Liceul Teologic Greco -Catolic Sfântul Vasile cel Mare [624353]

UNIVERSITATEA „BABEȘ -BOLYAI” CLUJ -NAPOCA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA PERSONALULUI
DIDACTIC
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
pentru obținerea gradului didactic I
APLICA ȚII ALE METODEI REGRESIEI DIN
STATISTICA MATEMATIC Ă ÎN MATEMATICA
ȘCOLAR Ă

COORDONATOR 
Conf. Univ. Dr. IOANA CHIOREAN

CANDIDAT: [anonimizat] “Sfântul Vasile cel Mare”
Blaj , ju d. Alba

CLUJ -NAPOCA
2018 -2020

AVIZ
pentru depunerea lucrării metodico -științifice în vederea obținerii gradului didactic I

Subsemnata Ioana Chiorean, coordonator științific al lucrării metodico -științifice
cu titlul “Aplicații ale metodei regresiei din statistica matematică în matematica școlară”
elaborată de Raluca Nistor de la Liceul Teologic Greco -Catolic “Sfântul Vasile cel Mare”
Blaj, județul Alba, avizez favorabil lucrarea pentru depunere la secretariatul DPPD.

Conf. Univ. Dr. Ioana Chiorean
Semnătura:
Data:

1
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 3
CAPITOLUL I ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 6
1. Rapoarte. Proporții ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 6
1.1 Rapoarte ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 6
1.2 Proporții ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 11
1.3 Proporții deriva te. Șir de rapoarte egale ………………………….. ………………………….. …………… 12
1.4 Mărimi direct proporționale ………………………….. ………………………….. ………………………….. 13
1.5 Mărimi invers proporționale ………………………….. ………………………….. ………………………….. 17
1.6 Regula de trei simplă. Regula de trei compusă ………………………….. ………………………….. …. 19
2. Dependența funcțională ………………………….. ………………………….. ……………………….. 22
2.1 Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale …………………………. 22
2.2 Dependența funcțională ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 23
3. Funcții ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 24
3.1 Noțiunea de funcț ie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 24
3.2 Graficul unei funcții. Reprezentarea grafică ………………………….. ………………………….. …….. 27
3.3 Funcții de forma f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b ………………………….. ………………………….. ……………….. 28
3.3.1 Reprezentarea grafică a funcției de forma f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b ………………………….. ……. 29
3.3.2 Condiția ca un punct să aparțină graficului funcției ………………………….. ………………….. 31
3.3.3 Intersecția graficului unei funcții cu axele de coordonate ………………………….. ………….. 32
3.3.4 Determinarea coordonatelor punc tului de intersecție al reprezentărilor grafice a două
funcții ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 34
3.3.5 Determinarea unei funcții care îndeplinește condiții date ………………………….. …………. 35
3.3.6 Verificarea coliniarității a trei sau mai multe puncte , cunoscând coordonatele lor. ……. 37
CAPITOLUL II ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 39
Statistica ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 39
1. Elemente de limbaj în statistică ………………………….. ………………………….. ……………………….. 39
2. Culegerea, înregistrarea și clasificarea datelor statistice ………………………….. …………………… 40
3. Serii statistice. Frecvențe ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 41
4. Reprezentarea grafică a datelor statistice ………………………….. ………………………….. ……………. 45
4.1 Reprezentarea grafică folosind diagrama circulară ………………………….. ………………………. 45
4.2 Reprezentarea grafică folosind dreptunghiul de structură ………………………….. …………….. 46

2
4.3 Reprezentarea grafică prin coloane sau benzi ………………………….. ………………………….. … 46
4.4 Poligonul frecvențelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 48
4.5 Histograma ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 48
5. Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție ………………………….. ……………………. 49
5.1 Valoarea medie a unei serii statistice ………………………….. ………………………….. …………… 50
5.2 Mediana unei serii statistice ………………………….. ………………………….. ……………………….. 51
5.3 Modulul unei serii statistice ………………………….. ………………………….. ………………………… 53
5.4 Dispersia. Abaterea medie pătratică ………………………….. ………………………….. ……………… 55
CAPITOLUL III ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 59
Regresia liniară ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 59
1. Introducere în regresia statistică ………………………….. ………………………….. ………………………. 59
2. Regresia liniară simplă ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 59
2.1 Modelul liniar de regresie simplă ………………………….. ………………………….. ………………… 61
2.2 Estimarea parametrilor modelului liniar de regresie prin metoda celor mai mici pătrate … 63
2.3 Exemple de regresie liniară simplă ………………………….. ………………………….. ………………. 66
2.4 Coeficientul liniar de corelație ………………………….. ………………………….. ……………………. 69
2.4.1 Definirea coeficientului corelației liniare ………………………….. ………………………….. ……. 69
2.4.2 Coeficientul de determinare ………………………….. ………………………….. ……………………… 70
3 Regresia liniară multiplă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 71
CAPITOLUL IV ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 75
Aspecte metodice în predarea problemelor de organizare și interpretare a datelor în
matematica școlară ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 75
1. Metode specifice de predare -învățare a matematicii în școală ………………………….. …………….. 77
Activitate didactică -Funcții ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 82
Activitate didactică – Rapoarte.Procente.Proporții ………………………….. ………………………….. ……. 91
Activitate didactică – Statistică ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 96
2. Strategii și instrumente de evaluare la matematică ………………………….. ………………………… 103
3. Proiectul unității de învățare „Rapoarte și proporții” Clasa a VI -a ………………………….. …….. 110
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 112
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 114

3
INTRODUCERE

Matematica este o disciplină dinamică, prezentă în cotidian, cu un rol deosebit în
economie, în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale. Locurile de muncă de elită ale
prezentului și viitorului imp un o bună pregătire în domeniul matematicii .
În prezent, învățământul românesc, prin programele școlare la disciplina matematică,
se concentrează din ce în ce mai mult pe dezvoltarea abilităților elevilor de a se descurc a în
situații de viață ce presupun cunoștințe matematice și a capacității de a modela rapid probleme
concrete cu conținut matematic.
În diferite domenii de activitate, profesioniștii doresc adesea să afle cum sunt leg ate
două sau mai multe variabile numerice. Ana liza de regresie este una dintre metodele statistice
cele mai folosite pentru procesarea d atelor experimentale obținute în investigațiile din
economie, fizică, biologie, tehnologie și în alte domenii.
Regresia este o metodă statistică de modelare a legă turii dintre două sau mai mu lte
fenomene . O mare parte a analizelor statistice uzuale se ocupă cu analiza relației între două
variabile ce corespund aceluiași grup de unități statistice. Metoda care furni zează forma
funcției care modelează cel mai bine dependența dintre variabile e ste metoda regresiei .
Lucrarea de față își propune să prezinte metoda regresiei din statistica matematică ș i
aplicații ale acesteia precum și probleme din matemati ca școlară ce implică studierea
dependenței datelor. Scopul lucrării este să contribuie la formarea și dezvolta rea
competențelor elevilor de modelare matematică a unei situații date, de transfer al
matematicii în practică și al cotidianului în probleme matematice.
De asemenea, lucrarea vizează prezent area metodelor și pr ocedeelor d idactice care
creează oportunități pentru ca elevii să fie conduși spre conexiuni între diferite t eme, spre
formarea obișnuinței de a recurge la metode și concepte matematice în abordarea unor situații
cotidiene .
Am dorit să pun în evidență dimensiunea aplicativă a cunoștințelor matematice în
situații practice cât mai variate, ținând cont de caracterul interdisciplinar al matematicii.

4
Lucrarea este structurată în patru capitole, primul capitol cuprinde tipurile de probleme
din matematica școla ră ce implică studierea depedenței datelor și noțiunile care se introduc
odată cu acestea , mărimi le direct și invers proporționale , dependența funcț ională și funcții le
liniare studiate în gimnaziu .
Problemele de organizare și studiere a dependenței datelor se regăsesc pe parcursul
întregii programe școlare de matematică, de gimnaziu și liceu, începând din ciclul primar.
Astfel, în programa de matematică pentru clasa a IV -a, la tema “Organizarea și r eprezentarea
datelor ” se urmărește dezvoltarea capacității elevilor de a colecta, organiza, sorta și clasifica
date pe baza unor criterii și de a oferi interpretări elementare ale acestora. În gimn aziu, la clasa
a V-a , introducerea noțiunilor de frecvenț ă și medie ca elemente care pot fi extrase dintr -o
reprezentar e statistică de date, are ca scop familiarizarea elevilor cu unele metode de
prelucrare, reprezentare și interpretare primară a datelor statistice. La nivelul clasei a VI -a
apare studiul dependenței mărimilor direct și invers proporționale, în cadrul capitolului
“Rapoarte. Proporții” precum și reprezentarea datelor prin grafice în contextul
proporționalităț ii, reprezentarea datelor cu ajutorul unor softuri matematice și interpretarea
acest ora. În manualul de clasa a VIII -a, noțiunea de funcție este introdusă utilizând exemplul
dependenței a două mărimi fizice, modul în care deformarea elastică a unui resort depinde de
forța deformatoare . Noțiunea de funcție este una dintre cele mai importa nte noțiuni din
matematică. Programa școlară de matematică urmărește formarea competențelor de modelare
a situațiilor din viața reală cu ajutorul funcțiilor, corelarea elementelor unei funcții cu situații
practice precum și rezolvarea, prin alegerea metode lor adecvate a tipurilor de probleme cu
funcții.
Al doilea capitol al lucrării conține noțiunile de statistică și metodele statistice util izate
în interpretarea datelor. La nivel liceal , noțiunile de stat istică sunt studiate la clasa a X-a
trunchi comun precum și la clasa a XI -a filiera vocațională și vizează formarea competențelor
de a utiliza datele statistice pentru analiza de caz, caracterizarea situațiilor reale prin
interpretarea datelor.
Al treilea capitol al lucrării prezintă regresia liniară s implă și multiplă cu aplicații ale
acestora în diverse domenii de activitate.

5
Ultimul capitol al lucrării , al patrulea, cuprinde aspecte m etodice în predarea
problemelor de organizare și interpretare a datelor în matematica școlară .
În cadrul acestui capitol sunt evidențiate strategii le didactice și diferite metode de
eficientizare a învățării matematicii, precum și metode și instrumente de evaluare. Ultimul
capitol conține proiecte didactice cu sugestii metodologice, proiectarea unei unități de
învățare și o probă de evaluare sumativă.
Lucr area se încheie cu concluziile și bibliografia .

6
CAPITOLUL I

Problemele de organizare, analizare și interpretare a datelor se studiază din ciclul
primar și urmăresc dezvoltarea capacității elevilor de a analiza seturi de date în context
matematic și de a prelucra informațiile din tabele și grafice.
Programa școlară de matematică cuprinde , la nivel gimnazial teme de organ izare și
interp retare a dat elor, dependențe funcționale și funcții care urmăresc să evidențieze
dimensiunea aplicativă a cunoștințelor matematice având în vedere astfel, stimularea și
menținerea interesului elevilor pentru studiul matematicii.
1. Rapoarte. Proporții

În cadrul temei “Rapoarte. Proporții” de la clasa a VI -a conceptele sunt introduse pe
baza exemplelor din realitate, din cad rul altor discipline și vizează utilizarea acestora pentru
stabilirea proporționalității sau altor caracteristici ale unor seturi de date.
1.1 Rapoarte

În matematică, raportul a două numere a și b, cu b ≠0 este câtul 𝑎
𝑏 = a:b . Valoarea câtului a:b
se numește valoarea raportului. Raportul a două numere indică de câte ori este mai mare un
număr decât celălalt. Numerele a și b se numesc termenii raportului.
Observație
Valoarea unui raport nu se modifică dacă ambii termeni se multiplică sau se împart cu același
număr nenul.
În științe dar și în practică, s e folosesc și se formează rapoarte cu mărimi fizice diferite. Astfel
de rapoarte conduc la o nouă mărime fizică și la definirea măsurii mărimii fizice respective.

7
Exemple:
Viteza este raportul dintre două mărimi fizice fundamentale, distanța și timpul și se măsoară
în metri/secundă sau k ilometri /oră.
Notație 𝑣=𝑑
𝑡
Densitatea este raportul dintre masa unui corp , exprimată de obicei în kilograme și volumul
corpului exprimat în metri cubi.
Notație 𝜌=𝑚
𝑉
La scrierea raportului a două mărimi de aceeași natură, acestea se exprimă în aceeași unitate
de măsură și raportul lor permitre compararea celor două mărimi.
În științe se folosesc rapoarte ale mărimilor fizice de același fel.
De exemplu:
Concentrația unei soluții este raportul dintre masa su bstanței d izolvate și masa soluției.
Se precizează că soluția este un amestec omogen de două sau mai multe substanțe chimice, din
care una este de obicei lichidă. ( [5])
𝑐=𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛 ț𝑒𝑖 𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑧𝑜𝑙𝑣 ă
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢 ț𝑖𝑒𝑖
Scara unei hărți este raportul dintre distanța măsurată pe hartă și distanța măsurată pe teren
(în realitate).
Scara unei hărți se utilizează la geografie, în realizarea hărților și calcularea distanțelor dintre
diferite puncte de pe hartă.
Raportul procen tual este un raport de forma 𝑝
100 , se notează cu “p%” , se citește “p la sută”
sau “p procente”.

8
Situațiile cotidiene impun de foarte multe ori utilizarea procentelor, aflarea unui
procent dintr -un preț, calcularea unei dobânzi, TVA, probleme care impl ică determinarea
raportul ui procentual a două numere sau p robleme cu creșteri sau scăderi de prețuri.
Evaluările naționale de la clasa a VI -a, a VIII -a și Bacalaureat conțin deseori probleme
legate de calcul procentual.
Tipuri de probleme cu procente
Aflarea raportului procentual
Pentru a determina valoarea raportului procentual a două numere date x și y se calculează
p%=𝑥
𝑦·100.
Exemplu Matei a cheltuit 60 de lei din cei 240 de lei pe care îi avea. Ce procent din sumă a
cheltuit?
Rezolvare: p%=60
240·100 de unde p=25%, adică 60 de lei reprezintă 25% din cei 240 de lei.
Aflarea unui procent p% dintr -un număr dat
Pentru a calcula p% dintr -un număr dat x, se calculează p% din x= 𝑝
100·𝑥
Exemplu Să se determine număru l băieților dintr -o clasă, știind că 45% din elevii clasei sunt
băieți iar în clasă sunt 20 de elevi.
Rezolvare : 45
100·20=9 băieți
Aflarea unui număr când se cunoaște p% din el
Dacă se cunoaște p% dintr -un număr x, fie acesta y și se cere determinarea lu i x
p% din x=y ⇔ x=y· 100
𝑝
Exemplu Dacă 30% din lungimea unui trase u reprezintă 150 de km, se cere să se d etermine
lungimea traseului .

9
Rezolvare Fie x lungimea traseului. 30% din x=150km ⇔ 30
100·𝑥=150 𝑘𝑚 ⇔x=150 ·100
30
De unde x= 500km.
Creșteri sau scăderi cu p%
Fie x un număr rațional pozitiv, dat.
Dacă numărul x crește cu p %, atunci în urma măririi devine :
x+p% din x= 𝑥+𝑝
100·𝑥=(100+p)%·x
Exemplul1
Un telefon mobil costă 1500 de lei și preț ul său se mărește cu 20%. Care este noul preț?
Rezolvare
Noul preț al telefonului este 1500+20
100·1500=1500+300=1800 de lei
Sau
Prețul după modificare va fi (100+20)% din 1500 de lei, adică 120% din 1500 de lei
120
100·1500 =120 ·15=1800 de lei.
Dacă numărul x scade cu p%, atunci în urma micșorării el devine:
x-p% din x= 𝑥−𝑝
100·𝑥=(100 -p)%·x
Exemplu l2
Un telefon mobil costă 1300 de lei și prețul său scade cu 15 %. Care este noul preț?
Rezolvare
Prețul după ieftinire va fi 1300 -15%din 13 00=1 300-195=1105 de lei

10
Sau
Din prețul inițial, după reducere va rămâne 100% -15%=85% , adică 85% din 1300 de lei ⇒
85
100·1300 =1105 𝑙𝑒𝑖
Exemplul 3
Un tip de problemă des întâlnită este determinarea prețului inițial al unui obiect care s -a
scumpit sau ieftinit succesiv, când se cunoaște prețul final.
Fie x prețul inițial, necunoscut și y prețul final, cunoscut .
Ca metodă de rezolvare a acestei probleme se poate alege separarea acesteia în două probleme
de creș tere sau scădere de preț simple, prin u tilizarea unui preț intermediar (metoda1) sau se
poate lucra formând o singură ecuație cu prețul inițial x (metoda2).
Dacă procentele de modificare a prețului sunt p% respectiv q% atunci
O creștere a lui x cu p% conduce la un preț de (100+p)% din x, iar o scădere a lui x cu p%
conduce la un preț de (100 -p)% din x.
Modificar ea de preț cu q% se va face din prețul (100+p)% din x sau (100 -p)% din x,
Ajungând la prețul final y, sub forma (100+p)% din x+q%din(100+p)% din x, în cazul unei
măriri sau (100+p)% din x -q% din(100+p)% din x , în cazul unei micșorări, resp ectiv
(100-p)% din x ±q%din(100 -p)% din x .
Este posibil ca, din cele două modificări de preț un a să fie mărire și cealaltă micș orare sau
invers.
Cu procentele de modificare p% și q% prețul inițial
Concret, dacă prețul unui telefon mobil s -a modificat de două ori succesiv, prima dată s -a
mărit cu 25% , apoi s -a micșorat cu 30% ajungând să coste 1312,5 de lei , se cere prețul inițial .
Pentru rezolvarea problemei se consideră x prețul inițial.

11
Metoda 1
Prețul de după prima modificare se notează y=125% dinx
A doua modificare de preț se va face asupra lui y.
y- 30% din y=1312,5 lei se ține cont de 100% -30%=70%
Se determină y, astfel 70% din y=1312,5 lei ⇒ y=1312,5·100
70 ⇒ y=1875 lei
y reprezintă prețul obținut după majorarea prețului inițial cu 25%.
Pentru determinarea prețului inițial se revine la 125% din x=1875 de lei ⇒x=1875·100
125
⇒x=1500 de lei.
Metoda 2
După prima modificare de preț prețul va fi (100+25)% din x =125% din x
A dou a modifcare de preț se va aplica prețului 125% din x și va conduce la prețul
125% din x -30% din125% din x= 1312,5 de lei
Deoarece este o scădere de preț se poate considera 100% -30%=70% din noul preț, astfel
70%din125%dinx=1312,5 de lei de unde 125% din x=1312,5 ·100
70
Iar x = 1312,5·100
70·100
125 ⇔ x=1500 de lei.
Prețul inițial a fost 1500 de lei.
1.2 Proporții
Definiție
Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
Dacă rapoartele 𝑎
𝑏 și 𝑐
𝑑 au aceeași valoare, atunci ele formează o proporție 𝑎
𝑏=𝑐
𝑑

12
Numerele a, b, c, d se numesc termenii proporției iar ași d se numesc extremi , b și c se numesc
mezi.
Proporțiile se pot obține prin amplificarea sau simplificarea unui raport dat cu un număr
rațional nenul.
Proprietatea fundamentală a proporțiil or
În orice proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.
Dacă 𝑎
𝑏=𝑐
𝑑 atunci a·d=b·c și reciproc dacă numerele a,b, c, d verifică relația a·d=b·c, atunci
ele pot fi termenii unei proporții.
Aflarea termenului necunoscut dintr -o proporție
un mez =produsul extremilor
celălalt mez ; un extrem=𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑠𝑢𝑙 𝑚𝑒𝑧𝑖𝑙𝑜𝑟
𝑐𝑒𝑙ă𝑙𝑎𝑙𝑡 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚
a
b=c
d⇔ a=b·c
d ; b=a·d
c ; c=a·d
b ; d=b·c
a
1.3 Proporții derivate. Șir de rapoarte egale
Fiind date patru numere raționale pozitive a, b, c, d care sunt termeni ai unei proporții 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝
Cu numerele a,b,c,d se pot forma noi proporții utiliz ând procedeele:

Proporții derivate cu aceiași termeni
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ d
b=c
a (schim barea extremilor între ei )
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐜=b
d (schimbarea mezilor între ei)
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔b
a=d
c (inversarea rapoartelor)

13
Proporți i derivate cu termenii schimbați
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐛=𝐚+𝐜
𝐛+𝐝 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐛=𝐚−𝐜
𝐛−𝐝 , dacă b ≠d
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐚+𝐛=𝐜
𝐜+𝐝 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐚−𝐛=𝐜
𝐜−𝐝, dacă 𝑐≠d, a≠b
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚+𝐛
𝐛=𝐜+𝐝
𝐝 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚−𝐛
𝐛=𝐜−𝐝
𝐝
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐛=𝐱𝐜
𝐱𝐝 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐚
𝐲𝐛=𝐜
𝐲𝐝 , x≠0, y≠0
 𝐚
𝐛=𝐜
𝐝 ⇔ 𝐱𝐚
𝐲𝐚+𝐳𝐛=𝐱𝐜
𝐲𝐜+𝐳𝐝 , unde ya+zb ≠0,yc+zd ≠0 iar x,y,z ∈ℚ+
Șir de rapoarte egale
Mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale :
a1
b1=a2
b2=…=an
bn
Proprietatea 1
a1
b1=a2
b2=…=an
bn=a1+a2+⋯+an
b1+b2+⋯+bn , cu b1+b2+⋯+bn≠0
Proprietatea 2
a1
b1=a2
b2=…=an
bn=a1m1+a2m2+⋯+anmn
b1m1+b2m2+⋯+bnmn , cu b1m1+b2m2+⋯+bnmn≠0
Exemple:
P1 4
5=8
10=12
15=4+8+12
5+10+15=24
30 P2 2
3=8
12=10
15=2·5+8·4+10·7
3·5+12·4+15·7
1.4 Mărimi direct proporțional e

Un exemplu de mă rimi direct proporționale este dependența dintre lungimea laturii
unui pătrat și perimetrul acestuia. D acă latura pătratului are lungimea de 4 cm , atunci
perimetrul pătratului va fi, conform formulei cunoscute 4·4=16 cm. Ce se întâmplă cu
perimetrul dacă se mărește latura de 3 ori? Răspunsul este că se mărește și acesta de același

14
număr de ori. Adică dacă latura devine 3·4=12, atunci perimetrul părtaului este 4·12=48. Se
observă că este de trei ori mai mare decât perimetrul pătratului inițial.
Un alt exemplu de mărimi direct proporționale ar fi cantitatea și prețul, pe măsură ce
crește cantitatea, crește și prețul de același număr de ori.
Două mărimi variabile sunt direct proporționale dacă depind una de cealaltă, astfel
încât dacă una se mărește (se micșorează) de un anumit număr de ori atunci și cealaltă se
mărește (se micșorează) de același număr de ori.
Între două mulțimi finite de numere se stabilește o proporționalitate directă dacă se
poate forma un șir de r apoarte egale, cu număr ătorii elementele unei mulțimi ș i numitorii
elementele celeilalte mulțimi.
Între mulțimea ordonată {𝑎1,𝑎2,𝑎3…𝑎𝑛} și mulțimea ordonată {𝑏1,𝑏2,𝑏3…𝑏𝑛} , cu 𝑏1≠0
𝑏2≠0 ,…, 𝑏𝑛≠0 se stabilește o proporționalitate directă dacă a1
b1=a2
b2=…=an
bn. ([12])
Valoarea comună a acestor rapoarte se numește coeficient de proporționalitate și se notează de
obicei cu k, k ≠0.
Reprezentarea grafică a dependenței direct proporționale
Uneori, pentru a înțelege mai bine un fenomen sau pentru a prezenta mai clar o serie de valori
se utilizează reprezentarea grafică.
Într-un sistem de axe ortogonale se reprezintă perechile de valori din cadrul a două mulțimi de
numere aflate în relație de proporționalitate directă, astfel pe axa orizontală se trec valorile
dintr -o mulțime, iar pe axa verticală se trec valorile din ceal altă mulțime. Perechile de valori
vor determina puncte coliniare.
De exemplu, reprezentarea grafică a dependenței direct proporționale dintre cantitate și preț
este redată în Fig. I 1.4.2, pe baza perechilor de valori din Tabelul I 1.4.1
Cantitate 1 kg 3kg 4kg 7kg 10kg
Preț 4 lei 12 lei 16 lei 28 lei 40 lei
Tabelul I 1.4.1

15

Fig.I 1.4.2
Exemplul 1
Suma a două numere este 70. Să se determine numerele știind că sunt direct proporționale cu 5
și 9.
Rezolvare
Fie a și b cele două numere
a+b=70
{a,b} d.p.{5,9} ⇔ a
5=b
9 . Rezolvarea problemei se poate face prin mai multe metode :
Metoda 1 – utiliz ând șirul de rapoarte egale
a
5=b
9=a+b
5+9=70
14=5
a
5=5 ⇔a =5·5 ⇔ a=25
b
9=5 ⇔ b=9·5 ⇔ b=45
Cele două numere sunt 25 și 45.
412162840
051015202530354045
0 2 4 6 8 10 12

16
Metoda2 – utilizând coeficientul de proporționalitate k
a
5=b
9=k
𝑎
5=𝑘⇔𝑎=5·𝑘
𝑏
9=𝑘⇔𝑏=9·𝑘
Se vor înlocui în sumă și se obține
5·𝑘+9·𝑘=70 de unde 14·k=70 ⇒ k=70:14 ⇒ k=5, apoi a =5·5 ⇒ a=25 b=9·5 ⇒ b=45
Metoda3 –exprimarea unui termen al proporției 𝑎
5=𝑏
9 în raport cu celălalt și înlocuirea în
sumă.
a=5b
9 de unde prin înlocuirea în sumă se obține 5𝑏
9+𝑏=70 ⇔ 5𝑏
9+9𝑏
9=70⇔ 14𝑏
9=70
de unde b=70·9:14 , b=45 iar a se poate obține prin scăderea termenului b din sumă
a=70 -45 , a=25.
Următorul exemplu presupune utilizarea procentelor și a proporționalității directe.
Exemplul 2
Trei persoane au depus la bancă sume direct proporționale cu 5,6 și 7. Dobânda anuală oferită
de bancă este de 4% pe an. Dacă după un an cele trei persoane au împreună suma 3744 de lei,
se cere să se determine ce sumă a avut inițial fiecare persoană și ce sumă are fiecare persoană
după un an.
Rezolvare
Mai întâi se determină suma inițială a celor trei persoane, fie aceasta S.
Dacă dobânda anuală a băncii este de 4%, atunci după un an suma totală va fi (100+4)% din S.

