Logica Matematica, Disciplina de Importanta Fundamentala In Activitatea de Predare Invatare din Invatamantul Primar

CUPRINS

Cap I. NOȚIUNI INTRODUCTIVE

1.1 Rolul matematicii în ciclul primar

1.2 Motivația alegerii temei

CAP.II FUNDAMENTAREA ȘTIINȚIFICĂ A TEMEI

2.1 Matematica și logica

2.2 Limbajul logicii propozițiilor. Operatori logici

2.3. Noțiuni fundamentale în aritmetică-.Elemente de teoria mulțimilor

2.3.1. Mulțimea

2.3.2 Operații și proprietăți ale mulțimilor

2.4 Teoria mulțimilor în învățământul primar

2.5 Gândirea –proces psihic uman

2 5.1 Principiile gândirii logice

2.6 Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică

2.7 Competențele generale ale predării-învățării matematicii

2.8 Limbajul matematic de la grădiniță la școală

CAP III. CERCETAREA PEDAGOGICĂ

3.1 Precizarea obiectivelor și formularea ipotezei

3.2 Metodica cercetării

3.3 Desfășurarea cercetării și interpretarea datelor

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE-APLICAȚII PRACTICE

1.1 Rolul matematicii în ciclul primar

  În contextul actualei reforme curriculare a învățământului românesc , este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivarea accentuată a gândirii logice a micilor școlari . Și cum am putea mai bine rezolva problema decât prin evidențierea relațiilor matematice prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă a limbajului matematic modern. De aceea se impune ca școala să ofere elevului mijloacele necesare progresului său continuu în cunoaștere și adaptare . Acest progres trebuie să se axeze pe însușirea capacităților esențiale, pe cultivarea unei gândiri suple, dialectice, să-i asigure însușirea de sisteme logice, de metode și instrumente de învățare prin activitate proprie.

Cultura generală a fiecărui om al zilelor noastre trebuie să cuprindă cunoștințe matematice. Matematica nu e doar o știință , ci este un act de cultură. Este unul din modurile fundamentale ale gândirii umane. Ceea ce-l caracterizează pe om este gândirea, iar cultivarea gândirii este lucrul cel mai de preț.

          Învățarea matematicii exersează gândirea, antrenează capacitatea de organizare logică a ideilor, întărește atenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durată, antrenează memoria logică , dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și gustul pentru obiectivitate si precizie.

Oamenii se deosebesc de celelalte ființe prin gândire. Ei dispun de o capacitate specifică de procesare a informațiilor, în vederea dobândirii unor cunoștințe și convingeri, a unor deprinderi și abilități cognitive necesare rezolvării de probleme cu care se confruntă în activitatea cotidiană.

Referindu-se la necesitatea antrenamentului în munca de rezolvare a problemelor, George Polya mentionează că: A ști să rezolvi probleme este o îndrumare practică, o deprindere, cum este înotul, șahul sau cântatul la pian care se poate învăța numai prin imitare și exerciții (…) dacă vreți să învățati înotul, trebuie să intrați în apă, iar dacă vreți să învățați probleme, trebuie să rezolvați probleme.

Pe baza gândirii, omul intervine asupra mediului înconjurător și-l transformă în folosul său. Întregul progres pe care l-a realizat omenirea de la apariția omului și până la marea aventură a călătoriilor extraterestre se datorează acestui „instrument” cu care este înzestrată speța umană și pe care-l numim gândire.

Ritmul crescând al competiției în toate domeniile vieții social – economice și culturale ne obligă să gândim cât mai rapid și, mai ales, să gândim corect. A-i pune elevului probleme de gândire – spune Eugen Rusu – dar mai ales a-l pregăti să-și pună singur întrebări, este mult mai important decât a-l conduce spre rezolvarea acestora prin modalități stereotipice învățate.

            În primele patru clase, matematica este unul dintre obiectele de bază, scopul acesteia fiind de a-i înarma pe elevi cu temeinice cunoștințe în legătură cu noțiunile elementare matematice, de a le forma deprinderea de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, precum și de a contribui la dezvoltarea gândirii, a memoriei și a atenției, la formarea deprinderilor de ordine și punctualitate.

Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și consecinșelor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să degajeze esențialul de neesențial, formează capacitățile atenției, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare, îl ajută să-și formeze simț critic constructiv, îi formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetării.

Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Școlarilor li se formează unele aptitudini ale gândirii pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a problemelor.

Predarea matematicii la clasele I – IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ și practic, având ca obiectiv fundamental dezvoltarea intelectuală a elevilor, însușirea instrumentelor de calcul și de rezolvare a problemelor.

Pe plan instructiv se urmărește formarea conceptului de număr natural, cunoașterea denumirii și a modului de scriere a numerelor naturale, înțelegerea operațiilor de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, a proprietățtilor acestora, precum și formarea deprinderilor de a efectua aceste operații. De asemenea se urmărește familiarizarea elevilor cu elemente simple de geometrie plană, formarea conceptului de măsură a unei mărimi, cunoașterea principalelor unități de lungime, arie, volum, masa, timp și transformarea unora dintre acestea.

Pe plan educativ se realizează dezvoltarea gândirii logice, cultivarea calităților gândirii prin exersarea operațiilor sale, dezvoltarea atenției voluntare stabile, a memoriei logice.

Pe plan practic se urmărește formarea capacității de a utiliza cunoștințele de matematică în rezolvarea problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a întrebuința aceste cunostințe în cazuri noi, de a contribui în mod creator la soluționarea laturilor matematice ale problemelor care se ivesc la tot pasul.

Întrebuințarea cunostințelor privitoare la numerația scrisă și orală, utilizarea pe scară largă a calcului oral și scris, formarea unei concepții unitare despre unitățile de măsură și întrebuințarea curentă a lor constituie doar câteva prilejuri care se referă la aplicarea practică a cunoștințelor de matematică.

Prin organizarea unor activități de învățare variate cu aplicabilitate practică, adaptate nevoilor individuale ale fiecărui elev, învățătorul stimulează colaborarea, interesul și motivația elevilor pentru rezolvarea problemelor de viață , pentru aplicarea matematicii în contexte variate. Studiul teoretic și practic al matematicii, bazat pe rezolvarea unor probleme reale din viață, care contribuie la aplicarea unor noțiuni matematice, conduce la rezultate superioare în însușirea acestui obiect de învățământ. Situațiile problematice, jocurile matematice, exersarea capacităților intelectuale, atestă deosebita valoare formativă a acestei discipline școlare în structurarea deprinderilor de activitate intelectuală, în dezvoltarea gândirii, memoriei și a imaginatiei, în formarea unor trăsături de personalitate (voință, perseverență, simțul ordinii, al disciplinei în muncă, etc.), indispensabile integrării în ciclurile școlare următoare, în viața activă în general .

1.2 Motivația alegerii temei

Fără a minimaliza importanța celorlalte meserii existențe în această lume, putem spune că  profesia de dascăl este nu numai cea mai nobilă sub soare dar și cea mai încărcată de răspundere, deoarece el trebuie să formeze azi oamenii de mâine. Ne aflăm în plin proces de dezbatere a problematicii lumii contemporane, bazat pe dialogul și uneori conflictul aparent între realități umane, conceptualizate în termeni cu o mare încărcătură practică, dar și simbolică: om și condiție umană, progres și decalaj, viitor și dezvoltare.

În acest context sufocat de o adevărată "epidemie", care a contaminat specia umană, numită de Alvin Toffler "Șocul viitorului", omul trebuie să facă  față suprasolicitării,exploziei informaționale. Din această cauză el trebuie să fie educat , format astfel încât să se poată adapta la cerințele societății.

Omul viitorului, indiferent de domeniul în care va lucra, trebuie să posede solide cunoștințe matematice, să fie înarmat cu algoritmi și scheme logice-matematice care să-i permită orientare adecvată în lumea valorilor științifice și tehnologice.

Pentru a-și îndeplini rolul de formare a omului, școala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptor de cunoștințe statice, trebuie să-l stimuleze să gândească și să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate și organizate prin problematizare: în loc de a se da soluții, a pune pe elev în situația de a le descoperi, să nu apreciem progresul prin mărturiile memoriei, ci prin ale judecății.

Matematica se învață pentru a se aplica în practică. Este de fapt știința cea mai operativă care are cele mai complexe legături cu viața. Pătrunderea matematicii în toate domeniile vieții contemporane, contribuția pe care o aduce în dezvoltarea tuturor științelor, precum și contribuția adusă în studierea și dirijarea științifică a procesului de învățământ,sunt argumente incontestabile privind asimilarea ei la un nivel superior chiar la vârsta fragedei copilării.

O educație care pune accent pe logica matematică este, fără îndoiala, cea mai bună pregătire pentru viitor, indiferent cât de apropiat sau îndepărtat ar fi el. Aceasta nu numai că  îi va permite individului o adaptare mai ușoară și mai bună la schimbările rapide ce intervin în viață sa, ci îi va oferi și mijloacele necesare de a se ocupa de calitatea propriei vieți.

CAPITOLUL II FUNDAMENTAREA ȘTIINȚIFICĂ A TEMEI

2.1.Matematica  și logica

Cuvântul matematică își are originea în cuvântul grecesc μάθημα máthēma, care însemna „învățare”, „studiu”, „știință”, la rândul lui provenind din verbul manthanein, „a învăța”. Termenul mathema a căpătat încă din perioada clasică și sensul precis de „studiu matematic”. Adjectivul corespunzător este μαθηματικός mathēmatikós, însemnând „legat de învățare” sau „studios”, iar mai târziu, „matematic”. Din greacă, termenii au fost preluați în latină, unde științele matematice, numite în grecește μαθηματικὴ τέχνη mathēmatikḗ tékhnē, au fost denumite cu pluralul ars mathematica.

Din latină, termenul mathematica a fost preluat în forme asemănătoare în toate limbile europene moderne. Forma aparentă de plural din engleză, ca și pluralul franțuzesc les mathématiques, au revenit în latină sub forma pluralului neutrumathematica (Cicero), pornind de la pluralul grecesc τα μαθηματικά ta mathēmatiká, acesta fiind utilizat de Aristotel cu sensul de „toate lucrurile matematice”.

În română, termenul a fost copiat după franțuzescul mathématique și italienescul matematica.

Matematica folosește un limbaj propriu. Anumiți termeni din limbajul curent, cum ar fi grup, inel sau corp pot avea un înțeles diferit în limbajul matematic. Numărul relativ mare al termenilor noi sau cu înțeles schimbat face ca înțelegerea matematicilor avansate de către nespecialiști să fie dificilă.

Limbajul matematic se bazează și pe formule. Acestea conțin anumite simboluri, unele împrumutate din calculul propozițional, cum ar fi implicația logică sau operatorul pentru negație , altele în legătură cu calcul cu predicate (simbolurile pentru „oricare ar fi”  și „există” ). Cea mai mare parte din notațiile folosite în prezent au fost introduse după secolul al XVI-lea.

Motivul principal pentru care au fost introduse simbolurile și termenii noi îl reprezintă necesitatea exprimării cât mai exacte a ideilor (o caracteristică comună științelor exacte, numită rigoare). Rigoarea este necesară pentru a evita teoremele false, generate de interpretări greșite.Trebuie subliniat faptul că există și un limbaj matematic (metalimbaj) ce descrie matematica însăși. Acest limbaj este logica.

Prin logică (din greaca veche λογική, logike) se înțelege folosirea rațiunii în realizarea anumitor activități. Logica se folosește în mod predominant în filozofie, matematică și informatică.

Termenul logică  derivă din grecescul logos desemnând cuvânt, discurs,rațiune, raționalitate. Etimologic logica este stiința rațtionarii (gândirii) corecte.

Ce înseamnă a gândi, a raționa? Însemnă a corela informații, a pune în relație două sau mai multe judecăți pentru a obține o judecată nouă. Cu alte cuvinte, a raționa, a face raționamente, înseamnă a deriva o nouă judecată în baza unor judecăți anterioare.

Să luăm câteva exemple:

 Toate femeile sunt frumoase. Toți bărbații sunt inteligenți.

 Ioana este femeie.      Ion este bărbat .                     

Ioana este frumoasă.    Ion este inteligent .                 

Dacă acceptăm premisele, suntem constrânși să acceptăm concluzia. Cine ne constrânge? Ne constrânge structura, forma raționamentului, forma lui logică. Să analizăm această formă, utilizând anumite simboluri: 

notăm cu: M= femei, (bărbați),  P= frumoase, (inteligenti),  S= Ioana  (Ion).

 Forma raționamentului devine:  Toti M sunt P,  S este M, S este P.                                

Concluzia S este P rezultă cu necesitate din premisele enunțate, întrucât forma este corectă.

Să luăm un alt exemplu: 

 Toate femeile sunt frumoase           Toti bărbații sunt inteligenți.

Constanța este frumoasă                 Rex este inteligent

Se observă că în cazul acesta nu mai rezultă cu necesitate nici o concluzie întrucât forma logică nu mai este corectă. Forma logică este corectă atunci când respectă legile de raționare. În cazurile de mai sus este vorba de o singură lege și anume aceea că obiectul gândirii să rămână același pe parcursul raționării.

Putem conchide acum: logica este știința formelor (structurilor operatorii) gândirii corecte. Este, cel puțin în acceptiunea clasică, o stiință formală  interesată doar de condițiile formale ale gândiri și nu de conținutul material al componentelor raționamentului. În exemplele utilizate mai sus, corectitudinea raționamentului este dată de forma lui și nu de adevărul propozițiilor componente. Dacă este adevărat că toate femeile sunt frumoase este o chestiune ce ține de estetică, iar aserțiunea privind inteligența bărbaților ține de psihologie. Aserțiunile respective sunt analizate de logician  numai în ceea ce privește posibilitatea lor logică. Este posibil logic ca toate femeile să fie frumoase și este imposibil logic ca toate femeile frumoase să nu fie frumoase. Posibilitatea ontică este condiționată de posibilitatea logică, iar imposibilitatea logică este cu neputință ontic. Iată de ce la început a fost cuvântul, logosul.

Logica matematică (sau simbolică) s-a născut în sec. al XIX-lea, în funcție de dezvoltarea puternică a matematicii și de ivirea necesității cercetării logice a fundamentului acesteia ca știință formală. Atât prin originea cât și prin problematica sa, logica matematica este o știință care a apărut la hotarul dintre logică și matematică. Logica matematică se caracterizează prin cercetarea operatorilor logici, a proprietăților lor formale și prin elaborarea, pe aceasta bază, a unor calcule logice. Procedeul logic-matematic, păstrându-și specificul său, este pe deplin analog procedeului matematic propriu-zis. In virtutea acestui procedeu, cercetările de ordin logic au o formalitate riguroasă, datorită căreia operația de deducție ăși desăvârșește stringența. Astfel se elaborează o serie de calcule care îmbrățiseaza aspecte noi, necercetate încă în domeniul logicii.

Calculele cele mai însemnate și care reprezintă totodată capitole de bază ale logicii matematice sunt: a) logica propozitiilor, b) logica predicatelor, c)logica relațiilor. În cadrul logicii matematice au apărut sau au luat o nouă dezvoltare logica modală, logica polivalentă, precum și logica inductivă, strâns legată de teoria probabilităților. Ideea calculului logic a fost formulata pentru prima oara de Leibniz.

Ca disciplina de sine stătătoare, logica matematică s-a constituit în sec. al XIX-lea, o dată cu apariția operelor lui A. de Morgan și ale lui G. Boole, care au inaugurat așa-numita algebră a logicii, dezvoltată ulterior de E. Schroder, P. S. Poretki .

2.2 Limbajul logicii propozițiilor. Operatori logici

Logica operează cu definiții, propoziții (pe care le vom mai numi și enunțuri), predicate (numite și funcții propoziționale), operatori logici, cuantificatori și reguli de deducție. O definiție este o delimitare precisă a unei familii particulare de obiecte dintr-una mai amplă, deja cunoscută (numită gen proxim), prin intermediul unei proprietăți comune tuturor obiectelor nou definite și numai acestora (proprietate numită diferența specifică). Desigur, aceasta este o descriere a ceea ce se înțelege printr-o definiție și nicidecum o defniție a definiției. Numele generic dat unui obiect din familia nou definită este numele conceptului (noțiunii definite).

