Lista gurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 [631360]

Iulie
2018
Cuprins
Lista gurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lista acronimelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 Filtrul de separare ^ n benzi de frecvent , a
1.1 Determinarea frecvent ,elor de t aiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Proiectarea ltrelor de separare ^ n MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.3 Implementarea ^ n XMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Masurarea rezultatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2 Amplicatorul
2.1 Descrierea circuitelor integrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Proiectarea amplicatoarelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.3 M asurarea amplicatoarelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Incinta
3.1 Masurarea parametrilor Thiele-Small ai difuzorului . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Proiectarea incintei pe baza parametrilor Thiele-Small . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Egalizarea boxei
4.1 Masurarea r aspunsului ^ n frecvent , a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Determinarea coecient ,ilor cu ajutorul programului MatLab . . . . . . . . 49
4.3 M asurarea rezultatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
Anexa 1: Specicat ,iile microfonului de m asur a Earthworks M30 . . . . . . . . 57
Anexa 2: Layout-ul sursei de alimentare si a amplicatoarelor . . . . . . . . . . 59
1

Introducere
Ecranul innit .
Acesta face posibila eliminarea completa a anularii intre unda directa si cea
indirecta. Se poate face in cazul in care dimnsiunile ecranului sunt foarte
mari. Toate proiectarile de incinte urmaresc sa se obtina o comportare de
tip ecran innit, deoarece un difuzor astfel plasat isi va pastra proprietatile
(fs si Qts) si dupa montarea in incinta. Acest lucru se poate obtine doar
daca volumul incintei este mai mare dec^ at volumul de aer echivalent Vas. Un
bun difuzor de joase cu Vas=300 l va necesita o incinta foarte mare pentru
a obtine o comportare de tip ecran innit. Proiectarile de tip ecran innit
sunt practice doar in masura in care exista in incaperi spatii largi care pot
utilizate (pod, camara).
Avantaje: Pot reproduce foarte precis frecventele joase si foarte joase
Proiectare simpla Pot utiliza spatiile neutilizate
Dezavantaje: Trebuie sa e foarte solid Pot aparea scurgeri sonore de
frecvente joase in alte incaperi sau in exterior Nu poate  mutata Necesita
difuzoare cu aria membranei (Sd) mare si excursie maxima (Xmax) mare
pentru putere de iesire mare.
1. Ecranul.
Este cea mai simpl a form a de incint a. Ecranele trebuie s a e sucient de
largi pentru a preveni anularea undei directe si a celei indirecte. Deoarece o
2

unda cu frecvent ,a de 100Hz are lungimea de und a mai mare de 3m, se poate
vedea c a o bun a redare a frecvent ,elor joase necesit a dimensiuni mari. Uneori
se foloses ,te egalizare activ a sau pasiv a pentru a ridica nivelul bas ,ilor.
Avantaje: Lipsa rezonantelor incintei si este relativ usor de construit
Dezavantaje Dimensiuni mari, ltrare pasiva sau activa pentru extensia
frecventelor joase, ecacitate redusa datorita anularii survenite intre unda
directa si cea inversa, plasamentul in camera este extrem de important.
2. Incinta inchisa
Aceasta incinta este cunoscuta si ca sistem de suspensie acustica. Masa
de aer din incinta se comporta ca un sprijin pentru difuzor. Cu c^ at incinta
este mai mica, cu at^ at creste factorul de calitate al sistemului.
Avantaje: usor de proiectat si construit Sunet foarte precis posibil Fac-
torul de calitate al sistemului poate  ales in functie de scop Toleranta buna
la dimensiuni, mici erori neafect^ and performantele
Dezavantaje: Nivel de putere mai mic decat la incintele cu deschidere
Limita inferioara a benzii mai ridicata Destul de dicil de gasit difuzoare
potrivite pentru acest tip de incinta (incinta inchisa necesita difuzoare cu
Xmax mare)
3. Incinta aperiodica
3

