Lect. Univ. Dr. Mihaela Tinca UDRIȘTIOIU [603247]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
STUDII UNIVERSITARE DE LICENȚĂ
SPECIALIZAREA: FIZICĂ INFORMATICĂ
KASSEL UNIVERSITÄT – EXPERIMENTAL PHYSIK III

LUCRARE DE LICENȚĂ

Coordonator științific :
Lect. Univ. Dr. Mihaela Tinca UDRIȘTIOIU
Cercet ător științific asociat: Dr. Cristian Ș ARPE

Absolvent: [anonimizat]-Constantin ISPAS

CRAIOVA
2018

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
STUDII UNIVERSITARE DE LICENȚĂ
SPECIALIZAREA: FIZICĂ INFORMATICĂ
KASSEL UNIVERSITÄT – EXPERIMENTAL PHYSIK III

Generarea armonicii a patra cu laserul de
femtosecunde

Coordonator științific :
Lect. Univ. Dr. Mihaela Tinca UDRIȘTIOIU
Cercetător științific asociat: Dr. Cristian Ș ARPE

Absolvent: [anonimizat]-Constantin ISPAS

CRAIOVA
2018

CUPRINS

1. Introducere ………………………………………………………………………………………………………………… 4
2. Laser – noțiuni introductive ………………………………………………………………………………………… 5
2.1. Emisia stimulată …………………………………………………………………………………………………….. 7
2.2. Amplificarea luminii ……………………………………………………………………………………………….. 9
2.3. Inversia de populație ……………………………………………………………………………………………… 11
2.4. Modurile de funcționare ale laserului ………………………………………………………………………. 13
2.5. Modurile longitudinale ………………………………………………………………………………………….. 14
3. Lasere cu pulsuri ultrascurte …………………………………………………………………………………….. 16
3.1. Pulsurile laser ultrascurte ……………………………………………………………………………………….. 18
3.2. Mode -locking- ul activ ……………………………………………………………………………………………. 18
3.3. Mode -locking- ul pasiv prin efectul optic neliniar Kerr ………………………………………………. 19
3.4. Manipularea pulsurilor ………………………………………………………………………………………….. 20
3.4.1. Dispersia ……………………………………………………………………………………………………….. 20
3.4.2. Compresia pulsurilor ………………………………………………………………………………………. 22
3.4.3. Amplificarea pulsurilor …………………………………………………………………………………… 24
4. Optică neliniară ………………………………………………………………………………………………………… 25
4.1. Generarea armonicii a doua ……………………………………………………………………………………. 26
4.2. Însumarea frecvențelor ………………………………………………………………………………………….. 26
4.3. Potrivirea fazei ……………………………………………………………………………………………………… 27

4
1. Introducere

Lucrarea este structurată în X capitole, incluzând o parte introductivă, concluzii și referințe
bibliografice apelate de -a lungul lucrării.

5
2. Laser – noțiuni introductive

Căutarea laserelor —„light amplification by stimulated emission of radiation” (amplificarea
luminii prin emisia stimulată a radiației) —a inceput încă din anul 1958 când Arthur Schawlow și
Charles Townes au propus să extindă principiul maser —„microwave amplification by stimulated
emission of radiation” (amplificarea microundelor prin emisia stimulată a radiției) —la frecvențe din
domeniul lum inii vizibile.[1]
Acest lucru a fost realizat de către Theodore Maiman când a construit primul laser în 1960,
folosind un cristal roz de rubin (safir cu impurități de crom trivalent), pompat de o lampă elicoidală
cu xenon care înconjura cristalul ce avea o gaură mică la un capăt pentru a observa radiația. Lunigimea
de undă emisă a fost de 694 nm (ro șu).
Spre deosebire de lumina naturală, laserul are proprietatea de a emite lumină coerentă. Coerența
este o proprietate a laserelor ce permite emiterea fascicu lelor sinfazice. Două fascicule de lumină sunt
coerente dacă au aceeași fază și aceeași frecvență, ceea ce ne conduce la fenomenul de interferență.
Acest fenomen oferă posibilitatea de a crea o undă de amplitudine mai mare (interferență constructivă)
sau d e a crea o undă de amplitudine mai mică (interferență d istructivă). Există două tipuri de coerență:
a. Coerență spațială — dacă două fascicule emise din două puncte diferite ale unei surse
luminoase pot interfera, atunci cele două fascicule sunt coerente în s pațiu. Coerența spațială
are care primă consecință obținerea unui fascicul cu o intensitate luminoasă foarte mare.
b. Coerență temporală — dacă un fasciul emis de o sursă luminoasă la un moment dat poate
interfera cu un fascicul emis din același punct al sursei la un alt moment, spunem că cele două
fascicule sunt coerente in timp.

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
6

Figura 1: Comparație între lumina naturală, lumina filtrată și lumina laser[2]

Componentele unui dis pozitiv laser sunt mediul activ și cavitatea optică rezonantă . Mediul activ
al unui laser permite amplificarea și emisia radiației luminoase. Pentru ca mediul activ să amplifice
lumina este necesar să primească energie din exterior prin procesul de pompare, care se poate realiza
electric sau optic. Cel mai eficient mecanism de pompaj este cel optic, în care se folosește o sursă de
lumină, în general, un alt laser, pentru a excitara atomi i din mediul activ, adică să aduc ă electroni i pe
niveluri de energie superioare, astfel încât mediu l activ va avea mai mulți electro ni pe stările
superioare, fenomen numit inversie de populație. Caracteristica de coerență a fasciculelor laser este
determinată de faptul că, pornind de la un singur foton, generat prin emisie spontană, care
interacționează cu atomii excitați, rezult ând un fascicul cu un număr foarte mare de fotoni care se
propagă în aceeași direcție și au aceeași stare de polarizare, fază și lungime de undă cu fotonul inițial.
Cavitatea optică rezonantă are rolul de a recircula fotonii generați pe o anumită direcție în int eriorul
mediul ui activ , prin reflexii repetate. Cavitatea este formată din două oglinzi așezate la capetele
mediului activ : M HR cu o relexie foarte mare ( high reflecitvity ) și o oglindă parțial transparentă ( MOC,

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
7
output coupler ) pentru a permite luminii să părăsească cavitatea, formându- se, astfel, fasciculul de
ieșire al laserului. Atât în mediul activ , cât și în cavitatea optică există pierderi prin: difracție,
absorbție, reflexie parțială, împrăștiere.