În definiția: “Se numește triunghi dreptunghic un triunghi care are un unghi drept.", numele conceptului definit este triunghi dreptunghic, genul proxim este triunghi iar diferența specifică este “proprietatea de a avea un unghi drept". O cerință esențială pe care trebuie să o respecte o definiție este de a fi consistentă. Aceasta înseamnă că genul proxim trebuie să conțină măcar un obiect care să aibă toate proprietățile cerute de diferența specifică. Un astfel de obiect se numește exemplu pentru definiția respectivă. În cazul definiției noțiunii de grup un astfel de exemplu este grupul (Z; +).

Este ușor de înțeles că, din moment ce pentru a defini un nou concept, cel de triunghi dreptunghic, trebuie să ne bazăm pe un altul deja definit, cel de triunghi, mergând înapoi, din definiție în definiție, vom ajunge la concepte (noțiuni) pentru care nu putem găsi niciun gen proxim pre-existent la care să ne raportăm, de la care să construim definiția. Așadar,trebuie să considerăm în cele din urmă noțiuni care nu se definesc (noțiuni primare); cu ajutorul lor vom putea defini alte obiecte. Aceasta este un principiu de bază în orice teorie axiomatică. Cele mai importante noțiuni primare pe care le vom utilize sunt noțiunea de mulțime și de relație de apartenență. Pentru descrierea acestora suntem nevoiți să apelăm la intuiție.

O propoziție sau un enunț este o constatare spusă, scrisă, gândită sau exprimată în orice alt mod, care este fie adevărată fie falsă. Adevărul, notat pe scurt cu a sau 1 și falsul, notat pe scurt cu f sau 0, poartă numele de valori de adevăr ale unei propoziții. De exemplu: “Mihai are părul blond." este o propoziție în accepțiunea logicii, a cărei valoare de adevăr, a sau f, poate fi stabilită fie prin verificare directă – observarea subiectului, Mihai, – fie indirect prin observarea unei fotografii color a subiectului.

Dimpotrivă, formulările: “Când plouă?", “Du-te acasă!" nu sunt propoziții în sensul logicii, deși, în accepțiunea gramaticală, prima este o propoziție interogativă, iar cea de-a doua o propoziție imperativă. Trebuie să menționăm de la bun început că, pentru ca o anumită formulare să fie o propoziție, nu este necesar să fim în stare a-i stabili valoarea de adevăr. De asemenea, este foarte important să subliniem că există o distincție între modul de exprimare, expresia unei propoziții și propoziția însăși. Mai precis, una și aceeași propoziție poate fi exprimată în mai multe moduri. De exemplu propoziția “Mihai are părul blond." admite formularea echivalentă “Părul lui Mihai este blond." Este ușor de constatat că, deși aceste două formulări sunt distincte, ele exprimă aceeași constatare.

Fiind date două propoziții p, q, putem forma altele noi prin intermediul operatorilor logici de: disjuncție, conjuncție, negație și implicație.

A. Disjuncția. Propoziția “p V q “ care se citește “p sau q", poartă numele de disjuncția propozițiilor p și q, propoziție care este adevărată exact atunci când cel puțin una dintre propozițiile p sau q este adevărată. Așadar, p V q este falsă exact atunci când atât p cât și q sunt false. Această definiție a valorii de adevăr a lui p V q se poate da cu ajutorul tabelului de adevăr:

S-au scris pe linii toate combinațiile posibile de valori de adevăr pentru p și q. Tabelul se citește pe linii: de exemplu, linia 3 a tabelului spune, că, dacă p are valoarea de adevăr 0, iar q are valoarea de adevăr 1, atunci p V q are valoarea de adevăr 1.

Exemplu : “Florin nu este acasă sau telefonul lui este defect" este un enunț de forma pVq; unde p este “Florin nu este acasă", iar q este “Telefonul lui Florin este defect".

B. Conjunția. Propoziția p ^ q care se citește “p și q", poartă numele de conjuncția propozițiilor p și q, propoziție care este adevărată exact atunci când ambele propoziții p și q sunt adevărate. Deci, p ^ q este falsă exact atunci când măcar una dintre ele este falsă. Corespunzător, avem tabelul de adevăr:

Exemplu :”Trenul oprește și călătorii coboară".”Crapul este un pește și 8 este par.”

C. Negația. Dată fiind o propoziție p, putem forma propoziția ¬p, numită negația propoziției p, care este adevărată exact atunci când p este falsă. Deci, ¬p este falsă dacă p este adevărată. Propoziția ¬p se citește “non p" sau “nu este adevărat că p".

Exemplu: Negația propoziției “Orice om este muritor" este “Nu orice om este muritor". Forme echivalente: “Există un om care nu este muritor" – preferată- și “Nici un om nu

este muritor" – pe care o vom evita.

Negația propoziției “Există triunghiuri cu două unghiuri drepte" este “Nu există un triunghi care să aibă două unghiuri drepte"- preferată – sau formele echivalente “Orice triunghi nu are două unghiuri drepte" – preferată – și “Nici un triunghi nu are două unghiuri drepte" – pe care o vom evita.

În ambele exemple, ultima formă, deși folosită și acceptată în limbajul curent, va fi evitată în limbajul matematic tocmai pentru a nu permite utilizarea dublei negații cu rol de negație simplă, utilizare având drept scop de a accentua caracterul “negativ" al constatării, dar generatoare de posibile ambiguități.

D. Implicația. Definim propoziția p → q; care se citește “p implică q" ca fiind o notație prescurtată pentru propoziția (¬p) V q. Scriind tabelul de adevăr pentru (¬p) V q se vede imediat că p → q este adevărată dacă q este adevărată sau atât p cât și q sunt false, și

falsă numai dacă p este adevărată și q falsă. În expresia p → q, p poartă numele de ipoteză,iar q de concluzie. Operatorul logic → se numește implicație. Tabelul său de adevăr este:

Se justifică intuitiv că p → q este același lucru cu (¬p) V q, astfel: p →q înseamnă “dacăp este adevărată, atunci q este adevărată". Altfel spus, sau p este falsă (adică are loc ¬p), sau p este adevărată și atunci automat q este adevărată (adică are loc q); pe scurt, (¬p) V q.

Faptul că p → q este același lucru din punct de vedere logic cu (¬p) V q este foarte important și util când trebuie negată o implicație (lucru care intervine frecvent, de exemplu în cazul demonstrațiilor prin reducere la absurd).

Exemplu: Dacă plecăm într-un minut atunci vom ajunge la timp".

Propoziția p→q se mai poate exprima prin frazele următoare, des întâlnite în textele

matematice sau în limbajul natural:

dacă p atunci q"

în ipoteza p are loc q"

p este o condiție suficientă pentru q"

q este o condiție necesară pentru p"

q dacă p"

p numai dacă q"

q în ipoteza că p"

este suficient ca p pentru ca q"

q este o consecință a lui p"etc.

De pildă, exemplul “Dacă plecăm într-un minut atunci vom ajunge la timp" se mai poate exprima prin “Plecăm într-un minut implică că vom ajunge la timp", “Este sufficient să plecăm într-un minut pentru ca să ajungem la timp", “Vom ajunge la timp dacă plecăm într-un minut" etc.

E. Echivalența. Echivalența propoziției p, q este propoziția p ↔ q. O echivalență este adevărată numai atunci când ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr.

Exemple:

1.”3>2 dacă și numai dacă 5<6” este propoziție adevărată.

2. „3=5 dacă și numai dacă urșii se hrănesc cu beton” este propoziție falsă.

Echivalența este redată în limbaj natural prin propoziții bicondiționale sau prin judecăți ipotetice exclusive, care redau relații dintre o condiție necesară și suficientă și o consecință suficientă și necesară:”dacă și numai dacă, atunci…”, “atunci și numai atunci…”. Nu de puține ori se folosesc formulări mai scurte de tipul”… numai dacă…”, “dacă, atunci…” sau “cu condiția să…”; se enunță, deci, explicit, numai condiția necesară sau numai cea suficientă, cealaltă fiind subînteleasă, sugerată de context.

O expresie a cărui valoare de adevăr este adevărul indiferent de valorile propoziției componente se numește tautologie.

Teoremă: Fie p,q propoziții. Avem [(pq) (qp)] (pq).

Teoremă: Legea dublei negații : p q

Legea terțului exclus : Propoziția p V q este adevărată.

Exemple: „3²+4²=5² sau 3²+4²5²”

Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propoziții. Avem (pq) ( q p).

Exemple: „Dacă 4>3, atunci 2 >2³” este echivalent cu „Dacă 2 2³, atunci 43”.

2.3 Noțiuni fundamentale în aritmetică- Elemente de teoria mulțimilor

2.3.1 . Mulțimea

Noțiunea de mulțime este primară, în sensul că nu poate fi definită cu ajutorul altor noțiuni mai simple. În matematică, cuvântul mulțime marchează orice colecție de obiecte sau simboluri. Colecția trebuie să fie bine definită, in sensul că se poate decide întotdeauna apartenența sau neapartenența unui obiect la colecția considerată. Practic, a preciza o mulțime inseamnă a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietățile comune care caracterizează aceste obiecte.

De exemplu: N = este binecunoscuta mulțime a numerelor naturale N = {0, 1, 2, . . .}.

Elementele unei mulțimi pot fi de orice natură: numere, persoane, litere ale alfabetului, sau chiar alte mulțimi, etc. Două elemente ale aceleiași mulțimi pot fi doar egale sau diferite . Prin convenție, vom nota mulțimile cu majuscule: A, B, C etc., iar elementele acestora cu litere mici: x, y, etc. Ca exemple, să considerăm mulțimea elevilor de la Liceul Greco-Catolic “ Iuliu Maniu” , mulțimea culorilor curcubeului, mulțimea literelor alfabetului latin, etc.

O mulțime poate conține un număr finit sau infinit de elemente. Dacă o mulțime nu conține nici un element o vom numi mulțime vidă și o vom nota cu litera grecească Φ.

Noțiunile de mulțime și de element sunt legate prin relația de apartenență : dacă A este o mulțime și x un obiect al mulțimii, spunem că x aparține lui A și scriem x € A . În cazul în care obiectul x nu este un element al mulțimii A vom nota x A. De exemplu, 1 aparține mulțimii {1, 2, alb, {3, 4}}, dar 3 și 4 nu aparțin; elementele mulțimii sunt numerele 1, 2, șirul de caractere alb și mulțimea {3, 4}. O mulțime poate fi specificată prin listarea tuturor elementelor sale între acolade, cum ar fi mulțimea cifrelor pare {0, 2, 4, 6, 8}. De remarcat că ordinea în care apar elementele mulțimii într-o asemenea scriere nu contează, în sensul că {8, 2, 4, 0, 6} este aceeași mulțime ca mai sus. De asemenea, repetiția elementelor este irelevantă: {a, b, b} și {a, b} reprezintă aceeași mulțime .

Dacă toate elementele unei mulțimi A aparțin și unei alte multimi B, vom spune că A este o submulțime a mulțimii B și vom scrie acest lucru utilizând simbolul matematic de incluziune, A  B.

Simbolul  semnifică o incluziune strictă, astfel incât, cu siguranță mulțimea B are cel putin un element care nu există și în mulțimea A. Pe lângă acest simbol vom mai putea folosi și următoarele simboluri, care au semnificația:

 – pentru incluziunea care poate asigura si egalitatea de elemente ale celor doua multimi

 – pentru a preciza neincluziunea

 – pentru incluziunea strictă a celei de-a două mulțimi în prima

 – pentru incluziunea și cu posibilitatea de egalitate a celei de-a doua mulțimi in prima.

Prin convenție, multimea vida  se consideră a fi submultime pentru orice multime dată.

Ideea de multime poate fi reîntregita prin conceptul de mulțimi egale, adică mulțimi care au aceleasi elemente. Acest concept poate fi suficient dacă am defini egalitatea a două mulțimi prin următoarea declarație:

A = B dacă și numai dacă AB și BA.

2.3.2. Operațiile și proprietățile mulțimilor

Având de-a face cu mulțimi de aceeași natura, în sensul că elementele acestora fac parte dintr-o aceeași colecție mai amplă de obiecte, numită mulțime totală sau mulțime universală, pe care o notăm cu T, putem indroduce următoarele operatii importante:

☺Reuniunea a două multimi A si B, notată A U B, reprezintă mulțimea elementelor care aparțin sau lui A sau lui B.

A U B = { x /x Є A sau x Є B} Ilustrăm reuniunea mulțimilor A și B cu ajutorul unei diagrame reprezentate ca în figura 1.

Figure 1

Exemple:

{1, 2 } U {alb, galben }= {1, 2, alb, galben }

{1, 2, verde} U {alb, galben, verde} = {1, 2, alb, galben, verde }

{1, 2 } U {1, 2 }= {1, 2 }

Unele proprietăți de bază ale reuniunii:

A U B = B U A

A C A U B

A U A = A

A U ø = A

☺Intersecția a două multimi A și B, notată A ∩ B, reprezintă mulțimea elementelor care aparțin și lui A si lui B.(fig.2) Dacă A ∩ B = , spunem că multimile A și B sunt disjuncte.

A∩ B = { x / x Є A și x Є B }

Exemple:

{1, 2 }∩{alb, galben }= ø

{1, 2, galben} ∩ {alb, galben, verde} = { galben}

{1, 2 } ∩ {1, 2 }= {1, 2 }

Proprietăți de bază ale intersecțiilor:

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B C A

A ∩ A = A

A ∩ ø = ø

☺Diferența a două mulțimi A și B, notată A – B, reprezintă mulțimea elementelor care aparțin lui A și nu aparțin lui B.

A – B = { x / x Є A și x ¢ B }

Două mulțimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit și diferența dintre mulțimile B și A), notat B − A (sau și B \ A), este mulțimea tuturor elementelor care fac parte dinB, dar nu și din A. De notat că nu este greșit să se "scoată" dintr-o mulțime elemente care nu îi aparțin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulțimea {1,2,3}; doar că această operație nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulțimile despre care se discută sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numește complementul absolut (față de U), sau pur și simplu complementul lui A, și este notat cu A′.

Exemple:

{1, 2 }\{3, negru } = {1, 2 }

{1, 2, galben }\{alb, galben, negru, verde} = {1, 2 }

{1, 2 }\ {1, 2 }= ø

Dacă U este mulțimea numerelor întregi, E este mulțimea întregilor pari, și O este mulțimea întregilor impari, atunci complementul lui E față de U este O: .

Proprietăți de bază ale complementelor:

A U À = U

A ∩ À = ø

A \ A = ø

A \ B = A ∩ B

Operațiile cu mulțimi au următoarele proprietăți:

1. Asociativitatea intersecției și a reuniunii mulțimilor

Dacă A, B, C sunt trei mulțimi atunci:

A U (B U C) = (A U B) U C

A (B C) = (A B) C

2. Comutativitatea intersecției și a reuniunii mulțimilor

Dacă A, B sunt mulțimi, atunci A U B = B U A și A B = B A

3. Idempotența intersecției și a reuniunii

Dacă A este o mulțime, atunci A U A = A și A = A A

4. Oricare ar fi mulțimea A , AU Ø = A și A Ø = Ø

5. Distributivitatea reuniunii față de intersecție

Dacă A, B, C sunt trei mulțimi, atunci A U (B C) = ( (A U B) (A U C)

Distributivitatea intersecției față de reuniune

A (B U C) = ( (A B) U (A C)

6. Formulele lui de Morgan

Dacă A, B sunt submulțimi ale lui E, atunci CE (A U B) = CEACEA, CE(A B) = CEA U CEB.

Augustus De Morgan a fost matematician britanic, celebru pentru contribuțiile sale în logica matematică, motiv pentru care este c onsiderat întemeietorul logicii formale.

 În anul 1847 prezintă în scrierea sa Formal Logic ceea ce ulterior vor fi denumite "Legile lui De Morgan" (în teoria mulțimilor).Aceasta face parte din cadrul celor mai mari contribuții ale sale la reformarea logicii matematice.