17
104
100·𝑆=3744 ⇔ S= 3744·100
104 ⇔ S= 3600
Fie a, b și c sumele depuse de cele trei persoane.
{a,b,c} d.p {5,6,7} ⇔ 𝑎
5=𝑏
6=𝑐
7
Calculând ca la exemplul 1, se obțin sumele a=1000 de lei, b=1200 de lei și c=1400 de lei.
După un an, cele trei persoane vor avea sumele 1000+4% · 1000=1040 de lei, 1200+4% ·
1200=1248 de lei, respectiv 1400+4%·1400=1456 de lei.
1.5 Mărimi invers proporț ional e

Două mărimi variabile sunt invers proporționale , dacă depind una de cealaltă, astfel
încât dacă una crește de un anumit număr de ori cealaltă scade de același număr de ori și
invers, dacă una se micșorează de un anumit număr de ori, cealaltă crește de același număr de
ori.
De exemplu, numărul de robinete și timpul în care umplu un rezervor sunt mărimi
invers proporționale, sau viteza și timpul, în condițiile în care distanța este constantă, sunt
mărimi invers proporționale, adică dacă viteza crește timpul de parcurgere al unei distanțe
scade și invers dacă viteza scade, timpul de parcurgere al distanței va crește.
Între două mulțimi finite de numere se stabilește o proporționalitate inversă dacă se
poate forma un șir de produse egale, astfel î ncât primul factor al unui produs să fie element al
unei mulțimi și al doilea factor al produsului să fie element al celeilalte mulțimi.( [12])
Între mulțimea ordonată {𝑎1,𝑎2,𝑎3…𝑎𝑛} și mulțimea ordonată {𝑏1,𝑏2,𝑏3…𝑏𝑛} ,
se stabil ește o proporționalita te inversă dacă 𝑎1·𝑏1=𝑎2·𝑏2=⋯=𝑎𝑛·𝑏𝑛 sau echivalent
a1
1
b1=a2
1
b2=…=an
1
bn, cu 𝑏1≠0 … 𝑏𝑛≠0 ([12])
Valoarea comună a acestor produse se numește coeficient de proporționalitate și se notează cu
k, k≠0.

18
Reprezentarea grafică a dependenței invers proporționale
Considerând problema dependenței timpului alocat terminării unei lucrări de numărul
muncitorilor, se constată o relație de proporți onalitate inversă, cu cât creșt e numărul
muncitorilor cu atât scade timpul necesar terminării lucrării. D atele din tabelul I 1.5.1 sunt
reprezentate în Fig. I 1.5.2
Număr
muncitori 1 3 4 5 10
Timp (zile) 30 10 7 ,5 6 3
Tabelul I 1.5.1

Fig. I 1.5.2

Din reprezentarea grafică se observă că, spre deosebire de dependența direct
proporțională, punctele obținute nu sunt coliniare.
Un exemplu de problemă care implică dependența invers propor țională ar putea fi împărțirea
unui număr dat în părți invers proporționale cu numere date.
Astfel, se împarte suma 1400 de lei în părți invers proporționale cu numerele 4,8 și 2. Se cere
să se detrmine cele trei părți.
Rezolvare
Se notează cele trei părți cu a,b,c și se ține cont de a+b+c=1400. 05101520253035
0 5 10 15

19
Se aplică condiția de a fi invers proproționale {a,b,c} i.p {4,8,2} ⇔ a·4=b·8=c·2=k
a·4=k ⇔ a=𝑘
4
b·8=k ⇔ b=𝑘
8
c·2=k ⇔ c=𝑘
2
Înlocu ind în sumă, se obține 𝑘
4+𝑘
8+𝑘
2=1400 ⇔ 7𝑘
8=1400 ⇔ k=1400 ·8
7 ⇔ k=1600
De unde a=1600:4 , a=400 de lei, b=1600:8, b=200 de lei, c=1600:2, c=800 de lei.
1.6 Regula de trei simplă. Regula de trei compusă

Regula de trei simplă este un procedeu matematic pentru a determina un număr necunoscut
atunci când acesta este element al unei mulțimi cu două elemente și între mulțimea respectivă
și o altă mulțime cu două elemente cu noscute există o relație de proporționalitate directă sau
inversă.
Pentru a rezolva o problemă utilizând acest procedeu, se stabiliște mai întâi tipul de
proporționalitate dintre mărimi și apoi se realizează o schemă.
Regula de trei simplă pentru mărimi d irect proporționale
Exemplu
Dacă pentru confecționarea a trei rochii se folosesc 15 m de material, să se detemine câți metri
de material sunt necesari confecționării a cinci rochii de același fel.
Rezolvare
Dacă crește numărul rochiilor va crește și cantitatea de material, prin urmare este vorba de
mărimi direct proporțional e.
{3,15} d.p {5,x}

20
Se formează proporția 3
5=15
𝑥 de unde x=15·5:3 adică x=25 de m de materia l
Pentru calculul lui x datele sunt aranjate în felul următor
3 rochii………….. ………………….15m
5 rochii……………………………..x m
Tinând cont de faptul că sunt mărimi direct proporâionale se obține x=5·15
3 x= 25m.
Această modalitate de calcul se numește regula de trei simplă pentru mă rimi direct
proporționale.
Regula de trei simplă pentru mărimi invers proporționale
Exemplu
Trei robinete umplu un bazin în 24 de ore. În cât timp vor umple același bazin 8 robinete cu
același debit?
Dacă numărul de robinete crește, atunci timpul în care acestea vor umple bazinul scade, astfel
se poate concluziona că este vorba despre mărimi invers proporționale.
{3,8} i.p{24,x} ⇔3·24=8·x cu x= 72:8 adic ă x=9.
Dacă datele sunt aranjate sub forma
3 robinete……………………….24 ore
8 robinete……………. ………..x ore
se formează proporția, unde primul raport se păstrează așa cum sugerează datele problemei iar
al doilea raport se inversează : 3
8=𝑥
24 de unde x= 3·24:8 adică x=9 ore sau direct x=3·24:8 .
Regula de trei compusă
Uneori , în probleme intervin trei sau mai multe mulțimi cu câte două elem ente între unele
dintre ele existînd o relație de proporționalitate directă și între altele o proporționalitate
inversă .

21
Pentru determinarea elementului necunoscut al uneia dintre mulțimile date problema de
rezolvat se împarte în două probleme care se rezolvă cu regula de trei simplă.
Exemplu
Cinci m uncitori termină o lucrare în 24 de zile dacă lucrează 8 ore pe zi. În câte zle vor
termina aceeași lucrare 8 muncitori dacă lucrează 9 ore pe zi?
Rezolvare
5m………….8 ore/zi……………..24 zile
8m…………..10 ore/zi……………..x zile
Problema intermediară
5 m……….8 ore/zi………….24 zile
8m………..8 ore/zi…………..y zile
Numărul orelor lucrate pe zi fiind acel ași, se poate ignora și numărul de zile se poate
determina aplicând regula de trei simplă
y=5·24:8 y=15 zile
8m………..8ore/zi………….15zile
8m………..10ore/zi…………..x zile
Numărul muncitorilor fiind același, se poate calcula x cu regula de trei simplă pentru mărimi
invers proporționale
x=8·15:10 x= 12 zile
Problema se poate rezolva direct , analizâ nd tipul de proporționalitate dintre datele cunoscute
ale problemei și datele care trebuie aflate. Astfel, perechile ( 24,x) și (5,8) sunt invers
proproționale, deoarece mărind numărul de muncitori, numărul de zile va scădea, iar perechile
(24,x) și (8,10) sunt tot invers proporționale, pentru că, mărind numărul de ore lucrate pe zi,
numărul zilelor necesar pentru finalizarea l ucrării va scădea.

22
Inversul raportului dintre elementele perechii ce conțin necunoscuta, adică (24,x) este egal cu
produsul rapoartelor elementelor perechilor (5,8) și (8,10).
i.p. i.p.
5m………………..8 ore/zi……………..24 de zile
8m……. ………….10 ore/zi……………..x zile de unde 𝑥
24=5
8·8
10 ⇔ x= 12 zile.
Această metodă de lucru numește regula de trei compusă.
2. Dependența funcțională
2.1 Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale

Se consideră două mulțimi nevide A și B, produsul cartezian al mulțimilor A și B este
mulțimea perechilor ordonate (a,b) cu proprietatea că a este element al mulțimii A și b este
element al mulțimii B.
Se notează A ×B={(a,b), a ∈A,b∈B}.
Numerele reale sun t reprezentate pe o dreaptă numită axa numerelor . Perechile ordonate de
numere reale (a,b) elemente ale produsului cartezian ℝ×ℝ={(a,b)/ a ∈ℝ,b∈ℝ} se
reprezintă într -un sistem ortogonal de axe, notat xOy.
Sistemul ortogonal de axe este format din două drepte perpendiculare considerate ca axe ale
numerelor reale. Punctul de intersecție al celor două drepte se notează cu O și se numește
originea sistemului ortogonal de axe. Pe cele două axe, Ox axa orizontală și Oy axa verticală
se alege aceeași unitate d e măsură.
Axa Ox se numește axa absciselor , iar axa Oy se numește axa ordonatelor . Cele două axe
împart planul în patru regiuni numite cadrane. Orice pereche ordonată de numere reale (a,b)
poate fi reprezentată printr -un punct în plan, astfel:

23

-se fixează pe axa Ox un punct A de coordonată a
-se fixează pe axa Oy un punct B de coordonată b
-paralela prin A la axa Oy și paralela prin B la axa Ox
se intersectează în punctul M.
Fig.I.2.1
Punctul M este reprezentarea în plan a perechii (a,b) și se notează M(a,b), se citește “M de
coordonate a și b” , a este abscisa punctului M , iar b este ordonata punctului M. (Fig.I.2.1)
Pentru fiecare punct din plan, există perechea (m,n) de numere reale care reprezintă
coordonatele punctului în plan.
Pentru calculul distanței dintre două puncte din plan A( 𝑥𝐴,𝑦𝐴) și B( 𝑥𝐵,𝑦𝐵) se utilizează
formula de calcul AB= √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2 .

2.2 Dependența funcțională

De la fizică se știe că un mobil care se deplasează rectiliniu și uniform parcurge o
distanță proporțională cu durata mișcării d=v·t. Dacă viteza este considerată constantă, iat
durata este variabilă, atunci distanța parcursă va depinde de timpul de mișcare și se
evidențiază o dependență funcțională între distanță și timp. De exemplu, dacă vitez a de
deplasare a unui autom obil este de 60 km/h, utilizînd formula d=v·t.se poate determina
distanța pe care o va parcurge în 2,5 . Graficul mișcării este redat în Fig I.2.2
Timpul (ore) 1 2 3 4 5
Distanța(km) 60 120 180 240 300

24
Pentru a determina distanța parcursă de
automobil în 2,5 ore se poate utiliza
formula de calcul d=60·2,5=150 km, sau
utilizând graficul, paralela la axa Oy prin
punctul B(2,5;0) intersectează graficul
mișcării în A, iar paralela prin A la axa
Ox, intersecteaz ă axa Oy în punctul
C(0,150). Deci , distan ța parcursă va fi de
150 km.
Un alt exemplu de dependen ță funcțională este legătura dintre timpul t de curgere și cantitatea
c a apei dintr -un rezervor.
Cantitatea de apă care curge uniform într -un rezervor este redată în tabelul de mai jos
Timpul (min) 1 2 3 4 5
Cantitatea (l) 3 6 9 12 15

Din tabel se observă că c este de trei ori mai mare decâ t t, deci c=3·t.
Fie A și B două mulțimi nevide. Se spune că exită o relație de dependență funcțională între
cele două mulțimi dacă, există un procedeu prin care fiecărui element din mulțimea A îi este
asociat un singur element din mulțimea B. Acest procedeu se va numi lege de corespondență
sau relație funcțională de la mulțimea A la mulțimea B.
O relație de dependență funcțională poate fi reprezentată printr -un ta bel, diagramă sau grafic.
3. Funcții
3.1 Noțiunea de funcție

Noțiunea de “funcție” este una dintre cele mai importante noțiuni în matematică. O
serie de fenomene întâlnite în fizică, chimie, biologie, economie și alte domenii sunt modelate
cu ajutorul funcțiilor.

25
Fondatorii noțiunii de “funcție” sunt matematicienii Isaac Newton(1643 -1727),
Gottfried W. Leibniz (1646 -1716), Leonard Euler (1701 -1783) . Termenul de “funcție” ăsi are
originea în limba latină functio = realizare, îndeplinire. ([17])
Studiul funcțiilor începe în gimnaziu, la nivelul clasei a opta, cu funcțiile liniare .
Programa școlară de matematică urmărește formarea competențelor de modelare a situațiilor
din viața reală cu ajutorul funcțiilor , corelarea elementelor unei funcții cu situații practice
precum și rezolvarea, prin alegerea metodelor adecvate a problemelor cu funcții .
Definiție
Se consideră două mulțimi nevide A și B . Se spune că s -a definit o funcție pe mulțimea A cu
valori în mulțimea B dacă , printr -un anumit procedeu , notat f , fiecărui element din mulțimea
A îi corespunde un singur element din mulțimea B.
Elemente de limbaj în definirea unei funcții
 Mulțimea A pe care este definită funcți a se numește domeniul de definiț ie al funcției.
 Mulțimea B în care funcția ia valori se numește codomeniul funcției, sau domeniul
valorilor funcției.
 Procedeul prin care fiecărui element x din mulțimea A i se aso ciază un singur element
y din mulț imea B se numește lege de corespondență
 Elementul y se no tează y=f(x) se citește “f de x” și se numește “valoarea func ției în x ”
sau imaginea lui x prin f.
 Mulțimea tuturor valorilor funcției se notează f(A)={f(x)/ x ∈A}, sau Imf. Mulțimea
Imf este submulțime a codomeniului funcției.
Pentru a defini o funcție est e necesar să fie cunoscute domeniul , codomeniul și legea de
corespondență.
Modalități de a defini o funcție
Funcții definite sintetic
Funcțiile sunt definite cu ajutorul unui tabel de valori sau a unei diagrame cu săgeți și se
utilizează atunci când domeniul de definiție are un număr restrâns de elemente.

26
Exemple de funcții
1. Fie A= {1,2,3,4}, B={ -1,-2,-3,-4}. Tabelul următor descrie o func ție
x 1 2 3 4
f(x) -1 -2 -3 -4
Fiecărui element din A îi corespunde un singur element din B.
Se scrie f(1)= -1 ; f(2)= -2; f(3)= -3; f(4)= -4
2. Diagramele urm ătoare descriu funcții

Fiecărui element din domeniul funcției îi este asociat un singur element din codomeniul
funcției.
Exemple de corespondențe care nu sunt funcții
1. Tabelul următor nu descrie o funcție deoarece există elemente cărora nu li se asociază
niciun element dina doua mulțime. Fie A= {a,b,c,d,e} B={1,2,3,4,5}
x a b c d e
f(x) 1 2 3 5

Elementului d nu i se asociază niciun element din mulțimea B, deci această corespondență nu
este o funcție.
2. Diagrama următoare nu descrie o funcție, pentru că elementului 1 îi corespund două
elemente distincte -1, 1 din a doua mulțime.

27

Funcții definite analitic
Se consideră f: A → B , o funcție. Dacă do meniul funcției conține un număr mare de elemente
sau este infinită, atunci legea de corespondență este dată indicând o regulă sau o fo rmulă prin
care elementului x ∈ A îi corespunde elementul y=f(x) ∈ B.
Exemplu : f: ℝ→ ℝ, f(x)=2x -5
Dacă A și B sunt submulțimi ale lui ℝ, atunci legea de corespondență poate fi dată printr -o
formulă sau prin mai multe formule ( funcții pe ramuri).
Dacă funcția este definită prin mai multe formule, este necesar ca mulțimile precizate pentru
acestea să f ie disjuncte și reuniunea lor să fie egală cu domeniul de definiție al funcției.
Exemplu f: ℝ→ ℝ, f(x)={x+1,pentru x<0
x−1,pentru x≥0
Funcții egale
Două funcții f:A →B și g: C → D sunt egale dacă A=C, B=D și f(x)=g(x) oricare ar fi x ∈ A.
Se notează f=g. Dacă nu sunt egale se notează f ≠g.
Funcțiile care au domeniul de definiție și codomeniul submulțimi ale mulțimii numerelor
reale se numesc funcții numerice.
3.2 Graficul unei funcții . Reprezentarea grafică
Definiție
Fie f:A→B o funcție. Mulțimea 𝐺𝑓={(x,y) / x ∈𝐴,𝑦=𝑓(𝑥) }⊂ A×B se nume ște graficul
funcției ..

28
Fiecărui element al mulțimii 𝐺𝑓 i se poate asocia un punct M(x,y) în sistemul de axe
ortogonale și mulțimea tuturor acestor puncte se va numi reprezentarea geometrică a mulțimii
graficul f uncției, sau reprezentarea grafică a funcției.
Exemplu
Fie funcția f: {-1,0,1,2} →{0,1,2,3,4,5} dat ă de f(x)=x+3.
Tabelul valorilor funcției este
x -1 0 1 2
f(x) 2 3 4 5

Mulțimea valorilor funcției Imf={2,3,4,5}
Mulțimea graficul funcției este
𝐺𝑓={(-1,2);(0,3);(1,4);(2,5)}.
Reprezentarea geometrică a graficului func ției este
mulțimea de puncte {A(-1,2); B(0,3); C(1,4); D(2,5)} din
figura alăturată .
3.3 Funcții de forma f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b
Fie a ș i b două numere reale.
Definiție
Funcția f: ℝ→ℝ , f(x)=ax+b se numește funcție liniară.
Dacă a ≠0, atunci funcția f: ℝ→ℝ , f(x)=ax+b se numește funcție de gradul I .
Dacă a=0 și b ≠0, atunci funcția f: ℝ→ℝ , f(x)=b se numește funcție constantă .
Funcții liniare egale
Două funcții f: : ℝ→ℝ și g: : ℝ→ℝ, cu f(x)=ax+b și g(x)=cx+d sunt egale dacă și numai dacă
a=c, b=d.

29
3.3.1 Reprezentarea grafică a funcției de forma f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b
Graficul unei funcții f:ℝ→ℝ , f(x)=ax+b, este mulțimea 𝐺𝑓={(𝑥,𝑦) / 𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈ℝ}.
Reprezentarea geometric ă a graficului funcției liniare (reprezentarea grafică) este o dreaptă, de
unde și denumirea de funcție liniară.
Pentru a determina o dreaptă sunt necesare două puncte.
Pentru a trasa graficul unei funcții liniare este suficient să se aleagă convenabil două valori
reale pentru x, 𝑥1, 𝑥2 graficul funcției fiind dreapta care trece prin punctele A( 𝑥1,𝑦1) , 𝑦1=
𝑓(𝑥1), B(𝑥2,𝑦2) 𝑦2=𝑓(𝑥2).
Exemplu :
1) Pentru reprezentarea grafică a funcției f: ℝ→ℝ ,
f(x)=x+2 se consider ă
x= -1 ⇒ y=f( -1), f( -1)= -1+2 ⇒f( -1)=1 deci A (-1,1)
x=1 ⇒ y=f(1), f(1)=1+2=3 deci B(1,3)
Reprezentarea grafică a funcției f: ℝ→ℝ , f(x)=x+2 va fi
dreapta AB
2) Reprezentarea grafică a funcției constante f :ℝ→ℝ,
f(x)=4 este o dreapt ă paralel ă cu axa Ox.
Pentru x=1 ⇒ f(1)=4 ⇒ A(1,4)
Pentru x=2 ⇒ f(2)=4 ⇒ B(2,4)
Dreapta AB este paralelă cu axa Ox .
Reprezentarea grafică a funcțiilor de forma f: D →ℝ, f(x)=ax+b,unde D ⊂ℝ este un interval
Funcția f: D→ℝ, f(x)=ax+b,unde D ⊂ℝ este un interval , se numește restricția funcției
g: ℝ→ℝ, g(x)=ax+b, la intervalul D.

30
 Dacă D este un interval nemărginit de forma (m, +∞) ,[m, +∞), (-∞,𝑚) sau ( -∞,𝑚],
atunci reprezentarea grafică a funcției este o semidreaptă deschisă sau închisă.
Se determină mai întâi originea semidreptei, se calculează valoarea funcției pentru
capătul m ărginit al intervalului și se obține punctul M(m, f(m)) , iar pentru celălalt
punct se alege orice valoare x din D , găsind al doilea punct N(x,y), y=f(x).
 Dacă D este un interv al mărginit de forma (m,n), [m,n], (m,n];[m.n), atunci
reprezenta rea grafic ă a funcției va fi un segment de dreaptă deschis la ambele capete,
deschis la un capăt și închis la celalălalt, sau închis în ambele capete.
Se determină valoarea funcției pentru capetele întervalului și se obțin punctele
A(m,f(m)) și B(n ,f(n)) c are reprezintă capetele segmentului de dreaptă.
Exemplu
Pentru reprezentarea grafică a funcției f: ( -∞;3]→ℝ ,
f(x)= – x+2 se calculeaz ă
f(3)= -3+2⇒f(3)= -1 ⇒ A(3,-1)
f(1)= -1+2⇒f(1)=1 ⇒ B(1,1)
Reprezentarea grafică a funcției date va fi semidreapta închisă
[AB.
Pentru reprezentarea grafic ă a funcției f: [-1 ;1) →ℝ ,
f(x)=2x+3 se calculează
f(-1)=2( -1)+3 ⇒A(-1,1)
f(1)=2·1+3 ⇒ B(1, 5)
Reprezentarea grafică a func ției va fi segmentul [AB), cu
observa ția că punctul A aparține segmentului și punctul B
nu aparține segmentului.

