem simetric de tensiuni, apare un
sistem de asemenea simetric de curen ți, care va avea aceea și succesiune a fazelor ca și
sistemul de tensiuni.
Calculul regimurilor nesimetrice ale circuitelor liniare trifazate echilibrate se poate face pe
baza teoremei superpozi ției. Se studiaz ă independent regimurile corespunz ătoare câte unuia
din sistemele componente simetrice ale tensiunilor și apoi se suprapun efectele acestor
sisteme de tensiuni pe baza rela țiilor (2.2.104).
Datorită caracterului echilibrat al circuitului este suficient s ă se considere câte o singur ă
fază și conductorul neutru, ceea ce permite utilizarea unor scheme echivalente simple pentru
fiecare component ă simetrică.
Considerăm o sarcină echilibrată în conexiune stea cu conductor neutru de impedan ță
00≠Z , alimentată de un sistem nesimetric de tensiuni 3 2 1 ,, UUU și având cuplaje
magnetice statice între faze. Descompunând sistemul de tensiuni și aplicând teorema
superpoziției se obțin cele trei scheme pe componente din figura 2.2.15, în care impedan țele
,,,h i d ZZZ s-au exprimat conform rela țiilor (2.2.113).
Ecuațiile corespunz ătoare fazei 1 din cele trei scheme sunt
,)3 2 ( ) ( ) (, 0 , , h m h i m i d m d IZ Z Z U IZZ U IZZ U + += −= −= (2.2.115)
din care rezult ă că impedanțele directă, inversă și homopolară au valorile
.3 2 , ,0Z Z Z Z ZZ Z ZZ Zm h m i m d + += −= −= (2.2.116)

(a)
(b)
(c)
Fig. 2.2.15

Relațiilor (2.2.115) le corespund schemele monofazate din figura 2.2.16, numite schema
(de succesiune) direct ă, inversă, respectiv homopolar ă.

69

Fig. 2.2.16

Fiind date tensiunile nesimetrice 3 2 1 ,, UUU , se determin ă componentele lor simetrice
h i d UUU ,, cu relațiile (2.2.105), cu ajutorul c ărora se determin ă din schemele Sd, Si, Sh,
componentele simetrice ale curen ților .,,h i d III Cu relațiile (2.2.104) se exprim ă apoi
curenții în circuitul ini țial.
Impedanța 03Z apare numai în schema homopolar ă pentru a conserva c ăderea de tensiune
din schema ini țială între N și 0, anume . 300 0 IZ IZh= Dacă recep torul are neutrul izolat,
) (0∞→Z schema homopolar ă rămâne cu latura deschis ă.
2.2.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate
În cazul unui circuit trifazat dezechilibrat, rela țiile dintre componentele simetrice de
succesiuni diferite ale c ăderilor de tensiune pe faze sunt mai complicate decât în cazul
circuitelor echilibrate și nu se mai pot construi schemele monofazate direct ă, inversă și
homopolară ca în cazul circuitelor echilibrate. În general dezechilibrul re țelelor nu este total,
fiind posibilă separarea părților echilibrate și dezechilibrate.
Calculul regimurilor nesimetrice se face pe baza teoremei compensa ției, prin înlocuirea
impedanțelor elementelor dezechilibrate prin tensiuni echivalente nesimetrice, care se
descompun în componente simetrice; aceste componente împreun ă cu cele ale curen ților
alcătuiesc necunoscutele auxiliare ale problemei.
a) Rețea echilibrat ă care alimenteaz ă un receptor trifazat static dezechilibrat
Înlocuind pe baza teoremei compensa ției impedanțele de fază (necuplate magnetic)
,,,3 2 1 ZZZ ale receptorului dezechilibrat (în orice conexiune) reprezentat în figura 2.2.17,
prin surse ideale de tensiune cu tensiunile la borne
, , ,33 3 22 2 11 1 IZ U IZ U IZ U = = = (2.2.117)
se obține circuitul din figura 2.2.18. Acesta este un circuit trifazat echilibrat alimentat cu
t.e.m. nesimetrice care reprezint ă necunoscutele auxiliare.
Prelucrând rela țiile (2.2.117) în func ție de ecuațiile sistemului (2.2.104) se ob țin relațiile
între componentele simetrice ale tensiunilor și curenților la bornele fazelor receptorului
dezechilibrat

hhiddih hhiihddi ihdiidhd d
I I I U EI I I U EI I I U E
x x xx x xx x x
+ + ==+ + ==++ ==
(2.2.118)
în care s-au făcut următoarele notații:

70 ( )
( )
( )
.313131
3 22
132
2 13 2 1
Za Za ZZa Za ZZ Z Z
idh
+ + =++ =++ =
xxx
(2.2.119)

Studiul rețelei din figura 2.2.18 se poate face acum cu ajutorul schemelor de succesiune
directă, inversă și homopolară Rd, Ri, Rh, reprezentate în figura 2.2.19.

Fig. 2.2.19

Aceste scheme se rezolv ă cu oricare din metodele cunoscute din analiza circuitelor
electrice de curent alternativ. Echivalând re țelele Rd, Ri, Rh prin dipoli Thévenin sau Norton se
obțin schemele din figurile 2.2.20, respectiv 2.2.21, care permit scrierea urm ătoarelor relații:
. , ,0 0 0
hh h
h
ii i
i
dd d
dZU EIZU EIZU EI−=−=−=
(2.2.120)
respectiv
, , ,
hh hg
h
ii ig
i
dd dg
dYI IUYI IUYI IU−=−=−=
(2.2.121)

71

Fig. 2.2.20

Fig. 2.2.21

Mărimile ,,,, ,,h i d ho io do ZZZ EE E respectiv ,,,hg ig dg III se calculeaz ă din partea
echilibrată a circuitului. Sistemul de ecua ții obținut cu relațiile (2.2.118) și (2.2.120) sau
(2.2.121) permite calculul componentelor simetrice ale tensiunilor și curenților, cu ajutorul
cărora, utilizând rela țiile (2.2.104), se calculeaz ă apoi curenții și tensiunile la bornele
receptorului dezechilibrat din figura 2.2.17.
De asemenea, cunoscând componentele simetrice ale tensiunilor la bornele schemelor Rd,
Ri, Rh, se pot determina componentele simetrice ale curen ților și tensiunilor din laturile re țelei
echilibrate R prin rezolvarea separat ă a acestor scheme (paragraful anterior).
b) Regimuri de avarie ale re țelelor trifazate
În rețelele trifazate pot apare regimuri de func ționare nesimetric ă determinate de
întreruperea uneia sau a dou ă dintre faze, sau de diferite tipuri de scurtcircuite. Calculul unor
astfel de regimuri prezint ă importanță deosebită pentru dimensionarea și protecția acestor
rețele. Nesimetria generat ă de întreruperi și scurtcircuite este echivalent ă cu situația
prezentată la punctul anterior, dar particularizat ă pentru receptoare simple, ceea ce permite
scrierea unor ecua ții simple pentru curen ții și tensiunile de faz ă, respectiv pentru
componentele simetrice ale acestora.
1. Scurtcircuit pe faza 1, cu întreruperea fazelor 2 și 3
Situația prezentată în figura 2.2.22 este echivalent ă cu o rețea trifazată echilibrată
alimentând un receptor trifazat dezechilibrat ale c ărui impedanțe de fază satisfac relațiile

72

Fig. 2.2.22 . ,3 2 1∞== = Z Z Z Z (2.2.122)
Ca urmare
.0 ,3 2 1 1 == = I I IZ U (2.2.123)
Din relațiile (2.2.104) și (2.2.105) rezult ă
, 31 d i d h IZ U U U U ==++ (2.2.124)
.31
1I I I Ii d h === (2.2.125)

Relația (2.2.125) arat ă că cele trei scheme de succesiune direct ă, inversă și homopolară se
înseriază ca în figura 2.2.23, care asigur ă de asemenea și satisfacerea rela ției (2.2.124).
Rezolvând aceast ă schemă se obțin componentele simetrice ale curen ților și tensiunilor.
Dacă scurtcircuitul este net, ,01=Z iar dacă este prin arc electric, 1Z este impedan ța arcului.

Fig. 2.2.23
2. Scurtcircuit pe fazele 2 și 3 și întreruperea fazei 1
Ecuațiile satisfăcute de acest receptor dezechilibrat (Fig. 2.2.24) sunt:

Fig. 2.2.24 .0 ,03 2 1 == = U U I (2.2.126)
Pe baza rela țiilor (2.2.104) și (2.2.105) se
obțin următoarele relații între componentele
simetrice ale curen ților și tensiunilor:
,0=++i d h I I I (2.2.127)
.i d h U U U == (2.2.128)
Satisfacerea acestor rela ții impune
conectarea celor trei re țele Rd, Ri, Rh în paralel,
ca în figura 2.2.25.

73

Fig. 2.2.25

Prin rezolvarea schemei interconectate se ob țin componentele simetrice ale regimului
nesimetric studiat.
2.3. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL
2.3.1. Generalit ăți
Analiza regimurilor de func ționare a circuitelor electrice în care curen ții și tensiunile sunt
funcții periodice oarecare prezint ă o importanță practică deosebită. În circuitele electrice
destinate producerii, transportului și distribuției energiei electrice, forma de varia ție în timp a
tensiunilor și curenților nu este riguros sinusoidal ă, iar abaterea se nume ște distorsiune sau
deformare , de unde și denumirea de regim deformant . Distorsiunea provine de la
imperfecțiunile constructive ale generatoarelor (nu se poate realiza o înf ășurare căreia să-i
corespundă o repartiție sinusoidală a inducției magnetice în întrefier) și de la caracterul
neliniar al unor elemente de circuit (bobine cu miez de fier, cuptoare electrice, amplificatoare
magnetice, diode redresoare, tiristoare etc.). Aceste elemente neliniare sub tensiune
sinusoidală distorsioneaz ă curentul, care la rândul s ău produce c ăderi de tensiune
nesinusoidale în alte elemente de circuit, fie liniare, fie neliniare.
Studiul regimului periodic nesinusoidal este important atât din punctul de vedere al
efectelor supărătoare produse în re țelele de transmisie și distribuție a energiei electrice, cât și
din cel al construc ției unor aparate electrice. În re țelele electrice care func ționează în regim
deformant , factorul de putere scade, compensarea puterii reactive cu condensatoare nu este în
general posibil ă, apar pierderi suplimentare de energie, au loc rezonan țe (care produc
supratensiuni sau supracuren ți) etc. Calculul circuitelor electrice liniare sau aproximate prin
elemente liniare se efectueaz ă de obicei pe baza descompunerii în serie Fourier a semnalelor
(tensiunilor) periodice ale re țelei și a aplicării teoremei superpozi ției. Curenții și tensiunile
periodice nesinusoidale se calculeaz ă ca sume ale intensit ăților curenților și tensiunilor
produse separat de fiecare component ă armonică.
2.3.2. Mărimi periodice .
O mărime variabilă în timp ale cărei valori se repet ă periodic, satisf ăcând relația:
) ( )( Tty ty += , (2.3.1)
pentru T constant și orice valoare a timpului t, se numește mărime periodic ă în timp .
Valoarea cea mai mic ă (pozitivă) a lui T, care satisface rela ția (2.3.1) se nume ște perioadă
a mărimii.
Orice funcție periodică y(t) care satisface condi țiile Dirichlet (perioada poate fi împ ărțită
într-un număr finit de intervale, astfel încât în fiecare din ele func ția să fie continuă și
monotonă) se poate dezvolta (descompune) în serie Fourier, sub forma:

74 () ()
∑ ∑∞
=∞
=+ +=
1 10 sin cos )(
kk
kk tk B tk A Aty w w , (2.3.2)
unde w este pulsația fundamental ă corespunzătoare perioadei T a funcției y:
fTppw 22== , (2.3.3)
iar f este frecvența fundamental ă.
Coeficienții Fourier se determin ă cu relațiile:
ttfTAT
d)(1
00∫= , pentru componenta continu ă (2.3.4)
()
t tfTAT
k dtkcos)(2
0w ∫= , (2.3.5)
()
t tfTBT
k dtksin)(2
0w ∫= , (2.3.6)
pentru armonicile superioare.
Dacă y(t) are anumite propriet ăți de simetrie, antisimetrie etc., se poate restrânge intervalul
de integrare în rela țiile de mai sus. De exemplu:
• o funcție alternativă are valoarea medie pe o perioad ă nulă, deci A0 = 0;
• o funcție pară, cu proprietatea f(t) = f(-t), are numai termeni în cosinus, adic ă Bk = 0,
iar Ak se calculează cu relația (2.3.5);
• o funcție impară, cu proprietatea f(t) = – f(-t), are numai termeni în sinus, adic ă Ak = 0,
iar Bk se calculează cu relația (2.3.6);
• o funcție alternată simetric, cu proprietatea f(t) = – f(t+T/2), are componenta continu ă
nulă, A0 = 0 și conține numai armonici de ordin impar, ale c ăror amplitudini se
calculează cu relațiile (2.3.5) și (2.3.6), integrând pe jum ătate de perioad ă;
• dacă funcțiile alternate simetric se mai bucur ă și de propriet ăți de paritate sau
imparitate, rămân numai termeni în cosinus, respectiv în sinus, iar intervalul de
integrare pentru calculul coeficien ților se reduce la un sfert de perioad ă:
– funcție pară: ()
ttk tfTA BT
k k d cos)(8 ,04/
0w ∫= = , (2.3.7)
– funcție impară: ()
ttk tfTB AT
k k d sin)(8 ,04/
0w ∫= = . (2.3.8)
Observație:
Marea majoritate a curbelor de tensiune electromotoare, de tensiuni și de curenți din
energetică (tehnica curen ților tari) sunt alternate simetric. De aceea curbele alternate simetric
se mai numesc și curbe electrotehnice .
2.3.3. Caracterizarea m ărimilor periodice nesinusoidale .
Mărimile electrice periodice nesinusoidale se dezvolt ă în serie Fourier sub forma:
( )
∑ ∑∞
=∞
=+=+ +=
10
10 sin2 )(
kk
kk k y Y tk Y Yty a w , (2.3.9)
unde Y0 este valoarea medie a m ărimii, Yk este valoarea efectiv ă a armonicii de ordin k, w este
pulsația fundamental ă, iar ak este faza inițială a armonicii de ordin k.

75 Pentru caracterizarea unei m ărimi nesinusoidale se introduc urm ătoarele definiții:
• Valoarea efectiv ă a unei mărimi periodice nesinusoidale este:
ttyTYT
ef d)(1
02∫= . (2.3.10)
Dacă se ține seama de rela ția (2.3.9), aplicând defini ția (2.3.10) se ob ține:
∑∞
=+=+++=
12 2
02
22
12
0 …
kk ef Y Y Y Y Y Y . (2.3.11)
• Reziduu deformant al unei mărimi periodice nesinusoidale este m ărimea rămasă după
scăderea armonicii fundamentale:
∑∞
=+=−=
20 1)(
kk d y Yyty y . (2.3.12)
• Valoarea efectiv ă a reziduului deformant este:
2
12
22 2
0 Y Y Y Y Yef
kk d − = +=∑∞
=. (2.3.13)
• Coeficientul de distorsiune al unei funcții periodice nesinusoidale:
2
11



−==
ef efd
dYY
YYk , 0< kd <1. (2.3.14)
Coeficientul de distorsiune nu d ă informații asupra formei m ărimii. În electroenergetic ă o
mărime se consider ă practic sinusoidal ă dacă kd < 0,05 (5%).
• Valoarea medie pe o semiperioad ă:
ttyTYT
med d)(22/
0∫= . (2.3.15)
Pentru o mărime sinusoidal ă
Y Y Ymed 9,022≈ =p. (2.3.16)
• Factor de form ă:
med ef f YY k /= . (2.3.17)
Pentru mărimile sinusoidale 11,1)22/( ≈ =pfk
• Factor de vârf (creast ă):
ef v Y Y k /max= , (2.3.18)
care la mărimile sinusoidale are valoarea 414,12≈=vk .
2.3.4. Puteri în regim nesinusoidal .
Dacă la bornele unui dipol se dau tensiunea și curentul ca m ărimi nesinusoidale sub forma:
( )
∑ ∑∞
=∞
=+=+ +=
10
10 sin2 )(
kk
kk k u U tk U Utu a w (2.3.19)
( )
∑ ∑∞
=∞
=+=+ +=
10
10 sin2 )(
kk
kk k i I tk I Iti b w , (2.3.20)
se definesc urm ătoarele puteri:

76 • Puterea instantanee :
∑∑∑∑ ∑∞
=∞
=∞
=∞
=∞
=+ + + + ==
11 10
10
100
knnk
kk
kk
kkk iu u Ii Uiu IUuip . (2.3.21)
• Puterea activ ă:
∑ ∫∞
=+ = =
100
0d
cos d1
kk kkT
IU IUtpTP j, [W] (2.3.22)
unde k k k b a j −= .
• Puterea reactiv ă:
∑∞
==
1d
sin
kk kkIU Q j. [var] (2.3.23)
• Puterea aparent ă:
… …2
22
12
02
22
12
0 +++ +++ = = I I I U U U IUSefef . [VA] (2.3.24)
• Puterea deformant ă:
()2 2 2d
Q P S D +−= . [vad] (2.3.25)
Observații:
1. În regim nesinusoidal factorul de putere este definit cu rela ția:
1
2 2 2d
≤
++==
D Q PP
SPk . (2.3.26)
2. În regim nesinusoidal, pe armonica de ordin k, impedanțele bobinelor și ale
condensatoarelor se modific ă în conformitate cu rela țiile:
Ck Z Lk Zk k C L w w /1 , = = . (2.3.27)
3. În circuitele trifazate, armonicile de ordin multiplu de 3, ( k =3n) formează un sistem
homopolar, cele de ordin k =3n+1 formează un sistem de succesiune direct ă, iar cele de
ordin k =3n-1, un sistem de succesiune invers ă.
4. Curbele electrotehnice nu con țin decât armonici de ordin impar, astfel încât:
• armonicile de ordin 1,7,13,…formeaz ă sisteme directe;
• armonicile de ordin 5,11,17,…formeaz ă sisteme inverse;
• armonicile de ordin 3,9,15,…formeaz ă sisteme homopolare.
5. În regim nesinusoidal, la conexiunea stea în tensiunile de linie nu apar armonici de
ordin multiplu de 3 (deoarece formeaz ă sisteme homopolare) și f l U U 3≤ .
6. În regim nesinusoidal, la conexiunea triunghi curen ții de linie nu con țin armonici de
ordin multiplu de 3 (deoarece formeaz ă sisteme homopolare) și f l I I 3≤ .

77 CAP.3. MA ȘINI ȘI ACȚIONĂRI ELECTRICE
3.1. TRANSFORMATORUL ELECTRIC
3.1.1. Principiul de func ționare
Producerea, transportul și distribuția energiei electromagnetice în condi ții tehnico-
economice optime, determin ă necesitatea folosirii mai multor trepte de tensiune. Leg ătura
dintre diferitele nivele de tensiune se realizeaz ă prin intermediul transformatoarelor electrice,
dispozitive electromagnetice care permit transformarea unor m ărimi caracteristice energiei în
curent alternativ – tensiunea, intensitatea curentului, num ărul de faze – f ără a modifica
frecvența mărimilor alternative. Transformatoarele destinate modific ării valorii tensiunii și
intensității curentului se numesc transformatoare de putere sau de forță.
După destinație transformatoarele se clasific ă astfel:
• Transformatoare de putere (monofazate sau trifazate), folosite în transportul și
distribuția energiei electrice;
• Transformatoare de m ăsură (de curent sau de tensiune);
• Transformatoare cu destina ții speciale: de sudur ă, pentru cuptoare electrice, pentru
modificarea num ărului de faze, amplificatoare magnetice;
• Autotransformatoare – folosite fie pentru interconexiunea a dou ă rețele cu nivele
diferite de tensiune sau pentru reglarea tensiunii.
Deși există o mare varietate de tipuri constructive ca urmare a unui larg domeniu de
utilizare, fenomenele ce intervin în func ționarea transformatorului sunt în esen ță aceleași și
pot fi studiate pe un model comun, pe care se dezvolt ă teoria transformatorului monofazat.
Pentru aceasta consider ăm un transformator cu dou ă înfășurări (Fig. 3.1.1): înf ășurarea
primară, ale cărei mărimi – u1, i1 – au sensurile de referin ță asociate dup ă convenția de la
receptoare (înf ășurarea primește energie electromagnetic ă) și înfășurarea secundar ă, ale cărei
mărimi – u2, i2 – au sensurile de referin ță asociate dup ă convenția de la generatoare
(înfășurarea cedeaz ă energie electromagnetic ă).

