Licență

Lucarea Grad Didactic I Nastase Diana Monica [616119]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Ș Ă
Ș /uni0162 Ă
/uni0162
Ă/uni0162Ă
/g87/g90/g75/g17/g62/g28/g68/g28/g3/g24/g28/g3/g28/g121/g100/g90/g28/g68/g3/g50/g69/g3/g68/g4/g100/g28/g68/g4/g100/g47/g18/g11/g3
ș /uni0163
ăă
Ă ă

Ș Ă
Ș /uni0162 Ă
/uni0162
Ă/uni0162Ă
/g87/g90/g75/g17/g62/g28/g68/g28/g3/g24/g28/g3/g28/g121/g100/g90/g28/g68/g3/g50/g69/g3/g68/g4/g100/g28/g68/g4/g100/g47/g18/g11/g3
ș /uni0163
ăă
Ă

Cuprins
1 Probleme clasice de extrem 5
1.1 Important ¸a rezolv ˘arii problemelor de extrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cea mai veche problem ˘a – problema lui Dido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Problema lui Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Probleme de maxim s ¸i de minim ˆın geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Problema lui Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Problema lui Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Problema lui Arhimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 Problema lui Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Problema ariei minime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Probleme clasice de calcul variat ¸ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Problema brahistocronei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Problemele lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Metode analitice ˆın problemele de extrem 19
2.1 Elemente de calcul diferent ¸ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Funct ¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Derivabilitate, diferent ¸iabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Teoreme fundamentale ale calculului diferent ¸ial. Funct ¸ii derivabile pe
un interval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Extremele funct ¸iilor reale de o variabil ˘a real ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Extremele unei funct ¸ii de dou ˘a variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Extremele unei funct ¸ii cu nvariabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.1 Extremele unei funct ¸ii cu nvariabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.2 Extreme condit ¸ionate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange. . . . . . 52
3 Probleme de calcul variat ¸ional 56
3.1 Formularea problemei. Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Ecuat ¸iile Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Condit ¸ii necesare de extrem de ordinul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Probleme de extrem. Aplicat ¸ii 66
4.1 Inegalit ˘at ¸i rezolvate cu ajutorul teoremelor de extrem . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Probleme de extrem pentru funct ¸iile reale cu una sau mai multe variabile . . . . 81
4.2.1 Extremele funct ¸iilor de o variabil ˘a real ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Extremele funct ¸iilor de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . 88
1

CUPRINS 2
4.3 Probleme practice de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Aspecte metodice 104
5.1 Aspecte metodice privind problemele de extrem ˆın programa s ¸colar ˘a . . . . . . 104
5.1.1 Metodica abord ˘arii problemelor de extrem . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.2 Proiectarea unit ˘at ¸ii de ˆınv ˘at ¸are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Proiecte didactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2.1 Proiect didactic: Derivatele funct ¸iilor elementare . . . . . . . . . . . . 9
5.2.2 Proiect didactic: Puncte de extrem. Teorema lui Fermat . . . . . . . . 15
5.2.3 Proiect didactic: Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iilor . . . . . . . . 22
5.2.4 Proiect didactic: Rezolvarea unor probleme de optimizare. Demonstra-
rea unor inegalit ˘at ¸i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.5 Minimul sau maximul funct ¸iei de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Programa opt ¸ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Introducere
Argument
Problemele de extrem au un rol important ˆın matematic ˘a, stimul ˆand g ˆandirea s ¸i capacitatea cre-
atoare, ˆın condit ¸ii concrete ale activit ˘at ¸ii s ¸colare, cu leg ˘aturi directe cu s ¸tiint ¸ele naturii. Aceste
lucruri au constituit un argument ˆın alegerea temei Probleme de extrem ˆın matematic ˘a. Ale-
gerea temei a ap ˘arut s ¸i ca oportunitate de a valoriﬁca experient ¸a acumulat ˘aˆın cei 11 ani de
predare. De altfel, cu probleme de extrem ne confrunt ˘am zi de zi, permanent ne dorim s ˘a de-
termin ˘am “costul minim”, “drumul cel mai scurt” sau “strategia optim ˘a” de rezolvare a unei
situat ¸ii practice.
ˆIn programa s ¸colar ˘a, locul ocupat de problemele de extrem este foarte important. Primele
probleme de extrem le ˆıntˆalnim ˆınc˘a din gimnaziu, c ˆand elevii se confrunt ˘a cu probleme de
extrem f ˘ar ˘a a ﬁ denumite astfel. Sunt probleme ˆın care trebuie determinate cea mai mic ˘a sau
cea mai mare valoare a unei expresii care depinde de un parametru sau probleme de determinare
a ariei minime sau maxime a unei ﬁguri geometrice. Mai apoi, ˆın clasele a IX-a s ¸i a X-a,
elevii se ˆıntˆalnesc cu probleme de determinare a minimului sau maximului funct ¸iei de gradul
al doilea, cu inegalit ˘at ¸i care pot ﬁ privite ca probleme de extrem sau cu probleme de calcul al
valorii minime sau maxime a unei expresii trigonometrice. ˆIn sf ˆars ¸it, odat ˘a cu ciclul superior
al liceului se abordeaz ˘a problemele de extrem din perspectiva analizei matematice. Trebuie
remarcat de altfel num ˘arul mare de probleme de extrem care apar at ˆat la concursurile s ¸colare
cˆat s ¸i la examenul de bacalaureat.
Studiul problemelor de maxim s ¸i de minim a fost ˆınceput ˆınc˘a din antichitate de matemati-
cieni celebri (Euclid, Appolonius, Heron, Arhimede) f ˘ar ˘a a exista la ˆınceput o metod ˘a standard
de rezolvare a acestor probleme. Primele metode generale de investigare s ¸i rezolvare a pro-
blemelor de extrem au ap ˘arut ˆın acelas ¸i timp cu formarea analizei matematice. Contribut ¸ii
importante ˆın studiul problemelor de extrem, ˆın privint ¸a optimiz ˘arii funct ¸iilor s ¸i a utiliz ˘arii de-
rivatelor au avut matematicianul englez Isaac Newton (1643/1727) s ¸i matematicianul german
Gottfried Willhelm Leibniz(1646-1716), care, la distant ¸ ˘a, s ¸i de timp s ¸i de spat ¸iu, au descoperit
s ¸i dezvoltat Calculul diferent ¸ial. Secolul XVII – XVIII prin Rolle, Lagrange, L‘Hospital (cel
care ne ofer ˘a prima carte de calcul diferent ¸ial 1696), Taylor, Cauchy, Darboux ˆınt˘aresc s ¸i com-
pleteaz ˘a studiul aparatul analizei matematice, fundamental ˆın studiul unitar al problemelor de
extrem.
Cˆateva probleme concrete de extrem al c ˘aror cont ¸inut deriv ˘a din s ¸tiint ¸ele naturii (problema
brahistocronei, problema lui Newton) au fost puse la sf ˆars ¸itul secolului al XVII-lea. Nevoia de
a rezolva aceste probleme dar s ¸i multe alte probleme de geometrie, mecanic ˘a s ¸i ﬁzic ˘a au dus la
aparit ¸ia unei noi ramuri a analizei matematice, calculul variat ¸iilor.
3

CUPRINS 4
Structura lucr ˘arii
Lucrarea de fat ¸ ˘aˆıs ¸i propune s ˘a studieze teoria problemelor de extrem pornind de la vechi pro-
bleme de extrem s ¸i p ˆan ˘a la probleme de calcul al variat ¸iilor. Ea este structurat ˘aˆın cinci capitole
dup˘a cum urmeaz ˘a:
1. Capitolul I −Probleme clasice de extrem .ˆIn acest capitol vom prezenta c ˆateva de probleme
clasice de extrem: problema lui Dido, problema lui Tartaglia, probleme de extrem din
geometrie (problema lui Euclid, problema lui Arhimede, problema lui Steiner, problema
ariei minime) dar s ¸i probleme clasice de calcul variat ¸ional (problema brahistocronei, pro-
blemele lui Kepler). Problemele sunt rezolvate f ˘ar ˘a a utiliza not ¸iuni de analiz ˘a matema-
tic˘a, dar se vor relua ˆın capitolele urm ˘atoare s ¸i se vor demonstra cu not ¸iunile de calcul
diferent ¸ial prezentate ˆın capitolul al II-lea.
2. Capitolul II – Metode analitice ˆın problemele de extrem .ˆIn acest capitol problemele de
extrem sunt tratate din perspectiva analizei matematice. Capitolul este structurat ˆın dou ˘a
p˘art ¸i: un breviar teoretic ce cont ¸ine not ¸iuni teoretice despre funct ¸ii ˆın general, deﬁnit ¸ii,
propriet ˘at ¸i, funct ¸ii continue, derivabile, diferent ¸iabile, formula lui Taylor. Toate aceste
not ¸iuni favorizeaz ˘aˆınsus ¸irea metodelor analitice de rezolvare a problemelor de extrem
deﬁnite ˆın partea a doua. Ne vom ocupa apoi de extreme condit ¸ionate s ¸i de metoda
multiplicatorilor lui Lagrange.
3. Capitolul III – Probleme de calcul varia ¸tional cuprinde formularea unei probleme de cal-
cul variat ¸ional, c ˆateva exemple remarcabile de probleme de calcul variat ¸ional, condit ¸ii
necesare de extrem local s ¸i ecuat ¸iile Euler – Lagrange.
4. Capitolul IV – Probleme de extrem .Aplica ¸tii . Capitolul al IV-lea cont ¸ine probleme de
extrem aplicate la nivel s ¸colar, ˆın rezolvarea c ˘arora am aplicat not ¸iunile prezentate ˆın ca-
pitolul al II-lea s ¸i anume: inegalit ˘at ¸i rezolvate cu ajutorul teoremelor de extrem, probleme
de maxim s ¸i de minim pentru funct ¸ii cu una sau mai multe variabile s ¸i probleme practice
de extrem. Problemele prezentate pot ﬁ folosite pentru ﬁxarea s ¸i sistematizarea not ¸iunilor
teoretice prezentate ˆın capitolul al II-lea dar s ¸i pentru orele de curs sau pentru orele de
preg˘atire din cadrul centrelor de excelent ¸ ˘a sau pentru elevii pasionat ¸i de matematic ˘aˆın
cadrul unui opt ¸ional.
5. Capitolul V – Aspecte metodice asupra problemelor de extrem ˆın programa ¸scolar ˘arepre-
zint˘a capitolul ˆın care am ˆımbinat didactica cu metodica din perspectiva ˆınv ˘at ¸ ˘arii centrate
pe elev.
Prin num ˘arul mare de probleme rezolvate s-a urm ˘arit at ˆat aspectul instructiv c ˆat s ¸i modul de
redactare a solut ¸iilor pun ˆandu-se accent pe prezentarea logic ˘a s ¸i ordonat ˘a a acestora, precum s ¸i
pe justiﬁcarea rat ¸ionamentului. Probleme alese sunt problem ˆıntˆalnite pe parcursul anilor de la
catedr ˘a, pe care le-am folosit la clas ˘a sau care mi s-au p ˘arut interesante ˆıncerc ˆand s ˘a adun ˆıntr-un
singur material probleme de extrem care apar la nivelul s ¸colii s ¸i care contribuie la dezvoltarea
intelectual ˘a a unui elev.

Capitolul 1
Probleme clasice de extrem
1.1 Important ¸a rezolv ˘arii problemelor de extrem.
ˆIn s ¸coal ˘a, not ¸iunile de maxim s ¸i de minim au o pondere foarte mare. Probleme de extrem
ˆıntˆalnim pentru prima dat ˘aˆın ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆantul gimnazial, ˆın problemele ˆın care trebuie determinat ˘a
cea mai mic ˘a sau cea mai mare valoare a unei expresii care depinde de un parametru sau ˆın
exercit ¸ii de determinare a ariei minime sau maxime a unei ﬁguri geometrice. ˆIn ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆantul
liceal, ˆın clasa a IX-a vorbim de valori extreme ale funct ¸iei de gradul al II-lea, demonstr ˘am
inegalit ˘at ¸i care pot ﬁ privite ca probleme de extrem sau rezolv ˘am probleme calcul al valorii
minime sau maxime a unei expresii trigonometrice. ˆIn sf ˆars ¸it, odat ˘a cu ciclul superior al liceului
se abordeaz ˘a problemele de extrem din perspectiva analizei matematice.
ˆIn ˆıntreaga istorie a matematicii, problemele de extrem au st ˆarnit interesul s ¸i dorint ¸a de a le
rezolva. Cele mai vechi probleme de extrem au fost ridicate ˆınc˘a din antichitate. De exemplu,
problema clasic ˘a isoperimetric ˘a1a fost studiat ˘aˆın secolul V ˆı. Hr.. Pentru o lung ˘a perioad ˘a de
timp problemele de extrem au fost rezovate ˆın mod individual. ˆIncep ˆand cu secolul al XVII-lea
este cons ¸tientizat ˘a necesitatea de a crea unele metode generale care s ˘a se aplice unor clase largi
de probleme extremale. Primele metode generale care ˆın prezent apart ¸in analizei matematice au
fost dezvoltate de Fermat, Newton, Leibniz.
Pentru a ar ˘ata important ¸a practic ˘a a acestor probleme vom ˆıncepe cu o problem ˘a clasic ˘a
ce apare ˆın toate manualele de geometrie de gimnaziu: Dac ˘aAs ¸i Bsunt dou ˘a puncte date de
aceeas ¸i parte a unei drepte d, g ˘asit ¸i punctul D, de pe dreapta d, astfel ˆıncˆat suma distant ¸elor
AD +DB s˘a ﬁe minim ˘a.
Presupusul autor al acestei probleme este matematicianul antic Heron al Alexandriei. V om
numi aceast ˘a problem ˘a – problema lui Heron.
1Problema lui Dido
5

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 6
S˘a amintim solut ¸ia problemei lui Heron. Fie B1simetricul punctului Dˆın raport cu dreapta
d. Unim punctele Acu B1. Punctul c ˘autat este punctul de intersect ¸ie dintre AB 1s ¸i dreapta d.
ˆIntr-adev ˘ar, ˆın cazul ˆın care D’ este un alt punct dec ˆat D, atunci:
|AD /prime|+|D/primeB|=|AD /prime|+|D/primeB1|>|AB 1|=|AD |+|DB |
unde, prin [AB ]ˆınt ¸elegem segmentul care unes ¸te punctele As ¸i B, prin |AB |ˆınt ¸elegem lungimea
segmentului [AB ]iarAB || CD indic ˘a faptul c ˘a dreptele AB si CD sunt paralele.
Trebuie remarcat c ˘a punctul Dare proprietatea c ˘a unghiul αeste egal cu unghiul β. De
asemenea, unghiul ϕ1este egal cu unghiul ϕ2, sau, unghiul de incident ¸ ˘a este egal cu unghiul de
reﬂexie. Heron a investigat legile de reﬂect ¸ie a luminii s ¸i a aplicat concluziile sale la proble-
mele legate de propriet ˘at ¸ile oglinzilor. Heron a intuit faptul c ˘a natura funct ¸ioneaz ˘a pe baza unor
principii variat ¸ionale iar acest fapt a fost folosit mai t ˆarziu de cercet ˘atori ˆın modelarea s ¸tiint ¸elor
naturii. Ideea lui Heron a fost dezvoltat ˘aˆın continuare de Fermat. Fermat a dedus legea de
refract ¸ie a luminii (stabilit ˘a anterior experimental de Snel): plec ˆand de la ipoteza c ˘a ceea ce
caracterizeaz ˘a traiectoria unei raze de lumin ˘a care se deplaseaz ˘a de la un punct la altul ˆıntr-un
mediu neomogen este faptul c ˘a se deplaseaz ˘aˆıntr-un timp minim. Cu toate acestea, ceea ce
caracterizeaz ˘a traiectoriile undelor de lumin ˘a s ¸i de radio, mis ¸carea pendulelor s ¸i a planetelor,
ﬂuxurile de lichide s ¸i de gaze, precum s ¸i multe alte mis ¸c ˘ari, este c ˘a toate acestea sunt solut ¸ii la
probleme de maxim sau de minim. Acest fapt ofer ˘a o modalitate de a crea o descriere matema-
tic˘a a naturii. Acest lucru este unul din motivele pentru care dorim s ˘a rezolv ˘am problemele de
maxim s ¸i minim s ¸i s ˘a dezvolt ˘am teoria problemelor de extrem.
V om prezenta o problem ˘a de geometrie, construit ˘a pe acelas ¸i idei ca cele din problema lui
Heron, dar cu aplicat ¸ii practice evidente:
Problema 1.1.1 Fie A ,B,s ¸i C trei oras ¸e. G ˘asit ¸i punctul D astfel ˆıncˆat lungimea drumurilor
rectilinii care leag ˘a punctele A ,B,C s ¸i D este minim ˘a.
Aceeas ¸i problem ˘a se poate pune s ¸i pentru patru oras ¸e sau se poate pune problema deter-
min˘arii lungimii drumului minim care leag ˘a patru oras ¸e f ˘ar ˘a a speciﬁca faptul c ˘a leg ˘aturile de
drumuri trebuie s ˘a se ˆıntˆalneasc ˘aˆıntr-un singur punct.
Aceste probleme sunt doar modele de situat ¸ii reale deoarece, ˆın realitate, sect ¸iunile de drum
nu sunt rectilinii, drumurile nu sunt construite pentru a urma liniile drepte cu strictet ¸e, s ¸i o
“sum ˘a de distant ¸e” nu reprezint ˘aˆıntotdeauna un “criteriu de optimalitate”.
ˆIn situat ¸iile practice, un obiectiv trebuie atins ˆın modul cel mai scurt, cel mai ieftin, mai
rapid sau cel mai economic. S ˘a ne uit ˘am la o problem ˘a de optimizare ˆıntr-un context economic.
S˘a presupunem c ˘a avem un centru de aprovizionare cu anumite produse, magazine s ¸i un depozit
de camioane. Cum ar trebui un dispecer s ˘a organizeze furnizarea de produse necesare pentru
aprovizionarea magazinelor, pentru o economie maxim ˘a? Pentru a rezolva astfel de probleme,
este necesar s ˘a se apeleze la matematic ˘a.
V om prezenta ˆın continuare, c ˆateva probleme clasice de extrem cum ar ﬁ problema lui Dido,
considerat ˘a prima problem ˘a de calcul variat ¸ional, problema lui Tartaglia, care este o problem ˘a
foarte interesant ˘a de algebr ˘a, dar s ¸i c ˆateva probleme clasice de extrem din geometrie: problema
lui Heron, problema lui Euclid, problema lui Arhimede, problema lui Steiner. Fiecare problem ˘a
va ﬁ prezentat ˘a cu mai multe variante de rezolvare, de cele mai multe ori urm ˘arind ideile din
demonstrat ¸iile originale. Aceste probleme vor ﬁ reluate mai t ˆarziu, ˆın capitolul al IV-lea s ¸i
rezolvate cu instrumentele analizei matematice prezentate ˆın capitolul al doilea. La sf ˆars ¸itul

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 7
acestui capitol vom prezenta s ¸i probleme de calcul variat ¸ional: problema brahistocronei, pro-
blemele lui Kepler care vor ﬁ reluate ˆın capitolele urm ˘atoare s ¸i rezolvate folosind elementele
analizei matematice.
Toate problemele prezentate pot ﬁ abordate:
• la clas ˘a, prin ambele metode, ˆın funct ¸ie de nivelul la care sunt prezentate, pentru a ar ˘ata
elevilor partea aplicativ ˘a a not ¸iunilor teoretice studiate. Trebuie remarcat c ˘a, din progra-
mele s ¸colare lipses ¸te tocmai acest lucru: lipsa not ¸iunilor de istorie a matematicii dar s ¸i
lipsa p ˘art ¸ii aplicative a teoriei. Toate acestea duc la o formalizare a matematicii, iar acest
lucru, duce la privarea elevilor de partea cea mai frumoas ˘a a Matematicii, partea ei prac-
tic˘a. Rezolv ˆand la clas ˘a aceste probleme acoperim ambele aspecte at ˆat cele istorice c ˆat s ¸i
cele practice.
•ˆın cadrul unui opt ¸ional de aprofundare, as ¸a cum am prezentat ˆın capitolul V , pentru elevii
pasionat ¸i de matematic ˘a;
•ˆın cadrul oric ˘arui centru de excelent ¸ ˘a (sau club de aprofundare a not ¸iunilor analizei ma-
tematice) care ar trebui s ˘a funct ¸ioneze ˆın ﬁecare s ¸coal ˘a;
•ˆın cadrul orelor de preg ˘atire pentru concursuri s ¸i olimpiadele s ¸colare sau pentru preg ˘atirea
examenelor de ﬁnalizare a diferitelor cicluri de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant.
1.2 Cea mai veche problem ˘a – problema lui Dido
Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variat ¸ional este as ¸a numita problem ˘a a
lui Dido.
O legend ˘a antic ˘a spune c ˘a: “Pe coasta Africii se ˆıntemeiase un regat nou: Catargina. Regin ˘a
aici era Didona, o prea frumoas ˘a fenician ˘a. Didona st ˘ap ˆanise Tirul, dar fratele ei, Pigmalion,
dorind s ˘a-i r˘apesc ˘a tronul, a pus la cale s ˘a o ucid ˘a. Tem ˆandu-se de Pigmalion, Didona ˆıs ¸i luase
avut ¸ia s ¸i se urcase pe cor ˘abii cu c ˆat ¸iva prieteni credincios ¸i. Sosir ˘aˆın Africa s ¸i, sf ˘atuit˘a de un
curtean, Didona ˆıs ¸i cump ˘arase acolo p ˘am ˆant pentru o cetate nou ˘a. Legendele ne povestesc c ˘a
ea ceruse unui rege din Africa s ˘a-i vˆand˘a numai at ˆat p ˘am ˆant c ˆat cuprindea pielea ˆıntins ˘a a unui
taur. Dar sfetnicul o ˆınv ˘at ¸ase s ˘a taie pielea ˆın f ˆas ¸ii subt ¸iri ca ﬁrele de at ¸ ˘a. F ˆas ¸iile le-a ˆınnodat la
capete s ¸i a f ˘acut un curmei extrem de lung, cu care a ˆınconjurat o suprafat ¸ ˘a nespus de larg ˘a de
p˘am ˆant.” ( ”Legendele Olimpului”, Alexandru Mitru )
ˆIn matematic ˘a aceast ˘a legend ˘a s ¸i-a g ˘asit aplicarea ˆıntr-o problem ˘a cu numele ”Problema
Didonei” sau “Problema lui Dido”.
Acest incident sugereaz ˘aˆıntrebarea: Cum trebuie dispus ﬁrul alc ˘atuit din f ˆas ¸iile ˆınguste
pentru ca el s ˘aˆınconjoare o port ¸iune de arie maxima?
Pentru a r ˘aspunde la aceast ˘aˆıntrebare, trebuie s ˘a dam un enunt ¸ matematic corect. Un mate-
matician ar putea formula problema astfel:
Problema 1.2.1 Dintre toate curbele plane ˆınchise cu o lungime dat ˘a, g ˘asit ¸i-o pe aceea cu
suprafat ¸a cea mai mare.
Aceast ˘aˆıntrebare este cunoscut ˘a drept problema lui Dido, sau problema clasic ˘a izoperime-
tric˘a2.
2Figurile isoperimetrice sunt ﬁgurile care au acelas ¸i perimetru.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 8
V om ar ˘ataˆın capitolul trei c ˘a aceast ˘a curba care rezolv ˘a problema clasic ˘a izoperimetric ˘a
este un cerc. Acest lucru sugereaz ˘a c ˘a Dido a rezolvat problema clasic ˘a izoperimetric ˘a corect.
Mult ¸i istorici sunt de p ˘arere c ˘a aceasta a fost prima problem ˘a de extrem discutat ˘aˆın literatura de
specialitate. ˆIn plus fat ¸ ˘a de proprietatea isoperimetric ˘a a cercului 3, geometrii antici au remarcat,
de asemenea, proprietatea isoepiphanic ˘a a sferei (care este proprietatea sferei de a ˆıncadra cel
mai mare volum dintre toate suprafet ¸ele cu aceeas ¸i arie).
Problema are mai multe variante. Una dintre acestea ar ﬁ urm ˘atoarea: s ˘a presupunem c ˘a
axax/primeOx reprezint ˘a t ¸ ˘armul m ˘arii s ¸i c ˘a punctele A(a,0),B(b,0)reprezint ˘a capetele ﬁrului iar
graﬁcul funct ¸iei y=y(x), deﬁnit ˘a s ¸i derivabil ˘a pe [a,b], este ﬁrul. Aria limitat ˘a de ﬁr s ¸i de
t ¸ ˘arm este S=´b
ay(x)dx iar lungimea ﬁrului este L=´b
a/radicalbig
(1+y/prime(x)2dx . Problema lui Dido
revine la determinarea funct ¸iei y=y(x)deﬁnite s ¸i derivabile pe [a,b], care satisface condit ¸iile:
y(a)= 0,y(b)= 0,L=´b
a/radicalbig
1+y/prime(x)2)dx astfel ˆıncˆat integrala S=´b
ay(x)dx s˘a aib ˘a valoarea
maxim ˘a.
1.3 Problema lui Tartaglia
V om prezenta mai ˆıntˆai urm ˘atoarea problem ˘a de algebr ˘a, prezentat ˘a de Niccolo Tartaglia 4
Problema 1.3.1 ˆImp˘art ¸it ¸i num ˘arul 8 ˆın dou ˘a p ˘art ¸i astfel ˆıncˆat rezultatul produsului dintre pro-
dusul celor dou ˘a part ¸i s ¸i diferent ¸a lor este maxim.
V om reconstitui rat ¸ionamentul pe care l-a folosit Tartalia ˆın rezolvarea problemei.
Istoric, primul care a rezolvat ecuat ¸ia
x3+px +q=0 (1.1)
p>0 s ¸i q<0 a fost Scipione del Ferro .5La acel moment s-au luat ˆın considerare doar
r˘ad ˘acinile pozitive ale ecuat ¸iei iar r ˘ad ˘acinile negative s ¸i toate r ˘ad ˘acinile complexe au fost igno-
rate. Del Ferro nu a publicat descoperirea sa dar a prezentat-o asociat ¸ilor(partenerilor) s ˘ai.
Unul dintre init ¸iat ¸ii ˆın rezolvarea ecuat ¸iei (1.1) a decis s ˘a foloseasc ˘a aceast ˘a metod ˘a pentru a
cˆas ¸tiga un concurs de matematic ˘a. Acest concurent ar ﬁ reus ¸it, dac ˘a nu l-ar ﬁ ˆıntˆalnit pe Niccolo
Tartaglia. Sarcina lui Tartaglia a fost de a rezolva 30 de ecuat ¸ii cubice pentru valori diferite ale
luips ¸i q.
Tartaglia a reus ¸it s ˘a determine solut ¸ia general ˘a de rezolvare a ecuat ¸iei cubice cu 8 zile ˆınainte
de termenul limit ˘a. La fel ca Del Ferro ˆınaintea lui, Tartaglia a obt ¸inut urm ˘atoarea formul ˘a6:
x=3/radicalBigg
−q
2+/radicalbigg
q2
4+p3
27 +3/radicalBigg
−q
2−/radicalbigg
q2
4+p3
27 (1.2)
3proprietatea cercului de a cuprinde cea mai mare suprafat ¸ ˘a dintre toate ﬁgurile isoperimetrice
4Niccol `o Fontana Tartaglia (1499 – 1557) a fost un matematician, inginer s ¸i contabil italian. A fost primul care
a studiat s ¸tiint ¸iﬁc traiectoria proiectilului, rezultatele sale ﬁind conﬁrmate de cercet ˘arile lui Galileo Galilei privind
c˘aderea liber ˘a. A realizat, ˆın 1543, prima traducere ˆıntr-o limb ˘a european ˘a modern ˘a a Elementelor lui Euclid.
Contribut ¸iile sale ˆın domeniul matematicii: rezolvarea ecuat ¸iilor cubice, calculul volumului tetraedrului, obt ¸inerea
coeﬁcient ¸ilor binomiali cu ajutorul triunghiului lui Pascal.
5Scipione del Ferro (1465 – 1526) a fost un matematician italian, cunoscut pentru faptul c ˘a a fost primul care
a g ˘asit o metod ˘a de rezolvare a ecuat ¸iilor cubice. Matematicianul a studiat s ¸i subiectul referitor la rat ¸ionalizarea
fract ¸iilor cu numitor format din sume de r ˘ad ˘acini cubice.
6Formula (1.2) se mai numes ¸te s ¸i formula lui Cardano ˆın onoarea celui care a publicat-o prima dat ˘a.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 9
Formula (1.2) ne d ˘a o expresie de calcul a r ˘ad ˘acinii pozitive ˆın cazul lui Del Ferro (pentru
p>0 s ¸i q<0) dar va aduce s ¸i o expresie pentru o r ˘ad ˘acin˘a real ˘aˆın alte cazuri(de exemplu
pentru p<0 s ¸i q>0).
Tartaglia nu a publicat el ˆınsus ¸i formula des ¸i a anunt ¸at ˆıntr-o serie de lucr ˘ari c˘a este capabil
s˘a rezolve probleme de acest tip. O problem ˘a de acest tip a fost (1.3.1). F ˘ar ˘a a descrie solut ¸ia,
Tartaglia a dat r ˘aspunsul ˆın urm ˘atoarea form ˘a:
Dac˘a not ˘am cele 2 p ˘art ¸i cu as ¸i b(a>b)atunci
(a−b)2=( 8 : 2 )2+( 8 : 2 )2: 3 =64
3
deci avem de rezolvat sistemul: /braceleftBigg
a−b=8√
3
a+b=8
Din adunarea celor dou ˘a relat ¸ii obt ¸inem: 2 a=8+8√
3s ¸i de aici obt ¸inem c ˘aa=4+4√
3.
V om observa c ˘a rezultatul a fost corect.
V om rezolva problema ˆın form ˘a general ˘a. Avem de rezolvat urm ˘atoarea problem ˘a:
Problema 1.3.2 ˆImp˘art ¸it ¸i num ˘arul S ˆın dou ˘a p ˘art ¸i cu proprietatea c ˘a rezultatul ˆınmult ¸irii dintre
produsul celor dou ˘a p ˘art ¸i s ¸i diferent ¸a lor este maxim.
Demonstratie: FieSnum˘arul pe care dorim s ˘a-lˆımp˘art ¸im. Am observat c ˘a rezolvarea lui
Tartaglia nu a implicat numerele as ¸i bci mai degrab ˘a diferent ¸a lor pe care am considerat-o
necunoscut ˘a.
Not˘am a−b=xs ¸i a+b=S. Prin adunarea celor dou ˘a relat ¸ii obt ¸inem 2 a=S+xs ¸i deci
solut ¸ia sistemului este: /braceleftbigga=S+x
2
b=S−x
2,
V om c ˘auta maximul funct ¸iei f(x)= x(S+x
2)( S−x
2).
FieMmaximul c ˘autat (pentru x>0), obt ¸inem pentru xecuat ¸ia:
x(S+x
2)( S−x
2)= M (1.3)
De aici obt ¸inem xS2−x2
4=Ms ¸i deci avem de rezolvat ecuat ¸ia:
−x3+xS 2=4Mechivalent ˘a cu ecuat ¸ia x3−S2x+4M=0.
Not˘am cu p=−S2
q=4Ms ¸i, prin ˆınlocuire obt ¸inem (1.1).
Observ ˘am c ˘aˆın acest caz p<0
q>0prin urmare ecuat ¸ia (1.3) nu are structura ecuat ¸iei lui Del
Ferro.
Pe de alt ˘a parte ecuat ¸ia (1.3) are o proprietate deosebit ˘a s ¸i anume c ˘a, pe l ˆang˘a o r ˘ad ˘acin ˘a
negativ ˘a (notat ˘ap0) are s ¸i o r ˘ad ˘acin˘a pozitiv ˘a cu ordinul de multiplicitate 2.
Observ ˘am din ﬁgur ˘a,

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 10
c˘a ecuat ¸ia x3−xS 2+4m=0
• nu are r ˘ad ˘acini pozitive pentru m>M,
• are dou ˘a astfel de r ˘ad ˘acini pentru m<M,
• are o r ˘ad ˘acin˘a pozitiv ˘a pentru m=M.
Not˘am cu αr˘ad ˘acina pozitiv ˘a a ecuat ¸iei (1.3) care reprezint ˘a diferent ¸a c ˘autat ˘a.
Prin urmare putem scrie:
x3−S2x+4M=( x+β)( x−α)2=
(x+β)( x2−2xα−α2)=
=x3−2×2α+xα2+βx2−2αβ x+βα 2
=x3+x2(β−2α)+ x(α2−2αβ )+ βα 2.
Identiﬁc ˘am coeﬁcient ¸ii s ¸i obt ¸inem: 

β−2α=0
α2−2αβ =−S2
βα 2=4M=⇒β=2α
p=−S2=α2−2αβ =α2−4α2=−3α2
q=4M=α2β=2α3
Dar atunci:q2
4+p3
27 =0⇐⇒(4M)2
4+−S6
27 =0⇐⇒(4M)2
4=S6
27 ⇐⇒(2M)2=( S2
3)3.
Se pare c ˘a Tartaglia credea c ˘a, dac ˘aˆınlocuim ˆın (1.2) obt ¸inem q2
4+p3
27 =0 s ¸i atunci, aceast ˘a
formul ˘a ne d ˘a expresia rad ˘acinilor negative:
−β=2·3/radicalBig
−q
2=−23√
2M=−2S√
3=⇒β=2S√
3de unde α=β
2=S√
3=⇒α2=S2
3=
(S
2)2+1
3(s
2)2
Pentru S=8 obt ¸inem rezultatul anterior. Aceast ˘a problem ˘a se va relua s ¸i demonstra cu
instrumente ale analizei matematice, ˆın sect ¸iunea 4.3.1. din capitolul al IV-lea.
1.4 Probleme de maxim s ¸i de minim ˆın geometrie.
Problemele de maxim s ¸i de minim ocup ˘a un loc important ˆın geometrie. Probleme geometrice
de extrem g ˘asim at ˆat ˆın lucr ˘arile unor matematicieni ai antichit ˘at ¸ii – Euclid, Arhimede c ˆat s ¸i
ˆın lucr ˘arile matematicienilor Renas ¸terii – Vivianii, Torricelli, Fermat.V om prezenta c ˆateva pro-
bleme clasice reprezentative de maxim sau de minim geometric.
1.4.1 Problema lui Heron
Problema 1.4.1 Dac˘a A s ¸i B sunt dou ˘a puncte date de pe aceeas ¸i parte a unei drepte d, g ˘asit ¸i
punctul D, de pe dreapta d, astfel ˆıncˆat suma distant ¸elor AD +DB s ˘a ﬁe minim ˘a.
Demonstratie: Consider ˘am ﬁgura

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 11
FieB1simetricul punctului Dˆın raport cu dreapta d. Unim punctele Acu D1. Punctul c ˘autat
este punctul de intersect ¸ie dintre AB 1s ¸i dreapta d.
ˆIntr-adev ˘ar, ˆın cazul ˆın care D’ este un alt punct dec ˆat D, atunci:
|AD /prime|+|D/primeB|=|AD /prime|+|D/primeB1|>|AB 1|=|AD |+|DB |
unde, prin [AB ]ˆınt ¸elegem segmentul care unes ¸te punctele As ¸i B, prin |AB |ˆınt ¸elegem lungimea
segmentului [AB ]iarAB || CD indic ˘a faptul c ˘a dreptele AB si CD sunt paralele.
1.4.2 Problema lui Euclid 7
ˆIn Elemente – prima monograﬁe s ¸tiint ¸iﬁc ˘a a omenirii scris ˘a de Euclid g ˘asim o singur ˘a problem ˘a
de extrem, s ¸i anume:
Problema 1.4.2 ˆIntr-un triunghi dat ABC ˆınscriet ¸i un paralelogram
ADEF(EF||AB ,DE||AC )de arie maxim ˘a.
Demonstratie: V om demonstra aceast ˘a problem ˘a prin dou ˘a metode. Prima dintre ele va folosi
idei care duc la solut ¸ia lui Euclid din Elemente . Concret, vom demonstra c ˘a, ceea ce caracteri-
zeaz˘a paralelogramul cerut este ca punctele D,E,Fs˘a ﬁe mijloacele laturilor apropiate.
FieAD /primeE/primeF/primeun paralelogram ˆınscris ˆın triunghiul ABC diferit de ADEF . Not ˘am:{G/prime}=
D/primeE/prime∩EF ,{G}=DE ∩E/primeF/prime. S ˘a consider ˘am ﬁgura:
(1.4)
V om arat ˘a c ˘aSAD /primeE/primeF+SEG /primeE/primeG+SADEF
7Euclid din Alexandria (cca 325 – 265 ˆı.Hr.), originar din Damasc, a fost un matematician grec care a tr ˘ait s ¸i
predat ˆın Alexandria ˆın Egipt. Se spune despre Euclid c ˘a viat ¸a lui se confund ˘a cu opera sa matematic ˘a. Din opera
lui s-au p ˘astrat cartea Stihia ,ˆın traducere rom ˆaneasc ˘aElementele , tradus ˘aˆın peste 300 de limbi, ˆın care Euclid
pune bazele aritmeticii s ¸i ale geometriei plane s ¸i spat ¸iale, s ¸i c ˆateva c ˘art ¸i dintre care: Datele , lucrare ce cuprinde
teoreme s ¸i probleme care completeaz ˘aElementele , precum s ¸i Optica , privit ˘a ca o geometrie a ”razei vizuale”.
Despre Euclid se spune c ˘a a init ¸iat tradit ¸ia de a indica sf ˆars ¸itul unei demonstrat ¸ii prin expresia latin ˘a: Quod erat
demonstrandum, abreviat Q.E.D., ˆın traducere: Ceea ce era de demonstrat.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 12
Folosim urm ˘atoarele notat ¸ii:
H= lungimea ˆın ˘alt ¸imii din Bˆın triunghiul ABC
H1= lungimea ˆın ˘alt ¸imii din E/primeˆın triunghiul GE /primeE
b= lungimea laturii AC
Deoarece E/primeG|| AB s ¸i GE || AC avem /triangleGE /primeE∼/triangleABC de unde rezult ˘aH1
H=|GE |
b⇐⇒H1
H/2=
|GE |
b/2ceea ce duce la SD/primeG/primeED =SEGF /primeF.
De aici rezult ˘a imediat c ˘a : SADEF=SAD /primeG/primeEGF /prime=SAD /primeE/primeF/prime+SGE /primeG/primeE.
Metoda a doua va ﬁ prezentat ˘aˆın sect ¸iunea 4.3.1. din capitolul al IV-lea.
1.4.3 Problema lui Arhimede 8
Arhimede rezolv ˘aˆın lucrarea “Despre sfer ˘a s ¸i cilindru” urm ˘atoarea problem ˘a:
Problema 1.4.3 Dintre toate calotele sferice care au aceeas ¸i arie, semisfera are volum maxim.
Demonstratie: Fie o sfer ˘a de raz ˘aRs ¸i o calot ˘a sferic ˘aBAB /primede ˆın ˘alt ¸ime h.
EDE /primeeste o semisfer ˘a cu aceeas ¸i arie lateral ˘a. Not ˘am cu rraza ei.
Consider ˘am cunoscute:
V=πh2/parenleftbig
R−h
3/parenrightbig
volumul calotei sferice
Al=2πRh aria suprafet ¸ei laterale a calotei sferice
˜V=2πr3
3volumul sferei
ˆAl=2πr2aria suprafet ¸ei
Deoarece calota sferic ˘aBAB /primes ¸i semisfera EDE /primeau aceeas ¸i arie lateral ˘a, avem :
2πRh =2πr2(1.5)
de unde r2=Rh .
V om demostra c ˘a :
(2R−r)r>(2R−h)h (1.6)
pentru h/negationslash=R
8Arhimede din Siracuza (287 ˆı.Hr. – 212 ˆı.Hr.) este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni ai
antichit ˘at ¸ii s ¸i unul dintre cei mai mari ai tuturor timpurilor. Realiz ˘arile sale se ˆınscriu ˆın numeroase domenii
s ¸tiint ¸iﬁce: matematic ˘a, ﬁzic ˘a, astronomie, inginerie s ¸i ﬁlozoﬁe. Carl Friedrich Gauss considera c ˘a Arhimede s ¸i
Isaac Newton au fost cei mai mari oameni de s ¸tiint ¸ ˘a din ˆıntreaga istorie a civilizat ¸iei umane. El a folosit metoda
epuiz ˘arii complete pentru a calcula aria unui arc de parabol ˘a prin sumarea unei serii inﬁnite, precum s ¸i calculul
aproximativ al num ˘aruluiπ, a dedus formule de calcul a volumelor s ¸i al suprafet ¸elor corpurilor de revolut ¸ie, precum
s ¸i un sistem de exprimare a numerelor foarte mari.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 13
Pentru aceasta vom considera dou ˘a cazuri :
a) h<R
r2=Rh >h2deci r>hs ¸i de aici R−r<R−h=⇒(2R−r)r=R2−(R−r)2>R2−
(R−h)2=2(R−h)h.
b) h>R
r2=Rh <h2s ¸i r2=Rh >R2=⇒R<r<h=⇒r−R<h−R=⇒(2R−r)r=R2−
(R−r)2>R2−(R−h)2=( 2R−h)h
Din(1)s ¸i (2)prinˆınmult ¸ire cu πh
3obt ¸inem
πh
32Rr >π
3(3R−h)h2(1.7)
ˆIn aceast ˘a inecuat ¸ie ˆınlocuind Rh =r2obt ¸inem inegalitatea cerut ˘a:
˜V=2
3πr3=πh
32Rr >πh2/parenleftbig
R−h
3/parenrightbig
=V
V om da acum o alt ˘a demostrat ¸ie a problemei, o demonstrat ¸ie geometric ˘a care urmeaz ˘a
ˆındeaproape ideile lui Arhimede.9
Folosim urm ˘atoarea ﬁgur ˘a:
Consider ˘am pe dreapta AA /primesegmentul [OH ]cu proprietatea c ˘a, volumul conului cu ˆın ˘alt ¸imea
HM s ¸i raza bazei MB este egal cu volumul calotei sferice BAB /prime.
Tot pe AA /primeconsider ˆand punctul kcu proprietatea c ˘a lungimea segmentului [A/primeK]este R.
Din egalitatea dintre volumul conului notat, Vks ¸i volumul calotei Vc, Arhimede obt ¸ine
proport ¸ia:
|HM |
|AM |=|KM |
|A/primeM|(1.8)
ˆIntr-adev ˘ar:Vk=π
3|HM |· MB |2=π
3|HM |·| MA /prime|·| MA =Vc=π
3(3R−h)h2=π
3|KM |·
|AM |2ceea ce implic ˘a:
|HM |·| MA /prime|=|KM |·| AM |=⇒|HM |
|AM |=|KM |
|A/primeM|(1.9)
Apoi:|ED |=r√
2 iar |AB |2=|AA /prime|·| AM |prin urmare:
π|AB |2=2πRh =Sc=˜S=2πr2=π|ED |2=⇒| AB |=|ED | (1.10)
Apoi Arhimede construies ¸te segmentul [AS ]de aceias ¸i lungime cu [CD ]s ¸i demonstreaz ˘a
inegalitatea
|A/primeS|·| AS |>|A/primeM|·| AM | (1.11)
9Arhimede nu putea folosi pentru demonstrat ¸ie nici algebra s ¸i nici calculul algebric deoarece ele au ap ˘arut 18
secole mai t ˆarziu.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 14
echivalent ˘a cu (2R−r)h.
Arhimede justiﬁc ˘a geometric acest lucru: dintre dou ˘a dreptunghiuri cu acelas ¸i perimetru,
cel cu l ˘at ¸imea mai mic ˘a este cel cu arie mai mare.
Din egalitatea ariilor suprafet ¸elor laterale a calotei sferice sferic s ¸i a semisferei avem:
|AS |2=|AM |·| A/primeK|care duce la :
|AS |·| AA /prime|>|KM |·| AM |⇐⇒ 2Rr >(3R−h)h, de ˆınmult ¸ind cu |AM |obt ¸inem:
|AS |·| AA /prime|·| AM |>|KM |·| AM |2⇐⇒ 2RrH >(3R−h)h2
Din relat ¸iile anterioare s ¸i |AS |=|CD |avem:
˜V=π
3|CD |·| ED |2>π
3|HM |·| MB |2=Vk=Vc⇐⇒ ˜V=2π
3r2>π
3(3R−h)h2=Vc.
Trebuie amintit faptul c ˘a formulele folosite pentru volumul unui con, volumul sferic, volu-
mul calotei sferice, aria suprafet ¸ei laterale a sferei s ¸i a calotei sferice au fost obt ¸inute ˆın lucrarea
lui Arhimede, “Despre sfer ˘a s ¸i cilindru”.
Demonstrat ¸ia acestei probleme, folosind elemente de analiz ˘a matematic ˘a va ﬁ dat ˘aˆın sect ¸iunea
4.3.1. din capitolul al IV-lea.
1.4.4 Problema lui Steiner 10
Problema 1.4.4 11 ˆIn planul unui triunghi determinat ¸i un punct pentru care suma distant ¸elor la
vˆarfurile triunghiului este minim ˘a.
12
Demonstratie: V om demonstra problema pentru un triunghi a c ˘aror unghiuri nu au m ˘asura mai
mare de 120 0.Consider ˘am ﬁgura:
Problema se mai poate enunt ¸a astfel: s ˘a se determine pozit ¸ia unui punct Tsituat ˆın interiorul
unui triunghi ABC astfel ca suma S=TA +T B +TC s˘a ﬁe minim ˘a. Din punctul Tcare satisface
condit ¸ia de minim, laturile triunghiului se v ˘ad sub un unghi de 120 ◦, adic ˘am(<AT B )= m(<
ATC )= m(<BTC )= 120◦.
Rotim triunghiul BCT cu 60 ◦ˆın jurul v ˆarfului C. Rezult ˘aCT =CT /primes ¸i CB =CB /prime/prime . De aici
va rezulta c ˘a triunghiurile CT T /primes ¸i BCB /prime/prime sunt echilaterale. Triunghiul CT /primeB/prime/prime reprezint ˘a noua
pozit ¸ie a triunghiului CT B dup˘a rotirea acestuia cu 60 ◦, deci vom avea c ˘aT B =T/primeB/prime/prime . Suma
S=TA +T B +TC =TA +T/primeB/prime/prime +T T /prime=TA +T T /prime+T/primeB/prime/prime . Dar drumul TA +T T /prime+T/primeB/prime/prime
va ﬁ cel mai scurt atunci c ˆandTs ¸i T/primevor ﬁ situate pe dreapta AB /prime/prime care este ﬁx ˘a ( B/prime/prime are o
10 Jakob Steiner (1796 – 1863) a fost un matematician elvet ¸ian care a adus contribut ¸ii importante ˆın domeniul
geometriei s ¸i al mecanicii.
11 Aceast ˘a problem ˘a are o istorie lung ˘a. Ea a fost inclus ˘aˆın cartea lui Viviani – Asupra unor valori de maxim s ¸i
de minim(1659) dar a fost studiat ˘a s ¸i de Cavalieri, Torricelli s ¸i chiar s ¸i de Fermat. Viviani, Cavalieri(contribut ¸ii ˆın
calcului integral) s ¸i Torriceli(Torricelli a fost primul care a m ˘asurat presiunea atmosferic ˘a cu ajutorul barometrului
cu mercur, aparat pe care l-a inventat ˆın anul 1643) au fost matematicieni italieni ai secolului XVII.
12 punctul se numes ¸te punctul lui Torricelli

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 15
pozit ¸ie independent ˘a de T). Deci punctul Tva ﬁ pe dreapta care unes ¸te v ˆarful Acu v ˆarful B/prime/prime
al triunghiului echilateral construit pe latura BC .ˆIn mod analog punctul Tse aﬂ ˘a pe dreptele
care unesc v ˆarfurile Bs ¸i Ccu v ˆarfurile B1s ¸i C1ale triunghiurilor echilaterale construite pe
laturile AC s ¸i AB . Cercurile circumscrise triunghiurilor echilaterale construite pe laturile DABC
se numesc cercurile lui Torricelli iar punctul Tcare satisface proprietatea de minim se numes ¸te
punctul lui Torricelli.
Punctul Tse obt ¸ine construind ˆın afara triunghiului ABC triunghiurile echilaterale
ABC 1,BCA 1,CAB 1s ¸i unind v ˆarfurile opuse. Din ﬁgur ˘a va rezulta c ˘am(<AT B ) = m(<
BTC )= m(<ATC )= 120◦. Ne ocup ˘am ˆın continuare de calculul sumei TA +T B +TC . V om
ar ˘ata mai ˆıntˆai c ˘aT B +TC =TA 1. Patrulaterul T BA 1Cﬁind inscriptibil (pentru c ˘aam (<
BTC )+ m(<BA 1C)= 120◦+60 ◦=180◦), aplic ˆand teorema lui Ptolemeu 13 , rezult ˘a:
TA 1·BC =A1C·T B +A1B·TC (1.12)
Dar BC =BA 1=CA 1(pentru c ˘a DA1BC este echilateral). Dup ˘a simpliﬁcare relat ¸ia (1.12)
devine: TA 1=T B +TC .
Deci TA +T B +TC =TA +TA 1=AA 1.ˆIn triunghiul AA 1B, aplic ˘am teorema cosinusului s ¸i
avem: AA 2
1=AB 2+A1B2−2·AB ·A1B·cos(<ABA 1)= c2+a2–2 ac ·cos(<B+60 ◦)de unde,
efectu ˆand calculele, obt ¸inem:
AA 2
1=c2+a2–ac cosB+ac ·sinB (1.13)
ˆIn triunghiul ABC , aplic ˆand tot teorema cosinusului laturii b, avem:
−ac ·cosB=b2–a2–c2
2(1.14)
DarSABC =ac sinB
2de unde rezult ˘a
ac sinB=2SABC =2S (1.15)
ˆInlocuind (1.14 )s ¸i (1.15 ), relat ¸ia (1.13 )devine: AA 2
1=a2+c2+b2−a2−c2
2+2S√
3 . Suma
minim ˘a va ﬁ: TA +T B +TC =AA 1=BB 1=CC 1=√
2
2/radicalbig
a2+b2+c2+4S√
3 .
Observatie 1.4.1 • Dac ˘a m (<A)<120◦, punctul T se aﬂ ˘aˆın interiorul triunghiului ABC.
• Dac ˘a m (<A) = 120◦, punctul T coincide cu v ˆarful A. ˆIn acest caz, TA +T B +TC =
AB +AC =b+c.
• Dac ˘a m (<A)>120◦, punctul T este exterior triunghiului ABC dar suma TA +T B +TC
nu mai este minim ˘a. ˆIn acest caz, suma minim ˘a se obt ¸ine atunci c ˆand T coincide cu A,
deci TA +T B +TC =AB +AC =b+c.
13 Produsul diagonalelor unui patrulater inscriptibil este egal cu suma produselor celor dou ˘a perechi de laturi
opuse.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 16
•ˆIn cazul c ˆand m(<A)<120◦, din punctul T laturile triunghiului se v ˘ad sub un unghi de
120◦.
• Se poate ar ˘ata c ˘a DO1O2O314 care unes ¸te centrele cercurilor circumscrise triunghiu-
rilor echilaterale ABC 1,BCA 1,CAB 1este tot echilateral s ¸i O 1O2=O2O3=O1O3=√
6
6/radicalbig
a2+b2+c2+4S√
3.
1.4.5 Problema ariei minime
Problema 1.4.5 Fie un unghi s ¸i un punct ˆın interiorul s ˘au. Ducet ¸i o dreapt ˘a prin punctul dat
care taie laturile unghiului s ¸i formeaz ˘a cu acestea un triunghi de arie minim ˘a.
Demonstratie: Consider ˘am ﬁgura
Fie∡BAC s ¸i Mpunctul dat. Unim Acu Ms ¸i prelungim cu segmentul [MA /prime]de aceeas ¸i
lungime ca [AM ].
Ducem prin A/primeo paralel ˘a la AD s ¸i not ˘am cu Dpunctul de intersect ¸ie cu AB . Not ˘am DM ∩
AC ={E}. Dreapta DM are proprietatea cerut ˘a.
Avem |DM |=|ME |(/triangleMDA /prime≡/triangle MEA ). Se demonstreaz ˘a c ˘aDM are proprietatea cerut ˘a
de minim.
Ducem prin Mdreapta D/primeE/prime. Presupunem c ˘aE/primeeste situat la st ˆanga punctului E. Atunci
S[AE /primeD/prime]=S[AED ]−S[EME /prime]+S[MD /primeD]. Fie DA /prime∩D/primeE/prime={F}. Deoarece /triangleEME /prime≡/triangle MDF
rezult ˘a c ˘aS[ADE/prime]<S[AD /primeE/prime]ceea ce completeaz ˘a demonstrat ¸ia problemei.
1.5 Probleme clasice de calcul variat ¸ional
1.5.1 Problema brahistocronei
O problem ˘a important ˘a care a dus la aparit ¸ia calculului variat ¸ional este problema brahistocronei.
Problema a fost propus ˘aˆın 1696 de c ˘atre Jean Bernoulli s ¸i a fost rezolvat ˘aˆın diferite moduri de
Jacob Bernoulli, Leibniz, L’Hospital, Euler.
Problema 1.5.1 Un punct material de mas ˘a m se mis ¸c ˘a f ˘ar ˘a frecare de-a lungul unei curbe
aﬂat˘aˆın plan vertical, ce unes ¸te punctele A (0,h)s ¸i B (b,0). Se pune problema determin ˘arii
unei astfel de curbe 15 astfel ˆıncˆat timpul de parcurgere s ˘a ﬁe minim.
Demonstratie: Fiey=y(x)ecuat ¸ia dreptei c ˘autate s ¸i v(x)este m ˘arimea vitezei punctului ˆın
pozit ¸ia (x,y(x))
14
–Triunghiul echilateral O1O2O3poart ˘a numele de triunghiul exterior al lui Napoleon.
15 Aceast ˘a curb ˘a se numes ¸te brahistocron ˘a.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 17
Conform legii conserv ˘arii energiei, avem:
gm (h−y)= mv (x)2
2=⇒2gm (h−y)= mv (x)2
v(x)= /radicalbig
2g(h−y)
Pe de alt ˘a parte v=ds
dt =/radicalbig
1+y/prime(x)2dx s ¸i deci timpul ˆın care mobilul se deplaseaz ˘a din
punctul(x,y(x)) ˆın punctul (x+dx ,y(x+dx )) este
dt =/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y)dx
Rezult ˘a c ˘a timpul ˆın care mobilul ajunge din Aˆın Beste
T=ˆb
0/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y)dx
Deci problema brahistocronei revine la a determina funct ¸ia y=y(x)deﬁnit ˘a s ¸i derivabil ˘a pe
[0,b]astfel ˆıncˆat y(0)= h,y(b)= 0 s ¸i astfel ˆıncˆat integrala
T=ˆb
0/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y)dx
s˘a ﬁe minim ˘a. 16
1.5.2 Problemele lui Kepler 17
ˆIn una din lucr ˘arile sale, Kepler ridic ˘a urm ˘atoarea problem ˘a:
Problema 1.5.2 ˆInscriet ¸i ˆıntr-o sfer ˘a dat ˘a un cilindru de volum maxim.
Problema similar ˘a din plan ar ﬁ:
Problema 1.5.3 18 ˆInscriet ¸i ˆıntr-un cerc dat un dreptunghi de arie maxim ˘a.
Demonstratie: FieRraza sferei, not ˘am cu xjum˘atate din ˆınalt ¸imea cilindrului. Folosim ﬁgura:
Avem raza cercului bazei : T=√
R2−x2iarVcilindrului =2π(R2−x2)x
Reamintim c ˘a, rezultatul obt ¸inut ˆın cazul problemei lui Tartaglia a fost (S2−x2)x
4. Aceast ˘a
formul ˘a a dus la urm ˘atoarele rezultatexmax=R/√
3
rmax=/radicalBig
R−R2
3=R/radicalBig
2
3ceea ce implic ˘a faptul c ˘a,
16 Problema va ﬁ reluat ˘aˆın capitolul IV
17 Johannes Kepler (1571 – 1630) a fost un matematician, astronom s ¸i naturalist german, care a formulat s ¸i
conﬁrmat legile mis ¸c ˘arii planetelor (Legile lui Kepler). ˆIn afara lucr ˘arilor din domeniul astronomiei, Kepler a
descris un procedeu de determinare a volumelor, pe baza c ˘aruia se va dezvolta calculul integral.
18 problema se numes ¸te s ¸i problema planimetric ˘a a lui Kepler.

CAPITOLUL 1. PROBLEME CLASICE DE EXTREM 18
ˆın cilindrul c ˘autat de volum maxim, raportul dintre diametrul bazei s ¸i ˆın ˘alt ¸ime este √
2.
Aceasta coincide cu rezultatul lui Kepler.
Ambele probleme vor ﬁ reluate s ¸i rezolvate prin intermediul not ¸iunilor de analiz ˘a matema-
tic˘aˆın capitolul al IV-lea, sect ¸iunea 4.3.1. .

