Lect .univ.dr. DINU TEODORESCU CANDIDAT: Prof:MORARU (RUSU)ELENA IOANA TÂRGOVIȘTE 2021 2 UNIVERSITATEA „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE DEPARTAMENTUL PENTRU… [608026]

1

UNIVERSITATEA „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC 
Lect .univ.dr. DINU TEODORESCU

CANDIDAT: [anonimizat]:MORARU (RUSU)ELENA IOANA

TÂRGOVIȘTE
2021

2
UNIVERSITATEA „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC

RELAȚII METRICE ÎN
GEOMETRIA PLANĂ

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC 
Lect .univ.dr. DINU TEODORESCU

CANDIDAT: [anonimizat]:MORARU(RUSU)ELENA IOANA

TÂRGOVIȘT E
2021

3

CUPRINS
Introducere………………………………………. ……………… …………………………………. .6
I.Relații metrice în triunghiul ………………………. ……………………… ……………….11
1.Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor…… …………………………11
1.1. Raportul a două segmente…………………………………. …………….. ….11
1.2. Linia mijlocie î n triunghi…………………………. …………………………..16
1.3. Linia mijlocie î n trapez………………………….. …………………………….18
1.4.Triunghiuri asemenea…………………………………………………… ………20
1.4. Teorema fundamentală a asemănării……….. …………………………….22
1.5. Criterii de asemănare a triunghiurilor …………. ………………………….23

2.Concurența liniilor importante în triunghi……………… …………. ……………..26
2.1. Calculul lungimilor liniilor importante î n triunghi………………… .31
2.1.1.Lungi mea medianei unui triunghi ……. ………………………….31
2.1.2.Lungimea înalțimii unui triunghi….. …………………………….32
2.1.3.Lungimea bisectoarei interioare și
lungimea bisectoarei exterioare……. ……………………………34
3.Teorema cosinusului………………………………………. ……………………………..38
4.Teorema sinusurilor……………………………………………. …………………………39
5.Teorema lui Stewart………………………………………….. …………………………..40
6.Teorema lui Menelaus………. ……………………………….. ………………………….43
7.Teorema lui Ceva………………………………………………………………………….. 44

II.. Relații metrice în triunghiul dreptunghic……………. ………………………………45
2.1. Triunghiul dreptunghic (definiție, elemente)…………………. ……….45
2.2. Proiecții ortogonale pe o dreaptă…………………………….. ………… ….48
2.3. Teorema catetei………………………. ……………………….. ………………..51
2.4. Teorema înălțimii…………………………………………………… …………..52
2.5. Teorema lui Pitagora……………………………………………….. ………….55

4
2.6. Noțiuni de trigonome trie î n triunghiul dreptunghic ………… ……….56
III. Relații metrice în patrulatere………………………………………………….. ………. .60
3.1. Patrulatere…………………………………………….. ……………………..……63
3.2. Patrulatere inscriptibile…………….…………… …………………….….63
3.3.Relații metrice într -un patrulater……………………………………… …….65
3.3.1.Relația lui Euler pentru patrulatere………. …………………………65
3.3.2.Inegalitatea lui Ptolemeu……………………. …………………………66
3.3.3.Teorema lui Menelaus pentru patrulatere…………. ……………… 68
3.3.4.Relații metrice în patrulaterul oareca re și în tetraedru…………69
IV.Aplicații………………………………………………………………. …………………………73
4.1.Probleme rezolvate………. ………………………………………….. …………..73
4.2.Probleme date la competiții și concursuri școlare
naționale și internaționale………………… ………91
V. Aplicații în măsurători terestre………………………………………………… ………104
5.1.Aplicații…………………………… ………………….. ……………….. …………110

Bibliografie……………………………………… ……………………… ……………………….1 29

5

”Triunghiul…Nu l -am considerat de prea multe ori prieten.
Î ntotdeauna s -a găsit să ne facă în necaz cu vreun loc geometric sau cu vreo
concurență de drepte ciudate. Ca să nu mai vorbim de cazul câ nd ni se cerea
să-l construim aproape din nim ic – cu o mediană, o înălțime și un unghi. (…)
Și totuși, perfidul ring – o dată ce te -a prins î ntre corzile lui – chiar dacă
scapi, te atrage fără voie. E ca o junglă sau ca aerul tropi celor, ajunge să -l
respiri o singură dată pentru a -i simți mereu lipsa câ nd nu -l mai ai.”

(Viorel Gh. Vodă – ”Triunghiul – ringul cu trei colțuri”)

6

INTRODUCERE

Î n procesul instructiv -educativ ce se desfășoară la nivel preuniversitar,
un rol fundamental îl ocupă predarea matematicii. Lecțiile de matematică au
un rol informativ, în sensul că aduce la î ndemâ na elevilor cunoștințe de bază
din domeniul matematicii, ne cesare în problema cunoașterii și a posibilității
abordării altor științe cum ar fi fizica, chimia, economia etc. și un rol formativ
în sensul că deprinde elevii cu modele de raționamente logice.
Matematica zilelor noastre evoluează dinamic atâ t din punct de vedere
cantitativ și, mai ales, calitativ. Învățământul nu poate rămâne impasibil în fața
acestor noi descoperiri ; el are de rezolvat probleme noi referitoare la
expunerea în școală a bazelor unor științe în continuă transformare. În cadrul
disciplinelo r matematice care se predau în învățământul preuniversitar un rol
deosebit î l are geometria.
Se pot identifica câteva obiective care stau la baza predării geometriei.
Un prim obiectiv î l constituie, î n clasa a VI -a, înțelegerea conceptelor
geometrice, a a bstracțiunilor, clarificarea mai bună a relațiilor concret -abstract,
intuitiv -conceptual, formarea unor entități mintale bine conturate. Un alt
obiectiv important al predării geometriei este acela de a -i deprinde pe elevi să
demonstreze, adică să fundament eze logic, deductiv, unele propoziții pornind
de la altele despre care se știe că sunt adevărate. La această deprindere nu se
poate ajunge dintr -o dată, ci treptat, printr -un proces educativ, astfel î ncâ t
elevii să devină conștienți de necesitatea demonstr ației, de procedeele logice
pe care le folosesc. Alt obiectiv urmărit prin predarea geometriei în gimnaziu
este consolidarea deprinderilor de calcul aritmetic și algebric. Pe parcursul
efectuării unor demonstrații, rezolvării unor probleme, elevii sunt nev oiți să
efectueze și calcule algebrice sau aritmetice. Un alt obiectiv ar putea fi
dezvoltarea capacității elevilor de a executa construcții geometrice corecte, de

7
cele mai multe ori doar pe baza informațiilor oferite, descrise în enunțul unei
probleme.
Geometria a reprezentat dintotdeauna o magie pentru cei care au vrut
să-i dezlege tainele. Astăzi oamenii sunt obișnuiți să considere numerele ca
element primordial, ca punct de pornire a oricărei judecăți matematice. Și
totuși, omul s -a lovit la î nceput de forme. Forme care, chiar dacă nu
erau ”geometrice” în sensul cunoscut astăzi, conțineau primele elemente de
geometrie. Luna plină a sugerat probabil cercul, munții – corpurile poliedrice,
orizontul – dreapta, iar constelațiile – poligoanele.
Istoria geomet riei î ncepe cu un mic paradox legat de î n săși numele
ei: ”geo” – pământ, ”metron” – măsură; așadar, știința de a măsura pământul.
Dar la vechii greci, știința măsurării pământului nu avea prea multe lucruri
comune cu ”adevărata geometrie”. Ei numeau aceste aplicații de fapt ale
geometriei, geodezie. De ea se folosește geografia, la construcția hărțior,
atlaselor etc.
În ultimul deceniu, în țara noastră, geometria ca obiect de studiu în
școală, a beneficiat de modificări spectaculoase. Este vorba de creștere a
ponderii raționamentului deductiv, abstract, fapt cu implicații majore în
formarea tinerei generații. Geometria pornește de la studiul unor figuri
concrete ce exprimă trăsături esențiale ale rea lității obiecti ve și elab orează
propoziții abstrac te. Geom etria î mpletește gândirea co ncret ă cu cea ab strac tă,
î n co nsecință are un rol prim ordial î n fo rmarea și dezvoltarea capacității
deductive.
Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridică
probleme de ordin psihologic și pedagogic deosebite. Procesul prin care se
ajunge la conceptele gometrice abstracte, ca entități mintale, este un proces
complex și îndelungat. Elevul operează cu noțiuni și concepte la toate
disciplinele de învățământ. Conceptele geometrice, spre deosebire, de exemplu,
de cel e din științele naturii, se formează într -un mod specific, cu alte cuvinte
există o deosebire între o experiență fizică și una logico -matematică. În timp

8
ce, la științele naturii, concluziile desprinse din efectuarea unor raționamente
se supun verificării prin experiențe cu substanțe sau obiecte reale, la geometrie
se supun unor cercetări abstractizate, entități ce au o perfecțiune care nu poate
exista decât în mintea celui ce le aplică.
Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în
cursul unui proces psihic asupra căruia își pun amprenta imaginația,
creativitatea, puterea de generalizare și abstractizare.
O altă caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că unele
au un grad mai mare de generalitate, iar altele, mai restrâ ns. Conceptul de
triunghi, spre exemplu, care reflectă ceea ce este general pentru această clasă
de figuri geometrice, este mai general decâ t cel de triunghi isoscel, echilateral
sau dreptunghic.
Operațiile cu concepte geometrice se realizează întotdeauna pe plan
mintal. Din acest motiv nu se poate confunda, de exemplu, secționarea reală a
unei piramide cu determinarea secțiunii, deoarece acest lucru se poate face, de
cele mai multe ori, doar imaginar. O secțiune într -un corp geometric, la clasa a
VIII-a, va f i doar intuită, ea va fi determinată doar prin raționamente.
Geometria se bazează, în special, pe utilizarea figurilor geometrice. În
cursul rezolvării problemelor nu ne putem lipsi de acestea, ci ne folosim de ele
pentru a reprezenta simplificat unele op erații mentale. Figura geometrică apare
atât în procesul de trecere de la concret la abstract, cât și în procesul de trecere
de la concept la imagine. Pentru a rezolva o problemă sau a demonstra o
teoremă referitoare, de exemplu, la triunghi, elevii își im aginează un triunghi.
Triunghiul desenat este, pe de o parte, oarecare, căci el reprezintă o întreagă
clasă de triunghiuri având o nume proprietate, iar, pe de altă parte, el a devenit
un triunghi particular, determinat, cu dimensiuni date. Esențial este c a elevii să
înțeleagă că demonstrația efectuată, utilizând această figură, este adevărată,
oricare ar fi triunghiul cu proprietatea dată.

9
În predarea geometriei o atenție deosebită trebuie să se dea și
simbolurilor, notațiilor, convențiilor de desen, de re prezentare, de redactare
simbolică a unui raționament.
În însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, un loc însemnat îl
ocupă și rezolvările de probleme. Acestea au la bază demonstrația, justificarea
teoretică și generală a unui anumit rezultat. De exemplu, Teorema lui Pitagora
era cunoscută în numeroase cazuri particulare de matematicienii Orientului
antic. Pitagora a fost cel care a ridicat vălul incertitudinii, arătând valabilitatea
proprietății indiferent de cazul concret analizat.
Î n câ teva su te de ani, vechii greci au adus î n patrimoniul culturii
matematice universale un tezaur extrem de prețios. El cuprindea, în domeniul
geometriei, de exemplu:
– un sistem de definiții, axiome, postulate și teoreme care formează baza
geometriei euclidiene;
– teoria demonstrației teoremelor de geometrie ;
– arii, volume, egalitate, asemănare în cazul figurilor plane sau spațiale
Problemele de geometrie constituie antrenamentul necesar însușirii
disciplinei î n gâ ndire. Rezolva rea problemelor de geometrie îl ajută pe el ev să
distingă adevărul științi fic de neadevăr, să -l demonstreze: antrenează
organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și a
consecințelor, îl învață pe elev să distingă diversele aspecte ale un ei situați i, să
deosebeas că es ențialul de neese nțial, formeaz ă capacitățile atenț iei, antrenea ză
memo ria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvolta rea
imagi nației creatoare, îl ajută să -și formeze simț critic și constructiv, îi
formează spiritul științific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul
cercetării.
Sub asp ect estetic, rez olvarea problem elor de geo metrie tr ezește gu stul
față de frumusețile matematicii exprimate prin relații, formule, figuri,
demonstrații. În lucrarea de față se abordează aspecte ale metodicii predării în
cadrul geometriei, a problem elor referito are la relații metrice în triunghi.

10

Lucrarea este structurată pe două segmente, respectiv segmentul
științific și segmentul metodic. Segmentul ș tiințific este alcătuit din patru
capitole.
Capitolul I ”Relații metrice în triunghi ” va conține par tea teoretică
legată de relații metrice în triunghi , iar capitolul I I ”Relații metrice în
triunghi ul dreptunghic ” va conține te oria despre triunghiul dreptunghic
Capitolul III ”Relații metrice în patrulatere ” va conține teoria despre
patrulatere . Î n capitolul IV ”Aplicații ” am inclus atâ t probleme c u
aplicabilitate în viața reală , probleme deosebite și pr obleme de geometrie date
la competițiile școlare internaționale.
Capitolul V, ” Aplicații în măsurători terestre ”- noțiunile de matematică au
fost utilizate încă din vechi timpuri în diferite arii de activitate cum ar fi
comerțul, la gestiunea recoltelor, în măsura rea suprafețelor, în prezicerea
fenomenelor astronomice, precum și î n unele ritualuri religioase .

11

CAPITOLUL I:
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI

1.Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor
1.1.Raportul a două segmente

Definiție : Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate
prin aceeași unitate de măsură.
Observație : Raportul a două segmente nu depinde de unitatea de măsură
aleasă.
Definiție :Segmentele [𝐴𝐵],[𝐵𝐶]și[𝐶𝐷] sunt proporționale cu segmentele
[𝐴′𝐵′],[𝐵′𝐶′]și[𝐶′𝐷′] dacă lungim ile lor, exprimate prin aceeași
unitate de măsură, sunt proporționale.
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
Definiție : Trei sau mai multe drepte paralele situate la distanțe egale se
numesc paralele echidistante .
Teorema paralelelor echidistante : Dacă mai multe drepte paralele determină
pe o secantă segmente congruente, atunci ele
determină pe orice altă secantă segmente
congruente.
𝑑1∥𝑑2∥𝑑3∥𝑑4∥𝑑5
𝑎∩𝑑1={𝐴1},𝑏∩𝑑1={𝐵1}
𝑎∩𝑑2={𝐴2},𝑏∩𝑑2={𝐵2}
𝑎∩𝑑3={𝐴3},𝑏∩𝑑3={𝐵3}
𝑎∩𝑑4={𝐴4},𝑏∩𝑑4={𝐵4}
𝑎∩𝑑5={𝐴5},𝑏∩𝑑5={𝐵5}
[𝐴1𝐴2]≡[𝐴2𝐴3]≡[𝐴3𝐴4]≡[𝐴4𝐴5]}
⟹ a b
d1
d2
d3
d4
d5 A1
A2
A3
A4
A5 B1
B2
B3
B4
B5 C1
C2
C3
C4
Fig.1.1

12
⟹[𝐵1𝐵2]≡[𝐵2𝐵3]≡[𝐵3𝐵4]≡[𝐵4𝐵5]

Demonstrație :
Fie𝐴1𝐶1∥𝑏 (fig. 1.1 )
𝐴1𝐵1∥𝐴2𝐵2⟹𝐴1𝐵1𝐵2𝐶1 paralelogram ⟹[𝐴1𝐶1]≡[𝐵1𝐵2]
𝐴2𝐶2∥𝑏; 𝐴2𝐵2∥𝐴3𝐵3⟹𝐴2𝐵2𝐵3𝐶2 paralelogram ⟹[𝐴2𝐶2]≡[𝐵2𝐵3]
𝐴3𝐶3∥𝑏; 𝐴3𝐵3∥𝐴4𝐵4⟹𝐴3𝐵3𝐵4𝐶3 paralelogram ⟹[𝐴3𝐶3]≡[𝐵3𝐵4]
𝐴4𝐶4∥𝑏; 𝐴4𝐵4∥𝐴5𝐵5⟹𝐴4𝐵4𝐵5𝐶4 paralelogram ⟹[𝐴4𝐶4]≡[𝐵4𝐵5]
𝐴1𝐶1∥𝑏
𝐴2𝐶2∥𝑏
𝐴3𝐶3∥𝑏
𝐴4𝐶4∥𝑏}⟹𝐴1𝐶1∥𝐴2𝐶2∥𝐴3𝐶3∥𝐴4𝐶4
𝑑 secantă}⟹
∢𝐴2𝐴1𝐶1≡∢𝐴3𝐴2𝐶2≡∢𝐴4𝐴3𝐶3≡∢𝐴5𝐴4𝐶4(unghiuri corespondente) (1)
𝑑1∥𝑑2∥𝑑3∥𝑑4∥𝑑5
𝑎 secantă}⟹∢𝐴1𝐴2𝐶1≡∢𝐴2𝐴3𝐶2≡∢𝐴3𝐴4𝐶3≡
∢𝐴4𝐴5𝐶4(unghiuri corespondente) (2)
[𝐴1𝐴2]≡[𝐴2𝐴3]≡[𝐴3𝐴4]≡[𝐴4𝐴5] (3)
Din (1)+(2)+(3) ⟹∆𝐴1𝐴2𝐶1≡∆𝐴2𝐴3𝐶2≡∆𝐴3𝐴4𝐶3≡∆𝐴4𝐴5𝐶4 (U.L.U.)
⟹[𝐴1𝐶1]≡[𝐴2𝐶2]≡[𝐴3𝐶3]≡[𝐴4𝐶4]
Dar [𝐴1𝐶1]≡[𝐵1𝐵2],[𝐴2𝐶2]≡[𝐵2𝐵3],[𝐴3𝐶3]≡[𝐵3𝐵4],[𝐴4𝐶4]≡[𝐵4𝐵5],
deci[𝐵1𝐵2]≡[𝐵2𝐵3]≡[𝐵3𝐵4]≡[𝐵4𝐵5].
Teorema lui Thales : O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină
pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile acestora) segmente proporționale.

A
B C M N
Fig. 1.2 A
M N B C
Fig. 1.3 A
B C N M
Fig. 1.4

13

Demonstrație : Vom demonstra teorema lui Thales cu ajutorul ariilor :
Cazul 1) Fie 𝑀∈(𝐴𝐵) și 𝑁∈(𝐴𝐶),𝑀𝑁∥𝐵𝐶 (fig. 1.2 )
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝐵𝐶∙𝑑(𝑀,𝐵𝐶)
2=𝐵𝑀∙𝑑(𝐶,𝐵𝑀)
2=𝐵𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2
𝒜∆𝐵𝐶𝑁=𝐵𝐶∙𝑑(𝑁,𝐵𝐶)
2=𝑁𝐶∙𝑑(𝐵,𝑁𝐶)
2=𝑁𝐶∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2
𝒜∆𝐴𝑀𝐶=𝐴𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝑀)
2=𝐴𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2
𝒜∆𝐴𝐵𝑁=𝐴𝑁∙𝑑(𝐵,𝐴𝑁)
2=𝐴𝑁∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2
𝑀𝑁∥𝐵𝐶⟹𝑑(𝑀,𝐵𝐶)=𝑑(𝑁,𝐵𝐶)⟹𝐵𝐶∙ 𝑑(𝑀,𝐵𝐶)
2=𝐵𝐶∙𝑑(𝑁,𝐵𝐶)
2⟹
⟹𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝒜∆𝐴𝐵𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐴𝐵𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝒜∆𝐵𝐶𝑀+𝒜∆𝐴𝑀𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀
=𝒜∆𝐴𝐵𝑁+𝒜∆𝐵𝐶𝑁
𝒜∆𝐵𝐶𝑁
⟹𝒜∆𝐴𝑀𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐴𝐵𝑁
𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝐴𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2
𝐵𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2=𝐴𝑁∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2
𝑁𝐶∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2⟹𝐴𝑀
𝑀𝐵=𝐴𝑁
𝑁𝐶.
Cazul 2) Fie 𝑀∈𝐴𝐵 și 𝑁∈𝐴𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶 astfel î ncâ t 𝐵∈(𝐴𝑀) și 𝐶∈(𝐴𝑁)
(fig. 1.3 )
Se aplică teorema lui Thales pentru cazul 1) ⟹𝐴𝐵
𝐵𝑀=𝐴𝐶
𝐶𝑁
Cazul 3) Fie 𝑀∈𝐴𝐵 și 𝑁∈𝐴𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶 astfel î ncâ t 𝐴∈(𝐵𝑀) și 𝐴∈(𝐶𝑁)
(fig. 1.4 )
𝑀𝑁∥𝐵𝐶⟹𝑑(𝑀,𝐵𝐶)=𝑑(𝑁,𝐵𝐶)⟹𝐵𝐶∙ 𝑑(𝑀,𝐵𝐶)
2=𝐵𝐶∙𝑑(𝑁,𝐵𝐶)
2⟹
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝒜∆𝐴𝐵𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐴𝐵𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝒜∆𝐵𝐶𝑀−𝒜∆𝐴𝑀𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀
=𝒜∆𝐵𝐶𝑁−𝒜∆𝐴𝐵𝑁
𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹

14
𝒜∆𝐴𝑀𝐶
𝒜∆𝐵𝐶𝑀=𝒜∆𝐴𝐵𝑁
𝒜∆𝐵𝐶𝑁⟹𝐴𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2
𝐵𝑀∙𝑑(𝐶,𝐴𝐵)
2=𝐴𝑁∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2
𝑁𝐶∙𝑑(𝐵,𝐴𝐶)
2⟹𝐴𝑀
𝑀𝐵=𝐴𝑁
𝑁𝐶.
Reciproca : Fie triunghiul ABC și punctele 𝑀∈𝐴𝐵,𝑁∈𝐴𝐶 aflate în același
semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă 𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶, atunci 𝑀𝑁∥𝐵𝐶.
Dacă 𝐴𝑀
𝐴𝐵≠𝐴𝑁
𝐴𝐶, atunci 𝑀𝑁∦𝐵𝐶.
Demonstrație :
Se presupune prin absurd că 𝑀𝑁∦𝐵𝐶 (fig. 1.5 )
Se construiește 𝑀𝑃∥𝐵𝐶,𝑃∈(𝐴𝐶),𝑃≠𝑁
Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑃∥𝐵𝐶𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑃
𝐴𝐶
Dar 𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶. Atunci rezultă că𝐴𝑃
𝐴𝐶=𝐴𝑁
𝐴𝐶⟹𝐴𝑃=𝐴𝑁⟹𝑃=𝑁, ceea
ce este o contradicție. Deci 𝑀𝑁∥𝐵𝐶.

Teorema paralelelor neechidistante : Mai multe drepte paralele determină pe
două secante oarecare segmente proporționale.
𝑑1∥𝑑2∥𝑑3∥𝑑4∥𝑑5
𝑎∩𝑑1={𝐴1},𝑏∩𝑑1={𝐵1}
𝑎∩𝑑2={𝐴2},𝑏∩𝑑2={𝐵2}
𝑎∩𝑑3={𝐴3},𝑏∩𝑑3={𝐵3}
𝑎∩𝑑4={𝐴4},𝑏∩𝑑4={𝐵4}
𝑎∩𝑑5={𝐴5},𝑏∩𝑑5={𝐵5}}
⟹𝐴1𝐴2
𝐵1𝐵2=𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3=𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4=𝐴4𝐴5
𝐵4𝐵5(fig.1.6 )
Demonstrație :
Se duce paralela prin 𝐵1 la dreapta ași intersectează
dreptele 𝑑2 și𝑑3î n punctele 𝐶1, respectiv 𝐶2
Î n ∆𝐵1𝐶2𝐵3,𝐶1𝐵2∥𝐶2𝐵3𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐵1𝐶1
𝐶1𝐶2=𝐵1𝐵2
𝐵2𝐵3 (1) A
B C M N P
Fig. 1.5
a b
d1
d2
d3
d4
d5 A1
A2
A3
A4
A5 B1
B2
B3
B4
B5 C1
C2
C3
C4
C5 C6
Fig. 1.6

15
𝐴1𝐵1∥𝐴2𝐶1
𝐴1𝐴2∥𝐵1𝐶1}⟹𝐴1𝐵1𝐶1𝐴2 paralelogram ⟹
⟹[𝐴1𝐴2]≡[𝐵1𝐶1] (2)
𝐴2𝐶1∥𝐴3𝐶2
𝐴2𝐴3∥𝐶1𝐶2}⟹𝐴2𝐶1𝐶2𝐴3 paralelogram ⟹
⟹[𝐴2𝐴3]≡[𝐶1𝐶2] (3)
Din (1)+(2)+(3) ⟹𝐴1𝐴2
𝐴2𝐴3=𝐵1𝐵2
𝐵2𝐵3⟹𝐴1𝐴2
𝐵1𝐵2=𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3 (10)
Se duce paralela prin 𝐵2 la dreapta a și intersectează dreptele 𝑑3 și 𝑑4
î n punctele 𝐶3, respectiv 𝐶4
Î n ∆𝐵2𝐶4𝐵4,𝐶3𝐵3∥𝐶4𝐵4𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐵2𝐶3
𝐶3𝐶4=𝐵2𝐵3
𝐵3𝐵4 (4)
𝐴2𝐵2∥𝐴3𝐶3
𝐴2𝐴3∥𝐵2𝐶3}⟹𝐴2𝐵2𝐶3𝐴3 paralelogram ⟹[𝐴2𝐴3]≡[𝐵2𝐶3] (5)
𝐴3𝐶3∥𝐴4𝐶4
𝐴3𝐴4∥𝐶3𝐶4}⟹𝐴3𝐶3𝐶4𝐴4 paralelogram ⟹[𝐴3𝐴4]≡[𝐶3𝐶4] (6)
Din (4)+(5) +(6) ⟹𝐴2𝐴3
𝐴3𝐴4=𝐵2𝐵3
𝐵3𝐵4⟹𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3=𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4 (11)
Se duce paralela prin 𝐵3 la dreapta a și intersectează dreptele 𝑑4 și 𝑑5
î n punctele 𝐶5, respectiv 𝐶6
Î n ∆𝐵3𝐶6𝐵5,𝐶5𝐵4∥𝐶6𝐵5𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐵3𝐶5
𝐶5𝐶6=𝐵3𝐵4
𝐵4𝐵5 (7)
𝐴3𝐵3∥𝐴4𝐶5
𝐴3𝐴4∥𝐵3𝐶5}⟹𝐴3𝐵3𝐶5𝐴4 paralelogram ⟹[𝐴3𝐴4]≡[𝐵3𝐶5] (8)
𝐴4𝐶5∥𝐴5𝐶6
𝐴4𝐴5∥𝐶5𝐶6}⟹𝐴4𝐶5𝐶6𝐴5 paralelogram ⟹[𝐴4𝐴5]≡[𝐶5𝐶6] (9)
Din (7)+(8) +(9) ⟹𝐴3𝐴4
𝐴4𝐴5=𝐵3𝐵4
𝐵4𝐵5⟹𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4=𝐴4𝐴5
𝐵4𝐵5 (12)
Din (10)+(11) +(12)⟹𝐴1𝐴2
𝐵1𝐵2=𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3=𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4=𝐴4𝐴5
𝐵4𝐵5.

16

1.2.Linia mijlocie î n triunghi

Definiție : Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește
mijloacele a două dintre laturile triunghiului. (fig. 1.7 )

Observație :Orice triunghi are trei linii mijlocii. Perimetrul
triunghiului determinat de cele trei linii mijlocii este egal cu
jumatate din perimetrul triunghiului î n care s -au construit acestea.
Demonstrație :
În∆𝐴𝐵𝐶 (fig.1.8 ) ⟹D mijlocul lui [𝐴𝐵], E mijlocul lui [𝐴𝐶]⟹
[𝐷𝐸] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐷𝐸=𝐵𝐶
2
D mijlocul lui [𝐴𝐵], F mijlocul lui [𝐵𝐶]⟹[𝐷𝐹] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐵𝐶⟹
𝐷𝐹=𝐴𝐶
2
F mijlocul lui [𝐵𝐶], E mijlocul lui [𝐴𝐶]⟹[𝐸𝐹] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐵𝐶⟹
𝐸𝐹=𝐴𝐵
2
𝒫 ∆𝐷𝐸𝐹=𝐷𝐸+𝐷𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐶
2+𝐴𝐶
2+𝐴𝐵
2=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2=𝒫 ∆𝐴𝐵𝐶
2.