Incinta aperiodica este o incinta inchisa care incearca sa elibereze pre-
siunea generata in interior. La primirea unui impul de semnal, difuzorul de
joase isi deplaseaza membrana, produc^ and presiune crescuta si turbulente in
incinta. Acest lucru poate crea o incetosare a raspunsului la impuls, mai ales
la incintele mici cu factor de calitate mare.
Incintele aperiodice utilizeaza de obicei gauri in spatele incintei umplute
cu materiale absorbante prmit^ and eliminarea unei parti din presiunea inte-
rioara. Este o metoda de a face acceptabile incintele de dimensiuni mici.
4. Incinta cu deschidere
Incintele cu deschidere utilizeaza un tub acustic acordat pentru a inversa
unda de spate a difuzorului astfel inc^ at la frecvente joase acestea sa se adune
cu unda directa in loc sa se anuleze reciproc. Sistemul este acordat in asa
fel inc^ at sub o anumita frecventa majoritatea energiei sa provina de la de-
schidere.
Avantaje: Limita inferioara a benzii mai mica Ecienta mai mare dec^ at
a cutiei inchise la acelasi volum Se poate proiecta pentru obtinerea distorsi-
unilor mai mici p^ ana in zona limitei inferioare a benzii Presiuni acustice mai
mari sunt posibile
Dezavantaje: Sunt sensibile la zgomotul infrasonor ca cel de la partile
mecanice ale componentelor audio. Rezultatul determina distorsiuni de mod-
ulatie si poate duce la defectarea difuzorului de joase Cadere brusca sub
limita inferioara a benzii, cu efect al cresterii int^ arzierii de grup si deci
afectarea raspunsului la impuls, Proiectare complicata, necesit^ and calcule
complexe Toleranta scazuta la variatia dimensiunilor, o incinta cu deschidere
neacordata corect put^ and ajunge la performante extrem de slabe O mica im-
bunatatire a performantelor se obtine inlocuind tubul acustic cu un radiator
pasiv. Un radiator pasiv este o componenta care arata ca un difuzor fara sa
posede magnet si bobina mobila. Materialul utilizat la realizarea membranei
trebuie sa e in general identic cu cel din difuzorul activ, iar diametrul sau
cel putin la fel de mare ca al difuzorului.
4

Avantajul principal ar  absenta zgomotelor tubului acustic (datorate
turbulentelor) iar ca dezavantaje vor  dicultatea deosebita de acordare si
aria suplimentara necesara pe incinta.
5. Incinta cu linie de transmisie
Cel mai uzual tip de linie de transmisie utilizeaza o linie lunga, fr^ anta in
spatele difuzorului (in general de o lungime de 1-3m). Linia este in general
realizata sau placata cu lemn cu bra lunga. Linia este proiectata sa aiba
1
4din lungimea de unda la frecventa de rezonanta a sistemului. Astfel linia
realizeaza inversarea undei de spate a difuzorului, furniz^ and nivele mari si
la frecvente foarte joase. Proiectata corect conduce la raspuns la impuls
excelent si raspuns bun la joasa frecventa.
O varianta ale acestui tip de incinta este supraumplerea liniei pentru a
absorbi virtual toata unda de spate. Aceasta abordare este utilizata pentru
unele sisteme cu banda medie-joasa si medie deoarece conduce la claritate si
raspuns la impuls deosebite, in schimb nu este recomandata pentru sisteme
ce urmaresc reproducerea frecventelor foarte joase.
Avantaje: Posibilitatea reproducerii cu acuratete a frecventelor joase Per-
formante tranzitorii foarte bune
Dezavantaje: Dimensiuni zice mari Dicultate in proiectare si construc-
tie Nivele de putere mai mici dec^ at la incintele cu deschidere
6.Incinte trece-banda
5