Capitolul 2
Metode analitice ˆın problemele de extrem
ˆIn acest capitol vom prezenta metode analitice de rezolvare a problemelor de extrem. Prima
sect ¸iune va reaminti c ˆateva elemente de calcul diferent ¸ial necesare pentru abordarea not ¸iunilor
din sect ¸iunile urm ˘atoare, cum ar ﬁ: not ¸iunea de funct ¸ie, funct ¸ii m ˘arginite, funct ¸ii monotone,
funct ¸ii continue, funct ¸ii derivabile s ¸i diferent ¸iabile, formula lui Taylor. V om continua cu not ¸iunile
teoretice necesare pentru rezolvarea problemelor de extrem pentru funct ¸iile de o variabil ˘a real ˘a,
de dou ˘a variabile reale, de nvariabile reale iar ˆın ﬁnal ne vom ocupa de extreme condit ¸ionate s ¸i
vom prezenta metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Aplicat ¸iile la aceste not ¸iuni teoretice vor
ﬁ prezentate ˆın capitolul al III-lea.
2.1 Elemente de calcul diferent ¸ial
Not ¸iunea de funct ¸ie este un concept cheie al matematicii.
Deﬁnitie 2.1.1 Fie E ,F dou ˘a mult ¸imi nevide. Spunem c ˘a am deﬁnit o funct ¸ie pe mult ¸imea E
cu valori ˆın mult ¸imea F dac ˘a printr-un procedeu oarecare(lege, corespondent ¸ ˘a) notat cu f ,
ﬁec˘arui element x din E ˆıi corespunde un singur element y din F .
Observ ˘am c ˘a not ¸iunea de funct ¸ie presupune existent ¸a unui triplet (E,f,F)format din dou ˘a
mult ¸imi nevide s ¸i o lege de corespondent ¸ ˘a care asociaz ˘a ﬁec ˘arui element din x∈Eun singur
element y=f(x)dinF.
Mult ¸imea Ese numes ¸te domeniul de deﬁnit ¸ie al funct ¸iei, Fse numes ¸te codomeniu sau
domeniul valorilor funct ¸iei iar f,procedeul prin care ﬁec ˘arui element x∈Eˆıi corespunde un
unic element y∈Fse numes ¸te lege de corespondent ¸ ˘a.
Elementul yse noteaz ˘ay=f(x)s ¸i se numes ¸te valoarea funct ¸iei ˆın x(imaginea lui xprin f)
iarxse numes ¸te preimaginea lui yprin f.
Prin f(E)ˆıntelegem mult ¸imea tuturor valorilor funct ¸iei. Avem
f(E)= {f(x)|x∈E}.
ˆIn c ˘art ¸ile de specialitate ˆıntˆalnim scrierile:
f:E−→F
Ef
−→F
xf
−→y,x∈E,y∈F
19

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 20
Un element oarecare xal mult ¸imii de deﬁnit ¸ie Ese numes ¸te variabil ˘a sau argument al
funct ¸iei f. Funct ¸ia fse reprezint ˘a prin notat ¸ia simbolic ˘a
x→f(x),x∈E
O funct ¸ie f:E−→Fˆın care Feste o mult ¸ime de numere reale se numes ¸te funct ¸ie cu valori
reale sau, mai simplu, funct ¸ie real ˘a sau, mai simplu, funct ¸ie numeric ˘a. O funct ¸ie f:E→F
ˆın care Eeste o mult ¸ime de numere reale se numes ¸te funct ¸ie de argument real sau funct ¸ie de
variabil ˘a real ˘a. Dac ˘a at ˆat Ecˆat s ¸i Fsunt mult ¸imi de numere reale atunci funct ¸ia f:E→Fse
va numi funct ¸ie real ˘a de argument real sau funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a.
Dac˘af:A−→Beste o funct ¸ie s ¸i E⊂Anumim restrict ¸ia lui fla mult ¸imea Afunct ¸ia:
f/A={(x,y)|x∈A,y=f(x)}.
Dac˘af0:E−→Bunde E⊂A,este o funct ¸ie dat ˘a, orice funct ¸ie f:A−→Bpentru care f/A=f0
se numes ¸te o prelungire a lui f0la mult ¸imea X.De asemenea, dac ˘af:A−→Bs ¸i E⊂Aatunci
mult ¸imea f(E)= {f(x)∈B/x∈C}va ﬁ imaginea lui Eprin funct ¸ia fiar dac ˘aF⊂Bmult ¸imea
f−1(F)= {x∈A;f(x)∈F}se va numi imaginea reciproc ˘a sau preimaginea prin aplicat ¸ia fa
mult ¸imii B.
Preciz ˘arile de mai sus ˆıs ¸i ment ¸in valabilitatea s ¸i ˆın cazul general ˆın care E=Rn,n∈N∗
s ¸i F=Rm,m∈N∗, adic ˘aˆın cazul funct ¸iilor f:Rn→Rmnumite ˆın continuare funct ¸ii reale.
Distingem urm ˘atoarele situat ¸ii:
• dac ˘an=m=1 avem cazul funct ¸iilor reale de o singur ˘a variabil ˘a real ˘a expus anterior.
• dac ˘an=1 s ¸i m∈N∗−{1}suntem ˆın cazul funct ¸iilor reale f:D⊆R→Rmnumite funct ¸ii
reale de o variabil ˘a real ˘a cu valori reale vectoriale. Funct ¸iile au mcomponente reale
fk:Dfk⊆R→R,k=1,mˆın sensul c ˘af(x) = ( f1(x),f2(x),…, fm(x)) ,(∀)x∈Df⊆R
unde Df=m/intersectiontext
k=1DfkiarDfkeste domeniul de deﬁnit ¸ie al funct ¸iei reale de o variabil ˘a real ˘a
fk.
• dac ˘an∈N∗−{1}s ¸i m=1 suntem ˆın cazul funct ¸iilor reale f:D⊆Rn→Rpe care le
numim funct ¸ii reale de nvariabile reale.
• dac ˘an∈N∗−{1}s ¸i m∈N∗−{1}atunci obt ¸inem funct ¸iile f:Df⊆Rn→Rm. Argu-
mentul funct ¸iei f este un vector din Rn, iar valorile funct ¸iei sunt, de asemenea, vectori.
Spunem c ˘a f este o funct ¸ie vectorial ˘a de variabil ˘a vectorial ˘a. O variabil ˘a vectorial ˘axdin
Rneste echivalent ˘a cu nvariabile reale x1,x2,…, xn(care sunt coordonatele lui x). Va-
lorile funct ¸iei se noteaz ˘af(x)sauf(x1,x2,…, xn), iar funct ¸ia f se mai numes ¸te funct ¸ia
(vectorial ˘a) de nvariabile reale.
Exemplu 2.1.1 Funct ¸ia proiect ¸ie pr 1(x1,x2,…, xn)= x1este o funct ¸ie real ˘a de n variabile re-
ale. De asemenea, proiect ¸iile pr 2(x1,x2,…, xn)= x2, …, pr n(x1,x2,…, xn)= xnsunt funct ¸ii reale
de n variabile.
Exemplu 2.1.2 Funct ¸ia sum ˘a f (x1,x2,…, xn)= x1+x2+… +xns ¸i funct ¸ia produs f (x1,x2,…, xn)=
x1·x2·… ·xnsunt funct ¸ii reale de n variabile reale.
Fiind dat ˘a o funct ¸ie vectorial ˘a f :E→Rm, putem obt ¸ine m funct ¸ii reale f 1,f2,… fmdeﬁnite
pe E, prin compunerea funct ¸iei f cu funct ¸iile proiect ¸ie:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 21
fi=pr i(f),i=1,m
Pentru ﬁecare x∈Eavem
fi(x)= pr if(x),i=1,m
s ¸i deci
f(x)=( f1(x),f2,(x),…, fm(x)) .
Convenim s ˘a scriem aceast ˘a ultim ˘a egalitate astfel:
f=( f1,f2,,…, fm).
Funct ¸iile reale fi,i=1,mse numesc componentele reale ale funct ¸iei vectoriale f.
Pe de alt ˘a parte, mfunct ¸ii reale f1,f2,,…, fmdeﬁnite pe o aceeas ¸i mult ¸ime E⊂Rnpot
ﬁ considerate totdeauna ca ﬁind componentele reale ale unei funct ¸ii vectoriale f:E→Rm.
T ¸ in ˆand seama de aceste considerat ¸ii, putem reduce studiul unei funct ¸ii vectoriale la studiul unor
funct ¸ii reale. De multe ori este ˆıns˘a mai simplu studiul direct al funct ¸iei vectoriale.
Dac˘a mult ¸imea de deﬁnit ¸ie E este o parte a dreptei, funct ¸iile f:E→Rmsunt funct ¸ii vecto-
riale de o singur ˘a variabil ˘a real ˘a.
Dac˘a E este o parte a planului R2, funct ¸iile f:E→Rmsunt funct ¸ii vectoriale de dou ˘a
variabile reale s ¸i se noteaz ˘af(x,y). La fel se deﬁnesc funct ¸iile vectoriale de trei variabile reale
f(x,y,z).
Dac˘a E este un interval n-dimensional (m ˘arginit sau nem ˘arginit) E=I1×I2×… ×In,
atunci c ˆınd variabilele reale x1,x2,… xnparcurg respectiv intervalele I1,I2,…, In,variabila vec-
torial ˘ax=( x1,x2,…, xn)parcurge tot intervalul n-dimensional E. Dac ˘aˆıns˘a E nu este interval
n-dimensional, ﬁecare variabil ˘a real ˘a parcurge o mult ¸ime care depinde de valorile ﬁxate ale
celorlalte variabile.
Graﬁcul unei funct ¸ii reale de nvariabile f(x1,x2,…, xn), deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E⊂Rn,
este format din toate punctele din spat ¸iul Rn+1, de forma (x1,x2,…, xn,f(x1,x2,…, xn)) unde
(x1,x2,…, xn)∈E. Graﬁcul unei funct ¸ii de dou ˘a variabile f(x,y)deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime Edin
plan este o mult ¸ime din spat ¸iul cu trei dimensiuni:
{(x,y,z)|(x,y)∈E,z=f(x,y)}
Graﬁcul unei funct ¸ii de dou ˘a variabile este o “suprafat ¸ ˘a” ˆın spat ¸iu.
Putem deﬁni urm ˘atoarele operat ¸ii cu funct ¸ii vectoriale.
Deﬁnitie 2.1.2 Fie E o mult ¸ime din Rn,s ¸i f s ¸i g dou ˘a funct ¸ii deﬁnite pe E cu valori ˆın spat ¸iul
Rm. Deﬁnim urm ˘atoarele funct ¸ii:
1. funct ¸ia sum ˘a f +g:E→Rmdeﬁnit ˘a prin: (f+g)( x)= f(x)+ g(x), pentru x ∈E.
2. funct ¸ia produs f ·g:E→Rmdeﬁnit ˘a prin (f g )( x)= f(x)g(x), pentru x ∈E.
3. produsul dintre o funct ¸ie s ¸i un num ˘ar real αeste funct ¸ia αf:E→Rmdeﬁnit ˘a prin
(αf)( x)= αf(x), pentru x ∈E.
4. funct ¸ia pozitiv ˘a/bardblf/bardblpe E prin egalitatea /bardblf/bardbl(x) = /bardblf(x)/bardbl, pentru x ∈E. Avem atunci
/bardblf/bardbl=/radicalbig
(f f )= /radicalbiggm
∑
i=1f2
i.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 22
5. Dac ˘a avem funct ¸iile f :E→F,g:F→Rpunde E⊂Rn,F⊂Rmatunci putem deﬁni
funct ¸ia compus ˘a h =g◦f:E→Rpdeﬁnit ˘a prin h (x)= g(f(x)) ,x∈E cu observat ¸ia c ˘a,
a compune funct ¸ia g cu funct ¸ia f revine la a compune componentele reale ale funct ¸iei g
cu funct ¸ia f.
Propriet ˘at ¸ile funct ¸iilor f:Rn→Rmse pot deduce din propriet ˘at ¸ile funct ¸iilor sale compo-
nente.
Dou˘a dintre propriet ˘at ¸ile importante ale funct ¸iilor reale de o variabil ˘a real ˘a sunt:
Funct ¸ii m ˘arginite
Deﬁnitie 2.1.3 Fie f :E→Ro funct ¸ie real ˘a deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime oarecare E s ¸i ﬁe A ⊂E.
Spunem c ˘a funct ¸ia f este minorat ˘a sau m ˘arginit ˘a inferior pe mult ¸imea A dac ˘a imaginea
f(A)a lui A prin funct ¸ia f este o mult ¸ime minorat ˘a, adic ˘a dac ˘a exist ˘a un num ˘ar a ∈R, astfel
ˆıncˆat a ≤f(x)pentru orice x ∈A. Marginea inferioar ˘ainff(A)a mult ¸imii f (A)se numes ¸te
marginea inferioar ˘a a funct ¸iei f pe mult ¸imea A s ¸i se noteaz ˘ainf
x∈Af(x):
inf
x∈Af(x)= inff(A).
Num ˘arulm=inf
x∈Af(x)este caracterizat de urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i (care exprim ˘a faptul c ˘a m
este cel mai mare minorant al mult ¸imii f(A):
1. m≤f(x), oricare ar ﬁ x∈A;
2. dac ˘am<α, exist ˘ax∈Aastfel ˆıncˆat f(x)<α.
Dac˘afeste minorat ˘a pe domeniul s ˘au de deﬁnit ¸ie E, se spune, mai simplu, c ˘a este minorat ˘a,
f˘ar ˘a a mai speciﬁca mult ¸imea pe care are aceast ˘a proprietate, iar num ˘arul inf
x∈Ef(x)se numes ¸te
marginea inferioar ˘a a funct ¸iei f. Dac ˘afeste o funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a, a spune c ˘afeste
minorat ˘aˆınseamn ˘a c ˘a graﬁcul s ˘au se aﬂ ˘aˆın ˆıntregime deasupra unei drepte y=aparalele cu
axaOx .
Deﬁnitie 2.1.4 Spunem c ˘a funct ¸ia f este ma jorat ˘a sau m ˘arginit ˘a superior pe mult ¸imea A dac ˘a
imaginea f (A)este o mult ¸ime majorat ˘a, adic ˘a dac ˘a exist ˘a un num ˘ar b ∈R, astfel ˆıncˆıt f (x)≤b,
oricare ar ﬁ x ∈A.
Marginea superioar ˘asupf(A)a mult ¸imii f (A)se numes ¸te marginea superioar ˘a a funct ¸iei f
pe mult ¸imea A s ¸i se noteaz ˘asup
x∈Af(x):
sup
x∈Af(x)= supf(A).
Num ˘arulM=sup
x∈Af(x)este caracterizat de urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i (care exprim ˘a faptul c ˘a
Meste cel mai mic majorant al mult ¸imii f(A):
1. f(x)≤M, oricare ar ﬁ x∈A;
2. dac ˘aα<M, exist ˘ax∈Aastfel ˆıncˆat α<f(x).

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 23
Dac˘afeste majorat ˘a pe domeniul s ˘au de deﬁnit ¸ie E, se spune, mai simplu, c ˘afeste majorat ˘a,
f˘ar ˘a a mai speciﬁca mult ¸imea pe care are aceast ˘a proprietate, iar num ˘arul sup
x∈Ef(x)se numes ¸te
marginea superioar ˘a funct ¸iei f.
Dac˘afeste o funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a, a spune c ˘a este majorat ˘aˆınseamn ˘a c ˘a graﬁcul
s˘au se aﬂ ˘aˆın ˆıntregime sub o dreapt ˘ay=bparalel ˘a cu axa Ox .
Deﬁnitie 2.1.5 Spunem c ˘a funct ¸ia f este m ˘arginit ˘a pe mult ¸imea A dac ˘a este s ¸i minorat ˘a s ¸i
majorat ˘a pe A, adic ˘a dac ˘a mult ¸imea valorilor f (A)este m ˘arginit ˘a.
Aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a exist ˘a dou ˘a numere as ¸i bastfel ˆıncˆıt s ˘a avem a≤f(x)≤bpentru
orice x∈A. Avem
inf
x∈Af(x)≤sup
x∈Af(x)
s ¸i observ ˘am c ˘a cele dou ˘a margini sunt egale dac ˘a s ¸i numai dac ˘a funct ¸ia feste constant ˘a pe A.
Dac˘afeste m ˘arginit ˘a pe mult ¸imea de deﬁnit ¸ie E, vom spune, mai simplu, c ˘afeste m ˘arginit ˘a,
f˘ar ˘a alt ˘a speciﬁcare. Dac ˘afeste o funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a, a spune c ˘afeste m ˘arginit ˘a
ˆınseamn ˘a c ˘a graﬁcul s ˘au se aﬂ ˘aˆın ˆıntregime cuprins ˆıntre dou ˘a drepte y=as ¸i y=bparalele cu
axaOx .
Propozitie 2.1.1 Funct ¸ia f :E→R este m ˘arginit ˘a, dac ˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a un num ˘ar M >0
astfel ˆıncˆat |f(x)|≤M pentru orice x ∈E.
Demonstratie: Avem f(E)= {f(x)/x∈E}, iar f(E)este m ˘arginit ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a
M>0 astfel ca |y|≤Mpentru orice y∈f(E), adic ˘a|f(x)|≤ Mpentru orice x∈E.
Din aceast ˘a propozit ¸ie rezult ˘a c ˘a funct ¸ia f este m ˘arginit ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a modulul s ˘au |f|
este o funct ¸ie m ˘arginit ˘a. Se veriﬁc ˘a us ¸or c ˘a dac ˘a funct ¸iile f,g:E→Rsunt m ˘arginite atunci s ¸i
funct ¸iile f+g,αfs ¸i f,gsunt m ˘arginite.
Observatie 2.1.1 Dac˘a funct ¸iile f s ¸i g sunt minorate atunci funct ¸ia f +g este minorat ˘a s ¸i dac ˘a
α≥0atunci funct ¸ia αf este minorat ˘a. Funct ¸ia −f poate ˆıns˘a s ˘a nu ﬁe minorat ˘a. Mult ¸imea
funct ¸iilor minorate nu este grup pentru adunare. Aceleas ¸i considerat ¸ii se pot face pentru funct ¸ii
majorate. Funct ¸ia f este minorat ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a−f este majorat ˘a s ¸i ˆın acest caz avem:
inf
x∈Ef(x)= −sup
x∈E(−f(x)) .
De asemenea f este majorat ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a−f este minorat ˘a s ¸i avem:
sup
x∈Ef(x)= −inf(−f(x)) .
Reamintim c ˆateva propriet ˘at ¸i ale funct ¸iilor m ˘arginite:
1. Dac ˘a f :E→Reste m ˘arginit ˘a peA ⊂E s ¸i dac ˘a B ⊂A atunci f este m ˘arginit ˘a pe B s ¸i
inf
x∈Bf(x)≥inf
x∈Af(x)
sup
x∈Bf(x)≤sup
x∈Af(x).

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 24
2. Dac ˘a f :E→Reste m ˘arginit ˘a pe submult ¸imile A s ¸i B, atunci f este m ˘arginit ˘a s ¸i pe A ∪B.
3. Dac ˘a funct ¸iile f ,g:E→Rsunt m ˘arginite s ¸i dac ˘a f ≤g atunci:
inf
x∈Ef(x)≤inf
x∈Eg(x)
sup
x∈Ef(x)≤sup
x∈Eg(x)
4. Dac ˘a funct ¸iile f ,g:E→Rsunt m ˘arginite, atunci
inf
x∈E(f(x)+ g(x)) ≥inf
x∈Ef(x)+ inf
x∈Eg(x)
sup
x∈E(f(x)+ g(x)) ≤sup
x∈Ef(x)+ sup
x∈Eg(x).
Funct ¸ii monotone
Fief:E→Ro funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a(E⊂R) s ¸i ﬁe A⊂E.
Deﬁnitie 2.1.6 Spunem c ˘a funct ¸ia f este cresc ˘atoare pe A, dac ˘a, oricare ar ﬁ x 1,×2∈A cu
x1<x2, avem f (x1)≤f(x2).
Spunem c ˘a funct ¸ia f este descresc ˘atoare pe A dac ˘a, oricare ar ﬁ x 1,×2∈A cu x 1<x2, avem
f(x1)≥f(x2).
Dac˘a funct ¸ia f este cresc ˘atoare(respectiv descresc ˘atoare) pe tot domeniul s ˘au de deﬁnit ¸ie
ea va ﬁ numit ˘a, mai simplu, funct ¸ie cresc ˘atoare (respectiv descresc ˘atoare) f ˘ar ˘a a mai speciﬁca
mult ¸imea pe care are loc aceast ˘a proprietate. Funct ¸iile cresc ˘atoare s ¸i funct ¸iile descresc ˘atoare
se numesc funct ¸ii monotone. O funct ¸ie constant ˘a este s ¸i cresc ˘atoare s ¸i descresc ˘atoare. Reci-
proc, dac ˘a o funct ¸ie este s ¸i cresc ˘atoare s ¸i descresc ˘atoare, atunci ea este constant ˘a.
Observatie 2.1.2 O funct ¸ie cresc ˘atoare se caracterizeaz ˘a prin aceea c ˘a o inegalitate dintre va-
lorile argumentului se transform ˘aˆıntr-o inegalitate de acelas ¸i sens (eventual, egalitate) ˆıntre
valorile funct ¸iei. As ¸adar, o funct ¸ie cresc ˘atoare se poate deﬁni si cu ajutorul urm ˘atoarei implicat ¸ii:
x1>x2⇒f(x1)≥f(x2)
O funct ¸ie descresc ˘atoare transform ˘a o inegalitate dintre valorile argumentului ˆıntr-o inega-
litate de sens contrar (eventual, egalitate) ˆıntre valorile funct ¸iei.
As ¸adar, o funct ¸ie descresc ˘atoare se poate caracteriza prin:
x1>x2⇒f(x1)≤f(x2).

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 25
Deﬁnitie 2.1.7 Spunem c ˘a funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare pe A dac ˘a, oricare ar ﬁ x 1<x2
din A, avem f (x1)<f(x2). Orice funct ¸ie strict cresc ˘atoare este cresc ˘atoare deoarece dac ˘a
f(x1)<f(x2)atunci s ¸i f (x1)≤f(x2).
Spunem c ˘a funct ¸ia f este strict descresc ˘atoare pe A dac ˘a, oricare ar ﬁ x 1<x2din A, avem
f(x1)>f(x2). Orice funct ¸ie strict descresc ˘atoare este descresc ˘atoare.
Dac˘a funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare (respectiv strict descresc ˘atoare) pe tot domeniul s ˘au
de deﬁnit ¸ie, va ﬁ numit ˘a, mai simplu, funct ¸ie strict cresc ˘atoare (respectiv strict descresc ˘atoare)
f˘ar ˘a a mai speciﬁca mult ¸imea pe care are loc aceast ˘a proprietate. Funct ¸iile strict cresc ˘atoare
s ¸i strict descresc ˘atoare se numesc funct ¸ii strict monotone. Orice funct ¸ie strict monoton ˘a este
monoton ˘a.
Observatie 2.1.3 Funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
x1>x2⇒f(x1)>f(x2)
Funct ¸ia f este strict descresc ˘atoare dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
x1>x2⇒f(x1)<f(x2).
Urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i se veriﬁc ˘a imediat:
1. Dac ˘a funct ¸iile fs ¸i gsunt (strict) cresc ˘atoare s ¸i α>0, atunci funct ¸iile f+gs ¸i αfsint
(strict) cresc ˘atoare.
2. Dac ˘a funct ¸ia feste (strict) cresc ˘atoare, atunci funct ¸ia — f este (strict) descresc ˘atoare.
3. Dac ˘af(x)>0 pentru orice x∈Es ¸i dac ˘afeste (strict) cresc ˘atoare, atunci funct ¸ia 1
feste
(strict) descresc ˘atoare. Dac ˘aˆın propozit ¸iile de mai sus se ˆınlocuiesc cuvintele “cresc ˘ator”
s ¸i “descresc ˘ator” unul cu altul, se obt ¸in alte propriet ˘at ¸i ale funct ¸iilor monotone.
4. Fie f:A→Bs ¸i g:B→R, dou ˘a funct ¸ii s ¸i g◦f:A→R, funct ¸ia lor compus ˘a. Dac ˘afs ¸i g
sunt ambele (strict) cresc ˘atoare sau ambele (strict) descresc ˘atoare, atunci funct ¸ia compus ˘a
g◦feste (strict) cresc ˘atoare. Dac ˘a una din funct ¸iile fs ¸i geste (strict) cresc ˘atoare s ¸i cea-
lalt˘a este (strict) descresc ˘atoare, atunci funct ¸ia compus ˘ag◦feste (strict) descresc ˘atoare.
Propozitie 2.1.2 Funct ¸ia invers ˘a a unei funct ¸ii strict cresc ˘atoare este strict cresc ˘atoare. Funct ¸ia
invers ˘a a unei funct ¸ii strict descresc ˘atoare este strict descresc ˘atoare.
Demonstratie: Fiefo aplicat ¸ie strict cresc ˘atoare a lui A pe B, f(A)= B, s ¸i ﬁe f−1:B→A
funct ¸ia invers ˘a. Fie y1<y2s˘a ar ˘at ˘am c ˘af(y1)<f(y2).
Fiex1,x2punctele din Apentru care avem f(x1)= y1,f(x2)= y2. Avem deci x1=f−1(y1),x2=
f−1(y2).
A ar ˘ata c ˘af−1(y1)<f−1(y2)revine la a ar ˘ata c ˘ax1<x2.
S˘a presupunem, prin absurd, c ˘ax1≥x2. Deoarece feste strict cresc ˘atoare, avem f(x1)≥
f(x2)sauy1≥y2, ceea ce contrazice alegerea y1<y2.
As ¸adar y1<y2implic ˘af(y1)<f(y2), deci f−1este strict cresc ˘atoare.
ˆIn cazul c ˆandfeste strict descresc ˘atoare, se procedeaz ˘aˆın mod analog.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 26
2.2 Funct ¸ii continue
Fie funct ¸ia f:E→R,E⊂Rs ¸i x0∈E.
Deﬁnitie 2.2.1 Spunem c ˘a funct ¸ia f este continu ˘aˆın punctul x 0dac˘a la orice vecin ˘atate U a lui
f(x0)corespunde o vecin ˘atate V a lui x 0, astfel ˆıncˆat, oricare ar ﬁ x 0∈E∩V,f(x)∈U.
Observatie 2.2.1 Deoarece o funct ¸ie real ˘a de o variabil ˘a real ˘a este deﬁnit ˘a pe E ⊂R, pro-
blema continuit ˘at ¸ii nu se poate pune ˆın punctele +∞sau−∞.
Dac˘a o funct ¸ie este inﬁnit ˘aˆıntr-un punct x 0atunci ˆın acest punct nu se poate pune problema
continuit ˘at ¸ii.
ˆIntr-un punct izolat x 0∈Eˆın care funct ¸ia f (x)are valoare ﬁnit ˘a, funct ¸ia este continu ˘a,
deoarece ˆın deﬁnit ¸ia continuit ˘at ¸ii nu se cere ca punctul x 0s˘a ﬁe punct de acumulare 1al lui E
iar condit ¸iile din deﬁnit ¸ie sunt ˆındeplinite.
Avem urm ˘atoarele deﬁnit ¸ii echivalente ale continuit ˘at ¸ii ˆıntr-un punct:
Deﬁnitie 2.2.2 Fie funct ¸ia f :E→R,E⊂Rs ¸i x 0∈E . Urm ˘atoarele aﬁrmat ¸ii sunt echivalente:
a) Funct ¸ia f este continu ˘aˆın punctul x 0ˆın sensul deﬁnit ¸iei (2.2.1)
b) Funct ¸ia f este continu ˘aˆın punctul x 0dac˘a pentru orice ε>0exist ˘a un num ˘ar η(ε)>0
astfel ˆıncˆat s ˘a avem |f(x)−f(x0)|<ε,(∀)x∈E,astfel ˆıncˆat |x−x0|<η(ε)
c) Funct ¸ia f :E→Reste continu ˘aˆın punctul x 0∈E dac ˘a pentru orice s ¸ir (xn)convergent
c˘atre x 0s ¸irul valorilor (f(xn)) este convergent c ˘atre f (x0)
d) Funct ¸ia f :E→Reste continu ˘aˆın punctul x 0∈E ( x 0punct de acumulare a lui E ) dac ˘a:
1. limita la dreapta f (x0+0)ˆın punctul x 0exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a;
2. limita la st ˆanga f(x0−0)ˆın punctul x 0exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a;
3. cele dou ˘a limite sunt egale ˆıntre ele s ¸i egale cu valoarea funct ¸iei ˆın punctul x 0:
f(x0+0)= f(x0−0)= f(x0).
Deﬁnitie 2.2.3 O funct ¸ie f :E→Reste continu ˘a pe o mult ¸ime A ⊂E dac ˘a este continu ˘aˆın
ﬁecare punct al mult ¸imii A .
Deﬁnitie 2.2.4 O funct ¸ie f :E→Reste continu ˘a la st ˆanga ˆın punctul x 0∈E ( x 0punct de
acumulare a lui E ) dac ˘a:
1. limita la st ˆanga f(x0−0)ˆın punctul x 0exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a;
2. limita la st ˆanga este egal ˘a cu valoarea funct ¸iei ˆın punctul x 0, adic ˘a f (x0−0)= f(x0).
Deﬁnitie 2.2.5 O funct ¸ie f :E→Reste continu ˘a la dreapta ˆın punctul x 0∈E ( x 0punct de
acumulare a lui E ) dac ˘a:
1. limita la dreapta ˆın punctul x 0, f (x0+0)exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a;
1Spunem c ˘ax0este un punct de acumulare al unei mult ¸imi Adac˘a orice vecin ˘atate Va lui x0cont ¸ine cel put ¸in
un punct al mult ¸imii Adiferit de punctul x0, adic ˘aV∩A−{x0}/negationslash=Ø.
Un punct al mult ¸imii Acare nu este punct de acumulare se numes ¸te punct izolat.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 27
2. limita la dreapta este egal ˘a cu valoarea funct ¸iei ˆın punctul x 0, adic ˘a f (x0+0)= f(x0).
Observatie 2.2.2 Din deﬁnit ¸ie rezult ˘a c ˘a o funct ¸ie continu ˘aˆıntr-un punct este continu ˘a la
dreapta s ¸i la st ˆanga ˆın punctul respectiv; reciproc, dac ˘a funct ¸ia este continu ˘a la dreapta s ¸i
la st ˆanga ˆıntr-un punct, este continu ˘aˆın acel punct.
Deﬁnitie 2.2.6 Fie f :E→R. Dac ˘a x 0∈E nu este punct de continuitate pentru f spunem c ˘a
funct ¸ia lui f este discontinu ˘aˆın punctul x 0,iar x 0se numes ¸te punct de discontinuitate.
Deoarece o funct ¸ie este continu ˘aˆın punctele izolate ale lui E, urmeaz ˘a c ˘a un punct de
discontinuitate este ˆın mod necesar punct de acumulare al lui E .Prin urmare x 0∈E ste un
punct de discontinuitate dac ˘a are loc una din urm ˘atoarele situat ¸ii:
1. f(x0+0)/negationslash=f(x0−0)/negationslash=f(x0);
2. f(x0+0)/negationslash=f(x0−0);
3. f(x0+0)sau f(x0−0)nu sunt ﬁnite;
4. f(x0+0)sau f(x0−0)nu exist ˘a.
Observatie 2.2.3 Dac˘a x 0nu apart ¸ine domeniului de deﬁnit ¸ie, problema discontinuit ˘at ¸ii nu are
sens.
Printre propriet ˘at ¸ile locale ale funct ¸iilor continue amintim:
Teorema 2.2.1 Dac˘a funct ¸ia f este continu ˘aˆın punctul x 0s ¸i dac ˘a f (x0)/negationslash=0,exist ˘a o vecin ˘atate
V a lui x 0astfel ˆıncˆat pentru orice x ∈V∩E (E este domeniul de deﬁnit ¸ie al funct ¸iei f ) avem
f(x)·f(x0)>0.
Demonstratie: S˘a presupunem c ˘af(x0)>0 . S ˘a g ˘asim o vecin ˘atate Va lui x0astfel ˆıncˆat
dac˘ax∈V∩Evaloarea f(x)s˘a aib ˘a acelas ¸i semn cu f(x0). Din deﬁnit ¸ia continuit ˘at ¸ii avem
|f(x)−f(x0)|<εdac˘a|x−x0|<η(ε).
Din|f(x)−f(x0)|<ε, putem scrie f(x0)−ε<f(x)<f(x0)+ ε.ˆInmult ¸im aceast ˘a relat ¸ie
cu f(x0)>0 s ¸i obt ¸inem f2(x0)−εf(x0)<f(x)f(x0)<f2(x0)+ εf(x0).
Lu ˘am ε=f(x0)
2>0 s ¸i deci
0<f2(x0)
2<f(x)f(x0)<3f2(x0)
2prin urmare, f(x)·f(x0)>0 dac ˘a lu ˘am pentru Vintervalul
(x0−η/prime,x0+η/prime), cu η/prime(ε)corespunz ˘ator lui ε=f(x0)
2.
Dac˘af(x0)<0 sensul inegalit ˘at ¸ilor f(x0)−ε<f(x)<f(x0)+ εse schimb ˘a s ¸i se ia ε=
|f(x0)|
2.
Din demonstrat ¸ia teoremei anterioare rezult ˘a s ¸i urm ˘atoarea teorem ˘a:
Teorema 2.2.2 Dac˘a funct ¸ia f este continu ˘aˆın punctul x 0exist ˘a o vecin ˘atate V a lui x 0pe care
f este m ˘arginit ˘a.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 28
2.3 Derivabilitate, diferent ¸iabilitate
Fief:E→R,Einterval de numere reale s ¸i x0un punct din E.
Deﬁnitie 2.3.1 Spunem c ˘a funct ¸ia f :E−→Rare derivat ˘aˆın punctul de acumulare x 0∈E
dac˘a limita
lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0
notat ˘a f /prime(x0)exist ˘aˆın R. Dac ˘a derivata f /prime(x0)exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a vom spune c ˘a funct ¸ia f este
derivabil ˘aˆın punctul x 0.
Dac˘a funct ¸ia f este derivabil ˘aˆın orice punct a unei submult ¸imi A a lui E spunem atunci c ˘a f
este derivabil ˘a pe mult ¸imea A.
Pentru derivata f/prime(x0)se folosesc de asemenea notat ¸iile d f (x0)
dx s ¸i D f (x0)s ¸i f/prime
x(x0)(derivata
lui fˆın raport cu x ˆın punctul x0).
Observatie 2.3.1 Dac˘a x 0nu apart ¸ine domeniului de deﬁnit ¸ie, problema derivabilit ˘at ¸ii nu are
sens.
Teorema 2.3.1 Dac˘a funct ¸ia f :E→Reste derivabil ˘aˆın punctul x 0∈E, atunci f este continu ˘a
ˆın punctul x 0.
Demonstratie: Pentru x/negationslash=x0,x∈Eavem egalitatea f(x) = f(x0)+ f(x)−f(x0)
x−x0(x−x0)s ¸i
limx→x0(x−x0)= 0,limx→x0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)( f init )de unde rezult ˘a c ˘af(x)are limit ˘aˆın punctul x0
pe f(x0).
ˆIntr-adev ˘ar,
lim
x→x0f(x)= f(x0)+ lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0·lim
x→x0(x−x0)= f(x0)deci funct ¸ia feste continu ˘aˆın x0.
Observatie 2.3.2 Reciproca acestei teoreme nu este adev ˘arat ˘a. O funct ¸ie continu ˘aˆıntr-un
punct x 0∈E nu este ˆın mod necesar derivabil ˘a pe E. Pentru exempliﬁcare putem considera
funct ¸ia f (x)= x+|x|este continu ˘a pe Rdar nu este derivabil ˘aˆın punctul x 0=0.
Deﬁnitie 2.3.2 Fie funct ¸ia f :E→R,s ¸i x 0∈E . Spunem c ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a la dreapta
ˆın x 0∈E dac ˘a raportul f(x)−f(x0)
x−x0,x>x0,x∈E are limit ˘a la dreapta ﬁnit ˘a, ˆın punctul x 0.
Aceast ˘a limit ˘a se numes ¸te derivata la dreapta a funct ¸iei f ˆın punctul x 0s ¸i se noteaz ˘a f /prime
d(x0):
f/prime
d(x0)= lim
x→x0
x>x0f(x)−f(x0)
x−x0
Deﬁnitie 2.3.3 Fie funct ¸ia f :E→R,s ¸i x 0∈E . Spunem c ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a la st ˆanga
ˆın x 0∈E dac ˘a raportul f(x)−f(x0)
x−x0,x<x0,x∈E are limit ˘a la st ˆanga ﬁnit ˘a, ˆın punctul x 0.
Aceast ˘a limit ˘a se numes ¸te derivata la st ˆanga a funct ¸iei f ˆın punctul x 0s ¸i se noteaz ˘a f /prime
s(x0):
f/prime
s(x0)= lim
x→x0
x<x0f(x)−f(x0)
x−x0

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 29
Observatie 2.3.3 Din deﬁnit ¸iile anterioare rezult ˘a c ˘a o funct ¸ie este derivabil ˘aˆıntr-un punct x 0
dac˘a este derivabil ˘a la dreapta s ¸i la st ˆanga ˆın punctul x 0s ¸i dac ˘a cele dou ˘a derivate, numite
derivate laterale, sunt egale adic ˘a f /prime(x0)= f/prime
d(x0)= f/prime
s(x0)
Reamintim c ˆateva reguli de derivare:
Teorema 2.3.2 Dac˘a funct ¸iile f ,g:E→Rsunt derivabile pe E atunci:
1. funct ¸ia f +g este derivabil ˘a pe E s ¸i are loc [f(x)+ g(x)] /prime=f/prime(x)+ g/prime(x),(∀)x∈E.
Aﬁrmat ¸ia r ˘am ˆane adev ˘arat ˘a s ¸i pentru un num ˘ar ﬁnit de funct ¸ii derivabile.
2. funct ¸ia f −g este derivabil ˘a pe E s ¸i are loc [f(x)−g(x)] /prime=f/prime(x)−g/prime(x),(∀)x∈E.
3. funct ¸ia f ·g este derivabil ˘a pe E s ¸i are loc [f(x)·g(x)] /prime=f/prime(x)g(x)+ f(x)g/prime(x),(∀)x∈E.
4. dac ˘aˆın plus g (x)/negationslash=0,x∈V , funct ¸ia f
geste derivabil ˘a pe E s ¸i are loc /bracketleftBig
f(x)
g(x)/bracketrightBig/prime
=f/prime(x)g(x)−f(x)g/prime(x)
g2(x),(∀)x∈E.
FieEun interval de numere reale s ¸i funct ¸ia f:E→R,cu proprietatea c ˘a funct ¸ia feste
derivabil ˘aˆıntr-un punct x0∈E.
Pentru x/negationslash=x0putem scrie f(x)−f(x0)= f/prime(x0)( x−x0)+ α(x)( x−x0)
Deoarece funct ¸ia feste derivabil ˘aˆın x0∈E, cu derivata f/prime(x0), avem :
lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)+ lim
x→x0α(x)= f/prime(x0)ceea ce implic ˘a faptul c ˘aα(x)→0 dac ˘ax→
x0. Din acest motiv, pentru valori ale lui xsuﬁcient de apropiate de x0, avem f(x)−f(x0)/similarequal
f/prime(x0)( x−x0), s ¸i, dac ˘a not ˘am x−x0=h,de unde x=x0+hatunci putem scrie:
f(x0+h)−f(x0)/similarequalh f /prime(x0), unde x0+h∈E
Deﬁnitie 2.3.4 Fie E interval de numere reale s ¸i funct ¸ia f :E→R.
1. Spunem c ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘aˆın punctul x 0∈E dac ˘a exist ˘a un num ˘ar real A
(care depinde de f s ¸i x 0) s ¸i o funct ¸ie α:E→Rcu proprietatea limx→x0α(x)= 0astfel ˆıncˆat
f(x)−f(x0)= A(x−x0)+ α(x)( x−x0), pentru (∀)x0∈E.
2.Spunem c ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘a pe un interval E dac ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘a
ˆın orice punct x 0din E.
Teorema 2.3.3 Fie E un interval deschis al lui R. Funct ¸ia f :E→R,este diferent ¸iabil ˘aˆıntr-un
punct x 0∈E dac ˘a s ¸i numai dac ˘a f este derivabil ˘aˆın x 0.
Demonstratie: V om presupune c ˘a funct ¸ia feste diferent ¸iabil ˘aˆın punctul x0∈E. Atunci exist ˘a
A∈Rs ¸i o funct ¸ie α:E→Rcu proprietatea lim
x→x0α(x)= 0 astfel ˆıncˆat
f(x)−f(x0)= A(x−x0)+ α(x)( x−x0), pentru (∀)x0∈E.
Lu ˘am x∈E−{x0}s ¸i ˆımp˘art ¸ind ambii membri ai egalit ˘at ¸ii prin x−x0avem
f(x)−f(x0)
x−x0=A+α(x),(∀)x∈I\{x0}.
Cum lim
x→x0α(x)= 0 rezult ˘a c ˘a exist ˘a lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0=A,adic˘afeste derivabil ˘aˆın punctul x0.
Reciproc, s ˘a presupunem c ˘afeste derivabil ˘aˆın punctul x0s ¸i s ˘a ar ˘at ˘am c ˘afeste diferent ¸iabil ˘a
ˆın x0.Din derivabilitatea lui fˆın punctul x0rezult ˘a c ˘a lim x→x0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)∈R.
S˘a consider ˘am urm ˘atoare funct ¸ie:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 30
α(x)= /braceleftBigg
f(x)−f(x0)
x−x0−f/prime(x0),
0,pentru x∈E−{x0},
pentru x=x0.
Se observ ˘a c ˘a lim
x→x0α(x)= lim
x→x0/bracketleftBig
f(x)−f(x0)
x−x0−f/prime(x0)/bracketrightBig
=0=α(x0).
Deci αeste continu ˘aˆın x0s ¸i lim x→x0α(x)= 0.
Din deﬁnit ¸ia lui αrezult ˘a c ˘a pentru x/negationslash=x0are loc
f(x)= f(x0)−f/prime(x0)( x−x0)+ α(x)( x−x0),
egalitate care evident este veriﬁcat ˘a s ¸i pentru x=x0. De aici rezult ˘a c ˘a funct ¸ia feste diferent ¸iabil ˘a
ˆın punctul x0iarA=f/prime(x0).
Observatie 2.3.4 Din teorema anterioar ˘a putem aﬁrma c ˘a not ¸iunile de diferent ¸iabilitate s ¸i de-
rivabilitate ˆın punct sunt echivalente. Remarc ˘am c ˘a, dac ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘aˆın punc-
tul x 0, atunci pentru valori mici ale lui h diferent ¸a f (x0+h)−f(x0)se poate calcula prin
aproximatie prin h f /prime(x0), adic ˘a f (x0+h)−f(x0)/similarequalh f /prime(x0)
Putem da urm ˘atoarea deﬁnit ¸ie:
Deﬁnitie 2.3.5 Fie funct ¸ia f :E→R,(E interval deschis din R) derivabil ˘aˆın punctul x 0∈E.
Funct ¸ia T :R→R, deﬁnit ˘a prin
T(h) = f/prime(x0)h,(∀)h∈Rse numes ¸te diferent ¸iala funct ¸iei f ˆın punctul x 0s ¸i se noteaz ˘a
d f (x0), adic ˘a d f (x0)( h)= f/prime(x0)h,(∀)h∈R
V om nota cu d f (x)diferent ¸iala funct ¸iei fˆın punctul curent x∈E.
Observatie 2.3.5 1. Diferent ¸iala funct ¸iei f ˆın punctul x 0este produsul dintre diferent ¸iala
funct ¸iei ϕ(x)= x s ¸i derivata funct ¸iei f ˆın punctul x 0, ceea ce ne arat ˘a c ˘a putem deﬁni diferent ¸iala
funct ¸iei f ˆın x 0dac˘a s ¸i numai dac ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘aˆın x 0.
2. Diferent ¸iala d f (x0)este funct ¸ie liniar ˘a de h, pentru orice h real, ˆıns˘a pentru h suﬁcient
de mic avem f (x0+h)−f(x0)/similarequalh f /prime(x0), deci pentru h suﬁcient de mic, diferent ¸iala funct ¸iei
aproximeaz ˘a cres ¸terea f (x0+h)−f(x0).
3. Deoarece h este diferent ¸iala funct ¸iei ϕ(x)= x,x∈R, deci h =dx s ¸i vom nota diferent ¸iala
funct ¸iei d f (x0)= f/prime(x0)dx , unde dx ∈Rs ¸i este independent de x. Cu aceast ˘a notat ¸ie, derivata
funct ¸iei ˆıntr-un punct x, ˆın care funct ¸ia f este derivabil ˘a, se scrie d f (x)
dx =f/prime(x)adic˘a, derivata
unei funct ¸ii f ˆın punctul x este egal ˘a cu raportul constant dintre diferent ¸iala funct ¸iei f (x)s ¸i
diferent ¸iala funct ¸iei ϕ(x)= x.
V om aminti c ˆateva reguli de calcul pentru diferent ¸iale:
Teorema 2.3.4 Dac˘a u s ¸i v sunt dou ˘a funct ¸ii derivabile pe E, atunci:
a) d (u+v)=( u/prime+v/prime)dx =du +dv
b) d (u−v)=( u/prime−v/prime)dx =du −dv
c) d (uv )=( u/primev+uv /prime)dx =vdu +udv
d) d /parenleftbigu
v/parenrightbig
=u/primev−uv /prime
v2dx =vdu −udv
v2
e) d f (u(x))= f/prime(u)·u/prime(x)dx =f/prime(u)du.
FieEun interval deschis din Rs ¸i funct ¸ia f:E→R,o funct ¸ie derivabil ˘a pe E. Presupunem
c˘a este deﬁnit ˘aˆın acest caz funct ¸ia f/prime:E→R,numit ˘a derivata funct ¸iei f.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 31
Derivate s ¸i diferent ¸iabile de ordin superior.
Derivate de ordin superior
Fie funct ¸ia f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale.
Deﬁnitie 2.3.6 Spunem c ˘a funct ¸ia f este de dou ˘a ori derivabil ˘aˆın punctul x 0din E dac ˘a funct ¸ia
f este derivabil ˘a pe o vecin ˘atate V a lui x 0s ¸i derivata f /primeeste derivabil ˘aˆın punctul x 0.
V om nota f/prime/prime (x0)saud2f(x0)
dx 2sauD2f(x0)iar funct ¸ia f/prime/prime se va numi derivata a doua (sau
derivata de ordinul doi) a funct ¸iei f ˆın x0:
f/prime/prime (x0)= lim
x→x0,x∈Vf/prime(x)−f/prime(x0)
x−x0(2.1)
ˆIn mod asem ˘an ˘ator se deﬁnes ¸te, prin recurent ¸ ˘a, derivata de un ordin noarecare n∈N:
Deﬁnitie 2.3.7 Spunem c ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a de n ori ˆın punctul x 0dac˘a f este derivabil ˘a
de n −1ori pe o vecin ˘atate V a lui x 0s ¸i derivata f (n−1)este derivabil ˘aˆın punctul x 0.
Not˘am f(n)(x0)saudnf(x0)
dx nsauDnf(x0)s ¸i vom avea f(n)(x0)= lim
x→x0,x∈Vf(n−1)(x)−f(n−1)(x0)
x−x0
Dac˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a de nori pe intervalul E, se deﬁnes ¸te derivata de ordinul na
funct ¸iei f, pe acest interval, ca ﬁind funct ¸ia care asociaz ˘a ﬁec ˘arui punct x∈E, num ˘arul f(n)(x).
Derivata de ordinul na lui fse noteaz ˘af(n)saudnf
dx nsauDnfs ¸i avem:
f(n)=( f(n−1))/prime;dnf
dx n=d
dx (dn−1f
dx n−1)s ¸i Dnf=D(Dn−1f).
Dac˘a funct ¸ia fare derivate de orice ordin pe Ivom spune c ˘afeste indeﬁnit derivabil ˘a pe I.
Diferent ¸iale de ordin superior
Deﬁnitie 2.3.8 Fie funct ¸ia f :E→R,s ¸i x 0∈E. Spunem c ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘a de
dou˘a ori ˆın punctul x 0dac˘a f este derivabil ˘aˆıntr-o vecin ˘atate V a lui x 0s ¸i dac ˘a derivata f /prime
este diferent ¸iabil ˘aˆın punctul x 0.
Aceasta revine la a spune c ˘afeste derivabil ˘a de dou ˘a ori ˆın x0.
Diferent ¸iala de ordinul doi ˆın x0se noteaz ˘ad2f(x0)s ¸i se deﬁnes ¸te prin egalitatea d2f(x0)=
f/prime/prime (x0)dx 2.
Putem deﬁni diferent ¸iala de ordinul n,ˆın punctul x0, a funct ¸iei f.
Deﬁnitie 2.3.9 Fie funct ¸ia f :E→R,s ¸i x 0∈E. Spunem c ˘a funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘a de n
oriˆın punctul x 0dac˘a f este derivabil ˘a de n −1ori ˆıntr-o vecin ˘atate V a lui x 0s ¸i dac ˘a derivata
f(n−1)este diferent ¸iabil ˘aˆın punctul x 0.
Aceasta revine la a spune c ˘afeste derivabil ˘a de noriˆın x0.
Diferent ¸iala de ordinul n,ˆın punctul x0, se noteaz ˘adnf(x0)s ¸i se deﬁnes ¸te prin egalitatea
dnf(x0)= f(n)(x0)dx n.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 32
2.3.1 Teoreme fundamentale ale calculului diferent ¸ial. Funct ¸ii derivabile
pe un interval.
V om reaminti ˆın aceast ˘a sect ¸iune propriet ˘at ¸ile remarcabile pe care le au funct ¸iile derivabile
deﬁnite pe un interval. V om enunt ¸a s ¸i demonstra teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange. Aceste
teoreme le vom folosi ˆın paragrafele urm ˘atoare ˆın demonstrat ¸iile teoremelor
Puncte de extrem ale unei funct ¸ii.
Fie funct ¸ia f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale.
Deﬁnitie 2.3.10 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim (respectiv de minim) local pentru
funct ¸ia f dac ˘a exist ˘a o vecin ˘atate V a lui x 0astfel ˆıncˆat:
f(x)≤f(x0),(∀)x∈V∩E (2.2)
( respectiv f (x0)≤f(x),(∀)x0∈V∩E).
Spunem c ˘a, dac ˘ax0este un punct de maxim (minim)local al lui fatunci f(x0)se numes ¸te
maxim (minim)local al funct ¸iei fiar punctul (x0,f(x0)) de pe graﬁc se numes ¸te punct de
maxim (minim)local al graﬁcului .
Deﬁnitie 2.3.11 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim( respectiv de minim) absolut al
funct ¸iei f dac ˘a
f(x)≤f(x0),(∀)x∈E
(respectiv f (x)≥f(x0),(∀)x∈E).
Observatie 2.3.6 Dac˘a x 0este un punct de maxim (minim)absolut rezult ˘a x 0este s ¸i punct de
maxim (minim)local, reciproc fals.
O funct ¸ie poate avea mai multe puncte de maxim (minim)absolut.
Este posibil ca un minim (relativ) al funct ¸iei s ˘a ﬁe mai mare dec ˆat un maxim (relativ) al s ˘au.
Observ ˘am c ˘a x ∈E este un punct de maxim (minim)absolut pentru f dac ˘a valorile funct ¸iei
pe domeniul de deﬁnit ¸ie sunt cel mult egale (cel put ¸in egale) cu valoarea funct ¸iei ˆın x 0.
Deﬁnitie 2.3.12 Se numes ¸te punct de extrem absolut un punct care este un punct de minim
absolut sau un punct de maxim absolut.
Maximele s ¸i minimele funct ¸iei fse numesc extreme ale funct ¸iei, iar punctele de maxim
sau de minim ale graﬁcului se numec puncte de extrem ale graﬁcului.Trebuie remarcat c ˘a, dac ˘a
funct ¸ia feste continu ˘a pe un interval ˆınchis[a,b]s ¸i x0∈(a,b)este un punct de extrem al
funct ¸iei fatunci x0este s ¸i un punct de extrem local al lui f.
Un rezultat important ˆın studiul extremelor unei funct ¸ii reale este:
Teorema 2.3.5 Teorema lui Fermat
Fie E un interval de numere reale. Dac ˘a funct ¸ia f :E−→Rare derivat ˘aˆıntr-un punct de
extrem x 0din interiorul intervalului E ,atunci derivata sa este nul ˘aˆın acest punct, f /prime(x0)= 0.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 33
Demonstratie: Presupunem x0punct de maxim local. Acest lucru presupune c ˘a exist ˘a o
vecin ˘atate Va lui x0s ¸i ε>0 astfel ˆıncˆat (x0−ε,x0+ε)⊂V∩Epentru care f(x)≤f(x0),(∀)x∈
(x0−ε,x0+ε).
Fiex∈(x0−ε,x0). Atunci f(x)−f(x0)
x−x0≥0 (deoarece f(x)≤f(x0),x<x0). Cum funct ¸ia
feste derivabil ˘aˆın x0, exist ˘a: lim
x/arrownortheastx0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)s ¸i ˆın plus,
f/prime(x0)≥0 (2.3)
Analog, dac ˘a vom considera x∈(x0,x0+ε)pentru caref(x)−f(x0)
x−x0≤0. Rat ¸ion ˆand ca mai
sus deducem
lim
x/arrowsoutheastx0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)≤0 (2.4)
Din (2.3) s ¸i (2.4) rezult ˘af/prime(x0)= 0, ceea ce trebuia demonstrat.
Dac˘ax0este un punct de minim, se procedeaz ˘a la fel, sau se observ ˘a c ˘ax0este un punct de
maxim pentru funct ¸ia h=−f, s ¸i deci, conform primei p ˘art ¸i a demonstrat ¸iei, avem h/prime(x0)= 0,
adic˘af/prime(x0)= 0.
Teorema lui Fermat ne spune c ˘a, geometric, tangenta la G f ˆın punctul (x,f(x0)) este paralel ˘a
cu axa Ox(f/prime(x0)= 0)sau, altfel spus, graﬁcul unei funct ¸ii derivabile are tangent ˘a paralel ˘a c ˘a
axaOx ˆın punctele sale de extrem (de maxim sau de minim) care nu coincid cu extremit ˘at ¸ile
graﬁcului.
Putem desprinde urm ˘atoarele concluzii:
1. Teorema lui Fermat are un caracter local deoarece vizeaz ˘a comportarea funct ¸iei fˆın ve-
cin˘atatea unui punct ﬁxat.
2. Dac ˘ax0∈Enu se aﬂ ˘aˆın interiorul intervalului E, ci la o extremitate a sa, este posibil ca
funct ¸ia s ˘a aib ˘a derivat ˘aˆın x0, dar derivata sa s ˘a nu se anuleze ˆın acest punct.
3. Putem avea x0∈Epunct de extrem dar f/prime(x0)s˘a nu existe. Pentru exempliﬁcare consi-
der˘am funct ¸ia:
f:R−→R,f(x)= |x|
4. Reciproca Teoremei lui Fermat nu este ˆın general adev ˘arat˘a. Derivata unei funct ¸ii se
poate anula ˆıntr-un punct x0din interiorul intervalului, f ˘ar ˘a ca x0s˘a ﬁe punct de extrem.
Consider ˘am f:R−→Rf(x) = x3. Derivata f/prime(x) = 3×2=⇒f/prime(0) = 0 dar x0=0 nu
este punct de extrem pentru f.
Teorema lui Fermat d ˘a condit ¸ii suﬁciente (dar nu s ¸i necesare) pentru ca derivata ˆıntr-un punct
s˘a ﬁe nul ˘a. O alt ˘a teorem ˘a care d ˘a condit ¸ii suﬁciente pentru ca derivata s ˘a se anuleze este:
Teorema 2.3.6 Teorema lui Rolle Fie funct ¸ia f :[a,b]→Runde a,b∈Rs ¸i a <b. Dac ˘a
1) funct ¸ia f este continu ˘a pe intervalul ˆınchis[a,b];
2) funct ¸ia f este derivabil ˘a pe intervalul deschis (a,b);
3) f (a)= f(b)
atunci exist ˘a cel put ¸in un punct c ∈(a,b)astfel ˆıncˆat f /prime(c)= 0.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 34
Demonstratie: Dac˘a funct ¸ia feste constant ˘a pe [a,b],f(x) = α. Avem f/prime(x) = 0 s ¸i deci,
pentru orice punct c∈(a,b)avem f/prime(c)= 0 ceea ce implic ˘a faptul c ˘a teorema este demonstrat ˘a
ˆın acest caz.
Dac˘a funct ¸ia fnu este constant ˘a, deoarece feste continu ˘a pe intervalul ˆınchis s ¸i m ˘arginit
[a,b]rezult ˘a c ˘a este m ˘arginit ˘a s ¸i ˆıs ¸i atinge marginile pe acest interval. Exist ˘a deci dou ˘a puncte
xms ¸i xMˆın intervalul [a,b], astfel ˆıncˆat s ˘a avem f(xm)≤f(x)≤f(xM)pentru orice x∈[a,b].
ˆIn plus, deoarece fnu este constant ˘a, avem f(xm)<f(xM),xms ¸i xMsunt puncte de extrem
ale funct ¸iei fpe intervalul [a,b]. Dac ˘axmeste punct interior intervalului [a,b]atunci, conform
teoremei lui Fermat, avem f/prime(xm)= 0 s ¸i lu ˆandc=xmteorema este demonstrat ˘aˆın acest caz.
Dac˘axm=asauxm=b, atunci f(a)= f(b)= f(xm)<f(xM),deci xMnu poate ﬁ egal nici
cu anici cu bdeci xMse aﬂ ˘aˆın interiorul intervalului [a,b]. Conform teoremei lui Fermat avem
f/prime(xM)= 0 s ¸i lu ˆandc=xMteorema este demonstrat ˘a s ¸i ˆın acest caz.
Prin urmare, ˆın toate cazurile putem g ˘asi un punct c∈(a,b)astfel ˆıncˆat f/prime(c)= 0.
Teorema lui Rolle ne spune c ˘a, geometric, dac ˘a graﬁcul funct ¸iei fadmite tangent ˘aˆın ﬁecare
punct(cu except ¸ia eventual a extremit ˘at ¸ilor) s ¸i dac ˘a dreapta care unes ¸te extremit ˘at ¸ile graﬁcului
este paralel ˘a cu axa Ox atunci exist ˘a cel put ¸in un punct de pe graﬁc(care nu coincide cu extre-
mit˘at ¸ile graﬁcului) ˆın care tangenta este de asemenea paralel ˘a cu axa Ox .
Observatie 2.3.7 Teorema lui Rolle r ˘am ˆane adev ˘arat ˘a s ¸i dac ˘a se presupune c ˘a pe intervalul
deschis(a,b)funct ¸ia f are derivat ˘a ﬁnit ˘a sau inﬁnit ˘a. ˆIntr-adev ˘ar ˆın demonstrat ¸ie s-a folosit
teorema lui Fermat ˆın care nu se presupune c ˘a derivata este ﬁnit ˘a.
Teorema lui Rolle r ˘am ˆane adev ˘arat ˘a, ˆın particular, dac ˘a funct ¸ia derivabil ˘a f se anuleaz ˘aˆın
a s ¸i b, f (a)= 0s ¸i f (b)= 0, adic ˘a dac ˘a a s ¸i b sunt r ˘ad ˘acini ale funct ¸iei. ˆIn acest caz, teorema
se poate enunt ¸a astfel: ˆIntre dou ˘a r ˘ad ˘acini ale funct ¸iei se aﬂ ˘a cel put ¸in o r ˘ad ˘acin˘a a derivatei.
O proprietate dual ˘a este:
ˆIntre dou ˘a r ˘ad ˘acini consecutive ale derivatei se aﬂ ˘a cel mult o r ˘ad ˘acin˘a a funct ¸iei.
V om folosi acum teorema (2.3.6) pentru a enunt ¸a o teorem ˘a important ˘a cu numeroase
aplicat ¸ii ˆın analiz ˘a matematic ˘a:
Teorema 2.3.7 Teorema lui Lagrange Fie f o funct ¸ie deﬁnit ˘a pe un interva I de numere reale
s ¸i a <b dou ˘a puncte din I. Dac ˘a:
1) funct ¸ia f este continu ˘a pe intervalul ˆınchis[a,b];
2) funct ¸ia f este derivabil ˘a pe intervalul deschis (a,b),
atunci exist ˘a cel put ¸in un punct c ∈(a,b), astfel ˆıncˆat s ˘a avem
f(b)−f(a)= f/prime(c)( b−a) (2.5)
Demonstratie: Consider ˘am funct ¸ia h:I→R,h(x) = f(x)−kx . Deoarece funct ¸ia hveriﬁc ˘a
ipotezele teoremei lui Rolle pentru k=f(b)−f(a)
b−aales astfel ˆıncˆat funct ¸ia hs˘a veriﬁce condit ¸ia
h(a) = h(b), obt ¸inem, prin aplicarea teoremei (2.3.6), c ˘a exist ˘a cel put ¸in un punct c∈(a,b)
astfel ˆıncˆat h/prime(c)= 0. Dar pentru x∈(a,b)avem h/prime(x)= f/prime(x)−k,deci h/prime(c)= f/prime(c)−kadic˘a
f/prime(c)= k=f(b)−f(a)
b−a. De aici rezult ˘a c ˘af(b)−f(a)= f/prime(c)( b−a)s ¸i teorema este demonstrat ˘a.
Interpretarea geometric ˘a a teoremei lui Lagrange: Dac ˘a graﬁcul funct ¸iei fadmite tangent ˘a
ˆın ﬁecare punct cu except ¸ia eventual a extremit ˘at ¸ilor, exist ˘a cel put ¸in un punct de pe graﬁc care
nu coincide cu extremit ˘at ¸ile, ˆın care tangenta este paralel ˘a cu coarda care unes ¸te extremit ˘at ¸ile.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 35
Observatie 2.3.8 1. Teorema lui Lagrange cont ¸ine ca un caz particular teorema lui Rolle.
2. Teorema (2.3.7) r ˘am ˆane adev ˘arat ˘a dac ˘a se presupune c ˘a funct ¸ia f are derivat ˘a ﬁnit ˘a sau
sau inﬁnit ˘a pe un interval deschis.
Amintim s ¸i consecint ¸ele teoremei lui Lagrange:
Consecinta 2.3.1 Dac˘a funct ¸ia f are derivata nul ˘a pe un interval I, atunci funct ¸ia f este con-
stant ˘a pe acest interval.
Observatie 2.3.9 Dac˘a funct ¸ia f are derivata nul ˘a pe o mult ¸ime care nu este interval, eventual
este o reuniune de intervale disjuncte, nu rezult ˘a c ˘a f este constant ˘a pe aceast ˘a mult ¸ime.
Consecinta 2.3.2 Dac˘a f s ¸i g sunt dou ˘a funct ¸ii derivabile pe un interval I s ¸i dac ˘a derivatele
lor sunt egale pe intervalul I atunci diferent ¸a lor este constant ˘a pe acest interval.
Observatie 2.3.10 Dac˘a funct ¸iile f s ¸i g au derivate egale pe o mult ¸ime care nu este interval,
nu rezult ˘a c ˘a diferent ¸a lor este constant ˘a pe aceast ˘a mult ¸ime.
Dac˘a funct ¸ia feste derivabil ˘a pe un interval I(sau pe o reuniune de intervale) atunci dac ˘a
feste cresc ˘atoare avem c ˘a derivata sa f/primeeste pozitiv ˘a, deoarece f(x)−f(x0)
x−x0≥0 pentru orice x/negationslash=x0
dinIiar prin trecere la limit ˘a avem: f/prime(x0)= limx→x0f(x)−f(x0)
x−x0≥0 iar dac ˘a f este descrec ˘atoare,
derivata ei este negativ ˘a deoarece avem f(x)−f(x0)
x−x0≤0 pentru orice x/negationslash=x0dinIdeoarece iar prin
trecere la limit ˘a avem: f/prime(x0)≤0 .
Observatie 2.3.11 Dac˘a funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare pe I nu rezult ˘a c ˘a derivata f /primeeste
strict pozitiv ˘a. De asemenea dac ˘a f este strict descresc ˘atoare pe I, nu rezult ˘a c ˘a f /primeeste strict
negativ ˘a.
Reciproc ˆıns˘a avem:
Consecinta 2.3.3 Fie f o funct ¸ie derivabil ˘a pe un interval I. Dac ˘a f /primeeste strict pozitiv ˘a pe I
atunci funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare pe I. Dac ˘a f /primeeste strict negativ ˘a pe I atunci funct ¸ia f
este strict descresc ˘atoare pe I.
Demonstratie: Fiex1,x2dou˘a puncte oarecare din I,x1,< x2. Aplic ˘am teorema (2.3.7) funct ¸iei
fpe intervalul [x1,x2]deducem c ˘a exist ˘a un punct c∈(x1,x2)astfel ˆıncˆat f(x2)−f(x1) =
(x2−x1)f/prime(c). Din ipotez ˘a avem c ˘ax1−x2>0 .
Dac˘af/primeeste strict pozitiv ˘a pe I, avem f/prime(c)>0 deci (x2−x1)f/prime(c)>0, ceea ce implic ˘a
f(x2)−f(x1)>0 adic ˘a funct ¸ia feste strict cresc ˘atoare pe I.
Dac˘af/primeeste strict negativ ˘a pe I, avem f/prime(c)<0 deci (x2−x1)f/prime(c)<0, ceea ce implic ˘a
f(x2)−f(x1)<0 adic ˘a funct ¸ia feste strict descresc ˘atoare pe I.
Observatie 2.3.12 1. Dac ˘a funct ¸ia f /primeeste pozitiv ˘a pe I atunci f este cresc ˘atoare pe I iar
dac˘a f /primeeste negativ ˘a pe I atunci f este descresc ˘atoare pe I.
2. Dac ˘a derivata f /primenu se anuleaz ˘a pe I atunci f este strict monoton ˘a pe I.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 36
3. Dac ˘a funct ¸ia este deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime care nu este interval atunci consecint ¸a 3 s ¸i
observat ¸iile anterioare nu mai sunt, ˆın general, adev ˘arate.
Fie acum funct ¸ia fdeﬁnit ˘a pe un interval I, s ¸i x0∈I. Avem
Consecinta 2.3.4 Dac˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a pe I −{x0}s ¸i dac ˘a derivata sa f /primeare li-
mit˘a(ﬁnit ˘a sau inﬁnit ˘a) ˆın punctul x 0, atunci f /prime(x0)exist ˘a s ¸i f /prime(x0)= limx→x0f/prime(x).
O alt ˘a teorem ˘a a c ˘arei demonstrat ¸ie foloses ¸te teorema lui Rolle este teorema lui Cauchy, sau
a doua teorem ˘a a cres ¸terilor ﬁnite.
Teorema 2.3.8 Teorema lui Cauchy Fie I un interval deschis al lui Rs ¸i funct ¸iile f ,g:E→R
iar a,b∈I sunt dou ˘a puncte din interval cu proprietatea a <b. Dac ˘a funct ¸iile f ,g veriﬁc ˘a
urm˘atoarele condit ¸ii:
1) f s ¸i g sunt continue pe intervalul ˆınchis[a,b]
2) f s ¸i g sunt derivabile pe intervalul deschis (a,b);
3) g /prime(x)/negationslash=0pentru orice x ∈(a,b);
atunci g(a)/negationslash=g(b)s ¸i exist ˘a un punct c ∈(a,b)astfel ˆıncˆat f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f/prime(c)
g/prime(c).
Demonstratie:
Dac˘a am avea g(a)= g(b)atunci funct ¸ia gar veriﬁca ipotezele teoremei (2.3.6) s ¸i deci ar
exista un punct castfel ˆıncˆat g/prime(c)= 0, ceea ce contrazice ipoteza 3.
V om demonstra acum partea a doua a teoremei. Pentru aceasta consider ˘am funct ¸ia ajut ˘atoare
h:I→R,h(x)= f(x)−kg (x).Pentru k=f(b)−f(a)
g(b)−g(a),funct ¸ia hveriﬁc ˘a condit ¸iile teoremei lui
Rolle (2.3.6) s ¸i deci exist ˘a un punct c∈(a,b)astfel ˆıncˆat h/prime(c)= 0.Dar pentru x∈(a,b)avem
h/prime(c)= f/prime(c)−kg /prime(c)= 0 de unde k=f/prime(c)
g/prime(c)s ¸i deci f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f/prime(c)
g/prime(c).
Corolar 2.3.1 Fie I un interval deschis al lui R, x 0un punct din I s ¸i funct ¸iile f ,g:I→R. Dac ˘a
funct ¸iile f ,g veriﬁc ˘a urm ˘atoarele condit ¸ii:
1) f (x0)= g(x0)= 0;
2) f s ¸i g sunt derivabile pe I;
atunci pentru orice punct x ∈I exist ˘a un punct c cuprins ˆıntre a s ¸i x astfel ˆıncˆat f(x)
g(x)=f/prime(c)
g/prime(c).
Observatie 2.3.13 Teorema lui Lagrange este un caz particular al teoremei lui Cauchy s ¸i se
obt ¸ine din teorema lui Cauchy pentru g (x)= x.
2.3.2 Formula lui Taylor
Fie funct ¸ia f:E→R,derivabil ˘a de noriˆıntr-un punct x0∈E. Aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a primele
n−1 derivate exist ˘a nu numai ˆın x0ci pe o ˆıntreag ˘a vecin ˘atate a lui x0. Presupunem c ˘a primele
n—1 derivate exist ˘a pe ˆıntreg intervalul E.
Pentru ﬁecare x∈Edeﬁnim polinomul
Tn(x)= f(x0)+ x−x0
1f/prime(x0)+ (x−x0)2
2! f/prime/prime (x0)+ … +(x−x0)n
n!f(n)(x0) (2.6)