Teoremă :
1) Î ntr -un triunghi, linia mijlocie este paralelă cu cea de -a treia latură.
2) Î ntr -un triunghi, lungimea liniei mijlocii este egală cu jumătate din
lungimea celei de -a treia laturi.
A
B C D E
Fig. 1.7
A
B C D E
F
Fig. 1.8

17
A
B C D E F
Fig. 1.9

Demonstrație :
1) Fie ∆𝐴𝐵𝐶 , [𝐷𝐸] linie mijlocie, D mijlocul lui [𝐴𝐵] și E mijlocul lui [𝐴𝐶]
(fig.1.9 )
Se constuiește simetricul F al punctului D față de punctul E⟹
⟹𝐷𝐸=𝐸𝐹=𝐷𝐹
2
𝐴𝐸=𝐸𝐶=𝐴𝐶
2}⟹ADCF paralelogram ⟹{𝐴𝐷=𝐹𝐶
𝐴𝐷∥𝐹𝐶
𝐴𝐷∥𝐹𝐶
𝐴𝐷⊂𝐴𝐵}⟹𝐹𝐶∥𝐴𝐵⟹𝐹𝐶∥𝐷𝐵 (1)
D mijlocul lui [𝐴𝐵]⟹𝐴𝐷=𝐷𝐵. Dar 𝐴𝐷=𝐹𝐶⟹𝐷𝐵=𝐹𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐷𝐵𝐶𝐹 paralelogram ⟹{𝐷𝐹=𝐵𝐶
𝐷𝐹∥𝐵𝐶
Dar cum 𝐷𝐸⊂𝐷𝐹⟹𝐷𝐸∥𝐵𝐶.
2) 𝐷𝐸=𝐷𝐹
2
𝐷𝐹=𝐵𝐶}⟹𝐷𝐸=𝐵𝐶
2.
Reciproca I :Dacă o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi a unui
triunghi și este paralelă cu o altă latură a triunghiului, atunci acea
dreaptă trece și prin mijlocul celei de -a treia laturi.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 , fie D mijlocul segmentului [𝐴𝐵](fig.1.10)⟹
⟹𝐴𝐷=𝐷𝐵=𝐴𝐵
2 (1)
Se construiește 𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐸∈(𝐴𝐶)
Se presupune, prin absurd, că E nu este mijlocul segmentului [𝐴𝐶]
Fie E' mijlocul segmentului [𝐴𝐶]⟹𝐴𝐸′=𝐸′𝐶=𝐴𝐶
2 (2)
Din (1)+(2) ⟹[𝐷𝐸′] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐷𝐸′∥𝐵𝐶. Dar, 𝐷𝐸∥𝐵𝐶.
Deci, 𝐸=𝐸′⟹⟹𝐸 mijlocul segmentului [𝐴𝐶]. A
B C D E E'
Fig. 1.10

18
Reciproca II :Dacăîn triunghiul ABC se consideră punctele 𝐷∈(𝐴𝐵)și𝐸∈
(𝐴𝐶)astfel î ncâ t 𝐷𝐸∥𝐵𝐶și𝐷𝐸=𝐵𝐶
2, atunci[𝐷𝐸]este linie mijlocie a
triunghiului ABC .

Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 , fie 𝐷∈(𝐴𝐵) și 𝐸∈(𝐴𝐶)astfel î ncâ t 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 și𝐷𝐸=𝐵𝐶
2(fig.1.11 )
Se prelungește DE cu EF astfel î ncâ t [𝐷𝐸]≡[𝐸𝐹]
𝐷𝐸∥𝐵𝐶⟹𝐷𝐹∥𝐵𝐶 (1)
Cum 𝐷𝐸=𝐵𝐶
2, rezultă că 𝐸𝐹=𝐵𝐶
2
𝐷𝐸+𝐸𝐹=𝐵𝐶
2+𝐵𝐶
2=𝐵𝐶⟹𝐷𝐹=𝐵𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹BCFD paralelogram ⟹
⟹𝐵𝐷∥𝐹𝐶 și ∢𝐷𝐹𝐶≡∢𝐶𝐵𝐷 (3)
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
𝐴𝐵 secantă}⟹∢𝐴𝐷𝐸≡∢𝐴𝐵𝐶 (unghiuri corespondente) (4)
Din (3)+(4) ⟹∢𝐴𝐷𝐸≡∢𝐶𝐹𝐷
∢𝐴𝐸𝐷≡∢𝐹𝐸𝐶
𝐷𝐸=𝐸𝐹
∢𝐴𝐷𝐸≡∢𝐶𝐹𝐷}𝑈.𝐿.𝑈.⇒ ∆𝐴𝐷𝐸≡∆𝐶𝐹𝐸
⟹{𝐴𝐸=𝐸𝐶⟹𝐸 mijlocul lui[𝐴𝐶] (5)
𝐴𝐷=𝐹𝐶
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
𝐷𝐶 secantă}⟹∢𝐹𝐷𝐶≡∢𝐵𝐶𝐷
∢𝐹𝐷𝐶≡∢𝐵𝐶𝐷
𝐷𝐶=𝐷𝐶
𝐷𝐹=𝐵𝐶}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐹𝐷𝐶≡∆𝐵𝐶𝐷⟹𝐷𝐵=𝐹𝐶 și ∢𝐹𝐶𝐷≡∢𝐵𝐷𝐶
𝐷𝐵=𝐹𝐶
𝐴𝐷=𝐹𝐶}⟹𝐷𝐵=𝐴𝐷⟹ 𝐷 mijlocul lui[𝐴𝐵] (6)
Din (5)+(6) ⟹[𝐷𝐸] linie mijlocie î n triunghiul ABC .

1.3.Linia mijlocie î n trapez
A
B C D E F
Fig. 1.11
A B C D
M N
Fig. 1.12

19
Definiție : Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele
laturilor neparalele. (fig. 1.12 )
Observație :
Orice trapez are o singură linie mijlocie.

Teoremă :
1) Î ntr -un trapez, linia mijlocie este paralelă cu bazele.
2) Î ntr -un trapez, lungimea liniei mijlocii este egală cu semisuma bazelor.
3) Î ntr -un trapez, lungimea segmentului determinat de intersecțiile liniei
mijlocii cu diagonalele trapezului este egală cu jumătate din modulul
diferenței lungimilor bazelor.
Demonstrație :
1) Î n trapezul ABCD , fie [𝑀𝑁] linie mijlocie, 𝑀∈
(𝐴𝐷),𝑁∈(𝐵𝐶) (fig. 1.13 )
M mijlocul lui [𝐴𝐷]⟹𝐷𝑀=𝑀𝐴=𝐴𝐷
2
N mijlocul lui [𝐵𝐶]⟹𝐶𝑁=𝑁𝐵=𝐵𝐶
2
Fie {𝐸}=𝐷𝑁∩𝐴𝐵
𝐷𝐶∥𝐴𝐵
𝐵𝐶 secantă}⟹∢𝐷𝐶𝑁≡∢𝐸𝐵𝑁 (unghiuri alterne interne)
∢𝐷𝐶𝑁≡∢𝐸𝐵𝑁
∢𝐷𝑁𝐶≡∢𝐸𝑁𝐵
NC=NB }𝑈.𝐿.𝑈.⇒ ∆𝐷𝑁𝐶≡∆𝐸𝑁𝐵⟹𝐷𝑁=𝑁𝐸 și 𝐷𝐶=𝐵𝐸
𝐷𝑁=𝑁𝐸
𝐷𝑀=𝑀𝐴}⟹[𝑀𝑁] linie mijlocie î n ∆DAE⟹𝑀𝑁∥𝐴𝐸⟹𝑀𝑁∥𝐴𝐵.
Cum 𝐴𝐵∥𝐶𝐷, rezultă că 𝑀𝑁∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷.
2) [𝑀𝑁] linie mijlocie î n ∆𝐷𝐴𝐸⟹𝑀𝑁=𝐴𝐸
2=𝐴𝐵+𝐵𝐸
2=𝐴𝐵+𝐶𝐷
2.
3) Fie {𝑂}=𝐴𝐶∩𝐵𝐷, {𝑃}=𝐴𝐶∩𝑀𝑁, {𝑅}=𝐵𝐷∩𝑀𝑁 (fig. 1.14 )
[𝑀𝑁] linie mijlocie î n ABCD⟹𝑀𝑁∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷 A B C D
M N
E
Fig. 1.13 ~
~
A B C D
M N
P R O
Fig. 1.14 ~
~

20
𝑀𝑁∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷
𝑅∈(𝑀𝑁)}⟹𝑀𝑅∥𝐴𝐵⟹[𝑀𝑅] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐷𝐵⟹𝑀𝑅=𝐴𝐵
2
𝑀𝑁∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷
𝑃∈(𝑀𝑁)}⟹𝑀𝑃∥𝐶𝐷⟹[𝑀𝑃] linie mijlocie î n ∆𝐴𝐷𝐶⟹𝑀𝑃=𝐶𝐷
2
𝑃𝑅=𝑀𝑅−𝑀𝑃=𝐴𝐵
2−𝐶𝐷
2=𝐴𝐵−𝐶𝐷
2.
Reciproca : Dacă o dreapă trece prin mijlocul uneia dintre cele două laturi
opuse neparalele ale unui trapez și este paralelă cu bazele, atunci acea dreaptă
include linia mijlocie a trapezului.
Demonstrație :
Î n trapezul ABCD , fie 𝑀𝑁∥𝐴𝐵,𝑀∈(𝐴𝐷),
𝑁∈(𝐵𝐶) (fig. 1.15 )
M mijlocul lui [𝐴𝐷]⟹𝐷𝑀=𝑀𝐴=𝐴𝐷
2 (1)
Presupunem, prin absurd, că N nu este mijlocul
segmentului [𝐵𝐶]
Fie N' mijlocul segmentului [𝐵𝐶]⟹𝐶𝑁′=𝑁′𝐵=𝐵𝐶
2 (2)
Din (1)+(2) ⟹[𝑀𝑁′] linie mijlocie î n ABCD⟹𝑀𝑁′∥𝐴𝐵. Cum 𝑀𝑁∥𝐴𝐵,
rezultă că N=N'⟹N mijlocul lui [𝐵𝐶]⟹[𝑀𝑁] linie mijlocie î n ABCD .

1.4.Triunghiuri asemenea
Definiție : Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate unghiurile
respectiv congruente și toate
laturile respectiv proporționale.
∢𝐴≡∢𝐴′
∢𝐵≡∢𝐵′
∢𝐶≡∢𝐶′
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′}
⟹
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′(fig.1.16 )
A
B C A’
B’ C’
Fig. 1.16 A B C D
M N
N'
Fig. 1.15 ~
~

21
Oricare dintre rapoartele 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′,𝐴𝐶
𝐴′𝐶′,𝐵𝐶
𝐵′𝐶′ se numește raport de
asemănare .
Perechile de unghiuri ∢𝐴 și ∢𝐴′,∢𝐵 și ∢𝐵′,∢𝐶 și ∢𝐶′ și perechile de
laturi [𝐴𝐵] și [𝐴′𝐵′], [𝐵𝐶] și [𝐵′𝐶′], [𝐴𝐶] și [𝐴′𝐶′], se numesc corespondente
sau omoloage .
Proprietăți :
1. Dacă ∆𝐴𝐵𝐶≡∆𝐴′𝐵′𝐶′, atunci ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′ (raportul lor de asemănare
este egal cu 1).
2. Dacă raportul de asemănare a două triunghiuri asemenea este egal cu 1,
atunci triunghiurile sunt congruente.
3. Dacă ∆𝐴𝐵𝐶≡∆𝐴′𝐵′𝐶′ și ∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′, atunci ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′.
4. ∆ABC ∼∆ABC (reflexivitate).
5. Dacă ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′, atunci ∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴𝐵𝐶 (simetrie).
6. Dacă ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′ și ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′, atunci ∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′
(tranzitivitate).
Demonstrație :
1. ∆𝐴𝐵𝐶≡∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹[𝐴𝐵]≡[𝐴′𝐵′],[𝐴𝐶]≡[𝐴′𝐶′],[𝐵𝐶]≡[𝐵′𝐶′]⟹
⟹𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=1⟹∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′.
2. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=1⟹
⟹[𝐴𝐵]≡[𝐴′𝐵′],[𝐴𝐶]≡[𝐴′𝐶′],[𝐵𝐶]≡[𝐵′𝐶′]⟹∆𝐴𝐵𝐶≡∆𝐴′𝐵′𝐶′.
3.∆𝐴𝐵𝐶≡∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹[𝐴𝐵]≡[𝐴′𝐵′],[𝐴𝐶]≡[𝐴′𝐶′],[𝐵𝐶]≡[𝐵′𝐶′]
∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′⟹𝐴′𝐵′
𝐴′′𝐵′′=𝐴′𝐶′
𝐴′′𝐶′′=𝐵′𝐶′
𝐵′′𝐶′′}⟹
⟹𝐴𝐵
𝐴′′𝐵′′=𝐴𝐶
𝐴′′𝐶′′=𝐵𝐶
𝐵′′𝐶′′⟹∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′.
4. Fie ∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐴𝐵
𝐴𝐵=𝐴𝐶
𝐴𝐶=𝐵𝐶
𝐵𝐶⟹∆𝐴𝐵𝐶 ∼∆𝐴𝐵𝐶.
5. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′⟹𝐴′𝐵′
𝐴𝐵=𝐴′𝐶′
𝐴𝐶=𝐵′𝐶′
𝐵𝐶⟹
∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴𝐵𝐶.

22
6. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹
{ ∢𝐴≡∢𝐴′
∢𝐵≡∢𝐵′
∢𝐶≡∢𝐶′
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′=𝐵𝐶
𝐵′𝐶′ (1)
∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′⟹
{ ∢𝐴′≡∢𝐴′′
∢𝐵′≡∢𝐵′′
∢𝐶′≡∢𝐶′′
𝐴′𝐵′
𝐴′′𝐵′′=𝐴′𝐶′
𝐴′′𝐶′′=𝐵′𝐶′
𝐵′′𝐶′′ (2)
Din (1)+(2) ⟹∢𝐴≡∢𝐴′′
∢𝐵≡∢𝐵′′
∢𝐶≡∢𝐶′′}𝑈.𝑈.⇒ ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′′𝐵′′𝐶′′.

1.5.Teorema fundamentală a asemănării

Teorema fundamentală a asemănării : O paralelă dusă la una dintre laturile
unui triunghi formează cu dreptele suport ale celorlalte două laturi un triunghi
asemenea cu cel dat.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑀∈(𝐴𝐵),𝑁∈(𝐴𝐶),𝐴𝐵 și 𝐴𝐶 secante ⟹∢𝐴𝑀𝑁≡
∢𝐴𝐵𝐶 (unghiuri corespondente) și ∢𝐴𝑁𝑀≡∢𝐴𝐶𝐵 (unghiuri corespondente)
(1) (fig. 1.17 )
∢𝑀𝐴𝑁≡∢𝐵𝐴𝐶 (2)
∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶 (3)
Se construiește 𝑁𝐷∥𝐴𝐵,𝐷∈(𝐵𝐶)𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝐵𝐷
𝐵𝐶 (4)
𝑀𝑁∥𝐵𝐷
𝑁𝐷∥𝑀𝐵}⟹𝑀𝑁𝐷𝐵 paralelogram ⟹[𝑀𝑁]≡[𝐵𝐷] (5)
Din (3)+(4) +(5) ⟹𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝑀𝑁
𝐵𝐶(6)
Din (1)+(2) +(6) ⟹∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶. A
B C M N
D
Fig. 1.17

23
a) Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝐵∈(𝐴𝑀),𝐶∈(𝐴𝑁),𝐴𝐵 și 𝐴𝐶 secante ⟹∢𝐴𝑀𝑁≡
∢𝐴𝐵𝐶 (unghiuri corespondente) și ∢𝐴𝑁𝑀≡∢𝐴𝐶𝐵 (unghiuri
corespondente) (1)
∢𝑀𝐴𝑁≡∢𝐵𝐴𝐶 (2)
∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐴𝐵
𝐴𝑀=𝐴𝐶
𝐴𝑁 (3)
Se construiește 𝐶𝐷∥𝐴𝑀,𝐷∈(𝑀𝑁)𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠⇒ 𝐴𝐶
𝐴𝑁=𝑀𝐷
𝑀𝑁 (4)
𝑀𝐷∥𝐵𝐶
𝐶𝐷∥𝑀𝐵}⟹𝐵𝐶𝐷𝑀 paralelogram ⟹[𝑀𝐷]≡[𝐵𝐶] (5)
Din (3)+(4) +(5) ⟹𝐴𝐵
𝐴𝑀=𝐴𝐶
𝐴𝑁=𝐵𝐶
𝑀𝑁(6)
Din (1)+(2) +(6) ⟹∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴𝑀𝑁.
b) 𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑀∈𝐴𝐵,𝑁∈𝐴𝐶 astfel î ncâ t 𝐴∈(𝑀𝐵),𝐴∈(𝑁𝐶) (fig. 1.18 )
Fie 𝑀′∈(𝐴𝐵) astfel î ncâ t [𝐴𝑀]≡[𝐴𝑀′] și 𝑁′∈(𝐴𝐶) astfel î ncâ t [𝐴𝑁]≡
[𝐴𝑁′],
𝑀𝑁∥𝑀′𝑁′
∢𝑀𝐴𝑁≡∢𝑀′𝐴𝑁′
[𝐴𝑀]≡[𝐴𝑀′]
[𝐴𝑁]≡[𝐴𝑁′]}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁≡∆𝐴𝑀′𝑁′
Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝑀′𝑁′∥𝐵𝐶𝑎)⇒∆𝐴𝑀′𝑁′~∆𝐴𝐵𝐶⟹∆𝐴𝑀𝑁′~∆𝐴𝐵𝐶.

Definiție : Două triunghiuri se numesc echivalente dacă au
aceeași arie.

1.6.Criterii de asemănare a triunghiurilor

Criteriul U.U. : Două triunghiuri care au două
perechi de unghiuri congruente sunt
asemenea.
Demonstrație : A
B C N M
M' N'
Fig.1.18
A
B C A’
B’ C’ M N
Fig. 1.19

24
Fie ∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′ și ∢𝐵𝐴𝐶≡∢𝐵′𝐴′𝐶′ (fig.1.19 )
Fie 𝑀∈(𝐴𝐵 astfel î ncâ t [𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
Se construiește 𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑁∈(𝐴𝐶,𝐴𝐵 secantă ⟹∢𝐴𝑀𝑁≡∢𝐴𝐵𝐶 (unghiuri
corespondente) ⟹∢𝐴𝑀𝑁≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
∢𝐴𝑀𝑁≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
[𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
∢𝐵𝐴𝐶≡∢𝐵′𝐴′𝐶′}𝑈.𝐿.𝑈.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁≡∆𝐴′𝐵′𝐶′ (1)
Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝑀𝑁∥𝐵𝐶𝑇.𝐹.𝐴.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴𝐵𝐶 .
Criteriul L.U.L. : Dacă un triunghi are un
unghi congruent cu un unghi al altui triunghi
și laturile care formează cele două unghiuri
sunt respectiv proporționale, atunci
triunghiurile sunt asemenea.
Demonstrație :
Fie ∢𝐵𝐴𝐶≡∢𝐵′𝐴′𝐶′ și 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′(fig. 1.20 )
Fie 𝑀∈(𝐴𝐵 astfel î ncâ t [𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
Se construiește 𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑁∈(𝐴𝐶𝑇.𝐹.𝐴.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=
𝑀𝑁
𝐵𝐶⟹
⟹𝐴′𝐵′
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝑀𝑁
𝐵𝐶⟹𝐴′𝐵′
𝐴𝐵=𝐴′𝐶′
𝐴𝐶=𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝑀𝑁
𝐵𝐶⟹𝐴′𝐶′=𝐴𝑁
∢𝑀𝐴𝑁≡∢𝐵′𝐴′𝐶′
[𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
[𝐴𝑁]≡[𝐴′𝐶′]}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁≡∆𝐴′𝐵′𝐶′ (1)
∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴𝐵𝐶 .
Criteriul L.L.L. : Dacă două triunghiuri au
laturile corespunzătoare proporționale,
atunci cele două triunghiuri sunt asemenea. A
B C A’
B’ C’ M N
Fig. 1.20
A
B C A’
B’ C’ M N
Fig. 1.21

25
A B C
A' B' C'
Fig. 1.22 Demonstrație :
Fie 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=𝐴𝐶
𝐴′𝐶′= 𝐵𝐶
𝐵′𝐶′(fig. 1.21 )
Fie 𝑀∈(𝐴𝐵 astfel î ncâ t [𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
Se construiește 𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑁∈(𝐴𝐶𝑇.𝐹.𝐴.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=
𝑀𝑁
𝐵𝐶⟹
𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴′𝐵′
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝑀𝑁
𝐵𝐶⟹𝐴′𝐶′
𝐴𝐶=𝐵′𝐶′
𝐵𝐶=𝐴′𝐵′
𝐴𝐵⟹[𝑀𝑁]≡[𝐵′𝐶′] și
[𝐴𝑁]≡[𝐴′𝐶′]
[𝐴𝑀]≡[𝐴′𝐵′]
[𝑀𝑁]≡[𝐵′𝐶′]
[𝐴𝑁]≡[𝐴′𝐶′]}𝐿.𝐿.𝐿.⇒ ∆𝐴𝑀𝑁≡∆𝐴′𝐵′𝐶′ (1)
∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹∆𝐴′𝐵′𝐶′~∆𝐴𝐵𝐶 .
Observații :
1) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea dacă și numai dacă au o
pereche de unghiuri ascuțite congruente.
2) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea dacă și numai dacă au o pereche de
unghiuri congruente.
3) Oricare două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.

Demonstrație :
1) Fie ∆𝐴𝐵𝐶 și ∆𝐴′𝐵′𝐶′ dreptunghice cu 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=
𝑚(∢𝐵′𝐴′𝐶′)=900 (fig. 1.22 )
”⟹”

∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
”⟸”

26
∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900−𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)
𝑚(∢𝐴′𝐶′𝐵′)=900−𝑚(∢𝐴′𝐵′𝐶′)}⟹∢𝐴𝐶𝐵≡∢𝐴′𝐶′𝐵′
∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
∢𝐴𝐶𝐵≡∢𝐴′𝐶′𝐵′}𝑈.𝑈.⇒ ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′
2) Fie ∆𝐴𝐵𝐶 și ∆𝐴′𝐵′𝐶′ isoscele cu 𝐴𝐵=𝐴𝐶 și 𝐴′𝐵′=𝐴′𝐶′⟹∢𝐴𝐵𝐶≡
∢𝐴𝐶𝐵 și ∢𝐴′𝐵′𝐶′≡∢𝐴′𝐶′𝐵′ (fig. 1.23 )
”⟹”
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′⟹∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
”⟸”
∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴𝐶𝐵
∢𝐴′𝐵′𝐶′≡∢𝐴′𝐶′𝐵′}⟹∢𝐴𝐶𝐵≡∢𝐴′𝐶′𝐵′
∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
∢𝐴𝐶𝐵≡∢𝐴′𝐶′𝐵′}𝑈.𝑈.⇒ ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′
3) Fie ∆𝐴𝐵𝐶 și ∆𝐴′𝐵′𝐶′ echilaterale (fig. 1.24 )⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)=𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=600 și
𝑚(∢𝐴′𝐵′𝐶′)=𝑚(∢𝐴′𝐶′𝐵′)=𝑚(∢𝐵′𝐴′𝐶′)=600
Atunci ∢𝐴𝐵𝐶≡∢𝐴′𝐵′𝐶′
∢𝐵𝐴𝐶≡∢𝐵′𝐴′𝐶′}𝑈.𝑈.⇒ ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴′𝐵′𝐶′.

2.Concurența liniilor importante î ntr-un triunghi

Definiție : Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf al
triunghiului cu mijlocul laturii opuse. (fig. 1.25 )
[𝐴𝐴′] este mediana triunghiului ABC , 𝐴’∈(𝐵𝐶)⟹
⟹𝐵𝐴′=𝐴′𝐶=𝐵𝐶
2
Proprietăți :
1. Orice triunghi are trei mediane.
2. Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de A
B C A'
Fig. 1.25 A
B C G
A' B' C'
Fig. 1.26 A
A'
B C B' C'
Fig. 1.23 ~ ~
A
B C A'
B' C'
Fig. 1.24 ~ ~
~

27
A B
d O M
Fig. 1.28 concurență se notează cu G și se numește centru de greutate .
3. Centrul de greutate al unui triunghi se află la o treime de bază și două
treimi de vâ rf.

Demonstrație :
Fie [𝐴𝐴′],[𝐵𝐵′],[𝐶𝐶′]mediane î n ∆𝐴𝐵𝐶 (fig.1.26),𝐴′∈(𝐵𝐶),𝐵′∈
(𝐴𝐶),𝐶′∈(𝐴𝐵)⟹
𝐴′mijlocul lui [𝐵𝐶], 𝐵′mijlocul lui [𝐴𝐶], 𝐶′mijlocul lui [𝐴𝐵]⟹
⟹[𝐴′𝐵′],[𝐴′𝐶′],[𝐵′𝐶′]linii mijlocii î n ∆𝐴𝐵𝐶⟹𝐴′𝐵′=𝐴𝐵
2,𝐴′𝐶′=
𝐴𝐶
2,𝐵′𝐶′=𝐵𝐶
2
Î n ∆𝐴𝐴′𝐶se consideră transversala 𝐵𝐺𝐵′ 𝑇. 𝑀𝑒𝑛𝑒𝑙𝑎𝑢𝑠 ⇒ 𝐴𝐺
𝐺𝐴′∙𝐵𝐴′
𝐵𝐶∙𝐶𝐵′
𝐵′𝐴=1⟹
⟹𝐴𝐺
𝐺𝐴′=𝐵𝐶
𝐵𝐴′∙𝐵′𝐴
𝐶𝐵′=2𝐵𝐴′
𝐵𝐴′∙𝐵′𝐴
𝐵′𝐴=2⟹𝐴𝐺+𝐺𝐴′
𝐺𝐴′=2+1⟹𝐴𝐴′
𝐺𝐴′=3
⟹𝐺𝐴′=𝐴𝐴′
3
𝐴𝐺=𝐴𝐴′−𝐺𝐴′=𝐴𝐴′−𝐴𝐴′
3=2
3𝐴𝐴′.
4. Î n orice triunghi G este un punct interior triunghiului.

Definiție :Mediatoarea unui segment este dreapa dusă
perpendicular pe mijlocul segmentului .(fig. 1.27)
d este mediatoarea segmentului [𝐴𝐵]⟹𝑑⊥𝐴𝐵
𝑑∩𝐴𝐵={𝑂}
𝐴𝑂=𝑂𝐵=𝐴𝐵
2
Proprietăți :
1. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal
depărtat de capetele segmentului.
A B
d O
Fig. 1.27

28
Demonstrație :
Fie segmentul [𝐴𝐵] și dreapta d mediatoarea segmentului (fig. 1.28 )⟹𝑑⊥
𝐴𝐵,𝑑∩𝐴𝐵={𝑂}⟹𝐴𝑂=𝑂𝐵=𝐴𝐵
2⟹
⟹∆𝑀𝑂𝐴 și ∆𝑀𝑂𝐵 dreptunghice
𝐴𝑂=𝑂𝐵
𝑀𝑂=𝑀𝑂}𝐶.𝐶.⇒ ∆𝑀𝑂𝐴≡∆𝑀𝑂𝐵⟹[𝑀𝐴]≡[𝑀𝐵].
2. Orice triunghi are trei mediatoare.
3. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de
concurență se notează cu O și reprezintă centrul cercului circumscris .
4. Raza cercului circumscris se calculează după formula: 𝑅=𝑎𝑏𝑐
4𝑆, unde a, b,
c sunt lungimile laturilor triunghiului și S este aria triunghiului.
Demonstrație :
Aria ∆𝐴𝐵𝐶 : 𝑆=𝑎𝑏𝑐
4𝑅⟹𝑅=𝑎𝑏𝑐
4𝑆
5. Centrul cercului circumscris se află în:
 interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascutitunghic (fig. 1.29)
 mijlocul ipotenuzei, dacă triunghiul este dreptunghic (fig. 1.30 )
 exteriorul triunghiului, dacă triunghiul este obtuzunghic (fig. 1.31 )

Definiție : Înălțimea este segmentul perpendicular din vâ rful
unui triunghi pe latura opusă.
[𝐴𝐴′] înălțimea tringhiului ABC⟹𝐴𝐴’⊥𝐵𝐶⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐴′𝐵)=𝑚(∢𝐴𝐴′𝐶)=900(fig. 1.32 ) A
B C O
Fig.1.29 A B C
O
Fig.1.30 O
A C
B
Fig. 1.31
A
B C A'
Fig. 1.32

29

Proprietăți :
1. Orice triunghi are trei înălțimi.
2. Înălțimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de concurență se
notează cu H și se numește ortocentrul triunghiului .
3. Ortocentrul unui triunghi se aflăîn:
3. interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascutitunghic (fig. 1.33 )
4. vâ rful unghiului drept , dacă triunghiul este dreptunghic (fig. 1.34 )
5. exteriorul triunghiului dacă triunghiul este obtuzunghic (fig. 1.35 )
Definiție : Bisectoarea este semidreapta cu originea î n vâ rful
unghiului care împarte unghiul în două unghiuri
congruente.
(𝑂𝑀 bisectoarea unghiului ∢𝐴𝑂𝐵⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝑂𝑀)=𝑚(∢𝑀𝑂𝐵)=𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)
2 (fig.1.36 )
Proprietăți :
1. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi se află situat la egală distanță de
laturile unghiului.
Demonstrație :
Fie (𝑂𝑀 bisectoarea unghiului ∢𝐴𝑂𝐵⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝑂𝑀)=𝑚(∢𝐵𝑂𝑀)=𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)
2(fig. 1.37)
A
B C H
A' B'
C'
A=H B
C A
B C H
Fig. 1.33 Fig. 1.34 Fig..1.35
A
B O M X
Y
Fig. 1.37 A
B O
Fig. 1.36

30

Fie 𝑀𝑋⊥𝑂𝐴,𝑋∈(𝑂𝐴 și 𝑀𝑌⊥𝑂𝐵,𝑌∈(𝑂𝐵⟹∆𝑀𝑂𝑋 și ∆𝑀𝑂𝑌
dreptunghice
𝑀𝑂=𝑀𝑂
∢𝐴𝑂𝑀≡∢𝐵𝑂𝑀}𝐼.𝑈.⇒ [𝑀𝑋]≡[𝑀𝑌].
2. Orice triunghi are trei bisectoare.
3. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente.Punctul lor de concurență se
notează cu Iși reprezintă centrul cercului î nscris .
4. Raza cercului înscris unui triunghi se calculează după formula: 𝑟=𝑆
𝑝,
unde S este aria triunghiului și p este semiperimetrul triunghiului.
Demonstrație :
Aria ∆𝐴𝐵𝐶 : 𝑆=𝑝𝑟⟹𝑟=𝑆
𝑝
𝑟=𝑆
𝑝=√𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑝=𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑝√𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)=
=𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑝𝑆=(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
=4𝑅(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑎𝑏𝑐=
=4𝑅√(𝑝−𝑎)2(𝑝−𝑏)2(𝑝−𝑐)2
√𝑎2𝑏2𝑐2=
=4𝑅√(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)
𝑎𝑏∙√(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)
𝑎𝑐∙√(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑏𝑐
=4𝑅sin𝐴
2sin𝐵
2sin𝐶
2

31
5. În orice triunghi, centrul cercului înscris se aflăîn interiorul
triunghiului. (fig. 1.38 )

2.1.Calculul lungimilor liniilor importante î n triunghi
2.1.1.Lungimea medianei unui triunghi

Teoremă : Fie triunghiul ABC cu mediana 𝐴𝑀,𝑀∈(𝐵𝐶). Atunci
𝐴𝑀2=2(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2)−𝐵𝐶2
4.
Demonstrație :
Se construiește 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶)(fig.1.39)⟹
⟹∆𝐴𝐷𝑀 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝑀)=900⟹
𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒ 𝐴𝐷2=𝐴𝑀2−𝐷𝑀2 (1) ⟹
⟹∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900
𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒ 𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝑀2−𝐷𝑀2=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2
𝐴𝑀2−(𝐵𝑀−𝐵𝐷)2=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2
𝐴𝑀2−(𝐵𝐶
2−𝐵𝐷)2
=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2
𝐴𝑀2−𝐵𝐶
42
+𝐵𝐶∙𝐵𝐷−𝐵𝐷2=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2
𝐴𝑀2=𝐵𝐶
42
+𝐴𝐵2−𝐵𝐶∙𝐵𝐷 (3) A
B C I
A B C
I
A B C
I
Fig. 1.38
A
B C M D
Fig. 1.39

32
∆𝐴𝑀𝐶 𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑡 ă ⇒ 𝐴𝑀2=𝐴𝐶2+𝑀𝐶2−2∙𝐶𝐷∙𝑀𝐶
𝐴𝑀2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶
42
−2∙𝐶𝐷∙𝐵𝐶
2
𝐴𝑀2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶
42
−𝐶𝐷∙𝐵𝐶
𝐴𝑀2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶
42
−𝐵𝐶∙(𝐵𝐶−𝐵𝐷)
𝐴𝑀2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶
42
−𝐵𝐶2+𝐵𝐶∙𝐵𝐷⟹
⟹𝐵𝐶∙𝐵𝐷=𝐴𝑀2−𝐴𝐶2−𝐵𝐶
42
+𝐵𝐶2(4)
Din (3)+(4) ⟹𝐴𝑀2=𝐵𝐶
42
+𝐴𝐵2−𝐴𝑀2+𝐴𝐶2+𝐵𝐶
42
−𝐵𝐶2
2𝐴𝑀2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶
22

2𝐴𝑀2=2𝐴𝐵2+2𝐴𝐶2−𝐵𝐶
22

𝐴𝑀2=2(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2)−𝐵𝐶
42
.
Analog se demonstrează și lungimile celorlalte două mediane.

