Liceul Tehnologic Mecanic, Câmpina [616778]

UNIVERSITATEA “VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: CANDIDAT: [anonimizat]. univ. dr. Doina Constanța Mihai Prof. Ionuț Iulian Georgescu
Liceul Tehnologic Mecanic, Câmpina

TÂRGOVIȘTE
2020

UNIVERSITATEA “VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREAPERSONALULUI DIDACTIC

TEMA:
SISTEME DE ECUAȚII ÎN LICEU. APLICAȚII, ASPECTE METODOLOGICE .

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: CANDIDAT: [anonimizat]. univ. dr. Doina Constanța Mihai Prof. Ionuț Iulian Georgescu
Liceul Tehnologic Mecanic, Câmpina

TÂRGOVIȘTE
2020

1
CUPRINS
Introducere……………………………………………………………………………………………………3
CAPITOLUL I
SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE, STUDIATE ÎN CLASA
A-IX-A
1.1.Sisteme de forma ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 …………………………………..5
1.1.1.Transformări asupra ecuațiilor unui sistem………………………………………………….5
1.1.2..Sisteme echivalente…………………………………………………………………………………6
1.1.3.Metode de rezolvare .Metoda reducerii. Metoda substiuției…………………………..6
1.1.4. Interpretare geometrică ……………………………………………………………………………7
1.2 Sisteme de forma ൜𝑚𝑥+𝑛=𝑦
𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦 𝑚,𝑛,𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,𝑎≠ 0 …………………………………9
1.2.1. Metodă de rezolvare………………………………………………………………………………….9
1.2.2.Interpretare geometrică……………………………………………………………………………..10
1.3. Sisteme de forma ൜𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ=𝑦 𝑎ଵ,𝑏ଵ,𝑐ଵ,𝑎ଶ,𝑏ଶ,𝑐ଶ∈𝑅,𝑎ଵ,𝑎ଶ≠ 0  …………13
1.3.1. Metodă de rezolvare………………………………………………………………………………..13
1.3.2.Interpretare geometrică……………………………………………………………………………..13
1.4.Sisteme simetrice………………………………………………………………………………………………16
1.4.1.Metode de rezolvare…………………………………………………………………………………16
1.5. Sisteme omogene de forma ൜𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥𝑦+𝑐ଵ𝑦ଶ=𝑑ଵ
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥𝑦+𝑐ଶ𝑦ଶ=𝑑ଶ  𝑎ଵ,𝑏ଵ,𝑐ଵ,𝑎ଶ,𝑏ଶ,𝑐ଶ∈𝑅…….17
1.5.1.Metodă de rezolvare…………………………………………………………………………………17
CAPITOLUL II
SISTEME DE ECUAȚII LINIARE,STUDIATE ÎN CLASA A- XI- A
2.1. Sisteme de două ecuații cu două necunoscute –alte metode de rezolvare…………………20

2
2.2. Sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute………………………………………………………….22
2.2.1.Metode de rezolvare- metoda combinatiilor liniare ………………………………………..25
2.2.2. Metode de rezolvare – metoda Cramer………………………………………………………….26
2.2.3. Metode de rezolvare – metoda Gauss……………………………………………………………27
2.2.4. Metode de rezolvare- metoda matricii inverse……………………………………………….29
2.2.5. Sisteme liniare omogene…………………………………………………………………………….30
2.3. Sisteme de m ecuații cu n necunoscute……………………………………………………………….31
2.3.1.Forma cvasitriunghiulară a unui sistem………………………………………………………….32
2.3.2. Discuția unui sistem de ecuații liniare…………………………………………………………..34
2.3.3. Rangul unei matrici……………………………………………………………………………………37
2.3.4. Teorema Kronecker – Capelli………………………………………………………………………39
2.3.5. Teorema Rouché………………………………………………………………………………………..41
CAPITOLUL III
APLICAȚII ALE SISTEMELOR ÎN PROBLEME PRACTICE
3.1. Aplicații matematice ………………………………………………………………………………………..47
3.2. Aplicații în economie ……………………………………………………………………………………….53
3.3. Aplicații în fizică ……………………………………………………………………………………………59
3.4. Aplicații în chimie …………………………………………………………………………………………..63
CAPITOLUL IV
CONSIDERAȚII METODICE PRIVIND ABORDAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII ,
ÎN ACTIVITĂȚILE DIDACTICE CU ELEVII
4.1. Obiectivele lucrării. Cercetare pedagogică …………………………………………………………65
4.2. Conținutul și importanța instructiv – educativă a lucrării………………………………………75
4.3. Analiza nivelului de realizare a obiectivelor ……………………………………………………….76
Anexe …………………………………………………………………………………………………………………..77
Bibliografie …………………………………………………………………………………………………………..91

3

INTORODUCERE
Am ales ca tema lucrării să se numească ˝Sisteme de ecuații în liceu. Aplicații,
aspecte metodologice.˝ ,atât pentru reluarea unor noțiuni care au fost consolidate la
începutul carierei mele de profesor, contribuind la crearea unui set de probleme propuse
spre rezolvare în subcapitolul ˝metoda lui Gauss˝ din culegerea de exerciții și probleme
pentru clasa a- XI-a, unde autorii principali sunt soții Marius și Georgeta Burtea, Editura
Campion, București, 2009, dar și pentru a creea o provocare pentru elevii mei din școala
profesională, respectiv seral.
De asemenea conținutul ei prezintă într-un mod accesibil, dar totodată și riguros din
punt de vedere științific, diferite modalități prin care pot fi rezolvate sistemele de ecuații,
fiind de real folos elevilor mei.
Lucrarea are în vedere două planuri: unul științific (cerecetarea matematică) și unul
didactic (transpunerea acestor noțiuni cu un grad rirdicat de generalizare și abstactizare la
nivelul concret intuitiv al activității didactice). Ea este strucurată pe patru capitole:
Capitolul I , numit ˝Sisteme de două ecuații cu două necunoscute, studiate în clasa a – IX –
a˝, prezintă metodele algebrice de rezolvare a sistemelor cu două ecuații și două
necunoscute, precum și interpretările lor din punct de vedere geometric ( poziția relativă a
două drepte în plan, a unei drepte față de o parabolă sau, a unei parabole în raport cu
alta),dar și înțelegerea sistemelor simetrice sau omogene.
Capitolul II , numit ˝Sisteme de ecuații liniare, studiate în clasa a –XI-a ˝, este abordat
inductiv prin exemplificarea principalelor metode de rezolvare a sistemelor de ecuații
liniare (metoda combinațiilor liniare, metoda Cramer, metoda Gauss, metoda matricii
inverse), pe sisteme cu două ecuații și două necunoscute, trei ecuații cu trei necunoscute, și
culminând în final cu prezentarea teroremelor lui Kronecker – Capelli, respectiv Rouché
care conduc cu ușurință la discuția oricărui sistem de ecuații liniare cu m linii și n coloane.
Capitolul III , numit ˝Aplicații ale sistemelor în probleme practice ˝, scoate în evidență
gama largă de domenii științifice în care sistemele au aplicabilitate (economie, fizică,
chimie, etc.). Modelele de programare liniară sunt cele mai răspândite dintre modele
matematico-economice. Acest lucru este justificat de faptul că un asemenea model acoperă
o gamă largă de probleme, de mare importanță, precum cele de planificare, amestec,

4
transporturi, investiții, reparații,etc.Problema fundamentală a calculului unui circuit electric
constă în determinarea intensităților curenților din cele l laturi ale acestuia. Un sistem de l
ecuații independente, dedicat acestui scop, se poate obține cu ajutorul celor două teroreme
ale lui Kirchhoff, considerate ca esențiale în teoria circuitelor electrice.
Capitolul IV , numit˝ Considerații metodice privind abordarea sistemelor de ecuații , în
activitățile didactice cu elevii˝ constă într-o cercetare pedagogică și scoate în evidență
eficacitatea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații, prezentate în capitolele unu și
doi, care corelate cu mijloace și strategii de învățare adecvat alese de profesor, conduc
sigur la un progres școlar.
Sincerele mele mulțumiri se îndreptă, către doamna profesor universitar Mihai
Doina Constanța, în calitate de coordonator științific, care, pe toată durata întocmirii
acestei lucrări, mi-a acordat încredere, îndrumare și sprijin.

5
CAPITOLUL I
SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE, STUDIATE ÎN
CLASA A IX-A

1.1. Sisteme de forma ൜𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝒄
𝒎𝒙+𝒏𝒚=𝒑 𝒂,𝒃,𝒄,𝒎,𝒏,𝒑∈𝑹 
Definiție: Un sistem de două ecuații de gradul I, cu două necunoscute 𝑥,𝑦 are forma
generală:
൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 
Numerele reale 𝑎,𝑏,𝑚,𝑛 se numesc coeficienții necunoscutelor, iar 𝑐 și 𝑝 se numesc
termenii liberi ai sistemului. Dacă 𝑐=𝑝= 0, atunci sistemul se numește liniar omogen.
O pereche (𝛼,𝛽)∈𝑅𝑋𝑅, se numește soluție a acestui sistem, dacă verifică în același timp
ambele ecuații ale sistemului, transformându-le în adevăruri matematice. Bineînțeles că
perechea (0,0) este mereu soluție a sistemului omogen, numindu-se și soluție banală.
Prin a rezolva sistemul de mai sus, se înțelege să se determine toate soluțiile (dacă există).
Astfel, din punct de vedere al existenței soluțiilor, un sistem se clasifică în:
 Sistem compatibil determinat, dacă are unică soluție;
 Sistem compatibil nedeterminat, dacă admite o infinitate de soluții;
 Sistem incompatibil, dacă nu admite soluții.
1.1.1.Transformări asupra ecuațiilor unui sistem
Pentru rezolvarea unui sistem, se înlocuiește succesiv sistemul dat prin altele,
echivalente cu el, până când se obține un astfel de sistem, ce permite determinarea tututror
soluțiilor prin observații directe. În continuare, se prezintă câteva moduri ce conduc la
eliminarea succesivă a necunoscutelor:
Se consideră sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 , notăm cu 𝑑ଵ,𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣 𝑑ଶ,
ecuațiile sale.
M1. Prin adunarea unei ecuații a sistemului la cealalată ecuație.
𝑑ଵ+𝑑ଶ→(𝑎+𝑚)𝑥+(𝑏+𝑛)𝑦=𝑐+𝑝.
Această nouă ecuație este verificată de orice soluție (𝛼,𝛽)∈𝑅𝑋𝑅 a sistemului dat.
(𝑎+𝑚)𝛼+(𝑏+𝑛)𝛽=(𝑎𝛼+𝑏𝛽)+(𝑚𝛼+𝑛𝛽)=𝑐+𝑝 .
M2. Prin înmulțirea uneia sau a ambelor ecuații ale sistemului, cu constante nenule.

6
Se înmulțește prima ecuație cu 𝑡≠ 0 →𝑡𝑎𝑥+𝑡𝑏𝑦=𝑡𝑐, care este verificată la rândul ei de
orice soluție (𝛼,𝛽)∈𝑅𝑋𝑅 a sistemului: 𝑡𝑎𝛼+𝑡𝑏𝛽=𝑡(𝑎𝛼+𝑏𝛽)=𝑡𝑐
Observație: Cele două moduri se pot combina.
M3. Prin schimbarea ordinii ecuațiilor sistemului.
1.1.2. Sisteme echivalente
Două sisteme se numesc echivalente, dacă ambele sunt incompatibile sau ambele sunt
compatibile cu aceleași soluții. Obținerea unui sistem, echivalent cu cel dat, se face prin
transformările echivalente prezentate mai sus și conduce la găsirea cu mai multă ușurință a
soluțiilor.
Exemplu: fie sistemul ൜𝑥+𝑦= 7
𝑥−𝑦= 5 
Pentru a rezolva sistemul, se adună cele două ecuații, obținând un sistem echivalent cu cel
dat: ቄ𝑥+𝑦= 7
2𝑥= 12 . Se observă că a doua ecuație se transformă echivalent.
Apoi, se împarte a doua ecuație prin 2, și se obține un alt sistem echivalent: ቄ𝑥+𝑦= 7
𝑥= 6 
ce conduce la soluția unică a sistemului (𝑥= 6,𝑦= 1).
1.1.3.Metode de rezolvare
 Metoda reducerii (metoda combinațiilor liniare) – prin transformări echivalente ale
sistemului se caută reducerea uneia dintre necunoscute.
Fie sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 ,
– prin înmulțirea satisfăcătoare a ecuațiilor sale, urmată de o adunare a acestora, se reduce
necunoscuta x
൜𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑐 /𝑚
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 /−𝑎  ⇔ ൜𝑚𝑎𝑥+𝑚𝑏𝑦=𝑚𝑐
−𝑚𝑎𝑥−𝑛𝑎𝑦= −𝑎𝑝 ⇒𝑥(𝑚𝑎−𝑚𝑎)+𝑦(𝑚𝑏−𝑛𝑎)=𝑚𝑐−
𝑎𝑝⇒𝑦=௠௖ି௔
௠௕ି௡௔=௔௣ି௖௠
௔௡ି௕௠,𝑚𝑏≠𝑛𝑎
– analog se reduce și necunoscuta y
൜𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑐 /𝑛
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 /−𝑏  ⇔ ൜𝑛𝑎𝑥+𝑛𝑏𝑦=𝑛𝑐
−𝑚𝑏𝑥−𝑛𝑏𝑦= −𝑝𝑏 ⇒𝑥(𝑛𝑎−𝑚𝑏)+𝑦(𝑛𝑏−𝑛𝑏)=𝑛𝑐−𝑝𝑏
⇒𝑥=௡௖ି௕
௡௔ି௠௕=௖௡ି௕
௔௡,𝑚𝑏≠𝑛𝑎
 Metoda substituției (a înlocuirii) – constă în exprimarea, într- o ecuație a
sistemului, a unei necunoscute în funcție de cealaltă, după care, necunoscuta
exprimată se înlocuiește în ecuația nefolosită, generând astfel o nouă ecuație, într-o

7
singură necunoscută, care se rezolvă. Valoarea obținută, dacă există, se înlocuiește
în relația de substituție pentru a găsi cealaltă component a soluției a sistemului.
Se alege inițial acea necunoscută care are exprimarea cea mai simplă în forma
sistemului.
Fie sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 
Se presupune că în prima ecuație se substituie x în funcție de y. Atunci are loc
𝑥=௖ି௕௬
௔,𝑎≠ 0 (relație de substituție). Se inlocuiește în a doua ecuație și se obține
௠(௖ି௕௬)
௔+𝑛𝑦=𝑝 ⇒ 𝑦=௔௣
௔௡ି,𝑚𝑏≠𝑛𝑎. Această valoare se folosește în relația de
substituție, astfel :
𝑥=௖ି௕ೌ೛ష೎೘
ೌ೙ష್
௔,𝑎≠ 0⇒𝑥=௖௔௡ି௖௕௠ି௕௔௣ା
௔(௔௡ି௕௠)=௔(௖௡ି)
௔(௔௡ି௕௠)=௖௡ି௕௣
௔௡ି௕௠,𝑚𝑏≠𝑛𝑎
Astfel, soluția sistemului este perechea ቀ𝑥=௖௡ି௕௣
௔௡ି௕௠,𝑦=௔௣ି௖
௔௡ି௕௠,𝑚𝑏≠𝑛𝑎ቁ ∈𝑅𝑋𝑅.
1.1.4.. Interpretare geometrică (Poziția a două drepte în plan)
Ecuațiile sistemului ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅  sunt dreptele de ecuații
𝑑ଵ:𝑎𝑥+𝑏𝑦−𝑐= 0 ș𝑖 𝑑ଶ:𝑚𝑥+𝑛𝑦−𝑝= 0. Astfel, în funcție de poziția relativă a două
drepte în plan, se vor distinge trei ipostaze în care poate fi pus sistemul:
a) Dacă dreptele sunt concurente, atunci sistemul este compatibil determinat cu soluție
unică, dată de coordonatele punctului de intersecție al celor două drepte.
b) Dacă dreptele coincid (sunt suprapuse), atunci sistemul este compatibil simplu
nedeterminat, cu o infinitate de soluții.
c) Dacă dreptele sunt paralele, atunci sistemul este incompatibil (nu admite soluții).
In continuare, se rezolvă și se interpretează geometric câteva sisteme.
Ex.1: ൜−2𝑥+𝑦= 1
𝑥+𝑦= 7 
Soluție: Se aplică metoda substituției. În prima ecuație, se exprimă y în funcție de x:
y =1+2x (relație de substiutție). Se înlocuiește y în a doua ecuație și se obține ecuația
x+(1+2x)=7 ⇒3x=6⇒x=2. În relația de substituție, se înlocuiește x cu 2, deci y= 5.
Așadar, sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (x=2,y=5).
Dreptele asociate ecuațiilor sistemului 𝑑ଵ:−2𝑥+𝑦−1 = 0 ș 𝑖 𝑑ଶ:𝑥+𝑦−7 = 0 sunt
concurente, iar 𝑑ଵ∩𝑑ଶ={𝐴(2,5)}.(figura 1)

Figura1

Ex.2: ቊ୶ିହ
ହ−ଷ(୷ାଷ)
ଵ଴= −1
−6x+9y = −27 
prima ecua ție. Atunci:
⇒൜2𝑥 −3𝑦 = 9
2𝑥 −3𝑦 = 9 . Se observ
compatibil simplu nedeterminat,iar mul
𝑥 = 𝛼 ∈ 𝑅 , atunci 2𝛼 −3𝑦
ቀ𝑥 = 𝛼,𝑦 =ଶఈିଽ
ଷ/𝛼 ∈ 𝑅ቁ
Ex.3: ൜−6𝑥+9𝑦 = − (4𝑥
4𝑥 −2𝑦=
⇒൜−2𝑥 +𝑦 = 0
2𝑥 −𝑦 = 13  și prin adunarea ecua
sistemul este incompatibil, iar dreptele asociate ecua
𝑑ଵ: −2𝑥+𝑦 = 0 ș𝑖 𝑑ଶ:2
𝑚ଵ = 𝑚ଶ= 2), ca în fig.2.

Figura 2

8   Se aduce sistemul la forma cla sică de rezolvare, prelu
ție. Atunci: ൜2𝑥−10−3𝑦−9 = −10
−6x+9y = −27  ⇒൜2𝑥
−6x+
. Se observ ă că ecuațiile sistemului sunt identice, prin urmare sistemul este
compatibil simplu nedeterminat,iar mul țimea soluțiilor sale se depistează astfel: notăm
𝑦= 9 ⇒ 𝑦 =ଶఈିଽ
ଷ. Sistemul admite o infinitate de solu
ቁ, iar dreptele asociate ecuațiilor coincid.
(𝑥−3𝑦)+5𝑦
=26 . Sistemul este echivant cu ൜
i prin adunarea ecua țiilor, avem 0=13 (propoziție matematică falsă), deci
sistemul este incompatibil, iar dreptele asociate ecua țiilor sistemului,
2𝑥 −𝑦−13 = 0 sunt paralele (se observă că au pantele egale
, ca în fig.2.

sică de rezolvare, prelu crând
𝑥−3𝑦 = 9
+9y = −27 /:(−3) 
țiile sistemului sunt identice, prin urmare sistemul este
țimea soluțiilor sale se depistează astfel: notăm
. Sistemul admite o infinitate de solu ții
൜−2𝑥 +𝑦 = 0
4𝑥 −2𝑦 = 26 /:2 
țiilor, avem 0=13 (propoziție matematică falsă), deci
sunt paralele (se observă că au pantele egale

Ex.4: Să se cerceteze dacă următoarele drepte sunt concurente:
dଵ:2x−y−5 = 0,d ଶ:y=
Soluție: S e va forma un sistem cu primele două
respective ൜2𝑥 −𝑦−5 = 0
𝑦 = 4−7𝑥
൜9𝑥 = 9
𝑦 = 4−7𝑥  ⇒൜𝑥 = 1
𝑦 = −3  ⇒
(x=1, y=-3), deci 𝑑ଵ∩𝑑ଶ
suficient să se arate că punctul
(adevărat).
Concluzie : C ele trei drepte sunt concurente, iar
figura 3.

Figura 3

1.2 Sisteme de forma ൜𝒂𝒙
Se observă că prima ecua
𝑅,𝑓(𝑥)= 𝑚𝑥 +𝑛, 𝑚,𝑛 ∈
𝑚𝑥+𝑛 = 𝑦 , iar cea de- a doua ecua
𝑅,𝑔(𝑥)= 𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥 +𝑐
𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝑅,𝑎 ≠ 0 , al cărei grafic este parabola
1.2.1. Metodă de rezolvare
Soluție: Se alege ca metodă de rezolvare chiar
൜𝑚𝑥 +𝑛 = 𝑦
𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐 = 𝑦 ⟺ ൜𝑎
9 Să se cerceteze dacă următoarele drepte sunt concurente:
=4−7x ș𝑖 dଷ:x−2y−7 = 0 .
e va forma un sistem cu primele două ecuații, pentru a specifica pozi
0 . Este indicată metoda subtituției. ൜2𝑥 −(
𝑦
 ⇒ sistemul este compatibil determinat cu solu ția unică
={𝐴(1,−3)}. Pentru ca cele trei drepte să fie concurente, este
că punctul 𝐴(1,−3), verifică ecuția dreptei 𝑑ଷ, adică 1
ele trei drepte sunt concurente, iar 𝑑ଵ∩𝑑ଶ∩𝑑ଷ={𝐴(1,−

൜𝒎𝒙+𝒏 = 𝒚
𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 = 𝒚 𝒎,𝒏,𝒂,𝒃,𝒄 ∈ 𝑹,𝒂 ≠ 𝟎  
Se observă că prima ecua ție a sistemului este asociată funcției de gradul I,
∈𝑅, care are ca grafic o dreaptă, și anume dreapta de ecuație
a doua ecua ție este asociată funcției de gradul II,
, al cărei grafic este parabola 𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐 = 𝑦 .

ca metodă de rezolvare chiar metoda substituției . Astfel
 ൜𝑚𝑥+𝑛 = 𝑦
𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐 = 𝑚𝑥 +𝑦  ⟺൜𝑚𝑥+
𝑎𝑥ଶ+(𝑏−𝑚)𝑥
, pentru a specifica pozi ția dreptelor
(4−7𝑥)−5 = 0
𝑦= 4−7𝑥 ⇒
ția unică
. Pentru ca cele trei drepte să fie concurente, este
, adică 1-2·(-3)-7=0
−3)}, așa cum arată
 
ție a sistemului este asociată funcției de gradul I, 𝑓:𝑅 →
și anume dreapta de ecuație
ție este asociată funcției de gradul II, 𝑔:𝑅 →
fel, sistemul
+𝑛 = 𝑦
)𝑥+(𝑐 −𝑦)= 0

10
A doua ecuație a ultimului sistem, este o ecuație de gradul II, în necunoscuta 𝑥, așadar
numărul de soluții ale sistemului depinde de numărul de soluții ale acestei ecuații, astfel:
A. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏−𝑚)ଶ−4𝑎(𝑐−𝑦) > 0, atunci sistemul
admite două soluții reale {(𝑥ଵ,𝑦ଵ),(𝑥ଶ,𝑦ଶ)}⊂𝑅𝑋𝑅.
B. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏−𝑚)ଶ−4𝑎(𝑐−𝑦)= 0, atunci sistemul are
o singură soluție reală {(𝑥଴,𝑦଴)}⊂𝑅𝑋𝑅.
C. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏−𝑚)ଶ−4𝑎(𝑐−𝑦)< 0, atunci sistemul nu
are soluții reale.
1.2.2. Interpretare geometrică
Interpretarea geometrică se referă la poziția unei drepte față de o parabolă.
Fie sistemul ൜𝑚𝑥+𝑛=𝑦
𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦 𝑚,𝑛,𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,𝑎≠ 0 
Se asociază primei ecuații dreapta 𝑑:𝑚𝑥+𝑛=𝑦 și celei de-a doua ecuații, parabola
𝒫: 𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦, și cum o dreptă poate intersecta o parabolă în cel mult două puncte,
se disting cazurile:
A. Dacă sistemul admite două soluții reale {(𝑥ଵ,𝑦ଵ),(𝑥ଶ,𝑦ଶ)}⊂𝑅𝑋𝑅, atunci dreapa
intersectează parabola în două puncte (este secantă parabolei ) și anume d ∩𝒫=
{𝐴(𝑥ଵ,𝑦ଵ),𝐵 (𝑥ଶ,𝑦ଶ)}.
B. Dacă sistemul are o singură soluție reală {(𝑥଴,𝑦଴)}⊂𝑅𝑋𝑅, atunci dreapta este
tangentă parabolei, iar puncul de tangență este T (𝑥଴,𝑦଴).
C. Dacă sistemul nu are soluții reale, atunci d ∩𝒫={∅}, adică dreapta este exterioară
parabolei.
Să se rezolve următoarele sisteme și să se dă apoi interpretarea geometrică:
Ex.1: ൜y = x+5
y = xଶ+10x+25  ⟺൜𝑦=𝑥+5
xଶ+10x+25 = x+5 ⟺൜𝑦=𝑥+5
𝑥ଶ+9𝑥+20 = 0 
Ecuația 𝑥ଶ+9𝑥+20 = 0 , are ∆=1 > 0 și soluțiile 𝑥ଵ= −4,𝑥ଶ= −5. Pentru 𝑥ଵ= −4,
se obține 𝑦ଵ= −4+5 =1, iar pentru 𝑥ଶ= −5 se obține 𝑦ଶ= −5+5 =0. Rezultă că
sistemul are două soluții reale, iar d ∩𝒫={𝐴(−4,1),𝐵 (−5,0)}, deci drepta d este secantă
parabolei 𝒫 , ca în figura 4.

Figura 4

Ex.2.൜𝑦−2𝑥 +1 = 0
𝑦 = 𝑥ଶ−2𝑥 +3  ⟺
൜𝑦 = 2𝑥 −1
𝑥ଶ−4𝑥 +4 = 0 
Ecuația 𝑥ଶ−4𝑥 +4 = 0 are
obține 𝑦 = 3. Rezultă că sistemul are o singură solu
dreapta d este tangentă parabolei

Figura 5

Ex3:൜2𝑥 +7𝑦−1 = 0
𝑦 = 3𝑥ଶ−7𝑥 +5 ⟺
ቊ𝑦 =ିଶ௫ାଵ
଻
𝑦 = 3𝑥ଶ−7𝑥 +5⇔ ቐ
3𝑥
Ecuația 21𝑥ଶ−47𝑥+34
că nici sistemul nu are solu
parabolei 𝒫, ca în figura 6.

11  ⟺൜𝑦 = 2𝑥 −1
𝑦 = 𝑥ଶ−2𝑥 +3 ⟺൜𝑦 = 2𝑥 −1
𝑥ଶ−2𝑥 +3 = 2𝑥 −
are ∆= 0 și soluțiile reale, egale 𝑥ଵ= 𝑥ଶ=
. Rezultă că sistemul are o singură solu ție reală, iar d ∩𝒫
parabolei 𝒫, în punctul de tangență 𝑇(2,3), ca în figura 5.
 ⟺
ቐ𝑦 =ିଶ௫ାଵ
଻
𝑥ଶ−7𝑥 +5 =ିଶ௫ାଵ
଻ ⟺ቊ𝑦 =ିଶ௫ାଵ
଻
21𝑥ଶ−47𝑥+34 =
= 0 are ∆= −647 < 0 , prin urmare nu are solu
că nici sistemul nu are solu ții reale, iar 𝑑 ∩𝒫 = {∅},adică dreapta
6.
−1 ⟺
2. Pentru 𝑥 = 2 se
𝒫={𝑇(2,3)}, deci
, ca în figura 5.
=0 
, prin urmare nu are solu ții reale. Rezultă
,adică dreapta 𝑑 este exterioară

Figura 6

Ex4: Fie sistemul ൜𝑥ଶ+2
sistemul admite solu ție unică. Pentru
geometric rezultatul.
Soluție:൜𝑥 +𝑦 = 𝑎
𝑥ଶ+2𝑎𝑦−2𝑎ଶ+
൜𝑦 = −𝑥+𝑎 +
𝑥ଶ+2𝑎(−𝑥+𝑎+1)− 2
Pentru ca sistemul să admită solu
unică, adică să aibă discriminantul nul.
𝑎ଶ−3𝑎 +2 = 0 , adică 𝑎
൜𝑦 = −𝑥 +2
𝑥ଶ−2𝑥 +1 = 0 
Cum ecuația 𝑥ଶ−2𝑥+1
soluția unică (𝑥 = 𝑦 = 1 )
figura 7.

