Linii remarcabile n geometria plan a [611158]

Linii remarcabile ^ n geometria plan a
Cristiana Ganciu
0

Cuprins
1 Linii remarcabile ^ n geometria plan a 2
1.1 Transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ceviene de rang n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Bisectoarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Simediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 ^In alt imea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Dreapta antiortic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Dreapta lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Dreapta lui Euler privit a ca loc geometric . . . . . . . . . 10
1.6 Mediatoarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Dreapta lui Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Drepte izogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Drepte antiparalele ^ n triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Cazuri diferite de congruent  a a triunghiurilor . . . . . . . . . . . 20
2 Provoc ari ale problemelor de geometrie ^ n abordarea la clasa 21
2.1 Probleme cu mai multe solut ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Probleme clasice rezolvate prin mai multe metode . . . . . . . . . 21
2.3 Prezentare metodic a a rezolv arii unor probleme de gimnaziu . . . 21
1

1 Linii remarcabile ^ n geometria plan a
1.1 Transversale
O cevian a ^ ntr-un triunghi este o dreapt a care trece printr-unul dintre
v^ arfurile sale.
Punctul ^ n care aceasta intersecteaz a latura opus a se nume ste piciorul ce-
vienei.
Teorema lui Ceva[1], precum  si reciproca ei caracterizeaz a concurent a a trei
drepte cu ajutorul rapoartelor determinate de picioarele acestora pe laturile
triunghiului.
Diversitatea pozit iilor acestor trei drepte raportate la triunghiul dat face
posibile generaliz ari ale teoremei lui Ceva.
Dar teorema lui Ceva, ^ n forma ^ n care este cunoscut a acum, nu poate
enun at a f ar a a aminti de teorema lui Menelaus . Aceasta a fost publicat a ^ n
lucrarea \Sferika" ^ n sec. 1 d.Hr. de cel cu acela si nume  si folosit a pentru
deducerea unor teoreme fundamentale ale trigonometriei  si chiar mai mult, el
a ar atat c a este valabil a  si ^ n cazul triungiului sferic  si a dezvoltat trigonome-
tria sferic a, at^ at de util a ^ n calculele din astronomie, suprafat a p am^ antului  si
navigat ie. G.Ceva a redescoperit-o ^ n anul 1678, consider^ and-o ca o teorem a
nou a[1].
1.1.1. Teorema lui Menelaus.
Fie A', B', C' (ca ^ n gur a) trei puncte situate pe laturile BC, CA, AB
ale unui triunghi. Condit ia necesar a  si sucient a pentru ca aceste puncte s a e
coliniare, este:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; (1.1.1)
p
r
qdA
B CA0C0B0
Demonstrat ie:
Dac a A', B', C' sunt punctele de intersect ie ale unei drepte d cu dreptele
BC, CA, AB  si se noteaz a cu p, q, r distant ele de la v^ arfurile A, B, C la dreapta
d, atunci folosind rapoarte de asem anare a triunghiurilor = )
A0B
A0C=q
r;B0C
B0A=r
p;C0A
C0B=p
q(1.1.2)
2

=)A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1 (1.1.3)
1.1.2. Teorema lui Ceva.
CA
B
A'B'C'
Figura 1: Ceviene concurente.
Fie M un punct ^ n planul triunghiului ABC. Not^ and cu A';B';C' insert iile
dreptelor AM, BM, CM cu laturile opuse exist a relat ia:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; (1.1.4)
Demonstrat ie: Fie: triunghiul B'BC. Aplic^ and teorema lui Menelaus pen-
tru punctele coliniare A, M, A'  si triunghiul ABB', aplic^ and teorema lui Mene-
laus pentru punctele coliniare C, M,C'
=)A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1;siB0M
M0B
BA0
A0C
CA
B0A= 1; (1.1.5)
Prin ^ nmult irea celor dou a egalit at i se obt ine relat ia cerut a.
Dreptele AM, BM, CM se numesc cevienele punctului M.
Reciproca teoremei lui Ceva:
Dac a punctele A', B', C' sunt situate pe laturile triunghiului ABC  si satisfac
relat ia:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; (1.1.6)
atunci dreptele sunt concurente.
Demonstrat ie:
Fie BB0\CC0=fMg;AM\BC=fA00g (1.1.7)
3