2.1.2.Lungimea înălțimii unui triunghi

Teoremă : Fie triunghiul ABC cu înălțimea 𝐴𝐷,𝐷∈(𝐵𝐶).
Atunci 𝐴𝐷=2∙𝒜∆𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶 .
Demonstrație :
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) (fig.1.40)⟹
⟹∆𝐴𝐷𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900 𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒
⟹𝐴𝐷2=𝐴𝐶2−𝐷𝐶2 (1)⟹
⟹∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900 𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒ 𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−𝐷𝐵2
Dar 𝐷𝐵=𝐵𝐶−𝐷𝐶⟹𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−(𝐵𝐶−𝐷𝐶)2 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝐶2−𝐷𝐶2=𝐴𝐵2−𝐵𝐶2−𝐷𝐶2+2∙𝐵𝐶∙𝐷𝐶⟹ A
B C D
Fig. 1.40

33
⟹2∙𝐵𝐶∙𝐷𝐶=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2−𝐴𝐵2⟹
⟹𝐷𝐶=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2−𝐴𝐵2
2∙𝐵𝐶
Relația (1) devine 𝐴𝐷2=𝐴𝐶2−(𝐴𝐶2+𝐵𝐶2−𝐴𝐵2
2∙𝐵𝐶)2
⟹
⟹4∙𝐴𝐷2∙𝐵𝐶2=4∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2−𝐴𝐶4−𝐵𝐶4−𝐴𝐵4−2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2+
+2∙𝐴𝐶2∙𝐴𝐵2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2⟹
⟹4∙𝐴𝐷2∙𝐵𝐶2=2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐴𝐵2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2−
−(𝐴𝐶4+𝐵𝐶4+𝐴𝐵4)⟹
⟹𝐴𝐷2
=2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐴𝐵2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2−(𝐴𝐶4+𝐵𝐶4+𝐴𝐵4)
4∙𝐵𝐶2⟹
𝐴𝐷=√2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐴𝐵2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2−(𝐴𝐶4+𝐵𝐶4+𝐴𝐵4)
4∙𝐵𝐶2⟹
⟹𝐴𝐷=4√𝑝(𝑝−𝐴𝐵)(𝑝−𝐴𝐶)(𝑝−𝐵𝐶)
2∙𝐵𝐶⟹𝐴𝐷=2∙𝒜𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶
unde 𝑝=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2
𝑝−𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2−𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵
2
𝑝−𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2−𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶−𝐴𝐶
2
𝑝−𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2−𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶
2}
⟹
⟹√𝑝(𝑝−𝐴𝐵)(𝑝−𝐴𝐶)(𝑝−𝐵𝐶)=
=√(𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶
2)(𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵
2)(𝐴𝐵+𝐵𝐶−𝐴𝐶
2)(𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶
2)
=
=√(𝐴𝐵+𝐴𝐶)2−𝐵𝐶2
4∙𝐵𝐶2−(𝐴𝐶−𝐴𝐵)2
4=

34
=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2+2∙𝐴𝐵∙𝐴𝐶−𝐵𝐶2
4∙𝐵𝐶2−𝐴𝐶2−𝐴𝐵2+2∙𝐴𝐵∙𝐴𝐶
4=
=√2∙𝐴𝐵∙𝐴𝐶+(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶2)
4∙2∙𝐴𝐵∙𝐴𝐶−(𝐴𝐶2+𝐴𝐵2−𝐵𝐶2)
4=
=√4∙𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2−(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶2)2
16=
=√4∙𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2−𝐴𝐵4−𝐴𝐶4−𝐵𝐶4−2∙𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2
16
=√2∙𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2−𝐴𝐵4−𝐴𝐶4−𝐵𝐶4
16=
= √2∙𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2+2∙𝐴𝐵2∙𝐵𝐶2+2∙𝐴𝐶2∙𝐵𝐶2−(𝐴𝐵4+𝐴𝐶4+𝐵𝐶4)
4 .

2.1.3.Lungimea bisectoarei interioare și lungimea
bisectoarei exterioare

Definiție : Se numește bisectoare interioară a unghiului
∢𝐴 al triunghiului ABC , bisectoarea unghiului
∢𝐵𝐴𝐶 . Dacă AB<AC, se numește bisectoarea
exterioară a unghiului ∢𝐴 al triunghiului ABC ,
bisectoarea unghiului ∢𝐵𝐴𝐶′, unde ( AC’ este
semidreapta opusă semidreptei ( AC. Î n figura
alăturată ( AD este bisectoarea interioară a
unghiului ∢𝐴, iar ( AD’ este bisectoarea
exterioară a unghiului ∢𝐴. (fig.1.41 )

A
B C D C'
D'
Fig. 1.41

35
Teoremă (Teorema bisectoarei interioare ): Î ntr -un
triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura
opusă două segmente proporționale cu celelalte două
laturi.
𝐵𝐷
𝐶𝐷=𝐴𝐵
𝐴𝐶
Demonstrație :
Se construiește 𝐶𝐸∥𝐴𝐷,𝐸∈(𝐵𝐴(fig.1.42)⟹
𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ ∆𝐵𝐴𝐷~∆𝐵𝐸𝐶⟹𝐵𝐴
𝐴𝐸=𝐵𝐷
𝐷𝐶 (1).
𝐶𝐸∥𝐴𝐷,𝐸∈(𝐵𝐴
𝐴𝐶 secantă}⟹∢𝐷𝐴𝐶≡∢𝐴𝐶𝐸 (unghiuri
alterne interne) ⟹∆𝐴𝐶𝐸 isoscel⟹𝐴𝐸=𝐴𝐶
În relația (1) ⟹𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝐵𝐷
𝐷𝐶.
Reciproca : Dacă în triunghiul ABC cu 𝐷∈(𝐵𝐶) are loc relația 𝐵𝐷
𝐶𝐷=𝐴𝐵
𝐴𝐶,
atunci (𝐴𝐷 este bisectoarea unghiului ∢𝐵𝐴𝐶 .
Demonstrație :
Fie𝐶𝐸∥𝐴𝐷,𝐸∈(𝐵𝐴 𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ ∆𝐵𝐴𝐷~∆𝐵𝐸𝐶⟹𝐵𝐴
𝐴𝐸=𝐵𝐷
𝐷𝐶⟹𝐵𝐴
𝐵𝐷=𝐴𝐸
𝐷𝐶 (1)
𝐵𝐷
𝐶𝐷=𝐴𝐵
𝐴𝐶⟹𝐴𝐶
𝐶𝐷=𝐴𝐵
𝐵𝐷 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝐸=𝐴𝐶⟹∆𝐴𝐸𝐶 isoscel⟹∢𝐴𝐸𝐶≡∢𝐴𝐶𝐸 (3)
𝐶𝐸∥𝐴𝐷⟹∢𝐷𝐴𝐶≡∢𝐴𝐶𝐸 (unghiuri alterne
interne) și ∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐸𝐶 (unghiuri
corespondente) (4)
Din (3)+(4) ⟹∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐷𝐴𝐶⟹
(𝐴𝐷 bisectoarea ∢𝐵𝐴𝐶).

A
B C D E
Fig. 1.42
A
B C D
Fig. 1.43

36
Teoremă : Î ntr-un triunghi ABC cu laturile 𝐴𝐵=𝑐,𝐴𝐶=𝑏,𝐵𝐶=𝑎,
bisectoarea interioară a unghiului ∢𝐴 determină pe latura BC două segmente
de lungimi egale cu 𝑎𝑐
𝑏+𝑐, respectiv 𝑎𝑏
𝑏+𝑐.
Demonstrație :
Fie (𝐴𝐷 bisectoarea interioară ∢𝐵𝐴𝐶 (fig.1.43)⟹𝐵𝐷
𝐶𝐷=𝑐
𝑏⟺
⟺𝐵𝐷
𝑐=𝐶𝐷
𝑏=𝐵𝐷+𝐶𝐷
𝑐+𝑏=𝐵𝐶
𝑐+𝑏=𝑎
𝑐+𝑏⟹𝐵𝐷=𝑎𝑐
𝑏+𝑐 și 𝐶𝐷=𝑎𝑏
𝑏+𝑐.

Teoremă (Teorema bisectoarei exterioare ): Fie
triunghiul ABC cu 𝐴𝐵≠𝐴𝐶 și 𝐷′∈𝐵𝐶∕(𝐵𝐶)
și (𝐴𝐷′ este bisectoarea exterioară a unghiului
∢𝐵𝐴𝐶 . Atunci 𝐵𝐷′
𝐷′𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶.
Demonstrație :
Se construiește 𝐵𝑁∥𝐴𝐷′,𝑁∈(𝐴𝐶)⟹
𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ 𝐷′𝐵
𝐷′𝐶=𝐴𝑁
𝐴𝐶 (fig. 1.44 )
𝐵𝑁∥𝐴𝐷′,𝑁∈(𝐴𝐶)
𝐴𝐵 secantă}⟹∢𝐷′𝐴𝐵≡∢𝐴𝐵𝑁 (unghiuri alterne interne) (1)
𝐵𝑁∥𝐴𝐷′,𝑁∈(𝐴𝐶)
𝐴𝐶 secantă}⟹∢𝐷′𝐴𝐶′≡∢𝐴𝑁𝐵 (unghiuricorespondente) (2)
Din (1)+(2) ⟹∆𝐴𝐵𝑁 isoscel⟹𝐴𝐵=𝐴𝑁⟹𝐷′𝐵
𝐷′𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶.
Reciproca :Dacă în triunghiul ABC cu 𝐴𝐵≠𝐴𝐶 și 𝐷′∈𝐵𝐶∕(𝐵𝐶) are loc
relația𝐵𝐷′
𝐷′𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶, atunci (𝐴𝐷′ este bisectoarea exterioară a unghiului ∢𝐵𝐴𝐶 .
Demonstrație :
Î n triunghiul D'AC , fie𝐵𝑁∥𝐴𝐷′,𝑁∈(𝐴𝐶) 𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ 𝐷′𝐵
𝐷′𝐶=𝐴𝑁
𝐴𝐶 (1)
𝐵𝐷′
𝐷′𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝐵=𝐴𝑁⟹∆𝐴𝐵𝑁 isoscel⟹∢𝐴𝑁𝐵≡∢𝐴𝐵𝑁 A
B C C
'
D' N
Fig. 1.44

37
𝐵𝑁∥𝐴𝐷′⟹∢𝐷′𝐴𝐶′≡∢𝐴𝑁𝐵 (unghiuri corespondente) și
∢𝐷′𝐴𝐵≡∢𝐴𝐵𝑁 (unghiuri alterne interne) ⟹∢𝐷′𝐴𝐵≡∢𝐷′𝐴𝐶′⟹(𝐴𝐷′ este
bisectoarea exterioară a unghiului ∢𝐵𝐴𝐶 .

Teoremă : Î ntr-un triunghi ABC cu laturile 𝐴𝐵=
𝑐,𝐴𝐶=𝑏,𝐵𝐶=𝑎, bisectoarea exterioară a
unghiului ∢𝐴 determină pe latura BC două
segmente de lungimi egale cu 𝑎𝑐
|𝑏−𝑐|, respectiv
𝑎𝑏
|𝑏−𝑐|.
Demonstrație :
Fie (𝐴𝐷′ bisectoarea exterioară ∢𝐵𝐴𝐶 (fig.1.45)⟹𝐵𝐷′
𝐷′𝐶=𝑐
𝑏⟺
⟺𝐵𝐷′
𝑐=𝐷′𝐶
𝑏=𝐷′𝐶−𝐵𝐷′
𝑏−𝑐=𝐵𝐶
𝑏−𝑐=𝑎
𝑏−𝑐⟹
⟹𝐵𝐷′=𝑎𝑐
𝑏−𝑐 și 𝐶𝐷′=𝑎𝑏
𝑏−𝑐 (considerâ nd 𝑏>𝑐).

Teoremă : Î ntr-un triunghi isoscel ABC , dacă A', B',
C' sunt picioarele bisectoarelor exterioare
unghiurilor triunghiului, atunci punctele A', B', C'
sunt coliniare.
Demonstrație :
Fie (𝐴𝐴′ bisectoarea exterioară ∢𝐵𝐴𝐶 (fig.1.46)⟹
⟹𝐵𝐴′
𝐴′𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶 (1)
Fie (𝐵𝐵′ bisectoarea exterioară ∢𝐴𝐵𝐶⟹𝐵′𝐶
𝐴𝐵′=𝐵𝐶
𝐴𝐵
(2)
Fie (𝐶𝐶′ bisectoarea exterioară ∢𝐴𝐶𝐵⟹𝐴𝐶′
𝐶′𝐵=𝐴𝐶
𝐵𝐶
(3) A
B E
D' C
Fig. 1.45
A
B C A' B'
C' Fig. 1.46

38
Din (1)+(2)+(3) ⟹𝐵𝐴′
𝐴′𝐶∙𝐵′𝐶
𝐴𝐵′∙𝐴𝐶′
𝐶′𝐵=𝐴𝐵
𝐴𝐶∙𝐵𝐶
𝐴𝐵∙𝐴𝐶
𝐵𝐶=1⟹
𝑅.𝑇. 𝑀𝑒𝑛𝑒𝑙𝑎𝑢𝑠⇒ A', B', C' sunt coliniare.
Observație : Bisectoarea interioarăși
bisectoarea exterioară ale unui unghi sunt
perpendiculare.
Demonstrație :
Fie (𝐴𝐷 bisectoarea interioară a
∢𝐵𝐴𝐶 (fig.1.47)⟹
⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=𝑚(∢𝐶𝐴𝐷)=𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)
2
Fie (𝐴𝐷′ bisectoarea exterioară a ∢𝐵𝐴𝐶⟹𝑚(∢𝐸𝐴𝐷′)=𝑚(∢𝐵𝐴𝐷′)=
𝑚(∢𝐵𝐴𝐸)
2
𝑚(∢𝐸𝐴𝐷′)+𝑚(∢𝐵𝐴𝐷′)+𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)+𝑚(∢𝐶𝐴𝐷)=1800⟹
⟹2𝑚(∢𝐵𝐴𝐷′)+2𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=1800⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐷′)+𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=900
⟹
⟹𝐴𝐷⊥𝐴𝐷′.
Alte teoreme î n triunghi :
3.Teorema cosinusului

Teorema cosinusului : Î n orice triunghi ABC avâ nd laturile
de lungimi AB=c, BC=a, CA=b, au loc relațiile:
𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴
𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵
𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶
Demonstrație :
Î n ∆ABC se construiește 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) (fig. 1.48 )
Î n triunghiul dreptunghic ACD , cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900 și
𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)<900⟹ A
B E
D' C D
Fig.1.47
A
B C D
a b c
Fig. 1.48

39
𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑡 ă ⇒ 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2∙𝐶𝐷∙𝑎 și 𝑐𝑜𝑠𝐶=𝐶𝐷
𝐴𝐶⟹
⟹𝐶𝐷=𝐴𝐶∙𝑐𝑜𝑠𝐶⟹𝐶𝐷=𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝐶⟹𝑐2=𝑎2+𝑏2−2∙𝑎∙𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝐶
Analog se demonstrează și celelal te relații.

4.Teorema sinusurilor

Teorema sinusurilor : Î n orice triunghi ABC , raza R a cercului
circumscris triunghiului verifică egalitatea
𝑎
sin𝐴=𝑏
sin𝐵=𝑐
sin𝐶=2𝑅, unde S este aria triunghiului.
Demonstrație :
a) Triunghiul ABC este ascuțitunghic. (fig. 1.49 )
BDdiametru ⟹∆𝐵𝐷𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐵𝐷𝐶)=900 și
BD=2R
𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=𝑚(∢𝐵𝐷𝐶)=𝑚(∢𝐵𝑀𝐶)
2⟹sin𝐵𝐴𝐶=sin𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐶
𝐵𝐷=𝑎
2𝑅⟹
2𝑅=𝑎
sin𝐴
Analog, sin𝐴𝐵𝐶=𝑏
2𝑅⟹2𝑅=𝑏
sin𝐵și sin𝐴𝐶𝐵=𝑐
2𝑅⟹2𝑅=
𝑐
sin𝐶
Deci, 𝑎
sin𝐴=𝑏
sin𝐵=𝑐
sin𝐶=2𝑅.
b) Triunghiul ABC este dreptunghic. (fig. 1.50 )
𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900⟹𝐵𝐶=2𝑅⟹𝑎=2𝑅
∆𝐴𝐵𝐶⟹ sin𝐵𝐴𝐶=1⟹2𝑅=𝑎
sin𝐴
sin𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝑏
𝑎=𝑏
2𝑅⟹2𝑅=𝑏
sin𝐵
sin𝐵𝐶𝐴=𝐴𝐵
𝐵𝐶=𝑐
𝑎=𝑐
2𝑅⟹2𝑅=𝑐
sin𝐶

A
B C D
• M
Fig. 1.49
A
B C
Fig.1.50
A
B C
D
Fig.1.51

40

Deci, 𝑎
sin𝐴=𝑏
sin𝐵=𝑐
sin𝐶=2𝑅.
c) Triunghiul ABC este obtuzunghic. (fig.1.51 )
𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)>900
∆𝐵𝐷𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐵𝐷𝐶)=900 și BD=2R⟹
⟹sin𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐶
𝐵𝐷=𝑎
2𝑅
Patrulaterul ABCD este inscriptibil ⟹
⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)+𝑚(∢𝐵𝐷𝐶)=1800⟹
⟹sin(𝜋
2−𝐵𝐴𝐶)=sin𝐵𝐴𝐶=𝑎
2𝑅⟹2𝑅=𝑎
sin𝐴
sin𝐴𝐵𝐶=𝑏
2𝑅⟹2𝑅=𝑏
sin𝐵și sin𝐴𝐶𝐵=𝑐
2𝑅⟹2𝑅=𝑐
sin𝐶 (punctul a)
Deci, 𝑎
sin𝐴=𝑏
sin𝐵=𝑐
sin𝐶=2𝑅.

5.Teorema lui Stewart
Teorema lui Stewart : Fie A, C, B puncte coliniare, în această
ordine, iar O un punct exterior dreptei AB. Atunci este adevărată
relația 𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶−𝑂𝐶2∙𝐴𝐵=𝐴𝐶∙𝐶𝐵∙𝐴𝐵.
Demonstrație :
Î n ∆𝑂𝐴𝐶⟹
𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑡 ă ⇒ 𝑂𝐴2=
=𝐴𝐶2+𝑂𝐶2−2∙𝐶𝐷∙𝐴𝐶(fig.1.52) ⟹
𝑂𝐴2∙𝐶𝐵=𝐴𝐶2∙𝐶𝐵+𝑂𝐶2∙𝐶𝐵−2∙𝐶𝐷∙𝐴𝐶∙𝐶𝐵(1)
∆𝑂𝐵𝐶 𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑡 ă ⇒ 𝑂𝐵2=𝐵𝐶2+𝑂𝐶2+2∙𝐶𝐷∙𝐵𝐶⟹
⟹𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=𝐵𝐶2∙𝐴𝐶+𝑂𝐶2∙𝐴𝐶−2∙𝐶𝐷∙𝐵𝐶∙𝐴𝐶(2)
Din (1)+(2) ⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=𝐴𝐶2∙𝐶𝐵+𝑂𝐶2∙𝐶𝐵+𝐵𝐶2∙𝐴𝐶+
𝑂𝐶2∙𝐴𝐶⟹
⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=𝐴𝐶∙𝐵𝐶(𝐴𝐶+𝐵𝐶)+𝑂𝐶2(𝐴𝐶+𝐵𝐶)⟹ A B C O
D
Fig. 1.52

41
⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=(𝐴𝐶+𝐵𝐶)(𝐴𝐶∙𝐵𝐶+𝑂𝐶2)⟹
⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=𝐴𝐵(𝐴𝐶∙𝐵𝐶+𝑂𝐶2)⟹
⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶∙𝐵𝐶+𝐴𝐵∙𝑂𝐶2⟹
⟹𝑂𝐴2∙𝐶𝐵+𝑂𝐵2∙𝐴𝐶−𝑂𝐶2∙𝐴𝐵=𝐴𝐵∙𝐴𝐶∙𝐵𝐶.
Teoremă : Fie O centrul și R raza cercului circumscris
triunghiului ABC de laturi a, b, c și G centrul de greutate
al triungiului. Atunci 𝑂𝐺2=𝑅2−1
9(𝑎2+𝑏2+𝑐2).
Demonstrație :
Fie A' mijlocul lui [𝐵𝐶] (fig 1.53 ). Din relația lui Stewart
pentru punctele A, G, A' și O, rezultă
𝑂𝐺2∙𝐴𝐴′=𝑂𝐴2∙𝐺𝐴′+𝑂𝐴′2∙𝐺𝐴−𝐴𝐴′∙𝐺𝐴′∙𝐴𝐺(1)
Dar 𝑂𝐴=𝑅 și 𝐺𝐴′=1
3𝐴𝐴′,𝐺𝐴=2
3𝐴𝐴′ (2)
Din (1) +(2)⟹𝑂𝐺2=𝑂𝐴2∙𝐺𝐴’+𝑂𝐴′2∙𝐺𝐴−𝐴𝐴’∙𝐺𝐴’∙𝐴𝐺
𝐴𝐴′⟹
⟹𝑂𝐺2=𝑅2∙1
3𝐴𝐴′+𝑂𝐴′2∙2
3𝐴𝐴′−𝐴𝐴’∙1
3𝐴𝐴′∙2
3𝐴𝐴′
𝐴𝐴′⟹
⟹𝑂𝐺2=1
3𝑅2+2
3𝑂𝐴′2−2
9𝐴𝐴′2
Din ∆𝐵𝑂𝐴′ cu 𝑚(∢𝐴′)=900𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒ 𝑂𝐴′2=𝑂𝐵2−𝐵𝐴′2⟹𝑂𝐴′2=
𝑅2−𝐵𝐶2
4⟹⟹𝑂𝐴′2=𝑅2−𝑎2
4
Cum [𝐴𝐴′]este mediană a triunghiului ABC𝑇. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑖⇒ 𝐴𝐴′2=2(𝑐2+𝑏2)−𝑎2
4
Atunci, 𝑂𝐺2=1
3𝑅2+2
3(𝑅2−𝑎2
4)−2
9∙2(𝑐2+𝑏2)−𝑎2
4⟹
⟹𝑂𝐺2=1
3𝑅2+2
3𝑅2−𝑎2
6−2(𝑐2+𝑏2)−𝑎2
18⟹𝑂𝐺2
=𝑅2−2𝑎2+2𝑐2+2𝑏2
18⟹
⟹𝑂𝐺2=𝑅2−𝑎2+𝑏2+𝑐2
9⟹𝑂𝐺2=𝑅2−1
9(𝑎2+𝑏2+𝑐2). G O
A' A
B C B'
Fig. 1.53

42
Teoremă : Dacă G este centrul de greutate al
triunghiului ABC și M este un punct oarecare î n
planul său, are loc relația 𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2=
3𝑀𝐺2+𝐺𝐴2+𝐺𝐵2+𝐺𝐶2.
Demonstrație :
Fie A' mijlocul lui [𝐵𝐶] (fig. 1.54 ). Din relația lui
Stewart pentru punctele A, G, A' și M, rezultă
𝑀𝐺2∙𝐴𝐴′=𝑀𝐴2∙𝐺𝐴′+𝑀𝐴′2∙𝐺𝐴−𝐴𝐴′∙𝐺𝐴′∙
𝐴𝐺 (1)
Dar 𝐺𝐴′=1
3𝐴𝐴′,𝐺𝐴=2
3𝐴𝐴′
Din (1)⟹𝑀𝐺2=𝑀𝐴2∙1
3𝐴𝐴′+𝑀𝐴′2∙2
3𝐴𝐴′−𝐴𝐴’∙1
3𝐴𝐴′∙2
3𝐴𝐴′
𝐴𝐴′⟹
⟹𝑀𝐺2=𝑀𝐴2∙1
3+𝑀𝐴′2∙2
3−1
3𝐴𝐴′∙2
3𝐴𝐴′⟹
⟹𝑀𝐺2=𝑀𝐴2
3+2𝑀𝐴′2
3−2𝐴𝐴′2
9⟹3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+2𝑀𝐴′2−2𝐴𝐴′2
3
Cum [𝑀𝐴′] este mediană în ∆MBC𝑇. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑖⇒ 𝑀𝐴′2=2(𝑀𝐵2+𝑀𝐶2)−𝐵𝐶2
4
Atunci 3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+2(𝑀𝐵2+𝑀𝐶2)−𝐵𝐶2
2−2𝐴𝐴′2
3⟹
⟹3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2−𝐵𝐶2
2−2𝐴𝐴′2
3
Cum [𝐺𝐴′] este mediană în ∆GBC𝑇. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑖⇒ 𝐺𝐴′2=2(𝐺𝐵2+𝐺𝐶2)−𝐵𝐶2
4, se
obține
𝐺𝐴′2=2𝐺𝐵2+2𝐺𝐶2−𝐵𝐶2
4⟹𝐺𝐴′2=𝐺𝐵2+𝐺𝐶2
2−𝐵𝐶2
4⟹
⟹2𝐺𝐴′2=𝐺𝐵2+𝐺𝐶2−𝐵𝐶2
2⟹𝐵𝐶2
2=𝐺𝐵2+𝐺𝐶2−2𝐺𝐴′2
Astfel, 3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2−𝐺𝐵2−𝐺𝐶2+2𝐺𝐴′2−2𝐴𝐴’2
3⟹ A
B C A' B' C'
G
M
Fig. 1.54

43
⟹3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2−𝐺𝐵2−𝐺𝐶2+2𝐴𝐴′2
9−2𝐴𝐴’2
3⟹
⟹3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2−𝐺𝐵2−𝐺𝐶2−4𝐴𝐴′2
9⟹
⟹3𝑀𝐺2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2−𝐺𝐵2−𝐺𝐶2−𝐺𝐴2⟹
⟹3𝑀𝐺2+𝐺𝐴2+𝐺𝐵2+𝐺𝐶2=𝑀𝐴2+𝑀𝐵2+𝑀𝐶2.