31

3.3.2 Condiția ca un punct să aparțină graficului funcției
Un punct M ( 𝑥𝑀,𝑦𝑀,) aparține graficului unei funcții f: D →ℝ, f(x)= ax+b, dacă 𝑥𝑀∈ D și
f(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀⇔𝑦𝑀=𝑎𝑥𝑀+𝑏
M (𝑥𝑀,𝑦𝑀,)∈𝐺𝑓 ⇔ f(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀
Tip de problemă
1) Să se determine va loarea parametrului real m, știi nd că punctul A aparține graficului
funcției f:ℝ→ℝ, f(x)=mx+5 și A (m,9).
Rezolvare
A (m,9) ∈𝐺𝑓⇔f(m)=9
f(m)=m ·m+5 ⇒f(m)=m ²+5
m²+5=9 ⇒ m²=4 ⇒m= ±2
2) Să se determine punctul care apar ține graficului func ției f:ℝ→ℝ, f(x)= 2x-1 și are:
a) abscisa egal ă cu triplul ordonatei b) coordonatele egale
c) ordonata opusa abscisei d) ordonata egal ă cu p ătratul abscisei.
Rezolvare
a) Se consider ă ordonata, adic ă y=a, abscis a va fi tripul acesteia adic ă x=3a
Fie A (3a,a) ∈𝐺𝑓⇔ f(3a)=a ⇒2·3a-1=a ⇔ 5a=1 ⇔a=1
5 ⇒ A(3
5,1
5) ∈𝐺𝑓
b) Fie B (b, -b) ∈𝐺𝑓⇔ f(b)= -b ⇒2b-1=-b ⇒3b=1 ⇒b=1
3 ⇒ B(1
3;−1
3) ∈𝐺𝑓
c) Fie C(c,,c) ∈𝐺𝑓⇔ f(c)=c ⇒2c-1=c ⇒c=1 ⇒ C(1,1)
d) Fie D(d,d²) ∈𝐺𝑓⇔ f(d)=d² ⇔ 2d-1=d² ⇔d²-2d+1=0 ⇔(d-1)²=0 ⇔d-1=0⇒d=1 ⇒ D=C(1,1)

32
3.3.3 Interse cția graficului unei funcții cu axele de coordonate
Uneori, pentru reprezentarea grafică a func ției liniare se utilizează punctele situate la
intersecția axelor sistemului ortogonal , Ox și Oy cu reprezentarea grafică a funcției.
Se consideră funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b. , cu a ≠0
Fie M( 𝑥𝑀,𝑦𝑀) punctul situat la intersecția graficului funcțiti f cu axa Ox, atunci coordonatele
sale verifică relațiile
{𝑦𝑀=0 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝑂𝑥)
𝑓(𝑥𝑀)=𝑦𝑀 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝐺𝑓) rezolvând se ob ține 𝑥𝑀=−𝑏
𝑎 și 𝑦𝑀=0⇒ M(−𝑏
𝑎,0)∈𝐺𝑓
Fie N( 𝑥𝑁,𝑦𝑁) punctul situat la intersecția graficului funcțiti f cu axa Oy, atunci coordonatele
sale verifică relațiile
{𝑥𝑀=0 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝑂𝑦)
𝑓(𝑥𝑁)=𝑦𝑁 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝐺𝑓) rezolvând se obține 𝑥𝑁=0 , 𝑦𝑁=𝑏⇒ N(0,𝑏)∈𝐺𝑓
Tip de problemă
Se consideră funcția f : ℝ→ℝ, f(x)=2x -4. Se cere
a) Să se determine coordonatele punctelor situate la intersecția reprezentării grafice a funcției
cu axele de coordonate și să se traseze graficul funcției
b) Să se determine aria triunghiului format de reprezentarea grafică a funcției și axele de
coordonate
c) Să se determine distanța de la originea sistemului de axe, punctul O (0,0) la dreapta care
reprezintă graficul funcției f.
d) Să de determine tangenta unghiului format de reprezentarea grafică a funcției f și axa Oy.

33
Rezolvare
a) Gf∩Ox∶ {f(x)=y
y=0⇒f(x)=0⇔
2x−4=0⇔x=2⇒A(2,0)∈Ox
Gf∩Oy∶ {f(x)=y
x=0⇒f(0)=y⇔
2·0−4=−4⇔y=−4⇒B(0,−4)∈Oy
b) Tri unghiul format de graficul funcți ei și axele de coordonate este ∆ AOB, es te un triunghi
dreptunghic , în O, a cărui arie se poate determina cu formula 𝐴∆=𝑐1·𝑐2
2
Catetele sunt OA și OB, OA=2 u.m, OB=4 u.m ⇒
𝐴∆=𝑂𝐴·𝑂𝐵
2=2·4
2=2 u.m²
c) Pentru distanța de la punctul O, originea sistemu lui de coordonate , la reprezentarea grafică
a funcției se consideră OM AB ⇒ d(O, AB)=OM
Pentru calculul acesteia, se lucrează î n triunghiul dreptunghic AOB unde OM este înă lțimea
corespunzătoare ipotenuzei ⇒𝑂𝑀 =𝑐1·𝑐2
𝑖𝑝
Lungimea ipotenuzei AB se obține aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ∆𝐴𝑂𝐵
AB²=OA²+OB² ⇒AB= √22+42⇒AB=√4+16 ⇒AB=√20⇒AB=2√5
OM=OA·OB
AB=2·4
2√5 ⇒ OM=4√5
5 ⇒ d(O, AB)= 4√5
5
Lungimea segmentului AB se poate obține și aplicând direct formula de calcul pentru di atanța
dintre două puncte în plan AB= √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2.
d) Unghiul format de graficul funcției f și axa Oy este ∢OBA.
În ∆ AOB, m( ∢AOB)=90 tg(∢OBA )= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠 ă
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡 ă ⇒ tg(∢ OBA )=𝑂𝐴
𝑂𝐵 ⇒ tg(∢ OBA )=1
2

34
3.3.4 Determinarea coordonatelor punctului de intersecție al reprezentărilor grafice a
două funcții
Se consideră două funcții liniare f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b și g: ℝ →ℝ , g(x)=mx+n.
Pentru a determina coordonatele unui punct M ( 𝑥𝑀,𝑦𝑀) care aparține atât graficului funcției f
cât și graficului funcției g se procedează astfel:
M (𝑥𝑀,𝑦𝑀)∈𝐺𝑓⇒ f(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀 ⇔ a·𝑥𝑀+b=𝑦𝑀
M (𝑥𝑀,𝑦𝑀)∈𝐺𝑔⇒ g(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀 ⇔ m·𝑥𝑀+n=𝑦𝑀
Se rezolvă ecuația a· 𝑥𝑀+b= m·𝑥𝑀+n cu necunoscuta 𝑥𝑀, apoi pentru calculul lui 𝑦𝑀 se
determină f( 𝑥𝑀) sau g( 𝑥𝑀) și se obține M (𝑥𝑀,𝑦𝑀)∈ 𝐺𝑓∩𝐺𝑔, acesta reprezintă punc tul de
intersecție al reprezentărilor grafice ale funcțiilor f și g.
Dacă ecuația nu are soluți i, atunci dreptele care reprezintă graficele celor două funcții sunt
paralele. Dacă ecuația are o infinitate de soluții, atunci dreptele sunt confundate.
Exemplu
1) Să se determine coordonatele punctului de intersecție al reprezentărilor grafice ale
funcțiilor f și g dacă
f: ℝ→ℝ, f(x)=2x -1 și g: ℝ →ℝ g(x)=x+2
Rezolvare
𝐺𝑓∩𝐺𝑔=M( 𝑥𝑀,𝑦𝑀) ⇒ f(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀⇒2𝑥𝑀-1=𝑦𝑀 și g( 𝑥𝑀)=𝑦𝑀⇒𝑥𝑀+2=𝑦𝑀 ⇔
2𝑥𝑀-1=𝑥𝑀+2⇔2𝑥𝑀-𝑥𝑀=1+2 ⇒ 𝑥𝑀=3⇒ 𝑦𝑀=𝑔(3)=3+2⇒𝑦𝑀=5 ⇒ M(3,5) ∈
𝐺𝑓∩𝐺𝑔
2) Să se determine aria triunghiului format de reprezentările grafice ale funcțiilor
f: ℝ→ℝ, f(x)= x -3 și g: ℝ→ℝ g(x)= -3x+5 și axa O y.

35
Rezolvare:
𝐺𝑓∩𝐺𝑔=M( 𝑥𝑀,𝑦𝑀) ⇒ f(𝑥𝑀)= 𝑦𝑀 ⇒ 𝑥𝑀-3=𝑦𝑀 și g( 𝑥𝑀)= 𝑦𝑀 ⇒ -3𝑥𝑀+5= 𝑦𝑀
⇒ 𝑥𝑀-3=-3𝑥𝑀+5 ⇔4 𝑥𝑀=8 ⇔ 𝑥𝑀=2 , 𝑦𝑀=2−3 ⇒𝑦𝑀=−1 ⇒ M(2, -1)∈ 𝐺𝑓∩𝐺𝑔
Pentru reprezentările grafice ale celor două funcții se mai determină punctele situate la
intersecția reprezentărilor lor cu axa ordonatelor , Oy.
𝐺𝑓∩𝑂𝑦:{𝑓(𝑥)=𝑦
𝑥=0⇒f(0)=y ⇒0-3=-3⇒y=-3 ⇒ A( 0,-3) ∈𝐺𝑓∩𝑂𝑦. Reprezentarea grafică a
funcției f este dreapta AM.
𝐺𝑔∩𝑂𝑦:{𝑔(𝑥)=𝑦
𝑥=0⇒g(0)=y⇒ -3·0+5=0 ⇒y=5⇒ B(0,5) 𝐺𝑔∩𝑂𝑦. Reprezentarea grafică a
funcției g este dreapta BM.
Triunghiul determinat de reprezentările grafice ale
celor două funcții și axa Oy este triunghiul ∆AMB.
Pentru calculul ariei acestui triunghi se consideră
MN║ OX, N ∈𝑂𝑦, N(0, -1) ⇒ MNOy
MP║ OX, P ∈𝑂𝑥, P(2,0) ⇒MPOx
A∆AMB =b·î
2=AB·MN
2
AB=OA+OB=3+5=8
MN=OP=2 ⇒A∆AMB =8·2
2=8 u.m.²
3.3.5 Det erminarea unei funcții care îndeplinește condiții date
Pentru a determina o funcție liniară a cărei reprezentare grafic ă conține punctele A(𝑥𝐴,𝑦𝐴) și
B (𝑥𝐵,𝑦𝐵) ,se consideră funcția f: ℝ→ℝ, de forma f(x)=ax+b , iar pentru a afla a și b se pun
condițiile ca A ∈𝐺𝑓, B ∈𝐺𝑓.

36
Exemplu
1) Să se determine funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b a cărei reprezentare grafic ă conține punctele
A(1,3) , B( -1,1).
Rezolvare
A(1,3) ∈𝐺𝑓⇔ f(1)=3 ⇒a+b=3
B(-1,1) ∈𝐺𝑓⇔ f(-1)=1 ⇒-a+b=1
{𝑎+𝑏=3
−𝑎+𝑏=1⇒ 2b=4 ⇒ b=2, a=1 ⇒f(x)=x+2.
În diferite domenii de activitate există o varietate de procese care se modelează cu ajutorul
funcțiilor. Următorul exemplu este o problemă cu caracter aplicativ, care determină cu ajutorul
funcțiilor volumul apei din solul unei grădini, la un moment al z ilei.
2) (Problema 8 pag 33 din [13])
Un tehnician agronom măsoară la ora 9 dimineața volumul apei din solul unei grădini și
constată că acesta este de 2 litri la fiecare metru cub de pământ. Din cauza caniculei din timpul
zilei, tehnicianul constată că, în fiecare oră, se evaporă din sol câte 200 mililitri de apă din
fiecare metru cub. La ora 14, cerul se înnorează și, timp de două ore volumul apei din sol se
conservă, iar apoi, în urma unei ploi torențiale de trei ore, tehnicianul consstată că volumul
apei din sol crește, în fiecare metru cub de pământ, cu trei litri pe oră. Să se descrie, printr -o
formulă funcția care determină volumul apei din fiecare metru cub de pământ al grădinii pe
perioada celor 10 ore în care tehnicianul agronom realizează măsurăt ori.
Rezolvare
Volumul apei de modifică la fiecare oră, ceea ce înseamnă că depinde de numărul orei la care
se face măsurarea.
Fie f : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} →ℝ funcția care calculează volumul apei, iat x variabila, adică
fiecare oră din cele 10 pe parcursul cărora s -au efectuat măsurători.

37
Astfel 𝑓(𝑥)={ 2−0,2·x, dacă x∈{1,2,3,4,5}
1, dacă x∈{6,7}
1+3·(x−7), dacă x∈{8,9,10}
De exemplu, la ora 18, adică a 9 -a din cele 10 destinate măsur ătorilor, volumul apei dintr -un
metru cub de pământ este 1+3 ·(8−7)=1+3=4 litri.
3) Să se determine legea de corespondență a funcției f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b , știind că
a) f(x+1)=x, oricare ar fi x ∈ℝ
b) f(3x -1)=3x+2 , oricare ar fi x ∈ℝ
Rezolvare
a) Fie t=x+1 ⇒ x=t-1⇒f(t)=t -1⇒ f(x)=x -1 ⇒a=1, b= -1
b) Fie t=3x -1 ⇒x=𝑡+1
3 ⇒f(t)=3·𝑡+1
3+2 ⇒f(t)=t+3 ⇒f(x)=x+3 ⇒ a=1, b=3.
3.3.6 Ver ificarea coliniarității a trei sau mai multe puncte , cunoscând coordonatele lor.

Pentru a stabili dacă trei puncte date A( 𝑥𝐴,,𝑦𝐴) , B( 𝑥𝐵,,𝑦𝐵), C( 𝑥𝐶,,𝑦𝐶) sunt coliniare se verifică
dacă aparțin reprezentării grafice a aceleiași funcții liniare.
Fie funcția f:ℝ→ℝ, f(x)= ax+b a cărei reprezentare grafică este dreapta AB. Se determină a și b
apoi se verifică dacă punctul C aparține reprezentării grafice a dreptei AB.
Exemplu
Să se stabiliească, prin calcul, coliniaritatea punctelor A(1,3), B( -2,6) și C( 2,2).
Rezolvare
Se consideră funcția f :ℝ→ℝ, f(x)=ax+b a cărei reprezentare grafică este dreapta AB.
A(1,3) ∈𝐺𝑓 ⇔ f(1)=3 ⇒a+b=3
B(-2,6) )∈𝐺𝑓⇔ f(-2)=6 ⇒-2a+b=6

38
{𝑎+𝑏=3
−2𝑎+𝑏=6⇔3a=-3 ⇒a=-1, b=4 ⇒f(x)= -x+4 este funcția a cărei reprezentare grafică este
dreapta AB.
Punctele A, B, C sunt coliniare dacă C ∈ AB , adică f(2)=2 ⇒-2+4=2 ⇒ C∈ AB ⇒
Punctele A, B și C sunt coliniare.
Pentru a stabili dacă patru sau mai multe puncte date sunt coliniare, se procedează analog, se
aleg două dintre ele, se determină forma funcției a cărei reprezentare grafic ă conține cele două
puncte și apoi se verifică dacă ș i celelalte puncte aparțin graficului funcției determinate.

39
CAPITOLUL II
Statistica

Statistica este un puternic instrument de cunoaștere a lumii înconjurătoare .
Statistica este disciplina care se ocupă cu culegerea, înregistrarea, gruparea, analiza și
interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum și cu formularea unor previziuni
privind comportarea viitoare a acestuia. ([9])
1. Elemente de limbaj în statist ică

Populația statistică este o mulțime de elemente (indivizi) cu însușiri comune pe care se
realizează un studiu.
Numărul elementelor unei populații statistice se numește efectivul total al populației statistice.
Elementele popolației statis tice se numesc unități statistice sau indivizi .
Eșantionul este o submulțime finită a populației statistice aleasă pentru a fi studiată. Un
eșantion este reprezentativ dacă este o imagine redusă cât mai adecvată și fidelă a întregii
populații.
Proprietatea sau indicatorul în funcție de care se cercetează o populație statistică se numește
caracteristică sau variabilă statistică . ([9])
Exemplu
Se efectuează un studiu privind mediile de admitere la liceu ale elevilor de clasa a opta ai unei
școli.
Populația statistică este reprezentată de mulțimea elevilor de clasa a opta.
Efectivul total este numărul elevilor de clasa a opta.
Unitățile statistice sunt elevii.

40
Caracteristica este media de admitere.
Variabilele statistice pot fi de numeroase tipuri , după natura lor și modul de exprimare acestea
se clasifică în:
 Variabile statistice cantitative exprimate prin numere, reprezintă rezultatul unor
măsurători , de exemplu notele obținute la o evaluare, profitul unei firme, vârsta
Variabilele statistice c antitative se clasifică în: variabile cantitative de tip discret , iau
valori numerice izolate , de exemplu notele (de la 1 la 10) , vărsta în ani împliniți etc. și
variabile cantitative de tip continuu iau orice valoare într-un interval din domeniul lor
de valori , de exemplu înălțimea, greutatea, media de admitere la liceu etc. Intervalele
în care ia valori o variabilă statistică se numesc grupe sau clase de valori .
 Variabile statistice calitative exprimate prin cuvinte, descriu prin cuvinte o calitate a
unităților statistice, de exemplu liceul absolvit, naționalitatea, culoare a ochilor ,etnia
etc.
2. Culegerea, înregistrarea și clasificarea datelor statistice

Datele statistice reprezintă observațiile rezultate dintr -o cercetare statistică, sau mulțimea
valorilor colectate în urma unei cercetări statistice.
De obicei, rezultatele unui studiu sunt înregistrate în ordinea în care s -a realizat
măsurătoarea/preluarea și sub această formă sunt greu de analizat. De aceea este necesară o
grupare sau clasificare a datelor.
Cu ajutorul clasificării datelor se pot obține concluzii mai rapide privind particularitățile
populației statistice studiate.
Se consideră un studiu efectuat asupra unui grup de elevi după timpul (exprimat în minute)
necesar pentru a ajunge la școală. Datele obținute sunt înregistrate în următorul tabel:
5 12 8 7 15 10 5 6 7 8 15 20 24 30 31 22 17 16 10 14
35 40 42 31 20 18 45 33 10 20 8 12 18 25 30 32 42 43 19 20
5 10 15 45 8 12 26 30 32 30 15 17 10 5 8 10 16 42 39 31
6 11 24 23 16 10 6 18 25 30 35 40 12 15 20 23 18 17 10 12
Tabelul II.2. 1

41
Sub această formă datele s unt greu de analizat. Dacă se aș ează în ordine crescătoare timpul
exprimat în minute și se consemnează numărul de elevi care corespund e fiecărui timp se obțin
datele din tabelul II.2.2
Tabelul II.2.2
Dacă datele se grupează în clase de valori, tabelul II.2 .3 rezultatele analizei statistice pot fi
obținute mai ușor.
Timp [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]
Nr elevi 14 15 16 10 3 11 3 8
Tabelul II.2.3
Astfel , se pot obține diferite informații despre grupul de studiu:
-sunt 80 de elevi în total
-cei mai mulți parcurg între 15 și 20 de minute până la școală
-există 8 elevi care parcurg între 40 și 45 de minute până la școală
Valoarea absolută a diferenței extremităților unei clase de valori se numește amplitudinea
clasei . ([9]) În exemplul de mai sus, amplitudinea clasei este 5.
În general, o clasă de valor i este un interval închis la capătul din stânga și deschis la capătul
din dreapta, ultima clasă de valori fiind un interval închis la ambele capete.
3. Serii statistice. Frecvențe
Seria statistică reprezintă un mod organizat de prezentare a datelor, sub forma a dou ă
șiruri: primul se referă la c aracteristică iar al doilea cuprinde datele numerice sau frecvențele
de apariție și depinde de ordinea de apariție din primul șir.([3 4]) Timp
(min) Nr
elevi Timp
(min) Nr
elevi Timp
(min) Nr
elevi Timp
(min) Nr
elevi Timp
(min) Nr
elevi Timp
(min) Nr
elevi
5 4 10 8 16 3 22 1 30 5 39 1
6 3 11 1 17 3 23 2 31 3 40 2
7 2 12 5 18 4 24 2 32 2 42 3
8 5 14 1 19 1 25 2 33 1 43 1
9 0 15 5 20 5 26 1 35 2 45 2

42
Într-un studiu se consideră o populație statistică cu efectivul total N, X caracteristica
sau variabila statistică cu valorile 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑚 iar 𝑛𝑖 numărul de unități statistice
corespunzătoare valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice, 1 ≤𝑖≤𝑚.([9])
Mulțimea perechilor ( 𝑥𝑖.𝑛𝑖), 1 ≤𝑖≤𝑚 formează o serie statistică cu o singură
variabilă.
Numărul 𝑛𝑖 de unități statistice corespunzătoare valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice, sau
unei clasei de valori se numește frecvența absolută a valorii 𝑥𝑖, respectiv frecvența absolută a
clasei de valori considerate și indică frecvemța apariției valorii 𝑥𝑖,([9])
Suma frecvențelor absolute ale valorilor sau claselor de valori ale variabilei statistice
este egală cu efectivul total. 𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑚=𝑁.
Seriie statistice cu o singura variabilă statistică se prezintă sub forma unui tabel care
cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele de valori și frecvențele absolute
corepunzătoare.
Exemplu
Valorile
caracteristicii 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑚
Frecvențele
absolute 𝑛1 𝑛2 𝑛3 … 𝑛𝑚

Clase de
valori [𝑥1,𝑥2) [𝑥2, 𝑥3) [𝑥3,𝑥4) … [𝑥𝑚−1,𝑥𝑚]
Frecvențele
absolute 𝑛1 𝑛2 𝑛3 … 𝑛𝑚

Conform [9], se pot defini următoarele tipuri de frecvențe absolute:
 Frecvența absolută cumulată crescător a valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice este suma
tuturor frecvențelor absolute ale valor ilor variabilei ce apar până la 𝑥𝑖, inclusiv
Se notează 𝑁𝑖=∑ 𝑛𝑘𝑖
𝑘=1, 1≤i≤m
 Frecvența absolută cumulată descrescăto are a valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice este suma
tuturor frecvențelor absolute ale valorilor variabilei ce apar de la 𝑥𝑖, inclusiv

43
Se notează 𝑁𝑖′=∑ 𝑛𝑘𝑚
𝑘=𝑖1≤i≤m
 Analog se definesc frecvențele absolute cumulate crescător și descrescător pentru
clasele de valori
Frecvența relativă a valorii 𝑥𝑖, sau a unei clase de valori a variabilei este raportul dintre
frecvența absolută și efectivul total al populației. Se repezintă sub formă procentuală și indică
ponderea unităților statistice corespunzătoare valorii respective din efectivul total.
Se notează 𝑓𝑖=𝑛𝑖
𝑁 , 1≤i≤m.
 Frecvența relativă cumulată crescător a valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice este suma
tuturor frecvențelor relative ale valorilor variabilei ce apar până la 𝑥𝑖, inclusiv
Se notează 𝐹𝑖=∑ 𝑓𝑘𝑖
𝑘=1, 1≤i≤m
 Frecvența relativă cumulată descrescăto are a valorii 𝑥𝑖 a variabilei statistice este suma
tuturor frecvențelor relative a le valorilor variabilei ce apar de la 𝑥𝑖, inclusiv
Se notează 𝐹𝑖′=∑ 𝑓𝑘𝑚
𝑘=𝑖, 1≤i≤m
 Analog se definesc frecvențele relative cumulate crescător și descrescător pentru
clasele de valori .
Pentru seriile statistice reprezentate prin clase de valori se utilizează și centrul clasei , este
determinat ca medie ari tmetică simplă a capetelor intervalului .
Pentru clasa de valori [𝑥𝑖,𝑥𝑖+1) 1≤i≤m-1, centrul clasei este 𝑥𝑖′=𝑥𝑖+𝑥𝑖+1
2 și este considerat
reprezentativ pentru datele din acest interval.
Frecvențele absolute, relative și cumulate oferă o imag ine de ansamblu asupra modului de
distribuție a valorilor în colectivitate .
Exemplul 1
Se consideră repartiția notelor obținute la te za de l a matematică a elevilor unei clase.(Tabelul
II.3.1)

44
Note 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecvența
absolută
(𝑛𝑖) 1 2 3 4 6 4 3 2
Frecvența
absolută
cumulată
crescătoare
(𝑁𝑖) 1 3 6 10 16 20 23 25
Frecvența
absolută
cumulată
descrescătoare
(𝑁𝑖′) 25 24 22 19 15 9 5 2
Frecvența
relativă
(𝑓𝑖) 1
25=
0,04=
4% 2
25=
0,08=
8% 3
25=
0,12=
12% 4
25=
0,16=
16% 6
25=
0,24=
24% 4
25=
0,16=
16% 3
25=
0,12=
12% 2
25=
0,08=
8%
Frecvența
relativă
cumulată
crescătoare
(𝐹𝑖) 4% 12% 24% 40% 64% 80% 92% 100%
Frecvența
relativă
cumulată
descrescătoare
(𝐹𝑖′) 100% 96% 88% 76% 60% 36% 20% 8%
Tabelul II.3.1
Datele din tabel pot fi interpretate astfel: de exemplu, pentru datele de pe coloana notei 6
acestea semnifică:
-există patru elevi care au luat nota 6 și aceștia reprezintă 16% din totalul de 25 de elevi ai
clasei
-există 10 elevi care au luat note mai mici sau egale cu 6, ei reprezintă 40% din totalul elevilor
și există 19 elevi cu note mai mari sau egale cu 6, aceștia reprezentând 76% din numărul total
de elevi.
Si pentru seriile s tatistice cu variabila statistică de tip calitativ se pot determina frecvențe
absolute și frecvențe relative.