Conform teoremei directe
=)A00B
A00C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; =)A0=A00(1.1.8)
Ceviene izotomice.
Se spune c a dou a ceviene AA'  si AA" sunt izotomice dac a picioarele lor A'
 si A" sunt simetrice ^ n raport cu mijlocul segmentului BC. Cu ajutorul teoremei
lui Ceva, se a
 a c a izotomicele celor trei ceviene ^ n M se ^ nt^ alnesc ^ ntr-un punct
M'. Punctele M  si M' se numesc puncte izotomice.
1.2 Ceviene de rang n
Denit ie. ^In triunghiul ABC, AD se nume ste cevian a de rang n [2], dac a
are loc relat ia
BD
DC=hc
bin
(1.2.1)
unde a,b,c sunt laturile triunghiului, iar k este un num ar real. Analog, se
consider a dreptele BE  si CF, E  si F ind puncte pe laturile AC  si AB. Acestea
sunt ceviene de rang n, adic a:
CE
EA=ha
cin
;AF
FB=b
an
(1.2.2)
Cazuri particulare de existent  a a lui n:
1.medianele sunt ceviene de rangul zero (k = 0):
BD
DC=hc
bi0
=)BD=DC; (1.2.3)
2.bisectoarele sunt ceviene de rangul unu (k = 1):
BD
DC=c
b; (1.2.4)
3.simedienele sunt ceviene de rangul doi (k = 2):
BD
DC=hc
bi2
(1.2.5)
1.2.1 Mediana
Denit ie. Segmentul care une ste un v^ arf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse acestuia, se nume ste median a [3].
Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente [4] ^ ntr-un punct numit
centrul de greutate al triunghiului.
Acesta se noteaz a de obicei cu litera G.
4

Observat ia 1. Punctul G de intersect ie al medianelor AD  si CE se a
 a pe
ecare dintre cele dou a mediane, la dou a treimi de v^ arf  si o treime de mijlocul
laturii opuse.
A
BC
DEF
G
Observat ia 2. Mediana AD, respectiv CE sau BF ^ mpart triunghiul ^ n dou a
triunghiuri de arii egale.
Observat ia 3. Punctele D, E, F determinate de mediane pe laturile triun-
ghiului ABC sunt v^ arfurile unui triunghi numit triunghi median . Triunghiul
DEF este un triunghi asemenea cu triunghiul init ial,
ABC.
Celelalte trei triunghiuri formate din laturile
DEF  si v^ arfurile
ABC sunt
asemenea cu triunghiul ABC  si congruente cu triunghiul median
DEF.
A
B C D1E1F1
E F
DA:
B:C:E:
D:F:
Figura 2: Triunghiul median
Medianele unui triunghi pot forma un alt triunghi [7]
^In triunghiul
ABC se consider a medianele AD, BF, CE. Se poate ar ata
c a se poate construi un vector cu vectorii ~AD,~BF si~CE.
Demonstrat ie: D, E, F ind mijloacele laturilor BC, AB, AC ale triun-
ghiului, atunci:
~AD+~BF+~CE=1
2
~AB+~AC
+1
2
~BA+~BC
+1
2
~CA+~CB
= (1.2.6)
5

=1
2
~AB+~BC+~CA
+1
2
~BA+~CB+~AC
= (1.2.7)
=1
2
~AB~AB+~BC~BC+~CA~CA
=~0 (1.2.8)
Deci vectorii ~AD,~BF,~CEpot forma un triunghi.
O inegalitate cu mediane  si ^ nalt imi
1.2.3. Teorem a. ^In orice triunghi are loc inegalitatea:
R
2rrmambmc
hahbhc(1.2.9)
unde R este raza cercului circumscris triunghiului  si r este raza cercului ^ nscris.
Inegalitatea devine egalitate dac a  si numai dac a triunghiul este echilateral.
Demonstrat ie: Conform [6] exist a:
minmamb
hahb;mbmc
hbhc;mcma
hcha
R
2rmaxmamb
hahb;mbmc
hbhc;mcma
hcha
()
(1.2.10)
Presupunem abc, f ar a s a e afectat a generalitatea. Astfel, minimul din
ecuat ia () este egal cumcma
hcha.
Deci prima inegalitate se poate rescrie sub forma:
R
2rmcma
hcha; (1.2.11)
cu egalitate doar ^ n cazul triunghiurilor echilaterale.
Pe de alt a parte, are loc inegalitatea
R
2rmb
hc; (1.2.12)
inecuat ie datorat a lui L.Panaitpol [5], cu egalitate doar ^ n cazul triunghiu-
rilor echilaterale.
Folosind inegalitatea mediilor, rezult a
R
2r1
2mcma
hcha+mb
hc
rmambmc
hahbhc; (1.2.13)
de unde se deduce:
R
2rrmambmc
hahbhc; (1.2.14)
6

1.2.2 Bisectoarea
Denit ie. Semidreapta, care porne ste din v^ arful unui triunghi  si ^ mparte un-
ghiul ^ n dou a unghiuri egale, se nume ste bisectoare[3] .
^Intr-un triunghi exist a trei bisectoare.
Acestea ind ceviene de rangul unu, sunt concurente ^ ntr-un punct, notat
de obicei cu litera I, numit centrul cercului ^ nscris ^ n triunghi[8] .
Triunghiul
DEF ale c arui v^ arfuri sunt punctele de tangent  a dintre laturile
triunghiului  si cercul ^ nscris se nume ste triunghiul de contact al
ABC.
A
BCE F
DI
Figura 3: Triunghiul de contact
1.2.3 Simediana
Denit ie. Simetrica dreptei suport[9] a uneia dintre medianele a unui tri-
unghi fat  a de dreapta suport a bisectoarei interioare din acela si v^ arf se nume ste
simedian a a triunghiului.
A
B CMLD
Figura 4: Simediana
7