Incintele trece banda utilizeaza cavitati multiple si tuburi acustice pentru
a creste nivelul de iesire, a reduce dimensiunile sau pentru a micsora frecventa
de taiere. Deoarece tot sunetul este radiat de un tub acustic, pe l^ anga taierea
frecventelor joase apare si o taiere la frecvente inalte (sisteme trece banda cu
banda ingusta) ceea ce face ca aceste incinte sa e utlizabile in primul r^ and
pentru redarea frecventelor foarte joase.
Avantaje: Dimensiunile vor  relativ mici in raport cu performantele
atinse. Ecienta, taierea de la frecvente joase si inalte pot  schimbate prin
proiectare. Frecventele inalte sunt taiate necesit^ and ltre de separare diferite.
Dezavantaje: Filtrare suplimentara necesara pentru a elimina interven-
tia tubului acustic. Proiectare si acordare extrem de dicila, necesit^ and
instrumente software Tipurile mai des int^ alnite sunt cele din gur a. Incin-
tele trece-banda de tip simplu re
ex ofera cel mai bun raspuns la impuls si
cele mai mici dimensiuni pentru incinta, av^ and in acelasi timp cea mai mare
toleranta la mici erori de proiectare. Incintele de tip dual re
ex si acordate
in serie au avantajul unei eciente mai mari, in schimb raspunsul la impuls
este destul de slab, dimensiunile rezulta mai mari si sunt extrem de sensibile
la mici erori de proiectare. Acest lucru conduce la utilizarea incintei simplu
re
ex in aplicatii de inalta delitate (mai ales in interiorul autovehicolelor
unde dimensiunile prezinta importanta mai mare) iar a celor dublu re
ex si
acordate in serie la aplicatii in care puterea acustica este mai importanta.
7.Incinte cu sarcina izobara
Incintele cu sarcina izobara utilizeaza doua difuzoare, unul montat in
incinta, celalalt radiind unda sonora in exterior. Intre cele doua difuzoare
exista un mic volum de aer care de obicei va  inchis ermetic. Sistemul
se comporta ca ind prevazut cu un singur difuzor cu masa dubla, Vas la
jumatate, ceilalti parametri ind practic neschimbati. Diferitele conguratii
posibile sunt prezentate.
6

Toate incintele cu sarcina izobarica au acelasi dezavantaj major si anume
necesitatea utilizarii a doua difuzoare identice, ceea ce va creste destul de
mult pretul sistemului. In plus, masa mai mare si volumul mai mic al inc-
intei fac aceste sisteme mai putin eciente dec^ at cele cu un singur difuzor.
Aceste sisteme sunt totusi utilizate deoarece ofera totusi unele avantaje. Ast-
fel,incinta rezultata poate avea un volum mai mic iar puterea electrica ce
poate  vehiculata va  de doua ori mai mare. Deasemenea, conect^ and elec-
tric antiparalel cele doua difuzoare la amplicator vom forta cele doua mem-
brane sa deplaseze in acelasi sens, ceea ce va face ca una dintre membrane
sa se miste spre fata difuzorului, cealalta spre spate (vezi sagetile). Acest
fenomen va avea ca efect anularea neliniaritatilor mecanice ale difuzorului,
inerente deoarece membrana nu este perfect rigida si deci se deformeaza c^ and
se deplaseaza.
Prima conguratie aparuta a fost cea fata in fata (gura a) care ofera toate
avantajele descrise mai sus, singurul dezavantaj ind de ordin estetic: unul
dintre difuzoare apare plasat invers in fata incintei. Pentru imbunatatirea
aspectului se pot folosi si celelalte conguratii, renunt^ andu-se insa la unele
din avantale sarcinii izobare.
Astfel conguratia in cascada (gura b) are dezavantajul unei mase mai
mari de aer intre cele doua difuzoare, ceea ce reduce cuplajul dintre difuzoare
si mareste volumul total al incintei. Difuzoarele isi vor misca membranele in
aceeasi directie astfel inc^ at neliniaritatile mecanice nu mai sunt anulate. In
plus unul dintre difuzoare are magnetul si bobina mobila in interiorul unei
cavitati de volum mic, disiparea puterii electrice duc^ and la incalzirea mai
accentuate a acestuia din urma, provoc^ and abaterea si mai accentuata de la
functionarea complementara dorita. Conguratia antiparalel (gura c) are
acelasi dezavantaj al volumului crescut de aer dintre cele doua difuzoare, in
plus ambele difuzoare disipa puterea electrica in acelasi volum mic,puterea
maxima ind astfel redusa in doua moduri: datorita inecientei evacuarii
caldurii si datorita micsorarii excursiei maxime din cauza dilatarii aerului din
interior. Conguratia planara (gura d) are acelasi dezavantaj al volumului
suplimentar de aer dintre difuzoare, prezent^ and in schimb toate celelalte
avantaje. Este important sa se realizeze conexiunea electrica antiparalel la
sursa de semnal electric pentru toate congurat ,iile except^ and-o pe cea in
cascada, pentru obtinerea functionarii corecte.
Proiectarea incintelor acustice se poate realiza ^ n funct ,ie de caracter-
isticile difuzoarelor folosite. Pentru lucrarea de fata de interes este r aspunsul
^ n frecvent , aal difuzoarelor.
7