2.4 Teoria mulțimilor în învățământul primar

A preda primele noțiuni de matematică unor copii de 6-10 ani este o sarcină pe care cel ce și-o ia trebuie să aibă atât deplina conștiință a unei răspunderi greu de estimat, cât și talentul incomparabil de a se putea face înțeles de copiii care au ajuns în dezvoltarea lor intelectuală și psihologică în etapa însușirii și folosirii raționamentului logic- deductiv specific construcției matematicii.

Pentru a putea desfășura activități didactice privind introducerea noțiunii de număr natural , învățătorul trebuie să cunoască câteva noțiuni referitoare la modelul matematic al conceptului de număr natural. În general, în matematică, există două puncte de vedere privind introducere noțiunii de număr natural : unul bazat pe mulțimi echivalente, iar celălalt pe noțiunea succesor (axiomatica lui Peano.)

Să considerăm o mulțime oarecare M ; mulțimea părților ei este formată din mulțimea vidă, mulțimi cu câte un element, mulțimi cu două elemente.Nu interesează natura elementelor acestor mulțimi, de preferat însă este să utilizăm ca elemte ale acestor mulțimi obiecte familiare elevilor.

0 1

Pe acestă mulțime M definim relația de echipotență astfel: mulțimea care are un triunghi este echipotentă cu mulțimea care are un dreptunghi, cu mulțimea formată dintr-o steluță, etc. Deci, relația de echipotență „strânge ”toate mulțimile formate dintr-un sungur obiect, alcătuind clasa de echipotență pe care o numim număr cardinal „”unu și pe care o notăm cu semnul 1. Convenim cu numărul cardinal determinat de mulțimea vidă să se numească „zero” și să se noteze cu semnul 0.

După această etapă se poate trece la introducerea conceptului de număr natural. Se numește număr natural cardinalul unei mulțimi finite.deci, cardinalele pe care le-am construit în exemplul anterior sunt numere naturale.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu N și ea este formată din următoarele elemente: N= { 0, 1, 2, 3, 4….}.

În ceea ce privește introducerea axiomatică a noțiunii de număr natural, Giuseppe Peano (1858-1932) a arătat în anul 1891 ca toate proprietățile numerelor naturale rezultă din următoarele cinci axiome care-i poatră numele.

A1: 0 este număr natural;

A2: orice număr natural are un singur succesor;

A3: 0 nu etse succesorul nici unui unui număr natural;

A4: două numere distincte au succesori distincți;

A5: mulțimea numerelor naturale este cea mai „mică ” mulțime cu proprietățile:

îl conține pe 0

o dată cu orice număr conține și succesorul său.

O atenție deosebită va fi acordată utilizării limbajului matematic adecvat posibilităților de înțelegere ale copiilor și nivelul lor de pregătire. Prin activități concrete elevii vor fi capabili să stabilescă corespondența între elementele a două mulțimi și, pe această bază, să exprime prin cuvinte că două mulțimi au ” tot atâtea elemente” sau că una dintre ele are „mai multe ” sau „mai puține” elemente. Aceste lucruri stau la baza familiarizării elevilor cu noțiunea de mulțimi echivalente și a noțiunii de clasă de echivalență.

Noțiunea de mulțime este naturală și fundamentală, corespunzând capacității de identificare și strângere laolaltă a obiectelor, animalelor, plantelor, viețuitoarelor de tot felul. Această capacitate a fost câștigată de om odată cu conștiința și este una dintre primele manifestări ale acesteia, deși poate nu este specifică numai omului, unele viețuitoare dând semne că au și ele, cel puțin într-o măsură rudimentară și adecvată unor necesități practice sau de viață.. Omenirea a trăit milenii după milenii fără a adânci semnificația acestei noțiuni în cadrul unei discipline științifice. Când ea a apărut prin intuiția și concepția lui Cantor , nu a fost înțeleasă decât cu greutate și întârziere dând loc la dispute și controverse științifice asupra paradoxelor pe care le ridica.

Experiența a arătat că noțiunea de mulțime, dacă este predată ca atare și mai ales în ciclul primar ridică numeroase dificultăți de înțelegere și nu conduc la scopul urmărit – de a fundamenta disciplinele de bază: aritmetica, geometria și algebra în mod rodnic și util.În special la clasele mici , introducerea unor noțiuni ca cele de element, mulțimea vidă, mulțime cu un singur element, reuniune și intersecție de mulțimi și submulțimi , nu numai că nu a adus lumină în mințile fragede ale copiilor , dar nici nu a servit la explicarea și asimilarea logică a operațiilor elementare cu numere naturale.

Procesul de însușire și asimilare a raționamentelor logic-deductive este îndelungat și reușește diferențiat în rândul copiilor,fără ca această diferențiere să fie o deficiență specifică. În practică s-a reținut necesitatea de a se adapta prezentarea noțiunilor și operațiilor de bază sub forme cât mai intuitive, gradat și legat de aplicații cât mai apropiate de exemple de mulțimi, de obiecte uzuale, de ambianțe din mediul familial sau școalr, de jocuri și relații sociale.

Exemplul de mai jos atrage atenția asupra unei convenții de ordin lingvistic prin care un cuvânt din vorbirea curentă „mulțime”, este introdus în limbajul școlar. El cere celor mai mici elevi să extrapoleze șirul exemplelor.

Privind imaginea putem vorbi despre :

a).mulțimea cărților din biblioteca proprie;

b). mulțimea cărților din biblioteca școlii;

c). mulțimea cărților din librărie.

d). mulțimea băncilor așezate pe rândul de la fereastră;

e). mulțimea băncilor din propria clasă.

f). mulțimea creioanelor de culoare roșie aflate în penarele elevilor;

g). mulțimea creioanelor din penarul colegului de bancă.

Prin exemplul următor se introduce noțiunea de „element” al unei mulțimi tot sub forma convențională lingvistică. Atunci când exemplele de elemente sunt păsărele, ursuleți, membrii familiei sunt înțelese mai ușor, dar când o mulțime este alcătuită din obiecte dispersate cum ar fi mesele, scaunele, farfuriile și perdelele este nevoie de o cuprindere intelectuală pe care nu o au toți copiii în aceeași măsură.

a). Elementele mulțimii cărților din biblioteca aflată în camera voastră;

b). Elementele mulțimii băncilor din clasă.

În exemplele următoare se face apel la imagini vizuale în care mulțimile sunt desenate și încadrate în contururi, care le separă de alte configurații sau le plasează într-un vid grafic. Ceea ce se cere este caracterizarea elementelor printr-o proprietate comună.

Se poate solicita elevilor să dea denumiri unor mulțimi formate din imagini, deci să se pună în evidență proprietatea comună a elementelor acestora.

Înaintarea în complexitate trebuie să fie prudentă. Se construiesc mulțimi cu elemente care au o proprietate comună, dar unele mai au și alte proprietăți, de unde cerința de alcătuire de submulțimi sau părți ca în exemplele de mai jos.În plus, o nouă dificultate de natură logică apare aici, fiindcă se cere să se judece dacă unele afirmații asupra naturii acestor părți sunt adevărate sau false.

   Introducerea operațiilor de adunare și scădere se poate face fie folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte și diferența a două mulțimi, fie folosind rigletele . Activitățile pe care le desfășoară elevii cu mulțimi de obiecte și cu riglete (încă de la gradiniță )îi pregătesc pentru înțelegerea esenței acestor două operații . Gândirea copilului va opera prin abstractizare , prin generalizare și prin analogie.

Pentru formarea și însușirea noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete uzuale -etapa perceptivă, după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări ce au tendința de a se generaliza- etapa repezentărilor și în final , se face saltul la conceptul matematic de adunare.

          Prima fază-faza concretă este acțiunea concretă și nemijlocită cu obiectul cunoașterii.

 De exemplu : elevii formează o mulțime cu flori roșii cu trei elemente și o multime cu flori galbene cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulțimi cu flori se formează o mulțime care are 7 flori roșii și galbene . Asemănător , reunindu-se o mulțime formată din 3 mingi (jetoane) cu o mulțtime formată din 4 mingi (jetoane) se formează o mulțime care are 7 mingi (jetoane).  Se continuă procedeul până ce se conștientizează , la fiecare elev , faptul că reunind o  mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4 obiecte de același fel se obține o mulțime formată din 7 obiecte . Se poate continua cu mulțimi de creioane , flori, brăduleți e.t.c.

Faza a II-a-semiabstractă , a formării reprezentărilor imaginativ-concrete

          Este etapa reprezentărilor prin simboluri practice , abstractizat-intuitive. Elevii desenează pe caietele lor mulțimi cu simboluri practice.

Scăderea – se introduce în strânsă legătură cu operația de diferență dintre o mulțime și o submultime a sa. Putem spune că la baza operației de scădere stă conceptul de mulțimi complementare.

Dintr-o mulțime de obiecte ce au un atribut comun se izolează (se îndepărtează) o submulțime de obiecte, rămânând o mulțime de obiecte cu un număr mai mic decât cel al mulțimii inițiale. Și în predarea-scăderii are o foarte mare importanță respectarea celor trei etape: etapa acțională, etapa semiabstractă, etapa formării conceptelor matematice.

          Exemplu:  Se formează o mulțime compusă din 7 figuri geometrice (un dreptunghi, două pătrate și patru triunghiuri).

Se grupează într-o submulțime cele 4 triunghiuri si se îndepărtează din mulțimea inițial formată. Ramâne astfel o mulțime nou formată din trei piese (un dreptunghi și două pătrate).

Se trece apoi la etapa imaginativ-concretă. Dacă dintr-o mulțime formată din 7 obiecte se îndepărtează o submulțime a sa formată din patru obiecte ramâne o mulțime formată din 3 obiecte. Pentru conștientizarea acestei operații intuitiv-simbolice se poate continua și desena mulțimi cu diferite simboluri.

          Trecându-se la etapa reprezentărilor simbolice, se precizează că simbolul operației de scădere este semnul grafic "-" și se citește minus, că numărul din care se face scăderea se numește "descăzut" și numărul care se scade este "scăzător" și că rezultatul scăderii se numește "rest" sau "diferență" și se scrie 7-4=3.

În cele ce urmează înaintăm în complexitatea mulțimilor prin prezentarea unei probleme.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general cum sunt : orientarea activității mintale asupra datelor problemei,punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, trebuie să fie formate capacitățile de a analiza și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

Când se rezolvă o problemă compusă, aparent se rezolvă pe rând mai multe probleme simple. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecareia dintre ele făcîndu-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problema simplă rezolvată reprezentând un pas înainte, o verigă pe calea raționamentului problemei compuse, de natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute.

Să luăm drept exemplu problema : 

«  O gospodină a cumpărat 3kg de zahăr a 4 lei kilogramul și 2 l de ulei a 6 lei litrul. Ce rest a primit de la 100de lei ? »

3kg……4 lei/kg…….2 l…….6 lei/l…….100 lei…. ?

După rezolvarea primei probleme simple ( a cumpărat 3kg de zahar a 4 lei kg, cât costă zahărul ?), problema se reformulează astfel:

« O gospodină a cumpărat zahăr de 12 lei și 2 l de ulei a 6 lei litrul. Ce rest a primit de la 100 lei ? »

12 lei……2 l……..6 lei/ l……..100 lei…… ?

După rezolvarea celei de a doua probleme simple ( a cumpărat 2 litri de ulei a 6 lei litrul, cât costă uleiul ? ), problema se reformulează astfel :

« O gospodină a cumpărat zahăr de 12 lei și ulei de 12 lei. Ce rest a primit de la 100 lei ?  ,problema se reformulează, în final, ca o problemă simplă :”O gospodină a cumpărat zahăr și ulei de 24 lei.

Ce rest a primit de la 100 lei ? »

24 lei………….100 lei…….. ?

Schematic, procesul de reformulare a problemei și de reducere treptată a datelor necunoscute s-ar prezenta astfel :

3kg……… 4lei/kg……..2 l…… 6lei/l…..……100lei ?

12 lei…………………..2 l……….6 lei/l……100 lei ?

12 lei………………………… 12 lei……………100 lei?

24 lei………………………..100 lei ?

În activitatea de rezolvarea a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste etape sunt :

A-Cunoasterea enunțului problemei

B-Înțelegerea enunțului problemei

C-Analiza problemei și întocmirea planului logic

D-Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic

E-Activități suplimentare :

– verificarea rezultatului

– scrierea sub forma de exercițiu

– găsirea altei căi sau metode de rezolvare

– compunerea de probleme după o schemă asemănătoare etc.

A-Cunoașterea enunțului problemei-necunoscuta problemei Este etapa de inceput in rezolvarea oricarei probleme. Rezolvitorul trebuie sa afle care sunt datele problemei, cum se leaga intre ele, care e

B-Înțelegerea enunțului problemei

Nu este posibil ca elevul să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei decât în măsura în care cunoaște termenii în care se pune problema. Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor.Acest minim de informații trebuie recepționat în mod optimal de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul.

De exemplu, problema :

« Într-o tabără au fost în prima serie 208 elevi, iar în seria a doua cu 250 de elevi mai mulți decât în prima serie. Câți copii au fost în ambele serii ? »

Prin discutii cu elevii, trebuie reținute elementele matematice importante: datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Nerecepționarea corectă a enunțului problemei generează multe dificultăți în activitatea de rezolvare,cum ar fi :schimbarea sensului unor date(în loc de « mai mult cu 250 de copii » în seria a doua unii elevi rețin că « au fost 250 de elevi »), neglijarea unor date, luarea în considerație a unor numere care nu au functie de « date » ale problemei etc.

C-Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei.

Aceasta este faza în care se « construiește » raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură între datele problemei și necunoscută.

Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge sa ne ridicam de la situatiile concrete pe care le prezinta problema la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg .

Transpunând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă, scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană s.a., evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei. Se sesizează cum este cazul problemei cu cumpărăturile mai înainte prezentată, că este vorba de suma a două produse .

În cazul celei de a doua probleme ( cu elevii) mai sus amintită, este vorba de o sumă de doi termeni în care al doilea termen nu este exprimat numeric, ci reprezintă suma a două numere.

În momentul în care este transpusă problema în relații matematice, soluția este ca și descoperită.

D-Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic.

Aceasta etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și, evident, a rezultatului final.

Examinarea problemei se face pe cale analitică sau sintetică.

Calea sintetică, reprezentând drumul de la valorile numerice cunoscute către întrebările problemei, de la cunoscut la necunoscut , este mai ușoară decât calea analitică.

Examinarea analitică a problemei, pornind de la întrebare către valorile numerice cunoscute, deducția, de la necunoscut la cunoscut este mai grea, obligă elevul la un efort mai mare.

În practică, s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei.

E-Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

Prezentăm în continuare câteva aplicații aplicații în care evidențiem etapele rezolvării unor probleme.

Problema 1.Dacă se așază câte un elev într-o bancă rămân 14 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă rămăn 3 bănci libere. Câți elevi și câate bănci sunt ?

Scriem datele :

1elev.…………1bancă………14elevi……2elevi……1bancă…..3bănci…. ……..?elevi…?bănci.

Observăm că datele problemei sunt mărimi cărora le-am zis « discrete »(bănci și elevi),mărimi care se pot pune în corespondență după criterii desprinse din analiza textului. Deci din analiza primei părți a enunțului desprindem că mulțimea elevilor și mulțimea băncilor pot fi în așa fel privite  ăncât elementele lor să fie organizate astfel: fiecărui elev îi corespunde o bancă, situație în care 14 elevi rămân în picioare, deci nu au loc.

Figurăm banca cu B și elevul cu e. Așezăm câte un elev într-o bancă. Obținem grupe de forma :

e e e e e…..e 14 elevi

B B B B B….B

Acum, legătura cu partea a doua a enunțului s-ar face astfel :cei 14 elevi ce erau în picioare vor completa 14 bănci până la doi elevi.

e e e e e……e……e e……….e

B B B B B……B……B B………B

e e e e e……e…….e

14 B nu știm câte

Deoarece enunțul menționează că așezându-i câte doi într-o bancă rămân 3 bănci libere, înseamnă că din aceste bănci s-au mai ridicat 3 elevi ( inițial fiecare bancă avea câte un elev ) care au completat ca și ceilalți colegi ai lor încă trei bănci cu doi elevi.

e e e e………e e e e

B B B B………B B B B B B B

e e e e………e e e e

14 B 3 B 3 B

Să recapitulăm deci : avem 14 bănci cu câte doi elevi completate de cei 14 elevi ce erau în picioare și încă 3 bănci cu doi elevi completate astfel prin ridicarea din 3 bănci care trebuie să rămână libere și, in fine, rămân 3 bănci libere.