Se consider a triunghiul ABC, ^ n care punctul M este mijlocul laturii ( AC)
 si punctul L este piciorul bisectoarei unghiului
ABC.
Dac a BD este simedian a, rezult a imediat c a
LBD 
LBM  si
ABD 

CBM.
Deoarece dreptele BD  si BM trec prin v^ arful B al triunghiului  si formeaz a
unghiuri congruente cu bisectoarea BL, acestea se numesc izogonale .
Un triunghi are trei simediane, ecare trec^ and prin c^ ate un v^ arf. Acestea
sunt concurente, iar punctul lor de intersect ie se nume ste punctul simedian al
triunghiului  si se noteaz a, de regul a, cu litera K. El mai poart a numele de
punctul lui Lemoine.
De asemenea, trebuie spus c a punctul lui Lemoine  si centrul de greutate sunt
puncte izogonale, deoarece ele se g asesc la intersect ia simedianelor, respectiv la
intersect ia izogonalelor acestora din urm a.
Observat ia 4. Simediana dus a printr-un v^ arf al unui triunghi trece prin punc-
tul de intersect ie a tangentelor ^ n celelalte dou a v^ arfuri, la cercul circumscris
triunghiului.
C
B ADM
L
Figura 5: Simediana
ABC
Dac a se consider a triunghiul
ABC  si C, cercul s au circumscris. Dac a
tangentele ^ n punctele B  si C la cercul C se intersecteaz a ^ n punctul D, atunci
AD este simedian a a triunghiului
ABC.
1.3 ^In alt imea
Denit ie.
Perpendiculara[3] trasat a din v^ arful unui triunghi pe latura opus a, se nume ste
^ n alt ime .
^In alt imile sunt concurente[8] ^ ntr-un punct notat H  si denumit ortocentrul
triunghiului.
Pentru un triunghi ascut itunghic, ortocentrul este ^ n interiorul lui.
^In cazul unui triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu v^ arful unghiului
drept al triunghiului.
8

Observat ia 5. Fie M, N, P picioarele ^ n alt imilor duse din v^ arfurile triunghiu-
lui pe laturile acestuia.
Triunghiul
MNP se nume ste triunghiul ortic al triunghiului
ABC.
A
BC
PN
M
Figura 6: Triunghi ortic
1.3.4. Teorem a. ^Intr-un triunghi, centrul cercului circumscris, ortocentrul
 si centrul de greutate sunt coliniare  si:
HG= 2GO (1.3.1)
=)Numim dreapta Euler, dreapta punctelor O, G, H.
1.4 Dreapta antiortic a
Se consider a un triunghi
ABC. Bisectoarea esterioar a corespunz atoare
v^ arfului A intersecteaz a dreapta BC ^ n punctul A'. Analog se obt in punctele B'
 si C'. Atunci punctele A', B', C' se g asesc pe o aceea si dreapt a, numit a dreapt a
antiortic a a triunghiului
ABC
Demonstrat ie:
cb
CA
BA0
D
Fie a, b, c lungimile laturilor triungiului. Conform teoremei bisectoarei
unghiului exterior, rezult a c a
A0B
A0C=c
b: (1.4.1)
9

Analog se obt in egalit at ile:
B0C
B0A=a
c;C0A
C0B=b
a(1.4.2)
^Inmult ind ultimele trei relat ii, se obt ine:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1 (1.4.3)
 si folosind reciproca lui Menelaus (pentru triunghiul
ABC  si punctele A', B',
C' situate pe prelungirea laturilor triunghiului) se ot ine c a punctele A', B', C'
sunt coliniare.
1.5 Dreapta lui Euler
1.5.5. Teorem a. ^In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G  si
centrul cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.
Dreapta determinat a de cele trei puncte se nume ste dreapta lui Euler [4].
Demonstrat ie:
Dac a triunghiul
ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte
se a
a pe o median a.
^In cazul triunghiului oarecare
ABC, not am cu A 1, B1picioarele^ n alt imilor
din v^ arfurile A  si B, iar picioarele medianelor din aceste v^ arfuri sunt A'  si
B'. Triunghiurile
HAB  si
OA'B' sunt asemenea pentru c a au laturile
paralele. Folosind teorema fundamental a a asem an arii se obt ine:
HA
OA0=HB
OB0=AB
A0B0= 2: (1.5.1)
Dar punctul G ^ mparte mediana ^ n raportulAG
GA0=2. Atunci triunghiurile