^In mod ideal, presupunem difuzorul o surs a de sunet punctiform a(toate
dimensiunile sursei sunt mult mai mici dec^ at lungimea de und a minim a, core-
spunzatoare celei mai mari frecvent ,e din spectrul semnalului redat); a
at a
intr-un mediu omogen si izotrop, sursa punctual a genereaza un c^ amp de
unde sferice. Una din caracteristicile c^ ampului de unde sferice este c a nivelul
presiunii sonore scade radial cu 6dB atunci c^ and distant ,a fata de sursa se
dubleaza. O aproximare rezonabila a acestei situat ,ii se ^ n experimentele in
care obsrvatorul este plasat la o distanta sucient de mare de sursa sonor a, si
nu exist a suprafet ,e sonore re
ectorizate care sa ^ mpiedice/modice radiat ,ia
liber a a energiei sursei.
Filtrul de separare preia semnalul audio (al carui spectru este de la 20 Hz
la 20 kHz) s ,i ^ l ^ mparte ^ n dou a, trei, sau uneori mai multe benzi astfel ^ nc^ at
s a poat a  redate pe difuzoare adaptate pentru aceste frecvent ,e.^In lucrarea
de fata, frecvent ,ele centrale ale ltrelor vor  alese in functie de r aspunsul ^ n
frecvent , a al difuzoarelor.
Nevoia pentru acest ltru de separare in 3 benzi vine din imposibilitatea
realiz arii unui difuzor care poate reda ^ n mod satisf ac ator toate cele 10 octave
ale spectrului audio.
Un tweeter are o dimensiune zic a mic a (2-3 cm diametrul membranei),
s,i se apropie destul de bine de o surs a punctiforma. Aceast a tehnologie
funct ,ioneaz a foarte bine pentru frecvent ,e ^ nalte, spunet ,i p^ an a la 1 kHz, dar
este inadecvat pentru reproducerea joaselor deoarece o astfel de zon a mic a nu
poate mis ,ca prea mult aer, iar pentru a reproduce frecvent ,ele joase trebuie
deplasat a o mare masa de aer. Difuzoarele pentru frecvent ,e joase au, prin
urmare, un diametru mult mai mare, de la 20 cm pentru hi- s ,i p^ an a la 40
cm sau mai mult. ^In prezent nu este posibil din punct de vedere tehnic s a
se produc a un difuzor care sa redea cu precizie p^ an a la 20 kHz, deoarece,
pe m asur a ce cres ,te frecvent ,a, membrana ^ nceteaz a s a se mis ,te. Acest efect
este datorat rigidit at ,ii nite a membranei. Datorita frecvent ,ei ^ n cres ,tere,
membrana se ^ mparte ^ n zone separate de vibrat ,ii. Daca dorim sa folosim
acest efect in avantajul nostru, exista difuzoare pentru "^ ntreaga gam a" care
au un "tweeter parazit" sub forma unei mici membrane, atas ,ate la bobina.
La frecvent ,e mai mari, membrana principal a se rigidizeaza s ,i este de-
cuplat a ^ n mod ecient de bobina s ,i de membrana tweeterului "parazit",
permit ,^ and acestuia din urm a s a redea frecvent ,ele ^ nalte, f ar a a  restr^ ans a
de membrana principala; Am putea numi acest sistem un ltru mecanic. As ,a
cum at ,i putea s a v a imaginat ,i, exist a multe compromisuri implicate ^ ntr-un
astfel de aranjament simplu s ,i rezultatul este ^ n general cu mult inferior
8