Figura 2: Componentele princip ale ale unui dispozitiv laser(modificată din [3])

2.1. Emisi a stimulată

Emisia stimulată este un proces care îi permite laserului să amplifice radiația elecctromagnetică.
Acest proces a fost studiat și descris de către Albert Einstein, încă din anul 1905, încercând să explice
efectul fotoelectric descoperit de Heinrich Hertz în 1887 și ajungând la concluzia că ipoteza lui Max
Planck , despre radiația corpurilor negre , care spunea că lumina însăși este alcătuită din particule
cuantice individuale este adevărată . Mai târziu, în anul 1926, aceste particule au fost denumite
„fotoni”, de către Gilbert N. Lewis. Piesele puzzle- ului au început să se așeze abia după ce Bohr și -a
publicat modelul său atomic , în 1913, în care electronii sunt concentrați pe un nivel ene rgetic fixat și
pot să facă doar schimb de cuante de energie cu lumea exterioară. Considerând două niveluri
energetice 𝑛𝑛 și 𝑚𝑚 într-un atom, cu energiile 𝐸𝐸𝑚𝑚 și 𝐸𝐸𝑛𝑛 raportate la un nivel fundamental; un foton, cu
energia ℏ𝜔𝜔=𝐸𝐸𝑛𝑛−𝐸𝐸𝑚𝑚, este absorbit cu o probabilitate 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑛𝑛, iar energia lui este transferată unui
electron care sare de pe nivelul 𝑚𝑚 pe nivelul 𝑛𝑛 . Există probabilitatea 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚 ca atunci când un electron

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
8
coboară de pe nivelul 𝑛𝑛 pe nivelul 𝑚𝑚 să emită un foton de aceeași en ergie. Astfel, în 1917, Albert
Einstein a postulat că, pentru o stare excitată, trebuie să existe un canal de dezexcitare cu probabilitatea
𝐵𝐵𝑛𝑛𝑚𝑚: emisia stimulată. Noul proces de emisie se poate realiza doar dacă se află un câmp
electromagnetic ℏ𝜔𝜔 în ve cinătatea atomului și este proporțională cu intensitatea câmpului. 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑛𝑛, 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚
și 𝐵𝐵𝑛𝑛𝑚𝑚 se numesc coeficienți Einstein.[4, 5]

Figura 3: Diagram ă energetică a unui sistem atomic cu două niveluri(modificată din [4])

Conform teoriei lui Einstein, pot avea loc trei procese diferite atunci când vine vorba despre
interacția dintre lumină și materie. Acestea sunt:

Figura 4: Cele trei procese elementare de interacții electron -foton dintr -un atom(modificată din [4])
a) Absobția b) Emisia spontană c) Emisia stimulată

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
9
a. Absorbția
În acest proces, un foton din câmpul electromagnetic dispare, iar energia lui îi este transmisă unui
electron sub formă de energie potențială, atunci când electronul sare de pe nivelul energetic 𝐸𝐸𝑚𝑚 pe
nivelul 𝐸𝐸 𝑛𝑛. Probabilitatea ca fotonul să se supună acestui tip de tr anziție este 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑛𝑛.
b. Emisia spontană
Atunci când un electron se află pe un nivel energetic excitat, 𝐸𝐸𝑛𝑛, poate să coboare spontan pe un nivel
inferior, 𝐸𝐸𝑚𝑚, cu o probabilitate 𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑚𝑚, dând naștere unui foton cu energia ℏ𝜔𝜔=𝐸𝐸𝑛𝑛−𝐸𝐸𝑚𝑚. Direcția, faza
și polarizarea acestuia fiind cantități aleatorii.
c. Emisia stimulată
În prezența unui foton cu energia ℏ𝜔𝜔, un electron excitat poate fi stimulat să emită un foton identic
cu cel incident, cu o probabilitate 𝐵𝐵 𝑛𝑛𝑚𝑚 egală cu probabilitatea de absobție 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑛𝑛. Cei doi fotoni pleacă
mai departe cu aceeași energie, fază, stare de polarizare și direcție de propagare. Factorul de creștere
al cantității de fotoni, în acest caz, este 2.

2.2. Amplificarea luminii

Pentru amplificarea luminii prin pricesul de emisie stimulată, se consideră un set de 𝑁𝑁 atomi dintr –
un mediu activ cu două niveluri energetice, 𝐸𝐸1 și 𝐸𝐸2, și populațiile de atomi din unitatea de volum, 𝑁𝑁1
și 𝑁𝑁2. Acest sistem atomic cu două niveluri energetice este iluminat de un fascicul luminos format din
𝑛𝑛 fotoni cu energiile individuale ℏ 𝜔𝜔=𝐸𝐸2−𝐸𝐸1. Probabilitatea ca fotonii să fie absobiți de mediu este
proporțională cu probabilitatea tranzițiilor electroni ce, numărul fotonilor în poziția 𝑧𝑧 din mediu și
numărul atomilor disponibili de pe primul nivel din unitatea de volum.
Pentru a afla cum variază numărul fotonilor (𝑛𝑛) în funcție de distanța de propagare prin mediu (𝑧𝑧)
și, pentru simplitate, neglijând em isia spontană, se folosește relația:
𝑛𝑛(𝑧𝑧)=𝑛𝑛0𝑒𝑒(𝑁𝑁2−𝑁𝑁1)𝑏𝑏12𝑧𝑧, (1)

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
10
unde 𝑏𝑏12 este coeficientul Einstein la o valoare fixată, iar 𝑛𝑛0=𝑛𝑛(0) numărul fotonilor care se
ciocnesc cu mediul.