Figura 7

12 𝑥 +𝑦 = 𝑎+1
2𝑎𝑦−2𝑎ଶ+𝑎 −2 = 0,𝑎 ∈ 𝑅.  Să se afle
ție unică. Pentru 𝑎 = 1, să se rezolve sistemul și să se interpreteze
+1
+𝑎−2 = 0 ⟺൜𝑦 = −𝑥+𝑎+1
𝑥ଶ+2𝑎𝑦−2𝑎ଶ+𝑎 −2 = 0
+1
2𝑎ଶ+𝑎−2 = 0  ⟺൜𝑦 = −𝑥+𝑎+1
𝑥ଶ−2𝑎𝑥+3𝑎 −2 =
Pentru ca sistemul să admită solu ție unică, trebuie ca a doua ecuație a sa, să admită soluție
unică, adică să aibă discriminantul nul. Rezultă ∆= 4𝑎ଶ−4(3𝑎 −2)=
𝑎∈{1,2}.Pentru 𝑎 = 1, sistemul devine ൜𝑥
1= 0 admite soluțiile reale egale 𝑥ଵ= 𝑥ଶ
), iar dreapta este tangent ă parabolei în punctul
Să se afle 𝑎 ∈ 𝑅, astfel încât
și să se interpreteze
0 ⟺
0 
ție unică, trebuie ca a doua ecuație a sa, să admită soluție
)=0 ⇒
൜𝑥+𝑦 = 2
ଶ+2𝑦−3 = 0 ⟺
ଶ= 1, sistemul are
ă parabolei în punctul 𝑇(1,1), ca în

13

1.3. Sisteme de forma ቊ𝒂𝟏𝒙𝟐+𝒃𝟏𝒙+𝒄𝟏=𝒚
𝒂𝟐𝒙𝟐+𝒃𝟐𝒙+𝒄𝟐=𝒚 𝒂𝟏,𝒃𝟏,𝒄𝟏,𝒂𝟐,𝒃𝟐,𝒄𝟐∈𝑹,𝒂𝟏,𝒂𝟐≠𝟎 
Se observă că cele două ecuații ale sistemului sunt asociate funcțiilor de gradul II,
𝑓:𝑅→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ, 𝑎ଵ,𝑏ଵ,𝑐ଵ∈𝑅,𝑎ଵ≠ 0 și
g:𝑅→𝑅,𝑔(𝑥)=𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ, 𝑎ଶ,𝑏ଶ,𝑐ଶ∈𝑅,𝑎ଶ≠ 0, care au ca grafic parabolele
𝒫ଵ:𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦 , respectiv 𝒫ଶ: 𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ=𝑦.
1.3.1. Metodă de rezolvare
Se alege ca metodă de rezolvare, tot metoda substituției .
൜𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ=𝑦  ⟺൜𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ=𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ ⟺
൜𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦
(𝑎ଵ−𝑎ଶ)𝑥ଶ+(𝑏ଵ−𝑏ଶ)𝑥+(𝑐ଵ−𝑐ଶ)= 0 
Ecuația a doua, a ultimului sistem, este tot o ecuație de gradul II, în necunoscuta 𝑥, dacă
𝑎ଵ≠𝑎ଶ.. Așadar, numărul de soluții ale sistemului depinde de numărul de soluții ale
acestei ecuații, astfel:
A. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏ଵ−𝑏ଶ)ଶ−4(𝑎ଵ−𝑎ଶ)(𝑐ଵ−𝑐ଶ)> 0, atunci
sistemul admite două soluții reale {(𝑥ଵ,𝑦ଵ),(𝑥ଶ,𝑦ଶ)}⊂𝑅𝑋𝑅.
B. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏ଵ−𝑏ଶ)ଶ−4(𝑎ଵ−𝑎ଶ)(𝑐ଵ−𝑐ଶ)= 0, atunci
sistemul are o singură soluție reală {(𝑥଴,𝑦଴)}⊂𝑅𝑋𝑅.
C. Dacă ecuația de gradul doi are ∆=(𝑏ଵ−𝑏ଶ)ଶ−4(𝑎ଵ−𝑎ଶ)(𝑐ଵ−𝑐ଶ)< 0, atunci
sistemul nu are soluții reale.
Dacă 𝒂𝟏=𝒂𝟐,𝒃𝟏=𝒃𝟐 și 𝒄𝟏=𝒄𝟐, atunci ecuațiile sistemului sunt caracterizate de aceeași
parabolă, iar mulțimea de soluții este infinită, dată de mulțimea punctelor de pe parabolă,
𝐴(𝑥,𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ).
Dacă 𝒂𝟏=𝒂𝟐,𝒃𝟏=𝒃𝟐 și 𝒄𝟏≠𝒄𝟐, atunci sistemul este incompatibil .
Dacă 𝒂𝟏=𝒂𝟐,𝒃𝟏≠𝒃𝟐 și 𝒄𝟏=𝒄𝟐, sistemul sdmite soluția reală unică {(0,𝑐ଵ)}⊂RXR.
Dacă 𝒂𝟏=𝒂𝟐,𝒃𝟏≠𝒃𝟐 și 𝒄𝟏≠𝒄𝟐, ecuția a doua a sistemului devine de gradul I , cu
soluția 𝑥= − 𝒄𝟏ି𝒄𝟐
𝒃𝟏ି𝒃𝟐∈𝑅, iar sistemul admite de asemenea unică soluție .
1.3.2. Interpretare geometrică (Poziția relativă a două parabole în plan)
Dacă perechea {(𝑥଴,𝑦଴)}⊂𝑅𝑋𝑅, este soluțe a sistemului dat, atunci punctul A (𝑥଴,𝑦଴),
este comun parabolelor 𝒫ଵ:𝑎ଵ𝑥ଶ+𝑏ଵ𝑥+𝑐ଵ=𝑦 , respectiv 𝒫ଶ: 𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥+𝑐ଶ=𝑦.
Prin urmare se disting trei cazuri:

A. Dacă sistemul admite două solu
𝒫ଶ={𝐴(𝑥ଵ,𝑦ଵ),𝐵 (
B. Dacă sistemul are o singură solu
{𝑇(𝑥଴,𝑦଴)}, iar parabolele se numes
C. Dacă sistemul nu are solu
nesecante .
Se rezolvă urmă toarele sisteme, după care se dă
Ex1. ൜𝑦 = 𝑥ଶ+𝑥−2
𝑦 = −𝑥ଶ+𝑥  ⟺൜𝑥
Se rezolvă ecuația 2xଶ−2
𝑥ଵ= 1 ș𝑖 𝑥 ଶ= −1. Pentru
𝑦ଶ= −2.
Deci, sistemul admite două solu
{𝐴(1,0),𝐵 (−1,−2) }, fiind parabol

Figura 8

Ex2.൜2𝑥ଶ= 10𝑥+𝑦− 13
−𝑥ଶ= −8𝑥+𝑦+ 14
൜2𝑥ଶ−10𝑥+13 =
−𝑥ଶ+8𝑥 −14 = 2𝑥ଶ−
Se rezolvă ecuația 𝑥ଶ−6𝑥
obține 𝑦଴= 1. Sistemul admite o singură solu
fiind tangente în T, ca în figura 9.

14 Dacă sistemul admite două solu ții reale {(𝑥ଵ,𝑦ଵ),(𝑥ଶ,𝑦ଶ)}⊂𝑅𝑋𝑅
)(𝑥ଶ,𝑦ଶ)}, iar parabolele se numesc secante.
Dacă sistemul are o singură solu ție reală {(𝑥଴,𝑦଴)}⊂ 𝑅𝑋𝑅, atunci
, iar parabolele se numes c tangente în T.
Dacă sistemul nu are solu ții reale, atunci 𝒫ଵ∩𝒫ଶ={∅}, iar parabolele se numesc
toarele sisteme, după care se dă interpretarea geometrică a lor:
൜𝑦 = 𝑥ଶ+𝑥 −2
𝑥ଶ+𝑥 −2 = −𝑥ଶ+𝑥 ⟺൜𝑦 = 𝑥ଶ+𝑥 −2
2𝑥ଶ−2 = 0 
= 0 |:2 ⇒ xଶ−1 = 0 ⇒(𝑥−1)(𝑥+1)=
. Pentru 𝑥ଵ= 1 , se obține 𝑦ଵ= 0, iar pentru 𝑥ଶ
sistemul admite două solu ții: {(1,0),(−1,−2) }⊂ 𝑅𝑋𝑅, iar
, fiind parabol e secante, ca în figura 8.
13
14 ⟺൜2𝑥ଶ−10𝑥+13 = 𝑦
−𝑥ଶ+8𝑥−14 = 𝑦 
=𝑦
10𝑥+13 ⟺൜2𝑥ଶ−10𝑥 +13 = 𝑦
3𝑥ଶ−18𝑥 +27 = 0|:3 ⟺൜2𝑥
𝑥
𝑥+9 = 0 ⟺(𝑥−3)ଶ= 0 ⇒ 𝑥ଵ= 𝑥ଶ= 3. Pentru
. Sistemul admite o singură solu ție : {(3,1)}⊂ 𝑅𝑋𝑅, iar 𝒫
în T, ca în figura 9.
}𝑅𝑋𝑅, atunci 𝒫ଵ∩
, atunci 𝒫ଵ∩𝒫ଶ=
iar parabolele se numesc
interpretarea geometrică a lor:
 
)0 ⇒
ଶ= −1 , se obține
, iar 𝒫ଵ∩𝒫ଶ=
൜𝑥ଶ−10𝑥+13 = 𝑦
𝑥ଶ−6𝑥 +9 = 0 
. Pentru 𝑥଴= 3, se
𝒫ଵ∩𝒫ଶ={𝑇(3,1)},

Figura 9

Ex.3.
൜𝑥ଶ +3𝑥 −𝑦+2 = 0
−𝑥ଶ−𝑦−1 = 0 ⟺൜
൜𝑦 = 𝑥ଶ+3𝑥 +2
2𝑥ଶ+3𝑥 +3 = 0  .
Prin rezolvarea ecuației 2𝑥
atunci sistemul este incompatibil, iar
ca în figura 10.

Figura 10

Ex. 4. Să se discute în func
Soluție: Sistemul este echivalent cu
൜𝑦 =(6−2𝑚)𝑥ଶ+2𝑥−
(6−6𝑚)𝑥ଶ+4𝑥 −4 = 0
Discuția soluț iilor sistemului pleacă de la ecua
15  ൜𝑦 = 𝑥ଶ+3𝑥 +2
𝑦 = −𝑥ଶ−1 ⟺൜𝑦 = 𝑥ଶ+3𝑥 +2
−𝑥ଶ−1 = 𝑥ଶ+3𝑥 +
𝑥ଶ+3𝑥 +3 = 0 , se găsește ∆=-18 < 0, deci nu are solu
atunci sistemul este incompatibil, iar 𝒫ଵ∩𝒫ଶ={∅}, fiind parabole nesecante,
în funcție de parametrul real 𝑚, sistemul: ൜𝑦 =(6−
𝑦 =4
istemul este echivalent cu ൜𝑦 =(6−2𝑚)𝑥ଶ+2𝑥 −5
4𝑚𝑥ଶ−2𝑥−1 = (6−2𝑚)𝑥ଶ+
−5
0|:2  ⟺൜𝑦 =(6−2𝑚)𝑥ଶ+2𝑥 −5
(3−3𝑚)𝑥ଶ+2𝑥 −2 = 0 
iilor sistemului pleacă de la ecua ția (3−3𝑚)𝑥ଶ+2𝑥 −2
2 ⟺
, deci nu are solu ții reale,
, fiind parabole nesecante,
(−2𝑚)𝑥ଶ+2𝑥 −5
4𝑚𝑥ଶ−2𝑥 −1 
5
2𝑥 −5  ⟺
2= 0, astfel:

16
Dacă 𝑚= 1, atunci 2𝑥−2 = 0 ⇒𝑥= 1 ⇒𝑦= 1 și sistemul are soluția unică : {(1,1)}.
Dacă 𝑚≠ 1, atunci ecuția de gradul II, are ∆= 28−24 𝑚⇒
Dacă ∆< 0 ⇒m>଻
଺ ⇒𝑚∈ቀ଻
଺,+∞ቁ, atunci sistemul este incompatibil.
Dacă ∆> 0 ⇒m<଻
଺ ⇒𝑚∈ቀ−∞,଻
଺ቁ, atunci sistemul admite două soluții.
Dacă ∆= 0 ⇒m=଻
଺ , ecuația de gradul II, devine 𝑥ଶ−4𝑥+4 = 0 ⇒ ( 𝑥−2)ଶ= 0 ⇒
𝑥ଵ=𝑥ଶ= 2 ⇒𝑦=ସଵ
ଷ, atunci sistemul admite soluția ቄቀ2,ସଵ
ଷቁቅ.
1.4. Sisteme simetrice
Definiție: Se numește ecuație simetrică în necunoscutele x și y, orice ecuație în care, dacă
înlocuim pe x cu y și reciproc, ecuația nu se schimbă.
Bineînțeles că o ecuație simetrică care admite soluția (a,b), o va admite forțat si pe
simetrica ei (b,a).
Exemple: Ecuația 4𝑥ଶ−5𝑥𝑦+4𝑦ଶ−10 = 0 ⇔ 4 𝑦ଶ−5𝑦𝑥+4𝑥ଶ−10 = 0 , prin
urmare este simetrică.
Ecuația 𝑥−𝑦+7 = 0 ⇎𝑦−𝑥+7 = 0, deoarece scăderea nu este comutativă, prin
urmare nu se poate numi ecuație simetrică.
Definiție : Un sistem se numește simetric doar dacă ecuațiile care îl compun sunt simetrice.
Un sistem de forma generală ൜𝑥+𝑦=𝑆
𝑥𝑦=𝑃 , 𝑆,𝑃 ∈𝑅se numește sistem simetric fundamental.
1.4.1. Metodă de rezolvare
Sistemului fundamental i se atașează ecuația caracteristică de gradul 2 cu forma generală:
𝑡ଶ−𝑆𝑡+𝑃= 0, S,P ∈𝑅 (1), care oferă soluțiile simetrice ale sistemului, asfel:
a) Dacă ∆=𝑆ଶ−4𝑃< 0, atunci sistemul nu are soluții reale.
b) Dacă ∆=𝑆ଶ−4𝑃= 0, atunci sistemul adimite doar soluția ( 𝑡଴,𝑡଴)∈Ɍ𝑋Ɍ.
c) Dacă ∆=𝑆ଶ−4𝑃> 0, atunci sistemul adimite soluțiile ( 𝑡ଵ,𝑡ଶ), (𝑡ଶ,𝑡ଵ) ∈Ɍ𝑋Ɍ.

Ex1. Să se rezolve sistemul:
൜𝑥+𝑦+𝑥𝑦= 29
𝑥𝑦−2(𝑥+𝑦)= 2  , vom nota 𝑥+𝑦=𝑆, 𝑥𝑦=𝑃. Atunci sistemul devine ቄ𝑆+𝑃= 29
𝑃−2𝑆= 2 
⇔ቄ2𝑆+2𝑃= 58
𝑃−2𝑆= 2  și prin adunarea relatiilor obținem 3𝑃= 60 ⟹ቄ𝑆= 9
𝑃= 20 .
Euația caracteristică sistemului are forma 𝑡ଶ−9𝑡+20 = 0, cu soluțiile 𝑡ଵ= 5 ș𝑖 𝑡ଶ= 4.
Prin urmare soluțiile sistemului nostru sunt S= {(5,4),(4,5)}⊂𝑅𝑋𝑅.

17
Ex2. Să se rezolve sistemul:
൜𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 4
𝑥𝑦−2(𝑥ଶ+𝑦ଶ)= 23 
Inainte de a se prezenta rezolvarea acestui sistem se introduc câteva expresii simetrice
exprimate în funcție de 𝑆 și 𝑃:
𝑥ଶ+𝑦ଶ= (𝑥+𝑦)ଶ−2𝑥𝑦=𝑆ଶ−2𝑃,
𝑥ଷ+𝑦ଷ=(𝑥+𝑦)(𝑥ଶ+𝑦ଶ−𝑥𝑦)=𝑆(𝑆ଶ−3𝑃),
𝑥ସ+𝑦ସ= (𝑥ଶ+𝑦ଶ)ଶ−2𝑥ଶ𝑦ଶ=(𝑆ଶ−2𝑃)ଶ-2𝑃ଶ.
Se revine la sistemul din ex2. , care este echivalent cu ൜𝑆+𝑃= 4
𝑃−2(𝑆ଶ−2𝑃)= 23 ⇔
൜𝑃= 4−𝑆
(4−𝑆)−2[𝑆ଶ−2(4−𝑆)]= 23 ⟺ቄ𝑃= 4−𝑆
2𝑆ଶ+5𝑆+3 = 0 ⇔ቊ𝑃= 4−𝑆
𝑆ଵ= −1 ,𝑆ଶ= −ଷ
ଶ 
Așadar se vor lua în considerare două cazuri: ቄ𝑆= −1
𝑃= 5 , respectiv ቐ𝑆= −ଷ
ଶ
𝑃=ଵଵ
ଶ .
Se introduce prima ecuație caracteristică 𝑡ଶ+𝑡+5 = 0, cu ∆< 0, prin urmare în acest caz
sistemul nu are soluții reale.
A doua ecuație caracteristică este: 𝑡ଶ+ଷ
ଶ𝑡+ଵଵ
ଶ= 0 ⇔ 2𝑡ଶ+3𝑡+11 = 0 , tot cu ∆< 0.
Concluzie : Sistemul nu admite soluții reale.
1.5. Sisteme omogene de forma ቊ𝒂𝟏𝒙𝟐+𝒃𝟏𝒙𝒚+𝒄𝟏𝒚𝟐=𝒅𝟏
𝒂𝟐𝒙𝟐+𝒃𝟐𝒙𝒚+𝒄𝟐𝒚𝟐=𝒅𝟐  𝒂𝟏,𝒃𝟏,𝒄𝟏,𝒂𝟐,𝒃𝟐,𝒄𝟐∈𝑹
Observație : Sistemul se numește omogen deoarece în membrul stăng al fiecărei ecuații se
găsesc monoame de același grad 2.
1.5.1. Metodă de rezolvare
În funcție de valorile reale ale termenilor liberi 𝑑ଵ și 𝑑ଶ, se disting următoarele cazuri de
discutat:
a) Dacă 𝑑ଵ = 𝑑ଶ=0 , se observă că sistemul admite soluția (0,0), numită soluție banală.
Se caută acum soluții cu cel puțin o componentă nenulă și presupunem astfel x ≠ 0. Se
împarte acum prima ecuație prin 𝑥ଶ și se obține 𝑎ଵ+𝑏ଵ௬
௫+𝑐ଵቀ௬
௫ቁଶ
= 0, care prin
substituția ௬
௫=𝑡, devine 𝑎ଵ+𝑏ଵ𝑡+𝑐ଵ𝑡ଶ= 0 cu cel mult două soluții reale 𝑡ଵ,ଶ.
Astfel mulțimea de soluții a sistemului inițial se obține prin reunirea soluțiilor sistemelor

18
ቊ୷
୶= tଵ
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥𝑦+𝑐ଶ𝑦ଶ= 0  , respectiv ቊ୷
୶= tଶ
𝑎ଶ𝑥ଶ+𝑏ଶ𝑥𝑦+𝑐ଶ𝑦ଶ= 0 .
b) Dacă 𝑑ଵ ≠0 sau 𝑑ଶ≠ 0. Se presupune că 𝑑ଵ ≠0 și 𝑑ଶ= 0, deci se poate proceda
acum cu prima ecuație ca în cazul precedent. Se observă acum că sistemul nu mai
admite soluția banală.
c) Dacă 𝑑ଵ ≠0 și 𝑑ଶ≠ 0. În acest caz se aplică transformări echivalente sistemului
inițial, în așa fel ca unul din cei doi termeni liberi să devină nul, după care se reia
situația de la cazul precedent.
Ex1. ൜2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0
𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0 
Soluție: Dacă 𝑥= 0 ,sistemul admite soluția banală (0,0).
Se presupune că x ≠ 0 și se împarte prima ecuație prin 𝑥ଶ, care devine 2+3௬
௫+ቀ௬
௫ቁଶ
= 0,
și prin substituția ௬
௫=𝑡, se transformă în 2+3𝑡+𝑡ଶ= 0 ,cu soluțiile reale 𝑡ଵ= −2 și
𝑡ଶ= −1.
Astfel mulțimea de soluții a sistemului inițial se obține prin reunirea soluțiilor sistemelor
ቊ୷
୶= −2
𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0  , respectiv ቊ୷
୶= −1
𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0 
ቊ୷
୶= −2
𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0 ⟺൜𝑦= −2𝑥
2𝑥ଶ= 0  cu soluția (𝑥=𝑦= 0), imposibil deoarece am presupus
𝑥≠ 0;
ቊ୷
୶= −1
𝑥𝑦+𝑦ଶ= 0 ⟺ቄ𝑦= −𝑥
0 = 0 , deci sitemul admite soluții de forma (𝑎,−𝑎), 𝑎∈𝑅∗. Pentru
𝑎= 0 se obține soluția banală.
Concluzie : Sistemul admite soluții de forma (𝑎,−𝑎), 𝑎∈𝑅.
Ex2. ൜2𝑥ଶ−3𝑥𝑦= 0
4𝑥ଶ−5𝑥𝑦−𝑦ଶ= 1 
Soluție: Se observă că acum 𝑥 e nenul, deci se împarte prima ecuație prin 𝑥ଶ≠ 0 și se
obține 2−3௬
௫= 0 , care prin substituția ௬
௫=𝑡, devine 2−3𝑡= 0 ,cu soluția 𝑡=ଷ
ଶ.

19
Sistemul inițial devine ቊ௬
௫=ଷ
ଶ
4𝑥ଶ−5𝑥𝑦−𝑦ଶ= 1  ⟺ ቐ𝑥=ଷ௬
ଶ
4ቀଷ௬
ଶቁଶ
−15௬మ
ଶ−𝑦ଶ= 1 ⟺ቊ𝑥=ଷ௬
ଶ
𝑦ଶ= 2 
⟺൝𝑥=ଷ௬
ଶ
𝑦ଵ,ଶ= ±√2 . Pentru 𝑦ଵୀ√2, obținem 𝑥ଵୀଷ√ଶ
ଶ, iar pentru 𝑦ଶୀ√2, obținem 𝑥ଶୀ−ଷ√ଶ
ଶ.
Concluzie : Sistemul admite mulțimea de soluții 𝑆=ቄቀଷ√ଶ
ଶ,√2ቁ,ቀିଷ√ଶ
ଶ,−√2ቁቅ.
Ex3. Să se rezolve sistemul: ൜2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70
6𝑥ଶ+𝑥𝑦−𝑦ଶ= 50 
În acest caz se fac transformări echivalente ale sistemului astfel încât una dintre ecuațiile
sistemului să fie nulă.
൜2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70 /5
6𝑥ଶ+𝑥𝑦−𝑦ଶ= 50/−7  ⟺൜10𝑥ଶ+15𝑥𝑦+5𝑦ଶ= 350
−42𝑥ଶ−7𝑥𝑦+7𝑦ଶ= −350  . Se adună acum cele două
ecuații, și se obține −32𝑥ଶ+8𝑥𝑦+12𝑦ଶ= 0 /:(− 4) ⟺ 8𝑥ଶ−2𝑥𝑦−3𝑦ଶ= 0/:𝑦ଶ≠
0 ⟺ 8ቀ௫
௬ቁଶ
−2௫
௬−3 = 0, după care se face substituția ௫
௬=𝑡⇒ 8𝑡ଶ−2𝑡−3 = 0, cu
soluțiile 𝑡ଵ=ଷ
ସ și 𝑡ଶ=ିଵ
ଶ.
Astfel mulțimea de soluții a sistemului inițial se obține prin reunirea soluțiilor sistemelor:
൝2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70
௫
௬=ଷ
ସ  și ൝2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70
௫
௬=ିଵ
ଶ 
Primul sistem devine ቊ2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70
𝑥=ଷ௬
ସ ⟺ ቐ2ቀଷ௬
ସቁଶ
+ଽ௬మ
ସ+𝑦ଶ= 70
𝑥=ଷ௬
ସ  ⟺ቊ𝑦ଶ= 16
𝑥=ଷ௬
ସ 
și are soluțiile (3,4),(−3,−4) ∈ 𝑅𝑋𝑅.
Al doilea sistem devine ቊ2𝑥ଶ+3𝑥𝑦+𝑦ଶ= 70
𝑥=ି௬
ଶ ⟺ቐ2ቀି௬
ଶቁଶ
+3(ି௬
ଶ)𝑦+𝑦ଶ= 70
𝑥=ି௬
ଶ ⟺
ቊ0𝑦ଶ= 70
𝑥=ଷ௬
ସ , care nu are soluții.
Concluzie : Reunind soluțiile celor doua sisteme, putem spune că sistemul inițial admite
soluțiile 𝑆={(3,4),(−3,−4) }∈𝑅𝑋𝑅

20
CAPITOLUL II: SISTEME DE ECUAȚII LINIARE, STUDIATE ÎN CLASA
A- XI- A

2.1. Sisteme de două ecuații cu două necunoscute –alte metode de rezolvare.
Metoda lui Cramer
Fie sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 
Se formează două noi ecuații prin intermediul combinărilor liniare, astfel:
൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 /𝑚 /𝑛
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 /−𝑎/−𝑏 ⟺൜𝑚(𝑎𝑥+𝑏𝑦)−𝑎(𝑚𝑥+𝑛𝑦)=𝑐𝑚−𝑝𝑎
𝑛(𝑎𝑥+𝑏𝑦)−𝑏(𝑚𝑥+𝑛𝑦)=𝑐𝑛−𝑝𝑏 
⟺൜𝑚𝑏𝑦−𝑎𝑛𝑦=𝑐𝑚−𝑝𝑎
𝑛𝑎𝑥−𝑏𝑚𝑥=𝑐𝑛−𝑝𝑏 ⟺൜𝑦(𝑏𝑚−𝑎𝑛)=𝑐𝑚−𝑎𝑝 /−1
𝑥(𝑎𝑛−𝑏𝑚)=𝑐𝑛−𝑏𝑝 ⟺
൜𝑦(𝑎𝑛−𝑏𝑚)=𝑎𝑝−𝑐𝑚
𝑥(𝑎𝑛−𝑏𝑚)=𝑐𝑛−𝑏𝑝 .
Se notează cu 𝐴=ቀ𝑎 𝑏
𝑚 𝑛ቁ și se numește matrice atașată sistemului inițial, care este
formată din coeficienții necunoscutelor ce apar în ambele ecuații. Atunci
detA=ቚ𝑎 𝑏
𝑚 𝑛ቚ=an-bm=∆ se numește determinantul sistemului . Pentru a gasi
necunoscutele x și y, se impune condiția ∆≠ 0,
Iar 𝑥=௖௡ି௕௣
௔௡ି௕௠=ฬ௖ ௕
௣ ௡ฬ
ቚ௔ ௕
௠ ௡ቚ=∆ೣ
∆ și 𝑦=௔௣ି௖௠
௔௡ି௕௠=ቚ௔ ௖
௠ ௣ቚ
ቚ௔ ௕
௠ ௡ቚ=∆೤
∆ ⇒ 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆,𝑦=∆೤
∆ቅ este
soluția unică a sistemului nostru.
Observație : Putem spune că un sistem este de tip Cramer dacă detA ≠ 0. Dacă detA=0 se
poate ajunge, fie la un sistem compatibil nedeterminat, fie la unul incompatibil.
Exemplul1 :
Să se rezolve sistemul: ൜2𝑥+3𝑦= 5
−𝑥+4𝑦= 3 
Soluție: Se formează matricea atașată 𝐴=ቀ2 3
−1 4ቁ, iar coloana termenilor liberi apare în
matricea 𝐵=൫ହ
ଷ൯.
Se calculează detA=8+3=11 ≠ 0, deci se aplică metoda Cramer, după care se formează
∆௫=ቚ5 3
3 4ቚ= 20−9 = 11 ș 𝑖 ∆௬=ቚ2 5
−1 3ቚ= 6+5 = 11 .

21
Conform metodei Cramer, sistemul admite soluția unică 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆=ଵଵ
ଵଵ= 1,𝑦=∆೤
∆=
ଵଵ
ଵଵ= 1ቅ, adică x=1 și y=1, iar dreptele asociate ecuațiilor sistemului sunt concurente în
A(1,1).
Exemplul 2 : Să se decidă dacă următorului sistem i se poate aplica metoda Cramer:
൜𝑥−2𝑦= 3
2𝑥−4𝑦= 6 
Soluție: Matricea atașată este 𝐴=ቀ1 −2
2 −4ቁ, cu detA=-4+4=0, deci sistemul nu este de tip
Cramer.
Se rezolvă astfel sistemul: ൜𝑥−2𝑦= 3
2𝑥−4𝑦= 6/:2  ⟺ ൜𝑥−2𝑦= 3
𝑥−2𝑦= 3 , așadar se reduce la o
singură ecuație, fiind compatibil nedeterminat. Notăm x=α ∈𝑅, iar y=ఈିଷ
ଶ .
Concluzie : 𝑆=ቄx = α,y =ఈିଷ
ଶ /α ∈𝑅ቅ.
Metoda matriceală
Fie sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈𝑅 
Se notează cu 𝐴=ቀ𝑎 𝑏
𝑚 𝑛ቁ, care se numește matrice atașată sistemului inițial, 𝑋=ቀ𝑥
𝑦ቁ ,
care se numește matricea necunoscutelor , iar 𝐵=ቀ𝑐
𝑝ቁ, care se numește matricea
termenilor liberi. Atunci, sistemul inițial poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale
cu forma generală AX=B.
Dacă det A ≠ 0, adică matricea A este invesabilă, se notează cu 𝐴ିଵ , inversa ei, cu care se
înmulțește ecuația matriceală, la stânga, astfel:
𝐴ିଵ/AX=B ⟺ 𝐴ିଵ(𝐴𝑋)=𝐴ିଵ𝐵 și cum 𝐴ିଵ𝐴=𝐼ଶ, se obține 𝐼ଶ𝑋=𝐴ିଵ𝐵 ⟺𝑿=𝑨ି𝟏𝑩,
care conduce la găsirea necunoscutelor x și y.
Exemplu: Să se rezolve, folosind metoda matriceală sistemul ൜2𝑥+3𝑦= 5
−𝑥+4𝑦= 3 
Soluție:
𝐴=ቀ2 3
−1 4ቁ este matricea atașată sistemului, 𝑋=ቀ𝑥
𝑦ቁ este matricea necunoscutelor
, iar 𝐵=൫ହ
ଷ൯ este matricea termenilor liberi.Sistemul se scrie acum sub forma ecuației
AX=B.
Se calculează detA=8+3=11 ≠ 0, adică matricea A este inversabilă și se înmulțește cu 𝐴ିଵ
la stânga, se obține 𝑿=𝑨ି𝟏𝑩. Nu rămâne decât să se găsească 𝐴ିଵ.

