Lect. Univ. Dr. Velicu Georgiana Tronaru Mirela -Elena [602178]

1
UNIVERSITATEA „VALAHIA” DIN TÂRGOVIȘTE
FACULTATEA DE ȘTIINȚE ȘI ARTE
SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ DIDACTICĂ

ASPECTE DIDACTICE ASUPRA
METODEI INDUCȚIE
MATEMATICĂ ÎN LICEU

Coordonator: Propunător:
Lect. Univ. Dr. Velicu Georgiana Tronaru Mirela -Elena

Târgoviște
2015

2
Cuprins
Argument……………………………………………………………… ……………………………3
Capitolul 1: Inducția matematică……………………………………………… …….4
1.1. Prezentare generală…………………………………………………. ………………. . 4
1.2. O variantă a metodei inducției matematice………….. …………………….10
Capitolul 2: Metoda inducției matematice aplicată în algebră …….13
1.1. Demonstrarea egalităților și inegalităților………….. ……………………. 13
1.2. Divizibilitate…………………………………………………………….. ………………. 22
1.3. Calculul puterii unei matrici………………………………. ……………………… 25
Capitolul 3: Metoda inducți ei matematice aplicată în geome trie… 30
Capitolul 4: Metoda inducției matematice aplicată în analiză…….. 35
Capitolul 5: Concluzii referitoare la aplicarea metodei inducției
matematice……… …………………………………………………………. …………………. …45
1.1. Observații metodice…………………………………………………. ……… ………. .45
1.2. Proiect didactic……………………………………… ………………….. ……………… 46
Bibliografie ………………………………………………………………. ………………………. 55

3

Argument
Motto: “Învățând matematică, înveț i să gândești.” (Grigore C. Moisil)

Datorită specificului ei, matematica se învață pentru a se aplica în practică.
Este necesar ca elevilor să le fie prezentate probleme matematice demonstrate din cât mai
multe ramuri ale matematicii și cât mai variate pentru a sesiza diversitatea aplicării metodei
propuse în această lucrare.
Tema lucră rii ,, Aspecte didactice asupra metodei inducției matematice în liceu”,
este deosebit de actuală și pentru faptul că se pot rezolva exerciții din toate ramurile
matematicii (al gebră, analiză, geometrie) cu ajutorul metodei inducției matematice și de
asemenea face parte din deprinderile cognitive de bază care se formează încă din timpul școlii
gimnaziale și continuă să se formeze în liceu.
Am ales această temă având în vedere ca, prin studiul efectuat pentru pregătirea ei și colaborat
cu experiența la clasă, să -mi îmbogățesc nivelul de pregãtire profesională, să găsesc cele mai
adecvate metode și procedee pentru a -i face pe elevii cu care lucrez să -și însușească temeinic
și conștient noțiuni de formare a reprezentărilor matematice. M -am oprit la aceasta temă
deoarece am constatat din experienta anterioară că este important să se dezvolte interesul si
capacitatea elevilor de rezolvarea a exercițiilor cu ajutorul metodei inducție mat ematică, de a
forma și dezvolta operațiile gândirii.
Experiența demonstrează că activitatea gândirii este stimulată și aplicată în mare măsură de
matematică, de aici trăgând concluzia că matematica înseamnă gândirea organizată.

4
Capitolul I
Inducția ma tematicǎ
1.1. Prezentare generală
Prima demonstrație prin inducție matematică apare pentru progresii aritmetice în cartea
“al-Fakhri” scrisă de al Karaji în jurul anului 1000 IH. Proprietăți ale triunghiului lui Pascal
sunt de asemenea demonstrate aici.
Nici unul dintre matematicienii ant ichității nu au considerat principiul inducției matematice ca
de sine stătător.
Prima prezentare explicită apare în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575) a lui Francesco
Maurolico care demonstrează că suma primelor n numere impare este n 2 . Formularea
principiul inducției matematice apare în lucrarea lui Pascal Traité du triangle arithmétique
(1665).
Apoi prin Fermat, Jacob Bernoulli principiul inducției este extins, folosit în demonstrații.
Secolul al XIX -lea aduce studiul sistematic al acestui princ ipiu în logica matematică prin
matematicienii George Boole, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano și Richard Dedekind.
Astăzi metoda inducției matematice este aplicată în cele mai variate probleme de matematică,
devenind un instrument uzua l si eficace.
Modalitatea de a obține cunoștințe științifice noi, din cele deja cunoscute o constituie
raționamentul inducției matematice.
Raționamentul deductiv , adică raționamentul demonstrativ al inducției face trecerea de la
general la particular.
Rezultatele obținute sunt certe însă au un caracter particular.
Raționamentul inductiv (unul din raționamentele plauzibile) are marea importanță pentru
faptul că ne conduce pe baza unor situații particulare cunoscute la concluzii generale, care ar
putea însă să nu fie adevărate.
Principiul inducției matematice constituie un mijloc important de demonstrație în matematică
a propozițiilor (afirmațiilor) ce depind de argument natural.
Metoda inducției matematice constă în următoarele:

5
O propoziție (afirmație ) oarecare P(n), ce depinde de un număr natural , este adevărată
pentru orice natural , dacă:
1. P(1) este o propoziție (afirmație) adevărată;
2. P(n) rămâne o propoziție (afirmație) adevărată, cand se majorează cu o unitate,
adică P(n + 1) este adevărată.
Obsrvație: În unele cazuri metoda inducției matematice se utilizează în următoarea formă:
Fie m un număr natural, m > 1 și P(n) o propoziție ce depinde de n, n ≥ m.
Dacă:
1. P(m) este adevărată;
2. P(n) fiind o propoziție justă impliăa P(n + 1) adevărată pentru n ≥ m,
atunci P(n) este o propoziție adevărată pentru orice număr natural n ≥ m.
Prin inducție se ȋnțelege o metodǎ de raționament care conduce de la propoziții particulare la
o oarecare propoziție generalǎ.
Să dăm câteva exemple:
1) Să calculăm sumele succesive de numere impare: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7,
1+3+5+7+9. Obținem, respectiv, numerele 1 = , 4 = , 9 = , 16 = , 25 = .
Observăm că în toate cazurile considerate suma este egală c u pătratul numărului
termenilor sumei. În mod natural, se poate presupune că această proprietate ar putea să
aibă loc pentru orice astfel de sumă (având oricât de mulți termeni). Presupunerea
(ipoteza) noastră se poate formula astfel: Pentru orice număr na tural , are loc
egalitatea:
.
2) Fie trinomul:

Înlocuind pe cu numerele naturale obținem:

Observăm că toate valorile trinomului obținute mai inainte sunt numere prime. Se poate emite
ipoteza că valoarea trinomului este număr prim pentru orice număr natural Totuși,
această ipoteză este falsă, deoarece, de exemplu:

6

Care nu este număr prim. De fapt, este primul număr natural pentru care nu este
prim.
3) Matematicianul francez Pierre Fermat (1601 -1665) considerând numerele:

care sunt numere prime, a tras concluzia că pentru orice număr natural numărul
este prim. El nu a reușit să verifice dacă pentru , numărul este
sau nu este prim.
Însă, matematicianul și fizicianul elvețian Leonard Euler (1707 – 1783) a arătat că acest
număr, nu este prim, mai precis:

Ulterior s -au găsit și alte valori ale lui pentru care
numărul nu este prim.
4) Matematicianul polonez Waclaw Sierpins ki (1882 – 1969) a emis ipoteza că numărul
nu dă pătrate perfecte pentru natural. Aceasta s -a dovedit a fi falsă, cel
mai mic număr natural pentru care se obține pătrat perfect fiind un număr format
din 29 de cifre.
5) Din mica teoremă a lui Fermat rezultă că dacă este un număr prim, atunci
se divide cu
Totuși oricare ar fi numărul prim nu se divide cu
De aici ar putea urma că, în general, pentru nici un număr, prim , numărul
nu se divide cu . Totuși s -a arătat că se divide cu .
Exemplele de mai sus arată că aceeași metodă de raționament conduce în unele cazuri la
propoziții adevărate, iar în altele la propoziții false. Deoarece prin această metodă concluzia
se trage după considerarea câtorva exemple, și nu a tuturor cazurilor pos ibile, această metodă
de raționament se numește inducție incompletă .
Inducția incompletă, după cum am văzut, nu conduce mereu la propoziții adevărate, dar este
folositoare, deoarece permite să se formuleze o presupunere, care după aceea poate fi
confirmată sau infirmată.

7
Câteodată însă, o astfel de metodă de raționament poate să conducă, studiind un număr finit
de cazuri, la epuizarea tuturor posibilităților.
Iată două exemple în acest sens:
1) Să se demonstreze că fiecare număr natural par , unde , se poate scrie
ca suma a două numere prime (care pot fi egale).
Pentru demonstrație să considerăm fiecare din numerele pare cuprinse între 4 și 20.
Avem: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11,
18 = 7 + 11, 20 = 7 + 13.
2) Să se demonstreze că pentru orice poliedru regulat este îndeplinită relația V – M + F =
2, unde V este numărul vârfurilor, M este numărul muchiilor, iar F este numărul
fețelor.
Pentru demonstrație, este suficient să considerăm numai cinci cazuri, și anume: tetraedu,
octoedru, cub, dodecaedru, icosaedru, deoarece nu există alte poliedre regulate. Pentru
aceste cinci cazuri afirmația se verifică direct, deoarece pentru tetraedu: V = 4, M = 6, F =
4; pentru ocoedru: V = 6, M = 12, F = 8; pentru cub: V = 8, M = 12, F = 6; pentru
dodecaedru: V = 20, M = 30, F = 12; pentru icosaedru: V = 12, M = 30, F = 20. Într –
adevăr, pentru toate cele cinci poliedre avem: V – M + F = 2.

O astfel de metodă de raționament, în care concluzia rezultă pe baza cercetării tuturor
cazurilor, se numește inducție completă.
Inducția completă are un domeniu restrâns de aplicabilitate în matematică. De regulă,
propozițiile matematice se referă la o mulțime infinită de elemente (de exemplu, mulțimea
numerelor naturale , mulțimea numerelor prime, mulțimea poliedrelor ș.a.m.d) și nu este
posibil de considerat, pe rând, toate aceste elemente. Există însă o metoda de a raționa, care
înlocuiește analiza, de altfel imposibil de realizat în practică, a unei mulțimi infinite de cazuri
cu demonstrarea faptului că, dacă o propoziție este adevărată într -un caz, atunci ea se
dovedește a fi adevărată și în cazul care succede acestuia. O astfel de metodă de raționament
se numește inducție matematică.
Să reluăm presupunerea (ipoteza) f ăcută în paragraful precedent: Pentru orice număr natural
are loc egalitatea:
. (1)
Să notăm cu P(n) egalitatea (1), pentru numărul natural n. Atunci, faptul că P(1), P(2), P(3),
P(4), P(5) sunt adevărate, înseamnă că egalitatea (1) are loc respectiv pentru n = 1, n = 2, n =
3, n = 4, n = 5, după cum s -a arătat în paragraful precedent.

8
Întrucât P(5) este adevărată: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = , avem 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =
, adică este adevărată P(6).
Astfel, am demonstrat că dacă P(5) este adevărată, rezultă că este adevărată P(6).
Să demonstrăm, în același mod, că pentru un număr natural oarecare

Aceasta înseamnă că din egalitatea

să rezulte egalitatea

Într-adevăr,

Atfel, egalitatea P(n) este adevărată pentru n = 1, iar din faptul că ea este adevărată
pentru n = k, rezultă că ea este adevărată și pentru n = k + 1.
Atunci P(1) P(2), deoarece 2 = 1 + 1; P(2) P(3), deoarece 3 = 2 + 1; P(3) P(4),
deoarece 4 = 3 + 1; P(4) P(5), deoarece 5 = 4 + 1 ș.a.m.d.
Pare natural că în modul acest se poate ajunge până la orice număr n, adică P(n) este
adevărată pentru o rice ; deci raționamentul făcut pare convingător. Acest raționament
este riguros din punct de vedere matematic, deoarece este un caz particular al unui principiu
de bază al matematicii, numit principiul inducției matematice (primul principiu de inducție).
Acesta se formulează astfel:
Dacă o propoziție P(n), n fiind un număr natural, este adevărată pentru n = 0, și din
aceea că ea este adevărată pentru n = k (unde k este un număr natural oarecare) rezultă că
ea este adevărată și pentru n umărul natural n = k + 1, atunci propoziția P(n) este adevărată
pentru orice număr natural n.
În aritmetică se pune în evidență că principiul inducției matematice constituie una din
axiomele de bază ale aritmeticii numerelor naturale , având numeroase aplic ații. Acest
principiu ne dă metoda demonstrației numită metoda inducției matematice .
Fie P(n) o propoziție care depinde de un număr natural , m fiind un număr natural fixat.