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 37
Polinomul Tn, deﬁnit pe E, se numes ¸te polinomul lui Taylor de gradul n, atas ¸at funct ¸iei f, ˆın
punctul x0.
Dac˘a pentru ﬁecare x∈Enot˘am Rn(x) = f(x)−Tn(x)atunci f(x) = Tn(x)+ Rn(x), adic ˘a
are loc:
f(x)= f(x0)+ x−x0
1f/prime(x0)+ (x−x0)2
2! f/prime/prime (x0)+ … +(x−x0)n
n!f(n)(x0)+ Rn(x)
(2.7)
pentru orice x∈E. Aceast ˘a egalitate, valabil ˘a pentru orice x∈E, se numes ¸te f ormula lui
Taylor de ordinul n , corespunz ˘atoare funct ¸iei f,ˆın punctul x0. Funct ¸ia Rndeﬁnit ˘a pe Ese
numes ¸te restul de ordinul nal formulei lui Taylor.
Observ ˘am c ˘a, comportarea lui Rnne va ar ˘ataˆın ce m ˘asur˘a polinomul Tnaproximeaz ˘a funct ¸ia
f.
Pentru a descrie forma restului Rnavem:
Teorema 2.3.9 Formula lui Taylor cu restul lui Peano Fie E un interval deschis al lui Rs ¸i
f:E→Ro funct ¸ie de n ori derivabil ˘aˆıntr-un punct x 0∈E. Atunci exist ˘a o funct ¸ie α:E→R,
continu ˘aˆın x 0cu α(x0)= 0astfel ˆıncˆat
f(x)= f(x0)+ x−x0
1! f/prime(x0)+ (x−x0)2
2! f/prime/prime (x0)+ … +(x−x0)n
n!f(n)(x0)+ α(x)(x−x0)n
n!,(∀)x∈E
(2.8)
Demonstratie: V om ar ˘ata c ˘a, ˆın formula 2.7, Rn(x) = α(x)( x−x0)n
n!,(∀)x∈E, unde αare pro-
priet ˘at ¸ile ment ¸ionate. V om deﬁni urm ˘atoarea funct ¸ie
α(x)= /braceleftBigg
n!f(x)−Tn(x)
(x−x0)n,pentru x∈E−{x0}
0,pentru x=x0(2.9)
unde Tneste polinomul Taylor de ordin n, atas ¸at funct ¸iei fˆın punctul x0.
Observ ˘am c ˘a, ˆın calculul lim x→x0α(x)suntem ˆın cazul de nedeterminare 0
0. V om considera
funct ¸iile auxiliare F(x)= f(x)−Tn(x),(∀)x∈Es ¸i G(x)=( x−x0)n,(∀)x∈E.
Observ ˘am c ˘a funct ¸iile Fs ¸i Gsunt derivabile de noriˆın x0s ¸i T(k)
n(x0) = f(k)(x0),(∀)k=
1,2,…, nde unde
F(k)(x0)= 0,(∀)k=1,2,…, ns ¸i G(k)(x0)= 0,(∀)k=1,2,…, n−1 s ¸i G(k)(x0)= n!.
Folosim urm ˘atoarea lema:
Lema 2.3.1 Teorema lui Cauchy ˆın forma generalizat ˘aFie E un interval deschis al lui R, x 0
un punct din E s ¸i funct ¸iile f ,g:E→R. Dac ˘a funct ¸iile f ,g veriﬁc ˘a urm ˘atoarele condit ¸ii:
1) f (x0)= g(x0)= 0;
2) f s ¸i g sunt derivabile de n ori ˆın x 0;
3) f (k)(x)= g(k)(x)= 0pentru k=1,2,…, n−1;
4) g (n)(x0)/negationslash=0,
atunci exist ˘alim
x→x0f(x)
g(x)=f(n)(x0)
g(n)(x0).

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 38
Aplic ˆand teorema lui Cauchy ˆın forma generalizat ˘a (2.3.1) obt ¸inem c ˘a
limx→x0α(x)= n!F(n)(x0)
G(n)(x0)=n!0
n!=0.
Deci funct ¸ia αete continu ˘aˆın punctul x0s ¸i, din (2.9) obt ¸inem formula c ˘autat ˘a.
Observatie 2.3.14 Dac˘aˆın formula (2.8) lu ˘am n =1, obt ¸inem condit ¸ia de diferent ¸iabilitate a
funct ¸iei f ˆın punctul x 0.
Teorema 2.3.10 Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange Fie E un interval deschis al lui R.
Dac˘a f :E→Reste o funct ¸ie de n +1ori derivabil ˘a pe E atunci pentru orice dou ˘a puncte
distincte x ,x0∈E exist ˘a un punct ξ∈(x,x0)(sau ξ∈(x0,x)) astfel ˆıncˆat
f(x)= f(x0)+ x−x0
1! f/prime(x0)+ (x−x0)2
2! f/prime/prime (x0)+ … +(x−x0)n
n!f(n)(x0)+ (x−x0)n+1
(n+1)!f(n+1)(ξ)
(2.10)
Demonstratie: S˘a c ˘aut˘am pe Rnˆın formula (2.7) de forma Rn(x)= A(x−x0)n+1,(∀)x∈E,
unde Aeste un num ˘ar real. V om considera urm ˘atoarea funct ¸ie auxiliar ˘a
ϕ(t)= f(t)+ x−t
1! f/prime(t)+ (x−t)2
2! f/prime/prime (t)+ … +(x−t)n
n!f(n)(t)+ A(x−t)n+1,(∀)t∈E.
Deoarece funct ¸ia ϕeste derivabil ˘a pe E,ϕ(x)= f(x),ϕ(x0)= f(x), putem aplica teorema
lui Rolle (2.3.6) funct ¸iei ϕpe intervalul [x,x0](sau[x0,x]). Exist ˘a deci, un punct ξ∈(x,x0)(sau
ξ∈(x0,x)) astfel ˆıncˆat ϕ/prime(x)= 0. Dar
ϕ/prime(t)= f/prime(t)+ (x−t)
1! f/prime/prime (t)−f/prime(t)
1! +(x−t)2
2! f/prime/prime/prime(t)−2(x−t)
2! f/prime/prime (t)+ …
+(x−t)n
n!f(n+1)(t)−n(x−t)n−1
n!f(n)(t)+ A(n+1)( x−t)n,(∀)t∈E
de unde
ϕ’(t)= (x−t)n
n!f(n+1)(t)−A(n+1)( x−t)n,(∀)t∈E
De aici g ˘asim
ϕ’(ξ)= 0 s ¸i deci (x−ξ)n
n!f(n+1)(ξ)= A(n+1)( x−ξ)n.
deoarece ξ/negationslash=xobt ¸inem A=f(n+1)(ξ)
(n+1)!, formul ˘a care, ˆınlocuit ˘aˆın Rn(x)= A(x−x0)n+1duce
la formula Rn(x)= (x−x0)n+1
(n+1)!f(n+1)(ξ),(∀)x∈E.
ˆInlocuind acum Rnˆın formula (2.7) obt ¸inem formula (2.10).
1
V om aminti acum s ¸i formula lui Taylor pentru funct ¸ii de dou ˘a variabile.
Pentru aceasta, s ˘a consider ˘am f(x,y)o funct ¸ie de dou ˘a variabile deﬁnit ˘a pe E⊂R2, deri-
vabil ˘a de n+1 ori pe E, cu toate derivatele mixte egale(aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a nu are important ¸ ˘a
ordinea ˆın care se deriveaz ˘a) s ¸i (a,b)un punct interior lui E.
V om considera funct ¸ia Fcare depinde de t:F(t)= f(a+( x−a)t,b+( y−b)t)unde(a,b)∈
E,(x,y)∈Es ¸i t∈[0,1]. Observ ˘am c ˘a, pentru t=0,F(0) = f(a,b)iar pentru t=1,F(1) =
f(x,y). Deoarece funct ¸ia fare derivate p ˆan ˘a la ordinul n+1 pe Erezult ˘a c ˘a s ¸i funct ¸ia F(t)

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 39
este derivabil ˘a p ˆan ˘a la ordinul n+1 pe intervalul [0,1]s ¸i deci putem aplica formula lui Taylor,
stabilit ˘a pentru funct ¸iile de o variabil ˘a s ¸i funct ¸iei F(t). Avem:
F(1)= F(0)+ 1
1! F/prime(0)+ 1
2! F/prime/prime (0)+ … +1
n!F(n)(0)+ Rncu Rn=1
(n+1)!F(n+1)(θ),0<θ<1.
Anterior s-a v ˘azut c ˘aF(0) = f(a,b)s ¸i F(1) = f(x,y). V om calcula derivatele de ordin
superior ale funct ¸iei F(t)= f(x(t),y(t)) ,x(t)= a+( x−a)t,y(t)= b+( y−b)t. Avem
dmF(t)= /parenleftBig
∂
∂xdx +∂
∂ydy /parenrightBigm
f(x(t),y(t))= /parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBigm
f(x(t),y(t)) dt m
saudmF(t)
dt m=/parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBigm
f(x(t),y(t)) astfel ˆıncˆat pentru t=0: F(m)(0) =
/parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBigm
f(a,b).
Cu acest rezultat, formula lui Taylor pentru funct ¸ia f(x,y)ˆın punctul (a,b)este
f(x,y)= f(a,b)+ 1
1! /parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBig
f(a,b)+ 1
2! /parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBig2
f(a,b)+
… +1
n!/parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBign
f(a,b)+ Rn,
unde Rn=1
(n+1)!/parenleftBig
(x−a)∂
∂x+( y−b)∂
∂y/parenrightBign+1
f(a+θ(x−a),b+θ(y−b)) ,0<θ<1
Observatie 2.3.15 Deoarece funct ¸ia f are derivate de ordin n +1pe E rezult ˘a c ˘a pe o ve-
cin˘atate V⊂E a lui (a,b)∈E toate derivatele part ¸iale ale lui f de ordinul n +1sunt m ˘arginite.
Dac˘a punem x −a=ρcost,y−b=ρsint,ρ=/radicalbig
(x−a)2+( y−b)2exist ˘a un num ˘ar M >0,
astfel ˆıncˆat |Rn|<ρn+1·M, pentru (x,y)∈V , de unde rezult ˘a c ˘alim
ρ→0|Rn|
ρn=0.
Fie acum f(x1,x2,…, xn)o funct ¸ie de pvariabile deﬁnit ˘a pe E⊂Rp, derivabil ˘a de n+1 ori
pe E, cu toate derivatele mixte egale (aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a nu are important ¸ ˘a ordinea ˆın care se
deriveaz ˘a) s ¸i a=( a1,a2,…, ap)un punct interior lui E.ˆIn mod asem ˘an ˘ator ca la funct ¸ii de dou ˘a
variabile se demonstreaz ˘a formula:
f(x1,x2,…, xn)= f(a1,a2,…, ap)+
n
+∑
m=11
m!/bracketleftbigg
(x1−a1)∂
∂x1+… +( xp−ap)∂
∂xp/bracketrightbigg(m)
·f(a1,a2,…, ap)+ Rn
unde
Rn=1
(n+1)!/bracketleftbigg
(x1−a1)∂
∂x1+… +( xp−ap)∂
∂xp/bracketrightbigg(n+1)
·
·f(a1+θ(x1−a1),a2+θ(x2−a2),…, ap+θ(xp−ap))
numit ˘a formula lui Taylor pentru funct ¸ii cu pvariabile.
2.4 Extremele funct ¸iilor reale de o variabil ˘a real ˘a
Ne propunem s ˘a determin ˘am o metod ˘a de rezolvare a urm ˘atoarelor probleme
inf
x∈Ef(x) (2.11)

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 40
sup
x∈Ef(x) (2.12)
unde f este o funct ¸ie f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale.
Fie funct ¸ia f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale. Relu ˘am c ˆateva
not ¸iuni prezentate ˆın sect ¸iunea anterioar ˘a:
Deﬁnitie 2.4.1 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim (respectiv de minim) local pentru
funct ¸ia f dac ˘a exist ˘a V ∈V(x0)astfel ˆıncˆat:
f(x)≤f(x0)∀x∈V∩E (2.13)
( respectiv f (x0)≤f(x)∀x0∈V∩E).
Spunem c ˘a, dac ˘ax0este un punct de maxim (minim)local al lui fatunci f(x0)se numes ¸te
maxim (minim)local al lui fiar punctul (x0,f(x0)) de pe graﬁc se numeste punct de maxim (minim)
local al graﬁcului .
Deﬁnitie 2.4.2 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim( respectiv de minim) absolut al
funct ¸iei f dac ˘a
f(x)≤f(x0)∀x∈E
(respectiv f (x)≥f(x0)∀x∈E).
Observatie 2.4.1 Dac˘a x 0este un punct de maxim (minim)absolut rezult ˘a x 0este s ¸i punct de
maxim (minim)local, reciproc fals.
O funct ¸ie poate avea mai multe puncte de maxim (minim)absolut.
Observ ˘am c ˘a x ∈E este un punct de maxim (minim)absolut pentru f dac ˘a valorile funct ¸iei
pe domeniul de deﬁnit ¸ie sunt cel mult egale (cel put ¸in egale) cu valoarea funct ¸iei ˆın x 0.
Deﬁnitie 2.4.3 Se numes ¸te punct de extrem absolut un punct care este un punct de minim ab-
solut sau un punct de maxim absolut.
Trebuie remarcat c ˘a, dac ˘a funct ¸ia feste continu ˘a pe un interval ˆınchis[a,b]s ¸i x0∈(a,b)
este un punct de extrem al funct ¸iei fatunci x0este s ¸i un punct de extrem local al lui f.
Un rezultat important ˆın studiul extremelor unei funct ¸ii reale este:
Teorema 2.4.1 Teorema lui Fermat
Fie E un interval de numere reale, o funct ¸ie f :E−→Rs ¸i x 0punct de extrem ˆın interiorul
intervalului. Dac ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘aˆın x 0atunci f/prime(x0)= 0.
Deﬁnitie 2.4.4 Fie funct ¸ia f :E−→R, funct ¸ie derivabil ˘a pe intervalul deschis E. Un punct
x0se numes ¸te punct critic al lui f pe E dac ˘a f /prime(x0) = 0.Valoarea f (x0)se numes ¸te valoare
stat ¸ionar ˘a iar punctul (x0,f(x0)) se numes ¸te punct stat ¸ionar.
Observatie 2.4.2 1. Dac ˘a punctul de extrem x 0nu se aﬂ ˘aˆın interiorul intervalului E, ci la
o extremitate a sa, este posibil ca funct ¸ia s ˘a aib ˘a derivat ˘aˆın x 0, dar derivata sa s ˘a nu se
anuleze ˆın acest punct.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 41
2. Funct ¸ia f poate avea un extrem ˆıntr-un punct x 0f˘ar ˘a a avea derivat ˘aˆın acest punct.
Valorile extreme ale unei funct ¸ii f :[a,b]−→R, f derivabil ˘a, se pot obt ¸ine la capetele
intervalului sau ˆın puncte critice din interior.
Pentru a stabili natura punctelor stat ¸ionare folosim semnul derivatei la st ˆanga s ¸i la dreapta
punctului. Dac ˘a nu cunoas ¸tem semnul derivatei ˆıntˆai ˆın punctele din vecin ˘atatea lui x0vom
folosi derivatele de ordin superior ale funct ¸iei ˆın x0pentru a putea stabili dac ˘ax0este punct de
extrem.
Teorema lui Fermat ne d ˘a condit ¸ii necesare de extrem. Condit ¸ii suﬁciente de extrem obt ¸inem
din urm ˘atoarea teorem ˘a:
Teorema 2.4.2 Fie f o funct ¸ie de n-ori derivabil ˘a, ˆıntr-un punct x 0∈E,n≥2astfel ˆıncˆat:
f/prime(x0)= 0,f/prime/prime (x0)= 0,…, f(n−1)(x0)= 0,f(n)(x0)/negationslash=0
atunci au loc:
a) Dac ˘a n este num ˘ar par, atunci x 0este punct de extrem al lui f s ¸i anume:
dac˘a f (n)(x0)<0atunci x 0este punct de maxim
dac˘a f (n)(x0)>0atunci x 0este punct de minim.
b) Dac ˘a n este impar s ¸i x 0este un punct este punct interior intervalului E, atunci x 0nu este
punct de extrem al funct ¸iei f .
Demonstratie: Din formula lui Taylor de ordinul npentru funct ¸ia fˆın punctul x0avem:
f(x)= f(x0)+ (x−x0)n
n!fn(x0)+ (x−x0)n
n!α(x) (2.14)
unde lim
x→x0α(x)= 0 s ¸i α(x0)= 0. De aici rezult ˘a c ˘a
f(x)−f(x0)=+ (x−x0)n
n!/bracketleftBig
f(n)(x0)+ α(x)/bracketrightBig
(2.15)
Deoarecelim
x→x0α(x)= 0, atunci rezult ˘a
lim
x→x0/bracketleftBig
f(n)(x0)+ α(x)/bracketrightBig
=f(n)(x0) (2.16)
Dac˘af(n)(x0)>0 atunci exist ˘aV∈ϑ(x0)astfel ˆıncˆat
f(n)(x0)+ α(x)>0,(∀)x∈V (2.17)
Dac˘af(n)(x0)<0 atunci exist ˘aV∈ϑ(x0)astfel ˆıncˆat
f(n)(x0)+ α(x)<0,(∀)x∈V (2.18)
Avem urm˘atoarele situat ¸ii:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 42
(1)Dac˘aneste num ˘ar par
(x−x0)n>0,(∀)x∈E
Dac˘af(n)(x0)>0=⇒f(x)−f(x0)/greaterorequalslant0,(∀)x∈Vatunci x0este punct de mi-
nim.
Dac˘af(n)(x0)<0=⇒f(x)−f(x0)/lessorequalslant0,(∀)x∈Vatunci x0este punct de ma-
xim.
(2)Dac˘aneste num ˘ar impar s ¸i x0este ˆın interiorul intervalului atunci avem
/braceleftBigg
(x−x0)n>0 dac ˘a x <x0
(x−x0)n<0 dac ˘a x >x0(2.19)
De aici rezult ˘a c ˘a, dac ˘af(n)(x0)>0, ceea ce implic ˘a
f(x)−f(x0)/greaterorequalslant0,x<x0,(∀)x∈V
f(x)−f(x0)/greaterorequalslant0,x>x0,(∀)x∈V
rezult ˘a c ˘ax0nu este punct de extrem.
Analog studiem cazul ˆın care f(n)(x0)<0.
Putem particulariza teorema anterioar ˘a stabilind urm ˘atoarele rezultate:
Teorema 2.4.3 Dac˘a funct ¸ia f este de dou ˘a ori derivabil ˘aˆın punctul x 0∈E astfel ˆıncˆat f /prime(x)=
0s ¸i f /prime/prime (x)= 0atunci:
• dac ˘a f /prime/prime (x)<0, rezult ˘a x 0este punct de maxim,
• dac ˘a f /prime/prime (x)>0, rezult ˘a x 0este punct de minim.
Teorema 2.4.4 Dac˘a funct ¸ia f este de dou ˘a ori derivabil ˘aˆın punctul x 0exterior lui E s ¸i funct ¸ia
f are un minim ˆın punctul x 0atunci f/prime/prime (x)/greaterorequalslant0iar dac ˘a f are ˆın punctul x 0un maxim atunci
f/prime/prime (x)/lessorequalslant0.
Demonstratie: Presupunem prin reducere la absurd c ˘ax0este un punct de minim. Va rezulta,
din teorema lui Fermat f/prime(x0)= 0. Dac ˘af/prime/prime (x0)<0, atunci din teorema anterioar ˘a va rezulta c ˘a
x0este un punct de maxim ceea ce este o contradict ¸ie. Presupunerea f ˘acut˘a este, deci, fals ˘a s ¸i
deci f”(x0)<0.
Teorema 2.4.5 Dac˘a funct ¸ia f este de trei ori derivabil ˘aˆın punctul x 0interior lui E s ¸i dac ˘a
f/prime(x0)= 0,f/prime/prime (x0)= 0s ¸i f /prime/prime/prime(x0)/negationslash=0atunci x 0nu este un punct de extrem.
Modalitate de rezolvare a problemelor de extrem ale unei funct ¸ii :
S˘a presupunem acum c ˘a avem de rezolvat o problem ˘a de tipul
inf
x∈Ef(x), (2.20)
sau
sup
x∈Ef(x). (2.21)
Putem rezolva problema folosind urm ˘atorul algoritm:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 43
1. Determin ˘am mult ¸imea E/prime⊂Epe care funct ¸ia feste derivabil ˘a s ¸i calcul ˘am derivata
funct ¸iei fpe mult ¸imea E/prime.
2. Rezolv ˘am ecuat ¸ia f/prime(x)= 0 pentru x∈E/prime
3. Descompunem mult ¸imea Eˆın intervale distincte astfel ˆıncˆat pe nici un astfel de inter-
val funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a. Astfel de intervale se obt ¸in din intervalele mult ¸imii E
ˆımp˘art ¸indu-le prin punctele ˆın care fnu este derivabil ˘a s ¸i prin punctele ˆın care derivata se
anuleaz ˘a. Din acest punct de vedere putem distinge dou ˘a metode de rezolvare a proble-
mei:
Metoda 2.4.1 Determin ˘am semnul funct ¸iei f /primepe ﬁecare interval din cele stabilite anterior cal-
culˆand valoarea derivatei ˆıntr-un punct oarecare din interval. ˆIn funct ¸ie de semnul derivatei de-
termin ˘am intervalele de monotonie ale funct ¸iei f s ¸i imediat apoi punctele de extrem folosindu-
ne de urm ˘atoarea regul ˘a:
a) Fie x 0un punct interior mult ¸imii E ˆın care f este continu ˘a si ﬁe I un interval din E care-l
cont ¸ine pe x 0s ¸i pe care derivata nu se mai anuleaz ˘a, cu except ¸ia eventual a lui x 0.
Atunci:
• dac ˘a pe I, funct ¸ia f /primeare semnul ”+”st ˆanga s ¸i semnul ”−”la dreapta lui x 0atunci x 0
este un punct de maxim al funct ¸iei f ;
• dac ˘a pe I, funct ¸ia f /primeare semnul ”−”st ˆanga s ¸i semnul ”+”la dreapta lui x 0atunci x 0
este un punct de minim al funct ¸iei f ;
• dac ˘a f /primeare acelas ¸i semn de o parte s ¸i de alta a lui x 0atunci x 0nu este punct de extrem.
b) Dac˘a x 0∈E este extremitatea st ˆang˘a a unui interval I de tipul anterior (I ⊂E), f /primenu se
anuleaz ˘a pe I, f continu ˘aˆın x 0s ¸i x 0nu este extremitatea dreapt ˘a a nici unui interval din E
atunci:
• dac ˘a pe I (la dreapta lui x 0) f /primeare semnul ”−”atunci x 0este punct de maxim iar
• dac ˘a pe I (la dreapta lui x 0) f /primeare semnul ”+”atunci x 0este punct de minim.
c) Dac˘a x 0∈E este extremitatea dreapt ˘a a unui interval I ( f /primenu se anuleaz ˘a pe I, f continu ˘a
ˆın x 0s ¸i x 0nu este extremitatea st ˆang˘a a nici unui interval din E ) atunci
• dac ˘a pe I (la st ˆanga lui x 0) f /primeare semnul ”−”atunci x 0este punct de minim iar
• dac ˘a pe I (la st ˆanga lui x 0) f /primeare semnul ”+”atunci x 0este punct de maxim.
Metoda 2.4.2 Putem ˆınlocui studiul semnului derivatei ˆın jurul punctului studiat cu studiul
semnelor derivatei a doua ˆın acest punct as ¸a cum s-a vazut din teorema 2.4.3 Obt ¸imem urm ˘atoarea
regul ˘a pentru cercetarea punctului stat ¸ionar x 0. Pentru a stabili extremele funct ¸iei f (x)ˆın punc-
tul x 0ˆınlocuim x 0ˆın expresia derivatei a doua f /prime/prime (x)s ¸i avem
• dac ˘a f /prime/prime (x)>0atunci funct ¸ia f va avea un minim
• dac ˘a f /prime/prime (x)<0atunci funct ¸ia f va avea un maxim.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 44
Aceast ˘a regul ˘a nu se poate aplica dac ˘a nu exist ˘a prima derivat ˘a ﬁnit ˘a sau f /prime/prime (x)= 0.
ˆIn acest ultim caz se foloses ¸te rezultatul obt ¸inut din teorema 2.4.2.
Dac˘a prima din derivatele care nu se anuleaz ˘aˆın x 0este de ordin impar atunci funct ¸ia nu
admite ˆın punctul x 0punct de maxim sau de minim.
Dac˘a aceast ˘a derivat ˘a este de ordin par atunci f admite ˆın x 0un maxim sau un minim ˆın
funct ¸ie de semnul acestei derivate.
Observatie 2.4.3 Exist ˘a funct ¸ii care pot avea intr-o vecinate a lui x derivat ˘a de orice ordin s ¸i
f(n)(x0)= 0,(∀)n∈N.
Exemplu: funct ¸ia lui Cauchy:
f(x)= /braceleftBigg
e−1
x2,x/negationslash=0
0,x=0(2.22)
Pentru x/negationslash=0 se poate demonstra prin induct ¸ie c ˘a
f(n)(x)= Pn/parenleftbig1
x/parenrightbig
e−1
x2,(∀)n∈N (2.23)
unde Pn(x)este un polinom cu coeﬁcient ¸i ˆıntregi de grad 3 n.
f(n)(x)−f(n)(0)
x=1
xPn(1
x)
e1
x2−→0
dac˘ax−→0 atunci f(n+1)(0)= 0 s ¸i de aici rezult ˘a concluzia dorit ˘a.
Prin urmare, cu toate c ˘aˆın x=0 funct ¸ia fare un minim, stabilirea acestui rezultat cu ajutorul
derivatelor sale succesive nu este posibil ˘a.
Pentru ﬁnalizarea problemelor (2.20) s ¸i (2.21) compar ˘am ˆıntre ele toate valorile maxime
(minime) ale funct ¸iei fˆımpreun ˘a cu valorile funct ¸iei la capetele intevalului Is ¸i va rezulta c ˘a cel
mai mare (cel mai mic ) dintre aceste numere reprezent ˘a valoarea c ˘autat ˘a.
V om exempliﬁca rezultatele anterioare ˆın problemele considerate ˆın Capitolul I , dar s ¸i ˆın
alte probleme semniﬁcative ˆın aplicat ¸iile practice din Capitolul IV .
2.5 Extremele unei funct ¸ii de dou ˘a variabile.
Ne propunem s ˘a determin ˘am o metod ˘a de rezolvare a urm ˘atoarelor probleme
inf
x∈Ef(x,y) (2.24)
sup
x∈Ef(x,y) (2.25)
unde f este o funct ¸ie f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale.
V om reaminti c ˆateva not ¸iuni teoretice la care vom face referire ˆın demonstrat ¸iile rezultatelor
din aceast ˘a sect ¸iune:
Deﬁnitie 2.5.1 Fie f (x,y)o funct ¸ie real ˘a de dou ˘a variabile reale deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E ⊂R2
s ¸i (x0,y0)un punct interior al lui E .Funct ¸ia f (x,y)este derivabil ˘a part ¸ial ˆın punctul (x0,y0)ˆın
raport cu variabila x dac ˘alim
x→x0f(x,y0)−f(x0,y0)
x−x0exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 45
Not˘am lim x→x0f(x,y0)−f(x0,y0)
x−x0cu f/prime
x(x0,y0)sau∂f(x0,y0)
∂xsauDxf(x0,y0)s ¸i o vom numi derivata
part ¸ial ˘a a funct ¸iei f(x,y)ˆın raport cu x.
Deﬁnitie 2.5.2 Fie f (x,y)o funct ¸ie real ˘a de dou ˘a variabile reale deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E ⊂R2
s ¸i (x0,y0)un punct interior al lui E .Funct ¸ia f (x,y)este derivabil ˘a part ¸ial ˆın punctul (x0,y0)ˆın
raport cu variabila y dac ˘alimy→y0f(x0,y)−f(x0,y0)
y−y0exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a.
Not˘am lim
y→y0f(x0,y)−f(x0,y0)
y−y0cu f/prime
y(x0,y0)sau ∂f(x0,y0)
∂ysau Dyf(x0,y0)o vom numi derivata
part ¸ial ˘a a funct ¸iei f(x,y)ˆın raport cu y.
Dac˘af(x,y)este o funct ¸ie real ˘a de dou ˘a variabile reale deﬁnit ˘a pe E⊂R2derivabil ˘a part ¸ial
ˆın raport cu ﬁecare variabil ˘ax,yˆın punctele interioare ale lui Es ¸i dac ˘a derivatele part ¸iale f/prime
x(x,y)
s ¸i f/prime
y(x,y)deﬁnite pe E⊂R2sunt derivabile part ¸ial ˆın raport cu xs ¸i yatunci putem deﬁni
derivatele part ¸iale de ordinul doi ale funct ¸iei f:
∂
∂x(∂f
∂x)=( f/prime
x)/prime
x=f/prime/prime
xx =∂2f
∂2x
∂
∂y(∂f
∂x)=( f/prime
x)/prime
y=f/prime/prime
xy =∂2f
∂y∂x
∂
∂x(∂f
∂y)=( f/prime
y)/prime
x=f/prime/prime
yx =∂2f
∂x∂y
∂
∂y(∂f
∂y)=( f/prime
y)/prime
y=f/prime/prime
yy =∂2f
∂2y
Deﬁnitie 2.5.3 Prin diferent ¸iala funct ¸iei f (x,y)ˆıntr-un punct (x,y)ˆın care f are derivate part ¸iale
continue ˆınt ¸elegem d f (x,y)= f/prime
x(x,y)dx +f/prime
y(x,y)dy sau d f =∂f
∂xdx +∂f
∂ydy.
Revenim acum la problemele 2.24 s ¸i 2.25.
Fief(x,y)o funct ¸ie real ˘a de dou ˘a variabile deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E⊂R2.
Deﬁnitie 2.5.4 Un punct (x0,y0)∈E se numes ¸te punct de minim(maxim) local sau relativ al
lui f dac ˘a exist ˘a V ∈V(( x0,y0)) astfel ˆıncˆat ∀(x,y)∈V∩E avem f (x,y)≥f(x0,y0)respectiv
f(x,y)≤f(x0,y0).
Punctele de maxim respectiv minim local se numesc puncte de extrem local ale funct ¸iei f .
Dac˘a(x0,y0)este un punct de maxim local (respectiv de minim local) al funct ¸iei f(x,y)atunci
valoarea funct ¸iei f(x0,y0)ˆın acest punct se va numi maxim local (respectiv minim local) al
funct ¸iei. Maximele s ¸i minimele locale ale funct ¸iei se vor numi extremele locale ale funct ¸iei.
Teorema 2.5.1 2:
Fie f (x,y)o funct ¸ie de dou ˘a variabile deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E ⊂R2s ¸i (x0,y0)punct din inte-
riorul lui E. Dac ˘a(x0,y0)este un punct de extrem pentru f (x,y)s ¸i f (x,y)are derivate part ¸iale
de ordinul ˆıntˆai ˆın (x0,y0)atunci derivatele part ¸iale ale funct ¸iei f ˆın (x0,y0)se anuleaz ˘a.
2Teorema este o generalizare a teoremei lui Fermat pentru funct ¸ii de dou ˘a variabile

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 46
Demonstratie:
Fix˘am x=x0. Rezult ˘a c ˘a funct ¸ia f(x0,y)este derivabil ˘aˆın y=y0s ¸i y0este un punct de
extrem pentru funct ¸ia f(x0,y). Aplic ˆand teorema lui Fermat (2.4.1) rezult ˘a c ˘af/prime
y(x0,y0) = 0.
Analog dac ˘a ﬁx ˘am prin aplicarea teoremei lui Fermat funct ¸iei f(x,y0)obt ¸inem f/prime
x(x0,y0)= 0.
Observatie 2.5.1 1. Condit ¸ia necesar ˘a de existent ¸ ˘a a extremului poate ﬁ scris ˘a, ˆın cazul
funct ¸iilor diferent ¸iabile sub forma d f (x0,y0)= 0.3
2. Un punct (x0,y0)pentru care f /prime
x(x0,y0)= 0s ¸i f /prime
y(x0,y0)= 0se numes ¸te punct stat ¸ionar.
De aici rezult ˘a c ˘a punctele de extrem se g ˘asesc printre solut ¸iile sistemului
/braceleftBigg∂f
∂x=0
∂f
∂y=0(2.26)
3. Reciproca teoremei nu este ˆın general adev ˘arat ˘a. Dac ˘aˆın punctul (x0,y0)avem f/prime
x(x0,y0)=
0s ¸i f /prime
y(x0,y0)= 0nu rezult ˘a cu necesitate c ˘a punctul (x0,y0)este punct de extrem. ˆIntr-
adev ˘ar, dac ˘a vom considera funct ¸ia f (x,y)= x2−y2deﬁnit ˘a pe R2avem f/prime
x(x,y)= 2x s ¸i
f/prime
y(x,y)= −2y.Avem f /prime
x(0,0)= 0s ¸i f /prime
y(0,0)= 0, funct ¸ia f este diferent ¸iabil ˘aˆın punctul
(x0,y0)deoarece derivatele part ¸iale sunt continue s ¸i deci (x0,y0)este un punct stat ¸ionar
al funct ¸iei. Dar, pentru punctele de forma (x,0)de pe axa Ox avem f (x,0)= x2≥0≥
f(0,0)iar pentru punctele de forma (0,y)de pe axa Oy avem f (0,y)= −y2≤0≤f(0,0)
s ¸i deci ˆın punctul (0,0)funct ¸ia nu are nici minim local nici maxim local. Un astfel de
punct (un punct stat ¸ionar care nu este punct de extrem pentru f (x,y)) se numes ¸te punct
s ¸a .
La fel ca s ¸i ˆın cazul funct ¸iilor de o variabil ˘a existent ¸a extremului nu este asigurat ˘aˆın punctele
stat ¸ionare. Condit ¸iile suﬁciente pentru existent ¸a sau absent ¸a punctelor de extrem vor ﬁ date de
urm˘atoarea teorem ˘a:
Teorema 2.5.2 Fie f (x,y)o funct ¸ie deﬁnit ˘a pe E ⊂R2derivabil ˘a part ¸ial de trei ori pe E s ¸i
(x0,y0)o solut ¸ie a sistemului (2.26) atunci:
1. Dac ˘aˆın punctul (x0,y0)avem:
∂2f
∂x2·∂2f
∂y2−/parenleftbigg∂2f
∂x∂y/parenrightbigg2
>0
s ¸i ∂2f
∂x2>0atunci(x0,y0)este un punct de minim al funct ¸iei f (x,y).
2. Dac ˘aˆın punctul (x0,y0)avem:
∂2f
∂x2·∂2f
∂y2−/parenleftbigg∂2f
∂x∂y/parenrightbigg2
>0
s ¸i ∂2f
∂x2<0atunci(x0,y0)este un punct de maxim al funct ¸iei f (x,y)
3Interpretare geometric ˘a: Planul tangent la suprafat ¸a z=f(x,y)ˆın punctul corespunz ˘ator extremului trebuie s ˘a
ﬁe paralel cu planul xOy

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 47
3. Dac ˘aˆın punctul (x0,y0)avem:
∂2f
∂x2·∂2f
∂y2−/parenleftbigg∂2f
∂x∂y/parenrightbigg2
<0
atunci punctul (x0,y0)nu este un punct de extrem al funct ¸iei f (x,y).
Demonstratie: Deoarece funct ¸ia f(x,y)are derivate part ¸iale de ordinul doi continue pe o
vecin ˘atate Va lui (x0,y0)atunci putem aplica formula lui Taylor de ordinul doi funct ¸iei f(x,y)
cu restul R2:
f(x,y)= f(x0,y0)+( x−x0)∂f
∂x+( y−y0)∂f
∂y+
+1
2(x−x0)2∂2f
∂x2+( x−x0)( y−y0)∂2f
∂x∂y+1
2(y−y0)2∂2f
∂y2+R2
unde toate derivatele part ¸iale sunt calculate ˆın (x0,y0). Dac ˘a(x0,y0)este punct stat ¸ionar (este
solut ¸ie a sistemului2.26) atunci rezult ˘a
f(x,y)−f(x0,y0)= 1
2(x−x0)2∂2f
∂x2+( x−x0)( y−y0)∂2f
∂x∂y+1
2(y−y0)2∂2f
∂y2+R2
Trebuie ment ¸ionat c ˘a, pentru
x−x0=ρcosθ
y−y0=ρsinθ
ρ=/radicalbig
(x−x0)2+( y−y0)2
avem
lim
ρ→0R2
ρ2=0
rezult ˘a c ˘a, pentru ρsuﬁcient de mic, adic ˘a pentru (x,y)suﬁcient de aproape de (x0,y0)diferent ¸a:
f(x,y)−f(x0,y0)
are semnul trinomului:
E=1
2(x−x0)2r2+( x−x0)( y−y0)s+1
2(y−y0)2t
unde am notat:
r=∂2f(x0,y0)
∂x2,s=∂2f(x0,y0)
∂x∂y,t=∂2f(x0,y0)
∂y2
DarEse poate scrie sub forma:
E=1
2(y−y0)2/bracketleftBigg
r/parenleftbiggx−x0
y−y0/parenrightbigg2
+2s/parenleftbiggx−x0
y−y0/parenrightbigg
+t/bracketrightBigg
S ¸tim c ˘aEp˘astreaz ˘a semn constant ˆın vecin ˘atatea lui (x0,y0)dac˘a discriminantul
/triangle=4/parenleftbig
s2−rt /parenrightbig
<0
rezult ˘a:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 48
1. E>0 dac ˘a/triangle<0 s ¸i r>0 s ¸i deci punctul (x0,y0)este un punct de minim pentru funct ¸ia
f.
2. E<0 dac ˘a/triangle<0 s ¸i r<0 s ¸i deci punctul (x0,y0)este un punct de maxim pentru funct ¸ia
f.
3. Dac ˘a/triangle>0 rezult ˘aEnu p ˘astreaz ˘a semn constant pe vecin ˘atatea lui (x0,y0).ˆIn acest ˘a
situat ¸ie fnu are un punct de extrem ˆın (x0,y0).
4. Dac ˘a/triangle=0 nu putem aﬁrma despre (x0,y0)dac˘a este sau nu un punct de extrem pentru
f(x,y).ˆIntr-adev ˘ar expresia E sepoate scrie
E=1
2r/parenleftbig
rt −s2/parenrightbig
(y−y0)2+1
2r[s(y−y0)+ r(x−x0)] 2
Rezult ˘a dac ˘a/triangle=0, pentru s(y−y0)+ r(x−x0) = 0(x/negationslash=x0,y/negationslash=y0)va rezulta c ˘aE=0 s ¸i
deci semnul diferent ¸ei depinde de valorile derivatelor part ¸iale de ordin superior lui doi.
2.6 Extremele unei funct ¸ii cu nvariabile reale
2.6.1 Extremele unei funct ¸ii cu nvariabile reale
Fief(x1,x2… xn)o funct ¸ie real ˘a de nvariabile deﬁnit ˘a pe E⊂Rn.
Deﬁnim urm ˘atoarele probleme de extrem:
inf
x∈Ef(x1,x2… xn) (2.27)
sup
x∈Ef(x1,x2… xn) (2.28)
Reamintim c ˆateva not ¸iuni teoretice pe care le vom folosi ˆın acest paragraf:
Deﬁnitie 2.6.1 Fie f (x1,x2… xn)o funct ¸ie real ˘a de n variabile reale deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime E ⊂
Rns ¸i (˜x1,˜x2,… ˜,xn)un punct interior al lui E .Funct ¸ia f (x1,x2… xn)este derivabil ˘a part ¸ial
ˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn)ˆın raport cu variabila x kdac˘a lim
xk→˜xkf(˜x1,˜x2,… ˜,xk−1,xk,˜xk+1,… ˜,xn)−f(˜x1,˜x2,… ˜,xn)
xk−˜xk
exist ˘a s ¸i este ﬁnit ˘a.
Not˘am lim
xk→˜xkf(˜x1,˜x2,… ˜,xk−1,xk,˜xk+1,… ˜,xn)−f(˜x1,˜x2,… ˜,xn)
xk−˜xkcu f/prime
xk(˜x1,˜x2,… ˜,xn)sau∂f(˜x1,˜x2,… ˜,xn)
∂xksau
Dxkf(˜x1,˜x2,… ˜,xn)s ¸i o vom numi derivata part ¸ial ˘a a funct ¸iei f(x1,x2… xn)ˆın raport cu xk.
Observatie 2.6.1 O funct ¸ie f (x1,x2… xn)are n derivate part ¸iale. Propriet ˘at ¸ile funct ¸iilor reale
de o variabil ˘a real ˘a, derivabile, se ment ¸in part ¸ial s ¸i pentru funct ¸iile reale de mai multe variabile
dup˘a cum urmeaz ˘a:
• Dac ˘a funct ¸ia real ˘a f (x1,x2… xn)este derivabil ˘a part ¸ial ˆın raport cu x kˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn),
atunci f este continu ˘aˆın raport cu x kˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn).

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 49
• Dac ˘a funct ¸ia real ˘a f (x1,x2… xn)este derivabil ˘a part ¸ial ˆın raport cu ﬁecare variabil ˘a
xk,k=1,n, ˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn), atunci f este continu ˘aˆın raport cu ﬁecare variabil ˘aˆın
parte ˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn).
• Deoarece derivarea part ¸ial ˘aˆın raport cu o variabil ˘a x keste de fapt derivarea funct ¸iei ˆın
raport cu x k, celelalte variabile ﬁind considerate constante avem c ˘a:
1. regulile de derivare stabilite pentru o funct ¸iile de o variabil ˘a se ment ¸in s ¸i pentru derivarea
part ¸ial ˘a;
2. operat ¸iile algebrice efectuate asupra funct ¸iilor derivabile part ¸ial conduc tot la funct ¸ii
derivabile part ¸ial, adic ˘a suma, diferent ¸a, produsul, c ˆatul a dou ˘a funct ¸ii derivabile part ¸ial
reprezint ˘a tot o funct ¸ie derivabil ˘a part ¸ial.
Deﬁnitie 2.6.2 Fie f :D→R, unde D este un deschis din Rn. Spunem c ˘a funct ¸ia f este de clas ˘a
C1pe D dac ˘a f este derivabil ˘a part ¸ial pe D iar funct ¸iile ∂f
∂xkcu k =1,2,…, n sunt continue pe
D. Vom nota f ∈C1(D)
Putem deﬁni, ˆın acelas ¸i mod not ¸iunea general ˘a de funct ¸ie de clas ˘aCkpe D(k≥2).
Deﬁnitie 2.6.3 Fie f :D→R, unde D este un deschis din Rn. Spunem c ˘a funct ¸ia f este de
clas˘a C kpe D (k≥2)dac˘a f este derivabil ˘a part ¸ial de ordin k( ˆın raport cu toate variabilele)
pe D s ¸i toate derivatele part ¸iale de ordin k sunt continue pe D. Vom nota f ∈C1(D)
V om nota mult ¸imea funct ¸iilor de clas ˘aCk(k≥2)pe DprinCk(D). Prin C0(D)mult ¸imea
funct ¸iilor continue pe D.
Deﬁnitie 2.6.4 Prin diferent ¸iala funct ¸iei f (x1,x2… xn)ˆıntr-un punct (˜x1,˜x2,… ˜,xn)ˆın care f are
derivate part ¸iale continue ˆınt ¸elegem d f =∂f
∂x1dx 1+∂f
∂x2dx 2+… +∂f
∂xndx n.
Teorema 2.6.1 Fie D un deschis din Rn×Rm, f :D→Rmo funct ¸ie vectorial ˘a de componente
(f1,f2,…, fm)s ¸i (x0,y0)∈D. Dac ˘a sunt indeplinite condit ¸iile:
1. f(x0,y0)= 0,
2. f∈C1(D),
3. D(f1,f2,…, fm)
D(y1,y2,…, ym)(x0,y0)/negationslash=0
atunci exist ˘a o vecin ˘atate deschis ˘a I a punctului x 0ˆın Rn, o vecin ˘atate deschis ˘a J a punctului
y0ˆın Rms ¸i o funct ¸ie ϕ:I→J astfel ˆıncˆat:
• f(x,ϕ(x))= 0,(∀)x∈I;
• f(x,y)= 0pentru(x,y)∈I×J⇒y=ϕ(x);
•ϕeste diferent ¸iabil ˘a pe I.
Revenim acum la (2.27) s ¸i (2.28)
Fie f (x1,x2… xn)o funct ¸ie real ˘a de n variabile deﬁnit ˘a pe E ⊂Rn.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 50
Deﬁnitie 2.6.5 Un punct (˜x1,˜x2… ˜xn)∈E se numes ¸te punct de minim(respectiv punct de ma-
xim) al funct ¸iei f (x1,x2… xn)dac˘a exist ˘a o vecin ˘atate V a lui (˜x1,˜x2… ˜xn)astfel ˆıncˆat pen-
tru orice(x1,x2… xn)∈V∩E s ˘a avem f (x1,x2… xn)≥f(˜x1,˜x2… ˜xn)(respectiv f (x1,x2… xn)≤
f(˜x1,˜x2… ˜xn).
Punctele(˜x1,˜x2… ˜xn)care sunt maxime respectiv minime locale sau relative s ¸i se mai numesc
extreme relative .
Deﬁnitie 2.6.6 Dac˘a diferent ¸a f (x1,x2… xn)−f(˜x1,˜x2… ˜xn)p˘astreaz ˘a semn constant (∀)x∈E
atunci punctul (˜x1,˜x2… ˜xn)se numes ¸te punct de extrem absolut.
Teorema 2.6.2 Teorema lui Fermat Fie f (x1,x2… xn)o funct ¸ie de n variabile deﬁnit ˘a pe E ⊂
Rns ¸i (˜x1,˜x2… ˜xn)un punct interior lui E .
Dac˘a(x1,x2… xn)este un punct de extrem s ¸i f (x1,x2… xn)are derivate part ¸iale ˆın (˜x1,˜x2… ˜xn)
atunci derivatele part ¸iale se anuleaz ˘aˆın punctul (˜x1,˜x2… ˜xn)adic˘a f /prime
xi(˜x1,˜x2… ˜xn) = 0,(∀)i=
1,n.
Demonstratie: Dac˘a vom considera x 1=˜x1,x2=˜x2,… xk−1=˜xk−1,xk+1=˜xk+1,…. xn=˜xn
rezult ˘a c ˘a funct ¸ia f (˜x1,˜x2… ˜xk−1,˜xk,˜xk+1,…, ˜xn)este derivabil ˘aˆın x k=˜xk,/parenleftbig
k=1,n/parenrightbig
s ¸i are
ˆın acest punct un extrem, rezult ˘a c ˘a, aplic ˆand Teorema lui Fermat funct ¸iei f derivatele sale
part ¸iale sunt nule, adic ˘a f /prime
xk(˜x1,˜x2… ˜xn)= 0s ¸i teorema este demonstrat ˘a.
Solut ¸iile sistemului
∂f
∂x1=0
∂f
∂x2=0
…………
∂f
∂xn=0(2.29)
formeaz ˘a mult ¸imea punctelor stat ¸ionare ale funct ¸iei f (x1,x2… xn)prin urmare punctele de ex-
trem ale funct ¸iei f (x1,x2… xn)se g ˘asesc printre punctele stat ¸ionare ale ei. Observ ˘am c ˘a anu-
larea derivatelor part ¸iale de ordinul ˆıntˆai este o condit ¸ie necesar ˘a a existent ¸ei punctelor de
extrem.
Observatie 2.6.2 Pe mult ¸imea punctelor stat ¸ionare ale funct ¸iei f (x1,x2… xn)diferent ¸iala ˆıntˆai
se anuleaz ˘a, adic ˘a d f (x1,x2… xn)= 0dar s ¸i reciproc.
Pentru a putea recunoas ¸te ˆın punctele stat ¸ionare unele puncte de extrem folosim urm ˘atoarea
teorem ˘a:
Teorema 2.6.3 Fie f (x1,x2… xn)o funct ¸ie deﬁnit ˘a pe E ⊂Rnderivabil ˘a part ¸ial de trei ori pe E .
Fie f (x1,x2… xn)o funct ¸ie deﬁnit ˘a pe E ⊂Rnderivabil ˘a part ¸ial de trei ori pe E .Fie (˜x1,˜x2… ˜xn)
o solut ¸ie a sistemului 

∂f
∂x1=0
∂f
∂x2=0
…………
∂f
∂xn=0
s ¸i not ˘am cu A i j =∂2f(˜x1,˜x2… ˜xn)
∂xi∂xjatunci

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 51
• Dac ˘a toate numerele
∆1=A11
∆2=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleA11 A12
A21 A22 /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
……………………….
∆n=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleA11 A12 … A1n
A21 A22 … A2n
… … … …
An1An2… Ann /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
sunt pozitive atunci punctul (˜x1,˜x2… ˜xn)este un punct de minim pentru funct ¸ia f (x1,x2… xn).
• Dac ˘a toate numerele
∆∗
1=−A11
∆∗
2=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleA11 A12
A21 A22 /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
……………………….
∆∗
n=( −1)n/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleA11 A12 … A1n
A21 A22 … A2n
… … … …
An1An2… Ann /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
sunt pozitive, atunci funct ¸ia f (x1,x2… xn)admite ˆın (˜x1,˜x2… ˜xn)un punct de maxim.
Exemplu 2.6.1 Studiat ¸i variat ¸ia funct ¸iei f (x,y,z) = n
∑
k=1mk[( x−ak)2+( x−bk)2+( x−ck)2]2
unde M i(ai,bi,ci),i=1,n sunt n puncte materiale de mase m 1,m2,…,m n.
C˘aut˘am punctele stat ¸ionare rezolv ˆand sistemul:
∂f
∂x=2n
∑
k=1mk[( x−ak)= 0,
∂f
∂y=2n
∑
k=1mk[( x−bk)= 0,
∂f
∂z=2n
∑
k=1mk[( x−ck)= 0.
Obt ¸inem solut ¸ia
x0=a1m1+a2m2+… +anmn
m1+m2+… +mn,
y0=b1m1+b2m2+… +bnmn
m1+m2+… +mn,
z0=c1m1+c2m2+… +cnmn
m1+m2+… +mn.