22
𝐴ିଵ=஺∗
ௗ௘௧஺, unde 𝐴∗este matricea adjunctă a lui A, și cum 𝐴∗=ቀ4 −3
1 2ቁ⇒
𝐴ିଵ=஺∗
ௗ௘௧஺=ଵ
ଵଵቀ4 −3
1 2ቁ ⇒ 𝑋=ଵ
ଵଵቀ4 −3
1 2ቁ൫ହ
ଷ൯=ଵ
ଵଵቀ11
11ቁ=ቀ11
11ቁ ⇒ቀ𝑥
𝑦ቁ=ቀ11
11ቁ
Concluzie : Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (x=1,y=1).
2.2. Sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute
Definiția1 : Se numește ecuație liniară în necunoscutele x,y,z, orice ecuație care are forma
generală 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑, unde 𝑎,𝑏,𝑐∊𝑅 se numesc coeficienții necunoscutelor , iar
𝑑∊𝑅, se numește termenul liber al ecuației.
Exemple: 5𝑥−2𝑦+3𝑧= 4 ; 𝑥+√2𝑦−5𝑧= −1.
Definiția2: Se numește soluție a ecuației liniare 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑, un triplet de forma
൫𝑥଴,𝑦଴,𝑧଴൯⊂𝑅𝑋𝑅𝑋𝑅, care verifică egalitatea 𝑎𝑥଴+𝑏𝑦଴+𝑐𝑧଴=𝑑.
Exemplu: tripletul (0,1,2) este soluție a ecuației 5𝑥−2𝑦+3𝑧= 4 , deoarece 5⋅0−2⋅
1+3⋅2 = 4 .
Observație: Prin a rezolva ecuația 𝑎𝑥଴+𝑏𝑦଴+𝑐𝑧଴=𝑑, se înțelege să se găsească toate
soluțiile sale, a căror mulțime o numim soluție generală .
Exemplu: Să se găsească soluția generală a ecuației liniare 5𝑥−2𝑦+3𝑧= 4.
Soluție: Se alege 𝑦=𝛼∊𝑅 ș𝑖 𝑧=𝛽∊R, după care se găsește x în funcție de α și β, astfel:
5𝑥−2𝛼+3𝛽= 4 ⇒ 𝑥=ଶఈିଷఉାସ
ହ∊R.
Concluzie: Ecuația are soluția generală 𝑆=ቄ𝑥=ଶఈିଷఉାସ
ହ,𝑦=𝛼 ,𝑧=𝛽 / 𝛼,𝛽∊𝑅 ቅ.
Definiția3 : Forma generală a unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute este:
൝𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ𝑧=𝑑ଵ
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ𝑧=𝑑ଶ
𝑎ଷ𝑥+𝑏ଷ𝑦+𝑐ଷ𝑧=𝑑ଷ  , unde 𝑎௜,𝑏௜,𝑐௜ ∊R , ∀𝑖∊{1,2,3} , se numesc coeficienții
necunoscutelor , iar 𝑑௜∊R ∀𝑖∊{1,2,3} sunt termenii liberi ai sistemului.
Definiția 4 : Se numește soluție a sistemului definit mai sus, orice triplet ൫𝑥଴,𝑦଴,𝑧଴൯⊂
𝑅𝑋𝑅𝑋𝑅, care este soluție pentru fiecare ecuație a sistemului.
Observație: Prin a rezolva un sistem vom înțelege să i se găsească toate soluțiile, astfel se
spune că:
 Un sistem care nu are soluție se numește incompatibil .
 Un sistem care are exact o soluție se numește compatibil determinat .
 Un sistem care are mai mult de o soluție se numește compatibil nedeterminat .
Interpretare geometrică : dacă se ține cont că fiecare ecuație a sistemului este caracterizată
în spațiul cartezian 0xyz, printr-un plan, se vor distinge cazurile:

23
 Dacă sistemul este compatibil determinat, atunci planele asociate ecuațiilor sunt
concurente într-un punct .
 Dacă sistemul este compatibil simplu nedeterminat, atunci planele sunt concurente
după o dreaptă .
 Dacă sistemul este compatibil dublu nedeterminat, atunci planele asociate ecuațiilor
sistemului sunt concurente după un alt plan .
 Dacă sistemul este incompatibil atunci intervin mai multe situații: toate cele trei
plane sunt paralele, două sunt paralele intersectate de al treilea,planele sunt
concurente două câte două, etc.
Figura 1: Ѕoluțіa unісă a unuі ѕіѕtеm сomрatіbіl dеtеrmіnat dе trеі есuațіі сu trеі
nесunoѕсutе.
b#%l!^+a?
Ѕurѕa: httр://ѕіѕtеmе.wіkіdot.сom/іntеrрrеtarеa-gеomеtrісa

24
Fіgura 2: Ѕoluțіa unuі ѕіѕtеm сomрatіbіl dеtеrmіnat dе trеі есuațіі сu trеі nесunoѕсutе.

Ѕurѕa: httр://ѕіѕtеmе.wіkіdot.сom/іntеrрrеtarеa-gеomеtrісa
Fіgura 3: Ѕoluțіa unuі ѕіѕtеm сomрatіbіl nеdеtеrmіnat dе trеі есuațіі сu trеі nесunoѕсutе.
b#%l!^+a?

Ѕurѕa: httр://ѕіѕtеmе.wіkіdot.сom/іntеrрrеtarеa-gеomеtrісa

25
Fіgura 4: Ѕoluțіa unuі ѕіѕtеm іnсomрatіbіl dе trеі есuațіі сu trеі nесunoѕсutе.

Ѕurѕa: httр://ѕіѕtеmе.wіkіdot.сom/іntеrрrеtarеa-gеomеtrісa b#%l!^+a?
^+2.2.1. Metode de rezolvare- metoda combinatiilor liniare
Se alege o ecuație a sistemului, care se înmulțește adecvat, pe rând cu câte o
constantă nenulă, în așa fel ca în celelalte două ecuații ale sistemului să fie redusă aceeași
necunoscută.
Asfel , ultimele două ecuații ale sistemului formează acum un sistem de două
ecuații, cu două necunoscute, căruia i se aplică pentru rezolvare metoda reducerii, despre
care s-a discutat în primul capitol. După ce se găsesc două necunoscute ale sistemului
inițial, se revine cu ele în prima ecuație pentru a determina-o pe a treia.
Exemplu: Să se rezolve cu metoda combinațiilor liniare, următorul sistem:
൝𝑥+𝑦+𝑧= 6
2𝑥+𝑦+2𝑧= 10
3𝑥+𝑦+2𝑧= 11 
Soluție: Se înmulțește prima ecuație cu (-2) și (-3) și se adună la a doua, respectiv a treia
ecuație pentru a se reduce necunoscuta x.
൝𝑥+𝑦+𝑧= 6/(−2)
2𝑥+𝑦+2𝑧= 10
3𝑥+𝑦+2𝑧= 11 ⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 6/(−3)
−𝑦= −2
3𝑥+𝑦+2𝑧= 11 ⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 6/(−3)
−𝑦= −2
−2𝑦−𝑧= −7

26
⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 6
𝑦= 2
2𝑦+𝑧= 7 
Cu ultimele două ecuații se formează un nou sistem în necunoscutele y și z, care se
rezolvă.
൝𝑥+𝑦+𝑧= 6
𝑦= 2 /(−2)
2𝑦+𝑧= 7 ⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 6
𝑦= 2
𝑧= 3 ⟺൝𝑥+2+3 = 6
𝑦= 2
𝑧= 3 ⟺൝𝑥= 1
𝑦= 2
𝑧= 3 
Concluzie : Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică 𝑆={(1,2,3)}.
2.2.2. Metode de rezolvare – metoda Cramer
Fie sistemul ൝𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ𝑧=𝑑ଵ
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ𝑧=𝑑ଶ
𝑎ଷ𝑥+𝑏ଷ𝑦+𝑐ଷ𝑧=𝑑ଷ  , unde 𝑎௜,𝑏௜,𝑐௜,𝑑௜ ∊R , ∀𝑖∊{1,2,3}
Atunci matricea ൭𝑎ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑐ଷ൱ se numește matricea atașată sistemului , iar matricea
൭𝑑ଵ
𝑑ଶ
𝑑ଷ൱ este matricea termenilor liberi .
Se notează cu ∆=อ𝑎ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑐ଷอ determinantul sistemului ,
∆௫=อ𝑑ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑑ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑑ଷ𝑏ଷ𝑐ଷอ, ∆௬=อ𝑎ଵ𝑑ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑑ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑑ଷ𝑐ଷอ, ∆௭=อ𝑎ଵ𝑏ଵ𝑑ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑑ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑑ଷอ
Dacă ∆≠ 0, atunci sistemul este compatibil determinat , cu soluția unică, dată de formulele
Cramer: 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆,𝑦=∆೤
∆,𝑧=∆೥
∆ቅ⊂𝑅ଷ.
Exemplul1 :Să se rezolve folosind metoda Cramer, următorul sistem:
൝2𝑥+3𝑦−2𝑧= −1
−𝑥+2𝑦−𝑧= −3
−2𝑥+𝑦+𝑧= 6 
Soluție: Matricea atașată este ൭2 3 −2
−1 2 −1
−2 1 1൱,iar coloana termenilor liberi este ൭−1
−3
6൱.
Se calculează acum ∆=อ2 3 −2
−1 2 −1
−2 1 1อ=9≠ 0,prin umare sistemul este de tip Cramer.
∆௫=อ−1 3 −2
−3 2 −1
6 1 1อ= 18, ∆௬=อ2 −1 −2
−1 −3 −1
−2 6 1อ= 27, ∆௭=อ2 3 −1
−1 2 −3
−2 1 6อ= 63

27
Concluzie : Sistemul este compatibil determinat , cu soluția unică, dată de formulele
Cramer: 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆=ଵ଼
ଽ= 2,𝑦=∆೤
∆ =ଶ଻
ଽ= 3,𝑧=∆೥
∆=଺ଷ
ଽ= 7ቅ⊂𝑅ଷ.
Exemplul2 :
Să se găsescă soluția sistemului liniar ∑𝑎௜௝𝑥௝ଷ
௝ୀଵ = 4௜ିଵ , 𝑖∈{1,2,3}, unde 𝑎௜௝=𝑗௜ିଵ.
Soluție: După explicitarea sumei, sistemul are forma:
൝𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 1
𝑥ଵ+2𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 4
𝑥ଵ+4𝑥ଶ+9𝑥ଷ= 16 , care are maticea atașată A= ൭1 1 1
1 2 3
1 4 9൱ .
∆=อ1 1 1
1 2 3
1 4 9อ=(1−2)(2−3)(3−1)= 2 ≠ 0, (determinant Vandermounde)
Se aplică spre rezolvare metoda Cramer. Coloana termenilor liberi este ൭1
4
16൱.
∆௫=อ1 1 1
4 2 3
16 4 9อ= 2, ∆௬=อ1 1 1
1 4 3
1 16 9อ= −6, ∆୸=อ1 1 1
1 2 4
1 4 16อ= 6.
Concluzie: Sistemul este compatibil determinat , cu soluția unică, dată de formulele
Cramer: 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆=ଶ
ଶ= 1,𝑦=∆೤
∆ =ି଺
ଶ= −3,𝑧=∆೥
∆=଺
ଶ= 3ቅ={1,−3,3}⊂𝑅ଷ.
2.2.3. Metode de rezolvare – metoda Gauss (metoda eliminării succesive)
Fie sistemul (S): ൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡=𝑏௠  de m ecuații liniare cu n
necunoscute.
Un sistem ൫𝑆’൯ de ecuații liniare este echivalent cu sistemul (S) dacă cele două sisteme au
aceeași mulțime de soluții. Scriem atunci (𝑆) ∼ ൫𝑆’൯.
Metoda lui Gauss sau metoda eliminărilor succesive connstă în a aplica sistemului (S) un
număr finit de transformări elementare, astfel încât să obținem un sistem echivalent de
tipul:

൫𝑆’൯:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧𝛼ଵଵ𝑥ଵ+𝛼ଵଶ𝑥ଶ+ … + 𝛼ଵ௡𝑥௡=𝛽ଵ
𝛼ଶଶ𝑥ଶ+ … + 𝛼ଶ௡𝑥௡=𝛽ଶ
…………………………………..
𝛼௞௞𝑥௞+⋯𝛼௞௡𝑥௡=𝛽௞
0 = 𝛽௞ାଵ
⋮
0 = 𝛽௠  (forma triunghiulară)

28
Practic, metoda lui Gauss constă în a aplica matricei extinse a sistemului , notată
𝐴ሚ=൭𝑎ଵଵ…𝑎ଵ௡
⋮ ⋱ ⋮
𝑎௠ଵ…𝑎௠௡อ𝑏ଵ
⋮
𝑏௠൱ , un număr finit de transformări elementare, astfel încât să se
obțină o matrice de tipul 𝐵=
⎝⎜⎜⎜⎜⎛αଵଵ αଵଶ … … αଵ୬
0 αଶଶ … … αଶ୬
… … … … …
0 0 a ୩୩ … α୩୬
0 0 … … 0
… … … … …
0 0 … … 0ተተβଵ
βଶ…
β୩
β୩ାଵ…
β୫⎠⎟⎟⎟⎟⎞
, unde numim transformare
elementară a unei matrice una din tranformările:
 Permutarea între ele a două linii;
 Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă;
 Adunarea unei linii înmulțite cu o constantă nenulă la o altă linie.
Din interpretarea matricei B se obțin următoarele concluzii:
Dacă ∃ 𝑝∈𝑘+1,𝑚⃐ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ , astfel încât 𝛽௣≠ 0, atunci sistemul (S) este incompatibil .
Dacă n=k și 𝛽௣= 0, ∀ 𝑝∈𝑘+1,𝑚⃐ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ, atunci sistemul (S) este compatibil determinat .
Dacă 𝑛>𝑘 și 𝛽௣= 0,∀ 𝑝∈𝑘+1,𝑚⃐ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ, atunci sistemul (S) este compatibil nedeterminat .
Exemplul1 : Să se rezolve prin metoda Gauss,sistemul:
൝𝑥+𝑦+𝑧= 3
𝑥+2𝑦−𝑧= 2
2𝑥+𝑦+𝑧= 4 
Soluție: Se înmulțește prima ecuație a sistemului cu (-1) și apoi cu (-2) și se adună la a
doua, respectiv a treia ecuație a sistemului, pentu a reduce necunoscuta x. Se adună apoi a
doua ecuație la a treia pentru a reduce pe y.
൝   𝑥+𝑦+𝑧= 3|(−1)|(−2)
𝑥+2𝑦−𝑧= 2
2𝑥+𝑦+𝑧= 4 ⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 3
𝑦−2𝑧= −1
−𝑦−𝑧= −2 ⟺൝𝑥+𝑦+𝑧= 3
𝑦−2𝑧= −1
−3 𝑧= −3 
Din ultima ecuație se obține z=1, apoi din a doua ecuație 𝑦−2∙1 = −1 ⇒ 𝑦= 1, iar din
prima ecuație 𝑥+1+1 = 3 ⇒ 𝑥= 1.
Concluzie : Sistemul este compatibil determinat, cu soluția S ={1,1,1}⊂ Rଷ.
Exemplul2 : Să se rezolve prin metoda Gauss,sistemul:
൝𝑥−2𝑦+𝑧= 0
𝑥+𝑦+2𝑧= 4
2𝑥−𝑦+3𝑧= 4

29
Soluție: Se înmulțește prima ecuație a sistemului cu (-1) și apoi cu (-2) și se adună la a
doua, respectiv a treia ecuație a sistemului, pentu a reduce necunoscuta x. Apoi se
înmulțește a doua ecuație cu (-1) și se adună la a treia, pentru a reduce pe y.
൝ 𝑥−2𝑦+𝑧= 0/(−1)/(−2)
𝑥+𝑦+2𝑧= 4
2𝑥−𝑦+3𝑧= 4   ⟺൝𝑥−2𝑦+𝑧= 0
 3𝑦+𝑧= 4|(−1)
3𝑦+𝑧= 4  ⟺൝𝑥−2𝑦+𝑧= 0
3𝑦+𝑧= 4
0⋅ 𝑧= 0 
Se observă că a treia ecuație se verifică pentru toate valorile necunoscutelor. Pentru fiecare
valoare 𝑧=𝛼∈𝑅 se poate determina o soluție (x,y,z), dată de expresiile:
𝑧=𝛼∈𝑅 , 3𝑦+𝛼= 4 ⇒𝑦=ସିఈ
ଷ, 𝑥−2ସିఈ
ଷ+𝑧= 0 ⇒𝑥=଼ିହఈ
ଷ.
Concluzie : Sistemul este compatibil simplu nedeterminat cu infinitatea de soluții:
𝑆=ቄ𝑥=଼ିହఈ
ଷ,𝑦=ସିఈ
ଷ,𝑧=𝛼/𝛼∈𝑅ቅ.
Exemplul 3 : Să se rezolve prin metoda Gauss,sistemul: ൝3𝑥−6𝑦+12𝑧= 6
−2𝑥+5𝑦−9𝑧= −7
−𝑥+3𝑦−5𝑧= −4 
Soluție: Se împarte prima ecuație prin 3,apoi se înmulțește cu 2 și se adună la a doua iar la
final, se adună la a treia. Se reduce astfel necunoscuta x. Se înmulțește a doua ecuație cu
(-1) și se adună la a treia ca să se reducă y.
൝3𝑥−6𝑦+12𝑧= 6/:3
−2𝑥+5𝑦−9𝑧= −7
−𝑥+3𝑦−5𝑧= −4  ⟺൝𝑥−2𝑦+4𝑧= 2/(2)
−2𝑥+5𝑦−9𝑧= −7
−𝑥+3𝑦−5𝑧= −4 ⟺൝𝑥−2𝑦+4𝑧= 2
𝑦−𝑧= −3
𝑦−𝑧= −2 ⟺
൝𝑥−2𝑦+4𝑧= 2
𝑦−𝑧= −3
𝑦−𝑧= −2 ⟺൝𝑥−2𝑦+4𝑧= 2
𝑦−𝑧= −3
0∙ 𝑧= 1  
Se observă că a treia ecuație s-a transformat într-o propoziție matematică mereu falsă.
Concluzie : Sistemul este incompatibil.
2.2.4. Metode de rezolvare- metoda matricii inverse
Fie sistemul ൝𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ𝑧=𝑑ଵ
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ𝑧=𝑑ଶ
𝑎ଷ𝑥+𝑏ଷ𝑦+𝑐ଷ𝑧=𝑑ଷ  , unde 𝑎௜,𝑏௜,𝑐௜,𝑑௜ ∊R , ∀𝑖∊{1,2,3}
Matricea A= ൭𝑎ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑐ଷ൱ se numește matricea atașată sistemului , X =ቆ𝑥
𝑦
𝑧ቇ este
matricea necunoscutelor ,iar B= ൭𝑑ଵ
𝑑ଶ
𝑑ଷ൱ este matricea termenilor liberi .
Atunci sistemul inițial poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale cu forma generală
AX=B.

30
Dacă det A ≠ 0, adică matricea A este inversabilă, vom nota cu 𝐴ିଵ , inversa ei, cu care se
înmulțește ecuația matriceală, la stânga, astfel:
𝐴ିଵ/AX=B ⟺ 𝐴ିଵ(𝐴𝑋)=𝐴ିଵ𝐵 și cum 𝐴ିଵ𝐴=𝐼ଷ, se obține 𝐼ଷ𝑋=𝐴ିଵ𝐵 ⟺𝑿=𝑨ି𝟏𝑩,
care conduce la găsirea necunoscutelor x , y și z.
Exemplu: Să se rezolve prin metoda matriceală sistemul:
൝3𝑥−𝑦+𝑧= 4
𝑥+𝑦−2𝑧= −2
−𝑥+𝑦+𝑧= 2 
Soluție: Matricea atașată sistemului este A= ൭3 −1 1
1 1 −2
−1 1 1൱ , X =ቆ𝑥
𝑦
𝑧ቇ este matricea
necunoscutelor,iar B= ൭4
−2
2൱ este matricea termenilor liberi.
Atunci sistemul inițial are forma ecuației matriceale: ൭3 −1 1
1 1 −2
−1 1 1൱ቆ𝑥
𝑦
𝑧ቇ =൭4
−2
2൱.
Se calculează detA=10 ≠ 0, adică matricea A este inversabilă și se înmulțește cu 𝐴ିଵ la
stânga, ca să se obțină 𝑿=𝑨ି𝟏𝑩. Nu rămâne decât să se găsească 𝐴ିଵ.
𝐴ିଵ=஺∗
ௗ௘௧஺, unde 𝐴∗este matricea adjunctă a lui A, și cum 𝐴∗=൭3 2 1
1 4 7
2 −2 4൱ ⇒
𝐴ିଵ=஺∗
ௗ௘௧஺=ଵ
ଵ଴൭3 2 1
1 4 7
2 −2 4൱ ⇒ 𝑋=ଵ
ଵ଴൭3 2 1
1 4 7
2 −2 4൱൭4
−2
2൱ =ଵ
ଵ଴൭10
10
20൱=൭1
1
2൱ ⇒
ቆ𝑥
𝑦
𝑧ቇ = ൭1
1
2൱.
Concluzie : Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (x=1,y=1,z=2).
2.2.5. Sisteme liniare omogene
Forma generală a unui sistem liniar omogen de trei ecuații cu trei necunoscute este:
൝𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ𝑧= 0
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ𝑧= 0
𝑎ଷ𝑥+𝑏ଷ𝑦+𝑐ଷ𝑧= 0  , unde 𝑎௜,𝑏௜,𝑐௜ ∊R , ∀𝑖∊{1,2,3}
Definiție: Un sistem liniar se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli.
Observație :: Un sistem liniar omogen este întotdeauna compatibil .
Fie A= ൭𝑎ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑐ଷ൱ se numește matricea atașată sistemului
 Dacă ∆=detA≠ 0, atunci sistemul este compatibil determinat .

31
Demonstrație : Se aplică sistemului, metoda Cramer:
𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆= 0,𝑦=∆೤
∆ = 0,𝑧=∆೥
∆= 0ቅ, numită și soluție banală .
 Dacă ∆=detA= 0, atunci sistemul este compatibil nedeterminat .
Exemplu: Să se rezolve și să se discute sistemul:
൝𝑎𝑥+2𝑦+2𝑧= 0
𝑎𝑥+𝑎𝑦+𝑧= 0
𝑥+𝑎𝑦+𝑧= 0 , 𝑎∈𝑅
Soluție: matricea atașată sistemului este: A= ൭𝑎2 2
𝑎 𝑎1
1𝑎1൱ , cu ∆=detA=2(𝑎−1)ଶ.
Dacă ∆=detA≠ 0 ⇒ 2 (𝑎−1)ଶ ≠ 0 ⇒𝑎≠ 1, atunci sistemul admite soluția banală
{𝑥= 0,𝑦= 0,𝑧= 0};
Dacă∆=detA= 0 ⇒(𝑎−1)ଶ = 0 ⇒𝑎= 1, atunci sistemul are forma: ൝𝑥+2𝑦+2𝑧= 0
𝑥+𝑦+𝑧= 0
𝑥+𝑦+𝑧= 0 
Se observă că ultimele două ecuații sunt identice, deci este compatibil nedeteterminat.
Atunci alegem 𝑧=𝛼∈𝑅 în primele două ecuații și se obține sistemul
echivalent: ൜𝑥+2𝑦= −2𝛼
𝑥+𝑦= −𝛼 ,căruia i se poate aplica metoda reducerii,scăzând cele două
relații ⇒𝑦= −𝛼 și 𝑥= 0.
Concluzie :
Dacă 𝑎∈𝑅−{1}, sistemul este compatibil determinat,cu soluția (0,0,0).
Dacă 𝑎= 1, sitemul admite soluții diferite de soluția banală, adică este compatibil simplu
nedeterminat, caracterizat de 𝑆={(𝑥= 0,𝑦= −𝛼,𝑧=𝛼)/𝛼∈𝑅}.
2.3. Sisteme de m ecuații cu n necunoscute
Definiția1 : Se numește ecuație liniară , orice ecuație cu forma generală
𝑎ଵ𝑥ଵ+𝑎ଶ𝑥ଶ+⋯𝑎௡𝑥௡ =b , 𝑎௜ ,b ∈𝑅 ∀𝑖∊{1,…,𝑛}.
 𝑥ଵ,𝑥ଶ,…,𝑥௡ se numesc nenunoscutele ecuației ,
 𝑎ଵ,𝑎ଶ,…,𝑎௡ se numesc coeficienții necunoscutelor ,
 𝑏 se numește termenul liber al ecuației.
Definiția 2 : Se numește soluție a ecuației liniare definită anterior, orice n- uplu de forma
(𝛼ଵ,𝛼ଶ,…,𝛼௡)⊂𝑅௡,care transformă ecuația într-o propoziție matematică adevărată, adică
are loc 𝑎ଵ𝛼ଵ+𝑎ଶ𝛼ଶ+⋯𝛼௡𝑥௡ =b.
Observația 1 : Prin a rezolva o ecuație liniară se înțelege să se determine toate soluțiile sale,
mulțimea acestor soluții fiind numită soluția generală a ecuației.

32
Definiția 3 : O mulțime finită de ecuații liniare se numește sistem de ecuații liniare .
Forma generală a unui sistem de m ecuații cu n necunoscute este:
(𝑆):൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡=𝑏௠ 
Definiția 4 : Se numește soluție a sistemului (𝑆), orice n- uplu de forma (𝛼ଵ,𝛼ଶ,…,𝛼௡)⊂
𝑅௡, care transformă fiecare ecuație din sistem în adevăr matematic.
Observația 2 : Prin a rezolva sistemul (S) se înțelege să i se găsească toate soluțiile, astfel,
au loc afirmațiile:
 Un sistem care nu are soluție se numește incompatibil .
 Un sistem care are exact o soluție se numește compatibil determinat .
 Un sistem care are mai mult de o soluție se numește compatibil nedeterminat.
În cazul în care sistemul este compatibil nedeterminat, el poate avea o infinitate simplă,
dublă,.., multiplă de ordinul r, de soluții.
Obseravția 3 : Dacă în sistemul (𝑆), alegem 𝑏௜= 0∀𝑖∊{1,…,𝑚}, atunci acesta se numește
sistem omogen asociat .
Matricea 𝐴=൭𝑎ଵଵ⋯𝑎ଵ௡
⋮ ⋱ ⋮
𝑎௠ଵ⋯𝑎௠௡൱∈ ℳ௠,௡(ℝ) , formată din coeficienții sistemului, se
numește matricea asociată sistemului.
Matricile 𝑋=൭𝑥ଵ
⋮
𝑥௡൱∈ ℳ௡,ଵ(ℝ) și 𝑋=൭𝑏ଵ
⋮
𝑏௠൱∈ ℳ௠,ଵ(ℝ) se numesc coloana
necunoscutelor , respectiv coloana termenilor liberi .
Obseravția 4 : Sistemul (𝑆) poate fi pus sub forma ecuației matriceale 𝐴𝑋=𝐵.
2.3.1. Forma cvasitriunghiulară a unui sistem
Definiție: Două sisteme se numesc echivalente dacă ambele sunt incompatibile, sau ambele
sunt compatibile cu aceleași soluții.
Teroremă : Două sisteme sunt echivalente dacă unul din ele se obține din celălalt prin
aplicarea unui număr finit de transformări elementare, despre care s-a vorbit în prezentarea
metodei Gauss.
Observație : Prin aplicarea repetată a transformărilor elementare , se trece de la un sistem
liniar dat, la un alt sistem liniar mai simplu, ce conduce la analiza compatibilității celui
inițial.