45
Exemplul 2
Distribuția studenților după calificativul obținut la un proiect este redată în tabelul II.3.2
Calificativ ( 𝑥𝑖) Număr studenți
(frecvența absolută ( 𝑛𝑖)) Frecvența relativă ( 𝑓𝐼)
Insuficient 3 10%
Satisfăcător 6 20%
Bine 7 23,(3)%
Foarte bine 8 26,(6)%
Excelent 6 20%
Total 30 100%
Tabelul II.3.2
4. Reprezentarea grafică a datelor statistice

O modalitatea de analiză și interpretare a datelor statistice este reprezentarea grafică
a acestora . Un grafic poate fi o modalitate mai eficien tă de prezentare a datelor decât un set de
numere deoarece permite vizualizarea repartiției datelor și fomarea unei imagini intuitive
asupra fenomenului studiat . Sursele media și studiile prezentate adesea în cadrul știrilor
prezintă datele statistice cu ajutorul reprezentărilor grafice, acestea permit cititorilor să
compare faptele și cifr ele rapid. Statisticienii obișnuiesc să reprezin te grafic datele mai întâi
pentru a obține o imagine a lor și apoi aplică instrumente de studiu mai complexe.
În funcție de tipul caracteristicii se utilizează diferite diagrame.
4.1 Reprezentarea grafică folosind diagrama circulară
Diagrama circulară sa u diagrama ”pie” este un disc a c ărui arie corepunde efectivului total al
populației statistice (100%). Valorile variabile statistice sunt reprezentate prin sectoare de disc
cu ariile proporționale cu frecvențele relative ale valorilor variabilei. Utilizân d regula de trei
simplă se determină măsura unghiului la centru corespunzător fiecărei valori a variabilei.
100%……….360 
𝑓𝑖……………….u 

46
Exemplu
Repartiția după sportul preferat a unui grup de copii este redată în tabelul de mai jos și
reprezentată în diagrama circulară din Fig.II.4.1
Venituri Fotbal Baschet Handbal Volei
Frecvența
absolută 14 6 3 7
Frecvența relativă 47% 20% 10% 23%
Măsura unghiului
la centru 168 72 36 84

Fig. II.4.1 Fig. II.4.2
4.2 Reprezentarea grafică folosind dreptunghiul de structură
Pentru reprezentarea prin dreptunghiul de structură se consideră un reper ortogonal de axe,axa
verticală va fi axa frecvențelor relative ale valorilor variabilei iar pe axa orizontală se
construiește un dreptunghi cu dimensiunea pe axa verticală de 100 de unități. Dreptunghiul se
împarte în dreptunghiuri cu ariile proporționale cu frecvențele relative. Fig. II.4.2.
4.3 Reprezentarea grafică prin coloane sau benzi
Reprezentarea grafică prin coloane sau benzi utilizează dreptunghiuri cu lățimi egale și
lungimile proporționale cu frecvențele relative sau absolute ale valorilor variabilei statistice.
Dacă dreptunghiurile sunt poziționate vertical, atunci diagrama este cu coloane, dacă sunt
poziționate orizontal, atunci diagrama este cu benzi.

47
Pentru datele din Tabelul II.3.1 diagrama cu coloane este în fig II.4.3.2, iar cea cu benzi în
figura II.4.3.3
Fig. II.4.3.2 Fig. II.4.3.3
Diagrama cu grupuri de coloane este asemănătoare cel ei cu coloane , dar adaugă o
caracteristică în plus. De exemplu, pentru a reprezenta grafic un grup de persoane, femei, copii
și bărbați după sportul practicat se utilizează diagrama din Fig.II.4.3.4

Fig. II.4.3.4

02468101214
Volei Inot Fotbal BaschetNumăr de persoane
Sportul pr acticat Femei
Copii
Bărbați

48
4.4 Poligonul frecvențelor

Poligonul fr ecvențelor este cel mai adesea utilizat pentru a reprezenta evoluția în timp a unor
date sau pentru a arăta tendințe.
Pentru a construi poligonul frecvențelor absolute pentru seria statistică ( 𝑥𝑖,𝑛𝑖) 1≤𝑖≤𝑚 , se
consideră un sistem ortogonal de axe în care se reprezintă punctele de coordonate ( 𝑥𝑖,𝑛𝑖).
Unind aceste puncte se obține poligonul frecvențelor absolute. Pentru a obține poligonul
frecvențelor relative se unesc punctele de coordonate ( 𝑥𝑖,𝑓𝑖).
Exemplu
Poligonul frecvențelor pentru datele din tabelul II.3.1 este redat în Fig.II.4.4.1

Fig. II.4.4.1
Poligonul frecvențelor poate fi utilizat și în reprezentarea datelor de tip continuu, coordonatele
punctelor care vor fi reprezentate în sistemul or togonal de axe sunt centrul fiecărei clase de
valori și frecvența absolută sau frecvența relativă a clasei respective, ( 𝑥𝑖′,𝑛𝑖), 1≤𝑖≤𝑚.
4.5 Histograma
Pentru reprezentarea grafică a seriilor statistice cu variabila statistică de tip cantitativ
continuu și clasele de valori de amplitudini egale se folosește histograma.

49
Pentru a reprezenta grafic o histogramă se alege un sistem ortog onal de axe, pe axa
orizontală se aleg segmente de lungimi egale cu amplitudinea clasei de valori, pe aceste
segmente se construiesc dreptunghiuri cu a doua dimensiune proporțională cu frecvența
absolută sau relativă a clasei de valori respective.
Exemplu
În cadrul unui studiu privind greutatea elevilor unei clase s -au obținut datele din
tabelul II.4.5.1 . Reprezentarea grafică a acestor date este histograma din Fig.II.4.5.2
Greutatea [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100 ]
Frecvența
absolută 4 8 10 5 2
Tabelul II.4.5.2

Fig.II.4.5.2
O serie de informații cu caracter științific sunt reprezentate grafic. Examenele de Evaluare
Națională la matematică de la clasa a VIII -a și de la clasa a VI -a conțin itemi care presupun
lectura unui grafic și interpretarea datelor oferite de acesta.
5. Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție
Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabele presupune determinarea unor mărimi
semnificative pentru setul de date. Aceste mărimi se numesc indicatori statistici sau parametri
de poziție și redau ceea ce este tipic, esențial și obiectiv pentru o serie de date.

50
Indicatorii tendinței centrale urmăresc determinarea valorii unde datele tind să se aglomereze.
Pe scară largă , cel mai des se utilizează valoarea medie, mediana și modulul unei serii
statistice.
5.1 Valoarea medie a unei serii statistice

Se consideră seria statistică ( 𝑥𝑖,𝑛𝑖) 1≤𝑖≤𝑚 asociată unui studiu statistic cu variabile
caracteristică X, de tip cantitativ discret și efectivu l total al populației statistice N.
Definiție
Se numește valoare medie a variabilei statistice X, media aritmetică a tuturor valorilor
variabilei statistic e.
Se notează x̅=x1n1+x2n2+⋯+xmnm
n1+n2+⋯+nm=∑ xinim
i=1
N .
Valoarea medie a seriei statistice este media aritemtică ponderată a valorilor variabilei
statistice, cu ponderile frecvențele absolute.
Diferența 𝑥𝑖−𝑥̅ reprezintă abaterea de la medie a valorii 𝑥𝑖.
Exemplu
Valoarea medie a datelor din tabelul II.3.1 este 𝑥̅=3·1+4·2+5·3+6·4+7·6+8·4+9·3+10·2
1+2+3+4+6+4+3+2=6,84.
Prin urmare, notele de la teză se concentrează în jurul valorii 6,84.
Dacă datele studiului sunt de tip cantitativ continuu, valoarea medie a seriei statistice se
calculează ca medie aritmetică ponderată a centrelor claselor de valori cu ponderile frecvențele
absolute ale claselor respective.
x̅=x1′·n1+x2′·n2+⋯+xm′·nm
n1+n2+⋯+nm=∑ xi′·nim
i=1
N

51
Exemplu
Pentru a calcula greutatea medie a unui grup de elevi, pentru seria statistică cu datele din
tabelul II.4.5.1 se determină mai întâi centrele claselor de valori, 𝑥𝑖′ , apoi se calculează
media ponderată a acestora cu ponderile , frecvențele absolute.
Greutatea [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
Frecvența
absolută 4 8 10 5 2
𝑥𝑖′ 55 65 75 85 95

Valoarea medie este x̅=55·4+65·8+75·10+85·5+95·2
4+8+10+5+2=72,58
Așadar, tendința valorilor variabilei este de grupare în jurul valorii 72,58 kg (greutatea medie a
grupului de elevi).
5.2 Mediana unei serii statistice
Definiție
Mediana unei serii statistice este valoarea caracteristicii care împarte mulțimea ordonată
crescător a valorilor variabilei în două mulțimi cu același număr de elemente. Este valoarea
variabilei “individului de mijl oc”. Se notează Me.
Dacă seria statistică are variabila caracteristică de tip cantitativ discret cu valorile
𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚 ordonate , atunci mediana seriei statistice este :
Me=xm+1
2 , dacă numărul valorilor variabilei, m, este impar și
Me=𝑥𝑚
2+𝑥𝑚
2+1
2, dacă numărul valorilor variabilei, m, este par.
Exemplu
1) Pentru seria de date ordonate crescător 1,2,2,3,3,3 ,4,4,5,5,6 mediana este valoarea 3 , a
șasea din cele 11, pentru care există 5 valori mai mici și cinci mai mari decât aceasta .

52
2) Pentru seria de date ordonate crescător 6,6,7,7,8 ,8,8,9, mediana este media aritmetică a
valorilor de la mijloc, a patra și a cincea valoare, din cele opt valori, adică 7+8
2=7,5.
Observație
Dacă efectivul total al populației statistice este mare, pentru determinarea medianei se
utilizează frecvențele cumulate cre scător ale valorilor variabilei, se caută valoarea care
corepunde unității statist ice situată la mijlocul seriei. De asemenea, pentru datele de tip
cantitativ continuu se determină clasa mediană, tot cu ajutorul frecvențelor cumulate
crescător.
Exemplu
1) Punctajele obținute la un concurs sunt redate în tabelul II.5.2.1. Pentru determinarea
medianei seriei statistice se calculează frecvențele cumulate crescător și se caută valoarea din
mijloc. Astfel, di n cele 1 15 de punctaje obținute la concurs mediana, este valoarea
corespunzătoarea unității statistice de pe poziția din mijloc, a 58-a valoare , adică Me= 100.
Punctaj 80 90 100 110 120 130
Frecvența absolută 15 23 44 17 10 6
Frecvența absolută
cumulată crescător 15 38 82 99 109 115
Tabelul II.5.2.1
2) Pentru a determina mediana unei serii statistice cu variabila de tip cantitativ continuu, se
consideră distribuția unui grup de copii, după înălțime, sintetizată în tabelul II.5.2.2
Înălțimea (cm) [85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110]
Frecvența absolută 4 16 21 17 12
Frecvența absolută
cumulată crescător 4 20 41 58 70
Tabelul II.5.2.2
Clasa de valori din seria frecvențelor cumulate căreia îi corespunde cel puțin jumătate din
efectivul total al populației se numește clasă mediană . ([9])
Pentru seria dată, având efectivul total 70, clasa mediană este intervalul [95,100).

53
Conform [9], calculul medianei pentru seriile statistice cu date de tip cantitativ continuu, se
face folosind formula
Me=L+𝐶𝑀−𝑁𝑖−1
𝑛𝑖·𝑘, unde
L=limita inferioa ră a clasei mediane
𝐶𝑀=cota medianei, CM={N
2,dacă N este par
N+1
2,dacă N este impar
𝑁𝑖−1=frecvența absolută cumulată crescătoare până la clasa mediană
𝑛𝑖=frecvența absolută a clasei mediane
k= amplitudinea clasei mediane 𝑥𝑖+1−𝑥𝑖.
Aplicând această formulă pentru datele din tabelul II.5.2.2 se obține mediana
Me=95+35−20
21·5=98,57
Determinarea medianei prin metodă grafică
Pentru a determina mediana unei serii statistice prin metoda grafică, se reprezintă poligonul
frecvențelor cumulate crescător sau descrescător , mediana este ordonata punctului cu abscisa
50% sau 0,5.
5.3 Modulul unei serii statistice
Definiție
Modulul sau dominanta unei serii statistice este valoarea variabilei statistice corespunzătoare
celei mai mari frecvențe absolute. Altfel spus, este valoarea cel mai des întâlnită.
Se notează Mo.
De exemplu, modulul datelor din seria statistică a notelor de la teza de matematică, din tabelul
II.3.1 este Mo=7, deoarece este nota care corespunde celei mai mari frecvențe absolute, 6.

54
Dacă datele statistice sunt de tip cantitativ continuu, modulul aparține unei clase de valori
numită clasă modală.
Pentru datele din Tabelul II.5.2.2. clasa modală este intervalul [95,100).
Pentru calculul unei valori mai exacte a modulului se utilizează histograma din Fig. II.5.3.1

Fig. II.5.3.1
Din asemănarea celor două triunghiuri formate, se obține relația ∆1
∆2=𝑀𝑜−𝑙
𝐿−𝑀𝑜, de unde
5
4=𝑀𝑜−95
100 −𝑀𝑜⇒Mo=97,7.
Există serii de date care au mai multe module, dacă există mai multe valori cu aceeași
frecvență și acea frecvență este cea mai mare și serii de date care nu au niciun modul, dacă
toate valorile variabilei au aceeași frecvență.
Observați e
Pentru seriile statistice cu datele de tip cantitativ se pot calcula valoarea medie, mediana și
modulul, dar pentru datele de tip calitativ se determină doar modulul.
În general, valoarea medie și mediana nu sunt egale. Pentru caracterizarea tendinței centrale a
unui set de date statistice se pot utiliza atât valoarea medie cât și mediana . Se pune problema
care dintre acestea este mai reprezentativă pentru setul respectiv de date. Alegerea depinde de

55
tipul de date, distribuția acestora și de obiectivul studiului. De exemplu, valoarea medie este
afectată de valorile foarte mari sau foarte mici ale variabilei statistice iar mediana nu, ceea ce
înseamnă că, în anumite situații mediana caracterizează ma i bine tendința centrală a un set de
date dec ât valoarea medie.
Un exemplu în acest sens sunt următoarele serii statistice de salarii, exprimate în RON:
Seria 1: 1100, 1150,1200,1260,1300,1360,1400,1450,1500.
Seria 2: 1100,1150,1200,1260,1300,1360, 1400, 1450, 6000.
Pentru seria 1 valoarea medie este 1302,2 și mediana este 1300 iar pentru seria 2 valoarea
medie este 1802,2 iar mediana tot 1300. Se poate observa că ultimul salariu 6000, alterează în
mod semnificativ media, iar mediana rămâne neschimbată.
Valoarea medie și mediana oferă informații semnificative asupra unei serii statistice. Există,
însă, situații în care acestea nu sunt suficiente și este necesară studierea variaț iei datelor. În
unele serii statistice valo rile variabilei sunt foarte conce ntrate în jurul valorii medii iar în alte
serii statistice valorile variabile i sunt mai răspândite față de valoarea medie.
Pentru a determina gradul de împrăștiere a datelor în jurul mediei se uti lizează indicatori ai
variației : amplitudinea, abaterea med ie liniară, dispersia și abaterea medie pătratică.
5.4 Dispersia. Abaterea medie pătratică

Se consideră seria statistică ( 𝑥𝑖,𝑛𝑖) 1≤𝑖≤𝑚 asociată unu i studiu statistic cu variabila
caracteristică X, de tip cantitativ discret și efectivul total al popul ației statistice, N și valoarea
medie 𝑥̅.
Amplitudinea unei serii statistice este diferența între cea mai mare și cea mai mică valoare a
variabilei.
Definiție
Abaterea medie liniară a seriei statistice este media aritmetică simplă sau ponderată a
valorilor absolute ale abaterilor de la medie ale valorilor vari abilei.

56
Se notează τ=∑ |xi−x̅|·nim
i=1
∑ nim
i=1
Definiție
Dispersia valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚 este media aritmetică ponderată a abaterilor de la medie ale
valorilor variabilei.
Se notează 𝜎2=(𝑥1−𝑥̅)2·𝑛1+(𝑥2−𝑥̅)2·𝑛2+⋯+(𝑥𝑚−𝑥̅)2·𝑛𝑚
𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑚=∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁.
Dacă datele sunt grupate în clase de valori se calculează abaterile de la medie ale centrelor
claselor.
Definiție
Abaterea medie pătratică a valorilor variabilei este 𝜎=√∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁.
Abarterea medie pătratică arată cu cât se abat “în medie ” termenii unei serii de la tendința
centrală (de obicei valoarea medie).
Observație
Conform [36], dac ă datele provin din eșantioane cu un efectiv redus și sunt utilizate pentru
extinderea rezultatelor la nivelul cole ctivității generale ( pentru o inferență statistică), atunci în
calculul dispersiei la numitor se va folosi (n -1) și nu “n” fiind astfel dispersia eșantionului un
estimator mai bun al dispersiei în colectivitat ea generală 𝑠2=∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2 𝑚
𝑖=1
𝑛−1, n reprezintă
efectivul eșantionului .
Dacă dispersia unei serii statistice este egală cu zero, atunci seria respectivă nu prezintă
variație, toți te rmenii seriei fiind egali.
Abaterea medie pătratică este mic ă atunci câ nd valorile datelor sunt concentrate în jurul valorii
medii prezentând variații mici. Abaterea medie pătratică este mai mare atunci când valorile
datelor sunt mai împrăștiate față de valoarea medie, preze ntând variații mai mari.
Abaterea medie pătratică ar e aceeași unitate de măsură cu valorile variabilei statistice .

57
Abaterea medie păt ratică este un indicator care arată modul de împrăștiere al valorilor unei
serii statistice cu tendință de normalitate.
O repartiție normală este aceea în care poligonul frecvențelor prezintă un aspect de “clopot”
simetric în raport cu media.([11])
O regulă empirică, spune că, în cazul unei distribuții normale:
 Aproximativ 68% dintre valorile variabilei statistice sunt cupr inse în intervalul
[𝑥̅−𝜎,𝑥̅+𝜎]
 Aproximativ 95% dintre valorile variabilei statistice sunt cuprinse în intervalul
[𝑥̅−2𝜎,𝑥̅+2𝜎]
 Aproximativ 99 ,7% dintre valorile variabilei statistice sunt cuprinse în intervalul
[𝑥̅−3𝜎,𝑥̅+3𝜎]
Coeficientul de variație
Coefic ientul de variație este raportul dintre abaterea medie pătratică și valoarea medie a unei
serii statistice.
Se notează CV=σ
x̅.
Este un indicator foarte utilizat și semnificativ, se exprimă de obicei procentual și arată gradul
de omogenitate al seriei statistice.
Dacă CV=0, seria este perfect omogenă cu toți termenii egali între ei.
Dacă CV< 15%, seria este omogen ă, media este reprezentativă , variația este mică și gruparea a
fost bine realizată.
Dacă CV>70% seria nu este omogenă, media nu este reprezentativă și trebuie regrupate datele.
Exemplu
Pentru datele din tabelul II.5.2.2 referitoare la repartiția după înălțime a unui grup de elevi se
calculează valoarea medie, dispersia, abaterea medie pătratică și coeficientul de variație.

58
Tabelul II.5.4.1 cuprinde calculele necesare determinării indicatorilor.
Înălțimea
(cm) [85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110]
Frecvența
absolută 4 16 21 17 12
𝑥′𝑖 87.5 92.5 97.5 102.5 107.5
(𝑥′𝑖−𝑥̅)2 125.7602 38.61735 1.47449 14.33163 77.18878
Tabelul II.5.4.1
Valoarea medie este 𝑥̅ ∑ xi′·nim
i=1
70=98.71429 cm
Dispersia acestei serii statistice este 𝜎2=∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖𝑚
𝑖=1
70 =33.16837 iar abaterea medie pătratică
este 𝜎=5.759199 , ceea ce arată că înălțimile elevilor se abat în medie cu 6 cm (în plus sau în
minus) de la înălțimea medie.
Coeficientul de variație prentru seria de mai sus este CV=σ
x̅=5.759199
98.71429 ≅6% ceea ce arată că
seria este omogenă și valoarea medie este reprezentativă.