Deci în acea clasă erau :

14+3+3=20 (bănci)

Aflarea numărului de elevi, în continuare, nu mai constituie o greutate. Îl putem afla din prima parte a enunțului :

20+14=34 (elevi)

Răspuns :20 de bănci și 34 de elevi

Problema 2. Într-o curte aleargă găini și purcei. În total sunt 40 de capete și 100 de picioare. Câte găini și câți purcei erau ?

Comentând enunțul, la prima vedere s-ar părea că acesta este incomplet deoarece nu se explică câte picioare are o găină și câte picioare are un purcel.

Dar, în mod normal, aceste date se subînteleg ( toată lumea știe că o găină are 2 picioare și un purcel are 4 picioare).

Să reprezentăm prin desen cele 40 de vietăți prin niște ovale.

…………

40

Acum le desenăm picioarele. Dar unde așezam 2 picioare și unde 4 ? Observăm că oricum două picioare are fiecare vietate și le desenam.Figura apare astfel :

…………

40

Am « folosit » 40X2=80 (picioare) și ne-au mai rămas :

100-80=20 (picioare).

Acum așezăm picioarele rămase câte două la fiecare vietate care are deja câte două picioare. Formăm astfel “purcei”. Așezăm două picioare la prima, două picioare la a doua vietate și așa mai departe până terminăm cele 20 picioare rămase. Găsim astfel, numărul de purcei.

………………..

10 purcei

……….

30 găini

Deci numărul de purcei este 20 :2=10 (purcei).Restul de vietăți rămase cu două picioare sunt găini :40-10=30 (găini)

Răspuns:în curte erau 10 purcei și30 găini

Se va realiza proba :

10×4+30×2=100 (picioare)

            Problema 3 ( clasa I): Dacă aș cumpăra 6 flori,aș avea 9. Câte flori am?

Tema: Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10.

  Obiectiv operațional: – Să transpună în operație matematică o problemă simplă de aflare a termenului necunoscut.

Problema 4  (clasa IV ) Dintre cei 101 dalmațieni, 56 au o pată neagră pe urechea stângă, 25 au o pată neagră pe urechea dreaptă și 29 au urechile albe. Câți dintre ei au pete negre pe ambele urechi?

Plan și rezolvare

1.Câți dalmațieni au urechi pătate?

10129=72 (dalmațieni cu urechi pătate)

2. Câți dalmațieni au urechile pătate?

56+25=81>72 => există dalmațieni care au ambele urechi pătate.

3. Câți dalmațieni au ambele urechi pătate?

8172=9 (dalmațieni cu ambele urechi pătate)

Mai putem afla:

569=47 (dalmațieni cu o pată neagră pe urechea stângă și urechea dreaptă albă)

259=16 (dalmațieni cu o pată neagră pe urechea dreaptă și urechea stângă albă)

Verificare:

29+9+47+16 = 101 (adevărat).

Diagrama problemei

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale are la bază operațiile cu mulțimi de obiecte . Acestea constituie baza intuitiv-corectă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale , cât și pentru sesizarea principiilor de bază după care se efectuează calculul și proprietățile operațiilor .

Așezarea elementelor de teoria mulțimilor la baza învățământului primar este susținută ca un progres, cu o condiție esențială: să fie prezentate intuitiv și integrate în limbajul și activitățile zilnice.

2.5 Gândirea-proces psihic uman

Gândirea este procesul psihic de cunoaștere superior prin excelență. Acesta reprezintă maximul potențialităților cognitive ale lumii vii, un proces care le condiționează și le determină pe toate celelalte.

Filosofii au remarcat din cele mai vechi timpuri faptul că omul este singura ființă înzestrată cu gândire rațională și că în aceasta stă demnitatea și unicitatea sa. Filosofia kantiană și cea post-kantiană au deschis calea către o concepere exclusiv în termeni psihologici a gândirii. Din acest punct de vedere gândirea este un proces psihic cognitiv, superior, central, mediat, de reflectare a caracteristicilor realității sub forma abstractă a noțiunilor, judecăților, raționamentelor.

Gândirea prezintă un ansamblu de caracteristici care o definesc și îi determină specificul. Astfel, caracterele ei fundamentale sunt:

– caracterul general-abstract;

– caracterul mijlocit;

– caracterul superior-central;

– caracterul multifazic.

Gândirea se află în centrul unei imense rețele de intercondiționări între toate procesele, mecanismele și activitățile psihice. Există mai multe modalități de a defini gândirea. Astfel, ea poate fi concepută ca un sistem de operații care acționează mijlocit asupra realității, transformând-o și aducând-o la o formă coerentă și inteligibilă. Perspectiva operatorie asupra gândirii a fost definitivată în primul rând prin contribuțiile psihologului elvețian Jean Piaget. Există șase operații fundamentale ale gândirii:

– analiza (operație de descompunere mintală a unui obiect în părțile sale componente);

– sinteza (operația inversă analizei, care reasamblează părțile într-un tot unitar);

– comparația (operația de stabilire a asemănărilor și deosebirilor între obiecte pe baza unui criteriu);

– abstractizarea ( operația de reținere pe plan mintal a anumitor trăsături fundamentale ale obiectelor și neluarea în considerare a altora, considerate secundare);

– generalizarea (operația de extindere a însușirilor unui obiect asupra unei categorii de obiecte);

– concretizarea (operația de trecere de la general-abstract la particularconcret). Gândirea poate fi concepută, de asemenea, ca un sistem de forme. Din acest punct de vedere, ea reprezintă o structură care evoluează de la simplu la complex. Cea mai simplă formă a gândirii este noțiunea care desemnează orice obiect sau clasă de obiecte despre care știm ceva. Judecata reprezintă conexiunea dintre două noțiuni prin care se reflectă un raport determinat între obiecte. De aceea, judecata poate fi adevărată sau falsă. Raționamentul ia naștere pe baza judecăților. Astfel, pe baza unor judecăți a căror valoare de adevăr este cunoscută (numite premise), este obținută o nouă judecată (numită concluzie).

Există trei tipuri majore de raționament:

– raționamentul deductiv (în care se trece de la premise de mare generalitate la concluzii care nu pot depăși în generalitate premisele);

– raționamentul inductiv (în care concluzia depășește ca grad de generalitate premisele);

– raționamentul analogic (în care sunt obținute informații pe baza unor asemănări structurale între obiecte sau clase de obiecte).

Există multiple tipuri de gândire. După finalitatea ei, gândirea poate fi divergentă sau convergentă (distincție propusă de Guilford). Gândirea divergentă reclamă, din partea subiecților, căutarea a cât mai multor soluții sau îndepărtarea în cât mai multe direcții în raport cu punctul inițial de plecare. Gândirea convergentă se mișcă în sens invers, de la diversitate la unitate, de la disociație la sinteză.

Activitatea centrală a gândirii este înțelegerea. Ei îi sunt subsumate toate operațiile și activitățile gândirii. Înțelegerea reprezintă sesizarea existenței unei legături între setul noilor cunoștințe și setul vechilor cunoștințe gata elaborate. Proces cognitiv specific uman, gândirea asigură vieții psihice a omului coerență și eficacitate în raporturile cu mediul. Ea antrenează toate celelalte disponibilități și mecanisme psihice, fiind trăsătura cea mai importantă a psihicului uman, definitorie pentru om ca subiect al cunoașterii logice, raționale.

2.5.1 Principiile gândirii

Rezultatele reflecției logice asupra formelor corecte ale gândirii se concretizează în reguli sau principii logice menite să asigure corectitudinea noțiunilor, judecăților, raționamentelor. Prin urmare logicianul dă norme generale și norme speciale pe care trebuie să le satisfacă formele logice pentru a fi corecte.

Valabilitatea legilor gândirii umane corecte este condiționată de stabilitatea relativă a obiectului gândirii. În condițiile devenirii obiectului legile gândirii formale trebuie integrate în sisteme de legi de ordin superior.

Logica modernă a descoperit numeroase legi logice, a căror existență a rămas necunoscută sau cel puțin presimțită. Aceste legi logice posedă câteodată forme complexe ce nu pot fi aflate numai cu ajutorul gândirii intuitive, cum sunt de pildă, negațiile propozițiilor compuse (ale implicației,conjuncției, disjuncției). Observăm că în gândirea sa curentă, în limbajul conversațional, omul obișnuit respectă în genere identitatea și evită contrazicerile, își argumentează părerile și respinge absurditățile, într-un cuvânt se comportă ca o ființa logică. Este adevărat că atunci când îl presează interesele personale și pasiunile intense, se întâmplă, însă să le încalce.Trebuie să ne dăm seama că logicul constituie o valoare, că logicul întruchipează un ideal, de care omul se simte atras în permanență, apropiindu-se de el mai mult sau mai puțin în raport cu circumstanțele.

În activitatea sa, omul realizează diferite niveluri de logicitate.Principiile logice, deși nu par să fie suficiente pentru a întemeia gândirea perfect logică, sunt capabile să întemeieze gândirea cvasilogică, limbajul aproximativ logic. Esențial este că în limbajul comun predomină aspectul logic, iar încălcările sunt de natura excepțiilor. Condus numai de câteva principii logice, pe care le aplică în mod instinctiv și intuitiv, omul reușește să urmeze în genere firul logic al gândirii.

A. Principiul identității

Aristotel a examinat cu atenție problemele identității în legătură cu teoria categoriilor și teoria definițiilor. Astfel în Metafizica, el caracterizează identitatea:”De aici reiese limpede că identitatea este un fel de unitate, o unitate de existență a pluralității sau aceea care rezultă din considerarea mai multor lucruri ca unul, ca atunci când spunem că un lucru este identic cu sine, caz în car eacelași lucru e socotit ca două lucruri”.

Pare paradoxal, dar principiul identității nu se referă la simpla relație de identitate dintre obiecte sau noțiuni, ci enunță ceva mai profund, persistența substanței,a esenței lucrurilor. Argumentarea corectă nu se poate închega fără respectarea principiului identității. Nu putem face nici un pas înainte pe calea raționării, dacă, referindu-ne la ceva, înțelegem de fapt altceva. Principiul identității reclamă ca noțiunile, respectiv cuvintele, să-și păstreze interesul în cadrul unui demers rațional. Fără respectarea acestei cerințe minimale, nu ne putem înțelege; este ca și cum am vorbi limbi diferite.

B. Principiul non-contradicției

Deși se găsesc și formulări anterioare ale acestui principiu, Aristotel este gânditorul care l-a caracterizat precis, ridicându-l la demnitatea de principiu suprem al tuturor lucrurilor și gândurilor,un principiu sigur și necesar. Acest principiu este expus și analizat în

Metafizica:”…este peste putința unuia și aceluiași subiect să i se potrivească și totodată să nu i se potrivească sub același raport unul și același predicat…Acest principiu e cel mai sigur dintre toate, căci el cuprinde în sine caracteristicile arătate mai sus. Într-adevăr, e peste putință ca un om să-și poată închipui că unul și același lucru este și totodată nu este”.

 Dacă principiul identității este conexat cu operația logică a afirmației, în sensul că este exprimat fără folosirea negației, principiul non-contradicției este asociat cu operația logică a negației.Principiul non-contradicției se referă la propoziții, stipulând că două propoziții contradictorii nu pot fi ambele adevărate în același timp; dacă una este adevărată, cealaltă trebuie să fie falsă. Aristotel a stabilit acest principiu în lupta sa împotriva sofiștilor, care urmăreau deseori să semene neîncrederea în cugetarea științifică.

C. Principiul terțului exclus

Principiul terțului exclus stipulează că două propoziții contradictorii nu pot fi ambele false.Una din ele este în mod necesar adevăratî. Este imposibil ca un atribut nici să aparțină nici să nu aparțină unui subiect. Aristotel nu tratează terțul exclus ca pe un principiu în sine, ci îl formulează în raport cu problema intermediarilor: “Dar nu e cu putință nici ca să existe un termen mijlociu între cele două membre extreme ale unei contradicții, ci despre orice obiect trebuie neapărat sau să fie afirmat sau negat fiecare predicat ,(Metafizica)”.

Alteori se referă la el ca la un principiu: Principiul ca un predicat să fie ori afirmat, ori negat despre un subiect este cerut de demonstrația care utilizează reducerea la imposibil… .Similar celorlalte principii, terțul exclus poate fi formulat la cele trei niveluri, astfel:

Ontologic: este necesar ca un lucru să posede sau să nu posede o anumită proprietate.

Semantic: este necesar ca o propoziție să fie sau să nu fie adevărată.

Sintactic: este necesar ca o formulă bine formată să fie sau să nu fie o teză a sistemului.

Leibniz include inițial în sfera principiului non-contradicției și terțul exclus, deși apoi le distinge cu claritate:

 Principiul contradicției este, în general, o propoziție este sau adevărată sau falsă, ceea ce conține două enunțuri adevărate: unul, că adevăratul și falsul nu sunt compatibile în aceeași propoziție, sau că o propoziție nu ar putea să fie adevărată și falsă în același timp; celălalt,că opusul sau negația adevărului și a falsului nu sunt compatibile, sau că nu există mijlociu între adevărat și fals, sau că nu se poate ca o propoziție să nu fie nici adevărată nici falsă.

D. Principiul rațiunii suficiente

Principiul rațiunii suficiente a fost formulat de Leibniz, constituind o parte principală a filosofiei sale. Afirmarea acestui principiu este condiționată de distincția fundamentală pe care o operează strălucitul gânditor:

 Există de asemenea două feluri de adevăruri, cele de raționament și cele de fapt. Adevărurile de raționament sunt necesare și opusul lor e imposibil, iar cele de fapt sunt contingente și opusul lor este posibil. Când un adevăr este necesar, îi putem găsi temeiul prin analiză, rezolvându-l în idei și adevăruri mai simple, până ajungem la cele primitive (Monadologia). Situația adevărurilor de rațiune este reglementată de principiul contradicției, în timp ce poziția adevărurilor de fapt este determinată de principiul rațiunii suficiente:

 Raționamentele noastre sunt întemeiate pe două mari principii: principiul contradicției, în virtutea căruia socotim fals tot ce cuprinde în sine o contradicție, și adevărat, ceea ce este opus falsului, adică în contradicție cu acesta. Și principiul rațiunii suficiente, în virtutea căruia considerăm că nici un fapt nu poate fi adevărat sau real, nici o propoziție veridică, fără să existe un temei, o rațiune suficientă pentru care lucrurile sunt așa și nu altfel, deși temeiurile acestea de cele mai multe ori nu ne pot fi cunoscute (Monadologia).

2.6 Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică

          Pavelcu V. sublinia : Fiecare om , în același timp seamănă cu toți , seamănă cu unii și nu seamănă cu nimeni .

          Doi copii pot fi asemănători, chiar tipici în ceea ce priveste caracteristicile generale de vârstă , dar extrem de diferiți în manifestarea concretă a acestora.

          Deci, pe fondul general al particularităților de vârstă, își spun cuvântul particularitățile psiho-individuale . Dezvoltarea psihică nu are numai un caracter studial, ci un caracter individual, specific fiecărui individ .

          De la naștere și până la maturitate , omul străbate un drum lung de dezvoltare . În decursul anilor , în viața copilului se produc transformări fizice și psihice însemnate . Acestea nu constau doar în adaosul de înălțime și greutate sau în simpla sporire a cunoștințelor și deprinderilor copilului . Dezvoltarea copilului nu poate fi privită doar ca un proces de schimbări cantitative . Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante .

          Așadar prin dezvoltare trebuie să înțelegem în primul rând transformările calitative, de natură fizică și psihică ce se produc în viața copilului . Dezvoltarea psihică a copilului constă, în primul rând, în completarea și adâncirea activității sale de cunoaștere . Ea se caracterizează prin modificarea relațiilor sale cu cei din jur , prin schimbarea atitudinii sale față de mediul înconjurător .