Principiul de func ționare al transformatorului electric se bazeaz ă pe legea induc ției
electromagnetice.
Dacă la bornele înf ășurării primare se aplic ă o tensiune u1 alternativă, înfășurarea va
absorbi din re țeaua de alimentare un curent alternativ i1, care va determina apari ția unui câmp
magnetic ale c ărui linii de câmp ce se închid prin miezul feromagnetic vor înl ănțui și spirele
înfășurării secundare. Fluxul magnetic produs de curentul (alternativ) primar, fiind variabil în
timp (este tot alternativ), induce în spirele înf ășurării secundare pe care le str ăbate, o tensiune
electromotoare (t.e.m.) de transformare, având frecven ța egală cu cea a tensiunii de la bornele
primare și valoarea propor țională cu numărul de spire al înf ășurării secundare.
Dacă fluxul magnetic fascicular produs de înf ășurarea primar ă are forma:

78 t t w j sin2 )(Φ= , (3.1.1)
t.e.m. indusă în înfășurarea secundar ă cu N 2 spire este:


− Φ= −=2sin2dd
2 2 2pw wjt NtN e , (3.1.2)
având valoarea efectiv ă
max 2 2 2 2 44,4 2 Φ =Φ =Φ= Nf Nf N E p w , (3.1.3)
și fiind defazat ă cu π/2 în urma fluxului magnetic.
Dacă la bornele înf ășurării secundare este conectat un receptor, spirele înf ășurării vor fi
străbătute de curentul i2, iar la bornele secundare va apare tensiunea u2.
În consecință, prin intermediul transformatorului are loc un transfer de putere de la re țeaua
conectată la înfășurarea primar ă, la rețeaua conectat ă la înfășurarea secundar ă, cu modificarea
tensiunii și curentului din secundar, dar p ăstrând frecven ța mărimilor alternative.
3.1.2. Teoria tehnic ă a transformatorului electric luând în considerare pierderile în
fier
Ipotezele în care se dezvolt ă această teorie sunt:
a) se ia în considera ție saturația circuitului magnetic caracterizat ă prin dependen ța
neliniară între fluxul magnetic și solenație;
b) se consideră regimul cvasista ționar; curenții de deplasare dintre spire, dintre
înfășurări, dintre înfășurări și miezul feromagnetic se neglijeaz ă;
c) înfășurările se consider ă cu parametri concentra ți.
Spectrul liniilor de câmp arat ă că acestea se grupeaz ă în două categorii: linii de câmp care
se închid numai prin miezul feromagnetic al transformatorului și care înlănțuie ambele
înfășurări, numite linii de câmp magnetic util ; linii de câmp care se închid par țial prin miez,
parțial prin aer, înl ănțuind fie numai înf ășurarea primar ă, fie numai înf ășurarea secundar ă,
numite linii de câmp magnetic de dispersie.
Liniile câmpului magnetic util, determinate de solena ția rezultantă, determină în secțiunea
transversală a miezului magnetic fluxul fascicular util j, iar în înfășurările primară și
secundară, fluxuri magnetice utile propor ționale cu num ărul de spire:
j j1 1Nu= ,
respectiv (3.1.4)
j j2 2Nu= .
Liniile celor dou ă câmpuri magnetice de dispersie determin ă fluxurile magnetice de
dispersie js1 respectiv js2, proporționale cu inductivit ățile de dispersie corespunz ătoare:
11 1 iLs sj= ,
respectiv (3.1.5)
22 2 iLs sj= .
Din punct de vedere valoric, fluxurile de dispersie sunt relativ mici în raport cu fluxurile
utile, deoarece, având permeabilitatea mult mai mare decât aerul, miezul magnetic
concentrează marea majoritate a liniilor câmpului magnetic.
Ținând seama de sensurile fizice ale m ărimilor, eviden țiate în figura 3.1.1, fluxurile totale
corespunzătoare celor dou ă înfășurări sunt:

79 11 1 1 1 1 iL Nu s s j j j j +=+= ,
respectiv (3.1.6)
22 2 2 2 2 iL Nu s s j j j j +−=+−= .
Aplicând legea induc ției electromagnetice de-a lungul contururilor închise care trec prin
conductoarele celor dou ă înfășurări și ținând seama de legea conduc ției electrice, se ob ține:
tuiRedd1
1 11 1j−=−= ,
respectiv (3.1.7)
tuiR edd2
2 22 2j−=+= ,
unde R1 și R2 reprezintă rezistențele electrice ale celor dou ă înfășurări.
Ținând seama de rela țiile (3.1.6), sistemul (3.1.7) devine:

tiL
tNiR utiLtNiR u
dd
dddd
dd
2
2 2 22 21
1 1 11 1
ss
jj
+ −=−+ +=
, (3.1.8)
cu necunoscutele j,,,2 21 uii . Pentru ca sistemul s ă fie compatibil determinat, se completeaz ă
cu relațiile:

22 112122
2 2 d1
dd
iNiNNNLti
CtiLiR u
u
−==+ += ∫
mm
JJ j , (3.1.9)
care reprezint ă:
• căderea de tensiune pe sarcina din secundarul transformatorului (caracterizat ă de o
rezistență, o inductivitate și o capacitate);
• dependența neliniară dintre fluxul fascicular util și solenația rezultantă care îl produce,
Lu fiind inductivitatea corespunz ătoare fluxului util;
• solenația rezultantă obținută prin aplicarea legii circuitului magnetic pe conturul închis
Γ și egală cu diferența dintre solena ția primară și cea secundar ă.
Sistemul compus din rela țiile (3.1.8) și (3.1.9) este neliniar din cauza rela ției )(mJ j f=
care reprezint ă caracteristica magnetic ă a miezului. Considerând dependen ța liniară (Lu=ct.),
aproximație acceptabil ă practic când u1 este sinusoidal ă și U1=ct., sistemul poate fi
reprezentat în complex astfel:
Φ + + =1 11 11 1 Nj ILj IR U w ws
Φ − + =−2 22 22 2 Nj ILj IR U w ws
2 2 2 21ICjILj IR Uww+ += , (3.1.10)
m mwΘ =Θ =Φ2
1 21 NX
NNLu u
m m IN IN IN1 22 11 = − =Θ

80 unde:
mI- este curentul de magnetizare, reprezentând curentul care str ăbătând spirele înf ășurării
primare în gol ar produce aceea și solenație ca în sarcin ă;

21
NNL Xu uw= este reactanța corespunzătoare fluxului util.
Rezistențele și reactanțele înfășurărilor, precum și căderile de tensiune au valori
dependente de num ărul de spire al înf ășurărilor. Pentru a face posibil ă compararea
parametrilor înf ășurărilor transformatorului, se face raportarea înf ășurării secundare la cea
primară. Aceasta se realizeaz ă în ipoteza conserv ării: solenațiilor, pierderilor în înf ășurări și în
miez, puterii reactive de magnetizare a miezului, puterii reactive corespunz ătoare câmpului
magnetic de dispersie și puterii transmise de transformator receptorului conectat în secundar.
Pentru aceasta tensiunile se raporteaz ă proporțional cu numărul de spire (pentru a conserva
fluxurile fasciculare), curen ții – invers propor țional cu num ărul spirelor (pentru a conserva
solenațiile), rezistențele și reactanțele – ca raportul tensiunilor la curen ți:
22
21 '
2 22
21 '
2 2
12 '
2 2
21 '
2 ; ; ;s s X
NNX R
NNR I
NNI U
NNU


=


= = = . (3.1.11)
Notând
; ;1
12
2 2 1 1 E
NNNj E Nj E −=Φ = Φ −= w w (3.1.12)
și raportând 2E se obține
1 2
21 '
2 E E
NNE −= = . (3.1.13)
Sistemul ecua țiilor raportate ale transformatorului este:
1 11 11 1 E I jX IR U − + =s
1'
2'
2'
2'
2'
2 E I jX IR U + + =−s
2' '
2' '
2 IjX IR U + = , (3.1.14)
mwI
NXu
1=Φ
'
2 1I I I −=m
iar schema echivalent ă corespunzătoare este reprezentat ă în figura 3.1.2.
Dacă se ține seama de pierderile în fier, sistemul (3.1.14) r ămâne valabil cu excep ția
ultimei relații care devine:
'
2 1 10 I I I I Ia−=+=m , (3.1.15)
unde aI și mI sunt componenta activ ă și reactivă a curentului de magnetiza ție (egal cu
curentul de mers în gol, de valoare constant ă, și notat cu 10I), iar schema echivalent ă se
modifică prin completarea laturii transversale cu rezisten ța corespunzătoare pierderilor în fier
(RFe), ca în figura 3.1.2.

81

Observații:
1. Schema din figura 3.1.2 se mai nume ște schema echivalent ă în T.
2. Pentru simplificarea calculelor, la analiza func ționării în sarcină se folosește schema
echivalentă în Γ (Fig. 3.1.3), în care latura transversal ă a fost reprezentat ă în varianta
serie și 2 22
2 22
12 12 12
u Feu Fe
u Feu Fe
u FeFeu
X RXRj
X RXR
jX RRXj jX R Z
++
+=+= += ,
iar 06,1 02,1 1
121
1 −≅ +≅
XXcs.

3.1.3. Bilan țul puterilor transformatorului electric
O metodă simplă de determinare a bilan țului puterilor transformatorului pleac ă de la
schema echivalent ă a transformatorului monofazat (Fig. 3.1.2) care consider ă și pierderile în
fier.
În elementele acestei scheme se produc urm ătoarele pierderi:
– de putere activ ă: PCu1 și PCu2, în conductoarele celor dou ă înfășurări și PFe în miezul
feromagnetic;
– de putere reactiv ă: Qσ1 și Qσ2 în câmpul magnetic de dispersie al înf ășurării primare,
respectiv secundare, și Qm la magnetizarea miezului feromagnetic.
Diagrama de bilan ț energetic este reprezentat ă în figura 3.1.4.
Dacă transformatorul prime ște de la rețea pe la bornele înf ășurării primare puterea
1 1 1 jQ P S += și cedează circuitului receptor racordat la bornele înf ășurării secundare puterea
2 2 2 jQ P S += , ținând seama de pierderile de putere eviden țiate în figura 3.1.4, se pot scrie
ecuațiile de bilanț al puterilor active și reactive:

82 2 2 1 1 P P P P PCu Fe Cu +++= (3.1.16)
2 2 1 1 Q Q Q Q Qm +++=s s (3.1.17)

Mărimile din ultimele dou ă ecuații se calculeaz ă astfel:
1 11 1 cosj IUP= 1 11 1 sinj IU Q=
2 22 2 cosj IU P= 2 22 2 sinj IU Q=
2
11 1 IR PCu= 2
11 1 IX Qs s=
2'
2'
22
22 2 )(IR IR PCu = = 2'
2'
22
22 2 )(I X IX Qs s s = =
2
a Fe Fe IR P= 2
mIX Qu m= .
Se observă că există două categorii de pierderi:
• pierderi de putere propor ționale cu sarcina transformatorului: 2 1 2 1 , , ,s sQ Q P PCu Cu ;
• pierderi de putere constante: m FeQP,.
Observații:
1. La magnetizarea ciclic ă a miezului feromagnetic al transformatorului datorit ă variației
periodice în timp a fluxului magnetic, se produc pierderi prin histerezis PH (ca urmare a
caracteristicii neliniare de magnetizare) și prin curenți turbionari, numi ți și curenți
Foucault, PF (care apar prin induc ție în miezul feromagnetic ce are și proprietăți
conductive); F H Fe P P P += .
2. Aceste pierderi depind de natura materialului feromagnetic, de grosimea tolei, de
frecvența de magnetizare și de valoarea induc ției magnetice (prin aceasta de valoarea
efectivă a tensiunii de alimentare) și sunt aproximativ egale cu pierderile de mers în gol
0P PFe≅ (3.1.18)
3. Pierderile specifice în unitatea de mas ă a miezului feromagnetic se exprim ă cu relația:

83 2
max2 2
max Bf Bf p p pF H F H Fe s s + =+= (3.1.19)
unde: sH și sF sunt constante care depind de grosimea tolei și de natura materialului, f
este frecvența de magnetizare, iar Bmax este valoarea maxim ă a inducției magnetice în
secțiunea transversal ă a miezului.
4. La funcționarea în sarcin ă a transformatorului, în afara pierderilor în înf ășurări și în
miezul feromagnetic, se mai produc pierderi în cuv ă, în piesele de consolidare, pierderi
specifice prin dispersie la capetele înf ășurărilor.
5. În afara pierderilor în fier care sunt independente de curentul de sarcin ă, toate celelalte
pierderi depind direct sau indirect de înc ărcarea transformatorului, respectiv de I2.
3.1.4. Randamentul transformatorului electric
Pierderile de putere influen țează negativ randamentul transformatorului, care este definit
ca raportul dintre puterea activ ă cedată în secundar și puterea activ ă primită prin înfășurarea
primară:

Fe Cu Cu P P P IUIU
PP
+ ++==
2 1 2 222 22
12
coscos
jjh . (3.1.20)
Pierderile de putere în conductoare se pot pune sub forma:
k k Cu Cu Cu P IR IR IR P P P12 2
12'
2 22
11 2 1 )( b= ≅ + =+= , (3.1.21)
unde
2
11
nk
kIPR= este rezisten ța echivalentă din schema Kapp, determinat ă la încercarea de
scurtcircuit a transformatorului, în func ție de puterea absorbit ă P1k.;

nII
11=b reprezintă gradul de înc ărcare al transformatorului.
Puterea secundar ă (utilă) poate fi pusă sub forma:
2 2 11 2'
2'
2 2 22 2 cos cos cos cos j b j b j jn nn S IU IU IU P = = = = (3.1.22)
unde Sn=U1nI1n este puterea aparent ă nominală a transformatorului.
Ținând seama de aceste preciz ări și de relația (3.1.18), rela ția (3.1.20) devine:

0 12
22
coscos
P P SS
k nn
+ +=
b j bj bh . (3.1.23)
Interesează gradul de înc ărcare pentru care randamentul transformatorului este maxim la o
tensiune U2 și un defazaj j2 constante. Derivând func ția )(bh și anulând derivata se ob ține:

kopPP
10=b , (3.1.24)
relație ce arată că încărcarea optimă este independent ă de factorul de putere al sarcinii.
Din expresia valorii maxime a randamentului:

0 1 22
max2 coscos
PP SS
k nn
+=
jjh , (3.1.25)

84 rezultă că acesta este maxim când pierderile constante sunt egale cu cele variabile.
Expresia valorii randamentului nominal este:

0 1 22
coscos
P P SS
k nn
n++=
jjh , (3.1.26)
iar caracteristica randamentului )(bh la . cos2const=j este reprezentat ă în figura 3.1.5.

De regul ă, transformatoarele sunt dimensionate
să aibă un factor de înc ărcare optimă 7,03,0−=opb ,
în funcție de destinație și de caracterul sarcinii, astfel
încât el să funcționeze cu randament maxim în
regimul de func ționare cel mai frecvent (chiar dac ă
transformatorul func ționează în sarcină redusă față de
cea nominală, randamentul s ău rămâne foarte bun).
Diferența dintre valoarea maxim ă și cea nominală
a randamentului transformatoarelor de putere este
foarte mică, ceea ce face ca, în practic ă, acestea să fie
încărcate până la puterea nominal ă, sau conform
caracteristicii de înc ărcare (Cap. 4).
3.2. MOTORUL ASINCRON
3.2.1. Principiul de func ționare. Regimurile ma șinii
Mașina asincronă este o mașină electrică rotativă de curent alternativ (monofazat ă sau cel
mai adesea trifazat ă), cu câmp magnetic învârtitor, al c ărei rotor are tura ția diferită de turația
(viteza) câmpului magnetic învârtitor și dependentă de cuplul rezistent.
Este utilizată mai ales în regim de motor, uneori în regim de frân ă (la ascensoare, macarale
etc.), sau în regim de generator (la microhidrocentrale f ără personal permanent).
Este mașina electrică cea mai folosit ă în industrie datorit ă simplității constructive, a
prețului de cost relativ sc ăzut pe unitate de putere, a randamentului ridicat, robuste ții,
posibilității de a fi construit ă într-o gamă foarte largă de puteri, tura ții, tensiuni de alimentare.
Elementele constructive de baz ă sunt:
• Statorul având rol de inductor , pe care se dispune înf ășurarea trifazat ă conectată în
stea sau triunghi și care se alimenteaz ă de la rețea;
• Rotorul cu rolul de indus în două variante:
a) Rotorul bobinat – înfășurarea rotoric ă în conexiune stea este de tipul celei din
stator;
b) Rotorul în scurtcircuit sub formă de colivie simpl ă sau multiplă.
Sub aspect teoretic între cele dou ă tipuri de motoare nu exist ă nici o deosebire. Tipul b)
este constructiv mai simplu și sunt cele mai r ăspândite, tipul a) incluzând și contacte
alunecătoare, ceea ce complic ă întreținerea.
La funcționarea în regim de motor – cazul obi șnuit de utilizare a ma șinii – înfășurarea
statorică este alimentat ă cu un sistem trifazat simetric de curen ți, ceea ce conduce la apari ția
în întrefierul ma șinii a unei unde de câmp magnetic – numit câmp învârtitor . Acesta se rote ște
cu o turație n1, numită turație de sincronism, func ție de frecvența f1 a mărimilor (tensiune și
curent) statorice și de numărul de perechi de poli ai ma șinii:
pfn1
160= [rot/min] (3.2.1)

85 Câmpul magnetic învârtitor induce (prin fenomen de induc ție electromagnetic ă) în fazele
înfășurării rotorului, ini țial imobil, un sistem trifazat simetric de t.e.m. ( e2), care vor determina
apariția unui sistem trifazat simetric de curen ți rotorici ( i2).
Câmpul magnetic învârtitor ac ționează asupra acestor curen ți cu forțe Laplace, care vor
pune rotorul în mi șcare. Pe măsura accelerării rotorului ca urmare a cuplului electromagnetic
activ ce se exercit ă asupra lui, viteza relativ ă a câmpului inductor în raport cu înf ășurarea
rotorică scade ) (2 1Ω−Ω , fapt ce duce la sc ăderea intensit ății curenților rotorici și la
reducerea frecven ței lor.
În final rotorul se stabile ște la o turație staționară n2< n1, corespunzătoare egalării cuplului
electromagnetic activ cu cel rezistent. Pentru a caracteriza aceast ă rotire asincron ă a mașinii s-
a introdus mărimea numită alunecare:

12 1
12 1
ΩΩ−Ω=−=
nn ns , (3.2.2)
unde
11
1 2n
ppw==Ω , reprezintă viteza unghiular ă statorică,
22
1 2 2n
ppw=−Ω=Ω reprezintă viteza unghiular ă rotorică.
Ținând seama de rela țiile de mai sus rezult ă că frecvența mărimilor rotorice este legat ă de
frecvența mărimilor statorice prin rela ția:

12
12
ffs ==
ww. (3.2.3)
Observații:
1. Mașina nu poate func ționa la turația de sincronism, deoarece dac ă înfășurarea rotoric ă se
rotește cu aceeași viteză cu câmpul magnetic învârtitor ) (2 1Ω=Ω fenomenul induc ției
electromagnetice nu se mai produce, t.e.m. rotorice sunt nule ( e2=0), de asemenea curen ții
rotorici ( i2=0) și cuplul electromagnetic (cuplul activ) este nul.
2. Curenții rotorici își asociază un câmp învârtitor propriu, numit câmp magnetic de reac ție
(fenomenul poart ă numele de reac ția indusului), câmp ce se rote ște sincron (cu Ω1) cu câmpul
inductor principal (statoric), dar este decalat spa țial față de acesta. Cele dou ă câmpuri
magnetice se compun dând câmpul magnetic rezultant al ma șinii, care are o distribu ție
sinusoidală în timp și spațiu.
Din teoria ma șinii asincrone rezult ă că cuplul electromagnetic poate fi pus sub forma:

2 12 22cos 3
Ω−Ω=j IEM , (3.2.4)
unde E2 reprezintă valoarea efectiv ă a t.e.m. indus ă în înfășurarea rotoric ă.
Regimurile de func ționare ale ma șinii asincrone sunt consecin țe ale valorilor posibile ale
cuplului electromagnetic în func ție de viteza unghiular ă statorică (Ω1) și de cea rotoric ă (Ω2).
• Regimul de motor . Din relația (3.2.4) se observ ă că 0>M dacă ) (1 2Ω<Ω . Deci la
turații rotorice asincrone n2< n1 cuplul electromagnetic al ma șinii este un cuplu motor.
Regimul de motor se desf ășoară pentru valori ale alunec ării cuprinse în domeniul
0<s<1.

86 • Regimul de generator . Dacă armătura rotorică este antrenat ă la o viteză unghiulară
1 2Ω>Ω în sensul câmpului magnetic inductor, 0<M , puterea mecanic ă este
transformată în putere electric ă și mașina funcționează în regim de generator injectând
putere în rețea. Regimul se desf ășoară în domeniul 0<<∞− s .
• Regimul de frân ă. Mașina asincronă intră în regim de frân ă atunci când cuplul
electromagnetic dezvoltat este de sens opus sensului s ău de rotație. Aceasta se
întâmplă dacă se schimbă succesiunea fazelor înf ășurării statorice, astfel încât câmpul
magnetic să se rotească cu Ω1 în sens invers arm ăturii rotorice, sau dac ă cuplul
rezistent depășește valoarea cuplului activ. În aceast ă situație mașina primește energie
atât din rețeaua electrică, cât și pe la arbore și o transform ă în căldură prin efect
electrocaloric. Acest regim se desf ășoară pentru ∞<<s1 .
În figura 3.2.1 se prezint ă caracteristica mecanic ă a mașinii cu eviden țierea regimurilor.

Se deosebesc dou ă regimuri limit ă ale regimului de motor:
• funcționarea cu rotorul imobil (calat) când 1s 02 =⇒=n – similară unui
transformator cu secundarul în scurtcircuit – regim periculos deoarece c ăldura
degajată distruge rapid izola ția;
• funcționarea la mers în gol ideal când 0s 1 2 =⇒=n n .
3.2.2. Teoria tehnic ă a mașinii asincrone în regim de motor
Teoria tehnic ă a mașinii asincrone este similar ă celei a transformatorului electric, astfel
încât se poate face o analogie cu acesta din urm ă, asociind statorul cu primarul și rotorul cu
secundarul în scurtcircuit al transformatorului. Plecând de la rela țiile (3.1.10) și ținând seama
că pulsația mărimilor statorice este diferit ă de cea a mărimilor rotorice, se ob țin ecuațiile de
fază ale mașinii:
Φ + + =111 11 1 11 1 Nkj ILj IR U w ws
Φ − + =2 22 22 2 22 0 Nkj ILj IR w ws
'
2 1I I I −=m (3.2.5)
m mwINkXINkLu u
111 11= =Φ ,
unde
R1, R2 sunt rezistențele înfășurărilor statorică, respectiv rotoric ă;

87 Ls1, Ls2 sunt inductivit ățile de dispersie a înf ășurării de fază a statorului fa ță de rotor și
invers;
N1, N2 reprezintă numărul de spire al înf ășurării de fază statorică, respectiv rotoric ă;
k1, k2 sunt coeficien ți subunitari care depind de tipul înf ășurării, numiți factori de
înfășurare;
F este fluxul magnetic corespunz ător unui pol al câmpului învârtitor;
Im este curentul de magnetizare care produce câmpul magnetic învârtitor.
Ținând seama c ă 1 2 w w s= , conform rela ției (3.2.3) și făcând notațiile:
,
1
112 2
2 22 21 111 1
Es
NkNkNkj EIjX ILj Nkj Eu u
−=Φ =−= −=Φ −=
ww wm m
(3.2.6)
raportarea mărimilor rotorice la cele statorice se face cu rela țiile:
22
2 211 '
2 22
2 211 '
22
112 2 '
2 1 2
2 211 '
2
, , ,
s s XNkNkX RNkNkRI
NkNkI Es E
NkNkE



=


== −= =
. (3.2.7)
Notând 2 1 2 s s wL X= și luând în considerare și pierderile în fier, se ob ține sistemul
complet al ecua țiilor de funcționare în regim permanent raportate la stator sub forma:
1 11 11 1 E I jX IR U − + =s
1'
2'
2'
2'
20 E I jX IsR+ + =s
'
2 1 10 I I I I Ia−=+=m
a Fe m IR IjX E −= −=m 1 . (3.2.8)
Primele două ecuații din (3.2.8) arat ă că mașina asincronă poate fi echivalat ă cu un
transformator care ar fi înc ărcat cu o sarcin ă rezistivă variabilă sR/'
2.
Deci motorul asincron reprezint ă un transformator generalizat în care pe lâng ă
transformarea tensiunilor și curenților are loc și transformarea frecven ței în raportul
1 2/ffs= .
Schema echivalent ă corespunzătoare este prezentat ă în figura 3.2.2, în care, pentru
evidențierea pierderilor în înf ășurarea rotoric ă și a puterii mecanice, rezisten ța sR/'
2 s-a
descompus în '
2R și '
211Rs

− .