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 52
Deoarece avem s ¸i
∂2f
∂x2=∂2f
∂y2=∂2f
∂z2=2(m1+m2+… +mn)
s ¸i
∂2f
∂x∂y=∂2f
∂y∂z=∂2f
∂z∂x=0
rezult ˘a c ˘a
/triangle1=2(m1+m2+… +mn)>0,/triangle2=/triangle2
1>0,/triangle3=/triangle3
1>0
fapt ce ne arat ˘a c ˘a funct ¸ia f (x,y,z)are un minim ˆın punctul (x0,y0,z0).
2.6.2 Extreme condit ¸ionate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
At ˆat ˆın cazul funct ¸iilor reale de o variabil ˘a real ˘a c ˆat s ¸i ˆın cazul funct ¸iilor reale de mai multe
variabile problema extremelor s-a pus doar ˆın punctele din interiorul domeniului de deﬁnit ¸ie.
ˆIn practic ˘a trebuie determinate punctele de extrem ale funct ¸iei pe submult ¸imi ale mult ¸imii de
deﬁnit ¸ie, aceste puncte nemaiﬁind puncte interioare ale submult ¸imii respective.
Problema 2.6.1 Fie E un interval deschis din Rn×Rm,(n≥1,m≥1)s ¸i funct ¸iile f :E−→R
s ¸i g :E−→Rmsau echivalent g =( g1,g2,… gm)funct ¸ii de clas ˘a C 1pe E .
Se pune problema determin ˘arii punctelor de extrem ale funct ¸iei f supuse la condit ¸ia supli-
mentar ˘a :
g(x,y)= 0
sau echivalent
g1(x,y)= 0
g2(x,y)= 0
……………..
gm(x,y)= 0
undex=( x1,x2,… xn)∈B⊂Rn
y=( y1,y2,… ym)∈B⊂Rm.
Not˘am A ={(x,y)∈E|g(x,y)= 0}.
Observ ˘am c ˘a A este ˆınchis ˘a deoarece g este de clas ˘a C 1pe E .Cu alte cuvinte se pune
problema determin ˘arii punctelor de extrem ale restrict ¸iei funct ¸iei f la mult ¸imea A .
Am ˆıncerca s ˘a rezolv ˘am acest ˘a metod ˘a astfel:
ˆIncerc ˘am s ˘a rezolv ˘am ecuat ¸ia g (x,y) = 0ˆın raport cu y .Scoatem y =α(x)s ¸i introducem
acest ˘a funct ¸ie ˆın f obt ¸inem f (x,α(x)) funct ¸ie de x ∈E⊂Rniar pentru aceast ˘a funct ¸ie deﬁnit ˘a
pe o submult ¸ime din Rnstudiem punctele de extrem prin metodele enunt ¸ate ˆın paragrafele
anterioare.
Aceast ˘a metod ˘a este greu de aplicat ˆın practic ˘a, deoarece nu putem aﬂa ˆın mod explicat
forma funct ¸iei α.ˆIn aceast ˘a situat ¸ie vom folosi metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Vom folosi:

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 53
Deﬁnitie 2.6.7 Punctul(x0,y0)∈A se numes ¸te punct de extrem local condit ¸ionat sau punct
de extrem local al funct ¸iei f cu restrict ¸iile g (x,y) = 0dac˘a exist ˘a V ∈ϑ(x0,y0)astfel ˆıncˆat
diferent ¸a f (x,y)−f(x0,y0)p˘astreaz ˘a semn constant pentru oricare (x,y)∈V∩A.Punctul
(x0,y0)deﬁnit anterior se numes ¸te punct de minim(respectiv punct de maxim) condit ¸ionat dac ˘a
f(x,y)−f(x0,y0)≥0,∀(x,y)∈V∩A (respectiv f (x,y)−f(x0,y0)≤0,∀(x,y)∈V∩A).
Deﬁnitie 2.6.8 Punctul(x0,y0)∈A se numes ¸te punct stat ¸ionar condit ¸ionat sau critic condit ¸ionat
al funct ¸iei f dac ˘a(x0,y0)este un punct stat ¸ionar al restrict ¸iei funct ¸iei f la A .
Teorema 2.6.4 Fie D un deschis din Rn×Rm,f:D−→R,g:D−→Rm,(g=( g1,g2,… gm)) cu
gi:D−→R,∀i=1,m funct ¸ii de clas ˘a C 1pe D iar (x0,y0)∈D un punct de extrem local al
funct ¸iei f cu restrict ¸iile g (x,y)= 0.
Dac˘a
D(g1,g2,… gm)
D(y1,y2,… ym)(x0,y0)/negationslash=0
atunci exist ˘a m numere reale λ1,λ2,… λmastfel ˆıncˆat, dac ˘a se consider ˘a funct ¸ia
L=f+λ1g1+λ2g2+… +λmgm
punctul(x0,y0)veriﬁc ˘a sistemul de ecuat ¸ii


∂L
∂xi(x,y)= 0,i=1,n
∂L
∂yj(x,y)= 0,y=1,m
g(x,y)= 0
deci(x0,y0)este un punct critic pentru funct ¸ia f .
Observatie 2.6.3 Numerele reale λ1,λ2,… λmse numesc multiplicatorii lui Lagrange.
Observatie 2.6.4 Teorema anterioar ˘a ne asigur ˘a existent ¸a multiplicatorilor lui Lagrange.
Observatie 2.6.5 Punctele de extrem ale funct ¸iei f cu restrict ¸iile g (x,y)= 0se g ˘asesc printre
punctele critice condit ¸ionate ale funct ¸iei f , adic ˘a pentru punctele critice ale funct ¸iei
L=f+m
∑
k=1λkgk
Observatie 2.6.6 Dac˘aˆın expresia lui L consider ˘am c ˘a s ¸i λ1,λ2,… λmsunt variabile atunci
funct ¸ia (x,y,λ)−→L(x,y,λ),∀(x,y,λ)∈D×Rmse numesc Lagrangian saufunct ¸ia lui La-
grange .
Demonstratie: Din teorema funct ¸iilor implicite (2.6.1) exist ˘a U ∈ϑ(x0)s ¸i o funct ¸ie α:U−→
Rmde clas ˘a C 1pe U, α(x0)= y0iar g(x,α(x))= 0,∀x∈U (echivalent exist ˘aαi:U−→R,i=
1,m de clas ˘a C 1pe U). Folosind teorema de diferent ¸iere a funct ¸iilor compuse avem:
∂gk
∂xi+m
∑
j=1∂gk
∂yj·∂α j
∂xi=0,k=1,m,i=1,n (2.30)

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 54
Fie funct ¸ia F (x)= f(x,α(x)) ,∀x∈U. Deoarece (x0,y0)este punct de extrem local cu restrict ¸iile
g(x,y)= 0pentru f s ¸i (x,α(x)) ∈A va rezulta c ˘a x 0este un punct de extrem local, necondit ¸ionat
pentru F pe U .Din Teorema lui Fermat rezult ˘a∂F
∂xi(x0)= 0,i=1,n ceea ce implic ˘a
∂f
∂xi(x0,y0)+ m
∑
j=1∂f
∂yj(x0,y0)∂α j
∂xi(x0)= 0
dar deoarece
D(g1,g2,… gm)
D(y1,y2,… ym)/negationslash=0
rezult ˘a c ˘a sistemul liniar
m
∑
k=1∂gk
∂yj(x0,y0)·βk=−∂f
∂yj(x0,y0),j=1,m (2.31)
are solut ¸ie unic ˘a notat ˘a(λ1,λ2,… λm).Deoarece
(x0,y0)∈A=⇒gk(x0,y0)= 0,∀k=1,m
avem
∂L
∂xi(x0,y0)= ∂f
∂xi(x0,y0)+ m
∑
k=1λk∂gk
∂xi(x0,y0).
T ¸in ˆand cont de (2.30) obt ¸inem
∂L
∂xi(x0,y0)= ∂f
∂xi(x0,y0)−m
∑
k=1λkm
∑
j=1∂gk
∂yj(x0,y0)∂α i
∂xi(x0)
=∂f
∂xi(x0,y0)−m
∑
j=1∂α i
∂xi(x0)m
∑
k=1λk∂gk
∂yj(x0,y0)
(2.31 )
=∂f
∂xi(x0,y0)+ m
∑
j=1∂α i
∂xi(x0)∂f
∂yj(x0,y0)= ⇒
∂L
∂xi(x0,y0)= 0,i=1,n (2.32)
Analog obt ¸inem:orice solut ¸ie
x0
1,×0
2,… x0
n,y0
1,y0
2,… y2
m,λ0
1,λ0
2… λ0
m
a sistemului duce la concluzia c ˘a punctul:
/parenleftbig
x0
1,×0
2,… x0
n,y0
1,y0
2,… y2
m/parenrightbig

CAPITOLUL 2. METODE ANALITICE ˆIN PROBLEMELE DE EXTREM 55
punct stat ¸ionar pentru λ0
1,λ0
2… λ0
m- multiplicatorii lui Lagrange.
∂L
∂yj(x0,y0)= ∂f
∂yj(x0,y0)+ m
∑
k=1λk∂gk
∂yj(x0,y0)= 0 (2.33)
Din (2.32) s ¸i (2.33) rezult ˘a concluzia teoremei.
Observatie 2.6.7 ˆIn practic ˘a, pentru determinarea punctelor critice condit ¸ionate
se procedez ˘a astfel:
• se asociaz ˘a funct ¸ia lui Lagrange
L=f+m
∑
k=1λkgkpe D ×Rm.
• se egaleaz ˘a cu zero toate derivatele part ¸iale ale lui L (n+2m).
• se rezolv ˘a sistemul de n +2m ecuat ¸ii cu necunoscutele
x1,x2,… xn,y1,y2,… ym,λ1,λ2… λm.
• orice solut ¸ie
x0
1,×0
2,… x0
n,y0
1,y0
2,… y2
m,λ0
1,λ0
2… λ0
m
a sistemului duce la : /parenleftbig
x0
1,×0
2,… x0
n,y0
1,y0
2,… y2
m/parenrightbig
punct stat ¸ionar pentru f iar λ0
1,λ0
2… λ0
mse numesc multiplicatorii lui Lagrange.

Capitolul 3
Probleme de calcul variat ¸ional
3.1 Formularea problemei. Exemple.
Calculul varia ¸tional 1se ocup ˘a cu studiul extremelor pentru o clas ˘a special ˘a de funct ¸ii numite
f unc ¸tionale. Astfel ˆın problemele de calcul variat ¸ional trebuie determinat extremul unei inte-
grale care depinde de una sau mai multe funct ¸ii s ¸i de derivatele acestora. O asemenea integral ˘a
este o funct ¸ie deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime de funct ¸ii s ¸i are valori reale s ¸i se numes ¸te funct ¸ional ˘a expri-
mat˘a printr-o integral ˘a. Deci calculul variat ¸ional studiaz ˘a extremele funct ¸ionalelor exprimate
prin integrale.
Matematic, o problem ˘a simpl ˘a de calcul variat ¸ional const ˘aˆın determinarea curbelor
y:[t0,t1]→R
de clas ˘a C 1pe port ¸iuni care veriﬁc ˘a la capete condit ¸iile y (t0)= y0,y(t1)= y1s ¸i care realizeaz ˘a
minimul funct ¸ionalei
I[y(t)]= ˆt1
t0L(t,y(t),y/prime(t)) dt (3.1)
unde L este Lagrangeanul problemei.
Lagrangeanul funct ¸ionalei, funct ¸ia de trei variabile
L(t,y(t),y/prime(t)) (3.2)
este deﬁnit ˘a pe un domeniu din R3s ¸i este o funct ¸ie cu derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai continue
ˆın raport cu cele trei variabile.
Vom exempliﬁca c ˆateva probleme de calcul variat ¸ional: problema lui Dido, problema bra-
histocronei(sau curba cu cea mai rapid ˘a cobor ˆare), suprafat ¸a minim ˘a de rotat ¸ie, problema
geodezicelor.
1Din punct de vedere istoric, contribut ¸ii importante la dezvoltarea calculului variat ¸ional au adus Euler (1744),
dar mai ales Lagrange (1760) care a dat metodele generale ale disciplinei s ¸i le-a aplicat ˆın mecanic ˘a. Spre deo-
sebire de problemele de extremum pentru funct ¸iile de o variabil ˘a sau mai multe variabile, rezolvate cu mijloacele
calculului diferent ¸ial, unde aveam de-a face cu probleme cu un num ˘ar ﬁnit de grade de libertate, aici avem de-a
face cu probleme cu un num ˘ar inﬁnit de grade de libertate. ˆIn cazul extremelor functiilor de n variabile, cele n
variabile x1,x2,…, xnerau coordonatele unui element, unui punct x = ( x1,x2,…, xn) din Rn.ˆIn Rnavem operat ¸iile
de adunare a dou ˘a asemenea elemente s ¸i operat ¸ia de ˆınmult ¸ire a unui element cu un num ˘ar real, Rnﬁind astfel
un spat ¸iu vectorial n-dimensional, de aceea spuneam c ˘a avem un num ˘ar ﬁnit de grade de libertate. ˆIn plus, ˆın Rn
puteam introduce o norm ˘a, deci o distant ¸ ˘a, astfel ˆıncˆat s ˘a putem vorbi de puncte vecine.
56

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 57
Exemplu 3.1.1 O alt ˘a variant ˘a a problemei lui Dido(studiat ˘aˆın capitolul 1) ar ﬁ aceea ˆın care
presupunem c ˘a ﬁrul ar reprezenta o curb ˘a neted ˘aˆınchis ˘a cu ecuat ¸iile parametrice
/braceleftBigg
x=x(t)
y=y(t),t∈[t1,t2]
funct ¸iile x(t), y(t) sunt derivabile pe port ¸iuni pe [t1,t2]. Atunci lungimea ﬁrului este
L=ˆt1
t0/radicalBig
x/prime(t)2+y/prime(t)2dt
iar aria limitat ˘a de ﬁr este
S=1
2ˆt1
t0[y(t)x/prime(t)−x(t)y/prime(t)] dt
Problema revine deci la determinarea celor dou ˘a funct ¸ii x(t), y(t) deﬁnite s ¸i derivabile pe
port ¸iuni pe intervalul [t1,t2]astfel ˆıncˆat s ˘a aib ˘a loc relat ¸ia L =´t1
t0/radicalbig
x/prime(t)2+y/prime(t)2dt s ¸i ca
integrala S =1
2´t1
t0[y(t)x/prime(t)−x(t)y/prime(t)] dt s ˘a ﬁe maxim ˘a. As ¸a cum s-a v ˘azut aceasta este o
problem ˘a izoperimetric ˘a s ¸i curba care d ˘a solut ¸ia este un cerc.
Exemplu 3.1.2 Problema brahistocronei 2(Curba de cea mai rapid ˘a cobor ˆare) este conside-
rat ˘a de unele lucr ˘ari de specialitate cea mai veche problem ˘a de calcul variat ¸ional. Un punct
material de mas ˘a m se mis ¸c ˘a f ˘ar ˘a frecare de-a lungul unei curbe aﬂat ˘aˆın plan vertical, ce
unes ¸te punctele A (0,h)s ¸i B (b,0). Se pune problema determin ˘arii unei astfel de curbe astfel
ˆıncˆat timpul de parcurgere s ˘a ﬁe minim. Aceast ˘a curb ˘a se numes ¸te brahistocron ˘a.
Fie y =y(x)ecuat ¸ia dreptei c ˘autate s ¸i v (x)este m ˘arimea vitezei punctului ˆın pozit ¸ia (x,y(x))
Conform legii conserv ˘arii energiei, avem:
gm (h−y)= mv (x)2
2ceea ce implic ˘a2gm (h−y)= mv (x)2s ¸i de aici v (x)= /radicalbig
2g(h−y)
Pe de alt ˘a parte v =ds
dt =/radicalbig
1+y/prime(x)2dx s ¸i deci timpul ˆın care mobilul se deplaseaz ˘a din
punctul(x,y(x)) ˆın punctul (x+dx ,y(x+dx )) este
dt =/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y)dx
Rezult ˘a c ˘a timpul ˆın care mobilul ajunge din punctul A ˆın punctul B este
T=ˆb
0/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y)dx
Deci problema brahistocronei revine la a determina funct ¸ia y =y(x)deﬁnit ˘a s ¸i derivabil ˘a
pe [0,b]astfel ˆıncˆat y (0)= h,y(b)= 0s ¸i integrala
T=ˆb
0/radicalBigg
1+y/prime(x)2
2g(h−y(x)) dx (3.3)
s˘a ﬁe minim ˘a.
2Problema a fost formulat ˘a de Johann Bernoulli ˆın 1696. De rezolvarea acestei probleme s-au ocupat frat ¸ii
Johann s ¸i Jacob Bernoulli, Newton, Leibniz, l’Hospital. Originea termenului brachistocron ˘a se aﬂ ˘aˆın limba greac ˘a
(brakhistos = cel mai scurt, khronos = timp).

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 58
Exemplu 3.1.3 Suprafat ¸a de rotat ¸ie de arie minim ˘a (problema lui Plateau) 3Problema suprafet ¸ei
de rotat ¸ie de arie minim ˘a presupune determinarea unei curbe y =y(x),x∈[a,b]cu restrict ¸iile
y(a) = c,y(b) = d astfel ˆıncˆat aria suprafet ¸ei de rotat ¸ie ˆın jurul axei Ox s ˘a ﬁe minim ˘a. Este
cunoscut faptul c ˘a aceast ˘a arie este dat ˘a de
A=2πˆb
ay(x)/radicalBig
1+( y/prime(x)) 2dx (3.4)
Exemplu 3.1.4 Problema geodezicelor este problema determin ˘arii pe o suprafat ¸a S a unei
curbe care unes ¸te dou ˘a puncte de pe acea suprafat ¸a s ¸i are lungimea minim ˘a.
Fie (S) o port ¸iune neted ˘a de suprafat ¸a a c ˘arei ecuat ¸ie sub forma implicit ˘a este F (x,y,z)=
0, iar un arc de curb ˘a AB, apart ¸in ˆand suprafet ¸ei (S) s ¸i care trece prin punctele A (x1,y1)
s ¸i B (x2,y2)de pe suprafat ¸a (S). Numim curb ˘a geodezic ˘a a suprafet ¸ei orice arc de curb ˘a de
pe suprafat ¸a (S) ce realizeaz ˘a minimul distant ¸ei dintre dou ˘a puncte de pe suprafat ¸a. Astfel
problema geozicei care unes ¸te punctele A (x1,y1)s ¸i B (x2,y2)revine la determinarea funct ¸iilor
derivabile x =x(t),y=y(t),t∈[t1,t2]cu x (t1) = x1,x(t2) = x2s ¸i y (t1) = y1,y(t2) = y2astfel
ˆıncˆat integrala
ˆt2
t1/radicalBig
x/prime2(t)+ y/prime2(t)dt (3.5)
s˘a ﬁe minim ˘a. Dac ˘a alegem ca parametru coordonata x, problema revine la determinarea
funct ¸iei derivabile y =y(x),x∈[x1,x2]unde y(x1)= y1,y(x2)= y2astfel ˆıncˆat integrala
ˆx2
x1/radicalBig
1+y/prime2(x)dx
s˘a ﬁe minim ˘a.
Amintim c ˆateva rezultate de baz ˘a referitoare la funct ¸ionale:
Fie X un spat ¸iu vectorial real.
Deﬁnitie 3.1.1 Se numes ¸te norm ˘a pe X o funct ¸ie /bardbl·/bardbl:X→R+cu propriet ˘at ¸ile:
1) /bardblx/bardbl=0⇐⇒ x=0X;
2) /bardblλx/bardbl=|λ|·/bardblx/bardbl,(∀)λ∈R,(∀)x∈X
3) /bardblx+y/bardbl≤/bardblx/bardbl+/bardbly/bardbl,(∀)x,y∈X.
Spat ¸iul vectorial X ˆınzestrat cu o norm ˘a se numes ¸te spat ¸iu vectorial normat.
Vom nota prin C [a,b]spat ¸iul vectorial normat al funct ¸iilor continue pe [a, b] cu norma
uniform ˘a/bardbly(x)/bardbl0=max
x∈[a,b]|y(x)|; prin C 1[a,b]vom nota spat ¸iul vectorial normat al funct ¸iilor
cu derivata continu ˘a pe [a, b] cu norma /bardbly(x)/bardbl1=max
x∈[a,b]|y(x)|+max
x∈[a,b]|y/prime(x)|; mai general prin
Cm[a,b]vom nota spat ¸iul vectorial normat al funct ¸iilor cu derivata de ordinul m continu ˘a pe
[a, b] cu norma /bardbly(x)/bardblm=m
∑
k=0max
x∈[a,b]|y(k)(x)|.
3(Plateau, Antoine Ferdinand Joseph, 1801-1883, belgian, profesor de ﬁzica si anatomie la Universitatea din
Gand

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 59
Dac˘a X este spat ¸iu vectorial normat, atunci orice funct ¸ie F :X→Rse va numi funct ¸ional ˘a
pe X.
De exemplu, dac ˘a X =C1([ 0,b];R),ˆın cazul problemei brahistocronei am deﬁnit funct ¸ionala
timp T(y)= ´b
0/radicalBig
1+y/prime(x)2
2g(h−y(x)) dx ,(∀)y∈X , ˆın cazul suprafet ¸ei de rotat ¸ie de arie minim ˘a pe X =
C1([ a,b];R)putem deﬁni funt ¸ionala arie A :X→R,A(y)= ´b
ay(x)/radicalbig
1+y/prime2(x)dx ,(∀)y∈X iar
ˆın problema geodezicelor am deﬁnit funct ¸ionala I (y)= ´x2
x1/radicalbig
1+y/prime2(x)dx .
Mai general, pe X =C1([ a,b];R)consider ˘am funct ¸ionalele
F(y)= ˆb
aL(x,y(x),y/prime(x)) dx
unde L este o funct ¸ie continu ˘a pe un domeniu K ⊂R3,y∈C1[a,b]cu proprietatea c ˘a(x,y(x),y/prime(x)) ∈
K,(∀)x∈[a,b].
Fie F(y) o funct ¸ional ˘a deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime de funct ¸ii M. Mult ¸imea M se numes ¸te mult ¸imea
funct ¸iilor admisibile. Deoarece orice funct ¸ie admisibil ˘a are un graﬁc, mult ¸imea M se mai
numes ¸te s ¸i mult ¸imea liniilor sau curbelor admisibile.
Deﬁnitie 3.1.2 Fie X un spat ¸iu vectorial normat, K ⊂X s ¸i F :K→Ro funct ¸ional ˘a. Un element
y0∈K se numes ¸te punct de minim local (respectiv punct de maxim local) pentru F, dac ˘a exist ˘a
r>0astfel ˆıncˆat pentru orice y ∈K care satisface /bardbly−y0/bardbl<r , rezult ˘a F (y)≥F(y0)(respectiv
F(y)≤F(y0)). Un punct de minim local sau de maxim local se numes ¸te punct de extrem local.
Dac˘a inegalit ˘at ¸ile de mai sus au loc pentru orice y ∈K, atunci se poate vorbi de punct de minim
global (respectiv maxim global) sau extrem global.
S˘a consider ˘am acum problema de minimizare
inf
y∈KF(y) (3.6)
Dac˘a u ∈K atunci spunem c ˘a u este interior ˆın direct ¸ia v dac ˘a u +εv∈K pentru |ε|<ε0.
Spunem c ˘a u este radial ˆın direct ¸ia v dac ˘a u +εv∈K pentru 0≤ε<ε0.
Deﬁnim prima variat ¸ie a funct ¸ionalei F:
δF(u)v=d
dεF(u+εv)|ε=0 (3.7)
s ¸i a doua variat ¸ie a funct ¸ionalei F:
δ2F(u)v=d2
dε2F(u+εv)|ε=0 (3.8)
At ˆat 3.7 c ˆat s ¸i 3.8 sunt bine deﬁnite pentru F ∈C1(X)respectiv F ∈C2(X).
Teorema 3.1.1 1) Dac ˘a F are punct de minim pe K, ˆıntr-un punct x 0interior ˆın direct ¸ia v s ¸i
exist ˘a prima s ¸i a doua variat ¸ie a lui F ˆın x 0, atunci δF(x0)v=0s ¸i δ2F(x0)v≥0. Dac ˘a punctul
de minim x este doar radial ˆın direct ¸ia v atunci δF(x0)v≥0.
2) Dac ˘a mult ¸imea K este convex ˘a, F este convex ˘a pe K s ¸i δF(x0)v≥0pentru orice v astfel
ˆıncˆat x 0este radial ˆın direct ¸ia v, atunci x 0este punct de minim global.
3) Dac ˘a mult ¸imea K este convex ˘a s ¸i F este strict convex ˘a pe K, atunci F are cel mult un
punct de minim.

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 60
4) Dac ˘a X este spat ¸iu reﬂexiv, mult ¸imea K este convex ˘a s ¸i ˆınchis ˘a iar F este convex ˘a, inferior
semicontinu ˘a s ¸i coerciv ˘a ( lim
u/bardbl→∞,u∈KF(u)=+ ∞), atunci F ˆıs ¸i atinge inﬁmul pe K.
3.2 Ecuat ¸iile Euler-Lagrange.
Fie y 0(x)funct ¸ia care realizeaz ˘a extremul funct ¸ionalei
F(y)= t1ˆ
t0L(x,y(x),y/prime(x)) dx (3.9)
unde L este de clas ˘a C 2ˆın ansamblul variabilelor, iar funct ¸ionala F este deﬁnit ˘a pe mult ¸imea
C=/braceleftbig
y:[t0,t1]→R/y∈C([ t0,t1],C1pe port ¸iuni ,y(t0)= y0,y(t1)= y1/bracerightbig
iar mult ¸imea valorilor
admisibile este
M=/braceleftbig
y:[t0,t1]→R/y∈C([ t0,t1]) ,C1pe port ¸iuni ,y(t0)= y(t1)= 0/bracerightbig
.
Deoarece orice y ∈C este interior ˆın orice direct ¸ie h ∈M atunci variat ¸ia ˆıntˆai a funct ¸ionalei F
se poate calcula s ¸i avem:
∂F(y)h=d
dεF(y+εh)= d
dεˆt1
t0L(x,y+εh,y/prime+εh/prime)dx =
=t1ˆ
t0/bracketleftBig
Ly(x,y+εh,y/prime+εh/prime)h+Ly/prime(x,y+εh,y/prime+εh/prime)h/prime/bracketrightBig
dx ,
unde am notat L y=∂L
∂ys ¸i L y/prime=∂L
∂y/prime. Dac ˘aε=0avem
∂F(y)h=t1ˆ
t0/bracketleftBig
Ly(x,y,y/prime)h+Ly/prime(x,y,y/prime)h/prime/bracketrightBig
dx
iar dac ˘a y 0realizeaz ˘a minimul funct ¸ionalei atunci ∂F(y0)h=0(∀)h∈M.
Deoarece funct ¸ia L y/prime/parenleftBig
x,y0(x),y/prime
0(x)/parenrightBig
este derivabil ˘a pe [t0,t1]s ¸i are derivata L y(x,y0(x),y/prime
0(x)) ,
are loc ecuat ¸ia lui Euler- Lagrange :
d
dx Ly/prime/parenleftBig
x,y0(x),y/prime
0(x)/parenrightBig
=Ly(x,y0(x),y/prime
0(x),(∀)x∈[t0,t1] (3.10)
sau ecuat ¸ia lui Euler-Lagrange sub forma integral ˘a : exist ˘a C astfel ˆıncˆat oricare ar ﬁ x ∈
[t0,t1]are loc
Ly/prime/parenleftBig
x,y0(x),y/prime
0(x)/parenrightBig
=xˆ
t0Ly(t,y0(t),y/prime(t))+ C.
Deﬁnitie 3.2.1 Orice funct ¸ie y 0(x)care veriﬁc ˘a ecuat ¸ia lui Euler- Lagrange (3.10) se numes ¸te
extremal ˘a a funct ¸ionalei F(y).

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 61
Teorema 3.2.1 Dac˘a y 0(x)este funct ¸ia care realizeaz ˘a extremul relativ al funct ¸ionalei
F(y)= ˆt1
t0L(x,y(x),y0(x)) dx
pe mult ¸imea funct ¸iilor admisibile
M=/braceleftbig
y(x)|y(x)∈C1[t0,t1],y(t0)= y0,y(t1)= y1/bracerightbig
s ¸i dac ˘a funct ¸ia F are derivate part ¸iale de ordinul ˆıntˆai continue atunci ea este o extremal ˘a a
funct ¸ionalei care veriﬁc ˘a la capetele intervalului condit ¸iile date.
Vom observa c ˘a dac ˘a funct ¸ia F are derivate part ¸iale de ordinul doi s ¸i dac ˘a funct ¸ia y 0(x)are
derivata de ordinul doi atunci prima ecuat ¸ie a lui Euler-Lagrange este o ecuat ¸ie diferent ¸ial ˘a de
ordinul doi:
Fxy /prime(x,y0,y/prime
0)+ Fyy /prime(x,yo,y/prime
0)y/prime
0+Fy/primey/prime(x,y0,y0)y/prime/prime
o−Fy(x,yo,y/prime
0)= 0.
Dac˘a funct ¸ia F are derivate part ¸iale de ordinul doi continue, se poate ar ˘ata c ˘aˆın toate punc-
teleˆın care F y/primey/prime(x,yo,y0)/negationslash=0funct ¸ia y 0(x)admite derivate de ordinul doi s ¸i veriﬁc ˘a ecuat ¸ia
diferent ¸ial ˘a de ordinul doi de mai sus.
Teorema 3.2.2 Dac˘a y 0(x)este o extremal ˘a a funct ¸ionalei
F(y)= ˆt1
t0L(x,y(x),y0(x)) dx
pe mult ¸imea funct ¸iilor admisibile
M=/braceleftbig
y(x)|y(x)∈C1[t0,t1],y(t0)= y0,y(t1)= y1/bracerightbig
s ¸i dac ˘a funct ¸ia L are derivate part ¸iale de ordinul doi continue, atunci ˆın toate punctele ˆın
care L y/primey/prime(x,yo,y/prime0)/negationslash=0funct ¸ia y 0(x)are derivat ˘a de ordinul doi s ¸i veriﬁc ˘a ecuat ¸ia lui Euler-
Lagrange de ordinul doi:
Lxy /prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
+Lyy /prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime
0+Ly/primey/prime(x,y0,y0)y/prime/prime
0—L y(x,y0,y/prime
0)= 0.
Observ ˘am c ˘a, la fel ca ˆın cazul extremelor funct ¸iilor de mai multe variabile, ecuat ¸iile
lui Euler-Lagrange reprezint ˘a numai condit ¸ii necesare pentru funct ¸ia care realizeaz ˘a extre-
mul funct ¸ionalei. Cu alte cuvinte, funct ¸ia care realizeaz ˘a extremul trebuie cautat ˘a printre
funct ¸iile care veriﬁc ˘a ecuat ¸iile lui Euler- Lagrange. Repet ˘am, funct ¸iile care realizeaz ˘a extremul
funct ¸ionalei se caut ˘a printre extremalele funct ¸ionalei; nu orice extremal ˘a realizeaz ˘a extremul
funct ¸ionalei, o extremal ˘a poate ﬁ numai b ˘anuit ˘a c ˘a ar putea realiza extremul. De-a lungul unei
extremale putem scrie:
d
dx L/parenleftBig
x,y0(x),y/prime
0(x)/parenrightBig
=Lx/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
+Ly/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime
0+Ly/prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime/prime
0
=Lx/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
+d
dx Ly/prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime
0+Ly/prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime/prime
0
=Lx/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
+d
dx /parenleftBig
Ly/prime/parenleftBig
x,y0,y/prime
0/parenrightBig
y/prime
0/parenrightBig

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 62
adic˘a ecuat ¸iile lui Euler-Lagrange sunt echivalente si cu ecuat ¸iile
L(x,y0(x),y/prime
0(x)) —L y/prime(x,y0(x),y/prime
0(x)) y/prime
0(x))= Lx(x,y0(x),y/prime
0(x))( ∀)x∈[t0,t1]
sau exist ˘a C astfel ˆıncˆat oricare ar ﬁ x ∈[t0,t1]
L(x,y0(x),y/prime
0(x)) −Ly/prime(x,y0(x),y/prime
0(x)) y/prime
0(x)= xˆ
t0Lx(t,y0(t),y/prime
0(t)) dt +C.
Observ ˘am c ˘a exist ˘a situat ¸ii cand ordinul ecuat ¸iilor lui Euler- Lagrange se reduce cu o unitate,
adic˘a exist ˘a integrale prime:
Teorema 3.2.3 Dac˘a funct ¸ia L nu depinde de y ,Ly=0, atunci ecuat ¸ia lui Euler- Lagrange
admite o integral ˘a prim ˘a:
exist ˘a C astfel ˆıncˆat oricare ar ﬁ x ∈[t0,t1]
Fy/prime(x,y0(x),y0(x))= C.
Teorema 3.2.4 Dac˘a funct ¸ia L nu depinde de x ,Lx=0, atunci ecuat ¸ia lui Euler- Lagrange
admite o integral ˘a prim ˘a:
exista C astfel ˆıncˆat oricare ar ﬁ x ∈[t0,t1]
L(x,y0(x),y/prime
0(x)) −Ly/prime(x,y0(x),y/prime
0(x)) y/prime
0(x)= C
S˘a revenim la exemplele considerate la inceputul capitolului:
Exemplu 3.2.1 Fie funct ¸ionala
F(y)= bˆ
0/radicalBigg
1+y(x)2
2g(h−y(x)) dx
din problema brahistocronei deﬁnit ˘a pe mult ¸imea
M=/braceleftbig
y(x):[0; b]→R|y(x)∈C2[0; b],y(0)= h;y(b)= 0/bracerightbig
.
Funct ¸ia de sub integral ˘a
L=/radicalBigg
1+y(x)2
2g(h−y(x)) dx
nu depinde de x deci vom avea integrala prim ˘a
F−y/primeFy/prime=C,
adic˘a, las ˆand la o parte factorul constant 1
2g,
/radicalBigg
1+y(x)2
2g(h−y(x)) −y/prime2
/radicalBig
(h−y)/parenleftbig
1+y/prime2/parenrightbig=C,

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 63
de unde y =h−C1
1+y/prime2.Punˆand y 0=tgu ,avem y=h−Ccos2u.Din relat ¸ia dy =tgudx g ˘asim
dx =2Ccos2u=C(1+cos2 u)
s ¸i obt ¸inem ecuat ¸iile parametrice ale extremalei
x=C/parenleftbigg
u+1
2sin2u/parenrightbigg
+C1 (3.11)
y=h−C
2(1+cos2 u). (3.12)
Extremala este un arc de cicloid ˘a adic ˘a a curbei descrise de un punct de pe un cerc de raz ˘a
r ce se rostogoles ¸te, f ˘ar ˘a s ˘a alunece, pe o dreapt ˘a orizontal ˘a, iar u este unghiul de rotat ¸ie al
cercului. Constantele C ,C1se determin ˘a din condit ¸iile la capete
y(0)= h;y(b)= 0.
Exemplu 3.2.2 Fie funct ¸ionala
F(y)= x2ˆ
x1/radicalBig
1+y/prime(x)2dx
din problema geodezicelor ˆın plan deﬁnit ˘a pe mult ¸imea
M={y(x):[a,b]→R|y(x)∈C2[a,b],y(a)= ya,y(b)= yb}.
Funct ¸ia de sub integral ˘a F =/radicalBig
1+y/prime(x)2nu depinde de y, deci vom avea integrala prim ˘a
Fy=C, adic ˘a
y/prime
/radicalBig
1+y/prime(x)2=C,
sau renot ˆand constanta,
y/prime=C
de unde
y=Cx +C1.
Constantele C ,C1se determina din conditiile
y(a)= ya,y(b)= yb,
adic˘a extremala este segmentul de dreapt ˘a care unes ¸te cele dou ˘a puncte. ˆIn acest caz, s ¸tim din
geometrie c ˘a extremala chiar realizeaz ˘a minimul funct ¸ionalei.

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 64
3.3 Condit ¸ii necesare de extrem de ordinul al doilea
ˆIn continuare vom studia unele condit ¸ii de extrem relativ pentru funct ¸ionale de tipul (3.9). Vom
presupune c ˘a lagrangeanul L (3.2) este regulat s ¸i de clas ˘a C 3s ¸i q 0este o extremal ˘aˆın problema
simpl ˘a de calculul variat ¸iilor.
Not˘am cu (1.9)
Ω(t,h,h/prime)= 2(Lqq (t,q0,q/prime
0)h2+2Lqq /prime(t,q0,q/prime
0)hh /prime+Lq/primeq/prime(t,q0,q/prime
0)h/prime2) (3.13)
Prin integrare prin p ˘art ¸i se arat ˘a c ˘aδ2F(q0)h=´t1
t02Ω(t,h,h/prime)dt =:Q(q0)h, iar noul la-
grangean Ωeste de asemenea regulat. O consecint ¸ ˘a imediat ˘a a teoremei (3.2.1) este:
Propozitie 3.3.1 Dac˘a q 0realizeaz ˘a inﬁmul, atunci Q (q0)h>0pentru orice h ∈M adic ˘a forma
p˘atratic ˘a Q este pozitiv ˘a pe M.
Ne propunem s ˘a interpret ˘am pozitivitatea celei de-a doua variat ¸ii. Vom vedea c ˘a aceasta
este legata de comportarea familiilor de extremale ce pleac ˘a dintr-un punct dat (t0,q0).
Propozitie 3.3.2 Fie q (·,s),s∈(0,s1), o familie de extremale astfel ˆıncˆat q 0=q(·,0),q(t0,s)=
q0,∀s∈(0,s1),∂q/prime
∂s(t0,0)/negationslash=0,∂q
∂s(t,0)= 0pentru un t∈(t0,t1]. Atunci, not ˆand cu h =∂q
∂s(·,0),
h este extremal ˘a pentru funct ¸ionala Q (q0)( ·), adic ˘a veriﬁc ˘a ecuat ¸ia (numit ˘a s ¸i a doua ecuat ¸ie
a lui Euler)
Ωh−∂
∂tΩh=0 (3.14)
Demonstratie: Deoarece q (·,s)sunt extremale pentru L, care este lagrangean regulat, acestea
veriﬁca ecuatia Euler-Lagrange (3.10). Deriv ˘am ecuat ¸ia (3.10) ˆın raport cu s pentru s =0s ¸i
obt ¸inem (pentru simplitate omitem argumentul (t,q0(t),q/prime
0(t)) al lui L):
0=Lqq h+Lqq /primeh−∂
∂t(Lq/primeqh+Lq/primeq/primeh/prime) = Ωh−∂
∂tΩh/prime. S ¸tim c ˘a h /negationslash=0deoarece h /prime(t0) =
∂q/prime
∂s(t0,0)/negationslash=0. Faptul c ˘a h (t0)= h(t1)= 0rezult ˘a imediat din ipotez ˘a.
Deﬁnitie 3.3.1 Fie q 0extremala pentru L. Perechea (t,q0(t)) cu t∈(t0,t1)se numes ¸te conju-
gata cu (t0,q0)de-a lungul extremalei (sau ˆın raport cu extremala) q 0dac˘a exist ˘a h extremal ˘a
pentru a doua problem ˘a a lui Euler (solut ¸ie pentru 3.14) astfel ˆıncˆat h (t0) = h(t) = 0,h/negationslash=0.
Vom mai spune s ¸i c ˘at este conjugat cu t 0ˆın raport cu q 0.
Observatie 3.3.1 Mult ¸imea punctelor conjugate de pe extremalele ce pleac ˘a din (t0,q0),q(·,s),
formeaz ˘a o curb ˘aˆınfas ¸ur ˘atoare a acestor familii de extremale, dat ˘a parametric prin s →
(t(s),q(t(s),s)) unde t=t(s)veriﬁc ˘a ecuat ¸ia ∂
∂sq(t,s)= 0(v. [cvco]).
Teorema 3.3.1 (Condit ¸ia necesara a lui Jacobi) Dac ˘a q 0este un minim pentru F pe intervalul
[t0,t1], atunci nu exist ˘a puncte (t,q0(t)) , conjugate cu (t0,q0)ˆın raport cu q 0, cu t∈(t0,t 1).
Demonstratie: Fie h extremal ˘a pentru Q (q0)( ·)ˆın M. Ar ˘at ˘am mai ˆıntˆai c ˘a Q (q0)h=0. Cu Q
dat de 3.13 s ¸i t ¸in ˆand cont de (3.14) avem 2Ω=hΩh+h/primeΩh/prime=h∂
∂tΩh/prime+h/primeΩh/prime=∂
∂t(hΩh)deci
Q(q0)h=´t1
t02Ω(t,h(t),h/prime(t)) dt =hΩh/prime|t1t0=0. Deoarece q 0este minim pentru F , in f
h∈MQ(q0)h=
0. Presupunem acum t∈(t0,t1)este conjugat cu t 0. Rezult ˘a c ˘a exist ˘a pe [t0,t]extremala h /negationslash=

CAPITOLUL 3. PROBLEME DE CALCUL V ARIAT ¸ IONAL 65
0pentru Q(q0)( ·), cu h (t0) = h(t) = 0. Din considerat ¸iile anterioare ´t1
t02Ω(t,h,h/prime)dt =0
deci, dac ˘a extindem pe h cu 0 pe intervalul [t,t 1], obt ¸inem c ˘a Q (q0)h=0. As ¸adar acest h /negationslash=0
realizeaz ˘a inﬁmul lui Q (q0)( ·). Cum Q este lagrangean regulat rezult ˘a c ˘a h ∈C2s ¸i satisface
ecuat ¸iile (3.14). Cum h = 0 pe (t,t 1)rezult ˘a c ˘a h = 0 pe (t0,t1), contradict ¸ie.
Fie acum forma p ˘atratic ˘a pe M:
Q(h)= ˆt1
t0P(t)h/prime2+R(t)h2dt (3.15)
unde P(t), R(t) sunt funct ¸ii continue, h ∈H. Not ˘am cu Ω(t,h,h/prime)= P(t)h/prime2+R(t)h2.
Corolar 3.3.1 (Condit ¸ia necesara a lui Legendre).
Dac˘a q 0este minim pentru F , atunci L q/primeq/prime(t,q0(t),q/prime
0(t)) >0.
Demonstratie: Pentru demonstrat ¸ie se aplic ˘a propozit ¸ia urm ˘atoare funct ¸ionalei Q (·)= Q(q0)( ·)
care poate ﬁ adus ˘a la forma (3.15) prin integrare prin p ˘art ¸i.
Propozitie 3.3.3 Dac˘a Q (h)≥0pentru orice h ∈H, atunci P (t)≥0,t∈(t0,t1).
Demonstratie: Presupunem, prin reducere la absurd, c ˘a exist ˘at∈(t0,t1)cu P (t)<0. Fie
hε(t)= /braceleftBigg
1
ε(ε−|t−t|)pentru |t−t|<ε
0 pentru |t−t|≥ε
Se veriﬁc ˘a us ¸or c ˘a lim
ε→0Q(hε)= −∞, ceea ce contrazice pozitivitatea lui Q.
Extindem acum not ¸iunea de punct conjugat ˆın raport cu forme p ˘atratice generale pentru
care presupunem ˆın cele ce urmeaz ˘a c ˘a P (t)>0,∀t.
Deﬁnitie 3.3.2 Punctul t∈(t0,t1)se numes ¸te conjugat cu t 0dac˘a exist ˘a o extremal ˘a h /negationslash=0
pentru Q, pe (t0,t), cu h (t0)= h(t)= 0.
Analogul teoremei (3.3.1), cu demonstratie identic ˘a, avem:
Teorema 3.3.2 (Condit ¸ia necesara a lui Jacobi) Presupunem c ˘a forma p ˘atratic ˘a Q este pozitiv ˘a
pe M: Q (h)≥0,h∈M. Atunci intervalul (t0,t1)nu cont ¸ine puncte conjugate cu t 0.

Capitolul 4
Probleme de extrem. Aplicat ¸ii
ˆIn acest capitol vom aplica not ¸iunile teoretice prezentate ˆın capitolul al II-lea ˆın rezolvarea unor
probleme de extrem cum ar ﬁ: inegalit ˘at ¸i demonstrate cu ajutorul teoremelor de extrem, pro-
bleme de maxim s ¸i de minim pentru funct ¸ii cu una sau mai multe variabile s ¸i probleme practice
de extrem. Problemele prezentate pot ﬁ folosite pentru ﬁxarea s ¸i sistematizarea not ¸iunilor teore-
tice prezentate ˆın capitolul al doilea dar s ¸i pentru orele de curs sau pentru orele de preg ˘atire din
cadrul centrelor de excelent ¸ ˘a sau pentru elevii pasionat ¸i de matematic ˘aˆın cadrul unui opt ¸ional.
4.1 Inegalit ˘at ¸i rezolvate cu ajutorul teoremelor de extrem
ˆIn aceast ˘a sect ¸iune vom ar ˘ata utilitatea pe care are teorema lui Fermat ˆın demonstrarea unor
inegalit ˘at ¸i matematice. Determinarea intervalelor de monotonie s ¸i a punctelor de extrem con-
stituie un prilej foarte instructiv s ¸i ˆın acelas ¸i timp stimulativ de recapitulare a materiei predate
anterior s ¸i totodat ˘a, o ocazie de modelare a unor procese ﬁzice cu metode de analiz ˘a mate-
matic ˘a. Rezolvarea problemelor de extrem (av ˆand o deosebit ˘a important ¸ ˘a practic ˘a) constituie
de asemenea, un prilej de a aplica conving ˘ator s ¸i pasionant pentru elev metode de analiz ˘a
matematic ˘a.
Inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media geometric ˘a a dou ˘a numere
Multe probleme extremale interesante sunt ascunse ˆın “inegalit ˘at ¸i exacte“. Una dintre cele mai
vechi inegalit ˘at ¸i este inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media geometric ˘a a dou ˘a numere
iar formularea acestei probleme ca problem ˘a de extrem este:
Problema 4.1.1 a) Determinat ¸i maximul produsului a dou ˘a numere a c ˘aror sum ˘a este con-
stant ˘a.
b) Determinat ¸i aria maxim ˘a a unui triunghi dreptunghic care are suma catetelor constant ˘a.
Observatie 4.1.1 O consecint ¸ ˘a a problemei anterioare este: dintre toate triunghiurile dreptun-
ghice cu suma catetelor dat ˘a (constant ˘a) triunghiul dreptunghic isoscel are aria maxim ˘a.
Inegalitatea care st ˘a la baza acestor probleme este:
Problema 4.1.2 Pentru orice numere reale a ,b>0are loc √
ab ≤a+b
2. Inegalitatea devine
“exact ˘a” dac ˘a a =b.
66

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 67
Vom demonstra inegalitatea mediilor prin dou ˘a metode: metoda algebric ˘a s ¸i metoda geo-
metric ˘a s ¸i cu ajutorul instrumentelor furnizate de analiza matematic ˘a.
Demonstratie:
1.Metoda algebric ˘a
0≤(a−b)2=⇒2ab ≤a2+b2=⇒4ab ≤a2+2ab +b2=( a+b)2=⇒√
ab ≤a+b
2
2.Metoda geometric ˘a
Fie AC un segment de lungime a +b, |AD |=a,|DC |=b s ¸i desen ˘am un semicerc de dia-
metru AC. Ridic ˘am ˆın triunghi perpendiculara pe |AC |s ¸i not ˘am cu B punctul de intersect ¸ie cu
semicercul.
Din asem ˘anarea triunghiurilor /triangleABD∼/triangle BCD rezult ˘a c ˘aAD
BD =BD
DC s ¸i de aici |BD |=√
ab.
Dac˘a ﬁx ˘am lungimea segmentului AC, care reprezint ˘a suma catetelor a +b s ¸i este constant ˘a
s ¸i mut ˘am punctul D este clar c ˘a segmentul BD va avea lungimea maxim ˘a c ˆand D coincide cu
mijlocul semicercului (BD =a+b
2).
Observatie 4.1.2 Putem generaliza inegalitatea dintre media geometric ˘a s ¸i media aritmetic ˘a:
Fiex1,x2,…,xn>0 atunci
n√x1x2… xn≤x1+x2+… +xn
n(4.1)
cu egalitate dac ˘ax1=x2=… =xn
Demonstratie: Vom demonstra inegalitatea pentru n =3folosindu-ne de demonstrat ¸ia ˆın cazul
n=4cˆand avem:
x1x2x3x4=( x1x2)( x3x4)≤(x1+x2
2)2(x3+x4
2)2=/bracketleftbigx1+x2
2·x3+x4
2/bracketrightbig2≤(x1+x2+x3+x4
4)4. Folosindu-
ne de relat ¸ia anterioar ˘a avem :
(x1x2x3)1
3/bracketleftBig
x1x2x3(x1x2x3)1/3/bracketrightBig1
4≤x1+x2+x3+( x1x2x3)1/3
4
ceea ce implic ˘a3
4(x1x2x3)1/3≤x1+x2+x3
4s ¸i de aici rezult ˘a c ˘a(x1x2x3)1/3≤x1+x2+x3
3.
Observ ˘am c ˘a metoda folosit ˘aˆın cazul n =4se poate folosi s ¸i atunci c ˆand n=8, n =
16 . . . n =2k,k=2,n.
Vom demonstra acum ˆın cazul general .
Presupunem c ˘a inegalitatea a fost demonstrat ˘a pentru n =m+1vom demonstra acum
pentru n=m
(x1x2… xm)1/m=/bracketleftBig
x1x2… xm(x1x2… xm)1/m/bracketrightBig1
m+1≤x1+x2+… +xm+( x1x2… xm)1/m
m+1

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 68
prin urmare (x1x2… xm)1/m(1−1
m+1)≤x1+x2+… +xm
m+1=⇒(x1x2… xm)1
m≤x1+x2+… +xm
ms ¸i de aici
inegalitatea este demonstrat ˘a s ¸i ˆın cazul general.
Inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i geometric ˘a a dou ˘a numere poate ﬁ demonstrat ˘a s ¸i
cu ajutorul instrumentelor din analiz ˘a matematic ˘a prezentate ˆın capitolul al doilea.
3.Metoda a III-a, folosind not ¸iuni de analiz ˘a matematic ˘a.
Vom rezolva urm ˘atoarea problem ˘a de extrem:
Problema 4.1.3 Determinat ¸i:
max f0(x),
unde f 0(x)= x1·x2·… ·xn,x=( x1,x2,…, xn)cu restrict ¸iile f 1(x)= x1+x2+… +xn=1,fi(x)=
xi−1≥0,i=2,… n+1.
Demonstratie: Funct ¸iile f is ¸i derivatele lor part ¸iale sunt continue. Deoarece 0≤xk≤
1,(∀)k∈{ 1,2,… n}mult ¸imea punctelor sale admisibile este m ˘arginit ˘a. Not ˘am ˜x=( ˜x1,˜x2,…, ˜xn)
o solut ¸ie a problemei. Evident ˜xk/negationslash=0ˆın caz contrar f (˜x)= 0dar s ¸tim c ˘a exist ˘a puncte admisi-
bile ˜x pentru care f (˜x)>0.
Vom rezolva aceast ˘a problema folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Funct ¸ia lui Lagrange atas ¸at ˘a este L (x,λ0,λ1)= λ0f1(x)+ λ1f1(x).
Punctele stat ¸ionare se determin ˘a rezolv ˆand sistemul:
∂L
∂xk=0,k=1,2,… n
Not˘am A =˜x1·˜x2·… ·˜xn. Din ∂L
∂xk(˜x,λ0,λ1)= 0avemλ0A
˜xk+λ1=0. Dac ˘aλ1=0atunci λ0=
λ1=0.Dac˘aλ1/negationslash=0atunci ˜xk=−λ0A
λ1ceea ce implic ˘a, datorit ˘a faptului c ˘a˜x1+˜x2+… +˜xn=1,
˜xk=1
n. Deoarece punctul stat ¸ionar este unic, el d ˘a solut ¸ia problemei.
Vom demonstra inegalitatea (4.1). Fie x 1,×2,…, xknumere reale pozitive. Not ˘am S =x1+
x2+… +xns ¸i a k=xk
S. Avem a 1+a2+… +an=1s ¸i, din problema demonstrat ˘a anterior avem
c˘ax1·x2·… ·xn
Sn=a1·a2·… ·an≤1
nns ¸i deci are loc (4.1).
Aceast ˘a inegalitate poate genera urm ˘atoarele consecint ¸e:
Maximul produsului pentru suma constant ˘a
Fie x 1s ¸i x 2dou˘a m ˘arimi a c ˘aror sum ˘a este constant ˘a. Maximul produsului celor dou ˘a m ˘arimi
este atins doar dac ˘a cele dou ˘a m ˘arimi sunt egale. ˆIntr-adev ˘ar s ¸tim c ˘a x 1+x2=S(constant )s ¸i
x1−x2=λ(variabil). Observ ˘am c ˘a x 1=S
2+λ
2,×2=S
2−λ
2s ¸i deci produsul P =x1x2=S2
4−λ2
4
cres ¸te sau descres ¸te dup ˘a cum |λ|cres ¸te sau descres ¸te. Deoarece x 1,x2sunt numere reale
arbitrare, produsul P este maxim dac ˘a s ¸i numai dac ˘aλ=0ceea ce implic ˘a x 1=x2=S
2.
Justiﬁcarea geometric ˘a a acestui rezultat este:
Fie N un punct oarecare pe diametrul AB al unui semicerc. Avem AN +NB =2R=constant .
Pe de alt ˘a parte MN 2=AN ·NB din teorema ˆın ˘alt ¸imii aplicat ˘aˆın triunghiul dreptunghic AMB.
Observ ˘am c ˘a produsul AN ·NB este maxim atunci c ˆand MN este maxim adic ˘a
MN =R=AN =NB .