Figura 5: Diagramă energetică pentru un set de atomi cu două niveluri energetice(modificată din [4])

• Cazul 1 (𝑁𝑁2<𝑁𝑁1): expresia (1) se reduce la legea pentru absorbție Beer —Lambert,
𝑛𝑛(𝑧𝑧)=𝑛𝑛0𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑧𝑧, unde 𝛼𝛼=(𝑁𝑁1−𝑁𝑁2)𝑏𝑏12>0 este coeficientul liniar de absorbție. Acest
lucru arată că sunt mai mulți atomi în starea fundamentală pregătiți să absoarbă fotoni
decât atomi în starea excitată capabili să emită fotoni și este valabil pentru orice mediu
absorbant la temperatura camerei.
• Cazul 2 (𝑁𝑁1=𝑁𝑁2): expresia (1) arată că numarul fotonilor rămâne constant pe distanța de
propagare, deci există o simetrie completă între absorbție și emisie stimulată. Dacă nu se
neglijează emisia spontană, s -ar observa o creștere lentă a fotonilor cu distanța.
• Cazul 3 (𝑁𝑁2>𝑁𝑁1): expresia (1) poate fi scrisă ca 𝑛𝑛(𝑧𝑧)=𝑛𝑛0𝑒𝑒𝑔𝑔𝑧𝑧, unde 𝑔𝑔=(𝑁𝑁2−𝑁𝑁1)𝑏𝑏12
este coeficientul de câștig la semnal mic. În acest caz, sunt mai mulți atomi în starea excitată decât în cea fundamentală; acest lucru se numește „inversie de populație”.
Creșterea netă a cantității de fotoni este exponențială, datorită faptului că fiecare foton
incident va produce o reacție în lanț în interiorul mediului. Î nsă, deoarece sistemul are doar
două niveluri energetice, o parte din fotoni sunt reasorbiți , iar alții se dezexcită spontan,
astfel factorul de creștere este mai mic decât 2.

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
11
2.3. Inversia de populație

Deoarece electronii sunt fermioni, așadar ascultă de statistica Fermi —Dirac, raportul populațiilor
de electroni de pe nivelurile 𝑁𝑁 1 și 𝑁𝑁2, dintr -un sistem atomic cu două niveluri energetice cu 𝛥𝛥𝐸𝐸 energia
de separare dintre niveluri, se poate calcula astfel:
𝑁𝑁2
𝑁𝑁1=1
𝑒𝑒𝛥𝛥𝛥𝛥𝑘𝑘𝑘𝑘⁄+1, (2)

unde 𝑘𝑘 este contanta lui Boltzmann. Când temperatura absolută 𝑇𝑇 este 0K, raportul dintre populații
este 0, adică energia sistemului este 0, iar toți electronii se află în starea fundamentală, 𝑁𝑁2=0, 𝑁𝑁1=
𝑁𝑁0. Când temperatura tinde către infinit ( 𝑇𝑇→∞), electronii sunt distribuiți în mod egal între cele două
niveluri, 𝑁𝑁2=𝑁𝑁1
2. Astfel că inversia de populație nu se poate realiza prin simpla încălzire a mediului
și nici prin excitarea optică. În cel mai bun caz, se poate obtine o egalitate de populații. Din acest
motiv, deși emisia stimulată se poate realiza între cel pu tin două niveluri, inversia de populație are
nevoie de mai multe niveluri energetice.

Figura 6: Sistem atomic cu trei niveluri energetice(modificată din [3])

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
12
În cazul unui sistem cu trei niveluri energetice, nivelul superior al laserului, |2>, este populat prin
intermediul nivelului |3> . Acest nivel de pompaj poate fi văzut ca o bandă de pompaj formată dintr -o
colecție de niveluri energetice. Dacă viteza canalului neradiativ de populare |3> → |2> este mare în
comparație cu posibilele canale neradiative de dezexcitare |3> → |1> și |2> → |1>, nivelul superior al
laserului poate fi populat aproape în totalitate. Acest lucru, însă, va determina umplerea nivelului
inferior al laserului, |1>, ceea ce înseamnă că sursa de pompaj trebuie să fie foarte puternică pentru a
recircula electronii.