          În strânsă legătură cu relațiile pe care le are copilul cu cei din jur , se dezvoltă treptat viața sa afectivă, cu dezvoltarea sentimentelor și atitudinilor față de obiectele și fenomenele realității . Pornindu-se de la această bază , se conturează treptat trăsăturile de caracter ale copilului, perfecționându-se și activitatea acestuia . La început, mișcările sale sunt răspunsuri simple , directe la stimulări externe și interne . Aceste acte se complică treptat , câstigând în precizie și coordonare .Putem spune că direcțiile principale ale dezvoltării psihice a copilului sunt : completarea și adâncirea activității sale de cunoaștere, transformarea vieții sale afective, a relațiilor sale față de mediul înconjurător și perfecționarea activității în sensul dezvoltării conduitei voluntare .

          Copilul se dezvoltă sub influența educației și a condițiilor de viață . Acțiunea mediului social și a educației, nu se desfășoară însă pe ,,teren '' gol . El se naște cu anumite dispoziții naturale, care reprezintă premizele dezvoltării sale psihice . Aceste dispoziții moștenite nu conțin însușiri psihice și aptitudini gata formate. Ele se formează și se dezvoltă, pe baza dispozițiilor înnăscute, în procesul activității, educației și instruirii.

          Intrarea în școală constituie un moment important în educația și dezvoltarea copilului . El intră într-un cerc de relații noi : cu învățătorul, cu elevii din clasa și sporadic cu colectivul școlii . Apar cerințe noi, copilul învață sistematic , cu sentimentul tot mai clar că desfășoara o activitate serioasă , de importanță socială . Modul cum își îndeplinește obligațiile de elev, definește poziția sa în școală , în colectivul de clasă și în familie .

          Cunoașterea profilului psihologic al școlarilor mici este de o mare importanță în abordarea strategiilor didactico-educative, în stilul de muncă al cadrului didactic și în relațiile cu copiii.

Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a ,, construi''  și ,,reconstrui '' logic și progresiv în structurile mentale ale elevului un sistem de cunoștinte științifice care să se aproprie de logica știintei respective .

          Matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate . Ca ,,abstracțiuni ale abstracțiunilor'' ele se construiesc la diferite ,,etaje'' prin inducție , deducție , transducție .

          Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică (mai ales în primele clase) se manifestă printr-o proprietate esențială, anume aceea de a fi concret intuitiv . Așa cum arată J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor concrete . Copilul gândește mai mult operând cu mulțimi concrete .

    În acest cadru teoretic se înscrie și cerința ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice la clasele mici să ia în considerare formele și operațiile  specifice gândirii copilului .

          Gândirea este dominată de concret fiind specifică vârstelor între  6/7- 10/11 ani. Percepția lucrurilor rămâne încă globală ,, văzul lor se oprește asupra întregului încă nedescompus ", lipsește dubla mișcare rapidă de disociere recompunere  (H . Wallon) comparația reușește pe contraste mari , nu sunt sesizate stările intermediare . Domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale, apare ideea de invariație , de conservare (a cantității, volumului , masei etc.) . Se poate vorbi de puterea de deductie imediată ; copiii pot efectua anumite raționamente de tipul  ,,dacă ….., atunci , cu sprijin pe obiecte concrete sau exemple . De asemenea se remarcă prezența raționamentului progresiv, de la cauză la efect, de la condiții la consecință .

          Înaintând spre clasa a IV a (vârsta 10/11 ani ) putem întâlni , evident diferențiat și individualizat, manifestări ale stadiului preformal, simultan cu menținerea unor manifestări intelectuale situate la nivelul operațiilor concrete .

           În acest sens , prioritate va avea nu atât stadiul strict delimitat în care se găsesc elevii din punct de vedere al vârstei, cât, mai ales , zona dezvoltării capacităților intelectuale ale acestora . Aceasta nu înseamnă, cum afirmă specialiștii (Dottrens R. , Miliaret G. , D.P. Asubel ) o situare exactă în stadiu și nici a ,,sări " în predare-învățare cu mult peste posibilitățile copiilor .

          Esențial este ca legalitățile constructiei psiho-genetice să fie cunoscute, iar formarea noțiunii și a operațiilor mintale să pornească de la modele concrete .Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea conceptelor și pentru formarea operativității matematicii, așa cum nevoia de exteriorizare sub forma unor acțiuni sateriale sau materializate, fie cu obiecte, fie cu substitute ale acestora (modele, scheme grafice, bile, jetoane etc) reprezintă baza reală a materializării actului mintal .

          Toate acestea ne conduc la ideea că gândirea logică la clasele mici nu se poate dispensa de intuiție, de operațiile concrete cu mulțimi de obiecte.

          Înainte de a se aplica propozițiile, enunțurile verbale, logica se organizează în planul acțiunilor obiectuale, ale operațiilor concrete. De aceea, procesul de predare-învățare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizeză, devenind progresiv, operații logice abstracte .

          Formarea noțiunilor matematice  se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității În acest proces trebuie valorificate diverse surse intuitive : experiența empirică a copiilor, matematizarea realității înconjurătoare, operațiuni cu mulțimi concrete de obiecte, limbaj grafic . Astfel, se pot ilustra noțiunile de mulțime, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune cu obiecte reale (bănci, caiete, cărți ) și cu obiecte cunoscute de către copii, (păsări, copaci ,flori e.t.c.). Însușirea caracteristică a obiectelor ce aparțin mulțimii respective este intuită de copii, sesizată prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificare a obiectelor care au însușirea ce caracterizeză mulțimea respectivă și aparțin acesteia.

          În compararea mulțimilor prin procedeul formării perechilor (unu la unu) se poate face apel la cărți, caiete , scaune (bănci), elevi; pentru mulțimile cu,, tot atâtea elemente" se pot compara mulțimi ca : elevi-paltoane, ghiozdane-elevi s.a..Putem efectua cu elevii clasificări de genul : băieți-fetițe = copii ,câine -pisica= animale domestice, vrăbiuțe-rândunele =păsărele.

          Noțiunile de relații între mulțimi pot fi cunoscute de copii și în cadrul diferitelor ilustrații (tablouri, ilustrații de carte) prin care ei sunt conduși să sesizeze noțiunea sau relația respectivă în imaginile care reprezintă aspecte din viață (copii care se joacă cu mașinute, cu mingi, cu iepurași, cățeluși).Referitor la această problemă J.Piaget afirmă că nu obiectele în sine poartă principiile matematice , operațiile cu mulțimi concrete .

          Operațiile logice trebuie, de aceea cunoscute mai întâi în acțiunile concrete cu obiectele și apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii .Elevul este pus să efectueze operații logice cu mulțimi de obiecte care poartă în ele legități matematice (betișoare ,bile, riglete s.a.). Acest lucru se poate face la nivelul claselor I-IV, fără a recurge la terminologia utilizată în studiul structurilor matematice .Introducerea mai târziu a noțiunilor de teoria mulțimilor (care se face începând cu clasa a V a) nu împiedică exersarea la clasele I-IV a structurilor logice necesare în conformitate cu intenția dezvoltării lor ulterioare .

          Materialul didactic cel mai potrivit pentru a demonstra cu multă exactitate și precizie mulțimile, relațiile dintre mulțimi ca bază a formării noțiunii de număr natural și operațiile cu mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere naturale, este constituit din truse. Datorită faptului că atributul (caracteristica) după care se constituie mulțimile ca figuri geometrice sau piesele trusei ,,Logi II"este precis determinat (formă, culoare, mărime, grosime), structurile logice se pot demonstra cu acesta în mod riguros matematic .De aceea, putem aprecia că aceasta reprezintă materialul didactic concret cu cea mai bogată încărcătură logica, cu valențele cele mai mari în a-i ajuta pe copii să înțeleagă cu precizie și siguranță, relațiile dintre multimi, operațiile cu mulțimi.

În operarea cu piesele jocurilor logice, copiii se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice .De aceea ,,comenzile " (instrucțiunile) învățătorului trebuie să  lase mai mult loc pentru independență, inițiativă și inventivitatea copilului (de exemplu, formați o multime din piese de aceeași culoare, sau de aceeași formă, sau de aceeași formă și aceeași culoare etc.) .

          Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte aproape de noțiuni . Ele fac legătura între concret și logic, între reprezentare și concept care este o reflectare a proprietăților relațiilor esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene, între cele două niveluri, interacțiune este logică și continuă .Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurative, al imaginilor esențializate sau schematizate care beneficiază, prin generalitatea semnificațiilor purtate de apartenența lor la rețeaua conceptuală și prin impregnarea lor senzorială, de aportul inepuizabil al concretului .

          Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute în gândire într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îl aproprie pe copil de logica operației intelectuale cu obiectele, procesele și evenimentele realității, devenind astfel sursa principală a activității gândirii și imaginației . Generate în mod continuu de interacțiunea noastră cu lumea înconjurătoare, imaginile mintale se interpun între noile stimulări (cunoștințe, operații) și răspunsurile elevilor, mediind, în sensul cel mai larg al cuvântului, cunoașterea realității matematice .

Pentru elevul din clasa pregătitoare primele noțiuni matematice sunt cele de număr natural și operații cu numere naturale (adunare și scădere). Formarea acestor noțiuni parcurge următoarele etape :

sesizarea mulțimilor și a relațiilor dintre acestea în realitatea obiectivă (mulțimi de obiecte din mediul ambiant, experiența de viață a elevilor, imagini ale mulțimilor de obiecte concrete);

operații cu mulțimi de obiecte concrete (cu mulțimi de obiecte reale, cu mulțimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu rigletele ș.a.);

operații cu simboluri ale mulțimilor de obiecte (imagini și reprezentări grafice);

operații cu simboluri numerice (cifre, semne de operație, de egalitate și inegalitate).

           Operația de generalizare la care trebuie să ajungem are loc atunci când elevul este capabil să exprime prin semne grafice simple (puncte, linii, cerculețe, figuri geometrice) ideea generală care se desprinde în urma operațiilor efectuate cu mulțimi concrete de obiecte . Semnul grafic evocă obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii. Criteriul de apartenență la o mulțime sau alta (culoare , formă , mărime) a rămas doar în mintea elevului ca o structura logică .El exprimă grafic fenomenul matematic pe baza înțelegerii lui, a sesizării esențialului, ceea ce înseamnă de fapt pe baza definiției lui .

          Nivelurile de construcție prezentate mai sus nu se succed linear în formarea conceptelor matematice .La fiecare nivel, pe măsură ce ne apropiem de concept, există o îmbinare complexă între concretul ,, cel mai concret" și imagine, între senzorial și logic . De aceea nu este vorba de o parcurgere rigidă și strict liniară a acestor etape ci de organizare și dirijare rațională, metodică a relației intuitiv-logic adecvate conceptului respectiv, în strânsă conexiune cu condițiile concrete în care se desfășoară activitatea didactică . Important este ca activitatea elevilor să fie dirijată pe linia atingerii progresive a esenței conceptului respectiv.

Reies astfel mai clar conceptele: formarea mulțimilor , pe linia însușirii proprietății caracteristice pe care trebuie s-o aibă elementele respective pentru a aparține unei mulțimi,  formarea noțiunii de număr, pe linia clasei de echivalență a mulțimilor echivalente, operația de adunare, pe linia reuniunii mulțimilor disjuncte, care trebuie nu numai constatată pe un desen din manual, ci operată prin manevrarea obiectelor la niveluri diferite de concretul logic.

          Mulțimile ne apar deci ca fiind produsul unor operații mintale, în timp ce obiectele (elementele) din care sunt formate ele sunt obiecte fizice . De aceea, pe întreg parcursul formării conceptelor de număr natural, de operații cu numere naturale pe baza mulțimilor trebuie să se realizeze îmbinarea între concret și logic, cu negarea dialectică, treptată, a concretului și asimilarea (interiorizarea) modelului (abstracțiunii) respectiv .

Competențele generale ale predării-învățării matematicii

Începând cu anul 2013 a avut loc integrarea grupei pregătitoare la școală , ceea ce a dus la schimbări majore în programele școlare de la clasele I – IV. Trecerea la predarea-învățarea integrată a făcut ca matematica să se îmbine cu explorarea mediului (la clasele pregătitoare, I și a II-a).

Trecerea sistematică de la învățământul instructiv la cel de modelare a capacităților intelectului a impus elaborarea prezentului curriculum de matematică pentru învățământul primar ca o continuare a curriculumului pentru învățământul preșcolar și ca o bază a învățământului gimnazial.

Proiectarea Curriculumului de matematică s-a realizat conform următoarelor principii:

asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor;

actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor;

diferențierea și individualizarea predării-învățării;

centrare pe aspectul formativ;

corelația transdisciplinară – interdisciplinară (eșalonarea optimă a conținuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurându-se coerența pe verticală și orizontală);

delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor și profilarea posibilităților de avansare în învățare și de obținere de noi performanțe.

În etapa actuală se pune accent pe:

☺ activitatea de rezolvare de probleme prin încercări;

☺ implicarea activă în situații practice și căutarea de soluții din experiența de viață a elevilor;

☺ crearea de situații de învățare diferite prin utilizarea unei varietăți de obiecte, analiza pașilor de rezolvare a unei probleme, formularea de întrebări, argumentarea deciziilor luate în rezolvare;

☺ asumarea de către învățător a rolului de a facilita învățarea și de a-i stimula pe copii să lucreze în echipă;

☺ scopul evaluării constă în surprinderea progresului competențelor matematice individuale ale elevului.

Programa disciplinei Matematică și explorarea mediului este elaborată potrivit unui nou model de proiectare curriculară, centrat pe competențe. Construcția programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al elevului din ciclul primar. Din perspectiva disciplinei de studiu, orientarea demersului didactic pornind de la competențe permite accentuarea scopului pentru care se învață și a dimensiunii acționale în formarea personalității elevului.

Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe, abilități și atitudini dezvoltate prin învățare, care permit rezolvarea unor probleme specifice unui domeniu sau a unor probleme generale, în contexte particulare diverse.

Competențele generale vizate la nivelul disciplinei Matematică și explorarea mediului jalonează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului pentru întregul ciclu primar.

Competențele specifice sunt derivate din competențele generale, reprezintă etape în dobândirea acestora și se formează pe durata unui an școlar. Pentru realizarea competențelor specifice, în programă sunt propuse exemple de activități de învățare care valorifică experiența concretă a elevului și care integrează strategii didactice adecvate unor contexte de învățare variate.

Disciplina Matematică și explorarea mediului are un caracter de noutate în raport cu disciplinele studiate până în prezent în clasele I și a II-a din învățământul primar. În planul-cadru de învățământ, disciplina Matematică și explorarea mediului face parte din aria curriculară Matematică și Științe ale naturii, realizând o abordare integrată a conceptelor specifice domeniilor Matematică și Științe ale naturii, pentru care sunt alocate, la clasa pregătitoare și clasa I, 4 ore pe săptămână, iar la clasa a II-a, 5 ore.

Studiul disciplinei Matematică și explorarea mediului, început în clasa pregătitoare, se continuă până în clasa a II-a, urmărind o dezvoltare progresivă a competențelor, precum și a celorlalte achiziții dobândite de elevi, prin valorificarea experienței specifice vârstei elevilor, prin accentuarea dimensiunilor afectiv-atitudinale și acționale ale formării personalității elevilor.

Iată care sunt competențele generale ale acestei discipline:

1. Utilizarea numerelor în calcule elementare

2. Evidențierea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în spațiul înconjurător

3. Identificarea unor fenomene/relații/ regularități/structuri din mediul apropiat

4. Generarea unor explicații simple prin folosirea unor elemente de logică

5. Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date

6. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări.