88

Observații:
1. Datorită întrefierului (care nu apare la transformator) reactan țele de dispersie
'
2 1 ,s sX X sunt relativ mari în compara ție cu Xu.
2. Rezistența corespunzătoare pierderilor în fier RFe este mai mică decât la transformator
(pierderile 2
a Fe Fe IR P= sunt relativ mai mari).
3. Ca urmare la ma șina asincronă nu sunt posibile simplific ările care se fac la
transformator pentru schema Kapp (de scurtcircuit).
Neglijând rezisten ța statorică și reunind reactan țele de scăpări 01≈R și
'
2 11
s s s X XcX + = , cu 08,1 04,1−=c , se obține schema simplificat ă a mașinii asincrone, cu
circuitul de magnetizare scos la borne (Fig. 3.2.3).

3.2.3. Bilan țul puterilor și randamentul motorului asincron trifazat
Puterea electric ă absorbită pe la bornele statorice de motor este:
1 11 1 cos 3 j IU P= (3.2.9)
Din această putere o parte se consum ă prin pierderi Joule în înf ășurarea statoric ă
2
11 13IR PCu= (3.2.10)
și prin pierderi prin histerezis și curenți turbionari în miezul feromagnetic al statorului – PFe1.
Puterea rămasă este puterea electromagnetic ă a mașinii, Pem, transmisă rotorului prin
intermediul câmpului magnetic învârtitor din întrefier:

89 12'
2'
2
1 1 1 )( 3) ( Ω= = + −= M IsRP P P PFe Cu em , (3.2.11)
unde M este cuplul electromagnetic al ma șinii.
Din această putere primit ă de rotor o parte se pierde în înf ășurarea rotoric ă prin efect
Joule:
em Cu sP IR P = =2'
2'
2 2 )(3 (3.2.12)
și în miezul rotoric PFe2. Acestea din urm ă sunt mici: cele prin histerezis sunt propor ționale cu
f2, iar cele prin curen ți turbionari cu 2
2f, valoarea frecven ței rotorice fiind redus ă. La
motoarele asincrone de construc ție normală alunecarea nominal ă 06,0 01,0−=ns (valorile
mai mici corespund la puteri mai mari), astfel încât f2 = (0,5-3) Hz. Deci pierderile în fierul
rotoric al motorului asincron se pot neglija în regim normal de func ționare.
Puterea rămasă reprezintă puterea mecanic ă transmisă rotorului:
2 2 )1( Ω= −=−= M Ps P P Pem Cu em mec . (3.2.13)
Puterea util ă disponibilă la arborele motorului se ob ține scăzând din aceast ă putere
mecanică pierderile mecanice prin frecare și ventilație:
2 2 Ω=−=u fv mec M P P P . (3.2.14)
Diferența dintre puterea electromagnetic ă transmisă rotorului și puterea utilă la arborele
motorului se nume ște putere de alunecare :
fv Cu em s P P P P P +=−=2 2 . (3.2.15)
În figura 3.2.4. se prezint ă diagrama de puteri a motorului asincron.

Observații:
1. Spre deosebire de secundarul transformatorului electric care poate debita atât energie
activă cât și reactivă, rotorul motorului asincron poate da numai putere activ ă, sub
forma de energie mecanic ă.
2. Rotorul prime ște însă energie reactiv ă necesară magnetizării câmpului magnetic de
dispersie și a armăturii rotorice.
În ceea ce prive ște puterea reactiv ă, bilanțul este modelat de rela ția:
2 2 1 1 1 s d s Q Q Q Q Q QFe Fe + +++= (3.2.16)

90 în care:
2
11 13 IX Qs s= și 2'
2'
2 2 )( 3 I X Qs s= reprezintă puterile de magnetizare ale câmpurilor
magnetice de dispersie în cele dou ă înfășurări;
dQ Q QFe Fe , ,2 1 sunt puteri necesare magnetiz ării celor două armături și a întrefierului;
ele satisfac rela ția:
2
2 1 3m d IX Q Q Qu Fe Fe =+ + . (3.2.17)
Randamentul motorului asincron se determin ă cu relația:

1 111 2 1 1 11
12
cos 3) ( cos 3
jj
hIUP P P P IU
PP fv Fe Cu Cu +++ −
== . (3.2.18)
Ca și la transformatorul electric se poate demonstra c ă randamentul maxim se ob ține când
pierderile constante (fv Fe P P+ ) sunt egale cu pierderile variabile (2 1 Cu Cu P P+ ).
Randamentul nominal este o func ție de puterea motorului, de tura ție, de tipul constructiv.
3.3. ACȚIONĂRI ELECTRICE
3.3.1. Sisteme de ac ționare electric ă
Acționarea electric ă este operația prin care se efectueaz ă comenzi asupra regimurilor de
funcționare a mașinilor de lucru cu ajutorul energiei electrice. Ea se realizeaz ă prin sisteme de
acționare electric ă, alcătuite dintr-un ansamblu de dispozitive care transform ă energia
electrică în energie mecanic ă și coordonează pe cale electric ă parametrii energiei astfel
obținute (în principal cuplul și turația).
În figura 3.3.1 se reprezint ă schema structural ă a unui sistem complex de acționare
electrică.
Motorul electric de ac ționare (M.E.A.) este alimentat prin intermediul unui convertor
electric (rotativ sau static), având rolul de a transforma parametrii electrici ai sursei de
alimentare în m ărimi specifice tipului de motor și metodei de reglare a tura ției adoptate.
Convertorul electric poate fi o instala ție de redresare, un convertor de frecven ță, un
variator de tensiune sau combina ții ale acestora. El poate fi comandat printr-un sistem
automat de comand ă prevăzut cu calculator de proces – în cazul sistemelor complexe – sau cu
regulator pentru sistemele mai simple.
M.E.A. împreun ă cu mecanismele de transmisie a energiei mecanice – care formeaz ă
lanțul cinematic (L.C.) al acționării – alcătuit din arbori de transmisie, curele de transmisie,
roți dințate, cuplaje electromagnetice sau cu fric țiune, șuruburi fără sfârșit etc. – formeaz ă
echipamentul de antrenare.
În fluxul de informa ții al sistemului de ac ționare, care furnizeaz ă mărimea de comand ă, se
găsește convertorul m ărimii măsurate , reprezentat de un traductor de pozi ție sau de turație.
După numărul motoarelor care asigur ă acționarea unei ma șini de lucru, ac ționările electrice
se clasifică în:
• acționări individuale , în care un singur motor electric ac ționează o singură mașină de
lucru; motorul poate fi cuplat la arborele ma șinii de lucru direct sau prin transmisie
mecanică;
• acționări multiple , în care o ma șină de lucru este ac ționată de mai multe motoare
electrice, câte un motor pentru o mi șcare sau un grup de mi șcări. Aceste motoare pot

91 funcționa independent sau pot fi legate între ele pe cale mecanic ă, sau pe cale
electrică. Legătura mecanică se realizează prin cuplaj rigid, diferen țial sau cu fricțiune,
iar legătura electrică se realizează prin așa-numitul arbore electric. La aceste sisteme
de acționări randamentul cre ște și devin posibile comenzile automate ale unor
mecanisme separate. Sistemul se aplic ă la mașinile de așchiere, la mașinile de lucru
din metalurgie, industria textil ă, poligrafică etc.

3.3.2. Ecua ția fundamental ă a sistemelor de ac ționare electric ă
La baza studiului ac ționărilor electrice complexe se afl ă ecuația de mișcare a sistemului de
acționare individual ă care derivă din legea fundamental ă a mișcării. Mișcarea de bază în
sistemele de ac ționare electric ă este mișcarea de rotație, a cărei lege fundamental ă este:
tJ M M Mr addΩ=−= , (3.3.1)
unde:
M reprezintă cuplul rezultant care ac ționează asupra arborelui motor în regim
permanent;
aM este cuplul activ, iar rM – cuplul rezistent static;
J reprezintă momentul axial de iner ție al ansamblului motor-sarcin ă, care se rotește cu
viteza unghiular ă Ω, având accelera ția unghiulară dΩ/dt.
Termenul din dreapta ecua ției se mai nume ște cuplu rezistent dinamic.
Relația (3.3.1) este valabil ă numai în ipoteza c ă momentul axial de iner ție este constant,
ceea ce corespunde majorit ății cazurilor practice.
În cazul mecanismelor la care momentul axial de iner ție al unor piese în raport cu arborele
motor își schimbă valoarea în decursul unui ciclu de func ționare (cazul mecanismelor biel ă-

92 manivelă, al mașinilor cu raport de transmisie între dou ă organe variabil în timp etc.), ecua ția
fundamentală a mișcării se scrie sub forma:
tJ
tJ Mdd
2 ddΩ+Ω= . (3.3.2)
Ecuația (3.3.1) se mai poate scrie ca:
tGD
t gGD
tJ Mddn
375 dd
4 dd2 2
=Ω=Ω= , (3.3.3)
unde
GD2 reprezintă momentul de volant (de gira ție) al maselor în mi șcare de rotație;
t t ddn
602
dd p=Ω, este accelera ția unghiulară exprimată în funcție de variația în timp a
turației motorului, iar g=9,81, este accelera ția gravitațională.
Pentru rezolvarea problemelor de ac ționare este necesar ă precizarea conven ției asupra
semnelor cuplurilor ce intervin în ecua ția fundamental ă.
Cuplul activ aM reprezintă cuplul dezvoltat de motorul electric ca urmare a ac țiunii
câmpului electromagnetic al statorului asupra rotorului. El învinge cuplurile rezistente statice
și dinamice, imprimând ma șinii de lucru o anumit ă viteză. În această situație mașina absoarbe
energie din re țea, iar sensul cuplului activ este pozitiv. Dac ă aM lucrează în același sens cu
cuplurile rezistente de pe arborele ma șinii de lucru, motorul cedeaz ă energie în rețea sau pe o
rezistență din circuitul indusului, iar cuplul este negativ sau de frânare.
Cuplul rezistent static rM acționează la arborele ma șinii de lucru și se datorează forțelor
de frecare și utile (de tăiere, așchiere, compresie, întindere, r ăsucire etc.). El se opune mi șcării
imprimate de motor ma șinii de lucru. Semnul pozitiv al acestui cuplu corespunde cazului când
el se opune cuplului motor.
Cuplurile rezistente statice pot fi de reac ție sau potențiale .
În prima grup ă intră cuplurile statice care se opun totdeauna cuplului motor și deci sunt
pozitive. Ele corespund unor ma șini de lucru care prelucreaz ă corpuri rigide, cum sunt
mașinile unelte de a șchiere sau presele mecanice cu excentric, în momentul pres ării.
În grupa a doua intr ă toate cuplurile date de ma șinile de ridicat, care permit înmagazinarea
unei energii poten țiale. Când sarcina se ridic ă, ea înmagazineaz ă o anumită energie poten țială
și semnul cuplului static este pozitiv, opunându-se cuplului motor. Când sarcina se coboar ă,
semnul cuplului se consider ă negativ, deoarece energia poten țială este cedată, acționând în
sensul cuplului motor.
Cuplul rezistent dinamic apare în timpul proceselor tranzitorii, când energia cinetic ă
variază. El este pozitiv când se opune cuplului activ și negativ când între ține mișcarea
motorului.
3.3.3. Reducerea cuplurilor și a momentelor de iner ție la arborele motorului
Ecuația fundamental ă a mișcării de rotație în oricare din formele de mai sus este valabil ă
când arborele motorului electric este cuplat direct cu arborele ma șinii de lucru, f ără organ de
transmisie intermediar sau cu organ de transmisie cu raport egal cu unitatea.
De cele mai multe ori, îns ă, viteza unghiular ă a arborelui motor este diferit ă de cea a
arborelui mașinii de lucru, leg ătura dintre cei doi arbori realizându-se prin sisteme de
transmisie cu rapoarte diferite. În aceste condi ții, pentru determinarea puterii și turației
motorului de ac ționare este necesar ă reducerea cuplurilor, momentelor de iner ție și a
momentelor de volant la arborele motorului.

93 Considerăm sistemul de ac ționare cu transmisie rigid ă cu roți dințate din figura 3.3.2,a.
Reducerea cuplurilor la arborele motorului se efectueaz ă în ipoteza invarian ței puterii în
sistem:
r r m m M M Ω=Ωh , (3.3.4)
astfel încât cuplul redus va fi:
r r
mr
m M
kM M11 1
h h=
ΩΩ= . (3.3.5)
Dacă motorul frâneaz ă, cuplul redus se exprim ă cu expresia:
r mr MkMh= . (3.3.6)

Reducerea momentelor de iner ție ale pieselor componente se face în ipoteza invarian ței
energiilor cinetice:
2 2
21
21
r r m m J J Ω=Ωh , (3.3.7)
de unde rezult ă momentul de iner ție redus:
r r
mr
m J
kJ J2 2211 1
h h=
ΩΩ= . (3.3.8)
Dacă sistemul de ac ționare are o schem ă cinematică mai complex ă (Fig. 3.3.2,b), între
arborele motor și arborele ma șinii de lucru fiind mai multe trepte de reducere, atunci
reducerea cuplurilor și momentelor de iner ție se aplică din treaptă în treaptă, conform
relațiilor (3.3.9) și (3.3.10):

94 ∑
==p
i iiri
mkMM
1h, (3.3.9)
∑
==p
i iiri
mkJJ
12h, (3.3.10)
în care Mri reprezintă cuplurile rezistente statice, Jri momentele axiale de iner ție, k i rapoartele
de transmisie, iar hi randamentele, la arborii intermediari i=1, p.
Dacă se ține seama și de cuplul rezistent static aplicat chiar la arborele motor, Mr0,
corespunzător frecărilor în lagăre, repectiv de momentul axial de iner ție al rotorului și al
pieselor fixate pe arborele acestuia, Jr0, relațiile de mai sus devin:
∑
=+=p
i iiri
r mtkMM M
10h, (3.3.11)
∑
=+=p
i iiri
r mtkJJ J
12 0h, (3.3.12)
unde Mmt și Jmt reprezintă cuplul rezistent total, respectiv momentul axial total, reduse la
arborele motorului.
În mod similar, momentul de volant total redus, ținând seama și de momentul de volant al
rotorului motorului electric și al pieselor fixate pe arborele acestuia, 2
0GD , va fi dat de rela ția:
∑
=+ =p
i iii
tmkGDGD GD
122
2
02) (
h. (3.3.13)
În calculele practice pentru care se cunoa ște sau se poate determina cuplul rezistent static
al mecanismului, Mr și se cunosc tura țiile, respectiv randamentele diferitelor trepte de
transmisie, cuplul total redus la arborele motorului se calculeaz ă cu relația:

ttr
r mtkMM M
h+=0 , (3.3.14)
unde randamentul total al transmisiei pentru s cuplaje este:
is
it h h∏
==
1, (3.3.15)
iar raportul total de transmisie:

ss
is
itnn
nn
nnk k1
21
10
1 ..−
=⋅⋅⋅ = =∏ , (3.3.16)
n0 fiind turația motorului, iar np – turația mașinii de lucru.
3.3.4. Reducerea mi șcărilor de transla ție la mișcări de rotație
În cazul mașinilor de lucru care au în componen ța lor atât mase în mi șcare de rotație cât și
mase în mișcare liniară (de exemplu: raboteze, ma șini de ridicat, mecanisme de transport etc.),
acestea din urm ă creează la arborele motor cupluri rezistente dinamice suplimentare. Ca
urmare, este necesar ă reducerea mi șcării de transla ție la mișcare de rotație. Considerând
sistemul de ac ționare din figura 3.3.3, cuplul redus la arborele motorului, corespunz ător forței

95 de sarcină F care acționează asupra organului cinematic în mi șcare de transla ție cu viteza v, se
calculează în ipoteza conserv ării puterii:
vF Mm m=Ωh , (3.3.17)
de unde:

mmvFM
Ω=
h. (3.3.18)

Raportarea maselor de iner ție se face pe baza conserv ării energiei cinetice:
2 22 2mvJm
m =Ωh , (3.3.19)
astfel încât momentul de iner ție redus va fi:
22
mmvmJ
Ω=h, (3.3.20)
iar momentul de volant redus:
22
22
22
2 365 4 44
nGv Gv mvggJ GD
m mm mh h h≈
Ω=
Ω= = , (3.3.21)
în care v este viteza liniar ă în m/s , n turația motorului în rot/min, iar G greutatea în kgf.
Dacă lanțul cinematic al ma șinii de lucru este complex, fiind format din p arbori cu
mișcare de rotație și m mecanisme cu mi șcare liniară, momentul de iner ție total redus la
arborele motorului va fi:
∑ ∑
= = Ω+ +=m
j mjjjp
i iiri
r mtvm
kJJ J
122
12 0h h, (3.3.22)
iar momentul de volant total redus la arborele motorului:
∑ ∑
= = Ω+ + =m
j mjjjp
i iiii
tmvG
kDGGD GD
122
122
2
024
) (
h h. (3.3.23)
Dacă transferul de energie se face de la ma șina de lucru la motor, rela țiile deduse mai sus
își păstrează valabilitatea dac ă se schimbă locul randamentului de la numitor la num ărător.

96 3.3.5. Caracteristicile mecanice ale ma șinilor de lucru
Caracteristica mecanic ă a unei mașini de lucru reprezint ă dependența dintre cuplul
rezistent static al ma șinii și turația (sau viteza unghiular ă de rotație) a acesteia.
3.3.5.1. Ma șini de lucru cu cuplul rezistent variabil cu viteza liniar ă sau cu viteza
unghiular ă a mecanismului
Din această categorie fac parte ma șinile de lucru care trebuie s ă învingă frecări cu aerul, cu
apa sau cu un alt fluid. Caracteristica mecanic ă a acestor mașini este dată de relația:
a a



− +=



ΩΩ− +=
nr rn r
nr rn r rnnM M M M M M M ) ( ) (0 0 0 0 , (3.3.24)
unde:
Mr0 reprezintă componenta cuplului rezistent corespunz ătoare frecărilor și independent ă
de viteză;
Mrn este cuplul rezistent nominal corespunz ător turației nominale nn sau vitezei
unghiulare nominale Wn;
n este turația de regim a ma șinii de lucru;
α este un coeficient care, în func ție de tipul ma șinii, poate lua valorile -1,0,1,2,>2.
În funcție de valorile lui α, relația (3.3.24) are diferite forme:
• Mașini de lucru la care a = -1
Este cazul ma șinilor de bobinat fire, hârtie, sârm ă, la care viteza de tragere a materialului,
v, și forța de tracțiune F trebuie să rămână constante indiferent de diametrul d al mosorului.
Cum viteza de tragere:
2dvΩ= , (3.3.25)
iar
2dF Mr r= , (3.3.26)
rezultă că viteza unghiular ă W, respectiv tura ția n, trebuie să scadă cu diametrul mosorului, în
timp ce cuplul cre ște.
Puterea utilă fiind:
.2 ctvF M M Pr n rn r ==Ω=Ω= (3.3.27)
rezultă
nnM M Mn
rnn
rn r =ΩΩ= . (3.3.28)
Ultima relație reprezintă forma simplificat ă a caracteristicii mecanice ob ținute din (3.3.24)
pentru a = -1 și în care s-a neglijat cuplul rezistent datorat frec ărilor.
Forma complet ă a caracteristicii mecanice a acestor ma șini reprezentate în figura 3.3.4,
curba (1), este:
nnM M M Mn
r rn r r ) (0 0 − += . (3.3.29)

97 • Mașini de lucru la care a = 0
Din această categorie fac parte ma șinile de lucru care efectueaz ă ridicări de sarcini
(macarale, ascensoare) sau înving frec ări (benzi transportoare, calandri pentru fabricarea
cauciucului, ma șini de găurit și strunguri la care viteza de t ăiere este propor țională cu
înaintarea) și pentru care rela ția (3.3.24) ia forma:
.ct M Mrn r == (3.3.30)
Caracteristica mecanic ă a acestor ma șini este deci o dreapt ă paralelă cu axa abscisei pe
care se află reprezentat timpul, ca în figura 3.3.5, valoarea cuplului rezistent și timpul cât
acesta rămâne constant cu viteza putând fi modificat ă conform cerin țelor procesului
tehnologic.

• Mașini de lucru la care a = 1
În acest caz rela ția (3.3.24) devine:

nr rn r
nr rn r rnnM M M M M M M ) ( ) (0 0 0 0 − +=
ΩΩ− += , (3.3.31)
adică cuplul rezistent variaz ă direct propor țional cu turația (dreapta (2) din Fig. 3.3.4).
Un astfel de cuplu este cel necesar rotirii rotorului unui generator de c.c. cu excita ție
constantă, debitând pe o rezisten ță fixă.
• Mașini de lucru la care a = 2
În cazul acestor ma șini caracteristica mecanic ă este:
2
0 02
0 0 ) ( ) (


− +=



ΩΩ− +=
nr rn r
nr rn r rnnM M M M M M M , (3.3.32)
adică cuplul rezistent variaz ă proporțional cu pătratul turației (curba(3) din Fig. 3.3.4). Este
cazul sistemelor de ac ționare care presupun mase ce se deplaseaz ă cu viteze mari sau în cazul
centrifugării fluidelor cu contrapresiune.
În cazul ventilatoarelor sau pompelor centrifuge, a elicelor etc, refularea fiind liber ă, cuplul
Mr0 se poate neglija și caracteristica mecanic ă devine:
2 2



=



ΩΩ=
nrn
nrn rnnM M M , (3.3.33)
reprezentată prin curba (4) din figura 3.3.4.