9
Demonstrația prin metoda inducției matematice a propoziției P(n), constă din do uă etape:
1) Se verifică mai intâi că P(m) este adevărată;
2) Se presupune că P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată, k
fiind un număr natural m ( adică .
Dacă ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propo ziția P(n) este adevărată
pentru orice număr natural
Intuitiv, acestă metodă de demonstrație se justifică astfel:
Din P(m) adevărată și , pentru orice , rezultă P(m + 1)
adevărată (k = m); apoi luând k = m + 1 se obține c ă P(m + 2) este adevărată etc.
Raționând „din aproape în aproape” deducem că propoziția P(n) este adevărată
pentru orice număr natural
Metoda inducției matematice arată că egalitatea (1) este adevărată pentru orice număr natural
, deoarece ea este adevărată pe ntru m = 1, și din P(k) rezultă P(k + 1), pentru
Observații:
1) Dacă se cere să demonstrăm că propoziția P(n) este adevărată pentru orice ,
m fiind un număr natural fixat, prima etapă a demonstrației prin inducție
matematică constă în verificarea faptului că P(n) este adevărată pentru n = m și nu
pentru alt număr natural. Este posibil ca pentru numerele naturale mai mici decât
m propoziția să fie falsă, sau să nu aibă sens.
2) Cele două etape ale demonstrației prin metoda inducției matematice sunt la fel de
importante. În paragraful precedent, considerând exemplul ,
ne-am convins că o propoziție poate fi adevărată pentru un număr de cazuri
particulare, nefiind adevărată în general. Acest exemplu arată cât de importantă
este etapa a doua a demonstrației prin inducție matematică.
Nu înseamnă că prima etapă este mai putin importantă decât a doua.
Exemplu de mai jos arată la ce concluzie absurdă se poate ajunge, dacă se omite prima etapă a
demonstrației prin inducție matematică:
Să considerăm propoziția P(n):
„Orice număr natural n este egal cu succesorul său.”
Să resupunem că P(k) este adevărată, k finnd un număr natural oarecare, adică k = k + 1.
Adunând 1 la fiecare membru al egalității k = k + 1 , rezultă k + 1 = k + 2, adică P(k + 1) este
adevărată. Etapa a doua a demonstrației a fost efectuată, totuși propoziția nu este adevărată.

10
Într-adevăr, pentru n = 0, P(n) nu este adevărată, deoarece și deci prima etapă a
demonstrației prin inducție matematică ne spune că P(n) este falsă .

1.2. O variantă a metodei inducției matematice:

Fie o submulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale. Spunem că din A este un
prim element (sau un cel mai mic element) al mulțimii A, dacă pentru orice x din A.
Teoremă (proprietatea de bună ordonare a mulțimii numerelor naturale): Orice
submulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale are un prim element.
Demonstrație: Fie o submulțime nevidă. Dacă atunci 0 este primul element al
său. Dacă , fie M mulțimea numerelor naturale n, astfel încât , oricare ar fi
Evident, și dacă atunci
Deci Vom arăta că există un număr natural astfel încât Într-adevăr,
presupunem prin absurd că pentru oricare avem
Fie propoziția P(n): Dacă , atunci .
Deoarece rezultă P(0) adevărată.
Mai mult, , deoarece după presupunerea prin absurd, dacă avem

Conform metodei inducției matematice, rezultă M = N, contradicție. Deci există astfel
încât Arătăm că este numărul căutat. Într -adevăr , pentru orice . Mai
mult ; în caz contrar, pentru orice și deci pentru orice
Așadar , contradicție.

11
Proprietatea mulțimii numerelor naturale de a fi bine ordonată stă la baza celui de -al doilea
principiu de inducție matematică. Acest principiu este echivalent cu primul principiu de
inducție, însă, uneori este mai oportun pentru unele demonstrații.
El se formulează astfel:
Dacă o propoziție P(n), n fiind un număr natural, este adevărată pe ntru n = 0 și, din faptul că
ea este adevărată pentru toate numerele , rezultă că ea este adevărată și pentru n = k,
atunci P(n) este adevărată pentru orice număr natural n.
Demonstrație: Fie M submulțimea mulțimii N a numerelor naturale pentru care P (n) este
falsă. Dacă această submulțime este nevidă, atunci ea are un prim element k. Acest număr nu
poate fi 0, deoarece P(0) este adevărată. Deci Cum k este cel mai mic număr pentru
care P(k) este falsă, atunci pentru orice , P(n) este adevărată, și din ipoteză rezultă că
P(n) este adevărată și pentru n = k. Deci P(k) este în același timp și falsă și adevărată,
contradicție. Deci neapărat mulțimea A este vidă. Așadar nu există numere naturale pentru
care P(n) este falsă, adică P(n) este adevărată pentru orice număr natural n.
Acest principiu stă la baza unei variante a metodei de demonstrație prin inducție matematică.
Fie P(n) o propoziție care depinde de un număr natural fiind un număr natural fixat.
Demonstrația prin această vari antă a metodei inducției matematice a propoziției P(n) constă
din:
1) Se verifică mai întâi că P(m) este adevărată.
2) Se presupune că P(l) este adevărată pentru orice l, unde și se demonstrază
că P(k) este adevărată.
Dacă ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propoziția P(n) este
adevărată pentru orice număr natural
Exemplu: Să se demonstreze că orice număr natural , ori este număr prim, ori se
descompune în produsul unui număr finit de numere prime.
Demonstrație: Folosim metoda inducției matematice (varianta a doua). Notăm cu P(n)
propoziția: Numărul , ori este prim, ori este produs de numere prime.
1. P(2) este adevărată, deoarece n = 2 este număr prim.
2. Să presupunem că P(1) este adevărată pentru orice l, și să demonstrăm
că P(k) este adevărată. Într -adevăr, fie numărul natural k. Dacă k este număr prim

12
rezultă că P(k) este adevărată. Dacă k nu este număr prim, atunci k = ab, unde
După presupunerea noastră P(a) și P(b) sunt adevărate, adică a și b
ori sunt prime, ori se descompun în produse de numere prime. Atunci este clar că
și k = ab se descompune în produs de numere prime, adică P(k) este adevărată.
Conform metodei inducției matematice rezultă că P(n) este adevărată pentru orice
număr natural
Observație: Am remarcat mai înainte că la baza celui de -al doilea principiu de inducție
matematică, care de altfel este echivalent cu primul, stă proprietatea mulțimii numerelor
naturale de a fi bine ordonată. Astfel, acest principiu poate fi extins și la alte mulțimi de
numere bine ordonate.
De exemplu:
1) O mulțime finită este bine ordonată.
2) Dacă m este un număr întreg oarecare, mulțimea numerelor întregi x, , este bine
ordonată.
Dacă A este o mulțime bine ordonată, putem aplica metoda inducției matematice
pentru demonstrarea unei proprietăți P(x),

13
Capitolul II

Metoda inducției matematice aplicată în algebră
Puteți demonstra, prin inducție, afirmația P(n):
,, Suma
este pătrat perfect?”
P(1) este evident adevărată, dar știind
= , avem

despre care nu avem cum să demonstrăm că este pătrat perfect. După cum știm cu toții
afirmația mai ”tare” (mai precisă).
P(n):

se demonstrează foarte ușor (prin inducție). Adesea o afirmație mai precisă, mai generală sau
mai completă se poate demonstra prin inducție în vreme ce afirmația mai slabă nu.
În continuare s ă ilustrăm metoda inducț iei matematice prin exemple.