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 69
Observatie 4.1.3 Se poate da s ¸i o generalizare a rezultatului anterior s ¸i anume: dac ˘a x 1,×2,…, xn
sunt n numere reale pozitive a c ˘aror sum ˘a
x1+x+… +xn=S (4.2)
este constant ˘a, atunci maximul produsului P =x1x2·… ·xneste atins doar dac ˘a x 1=x2=… =
xn.ˆIntr-adev ˘ar dac ˘a(x/prime
1,x/prime
2,…, x/prime
n)este solut ¸ia ecuat ¸iei x 1+x+… +xn=S cu coordonate
distincte, mai putem construi alte n −1solut ¸ii
(x/prime
1+x/prime
2
2,x/prime
1+x/prime
2
2,x/prime
3,…, x/prime
n) (4.3)
(2x/prime
1+x/prime
2
2+x/prime
3
3,2x/prime
1+x/prime
2
2+x/prime
3
3,2x/prime
1+x/prime
2
2+x/prime
3
3,x/prime
4,…, xn/prime) (4.4)
s ¸i analog putem deﬁni s ¸i celelalte solut ¸ii care au respectiv cel put ¸in patru coordonate egale,
cinci coordonate egale etc. Fie P ivaloarea produsului P corespunz ˘atoare ecuat ¸iei (2.i). Se
observ ˘a c ˘a P n>Pn−1>…> P3>P2>P1s ¸i orice alt ˘a solut ¸ie a ecuat ¸iei x 1+x+… +xn=S
d˘a pentru produs o valoare cel mult egal ˘a cu P n=( S
n)n.
Rezultatele anterioare se pot aplica pentru rezolvarea problemelor:
Problema 4.1.4 S˘a se determine maximul funct ¸iei
f:(1
3,1)→R,f(x)=( 3x−1)( 4−2x)( 1−x).
Demonstratie:
Metoda I1Observ ˘am c ˘a f (x)este produsul a trei cantit ˘at ¸i pozitive cu suma constant ˘a s ¸i egal ˘a
cu 4. Pe de alt ˘a parte sistemul 3x−1=4−2x=1−x este incompatibil. Vom ˆınmult ¸i
f(x)cu constantele λ,µaranj ˆandu-le convenabil ˆın partea dreapt ˘a: λ µ f(x)=( 3λx−
λ)( 4µ−2µx)( 1−x). Observ ˘am c ˘a suma expresiilor din cele trei paranteze (3λ−2µ−
1)x+4µ−λ+1, este constant ˘a dac ˘a3λ−2µ−1=0. Din λ(3x−1)= µ(4−2x)= 1−x
rezult ˘a c ˘aλ=1−x
3x−1,µ=1−x
2(2−x)valori care, ˆınlocuite ˆın 3λ−2µ−1=0obt ¸inem ecuat ¸ia
9×2−20 x+9=0cu solut ¸ia acceptabil ˘a x 1=10 −√
19
9≈0,62 .Acesta este punctul de
maxim global al lui f s ¸i max f(x)= f(10 −√
19
9)≈f(0,62 )≈4,43 .
Metoda II 2Studiem variat ¸ia funct ¸iei f (x). Pentru acesta avem f /prime(x)= 18 x2−40 x+18 iar din
rezolvarea ecuat ¸iei f /prime(x)= 0obt ¸inem solut ¸ia acceptabil ˘a x 1=10 −√
19
9≈0,62 punct de
maxim global al funct ¸iei s ¸i max f(x)= f(10 −√
19
9)≈f(0,62 )≈4,43 .
Problema 4.1.5 Dac˘a x 1,×2,…, xnsunt numere reale pozitive cu proprietatea c ˘a x 1+x+… +
xn=S(constant )s ¸i r 1,r2,…, rnsunt numere rat ¸ionale pozitive date, atunci produsul P =xr1
1·
xr2
2·… ·xrnneste maxim doar dac ˘ax1
r1=x2
r2=… =xn
rn.
1metoda se poate folosi ˆın clasa a IX-a
2metoda se poate folosi ˆın clasa a XI-a

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 70
Demonstratie: Vom presupune c ˘a numerele r 1,r 2,…,r ns ¸unt numere naturale s ¸i observ ˘am c ˘a P
este maxim ˆın acelas ¸i timp cu produsul
x1
r1·x1
r1·… ·x1
r1/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft /bracehtipupright·
r1f actori x2
r2·x2
r2·… ·x2
r2·… ·
/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft /bracehtipupright
r2f actori xn
rn·xn
rn·… ·xn
rn/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft /bracehtipupright
rnf actori
care are suma factorilor constant ˘a egal ˘a cu S s ¸i deci ˆıs ¸i atinge maximul doar dac ˘a tot ¸i factorii
s˘ai devin egali, adic ˘ax1
r1=x2
r2=… =xn
rn.
Dac˘a numerele r 1,r 2,…,r nsunt numere rat ¸ionale pozitive, problema se reduce la calculul
precedent, deparece produsul P este maxim odat ˘a cu P m,m>0s ¸i este suﬁcient sa lu ˘am m =
c.m.m.m.c al numitorilor fract ¸iilor r 1,r2,…, rn.
Problema 4.1.6 Determinat ¸i, dintre toate dreptunghiurile de acelas ¸i perimetru p pe acela de
arie maxim ˘a.
Demonstratie: Not˘am cu L lungimea s ¸i cu l l ˘at ¸imea dreptunghiului. Avem L +l=p
2(const.)
s ¸i deci max(Ll )= 1
16 p2iar aceast ˘a valoare se atinge pentru L =l=p
4.
Problema se poate rezolva s ¸i folosind not ¸iuni de extrem pentru funct ¸ia A =Ll =L(p
2−L)=
−L2+p
2L . Calcul ˘am derivata funct ¸iei A (L)s ¸i obt ¸inem A /prime(L) = −2L+p
2. Folosindu-ne de
semnul derivatei obt ¸inem L max=p
4=lmaxs ¸i deci A max=1
16 p2.
Observatie 4.1.4 ˆIn acelas ¸i mod se poate demonstra c ˘a, dintre toate paralelipipedele cu suma
lungimilor tuturor muchiilor constant ˘a, cubul are volumul maxim.
Minimul sumei pentru produs constant
Fie numerele reale pozitive x 1,×2,…, xnpentru care produsul P =x1x2·… ·xneste constant.
Observ ˘am c ˘a suma S =x1+x+… +xneste minim ˘a doar dac ˘a x 1=x2=… =xn=n√
P.
ˆIntr-adev ˘ar, dac ˘a x 1=x2=… =xn=n√
P atunci S =nn√
P. Dac ˘a ar exista o valoare
minS=S0<nn√
P , valoarea S 0ﬁind atins ˘a de exemplu pentru x /prime
1=x/prime
2=… =x/prime
n=S0
nva
rezulta c ˘a produsul x /prime
1x/prime
2·… ·x/prime
n=( S0
n)n<P ceea ce este absurd deoarece, din ipotez ˘a produsul
este constant. ˆIn acelas ¸i mod se arat ˘a c ˘aminS nu poate ﬁ mai mare dec ˆat n n√
P, prin urmare
singura posibilitate va r ˘am ˆaneminS=nn√
P valoare atins ˘a doar dac ˘a x 1=x2=… =xn=n√
P.
Problema 4.1.7 S˘a se determine minimul funct ¸iei f :(0,π
2)→Rdeﬁnit ˘a prin f (x)= a2tgx +
b2ctgx unde a s ¸i b sunt numere reale nenule.
Demonstratie: Deoarece a2tgx ·b2ctgx =a2b2(constant ), f (x)este minim ˘a dac ˘a a 2tgx =
b2ctgx ceea ce implic ˘a tgx =/vextendsingle/vextendsingleb
a/vextendsingle/vextendsinglesau x=arctan/vextendsingle/vextendsingleb
a/vextendsingle/vextendsingle. Avem minxf(x)= a2/vextendsingle/vextendsingleb
a/vextendsingle/vextendsingle+b2/vextendsingle/vextendsingleb
a/vextendsingle/vextendsingle=2|ab |.
Problema 4.1.8 Ar ˘atat ¸i c ˘a, dintre toate dreptunghiurile de arie dat ˘a p ˘atratul are perimetrul
minim.
Demonstratie: Not˘am cu L ,l lungimea, respectiv l ˘at ¸imea dreptunghiului. Din ipotez ˘a avem
LI =constant s ¸i deci suma L +l este minim ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a L =l. Problema poate
ﬁ generalizat ˘a sub forma: dintre toate paralelipipedele cu volum dat cel cu suma lungimilor
tuturor laturilor este cubul.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 71
Inegalitatea dintre media aritmetric ˘a s ¸i media patratic ˘a
Problema 4.1.9 Fie x 1,×2,… xnnumere reale, atunci are loc
x1+x2+… +xn
n≤/radicalBig
x2
1+x2
2+… +x2n
inegalitatea devine egalitate dac ˘a x 1=x2=… =xn
Demonstratie: Din0≤(a+b)2rezult ˘a c ˘a2ab ≤a2+b2. Avem
(x1+x2+… +xn
n)2=x2
1+… +x2n+2x1x2+2x1x3+… +2xn−1xn
n2 ≤x2
1+… +x2n+x2
1+x2
3+… +x2
n−1+x2n
n2 =x2
1+x2
2… +x2n
n
Aceast ˘a inegalitate ˆımpreun ˘a cu inegalitatea dintre media geometric ˘a s ¸i aritmetic ˘a ne con-
duce la urm ˘atoarea inegalitate:
n√x1x2… xn≤(x2
1+… +x2n
n)1/2unde∀x1,x2>0.
Observatie 4.1.5 ˆIn particular pentru n =2avem√x1x2≤/radicalBig
x2
1+x2
2
2care are urm ˘atoarea inter-
pretare geometric ˘a: Dintre toate dreptunghiurile ˆınscrise ˆıntr-un cerc p ˘atratul are aria cea mai
mare. Acest ˘a problem ˘a are cel put ¸in dou ˘a interpret ˘ari geometrice: 3:
1. Dintre toate paralelipipedele ˆınscrise ˆıntr-o sfer ˘a, g ˘asit ¸i-o pe cea cu cel mai mare volum.
2. Dintre toate cilindrele ˆınscrise ˆıntr-o sfer ˘a determinat ¸i cilindrul cu cel mai mare volum.
Folosind uneltele analizei matematice avem:
Problema 4.1.10 Fie funct ¸iile
f0(x)= x1+x2+… +xn
f1(x)= x2
1+x2
2+… +x2
n=1
unde x=( x1,x2,…, xn).
Vom rezolva urm ˘atoarea problem ˘a:
max f0(x)
cu restrict ¸ia f 1(x)= 1.
Demonstratie: Suntem ˆın urm ˘atoarele ipoteze: funct ¸iile f 0s ¸i f 1s ¸i derivatele lor part ¸iale
sunt continue, −1≤xk≤1,(∀)k∈{1,2,…, n}ceea ce implic ˘a faptul c ˘a mult ¸imea punctelor
admisibile este m ˘arginit ˘a. Aceste ipoteze duc la faptul c ˘a exist ˘a solut ¸ia problemei. Vom aplica
metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Consider ˘am funct ¸ia lui Lagrange L (x,λ0,λ1)= λ0f0(x)+ λ1f1(x).
Conform teoremei (2.6.4) punctele stat ¸ionare se determin ˘a rezolv ˆand sistemul ∂L
∂xj=0,j∈
{1,2,…, n}.
Din∂L
∂xj(˜x,λ0,λ1) = λ0+2λ1˜xj=0,avem ˜xj=−λ0
2λ1(λ1/negationslash=0,ˆın caz contrar L =0) ceea
ce implic ˘a˜x1=˜x2=… =˜xn=1√npentru ˜x12+˜x22,…, ˜xn2=1. Deoarece avem un singur
punct stat ¸ionar, rezult ˘a c ˘a acesta este s ¸i solut ¸ia problemei. Putem demonstra acum inegalitatea
cerut ˘a:
3Problemele lui Kepler vor ﬁ tratate ˆın sect ¸iunea 4.3.1.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 72
Fie a 1,a2,… annumere reale oarecare. Not ˘am S =/radicalBig
a2
1+a2
2+… +a2ns ¸i x j=aj
S. Atunci
x2
1+x2
2+… +x2
n=1. Folosind problema rezolvat ˘a anterior avem c ˘a, a1+a2+… +an
S=x1+x2+
… +xn≤n√n=√n . De aici rezult ˘a c ˘a
a1+a2+… +an
n≤S√n=/radicalBigg
a2
1+a2
2+… +a2n
n
ceea ce coincide cu rezultatul c ˘autat.
Observatie 4.1.6 Inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i cea p ˘atratic ˘a, ˆımpreun ˘a cu inegalita-
tea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media geometric ˘a duc la urm ˘atoarea inegalitate
n√a1·a2·… ·an≤/parenleftbigga2
1+a2
2+… +a2
n
n/parenrightbigg1
2
Observatie 4.1.7 De asemenea se poate demonstra s ¸i urm ˘atoarea inegalitate ˆın cazul general:
Fie a 1,a2,… annumere reale pozitive. Not ˘am S p=/parenleftBigap
1+ap
2+… +ap
n
n/parenrightBig1
ps ¸i ∑
p=ap
1+ap
2+… +ap
n
atunci S p≤Sqdac˘a p ≤q s ¸i ∑
p≤∑
qdac˘a p ≥q. Observ ˘am c ˘a, anterior s-a demonstrat c ˘a
S1≤S2.
Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz
Problema 4.1.11 Fie numerele a 1,a2,… an,b1,b2,… bnnumere reale. Are loc
a1b1+a2b2+… +anbn≤(a1+… +a2
n)1/2(b2
1+… +b2
n)1/2,∀a1,a2,… an,b1,b2,… bn∈R(4.5)
Dac˘a a 1=b1,a2=b2,… an=bnatunci inegalitatea devine egalitate.
Demonstratie:
Dac˘a b 1=b2… =bn=0atunci nu mai avem nimic de demostrat.
Presupunem c ˘a nu toate elementele b 1,b2… bnsunt zero. Pentru un x arbitrar avem
(a1+xb 2
1)2+( a2+xb 2
2)2+… +( an+xb 2
n)2=
=a2
1+a2
2+… +a2
n+x(2a1b1+2a2b2+…. +2anbn)+ x2(b2
1+b2
2+… +b2
n/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft /bracehtipupright
a)= ax 2+2bx +c.
Evident a >0s ¸i ∀x avem ax 2+2bx +c≥0⇐⇒ 4b2−4ac ≤0⇐⇒ b2≤ac inegalitate ce
demonstreaz ˘a cerint ¸a.
Observatie 4.1.8 Inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski – Schwarz are multe aplicat ¸ii ˆın pro-
bleme de extrem din geometrie. Exempliﬁc ˘am cu urm ˘atoarea problem ˘a:
Problema 4.1.12 ˆIn interiorul unui triunghi oarecare ABC se consider ˘a un punct M care se
proiecteaz ˘a pe dreptele BC ,CA ,AB respectiv ˆın P ,Q,R. S ˘a se precizeze pozit ¸ia punctului M
pentru care suma BC
MP +CA
MQ +AB
MR este minim ˘a.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 73
Demonstratie: Not˘am BC =a,AC =b,AB =c s ¸i a +b+c=2p,MP =x,PQ =y,MR =z
obt ¸inem BC
MP +CA
MQ +AB
MR =a
x+b
y+c
z. Din S =S/triangleABC +S/triangleCMA +S/triangleAMB =ax
2+by
2+cz
2de unde
rezult ˘a c ˘a
ax +by +cz =2S. (4.6)
Folosim inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz pentru √ax ,√by ,√cz s ¸i /radicalbiga
x,/radicalBig
b
y,/radicalBig
c
z, s ¸i
avem(√ax ·/radicalbiga
x+√by ·/radicalBig
b
y+√cz ·/radicalBig
c
z)2≤(ax +by +cz )( a
x+b
y+c
z)de unde obt ¸inem ine-
galitateaa
x+b
y+c
z≥(a+b+c)2
ax +by +cz de unde rezult ˘a c ˘aa
x+b
y+c
z≥4p2
2S. Av ˆandˆın vedere c ˘a S =pr
va rezulta c ˘aa
x+b
y+c
z≥2p
r. Prin urmare min(a
x+b
y+c
z)= 2p
rcˆand, x=y=z=r deoarece,
dac˘aˆınlocuim x =y=zˆın 4.6 obt ¸inem (a+b+c)x
2=S de unde px =S s ¸i x =S
p=r.
Concluzie: M este centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC
Amintim s ¸i alte probleme care au o rezolvare mai simpl ˘a prin aplicarea inegalit ˘at ¸ii 4.5
Problema 4.1.13 Se consider ˘a triunghiul ascut ¸itunghic ABC. S ˘a se determine pozit ¸ia punctului
M∈Int (ABC )pentru care suma BP 2+CQ 2+AR 2este minim ˘a , unde P ,Q,R sunt proiect ¸iile
lui M respectiv pe BC ,AC ,AB.
Problema 4.1.14 Fie [ABCD] un tetraedru s ¸i M un punct interior tetraedrului, ale c ˜arui distant ¸e
la fet ¸ele tetraedrului sunt x ,y,z,w. Determinat ¸i pozit ¸ia punctului M pentru care x 2+y2+z2+w2
este minim ˜a s ¸i evaluas ¸i acest minim.
Inegalitatea 4.5 poate ﬁ demonstrat ˘a s ¸i folosind elemente de analiz ˘a matematic ˘a.
Problema 4.1.15 Fie a 1,a2,… annumere reale ﬁxate, nu toate egale cu zero.
Consider ˘am problema de extrem
max f0(x),f0(x)= a1x1+a2x2+… +anxn
f1(x)= x2
1+x2
1+… +x2
n=B2,x=( x1,x2,…, xn)
Demonstratie: Funct ¸iile f 0,f1s ¸i derivatele lor part ¸iale sunt continue, s ¸i, deoarece
−B≤xj≤B,(∀)j=1,2,…, n
mult ¸imea punctelor admisibile este m ˘arginit ˘a s ¸i problema are solut ¸ie.
Vom aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Consider ˘am funct ¸ia lui Lagrange
L(x,λ0,λ1)= λ0f0(x)+ λ1f1(x)
Aplic ˘am teorema (2.6.4). Not ˘am A =/parenleftbig
a2
1+a2
1+… +a2
n/parenrightbig1
2
Determin ˘am punctele stat ¸ionare rezolv ˆand sistemul∂L
∂xj=0,j∈{1,2,…, n}.
Din∂L
∂xj(˜x,λ0,λ1) = λ0aj+2λ1˜xj=0,avem ˜xj=−λ0aj
2λ1=Ca j,j∈{1,2,…, n}(λ1/negationslash=0,ˆın
caz contrar L =0). Deoarece ˜x12+˜x22+… +˜xn2=B2rezult ˘a c ˘a C 2(a2
1+a2
2+… +a2
n)= B2
s ¸i deci C =±B
AAvem dou ˘a puncte stat ¸ionare iar solut ¸ia este punctul corespunz ˘ator valorii
pozitive ˜xj=Ba j
A,j∈{1,2,…, n}.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 74
Fie acum b 1,b2,…, bnn numere reale oarecare s ¸i B 2=b2
1+b2
2+… +b2
n. Din problema
rezolvat ˘a anterior avem
a1b1+a2b2+… +anbn≤a1Ba 1
A+a2Ba 2
A+… +
+anBa n
A=AB =/parenleftbig
a2
1+a2
2+… +a2
n/parenrightbig1
2·/parenleftbig
b2
1+b2
2+… +b2
n/parenrightbig1
2
s ¸i deci inegalitatea este demonstrat ˘a.
Inegalitatea lui H¨older
Problema 4.1.16 Dac˘a a 1,a2,… an,b1,b2,… bn>0atunci pentru p >1,p/prime=p
p−1(1
p+1
p/prime=1)
avem
a1b2+… +anbn≤(ap
1+ap
2+… +ap
n)1
p(bp/prime
1+bp/prime
2+… +ap/prime
n)1
p/prime(4.7)
Demonstratie: Pentru demostrat ¸ie consider ˘am funct ¸iile y =xp−1s ¸i x =yp/prime−1. Observ ˘am c ˘a
cele dou ˘a funct ¸ii sunt una inversa celeilate.
Alegem a ,b>0atunci´a
0xp−1dx =xp
p|a
0=ap
p´b
0yp/prime−1dx =bp/prime
p/prime
Consider ˘am graﬁcul funct ¸iei y =xp−1:
Observ ˘am c ˘a
ap
preprezint ˘a aria triunghiului curbiliniu vertical
bp/prime
p/primereprezint ˘a aria triunghiului curbiliniu orizontal
Observ ˘am c ˘a indiferent de dispunerea lui a s ¸i b suma dintre ariile acestor triunghiuri este
mai mic ˘a dec ˆat aria dreptunghiului cu laturile a ,b.
De asemenea egalitatea este posibil ˘a doar dac ˘a a p−1=b. Aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a pentru
dou˘a numere negative a s ¸i b avem
ab ≤ap
p+bp/prime
p(4.8)
Fie a 1,a2,… an,b1,b2,… bn>0numere oarecare negative.
Dac˘a b 1=b2=… =bn=⇒(4.7)
Presupunem c ˘a A =( ap
1+… +ap
n)1
p/negationslash=0, B =( bp/prime
1+… +bp/prime
n)1
p/prime/negationslash=0

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 75
Dac˘a not ˘am x k=ak
As ¸i y k=yk
Bˆın (4.8) avem
xkyk≤ap
k
pA p+bp/prime
k
p/primeBp/prime,k=1,n
Adun ˆand aceste inegalit ˘at ¸i s ¸i folosind faptul c ˘a1
p+1
p/prime=1s ¸i
ap
1+… +ap
n=Ap, b p/prime
1+… +bp/prime
n=Bp/primeobt ¸inem
x1y1+… +xnyn≤1=⇒a1b1+… +anbn≤AB =⇒
a1b1+… +anbn≤(ap
1+… +ap
n)1/p(bp/prime
1+… +bp/prime
n)1/p/prime
s ¸i deci inegalitatea este demonstrat ˘a.
Vom demonstra acum aceast ˘a inegalitatea folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange
(teorema 2.6.4).
Problema 4.1.17 Fie problema de extrem:
max f0(x),f0(x)= a1x1+a2x2+… +anxn
f1(x)= |x1|p+|x2|p+… +|xn|p=B2,ai>0,x=( x1,x2,…, xn)
Demonstratie: Funct ¸ia lui Lagrange va ﬁ L (x,λ0,λ1)= λ0f0(x)+ λ1f1(x).
Not˘am A =/parenleftBig
ap/prime
1+ap/prime
1+… +ap/prime
n/parenrightBig1
p/prime,unde1
p+1
p/prime=1.
Determin ˘am punctele stat ¸ionare rezolv ˆand sistemul ∂L
∂xj=0,j∈{1,2,…, n}.
Din∂L
∂xj(˜x,λ0,λ1)= λ0aj+pλ1/vextendsingle/vextendsingle˜xj/vextendsingle/vextendsinglep−1sign(xj)= 0,avem ˜xj=Ca p/prime−1
j∈{1,2,…, n}(λ1/negationslash=
0,ˆın caz contrar L =0). Deci C =±Ba p/prime−1
j
Ap/prime
p,j∈{1,2,…, n}.
Fie acum b 1,b2,…, bnn numere reale pozitive oarecare . Din problema rezolvat ˘a anterior
avem
a1b1+a2b2+… +anbn≤a1Ba p/prime−1
1
Ap/prime
p+a2Ba p/prime−1
2
Ap/prime
p+… +anBa p/prime−1
n
Ap/prime
p=Ap/prime(1−1
p)B
s ¸i deci inegalitatea este demonstrat ˘a.
Alte inegalit ˘at ¸i deosebite ˆıntˆalnite ˆın activitatea didactic ˘a care se pot rezolva us ¸or cu ajuto-
rul teoremei (2.4.1) sunt:
Problema 4.1.18 Dac˘a a ,b,c>0,ax+bx+cx≥3,(∀)x∈R, atunci abc =1.
Demonstratie: Se consider ˘a funct ¸ia f :R→R,f(x) = ax+bx+cx, pentru care f (0) = 3.
Cum din ipotez ˘a f (x)≥f(0)= 3,(∀)x∈Rse deduce, conform deﬁnit ¸iei unui punct de minim,
c˘a punctul x 0=0este punct de minim pentru funct ¸ia f . Conform teoremei lui Fermat(2.4.1)
derivata ˆın acest punct este nul ˘a adic ˘a f /prime(0)= 0. Dar f /prime(x)= axln a+bxln b+cxln c. As ¸adar
ln a+ln b+ln c=0sauln abc=0, sau ˆınc˘a abc =1.
Problema 4.1.194Dac˘a a i>0,i=1… n,s ¸i n
∑
i=1ax
i≥n
∑
i=1ai,∀x∈Ratunci ∏aai
i=1.
4Generalizarea problemei (4.1.18)

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 76
Demonstratie: Se consider ˘a funct ¸ia f (x)= n
∑
i=1ax
i. Este us ¸or de observat c ˘a f (1)= a1+a2+
… +ans ¸i deci relat ¸ia dat ˘a devine: f (x)≥f(1),(∀)x∈R, ceea ce arat ˘a c ˘a, punctul x =1este
punct de minim pentru f . Conform teoremei lui Fermat(2.4.1) rezult ˘a c ˘a f /prime(1)= 0,dar
f/prime(x)= ax
1ln a1+ax
2ln a2+… +ax
nln an
s ¸i atunci f /prime(1)= a1ln a1+a2ln a2+… +anln aniar de aici rezult ˘a c ˘a∏aai
i=1.
Problema 4.1.20 Comparat ¸i numerele e πsi πe.
Demonstratie: Consider ˘am funct ¸ia f :[e,+∞)→R;f(x) = ln x
x. Calcul ˘am derivata funct ¸iei
f s ¸i obt ¸inem f /prime(x)= 1−ln x
x2. Studiem semnul derivatei funct ¸iei f . Deoarece derivata funct ¸iei f
are proprietatea f /prime(x)<0,(∀)x∈(e,+∞)s ¸i f este continu ˘a pe [e,+∞)rezult ˘a c ˘a funct ¸ia f este
strict descresc ˘atoare pe [e,+∞). Prin urmare, deoarece e <πse obt ¸ine f (e)>f(π)s ¸i deci
eπ>πe.
Problema 4.1.215Aﬂat ¸i m ∈Rpentru care este adev ˘arat ˘a inegalitatea:
(1+x)n≥1+mx (4.9)
(∀)x∈(−1,+∞), unde n este num ˘ar natural ﬁxat.
Demonstratie: Fie f :(−1,+∞)→R,f(x)=( 1+x)n−1−mx. Din ipotez ˘a avem f (x)≥0,
∀x>−1. Dar f (0) = 0, rezult ˘a c ˘a zero este punct de minim f /prime(0) = 0.ˆIns˘a f /prime(x) = n(1+
x)n−1−m. Deci, conform teoremei lui Fermat (2.4.1) avem f /prime(0)= n−m=0⇐⇒ m=n.
Problema 4.1.22 Demonstrat ¸i c ˘a, pentru orice x >−1s ¸i α>1are loc inegalitatea (1+x)α≥
1+αx. ˆIn plus, egalitatea are loc numai pentru x =0.
Demonstratie: Consider ˘am funct ¸ia f (x)=( 1+x)α−1−αx,(x∈[−1; +∞)) , unde α>1s ¸i
αﬁxat ˆın continuare. Calcul ˘am derivata acestei funct ¸ii: f /prime(x)= α(( 1+x)α−1−1),(x>−1).
Deoarece α>1, rezult ˘a c ˘a f /prime(x)<0pentru x∈(−1;0 )s ¸i f /prime(x)>0pentru x∈(0; +∞)s ¸i prin
urmare funct ¸ia f este descresc ˘atoare pe [−1;0 ]s ¸i cresc ˘atoare pe [0; +∞). De aici, putem aﬁrma
c˘a, pentru orice x ∈[−1,+∞)−{ 0}are loc inegalitatea f (x)>f(0), adic ˘a(1+x)α−1−αx>
1−1sau(1+x)α>1+αx,(x∈[−1;0 )∪(0; +∞),α>1). R ˘am ˆane de observat c ˘a pentru x =0
se obt ¸ine (1+x)α=1+αx.6
Not˘a. Similar se demonstreaz ˘a s ¸i inegalit ˘at ¸ile (1+x)α≤1+αx,x≥− 1s ¸i 0<α<1
(1+x)α≥1+αx,x≥− 1s ¸i α<0.
Problema 4.1.23 S˘a se arate c ˘a oricare ar ﬁ p 1,p2,…, pn∈I ,I = ( −∞,0)sau I= ( 1,+∞),
x1,x2,…, xn∈J , J =( −1,0]sau J=[ 0,+∞), n ≥1avem
(1+x1)p1(1+x2)p2·. . . ·(1+xn)pn≥1+p1x1+p2x2+… +pnxn
5Inegalitatea lui Bernoulli
6Inegalitatea din problema anterioar ˘a apare s ¸i ˆın varianta V75 propus ˘a de MECTS pentru examenul de bacala-
ureat 2009

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 77
Demonstratie: ˆIn ﬁecare din cazurile I =( −∞,0), s ¸i J =[ 0,+∞)s ¸i I =( 1,+∞), J =( −1,0]
avem p ixi≤0,∀i∈ { 1,2,…, n}. Dac ˘a pentru un i ∈ { 1,2,…, n}avem p ixi≤ − 1, atunci
inegalitatea dat ˘a este veriﬁcat ˘a deoarece avem 0≥1+pixi≥1+p1x1+p2x2+… +pnxn.
S˘a consider ˘am atunci cazul ˆın care p ixi∈(−1,0],∀i∈ { 1,2,…, n}. Folosind inegalitatea lui
Bernoulli(4.9), avem (1+x1)p1(1+x2)p2·. . . ·(1+xn)pn≥(1+p1x1)( 1+p2x2)·. . . ·(1+
pnxn)≥1+p1x1+p2x2+… +pnxn. Constat ˘am c ˘a aceasta demonstrat ¸ie rezist ˘a s ¸i ˆın cazul
I=( 1,+∞),J =[ 0,+∞), ca s ¸i ˆın cazul I =( −∞,0), J =( −1,0]. Egalitatea se veriﬁc ˘a pentru
Problema 4.1.247Dac˘a p ,q∈R−{ 0,1}au proprietatea 1
p+1
q=1iar a s ¸i b sunt numere
reale pozitive, atunci sunt adev ˘arate inegalit ˘at ¸ile:
ab ≤ap
p+aq
qpentru p>1s ¸i ab ≥ap
p+aq
qpentru p<1.
Mai mult, inegalitatea devine egalitate dac ˘a s ¸i numai dac ˘a a p=bq.
Demonstratie: Vom studia cazul p >1. Fix ˘am un num ˘ar pozitiv a (a>0)s ¸i studiem variat ¸ia
funct ¸iei f :(0,+∞)→R, f (b)= ap
p+aq
q−ab a c ˘arei derivat ˘a este f /prime(b)= bq−1−a, de unde
obt ¸inem c ˘a b =a1
q−1este un punct de minim local s ¸i deci are loc inegalitatea f (b)≥f(a1
q−1)
pentru b>0, de unde folosindu-ne de ipoteza 1
p+1
q=1, obt ¸inem inegalitatea ab ≤ap
p+aq
q. Mai
mult, observ ˘am c ˘a egalitatea are loc numai ˆın cazul ˆın care b =a1
q−1ceea ce implic ˘a a p=bq.
Cea de a doua inegalitate a problemei se demonstreaz ˘aˆın mod similar.
Problema 4.1.25 S˘a se arate c ˘a s ¸irul x n=1+1
2+… +1
neste nem ˘arginit.
Demonstratie: Vom demonstra mai ˆıntˆai inegalitatea ln (1+x)≥x,(x>0). Pentru aceasta,
consider ˘am funct ¸ia f :[0; +∞)→R,f(x)= x−ln (1+x). Funct ¸ia f este continu ˘a pe domeniul
de deﬁnit ¸ie, s ¸i pentru orice x ∈(0; +∞)are loc egalitatea f /prime(x) = x
x+1de unde deducem c ˘a
f/prime(x)>0,∀x∈(0; +∞). Prin urmare, funct ¸ia f este o funct ¸ie strict cresc ˘atoare pe domeniul de
deﬁnit ¸ie D f, s ¸i deci f (x)≥f(0),∀x≥0, de unde s ¸i rezult ˘a inegalitatea ln (1+x)≥x,(x>0).
ˆIn aceast ˘a inegalitate se consider ˘a x =1
n,n=1,2,… s ¸i se obt ¸ine
ln (1+1
n)≥1
nsauln (n+1)−ln n≤1
npentru n =1,2,. . . .Din ultima inegalitate, prin
sumare se obt ¸ine inegalitatea ln (n+1)≤1+1
2+… +1
n
Deoarece lim
n→∞ln (n+1) = ∞din ultima inegalitate rezult ˘a c ˘a s ¸irul numeric x n=1+1
2+
… +1
neste nem ˘arginit. 8
Problema 4.1.269S˘a se demonstreze inegalitatea |sin x|≤|x|,∀x∈R
Demonstratie: Vom folosi faptul c ˘a funct ¸iile f (x)= |sinx|s ¸i g (x)= |x|sunt funct ¸ii pare. Este
suﬁcient de demonstrat inegalitatea cerut ˘a pentru x ≥0.ˆIn plus, deoarece |sinx| ≤ 1, va ﬁ
suﬁcient de studiat cazul 0≤x≤1. Pentru aceasta, consider ˘am funct ¸ia f :[0;1 ]→R,f(x)=
x−sinx. Derivata funct ¸iei f este f /prime(x)= 1−cosx,∀x∈[0;1 ].ˆIn baza m ˘arginirii funct ¸iei cosinus
(|cosx|≤ 1; ∀x∈R), deducem c ˘a f /prime(x)≥0, care la r ˆandul s ˘au implic ˘a faptul c ˘a funct ¸ia f este
monoton cresc ˘atoare pe domeniul s ˘au de deﬁnit ¸ie, s ¸i deci are loc inegalitatea f (x)≥f(0),∀x∈
[0;1 ], sau x −sinx≥0,∀x∈[0;1 ]) de unde rezult ˘a inegalitatea cerut ˘a.
7Inegalitatea W. Young
8Inegalitatea din problema anterioar ˘a apare s ¸i ˆın variantele V41 s ¸i V71 propuse de MECTS pentru examenul
de bacalaureat 2009
9Inegalitatea din problema anterioar ˘a apare s ¸i ˆın variantele V9 s ¸i V24 propuse de MECTS pentru examenul de
bacalaureat 2009

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 78
Problema 4.1.27 S˘a se arate c ˘a, dac ˘a a ,b,c>0, atunci a 2(b−c)+ b2(c−a)+ c2(a−b)>0
pentru a>b>c.
Demonstratie: Folosim monotonia funct ¸iei f :[0; +∞)→R de forma f (t) = ( b+t)2(b−
c)+ b2(c−(b+t))+ c2(( b+t)−b), unde a ,b,c sunt parametri reali ce veriﬁc ˘a inegalitatea
a>b>c. Vom avea c ˘a funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare pe [0; +∞), s ¸i deci are loc inegalitatea
f(a−b)>f(0). Ultima inegalitate este echivalent ˘a cu inegalitatea din enunt ¸.
Problema 4.1.28 S˘a se demonstreze c ˘a4/radicalBig
a+3/radicalbig
b+√c/greaterorequalslant40 √
abc, unde a ,b,c≥010
Demonstratie: Inegalitatea se poate scrie sub forma:
/parenleftbigg
a+3/radicalBig
b+√c/parenrightbigg10
/greaterorequalslantabc
Consider ˘am f (x)= /parenleftBig
x+3/radicalbig
b+√c/parenrightBig10
−xbc , x /greaterorequalslant0.
Trebuie s ˘a ar ˘at ˘am c ˘a f (a)/greaterorequalslant0.Avem:
f/prime(x)= 10 /parenleftbigg
x+3/radicalBig
b+√c/parenrightbigg9
−bc
nu putem studia semnul lui f /prime.Calcul ˘am:
f/prime/prime (x)= 90 /parenleftbigg
x+3/radicalBig
b+√c/parenrightbigg8
≥0=⇒f/prime(x)
este o funct ¸ie cresc ˘atoare s ¸i atunci
f/prime(x)≥f/prime(0)= 10 /parenleftbig
b+√c/parenrightbig3−bc
trebuie ar ˘atat acum c ˘a f /prime(0)/greaterorequalslant0
Consider ˘am g (y)= 10 (y+√c)3−yc ,y≥0. Avem:
g/prime(y)= 30 /parenleftbig
y+√c/parenrightbig2−c
g/prime/prime (y)= 60 /parenleftbig
y+√c/parenrightbig
>0=⇒
g/primeeste cresc ˘atoare=⇒g/prime(y)≥g/prime(0)= 29 ,c≥0=⇒g cresc ˘atoare. Acest lucru implic ˘a
g(b)≥g(0)= 10 c3/2≥0=⇒f/prime(x)≥0de unde deducem c ˘a funct ¸ia f este cresc ˘atoare
=⇒f(a)≥f(0)= /parenleftbigg
3/radicalBig
b+√c/parenrightbigg10
≥0
ceea ce ne demonstreaz ˘a inegalitatea. Pentru egalitate trebuie s ˘a avem a =b=c=0.
Problema 4.1.29 S˘a se demonstreze c ˘a a 6+b6+c6+3a2b2c2≥2/parenleftbig
a3b3+b3c3+c3a3/parenrightbig
, unde
a,b,c≥0.
10 Inegalitatea lui R.Bairac s ¸i M. Teleuca

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 79
Demonstratie: F˘ar ˘a a restr ˆange generalitatea, s ˘a presupunem c ˘a a ≥b≥c. Alegem
f:[b,+∞)→R,f(x)= x6+b6+c6+3x2b2c2−2(x3b3+b3c3+c3x3)
avem de ar ˘atat c ˘a f (a)≥0.
Studiem variat ¸ia funct ¸iei f . Avem f /prime(x) = 6×5+6xb 2c2−6x2b3−6x2c3. Cum nu putem
decide semnul lui f/prime, apel ˘am la semnul derivatei a doua. Avem: f /prime(x)= 30 x4+6b2c2−12 xb 3−
12 xc 3=12 x(x3−b3)+ 12 x(x3−b3)+ 6×4+6b2c2>0, ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a f /primeeste strict
cresc ˘atoare s ¸i atunci f /prime(x)>f/prime(b)= 6b3c2−6b2c3=6b2c2(b−c)≥0.
Deci f este cresc ˘atoare s ¸i
f(a)≥f(b)= 3b4c2+c6−4b3c3=c2(b−c)2(3b2+3bc +c2)≥0.
Inegalitatea este demonstrat ˘a s ¸i ne mai ram ˆane de analizat cazul de egalitate. Pentru b >c
funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare deoarece f /prime(x)≥f/prime(b)= 0este veriﬁcat ˘a cu egal pentru x =b.
Deci inegalitatea noastr ˘a se transform ˘aˆın egalitate pentru a =b=c.
Problema 4.1.3011 Pentru orice numere p 1,p2,…., pn,x1,x2,…, xn>0,p1+p2+… +pn=1
avem p 1×1+p2x2+… +pnxn≥xp1
1xp2
2·… ·xpnn,n≥2.
Demonstratie: Vom demonstra prin induct ¸ie matematic ˘a complet ˘a.
S˘a presupunem c ˘a pentru un n ≥2inegalitatea este adevarat ˘a pentru orice
p1,p2,…., pn,x1,x2,…, xn>0cu p 1+p2+… +pn=1.
S˘a demonstr ˘am valabilitatea inegalit ˘at ¸ii ˆın cazul n +1.
Fie p 1,p2,…., pn,x1,x2,…, xn,xn+1>0cu p 1+p2+… +pn+pn+1=1.
Avem:
p1x1+p2x2+… +pnxn+pn+1xn+1=p1x1+p2x2+… +pn−1xn−1+( pn+pn+1)≥
≥xp1
1xp2
2·… ·xpn−1
n−1(pnxn+pn+1xn+1
pn+pn+1)pn+pn+1
Am folosit inegalitatea din ipoteza inductiv ˘a , av ˆand pe post de p 1,p2,…., pn, numerele
p1,p2,…., pn−1,pn+pn+1iar pe post de x 1,×2,…, xnnumerele x 1,×2,…, xn−1,pnxn+pn+1xn+1
pn+pn+1.
Egalitatea are loc pentru x 1=x2=… =xn−1=pnxn+pn+1xn+1
pn+pn+1. Ne mai r ˘am ˆane de demonstrat
inegalitatea xp1
1xp2
2·… ·xpn−1
n−1(pnxn+pn+1xn+1
pn+pn+1)pn+pn+1≥xp1
1xp2
2·… ·xpn+1
n+1echivalent ˘a cu inegalita-
tea
(pnxn+pn+1xn+1
pn+pn+1)pn+pn+1≥xpnnxpn+1
n+1
⇐⇒pn
pn+pn+1xn+pn+1
pn+pn+1xn+1≥xpn
pn+pn+1n·xpn+1
pn+pn+1
n+1
Aceasta este inegalitatea init ¸ial ˘aˆın cazul ˆın care n =2av ˆandˆın loc de p 1,p2numerele
pn
pn+pn+1,pn+1
pn+pn+1
11 Inegalitatea ponderat ˘a a mediilor

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 80
iarˆın loc de x 1,x2pe x n,xn+1.ˆInseamn ˘a c ˘a, pentru a ne reus ¸i induct ¸ia e nevoie s ˘a de-
monstr ˘am inegalitatea ˆın cazul n =2. S ˘a ar ˘at ˘am atunci c ˘a p 1×1+p2x2≥xp1
1xp2
2, unde
p1+p2=1, p 1,p2,x1,x2>0. Alegem f (t) = p1x1+p2t−xp1
1tp2,t>0avem de ar ˘atat c ˘a
f(x2)≥0. S ˘a studiem variat ¸ia lui f : f /prime(t)= p2−p2xp1
1tp2−1=p2−p2·(x1
t)p1Cum f /prime(t)=
0dac˘a s ¸i numai dac ˘a t =x1avem f/prime(t)<0pe intervalul (0,×1)s ¸i f /prime(t)>0pe intervalul
(x1,+∞), deducem c ˘a f are ˆın t =x1un punct de minim s ¸i atunci f (t)≥f(x1) = p1x1+
p2x2−xp1
1xp2
2=x1−x1=0s ¸i ˆın particular f (x2)≥0, inegalitate care se veriﬁc ˘a cu egal pen-
tru x 1=x2. Demonstrat ¸ia prin induct ¸ie se ˆıncheie constat ˆand c ˘aˆın cazul n +1inegalitatea se
veriﬁc ˘a cu egal c ˆand x 1=x2=… =xn+1.
Inegalitatea lui Minkowski
Problema 4.1.31 Dac˘a a 1,a2,b1,b2sunt numere reale, atunci are loc
/radicalBig
(a1−b1)2+( a2−b2)2≤/radicalBig
a2
1+a2
2+/radicalBig
b2
1+b2
2(4.10)
inegalitatea devine egalitate dac ˘aa1
b1=a2
b2
Demonstratie: Vom demonstra inegalitatea prin dou ˘a metode. Prima dintre ele este:
Ridic ˘am ambii termeni ai inegalit ˘at ¸ii la puterea a doua s ¸i, dup ˘a reducerea termenilor ase-
menea obt ¸inem:
−a1b1−a2b2≤/radicalBig
(a2
1+a2
2)( b2
1+b2
2)
Dac˘a membrul st ˆang este negativ, atunci inegalitatea este adev ˘arat ˘a deoarece membrul drept
este pozitiv. Dac ˘a membrul st ˆang este pozitiv, atunci prin ridicare la p ˘atrat obt ¸inem
(a1b1)2+2a1b1a2b2+( a2b2)2≤(a1b1)2+( a1b2)2+( a2b1)2+( a2b2)2
sau0≤(a1b1+a2b2)2ceea ce este adev ˘arat. Avem egalitate pentru a1
b1=a2
b2.
A doua metod ˘a va folosi rolul derivatei ˆıntˆai.
Avem de demonstrat c ˘a/parenleftbig
(a1−b1)2+( a2−b2)2/parenrightbig1
2≤/parenleftbig
a2
1+a2
2/parenrightbig1
2+/parenleftbig
b2
1+b2
2/parenrightbig1
2. Inegalitatea
este echivalent ˘a cu /parenleftbigg
a2
1/parenleftBig
1−b1
a1/parenrightBig2
+a2
2/parenleftBig
1−b2
a2/parenrightBig2/parenrightbigg1
2
≤/parenleftbig
a2
1+a2
2/parenrightbig1
2+/parenleftbigg
a2
1/parenleftBig
b1
a1/parenrightBig2
+a2
2/parenleftBig
b2
a2/parenrightBig2/parenrightbigg
.ˆIn aceast ˘a ine-
galitate, dac ˘a not ˘am x i=ai
bi,i=1,2. Prin urmare inegalitatea se reduce la a demonstra c ˘a
f(x)≤0unde f(x)= /bracketleftBig
a2
1(1−x1)2+a2
2(1−x)2/bracketrightBig1
2−/parenleftbig
a2
1+a2
2/parenrightbig1
2−/parenleftbig
a2
1×2
1+a2
2×2/parenrightbig1
2,x>0
Studiem monotonia funct ¸iei f . Avem:
f/prime(x) = a2/bracketleftbigg
1+a2
1
a2
2/parenleftBig
1−x1
1−x/parenrightBig2/bracketrightbigg−1
2
−a2/parenleftBiga2
1
a2
2/parenleftbigx1
x/parenrightbig2+1/parenrightBig−1
2. Punctele critice se caut ˘a, conform
(2.4.1), din f/prime(x)= 0. Obt ¸inem x =x1.
Din tabelul de variat ¸ie al funct ¸iei:
x 0 . . . . . . . x 1. . . . . . . +∞
f/prime(x)+ + + + + + 0- – – – – – – –
f(x)/arrownortheast /arrownortheast /arrownortheast 0/arrowsoutheast /arrowsoutheast /arrowsoutheast
rezult ˘a c ˘a, f (x)≤0,(∀)x>0.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 81
Observatie 4.1.9 Cˆateva aplicat ¸ii practice ale acestei inegalit ˘at ¸i sunt:
1. Dac ˘a A (a1,a2), B (b1,b2)sunt dou ˘a puncte din plan, atunci lungimea segmentului [AB ]
este egal ˘a cu AB =/radicalbig
(a1−b1)2+( a2−b2)2, iar OA =/radicalBig
a2
1+a2
2, OB =/radicalBig
b2
1+b2
2. Acest
lucru ne arat ˘a c ˘a, inegalitatea lui Minkowski ne spune c ˘a, ˆın triunghiul OAB, o latur ˘a este mai
mic˘a dec ˆat suma celorlalte dou ˘a.
2. Inegalitatea (4.10) se poate generaliza pentru numerele reale a i,bi,i=1,n astfel
/radicalBigg
n
∑
i=1(ai−bi)2≤/radicalBigg
n
∑
i=1a2
i+/radicalBigg
n
∑
i=1b2
i.
Inegalitatea se demonstreaz ˘a folosind metoda induct ¸iei matematice.
3. Dac ˘a A (c,a),B(b,d)sunt dou ˘a puncte din plan (a,b,c,d>0),x∈[0,c],y∈[0,d],
M(x,0),N(0,y),atunci suma AM +MN +NB este minim ˘a dac ˘ax
y=b+c
a+d.
4.2 Probleme de extrem pentru funct ¸iile reale cu una sau mai
multe variabile
4.2.1 Extremele funct ¸iilor de o variabil ˘a real ˘a
ˆIn aceast ˘a sect ¸iune vom relua c ˆateva din problemele clasice de extrem ale funct ¸iilor de o vari-
abil˘a real ˘a prezentate ˆın capitolul ˆıntˆai: problema lui Tartaglia, problema lui Euclid, problema
lui Arhimede, problema ariei minime, s ¸i le vom rezolva folosind not ¸iunile teoretice prezentate
ˆın Capitolul al II −lea , dar vor ﬁ prezentate s ¸i alte probleme deosebite, ˆıntˆalnite ˆın cadrul
activit ˘at ¸ii la catedr ˘a, care vor ﬁ rezolvate prin intermediul not ¸iunilor de analiz ˘a matematic ˘a
prezentate.
Problema 4.2.1 ˆImp˘art ¸it ¸i num ˘arul 8 ˆın dou ˘a p ˘art ¸i astfel ˆıncˆat rezultatul produsului dintre pro-
dusul celor dou ˘a p ˘art ¸i s ¸i diferent ¸a lor este maxim.
Demonstratie: Vom rezolva problema lui Tartaglia folosind rezultate ale analizei matematice
prezentate ˆın capitolul al II-lea.
Pentru aceasta not ˘am cu x cea mai mic ˘a dintre cele dou ˘a p ˘art ¸i ˆın care trebuie s ˘aˆımp˘art ¸im
num˘arul 8. Avem 0≤x≤4.Cealalt ˘a parte va ﬁ 8−x iar diferent ¸a lor 8−2x. Avem de rezolvat
urm˘atoarea problem ˘a de extrem:
max
0≤x≤4f(x),f(x)= x(8−x)( 8−2x)
Din teorema lui Fermat avem f /prime(x) = 0.Determin ˘am punctele critice(conform teoremei
2.4.1) rezolv ˆand ecuat ¸ia f /prime(x) = 0. Avem (x(8−x)( 8−2x)) /prime=0⇒6×2−48 x+64 =0. Re-
zolvˆand ecuat ¸ia de gradul al doilea, obt ¸inem x 1=4+4√
3
3s ¸i x 2=4−4√
3
3. Dar x 1=4+4√
3
3nu
apart ¸ine intervalului [0,4]prin urmare avem trei puncte critice 0,4s ¸i 4−4√
3
3. Funct ¸ia f este
continu ˘a s ¸i diferent ¸iabil ˘a pe intervalul ˆınchis[0,4]ceea ce implic ˘a faptul c ˘a solut ¸ia problemei
se aﬂ ˘a printre punctele critice.
Deoarece f (0)= f(4)= 0s ¸i f (4−4√
3
3)>0rezult ˘a c ˘a solut ¸ia problemei este 4−4√
3
3.
Cele dou ˘a p ˘art ¸i c ˘autate sunt 4−4√
3
3s ¸i 4+4√
3
3, rezultat stabilit s ¸i de Tartaglia.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 82
Problema 4.2.2 Fie M s ¸i m extremele locale ale funct ¸iei x →f(x) = ax 3+px +q,x∈R,
ap >0.S˘a se arate c ˘a Mm =q2+4p3
27 a.
Demonstratie: Punctele critice ale lui f sunt, folosind teorema 2.4.1, solut ¸iile ecuat ¸iei f /prime(x)≡
3ax 2+p=0,adic˘a x 1,2=±/radicalBig
−p
3a.ˆIn plus f /prime/prime (x) = 6x s ¸i deci f /prime/prime (x) = ±6a/radicalBig
−p
3a.De aceea
{M,m}=/braceleftbig
f(x1,2)= 2
3px 1,2+q/bracerightbig
s ¸i Mm =f(x1)·f(x2)= q2+4p3
27 a.
Problema 4.2.3 S˘a se g ˘aseasc ˘a valoarea minim ˘a a lui a 2+b2cˆand a,b∈Riar ecuat ¸ia
x4+ax 3+bx 2+1=0
are cel put ¸in o r ˘ad ˘acin˘a real ˘a.
Demonstratie: Pentru x ﬁxat ecuat ¸ia reprezint ˘a o dreapt ˘a D ˆın palnul aOb .Distant ¸a de la
origine la D este
/radicalbig
a2+b2=x4+1/radicalBig
(x3+x)2(x2)2,
ˆıncˆat proplema pus ˘a se reduce la aﬂarea minimului global al funct ¸iei x →f(x)= (x4+1)2
(x3+x)2+x4.
Din f/prime(x) = 0,x/negationslash=0se g ˘asesc punctele critice x 1,2=±1.Apoi se veriﬁc ˘a relat ¸ia f (x)≥
f(x1,2)= 4/5,∀x/negationslash=0.De accea min
x/negationslash=0f(x)= 4/5s ¸i deci min/parenleftbig
a2+b2/parenrightbig
=4/5.
Problema 4.2.4 S˘a se determine inf
x∈Ef(x)s ¸i sup
x∈Ef(x),unde f :E→Reste deﬁnit ˘a prin f (x)=
(ln x)ln x.
Demonstratie: Pentru existent ¸a logaritmului natural ln x se impune x >0s ¸i se observ ˘a ca
dac˘a x >0s ¸i ln x∈Z\{0,}atunci expresia (ln x)ln xare sens; de asemenea, pentru x >0s ¸i
ln x>0,adic˘a pentru x >1expresia (ln x)ln xare sens. Deci domeniul maxim de deﬁnit ¸ie a lui
f este
E={x|x∈(0,1),ln x∈Z}∪(1,∞)= /braceleftbig
x/vextendsingle/vextendsinglex=e−n,n=1,2,… /bracerightbig
∪(1,∞).
Pentru x ∈(1,∞)avem f/prime(x)= 1
x(ln x)ln x(lnln x+1),iar f/prime(x)= 0implic ˘a x 0=e1/e.Se con-
stat˘a c ˘a x 0(conform teoremei 2.4.1) este un punct de minim local s ¸i f (x0) = x0=e−1/e.
Apoi lim
x/arrowsoutheast1f(x) = 1s ¸i lim
x→∞f(x) = ∞.Pe alt ˘a parte f (e−n) = ( −n)−ns ¸i deci f /parenleftbig
e−1/parenrightbig
=−1,
lim
n→∞f(e−n)= 0.Se observ ˘a c ˘a f (e−n)∈[−1,1/4].
ˆIn concluzie inff(x)
x∈E=min
x∈Ef(x)= −1s ¸i sup
x∈Ef(x)= ∞.
Problema 4.2.5 Se consier ˘a funct ¸ia x →f(x)= m−x
x2−3x+2, de unde m este un parametru. Care
este num ˘arul extremelor lui f c ˆand m ia valori reale.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 83
Demonstratie: Deoarece x2−3x+2are zerourile x 1=1s ¸i x 2=2, domeniu de deﬁnit ¸ie al
lui f este R\{1,2}. Calcul ˘am derivata f /prime(x)= x2−2mx +3m−2
(x2−3m−2)2s ¸i observ ˘am c ˘a f /prime(x)= 0dac˘a s ¸i
numai dac ˘a x 2−2mx +3m−2=0Pe de alt ˘a parte, discriminantul redus al acestei ecuat ¸ii este
/triangle1=m2−3m+2=( m−1)( m−2).Tin ˆand seama de semnul lui /triangle1,ajungem la urm ˘atoarele
concluzi:
• pentru m ∈(1,2)ecuat ¸ia ˆın x nu are solut ¸ii reale, adic ˘a f /prime(x)/negationslash=0,∀x∈R\{1,2},s ¸i deci
funct ¸ia f nu are extreme;
• pentru m ∈(−∞,1)∪(2,∞)exist ˘a dou ˘a puncte x 1,2=m±√
m2−3m+2astfel ˆıncˆat
f/prime(x1,2)= 0s ¸i la trecerea lui x prin x 1,2derivata f/prime(x)ˆıs ¸i schimb ˘a semnul, deci x 1,2sunt
puncte de extrem;
• pentru m =1sau m=2funct ¸ia f nu are extreme.
Observatie 4.2.1 Fie funct ¸ia x →f(x)= P(x)
Q(x),unde P s ¸i Q sunt polinoame,
iar x∈R\{x|x∈R,Q(x)= 0)},se observ ˘a c ˘a:
f/prime(x)= P/prime(x)Q(x)−P(x)Q/prime(x)
Q2(x),
f/prime/prime (x)= P/prime/prime (x)Q(x)−Q/prime/prime (x)P(x)
Q2(x)−2Q/prime(x)
Q(x)f/prime(x).
Deci P/prime(x)Q(x)−P(x)Q/prime(x)= 0d˘a punctele posibile de extrem, iar semnul lui P /prime/prime Q−PQ /prime/prime ˆın
aceste puncte precizeaz ˘a natura lor.
Observatie 4.2.2 Fie funct ¸ia x →f(x)= 1
ax 2+bx +cadmite pe x =−b
2aca punct de maxim dac ˘a
s ¸i numai dac ˘a/triangle/negationslash=0.ˆIn acest caz f max=f/parenleftbig
−b
2a/parenrightbig
=4a
/triangle.
Problema 4.2.6 Fie f :(0,∞)→Rdat˘a prin f (x)= ax +b
x,unde a s ¸i b sunt constante pozitive.
S˘a se determine min
xf(x).
Demonstratie: Utiliz ˆand inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media geometric ˘a g ˘asim
f(x)= 1
2(2ax )+ 1
2(2b/x)≥(2ax )1/2/parenleftbig2b
x/parenrightbig
=2√
ab .
Pe de alt ˘a parte, f /parenleftbigg/radicalBig
b
a/parenrightbigg
=2√
ab s ¸i dac ˘amin
xf(x)= 2√
ab .
f/prime(x)= a−b
x2;b
x2=a; x 2=b
a;x=/radicalBig
b
a.
Problema 4.2.712 ˆIntr-un triunghi dat ABC ˆınscriet ¸i un paralelogram
ADEF(EF||AB ,DE||AC )de arie maxim ˘a.
12 problema lui Euclid

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 84
Demonstratie: Vom folosi notat ¸iile din ﬁgura 1.4 s ¸i anume: vom nota cu H ˆın ˘alt ¸imea ˆın
triunghiul ABC, cu b lungimea segmentului AC s ¸i cu x lungimea segmentului AF /primeunde 0≤x≤
b. Fie h =h(x)ˆın ˘alt ¸imea ˆın triunghiul BD /primeE/prime.Din asem ˘anarea triunghiurilor ABC s ¸i BD /primeE/prime
(D /primeE/prime/bardblAC) avem h(x)
H=x
b. Avem S AD /primeE/primeF/prime= ( H−h(x)) x=(b−x)Hx
b. Prin urmare avem de
rezolvat problema
max
0≤x≤bf(x) (4.11)
unde f(x)= (b−x)Hx
b,x∈[0,b]. Funct ¸ia f este continu ˘a, diferent ¸iabil ˘a pe intervalul ˆınchis[0,b].
Calcul ˘am f /prime(x)s ¸i obt ¸inem f /prime(x) = H(b−2x)
b.Din f/prime(x) = 0obt ¸inem x =b
2s ¸i deci punctele de
extrem se aﬂ ˘a printre valorile 0,b
2s ¸i b. Avem f (0)= f(b)= 0s ¸i f (b
2)= Hb
4>0ceea ce implic ˘a,
conform teoremei 2.4.2, faptul c ˘a solut ¸ia problemei 4.11 este p
2, solut ¸ie ce coincide cu cea din
demonstrat ¸ia prezentata ˆın capitolul I.
Problema 4.2.813 Dintre toate calotele sferice de aceeas ¸i arie, semisfera are volum maxim.
Demonstratie: Fie R raza sferei s ¸i h ˆın ˘alt ¸imea calotei sferice. Se cunosc urm ˘atoarele formule
Vcalotei =πh2(R−h
3)
Scalotei =2πRh .
Deoarece S calotei este constant ˘a, not ˘am 2πRh =a de unde rezult ˘a c ˘a R =a
2πh. Vom ˆınlocui
ˆın formula volumului folosind faptul c ˘a h ≤2R≤a
πhs ¸i obt ¸inem V =πh2(a
2πh−h
3). Prin urmare
avem de rezolvat problema
max f(h)
0≤h≤√a
π, unde f (h) = ah
2−πh3
3,0≤h≤/radicalbiga
π. Funct ¸ia f este continu ˘a, diferent ¸iabil ˘a pe
intervalul ˆınchis/bracketleftbig
0,/radicalbiga
π/bracketrightbig
.
C˘aut˘am punctele stat ¸ionare printre solut ¸iile ecuat ¸iei f /prime(h) = 0.Obt ¸inem f /prime(h) = a
2−πh2
de unde h =/radicalbiga
2π.
Punctele critice sunt 0,/radicalbiga
2π,/radicalbiga
π.Deoarece f (0)= 0,f(/radicalbiga
2π)= √
2a3
2
6√πs ¸i f (/radicalbiga
π)= a3
2
6√π
avem, conform teoremei 2.4.2 punctul x =/radicalbiga
2πeste un punct de maxim. Deoarece a =2πRh
obt ¸inem h =R, rezultat ce coincide cu cel g ˘asit ˆın primul capitol.
Problema 4.2.914 Fie un unghi s ¸i un punct ˆın interiorul s ˘au, ducet ¸i o dreapt ˘a prin punctul dat
care taie laturile unghiului s ¸i formeaz ˘a cu acestea un triunghi de arie minim ˘a.
Demonstratie: Revenim la ﬁgura
13 Problema lui Arhimede
14 Problema ariei minime