unui difuzor bun cu doua- chiar trei c ai, dupa cum se va prezenta in cele ce
urmeaz a.
Este vorba, desigur, mult mai mult dec^ at de o ^ mp art ,ire a semnalului
audio in benzi separate de frecvent , a. Este important de retinut c a divizarea
trebuie s a e urmat a de sumare: benzile de frecvent , a trebuie reunite din
nou f ar a probleme. Acest lucru necesit a ^ nsumarea semnalelor acustice pen-
tru a  corecte nu numai ^ n amplitudine, ci s ,i ^ n faz a. Sistemul poate re-
compune exact semnalul doar intr-un anumit punct in spat ,iu, ceea ce este
nefericit, deoarece avem dou a urechi s ,i, prin urmare, ecare ascult ator are
nevoie semnalul s a e corect la dou a puncte din spat ,iu. Design-ul ltrului
si al difuzoarelor este ^ ntotdeauna o chestiune de compromis, ^ ntr-o anumit a
m asur a.
Nu este sucient s a obt ,inem un r aspuns perfect pe o anumita ax a a s alii.
Redarea sunetului de catre difuzor in afara acestei axe va insemna o auditie
nu atat de placuta pentru cei care nu au gasit un scaun bun ^ n sal a, si mai
mult de atat, va crea re
exii nedorite. Dac a exist a neregularit at ,i grave de
react ,ie, atunci acestea vor afecta experient ,a de a asculta, chiar dac a sunetul
direct pe ax a este dincolo de repros ,uri.
Difuzoarele, prin construct ,ia lor, nu pot reda del intreaga gam a de
frecvent ,e, ci doar o parte din aceasta. De aceea o incint a acustic a este
9

echipat a cu 2, 3 sau mai multe difuzoare ecare red^ and doar o parte din
semnal.
Problemele la un difuzor apar atunci c^ and acesta trebuie s a redea frecvent ,e
pentru care nu a fost proiectat, ^ n acest caz el e creaza distorsiuni (^ n cazul
difuzoarelor de frecvent ,e joase care sunt puse s a redea frecvent ,e ^ nalte), e
se pot arde (^ n cazul difuzoarelor de frecvent ,e ^ nalte (tweeter) care sunt puse
s a redea frecvent ,e joase).
Pentru a ne feri de aceste pericole trebuie s a separam banda de frecvent ,e
audio ^ n 2 sau mai multe c ai care apoi s a e redate de c atre un difuzor.
La ora actual a eu cunosc dou a modalit at ,i de implementare pentru ltre:
metoda analogic a s ,i metoda digital a, iar ^ n aceast a lucrare m a voi axa pe
partea digital a
Capitolul 1. Despre ltre
^In numeroase aplicat ,ii de procesare a semnalului s ,i de comunicat ,ii, suntem
pus,i in situatia de a ne confrunta cu necesitatea elimin arii zgomotului s ,i a
distorsiunilor.
Aceste fenomene nedorite se datoreaz a proceselor zice care variaz a ^ n
timp, ori sunt necunoscute. Una dintre aceste situat ,ii este ^ n timpul trans-
miterii unui a semnal de la un punct la altul. Canalul (re, bre, microunde
etc.) introduce zgomot s ,i distorsiuni (datorit a variat ,iilor propriet at ,ilor sale).
Aceste variat ,ii pot  mai lente sau mai rapide. De cele mai multe ori variat ,iile
sunt necunoscute, iar utilizarea de ltre adaptive diminueaz a s ,i uneori elimin a
complet distorsiunile s ,i zgomotul.
Cele mai frecvente ltre adaptive, sunt tipurile de ltre cu r aspuns nit
la impulsuri (FIR). Acestea sunt preferate deoarece sunt stabile s ,i nu sunt
necesare ajust ari speciale pentru punerea lor in aplicare aplicare. In cadrul
acestei lucr ari vom face ltrare Wiener .
Una dintre problemele care apar ^ n mai multe aplicat ,ii este identicarea
a unui sistem sau, ^ n mod echivalent, g asirea relat ,iei de r aspuns intr ari-ies ,iri.
Pentru a reus ,i ^ n determinarea coecient ,ilor de ltrare care reprezint a un
model de la sistemul necunoscut, am stabilit o congurat ,ie a sistemului as ,a
cum se arat a ^ n Figura 1.2.1.
Din analiza sistemelor liniare invariante^ n timp (LIT), s ,tim c a ies ,irea unui
sistem liniar invariant ^ n timp este convolut ,ia dintre semnalul de intrare s ,i
r aspunsul acestuia la impuls.
10