1.1. Demonstrarea e galități lor și inegalități lor
Exemplul 1 . Să se demonstreze urm ătoarele egalit ăți:
a)

Rezolvare: Pentru egalitatea devine
prin urmare P(1) este
adevărată.
Presupunem că egalitatea din enunț este adevărată, adică are loc egalitatea

și urmează să verificăm dacă P(n+1), adică:

14

adică P(n+1) este justă. Cum (se ține seama de egalitatea din enunț):

se obține:

adică P(n+1) este afirmație justă.
Așadar, conform principiului inducției matematice egalitatea din enunț este justă
pentru orice natural.

b) 1+ 3 + 5 + … + (2n – 1) =
Rezolvare: Pentru n = 1 egalitatea devine sau 1=1, astfel P(1) este
justă. Presupunem justă egalitatea:
1+ 3 + 5 + … + (2n – 1) =
și urmează să verificăm dacă are loc P(n + 1):

sau

Se ține seama de egalitatea din enun ț și se obține:

Așadar P(n + 1) este adevă rată și, prin urmare, egalitatea din enunț este adevă rată.

c)

Rezolvare: Pentru n = 1 egalitatea este justă
1=1. Se presupune justă
egalitatea:

și se arată că

15

adică P(n) adevărată implică P(n+1) adevărată. În tr-adevăr:

și cum se obține:

și, prin urmare, egalitatea este adevărată.
d)

Rezolvare: Pentru n=1 egalitatea este justă:

Se presupune că are loc egalitatea :

și se arată că are loc egalitatea:

Într-adevăr, ținând seama de ipoteza:

e)

Rezolvare: Propoziția P(1) este justă:
. Se presupune că egalitatea:

16

Este adevărată și se arată că ea implică egalitatea:

.
Într-adevăr

Așadar, egalitatea enunțată este justă pentru orice n natural.
f)

Rezolvare: P(1) este adevărată:

și se arată că această egalitate implică egalitatea:

Într-adevăr, ținând seama de justețea afirmației P(n), se obține:

Prin urmare, egalitatea este demonstrată.
g)
– formula binomul lui Newton
Rezolvare: Pentru n=1 egalitatea devine a + b = b + a, și deci este adevărată.
Fie formula binomului Newton justă pentru n = k, adică:

Atunci

17

Ținând seama de egalitatea se obține:

Exemplu 2: Să se demonstreze inegalitățile:
a) Inegalitatea Bern oulli:
Rezolvare: Pentru n = 1 inegalitatea este adevărată:

Se presupune că are loc inegalitatea enunțată:
(1)
și se arată, că în așa ipoteză are loc și

Într-adevăr, cum ă multiplicând ambii membri ai inegalității (1) cu
se obține:

sau

Cum rezultă :

Așadar P(n) adevărată implică P(n+1) adevărată, prin urmare, conform principiului inducției
matematice inegalitatea Bernoulli este adevărată.
b) ă ș
Rezolvare: Pentru n = 1, se obține și prin urmare adică P(1) este o afirmație
justă. Se presupune că P(n) este ad evărată, adică, sunt n numere pozitive,
produsul cărora este egal cu unu, ș

18
Să arătăm, că această ipoteză implică justețea următoarei afirmații: dacă
atunci

Se disting următoarele două cazuri:
1) și atunci suma lor este (n+1), inegalitatea fiind justă;
2) Cel puțin un număr este diferit de unu, fie mai mare ca unu. Atunci, dat fiind
, rezultă că există cel puțin încă un număr diferit de unu, mai exact,
mai mic ca unu.
Fie ș Considerăm n numere pozitive:

Produsul lor este egal cu unu, iar conform ipotezei

Ultima inegalitate se scrie astfel:

sau

Cum

deoarece

rezultă

adică P(n) adevărată implică P(n+1) adevărată. Inegalitatea este demonstrată.
Observație: Se observă, că semnul egalității are loc dacă și numai dacă

c) Inegalitatea Cauchy relativă la media aritmetică și geometrică:

19

Rezolvare: Fie numere pozitive arbitrare. Se consideră n
numere:

Cum aceste numere sunt pozitive și produsul lor este egal cu unu:

Conform inegalității b) demonstrate anterior rezultă:

De unde rezultă:

Observație : Semnul egalității are loc dacă și numai dacă
d)
Rezolvare: P(1) este o afirmație justă: Se presupune că P(n) este
o afirmație adevărată:
și se arată că P(n+1) are loc.
Într-adevăr:

(se ține seama că dacă atunci și reciproc dacă

Așadar, pentru orice
ș ăț
e)

Rezolvare: P(n):

20
Pentu n = 1 afirmația este justă:

.
Se presupune că

, și urmează să demonstrăm că:

Cum

se ține seama de P(n) și se obține:

f)
Rezolvare: P(n):
Pentru n = 10 P(10): , așadar inegalitatea este justă.
Se presupune că și trebuie să demonstrăm P(n + 1), adică

Cum pentru avem

sau

rezultă:

Se ține seama de ipoteza ( și se obține:

Conform principiului inducției matematice pentru orice

g)

(Inegalitatea lui Jensen) (1)
Rezolvare: Conform ipotezei, relația are loc pentru n = 2. Fie , pentru care
are loc relația (1).
Arătăm că relația are loc și pentru valoarea n + 1.
Fie a , b . Considerăm punctele

21
Deoarece

conform metodei inducției matematice rezultă
că avem:

Urmează că:

Fie . Conform metodei inducției matematice și ținând cont de (2), obținem

, deci relaț ia (1) are loc pentru valoarea
n + 1. Conform principiului inducției matematice, (1) are loc pentru orice
.

h)

Rezolvare: Fie
Deoarece
, rezultă că relația are loc pentru n = 2.
Fie pentru care are loc relația. Fie a, b Considerăm punctele
Avem Conform metodei
inducției matematice, rezultă că:

De aici, obținem succesiv:

Fie Conform metodei inducției matematice și ținând cont de
ultima relație, rezultă că:

22

Deci relația are loc și pentru valoarea n + 1.
Contraexemplu: Nu orice inegalitate se poate demonstra prin inducție matematică datorită
suficienței:
Fie P(n):

Avem P(k):

adevărată.
Studiem dacă P(k+1):

este adevărată.
Adunând la P(k):

cu
rezultă că:

ceea ce contrazice P(k+1).
Observație: Observăm că există situații în care ipoteza de inducție nu poate fi construită în
așa fel încât s ă poată fi folosită în demonstrații pentru anumite inegalități.