33
Se prezintă acum reducerea sistemului (𝑆) la forma cvasitriunghiulară sau
trapezoidală, formă care va permite ulterior să i studieze cu ușurință, compatibilitatea.
Fie sistemul (𝑆):൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡=𝑏௠ 
Atunci există cel puțin un coeficient 𝑎௜ଵ≠ 0, ∀ 𝑖∈ 1,𝑚തതതതതത. Dacă 𝑎ଵଵ= 0, se permută prima
ecuație cu cea de ordin i, pentru care 𝑎௜ଵ≠ 0. Acum coeficientul necunoscutei 𝑥ଵ din
prima ecuație este nenul,și se notează cu 𝑎ଵଵ,.
În continuare se scade din ecuațiile a doua, a treia, …, a m-a a noului sistem, prima
ecuație înmulțită cu rapoartele ௔మభ
௔భభ,,௔యభ
௔భభ,,…,௔೘భ
௔భభ, , pentru a se obține un sistem în care
necunoscuta 𝑥ଵ apare doar în prima ecuație. În urma acestor transformări elementare, se
poate întâmpla ca necunoscuta 𝑥ଶ să nu apară începând cu a doua ecuație și până la ultima.
Dacă 𝑥௞ este necunoscuta cu indicele minim, care apare într-o ecuație diferită de prima,
atunci sistemul (S) este echivalent cu:
൞ 𝑎ଵଵ,𝑥ଵ+⋯⋯⋯⋯+ 𝑎ଵ௡,𝑥௡=𝑏ଵ ,
𝑎ଶ௞,𝑥௞+⋯+𝑎ଶ௡,𝑥௡=𝑏ଶ,
………………………………
𝑎௠௞,𝑥௞+⋯+𝑎௠௡,𝑥௡=𝑏௠, 𝑘> 1,𝑎ଵଵ,≠ 0.
Se aplică acum ecuațiilor diferite de prima, raționamente ca cele de mai sus.
După un număr finit de transformări elementare , sistemul (S) ia forma:
⎩⎪⎨⎪⎧aଵଵ,,xଵ+⋯⋯⋯⋯+aଵ୬,,x୬= bଵ ,,
aଶ୩,,x୩+⋯+aଶ୬,,x୬= bଶ,,
aଷ୪,,x୪+⋯aଷ୬,,x୬= bଷ,,
………………………………
a୫୪,,x୪+⋯+a ୫୬,,x୬= b୫,, l >𝑘> 1,aଵଵ,,≠ 0,aଶ୩,,≠ 0,aଵ୨,,= aଵ୨,,bଵ ,,=𝑏ଵ ,
Se repetă algoritmul atât cât este posibil, deoarece trebuie să ne oprim când devin nuli nu
numai coeficienții necunoscutei următoare ( 𝑥௦), dar de asemenea coeficienții tuturor
necunoscutelor de indice t, 𝑠<𝑡≤𝑛.
Într-un final sistemul (S) devine ( 𝑆̅):
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧aଵଵതതതതxଵ+⋯⋯⋯⋯+a ଵ୬തതതതx୬= bଵതതത
aଶ୩തതതതx୩+⋯+a ଶ୬തതതതx୬= bଶതതത
aଷ୪തതതതx୪+⋯aଷ୬തതതതx୬= bଷതതത
…………………………
a ୰ୱതതതതxୱ+⋯+a ୰୬തതതതx୬= b୰ഥ
0 = b ୰ାଵതതതതതത
…
0 = b ୫തതതത ,aଵଵതതതത∙aଶ୩തതതത∙ aଷ୪തതതത∙⋯∙ a ୰ୱതതതത≠ 0,1 < 𝑘<𝑙<𝑠.

34
Observație: Dacă 𝑟=𝑚 , atunci ecuațiile de forma 0 = bనഥ nu for fi prezente în ( 𝑆̅).
Definiție: Sistemul (𝑆ഥ) se numește forma cvasitriunghiulară a sistemului inițial (S).
Teoremă : Orice sistem liniar este echivalent cu un sistem de forma cvasitriunghiulară.
2.3.2. Discuția unui sistem de ecuații liniare
După cum am spus și în subcapitolul anterior, forma cvasitriunghiulară a unui sistem ne
ajută să vorbim despre compatibilitatea , respectiv determinarea soluțiilor acestuia.
a) Compatibilitatea unui sistem
1.Dacă sistemul ( 𝑆̅) conține o ecuație de forma 0 = bనഥ cu bనഥ≠ 0, atunci acesta este
incompatibil .(demonstrație evidentă)
2.Dacă sistemul ( 𝑆̅) nu conține ecuații de forma 0 = bనഥ cu bనഥ≠ 0, atunci acesta este
compatibil .
Demonstrație :
Fie 0 = bనഥ, ∀𝑖>𝑟. Necunoscutele xଵ, x୩, x୪,…, xୱ, care apar la începutul primei,
celei de-a doua, celei de-a treia, și respectiv celei de-a r-a ecuație,se numesc necunoscute
principale , pe când necunoscutele (dacă există) 𝑥௦ାଵ, ,…, x୬ se numesc necunoscute
secundare .
Dacă se dă necunoscutelor secundare valori arbitrare și se introduc în sistemul ( 𝑆̅),
atunci în ecuația de ordin r , se obține 𝑎xୱ= b,cu a = a ୰ୱതതതത≠ 0 care admite soluție unică.
Valoarea necunoscutei xୱ se înlocuiește în toate ecuațiile de ordin ≤𝑟−1. În final se
observă că toate necunoscutele principale sunt exprimate unic în funcție de valorile
arbitrare ale necunoscutelor secundare.
Teoremă: Un sistem liniar este compatibil, dacă și numai dacă, după reducerea sa la
forma cvasitriunghiulară, acesta nu conține ecuații de forma 𝟎=𝐛଍ഥ cu 𝐛଍ഥ≠𝟎.
b) Determinarea soluțiilor
Metoda de rezolvare idicată este metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive a
necunoscutelor, prezentată în subcapitolul 2.2.3.
Observație : Dacă sistemul ( 𝑆̅) nu conține necunoscute secundare, atunci se numește
compatibil determinat , deoarece necunoscutele principale se pot exprima în mod
unic,altfel se numește compatibil nedeterminat .
Teoremă: Un sistem liniar este compatibil determinat dacă și numai dacă are loc r=n
în forma sa cvasitriunghiulară ( 𝑺ഥ). (condiția r=n duce la absența necunoscutelor
secundare).

35
Observație : Dacă în sistemul (S), numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute
(m=n), atunci forma sa cvasitriunghiulară este:
⎩⎪⎨⎪⎧aଵଵതതതതxଵ+aଵଶ തതതതതxଶ⋯⋯+a ଵ୬തതതതx୬= bଵതതത
aଶଶതതതതxଶ+⋯+a ଶ୬തതതതx୬= bଶതതത
aଷଷതതതതxଷ+⋯aଷ୬തതതതx୬= bଷതതത
…………………………
a ୬୬തതതതതx୬= b୬തതത , 𝑎௜௜≠ 0 ∀𝑖∈ 1,𝑛തതതതത
Corolar: În cazul m=n, sistemul liniar (S) este compatibil determinat dacă și numai
dacă are loc în forma sa triunghiulară, relația aଵଵതതതതത∙aଶଶതതതത∙ aଷଷതതതത∙⋯∙a୬୬തതതതത≠0. În particular
sistemul liniar omogen asociat nu admite decât soluția banală.
Observație : Dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute (𝑚<𝑛),
are loc următorul corolar:
Corolar: Dacă 𝒎<𝑛, atunci sistemul compatibil (S) este nedeterminat. În particular,
se spune că sistemul amogen asociat admite întotdeauna o soluție nenulă.
Ex1: Să se rezolve sistemul (în care numărul de necunoscute este mai mare ca numărul de
ecuații):
൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0
2𝑥ଵ−3𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+𝑥ଷ−2𝑥ସ= −6 
Soluție: Se folosește metoda Gauss,eliminând inițial necunoscuta 𝑥ଵ din a doua ecuație.
൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0 /∙(−2)
2𝑥ଵ−3𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+𝑥ଷ−2𝑥ସ= −6 ⟺൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0
𝑥ଶ−𝑥ଷ+2𝑥ସ= 6/∙(−1)
𝑥ଶ+𝑥ଷ−2𝑥ସ= −6  
⟺൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0
𝑥ଶ−𝑥ଷ+2𝑥ସ= 6
2 𝑥ଷ−4𝑥ସ= −12 /: (2) ⟺൝ 𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0
𝑥ଶ−𝑥ଷ+2𝑥ସ= 6
𝑥ଷ−2𝑥ସ= −6 
În ultima ecuație se alege 𝑥ସ=𝛼∈𝑅⇒𝑥ଷ= 2𝛼−6 ⇒𝑥ଶ= 0 ⇒𝑥ଵ= 6−𝛼.
Se spune că 𝑥ସ este necunoscută secundară, iar 𝑥ଵ,𝑥ଶ,𝑥ଷ sunt necunoscute principale.
Concluzie : Sistemul este compatibil simplu nedeterminat cu soluția generală:
{(6−𝛼,0,2𝛼−6,𝛼)/𝛼∈𝑅}.
Ex2: Să se rezolve sistemul (în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de
ecuații):
൞𝑥ଵ+2𝑥ଶ+3𝑥ଷ+4𝑥ସ= 1
2𝑥ଵ+3𝑥ଶ+4𝑥ଷ+5𝑥ସ= 1
3𝑥ଵ+4𝑥ଶ+5𝑥ଷ+6𝑥ସ= 1
4𝑥ଵ+5𝑥ଶ+6𝑥ଷ+7𝑥ସ= 1

36
Soluție: Se înmulțește prima ecuație cu −2,−3,−4 și se adună la a doua, a treia, respectiv
a patra ecuație pentru a elimina necunoscuta 𝑥ଵ. Sistemul devine:
⎩⎨⎧𝑥ଵ+2𝑥ଶ+3𝑥ଷ+4𝑥ସ= 1
−𝑥ଶ−2𝑥ଷ−3𝑥ସ= −1/∙(−1)
−2𝑥ଶ−4𝑥ଷ−6𝑥ସ= −2/:(−2)
−3 𝑥ଶ−6𝑥ଷ−9𝑥ସ= −3/:(−3) ⟺൞𝑥ଵ+2𝑥ଶ+3𝑥ଷ+4𝑥ସ= 1
𝑥ଶ+2𝑥ଷ+3𝑥ସ= 1
𝑥ଶ+2𝑥ଷ+3𝑥ସ= 1
𝑥ଶ+2𝑥ଷ+3𝑥ସ= 1  
Se observă că sistemul are ultimele trei ecuații identice, deci se rezumă doar la:
൜𝑥ଵ+2𝑥ଶ+3𝑥ଷ+4𝑥ସ= 1
𝑥ଶ+2𝑥ଷ+3𝑥ସ= 1 . Se alege acum în a doua ecuație xଷ=α∈ R și xସ=β∈ R
ca necunoscute secundare , iar 𝑥ଵ,𝑥ଶ sunt necunoscute principale. Atunci 𝑥ଶ= 1−2𝛼−
3𝛽⇒𝑥ଵ=𝛼+2𝛽−1.
Concluzie : Sistemul este compatibil dublu nedeterminat cu soluția generală:
{(𝛼+2𝛽−1,1−2 𝛼−3𝛽,𝛼,𝛽)/𝛼,𝛽∈𝑅}
Ex3: Să se rezolve sistemul (în care numărul de necunoscute este mai mic decât numărul
de ecuații):
൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
2𝑥ଵ+𝑥ଶ−𝑥ଷ= 0
4𝑥ଵ−𝑥ଶ+2𝑥ଷ= 8
−𝑥ଵ+𝑥ଶ+2𝑥ଷ= 7 ⟺൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
−𝑥ଶ−3𝑥ଷ= −12
−5𝑥ଶ−2𝑥ଷ= −16
2𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 13 ⟺൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 12
−5𝑥ଶ−2𝑥ଷ= −16
2𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 13 ⟺
൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 12
−5𝑥ଶ−2𝑥ଷ= −16
2𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 13 ⟺൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 12
−5𝑥ଶ−2𝑥ଷ= −16
2𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 13 ⟺൞𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ= 6
𝑥ଶ+3𝑥ଷ= 12
13 𝑥ଷ= 44
−3 𝑥ଷ= −11 
Din a treia ecuație se obține 𝑥ଷ=ସସ
ଵଷ , care nu verifică a patra ecuație a sistemului.
Concluzie : Sistemul este incompatibil.
Ex4: Să se discute în funcție de valorile reale ale parametrului m, compatibilitatea
sistemului:
൝𝑥+4𝑦= 10
3𝑥−2𝑦= −12
5𝑥+3𝑦=𝑚 
Soluție: Se rezolvă prin metoda reducerii sistemul format doar din primele două ecuații.
൜𝑥+4𝑦= 10 /∙(−3)
3𝑥−2𝑦= −12  ⟺൜𝑥+4𝑦= 10
−14𝑦= −42 ⟺൜𝑥+4𝑦= 10
𝑦= 3 ⟺൜𝑥= −2
𝑦= 3 
Perechea (𝑥= −2,𝑦= 3) este soluție și pentru sistemul inițial dacă verifică a treia
ecuație, adică 5(−2)+3∙3 = 𝑚⇒𝑚= −1.
Concluzie : Dacă 𝑚= −1 sistemul este compatibil determinat cu soluția (𝑥= −2,𝑦= 3);
Dacă 𝑚≠ −1 sistemul este incompatibil.

37
2.3.3. Rangul unei matrici
Fie matricea 𝐴∈ ℳ௠,௡(ℝ).
Definiție : Se numește minor de ordin k al matricii A, determinantul matricii extrase din A,
ale cărui elemente se găsesc la intersecția a k coloane diferite și k linii diferite.
Observație : 𝑘≤ min (𝑚,𝑛).
Exemplu: dacă A= ൭3 −1 1
1 1 −2
−1 1 1൱ℳଷ(ℝ), atunci minorul de ordin doi cu elemente
din liniile 1 și 2 și coloanele 2 și 3 este ቚ−1 1
1 −2ቚ=(−1)∙(−2)−1∙1 = 1 .
Propoziție : Fie matricea 𝐴∈ ℳ௠,௡(ℝ) și 𝑘∈ ℕ 𝑐𝑢 𝑘< min (𝑚,𝑛). Dacă toți minorii de
ordin k ai matricii A sunt nuli, atunci toți minorii de ordin 𝑘+1 ai lui A sunt tot nuli.
Demonstrație : Dacă se dezvoltă un determinant de ordin 𝑘+1 după elementele unei linii,
atunci termenii dezvoltării conțin ca factor un determinant de ordin k, care este nul.
Deci, dacă toți minorii de ordin k sunt nuli, atunci toți minorii de ordin superior sunt nuli.
Definiție: Rangul matricii A, notat rang(A) este dat de cel mai mare dintre ordinele
minorilor nenuli din mtricea A.
Observație : rang(𝑂௠,௡)=0.
Algoritm pentru aflarea rangului unei matrice A:
 Se alege un minor nenul de ordin întâi al matricii A;
 Se completează minorul ales cu o linie și o coloană diferite de cele cărora le
aparține acesta și se formează minori de ordin doi, până găsim unul nenul;
 Se alege un minor nenul de ordin doi care se completează cu o limie și o coloană
diferite de cele care apar în componența minorului de ordin doi ales, formându-se
minori de ordin trei până se găsește unul diferit de zero.
 Se continuă raționamentul până se găsește un minor nenul de ordin k, pentru care
toți minorii de ordin 𝑘+1 sunt nuli.
 Conform propoziției de mai sus, rang(A)=k.
Procedeul prin care se trece de la un minor de ordin r, la altul de ordin 𝑟+1, obținut prin
adăugarea unei linii, respectiv coloane, se numește bordare.
Ex1:Să se găsească rangul matricii:
𝐴=൮1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7൲∈ ℳସ(ℝ)

38
Soluție: Se alege ca minor nenul de ordin întâi pe 𝑎ଵଵ= 1 ≠ 0 care se bordează cu
elementele din liniile 2,3 sau 4 și coloanele 2,3 sau 4. Dacă se bordează cu elemente din
linia a doua și coloana a doua, se obține minorul de ordin doi:
ቚ1 2
2 3ቚ= 3−4 = −1 ≠ 0
Pentru obținerea minorilor de ordin trei, se bordează minorul anterior cu elemente de pe
liniile 3 sau 4 și coloanele 3 sau 4. Aceștia sunt:
อ1 2 3
2 3 4
3 4 5อ=อ1 2 4
2 3 5
3 4 6อ=อ1 2 3
2 3 4
4 5 6อ=อ1 2 4
2 3 5
4 5 7อ= 0
Concluzie : Cum toți minorii de ordinul trei sunt nuli ⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2.
Ex2:Fie matricea 𝐴=൭2 −3 4 −5 −1
1 9 𝑚−1 3
5 −6 10 𝑛 𝑝൱∈ ℳଷ,ହ(ℝ). Să se afle 𝑚,𝑛,𝑝∈ ℝ dacă
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2.
Soluție: Se alege ca minor nenul de ordin întâi pe 𝑎ଵଵ= 2 ≠ 0 care se poate borda cu
elemente din linia a doua și coloana a doua, obținând minorul de ordin doi:
ቚ1 −3
1 9ቚ= 9+3 = 12 ≠ 0
Prin urmare 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2, dacă și numai dacă toți minorii de ordin trei sunt nuli ⇒
อ2 −3 4
1 9 𝑚
5 −6 10อ=อ2 −3 −5
1 9 −1
5 −6 𝑛อ=อ2 −3 −1
1 9 3
5 −6 𝑝อ= 0 ⇒𝑚= 2,𝑛= −଼଺
଻,𝑝= −2.
Ex.3: Să se afle parametrul real m, astfel încât matricea A are rangul 3, ∀𝑥∈ ℝ.
A= ൭𝑥3 1
𝑚 𝑥 𝑥
𝑚2 1൱ℳଷ(ℝ)
Soluție: 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 3 ⟺ det (𝐴)≠ 0 ∀𝑥∈ ℝ ⟺𝑥ଶ−2𝑚𝑥+𝑚≠ 0 ∀𝑥∈ ℝ ⟺ ∆<
0 ⟺ 4𝑚ଶ−4𝑚< 0 ⟺𝑚∈ (0,1).
Ex.4: Să se discute rangul matricii A, după valorile parametrului real 𝑚.
𝐴=൭1 −1 1 1
1𝑚ଶ−𝑚+1𝑚+1 2
2𝑚ଶ−𝑚−2 2(𝑚+1) 3൱∈ ℳଷ,ସ(ℝ)
Soluție: Cum ቚ1 1
1 2ቚ≠ 0 ⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)∈{2,3}. Se studiază acum minorul de ordin trei:
อ1 −1 1
1𝑚ଶ−𝑚+1𝑚+1
2𝑚ଶ−𝑚−2 2(𝑚+1)อ=อ1 0 0
1𝑚ଶ−𝑚+2𝑚
2𝑚ଶ−𝑚2𝑚อ=𝑚∙ቚ𝑚ଶ−𝑚+2 1
𝑚ଶ−𝑚2ቚ=
=𝑚(𝑚ଶ−𝑚+2).

39
Dar 𝑚ଶ−𝑚+2 > 0 ∀ 𝑚∈ ℝ pentru că are ∆< 0 ⇒ 𝑚(𝑚ଶ−𝑚+2)=0⇔𝑚= 0.
Pentru 𝑚= 0:
𝐴=൭1 −1 1 1
1 1 1 2
2 −2 2 3൱∈ ℳଷ,ସ(ℝ) și cum minorul de ordin trei อ1 −1 1
1 1 2
2 −2 3อ≠ 0 , este
suficientă concluzia că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 3 ∀ 𝑚∈ ℝ.
Ex.5: Fie matricea 𝐴=൭4 8 12
5 10 15
6 12 18൱∈ ℳଷ(ℝ). Să se demonstreze că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴௡)=
1 ∀ 𝑛∈ ℕ∗.
Soluție: Se calculează 𝐴ଶ=𝐴∙𝐴=൭128 256 384
160 320 480
192 384 576൱= 32൭4 8 12
5 10 15
6 12 18൱= 32𝐴
Tot prin calcul se obține că 𝐴ଷ= 32ଶ∙𝐴.
Rămâne de demonstrat prin inducție matematică că 𝐴௡= 32௡ିଵ𝐴 ,∀ 𝑛∈ ℕ∗.
Fie propoziția matematică 𝑃(𝑛): 𝐴௡= 32௡ିଵ𝐴 ,∀ 𝑛∈ ℕ∗.
Etapa verificării a fost studiată anterior.
Etapa demonstației: 𝑃(𝑘) ⟶𝑃(𝑘+1)
Se presupune că are loc 𝑃(𝑘): 𝐴௞= 32௞ିଵ𝐴 și se demonstrează că
𝑃(𝑘+1): 𝐴௞ାଵ= 32௞𝐴
𝐴௞ାଵ=𝐴௞𝐴=(32௞ିଵ𝐴)∙𝐴= 32௞ିଵ∙𝐴ଶ= 32௞ିଵ∙(32𝐴)= 32௞𝐴.
Conform pricipiului inducției matematice : 𝑃(𝑛): 𝐴௡= 32௡ିଵ𝐴 ,∀ 𝑛∈ ℕ∗este adevărată.
⇒𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴௡) =𝑟𝑎𝑛𝑔(32௡ିଵ𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴).
Se studiază acum 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴), unde 𝐴=൭4 8 12
5 10 15
6 12 18൱∈ ℳଷ(ℝ).
Se alege ca minor nenul de ordin întâi pe 𝑎ଵଵ= 4 ≠ 0, după care se bordează. Se observă
că toți minorii de ordin doi sunt nuli ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 1.
Concluzie : 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴௡)= 1 ∀ 𝑛∈ ℕ∗.
2.3.4. Teorema Kronecker – Capelli
Se revine la sistemul (𝑆):൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡=𝑏௠ cu forma sa
cvasitriunghiulară ( 𝑆̅):

40
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧aଵଵതതതതxଵ+⋯⋯⋯⋯+a ଵ୬തതതതx୬= bଵതതത
aଶ୩തതതതx୩+⋯+a ଶ୬തതതതx୬= bଶതതത
aଷ୪തതതതx୪+⋯aଷ୬തതതതx୬= bଷതതത
…………………………
a ୰ୱതതതതxୱ+⋯+a ୰୬തതതതx୬= b୰ഥ
0 = b ୰ାଵതതതതതത
…
0 = b ୫തതതത ,aଵଵതതതത∙aଶ୩തതതത∙ aଷ୪തതതത∙⋯∙ a୰ୱതതതത≠ 0,1 < 𝑘<𝑙< ⋯ <𝑠.
Observăm că determinantul ተ aଵଵതതതതaଵ୩തതതത⋯ aଵୱതതതത
0 aଶ୩തതതത⋯ aଶୱതതതത
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋯ a ୰ୱതതതതተ=aଵଵതതതത∙aଶ୩തതതത∙ aଷ୪തതതത∙⋯∙ a ୰ୱതതതത≠ 0.
Atunci numărul de necunoscute principale ale sistemului (S), coincide cu numărul de linii
nenule ale matricii asociate sistemului ( 𝑆̅), și coincide cu rangul matricii A, asociate
sistemului (S).
Cu acestă interpretare dată pentru rangul unei matrici, se poate prezenta un nou criteriu
pentru compatibilitatea sistemului (S).
Teorema Kronecker – Capelli: sistemul liniar (S) este compatibil dacă și numai dacă
rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii extinse.
Demonstrație: Fie A matricea atașată sistemului și 𝐴̅ matricea extinsă. Atunci :
𝐴=൭𝑎ଵଵ⋯𝑎ଵ௡
⋮ ⋱ ⋮
𝑎௠ଵ⋯𝑎௠௡൱∈ ℳ௠,௡(ℝ) și 𝐴̅=൭𝑎ଵଵ⋯𝑎ଵ௡𝑏ଵ
⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑎௠ଵ⋯𝑎௠௡𝑏௠൱∈ ℳ௠,௡ାଵ(ℝ)
″ ⇒ ″ : se presupune că sistemul este compatibil. Atunci există 𝑛 numere: 𝑥ଵ଴ ,𝑥ଶ଴ ,…,𝑥௡଴
care satisfac condițiile:
𝑎ଵଵ𝑥ଵ଴ +𝑎ଵଶ𝑥ଶ଴ +⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡଴ =𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ଴ +𝑎ଶଶ𝑥ଶ଴ +⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡଴ =𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௠ଵ𝑥ଵ଴ +𝑎௠ଶ𝑥ଶ଴ +⋯+𝑎௠௡𝑥௡଴ =𝑏௠(C)
Relațiile (C) arată că elementele din coloana termenilor liberi sunt o combinație liniară de
coloanele matricii A. Prin urmare matricea 𝐴̅ are același rang cu matricea A.
″ ⇐ ″: se presupune că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)=𝑝. Atunci, în matricea A și deci în
matricea 𝐴̅, există p coloane liniar independente, celelalte fiind liniar dependente. În acest
caz coloana termenilor liberi, este o combinație liniară a celor p coloane din matricea A.
De asemenea, și celelalte 𝑛−𝑝 coloane ale matricii A, sunt o combinație liniară de acele p
coloane.