6.Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus : Fie triunghiul ABC și d o
transversală care intersectează dreptele AB, AC și
BC î n punctele M, N, respectiv P. Atunci are loc
relația𝑀𝐴
𝑀𝐵∙𝐵𝑃
𝐶𝑃∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=1.
Demonstrație :
Se construiește 𝐴𝐷∥𝐵𝑃,𝐷∈(𝑃𝑀 (fig. 1.55 )
𝐴𝐷∥𝐵𝑃 𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ ∆𝑀𝐴𝐷~∆𝑀𝐵𝑃⟹𝑀𝐴
𝑀𝐵=𝑀𝐷
𝑀𝑃=𝐴𝐷
𝐵𝑃(1)
𝐴𝐷∥𝐶𝑃 𝑇. 𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑠 ⇒ ∆𝑁𝐴𝐷~∆𝑁𝐶𝑃⟹𝑁𝐴
𝑁𝐶=𝑁𝐷
𝑁𝑃=𝐴𝐷
𝐶𝑃 (2)
(1)+(2)⟹𝑀𝐴
𝑀𝐵∙𝐵𝑃
𝐶𝑃∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=𝐴𝐷
𝐵𝑃∙𝐵𝑃
𝐶𝑃∙𝐶𝑃
𝐴𝐷=1.
Reciproca : Fie triunghiul ABC și punctele 𝑀∈𝐴𝐵,𝑁∈𝐴𝐶,𝑃∈𝐵𝐶 astfel
î ncâ t
𝑀𝐴
𝑀𝐵∙𝐵𝑃
𝐶𝑃∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=1. Atunci punctele M, N și P sunt coliniare.
Demonstrație :
Se presupune că punctele M, N și E sunt coliniare 𝑇. 𝑀𝑒𝑛𝑒𝑙𝑎𝑢𝑠 ⇒ 𝑀𝐴
𝑀𝐵∙𝐵𝐸
𝐶𝐸∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=
1. Dar
𝑀𝐴
𝑀𝐵∙𝐵𝑃
𝐶𝑃∙𝑁𝐶
𝑁𝐴=1. Atunci rezultă că 𝐵𝐸
𝐶𝐸=𝐵𝑃
𝐶𝑃⟹𝐵𝐸
𝐵𝐸−𝐶𝐸=𝐵𝑃
𝐵𝑃−𝐶𝑃⟹
⟹𝐵𝐸
𝐵𝐶=𝐵𝑃
𝐵𝐶⟹𝐵𝐸=𝐵𝑃⟹𝐸=𝑃⟹M, N, P sunt coliniare.
M A
B C N
P D
E
Fig. 1.55

44
7.Teorema lui Ceva
Teorema lui Ceva : Fie triunghiul ABC și punctele 𝐴′∈𝐵𝐶,
𝐵′∈𝐴𝐶,𝐶′∈𝐴𝐵, astfel î ncâ t dreptele 𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ și 𝐶𝐶′sunt
concurente. Atunci are loc relația𝐴′𝐵
𝐴′𝐶∙𝐵′𝐶
𝐵′𝐴∙𝐶′𝐴
𝐶′𝐵=1.
Demonstrație :
Se construiește 𝐵′′𝐶′′∥𝐵𝐶,𝐵′′∈(𝐵𝐵′,𝐶′′∈(𝐶𝐶′ (fig.
1.56)
Î n ∆𝐴𝐵𝐴′ se consideră transversala 𝐶𝐶′′ 𝑇. 𝑀𝑒𝑛𝑒𝑙𝑎𝑢𝑠 ⇒ 𝐴𝐶′
𝐶′𝐵∙
𝐵𝐶
𝐶𝐴′∙𝐴′𝑀
𝐴𝑀=1 (1)
Î n ∆𝐴𝐴’𝐶 se consideră transversala 𝐵𝐵’’ 𝑇. 𝑀𝑒𝑛𝑒𝑙𝑎𝑢𝑠 ⇒ 𝐴𝐵′
𝐵′𝐶∙𝐶𝐵
𝐵𝐴′∙𝑀𝐴′
𝑀𝐴=1⟹
⟹𝑀𝐴′
𝑀𝐴=𝐵′𝐶
𝐴𝐵′∙𝐵𝐴′
𝐶𝐵 (2)
(1)+(2)⟹𝐴𝐶′
𝐶′𝐵∙𝐵𝐶
𝐶𝐴′∙𝐵′𝐶
𝐴𝐵′∙𝐵𝐴′
𝐶𝐵=1⟹𝐶′𝐴
𝐶′𝐵∙𝐴′𝐵
𝐴′𝐶∙𝐵′𝐶
𝐵′𝐴=1.
Reciproca : Fie triunghiul ABC și punctele 𝐴′∈𝐵𝐶,𝐵′∈𝐴𝐶,𝐶′∈𝐴𝐵, astfel
î ncâ t
𝐴′𝐵
𝐴′𝐶∙𝐵′𝐶
𝐵′𝐴∙𝐶′𝐴
𝐶′𝐵=1. Atunci dreptele 𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ și 𝐶𝐶′ sunt concurente sau paralele.
Demonstrație :
Fie {𝑀}=𝐵𝐵′∩𝐶′ și {𝑁}=𝐴𝑀∩𝐵𝐶 𝑇. 𝐶𝑒𝑣𝑎 ⇒ 𝐵𝑁
𝑁𝐶∙𝐵′𝐶
𝐵′𝐴∙𝐶′𝐴
𝐶′𝐵=1
Dar, 𝐴′𝐵
𝐴′𝐶∙𝐵′𝐶
𝐵′𝐴∙𝐶′𝐴
𝐶′𝐵=1. Atunci rezultă 𝐵𝑁
𝑁𝐶=𝐴′𝐵
𝐴′𝐶⟹𝐵𝑁+𝑁𝐶
𝑁𝐶=𝐴′𝐵+𝐴′𝐶
𝐴′𝐶⟹
⟹𝐵𝐶
𝑁𝐶=𝐵𝐶
𝐴′𝐶⟹𝑁𝐶=𝐴′𝐶⟹𝑁=𝐴′.

A
A' B' C'
B C M B'' C''
Fig. 1.56

45
CAPITOLUL II.
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL
DREPTUNGHIC

2.1.Triunghiul dreptunghic (definiție, elemente)

Definiție : Triunghiul dreptunghic este triunghiul care
are un unghi drept. (fig.2.1)
𝑚(∢𝐴)=900
Laturile triunghiului care formează unghiul de 900
se numesc catete (AB și AC), iar latura opusă unghiului
de 900 se numește ipotenuză (BC).
Observație :
Ipotenuza este cea mai mare latură din triunghiul dreptunghic.
Demonstrație :
Pentru această demonstrație este necesară, mai întâi, demonstrația următoarei
teoreme :
Fie un triunghi ABC î n care 𝐴𝐵<𝐴𝐶. Atunci 𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)<
𝑚(∢𝐴𝐵𝐶).
Demonstrație :
Fie 𝐷∈(𝐴𝐶) (fig. 2.2) astfel î ncâ t [𝐴𝐵]≡[𝐴𝐷]⟹
⟹∆𝐴𝐵𝐷 isoscel⟹∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐴𝐷𝐵
𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)=𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)+𝑚(∢𝐷𝐵𝐶)=
=𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)+𝑚(∢𝐷𝐵𝐶)>𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)(1)
𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=1800−𝑚(∢𝐵𝐷𝐶)=1800−(1800−𝑚(∢𝐷𝐵𝐶)−
𝑚(∢𝐷𝐶𝐵))=
=𝑚(∢𝐷𝐵𝐶)+𝑚(∢𝐷𝐶𝐵)>𝑚(∢𝐷𝐶𝐵) (2)
Din (1)+(2) ⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)>𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)>𝑚(∢𝐷𝐶𝐵)⟹ A B
C ipotenuză
catetă
catetă
Fig. 2.1
A
B C D
Fig. 2.2

46
⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)>𝑚(∢𝐷𝐶𝐵)⟹𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)<𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)
(3)
Î n triungiul dreptunghic ABC cu 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900 (fig. 2.3)⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)<900 și
𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)<900⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)>𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)(4) și
𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)>𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)
Se presupune, prin absurd, că 𝐵𝐶<𝐴𝐶⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)<𝑚(∢𝐴𝐵𝐶) (5)
Din (4)+(5) ⟹𝐵𝐶≥𝐴𝐶 (6)
Dacă 𝐵𝐶=𝐴𝐶⟹∆𝐴𝐵𝐷 isoscel⟹∢𝐵𝐴𝐶≡∢𝐴𝐵𝐶 (7)
Din (4)+(7) ⟹𝐵𝐶>𝐴𝐶.
Analog se demonstrează că 𝐵𝐶>𝐴𝐵.
Observație :
În orice triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare.
Demonstrație :
Fie∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 (fig.2.4)
𝑚(∢𝐴)+𝑚(∢𝐵)+𝑚(∢𝐶)=1800
𝑚(∢𝐴)=900}⟹
⟹900+𝑚(∢𝐵)+𝑚(∢𝐶)=1800⇒𝑚(∢𝐵)+
𝑚(∢𝐶)=900.
Definiție : Triunghiul dreptunghic care are cele două catete
congruente se numește triunghi dreptunghic isoscel [𝐴𝐵]≡[𝐴𝐶].
Observație :
Î ntr-un triunghi dreptunghic isoscel cele două unghiuri ascuțite sunt
congruente, fiecare având măsura de 450 (∢𝐵≡∢𝐶).
Demonstrație :
Fie [𝐴𝐷] înălțime în triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu 𝑚(∢𝐴)=
900(fig.2.5)⟹
⟹ (AD bisectoarea ∢𝐵𝐴𝐶⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=𝑚(∢𝐷𝐴𝐶)=900
2=450
⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)=𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)=900−450=450. A B
C
Fig. 2.4 A B
C
Fig. 2.3
C
A B D
Fig. 2.5

47

Teoremă : Î ntr -un triunghi dreptunghic, lungimea medianei
corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea
ipotenuzei.
Demonstrație :
În∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900, fie [𝐴𝑀] mediană
(fig.2.6) ⟹𝐵𝑀=𝑀𝐶=𝐵𝐶
2
Se prelungește AM cu MN astfel î ncâ t [𝐴𝑀]≡[𝑀𝑁]
[𝐴𝑀]≡[𝑀𝑁]
[𝐵𝑀]≡[𝑀𝐶]
∢𝐴𝑀𝐵≡∢𝐶𝑀𝑁}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝑀𝐵≡∆𝐶𝑀𝑁⟹∢𝐴𝐵𝑀≡∢𝑀𝐶𝑁,[𝐴𝐵]≡[𝐶𝑁]
𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900⟹𝑚(∢𝑀𝐶𝑁)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900
⟹𝑚(∢𝐴𝐶𝑁)=900
𝐴𝐶=𝐴𝐶
[𝐴𝐵]≡[𝐶𝑁]}𝐶.𝐶.⇒ ∆𝐶𝐴𝐵≡∆𝐴𝐶𝑁 ⟹[𝐵𝐶]≡[𝐴𝑁]
[𝐴𝑀]≡[𝑀𝑁]⟹𝐴𝑀=𝐴𝑁
2⟹𝐴𝑀=𝐵𝐶
2.
Reciproca : Dacă lungimea medianei este jumătate din lungimea laturii
corespunzătoare ei, atunci triunghiul este dreptunghic.
Demonstrație :
În∆𝐴𝐵𝐶 , fie M mijlocul lui [𝐵𝐶]⟹[𝐴𝑀] mediana ∆ABC și 𝐵𝑀=𝑀𝐶=
𝐵𝐶
2(fig.2.7)
Dar 𝐴𝑀=𝐵𝐶
2, deci
𝐴𝑀=𝐵𝑀⟹∆𝐴𝑀𝐵 isoscel⟹∢𝐵𝐴𝑀≡∢𝐴𝐵𝑀
𝐴𝑀=𝑀𝐶⟹∆𝐴𝑀𝐶 isoscel⟹∢𝐶𝐴𝑀≡∢𝐴𝐶𝑀}⟹
⟹1800=𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)+𝑚(∢𝐵𝐶𝐴)⟹
⟹1800=𝑚(∢𝐵𝐴𝑀)+𝑚(∢𝑀𝐴𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐵𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)⟹
⟹1800=2𝑚(∢𝐵𝐴𝑀)+2𝑚(∢𝑀𝐴𝐶)⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝑀)+𝑚(∢𝑀𝐴𝐶)=900
⟹
⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900⟹∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic. A B
C M N
Fig. 2.6 ~ ~
A B
C M
Fig. 2.7

48

Teoremă : Î ntr -un triunghi dreptunghic, lungimea catetei opusă
unghiului de 300 este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Demonstrație :
În∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900, fie[𝐴𝑀] mediană (fig.
2.8)⟹
⟹𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝑀𝐶=𝐵𝐶
2⟹∆𝐴𝑀𝐵 isoscel⟹∢𝐵𝐴𝑀≡∢𝐴𝐵𝑀 (1)
𝑚(∢𝐴𝐵𝑀)=900−𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900−300=600 (2)
Din (1)+(2) ⟹∆𝐴𝑀𝐵 echilateral ⟹𝐴𝐵=𝐴𝑀=𝐵𝐶
2.
Reciproca : Dacă lungimea unei catete este egală cu jumătate din lungimea
ipotenuzei, atunci unghiul care se opune catetei are măsura de 300.
Demonstrație :
În∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900, fie 𝐴𝐵=𝐵𝐶
2 (1)
Se construiește mediana [𝐴𝑀]⟹𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝑀𝐶=𝐵𝐶
2 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝑀=𝐵𝑀=A𝐵=𝐵𝐶
2⟹∆𝐴𝑀𝐵 echilateral ⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝑀)=
600⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐶𝐵)=900−𝑚(∢𝐴𝐵𝑀)=900−600=300.

2.2.Proiecții ortogonale pe o dreaptă
Definiție : Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă
este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe
dreaptă. (fig. 2.9)
Notație : 𝑝𝑟𝑑𝐴=𝐴′
Observație : Dacă punctul A aparține dreptei d, atunci
proiecția ortogonală a acestui punct este însuși punctul A și se
notează 𝐴=𝑝𝑟𝑑𝐴. (fig.2.10)
A
A' d
Fig. 2.9 A
A'
Fig. 2.10 A B
C 30
0 M
Fig. 2.8 ~ ~
~

49
Definiție : Proiecția ortogonală a unei figuri geometrice pe o dreaptă este
mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor acelei figuri pe dreaptă.

Teoremă : Proiecția unui segment pe o dreaptă este
un segment sau un punct.

Demonstrație :
1) Fie 𝐴𝐵∥𝑑 (fig. 2.11)
𝐴𝐴′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐴=𝐴′
𝐵𝐵′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐵=𝐵′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐴𝐵]=[𝐴′𝐵′],𝐴′,𝐵′∈𝑑.
2) Fie 𝐶𝐷∦𝑑 (fig. 2.12)
𝐶𝐶′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐶=𝐶′
𝐷𝐷′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐷=𝐷′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐶𝐷]=[𝐶′𝐷′],𝐶′,𝐷′∈𝑑.
3) Fie 𝐸𝐹∩𝑑={𝐹},𝐹∈𝑑 (fig. 2.13)
𝐹∈𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐹=𝐹
𝐸𝐸′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐸=𝐸′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐸𝐹]=[𝐸′𝐹],𝐸′∈𝑑.
4) Fie 𝑀𝑁⊥𝑑 (fig.2.14)⟹{𝑝𝑟𝑑𝑀=𝑀′
𝑝𝑟𝑑𝑁=𝑁′⟹𝑀′=𝑁′⟹𝑝𝑟𝑑[𝑀𝑁]=𝑀′.
d A
A' B
B'
Fig. 2.11
𝑝𝑟𝑑[𝐴𝐵]=[𝐴′𝐵′] d C
D
C' D'
Fig. 2.12
𝑝𝑟𝑑[𝐶𝐷]=[𝐶′𝐷′]
d E
E' F=F'
Fig. 2.13
𝑝𝑟𝑑[𝐸𝐹]=[𝐸′𝐹′] d M
N
M'=N'
Fig. 2.14
𝑝𝑟𝑑[𝑀𝑁]=𝑀′

50
Teoremă : Lungimea proiecției unui segment pe o dreaptă este mai mică sau
egală cu lungimea segmentului proiectat.
Demonstrație :
Caz 1) Fie 𝐶𝐷∦𝑑 (fig. 2.15)
𝐶𝐶′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐶=𝐶′
𝐷𝐷′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐷=𝐷′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐶𝐷]=[𝐶′𝐷′],𝐶′,𝐷′∈
𝑑
Fie 𝐶′′∈(𝐶𝐶′) astfel î ncâ t 𝐷′𝐶′′∥𝐶𝐷 (1)
𝐶𝐶′⊥𝑑
𝐷𝐷′⊥𝑑}⟹𝐶𝐶′∥𝐷𝐷′ (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐶𝐷𝐷′𝐶′′ paralelogram ⟹[𝐷′𝐶′′]≡[𝐶𝐷] și [𝐶𝐶′′]≡[𝐷𝐷′]
𝐶𝐶′⊥𝑑⟹𝑚(∢𝐶𝐶′𝐷′)=900⟹∆𝐶′′𝐶′𝐷′ dreptunghic cu ipotenuza
[𝐷′𝐶′′]⟹
⟹𝐷′𝐶′′>𝐷′𝐶′. Cum [𝐷′𝐶′′]≡[𝐶𝐷], rezultă că 𝐷𝐶>𝐷′𝐶′.
Caz 2) Fie 𝐶𝐷∥𝑑 (fig. 2.16)
𝐶𝐶′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐶=𝐶′
𝐷𝐷′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐷=𝐷′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐶𝐷]=[𝐶′𝐷′],𝐶′,𝐷′∈𝑑
𝐶𝐶′⊥𝑑
𝐷𝐷′⊥𝑑}⟹𝐶𝐶′∥𝐷𝐷′ (1)
𝐶𝐷∥𝑑
𝐶,𝐷∈𝑑
𝐶′,𝐷′∈𝑑}⟹𝐶𝐷∥𝐶′𝐷′ (2)
𝐶𝐶′⊥𝑑⟹𝑚(∢𝐶𝐶′𝐷′)=900 (3)
Din (1)+(2)+(3) ⟹𝐶𝐷𝐷′𝐶′ dreptunghi ⟹[𝐷′𝐶′]≡[𝐶𝐷].

Observație : Dacă proiecția segmentului [ AB] pe dreapta d este
segmentul [A'B'], atunci proiecția mijlocului segmentului [AB] pe
dreapta d este mijlocul segmentului [A'B'].
Demonstrație :
𝐴𝐴′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐴=𝐴′
𝐵𝐵′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝐵=𝐵′}⟹𝑝𝑟𝑑[𝐴𝐵]=[𝐴′𝐵′],𝐴′,𝐵′∈𝑑 (fig. 2.17)
𝐴𝐴′⊥𝑑
𝐵𝐵′⊥𝑑}⟹𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′ (1) d C
D
C' D' C''
Fig.2.15
d C
C' D
D'
Fig. 2.16
d A
B
A' B' M
M'
Fig. 2.17

51
𝐴𝐴′⊥𝑑⟹𝑚(∢𝐴𝐴′𝐵′)=900 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐴𝐵𝐵′𝐴′ trapez dreptunghic
Fie M mijlocul lui [𝐴𝐵]⟹𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝐴𝐵
2
𝑀𝑀′⊥𝑑⟹𝑝𝑟𝑑𝑀=𝑀′,𝑀′∈𝑑
Î n trapezul 𝐴𝐵𝐵′𝐴′, [𝑀𝑀′] este linie mijlocie, deci M' este mijlocul lui [𝐴′𝐵′].
Observație :
Fie ∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 și 𝐷=𝑝𝑟[𝐵𝐶]𝐴.
Î n acest caz: [𝐷𝐵]=𝑝𝑟[𝐵𝐶][𝐴𝐵] și [𝐷𝐶]=𝑝𝑟[𝐵𝐶][𝐴𝐶].
Demonstrație :
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶⟹𝑝𝑟[𝐵𝐶]𝐴=𝐷,𝐷∈[𝐵𝐶]
𝐵∈𝐵𝐶⟹𝑝𝑟[𝐵𝐶]𝐵=𝐵
𝐶∈𝐵𝐶⟹𝑝𝑟[𝐵𝐶]𝐶=𝐶}⟹
⟹𝑝𝑟[𝐵𝐶][𝐴𝐵]=[𝐷𝐵] și 𝑝𝑟[𝐵𝐶][𝐴𝐶]=[𝐷𝐶]. (fig. 2.18)

2.3.Teorema catetei

Teorema catetei : Î ntr -un triunghi dreptunghic, lungimea unei
catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei și a
lungimii proiecției sale ortogonale pe ipotenuză.
𝐴𝐵=√𝐵𝐷∙𝐵𝐶 sau 𝐴𝐵2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶
𝐴𝐶=√𝐷𝐶∙𝐵𝐶 sau 𝐴𝐶2=𝐷𝐶∙𝐵𝐶
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900(fig. 2.19) se duce 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈
(𝐵𝐶)⟹
⟹∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900 și ∆𝐵𝐴𝐶 dreptunghic cu
𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900
∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐵
∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐵𝐴𝐶} 𝑈.𝑈. ⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐴𝐵⟹𝐴𝐷
𝐶𝐴=𝐷𝐵
𝐴𝐵=𝐴𝐵
𝐵𝐶⟹𝐷𝐵
𝐴𝐵=𝐴𝐵
𝐵𝐶⟹
⟹𝐴𝐵2=𝐷𝐵∙𝐵𝐶 A B
C D
Fig.2.18
A B
C D
Fig.2.19

52
Analog se demonstrează că 𝐴𝐶2=𝐷𝐶∙𝐵𝐶.
ReciprocaI : Fie triunghiul dreptunghic ABC cu 𝑚(∢𝐴)=900 și 𝐷∈(𝐵𝐶).
Dacă 𝐴𝐵2=𝐷𝐵∙𝐵𝐶, atunci 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.
Demonstrație :
𝐴𝐵2=𝐷𝐵∙𝐵𝐶⟹𝐴𝐵
𝐵𝐷=𝐵𝐶
𝐴𝐵(fig. 2.20)
∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐶𝐵𝐴
𝐴𝐵
𝐵𝐷=𝐵𝐶
𝐴𝐵}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐴𝐵⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=𝑚(∢𝐶𝐴𝐵)=900⟹𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.
Reciproca II : Fie un triunghi ABC și 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐷∈(𝐵𝐶).
Dacă 𝐴𝐵2=𝐷𝐵∙𝐵𝐶, atunci 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900.
Demonstrație :
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶)(fig.2.21)⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900⟹∆𝐴𝐷𝐵 și ∆𝐴𝐷𝐶
dreptunghice
𝐴𝐵2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶⟹𝐴𝐵
𝐵𝐷=𝐵𝐶
𝐴𝐵
∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐶𝐵𝐴
𝐴𝐵
𝐵𝐷=𝐵𝐶
𝐴𝐵}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐴𝐵⟹𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=𝑚(∢𝐶𝐴𝐵)=900.

2.4.Teorema înălțimii

Prima t eorem ă a înălțimii : Î ntr-un triunghi dreptunghic
lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media
geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
𝐴𝐷=√𝐵𝐷∙𝐶𝐷 sau 𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐶𝐷
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 se duce 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) (fig.
2.22) ⟹∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900 și ∆𝐴𝐷𝐶 dreptunghic cu
𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900 A B
C D
Fig.2.22 A B
C D
Fig.2.20
A B
C D
Fig. 2.21

53
Î n ∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=900⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)+𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=
900.
Dar 𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)=900⟹𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)=900−𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)
Deci, 900−𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)+𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)=900⟹𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)=𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)
∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐷
∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐴𝐷𝐶} 𝑈.𝑈. ⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐷𝐴⟹𝐴𝐷
𝐶𝐷=𝐷𝐵
𝐷𝐴=𝐴𝐵
𝐶𝐴⟹𝐴𝐷
𝐶𝐷=𝐷𝐵
𝐷𝐴⟹
⟹𝐴𝐷2=𝐶𝐷∙𝐷𝐵 (sau 𝐴𝐷=√𝐵𝐷∙𝐶𝐷).
Reciproca : Fie triunghiul ABC și 𝐷∈(𝐵𝐶) astfel î ncâ t 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 și 𝐴𝐷2=
𝐵𝐷∙𝐶𝐷. Atunci 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶)(fig.2.23)⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900 (1)
𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐶𝐷⟹𝐴𝐷
𝐵𝐷=𝐶𝐷
𝐴𝐷 (2)
∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐷
𝐵𝐷=𝐶𝐷
𝐴𝐷}𝐿.𝑈.𝐿.⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐷𝐴⟹∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐷
și ∢𝐴𝐵𝐷≡∢𝐶𝐴𝐷
∆𝐴𝐷𝐵 și ∆𝐶𝐷𝐴 dreptunghice ⟹
⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)+𝑚(∢𝐴𝐵𝐷)=900 și 𝑚(∢𝐷𝐴𝐶)+𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)=900
Atunci, 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=𝑚(∢𝐵𝐴𝐷)+𝑚(∢𝐷𝐴𝐶)=𝑚(∢𝐴𝐶𝐷)+𝑚(∢𝐷𝐴𝐶)=
900.
A doua teoremă a înălțimii : Î ntr-un triunghi dreptunghic ,produsul dintre
lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei și lungimea ipotenuzei este egal
cu produsul lungimilor celor două catete.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 cu 𝑚(∢𝐴)=900, 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) (fig.
2.24)⟹𝑇. 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒𝑖⇒ 𝐴𝐵2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶 și 𝐴𝐶2=𝐶𝐷∙𝐵𝐶⟹
⟹𝐵𝐷=𝐴𝐵2
𝐵𝐶 și 𝐶𝐷=𝐴𝐶2
𝐵𝐶
Conform teoremei înălțimii ⟹𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐶𝐷=𝐴𝐵2
𝐵𝐶∙A B
C D
Fig. 2.24 A B
C D
Fig.2.23

54
𝐴𝐶2
𝐵𝐶=(𝐴𝐵∙𝐴𝐶
𝐵𝐶)2
⟹
⟹𝐴𝐷2∙𝐵𝐶2=𝐴𝐵2∙𝐴𝐶2⟹𝐴𝐷∙𝐵𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶.
Reciproca :Fie triunghiul ABC și 𝐷∈(𝐵𝐶) astfel î ncâ t 𝐴𝐷∙𝐵𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶.
Atunci 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 , fie 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) și 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶,𝐸∈(𝐴𝐶)(fig.
2.25)⟹𝑚(∢𝐵𝐸𝐶)=𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900⟹
⟹∆𝐵𝐸𝐶 și ∆𝐴𝐷𝐶 dreptunghice
∢𝐴𝐷𝐶≡∢𝐵𝐸𝐶
∢𝐴𝐶𝐷≡∢𝐵𝐶𝐸}𝑼.𝑼.⇒ ∆𝐴𝐷𝐶~∆𝐵𝐸𝐶⟹𝐴𝐷
𝐵𝐸=𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝐷𝐶
𝐸𝐶⟹
𝐴𝐷∙𝐵𝐶=𝐵𝐸∙𝐴𝐶 (1)
Dar 𝐴𝐷∙𝐵𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐵𝐸∙𝐴𝐶=𝐴𝐵∙𝐴𝐶⟹𝐵𝐸=𝐴𝐵⟹𝐴=
Cum 𝑚(∢𝐵𝐸𝐶)=900⟹𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900⟹∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic.

Observație : Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este raportul
dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.
(𝐴𝐷=𝐴𝐵∙𝐴𝐶
𝐵𝐶)
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900,fie 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶)⟹
⟹𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=𝑚(∢𝐴𝐷𝐶)=900⟹∆𝐴𝐷𝐵 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴𝐷𝐵)=
900 și
∆𝐵𝐴𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐵𝐴𝐶)=900
∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐴𝐶𝐵
∢𝐴𝐷𝐵≡∢𝐵𝐴𝐶} 𝑈.𝑈. ⇒ ∆𝐴𝐷𝐵∼∆𝐶𝐴𝐵⟹𝐴𝐷
𝐶𝐴=𝐷𝐵
𝐴𝐵=𝐴𝐵
𝐵𝐶⟹𝐴𝐷
𝐶𝐴=𝐴𝐵
𝐵𝐶⟹
⟹𝐴𝐷=𝐴𝐵∙𝐴𝐶
𝐵𝐶.

A
B C D E
Fig. 2.25

55

2.5.Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora : Î ntr -un triunghi dreptunghic, suma
pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii
ipotenuzei. (𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝐵𝐶2)
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 se duce 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈
(𝐵𝐶) (fig.2.26)⟹𝑇. 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒𝑖⇒ 𝐴𝐵2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶 și 𝐴𝐶2=𝐷𝐶∙𝐵𝐶
Adunând cele două relații obținem 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝐵𝐷∙𝐵𝐶+𝐷𝐶∙𝐵𝐶=
=𝐵𝐶∙(𝐵𝐷+𝐷𝐶)=𝐵𝐶∙𝐵𝐶=𝐵𝐶2.
Reciproca :Dacă într -un triunghi suma pătratelor lungimilor a
două laturi este egală cu pătratul lungimii celei de -a treia laturi,
atunci triunghiul este dreptunghic și unghiul drept este cel care
se opune laturii cu lungimea cea mai mare.
Demonstrație :
Î n ∆𝐴𝐵𝐶 , fie 𝐵𝐶2=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2 (1) (fig. 2.27)
Se construiește 𝐴𝐸⊥𝐴𝐶 și [𝐴𝐵]≡[𝐴𝐸],𝐴∈(𝐵𝐸)⟹𝑚(∢𝐶𝐴𝐸)=900
Î n ∆𝐴𝐸𝐶 dreptunghic𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎⇒ 𝐶𝐸2=𝐴𝐶2+𝐴𝐸2=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2 (2)
Din (1)+(2) ⟹𝐶𝐸2=𝐵𝐶2⟹𝐶𝐸=𝐵𝐶
𝐶𝐸=𝐵𝐶
𝐴𝐵=𝐴𝐸
𝐴𝐶=𝐴𝐶}𝐿.𝐿.𝐿.⇒ ∆𝐴𝐸𝐶≡∆𝐴𝐵𝐶⟹𝑚(∢𝐶𝐴𝐸)=𝑚(∢𝐶𝐴𝐵)=900⟹∆𝐴𝐵𝐶
dreptunghic.