1.2. Divizibilitate

Exemplu 1: Să se demonstreze că se divide cu 3, pentru orice număr natural n.
Rezolvare: Notăm cu P(n) propoziția: se divide cu 3. Deoarece ,
atunci pentru n = 0, se divide cu 3, adică P(0) este adevărată.
Să demonstrăm că se divide cu 3, să rezulte că se
divide cu 3.
Într-adevăr,

23

Observăm că este o sumă de doi termeni. Primul termen al acestei sume se divide cu 3,
iar al doilea termen este evident divizibil cu 3. Prin urmare, fie care termen al sumei se
divide cu 3, de unde și se divide cu 3 . Propoziția este demonstrată.

Exemplu 2: Să se demonstreze că suma cuburilor oricăror trei numere naturale consecutive se
divide cu 9.
Rezolvare: Suma se divide cu 9.
Să presupunem că suma se divide cu 9. Atunci suma:

se divide evident cu 9, ca fiind suma a doi ter meni, fiecare dintre aceștia fiind divizibil cu 9.

Exemplu 3: Să se demon streze că, oricare ar fi numărul natural , următoarea propoziție
este adevărată:
se divide cu 133.
Rezolvare: Fie propoziția P(n): se divide cu 133.
Evident, P(0) este adevărată, deoarece .
Să presupunem că se divide cu 133, adică P(k) este adevărată și să
demonstrăm că P(k+1) este adevărată.
Într-adevăr, avem

Observăm că acesta se divide cu 133, ca fiind diferența a două numere, fiecare dintre ele fiind
divizibil cu 133.

Exemplu 4: Arătați că este multiplu de 9 pentru orice

24
Rezolvare: Fie P(1): 4 + 15 – 1 = 18 multiplu de 9.
Presupunem că P(k): este multiplu de 9.
Demonstrăm că P(k+1): este multiplu de 9.
Fie

Demonstrăm că este multiplu de 3, aplicând tot raționamentul inducției matematice,
și anume:
P(1): 4 + 5 = 9 adevărată, adică 9 este multiplu de 3.
Arătăm că . Adică dacă P(k) este adevărată atunci și P(k+1): este
multiplu de 3, ceea ce arată că P(k+1) este adevărată. Avem astfel
care este multiplu de 3. Astfel am demonstrat că și P(k+1) este
adevărată.
Conform metodei inducției matematice P(n) este adevărată pentru orice

Exemplu 5: Să se demonstreze că pentru orice :
a)
Rezolvare: P(n) :
P(1) este o propoziție adevărată, deoarece 0 se divide cu 6. Fie P(n) are loc, adică
se divide cu 6.
Se arată, că are loc P(n+1), adică (n + 1) n(2n + 1) se divide cu 6.
Întradevăr cum:

și cum atât n(n – 1)(2n – 1) cât și se divid cu 6, rezultă că și suma lor, adică
se divide cu 6.
Așadar P(n + 1) este o afirmație justă, iar pentru orice .

25

b)
Rezolvare: Verificăm P(1): de unde rezultă că P(1) este justă.
Arătăm, că dacă (P(n)), atunci

Întradevăr, cum:

și atât cât și se divid cu 11, rezultă că și suma lor, adică
se divide cu 11.

1.3. Calculul puterii unei matrici
În calculul puterii unei matrici, metoda inducției matematice se aplică explicit în două situații:
atunci când este dată forma matricei și aceasta doar trebuie verificată sau când această
formă nu este dată și ea trebuie mai întâi determinată.
Prezentăm în continuare exemple pentru fiecare dintre aceste situații:

Exemplu 1: Se consideră matricea
Arătați că

Rezolvare: Afirmația este adevărată pentru n = 0; presupunând -o adevărată pentru
obținem

, ceea ce
încheie pa sul de inducție și demonstrația.

26
Exemplu 2: Fie Să se arate că există un șir de numere complexe astfel
încât pentru orice și, în plus

Rezolvare: Interpretarea a relației lui Cayley
arată că afirmația din enunț este adevărată pentru n = 2.
Fie acum . Presupunem afirmația adevărată pentru orice
Pentru k = 3, din relația Cayley obținem :

Pentru relația lui Cayley conduce la
Folosind ipoteza de inducție, obținem

Exemplu 3: Se consideră matricea

Determinați .
Rezolvare:

Acestea ne sugerează că

pentru orice .
Demonstrăm prin inducție această afirmație: pentru n = 0, ea este evidentă; presupunând -o
adevărată pentru , obținem

, deci afirmația este adevărată pentru , ceea ce încheie
demonstrația.

27

Exemplu 4: Considerăm mulțimea matricelor de forma:

Arătați că pentru orice există un unic element cu proprietatea

Rezolvare: Arătăm că
Înlocuim b cu a, obținem

Probăm apoi prin inducție matematică relațiile

Exemplu 5: Să se determine
.
Rezolvare: Din relația dată se obține că

Dacă
din relația (1) se obține:

Așadar,
, iar din egalitatea dată rezultă că:

cu soluțiile a = 1, b = 1 și a = -2, b = -1. Se obține

și
.

28
Exemplu 6: Fie
. Determinați
. (1)
Rezolvare: Se folosește metoda inducției matematice.
Pentru n = 1 :

rezultatul este adevărat.
Presupunem că relația (1) este adevărată pentru orice număr natural n = k:

și o vom demonstra pentru n = k + 1.

.

Exemplu 7:

(1)

Rezolvare: Se utilizează principiul inducției matematice.
a) Pentru n impar:

, adevărată.
Presupunem relația (1) adevărată pentru n = k și o demonstrăm pentru n = k + 2.

, adevărată.
b) Pentru n par:

, adevărată.

Presupunem relația (1) adevărată pentru n = k și o demonstrăm pentru n = k + 2.

, adevărată.

29
Exemplu 8: Fie matricea A
)(2RΜ ,
,
0a. Să se calculeze
2A și
3A
și apoi să se determine , .
Rezolvare:

Se folosește metoda inducției matematice:
)1( )(  kP kP .
Presupunem că =
și demonstrăm că =

ă
Așadar,
, .

30
Capitolul III

Metoda inducției matematice aplicată în geometrie
Exemplu 1: Să se demonstreze că n drepte situate într -un plan, astfel încât oricare două dintre
ele nu sunt paralele și oricare trei nu sunt concurente, împart planul în
părți.
Rezolvare: Demonstrăm prin inducție matematică după n.
Pentru n = 1, afirmația este adevărată, deoarece
, iar o dreaptă împarte planul în
două părți. Fie adevărată afirmația pentru n = k și să o demonstrăm pentru n = k + 1.
Alegem una din cele k + 1 drepte pe care o vom numi a (k + 1) -a. Din ipoteza inductivă cele k
drepte rămase împart planul în
părți, a (k + 1) -a dreaptă taie primele k drepte în k
puncte și de aceea este împărțită de aceste puncte în k + 1 părți. Deoarece cele k puncte
obținute sunt diferite de punctele de intersecție ale primelor k drepte (între ele), atunci fiecare
din aceste părți împart una din părțile planului în două părți (date de cele k drepte), adică la

părți se adaugă încă k + 1.
Deci avem

părți.