41
Deci, coloana termenilor liberi este combinație liniară a tuturor celor 𝑛 coloane din A.
Rezultă că există 𝑛 numere: 𝑥ଵ଴ ,𝑥ଶ଴ ,…,𝑥௡଴ care satisfac condițiile (C), și deci sistemul (S)
este compatibil.
Observație : Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑝,𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)=𝑞 ș𝑖 𝑛=numărul de necunoscute, atunci
această teoremă permite să se stabilească natura unui sistem liniar, folosind schema de mai
jos:

Relații între 𝑝,𝑞,𝑛 Natura sistemului Număr de soluții
𝑝=𝑞=𝑛 Compatibil determinat 1
𝑝=𝑞<𝑛 Compatibil nedeterminat ∞௡ି௣
𝑝<𝑞 Incompatibil 0

2.3.5. Teorema Rouché: Sistemul liniar (S) este compatibil dacă și numai dacă toți
minorii caracteristici sunt nuli .
Se presupune că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑝. Atunci există cel puțin un minor nenul de ordin p, numit
determinant principal , notat ∆௣. Dacă acesta este alcătuit din primele 𝑝 linii și primele
𝑝 coloane, va avea forma:
∆௣=อ𝑎ଵଵ⋯𝑎ଵ௣
⋮ … ⋮
𝑎௣ଵ⋯𝑎௣௣อ≠ 0
Sistemul (S) este comptibil dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)=𝑝, adică orice minor al
matricii 𝐴̅ care îl conține pe cel principal și care nu este minor al lui A este nul. Orice astfel
de minor de ordin 𝑝+1, se numește minor caracteristic .
Observație: Dacă cel puțin un minor caracteristic este nenul, atunci sistemul este
incompatibil.
Determinarea soluțiilor , în cazul compatibilității:
Necunoscutele care apar în determinantul principal, se numesc necunoscute principale
(𝑥ଵ,𝑥ଶ,…,𝑥௣), pe când celelalte necunoscute ( 𝑥௣ାଵ,𝑥௣ାଶ,…,𝑥௡), dacă există, se numesc
necunoscute secundare . De asemenea, ecuațiile cu coeficinți în ∆௣ se numesc ecuații
principale , iar celelalte, dacă există, se numesc ecuații secundare .
Se va rezolva doar sistemul format din ecuațiile principale:
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
…………………………………..
𝑎௣ଵ𝑥ଵ+𝑎௣ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௣௡𝑥௡=𝑏௣  (P)

42
Observație: Soluțiile sistemului de mai sus sunt și soluții ale sistemului (S).
Dacă 𝑝=𝑛, atunci sistemul (P) are numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute, iar
ca metodă de rezolvare este indicată metoda lui Cramer, prezentată în subcapitolul 2.2.2.
Dacă 𝑝<𝑛, atunci în ecuațiile principale se notează 𝑥௣ାଵ=𝛼௣ାଵ,…,𝑥௡=𝛼௡, unde
𝛼௞∈ ℝ , după care se rezolvă noul sistem format .
Ex.1: Să se rezolve sistemul:
൝𝑥−2𝑦+3𝑧= 4
−2𝑥+3𝑦−4𝑧= −5
3𝑥−4𝑦+5𝑧= 6 
Matricea atașată este 𝐴=൭1 −2 3
−2 3 −4
3 −4 5൱, iar 𝐴̅=൭1 −2 3 4
−2 3 −4 −5
3 −4 5 6൱
Cum det(𝐴)= 0, se alege ca minor principal ∆௣=ቚ1 −2
−2 3ቚ= −1 ≠ 0 . Atunci
necunoscutele principale sunt x și y, iar necunoscuta secundară este z. Ecuațiile principale
sunt primele două, iar secundară este a treia. Sistemul este compatibil, dacă determinantul
caracteristic de mai jos, este nul:
อ1 −2 4
−2 3 −5
3 −4 6อ= 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 2 < 3 ( 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )
Notăm 𝑧=𝛼∈ ℝ și se înlocuiește în ecuațiile principale care conduc la rezolvarea
sistemului:
൜𝑥−2𝑦= 4−3𝛼
−2𝑥+3𝑦= −5+4 𝛼 ⇔൜2𝑥−4𝑦= 8−6𝛼
−2𝑥+3𝑦= −5+4 𝛼 ⇔൜2𝑥−4𝑦= 8−6𝛼
𝑦= 2𝛼−3 
⇔൜𝑥=𝛼−2
𝑦= 2𝛼−3 
Concluzie: Sistemul este compatibil simplu nedeterminat cu soluțiile:
{(𝑥=𝛼−2,𝑦= 2𝛼−3,𝑧=𝛼)/𝛼∈ ℝ}
Ex.2: Să se rezolve sistemul:
൞𝑥−𝑦+3𝑧+𝑡= −4
3𝑥+𝑦−𝑧+2𝑡= 13
2𝑥+2𝑦−4𝑧+𝑡= 17
4𝑥+2𝑧+3𝑡= 9  cu matricea atașată 𝐴=൮1 −1 3 1
3 1 −1 2
2 2 −4 1
4 0 2 3൲
Soluție: det(𝐴)=ተ1 −1 3 1
3 1 −1 2
2 2 −4 1
4 0 2 3ተ=ተ1 0 0 0
3 4 −10 −1
2 4 −10 −1
4 4 −10 −1ተ=(−1)ଶ∙อ4 −10 −1
4 −10 −1
4 −10 −1อ=0

43
Trebuiesc calculați toți determinanții de ordin 3 ce se pot forma cu liniile și coloanele lui
det(𝐴), care sunt în număr de 𝐶ସଷ∙𝐶ସଷ=(𝐶ସଵ)ଶ=16. Deoarece liniile 3 și 4 sunt combinații
liniare între primele două, toți acești determinanți de ordin 3 sunt nuli.
Atunci, se alege ca determinant principal ∆௣=ቚ1 −1
3 1ቚ= 4 ≠ 0. Se verifică acum dacă
toți minorii caracteristici ce se pot forma sunt nuli.
อ1 −1 −4
3 1 13
2 2 17อ=อ1 0 0
3 4 25
2 4 25อ= 0 și อ1 −1 −4
3 1 13
4 0 9อ=อ1 0 0
3 4 25
4 4 25อ= 0
Prin urmare, se obține 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 2 < 4 ( 𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )
Concluzie : Sistemul este compatibil dublu nedeterminat, cu ∞ଶ soluții.
Necunoscutele principale sunt 𝑥 ș𝑖 𝑦,iar necunoscutele secundare, 𝑧=𝛼∈ ℝ ,𝑡=𝛽∈ ℝ.
Se rezolvă noul sistem format din ecuațiile principale:
൜𝑥−𝑦+3𝛼+𝛽= −4
3𝑥+𝑦−𝛼+2𝛽= 13 ⇔൜𝑥−𝑦= −4−3 𝛼−𝛽
3𝑥+𝑦= 13+𝛼−2𝛽 ⇔൜𝑥−𝑦= −4−3 𝛼−𝛽
4𝑥= 9−2𝛼−3𝛽 ⇒
𝑥=ଽିଶఈିଷఉ
ସ, 𝑦=ଶହାଵ଴ఈାఉ
ସ,𝑧=𝛼,𝑡=𝛽, unde 𝛼,𝛽∈ ℝ.
Ex3: Să se rezolve sistemul:
൞𝑥+𝑦−3𝑧= 1
2𝑥+𝑦−2𝑧= 1
𝑥+𝑦+𝑧= 3
𝑥+2𝑦−3𝑧= 1  𝐴=൮1 1 −3
2 1 −2
1 1 1
1 2 −3൲ 𝐴̅=൮1 1 −3 1
2 1 −2 1
1 1 1 3
1 2 −3 1൲
Cum อ1 1 −3
2 1 −2
1 1 1อ= −4 ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 3. Ca sistemul să fie compatibil trebuie ca și
rangul matricii extinse să fie tot 3. (Teorema Kronecker – Capelli). Se calculează det (𝐴̅).
det (𝐴̅)= ተ1 1 −3 1
2 1 −2 1
1 1 1 3
1 2 −3 1ተ=ተ1 0 0 0
2 −1 4 −1
1 0 4 2
1 1 0 0ተ=(−1)ଶ อ−1 4 −1
0 4 2
1 0 0อ= 12 ≠ 0
Deci 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 4. Am obținut 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)≠𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)⇒ sistemul este incompatibil.
Ex4: Să se discute și în caz de compatibilitate să se rezolve sistemul:
ቐ𝑥+𝑚(𝑦+𝑧)= 1
𝑦+𝑚(𝑧+𝑥)= 1
𝑧+𝑚(𝑥+𝑦)=𝑛  , 𝑚,𝑛∈ ℝ 𝐴=൭1𝑚 𝑚
𝑚1𝑚
𝑚 𝑚 1൱ 𝐴̅=൭1𝑚 𝑚1
𝑚1𝑚1
𝑚 𝑚 1𝑛൱
det(𝐴)=อ1𝑚 𝑚
𝑚1𝑚
𝑚 𝑚 1อ=อ2𝑚+1 2𝑚+1 2𝑚+1
𝑚 1 𝑚
𝑚 𝑚 1อ=(2𝑚+1)อ1 1 1
𝑚1𝑚
𝑚 𝑚 1อ=
=(2𝑚+1)∙(𝑚ଶ−2𝑚+1)=(2𝑚+1)(𝑚−1)ଶ.

44
Se vor pune în discuție cazurile:
 𝑚=𝑛= 1
În acest caz, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 1 < 3 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )⇒ sistemul este
compatibil dublu nedeterminat . Minorul principal este ∆௣= 1, necunoscuta principală este
𝑥, iar 𝑦=𝛼 ș𝑖 𝑧=𝛽 sunt necunoscutele secundare.
Din ecuația principală avem 𝑥= 1−𝛼−𝛽.
Sistemul admite ∞ଶ soluții cu forma generală {(𝑥= 1−𝛼−𝛽,𝑦=𝛼,𝑧=𝛽)/𝛼,𝛽∈ ℝ}.
 𝑚= 1 ș𝑖 𝑛≠ 1
În acest caz 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 1 ș𝑖 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)≠ 1 ⇒ sistemul este incompatibil.
Dacă 𝑚= −ଵ
ଶ avem 𝐴=
⎝⎜⎛1 −ଵ
ଶ −ଵ
ଶ
−ଵ
ଶ 1 −ଵ
ଶ
−ଵ
ଶ −ଵ
ଶ 1⎠⎟⎞ cu 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2
Ca sistemul să fie compatibil, trebuie ca toți minorii caracteristici să fie nuli ⇒
ተተ1 −1
2 1
−1
2 1 1
−1
2 −1
2 𝑛ተተ
= 0 ⇒ተተ0 0 𝑛+2
−1
2 1 1
−1
2 −1
2 𝑛ተተ= 0 ⇒(𝑛+2)∙൬1
4+1
2൰= 0 ⇒𝑛= −2
 𝑚= −ଵ
ଶ ș𝑖 𝑛= −2
În acest caz avem 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 2 < 3 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )⇒ sistemul
este compatibil simplu nedeterminat .

Minorul principal este ∆௣=ቮ1 −ଵ
ଶ
−ଵ
ଶ1ቮ≠ 0, necunoscutele principale sunt 𝑥 ș𝑖 𝑦, iar 𝑧=𝛼
este secundară.
Rezolvăm sistemul ቐିଵ
ଶ𝑥+𝑦−ఈ
ଶ= 1
ିଵ
ଶ𝑥−ଵ
ଶ𝑦+𝛼= −2  care are soluția generală 𝑥=𝑦= 2+𝛼.
Atunci mulțimea de soluții este: {(𝑥= 2+𝛼,𝑦= 2+𝛼,𝑧=𝛼)/𝛼∈ ℝ}
 𝑚= −ଵ
ଶ ș𝑖 𝑛≠ −2
În acest caz sistemul este incompatibil deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2 ≠ 3 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅).
 𝑚∈ ℝ−ቄ−ଵ
ଶ,1ቅ

45
Acum, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 3 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )⇒ sistemul este
compatibil determinat de tip Cramer.
Ex5: Se consideră sistemul:
൝𝑥+2𝑦=𝑚+1
2𝑥+3𝑦=𝑚−1
𝑚𝑥+𝑦= 3 ,𝑚∈ ℝ.
Să se afle mulțimea 𝐴={𝑚∈ ℝ/ 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑢𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙 }
Soluție: 𝐴=൭1 2
2 3
𝑚1൱ 𝐴̅=൭1 2𝑚+1
2 3𝑚−1
𝑚1 3൱
Cum, ቚ1 2
2 3ቚ= −1 ≠ 0 , se obține că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2,∀𝑚∈ ℝ. Ca sistemul să fie
incompatibil este necesar ca 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 3, adică det (𝐴̅) ≠ 0 ⇒
อ1 2𝑚+1
2 3 m−1
𝑚 1 3อ≠ 0 ⇒ 𝑚ଶ+4𝑚≠ 0 ⇒ 𝑚∈ ℝ−{0,−4}⇒ 𝐴=൛ℝ\{0,−4}ൟ.
Ex6: Să se discute in funcție de parametrul 𝑎∈ ℝ,sistemul:
൝𝑎𝑥+𝑦+𝑧= 1
𝑥+2𝑎𝑦+𝑧= −1
(𝑎+1)𝑥+𝑦+2𝑎𝑧= 0 , cu 𝐴=൭𝑎1 1
1 2𝑎1
𝑎+1 1 2 𝑎൱ 𝐴̅=൭𝑎1 1 1
1 2𝑎1 −1
𝑎+1 1 2 𝑎0൱
𝑑𝑒𝑡𝐴=อ𝑎1 1
1 2𝑎1
𝑎+1 1 2 𝑎อ=อ2𝑎+2 2𝑎+2 2𝑎+2
1 2 𝑎1
𝑎+1 1 2 𝑎อ=(2𝑎+2)อ1 1 1
1 2𝑎1
𝑎+1 1 2 𝑎อ=
=(2𝑎+2)(𝑎−1)(2𝑎−1).
Discuție:
 Dacă 𝑎∈ ℝ\ቄ−1,1,ଵ
ଶቅ
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 3 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )⇒ sistemul este compatibil
determinat de tip Cramer.
Soluția unică este: 𝑆=ቄ𝑥=∆ೣ
∆,𝑦=∆೤
∆ ,𝑧=∆೥
∆ቅ=ቄଵ
௔ିଵ,ଵ
ଵିଶ௔,ି௔
(௔ିଵ)(ଶ௔ିଵ)ቅ
∆௫=อ1 1 1
−1 2𝑎1
0 1 2 𝑎อ= 2(𝑎+1)(2𝑎−1)⇒𝑥=2(𝑎+1)(2𝑎−1)
(2𝑎+2)(𝑎−1)(2𝑎−1)=1
𝑎−1
∆௬=อ𝑎1 1
1 −1 1
𝑎+1 0 2 𝑎อ= −2(𝑎+1)(𝑎−1)⇒𝑦=−2(𝑎+1)(𝑎−1)
(2𝑎+2)(𝑎−1)(2𝑎−1)=1
1−2𝑎
∆௭=อ𝑎1 1
1 2𝑎−1
𝑎+1 1 0อ= −2𝑎(𝑎+1)⇒𝑧=−2𝑎(𝑎+1)
(2𝑎+2)(𝑎−1)(2𝑎−1)
=−𝑎
(𝑎−1)(2𝑎−1)

46
 Dacă 𝑎= −1
𝐴=൭−1 1 1
1 −2 1
0 1 −2൱ 𝐴̅=൭−1 1 1 1
1 −2 1 −1
0 1 −2 0൱
Se observă că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅)= 2 < 3 (𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒 )⇒ sistemul
este compatibil simplu nedeterminat . Necunoscutele principale sunt x și y, iar 𝑧=𝛼∈ ℝ
este necunoscută secundară. Se rezolvă sistemul:
൜−𝑥+𝑦= 1−𝛼
𝑥−2𝑦= −1−𝛼  ⇒ 𝑥= −1+3 𝛼,𝑦= 2𝛼⇒
𝑆={(𝑥= −1+3 𝛼,𝑦= 2𝛼,𝑧=𝛼)/𝛼∈ ℝ}
 Dacă 𝑎= 1
𝐴=൭1 1 1
1 2 1
2 1 2൱ 𝐴̅=൭1 1 1 1
1 2 1 −1
2 1 2 0൱
Acum 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2 ≠ 3 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅). Așadar sistemul este incompatibil.
 Dacă 𝑎=ଵ
ଶ
𝐴=൮ଵ
ଶ1 1
1 1 1
ଷ
ଶ1 1൲ 𝐴̅=൮ଵ
ଶ1 1 1
1 1 1 −1
ଷ
ଶ1 1 0൲
Și în acest caz 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)= 2 ≠ 3 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴̅), iar sistemul este incompatibil.

47
CAPITOLUL III
APLICAȚII ALE SISTEMELOR ÎN PROBLEME PRACTICE

3.1. Aplicații matematice
a) Metodă de calcul a inversei unei matrice
Se prezentă, în continuare o metodă ce conduce la construcția inversei unei matrici
pătratice de ordin 3.
Fie matricea A= ൭𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ𝑎ଵଷ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଵ𝑎ଷଶ𝑎ଷଷ൱, cu 𝑑𝑒𝑡𝐴≠ 0. Se propune găsirea inversei.
𝐴ିଵ=൭𝑏ଵଵ𝑏ଵଶ𝑏ଵଷ
𝑏ଶଵ𝑏ଶଶ𝑏ଶଷ
𝑏ଷଵ𝑏ଷଶ𝑏ଷଷ൱.
Bineînțeles că are loc 𝐴∙𝐴ିଵ=𝐼ଷ
⟺൭𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ𝑎ଵଷ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଵ𝑎ଷଶ𝑎ଷଷ൱∙൭𝑏ଵଵ𝑏ଵଶ𝑏ଵଷ
𝑏ଶଵ𝑏ଶଶ𝑏ଶଷ
𝑏ଷଵ𝑏ଷଶ𝑏ଷଷ൱=൭1 0 0
0 1 0
0 0 1൱.
Ecuția matriceală de mai sus conduce la rezolvarea a trei sisteme de ecuații liniare:
൝𝑎ଵଵ𝑏ଵଵ+𝑎ଵଶ𝑏ଶଵ+𝑎ଵଷ𝑏ଷଵ= 1
𝑎ଶଵ𝑏ଵଵ+𝑎ଶଶ𝑏ଶଵ+𝑎ଶଷ𝑏ଷଵ= 0
𝑎ଷଵ𝑏ଵଵ+𝑎ଷଶ𝑏ଶଵ+𝑎ଷଷ𝑏ଷଵ= 0 , în necunoscutele 𝑏ଵଵ,𝑏ଶଵ,𝑏ଷଵ
൝𝑎ଵଵ𝑏ଵଶ+𝑎ଵଶ𝑏ଶଶ+𝑎ଵଷ𝑏ଷଶ= 1
𝑎ଶଵ𝑏ଵଶ+𝑎ଶଶ𝑏ଶଶ+𝑎ଶଷ𝑏ଷଶ= 0
𝑎ଷଵ𝑏ଵଶ+𝑎ଷଶ𝑏ଶଶ+𝑎ଷଷ𝑏ଷଶ= 0 , în necunoscutele 𝑏ଵଶ,𝑏ଶଶ,𝑏ଷଶ
൝𝑎ଵଵ𝑏ଵଷ+𝑎ଵଶ𝑏ଶଷ+𝑎ଵଷ𝑏ଷଷ= 1
𝑎ଶଵ𝑏ଵଷ+𝑎ଶଶ𝑏ଶଷ+𝑎ଶଷ𝑏ଷଷ= 0
𝑎ଷଵ𝑏ଵଷ+𝑎ଷଶ𝑏ଶଷ+𝑎ଷଷ𝑏ଷଷ= 0 ,în necunoscutele 𝑏ଵଷ,𝑏ଶଷ,𝑏ଷଷ.
Exemplu: Să se decidă dacă matricea A este inversabilă și în caz afirmativ să se
construiască inversa ei.
A= ൭3 −1 1
1 1 −2
−1 1 1൱
Soluție: detA=10 ≠ 0, adică matricea A este inversabilă ⇒∃ 𝐴ିଵ.
Fie 𝐴ିଵ=൭𝑏ଵଵ𝑏ଵଶ𝑏ଵଷ
𝑏ଶଵ𝑏ଶଶ𝑏ଶଷ
𝑏ଷଵ𝑏ଷଶ𝑏ଷଷ൱ inversa matricii A ⇒ 𝐴∙𝐴ିଵ=𝐼ଷ⇒
൭3 −1 1
1 1 −2
−1 1 1൱∙൭𝑏ଵଵ𝑏ଵଶ𝑏ଵଷ
𝑏ଶଵ𝑏ଶଶ𝑏ଶଷ
𝑏ଷଵ𝑏ଷଶ𝑏ଷଷ൱=൭1 0 0
0 1 0
0 0 1൱

48
Ecuația matriceală se reduce la rezolvarea sistemelor:
൝3𝑏ଵଵ−𝑏ଶଵ+𝑏ଷଵ= 1
𝑏ଵଵ+𝑏ଶଵ−2𝑏ଷଵ= 0
−𝑏ଵଵ+𝑏ଶଵ+𝑏ଷଵ= 0 , în necunoscutele 𝑏ଵଵ,𝑏ଶଵ,𝑏ଷଵ
൝3𝑏ଵଶ−𝑏ଶଶ+𝑏ଷଶ= 0
𝑏ଵଶ+𝑏ଶଶ−2𝑏ଷଶ= 1
−𝑏ଵଶ+𝑏ଶଶ+𝑏ଷଶ= 0 , în necunoscutele 𝑏ଵଶ,𝑏ଶଶ,𝑏ଷଶ
൝3𝑏ଵଷ−𝑏ଶଷ+𝑏ଷଷ= 0
𝑏ଵଷ+𝑏ଶଷ−2𝑏ଷଷ= 0
−𝑏ଵଷ+𝑏ଶଷ+𝑏ଷଷ= 1 ,în necunoscutele 𝑏ଵଷ,𝑏ଶଷ,𝑏ଷଷ.
Aceste sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss:
൞3bଵଵ−bଶଵ+bଷଵ= 1/−൬1
3൰/൬1
3൰
bଵଵ+bଶଵ−2bଷଵ= 0
−bଵଵ+bଶଵ+bଷଵ= 0  ⟺
⎩⎪⎨⎪⎧
3bଵଵ−bଶଵ+bଷଵ= 1
4
3bଶଵ−7
3bଷଵ= −1
3/(3)
2
3bଶଵ+4
3bଷଵ=1
3/(3) 
⟺൞3bଵଵ−bଶଵ+bଷଵ= 1
4bଶଵ−7bଷଵ= −1/൬−1
2൰
2bଶଵ+4bଷଵ= 1 ⟺൞ 3bଵଵ−bଶଵ+bଷଵ= 1
4bଶଵ−7bଷଵ= −1
15
2bଷଵ=3
2  
Din a treia ecuație se obține bଷଵ=ଵ
ହ, care se înlocuiește în a doua, iar bଶଵ=ଵ
ଵ଴ . Iar,
ambele înlocuite în prima conduc la bଵଵ=ଷ
ଵ଴ .
Așadar primul sistem admite soluția (𝑏ଵଵ,𝑏ଶଵ,𝑏ଷଵ)=ቀଷ
ଵ଴,ଵ
ଵ଴,ଵ
ହቁ.
Aplicând metoda lui Gauss și ultimelor două sisteme, se deduce că al doilea sistem are
soluția (𝑏ଵଶ,𝑏ଶଶ,𝑏ଷଶ)=ቀଵ
ହ,ଶ
ହ,−ଵ
ହቁ, iar al treilea soluția unică (𝑏ଵଷ,𝑏ଶଷ,𝑏ଷଷ)=ቀଵ
ଵ଴,଻
ଵ଴,ଶ
ହቁ.
Concluzie : Inversa matricii A, este 𝐴ିଵ=
⎝⎜⎛ଷ
ଵ଴ଵ
ହଵ
ଵ଴
ଵ
ଵ଴ଶ
ହ଻
ଵ଴
ଵ
ହ−ଵ
ହଶ
ହ⎠⎟⎞=ଵ
ଵ଴൭3 2 1
1 4 7
2 −2 4൱.
b) Integrarea funcțiilor raționale
 Să se calculeze ∫ଶ௫మା଺௫ା଺
௫యା଺௫మାଵଵ௫ା଺𝑑𝑥 , 𝑥∈𝑅−{−1,−2,−3 }
Soluție: Se atașează funcția rațională 𝑓: 𝑅−{−1,−2,−3 }→𝑅, 𝑓(𝑥) =ଶ௫మା଺௫ା଺
௫యା଺௫మାଵଵ௫ା care
se descompune în funcții raționale simple.
Mai întâi se descompune numitorul 𝑥ଷ+6𝑥ଶ+11𝑥+6 =

49
=𝑥ଷ+𝑥ଶ+5𝑥ଶ+5𝑥+6𝑥+6 =𝑥ଶ(𝑥+1)+5𝑥(𝑥+1)+6(𝑥+1)=(𝑥+1)(𝑥ଶ+
5𝑥+6)=(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+3).
Atunci descompunerea funcției este:
𝑓(𝑥) =ଶ௫మା଺௫ା଺
௫యା଺௫మାଵଵ௫ା଺=ଶ௫మା଺௫ା଺
(௫ାଵ)(௫ାଶ)(௫ାଷ)=஺
௫ାଵ+஻
௫ାଶ+஼
௫ାଷ
Se vor determina constantele reale A,B,C, din egalitatea de mai sus, după aducere la același
numitor.
2𝑥ଶ+6𝑥+6 =𝐴(𝑥+2)(𝑥+3)+𝐵(𝑥+1)(𝑥+3)+𝐶(𝑥+1)(𝑥+2) ⟺
2𝑥ଶ+6𝑥+6 =(𝐴+𝐵+𝐶)𝑥ଶ+(5𝐴+4𝐵+3𝐶)𝑥+6𝐴+3𝐵+2𝐶
Prin identificarea coeficienților, se obține sistemul:
൝𝐴+𝐵+𝐶= 2
5𝐴+4𝐵+3𝐶= 6
6𝐴+3𝐵+2𝐶= 6  , cu necunoscutele A,B,C și matricea atașată 𝑀=൭1 1 1
5 4 3
6 3 2൱
Cum ∆ = det(M)=-2 ≠ 0, alegem metoda Cramer spre rezolvare.
Coloana termenilor liberi este ൭2
6
6൱.
∆஺=อ2 1 1
6 4 3
6 3 2อ= −2, ∆஻=อ1 2 1
5 6 3
6 6 2อ= 4, ∆େ=อ1 1 2
5 4 6
6 3 6อ= −6.
Sistemul este compatibil determinat , cu soluția unică, dată de formulele Cramer:
𝑆=ቄ𝐴=∆ಲ
∆= 1,𝐵=∆ಳ
∆ = −2,𝐶=∆಴
∆= 3ቅ= {1,−2,3} .
Deci 𝑓(𝑥)=ଶ௫మା଺௫ା଺
௫యା଺௫మାଵଵ௫ା=ଵ
௫ାଵ−ଶ
௫ାଶ+ଷ
௫ାଷ ⇒∫ଶ௫మା଺௫ା଺
௫యା଺௫మାଵଵ௫ା଺𝑑𝑥=∫ଵ
௫ାଵ𝑑𝑥−
2∫ଵ
௫ାଶ𝑑𝑥+3∫ଵ
௫ାଷ𝑑𝑥=𝑙𝑛|𝑥+1|−2𝑙𝑛|𝑥+2|+3𝑙𝑛|𝑥+2|+𝒞,𝒞∈𝑅
 Să se calculeze ∫ଶୱ୧୬௫ାଷୡ୭ୱ௫
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ𝑑𝑥 ,𝑥∈ቂ0,గ
ଶቃ
Soluție: Se vor determina constantele reale A,B , pentru care are loc relația:
2sin𝑥+3cos𝑥=𝐴(4sin𝑥+5cos𝑥)+𝐵(4cos𝑥−5sin𝑥)⟺
2sin𝑥+3cos𝑥=(4𝐴−5𝐵)sin𝑥+(5𝐴+4𝐵)cos𝑥 , care prin identificarea
coeficienților, conduce la sistemul:

50
ቄ4𝐴−5𝐵= 2
5𝐴+4𝐵= 3  care se rezolvă cu metoda reducerii;
൜4𝐴−5𝐵= 2/(−5)
5𝐴+4𝐵= 3/(4)  ⟺ቄ−20𝐴+25𝐵= −10
20𝐴+16𝐵= 12  și prin adunarea relațiilor, se reduce A
⟹ 41𝐵= 2 ⟹𝐵=ଶ
ସଵ , care înlocuit în prima ecuație, duce la 𝐴=ଶଷ
ସଵ.
Deci , ∫ଶୱ୧୬௫ାଷୡ୭ୱ
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ𝑑𝑥=∫మయ
రభ(ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ௫ )ାమ
రభ(ସୡ୭ୱ௫ିହୱ୧୬௫ )
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ𝑑𝑥=ଶଷ
ସଵ∫ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ௫𝑑𝑥+
ଶ
ସଵ∫ସୡ୭ୱ௫ିହୱ୧୬௫
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ௫dx=ଶଷ
ସଵ∫𝑑𝑥+ଶ
ସଵ∫(ସୡ୭ୱ௫ିହୱ୧୬௫ ),
ସୱ୧୬௫ାହୡ୭ୱ௫dx=ଶଷ
ସଵ𝑥+ଶ
ସଵ𝑙𝑛(sin𝑥+5cos𝑥)+𝒞,𝒞∈
𝑅.
c) Identificarea unor polinoame
 Să se găsească polinomul 𝑓∈𝐶[𝑋] de gradul trei pentru care 𝑓(1+𝑖)=
−1+2𝑖 și 𝑓(𝑖)= 1−𝑖.
Soluție: Fie polinomul cu forma generală 𝑓=𝑎𝑥ଷ+𝑏𝑥ଶ+𝑐𝑥+𝑑∈𝐶[𝑋],𝑎≠ 0.
𝑓(1+𝑖)=𝑎(1+𝑖)ଷ+𝑏(1+𝑖)ଶ+𝑐(1+𝑖)+𝑑=𝑎(2𝑖−2)+𝑏(2𝑖)+𝑐(1+𝑖)+𝑑=
=(−2𝑎+𝑐+𝑑)+𝑖(2𝑎+2𝑏+𝑐)⇒ −1+2 𝑖=(−2𝑎+𝑐+𝑑)+𝑖(2𝑎+2𝑏+𝑐)
⇒ቄ−2𝑎+𝑐+𝑑= −1
2𝑎+2𝑏+𝑐= 2  (1)
Se calculează 𝑓(𝑖)= 𝑎𝑖ଷ+𝑏𝑖ଶ+𝑐𝑖+𝑑= −𝑎𝑖−𝑏+𝑐𝑖+𝑑=(−𝑏+𝑑)+𝑖(−𝑎+𝑐)
⇒ 1−𝑖=(−𝑏+𝑑)+𝑖(−𝑎+𝑐) ⇒
ቄ−𝑏+𝑑= 1
−𝑎+𝑐= 1  (2)
Se cuplează (1) cu (2) și se obține un sistem de patru ecuații cu patru necunoscute:
൞−2𝑎+𝑐+𝑑= −1
2𝑎+2𝑏+𝑐= 2
−𝑏+𝑑= 1
−𝑎+𝑐= −1  cu matricea atașată 𝐴=൮−2 0 1 1
2 2 1 0
0 −1 0 1
−1 0 1 0൲ și det(𝐴)= 5 ≠ 0
Prin urmare se alege Cramer ca metodă de rezolvare:
∆௔=ተ−1 0 1 1
2 2 1 0
1 −1 0 1
−1 0 1 0ተ= 5;∆௕=ተ−2 −1 1 1
2 2 1 0
0 1 0 1
−1 −1 1 0ተ= 0;∆௖=ተ−2 0 −1 1
2 2 2 0
0 −1 1 1
−1 0 −1 0ተ= 0;

51
∆ௗ=ተ−2 0 1 −1
2 2 1 2
0 −1 0 1
−1 0 1 −1ተ= 5.
Sistemul admite soluția unică 𝑆=ቄ𝑎=∆ೌ
∆= 1,𝑏=∆್
∆ = 0,𝑐=∆೎
∆= 0,𝑑=∆೏
∆= 1ቅ
Concluzie : Polinomul căutatat are forma 𝑓∈𝐶[𝑋],𝑓=𝑋ଷ+1.
 Un polinom 𝑓∈ ∁[𝑋] împărțit la 𝑥−1,𝑥+1 ș𝑖 𝑥+4 , dă resturile 15, 7, respectiv
-80. Să se afle restul împărțirii lui f la (𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+4).
Soluție: Se aplică teorema împărțirii cu rest. Atunci există două polinoame, notate
𝑞(𝑥),𝑟(𝑥) ∈ ∁[𝑋] astfel încât are loc:
𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+4)∙𝑞(𝑥)+𝑟(𝑥) , 𝑔𝑟𝑎𝑑[𝑟(𝑥)]< 3
𝑟(𝑥)=𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐 ,𝑎,𝑏,𝑐∈ ℂ
⇒ 𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+4)∙𝑞(𝑥)+𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐
f împărțit la 𝑥−1 dă restul 15 ⇒𝑓(1)= 15 ⇒𝑎+𝑏+𝑐= 15 (teorema restului)
f împărțit la 𝑥+1 dă restul 7 ⇒𝑓(−1)= 7 ⇒𝑎−𝑏+𝑐= 7
f împărțit la 𝑥+4 dă restul -80 ⇒𝑓(−4)= −80 ⇒ 16 𝑎−4𝑏+𝑐= −80
Pentru a identifica restul, nu rămâne decât să se rezolve sistemul liniar:
൝𝑎+𝑏+𝑐= 15
𝑎−𝑏+𝑐= 7
16𝑎−4𝑏+𝑐= −80 , în necunoscutele 𝑎,𝑏,𝑐∈ ℂ.
Se atașează matricea A= ൭1 1 1
1 −1 1
16 −4 1൱. Cum det(𝐴)= 30 ≠ 0 , sistemul este compatibil
determinat , cu soluția unică, dată de Cramer 𝑆=ቄ𝑎=∆ೌ
∆,𝑏=∆್
∆ ,𝑐=∆೎
∆ቅ.
∆௔=อ15 1 1
7 −1 1
−80 −4 1อ= −150, ∆௕=อ1 15 1
1 7 1
16 −80 1อ= 120, ∆ୡ=อ1 1 15
1 −1 7
16 −4 −80อ= 480
⇒𝑎= −5,𝑏= 4 ș𝑖 𝑐= 16. Atunci restul căutat are forma 𝑟(𝑥)= −5𝑥ଶ+4𝑥+16.