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 85
Ducem prin M paralela la AB s ¸i not ˘am cu N punctul de intersect ¸ie cu AC . Fie E /primeun punct
pe NG ,a=|AN |,x=|NE /prime|s ¸i D /primepunctul de intersect ¸ie dintre AB s ¸i E /primeM. Triunghiurile ME /primeN
s ¸i AD /primeE/primesunt asemenea (MN /bardblAB )s ¸i deci raportul ariilor lor este egal cu p ˘atratul raportului
segmentelor [NE /prime]s ¸i [AE /prime].
Dar S/triangleME /primeN=xh
2unde h=d(M,AC )
S/triangleAD /primeE/prime=h(x+a)2
2xs ¸i ajungem la rezolvarea urm ˘atoarei probleme min
x>0f(x),f(x)= (a+x)2
x.
Din teorema (2.4.2) aplicat ˘a funct ¸iei f pentru x >0rezult ˘a c ˘a solut ¸ia trebuie s ˘a ﬁe un punct
stat ¸ionar. Din f /prime(x)= 0avem f/prime(x)= 1−a2
x2=0duce la x =a, solut ¸ie care este singurul punct
stat ¸ionar s ¸i deci punctul c ˘autat este la distant ¸a 2a fat ¸ ˘a de A.
Vom rezolva acum cele dou ˘a probleme ale lui Kepler folosind elemente de analiz ˘a matema-
tic˘a.
Problema 4.2.10 ˆInscriet ¸i ˆıntr-un cerc dat un dreptunghi de arie maxim ˘a.
Demonstratie: Fie ﬁgura
ˆın care am considerat axele reperului paralele cu laturile dreptunghiului. Ecuat ¸ia cercului
unitate va ﬁ x 2
1+x2
2=1. Fie acum (x1,x2)coordonatele v ˆarfului dreptunghiului din primul
cadran. Va rezulta c ˘a aria dreptunghiului va ﬁ 4x1x2. Prin urmare problema re reduce la
determinarea valorii maxime a funct ¸iei de dou ˘a variabile :
f0(x1,x2)= 4x1x2supus ˘a la restrict ¸iile
f1(x1,x2)= x2
1+x2
2−1=0.
Dac˘a din ecuat ¸ia x 2
1+x2
2−1=0exprim ˘am pe x 2ˆın funct ¸ie de x 1s ¸i ˆınlocuim ˆın expresia lui
f0(not˘am x 1=x) , problema se reduce la determinarea maximului funct ¸iei f (x) = 4x√
1−x2
cu restrict ¸ia 0≤x≤1(sau echivalent |x|≤1).
Vom rezolva urm ˘atoarea problem ˘a: max
0≤x≤1f(x),unde f(x)= x√
1−x2.
Condit ¸ia necesar ˘a de extrem este f /prime(x) = 0. Obt ¸inem x 1=1√
2s ¸i x 2=−1√
2. Deoarece
x2<0rezult ˘a c ˘a punctele critice sunt 0,1,1√
2.
Funct ¸ia f este continu ˘a pe [0,1],diferent ¸iabil ˘a pe (0,1)ceea ce implic ˘a faptul c ˘a solut ¸ia
problemei se aﬂ ˘a printre punctele critice.
Avem f (0)= f(1)= 0s ¸i f (1√
2)= √
2
4. Deci solut ¸ia problemei este 1√
2ceea ce ˆınseamn ˘a
c˘a dreptunghiul de arie maxim ˘a este un p ˘atrat.
Problema 4.2.1115 ˆInscriet ¸i ˆıntr-o sfer ˘a dat ˘a un cilindru de volum maxim.
Demonstratie: Fie R raza sferei. Not ˘am cu x jum ˘atate din ˆın ˘alt ¸imea cilindrului. Avem 0≤x≤
R. Raza bazei cilindrului este √
R2−x2iar volumul cilindrului este V =πr2h=2π(R2−x2)x.
Avem de rezolvat urm ˘atoarea problem ˘a:
15 Problema lui Kepler

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 86
max
0≤x≤Rf(x),f(x)= 2π(R2−x2)x
Condit ¸ia necesar ˘a de extrem(conform teoremei 2.4.1) este f /prime(x)= 0.
Determin ˘am punctele critice:
f/prime(x)= 0⇒2π(R2−3×2)= 0.
Obt ¸inem
x1=R√
3s ¸i x 2=−R√
3
Deoarece x 2<0avem trei puncte critice: 0,R√
3,R. Funct ¸ia f este continu ˘a, diferent ¸iabil ˘a pe
intervalul ˆınchis[0,R]ceea ce implic ˘a faptul c ˘a solut ¸ia se aﬂ ˘a printre punctele critice. Deoarece
f(0) = f(R) = 0solut ¸ia problemei este R√
3ceea ce inseamn ˘a c ˘a raza cilindrului de volum
maxim este/radicalBig
R2−R2
3=R/radicalBig
2
3s ¸i deci raportul dintre ˆın ˘alt ¸imea cilindrului extremal s ¸i diametrul
bazei este√
2.
Problema 4.2.12 Fie dat un cerc. Printr-un punct dat F de pe diametrul AB ducet ¸i o coard ˘a
CD astfel ˆıncˆat patrulaterul ACBD are aria maxim ˘a.
Demonstratie: Fie O centrul cercului. Not ˘am |OF |=a s ¸i m (∠CFB )= ϕ
Aria patrulaterului este egal ˘a cu jum ˘atate din produsul dintre diagonalele sale s ¸i sinusul
unghiului dintre ele. Este evident c ˘a|CD |=2/radicalBig
1−a2sin 2ϕ.
Avem de rezolvat problema max
0≤ϕ≤π
2/radicalBig
1−a2sin2ϕsinϕ. Facem substitut ¸ia sinϕ=√z s ¸i
obt ¸inem problema:
max
0≤z≤a2f(z),f(z)=( 1−z)z
Din teorema lui Fermat( 2.4.1) avem f /prime(z)= 0. Avem un singur punct stat ¸ionar z =1
2(dac˘a
a2>1
2). Punctele critice sunt {0,a2}dac˘a a 2≤1
2s ¸i /braceleftbig
0,1
2,a2/bracerightbig
dac˘a a 2>1
2. Calcul ˘am valorile
funct ¸iei f ˆın punctele critice :
• dac ˘a0≤a2≤1
2atunci z=a2ceea ce implic ˘aϕ=π
2
• dac ˘a1√
2<a≤1atunci z=1
2ceea ce implic ˘aϕ=arcsin(1√
2)
Problema 4.2.13 S˘a se determine parametrii θ∈Rs ¸i n ∈Nastfel ˆıncˆat funct ¸iile reale x →
fn(x)= xn−nx n−1cosθ+nx n−2s˘a nu aib ˘a extreme locale.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 87
Demonstratie: Fie n ≥3.Deoarece f n:R→Reste derivabil ˘a, problema este echivalent ˘a cu
determinarea lui θs ¸i n astfel ˆıncˆat f /prime
n(x)/negationslash=0,∀x∈R.Dar
f/prime
n(x)= nx n−3/bracketleftbig
x2−(n−1)xcosθ+n−2/bracketrightbig
.
De aceea se impune (n−1)2cos2θ−4(n−2)<0,adic˘a|cosθ|<2
n−1√n−2,care este sa-
tisf˘acut˘a pentru orice n ≥3.Pentru n =1avem f 1(x) = x+1
x−ncosθ,x∈R\{0}s ¸i f 1:∈
R\{0}→Rare extreme locale ∀θ∈R:pentru n=2g˘asim f 2(x)= x2−2xcosθ+2,x∈R
s ¸i f 2:R→Rare extreme locale ∀θ∈R.
Observatie 4.2.3 Orice funct ¸ie polinominal ˘a de grad n par are cel put ¸in un punct de minim
sau de maxim. ˆIntradev ˘ar, acest lucru decurge din continuitatea lui f s ¸i din faptul c ˘alim
x→− ∞=
lim
x→+∞= + ∞(c ˆand coeﬁcientul celei mai mari puteri este pozitiv) sau lim
x→− ∞=lim
x→+∞=−∞
(c ˆand acest coeﬁcient este negativ). Mai mult se poate spune c ˘a funct ¸ia are un num ˘ar impar de
puncte de extrem ( de la 1 p ˆan ˘a la n −1) s ¸i punctele de maxim s ¸i de minim alterneaz ˘a.
Observatie 4.2.4 Dac˘a funct ¸ia polinomial ˘a este de grad n impar, atunci sau nu are extreme,
sau are ˆın num ˘ar par (de la 2la n −1) s ¸i analog punctele de maxim s ¸i minim (dac ˘a exist ˘a)
alterneaz ˘a.
De exemplu, funct ¸ia f :R→Rdeﬁnit ˘a prin f (x) = x9
9−17
5×5+16 x are dou ˘a puncte de
maxim local x =−2s ¸i n =1s ¸i dou ˘a puncte de minim local x =−1s ¸i x =2,
fmax=f(−2)≈19 ,912, fmin=f(−1)≈−12 ,711
fmax=f(1)≈12 ,711, fmin=f(2)≈−19 ,912
Problema 4.2.14 S˘a se determine extremele funct ¸iei x →f(x)= cosx2.
Demonstratie: Evident f →R[1,1]este o funct ¸ie de clasa C ∞,adic˘a admite derivabile conti-
nue de orice ordin. Ecuat ¸ia f /prime(x)≡− 2xsinx=0are r ˘ad ˘acin˘a dubl ˘a x 0=0s ¸i solut ¸iile simple
xk=√
kπ,k∈N.Pe de alt ˘a parte f /prime/prime (x) = −2sin x2−4x2cosx2s ¸i deci f /prime/prime (0) = 0,f/prime/prime (xk) =
(−1)k+14kπ.
Pentru k =2p,f/prime/prime (xk) = −4kπ<0,adic˘a x 2p=√2pπsunt puncte de maxim s ¸i f max=
f/parenleftbig√2pπ/parenrightbig
=1.Pentru k =2p+1,avem f/prime/prime (xk) = 4kπ>0,adic˘a x 2p+1=/radicalbig
(2p+1)πsunt
puncte de minim s ¸i f min=f/parenleftBig/radicalbig
(2p+1)π/parenrightBig
=−1.Deoarece f/prime/prime (0)= 0,f/prime/prime/prime(0)= 0,fIV (0)<0,
punctul x 0=0este punct de maxim s ¸i f (0)= fmax=1.
Problema 4.2.15 S˘a se determine extremele funct ¸iei x →f(x)= arccos1
x+√
1−x2.
Demonstratie: Mult ¸imea de deﬁnit ¸ie a lui f este discret ˘a s ¸i ﬁnit ˘a: {(−∞,−1)∪[1,∞)}∩
[−1,1]= {−1,1}.Deci, f :→{−1,1}→{0,π}asttfel ˆıncˆat inf
x∈Ef(x)= min
x∈Ef(x)= f(1)= 0s ¸i
sup
x∈Ef(x)= max
x∈Ef(x)= f(−1)= 0.
Observatie 4.2.5 Pentru o funct ¸ie real ˘a, deﬁnit ˘a pe o mult ¸ime format ˘a doar din punctele izolate,
prezint ˘a interes numai problema extremelor globale.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 88
4.2.2 Extremele funct ¸iilor de mai multe variabile reale
ˆIn aceast ˘a sect ¸iune vom relua s ¸i rezolva problema lui Steiner, cu ajutorul not ¸iunilor teoretice
din Capitolul al II −lea , dar vor ﬁ prezentate s ¸i alte probleme deosebite, de determinare a
extremelor unei funct ¸ii cu dou ˘a variabile reale, cu n variabile reale dar s ¸i probleme de extrem
care vor ﬁ rezolvate prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Problema 4.2.1616 ˆIn planul unui triunghi determinat ¸i un punct pentru care suma distant ¸elor
la v ˆarfurile triunghiului este minim ˘a.
Demonstratie: Fie punctele A (a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2)vˆarfurile triunghiului s ¸i ﬁe D (x1,x2)
punctul c ˘autat. Suma distant ¸elor de la A ,B s ¸i C este dat ˘a de funct ¸ia
f(x1,x2)= /radicalbig
(x1−a1)2+( x2−a2)2+/radicalbig
(x1−b1)2+( x2−b2)2+/radicalbig
(x1−c1)2+( x2−c2)2
Avem de rezolvat problema
minf(x1,x2) (4.12)
Fie ˜x= ( ˜x1,˜x2)o solut ¸ie a problemei minf(x1,x2). Din teorema lui Fermat(2.5.1) pentru
funct ¸iile cu dou ˘a variabile, condit ¸ia necesar ˘a de extrem ( ˆın acest caz, deoarece funct ¸ia f este
convex ˘a, condit ¸ia este s ¸i suﬁcient ˘a) este ∂f(˜x)
∂x1=∂f(˜x)
∂x2=0dac˘a˜x/negationslash=A,B,C. S ¸tim c ˘a derivatele
part ¸iale ale funct ¸iei f exist ˘a s ¸i sunt ﬁnite ˆın orice punct diferit de A ,B,C.
Determin ˘am punctele stat ¸ionare rezolv ˆand sistemul:
∂f
∂x1(˜x1,˜x2)= ˜x1−a1 √
(x1−a1)2+( x2−a2)2+˜x1−b1 √
(x1−b1)2+( x2−b2)2+˜x1−c1 √
(x1−c1)2+( x2−c2)2=0
∂f
∂x2(˜x1,˜x2)= ˜x2−a2 √
(x1−a1)2+( x2−a2)2+˜x2−b2 √
(x1−b1)2+( x2−b2)2+˜x2−c2 √
(x1−c1)2+( x2−c2)2=0
Sistemul se mai poate scrie ˆın forma:
∂f
∂x1(˜x1,˜x2)= ˜x1−a1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DA /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+˜x1−b1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DB /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+˜x1−c1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DC /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=0
∂f
∂x2(˜x1,˜x2)= ˜x2−a2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DA /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+˜x2−b2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DB /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+˜x2−c2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →
DC /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=0
Geometric, relat ¸iile de mai sus ne spun c ˘a suma vectorilor unitate − →e1=− →DA /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →DA /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle,− →e2=− →DB /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →DB /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle,− →e3=
− →DC /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →DC /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleeste zero, ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a triunghiul ABC este echilateral s ¸i deci ﬁecare din unghiurile
ADB,BDC s ¸i ∠CDA au m ˘asura de 120◦. Aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a, dac ˘a solut ¸ia nu coincide cu unul
din v ˆarfurile triunghiului ABC atunci punctul D este punctul din care ﬁecare latur ˘a se vede sub
un unghi de 120◦.
Problema 4.2.17 S˘a se calculeze valorile extreme ale funct ¸iei z =x2
2p+y2
2q(p>0,q>0)
Demonstratie: Rezolv ˘am sistemul :
∂z
∂x=x
p=0
16 Problema lui Steiner

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 89
∂z
∂y=y
q=0
s ¸i obt ¸inem c ˘a singurul punct stat ¸ionar este (0,0). Dar, calcul ˆand∂2z
∂x2·∂2z
∂y2−/parenleftBig
∂2z
∂x∂y/parenrightBig2
=1
pq >
0s ¸i deci, conform teoremei (2.5.1) ˆın punctul (0,0)funct ¸ia are un minim.
Problema 4.2.18 S˘a se calculeze valorile extreme ale funct ¸iei z =x2
2p−y2
2q(p>0,q>0)
Demonstratie: Rezolv ˘am sistemul :
∂z
∂x=x
p=0
∂z
∂y=−y
q=0
s ¸i obt ¸inem c ˘a singurul punct stat ¸ionar este (0,0). Dar, calcul ˆand
∂2z
∂x2·∂2z
∂y2−/parenleftbigg∂2z
∂x∂y/parenrightbigg2
=−1
pq >0
s ¸i deci punctul (0,0), conform teoremei (2.5.1) nu este un punct de extrem pentru funct ¸ia dat ˘a.
Problema 4.2.19 S˘a se determine extremele funct ¸iei u =x3+y2+z2+12 xy +2z.
Demonstratie: Aplic ˘am teorema (2.6.3) funct ¸iei u=x3+y2+z2+12 xy +2z.
Rezolv ˘am sistemul:


∂u
∂x=0
∂u
∂y=0
∂u
∂z=0=⇒

3×2+12 y=0
2y2+12 x=2n
2z+2=0
avem solut ¸iile A(0,0,−1)s ¸i B(24 ,−144,−1)


∂2u
∂x2=6x∂2u
∂x∂y=12
∂2u
∂y2=2∂2u
∂x∂z=0
∂2u
∂z2=2∂2u
∂y∂z=0


/triangle1=6x
/triangle2=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle6x12
12 2 /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=12 x−144
/triangle3=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle6x12 0
12 2 0
0 0 2 /vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=24 x−288
ˆIn Aavem /triangle1=0,/triangle2=−144,/triangle3=−248 deci nu avem extrem.
ˆIn B: 

/triangle1>0
/triangle2>0
/triangle3>0
deci avem un minim umin=−6913.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 90
Problema 4.2.20 S˘a se determine extremele funct ¸iei u =xy 2z3(7−x−2y−3z),xyz /negationslash=0.
Demonstratie: Aplic ˘am teorema (2.6.3) funct ¸iei u=xy 2z3(7−x−2y−3z),xyz /negationslash=0
Rezolv ˘am sistemul:


∂u
∂x=0
∂u
∂y=0
∂u
∂z=0
s ¸i rezult ˘a
x0=y0=z0=1.
Pentru a vedea dac ˘a avem extrem calcul ˘am determinant ¸ii /triangle1,/triangle2,/triangle3ˆın punctul respectiv /triangle1=
−2,/triangle2=8,/triangle3=−42 s ¸i rezult ˘a c ˘aˆın (1,1,1)avem un maxim umax=1.
Problema 4.2.21 Care sunt extremele funct ¸iei u =xyz cu leg ˘aturile x+y+z=5,xy +yz +zx =
8.
Demonstratie: Folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange(conform teoremei2.6.4).
F(x,y,z,t)= xyz +λ1(x+y+z−5)−λ2(xy +xz +yz −8)
Rezolv ˘am sistemul:


∂F
∂x=yz +λ1+λ2(y+z)= 0
∂F
∂y=xz +λ1+λ2(x+z)= 0
∂F
∂z=xy +λ1+λ2(x+y)= 0
dac˘a elimin ˘am λ1s ¸i λ2din acest sistem obt ¸inem
/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleyz 1y+z
xz 1x+z
xy 1x+y/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=0
de unde rezult ˘a
(y−x)( z−y)( z−x)= 0.
Avem sistemele:


y−x=0
x+y+z=5
xy +yz +xz =8

z−y=0
x=y+z=5
xy +yz +xz =8

x−z=0
x=y+z=5
xy +yz +xz =8
Primul sistem are solut ¸iile (2,2,1);/parenleftbig4
3,4
3,7
3/parenrightbig
obt ¸inem:
umax=44
27 ˆın punctele /parenleftbig4
3,4
3,7
3/parenrightbig
,/parenleftbig4
3,7
3,4
3/parenrightbig
,/parenleftbig7
3,4
3,4
3/parenrightbig
umin=4ˆın punctele (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2).
Problema 4.2.22 17 Fie x ,y s ¸i z trei numere reale nenegative cu proprietatea c ˘a x +y+z=1.
Ar ˘atat ¸i c ˘a0≤xy +yz +xz −2xyz ≤7
27 .
17 Olimpiada internat ¸ional ˘a de matematic ˘a, Praga,1984

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 91
Demonstratie: Avem de rezolvat urm ˘atoarele probleme
max f0(x)
minf0(x)
unde f0(x,y,z) = xy +yz +xz −2xyz cu restrict ¸ia f1(x,y,z) = x+y+z−1=0,x≥0,y≥
0,z≥0.
Fie(˜x,˜y,˜z)o solut ¸ie nenul ˘a a problemelor date. V om aplica metoda multiplicatorilor lui
Lagrange(conform teoremei2.6.4). Fie funct ¸ia : L=λ0f0−λ1f1.
Condit ¸iile necesare de extrem sunt:
∂L
∂x=0⇐⇒ λ0(y+z−2yz )= λ1
∂L
∂y=0⇐⇒ λ0(x+z−2xz )= λ1
∂L
∂z=0⇐⇒ λ0(x+y−2xy )= λ1
Evident λ0/negationslash=0 altfel am obt ¸ine λ1=0 s ¸i deci L=0 . Consider ˘am λ0=1.Determin ˘am
punctele stat ¸ionare, rezolv ˆand sistemul anterior. Obt ¸inem
y−x−2z(y−x)= 0 s ¸i deci z=1
2sauy=x.ˆIn mod similar x=1
2sau y=zs ¸i y=1
2sau
z=x.
S˘a presupunem c ˘az=1
2atunci f0(x,y,1
2)<7
27 . Acelas ¸i rezultat se obt ¸ine dac ˘ax=1
2sau
y=1
2. Dac ˘a nici unul din numerele x,y,znu este egal cu 1
2atunci singurul punct stat ¸ionar
este ˜x=˜y=˜z=1
3s ¸i f0(1
3,1
3,1
3)= 7
27 . Dac ˘a solut ¸ia are una din componente egal ˘a cu zero, s ˘a
presupunem ˜ x=0 atunci 0 ≤f0(x,y,z)= yz ≤1
4.
ˆIn concluzie, maximul funct ¸iei, 7
27 , este atins pentru ˜ x=˜y=˜z=1
3iar minimul, zero, este
atins pentru, eventual ˜ x=˜y=0,˜z=1.
Problema 4.2.23 S˘a se g ˘aseasc ˘a valoarea maxim ˘a a valorii absolute a determinantului
/triangle=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea1b1c1… l1
a2b2c2… l2
… … … … …
anbncn… ln/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
s ¸tiind c ˘a suma p ˘atratelor elementelor unei aceleias ¸i linii este constant ˘a
Demonstratie: Problema revine la aﬂarea extremelor unei funct ¸ii de n2variabile
a2
i,b2
i,c2
i,+… +l2
i=Hi,i=1,n
(ai,bi,ci)pot ﬁ considerate drept coordonatele unui punct al hipersferei de raz ˘a√Hiˆın R2.
Presupunem c ˘a dezvolt ˘am dup ˘a linia i:
/triangle=Aiai+Bibi+… +Lili
s ¸i consider ˘am pe triunghi c ˘a o funct ¸ie de nvariabile ai,bi,ci,…, li.
Folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange(conform teoremei2.6.4).
Fie
F=/triangle+λi/parenleftbig
a2
i,b2
i+… +l2
i−Hi/parenrightbig

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 92
Rezolv ˘am sistemul:


∂F
∂ai=Ai+2λiai=0
∂F
∂bi=Bi+2λibi=0
……………….
∂F
∂li=Li+2λili=0
de unde rezult ˘aai
Ai=bi
Bi=… =li
Li(4.13)
Dac˘aˆınlocuim elementele linie icu cele ale liniei kobt ¸inem:
Aiak+Bibk+… +Lilk=0
sau folosind (4.13) obt ¸inem:
aiak+bibk+… +lilk=0,i/negationslash=k
ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a triunghiul este un determinant ortogonal pentru a ﬁ maxim sau minim.
Observ ˘am c ˘a toate elementele lui /triangle2sunt nule cu except ¸ia diagonalei pricipale format ˘a din
H1,H2,…, Hndeci
/triangle2=H1H2·… ·Hn
s ¸i ne rezult ˘a maximul
/triangle=√H1H2·… ·Hn.
Observatie 4.2.6 Pentru n =3,/trianglereprezint ˘a volumul unui paralelipiped construit pe vectorii − − →OA 1,− − →OA 2,− − →OA 3ca muchii de aici avem urm ˘atorul rezultat: dac ˘a cei trei vectori sunt ortogoli
atunci volumul paralelipipedului este maxim.
Problema 4.2.24 Se consider ˘a aplicat ¸ia f a lui R4ˆın R deﬁnit ˘a de f =x+y+z+t cu condit ¸ia
xyzt −c4=0, x >0,y>0,z>0,t>0S˘a se g ˘aseasc ˘a extremele lui f .
Demonstratie: Folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange(conform teoremei2.6.4).
Fie
F(x,y,z,t)= x+y+z+t+λ/parenleftbig
xyzt −c4/parenrightbig
Rezolv ˘am sistemul
∂F
∂x=0
∂F
∂y=0
∂F
∂z=0
∂F
∂t=0
Avem 

1+λyzt =0
1+λxzt =0
1+λxyt =0
1+λxyt =0⇒
xyz =xyt =xzt =yzt ⇒

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 93
x0=y0=z0=t0=c,λ=−1
3.
ˆIn acest caz
F=x+y+z+t−xyzt
c3
(am omis constanta).
Calcul ˘am
d2F=−2
c(dxdy +dzdx +dxdt +dydz +dydt +dzdt )
dar
dx +dy +dz +dt =0
din relat ¸ia de leg ˘atur˘a s ¸i deci dt =−(dx +dy +dz )
=⇒d2F=1
c/bracketleftBig
(dx +dy +dz )2+dx 2+dy 2+dz 2/bracketrightBig
>0
ne rezult ˘a(x0,y0,z0,t0)punct de minim.
4.3 Probleme practice de extrem
Problema 4.3.1 O fereastr ˘a are forma din ﬁgura al ˘aturat ˘a. Pentru ce lungime a tocului avem
arie maxim ˘a?
Demonstratie:
Consider ˘am ﬁgura:
Fie perimetrul ferestrei
p=x+2y+πx
2(4.14)
suprat ¸a ferestrei
S=xy +πx2
8. (4.15)
Din (4.14)
=⇒2y=p−x−πx
2
y=1
2/parenleftBig
p−x−πx
2/parenrightBig
s ¸i ˆınlocuim ˆın (4.15) ne rezult ˘a
S=x
2/parenleftBig
p−x−πx
2/parenrightBig
+πx2
8=xp
2−x2
2−πx2
4+πx2
8

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 94
=⇒S=xp
2−x2
2−πx2
8=⇒S=4xp −4×2−πx2
8.
Trebuie s ˘a g ˘asim xastfel ˆıncˆat Ss˘a ﬁe maxim ˘a:
Fie
f(x)= 4xp −4×2−πx2
8
f/prime(x)= 4p−8x−2πx
8=p
2−x−πx
4.
Din
f/prime(x)= 0=⇒x=2p
π+4=⇒
y=1
2/parenleftbigg
p−2p
π+4−π
2·2p
π+4/parenrightbigg
=1
2/parenleftbiggp(π+4−2−π)
π+4/parenrightbigg
=⇒
y=1
2·2p
π+4=⇒y=p
π+4
s ¸i deci
y=x
2.
Problema 4.3.2 S˘a se determine lungimea minim ˘a a us ¸ii unui turn de l ˘at ¸ime a, pentru a putea
introduce ˆın ˘auntru o scar ˘a de lungime l.
Demonstratie: Fiel=lungimea sc ˘arii,ltrebuie s ˘a ﬁe mai mic dec ˆat ˆın ˘alt ¸imea turnului.
Va trebui s ˘a calcul ˘am extremele lui BE .
Fie unghiul αf˘acut de scar ˘a cu planul orizontal, avem:
BC =AC −AB ,AC =Lcos α,BC =lcosα−a,
BE =BCtg α=( lcosα−a)tgx
V om studia extremele funct ¸iei
f(x)=( lcosx−a)tgx =⇒f(x)= lsinx−atanx
f/prime(x)= lcosx−a
cos2x
Din teorema 2.4.1 avem:
f/prime(x)= 0=⇒lcos3=a=⇒cosx0=3/radicalbigga
l

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 95
Dar
f/prime/prime (x)= −3lcos4x0sinx0−/parenleftbig
lcos3x0−a/parenrightbig
(−2cos x0sin x0)
cos4x0
Deoarece
lcos3x0−a=0=⇒f/prime/prime (x)= −3lsinx0<0
ne rezult ˘a c ˘a avem un minim.
Maximul lui BE =/parenleftBig
3√
l2−3√
a2/parenrightBig3/2
.
Problema 4.3.3 S˘a se g ˘aseasc ˘a volumul maxim al unui cilindru a c ˘arui ax ˘a coincide cu dia-
gonala unui cub cu muchia a s ¸i al c ˘arui cerc de baz ˘a este tangent la fet ¸ele cubului.
Demonstratie: Se consider ˘a pe axele de coordonate punctele
α(k,0,0),β(0,k,0),γ(0,0,k)⇒
αβγ este un triunghi echilateral de latur ˘ak√
2.
Cercul ˆınscris ˆın acest triunghi este tangent fet ¸elor OABC ,OAA /primeD/prime,OCC /primeDale cubului s ¸i
este cercul razei cilindrului c ˘autat. Centrul cercului este la intersect ¸ia perpendicularei duse din
Ope planul αβγ .
Ecuat ¸ia planului este
x+y+z−k=0 (4.16)
Ecuat ¸iile perpendicularei cobor ˆate din Osunt x=y=z,deci cercul va avea centrul O1=/parenleftbigk
3,k
3,k
3,/parenrightbig
.
Cel˘alalt cerc de baz ˘a este ˆınscris ˆın /triangleA1B1C1, unde
A1=( a,a−k,a),B1=( a,a,a−k),C1(a−k,a,a).
Ecuat ¸ia planului A1B1C1este:
/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglex y z 1
a a a −k1
a a −k a 1
a−k a a 1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=0⇔x+y+z−(3a−k)= 0, (4.17)
pe care dreapta x=y=zˆıl taie ˆın punctul O2/parenleftbig3a−k
3,3a−k
3,3a−k
3/parenrightbig
.
ˆIn ˘alt ¸imea cilindrului va ﬁ O1O2=3a−2k√
3.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 96
ˆIn ˘alt ¸imea triunghiului echilateral de latur ˘alesteh=l√
3
2iar raza cercului ˆınscris r=h
3=l√
3
6
dar,ˆın cazul nostru l=k√
2 deci r=k√
6
6.
Avem V=π
6√
3k2(3a−2k)
Avem funct ¸ia f(k)= πk2
6√
3(3a−2k)
Din f/prime(k)= 0 avem k=as ¸i deoarece f/prime(k)<0 avem maxim fmax=Vmax=πa3
6√
3.
Problema 4.3.4 S˘a se g ˘aseasc ˘a volumul maxim al unui cilindru a c ˘arui axa este perpendicu-
lar˘a pe axa unui cilindru dat, de raza a s ¸i a c ˘arui baza este tangent ˘a la suprafat ¸a lateral ˘a a
acestui cilindru.
Demonstratie: Bazele cilindrului se aﬂ ˘aˆın plan paralel cu axa cilindrului dat s ¸i sunt tangente
la generatoarele cilindrului care determin ˘a planului cercului de baz ˘a respectiv.
Fiey=II /primeˆın ˘alt ¸imea cilindrului s ¸i x=CI =C/primeI/primeobt ¸inem 2 x+y=2a.
ˆIn triunghiul dreptunghic CAC /primeˆın care AI esteˆın ˘alt ¸imea avem: AI 2=CI ·CI /prime,AI =rraza
cercului de baz ˘a a cilindrului de ˆın ˘alt ¸ime II /prime,
r2=x(2a−x)
s ¸i deci
V=2πx(a−x)( 2a−x).
V om determina maximul funct ¸iei:
f(x)= 2πx(a−x)( 2a−x)
f/prime(x)= 2π/parenleftbig
3×2−6ax +2a2/parenrightbig
/triangle=36 a2−24 a2=12 a⇒/braceleftBigg
x1=6a+2a√
3
6=3a+a√
3
3
x2=3a−a√
3
3
atinge maximul ˆın
x=3a−a√
3
3
s ¸i deci
Vmax=4πa3√
3
9.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 97
Problema 4.3.5 O fabric ˘a construies ¸te un rezervor, format dintr-o emisfer ˘a terminat ˘a cu un
cilindru. Rezervorul este acoperit cu un capac circular. Cum trebuie dimensionat rezervorul
(raportul dintre ˆın ˘alt ¸imea cilindrului s ¸i raza cercului de baz ˘a) astfel ˆıncˆıt, la o capacitate dat ˘a P
costul ˆınvelis ¸ului exterior al rezervorului s ˘a ﬁe minim. Se s ¸tie c ˘a, costul pe unitatea de suprafat ¸ ˘a
a materialului cu care se c ˘aptus ¸es ¸te partea sferic ˘a a rezervorului este de trei ori mai mare dec ˆıt
corpul cilindric al rezervorului, iar costul materialului cu care este c ˘aptus ¸it capacul este de
dou˘a ori mai mare dec ˆıt pentru corpul cilindric al rezervorului.
Demonstratie: Fiexraza cilindrului s ¸i yˆın ˘alt ¸imea cilindrului. Din enunt ¸ rezult ˘a c ˘a:
3x2y+2×2=a3=⇒y=a3−2×2
3×2.
Pret ¸ul de cost al c ˘aptus ¸elii este minim dac ˘a suprafat ¸a c ˘aptus ¸it ˘a este minim ˘a. Not ˘am cu kpret ¸ul
de cost al c ˘aptus ¸elii pe unitatea de suprafat ¸ ˘a, costul total Pva ﬁ:
P=2πk/parenleftbig
xy +4×2/parenrightbig
Dac˘aˆınlocuim pe ycu a3
3×2−2
3obt ¸inem
P=2πk/parenleftbigga3
3x−2x
3+4×2/parenrightbigg
C˘aut˘am deci minimul funct ¸iei
f(x)= 2πk/parenleftbigga3
3x−2x
3+4×2/parenrightbigg
Din
f/prime(x)= 0=⇒x=a
3√
20
f(x)este minim s ¸i y=6x.
Problema 4.3.6 18 Se consider ˘a o prism ˘a hexagonal ˘a regulat ˘a de ˆın ˘alt ¸ime h, laturile bazei au
lungimea a. Printr-un punct S luat pe prelungirea axei acestei prisme, la o distant ¸ ˘a x de centrul
O al bazei superioare s ¸i prin laturile triunghiului echilateral ABC, obt ¸inut unind din dou ˘aˆın
dou˘a v ˆırfurile acestei baze, se face s ˘a treac ˘a plane care taie din prism ˘a trei tetraedre s ¸i le
ˆınlocuies ¸te printr-un tetraedru unic SABC de acelas ¸i volum total. S ˘a se determine x, astfel ˆıncˆıt
aria total ˘a a decaedrului astfel construit s ˘a ﬁe minim ˘a s ¸i s ˘a se calculeze cu aproximat ¸ie de 1’
sexagesimal, m ˘asura unghiului ASB.
Demonstratie: FieSsuprafat ¸a total ˘a a prismei hexagonale.
18 Problema fagurilor

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 98
Cˆand se ˆınlocuies ¸te baza hexagonal ˘a superioar ˘a prin ﬁgura format ˘a cu cele trei romburi
SAHB ,SBKC ,SCLA se suprim ˘a baza de arie egal ˘a cu 6 a2√
3
4s ¸i s ¸ase triunghiuri dreptunghice
de tipul ALP s ¸i de arie total ˘a 3 ax , se ˆınlocuiesc ariile suprimate prin acelea a trei romburi,
AB =a√
3, SH =2/radicalBig
x2+a2
4.
Aria celor trei romburi este
3a√
3·/radicalbigg
x2+a2
4
iar aria decaedrului este
y=S+3a√
3·/radicalbigg
x2+a2
4−3ax −3
2a2√
3
y/prime=3ax√
3/radicalBig
x2+a2
4−1
care se anuleaz ˘a pentru x=a
2√
2.
Dac˘aα=ASB avem
tanα
2=a√
3√
2×2+a2=√
2=⇒α=109028 /prime
valoarea care coincide cu cea observat ˘a pe fagurii albinelor.
Problema 4.3.7 S˘a se determine triunghiul de arie maxim ˘a s ¸i de perimetru egal cu 2p.
Demonstratie: Aria triunghiului cu laturile a,b,ceste
S=/radicalbig
p(p−a)( p−b)( p−c)
unde
p=a+b+c
2,c=2p−a−b=⇒
S=/radicalbig
p(p−a)( p−b)( p−2p+a+b)
S=/radicalbig
p(p−a)( p−b)( a+b−p)
Deoarece peste constant studiem extremele funct ¸iei:
f(x,y)=( p−x)( p−y)( x+y−p)
/braceleftBigg∂f
∂x=−(p−y)( x+y−p)= 0
∂f
∂y=−(p−x)( x+y−p)= 0¸si ∂2f
∂x2=−(p−y)
∂2f
∂y2=−(p−x)(4.18)
Rezolv ˆand (4.18) observ ˘am c ˘afare un maxim ˆın
x=2p
3,y=2p
3=⇒a=2p
3,y=2p
3,c=2p
3
ne rezult ˘a c ˘a triunghiul este echilateral.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 99
Problema 4.3.8 S˘a se ˆınscrie, ˆıntr-un con circular drept, un paralelipiped dreptunghic de vo-
lum maxim.
Demonstratie: Dreptunghiurile de baz ˘a ale paralelipipedului sunt ˆınscrise ˆın cercurile de baz ˘a
ale unui cilindru circular drept ˆınscris ˆın conul dat.
FieABCD baza prismei AB =x,AD =y,r=raza conului s ¸i h=ˆın ˘alt ¸imea conului.
V olumul paralelepipedului este
V=h
2rxy /parenleftBig
2r−/radicalbig
x2+y2/parenrightBig
consider ˘am funct ¸ia
f(x,y)= xy /parenleftBig
2r−/radicalbig
x2+y2/parenrightBig
.
Folosim teorema 2.5.1. Punctele stat ¸ionare sunt date de sistemul:
/braceleftBigg∂f
∂x=0
∂f
∂y=0
obt ¸inem x0=y0=2√
2r
3iarˆın ˘alt ¸imea paralelipipedului este h
3.
Calcul ˘am
∂2f
∂x·∂2f
∂y−/parenleftbigg∂2f
∂xdy /parenrightbigg2
=8r2
3>0
s ¸i deoarece
∂2f
∂x=−5r
3<0
ne rezult ˘a c ˘a punctul este de maxim.
Problema 4.3.9 S˘a se ˆınscrie ˆın sfera de raz ˘a R un paralelipiped dreptunghic de volum maxim.
Demonstratie: Not˘am x,ydimensiunile dreptunghiului de la baz ˘a. V olumul paralelipipedului
este
V=1
2xy /radicalbig
4R2−x2−y2
Punctele stat ¸ionare sunt date de sistemul(folosim teorema 2.5.1):
/braceleftBigg
∂V
∂x=0
∂V
∂y=0
de unde avem solut ¸ia
x0=y0=2R√
3.
Calcul ˘am
∂2V
∂x2·∂2V
∂y2−/parenleftbigg∂2V
∂x∂y/parenrightbigg2
=4R2>0.
ˆIn plus, deaorece ∂2V
∂x2<0 ne rezult ˘a c ˘a(x0,y0)este un maxim.
Dimensiunile paralelipipedului de volum maxim sunt 2R√
3,2R√
3,2R√
3.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 100
Problema 4.3.10 S˘a se ˆınscrie ˆın conul circular drept, a c ˘arui generatoare este ˆınclinat ˘a fat ¸ ˘a
de planul bazei cu un unghi α, un paralelipiped dreptunghic de arie total ˘a maxim ˘a.
Demonstratie: Not˘am x,ylaturile dreptunghiului de la baz ˘a paralelipipedului. Aria total ˘a este:
S=( x+y)/parenleftBig
2lsinα−/radicalbig
x2+y2tanα/parenrightBig
+2xy
C˘aut˘am punctele stat ¸ionare rezolv ˆand sistemul(folosim teorema 2.5.1):
/braceleftBigg
∂S
∂x=0
∂S
∂y=0
obt ¸inem solut ¸ia x0=y0=lsinα√2tan α−1.
Calcul ˘am
∂2S
∂x2(x0,y0)= −3tan α√
2
∂2S
∂y2(x0,y0)= 2−1√
2tanα
∂2S
∂x∂y(x0,y0)= −3tan α√
2
avem :
∂2S
∂x2·∂2S
∂y2−/parenleftbigg∂2S
∂x∂y/parenrightbigg2
=9
2tanα−/parenleftbigg
2−1√
2tanα/parenrightbigg2
=9
2tanα−4+4√
2tanα−1
2tan2α
4tan 2α+4√
2tanα−4=4/parenleftBigg
tan2α+1
2tanα−1
/bracehtipupleft /bracehtipdownright/bracehtipdownleft /bracehtipupright/parenrightBigg
>0
(∗).
V om rezolva tan 2α+1
2tanα−1=0.
Obt ¸inem solut ¸iile:
(tanα)2=−√
2
sau
(tanα)2=1√
2.
Pentru avea extrem trebuie s ˘a avem α>arctan1√
2s ¸i ˆın acest caz extremul este un maxim.
Problema 4.3.11 S˘a se studieze variat ¸ia sumei p ˘atratelor distant ¸elor unui punct M (x,y,z)la n
puncte ﬁxe M i(ai,bi,ci),i=1,2,…, n.

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 101
Demonstratie: Avem de studiat extremele funct ¸iei cu trei variabile
f(x,y,z)= n
∑
i=1(x−ai)2+( y−bi)2+( z−ci)2
Folosim teorema (2.6.3). Rezolv ˘am sistemul:


∂f
∂x=n
∑
i=1(x−ai)= 0
∂f
∂y=n
∑
i=1(y−bi)= 0
∂f
∂z=n
∑
i=1(z−ci)= 0
de unde avem 

x0=n
∑
i=1ai
n
y0=n
∑
i=1bi
n
z0=n
∑
i=1ci
n
Calcul ˘am acum: 

∂f
∂x=2n
∂f
∂y=2n
∂f
∂z=2n
∂2f
∂x∂y=∂2u
∂x∂z=∂2u
∂y∂z=0
deci 

/triangle1=2n>0
/triangle2=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle2n0
0 2 n/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle>0
/triangle3=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle2n0 0
0 2 n0
0 0 2 n/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=8n30
ne rezult ˘a(x0,y0,z0)punct de minim.
Problema 4.3.12 S˘a se ˆımpart ˘a un num ˘ar a >0ˆın trei numere x ,y,z astfel ca expresia u =
xmynzp,(m,n,p∈N)s˘a ﬁe maxim ˘a.
Demonstratie: Avem de determinat maximul funct ¸iei u=xmynzp(m,n,p∈N).
Dac˘autrece prin maxim atunci s ¸i ln utrece prin maxim deci vom c ˘auta maximul logaritmu-
lui lui ucu leg ˘atura
x+y+z=a,ln u=mln x+nln y+pln z
folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange(aplic ˘am teorema2.6.4).
Fie
F(x,y,z)= mln x+nln y+pln z+λ(x+y+z−a)

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 102
∂f
∂x=m
x+λ=0
∂f
∂y=m
y+λ=0
∂f
∂z=m
z+λ=0/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=⇒x=−m
λ,y=−n
λ,z=−p
λ
care introduse ˆın relat ¸ia de leg ˘atura vor da λ=m+n+p
a.
deci
x0=am
m+n+p,y0=an
m+n+p,z0=ap
m+n+p.
Calcul ˆand
d2F=−m
x2dx 2−m
y2dy 2−p
z2dz 2<0
ne rezult ˘a c ˘a(x0,y0,z0)este punct de maxim.
Demonstratie: Suprafat ¸a c ˘autat ˘a este S=1
2(ab sinθ+cs sinϕ).
Din triunghiurile ABC s ¸i ADC avem
AC 2=a2+b2−2ab cosθ
AC 2=c2+d2−2cd cosϕ
de unde rezult ˘a leg ˘atura:
2(cd cosϕ−ab cosθ)= c2+d2−a2−b2.
V om determina extremele lui Scu leg ˘atura de mai sus folosind metoda multiplicatorilor lui
Lagrange(folosim teorema 2.6.4).
Fie
F=1
2(ab sinθ+cs sinϕ)+ λ(2cd cosϕ−ab cosθ)+ a2+b2−c2−d2
Rezolv ˘am sistemul /braceleftBigg
∂F
∂θ =0
∂F
∂θ =0
pentru a determina punctele stat ¸ionare.
Avem de rezolvat sistemul
/braceleftbigg1
2ab cosθ+2λsin θ=0
1
2cd cosϕ+2λsinϕ=0
de unde elimin ˆand pe λrezult ˘a ecut ¸ia
sinϕcosθ+sin θcosϕ=0sau sin(ϕ+θ)= 0
de unde
ϕ+θ=0
ϕ+θ=1800
ϕ+θ=3600
din care numai ϕ+θ=1800, adic ˘a patrulaterul este inscriptibil.
V om ar ˘ata c ˘a suprafat ¸a este maxim ˘a .

CAPITOLUL 4. PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II 103
V om calcula pentru aceasta:
d2F=ab
2−(sinθ+4λcosθ)d2−cd
2(sinϕ+4λcosϕ)= 0
unde λ=−1
4cotθ=1
4cotϕ, deci:
d2F=−1
2/bracketleftBig
ab
sinθdθ2+cd
sinϕdϕ2/bracketrightBig
<0deoarece θ∈(0,π)
ϕ∈(0,π)
s ¸i ne rezult ˘a c ˘a patrulaterul inscriptibil are arie maxim ˘a.

Capitolul 5
Aspecte metodice
5.1 Aspecte metodice privind problemele de extrem ˆın pro-
grama s ¸colar ˘a
5.1.1 Metodica abord ˘arii problemelor de extrem
Elevii se ˆıntˆalnesc, ˆınc˘a din gimnaziu cu probleme ˆın care trebuie s ˘a determine cea mai mic ˘a
sau cea mai mare valoare a unei expresii care depinde de un parametru sau cu probleme ˆın
care trebuie determinat ˘a aria minim ˘a sau maxim ˘a a unei ﬁguri geometrice. Acestea sunt, de
fapt, probleme de extrem. Mai apoi, ˆın clasele a IX-a s ¸i a X-a, se ˆıntˆalnesc cu probleme de
determinare a minimului sau maximului funct ¸iei de gradul al doilea, cu inegalit ˘at ¸i care pot ﬁ
formulate ca probleme de extrem sau cu probleme de calcul al valorii minime sau maxime a unei
expresii trigonometrice. ˆIn sf ˆars ¸it, odat ˘a cu ciclul superior al liceului se abordeaz ˘a problemele
de extrem din perspectiva analizei matematice.
Revenind la tematica noastr ˘a, cea a trat ˘arii problemelor de extrem ˆın matematica s ¸colar ˘a,
am constatat, pred ˆand la un liceu cu proﬁl economic, anumite carent ¸e ˆın ˆınsus ¸irea programei
analitice dar s ¸i faptul c ˘a elevii nu sunt obis ¸nuit ¸i s ˘a pun ˘aˆıntreb ˘ariˆın timpul orelor de predare.
De aceea, am ˆıncercat implicarea elevilor at ˆat ˆın predarea not ¸iunilor cu caracter teoretic, c ˆat s ¸i
evident ¸ierea leg ˘aturii ˆıntre not ¸iunile de matematic ˘a s ¸i celelalte discipline. ˆIn acest sens, proble-
mele practice de extrem au fost de ﬁecare dat ˘a de mare ajutor.
Pentru ca drumul, destul de diﬁcil, pe care il au de parcurs elevii pentru aprofundarea
not ¸iunilor de analiz ˘a matematic ˘a s ¸i implicit a not ¸iunilor teoretice care apar ˆın rezolvarea pro-
blemelor de extrem s ˘a ﬁe mai us ¸or, mai eﬁcient, trebuie repectate c ˆateva cerint ¸e ˆın prezen-
tarea cont ¸inuturilor acestora. Pentru realizarea obiectivelor instructiv-formative ale pred ˘arii
not ¸iunilor teoretice care apar ˆın rezolvarea problemelor de extrem, se impun anumite condit ¸ii:
• Respectarea logicii s ¸tiint ¸ei, ﬁind necesar ca selectarea s ¸i prezentarea cunos ¸tintelor s ˘a ur-
meze ordinea lor ﬁreasc ˘a ;
• Respectarea logicii didactice, prezentarea cont ¸inutului f ˘ac ˆandu-se ˆın funct ¸ie de capa-
cit˘at ¸ile reale de asimilare ale elevilor ;
• Introducerea sistematic ˘a s ¸i selectiv ˘a a noilor achizit ¸ii ale cercet ˘arii matematice sau cerce-
tarii metodico-pedagogice ;
104

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 105
Un punct central ˆın aplicarea oric ˘arei metode didactice este urm ˘arirea unui grad c ˆat mai ˆınalt de
participare a elevilor. C ˆateva din metodele s ¸i procedeele existente s ¸i folosite ˆın predarea analizei
matematice, sunt :
• CONVERSAT ¸ IA Conversat ¸ia este una din metodele clasice de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant care valoriﬁc ˘a
didactic, dialogul necesar dintre profesor s ¸i elev. Elevul este activat dac ˘a este antrenat
la un schimb de informat ¸ii. ˆIn funct ¸ie de tipul lect ¸iei se pot folosi conversat ¸ia euristic ˘a
s ¸i cea de consolidare, de sistematizare s ¸i veriﬁcare a cunos ¸tint ¸elor de analiz ˘a matema-
tic˘a. Conversat ¸ia euristic ˘a ca o activitate comun ˘a de g ˆandire, c ˘autare, cercetare s ¸i aﬂare a
adevarului poate conduce cu succes la evitarea /lessmuchtransmiterii /greatermuchde noi cunos ¸tinte ˆıntr-un
singur sens, spre elev. Esent ¸ial pentru aplicarea acestei metode este faptul c ˘a profeso-
rul orienteaz ˘aˆın permanent ¸ ˘a g ˆandirea elevului, prin felul s ¸i ordinea ˆıntreb ˘arilor adresate
elevilor, astfel ca, ˆın ﬁnal s ˘a ajung ˘a la noutatea propus ˘a. Despre conversat ¸ia euristic ˘a se
mai poate spune c ˘a este o metod ˘a dialogal ˘a, de incitare a elevilor prin ˆıntreb ˘ari, este arta
aﬂ ˘arii adev ˘arurilor printr-un s ¸ir de ˆıntreb ˘ari. Acest procedeu invit ˘a elevii s ˘a realizeze o
incursiune ˆın propriul univers cognitiv s ¸i s ˘a fac ˘a o serie de conexiuni care s ˘a faciliteze
dezv ˘aluirea de noi aspecte ale realit ˘at ¸ii. Formula speciﬁc ˘a de desf ˘as ¸urare a conversat ¸iei
euristice se poate vedea atunci c ˆandˆıntreb ˘arile s ¸i r ˘aspunsurile se ˆıncheag ˘aˆın serii com-
pacte, ﬁecare nou ˘aˆıntrebare av ˆand punctul de plecare ˆın r ˘aspunsul anterior. Posibilitatea
de utilizare a conversat ¸iei euristice este condit ¸ionat ˘a de experient ¸a de cunoas ¸tere de p ˆan ˘a
atunci a elevului, care s ˘a-i permit ˘a s ˘a r ˘aspund ˘a la ˆıntreb ˘arile ce i se pun. Elevii trebuie s ˘a
ﬁ asimilat informat ¸iile predate ˆın lect ¸iile anterioare pentru a ajunge la anumite concluzii
generalizatoare, corelat ¸ii noi. Chiar dac ˘a o metoda de rezolvare propus ˘a de un elev este
mai anevoioas ˘a, ea nu trebuie reprimat ˘a ci substituit ˘a prin alta c ˘areia ˆıi subliniem prin
comparat ¸ie avantajele
• EXPUNEREA SISTEMATIC ˘A A CUNOS ¸TINT ¸ ELOR se ˆınscrie ˆıntre metodele de pre-
dare verbal ˘a, ﬁind expozitiv ˘aˆın funct ¸ie de gradul de angajare al elevului situ ˆandu-l per-
manent ˆın postura de receptor. Datorit ˘a speciﬁcului analizei matematice, mai ales prin di-
ﬁcult ˘at ¸ile ridicate de predarea unor not ¸iuni, metoda expunerii sistematice a cunos ¸tintelor
r˘am ˆane o metoda de baz ˘a, cu numeroase valent ¸e instructiv educative. Expunerea tre-
buie s ˘a suscite imaginat ¸ia elevilor, s ˘a ﬁe clar ˘a, accesibil ˘a, expresiv ˘a, vie, plastic ˘a. Ea
trebuie s ˘a ﬁe ˆınsot ¸it ˘a de frumuset ¸ea s ¸i plasticitatea cuv ˆantului, elegant ¸a dict ¸iei, expresia
emot ¸ionala. ˆIn cursul expunerii profesorul poate s ¸i trebuie s ˘a realizeze o comunicare vie
cu elevii, solicit ˆandu-le permanent atent ¸ia, anunt ¸ ˆand de ﬁecare dat ˘a ce se urm ˘ares ¸te, care
este scopul local al lect ¸iei. ˆIn predarea analizei matematice o variant ˘a a expunerii este
explicat ¸ia, argumentarea s ¸tiint ¸iﬁc ˘a rat ¸ional ˘a a faptelor prezentate. Explicat ¸ia solicit ˘a mai
mult operat ¸iile g ˆandirii s ¸i ajut ˘a elevii ˆın ˆıntelegerea notelor deﬁnitorii ale conceptelor de
analiz ˘a matematic ˘a.
• PROBLEMATIZAREA Problematizarea mai poate ﬁ denumit ˘a s ¸i predare prin rezolvare
de probleme sau predare productiv ˘a de probleme. Metoda const ˘aˆın crearea unor di-
ﬁcult ˘at ¸i practice sau teoretice, iar rezolvarea este rezultatul activit ˘at ¸ii proprii de cerce-
tare, efectuate de elev. Astfel, se realizeaz ˘aˆın acelas ¸i timp s ¸i o predare s ¸i o ˆınsus ¸ire
de cunos ¸tint ¸e pe baza unor structuri cu date insuﬁciente. La baza ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆantului de tip
problematizat st ˘a not ¸iunea de situat ¸ie-problem ˘a. Aparit ¸ia unei situat ¸ii-problem ˘a confer ˘a
elevului o stare contradictorie, conﬂictual ˘a, fapt care ˆıl incit ˘a la c ˘autare s ¸i descoperire,

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 106
la intuirea unor solut ¸ii noi. Speciﬁc acestei metode este faptul c ˘a profesorul nu comu-
nic˘a pur s ¸i simplu nis ¸te cunos ¸tint ¸e gata elaborate, ci dezv ˘aluie elevilor s ˘ai ”embriologia
adev ˘arurilor, pun ˆandu-i ˆın situat ¸ia de c ˘autare s ¸i de descoperire. Partea cea mai impor-
tant˘a a problematiz ˘arii const ˘aˆın crearea situat ¸iilor problematice s ¸i mai put ¸in punerea
unor ˆıntreb ˘ari, care ar putea foarte bine s ˘a s ¸i lipseasc ˘a. Problematizarea presupune mai
multe momente: un moment declans ¸ator, unul tensional s ¸i unul rezolutiv. Pentru a obt ¸ine
rezultatul scontat la aplicarea acestei metode trebuie respectate anumite condit ¸ii strict
obligatorii: existent ¸a unui fond aperceptiv suﬁcient al elevului; elevilor trebuie s ˘a aib ˘a
un bagaj minim de informat ¸ii cerute de problem ˘a; informat ¸iile trebuie organizate astfel
ˆıncˆat ˆıntrebarea problem ˘a s ˘a ﬁe ˆınsot ¸it ˘a de direct ¸ionarea spre rezolvare a g ˆandirii elevilor;
trebuie f ˘acute raport ˘ari la cunos ¸tintele dob ˆandite anterior de elevi; dozarea diﬁcult ˘at ¸ilor
ˆıntr-o anumit ˘a gradat ¸ie; alegerea celui mai potrivit moment de plasare a problemei ˆın
lect ¸ie; manifestarea unui interes real pentru rezolvarea problemei; asigurarea unei rela-
tive omogenit ˘at ¸i a clasei, la nivelul superior; un efectiv nu prea mare ˆın ﬁecare clas ˘a de
elevi; evitarea supra ˆınc˘arc˘arii programelor s ¸colare. ˆIn lipsa respect ˘arii acestor condit ¸ii,
problematizarea devine formal ˘a sau defavorizant ˘a. Prin antrenarea personalit ˘at ¸ii elevilor,
a componentelor intelectuale, afective s ¸i volit ¸ionale aceast ˘a metod ˘a poate ﬁ considerat ˘a
a avea valoare formativ ˘a deoarece stimuleaz ˘a spiritul de explorare, formeaz ˘a un stil ac-
tiv de munc ˘a. Literatura pedagogic ˘a insist ˘a asupra necesit ˘atii de a face deosebire ˆıntre
problematizarea ca expresie a efortului de g ˆandire consacrat descoperirii unor noi fapte
s ¸i rezolvarea de probleme care cer doar aplicarea unor informat ¸ii dob ˆandite anterior de
elevi. Misiunea noastr ˘a, a profesorilor, este aici diﬁcil ˘a deoarece trebuie s ˘a descoperim,
s˘a invent ˘am , s ˘a gener ˘am “ situat ¸ii-problem ˘a” care s ˘a solicite g ˆandirea elevilor.
•ˆINV ˘AT ¸ AREA PRIN DESCOPERIRE, ACTIVITATE DIFERENT ¸ IAT ˘A este o metod ˘a
de predare, ce poate ﬁ folosit ˘a cu succes ˆın predarea not ¸iunilor de analiz ˘a matematic ˘a,
prin care elevii sunt ˆındemnat ¸i s ˘a se init ¸ieze ˆın tainele muncii de cercetare, reconstitu-
indˆın c ˘autarea adev ˘arului, drumul elabor ˘arii cunos ¸tint ¸elor, printr-o activitate proprie. ˆIn
cadrul ˆınv ˘at ¸ ˘arii prin descoperire, elevului nu i prezint ˘a doar produsul cunoas ¸terii ci mai
ales c ˘aile prin care se ajunge la acest produs, mijloacele de investigare, ceea ce spores ¸te
mult eﬁcient ¸a ˆınv ˘at ¸ ˘arii. Aplicarea la clas ˘a a acestei metode nu este simpl ˘a, trebuie s ˘a
t ¸in ˘a seama de nivelul de dezvoltare intelectual ˘a a elevilor, de complexitatea probleme-
lor, de posibilit ˘at ¸ile conducerii unor activit ˘at ¸i diferent ¸iate cu elevii din clas ˘a. Rezultatele
obt ¸inute de elevi ˆın mod individual sau pe grupe mici trebuie s ˘a ﬁe analizate cu ˆıntreaga
clas˘a.
• FIXAREA CUNOS ¸TINT ¸ ELOR INSUS ¸ITE, RECAPITULAREA ˆIn procesul propriu-
zis de predare – ˆınv ˘at ¸are se pot distinge, urm ˘atoarele activit ˘at ¸i: ˆınarmarea elevilor cu
cunos ¸tint ¸e, cu priceperi s ¸i deprinderi, ﬁxarea cunos ¸tintelor obt ¸inute, controlul s ¸i aprecie-
rea rezultatelor.
Am enumerat mai sus principalele metode de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant folosite ˆın ˆınarmarea elevilor cu
cunos ¸tint ¸e s ¸i priceperi de folosire a lor ˆın practic ˘a. Se pune problema dac ˘a aceste metode
se folosesc s ¸i ˆın faza ﬁx ˘arii rezultatelor dob ˆandite sau dac ˘a sunt necesare s ¸i alte metode s ¸i mij-
loace. Recapitularea nu presupune reluarea tuturor cunos ¸tint ¸elor predate ci este mai degrab ˘a
o sintez ˘a cu caracter creator pe plan padagogic. Profesorul trebuie s ˘a vegheze asupra folosirii
manualului ca material de baz ˘a, cu mare atent ¸ie acordat ˘a select ˘arii problemelor din manual dar
s ¸i din culegerile de probleme, ˆın funct ¸ie de sarcina ﬁec ˘arei lect ¸ii.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 107
Aceste metode de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant vor ﬁ operat ¸ionalizate ˆın proiectele didactice din sect ¸iunea 5.2
a acestui capitol. Am ˆıncercat, ˆın cele patru proiecte didactice propuse, s ˘a oferim o privire de
ansamblu a metodelor prin care pot ﬁ abordate problemele de extrem din programa s ¸colar ˘a de
liceu. Am ˆınceput cu “ ˆınceputul”, predarea derivatelor funct ¸iilor elementare, ˆın cadrul unei lect ¸ii
de ˆınsus ¸ire de noi cunos ¸tint ¸e, folosind ˆın special, metoda ˆınv ˘at ¸ ˘arii prin descoperire. Apoi prin
intermediul problematiz ˘arii, conversat ¸iei euristice s ¸i a expunerii sistematice a cunos ¸tint ¸elor am
introdus ˆın urm ˘atoarele dou ˘a proiecte didactice, not ¸iuni precum: puncte de extrem, intervale
de monotonie dar s ¸i algoritmi de aﬂare a acestora. Pentru ﬁxarea cunos ¸tint ¸elor ˆınsus ¸ite, am
propus ˆın ultimul proiect didactic, abordarea unor probleme de optimizare dar s ¸i rezolvarea
unor inegalit ˘at ¸i. Dar proiectarea activit ˘at ¸ii didactice ˆıncepe cu realizarea planiﬁc ˘arilor anuale
s ¸i semestriale, pe baza programelor scolare ˆın vigoare, proiectarea unit ˘at ¸ilor de ˆınv ˘at ¸are – am
exempliﬁcat un model de acest fel pentru unitatea de ˆınv ˘at ¸are “Funct ¸ii derivabile pe un interval”
s ¸i apoi cu proiectare activit ˘at ¸ii prin intermediul proiectelor didactice.
O parte din not ¸iunile matematice prezentate ˆın cadrul acestei lucr ˘ari, cele referitoare la pro-
blemele de extrem ˆın cazul funct ¸iilor reale de o variabil ˘a real ˘a, poate ﬁ folosit ˘aˆın activitatea de
predare – ˆınv ˘at ¸are – evaluare a cont ¸inuturilor cuprinse ˆın programa s ¸colar ˘a iar partea ce dep ˘as ¸es ¸te
cadrul programei s ¸colare am prins-o ˆın cadrul propunerii de opt ¸ional de extindere propus ˆın
sect ¸iunea 5.3 a acestui capitol. Opt ¸ionalul este g ˆandit pentru astfel ˆıncˆat, tematica aleas ˘a s ˘a
vin˘aˆın completarea not ¸iunilor de analiz ˘a matematic ˘a referitoare la funct ¸iile derivabile. Elevii,
prin parcurgerea acestui curs, vor studia probleme clasice de extrem cum ar ﬁ problema Dido-
nei, problema lui Arhimede, problema lui Steiner, vor ˆınv ˘at ¸a elemente de baz ˘a ale calculului
diferent ¸ial pentru funct ¸ii cu dou ˘a sau mai multe variabile, vor rezolva probleme de extrem pen-
tru funct ¸ii de una sau mai multe variabile inclusiv cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se
va pune accent pe rezolvarea inegalit ˘at ¸ilor cu ajutorul not ¸iunilor de extrem, deoarece ele apar
foarte des ˆın subiectele de bacalaureat.
5.1.2 Proiectarea unit ˘at ¸ii de ˆınv ˘at ¸are
O unitate de ˆınv ˘at ¸are reprezint ˘a o structur ˘a didactic ˘a s ¸i ﬂexibil ˘a, care are urm ˘atoarele caracteri-
sici:
• Determin ˘a formarea la elevi a unui comportament speciﬁc, generat prin integrarea unor
obiective de referint ¸ ˘a;
• Este unitar ˘a din punct de vedere tematic;
• Se desf ˘as ¸oar ˘aˆın mod sistematic s ¸i continuu pe o perioad ˘a de timp;
• Se ﬁnalizeaz ˜a prin evaluare.
Proiectarea unei unit ˘at ¸i de ˆınv ˘at ¸are se face ˆıntr-un tabel ce cont ¸ine urm ˜atoarele rubrici:
Con ¸tinuturi unde apar inclusiv detalieri de cont ¸inut necesare ˆın explicitarea anumitor par-
cursuri, respectiv ˆın cuplarea lor la baza proprie de cunoas ¸tere a elevilor;
Obiective de re f erin ¸t˘a– se trec numerele obiectivelor de referint ¸ ˘a din programa s ¸colar ˜a;
Activit ˘a¸ti de inv ˘a¸tare – se trec activit ˘at ¸i care pot ﬁ cele din programa scolar ˘a, sau altele, pe
care profesorul le consider ˘a adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;
Resurse – se trec speciﬁc ˘ari de timp, mijloace didactice, metode didactice;
Evaluare – se ment ¸ioneaz ˘a instrumentele sau modalit ˘at ¸ile de evaluare aplicate ˆın clas ˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 108
Fiecare unitate de ˆınv ˘at ¸are se ˆıncheie cu evaluare sumativ ˜a.
Aparit ¸ia noilor programe, centrate pe achizit ¸iile elevilor, impune anumite schimb ˘ariˆın di-
dactica ﬁec ˜arei discipline. Diversiﬁcarea metodelor de ˆınv ˘at ¸are, a modurilor s ¸i formelor de
organizare a lect ¸iei, a situat ¸iilor de ˆınv ˘at ¸are, constituie cheia schimb ˘arilor pe care le preconi-
zeaz˜a noul curriculum. Asigurarea unor situat ¸ii de ˆınv ˘at ¸are multiple creeaz ˘a premise pentru ca
elevii s ˘a poat ˜a valoriﬁca propriile abilit ˘at ¸i ˆın ˆınv ˘at ¸are.
Metodele de ˆınv ˘at ¸are sunt scheme de act ¸iune identiﬁcate de teoriile ˆınv ˘at ¸ ˘arii; ele sunt apli-
cate cont ¸inuturilor disciplinei studiate s ¸i reprezint ˘a act ¸iuni interiorizate de elev. Sensul schimb ˘arilor
ˆın didactica actual ˘a este orientat spre formarea de competent ¸e, adic ˘a a acelor ansambluri struc-
turate de cunos ¸tint ¸e s ¸i deprinderi dob ˆandite prin ˆınv ˘at ¸are, care permit identiﬁcarea s ¸i rezolvarea
unor probleme speciﬁce, ˆın contexte diverse. ˆInv ˘at ¸area nu mai poate avea ca unic scop memo-
rarea s ¸i reproducerea de cunos ¸tint ¸e: ˆın societatea contemporan ˜a, o ˆınv ˘at ¸are eﬁcient ˘a presupune
explicarea s ¸i sust ¸inerea unor puncte de vedere proprii, precum s ¸i realizarea unui schimb de idei
cu ceilalt ¸i. Pasivitatea elevilor ˆın clas ˘a, consecint ¸ ˘a a modului de predare prin prelegere, nu pro-
duce ˆınv ˘at ¸are dec ˆat ˆın foarte mic ˘a m ˘asur˘a. Pentru elevi, este insuﬁcient dac ˘a, ˆın timpul unei ore,
ascult ˘a explicat ¸iile profesorului s ¸i v ˘ad o demonstrat ¸ie. Este mult mai eﬁcient dac ˘a elevii par-
ticip˘aˆın mod activ la procesul de ˆınv ˘at ¸are: discut ¸ia, argumentarea, investigat ¸ia, experimentul,
devin metode indispensabile pentru ˆınv ˘at ¸area eﬁcient ˘a s ¸i de durat ˘a. As ¸adar, ˆınv ˘at ¸area devine
eﬁcient ˘a doar atunci c ˆandˆıl punem pe elev s ˘a act ¸ioneze. Trecerea la o metodologie mai activ ˘a,
centrat ˘a pe elev, implic ˘a elevul ˆın procesul de ˆınv ˘at ¸are s ¸i ˆıl ˆınvat ¸ ˘a aptitudinile ˆınv ˘at ¸ ˘arii, precum
s ¸i aptitudinile fundamentale ale muncii al ˘aturi de alt ¸ii s ¸i ale rezolv ˘arii de probleme. Metodele
centrate pe elev implic ˜a individul ˆın evaluarea eﬁcacit ˘at ¸ii procesului lor de ˆınv ˘at ¸are s ¸i ˆın stabi-
lirea obiectivelor pentru dezvoltarea viitoare. V om prezenta ˆın continuare un model de proiect
al unit ˘at ¸ii de ˆınv ˘at ¸are pentru Funct ¸ii derivabile pe un interval .