Exemplu 2: Să se demonstreze că un număr n de plane, care trec printr -un singur punct O,
astfel încât oricare trei dintre ele nu trec prin aceeași dreaptă, împart spațiul în
regiuni.
Rezolvare: P(1): n = 1, (orice plan împarte planul în 2 regiuni).

31
Presupunem că P(k): este adevărat și demonstrăm pentru n = k + 1; adică
arătăm că cele n + 1 plane, care satisfac condiția din problemă împart spațiul în
regiuni.
Notăm cu P planul al (n+1) –lea care trece prin O. Acesta va intersecta cele
n plane după n drepte care trec prin O, rezultă că planul P va fi impărțit după 2n regiuni,care
reprezintă un unghi din planul P cu vârful în O; primele n plane care trec prin O împart spațiul
în unghiuri poliedre.
Pe unele dintre acestea,planul P le împarte în două,iar fața comună a celor 2 regiuni astfel
formate,este regiunea din P,formată de cele 2 semidrepte determinate de P cu fețele unghiului
poliedru, deci cu unul dintre cele 2n unghiuri formate, în planul P →nr. unghiurilor poliedre
pe care le împarte în două părți P n u poate fi mai mare de 2n (relația 1).
Fiecare din cele 2n regiuni ale lui P este față comună a două unghiuri poliedre pe care le
formează planul P atunci când împarte pe unele unghiuri poliedre formate de primele n plane.
Deci numărul unghiurilor poliedr e pe care planul P le împarte nu poate fi mai mic de 2n
(relația 2).
Din relațiile 1 si 2 rezultă că numărul unghiurilor poliedre pe care le împarte P este 2n.
Deci:

Este adevărată .

Exemplu 3: Să se demonstreze că pentru orice număr natural n, un pătrat poate fi
împărțit în n pătrate.
Rezolvare: Se verifică ipoteza de inducție pentru n = 6, 7, 8, adică verificăm dacă P(6), P(7),
P(8) sunt adevărate.
Demonstrăm pasul de inducție, a dică implicația
Presupunând făcută împărțirea în n pătrate, unul dintre ele se împarte în patru pătrate egale și
se obțin în acest fel n + 3 pătrate.

32
Astfel implicația este adevărată și conform raționamentului inducției
matematice P(n) est e adevărată pentru orice număr natural

Exemplu 4: Să se calculeze a unui poligon regulat cu laturi înscris într -o
circumferință de rază R.
Rezolvare: Pentru n = 2 poligonul regulat cu laturi reprezintă un pătrat, și în acest caz

A D
AEEEB B

Fie și să determinăm . Dacă AB , atunci

Din triunghiul DEB, conform teoremei Pitagora:

Așadar

, și deci:

Astfel s -a obținut o formulă de trecere de la n la n + 1.

C E

33
În cazuri particulare:

Natural apare ipoteza:

. (2)
Pentru n = 1 această formulă este adevărată.
Fie relația (2) adevărată pentru n = k. Să calculăm
Conform formulei de trecere se obține:

.
Observație: Din (2) rezultă că lungimea circumferinței este egală cu:

și cum

34

.

35
Capitolul IV

Metoda inducției matematice aplicată în analiză
Exemplu 1: Să se calculeze:
Rezolvare: Demonstrăm prin inducție matematică că:

Pentru n = 2:

Presupunând că inegalitatea este adevărată pentru k, demonstrăm că este adevărată și pentru
k + 1 :

Din

Exemplu 2: Să se demonstreze că șirul este convergent
și să se determine limita șirului.
Rezolvare: Din primii termeni se pare că șirul este crescăto r.

Deci pentru a arăta monotonia șirului, mai întâi trebuie demonstrat că
Demonstrația o facem cu metoda inducției matematice:
Pentru n = 1:

36
Presupunând că

Astfel, și de aici este strict crescător.
Conform teoremei lui Weierstrass șirul este convergent, fie
atunci:

Deoarece

Exemplu 3: Să se studieze convergența șirului:

Rezolvare: Se observă că
Presupunem prin inducție că Atunci:

Din principiul inducției, rezultă că deci șirul este mărginit superior. Avem
și
Deoarece

rezultă că
șirul este monoton crescător. În concluzie șirul este convergent.

37
Dacă , atunci prin trecere la limită în relația de recurență se
obține ecuația Soluția ecuației este x = 2 și se obține că

Exemplu 4: Să se studieze monotonia șirului dat de relația de recurență:

Rezolvare: Folosim metoda inducției matematice:
Pentru n = 2,
Avem
Conform principiului inducției matematice, rezu ltă că , deci șirul
este monoton strict crescător.

Exemplu 5: Să se calculeze derivata de ordin n pentru:

Rezolvare: Funcția este derivabilă pe ca funcție rațională și

.
Funcția fiind funcție rațională este derivabilă pe și derivata sa este :

Analog se obțin

care sunt funcții raționale.
Putem formula că

38
Demonstrăm această formulă prin inducție matematică. Pentru n = 1,
, egalitate
adevărată. Presupunem formula adevărată pentru n și o demonstrăm pentru (n + 1), adică
arătăm că

Funcția este derivabilă pe ca funcție rațională și:

, ceea ce trebuie arătat.
În concluie, funcția f este derivabilă de orice ordin n, și
(inclusic pentru
n = 0) .
Exemplu 6: a) Să se stabilească inegalitatea

(cu partea a doua
valabilă pentru
Rezolvare: Pentru partea a doua se aplică inegalitatea mediilor:

(cu egalitate dacă și numai dacă ) numerelor
. Se obține :

, de unde

.
Se poate lucra și prin inducție matematică.
Într-adevăr, pentru n = 2, inegalitatea este

, adevărată. Fie acum inegalitatea
valabilă pentru un n oarecare și s -o dovedim pentru n + 1, adică să demonstrăm că:

39

Avem, ținând seama de ipoteza de inducție:

Pentru a obține rezultatul căutat, ultima expresie trebuie să fie mai mică decât

, adică
trebuie să avem:

Această ultimă inegalitate este mai greu de stabilit pe cale directă și, de aceea, se probează
transformând -o treptat în alta, echivalentă , despre care se poate tranșa pe loc dacă este
adevărată sau falsă.
Inegalitatea este echivalentă cu:

Inegalitatea (*) este strictă, deoarece n + 1
Pentru partea întâi se lucrează, de asemenea, prin inducție. Într -adevăr, pentru n = 1, avem

Fie acum inegalitatea valabilă pentru un n oarecare și s -o dovedim și pentru n + 1, adică să
demonstrăm că:

40

Ținând seama de ipoteza de inducție, avem:

Pentru a obține rezultatul căutat, ultima expresie trebuie să fie mai mare decât

, adică
trebuie să avem:

.
Din nou, această ultimă inegalitate este mai greu de stabi lit pe cale directă și de aceea, se
probează transformând -o treptat în alta echivalentă, despre care se poate tranșa pe loc dacă
este adevărată sau falsă. Inegalitatea este echivalentă cu:

sau:

este adevărată.
b)Să se stabilească prin metoda inducției matematice inegalitatea:

( cu partea a doua valabilă pentru
Rezolvare: Se lucrează din nou prin inducție matematică ; la etapa a doua a inducției ,
etapa de demonstrație, se va pleca de la n!, arătând că

.