OGA'  si
HGA sunt asemenea conform cazului de asem anare LUL  si rezult a
\OGA0=\AGH; (1.5.2)
ceea ce implic a coliniaritatea punctelor O, G, H.
1.5.1 Dreapta lui Euler privit a ca loc geometric
Dreapta lui Euler a unui triunghi poate  g^ andit a ca locul geometric[10] al
punctelor de concurent  a a trei ceviene variabile asociate triunghiului.
Fie O, G, H punctele remarcabile ale triunghiului
ABC, A 1, B1, C1punc-
tele de pe cercul circumscris diametral opuse v^ arfurilor notate corespunz ator,
10

iar SA, SB, SCpuncte pe dreptele A 1M, B 1N, respectiv C 1P (unde M, N, P sunt
mijloacele laturilor) care ^ mpart segmentele orientate A1M,B1N,C1P^ ntr-un
acela si raport k2<
1;4
3
.
A
B
CM
A1O
HGB1C1
NP
SA
1.5.6. Teorem a. Dreptele AS A, BSB si CSCsunt concurente ^ ntr-un punct
situat pe dreapta lui Euler a triunghiului
ABC.
Demonstrat ie: Raport am planul la un reper cu originea^ n centrul cercului
circumscris O; vom nota cu ~ rXvectorul de pozit ie al punctului X. Atunci
~ rSA=1
1k(~ rA1k~ rM) =1
1k
~ rA+k
2(~ rB+~ rC)
: (1.5.3)
Fie Q un punct pe dreapta AS Acare ^ mparte segmentul orientat ASA^ n
raportulQA
QSA=l; avem
~ rQ=1
1l(~ rAl~ rSA) =1
1l~ rAl
(1l) (k1)
~ rA+k
2(~ rB+~ rC)
=
(1.5.4)
=1 +lk
(1l) (1k)~ rA+lk
2 (1l) (1k)~ rB+lk
2 (1l) (1k)~ rC: (1.5.5)
Pentru determinarea lui l 2<f 1gastfel ^ nc^ at ~ rQs a aib a o scriere simetric a
^ n raport cu ~ rA,~ rB,~ rC. Pentru aceasta,
2 (1 +lk) =lk()l(k2) = 22k()l=22k
k2() (1.5.6)
unde l=1 dac a  si numai dac a k=4
3. Pentru valoarea lui l dat a de ( ), obt inem
~ rQ=k
3k4(~ rA+~ rB+~ rC) () (1.5.7)
Consider^ and acum punctele Q' pe BS B si Q" pe CS Ccare^ mpart segmentele
orientate corespunz atoare ^ n acela si raport l dat de ( ), va rezulta c a ~ rQ0=
~ rQ00=~ rQ, deci cele trei puncte coincid.
11

Prin urmare, exist a un punct comun dreptelor AS A, BSB si CSC. Deoarece
~ rO=~ r0 si~ rG=1
3(~ rA+~ rB+~ rC), obt inem c a ~OG=1
3(~ rA+~ rB+~ rC).
Atunci punctul Q dat de ( ) se a
 a pe dreapta OG, care este dreapta lui
Euler a triunghiului
ABC.
Observat ia 6. Pentru k=4
3, dreptele AS A, BSB si CSCnu sunt concurente,
^ ntruc^ at sunt toate paralele cu dreapta lui Euler. ^Intr-adev ar, ^ n acest caz S A
ar  simetricul lui A 1fat  a de H, deoarece punctele H, M  si A 1sunt coliniare  si
M este mijlocul segmentului [HA1]. Rezult a de aici c a HO este linie mijlocie ^ n
triunghiul
A1SAA, deci HOkASA.
Cazul k=1 trebuie evident exclus, ^ ntruc^ at el corespunde punctelor \de la
innit" de pe dreptele A 1M, B 1N, respectiv C 1P.
Observat ia 7. C^ ateva cazuri particulare remarcabile:
k = 0 conduce la obt inerea punctului O drept punct de concurent  a a dia-
metrelor AA 1, BB 1, CC 1;
k = 2 corespunde situat iei ^ n care S A= SB= SC= H; evident atunci c a
punctul de concurent  a Q dat de (**) este chiar H, ortocentrul triunghiului;
1.6 Mediatoarea
Denit ie. Perpendiculara pe mijlocul unei laturi a triunghiului se nume ste
mediatoare .
Cele trei mediatoare ale triunghiului sunt concurente^ ntr-un punct O, numit
centrul cercului circumscris triunghiului .
Observat ia 8. Triunghiul podar [2] este triunghiul format de proiect iile unui
punct pe laturile sau prelungirile laturilor unui triunghi.
Particular, ^ n cazul mediatoarelor, triunghiul podar al
ABC este triun-
ghiul
MNP cu v^ arfurile ^ n punctele de intersect ie ale mediatoarelor cu laturile
triunghiului
ABC.
Fie
ABC  si punctul M 2(ABC ). Proiect^ and punctul M pe laturile
ABC
^ n punctele A 1, B1, C1, obt inem
A 1B1C1numit triunghiul podar al punctului
M.
1.6.7. Teorem a. Laturile triunghiului podar sunt proport ionale cu produsele
AM
BC, BM
CA  si CM
AB.
Demostrat ie: Avem relat iile:
m(\BMC ) =m(\BMA 1) +m(\CMA 1) = (1.6.1)
=m(\BC1A1) +m(\CB1A1) =m(\B1AC1) +m(\B1A1C1); (1.6.2)
sau
=A+A1; (1.6.3)
12