Figura 1. Filtru adaptiv
S a presupunem ca sistemul necunoscut este liniar si invariant in timp,
deci coecient ,ii r aspunsului la impuls vor  constant ,i s,i nit ,i (ltru FIR):
d(n) =N1X
k=0hkx(nk)
Ies,irea unui ltru adaptiv FIR cu acelas ,i num ar de coecient ,i, N, este:
y(n) =N1X
k=0wkx(nk)
Pentru ca aceste doua sisteme sa e egale, e(n) = d(n) – y(n) trebuie sa
e 0. In aceste condit ,ii, cele dou a seturi de coecient ,i sunt egale. Pentru ca
e(n) sa e cat mai aproape de 0, vom folosi ltrarea adaptiv a, s ,i, astfel, w k's
=hk0s:
In continuare vom proiecta un ltru Wiener. Acesta realizeaz a opti-
mizarea ^ n sens MS(Mean Square – medie – statistic a p atratic a).
Not am cu w k0*k=0;M1
s,irul coecient ,ilor funct ,iei de cost. Corespunz ator avem ies ,irea ltrului
Wiener:
y0(n) =N1X
k=0wk0*x(nk)
unde
11

W0= [w0
0:::w0
M-1]T
este vectorul pondere optim.
Eroarea optim a
e0(n) =d(n)y0(n) (1)
reprezint a semnalul de eroare a ltrului optim MS
Figura 2. Filtrul Wiener (ltrul optim MS)
Procesul de optimizare liniar a MS const a ^ n implementarea unui ltru
care s a realizeze o proiect ,ie pe un subspat ,iu liniar de dimensiune maxim
impus a(M+ 1):
Pe aceast a cale se asigura minimizarea distant ,ei^ ntre semnalul de referint , a
s,i estimatul s au. Deoarece ltrul va minimiza funct ,ia de cost
J=jje(n)jj2(2)
este important calculul gradientului lui J^ n funct ,ie de coecient ,ii pondere
wk, k= 0;M1:
Not^ and
wk=ak+j
bk
si folosind relat ,ia (1) ^ n calculul derivatelor part ,iale se obt ,ine pentru ecare
component a
k=0;M1;
a gradientului complex:
rk(J) =@J
@ak+j
@J
@bk(3)
vom obt ,ine
rk(J) =2
<x k;e> (4)
Coecient ,ii optimi
fw0*
kg; k=0;M1;
care minimizeaz a funct ,ia de cost, trebuie sa respecte condit ,ia de anulare a
gradientului:
r(J) = 0 (5)
12

de unde rezult a c a pentru ecare component a
rk(J)jw0*k= 0 (8)k=0;M1 (6)
ceea ce va duce la
<k k;e0>= 0 (8)k=0;M1 (7)
Relat ,ia 6 se numes ,teprincipiul de ortogonalitate , principiu pe care ^ l voi
explica pe scurt in cele ce urmeaz a.
Fie F n,Mxsubspat ,iul liniar complex determinat de s ,irul variabilelor aleatoare
fx(n-k)gk=0; M1:
Principiul de ortogonalitate, de baz a in teoria ltr arii optimale ^ n sensul
mediei p atratice a erorii poate  formulat prin:
Condit ,ia necesar a s ,i sucient a ca funct ,ia de cost J s a atinga minimul pen-
tru mult ,imeafwk0*geste ca semnalul de eroare corespunz ator e0(n), pentru
orice moment de timp n, s a e ortogonal pe subspat ,iul liniar F n,Mxdeter-
minat de toate es ,antioanele intr arii pe baza c arora se realizeaz a estimarea
curent a.
Acest principiu este ilustrat in gura de mai jos, unde F n,Mxeste reprezen-
tat ca un plan.
Estimatul semnalului de referint , a ^ n cazul ltrului optim este
^d0=y0(n)
se poate calcula
<y0;e0>=<NX
k=0w0*
k
xk;e0>=NX
k=0w0*
k
<x k
e0> (8)
13