Proiectul unit ˘at ¸ii de ˆınv ˘at ¸are – Funct ¸ii derivabile pe un
interval;

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 1
Colegiul Economic “Anghel Rugin ˘a”-Vaslui
Disciplina: Matematic ˘a
Clasa a XI-a
An s ¸colar: 2012-2013
Nr.ore – 30 ore
COMPETENT ¸ E GENERALE
1. Folosirea terminologiei speciﬁce matematicii ˆın contexte variate de aplicare
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice
3. Utilizarea algoritmilor s ¸i a conceptelor matematice ˆın rezolvarea de probleme
4. Exprimarea s ¸i redactarea coerent ˘aˆın limbaj formal sau ˆın limbaj cotidian, a rezolv ˘arii sau
a strategiilor de rezolvare a unei probleme
5. Analiza de situat ¸ii problem ˘aˆın scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea solut ¸iilor
6. Generalizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului init ¸ial de deﬁnire a problemei
sau prin generalizarea algoritmilor
Competent ¸e speciﬁce
(1)Identiﬁcarea graﬁc/vizual, propriet ˘at ¸ilor unei funct ¸ii numerice, privind: m ˘arginirea, conti-
nuitatea, derivabilitatea.
(2)Asocierea de date, extrase dintr-o situat ¸ie problem ˘a, cu propriet ˘at ¸i ale funct ¸iilor numerice
studiate, de tipul: teoreme de convergent ¸ ˘a, operat ¸ii cu limite, limite tip, tabele de derivare.
(3)Aplicarea unor algoritmi speciﬁci, calculului diferent ¸ial, ˆın rezolvarea unor probleme s ¸i
modelarea unor procese speciﬁce, unor domenii de activitate.
(4)Exprimarea cu ajutorul not ¸iunilor speciﬁce calculului diferent ¸ial a unor propriet ˘at ¸i cantita-
tive s ¸i calitative ale unei funct ¸ii.
(5)Interpretarea pe baza lecturii graﬁce, a propriet ˘at ¸ilor unor funct ¸ii, care reprezint ˘a exemple
din domeniul economic, social, s ¸tiint ¸iﬁc.
(6)Veriﬁcarea experimental ˘a a rezultatelor, deduse prin calcul, pentru probleme practice ex-
primabile matematic.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 2
(7)Determinarea unor optimuri situat ¸ionale, prin aplicarea calculului diferent ¸ial , ˆın probleme
practice sau speciﬁce unor domenii de activitate.
(8)Utilizarea rezultatelor s ¸i a metodelor pentru crearea de strategii de lucru
(9)Formarea obis ¸nuint ¸ei de a cauta toate solut ¸iile, de a stabili unicitatea solut ¸iilor sau de a
analiza rezultatelor.
(10) Analiza datelor si explicarea variantelor posibile de rezolvare a unei probleme
PROIECTAREA UNIT ˘AT ¸ II DE ˆINV ˘AT ¸ ARE: Teoreme fundamentale ale calculului
diferent ¸ial; Funct ¸ii derivabile pe un interval;
CONT ¸ INUTURI
– Detaliate ale
unit˘at ¸ii de
ˆınv ˘at ¸are Competent ¸e
speciﬁceActivit ˘at ¸i de
ˆınv ˘at ¸are Resurse Evaluare
Ce? De ce? Cum? Cu ce? Cˆat?
Funct ¸ii derivabile
pe un interval:
puncte de extrem
ale unei funct ¸ii. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(8)
(10 )ˆInt˘arirea
not ¸iunilor prin
exemple s ¸i
contraexemple
Studiul variat ¸iei
funct ¸iilor pe
exemple (funct ¸ii
derivabile, cu
puncte de
discontinuitate /
nederivabilitate)
Folosirea unor
reprezent ˘ari
variate ca punct
de plecare pentru
intuirea, ilustra-
rea,clariﬁcarea
sau justiﬁcarea
unor idei,
algoritmi,
metode, c ˘ai de
rezolvare etc.Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode :
explicat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
exercit ¸iul,
activitate ˆın
grupe de 4
elevi s ¸i
individu-
ale;Tema
pentru
acas˘a. Observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
aprecierea
verbal ˘a,
chestiona-
rea oral ˘a,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 3
Teorema lui
Fermat,
interpretare
geometric ˘a. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)ˆInt˘arirea
not ¸iunilor prin
exemple s ¸i
contraexemple
Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de pro-
bleme;calculatorul
s ¸i softul
educat ¸ional,
cu
cont ¸inutul
s ¸tiint ¸iﬁc
temei
abordate;
Metode:
explicat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
demonstrat ¸i,
exercit ¸iul,
activit ˘at ¸i
frontale s ¸i
individuale.Observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
aprecierea
verbal ˘a,
chestiona-
rea oral ˘a,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.
Teorema lui
Rolle,
interpretare
geometric ˘a.
Consecint ¸e. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
explicat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
demonstrat ¸i,
exercit ¸iul,
problemati-
zarea,
descope-
rire,
activit ˘at ¸i
frontale s ¸i
individualeVeriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 4
S ¸irul lui Rolle. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)Folosirea unor
reprezent ˘ari
variate ca punct
de plecare pentru
intuirea, ilustra-
rea,clariﬁcarea
sau justiﬁcarea
unor idei,
algoritmi,
metode, c ˘ai de
rezolvare etc.
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
explicat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
exercit ¸iul,
problemati-
zarea,
descope-
rire,
activit ˘at ¸i
frontale s ¸i
individuale.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.
Teorema lui
Lagrange,
interpretare
geometric ˘a. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
explicat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
demonstrat ¸i,
exercit ¸iul,
problemati-
zarea,
descope-
rire,
activit ˘at ¸i
frontale s ¸i
individuale.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 5
Consecint ¸e ale
teoremei lui
Lagrange:
derivata unei
funct ¸ii ˆıntr-un
punct.(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
investigat ¸ia
s ¸tiint ¸iﬁc ˘a,
problemati-
zarea,
descope-
rire, studiu
de caz,
conversat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
explicat ¸ia,
exercit ¸iul.
Tema din
culegeri.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 6
Regulile lui
l’Hospital.(1)
(2)
(3)
(4)
(7)
(8)Folosirea unor
reprezent ˘ari
variate ca punct
de plecare pentru
intuirea, ilustra-
rea,clariﬁcarea
sau justiﬁcarea
unor idei,
algoritmi,
metode, c ˘ai de
rezolvare etc.
Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
investigat ¸ia
s ¸tiint ¸iﬁc ˘a,
problemati-
zarea,
descoperi-
rea, studiu
de caz,
conversat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
explicat ¸ia,
exercit ¸iul.
Tema din
culegeri.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 7
Rolul derivatei I
ˆın studiul
funct ¸iilor: puncte
de extrem,
monotonia
funct ¸iilor. (3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)Folosirea unor
reprezent ˘ari
variate ca punct
de plecare pentru
intuirea, ilustra-
rea,clariﬁcarea
sau justiﬁcarea
unor idei,
algoritmi,
metode, c ˘ai de
rezolvare etc.
Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.)
Aplicat ¸ii viz ˆand
compararea ,
observarea unor
asemanari si
deosebiri,
clasiﬁcarea
notiunilor
matematice
studiate dupa
unul sau mai
multe criterii
explicite sau
impliciteResurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
Metode:
investigat ¸ia
s ¸tiint ¸iﬁc ˘a,
problemati-
zarea,
descope-
rire, studiu
de caz,
conversat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
explicat ¸ia,
exercit ¸iul.
Tema din
culegeri.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 8
Rolul derivatei a
II-aˆın studiul
funct ¸iilor:
concavitate,
convexitate,
puncte de
inﬂexiune.(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10 )Folosirea unor
reprezent ˘ari
variate ca punct
de plecare pentru
intuirea, ilustra-
rea,clariﬁcarea
sau justiﬁcarea
unor idei,
algoritmi,
metode, c ˘ai de
rezolvare etc.
Probleme viz ˆand
aplicarea direct ˘a
a teoremelor s ¸i a
consecint ¸elor
(veriﬁcarea
condit ¸iilor de
aplicare a
teoremelor,
identiﬁcarea
punctelor
corespunz ˘atoare
teoremelor)
Aplicat ¸ii
indirecte ale
teoremelor
(calcul de limite,
inegalit ˘at ¸i,
identit ˘at ¸i, studiul
unor s ¸iruri s ¸.a.) Resurse
materiale :
manual,
culegeri de
probleme,
ﬁs ¸a de
probleme;
calculatorul
s ¸i softul
educat ¸ional,
cu
cont ¸inutul
s ¸tiint ¸iﬁc
temei
abordate,
testul gril ˘a.
Resurse
procedu-
rale:
investigat ¸ia
s ¸tiint ¸iﬁc ˘a,
problemati-
zarea,
descope-
rire, studiu
de caz,
conversat ¸ia,
conversat ¸ia
euristic ˘a,
explicat ¸ia,
exercit ¸iul.
Tema din
culegeri.Veriﬁcarea
temei, prin
sondaj,
aprecierea
r˘aspunsurilor
primite,
observarea
sistematic ˘a
a elevilor,
chestiona-
rea oral ˘a;
evaluare ˆın
ora
urm˘atoare
prin tema
pentru
acas˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 9
5.2 Proiecte didactice
5.2.1 Proiect didactic: Derivatele funct ¸iilor elementare
PROIECT DIDACTIC
Data :
Obiectul : Matematic ˘a;
Clasa : a XI-a (matematic ˘a-informatic ˘a 4 h/s ˘apt)
Unitatea de ˆınv ˘at ¸are : Funct ¸ii derivabile
Titlul lect ¸iei : Derivatele funct ¸iilor elementare
Tipul lect ¸iei : Lect ¸ie mixt ˘a;
Timp alocat lect ¸iei: 50 de minute
Competent ¸e generale
CG1 – Folosirea corect ˘a a terminologiei speciﬁce matematicii ˆın contexte variate de aplicare;
CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice;
CG3 – Utilizarea corect ˘a a algoritmilor matematici ˆın rezolvarea de probleme cu diferite grade
de diﬁcultate;
CG4 – Exprimarea s ¸i redactarea corect ˘a s ¸i coerent ˘aˆın limbaj formal sau cotidian a rezolv ˘arii
sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;
CG5 – Analiza unei situat ¸ii problematice s ¸i determinarea ipotezelor necesare pentru obt ¸inerea
concluziei.
CG6 – Generalizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului init ¸ial de deﬁnire a proble-
mei sau prin generalizarea algoritmilor
Competent ¸e speciﬁce
CS1 – Aplicarea unor algoritmi speciﬁci calculului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor probleme s ¸i
modelarea unor procese;
CS2 – Sudierea unor funct ¸ii din punct de vedere calitativ utiliz ˆand diverse procedee;
CS3 – Explorarea unor propriet ˘at ¸i cu caracter local / global ale funct ¸iilor utiliz ˆand continuitatea
s ¸i derivabilitatea;

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 10
Obiective operat ¸ionale
La sf ˆars ¸itul lect ¸iei elevii vor ﬁ capabili :
O1: s˘a calculeze derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un punct;
O2: s˘a stabileasc ˘a derivabilitatea unei funct ¸ii ˆıntr-un punct cu ajutorul derivatelor laterale;
O3: s˘a deduc ˘a derivatele funct ¸iilor elementare studiate;
O4: s˘a aplice derivatele funct ¸iilor elementare studiate ˆın rezolvarea problemelor;
O5: s˘a coopereze ˆın cadrul echipei la descoperirea derivatelor din ﬁs ¸a de lucru;
O6: s˘a analizeze s ¸i s ˘a evalueze ˆın mod corect munca colegilor din grup ˘a.
Stilul vizual de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de vederea informat ¸iilor ˆın form ˘a tip ˘arit˘a (ﬁs ¸e de lucru),
privirea, forma cuvintelor, folosirea cuvintelor.
Stilul auditiv de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de ascultarea altor persoane care redau sau explic ˘a
informat ¸iile.
Stilul practic de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de scrierea rezultatelor/rezolv ˘arilor problemelor din
“Fis ¸a de lucru”, la tabl ˘a sau pe foi de ﬂip-chart.
Strategia didactic ˘a: expozitiv – euristic ˘a, algoritmic ˘a
•Metode s ¸i procedee didactice: conversat ¸ia euristic ˘a; exercit ¸iul; explicat ¸ia; ˆınv ˘at ¸area prin
descoperire;
•Forme de organizare: frontal, individual s ¸i pe grupe.
•Procedee de evaluare: analiza r ˘aspunsurilor, observarea sistematic ˘a a atent ¸iei, veriﬁca-
rea cantitativ ˘a s ¸i calitativ ˘a a temei, notarea elevilor.
Cont ¸inutul ˆınv ˘at ¸ ˘ari:
Cˆampul de informat ¸ii: manualul de matematic ˘a pentru clasa a XI-a. Informat ¸iile s ¸i
cunos ¸tint ¸ele care au leg ˘atur˘a direct ˘a cu competent ¸ele stabilite.
Resurse psihologice:
Capacitatea de ˆınv ˘at ¸are de care dispune clasa: elevii posed ˘a cunos ¸tint ¸e legate de funct ¸ii
elementare, continuitatea si derivabilitatea funct ¸iilor .
Diagnosticul motivat ¸iei: elevii prezint ˘a interes pentru lect ¸ie, deoarece li s-a descris c ˆampul
de aplicabilitate al acesteia.
Motivat ¸ia ˆınv ˘at ¸ ˘arii: elevilor le este explicat s ¸i ar ˘atat prin diferite aplicat ¸ii s ¸i probleme
practice, faptul c ˘a not ¸iunile din aceast ˘a unitate de ˆınv ˘at ¸are au numeroase aplicat ¸ii practice,

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 11
ce vor ﬁ studiate ulterior, ˆın studiul propriet ˘at ¸ilor calitative s ¸i cantitative ale funct ¸iilor s ¸i ˆın
reprezentarea graﬁc ˘a a acestora.
Resurse materiale:
• Mijloace de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant: ﬁs ¸e de lucru; manualul de matematic ˘a; plans ¸e, foi de ﬂip-chart;
.
Secvent ¸ele activit ˘at ¸ii didactice:
1. Moment organizatoric
2. Veriﬁcarea temei
3. Reactualizarea cunos ¸tint ¸elor anterioare
4. Captarea s ¸i orientarea atent ¸iei
5. Transmiterea noilor cunostinte
6. Fixarea cunos ¸tint ¸elor
7. Asigurarea feed-backului, tema pentru acas ˘a.
Bibliograﬁe:
1. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – manual pentru clasa a XI-a, Editura Carminis,
Pitesti, 2004;
2. Ganga, M., Elemente de analiza matematica pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress,
1997.
3. Anastasiei, M., Metodica predarii matematicii, Univ. ”Al. I. Cuza”, Iasi, 1983;
4. Cerghit, I. , Metode de invatamant, Editura Polirom, Iasi, 2006;
Scenariu didactic:
1. Moment organizatoric (1 min) :
Se efectueaz ˘a prezent ¸a elevilor. Elevii pregatesc materialele necesare desfasurarii lectiei;
2. Veriﬁcarea temei (3 min) :
Se veriﬁc ˘a tema de acas ˘a. Dac ˘a exist ˘a exercit ¸ii sau probleme neefectuate se vor rezolva la
tabl˘a sau se vor da indicat ¸ii pentru rezolvarea acestora.
3. Reactualizarea cunostint ¸elor anterioare necesare desf ˘as ¸ur ˘arii lect ¸iei (7 min) :
Se vor reaminti urm ˘atoarele not ¸iuni:
-derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un punct

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 12
-derivabilitatea unei funct ¸ii ˆıntr-un punct
-interpretarea geometric ˘a a derivatei
-leg ˘atura derivabilitate-continuitate
-caracterizarea derivatei ˆıntr-un punct cu ajutorul derivatelor laterale .
Se vor folosi scheme logice sub form ˘a de ciochine.
4. Captarea s ¸i orientarea atent ¸iei (3 min):
Profesorul anunt ¸ ˘a tema lect ¸iei s ¸i competent ¸ele vizate. Titlul lect ¸iei va ﬁ scris pe tabl ˘a.
Elevii ˆıs ¸i noteaz ˘a titlul lect ¸iei ˆın caiet.
5. Transmiterea noilor cunos ¸tint ¸e “Derivatele funct ¸iilor elementare” (20 min):
Se va scrie pe tabl ˘a titlul lect ¸iei noi: Derivatele funct ¸iilor elementare .
Se vor puncta urm ˘atoarele not ¸iuni:
• deﬁnirea not ¸iunii de derivat ˘a a unei funct ¸ii pe o mult ¸ime, comparat ¸ia cu derivata ˆıntr-un
punct
• deﬁnirea not ¸iunii de derivabilitate a unei funct ¸ii pe o mult ¸ime / paralela cu continuitatea
pe o mult ¸ime
Dup˘a transmiterea noilor cunos ¸tint ¸e, care vor r ˘am ˆane la dispozit ¸ia elevilor(pe tabl ˘a, pe caiete,
ˆın manual) se va proceda astfel:
• se ˆımparte clasa ˆın 6 grupe omogene de elevi, ﬁecare grup ˘a va primi c ˆate o unitate de
cunoas ¸tere. Completarea cerint ¸elor ﬁs ¸elor de lucru se va face pe plans ¸e care vor ﬁ expuse
apoi la loc vizibil ˆın sala de curs.
• profesorul stabiles ¸te sarcinile de lucru pentru ﬁecare grup ˘a, ˆın funct ¸ie de nivelul de cunos ¸tint ¸e
al acestora
• se aplic ˘a metoda ˆınv ˘at ¸ ˘arii prin descoperire pentru derivatele funct ¸iilor elementare: funct ¸ia
constant ˘a, funct ¸ia identic ˘a, funct ¸ia putere, funct ¸ia radical, funct ¸ia exponent ¸ial ˘a, funct ¸ia
logaritmic ˘a, funct ¸iile trigonometrice sin ,cos,tg ,ctg
5. Fixarea s ¸i consolidarea cunos ¸tint ¸elor (12 min):
Se vor expune ˆın clas ˘a, ˆın locuri vizibile, cele 6 materiale realizate de echipe. Un reprezen-
tant din ﬁecare grup ˘aˆıs ¸i va prezenta mai ˆıntˆai sarcina de lucru s ¸i apoi modul de realizare a ei,
astfel c ˘a tot ¸i elevii vor descoperi de la ﬁecare grup ˘a o parte din lect ¸ia nou ˘a.
6. Asigurarea feed-backului, tema pentru acas ˘a(4 min) :
Se vor ˆımp˘art ¸i bilete, cu numele colegilor de grup ˘a, ˆın vederea not ˘arilor reciproce (1 min).
Fiecare elev va face notarea colegilor din grupa din care face parte (cu except ¸ia sa).
Asigurarea feed-back-ului ﬁnal: ˆInt ¸elegerea ˆıntregului cont ¸inut al lect ¸iei (ret ¸inerea formu-
lelor derivatelor ˆınv ˘at ¸ate) s ¸i rezolvarea exercit ¸iilor din ﬁs ¸e ca tem ˘a pentru acas ˘a.(3 min)

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 13
Evaluarea rezultatelor s ¸i stabilirea concluziilor.
•Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a deﬁni s ¸i calcula derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un
punct s ¸i pe o mult ¸ime.
•Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a aplica derivatele funct ¸iilor elementare studiate
ˆın rezolvarea problemelor;
•Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a manevra calculul algebric ce intervine ˆın stu-
diul derivabilit ˘at ¸ii unei funct ¸ii. Momentele de evaluare faciliteaz ˘a munca profeso-
rului, ˆın realizarea unui feed – back continuu, permanent, corectiv.
Anexa 1
Fis ¸˘a de lucru:Derivatele funct ¸iilor elementare
Grupa I
•Funct ¸ia constant ˘aAr ˘atat ¸i c ˘af:R→R,f(x)= c, este derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc: (c)/prime=
0,(∀)x∈R
•Funct ¸ia identic ˘aAr ˘atat ¸i c ˘af:R→RR ,f(x)= x, este derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc: (x)/prime=
1,(∀)x∈R
Exercit ¸ii S˘a se calculeze, ˆın dou ˘a moduri, derivatele funct ¸iilor ˆın punctele speciﬁcate:
a) f(x)= 5ˆın x0=3;
b) f(x)= xˆın x0=1;
Grupa II
•Funct ¸ia putere cu exponent num ˘ar natural Ar ˘atat ¸i c ˘af:R→R,f(x) = xn,n∈N∗,
este derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc: (xn)/prime=nx n−1,(∀)x∈R
•Funct ¸ia radical de ordinul doi Ar ˘atat ¸i c ˘af:[0,+∞)→R+,f(x)= √xeste derivabil ˘a
pe (0,+∞)s ¸i are loc: (√x)/prime=1
2√x,x>0, s ¸i f/prime
d(0)=+ ∞.
Exercit ¸ii S˘a se calculeze, ˆın dou ˘a moduri, derivatele funct ¸iilor de mai jos, ˆın punctele speciﬁ-
cate:
a) f(x)= x3ˆın x0=8;
b) f(x)= √xˆın x0=400
Grupa III

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 14
•Funct ¸ia radical de ordinul trei Ar ˘atat ¸i c ˘af:RR,f(x)= 3√xeste derivabil ˘a pe R−{0}
s ¸i are loc (3√x)/prime=1
33√
x2,(∀)x/negationslash=0 s ¸i f/prime(0)=+ ∞
•Funct ¸ia radical de ordinul n f :RR,f(x)= n√xeste derivabil ˘a pe R−{0}s ¸i are loc
(n√x)/prime=1
nn√
xn−1,(∀)x/negationslash=0 s ¸i f/prime(0)=+ ∞
Exercit ¸ii S˘a se calculeze derivatele funct ¸iilor de mai jos, ˆın punctele speciﬁcate:
a) f(x)= 3√xˆın x0=3
b) f(x)= 6√xˆın x0=2
Grupa IV
•Funct ¸ia exponent ¸ial ˘a de baz ˘aaAr ˘atat ¸i c ˘af:R→(0,+∞),f(x)= ax,a>0,a/negationslash=1,este
derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc: (ax)/prime=axln a,(∀)x∈R
Consecint ¸ ˘a: (ex)/prime=ex,(∀)x∈R
•Funct ¸ia logaritm natural Ar ˘atat ¸i c ˘af:(0,+∞)→R,f(x) = ln x,este derivabil ˘a pe
(0,+∞)s ¸i are loc: (ln x)/prime=1
x,(∀)x>0
Consecint ¸ ˘a: Pentru funct ¸ia logaritmic ˘a de baz ˘aa f :(0,+∞)→R,f(x)= logax,a>0,a/negationslash=1
are loc(logax)/prime=1
xln a,(∀)x>0
Exercit ¸ii S˘a se calculeze, ˆın dou ˘a moduri, derivatele funct ¸iilor ˆın punctele speciﬁcate:
a) f(x)= 3xˆın x0=2;
b) f(x)= ln xˆın x0=e;
Grupa V
•Funct ¸ia trigonometric ˘a sinus f:R→R,f(x) = sinxeste derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc:
(sinx)/prime=cosx
•Funct ¸ia trigonometric ˘a cosinus f:RR,f(x) = cosxeste derivabil ˘a pe Rs ¸i are loc
(cosx)/prime=−sinx
Exercit ¸ii S˘a se calculeze, ˆın dou ˘a moduri, derivatele funct ¸iilor ˆın punctele speciﬁcate:
a) f(x)= sinxˆın x0= p/3
b) f(x)= cosxˆın x0= p/2.
Grupa VI
•Funct ¸ia trigonometric ˘a tangent ˘af:R−/braceleftbig
(2k+1)π
2,k∈Z/bracerightbig
→R,f(x)= tgx este de-
rivabil ˘a pe R−/braceleftbig
(2k+1)π
2,k∈Z/bracerightbig
s ¸i are loc: (tgx )/prime=1
cos2x.
Indicat ¸ie: Putem folosi formula tgx −tgx 0=sin(x−x0)
cosx·cosx0.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 15
•Funct ¸ia trigonometric ˘a cotangent ˘af:R-{kπ,k∈Z} R,f(x)= ctgx este derivabil ˘a
pe R-{kπ,k∈Z}s ¸i are loc (ctgx )/prime=−1
sin2x
Indicat ¸ie: Putem folosi formula ctgx −ctgx 0=sin(x0−x)
sinx·sinx0.
Exercit ¸ii S˘a se calculeze, ˆın dou ˘a moduri, derivatele funct ¸iilor ˆın punctele speciﬁcate:
a) f(x)= tgx ˆın x0=0
b) f(x)= ctgx ˆın x0= p/2.
5.2.2 Proiect didactic: Puncte de extrem. Teorema lui Fermat
PROIECT DIDACTIC
Data :
Obiectul : Matematic ˘a;
Clasa : a XI-a (matematic ˘a-informatic ˘a 4 h/s ˘apt)
Unitatea de cont ¸inut : Funct ¸ii derivabile pe un interval;
Titlul lect ¸iei : Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iilor. Intervale de monotonie. Puncte de
extrem.
Tipul lect ¸iei : Lect ¸ie de dob ˆandire de noi cunos ¸tint ¸e;
Competent ¸e generale
CG1 – Folosirea corect ˘a a terminologiei speciﬁce matematicii ˆın contexte variate de aplicare;
CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice;
CG3 – Utilizarea corect ˘a a algoritmilor matematici ˆın rezolvarea de probleme cu diferite grade
de diﬁcultate;
CG4 – Exprimarea s ¸i redactarea corect ˘a s ¸i coerent ˘aˆın limbaj formal sau cotidian a rezolv ˘arii
sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;
CG5 – Analiza unei situat ¸ii problematice s ¸i determinarea ipotezelor necesare pentru obt ¸inerea
concluziei.
CG6 – Generalizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului init ¸ial de deﬁnire a proble-
mei sau prin generalizarea algoritmilor

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 16
Competent ¸e speciﬁce
CS1 – Aplicarea unor algoritmi speciﬁci calculului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor probleme s ¸i
modelarea unor procese;
CS2 – Sudierea unor funct ¸ii din punct de vedere calitativ utiliz ˆand diverse procedee;
CS3 – Explorarea unor propriet ˘at ¸i cu caracter local / global ale funct ¸iilor utiliz ˆand continuitatea
s ¸i derivabilitatea;
Obiective operat ¸ionale
La sf ˆars ¸itul lect ¸iei elevii vor ﬁ capabili :
O1: S˘a cunoasc ˘a derivatele funct ¸iilor elementare s ¸i a funct ¸iilor compuse pe domeniul lor de
deﬁnitie;
O2: S˘a utilizeze regulile de derivare s ¸i regulile de calcul;
O3: S˘a cunoasc ˘a deﬁnit ¸iilor punctelor de extrem local s ¸i global;
O4: S˘a ﬁe capabili s ˘a dea exemple de funct ¸ii care au/nu au puncte de extrem;
O5: S˘a cunoasc ˘a enunt ¸ul teoremei lui Fermat;
O6: S˘a aplice Teorema lui Fermat ˆın probleme de extrem;
O7: S˘a aplice noile not ¸iuni ˆın diverse situat ¸ii practice.
Strategia didactic ˘a: expozitiv – euristic ˘a, algoritmic ˘a
•Metode s ¸i procedee didactice: conversat ¸ia euristic ˘a; explicat ¸ia; exercit ¸iul; ˆınv ˘at ¸area prin
descoperire; problematizarea; demonstrat ¸ia;
•Forme de organizare: frontal, individual s ¸i pe grupe.
•Procedee de evaluare: analiza r ˘aspunsurilor, observarea sistematic ˘a a atent ¸iei, veriﬁca-
rea cantitativ ˘a s ¸i calitativ ˘a a temei, notarea elevilor.
Cont ¸inutul ˆınv ˘at ¸ ˘ari:
Cˆampul de informat ¸ii: manualul de matematic ˘a pentru clasa a XI-a. Informat ¸iile s ¸i
cunos ¸tint ¸ele care au leg ˘atur˘a direct ˘a cu competent ¸ele stabilite.
Resurse psihologice:
Capacitatea de ˆınv ˘at ¸are de care dispune clasa: elevii posed ˘a cunos ¸tint ¸e legate de funct ¸ii
elementare, continuitatea si derivabilitatea funct ¸iilor .

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 17
Diagnosticul motivat ¸iei: elevii prezint ˘a interes pentru lect ¸ie, deoarece li s-a descris c ˆampul
de aplicabilitate al acesteia.
Motivat ¸ia ˆınv ˘at ¸ ˘arii: elevilor le este explicat s ¸i ar ˘atat prin diferite aplicat ¸ii s ¸i probleme
practice, faptul c ˘a not ¸iunile din aceast ˘a unitate de ˆınv ˘at ¸are au numeroase aplicat ¸ii practice,
ce vor ﬁ studiate ulterior, ˆın studiul propriet ˘at ¸ilor calitative s ¸i cantitative ale funct ¸iilor s ¸i ˆın
reprezentarea graﬁc ˘a a acestora.
Resurse materiale:
• Materiale didactice: ﬁs ¸a de lucru, tabele cu formule de calcul a limitelor funct ¸iilor ele-
mentare s ¸i a funct ¸iilor compuse, proiect didactic.
• Mijloace de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant: tabla, creta, burete, ﬁse de lucru, ﬁs ¸e de sintez ˘a.
Secvent ¸ele activit ˘at ¸ii didactice:
1. Moment organizatoric
2. Evaluare init ¸ial ˘a. Veriﬁcarea temei
3. Anunt ¸area noului cont ¸inut s ¸i a obiectivelor
4. Prezentarea noului cont ¸inut s ¸i dirijarea ˆınv ˘at ¸ ˘arii
5. Consolidarea cunos ¸tint ¸elor s ¸i asigurarea feed-back-ului
6. Tema pentru acas ˘a
7. Evaluare ﬁnal ˘a
Bibliograﬁe:
1. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – manual pentru clasa a XI-a, Editura Carminis,
Pitesti, 2004;
2. Ganga, M., Elemente de analiza matematica pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress,
1997;
3. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – culegere de probleme pentru clasa a XI-a, Editura
Campion, Bucures ¸ti, 2011;
4. Anastasiei, M., Metodica predarii matematicii, Univ. ”Al. I. Cuza”, Iasi, 1983;
5. Br ˆanzei, D., Br ˆanzei, R., Metodica pred ˘arii matematicii, Editura Paralela 45, 2007;
6. Cerghit, I. , Metode de invatamant, Editura Polirom, Iasi, 2006.
Scenariu didactic:
1. Moment organizatoric (1 min) :
Se creeaz ˘a condit ¸iile optime pentru buna desf ˘as ¸urare a lect ¸iei. Se veriﬁc ˘a prezent ¸ ˘a elevilor
s ¸i se noteaz ˘a absent ¸ele (dac ˘a sunt) ˆın catalog;
2. Evaluare init ¸ial ˘a. Veriﬁcarea temei (7 min) :

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 18
Se reactualizeaz ˘a cunos ¸tint ¸ele dob ˆandite anterior. Se vor veriﬁca frontal temele scrise
f˘ac ˆand, eventual, observat ¸ii, iar dac ˘a exist ˘a probleme neﬁnalizate sau nerezolvate acestea se
rezolv ˘a la tabl ˘a sau se va sugera elevilor metoda de rezolvare. Se vor veriﬁca cunos ¸tint ¸e te-
oretice necesare desf ˘as ¸urarii lect ¸iei: c ˆateva posibile ˆıntrebari ce vor ﬁ adresate elevilor: “care
este deﬁnit ¸ia derivatei s ¸i a derivabilit ˘at ¸ii ˆıntr-un punct?” , “care este interpretarea geometric ˘a a
derivatei ˆıntr-un punct?”
Elevii sunt atent ¸i s ¸i corecteaz ˘a tema dac ˘a este cazul. Eventualele probleme nerezolvate din
tem˘a se rezolv ˘a la tabl ˘a. Se recapituleaz ˘a not ¸iunile: punct de maxim local, punct de minim
local, punct de maxim(minim) absolut.
3. Anunt ¸area noului cont ¸inut s ¸i a obiectivelor operat ¸ionale urm ˘arite (4 min) :
Profesorul anunt ¸ ˘a titlul noului capitol Funct ¸ii derivabile pe un interval s ¸i titlul lect ¸iei noi :
Puncte de extrem ale unei funct ¸ii. Teorema lui Fermat s ¸i competent ¸ele operat ¸ionale vizate.
Titlul capitolului s ¸i titlul lect ¸iei vor ﬁ scrise pe tabl ˘a.
Profesorul amintes ¸te elevilor c ˘a not ¸iunea de punct de extrem a fost introdus ˘aˆınc˘a din clasa
a IX-a la studiul funct ¸iei de gradul doi.
Fie funct ¸ia de gradul al doilea f:R→R,f(x) = ax 2+bx +cunde a,b,c∈R,a/negationslash=0 cu
forma canonic ˘a
f(x)= a[( x+b
2a)2+−/triangle
4a]unde am notat cu /triangle=b2−4ac .
Reamintim c ˘a, dac ˘aa>0 funct ¸ia admite un minim ˆın punctul x0=−b
2aiarfmin=−/triangle
4aiar
dac˘aa<0 funct ¸ia admite un maxim ˆın punctul x0=−b
2aiarfmax=−/triangle
4a.
Pornind de la acest lucru vom deﬁni not ¸iunile: punct de extrem local s ¸i global s ¸i o teorema
ce ne ofer ˘a condit ¸ii necesare pentru un astfel de punct.
4. Prezentarea noului cont ¸inut s ¸i dirijarea ˆınv ˘at ¸ ˘arii(20 min):
Fie funct ¸ia f:E−→Runde Eeste un interval sau o reuniune de intervale.
Deﬁnitie 5.2.1 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim local pentru funct ¸ia f dac ˘a exist ˘a
V∈V(x0)astfel ˆıncˆat:
f(x)≤f(x0)∀x∈V∩E (5.1)
Spunem c ˘a, dac ˘ax0este un punct de maxim local al lui fatunci f(x0)se numes ¸te maxim
local al lui fiar punctul (x0,f(x0)) de pe graﬁc se numeste punct de maxim local al graﬁcului .
Deﬁnitie 5.2.2 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de minim local pentru funct ¸ia f dac ˘a exist ˘a
V∈V(x0)astfel ˆıncˆat:
f(x0)≤f(x)∀x0∈V∩E

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 19
Spunem c ˘a, dac ˘ax0este un punct de minim local al lui fatunci f(x0)se numes ¸te minim
local al lui fiar punctul (x0,f(x0)) de pe graﬁc se numeste punct de minim local al graﬁcului .
Observatie 5.2.1 1. O funct ¸ie poate avea mai multe puncte de extrem relativ, iar un mi-
nim relativ poate ﬁ mai mare sau dec ˆat un maxim relativ. Acest fapt justiﬁc ˘a folosirea
cuvˆantului “relativ”.
2. Este posibil ca o funct ¸ie s ˘a nu aib ˘a puncte de extrem.
Pentru acesta putem urm ˘ari problema de pe ﬁs ¸a 2. Fis ¸a va ﬁ vizualizat ˘a s ¸i pe videoproiector..
Deﬁnitie 5.2.3 Un punct x 0∈E se numes ¸te punct de maxim( respectiv de minim) absolut al
funct ¸iei f dac ˘a
f(x)≤f(x0)∀x∈E
(respectiv f (x)≥f(x0)∀x∈E).
Observatie 5.2.2 Dac˘a x 0este un punct de maxim (minim)absolut rezult ˘a x 0este s ¸i punct de
maxim (minim)local, reciproc fals.
O funct ¸ie poate avea mai multe puncte de maxim (minim)absolut.
Observ ˘am c ˘a x ∈E este un punct de maxim (minim)absolut pentru f dac ˘a valorile funct ¸iei
pe domeniul de deﬁnit ¸ie sunt cel mult egale (cel put ¸in egale) cu valoarea funct ¸iei ˆın x 0.
Deﬁnitie 5.2.4 Se numes ¸te punct de extrem absolut un punct care este un punct de minim ab-
solut sau un punct de maxim absolut.
Trebuie remarcat c ˘a, dac ˘a funct ¸ia feste continu ˘a pe un interval ˆınchis[a,b]s ¸i x0∈(a,b)
este un punct de extrem al funct ¸iei fatunci x0este s ¸i un punct de extrem local al lui f.
At ˆat punctele de maxim c ˆat s ¸i punctele de minim ale lui f se numesc puncte de extrem ale
lui f. Valorile funct ¸iei ˆın punctele sale de extrem (maximele s ¸i minimele funct ¸iei) se numesc
extremele funct ¸iei. Punctele de maxim s ¸i de minim ale graﬁcului se numesc puncte de extrem
ale graﬁcului.
Facem urm ˘atoarele observat ¸ii: o funct ¸ie poate avea unul, mai multe puncte de extrem sau
niciunul. Propun spre rezolvare, pe videoproiector, s ¸i pe suport de h ˆartie aplicat ¸iile cuprinse ˆın
ﬁs ¸ele 1 s ¸i 2.
Un rezultat important ˆın studiul extremelor unei funct ¸ii reale este:
Teorema 5.2.1 Teorema lui Fermat
Fie f :E−→R, E interval, x 0punct de extrem ˆın interiorul intervalului. Dac ˘a funct ¸ia f
este derivabil ˘aˆın x 0atunci f/prime(x0)= 0.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 20
Demonstratie:
Presupunem x0punct de maxim local rezut ˘a c ˘a exist ˘aV∈V(x0)s ¸i ε>0 astfel ˆıncˆat (x0−
ε,x0+ε)⊂V∩Epentru care f(x)≤f(x0)∀x∈(x0−ε,x0+ε).
Fie
x∈(x0−ε,x0)= ⇒f(x)−f(x0)
x−x0
fderivabil ˘aˆın x0=⇒ (5.2)
∃lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)≥0 (5.3)
Analog, dac ˘a vom considera
x∈(x0,x0+ε)
pentru care
lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0=f/prime(x0)≤0 (5.4)
Din (5.3) s ¸i (5.4) ne rezult ˘a
f/prime(x0)= 0.
Interpretare geometric ˘a: Deoarece: f/prime(x0) = 0, tangenta la graﬁc ˆın punctul (x0,f(x0))
este paralel ˘a cu axa Ox . Teorema lui Fermat aﬁrm ˘a deci c ˘a, graﬁcul unei funct ¸ii derivabile are
tangenta paralel ˘a cu Ox ˆın punctele sale de maxim sau de minim care nu coincid cu extremit ˘at ¸ile
graﬁcului.
Observ ˘am c ˘ax0este punct de extrem care nu coincide cu extremit ˘at ¸ile domeniului E.
Putem desprinde urm ˘atoarele concluzii :
1. Teorema lui Fermat are un caracter local deoarece vizeaz ˘a comportarea funct ¸iei fˆın ve-
cin˘atatea unui punct ﬁxat.
2. Condit ¸ia ca x0s˘a ﬁe ˆın interiorul intervalului este esent ¸ial ˘a. Dac ˘ax0∈Enu ar ﬁ ˆın interior
atunci teorema lui Fermat nu ar mai ﬁ adevarat ˘a. Consider ˘am f:[0,1]−→Rf(x)= 2x
f/prime(x)= 2∀x∈[0,1]
3. Reciproca Teoremei lui Fermat nu este adev ˘arat˘aˆın general. Consider ˘am f:R−→R
f(x)= x3f/prime(x)= 3×2=⇒f/prime(0)= 0 dar x0=0 nu este punct de extrem pentru f.
4. Putem avea x0∈Epunct de extrem dar f/prime(x0)s˘a nu existe. Pentru exempliﬁcare consi-
der˘am funct ¸ia:
f:R−→R,f(x)= |x|
care are x0=0 punct de minim interior domeniului de deﬁnit ¸ie, f ˘ar ˘a ca fs˘a ﬁe derivabil ˘a
ˆın x0.
Deﬁnitie 5.2.5 Fie funct ¸ia f :E−→R, funct ¸ie derivabil ˘a pe intervalul deschis E. Un punct
x0se numes ¸te punct critic al lui f pe E dac ˘a f /prime(x0) = 0.Valoarea f (x0)se numes ¸te valoare
stat ¸ionar ˘a iar punctul (x0,f(x0)) se numes ¸te punct stat ¸ionar.
Observatie 5.2.3 Valorile extreme ale unei funct ¸ii f :[a,b]−→R, f derivabil ˘a, se pot obt ¸ine
la capetele intervalului sau ˆın puncte critice din interior.
Un punct de ˆıntoarcere sau unghiular este punct de extrem dar f nu este derivabil ˘aˆın acest
punct.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 21
Ret ¸inem !
Teorema lui Fermat aﬁrm ˘a c ˘a punctele de extrem ale unei funct ¸ii derivabile sunt printre
punctele critice ale funct ¸iei.
5. Consolidarea cunos ¸tint ¸elor s ¸i asigurarea feed-back-ului (16 min) :
Fiecare elev va primi urm ˘atoarele materiale:
• cˆate o ﬁs ¸ ˘a cu aplicat ¸iile urm ˘arite pe videoproiector
• o ﬁs ¸ ˘a de exercit ¸ii aplicative
Se vor reaminti principalele not ¸iuni ˆınv ˘at ¸ate. Aceste not ¸iuni vor ﬁ prezentate schematic, cu
ajutorul videoproiectorului, s ¸i vor r ˘am ˆane vizibile p ˆan ˘a la sf ˆars ¸itul lect ¸iei. Aplicat ¸ii Propun
spre rezolvare aplicat ¸iile 1.a, 1. b,2, din ﬁs ¸a de exercit ¸ii.
6. Tema pentru acas ˘a(1 min) :
Se vor propune spre rezolvare ca tem ˘a pentru acas ˘a, exercit ¸iile r ˘amase nerezolvate din ﬁs ¸a
de lucru. Se vor da indicat ¸ii de rezolvare a exercit ¸iilor din tema pentru acas ˘a.
7. Evaluare ﬁnal ˘a(1 min) :
Se noteaz ˘a elevii care s-au evident ¸iat ˆın timpul orei.
Anexa 1
Fis ¸˘a de lucru:Puncte de extrem. Teorema lui Fermat
Problema 5.2.1 1.
a) Dac˘a a ,b>0,ax+bx≥2,(∀)x∈R, atunci ar ˘atat ¸i c ˘a ab =1.
b) Dac˘a a ,b,c>0,ax+bx+cx≥3,(∀)x∈R , atunci abc =1
c) Dac˘a a i>0,i=1,…, n,(∀)x∈R, atunci ∏ai=1.
Problema 5.2.2 2. S ˘a se arate c ˘a exist ˘a un singur num ˘ar real a ,a>0cu proprietatea : a x≥
x+1,∀x∈R.
Problema 5.2.3 3. Fie a ,b>0. S ˘a se demonstreze c ˘a a x−bx≥x,∀x∈R, dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
a=be s ¸i b ≥1.
Problema 5.2.4 4. Demonstrat ¸i c ˘a exist ˘a un singur num ˘ar real a ,a>0, cu proprietatea a x≥
xa,∀x>0.
Problema 5.2.5 5. S ˘a se determine valoarea parametrului a >0, astfel ˆıncˆat s ˘a ﬁe adev ˘arat ˘a
inegalitatea 2x+ax≥3x+4x,(∀)x∈R.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 22
5.2.3 Proiect didactic: Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iilor
PROIECT DIDACTIC
Data :
Obiectul : Matematic ˘a;
Clasa : a XI-a (matematic ˘a-informatic ˘a 4 h/s ˘apt)
Unitatea de cont ¸inut : Funct ¸ii derivabile pe un interval;
Titlul lect ¸iei :Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iilor. Intervale de monotonie. Puncte de
extrem.
Tipul lect ¸iei : Lect ¸ie de dob ˆandire de noi cunos ¸tint ¸e
Competent ¸e generale
CG1 – Folosirea corect ˘a a terminologiei speciﬁce matematicii ˆın contexte variate de aplicare;
CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice;
CG3 – Utilizarea corect ˘a a algoritmilor matematici ˆın rezolvarea de probleme cu diferite grade
de diﬁcultate;
CG4 – Exprimarea s ¸i redactarea corect ˘a s ¸i coerent ˘aˆın limbaj formal sau cotidian a rezolv ˘arii
sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;
CG5 – Analiza unei situat ¸ii problematice s ¸i determinarea ipotezelor necesare pentru obt ¸inerea
concluziei;
CG6 – Generalizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului init ¸ial de deﬁnire a proble-
mei sau prin generalizarea algoritmilor.
Competent ¸e speciﬁce
CS1 – Aplicarea unor algoritmi speciﬁci calculului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor probleme s ¸i
modelarea unor procese;
CS2 – Sudierea unor funct ¸ii din punct de vedere calitativ utiliz ˆand diverse procedee;
CS3 – Explorarea unor propriet ˘at ¸i cu caracter local / global ale funct ¸iilor utiliz ˆand continuitatea
s ¸i derivabilitatea;

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 23
Obiective operat ¸ionale
La sf ˆars ¸itul lect ¸iei elevii vor ﬁ capabili:
O1: S˘a cunoasc ˘a derivatele funct ¸iilor elementare s ¸i a funct ¸iilor compuse pe domeniul lor de
deﬁnitie;
O2: S˘a utilizeze regulile de derivare s ¸i regulile de calcul;
O3: S˘a studieze monotonia unei funct ¸ii cu ajutorul derivatelor;
O4: S˘a determine intervalele de monotonie ale unei funct ¸ii;
O5: S˘a determine punctele de extrem ale unei funct ¸ii;
O6: S˘a aplice noile not ¸iuni ˆın diverse situat ¸ii practice.
Strategia didactic ˘a: activ-participativ ˘a
•Metode s ¸i procedee didactice: conversat ¸ia euristic ˘a, exercit ¸iul, demonstrat ¸ia, munca in-
dependent ˘a.
•Forme de organizare: frontal ˘a s ¸i individual ˘a.
•Procedee de evaluare: analiza r ˘aspunsurilor, observarea sistematic ˘a a atent ¸iei, veriﬁca-
rea cantitativ ˘a s ¸i calitativ ˘a a temei.
Cont ¸inutul ˆınv ˘at ¸ ˘ari:
Cˆampul de informat ¸ii: manualul de matematic ˘a pentru clasa a XI-a. Informat ¸iile s ¸i
cunos ¸tint ¸ele care au leg ˘atur˘a direct ˘a cu competent ¸ele stabilite.
Resurse psihologice:
Capacitatea de ˆınv ˘at ¸are de care dispune clasa: elevii posed ˘a cunos ¸tint ¸e legate de funct ¸ii
elementare, continuitatea si derivabilitatea funct ¸iilor .
Diagnosticul motivat ¸iei: elevii prezint ˘a interes pentru lect ¸ie, deoarece li s-a descris c ˆampul
de aplicabilitate al acesteia.
Motivat ¸ia ˆınv ˘at ¸ ˘arii: elevilor le este explicat s ¸i ar ˘atat prin diferite aplicat ¸ii s ¸i probleme
practice, faptul c ˘a not ¸iunile din aceast ˘a unitate de ˆınv ˘at ¸are au numeroase aplicat ¸ii practice,
ce vor ﬁ studiate ulterior, ˆın studiul propriet ˘at ¸ilor calitative s ¸i cantitative ale funct ¸iilor s ¸i ˆın
reprezentarea graﬁc ˘a a acestora.
Resurse materiale:
• Materiale didactice: ﬁs ¸a de lucru, tabele cu formule de calcul a derivatelor funct ¸iilor
elementare s ¸i a funct ¸iilor compuse.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 24
• Mijloace de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant: tabla, creta, burete, foi de ﬂip-chart.
Secvent ¸ele activit ˘at ¸ii didactice:
1. Moment organizatoric
2. Evaluare init ¸ial ˘a. Veriﬁcarea temei
3. Anunt ¸area noului cont ¸inut s ¸i a obiectivelor
4. Prezentarea noului cont ¸inut s ¸i dirijarea ˆınv ˘at ¸ ˘arii
5. Consolidarea cunos ¸tint ¸elor s ¸i asigurarea feed-back-ului
6. Tema pentru acas ˘a
7. Evaluare ﬁnal ˘a
Bibliograﬁe:
1. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – manual pentru clasa a XI-a, Editura Carminis,
Pitesti, 2004;
2. Ganga, M., Elemente de analiza matematica pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress,
1997;
3. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – culegere de probleme pentru clasa a XI-a, Editura
Campion, Bucures ¸ti, 2011;
4. Anastasiei, M., Metodica predarii matematicii, Univ. ”Al. I. Cuza”, Iasi, 1983;
5. Br ˆanzei, D., Br ˆanzei, R., Metodica pred ˘arii matematicii, Editura Paralela 45, 2007;
6. Cerghit, I. , Metode de invatamant, Editura Polirom, Iasi, 2006.
Scenariu didactic:
1. Moment organizatoric (1 min) :
-veriﬁcarea prezent ¸ei elevilor s ¸i notarea absent ¸elor (dac ˘a sunt) ˆın catalog;
– asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desf ˘as ¸urare a orei;
2. Evaluare init ¸ial ˘a. Veriﬁcarea temei (4 min) :
V oi veriﬁca tema elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin con-
fruntarea rezultatelor ( ˆın cazul ˆın care apar diferent ¸e mari de rezultat, se rezolv ˘a exercit ¸iile la
tabl˘a). Dac ˘a exist ˘a exercit ¸ii nerezolvate, voi da indicat ¸ii de rezolvare sau, dac ˘a se impune, se
vor rezolva la tabl ˘a.
Se propune elevilor o activitate interactiv ˘a frontal ˘a. Profesorul pune ˆıntreb ˘ari elevilor,
urm˘arind recapitularea not ¸iunilor ce vor ﬁ folosite ˆın lect ¸ia nou ˘a, urm ˘ares ¸te completarea
r˘aspunsurilor primite s ¸i ret ¸inerea not ¸iunilor fundamentale ˆınsus ¸ite anterior de c ˘atre elevi.
3. Anunt ¸area noului cont ¸inut s ¸i a obiectivelor operat ¸ionale urm ˘arite (3 min) :