59
CAPITOLUL I II
Regresia liniară
1. Introducere în regresia statistică

Termenii de regresie și corelație statistică au fost introduși de Sir Francis Galton(1822 -1911) .
Originea regresiei ca metodă statistică se află în studiile sale de genetică aplicată în studiul
plantelor – 1877.
Plantând boabe dintr -un anumit soi de mazăre dulce a observat că există o legătură liniară între
diametrele acestor boabe și diametrele boabelor recoltate de la noile plante. El a numit inițial
panta acestei drepte “coefficient of reversion”, schimbându -i apoi numele în “coefficient of
regression”.
Termenul de regresie provine de la descoperirile sale în domeniul eredității: în general, copiii
indivizilor geniali au abilități care îi așează mai degrabă la nivelul mediei, el a descoperit,
printre altele, că din părinți a căror talie este mai mică decât media colectivității provin copii
cu o talie superioară lor și invers.(Curs Econometrie Iași, 2013)
2. Regresia liniară simplă

În diferite domenii de activitate, profesioniștii doresc adesea să afle cum su nt legate două
sau mai multe variabile numerice, dacă există o relație, de ce tip este și cât de puternică este
legătura dintre ele. De exemplu , dimensiunea cheltuielilor alocate de o familie pe parcursul
unui an pentru petrecerea concediului de odihnă depinde de veniturile realizate de familie într –
o perioadă de timp.
Un alt exemplu, este relația liniară care există între nivelul de pregătire profesională al
persoanelor care își desfășoară activitatea într -o firmă și veniturile obținute de acestea într -o
perioadă de timp. ([2])

60
Un model de regresie încearcă să explice compo rtamentul unei variabile, numită variabilă
dependentă (sau endogenă) , în funcție de una sau mai multe variabile, numite variabile
independente (sau exogene) .
În funcție de numărul variabilelor independente din cadrul unui model de regresie , există
două tipuri de regresie:
 Regresia liniară simplă sau cea cu o singură variabilă independentă
 Regresia liniară multiplă sau regresia ce este definită în funcție de două sau mai multe
variabile independente ([2])
Regresia liniară simplă cu o singură variabilă independ entă are numeroase aplicații în
teoria economică și nu numai.
Modelul liniar de regresie poate fi definit plecând de la serii de date înregistrate la nivelul mai
multor unităț i statistice , la același moment sau perioadă de timp sau plecând de la serii de
timp ce sunt înregistrate la nivelul unei unități statistice , într -un anumit orizont de timp.([2])
Pentru a identifica tipul dependenței dintre variabile se utilizează ca metodă pr eliminară
reprezentarea grafică a seriilor de date constituite pentru cele două variabile.([2])
Dintre funcțiile elementare, urmează să fie aleasă acea funcție care, cu un număr redus de
parametri descrie schematic linia prefigurată de norul de puncte de pe reprezentarea grafică.
Dacă punctele de pe diagramă se concentrează de -a lungul unei drepte, se va opta pentru
funcția liniară, exemplu Fig I II.2.1 ([1])

Fig. III.2.1 050100150200250
64 66 68 70 72 74 76Variabila dependentă
Variabila independentă

61
2.1 M odelul liniar de regresie simplă

Problema determinării exacte a variabilei dependente y, când se cunoaște variabila
independentă x, s -a pus încă din ciclul primar, când se cer ea, de exemplu, aflarea sumei
achitate de un client la cumpărarea a x kilograme de mere, când se cunoaște prețul unui
kilogram de mere.
Dacă un k ilogram de mere costă 4 Ron, atunci pentru x kilograme de mere un client va
achita suma y= 4 ·x.
x (cantitatea în kg) 1 3 4 5
y (suma în RON) 4 12 16 20

În studiul dependenței a două sau mai multe variabile sunt rare situațiile în care în tre cele
două variabile exi stă o dependență liniară exactă.
De exemplu, se face un studiu în care se analizează dependența cererii pentru un produs în
raport cu factorul care îi determină cel mai mult evoluția.
Din teoria economică și din experiența dată de acțiunile de promovare a vânzărilor, se știe
că cererea depinde de preț, ofertă, venituri, reclamă, prețul înlocuitorilor etc. În cazul unui
produs A, pentru un interval considerat, nu au intervenit modificăr i notabile în rândul
factorilor cu excepția acțiunilor publicitare care au înregistrat, în general creșteri. ([1])
Datele privind nivelul vânzărilor (y) și cheltuielile publicitare (x) (Tabelul III.2.2 )
Luna I II III IV V VI
y-vânzări (mil tone) 1 2 4 6 4 7
x –reclama
(mii de lei) 2 5 4 7 8 10

Tabelul III.2.1.1
Pentru stabilirea formei modelului de regresie se utilizează reprezentarea grafică a datelor
(Fig. I II.2.1.2 ) ([1])

62

Fig. III.2.1.2
Deoarece punctele din Fig. III.2.1.2 se concentrează de -a lungul unei drepte se va opta pentru
funcția liniară.
Dacă seria de date pentru variabila dependentă, Y se notează prin (𝑦𝑖)𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ și seria de date
pentru variabila independentă, X se notează prin (𝑥𝑖)𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅, atunci modelul liniar de regresie
pentru variabilele X , Y se definește prin relația liniară
yi =b+a· xi+εi (III 2.1.3 )
unde a este panta dreptei de regresie, b este termenul liber iar 𝜀 este variabila reziduală care
cuantifică contribuția altor factori asupra variabilei dependente, care nu sunt specificați în
cadrul modelului de regresie.( [2])
Parametrii modelului a,b urmează să fie obținuți pri ntr-o metodă de calcul numeric.
Întrucâ t valorile astfel determinate sunt rezultatul prelucrării unui eșantion (în exemplul
considerat eș antionul conține doar 6 valori) se obțin, de fapt, estimații ale parametrilor de
regresie. ( [1])
Estimatorii parametrilor modelului de regresie permit obținere a de estimații ale
variabilei dependente . Metoda de estimare a parametrilor modelului de regresie liniară este
metoda cel or mai mici pătrate (M.C.M.M.P). Inițiatorul acestei metode, frecvent folosită în 012345678
0 2 4 6 8 10 12Vânzări
Reclama

63
statistică și în economie, este matematicianul franc ez A.M Legendre (1752 -1883), dar
importante contribuții privind această metodă revin matematicienilor: Gauss K, Laplace
P.S.,Cebîșev P.L., Markov A.A. ( [1])
2.2 Estimarea parametrilor modelului liniar de regresie prin metoda celor mai mici
pătrate
Pentru prezentarea metodei celor mai mici pătrate se iau d atele din exemplul menționat
și reprezentarea grafică Fig. III.2.1.2 . Se urmărește obținerea unei bune aproximări a norului
de puncte printr -o linie care să treacă prin mijlocul acestuia.
Fiecare punct de pe diagrama din Fig III.2.1.2 . are coordonatele de forma (x, y) , iar
fiecare punct de pe dreapta de regresie are coordonatele de forma (x, 𝑦̂), unde 𝑦̂ este valoarea
estimată a variabilei dependente y. Algebric, dreapta este redată prin relația 𝑦𝑖̂=𝑎̂𝑥𝑖+𝑏̂,
unde 𝑎̂ și 𝑏̂ sunt estimații ale parametrilor a și b.
Termenul 𝜀𝑖=𝑦𝑖-𝑦̂𝑖 din ecuația (III 2.1.3 ) se numește valoare reziduală și reprezintă
diferența dintre valoarea lui y și valoarea estimată 𝑦̂. Luând o pereche de valori oarecare , de
exemplu 𝑥4=7 și 𝑦4=6 , pe re prezentarea grafică (Fig. III.2.2.1 ) se observă distanța dintre
valoarea lui y și valoarea estimată 𝑦̂.

Fig. III.2.2.1

64
Dacă punctele din diagramă se află deasupra dreptei de regresie, valoarea reziduală
este pozitivă și dreapta subestimează valoarea valoarea reală a datelor pentru y. Dacă punctele
din diagramă se află sub dreaptă, valoarea reziduală este negativă și dreap ta supraestimează
valoarea reală a datelor pentru y.
Pentru a obține dreapta care realizează cel mai bine aproximarea datelor, “the line of
best fit” , primul impuls ar fi să se minimizeze suma tuturor reziduurilor, adică minimizarea
sumei tuturor distanțelor verticale y – ŷ. Cu toate acestea, această sumă s -ar apropia foarte
mult de zero. Motivul este că, dacă dreapta trece într -adevăr prin puncte, atunci valorile
reziduale pozitive ar anula valorile reziduale negative, rezultând o sumă zero. Pentru a evita
acest efect de anulare, se va minimiza suma pătratelor valorilor rezidu ale, ∑𝜀𝑖²=𝑓(𝑎,𝑏).
Se dorește determinarea acelei perechi de valori estimate 𝑎̂ și 𝑏̂ pentru care suma
∑𝜀𝑖²=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂)² 𝑖 să fie minimă.
Conform teoremei lui Fermat, pentru a ajunge la un extrem al funcției este necesar
ca derivatele parțiale ale sumei în raport cu 𝑎̂ și 𝑏̂ să fie egale cu zero. Extremul funcției astfel
obținut este un minim, deoarece dacă ar fi punct de maxim ar trebui ca 𝑎̂ și 𝑏̂ să fie egali cu
±∞, iar această posibilitate, de a fi punct de inflexiune este exclusă din natura pătratică a
funcției. ([1])

Prin urmare , se obțin ecuațiile :

𝜕
𝜕𝑏̂∑𝜀𝑖2
𝑖 =−2∑(𝑦𝑖−𝑏̂−𝑎̂𝑥𝑖)=0 𝑖 (III.2.2.2 )
𝜕
𝜕𝑎̂∑𝜀𝑖2
𝑖 =−2∑𝑥𝑖(𝑦𝑖−𝑏̂−𝑎̂𝑥𝑖)=0 𝑖 (III.2.2.3 )

Pentru o simplificare a modalității de exprimare se aduc ecuațiile la forma:

𝑛𝑏̂+𝑎̂∑𝑥𝑖𝑖=∑𝑦𝑖𝑖 (III.2.2.4 )
𝑏̂∑𝑥𝑖𝑖+𝑎̂∑𝑥𝑖2
𝑖=∑𝑥𝑖𝑖𝑦𝑖 (III.2.2.5 )

65
Sistemul are două ecuații cu două necunoscute ceea ce face posibilă rezolvarea acestuia
utilizând una dintre metodele cunoscute.
Aplicând metoda determinanților pentru rezolvarea sistemului se obțin soluțiile ([1]):

𝑏̂=|∑𝑦𝑖𝑖 ∑𝑥𝑖𝑖
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑖 ∑𝑥𝑖2𝑖|
|𝑛 ∑𝑥𝑖𝑖
∑𝑥𝑖𝑖 ∑𝑥𝑖2𝑖|=∑𝑦𝑖·∑𝑥𝑖2−∑𝑥𝑖·∑𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
𝑛∑𝑥𝑖2𝑖 −(∑𝑥𝑖𝑖)2 (III.2.2.6 )
𝑎̂=|𝑛 ∑𝑦𝑖𝑖
∑𝑥𝑖𝑖 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑖|
|𝑛 ∑𝑥𝑖𝑖
∑𝑥𝑖𝑖 ∑𝑥𝑖2𝑖|=𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖−∑𝑥𝑖·∑𝑦𝑖𝑖 𝑖 𝑖
𝑛∑𝑥𝑖2𝑖 −(∑𝑥𝑖𝑖)2 (III.2.2.7 )

O modalitate de a obține parametrii 𝑎̂ și 𝑏̂ este de a împărți relația ( III 2.2.4 ) la n:

𝑏̂+𝑎̂𝑥̅=𝑦̅ (III.2.2.8 )
unde 𝑥̅ și 𝑦̅ reprezintă mediile celor două serii de date. Dreapta de regresie trece întotdeauna
prin punctul de coordonate ( 𝑥,̅𝑦̅).
Scăzând termen cu termen relația (III.2.2.8 ) din y= 𝑏̂+𝑎̂x se obține

𝑦𝑖̂−𝑦̅=𝑎̂(𝑥𝑖−𝑥̅)

Din fig. III.2.2.1 . se observă că 𝜀𝑖=(𝑦𝑖−𝑦̅)−(𝑦̂−𝑥̅) , cum 𝑦𝑖̂−𝑦̅=𝑎̂(𝑥𝑖−𝑥̅) rezultă
∑𝜀𝑖2
𝑖 =∑((𝑦𝑖−𝑦̅)−𝑎̂(𝑥𝑖−𝑥̅))2
𝑖 minim ceea ce conduce la
𝜕
𝜕𝑎̂∑𝜀𝑖2=2∑[(𝑦𝑖−𝑦̅)−𝑎̂(𝑥𝑖−𝑥̅)
𝑖 𝑖](𝑥𝑖−𝑥̅)=0
De unde
𝑎̂=∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑥𝑖−𝑥̅) 𝑖
∑(𝑥𝑖−𝑥̅)² 𝑖 (III.2.2.9 )
Conform [1], informațiile oferite de parametrii de regresie privesc modul în care se
“comport ă” variabila y la modificarea cauzei, în sensul că indică în ce măsură și în ce direcție
este “sensibilizat ă” variabila dependentă.
De exemplu, pentru cazul considerat, în care vânzările depind în special de reclamă, se obțin,
utilizând cele șase valori, estimatorii:

66
𝑎̂=(1−4)(2−6)+(2−4)(5−6)+⋯+(7−4)(10−6)
(2−6)2+(5−6)2+…+(10−6)2=0,666
𝑏̂=4−0,666·6=0,004
Rezultă că la o creștere cu 1 (reprezentând 1000 de lei ) a cheltuielilor cu reclama, s –
a înregistrat o creștere în medi e cu 0,666 (milioane tone) a vânzărilor. ([1])
În general, panta dreptei de regresie, a , indică valoarea așteptată în y la o crestere cu
o unitate a valorii x și arată sensul dependenței dintre cele două variabile. O valoare pozitivă
arată o dependență liniară directă între cele două variabile, iar o valoare negativă indică o
dependență liniară inversă între cele două caracteristici.
Ipotezele aplicării metodei celor mai mici pătrate presupun respectarea unor condiții
asupra variabilei reziduale:
Condiția 1 Variabila eroare este o varabilă aleatoare normal distribuită luând valori
pozitive sau negative, care indică devierea dintre valoarea observată a lui y și valoarea
estimată a lui y, 𝑦̂.
Condiția2 Media variabilei reziduale este nulă.
Condiția3 Dispersia variabilei aleatoare reziduale, 𝜀 , notată 𝜎² este constantă pentru toate
valorile variabilei independente x , ceea ce semnalează o relativă stabilitate a legăturii dintre
variabila depende ntă y și variabila independentă x.
2.3 Exemple de regresie liniară simplă

Exemplul 1

S-a formulat ipoteza cu privire la dependența cheltuielilor din bugetul unei familii în cofetării
și restaurante (y) în raport cu dimensiunea familiei (x).
În vederea măsurării dependenței , au fost preluate datele din bugetele familiilor :
Număr de persoane în
familie (x) 4 2 3 1 2
Nivelul cheltuielilor
(y)-sute de lei 8 6 5 7 4

67
În diagrama din figura Fig I II.2.3.1 sunt reprezentate datele

Fig III.2.3.1

A fost adoptat modelul 𝑦𝑖=𝑏̂+𝑎 ̂𝑥𝑖+𝜀𝑖. Punctele nu sunt situate exact pe o linie dreaptă, iar
datele arată că uneori o creștere a dimesiunii familiei are ca efect creșterea cheltuielilor, alteori
efectul este invers. Funcția liniară nu este extrem d e fidelă modului în care sunt dispuse
punctele 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 pe grafic, dar pentru o primă variantă poate fi acceptată, ea exprimând o relație
“în medie”.([1])
Prin urmare pentru estimarea parametrilor se rezolvă sistemul de ecua ții liniare
{12𝑎̂+5𝑏̂=30
34𝑎̂+12𝑏̂=74 (III.2.3.2 )
Cu soluțiile 𝑎̂=0,385 𝑏̂=5,076 exprimând în medie suma cu care cresc cheltuielile la o
creștere cu 1 a numărului de persoane.

Exemplul 2

Notele obținute la simularea examenului de evaluare națională la clasa a opta și notele obținute
la examenul de evaluare națională la clasa a opta sunt redate în tabelul următor. Se dorește
stabilirea unei relații de dependență între cele două note.

Nota
simulare 2,5 3 4,5 4,9 6 8 8,9 9 9 8,2 6 6,5 5
Nota
examen 2 4,5 5,5 5,3 6,4 8,75 8,95 9,45 9,65 8,75 7 7 6,3

68
Reprezentând grafic aceste perechi de valori se obține diagrama din Fig.I II 2.3.3
Fig. III.2.3.3
Utilizând aplicația software de matematică GeoGebra, se determină regresia liniară dată de
relația y=0,9709 ·x+0,8015.

Tabelul III 2.3.4
Pentru estimarea parametrilor modelului de regresie se rezolvă sistemul de ecuații liniare
{571 ,21𝑎̂+81,5𝑏̂=619 ,925
81,5𝑎̂+13𝑏=89,55
Cu soluțiile 𝑎̂=0,9709 și 𝑏̂=0,8015 care indică faptul că la creșterea notei de la simulare
cu 1 crește nota de la examen, în medie cu 0,9709.
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖2 𝑥𝑖𝑦𝑖
2.5 2 6.25 5
3 4.5 9 13.5
4.5 5.5 20.25 24.75
4.9 5.3 24.01 25.97
6 6.4 36 38.4
8 8.75 64 70
8.9 8.95 79.21 79.655
9 9.45 81 85.05
9 9.65 81 86.85
8.2 8.75 67.24 71.75
6 7 36 42
6.5 7 42.25 45.5
5 6.3 25 31.5
81.5 89.55 571.21 619.925

69
2.4 Coeficientul liniar de corelație
2.4.1 Definirea coeficientului corelației liniare
Prin intermediul acestu i indicator, se pune în evidență prezența sau absența
dependenței liniare dintre cele două variabile ale modelului de regresie, sensul dependenței și
intensitatea acestei dependențe. ( [2])
Coeficientul de corelație este o expresie numerică a intensității l egăturii dintre două
sau mai multe variabile. Se calculează după formula:
𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅) 𝑖
𝑛𝜎𝑥𝜎𝑦 (III.2.4.1)
unde 𝑥̅ reprezintă valoarea medie a variabilei x, 𝑦̅ valoarea medie a variabilei y, n numărul
valorilor variabilelor, 𝜎𝑥²=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)² 𝑖
𝑛 este dispersia variabilei x, 𝜎𝑦²=∑(𝑦𝑖−𝑦̅)² 𝑖
𝑛 este dispersia
variabilei y.
Relația de definire a coeficientului de corelație aparține lui K. Pearson (1857 -1936). ( [1])
Coeficientul liniar de corelație este un indicator eficient pentru măsurare a intensității
dependenței dintre variabile numai în măsura în care aceasta este de tip liniar. ( [2])
Proprietăți ale coeficientului de corelație
 -1≤𝑟≤+1
 O valoare pozitivă a coeficentului de corelație arată faptul că, dacă x crește și y crește,
sau dacă x scade și y scade și are loc o dependență liniară directă
 O valoare negativă a coeficientului de corelație arată faptul că, dacă x crește y scade.
Sau dacă x scad e y crește și are loc o dependență liniară inversă
 Semnul coeficientului de corelație este se mnul pantei dreptei de regresie
 Valoarea coeficientului de corelație indică intensitatea relației dintre variabilele x și y,
valori apropiate de -1 sau + 1 ale coeficientului semnifică o puternică dependență
liniară între cele două variabile
 Dacă r=0 atunc i nu există dependență liniară între cele două variabile

70
 Dacă r=1, atunci are loc o corelaț ie liniară perfectă, pozitivă, iar dacă r= -1, atunci are
loc o corelație liniară perfectă, negativă. În ambele cazuri punctele reprezentate în
diagramă se vor situ a pe dreap ta de regresie -situație rar întâ lnită în viața reală
 Coeficientul de corelație nu depinde de unitățile de măsură în care sunt exprimate
valorile variabilelor
Este important de precizat faptul că, deși există o corelație puternică între două varia bile x
și y nu implică automat cauzalitatea, adică x nu induce y și y nu induce x.
Pentru exemplul al doilea de la regresia liniară legat de notele ob ținute la simularea
examenului și la examen, calcu lând coeficientul de corelație prin utilizarea Microsoft
Excel funcția Correl:

se obține r= 0.972839, ceea ce înseamnă că datele sunt correlate pozitiv, existând o
dependență liniară între ele destul de puternică.
2.4.2 Coeficientul de determinare
Valoarea statistică 𝑟2, se numește coeficientul de determinare , este pătratul valorii
coeficientului de corelație și exprimă gradul/ponderea în care factorii determină evoluția
variabilei dependente.Coeficientul de determinare se exprimă de obicei în formă procentuală.
Atunci când se caută o ecuație de re gresie liniară, o parte a variației valorilor variabilei
y depinde de variația valorilor variabilei x, există însă și variații ale variabilei y care nu au

71
legătură cu variabila x, acestea ar putea fi simple variații de eșantionare sau ar pute a proveni
de la alți factori care influenț ează variabila y.
Coeficientul de determinare exprimă procentul variației variabilei dependente y care
se explică prin variația variabilei independente x. Dacă dreapta de regresie realizează o bună
aproximare a norului de punct e, atunci coeficientul de determinare va avea o valoare mare,
apropiată de 100%.
De exemplu, coeficientul de deteminare pentru datele legate de notele obținute la simularea
examenului și la examen, este 𝑟2=94,64% ceea ce înseamnă că 94,64% din variațiile notelor
de la examen pot fi explicate prin variațiile notelor de la simulare.
În cazul exemplului cu privire la dependența nivelului vânzărilor de cheltuielile
publicitare, coeficientul de corelație este r=0,874319 iar coeficientul de determinare este
𝑟2=71,79% .Acesta arată că 71,79% din variația vânzărilor poate fi explicată prin variația
cheltuie lilor cu acțiunile publicitare.
3 Regresia liniară multiplă

Datorită complexității fenomenelor din economie și din alte domenii, sunt puține
cazurile în care fenomenele depind în mod semnificativ de un singur factor. Cazul general este
cel în care fenomenul depinde de mai mulți factori importanți ( 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑘) la care se
adaugă rolul unor factori nesemnificativi (𝜀).([1])
În situația în care se studi ază un anum it fenomen se vor lua în calcul, din multitudinea
de influențe, cele care au o influență determinantă.
Regresia liniară multiplă presupune studierea relației cauzale dintre o variabilă, y,
numită dependent ă și două sau mai multe variabile independente.
Conform [1], un exemplu în acest sens ar fi relația dintre producția industrială și
cantitatea și calitatea fondurilor fixe , și a salariaților, cererea de mărfuri este în funcție de
ofertă, venituri, publici tate, etc.
Teoria admite și practica a confirmat că, în majoritatea cazurilor productivitatea muncii
depinde de dotarea cu utilaje de calitate, precum și de stimulente materiale acordate

72
angajaților. Mai există și alți factori, însă pentru prezentarea modelului de regresie cu două
variabile independente , se vor considera factori nesemnificativi.
Datele privind productivitatea (y ), utilajele pe formante (𝑥1) și stimulentele materiale
acordate salariaților ( 𝑥2) pentru un eșantion de companii observate l a un moment dat sunt
prezentate în tabelul III.3.1
y-productivitatea muncii
(creșteri procentuale) 1 2 5 6 7
𝑥1-utilaje performante (nr
bucăți) 2 4 4 4 5
𝑥2-venituri suplimentare
acordate angajaților (sute
de lei) 1 1 3 5 5
Tabelul III.3.1
Pentru a determina forma funcției se analizează prin reprezentare grafică dependența variabile i
în raport cu fiecare dintre variabilele independente. (Fig. III.3.2, Fig. III.3.3) .

Fig. III.3.2 Fig. III.3.3
Norul de puncte din fiecare reprezentare grafică sugerează o dependență liniară prin urmare se
va opta pentru modelul
𝑦𝑖=𝑎0+𝑎1𝑥1𝑖+𝑎2𝑥2𝑖+𝜀𝑖 (III.3.4) 012345678
0 2 4 6productivitatea muncii (y)
utilaje (x1)012345678
0 2 4 6productivita muncii (y)
venituri suplimentare(x2)

73
Notând 𝑦̂ valoarea estimată a variabilei dependente obținute în urma aplicării modelului de
regresie liniară multiplă , atunci:
𝑦̂=𝑎0̂+𝑎1̂𝑥1+𝑎2̂𝑥2 (III.3.5)
Estimarea parametrilor modelului se fa ce, la fel ca în cazul regresiei liniare simple , prin
utilizarea metodei celor mai mici pătrate.
Metoda celor mai mici pătrate presupune condiția :
∑𝜀𝑖2=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂)2=∑[𝑦𝑖−(𝑎0̂+𝑎1 ̂𝑥1𝑖+𝑎2̂𝑥2𝑖)] 𝑖 𝑖 𝑖 ² minim ( III.3.6)
Anularea derivatelor parțiale în raport cu 𝑎0,̂ 𝑎1̂,𝑎2̂ conduce la sistemul de ecuații ( [1])
{𝑛𝑎0̂+𝑎1̂ ∑𝑥1𝑖 𝑖 +𝑎2̂∑𝑥2𝑖=∑𝑦𝑖𝑖 𝑖
𝑎0̂∑𝑥1𝑖+𝑎1̂ 𝑖 ∑𝑥1𝑖2
𝑖 +𝑎2̂∑𝑥1𝑖·𝑥2𝑖 𝑖 =∑𝑥1𝑖·𝑦𝑖 𝑖
𝑎0̂∑𝑥2𝑖+𝑎1̂ 𝑖 ∑𝑥1𝑖·𝑥2𝑖+𝑎2̂∑𝑥2𝑖2
𝑖 𝑖 =∑𝑥2𝑖·𝑦𝑖 𝑖 (III.3.7)
Sistemul (I.3.7) est e un sistem cu 3 ecuații liniare și 3 necunoscute. În [1] se propune
rezol varea prin metoda Gauss -Jordan. Pentru aceasta sunt necesare datele din tabelul III.3.8
y 𝑥1 𝑥2 𝑥12 𝑥1·𝑥2 𝑥22 𝑥1·y 𝑥2·y
1 2 1 4 2 1 2 1
2 4 1 16 4 1 8 2
5 4 3 16 12 9 20 15
6 4 5 16 20 25 24 30
7 5 5 25 25 25 35 35
∑𝑦=21 ∑𝑥1=19 ∑𝑥2=15 ∑𝑥12=77 ∑𝑥1𝑥2=63 ∑𝑥22=61 ∑𝑥1𝑦=89 ∑𝑥2𝑦=83
Tabelul III 3.8
În sistemul (I.3.7) elementele cunoscute formează matricea extinsă
(5 19 15
19 77 63
15 63 61|21
89
83)
Calculele destinate obținerii elementelor sunt:
(5
5=119
5=3,815
5=3
19−1·19=077−3,8·19=4,8 63−3·19=6
15−1·15=0 63−3,8·15=6 61−3·15=16|21
5=4,2
89−4,2·19=9,2
83−4,2·15=20)

74
⇔(10−1,75
01 1,25
00 8,5|−3,08
1,916
8,5)⇔(100
010
001|−1,23→𝑎0̂
0,666 →𝑎1̂
1→𝑎2̂)
Estimatorii parametrilor de regresie sunt 𝑎0̂=−1,23 𝑎1̂=0,666 𝑎2̂=1 având semnificația :
-productivitatea muncii a crescut în medie cu 0,666 atunci când numărul utilajelor performante
a crescut cu 1, iar veniturile suplimentare au fost considerate constant e
-productivitatea muncii a crescut în medie cu 1% atunci când veniturile suplimentare au
crescut cu 1 (o sută de lei) iar numărul utilajelor performante a fost considerat constant. ([1])
Cazul general al regresiei liniare multiple presupune rezolvarea unu i sistem de ecuații mult
superior celui din exemplu.
Modelul pentru ce le n cazuri , în care Y este variabila dependentă și X=( 𝑋1,…,𝑋𝑘) presupune
ecuațiile
𝑦𝑖=𝑎0̂+𝑎1̂𝑥1𝑖+𝑎2̂𝑥2𝑖+⋯+𝑎𝑘̂𝑥𝑘𝑖+𝜀𝑖 , cu i=1,…,n.
Matricial poate fi scris astfel Y=XA+ 𝜀
𝑌=(𝑦1
⋮
𝑦𝑛), X= (𝑥11⋯ 𝑥𝑘1
⋮ ⋱ ⋮
𝑥1𝑛⋯ 𝑥𝑘𝑛) 𝜀=(𝜀1
⋮
𝜀𝑛)
Ŷ=XÂ
𝜀=Ŷ-Y este variabila reziduală
În studiile statistice de specialitate se utilizează aplicații și programe pentru prelucrarea
acestor date .