de unde rezult a
Pentru un ltru optim MS semnalele de ies ,ire y0(n)(estimatul
semnalului dorit) s ,i de eroare e0(n) sunt ortogonale.
Denim eroarea medie p atratic a minim a (minimul funct ,iei de cost)
Jmin=jje(n)jj2
Folosind relat ,iile (1) s ,i (8), J minpoate  scris in felul urm ator:
Jmin=jjd(n)jj2jjy0(n)jj2=d22
^d
unde
2
ds,i 2
^d
reprezint a puterea semnalului de referint , a s ,i respectiv puterea sem-
nalului la ies ,irea ltrului optim.
Eroarea medie patratic a normat a
"=Jmin
2
d= 12
^d
2
d2[0;1] (9)
Prin urmare, condit ,ia pentru ca un ltru sa e optim ^ n sens MS
este echivalent a cu respectarea principiului de ortogonalitate.
^In continuare, vom reformula condit ,ia de optim ^ n termeni ai unor funct ,ii
de corelat ,ie ai semnalului de intrare s ,i de referint ,a. Pentru aceasta, pornind
de la relat ,ia (7), prin explicitarea semnalului de eroare se obt ,inesistemul
de ecuat ,ii Wiener-Hopf
R
W0=P (10)
Una dintre propriet at ,ile remarcabile ale matricei Ro constituie faptul c a
aceasta este matrice nesingular a in majoritatea cazurilor, permit ^ and astfel
determinarea solut iei optime
W0=R1
P (11)
Astfel, pentru determinarea vectorului pondere optim necesit a
cunoas ,terea statisticii semnalelor de intrare s ,i de referint , a, adic a
a matricilor R s ,i P. Construct ,ia matricilor R s ,i P necesit a numai primele M
es,antioane ale funct ,iei de autocorelat ,ie pentru semnalul de intrare s ,i respectiv
ale funct ,iei de intercorelat ,ie ^ ntre semnalul de intrare s ,i de referint , a.
14

Observ^ and mai ^ nt^ ai c a semnalul la ies ,irea ltrului poate  pus sub forma
y(n) =WH
X(n) =XT(n)
W(12)
funct ,ia de cost J poate  exprimat a prin:
J=Efje(n)j2g=2
d+WH
R
W2
RefWH
Pg (13)
^In punctul optim calculul funct ,iei de cost duce la
JjW=W0=Jmin=2
dPH
W0=2
dPH
R1
P (14)
unde punctul optim va  numit W0
Este de remarcat faptul c a J mineste funct ,ie numai de statisticile semnalu-
lui de intrare s ,i de referint , a s,i independent de W.
Explicit^ and 2
d:
J=Jmin+ (WW0)H
R
(WW0) (15)
Not am cu:
Vdef=WW0(16)
diferent ,a ^ ntre vectorul pondere curent si solut ,ia optima Wiener. Atunci,
(15) devine:
JJmin=VH
R
V (17)
Suprafat ,a descris a de J-J minca funct ,ie de ponderile W ale ltrului, ^ ntr-un
spat ,iu cu 2M+1 dimensiuni reale, se numes ,te suprafat , a de cost. Propriet at ,ile
suprafet ,ei de cost sunt legate de matricea de autocorelat ,ie.^Intruc^ at R este o
matrice hermitica, suprafat ,a de cost este o form a p atratic a real a Mai mult,
doarece R este ^ n marea majoritate a cazurilor o matrice pozitiv denit a s ,i
forma patratica
VH
R
V
va  pozitiv denit a, ceea ce va determina ca suprafat ,a de cost s a aib a
un minim unic s ,i distinct care este atins numai c^ and V = 0, sau, echivalent,
c^ and W = W0.
^In acest mod, orice abatere de la solut ,ia optim a Wiener este imediat
penalizat a printr-o cres ,tere a funct ,iei de cost.
Am notat
JkW=W0cu J min
15

.
Problema determin arii optimului se reduce astfel la g asirea coordonatelor
punctului de minim al suprafet ,ei de cost. Este de remarcat faptul c a form a
s,i plasarea suprafet ,ei de cost sunt determinate numai de semnalul de intrare,
nu s ,i de semnalul de referint , a. Contribut ,ia celui din urm a se re
ect a numai
^ n termenul J min.
Este convenabil s a se exprime form a p atratic a
VH
R
V
^ ntr-un sistem de coordonate preferent ,ial. Matricea Reste diagonalizabil a,
deci exist a o transformare unitar a
Q= [Q0:::QM1] (18)
astfel inc^ at
R=Q

QH(19)
unde
 =diag[0:::M1];^ n care  i;i=0;M1
sunt valorile proprii pentru matricea R, s ,i Q0::QM12MM1
constituie o baz a ortonormat a de vectori proprii atas ,at,i valorilor proprii
0::M1:
Matricea Q realizeaz a o transformare c atre sistemul propriu de coordo-
nate, iar dac a vectorul diferent , a ^ n noul sistem de coordonate este denit
ca
V=QH
V (20)
atunci, se obt ,ine relat ,ia
Jedef=JJmin=V0H