A:
B:C:OM
NPA
BCM1C2
A1B1
Figura 7: Triunghi podar
not^ and prin ,,
– unghiurile sub care sunt v azute laturile din punctul M.
1.6.8. Teorema Pompeiu, 1936.
Cu distant ele unui punct la v^ arfurile unui triunghi echilateral putem s a
form am un triunghi.
Demonstrat ie:
Deoarece o latur a a unui triunghi este cel mult egal a cu suma celorlalte
dou a, B 1C1A1B1+ A 1C1
rezult a c a pentru patru puncte A, B, C, M, arbitrar ^ n plan, exist a relat ia:
AM
BCBM
CA+CM
AB:() (1.6.4)
^In particular, dac a
ABC este echilateral atunci:
AMBM +CM: () (1.6.5)
Relat ia () devine o egalitate dac a punctele A 1, B1, C1sunt coliniare, deci
m(A)=0o si atunci din relat ia ( ),=A, adic a punctul M este situat pe cercul
circumscris.
1.7 Dreapta lui Simson
1.7.9. Teorem a Simson. Proiect iile ortogonale ale unui punct M de pe
cercul circumscris triunghiului
ABC pe laturile acestuia sunt coliniare [2].
A1B1C1poart a numele de dreapta lui Simson a punctului M, ^ n raport
cu
ABC.
Demonstrat ie:
13

Fie: A 1=prBCM, B 1=prACM, C 1=prABM.
AB1MC1, MB 1A1C, ABCM sunt patrulatere inscriptibile.
Unim A 1cu B 1 si B 1cu C 1=)
m(\A1B1C) =m(\A1MC) = 90om(\A1CM) = (1.7.1)
= 90om(\C1AM) =m(\C1MA) =m(\C1B1A) (1.7.2)
=)\C1B1A\A1B1C (1.7.3)
=)A1, B1, C1sunt situate pe aceea si dreapt a.
A
BCM C1
B1
A1A:M:
A;
Figura 8: Dreapta lui Simson  si dreapta AA' kSimson
Observat ia 9.
Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului
ABC  si A' intersect ia
cercului cu perpendiculara din M pe latura BC.
=)Dreapta AA' este paralal a cu dreapta Simson a punctului M.
Observat ia 10.
Dreptele lui Simson ale v^ arfurilor unui triunghi sunt ^ n alt imile, deoarece
picioarele perpendicularelor ridicate din A pe dreptele AB  si AC coincid
cu A, iar perpendiculara pe dreapta BC este ^ n alt imea AH A.
Dreptele lui Simson ale punctelor diametral opuse v^ arfurilor sunt laturile
triunghiului, c aci dac a A leste opusul lui A, unghiurile \ABAl si\ACAl
sunt drepte.
Dreptele lui Simson ale punctelor de intersect ie ale ^ n alt imilor cu cercul
circumscris
ABC sunt paralele cu tangentele ^ n A, B, C la cercul cir-
cumscris  si trec prin v^ arfurile triunghiului ortic, pentru c a dreapta AH A
este perpendicular a pe BC, trebuie deci s a e dus a tangenta ^ n A pen-
tru a avea direct ia dreptei Simson a dreptei AH A. Aceste drepte Simson
formeaz a triunghiul antimedial al triunghiului ortic.
14

Dreptele lui Simson ale punctelor A", B", C" (picioarele bisectoarelor in-
terioare pe cercul cirsumscris), trec prin A', B', C' (mijloacele laturilor
respective)  si sunt perpendiculare pe aceste bisectoare.
1.7.10. Teorema Simson generalizat a.
Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului
ABC  si e A'2(BC),
B'2(CA), C'2(BA). Dac a\MC0A\MB0C\MA0C, atunci punctele A', B',
C' sunt coliniare.
Demonstrat ie:
Patrulaterele ABCM, AB'MC'  si A'B'MC sunt inscriptibile. Se unesc A'
cu B'  si B' cu C'. Atunci: \C0B0M\C0AM\MCB =)\A0B0M+\MB0C0=
\A0B0M+\MCB = 180o.
=)punctele A', B', C' sunt coliniare.
1.7.11. Teorema Lalescu[1].
Fie
ABC  si
A1B1C1dou a triunghiuri ^ nscrise ^ n cercul C (O;R). Dac a
dreapta lui Simson a punctului A 1^ n raport cu triunghiul ABC este perpendi-
cular a pe dreapta B 1C1, atunci:
1. aceast a proprietate este adev arat a pentru toate v^ arfurile
A1B1C1.
2. dreptele Simson ale v^ arfurilor
ABC ^ n raport cu
A1B1C1sunt perpen-
diculare pe laturile
ABC.
Demonstrat ie:A
B
CA1C1B1A2
D
Fie C(O;R) – cercul circumscris
ABC  si e B 1, C12C(O;R).
perpendiculara din A pe B 1C1taie cercul ^ n A 2;
perpendiculara din A 2pe BC taie cercul ^ n A 1.
AA2este paralel a cu dreapta Simson a punctului A 1^ n raport cu
ABC.
 si
AA2?B1C1=)dreapta Simson a punctului A 1^ n raport cu
ABC este
perpendicular a pe B 1C1.
15