52
d) Probleme Concurs de Matematică Aplicată ”Adolf Haimovici”
Problema 1./Etapa județeană 10 martie 2012, profil științele naturii
Primul pătrat magic publicat în Europa a apărut într-o pictură din anul 1514 a
pictorului german Albrecht Dürer. El arăta ca în figura alăturată. Pătratul magic este
completat cu numerele 1, 2, 3, …, 15, 16 astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie, de
pe fiecare coloană, de pe fiecare diagonală, precum și suma numerelor din colțuri să fie
aceeași.
a) Aflați valoarea lui a.
b) Arătați că suma celor patru numere din centrul pătratului este aceeași cu suma numerelor
de pe fiecare linie.
c) Calculați suma numerelor din căsuțele hașurate.
16 a

b 15 14 c
Soluție:
a) Suma tuturor numerelor din pătrat este 1 + 2 + … + 16 = (16 17): 2 = 136.
Atunci suma numerelor de pe o linie, coloană, diagonală, colțuri este 136 : 4 = 34.
16 +a+ b +c =34 ⇒ a+ b+ c =18
b+ c+ 29 =34 ⇒ b+ c= 5, ቄ𝑎+𝑏+𝑐= 18
𝑏+𝑐= 5 ⇒𝑎= 13
b) Suma numerelor de pe linia 1, coloana 4, linia 4, coloana 1 este
434-(16+a+b+c)=3·34=102
Suma numerelor elementelor din centrul pătratului va fi: 136 -102 =34
c) S = 34 + 34 + 34 -a = 89.

53
Problema 2./Etapa națională 18 aprilie 2011, profil umanist
Într-un semestru Raluca și Ionel au luat 40 de note fiecare și la sfârșitul semestrului
au obținut aceeași medie finală. Numărul notelor de 7, de 8, de 9 și de 10 luate de Raluca
este respectiv egal (în această ordine strictă) cu numărul notelor de 10, de 7, de 8 și de 9
luate de Ionel. Câte note de 10 a luat Ionel?
Soluție :
Se notează cu ൞𝑎−𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 7;
𝑏−𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 8;
𝑐−𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 9;
𝑑−𝑛𝑢𝑚ă𝑟𝑢𝑙 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 10. , luate de Raluca
Din enunț se deduce faptul că Ionel are:
൞𝑎−𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 10;
𝑏−𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 7;
𝑐−𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 8;
𝑑−𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑑𝑒 9. 
Avem 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑= 40
Din faptul că au aceeași medie semestrială rezultă că:
7𝑎+8𝑏+9𝑐+10𝑑
40=10𝑎+7𝑏+8𝑐+9𝑑
40
Din această egalitate se obține că 3𝑎−𝑏−𝑐−𝑑= 0, astfel se obține sistemul:
ቄ𝑎+𝑏+𝑐+𝑑= 40
3𝑎−𝑏−𝑐−𝑑= 0 ⟹ 4𝑎= 40 ⇒𝑎= 10
3.2. Aplicații în economie
Ѕϲhіmbărіlе ϲarе au lоϲ în mеdіul în ϲarе aϲtіvеază agеnțіі еϲоnоmіϲі gеnеrеază în
реrmanеnță рrоblеmе ale ϲărоr ѕоluțіі іmрun luarеa șі aрlіϲarеa unor dеϲіzіі. Рrіntrе
mеtоdеlе matеmatіϲе, fоlоѕіtе ре larg în еϲоnоmіе, un rоl іmроrtant îl arе
рrоgramarеa ?matеmatіϲă . Ѕϲорul рrіnϲірal ре ϲarе-l urmărеștе рrоgramarеa matеmatіϲă
ϲоnѕtă în оbțіnеrеa ѕоluțіеі орtіmе a unеі рrоblеmе еϲоnоmіϲе ре baza unuі mоdеl
matеmatіϲ.
Моdеlеlе dе рrоgramarе lіnіară ѕunt ϲеlе maі răѕрândіtе dіntrе mоdеlеlе
matеmatіϲо-еϲоnоmіϲе. Аϲеѕt luϲru еѕtе juѕtіfіϲat dе faрtul ϲă un aѕеmеnеa mоdеl aϲореră
о gamă largă dе рrоblеmе dе marе іmроrtanță, рrеϲum ϲеlе dе рlanіfіϲarе, amеѕtеϲ,

54
tranѕроrturі, іnvеѕtіțіі, rерartіțіі еtϲ. Моdеlul matеmatіϲ al unеі рrоblеmе dе рrоgramarе
lіnіară ϲоnѕtă în орtіmіzarеa unеі funϲțіі lіnіarе dе maі multе varіabіlе, ϲarе rеflеϲtă un
оbіеϲtіv urmărіt, în ϲоndіțііlе în ϲarе varіabіlеlе ѕunt ѕuрuѕе unоr rеѕtrіϲțіі lіnіarе, ѕub
fоrmă dе еgalіtățі șі/ѕau іnеgalіtățі.
Реntru rеzоlvarеa unоr aѕеmеnеa рrоblеmе, dіѕрunеm dе maі mulțі algоrіtmі:
algоrіtmul ѕіmрlех рrіmal, algоrіtmul ѕіmрlех dual, dualіtatе șі mеtоda grafіϲă. Аϲеѕtе
mеtоdе dе rеzоlvarе роt fі іntеrрrеtatе dіn рunϲt dе vеdеrе рraϲtіϲ, luϲru ϲarе va fі
еvіdеnțіat la mоmеntul роtrіvіt. Τоtоdată, ѕ-au rеalіzat ѕоfturі реrfоrmantе реntru
rеalіzarеa рrоblеmеlоr dе рrоgramarе lіnіară.
Duala unеі рrоblеmе еѕtе о altă рrоblеmă dе рrоgramarе lіnіară, fоrmulată duрă
anumіtе rеgulі. Dualіtatеa jоaϲă un rоl іmроrtant, atât dіn рunϲt dе vеdеrе matеmatіϲ, ϲât
maі alеѕ dіn рunϲt dе vеdеrе еϲоnоmіϲ. Іntеrрrеtarеa еϲоnоmіϲă a рrоblеmеі dualе aduϲе
іnfоrmațіі ѕuрlіmеntarе aѕuрra varіațііlоr în ѕоluțіa орtіmă, ϲоnѕumuluі dіn rеѕurѕе, valоrіі
rеѕurѕеlоr еtϲ.Fіе 𝐴𝑥=𝑏 un ѕіѕtеm dе еϲuațіі lіnіarе dе rang m ϲu ϲоеіϲіеnțі în R, ϲu m
еϲuațіі lіnіarе în n nеϲunоѕϲutе. Fіе 𝑃={𝑥∈ ℝ௡∕𝐴𝑥=𝑏,𝑥≥ 0}. În еѕеnță, rеzоlvarеa
unеі рrоblеmе dе рrоgramarе lіnіară rеvіnе la dеtеrmіnarеa unuі рunϲt ехtrеmal al
rеѕtrіϲțіеі la Р a unеі funϲțіі lіnіarе 𝑓:ℝ௡→ ℝ,𝑓(𝑥)=〈𝑐,𝑥〉,∀𝑥∈ ℝ௡, undе рrіn
𝑓(𝑥)=〈𝑐,𝑥〉=∑𝑐௜𝑥௜௡
௜ୀଵ am nоtat рrоduѕul ѕϲalar al luі ϲ ϲu х.
Ϲоndіțііlе în ϲarе ѕе dеѕfășоară рrоϲеѕul analіzat ϲоnduϲ la un ѕіѕtеm dе rеlațіі, ϲarе
ϲuрrіnd varіabіlеlе рrоblеmеі șі ϲоеfіϲіеnțіі tеhnіϲі ϲarе о ϲaraϲtеrіzеază. Аϲеѕtе rеlațіі
alϲătuіеѕϲ rеѕtrіϲțііlе рrоblеmеі . Оbіеϲtіvul ѕtudіuluі еѕtе орtіmіzarеa unuі anumіt rеzultat
dереndеnt dе aϲеlеașі varіabіlе ϲarе aрar șі în rеѕtrіϲțіі. În fоrmularеa рrоblеmеlоr dе
рrоgramarе matеmatіϲă, оbіеϲtіvul aрarе ѕub fоrma unеі funϲțіі alе ϲărеі valоrі mіnіmе
ѕau maхіmе lе ϲăutăm șі ϲarе ѕе numеștе funϲțіе оbіеϲtіv, funϲțіе ѕϲор ѕau funϲțіе dе
еfіϲіеnță. Rеѕtrіϲțііlе рrоblеmеі îmрrеună ϲu funϲțіa оbіеϲtіv ϲоnѕtіtuіе mоdеlul matеmatіϲ
al рrоblеmеі dе рrоgramarе matеmatіϲă. Daϲă atât ѕіѕtеmul rеѕtrіϲțііlоr ϲât șі funϲțіa
оbіеϲtіv ѕunt funϲțіі lіnіarе dе varіabіlеlе рrоblеmеі, mоdеlul ϲоnѕtіtuіе о рrоblеmă dе
рrоgramarе lіnіară .
min(max)f =∑c୨x୨୬
୨ୀଵ (3.1)
∑𝑎௜௝𝑥௝௡
௝ୀଵ ≤𝑏௜,∀𝑖= 1,𝑘തതതതത (3.2)
∑𝑎௜௝𝑥௝௡
௝ୀଵ ≤𝑏௜,∀𝑖=𝑘+1,𝑝തതതതതതതതതത (3.3)

55
∑𝑎௜௝𝑥௝௡
௝ୀଵ =𝑏௜,∀𝑖=𝑝+1,𝑚തതതതതതതതതതത (3.4)
𝑥௝≥ 0,𝑗= 1,𝑛തതതതത (3.5)
Rеlațіa (3.1) ехрrіmă matеmatіϲ ѕϲорul ѕau оbіеϲtіvul analіzеі еfеϲtuatе рrіn
ϲоеfіϲіеnțіі 𝑐௝ ϲarе роt fі ϲоѕturі unіtarе – реntru о рrоblеmă dе mіnіm ѕau рrоfіturі unіtarе
– реntru о рrоblеmă dе maхіm.
Rеlațііlе (3.2) – (3.4) fоrmеază ѕіѕtеmul dе rеѕtrіϲțіі șі rеflеϲtă ϲеrіnțе tеhnіϲо-
еϲоnоmіϲе реntru dеѕfășurarеa aϲtіvіtățіі, ϲеrіnțе dе ріață, dе înϲadrarе în nоrmatіvеlе
lеgіѕlatіvе ехіѕtеntе еtϲ. ൫𝑎௜௝൯
௜,௝ୀଵ,௠
ଵ,௡തതതതതതതതതതത еѕtе matrіϲеa ϲоеfіϲіеnțіlоr tеhnоlоgіϲі (a
ϲоnѕumurіlоr ѕреϲіfіϲе) ѕtabіlіțі ре baza оbѕеrvărіі fеnоmеnuluі ѕtudіat.
Τеrmеnіі lіbеrі 𝑏௜ϲuantіfіϲă ϲantіtățіlе dіѕроnіbіlе dе rеѕurѕе matеrіalе, fіnanϲіarе, dе
fоrță dе munϲă, ϲaрaϲіtățіlе dе рrоduϲțіе ѕau dе ѕtоϲarе.
Ϲоndіțіa dе nеnеgatіvіtatе (3.5) рrоvіnе dіn fоndul еϲоnоmіϲ al рrоblеmеlоr: varіabіlеlе 𝑥௝,
rерrеzеntând nіvеlul la ϲarе trеbuіе dеѕfășuratе aϲtіvіtățіlе 𝑗= 1,𝑛തതതതത, nu роt fі nеgatіvе.
А rеzоlva о рrоblеmă dе рrоgramarе lіnіară înѕеamnă a dеtеrmіna valоrіlе nеnеgatіvе alе
varіabіlеlоr 𝑥௝, ϲarе ѕatіѕfaϲ ѕіѕtеmul dе rеѕtrіϲțіі șі ϲarе орtіmіzеază funϲțіa оbіеϲtіv.
Daϲă nоtăm vеϲtоrul nеϲunоѕϲutеlоr ϲu 𝑥= (𝑥ଵ,𝑥ଶ,⋯,𝑥௡)௧, ϲеl al ϲоеfіϲіеnțіlоr ϲu
𝑐=(𝑐ଵ,𝑐ଶ,…𝑐௠), matrіϲеa ϲоеfіϲіеnțіlоr ϲu ൫𝑎௜௝൯
௜,௝ୀଵ,௠
ଵ,௡തതതതതതതതതതത, іar vеϲtоrul tеrmеnіlоr dіn
mеmbrul drерt al rеѕtrіϲțііlоr ϲu 𝑏= (𝑏ଵ,𝑏ଶ,⋯,𝑏௡)௧, оbțіnеm:
1. Fоrma matrіϲіală a рrоblеmеі dе рrоgramarе lіnіară : b#%l!^+a?
min(𝑚𝑎𝑥)𝑓(𝑥)=𝑐𝑥 𝐴𝑥≤𝑏 (𝐴𝑥≥𝑏) 𝑥≥ 0
2. Fоrma ϲanоnіϲă a рrоblеmеі dе рrоgramarе lіnіară :
і) реntru рrоblеma dе mіnіm:
𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥)=𝑐𝑥 𝐴𝑥≥𝑏 𝑥≥ 0
іі) реntru рrоblеma dе maхіm:
𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥)=𝑐𝑥 𝐴𝑥≤𝑏 𝑥≥ 0

56
3. Fоrma ѕtandard a рrоblеmеі dе рrоgramarе lіnіară:
min(𝑚𝑎𝑥)𝑓(𝑥)=𝑐𝑥 𝐴𝑥=𝑏 𝑥≥ 0
Τrеϲеrеa dе la fоrma gеnеrală la fоrma ѕtandard ѕau fоrma ϲanоnіϲă ѕе faϲе рrіn una dіn
următоarеlе ореrațіі:
i) tranѕfоrmarеa maхіmuluі în mіnіm (ѕau іnvеrѕ) ѕе роatе rеalіza în baza
еgalіtățіі:
max𝑓(𝑥)= −min (− 𝑓(𝑥));
ii) оrіϲе іnеgalіtatе dе tір ≤ dеvіnе ≥ рrіn înmulțіrеa ϲu −1 șі rеϲірrоϲ;
iii) оrіϲе еgalіtatе еѕtе еϲhіvalеntă ϲu о dublă іnеgalіtatе:
𝑦=𝑎⇔൜𝑦≤𝑎
𝑦≥𝑎 ;
iv) оrіϲе іnеgalіtatе dе tір ≤ dеvіnе еgalіtatе рrіn adăugarеa unеі varіabіlе dе
ϲоmреnѕarе (auхіlіarе ѕau dе еϲart) 𝑦௜≥ 0;
v) оrіϲе іnеgalіtatе dе tір ≥ dеvіnе еgalіtatе рrіn ѕϲădеrеa unеі varіabіlе dе
ϲоmреnѕarе (auхіlіarе ѕau dе еϲart) 𝑦௜≥ 0.
Εхеmрlu: Ѕă ѕе rеzоlvе următоarеa рrоblеmă dе рrоgramarе lіnіară fоlоѕіnd
algоrіtmul ѕіmрlех рrіmal:
𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥)=𝑥ଵ+𝑥ଶ
൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ≤ 4
𝑥ଵ−𝑥ଶ≤ 14
−𝑥ଵ+2𝑥ଶ≤ 8 
𝑥ଵ≥ 0,𝑥ଶ≥ 0
Fоrma ѕtandard еѕtе: 𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥)=𝑥ଵ+𝑥ଶ+0(𝑦ଵ+𝑦ଶ+𝑦ଷ)
൝𝑥ଵ−2𝑥ଶ+𝑦ଵ= 4
𝑥ଵ−𝑥ଶ+𝑦ଶ= 14
−𝑥ଵ+2𝑥ଶ+𝑦ଷ= 8 
𝑥ଵ≥ 0,𝑥ଶ≥ 0

𝑦௜≥ 0,∀𝑖= 1,3തതതത

57
Β Ϲ Β b 1 1
х1 х2 0 0 0
1y 2y 3y min
1y
2y
3y 0
0
0 4
14
8 1 -2
1 -1
-1 2 1 0 0
0 1 0
0 0 1 4
14
–
j 0 -1 -1 0 0 0 Ѕоl nu еѕtе
орtіmă
1x
2y
3y 1
0
0 4
10
12 1 -2
0 1
0 0 1 0 0
-1 1 0
1 0 1 –
10
–
j 4 0 -3 2 0 0 Ѕоl nu еѕtе
орtіmă
1x
2x
3y 1
1
0 16
10
12 1 0
0 1
0 0 -1 2 0
-1 1 0
1 0 1 –
–
12
j 26 0 0 -5/2 3/2 0 Ѕоl nu еѕtе
орtіmă
х1
х2
1y 1
1
0 28
22
12 1 0
0 1
0 0 0 2 1
0 1 1
1 0 1
j 50 0 0 0 3 2 Ѕоl еѕtе
орtіmă

Ѕоluțіa орtіmă еѕtе : 𝑥ଵ= 28,𝑥ଶ=22,𝑦ଵ= 12,𝑦ଶ=𝑦ଷ= 0,𝑖𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥)= 50.

58
În ϲоntіnuarе se рrеzеntă ϲâtеva рrоblеmе еϲоnоmіϲе ϲоnϲrеtе a ϲărоr rеzоlvarе ѕе
роatе faϲе numaі рrіn aрlіϲarеa mеtоdеlоr matеmatіϲе alе рrоgramărіі lіnіarе. Аϲеѕtе
ехеmрlе rерrеzіntă mоdеlărі matеmatіϲе alе unоr fеnоmеnе еϲоnоmіϲе, ϲu ϲоndіțіa ϲa tоțі
ϲоеfіϲіеnțіі рrоblеmеі ѕă fіе ϲоmрlеt dеtеrmіnațі.
Рlanіfіϲarеa рrоduϲțіеі. Într-о unіtatе еϲоnоmіϲă, m рrоduѕе ѕе роt оbțіnе dіn n
matеrіі рrіmе dіfеrіtе: 𝑀ଵ,𝑀ଶ,…𝑀௡. Dіntr-о unіtatе dе matеrіе рrіmă 𝑀௜ѕе роt рrоduϲе
𝑎௜௝ unіtățі dе artіϲоl 𝐴௝,𝑗= 1,𝑚തതതതതത. Ϲоnfоrm рlanuluі unіtățіі еϲоnоmіϲе, trеbuіе ѕă ѕе
рrоduϲă lunar ϲâtе 𝑏௝ unіtățі dіn fіеϲarе artіϲоl 𝐴௝.
Ѕă ѕе întоϲmеaѕϲă рlanul dе ϲоnѕum lunar al matеrііlоr рrіmе aѕtfеl ϲa реntru
atіngеrеa рrоduϲțіеі рlanіfіϲatе, ϲhеltuіеlіlе ѕă fіе mіnіmе. Ѕе arе în vеdеrе ϲă рrеțul unеі
unіtățі dіn matеrіa рrіmă 𝑀௜ еѕtе 𝑐௜, 𝑖= 1,𝑛തതതതത.
Реntru mоdеlarеa рrоblеmеі nоtăm ϲu 𝑥௜ ϲantіtatеa dе matеrіе рrіmă 𝑀௜ ϲе ѕе va
fоlоѕі în рrоϲеѕul dе рrоduϲțіе, 𝑖= 1,𝑛തതതതത. Реntru rеalіzarеa рlanuluі nеϲunоѕϲutеlе vоr
trеbuі ѕă ѕatіѕfaϲă următоarеlе rеѕtrіϲțіі:
∑𝑎௜௝𝑥௜௡
௜ୀଵ≥𝑏௝, 𝑗= 1,𝑚തതതതതത
𝑥௜≥ 0, 𝑖= 1,𝑛തതതതത.
Ϲhеltuіеlіlе dе рrоduϲțіе, în abѕеnța altоr faϲtоrі, ѕunt datе dе ϲоѕtul matеrііlоr
рrіmе fоlоѕіtе. Міnіmіzarеa aϲеѕtоr ϲhеltuіеlі іmрlіϲă rеalіzarеa ϲеrіnțеі:
𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥)=෍𝑐௜𝑥௜௡
௜ୀଵ
Рrоblеma tranѕроrturіlоr. Un număr dе m unіtățі еϲоnоmіϲе 𝐸ଵ,𝐸ଶ,…,𝐸௠
aрrоvіzіоnеază ϲu aϲеlașі рrоduѕ , n lоϲalіtățі 𝐷ଵ,𝐷ଶ,…,𝐷௡. Ϲaрaϲіtățіlе lunarе dе
рrоduϲțіе, реntru рrоduѕul rеѕреϲtіv, реntru unіtatеa 𝐸௜ ѕunt еgalе ϲu 𝑎௜,𝑖= 1,𝑚തതതതതത.
Νеϲеѕarul реntru lоϲalіtatеa 𝐷௝ реntru aϲеlașі рrоduѕ еѕtе 𝑏௝,𝑗= 1,𝑛തതതതത. Ϲhеltuіеlіlе реntru
tranѕроrtul unеі unіtățі dе рrоduѕ dе la unіtatеa 𝐸௜ la lоϲalіtatеa 𝐷௝ fііnd 𝑐௜௝, ѕе рunе
рrоblеma ѕatіѕfaϲеrіі ϲеrеrіlоr în ϲеlе n lоϲalіtățі, aѕtfеl înϲât ϲhеltuіеlіlе tоtalе dе tranѕроrt
ѕă fіе mіnіmе.
Se presupune ϲă ∑𝑎௜௠
௜ୀଵ=∑𝑏௝௡
௝ୀଵ.

59
Реntru mоdеlarеa matеmatіϲă a рrоblеmеі, se notează рrіn 𝑥௜௝, 𝑖= 1,𝑚തതതതതത, 𝑗= 1,𝑛തതതതത,
ϲantіtatеa dе рrоduѕ ϲе ѕе va rерartіza dе la ѕurѕa і la dеѕtіnațіa j. Ϲantіtatеa dе рrоduѕ ϲе
ajungе în lоϲalіtatеa 𝐷௝ еѕtе ѕuma ϲantіtățіlоr trіmіѕе aіϲі dе fіеϲarе dіn ϲеlе m ѕurѕе,
adіϲă ∑𝑥௜௝௠
௜ୀଵ.
Реntru ϲa tоatе ϲеrеrіlе ѕă fіе aϲореrіtе, se inpun rеѕtrіϲțііlе:
∑𝑥௜௝௠
௜ୀଵ=𝑏௝, 𝑗= 1,𝑛തതതതത (3.6) b#%l!^+a?
Ϲantіtatеa dе рrоduѕ ϲarе рlеaϲă dе la ѕurѕa і еѕtе еgală ϲu ia șі еѕtе dată dе
∑𝑥௜௝௡
௝ୀଵ=𝑎௜, 𝑖= 1,𝑚തതതതതത (3.7)
Ѕе іmрun șі în aϲеѕt ϲaz ϲоndіțііlе:
𝑥௜≥ 0, 𝑖= 1,𝑚തതതതതത,𝑗= 1,𝑛തതതതത (3.8)
Ϲhеltuіеlіlе dе tranѕроrt ѕunt datе dе: ∑ ∑ 𝑐௜௝𝑥௜௝௡
௝ୀଵ௠
௜ୀଵ
Dеϲі рrоblеma ϲеrе ѕă ѕе mіnіmіzеzе
𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥)=∑ ∑ 𝑐௜௝𝑥௜௝௡
௝ୀଵ ௠
௜ୀଵ în ϲоndіțііlе (3.6), (3.7) șі (3.8).
3.3 Aplicații în fizică
Ϲіrϲuіtеlе ѕau rеțеlеlе еlеϲtrіϲе іntеrvіn în рrоduϲеrеa еnеrgіеі еlеϲtrоmagnеtіϲе, tranѕроrtul,
dіѕtrіbuțіa la lоϲul dе utіlіzarе șі ϲоnvеrѕіa aϲеѕtеі еnеrgіі. Ϲіrϲuіtеlе еlеϲtrіϲе ѕе ϲоnѕtіtuіе рrіn
іntеrϲоnеϲtarеa еlеmеntеlоr unuі ϲіrϲuіt – rеzіѕtоarе, bоbіnе, ϲоndеnѕatоarе, ѕurѕе dе еnеrgіе – ϲоnfоrm
unоr ѕϲhеmе ϲarе ϲоnțіn lanțurі, nоdurі șі оϲhіurі.
O rеțеa еlеϲtrіϲă oarеϲarе еstе ϲonstіtuіtă dіn maі multе laturі (ramurі), nodurі șі oϲhіurі. Un nod
al ϲіrϲuіtuluі rерrеzіntă un рunϲt în ϲarе sе întâlnеsϲ ϲеl рuțіn trеі ϲurеnțі еlеϲtrіϲі, ϲarе vіn sau рlеaϲă рrіn
trеі laturі alе ϲіrϲuіtuluі. Oϲhіul еstе un ϲіrϲuіt înϲhіs format arbіtrar în ϲіrϲuіtul ϲomрlех ϲonsіdеrat șі ϲarе
ϲonțіnе ϲеl рuțіn două laturі. O latură еstе рorțіunеa dе ϲіrϲuіt ϲuрrіnsă întrе două nodurі suϲϲеsіvе.
Rеzolvarеa рroblеmеlor ϲarе sе rеfеră la ϲіrϲuіtеlе ϲomрlехе sе faϲе țіnând sеama dе ϲеlе două tеorеmе
alе luі Κіrϲhhoff.
Εlеmеntеlе dе ϲіrϲuіt реntru ϲarе rеlațііlе întrе tеnѕіunі șі ϲurеnțі ѕunt lіnіarе
(nеlіnіarе) ѕе numеѕϲ еlеmеntе lіnіarе (nеlіnіarе) dе ϲіrϲuіt. Daϲă rеlațііlе lіnіarе dіntrе
ϲurеnțі șі tеnѕіunі ϲоnțіn ϲоеfіϲіеnțі varіabіlі în tіmр, еlеmеntеlе dе ϲіrϲuіt ѕunt
рaramеtrіϲе. Un ϲіrϲuіt еlеϲtrіϲ lіnіar ϲоnțіnе dоar еlеmеntе dе ϲіrϲuіt lіnіarе.