Figura 7: Sistem atomic cu patru niveluri energetice(modificată din [3])

Sistemul atomic ideal pentru aplicațiile laser este sistemul atomic cu patru niveluri nergetice.
Nivelul superior al laserului, |2>, este populat tot prin intermediul nivelului |3>, dar, de data aceasta,
nivelul inferior al laserului, |1>, nu mai este identic cu nivelul fundamental al sistemului, |4>. În acest
caz, în starea de echilibru, populațiile de pe nivelurile |3> și |1> pot fi aproximativ zero, astfel că
inversia de populație este mai ușor de realizat în cadrul acestui tip de sistem atomic față de sistemul
atomic cu trei niveluri energetice.
Odată stabilită inversia de populațuie în tr-un mediu activ, aceasta poate fi folosită să amplifice
lumina. Pentru simplitate, se consideră inversia de populație a unui mediu care are trei niveluri

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
13
energetice ( 𝛥𝛥𝑁𝑁 =𝑁𝑁1−𝑁𝑁2, 𝛥𝛥𝑁𝑁 <0). Intensitatea unei unde electromagnetice , care se propagă pe
direcția 𝑧𝑧, este proporțională cu inversia de populație 𝛥𝛥𝑁𝑁 și intensitatea undei:
𝑑𝑑𝐼𝐼(𝑧𝑧)
𝑑𝑑𝑧𝑧=−𝐼𝐼(𝑧𝑧)𝛥𝛥𝑁𝑁𝜎𝜎21, (3)

unde 𝜎𝜎21, factorul de proporționalitate, este secțiunea transversală de transmisie a emisiei stimulate și
depinde de mediu și lungimea de undă a luminii. Ecuația (3) descrie amplificarea luminii într -un
mediu în care a fost efectuată inversia de populație .

2.4. Modurile de funcționare ale laserului

Laserele pot funcționa în regim de undă continuă sau în mod pulsatoriu.
a) Modul de funcționare continuu
Pentru aplicațiile în care este necesară o putere contantă în timp, se folosesc lasere cu undă continuă.
Aceste tipuri de laser funcționează cu mai multe moduri longitudinale în același timp, iar frecvențele diferite ale acestor oscilaț ii vor produce fluctuații ale amplitudinii. Pentru funcționarea în undă
continuă este necesar ca inversia de populație în mediul activ sa fie completată în mod continuu de o
sursă de pompare, ceea ce, în unele cazuri, poate distruge laserul prin producere a de căldură excesivă.
b) Modul de funcționare pulsat
În acest regim, puterea optică a laserului este concentrată în pulsuri de lumină de o anumită durată, cu o anumită rată de repetiție. Totuși, chiar și laserele cu undă continuă pot fi oprite și pornite cu o
anumită rată de repetiție pentru a obține pulsuri de lumină. În funcție de cerințele aplicațiilor la care sunt supuse laserele, fasciculul produs are diferite caracteristici; de exemplu, unele aplicații necesită
producerea unor pulsuri de energii foarte mari (acest lucru se poate obține prin scăderea ratei de repetiție a pulsurilor pentru a -i oferi mediului activ timp să acumuleze energie între pulsuri), alte
aplicații se bazează pe puterea de vârf a pulsului, în special pentru a obține efecte neliniare. Pentru a
crea pulsuri de durată cât mai scurtă, se folosesc metode precum Q -switching și Mode -locking .

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
14

Figura 8: Comparație între pulsurile lungi de lumină și pulsurile scurte de lumină(modificată din [6])

2.5. Modurile longitudinale

Cea mai importantă caracteristică a rezonatorului optic, în ceea ce privește laserele cu pulsuri
ultrascurte, este reprezentată de existența modurilor longitudinale. Modurile longitudinale sunt
determinate de geometria si reflexia onglizilor.
Între două oglinzi paralele se p oate crea un câmp electromagnetic doar dacă o undă care se propagă
într-o direcție interferează constructiv cu unda reflectată înapoi. Rezultatul superpoziției este o undă
staționară, care dă naștere unui mod longitudinal și se poate obține doar dacă dista nța 𝐿𝐿 dintre cele
două oglinzi ale cavității este un multiplu întreg de jumătăți de lungimi de undă ale luminii.
Considerând 𝜏𝜏 perioada undei, 𝑐𝑐 viteza luminii în vid, 3×108 m/s, și 𝜆𝜆=𝑐𝑐𝜏𝜏, condiția de undă
staționară este
𝑚𝑚𝑐𝑐𝜏𝜏
2=𝐿𝐿, 𝑚𝑚∈ℕ+, (4)

care fixează valoarea întreagă și pozitivă a lui 𝑚𝑚. Cavitatea are o perioadă specifică 𝑇𝑇=𝑚𝑚𝜏𝜏, care
este, de asemenea, timpul parcurs de o undă care străbate întreaga cavitate optică după o reflexie pe

Bogdan -Constantin ISPAS 2. Laser – noțiuni introductive
15
oglindă 𝑇𝑇=2𝐿𝐿∕𝑐𝑐. În funcție de numaărul de moduri longitudinale excitate în cavitate, laserul poate
funcționa fie în regimul „multimode”, fie în regimul „singlemode”, dacă rezonatorul optic prezintă un
singur mod longitudinal.[4]
Considerând 𝛥𝛥𝛥𝛥 lărgimea spectrală a mediului activ, 𝛿𝛿𝛥𝛥=𝑐𝑐
2𝐿𝐿 frecvența dintre două moduri
adiacente, putem afla numărul modurilor longitudinale cu ajutorul expresiei
𝑁𝑁=𝛥𝛥𝛥𝛥
𝛿𝛿𝛥𝛥=2𝐿𝐿
𝑐𝑐𝛥𝛥𝑐𝑐, (5)

unde 𝛥𝛥𝑐𝑐 este lărgimea unui puls.