A B
C D
Fig. 2.26
A B
C
E Fig. 2.27

56

2.6.Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Trigonometria (din limba greacă τρίγωνος trí gonos = triunghiular și
μέτρον mé tron = măsură) e o ramură a matematicii avâ nd ca scop principal
măsurarea ughiurilor. Există trigonometrie plană și trigo nometrie sferică. În
cele ce urmează se face referire la cea dintâi.
În vederea rezolvării diferitelor probleme ivite în sfera de activitate a
acestei științe, se utilizează funcții trigonometrice: sinusul , cosinusul ,
tangenta și cotangenta. În scopul definirii acestor funcții se ia în considerare
cercul tr igonometric (fig. 2.28) caracterizat prin aceea că:
– are raza egală cu unitatea;
– este dotat cu două diametre perpendiculare AA' și BB' –
corespunzătoare sistemului de axe ortogonale xOy;
– posedă un sens pozitiv (invers mișcării arcelor de
ceasornic) și un sens negativ (contrar sensului pozitiv) de
măsurare a arcelor de cerc;
– are o origine A de la care începe măsurarea arcelor.
Se observă că fiecărui arc AM î i corespunde un
unghi cu vâ rful î n O. Datorită acestei corespondențe, în
multe probleme î n locul arcelor se iau î n considerare unghiurile la
centru corespunzătoare.
Definiția funcțiilor trigonometrice se bazează pe rapoarte
î ntre laturi ale unui triunghi dreptunghic . Aceste rapoarte exprimă
relațiile dintre laturile triunghiului dreptunghic și unghiurile sale
ascuțite. (fig. 2.29)
Î n triunghiul dreptunghic, sinusul (sin) unui unghi ascuțit este definit ca
raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și l ungimea ipotenuzei.
O A A' B
B' M
sens
pozitiv
sens
negativ x y
α
sin𝛼
cos𝛼
Fig.2.28
A B
C
Fig. 2.29

57
𝑠𝑖𝑛
=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖
𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑧𝑎 sin𝐵=𝐴𝐶
𝐵𝐶 sin𝐶=𝐴𝐵
𝐵𝐶
Similar, cosinusul (cos) unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea
catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei.
𝑐𝑜𝑠
=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖
𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑧𝑎 cos𝐵=𝐴𝐵
𝐵𝐶 cos𝐶=𝐴𝐶
𝐵𝐶
Tangenta (tg) unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă
unghiului și cateta alăturată unghiului.
𝑡𝑔
=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖 tg𝐵=𝐴𝐶
𝐴𝐵 tg𝐶=𝐴𝐵
𝐴𝐶
Cotangenta (ctg) unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta alăturată
unghiului și cateta opusă unghiului.
𝑐𝑡𝑔
=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑙ă𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑢𝑠ă 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖 ctg𝐵=𝐴𝐵
𝐴𝐶 ctg𝐶=𝐴𝐶
𝐴𝐵
Acestea sunt cele mai importante funcții trigonometrice. Dar funcțiile
trigonometrice tangentă și cotangentă pot fi exprimate în termeni de sinus și
cosinus.
tg=sin
cos tg 𝐵=sin𝐵
cos𝐵 tg 𝐶=sin𝐶
cos𝐶
ctg=cos
sin ctg 𝐵=cos𝐵
sin𝐵 ctg 𝐶=cos𝐶
sin𝐶
Se consideră un triunghiul dreptunghic ABC cu
𝑚(∢𝐴)=900și𝑚(∢𝐶)=300 (fig. 2.30), iar lungimea
ipotenuzei BCegală cu l. Atunci, conform teoremei de 300,
𝐴𝐵=𝑙
2 .
∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 𝑇. 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 ⇒ 𝐴𝐶2=𝐵𝐶2−𝐴𝐵2⟹ A B
C 300 l
Fig.2.30

58
⟹𝐴𝐶2=𝑙2−(𝑙
2)2
⟹𝐴𝐶2=3𝑙2
4⟹𝐴𝐶=𝑙√3
2
∆𝐴𝐵𝐶 dreptunghic cu 𝑚(∢𝐴)=900 și𝑚(∢𝐶)=300⟹𝑚(∢𝐵)=600
sin 300=𝐴𝐵
𝐵𝐶=𝑙
2
𝑙=1
2 sin 600=𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝑙√3
2
𝑙=√3
2
cos 300=𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝑙√3
2
𝑙=√3
2 cos 600=𝐴𝐵
𝐵𝐶=𝑙
2
𝑙=1
2
tg300=𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝑙
2
𝑙√3
2=√3
3 tg 600=𝐴𝐶
𝐴𝐵=𝑙√3
2
𝑙
2=√3
ctg 300=𝐴𝐶
𝐴𝐵=𝑙√3
2
𝑙
2=√3 ctg600=𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝑙
2
𝑙√3
2=√3
3

Analog, se consideră un triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu
𝑚(∢𝐴)=900(fig. 2.31) și lungimile catetelor egale cu l. Deci, 𝑚(∢𝐵)=450
și 𝑚(∢𝐶)=450.
Atunci, conform teoremei lui Pitagora, 𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝑙2+𝑙2=
2𝑙2⟹𝐵𝐶=𝑙√2
sin 𝐶=𝑠𝑖𝑛 450=𝐴𝐵
𝐵𝐶=l
𝑙√2=√2
2 sin 𝐵=𝑠𝑖𝑛 450=𝐴𝐶
𝐵𝐶=l
𝑙√2=√2
2
cos 𝐶=𝑐𝑜𝑠 450=𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝑙
𝑙√2=√2
2 cos 𝐵=𝑐𝑜𝑠 450=𝐴𝐵
𝐵𝐶=𝑣
tg 𝐶=𝑡𝑔 450=𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝑙
𝑙=1 tg 𝐵=𝑡𝑔 450=𝐴𝐶
𝐴𝐵=𝑙
𝑙=1
ctg 𝐶=𝑐𝑡𝑔 450=𝐴𝐶
𝐴𝐵=𝑙
𝑙=1 ctg 𝐵=𝑐𝑡𝑔 450=𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝑙
𝑙=1 A B
C 450 450
Fig. 2.31

59

Valorile funcțiilor trigonometrice se regăsesc î n tabelul următor : (fig. 2.32)

măsura
unghi
funcția

trigonometrică 300 450 600
sin 1
2 √2
2 √3
2
cos √3
2 √2
2 1
2
tg √3
3 1 √3
ctg √3 1 √3
3

Există o serie de relații între elementele (laturi, unghiuri) triunghiurilor
oarecare, relații care, folosind funcții trigonometrice, permit calculul unui
element necunoscut atunci câ nd se cunosc altele.
sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵
cos(𝐴+𝐵)=cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵
sin(𝐴−𝐵)=sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵
cos(𝐴−𝐵)=cos𝐴cos𝐵+sin𝐴sin𝐵

Fig. 2.32 Tabel funcții trigonometrice

60

CAPITOLUL III.
RELAȚII METRICE ÎN P ATRULATERE

3.1.PATRULATERE

Рatrulatеrul vіnе dіn latіnеsϲul quadrіlatеrus , oquattuоr о= рatru șі
latus, latеrіs=olatură. о
Fіе рunϲtеlе dіstіnϲtе A, oВ, Ϲо, D ,sіtuatе în aϲеlașі oрlan.
Νumіm орatrulatеr, nоtat AВϹD, fіgura ogеоmеtrіϲă fоrmată
dіn оrеunіunеa sеgmеntеlоr [AВ],[ВϹo], [ϹDо], [DA] astfеl înϲâto:
– ооrіϲarе trеі dіntrе рun ϲtеlе A, oВ, Ϲо, D sunt nе ϲоlіnіarе;
o- sеgmеntеlе (оAВ) șі (ϹD) orеsре ϲtіv (ВϹо) șі (DA) sunt odіsϳunϲtе.
о Altfеl sрus un роlіgоn ϲu рatru olaturі sе numеștе орatrulatеr.
Рatrulatеrul AВϹD arе vârfurіlе oA,Во,Ϲ șі D (рatru ovârfurі) , оungһіurіlе
рatrulatеruluі sunt ( ∡DAВ), o (
∡AВϹ), о (∡ВϹD) șі (o∡∡∡∡∡ϹDA)
(рatru оungһіurі) ,laturіlе рatrulatеruluі osunt [AВ],[ оВϹ], [ϹD] oșі [DA] о (рatru
laturі), oіar sеgmеntеlе ϲuрrіnsе întrе dоuă оvârfurі орusе sе
numеs ϲ odіagоnalе șі sunt [AϹо],[ВD] (odоuă dіagоnalе) . Vârfurіlе оA șі В
sau oВ șі Ϲ sau Ϲ оșі D sau D oșі A sе numеs ϲ ϲоnsеϲutіvео, ре ϲând vârfurіlе oA
șі Ϲ sau В оșі D sе numеs ϲ oорusе . Laturіlе [AВо] șі [ВϹo]sau [ВϹ] оșі [ϹD] osau
[ϹD] șі о [DA] osau [AВ] șі [оDA] sе onumеs ϲ ϲоnsеϲutіvе , іar laturіlе [оAВ] șі o
[ϹD] sau [ВϹо] șі [oDA] sе numеs ϲ орusе.
o În fіgura 1 a) șі оb) osunt dеsеnatе dоuă рatrulatеrе, ре ϲâ nd оϲ) onu
rерrеzіntă un рatrulatеr dеоarе ϲе laturіlе (оAВ) oșі (ϹD) sunt ϲоnϲurеntе. о
o

61

(fіg 3.1)
Un рat rulatеr оAВϹD osе numеștе ϲоnvеx (fіg. 3.1) da ϲă drеaрta
suроrt a fіе ϲărеі olaturі arе рrорrіеtatеa ϲă în unul dіn
sеmірlanеlе оdеsϲһіsе odеtеrmіnatе dе еa sе află ϲеlеlaltе dоuă
vârfurі оalе oрatrulatеruluі, în ϲaz ϲоntrar рatrulatеrul sе numеștе оϲоnϲav o
(fіgura 3. 1, b) .
о Fіеϲarе olatură a unuі рatrulatеr ϲоnvеx dеlіmіtеază ϲâtе
un оsеmірlan oϲarе ϲоnțіnе `vârfurіlе рatrulatеruluі; іntеrsе ϲțіa a ϲеstоr
sеmірlanе oоsе nu mеștе іntеrіоrul рatrulatеruluі ϲоnvеx AВϹD șі sе
nоtеază oоΙnt AВϹD sau (AВϹD) (fіgura 3.2оo)

(Fіg.3.2.)
Un oоungһі adіaϲеnt șі suрlеmеntar ϲu un ung һі al unui рatrulatеr ϲоnvеx
sе numеștе ung һі еxtеr іоr al рatrulatеrulu і (oоfіg 3.2 ).

62
Fіеϲarе oорatrulatеr ϲоnvеx arе 8 ung һіurі еxtеr іоarе (ϲâtе d оuă oоungһіurі
орusе la vârf, dе ϲі ϲоngruеntе, реntru oоfіеϲarе vârf al рatrulatеrulu і.
(fіg 3. 3 ).

(fіg 3.3.)
Rеunіunеa oоdіntrе un рatrulatеr ϲоnvеx AВϹD șі іntеrіоrul său
sе oоnumеștе suрrafață рatrulatеră ϲоnvеxă șі sе nоtеază [AВϹDоo] = AВϹD
Ιnt AВϹD.
Реntru oоun рatrulatеr оarеϲarе AВϹD, sе numеștе suрrafață
рatrulatеră oоrеunіunеa suрrafеțеlоr trіun gһіularе ϲu іntеrіоarеlе dіsϳunϲtе
[AВϹ] oоșі [AϹD] sau [AВD] șі oо [ВϹD] (fі g 3. 4).
o~*`^`~*`^`
о
( Fіg 3.4)
Daϲă AВϹD oеstе un орatrulatеr ϲоnvеx , atunϲі Ιnt AВϹD еstе oо

63
mulțіmе оϲоnvеxă .
Un рatrulatеr еstе ϲоnvеx daϲă șі numaі odaϲă dіagоnalеlе оau un
рunϲt ϲоmun.
oÎn ϲazul рatrulatеrеlоr ϲоnϲavе оdіagоnalеlе nu sunt ϲоnϲurеntе (osunt
dіsϳunϲtе).
о Teorema :Ѕuma măsurіlоr ungһіurіlоr ounuі рatrulatеr ϲоnvеx еstе
360о
°.
~*`^` oDеmоnstrațіе:
Ϲоnstruіm dіagоnala [A Ϲо], fоrmându -osе astfеl dоuă ~trіungһіurі, ∆
оAВϹ
șі ∆oAϹD . оDеоarе ϲе suma măsurіlоr oungһіurіlоr unuі trіungһі еstе еgală
ϲu о180
° , avеm om(∡AВϹ) + mо (∡ВϹA) o+ m(∡ϹAВ) = о180
° î n
triunghiul o∆∆∆AВϹ șі m(∡ADϹо) + mo (∡DϹA) + m( ∡оϹAD) = o180
° î n
triunghiul A ϹD. оFоlоsіndu -nе odе a ϲеstе rеlațіі оbțіnеm ϲă mо (∡AВϹ) o+
m(∡ВϹD) + оm(∡ϹDAo) + m(∡DAВ) о= mo (∡AВϹ) + m(∡ВϹAо) + om(∡ϹAВ)
+ mо (∡ADϹo) + m(∡DϹA) + оm(∡oϹAD) = 360
° .

3.2.Patrulatere inscriptibile

Definiție :Patrulaterul convex având toate vârfurile pe un cerc se numește
patrulater înscris.Patrulaterul inscriptibil este patrulaterul căruia i se poate
circumscrie un cerc.

Teorema: Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare.

Reciproc : Dacă un patrulater convex are două unghiuri opuse suplementare,
atunci patrulaterul este inscriptibil.

Teorema :Într-un patrulater inscriptib il unghiul format de o diagonală cu o
latură este congrue nt cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă .

64
Reciproc a:Dacă într-un patrulater conv ex ,unghiul dintre o diagonală și o
latură este congrue nt cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latură
opusă ,atunci patrulaterul este inscriptibil.

Demonstraț ie:
Avem :m(∡CAD)=m( ∡CBD)=𝑚(𝐶𝐷)̂
2 etc.
Reciproc: dacă ∡DAC ≡∡DBC,atunci punctele A si B situate de aceeasi parte
a dreptei CD, segmentul CD se vede sub ace lasi unghi.Deci A si B se afla pe
acelasi arc de cerc ce trece prin C si D.

Observație: Pătratul,dreptunghiul si trapezul isoscel sunt patrulatere
inscriptibile.

Teorema :Un patrulater convex este inscriptibil dacă si numai dacă un unghi al
patrulaterului este congruent cu unghiul opus exterior.

Teorema :Mijloacele laturilor unui triunghi,piciorele inălțimilor și mijloacele
segmentelor având capetele în vârfurile triunghiului și ortocentrul acestuia
sunt situate pe acelasi cerc.(numit cercul lui Euler sau cercul celor noua
puncte) .

(fig 3.5 )

65
B

C A
F
E 3.3 Relatii metrice î ntr -un patrulater:

3.3.1 Relaț ia lui Euler pentru patrulatere.

Teorema: Fie patrulaterul ABCD,E mijlocul diagonalei AC și F mijlocul lui
BD.Atunci:
AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2+4EF2

Demonstrație:

(fig 3.6 )

Se construiesc AF,FC,BE,DE.Vom folosi teorema medianei î n :
 Triunghiul ABD :
4AF2=2(AB2+AD2)-BD2 (1)
 Triunghiul BCD:
4CF2=2(BC2+CD2)-BD2 (2)
 Triunghiul ABC :
4BE2=2(AB2+BC2)-AC2 ( 3)
 Triunghiul ADC:
4DE2=2(AD2+CD2)-AC2 (4)
D

66
 Triunghiul AFC:
4EF2=2(AF2+FC2)-AC2 (5)
 Triunghiul BED:
4EF2=2(BE2+ED2)-BD2 (6)
Adunănd relațiile (1)+(2)+(3)+(4) cu relațiile (5)+(6) inmulțite cu 2 se
obține relația lui Euler.
Consecință: În paralelogramul ABCD are loc relația:
2(AB2 +BC2)=AC2+BD2

3.3.2. Inegalitatea lui PTOLEMEU

Teorema :Într-un patrulater convex ABCD, avem :
𝐴𝐶∙𝐵𝐷≤𝐴𝐵∙𝐶𝐷+𝐴𝐷∙𝐵𝐶(1)
Demonstraț ie:
Construim ∆ADE~∆ABC
Atunci ,𝐴𝐸
𝐴𝐶=𝐴𝐷
𝐴𝐵=𝐷𝐸
𝐵𝐶 deci, DE=𝐵𝐶 ∙𝐴𝐷
𝐴𝐵
Deoarece ∆ EAC ~∆ DAB ⇒
𝐴𝐷
𝐴𝐸=𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝐵𝐷
𝐶𝐸;𝑑𝑒𝑐𝑖 𝐶𝐸=𝐴𝐶∙𝐵𝐷
𝐴𝐵
Daca E nu aparține lui CD(deci,dacă ABCD nu este inscriptibil),avem
EC<ED+DC și, atunci
𝐴𝐶 ∙𝐵𝐷
𝐴𝐵<𝐵𝐶∙𝐴𝐷
𝐴𝐵+𝐷𝐶⟺𝐴𝐶∙𝐵𝐷<𝐵𝐶∙𝐴𝐷+𝐴𝐵∙𝐷𝐶.
Daca E aparține lui CD , atunci EC=ED+DC și in (1) avem egalitate.

Teorema: Prima teor emă a lui Ptoleme u:(Teorema lui Ptolemeu stabilește o
relație între lungimile laturilor ș i diagonalelor unui patrulater inscriptibil)

67
Fiind ABCD patrulater convex.Următoarele afirmații sunt echivalente:
a)ABCD este patrulater inscriptibil
b)𝐴𝐶∙𝐵𝐷=𝐴𝐵∙𝐶𝐷+𝐵𝐶∙𝐴𝐷
Demonstratie:
a)⟹b)rezultă din demonstația inegalităț ii lui Ptolemeu
b)⟹𝑎)Dacă ABCD nu e ste inscriptibil,conform ace leași demonstraț ii , avem
AC ∙𝐵𝐷<𝐴𝐵∙𝐶𝐷+𝐵𝐶∙𝐴𝐷(contradicț ie).
Reciproc :Dacă produsul diagonalelor unui patrulater este eg al cu suma
produselor celor două perechi de laturi opuse,atunci patrulaterul este
inscriptibil.

Teorema -a doua teoremă a lui Ptolemeu:
Fie ABCD un patrulater inscriptibil.a tunci, avem 𝐴𝐶
𝐵𝐷=𝐴𝐵∙𝐵𝐷+𝐶𝐵∙𝐶𝐷
𝐵𝐴∙𝐵𝐶+𝐷𝐴∙𝐷𝐶(2)
Demonstraț ie:
Considerâ nd ABCD patrulater inscriptibil,R raza cercului circumscris,S aria
patrulaterului ABCD, avem:
S=A ABD+A CBD=1
4𝑅(𝐴𝐵∙𝐴𝐷∙𝐵𝐷+𝐵𝐷∙𝐵𝐶∙𝐶𝐷)=𝐵𝐷(𝐴𝐵∙𝐴𝐷+𝐶𝐵∙𝐶𝐷)
4𝑅
S=A ABC+A ADC=𝐴𝐶(𝐴𝐵∙𝐴𝐷+𝐶𝐵∙𝐶𝐷)
4𝑅
Din cele două relații obținem relația (2).

Observație :
Fie M un punct pe arcul BC al cercului circumscris triunghiului echilateral
ABC.Conform primei teor eme a lui Ptolemeu, avem:
𝐴𝑀∙𝐵𝐶=𝐵𝑀∙𝐴𝐶+𝐶𝑀∙𝐴𝐵, si, deci, 𝐴𝑀=𝐵𝑀+𝐶𝑀(Teorema lui
Schooten)

68

3.3.3 .Teorema lui Menelaus pentru un patrulater

Teorema: Fie ABCD un patrulater ș i punctele M ∈( CB , N∈ (AB) , P∈(DC)
si Q∈(𝐴𝐷.Dacă punctele M,N,P,Q sunt coliniare, atunci are loc relaț ia:

𝑀𝐶
𝑀𝐵∙𝐵𝑁
𝑁𝐴∙𝐴𝑄
𝑄𝐷∙𝑃𝐷
𝑃𝐶=1

Demonstraț ie :Notă m cu d –dreapta care conț ine punctele M,N,P,Q.Se
construiesc paralele la dreapta d prin punct ele B si A care se intersectează cu
(CD in punctele R si S.
-aplică m teorema lui Thales :
 În triunghiul CMP cu BR ∥ MP
𝑀𝐶
𝑀𝐵=𝑃𝐶
𝑃𝑅 (1)
 În triunghiul ADS cu PQ ∥ AS
𝐴𝑄
𝑄𝐷=𝑃𝑆
𝑃𝐷 (2)

-dreptele BR ∥NP ∥ AS tă iate de secantele AB si CS determină
proporț ionalitatea segmentelor :
𝐵𝑁
𝑁𝐴=𝑃𝑅
𝑃𝑆 (3)

– Din relațiile (1),(2),(3) se obți ne :
𝑀𝐵
𝑀𝐶∙𝐵𝑁
𝑁𝐴∙𝐴𝑄
𝑄𝐷∙𝑃𝐷
𝑃𝐶=𝑃𝐶
𝑃𝑅∙𝑃𝑅
𝑃𝑆∙𝑃𝑆
𝑃𝐷∙𝑃𝐷
𝑃𝐶=1

69

3.4.RЕLAȚΙΙ МЕΤRΙ ϹЕ ÎΝ РAΤRULAΤЕRUL ОARЕ ϹARЕ ȘΙ oÎΝ
ΤЕΤRAЕDRU
Fіе AВϹD un рatrulatеr оarе ϲarеo. Νе рrорunеm sa еvaluăm реntru
înϲерut ungһіul fоrmat odе dоuă laturі орusе, fоlоsіnd fun ϲțіa trіgоnоmеtrі ϲă
ϲоso.

(fig 3.7 )

Cu notațiile din figura de mai sus vom demonstra următoarea
relație
cos𝛼 =𝐵𝐷2+𝐴𝐶2−𝐴𝐷2−𝐵𝐶2
2𝐴𝐵∙𝐶𝐷 (1)
Vom scrie următoarea relație vectorială :
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .Ridicăm la pătrat această relație vectorială și
obținem :
𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2+𝐶𝐷2−(𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−𝐵𝐷2)−2𝐴𝐵 ∙𝐶𝐷 ∙𝐶𝑂𝑆 𝛼−
(𝐴𝐷2+𝐷𝐶2−𝐴𝐶2)
Am ținut cont de egalitațile următoare:
2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = – 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = – (𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−𝐵𝐷 2)
2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – 2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – (𝐷𝐴2+𝐷𝐶2−𝐴𝐶 2)
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Explicitâ nd cos𝛼 din această relație se obține relația

cos𝛼 =𝐵𝐷2+𝐴𝐶2−𝐴𝐷2−𝐵𝐶2
2𝐴𝐵∙𝐶𝐷 E C
D
B

70
Observație :Această relație poate fi considerată ca un fel de teorema
cosinusului pentru patrulatere.
Ca aplicație pentru acestă relație propun următoarea problemă:

Să se arate că într -un patrulater convex ABCD are loc următoarea
inegalitate:
2(𝐵𝐷2+𝐴𝐶2)≤(𝐴𝐷2+ 𝐵𝐶 2)2 + (𝐴𝐵+𝐶𝐷 )2

𝛼

(fig .3 .8)

Rezolvare :
Se observă că mai întâi că având cos𝛼≤1 se obține :
𝐵𝐷2+𝐴𝐶2≤𝐴𝐷2+𝐵𝐶2+2 𝐴𝐵∙𝐶𝐷 (1)
Cu egalitate dacă cos𝛼=1 adică AB ∥ CD.
Analog se poate scrie că
𝐵𝐷2+𝐴𝐶2≤𝐶𝐷2+𝐴𝐵 +2 𝐴𝐷∙𝐵𝐶 (2)
Cu egalitate din nou câ nd CB ∥ AD.
Adunând cele două relații se obține relația din enunț.
Egalitatea are loc dacă ABCD este paralalogram.

Să evaluăm unghiul format de diagonalele patrulaterului ABCD din (fig 3.9). A B D C

71
Stim că 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , ridicăm la pătrat acestă relație vectorială și
obținem că
𝐵𝐶2=𝐵𝐷2+𝐷𝐴2+𝐴𝐶2−(𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−𝐴𝐵2)−2𝐵𝐷 ∙𝐴𝐶 ∙
𝐶𝑂𝑆 𝛼−(𝐴𝐷2+𝐴𝐶2−𝐶𝐷2)
Am ținut cont de egalitațile următoare:
2𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = – 2𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = – (𝐵𝐷2+𝐷𝐴2−𝐴𝐵 2)
2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – (𝐷𝐴2+𝐴𝐶2−𝐶𝐷 2)
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = – 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Din relația precedentă prin explicitarea lui cos 𝛼 se obține următoarea relație
cos𝛼 =𝐴𝐵2+𝐶𝐷2−𝐴𝐷2−𝐵𝐶2
2𝐵𝐷∙𝐴𝐶 (2)
Observație :Obținem ca consecință următorul rezultat cunoscut
Un patrulater ABCD are diagonalele AC și BD perpendiculare dacă și numai
dacă :𝐴𝐵2+𝐶𝐷2=𝐴𝐷2+𝐵𝐶2
Urmâ nd un procedeu similar î n cazul unui tetraedru oarecare ABCD , cu
notațiile din figura 3.9 vom avea :
cos(𝐴𝐵,𝐶𝐷)̂ =|𝐴𝐶2+𝐵𝐷2−𝐵𝐶2−𝐴𝐷2|
2∙𝐴𝐵∙𝐶𝐷 (3)
Din relația : 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , prin ridicarea la pătrat ,obținem :
𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐷2−(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−𝐴𝐶2)±2∙𝐴𝐵∙𝐶𝐷∙
cos(𝐴𝐵,𝐶𝐷)̂ -(𝐵𝐶2+𝐶𝐷2−𝐵𝐷2)
Întrucât ne referim la unghiul ascuțit al dreptelor AB și CD se va alege semnul
corespunzător în fața produsului 2 ∙𝐴𝐵∙𝐶𝐷∙cos(𝐴𝐵,𝐶𝐷)̂ .Prin separarea
acestui produs și trecerea la modul se obține :
cos(𝐴𝐵,𝐶𝐷)̂ =|𝐴𝐶2+𝐵𝐷2−𝐵𝐶2−𝐴𝐷2|
2∙𝐴𝐵∙𝐶𝐷

Observa ție:
Analog putem obține :
cos(𝐴𝐶,𝐵𝐷)̂ =|𝐴𝐷2+𝐵𝐶2−𝐴𝐵2−𝐶𝐷2|
2∙𝐴𝐶∙𝐵𝐷 și cos(𝐵𝐶,𝐴𝐷)̂ =|𝐴𝐵2+𝐶𝐷2−𝐴𝐶2−𝐵𝐷2|
2∙𝐵𝐶∙𝐴𝐷

72

De aici se obține o foarte cunoscută problemă care zice că :
Muchiile opuse ale unui tetraedru ABCD sunt perpendiculare dacă și numai
dacă :𝐴𝐵2+𝐶𝐷2=𝐴𝐶2+𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐴𝐷2
Dacă considerăm acum ABCD un tetraedru echifacial ,se știe că acesta are
muchiile opuse congruente.Dacă notăm AB=CD=a,AC=BD=b,BC=AD=c,se
va obține :
cos(𝐴𝐵,𝐶𝐷)̂ =|𝑏2−𝑐2|
𝑎2
cos(𝐴𝐶,𝐵𝐷)̂ =|𝑐2−𝑎2|
𝑏2
cos(𝐵𝐶,𝐴𝐷)̂ =|𝑎−𝑏2|
𝑐2
Se poate arăta acum că dacă laturile opuse într -un tetraedru echifacial
formeaza unghiuri congruente atunci tetraedrul este regulat.În particular, dacă
laturile opuse î n t etraedrul echifacial sunt perpendicular atunci tetraedrul este
regulat.
Î ntr-adevăr,dacă de exemplu am avea a ≤𝑏≤𝑐 atunci rezultă că:
𝑐2−𝑏2
𝑎2=𝑐2−𝑎2
𝑏2=𝑏2−𝑎2
𝑐2=𝑐2−𝑎2
𝑎2+𝑐2.
Dacă 𝑐2−𝑎2≠0 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑏2=𝑎2+𝑐2 ceea ce este fals.
Prin urmare vom avea neapărat 𝑐2=𝑎2 și ținând cont de ipoteză rezultă că
a=b=c ceea ce demonstrează afirmația.

73
CAPITOLUL IV

4.1.PROBLEME REZOLVATE

Problema 1: Î n triunghiul dreptunghic ABC, 𝑚(∢𝐴)=900, se ia pe
latura BC punctual F la 2 cm de vârful C și pe AC se ia punctual E astfel încât
𝐶𝐹
𝐶𝐸=𝐶𝐴
𝐵𝐶=1
3 . Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
Rezolvare:

Cum FC =2 cm, rezultă din relația dată că CE=3·2=6 cm, relație care
mai poate fi scrisă și sub forma : CF
CA=CE
BC, dar cum unghiul C este comun,
rezultă că
 CFE~
CAB (Cazul L.U.L.) ⇒
CFE este dreptunghic î n F.
Aplicâ nd teorema lui Pitagora î n
 CFE, obținem:
FE2=CE2−FC2⇒FE=√36−4=√32=4√2
Din
 CFE~
CAB⇒𝐶𝐴
𝐵𝐶=1
3=𝐹𝐸
𝐴𝐵⇒𝐴𝐵=3⋅𝐹𝐸=12√2ș𝑖𝐵𝐶= 3⋅𝐶𝐴
Aplicâ nd teorema lui Pitagora î n
 ABC , obținem:
BC2=AB2+AC2⇒(3⋅CA)2=(12√2)2+AC2⇒AC=6cm și BC
=18cm.
Rezultă:
𝑃∆𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=(12√2+6+18)𝑐𝑚=(12√2+24)𝑐𝑚
=12(1√2+2)𝑐𝑚

74

Problema 2: Suma unei catete și a proiecției sale pe ipotenuză este
egală cu 24 cm, iar diferența lor este egală cu 6 cm. Să se afle laturile
triunghiului.
Rezolvare:

Fie ABC un triunghi dreptunghic, m(∢C)=900 și CD ⊥AB. Nătăm: BC = x
și BD = y. Conform ipotezei x și y verifică sistemul de ecuații: {𝑥+𝑦=24
𝑥−𝑦=6⇒
𝑥=15,𝑦=9.
Aplicând teorema catetei, obținem:
𝑥2=𝐴𝐵∙𝑦⇒𝐴𝐵=𝑥2
𝑦=152
9=25.
Î n triunghiul ABC, m(∢C)=900, folosind teorema lui Pitagora, rezultă:
𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2⇒𝐴𝐶=√252−152⇒𝐴𝐶=√400⇒𝐴𝐶=20.
Răspuns: BC=15cm, AC=20cm, AB=25cm.