60
Рrоblеma fundamеntală a ϲalϲululuі unuі ϲіrϲuіt еlеϲtrіϲ ϲоnѕtă în dеtеrmіnarеa
іntеnѕіtățіlоr ϲurеnțіlоr dіn ϲеlе l laturі alе aϲеѕtuіa. Un ѕіѕtеm dе l еϲuațіі іndереndеntе,
dеdіϲat aϲеѕtuі ѕϲор, ѕе роatе оbțіnе ϲu ajutоrul ϲеlоr dоuă tеоrеmе alе luі Κіrϲhhоff,
ϲоnѕіdеratе ϲa еѕеnțіalе în tеоrіa ϲіrϲuіtеlоr еlеϲtrіϲе.
Рrіma tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff
Ϲu ajutоrul lеgіі dе ϲоnѕеrvarе a ѕarϲіnіі еlеϲtrіϲе, ѕе роatе dеmоnѕtra рrіma
tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff (tеоrеma nоdurіlоr), ϲоnfоrm ϲărеіa ѕuma algеbrіϲă a ϲurеnțіlоr
laturіlоr іnϲіdеntе la un nоd еѕtе nulă, ϲând ѕе ϲоnѕіdеră ϲu un ѕеmn ϲurеnțіі ϲarе іntră în
nоd șі ϲu un ѕеmn ϲоntrar ϲurеnțіі ϲarе іеѕ dіn nоd. Fоlоѕіnd о numеrоtarе unіϲă a laturіlоr
ϲіrϲuіtuluі, рrіma tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff aрlіϲată unuі nоd ϲоnduϲе la еϲuațіa
∑𝑖௞= 0 ௞∈(௣) (3.9)
undе ѕ-a utіlіzat ѕеmnul “ ∈” al rеlațіеі dе „aрartеnеnță” реntru a ѕugеra ϲă ѕuma algеbrіϲă
ѕ-a еfеϲtuat aѕuрra ϲurеnțіlоr laturіlоr іnϲіdеntе la nоdul (𝑝). b#%l!^+a?
În gеnеral, реntru un ϲіrϲuіt ϲu n nоdurі șі 𝛾 рărțі ѕерaratе galvanіϲ ѕе роt оbțіnе
𝛼=𝑛−𝛾 (3.10)
еϲuațіі іndереndеntе рrіn aрlіϲarеa рrіmеі tеоrеmе a luі Κіrϲhhоff, ехрrіmatе gеnеrіϲ în fоrma
∑𝑖௞= 0 ௞∈(௣),𝑝= 1,𝛼തതതതത (3.11)
А dоua tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff
Τеоrеma a dоua a luі Κіrϲhhоff (tеоrеma оϲhіurіlоr) afіrmă ϲă ѕuma algеbrіϲă a
tеnѕіunіlоr la bоrnеlе laturіlоr unuі оϲhі еѕtе nulă
∑𝑢௝௝∈(௢)= 0 (3.12)
În ѕuma (3.12) tеnѕіunеa 𝑢௝еѕtе ϲоnѕіdеrată ϲu ѕеmnul (+) daϲă arе aϲеlașі ѕеnѕ ϲa
ѕеnѕul alеѕ реntru рarϲurgеrеa оϲhіuluі; în ϲaz ϲоntrar, va іntra în ѕumă ϲu ѕеmnul (−).
Рrіn ѕіmbоlul “ ∈” ѕе ѕugеrеază ϲă ѕuma (3.12) ѕе еfеϲtuеază реntru tоatе laturіlе j ϲе
„aрarțіn” оϲhіuluі (𝑜).
Реntru un ϲіrϲuіt ϲu l laturі, n nоdurі șі  рartіțіі ѕерaratе galvanіϲ, ѕе роt ѕϲrіе
𝑚=𝑙−𝑛+𝛾 (3.13)

61
еϲuațіі іndереndеntе рrіn aрlіϲarеa tеоrеmеі a dоua a luі Κіrϲhhоff, adіϲă
∑𝑢௝௝∈(௢)= 0,𝑜= 1,𝑚തതതതതത (3.14)
Un anѕamblu dе m оϲhіurі ϲarе ϲuрrіndе tоatе laturіlе ϲіrϲuіtuluі șі реntru ϲarе
aрlіϲarеa tеоrеmеі a dоua a luі Κіrϲhhоff ϲоnduϲе la m еϲuațіі іndереndеntе ѕе numеștе
ѕіѕtеm dе оϲhіurі fundamеntalе. Реntru un ϲіrϲuіt dat ехіѕtă maі multе ѕіѕtеmе dе оϲhіurі fundamеntalе,
dar numărul m al оϲhіurіlоr dіntr-un aѕtfеl dе ѕіѕtеm еѕtе aϲеlașі, bіnе dеtеrmіnat. Un оϲhі fundamеntal
ϲоnțіnе ϲеl рuțіn о latură ϲе nu aрarțіnе ϲеlоrlaltе оϲhіurі dіn ѕіѕtеm.
În rеgіm ѕtațіоnar, tеnѕіunіlе la bоrnеlе laturіlоr au valоrі ϲоnѕtantе. În rеgіm
ϲvaѕіѕtațіоnar, еϲuațііlе (3.14) ϲоnțіn valоrіlе іnѕtantanее alе tеnѕіunіlоr.
Dіn rеlațііlе (3.10) șі (3.13) rеzultă 𝛼+𝑚=𝑛−𝛾+𝑙−𝑛+𝛾=𝑙 (3.15)
ϲоnϲluzіa fііnd ϲă, реntru un ϲіrϲuіt еlеϲtrіϲ оarеϲarе, ϲеlе dоuă tеоrеmе alе luі Κіrϲhhоff
реrmіt оbțіnеrеa unuі număr dе еϲuațіі іndереndеntе еgal ϲu numărul ϲurеnțіlоr
nеϲunоѕϲuțі aі laturіlоr ϲіrϲuіtuluі.
Меtоda tеоrеmеlоr luі Κіrϲhhоff
Ϲеlе l еϲuațіі іndереndеntе, fоlоѕіtе реntru ϲalϲulul ϲurеnțіlоr laturіlоr unuі ϲіrϲuіt
dat (ϲu l laturі, n nоdurі șі 𝛾 рărțі ѕерaratе galvanіϲ), ѕе оbțіn aѕtfеl:
 𝛼 еϲuațіі ϲu рrіma tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff, ϲоnfоrm (3.10) șі (3.11),
 m еϲuațіі ϲu a dоua tеоrеmă a luі Κіrϲhhоff, ϲоnfоrm (3.13) șі (3.14).
Întruϲât tоatе еlеmеntеlе unuі ϲіrϲuіt lіnіar au ϲaraϲtеrіѕtіϲі tеnѕіunе-ϲurеnt lіnіarе,
ѕіѕtеmul еϲuațііlоr luі Κіrϲhhоff va fі algеbrіϲ, lіnіar, ϲu ϲоеfіϲіеnțі ϲоnѕtanțі
(numеrе?rеalе). În ϲоnѕеϲіnță, ѕоluțіa aϲеѕtuі ѕіѕtеm va fі unіϲă, dеϲі ѕе оbțіn valоrі unіϲе
реntru ϲurеnțіі laturіlоr.

62
Exemplu: Determinați intensitățile curenților electrici din rețeaua de mai jos, dacă se
cunosc E=16V,  2321RRR .

Soluție:
Se observă că rețeaua are două noduri (un nod este punctul de întâlnire a cel puțin
trei laturi, iar o latură este porțiunea de circuit dintre două noduri ), notate cu A și B, cu trei
laturi și două ochiuri. Pentru curenții din cele trei laturi și pentru parcurgerea ochiurilor se
aleg sensurile indicate în figură.
Aplicând prima teoremă a lui Kirchoff: “Suma algebrică a intensităților curenților
din laturile legate într-un nod al unei rețele este nulă”, adică 0kI,unde kI este
intensitatea curentului din latura k, considerată cu semnul “+” dacă sensul curentului este
orientat dinspre nod și cu semnul “-” dacă sensul curentului este orientat spre nod, se
obține în nodul A ecuația : -1I+2I-3I=0, iar în nodul B: 1I-2I+3I=0.
Aplicând a doua teoremă a lui Kirchoff: “Suma algebrică a tensiunilor
electromotoare (imprimate) dintr-un ochi al unei rețele este egală cu suma căderilor de
tensiune din laturile ochiului ”, adică kk kIRE ,(căderea de tensiune într-o latură se 2I
3I 1R
2R
3R E
A B 1I

63
consideră pozitivă dacă sensul de parcurgere al unei laturi coincide cu cel ales pentru
curentul respectiv , regulă valabilă și pentru tensiunea electromotoare ), se obțin în
nodurile A, respectiv B, ecuațiile: 16222 1II , respectiv 0223 2II .
Ca atare sistemul propus spre rezolvare este:


02216220
3 22 1321
IIIIIII
.Soluția sistemului este:
1I=A316,2I=A38,3I=A38, deoarece se consideră valorile absolute (sensul lui 3Ifiind
invers celui reprezentat în schemă, se obține pentru 3I o valoare negativă ).
3.4. Aplicații în chimie
Problema nr.1 . Benzenul lichid arde în atmosferă. Dacă un obiect rece este pus peste
benzen, atunci apa va condensa pe obiect și se va depozita pe el negru de fum (carbon).
Ecuația chimică pentru reacție este de forma: OHxCxOxHCx24 3 22661  .
Determinați 1x, 2x,3x,4x pentru a obține balanța ecuației.
Soluție: Pentru a obține echilibrul (balanța) ecuației trebuie să alegem 1x, 2x,3x,4x astfel
încât numărul de atomi de carbon, hidrogen și oxigen din cei doi membri să fie același.
Deoarece benzenul conține șase atomi de carbon, iar negru de fum un atom, atunci
pentru egalizarea numărului de atomi de carbon trebuie ca 61x=3x. Analog, pentru atomii
de hidrogen și oxigen se obțin ecuațiile: 61x=24x, 22x=4x.
Cele trei ecuații conduc la sistemul: ൝6𝑥ଵ=𝑥ଷ
6𝑥ଵ= 2𝑥ସ
2𝑥ଶ=𝑥ସ ⟺൝6𝑥ଵ−𝑥ଷ= 0
6𝑥ଵ−2𝑥ସ= 0
2𝑥ଶ−𝑥ସ= 0 
A=൭6 0 −1 0
6 0 0 −2
0 2 0 −1൱
Soluția sistemului este: 𝑥ଵ=ఈ
ଷ,𝑥ଶ=ఈ
ଶ,𝑥ଷ= 2𝛼,𝑥ସ=𝛼,𝛼≥ 0.
Pentru 3 se obține soluția particulară 1x=1, 𝑥ଶ=ଷ
ଶ, 3x= 6, 4x=3.

64
Problema nr. 2. În procesul de fotosinteză plantele utilizează energia radiată de soare
pentru a transforma dioxidul de carbon ( 𝐶𝑂ଶ) și apa (𝐻ଶ𝑂) în glucoză ( 𝐶଺𝐻ଵଶ𝑂଺) și oxigen
(𝑂ଶ).
Ecuația chimică a reacției este de forma: x 1C02+x2HO2→x3O2+x4C6H12O6
Pentru a obține echilibru (balanța) ecuației trebuie să alegem 𝑥ଵ,𝑥ଶ, 𝑥ଷ, 𝑥ସ astfel încât
numărul de atomi de carbon, hidrogen și oxigen din cei doi membri să fie același.
Deoarece dioxidul de carbon conține un atom de carbon, iar glucoza conține șase, atunci
pentru egalizarea numărului de atomi de carbon trebuie să avem 𝑥ଵ= 6𝑥ସ. Analog, pentru
atomii de oxigen și respectiv hidrogen avem ecuațiile 2𝑥ଵ+𝑥ଶ=2𝑥ଷ+6𝑥ସ, 2𝑥ଶ=12𝑥ସ.
Astfel se obține sistemul:
൝𝑥ଵ−6𝑥ସ= 0
2𝑥ଵ+𝑥ଶ−2𝑥ଷ−6𝑥ସ= 0
2𝑥ଶ−12𝑥ସ= 0  A = ൭1 0 0 −6
2 1 −2 −6
0 2 0 −12൱ d=ቚ1 0
2 1ቚ= 1≠0
𝑑௖ଵ=อ1 0 0
2 1 −2
0 2 0อ= 4≠ 0 ⇒൝𝑥ଵ= 6𝜆
2𝑥ଵ+𝑥ଶ−2𝑥ଷ
2𝑥ଶ = 12𝜆 =6𝜆
Soluția sistemului 𝑥ଵ= 6𝜆 , 𝑥ଶ= 6𝜆, 𝑥ଷ= 6𝜆, 𝑥ସ=𝜆, 𝜆≥ 0.
Pentru 𝜆= 1 se obține soluția particulară 𝑥ଵ=𝑥ଶ=𝑥ଷ= 6, 𝑥ସ= 1 și ecuația are forma
6𝐶𝑂ଶ+6𝐻ଶ𝑂→ 6𝑂ଶ+𝐶଺𝐻ଵଶ𝑂଺

b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a?
b#%l!^+a?

65
b CAPITOLUL IV
CONSIDERAȚII METODICE PRIVIND ABORDAREA SISTEMELOR
DE ECUAȚII LINIARE ÎN LICEU, ÎN ACTIVITĂȚILE DIDACTICE CU
ELEVII

4.1 Obiectivele lucrării. Cercetare pedagogică
Obiectivele lucrării vizează:
 Utilizarea metodelor didactice interactive în abordarea problemelor de matematică;
 Dezvoltarea competențelor de comunicare, a capacității de analiză, sinteză,
comparare, generalizare, concretizare și evaluare;
 Dobândirea de cunoștințe cu privire la rezolvarea de probleme;
 Interpretarea rezultatelor, înregistrarea progresului/ regresului școlar în urma
utilizării metodelor didactice interactive;
 Formularea concluziilor obținute în urma cercetării.
Cercetarea s-a desfășurat la Liceul Tehnologic Mecanic din Câmpina, în semestrul
al II-lea al anului școlar 2018-2019. Lotul reprezentativ a fost format din elevi a două
clase, una aflată la început de drum – clasa a IX-a M1, iar cea de-a doua aflată spre finalul
ciclului inferior de învățământ, respectiv clasa a XI-a S1, învățământ seral.
Am ales aceste două clase din mai multe considerente. În primul rând, faptul că cele
două grupuri de elevi nu aparțin aceleiași forme de învățământ, fapt ce mi-a permis să fac o
evaluare extinsă a capacităților și a aptitudinilor pentru grupe diferite de vârstă.
În al doilea rând, am ales pentru aplicarea metodelor active grupul elevilor din clasa
a XI-a, din dorința de a observa mai bine evoluția acestora ca urmare a unor metode cu
care erau obișnuiți, iar cu elevii de clasa a IX-a, voi putea lucra după aceste metode în anii
următori.
Un al treilea motiv pentru care am ales aceste două clase este faptul că grupul
clasei a XI-a comunică foarte bine, elevii se cunosc între ei de mulți ani, încă din clasa a
IX-a, ceea ce mi-a permis să observ evoluția relațiilor dintre aceștia, ca urmare a metodelor
aplicate, fiind un punct de plecare pentru clasa a IX-a M1.
Analiza grupurilor de elevi:
Clasa a XI-a S1 întrunește 29 de elevi, 12 fete și 17 băieți, cu vârste de peste 23 de
ani. Profilul tehnologic al liceului îi ajută pe elevii clasei a XI-a seral să spere că vor lua
examenul de bacalaureat ce îi așteaptă peste doi ani, cu toate că mulți sunt interesați doar
de obținerea diplomei de terminare a studiilor liceale. Caracteristicile grupului din punct de
vedere sociologic sunt:

66
– grupul de elevi este omogen, elevii cunoscându-se de cel puțin doi ani; acest lucru se
reflectă și în relațiile dintre membrii grupului. Ca în fiecare clasă și aici există ierarhii; a
fost ales un lider formal, reprezentat de cel mai bun elev al clasei, eleva Tudorache
Cristina.
– din totalul elevilor, 20 sunt navetiști la distanțe mai mari de 10 km, fapt care reprezintă un
obstacol în ceea ce privește gradul de pregătire al elevilor. De asemenea, tot distanța, dar și
serviciul în paralel cu școala, în multe situații, sunt motivele întârzierilor la prima oră, fapt
care afectează de multe ori calitatea învățării;
– din discuțiile purtate cu profesorul diriginte al clasei, doamna profesor Stoicescu
Cornelia, s-a confirmat faptul că a existat într-adevăr un interes scăzut al părinților pentru
evoluția elevilor;
– oportunitatea la care speră un procent foarte mare al elevilor este angajarea în urma
finalizării liceului. Doar cinci elevi vor să participe la examenul de bacalaureat și să-si
continue studiile.
Clasa a IX-a M1, școală profesională de trei ani, domeniul de pregătire: mecanică,
calificarea: mecanic auto, are un efectiv de 28 de elevi, 24 de băieți și 4 fete.
Caracteristicile grupului din punct de vedere sociologic sunt:
– elevii din clasa a IX-a M1 reprezintă un grup construit recent, neomogen, relațiile de
coeziune dintre membrii grupului au nevoie de timp pentru a se consolida;
– 24 de elevi din mediul rural, distanța mare față de școală afectează calitatea pregătirii
temelor, mai ales pentru elevii neobișnuiți cu naveta;
– trecerea de la ciclul gimnazial la cel liceal face ca elevii să se adapteze mai greu noilor
exigențe, acest fapt produce de multe ori efecte negative și în privința rezultatelor la
învățătură;
– o trăsătură mai puțin favorabilă a clasei este media cu care componenții ei au fost admiși,
aceasta nedepășind 5,00, cea mai mică medie pe clasă fiind 2,00, iar 7 dintre elevi
neparticipând la Evaluarea Națională;
– o mare parte a elevilor au întâmpinat probleme de adaptabilitate la cerințele școlii, în
urma examinărilor orale s-au constatat multiple deficiențe de exprimare;
– din efectivul de 28 de elevi, 24 sunt navetiști, iar dintre aceștia mai mult de jumătate se
deplasează pe distanțe mai mari de 10 km, ceea ce presupune efort fizic mai mare și
randament mai scăzut la școală;

67
– o mare parte a elevilor provin din familii dezorganizate (elevi orfani sau cu părinți plecați
la muncă în străinătate). De asemenea, am observat că există mulți elevi cu părinții șomeri
sau fără ocupație;
– pregătirea profesională a părinților este de nivel mediu,chiar scăzut;
– deși se evidențiază mai multi elevi cu CES, trecut in catalog cu această denumire este
doar elevul Vintilă Alexandru.
– din discuțiile purtate cu profesorul diriginte al clasei, doamna profesor Sandu Adriana, a
reieșit că: părinții prezintă un interes scăzut pentru pregătirea elevilor și evoluția acestora,
acest lucru fiind observat de lipsa lor la ședințele cu părinții;
– ținând seama de situația moderată precară pe care o are un procent foarte mare de elevi,
motivul înscrierii la calificarea profesională mecanic auto a fost oportunitatea unei
eventuale angajări în unitatea unde parcurg practica de specialitate sub îndrumarea
maistrului instructor și de asemenea, remunerația lunară pentru bursa profesională in
valoarede 200 de lei este un alt motiv pentru a frecventa orele de curs. Datorită
absenteismului, 8 elevi au pierdut bursa profesională în primul semestru;
– la sfârșitul anului școlar s-a observat o legătură mai strânsă a relațiilor din cadrul grupului
ceea ce transmite că elevii s-au adaptat foarte bine noului mediu școlar.
Activitatea propriu-zisă a început prin stabilirea câtorva aspecte împreună cu elevii
celor două clase:
Tema proiectului – „Rezolvarea sistemelor de ecuații în liceu”, plecând de la noțiunile
studiate până la sfârșitul semestrului al II- lea al fiecărei clase;
Perioada de desfășurare – semestrul al doilea al anului școlar 2018 – 2019;
Obiectivele proiectului;
Prezentarea conținuturilor pe cele două grupuri de elevi;
Scopul proiectului;
Formarea și dezvoltarea unor deprinderi individuale prin consultarea de materiale
informative;
Dezvoltarea unui climat adecvat muncii in echipă;
Abordarea tolerantă a opiniilor și a argumentelor celorlalți;
Cultivarea unei atitudini pozitive față de comunicare;
Dezvoltarea unor sentimente de apartenență la grup și satisfacția realizării unor activități
comune.

68
Obiectivele proiectului au fost:
Pe parcursul derulării proiectului elevii celor două clase vor întocmi portofolii care vor
avea in vedere:
 Întocmirea cuprinsului;
 Extragerea pe fișe a informațiilor utile;
 Extragerea informațiilor din caietele de notițe, dar și din manuale, respectiv
culegeri;
 Indicarea surselor de informare;
 Identificarea tipurilor de probleme în variantele de bacalaureat, propuse în anul
școlar 2009, dar și în variantele propuse la examenele de bacalaureat în anii școlari
2010 – 2019 ;
 Redactarea unei scheme bine structurate prin prezentarea unui text sub forma unui
plan de rezolvare al exercițiilor;
 Utilizarea unui vocabular matematic;
Prezentarea conținuturilor pentru cele două grupuri de elevi:
Pentru clasa a IX-a s-a propus tema: „Poziția relativă a două drepte în plan.
Poziția unei drepte față de o parabolă ”, în cadrul căreia se vor avea în vedere:
– Identificarea într-un sistem a ecuației unei drepte, respectiv parabole ;
– Clasificarea sistemului și alegerea metodei de rezolvare;
– Rezolvarea sistemului;
– Interpretarea grafică a sistemului în urma determinării soluțiilor sale .
Pentru clasa a XI-a seral s-a propus tema „Metode de rezolvare a sistemelor de
ecuații liniare” și s-au avut în vedere parcurgerea corectă a următoarelor etape :
– Fixarea noțiunii de soluție pentru un sistem;
– Clasificarea sistemelor din punct de vedere al soluțiilor admise;
– Atașarea matricilor caracteristice;
– Stabilirea metodei adecvate de rezolvare a sistemului;
– Rezolvarea și analiza compatibilității unui sistem .
Condițiile de reușită ale unor astfel de activități sunt următoarele:
 Exploatarea continuă a activităților în clasă și prelungirea acestora prin analize
complementare acasă, pe grupe de elevi.
 Obiectivul principal al acestor activități este de „a-i învăța pe elevi să observe”, iar
apoi să identifice pașii de rezolvare al exercițiilor întâlnite.

69

Această operație presupune un demers activ care are în general 3 etape:
– reperarea și identificarea tipurilor de probleme în variantele de bacalaureat;
– stabilirea pașilor de rezolvare;
– rezolvarea problemelor selectate.
Proiect
 Argument
Prezentul proiect a fost propus având în vedere: interesul exprimat de elevii clasei a IX-a
pentru studierea temei sus amintite realizând astfel un dialog cu clasa a XI-a în ceea ce
privește pregătirea pentru examenul de bacalaureat; realizarea unor conexiuni între
informațiile acumulate pentru lărgirea orizontului matematic; posibilitatea elevilor de a se
integra în proiecte educative, în scopul creșterii eficienței activității.
 Titlul proiectului: – „Rezolvarea sistemelor de ecuații în liceu”
 Disciplina: – Matematică
 Profesor: Georgescu Ionuț Iulian
 Clasele: – a IX-a, a XI-a
 Nr. elevi: – 57
 Nr. ore prevăzute: – 10 ore
* Competențe generale:
– utilizarea terminologiei prin exprimarea coerentă a unei realități;
– dobândirea unor deprinderi, priceperi, metode și tehnici care să faciliteze o pregătire
continuă;
– explicarea unor etape de rezolvare, utilizând limbaj specific matematic.
* Competențe specifice:
– prezentarea unor informații matematice bine structurate pe baza unei documentări
eficiente;
– prezentarea rezultatelor investigațiilor pe baza temelor propuse.
* Etapele realizării proiectului:
Etapa 1: Se stabilesc sarcinile de lucru, in funcție de obiectivele vizate, timpul și
spațiul, mijloacele disponibile, durata, conținutul și succesiunea etapelor de lucru. A fost
alocată 1 oră pentru testul inițial, 7 ore pentru consultații și întocmirea portofoliului, 1 oră
pentru verificarea portofoliilor și o oră pentru testul final.
Etapa 2: Identificarea surselor disponibile (internet, bibliotecă, culegeri);

70
Etapa 3: Selectarea documentelor;
Etapa 4: Realizarea portofoliilor;
Etapa 5: Prezentarea portofoliilor;
Etapa 6: Evaluarea unde sunt anunțate si argumentate notele fiecărui elev;
Derularea proiectului debutează cu emiterea unui test inițial (Anexa 1) pentru elevii
clasei a IX-a care în cadrul predării subcapitolelor „Funcția de gradul I, Funcția de gradul
II”, au primit informațiile teoretice necesare. Astfel, spre sfârșitul semestrului II, elevii au
fost capabili să prezinte informații legate de „Poziția relativă a două drepte în plan. Poziția
unei drepte față de o parabolă”.
În urma aplicării testului inițial (Anexa 1) s-au înregistrat următoarele rezultate:
Tab. Nr4.1. Rezultate test inițial clasa a IX-a M1
Intervalul de note Numărul de elevi %
2-2,99 2 7,14%
3-3,99 8 28,57%
4-4,99 8 28,57%
5-5,99 6 21,42%
6-6,99 3 10,71%
7-7,99 1 3,57%
8-8,99 – 0%
9-10,00 – 0%
Din tabelul de mai sus se observă că un număr destul de mare de elevi care au obținut
note între 4-4,99 , acesta fiind un rezultat mai puțin încurajator. De asemenea, s-au obținut
doar 3 note în intervalul 6-6,99 și una între 7-7,99, ceea ce demonstrează nivelul scăzut de
cunoștințe al elevilor. Niciun elev nu a obținut note între 8 -10.
Media pe clasă este de 5,00 , o medie care reflectă multiplele deficiențe în ceea ce
privește rezolvarea testului.

71

În cadrul aceluiași proiect, la clasa a XI-a seral, la testul inițial (Anexa 2) au
participat 28 de elevi, un elev fiind absent în ziua respectivă. Notele obținute le-am grupat
în tabelul următor:
Tab. Nr 4.2. Rezultate test inițial clasa a XI-a S1
Intervalul de note Numărul de elevi %
3-3,99 1 3,57
4-4,99 8 28,57
5-5,99 8 28,57
6-6,99 3 10,71
7-7,99 3 10,71
8-8,99 4 14,28
9-10,00 1 3,57

Media clasei a XI-a S1 la testul inițial a fost 6,07 cu peste un punct față de clasa a IX-a
M1. 0123456789
2-2,99 3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-10Nr. eleviDistribuirea notelor obținute de elevii clasei a IX-a M1
la testul inițial

72

Fig. nr. 4.2
Din analiza graficului cu distribuirea notelor la testul inițial reiese că nici elevii
acestei clase nu stăpâniseră bine noțiunile evaluate. Cele mai multe note se încadrează în
intervalul 4-6,99, reprezentând 57,14% din efectivul de elevi. Dar, comparativ cu clasa a
IX-a care în intervalul 9-10 nu a obținut nicio notă, clasa a XI-a în acest interval a obținut o
notă.
Concluzii în urma testului inițial:
Elevii ambelor clase au dovedit mari lacune în receptarea informațiilor, de aceea
pentru următoarea perioadă prin aplicarea la clasă a metodelor diverse se încearcă
impulsionarea elevilor pentru a-și depăși deficiențele și a-și îmbunătăți performanțele.
După obținerea tuturor informațiilor, elevii clasei a IX-a sub îndrumarea
profesorului parcurg următoarea etapă, stabilirea raportului remedial și acolo unde există
informații lacunare.
Ultima etapă de realizare a portofoliului aduce cu ea odată cu informațiile
acumulate și satisfacția realizărilor proprii a lucrului terminat. Portofoliile elevilor conțin
informația – text, fotografii ale echipelor de elevi ce au lucrat împreună.
Clasa a XI-a S1, după parcurgerea testului inițial are la dispoziție ca și clasa a IX-a
M1, 7 ore pentru consultații și întocmirea portofoliului.
În etapa de prezentare a portofoliilor, elevii au avut grijă ca acestea să fie întocmite
într-o ordine firească și să atașeze testul inițial, referate, fișe de informare și documentare 0123456789
3-3,99 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-10Nr. eleviDistribuirea notelor obținute de elevii clasei a XI-a S1
la testul inițial

73
independentă, chestionare. Prin întocmirea portofoliilor, elevii oferă o imagine mult mai
completă a progresului înregistrat în timpul semestrului al II-lea.
Pentru a putea realiza o comparație cu momentul de debut al proiectului, elevilor li
s-a aplicat un test final.
Interpretarea datelor în urma aplicării testului final:
La testul final clasa a IX-a M1 ( ANEXA 3) a înregistrat următoarele rezultate:
Tab. Nr 4.3 . Rezultate test final clasa a IX-a M1
Interval de note: Nr. de elevi %
3-3,99 1 3,33
4-4,99 3 10
5-5,99 7 23,33
6-6,99 8 26,66
7-7,99 6 20
8-8,99 3 10
9-10,00 0 –

Elevii clasei a IX-a M1 au fost prezenți la test în număr de 28. Din tabelul de mai
sus se poate observa că un număr destul de mare de elevi au obținut note în intervalul 6-
6,99 și de asemenea în intervalul 5-5,99.
Comparativ cu testul inițial unde cele mai multe note le-au obținut în intervalul 4-
4,99, la testul final acest lucru s-a întâmplat în intervalul 6-6,99.
La testul inițial niciun elev nu a reușit sa depășească nota 6, iar la testul final 3 elevi
au obținut nota 8,00.
Media clasei este 5,73 la testul final, față de 5,00 la testul inițial.