Figura 9: Modurile longitudinale din cavitatea unui laser(modificată din [6])

16
3. Lasere cu pulsuri ultrascurte

Se consideră o undă plană monocromatică de forma
𝐸𝐸𝑦𝑦=𝑅𝑅𝑒𝑒�𝐸𝐸0𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔0𝑡𝑡�, (6)

unde 𝜔𝜔0 este frecvența unghiulară. Reprezentarea grafică a evoluției în timp a câmpului electr ic a
acestei unde este o funcție cosinus nelimitată (Figura 10). Pentru a crea pulsuri de lumină, se
înmulțește relația ( 6) cu o funcție a cărei reprezentare grafică are formă de clopot. În scopul
simplificării calculelor, se alege o funcție gaussiană. Un puls gaussian poate fi scris sub forma
𝐸𝐸𝑦𝑦=𝑅𝑅𝑒𝑒�𝐸𝐸0𝑒𝑒�−𝛤𝛤𝑡𝑡2+𝑖𝑖𝜔𝜔0𝑡𝑡��, (7)

unde 𝛤𝛤 este factorul de formă a unei învelitoare de tip Gauss și este proporțional cu inversul pătratului
duratei 𝑐𝑐0. Evoluția sa în timp este prezentată în Figura 11.[4]

Figura 10: Evoluția în timp a câmpului elect ric al unei unde plane monocromatice(modificată din [4])

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
17

Figura 1 1: Evoluția în timp a câmpului electric într -un puls gaussian(modificat ă din [4])

Prin calcularea modulului transformatei Fourier a funcției de evoluție în timp a pulsului, se obține
conținutul spectral al pulsului luminos. O undă plană oscilează cu frecvența unghiulară 𝜔𝜔0, iar
transformata Fourier a acestei frecvențe este o funcție de distribuție Dirac 𝛿𝛿(𝜔𝜔0).
Transformata Fourier a unui puls gaussian este o funcție gaussiană.
Transformatele Fourier ale timpului și frecvenței unui puls sunt
𝜀𝜀(𝑐𝑐)=1
2𝜋𝜋�𝐸𝐸(𝜔𝜔)𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝜔𝜔+∞
−∞ (8)
și
𝐸𝐸(𝜔𝜔)=�𝜀𝜀(𝑐𝑐)𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑐𝑐,+∞
−∞ (9)

iar durata și lărgimea spectrală a pulsului este calculată folosind ecuațiile ( 10) și (1 1).
⟨𝛥𝛥𝑐𝑐⟩=∫𝑐𝑐|𝜀𝜀(𝑐𝑐)|2𝑑𝑑𝑐𝑐+∞
−∞
∫ |𝜀𝜀(𝑐𝑐)|2𝑑𝑑𝑐𝑐+∞
−∞ (10)

⟨𝛥𝛥𝜔𝜔2⟩=∫𝜔𝜔2|𝐸𝐸(𝜔𝜔)|𝑧𝑧𝑑𝑑𝜔𝜔+∞
−∞
∫ |𝐸𝐸(𝜔𝜔)|2𝑑𝑑𝜔𝜔+∞
−∞ (11)

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
18
Din inegalitatea Fourier
𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝑐𝑐 =𝐾𝐾, (12)

unde 𝛥𝛥𝛥𝛥 este semilărgimea spectrală, 𝛥𝛥𝑐𝑐 este semidurata pulsului și 𝐾𝐾 un număr care depinde de forma
pulsului, se observă că, pentru generarea pulsurilor ultrascurte, este necesar un mediu activ cu un
spectru larg de emisie.

3.1. Pulsurile laser ultrascurte

După doar două decenii de la apariția primului laser, durata pulsurilor a scăzut până la ordinul
femtosecundelor ( 10−15𝑠𝑠). Aceste tipuri de pulsuri au un spectru larg și sunt caracterizate de
intensități de vârf foarte mari. Cu cât pulsurile sunt mai scurte, cu atât spectrul devine mai larg.
În regimul normal de funcționare, un laser nu poate produce pulsuri ultrascurte . Pulsurile
ultrascurte sunt generate folosind metoda mode -locking. Într-un laser mode -locked, modurile
longitudinale oscilează în fază, la frecvențe echidistante între setul de oglinzi care înconjoară mediul
activ , ca în Figura 2 . Reținerea energiei în cavitatea laserului într -o regiune spațială mică reprezintă
idea de bază a generării pulsurilor ultrascurt e. De fiecare dată când pulsul din cavitate ajunge la output
coupler , o m ică parte din el iese din rezonator. Fasciculul de ieșire este constituit din replici ale
pulsului din interiorul cavității distanțate spațial cu 𝑇𝑇 =2𝐿𝐿∕𝑐𝑐.

3.2. Mode -locking -ul activ

Mode -locking- ul activ se poate realiza inserând un modulator, care implică modularea periodică a
pierderilor din rezonator sau a schimbării de fază după ce unda parcurge întreaga cavitate și se reflectă
o dată. Modulatorul introduce, în unda care îl străbate, un defaz aj 𝜔𝜔𝑚𝑚=2𝜋𝜋∕𝑇𝑇, unde 𝑇𝑇 =2𝐿𝐿∕𝑐𝑐 este
distanțarea spațială a pulsurilor. Se poate intui faptul că, în urma mai multor repetiții de străbatere a
cavității, singura lumină din interiorul rezonatorului va fi cea a cărei defazaj este zero, adică, după ce
trece prin modulator, pulsul va rămâne neschimbat.[4, 7]

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
19

Figura 12: Aranjament laser cu mode -locking activ , prin intermediul un ui modulator de fază