98 • Mașini de lucru la care a > 2
Este cazul ma șinilor de lucru ale c ăror turații depășesc 100.000 rot/min, cum sunt
instalațiile centrifuge sau ultracentrifuge din industria chimic ă la care coeficientul a poate
atinge valori pân ă la 5. În acest caz caracteristica mecanic ă este dată de relația (3.3.24) în care
se neglijează Mr0:
a a



=



ΩΩ=
nrn
nrn rnnM M M . (3.3.34)
3.3.5.2. Ma șini de lucru cu cuplul rezistent variabil cu unghiul de rota ție al unor
organe componente ale ma șinii
La mașinile de lucru care au în componen ța lor mecanisme biel ă-manivelă cum sunt
pompele, compresoarele cu piston, masele basculante la laminoare etc., cuplul este o func ție
periodică de unghiul arborelui, adic ă de poziția unghiulară a rotorului motorului de ac ționare.
Cum unghiul q variază între 0 și 2π, cuplul rezistent va varia în mod corespunz ător și odată
cu acesta tura ția mașinii.
În funcție de tipul ma șinii și de operațiile pe care le execut ă cuplul rezistent poate varia
după o sinusoidă sau o curbă apropiată de sinusoidă. Pentru efectuarea calculelor, aceste curbe
se descompun în serii Fourier, din care se re țin fundamentala și primele două armonici.
Dacă W = ct. ca în cazul compresoarelor, se poate considera unghiul q proporțional cu
timpul și deci sinusoidele se exprim ă în funcție de timp sub forma:
…) sin( ) sin(2 2 2 1 1 1 0 ++ ++ += j w j w t M t M M Mr r , (3.3.35)
unde:

012
tpw= , 1 1 2 ,…,2 w w w w nn= = , reprezintă pulsațiile diferitelor armonice;
M1, M2, …, Mn sunt amplitudinile armonicelor seriei Fourier;
j1, j2,…, jn sunt fazele ini țiale ale armonicelor;
t0 reprezintă durata unui ciclu.
3.3.5.3. Ma șini de lucru cu cuplul rezistent variabil cu cursa

Din aceast ă categorie fac parte ma șinile de
transportat sarcini pe pante cu înclinare
variabilă, mașinile de extrac ție etc.
Pentru unele ma șini din aceast ă categorie,
calculul analitic al cuplului se face cu
ajutorul unor rela ții empirice. Pentru ma șina
de extracție fără cablu de compensare (Fig.
3.3.6) ecuația cuplului rezistent este:


− =HhRG Mr21 , (3.3.36)
unde:
G reprezintă greutatea total ă a cablului;
R este raza tobei de rulare;
H este cursa cabinei;
h reprezintă lungimea cursei de ridicare.

99 3.3.6. Alegerea motoarelor electrice de ac ționare
3.3.6.1. Regimurile de func ționare ale ma șinilor de lucru
Regimul de func ționare al mașinilor de lucru arat ă modul cum variaz ă cuplul rezistent al
acestora în timp. El prezint ă o deosebită importanță în alegerea corect ă a motoarelor electrice
de acționare, deoarece determin ă solicitările termice ale acestora.
Se deosebesc urm ătoarele categorii:
a) mașini de lucru cu func ționare în regim de durat ă cu cuplu rezistent constant;
b) mașini de lucru cu func ționare în regim de durat ă cu cuplu rezistent variabil în timp;
c) mașini de lucru cu func ționare intermitent ă;
d) mașini de lucru cu func ționare în regim de scurt ă durată;
e) mașini de lucru care func ționează cu șocuri de sarcin ă;
f) mașini de lucru care func ționează cu sarcini pulsatorii.
3.3.6.2. Serviciile de func ționare ale motoarelor electrice
Serviciile de func ționare ale unei ma șini electrice definesc succesiunea și durata de
menținere a regimurilor de func ționare. Ele sunt impuse de procesul tehnologic și de
productivitatea ma șinilor de lucru. Corespunz ător celor mai frecvente situa ții din practică, se
deosebesc urm ătoarele servicii nominale:
a) Serviciul continuu (S1) – în care motorul func ționează aperiodic, cu sarcin ă
constantă, într-un interval de timp suficient pentru atingerea echilibrului termic,
caracterizat prin qmax. El este specific pentru ventilatoarele cu debit constant,
transportoarele cu band ă având sarcină liniară constantă etc.
b) Serviciul de scurt ă durată (S2) – caracterizând func ționarea aperiodic ă a motoarelor,
cu sarcină constantă într-un interval de timp mai mic decât cel necesar pentru
atingerea echilibrului termic, respectiv qmax. Motorul este apoi deconectat de la re țea
pentru o perioad ă de timp suficient ă pentru a se r ăci până la temperatura ambiant ă.
Serviciul este specific motoarelor utilizate în sistemele de ac ționare ale ecluzelor, a
unor mecanisme auxiliare de la laminoare etc.
c) Serviciul intermitent periodic (S3) – caracterizeaz ă o funcționare ciclică. Durata tc a
unui ciclu este compus ă dintr-un timp de lucru tl în care motorul func ționează cu
sarcină constantă, și un timp de pauz ă tp, ambii suficient de mici pentru ca echilibrul
termic să nu se ating ă în cursul unui ciclu de func ționare. În acest serviciu
funcționează motoarele asincrone cu rotorul bobinat și frânare mecanic ă utilizate
pentru acționarea mașinilor sau a mecanismelor de ridicat.
d) Serviciul intermitent cu durat ă de pornire (S4) – corespunde unei func ționări ciclice,
compusă din următorii timpi: un interval de pornire td, un interval de func ționare la
putere constant ă tl și un interval de repaus tp, în care motorul este deconectat de la
rețea. Deși încălzirea motorului este influen țată de perioada de pornire, totu și nu se
atinge echilibrul termic. Este cazul motoarelor asincrone cu rotor în scurtcircuit și
frânare mecanic ă, utilizate la ma șinile sau mecanismele de lucru pentru ridicarea
greutăților.
e) Serviciul intermitent periodic cu durat ă de pornire și frânare electric ă (S5) – care se
deosebește de cazul anterior prin faptul c ă înaintea timpului de repaus mai con ține un
timp de frânare tf. Nici în acest regim nu se atinge echilibrul termic. Este cazul
motoarelor asincrone cu rotor în scurtcircuit care ac ționează macarale.
f) Serviciul neîntrerupt cu sarcin ă intermitent ă (S6) – compus din cicluri succesive
având un timp de func ționare tl la putere constant ă, urmat de un timp de func ționare
în gol t0, fără timp de repaus. Cei doi timpi având valori relativ reduse, echilibrul
termic nu se atinge în decursul unui ciclu. Serviciul este specific motoarelor electrice

100 folosite pentru ac ționarea unor ma șini unelte, la care sarcina se aplic ă sau se elimin ă
prin intermediul unui cuplaj.
g) Serviciul neîntrerupt periodic cu frân ări electrice (S7) – corespunde unei func ționări
ciclice compus ă dintr-un interval de pornire tp, un interval de func ționare la putere
constantă tl și un interval corespunz ător frânării electrice, tf. Ca și în cazul precedent,
motorul se afl ă permanent sub tensiune, dar echilibrul termic nu este atins. Este cazul
motoarelor electrice care ac ționează elemente de execu ție a regulatoarelor
bipoziționale.
h) Serviciul neîntrerupt cu modificarea periodic ă a turației (S8) – compus din cicluri
succesive formate din intervale de func ționare în regim de lucru constant,
corespunzător unei anumite tura ții, t1k, urmat de unu sau mai mul ți timpi de
funcționare în alte regimuri de lucru, la tura ții diferite. Motorul este permanent sub
tensiune, fără a atinge îns ă echilibrul termic. Din aceast ă categorie fac parte
motoarele asincrone care au un num ăr de perechi de poli modificabil, corespunz ător
mai multor tura ții.

Alegerea motoarelor electrice destinate diferitelor ac ționări se face în func ție de dou ă
criterii de baz ă:
A) caracteristicile mecanice ale ma șinilor de lucru, care impun tipul motorului
electric ce trebuie ales;
B) serviciile de func ționare ale ma șinilor de lucru, care impun puterea motorului
ales după criteriul A).
3.3.6.3. Alegerea tipului motoarelor electrice de ac ționare în func ție de
caracteristicile mecanice ale ma șinilor de lucru
În regim staționar ecuația fundamental ă de mișcare a sistemelor de ac ționare (3.3.1) ia
forma:
,0=−=r aM M M (3.3.37)
adică în cazul unui cuplaj direct între motorul electric de antrenare și mașina de lucru, cuplul
activ dezvoltat de motor trebuie s ă fie egal cu cuplul rezistent static la arbore. Se pot studia
următoarele cazuri:
a) Mașina de lucru cu sarcin ă constantă.
Presupunem o ma șină de lucru func ționând la intervale de timp în regim de sarcin ă
constantă, caracteristicile de sarcin ă fiind dreptele Mr1 = ct. și Mr2 = ct., paralele cu axa
ordonatelor (Fig. 3.3.7). Consider ăm caracteristicile mecanice (1), (1’) și (1”) a trei tipuri de
motoare electrice de antrenare. Trecerea de la un regim de func ționare stabilă (punctul A’ sau
A”) corespunz ător primei caracteristici de sarcin ă, la alt regim de func ționare stabilă (punctul
B’ sau B”) corespunz ător celei de-a doua, se realizeaz ă printr-o varia ție de turație (viteză) Δn,
respectiv Δn’.
Stabilirea tipului de motor necesar pentru aceast ă acționare se va face ținând seama de
următoarele considerente:
– domeniul de reglare al tura ției cerut de mecanismul antrenat;
– valoarea necesar ă a cuplului de pornire;
– posibilitățile de supraînc ărcare ale motorului;
– calitățile dinamice impuse ac ționării (rapiditatea necesar ă la pornire, frânare sau
inversarea sensului de rota ție);
– comportarea motoarelor sub aspectul stabilit ății statice și dinamice.

101 În cazul de fa ță, dacă este necesară modificarea tura ției într-un domeniu larg, se va alege
pentru acționare un motor electric cu caracteristic ă moale, cum este cel de curent continuu cu
excitație serie sau cel asincron cu alunecare
nominală mare, având caracteristica tip (1”).
Dacă, indiferent de sarcina ma șinii de
lucru, turația sistemului trebuie s ă aibă
variații mici, atunci se va alege un motor
electric de ac ționare cu caracteristic ă
mecanică rigidă, cum este cel de curent
continuu cu excita ție derivație, sau cel
asincron obișnuit, având caracteristica tip
(1’).
Dacă, indiferent de sarcina ma șinii de
lucru, este necesar ă menținerea unei viteze
riguros constante, atunci se va alege, un
motor sincron a c ărui caracteristic ă este de
tipul (1).
b) Mașina de lucru cu sarcin ă variabilă.
Se consideră o mașină de lucru având
caracteristica mecanic ă (1) din figura 3.3.8.
Acționarea unei astfel de ma șini se poate
face cu ajutorul unui motor asincron cu
rotorul bobinat.
La scăderea turației, trecerea din punctul
de funcționare A în A’ se face prin trecerea de
pe caracteristica mecanic ă (2) a motorului, pe
caracteristica (2’) ob ținută prin înserierea
unei rezistențe de reglaj în circuitul rotoric.

c) Mașină de lucru cu sarcin ă pulsatorie.
Acesta este cazul unui mecanism al c ărui cuplu rezistent este func ție de unghiul parcurs de
un anumit organ.
La variații ale cuplului rezistent între Mmax și Mmin, după curba (1), variaz ă și cuplul activ
dezvoltat de motor (curba (2) din figura 3.3.9), respectiv variaz ă și alunecarea acestuia între
smax și smin. Dacă motorul are o caracteristic ă mai moale (2’), alunec ările corespunz ătoare
punctelor de func ționare A’ și B’ vor fi mai mari decât cele corespunz ătoare punctelor A și B
din cazul precedent.
Până la o anumită alunecare nominal ă, cu cât caracteristica mecanic ă a motorului este mai
moale, cu atât limitele de varia ție ale alunecării sunt mai mari.

102

Odată cu variația alunecării variază în mod corespunz ător viteza motorului, între limitele
nmax și nmin. Ca urmare se poate defini în timpul unui ciclu de func ționare T al mașinii, un grad
de neuniformitate:
mednn nmin max−=d , (3.3.38)
unde
2min max n nnmed+= . (3.3.39)
Datorită acestui grad de neuniformitate a vitezei, în masele aflate în mi șcare de rotație ale
sistemului de ac ționare se înmagazineaz ă la funcționarea cu cuplu rezistent minim o cantitate
de energie cinetic ă, cedată apoi la arborele motorului când valoarea cuplului rezistent cre ște,
ceea ce reprezint ă un avantaj foarte important. Varia ția energiei cinetice este dat ă de relația:
( )( )
d3600 7200 2122
2
min2
max2
2
min2
maxmedn GDn nGDJ = − ≅Ω−Ω , (3.3.40)
crescând cu gradul de neuniformitate și cu pătratul vitezei medii. Prin urmare, varia ția
energiei cinetice este cu atât mai mare, cu cât diferen ța dintre turația minimă și maximă este
mai mare, deci cu cât caracteristica mecanic ă a motorului este mai moale, permi țând alegerea
unui motor de putere mai mic ă.
3.3.6.4. Alegerea puterii nominale a motoarelor electrice de ac ționare pe baza
condițiilor de înc ălzire
Factorul principal în stabilirea corect ă a puterii unui motor electric de ac ționare (MEA) în
funcție de regimurile de func ționare ale mașinilor de lucru (ML) este înc ălzirea acestuia.
Puterea motorului trebuie s ă fie astfel aleas ă încât acestea s ă lucreze, pe cât posibil, în
apropierea temperaturii maxim admisibile, maxq , pentru clasa de izola ție a bobinajului.
Alegerea corect ă a puterii MEA este condi ționată de trasarea diagramei sale de sarcin ă, pe
baza diagramei de înc ărcare a ML (care exprim ă variația sarcinii acesteia pe durata unui ciclu
de lucru), ținând seama de randamentele mecanismelor din lan țul cinematic ac ționat.

103 Diagramele de sarcin ă ale MEA trebuie exprimate în m ărimi caracteristice pentru regimul
de funcționare și care determin ă pierderile de putere, respectiv înc ălzirea: putere, cuplu sau
curent.
Diagrama de sarcin ă proprie unui lan ț cinematic ac ționat cu motor independent permite
stabilirea serviciului de func ționare al MEA și, în consecin ță, verificarea lui din punct de
vedere termic.
a) Alegerea puterii motoarelor electrice pentru ac ționarea ma șinilor de lucru
funcționând în regim de durat ă cu sarcini constante.
Din această categorie fac parte motoarele electrice care func ționează în serviciul S1,
antrenând ma șini-unelte universale, ma șini-unelte grele (strunguri carusel, ma șini de frezat
portal, strunguri normale mari), ma șini-unelte speciale (ma șini de frezat ro ți dințate cu freză
melc etc.) sau ventilatoare cu debit constant, transportoare cu band ă având sarcin ă liniară
constantă etc.
Pentru determinarea puterii MEA se calculeaz ă puterea cerut ă la arborele motorului de
mecanismul ac ționat. Pentru aceasta se reduce cuplul rezistent static la arborele motorului,
obținându-se Mmt (în Nm). Puterea pe care trebuie s ă o dezvolte MEA este:
[]
kW 9550n mt
m mt mnMM P =Ω= . (3.3.41)
Această putere mai poate fi exprimat ă cu relația:
t s m p P P += , (3.3.42)
unde Ps reprezintă puterea de sarcin ă constantă a ML, iar pt pierderile în organele de
transmisie.
Valoarea Pm astfel determinat ă este, în general, cuprins ă între două valori nominale
standardizate: 2 1 n m n P P P << .
Deoarece puterea nominal ă a MEA este calculat ă pentru o temperatur ă standard a mediului
ambiant (de răcire) C40o=aq , se disting urm ătoarele situații:
1) Dacă C40o≤aq , se alege pentru puterea nominal ă a motorului valoarea standardizat ă
imediat superioar ă celei obținute din calcul:
2n mP P= , (3.3.43)
fără verificare termic ă, deoarece maxq nu va fi atins.
2) Dacă C40o>aq , condițiile de răcire se înrăutățesc. În aceast ă situație motorul ales la
punctul 1) va putea dezvolta, f ără a depăși maxq , o putere:
n n m P P P <=b'. (3.3.44)
β este un factor adimensional reprezentând raportul curen ților '
nI și nI, corespunzători celor
două puteri și care poate fi evaluat cu rela ția:
1 ) 1( 1 <+Δ−=
∞aqqb , (3.3.45)
unde:
C40o−=Δaqq , reprezintă depășirea temperaturii de C40o;

104 maxq q=∞ ;
)1…3,0(==
vnc
ppa , reprezintă raportul dintre pierderile totale de putere constante și
pierderile variabile corespunz ătoare încărcării nominale.
Dacă puterea '
mP obținută este mai mică decât cea necesar ă acționării, se alege un motor de
putere nominal ă superioară și se verifică din nou relația (3.3.44).
Dacă pentru motorul astfel ales se schimb ă condițiile de răcire, adică C40o<aq , β devine
supraunitar, iar rela ția (3.3.44) permite calculul puterii pân ă la care poate fi înc ărcat motorul,
"
mP, respectiv calculul supraînc ărcării:
' "
m mP PP −=Δ . (3.3.46)
În cazurile practice, când C40o>aq și când se cunoa ște Ps (indicată de constructor sau
calculată pe baza unor rela ții empirice ori a unor caracteristici tehnice ale procesului
tehnologic), în locul rela ției (3.3.44) se poate utiliza rela ția:

as
mPP
q02,07,1'
−= . (3.3.47)
În acest caz se va alege un MEA având puterea nominal ă egală cu '
mP sau cu valoarea
standardizată imediat superioar ă, fără verificare termic ă.
b) Alegerea puterii motoarelor electrice pentru ac ționarea ma șinilor de lucru
funcționând cu sarcini constante de scurt ă durată.
Din această categorie fac parte motoarele electrice care func ționează în serviciul S2,
acționând lanțuri cinematice auxiliare ale ma șinilor–unelte (de deplasare rapid ă, de reglare, de
strângere) sau mecanisme auxiliare la laminoare, în sistemul de ac ționare al ecluzelor, la
aparatele electrice de buc ătărie etc.
Dacă nu se dispune de motoare special construite pentru func ționarea în acest serviciu, este
necesară determinarea puterii motorului electric prin reducerea sarcinii temporare din
serviciul de scurt ă durată, PS2, la o sarcină echivalentă constantă în timp, corespunz ător unui
serviciu continuu, PS1 < PS2, cu condiția ca ambele sarcini s ă determine pe durata serviciului
respectiv aceea și maxq (Fig. 3.3.10). Leg ătura dintre cele dou ă temperaturi de regim este:
) 1(maxTtl
e−
∞−=q q , (3.3.48)
unde
∞q este temperatura de regim sta ționar la sarcina PS2;
tl reprezintă timpul de lucru la sarcina PS2;
T este constanta termic ă a încălzirii.
Se definește un coeficient de suprasarcin ă termică:
1
11
max>
−= =
−∞
Tt tl
eqqa . (3.3.49)
Dacă se cunoaște sau se impune ta, se poate determina durata de lucru maxim
admisibilă la puterea PS2:

105 1log3,2
1ln
−⋅=
−=
tt
tt cal
l T T t
aa
aa. (3.3.50)
Cum temperaturile de regim sta ționar sunt
proporționale cu pierderile, rela ția (3.3.49) se mai
poate scrie sub forma:
12
max SS
tpp= =∞
qqa , (3.3.51)
în care pS1 și pS2 reprezintă pierderile totale ale
motorului în regimul de sarcin ă PS1, respectiv PS2.

Ținând seama c ă pierderile variabile cu
încărcarea în regimul cu P S2 sunt proporționale cu
pătratul curentului absorbit și raportându-le la
încărcarea nominal ă, relația (3.3.51) devine

122
12
++=
+


+
=
aa
p pPPp p
M
vn cSS
vn c
taa , (3.3.52)
unde 1
12>=
SS
MPPa , reprezintă coeficientul de suprasarcin ă mecanică al motorului, iar a are
semnificația din relația (3.3.45).
Algoritmul de determinare a puterii motoarelor electrice din aceast ă categorie este
următorul:
1) Se alege un motor cu Pn = PS1 < PS2, impunând astfel valoarea coeficientului de
suprasarcină mecanică Ma.
2) Cunoscând sau apreciind coeficientul a, se calculează cu relația (3.3.52) coeficientul de
suprasarcină termică ta.
3) Se calculeaz ă cu relația (3.3.50) durata de lucru maxim admisibil ă. Dacă aceasta este
mai mică decât cea impus ă de procesul tehnologic, se reia algoritmul alegându-se o putere
nominală imediat superioar ă celei anterioare.
Dacă durata de lucru este foarte scurt ă ( T tl 1,0≤ ), se poate renun ța la calculul termic,
evaluând puterea motorului cu rela ția:
l85,0S
mPP= , (3.3.53)
și alegând un motor de putere nominal ă m nP P≥ .
În relația (3.3.53) nM M /max=l reprezintă capacitatea de supraînc ărcare a motorului.
Coeficientul 0,85 asigur ă funcționarea motorului la eventuale varia ții negative ale
tensiunii, care influen țează valoarea cuplului.
Dacă motorul este ales pentru a func ționa în serviciul S2 cu puterea PS2 un interval de timp
tl și datorită necesităților procesului tehnologic trebuie s ă funcționeze un timp '
lt, se poate
determina puterea '
2SP corespunzătoare acestui serviciu, punând condi ția ca în ambele situa ții
temperatura atins ă la sfârșitul intervalului de lucru s ă fie maxq . Relațiile corespunz ătoare sunt:

106 



− =−
∞Ttl
e1max q q (3.3.54)
și





− =−
∞Ttl
e'
1'
max q q , (3.3.55)
unde ∞q și '
∞q reprezintă temperaturile de regim sta ționar corespunz ătoare sarcinilor PS2,
respectiv '
2SP și care sunt propor ționale cu pierderile pS2, respectiv '
2Sp. Rezultă deci că:
'
22
'
11'
SS
TtTt
pp
ee
ll
=
−−=
−−
∞∞
qq, (3.3.56)
de unde se exprim ă pierderile '
2Sp:

TtTt
S S
ll
eep p'
11
2'
2
−−
−−= . (3.3.57)
Dacă se cunoaște randamentul motorului corespunz ător acestor pierderi, puterea c ăutată
este:
hh
−=
1'
2'
2 S S p P . (3.3.58)
c) Alegerea puterii motoarelor electrice pentru ac ționarea ma șinilor de lucru
funcționând cu sarcini de durat ă variabile în timp.
Din această categorie fac parte motoarele care func ționează după o diagramă de sarcină ca
cea din figura 3.3.11 și care se repet ă ciclic, durata ciclului fiind 5 4 3 2 1 ttttttc ++++= .
Alegerea puterii motorului electric const ă în determinarea puterii nominale care s ă-i
permită acționarea mașinii de lucru în
serviciu continuu, conform diagramei de
sarcină, fără a fi suprasolicitat termic sau
insuficient utilizat. Se pot întâlni urm ătoarele
situații:
1) Variațiile de sarcină sunt de 2030 % în
jurul unei valorii medii Pmed. În acest caz se
alege un MEA de putere:
med nP P≥ , (3.3.59)
fără verificare termic ă.
2) Dacă variațiile de sarcin ă sunt mai
importante, se poate alege ini țial, după
catalog, un motor electric cu puterea:

107
qqq
m nt ttP tP
k P P++++
=≥……
111, (3.3.60)
unde k =1,1…1,6 este un coeficient de supradimensionare.
Motorul astfel ales se verific ă la încălzire prin una din urm ătoarele metode: metoda
pierderilor medii, metoda curentului echivalent, metoda cuplului sau a puterii echivalente.
c1) Metoda pierderilor medii este cea mai exact ă metodă, bazată pe condiția, realizată
practic, că în regim stabilizat, la începutul sau sfâr șitul unui ciclu, temperatura este egal ă cu
cea medie pe ciclu, dac ă tc < T < 10 min. Dac ă motorul func ționează după graficul de sarcin ă
din figura 3.3.11, pe diferitele intervale ale ciclului varia ția temperaturilor este dat ă de
relațiile:
Ape e tTt
Tt
1
1 1 0 1 , 1 )(1 1
=



− + =∞−
∞−
q q q q
.
. (3.3.61)
.
Ap
e e tq
qTt
qTt
q qq q
=



− + =∞−
∞−
− q q q q , 1 )(1 ,
unde
0q este supratemperatura motorului la începutul ciclului;
pk, k=1,… q, reprezintă pierderile de putere în intervalele de timp tk în care motorul
funcționează la puterile Pk.
Se consideră că valoarea medie a supratemperaturii pe ciclu este determinat ă de o pierdere
medie echivalent ă de putere pe, corespunzătoare puterii nominale a motorului. În ipoteza c ă
motorul electric ar func ționa în serviciul continuu S1 cu o sarcin ă constantă un interval de
timp ,)4…3( T t>∞ cu pierderile pe, temperatura maxim ă atinsă în regim staționar va fi:
Ape ee Tt
Tt
=



− + =∞−
∞−∞ ∞
q q q q , 10 max . (3.3.62)
Dacă motorul este ales corect, la sfâr șitul intervalului tq maxq q≤q , adică:




− + =



− +− −
−− −∞ ∞
Tt
qTt
qTt
Tt q q
eAp
e eApe 1 110
0 q q . (3.3.63)
Dacă timpul de func ționare în serviciul ciclic este acela și cu timpul de func ționare în
serviciul echivalent continuu
∑
=∞=q
kkt t
1 (3.3.64)
și dacă se înlocuiește în relația (3.3.63) 1−qq cu valoarea sa din rela ția anterioară în care se
înlocuiește 2−qq , ș.a.m.d., după care se dezvolt ă termenii în Ttk
e−
, reținându -se primii doi
termeni ai seriei, se ob ține:
qq e tp tptp tp ++ +=∞ …22 11 , (3.3.65)

108 din care rezult ă

∑∑
==
∞=++ +
=q
kkq
kkk
qq
e
ttp
ttp tptp
p
11 22 11 …
. (3.3.66)
Algoritmul de aplicare a metodei :
1) Se alege ini țial, pe baza diagramei de sarcin ă, un motor cu puterea nominal ă calculată cu
relația (3.3.60), sau se poate estima aceast ă putere cu rela ția:
()med n P P …1,51,1≥ . (3.3.67)
Coeficientul de majorare va fi cu atât mai mare, cu cât graficul de sarcin ă este mai
neregulat.
2) Se determin ă randamentul motorului în func ție de puterea util ă: )(Pf=h și
randamentele kh pe intervalele tk : )(k k Pf=h .
3) Se calculeaz ă pierderile pk corespunzătoare puterilor Pk cu relația:

kk k
kPp
hh) 1(−= . (3.3.68)
4) Se calculeaz ă pierderile echivalente medii p e cu relația (3.3.66) și se verifică:
n ep p≤ , (3.3.69)
pn fiind pierderile totale nominale ale motorului ales.

Dacă relația (3.3.69) nu este satisf ăcută, se alege un motor de putere nominal ă
standardizată imediat superioar ă și se reia algoritmul.
Metoda se utilizeaz ă mai ales în cazul motoarelor cu caracteristic ă mecanică dură (cu
turație practic constant ă), mai ales în cazul motoarelor asincrone cu rotorul în colivie dubl ă
sau cu bare înalte.
c2) Metoda curentului echivalent .
Ținând seama c ă pierderile totale au o component ă constantă și una variabilă cu sarcina, de
forma 2
kRI, relația (3.3.66) dev ine:

∑∑
==+
=+q
kkq
kk vk c
ve c
ttp p
p p
11) (
, (3.3.70)
din care rezult ă

∑∑
===q
kkq
kkvk
ve
ttp
p
11, (3.3.71)
sau prelucrând mai departe se ob ține:

109
∑∑
===++++
=q
kkq
kkk
qqq
e
ttI
t ttI tI
I
112
12
12
1
……
. (3.3.72)
Curentul echivalent Ie este curentul constant care produce într-un ciclu acelea și pierderi ca
și curenții I1,…,Iq și pentru care motorul func ționând în serviciu continuu nu va dep ăși maxq .
Condiția pe baza căreia se alege MEA este ca valoarea curentului echivalent s ă fie cât mai
apropiată de cea a curentului nominal al motorului:
n eI I≤. (3.3.73)
Relația între curenți implică relația între puteri:
e nP P≥. (3.3.74)
în care Pe este puterea echivalent ă calculată cu valoarea Ie, iar Pn
este puterea nominal ă standardizată a motorului ales.
Metoda poate fi utilizat ă în condițiile în care pierderile în fier și
mecanice rămân constante, iar varia ția sarcinii se produce în timp
foarte scurt.
Dacă în diagramele de sarcin ă, pe anumite intervale de timp,
sarcina motorului variaz ă liniar, (Fig. 3.3.12) curentul
corespunzător acestui interval se calculeaz ă cu relația:
32
2 212
1 2
2,1I II II++= . (3.3.75)
Pentru o diagram ă de sarcină ca cea din figura 3.3.13, care cuprinde pe lâng ă intervalele de
funcționare în sarcin ă constantă, intervale de pornire,
frânare, pauze, trebuie s ă se țină seama de
înrăutățirea condițiilor de răcire (prin reducerea
turației schimbul de c ăldură cu mediul înconjur ător
se face mai greu).
Indiferent de metoda de verificare termic ă trebuie
să se țină seama de acest aspect. Operând corec țiile
necesare, rela ția decalcul a curentului echivalent
devine:
∑ ∑ ∑∑
+ + +=) ('02
f p acaa
et t t ttIIb b, (3.3.76)
unde
ta reprezintă timpii corespunz ători intervalelor active, inclusiv perioadele de pornire și
frânare;
tac – perioadele active sub tura ție constantă;
t0 – perioadele de oprire;
tp, tf –perioadele de pornire și frânare;
Ia – intensitățile curenților în perioadele active;
β – factor de înr ăutățire a condițiilor de răcire depinzând de tipul constructiv al motorului
(Tabel 3.1);
21'bb+= .

110 Tabel 3.1
Tipul motorului
Închis, fără ventilație 0,95 – 0,98
Închis, cu răcire independent ă 0,95 – 1,00
Închis, cu ventila ție exterioară proprie 0,45 – 0,55
Protejat, cu ventila ție interioară proprie 0,25 – 0,35
Aplicarea metodei pierderilor medii necesit ă cunoașterea relației dintre sarcin ă și curentul
absorbit.
c3) Metoda cuplului și puterii echivalente .
În practică, de cele mai multe ori diagrama de înc ărcare a mașinii de lucru este dat ă sub
forma )(tf Mr= . În această situație, la motoarele electrice cu caracteristic ă mecanică dură,
al căror cuplu electromagnetic este direct propor țional cu curentul rotoric (la: motoarele de
c.c. cu excita ție derivație, motoarele asincrone înc ărcate în apropierea puterii nominale,
motoarele sincrone), în locul curentului echivalent se poate folosi cuplul echivalent:

∑∑
===q
kkq
kkk
e
ttM
M
11. (3.3.77)
Puterea medie echivalent ă se poate determina cu rela țiile:
ne e nkM P= , (3.3.78)
sau

∑∑
===q
kkq
kkk
e
ttP
P
11, (3.3.79)
unde k este un factor de propor ționalitate depinzând de unit ățile de măsură folosite. Se
verifică apoi satisfacerea cât mai aproape de egalitate a condi țiilor:
e nM M≥ , (3.3.80)
e nP P≥. (3.3.81)
Metoda puterii echivalente este foarte comod ă deoarece puterile necesare pentru
executarea diferitelor prelucr ări pe mașinile-unelte se determin ă ușor.
Observa ții:
1. Pentru diagrama de sarcin ă de tipul celei din figura 3.3.12, rela țiile de calcul ale 2
2,1M și
2
2,1P sunt similare rela ției (3.3.75), iar pentru diagrame de tipul celei din figura 3.3.13, Me
respectiv Pe se obțin cu relații similare cu rela ția (3.3.76).

111 2. Dacă diagrama de sarcin ă I(t), M(t) sau P(t) prezintă variații mari, existând pericolul
depășirii încălzirii admisibile ()maxq se impune verificarea termic ă. Pentru aceasta se
determină încălzirea motorului ales la sfâr șitul fiecărui interval din diagrama de sarcin ă,
folosind relația generală:




− + =−
∞−
−Tt
kTt
k kk k
e e 11 q q q . (3.3.82)
Temperatura de regim sta ționar ∞kq pentru o sarcin ă oarecare Pk se poate calcula în func ție
de pierderile totale de putere pk corespunzătoare (relația 3.3.61).
Pierderile pk se pot obține în funcție de randamentul kh al motorului la sarcina Pk, cu
relația:

kk
k kP p
hh−=1, (3.3.83)
sau, dacă nu se cunoaște kh, cu relația:
2bvn c k p p p += , (3.3.84)
unde
pc reprezintă pierderile constante ale ma șinii (pierderile în fier plus cele mecanice la
motoarele cu caracteristic ă rigidă);
pvn – pierderile variabile la sarcin ă nominală;
nk
PP=b – gradul de înc ărcare a motorului.
Verificarea termic ă nu este necesar ă dacă intervalele de suprasarcin ă urmează unor
intervale mari de sarcin ă redusă, iar durata suprasarcinii este mic ă în raport cu constanta de
timp a încălzirii.
d) Alegerea puterii motoarelor electrice pentru ac ționarea ma șinilor de lucru
funcționând în regim intermitent.
Din această categorie fac parte motoarele electrice care ac ționează mecanisme de ridicat
sau mașini-unelte la care sarcina se aplic ă sau se elimin ă prin intermediul unui cuplaj.
În figurile (3.3.14), (3.3.15), (3.3.16), se prezint ă diagrame de sarcin ă caracteristice
regimului intermitent (cu sarcin ă variabilă în timp sau constant ă).

112 Datorită numărului mare de porniri și opriri, în majoritatea cazurilor alegerea puterii
motoarelor func ționând în regim intermitent se bazeaz ă pe formula pierderilor medii cu
corecțiile corespunz ătoare pentru perioadele de pornire și frânare:
∑∑∑ ∑∑
+ + ++ +=) ('f p o lff pp ll
ett t ttp tp tppb b, (3.3.85)
unde
tl, to, tp, tf reprezintă duratele perioadelor de lucru, de oprire, de pornire, de frânare;
pl, pp, pf sunt pierderile totale de putere în intervalele de lucru, de pornire, de frânare.
Motoarele pentru func ționarea în regim intermitent sunt de construc ție specială și la
alegerea lor este necesar s ă se verifice durata relativ ă de acționare, egală cu raportul dintre
durata de func ționare și durata totală a ciclului:
[%] 100
o ll
atttd
+= , (3.3.86)
sau aplicând corec ția pentru perioada de oprire:
[%] 100
o ll
at ttd
b+= . (3.3.87)
Dacă durata relativ ă de acționare da calculată, diferă de valorile standardizate, das, se
recalculează puterea motorului ales:

aas
n mddP P= . (3.3.88)
După un timp mai îndelungat de func ționare, se stabile ște un regim termic maxq , în care
creșterea temperaturii în perioada de lucru este egal ă cu scăderea ei în timpul pauzei. Dac ă
motorul va func ționa în regim continuu cu sarcina P, la echilibru termic el va atinge
temperatura ∞q. Relația dintre cele dou ă temperaturi este:

Tt tTt
o ll
ee
max
11
bq q+−−
∞
−−= (3.3.89)
și permite să se verifice dac ă un motor având în regim de durat ă puterea Pn<Ps și lucrând în
regim intermitent cu sarcina ps rămâne în limite admisibile de înc ălzire.
În cazul acționărilor cu porniri dese antrenate cu motoare asincrone cu rotorul în
scurtcircuit și pornire direct ă, la care curen ții de pornire și de frânare în contracurent au valori
mari, se produc înc ălziri suplimentare ale motorului.
În această situație trebuie verificat ă frecvența admisibilă a conectărilor pentru ca înc ălzirea
mașinii să nu depășească pe cea maxim admisibil ă.
Numărul orar admisibil de conect ări se poate determina cu rela ția:
( )
) (97,01(3600max
f pa a n
cW Wpd d pn+−−=b, (3.3.90)
unde
p reprezintă pierderile la sarcina P;

113 Wp, Wf sunt pierderile totale de energie [J], în timpul unei porniri, respectiv frân ări;
da este durata relativ ă de acționare.
Dacă numărul real de conect ări în regimul intermitent de func ționare calculat cu rela ția:

cctn3600= , (3.3.91)
unde tc reprezintă durata ciclului în secunde, este mai mic cel mult egal cu maxcn , motorul
este bine ales.
Dacă nu, se va alege un motor de putere mai mare pentru care se refac calculele.
Odată stabilită Pn a MEA mai este necesar ă efectuarea urm ătoarelor verific ări:
1. Pentru motoarele de c.c – verificarea la suprasarcina de curent:

inII
lmax≥ , (3.3.92)
unde
Imax reprezintă valoarea maxim ă a curentului din diagrama de sarcin ă;
λi=2,…3 reprezint ă suprasarcina relativ ă de curent.
Dacă relația (3.3.92) nu este satisf ăcută, se alege Pn imediat superioar ă.
2. Pentru motoarele de c.a . – verificarea curen ților statorici ( I1) și rotorici ( I2):
nII1 1≤ ,
nI I2 2≤ . (3.3.93)
Dacă relațiile (3.3.93) nu sunt satisf ăcute, se alege Pn imediat superioar ă.
e) Alegerea puterii motoarelor electrice pentru ac ționarea ma șinilor de lucru cu sarcini
variabile periodic, cu considerarea pierderilor din regimurile electromecanice
nestaționare.
Motoarele electrice func ționând în serviciile S4, S5, S7 și S8, pun probleme deosebite în
alegerea puterii nominale, datorit ă faptului că pierderile care intervin în procesele termice sunt
substanțial majorate de cele corespunz ătoare diferitelor regimuri electromecanice
nestaționare.
Presupunem diagrama de sarcin ă a unei mașini de lucru cu serviciu neîntrerupt periodic cu
intervalele de func ționare la vitez ă unghiulară constantă tl1 și tl2 și intervalele de inversare ti1
și ti2.
În intervalele de lucru pierderile au valorile:
1 1 v cp p p += (3.3.94)
și
2 2 v cp p p += . (3.3.95)
În intervalele de inversare, pierderile de putere sunt func ție de timp pi1(t) și pi2(t).
Pierderile medii pe ciclu vor fi:
[ ]
2 1 22 11
02
01 22 111d)( d)(12 1
i i l l
ct
it
i l l
cc Q Q tp tptttp ttp tp tptpi i
++ + =




+ + + = ∫ ∫ . (3.3.96)
Căldura Qi1 respectiv Qi2 degajată în ti1 respectiv ti2 se poate calcula relativ u șor pentru
motoarele asincrone cu rotorul bobinat sau in colivie simpl ă, cât și pentru cele de c.c cu
excitație derivație și flux de excita ție constant.

114 La inversarea unui motor electric asincron în gol de la 0Ω la 0Ω− , căldura degajată se
poate calcula cu rela ția:




+Ω ='
21 2
0 0 1214
RRJ Qmt , (3.3.97)
unde
Jmt reprezintă momentul axial total de iner ție redus la arborele motorului;
R1, '
2R – rezistența înfășurării statorice, respectiv a celei rotorice raportat ă la stator.
Relații analoage se ob țin pentru pornirea și frânarea pe cale electric ă. Condiția de alegere
corectă a motorului este:
n eP P≤. (3.3.98)
Dacă motorul func ționează în gol în ambele sensuri, f ără a fi cuplat cu un volant:
p1=p2=pc (3.3.99)
și
Qi1=Qi2 =Qc, (3.3.100)
iar pierderile totale medii sunt:
( )
c cc
ce Q tp
tp 21+ = . (3.3.101)
Numărul de conectări maxim admisibil în gol este dat de rela ția:

cc e
ccQp p
th−==2. (3.3.102)
3.3.6.5. Verificări netermice la alegerea motoarelor electrice
În afara condi țiilor de încălzire, motoarele electrice de ac ționare mai trebuie verificate
suplimentar la anumi ți parametri mecanici, care se refer ă la capacitatea de supraînc ărcare și la
cuplul de pornire.
1. Dacă în timpul func ționării sale , antrenând o ma șină de lucru cu un cuplu de sarcin ă de
variație cunoscută, motorul trebuie s ă dezvolte o valoare maxim ă Mmax a cuplului, aceast ă
valoare trebuie s ă satisfacă inegalitatea:
Mmax < λ Mn , (3.3.103)
unde λ este capacitatea de supraînc ărcare.
Ținând seama și de posibilitatea reducerii tensiunii de alimentare a motorului care atrage o
reducere corespunz ătoare a cuplului electromagnetic, rela ția (3.3.103) devine:
nM M l85,0max≤ . (3.3.104)
2. Verificarea cuplului de pornire este necesar ă pentru a ști dacă sistemul de ac ționare
poate fi antrenat. Notând cu Msp cuplul static rezistent la pornire și cu Mp cuplul de pornire al
motorului, se verific ă inegalitatea:
Mp > Msp. (3.3.105)
Când cuplul de pornire al motorului se d ă prin valoarea sa relativ ă: mp = Mp/Mn, relația
(3.3.105) ia forma:
sp n p M M m >⋅ . (3.3.106)

115 Dacă condițiile de ordin mecanic nu sunt satisf ăcute, atunci se alege un motor cu o putere
mai mare, chiar dac ă din punct de vedere termic cel anterior satisface condi țiile impuse.
În tabelul 3.2 se dau valorile lui λ și mp pentru tipurile uzuale de motoare.
Tabel 3.2

Tipul motorului Particularități constructive
np
pMM
m=
nMMmax=l
nIIImax=l
Asincron trifazat În scurtcircuit, cu colivie
simplă și pornire direct ă
0,6-0,75
1,6-2,2
–
În scurtcircuit, cu colivie
simplă și pornire stea-
triunghi
0,2-0,25
1,6-2,2
–
În dublă colivie sau cu
bare înalte 1,1-1,5 1,8-2,7 –
Cu rotorul bobinat – 2-2,5 –
Sincron
0,2-0,3 2,5-3
în cazuri
speciale
3-4
–
Curent continuu Excitație derivație 1,8-2,5 2-3 2-3
Excitație serie 2-3 2,5-3,5 2-3
Excitație mixtă – 3,5-5 2,5-3

116 CAP. 4. REGIMURI DE FUNC ȚIONARE A INSTALA ȚIILOR
ELECTROENERGETICE
NOȚIUNI FUNDAMENTALE
1. SISTEM ENERGETIC (SE) – Totalitatea instala țiilor care extrag energia primar ă, o
transportă, o transform ă, o distribuie în teritoriu și la consumatori și o utilizează la
receptoarele energetice.
2. SISTEM ELECTROENERGETIC (SEE) – Totalitatea instala țiilor care “produc”,
transportă, transformă, distribuie și utilizează energia electric ă la consumatorii electrici
și la receptoare.
3. RECEPTOR ELECTRIC – Un aparat care fiind alimentat cu energie electric ă, o
transformă în altă formă de energie, utilizabil ă local.
4. CONSUMATOR ELECTRIC (C) – Un complex de instala ții electrice definite
geografic, care fiind alimentate cu energie electric ă de la rețeaua publică, o distribuie și
o utilizează în incinta proprie.
5. GENERATOR ELECTRIC (PRODUC ĂTOR, SURSĂ) (G,S) – Totalitatea instala țiilor
electrice care “produc” energie electric ă prin transformarea uneia sau mai multor forme
de energie primar ă.
6. REȚEA ELECTRIC Ă (RE) – Totalitatea instala țiilor electroenergetice care preiau
energia electric ă de la centralele electrice, o transport ă, o transform ă și o distribuie
consumatorilor în teritoriu.
7. LINIE ELECTRIC Ă (LE) – Instala ția electroenergetic ă, galvanică, care transport ă sau
distribuie energia electric ă la aceeași tensiune nominal ă.
8. STAȚIE DE TRANSFORMARE (ELECTRIC Ă) (ST) – Complex de instala ții
electroenergetice construite în jurul unor transformatoare electrice de putere, care
modifică mărimile de stare electric ă (tensiunea electric ă (U) și intensitatea curentului
(I)), conservând puterea aparent ă (S).
9. TENSIUNE NOMINAL Ă – Este o mărime convențională, numeric egal ă cu modulul
tensiunii.
10. SARCINA ELECTROENERGETIC Ă – Puterea (activ ă, reactivă, aparentă) cerută (sau
“consumată”) de un consumator.
11. MĂRIMI DE STARE ELECTROENERGETIC Ă – Sunt tensiunea electric ă dintr-un
punct al sistemului electroenergetic și intensitatea local ă a curentului electric.
12. PARAMETRII ELECTRICI – Se definesc și se calculeaz ă pentru instala țiile electrice
construite și cuprind:
– rezistența electrică;
– inductivitatea;
– capacitatea electric ă;
– conductanța electrică.
13. CĂDERE DE TENSIUNE – M ărime ce caracterizeaz ă rețeaua electrică reprezentând o
măsură (algebrică sau fazorială) a modificării tensiunii între diferite puncte ale RE
legate galvanic între ele.
14. PIERDERE DE PUTERE – M ărime ce caracterizeaz ă transferul energiei electrice prin
elementele SEE, reprezentând o m ăsură a randamentului electroenergetic al instala țiilor
electrice.
15. CONSUM PROPRIU TEHNOLOGIC – Expresie a pierderilor de putere ( și energie) în
instalațiile furnizorului de energie electric ă.
16. FURNIZORUL DE ENERGIE ELECTRIC Ă – Societatea economic ă care produce
energia electric ă sau o transport ă și distribuie consumatorilor electrici.