75
CAPITOLUL IV
Aspecte metodi ce în predarea problemelor de organizare și interpretare a datelor în
matematica școlară

Problemele de organizare și studiere a dependenței datelor se regăsesc pe parcursul
întregii programe școlare de matematică, de gimnaziu și liceu, începând chiar din ciclul
primar. Astfel, în programa de matematică pentru clasa a IV -a, la tema “Organizarea și
reprezentarea datelor ” se urmărește dezvoltarea capacității elevilor de a colecta, organiza,
sorta și clasifica date pe baza unor criterii și de a oferi interp retări elementare ale acestora. În
gimnaziu, la clasa a V-a, introducerea noțiunilor de frecvență și medie ca elemente care pot fi
extrase dintr -o reprezentare statistică de date, are ca scop familiarizarea elevilor cu unele
metode de prelucrare, reprezent are și interpretare primară a datelor statistice. La nivelul clasei
a VI-a apare studiul dependenței mărimilor direct și invers proporționale, în cadrul capitolului
“Rapoarte. Proporții” precum și reprezentarea datelor prin grafice în contextul
proporționa lității, reprezentarea datelor cu ajutorul unor softuri matematice și interpretarea
acestora . La nivelul clasei a VIII -a, noțiunea de funcție este introdusă utilizând exemplul
dependenței a două mărimi fizice, modul în care deformarea elastică a unui reso rt depinde de
forța deformatoare.
Formarea competențelor pentru abordarea în spirit matematic a situațiilor cotidiene
necesită o gândire deschisă și creativă și un spirit de observație dezvoltat.
Lucrarea de față urmărește aplicarea unor strategii integra te de învățare care să
valorifice stilurile de învățare și să conducă la o creștere a interesului și a motivației elevilor
pentu studiul matematicii.
Practica demonstrează că este necesară o împletire funcțională între tendințele
metodologice tradiționale și cele complementare pentru stimularea implicării active a elevilor
în propriul proces de instruire .

76
Există diverse clasificări ale metodelor de învățământ. O sinteză a acestora este dată în [3]:
Metode de învățare prin comunicare orală
 Metode de învăța re expozitive:
– Descrierea
– Explicația
– Povestirea didactică
– Prelegerea
 Metode de învățare interogative:
– Conversația
– Problematizarea
Metode de învățare prin comunicare scrisă
 Metode de învățare prin lecturare
– Lectura explicativă
– Lectura independentă
Metode de învățare prin explorarea realității
 Metode de învățare prin explorarea directă a realității
– Observarea sistemică
– Experimentul
 Metode de învățare prin explorarea indirectă a realității
– Demonstrația
– Modelarea
Metode de învățare bazate pe acțiune
 Metode de î nvățare bazate pe acțiunea reală
– Exercițiul
– Studiul de caz
– Proiectul
– Lucrări practice

77
 Metode de învățare bazate pe acțiunea fictivă (pe simulare)
– Învățarea pe simulatoare
– Jocul de rol
Metode de raționalizare a învățării
– Metoda activității cu fișele
– Metode algoritmice de instruire
– Instruirea programată
– Instruirea asistată de calculator
Dintre metodele didactice sunt prezentate cele frecvent întâlnite în predarea -învățarea
matematicii cu exemple practice de aplicare ale acestora
1. Metode specifice de predare -învățare a matematicii în școală

Explicația este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se avansează în
cunoaștere . Explicația este o variantă a metodei expunerii întâlnită mai des în predarea
matematicii. Dacă este corect aplicată își p une în valoare caracteristicile, iar elevii găsesc în
explicație un model de raționament matematic, de vorbire, de abordare a unei situații –
problemă. La nivelul activităților matematice este utilizată atât de profesor –explică procedeul
de lucru, explică m odul de a utiliza mijloacele didactice, explică sarcini de lucru, cât și de
elevi -explică modul în care a acț ionat, motivează, explică soluțiile găsite în rezolvarea
sarcinilor didactice , folosind limbajul matematic.( [3])
Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea
cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, este dominantă în activitățile de
dobândire de cunoștințe, o situație mat ematică nouă, un procedeu nou d e lucru vor fi
demonstrate și explicate de profesor .([3]) Această metodă nu trebuie confundată cu
demonstrați a matematică – un procedeu deductiv, teoretic . Prin demonstrație se construiesc
reprezentări, constatări, interpretări. Are un caracter ilustratic și conduce la asimilarea unor
cunoștințe pe baza unor surse intuitive.( [4])

78
Conversați a cate hetică (examinatoare) presupune adresarea unor întrebări elevului cu
scopul de a verifica asimilarea unor reguli, formule.
Conversația euristică este o metodă de dialog orientat, de descoperir e dirijată, în care rolul
profesorului este permanent, ia r elevul apelează la propriile cunoștințe, face o serie de
conexiuni pentru a găsi alte aspecte ale cunoașterii. Întrebările formulate de către profesor
trebuie să fie precise, univoce, variate, cu p recădere de tip productiv (de ce?, cum?), ipotetice
(dar dacă?), de evaluare (ce e mai bine?), divergente (orientează gândirea pe traiectorii
diverse), convergente (analiza, sinteza, comparația). Se impune o graduare eșalonată a
dificultăților, un timp bin e dozat între intrebare și răspuns, pentru a nu descuraja elevii.
Răspunsurile oferite de acestia vor fi atent analizate, insistând asupra corectitudinii formulării
lor, a clarității de exprimare.( [4])
Munca cu manualul este o metodă ce are ca sursă esențială și ca instrument de formare cartea
școlară sau alte surse similare. Capătă valența active în etapa dobândirii cunoștințelor, în
inițierea studiului independent.
Exercițiul este o metodă care presupune efectuarea în mod conștient și repetat a unor acțiuni
motrice și intelectuale cu scopul formării de priceperi și deprinderi, de însușire a unor
modalități de lucru. Însușirea cunostințelor de matematică este strâns legată și condiționată
de rezolvarea de exerciții si probleme. Această metodă formează gândirea productivă, dezvoltă
raționamentul, oferă o anumită independență în activitatea elevului; acesta are posibilitatea să
discute metode diferite de lucru, să o aleagă pe cea m ai bună, să -și analizeze greșelile. ([4])
Observația didactică constă în urmărirea atentă , de către elev, a obiectelor și fenomenelor ce
constituie conținutul î nvățării.Observația se regăseșt e în multe secvențe ale demersului
didactic.
Modelarea este o metodă cu mare valoare formativă, îi obișnuiește pe elevi cu procedeele de
investigare științifică, le dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea în gândire.
Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmii în învățare. Algoritmul este un set de
raționamente sau de operații standard cu o succesiune aproximativ fixă de pași. În plan
didactic se rezolvă probleme asemănătoare pentru ca algoritmii să devină instrumente de
gândire ale elevilor. Se aplică cu succes în cadrul lecțiilor de formare a pricep erilor și
deprinderilor sau de consolidare.

79
Dintre metodele complementare cu valențe activizatoare și motivaționale care urmăresc să îl
implice pe elev în procesul de învățare, să dezvolte gândirea, să stimuleze creativitatea și să
dezvolte interesul pentr u învățare se pot aminti discuția, jocul de rol, studiul de caz, metoda
“Cubul”, turul galeriei, metoda ciorchinelui, metoda mozaicul, h ărți conceptuale, învățarea
prin descoperire, problematizarea , metoda “Știu,vreau să știu, am învățat ”, învățarea dirija tă,
instruirea asistată de calculator, brainstorming.
Metoda “Cubul” este o metodă utilizată în situația în care se dorește explorarea unui subiect
din mai multe perspective . Oferă elevilor posibilitatea de a -și dezvolta competențele necesare
unei abordări complexe și integratoare.([3])
Etapele metodei:
 Realizarea unui cub pe fe țele căruia se notează: descrie, compară, analizează, asociază,
aplică, argumentează
 Anunțarea temei
 Împărțirea colectivului de elevi în șase grupuri, fiecărui grup îi coresp unde activitatea
de pe o față a cubului
Problematizarea este una dintre cele mai utile metode, prin potenția lul ei euristic și
activizator: creaază dificultăți practice sau teoretice a căror rezolvare trebuie să fie rezultatul
prropriei activități de cerce tare a elevului. Metoda presupune găsirea sau generarea unor
“situa ții-problemă ” care să solicite gîndirea elevului, să calrifice datele, să regrupeze
cunoștințele, deschizînd căi de rezolvare a situației date. ([4])
Conform [3] exist ă următoarele e tape pos ibile în abordarea unei situații problem ă
o Definirea punctului de plecare și a scopului urmărit
o Punerea problemei prin cunoașterea profundă a situației de plecare și selectarea
informației
o Organizarea informației
o Transformarea informației pe calea raționame ntului , inducției și deducției, a intuiției și
a analogiei în vederea identificării soluțiilor posibile

80
o Luarea deciziilor -opțiunea pentru soluția optimă, verificarea soluției alese și a
rezultatelor
Problematizarea are o deosebit ă valoare formativă: formea ză un stil activ de muncă, culti vă
autonomia și curajul în afișa rea unor opinii proprii.( [3]) Problematizare a nu trebuie să se
confunde cu rezolvarea de probleme.
Învățarea prin descoperire poate fi prin descoperire dirijată sau descoperire independentă.
Se pun în evidență căile prin care se ajunge la informații, elevii descoperă știința ca proces.
Dezvoltă capacitățil e de cunoaștere ale elevilor, interesul și pasiunea cât și importante trăsături
ale personalității –tenacitate, disciplină, originalitate ( [3])
Modalitățile de învățare prin descoperire corespund în general formelro de raționament pe care
se întemeiază
Descoperirea pe cale inductivă -utilă în procesul de formare a scheme lor operatorii
Descoperirea pe cale deductivă -specifică activităților de î nvățare în care elevul este
solicitat să identifice metode de lucru
Descoperirea prin analogie -aplicarea unui procedeu cunoscut într -un caz asemănător
Învățarea prin descoperire și problematizarea sunt metode care pot fi îmbinate armonios în
cadrul strateg iilor de învățare, problematizarea pune accent pe crearea situațiilor conflictuale
care declanșează procesul de învățare iar învățarea prin descoperire pune accent pe procesul de
căutare a soluției pornind de la elemente deja cunoscute.
Activitate didactic ă
Descrierea activității : Modelarea matematică a unor probleme variate prin integrarea
cunoștinșelor din diferite domenii
Clasa a VIII -a
În cadrul activităților legate de noțiunea de funcție, de recunoaștere a unor corespondențe care
sunt funcții este propusă problema următoare

81
Graficul mișcării unui mobil este
reprezentat în figura alăturată.
Mobilul aflat la distanța de 250 de
km de origine se deplasează cu
viteză constantă.
Sarcini de lucru
Observați graficul și răspundeți la
următoarele întrebări
a) Mobilul se apropie sau se îndepărtează de origine?
b) Cu ce viteză se deplasează?
c) Să se exprime printr -o formulă legătura între distanța parcursă (d) și durata deplasării (t).
Verificare
a) Deoarece distanța se micșorează când timpul crește deducem că mobilul se apropie de
origine.
b) Pentru a determina viteza trebuie determinată distanța pe care o parcurge mobilul într -o oră
La m omentul t=0 distanța este de 250 de km,la m omentul t=1 distanța este de 200 de km, ceea
ce înseamnă că mobi lul se deplase ază cu viteza de 5 0 km/h
c) Utilizând formula vitezei se obține distanța d= 5 0·t, iar formula care redă legătura între
distanța parcursă și durata deplasării este D=250 -50·t, ceea ce înseamnă că la fiecare o ră
parcursă se apropie cu câte 5 0 de km de origi ne.
Învățarea dirijată implică prezentarea unor serii de idei structurate de profesor, pentru
rezolvarea unui exercițiu sau problemă. Sunt oferite indicii suplimentare, elevii le folosesc și
descoperă regula sau pașii care să îi conducă la rezultat.

82
Etape:
– Amintește -ți și răspunde
– Utilizează indicațiile și construiește rezolvarea
– Verifică dacă ai înțeles
– Încearcă și tu singur
Instruirea asistată de calculator este o metodă de învățare -evaluare, o formă de instruire
individualizată utilizând un program de predare cu ajutorul computerului.
În prezent, interesul pentru dezvoltarea programelor și aplicațiilor cu scop dida ctic este tot mai
ridicat, apar î n permanență noi programe care pot fi utili zate în sistemele educaționale.
Manualel e în fomat digital conțin o serie de aplicații interactive care cresc interesul și
motivația elevilor pentru studiul matematicii și în același timp asigură con texte semnificative
pentru învățarea personalizată. Valorific area tehnicilor de modelare cu ajuto rul noilor
tehnologii informatice asigură organizarea, gestionarea, documentarea și integrarea
informațiilor în procesul de cunoaștere.
GeoGebra este un program gratuit utilizat în multe sisteme educaționale din lume pentru
predarea și învățarea matematici i. Softul GeoGebra poate fi utilizat cu succes în predarea și
învățarea geometrie și algebrei la orice nivel școlar, dar și pentru înț elegerea unor noțiuni mai
complexe. ([3]) Dobândirea competențelor digitale este o necesitate a educației în orice țară, în
condițiile în care informatica devine “a doua limbă maternă”. Cu toate acestea, instruirea
asistată de calculator nu poate substitui eficiența dialogului științific și afectiv -emoțional
realizat în orele de clasă.
Activitate didactică -Funcții
Clasa a VIII -a
Disciplina : Agebră
Tema : Funcții de tipul f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b . Aplicații
Scopul : Formarea competențelor de a reprezenta în diverse moduri funcțiile pentru
caracterizarea acestora și exprimarea unor noțiuni de geometrie plană

83
Tipu l: mixtă
Competențe generale
CG 1 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care
au fost definite.
CG 2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice.
CG 3 Utilizarea a lgoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete.
CG 4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
CG 5 Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă.
CG 6 Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoștințelor
din diferite domenii.
Competențe specifice:
CG1 -2. Recunoașterea unor corespondențe care sunt funcții;
CG2 -2. Utilizarea valorilor unor funcții în rezolvarea unor ecuații și a unor inecuații;
CG3 -2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondențe și/sau a unor funcții în scopul
caracterizării acestora;
CG4 -1. Folosirea terminologiei aferente noțiunii de număr real (semn, modul, opus, invers,
parte întreagă, parte fracționară) în contexte variate;
CG4 -2. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor noțiuni de geometrie plană;
CG5 -2. Determinarea soluțiilor unor ecuații, i necuații sau sisteme de ecuații;

84
Obiective operaționale:
 cognitive
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili:
– să identifice procedeul de muncă adecvat problemei cu funcții
– să aplice cunoștințele legate de funcții pentru repr ezentarea grafică a acestora
– să reprezinte grafic funcții utilizînd softul GeoGebra pentru verificare
– să determine coordonatele punctelor de intersecție ale reprezentării grafice a unei funcții
cu axele de coordonate
– să determine perimetre, arii și măsuri de unghiuri în figurile geometrice determinate de
reprezentările geometrice ale graficelor de funcții
 afective
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili:
− să păstreze atenția un timp suficient pentru a tingerea obiectivelor stabilite
− să particip e activ și cu interes la lecție
Resurse materiale : tablă, caiete, manual, culegere de probleme, laptop, videoproiector,
tablete/smartphone , conexiune la internet – https://www.geogebra.org/classic
Resurse procedurale : organizarea frontală și individuală, metode : explicația, metoda
conversației, problematizarea, învățarea prin descoperire, rezolvarea de exerciții, utilizarea
softului GeoGebra
Evaluarea : aprecieri v erbale, verificarea prin sondaj, observarea sistematică.
Resurse temporale : 50 de minute
Organizarea activității Se vor parcurge mai multe etape în care se lucrează cu tot colectivul
clasei dirijat și semidirijat și individual pentru rezolvarea unor sarcini .
Desfășurarea activității
Moment organizatoric

85
Profesorul a sigur ă condițiile optime pentru desfășurarea lecției.
Captarea atenției
Este anunțat titlul lecției : Funcții de tipul f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b. Aplicații
Elevii sunt anunțați că vor utiliza softul GeoGebra pentru reprezentarea grafică a funcțiilor cu
scopul verificării corectitudinii reprezentării grafice pe caiete.
Actualizarea unor cunoștințe necesare desfășurării activității
Se reactualizează cunoștințele legate de noțiunea de funcție : definiția, imaginea unei funcții,
graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a mulțimii graficul unei funcții de forma
f:ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a,b ∈ℝ .
Profesorul solicită elevilor să prezinte modul în care se reprezintă geo metric graficul unei
funcții . Elevii oferă răspunsuri cu justificarea acestora.
Dirijarea învățări i
Profesorul prezintă situația în care este necesară reprezentarea grafică a funcției liniare cu
ajutorul punctelor situate la intersecția reprezentării grafice a funcției c u axele Ox și Oy.
Se oferă exemple de rezolvare apoi se scrie cazul general.
Pentru a obține coordonatele acestor puncte se procedează astfel:
Se consideră funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b., cu a ≠0
Fie M( 𝑥𝑀,𝑦𝑀) punctul situat la intersecția graficului funcțiti f cu axa Ox, atunci coordonatele
sale verifică relațiile
{𝑦𝑀=0 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝑂𝑥)
𝑓(𝑥𝑀)=𝑦𝑀 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝐺𝑓) rezolvând se obține 𝑥𝑀=−𝑏
𝑎 și 𝑦𝑀=0⇒ M(−𝑏
𝑎,0)∈𝐺𝑓
Fie N( 𝑥𝑁,𝑦𝑁) punctul situat la intersecția graficului funcțiti f cu axa Oy, atunci coordonatele
sale verifică relațiile

86
{𝑥𝑀=0 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝑂𝑦)
𝑓(𝑥𝑁)=𝑦𝑁 (𝑑𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 ∈𝐺𝑓) rezolvând se obține 𝑥𝑁=0 , 𝑦𝑁=𝑏⇒ N(0,𝑏)∈𝐺𝑓
Elevii notează cazul general, apoi pentru un exemplu concret particip ă activ la rezolvarea
acestuia, oferind soluții și solicitând indicații la nevoie.
Se propune spre rezolvare exercițiul următor
Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)= 2x -4. Cerin țe:
a) Să se reprezinte grafic func ția utiliz ând punctele situate la intersec ția cu axele de
coordonate
b) Să se determine perimetrul și aria triunghiului format de reprezentarea geometric ă a
graficului func ției și axele de coordonate
c) Să se calculeze tangenta unghiului format de reprezentarea geometric ă a graficului func ției
și axa absciselo r
d) Să se determine distan ța de la originea sistemului ortogon al de axe la reprezentarea grafic ă
a func ției
e) Să se determine distan ța de la punctul C(0,1) la dreapta AB.
Pentru rezolvare, un elev iese la tablă și determină prin calcul coordonatele punctelor situate
la intersecția reprezentării grafice cu axele Ox și Oy.
𝐺𝑓∩𝑂𝑥∶{𝑓(𝑥)=𝑦
𝑦=0 ⇒𝑓(𝑥)=0 ⇒2𝑥−4=0⇒2𝑥=4⇒𝑥=2⇒𝐴(2,0)∈𝑂𝑥
𝐺𝑓∩𝑂𝑦∶{𝑓(𝑥)=𝑦
𝑥=0 ⇒𝑓(0)=𝑦 ⇒2·0−4=−4⇒𝑦=−4⇒𝐵(0,−4)∈𝑂𝑦
Se reprezintă geometric graficul funcției. Profesorul propune elevilor utilizarea aplicației
GeoGebra pentru verificarea vizuală a corectittudinii reprezentării.
Se accesează https://www.geogebra.org/classic , elevii de pe tabletă sau smartphone, având
posibilitatea de a urmări pe videoproiector pașii de parcurs.
Fiecare elev va accesa individual site -ul, încercând să finalizeze sarcina și să se verifice dacă
reprezentarea pe caiet a funcției corespunde cu ce a din aplicație, solicitând ajutorul la nevoie,

87
al profesorul ui sau al unui
coleg. Se recomandă ca, în
căsuța de intrare să fie
introdusă funcția 2x -4, iar
aplicația va trasa automat
graficul funcției.
Elevii observă modul de reprezentare și comp ară cu reprezentarea de la tablă și din caiete.

Se pot identifica , utilizând reprezentarea în Geogebra și coordonatele anumitor puncte . Prin
selectarea din bara de unelte a punctului și poziționarea cursorului în sistemul
ortogonal de axe, sunt redate coordonatele punctului respectiv. În acest mod se pot verifica și
coordonatele punctelor de la intersecția cu axele Ox și Oy.
Se atrage atenția asupra co relării noțiunilor de geometrie și aplicare a acestora în rezolvarea
cerințelor u rmătoare ale exercițiului.
b) Elevii observă și recunosc triunghiul determinat de reprezentarea grafică a funcției și axele
de coordonate ∆ AOB. Lungimile segmentelor OA și O B sunt ușor de aflat, ținâ nd con t de
poziționarea punctelor A și B pe axele de corodonate OA= 2 u.m, OB= 4 u.m.
Se subliniază faptul că, punctul B are ordonata y= -4 dar lungimea segmentului OB= 4 u.m.

88
Li se solicită elevilor să specifice tipul triunghiului ∆ AOB și formulele necesare pentru
determinarea perimetrului și ariei acestui triunghi.
Elevii participă activ, oferă răspunsuri : Triunghiul este dreptunghic, pentru calculul
perimetrului se determină suma lungimilor laturilor iar pentru calculul ariei se utilizează
formula 𝐴∆=𝑐1·𝑐2
2.
Pentru determinarea lungimii laturii AB a triunghiulu i elevii oferă soluția aplicării teoremei lui
Pitagora în triunghiul ∆ AOB. Se fac observații legate de faptul că, pentru calculul lungimii
unui segment se poate aplica formula pentru calculul distanței dintre două puncte din plan
AB= √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2.
Elevii lucrează independent în caiete, urmărind și rezolvarea de la tablă. Fac observații,
sugerează metode de lucru.
Se determină AB= 2√5. Astfel perimetrul este 𝑃∆𝐴𝑂𝐵 =𝐴𝐵+𝑂𝐴+𝑂𝐵=2√5+2+4=6+
2√5.
Aria acestui triunghi este 𝐴∆=𝑐1·𝑐2
2=𝑂𝐴·𝑂𝐵
2=2·4
2=4 𝑢.𝑚²
c) Pentru determinarea valorii tangentei unghiului format de reprezentarea grafică a funcției f
și axa absciselor li se cere elevilor să precizeze care sunt funcțiile trigonometrice cunsocute și
cum se calculează tangenta.
Elevii oferă răspun sul: tangenta este raportul dintre lungimea laturii opusă unghiului și
lungimea laturii alăturată unghiului. Este identificat și unghiul format de reprezentarea grafică
a funcției f și axa absciselor, ∢OAB, pentru calcululu tangentei se lucrează în triung hiul
AOB, tg ∢OAB=𝑂𝐵
𝑂𝐴=4
2=2.
d) Pentru a determina distanța de la punctul O la dreapta AB, elevii observă că, această
distanță este dată de lungimea înălțimii din O pe AB a triunghiului dreptunghic AOB.
Se consideră OD AB ⇒d(O,AB)=OD.

