Linii remarcabile n geometria plan a [611157]

Linii remarcabile ^ n geometria plan a
Cristiana Ganciu
0

Cuprins
1 Linii remarcabile ^ n geometria plan a 2
1.1 Ceviene de rang n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Bisectoarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Simediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 ^In alt imea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dreapta lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Dreapta lui Euler privit a ca loc geometric . . . . . . . . . 9
1.4 Mediatoarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Dreapta lui Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Drepte izogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Drepte antiparalele ^ n triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Alte cazuri de congruent  a a triunghiurilor . . . . . . . . . . . . . 16
1

1 Linii remarcabile ^ n geometria plan a
1.1 Ceviene de rang n
O cevian a ^ ntr-un triunghi este o dreapt a care trece printr-unul dintre
v^ arfurile sale.
Punctul ^ n care aceasta intersecteaz a latura opus a se nume ste piciorul ce-
vienei.
Teorema lui Ceva, precum  si reciproca ei caracterizeaz a concurent a a trei
drepte cu ajutorul rapoartelor determinate de picioarele acestora pe laturile
triunghiului. Diversitatea pozit iilor acestor trei drepte raportate la triunghiul
dat face posibile generaliz ari ale teoremei lui Ceva.
Teorema 1. Teorema lui Ceva
CA
B
A'B'C'
Figura 1: Ceviene concurente.
Fie M un punct ^ n planul triunghiului ABC. Notnd cu A';B';C' insert iile
dreptelor AM, BM, CM cu laturile opuse exist a relat ia:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; (1)
Demonstrat ie: Fie: triunghiul B'BC. Aplic^ and teorema lui Menelaus pen-
tru punctele coliniare A, M, A'  si triunghiul ABB', aplic^ and teorema lui Mene-
laus pentru punctele coliniare C, M,C'
=)A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1;siB0M
M0B
BA0
A0C
CA
B0A= 1; (2)
Prin ^ nmult irea celor dou a egalit at i se obt ine relat ia cerut a.
Dreptele AM, BM, CM se numesc cevienele punctului M.
2

Reciproca teoremei lui Ceva: Dac a punctele A', B', C' sunt situate pe
laturile triunghiului ABC  si satisfac relat ia:
A0B
A0C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; (3)
atunci dreptele sunt concurente.
Demonstrat ie:
Fie BB0\CC0=fMg;AM\BC=fA00g (4)
Conform teoremei directe
=)A00B
A00C
B0C
B0A
C0A
C0B= 1; =)A0=A00(5)
Denitia 1.
^In triunghiul ABC, AD se nume ste cevian a de rang n , dac a are loc relat ia
BD
DC=hc
bin
(6)
unde a,b,c sunt laturile triunghiului, iar k este un num ar real. Analog, se
consider a dreptele BE  si CF, E  si F ind puncte pe laturile AC  si AB. Acestea
sunt ceviene de rang n, adic a:
CE
EA=ha
cin
;AF
FB=b
an
(7)
Cazuri particulare de existent  a a lui n:
1.medianele sunt ceviene de rangul zero (k = 0):
BD
DC=hc
bi0
=)BD=DC; (8)
2.bisectoarele sunt ceviene de rangul unu (k = 1):
BD
DC=c
b; (9)
3.simedienele sunt ceviene de rangul doi (k = 2):
BD
DC=hc
bi2
(10)
3

1.1.1 Mediana
Denitia 2. Segmentul care une ste un v^ arf al triunghiului cu mijlocul laturii
opuse acestuia, se nume ste median a .
Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente ^ ntr-un punct numit
centrul de greutate al triunghiului.
Acesta se noteaz a de obicei cu litera G.
A
BC
DEF
G
Observat ia 1. Punctul G de intersect ie al medianelor AD  si CE se a
 a pe
ecare dintre cele dou a mediane, la dou a treimi de v^ arf  si o treime de mijlocul
laturii opuse.
Observat ia 2. Mediana AD, respectiv CE sau BF ^ mpart triunghiul ^ n dou a
triunghiuri de arii egale.
Observat ia 3. Punctele D, E, F determinate de mediane pe laturile triun-
ghiului ABC sunt v^ arfurile unui triunghi numit triunghi median . Triunghiul
DEF este un triunghi asemenea cu triunghiul init ial,
ABC.
Celelalte trei triunghiuri formate din laturile
DEF  si v^ arfurile
ABC
sunt asemenea cu triunghiul ABC  si congruente cu triunghiul median
DEF.
A
B C D1E1F1
E F
DA:
B:C:E:
D:F:
Figura 2: Triunghiul median
4