117 17. BENEFICIAR – Societatea sau comunitatea care utilizeaz ă energia electric ă preluată
de la furnizor.
18. REGIM DE FUNC ȚIONARE – Modul în care un receptor sau consumator
funcționează în timp din punctul de vedere al sarcinii cerute.
19. CAPACITATE DE TRANSPORT – Puterea electric ă pe care instala ția electrică
analizată o poate transfera în condi ții normale de func ționare (se refer ă în special la
linii electrice și la stații de transformare).
20. SISTEMUL ELECTROENERGETIC NA ȚIONAL (SEN).
OBSERVA ȚII:
1. Transformatoarele electrice de putere leag ă între ele linii electrice și rețele electrice de
diferite tensiuni nominale, p ăstrând natura electric ă a proceselor și fenomenelor.
2. Rețeaua electric ă este o instala ție electrică complexă, formată din linii electrice și
transformatoare de putere sau într-un sens mai strict, p ărți ale transformatoarelor (câte
o înfășurare).
3. Topologic, rețeaua electrică e formată din linii electrice și transformatoare (ca laturi ale
RE) și barele colectoare din sta țiile de transformare (ca noduri ale RE).
4. RE poate avea una sau mai multe tensiuni nominale (în cazul RE cu transformatoare).
5. Consumatorul electric poate cuprinde unul sau mai multe receptoare , rețelele electrice
de distribu ție, surse proprii și alte instalații electrice.
6. Rețeaua electric ă poate fi imaginat ă prin planuri orizontale suprapuse care acoper ă
teritoriul, formate din linii electrice și barele colectoare ale sta țiilor electrice, și legături
verticale , realizate de transformatoarele electrice de putere între sisteme de bare de
diferite tensiuni nominale.
7. Sistemul electroenergetic este o extindere a rețelei electrice cu generatoarele electrice
și cu receptoarele electrice (sau, în general, cu instala țiile consumatorilor).
Limitele fizice ale SEE sunt: arborele turbinei de antrenare a generatorului electric și
arborele motorului de antrenare de la consumator.
În calculele de sisteme electroenergetice sunt considerate și ecuațiile de legătură
electromecanic ă ale acestor arbori limit ă.
În calculele de re țele electrice nu apar decât m ărimi electrice și ecuații
electromagnetice.
8. Sintagmele ”produc ător de energie electric ă” și ”consumator de energie electric ă” sunt
tolerate, deoarece în sistemele fizice izolate, legea conserv ării și transformării energiei
dovedește imposibilitatea cre ării sau pierderii de energie.
4.1. MODELAREA ELEMENTELOR COMPONENTE ALE SISTEMULUI
ELECTROENERGETIC
4.1.1. Ipoteze de lucru
În calculele de re țele electrice se folosesc modele fizice sau matematice mai simple sau
mai complexe în func ție de cantitatea de informa ții inițiale disponibile, de precizia cerut ă și de
timpul de calcul disponibil.
Modelarea se face, în ultim ă analiză, prin sisteme de ecua ții care descriu func ționarea
instalațiilor electroenergetice și alte procese și fenomene electromagnetice.
Pentru cazul re țelelor de distribu ție a energiei electrice, în mod curent pentru regimuri
staționare de func ționare, se accept ă următoarele ipoteze simplificatoare:
1. Toate undele de tensiune electromagnetic ă produse de grupurile centralelor electrice
din SEN sunt perfect sinusoidale, simetrice (în sistem trifazat) și echilibrate.
2. Toate instala țiile electroenergetice sunt construite simetric sau sunt simetrizate și
echilibrate pe toate fazele.

118 3. Calculul regimurilor permanente de func ționare a rețelelor se face pentru o situa ție de
moment dat, f ără a se urmări, într-o prim ă aproximare, evolu ția în timp a proceselor.
4. Rețeaua electrică, în ansamblul ei are parametrii electrici constan ți (nu evolueaz ă în
timp).
5. Transformatoarele de putere func ționează pe partea liniar ă a caracteristicii de
magnetizare a miezului de fier, înc ărcarea lor fiind în general redus ă, iar regimul
deformant nu este prea mare.
6. În ansamblu, se poate considera re țeaua electrică liniară.
4.1.2. Modelarea generatoarelor
În calculele de re țele electrice, în special în cele de regim permanent , scopul principal fiind
determinarea circula ției de curen ți sau/și de puteri , nu se au în vedere regimurile tranzitorii,
singurele care ar necesita folosirea ecua țiilor electromecanice de mi șcare ale mașinilor
electrice rotative și funcționarea sistemelor de automatizare a instala țiilor electroenergetice.
Determinările sunt pentru un moment dat, în care se consider ă realizată condiția generală
de echilibru a SEE:
∑ ∑ ∑ Δ+ =pierderi consumate generate S S S (4.1.1)
Prin realizarea condi ției de echilibru, se poate considera men ținerea frecven ței sistemului
la o valoare constant ă și egală cu valoarea sa nominal ă.
Dacă se adaugă condițiile generale (paragraful 4.1.1), rezult ă o situație de exploatare
idealizată (și simplificată), care permite utilizarea unor modele simple pentru generatoarele
electrice, după cum urmează:
a) modelul curent constant :
.) (.
2
etcC BU AU JUf Jct J
g g generatborne generatgenerat
+ + ===
(4.1.2)
în care A, B, C sunt constante predeterminate.
Modelul este folosit în calculele de regim armonic sau de scurtcircuit.
b) modelul tensiune electromotoare în spatele unei impedan țe cunoscute :
lui) generatoru ale interioare le rezistențe neglijează (se …
ct jXct Zct E
ggg
===
(4.1.3)
Impedanța generatorului este de obicei impedan ța sincronă.
c) modelul putere constant ă:
()
borne gg
Uf Sct S
==.
, (4.1.4)
unde f(Uborne) este o funcție polinomială cunoscută.
Acest model, destul de mult folosit, este prea pesimist, impunând condi ții prea grele
generatorului.

119 d) modelul putere și tensiune constante:
. .; ct U ct Pg g = = (4.1.5)
Este un model foarte mult folosit în practic ă, deoarece orice generator din SEE este dotat
cu RAT (regulator automat de tensiune) și RAV (regulator automat de vitez ă), care împreun ă
pot menține, la un moment dat , valoarea puterii active, respectiv a tensiunii la bornele
generatorului, constante.
Observație:
Pentru calculele reale de regimuri, modelele generatoarelor sunt mult mai complicate și pot
ajunge la seturi cu zeci de ecua ții pentru un singur grup.
4.1.3. Modelarea consumatorilor
Pentru modelarea consumatorilor în regim permanent de func ționare se pot folosi mai
multe tipuri de modele:
a) modelarea printr-un curent:
Forma curentului poate varia de la o constant ă, până la o funcție polinomială variabilă în
funcție de tensiune.
Câteva exemple:

C BU iC AU iC BU AU ict i
cccc
+=+ =++ ==
22.
(4.1.6)
sau, în general
()fUf ic ,= , (4.1.7)
unde
f este frecvența curentului în momentul considerat;
U este valoarea efectiv ă a tensiunii din punctul de racord al consumatorului la un moment
dat.
b) modelarea printr-o impedan ță:
Valoarea impedan ței este constant ă sau variabilă cu tensiunea (eventual și cu frecvența
rețelei):
()
etc. ,,
0 12
2 aUa Ua ZfUZ Z
cc c
++ ==
(4.1.8)
c) modelarea printr-o putere:
. și . adică ., ct q ct p ct sc c c = = = (4.1.9)
unde pc și qc sunt puterile activ ă și reactivă la un moment dat ale consumatorului, sau, în
general
()fUs sc c ,= , (4.1.10)
cu o expresie polinomial ă (numai în func ție de valoarea efectiv ă a tensiunii de alimentare U).

120 S-au făcut încercări de modelare mai precis ă a marilor consumatori sub form ă
exponențială:

Q QP P
n nnc cn nnc c
ff
UUQ Qff
UUP P
b ab a







=






=
,,
(4.1.11)
unde
Pc,n și Qc,n sunt valorile nominale ale puterilor activ ă și reactivă ale consumatorilor;
U,f sunt tensiunea de alimentare și frecvența rețelei la un moment dat;
Un,fn sunt valorile nominale ale tensiunii și frecvenței pe barele de alimentare a
consumatorului;
α și β sunt coeficien ți determinați experimental pentru fiecare consumator.
Observații:
1. Modelarea consumatorului prin putere activ ă și reactivă este mai apropiat ă de realitate.
2. Modelarea consumatorului prin puteri constante este destul de îndep ărtată de realitate
pentru că este echivalent ă cu alimentarea dintr-o bar ă de putere infinit ă, care în mod
normal nu exist ă.
3. În cazul regimurilor nenominale, modelele instala țiilor capătă alte forme, care pun în
evidență și variația altor mărimi care caracterizeaz ă procesele electroenergetice (vitez ă
de creștere a unor mărimi, dispersii, m ărimi medii, constante de timp etc.).
4.1.4. Modelarea re țelei
Rețeaua electrică (linii electrice și transformatoare de putere) se modeleaz ă prin cuadripoli
(par. 4.2). Liniile electrice sunt reprezentate prin cuadripoli π, iar transformatoarele de putere
prin cuadripoli T și mai ales Γ. În cazuri speciale se folosesc și alte reprezent ări în funcție de
fenomenele electromagnetice analizate.
4.2. REPREZENTAREA PRIN CUADRIPOLI A INSTALA ȚIILOR ELECTRICE
Rețeaua electrică, formată din linii electrice și stații de transformare, se modeleaz ă prin
cuadripoli electrici. Un cuadripol electric este o structur ă cu două perechi de borne accesibile
(intrare – ieșire) ca cea reprezentat ă în figura 4.2.1.
DCBA ,,, sunt parametrii (constan ți) ai
cuadripolului;
1 1,IU – perechea de fazori tensiune-curent la
bornele de intrare;
2 2,IU – perechea de fazori tensiune-curent la
bornele de ieșire.
Ecuațiile de funcționare ale cuadripolului sunt:
2 2 12 2 1
ID UCIIB UA U
+ =+ = (4.2.1)
Liniile electrice și transformatoarele de putere sunt elemente pasive pentru SEE și deci, cel
puțin teoretic, ele sunt independente de sensul circula ției prin aceste elemente, cele dou ă
perechi de borne putând fi folosite în ambele sensuri. Atunci cuadripolii echivalen ți sunt
reciproci. Condi țiile de reciprocitate pentru un cuadripol electric sunt:

121 DACBDA
==− 1. (4.2.2)
În aceste condi ții ecuațiile cuadripolului pot fi scrise și matriceal:



=

22
11
IU
DCBA
IU (4.2.3)
și reciproc




−−=

11
22
IU
D CB A
IU. (4.2.4)
Tipurile cele mai cunoscute de cuadripoli electrici, folosi ți pentru modelarea liniilor și
transformatoarelor sunt “T”, ” π”, ”Γ”.
Mai există o categorie de cuadripoli ”degenera ți” în
care prin neglijarea unor componente fizice se ajunge la o
structură fizică de tipul celei din figura 4.2.2 în care firul
superior este faza, iar cel inferior – neutrul elementului.
În analiză se consideră că și această structură este un
cuadripol, chiar dac ă pentru neutre avem o singur ă bornă,
extinsă în spațiu.
a) Cuadripol T

b) Cuadripol p

c) Cuadripol G

122 4.3. SCHEMELE ELECTRICE ECHIVALENTE ALE RE ȚELELOR ELECTRICE.
CALCULUL PARAMETRILOR ELECTRICI ECHIVALEN ȚI
În acest paragraf se prezint ă schemele echivalente de baz ă, necesare pentru calculele de
regimuri de func ționare ale liniilor electrice și transformatoarelor.
4.3.1.Schemele electrice echivalente ale liniilor electrice.
Cea mai utilizat ă schemă echivalentă pentru linii este cuadripolul de tip π, cu patru
parametri electrici echivalen ți:
– rezistența liniei RL [Ω];
– reactanța inductivă a liniei XL [Ω];
– conductanța laterală a liniei GL [S];
– susceptanța capacitivă a liniei BL [S];
Schema electric ă echivalentă este cea din figura 4.3.1,

în care
lr RL 0= , (4.3.1)
r0 – rezistența specifică a conductorului de faz ă [Ω/km];
l – lungimea liniei [km];
Pentru LEA
klr RL 0= , (4.3.2)
k – este coeficientul de corec ție a lungimii care ține seama de gradul de fr ământare a
solului și de forma real ă a conductorului: k = 1,02 – 1,04;
– pentru zone accidentate (munte) k = 1,04;
– pentru câmpie k = 1,02.
lx XL 0= , (4.3.3)
x0 – reactanța inductivă a liniei [ Ω/km];
0 0 L x w= , (4.3.4)
ω – pulsația curentului [rad/s];
fp w2= , (4.3.5)
f – frecvența undei de curent [Hz];
L0 – inductivitatea specific ă a liniei [H/km];
lg GL 0= , (4.3.6)
g0 – conductanța specifică laterală a liniei [S/km];
L L C B w= , (4.3.7)

123 CL – capacitatea liniei [ µF];
lb BL 0= , (4.3.8)
b0 – susceptanța specifică a liniei;
lC Cs L 0= , (4.3.9)
C0s – capacitatea de serviciu (specific ă) a liniei [ µF/km].
Valorile pentru r0, x0, g0 și b0 se găsesc pentru fiecare tip de linie în cataloage și lucrări de
specialitate.
L0 și C0s se pot calcula, dac ă nu există valori, cu rela ții simple.
Se pot scrie expresiile:
L L L jX R Z += (4.3.10)
și
L L L jB G Y += (4.3.11)
în care
LZ este impedan ța longitudinal ă a liniei;
LY este admitanța transversală a liniei.
În general, LZ este o mărime echivalent ă a liniei, care caracterizeaz ă conductoarele de
fază, iar LY este legată de izolația liniei.
Se pot introduce câteva elemente de corec ție:
1. Pentru rezisten ță:
o La LEA :
( ) ( )( )s a a cc ac y y C r r ++ − + = 1 20 10
..0 ..0 qa , (4.3.12)
unde
r0c.a. este valoarea din catalog la 200C și presiune normal ă;
a este coeficientul de varia ție al rezistivit ății cu temperatura [grd-1];
qa – temperatura aerului [grd];
ya – factor de apropiere (proximitate);
ys – factor de suprafa ță (efect pelicular).
De obicei ace ști factori fiind foarte mici, pot fi neglija ți.
o La LEC :
( ) ( )( )t m e s a a cc ac y y y y y C r r +++++ − + = 1 20 10
..0 ..0 qa , (4.3.13)
unde
ye – factor de corec ție în funcție de tipul cablului și a ecranelor conductoarelor;
ym – factor de corec ție datorat existen ței mantalelor metalice;
yt – factor de corec ție datorat existen ței tubului de montare a cablului.
Și acești factori de corec ție au valori mici și în cazul cablurilor obi șnuite pot fi neglija ți (în
special la JT și MT).
2. Pentru conductan ța lateral ă:
– conductanța laterală este foarte mic ă și de obicei, mai ales în cazul re țelelor de
distribuție, se poate neglija;
– conductanța liniei se poate calcula în func ție de descărcarea corona:

124 2,
nLEcor
LUPGΔ= , (4.3.14)
unde LEcorP,Δ reprezintă pierderile corona ale liniei. Acestea se pot determina în func ție de
Un, de tipul liniei, de starea atmosferic ă, de starea suprafe ței conductoarelor active, din tabele
speciale, întocmite de institutele specializate (ISPE, ICEMENERG ș.a.).
Conductanța liniei aeriene are importan ță de la tensiunea nominal ă de 220 kV în sus.
4.3.2.Schemele electrice echivalente ale transformatoarelor de putere.
Schemele cele mai utilizate sunt cele de tip “ Γ” (Fig. 4.3.2) cu patru parametri electrici
(RT, XT, GT, BT) și cu raport de transformare.

TZ este impedan ța longitudinal ă a transformatorului și descrie caracteristicile electrice ale
înfășurărilor;
TY este admitanța transversală a transformatorului și modelează circuitul magnetic ;
TN N=12 este raportul de transformare al transformatorului:
12
12
21
21N
II
NN
UUNT =≅== (4.3.15)
unde
N1 este numărul de spire al înf ășurării primare;
N2 este numărul de spire al înf ășurării secundare.
Dacă transformatorul are impedan țele înfășurărilor 1Z și 2Z, în valori raportate la
tensiunea nominal ă a înfășurării respective, impedan ța transformatorului ZT va fi egală cu:
'
2 1Z Z ZT += , (4.3.16)
unde '
2Z este impedan ța înfășurării secundare raportat ă la tensiunea nominal ă a înfășurării
primare.
Trecerea de la o tensiune nominal ă la cealaltă se face cu rela ția:
22
12'
2 ZN Z= (4.3.17)
La ieșirea din fabric ă, orice transformator este supus la dou ă încercări: la funcționare în gol
și la funcționare în sarcin ă nominală, care se mai nume ște “în scurtcircuit”.
Montajul folosit este cel din figura 4.3.3.
La încercarea de func ționare în gol , alimentarea se face prin bornele 11’ cu tensiunea
nominală U1n, iar bornele 22’ r ămân în gol.
Se citesc mărimile:
I10 – curentul de mers în gol [A];
U1gol, U2gol – tensiunile înf ășurărilor la mersul în gol [V];
W10 – pierderile de mers în gol ale transformatorului [W].

125

Se determină:
[]
100 %
110
0
nIIi= reprezintă curentul de mers în gol al transformatorului;

golgol
UU
N
21
12= reprezintă raportul nominal de transformare al transformatorului;
10 0W P=Δ sunt pierderile de putere la mers în gol ale transformatorului [W].
La încercarea de func ționare în sarcin ă nominal ă, alimentarea se face prin bornele 11’
(bornele 22’ sunt scurtcircuitate) cu tensiune cresc ătoare până când ampermetrele indic ă I1n,
respectiv I2n. În acest moment se citesc indica țiile următoarelor aparate:
V1 care măsoară tensiunea de scurtcircuit din primarul transformatorului Uscc [V];
A1 care măsoară curentul nominal primar I1n [A];
A2 care măsoară curentul secundar nominal I2n [A];
W1 care măsoară puterea de scurtcircuit W1scc [W].
Se determină:
[]
100 %
1nscc
sccUUu = – tensiunea de scurtcircuit a transformatorului;
scc scW P1=Δ – pierderile de scurtcircuit (sarcin ă nominală) ale înfășurărilor
transformatorului [W].
În urma acestor încerc ări, în cartea tehnic ă a transformatorului ( și pe plăcuța indicatoare)
se înscriu urm ătoarele mărimi electrice:
• puterea nominal ă (aparentă) a transformatorului [VA, kVA, MVA];
• raportul de transformare n nU U2 1/ [kV/kV];
• grupa de conexiuni (ex. Dy n-5) cu semnifica țiile cunoscute (înf ășurarea primar ă în
conexiune triunghi, cea secundar ă în stea cu neutrul accesibil; defazaj de 1500 între
fazorii tensiunii primar ă și secundară);
• sistemul de reglaj (ex. ±9∗1,78%), cu 19 prize în jurul prizei mediane -nominale cu pas
de reglaj pe plot de (1,78/100) U1n [kV];
• curentul de mers în gol i0[%];
• tensiunea de scurtcircuit uscc[%];
• pierderile la mersul în gol ΔP0[kW];
• pierderile în înf ășurări în regim nominal ΔPscc[kW];
• eventual curen ții nominal I1n /I2n [A/A].
Cu ajutorul acestor m ărimi se pot calcula parametrii nominali ai transformatorului, dup ă
cum urmează:
22
1
nn
scc TSUP RΔ= , (4.3.18)

126 []
nn scc
TSU% uZ2
1
100= , (4.3.19)
T T T T Z R Z X ≅− =2 2, (4.3.20)
2
10
nTUPGΔ= , (4.3.21)
[]
2
10
100nn
TUS%iY= , (4.3.22)
T T T T Y G Y B ≅− =2 2. (4.3.23)
Cazul transformatoarelor cu trei înf ășurări:
Ținând seama de principalele tipuri constructive de transformatoare cu trei înf ășurări,
calculul parametrilor echivalen ți se face după cum urmează:
Ø GT, YT, BT se calculeaz ă cu aceleași relații și în aceleași condiții ca și în cazul
transformatoarelor cu dou ă înfășurări;
Ø Încercările transformatoarelor cu trei înf ășurări sunt de patru tipuri:
• încercare de func ționare în gol: se determin ă ΔP0 și rapoartele de
transformare:
golgol
UU
N
21
12= , (4.3.24)
golgol
UU
N
31
13= ; (4.3.25)
• trei încercări de funcționare la sarcin ă nominală (scurtcircuit). La fiecare
încercare, alimentarea se face printr-o înf ășurare (ex.: 1), a doua înf ășurare
este închisă în scurtcircuit (ex.: 2), iar a treia r ămâne în gol (ex.: 3).
La finalul încerc ărilor se obțin trei puteri de scurtcircuit ( ΔP12, ΔP23, ΔP31)
și trei tensiuni de scurtcircuit ( u12, u23, u31).
Ø Pentru calculul reactan țelor inductive proprii fiec ărei înfășurări se folosește
următorul algoritm:
1) se calculează tensiunile de scurtcircuit proprii fiec ărei înfășurări:
[]223 31 12
1u u u%u−+= , (4.3.26)
[]231 23 12
2u u u%u−+= , (4.3.27)
[]212 31 23
3u u u%u−+= . (4.3.28)
2) se calculează reactanțele inductive proprii ale înf ășurărilor:
[]
nn
SU%ux2
1 1
1100≅ , (4.3.29)
[]
nn
SU%ux2
1 2
2100≅ , (4.3.30)

127 []
nn
SU%ux2
1 3
3100≅ , (4.3.31)
Una dintre reactan țele calculate este foarte apropiat ă de zero sau u șor negativă.
Se consideră egală cu zero.
Ø Pentru calculul rezisten țelor trebuie să fie cunoscută repartiția puterii pe cele dou ă
înfășurări secundare (ex.: înc ărcate egal etc.). Se calculeaz ă rezistența echivalentă a
transformatorului RT:
2
12n
nscc
T U
kSPRΔ= , (4.3.32)
unde k depinde de modul de repartizare a sarcinii pe înf ășurările secundare și de tipul
de transformator.
Pentru
• Tipul I: T' 'R R R R ===3 2 1 și k =2;
• Tipul II: T'R R R = =)3(2 1 și T'R, R 51)2(3= cu k =2;
• Tipul III TR R=1 și T' 'R, R R 513 2 == și
k = 1,83 dacă o înfășurare secundar ă se încarcă la maxim, iar
cealaltă numai la jum ătate;
k = 1,75 dacă cele două înfășurări secundare se încarc ă în mod
egal.
Observație:
Există foarte multe posibilit ăți de încărcare a secundarelor, de aceea, mai întâi trebuie
calculat coeficientul k și apoi se determin ă RT.
Schemele echivalente pentru transformatoarele cu trei înf ășurări sunt cele din figura 4.3.4.