3.3. Mode -locking -ul pasiv prin efectul optic neliniar Kerr

Cea mai des întâlnită metodă de a genera pulsuri ultrascurte în regiunea femtosecundelor este
mode -locking -ul pasiv al laserului Ti:sapphire prin inducerea unui efect optic neliniar, numit efect
Kerr. Efectul Kerr impune anumitor materiale (în acest caz, u n cristal de safir dopat cu ioni de titan)
să prezinte proprietatea de birefringență sub acțiunea unui câmp electric suficient de puternic . Acest
câmp electric poate fi componenta electrică a undei electromagnetice din interiorul cavității laserului.
Astfe l, indicele de refracție al mediului activ depinde de intensitatea pulsului și va determina pulsul
să se focalizeze și să își ajusteze faza singur de fiecare dată când se propagă prin cristal.
Plecând de la premisa că profilul fasciculului laser este de tip gaussian, modificarea indicelui de
refracție este mai pronunțată în centrul pulsului, unde intensitatea este mai mare, și mai slabă spre
marginile acestuia, unde intensitatea scade. Așadar, putem spune că mediul activ se comportă ca ca o
lentilă convergentă pentru fascicule luminoase puternice. Acest lucru reprezintă efectul de
autofocalizare, deoarece fasciculul laser se focalizează automat când trece prin mediul Kerr.
Se poate introduce în interiorul cavității o apertură care să blocheze fasciculul de undă continuă a
laserului de pompaj , apoi se produce un șoc în cavitate, care să mărească intensitatea fasciculului
suficient cât să declanșeze efectul Kerr în interiorul cristalului, pentru a permite luminii să inceapă să

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
20
se focalizeze automat și, astfel, modurile longitudinale din interiorul cavității se vor bloca, iar
fasciculul va fi format din pulsuri, ulterior, trecând de apertură și va fi amplificat prin emisia stimulată.

Figura 13: Principiul blocării modurilor longitudinale cu ajutorul efectului optic neliniar Kerr și a
unei apertur i introduse în cavitate(modificată din [8])

3.4. Manipularea pulsurilor

Până în acest moment al lucrării, s -a arătat cum se generează pulsuri ultrascurte, însă, aceste
pulsuri au durata și energia fixate. Totuși, unele aplicații pot necesita o modificare a acestor parametri.
Acest subcapitol se va axa pe modalitățile de manipulare ale pulsurilor din regiunea femtosecundelor.

3.4.1. Dispersia

Pulsuril e intense care se propagă pe o distanță 𝐿𝐿, printr -un mediu optic (aer, lentile, prisme, oglinzi
etc.), cu indicele de refracție 𝑛𝑛(𝜔𝜔), vor fi supuse fenomenului de refracție.
𝜙𝜙𝑚𝑚(𝜔𝜔)=𝑘𝑘(𝜔𝜔)𝐿𝐿=𝜔𝜔
𝑐𝑐𝑛𝑛(𝜔𝜔)𝐿𝐿, (13)

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
21
care este funcția de transfer spectral datorat propagării pulsului printr -un mediu ca cel menționat mai
sus și 𝑘𝑘(𝜔𝜔) este vectorul de undă.
Prima derivată,
𝑑𝑑𝜙𝜙𝑚𝑚
𝑑𝑑𝜔𝜔=𝜙𝜙𝑚𝑚′=𝑑𝑑(𝑘𝑘𝐿𝐿)
𝑑𝑑𝜔𝜔=𝐿𝐿�𝑑𝑑𝜔𝜔
𝑑𝑑𝑘𝑘�−1
=𝐿𝐿
𝑣𝑣𝑔𝑔=𝑇𝑇𝑔𝑔, (14)

indică întârzierea de grup, 𝑇𝑇 𝑔𝑔, și descrie întârzierea vârfului înfășurătorii pulsului incident , iar 𝑣𝑣𝑔𝑔 este
viteza de grup . Dacă scriem indicele de refracție în funcție de lungimea de undă, relația (14) devine:
𝑇𝑇𝑔𝑔=𝑑𝑑𝜙𝜙𝑚𝑚
𝑑𝑑𝜔𝜔=𝐿𝐿
𝑐𝑐�𝑛𝑛+𝜔𝜔𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜔𝜔�=𝐿𝐿
2�𝑛𝑛−𝜆𝜆𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜆𝜆�. (15)

A doua derivată,
𝜙𝜙𝑚𝑚′′=𝑑𝑑2𝜙𝜙𝑚𝑚
𝑑𝑑𝜔𝜔2=𝐿𝐿
𝑐𝑐�2𝑑𝑑𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜔𝜔+𝜔𝜔𝑑𝑑2𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜔𝜔2�=𝜆𝜆3𝐿𝐿
2𝜋𝜋𝑐𝑐2𝑑𝑑2𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜆𝜆2, (16)

ne arată dispersia întârzierii de grup (GDD— group delay dispersion) . În mediile transparente
obișnuite din domeniul vizibil, se observă dispersia normală. De exemplu, componenta roșie a
spectrului laserului se va propaga mai rapid prin cristal decât componenta albastră.[9]
Dispersia vitezei de grup (GVD— group velocity dispersion) este fenomenul care arată cum sunt
afectate componentele spectrale ale unui fascicul de lumină care se propagă printr -un mediu
transparent. Poate fi definită ca fiind derviata parțială a inversului vitezei de grup, în funcție de
frecvența unghiulară, sau ca dispersia întârzierii de grup în unitatea de lungime.
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 =𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜔𝜔�1
𝑣𝑣𝑔𝑔�=𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜔𝜔�𝑑𝑑𝑘𝑘
𝑑𝑑𝜔𝜔�=𝑑𝑑2𝑘𝑘
𝑑𝑑𝜔𝜔2 (17)

Pentru o aproximație mai bună a dispersiei, în scopul unui reglaj mai fin, putem utiliza a treia
derivată:

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
22
𝜙𝜙𝑚𝑚′′′=𝑇𝑇𝑇𝑇𝐺𝐺=𝑑𝑑3𝜙𝜙𝑚𝑚
𝑑𝑑𝜔𝜔3=𝐿𝐿
𝑐𝑐�3𝑑𝑑2𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜔𝜔2+𝜔𝜔𝑑𝑑3𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜔𝜔3�
=−𝜆𝜆4𝐿𝐿
4𝜋𝜋2𝑐𝑐3�3𝑑𝑑2𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜆𝜆2+𝜆𝜆𝑑𝑑3𝑛𝑛
𝑑𝑑𝜆𝜆3�, (18)

unde 𝑇𝑇𝑇𝑇𝐺𝐺 este third -order dispersion.
Semnul relației (16) ne arată „ciripitul” pulsului. Dacă relația este pozitivă, atunci pulsul laserului
este up- chirped ; frecvența crește, lungimea de undă scade.[9]