Medianele unui triunghi pot forma un alt triunghi
^In triunghiul
ABC se consider a medianele AD, BF, CE. Se poate ar ata
c a se poate construi un vector cu vectorii ~AD,~BF si~CE.
Demonstrat ie: D, E, F ind mijloacele laturilor BC, AB, AC ale triun-
ghiului, atunci:
~AD+~BF+~CE=1
2
~AB+~AC
+1
2
~BA+~BC
+1
2
~CA+~CB
= (11)
=1
2
~AB+~BC+~CA
+1
2
~BA+~CB+~AC
= (12)
=1
2
~AB~AB+~BC~BC+~CA~CA
=~0 (13)
Deci vectorii ~AD,~BF,~CEpot forma un triunghi.
O inegalitate cu mediane  si ^ nalt imi
Teorema 2. ^In orice triunghi are loc inegalitatea:
R
2rrmambmc
hahbhc(14)
unde R este raza cercului circumscris triunghiului  si r este raza cercului ^ nscris.
Inegalitatea devine egalitate dac a  si numai dac a triunghiul este echilateral.
Demonstrat ie: Conform RMCS2016 exist a:
minmamb
hahb;mbmc
hbhc;mcma
hcha
R
2rmaxmamb
hahb;mbmc
hbhc;mcma
hcha
() (15)
Presupunem abc, f ar a s a e afectat a generalitatea. Astfel, minimul din
ecuat ia () este egal cumcma
hcha.
Deci prima inegalitate se poate rescrie sub forma:
R
2rmcma
hcha; (16)
cu egalitate doar ^ n cazul triunghiurilor echilaterale.
Pe de alt a parte, are loc inegalitatea
R
2rmb
hc; (17)
inecuat ie datorat a lui L.Panaitpol (RMCS2001 p.146), cu egalitate doar ^ n
cazul triunghiurilor echilaterale.
Folosind inegalitatea mediilor, rezult a
R
2r1
2mcma
hcha+mb
hc
rmambmc
hahbhc; (18)
de unde se deduce:
R
2rrmambmc
hahbhc; (19)
5

1.1.2 Bisectoarea
Denitia 3. Semidreapta, care pornete din v^ arful unui triunghi  si ^ mparte
unghiul ^ n dou a unghiuri egale, se numete bisectoare .
^Intr-un triunghi exist a trei bisectoare.
Acestea ind ceviene de rangul unu, sunt concurente ^ ntr-un punct, notat
de obicei cu litera I, numit centrul cercului ^ nscris ^ n triunghi .
Triunghiul
DEF ale c arui v^ arfuri sunt punctele de tangent  a dintre laturile
triunghiului  si cercul ^ nscris se nume ste triunghiul de contact al
ABC.
A
BCE F
DI
Figura 3: Triunghiul de contact
1.1.3 Simediana
Denitia 4. Simetrica dreptei suport a uneia dintre medianele a unui tri-
unghi fat  a de dreapta suport a bisectoarei interioare din acela si v^ arf se nume ste
simedian a a triunghiului.
A
B CMLD
Figura 4: Simediana
Dac a se consider a triunghiul ABC, ^ n care punctul M este mijlocul laturii
(AC)  si punctul L este piciorul bisectoarei unghiului
ABC.
6