128 4.4. CALCULUL CIRCULA ȚIILOR DE CUREN ȚI ȘI DE PUTERI ÎN RE ȚELELE
ELECTRICE.
În analiza SEE, o etap ă importantă a procesului este determinarea circula ției de curenți
(și/sau de puteri) în re țelele electrice. De fapt, prin stabilirea în orice punct al re țelei a
mărimilor de baz ă: tensiunea, curentul, și puterea electric ă, se crează premizele pentru a se
determina circula ția puterilor și pierderile de putere în fiecare element al re țelei.
4.4.1. Alegerea metodelor de calcul a regimului permanent de func ționare a SEE.
Aceste metode se împart în: metode directe și metode iterative.
În cadrul metodelor directe se înscriu:
• Metoda teoremelor lui Kirchhoff;
• Metodele lui Maxwell:
• metoda poten țialelor nodurilor;
• metoda curenților ciclici.
Aceste metode se bazeaz ă pe ipoteza re țelei liniare, iar variabilele finale sunt curen ții prin
elementele de re țea.
Metodele iterative se împart în dou ă mari clase:
• Metode de tip SEIDEL-GAUSS (metoda GAUSS, metoda SEIDEL-GAUSS pur ă și
modificată, metoda “ascendent-descendent”);
• Metode de tip NEWTON-RAPHSON (metoda NEWTON-RAPHSON pur ă, metoda
decuplată, metoda decuplat ă rapidă, alte metode de tip FAST).
Pentru rețelele de distribu ție de MT și JT cele mai indicate metode sunt cele de tip
SEIDEL-GAUSS – “ascendent-descendent”. În acest moment sunt în func țiune programe de
calcul bazate pe aceast ă metodă, accesibile ca pre ț și suficient de performante sub aspectul
vitezei de lucru și a preciziei rezultatelor.
4.4.2. Preciz ări privind efectuarea calculelor.
Dacă considerăm o latură ij între două noduri ( i și j) ale unei rețele electrice (Fig. 4.4.1),

se pot scrie ecua țiile corespunz ătoare teoremelor lui Kirchhoff, astfel:
iijiUy I00= (4.4.1)
jjijUy I00= (4.4.2)
()j i ijijU Uy I − = (4.4.3)

ijijijij j i ijz,Iz U U U1y = =−=Δ (4.4.4)
0i i ij II I −= (4.4.5)
0j ij j I I I −= (4.4.6)

129 În funcție de mărimile cunoscute se poate calcula curentul de circula ție ijI și curenții din
laturile transversale. Pentru un nod al re țelei se poate calcula curentul nodal :
∑
==n
jij i I I
1, (4.4.7)
unde ij sunt laturile re țelei incidente la nodul i, sau:
( ) ∑
=− =n
jj iiji U Uy I
1. (4.4.8)
Dacă se înmulțește ultima relație conjugată cu iU, se obține puterea nodal ă
() ∑ ∑
≠= =− =− = =n
ijjjiji iiin
jj iiji ii i Uy U Uy U Uy UIU S
1* * 2 *
1* * * *. (4.4.9)
Se poate determina și puterea jS și puterea vehiculat ă pe latura ij:
()* * * *
j iiji iji ij U UyU IU S − = = , (4.4.10)
()* * * *
j iijj ijj ji U UyU IU S − = = . (4.4.11)
Diferența dintre aceste puteri reprezint ă pierderile de putere pe latura ij:
ji ij ij S S S −=Δ . (4.4.12)
4.5. CALCULUL PIERDERILOR DE PUTERE ȘI ENERGIE ÎN RE ȚELELE
ELECTRICE.
În cele ce urmeaz ă ne vom referi în special la re țelele de distribu ție din întreprinderi și vom
folosi metoda duratei pierderilor maxime. Celelalte metode, bazate pe regresii, calcule
probabiliste, înregistr ări multiple, sunt prea complicate în raport cu sporul de precizie ob ținut.
Vom defalca calculul pentru linii electrice și transformatoare dup ă cum urmează:
a) Pentru transformatoare:
În cazul unui singur transformator, pierderile de putere activ ă și reactivă se calculează cu
relațiile:
scc T P P P Δ+Δ=Δ2
0a , (4.5.1)
unde α este coeficientul de înc ărcare a transformatorului în regim de sarcin ă maximă,

nTSSmax=a . (4.5.2)
Pentru pierderile de putere reactiv ă relația este:
scc T Q Q Q Δ+Δ=Δ2
0a , (4.5.3)
unde
[]
nSiQ
100%0
0≅Δ (4.5.4)

130 și
[]
nscc
scc SuQ100%≅Δ . (4.5.5)
Pentru pierderile de energie activ ă într-un an, rela ția este:
t ascc f ana P tP E Δ+Δ=Δ2
0 , , (4.5.6)
notațiile având semnifica țiile cunoscute: tf – timpul de func ționare, t – durata pierderilor
maxime.
Dacă în stație sunt n transformatoare de acela și fel, relațiile de calcul devin:
2
0 anPPn Pscc
STΔ+Δ=Δ , (4.5.7)
2
0 anQQn Qscc
STΔ+Δ=Δ (4.5.8)
și
ta2
0 ,nPtPn Escc
f anaΔ+Δ=Δ . (4.5.9)
Pentru calculul pierderilor de energie activ ă se poate utiliza și puterea medie anual ă:
ffscc
med f ana tknPtPn E2 2
0 ,Δ+Δ=Δ a , (4.5.10)
cu

maxPPmed
med= a , (4.5.11)
sau

med nTmed
medSP
ja
cos= . (4.5.12)
Observații:
1. Se observă că se înlocuiește 2a cu ()2
f medk a .
2. Dacă sunt mai multe tipuri de transformatoare, calculul se face pentru fiecare tip, dup ă
ce s-a studiat modul de repartizare a sarcinii între transformatoare ( a), după ce se vor analiza
curbele de sarcin ă specifice și durata pierderilor maxime pentru fiecare sector din sta ție (tf și
t).
b) Pentru linii electrice:
Se pot scrie rela ții de calcul pentru pierderile de putere activ ă și reactivă:
2
22 2
22
3LL L
LL L
L
LL
L IR R
UQ PR
USP =+= =Δ , (4.5.13)
respectiv
2
22 2
22
3LL L
LL L
L
LL
L IX X
UQ PX
USQ =+= =Δ . (4.5.14)

131 Singura indica ție pentru aplicarea acestor rela ții este ca PL, QL și UL să fie măsurate în
același punct.
Pentru pierderile de energie activ ă se aplică relația:
t tL
LL L
LL ana R
UQ PIR E22 2
2
, 3+= =Δ , (4.5.15)
sau, dacă se cunoaște puterea medie:
ffL
Lmed
ana tkR
USE2
22
,=Δ . (4.5.16)
Dacă instalațiile au o func ționare sezonier ă, se pot face calcule similare, ținând seama de
împărțirea timpului anual de func ționare în sezoane.
Se va obține, probabil, o îmbun ătățire a metodei de calcul și diferențe de valori de ordinul
procentelor.
4.6. MĂSURI PENTRU REDUCEREA PIERDERILOR DE PUTERE ȘI ENERGIE
Studii ale institu țiilor specializate ale ONU arat ă că pe glob se manifest ă o tendință de
creștere a cantității de energie electric ă produsă și respectiv consumat ă. În aceste condi ții,
mărimea consumului propriu tehnologic și dinamica acestuia, precum și a pierderilor de
putere și energie devin determinante în orice analiz ă de eficiență a tuturor investi țiilor noi.
Pentru SEN, m ărimea pierderilor de putere și energie a devenit foarte sensibil ă, mai ales în
ultimii 10-15 ani, când s-au înregistrat sc ăderi masive ale cererii în industrie și agricultură.
Concomitent cu aceast ă tendință principală s-a înregistrat o sl ăbire semnificativ ă a
disciplinei în munc ă, precum și în achitarea facturilor de energie electric ă de către beneficiari.
Toate aceste procese au determinat o cre ștere foarte mare a pierderilor de putere și energie
în rețelele electrice de distribu ție, atât la furnizor cât și în întreprinderile industriale și
economice, fapt întâmplat în primii ani ai perioadei analizate și apoi o men ținere a lor la
niveluri inacceptabile pentru o țară europeană.
În aceste condi ții a reapărut ARCE, într-o form ă nouă și legislația care oblig ă toți
participanții la gestiunea energiei electrice s ă adopte măsuri raționale de economisire a
energiei electrice.
În ultima vreme, în Uniunea European ă se discută tot mai mult de folosirea eficient ă a
energiei electrice, în toate componentele lan țului energetic industrial, pentru a se evita
construirea de noi unit ăți energetice clasice. Sunt stimulate și investițiile în unitățile
energetice alternative (regenerabile) cu un grad mai mare de dispersie a surselor.
Preocupările pentru utilizarea mai ra țională a energiei electrice trebuie s ă se manifeste în
toate verigile lan țului de producere, transport, distribu ție și utilizare a energiei electrice și în
toate etapele de timp caracteristice: alegerea solu ției, proiectare, execu ție a lucrărilor,
exploatare.
Vom prezenta în continuare principalele m ăsuri de îmbun ătățire a randamentelor
energetice ale re țelelor electrice publice și private, împ ărțindu-le între momentul proiect ării
instalațiilor și cele ale dezvolt ării lor ulterioare.
Pentru România cele mai mari discrepan țe privind mărimea pierderilor de putere și energie
electrică, față de țările dezvoltate se g ăsesc la nivelul unit ăților economice, a liniilor
tehnologice, astfel încât energia specific ă necesară pentru realizarea unui produs este de cca
două ori mai mare. Pentru a ne putea înscrie în conduita energetic ă a continentului, societatea
românească ar trebui să acționeze în trei direc ții principale:
1. Reorientarea produc ției industriale dinspre industriile grele, puternic energofage, spre
industrii de vârf, care necesit ă cantități mici de materii prime, materiale și energie.

132 2. Schimbarea tuturor tehnologiilor în unit ățile actuale, cu tehnologii moderne, cu
consum energetic redus. Aici foarte important ar fi s ă se importe numai vârfuri
tehnologice, for țând astfel schimb ările de structur ă necesare.
3. Înlocuirea tehnologiilor clasice din industria energiei electrice și termice, și
introducerea unor sisteme ultramoderne de monitorizare și conducere a instala țiilor
electroenergetice.
Pentru realizarea acestor obiective, trebuie antrena ți toți specialiștii, din toate domeniile
ingineriei, deoarece trebuie, în primul rând, s ă se determine o schimbare de atitudine fa ță de
energia ce ne st ă la dispoziție.
4.6.1. Măsuri de reducere la nivelul proiect ării.
În proiectare trebuie s ă se fixeze anumite principii la care s ă adere toate institu țiile și
unitățile economice interesate privind dezvoltarea re țelelor electrice în condi țiile concrete
dintr-o țară sau dintr-o regiune. Spre exemplu:
a) Economisirea energiei electrice este mai favorabil ă decât construirea de noi surse
generatoare de tip industrial;
b) Politica de economisire a energiei este o politic ă pe termen lung, m ăsurile actuale
vizând viața comunității pe parcursul a 2-3 genera ții;
c) Reducerea pierderilor și a consumului propriu tehnologic este mai important ă decât
costurile actuale ale materialelor electroconductoare (Cu sau Al), care oricum se
recuperează în viitor, costul prelucr ării lor fiind oricând mai mic decât extragerea lor
din minereu.
d) Instalațiile electroenergetice noi, trebuie s ă fie mult mai fiabile decât cele pe care le
înlocuiesc;
e) Instalațiile electroenergetice noi trebuie s ă fie mult mai performante sub aspect
energetic (pierderi, randamente) decât cele pe care le înlocuiesc;
f) Noile instalații acționate electric trebuie s ă fie mai simple, mai u șor de urmărit în
funcționare de la distan ță, să fie deservite de cât mai pu țini operatori (accent pe
automatizarea complex ă sau chiar robotizare și cibernetizare);
g) Noile instalații electroenergetice și industriale s ă fie dotate cu sisteme moderne
informatice, bazate pe utilizarea inteligen ței artificiale;
h) Stabilirea unei politici na ționale în privin ța locuințelor. Este vorba aici de stabilirea
sistemelor de înc ălzire a locuin țelor: centrală de bloc, de scar ă, de apartament,
încălzire electrică sau cogenerare, sau alt ă formă de încălzire;
i) Îmbunătățirea izolării termice a cl ădirilor, care va avea ca efect reducerea drastic ă a
cantității anuale de energie necesar ă pentru încălzirea spațiilor de locuit și a spațiilor
publice.
În general, trebuie s ă se depășească imaginea ”societ ății de consum” care produce lucruri
ieftine și slabe calitativ. Trebuie ca eforturile s ă fie îndreptate spre produse fiabile,
economice, robuste, cu o durat ă de viață corespunzătoare.
Dacă se respectă aceste condiții generale, principalele m ăsuri de reducere a pierderilor de
putere și energie electric ă sunt următoarele:
1. Reducerea num ărului de terpte de transformare la nivelul SEN (tensiuni nominale la
nivel național, reținute: 750 kV, 400 kV, 110 kV, 20 kV, 10 kV (6 kV), 0,4 kV și
altele speciale). Toate celelalte tensiuni nominale actuale se înlocuiesc, în timp, cu
acestea.
2. Îmbunătățirea proiectării mașinilor și aparatelor electrice. Sunt necesare ma șini
având raportul sccP PΔΔ/0 cât mai mic (spre 0,18 și chiar mai mic), cu randamente
nominale din ce în ce mai mari. Sunt necesare transformatoare de putere cu izola ție
uscată într-o gamă de puteri mici, pentru alimentarea individual ă cu energie electric ă

133 a locuințelor. Aceste transformatoare (de tip MT/0,4 kV) trebuie s ă fie
nedemontabile, s ă nu necesite între ținere periodic ă și să-și respecte durata de via ță
nominală. În general, transformatoarele noi trebuie s ă aibă o capacitate cât mai bun ă
de preluare a vârfurilor de sarcin ă.
3. Optimizarea amplas ării de surse de putere reactive, comandate electronic (SVT-uri)
în SEE, în vederea reducerii circula ției de putere reactiv ă în sistemul
electroenergetic.
4. Introducerea tehnicii de calcul în toate punctele importante ale SEE, introducerea
conducerii centralizate a re țelelor de distribu ție, introducerea conducerii automate a
instalațiilor electroenergetice.
5. Micșorarea razei de ac țiune a posturilor de transformare, cre șterea densității PT-
urilor și a stațiilor de alimentare cu energie electric ă.
6. Desființarea rețelei de distribu ție de JT ca re țea publică. Se va apropia tensiunea de
distribuție medie, cât mai mult de consumatori. În acest mod, toate jonc țiunile dintre
rețeaua publică și consumatori vor fi pe MT, mai u șor de supravegheat, de contorizat
și de facturat. Trebuie introduse costuri diferite pentru 1 kWh pe diversele trepte de
tensiune.
7. Reconsiderarea metodologiei de selectare a solu țiilor alternative prin apropierea, tot
mai mult, de cele folosite în țările civilizate și remodelarea periodic ă a normativelor
interne, în func ție de schimbările care au loc în țară și la nivel mondial.
4.6.2. Măsuri de reducere care nu necesit ă investiții mari
1. Repartiția optimă a sarcinilor între centralele SEN și grupurile în func țiune.
2. Încărcarea liniilor la valoarea optim ă a sarcinii.
3. Repartiția economică forțată a puterilor în re țelele complex buclate. Se realizeaz ă cu
transformatoare cu reglaj longotransversal și cu ajutorul dispozitivelor FACT’s. Cu
ajutorul acestora se urm ărește și se poate impune circula ția de puteri în re țea.
4. Funcționarea, în toate sta țiile, a transformatoarelor dup ă graficul optim de înc ărcare,
sub supraveghere centralizat ă.
5. Controlul, în toate regimurile de func ționare, a nivelului de tensiune, inclusiv în func ție
de starea atmosferei și de sezon.
6. Îmbunătățirea mentenan ței prin calitatea repara țiilor și scurtarea duratei de întrerupere
programată.
7. Introducerea, pe scar ă cât mai largă, a metodelor de lucru sub tensiune.
8. Debuclarea controlat ă a rețelelor de distribu ție funcționând în cuplaj longotransversal.
9. Trecerea unor generatoare mai ales în centralele hidroelectrice mici, în anumite
perioade ale zilei în regim capacitiv.
10. Echilibrarea sarcinii pe fazele re țelelor de distribu ție.
11. Perfecționarea sistemului de calcul și evidență a pierderilor de energie în re țelele de
distribuție.
12. Revederea reglement ărilor și normelor existente privind costurile inducerii de regim
armonic, pentru nesimetrii etc.
4.6.3. Măsuri de reducere care necesit ă investiții mari
Sunt măsuri similare celor de proiectare dar se execut ă într-o rețea dată, într-un moment
caracteristic al ei (în timpul repara țiior capitale sau dac ă este imperios necesar, în timpul
planificat pentru repara țiile de mentenan ță).
1. Creșterea tensiunii nominale: se au în vedere mai ales re țelele de MT (6, 10 kV)care trec
la o tensiune superioar ă.

134 2. Creșterea secțiunii conductoarelor LEA: se înlocuiesc dup ă calcule de verificare
preliminară a stâlpilor, în momentul repara ției capitale, conductoarele LEA cu altele
superioare. Se poate modifica și numărul de subconductoare pentru fiecare faz ă. Asemenea
operații se pot executa și la cabluri electrice, pentru a se ob ține o dimensionare a densit ății de
curent.
3. Instalarea în re țea de surse controlate de energie reactiv ă (dispozitive FACT’s de tipul
SV etc.).
4. Introducerea de transformatoare cu reglajul tensiunii mai fin și cu reglaj sub sarcin ă.
5. Optimizarea dezvolt ării și reconstrucției rețelei electrice de distribu ție.
6. Reducerea regimului deformant și a nesimetriilor.
7. Creșterea numărului injecțiilor de putere în re țeaua de MT.
4.6.4. Măsuri de reducere în întreprinderi
1. Înlocuirea transformatoarelor de putere și a motoarelor asincrone func ționând slab
încărcate, cu alte unit ăți de putere mai mic ă.
2. Înlocuirea motoarelor asincrone mari cu motoare sincrone.
3. În cazul repara țiilor capitale la motoare, este de preferat înlocuirea motoarelor vechi cu
altele noi (inclusiv ca an de fabrica ție). Motoarele noi sunt mai performante sub aspect
energetic și mai fiabile.
Observație:
Orice înlocuire de motor electric trebuie s ă fie precedată de analiza condi țiilor de pornire și
autopornire. Aici este recomandat ă utilizarea comutatoarelor stea-triunghi și a limitatoarelor
de mers în gol.
4. Realizarea de repara ții de foarte bun ă calitate.
5. Organizarea șarjelor la cuptoarele de topire pentru a reduce consumul de putere.
6. Aplatizarea curbelor de sarcin ă ale întreprinderii.
7. Încadrarea întreprinderii în curbele de consum planificate.
8. Introducerea de elemente pentru reducerea regimului deformant, a nesimetriilor și a
șocurilor de putere.
9. Îmbunătățirea rețelei de iluminat. Se poate realiza prin introducerea de l ămpi cu tuburi,
cu consum energetic mic și cu durată de viață mărită, înlocuirea iluminatului incandescent,
secționarea rețelei de alimentare, introducerea iluminatului local, între ținerea suprafe țelor de
iluminare natural ă, schimbarea culorii pere ților și tavanului (spre alb) despr ăfuirea și curățirea
acestor suprafe țe.
10. Înlocuirea tehnologiilor dep ășite (bazate pe cu țit de strung și freză) cu altele noi
(electrotehnologii moderne: electroeroziune, fascicul de electroni, tratamente chimice etc.).
4.6.5. Compensarea local ă a puterii reactive
În SEE, puterea activ ă este produsă în centralele electrice cu ajutorul grupurilor energetice
de puteri relativ mari, care con țin generatoare sincrone. Exist ă, de asemenea, grupuri
energetice în centrale de mai mic ă putere, de exemplu hidroenergetice, eoliene sau de alt tip,
dotate cu generatoare asincrone, dar în general toate sunt cuplate la SEN pentru a acoperi
situațiile de incident și a permite func ționarea lor stabil ă.
Generatoarele sincrone pot produce și putere reactiv ă, cele asincrone, de obicei sunt
consumatoare de putere reactiv ă.
În sistemele moderne, cu elemente disipate, se poate concepe o situa ție în care în incinta
beneficiarului pot s ă existe mai multe surse de putere activ ă și reactivă care produc energia
electrică necesară unei anumite instala ții.

135 Prin acest procedeu se elimin ă, sau mai bine zis, se reduce la minimum re țeaua de
distribuție și implicit de transport a energiei electrice, cu consecin țe favorabile economic
pentru beneficiar.
În marea majoritate a cazurilor, îns ă, în acest moment de dezvoltare a societ ății, rețeaua de
transport și distribuție există, și în studiile de specialitate trebuie s ă se țină seama de existen ța
ei. Rețeaua electrică transportă, repartizează și distribuie în teritoriu energia electric ă cu două
consecințe tehnice derivate:
– are un randament energetic, adic ă are un consum propriu tehnologic, inevitabil;
– conduce la mic șorarea tensiunii, în lungul ei, astfel încât trebuie s ă se ia măsuri pentru
reglarea acesteia în diferite puncte caracteristice ale re țelei.
În plus, rețeaua electrică are o anumit ă capacitate de transport a energiei electrice, care
depinde de tensiunea nominal ă a rețelei, de secțiunea conductoarelor, de izola ție și de alte
mărimi fizice, care împreun ă limitează curentul maxim admisibil (datorită temperaturii
maxime de func ționare a materialelor conductoare, de izola ție și altele) prin elementul de
rețea.
În aceste condi ții, cunoscându-se și faptul că un condensator pus sub tensiune produce
putere reactiv ă, se poate desc ărca rețeaua de transport, de distribu ție și cea de alimentare a
consumatorilor precum și grupurile energetice, de putere reactiv ă, prin producerea acesteia
local, la consumator. Desc ărcarea nu este total ă, deoarece pentru a func ționa stabil, SEE
trebuie să producă o anumită cantitate de putere reactiv ă în generatoare.
Această concepție generală asupra produc ției și circulației de putere reactiv ă în sistemul
electroenergetic se mai nume ște compensarea local ă a puterii reactive .
Prin acest procedeu se ob țin:
– reducerea pierderilor de putere și energie în re țelele electrice de transport și distribuție;
– reducerea c ăderilor de tensiune pe toate elementele din re țea în amonte de locul de
montare a compensatorului de putere reactiv ă;
– eliberarea re țelei din amonte de circula ția de putere reactiv ă și creșterea capacității ei de
încărcare cu putere activ ă;
– modificarea, în favoarea puterii active generate, a înc ărcării generatoarelor din sistem;
La nivelul unui consumator, compensarea poate s ă se facă:
– centralizat- la barele de alimentare din tabloul general;
– local- la nivelul tablourilor de distribu ție;
– individual- la nivelul unor linii tehnologice sau la receptoare de putere unitar ă mai mare.
Pentru realizarea compens ării se pot utiliza:
– compensatoare sincrone;
– compensatoare statice;
– baterii de condensatoare.
În instalațiile moderne se folosesc compensatoare statice, care sunt o combina ție de
condensatoare și bobine comandate prin pun ți cu tiristoare, și care pot produce sau consuma
între limitele tehnice constructive, putere reactiv ă.
Ele sunt automate programabile (în variante mai vechi) sau sisteme automate comandate de
elemente IA; în toate variantele ele urm ăresc evoluția în timp a factorului de putere și iau
decizii privind introducerea sau scoaterea unor condensatoare sau a unor bobine, în mod
automat. Ca element de compara ție pentru definirea regimului compensat se utilizeaz ă
factorul de putere neutral (cos jn sau ln). ln este factorul de putere, care dac ă este atins pe
bara de alimentare a beneficiarului, acesta poate prelua din re țeaua publică putere reactiv ă
fără a o mai plăti și fără nici un fel de penaliz ări. Valoarea lui ln trebuie să fie diferențiată în
funcție de tensiunea nominal ă a rețelei și a locului din sistem pe care-l ocup ă joncțiunea
beneficiar-furnizor analizat ă. Fixarea valorilor lui ln este făcută în urma unui calcul de
optimizare a circula ției puterii reactive în re țeaua de distribu ție.