75
Problema 3: Catetele și ipotenuza unui triunghi dreptunghic au
lungimile egale respectiv cu a, b si c. Înălțimea și mediana triunghiului duse
din varful unghiului drept, împart acest triunghi în trei triunghiuri. Să se afle
ariile acestor triunghiuri.
Rezolvare:

Fie ABC triunghiul dat, î n care 𝐴𝐵=𝑐,𝐴𝐶=𝑏,𝐵𝐶=𝑎 și fie 𝑎<𝑏.
Ducem înălțimea 𝐶𝐷 și mediana 𝐶𝐸. Deoarece 𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝑎𝑏
2 și mediana
oricărui triunghi împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale, rezulta că
A∆ACE=A∆BCE=ab
4
Cum ∆𝐶𝐷𝐵~∆𝐴𝐶𝐵 și coeficientul de asemănare este 𝑘=𝑎
𝑐, obținem:
A∆CDB=k2∙A∆ACB=a2
c2∙ab
2=a3b
2c2
A∆CDE=A∆BCE−A∆CDB=ab
4−a3b
2c2=ab(b2−a2)
4c2
Răspuns: ab
4,a3b
2c2,ab(b2−a2)
4c2(a<𝑏)

76
Problema 4: Centrul cercului î nscris î ntr -un triunghi dreptunghic este
situat la distanțele √13 cm și 2√26cm de vârfurile unghiurilor ascuțite. Să se
afle lungimile laturilor triunghiului.
Rezolvare:

Fie 𝑂 centrul cercului î nscris î n triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐶,𝑚(∢𝐶)=
900.
Cum centrul cercului î nscris î ntr -un triunghi este punctul de intersecție
al bisectoarelor unghiurilor triunghiului, rezultă că 𝑚(∡𝑂𝐴𝐵)+𝑚(∡𝑂𝐵𝐴)=
1
2(𝑚(∡𝐴)+𝑚(∡𝐵))=450. Deci, 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=1800−450.
Conform teoremei cosinusurilor, din ∆𝐴𝑂𝐵 , obținem:
𝐴𝐵2=𝐴𝑂2+𝐵𝑂2−2𝐴𝑂∙𝐵𝑂∙cos1350⟺𝐴𝐵2
=13+4∙26−2∙√13∙2√26∙(−√2
2)⟺𝐴𝐵2=132,𝐴𝐵
=𝑐=13.
Fie raza cercului î nscris î n ∆𝐴𝐵𝐶 este 𝑟, 𝐴𝐸=𝑥,𝐵𝐹=𝑦. Atunci
𝐴𝐷=𝑥,𝐵𝐷=𝑦. Avem:

77
{ 𝑟2+𝑥2=13
𝑟2+𝑦2=4∙26
(𝑟+𝑥)2+(𝑟+𝑦)2=132
𝑥+𝑦=13⟺
{ 𝑟2+𝑥2=13
𝑟2+𝑦2=4∙26
2𝑟(𝑥+𝑦)=132−9∙13
𝑥+𝑦=13⟹2𝑟∙13
=4∙13⟹𝑟=2.
Prin urmare,
𝑥=√𝐴𝑂2−𝑟2=√13−4=3𝑦=√4∙26−4=√4∙25=10
𝐴𝐶=𝑟+𝑥=5,𝐵𝐶=𝑟+𝑦=12,𝐴𝐵=13.

Problema 5: Să se determine laturile unui triunghi care are un unghi
cu măsura de 600, un altul cu măsura de 450 și perimetrul egal cu (2 + √2 +
√6) cm.
Rezolvare:

Fie 𝐴𝐵𝐶 triunghiul dat, avâ nd 𝑚(∢𝐵)=450,𝑚(∢𝐴)=600ș𝑖𝐴𝐵+
𝐴𝐶+𝐵𝐶=2+√2+√6. Notăm cu 𝐷 proiecția vârfului 𝐶 pe latura 𝐴𝐵 și
prin 𝑥 lungimea segmentului 𝐴𝐷.
Triunghiul dreptunghic 𝐴𝐷𝐶 are un unghi ascuțit de 300, prin urmare,
ipotenuza lui, 𝐴𝐶, este egală cu dublul catetei 𝐴𝐷: 𝐴𝐶=2𝑥. Tot de aici,
conform teoremei lui Pitagora, 𝐶𝐷=√4𝑥2−𝑥2=𝑥√3.

78
Pe de altă parte, triunghiul dreptunghic 𝐶𝐷𝐵 este isoscel, deci =𝐶𝐷=
𝑥√3,𝐵𝐶=𝑥√6. Rezultă că:
𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=(𝑥√3+𝑥)+𝑥√6+2𝑥=𝑥(3+√3+√6)=
𝑥√3(√3+1+√2).
Deci, 𝑥√3(√3+1+√2)=2+√2+√6 și avem:
𝑥=2+√2+√6
√3(√3+1+√2)=√2(√3+1+√2)
√3(√3+1+√2)=√2
√3=√6
3.
Obținem că laturile ∆𝐴𝐵𝐶 sunt: 𝐵𝐶=2 𝑐𝑚,𝐴𝐶=2√6
3𝑐𝑚,𝐴𝐵=
(√6
3+√2)𝑐𝑚.
Problema 6: Un trapez isoscel are lungimea diagonalelor de 5 cm și
suma
lungimilor bazelor de 6 cm. Să se afle aria trapezului.
Rezolvare:

Fie BM∥AC,unde M∈(DC. Cum 𝐴B∥DE , rezultă că patrulaterul
ABMC este paralelogram ⇒[BM]≡[AC] și [CM]≡[AB]. Atunci:
DM=DC+CM=DC+AB=6cm și BM=AC=5cm.
Triunghiul BMD este isoscel și fie BE⊥DM. Î n acest caz, [BE] –
mediană, deci DE=EM=DM
2.

79
Î n ∆BEM,m(∢E)=900T.P.⇒ BE2=BM2−EM2⇒BE=√52−(DM
2)2
⇒
BE=4cm.
𝐴ABCD=(𝐴𝐵+𝐷𝐶)∙𝐵𝐸
2=𝐷𝑀∙𝐵𝐸
2⇒𝐴ABCD=6∙4
2𝑐𝑚2=12𝑐𝑚2.

Problema 7: Î n triunghiul dreptunghic ABC, 𝑚(∢𝐴)=900, AC=12
cm și BC=13
cm. Se cere lungimea bisectoarei BD.

Rezolvare:
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, obținem AB=5cm.
Din teorema bisectoarei, rezultă:
AD
DC=AB
BC=12
13⇒AD
AD+DC=5
5+13⇒AD
12=5
18⇒AD=10
3cm.
Î n ∆BAD,m(∢A)=900T.P.⇒ BD2=AB2+AD2⇒BD=√52−(10
3)2
⇒
BD=5
3√13cm.

Problema 8: Să se afle aria triunghiului ABC, dacă se cunosc
AC=2cm și 𝑚(∢𝐵)=0,1(6)∙𝑚(∢𝐴)și 𝑚(∢𝐵)=0,8(3)∙𝑚(∢𝐴).
Rezolvare:
0,1(6)=16−1
90=15
90=1
6ș𝑖 0,8(3)=83−8
90=75
90=5
6
Î n triunghiul ABC: m(∢A)+m(∢B)+m(∢C)=1800⇒

80
m(∢A)+1
6m(∢A)+5
6m(∢A)=1800⇒m(∢A)=900.
Rezultă: m(∢B)=150și m(∢C)=750 .
Triunghiul ABC fiind dreptunghic în A și m(∢B)=150, rezultă:
BC= 4∙𝐴𝐶.
BC=8cm și 𝐴𝐵=√64−4=√60⇒AB=2√15cm.
𝐴∆ABC=AB∙AC
2⇒𝐴∆ABC=2√15∙2
2cm2=2√15cm2.

Problema 9: Să se determine lungimile laturilor unui triunghiului
isoscel, știind că raza cercului înscris în el este egală cu 3
2𝑐𝑚, iar raza
cercului circumscristriunghiului este egală cu 25
8𝑐𝑚.
Rezolvare:
Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC= a și BC= b. Fie [AD] înălțimea
corespunzătoare bazei.

Î n ∆ADC,m(∢D)=900T.P.⇒ AD2=AC2−DC2⇒AD=√a2−(b
2)2
⇒AD=
√a2−b2
4
A∆ABC=BC∙AD
2⇒A∆ABC=b
2√a2−b2
4
Din: r=A
p⇒b
2√a2−b2
4
a+b
2=3
2,deci:

81
b√a2−b2
4=3(a+b
2)⇒b2(a−b
2)(a+b
2)=9(a+b
2)2
⇒
a+b
2=b2(a−b
2)
9(1)
Din R=abc
4A deducem:
a2b
2b√a2−b2
4=25
8⇒25√(a−b
2)(a+b
2)=4a2(2)
Rezolvând sistemul format de ecuațiile (1) și (2), prin metoda
substituției, obținem ecuația:
24a2−50ab+25b2=0(împrărțind la b2)⇒24(a
b)2
−50a
b+24=0⇒
{a
b=5
6⇔a=5
6b (cazul 1)
a
b=5
4⇔a=5
4b (cazul2)
Cercetăm cele două cazuri:
1) Dacă a=5
6b, atunci din ecuația (1), obținem b =6 și a=5.
2) Dacă a=5
4b, atunci din ecuația (1), obținem b=√21 și a=5√21
4.
În concluzie există două triunghiuri care verifică condițiile problemei:
1) AB=AC=5cm și BC=6cm
2) AB=AC=5√21
4cm și BC=√21cm

82
Problema 10: Î ntr-un triunghi isoscel unghiul de la bază are masura
de 720, iar bisectoarea acestui unghi este egala cu l. Să se determine
lungimile laturilor triunghiului.

Rezolvare:
Fie ABC triunghiul dat, [CA]≡[CB], m(∢A)=m(∢B)=720, [AD]
bisectoarea unghiului A și AD= l. Notăm AC= x, atuci: DB=CB -CD= x-l.
∆𝐴𝐴𝐴~∆𝐴𝐴𝐴⇒𝐴𝐴
𝐴𝐴=𝐴𝐴
𝐴𝐴=𝐴𝐴
𝐴𝐴⇒𝐴
𝐴=𝐴
𝐴−𝐴=𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟 ț𝑖𝑒⇒
𝑥(𝑥−𝑙)=𝑙2⇒𝑥2−𝑙𝑥−𝑙2=0⇒
{ 𝑥=𝑙−𝑙√5
2<0
𝑥=𝑙+𝑙√5
2
Cum laturile unui triunghi au lungimile positive resultă:
𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝑥=𝑙+𝑙√5
2 și𝐴𝐵=𝑙.

83
Problema 1 1: Se dă un triunghi dreptunghic ABC cu catetele 𝑐 și 𝑏. Să
se afle ariile triunghiurilor 𝐴𝐵𝐷 și 𝐵𝐷𝐶 obținute prin trasarea bisectoarei
[𝐵𝐷] a unghiului ascuțit 𝐵.
Rezolvare:

Se știe că 𝐵𝐶=𝑎=√𝑐2+𝑏2
Ducâ nd din 𝐷, piciorul bisectoarei, o perpendiculară pe 𝐵𝐶,
triunghiurile 𝐴𝐵𝐷 și 𝐵𝐷𝐸 sunt congruente deoarece [𝐵𝐷] – latura comună,
𝐴𝐵𝐷̂≡𝐸𝐵𝐷̂ și 𝐵𝐴𝐷̂≡𝐵𝐸𝐷̂ – unghiuri drepte, deci 𝐵𝐸=𝐴𝐵=𝑐.
Triunghiurile 𝐴𝐵𝐶 și 𝐸𝐷𝐶 sunt asemenea deci: 𝐷𝐸
𝐴𝐵=𝐶𝐸
𝐴𝐶 sau
ℎ1
𝑐=𝑎−𝑐
𝑏,ℎ1=𝑐(𝑎−𝑐)
𝑏;
𝐴𝑟𝑖𝑎 ∆𝐵𝐷𝐶=𝑎ℎ1
2=𝑎𝑐(𝑎−𝑐)
2𝑏;
𝐴𝑟𝑖𝑎 ∆𝐴𝐵𝐷=𝐴𝑟𝑖𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶−𝐴𝑟𝑖𝑎 ∆𝐵𝐷𝐶
𝐴𝑟𝑖𝑎 ∆𝐴𝐵𝐷=𝑏𝑐
2−𝑎𝑐(𝑎−𝑐)
2𝑏=𝑏2𝑐−𝑎𝑐(𝑎−𝑐)
2𝑏=𝑐(𝑏2−𝑎2+𝑎𝑐)
2𝑏.

84
Problema 1 2: Fie ∆𝐴𝐵𝐶 un triunghi dreptunghic cu 𝑚(𝐵𝐴𝐶̂)=900,
𝐴𝐵=15 𝑐𝑚 și 𝐴𝐶=8 𝑐𝑚. Aflați lungimea razei cercului înscris în acel
triunghi.
Rezolvare:

Fie 𝑂 centrul cercului înscris și 𝑂𝐴′,𝑂𝐵′,𝑂𝐶′ perpendicularele
coborâ te din 𝑂 pe cele trei laturi. Toate a ceste perpendiculare sunt egale cu
raza cercului înscris, deoarece acest cerc trebuie să fie tangent la toate cele trei
laturi ale triunghiului.
Aflăm ipotenuza 𝐵𝐶 și avem: 𝐵𝐶2=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2, 𝐵𝐶2=82+152,
𝐵𝐶2=64+225=289 deci 𝐵𝐶=√289𝑐𝑚=17𝑐𝑚.
Acum scriem că suma ariilor celor trei triunghiuri 𝐶𝑂𝐵,𝐴𝑂𝐶 ș𝑖𝐵𝑂𝐴 ,
care au aceeași înalțime ( 𝑟), este egală cu aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 :
BC∙r
2+CA∙r
2+AB∙r
2=AC∙AB
2
r(17
2+15
2+8
2)=15∙8
2; 20∙r=60; r=3cm.

85
Problema 13 : Arcul descris din vâ rful 𝐴 al unghiului drept al unui
triunghi dreptunghic 𝐴𝐵𝐶 , cu o rază egală cu cateta cea mai mică 𝐴𝐵=𝑐,
taie ipotenuza 𝐵𝐶 î n 𝐷.
Se dau lungimile segmentelor 𝐵𝐷=𝑝,𝐷𝐶=𝑞.
Să se determine mărimile 𝑏=𝐴𝐶 și 𝑐=𝐴𝐵 ale celor două catete. Să
se veri fice apoi rezultatul aflat, aplicâ nd teorema lui Pitagora î n triunghiul
𝐴𝐵𝐶.

Rezolvare:

Triunghiul 𝐴𝐵𝐷 este isoscel, deoarece 𝐴𝐵=𝐴𝐷 ca raze. Rezultă că
înălțimea 𝐴𝐸 este și mediană; prin urmare:
𝐵𝐸=𝐸𝐷=𝑝
2 ș𝑖𝑑𝑒𝑐𝑖𝐸𝐶=𝑝
2+𝑞
Aplicând teorema înălțimii în triunghiul 𝐴𝐵𝐶 , obținem:
(1)𝐴𝐸2=𝐵𝐸∙𝐸𝐶=𝑝
2(𝑝
2+𝑞)=𝑝2
4+𝑝𝑞
2=2𝑝2+2𝑝𝑞
4
Apoi, î n triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐸 deducem, dacă ținem seama de
relația (1):
𝑐2=𝐴𝐵2=𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=𝑝2+2𝑝𝑞
4+(𝑝
2)2
=2𝑝2+2𝑝𝑞
4=𝑝2+𝑝𝑞
2.
și, la fel, din triunghiul dreptunghic 𝐴𝐸𝐶 :

86
𝑏2=𝐴𝐶2=𝐴𝐸2+𝐸𝐶2=𝑝2+2𝑝𝑞
4+(𝑝
2+𝑞)2
=𝑝2+2𝑝𝑞
4+𝑝2
4+𝑝𝑞+𝑞2,
𝑏2=𝑝2+2𝑝𝑞+𝑝2+4𝑝𝑞+4𝑞2
4=2𝑝2+6𝑝𝑞+4𝑞2
4=𝑝2+3𝑝𝑞+2𝑞2
2,
Deci
𝑐=√𝑝2+𝑝𝑞
2;𝑏=√𝑝2+3𝑝𝑞+2𝑞2
2.
Verificare:
Î n triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐶 , suma pătratelor catetelor este:
𝑏2+𝑐2=𝑝2+3𝑝𝑞+2𝑞2
2+𝑝2+𝑝𝑞
2=𝑝2+2𝑝𝑞+𝑞2=(𝑝+𝑞)2
și deoarece 𝑎=𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝑝+𝑞, obținem luând în
considerare egalitatea precedent că 𝑏2+𝑐2=𝑎2, egalitate ce exprimă teorema
lui Pitagora, ceea ce trebuia verifi cat.

87
Problema 14 : Laturile unui triunghi au lungimile 13cm, 14cm și 15 cm.
Înălțimea și mediana duse la latura mai mare îl împart în trei triunghiuri. Să
se calculeze ariile acestor triunghiuri.

Rezolvare:

Fie î n triunghiul ABC: AB = 15cm, AC = 13cm, BC = 14cm, [CD]
î naltimea, iar [CE] –mediana duse din varful C.

Folosind formula lui Heron, calculăm aria triunghiului ABC:
𝐴△𝐴𝐵𝐶=√21⋅8⋅7⋅6𝑐𝑚2=√3⋅7⋅22⋅2⋅7⋅2⋅3𝑐𝑚2=7⋅3⋅4𝑐𝑚2
=84𝑐𝑚2.
Cum [CE] mediană, atunci:
𝐴△𝐶𝐴𝐸=𝐴△𝐶𝐸𝐵=𝐴△𝐴𝐵𝐶
2=42𝑐𝑚2
Calculăm înălțimea [CD]:
𝐴△𝐴𝐵𝐶=1
2⋅𝐴𝐵⋅𝐶𝐷⇒1
2⋅15⋅𝐶𝐷=84⇒𝐶𝐷=56
5𝑐𝑚.
Î n ∆ADC,m(∢D)=900T.P.⇒ AD2=AC2−DC2⇒AD=√132−(56
5)2
⇒
AD=√(13−56
5)⋅(13+56
5)=√9
5⋅121
5⇒AD=33
5cm.
𝐴△𝐴𝐷𝐶=1
2⋅𝐴𝐷⋅𝐶𝐷⇒𝐴△𝐴𝐷𝐶=1
2⋅33
5⋅56
5𝑐𝑚2=924
25𝑐𝑚2.

88
𝐴△𝐶𝐷𝐸=𝐴△𝐴𝐶𝐸−𝐴△𝐴𝐷𝐶=42𝑐𝑚2−924
25𝑐𝑚2=1050−924
25𝑐𝑚2
=126
25𝑐𝑚2.
R:𝐴△𝐴𝐷𝐶=924
25𝑐𝑚2,𝐴△𝐶𝐷𝐸=126
25𝑐𝑚2și 𝐴△𝐶𝐸𝐵=42𝑐𝑚2.
Problema 15 : Î n triunghiul dreptunghic ABC, 𝑚(∢𝐴)=900, AB=6cm,
CD=9cm, unde 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, se duce prin mijlocul M al segmentului [AC] o
perpendiculară pe AC care intersectează pe BC în P, iar AD ∩ PM= {N}.
Se cer lungimile segmentelor BD, AC, AN, AD.
Rezolvare:

Din teorema înălțimii în triunghiul 𝐴𝐵𝐶 rezultă: 𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐷𝐶=
9𝐵𝐷.
Din teorema lui Pitagora î n triunghiul 𝐴𝐵𝐷 rezultă:
𝐴𝐵2=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2⇔36=𝐵𝐷2+9𝐵𝐷⇒𝐵𝐷=3 𝑐𝑚⇒𝐴𝐶2
=𝐵𝐶2−𝐴𝐵2⇒
𝐴𝐶=6√3𝑐𝑚.
𝐶𝑢𝑚 ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑀𝐴𝑁⇒𝐴𝐵
𝐴𝑀=𝐴𝐶
𝑀𝑁=𝐵𝐶
𝐴𝑁⇔6
3√3=6√3
9=12
𝐴𝑁⇒𝐴𝑁
=6√3,
𝐴𝐷=3√3𝑐𝑚

89
{𝐴𝑀≡𝑀𝐶
𝑀𝑃∥𝐴𝐵⇒𝑃 este mijlocul lui 𝐵𝐶. Așadar 𝐵𝑃=𝑃𝐶=6𝑐𝑚,
𝐷𝑃=3𝑐𝑚
∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝑃𝑁⇒3
𝐷𝑃=3√3
𝐷𝑁=6
𝑁𝑃⇒𝐷𝑁=3√3𝑐𝑚,𝑁𝑃=6𝑐𝑚,𝑀𝑃
=3𝑐𝑚,𝑀𝑁=9𝑐𝑚.

Problema 16: Fie ABCD un paralelogram cu baza BC=15cm, BD ∩
AC={O}, BD=18cm AC=10cm și 𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)=300. Să se calculeze
perimetrul paralelogramului.
Rezolvare:
Fie 𝐴𝐸înălțimea paralelogramului dusă din 𝐴 pe 𝐵𝐶.
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐶∙𝐵𝐷∙𝑠𝑖𝑛300
2=𝐵𝐶∙𝐴𝐸
2⇒18∙10
2=15∙𝐴𝐸⇒𝐴𝐸=6𝑐𝑚.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic 𝐴𝐸𝐶:
𝐸𝐶=√𝐴𝐶2−𝐴𝐸2⇒𝐸𝐶=√100−36𝑐𝑚=√64𝑐𝑚=8𝑐𝑚
𝐵𝐸=15−8=7;
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐸 :
𝐴𝐵=√36+49𝑐𝑚=√85𝑐𝑚
Deci: 𝑃=(30+2√85)𝑐𝑚.

Problema 17: În interiorul pătratului ABCD se construiesc
triunghiurile echilaterale ABM și CDN , AB = a, BM  CN = {K} ,
AM  DN = {L}. Arătați că patrulaterul MKNL este romb.
Rezolvare:
MLNK este paralelogram
AB║CD , DS secantă <ASD = < SDC alterne int. ( 600)

90
AB║CD , BU secantă <ABU =< BUC alterne int. ( 600)
< ASD =< ABU( 600)– corespond., AB secantă=>SD║BU și NL║KM (1)
AB║CD , AP secantă <PAS =<APD alterne int. ( 600)
AB║CD , CV secantă <DCV =< CVB alterne int. ( 600)
<DCV =< APD ( 600) –corespond., DC secantă => CV║AP și NK║LM (2)
(1), (2) => MLNK paralelogram ( laturi opuse paralele) și <NLM =< NKM
(opuse î n paralelogr.) (3)
Arătăm că MLNK , paralelogram, are două laturi consecutive congruente
Construim tr iunghiurile ALN , BKN și arătăm că sunt congruente.
În triunghiurile AND și BNC avem AD = BC, ND = NC, <ADN =<BCN
(300) (au complem. congr.)
deci ΔAND = Δ BNC (LUL)
Rezultă AN = BN (4) deci Δ ANB isoscel și <BAN =< ABN ceea ce
conduce la <NAL =< NBK (ca
diferențe până la 600) (5). Apoi, avâ nd suplemente conguente conform (3)
<ALN =< BKN ,
deci <ANL =< BNK (suma ungh.î n triunghi) (6).
Din (4), (5), (6) => ΔANL= Δ BNK (ULU) , prin urmare NL = NK (se opun
la unghiuri congruente) (7)
Rezultă că paraleogramul MLNK este romb.

4.2.Probl eme date la competiții și concursuri școlare naționale și
internaționale

91

Problema 1: Să sе dеmоnstrеzе că odacă unul d іn ungh іurіlе ascuț іtе alе unuі
trіungh і drерtungh іc oеstе dе 150, înălțіmеa cоbоrâtă d іn vâ rful ungh іuluіodrерt
реіро tеnuză еstе un sf еrt dіn іроtеnuză (oG.М.B., Е: 754o, C. Ιоnеscu -Țіu)
Dеmоnstraț іеo:
Fіе trіungh іul ABC ș і D
ріcіоrul înălț іmііodusе dіn
vâ rful dr ерt A
реіро tеnuză, іar om (
C )
= 150. Νоtăm cu Е
sіmеtrіcul oрunctulu і A
față d е D, іar F ріcіоrul oреrреndіcular еі cоbоrâtă d іn рunctul
Ере catеta AC. oОbsеrvăm că m o (
∢ACE ) = 300. Ρrіn urmar е,
AC=CE=EF21
21
.
oDіn trіungh іurіlе asеmеnеa
∆ABC ș і∆AЕF rеzultă o
EFAC=AEBC. Dе aіcі
dеducеm
AE=BC∙EF
AC=BC∙1
2AC
AC=1
2BC . Dar AЕ = 2 oAD, dеcі AD
=
41
21=AE BC.
o

Problema 2 : Sе dă trіunghіul іsоscеl ABC (AB = oAC) șі fіе М un рunct
mоbіl ре oBC. Cеrcurіlе AМB, AМC іntеrsеctеază laturіlе AC oșі AB, a dоua

92
оară în рunctеlе B 1oșі C 1. Să s е aratе că suma s еgmеntеlоr oBC 1 șі B1C еstе
cоnstantă. (R. oМ.F., 597, 1953, Co. Cоșnіță).
Dеmоnstrațіе:
Scrіеm în odоuă fеlurі рutеrіlе luі B șі C față
dе ocеrcurіlе AМC șі AМB șі оbțіnеm rеlațііlе:
BC 1 o
∙AB = BМ
∙ CB șі CB 1
∙oAC = МC
∙ CB
dіn carе оbțіnеm BC 1 o=
ABCB BM șі CB 1 =
ABCB MC
.
Ρrіn adunarе оbțіnеm BC 1 + CB 1 o=
BC2
AB = cоnstant.
Când М sе oaflă ре рrеlungіrеa laturіі BC dіfеrеnța sеgmеntеlоr BC 1 șі oCB 1,
dеcі suma lоr algеbrіcă еstе dе asеmеnеa oо cоnstantă.
Ρrоblеma sе роatе gеnеralіza реntru oun trіunghі оarеcarе, dar în acеst
caz еstе ocоnstantă suma sеgmеntеlоr BC 1 șі k
∙ B1C, oundе k = AB : AC.

Problema 3 :.Î ntro-un trіunghі оarеcarе ABC ducеm bіsеctоarеlе AAʹ, oBBʹ, CCʹ
șі fіе A 1 іntеrsеcțіa bіsеctоarеі oAAʹ cu BʹCʹ. Să sе oaratе că
ABAC=BACB
BCCA
11
(Rеv. Ρіtagоra, 1939o, C. Ιоnеscu – Țіu)

93
Dеmоnstrațіеo:
Aрlіcând tеоrеma
bіsеctоarеі оbțіn em: o
BCAC=BCAC
;
ABBC=ABCB .
Î nlоcuіm șі оbțіnеm:
A1Cʹ
BCʹ∙BʹC
A1Bʹ=A1Cʹ
A1Bʹ∙BʹC
BCʹ
= o
ACʹ
BCʹ∙BʹC
ABʹ=AC
BC∙BC
AB =
AC
AB .

Problema 4 : Să sе stabіlеască otеоrеma b іsеctоarеі рrіn cоnsіdеrațіі dе arіі.
Dеmоnstraț іеo:
Fіе trіungh іul ∆ABC ș і AМ bіsеctоarеa odіn A, М
∈ BC. Duc еm МΡo
⊥ AC,
МΝ
⊥ AB. Av еm МΡo=МΝ (рrорrіеtatеa bіsеctоarеі) șі
AABМ=
2 2AD BM=MNABo (1)
undе AD
⊥ BC.
oAAМC =
2 2AD MC=MP AC
(2). Î m рărțіm rеlațііlе (o1) șі (2) șі sеоbțіnеo
AB
AC=BM
MC dеоarеcеМΡ = МΝ, dеcі
tеоrеma b іsеctоarеі oеstе dеmоnstrată.
Problema 5:.Fіе un trіungh і drерtungh іc oîn A ș і AD înălț іmе. Să s е aratеo că
AD ˃ AB + AC – BC (oG. М. 8/1975).

94
oDеmоnstraț іе:
Cоncluz іa рrоblеmе еstе еchіvalеntă
cu: o
AD ˃ AB + AC – BC
⇔o
AD + BC ˃ AB + AC
⇔o
(AD + BC)2 ˃ (oAB + AC)2
⇔
AD2 + BC2 + o2 AD
∙ BC ˃ AB2 + AC2 + o2 AB
∙ AC,
dar AD o
∙BC = AB
∙ AC, ad іcă AD2 o˃ 0, cееa cе еstе adеvărat.
o
. Problema 6 : Î n tr іungh іul dr ерtungh іc ABC n оtăm cu oМ șіΝ рrоіеcțііlе
ріcіоruluі înălțіmіі cоrеsрunzăt оarе іроtеnuzеі
ре olaturіlе CA ș і AB. Să s е aratе că o
MACM=
NBAN =
2



ABCA
(G.М.B., 1961o,120)
Dеmоnstraț іе:
Τrіungh іurіlе drерtungh іcеo
DCМ șі
BDΝ sunt as еmеnеa cu
trіungh іul odrерtungh іc
ABC, d е undе avеm:
BCDC=CACM
;
BDBC=NBAB .
oDіn tеоrеma cat еtеі sеоbțіnе:
DC = o
CA2
BC, BD =
AB2
BC
Dеcі
22
BCCA=CACM șі
22
ABBC=NBAB . o

95
Fоlоsіnd рrорrіеtățіlе рrороrțііlоr dеducеm că:
;
CA BCCA=CM CACM
2 22
 
o
22 2
ABAB BC=NBNB AB   , dе undе sе
оbțіn rеlațііlе dіn еnunțo.