Dac a BD este simedian a, rezult a imediat c a
LBD 
LBM  si
ABD 

CBM.
Deoarece dreptele BD  si BM trec prin v^ arful B al triunghiului  si formeaz a
unghiuri congruente cu bisectoarea BL, acestea se numesc izogonale .
Un triunghi are trei simediane, ecare trec^ and prin c^ ate un v^ arf. Acestea
sunt concurente, iar punctul lor de intersect ie se nume ste punctul simedian al
triunghiului  si se noteaz a, de regul a, cu litera K. El mai poart a numele de
punctul lui Lemoine.
De asemenea, trebuie spus c a punctul lui Lemoine  si centrul de greutate sunt
puncte izogonale, deoarece ele se g asesc la intersect ia simedianelor, respectiv la
intersect ia izogonalelor acestora din urm a.
Observat ia 4. Simediana dus a printr-un v^ arf al unui triunghi trece prin punc-
tul de intersect ie a tangentelor ^ n celelalte dou a v^ arfuri, la cercul circumscris
triunghiului.
C
B ADM
L
Figura 5: Simediana
ABC
Dac a se consider a triunghiul
ABC  si C, cercul s au circumscris. Dac a
tangentele ^ n punctele B  si C la cercul C se intersecteaz a ^ n punctul D, atunci
AD este simedian a a triunghiului
ABC.
1.2 ^In alt imea
Denitia 5.
Perpendiculara trasat a din v^ arful unui triunghi pe latura opus a, se nume ste
^ n alt ime .
^In alt imile sunt concurente ^ ntr-un punct notat H  si denumit ortocentrul
triunghiului. Pentru un triunghi ascut itunghic, ortocentrul este ^ n interiorul
lui.^In cazul unui triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu v^ arful unghiului
drept al triunghiului.
7

Observat ia 5. Fie M, N, P picioarele ^ n alt imilor duse din v^ arfurile triunghiu-
lui pe laturile acestuia.
Triunghiul
MNP se nume ste triunghiul ortic al triunghiului
ABC.
A
BC
PN
M
Figura 6: Triunghi ortic
Teorema 3. ^Intr-un triunghi, centrul cercului circumscris, ortocentrul  si cen-
trul de greutate sunt coliniare  si:
HG= 2GO (20)
=)Numim dreapta Euler, dreapta punctelor O, G, H.
1.3 Dreapta lui Euler
Teorema 4. ^In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G  si centrul
cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.
Dreapta determinat a de cele trei puncte se nume ste dreapta lui Euler .
Demonstrat ie:
Dac a triunghiul
ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte
se a
a pe o median a.
^In cazul triunghiului oarecare
ABC, not am cu A 1, B1picioarele^ n alt imilor
din v^ arfurile A  si B, iar picioarele medianelor din aceste v^ arfuri sunt A'  si
B'. Triunghiurile
HAB  si
OA'B' sunt asemenea pentru c a au laturile
paralele. Folosind teorema fundamental a a asem an arii se obt ine:
HA
OA0=HB
OB0=AB
A0B0= 2: (21)
Dar punctul G ^ mparte mediana ^ n raportulAG
GA0=2. Atunci triunghiurile

OGA'  si
HGA sunt asemenea conform cazului de asem anare LUL  si rezult a
dOGA0=dAGH; (22)
ceea ce implic a coliniaritatea punctelor O, G, H.
8

1.3.1 Dreapta lui Euler privit a ca loc geometric
Dreapta lui Euler a unui triunghi poate  g^ andit a ca locul geometric al punctelor
de concurent  a a trei ceviene variabile asociate triunghiului.
A
B
CM
A1O
HGB1C1
NP
SA
Fie O, G, H punctele remarcabile ale triunghiului
ABC, A 1, B1, C1punc-
tele de pe cercul circumscris diametral opuse v^ arfurilor notate corespunz ator,
iar SA, SB, SCpuncte pe dreptele A 1M, B 1N, respectiv C 1P (unde M, N, P sunt
mijloacele laturilor) care ^ mpart segmentele orientate A1M,B1N,C1P^ ntr-un
acela si raport k2<
1;4
3
.
Teorema 5. Dreptele AS A, BSB si CSCsunt concurente ^ ntr-un punct situat
pe dreapta lui Euler a triunghiului
ABC.
Demonstrat ie: Raport am planul la un reper cu originea^ n centrul cercului
circumscris O; vom nota cu ~ rXvectorul de pozit ie al punctului X. Atunci
~ rSA=1
1k(~ rA1k~ rM) =1
1k
~ rA+k
2(~ rB+~ rC)
: (23)
Fie Q un punct pe dreapta AS Acare ^ mparte segmentul orientat ASA^ n
raportulQA
QSA=l; avem
~ rQ=1
1l(~ rAl~ rSA) =1
1l~ rAl
(1l) (k1)
~ rA+k
2(~ rB+~ rC)
=
(24)
=1 +lk
(1l) (1k)~ rA+lk
2 (1l) (1k)~ rB+lk
2 (1l) (1k)~ rC: (25)
Pentru determinarea lui l 2<f 1gastfel ^ nc^ at ~ rQs a aib a o scriere simetric a
^ n raport cu ~ rA,~ rB,~ rC. Pentru aceasta,
2 (1 +lk) =lk()l(k2) = 22k()l=22k
k2() (26)
9