3.4.2. Compresia pulsurilor

Din cauza dispersiei introdusă de mediile optice, pulsurile din cavitatea laserului se vor lărgi în
timp. Pentru a evita acest lucru se pot introduce diverse elemente optice pentru a comprima pulsurile,
astfel încât întârzierea indusă de GDD să fie compensată. Elementele introduse trebuie să aibă GDD
negativ, adică componenta albastră a spec trului să se propage mai rapid decât componenta roșie.

Figura 14: Aranjament de prisme pentru a ajusta GDD(modificată din [ 9])
a) Secvență de două prisme cu trecere
dublă a fasciculului b) Secvență de patru prisme

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
23
Figura 14 arată cum un set de prisme poate introduce dispersie negativă sau pozitivă, în funcție de
„ciripitul” pulsului. Prismele se pot ajusta astfel încât fasciculul să le traverseze mai mult sau mai
puțin, în funcție de cerințele aplicației.
Pe lângă prisme, se mai pot folosi grating (Figura 15) și oglinzi dielectrice cu mai multe straturi
(Figura 16).

Figura 15: Compresor format din grating -uri cu trecere dublă a fasciculului(modificată din [9])

În Figura 15, 𝑙𝑙𝑔𝑔 este distanța dintre cele două grating- uri și 𝑙𝑙0 este drumul optic parcurs de
frecvența din centrul pulsului, 𝜆𝜆0. Unghiul de incidență 𝛾𝛾 și unghiul lungimii de undă reflectată 𝜃𝜃 dau
ecuația grating- urilor:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(𝛾𝛾)+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛(𝜃𝜃)=𝜆𝜆𝑑𝑑−1, (19)

unde 𝑑𝑑−1 este o constantă a grating- urilor.

Bogdan -Constantin ISPAS 3. Lasere cu pulsuri ultrascurte
24

Figura 16: Oglindă dielectrică cu mai multe straturi(modificată din [9])

3.4.3. Amplificarea pulsurilor

Pulsurile laser, care ies din oscilator, nu au suficientă energie pentru aplicații precum procesarea
materialelor sau activarea efectelor neliniare. Pentru acest lucru, pulsurile trebuie amplificate .
Cea mai utilizată tehnică de amplificare este amplificarea multipass , bazată pe un aranjament
geometric al oglinzilor în formă de fundă. Pulsul incident al laserului este focalizat într -un punct din
mediul de amp lificare, astfel, cu fiecare trecere prin mediu, pulsul colectează energie. Numărul de
treceri prin mediul de amplificare este limitat de complexitatea geometrică a schemei și de anduranța
mediului. Această tehnică este simplă și ieftină, însă, mediul de a mplificare poate fi distrus cu
ușurință.[3, 4]

Figura 17: Schemă amplificator multipass(modificată din [3])

25
4. Optică neliniară

Deoarece diversele aplicații necesită lungimi de undă diferite, trebuie să găsim metode prin care
să modificăm lungimea de undă a unui fascicul laser.
Optica neliniară studiază fenomenele care au loc în anumite materiale, ca o consecință a modificîrii
proprietăților optice ale materialului în prezența l uminii. În principiu, doar lumina laser este suficient
de puternică încât să inducă aceste modificări.[10]
Pentru a descrie aceste fenomene, se ia considerare faptul că momentul dipolar în unitatea de
volum, sau polarizarea 𝑃𝑃(𝑐𝑐), al unui material depinde de intensitatea câmpul ui optic aplicat 𝐸𝐸(𝑐𝑐). În
cazul opticii liniare, polarizarea depinde liniar de intensitatea câmpului electric, descrisă de relația:
𝑃𝑃(𝑐𝑐)=𝜀𝜀0𝜒𝜒(1)𝐸𝐸(𝑐𝑐), (20)

unde 𝜀𝜀0 este permitivitatea electrică, iar 𝜒𝜒(1) este o constantă de proporționalitate, cunoscută ca
susceptibilitatea liniară . Relația (20) se poate extinde pentru optica neliniară, dacă dezvoltăm
polarizarea ca o serie de puteri ale lui 𝐸𝐸�(𝑐𝑐):
𝑃𝑃(𝑐𝑐)=𝜀𝜀0�𝜒𝜒(1)𝐸𝐸(𝑐𝑐)+𝜒𝜒(2)𝐸𝐸2(𝑐𝑐)+𝜒𝜒(3)𝐸𝐸3(𝑐𝑐)+⋯�
≡𝑃𝑃(1)(𝑐𝑐)+𝑃𝑃(2)(𝑐𝑐)+𝑃𝑃(3)(𝑐𝑐)+⋯, (21)

unde 𝜒𝜒(2) și 𝜒𝜒(3) sunt susceptibilitățile de ordinul doi și, respectiv, ordinul trei. Ne vom referi la
𝑃𝑃(2)(𝑐𝑐)=𝜀𝜀0𝜒𝜒(2)𝐸𝐸2(𝑐𝑐) ca fiind polarizarea neliniară de ordinul doi, iar 𝑃𝑃(3)(𝑐𝑐)=𝜀𝜀0𝜒𝜒(3)𝐸𝐸3(𝑐𝑐)
polarizarea neliniară de ordinul trei.
Ecuația undei într -un mediu optic neliniar este:
𝛻𝛻2𝐸𝐸−𝑛𝑛2
𝑐𝑐2𝜕𝜕2𝐸𝐸
𝜕𝜕𝑐𝑐2=1
𝜀𝜀0𝑐𝑐2𝜕𝜕2𝑃𝑃𝑁𝑁𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑐𝑐2, (22)

unde 𝑛𝑛 este indicele de refracție, iar 𝑃𝑃𝑁𝑁𝐿𝐿 este polarizarea neliniară.