V0=M1X
i=0i
jv0
ij2(21)
care reprezint a forma canonic a a suprafet ,ei de cost ^ n exces s ,i reprezint a
penalizarea datorat a abaterii de la optimul Wiener.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relatia la care am ajuns mai sus ne evident ,iaza o dependent , a intre vec-
torii s ,i valorile proprii matricii R s ,i forma s ,i plasarea suprafetei de cost.
16

Deoarece R este pozitiv denit a aceast a suprafat  a, intr-un spat iu cu M di-
mensiuni complexe (w 0::wM-1);
 si una real a (J e)
este un paraboloid multidimensional orientat cu v^ arful in sensul negativ
al axei J e;
 si tangent la hiperplanul determinat de axele corespunz atoare vectorului
pondere. Acest v^ arf este chiar punctul c autat, pentru care J = J min
s,i care are drept coordonate (w0
0::w0
M1;0):
Prin sect ionarea suprafet ei de cost cu hiperplane paralele cu cel determi-
nat de vectorul pondere urmat a de o proiect ,ie pe acesta din urm a, se obtine
reprezentarea prin curbe de nivel. Ele sunt determinate prin ecuat ,ia
(WW0)H
R
(WW0) =const (22)
Este mai convenabil s a trecem la sistemul de coordonate al vectorului
diferent , a (V,J). Aceast a trecere se face printr-o simpl a translat ,ie (W – W0);
obt,in^ andu-se pentru curbele de nivel hiperelipsele caracterizate de ecuat ,ia
VH
R
V=const (23)
Curbele de nivel sunt centrate in originea noului sistem de coordonate si
prezinta un numar de M axe principale complexe comune. Axele principale
au proprietatea ca sunt perpendiculare pe toate curbele de nivel. Pe de alta
parte, orice vector normal la curbele de nivel poate  determinat considerand
hiperelipsa drept o functie
F(V) =VH
R
V
si determinandu-i gradientul in raport cu V. Dar
rV(VH
R
V) = 2
R
V (24)
Mai mult, deoarece hiperelpsele sunt centrate in origine, axele principale
trec prin 0, iar vectorii care le determina pot  pusi sub forma 
Vunde2C:
Cele doua conditii trebuie sa e satisfacute simultan, astfel ca vectorul
V', care deneste una din axele principale verica ecuatia
2
R
V0=
V; (25)
sau, sub alta forma
(R
2
I)
V0= 0; (26)
17

ceea ce pune in evidenta faptul ca V' este vector propriu pentru R. Se
poate formula urmatoarea teorema:
Vectorii proprii ai matricii de autocorelatie pentru semnalul de intrare
denesc axele principale ale suprafetei de cost.
Recapituland transformarile geometrice utilizate rezulta ca aceeasi suprafata
de cost poate  reprezentata in 3 sisteme de coordonate:

Je=JJmin= (WW0)H
R
(WW0)
sistemul de coordonate al vectorului pondere

Je=JJmin=VH
R
V
sistemul de coordonate al vectorului diferenta

Je=JJmin=V0H


V0
sistemul propriu de coordonate (al axelor principale ale suprafetei)
Alegerea sistemului de coordonate se face in functie de scopul urmarit.
Pentru denirea algoritmului propriu-zis se utilizeaza sistemul de coordo-
nate al vectorului pondere. Pentru studiul carcateristicilor specice algorit-
milor este in general preferat sistemul vectorului diferenta, sau, mai precis,
sistemul propriu de coordonate, deoarece prin forma diagonala a matricei
 ecuatiile sunt decuplate, iar sistemul poate  usor rezolvat.
begingure[h] setlength unitlength0.14in ng unit length centering be-
ginpicture(32,15) put(3,4) framebox(6,3) HB(q) put(13,4) framebox(6,3) N[cdot]
put(23,4) framebox(6,3) HC(q) put(0,5.5) vector(1,0)3 put(9,5.5) vec-
tor(1,0)4 put(19,5.5) vector(1,0)4 put(29,5.5) vector(1,0)3 put( – 1,6.5)
u(k) put(30,6.5) y(k) put(9.5,6.5) xB(k) put(19.5,6.5) xC(k) endpicture
captionAn LNL Block Oriented Model Structure labelg:lnlblock endgure
 a t,^  s,^ a
18