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 25
Se anunt ¸ ˘a s ¸i se scrie pe tabl ˘a titlul lect ¸iei: Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iilor.
Intervale de monotonie. Puncte de extrem. Se anunt ¸ ˘a obiectivele operat ¸ionale urm ˘arite.
4. Prezentarea noului cont ¸inut s ¸i dirijarea ˆınv ˘at ¸ ˘arii(25 min) :
O aplicat ¸ie extrem de util ˘a a derivatei unei funct ¸ii o constituie determinarea intervalelor de
monotonie s ¸i a punctelor de extrem pentru o funct ¸ie dat ˘a.
Determinarea intervalelor de monotonie
Teorema 5.2.2 Fie f :I→Ro funct ¸ie derivabil ˘a pe un interval I . Atunci:
1. funct ¸ia f este monoton cresc ˘atoare pe intervalul I dac ˘a s ¸i numai dac ˘a f /prime(x)≥0,∀x∈I;
2. funct ¸ia f este monoton descresc ˘atoare pe intervalul I dac ˘a s ¸i numai dac ˘a f /prime(x)≤0,∀x∈I
Demonstratie: V om demonstra prima parte a teoremei:
”⇒” S ˘a presupunem c ˘afeste monoton cresc ˘atoare pe intervalul I. Atunci pentru oricare
x,x0∈I,x/negationslash=x0,avem f(x)−f(x0)
x−x0≥0. Rezult ˘a c ˘a lim
x→x0f(x)−f(x0)
x−x0≥0,deci f/prime(x0)≥0,∀x0∈I.
”⇐” S ˘a presupnem c ˘af/prime(x)≥0,∀x0∈Is ¸i ﬁe x1,x2∈Icu x1<x2. Aplic ˘am teorema
lui Lagrange funct ¸iei fpe intervalul ˆınchis[x1,x2]. Rezult ˘a c ˘a exist ˘ac∈(x1,x2)astfel ˆıncˆat
f(x1)−f(x2)=( x1−x2)f/prime(c). Deoarece c∈(x1,x2), rezult ˘a c ˘af/prime(c)≥0 s ¸i cum x1−x2>0,
se obt ¸ine c ˘af(x1)−f(x2)≥0,ceea ce conduce la faptul c ˘a funct ¸ia feste monoton cresc ˘atoare
pe intervalul I.
Pentru demonstrarea punctului al doilea, putem proceda analog, sau se consider ˘a funct ¸ia
monoton cresc ˘atoare g=−f.
Observatie 5.2.4 1. Dac ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a pe intervalul I s ¸i f ’ este strict pozi-
tiv˘a(respectiv strict negativ ˘a) pe intervalul I, atunci funct ¸ia f este strict cresc ˘atoare (res-
pectiv strict descresc ˘atoare) pe I.
2. Dac ˘a f este strict cresc ˘atoare pe intervalul I, nu rezult ˘aˆın mod necesar c ˘a f /prime(x)>
0,(∀)x∈I. Pentru exempliﬁcare s ˘a consider ˘am funct ¸ia f :R→R,f(x) = x5care este
strict cresc ˘atoare pe Rdar f/prime(x)= 5x4se anuleaz ˘aˆın x =0.
3. Dac ˘a funct ¸ia f este derivabil ˘a pe I −{x0}s ¸i funct ¸ia f /primeeste pozitiv ˘a sau negativ ˘a pe
I−{x0}, se poate ˆıntˆampla ca f s ˘a nu ﬁe monoton ˘a pe I.
V om exempliﬁca cu urm ˘atorul rezultat:
Problema 5.2.6 Fie f :[−1,1]→R, f (x)= /braceleftbigg−x−1,x∈[−1,0)
−x+1,x∈[0,1].
Demonstratie: Din lecturarea graﬁcului,
concluzia se impune.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 26
Pentru a indica monotonia funct ¸iei fpe intervalul I, cu ajutorul semnului derivatei se utili-
zeaz˘a un tabel de monotonie de tipul:
1. pentru funct ¸iile cresc ˘atoare:
xI/bracehtipdownleft/bracehtipupright/bracehtipupleft /bracehtipdownright
f’(x) + + + + + + + + + +
f(x) /arrownortheast/arrownortheast/arrownortheast/arrownortheast
2. pentru funct ¸iile descresc ˘atoare:
xI/bracehtipdownleft/bracehtipupright/bracehtipupleft /bracehtipdownright
f’(x) – – – – – – – – – – – – – – –
f(x) /arrowsoutheast/arrowsoutheast/arrowsoutheast/arrowsoutheast
RET ¸ INEM!
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei funct ¸ii f:D→Rse procedeaz ˘a
astfel:
1. Se calculeaz ˘a derivata f/primea funct ¸iei pe domeniul de derivabilitate Df/prime⊂D.
2. Se rezolv ˘a ecuat ¸ia f/prime(x)= 0,x∈Df/prime.
3. Se determin ˘a semnul funct ¸iei f/primepe intervalele pe care nu se anuleaz ˘a. Pentru aceasta se
descompune domeniul de deﬁnit ¸ie Dˆın intervale disjuncte, astfel ˆıncˆat pe nici unul dintre
acestea funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a. Punctele care delimiteaz ˘a intervalele sunt punctele cri-
tice sau punctele ˆın care funct ¸ia fnu este derivabil ˘a sau extremit ˘at ¸ile intervalelor ˆın cazul
funct ¸iilor deﬁnite pe reuniuni de intervale. Pentru determinarea semnului pe un interval
se poate folosi proprietatea funct ¸iilor continue de a p ˘astra semn constant pe intervalul pe
care nu se anuleaz ˘a.
4. Se stabilesc intervalele de monotonie ˆın funct ¸ie de semnul derivatei.
Pentru aplicarea noilor not ¸iuni se va rezolva exercit ¸iul 1.a s ¸i 2 din ﬁs ¸a primit ˘a de ﬁecare elev.
Exercit ¸iul 2 va r ˘am ˆane pe tabl ˘a pentru introducerea sect ¸iunii urm ˘atoare a lect ¸iei.
Determinarea punctelor de extrem
Pˆan ˘a la acest moment, determinarea punctelor de extrem se poate face pentru o clas ˘a restr ˆans ˘a
de funct ¸ii numerice.
Folosind semnul derivatei ˆıntˆai vom putea determina punctele de extrem pentru o clas ˘a
extins ˘a de funct ¸ii numerice.
Analiz ˘am exercit ¸iul r ˘amas pe tabl ˘a:
Problema 5.2.7 Fie f :R→R, f (x)= /braceleftbigg−2x,x<0
x2e−x,x≥0. Studiat ¸i monotonia funct ¸iei.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 27
Demonstratie: Funct ¸ia feste continu ˘a pe Rs ¸i derivabil ˘a pe R−{0}, deoarece f/prime
s(0) =
lim
x→0,x<0−2x
x=−2,f/prime
d(0)= lim
x→0,x>0x2e−x
x=0. Pentru x∈R−{0},
f/prime(x)= /braceleftbigg−2,x<0
(2x−x2)e−x,x≥0.
Tabelul de monotonie al funct ¸iei este
x−∞. . . . 0. . . . 2. . . . −∞
f’(x) – – – – – – – – – −2|0 + + + + + 0 – – – – – – – – –
f(x)+∞/arrowsoutheast/arrowsoutheast /arrowsoutheast /arrowsoutheast 0/arrownortheast/arrownortheast/arrownortheast/arrownortheast 4e−2/arrowsoutheast/arrowsoutheast/arrowsoutheast /arrowsoutheast
Din tabelul de monotonie al funct ¸iei f, folosind deﬁnit ¸ia punctului de extrem se observ ˘a c ˘a:
• punctul x=0 este punct de minim al funct ¸iei . Derivata f/primeeste negativ ˘a la st ˆanga punc-
tului x=0 s ¸i pozitiv ˘a la dreapta acestui punct;
• punctul x=2 este punct de maxim al funct ¸iei . Derivata f/primeeste pozitiv ˘a la st ˆanga punc-
tului x=2 s ¸i negativ ˘a la dreapta acestui punct;
RET ¸ INEM !
Fiefunct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate din interiorul lui Ds ¸i f/prime:Df/prime→Rderivata
funct ¸iei.
1. Dac ˘a pe o vecin ˘atate a punctului x0,ˆın st ˆanga lui x0derivata f/primeeste negativ ˘a, iar ˆın
dreapta lui x0derivata f/primeeste pozitiv ˘a, punctul x0este punct de minim al funct ¸iei f.
2. Dac ˘a pe o vecin ˘atate a punctului x0,ˆın st ˆanga lui x0derivata f/primeeste pozitiv ˘a, iar ˆın dreapta
luix0derivata f/primeeste negativ ˘a, punctul x0estepunct de maxim al funct ¸iei f.
S˘a rezolv ˘am acum exercit ¸iul 1.b din ﬁs ¸a de lucru.
Problema 5.2.8 Fie f :[−2,2]→R, f (x)= √
4−x2. S ˘a se studieze monotonia funct ¸iei s ¸i s ˘a
se determine punctele de extrem.
Demonstratie: Avem f/prime(x)= −x√
4−x2,∀x∈(−2,2). Tabelul de monotonie al funct ¸iei este :
x−2. . . . 0. . . . 2
f’(x) |+ + + + + + 0 – – – – – – – – |
f(x) 0/arrownortheast /arrownortheast /arrownortheast /arrownortheast 2/arrowsoutheast /arrowsoutheast /arrowsoutheast /arrowsoutheast 0
Din tabelul de monotonie al funct ¸iei f, folosind s ¸i caracterizarea punctelor de extrem ale
unei funct ¸ii se observ ˘a c ˘a:
• punctul x=0 este punct de maxim al funct ¸iei;
• punctul x=−2 este extremitatea st ˆang˘a a unui interval s ¸i nu este extremitatea dreapt ˘a a
nici unui interval din domeniul de deﬁnit ¸ie al funct ¸iei fs ¸i este punct de minim al funct ¸iei.
ˆIn dreapta punctului x=−2 derivata f/primeeste pozitiv ˘a.
• punctul x=2 este extremitatea Dreapt ˘a a unui interval s ¸i nu este extremitatea st ˆang˘a a
nici unui interval din domeniul de deﬁnit ¸ie al funct ¸iei fs ¸i este punct de minim al funct ¸iei.
ˆIn st ˆanga punctului x=2 derivata f/primeeste negativ ˘a.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 28
RET ¸ INEM !
a) Fie funct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate al funct ¸iei f,x0este extremitatea st ˆang˘a a
unui interval I⊂Dpe care funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a s ¸i x0nu este extremitatea dreapt ˘a a
nici unui interval inclus ˆın D.
• Dac ˘af/prime>0 pe I, atunci x0este punct de minim.
• Dac ˘af/prime<0 pe I, atunci x0este punct de maxim.
b) Fie funct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate al funct ¸iei f,x0este extremitatea dreapt ˘a a
unui interval I⊂Dpe care funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a s ¸i x0nu este extremitatea st ˆang˘a a
nici unui interval inclus ˆın D.
• Dac ˘af/prime>0 pe I, atunci x0este punct de maxim.
• Dac ˘af/prime<0 pe I, atunci x0este punct de minim.
5. Consolidarea cunos ¸tint ¸elor s ¸i asigurarea feed-back-ului (15 min) :
Fiecare elev va primi c ˆate o ﬁs ¸ ˘a care prezint ˘a o sintez ˘a a principalelor not ¸iuni prezentate ˆın
lect ¸ia nou ˘a. Pe parcursul rezolv ˘arii anterioare a exercit ¸iilor, profesorul intervine cu ˆıntreb ˘ari,
adresate at ˆat elevilor de la tabl ˘a c ˆat s ¸i celor din clas ˘a, pentru a se clariﬁca demersul rezolv ˘arii
dar s ¸i pentru ﬁxarea not ¸iunilor s ¸i asigurarea feed-back-ului.
6. Tema pentru acas ˘a(3 min) :
Se vor propune spre rezolvare ca tem ˘a pentru acas ˘a, exercit ¸iile r ˘amase nerezolvate din ﬁs ¸a
de lucru. Se vor da indicat ¸ii de rezolvare a exercit ¸iilor din tema pentru acas ˘a.
7. Evaluare ﬁnal ˘a(2 min) :
Se noteaz ˘a elevii care s-au evident ¸iat ˆın timpul orei.
Anexa 1
Fis ¸˘a de lucru:Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iei
Problema 5.2.9 1.S˘a se determine intervalele de monotonie s ¸i punctele de extrem pentru funct ¸iile:
a) f:R→R,f(x)= 2×3+3×2−12 x−1
b) f:[−2,2]→R, f (x)= √
4−x2
c) f:R→R,f(x)= sinx
2+cosx
Problema 5.2.10 2.S˘a se determine intervalele de monotonie s ¸i punctele de extrem pentru
funct ¸ia: f :R→R, f (x)= /braceleftbigg−2x,x<0
x2e−x,x≥0.
Problema 5.2.11 3. S ˘a se determine a ∈R∗astfel ˆıncˆat funct ¸ia f :R→R,f(x)= 2×3−5mx 2+
6x+5s˘a ﬁe monoton cresc ˘atoare pe R.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 29
Problema 5.2.12 4. Determinat ¸i num ˘arul punctelor de extrem ale funct ¸iei f :R→R,f(x)=
2|x|
x2+1.
Anexa 2
Fis ¸˘a de sintez ˘a. Rolul derivatei ˆıntˆai ˆın studiul funct ¸iei
Determinarea intervalelor de monotonie
RET ¸ INEM!
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei funct ¸ii f:D→Rse procedeaz ˘a
astfel:
1. Se calculeaz ˘a derivata f/primea funct ¸iei pe domeniul de derivabilitate Df/prime⊂D.
2. Se rezolv ˘a ecuat ¸ia f/prime(x)= 0,x∈Df/prime.
3. Se determin ˘a semnul funct ¸iei f/primepe intervalele pe care nu se anuleaz ˘a.Pentru aceasta se
descompune domeniul de deﬁnit ¸ie Dˆın intervale disjuncte, astfel ˆıncˆat pe nici unul dintre
acestea funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a. Punctele care delimiteaz ˘aintervalele sunt punctele cri-
tice sau punctele ˆın care funct ¸ia fnu este derivabil ˘a sau extremit ˘at ¸ile intervalelor ˆın cazul
funct ¸iilor deﬁnite pe reuniuni de intervale. Pentru determinarea semnului pe un interval
se poate folosi proprietatea funct ¸iilor continue de a p ˘astra semn constant pe intervalul pe
care nu se anuleaz ˘a.
4. Se stabilesc intervalele de monotonie ˆın funct ¸ie de semnul derivatei.
Determinarea punctelor de extrem
RET ¸ INEM !
Fiefunct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate din interiorul lui Ds ¸i f/prime:Df/prime→Rderivata
funct ¸iei.
1. Dac ˘a pe o vecin ˘atate a punctului x0,ˆın st ˆanga lui x0derivata f/primeeste negativ ˘a, iar ˆın
dreapta lui x0derivata f/primeeste pozitiv ˘a, punctul x0estepunct de minim al funct ¸iei f.
2. Dac ˘a pe o vecin ˘atate a punctului x0,ˆın st ˆanga lui x0derivata f/primeeste pozitiv ˘a, iar ˆın dreapta
luix0derivata f/primeeste negativ ˘a, punctul x0estepunct de maxim al funct ¸iei f.
RET ¸ INEM !
a) Fie funct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate al funct ¸iei f,x0este extremitatea st ˆang˘a a
unui interval I⊂Dpe care funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a s ¸i x0nu este extremitatea dreapt ˘a a
nici unui interval inclus ˆın D.
• Dac ˘af/prime>0 pe I, atunci x0este punct de minim.
• Dac ˘af/prime<0 pe I, atunci x0este punct de maxim.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 30
b) Fie funct ¸ia f:D→R,x0punct de continuitate al funct ¸iei f,x0este extremitatea dreapt ˘a a
unui interval I⊂Dpe care funct ¸ia f/primenu se anuleaz ˘a s ¸i x0nu este extremitatea st ˆang˘a a
nici unui interval inclus ˆın D.
• Dac ˘af/prime>0 pe I, atunci x0este punct de maxim.
• Dac ˘af/prime<0 pe I, atunci x0este punct de minim.
5.2.4 Proiect didactic: Rezolvarea unor probleme de optimizare. Demon-
strarea unor inegalit ˘at ¸i.
PROIECT DIDACTIC
Data :
Obiectul : Matematic ˘a;
Clasa : a XI-a (matematic ˘a-informatic ˘a 4 h/s ˘apt)
Unitatea de ˆınv ˘at ¸are : Funct ¸ii derivabile
Titlul lect ¸iei : Rezolvarea unor probleme de optimizare. Demonstrarea unor inegalit ˘at ¸i.
Tipul lect ¸iei : De ﬁxare s ¸i de sistematizare;
Timp alocat lect ¸iei: 50 de minute
Competent ¸e generale
CG1 – Folosirea corect ˘a a terminologiei speciﬁce matematicii ˆın contexte variate de aplicare;
CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice;
CG3 – Utilizarea corect ˘a a algoritmilor matematici ˆın rezolvarea de probleme cu diferite grade
de diﬁcultate;
CG4 – Exprimarea s ¸i redactarea corect ˘a s ¸i coerent ˘aˆın limbaj formal sau cotidian a rezolv ˘arii
sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;
CG5 – Analiza unei situat ¸ii problematice s ¸i determinarea ipotezelor necesare pentru obt ¸inerea
concluziei.
CG6 – Generalizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului init ¸ial de deﬁnire a proble-
mei sau prin generalizarea algoritmilor
Competent ¸e speciﬁce

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 31
CS1 – Aplicarea unor algoritmi speciﬁci calculului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor probleme s ¸i
modelarea unor procese;
CS2 – Sudierea unor funct ¸ii din punct de vedere calitativ utiliz ˆand diverse procedee;
CS3 – Explorarea unor propriet ˘at ¸i cu caracter local / global ale funct ¸iilor utiliz ˆand continuitatea
s ¸i derivabilitatea;
Obiective operat ¸ionale
La sf ˆars ¸itul lect ¸iei elevii vor ﬁ capabili :
O1: s˘a calculeze derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un punct;
O2: s˘a aplice derivatele funct ¸iilor elementare studiate ˆın rezolvarea problemelor;
O3: s˘a determine intervalele de monotonie s ¸i punctele de extrem ale unei funct ¸ii;
O4: s˘a coopereze ˆın cadrul echipei la rezolvarea inegalit ˘at ¸ilor din ﬁs ¸a de lucru;
O5: s˘a coopereze ˆın cadrul echipei la rezolvarea problemelor de extrem din ﬁs ¸a de lucru;
O6: s˘a analizeze s ¸i s ˘a evalueze ˆın mod corect munca colegilor din grup ˘a.
Stilul vizual de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de vederea informat ¸iilor ˆın form ˘a tip ˘arit˘a (ﬁs ¸e de lucru),
privirea, forma cuvintelor, folosirea cuvintelor.
Stilul auditiv de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de ascultarea altor persoane care redau sau explic ˘a
informat ¸iile.
Stilul practic de ˆınv ˘at ¸are va ﬁ favorizat de scrierea rezultatelor/rezolv ˘arilor problemelor din
“Fis ¸a de lucru”, la tabl ˘a sau pe foi de ﬂip-chart.
Strategia didactic ˘a: expozitiv – euristic ˘a, algoritmic ˘a
•Metode s ¸i procedee didactice: dialog, explicat ¸ie, problematizare, algoritmizare;
•Forme de organizare: frontal, individual s ¸i pe grupe.
•Procedee de evaluare: analiza r ˘aspunsurilor, observarea sistematic ˘a a atent ¸iei, veriﬁca-
rea cantitativ ˘a s ¸i calitativ ˘a a temei, notarea elevilor.
Cont ¸inutul ˆınv ˘at ¸ ˘ari:
Cˆampul de informat ¸ii: manualul de matematic ˘a pentru clasa a XI-a. Informat ¸iile s ¸i
cunos ¸tint ¸ele care au leg ˘atur˘a direct ˘a cu competent ¸ele stabilite.
Resurse psihologice:

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 32
Capacitatea de ˆınv ˘at ¸are de care dispune clasa: elevii posed ˘a cunos ¸tint ¸e legate de funct ¸ii
elementare, continuitatea si derivabilitatea funct ¸iilor.
Diagnosticul motivat ¸iei: elevii prezint ˘a interes pentru lect ¸ie, deoarece li s-a descris c ˆampul
de aplicabilitate al acesteia.
Motivat ¸ia ˆınv ˘at ¸ ˘arii: elevilor le este explicat s ¸i ar ˘atat prin diferite aplicat ¸ii s ¸i probleme
practice, faptul c ˘a not ¸iunile din aceast ˘a unitate de ˆınv ˘at ¸are au numeroase aplicat ¸ii practice,
ce vor ﬁ studiate ulterior, ˆın studiul propriet ˘at ¸ilor calitative s ¸i cantitative ale funct ¸iilor s ¸i ˆın
reprezentarea graﬁc ˘a a acestora.
Resurse materiale:
• Mijloace de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant: ﬁs ¸e de lucru; manualul de matematic ˘a.
Secvent ¸ele activit ˘at ¸ii didactice:
1. Moment organizatoric
2. Veriﬁcarea temei
3. Reactualizarea cunos ¸tint ¸elor anterioare
4. Captarea s ¸i orientarea atent ¸iei
5. Transmiterea noilor cunostinte
Asigurarea feed-backului, tema pentru acas ˘a
Bibliograﬁe:
1. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – manual pentru clasa a XI-a, Editura Carminis,
Pitesti, 2004;
2. Ganga, M., Elemente de analiza matematica pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress,
1997;
3. Burtea, M., Burtea, G., Matematica – culegere de probleme pentru clasa a XI-a, Editura
Campion, Bucures ¸ti, 2011;
4. Anastasiei, M., Metodica predarii matematicii, Univ. ”Al. I. Cuza”, Iasi, 1983;
5. Br ˆanzei, D., Br ˆanzei, R., Metodica pred ˘arii matematicii, Editura Paralela 45, 2007;
6. Cerghit, I. , Metode de invatamant, Editura Polirom, Iasi, 2006.
Scenariu didactic:
1. Moment organizatoric (1 min) :
Asigurarea condit ¸iilor ergonomice, veriﬁcarea materialului didactic, asigurarea linis ¸tii s ¸i a
disciplinei necesare desf ˘as ¸ur ˘arii activit ˘at ¸ii. Consemnarea prezent ¸ei la or ˘a.
2. Veriﬁcarea temei (3 min) :

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 33
Se veriﬁc ˘a tema de acas ˘a. Dac ˘a exist ˘a exercit ¸ii sau probleme neefectuate se vor rezolva la
tabl˘a sau se vor da indicat ¸ii pentru rezolvarea acestora.
3. Reactualizarea s ¸i veriﬁcarea cunos ¸tint ¸elor asimilate anterior (7 min) :
Se propune elevilor o activitate interactiv ˘a frontal ˘a. Profesorul pune ˆıntreb ˘ari elevilor,
urm˘arind recapitularea not ¸iunilor ce vor ﬁ folosite ˆın lect ¸ia nou ˘a, urm ˘ares ¸te completarea
r˘aspunsurilor primite s ¸i ret ¸inerea not ¸iunilor fundamentale ˆınsus ¸ite anterior de c ˘atre elevi.
Se vor recapitula not ¸iuni referitoare la:
• derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un punct
• metode de determinare a intervalelor de monotonie ale unei funct ¸ii
• metode de determinare a punctelor de extrem local, global ale unei funct ¸ii
Not ¸iunile recapitulate vor r ˘am ˆane pe tot parcursul lect ¸iei la dispozit ¸ia elevilor(pe ﬁs ¸a de sintez ˘a
din portofoliu primit ˘a la orele anterioare, pe caiete, ˆın manual).
4. Captarea atent ¸iei s ¸i a interesului pentru lect ¸ie (3 min):
Profesorul anunt ¸ ˘a tema lect ¸iei
Aplicat ¸ii ale derivatei I ˆın studiul funct ¸iilor s ¸i cele dou ˘a p ˘art ¸i ale ei:
1. Rezolvarea unor probleme de optimizare.
2. Demonstrarea unor inegalit ˘at ¸i
s ¸i competent ¸ele vizate. Titlul lect ¸iei va ﬁ scris pe tabl ˘a.
Elevii ˆıs ¸i noteaz ˘a titlul lect ¸iei ˆın caiet.
5. Prezentarea sarcinilor de ˆınv ˘at ¸are s ¸i conducerea ˆınv ˘at ¸ ˘arii(30 min):
Profesorul face un mic istoric al problemelor de extrem:
Not ¸iunile maxim s ¸i minim, sunt subsumate termenului latin extremum. Problemele care im-
plic˘a g ˘asirea unor maxime s ¸i minime sunt numite probleme extremale (de extrem). (Not ¸iunea
de – problem ˘a de optimizare – are aproape acelas ¸i ˆınt ¸eles.) Metodele de rezolvare s ¸i de discut ¸ie
pentru diferitele probleme extremale constituie capitole distincte ale analizei matematice. ˆImpreun ˘a,
aceste metode constituie o parte a analizei numita teoria problemelor extremale.
De altfel, numeroase probleme din domeniul s ¸tiint ¸iﬁc (matematic ˘a, ﬁzic ˘a, astronomie) dar
s ¸i ˆın activitatea practic ˘a(economie,transporturi, construct ¸ii) opereaz ˘a cu anumite valori de ma-
xim sau de minim(valori optime) ˆın condit ¸ii impuse. De exemplu: maximul sau minimul unei
lungimi, a unei arii, a unui volum(vezi ﬁs ¸a de lucru). Pentru determinarea acestor valori op-
time se poate folosi derivata ˆıntˆai a unei funct ¸ii numerice asociat ˘a fenomenului ˆın cauz ˘a. V om
ˆıncerca s ˘a rezolv ˘am c ˆateva probleme clasice de extrem prin mai multe metode, una dintre ele
ﬁind de ﬁecare dat ˘a prin intermediul analizei matematice.
De asemenea, rezultatele teoretice referitoare la monotonia s ¸i punctele de extrem ale unei
funct ¸ii permit obt ¸inerea unor inegalit ˘at ¸i care, cu ajutorul metodelor elementare ar ﬁ diﬁcil de
demonstrat.
Pentru desf ˘as ¸urarea lect ¸iei, se va proceda astfel:

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 34
• ﬁecare elev va primi ﬁs ¸a de lucru ce va cont ¸ine dou ˘a sect ¸iuni: probleme de optimizare,
inegalit ˘at ¸i rezolvate cu ajutorul derivatei I a funct ¸iilor.
• se explic ˘a modul de g ˆandire a problemelor din ﬁs ¸a de lucru s ¸i se cere rezolvarea acestora
subˆındrumarea profesorului
• elevii rezolv ˘a problemele din ﬁs ¸a de lucru folosind cunos ¸tint ¸ele dob ˆandite
• profesorul urm ˘ares ¸te cum lucreaz ˘a ﬁecare elev, intervine c ˆand este cazul, cere interpreta-
rea rezultatului. La ﬁecare problema se va da s ¸i o demonstrat ¸ie analitic ˘a s ¸i se va analiz ˘a
gradul de diﬁcultate al ﬁec ˘arei metode.
5. Asigurarea feed-backului, tema pentru acas ˘a(6 min) :
Profesorul face aprecieri referitoare la modul de lucru al diferit ¸ilor elevi, propune ca tem ˘a
pentru acas ˘a problemele nerezolvate din ﬁs ¸ ˘a s ¸i noteaz ˘a elevii care au r ˘aspuns corect pe parcursul
lect ¸iei.
Evaluarea rezultatelor s ¸i stabilirea concluziilor:
• Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a deﬁni s ¸i calcula derivata unei funct ¸ii ˆıntr-un punct
s ¸i pe o mult ¸ime;
• Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a aplica derivatele funct ¸iilor elementare studiate ˆın
rezolvarea problemelor;
• Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a aplica algoritmi speciﬁci pentru rezolvarea proble-
melor de optimizare;
• Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a aplica algoritmi speciﬁci pentru demonstrat ¸ia unor
inegalit ˘at ¸i;
• Se evalueaz ˘a capacitatea elevilor de a manevra calculul algebric ce intervine ˆın studiul
derivabilit ˘at ¸ii unei funct ¸ii. Momentele de evaluare faciliteaz ˘a munca profesorului, ˆın rea-
lizarea unui feed – back continuu, permanent, corectiv.
Anexa 1
Fis ¸˘a de lucru:Aplicat ¸ii ale derivatei I ˆın strudiul funct ¸iilor
Probleme de optimizare 1
5.2.5 Minimul sau maximul funct ¸iei de gradul al doilea
Problema 5.2.13 Diferent ¸a a dou ˘a numere reale este a. Care sunt aceste numere dac ˘a produsul
lor este minim?
1Toate problemele de optimizare din ﬁs ¸ ˘a sunt rezolvate ˆın capitolul IV al lucr ˘arii

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 35
Problema 5.2.14 S˘a se aﬂe mult ¸imea valorilor funct ¸iei f :R−{ 0,4}→Rdeﬁnit ˘a prin f (x)=
(1+x)2
4x−x2s ¸i s ˘a se precizeze punctele de extrem local ale funct ¸iei f.
Problema 5.2.15 Pe laturile dreptunghiului ABCD cu AB =a s ¸i BC =b se consider ˘a punctele
M,N,P,Q astfel ˆıncˆat AM =BN =CP =DQ =x. Aﬂat ¸i minimul ariei paralelogramului MNPQ
atunci c ˆand x variaz ˘a.
Maximul produsului pentru suma constant ˘a
Problema 5.2.16 S˘a se determine maximul funct ¸iei f :(1
3,1)→R,f(x)=( 3x−1)( 4−2x)( 1−
x).
Problema 5.2.17 Determinat ¸i, dintre toate dreptunghiurile de acelas ¸i perimetru p pe acela de
arie maxim ˘a.
Extremele funct ¸iilor de o variabil ˘a real ˘a
Problema 5.2.18 Determinat ¸i triunghiul de arie minim ˘a dintre toate triunghiurile ce se pot
circumcrie unui cerc de raz ˘a r.
Problema 5.2.19 2ˆImp˘art ¸it ¸i num ˘arul S ˆın dou ˘a p ˘art ¸i cu proprietatea c ˘a rezultatul produsului
dintre produsul celor dou ˘a part ¸i s ¸i diferent ¸a lor este maxim.
Problema 5.2.20 3ˆInscriet ¸i ˆıntr-un cerc dat un dreptunghi de arie maxim ˘a.
Problema 5.2.21 Dintr-un carton dreptunghiular cu dimensiunile de 77 cm s ¸i 32 cm se va
confect ¸iona o cutie f ˘ar ˘a capac. C ˆat este latura p ˘atratelor decupate de la colt ¸urile cartonului
astfel ˆıncˆat s ˘a se obt ¸in ˘a o cutie de volum maxim.
Problema 5.2.22 Se consier ˘a funct ¸ia x →f(x)= m−x
x2−3x+2, de unde m este un parametru. Care
este num ˘arul extremelor lui f c ˆand m iavalori reale.
Demonstrarea unor inegalit ˘at ¸i
1. S ˘a se demonstreze inegalit ˘at ¸ile:
a) 2 x3+3×2−12 x+7>0, ∀x>1
b) x
e≥ln x,∀x>0 s ¸i s ˘a se arate c ˘aπe<eπ
c) ln /parenleftbig
1+1
x/parenrightbig
<1√
x2+x,∀x>0
2. S ˘a se demonstreze inegalitatea ex<(1+x)1+x,∀x>0
3. S ˘a se arate c ˘a funct ¸ia f:(1,+∞)→R,f(x) = logx(x+1)este strict descresc ˘atoare s ¸i
apoi s ˘a se veriﬁce inegalitatea log 23>log45
4. S ˘a se arate c ˘a funct ¸ia f:R→R,f(x)= 3×5+7×3+2x+1 este bijectiv ˘a.
2problema lui Tartaglia
3problema lui Kepler

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 36
5.3 Programa opt ¸ional
COLEGIUL ECONOMIC “ANGHEL RUGIN ˘A“ V ASLUI
Discipline opt ¸ionale din aria intercurricular ˘a
Programa analitic ˘a pentru C.D.S ¸.
Denumirea opt ¸ionalului: PROBLEME DE EXTREM.APLICAT ¸ II
Tipul: disciplin ˘a integrat ˘a
Clasa: a-XI-a
Durata: 1 an
Num ˘ar de ore pe s ˘apt˘am ˆan ˘a: 1 or ˘a
Aria curricular ˘a: Matematic ˘a s ¸i s ¸tiint ¸e
Institut ¸ia de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant: Colegiul Economic “Anghel Rugin ˘a” Vaslui
Autori: Garabet Diana Monica, prof. matematic ˘a
ARGUMENT
Disciplinele opt ¸ionale, al c ˘aror studiu asigur ˘a elevilor posibilitatea dob ˆandirii de cunos ¸tint ¸e
s ¸i deprinderi cu interconexiuni evidente s ¸i imediate, asigur ˘a dezvoltarea motivat ¸iei pentru stu-
diul unei discipline cu posibilitatea aplicarii ei ˆın studiul altor discipline. ˆIn acest context se
ˆınscrie s ¸i studiul cursului “PROBLEME DE EXTREM. APLICAT ¸ II” care se adreseaz ˘a elevi-
lor clasei a XI-a, proﬁl real, specializare matematic ˘a – informatic ˘a. Tematica aleas ˘a parcurge,
completeaz ˘a s ¸i aprofundeaz ˘a cont ¸inuturile programei s ¸colare de matematic ˘a cuprinse ˆın curri-
culum nucleu s ¸i curriculum nucleu aprofundat. Prin studiul acestei programe elevii realizeaz ˘a
frumuset ¸ea s ¸i rigoarea matematicii. Noile concepte ale analizei matematice care vor ﬁ intro-
duse ˆın cadrul acestui curs opt ¸ional, cu care vor opera elevii clasei a XI-a vor putea ﬁ aplicate ˆın
practic ˘a. Deoarece tematica aleas ˘a pentru aceast ˘a disciplin ˘a vine ˆın completarea not ¸iunilor de
analiz ˘a matematic ˘a referitoare la funct ¸iile derivabile, elevii, prin parcurgerea acestui curs, vor
studia probleme clasice de extrem cum ar ﬁ problema Didonei, Problema lui Arhimede, pro-
blema lui Steiner, vor ˆınv ˘at ¸a elemente de baz ˘a ale calculului diferent ¸ial pentru funct ¸ii de una sau
mai multe variabile, vor rezolva probleme de extrem pentru funct ¸ii de una sau mai multe varia-
bile inclusiv cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se accentueaz ˘a rezolvarea inegalit ˘at ¸ilor
cu ajutorul not ¸iunilor de extrem, deoarece ele apar foarte des ˆın subiectele de bacalaureat. Pro-
grama cuprins ˘a pentru aceasta disciplin ˘a is ¸i propune s ˘aˆımpleteasc ˘a studiul matematicii cu cel al
s ¸tiintelor naturii astfel ca preg ˘atirea specializat ˘a s ¸i abstract ˘aˆın cadrul matematicii e completat ˘a

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 37
cu acele aspecte care conduc c ˘atre activit ˘at ¸i practice.
COMPETENT ¸ E GENERALE
1. Folosirea corect ˘a a terminologiei matematice ˆın contexte variate de aplicare.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse ˆın enunt ¸uri
matematice.
3. Exprimarea coerent ˘aˆın limbaj formal sau ˆın limbaj cotidian, a rezolv ˘arii sau a strategiilor
de rezolvare a unei probleme.
4. Particularizarea unor propriet ˘at ¸i prin modiﬁcarea contextului de deﬁnire a unei probleme.
5. Prelucrarea datelor ˆın contexte variate.
COMPETENT ¸ E SPECIFICE CONT ¸ INUTURI
Exprimarea termenilor speciﬁci
problemelor de extrem(minim, maxim,
extrem local, extrem absolut) pentru
funct ¸ii de mai multe variabile.
Aplicarea unor algoritmi speciﬁci
calcului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor
probleme s ¸i modelarea unor
procese(teoremele funct ¸iilor derivabile,
probleme de extrem din domenii variate) 1. Probleme clasice de extrem.
• Problema lui Dido
• Probleme de extrem din
algebr ˘a s ¸i analiz ˘a matematic ˘a
• Probleme de extrem din
geometrie
Aplicarea unor algoritmi speciﬁci
calcului diferent ¸ial ˆın rezolvarea unor
probleme s ¸i modelarea unor
procese(teoremele funct ¸iilor derivabile,
continuitate, probleme de extrem din
domenii variate)
Utilizarea reprezent ˘arii graﬁce a unei
funct ¸ii pentru veriﬁcarea unor rezultate s ¸i
pentru identiﬁcarea unor propriet ˘at ¸i.
Modelarea unor situat ¸ii din diferite
domenii cu ajutorul funct ¸iilor ˆın scopul
rezolv ˘arii unor probleme speciﬁce.
Aplicarea metodei multiplicatorilor lui
Lagrange ˆın rezolvarea problemelor de
extrem.
Modelarea unor situat ¸ii din diferite
domenii cu ajutorul funct ¸iilor s ¸i a
not ¸iunilor de calcul diferent ¸ial ˆın scopul
rezolv ˘arii unor probleme speciﬁce.2. Funct ¸ii reale de nvariabile reale.
• Deﬁnit ¸ii, propriet ˘at ¸i,
exemple
• Continuitatea, derivabilitatea
funct ¸iilor reale de nvariabile
reale
• Extremele funct ¸iilor de n
variabile reale
• Extreme condit ¸ionate.
Metoda multiplicatorilor lui
Lagrange

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 38
Aplicarea metodei multiplicatorilor lui
Lagrange ˆın rezolvarea problemelor de
extrem.
Modelarea unor situat ¸ii din diferite
domenii cu ajutorul funct ¸iilor s ¸i a
not ¸iunilor de calcul diferent ¸ial ˆın scopul
rezolv ˘arii unor probleme speciﬁce.3. Probleme de extrem. Aplicat ¸ii
• Demonstrarea unor
inegalit ˘at ¸i folosind teoremele
de extrem
• Extremele funct ¸iilor reale.
Aplicat ¸ii
• Probleme practice de extrem.
V ALORI S ¸I ATITUDINI
•Cons ¸tientizarea contribut ¸iei la ˆımbog ˘at ¸irea culturii matematice a elevilor, prin punerea ˆın va-
loare a conexiunilor analizei matematice cu alte s ¸tiint ¸e (ﬁzica, chimia, economia, tehnica
etc.)
•Recunoas ¸terea s ¸i aplicarea not ¸iunilor, regulilor s ¸i conceptelor ˆın cazurile particulare evident ¸iate.
•Crearea oportunit ˘at ¸ii documentarii, surprinderii s ¸i descoperirii conexiunilor cu diferite dome-
nii ale cunoas ¸terii.
•Manifestarea curiozit ˘at ¸ii s ¸i a imaginat ¸iei ˆın crearea s ¸i rezolvarea de probleme.
•Formarea obis ¸nuint ¸ei de a recurge la concepte s ¸i metode matematice ˆın abordarea unor situat ¸ii
cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice de extrem.
•Formarea motivat ¸iei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viat ¸a social ˘a s ¸i
profesional ˘a.
•Folosirea unor metode matematice ˆın abordarea unor probleme practice de extrem.
SUGESTII METODOLOGICE
•Utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard ˆın rezolvarea de probleme.
•Utilizarea schemelor logice si a diagramelor logice de lucru ˆın rezolvarea de probleme.
•Init ¸ierea s ¸i realizarea creativ ˘a a unor investigat ¸ii matematice.
•Folosirea unor reprezent ˘ari variate pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente.
•Identiﬁcarea s ¸i descrierea cu ajutorul unor modele matematice a unor relat ¸ii sau situat ¸ii mul-
tiple .
•Rezolvarea de probleme s ¸i situat ¸ii problem ˘a.
•Analiza capacit ˘at ¸ii metodelor de a se adapta unor situatii concrete.

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 39
ACTIVIT ˘AT ¸ I DE ˆINV ˘AT ¸ ARE
• Actualizarea unor not ¸iuni matematice studiate anterior.
• Discutarea strategiilor posibile: c ˘autarea unor strategii optime.
• Descompunera unei probleme complexe ˆın probleme simple.
• Interpretarea unor reprezent ˘ari graﬁce.
• Formul ˘ari de probleme pornind de la o schem ˘a, graﬁc, formula.
• Analiza datelor problemei s ¸i c ˘autarea unor metode diferite de rezolvare.
• Organizarea unor activit ˘at ¸i de ˆınv ˘at ¸are astfel ˆıncˆat s ˘a permit ˘a desf ˘as ¸urarea sarcinilor de
lucru ˆın ritmuri diferite .
• Formularea de sarcini de prelucrare variat ˘a a informat ¸iei
• Solicitarea de a face corelat ¸ii interdisciplinare.
• Alc ˘atuirea de sarcini rezolvabile prin activitatea de grup.
• Alternarea prezent ˘arii cont ¸inuturilor cu moduri variate de antrenare a g ˆandirii.
• Punerea elevului ˆın situat ¸ia de a-s ¸i formula sarcini de lucru .
• Ordonarea sarcinilor pentru sugerarea unui algoritm al ˆınv ˘at ¸ ˘arii.
MODALIT ˘AT ¸ I DE EV ALUARE
•Chestionare oral ˘a
•Lucr ˘ari scrise
•Veriﬁcarea prin portofoliu
•Veriﬁcarea prin proiecte de cercetare
INSTRUMENTE DE EV ALUARE
•Probe scrise /orale /practice
•Observat ¸ia direct ˘aˆın clas ˘a
•Referate /proiecte
•Portofolii
•Tehnici autoevaluative

CAPITOLUL 5. ASPECTE METODICE 40
REPARTIZAREA ORELOR
Predare – ˆınv ˘at ¸are 25 ore
Recapitulare 2 ore
Evaluare 6 ore
Ore la dispozit ¸ia profesorului 2 ore —————– Total 35 ore

Bibliograﬁe
[1] Alexandrescu I., Dragut C., Iambor I.P., Popescu T., Preoteasa P., Rogai E., Sﬁchi
R.,Tomescu I., coord. N. Teodorescu – Culegere de probleme de matematici aplicate, So-
cietatea de s ¸tinte matematice, Bucures ¸ti, 1976
[2] Bal L. – Analiz ˘a matematic ˘a, Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1971
[3] Balan – Probleme de matematic ˘a, Ed. Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1972
[4] Br ˆanzei D., Br ˆanzei R.- Metodica pred ˘arii matematicii, Ed. Paralela 45, Pites ¸ti, 2007
[5] Byerly W.E. – Introduction to the Calculus of Variations, Cambridge, Harvard University,
1917
[6] Caius Iacob – Elemente de analiz ˘a matematic ˘a s ¸i mecanic ˘a, manual pt. cls aXII-a, Ed.
Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1968
[7] Campan F. – Probleme celebre, Ed. Albatros, Bucures ¸ti, 1972, vol I si II
[8] Cerchez Mihu, Teodor Danet – Probleme pentru aplicarea matematicii ˆın practic ˘a, Ed.
Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1982
[9] Chirit ¸ ˘a S.- Probleme de matematici superioare, Ed. Didactic ˘a s ¸i pedagogic ˘a, Bucures ¸ti,
1989
[10] Chites ¸ C. ,Constantinescu G., Motateanu M s ¸i colaboratorii – Ghid de pregatire pentru
examenul de bacalaureat la matematic ˘a 2005, 2006, Ed.Sigma, Bucures ¸ti, 2005, 2006
[11] Cojocariu, V . M.- Introducere ˆın managementul educat ¸iei, Editura Didactic ˘a si Pedago-
gic˘a, Bucures ¸ti, 2004
[12] Craiu M., T ˘anase V . – Analiz ˘a matematic ˘a, Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti, 1980
[13] Cristea S. – Pedagogie general ˘a. Managementul educat ¸iei, Editura Didactic ˘a si Pedago-
gic˘a, Bucures ¸ti,1996
[14] Dodescu Ghe.,Toma M. –Metode de calcul numeric, Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a,
Bucures ¸ti, 1976
[15] Donciu N., Flondor D. – Analiz ˘a matematic ˘a, Culegere de probleme, Ed. All, Colect ¸ia
Preunuversitaria, Bucures ¸ti, 1993
[16] Drimbe M. – Inegalit ˘at ¸i, idei s ¸i metode, Ed. Gill, Zal ˘au, 2003
41

BIBLIOGRAFIE 42
[17] Fihtenholt G.M. – Curs de calcul diferent ¸ial s ¸i integral, Ed. Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1963, V ol.
I
[18] Flondor P., Gussi Ghe., Stanasila O. – Matematic ˘a M2 – manual pentru clasa a XI-a, Ed.
All, Bucures ¸ti, 2000
[19] Gelfand I.M., Fomin S.V . – Calculus of Variations, Prentice Hall, INC, Englewood, New
Jersey
[20] Ionescu D. V ., – Complemente de matematici pentru licee, Ed. Didactic ˘a s ¸i pedagogic ˘a,
Bucures ¸ti 1978
[21] Iosifescu S. (coord.) – Managementul educat ¸ional pentru institut ¸iile de ˆınv ˘at ¸ ˘am ˆant, Minis-
terul Educat ¸iei si Cercet ˘arii, Institutul de Stiint ¸e ale Educat ¸iei, Bucures ¸ti, 2001
[22] Lefter C. G. – Calculul variat ¸iilor s ¸i controlul sistemelor diferent ¸iale, Editura Alexandru
Myller, Ias ¸i, 2006
[23] Leonte A., Niculescu C. – Culegere de probleme de analiz ˘a matematic ˘a, Ed. Scrisul Ro-
manesc, Craiova, 1981
[24] M. Popescu, P. Popescu, N. Toporan – Didactica Matematic ˜a, Ed. Reprograph, Craiova,
2006
[25] Meghea C. – Bazele analizei matematicii, Ed. S ¸tiint ¸iﬁc ˘a s ¸i Enciclopedic ˘a, Bucures ¸ti, 1977
[26] Mogonea, F. – Profesorul s ¸i managementul clasei de elevi. Fundamente teoretice. Ipoteze
s ¸i solut ¸ii aplicative. Sarcini si instrumente de lucru. Proﬁlul de competent ¸ ˘a managerial ˘a a
profesorului, Editura Universitaria, Craiova, 2009
[27] Matematic ˘a M2 – manual pentru clasa a XI-a, Ed. All, Bucures ¸ti, 2000
[28] Nicolescu M., Dinculeanu M., Marcus S., – Analiz ˘a matematic ˘a, Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedago-
gic˘a, Bucures ¸ti, 1966, V ol.I
[29] Precupanu A. – Bazele analizei matematice,Ed. Canova, Ias ¸i, 1995
[30] Ros ¸culet ¸ M., – Analiz ˘a matematic ˘a, Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a, Bucures ¸ti
[31] Savu I., Stoica A. – Bacalaureat la matematic ˘a 2006, Ed. Gill, Zal ˘au, 2006
[32] Schoenberg Isaac.J. -Privelisti matematice, Ed. Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1989
[33] Siret ¸cki Ghe. – Calcul diferent ¸ial s ¸i integral, exercit ¸ii, V ol.II, Ed. S ¸tiint ¸iﬁc ˘a s ¸i Enciclope-
dic˘a, Bucures ¸ti, 1985
[34] Stavre P., Zamﬁr .St., Bolnavescu L. – Matematici aplicate ˆın economie, Ed. Universitaria,
Craiova, 2002
[35] Tikhomirov V . M. – Stories about Maxima and Minima, American Mathematical Society,
V ol. I, 1986
[36] Udris ¸te Const., T ˘anasescu E., – Minime s ¸i maxime ale funct ¸iilor reale de variabile reale,
Editura Tehnic ˘a, Bucures ¸ti, 1980

Glosar
a doua ecuat ¸ie a lui Euler, 64
a doua variat ¸ie a unei funct ¸ionale, 59
codomeniu, 19
condit ¸ia necesar ˘a a lui Jacobi, 64, 65
condit ¸ia necesar ˘a a lui Legendre, 65
deﬁnit ¸ii echivalente ale continuit ˘at ¸ii ˆıntr-un punct,
26
derivata part ¸ial ˘a a unei funct ¸ii, 45
derivata unei funct ¸ii, 28
derivate part ¸iale part ¸iale de ordinul doi ale unei
funct ¸ii, 45
diferent ¸iala unei funct ¸ii ˆıntr-un punct, 30
domeniu de deﬁnit ¸ie, 19
ecuat ¸ia Euler – Lagrange, 60
ecuat ¸ia lui Euler-Lagrange sub forma integral ˘a,
60
extremala unei funct ¸ionale, 60
formula lui Taylor, 37
formula lui Taylor cu restul lui Lagrange, 38
formula lui Taylor cu restul lui Peano, 37
formula lui Taylor pentru funct ¸ii cu pvariabile,
39
formula lui Taylor pentru funct ¸ii cu dou ˘a vari-
abile, 39
funct ¸ia compus ˘a, 22
funct ¸ia lui Cauchy, 44
funct ¸ia lui Lagrange, 53
funct ¸ia produs, 21
funct ¸ia proiect ¸ie, 20
funct ¸ia sum ˘a, 21
funct ¸ie, 19
funct ¸ie continu ˘aˆıntr-un punct, 26
funct ¸ie continu ˘a pe o mult ¸ime, 26
funct ¸ie cresc ˘atoare, 24
funct ¸ie cu valori reale, 20
funct ¸ie de clas ˘aCk, 49 funct ¸ie de dou ˘a ori derivabil ˘aˆıntr-un punct, 31
funct ¸ie derivabil ˘a de noriˆıntr-un punct, 31
funct ¸ie descresc ˘atoare, 24
funct ¸ie diferent ¸iabil ˘a de noriˆıntr-un punct, 31
funct ¸ie discontinu ˘aˆın punct, 27
funct ¸ie ﬁferent ¸iabil ˘a de dou ˘a ori ˆıntr-un punct,
31
funct ¸ie indeﬁnit derivabile pe un interval, 31
funct ¸ie m ˘arginit ˘a, 23
funct ¸ie m ˘arginit ˘a inferior, 22
funct ¸ie m ˘arginit ˘a superior, 22
funct ¸ie real ˘a de variabil ˘a real ˘a, 20
funct ¸ie strict descresc ˘atoare, 25
funct ¸ie vectorial ˘a de nvariabile reale, 20
funct ¸ii derivabile, 28
funct ¸ii derivabile la dreapta ˆıntr-un punct, 28
funct ¸ii derivabile la st ˆanga ˆıntr-un punct, 28
funct ¸ii diferent ¸iabile ˆıntr-un punct, 29
funct ¸ii monotone, 24
funct ¸ii reale cu valori vectoriale vectoriale, 20
funct ¸ii reale de nvariabile reale, 20
funct ¸ii strict monotone, 25
funct ¸ional ˘a, 59
inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz, 72
inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media
geometric ˘a, 66
inegalitatea dintre media aritmetic ˘a s ¸i media
p˘atratic ˘a, 71
inegalitatea lui Bernoulli, 76
inegalitatea lui H¨older , 74
inegalitatea lui Minkowski, 80
inegalitatea lui Young, 77
inegalitatea ponderat ˘a a mediilor, 79
inﬁmum, 22
mult ¸imea valorilor funct ¸iei, 19
multiplicatorii lui Lagrange, 55
norm ˘a, 58
43

GLOSAR 44
Polinomul lui Taylor, 36
prima variat ¸ie a unei funct ¸ionale, 59
problema ariei minime, 16, 84
problema brahistocronei, 16, 57, 62
problema fagurilor, 97
Problema geodezicelor, 58
problema geodezicelor, 63
problema lui Arhimede, 12, 84
problema lui Dido, 5, 7, 57
problema lui Euclid, 11, 83
problema lui Heron, 5, 10
problema lui Plateau, 58
problema lui Steiner, 14, 88
problema lui Tartaglia, 8, 81
problemele lui Kepler, 17, 71, 85
punct s ¸a, 46
punct de acumulare, 26
punct de discontinuitate, 27
punct izolat, 26
punct stat ¸ionar, 46
punct stat ¸ionar condit ¸ionat, 53
puncte de extrem absolut, 32, 40
puncte de extrem local, 32, 40, 45
puncte de extrem local condit ¸ionat, 53
puncte de extrem local pentru funct ¸ionale, 59
puncte de extrem relativ, 50
regule de calcul pentru diferent ¸iale, 30
reguli de derivare, 29
restrict ¸ia unei funct ¸ii la o mult ¸ime, 20
spat ¸iu vectorial normat, 58
supremum, 22
teorema funct ¸iilor implicite, 49
teorema lui Cauchy, 36
teorema lui Fermat, 32, 40
teorema lui Fermat pentru funct ¸ii cu dou ˘a va-
riabile, 45
teorema lui Fermat pentru n variabile, 50
teorema lui Lagrange, 34
teorema lui Rolle, 33

/uni0163

Ă
ă
ă
!
ă "
# $ %

& !
'

( ! )

! !
*
) +
# )
ă ,

!
–
' . /uni0163
-
' /
ă
0 ! )

1 '
2 3 4 4 52 3 4 6 ! 7
8 ! 9
/uni0163

!
2 : 2 ( ! 8 8
; < / /uni0163
' 8 8 ! 8
ă
8 ă
! =
% < ! ! 8 ! ș
/
8 /uni0163
/ / )

% < ! !
7 /uni0163
! /

! ) <

% 8 0 ' ' ) <
ă

ă

<ă
ă
<

<ă
ă
8
9 8 ă

'

;/ 9 / ! 8 9
ă
ă

ă
ă
ă
!
ă "

%

5 & !

%
< ! < ! !
ă
/ ! 0 0 !
8 9 /uni0163
<
5
ă
8 ă

!
! 5ș

/uni0163
<
/
;
; 9ă

ă
! ! ! ! ș

/uni0163
<
' ! 8 ! < ! ! ! (ă
ă

5"
! ) >
? #
'Ă
ă
ă
!
ă "
# $ %

& !
ă
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
6 3 @ 3 A @ 2 3 4 2

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Lucarea Grad Didactic I Nastase Diana Monica [616119] (ID: 616119)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Licență

Necsoi Sorin, Licenta [625113]

UNIVERSITATEA DE ȘTIINȚE AGRONOMICE ȘI MEDICINĂ VETERINARĂ DIN BUCUREȘTI FACULTATEA DE MANAGEMENT, INGINERIE ECONOMICĂ ÎN AGRICULTURĂ ȘI DEZVOLTARE RURALĂ SPECIALIZAREA: I NGINERIE ȘI MANAGEMENT ÎN ALIMENTAȚIA PUBLICĂ ȘI AGROTURISM PROIECT DE DIPLOM Ă COORDONATOR ȘTIINȚIFIC , Șef luc. dr. CRISTIANA BUZATU ABSOLVENT: [anonimizat] 2018 2 UNIVERSITATEA DE ȘTIINȚE AGRONOMICE ȘI MEDICINĂ VETERINARĂ DIN BUCUREȘTI FACULTATEA…

Read More Necsoi Sorin, Licenta [625113]
Licență

FUNDAȚIA PENTRU CULTURĂ ȘI ÎNVĂȚĂMÂNT IOAN SLAVICI [604664]

FUNDAȚIA PENTRU CULTURĂ ȘI ÎNVĂȚĂMÂNT “IOAN SLAVICI” TIMIȘOARA UNIVERSITATEA “IOAN SLAVICI” TIMIȘOARA FACULTATEA DE INGINERIE DOMENIUL CALCULATOARE ȘI TEHNOLOGIA INFORMAȚIEI FORMA DE ÎNVĂȚĂMÂNT – ZI LUCRARE DE LICEN ȚĂ COORDONATOR ȘTIINȚIFIC Prof. Univ. Dr. Ing. Ec. SLAVICI Titus ABSOLVENT: [anonimizat] 2019 FUNDAȚIA PENTRU CULTURĂ ȘI ÎNVĂȚĂMÂNT “IOAN SLAVICI” TIMIȘOARA UNIVERSITATEA “IOAN SLAVICI” TIMIȘOARA FACULTATEA DE…

Read More FUNDAȚIA PENTRU CULTURĂ ȘI ÎNVĂȚĂMÂNT IOAN SLAVICI [604664]
Licență

Structura Raportului de practică: [627162]

Structura Raportului de practică: Raportul de Practică va avea următoarea structură: 1. Copertă 2. Cuprins 3. Anexe. COPERTĂ: RAPORT DE PRACTICĂ privind activitatea desfă surată în calitate de ………………… (denumirea postului ) la ………………………….. ( denumirea organiz ației gazdă ) Numele și prenumele student: [anonimizat] : ……………………………………… Programul de studii universitare de licență : AFACERI…

Read More Structura Raportului de practică: [627162]
Licență

Patologia retiniană la pacienț ii cu diabet zaharat [602788]

UNIVERSITATEA ,,LUCIAN BLAGA’’DIN SIBIU FACULTATEA DE MEDICINĂ ,,VICTOR PAPILAN’’ SPECIALIZAREA MEDICINĂ GENERAL Ă RETINOPATIA DIABETICĂ Patologia retiniană la pacienț ii cu diabet zaharat COORDONATOR ȘTIINȚIFIC : Șef lucră ri Doctor Teodor u Adria n ABSOLVENT: [anonimizat], 2016 1 CUPRINS I.PARTEA GENERALĂ CAPITOLUL 1 . NOȚ IUNI INTRODUCTIVE ……………………… …… ……….4 CAPITOLUL 2 . NOȚIUNI DE…

Read More Patologia retiniană la pacienț ii cu diabet zaharat [602788]
Licență

Stress evaluation during the COVID19 pandemic on the diverse population of Romania [303242]

Stress evaluation during the COVID19 [anonimizat], ȘCHIOPU MIHAELA Content 1.Stress evaluation during the COVID19 [anonimizat]…………………………………. 2.Journal pages about quality of life and stress during the COVID19 pandemic Annexes…………………….. Bibliography……………………….. On March 15, Romania entered a state of emergency. On April 7, [anonimizat]. [anonimizat]. We have promised ourselves not to let this also go away and…

Read More Stress evaluation during the COVID19 pandemic on the diverse population of Romania [303242]
Licență

I ELEMENTE DE ANATOMIE A ARTICULATIEI GENUNCHIULUI [308734]

I ELEMENTE DE ANATOMIE A ARTICULATIEI GENUNCHIULUI Genunchiul este una din articulatiile membrelor inferioare cu o importanta deosebita in functia aparatului locomotor ce poate fi carcterizata astfel : Este o [anonimizat], [anonimizat], completate cu numeroase alte formatiuni anatomice: meniscurile, [anonimizat]. Este o [anonimizat], [anonimizat]-ligamentar ce confera o instabilitate articulara anormala. Este o [anonimizat] o face…

Read More I ELEMENTE DE ANATOMIE A ARTICULATIEI GENUNCHIULUI [308734]