unde l=1 dac a  si numai dac a k=4
3. Pentru valoarea lui l dat a de ( ), obt inem
~ rQ=k
3k4(~ rA+~ rB+~ rC) () (27)
Consider^ and acum punctele Q' pe BS B si Q" pe CS Ccare^ mpart segmentele
orientate corespunz atoare ^ n acela si raport l dat de ( ), va rezulta c a ~ rQ0=
~ rQ00=~ rQ, deci cele trei puncte coincid.
Prin urmare, exist a un punct comun dreptelor AS A, BSB si CSC. Deoarece
~ rO=~ r0 si~ rG=1
3(~ rA+~ rB+~ rC), obt inem c a ~OG=1
3(~ rA+~ rB+~ rC).
Atunci punctul Q dat de ( ) se a
 a pe dreapta OG, care este dreapta lui
Euler a triunghiului
ABC.
Observat ia 6. Pentru k=4
3, dreptele AS A, BSB si CSCnu sunt concurente,
^ ntruc^ at sunt toate paralele cu dreapta lui Euler. ^Intr-adev ar, ^ n acest caz S A
ar  simetricul lui A 1fat  a de H, deoarece punctele H, M  si A 1sunt coliniare  si
M este mijlocul segmentului [HA1]. Rezult a de aici c a HO este linie mijlocie ^ n
triunghiul
A1SAA, deci HOkASA.
Cazul k=1 trebuie evident exclus, ^ ntruc^ at el corespunde punctelor \de la
innit" de pe dreptele A 1M, B 1N, respectiv C 1P.
Observat ia 7. C^ ateva cazuri particulare remarcabile:
k = 0 conduce la obt inerea punctului O drept punct de concurent  a a dia-
metrelor AA 1, BB 1, CC 1;
k = 2 corespunde situat iei ^ n care S A= SB= SC= H; evident atunci c a
punctul de concurent  a Q dat de (**) este chiar H, ortocentrul triunghiului;
1.4 Mediatoarea
Denitia 6. Perpendiculara pe mijlocul unei laturi a triunghiului se nume ste
mediatoare .
Cele trei mediatoare ale triunghiului sunt concurente^ ntr-un punct O, numit
centrul cercului circumscris triunghiului .
Observat ia 8. Triunghiul podar este triunghiul format de proiect iile unui
punct pe laturile sau prelungirile laturilor unui triunghi.
Particular, ^ n cazul mediatoarelor, triunghiul podar al
ABC este triun-
ghiul
MNP cu v^ arfurile ^ n punctele de intersect ie ale mediatoarelor cu laturile
triunghiului
ABC.
Fie
ABC  si punctul M 2(ABC ). Proiect^ and punctul M pe laturile
ABC
^ n punctele A 1, B1, C1, obt inem
A 1B1C1numit triunghiul podar al punctului
M.
Teorema 6. Laturile triunghiului podar sunt proport ionale cu produsele AM
BC,
BM
CA  si CM
AB.
10

A:
B:C:OM
NPA
BCM1C2
A1B1
Figura 7: Triunghi podar
Demostrat ie: Avem relat iile:
m(6BMC ) =m(6BMA 1) +m(6CMA 1) = (28)
=m(6BC1A1) +m(6CB1A1) =m(6B1AC1) +m(6B1A1C1); (29)
sau
=A+A1; (30)
not^ and prin ,,
– unghiurile sub care sunt v azute laturile din punctul M.
Teorema 7. Pompeiu, 1936
Cu distant ele unui punct la v^ arfurile unui triunghi echilateral putem s a
form am un triunghi.
Demonstrat ie:
Deoarece o latur a a unui triunghi este cel mult egal a cu suma celorlalte
dou a, B 1C1A1B1+ A 1C1
rezult a c a pentru patru puncte A, B, C, M, arbitrar ^ n plan, exist a relat ia:
AM
BCBM
CA+CM
AB:() (31)
^In particular, dac a
ABC este echilateral atunci:
AMBM +CM: () (32)
Relat ia () devine o egalitate dac a punctele A 1, B1, C1sunt coliniare, deci
m(A)=0o si atunci din relat ia ( ),=A, adic a punctul M este situat pe cercul
circumscris.
11