Ca o urmare firească în anul 2014 s-au elaborat și aprobat programe noi la clasa a III-a și a IV-a . Competențele generale vizate sunt:

1. Identificarea unor relații / regularități din mediul apropiat

2. Utilizarea numerelor în calcule

3. Explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte localizate în mediul apropiat

4. Utilizarea unor etaloane convenționale pentru măsurări și estimări

5. Rezolvarea de probleme în situații familiare

În procesul de elaborare autorii au avut în vedere recomandările europene privind competențele cheie, rezultatele înregistrate la testările naționale și internaționale pentru învățământul primar din ultimii ani, precum și exigențele Cadrului de referință TIMSS 2011. Din această perspectivă, elevii sunt sprijiniți să gândească critic asupra problemelor cotidiene, să identifice soluții și să rezolve probleme utilizând metode diverse. Matematica devine astfel o cale prin care pot fi rezolvate probleme curente, dezvoltând cunoștințe, abilități și atitudini utile în studiul altor discipline, în profesia viitoare și în viață.

Această programă promovează cele mai importante atitudini și valori care pot fi dezvoltate prin această disciplină, precum: respectul pentru adevăr și perseverența pentru găsirea celor mai eficiente soluții, dezvoltarea de argumente și evaluarea validității unor argumente.

Activitățile pot fi organizate individual, frontal sau în echipe, cultivând astfel spiritul de echipă, încrederea în sine și respectul pentru ceilalți, toleranța, curajul de a prezenta o opinie personală și spiritul de inițiativă al elevilor. Încrederea în sine și autonomia personală sunt susținute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursă de învățare, prin încurajarea obținerii de soluții multiple și prin aplicarea matematicii în viața familială și în evenimentele trăite în clasă sau în școală. Astfel se formează interesul elevilor pentru a reuși în învățare și pentru continuarea studiului disciplinei.

Matematica, prin activitățile interdisciplinare propuse, contribuie la încurajarea comportamentului creativ al elevilor, consolidând, la nivel intelectual, atitudini pozitive atât față de matematică, cât și față de alte domenii de studiu: arte, științe, limbă și comunicare.

Sub aspect tematic, la clasa a III-a/a IV-a este extins spațiul numeric și apar primele noțiuni legate de fracții care vor fi abordate intuitiv. De asemenea, elevii intră în contact cu elemente de geometrie și reprezentări grafice diverse, cu măsurări și unități de măsură.

În acest fel, programa de Matematică are un rol important în dezvoltarea abilității și dorinței elevilor de a utiliza moduri matematice de gândire logică și spațială, corespunzătoare nivelului lor de vârstă pentru rezolvarea unor probleme din cotidian, astfel:

realizarea unor calcule elementare cu ajutorul numerelor;

identificarea unor relații/regularități;

explorarea caracteristicilor geometrice ale unor obiecte;

utilizarea unor etaloane pentru măsurări și estimări.

La acest nivel de vârstă, profesorul va urmări sistematic realizarea de conexiuni între toate disciplinele prevăzute în schema orară a clasei respective, creând contexte semnificative de învățare pentru viața reală. Elevul va învăța, prin metode adecvate vârstei, ceea ce îi este necesar pentru dezvoltarea sa armonioasă la această etapă de vârstă și pentru a face față cu succes cerințelor școlare. Anumite noțiuni introduse vor fi studiate fie pentru cazuri particulare, așa cum este cazul paralelipipedului (paralelipiped dreptunghic), fie intuitiv, recurgând la situații familiare.

Tot intuitiv vor fi introduse și fracțiile. Se consideră că activitățile cu fracții au ca scop să ofere elevilor reprezentările mentale despre acest tip de numere, ca prim pas al unei înțelegeri cantitative a acestora. De aceea, activitățile legate de acest subiect se vor focaliza pe identificarea expresiilor care conduc la fracții, pe exprimarea verbală și pe explorarea experiențelor cotidiene ale elevilor cu fracții, văzute ca părți ale întregului. De exemplu, o jumătate de măr este o parte a unui măr tăiat în două părți egale; tot o jumătate este și o parte a unui segment tăiat în 2 părți egale; o jumătate dintr-o mulțime de obiecte este o mulțime mai mică, dar care are de două ori mai puține obiecte față de mulțimea considerată întreg etc.

Adunarea și scăderea fracțiilor este abordată tot intuitiv, pornind de la experiențele individuale. Se constată că două sferturi formează o jumătate. Pornind de la astfel de exemple, elevii vor avea reprezentări mentale pentru adunările și scăderile cu fracții simple și astfel vor evita mai târziu erorile tipice, creându-se prerechizitele necesare pentru abordarea algoritmică. Aceste activități stau la baza activităților de estimare a rezultatelor unor operații aritmetice cu fracții și contribuie la formarea capacității elevului de apreciere critică a corectitudinii unui răspuns.

Această etapă de școlaritate reprezintă un moment important pentru stimularea flexibilității gândirii, precum și a creativității elevului. În acest sens, cadrul didactic va insista pe stimularea și păstrarea interesului elevului pentru această disciplină și pe dezvoltarea încrederii în sine.

Ca metodă, jocul didactic va fi încă prezent, asigurând contextul pentru participarea activă, individuală și în grup, care să permită exprimarea liberă a propriilor idei. Accentul se va pune atât pe spontaneitatea și creativitatea răspunsurilor, cât și pe rigurozitatea științifică a acestora. Prin reluări succesive, antrenament mental, utilizarea suporturilor concrete și a reprezentărilor grafice, elevul ajunge să se corecteze singur, pe măsură ce noțiunile devin înțelese și interiorizate.

Activitatea didactică se va desfășura într-o interacțiune permanentă elev – profesor, astfel încât să răspundă intereselor beneficiarilor. Elevii vor fi stimulați să întrebe, să intervină, să aibă inițiativă, să exprime idei și opinii despre ceea ce învață.

2.6. Limbajul matematic de la grădiniță la școală

          Învățământul preșcolar, prima verigă a sistemului nostru de învățământ, are menirea de a asigura pregătirea copiilor pentru activitatea școlară .Având un rol preponderent formativ, învățământul preșcolar dezvoltă gândirea, inteligența, spiritul de observație ale copiilor, exersând operațiile de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare în cadrul jocurilor logico-matematice .

Copilul învață să formeze colecții-mulțimi de obiecte ; descoperă proprietățile lor caracteristice, stabilește relații între ele, efectuează operații cu ele . În cadrul jocurilor logico-matematice, copiii sunt familiarizați cu unele noțiuni elementare despre mulțimi și relații. Făcând exerciții de gândire logică pe mulțimi concrete ei dobândesc pregătirea necesară pentru înțelegerea numărului natural și a operațiilor cu numere naturale pe baza mulțimilor (conjuncția, disjuncția, negația, implicația, echivalența, ca fundamentând intersecția, reuniunea, complementara, incluziunea și egalitatea mulțimilor). În principal, acestea constau în exerciții de clasificare , comparare și ordonare a mulțimilor de obiecte.

          Exercițiile de formare a mulțimilor după o însușire, apoi treptat, după două sau mai multe însușiri (culoare, formă , mărime, grosime) reprezintă adevărate exerciții de clasificare a obiectelor după un criteriu dat .

          Compararea mulțimilor de obiecte îi ajută pe elevi să stabilească , fără a utiliza numere, relațiile dintre mulțimi, care pot avea mai multe elemente decât mulțimea cu care se compară, mai puține sau tot atâtea elemente .

            Învățarea unei știinte începe de fapt cu asimilarea limbajului ei noțional .Studiul matematicii în manieră modernă, încă de la clasa I, urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării știintifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Dacă înțelegerea acestor noțiuni se realizeză la nivelul rigorii știintifice a matematicii, atunci și limbajul în care se exprimă acest sistem de noțiuni trebuie să întruneasca rigoarea știintifică .

          Există o strânsă legătură între conținutul și forma (denumirea) noțiunilor care trebuie respectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice termen (denumire) trebuie să aibă acoperire în ceea ce privește înțelegerea conținutului noțional ; altfel, asemenea termeni apar cu totul străini de limbajul activ al copilului și , fie că-i pronunță incorect, fie că sub aspect sonor îi pronunță corect, dar îi lipsesc din minte reprezentările corespunzătoare, realizându-se astfel o învățare formală .

          Toate știintele operează cu un aparat noțional care se învață o dată cu "descifrarea" noțiunilor respective . Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale, se introduce la început cu unele dificultăți . De aceea , trebuie asigurată mai întâi înțelegerea noțiunii respective, sesizarea esenței, de multe ori într-un limbaj cunoscut de copii, accesibil lor, făcând unele concesii din partea limbajului matematic . Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective, trebuie reprezentată și denumirea lor știintifică .

           Deci, pe măsura ce elevul avansează în interpretatrea corectă a noțiunilor matematice se introduce și limbajul riguros știintific .

 La nivelul  claselor I-IV descrierea bazată pe unele exemple și operații concrete , urmată de o atentă abstractizare până la nivelul accesibil sunt cele mai indicate . Important este ca tot ceea ce se face să fie în limitele care permit dezvoltarea ulterioară corectă a noțiunilor și operațiilor matematice .

          Logica didactică a matematicii se construiește ținând seama de particularitățile psihice ale celor care învață matematica .

          În evoluția mentală a școlarului de clasa I, o contribuție esențială la statornicia planului simbolic abstract o are contactul cu unele noțiuni matematice, cu condiția ca prin programul de instruire să se întrețină învățarea mecanică .

          Pe fondul unor structuri de baza, pot fi proiectate o infinitate de construcții operaționale particulare :

–         mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului de numere naturale;

–         tehnica primelor două operații fundamentale în concentrul 0-10 și apoi până la 100;

          Astfel , află că unele numere sunt termeni, fac cunoștință cu proprietățile : asociativitatea și comutativitatea .

          Exerciții de tipul : a-3=4, 7-a=2 cultivă flexibilitatea, ajută la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și stimulează descoperirea, înțelegerea, judecata, raționamentul matematic .

          Pentru evitarea învățării mecanice, cunoștintele matematice trebuie introduse ca acte asociate, fondate una pe alta și ilustrate una din alta, cu realizarea unei legături interne de continuitate între actiunea practică și cea teoretică .

          Dacă la clasa I modelul de învățare este cu precădere intuitiv, empiric, la clasa a II a se reduce intuitiv pâna la eliminare . Învățarea conține nu numai informație mai multă, ci și multă metodă . Preocuparea pentru metodă, ca factor principal al creării accesului elevului la gândirea matematică, este doar un început, pentru ca ponderea mare revine tot exercițiului, aplicației, ceea ce duce la un efect de consolidare a deprinderii de calcul , înaintea judecății matematice .

          Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a III a îl constituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor . Operațiile matematice fundamentale, însusite în clasa a II a , sunt solicitate sa fie lucrate în conditiile compartimentarii ordinale a numerelor .  În clasa a IV a temele care îi introduc pe elevi în învățarea noțiunilor de fracție, ca mod de redare a relației parte-întreg , ca și problemele tipice oferă bune ocazii de educare a gândirii matematice. crește competența cognitivă a elevului pentru sarcini din ce în ce mai complexe .

        Capitolul III- CERCETAREA PEDAGOGICĂ

Subiectul cercetării de față îl constituie:"Logica matematică are o importanță fundamentală în activitatea de predare-învățare în ciclul primar”.

          Succesul în dobândirea cunoștintțelor privind noțiunile fundamentale de aritmetică depinde în mod semnificativ de cadrul didactic , de felul în care acesta reusește să conducă procesul predării – învățării și evaluării, după modul cum sunt orientați copiii să poată conștientiza, descoperi și aplica prin transfer cunoștiintele, priceperile și deprinderile.

          În procesul de învățare la clasele I-IV trebuie să se folosească metode care creează posibilitatea elevului de a transforma cunostiințele pasive în cunoștiințe active și de a favoriza descoperirea unor noi cunoștiințe cât și aplicarea lor în activitatea practică.

În procesul învățării, elevul câștigă cunoștințe, ori astăzi în mileniul III, când are loc această revoluție în toate domeniile de activitate, când are loc un adevărat asalt informațional, când ceea ce învățăm s-ar putea să nu mai fie valabil mâine, se impune trecerea de la informare la formare, de la memorarea și reproducerea mecanică de date la dezvoltarea minții și a puterii de judecată. Se impune deci o învățare logică prin care elevul să participe cu întreaga sa personalitate, cu toate laturile și funcțiile sale: cognitivă, afectivă, volitivă.

          3.1. Precizarea obiectivelor si formularea ipotezei

          În cadrul cercetării întreprinse am pornit de la următoarea ipoteză: logica matematică are o importanță fundamentală în activitatea de predare –învățare din învățământul primar. Ea duce la creșterea eficienței învățării noțiunilor matematice și prin aceasta creșterea randamentului școlar al elevilor din ciclul primar.

          În vederea demonstrării acestei ipoteze mi-am propus declanșarea unei cercetări psihopedagogice care are ca obiectiv dovedirea importanței logicii matematice în activitatea de predare-învățare

Obiectivul principal în activitatea ce o desfășor îl constituie lărgirea cercului de cunoștințe, dezvoltarea flexibilității gândirii, spre a-i face pe copii capabili să se orienteze cu ușurință în cadrul situațiilor problematice..

          3.2 Metodica cercetării

          Cercetarea a fost organizată în anul școlar 2014-2015 pe un eșantion de 29 elevi de vârsta școlară mică (8-9 ani) de la Liceul Greco-Catolic „Iuliu Maniu” Oradea.

          Deoarece mi-am propus să declanșez o acțiune educațională rezultatele acesteia fiind înregistrate și prelucrate pentru a demonstra eficiența folosirii logicii matematice prin metodologia adoptată se va ajunge la descoperirea unor relații cauzale, am organizat o cercetare experimentală. Experimentarea presupune determinarea cantitativă prin măsurare a fenomenelor investigate.

Experimentul psihopedagogic este apreciat ca „cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează date precise și obiective” (Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, p. 74). Este o formă particulară a experimentului natural și poate fi de două feluri: constatativ și formativ. Spre deosebire de experimentul constatativ ce vizează măsurarea și consemnarea unei situații, experimentul formativ presupune intervenția în grupul școlar în vederea determinării anumitor schimbări prin introducerea unor „factori de progres”. (apud Dumitriu, C., 2004, p. 96)

          Observația a fost utilizată în perioada premergătoare și în timpul desfășurării experimentării. Ea s-a realizat cu scopul de a compara și surprinde comportamentul, reacțiile elevilor și mai ales,  condițiile psihopedagogice în care logica matematică asigură învățământului o deosebită valoare formativă.

Investigația la matematică implică, pe de o parte, rezolvarea unor probleme întâlnite în cotidian sau în alte domenii ale disciplinelor școlare și, pe de altă parte, explorarea unor concepte matematice necunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute. Investigația presupune atât rezolvarea de probleme cât și creearea de probleme. Investigația pune toți elevii în situația să acționeze. Deoarece sarcinile de lucru nu vizează doar sfera cognitivă, în cadrul investigației se găsește un rol pentru fiecare elev, de aceea, toți elevii conștientizează propria importanță pentru derularea activității.

Testele au fost folosite pentru a măsura cât mai exact volumul și cunoștiințele înainte , în timpul și după efectuarea experimentării.

 Testul final a avut un caracter mixt de cunoștiințe și aptitudini, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunoștiințe cât și nivelul de dezvoltare  a capacităților de analiză și sinteză de aplicare a cunoștiintelor în noi situații.

Metoda statistico-matematică

Este o metodă auxiliară indirectă. Este modalitatea de măsurare, modelare și cuantificare a unor date pedagogice. Ea evidențiază variația, frecvența apariției (repetării), nivelul înregistrat în cadrul fenomenului instructiv-educativ materializată printr-o serie de mijloace statistico-matematice ca: tabele numerice, medii, procente, curbe diferite, diagrame, curbe de distribuție și chiar modele (formule) matematice, logico-matematice, informative.

Cuantificarea matematică poate avea valoare și operativitate pedagogică numai dacă este însoțită și de analiza calitativă a fenomenului pedagogic, adică prelucrarea datelor și stabilirea concluziilor pedagogice să fie realizate în strânsă corelație cu rezultatele obținute prin intermediul celorlalte metode de cercetare pedagogică. Analiza și interpretarea calitativă elimină erorile.