136 Pentru o treapt ă de sarcină, dacă se lucrează în putere, cu unit ăți de generare fixe, se face
dimensionarea (alegerea) bateriei dup ă una din următoarele metode:
1. Metoda puterii reactive cerute (maxime):
()( )n c c batP Q j j tan tan1− = , (4.6.1)
unde Pc și cosjn sunt puterea cerut ă de consumator și, respectiv, factorul de putere natural al
consumatorului.
2. Metoda puterii reactive medii:
()( )n med med batP Q j j tan tan2− = , (4.6.2)
unde Pmed și tanjmed sunt specifice consumatorului analizat.
()()1 2
bat bat Q Q< , (4.6.3)
și în acest fel se evit ă pe timpul golului de noapte, injectarea de c ătre consumator de putere
reactivă în rețeaua publică (fenomen nedorit și interzis de către regulamentele de func ționare).
3. Metoda energiei reactive consumate anual:
() ( )
batun c Pc
battTPQ
,max 3 tan tan j j−= , (4.6.4)
unde tu,bat este timpul de utilizare a bateriei.
În practică, prima metod ă este cel mai mult aplicat ă fiind cea mai simpl ă, dar cea de a treia
este mai precis ă, deși sunt și aici probleme în determinarea lui TPmax.
În acest caz se consider ă simultaneitatea curbelor de putere activ ă și reactivă, ceea ce, în
general, nu este adev ărat.
4.6.6. Măsuri de îmbun ătățire a factorului de putere în întreprinderi
Compoziția consumatorului complex cuprinde 65-70% motoare asincrone și 20-25%
transformatoare de toate felurile, iar în rest, celelalte tipuri de receptoare: motoare sincrone și
de c.c., cuptoare electrice, redresoare, bobine și condensatoare, rezistoare, l ămpi de iluminat
etc. În acest mod se observ ă ponderea deosebit ă în consumul de energie reactiv ă a
transformatoarelor și a motoarelor asincrone.
Pe de altă parte, în cazul re țelelor de distribu ție care se abat de la condi țiile ideale de
funcționare, definirea unui factor de putere trifazat este imposibil ă, în practică trebuind să se
adopte valori medii sau s ă se lucreze independent pe fiecare faz ă, sau să se ia măsuri de
simetrizare a întregii re țele de distribu ție. La fel și pentru atenuarea regimului deformant.
Toate aceste probleme, împreun ă cu reglarea tensiunii la nivelul re țelei de distribu ție și cu
compensarea puterii reactive la consumator, trebuie tratate simultan, ele afectând concomitent
instalația electrică și fiecare individual fiind rezolvat ă prin montarea unor baterii de
condensatoare și/sau a unor bobine.
În continuare se vor prezenta m ăsuri “naturale” de îmbun ătățire a factorului de putere.
1. Aducerea tuturor utilajelor tehnologice și energetice la un regim de func ționare apropiat
de cel proiectat (respectarea procesului și fluxurilor tehnologice, reglarea utilajelor, calitatea
reparațiilor, calificarea personalului, calitatea materiei prime, p ăstrarea condițiilor cerute de
aerisire, iluminat, înc ălzire, limitarea sau eliminarea noxelor etc.).
2. Limitarea func ționării în gol a utilajelor cu ajutorul unor dispozitive automate simple.

137 3. Înlocuirea, în toate cazurile posibile, a motoarelor asincrone mari cu motoare sincrone,
în special pentru motoarele mari, de peste 160 kW, la consumatori cu regim de func ționare
constant de tip compresoare, unele pompe etc.
4. Evitarea rebobin ării motoarelor și înlocuirea lor, în caz de defectare, cu altele noi, mai
performante energetic.
5. Înlocuirea motoarelor asincrone subînc ărcate cu unități mai mici de ultim ă generație. O
astfel de opera ție se face numai dup ă verificarea condi țiilor de pornire și autopornire a
motorului nou.
6. Folosirea pentru zonele de subînc ărcare a unor motoare asincrone, a comutatoarelor de
conexiune stea-triunghi.
7. Funcționarea în sta țiile electrice, în cazul unor transformatoare în paralel, numai dup ă
graficul economic de înc ărcare.
8. Îmbunătățirea generală a mentenan ței instalațiilor electroenergetice și introducerea
mentenanței preventive.
Folosirea instala țiilor specializate se face în cazuri speciale și acestea pot fi:
– Baterii de condensatoare;
– Compensator sincron;
– Compensator static.
Câteva observa ții privind utilizarea mijloacelor speciale:
– bateriile de condensatoare, organizate pe trepte de folosire, trebuie s ă fie prevăzute cu
instalații de descărcare a sarcinii electrice care pot fi:
-aparate de m ăsurare, cu un consum propriu mai mare (aparate vechi);
– lămpi de semnalizare cu incandescen ță;
– rezistoare speciale, dimensionate pentru a se atinge tensiunea nepericuloas ă
(50 V) în circa 5 minute.
– baterii de condensatoare trifazate, obi șnuite, cu puterea de 15 kVAr sau 20 kVAr,
utilizate în construc ții standardizate.
– bateriile de condensatoare se utilizeaz ă în marile unit ăți economice sub form ă de
compensatoare statice.
– compensatoarele sincrone sunt construc ții rotative care- și acoperă pierderile mecanice și
pot funcționa în regim sub sau supraexcitat, consumând sau producând putere reactiv ă.
Față de instalațiile statice, ele mai prezint ă două avantaje:
– în regim de scurtcircuit pe bar ă pot susține tensiunea remanent ă, micșorând
efectele scurtcircuitului;
– pot prelua șocuri de putere reactiv ă (până la de trei ori puterea lor nominal ă)
cu o viteză foarte mare (500 MVAr/s).
Observații:
1. În instalațiile de JT, bateriile de condensatoare se conecteaz ă în triunghi, pentru a
rezulta un echipament mai ieftin;
2. În instalațiile de MT, bateriile de condensatoare sunt construite în dubl ă stea, cu o
serie de automatiz ări și protecții specifice.
4.6.7. Func ționarea în paralel a transformatoarelor de putere
Condițiile de funcționare în paralel a transformatoarelor electrice sunt urm ătoarele:
– să aibă același raport de transformare;
– să aibă aceeași grupă de conexiuni;
– să aibă puteri nominale apropiate (în limite 1:3);
– să aibă tensiuni de scurtcircuit egale.

138 În aceste condi ții, se arată că fiecare transformator se încarc ă natural, propor țional cu
puterea sa nominal ă, sau forțat, cu orice putere în limita lui Sn, dacă sunt prevăzute dispozitive
FACT’s speciale.
Vom considera dou ă cazuri:
a) Stație cu n transformatoare de acela și fel (S nT) funcționând în paralel
Se determină puterea limit ă (coeficientul de înc ărcare limită) de trecere de la func ționarea
cu m la m+1 (m<n) transformatoare în paralel:
()
scc sccnT mmQ PQ Pmm S SΔ+ΔΔ+Δ+ =+mm0 0
1, lim 1 , (4.6.5)
unde:
ΔP0, ΔPscc sunt pierderile active de mers în gol
și, respectiv, pierderile de sarcin ă nominale ale
unui transformator;
µ [kW/kVAr] este echivalentul energetic al
puterii reactive;
ΔQ0, ΔQscc sunt pierderile reactive de mers în
gol și, respectiv, în sarcin ă nominală ale unui
transformator.
Echivalentul energetic al puterii reactive este
acea putere activ ă în kWh care se consum ă în
sistem pentru a livra 1 kVAr de putere reactiv ă
de la o sursă marginală la beneficiar. El se d ă în
diverse tabele.
Reprezentând grafic structura de conexiuni a
stației în funcție de încărcare, se obține diagrama
din figura 4.6.1

b) Cazul în care în sta ție sunt n 1 transformatoare de un tip (Sn1) și n2 transformatoare de
al doilea tip (Sn2) funcționând în paralel .
În acest caz trebuie realizate toate scenariile posibile de func ționare. Dacă Sn1<Sn2, avem:
1T1; 2T1; …; n1T1; (n1)
1T2; 2T2; …; n2T2; (n2)




+ + ++ + ++ + +
)( ; ;…; 2 ; 1––––––––––––––––)( ;2 ;…;2 2 ;2 1)( ;1 ;…;1 2 ;1 1
1 22 11 22 1 22 11 2 11 2 1 2 11 2 11 2 1 2 1
2
n Tn Tn Tn T Tn Tn T Tn T T T Tn T Tn T T T T
n
În total sunt 21 2 1 nn n n ++ scenarii posibile. Pentru fiecare scenariu se calculeaz ă
pierderile de putere și se reprezintă grafic. Din intersec țiile diferitelor scenarii se pot deduce
practic familii de grafice de func ționare optimă.

139 Observații:
• Este bine să se evite, pe cât posibil, func ționarea în paralel a unor unit ăți de
transformare diferite.
• Prin aplicarea acestei metode s-au ob ținut, în țara noastră, reduceri cu cca 10-30% a
pierderilor la nivelul sta ției.
4.7. CURBE DE SARCIN Ă. INDICATORI AI CURBELOR DE SARCIN Ă
CURBA DE SARCINA: este un grafic care reprezint ă evoluția în timp a puterii cerute
(uneori reprezint ă curentul de sarcin ă).
Curbele de sarcin ă pot fi zilnice sau clasate (anual).
Curbele de sarcin ă zilnică pot fi pentru o anumit ă zi a săptămânii, sau medii s ăptămânale,
lunare sau sezoniere.
Curbele clasate de sarcin ă, se referă la o perioadă mai îndelungat ă (sezoniere sau anuale) și
se bazează pe înregistrări făcute în perioada considerat ă și pe o clasificare orar ă a acestor
înregistrări.
PUTERE CERUT Ă (P2): este cea mai mare putere medie, pe o perioad ă de 15 minute, care
poate fi extras ă din curba de sarcin ă. Este, de cele mai multe ori, informa ția de bază cu care se
face dimensionarea instala țiilor electrice.
Curbele de sarcin ă dau indicații asupra regimurilor de func ționare a instala țiilor
electroenergetice și sunt caracterizate de o serie de indicatori care pun în rela ție mărimi
caracteristice ale instala țiilor.
În continuare propunem un set de 12 indicatori, care împreun ă pot acoperi toate situa țiile
de lucru care apar.
Există mult mai mul ți indicatori ai curbelor de sarcin ă dar ei se substituie, iar grupa de 12
pe care o prezent ăm acoperă toate nevoile practice.
PUTERE INSTALAT Ă (Pi): pentru un receptor este puterea nominal ă a acestuia; pentru
un grup organizat de receptoare este suma puterilor nominale ale fiec ărui receptor cu câteva
observații:
• nu sunt luate în calcul puterile receptoarelor montate în instala ții aflate în mod
normal în rezerv ă;
• nu sunt luate în considera ție utilajele care func ționează incidental (de exemplu
pompele de incendiu).
4.7.1. Indicatorii curbelor de sarcin ă
Mulți dintre indicatorii curbelor de sarcin ă reprezintă raportul unor m ărimi de aceea și
natură, astfel încât valoarea lor reprezint ă un număr adimensional și de aceea ace știa se mai
numesc coeficienți.
a) Coeficientul de cerere (kc) – este raportul dintre puterea cerut ă și puterea
instalată:
ic
cPPk= . (4.7.1)
Valoarea lui este subunitar ă, iar tabele cu aceste valori au fost întocmite pentru toate
receptoarele obi șnuite și pentru tipuri de industrii.
b) Coeficientul de simultaneitate (ks) – este raportul dintre puterea maxim ă cerută
de întreprindere și suma puterilor maxime cerute de subunit ățile componente
(n):

140 ∑
==n
jjție cere întreprindc
s
PP
k
1sec,,. (4.7.2)
Acest indicator arat ă că maximele de putere ale sec țiilor componente nu coincid în timp.
Pe baza acestor observa ții legătura de alimentare din sistemul electroenergetic a
întreprinderii poate fi dimensionat ă mai economic.
c) Puterea medie : se definește ca media aritmetic ă a puterilor pe diferite paliere în
decursul unei perioade de referin ță (T):
∑∑
===n
jjn
jjj
med
TTP
P
11, (4.7.3)
unde
Pj este puterea cerut ă în intervalul de timp Tj;
n reprezintă numărul total de paliere din curba zilnic ă de sarcină;
ore 24
1∑
==n
jjT , în cazul curbelor de sarcin ă zilnice.
Dacă intervalele de timp ale palierelor de sarcin ă sunt egale între ele și egale cu 1 or ă,
relația se mai poate scrie:
241
,∑
==n
jj
zi medP
P . (4.7.4)
d) Puterea medie p ătratică (Pmp) este calculabil ă cu relația:
∑∑
===n
jjn
jjj
mp
TTP
P
112
. (4.7.5)
Observații:
1. Puterea medie p ătratică (precum și curentul mediu p ătratic) este folosit ă pentru
determinarea regimurilor de înc ălzire ale instala țiilor electroenergetice.
2. Din punct de vedere matematic, cele dou ă puteri medii pot fi definite pentru o perioad ă
de timp T, astfel:
∫=T
med dttpTP
0)(1, (4.7.6)
unde p(t) este funcția de variație a puterii în timp, și:
∫=T
mp dttpTP
02)(1, (4.7.7)

141 unde )(2tp este o funcție de calcul rezultat ă din urmărirea evoluției în timp, punct cu punct, a
puterii p(t). Cele două relații sunt utilizabile mai mult teoretic, în practic ă preferându-se
aproximarea acestor integrale prin sume pe domenii par țiale.
e) Coeficientul de form ă al curbei de sarcin ă este raportul dintre puterea medie
pătratică și puterea medie, exprimate pentru aceea și perioadă de timp ( T):

medmp
fPP
k= . (4.7.8)
Coeficientul kf este utilizat pentru a caracteriza regimul de func ționare a unei instala ții,
pornindu-se de la sarcina medie, și indică gradul de accidentare a curbei de sarcin ă. El are o
valoare pozitiv ă, iar în mod curent se încadreaz ă ca valori între 1,0 și 1,1 (foarte rar pân ă la
1,2). Prin măsurile pe care le ia operatorul în exploatare, tendin ța lui kf este de a se apropia de
1,0.
f) Coeficientul de aplatizare a curbei de sarcin ă:
fP med
atT
PPkmax
max= = , (4.7.9)
unde
Pmax este puterea maxim ă cerută de consumator în perioada analizat ă;
TPmax este durata de utilizare a puterii maxime;
tf este timpul de func ționare a instala ției.
Coeficientul ka este subunitar și tinde spre valoarea 1,0 prin m ăsurile luate de operatorii din
întreprinderi.
g) Coeficientul de utilizare a puterii instalate (ku) exprimă gradul de înc ărcare a
receptoarelor pentru toat ă durata de func ționare a instala țiilor:
imed
uPPk= . (4.7.10)
După cum se observ ă, printr-o compara ție cu coeficientul de cerere este permanent
îndeplinită relația:
c uk k<. (4.7.11)
h) Coeficientul de conectare (kcon) este raportul dintre timpul real de conectare
(tcon) și timpul total disponibil pentru conectarea instala țiilor:
con dispcon
conttk
.= . (4.7.12)
i) Coeficientul de vârf al curbei de sarcin ă (kv) este raportul dintre puterea
maximă și puterea minim ă a curbei de sarcin ă:
minmax
PPkv= . (4.7.13)
Ca și ceilalți indicatori, kv este definit pentru un anumit interval de timp ( T), pentru care se
analizează curba de sarcin ă.

142 Și acest indicator arat ă gradul de accidentare a curbei de sarcin ă și cât de departe se afl ă ea
de forma ideal ă, aplatizată.
j) Durata de utilizare a puterii maxime (TPmax).
Prin definiție:
[]
an ore
PETa
P /
maxmax= , (4.7.14)
unde Ea este energia activ ă cerută de instalație într-un anumit interval de timp (de obicei un an
calendaristic) și Pmax este puterea maxim ă solicitată de instalație în perioada analizat ă.
Durata de utilizare a puterii maxime este timpul fictiv în care instala ția, dacă ar funcționa
constant la Pmax ar consuma aceea și energie activ ă ca și în cazul real, timp de un an
calendaristic.
k) Coeficientul anual de utilizare a energiei electrice (a), se definește ca raportul
f schimb medana
t PE
max, ,,=a , (4.7.15)
unde Pmed, schimb, max este puterea medie anual ă a schimbului celui mai înc ărcat, iar Ea,an este
energia activă consumată într-un an calendaristic de instala ția analizată.
l) Factorul de putere mediu ()T
Pmedl pentru perioada de timp T se definește ca:
2
,2
,,
Tr TaTa T
Pmed
E EE
+= l , (4.7.16)
unde Ea,T și Er,T sunt energiile activ ă și reactivă consumate în perioada de timp T.
m) Durata pierderilor maxime (t) este timpul fictiv în care instala ția, dacă ar
funcționa la Pmax, în mod constant, ar produce acelea și pierderi de energie
activă ca și la funcționarea reală, într-un an calendaristic.
Se poate folosi ca defini ție și relația:
]/[2
max2
2
max2
an ore
PP
II
kmp mp
p = = , (4.7.17)
unde Imp este curentul mediu p ătratic și Imax este curentul maxim prin instala ție într-un an (de
obicei), iar kp se numește coeficientul de pierderi maxime.
Următoarele relații sunt valabile:
22
af
fp kktk ==t (4.7.18)
și

maxPf
fTt
kt
= . (4.7.19)

143 4.7.2. Rețeaua de distribu ție de medie tensiune ideal ă
În rețeaua de distribu ție de JT persist ă, în momentul actual o serie de fenomene negative și
de deficiențe care creează operatorului de re țea foarte mari probleme:
• Existența unui număr foarte mare de consumatori monofaza ți care încarcă nesimetric
fazele rețelei;
• Un regim deformant pu țin controlat, mai ales în ultimul timp, când se dezvolt ă
instalațiile și aparatele bazate pe elemente electronice (aparate electrocasnice și
calculatoare electronice, redresoare și tot felul de instala ții care se bazeaz ă pe elemente
electronice de mic ă sau mare putere);
• Furtul de energie electric ă și a unor părți din instalațiile publice și intervenții brutale în
rețeaua publică, executate de persoane necalificate;
• Menținerea unor re țele electrice de distribu ție de JT mult prea lungi (mult peste 400-
500 m în jurul PT-ului);
• O rețea de cabluri de JT epuizat ă fizic și depășită moral, cu foarte multe man șoane
longitudinale, cunoscut ă, ca desfășurare, cu aproxima ție;
• Probleme mari de facturare a energiei electrice și de încasare a facturilor.
Pentru a se diminua efectele acestor fenomene, se poate lua în discu ție o măsură radicală și
anume desființarea rețelei de distribu ție publică de JT .
Aceasta presupune:
• Extinderea rețelei de distribu ție de MT până în preajma consumatorilor;
• Realizarea de transformatoare uscate (turnate în r ășini) de puteri relativ mici (6,3;
10; 16; 25; …[kVA]), care s ă aibă o durată de viață lungă (30 ani) și să nu necesite
lucrări de întreținere;
• Montarea între transformator și beneficiar a unei instala ții tampon, care s ă
realizeze, în mod automat, opera țiile de simetrizare, reducere a regimului
deformant, compensare local ă a puterii reactive, eliminare a șocurilor de pornire,
contorizare și transmitere la distan ță a datelor.
În acest mod, pe lâng ă diminuarea efectelor fenomenelor men ționate anterior, se mai
obține o omogenizare a re țelei de MT, care poate fi conceput ă într-o manier ă modernă, cu
puțin echipament electric și cabluri cu un înalt grad de fiabilitate, ceea ce va conduce la
diminuarea volumului de munc ă pentru supraveghere și întreținere, va mic șora numărul
întreruperilor și va îmbunătăți calitatea energiei electrice livrate consumatorilor, precum și
calitatea serviciului.

144
BIBLIOGRAFIE

1. A.Timotin, s.a, ”Lectii de bazele electrotehnicii”, EDP 1970.
2. M.Preda, ”Bazele electrotehnicii”, vol.I si II, EDP 1982.
3. C.I.Mocanu, ”Teoria circuitelor electrice”, EDP 1979.
4. C.I.Mocanu, ”Teoria campului electromagnetic”, EDP 1981.
5. A.Moraru, ”Bazele electrotehnicii”, Matrix Rom, Bucure ști, 2000, 2002.
6. L. Dumitriu, M. Iordache, ”Teoria modern ă a circuitelor electrice”, Vol. I și II, Ed. All,
1998, 2000.
7. I. Iordanescu, Gh. Iacobescu, ”Alimentarea cu energie electric ă a consumatorilor”,
EDP, 1980.
8. Gh. Iacobescu, ș.a, ”Rețele și sisteme electrice”, EDP, 1979.
9. I. Iordanescu, ș.a, ”Rețele electrice pentru alimentarea întreprinderilor industriale”,
ET, 1985.
10. Th. Miclescu, ș.a., “Utilizarea energiei electrice”, EDP, Bucure ști, 1980.