89
Elevii sunt încurajați să prezinte metode de calcul a acestei distanțe, urmând ca, soluția optimă
să fie aleasă.
Elevii oferă soluția calculului distanței ca înălțime corespunzătoare ipotenuzei, h=𝑐1·𝑐2
𝑖𝑝=
𝑂𝐴·𝑂𝐵
𝐴𝐵=2·4
2√5=4√5
5 ⇒ OD=4√5
5
e) Se pune problema dete rminări i distanței de la un punct
C(0,2 ) la dreapta AB. Fie această distanță x.
Elevii sunt solicitați să ofere sugestii de rezolvare.
Din partea acestora apar sugestiile de construcție mai întâi a
punctului C și apoi a perpendicularei din punct pe dreap ta
AB.
Fie CEAB ⇒d(C,AB)=CE.
Pentru a calcula distanța elevii sunt încurajați să își exprime opiniile urmând ca varianta cea
mai convenabilă de rezolvare să fie aleasă.
Aceștia recunosc asemănarea triunghiurilor dreptunghice ∆ 𝑂𝐷𝐵 ~∆𝐶𝐸𝐵 , rapoartele de
asemănare ar conduce la aflarea distanțe i 𝑂𝐵
𝐶𝐵=𝑂𝐷
𝐶𝐸=𝐵𝐷
𝐵𝐸⇒4
6=4√5
5
𝑥 ⇒ x=6√5
5.
Se sugerează și utilizarea funcțiilor trigonometrice , de exemplu a funcției sinus pentru ∢ABO
în două triunghiuri, Δ AOB de unde se determină
sin(∢ABO)=2
2√5=√5
5 și triunghiul dreptunghic ΔCEB , unde sin ∢B=𝑥
6 ⇒x=6√5
5.
Elevii sunt împărțiti în două grupe, unii calculează cu ajutorul asemănării distanța, ceillați cu
sinus , la final se confruntă rezultatele .
În ambele situați i s-a determinat distanța x=6√5
5.

90
Asigurarea transferului
Se evidențiază procedeele uti lizate în rezolvarea problemei.
Încheierea lecției și tema pentru acasă Tema pentru acasă este o fișă de luc ru ce cuprinde o
selecție de exerciții cu funcții din subiectele pentru Evaluare a Națională din anii 201 7,2018.
Tema
Fișă de lucru

1. Se consider ă funcția f :ℝℝ, f x2x 4 .
a) Reprezenta ți grafic func ția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) În sistemul de coordonate xOy se consider ă punctul D0,1. Determina ți distan ța de la
punctul D la graficul func ției f . (Subiect Evaluare Națională 2018)
2. Se consider ă funcția f :ℝℝ, f x3x 2 .
a) Reprezenta ți grafic func ția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) În sistemul de coordonate xOy , punctul Ca,beste situat pe graficul funcției f .
Determina ți numerele întregi a și b , știind c ă distan ța de la punctul C la axa Ox este egal ă cu 7
(Subiect de rezervă Evaluare Nationala 2018)
3.Se consider ă funcția f :ℝℝ, f x2x 3 .
a) Reprezenta ți grafic func ția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) În sistemul de coordonate xOy , determina ți abscisa punctului care apar ține graficului
funcției f , știind c ă punctul are abscisa egal ă cu ordonata. (Subiect Evaluare na țională 2017)
4. Se consider ă funcția f :ℝℝ, f xx 3 .
a) Reprezenta ți grafic func ția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) În triunghiul determinat de graficul func ției f și axele sistemului de coordonate xOy ,
determina ți lungimea bisectoarei unghiului drept.
(Subiect de rezervă Evaluare Națională 2017)

91
Activitate didactică – Rapoarte.Procente.Proporții
Clasa a VI-a
Disciplina : Matematică -Agebră
Tema : Rezolvarea de exerciții în care intervin rapoarte, proporții, procente.
Scopul : familiarizarea elevilor cu procedee de lucru, aplicarea cunoștințelor legate de rapoarte
procente, proporții
Tipul : formare de priceperi și deprinderi
Competențe generale:
1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care aces tea apar
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată
5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date
6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
Competențe specifice:
1.2. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a mărimilor direct sau invers proporționale
2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utilizând rapoarte și proporții pentru organizarea de
date
3.2. Aplicarea unor metode specifice de re zolvare a problemelor în care intervin rapoarte,
proporții și mărimi direct/invers proporționale
4.2. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor și a mărimilor care apar în probleme cu
rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale
5.2. Ana lizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a colecțiilor de date
6.2. Modelarea matematică a unei situații date în care intervin rapoarte, proporții și mărimi
direct sau invers proporționale

92
Obiective operaționale:
 cognitive
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili să:
– identifice procedeul de mu ncă adecvat problemei/ exercițiului cu rapoarte, procente sau
proporții
– exprime în limbaj matematic relațiile și mărimile care apar în probleme
– determine un termen necunoscut dintr -o proporție
– aplice metode de calcul pentru determinarea unor rapoarte, procente
– analizeze situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor
 afective :
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili:
− să păstreze atenția un timp suficient pentru atingerea obiectivelor stabilite
− să participe activ și cu interes la lecție
− să dezvolte spiritul de observație și concentrarea în rezolvare
Resurse materiale : tablă, caiet e, manual, culegere de probleme, fișe de lucru
Manual de matematică pentru clasa a VI -a Editura Didactică și Pedagogică
Culegere de probleme pentru clasa a VI -a, Clubul matematicienilor , semestrul I, Editura Art
Resurse procedurale : organizarea frontală și individuală, tratarea diferențiată, mun ca
independentă
metode : explicația, metoda conversației, problematiz area, rezolvarea de exerciții ,
brainstorming
Resurse temporale : 50 de minute
Momentul
lecției
(durata – min) Conținutul lecției Strategii didactice
Activitate a
profesorului Activitatea elevilor Metode și
procedee Mijloace
de
învățământ Evaluare
Moment
organizatoric Verifică prezența
Asigur ă condițiile Răspund la
întrebările adresate Conversația Catalog

93
(2min) optime pentru
desfășurarea lecției de profesor
Își însușesc
observațiile și
recomandările
primite
Actualizarea
cunoștințelor
(5 min) Verificarea prin sondaj
a temei
Adresează întrebări
legate de rapoarte,
procente proporții Prezintă tema
Răspund
întrebărilor
profesorului
Conversația
catehetică
Explicația Caiete Cantitatea și
calitatea
răspunsuri –
lor

Captarea
atenției și
anunțarea
subiectului
lecției
(3 min) Este anunțat titlul
lecției
“Rezolvarea de
exerciții în care
intervin rapoarte,
proporții, procente” Notează în caiete
Cer lămuriri Conversația
Explicația Caiete
tablă, fișe
de lucru Observarea
sistematică
Dirijarea
învățării
(30 min) Se distri buie fișa de
lucru care cuprind e
exerciții variate cu
rapoarte, procente,
proporții
Oferă suport elevilor
care întâmpină
difficultăți, încurajează
munca independentă și
antrenează elevii în
Propune spre rezolvare
exercițiile din fișa de
lucru
Îndrumă elevul de la
tablă în rezolvarea
problemelor Primesc fișele de
lucru
Participă activ la
desfășurarea lecției
Rezolvă
independent în
caiete și alternativ
la tablă
Cer lămuriri și
indicații la nevoie
Oferă soluții și
sugestii de
rezolvare a
problemelor
propuse
Elevii ies la tablă și
rezolvă exerciții de
pe fișă Munca
independentă

Conversația
Problematizarea
Brainstorming

Explicația

Rezolvarea de
exerciții și
probleme Fișe de
lucru
caiete

Tabla Observarea
modului de
lucru,
aprecieri
calitative
Compararea
răspunsurilor
primite
Folosirea
corectă a
terminologiei

Fixarea
deprinderilor
(7 min) Încurajează întrebările
din partea elevilor
Oferă sugestii și
explicații suplimentare Prezintă metode de
rezolvare a tipurilor
de probleme
întâlnite Învățarea prin
cooperare
Conversația
Problematizarea Fișe de
lucru

Manual
Observarea
progresului
fiecărui elev
și a modului
de lucru
Asigurarea
retenției și a
transferului
(2 min) Se verifică prin sondaj
însușirea metodelor de
lucru Răspund
întrebărilor Conversația
euristică Caiete Cantitatea și
calitatea
răspunsurilor

Tema pentru
acasă (1
min) Fișa pentru portofoliu
culegerea de probleme
pag 105 Notează tema Conversația Culegere,
Caiete Aprecieri
asupra
activității
elevilor

94
Fișa de lucru cuprinde exerciții și probleme cu rapoarte, procente , proporții, organizate pe
grade de dificultate, activitatea la clasă fiind organizată frontal alternând cu activitatea
individuală a elevilor. Prin activitatea diferențiată sunt cuprinși toți elevii clasei și cei care
întâmpină dificultăți și cei cu posibilități deosebite, asigurând astfel stimularea dezvoltării
acestora până la nivelul maxim al disponibilităților pe care le are fiecar e.
Formarea priceperilor și deprinderilor se bazează astfel pe capacitățile indidviduale, interesul
și profilul de învățare al elevului.
Elevii vor lucra diferențiat, ghidați de profesor, rezolvă exerciții cu grade diferite de
complexitate după cunoșt intele anterioare ale fiecăruia cu scopul dezvoltării capacităților de
învățare independentă.
Fișă de lucru – Rezolvarea de exerciții și probleme în care intervin rapoarte, proporții, procente
Exerciții
1*. a) Raportul numerelor 6 și 15 este……………….
b) Raportul numerelor 15 și 6 este………………..
2*. Lungimea unui dreptunghi este de 16 cm și lățimea de 8 cm. Aflați raportul dintre
a) lungime și lățime b) lățime și lungime
3**. Scrieți raportul numerelor 31
4 ș𝑖 25
16 și calculați valoarea acestui raport.
4.** Calculați valoarea raportului dintre cel mai mare număr natural de două cifre distincte și
cel mai mic număr natural de trei cifre.
5.* a) Determinați scara unei hărți știind că distanța de 15 km di ntre două localități este
reprezentată pe hartă printr -un segment de 1,5cm.
b) Determinați viteza deplasării unui biciclist, știind că parcurge o distanță de 30 de km în 2
ore.
c) Determinați concentrația unei soluții obținută din 300 g apă și 60 g s are.

95
6.** (Problema 26 pag 36 manual)
Peretele Vulturilor este situat în Munții Bucegi, la o altitudine de 1750 de m, are o înălțime de
aproximativ 300 de m și este foarte căutat de alpiniști pentru escalade. Doi alpiniști, Alin și
Bogdan pornesc spre vârful crestei, pe trasee diferite din punctele A respectiv B, la aceeași
oră, ascensiune aest eurmărită video pe un ecran, imaginea fiind la scara 1:800. Lungimile
traseelor pe imagine sunt, pentru traseul din A, 61 cm, pentru traseul din B, 52 cm.
a) Cal culați lungimile pe teren ale celor două trasee
b) Alin ajunge în vărf după 5 ore, iar Bogdan care are un traseu de dificultate mai mare decât
Alin ajunge mai târziu cu 90 de minute. Aflați vitezele medii de deplasare.
7.* a) Calculați 15% din 240 de lei.
b) Cât la sută din 60 reprezintă 15?
c) Cantitatea de cereale, porumb și grâu, dintr -un depozit este de 4500 de tone. Calculați
câte tone de grâu sunt în depozit știind că 45% din cantitatea de cereale este porumb.
8.** a) Un obiec t costă 40 de lei. Cât va costa obiectul după o scumpire de 3%?
b) Un telefon costă după o reducere de 25% 1125 de lei. Cât a costat înainte de
reducere?
9.*** Am depus la bancă o sumă de bani. În primul an s -a adăugat o dobândă de 5% , i ar în
al doilea an o dobândă de 6% aplicată sumei rămase după primul an. Ce sumă inițială a
fost dacă, după cei doi ani suma este de 11 130 de lei?
10. * a) Formați proporții utilizând numerele 4,6,12, 2.
b) Dac ă 𝑎
7=5
𝑏, atunci a·b este egal cu……….
c) Determinați valoarea lui x din proporțiile

96
𝑥
5=15
25 7
𝑥=14
4 8
9=𝑥
54 2
3=12
𝑥
d) Pornind de la proporția 2
3=14
21 scrieți proporțiile derivate cu aceiași termeni și proporția
derivată în care primul extrem să fie 5.
e) Doamna Ionescu merge la piață și cumpără vișine și căpșuni pentru a face un sirop.
Pentru a obține siropul raportul cantităților de vișine și căpșuni este de 2:3. Dacă doamna
Ionescu a cumpărat 8 kg de vișine și 12 kg de căpșuni și le amestecă, obține aceeași calitate a
siropului?
12.** a) Dacă 𝑥
15=16
𝑦=4
3 atunci x+y este egal cu………….
b) Aflați valoarea raportului 𝑥
𝑦 știind că 3𝑥−𝑦
2𝑥+𝑦=6
5.
13*. Se dă șirul de rapoarte egale 𝑥
3=𝑦
4=𝑧
5 . Știind că x+y+z=48, să se determine numerele x,
y și z.
14**. Aflați numărul natural 𝑎𝑏̅̅̅ știind că 𝑎𝑏̅̅̅̅
2=𝑏𝑎̅̅̅̅
9
15*** Fie a,b,c ∈ℚ+ și 𝑎
2𝑏+𝑐=𝑏
2𝑐+𝑎=𝑐
2𝑎+𝑏. Arătați că a=b=c.
Activitate dida ctică- Statistică
Clasa a XI-a, filiera vocațională, profil teologic
Tema: Dispersia. Abaterea medie pătratică. Interpretarea indicatorilor de dispersie.
Scopul : interpretarea datelor statistice utilizând indicatorii de dispersie
Tipul : As imilarea de noi cunoștințe
Competențe generale
1. Identificarea datelor matematice și interpretarea în funcție de contextul în care au fost
definite

97
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri
matematice
3. Utilizarea algoritmilor pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații -problemă în scopul
descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.
Competențe specifice
 Identificarea unor metode de colectare și interpretare a datelor
 Interpretarea datelor statistice cu ajutorul graficelor și a diagramelor
 Utilizarea datelor statistice pentru analiza de caz
 Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice a unor probleme practice
 Caracterizarea unor situații reale prin interpretarea statistică a datelor
Obiective operaționale
 cognitive
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili să:
– identifice date statistice din tabele
– determine valoarea medie a unei serii statistice
– interpreteze datele cu ajutorul reprezentărilor grafice
– determine abaterea medie pătratică și dispersia unei serii statistic e
– caracterizeze o situație prin interpretarea datelor statistice
 afective :
Pe parcursul activității și la sfȃrșitul lecției elevii vor fi capabili:
– să mențină curiozitatea și imaginația în crearea și rezolvarea de probleme
– să dezvolte tenacitatea, persev eranța și capacitatea de concentrare
– să manifeste inițiativă și disponibilitate de a aborda sarcini variate
– să-și formeze motivația pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața
socială și profesională

98
Resurse materiale : tablă, caiet e, manual , fișe de lucru
Manual de matematică pentru clasa a XI -a M5, Singer M., Voica C., Editura Sigma
Resurse procedurale : organizarea frontală și individuală, tratarea diferențiată, munca
independentă
metode : explicația, metoda conversației, problemat izarea, rezolvarea de exerciții ,
brainstorming , învățarea prin colaborare
Resurse temporale : 50 de minute
Desfășurarea activității
Momentul organizatoric: Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea activității.
Reactualizarea cunoștințelor
Se reamin tesc noțiunile de valoare medie, mediană, modulul unei serii statistice , abatera medie
liniară și rolul acestora. Elevii oferă informațiile cerute de profesor, răspund întrebărilor,
definesc valoarea media, mediana,modulul unei serii statistice.
Captarea atenției
Profesorul pune problema unui studiu statistic în care, prin compararea a două serii statistice
utilizând valoril e medii , se ob țin valori egale, însă configurația valorilor în jurul mediei este
foarte diferită În această situație este ne cesară compararea celor două seturi de date prin
indicatori de dispersie.
Anunțarea subiectului lecției și a obiectivelor
Profesorul anunță titlul lecției: “Dispersia. Abaterea medie p ătratică ” și precizează scopul
activtății: caracterizarea datelor statis tice prin indidcatorii de dispersie abaterea medie
pătratică și dispersia – arată gradul de împrăștiere a valorilor față de medie
Dirijarea învățătii
Profesorul notează la tabl ă, elevii în caiete.

99
Definiție
Se consideră seria statistică (𝑥𝑖,𝑛𝑖), 1≤i≤m cor espunzătoare unui variabile statistice de tip
discret și 𝑥̅ valoarea medie a acestei serii , cu N efectivul total.
Dispersia valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑚 este media aritmetică ponderată a abaterilor de la medie ale
valorilor variabilei.
Se notează 𝜎2=(𝑥1−𝑥̅)2·𝑛1+(𝑥2−𝑥̅)2·𝑛2+⋯+(𝑥𝑚−𝑥̅)2·𝑛𝑚
𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑚=∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁.
Dacă datele sunt grupate în clase de valori se calculează abaterile de la medie ale centrelor
claselor.
Abaterea medie pătratică este 𝜎=√∑ (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁.
Observație
Dispers ia și abaterea medie pătratică măsoară gradul de împrăștiere al valorilor în jurul
mediei.
Printr -un exemplu simplu este evidențiată utilitatea acestor indicatori.
Exemplu
Punctajele obținute de doi elevi la un concurs școlar sunt
Elevul1 : 10,6, 8, 8
Elevul2: 9, 9, 7, 7
Se calculează valoarea medie și abaterea medie liniară pentru ambii elevi.
Profesorul antrenează elevii în activitate, le cere sugestii. Aceștia participă activ la
desfășurarea lecției.
Profesorul explică și arată la tablă modul de calc ul a mediei și abaterii medii liniare:

100
Pentru primul elev 𝑥1̅̅̅=10+6+8+8
4=8 și abaterea medie liniară 𝜏1=
|10−8|+ |6−8|+|8−8|+|8−8|
4=1.
Pentru al doilea elev 𝑥2̅̅̅=9+9+7+7
4=8 și abaterea medie liniară
𝜏2=|9−8|+ |9−8|+|7−8|+|7−8|
4=1.
Ce observați? Elevii constată că cele două valori sunt egale, atât media cât și abaterea medie
liniară.
Se calculează abaterea medie pătratică 𝜎1=√|10−8|²+ |6−8|²+|8−8|²+|8−8|²
4=√2
𝜎2=√|9−8|²+ |9−8|²+|7−8|²+|7−8|²
4=1 .
Abaterile medie pătratice sunt diferite, a primului elev este mai mare, ceea ce înseamnă că
rezultatele obținute de acesta sunt mai împrăștiate față de medie.
Pentru fixarea noțiunilor se propune următoarea activitate:
Un antrenor trebuie să aleagă între doi sportivi pentru a reprezenta clubul sportiv la care
activează la următoarea competiție.
Pentru aceasta sunt analizate performanțele obținute de cei doi sportivi la ultimele 8
antrenamente. Cum il va alege antrenorul pe cel mai bun sportiv?
Sportivul1 : 30; 29,3; 30,2; 29,7; 30,1; 30,2;29,8; 29,9.
Sportivul2: 29,4; 29,7; 29,9; 30 ; 30,1; 29,8; 30,2; 30,1 .
Clasa de elevi este împărțită în două grupe, având aceleași sarcini, prima grupă pentru datele
primului sportiv, a doua grupă pentru datele celui de -al doilea.
Elevii trebuie să reprezinte grafic performanțele sportivilor, la tablă în dou ă grafice diferite
pentru comparare, să calculeze valoarea medie a performanțelor fiecărui sportiv și abaterea

101
medie pătratică , urmând ca, la finalul activității prin compararea rezultatelor să se decidă care
dintre cei doi sportivi are șanse mai mari de a obține o perfomanță apropiată de medie.
Astfel, se reprezintă grafic valorile. Din fiecare grupă, un elev iese la tablă și reprezintă grafic
performanțele.
Elevii din fiecare grupă calculează valoarea medie a performanțelor spotivului alocat,
profesorul o bervă calculele, face recomandări unde este necesar.
𝑥1̅̅̅=30+29,3+30,2+29,7+30,1+30,2+29,8+29,9
8=29,9 și
𝑥2̅̅̅=29,4+29,7+29,9+30+30,1+29,8+30,2+30,1
8=29,9
Se constată că valorile medii ale celor doi sportivi sunt egale. Prin urmare , se vor calcula
abaterile medie pătratice pentru a stabili împră știerea față de medie a performanțelor.
Din fiecare grupă un elev completează la tablă , utilizând un calculator, următorul tabel, fiind
îndrumat și de colegii de grupă, care completează și ca lculează în caiete.
Sportivul 1:
𝑥𝑖 𝑛𝑖 |𝑥𝑖−𝑥̅| (𝑥𝑖−𝑥̅)2 (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖
30 1 0,1 0,01 0,01
29,3 1 0,6 0,36 0,36
30,2 2 0,3 0,09 0,18
29,7 1 0,2 0,04 0,04
30,1 1 0,2 0,04 0,04
29,8 1 0,1 0,01 0,01
29,9 1 0 0 0

Abatere medie pătratică pentru performanțele primului sportiv este 𝜎1=
√0,01+0,36+0,18+0,04+0,04+0,01+0
8=√0,08≅0,28

102
Sportivul 2
𝑥𝑖 𝑛𝑖 |𝑥𝑖−𝑥̅| (𝑥𝑖−𝑥̅)2 (𝑥𝑖−𝑥̅)2·𝑛𝑖
29,4 1 0,5 0,25 0,25
29,7 1 0,2 0,04 0,04
29,9 1 0 0 0
30 1 0,1 0,01 0,01
30,1 1 0,2 0,04 0,04
29,8 1 0,1 0,01 0,01
30,2 1 0,3 0,09 0,09
30,1 1 0,2 0,04 0,04

Abatere medie pătratică pentru performanțele primului sportiv este 𝜎2=
√0,25+0,04+0+0,01+0,04+0,01+0,09+0,04
8=√0,06≅0,24
Deoarece 0,24 <0,28 performanțele celui de -al doilea sportiv sunt mai puțin dispersate față de
medie, deci are șanse mai mari de a obține o performanță apropiată de medie la următorul
concurs.
Elevii concluzionează, datorită rezultatelor că, antrenorul ar trebui să îl aleagă pe al doilea
sportiv pentru a rep rezenta clubul.
Asigurarea retenției și transferul
Se insistă asupra modului de calcul al dispersiei și abaterii medie pătratice și asupra
contribuției acestora în concluziile referitoare la o cercetare.
Tema pentru acasă și încheierea organizată a activit ății
Profesorul face aprecieri asupra activității elevilor care s -au remarcat pe parcursul orei.
Propune ca temă, pentru exersarea calculelor exercițiul 2 din manual pagina 74.
Activitatea prezentată are ca scop însușirea noțiunilor de indicatori de dispersie, dar mai ales
înțelegerea semnificației acestora și interpretarea lor.
Programele de statistică utilizate în studiile din diverse domenii au implementate funcțiile
necesare calculelor indicatorilor statistici, astfel că este necesară o interpretare corectă a
valorilor acestora.