În cadrul cercetării, metodele utilizate nu au fost aplicate izolat, ci s-au completat unele pe altele, obținând astfel informații corecte, obiective, concrete.

                   3.3 Desfășurarea cercetării și interpretarea datelor

          D. Ausubel afirma: Dacă aș vrea să reduc toată psihologia la un singur principiu, eu spun: ceea ce contează cel mai mult în învățare sunt consecințele pe care le posedă elevul la plecare. Asigurați-vă de ceea ce știe și instruiți-l în consecință.

Pornind de la afirmația de mai sus primul test aplicat a fost cel de evaluare inițială.  Metoda de bază utilizată a fost experimentul psihopedagogic de tip experimental- ameliorativ.

          Cercetarea a cuprins trei etape:

          1.      Etapa inițială care a avut un caracter constatativ;

          2.      Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în stimularea proceselor psihice și a personalității elevilor;

          3.      Etapa evaluării ce a avut un caracter comparativ , cu privire la rezultatele obținute în urma demersului experimental formativ.

          În primă fază am aplicat unui test de evaluare inițială. Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental.

Testul a fost conceput pentru capitolul "Operații cu numere naturale în concentrul 0-1000" în funcție de programa școlară de la clasa a III-a și a obiectivelor operaționale vizate în lecție.

          Având un caracter constatativ, testul de evaluare inițială reflectă nivelul dezvoltării logicii matematice, calitatea cunoștiintelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor în situații noi , constituind un punct de pornire în demersul formativ.

          Unitate de învățare: Operații cu numere naturale în concentrul 0-1000

          Conținut: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 1000 cu și fără trecere peste ordin.

 În urma aplicării testului la eșantionul stabilit am observat următoarele lacune:

Citirea superficială a enunțurilor;

Nesiguranța în rezolvarea exercițiilor din cauza noii forme în care li s-au prezentat cerințele;

Lipsa înțelegerii sarcinii primite;

Neîncadrarea în timpul alocat testului;

Incapacitatea de a aplica în practică cunoștințele anterioare (pereche, interior-exterior, reprezentarea enunțului problemei în desen)

 Tabel analitic cu răspunsurile obținute în urma aplicării testului inițial la eșantionul experimental

Graficul răspunsurilor obținute în urma aplicării testului inițial

          Analizând rezultatele graficului de mai sus s-a constatat că 83% din numărul elevilor fac conexiuni logice, stăpânesc operațiile de ordinul I și limbajul matematic, iar 17% întâmpină dificultăți la realizarea sarcinilor de la itemii 3,4,5.

La itemul 1- 24 de elevi au calculat corect rezultatele adunării, iar 5 elevi au întâmpinat dificultăți în înțelegerea sarcinii date .

La itemul 2- 22 de elevi au rezolvat corect toate cele 4 subpuncte ale exercițiului, iar 7 dintre ei au întâmpinat greutăți la stabilirea sumei numerelor din interiorul pătratului și triunghiului sau au nu au calculat suma tuturor numerelor pare din figuri.

La itemul 3- au răspuns corect 20 de elevi, iar 9 elevi au avut nevoie de indicații suplimentare în ceea ce privește egalitatea : 2 ochi =o pereche.

La itemul 4- 19 elevi au reușit să rezolve corect problema dată, corelând relațiile care le-au fost date, au realizat desenul corespunzător, iar 10 elevi nu au reușit să rezolve această problemă din cauza faptului că nu au citit cu atenție și răbdare propozițiile date..

La itemul 5- 21 de elevi au descoperit codul, au reușit să rezolve scăderile și să se verifice, iar 8 elevi nu au reușit să finalizeze decât parțial această sarcină, deoarece sarcina i-a pus în dificultate și nu s-au încadrat în timpul alocat testului.

          Primul pas în reorganizarea instruirii l-a constituit folosirea unor exerciții-joc și probleme de logică, reactualizarea noțiunilor matematice, precum și efectuarea unui număr sporit de exerciții și probleme care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitatea rezolvării cu ușurință a acestora.

          Etapa intervenției ameliorative a avut un pronunțat caracter formativ , constând în aplicarea logicii matematice în orice tip/variantă de lecție. Am aplicat eșantionului experimental mai multe fișe de lucru concepute pe baza principiului de la simplu la complex.

Fișa de lucru Nr. 1

1. Ce număr era în pătrățelul pătat de cerneală?

2. Priviți desenul. Compuneți exerciții folosind cele patru operații și paranteze rotunde astfel încât:

a). Numerele din interiorul pătratului să fie cuprinse în paranteză rotundă;

b). Numerele din exteriorul pătratului să fie cuprinde în paranteza rotundă.

3. .Dana are 3 perechi de pantofi, iar Ioana, 2 perechi. Câți pantofi au împreună?

4. În arenă sunt 2 rânduri cu câte 4 cai. Pe fiecare cal stau câte 3 maimuțe. Câte maimuțe sunt? (reprezintă prin desen)

5. Sofia a desenat 15 canguri: unul albastru, apoi unul roșu, apoi unul verde, unul negru, unul albastru, unul roșu, unul verde, unul negru, unul albastru și așa mai departe. Ce culoare are ultimul cangur desenat?

Fișa de lucru Nr. 2

1. Care din afirmațiile următoare sunt adevărate:

Dacă a= 5, atunci a X 7 = 35.

Dacă a x b = 36, atunci a= 0.

Dacă ax b = c, atunci a x c= b.

Dacă a : b = c, atunci a = b x c.

2. Completează pătratul magic cu numere potrivite pentru a obține pe verticală , orizontală și pe diagonală suma 15.

3..Dacă astăzi este vineri, 4 aprilie, ce dată va fi miercuri, săptămâna următoare?

4. Ana are un frate și două surori. Câte surori are fratele ei?

5. Întrebat câți ani are, Mihai a răspuns: „ dacă aduni numărul anilor mei la numărul membrelor mele, obții un număr cu 4 mai mic decât 15”. Câți ani are Mihai?

6. Dintre Andrei, Mihai, Maria, Ioana și Andra trebuie să aleg membrii unei echipe formate din două fete și un băiat. În câte moduri o pot face?

Fișa de lucru Nr. 3

1. Citește cu atenție propozițiile , apoi răspunde la întrebări:

Alina are mere.

Mara are alune.

Marcu are nuci.

Mihai are pere și mere.

Cine are pere? …………………………………………………………………..

Cine nu are mere? …………………………………………………………………

Cine are mere și pere? …………………………………………………………….

2. Privește cu atenție echilibrul balanței de mai jos!

Câte pere trebuie puse pe a doua balanță,ca să se echilibreze?

3. La cules de fructe, fiecare lădiță de mere și prune a fost înregistrată printr-o liniuță, așa cum arată mai jos.

mere prune

Din care fructe s-au cules mai multe și cu cât?

4. Miruna are două surori și doi frați. Câți frați și câte surori are fratele ei, Mircea?

5. Într-o școală sunt 986 de elevi în clasele primare.În clasele întâi, a doua și a treia sunt 715 elevi. În clasele a doua și a treia sunt 498 de elevi, iar în clasele a doua 250 de elevi.

Câți elevi sunt în fiecare serie de clase?

6. Într-un parc s-au sădit 860 de panseluțe. Dintre acestea 590 de panseluțe sunt albe și roșii, iar 485 sunt roșii și galbene.

Câte fire de panseluțe de fiecare culoare s-au sădit?

Total 860

Total 860 panseluțe

         Exercițiile și problemele propuse în fișele de mai sus au fost lucrate în prima parte frontal, apoi individual, elevii având posibilitatea de a adresa întrebări și de a cere lămuriri în legătură cu cerințele exercițiilor, cu reprezentarea în desen, etc.

Etapa evaluării constă în aplicarea unor teste de evaluare în scopul comparării rezultatelor obținute după proiectarea și aplicarea exercițiilor și problemelor bazate pe dezvoltarea logicii matematice , cu rezultate de la testele inițiale.

          În orele premergătoare testului final am acordat o atenție deosebită eliminării lacunelor existente în pregătirea elevilor la matematica prin : analiza logică a datelor problemelor; crearea suportului afectiv și motivațional necesar participării active la lecții; stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită; jocuri –exerciții .

Testul de evaluare finală a urmărit obiective asemănătoare testului inițial, cuprinzând însă itemi cu un grad mai mare de dificultate.

          Unitatea de învățare: Recapitulare finală

          Conținut :Exerciții și probleme recapitulative.

Ca urmare a aplicării testului final la eșantionul stabilit am observat următoarele:

Persistă citirea superficială a enunțurilor și neînțelegerea sarcinilor date;

Au întâmpinat greutăți la reprezentarea prin desen a enunțului problemei;

Neîncadrarea în timpul alocat testului.

 Tabel analitic cu răspunsurile obținute în urma aplicării testului final la eșantionul experimental

Graficul răspunsurilor obținute în urma aplicării testului final

          Analizând rezultatele graficului de mai sus s-a constatat că un procent de 86% din numărul elevilor stăpânesc limbajul matematic , și-au îmbunătățit ritmul de lucru și sfera soluțiilor , iar 14 % dintre elevi nu se încadrează în timp sau întâmpină dificultăți în realizarea sarcinilor.

La itemul 1- 25 de elevi au observat regula formării șirului dat și au descoperit numărul bețișoarelor utilizate, iar 4 elevi au întâmpinat dificultăți la calculul numărului de bețișoare.

La itemul 2- 26 de elevi au completat corect căsuțele cu semnele operațiilor învățate, iar 3 au reușit să completeze corect doar două exerciții din trei..

La itemul 3- au răspuns corect 25 de elevi, iar 4 elevi nu au reușit să stabilească valoarea de adevăr a propozițiilor.

La itemul 4- 23 elevi au reușit să rezolve corect problema dată reprezentând prin desen soluția, iar 6 elevi nu au reușit să rezolve corect această problemă.

La itemul 5- 23 de elevi au rezolvat problema cu plan și rezolvare, iar 6 elevi nu au reușit să finalizeze decât parțial această sarcină.

Realizând o analiză comparativă a răspunsurilor corecte de la cele două teste și a răspunsurilor incorecte, situația se prezintă grafic astfel:

Pe baza graficului răspunsurilor corecte observăm că la testul final ponderea răspunsurilor corecte este mai mare decât inițial, ca urmare a etapei ameliorative în care elevii au fost îndrumați în înțelegerea logică a cerințelor, să caute mereu soluții, să-și pună întrebări, să-și imagineze căi multiple de rezolvare a exercițiilor și problemelor.

În ceea ce privește graficul răspunsurilor incorecte observăm o scădere considerabilă a acestora la testul final.

Gândirea logică se educă printr-o gândire divergentă, o gândire orientată în direcții diferite. Atributele gândirii divergente sunt: fluiditatea, flexibilitatea, operativitatea, originalitatea.

Important este faptul că elevul trebuie să simtă că realizează progrese, că performantele sale au o anumită utilitate și semnificație, că poate deveni capabil de performanțe originale.

CONCLUZII

          În urma experimentului efectuat putem afirma că logica matematică are o importanță deosebită în predarea-învățarea noțiunilor matematice și conduce la creșterea eficienței învățării și prin aceasta creșterea randamentului școlar al elevilor din ciclul primar.

          Progresul elevilor în ceea ce privește gândirea logică matematică este evidențiată de creșterea gradului de realizare a obiectivelor instruirii, creștere materializată în procentul crescut al răspunsurilor corecte oferite la exercițiile și problemele date, după o perioadă de exersare a operațiilor gândirii.

Prin testele aplicate am căutat să ilustrez importanța pe care o are logica matematică în activitatea de predare-învățare, faptul că aceasta se formează și se dezvoltă prin mult exercițiu și pe o perioadă mai lungă de timp.

Copilul de vârstă școlară mică are o gândire care operează la nivelul operațiilor concrete . Numai în măsura în care elevul va fi pus de către învățător în situația de a gândi va putea pătrunde în înțelesul real al conceptelor matematice, își  va însuși logica acestora. Manifestând inițiativa în crearea și folosirea unor metode didactice care să sprijine înțelegerea noțiunilor matematice, învățătorul va ține seama de câteva cerințe pentru a oferi posibilitatea elevilor de a învăța matematica gândind mai întâi la nivelul concret și pentru a se ridica treptat la înțelegerea și operarea cu abstracțiunile matematice .

          Materialul didactic principal îl constituie mulțimile de obiecte cu putere de simbolizare a relațiilor matematice, ale căror elemente dispun de însușiri precise de constituire a mulțimilor cum sunt : piesele jocurilor logico-matematice , riglete și alte truse din aceasta categorie . Aceste materiale oferă posibilitatea efectuării unor operații concrete în care se evidențiază proprietatea, principiul, relație ce constituie esența matematică a conceptelor pe care le învață elevii . Esențializarea se accentuează cu ajutorul reprezentărilor grafice .

 Se impune dozarea judicioasă a intuiției , ca suport material, până la nivelul necesar producerii saltului în abstract, cu reținerea pe plan logic "interiorizare" a adevărului matematic respectiv în limbaj matematic (noțiuni).

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale are la bază operațiile cu mulțimi de obiecte . Acestea constituie baza intuitiv-corectă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale , cât și pentru sesizarea principiilor de bază după care se efectuează calculul și proprietățile operațiilor .

Activitatea de rezolvare și compunere a exercițiilor și problemelor de matematică constituie un cadru optim pentru cultivarea și educarea gândirii logice.

Capacitatea de a rezolva probleme nu este ceva înnăscut ci aceasta se dezvoltă prin exercițiu de-a lungul unei perioade mai lungi.

Deoarece clasele nu sunt în general omogene trebuie să se formeze la elevi o gândire logică în mod diferențiat, cu exigențe elementare pentru elevii cu un nivel de inteligență mai scăzut și cu exigențe sporite pentru elevii mai dotați.

Trebuie asigurată accesibilitatea activităților matematice în conceperea lor gradată și sistematică pe fondul unor fenomene psihice dinamizatoare ca: pasiunea, curiozitatea, nevoia de activitate a copiilor. Variația permanentă, combinarea nouă și originală, asigură abaterea de la schematism și frâneaza instalarea rigidității gândirii.

Îmbinarea formelor de activitate-frontală, pe microgrupuri și individuală, creează posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor în procesul învățării matematicii.