Problema 7 : Sе cоnsіdеră trіungh іul ABC dr ерtungh іc î n oA cu AC = 2
AB. F іеΡoșі Q m іϳlоacеlе laturіlоr AB, r еsреctіv AC ș іoрunctеlеМ, Νре
latura B Е cu C Мo= BΝ = x, und е 2x < BCo. Să s е dеtеrmіnе x în funcț іе dе
AB oastfеl î ncâ t 2· A МΝΡ Q = A ABC. (oО.М, Еtaрa națіоnală, Ρіtеștі, o2007)

Dеmоnstrațіе:

Νоtăm AB o= 2a, undе a еstе un număr r еal oроzіtіv. Atuncі AΡ = ΡB = a șі oAQ
= QC = 2a.
AМΝΡQ = oAABC – A1 – A2 – A3
A1o=
2sin
2sin B xa=B BNBP =
a∙x∙AC
BC
2 =
2·x·a2
BC

A2 =
22
2aa=AQ AP = a2o

96
A3 =
2sin 2
2sin c xa=C MC QC =
2a∙x∙AB
BC
2 =
2·x·a2
BC .o
Rеlațіa dіn еnunț еstе еchіvalеntă cu:
o2· A МΝΡQ = A ABC
2 · (oAABC – A1 – A2 – A3) = oAABC
2 · (A ABC –
2·x·a2
BC – a2o–
2·x·a2
BC ) = A ABC
AABC =
8a2x
BC + o2a.
Dar A ABC =
2AC AB = 4a2o, dеcі BC = 4x – 2 . (o3)
Î n trіungh іul drерtungh іc ABC a рlіcăm t еоrеma oluі Ρіtagоra șі оbțіnеm:
BC2 = AC2o+ AB2, dеcіBC2 = 20 a2, odеcі BC = 2a
5 . (4) o
Dіn rеlațііlе (3) șі (4o) оbțіnеm:
x =
4252 + a =
425+ AB .o

Problema 8 : Sе dă un trіunghі ABC drерtunghіc în Ao, astfеl încât AC =
2 · AB. oSе îmрartе іроtеnuza BC în 5 рărțі еgalе рrіn oрunctеlе D, Е, F, G
încерând odе la B sрrе C. Să sе aratе ocă:
▪ МF еstереrреndіcular ре BC, oМ fііnd m іϳlоcul lu і AC;
▪ МF = o
1
5 · BC. ( Ιnstіtutul Ρоlіtеhnіc, Clu ϳo– Νaроca, 1975).

Dеmоnstrațіе:

97
Νоtăm BC = a, AB = c, oAC = b. Avеm b2 = 4c2, oіar aрlіcarеa tеоrеmеі luі
Ρіtagоra dă rеlațіa:
a2 = 4c2 o+ c2 = 5c2,
dеcі a = oc
5 , b = 2c. Duc еm рaralеla МО ola AB, О
∈ BC. D еcі О oеstе la
mіϳlоcul lu і BC, ad іcă la m іϳlоcul oluі ЕF. Av еm:
МО =
2c, oОF =
25
2 105
25:5
2c=a=OC;c=c=EF .
Dеcі
OFMO =
5 șі
55=cc=ca=MOOCoșі astfеl avеm rеlațіa
MOOC=OFMO șі
dеcі triunghiul MOC asemenea cu triunghiul MOF ,іar odе aіcі rеzultă că
m(∡
CМО) = mo (∡
MFO )= 900, adіcă:
МF
⊥ОC sau МFo
⊥BC.

Î n trіungh іul CМО sе aрlіcă otеоrеma înălț іmіі șі sе оbțіnе:
МF2 = oОF · CF =
5 552
1052c=c c , dеcі МF =
51
55=coBC

Problema 9 : Ѕе dă un triung һi ABС. Vrеm ѕă găѕim aria maximă a unui
pătrat ѕituat î n î ntr еgimе î n int еriοrul triung һiului.

98

Rеzοlvarе: Pοrnim dе la prеѕupunеrеa intuitivă că cеl mai marе pătrat cе
ѕе pοatе plaѕa în intеriοrul unui triungһi trеbuiе ѕă aibă una din laturi pе ο
latură a triungһiului. Aѕtfеl, pеntru a dеtеrmina pătratul dе ariе maximă avеm
trеi pοѕibilități dе așеzarе pе lat urilе triungһiului.
Pеntru ο așеzarе fixată putеm afla ușοr pătratul maxim din intеriοrul
triungһiului cе arе dοuă varfuri pе latura BС. О mοdalitatе ar fi ѕă dеѕеnăm un
pătrat M’N’P’Q’ cе arе punctеlе Q’ și P’ pе ѕеmidrеapta [BС și punctul M’ pе
ѕеmidrеa pta [BA. După carе, luăm punctul N ca intеrѕеcțiе a
drеptеi BN’ cu AС.
Găѕim pătratul MNPQ ca fiind οmοtеticul pătratului M’N’P’Q’ după
οmοtеtia dе cеntru B și rapοrt BN / BN’. Altă mοdalitatе dе cοnѕtrucțiе a
pătratului ar fi cеa prеzеntată în a dοua fig ură, adică: ѕе cοnѕtruiеștе în еxtеriοr,
pе latura BС a triungһiului, un pătrat BСQ’P’, ѕе dеtеrmină punctеlе P și Q ca
și intеrѕеcții al ѕеgmеntului AQ’ cu BС și al ѕеgmеntului AP’ cu BС.
Pătratul MNPQ va fi οmοtеticul pătratului BСP’Q’, după οmοtеtia dе
cеntru A și rapοrt QP / BС.

99
Problema 1 0: Fіe un рaralelοgram AΒСD șі fіe E, F ce apartin lui BD
aѕtfel înсât BE=EF=FD.
Ѕe nοtează BC∩ AE={G},CD ∩ AF={H},AB ∩ CE={L},AD ∩ CF={M} Ѕă ѕe
arate сă dreрtele AС, EF, LΗ ѕunt сοnсurente.

Rezolvare :Trіungһіurіle ΔADE șі Δ ΒСF ѕunt сοngruente ( AD=ΒС,
ED=BF=2
3BD
∡𝐴𝐷𝐸≡∡𝐶𝐵𝐸 rezultă relațіa
CF=AE
Trіungһіurіle Δ ADF șі ΔΒСE ѕunt сοngruente ( AD = ΒС,
FD=BE=1
3BD

∡𝐴𝐷𝐹≡∡𝐶𝐵𝐸 rezultă relațіa
EC=AF
Dіn relațііle anterіοare rezultă сă рatrulaterul AEСF eѕte рaralelοgram.
Deсі dreрtele AС șі EF treс рrіn рunсtul О (mіјlοсul ѕegmentuluі AC șі
al ѕegmentuluі EF ).
Rezultă сă dreрtele AС, EF șі LΗ ѕunt сοnсurente.

Problema 1 1: Ѕe сοnѕіderă trіungһіul AΒС , înălțіmea [ AD], șі рunсtele
M∈(AB) și N∈( AC). Ѕă ѕe demοnѕtreze сă ( DA eѕte bіѕeсtοarea ungһіuluі
МDN daсă șі numaі daсă AD, ΒN șі СМ ѕunt сοnсurente.

100
Rezolvare:
Сοnѕtruіm рrіn A dreaрta d рaralelă сu ΒС. Dreaрta d іnterѕeсtează
dreрtele DМ șі DN în рunсtele R șі Ѕ.
Avem сă
ΔBDMΔARM ~ șі
ΔCDNΔASN ~ rezultă:
BMAM=BDAR ,
reѕрeсtіv
CNAN=CDAS .
Оbțіnem aѕtfel:
BMBD AM=AR , reѕрeсtіv
CNAN CD=AS
Dar [AD] eѕte înălțіme șі рentru Δ DRЅ. aѕtfel ( DA eѕte bіѕeсtοarea
ungһіuluі ∢ RDS daсă șі numaі daсă Δ DRЅ eѕte іѕοѕсel ѕau daсă șі numaі
daсă [ AD] eѕte medіană a ѕa, rezultă сă AR = AЅ.
Aсeaѕtă egalіtate eѕte eсһіvalentă сu:
CNAN CD=BMBD AM   сare maі
рοate fі ѕсrіѕă:
1=ANCN
CDBD
BMAM , de unde fοlοѕіnd teοrema reсірrοсă a
teοremeі luі Сeva rezultă сă AD, ΒN șі СМ ѕunt сοnсurente.

Problema 1 2: Triunghiurile ABC și DEF sunt încrise în același
cerc.Demonstrați că egalitatea perimetrelor lor este echivalentă cu
următoarea egalitate:
sin∡𝐴+sin∡𝐵+∡sin𝐶=sin∡𝐷+sin∡𝐸+sin∡𝐹

101
(New York 1978)
Rezolvare :

Fie R raza cercului circumscris triunghiurilor ABC și DEF.Atunci din
teorema sinusurilor avem
sin∡𝐴+sin∡𝐵+sin∡𝐶=𝐵𝐶+𝐴𝐶+𝐴𝐵
2𝑅=𝑝1
2𝑅,unde 𝑝1este perimetrul
triunghiului ABC.
Analog obținem că sin∡𝐷+sin∡𝐸+sin∡𝐹=𝑝2
2𝑅,unde 𝑝2 este
perimetrul triunghiului EFD.Din acest motiv,egalitatea
sin∡𝐴+sin∡𝐵+∡sin𝐶=sin∡𝐷+sin∡𝐸+sin∡𝐹,este
echivalentă cu 𝑝1=𝑝2.

Problema 1 3: În triunghiul ABC , sunt duse înălțimile AK,BL,CM.Fie H
ortocentrul triunghiului,P mijlocul lui AH.Dacă S=BH ∩MK, și T=
LP∩AM,demonstrați că TS ⊥ BC.
(India 1998)
Rezolvare:

LP este mediană în triunghiul dreptunghic ALH,deci triunghiul
HPL este isoscel și
∡ PLH ≡∡ PHL. C K H
B S P A
T

T M
M
m
m
M L

102
F E
C Patrulaterul BMHK este inscriptibil, de unde
∡ ≡BMK ≡ ∡ BHK ≡ ∡LHP ≡ ∡ PLH
Rezultă că patrulaterul TLSM este inscriptibil,deci
∡𝑀𝑇𝑆 ≡ ∡𝑀𝐿𝐻 ≡ ∡𝑀𝐴𝐻 .
Așadar TS ∥ AH sau TS ⊥ BC.

Problema 1 4: Triunghiul ABC are măsura unghiului BAC de 45 ° și
măsura unghiului ABC de 72 °.Pe semidreapta (BC se consider punctual D
astfel î ncâ t C ∈ (BD) și BC= 2DC.Să se determine măsura unghiului BAD.
(Germania 1964)
Rezolvare :

Fie F piciorul perpendicularei din B pe AC,iar E mijlocul laturii BC.
În triunghiul dreptunghic BFC,segmentul FE este mediană și
m(∡BCA)=60 °,deci triunghiul FEC este echilateral,de unde
CD=BE=EC=FE=FC(1)
Din m(∡BEF)=m( ∡FCD)=120 ° și relația (1)obținem că
∆BEF≡∆ FCD,deci BF=FD.
Însă triunghiul AFB este dreptunghic isoscel (deoarece
m(∡CAB)=45 °,deci A D B

H
H
H

H

103
A
B
D
E
P AF=BF=FD,
și F este centrul cercului circumscris triunghiului BAD,de unde
m(∡BAD)=90 °-m(∡FBD)=60 °.

Problema 1 5: Î n triunghiul ABC,punctual D e ste mijlocul laturii
AC,punctul E∈ (AB) este piciorul perpendicularei unghiului BCA, iar P
este punctual de intersecție al dreptelor BD și CE.Dacă AC: BC=k,unde k
este număr real pozitiv,sî se afle valoarea raportului PC:PE.
(Moldova 2006)
Rezolvare :

Din teorema bisectoarei avem:
𝐸𝐴
𝐸𝐵= 𝐴𝐶
𝐵𝐶=𝐾
Aplic ăm teorema lui Menalaus în triunghiul EAC pentru
transversala BPD și obținem
𝐵𝐸
𝐴𝐵 ∙𝐴𝐷
𝐶𝐷 ∙𝐶𝑃
𝑃𝐸=1.
Dar deoarece AD=CD,rezultă că
𝐶𝑃
𝑃𝐸=𝐴𝐵
𝐵𝐸 =1+𝐸𝐴
𝐸𝐵=1+𝐾.

CAPITOLUL 5.
APLICAȚII ÎN MĂSURĂT ORI TERESTRE C

104

În multe dintre domeniile în care activează, omul și -a folosit
cunoștințele, făcând astfel descoperiri uimitoare. Noțiunile de matematică au
fost utilizate încă din vechi timpuri î n diferite arii de activitate cum ar fi
comerțul, la gestiunea recoltelor, în măsurarea suprafețelor, în prezicerea
fenomenelor astronomice, precum și în unele ritualuri religioase.
Î n timp, î n multe domenii s -au aplicat noțiuni din matematică, cu m ar
fi:
– fracțiile ordinare – în muzică prin reprezentarea notelor muzicale cu
ajutorul fracțiilor, în fizică și chimie prin determinarea titlului unui aliaj, a
concentrației unei soluții, a vitezei unui mobil, în geografie prin exprimarea
scării unei hărț i
– combinații de numere care au condus la apariția modelului de culori
RGB; acesta reprezintă un model prin care orice culoare poate fi exprimată
ca o combinație între culorile roșu (R), verde (G) și albastru (B). Modelul a
fost inspirat din realitate, î ntr ucâ t cele trei tipuri de conuri din retina ochiului
uman conțin câte un pigment fotosenzitiv pentru aceste trei culori. Orice altă
culoare pe care omul o percepe este, de fapt, o combinație din aceste 3 culori.
Scopul principal al modelului de culori RGB e ste de a reprezenta imaginile
î n sistemele electronice, cum ar fi televizoarele sau calculatoarele
– șirul lui Fibonacci – în botanică, prin dispunerea frunzelor plantelor
sau a petalelor florilor, în anatomie prin conformația corpului uman sau prin
reprezen tarea moleculei ADN, î n zoologie prin dispunerea punctelor
marcante ale fizionomiei animalelor etc. Tot din șirul lui Fibanacci a fost
generat și numărul de aur care se regăsește în natură, în arhitectură etc.
Odată cu creșterea interesului pentru cunoașt erea mediului î n care
oamenii își desfășurau viața și activitatea, a apărut știința măsurătorilor
terestre care s -a bazat pe dezvoltarea relațiilor sociale și economice, dar și pe
evoluția tehnicii în ansamblul ei. Astfel, plecând de la necesitatea determi nării

105
distanțelor dintre două puncte de pe suprafața pământului și a măsurii
unghiurilor dintre direcțiile determinate de aceste puncte, lucruri destul de
greu de realizat în acele timpuri, dacă nu chiar imposibil, s -a ajuns la
măsurarea în teren a distanț elor între anumite puncte accesibile și a unghiurilor
dintre anumite direcții, urmând ca celelalte distanțe și unghiuri să fie
determinate prin calcul folosind teoreme ale trigonometriei și geometriei.
Alături de alte științe ca fizica, matematica, geologi a, astrologia,
oceanografia, vulcanologia, etc. măsurătorile terestre contribuie la o mai bună
cunoaștere a planetei noastre, dar și a corpurilor cerești.
Știința măsurătorilor terestre are ca obiect de studiu totalitatea
operațiilor de teren și de calcul, care sunt efectuate în vederea reprezentării pe
plan sau pe hartă a suprafeței terestre într -o anumită proiecție cartografică și
scară topografică. Distanțele în teren se măsoară cu ruleta sau cu panglica de
oțel, iar unghiurile cu teodolitul.
Efectuarea măsurătorilor pe teren, prelucrarea datelor și reprezentarea
corectă pe planuri și hărți a formelor de relief ale terenului, se bazează pe
folosirea unor instrumente topografice și geodezice, mijloace de calcul și de
raportare grafică, care necesită cunoaș terea unor noțiuni teoretice și practice
din diferite domenii ale științei și tehnicii. Astfel, pentru folosirea practică a
instrumentelor topografice și geodezice, în vederea măsurării exacte a
unghiurilor și distanțelor sunt necesare cunoștințe de optică geometrică,
mecanică fină, rezistența materialelor și altele.Pentru prelucrarea rezultatelor
măsurătorilor din teren sunt necesare metode de calcul, ce se bazează pe
noțiuni de geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică și
informatică. Multe pr obleme topografice au ca model matematic rezolvarea
triunghiului.
Întocmirea și execuția grafică a planurilor și hărților, presupune
folosirea cunoștințelor de desen topografic și cartografic, cu ajutorul cărora se
reprezintă diferitele obiecte și forme al e terenului, printr -o proiecție ortogonală,
pe plan orizontal.

106
Știința măsurătorilor terestre cuprinde o serie de ramuri principale, ce
se diferențiază între ele atât prin obiectul activității, cât și prin metodele și
instrumentele folosite î n procesul de măsurare, din care, se menționează:
Geodezia – care se ocupă cu studiul, măsurarea și determinarea formei
și dimensiunilor Pământului sau a unor părți întinse din suprafața acestuia,
precum și cu determinarea poziției precise a unor puncte fixe de pe ter en, ce
formează rețeaua geodezică de sprijin pentru măsurătorile topografice. De
asemenea, în cadrul acestei ramuri se studiază și câmpul gravitațional al
Pământului într -un spațiu tridimen sional, în funcție de timp. În cadrul
măsurătorilor geodezice, care se execută pe suprafețe mari, se ține seama de
efectul de curbură al Pământului. Ca și domenii în care sunt necesare
informații geodezice, se pot enumera administrația urbană, proiectele
inginerești, marcarea granițelor, ecologie, administrația mediului, geografie,
planetologie, hidrografie.
Practic, geodezia cuprinde câteva părți:
 geodezia elipsoidală în cadrul căreia se studiază bazele matematice pentru
luarea în considerație a suprafeței elipsoidale a pământului;
 geodezia tridimensională sau spațială în cadrul căreia se studiază bazele
matematice pentru determinarea coordonatelor punctelor geodezice î n
spațiul tridimensional;
 geodezia fizică, care studiază câmpul gravitațional și forma pământului;
 gravimetria geodezică , care se ocupă cu studiul metodelor măsurătorilor
accelerației forței de gravitație;
 geodezia cu sateliți, adică geodezia spațială.
Secole de -a râ ndul, singura modalitate de a studia geometria
Pământului a constat î n observarea Soarelui , a Lunii , a planetelor și a stelelor ,
adică prin metode astronomice. Acest lucru face ca geodezia și astronomia să
fie unele dintre cele mai vechi științe și c ele mai vechi geoștiințe.
Topografia (topometria) – se ocupă cu studiul, măsurarea și
reprezentarea pe planuri și hărți a terenului cu toate formele de planimetrie și

107
de relief existente. În cadrul măsurătorilor topografice, ce se execută pe
suprafețe mici, nu se ține seama de curbura Pământului. Măsurăt orile de teren
împreună cu reprezentarea lor pe plan se numesc ridicări topografice.
Rezultatul concret al unei ridicări topografice este planul topografic sau harta
topografică, pe care punctele de pe suprafața terestră sunt redate prin cele trei
coordona te x, y, h, adică atât în plan, cât și în spațiu. Ca urmare, în cadrul
topografiei se disting trei părti disticte:
 planimetria, care se ocupă cu reprezentarea pe planuri și hărți a proiecției
orizontale a obiectelor de pe suprafața terestră;
 altimetria, c are se ocupă cu reprezentarea reliefului pe planuri și hărți;
 tahimetria, care vizează metodele și aparatele care permit determinarea
simultană a poziției în plan orizontal și pe verticală a punctelor.
Valorile măsurate în topografie sunt de tipul unghiuri lor orizontale și
unghiurilor verticale formate de laturile a două aliniamente obținute între
puncte vecine și a distanțelor dintre puncte, adică a laturilor unghiurilor. În
procesul de stabilire a poziției punctelor topografice se pornește de la valorile
măsurate ale unor puncte ce aparțin rețelelor geodezice.
Fotogrammetria – se ocupă cu înregistrarea, măsurarea și
reprezentarea obiectelor sau fenomenelor în spațiu și timp, cu ajutorul
imaginilor fotografice ale acestora, ce poartă denumirea de fotograme .
Ridicările fotogrammetrice au o largă utilizare în prezent datorită
randamentului superior al procesului de culegere și prelucrare a datelor,
precum și a metodelor rapide de întocmire a planurilor topografice sub formă
analogică și mai recent, sub formă digitală.
Fotografia unui obiect este pentru fotogrammetrie o piesă de valoare,
deoarece este de obicei înregistrarea obiectivă a imaginii obiectului respectiv.
Dar pentru ca fotografia să poată deveni piesa de plecare în măsuratori și
reprezentări exacte este necesar ca ea să îndeplinească anumite condiții
speciale metrice. Primul principiu și prima condiție în măsurătorile
fotogrammetrice propriu -zise este aceea ca fotografiile utilizate să fie proiecții

108
centrale cu caracteristici perfect cunoscute. Astf el de fotografii sunt numite
„fotograme”. Făcând referire la ridicări, se înțelege că fotogrammetria trebuie
să se supună legilor de bază a topografiei de unde rezultă că, plecând de la
proiecții centrale (fotograme) trebuie să se ajungă la proiecții paral ele (planuri,
hărți). Într -adevăr, fotograma și planul sunt imagini plane ale suprafețelor de
teren, însă pe câtă vreme fotograma este o proiecție centrală, harta este o
proiecție ortogonală.
Teledetecția – cuprinde un ansamblu de tehnici și tehnologii el aborate
în vederea teleobservării resurselor naturale ale Pământului, ale planetelor,
precum și a spațiului aerian și interplanetar, ce se efectuează cu ajutorul
sateliților artificiali.
Cartografia – se ocupă cu studiul proiecțiilor cartografice folosite la
reprezentarea în plan a suprafeței Pământului sau a unor porțiuni din această
suprafață, în vederea întocmirii, editării și multiplicării planurilor și hărților
topografice.
Noțiunea de cartografie a fost asociată cu cea de cartografie generală ,
pentru o mai largă cuprindere a domeniilor de utilizare. Cartografia generală
se ocupă cu întocmirea hărților necesare tuturor științelor și domeniilor care
utilizează astfel de reprezentări. Sunt domenii din afara celui geografic, care
utilizează hărți, cum ar fi: silvicultura, cadastru, amenajarea teritoriului,
resurselor minerale etc. Hărțile de acest tip sunt proiectate pe baza metodelor
și principiilor cartografice general valabile, cu aplicarea semnelor
convenționale specifice.
În evoluția sa istorică, cartografia s-a dovedit a fi o veritabilă „fabrică
de imagini” care a surprins, a prelucrat și a transmis (prin diverse tehnici
instrumentale), modele și viziuni asupra naturii și a rel ațiilor sociale. Modelul
cartografic este probabil unul din primele modele (dacă nu chiar primul) creat
de către om.
După unii autori, harta ar avea o origine urbană. Este foarte adevărat că
dezvoltarea unui oraș a fost, este și va fi legată de o formă de măsură și

109
gestiune a spațiului de dezvoltare. Se consideră că apariția primelor hărți a fost
legată de necesitatea de orientare a primilor oameni (în primul rând), și apoi de
necesitatea delimitării spațiului de vânătoare și mai apoi a celui cultivat, etc .
Alți autori susțin faptul că elaborarea hărților cu siguranță a precedat
textele scrise (“scriitura”).
Cadastru – cuprinde totalitatea lucrărilor necesare pentru identificarea,
măsurarea și reprezentarea pe hărți și planuri cadastrale a bunurilor imobile de
pe întreg teritoriul țării, indiferent de destinația lor și de proprietar. Prin
introducerea cadastrului, se realizează cunoașterea și furnizarea, în orice
moment, a datelor cadastrale din punct de vedere cantitativ, calitativ și juridic
a bunurilor imobile din cuprinsul unui teritoriu cadastral. Inventarierea
terenurilor se realizează atât prin reprezentarea gra fică pe planuri la scări
convenabile a elementelor care se evidențiază în cadastru, cât și analitic prin
fișe și registre de evidență tehnică, economică și juridică în care se
înregistrează date despre situația terenurilor și construcțiilor inventariate.
Cadastrul este parte componentă a sistemului unitar și obligatoriu de
evidență tehnică, economică și juridică a tuturor imobilelor de pe un teritoriu
administrativ. Entitățile de bază ale acestui sistem sunt imobilul și proprietarul.
Sistemul de evidență al cadastrului are ca finalitate î nscrierea î n registrul de
publicitate imobiliară.
Publicitatea imobiliară are ca obiect înscriere a în cartea funciară a
actelor și faptelor juridice referitoare la imobilele din același teritoriu
administrativ și se realizează de către oficiile teritoriale (O. C. P. I.) pentru
imobilele situate î n raza de activitate a acestora. Una sau mai multe parce le
alăturate de pe teritoriul unei unități administrativ -teritoriale, indiferent de
categoria de folosință, aparținând aceluiași proprietar, formează un imobil care
se identifică printr -un număr cadastral unic și se înscrie într -o carte funciară.
Cărțile funciare întocmite și numerotate pe teritoriul administrativ al
fiecărei localități alcătuiesc, împreună, registrul cadastral de publicitate
imobiliară al acestui teritoriu, ce se ține de către biroul teritorial din cadrul

110
oficiului teritorial în a cărui r ază teritorială de activitate este situat imobilul
respectiv. Acest registru se întregește cu registrul de intrare, cu planul
cadastral, cu registrul cadastral al imobilelor, indicând numărul cadastral al
imobilelor și numărul de ordine al cărților funciar e î n care sunt î nscrise, cu un
index alfabetic al proprietarilor și cu o mapă în care se păstrează cererile de
înscriere, împreună cu un exemplar al înscrisurilor constatatoare ale actelor
sau faptelor juridice supuse î nscrierii.
Sistemul informatic geogr afic, cunoscut și sub denumirea de G.I.S.
(Geographical Information System), se bazează pe utilizarea tehnicii
electronice de calcul, necesară pentru achiziția, stocarea, analiza și afișarea
datelor geografice ale suprafeței terestre, sub formă de rapoarte grafice și
numerice.

5.1. Aplicații

1) Determinarea distanței între două puncte
accesibile A și B între care se află un obstacol
(fig. 5.1) .
Pentru a determina distanța dintre punctele A și
B se alege un punct C accesibil din care pot fi
observate punctele A și B și se pot măsura
distanțele AC=b și BC=a și unghiul ∢𝐴𝐶𝐵=𝛼.
Se aplică teorema cosinusului:
𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝛼, unde AB=c , AC=b , BC=a .

Exemplu :

α •A
•B C •
Fig. 5.1
•
• • M
N P 8 m
6 m 750
Fig.5.2

111

Sonia și Catalina sunt î ntr -un parc în care văd două coloane înalte M și N î ntre
care se află o fântână arteziană (fig. 5.2) . Ele sunt curioase să afle distanța
dintre cele două coloane, dar nu pot din cauza fântânii. Așa că ele își aleg un
punct arbitrar P (𝑃≠𝑀 și 𝑃≠𝑁) astfel încât să poat ă măsura distanțele
MP=8 m și NP=6 m. Fetele măsoară și unghiul dintre MP și NP și
𝑚(∢𝑀𝑃𝑁)=750.
Folosind teorema cosinusului ⟹𝑀𝑁2=𝑀𝑃2+𝑁𝑃2−2∙𝑀𝑃∙𝑁𝑃∙
cos(∢𝑀𝑃𝑁).
cos(∢𝑀𝑃𝑁)=cos750
=cos(450+300)=cos450∙cos300−sin450∙sin300=
=√2
2∙√3
2−√2
2∙1
2=√6
4−√2
4=√6−√2
4≈0,2588
Deci𝑀𝑁2=82+62−2∙8∙6∙cos750⟹𝑀𝑁2=64+36−96∙
0,2588⟹
⟹𝑀𝑁2=75,1533⟹𝑀𝑁≈8,6691 𝑚.