1.5 Dreapta lui Simson
Teorema 8. Proiect iile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris
triunghiului
ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
A1B1C1poart a numele de dreapta lui Simson a punctului M, ^ n raport
cu
ABC.
Demonstrat ie:
Fie: A 1=prBCM, B 1=prACM, C 1=prABM.
AB1MC1, MB 1A1C, ABCM sunt patrulatere inscriptibile.
Unim A 1cu B 1 si B 1cu C 1=)
m(6A1B1C) =m(6A1MC) = 90om(6A1CM) = (33)
= 90om(6C1AM) =m(6C1MA) =m(6C1B1A) (34)
=)6C1B1A6A1B1C (35)
=)A1, B1, C1sunt situate pe aceea si dreapt a.
A
BCM C1
B1
A1A:M:
A;
Figura 8: Dreapta lui Simson  si dreapta AA' kSimson
Observat ia 9. Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului
ABC  si
A' intersect ia cercului cu perpendiculara din M pe latura BC.
=)Dreapta AA' este paralal a cu dreapta Simson a punctului M.
Teorema 9. Lalescu
Fie
ABC  si
A1B1C1dou a triunghiuri ^ nscrise ^ n cercul C (O;R). Dac a
dreapta lui Simson a punctului A 1^ n raport cu triunghiul ABC este perpendi-
cular a pe dreapta B 1C1, atunci:
1. aceast a proprietate este adev arat a pentru toate v^ arfurile
A1B1C1.
12

2. dreptele Simson ale v^ arfurilor
ABC ^ n raport cu
A1B1C1sunt perpen-
diculare pe laturile
ABC.
Demonstrat ie:A
B
CA1C1B1A2
D
Fie C(O;R) – cercul circumscris
ABC  si e B 1, C12C(O;R).
perpendiculara din A pe B 1C1taie cercul ^ n A 2;
perpendiculara din A 2pe BC taie cercul ^ n A 1.
AA2este paralel a cu dreapta Simson a punctului A 1^ n raport cu
ABC.
 si
AA2?B1C1=)dreapta Simson a punctului A 1^ n raport cu
ABC este
perpendicular a pe B 1C1.
FiefDg=BC\B1C1=)6B1DB6AA2A1
=)m(BAA 1) =m(BAB 1)m(BAC 1) (36)
Dac a se iau arcele ^ n acela si sens, atunci:
m(BAB 1) = 360om(B1CB) (37)
Folosind ultimele dou a egalit at i = )
m(BAA 1) +m(BAB 1) +m(BAC 1) = 0o(38)
Deoarece aceast a relat ie este simetric a ^ n A 1, B1, C1=)dreapta Simson
a v^ arfului B 1este perpendicular a pe A 1B1 si, de asemenea dreapta Simson a
v^ arfului C 1este perpendicular a pe A 1B1.
Relat ia este simetric a  si ^ n cazul triunghiurilor
ABC  si
A 1B1C1=)
dreapta Simson a v^ arfului A raport cu
ABC este perpendicular a pe BC.
13

1.6 Drepte izogonale
Denitia 7. Neuberg
Dou a drepte, care trec prin v^ arful unui triunghi  si care formeaz a unghiuri
egale cu bisectoarele sale, se numesc izogonale fat  a de acest unghi sau fat  a de
laturile sale.
Teorema 10. Steiner
Fie triunghiul
ABC  si punctele A 1, A22BC, astfel ^ nc^ at AA 1 si AA 2
suntizogonale . Atunci
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
(39)
Demonstrat ie:
dBAA 1dCAA 2=)dCAA 1dBAA 2
dAA1B sidAA1Csunt suplementare = )sin
dAA1B
=sin
dAA1C
Dac a se aplic a teorema sinusurilor ^ n dAA1B sidAA1Crezult a:
A1B=AB
sin
dBAA 1
sin
dAA1B;A1C=AC
sin
dCAA 1
sin
dAA1C
| {z }
+(40)
A1B
A1C=AB
sin
dBAA 1
AC
sin
dCAA 1() (41)
 si
A2B
A2C=AB
sin
dBAA 2
AC
sin
dCAA 2() (42)
din relat iile ();()|{z}
+
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2

sin
dBAA 1
sin
dCAA 1
sin
dBAA 2
sin
dCAA 2=AB
AC2
=) (43)
 stim c adBAA 1dCAA 2 sidCAA 1dBAA 2
dup a simplicare = )
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
(44)
14