103
2. Strategii și instrumente de evaluare la matematică

Problematica evaluării procesului de învățământ este o preocupare constantă, se caută
permanent metode de optimizare pentru atingerea unui nivel de performanță superior, pentru
ameliorarea rezultatelor. În prezent, e valuarea este parte a procesului de instruire și furnizează
informații și date cu privire la modul în care s-a desfășurat proc esul.
Conform Cucoș C. [25], evaluarea trebuie concepută nu numai ca un control al cunoștințelor
sau ca mijloc de măsurare obiectivă ci și ca o cale de perfecționare, ce presupune o strategie
globală a formării. Evaluarea este o activitate psihope dagogică complexă, de stabilire a
relevanței și a valorii unor prestații, performanțe, comportamente, procese prin raportarea
acestora la un sistem de indicatori de performanță, respectiv criterii, standarde
prestabilite.( [3])
În [3] se precizează că o evaluare ef icientă trebuie:
 să arate educatorului dacă au fost atinse obiectivele educaționale propuse
 să ajute evaluatorul să facă o diagnoza a progresului elevilor
 să ajute cadrul didactic să adapteze acțiunile la nevoile elevilor
 să orienteze eelvii în alegerea ce lei mai bune căi de afirmare
 să ajute cadrul didactic să -și evalueaze propria activitate
 să furnizeze informații către părinți
Pentru ca strategia de evaluare să fie optimă, în [3] este eviden țiat un set de întrebări la care
evaluatorul trebuie să răspundă:
 De ce evaluez? –pentru a cunoaște performanțele și cunoștinșele celor evaluați, pentru
optimizarea tehnicilor și instrumentelor de evaluare,a demercurilor de învățare -predare
 Ce evaluez? –în ce măsură au fost atinse obiect ivele, cunoțtințele, priceperile și
deprinderile, aptitudinile celor evaluați
 Cui îi folosește evaluarea? –evaluatorului, celor evaluați, părinților, societății
 Pe cine evaluez? –elevii

104
 Când evaluez? – la începutul și pe parcursul unui demers educațional, la sfârțitul
fiecărei unități de conținut, activități sau demers instructiv -educativ
 Cum evaluez? –prin evaluări inițiale, curente, examene, probe practice, referate,
portofolii, proiecte
Pentru a -și atinge scopul, evaluarea trebuie să se realizeze printr -o gamă cât mai largă de
forme, tehnici și metode care conduc la stabilirea unor strategii de evaluare.
Evaluarea școlară se poate clasifica în funcție de rolul pe care il are și de momentul în care se
aplică: evaluarea sumativă sau cumulativă care are ca s cop principal evaluarea
rezultatelor, limitând însă posibilitatea îmbunătățirii procesului, evaluarea formativă sau
continuă care vizează ameliorarea procesului instructiv -educativ și perfecționarea activității .
Evaluarea formativă determină relații de coop erare între profesor și elev,dezvoltă capacitatea
de evaluare și autoevaluare în rândul elevilor.Ambele strategii prezintă avantaje și
dezavantaje, astfel că pentru succesul actului didactic este indicată îmbinarea acestora.
După momentul în care se integr ează în procesul didactic se disting trei tipuri de strategii de
evaluare:
evaluarea inițială -realizată la începutul demersurilor educative cu scopul stabilirii
nivelulul la care se situează elevii
evaluarea formativă -realizată pe parcursul întregului proc es didactic, organizând
verificări sistematice , are caracter ritmic, se bazează pe feed -back continuu
evaluarea sumativă – se realizează de obicei la sfărșitul unei secvențe mai lungi de
instruire ([25])
Metodele și instrumentele de evaluare sunt de mai multe tipuri. Metodele de evaluare
tradiționale sunt evaluarea orală, evaluarea scrisă și evaluarea practică la care se adaugă
metodele alternative/complementare de evaluare: observarea sistematică a elevi lor, portofoliul,
portofoliul digital, investigația, proiectul, autoevaluarea, evaluarea cu ajutorul calculatorului,
tehnica 3 -2-1, metoda R.A.I. (răspunde -aruncă -interoghează) , înregistrări video, jocul de rol,
studiul de caz etc. Tipurile de evaluare menț ionate sunt într -o continuă dezvoltare, apar
metode noi generate de contextele educaționale actuale, de necesitatea accentuării valențelor
formative ale acestora.

105
În contextul fo rmării la elevi a competențelor cheie enunțate la nivelul U.E. metodele
tradiț ionale -importante pentru testarea unor cunoștințe și capacități de bază trebuie completate
de metode eficiente pentru formarea unei gândiri divergente, dezvoltarea creativității, a
capacității de a generaliza, de a lucra în echipă.( [3])
Evaluarea cu ajut orul calculatorului și a soft -urilor educaționale este tot mai des utilizată și
apar noi modalități de integrare a acestui tip de evaluare în activitatea didactică.
De exemplu, manualele în format digital oferă o serie de aplicații interactive ce cuprind
activități de învățare precum și de evaluare. Utilizarea acestor aplicații în timpul activității
didactice la matematică, în funcție de tema și specificul lecției, conduce la dezvoltarea
creativității elevilor, la stimularea curiozității, la creșterea moti vației privind studiul
matema ticii și la conștientizarea cap acităților individuale în mod independent.
Activitate didactică
Clasa a V -a
Tema : Probleme de organizarea datelor, frecvența, media unui set de date statistice.
Scopul : verifica rea însușirii noț iunii de medie și frecvență extrase din reprezentări statistice
de date , formarea deprinderii de utilizare a datelor din tabele și grafice
Sarcini de lucru
Elevii accesează manualele în format digital la adresa
https://manuale.edu.ro/manuale/Clasa%20a%20V -a/Matematica/CD%20PRESS/ ,
Sunt selectate
activități le digitale
interactive .
Dintre activitățile
propuse se aleg
“Media la
matematic ă” , “Reguli de circula ție”

106
Elevii introduc în căsuțele indicate
răspunsurile consid erate corecte,
iar la final, evaluarea răspunsurilor
se face prin acționarea butonului
verde cu rezultatul
corect! sau mai încearcă o dată!

Activitatea “Reguli de circula ție”
presupune calculul mediei unui set de
date și introducerea rezultatului obținut
în aplicație. Fiecare elev are
posibilitatea de a se verifica și în
același timp de a se regla și de a alege
metode de lucru adecvate. Activitatea
are un rol de eva luare formativă și
stimulează curiozit atea pentru studiul matematicii.
Metodele de evaluare alese trebuie să ofere atât cadrului didactic cât și elevilor, informații
relevante cu privire la nivelul de pregătire al elevilor și la calitatea procesului de înv ățământ.
Evaluare sumativă la clasa a VIII -a, unitatea de învățare ”Func ții” cu tipuri variate de itemi,
barem de notare și matrice de specificații.
Evaluare Funcții -Clasa a VIII -a
Timp de lucru 50 de minute. Se acordă 1 p din oficiu
Numele și prenumele: Nota:
(1,5p) 1. Completați spațiile punctate pentru a obține propoziții adevărate
a) Se consideră funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=x+1. Calculând valoarea funcției pentru x=1 se obține…..
b) Fie funcția f: {-8,-4,9,4} →ℝ, f(x)=x+2. Mulțimea valorilor funcției f este………………

107
c) Fie funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=2x+1. Calculând f(3) -f(0) se obține…………..
(1,5p) 2. Pentru fiecare dintre enunțurile următoare, dacă enunțul este adevărat, încercuiți
litera A, dacă enunțul este fals, încercuiți litera F
a) Fie funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=x -6. Punctul A(6,0) aparține graficului funcției f. A F
b) Ordonata punctului de pe graficul funcției f: ℝ→ℝ, f(x)=2x+3, cu abscisa 1
este 4 A F
c) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f: {-1,0,1} → ℝ este o dreapt ă A F
(1,5p) 3. Încercuiți răspunsul corect pentru fiecare exercițiu. Doar o variant ă de răspuns din
cele patru ale fiec ărei cerin țe este corect ă.
a) Valoarea num ărului real a pentru care M(1,7) apar ține graficului func ției f:ℝ→ℝ,
f(x)=ax+5 este:
A. 5 B. 1 C.7 D. 2
b) Punctul M care apar ține graficului func ției f:ℝ→ℝ, f(x)= 3x+2 și are coordonatele egale
este:
A. M(3,3) B. M(2,2) C.M(-1,-1) D. M(1,1)
c) Abscisa punctului care aparține graficului funcției f: ℝ→ℝ f(x)=x -3 și are ordonata 5 este:
A. 5 B. 8 C.-3 D. 2
La următoarele subiecte pe foaia de răspuns scrieți rezolvările complete
(1,5p) 4. Determinați funcția de forma f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, al c ărei grafic con ține punctele
A(-1, 3) și B(1,1).
(1,5p) 5. Se consideră funcțiile f,g : ℝ→ℝ, f(x)= – 2x+6 și g(x)=x+3. Determinați coordonatele
punctului de intersecție al reprezentărilor grafice ale celor două funcții.
(1,5p) 6. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x -2.

108
a) Reprezenta ți grafic func ția într-un sistem ortogonal de axe.
b) Calcula ți aria și perimetrul triunghiului determinat de reprezentarea grafic ă a
func ției f și axele de coordonate.

Barem de notare
1.a) f(1)=2 . …………………….. …………………………………………………………………………………….. 0,5p
b) Mulțimea valorilor funcției f este Imf= {-6,-2,2,6}………………………………. ……0,5p
c) Fie funcția f: ℝ→ℝ, f(x)=2x+1. Calculând f(3) -f(0)= 6…………… ………………………… …..0,5p
2. a) A…………………………………………………………………………………………………………….. ….0,5p
b) F………………………………………………….. ……………………………………………………………. 0,5p
c) F…………………………………………………………………………………………………………….. ….0,5p
3. a) D. 2………………. …………………………………………………………………………………………… 0,5p
b) C.M(-1,-1)…………………………………………………………………………………………………… 0,5p
c) B. 8………………………………………………………………………………………………………….. …0,5p
4. Determinați funcția de forma f: ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, al cărei grafic conține punctele
A(-1, 3) ∈𝐺𝑓⇔𝑓(−1)=3 ⇒-a+b=3……………………………………………………………………… 0,5p
B(1,1) ) ∈𝐺𝑓⇔𝑓(1)=1⇒ a+b=1…………………………………………………………………………. 0,5p
-a+b=3
a+b=1 ⇒ b=2, a= -1 ⇒ f(x)= – x+2……….. …………………………………………………………………. 0.5p
5. f,g : ℝ→ℝ, f(x)= – 2x+6 și g(x)=x+3
Fie M(x,y) ∈𝐺𝑓∩𝐺𝑔⇒ f(x)=y și g(x)=y…………………………………………………………………. 0,2p

109
⇒ f(x)=g(x) ⇔ -2x+6=x+3 ⇒ -3x=-3 ⇒x=1…………………………………………………………….. 0,8p
g(1)=1+3=4 =f(1) ⇒ M(1,4) ∈𝐺𝑓∩𝐺𝑔……………………………………………………………………. 0,5p
6. a) Determinarea coordonatelor a două puncte de pe graficul funcției………………………. 0,3p
Trasarea graficului funcției ……………………………………………………………………….. …………….. 0,2p
b) Determinarea coordonatelor punctelor situate la in tersecția cu axele de coordonate……. 0,5p
C(1,0) ∈ Ox, D(0, -2) ∈ Oy ⇒ OC=1 , OD=2 ⇒ Aria triunghiului=𝑐1·𝑐2
2=1·2
2=1 𝑢.𝑚²……0,2p
Calculul CD= √5 și perimetrul P ∆= 3+ √5…………………………………………………………………. 0,3p
Se acordă 1 p din oficiu.
Competen țe de evaluat
C1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt funcții
C2. Utilizarea valorilor unor funcții în rezolvarea unor ecuații și a unor inecuații
C3. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondențe și/ sau a un or funcții în scopul
caracterizării acestora
C4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor noțiuni de geometrie plană
C5. Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații
C6. Identificarea unor probleme care se rezolvă c u ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau a
sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului obținut
Matricea de specificații atașată probei de evluare

Compete nțe de
Conținuturi evaluat
C1
C2
C 3
C 4
C5
C6
Total
Funcții definite pe mulțimi
finite 1b
(0,5p) 0,5p

110
Graficul unei funcții,
reprezentare geometrică a
graficului unei funcții
numerice 1 a 0,5p
c 0,5p 5(0,5p) 5 (1p) 2,5p
Funcții de tipul f : ℝ→ℝ
f(x)=ax+b, a,b∊ ℝ 2a,b
1p 3(1,5p) 6 (1,5p ) 4
(1,5p) 5,5p
Funcții de tipul f:A ℝ,
f(x)=ax+b, a,b∊ ℝ
unde A este un interval de
numere reale sau o mulțime
finită 1.c 0,5p 0,5p
TOTAL 0,5p 2p 2p 2p 1p 1,5p 9p

3. Proiectul unității de învățare „Rapoarte și proporții ” Clasa a VI -a
Timp alocat: 7 ore
Competențe specifice urmărite în această unitate de învățare :
1.2. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a mărimilor direct sau invers proporționale
2.2. Prelucrarea cantitativă a unor date utiliz ând rapoarte și proporții pentru organizarea de
date
3.2. Aplicarea unor metode specifice de rezolvare a problemelor în care intervin rapoarte,
proporții și mărimi direct/invers proporționale
4.2. Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor și a mărimilor care apar în probleme cu
rapoarte, proporții și mărimi direct sau invers proporționale
5.2. Analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a colecțiilor de date
6.2. Modelarea matematică a unei situații date în care intervin rap oarte, proporții și mărimi
direct sau invers proporționale

111
Conținuturi/Timp
alocat C.S. Activități de învățare Resurse Evaluare
▪ Rapoarte/1 oră
▪Procente.Probleme
în care intervin
procente/2 ore
▪ Proporții;
proprietatea
fundamentală a
proporțiilor, aflarea
unui termen
necunoscut dintr -o
proporție/1 oră
▪ Proporții derivate.
Șir de rapoarte
egale/1 oră

▪ Exerciții/1 oră
1.2
2.2

1.2
2.2
3.2
4.2

1.2
2.2
3.2
4.2
5.2
6.2 -Identificarea, citirea,
scrierea și exemplificarea
de rapoarte, procente
-Identificarea, citirea,
scrierea și exemplificarea
de proporții, din
practică/cotidian sau în
context intradisciplinar sau
interdisciplinar (de
exemplu: scara unei hărți,
concentrația unei soluții)
-Interpretarea unui raport ca
raport procentual
-Determinarea unui procent
dintr -un număr dat;
determinarea unui număr,
când se cunoaște un procent
din el (de exemplu:
reducerea/creșterea prețului
unui produs, concentrația
unei soluții)
-Calcularea unei valori
necunoscute din tr-o
proporție
-Calcularea unor numere
folosind un șir de rapoarte
egale
-Calcularea valorii unui
raport folosind un șir de
rapoarte egale
-Rezolvarea de probleme în
care intervin rapoarte,
procente sau proporții Manual, culegeri
de probleme
Fișe pentru
activitatea din
clasă
Fișe cu exerciții
pentru pregătire
individuală
Sarcini
diferențiate
Activitate frontală
cu rezolvare de
exerciții din
culegere/manual
Metode didatice :
Conversația,
Explicația
Exercițiul
Învățarea prin
descoperire
dirijată
Problematizare a
Demonstrația
Modelarea

Fișe cu exerciții
pentru pregătire
individuală
Sarcini
diferențiate
Activitate frontală
cu rezolvare de
exerciții Chestionare orală
Evaluare frontală
Compararea
diferitelor soluții
Prezentarea
rezultatelor și a
modului de lucru
Folosirea corectă a
terminologiei

Analiza cantității și
calității observațiilor
făcute

Calitatea
răspunsurilor orale

Analiza observațiilor

Calitatea rezolvării

Analiza observațiilor

Prezentarea și
argumentarea
soluțiilor

Evaluare/ 1 oră Evaluare scrisă Activitate
individuală

112
CONCLUZII

Pornind de la niște date măsurate privind evoluția unui fenomen se poate obține un
model matematic pentru descrierea acelui fenomen. Una dintre tehnicile statistice cele ma i
versatile și mai des folosite în analiza fenomenelor de acest tip este regresia liniară . Modelul
liniar de regresie descrie legătura dintre o variabilă dependentă și una sau mai multe variabile
independente prin funcții liniare ai căror parametri se determină prin metode de estimare ,
metoda celor mai mici pătrate, descrisă în cadrul lucrării, fiind frecvent utilizată . Prin
intermediul regresiei se pot face predicții ale unei variabile în funcție de valoarea alteia .
Temele și noțiunil e legate de dependența datelor din matematica școl ară, interpretarea
și utiliza rea acestora , necesitatea modelării matematice a situațiilor cotidiene accentuează
caracterul interdisciplinar al matematicii și oferă posibilitatea formării și dezvoltării abilităților
elevilor de utilizare și operare cu meto de matematice în context e cât mai variate . Formarea
acestor abilități are la bază cunoștințe, capacități și deprinderi legate de noțiuni fundamentale
în matematică. Astfel, în cadrul capitolului Rapoarte și proporții, prin rezolvarea tipurilor de
probleme care implică rapoarte, procente, proporții, mărimi direct și invers proporționale, se
prelucrează cantitativ date numerice, se aplică metode și raționamente care permit întelegerea
și exprimarea în limbaj matematic a relațiilor care apar. Rezolvarea probl emelor cu procente,
întâlnite frecvent în viața reală, antrenează elevii în găsirea soluțiilor prin efort propriu,
formularea unor judecăți și argumentarea modului de lucru ales. Funcția, o noțiune de bază în
matematică și problemele legate de funcții dezv oltă capacitățile elevilor de analiză,
investigare, redactare și argumentare a demersului de rezolvare precum și trezirea interesului
pentru modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața reală.
Interpretarea datelor statistice prin grafice ș i diagrame, transpunerea în limbaj
matematic și caracterizarea prin mijloace statistice a unor probleme practice fo rmează obiceiul
de a căuta soluții, de a folosi metode, idei, reguli și de a utiliza rezultatele matematice în
formularea concluziilor.
Fieca re strategie didactică utilizată are o contribuție specifică în formarea deprinderilor
elevilor de a învăța, de a -i obiș nui cu tehnici de cercetare, cu munca în echipă , de a crește

113
curiozitatea pentru căutarea oportunităților de a aplica ceea ce au învățat și nu în ultimul rând
de a -i pregăti temeinic pentru examenele naționale . Îmbinarea metodelor tradiționale cu
metodele complementare la orele de matematică sporește eficiența lecțiilor prin angajarea
elevilor la propria instruire, prin dezvoltarea gândiri i critice și cultivarea interesului pentru
studiul matematicii. Metodele comp lementare de evaluare îmbogățes c practica evaluativă
oferind sprijin cadrului didactic în formarea unei imagini cât mai realiste și mai obiective
asupra progreselor elevilor săi.
Prezenta lucrare de grad poate fi privită ca parte a unui proces amplu de sporire a gradului de
implicare activă și creativă a elevilor în propria formare la orele de matematică și de
conștientizare a i mportanței studiului acestei discipline.

114
BIBLIOGRAF IE
[1] Pecican, E.S. – Econometrie , Bucureș ti , 1994, Editura All -capitole le 4,5, pag. 47 -63
[2] Andrei, T., Bourbonnais, R. – Econometrie , Bucuresti, ,20 08, Editura Economica -capitolul
2, pag. 37 -77
[3] Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii , Modulul A
Competențe curriculare -priorități ale reformei, Modulul B Dezvoltarea profesională în
societatea cunoașterii, Iași, septembrie 2012, Inspectoratul Școlar Iași
[4] Dan C.T, Chiosa S.T –Didactica matematicii, Craiova, 2008, Editura Universitaria
[5] Perianu M.,Stănică C., Smărăndoiu Ș. -Matematică manual pentru clasa a V -a,
Editura Art Educațional
[6] Lin ț D., Linț M., Zaharia D, Zaharia M. –Matematică manual pentru clasa a VI -a,
Editura didactică și pedagogică
[7] Singer M,. Voica G. – De la matematic ă la mate practică , 2010, Editura Sigma
[8] Radu D., Radu E. -Matematic ă manual pentru clasa a VIII -a, Editura Teora
[9] Burtea G., Burtea M. -Matematic ă manual pentru clasa a X -a, Editura Carminis
Cap.3 pag. 89 -113.
[10] Singer M., Voica C. -Matemat ică manual pentru clasa a XI -a M5, Editura Sigma
[11] Singer M., Stupariu M.S., Voica C. – Matemat ică manual pentru clasa a XII -a M5,
Editura Sigma
[12] Perianu M, Smărăndoiu Ș.,Stănică C. -Matematică clasa a VI -a, culegere de probleme
2018 Semestrul I , Editura Art Educațional
[13] Balica I.,Fianu M.,Perianu M.,S ăvulescu D. -Matematică clasa a VIII -a, culegere de

115
probleme, semestrul al II -lea, 2018 Editura Art Educațional
[14] Iacob L., St ănică C., Stănică D., Șuchea G. – Matematică și științe pentru pregătirea
examenului de Evaluare Națională clasa a 6 -a, Club ul matematicienilor, Editura Art
Educațional
[15] Balica I.,Lazăr C.,Mîinescu C.,Perianu M, Stănică C. –Matematică Evaluarea Națională
2018, clasa a 8 -a Editura Art Educațional
[16] Iurea G., Luchian D., Popa G., Șerdean I.,Zanoschi A. -Evaluarea Națională 2019
Editura Paralela 45
[17] Burtea G., Burtea M. -Matematic ă manual pentru clasa a IX -a, Editura Carminis
[18] Radu D., Radu E. -Matematic ă manual pentru clasa a VII -a, Editura Teora
[19] Programa școlară pentru matematică clasele a V -a – a VIII -a, Anexa nr. 2 la ordinul
ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017
[20] Programa școlară pentru matematică clasa a IX -a, ciclul inferior al liceului, conform
planurilor -cadru aprobate prin OMECI nr. 3410, 3411 din 16.03.2009
[21] Programa școlară pentru matematică clasa a X -a, ciclul i nferior al liceului, Anexa nr2.
la ordinul ministrului educa ției și cercet ării nr. 4598/31.08.2004
[22] Programa școlară pentru matematică pentru clasa a XI -a, Programa 5, Anexa nr2. la
ordinul ministrului nr. 3252/13.02.2006
[23] Programa școlară pentru matematică pentru clasa a XII -a, Programa 5, Anexa nr. 2 la
ordinul ministrului educa ției și cercet ării nr. 5959 / 22.12.2006
[24] Ion T. Radu -Evaluarea în procesul didactic , București, 2007, Editura Didactică și
Pedagogică
[25] Cuco ș C.-Teoria și metodologia evaluării , Iași, 2008, Editura Polirom

116
Webografie
[26] http://www.revistadestatistica.ro/old/Articole/2013/RRS_01_2013_a2_ro.pdf accesat la
data 06.02.2019
[27] http://www.revistadestatistica.ro/suplimente/2012/3/srrs3_2012a17.pdf
[28] https://cnx.org/contents/MBiUQmmY@23.9:dGVONwOD@6/I ntroduction
accesat 02.07.2019
[29] https://www.manuale.edu.ro/ , accesat 03.07.2019
[30]http://economics.ut.ac.ir/documents/3030266/14100645/Jeffrey_M._Wooldridge_Introduc
tory_Econometrics_A_Modern_App roach__2012.pdf accesat 06.07 .2019
[31] https://www.geogebra.org/classic accesat la data 01.07.2019
[32] https://www.mathsisfun .com accesat 08.07.2019
[33] https://www.ixl.com/math accesat la data 15.07.2019
[34] https://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs_7_Strat_didactice(I).pdf accesat
16.07.2019
[35] https://www.ase.ro/upcpr/profesori/1825/UI2 -Notiuni%20introd uctive.pdf
accesat16.07.2019
[36] https://www.ase.ro/upcpr/profesori/1825/UI4 -Prel.datelor.pdf accesat 16.07.2019
[37] https://www.ase.ro/upcpr/profesori/1825/UI7 -Serii%20de%20distr.forma%20seriilor.pdf
accesat 22.07.2019
[38] http://www.ise.ro/wp -content/uploads/2014/02/inv -mate -1.pdf accesat 30.07.2019

117

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE PE PROPRIA RĂSPUNDERE

Subsemnata Raluca Nistor , înscrisă pentru obținere a gradului didactic I seria 2018 –
2020, specializarea matematică, prin prezenta certific faptul că lucrarea metodico -științifică cu
titlul “Aplicații ale metodei regresiei din statistica matematică în matematica școlară” ,
coordonator științific Conf. Univ. Dr. Ioana Chiorean , este rezultatul propriilor mele activități
de investigare teoretică și aplicativă și prezintă rezultatele personale obținute în activitatea
mea didactică.
În realizarea lucrării am studiat doar surse bibliografice consemnate în lista
bibliografică, iar preluările din diferitele surse, inclusiv din alte lucrări personale, au fost citate
în lucrare.
Prezenta lucrare nu a mai fost utilizată în alte contexte evaluative, examene sau
concursuri.

Data
Semnătura