Bogdan -Constantin ISPAS 4. Optică neliniară
26
4.1. Generarea armonicii a doua

Figura 18: Schema generării armonicii a doua

Un prim exemplu al fenomenelor optice neliniare este procesul de generare a celei de- a doua
armonici, ilustrat în Figura 18. În acest proces, doi fotoni cu aceeași frecvență se propagă printr -un
cristal cu susceptibilitatea 𝜒𝜒(2) mai mare decât zero pentru a da naștere unui foton cu energie dublă.
Acest foton va avea, de asemenea, frecvența dublată, iar lungimea de undă înjumătățită.
Eficiența generării celei de- a doua armonici depinde de aranjamentul experimental, astfel că, după
trecerea fasciculului laser printr -un astfel de mediu, poate rămâne și un fascicul rezidual identic cu cel
incident.

4.2. Însumarea frecvențelor

Acum, vom lua în considerare un câmp optic , aplicat unui mediu neliniar de ordinul doi, care are
două componente distincte de frecvență, de forma:
𝐸𝐸(𝑐𝑐)=𝐸𝐸1𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡+𝐸𝐸2𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡+𝑐𝑐.𝑐𝑐., (23)

unde 𝑐𝑐 .𝑐𝑐. este complexul conjugat , pentru a descrie un alt proces neliniar —sum -frequency mixing .

Bogdan -Constantin ISPAS 4. Optică neliniară
27

Figura 19: Schema sum-frequency mixing

Acest proces este similar cu cel al generării armonicii a doua, cu excepția faptului că, în acest caz,
fotonii incidenți au frecvențe diferite. Cei doi fotoni incidenți cu frecvențele 𝜔𝜔1 și 𝜔𝜔2 se combină în
cristal pentru a genera un foton de frevența egală cu suma frecvențelor foto nilor incidenți, 𝜔𝜔3=𝜔𝜔2+
𝜔𝜔1. O aplicație a acestui proces ar fi producerea unei radiații acordabile în regiunea ultraviolet a
spectrului undelor electromagnetice.[10]

4.3. Potrivirea fazei

Multe procese optice neliniare, precum generarea armonicii a doua și mixarea parametrică a
radiațiilor a căror frecvență este egală cu suma frecvențelor , necesită o potrivire a fazelor pentru a
avea o eficiență considerabilă. Asta înseamnă că trebuie să existe o relație între fazele undelor care
interacționează, care să se păstreze de- a lungul direcției de propagare. Tehnica prin care se realizează
acest lucru se numește phase matching.
În cazul armonicii a doua , unde 𝜔𝜔 2=2𝜔𝜔1, relația este dată de diferența vectorilor de undă:
𝛥𝛥𝑘𝑘=𝑘𝑘2−2𝑘𝑘1. (24)

În cazul sum-frequency mixing , unde 𝜔𝜔3=𝜔𝜔2+𝜔𝜔1, relația este:
𝛥𝛥𝑘𝑘=𝑘𝑘1+𝑘𝑘2−𝑘𝑘3. (25)

Dacă aceste relații sunt satisfacăte, adică 𝛥𝛥𝑘𝑘=0, atunci conversia fasciculului va avea eficiență
maximă [Figura 21.b)]. În caz contrar [Figura 21.a)], contribuțiile amplitudini i complexe, din diferite

Bogdan -Constantin ISPAS 4. Optică neliniară
28
părți ale cristalului, a duse undei rezultant e vor oscila în interiorul cristalului conform relației vectorilor
de undă care există între ele, astfel că tranfe rul energiei va oscila în cristal, în loc să se propage odată
cu unda rezultantă.

Figura 21: Fazorii corespunzători contribuțiilor amplitudinii complexe, din diferite părți ale
cristalului, aduse undei rezultante(modificată din [11])
a) Fără fază potrivită b) Cu fază potrivită

Cea mai des întâlnită metodă de potrivire a fazei în cristale neliniare este birefringent phase
matching, unde se exploatează proprietatea de birefringență a cristalului pentru a aduce fazele în
aceeași poziție. Această tehnică are mai multe variațiuni:
– Type I phase matching, de exemplu, la sum -frequency mixing , cele două fascicule care intră în
cristal au aceeași polarizare, perpendiculară pe p olarizarea undei sumă. Type II phase matching
se aplică în cazul în care cele două fascicule au direcții de polarizare diferite.

Figura 20: Diferența de fază dintre vectorii de undă la armonica a doua

Bogdan -Constantin ISPAS 4. Optică neliniară
29
– Critical phase matching. În acest caz, se fac ajustări la unghiul la care este poziționat cristalul
(sau la fascicululele de in trare), astfel încât să se găsească unghiul potrivit, la care să se
compenseze diferența de fază.
O altă tehnică importantă, în care nu este nevoie de birefringența cristalului, este quasi -phase
matching (sau type 0 phase matching) . Cu această metodă nu se obține o potrivire a fazei, însă,
eficiența conversiei este mare, datorită unei polarizări periodice a cristalului pentru a varia
neliniaritatea acestuia, astfel obținându -se stări egale de polarizare ale undelor implicate în proces.[11]