A
B CA1A2A:
B: C: A:1A:2C1C2
B2B1
Figura 9: Ceviene izogonale.
Teorema 11. Izogonalele a trei ceviene sunt concurente.
Demonstrat ie: Fie
ABC , AA 1, BB 1 si CC 1cele trei ceviene concurente
 si AA 2, BB 2 si CC 2izogonalele lor.
AA1, BB 1 si CC 1sunt concurente. Din reciproca teoremei lui Ceva rezult a
c aA1B
A1C
B1C
B1A
C1A
C1B= 1 (45)
AA1 si AA 2sunt izogonale. Din teorema lui Steiner rezult a c a
A1B
A1C
A2B
A2C=AB
AC2
=)A2C
A2C=A1B
A1C
AC
AB2
(46)
Analog,
=)B2A
B2C=B1C
B1A
AB
BC2
(47)
 si
C2B
C2A=C1A
C1B
BC
AC2
(48)
Dup a ^ nmult irea ultimelor trei ecuat ii, simplic^ and se obt ine:
A2C
A2B
B2A
B2C
C2B
C2A= 1 (49)
Din reciproca teoremei lui Ceva rezult a c a AA 2, BB 2 si CC 2sunt concu-
rente.
Observat ia 10. Fiecare ^ n alt ime a triunghiului  si diametrul cercului ,
duse din acela si v^ arf, sunt izogonale ale triunghiului.
Deoarece, de exemplu, ^ n alt imea AH 1a triunghiului
ABC  si diametrul
AP al cercului circumscris formeaz a unghiuri egale cu laturile AB  si AC ale
triunghiului.
Din aceast cauz a: produsul distant elor ortocentrului  si a centrului cercului
circumscris la o latur a a triunghiului este egal cu produsul distant elor acestor
puncte la oricare alt a latur a a sa.
15

OA
C
D
EF= 24
= 24
Figura 10: ^In alt imea  si diametrul sunt ceviene izogonale.
1.7 Drepte antiparalele ^ n triunghi
Denitia 8.
O dreapt a taie laturile AC, AB ale triunghiului
ABC ^ n B', C'. Dac a
dAB0C0dABC , atunci B'C' este antiparalal a cu BC. Evident, ^ n acest caz,
dAC0B0dACB .
Observat ia 11.
O dreapt a care este antiparalel a cu una dintre laturile triunghiului, fat  a de
celelalte dou a laturi ale sale, se numete antiparalel a a triunghiului .
Lungimea segmentului unei antiparalele a triunghiului cuprins ^ ntre latu-
rile sale (sau ^ ntre prelungirile acestora) poart a numele de lungimea anti-
paralelei.
Dreptele care sunt antiparalele cu o aceea si latur a a unui triunghi, sunt
paralele ^ ntre ele. Astfel, dou a drepte sunt antiparalele fat  a de laturile
unui unghi atunci c^ and valorile segmentelor lor sunt invers proport ionale.
Reciproc, dreptele care ^ ndeplinesc condit ia de mai sus sunt antiparalele.
Dac a un cerc trece prin v^ arfurile B  si C ale triunghiului ABC  si inter-
secteaz a laturile AB  si AC ^ n punctele D  si F (ca ^ n gura de mai jos),
atunci dreapta DF este antiparalel a cu latura BC fat  a de dreptele AB  si
AC.
Dac a cercul trece  si prin v^ arful A, atunci dreapta DF devine tangenta
din v^ arful A la cercul circumscris triunghiului. Prin urmare, tangenta
la cercul circumscris triunghiului, care trece printr-un v^ arf al s au, este
antiparalel a cu latura opus a.
16

Teorema 12. Lhuilier
^Intr-un triunghi simediana unui v^ arf este locul geometric al mijloacelor an-
tiparalelelor la latura opus a.
Demonstrat ie:
Fie triunghiul
ABC  si antiparalela B 1,C1. Fie B 2,C2simetricele punc-
telor B 1,C1^ n raport cu bisectoarea 6A. Deoarece
AB1C1
AB2C2=)
dAB1C1

dAB2C2

dABC
, deci B 2C2kBC.
1.8 Alte cazuri de congruent  a a triunghiurilor
17