74

Clasa a XI-a seral a obținut următoarele rezultate la testul final:
Tab. nr. 4.3 Rezultate test final clasa a XI-a
Interval de note: Nr. de elevi %
4-4,99 1 3,44
5-5,99 5 17,24
6-6,99 7 24,13
7-7,99 8 27,58
8-8,99 7 24,13
9-10,00 1 3,44

Elevii clasei a XI-a seral au fost prezenți la test în număr de 29. Din tabelul de mai
sus se poate observa că cel mai mare procent al notelor (27%) se situează în intervalul 7-
7,99 față de testul inițial la care cel mai mare procent s-a înregistrat în intervalul 5-5,99
Atât la testul inițial, cât și la cel final doar un elev a reușit să depășească nota 9.
Media clasei este 7,18 la testul final față de 6,07 înregistrată la testul inițial.
Concluzii : La ambele teste, clasa a XI-a a înregistrat note mai mari față de clasa a IX-a M1
ceea ce a demonstrat că elevii se mobilizează mai ușor și percep mai bine metodele de
predare.
Clasa a IX-a M1 a înregistrat în urma analizei testelor mai multe lacune în
receptarea informațiilor și punerea lor în practică.
În urma verificării portofoliilor și interpretării celor două teste se constată
următoarele dificultăți în:
– folosirea unui vocabular matematic;
– clasificarea informațiilor;
– identificarea unor tipuri de probleme;
– compararea rezultatelor obținute;
– exprimarea ideilor într-o discuție;
– formularea unei concluzii personale.

75
Pentru îmbunătățirea performanțelor elevilor se prevăd următoarele măsuri:
– folosirea adecvată a metodelor moderne;
– metode de predare cât mai variate;
– mai multe activități pe grupe de elevi atât la școală, cât și după terminarea cursurilor;
– implicarea elevilor și în alte proiecte.
4.2 Conținutul și importanța instructiv – educativă a lucrării
Conținutul lucrării urmărește ca la sfârșitul derulării proiectului propus, cele două
clase să fie capabile să analizeze cu mai multă atenție exercițiile propuse, să gândească cu
grijă pașii de rezolvare și abia apoi să treacă la efectuarea propriu-zisă a problemei date.
Importanța instructiv-educativă a lucrării este dată de procesele propriu-zise de
predare și învățare care leagă între ele diferitele componente și facilitează adaptarea lor
reciproc: profesorul și elevii sunt componente principale ale procesului de învățământ.
Au fost selectate principiile după care s-a desfășurat activitatea, metodele și
procedeele utilizate și resursele materiale.
Au fost create situații de învățare valoroase din punct de vedere formativ, educativ,
pe un fond cognitiv esențializat.
Au fost dezvăluite cu grijă semnificațiile umane și sociale ale conținuturilor
științifice.
S-a acordat atenția cuvenită selecției, actualizării și concretizării cunoștințelor
prezentate. Conținutul instruirii a fost organizat în funcție de cerințele formării tinerilor
pentru integrarea lor în viața socială și profesională.
Astfel, s-a avut în vedere:
– ce capacitate trebuie vizată?
– in ce condiții poate fi realizată?
– care sunt limitele rezultatelor așteptate?
– care sunt criteriile de acceptabilitate a performanței?
Pentru obținerea performanței s-a operat cu anumite standarde, adică etaloane
pentru aprecierea elevilor în învățare: cu cât exigența a fost mai mare cu atât standardele au
fost mai ridicate.
Prin operaționalizarea cunoștințelor s-a avut în vedere acea latură a educației
intelectuale care solicită operațiile gândirii. Astfel, s-a intervenit în atenuarea decalajelor
dintre explozia informațională și capacitățile intelectuale ale elevilor de a achiziționa
cunoștințe.

76
Obiectivele lucrării au fost în strânsă legătură cu conținuturile, activitățile de
învățare, resursele materiale și procedurale și cu evaluarea.
S-a asigurat participarea intensivă a elevilor și o mai bună personalizare a învățării
și o mai bună adaptare la particularitățile elevilor, la experiența lor de viață, la posibilitățile
lor reale, la motivația lor.
4.3. Analiza nivelului de realizare a obiectivelor
Prin implicarea metodelor moderne, interesul elevilor a crescut, rezultatele la
evaluarea finală fiind mai bune, toate mergând în concordanță cu dezvoltarea gustului
elevilor pentru cultură, în general. Prin aceste metode elevul participă în mod direct la
procesul de predare – învățare, îmbunătățindu-și performanțele și autodepășindu-se. Dar nu
trebuie uitate nici metodele tradiționale, care deși implică elevii într-o măsură mai mică
impun un ritm mai echilibrat de învățare.
Elevii au învățat să colaboreze, să-și dezvolte cu mai multă ușurință capacitatea de
analiză, sinteză, comparare sau evaluare, îmbogățindu-și astfel vocabularul.
S-a observat îmbunătățirea aptitudinilor elevilor, iar în urma metodelor activ
participative folosite s-a înregistrat un progres vizibil.
Astfel, metodele trebuie aplicate în funcție de specificul clasei de elevi, de tema ce
urmează a fi discutată și de resursele didactice disponibile.
De asemenea s-a dorit și s-a realizat formarea atitudinii juste față de învățătură prin
poziția conștientă a elevului prin care consideră obligațiile școlare drept principala sa
îndatorire, principala cale de afirmație și sursă de satisfacții. Înțelegerea în procesul de
învățământ a fost asigurată printr-o comunicare didactică veritabilă, stimularea interesului
elevilor și utilizarea diferitelor procedee activizante.
Prin asigurarea legăturii dintre teorie și practică s-au avut în vedere 2 „trasee” care
realizează legătura dintre cele două domenii:
– de la practică la teorie: adică din practică vin problemele, acolo este sursa lor, iar
teoria este cea care construiește soluții. Valoarea acestora se demonstrează prin
introducerea lor în practică.
– de la teorie la practică: se conștientizează problemele, se oferă soluțiile și se
verifică în activitatea practică.
În urma realizării studiului, evoluția elevilor a fost interpretată prin grafice și tabele,
înregistrându-se un real progres.

77
ANEXA 1
Test inițial pentru clasa a-IX-a
Anul școlar 2018-2019
 Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 50 de minute.
Subiectul I (30 puncte)
I.1. Dacă sistemul (𝑆ଵ):൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑚,𝑛,𝑝∈ ℝ, are ca drepte associate pe
𝑑ଵș𝑖 𝑑ଶ, realizați corespondențele:
1.(𝑆ଵ) compatibil determinat A. (𝑆ଵ) nu are soluție a. card {𝑑ଵ∩𝑑ଶ}= 1
2.(𝑆ଵ) compatibil nedeterminat B. (𝑆ଵ) are o infinitate de soluții b. 𝑑ଵ∩𝑑ଶ= ∅
3. (𝑆ଵ) incompatibil C. (𝑆ଵ) are soluție unică c. 𝑑ଵ=𝑑ଶ
I.2. Dacă sistemul (𝑆ଶ):൜𝑚𝑥+𝑛=𝑦
𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦 ,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏,𝑐∈ ℝ are asociată dreapta 𝑑 și
parabola 𝒫, realizați corespondențele:
1. (𝑆ଶ) are două soluții A. 𝑑 este exterioară parabolei 𝒫
2. (𝑆ଶ) are soluție unică B. 𝑑 este secantă parabolei 𝒫
3. (𝑆ଶ) nu are soluții reale C. 𝑑 este tangentă parabolei 𝒫
Subiectul II(60 puncte)
II.1.Se consideră sistemul ൜2𝑥−𝑦= 5
7𝑥+𝑦= 4 
a) Să se decidă dacă perechea (3,1) este soluție a sistemului.
b) Să se rezolve sistemul precizând poziția dreptelor 𝑑ଵ ,𝑑ଶ asociate ecuațiilor.
c) Fie drepta 𝑑ଷ:𝑥−2𝑦−7 = 0, să se decidă dacă dreptele 𝑑ଵ ,𝑑ଶ,𝑑ଷ sunt
concurente.
II.2.Se consideră sistemul ൜𝑦=𝑚𝑥ଶ−5𝑥+2
𝑦= 5𝑥+1 ,𝑚∈ ℝ , iar 𝒫, 𝑑, parabola și dreapta
associate.
a) Pentru 𝑚= 25, să se rezolve sistemul precizând poziția dreptei față de parabolă.
b) Să se afle 𝑚∈ ℝ dacă 𝒫∩ 𝑑= ∅.
c) Să se afle 𝑚∈ ℝ dacă dreapta 𝑑 este secantă parabolei 𝒫.

78
Test inițial pentru clasa a-IX-a. Anul școlar 2018-2019
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
 Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I
 Se punctează doar rezultatul,astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte,fie
0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al – II – lea
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale,în limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I .1 (15 puncte)
1. (1.C.a) 5p
2. (2.B.c) 5p
3. (3.A.b) 5p
SUBIECTUL I.2 (15 puncte)
1. (1.B) 5p
2. (2.C) 5p
3. (3.A) 5p
SUBIECTUL II .1 (30 puncte)
a. 2∙3−1=5
7∙3+1=22≠4⟹(3,1) nu este soluție a sistemului 5p
5p
b. 9𝑥=9⇒𝑥=1
2−𝑦=5⇒𝑦=−3⇒(1,−3) este soluția unică a sistemului
Sistemul este compatibil determinat și 𝑑ଵ∩𝑑ଶ=𝐴(1,−3) 4p
4p
2p
c. Dreptele sunt concurente dacă 𝐴(1,−3)∈𝑑ଷ: 𝑥−2𝑦−7=0
1−2∙(−3)−7=0⇒𝐴(1,−3)∈𝑑ଷ 5p
5p

79
SUBIECTUL II.2 (30 puncte)
a. 25𝑥ଶ−5𝑥+2=5𝑥+1⇒25𝑥ଶ−10𝑥+1=0,∆=0⇒𝑥=ଵ
ହ,𝑦=2
⇒sistemul are soluție unică ⇒𝑑 este tangentă parabolei 𝒫 în 𝐴(ଵ
ହ,2) 5p
5p
b. 𝒫∩ 𝑑=∅ ⇒ ecuația 𝑚𝑥ଶ−10𝑥+1=0 nu are soluții reale
∆<0⇒100−4𝑚<0⇒𝑚∈(25,∞) 5p
5p
c. 𝑑 este secantă parabolei 𝒫⇒ 𝑚𝑥ଶ−10𝑥+1=0 are două soluții
diferite
∆>0⇒100−4𝑚>0⇒𝑚∈(−∞,25)−{0} 5p
5p

80
ANEXA 2

Test inițial pentru clasa a-XI-a
Anul școlar 2018-2019
 Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 50 de minute.
Subiectul I (30 puncte)
1. Matricea atașată sistemului de ecuații liniare: ൜3𝑥−𝑦+𝑧= 2
𝑥+𝑦−𝑧= 5  este….
2. Matricea termenilor liberi din sistemul: ൝𝑥+𝑦+𝑧−1 = 0
𝑥−𝑦+𝑧= 0
2𝑥+𝑦−3𝑧+2 = 0 este….
3. Forma matriceală a sistemului ൜𝑥−𝑦= 4
5𝑥−𝑦= 5  este….
4. Valoarea reală a lui 𝑚 ,dacă sistemul ൜𝑥+5𝑦= 6
2𝑥+𝑦=𝑚 , admite soluția (−4,2), este….
5. Valoarile reale ale lui 𝑚, dacă sistemul ൜𝑥+𝑚𝑦= 1
𝑚𝑥+𝑦= 2 , este de tip Cramer, sunt….
6. Numărul de soluții ale unui sistem incompatibil este….
Subiectul II (60 puncte)
1. Se consideră sistemele : (𝑆ଵ):൜𝑥−𝑦= 2
2𝑥+𝑦= 7  și (𝑆ଶ):൜𝑚𝑥+3𝑦= 0
2𝑥+𝑛𝑦= 1 , 𝑚,𝑛∈𝑅
a) Să se demonstreze că matricea atașată sistemului (𝑆ଵ) este inversabilă.
b) Să se rezolve sistemul (𝑆ଵ).
c) Să se afle 𝑚,𝑛∈𝑅, dacă sistemele (𝑆ଵ) și (𝑆ଶ) sunt echivalente.
2. Se consideră sistemul: ቐ𝑥+𝑦+𝑧= 1
2𝑥+𝑎𝑦+3𝑧= 1
4𝑥+𝑎ଶ𝑦+9𝑧= −3 ,𝑎∈𝑅
a) Să se arate că det(𝐴)=(2−𝑎)(𝑎−3), unde 𝐴 este matricea atașată sistemului.
b) Să se afle 𝑎∈𝑅 pentru care sistemul este de tip Cramer.
c) Pentru 𝑎= 4 să se rezolve sistemul.

81
Test inițial pentru clasa a-XI-a. Anul școlar 2018-2019
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
 Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I
 Se punctează doar rezultatul,astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte,fie
0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al – II – lea
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale,în limitele punctajului indicat în barem.

SUBIECTUL I (30 puncte)
1. ቀ3−11
11−1ቁ 5p
2.
൭1
0
−2൱ 5p
3. ቀ1−1
5−1ቁ∙ቀ𝑥
𝑦ቁ=ቀ4
5ቁ 5p
4. 𝑚=−6 5p
5. 𝑚∈ℝ−{∓1} 5p
6. 0 5p

SUBIECTUL II (30 puncte)
1.a det(𝐴)=ቚ1−1
21ቚ=1∙1−(−1)∙2=3
det(𝐴)≠ 0 ⇒𝐴 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑏𝑖𝑙 ă
5p
5p
1.b 3𝑥=9⇒𝑥=3
3−𝑦=2⇒𝑦=1
Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (3,1) 4p
4p
2p
1.c (𝑆ଵ) și (𝑆ଶ) sunt echivalente dacă perechea (3,1) verifică (𝑆ଶ) 2p

82
3𝑚+3=0⇒𝑚=−1
6+𝑛=1⇒𝑛=−5 4p
4p

SUBIECTUL II (30 puncte)
2.a det(𝐴)=−𝑎ଶ+5𝑎−6=
=−(𝑎ଶ−5𝑎+6)=−(𝑎−2)(𝑎−3)=(2−𝑎)(𝑎−3) 5p
5p
2.b det(𝐴)≠0⇒(2−𝑎)(𝑎−3)≠0
𝑎∈ℝ−{2,3} 5p
5p
2.c Pentru 𝑎=4 obținem det(𝐴)=−2≠0⇒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑡𝑖𝑝 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟
∆௫=−2,∆௬=2,∆௭=−2
Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (1,−1,1) 3p
5p
2p

83

ANEXA 3
Test final pentru clasa a-IX-a
Anul școlar 2018-2019
 Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 50 de minute.
Subiectul I (30 puncte)
1. Numărul de soluții pentru un sistem compatibil nedeterminat, este….
2. Două sisteme cu aceleași soluții, se numesc sisteme….
3. Două drepte cu un singur punct comun , se numesc drepte….
4. Dreapta care intersectează o parabolă în două puncte distincte, se numește….
5. Dacă sistemul ൜𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑝 , este incompatibil, atunci dreptele asociate sunt….
6. O metodă de rezolvare a unui sistem este….

Subiectul II (60 puncte)
1.Se consideră sistemul : ൜𝑥+3𝑦=𝑝
7𝑥+(𝑚−2)𝑦=𝑝+1 , 𝑚,𝑝∈𝑅.
a) Pentru 𝑝= 0 să se reprezinte grafic dreapta asociată primei ecuații a sistemului.
b) Să se afle parametrii 𝑚,𝑝∈𝑅, dacă sistemul admite soluția (−2;1).
c) Să se rezolve sistemul dacă 𝑚= 23 și 𝑝= 2, interpretând geometric soluția sa.

2.Se consideră dreapa 𝑑: 𝑦=𝑥+7 și parabola 𝒫: 𝑥ଶ+14𝑥+49.
a) Care este poziția dreptei 𝑑 față de parabola 𝒫?
b) Care este poziția axei ox în raport cu parabola 𝒫?
c) Care este poziția axei oy în raport cu parabola 𝒫?

84

Test final pentru clasa a-IX-a. Anul școlar 2018-2019
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
 Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I
 Se punctează doar rezultatul,astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte,fie
0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al – II – lea
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale,în limitele punctajului indicat în barem.

SUBIECTUL I (30 puncte)
1. ∞ 5p
2. echivalente 5p
3. concurente 5p
4. secantă 5p
5. paralele 5p
6. metoda substituției/metoda reducerii/metoda grafică 5p

SUBIECTUL II (30 puncte)
1.a Reprezentarea primului punct situat pe dreapta 𝑥+3𝑦=0
Reprezentarea celui de-al doilea punct situat pe dreapta 𝑥+3𝑦=0
Trasarea dreptei 𝑥+3𝑦=0 4p
4p
2p
1.b −2+3∙1=𝑝⇒𝑝=1
7∙(−2)+(𝑚−2)∙1=2⇒𝑚=18 5p
5p
1.c ൜𝑥+3𝑦=2
7𝑥+21𝑦=3 ⟺൜−7𝑥−21𝑦=−14
7𝑥+21𝑦=3 ⇒0=−11 6p

85
Sistemul este incompatibil ⇒ dreptele asociate sunt paralele 4p

SUBIECTUL II (30 puncte)
2.a 𝑥ଶ+14𝑥+49=𝑥+7⇒𝑥ଶ+13𝑥+42=0⇒𝑥ଵ=−6,𝑥ଶ=−7
Pentru 𝑥ଵ=−6⇒𝑦ଵ=1, pentru 𝑥ଶ=−7⇒𝑦ଶ=0
Dreapta este secantă parabolei în punctele 𝐴(−6,1),𝐵(−7,0). 6p
2p
2p
2.b Ecuația axei ox este 𝑦=0 ⇒𝑥ଶ+14𝑥+49=0⟺(𝑥+7)ଶ=0
𝑥=−7⇒axa ox este tangentă parabolei în punctul 𝐶(−7,0) 5p
5p
2.c Ecuația axei oy este 𝑥=0⇒𝑦=0ଶ+14∙0+49=49
𝑜𝑦∩𝒫={𝐷(0,49)} 5p
5p

86

ANEXA 4

Test final pentru clasa a-XI-a. Anul școlar 2018-2019
 Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de 50 de minute.

Subiectul I (30 puncte)
1. Dacă sistemul ൜𝑥+𝑎𝑦= 3
2𝑥−𝑦=𝑏  admite soluția (1,2), atunci perechea (a,b) este….
2. Matricea termenilor liberi din sistemul: ൝−𝑥+𝑦+𝑧−5 = 2
2𝑥−4𝑦+𝑧−1 = 6
2𝑥+𝑦−3𝑧+2 = 8  este….
3. Matricea atașată sistemului ൝𝑧+𝑦−𝑥−5 = 2
2𝑥−4𝑦+𝑧−1 = 6
2𝑥−3𝑧+𝑦+2 = 8  este….
4. Forma matriceală a sistemului ൜2𝑥+5𝑦= 1
𝑥−𝑦= 0  este….
5. Valorile reale ale lui 𝑥, pentru care matricea ቀ𝑥+2 4
−3𝑥−2ቁ este inversabilă,
sunt….
6. Valoarea reală a lui 𝑚, dacă sistemul ൜3𝑥+𝑚𝑦= −1
𝑥+5𝑦= −2 , este de tip Cramer, este….
Subiectul II (60 puncte)
1. Se dau 𝐴=ቀ2 1
3 −2ቁ∈ ℳଶ(ℝ),𝐵=ቀ5
4ቁ∈ ℳଶ,ଵ(ℝ) ș𝑖 𝑋=ቀ𝑥
𝑦ቁ∈ ℳଶ,ଵ(ℝ).
a) Demonstrați că matricea A este inversabilă.
b) Calculați inversa matricii A.
c) Să se afle 𝑥,𝑦∈ ℝ, dacă 𝐴∙𝑋=𝐵.
2. Se consideră sistemul de ecuații ൝𝑥−2𝑦+3𝑧= −3
2𝑥+𝑦+𝑧= 4
𝑚𝑥−𝑦+4𝑧= 1 ,𝑚∈ ℝ.
a) Să se afle 𝑚∈ ℝ dacă soluția sistemului este tripletul (2,1,−1).
b) Să se rezolve ecuația det(𝐴)=𝑚ଶ−3𝑚, unde 𝑚∈ ℝ și 𝐴 este matricea
atașată .
c) Pentru 𝑚= −5, să se rezolve sistemul de ecuații.

87

Test final pentru clasa a-XI-a. Anul școlar 2018-2019
BAREM DE EVALUARE ȘI NOTARE
 Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a
punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I
 Se punctează doar rezultatul,astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte,fie
0 puncte. Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al – II – lea
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale,în limitele punctajului indicat în barem.

SUBIECTUL I (30 puncte)
1. (1,0) 5p
2.
൭7
7
6൱ 5p
3.
൭−111
2−41
21−3൱ 5p
4. ቀ25
1−1ቁ∙ቀ𝑥
𝑦ቁ=ቀ1
0ቁ 5p
5. 𝑥∈ℝ 5p
6. 𝑚∈ ℝ−{15} 5p

SUBIECTUL II.1 (30 puncte)
1.a det(𝐴)=ቚ21
3−2ቚ=2∙(−2)−1∙3=−7
det(𝐴)≠ 0 ⇒𝐴 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑏𝑖𝑙 ă
5p
5p

88
1.b 𝐴ିଵ=஺∗
ୢୣ୲(஺) ,
𝐴∗=ቀ−2 −1
−3 2ቁ
𝐴ିଵ=−1
7∙ቀ−2−1
−32ቁ 2p

6p
2p
1.c 𝐴∙𝑋=𝐵⇒(𝐴ିଵ∙𝐴)∙𝑋=𝐴ିଵ∙𝐵⇒𝑋=𝐴ିଵ∙𝐵
X=ିଵ
଻∙ቀ−2−1
−32ቁ∙ቀ5
4ቁ=ିଵ
଻∙ቀ−14
−7ቁ=ቀ2
1ቁ⇒𝑥= 2 ș𝑖 𝑦= 1 5p
5p

SUBIECTUL II.2 (30 puncte)
2.a 2−2∙1+3∙(−1)=−3⟹(2,1,−1) 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐ă 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑒
2∙2+1−1=4⟹(2,1,−1) 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐ă 𝑎 𝑑𝑜𝑢𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑒
(2,1,−1) 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐ă 𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑒 𝑑𝑎𝑐ă 2𝑚−1+4∙ (−1)= 1 ⇒𝑚
=3 3p
3p
4p
2.b det(𝐴)=4−6−2𝑚−3𝑚+1+16=15−5𝑚
𝑚ଶ−3𝑚=15−5𝑚⟹𝑚ଶ+2𝑚−15=0⟹𝑚ଵ,ଶ∈{3,−5} 5p
5p
2.c Pentru 𝑚=−5 obținem det(𝐴)=40≠0⇒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑡𝑖𝑝 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟
∆௫=0,∆௬=120,∆௭=40
Sistemul este compatibil determinat cu soluția unică (0,3,1) 3p
5p
2p

89
ANEXA 5

Арlіϲarеa mеtodеі braіnstormіng la rеzolvarеa șі dіϲutarеa unuі sіstеm dе
еϲuațіі lіnіarе la ϲlasa a ХІ-a.
Εtaре:
1. Аlеgеrеa sarϲіnіі dе luϲru. Ρroblеma еstе sϲrіsă ре tablă.
Să sе dіsϲutе duрă рaramеtrul  R sіstеmul:


2 211
 
zzyxzyxzyx

2. Solіϲіtarеa ехрrіmărіі într-un mod ϲât maі raріd, a tuturor іdеіlor lеgatе dе
rеzolvarеa рroblеmеі. Sub nіϲі un motіv, nu sе vor admіtе rеfеrіrі ϲrіtіϲе.
Ϲеrеțі еlеvіlor să рroрună stratеgіі dе rеzolvarе a рroblеmеі. Ρot aрărеa, dе ехеmрlu,
sugеstіі lеgatе dе ϲomрatіbіlіtatеa sіstеmuluі, dе dіsϲuțіa rеfеrіtoarе la rangul matrіϲеі
asoϲіatе sіstеmuluі în funϲțіе dе . Lăsațі еlеvіі să рroрună orіϲе mеtodă lе trеϲе рrіn minte!
3. Înrеgіstrarеa tuturor іdеіlor în sϲrіs (ре tablă). Аnunțarеa unеі рauzе реntru
așеzarеa іdеіlor (dе la 15 mіnutе рână la o zі).
Νotațі toatе рroрunеrіlе еlеvіlor. La sfârșіtul orеі, рunеțі еlеvіі să transϲrіе toatе aϲеstе
іdеі șі ϲеrеțі-lе ϲa ре tіmрul рauzеі, să maі rеflеϲtеzе asuрra lor.
4. Rеluarеa іdеіlor еmіsе ре rând șі gruрarеa lor ре ϲatеgorіі, sіmbolurі, ϲuvіntе ϲhеіе, еtϲ.
Ρеntru рroblеma analіzată, ϲuvіntеlе-ϲhеіе ar рutеa fі: rangul matrіϲеі, rеgula luі
Ϲramеr, nеϲunosϲutе sеϲundarе, nеϲunosϲutе рrіnϲірalе.
5. Аnalіza ϲrіtіϲă, еvaluarеa, argumеntarеa, ϲontraargumеntarеa іdеіlor еmіsе
antеrіor. Sеlеϲtarеa іdеіlor orіgіnalе sau a ϲеlor maі aрroріatе dе soluțіі fеzabіlе
реntru рroblеma suрusă atеnțіеі.
Ρunеțі întrеbărі dе tірul: Ϲarе sunt nеϲunosϲutеlе рrіnϲірalе? Dar ϲеlе sеϲundarе? Ϲând
sе aрlіϲă rеgula luі Ϲramеr?
6. Аfіșarеa іdеіlor rеzultatе în formе ϲât maі varіatе șі orіgіnalе: ϲuvіntе, рroрozіțіі,
ϲolajе, іmagіnі, dеsеnе, еtϲ.

90
Ϲa urmarе a dіsϲuțііlor avutе ϲu еlеvіі, trеbuіе să rеzultе stratеgіa dе rеzolvarе a
рroblеmеі. Аϲеasta рoatе fі sіntеtіzată sub forma unor іndіϲațіі dе rеzolvarе dе tірul:
ϲalϲulăm dеtеrmіnantul matrіϲеі asoϲіatе sіstеmuluі; dіsϲutăm în funϲțіе dе valoarеa
dеtеrmіnantuluі ϲalϲulat; aрlіϲăm rеgula luі Ϲramеr; dіsϲutăm ϲomрatіbіlіtatеa
sіstеmuluі.

%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a

91
BIBLIOGRAFIE
1. Mircea Ganga – Matematică- manual pentru clasa a- IX-a, Editura Mathpress,
2004;
2. V.Nicula, P.Simion,V.Niță, V.Nicolae – Matematică , clasa a-XI-a, Breviar
teoretic.Exerciții și probleme propuse și rezolvate.Teste de evaluare, Ediția a –II-a
revizuită, Editura Niculescu,2013;
3. Mircea Ganga – Matematică – manual pentru clasa a-XI-a,volumul II, Elemente de
algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, 2004;
4. M.Burtea, G.Burtea – Matematică M2 – Culegere de exerciții și probleme pentru
clasa a – XI-a , Editura Campion, București, 2009;
5. M.Burtea, G.Burtea – Matematică M2 – Culegere de exerciții și probleme pentru
clasa a – IX-a , Editura Campion, București, 2009;
6. Cerchez Mihu – Sisteme de ecuații liniare și forme pătratice, Editura Tehnică,
București, 1985;
7. P.Năchilă, I. Cheșcă, F. Droc – Matematică – manual pentru clasa a – IX –a, Editura
Crepuscul, Ploiești, 2004;
8. M.Becheanu,C.Niță, I.D.Ion – Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura
Didactică și Pedagogică, București, 1983;
9. Manole S. și colectiv – Matematică economică, Editura Independența Economică,
2006;
10. Mihu C. – Metode numerice în algebra liniară, Editura Tehnică, București,1977;
11. Sarivan L. – Predarea interactivă centrată pe elev, Editura Educația 2000+,
București, 2005.
WEBOGRAFIE
1. www.topster.ro
2. httр://ѕіѕtеmе.wіkіdot.сom/іntеrрrеtarеa-gеomеtrісa

92
Universitatea „VALAHIA” din Târgoviște
Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

Subsemnatul, Georgescu Ionuț Iulian, cadru didactic la Liceul Tehnologic Mecanic,
localitatea Câmpina, județul Prahova, înscris la examenul pentru acordarea gradului
didactic I, seria 2018-2021, declar pe propria răspundere următoarele :
a) lucrarea a fost eleborată personal și îmi aparține în întregime;
b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;
c) nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte
surse fără a le cita și fără a preciza sursa preluării, inclusive în cazul în care
sursa o reprezintă alte lucrări ale subsemnatului;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în context de examen sau concurs.

Dau prezenta declarație, fiind necesară la depunerea lucrării metodico-științifice
pentru obținerea gradului didactic, în vederea avizării acesteia de către coordonatorul
științific, lector. univ. dr. Doina Constanța Mihai.

Data:
Declarant : Georgescu I. G. Ionuț Iulian

93