BIBLIOGRAFIE

Antohe V. , Gheorghinoiu C., Obeada M., 2002, Metodica predării matematicii  , Editura Ex. Libris, Brăila;

Ausubel D.P , Robinson F.G. , 1981 , – Învățarea școlară , o introducere în psihologia pedagogică, Editura Didactica si Pedagogica Bucuresti;

Barnes D. W.,Mack J. M , 1975 , – An Algebraic Introduction to Mathematical Logic, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg/New York ;

Bărbieru N. , Pituru E., Cărbunaru V. , 2000, Matematica. Ghidul învățătorului, clasa I, Editura Teora, Bucuresti;

Cărbunaru C., Ilinoiu G. (coordonator), 1988, Probleme de matematica la clasele I-IV', E.D.P., București,;

Cârjan F. ,Begu C, 2001 , Metodica predării matematicii la ciclul primar ,   Editura Paralela 45, Vol. I;

Cârjan F., 1999, – Strategii euristice în didactica matematicii , Editura Paralela 45, Pitesti;

Cerghit, I., Radu, I. T. , Popescu, E., Vlăsceanu, L., , 1990, Didactica, Manual pentru cls. a X –a școli normale, E.D.P., București ;

Cerghit I., 1983, Perfecționarea lecției în școala modernă, Editura Didactică și Pedagogică București;

Comănescu, I., 1996, Autoeducația – azi și mâine, Ed. Imprimeria de Vest, Oradea;

Crețu, E. , 1999, Psiopedagogia școlară pentru învățământul primar, Ed. Aramis;

Cosmovici A., 1996, Psihologia generală , Editura Polirom, Iași ;

Drăgan I. , Nicola I., 1993, Cercetare psihopedagogică, Editura Tipomur , Târgu Mureș;

Dottrens R., Miliaret G. , Rast E., Rai M, 1970, A educa și a instrui , Editura Didactică,;

Dumitriu A.,1971., Logica polivalentă, Editura enciclopedică Română, București;

Dumitru V., Dumitru A., Fătu V., 1997, Matematică pentru ciclul primar, Ed. All, București;

Enescu Gh., 1965, Introducere îm logica matematică, Editura Științifică, București;

Enescu Gh., 1971, Logica simbolică, Editura Siințifică, București;

Freudenthal H., 1975, Limbajul logicii matematice, Editura Tehnică, București;

Goodstein R. L. 1957, Mathematical Logic, Leicester Univ. Press ;

Lavrov L. A., Maksimova L. L, 1974, Probleme de teoria mulțimilor și logică matematică, Editura Tehnică, București;

Malița M., Malița M. ,1987, Bazele inteligenței artificiale, EdituraTehnică, București;

Moise A., 2010, Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere a problemelor în direcția cultivării creativității elevilor, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, București;

Moisil Gr. C., 1968, Elemente de logică matematică și teoria mulțimilor, Editura Științifică , București;

Neacșu, I., Găleteanu M., Predoi P., 2001, Didactica matematicii în învățământul primar-Ghid Practic, Editura Aius, Craiova;

Neacșu, I., Instruire și învățare, Ed. Științifică, București, 1990;

Neacșu I. (coordonator), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I-IV,   E.D.P., Bucuresti,;

Nicola,I., Farcaș, D., 1996 , Teoria educației și noțiuni de cercetare pedagogică, manual pentru clasa a XI școli normale, E.D.P., București ;

Novikov P. S., 1966 , – Elemente de logică matematică, Editura Științifică, București;

Petrică I, Stefănescu V. – Probleme de matematica clasele I-IV ,  Editura Petrion, București;

Piaget J. , 1973, Meridiane pedagogice. Inteligența – capacitatea de adaptare la situații noi, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, p. 156;

Piaget J. , 1971 , Structurile matematice și structurile operatorii ale inteligenței,  E.D.P., București, în ,,Caiete de pedagogie modernă nr. 3;

Polya G.-Cum rezolvam o problemă, Ed. Științifică, București, 1965;

Polya G., 1971, Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării problemelor.Ed. Științifică, București, pag. 5;

Reghiș M., 1981, Elemente de teoria mulțimilor și de logică matematică, Editura Facla, Timișoara;

Roșca Al., 1967, Condițiile dezvoltării felxibilității și creativității gândirii, Ed. Științifică, București;

Rosenbloom P., 1950, The Elements of Mathematical Logic, Dover Publ., New York;

Rusu E. , 1965, Atracția pentru problematic în activitatea matematică, București, Revista de pedagogie nr. 1;

Rusu E. , 1969, Psihologia activitățtii matematice, București, Editura Științifică, p. 192;

Rudeanu S. , 1965, Despre algebrele booleene și logica matematică, Gazeta matematică, nr. 2-3;

Rudeanu S., 1977, Curs de bazele informaticii. Logică matematică: I. Elemente de algebră universală, II. Calculul propozițiilor, Univ. București;

Șchiopu, U., Piscoi, V. ,1987, Psihologia generală și a copilului, Manual pentru clasele IX-X licee pedagogice, EDP, București;

Teodorescu N., 1984, Culegere de probleme în sprijinul elevilor claselor I-VIII,Editura Informația, București;

Tomșa, Gh., 1995, Cercetarea pedagogică și inovarea practicii școlare în Învățămăntul primar, nr. 1-2, București;

Matematică distractivă-Concursul European de Matematică Aplicată” Cangurul“, 2005, Editura Sigma, București;

*** Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului, Curriculum pentru clasa I, București, 2013;

*** Suport de curs – ,,Organizarea interdisciplinară a ofertelor de învățare pentru formarea competențelor cheie la școlarii mici. Program de formare de tip blended learning pentru cadrele didactice din învățământul primar”, București, 2012;

www.concursurilecomper.ro

www.didactic.ro

www.edu.ro

www.wikipedia.org

ANEXE- APLICAȚII PRACTICE

Anexa 1

CLASA: pregătitoare

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: Matematică și explorarea mediului

UNITATEA TEMATICĂ: „Intră baba iarnă-n sat!”

SUBIECTUL: Numărul și cifra 8

FORMA DE REALIZARE: lecție integrată

TIPUL LECȚIEI: consolidarea cunoștințelor

COMPETENȚE GENERALE:

1.Utilizarea numerelor în calcule elementare

3.Identificarea unor fenomene/relații/regularități/structuri din mediul apropiat

5.Rezolvarea de probleme pornind de la sortarea și reprezentarea unor date

COMPETENȚE SPECIFICE:

Matematică și explorarea mediului

1.1. Recunoașterea și scrierea numerelor în concentrul 0-8

1.2. Compararea numerelor în concentrul 0-8

1.3. Ordonarea numerelor în concentrul 0-8

1.4. Efectuarea de adunări și scăderi în concentrul 0-8, prin adăugarea/extragerea a 1-5 elemente dintr-o mulțime dată

3.1. Descrierea unor fenomene/ procese/ structuri repetitive simple din mediul apropiat, în scopul identificării unor regularități

5.1. Sortarea/clasificarea unor obiecte/materiale etc., pe baza unui criteriu dat

5.2. Rezolvarea de probleme în care intervin operații de adunare sau scădere cu 1-5 unități în concentrul 0-8, cu ajutorul obiectelor

Comunicare în limba română

1.1. Identificarea semnificației unui mesaj scurt, pe teme familiare, rostit clar și rar

1.2. Identificarea unor informații variate dintr-un mesaj scurt, rostit clar și rar

2.3. Participarea cu interes la dialoguri scurte, în situații de comunicare uzuală

3.2. Identificarea semnificației unei/ unor imagini care prezintă întâmplări, fenomene, evenimente familiare

Dezvoltare personală

2.2. Identificarea regulilor de comunicare în activitatea școlară

Arte vizuale și abilități practice

2.1. Observarea unor caracteristici simple ale materialelor întâlnite în mediul familiar

2.3. Realizarea de aplicații/compoziții/obiecte/construcții simple, pe baza interesului direct

Muzică și mișcare

3.1. Manifestarea liberă, adecvată, pe muzică, apelând la diverse forme de exprimare

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

a) cognitive

-să numere crescător și descrescător în concentrul 0 – 8;

– să completeze mulțimi cu elemente corespunzătoare numărului;

– să descompună numerele date bazându-se pe material concret/intuitiv;

– să formeze grupe cu elemente de același fel;

– să raporteze numărul la cantitate și cantitatea la număr;

-să realizeze corespondenșa între elementele unor mulțimi;

-să rezolve corect problemele date;

b) afective

-să coopereze cu membrii echipei pentru rezolvarea sarcinii;

c) psiho-motrice

– să aibă o poziție adecvată în bancă

RESURSE:

I. Procedurale: conversația, exercițiul, problematizarea, explicația, jocul didactic, observația, expunerea, munca independentă, munca în echipă, aprecierea verbalǎ

II. Materiale: jetoane, panou cu brăduleț, globulețe din carton, fișe, laptop, videoproiector, materiale ppt. 

III. Temporale: 35 minunte activitate +15 minute activități liber-alese

IV. Spațiale: sala de clasă

V. Forme de organizare: frontal, individual, în echipă.

VI. Forme și tehnici de evaluare : observarea sistematică a comportamentului elevilor, evaluarea reciprocă, aprecieri verbale

BIBLIOGRAFIE:

M.E.N– “Programa școlară pentru disciplina Matematică și explorarea mediului – clasa pregătitoare”, București, 2013.

Manea Alexandra, Matache Claudia, Ioan Liliana, Ruse Clara – Ghid practic pentru clasa pregătitoare, Editura Delta Cart Educațional, Pitești, 2013

Fișă de lucru

1.Completează vecinii numerelor:

2.Încercuiește numărul mai mare din următoarele perechi de numere:

7 8 5 2 0 1 7 5 2 4 3 8

3. Formează mulțimi de același fel și scrie în căsuță cifra corespunzătoare numărului de elemente !

4. Numără cu atenție, scrie numerele, apoi descompune: (culorile obiectelor te ajută)

Anexa 2

Clasa: I

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Obiectul: Matematică și explorarea mediului

Unitatea tematică: Sunt școlar învingător!

Subiectul: Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100, cu trecere peste ordin, și organele interne ale omului

Tipul lecției: consolidarea cunoștințelor

Durata: 45 de minute

Efectiv de elevi: 29

COMPETENȚE SPECIFICE:

Matematică și explorarea mediului

1.4. Efectuarea de adunări și scăderi, mental și în scris, în concentrul 0-100, recurgând frecvent la numărare;

1.6. Utilizarea unor denumiri și simboluri matematice (termen, sumă, total, diferență, >, <, =, +, -) în rezolvarea și/sau compunerea de probleme;

3.1. Rezolvarea de probleme prin observarea unor regularități din mediul apropiat;

5.2. Rezolvarea de probleme simple în care intervin operații de adunare sau scădere în concentrul 0-100, cu sprijin în obiecte, imagini sau reprezentări schematice;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE: La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

Matematică și explorararea mediului (M.E.M.)

O.1. să efectueze adunari și scăderi cu numere naturale în concentrul 0-100, cu trecere peste ordin;

O.2. să compare rezultatele obținute, folosind semnele de relație: „>”; „<” ; „=”;

O.3. să transpună în operații matematice acțiunile efectuate și sintagmele: sumă, mărește, adaugă, mai mare/mult;

b) Comunicare în limba română (C.L.R.)

O.4. să rețină mesajul central al scrisorii, implicându-se cu interes în realizarea sarcinilor de lucru;

c) Muzică și mișcare (M.M.)

O.5. să interpreteze cântecul „ Dacă vesel se trăiește”, folosind mișcările corpului;

d) Arte vizuale și abilități practice (A.V.A.P.)

O.6. să utilizeze culorile potrivite pentru colorarea imaginilor cu organele interne ale omului;

STRATEGIA DIDACTICA:

Resurse procedurale: explicația, conversația, exercițiul, algoritmizarea, observația, descrierea, instructajul verbal, jocul didactic;

Resurse materiale: planșa –„Corpul omenesc”, jetoane cu organele omului; bol cu bile, fișe de lucru, instrumente de scris, stimulente;

Forme de organizare: frontal, pe echipe, individual.

BIBLIOGRAFIE:

Domnițeanu P , 2002, Didactica matematicii în învățământul primar, Editura Geneze, Galați;

Pârâială D., Pârâială V., Tănasă T. , 2013, Planificarea calendaristică, Proiectarea unităților de învățare- modele orientative, Editura Euristica, Iași;

*** Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului, Curriculum pentru clasa I, București, 2013;

*** Suport de curs – ,,Organizarea interdisciplinară a ofertelor de învățare pentru formarea competențelor cheie la școlarii mici. Program de formare de tip blended learning pentru cadrele didactice din învățământul primar”, București, 2012

SCRISOAREA LUI OM-OMULEȚ

Anexa 3

PROIECT DIDACTIC

CLASA: a III- a

DISCIPLINA: Matematică distractivă

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Matematica și limba română

SUBIECTUL: Tainele muschetarilor

( Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale 0-100)

TIPUL LECȚIEI: lecție de sistematizare, consolidare li fixare a cunoștințelor

SCOPUL LECȚIEI:

Consolidarea deprinderilor de calcul oral și scris de înmulțire și împărțire a numerelor naturale cuprinse între 0 și 100.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1- să efectueze operații de înmulțire și împărțire cu numere naturale, în concentrul 0-100, aplicând corect terminologia specifică în limbaj operațional;

O2- să afle termenul necunoscut dintr-o înmulțire sau împărțire;

O3- să respecte ordinea efectuării operațiilor;

O4- să rezolve probleme cu cele patru operații;

O5- să alcătuiască o problemă după un exercițiu dat.

STRATEGIA DIDACTICĂ:

METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE: conversația, exercițiul, explicația, problematizarea, jocul didactic, metoda cadranelor

MIJLOACE DIDACTICE: fișe de lucru, calculator, videoproiector, manualul, caiete, bilețele cu exerciții.

FORME DE ORGANIZARE: frontal, individual, pe grupe

RESURSE UMANE: 29 elevi

RESURSE TEMPORALE: 45 minute

Bibliografie:

Dimulescu M., Dimulescu R., 2006 ,Culegere de exerciții și probleme– Clasa a III-a, Ed. ErcPress Educativ, București;

Dinescu R., 2007, ,Matematică distractivă-disciplină opțională pentru clasa a III-a, Ed. Carminis, Pitești;

Neagu M., Mocanu M., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar, Ed. Polirom, Iași.

Fișa 1

● Află câtul numerelor 18 și 3!

● Care este triplul lui 5?

● Află numărul cu 10 mai mic decât 99!

● Află sfertul lui 16!

● Ce numere egale înmulțite au produsul 36?

● Care este jumătatea lui 20?

● Aflã dublul numãrului 10.

●Află numărul de 6 ori mai mare decât 5!

●Care este produsul numerelor 9 și 10?

Fișa 2

Fișa 3

Pentru a le veni în ajutor celor trei muschetari am construit un robot folosind piese sub forma unor figuri geometrice. Cât va costa construcția robotului?( Scrieți rezolvarea într-un singur exercițiu!)

6 lei

5 lei

2 lei

4 lei

3 lei

8 lei

Anexa 4

Clasa: a IV – a

Aria curriculara: Matematică și științe

Obiectul: Matematică

Unitatea de invatare: Rezolvarea de probleme

Subiectul: Probleme

Tipul lectiei: transmitere și dobândire de cunoștințe

Scopul lectiei: consolidarea deprinderii de calcul mintal și în scris; dezvoltarea

capacităților de exporare / investigare și rezolvare de probleme; dezvoltarea

limbajului matematic

Obiective operationale: – la sfârșitul activității elevii vor fi capabili:

O 1 – să rezolve probleme utilizând logica-matematică;

O 2 – să recunoască părțile componente ale unei probleme;

O 3 – să recunoască ce tip de operație corespunde fiecărei expresii

matematice;

O 4 – să redea schema logică a unei probleme.

STRATEGII DIDACTICE:

1. Resurse procedurale:

Metode si procedee: explicația, exercițiul, conversația, problematizarea,

observarea, munca în grup, algoritmizarea, analiza, metoda cubul

Forme de organizare: activitate individuala, activitate frontala,

activitate pe echipe.

2. Resurse materiale: flipchart, marker, planșe didactice cu schema

logică a problemelor, cubul, fișe de muncă

3. Forme si tehnici de evaluare:

observația sistematică, aprecieri verbale;

4. Resurse temporale: 50 minute

5. Resurse umane: 29 elevi

BIBLIOGRAFIE

Arghirescu A., Ancuță F. , 2001, Matematica. Exerciții și probleme –

clasa a IV-a”, Editura Carminis, Pitești

Consiliul Național pentru Curriculum, Curriculum național. Programe

școlare pentru învățământul primar, București, 1998

Domnițeanu P. , 2002, Didactica matematicii în învățământul primar,

Editura Geneze, Galați

Scenariul didactic

Fișa de lucru

RĂSPUNSURI:

1.Într-o curte sunt oi și găini. Ele au în total 10 picioare și 4 capete. Câte găini sunt?

2.M-am gândit la un număr. Scad din el 40, apoi adun 2000 la rezultat și obțin 3250. Numărul la care m-am gândit este….

3.Maria, mama, bunica și păpușa stau pe bancă. Bunica stă lângă nepoată, dar nu lângă păpușă. Păpușa nu stă lângă mamă. Cine stă lângă mamă?

4.Fiecare dintre cei 11 copii ai bunicii are 9 copii, care la rândul lor au câte 7 copii fiecare. Câți strănepoți are bunica?

5.Care este cel mai mic număr posibil de copii dintr-o familie în care fiecare copil are cel puțin un frate și cel puțin o soră?

6.Iulian, Mara, Nicu și Fabian au împreună: o pisică, un câine, un pește și un canar. Mara are un animal cu blană, Fabian are un animal cu 4 picioare, Nicu are o pasăre, iar Iulian și Mare iubesc pisicile.

Nu e adevărat că:

A) Fabian are un câine

B) Nicu are un canar

C) Iulian are un pește

D) Fabian are o pisică

E) Mara are un câine