2) Determinarea înălțimii unui obiect vertical.
a) Dacă punctul de la baza obiectului este
accesibil (fig. 5.3) .
A B
O α
Fig. 5.3

112
Se ia un punct O în același plan cu baza obiectului.
Se cunosc:
AO=d (distanța de la observator – cel care face măsurătorile – până la obiect)
𝛼=∢𝐴𝑂𝐵 (unghiul de elevație)
Se notează AB=h (înălțimea obiectului)
Î n triunghiul dreptunghic BAO are loc relația: tg𝛼=𝐴𝐵
𝐴𝑂=ℎ
𝑑⟹ℎ=𝑑∙tg𝛼
Exemplu :
În imaginea alăturată este reprezentată o
scară interioară (fig. 5.4) . Ultima treaptă
este susținută de un stâlp de beton.
Proprieta rul vrea să pună un tavan fals ( DE).
Dacă unghiul în care a fost construită scara
este de 300 și înălțimea stâlpului este de
250 cm, proprietarul vrea să afle care va fi
lungimea tavanului fals.
𝐴𝐶=𝐷𝐸
Î n triunghiul dreptunghic ABC are loc
relația: sin𝐴=𝐵𝐶
𝐴𝐶⟹sin300=250
𝐴𝐶⟹𝐴𝐶=250
sin300=250
1
2=250∙2=
500 𝑐𝑚⟹⟹𝐷𝐸=500 𝑐𝑚.

b) Dacă punctul de la baza obiectului nu este accesibil (fig. 5.5) .
Se iau 2 puncte distincte, O și O' coliniare cu baza obiectului.
Se cunosc:
OO'=d' (distanța dintre cele două puncte coliniare cu baza obiectului)
𝛼=∢𝐴𝑂𝐵 (unghiul 1 de elevație)
𝛽=∢𝐴𝑂′𝐵 (unghiul 2 de elevație)
Se notează AB=h (înălțimea obiectului) 250
cm
A B C D E
300
Fig. 5.4
α
A B
O β O'
Fig. 5.5

113
Î n triunghiule dreptunghice BAO și BAO' au loc relațiile:
ctg𝛼=𝐴𝑂
𝐴𝐵
ctg𝛽=𝐴𝑂′
𝐴𝐵}
⟹ctg𝛽−ctg𝛼=
=𝐴𝑂′
𝐴𝐵−𝐴𝑂
𝐴𝐵=𝐴𝑂′−𝐴𝑂
𝐴𝐵=𝑂𝑂′
𝐴𝐵=𝑑
ℎ⟹ℎ=𝑑
ctg𝛽−ctg𝛼.
Exemplu :
Andrei are î n curte a casei un
tobogan (fig. 5.6) .
Scara acestuia se află într -o piscină,
ceea ce face ca înălțimea scării să
nu poată fi măsurată direct.
Andrei măsoară unghiul pe care
toboganul îl face cu solul și
𝑚(∢𝐸𝐹𝐷)=450.
Pentru a afla cât de înaltă este scara toboganului, Andrei alege un punct
arbitrar, G (𝐺≠𝐹) și măsoară distanța 𝐹𝐺=10 𝑑𝑚, după care măsoară
unghiul ∢𝐸𝐺𝐹 și 𝑚(∢𝐸𝐺𝐹)=300.
Î n triunghiule dreptunghice EDF și EDG au loc relațiile:
ctg𝐸𝐹𝐷=𝐷𝐹
𝐸𝐷
ctg𝐸𝐺𝐷=𝐷𝐺
𝐸𝐷}
⟹ctg𝐸𝐺𝐷−ctg𝐸𝐹𝐷=𝐷𝐺
𝐸𝐷−𝐷𝐹
𝐸𝐷=𝐷𝐺−𝐷𝐹
𝐸𝐷
=𝐹𝐺
𝐸𝐷=10
𝐸𝐷⟹
⟹𝐸𝐷=10
ctg𝐸𝐺𝐷−ctg𝐸𝐹𝐷=10
ctg300−ctg450=10
√3−1=10(√3−1)
3−1
=
=5(√3−1)⟹𝐸𝐷≈3,6602 𝑑𝑚.
450
D E
F 300
G 10 dm
Fig. 5.6

114
3) Determinarea distanței dintre un punct accesibil A și unul inaccesibil
observatorului, B.Se alege un punct C din care se văd punctele anterioare A și
B, punctul B fiind despărțit de punctele A și C printr -un obstacol (fig. 5.7) .
Se cunosc:
AC=d
𝛼=∢𝐶𝐴𝐵
𝛽=∢𝐴𝐶𝐵
Se notează AB=x
Se aplică teorema sinusurilor în
∆𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐵
sin𝐴𝐶𝐵=𝐴𝐶
sin𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶
sin𝐵𝐴𝐶⟹
⟹𝑥
sin𝛽=𝑑
sin𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶
sin𝛼⟹𝑥=𝑑∙sin𝛽
sin𝐴𝐵𝐶
Dar sin𝐴𝐵𝐶=sin(1800−𝐵𝐴𝐶−𝐴𝐶𝐵)=sin(1800−(𝛼+𝛽))=
sin(𝛼+𝛽)
Atunci 𝑥=𝑑∙sin𝛽
sin(𝛼+𝛽).

Exemplu :
Marius și Dragoș au plecat în pădure și s -au rătăcit unul de celălalt, aceștia
fiind despărțiți de un deal (fig. 5.8) . Marius vrea să știe cât de departe este de
Dragoș. Un prieten de -al lor, Andrei, a plecat în căutarea celor doi băieți. La
un moment dat, din locul î n care •A
•B C • α
β
Fig. 5.7
•M
•D A • 600
450 75 m
Fig. 5.8

115
se afla, Andrei l -a văzut pe Marius, dar pe Dragoș nu îl zărește. Andrei
parcurge distanța până la Marius și află că 𝐴𝑀=75 𝑚. Locurile î n care se
află cei trei băieți determină vârfurile unui triunghi. Se știe că 𝑚(∢𝑀𝐴𝐷)=
450 și 𝑚(∢𝐴𝑀𝐷)=600 și se cere determinarea distanței dintre punctele în
care se află Marius și Dragoș.

Se aplică teorem a sinusurilor î n ∆𝑀𝐴𝐷: 𝐴𝑀
sin𝐴𝐷𝑀=𝐴𝐷
sin𝐴𝑀𝐷=𝑀𝐷
sin𝑀𝐴𝐷⟹
⟹75
sin𝐴𝐷𝑀=𝐴𝐷
sin600=𝑀𝐷
sin450⟹𝑀𝐷=75∙sin450
sin𝐴𝐷𝑀
Dar sin𝐴𝐷𝑀=sin(1800−𝑀𝐴𝐷−𝐴𝑀𝐷)=sin(1800−(450+600))=
sin1050.
sin1050=sin(450+600)=sin450∙cos600+sin600∙cos450=
=√2
2∙1
2+√3
2∙√2
2=√2
4+√6
4=√6+√2
4≈0,9659
Atunci 𝑀𝐷=75∙√2
2
sin(𝛼+𝛽)=75∙√2
2
0,9659≈54,9038 𝑚.

4) Determinarea distanței dintre două puncte vizibile, dar inaccesibile (fig.
5.9).
Fie A și B cele două puncte inaccesibile observatorului. Se aleg alte două
puncte C și D din care se văd punctele A și B, dar sunt despărțite printr -un
obstacol de acestea.
Se cunosc:
CD = d
β α
𝜑 𝛾 •A
•B C •
D •
Fig. 5.9

116
𝛼=∢𝐴𝐶𝐵
𝛽=∢𝐵𝐶𝐷
𝛾=∢𝐴𝐷𝐵
𝜑=∢𝐴𝐷𝐶
Se notează AB=x
Se aplică teorema sinusurilor în ∆𝐵𝐶𝐷: 𝐵𝐷
sin𝐵𝐶𝐷=𝐶𝐷
sin𝐶𝐵𝐷=𝐵𝐶
sin𝐵𝐷𝐶⟹
⟹𝐵𝐷
sin𝛽=𝑑
sin𝐶𝐵𝐷=𝐵𝐶
sin(𝜑+𝛾)⟹𝐵𝐶=𝑑∙sin(𝜑+𝛾)
sin𝐶𝐵𝐷
Dar sin𝐶𝐵𝐷=sin(1800−𝛽−(𝜑+𝛾))=sin(1800−(𝛽+(𝜑+𝛾)))=
=sin(𝛽+(𝜑+𝛾))=sin(𝛽+𝜑+𝛾)
Atunci 𝐵𝐶=𝑑∙sin(𝜑+𝛾)
sin(𝛽+𝜑+𝛾).
Se aplică teorema sinusurilor în ∆𝐴𝐶𝐷: 𝐴𝐶
sin𝐴𝐷𝐶=𝐶𝐷
sin𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐷
sin𝐴𝐶𝐷⟹
⟹𝐴𝐶
sin𝜑=𝑑
sin𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐷
sin𝐴𝐶𝐷⟹𝐴𝐶=𝑑∙sin𝜑
sin𝐶𝐴𝐷.
Dar sin𝐶𝐴𝐷=sin(1800−𝜑−(𝛼+𝛽))=sin(1800−(𝜑+(𝛼+𝛽)))=
=sin(𝜑+(𝛼+𝛽))=sin(𝛽+𝜑+𝛼).
Atunci 𝐴𝐶=𝑑∙sin𝜑
sin(𝛽+𝜑+𝛼).
Se aplică teorema cosinusului în ∆𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2−2∙𝐴𝐶∙𝐵𝐶∙
cos𝛼⟹
⟹𝑥2=(𝑑∙sin𝜑
sin(𝛽+𝜑+𝛼))2
+(𝑑∙sin(𝜑+𝛾)
sin(𝛽+𝜑+𝛾))2
−2∙𝑑∙sin𝜑
sin(𝛽+𝜑+𝛼)∙
∙𝑑∙sin(𝜑+𝛾)
sin(𝛽+𝜑+𝛾)∙cos𝛼.

117
Exemplu :
Doi frați, Sonia și Georgică , se joacă în curtea
din spatele casei, în timp ce mama și tatăl lor
sunt în grădina din fața casei, de unde nu -și pot
observa cei doi copii (fig. 5.10) . Distanța dintre
cei doi părinți este de 3 m, iar unghiurile
formate de dreptele care determină distanțele
dintre cei patru sunt exprimate î n figura
alăturată, astfel 𝑚(∢𝐸𝑀𝐺)=150,
𝑚(∢𝐺𝑀𝑇)=450, 𝑚(∢𝐸𝑇𝐺)=300 și
𝑚(∢𝐸𝑇𝑀)=750. Cei doi frați vor să taie o
panglică pe care să o țină câte unul de la fiecare
capăt. Trebuie să afle care este distanța dintre ei.

Se aplică teorema sinusurilor în ∆𝐺𝑀𝑇: 𝐺𝑀
sin𝐺𝑇𝑀=𝐺𝑇
sin𝐺𝑀𝑇=𝑀𝑇
sin𝑀𝐺𝑇⟹
⟹𝐺𝑀
sin1050=𝐺𝑇
sin450=3
sin𝑀𝐺𝑇⟹𝐺𝑀=3∙sin1050
sin𝑀𝐺𝑇.
Dar sin𝑀𝐺𝑇=sin(1800−450−(750+300))=
=sin(1800−(450+(750+300)))=sin300=1
2
sin1050=sin(450+600)=sin450∙cos600+sin600∙cos450=
=√2
2∙1
2+√3
2∙√2
2=√2
4+√6
4=√6+√2
4≈0,9659
Atunci 𝐺𝑀=3∙sin1050
sin300=3∙0,9659
1
2≈5,7954 𝑚.
Se aplică teorema sinusurilor în ∆𝐸𝑀𝑇: 𝐸𝑀
sin𝐸𝑇𝑀=𝐸𝑇
sin𝐸𝑀𝑇=𝑀𝑇
sin𝑀𝐸𝑇⟹
⟹𝐸𝑀
sin750=𝐸𝑇
sin600=3
sin𝑀𝐸𝑇⟹𝐸𝑀=3∙sin750
sin𝑀𝐸𝑇. E•
•G
M• •T 150
450 300
750
3m
Fig. 5.10

118
Dar sin𝑀𝐸𝑇=sin(1800−750−(150+450))=sin(1800−1350)=
sin450=√2
2.
sin750=sin(450+300)=sin450∙cos300+sin300∙cos450=
=√2
2∙√3
2+1
2∙√2
2=√6
4+√2
4=√6+√2
4≈0,9659
Atunci 𝐸𝑀=3∙sin750
sin𝑀𝐸𝑇=3∙0,9659
√2
2≈4,0979.
Se aplică teorema cosinusului în ∆𝐸𝑀𝐺: 𝐸𝐺2=𝐸𝑀2+𝑀𝐺2−2∙𝐸𝐺∙𝑀𝐺∙
cos𝐸𝑀𝐺⟹
⟹𝐸𝐺2=(3∙0,9659
√2
2)2
+(3∙0,9659
1
2)2
−2∙3∙0,9659
√2
2∙3∙0,9659
1
2
∙cos150⟹
⟹𝐸𝐺2=(3∙0,9659)2
1
2+(3∙0,9659)2
1
4−2∙(3∙0,9659)2
√2
4∙cos150⟹
⟹𝐸𝐺2=2∙(3∙0,9659)2+4∙(3∙0,9659)2−4√2∙(3∙0,9659)2
∙cos150⟹
⟹𝐸𝐺2=2∙(3∙0,9659)2+4∙(3∙0,9659)2−4√2∙(3∙0,9659)2
∙0,9659⟹
⟹𝐸𝐺2=(3∙0,9659)2∙(2+4−4√2∙0,9659)⟹
⟹𝐸𝐺2=(3∙0,9659)2∙(6−4√2∙0,9659)⟹𝐸𝐺2
=2,89772∙(6−5,4639)⟹
⟹𝐸𝐺2=2,89772∙0,5361⟹𝐸𝐺=2,8977∙√0,5361⟹
⟹𝐸𝐺=2,8977∙0,7321⟹𝐸𝐺≈2,1214 𝑚.
cos150=cos(450−300)=cos450∙cos300+sin450∙sin300=
=√2
2∙√3
2+√2
2∙1
2=√6
4+√2
4=√6+√2
4≈0,9659

119
5) Determinarea poziției unui unghi drept în cazul în care nu există
vizibilitate (fig. 5.11) .
Fie A și B două puncte distincte. Pe distanța dintre aceste două puncte se
construiește o perpendiculară din alt punct, CM. Din punctul C nu este vizibil
punctul M.
Se cunosc:
AB=d
∢𝐵𝐴𝐶=𝛼
∢𝐴𝐵𝐶=𝛽
𝐶𝑀⊥𝐴𝑀,𝑀∈(𝐴𝐵)
Se notează AM=x
Î n triunghiurile dreptunghice AMC și BMC au loc relațiile:
tg𝛼=𝑀𝐶
𝐴𝑀=𝑀𝐶
𝑥⟹𝑀𝐶=𝑥∙tg𝛼
tg𝛽=𝑀𝐶
𝑀𝐵=𝑀𝐶
𝑑−𝑥⟹𝑀𝐶=(𝑑−𝑥)∙tg𝛽
}
⟹𝑥∙tg𝛼=(𝑑−𝑥)∙tg𝛽
⟹

⟹𝑥(tg𝛼+tg𝛽)=𝑑∙tg𝛽⟹𝑥=𝑑∙tg𝛽
tg𝛼+tg𝛽=𝑑∙sin𝛽
cos𝛽
sin(𝛼+𝛽)
cos𝛼cos𝛽=𝑑∙sin𝛽
sin(𝛼+𝛽)
cos𝛼⟹
⟹𝑥=𝑑∙sin𝛽∙cos𝛼
sin(𝛼+𝛽).

Exemplu :
Familia Cătălinei are în fața casei o
grădină cu flori reprezentată în figura
alăturată prin dreptunghiul ABCD , iar î n
punctul P se află o pompă de apă (fig. C A B M
α β
Fig. 5.11
C A
B D
750
450
P R
12
m
Fig. 5.12

120
5.12) . Tatăl Cătălinei vrea să constuiască o scurgere prin pământ astfel încât
apa să poată ajunge la grădina cu flo ri, perpendiculară pe aceasta, dar va trebui
să o facă pe sub micul deal care desparte pompa de apă de marginea grădinii
cu flori.
Știind că lungimea grădinii AB este de 12 m, 𝑚(∢𝑃𝐴𝐵)=750 și
𝑚(∢𝑃𝐵𝐴)=450, tatăl Cătălinei trebuie să determine lungimea scurgerii pe
care vrea să o construiască.
Î n triunghiurile dreptunghice APR și BPR au loc relațiile:
tg𝑃𝐴𝑅=𝑃𝑅
𝐴𝑅⟹𝑃𝑅=𝐴𝑅∙tg𝑃𝐴𝑅
tg𝑃𝐵𝑅=𝑃𝑅
𝐵𝑅=𝑃𝑅
𝐴𝐵−𝐴𝑅⟹𝑃𝑅=(12−𝐴𝑅)∙tg𝑃𝐵𝑅
}
⟹
⟹𝐴𝑅∙tg𝑃𝐴𝑅=(12−𝐴𝑅)∙tg𝑃𝐵𝑅⟹
⟹𝐴𝑅(tg𝑃𝐴𝑅+tg𝑃𝐵𝑅)=12∙tg𝑃𝐵𝑅⟹
⟹𝐴𝑅=12∙tg𝑃𝐵𝑅
tg𝑃𝐴𝑅+tg𝑃𝐵𝑅=12∙sin𝑃𝐵𝑅
cos𝑃𝐵𝑅
sin(𝑃𝐴𝑅+𝑃𝐵𝑅)
cos𝑃𝐴𝑅cos𝑃𝐵𝑅=12∙sin450
sin(750+450)
cos750=
=12∙sin450∙cos750
sin(750+450)
cos750=cos(450+300)=cos450∙cos300−sin450∙sin300=
=√2
2∙√3
2−√2
2∙1
2=√6
4−√2
4=√6−√2
4≈0,2588
sin(750+450)=sin1200=sin(2∙600)=2∙sin600∙cos600
=2∙√3
2∙1
2=√3
2≈
≈0,866
Deci 𝐴𝑅=12∙√2
2∙0,2588
0,866≈2,5357 𝑚.
Î n triunghiul dreptunghic APR: tg𝑃𝐴𝑅=𝑃𝑅
𝐴𝑅⟹𝑃𝑅=𝐴𝑅∙tg𝑃𝐴𝑅⟹
⟹𝑃𝑅=2,5357∙tg750⟹𝑃𝑅=2,5357∙sin750
cos750

121
sin750=sin(450+300)=sin450∙cos300+sin300∙cos450=
=√2
2∙√3
2+1
2∙√2
2=√6
4+√2
4=√6+√2
4≈0,9659
Atunci 𝑃𝑅=2,5357∙0,9659
0,2588≈9,4638 𝑚.

6) Determinarea volumului unei grămezi de nisip în formă de con dacă se
cunoaște măsura unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei și
raza cercului de la baza conului.
Exemplu :
Pentru prelucrarea nisipului în vederea obținerii sticlei, mai întâi acesta este
ales astfel încât să rămână doar cele mai fine particule (fig. 5.13) . După aceea,
nisipul este transportat pe o bandă rulantă urmând a fi depozitat. Nisipul care
cade de pe banda rulantă formează un con circular drept, a cărui rază este
egală cu 5 m și măsura unghiului format de generatoarea conului cu planul
bazei este egală cu 450. Se cere determinarea volumului grămezii de nisip
formată.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛=𝜋𝑟2∙ℎ
3
Î n triunghiul dreptunghic VBO :
tg𝑉𝐵𝑂=𝑉𝑂
𝑂𝐵⟹𝑉𝑂
=𝑂𝐵∙tg𝑉𝐵𝑂
⟹
⟹𝑉𝑂=5∙tg450⟹𝑉𝑂
=5∙1⟹
⟹𝑉𝑂=5 𝑚. A B V
O 5 m 450
Fig. 5.13

122

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛=52∙5𝜋
3=125𝜋
3=41,(6)𝑚3.

7) Determinarea lungimii înălțimii unui copac.

Exemplu :
În curtea școlii se află un brad (fig. 5.14) . Matei se g ândește cum ar putea afla
înălțimea bradului.
Pornind de la baza copacului din punctul B, Matei alege o distanță de
aproximativ 8 m și în acel loc, D, înfige un baston. Matei măsoară lungimea
bastonului și constată că DE=2 m. În planul orizontal se prelungește dreapta
BD până când vârful bastonului E și vârful bradului A sunt pe aceeași linie
imaginară A-E-C, unde C se află pe dreapta BD. Matei măsoară DC care are 3
m.

∆𝐶𝐷𝐸~~∆CBAA⟹𝐶𝐷
𝐶𝐵=𝐶𝐸
𝐶𝐴=𝐷𝐸
𝐵𝐴⟹3
3+8=𝐶𝐸
𝐶𝐴=2
𝐵𝐴⟹𝐴𝐵=11∙2
3=
7,(3)𝑚.
𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛

B A
C D E
8 m 2m
3m
Fig. 5.14

123

8) Determinarea distanței pe teren dintre două puncte, cunoscâ ndu -se
distanța pe hartă dintre ele și scara hărții.
Dacă scara hărții este 1: n și distanța pe hartă este de x, atunci distanța d
pe teren între cele două puncte este de dată de formula: 𝑑=𝑥∙𝑛, unde d și x
trebuie să fie exprimate prin aceeași unitate de măsură.
Exemplu :
a) Dacă distanța pe teren dintre orașele Ploiești și Timișoara este de 519,
6 km, iar distanța pe hartă dintre aceste orașe este de 2,598 cm, să se determine
scara hărții pe care sunt repr ezentate cele două localități.
𝑑=519,6 𝑘𝑚=51960000 𝑐𝑚
𝑥=25,98 𝑐𝑚}⟹𝑛=𝑑
𝑥=51960000
25,98=2000000
Deci scara hărții este 1:2000000.
b) Dacă distanța pe teren dintre localilățile Ploiești și Constanța este de
290 km și scara hărții pe care sunt reprezen tate cele două orașe este de
1:400000, aflați distanța pe hartă dintre cele două orașe.
𝑑=290 𝑘𝑚
𝑛=400000}⟹𝑥=𝑑
𝑛=290
400000=0,000725 𝑘𝑚=72,5 𝑐𝑚.
c) Dacă distanța pe hartă dintre orașele Ploiești și Brașov este de 21,9 cm
și scara hărții pe care sunt reprezentate cele două orașe este de 1:500000, găsiți
distanța pe teren dintre cele două orașe.
𝑥=21,9 𝑐𝑚
𝑛=500000}⟹𝑑=𝑥∙𝑛=21,9∙500000=10950000 𝑐𝑚=109,5 𝑘𝑚.

9) Realizarea planului unei case utilizând scara hărții.
Exemplu : Desenați planul unei camere dreptunghiulare cu dimensiunile de 10
m și 7, 5 m, la scara de 1:250 (fig. 5.15) .
Care este aria reală a podelei acestei camere?

124
Care este aria pe desen? Comparați cu scara. Ce observați?
La 1 cm2 din plan corespund câți cm2 î n realitate ?

10 𝑚:250=0,04 𝑚=4 𝑐𝑚
7,5 𝑚:250=0,03 𝑚=3 𝑐𝑚
Pe desen lungimea camerei este de 4 cm, iar
lățimea este de 3 cm.

Aria reală a podelei camerei este: 𝐿∙𝑙=10 𝑚∙7,5 𝑚=75 𝑚2.
Aria pe desen a podelei camerei este: 𝐿∙𝑙=4 𝑚∙3 𝑚=12 𝑚2.
La 1𝑚2 din realitate î i corespund 75 𝑚2:250=0,3 𝑚2 pe desen.
La 1 𝑐𝑚2 pe desen î i corespund 75 𝑚2:0,3 𝑚2=750000 𝑐𝑚2:3000 𝑐𝑚2=
250 𝑐𝑚2 î n realitate.

10) Determinarea și raportarea pe hartă a unui punct de coordonate
cunoscute (fig. 5.16) .
Pe hărțile topografice găsim două sisteme de coordonate, un sistem
rectangular și un sistem de coordonate geografice. Coordonatele geografice
sunt latitudinea și longitudinea. Latitudinea ( φ) este unghiul format de normala
dusă în punctul dat, cu planul ecuatorului și se măsoară de la ecuator spre nord
avâ nd valori pozitive sau spre sud avâ nd valori negative. La ecuator avem φ =
0, iar la poli φ = ± 90 . Longitudinea ( λ) este unghiul diedru format d e planul
ce trece prin meridianul punctului dat. Pe plan internațional se consideră ca
meridian origine, meridianul Greenwich. Longitudinea se măsoară de la
meridianul origine spre est avâ nd valori pozitive sau spre vest avâ nd valori
negative. Latitudinea și longitudinea determină poziția unui punct pe suprafața
elipsoidului sau sferei.
Dacă se consideră punctul A care are coordonatele geografice 𝑥0
latitudine și 𝑦0 longitudine, acesta se poate reprezenta pe o hartă care are scara 10 m
7,
5
m
Fig. 5.15

125
1:25000, relativ față d e linia ecuatorului și față de meridianul 0, folosind
următoarele formule (se ține cont de faptul că lungimea unui minut de
latitudine este 74 mm, iar a unui minut de longitudine este de 52 mm):
𝐴𝑥=𝑥∙60∙74 𝑚𝑚 (pe hartă)
𝐴𝑦=𝑦∙60∙52 𝑚𝑚 (pe hartă)
Punctul A se află la intersecția paralelei prin 𝐴𝑥 la axa meridianului 0 și
paralela
care
trece
prin 𝐴𝑦
la axa
ecuatoru
lui.

Exemplu :
Dacă capitala României, București, are coordonatele geografice
44024′49′′ latitudine nordică și 2605′48′′ longitudine estică și orașul Ploiești
este situat pe coordonatele de 2601′48′′longitudine estică și
44056′24′′latitudine nordică, să se determine:
a) distanța pe hartă dintre cele două orașe, știind că scara hărții este 1:25000;
b) distanța în teren de la Ploiești până la Ecuator și până la meridianul 0. E Ecuator
mer
idia
nul
0 (lati
tudi
ne)
(longitudine)
O N
S V A
𝐴𝑥 𝐴𝑦
Fig. 5.16

126

a) În figura alăturată (fig. 5.17) , cele două localități sunt prescurtate cu B
(București) și P (Ploiești). Distanța dintre ele este PB.
Se calculează diferența dintre coordonatele celor două localități, avâ nd î n
vedere că ele se află în aceleași emisfere:
– pe latitudine: 44056′24′′−44024′49′′=44055′84′′−44024′49′′=
31′35′′
– pe longitudine: 2605′48′′−2601′48′′=4′
1′…………60′′
𝑥…………35′′}⟹𝑥=35
60=0,58(3)′⟹31′35′′=31′+0,58(3)′
=31,58(3)′
1′…………74 𝑚𝑚
31,58(3)′…………𝑦}⟹𝑦=𝑀𝐵=31,58(3)′∙74=2337,1(6) 𝑚𝑚 (pe
hartă, pe latitudine)
1′……52 𝑚𝑚
4′…………𝑧}⟹𝑧=𝑃𝑀=4′∙52=208 𝑚𝑚 (pe hartă, pe longitudine)
Î n triunghiul dreptunghic PMN se aplică teorema lui Pitagora: E Ecuator
mer
idia
nul
0 (lati
tudi
ne)
(longitudine)
O N
S V B P M P'
P''
Fig. 5.17

127
𝑃𝐵2=𝑀𝐵2+𝑃𝑀2⟹𝑃𝐵2=2337,1(6)2+2082⟹𝑃𝐵2
=5505612 ,02(7)⟹
⟹𝑃𝐵≈2346,4 𝑚𝑚 (pe hartă)
b) În figura alăturată, se consideră 𝑃′=𝑝𝑟𝑂𝑁𝑃 și 𝑃′′=𝑝𝑟𝑂𝐸𝑃.
Deci, distanța de la Ploiești până la Ecuator este 𝑃𝑃′′, iar distanța de la Ploiești
până la meridianul 0 este 𝑃𝑃′.
– pe latitudine:
1′……………74 𝑚𝑚
10= 60′…………𝑎}⟹𝑎=60′∙74=4440 𝑚𝑚⟹10=4440 𝑚𝑚 (pe
hartă)
4440∙25000=111000000 𝑚𝑚=111 𝑘𝑚⟹10=111 𝑘𝑚 (pe teren)
10…………3600′′
𝑏…………24′′}⟹𝑏=24
3600=0,00(7)0
10…………60′
𝑐…………56′}⟹𝑐=56
60=0,9(3)0
44056′24′′=(44+0,9(3)+0,00(7))0=44,94(1)0
𝑃𝑃′′=44,94(1)∙111≈4988,47 𝑘𝑚 (pe teren)
– pe longitudine:
1′……………52 𝑚𝑚
10= 60′…………𝑑}⟹𝑑=60′∙52=3120 𝑚𝑚⟹10=3120 𝑚𝑚 (pe
hartă)
3120∙25000=78000000 𝑚𝑚=78 𝑘𝑚⟹10=78 𝑘𝑚 (pe teren)
10…………3600′′
𝑚…………48′′}⟹𝑚=48
3600=0,01(3)0
10…………60′
𝑛…………1′}⟹𝑛=1
60=0,01(6)0
2601′48′′=(26+0,01(6)+0,01(3))0=26,02(9)0
𝑃𝑃′=26,02(9)∙111≈2889,33 𝑘𝑚 (pe teren)

128

BIBLIOGRAFIE

1. Albu, A. C., Rada, F., Obădeanu, V., Smaranda, D. & Popescu, I. P. (1983).
Geometrie pentru perfecționarea profesorilor . București: Editura Didactică și
Pedagogică.
2. Angelescu, N., Lupea, I. & Tomescu, I. (2001). Ghid matematic pentru
gimnaziu . Ploiești: Editura LVS Crepuscul.
3. Brâ nzei, D. , Brâ nzei, R. (2000). Metodica predării matematicii . Pitești:
Editura Paralela 45.
4. Brânzei, D., Anița, S., Onofraș, E. & Isvoranu, G. (1983). Bazele
raționamentului geometric . București: Editura Academiei României.

129
5. Burtea, M., Burtea, G. (2009). Culegere de exerciții și probleme clasa a IX-a.
București: Editura Campion.
6. Năchilă, C. E., Năchilă, P., Popescu, V. & Popes cu, M. (2001). Exerciții și
probleme de matematică -fizică pentru gimnaziu . București: Editura ProGnosis.
7. Perianu, M., Dumitrel F. (2015). Matematică, clasa a IX-a. Grup Editorial
Art.
8. Popescu, O., & Radu, V. (1983). Metodica predării geometriei în gimnaziu .
București: Editura Didactică și Pedagogică.
9. Turtoiu, F. (1986). Probleme de trigonometrie . București: Editura Tehnică.
10. Udriște, C. N. & Bucur, C. M. (1980). Probleme de matematici și
observații metodologice . Timișoara: Editura Facla.
11. Vodă, V. G. (1979). Triunghiul – ringul cu trei colțuri . București: Editura
Albatros.
12. Vodă, V. G. (1983). Vraja geometriei demodate . București: Editura
Albatros.
13.Ivanov,A. ,Teleuca,M. Probleme de geometrie competitivă .Editura GIL.