FiefDg=BC\B1C1=)\B1DB\AA2A1
=)m(BAA 1) =m(BAB 1)m(BAC 1) (1.7.4)
Dac a se iau arcele ^ n acela si sens, atunci:
m(BAB 1) = 360om(B1CB) (1.7.5)
Folosind ultimele dou a egalit at i = )
m(BAA 1) +m(BAB 1) +m(BAC 1) = 0o(1.7.6)
Deoarece aceast a relat ie este simetric a ^ n A 1, B1, C1=)dreapta Simson
a v^ arfului B 1este perpendicular a pe A 1B1 si, de asemenea dreapta Simson a
v^ arfului C 1este perpendicular a pe A 1B1.
Relat ia este simetric a  si ^ n cazul triunghiurilor
ABC  si
A 1B1C1=)
dreapta Simson a v^ arfului A raport cu
ABC este perpendicular a pe BC.
T. Lalescu a enunt at primele propriet at i ale perechii de triunghiuri de-
nite mai sus  si le-a numit \triunghiuri S" (^ n articolul intitulat \O clas a de
triunghiuri remarcabile" publicat ^ n Gazeta matematic a vol 20/1915).
Propriet at i:
Dreapta Simson a ec arui v^ arf al triunghiului
A1B1C1este perpendicu-
lar a pe latura opus a.
Dreptele Simson ale v^ arfurilor
A1B1C1sunt concurente.
Relat ia dintre triunghiurile
ABC  si
A1B1C1este reciproc a: triunghiul

ABC este un triunghi S ^ n raport cu
A1B1C1.
Punctul de ^ nt^ alnire al dreptelor Simson pentru cele dou a triunghiuri este
mijlocul!al dreptei care une ste ortocentrele H  si H' ale triunghiurilor

ABC  si
A1B1C1.
1.8 Drepte izogonale
Denit ie. Neuberg
Dou a drepte, care trec prin v^ arful unui triunghi  si care formeaz a unghiuri
egale cu bisectoarele sale, se numesc izogonale fat  a de acest unghi sau fat  a de
laturile sale.
1.8.12. Teorema Steiner[11].
16

Fie triunghiul
ABC  si punctele A 1, A22BC, astfel ^ nc^ at AA 1 si AA 2
suntizogonale . Atunci
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
(1.8.1)
Demonstrat ie:
\BAA 1\CAA 2=)\CAA 1\BAA 2
\AA1B si\AA1Csunt suplementare = )sin
\AA1B
=sin
\AA1C
Dac a se aplic a teorema sinusurilor ^ n \AA1B si\AA1Crezult a:
A1B=AB
sin
\BAA 1
sin
\AA1B;A1C=AC
sin
\CAA 1
sin
\AA1C
| {z }
+(1.8.2)
A1B
A1C=AB
sin
\BAA 1
AC
sin
\CAA 1() (1.8.3)
 si
A2B
A2C=AB
sin
\BAA 2
AC
sin
\CAA 2() (1.8.4)
din relat iile ();()|{z}
+
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2

sin
\BAA 1
sin
\CAA 1
sin
\BAA 2
sin
\CAA 2=AB
AC2
=) (1.8.5)
 stim c a\BAA 1\CAA 2 si\CAA 1\BAA 2
dup a simplicare = )
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
(1.8.6)
1.8.13. Teorem a. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt concurente.
Demonstrat ie: Fie
ABC , AA 1, BB 1 si CC 1cele trei ceviene concurente
 si AA 2, BB 2 si CC 2izogonalele lor.
17