41
La finalizarea inducției se va ține seama din nou de inegalitățile

(pentru , deci, cu atât mai mult, pentru

c) Utilizând inegalitatea de la punctul b), să se arate că următorul șir este mărginit:

Rezolvare: Șirul are toți termenii pozitivi.
Pentru avem:

.
Dar este posibil ca, pentru n , să depășească valoarea 1. Așadar, inegalitatea de
mărginire se scrie corect astfel:
0 max( 1,
Calculând primii cinci termeni, se obține că acest maxim este .
Așadar, 0 , Deci șirul este mărginit.

Exemplu 7: Să se demonstreze că șirul
este strict descrescător.
Rezolvare: Inegalitatea

și echivalează succesiv
cu:

Ultima inegalitate se demonstrează prin metoda inducției matematice.

42
Pentru n = 1, ea revine la

, adică
, adevărat. Să considerăm că
inegalitatea este valabilă pentru un n oarecare și s -o dovedim pentru n + 1, adică să
dovedim că:

Avem, în baza ipotezei de inducție:

Pentru a obține rezultatul căutat, ultima expre sie trebuie să fie mai mare decât

adică trebuie să avem:

Această ultimă inegalitate este mai greu de stabilit pe cale directă și, de aceea, se
probează transformând -o treptat în alta, echivalentă , despre care s e poate tranșa pe loc
dacă este adevărată sau falsă. Inegalitatea echivalează succesiv cu:

Ridicând ambii membri la puterea
, ultima inegalitate echivalează cu

, care este adevărată, deoarece șirul

este strict crescător.

43
Exemplu 8: Să se demonstreze că șirul
este strict
descrescător.
Rezolvare: Arătăm că, pentru orice , adică

.
Vom prelucra inegalitatea transformând -o, treptat, în alta, echivalentă mai ușor de
stabilit.
Inegalitatea este succesiv echivalentă cu următoarele:

sau

sau

sau încă:
.
Această ultimă inegalitate este echivalentă cu:

. (1)
Inegalitatea (1) se demonstrează prin inducție. Pentru n = 3 inegalitatea devine

, adevărată. Să presupunem că inegalitatea este adevărată
pentru un n oarecare și să arătăm că este valabilă și pentru n + 1, adică:

44

Avem:

.
Vom arăta că:

.
Aceasta echivalează cu

sau

, care este e vident.
Deci, conform principiului inducției matematice, inegalitatea (1) este adevărată, deci șirul
este strict descrescător.

45
Capitolul V
Concluzii referitoare la aplicare a metodei inducției matematice
1.1 . Observații metodice
 Trebuie imprimată convingerea că metoda inducției matematice complete este o
metodă puternică de demonstrație aplicabilă în toate domeniile matematicii.
 O serie de probleme considerate cu un grad sporit de dificultate, probleme de tip OIM,
apreciate ca no n-standard sunt rezolvabile destul de ușor prin metoda inducției
matematice.
 Este necesar că propoziția matematică P(n) să fie clar formulată, deoarece o serie de
probleme fac posibilă alegerea mai multor ipoteze de inducție optând pentru cele în
care demonstrația este mai simplă .
 Există uneori tendința ca prima etapă de verificare să fie neglijată, fiind foarte simplă.
Trebuie ca elevii să fie deprinși a acorda aceeași importa nță ambelor etape, întrucât
P(0) se pote dovedi falsă. Uneori etapa de verific are poate fi partea dificilă a
raționamentului, sau cea importantă.
 Inducția există și în alte științe, nu întotdeauna rezultatele fiind adevărate. Astfel
trebuie dat importantă egală ambelor etape distincte: etapei de verificare și etapei de
demonstrație (pasul de inducție).
 Este necesar ca elevilor să le fie prezentate probleme matematice demonstrate prin
raționamentul inducției matematice din cât mai multe ramuri ale matematicii și cât mai
variate pentru a sesiza diversitatea aplicării raționamentului ș i necesitatea reținerii de
către elevi și a altor variante de demonstrare ale metodei.
 Se subliniază elevilor faptul , că raționamentul inducției matematice este demostrabil
în situația în care există o situație logică care permite trecerea de la un pas la
următorul, de la n la n+1.
 Există o serie de propoziții matematice care depind de numărul natural n, care nu pot
fi demonstrate prin inducție matematică , de exemplu:

46
1.2 . PROIECT DIDACTIC

Clasa: a X-a
Data:
Profesor: Tronaru Mirela -Elena
Aria curriculara : Matematică și științe
Disciplina: Matematică
Tema: Inducția matematică . Aplicații
Tipul lecției: Recapitulare
Locul de desfășurare: Sala de clasă
Competențe generale :
1. Identificarea unor date și relații matematice în funcție de contex tul în care au fost
definite;
2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete ;
3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora ;
4. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă .

Competențe specifice :
1. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică;
2. Interpretarea unor situații problemă cu conținut practic cu ajutorul raționamentului
inducției matematice.
Competențe derivate :
La sfârșitul lecției elevii vor fi capabili:
Cognitive :
1. Să selecteze din mulțimea datelor culese, informații relevante pentru rezolvarea de
probleme;
2. Să identifice corect propoziția matematică dependent de un număr natural oarecare
n;

47
3. Să realizeze valabilitatea unei propoziții matematice de la particular la general;
Afective :
1. Să participe cu interes la lecție;
2. Să își d ezvolte interesul pentru studiul matematicii;
Psihomotorii:
1. Să scrie corect, frumos și îngrijit problemele propuse.

STRATEGIA DIDACTICĂ :
a) Resurse procedurale:
Metode și procedee: conversația euristică, explicația, expunerea, exercițiul,
problematizarea, observarea sistematică;
Forme de organizare: frontală, individuală , în perechi .
b) Resurse materiale: Fișe de lucru, tablă, marker, planșe.
Bibliografie: Manual de matematică pentru clasa a X -a, Mihai Balună,
Laurențiu Panaitopol, Ed. Gil.