A
B CA1A2A:
B: C: A:1A:2C1C2
B2B1
Figura 9: Ceviene izogonale.
AA1, BB 1 si CC 1sunt concurente. Din reciproca teoremei lui Ceva rezult a
c aA1B
A1C
B1C
B1A
C1A
C1B= 1 (1.8.7)
AA1 si AA 2sunt izogonale. Din teorema lui Steiner rezult a c a
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
=)A2C
A2C=A1B
A1C
AC
AB2
(1.8.8)
Analog,
=)B2A
B2C=B1C
B1A
AB
BC2
(1.8.9)
 si
C2B
C2A=C1A
C1B
BC
AC2
(1.8.10)
Dup a ^ nmult irea ultimelor trei ecuat ii, simplic^ and se obt ine:
A2C
A2B
B2A
B2C
C2B
C2A= 1 (1.8.11)
Din reciproca teoremei lui Ceva rezult a c a AA 2, BB 2 si CC 2sunt concu-
rente.
Observat ia 11. Fiecare ^ n alt ime a triunghiului  si diametrul cercului ,
duse din acela si v^ arf, sunt izogonale ale triunghiului.
Deoarece, de exemplu, ^ n alt imea AH 1a triunghiului
ABC  si diametrul
AP al cercului circumscris formeaz a unghiuri egale cu laturile AB  si AC ale
triunghiului.
Din aceast a cauz a: produsul distant elor ortocentrului  si a centrului cercului
circumscris la o latur a a triunghiului este egal cu produsul distant elor acestor
puncte la oricare alt a latur a a sa.
18

OA
C
D
EF= 24
= 24
Figura 10: ^In alt imea  si diametrul sunt ceviene izogonale.
1.9 Drepte antiparalele ^ n triunghi
Denit ie.
O dreapt a taie laturile AC, AB ale triunghiului
ABC ^ n B', C'. Dac a
\AB0C0\ABC , atunci B'C' este antiparalal a cu BC[12]. Evident, ^ n acest
caz,\AC0B0\ACB .
Observat ia 12.
O dreapt a care este antiparalel a cu una dintre laturile triunghiului, fat  a de
celelalte dou a laturi ale sale, se nume ste antiparalel a a triunghiului .
Lungimea segmentului unei antiparalele a triunghiului cuprins ^ ntre latu-
rile sale (sau ^ ntre prelungirile acestora) poart a numele de lungimea anti-
paralelei.
Dreptele care sunt antiparalele cu o aceea si latur a a unui triunghi, sunt
paralele ^ ntre ele. Astfel, dou a drepte sunt antiparalele fat  a de laturile
unui unghi atunci c^ and valorile segmentelor lor sunt invers proport ionale.
Reciproc, dreptele care ^ ndeplinesc condit ia de mai sus sunt antiparalele.
Dac a un cerc trece prin v^ arfurile B  si C ale triunghiului ABC  si inter-
secteaz a laturile AB  si AC ^ n punctele D  si F (ca ^ n gura de mai jos),
atunci dreapta DF este antiparalel a cu latura BC fat  a de dreptele AB  si
AC.
Dac a cercul trece  si prin v^ arful A, atunci dreapta DF devine tangenta
din v^ arful A la cercul circumscris triunghiului. Prin urmare, tangenta
la cercul circumscris triunghiului, care trece printr-un v^ arf al s au, este
antiparalel a cu latura opus a.
19

A1A
B CDF
Figura 11: Antiparalela DF a
ABC
1.9.14. Teorema Lhuilier [11].
^Intr-un triunghi, simediana unui v^ arf este locul geometric al mijloacelor
antiparalelelor la latura opus a.
Demonstrat ie:
Fie triunghiul
ABC  si antiparalela B 1C1. Fie B 2,C2simetricele punc-
telor B 1,C1^ n raport cu bisectoarea \A. Deoarece
AB1C1
AB2C2=)
\AB1C1

\AB2C2

\ABC
, deci B 2C2kBC.
Locul geometric al mijloacelor segmentelor paralele cu o latur a a unui
triunghi  si cu capetele pe celelalte dou a laturi este mediana triunghiului co-
res[unz atoare laturii paralele cu segmentele.
Deoarece mijlocul segmentului (B'C') se transform a ^ n mijlocul segmentului
(B"C"), rezult a c a locul geometric al mijloacelor antiparalelelor cu latura BC
este simetrica medianei fat  a de bisectoarea corespunz atoare unghiului \A, adic a
simediana din v^ arful A.
1.10 Cazuri diferite de congruent  a a triunghiurilor
^In contextul unor probleme complexe, noi cazuri de congruent  a[13] ar pu-
tea oferi o rezolvare mai elegant a  si simpl a. De si nu sunt de important a celor
clasice, ^ n momentul studierii unor noi elemente ale triunghiului (^ n alt imi, me-
diane, simediane, razele cercurilor ^ nscrise  si circumscrise etc.) devine posibil a
studierea unor noi cazuri valabile de congruent  a a triunghiurilor.
Dac a ^ ntr-unul dintre cazurile de congruent  a cunoscute s-ar ^ nlocui elemen-
tul L(latura) cu ^ n alt imea, mediana sau chiar cu ceviene oarecare, a sa cum se
va vedea mai jos, se pot obt ine alte cazuri posibile de congruent  a.
20