48
Desfășurarea lecției
MOMENTELE
LECTIEI CONȚINUT ȘI SARCINI DE ÎNVĂȚARE
METODE ȘI
PROCEDEE MIJLOACE
DIDACTICE FORME DE
ORGANIZA
-RE EVALUARE
ACTIVITATEA PROFESORULUI ACTIVITAT
EA
ELEVILOR

1. Moment
organizatoric
(1 min)

Pune absențele în catalog
Asigură o atmosferă adecvată pentru buna
desfășurare a orei; Elevii iși
pregă tesc
materialele
necesare
desfășurării
orei de
matematic ă.
Coversația Catalogul
clasei Frontală Evaluez
capacitatea de
organizare a
elevilor
2.Verificarea
temei
(2 min) Verifica tema prin sondaj, utilizand
dialogul profesor -elev, elev -elev, prin
confruntarea rezultatelor. Î n cazul în care
apar diferenț e la rezultat, se rezolv ă
problema la tablă Confruntă
rezultatele,
corectează
tema acolo
unde au gre șit,
sugerează idei
de rezolvare.
Conversația
Explicaț ia
Caietele
elevilor,
Frontală
Individuală

Evaluez
capacitatea de
a rezolva
exerciții
independent
3.Captarea
atenției si
actualizarea
cunostintelor.
(3min) În cadrul orei de astăzi vom aprofunda și
lucra exerciții care se rezolvă cu ajutorul
metodei inducție matematică .
Profesorul verifică oral gradul de însușire
a noțiunilor predate în ora anter ioară Elevii sunt
atenți la
precizări și
rețin
importanța Problematiza –
rea Planșă cu
competenț ele
derivate
Frontală Evaluez gradul
de implicare a
elevilor în
rezolvarea
problemei

49

punând următoarele întrebări:
1. Cum definiți noțiunea de inducție
matematică ?
2. Care sunt etapele în care constă
demonstrația metodei inducție
matematică?
3. Cum definiți noțiunea de inducție
completă? lecției pentru
însușirea
deprinderilor
corecte de
rezolvare a
exercițiilor cu
ajutorul
metodei
inducție
matematică.
Elevii răspund
la întrebări.
4.Anunțarea
titlului și a
obiectivelor
lecției
(2 min) Profesorul prezintă titlul lectiei : ”Inducția
matematică . Aplicații”. Profesorul
enunță competenț ele derivate și prezintă
o fișă cu acestea :
Competente derivare :
La sfarsitul lectiei elevii vor fi capabili :
A. Cognitive
1. Să selecteze din mulțimea datelor
culese, informații relevante pentru
rezolvarea de probleme;
2. Să identifice corect propoziția
matematică dependent de un
număr natural oarecare n;
3. Să realizeze valabilitatea unei
propoziții matematice de la
particular la general; Elevii sunt
atenți și
notează pe
caiete titlul
lecției. Sunt
atenti la
prezentarea
competentelor
derivate. Conversația markere,
planșe , tabla Frontală

50
B. Afective
1. Să participe cu interes la lecție;
2. Să își d ezvolte interesul
pentru studiul matematicii .
C. Psihomotorii
1. Să scrie corect, frumos și îngrijit
problemele propuse .
5.Transmiterea
cunostintelor
(30 min)
Se propune spre rezolvare la tablă frontal
exerciții care se rezolvă cu ajutorul
metodei inducției matematice .
Profesorul distribuie fișe de lucru.
(Anexa 1) Elevii rezolvă
la tablă
sarcinile
cuprinse în fișa
de lucru.

Conversația
euristică,
Exercițiul
Explicația
Problematizarea
Demonstrația
Observarea Fișa de lucru
Individuală,
frontală Evaluez
corectitudinea
rezolvării
sarcinilor
propuse
6.Evaluarea
(10 min) Profesorul p ropune spre rezolvare un
scurt test (Anexa 2).
La final cere elevilor să facă schimb de
caiete cu colegul de bancă și să se
corecteze reciproc.
Profesorul prezintă o fișă cu baremul de
corectare.
Verifică testul
pe baza
baremului dat,
calculând nota.

Conversația
Planșă cu
baremul
corespunzător
testului
formativ Individuală,
frontală Evaluez modul
de rezolvare și
rigoarea
autoevaluării
7. Asigurarea
retenției și a
transferului
(2min) Formulează concluziile ce se desprind în
urma administrării testului și a
participării elevilor la lecție.
Indică tema pentru acasă și dă
explicațiile necesare rezolvării ei. Notează tema
și ascultă
explicațiile
date de
profesor.
Conversația
Frontală

51
Anexa 1
FIȘĂ DE LUCRU
1. Să se demonstreze următoarele egalități:
a) 1+ 3 + 5 + … + (2n – 1) =
b)

c)

d)

2. Să se demonstreze inegalitățile :
a)

b)
c)

3. Să se demonstreze că , pentru orice număr
natural n.
4. Să se demonstreze că pentru orice , .
5. Se consideră matricea

Arătați că

6. Să se studieze monotonia șirului dat de relația de recurență :

52
Anexa 2
TEST
1. Să se demonstreze urmă toarea egalit ate:

2. Să se demonstreze că se divide cu 3, pentru orice număr natural n.

53
BAREM DE CORECTARE
1. Să se demonstreze urmă toarea egalit ate:

Soluție: Pentru egalitatea devine
prin urmare P(1) este adevărată.
Presupunem că egalitatea din enunț este adevărată, adică are loc egalitatea

și urmează să verificăm dacă P(n+1), adică:

adică P(n+1) este justă. Cum (se ține seama de egalitatea din enunț):

se obține:

adică
P(n+1) este afirmație justă.
Așadar, conform principiului inducției matematice egalitatea din enunț este justă pentru
orice natural.
2. Să se demonstreze că se divide cu 3, pentru orice număr natural n.
Soluție: Notăm cu P(n) propoziția: se divide cu 3. Deoarece ,
atunci pentru n = 0, se divide cu 3, adică P(0) este adevărată.
Să demonstrăm că se divide cu 3, să rezulte că se
divide cu 3.
Într-adevăr,

54

Observăm că este o sumă de doi termeni. Primul termen al acestei sume se divide cu 3,
iar al doilea termen este evide nt divizibil cu 3. Prin urmare, fiecare termen al sumei se
divide cu 3, de unde și se divide cu 3. Propoziția este demonstrată.

55
Bibliografie
Andrei Vernescu – Analiză matematică, Vol. I, Ed itura Pantheon, București, 2001;
Laurențiu Panaitopol – Inducția matematică;
Mircea Ganga – Manual pentru clasa a XII -a, M1, Editura Mathpress, Ploiești, 2007;
Marius Burtea, Georgeta Burtea – Manual pentru clasa a XII -a, M1, Editura Carminis
Educațional, Pitești, 2007;
C. Năstăsescu, C. Niță, S. Popa – Manual pentru clasa a X -a, Editura Didactică și Pedagogică,
București , 1985;
Marius Burtea, Georgeta Burtea – Manual pentru clasa a XI -a, Editura Carminis Educațional,
Pitești, 2006.