1. Pentru generalizarea cazului (LLL) de congruent  a a dou a triunghiuri, se
vor ^ nlocui ^ n enunt ul acestuia, laturile cu trei ceviene.
2. Pentru cazul (LUL) de congruent  a se va considera cazul ^ n care L este
^ nlocuit cu r sau R (consider^ and notat iile uzuale pentru raza cercului in-
scris/circumscris).
3. Pentru cazul (ULU), elementul L va  ^ nlocuit cu R sau r.
Cazul 1) pentru ceviene interioare triunghiului = )Fie
ABC un triunghi
oarecare  si P2(BC). Ceviana AP este determinat a ^ n mod corespunz ator de
relat ia BP = pBC , unde p2(0,1). Se poate spune pe scurt c a AP este determi-
nat a de p2(0,1), sau AP corespunde lui p.
Prin urmare, se consider a laturile AB  si AC corespunz atoare valorilor p=0,
respectiv p=1. ^In mod evident, ceviana interioar a triunghiului va avea asociat a
o valoare p ^ ntre 0  si 1.
Se observ a c a PC=(p – 1)BC .
1.10.15. Teorema lui Stewart[4].
Fie un triunghi
ABC cu lungimile laturilo BC=a, AC=b, AC=c. Fie un
punct pe latura [BC] care divide latura ^ n dou a segmente cu lungimile BP=x,
PC=y. Lungimea segmentului AP o vom nota cu p. Atunci:
a
p2+xy

=b2x+c2y (1.10.1)
Demonstrat ie:
Se aplic a teorema lui Pitagora generalizat a ^ n triunghiurile
ABP  si
APC
corespunz atoare unghiurilor suplementare \APB  si[APC , se ^ nmult e ste cu y,
respectiv x  si se adun a rezultatele obt inute.
Conform teoremei lui Stewart, lungimea cevienei AP este dat a de formula:
AP2=p(1p)a2+pb2+ (1p)c2(1.10.2)
Fie dou a triunghiuri
ABC  si
A'B'C'. Dreptele AP  si A'P' se numesc
ceviene corespunz atoare ^ n aceste triunghiuri, dac a ele sunt determinate de un
acela si num ar p2(0,1). Prin urmare au loc relat iile BP = pBC  siB'P' = pB'C' .
1.10.16. Teorem a. ^In triunghiurile
ABC si
A'B'C' se consider a cevie-
nele distincte AP 1, AP 2, cu P 1, P22(BC), ceviana BQ, Q 2(CA)  si respectiv
dreptele corespunz atoare A'P 1, A'P 2, B'Q'. Atunci:
(1.10.3)
21

2 Provoc ari ale problemelor de geometrie^ n abor-
darea la clasa
2.1 Probleme cu mai multe solut ii
!8 solutii 9 solutii
2.2 Probleme clasice rezolvate prin mai multe metode
geometrie pt prof p95 pb patrat p 80 banici
2.3 Prezentare metodic a a rezolv arii unor probleme de
gimnaziu
Bibliograe
[1] Stanciu, M., Geometria elementelor remarcabile ^ n triunghi , Bucure sti,
2002 , 24,39-41
[2] Mure san, D., Teoreme clasice despre dreapt a  si cerc. , Cluj-Napoca, 2010,
28-30
[3] Udrea, T., Nit escu, D., Matematic a, manual pentru clasa a VI-a , Editura
Didactic a  si pedagogic a, 2017
[4] Frigioiu, C., Capitole speciale de geometrie pentru profesori , Galat i, 2010
[5] Panaitpol, L., O inegalitate ^ n triunghi , Gazeta Matematic a, 2001, 146-148
[6] Jig au, V., O inegalitate relativ la mediane  si ^ n alt imi , Recreat ii matematice,
2/2016, 112-114
[7] Simionescu, G., S tef anescu, V., Aplicat ii ale calculului vectorial ^ n geome-
trie  si trigonometrie , Editura Didactic a  si Pedagogic a, Bucure sti, 1975,
80-81
[8] B anici, S., Strategii  si metode de predare-^ nv at are-evaluare a geometriei
triunghiului  si a cercului ^ n gimnaziu , Bra sov, 2016, 80,91-95
[9] Negrescu, A., Bucuria simedianei , Gazeta Matematic a, 6/2013, 293-295
[10] Georgescu, P., Popa, G., Dreapta lui Euler privit a ca loc geometric ,
Recreat ii matematice, 2/2002, 6-7
[11] Neagoe, P., Ceviene izogonale. Simediane. , RMCS 26/2008, Editura Neu-
trino, Re sit a, 2008, 5-6
[12] Efremov, D., Noua geometrie a triunghiului , Editura Gil, Zal au, 2010, 93-99
22

[13] Chiril a, C., Alte cazuri de congruent  a a triunghiurilor , Recreat ii matema-
tice, 2/2016, 129-131
[14] B^ rsan, P., Ceviene ^ n congruent a triunghiurilor , Recreat ii matematice,
1/2001, 16-19
[15] Cohal, E., Chestiuni complementare manualelor – Construct ii geometrice
cu echerul , Recreat ii matematice, 1/2002, 41-42
[16] Petric a, D., Manea, C., Gazeta Matematic a, nr.2/2011
23